Soluciones Ejercicios Analisis Monica Clapp Capitulo 2

Soluciones a los ejercicios del Capítulo 2. Espacios Métricos, del libro Análisis Matemático de Mónica Clapp por MGG

May 19, 2017

Tabla de Ejercicios 2.32 . . . . . . . . . .

1

2.41 . . . . . . . . . .

5

2.50 . . . . . . . . . . 12

2.33 . . . . . . . . . .

1

2.42 . . . . . . . . . .

6

2.51 . . . . . . . . . . 13

2.34 . . . . . . . . . .

2

2.43 . . . . . . . . . .

7

2.35 . . . . . . . . . .

3

2.44 . . . . . . . . . .

8

2.36 . . . . . . . . . .

3

2.45 . . . . . . . . . .

9

2.37 . . . . . . . . . .

3

2.46 . . . . . . . . . . 11

2.38 . . . . . . . . . .

4

2.47 . . . . . . . . . . 11

2.39 . . . . . . . . . .

5

2.48 . . . . . . . . . . 11

2.56 . . . . . . . . . . 15

2.40 . . . . . . . . . .

5

2.49 . . . . . . . . . . 12

2.57 . . . . . . . . . . 17

2.52 . . . . . . . . . . 13 2.53 . . . . . . . . . . 14 2.54 . . . . . . . . . . 14 2.55 . . . . . . . . . . 14

Nota: Usamo la primera edición impresa, año 2015. Los resultados que usamos aquí y están probados en el libro se distinguirán con el símbolo *.

2.6. Espacios Métricos Ejercicio 2.32. Por la desigualdad del triángulo (dos veces), dpw, xq ď dpw, zq ` dpz, xq ď pdpw, yq ` dpy, zqq ` dpx, zq, se sigue dpw, xq ´ dpy, zq ď dpw, yq ` dpx, zq. Igualmente, dpy, zq ´ dpw, xq ď dpw, yq ` dpx, zq. Se sigue en efecto, |dpw, xq ´ dpy, zq| ď dpw, yq ` dpx, zq. N Ejercicio 2.33. (a) La distancia usual dpx, yq “ |x ´ y|, x, y P R, es una métrica en R: Se sigue de la propiedades de valor absoluto: (M1) Para todo x, y P R, dpx, yq “ |x ´ y| “ 0 ô x ´ y “ 0 ô x “ y. (M2) Para todo x, y P R, dpx, yq “ |x ´ y| “ | ´ py ´ xq| “ | ´ 1||y ´ x| “ |y ´ x| “ dpy, xq. (M3) Para todo x, y, z P R, dpx, zq “ |x ´ z| “ |px ´ yq ` py ´ zq| ď |x ´ y| ` |y ´ z| “ d px, yq ` d py, zq. (b) La distancia usual en Rn es una métrica: (M1) Para todo x “ px1 , ..., xn q, y “ py1 , ..., yn q P Rn , d px, yq “

a

px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 “ 0 ô px1 ´ y1 q2 “ ¨ ¨ ¨ “ pxn ´ yn q2 “ 0 ô x1 “ y1 , ..., xn “ yn ô x “ y.

(M2) Para todo x “ px1 , ..., xn q, y “ py1 , ..., yn q P Rn , a px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 a “ p´1q2 py1 ´ x1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1q2 pyn ´ xn q2 a “ py1 ´ x1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ xn q2

d px, yq “

“ d py, xq. 1

(M3) Recordemos: Teorema 1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sean a1 , ..., an y b1 , ..., bn números reales, entonces ¸ ¸˜ ¸2 ˜ ˜ n n n ÿ ÿ ÿ 2 2 bi . ai ai bi ď i“1

i“1

i“1

Demostración. Consideramos la función cuadrática ¸ ¸ ˜ ¸ ˜ ˜ n n n n ÿ ÿ ÿ ÿ b2i . ai bi x ` a2i x2 ´ 2 pai x ´ bi q2 “ f pxq “ i“1

i“1

i“1

i“1

Como f pxq ě 0 para todo x P R, se sigue que el discriminante de f es no positivo, esto es, ˜

n ÿ

i“1

¸2 ai bi

˜

n ÿ

´

¸˜ a2i

i“1

n ÿ

¸ b2i

ď 0.

i“1

De manera que si x “ px1 , ..., xn q, y “ py1 , ..., yn q y z “ pz1 , ..., zn q están en Rn , ´

¯2 ¯2 ´a a px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 ` py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2 d px, yq ` d py, zq “ “ px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 a a ` 2 px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2 ` py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2 ě px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 ` ˘ ` 2 px1 ´ y1 q2 py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 pyn ´ zn q2 ` py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2 ` ˘2 ` ˘2 “ px1 ´ y1 q ` py1 ´ z1 q ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q ` pyn ´ zn q “ px1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ zn q2 ´ ¯2 “ d px, zq .

De donde d px, zq ď d px, yq ` d py, zq. N Ejercicio 2.34. Para x “ px1 , ..., xn q P Rn , sea }x}8 “ maxt|x1 |, ..., |xn |u. (N1) Para todo x “ px1 , ..., xn q P Rn , }x}8 “ 0 ô |x1 | “ ¨ ¨ ¨ “ |xn | “ 0 ô x1 “ ¨ ¨ ¨ “ xn “ 0 ô x “ p0, ..., 0q.

2

(N2) Para todo x “ px1 , ..., xn q P Rn y λ P R, λx “ pλx1 , ..., λxn q, de donde, }λx}8 “ maxt|λx1 |, ..., |λxn |u “ maxt|λ||x1 |, ..., |λ||xn |u “ |λ| maxt|x1 |, ..., |xn |u “ |λ|}x}8 . (N3) Para todo x “ px1 , ..., xn q y y “ py1 , ...., yn q en Rn , |x1 ` y1 | ď |x1 | ` |y1 |, ..., |xn ` yn | ď |xn | ` |yn |, de donde, |x1 ` y1 | ď }x}8 ` }y}8 , ..., |xn ` yn | ď }x}8 ` }y}8 , en consecuencia, }x ` y}8 “ maxt|x1 ` y1 |, ¨ ¨ ¨ , |xn ` yn |u ď }x}8 ` }y}8 . N Ejercicio 2.35. La función µpxq “ mint|x1 |, ..., |xn |u no es norma en Rn . En efecto, µp1, 0, ..., 0q “ 0, pero p1, 0, ..., 0q no es el vector nulo. N Ejercicio 2.36. Sean 0 ă k ă n y |a| ą 0. Tomamos x “ px1 , ...xn q P Rn tal que xi “ a exactamente para k coordenadas, y xi “ 0 exactamente para n ´ k coordenadas. Sea y “ py1 , ..., yn q tal que yi “ a ´ xi , para todo 1 ď i ď n. Entonces, ˜ ¸2 ¸2 ˜ ¸2 ˜ n n n ÿ ÿ ÿ 1 1 1 “ n2 |a| ą k 2 |a| ` pn ´ kq2 |a| “ |xi | 2 ` |yi | 2 . |xi ` yi | 2 i“1

i“1

i“1

Observación 1. Si k ą 0, entonces n ` k ą n ´ k, y dado que k ă n, n2 ´ k 2 “ pn ` kqpn ´ kq ą pn ´ kqpn ´ kq “ pn ´ kq2 , de donde n2 ą k 2 ` pn ´ kq2 . N Ejercicio 2.37. (M1) Para todo v, w P V , dpv, wq “ 0 ô }v ´ w} “ 0 ô v ´ w “ 0 ô v “ w. (M2) Para todo v, w P V , dpv, wq “ }v ´ w} “ } ´ p´v ` wq} “ | ´ 1|}w ´ v} “ }w ´ v} “ dpw, vq. (M3) Para todo u, v, w P V , dpu, wq “ }u ´ w} “ }pu ´ vq ` pv ´ wq} ď }u ´ v} ` }v ´ w} “ dpu, vq ` dpv, wq. N 3

Ejercicio 2.38. Para p “ 1. Para todo x “ px1 , x2 q P R2 , ˜1 p0, 1q ô }x}1 ď 1 ô |x1 | ` |x2 | ď 1 ô |x2 | ď 1 ´ |x1 | ô |x1 | ´ 1 ď x2 ď 1 ´ |x1 |. xPB Ahora, para todo x1 P R, |x1 | ´ 1 ď 1 ´ |x1 | ô 2|x1 | ď 2 ô |x1 | ď 1 ô ´1 ď x1 ď 1. Por tanto, ˜1 p0, 1q “ tpx1 , x2 q P R2 : ´1 ď x1 ď 1 y |x1 | ´ 1 ď x2 ď 1 ´ |x1 |u. B

Para p “ 2. Para todo x “ px1 , x2 q P R2 , b b 2 2 2 2 2 ˜ x P B2 p0, 1q ô }x}2 ď 1 ô x1 `x2 ď 1 ô x2 ď 1´x1 ô ´1 ď x1 ď 1 y ´ 1 ´ x1 ď x2 ď 1 ´ x21 . Así que B2 p0, 1q “ px1 , x2 q P R2 : ´1 ď x1 ď 1 y ´

b 1 ´ x21 ď x2 ď

b ( 1 ´ x21 .

Para p “ 8. Para todo x “ px1 , x2 q P R2 , ˜2 p0, 1q ô }x}8 ď 1 ô maxt|x1 |, |x2 |u ď 1 ô |x1 | ď 1 y |x2 | ď 1 ô ´1 ď x1 ď 1 y ´1 ď x2 ď 1. xPB De donde ˜2 p0, 1q “ r´1, 1s ˆ r´1, 1s. B

N 4

Ejercicio 2.39. Para todo x P R2 , x P B disc p0, 1q ô ddisc px, 0q ď 1 ô ddisc px, 0q “ 0 ó ddisc px, 0q “ 1 ô x “ 0 ó x ‰ 0 ô x P R2 . Por tanto B disc p0, 1q “ R2 . Para todo x P R2 , x P Bdisc p0, 1q ô ddisc px, 0q ă 1 ô ddisc px, 0q “ 0 ô x “ 0. Por tanto Bdisc p0, 1q “ t0u. N Ejercicio 2.40. Sea ν : V ˆ V Ñ R` tal que para todo u, w P V , $ &0 si v “ w, νpv, wq “ %1 si v ‰ w. Dado que V ‰ t0u, existe v P V tal que v ‰ 0. Supongamos que v “ ´v. Entonces en particular, 2v “ v ` v “ 0, de donde v “ 0. Contradicción. Así que v ‰ ´v. Luego, νpv, ´vq “ 1. Por otro lado, νpv, 0q “ 1. Supongamos que } ¨ } es una norma sobre V tal que para todo v, w P V , νpv, wq “ }v ´ w}. En particular 2 “ 2νpv, 0q “ 2}v} “ }2v} “ }v ` v} “ }v ´ p´vq} “ νpv, ´vq “ 1. N

Absurdo. Ejercicio 2.41. Para 1 ď p ă 8. (N1) Para todo x “ pxk q P `p , ˜

8 ÿ

}pxk q}p “

¸1{p |xk |p

“ 0 ô |xk | “ 0, @k ě 1 ô x “ 0.

k“1

5

(N2) Si x “ pxk q P `p y λ P R, entonces ˜

¸1{p

8 ÿ

}pλxk q}p “

|λxk |

p

˜ “

|λ|

k“1

p

¸1{p

8 ÿ

p

|xk |

˜ “ |λ|

k“1

¸1{p

8 ÿ

p

|xk |

“ |λ|}pxk q}p .

k“1

Para p “ 8. (N1) Para todo x “ pxk q P `p , }pxk q}8 “ 0 ô sup |xk | “ 0 ô |xk | “ 0, @k ě 1 ô x “ 0. kě1

(N2) Si x “ pxk q P `8 , }pλxk q}8 “ sup |λxk | “ sup |λ||xk | “ |λ| sup |xk | “ |λ|}pxk q}8 kě1

kě1

kě1

Observación 2. En el inciso (N2) anterior hemos usado el siguiente resultado. Lema 1. Si A es un subconjunto de R y c ě 0 es constante, entonces suppcAq “ c sup A, donde cA “ tca : a P Au. Demostración. Para todo a P A, ca ď c sup A. Por lo que suppcAq ď c sup A. La igualdad es inmediata si c “ 0. Supongamos c ą 0. Si suppcAq ă c sup A, entonces para algún a P A, suppcAq ă ca; en particular ca ă ca, de donde, a ă a, lo cual es absurdo. N Ejercicio 2.42. (a) Sean 1 ď s ă r “ 8 y x “ px1 , ..., xn q P Rn . Entonces, para algún 1 ď i0 ď n, ˙s

ˆ

“ max |xk |s “ |xi0 |s ď

max |xk |

1ďkďn

1ďkďn

n ÿ

|xk |s .

k“1

De donde ˜ }x}8 “ max |xk | ď

n ÿ

¸1 s

s

|xk |

1ďkďn

“ }x}s .

k“1

Sean ahora 1 ď s ă r ă 8 y sea x “ px1 , ..., xn q P Rn tal que }x}s “ 1. En particular, |xk | ď 1 para todo 1 ď k ď n. Por tanto, |xk |r ď |xk |s , Y así }x}rr “

n ÿ k“1

|xk |r ď

@k “ 1, ..., n. n ÿ k“1

6

|xk |s “ }x}ss “ 1.

Esto es, }x}r ď 1. Ahora, sea x “ px1 , ..., xn q P Rn y x ‰ 0. Hacemos y “ x{}x}s . Entonces }y}s “ 1 y en consecuencia, por lo hecho arriba, }x}r “ }y}r ď 1, }x}s esto es, }x}r ď }x}s . Y desde luego, si x “ 0, }x}r “ 0 “ }x}s . (b) Sea 1 ď s ă r ă 8 y sea x “ px1 , ..., xn q P Rn . Hacemos p“

r s

1 1´

q“

y

r . r´s

“

1 p

Por la desigualdad de Hölder en Rn (Proposición* 2.12, p. 14), }x}ss “

n ÿ k“1

|xk |s “

n ÿ

˜ |xk |s ¨ 1 “

k“1

¸1 ˜

n ÿ

n ÿ

p

|xk |sp

¸1

˜

q

1q

“

¸s r

|xk |r

n

r´s r

“ }x}sr n

r´s r

.

k“1

k“1

k“1

n ÿ

De donde, }x}s ď n

r´s rs

}x}r .

Y desde luego, esta misma desigualdad es inmediata si r “ s. (c) Sea 1 ď s ă 8 y x “ px1 , ..., xn q P Rn . Entonces }x}ss “

n ÿ

|xk |s ď

n ÿ

}x}s8 “ n}x}8 .s

k“1

k“1

De donde 1

}x}s ď n s }x}s N Ejercicio 2.43. Sean p, q P p1, 8q tales que p1 ` 1q “ 1. Si x “ pxk q P `p y y “ pyk q P `q . Por la desigualdad de Hölder para sucesiones finitas (Proposición* 2.12, p. 14), para todo n ÿ

˜ |xk yk | ď

k“1

¸1 ˜

n ÿ

p

p

¸1

n ÿ

|xk |

q

|yk |

k“1

q

.

k“1

Si n Ñ 8, 8 ÿ

˜ |xk yk | ď

k“1

8 ÿ

¸1 ˜ p

|xk |p

k“1

8 ÿ

¸1 q

|yk |q

ă 8.

k“1

Consecuentemente, pxk yk q P `1 .

N

7

Ejercicio 2.44. (a) Sea 1 ď s ă r ă 8. Por el Ejercicio 2.42 (p. 6), si pxk q P `s , entonces para todo n ě 1, ˜ ¸1 ˜ ¸1 n n r s ÿ ÿ ď |xk |s , |xk |r k“1

k“1

si n Ñ 8, }pxk q}r ď }pxk q}s . Consecuentemente `s Ă `r . 1 Ahora, sea xk “ k ´ s , para todo k ě 1. Entonces 8 ÿ

xsk “

k“1

No obstante, dado que

r s

8 ÿ 1 “ 8. k k“1

ą 1, 8 ÿ

xrk “

8 ÿ k“1

k“1

1 npr{sq

ă 8.

Así que pxk q P `r . Nuevamente, por el Ejercicio 2.42 (p. 6), si 1 ď s ă 8, ˜ max |xk | ď

1ďkďn

n ÿ

¸1 s

|xk |s

.

k“1

Si n Ñ 8, }pxk q}8 ď }pxs q}s . Consecuentemente `s Ă `8 . 1 Nuevamente, hacemos xk “ k ´ s , para todo k ě 1. Ya vimos que pxk q R `s . No obstante, }pxk q}8 “ sup kě1

1 ď 1. k p1{sq

Así que pxk q P `8 . (b) Si pxk q P `p , para alguna 1 ď p ă 8, entonces para todas r ą s ą p, pxk q P `s

y

}pxk q}r ď }pxk q}s ď }pxk q}p ă 8.

De modo que lim }pxk q}r existe y por (a), rÑ8

}pxk q}8 ď lim }pxk q}r . rÑ8

En particular }pxk q}8 ă 8. Por otro lado, sea ε ą 0 y sea n ě 1 tal que ˜

8 ÿ

¸1

p

|xk |p

ă

k“n`1

8

ε . }pxk q}8 ` 1

Y sea r ą p tal que 1

nr ă

ε ` 1. p}pxk q}8 ` 1q

Por la desigualdad del triángulo, la parte (a) y el Ejercicio 2.42 (p. 6), ˜

8 ÿ

¸1

˜

r

|xk |r

n ÿ

ď

¸1

˜

r

|xk |r

`

k“1

k“1

˜

n ÿ

ď ď

¸1 r

|xk |r

k“n`1

¸1

˜

r

|xk |r

8 ÿ

`

k“1

ˆ

8 ÿ

¸1

p

|xk |p

k“n`1

ε }pxk q}8 ` 1

˙ ` 1 }pxk q}8 `

ε “ }pxk q}8 ` ε. }pxk q}8 ` 1

Se sigue lim }pxk q}r ď }pxk q}8 .

rÑ8

N Ejercicio 2.45. (a) Para probar la desigualdad del triángulo, vamos a probar algunos hechos sobre números. Lema 2. Sean a, b y c números reales no negativos tales que c ď a ` b. Entonces

1 1 1 ` ´ ď 1. 1`a 1`b 1`c

(1)

Demostración. Tenemos, p1 ` aqp1 ` bqp1 ` cq “ 1 ` a ` b ` c ` ab ` ac ` bc ` abc ě 1 ` 2c ` ac ` bc ` ab ` abc ě 1 ` 2c ` ac ` bc ´ ab Pero 1 ` 2c ` ac ` bc ´ ab “ p1 ` b ` c ` bcq ` p1 ` a ` c ` acq ´ p1 ` a ` b ` abq “ p1 ` bqp1 ` cq ` p1 ` aqp1 ` cq ´ p1 ` aqp1 ` bq. De aquí se sigue de inmediato la desigualdad (1). Corolario 1. Sean a, b y c números reales no negativos tales que c ď a ` b. Entonces

c a b ď ` . 1`c 1`a 1`b 9

(2)

Demostración. De (1) se sigue directamente, 1´

1 1 1 ď1´ `1´ . 1`c 1`a 1`b

Esto es, c a b ď ` . 1`c 1`a 1`b

Ahora, si x, y, z P R, entonces |x ´ z| ď |x ´ y| ` |y ´ z|. De donde, por la desigualdad (2), |x ´ y| |y ´ z| |x ´ z| ď ` . 1 ` |x ´ z| 1 ` |x ´ y| 1 ` |y ´ z| De esto es trivial probar la desigualdad triangular. Las otras propiedades de métrica son fáciles de deducir. (b) rñs Supongamos que lim dpxk , xq “ 0. kÑ8

Sea i P N. Si elegimos 0 ă ε ă 1, entonces para algún natural K ą 1, dpxk , xq ă Pero para todo k P N,

ε 2i`1

,

para todo k ě K.

|xki ´ xi | ď dpxk , xq, 2i p1 ` |xki ´ xi |q

así que |xki ´ xi | ε ă i`1 , k i 2 2 p1 ` |xi ´ xi |q

para todo k ě K.

ε{2 ă ε, 1 ´ ε{2

para todo k ě K.

lim xki “ xi ,

@i P N.

De donde |xki ´ xi | ă rðs Supongamos que

kÑ8

Sea ε ą 0 y sea J P N tal que

8 ÿ

1 1 ε “ J ă . i 2 2 2 i“J`1 Para todo 1 ď i ď J, existe Ki ą 1 tal que ε |xki ´ xi | ă , 2

para todo k ě Ki .

10

˜ J “ max Ki , entonces para todo 1 ď i ď J, Si hacemos K 1ďiďJ

ε |xki ´ xi | ă , 2

˜J . para todo k ě K

˜J De esta manera, para todo k ě K J ÿ

ˆ ˙ J |xki ´ xi | 1 ε εÿ 1 ε ε ε ε ε 1 ´ J ` ă ` “ ε. dpx , xq ď ` ď ` “ i k i 2 i“1 2 2 2 2 2 2 2 2 p1 ` |xi ´ xi |q 2 i“1 k

N Ejercicio 2.46. Dado que la integral es lineal, monónota y |f pxq ` gpxq| ď |f pxq| ` |gpxq|,

@x P ra, bs,

(3)

se sigue, żb

żb |f pxq ` gpxq|dx ď

a

żb |f pxq|dx `

a

|gpxq|dx. a

De la misma desiguald (3), |f pxq ` gpxq| ď max |f pxq| ` max |gpxq|, xPra,bs

xPra,bs

@x P ra, bs,

por tanto max |f pxq ` gpxq| ď max |f pxq| ` max |gpxq|.

xPra,bs

xPra,bs

xPra,bs

N Ejercicio 2.47. (a) Se sigue trivialmente del hecho de que para todo 1 ď k ď n, |yk | ď max |yk |. 1ďkďn

(b) Igualmente, se sigue de que para todo k ě 1, |yk | ď sup |yk |. kě1

(c) Como g es continua, entonces max |gpxq| ă 8. Así que la desigualdad se sigue trivialmente aďxďb

de que para todo a ď x ď b, |gpxq| ď max |gpxq|. aďxďb

N Ejercicio 2.48. Para cada k ě 1 hacemos, $ &2kp1 ´ kxq fk pxq “ %0 11

si x P r0, 1{ks, si x P p1{k, 1s.

Es claro entonces que ˆ }fk }1 “ p2kq

1 2k

˙ “ 1.

Pero }fk }8 “ k Ñ 8. Por otro lado, si g : r0, 1s Ñ R es continua y }g}8 “ 1, entonces |gpxq| ď 1,

@x P r0, 1s,

por lo que ż1

ż1

1dx “ 1.

|gpxq|dx ď 0

0

Concluimos que no es posible construir sucesiones de funciones continuas sobre r0, 1s acotadas en norma supremo, y no acotado en norma L1 . N Ejercicio 2.49. Para todo p ě 1 y todo entero k ě 1, ż1 0

ˇx“1 p`1 ˇ 1 p1 ´ kxq 1 ˇ |fk pxq|p dx “ p1 ´ kxqp dx “ ´ . “ ˇ ˇ k p`1 kpp ` 1q 0 ż1

x“0

Por tanto, }fk }p “

1 pkpp ` 1qq1{p

. N

Ejercicio 2.50. (a) Si 1 ď s ď r, la Proposición* 2.23 (p. 21) prueba que para toda f P C 0 ra, bs, }f }s ď pb ´ aq

r´s rs

}f }r .

r´s

Y obviamente, c :“ pb ´ aq rs ą 0. De hecho, si a “ 0 y b “ 1, entonces c “ 1. (b) Sea p ą r y supongamos que para alguna constante c ą 0, @f P C 0 r0, 1s.

}f }p ď c}f }r ,

En particular, si fk es como en el ejercicio anterior para toda k ě 1, entonces 1 pkpp ` 1qq

1{p

ďc

1 pkpr ` 1qq1{r

.

De donde, para toda k ě 1, 1

pr ` 1q r pp ` 1q

1 p

1

kr

´ p1

ď c.

Lo cual es imposible porque el término de la izquierda crece al infinito si k crece al infinito.

12

N

Ejercicio 2.51. Sean f, g P C r ra, bs. Para toda 0 ď s ď r, ¯1 ´ f psq ` g psq “ f ps`1q ` g ps`1q . Por tanto, }f ` g}r,p “

r › r › r › r › › › › › ÿ ÿ ÿ › psq › ÿ › psq › › psq › › psq › ›f › ` ›g › “ }f }r,p ` }g}r,p . ›f ` g psq › ď ›pf ` gq › “ p

s“0

p

s“0

s“0

p

s“0

N

Las otras propiedades de norma son también fáciles de probar. Ejercicio 2.52. Vamos a probar un resultado previo.

Proposición 1. Si pV, } ¨ }q es un espacio normado y S es un conjunto, entonces f P BpS, V q si y sólo si, existe c ě 0 tal que }f pzq} ď c, @z P S. Demostración. Si f P BpS, V q, existe c1 ě 0 y x0 P V tales que }f pzq ´ x0 } ď c1

@z P S.

Por tanto, }f pzq} ď }f pzq ´ x0 } ` }x0 } ď c1 ` }x0 },

@z P S.

Tomamos cualquier c ě c1 ` }x0 }. La afirmación recíproca es obvia. Sean f, g P BpS, V q y s, t P R, psf ` tgqpzq “ psf qpzq ` ptgqpzq “ sf pzq ` tgpzq P V,

@z P S.

Ahora, para algunas constantes cf , cg ě 0, }psf ` tgqpzq} ď |s|}f } ` |t|}g} ď |s|cf ` |t|cg ,

@z P S.

En consecuencia sf ` tg P BpS, V q. Esto prueba que BpS, V q es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones definidas sobre S y con valores en V , con las operaciones de suma y producto por un escalar indicadas en el ejercicio. Por otro lado, si f, g P BpS, V q, entonces }pf ` gqpzq} “ }f pzq ` gpzq} ď }f pzq} ` }gpzq},

@z P S.

Por tanto sup }pf ` gqpzq} ď sup }f pzq} ` sup }gpzq}. zPS

zPS

zPS

Lo que prueba la desigualdad triangular de } ¨ }8 . Las otras propiedades de norma son trivialmente válidas. N 13

Ejercicio 2.53. (a) Sea 1 ď p ă 8. Sean ai , bi , ci ě 0, i “ 1, 2, tales que ai ď bi ` ci , i “ 1, 2. Si consideremos la norma } ¨ }p en R2 , 1{p

pap1 ` ap2 q

ď ppb1 ` c1 qp ` pb2 ` c2 qp q1{p “ }pb1 ` c1 , b2 ` c2 q}p ď }pb1 , b2 q ` pc1 , c2 q}p 1{p

ď }pb1 , b2 q}p ` }pc1 , c2 q}p “ pbp1 ` bp2 q

` pcp2 ` cp2 q

1{p

.

Luego, si pxi , yi q P X ˆ Y , con i “ 1, 2, 3, hacemos a1 “ dX px1 , x3 q, a2 “ dY py1 , y3 q, b1 “ dX px1 , x2 q, b2 “ dY py1 , y2 q y c1 “ dX px2 , x3 q, c2 “ dY py2 , y3 q. Obtenemos así la desigualdad triangular relativa a dp , con 1 ď p ă 8. Por otro lado, de las desigualdades dX px1 , x3 q ď dX px1 , x2 q ` dX px2 , x3 q ď maxtdX px1 , x2 q, dY py1 , y2 qu ` maxtdX px2 , x3 q, dY py2 , y3 qu dY py1 , y3 q ď dY py1 , y2 q ` dY py2 , y3 q ď maxtdX px1 , x2 q, dY py1 , y2 qu ` maxtdX px2 , x3 q, dY py2 , y3 qu se sigue maxtdX px1 , x3 q, dY py1 , y3 qu ď maxtdX px1 , x2 q, dY py1 , y2 qu ` maxtdX px2 , x3 q, dY py2 , y3 qu. Obtenemos así la desigualdad triangular relativa a d8 . Las otras propiedades son trivialmente válidas. N Ejercicio 2.54. Sean y1 , y2 P Y y sean x1 , x2 P X (únicos) tales que y1 “ φpx1 q y y2 “ φpx2 q. dY py1 , y2 q “ dY pφpx1 q, φpx2 qq “ dX px1 , x2 q “ dX pφ´1 py1 q, φ´1 py2 qq. N p

Ejercicio 2.55. (a) No es una isometría. Prueba : si }p1, 1q}p “ }p1, 1q}r , entonces 2 “ 2 {r , de donde p “ r, lo cual contradice la suposición p ‰ r. (b) No es isometría. Prueba : Sea f pxq “

x ´ logp1 ` xq, 1`x

Entonces f 1 pxq “ ´

x ă 0, p1 ` xq2

@x ą 0.

@x ą 0.

Así que f es una función decreciente en su dominio. Y si hpxq “

1 f pxq, x2

entonces h es también decreciente en su dominio. 14

@x ą 0.

Ahora, si 1 logp1 ` xq, x

@x ą 0.

g 1 pxq ď lim hpyq ă 0,

@x ą 0.

gpxq “ entonces g 1 pxq “ hpxq, por lo que

yÓ0

Así que g es decreciente en su dominio. Pero gpxq “ log ψpxq, donde 1

ψpxq “ p1 ` xq {x ,

@x ą 0.

Así que ψ es una función decreciente en su dominio. Ahora, sea Idr0,1s la función identidad de r0, 1s en r0, 1s, esto es, Idr0,1s pxq “ x para toda 0 ď x ď 1, y supongamos que 0 ă p ă r. Tenemos }Idr0,1s }p “

1 1 ă “ }Idr0,1s }r . 1{p p1 ` pq p1 ` rq1{r

(c) Es una isometría pues se trata de la inclusión del subespacio C21 r0, 1s en el espacio C21 r0, 1s. (d) Misma razón que en (c). (e) Es una isometría: Prueba : Para toda f P BpN, Rq, obviamente, }f }8 “ supt|f pnq| : n P Nu “ }φpf q}8 . N Ejercicio 2.56. (a) Para todo v P V , recordemos que existe un único vector xv “ px1 , ..., xn q de ř Rn tal que v “ ni“1 xi ei . (De hecho, la regla v ÞÑ xv es biyectiva). Note que }v}˚ “ }xv }, donde }xv } es la norma usual en Rn . Luego xv “ 0V ô xv “ 0 ô }xv } “ 0 ô }v}˚ “ 0. Para todo λ P R, dado que λv “

řn

i“1 λxi ei ,

se sigue que xλv “ λxv , de donde

}λv}˚ “ }xλv } “ }λxv } “ |λ|}xv } “ |λ|}v}˚ . ř ř Finalmente, si w “ ni“1 yi ei , se tiene la representación v ` w “ ni“1 pxi ` yi qei , de donde xv`w “ xv ` xw , y por tanto }v ` w}˚ “ }xv`w } “ }xv ` xw } ď }xv } ` }xw } “ }v}˚ ` }w}˚ . Observación 3. Este ejercicio es de hecho un caso particular del siguiente Teorema 2. Sea X un espacio vectorial normado con norma } ¨ }X , y sea Y un espacio vectorial. Si f : Y Ñ X es una aplicación lineal, esto es, para todo y1 y y2 en Y , y cualquier escalar λ, f py1 ` λy2 q “ f py1 q ` λf py2 q, y si para todo y P Y se cumple f pyq “ 0X ñ y “ 0Y , entonces }y}Y :“ }f pyq}X , para todo y P Y , es una norma en Y . 15

Demostración. Como f es lineal, f p0Y q “ f p0Y ` 0Y q “ f p0Y q ` f p0Y q “ 2f p0Y q. Esto es f p0Y q “ 0X . Se sigue que para toda y P Y , }y}Y “ 0 ô }f pyq}X “ 0 ô f pyq “ 0X ô y “ 0Y . Por otra parte, para todo escalar λ, }λy}Y “ }f pλyq}X “ }λf pyq}X “ |λ|}f pyq}X “ |λ|}y}Y . Finalmente, para todo y1 y y2 en Y , }y1 ` y2 }Y “ }f py1 ` y2 q}X “ }f py1 q ` f py2 q}X ď }f py1 q}X ` }f py2 q}X “ }y1 }Y ` }y2 }Y .

(b) Hay que aclarar algunas cosas primero. Definición 1. Si X y Y son espacios vectoriales normados con normas } ¨ }X y } ¨ }Y resp., decimos que una función φ : X Ñ Y es una isometría si φ es una isometría respecto a las métricas inducidas por las respectivas normas en X y Y . Proposición 2. Si X y Y son espacios vectoriales normados con normas } ¨ }X y } ¨ }Y resp., y si φ : X Ñ Y es una función lineal, entonces φ es una isometría si y sólo si, }x}X “ }φpxq}Y ,

@x P X.

(4)

Demostración. De acuerdo a la primera parte de la demostración del Teorema 2 (p. 15), φp0X q “ 0Y . Ahora, si φ es una isometría, para toda x P X, }x}X “ dX px, 0X q “ dY pφpxq, φp0X qq “ dY pφpxq, 0Y q “ }φpxq}Y . Recíprocamente, si la igualdad (4) es válida, entonces para todo x, y P X, dX px, yq “ }x ´ y}X “ }φpx ´ yq}Y “ }φpxq ´ φpyq}Y “ dY pφpxq, φpyqq.

