Transformadas De Laplace Utilizando Teoremas

TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS: 1) L

L

+L

=

2) L

L

+6L

-3L

=

3) L

=L

+3L

+3L

+L

=

4) L

=L

+2L

+L

=

5) L L

-5L

+ 10 L

- 10 L

+5

-L

= TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1) L

L

2) L

L

DERIVADA DE TRANSFORMADA:

1)L

2) L

=

L

L

=

3) L

L

4) L

L

5) L

L

6) L

L

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1)L

L

2) L

L

3) L

L L

L L

L

4) L

L

5) L

L

6) L

L L

L

L

L

7) L

L

L

L

L

L

L

8) L

L

L

TRANSFORMADAS INVERSAS: 1)L-1

L-1

=

2) L-1

L-1

=

3) L-1

L-1

4) L-1

= L-1

5) L-1

+ L-1

=

=

= L-1 L-1

+

L-1

= L-1

L-1

+

L-1

+

7) L-1

= L-1

8) L-1

L-1

L-1 = L-1

L-1

L-1

= L-1

6) L-1

9) L-1

L-1

=

=

=

10) L-1

L-1

11) L-1

=

L-1

L-1

12) L-1

,

y

L-1

=

L-1

L-1

L-1

13) L-1

L-1

=

L-1

14) L-1

,

,

y

L-1

=

=

L-1

=

L-1

L-1

TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1)L-1

L-1

2) L-1

L-1 L-1

L-1

L-1

3) L-1

=

L-1

L-1

L-1 4) L-1

L-1 L-1

L-1 L-1

L-1

L-1 L-1

L-1 L-1

5) L-1

, L-1

y = L-1

L-1

L-1

L-1

L-1

=

TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1)L-1

L-1

2) L-1

L-1

L-1

3) L-1

= L-1

= L-1

L-1 4) L-1

= L-1

L-1

L-1

L-1

= L-1

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN: 1)L

L 2) L-1

L L-1

L L-1

L-1

L-1

3) L-1

4) L-1

L-1

L-1

5) L-1

L-1

L-1

L-1

=

L-1

ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA): 1) L

L-1

L-1

2) L

L-1

L-1

3)

L-1

, L

L-1 4)

, L

L-1 5)

L-1 ,

, L

,

y L-1

6)

L-1

,

L-1

,

L-1

L-1

,

L-1 ECUACIONES INTEGRALES: 1) L

+L

L

L-1 2)

L-1

L-1

3)

L-1

L-1

L-1

L-1

ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES: CIRCUITOS: 1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1W y C = 0.02 faradios.

2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC) cuando

, R = 2.5W , C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3).

L-1 L-1 = 3)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en serie cuando

, R = 50W , C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA):

1)

R/

2)

y

R/

3)

R/

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VALORES PROPIOS):

1)

Si

Si

R/

2)

de multiplicidad 2

Si

Si

R/

3)

Si

Si

Ejercicios sobre linealidad Problema Determine: Usando la propiedad de linealidad tenemos: Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Haciendo álgebra: Por tanto:

Problema

Distribuyendo el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

Ejemplos: Sobre el primer teorema de traslación Problema Determine: Para usar el primer teorema de traslación reconocemos: Y por tanto: Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Haciendo álgebra:

Por tanto:

Problema Determine:

Solución Para aplicar el teorema debes hacer que la expresión sea una en s+4, el denominador domina el proceso, para ello todas las s "solas" las cambiaremos por s+4-4:

O:

El termino s+4 es s-a, es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslación tenemos:

Y siguiendo la propiedad de linealidad:

Haciendo uso de la tabla de transformadas:

Por tanto

Ejemplos: Sobre el tma. de la transformada de la derivada Problema Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1, simplifique: Aplicando la propiedad de linelidad: Por el teorema de la transformada de la derivada:

De donde: Agrupando terminos Y por tanto:

Ejemplos: Sobre el tma de la transformada de la integral Problema Determine:

Solución Para aplicar el teorema reconocemos que:

Es decir que:

Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos:

Haciendo uso de la tabla de transformadas:

Desarrollando la integral

Asi la integral queda:

Por tanto

Ejemplos: Sobre el tma de la integral de la transformada Problema Determine:

Para usar el teorema de la transformada de la integral debemos ver si se cumple que: reconocemos:

existe, para ello utilicemos la regla de L'Hopital:

Por tanto podemos aplicar el teorema y nos queda el desarrollo:

Desarrollando esta integral:

Recordemos que esto se calcula mediante limites:

Como

La integral finalmente queda:

Y por tanto

Ejemplos: Sobre el tma de la derivada de la transformada Problema Determine: Para usar el teorema de la derivada de la transformada reconocemos que n=2 y f(t)=sen(2 t), por consiguiente la apliacion de reduce a:

Desarrollando este segundo miembro:

Asi:

Por tanto:

Problema Determine:

De acuerdo con el teorema de la derivada de la transformada:

Es decir:

Como

Por tanto

Ejemplos: Sobre la transformada de la función escalón Problema Determine la transformada de la función cuya gráfica es:

Esta función se describe como: Asi Usando la fórmula de la transformada de la función escalón:

Y por tanto

Ejemplos: Sobre la transformada de una función periódica Problema Determine la transformada de la función cuya gráfica es:

Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos utilizar la fórmula:

Puesto qur la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones:

Así:

Por tanto

Ejemplos: Sobre el teorema de convolución Problema Detemine

En este caso

Donde Si usamos el teorema de convolución:

Como

y

Entonces:

Problema Detemine

Vemos la expresión como:

Y por consiguiente:

Y

De esta forma y aplicando el teorema de convolución:

Donde

Observe que alternativamente se tendría que:

Sin embargo la primera integral es más fácil que ésta. Así concluimos que: