Trigonometria Trilce

Tr i g o n o m e t r í a

Intelectum Trigonometría

It

Indicadores de logro

Unidad 1

Unidad 2

• • • •

• Identifica los casos en que debe usar las razones trigonométricas de ángulos complementarios y las razones recíprocas. • Aplica las razones trigonométricas para ángulos complementarios. • Evalúa las proporciones de los lados de los triángulos pitagóricos, exactos y aproximados. • Utiliza las co-razones para determinar las razones trigonométricas de ángulos complementarios. • Evalúa el seno, coseno, secante, cosecante, tangente y cotangente de cada ángulo notable. • Utiliza las razones trigonométricas recíprocas para la resolución de problemas. • Identifica los elementos del triángulo rectángulo para luego decidir el caso a utilizar para su resolución. • Comprende los casos estudiados para la resolución de triángulos rectángulos. • Calcula la razón trigonométrica de cada ángulo notable.

• • • • • • •

Diferencia entre ángulo negativo y positivo. Representa gráficamente un ángulo trigonométrico. Aplica la relación dada para realizar las conversiones. Evalúa los sistemas angulares y su proceso de conversión (sistemas sexagesimal, centesimal y radial). Utiliza las notaciones al realizar las conversiones. Analiza las distintas relaciones dadas para el cálculo del área del sector circular. Calcula el valor de la longitud de arco y el área del sector circular. Identifica gráficamente un arco dentro de una circunferencia. Identifica los elementos de un triángulo rectángulo (cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa). Describe cada razón trigonométrica (seno, coseno, secante, cosecante, tangente y cotangente). Aplica propiedades al calcular las razones trigonométricas de ángulos agudos.

El plano cartesiano y las fallas geológicas La geología es la ciencia de la tierra que estudia el origen, estructura, composición y los fenómenos que se han producido en ella desde su formación (hace 4500 millones de años aproximadamente) hasta la actualidad. Una de sus ramas es la geología estructural que se encarga del estudio de las deformaciones que sufre la corteza terrestre (fallas, pliegues y diaclasas). Para ello es necesario el uso de la brújula Brunton que nos permite determinar con exactitud la dirección (rumbo) y buzamiento (inclinación) en el plano cartesiano de las estructuras geológicas. Conociendo el rumbo y buzamiento los geólogos pueden ayudarse de estos para determinar posibles reservas mineras, petroleras, etc. Es por esto de la importancia del estudio del SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.

Contenido: Unidad 1

• Ángulo trigonométrico y sistemas de medidas angulares.

Unidad 2

Unidad 3

• Propiedades de las razones trigonométricas.

• Sistema de coordenadas rectangulares.

• Sector circular.

• Razones trigonométricas de ángulos notables.

• Razones trigonométricas de ángulos agudos.

• Resolución de triángulos rectángulos.

• Razones trigonométricas de un ángulo en cualquier magnitud.

Unidad 4

• Reducción al primer cuadrante. • Identidades trigonométricas. • Sistema métrico decimal.

• Ángulos verticales.

Unidad 3

Unidad 4

• Identifica puntos coordenados en el plano y los utiliza para ubicar rectas o figuras planas en el plano cartesiano.

• Realiza la reducción al primer cuadrante identificando correctamente cada uno de los tres casos estudiados.

• Calcula el punto medio de un segmento, la distancia entre dos puntos y el área de una región plana utilizando las coordenadas de puntos en el plano.

• Aplica las reglas adecuadamente para la aplicación de la reducción analizando los ángulos dados.

• Define las razones trigonométricas para ángulos en posición normal, ángulos cotermianles y ángulos negativos. • Calcula el valor de cada razón trigonométrica del ángulo en posición normal, considerando su ubicación en el plano. • Analiza el signo de cada ángulo de cualquier magnitud evaluando el cuadrante en donde se encuentra su lado final.

• Calcula el valor de ángulos en posición normal reducidos al primer cuadrante. • Discrimina entre las identidades trigonométricas recíprocas, por cociente y pitagóricas. • Simplifica expresiones trigonométricas empleando las identidades estudiadas.

• Discrimina entre ángulo de elevación y depresión.

• Diferencia múltiplo de submúltiplos al momento de realizar las conversiones entre unidades en el sistema métrico decimal.

• Representa gráficamente ángulos verticales y emplea las razones trigonométricas para la resolución de problemas.

• Utiliza los múltiplos y submúltiplos de cada una de las unidades estudiadas para el cálculo de conversiones.

unidad 1

Ángulo trigonométrico Y Sistemas de medidas angulares Ángulo trigonométrico

Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice (la rotación se realiza en un mismo plano). Si la rotación se realiza en sentido antihorario, el ángulo se considera positivo; en cambio, si la rotación es en sentido horario, el ángulo se considera negativo.

+ q : ángulo positivo



Ejemplo: Halla q en función de a y b.

θ

& -α

α

θ

b : ángulo negativo



a) Cuando a un ángulo trigonométrico se le cambia el sentido, su signo cambia.



En geometría se considera a un ángulo como la figura formada por dos rayos que parten de un mismo punto llamado vértice.

-

β

θ

Recuerda

α

β

Invertimos los ángulos hacia un mismo sentido de giro (sentido horario).

b) Para sumar ángulos trigonométricos en una gráfica, estos deben tener el mismo sentido.

θ -α

β

Sumando ángulos: q + (-a) = b q-a=b q=b+a Nota

Sistemas de medición angular Sistema sexagesimal o inglés

Tiene como unidad al grado sexagesimal (1°), se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales. m+1 vuelta = 1° & 360



m+1 vuelta = 360°

Asimismo, a un grado sexagesimal se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina minuto sexagesimal; a su vez, a cada minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina segundo sexagesimal. Notación 1º: un grado sexagesimal. 1': un minuto sexagesimal. 1": un segundo sexagesimal.

Equivalencias 1° = 60' 1' = 60"

Los minutos y segundos sirven para representar valores menores a 1° y 1' respectivamente. Notación del ángulo en grados, minutos y segundos: a° b' c" = a° + b' + c" Donde:

b < 60 c < 60

Conversión 1° = 60' = 60 # 1' = 60 # 60" = 3600" ` 1° = 3600"

Sistema centesimal o francés

Tiene como unidad al grado centesimal (1g) se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales.

m+1 vuelta = 1 g & 400

m+1 vuelta = 400g

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

5

Nota Los minutos y segundos centesimales sirven para representar valores menores a 1g y 1m respectivamente. xgymzs = xg + ym + zs Donde:

y < 100 z < 100

Además, a cada grado centesimal se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le denomina minuto centesimal; a su vez, a cada minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le denomina segundo centesimal. Notación

Equivalencias

g

g

1 : un grado centesimal. 1m: un minuto centesimal. 1s: un segundo centesimal.

m

1 = 100 1m = 100s

Conversión g

m

1 = 100 # 1 = 100 # 100s = 10 000s ` 1g = 10 000s

Sistema radial o circular

Conocido también como Sistema Internacional, tiene como unidad angular al radián (1 rad), el cual se define como la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia al que pertenece. El número de radianes de un ángulo central se calcula: q = L ; de la figura: q = R = 1 rad R R

A R O

L=R

θ

Además: 1 rad = m+ 1 vuelta & 2π

R B

m+1 vuelta = 2p rad

Conversión entre sistemas

Es el proceso en el cual un ángulo en cierto sistema se transforma a cualquier otro sistema de medida. Observación Por el número de partes en que cada sistema divide al ángulo de 1 vuelta se concluye.

Factor de conversión

Es una fracción igual a la unidad, donde el numerador y el denominador son las medidas de un mismo ángulo expresado en diferentes sistemas convencionales (sexagesimal, centesimales y radial). m+1vuelta = 360° = 400g = 2p rad &

180° = 200g = p rad (equivalencias)

1 rad > 1° > 1g

Atención Para transformar un ángulo a de un sistema A (inicial) a un sistema B (final), el factor de conversión es de la forma:

b & Sistema final a & Sistema inicial

a, b medidas de un mismo ángulo en los sistemas A y B respectivamente.

Usando conversiones podemos obtener Ejemplo: factores de conversión de los tres sistemas Transforma 40° al sistema radial. convencionales. Resolución: 40° = 40° # 1 = 40° # p rad & sistema final 180c & sistema inicial Equivalencia Factor de conversión S g factor de conversión 180° = 200 180° = 1 200 g ` 40° = 2p rad 9 p rad = 180° π rad = 1 180° Ejemplo: Transforma 60g al sistema sexagesimal. g g 200 = p rad 200 = 1 Resolución: π rad 180° & sistema final 60g = 60g # 1 = 60g # 200 g & sistema inicial S factor de conversión ` 60g = 54°

Fórmulas de conversión

Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, la relación que existe entre ellos será: A

S = C =R 180 200 p

6

Intelectum 2.°

(Fórmula general de conversión)



O

θ

S° g C R rad

B

t

La fórmula general de conversión se puede demostrar de distintas formas, en esta oportunidad usaremos el método de factores de conversión a modo de práctica. Sean S, C, R los valores en los tres sistemas correspondientes a un ángulo a, es decir: m+a = S° = Cg = R rad, luego: Transformamos S° al sistema centesimal usando el método del factor: g

g S° = S° # 1 = S° # 200 = d 200S n = C g ; de las equivalencias: S° = Cg 180c 180 g

Entonces: d 200S n = C g 180 200S = C; finalmente: S = C 180 180 200

... (1)

Ahora transformamos Cg al sistema radial: Cg = Cg # 1 = Cg #

Recuerda De las equivalencias; para el sistema sexagesimal y centesimal.

p rad = d πC n rad = R rad, de las equivalencias: Cg = R rad 200 200 g

Luego: c πC m rad = R rad 200

180° = 200g 9° # 20 = 10g # 20 9° = 10g

πC = R; por lo tanto: C = R 200 200 p

... (2)

Luego: • 1 = 9cg 10

De (1) y (2) tenemos:

S = C = R ; p 180 200

Corolario S = C = 20R p 9 10

g • 1 = 10 9c

S = C 9 10

Factores de conversión

Ejemplo: Si la diferencia entre el número de grados centesimales y número de grados sexagesimales es igual a 2, halla la medida del ángulo en radianes. De la fórmula general de conversión:

Resolución: De los datos: C - S = 2; del corolario.