ř Así que para verificar el inciso (b) solo debemos probar que φpx1 , ..., xn q “ ni“1 xi ei es una ř aplicación lineal de Rn a V , ya que por definición, }φpx1 , ..., xn q}˚ “ } ni“1 xi ei }˚ “ }px1 , ..., xn q}, para todo px1 , ..., xn q P Rn . Pero note que para todos px1 , ..., xn q y py1 , ..., yn q vectores de Rn , φppx1 , ..., xn q ` py1 , ..., yn qq “ φpx1 ` y1 , ..., xn ` yn q n ÿ “ pxi ` yi qei i“1 n ÿ

“ i“1

xi ei `

n ÿ

yi ei

i“1

“ φpx1 , ..., xn q ` φpy1 , ..., yn q. N 16

Ejercicio 2.57. (a) Sean x, y, z P X, y sean σx,y y σy,z trayectorias de x a y, y de y a z, respectivamente, en X de longitud finita. Entonces, definimos $ &σ p2tq si 0 ď t ď 12 , x,y σptq “ %σ p2t ´ 1qq si 1 ă t ď 1. y,z

2

Queda claro que σ es una trayectoria de x a z en X de longitud finita. Si 0 ď t0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm “ 1 es una partición del intervalo r0, 1s, entonces 0 ď 21 t0 ď 12 t1 ď ¨ ¨ ¨ ď 12 tm “ 12 es una partición de r0, 12 s. Y recíprocamente, si 0 ď t0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm “ 12 es una partición del intervalo r0, 12 s, la colección 0 ď 2t0 ď 2t1 ď ¨ ¨ ¨ ď 2tm “ 1 es una partición de r0, 1s. En consecuencia, + # m ÿ 1 . Lpσx,y q “ sup }σx,y p2tk´1 q ´ σx,y p2tk q} : 0 ď t0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm “ 2 k“1 De forma análoga puede argumentarse que # + m ÿ 1 }σy,z p2tk´1 ´ 1q ´ σy,z p2tk ´ 1q} : ď t0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm “ 1 Lpσy,z q “ sup 2 k“1 Por otra parte, si 0 ď t0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm “ 1 es una partición del intervalo r0, 1s y si tomamos 0 ă j ď m tal que tj´1 ď 12 ă tj , se tiene }σptj´1 q ´ σptj q} ď }σptj´1 q ´ σp1{2q} ` }σp1{2q ´ σptj q}, de donde dpx, zq ď Lpσq ď Lpσx,y q ` Lpσy,z q. Consecuentemente, dpx, zq ď dpx, yq ` dpy, zq. Lo que prueba la desigualdad triangular. Para probar simetría, note que σ : r0, 1s Ñ X es una trayectoria de x a y (cualesquiera puntos ˜ ptq “ σp1 ´ tq es una trayectoria de y a x. Y además, de Rn ), entonces σ Lpσq “ Lp˜ σ q. En consecuencia, dpx, yq “ dpy, xq. Finalmente, si x, y P Rn , dado que }x ´ y} ď Lpσq, para cualquier trayectoria σ de x a y, se sigue que }x ´ y} ď dpx, yq.

17

Así que si dpx, yq “ 0, entonces x “ y. (b.1) d coincide con la métrica usual, puesto que para todo x, y P Rn , el segmento σptq “ p1 ´ tqx ` yt,

0 ď t ď 1,

(5)

está completamente contenida en Rn , y Lpσq “ }y ´ x}. (b.2) d coincide con la métrica usual. En efecto, si x, y P Bn , entonces para todo 0 ď t ď 1, }p1 ´ tqx ` ty} ď p1 ´ tq}x} ` t}y} ď 1 ´ t ` t “ 1, de modo que la trayectoria (5) está completamente contenida en Rn . (b.3) d coincide con la métrica usual. En efecto, si x, y P X, entonces sucede que 0 no está en el segemento p1 ´ tqx ` ty, 0 ď t ď 1, en cuyo caso, dpx, yq ´“ }x ´¯y}. O bien, para algún 0 ă t0 ă 1 (las disigualdades son estrictas porque 0 R X), y “ 1 ´ t10 x. En cuyo caso, elegimos algún vector z linealmente idependiente de y ´ x con }z} “ 1, y los puntos pt “ x ` tz, 0 ď t ď 1, de manera que, si consideramos las trayectorias σt de x a y, como la unión de los segmentos de x a pt y de pt a y, entonces σt está en X y dpx, yq ď Lpσt q ď }x ´ pt } ` }pt ´ y} ď 2t ` }y ´ x}. Si t Ó 0, concluimos dpx, yq “ }y ´ x}. (b.4) d no coincide con la métrica usual. En efecto, consideremos los puntos x0 “ p0, ..., 1q, y0 “ ´x0 y cualquier punto z0 “ pz1 , ..., zn´1 , 0q tal que z12 ` ¨ ¨ ¨ ` zn2 “ 12 . Entonces dpx0 , y0 q ě }x0 ´ 0} ` }0 ´ z0 } ` }z0 ` 0} ` }0 ´ y0 } ą 2 “ }y0 ´ x0 }. (b.5) d no coincide con la métrica usual.

N

18