Soluciones A Los Problemas De La Fisica De Michel Valero- Cap 8 Estatica De La Particula

Ejercicios de la Física Tomo 1 Michel Valero -Editorial Norma (Volumen 1 Primera Edición- Mecánica Fluidos y Termodinámica- 1976)

Problemas a la Física de Michel Valero Tomo 1 (Primera edición 1978) 1978) Capítulo 8 ESTÁTICA DE LA PARTICULA 8.1 Un cubo de caucho de densidad 1,5 g/cm 3 se comprime hasta que sus aristas se

reducen a la mitad de su longitud original. ¿Cual es su nueva densidad? Resp: 12 g/cm3

Solución: Si la densidad es :

d=

m y el problema nos dice que las dimensiones del cubo se reducen, v

sospechamos que la densidad aumenta , si se conserva la misma masa inicial. Los aristas se reducen la mitad de forma que : L'= L/2 , entonces el volumen del cubo ahora será

de esta forma la nueva densidad es

d=

L 3 L3 v ´ =( ) = 2 8

m m es decir 8 d= 3 , ocho veces la densidad 3 L L 8

original lo cual es 1,5 g/cm3 x 8 = 12 g/cm3

8.2 ¿Cual es la masa del aire de un cuarto de dimensión 10 x 5 x 4 metros? Resp: 260 kilogramos Solución: densidad :

d=

m v

ahora tomando la densidad del aire como 1,3 kg/m 3 despejamos el valor de la masa de la fórmula : v.d= m ; (10m x 5m x 4m ) x 1,3 kg/m3

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Ejercicios de la Física Tomo 1 Michel Valero -Editorial Norma (Volumen 1 Primera Edición- Mecánica Fluidos y Termodinámica- 1976) m = 260 kilogramos

8.3 ¿Cual es la densidad de la Tierra si su masa es de 6 x 10 24 kg y su radio es de 6,4 x

106 metros? Esta densidad es muy superior a la densidad media de la corteza terrestre, por lo tanto, el interior de la Tierra debe tener una densidad mucho mayor. Resp: 5,5 g/cm3 Solución: densidad d=

m v

para calcular la densidad de la Tierra, tenemos que hallar su volumen, si modelamos la Tierra como una esfera perfecta tenemos

4 v Tierra = π r 3 3

de aquí tomamos los valores del radio terrestre y su masa y remplazamos:

d=

6 x 1024 kg 4 π( 6,4 x 106 m)3 3

= 5,46 x 103 kg/m3 = 5,5 g/cm3

8.4 Un cuerpo de peso 20 kg-f flota sobre un líquido. ¿Qué fuerza produce el líquido sobre el

cuerpo? ¿Cómo se explica esta fuerza? Solución La fuerza que produce el liquido es una fuerza de empuje producida por las moléculas del fluido sobre las paredes del objeto, aunque esta pregunta esta incluida aquí se profundizara su respuesta en la tercera parte del Libro, Mecánica de líquidos y gases. 8.5 Mostrar que si un bloque se mueve a velocidad constante sobre un plano inclinado, es que el coeficiente dinámico de rozamiento es igual a tan θ, siendo θ el ángulo que forma el plano con la horizontal. Solución: Para resolver el problema usamos un diagrama de cuerpo libre en el cual descomponemos las fuerzas asociadas al problema.

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Como el bloque baja por la pendiente con velocidad constante usamos los postulados de la estática tomando un eje de coordenadas tal que el eje de las x este horizontal al plano inclinado y el eje y este en dirección perpendicular a este, es decir pase por la normal. La intersección de los dos ejes es el centro del eje cartesiano, (0,0). se deben cumplir las siguientes condiciones.