C = R = 20 = R ; R = π 10 π π 200 200

S = C ; S = 9C 9 10 10 Reemplazando: C - 9C = 2; C = 2 & C = 20 10 10

` La medida del ángulo es igual a π rad. 10

Recuerda Se cumple para las subunidades de los sistemas sexagesimal y centesimal: Sistema

... (1)

Subunidad

Minutos

Además, para resolver problemas, podemos usar el siguiente método: S = C = R =k 180 200 π También del corolario: S = C = 20R = m 9 10 π

S = 180k C = 200k R = pk S = 9m C = 10m R = πm 20

S 60'

Segundos 3600''

C 100m 10 000S

Para el ejemplo: C - S = 2, por lo anterior: C - S = 10m - 9m & m=2 Reemplazamos: π_ 2 i = π rad R = πm = 20 10 20

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

7

Problemas resueltos 1

Por equivalencia: 60'' = 1' q = 58° + 74' + [60'' + 32''] q = 58° + 74' + 1' + 32'' q = 58° + 75' + 32''

Determina el valor de "x" en el gráfico:

10° - x 20° x

Por equivalencia: 60' = 1° q = 58° + [60' + 15'] + 32'' q = 58° + 1° + 15' + 32'' q = 59° + 15' + 32'' q = 59° 15' 32''

Resolución: Pasamos los ángulos al sentido antihorario: x + 20° - (10° - x) = 90° -(10° - x) 20° x + 20° - 10° + x = 90° 2x = 80° x x = 40° 2

Finalmente: q = a° b' c" = 59° 15' 32'' & a - c + b = 59 - 32 + 15 ` a - c + b = 42

En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de q en el sistema sexagesimal? g

-140 θ

C = 4 p rad + 70g 3

Resolución:

g

-(-140 ) θ

Resolución: θ

Convertimos 140g al sistema sexagesimal: 2q + 140g # 9°g = 180° 10 2q + 126° = 180° 2q = 54° q = 27° 3

Determina: E = B + C - A en radianes. A = 135° + p rad 12 B = 40g + 36°

θ

Primero pasamos los ángulos al sentido antihorario: q + -(-140g) + q = 180° & 2q + 140g = 180°

5

g Calcula el valor de: D = 1°' + 1 m 30 25

Convertimos todo a radianes: Usamos factores de conversión: π rad y π rad 180° 200g A =135° + p rad 12

A = 5 p rad 6 B = 40g #

Resolución: Usamos equivalencia para los sistemas sexagesimal y centesimal: g (60') (100m) D = 1° + 1 m = + 30' 25 30' 25m

D=2+4 D=6 4

Sea q = a° b' c", calcula el valor de a - c + b, si: q = 45° 26' 55'' + 13° 48' 37''

Resolución:

Primero agrupamos con respecto a sus respectivas magnitudes: q = 45° 26' 55'' + 13° 48' 37'' q = 45° + 26' + 55'' + 13° + 48' + 37'' q = (45 + 13)° + (26 + 48)' + (55 + 37)'' q = 58° + 74' + 92''

8

Intelectum 2.°

p rad + p rad 12 180°

A = 135° #

B=

p 36° # p rad g rad + 180° 200

p p rad + rad = 2p rad 5 5 5

p p C = 4 rad + 70g # rad 3 200g C = 4 p rad + 7p rad 3 20 C = 101 p rad 60 Piden: E=B+C-A E = 2p + 101 p - 5 p 6 5 60 E = 24 p + 101p - 50p 60 E = 75 p = 5p rad 60 4

t Convertimos a radianes, usando factor de conversión: 36° # π rad = p rad 180° 5

Calcula x, sabiendo que se cumple: 33° + 2xg + p rad 4 =1 6

Luego, por el corolario: S = 20R & 36 = 20R & R = π rad p 9 π 5 9

23° + x° + p rad 3

Resolución:

p 33° + 2xg + p rad = 23° + x° + rad 3 4 Usamos fórmulas de conversión: S = C y S =R 9 10 180 π p 10° + 2xg # 9°g + 4 - p = x° 3 10 p # 180° = x° 10° + 9° x 12 p 5

10 - 15 = x - 9 x 5

-5 = - 4 x 5 & x = 25 4 7

Señala la medida sexagesimal de un ángulo que verifica: 4S - C = C + 11 2 5 Siendo S y C lo conocido.

Resolución:

De la condición: 4S - C = C + 11 & 4S - C = C + 55 2 5 2 5 Luego: 20S - 5C = 2C + 110 20S - 7C = 110 Usamos la fórmula de conversión: 20S - 7 # 10 S = 110 9

8

9

Calcula la medida en el sistema circular de un ángulo sabiendo que la diferencia de su número de grados centesimales y sexagesimales es a su suma como tres veces su número de radianes es a 10p.

Resolución:

Sean S: n.° de grados sexagesimales. C: n.° de grados centesimales. R: n.° de radianes. Entonces de la condición: C - S = 3R C + S 10p Del corolario igualamos a una constante: S = C = k & S = 9k / C = 10k 9 10 10k - 9k = 3R 10k + 9k 10p

1 = 3R 19 10p

& R = 10p rad 57 10 Si a la tercera parte del número de grados sexagesimales de un ángulo se le aumenta 10, resulta la mitad de su número de grados centesimales. Calcula la medida radial de dicho ángulo.

Resolución:

De la solución: 1 S + 10 = 1 C 3 2

180S - 70S = 9 # 110 110S = 9 # 110 S = 9

Pero: S = C = k & S = 9k / C = 10k 9 10

La medida en grados sexagesimales es 9°.

Entonces: 1 (9k) + 10 = 1 (10k) 3 2

Los 8 de la unidad de medida de un ángulo en un determinado 3 sistema es equivalente a 96°. Halla lo que mide dicha unidad angular en radianes.

Resolución:

De la condición: 8 x = 96° & x = 36° 3



10 = 2k & k = 5

Reemplazando y transformando: S = 9k = 9(5) = 45° R = 45° # π rad = π rad 180° 4

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

9

sECTOR CIRCULAR CIRCUNFERENCIA

Observación

O

Es una curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia de un punto denominado centro. A dicha distancia constante se le conoce como radio de la circunferencia.

Arco de circunferencia

R

Es una porción de circunferencia comprendida entre dos puntos que pertenecen a ella.

Longitud de arco La medida del ángulo de una vuelta (m + 1vuelta) en el sistema radial es 2p rad. Entonces, la longitud de la circunferencia (Lc) será:

Es la medida del arco correspondiente a un ángulo central. q: número de radianes del ángulo central AOB.

B R

R: radio de la circunferencia. L: longitud de arco AB.

O

Lc = qR = (2p)R &

θ rad

R

L A

Lc = 2pR

El cálculo de la longitud de arco se deduce de la definición que expresa la medida circular (sistema radial) de un ángulo central. q = L , luego L = qR R

Círculo

Es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior.

Sector circular

Es la porción de un círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.

Área de un sector circular

El cálculo del área se puede deducir ya que el área del sector circular (S) y el ángulo central (q) son magnitudes directamente proporcionales, luego:

B

Recuerda A

B

Donde:

SA AOB



θ rad

O

O

•

R



: área del sector circular AOB.

• L! AB : longitud de arco AB.

S L



S = Área del circulo = p R2 2π 2p θ

R

2 A ` S = θR 2

... (1)

De la expresión de longitud de arco L = qR o R = L : θ

En (1): S = 1 qR2; pero L = qR 2

S = 1 qR2; pero R = L

o

2

2 2 & S = 1 qc L m = 1 L

& S = 1 (qR)R = 1 LR 2

θ

2

2

θ

2 θ

Por lo tanto, para el cálculo del área del sector circular se puede usar cualquiera de las expresiones según convenga, es decir según los datos que se disponga en el ejercicio. S = 1 θR 2 2

10 Intelectum 2.°



2 S= L

2θ



S = RL 2

t

Donde: S: área del sector circular. R: radio del sector circular. q: número de radianes del ángulo central. L: Longitud de arco del sector circular.

Observación El uso de las expresiones dependerá de los datos que el problema contenga para facilitar el cálculo de los mismos.

Ejemplos: Calcula el valor del área de los sectores circulares S1; S2 y S3 mostrados en cada caso. a)

b)

2m

4m S1

3m

2m



c)

1 rad 4m



0,5 rad

S2

S3

2m



Resolución:

Resolución:

Resolución:

De los datos:

De los datos:

De los datos:

S1 = L . R 2 ^ 3 h^ 2 h S1 = 2

S2 = 1 qR2 2 1 S2 = (1)(4)2 2

` S = 3 m2

2 S3 = L 2θ ^ 2 h2 S3 = 2^0, 5h

` S2 = 8 m2 ` S3 = 4 m2

Atención

Trapecio circular

Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores concéntricos y radios diferentes: El área del trapecio (S) se calcula: S=

^a + b h

2

.h

o también

2

S = a -b h

R2

Donde: θ = a - b h

aR1 - bR2 2

S b

θ rad

S=

S = θ (R12 - R22) 2

R1

2

Otras expresiones para el cálculo del área de un trapecio circular.

a

h

Ejemplos: Calcula el valor del área de los trapecios circulares mostrados en cada caso: a)

b)

c)

Nota 6m

1 rad

5m 9m

3m

5m

Sea un sector circular de radio R y área S.

5m

10 m

3m





R

Resolución: De los datos: 2 - 2 S= a b 2θ 2 2 = 5 - 3 = 16 2 (1 rad) 2

& S = 8 m2

...

R 9S R 7S 5S R S 3S

Resolución: De los datos: S = pR12 - pR22 = p(92) - p(52) & S = 56p m2

R

Resolución: De los datos: aR - bR 2 S= 1 2 - 5 # 3 = 45 # 10 6 = 2 2

• El incremento de un mismo radio R, produce un incremento de área proporcional a los números impares de S. • Se invita al estudiante a comprobar esta relación.

& S = 22,5 m2 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

11

Problemas resueltos 1

Resolución:

Calcula la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 20° en una circunferencia con 18 cm de radio.

Del gráfico: L1 = q # 4 = 4q L3 = q # 1 = q L2 = 2q # 4 = 8q L4 = 2q # 1 = 2q

Resolución: Se sabe: L=R#q

18 cm

Reemplazando: M = 8θ + 2θ = 10θ = 10 4θ - θ 3θ 3

20°

en radianes

Usando el factor de conversión: L = 18 # 20° # p 180°

6

Del gráfico, calcula el perímetro de la región sombreada.

L = 2p cm 2

En un sector circular el ángulo central mide 110g y el radio 60 cm. ¿Cuánto mide el arco?

