Solucionario Calculo Integral Granville

Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica

Solucionario de Granvill e Carlos Alberto Julián Sánchez

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Carlos Alberto Julián Sánchez

Cálculo Integral

t.com

Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica

Introducció n La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville. No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo diferencial. Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas al siguiente correo: [email protected]. Éxitos bendiciones.

t.com

y

Carlos Alberto Julián Sánchez Ingeniería Mecatrónica

1. x 4 dx = 41

x = c 41 5

=

x



c 5

2. dx = 2 x

x

21

x = c 2  1 1

x c 1 1  c x 

3. x dx  2/3

2

1

x3  c 2 1 3 5 3  x c 5 3

3x 5/ 3  c 5

t.com

2

dx

Ingeniería Mecatrónica

dx dx 4. x   x1/ 2 

x

1/ 2

dx 

1/ 21

x c 1 / 2  1

1/ 2  x c 1 2



2 x1/ 2 c 1

2 xc 5. 

dx  x

3

dx

x

1/ 3

1/ 31

x c 1 / 3  1

2/ 3  x c 2 3

3x 2/ 3  c 2 2

6. 3ay dy 2

 3a  y dy  y 21   3a   c  2  1  y3   3a  c  3 3

 ay  c



x

1/ 3

dx

Ingeniería Mecatrónica

2 dt 2 7. t 2   2t dt 2

 2  t dt 21

 t  2 c  2  1   .1

 t  2  c  1  2



 1  c t

2  ct

8. ax dx  



a  x dx 

a  x dx 

a  x1/ 2 dx

  x 1   a c 1    1  2  1 2



  x 3/ 2   a c 3     2   2 x 3/ 2   c  3 

 a

 2 x x1 / 2   c 3  

 a  

a  x 2 x c 3 2 x ax c 3



1/ 2

pero x  x pero x

pero

1/ 2

x

3/ 2

 x

a  x  ax

Ingeniería Mecatrónica

dx

9.

2x





dx 1 dx = 2 x 2 x

pero por el ejercicio 4. 1

2 x   c 2



2 2 x 2





dx  2 xc x al racionalizar el deno min ador

 c

 2 xc  2xc 1/ 3

10. 3 3t dt   3 3  3 t dt  3 3  3 t dt  3 3  t dt 

 1/ 31   33  t  c  1  1  3  

 4/ 3  t  33   c 4    3   3t 4/ 3   3  c  4  3

34/ 3  t 4/  

3

4 (3t ) 4

4/ 3

c c

recordemos que 31  3 3  34/ 3

1 2

 2

2

Ingeniería Mecatrónica

11.  ( x 3/ 2  2 x 2/ 3  x  3)dx 5   x 3/ 2 dx  2 x 2/ 3 dx  



5

x 3/ 21   2  x 2/ 3  3 5 1 2 x 

2 5

  x





5

22 x 5/ 5 22 x 5/ 5



x dx  3 dx

5 x

1/ 2

3x

2/ 31

 2    1  3 

2 22 x 5/





5/ 2



x dx   3dx



  x 5/ 3  



  x1/ 21 

2 5  3x  c 5 1     1  2   3    x 3/ 2    5  3   3x  c 5     2 

 3x 2 



63 x 5/ 5

5/ 3





10 x 3/ 2 

3

 3x  c

Ingeniería Mecatrónica 2 4x 2 x dx 12.  x 2 x  4  x dx  2  dx x x 1/ 2  4  x dx  2 x dx x 11  4   x   2 dx  x1/ 2  1   1

 x2 4   2  x 1/ 2 dx  2 

  x 1/21  2x 2  c 1    1  2  2



  x1 / 2   2 x  2 c 1     2  2

 2 x  2 2 x 2

2

2x 4x 2

2x  4

1/ 2

1/ 2

 c

c

xc

Ingeniería Mecatrónica

 x2 13.     2

2

 dx x2 

2  x dx   2 2 dx 2 x



1 dx 2 x dx  2 2 x 2  21

21   1  x    2  x  c 2  2  1 1 2   





1

3  x  1 x  2    2 3 c 1     

x

3



 2   1   c 6 x 

x3 2   c 6 x

Ingeniería Mecatrónica

14. x  3x  2  dx   (3x x 

x ) dx

2

  3x x dx   x dx 2

x dx

 3 x x dx  2

 3 x

3/ 2

1/ 2

dx  2  x

dx



    x 3/ 21   x1/ 21  3 2  c 3  1  1  1  2   2  

    x 5/ 2   x3/ 2  3 2 c 5 3       2   2   2 x5/ 2 

 2     c  5   3 

3  

 2 x3/ 2

62 x5/

4 x3/ 2  c 5 3

x3  6 x  15.  5 dx x 3 5 x 6 dx  x  dx   dx   x x x

dx x

  x 2 dx  6  dx  5 x3   6 x  5 ln x  c 3

Ingeniería Mecatrónica 2

18.  (a  bt ) dt

hacemos el siguiente cambio de var iable :

ua bt du  bdt 2

  u dt

multiplicamos por b y divi dim os por b.