∑ F x=0

mgsenθ – fr = 0 ;

∑ F y=0

N – mgcosθ = 0 ; N = mgcosθ **

fr = mgsenθ *

pero la fuerza de rozamiento es μN así la primera ecuación * nos queda de la forma μN = mgsenθ * y reemplazando el valor de la normal que hallamos en la

ecuación ** en la ecuación * nos da μ mgcosθ = mgsenθ

dividiendo la expresión entre mg (como constantes positivas diferentes de cero) tenemos μ cosθ = senθ despejamos el valor de μ μ=

senθ = tan θ cos θ

8.6 Dos resortes de constantes k1 y k2 se conectan como se muestra la figura. Mostrar que el conjunto de estos dos resortes puede ser reemplazado por un solo resorte de constante K= k1 + k2

Solución: se puede reducir este arreglo a un solo resorte equivalente, pero antes hay que ver que ocurre cuando le aplicamos una fuerza al sistema

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Si aplicamos la fuerza F tal como lo vemos en el siguiente gráfico , los resortes se deforman una cantidad igual a x , así la fuerza en el resorte 1 es F1 = k 1 x , y

respectivamente para el resorte 2 , F 2 = k2 x ; por lo tanto si reducimos el sistema a un resorte con una constante equivalente tenemos F= Keq X . Pero F = F1 + F2 de la siguiente suposición tenemos F = F 1 + F2

Keq x = k 1 x + k2 x

y como x es igual , podemos simplificar la expresión Keq = k 1 + k2

8.7 Si ahora los dos resortes de constantes k1 y k2 se conectan como se muestra la figura (conectados en serie). Mostrar que el conjunto de estos dos resortes puede ser reemplazado por un solo resorte de constante

K eq =

k 1 k2 k 2+ k 1

Solución: Para la configuración de dos resortes en serie tenemos que ver el siguiente diagrama

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donde x1 y x2 son los desplazamientos o deformaciones desde su punto de equilibrio de cada resorte respectivamente . La fuerza F actúa sobre toda la configuración, por lo tanto se cumple que la fuerza F que aplicamos al final de arreglo en serie de resortes , también actuá en el resorte 1 y en el resorte 2. Esto se puede escribir como F = F1 = F2 , donde F1 es la fuerza que siente el resorte 1 y es de la forma F1 = k 1 x1 de la misma forma ocurre con cuya expresión es F2 = k2 x2 Podemos modelar el sistema como si fuese un solo resorte con una constante equivalente, y un desplazamiento X = x1 + x2 , de esta forma tenemos F= Keq X . Colocando todas estas suposiciones en la relación X = x1 + x2 tenemos

X=

F , K eq

x 1=

entonces X = x1 + x2 ; 1 1 1 = + K eq k 1 k 2

F , k1

x 2=

F , porque habíamos dicho que F = F1 = F2 k2

F F F = + K eq k 1 k 2

, la fuerza se simplifica , lo cual nos queda k +k 1 = 2 1 K eq k 1 k 2 K eq =

invertimos esta expresión

k 1 k2 k 2+ k 1

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8.8 Un cuerpo de peso w suspendido de un hilo forma un ángulo θ con la vertical cuando esta sometido a una fuerza horizontal F. ¿Cuál es el valor de F? Mostrar que el equilibro es estable. Resp: F = w tanθ

Solución hacemos el diagrama del cuerpo libre

Y formulamos las ecuaciones para la situación estática , colocamos el centro del sistema de coordenadas en el nudo donde se une la cuerda del peso y la cuerda que tira la fuerza. De esta forma las condiciones de equilibrio quedan

∑ F x =0

F - Tsenθ = 0 ;

∑ F y =0

Tcosθ - w = 0 ; w= Tcosθ **

ahora si dividimos * entre ** tenemos

F = Tsenθ *

F senθ = w cosθ

F =tanθ w

despejamos F obteniendo F = w tanθ

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8.9 Para mover un auto, un conductor ató un cable al auto y a un árbol y ejerció una fuerza de F = 100 kg-f en la mitad del cable como muestra la figura.