6 30° 6

O

12

C D

12

Resolución: Fórmula: L=R#q

Piden el perímetro, entonces: 2p = CA + AB + DB + CD Hallamos AB y CD (longitudes de arco): p #6=p CD = 30° # 180° p AB = 30° # # 18 = 3p 180°

Usando el factor de conversión: L = 60 # 110g # π g 200 L = 33p cm Calcula el área de la región sombreada.

Sabemos que: CA = DB = 12

4 cm

Reemplazando: 2p = 12 + 3p + 12 + p 2p = 24 + 4p = 4(6 + p)

6 cm 6 cm

10 cm

6 cm

7

4 cm

En la figura, calcula el área del sector circular AOB. 3m

A

Resolución:

Asomb . = Atrapecio circular = c a + b m . h = c 10 + 6 m # 4 = 32 cm2 2 2

O

En un sector circular el arco resulta ser la cuarta parte del radio. ¿Cuánto mide el ángulo central?

Resolución: Dato: L = 1 R 4

1 R 4

θ

Se sabe: L = R # q Igualando: 1 R = R # q & q = 1 rad 4 4 5

Del gráfico, calcula: M =

L2 + L 4 L1 - L3 3 C

O

L3

1θ 2θ L4 A

12 Intelectum 2.°

3m

D

... (1)

Datos: a = 4 m, b = 2 m y h = 3 m En (1): q = 4 - 2 = 2 & θ = 2 rad 3 3 3 Luego, calculamos el área del sector circular AOB: 2 Sp AOB = L 2θ

D

Dato: L = 2 m

L1 E L2 B



4m

Resolución:

Por propiedad: q = a - b h

R

C

2m

θ rad

B

4

B

Resolución:

en radianes

3

A

Reemplazando: Sp AOB =

^ 2 h2

2c 2 m 3

Sp AOB = 3 ` Sp AOB = 3 m2

= 4 $3 = 3 4

t

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Conceptos previos

Para las razones trigonométricas tener en cuenta los siguientes conceptos:

Triángulo rectángulo

Es aquel en el que uno de sus ángulos interiores es recto. Se llaman catetos a los lados que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado correspondiente al ángulo recto.

Razón

Una razón es la comparación de dos cantidades; en el triángulo comparamos la longitud de sus lados mediante su cociente.

a B

B

b A

c

Posición relativa de los lados con respecto al ángulo a: AB: cateto opuesto de a. BC: cateto adyacente de a.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo En el triángulo rectángulo, la razón de dos de sus lados con respecto a uno de sus ángulos agudos es una razón trigonométrica. Sea un ángulo a en el triángulo rectángulo ACB

Teorema de Pitágoras. Se cumple para todo triángulo rectángulo: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. B

En el

c a C b

c2 = a2 + b2 α

A

B a

ACB:

C



α

θ

C

a y q son ángulos agudos y complementarios, es decir: 0 < a < 90° / 0 < q < 90° a + q = 90°(complementarios)

a, b, a, c, b, c b a c a c b



AC: hipotenusa.

ABC: B

A

Comparando los lados de un triángulo obtenemos seis razones:

C

En el

C

A

α

Nota

c

b

α

Ten en cuenta Como puedes observar, para demostrar las longitudes de los lados correspondientes a los ángulos A; B y C usamos las minúsculas de estos para asociar dichas longitudes con sus ángulos.

A

a: cateto opuesto a a (CO). b: cateto adyacente a a (CA). c: hipotenusa (H).

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En la siguiente tabla definimos las razones trigonométricas para el ángulo a: Nombre

Definición

Abreviatura

CO H

sena

Coseno de a

CA H

cosa

cosa = b c

Tangente de a

CO CA

tana

tana = a b

Cotangente de a

CA CO

cota

cota = b a

Secante de a

H CA

seca

seca = c b

Cosecante de a

H CO

csca

csca = c a

Seno de a

En el sena = a c

Atención Para un ángulo, conocida una razón trigonométrica, se pueden hallar las demás.

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

13

Propiedad

Las razones trigonométricas dependen únicamente de la medida del ángulo, es decir, no dependen de las longitudes de los lados del triángulo.

Observación

F

La propiedad se puede deducir del principio de semejanza de triángulos.

D B E

De los

OBA,

ODC y

C

θ

A

O

OEF, la definición del senq será: senq = AB = CD = EF AO CO FO

Ejemplo: De la figura calcula x. D x

Resolución:

B

Del

14

C

ADF:

tanq = 6 = x 7 14

6 θ

F

ACB y

` x = 12

A

7

EfectUAR Grupo I Halla x en cada caso.

x

Grupo II 1. En un ABC recto en A, si a = 5 y b = 13 . Halla tanc. 9

8

x

2. En un , la hipotenusa es el triple de un cateto, calcula la tangente del mayor ángulo agudo.

3

6

3. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 1 m y 2 m. Calcula el seno del ángulo menor. x

7

x 9

14 Intelectum 2.°

4. En un ABC recto en B, si a = 2 y c = 13 Halla secA.

1

x

4

10

7

5. En un ABC, recto en A, se sabe que: a = 13 m y b = 5 m. Calcula c.

11

9 x

6. En un ABC, recto en B, reduce: M = b. senA . tanc

t

Problemas resueltos 1

Del gráfico mostrado, calcula cscb.

4

Halla el perímetro del triángulo.

B

β

A

25 m

a

12

24 m

C

15

Resolución: Resolución:

Del gráfico, por el teorema de Pitágoras: 152 = 122 + BC2 BC2 = 92 & BC = 9

2

Para hallar el perímetro debemos primero tener el valor de a. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 252 = a2 + 242

Piden cscb: hipotenusa cscb = cateto opuesto

625 = a2 + 576 &

cscb = 15 9



a2 = 625 - 576

a2 = 49 &a=7m

Nos piden el perímetro del triángulo.

En la figura, si tanq = 3 , calcula tana. 4

Entonces: a + 24 + 25 = 7 + 24 + 25 = 56 m 3

α

5

θ

x

x+1

Resolución:

Resolución:

Graficamos y de la condición:

Entonces:

Dato: tanq = 3 4 Del gráfico: tanq =

3 x+1

3

α

α

3

4

Luego: sen b = 2a = 2a x 5a

CO = 2k CA = 3k h

α

6

2k

& x=

5a

Siempre se cumple en un triángulo que a mayor longitud de un lado, mayor es el ángulo opuesto; entonces el mayor ángulo agudo es b.

Calcula: M = 13 senα - 1

&

2a

x 2 = 5a 2

Si tana = 2 , con a agudo. 3

Resolución:

a

Por el teorema de Pitagoras: x2 = ^2ah2 + a2 & x2 = 4a2 + a2

tana = 3 7

tan α = 2 = CO 3 CA

β

x

Igualamos: 3 = 3 & x = 3 4 x+1

3

En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcula el seno del mayor ángulo agudo.

` sen β = 2 = 2 5 5 5

En un triángulo rectángulo ACB, recto en C, se cumple que tanA = 2 . Calcula: 5 E = 116 senA + 10tanB

Resolución: 3k

Aplicando el teorema de Pitágoras, hallamos la hipotenusa: h2 = ^3kh2 + ^2kh2 = 9k2 + 4k2 2 h = 13k2 h = 13 k Nos piden el valor de M: M = 13 senα - 1 = 13 d CO n - 1 = 13 d 2k n - 1 h 13 k `M=1

En un gráfico: Por el teorema de Pitágoras:

A

AB =

C

Hallando E:

29

5 2

29

B

E = 116 2 + 10 # 5 2 29 E = 2 29 2 + 25 & E = 29 29

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

15

unidad 2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Sean los ángulos agudos a y q en el triángulo rectángulo ACB: Importante B

Cuando se cumpla: senx = cosy tanx = coty secx = cscy Se concluye que: x + y = 90°

A

α

b

ACB:

a

sena = a = cosq = cos(90° - a) c

cota = b = tanq = tan(90° - a) a

cosa = b = senq = sen(90° - a) c

seca = c = cscq = csc(90° - a) b

C

tana = a = cotq = cot(90° - a) b

csca = c = secq = sec(90° - a) a

θ

c

Por las definiciones de razones trigonométricas en el

Luego, concluimos que las razones trigonométricas de un ángulo agudo (a) es igual a las co-razones del complemento de dicho ángulo (90° - a) es decir: Razón trigonométrica (a) = Co-razón trigonométrica (90° - a) Ejemplos: • sen20° = cos(90° - 20°) = cos70° • tan18° = cot(90° - 18°) = cot72° • sec40° = csc(90° - 40°) = csc50° • cos(x + 10°) = senx; x agudo & x + 10° + x = 90° 2x = 80° ` x = 40°

• tan3x = cot2x; 3x es agudo cot(90° - 3x) = cot2x 90° - 3x = 2x 5x = 90° ` x = 18° • sec30° = cscx; x agudo & 30° + x = 90° ` x = 60°

Razones trigonométricas recíprocas

Del triángulo rectángulo ABC observamos: sena = a b c cosa = b a tana = c

Observación Para todo a; b; q; x; y; z, ángulos agudos:

csca = b a seca = b c c cota = a

C a B

b

c

α

A

Para un mismo ángulo, dos razones trigonométricas son recíprocas si su producto es igual a la unidad. Entonces:

senacscx = 1 & a = x cosqsecy = 1 & q = y tanbcotz = 1 & b = z

senacsca = 1

seno y cosecante

cosaseca = 1

coseno y secante

tanacota = 1

tangente y cotangente

son recíprocas

Ejemplos: • sen10°csc10° = 1 • cos35°sec35° = 1 • Si cosb = 1 & secb = 7 7

16 Intelectum 2.°

• cos3xsec48° = 1; 3x es agudo. coseno y secante son razones recíprocas Luego: 3x = 48° ` x = 16°

t

Problemas resueltos 1

Si se tiene que: sen(2a + b)° = cos(3a - b)° Calcula el valor de: E = 3tan(4a - 2)°tan(a + 2)°

Resolución: A) tan36°tan54° = 1 cot36°

Resolución:

Por ángulos complementarios (2a + b)° + (3a - b)° = 90° 2a + b + 3a - b = 90 a = 18 Piden: E = 3tan(4a - 2)°tan(a + 2)° E = 3tan(4 . 18 - 2)°tan(18 + 2)° E = 3tan70°tan20° cot70° (A. complementarios)

cos 3π 14

& cos 3π sec 3π = 1 14 14

... (V)

C) cos 4π - sen 3π = 0 22 11 cos 4π = sen 3π 22 11

Calcula x + y sabiendo que: cos(3x + 10°)sec(y - 40°) = 1 cot(2y - 65°) = tan(55° - x)



& 4π + 3π (Deben ser complementarios) 11 22



4π + 3π = π 11 22 2



... (V)