1   u 2 ( ) (b)dt b 

1  u 2bdt bdt b



1 2  u du b

pero du 

21

1  u    c b  2  1 

3

3

1 u  u c  c   3b b 3 

pero u  a  bt 

3

(a  bt ) c 3

Ingeniería Mecatrónica

16.  a  bx dx

hacemos el siguiente cambio de var iable :

ua bx du  b dx   u dx

multiplicamos por b y divi dim os por b

1  u( )b dx b 

1  u b dx dx b



1 1 1/ 2 u du  u du   b b

pero du  b

   u1/ 21  1    c b 1 1    2  





1 u    c b 3   2  3/ 2

3/ 2

1  2u    c b  3  2u 3/ 2  c 3b pero u  a  bx 

2(a  bx) 3b

3/ 2

c

Ingeniería Mecatrónica

17.

dy a  by

hacemos el siguiente cambio de var iable.

u  a  by du  b dy   dy u  u 

1/ 2

u

1/ 2

dy

1 (b)( ) dy b

multiplicamos por  b y divi dim os por  b pero u  b dy

1  u 1/ 2 du  b

  1/ 21 1 u     c b  1 1    2    1/ 2 1 u    c b 1   2  1/ 2

1  2u    c b  1  1/ 2

2u  c by b 

2(a  by) b

pero u a  1/ 2

Ingeniería Mecatrónica

19. x  2  x u2x

2



2

dx

hacemos el siguiente cambio de var iable :

2

du  2 x dx   u x dx 2 1    u   (2) x dx  2



1 2 u 2xdx  2



1 2 u du  2

multiplicamos por 2 y divi dim os entre 2 pero du  2xdx

21

 1  u    c 2  2  1 

u3 c 6 2 3

(2  x )  c 6

pero u  2  x

2

Ingeniería Mecatrónica 2

20.  y (a  by ) dy u  a  by

hacemos el siguiente cambio de var iable :

2

du  2by dy   uy dy

vamos a multiplicar por  2b y dividir por  2b

1     u     2by dy  2b  

1 u  2by dy 2b 



1 u du 2b 



1  u11  c 2b   1  1 



1  u2 c 2b   2 



u2 c 4b

regresando el valor de la var iable u

  a  by 2 



2

4b

pero du  2bydy

c

Ingeniería Mecatrónica

21.

2

2t  3 dt

hacemos el siguiente cambio de var iable :

t 2

u  2t  3 du  4t dt   t u dt

multiplicamos y divi dim os por 4

 1  4 t dt  4

 u 

1 4



1 1/ 2 u du 4

pero du  4tdt

u du

  1/ 2 1 1 u     c 4 1 1    2    3/ 2  1 u    c 4  3   2  3/ 2



1  2u  c 4  3 



2u 3/ 2 u 3/ 2 c  c 12 6

 2t 

2

 3 6

3/ 2

c

regresando el valor de u

Ingeniería Mecatrónica 2

22.  x(2 x  1) dx

desarrollamos el binomio al cuadrado

2

  x(4 x  4 x  1) dx 3

2

  (4 x  4 x  x) dx 3

aplicamos propiedad distributiva distribuimos cada int egral

2

  4 x dx   4x dx   x dx  4  x 3dx  4  x 2 dx   x dx  x 31   x 21  x11 4  4 c    11  3  1  2 1 

4 x4 4 4

x 



4x 3 x 2  c 3 2

2 4 x3 x  c 3 2

Ingeniería Mecatrónica 2

4 x dx 23. dx  3

x 8

x  4

2

hacemos el siguiente cambio de var iable : u

3

ux 8 du  3x

2

dx x

2

vamos a multiplicar y dividir por 3

 4  dx u  1  3 

 4 



4 du 3  u

3x 2 dx u

2

pero u  3x dx

  1/ 21 4 u     c 3  1 1    2    1/ 2 4 u    c 3 1   2  8u1/ 2  c 3 

3

regresando el valor de la var iable u

8 x 8 c 3

Ingeniería Mecatrónica

24.

6 z dz

5  3z 

2 2

u  5  3z

hacemos el siguiente cambio de var iable :

2

du  6z dz 

6 z dz u2

vamos a multiplicar y dividir por 1

 1      (1) 6 z 1 dz    u2   u

2

  u

 6 z dz

2

du 21

 u   c   2  1  

1

u c 1



1 c iable u



1 c 5 2 3z

regresando el valor de la var