¿Cual será la fuerza de tracción sobre el auto? (Ayuda seno 6o = 0,10) Resp: 500 kg-f Solución: hacemos un diagrama de cuerpo libre con centro de coordenadas en el nudo de la cuerda que las une así

De esta forma las tensiones que aparecen en las cuerdas son idénticas, los ángulos son iguales, la tensión tiene componente tanto en eje x como en el eje y , de esta forma solo nos interesa la dirección en el eje y así:

F - 2 Tsenθ = 0 ; F = 2 Tsenθ

∑ F y=0 entonces:

T=

F 2 sen 60

; T= 478,34 kg-f si se hace con sen 6=0.10el

resultado es 500 kg-f Compilado por Cosmofloyd- Curso Básico de Física Introductoria para Ingeniería y Ciencias.

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8.10 En un canal, dos hombres cada uno con una fuerza de tracción de 100 kg-f arrastran una canoa a velocidad constante. Como se ve en la figura

¿Que fuerza opone el agua al movimiento del barco?Si el barco pesa 800 kg-f ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento? Resp: 160 kg-f; 0,2.

Solución El agua produce una fuerza de rozamiento , de esta forma , descomponemos las fuerzas en el diagrama

de esta forma hay dos componentes en dirección de x y dos en direcciones opuestas de y., como las componentes son iguales en dirección x tenemos

∑ F x =0

2 F cos37 - fr = 0 ;

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pero de los anteriores problemas sabemos que f r = μ N , la normal es igual al peso de la embarcación en este caso, de aquí fr = μ w 2 F cos37 - fr = 0

2 F cos37 - μ w = 0 de aquí

2 Fcos 37 =μ w

2(100 kg . f )cos 37 =0,2 800 kg . f ahora la fuerza que se opone al movimiento es la fuerza de rozamiento cuyo valor es

fr = μ w = (0,2) (800 kg-f) = 160 kg-f

8.11 Calcular el peso del cuerpo A en la figura.

Resp: 64 kg-f Solución: Hay que realizar el diagrama de cuerpo libre para los dos cuerpos suspendidos y calcular las respectivas tensiones para cada cuerda, para el cuerpo de 36 kg-f descomponemos la tensión de acurdo a su ángulo :

∑ F x=0

T1 - Tcos37 = 0 ;

∑ F y=0

Tsen37 - w = 0 ; w= Tsen37

T1 = Tcos37

De la segunda ecuación hallamos el valor de T y lo reemplazamos en la primera para encontrar el valor de T1 Compilado por Cosmofloyd- Curso Básico de Física Introductoria para Ingeniería y Ciencias.

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w= Tsen37

T1 = Tcos37

w =T = 60 kg-f sen 37

(60 kg -f) cos 37= 48 kg-f

Para el segundo objeto, el cual tiene la incógnita del peso, también hacemos su diagrama de cuerpo libre:

∑ F x =0 ∑ F y =0

T2cos53- T1 = 0 ;T1 = T2cos53 T2sen53 - wA = 0 ; wA = T2sen53

Como de las anteriores ecuaciones sabemos el valor de T1 solo lo reemplazamos en la primera ecuación para hallar el valor de T2 y así con este valor reemplazamos en la segunda ecuación y hallamos el valor del peso que se pide.

T1 = T2cos53

T2=

T1 48 kg−f = T2= = 80 kg -f cos 53 cos 53

wA = T2sen53 = (80 kg-f ) (sen 53 ) = 64 kg- f

8.12 Calcular la tensión de todas las cuerdas de la figura. Si el peso del cuerpo es de 48 kg-f.

Resp: 48 kg-f, 36 kg-f,60 kg-f,36 kg-f, 48 kg-f.