D) sec 6π = csc 3π 26 13

Resolución:



De la primera condición: cos(3x + 10°)sec(y - 40°) = 1

& 6π y 3π (Deben ser complementarios) 26 13



6π + 3π = 15π ! π 13 26 26 2

Por RT recíprocas: 3x + 10° = y - 40° y - 3x = 50°

...(1)

Por ángulos complementarios: 2y - 65° + 55° - x = 90° 2y - x = 90° + 10° 2y - x = 100°

4

5

Piden: x + y = 50° Señala lo incorrecto: C) cos 4π - sen 3π = 0 22 11 E) cos42°csc48° = 1

... (V)

Halla x en: sen25°sec3x = cos65°csc(x + 10°) Se deduce: sen25° = cos65° Porque: 25° + 65° = 90° sen25°sec3x = sen25°csc(x + 10°) sec3x = csc(x + 10°) Debe cumplir: 3x + x + 10° = 90° 4x = 80° x = 20°

...(2)

-5x = 0° & x = 0° y = 50°



& cos42°sec42° = 1

Resolución:

De (1) y (2): y - 3x = 50°; multiplicamos (1) por (2): 2y - 6x = 100° restando 2y - x = 100°

A) tan36°tan54° = 1

... (F)

E) cos42°csc48° = 1 sec42°

De la segunda condición: cot(2y - 65°) = tan(55° - x)

3

... (V)

B) sen 2π sec 3π = 1 14 7

E = 3tan70°cot70° recíprocas ` E=3 2

& tan36°cot36° = 1

B) sen 2π sec 3π = 1 14 7 D) sec 6π = csc 3π 26 13

Halla x de las siguientes condiciones: sen(a + q)csc70° = 1 ...(I) sen(x + a) = cosq ...(II)

Resolución: De (I): a + q = 70° De (II): x + a + q = 90°

70° x = 20° TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

17

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Triángulos rectángulos notables

Importante Terna pitagórica Lo forman 3 números naturales a; b; c que cumplen con el teorema de Pitágoras; por lo tanto son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

Son aquellos triángulos rectángulos donde la proporción entre sus lados y/o la medida de sus ángulos agudos es conocida.

Triángulos rectángulos pitagóricos

Son triángulos rectángulos cuya medida de sus lados está expresada por números enteros.

a2 + b2 = c2 c

a

5k

29k

21k

13k

17k

8k

b

12k

a; b; c: terna pitagórica

15k

20k

Triángulos rectángulos exactos De 45°

De 30° y 60°

K

K 45°

K 3

K 60°

45°

2K

K 2

Nota

Triángulos rectángulos aproximados

Son aquellos triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos han sido aproximados.

De 53° y 127° : 2 2

De 37° y 53° 5k

30°

127°/2

De 16° y 74°

De 8° y 82°

k

53°

53°/2 2k

5K

3K

7K 4K

74°

25K

37°

24K

K 16°

82°

5 2k 7K

8°

En un triángulo rectángulo, si conocemos las medidas de sus ángulos agudos (notables) podemos obtener la proporción entre sus lados.

Nota

Ejemplo: De la figura calcula b y c si a es igual a 4.

De 37° y 143° : 2 2 10 k

143°/2

k

B

37°/2 3k

A C

30° B

Resolución: Notable de 30° y 60°

60° C A

2K 30° K 3

18 Intelectum 2.°

60° K

a = 2k = 4 & k = 2 b=k 3 / c=k ` b=2 3 / c=2

t

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

De los triángulos rectángulos notables cuyas medidas de sus ángulos agudos son conocidas (ángulos notables), podemos obtener sus razones trigonométricas. 16°

30°

37°

45°

53°

60°

74°

seno

7 25

1 2

3 5

4 5

3 2

24 25

coseno

24 25

4 5

3 5

1 2

7 25

tangente

7 24

3 2 1 3

1 2 1 2

3 4

1

4 3

3

24 7

cotangente

24 7

3

4 3

1

3 4

1 3

7 24

secante

25 24

2 3

5 4

2

5 3

2

25 7

cosecante

25 7

2

5 3

2

5 4

2 3

25 24

Observación Al usar un transportador para medir los ángulos agudos de un triángulo rectángulo aproximado se puede verificar que dichos ángulos han sido aproximados.

Completando el cuadro según las razones trigonométricas de los ángulos notables adicionales: 8° sen

Ejemplo:

37° 2

53° 2

127° 2

143° 2

82°

1 10

1 5

2 5

3 10

7

5 2

1

5 2

cos

7 5 2

3 10

2 5

1 5

1 10

1 5 2

tan

1 7

1 3

1 2

2

3

7

cot

7

3

2

1 2

1 3

1 7

sec

5 2 7

10 3

5 2

5

10

5 2

csc

5 2

10

5

5 2

10 3

5 2 7

θ 5

3

α 4

•

Notable 37° y 53° a = 37° q = 53°

• Con una calculadora científica: a = 36° 52' 11,63'' q = 53° 7' 48,37''

Efectuar Halla x en cada caso. 1.

2. 60°

3. 30°

20 30°

x

x

4.

45°

80 60°

5. x

8 8

45°

45°

6. 37°

45°

x

12

37°

40

x

28 53°

x

53°

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

19

Problemas resueltos 1

Si ABCD es un cuadrado, halla tana. B

AHB notable de 30° y 60°. B

C

α

AB = 2k = 2

E

37°

A

2K

A

α

37°

4k

ADE notable de 37° y 53°.

C k E

AD = 4k / ED = 3k

3k

AD = DC

4k

tana = EC = k BC 4k 2

4

EC = k

Luego:

Si cosa° =

` AC = AH + HC = 6

3 ; a° agudo. 2

Calcula tan c 3a m° 2

` tana = 1 4

Resolución:

Calcula:

En el gráfico

M = cos 37° + sen30° tan 53° + sen16° 2

ACB; a° agudo. cosa° = B

Resolución:

13 M = 10 39 50

Luego:

a°

A

notable 30° y 60° a° = 30° 3a ° c m = 45° 2 3 ` tan c a m° = tan45° = 1 2

C

3

` M= 5 3 5

Calcula AC, si tanq =

Calcula AC si BD es igual a 40.

3 . 5

B

B

16°

2 A A

60°

θ

C

Resolución:

A

53° 3k

3

H

20 Intelectum 2.°

θ

C

37°

D

BAD notable de 37° y 53°.

B

B

60° 1

C

Resolución: En el gráfico

Del gráfico, trazamos BH = AC:

2

3 2

ACB

2

4+1 & M= 5 2 1+ 7 2 25

M = cos 37° + sen30° tan 53° + sen16° 2

3

H

HC = 5

4k = 3k + EC

3 / AH = 1

3 = 3 5 HC

ABCD cuadrado

D

BH =

Luego: tanq = BH HC

Resolución: B

60° K

A

D

& k = 1

K 3

A

BD = 5k = 40 & k = 8 AB = 3k = 3 . 8 AB = 24

5k

4k

37°

D

t BAC notable de 37° y 53°.

Resolución:

B 4m

37°

A

6

AB = 4m = 24 & m=6 AC = 3m = 3 . 6 ` AC = 18

5m

3m

53°

tanq =

C

q agudo: θ

Calcula tana, cuando x es igual a 4.

3x − 5

7

Resolución: α

A

4x + 9

x - sen30° = sen37° - 1 5 x + 2sen2 45° x- 1 2 = 3-1 2 5 5 1 x + 2c m 2 1 x2 = 2 & 5x - 5 = 2x + 2 & 3x = 9 & x = 3 x+1 5 2 2 2

C

Resolución: Para x = 4 ▪▪ 3x - 5 = 3(4) - 5 3x - 5 = 7

B 24

7

▪▪ 4x + 9 = 4 . 4 + 9 4x + 9 = 25 A

Luego ABC notable de 16° y 74°. a = 16° ` tana = tan16° = 7 24 Calcula x. 5xsen37° + cos60° = xcot8° - tan53°/2

Resolución: 5xsen37° + cos60° = xcot8° - tan53°/2 5x . 3 + 1 = x . 7 - 1 5 2 2 1 = 4x ` x = 1 4 8

Efectúa: R = 5sen53° + 6tan53° + cot45°

α

25

C

11 Si: tanx = 2sen30° + cos60°; halla 13 cosx

Resolución: tanx = 2sen30° + cos60° =2. 1 + 1 2 2 3 tanx = 2 Luego:

2

R = 5sen53° + 6tan53° + cot45° R=5. 4 +6. 4 +1 5 3 R=4+8+1 R = 13 Calcula q agudo si se cumple: tanq =

tan 45° 3 sec 60° + 1

2

2

H =2 +3 x 2 H H =4+9 2 2 H = 13 H = 13 3

Piden: 13 cos x = 13 . 2 = 2 13 12 Halla tanx en:

C 5sen37° - sec60°

Resolución:

9

notable de 8° y 82° ` q = 8°

1

° = sen37° - 1 10 Halla x en: x - sen30 5 x + 2sen2 45°

B

7

tan 45° 1 & tanq = & tanq = 1 3 sec 60° + 1 3.2 + 1 7

A

x B 2 sen45° + 3 tan30°

Resolución:

2 . 1 + 3 . 1 = 2 & AB = 2 2 3 5sen37° - sec60° = 5 . 3 - 2 = 1 & BC = 1 5 Piden: tanx = BC = 1 AB 2 2 sen45° + 3 tan 30° =

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

21

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Cuando en un triángulo rectángulo se conoce uno de sus lados y uno de sus ángulos agudos, es posible determinar sus otros dos lados así como también su otro ángulo agudo. Se presentan 3 casos:

Caso I

Conocidos la hipotenusa (a) y un ángulo agudo (q) Del gráfico:

C a θ

A

x = senq & x = asenq a

x

y = cosq & y = acosq a

B

y

Caso II

Conocidos un ángulo agudo (q) y su cateto opuesto (a) Del gráfico:

C y

x = cotq & x = acotq a

a

y = cscq & y = acscq a

Recuerda θ

A

1. a θ

x

B

x

Caso III

Conocidos un ángulo agudo (q) y su cateto adyacente (a)

y

x = asenq y = acosq 2.

y y θ

Del gráfico:

C

a

x

θ

A

x = tanq & x = atanq a

x

y = secq & y = asecq b

B

a

Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

x = acotq y = acscq

Caso I

3. y θ

x

3 a

x = atanq y = asecq

3sen40°

& 40°

40°

3cos40°

& 8

22 Intelectum 2.°

50°

3

36°

8cos36°

8sen36° 54° 8

36°

t

Caso II

48°

6csc42°

6

&

42°

42°

6

6cot42°

Observación

9cot38°

9

9

Resolver un triángulo rectángulo significa determinar la medida de sus tres lados y sus tres ángulos para lograr este objetivo debemos tener como mínimo dos elementos (datos), donde uno de ellos debe ser un lado.

