Solucionario Calculo Integral Granville

Solucionario de Granville

Cálculo Integral

Introducción La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville. No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo diferencial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas al siguiente correo: [email protected]. Éxitos y bendiciones.

1. x 4 dx = =

x 41 c 4 1

=

x5 c 5

2. =

dx =  x 2 dx 2 x

x 21 c 2  1

x 1 c 1 1  c x 

3. x dx  2/3



2 1 3

x c 2 1 3 5

x3  c 5 3 

3 x 5/3 c 5

4. 

dx dx   1/2  x x

x

1/2

dx

x 1/21 c 1/ 2  1



x1/2 c 1 2



2 x1/2 c 1

 2 x c

5. 

3

dx  x

dx

x

1/3

x 1/31 c 1/ 3  1



x 2/3 c 2 3



3 x 2/3 c 2

6. 3ay 2 dy  3a  y 2 dy  y 21   3a  c  2  1  y3   3a    c 3  ay 3  c



x

1/3

dx

7.

2dt   2t 2 dt t2

 2  t 2 dt  t 21   2 c  2  1   t .1   2  c  1  1  2  c  t  

2 c t

8. ax dx 



a  x dx 

a  x dx 

a  x1/2 dx

 12   x 1   a c 1    1 2     x 3/2   a c 3     2   2 x 3/2   a c  3   2 x  x1/2   a c  3   

a  x 2x c 3 2 x ax c 3

pero x  x1/2  x 3/2 pero x1/2  x

pero

a  x  ax

9.

dx  2x



dx 1 dx = 2 x 2 x

pero por el ejercicio 4.











1 2 x c 2



2 2 x c 2

dx  2 x c x al racionalizar el deno min ador

 2 x c  2x  c 10. 3 3t dt   3 3  3 t dt  3 3  3 t dt  3 3  t 1/3dt   1/31   t 33  c 1    1 3     t 4/3   3 3  c 4    3   3t 4/3  33  c  4  

34/3  t 4/3 c 4



(3t ) 4/3 c 4

recordemos que 31  3 3  34/3

1 2  2 2

11.  ( x 3/2  2 x 2/3  5 x  3)dx   x 3/2 dx   2 x 2/3 dx   5 x dx   3dx 

x 3/21  2  x 2/3  5 x dx  3 dx 3 1 2

   x 2/31  x 5/2  2  5 x1/2  3 x 5 2    1  2 3       x 5/3   x1/2 1  2 x 5/2  2 5  3x  c 5  1  5    1 2   3    5/3 3/2    2x 3x x    2   5  3   3x  c 5  5     2  5/2



2 x 5/2 6 x 5/3 10 x 3/2    3x  c 5 5 3

4 x2  2 x 12.  dx x  4

x2 x dx  2  dx x x

 4  x dx  2 

x1/2 dx x

 x11  dx  4  2  1/2  x 1  1   x2   4    2  x 1/2 dx 2   1/2 1   x  2x2  2  c 1     1  2    1/2   x  2x2  2  c 1     2   2 x 2  2  2 x1/2   c  2 x 2  4 x1/2  c  2x2  4 x  c

 x2 2  13.    2  dx  2 x  

2 x2 dx   2 dx 2 x



1 2 dx x dx  2  2  2 x



 x 21  1  x 21  2   2  1   c 2  2  1   



 x 1  1  x3  2   1   c 2  3   



x3  1  2    c 6  x



x3 2  c 6 x

14. x  3 x  2  dx   (3 x x  2 x ) dx   3 x x dx   2 x dx  3 x x dx  2  x dx  3 x 3/2 dx  2  x1/2 dx      x 3/2 1   x1/2 1   3 2 c 3  1   1   1 2  2       x 5/2   x3/2   3 2 c 5  3       2   2   2 x 5/2   2 x 3/2   3   2 c  5   3  

6 x 5/2 4 x3/2  c 5 3

x3  6 x  5 15.  dx x 6x 5 x3   dx   dx   dx x x x   x 2 dx  6  dx  5 

x3  6 x  5ln x  c 3

dx x

18.  (a  bt ) 2 dt

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  a  bt du  bdt   u 2 dt

multiplicamos por b y divi dim os por b.

1   u 2 ( ) (b)dt b 

1 2 u bdt b



1 2 u du b



1  u 21  c b  2  1 



u3 1  u3   c  c b  3  3b

pero du  bdt

pero u  a  bt 

(a  bt )3 c 3

16.  a  bx dx

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  a  bx du  b dx   u dx

multiplicamos por b y divi dim os por b

1   u ( ) b dx b 

1 u b dx b



1 1 u du   u1/2 du  b b

pero du  b dx

  1  u1/21    c b  1 1 2    1  u 3/2    c b 3   2  

1  2u 3/2  c b  3 



2u 3/2 c 3b

pero u  a  bx 

2(a  bx)3/2 c 3b

17.

dy a  by

hacemos el siguientecambio de var iable.

u  a  by du  b dy 

dy   u 1/2 dy u

1   u 1/2 (b)( ) dy b 

multiplicamos por  b y divi dim os por  b pero u  b dy

1 1/2 u du b

  1  u 1/21    c b   1  1  2    1  u1/2    c b 1   2  1  2u1/2    c b  1  

2u1/2 c b



2(a  by )1/2 b

pero u  a  by

19. x  2  x 2  dx 2

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  2  x2 du  2 x dx   u x dx 1   u 2  (2) x dx 2 

1 2 u 2 xdx 2



1 2 u du 2

multiplicamos por 2 y divi dim os entre 2 pero du  2 xdx

1  u 21    c 2  2  1  

u3 c 6



(2  x 2 )3 c 6

pero u  2  x 2

20.  y (a  by 2 ) dy

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  a  by 2 du  2by dy   uy dy

vamos a multiplicar por  2b y dividir por  2b

 1    u     2by dy  2b  

1 u  2bydy 2b 



1 u du 2b 



1  u11  c 2b 1  1 



1 u2  c 2b  2 



u2 c 4b



  a  by 2  4b

pero du  2bydy

regresando el valor de la var iable u 2

c

21. t 2t 2  3 dt

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  2t 2  3 du  4t dt   t u dt

multiplicamos y divi dim os por 4

1   u   4 t dt 4 

1 u du 4



1 1/2 u du 4

pero du  4tdt

  1/2 1   1 u   c 4  1 1 2    1  u 3/2    c 4 3   2  1  2u 3/2    c 4  3  2u 3/2 u 3/2  c  c 12 6

 2t 

2

 3 6

3/2

c

regresando el valor de u

22.  x(2 x  1) 2 dx

desarrollamos el binomio al cuadrado

  x(4 x 2  4 x  1) dx

aplicamos propiedad distributiva

  (4 x 3  4 x 2  x) dx

distribuimos cada int egral

  4 x 3 dx   4 x 2 dx   x dx  4  x 3 dx  4  x 2 dx   x dx  x 31   x 21  x11  4  4   2  1  1  1  c  3  1   

4 x 4 4 x3 x 2   c 4 3 2

 x4 

4 x3 x 2  c 3 2

23.

4 x 2 dx x3  8

 4

x 2 dx u

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  x3  8 du  3 x 2 dx  4

x 2 dx u

vamos a multiplicar y dividir por 3

2  1  3 x dx  4   u 3



pero u  3x 2 dx

4 du 3 u

  4  u 1/21    c 3   1  1  2    4  u1/2    c 3 1   2  

8u1/2 c 3

regresando el valor de la var iable u

8 x3  8  c 3

24.

6 z dz

 5  3z 

2 2

hacemos el siguiente cambio de var iable :

u  5  3z 2 du  6 z dz 

6 z dz u2

vamos a multiplicar y dividir por  1

 1    (1) 6 z dz 1   2 u    u 2  6 z dz    u 2 du  u 21    c  2  1  u 1  c 1 

1 c u



1 c 5  3z 2

regresando el valor de la var iable