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Ejercicios de la Física Tomo 1 Michel Valero -Editorial Norma (Volumen 1 Primera Edición- Mecánica Fluidos y Termodinámica- 1976) Solución De la gráfica inmediatamente sabemos que la cuerda que sostiene al peso tiene una tensión equivalente al mismo, es decir T1= 48 kg-f mirando la gráfica tenemos que calcular ahora el valor de T2 y T3 en el primer nudo donde se unen estas tres cuerdas se reparten estas tres tensiones, para nuestro diagrama de cuerpo libre tenemos las ecuaciones

∑ F x=0

∑ F y =0

T2 - T3cos53 = 0 ;T2 = T3cos53 T3sen53 - T1 = 0 ; T1 = T3sen53

Pero partimos definiendo que T1 tiene el valor del peso del bloque , T1= 48 kg-f, de esta forma despejamos el valor de T 3 de la segunda ecuación y rencontramos T3

T1 = T3sen53

T3=

T1 48 kg−f = 60 kg-f = T3 = sen 53 sen 53

Con el valor de la tensión 3 , hallamos la tensión 2 reemplazando en la primera ecuación

T2 = T3cos53

T2 = (60 kg – f) (cos 53) = 36 kg -f

Por último en el nudo de arriba donde se unen las tensiones 3,4 y 5 realizamos otro diagrama de cuerpo libre y obtenemos la ecuaciones:

∑ F x=0

∑ F y =0

T3cos53 - T4= 0 ;T4 = T3cos53

T5 -T3sen53 = 0 ; T5 = T3sen53

Y haciendo un procedimiento idéntico al anterior obtenemos los valores de las tensiones 4 y 5, con el valor obtenido de la tensión 3:

T4 = T3cos53 = (60 kg – f) cos 53 = 36 kg – f

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T5 = T3sen53 = (60 kg – f) sen 53 = 48 kg – f

8.13 Si una fuerza de 248 kg-f paralela a un plano inclinado 37 o sobre la horizontal, empuja un bloque de 200 kg-f a velocidad constante hacia arriba, (a) ¿Qué fuerza paralela al plano lo empuja hacia abajo a velocidad constante? (b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento? Resp: 8 kg-f; 0,8

Solución Hacemos el diagrama de cuerpo libre:

Donde F es la fuerza de 248 kg – f que empuja el bloque de 200 kg - f hacia arriba, colocamos el centro del eje de coordenadas el bloque con el eje x paralelo a la superficie del plano inclinado y tenemos las ecuaciones estáticas

∑ F x=0

F - fr – w sen37 = 0 ;

∑ F y=0

N - wcos 37 = 0 ; N= wcos37

F – w sen37 = fr

pero recordando que la fuerza de rozamiento es fr = μ N , tenemos.

F – w sen37 = fr

F – w sen37 = μ N ; F – w sen37 = μ wcos37

de esta última ecuación despejamos μ (248 kg−f )−(200 kg−f )sen 37 F−wsen37 =μ ; = 0,8 =μ wcos 37 (200 kg−f )cos 37

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Ejercicios de la Física Tomo 1 Michel Valero -Editorial Norma (Volumen 1 Primera Edición- Mecánica Fluidos y Termodinámica- 1976) 8.14 Sobre un plano inclinado θ, un cuerpo esta en equilibrio. Si el valor máximo de la fuerza paralela al plano, dirigida hacia arriba y que no destruye el equilibrio es el doble de la fuerza mínima paralela al plano, dirigida hacia arriba que lo produce, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento? Resp: 1/3 tan θ 8.15 En la figura de la derecha, los cuerpos A y B pesan cada uno 50 kg-f y se mueven a velocidad constante. El coeficiente de rozamiento entre las superficies es 0,2. ¿Cuál es el peso del cuerpo C?

Resp: 48 kg-f.