& 52°

38°

38°

9csc38°

Caso III

59°

59° 5

5

5sec59°

& 5tan59°

2

31°

2

27°

&

2tan27°

27° 2sec27°

63°

Efectuar Halla x en cada caso. 1.

2.

x

45°

30°

5.

55°

2

10

x

3

4.

3.

x

6.

48°

x

x

x

2

5

37°

39° 3

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

23

Problemas resueltos 1

Del gráfico, halla x.

Resolución:

D

Sea el triángulo ABC: La altura en un 9 isósceles es también mediana, entonces: HC = L 2

B x A

θ

m

H

C

Del gráfico, en el ABC: BC = msenq & CD = msenq B En el CHD: msenθ msenθ x = CDsenq x = msenqsenq θ θ 90 - θ x = msen2q A m C

5

A

A

P

L

θ

PCB(45°; 45°): BC = x

En el ACB: BC = x = (m + x)tana x = mtana + xtana x - xtana = mtana x(1 - tana) = mtana x = m tan α 1 - tan α D

6

L

A

H

A

α

m

x

B

En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se sabe que los ángulos congruentes miden a, mientras que el lado desigual mide L. Halla uno de los lados congruentes.

P

45°

C β

Resolución:

Se deduce que: OB = R En el OHA (conocidos un ángulo agudo y la hipotenusa): OH = Rcosq HA = Rsenq Entonces: x = OB - OH & x = R - Rcosq & x = R(1 - cosq)

24 Intelectum 2.°

α

A

Resolución:

4

45°

B

R θ

B

x

De acuerdo al gráfico, halla el área de la región sombreada.

Del gráfico, obtén x en función de R y q, (O centro de la circunferencia).

O

C

x

P

Del gráfico:

C

Q

α

m

Resolución:

L

θ

B

H

L

Entonces: Perímetro = 4L + 2Lcosq Perímetro = 2L(2 + cosq)

C

45°

Sea el trapecio ABCD: Perímetro = AB + BC + CD + AD Perímetro = L + L + L + AP + L + QD Perímetro = 4L + AP + QD

3

Del gráfico, halla x.

En el

L

α

H L/2 L

x

Resolución:

B

α

D

En un trapecio isósceles, los lados no paralelos son iguales a la base menor y forman un ángulo agudo q con la base mayor. Si la base menor mide L, ¿cuál es el perímetro del trapecio?

Hallamos AP y QD: AP = Lcosq = QD

x

Se conocen un ángulo agudo y el cateto A adyacente, entonces: x = L seca 2

Resolución:

2

B

Del gráfico, en el ABD: BD = Lcotb En el ABC: BC = Lcota Pero: CD = BD - BC CD = Lcotb - Lcota = L(cotb - cota) Piden el área del triángulo: AD ACD = CD # AB 2 L (cot β - cot α) # L AD ACD = 2 2 AD ACD = L (cotb - cota) 2

D

x C

t 7

Del gráfico, halla x.

Del gráfico: atanq + a + acotq = 9a atanq + acotq = 8a a(tanq + cotq) = 8a

β

a α

10 Del gráfico, halla x en función de L y q.

x

x

β



x

8

θ

C

B

Resolución:

α

` tanq + cotq = 8



Del gráfico: a x + atanb = acota x = acota - atanb x = a(cota - tanb)

atanβ

acotα

L D

A

Resolución:

Según el dato: AD = CD xsenq = xcosq + L xsenq - xcosq = L x(senq - cosq) = L L ` x = D senθ - cosθ A C

Si ABCD es un cuadrado, halla x en términos de L y a. E x

B

C

x θ xcosθ B xsenθ L L



xsenθ

L α

A

11 En un rectángulo, las diagonales miden "d" y forman un ángulo agudo de 2a. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

D

Resolución:

Resolución: B

Lcosα E x α

Del gráfico: Lcosa + x = Lsena L x = Lsena - Lcosa Lsenα x = L(sena - cosa) A

9

α

B

θ

A

D

R

D

atanθ A

x

C

Resolución: a

a P

A

C

Q

θ

d cosα d senα 2 2

Del gráfico: Perímetro = 2p = 2dsena + 2d(cosa) = 2d(sena + cosa)

B

B

d 2

d senα 2

12 Del gráfico, calcula tanx. Si DC = 3AD

Q

Resolución:

α α

dcosα

Si ABCD es un cuadrado y PR = 9BC, halla tanq +cotq.

P

dsenα

D

Lsenα

d 2

d cosα 2

C

θ

C

A x

a a

D 9a

acotθ

θ

a

atanx

R B

x

D 3acotx

3a

Del gráfico: BD = atanx = 3acotx tanx = 3 tan x tan2x = 3

C



` tanx =

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

3

25

unidad 3

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Nota • El punto de origen tiene las coordenadas (0; 0), es decir: O(0, 0): punto de origen.

Se denomina de esta manera al sistema formado por dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en cero. A las rectas intersectadas las llamaremos ejes coordenados y al punto de intersección lo llamaremos origen.

Plano cartesiano

Es el plano determinado por los ejes coordenados y está dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Observa al siguiente gráfico: Atención El radio vector es la distancia desde un punto en el plano cartesiano hasta el origen.

IC

(-)

(+) x

O

y b

y

(+)

II C

(-) IV C

III C

P(a; b)

Donde: x: eje de las abscisas. y: eje de las ordenadas. O: punto de origen.

r a

O

x

r: radio vector r=

a2 + b2 ; r > 0

Ubicación de un punto en el Plano cartesiano

Un punto es ubicado en el plano cartesiano, cuando se conocen los valores que le corresponden a la proyección del punto sobre cada uno de los ejes coordenados. En el gráfico, ubicaremos el punto P(a; b). y

P(a; b)

b

b

O

a

x

a

Donde: a y b son componentes de P. a: abscisa de P. b: ordenada de P. OP: radio vector. y

Ejemplo: Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(-3; 2), B(5; -1); C(-4; -6) y D(3; 6) Observación Debes tener en cuenta que cualquier distancia entre puntos siempre será un valor positivo, es decir:

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 C(-4; -6) -7

1 2 3 4 5 x B(5; -1)

Distancia entre dos puntos

Dados los puntos T(x1; y1) y S(x2; y2) la distancia que los une se calculará de la siguiente forma:

dH0

y y1

T(x1; y1)

S(x2; y2)

y2 O

26 Intelectum 2.°

A(-3; 2)

D(3; 6)

6 5 4 3 2 1

x1

x2

x

d (T; S) =

^ x1 - x2h2 + ^y1 - y2h2

t Ejemplo: Calcula la distancia que une los puntos A(1; 5) y B(-2; 2). Resolución:

Atención Sea M(x; y) punto medio de AB, entonces:

y 5

d (A; B) = _1 - _- 2ii2 + _5 - 2i2

A(1; 5)

B(-2; 2)

2 0

-2

B(x2; y2)

d (A; B) = _ 3 i + _ 3 i 2

2

M(x; y)

d (A; B) = 18 d (A; B) = 3 2

x

1

A(x1; y1)

x=

División de un segmento en una razón dada

x1 + x2 2

y=

y1 + y2 2

Sean A(a1; b1) y B(a2; b2) puntos extremos de un segmento y P un punto cualquiera entre A y B. Dada la razón AP = m , las coordenadas del punto P serán: PB n A(a1; b1)

a=

na1 + ma2 n+m

b=

nb1 + mb2 n+m

m P(a; b) n

B(a2; b2)

Ejemplo: Del siguiente gráfico, calcula las coordenadas de C si: AC = 3 CB 2 A(2; 3) 3

Atención Sea G(x; y) el baricentro de un triángulo ABC, entonces:

2

C(x; y)

B(7; -4)

B(b1; b2)

Resolución: Por dato sabemos que la razón entre ambas distancias es 3/2, luego, las coordenadas de C son:

G(x; y)

2 # 3 + (3) (- 4) 2+3 6 12 y= 5 y =- 6 5

x = 2#2+3#7 2+3 4 21 + x= 5 x=5

y=

C(c1; c2) A(a1; a2)

Por lo tanto, las coordenadas de C son c5; - 6 m . 5

Área de una región triangular

x=

a1 + b1 + c1 3

y=

a2 + b2 + c2 3

Podemos hallar el área de un triángulo cualquiera conociendo solamente las coordenadas de sus tres vértices, realizando la siguiente operación: y y2

B(x2; y2)

y3

C(x3; y3)

y1 0

x1 x2 A(x1 : y1)

x3

x

x2 x1 x 2 x1 (+) * x3 y1 x3 x2 y3 x2

y2 y1 x 2 y1 y3 x1 y3 4(+) y2 x3 y2

M

N

ST =

N-M 2

ST: Área del triángulo TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

27

Problemas resueltos 1

Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: M(-4; 2); N(0; -3), O(3; -3); P(2; 4); Q(-2; -1)

5

Resolución:

Dados los puntos A(-2; -1), B(2; 2) y C(5; -2); los cuales son los vértices de un triángulo. ¿De qué triángulo se trata?

Resolución: Graficando el triángulo:

y

P(2; 4)

4

y

3

M(-4; 2)

B(2; 2)

2 1

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2

1

2

3

4

x

x

Q(-2; -1)

-3

2

N(0; -3)

A(-2; -1)

O(3; -3)

C(5; -2)

Halla la distancia entre los puntos A(-2; 3) y B(5; -2).

Para saber qué clase de triángulo es, se hallarán las longitudes de sus lados. Se sabe: d = ^x1 - x2h2 + ^y1 - y2h2

Resolución: B(5; -2)

d= d=

d

Reemplazando:

^- 2 - 5h2 + ^3 - ^- 2hh2

AB = _2 - _- 2ii2 + _2 - _- 1ii2

^- 7h2 + ^ 5 h2

AB = 4 2 + 3 2 = 5

d = 49 + 25 ` d = 74

BC = _2 - 5i2 + _2 - _- 2ii2 2 BC = ^- 3h + (4) 2 = 5

A(-2; 3)

3

AC = _- 2 - 5i2 + _- 1 - _- 2ii2

Del siguiente gráfico, calcula las coordenadas de Q; si PQ = 4 . QR 1 P(2; 6)

4k Q(x; y)

2 2 AC = ^- 7h + _1 i = 5 2

El triángulo ABC es isósceles y rectángulo porque: AB = BC = 5

1k R(7; 11)

Además: AB2 + BC2 = AC2 52 + 52 = (5 2 ) 2

Resolución:

^1kh^ 2 h + ^4kh^ 7 h

& 30k & x = 6 5k 4k + k ^1kh^ 6 h + ^4kh^11h y= & 50k & y = 10 4k + k 5k x=

` Q^6; 10h 4

Halla el radio vector para el punto M(-6; 8).

Resolución:

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo ABC, si se sabe que A(0; 0), B(33; 56) y C(63; 16).

Resolución: Se sabe que

G=d

x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y3 n ; 3 3

Baricentro del triángulo

Entonces, del problema:

M(-6; 8)

8

r = ^- 6h2 + ^ 8 h2 r = 36 + 64 r = 100 ` r = 10

r

-6

6

0

28 Intelectum 2.°

x1 = 0

x2 = 33

x3 = 63

y1 = 0

y2 = 56

y3 = 16

Reemplazando:

G = c 0 + 33 + 63 ; 0 + 56 + 16 m 3 3 G = (32; 24)



t 7

El área de un triángulo es igual a 4 unidades cuadradas. Si dos de sus vértices son los puntos A(2; 1) y B(3; -2) y el tercer vértice C está situado en el eje de abscisas, en la parte positiva. Determina las coordenadas de dicho vértice.

9

Calcula el área de la región sombreada: C(-1; 7)

y

si: AB = 4BC

B

Resolución:

x

Graficando:

A(-11; -8)

y A(2; 1) 0

C(x; 0)

Resolución: x

B(3; -2)

Nos piden C, pero según dato C está en el eje de abscisas positivas, entonces: C = (x; 0) / x > 0 D-I Pero: AT = 4  & 4 = 2 Ahora: 3      -2x 0 I = 3 - 2x

2 1 3      -2 x 0 -4 2 1    0       x             x - 4 = D

Reemplazando: x - 4 - 3 + 2x 4= 2 8 = 3x - 7 x=5 Entonces: C^5; 0h 8

Determinamos el punto B(x; y). Del dato AB = 4 & AB = 4k y BC = k BC 1 Aplicamos la propiedad para el punto B en una razón dada: B(-3; 4) 4k (- 1) + k (- 11) x= 5k & 4 x = - 15k = - 3 5k 3 4k (7) + k (8) 20k = =4 y= 5k 5k ` Sd = 3 # 4 = 12 10 Determina la distancia mínima del vétice A al lado BC. y A(0; 4) C(6; 1) B(0; -2)

x

Resolución:

Determina el área de la circunferencia de centro M: y

(3; 5)

La distancia es la altura del triángulo. Sabemos que el área del (0; 4) triángulo es: S9 = ha ...(1) 2 h (6; 1)

a M (1; -6)

Resolución: Determinamos el diámetro: 2 2 2R = ^3 - 1h + _5 - (- 6)i

2 2 + 11 2 & R2 = 125 4 2R =

x

(0; -2)

& Nos piden h.

También: 6 1 S9 = 0 0 4 24 -8 -2 0 0 0 6 1 -2 -8 22 En (1): 15 = h . a 2 30 = h . a

Sabemos: S9 = pR & S9 = p d 125 n 4 125π ` S9 = 4 2

& S9 =

22 - (- 8) = 15 2

a = (6 - 0) 2 + (1 - (- 2)) 2 a=

6 2 + 3 2 = 45 = 3 5

a= 3 5 Reemplazamos a: & h = 30 = 2 5 3 5 ` La distancia mínima de A hacia BC es 2 5 . TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

29

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN CUALQUIER MAGNITUD Ángulo en Posición Normal y

Un ángulo trigonométrico se encuentra en posición normal cuando su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el eje de las abscisas, además su lado terminal puede encontrarse en cualquier cuadrante o coincidir con alguno de los ejes coordenados.

θ

Vértice Lado final

Atención Un ángulo cuadrantal es aquel ángulo en posición normal cuyo lado terminal coincide con un eje del plano cartesiano. Ejemplos: 0°; 90°; 180°; 270° y 360°.

Lado inicial x

Un ángulo en posición normal puede ser un ángulo positivo si su rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj y si es en el mismo sentido, se obtiene un ángulo negativo. En el gráfico: y

Lado final

y θ

Lado inicial x

θ

Lado inicial x

Lado final θ ángulo positivo

θ ángulo negativo

Además dependiendo de la ubicación del lado final se dirá que dicho ángulo pertenece a un determinado cuadrante. y

y

y

y β

θ

x

Importante

θ ! IC

Si un ángulo está en posición normal entonces el lado final determina el cuadrante de dicho ángulo.

q y b : son positivos. a y f : son negativos.

α

x

x

β ! IIIC

α ! IIC

φ

φ ! IVC

Ángulos Coterminales Los ángulos coterminales son aquellos ángulos trigonométricos que tienen el mismo vértice, lado inicial y lado final, pero medidas diferentes.

α β

O

En la figura a y b son ángulos coterminales, y por tanto cumplen las siguientes propiedades:

30 Intelectum 2.°

a) a y b se diferencian en un número entero de vueltas.

α - β = k^360ch ; k ! Z - " 0 ,

b) Las razones trigonométricas de a y b son iguales.

RT^ αh = RT^ βh

x

t Razones Trigonométricas de ángulos en Posición Normal

Las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal se define en base a los lados del triángulo rectángulo, formado por las coordenadas cartesianas (x; y) y el radio vector.

Recuerda

Las razones trigonométricas son:

y P(x; y)

y r

y

θ

0

x

x

x

Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de a. y

P(-4; 3)

3 α

x

0

-4

y r cos θ = x r y tan θ = x

Donde: x: abscisa y: ordenada r: radio vector

El radio vector es la distancia de un punto del plano cartesiano al origen de coordenadas.

csc θ = r y sec θ = r x x cot θ = y

senθ =

y y r

Resolución: Siendo a un ángulo en posición normal, calculamos el valor del radio vector. r = ^- 4h2 + ^ 3 h2 = 16 + 9 = 25 = 5 Luego, las razones trigonométricas de a son: y cos α = x = - 4 tan α = senα = = 3 r 5 5 r csc α = r = 5 sec α = r = 5 cot α = y 3 x -4

0

r=

x

x2 + y2

x

;r 2 0

y = 3 x -4 x = -4 y 3

Signos de las Razones Trigonométricas

Los signos de las razones trigonométricas dependen de los valores que tomen la ordenada y la abscisa del punto, ya que estos valores pueden ser positivos o negativos. 2.do cuadrante

1.er cuadrante y

y (x; y)

(x; y)

x>0 ; y>0 0

a

0

x

sena ( + ) cosa ( + ) tana ( + )

cota ( + ) seca ( + ) csca ( + )

sena ( + ) cosa ( - ) tana ( - )

3.er cuadrante 0

Nota

cota ( - ) seca (- ) csca ( + )

• Las razones trigonométricas de dos o más ángulos coterminales son respectivamente iguales.

y 0

x

x<0 ; y<0 (x; y)

sena ( - ) cosa ( - ) tana ( + )

x

4.to cuadrante

y a

x<0 ; y>0

a

x

a

x>0 ; y<0 (x; y)

cota ( + ) seca ( - ) csca ( - )

Ejemplo: Sabiendo que a ö IIC y b ö IIIC, calcula el signo de: M = sen3a cos2b

sena ( - ) cosa ( + ) tana ( - )

cota ( - ) seca (+ ) csca ( - )

Resolución: Del enunciado sabemos: a ö IIC & sena > 0 b ö IIIC & cosb < 0 Luego: M = sen3acos2b =(+)3(-)2 = (+)(+) = (+) TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

31

Razones Trigonométricas de ángulos cuadrantales

Las razones trigonométricas de los ángulos 0°; 90°; 180°; 270° y 360°, se detallan en el siguiente cuadro:

Ten en cuenta Que un ángulo negativo se forma cuando la rotación se efectúa en sentido horario.

mB

0°

90°

180°

270°

360°

sen

0

1

0

-1

0

cos

1

0

-1

0

1

tan

0

ND

0

ND

0

cot

ND

0

ND

0

ND

sec

1

ND

-1

ND

1

csc

ND

1

ND

-1

ND

RT

Resolución: Ya que los ángulos están dados en radianes, hacemos la conversión correspondiente: π = 90c ; π = 180c ; 3π = 270c ; 2π = 360c 2 2 Reemplazamos estos valores y obtenemos: 2 ^1 h − ^ − 1 h 2 + 1 E = 2sen90c − cos 180c = = =3 cot 270c + sec 360c 0+1 1

Ejemplo: Calcula: 2sen π − cos π 2 E= cot 3π + sec 2π 2 Observación Las razones trigonométricas de ángulos negativos son negativas excepto el coseno y la secante, que son positivos.

ND: No definido

Razones trigonométricas DE ángulos negativos

Dado el punto P(x; -y) en el plano cartesiano y el ángulo en posición normal -q, un ángulo negativo; observando el gráfico sus razones trigonométricas serán: −y = − senθ r cos ^ − θh = x = cos θ r −y tan ^ − θh = = − tan θ x cot ^ − θh = x = − cot θ −y sec ^ − θh = r = sec θ x θ csc ^ − h = r = − csc θ −y sen^ − θh =

y x r 0 r

θ -θ

P(x; y) y x

-y P(x; -y)

x

EfectuaR 1.

Si tanq = 5, calcula a.

3.

Del gráfico mostrado, calcula n.

y

y

(a - 3; a - 7)

2.

x

¿Qué signo tiene la expresión? 3 3 E = sen 260° . cot 115° . cos 116° csc 195° . tan 336°

32 Intelectum 2.°

(-2; n)

α

x

4.