Solución Realizamos los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo,

de aquí tenemos las siguientes ecuaciones estaticas para cada cuerpo •

para el cuerpo A

∑ F x=0

TA – fr = 0 ;

∑ F y =0

N - wA = 0 ; N= wA

TA = fr

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como fr = μ N , tenemos:

TA = fr

•

TA = μ N = μ wA = (0,2) (50 kg- f) = 10 kg – f

Para el cuerpo B

∑ F x=0

∑ F y =0

TB – fr - wB sen37- TA = 0 ;

TB = fr + wB sen37 + TA

NB - wB cos37 = 0 ; NB = wB cos37

como fr = μ NB , tenemos para la primera ecuación

TB = μ NB + wB sen37 + TA

TB = μ wB cos37 + wB sen37 + TA

TB = (0,2) (50kg - f)( cos37 )+ (50 kg - f)sen37 + 10 kg – f TB = 8kg – f + 30 kg – f + 10 kg – f = 48 kg-f

•

Para el cuerpo C

solo vemos suspendido el cuerpo y las únicas ecuaciones están en dirección del eje y asi

∑ F y =0

TB – wc = 0 por lo tanto el peso del cuerpo C es simplemente la tensión anteriormente hallada TB = wc = 48 kg-f

8.16 Un cuerpo de peso w es halado sobre una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento μ por una fuerza F que forma con la horizontal un ángulo por arriba de la horizontal. ¿Cuál es el valor de F para que el cuerpo se mueva a velocidad constante? Resp:

F=

w cosθ + sen θ μ

Solución Como siempre , construimos el diagrama de cuerpo libre del objeto en cuestión teniendo cuidado de descomponer la fuerza aplicada según el ángulo. Compilado por Cosmofloyd- Curso Básico de Física Introductoria para Ingeniería y Ciencias.

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Del diagrama tenemos las siguientes ecuaciones estáticas

∑ F x=0

∑ F y =0

F cosϴ – fr = 0 ;

fr = F cosϴ

N + Fsenϴ - w= 0 ; N = w - Fsenϴ

como fr = μ N, tenemos para la primera ecuación

μ (w - Fsenϴ) = F cosϴ

μ w - μ Fsenϴ = F cosϴ

μ w = F cosϴ + μ Fsenϴ, aquí factorizamos F μ w = F( cosϴ + μ senϴ ) F=

μw cosθ+ μsenθ

si dividimos entre μ tenemos la expresión que se nos pide F=

w cosθ + senθ μ

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8.17 “Es mas fácil halar un aplanador (vea la imagen de esa cosa a su izquierda) para cancha de tenis que empujarlo, pero se aplana mejor si se empuja”. Justificar esta proposición por medio de diagramas. Solución: revisar conceptos de rozamiento y fuerza normal que se presentan en el libro.

8.18 Una partícula de peso w es atraída por un punto O que emite una fuerza de atracción F= kr (k es una constante), siendo r la distancia de la partícula al punto O. Mostrar que existe una posición de equilibrio y que este equilibrio es estable. Solución: La posición de equilibrio esta debajo de O a una distancia r dada por F – w =0 de aquí tenemos que F = w pero el problema nos dice que la fuerza es de la forma F = kr por lo tanto ; w =kr y de aquí despejamos r ;

r=

w k

podemos concluir que para pequeños desplazamientos, r , la partícula regresa a su posición de equilibrio, por lo tanto el equilibrio es estable. 8.19 Una partícula de peso w es atraída por un punto O que emite una fuerza de atracción de la forma

F=

k r

Donde k es una constante, y r es la distancia de la partícula al punto O. Mostrar que existe una posición de equilibrio y que este equilibrio es inestable. Solución: La posición de equilibrio esta debajo de O a una distancia r dada por F – w =0 tenemos que F = w pero el problema nos dice que la fuerza es de la forma tanto ;

w=

k r

F=

de aquí

k r

por lo

, vemos que para pequeños desplazamientos la expresión se hace grande, la

partícula se aleja de su posición de equilibrio, por lo tanto tenemos un equilibrio inestable.