¿Qué signo tiene la expresión? E=

Si seca = -3 / a ö IIIC. Calcula el valor de: E=

(-8; 5) θ

5.

csc 210° sen195° . tan 120°

2 (csca - cota)

t

Problemas resueltos 1

Determina a que cuadrante pertenece cada ángulo, tomando como referencia el siguiente cuadro: ángulo - punto del lado final. Ángulo

Punto

a

(2; -1)

b

(-2; -3)

q

(-3; 4)

g

(-1; 4)

f

(3; 2)

y

(2; 1)

Resolución: Notamos que los ángulos son cuadrantales, entonces: sec180° = -1 & 3sec180° = -3 csc90° = 1 & 2csc90° = 2 tan180° = 0 & -5tan180° = 0 cos0° = 1 & 2cos0° = 2 sec360° = 1 & sec360° = 1 csc270° = -1 & -3csc270° = 3 Reemplazamos en M: M = -3 + 2 - 0 = -1 2+1+3 6 ` M = - 1/6

Resolución: Ubicamos los puntos en el plano cartesiano, eso nos ayudará a determinar el cuadrante al que pertenece cada ángulo. IIC

(-3; 4)

(-1; 4)

θ

y

γ β

IIIC

(-2; -3)

4

P=

IC (3; 2) (2; 1)

φ ψ α

Sabemos: x = -4 cosb = x = - 4 & r r=5 5

x

(2; -1)

x2 + y2 = r2 & (-4)2 + y2 = 52 y2 = 25 - 16 y2 = 9 & y = !3

IVC

Como b ! IIC; entonces “y” toma un valor positivo: & y = +3 En la expresión: y senb = = 3 & sen2b = 9/25 r 5

Señala el signo de: K = cos 220°sen340° + sen380° tan 560° sen75° tan 470°

tanb = y/x = 3/-4 & tan2b = 9/16

Resolución:

Reemplazamos en P:

Analizamos cada razón por separado: 220° ! IIIC & cos220° ( - ) 340° ! IVC & sen340° ( - ) 380° ! IC & sen380° ( + ) 560° ! IIIC & tan560° ( + ) 75° ! IC & sen75° ( + ) 470° ! IIC & tan470° ( - ) Reemplazamos cada signo en la expresión: (- ) (- ) + (+ ) (+ ) K= (+ ) (- ) (+ ) + (+ ) (+ ) = = (- ) (-) (- ) ` k es negativo K=

3

1 - sen2 β tan2 β + 1

Resolución:

Observando el gráfico, obtenemos: a ! IVC g ! IIC b ! IIIC f ! IC q ! IIC y ! IC 2

Si cosb =-4/5; b ! IIC. Halla el valor de:

Halla el valor numérico de la siguiente expresión: M = 3 sec 180° + 2 csc 90° - 5 tan 180° 2 cos 0° + sec 360° - 3 sec 270°

P=

16 1 - sen2 β 1 - 9/25 25 = = 25 tan2 β + 1 9/16 + 1 16

` P = 256 625 5

Se tienen dos ángulos coterminales; tal que la relación en que están es de 5 a 2. Halla el valor de cada uno, si el mayor de los ángulos pertenece el intervalo G500°; 1000°H

Resolución: Sean los ángulos a y b, donde a < b. β = 5k β 5 & = α = 2k α 2 Sabemos por ángulos coterminales: b - a = 360°n; n ! Z - {0} TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

33

5k - 2k = 360°n & 3k = 360°n k = 120°n ▪▪ Si: n = 1 & k = 120 & b = 600° / a = 240° n = 2 & k = 240 & b = 1200° / a = 480° n = 3 & k = 360° & b = 1800° / a = 720° ` b = 600° / a = 240° 6

Si: F(x) =

8

5 ^cos θ - 2 csc θh

Determina el valor de: Si p(3; -6).

y θ

x P

senx + cos 2x - cot 3x tan ` x j + cos 4x - cos 2x 2

Resolución:

Halla el valor de F(90°).

csc θ = r ; cos θ = x ; r(radio vector) y r

Resolución:

& r2 = x2 + y2 = (3)2 + (-6)2 = 45

Utilizamos el cuadro de ángulos cuadrantales. senx & sen90° = 1 cos2x & cos180° = -1 cot3x & cot270° = 0 tan(x/2) & tan45° = 1 cos4x & cos360° = 1 cos2x & cos180° = -1



r= 3 5

& csc θ = 3 5 = - 5 ; cos θ = 3 = 1 2 -6 5 3 5 En lo que piden: 5 e 1 - 2 c- 5 mo = 1 + 5 = 6 2 5

Reemplazamos en la expresión:

9

F(90°) = sen90° + cos 180° - cot 270° tan 45° + cos 360° - cos 180°

Determina M = cosa - tana

y 4

1 + (- 1) - (0) 0 F(90°) = = =0 1 + 1 - (- 1 ) 3

α

7

x

-3

` F(90°) = 0 7

Sabiendo que cscq = - 2, 3 y cotq > 0. Calcula: E = 3cotq - 7cosq

Resolución: Observamos que a no es un ángulo en posición estandar:

Resolución:

y

cscq = - 2, 3 = -(2 + 0, 3 ) = - c2 + 1 m = - 7 3 3y 7 7 r cscq = - = = 3 -3 y 7

7

Se elige: r = 7 / y = -3 r2 = x2 + y2 72 = x2 + (-3)2 x2 = 40

4 β

-3

θ

7

x

En M: M = cosa - tana

& x = - 2 10 ; (csc q < 0 / cot q > 0)

M = cos(90º + b) - tan(90º + b)

cotq = x = - 2 10 = 2 10 y 3 -3 cosq = x = - 2 10 = - 2 10 r 7 7 Reemplazamos: E = 3 c 2 10 m - 7 c- 2 10 m = 2 10 + 2 10 = 4 10 3 7

34 Intelectum 2.°

x

& cosa = cos (90º + b) tana = tan (90º + b)

(x; -3)

x = ! 2 10

∴ E = 4 10

90°

& Tenemos un ángulo en posición estandar = b Donde: a = 90° + b

- (-cot b)

-sen b

De la figura, para β: x=-3; y = 4; r = 5 & M = cot b - sen b -3 4 ` M = - 31 20

-

4 5

t

ÁNGULOS VERTICALES CONCEPTOS PRELIMINARES

Línea vertical: es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea horizontal: es toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano vertical: es aquel que contiene a toda línea vertical. Línea visual: llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado.

Ángulos verticales Definición

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea visual o de mira y la línea vertical que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser:

Observación • Tanto las líneas visuales como las líneas horizontales son líneas imaginarias. • La línea horizontal siempre es paralela al suelo y se extiende al infinito.

Ángulo de elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

a: ángulo de elevación.

Ejemplo: Desde un punto en tierra ubicada a 30 m de un edificio, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura del edificio? Resolución: Sea “h” la altura del edificio. Del gráfico: tan30° = h 30 h = 30tan30° h = 30 c 3 m 3

h = 10 3 m

Recuerda

Ángulo de depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

q: ángulo de depresión.

Ejemplo: Desde la parte más alta de un edificio se observa una cucaracha en el suelo con un ángulo de depresión de 60°. Si la altura del edificio es de 150 m, calcula la longitud de la visual.

a: ángulo de elevación. q: ángulo de depresión. LV: línea visual. LH: línea horizontal.

Resolución: Sea “d” la longitud de la visual. Del gráfico: csc 60° = d

150

d = 150csc60° d = 150 c 2 3 m 3 d = 100 3 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

35

Problemas resueltos 1

Desde lo alto de un acantilado se observa un bote con ángulo de depresión de 37°. Calcula la longitud de la visual, si la altura del acantilado es 18 m.

4

Resolución:

Desde lo alto de un faro de 58 m sobre el nivel del mar se observa un buque con un ángulo de depresión de 30°. Halla la distancia a la que está el buque de la base del faro.

Resolución:

Tenemos: 53° 3k = 18 m

5k 37°

` La visual mide 30 m. 2



   3k = 18    k = 6 & 5k = 5(6) = 30

d = 58cot30° = 58 3 = 58(1,73) = 100,34 m 5

Un nadador se dirige hacia un faro y observa la parte más alta del mismo con un ángulo de elevación de 30°, al avanzar 10 m el ángulo de elevación es ahora el doble del anterior. Encuentra la altura del faro.

Resolución:

Desde lo alto de una torre de 24 m de altura se observa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra el objeto?

Resolución:

H = 10sen60° = 10 . Del gráfico: x = cot 53° 24 x = 24 cot 53° = 24 c 3 m 4

6 ` x = 18 m

3 =5 3 2

Desde un punto en el suelo se ubica la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos 5 m el nuevo ángulo de elevación es de 45°. Calcula la altura del árbol.

Resolución:

3 Un niño de 1 m observa lo alto de un árbol con ángulo de elevación de 45°. Calcula la altura del árbol, si la distancia que separa al niño y al árbol es 2 m.

Resolución:

Hárbol = Hniño + 2 = 1 + 2 = 3 m

36 Intelectum 2.°

Del gráfico: 5 + h = hcot37°    5 + h = 4 h 3 h 5= 3      ` h = 15 m

unidad 4

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DefiniciÓn

Se denomina así a la comparación entre los valores de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier medida con respecto a otro cuyo ángulo es agudo. Observación

Casos

Se presentan los siguientes casos:

1.er caso Para ángulos menores que una vuelta. Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo es. Regla práctica: RT(180° ! q) = ! RT(q) RT(360° - q) = ! RT(q)

RT(90 + q) = ! CO - RT(q) RT(270 ! q) = ! CO - RT(q)

El signo solo depende de la RT Inicial, es decir, del cuadrante al que pertenece el ángulo antes de reducir. Ejemplo: sen210° = sen(180° + 30°) = - sen30° pues 210° ! IIIC y allí el seno es negativo.