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8.20 En la siguiente hoja vemos la configuración de dos bloques, de tal forma que el bloque A de peso 10 kg- f se encuentra sobre un bloque B de peso 20 kg-f. El coeficiente de rozamiento entre las superficies es de 0,2. Calcular la fuerza F necesaria parra arrastrar el bloque B a velocidad constante en los tres casos de la figura. Dibujar en cada caso, las fuerzas aplicadas al cuerpo A y al cuerpo B. Resp: 6 kg-f, 8 kg-f, 10 kg-f. Solución Hay tres casos para este mismo problema :

•

Caso 1

Para este caso se supone que el bloque A se mantiene estático es Compilado por Cosmofloyd- Curso Básico de Física Introductoria para Ingeniería y Ciencias.

Ejercicios de la Física Tomo 1 Michel Valero -Editorial Norma (Volumen 1 Primera Edición- Mecánica Fluidos y Termodinámica- 1976) decir el conjunto de los dos bloque se mueve como uno solo. Lo cual nos dice las ecuaciones estáticas así

∑ F x =0 ∑ F y=0

F – fr = 0 ;

fr = F

NA + NB - wA- wB =0 ; N = wA +wB

donde N es la suma de las dos normales. Como fr = μ N, donde fr es la fuerza de rozamiento entre el piso y el bloque B. , es decir frB. La ecuación para x queda fr = F ; μ N = F

•

F = μ (wA +wB ) = (0,2) ( 10 kg – f + 20 kg -f) = 6 kg-f

Caso 2

Aquí aparece la tensión de una cuerda fija al cuerpo A , esto significa que si movemos el cuerpo B , entonces A se moverá en dirección contraria, y el rozamiento entre superficies entra a tomar parte en las ecuaciones. Para el bloque B

∑ F x=0

∑ F y =0

F – frBs - T = 0 ;

F = frBs + T

NA + NB - wA- wB =0 ; N = wA +wB

donde N es igual a NA

+ NB.

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Para el bloque A tenemos:

∑ F x =0

T– frAB = 0 ;

∑ F y=0

N A - wA = 0 ;

frAB = T N A = wA

la fuerza de rozamiento frAB es μ NA , donde NA = wA de aquí T = frAB , T = μ wA = (0,2) 10 kg- f = 2 kg – f = T con el valor de T obtenido podemos resolver la ecuación del bloque B

F = frBs + T ; F = μ N+ T ; F= μ (wA +wB ) + T F= μ (wA +wB ) + T

•

F= 0,2 (10 kg -f + 20 kg-f ) + 2 kg -f = 8 kg – f

Caso 3

aquí tenemos una modificación de la configuración del problema, se introduce una polea, que une los bloque A y B. sin embargo la tensiones son las mismas en la cuerda, es decir TA y TB son idénticas, ahora construimos las ecuaciones estáticas para ambos bloques para el bloque de arriba A

∑ F x=0

T– frAB = 0 ;

∑ F y =0

N A - wA = 0 ;

frAB = T N A = wA

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el bloque de arriba también siente una normal que hace la parte de encima del bloque B , no esta dibujada, pero por la tercera ley de Newton esta normal es de la misma magnitud y contraria a la normal que el bloque A le hace a B. Es decir NAB = NBA (por acción y reacción). De esta forma

frAB = T

T = μ wA = (0,2) 10 kg- f = 2 kg – f = T

como el anterior problema, la variante se encuentra en las condiciones del bloque de abajo B

Para el bloque B

∑ F x =0

F – frBs - frBA - T = 0 ;

F = frBs + T + frBA

El término frBA ocurre porque se deslizan las superficies entre A y B, de esta forma, las ecuaciones para y quedan iguales al anterior caso

∑ F y=0

NA + NB - wA- wB =0 ; N = wA +wB donde N es igual a NA +NB.

Por lo tanto

F = frBs + T + frBA

F = μ N+ T + μ NA ; F= μ (wA +wB ) + T + μ (wA )

F= μ (wA +wB ) + T + μ (wA ) = (0,2)(10 kg-f + 20 kg-f) + 2kg-f + (0,2)(10kg-f)

F = 6 kg-f + 2 kg-f + 2 kg-f = 10 kg-f

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