El signo dependerá de la posición del ángulo a reducir y de la razón trigonométrica que lo afecta, teniendo en cuenta: 90°

180°

Ejemplos: Reduce al primer cuadrante: 1. sen300° = sen(360° - 60°) = -sen60°

=- 3 2

3. sec135° = sec(90° + 45°) = - csc45° =- 2

sen csc (+) tan cot (+)

Positivas todas cos sec (+)

360°

270°

Recuerda

2. tan233° = tan(270° - 37°) = cot37°

Se divide el ángulo a reducir entre 360°, donde la RT de dicho ángulo será igual a la RT del residuo obtenido en la división. Sea q > 360° q 360° a n

= 4 3

4. csc150° = csc(180° - 30°) = csc30° =2

RT(q) = RT(a) Ejemplo: csc4365° 4365° 360° 45° 12

2.° caso: Para ángulos mayores que una vuelta. Regla práctica:

& csc4365° = csc45° ` csc4365° = 2

RT(360n + q) = RT(q) Ejemplos: Reduce al primer cuadrante: 1. sen750° 750° 360° & sen750° = sen30° 720° 2 30°

2. tan1133° 1133° 360° 1080° 3 53°

` sen750° = 1 2

` tan1133° = 4 3

& tan1133° = tan53°

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

37

3. cos1845° 1845° 360° 1800° 5 45° ` cos1845° =

& cos1845° = cos45°

4. cot1500° 1500° 360° 1440° 4 60°

& cot1500° = cot60°

2 2

` cot1500° =

3 3

3.er caso Para ángulos negativos. Regla práctica: Importante Se observa que el coseno y la cosecante son las únicas razones trigonométricas donde el signo se puede absorber; para las demás razones trigonométricas, el signo se coloca delante de la razón trigonométrica.

sen(-q) = - senq cos(-q) = cosq tan(-q) = - tanq

cot(-q) = - cotq sec(-q) = secq csc(-q) = - cscq

Ejemplos: Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas: 1. csc(-53°) = - csc53° =-5 4

2. cot(-60°) = - cot60° =- 3 3

3. cos(-330°) = cos330° = cos(360° - 30°) = cos30° = 3 2

4. sec(-315°) = csc315° = csc(270° + 45°) = csc45° = 2



Problemas de aplicación: 1. Simplifica: tanx + tan _180° - xi M= tan _360° - xi Resolución: + M = tanx tanx - tanx M = 2 tanx - tanx

4. Halla senq, q: agudo. cos _360° - xi + cos x Si tanq = 4 cos x Resolución: + tanq = cosx cosx 4 cosx tanq = 2 cosx & tanθ = 1 4 cosx 2 q: agudo

` M = -2 2. Si tan40° = m, halla P = tan220° Resolución: P = tan220° = tan(180° + 40°) = tan40° ` tan220° = m 3. Si tanq = 3; q: agudo, halla: sen _360° - θi N= cos _180° + θi Resolución: N = senθ cosθ N = -tanq ` N = -3

x

1

θ

2

` senθ = 1 = 5 x 5 5. Halla x en: x sen1110° = cos2010° Resolución: x = cos 2010° sen1110° cos _360° # 5 + 210°i = sen _360° # 3 + 30°i

cos _180° + 30°i = cos 210° = sen30° sen30

= - cos30° & x = sen30° ` x =- 3

38 Intelectum 2.°

x2 = 12 + 22 x2 = 1 + 4 x2 = 5 x= 5

- 3 2 1 2

t

Problemas resueltos 1

Calcula: E = sec240° - cot315° + csc150°

6

Resolución: E = sec(180° + 60°) -cot(270° + 45°) + csc(90° + 60°)

Resolución:

E = -sec60° + tan45° + sec60° = tan45°

K=

- sec x - cos y - cot x sec x + cos y `K= cot x

E=1 2

Calcula: E = (tan150°)(sen315°)

7

Resolución: E = (tan(90° + 60°)(sen(270° + 45°)) E = (-cot60°)(-cos45°)

E=

cos y - senx - sec y + _- cot xi cos y - senx P= - sec y - cot x senx - cos y P= sec y + cot x

P=

6 6

Halla: E = sen(-30°) + tan(-53°) 8

Resolución: E = -sen30° - tan53° E = -d 1 n - d 4 n 2 3 11 E= 6 4

sen (180° + 20°) + 2 cos (360° # 4 + 70°) cos 70° + sen 20 2 cos 70° ° R= cos 70° - sen _90° - 70°i + 2 cos 70° R= cos 70° + cos 70 ° 2 cos 70° = cos 70° R= cos 70° cos 70° R=1 R=

Resolución:

5

Reduce: R = sen200° + 2 cos1510° cos _- 70°i

Resolución:

Determina el valor de: M = cos1200° + tan1485°

M = cos(360° # 3 + 120°) + tan(360° # 4 + 45°) M = cos120° + tan45° M = cos(90° + 30°) + 1 M = -sen30° + 1 M=-1 +1 2 M= 1 2

Calcula el valor de: sen _90° + yi - sen _180° - xi P= csc _270° - yi + cot _360° - xi

Resolución:

E = d- 1 nd- 2 n = 3 # 2 2 3 2 3

3

Calcula: csc _270° - xi - sen_90° + yi K= cot _360° - xi

9

Simplifica: sen (- 20°) cos (- 30°) tan (- 40°) + + E= sen200° cos 300° tan 400°

Calcula: M = tan1200° + sen1800°

Resolución:

Resolución:

E = - sen20° + cos 30° + - tan 40° - sen20° cos 60° tan 40°

M = tan1200° + sen1800° M = tan(3 # 360° + 120°) + sen(360° # 5) M = tan120° + sen0° 0 M = tan(180° - 60°) M = -tan60° = -

3

E=

- tan(40°) - sen20° + cos 30° + sen(180°+ 20°) cos(360°-60°) tan(360° + 40°)

d 3n 2 + (- 1) E = 1+ 1 d n 2

E = 1+ 3 -1 = 3 & E = 3 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

39

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Definición

Son aquellas igualdades entre razones trigonométricas de una variable, las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentre definida.

Clasificación de identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas se clasifican en tres grupos: identidades recíprocas, pitagóricas y por cociente. Importante Las demostraciones de las identidades se realizan de manera sencilla, tomando como referencia cualquier ángulo en posición normal.

a) Identidades recíprocas sena =

1 csc α

csca =

1 senα

cosa =

1 sec α

seca =

1 cos α

tana =

1 cot α

cota =

1 tanα

sena . csca = 1

cosa . seca = 1

tana . cota = 1 Atención Para realizar algún tipo de demostración siempre se debe empezar a trabajar alguno de los miembros de la igualdad, no los dos miembros al mismo tiempo.

b) Identidades por cociente tana = senα cos α

cot a = cos α senα

c) Identidades pitagóricas sen2a = 1 - cos2a sen2a + cos2a = 1 cos2a = 1 - sen2a sec2a = tan2a + 1 sec2a - tan2a = 1 tan2a = sec2a - 1 csc2a = cot2a + 1 csc2a - cot2a = 1 cot2a = csc2a - 1

40 Intelectum 2.°

t

Ejemplos: Observa los siguientes ejemplos en que aplicamos las identidades trigonométricas. 3. Simplifica: P = (1 + senx)2 + (1 - senx)2 + 2cos2x

1. Simplifica: E = senαtanα + cosα cosαcotα + senα Resolución: senα a senα k + cos α cos α E = cos α a cos α k + senα senα

_ En esta parte b b utilizamos las ` b identidades por a cociente

sen 2 α + cos 2 α senα (sen 2 α + cos 2 α) cosα = E = 2 2 cos α + sen α cosα (cos 2 α + sen 2 α) senα E =

senα (1) Aquí utilizamos la primera 2 cos α (1) identidad pitagórica

E = senα = tana cosα

Por último, utilizamos una identidad por cociente

2. Reduce:

C=

Resolución: Observando C, factorizamos csc2a y sec2a Utilizamos: csc 2 α _sec 2 α - 1i C= 4 tan2a = sec2a - 1 sec 2 α_csc 2 α - 1i ctg2a = csc2a - 1 C=

csc α_tan αi Utilizamos las identidades 4 sec 2 α_cot 2 αi recíprocas

C=

C=

2

sen 2 α 1 sen 2 α . cos 2 α = 1 cos 2 α cos 2 α sen 2 α

4. Reduce: R = (1 + tanx)2 + (1 - tanx)2 - 2sec2x Resolución R = (1 + 2tanx + tan2x) + (1 - 2tanx + tan2x) - 2sec2x R = 2 + 2tan2x - 2sec2x R = 2 + 2tan2x - 2(tan2x + 1) R = 2 + 2tan2x - 2tan2x - 2 R = 0 5. Halla el valor de: + S = 1 tan x 1 + cot x

sec 2 αcsc 2 α - csc 2 α sec 2 αcsc 2 α - sec 2 α

2

Resolución: P= (1 + 2senx + sen2x) + (1 - 2senx + sen2x) + 2cos2x P = 2 + 2sen2x + 2cos2x P = 2 + 2(sen2x + cos2x) 1 P = 2 + 2 P = 4

1 cos 2 α 1 sen 2 α

Ten en cuenta Las identidades recíprocas, pitagóricas y por división, también son llamadas identidades fundamentales.

Observación No hay una regla definida para la resolución de problemas, pero muchas veces conviene transformar toda la expresión en función a senos y cosenos.

Resolución: Aplicamos identidades por cociente: 1 + senx cos x S= 1 + cos x senx

cos x + senx cos x S= senx + cos x senx



S = senx cos x

S = tanx

Recuerda Las identidades auxiliares también podemos demostrarlas usando las identidades fundamentales.

sen 2 α = tan 2 α cos 2 α

C = tana

Identidades auxiliares

Estas identidades trigonométricas también son muy utilizadas para la resolución de problemas sobre identidades. Para las demostraciones de cada una de ellas se utilizan las identidades fundamentales. sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q

sen6q + cos6q = 1 - 3sen2qcos2q

tanq + cotq = secqcscq

sec2q + csc2q = sec2qcsc2q

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

41

Problemas resueltos 1

Si sen2a + csc2a = 11. Halla el valor de: k = csca - sena

5

2 4 B = cos 2 x - cos 4 x sen x - sen x

Resolución: Elevamos k al cuadrado: k2 = (csca - sena)2 = csc2a - 2csca . sena + sen2a recíprocas k2 = sena2 + csc2a - 2(1) k2 =

2

Resolución: Factorizamos el término común:

identidad 6 44 7 44 8 _ cos x 1 - cos 2 xi cos 2 x . sen 2 x B= = sen 2 x _1 - sen 2 xi sen 2 x . cos 2 x 1 44 2 44 3 identidad 2

11 - 2 = 9 & k2 = 9 ` k=3

Si: (senx + 3cosx)2 + (3senx - cosx)2 = msen2x + ncos2x Halla el valor de m + n.

` B=1#1=1 6

Resolución: Operamos la expresión: (senx + 3cosx)2 + (3senx - cosx)2 = msen2x + ncos2x sen2x + 2(3cosx)(senx) + 9cos2x + 9sen2x - 2(3senx)(cosx) + cos2x = msen2x + ncos2x 10sen2x + 6senx.cosx + 10cos2x -6senxcosx = msen2x + ncos2x 10sen2x + 10cos2x = msen2x + ncos2x

Halla el valor de:

sabemos que: sen2x + cos2x = 1 al cuadrado: (sen2x + cos2x)2 = 12 sen4x + 2sen2x . cos2x + cos4x = 1 sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x . cos2x A + Bsen2x . cos2x = 1 - 2sen2x . cos2x comparando: A = 1   & 3A - B = 3(1) - (-2) = 3 + 2 B = -2 ` 3A - B = 5 7 Halla el valor de m para que la siguiente expresión sea una identidad. (senx + secx)2 + 1 + cos2x = 2 + (1 + tanx)m

3 2 A = sen a + sena. cos a sena

Resolución:

Resolución:

sen2x + sec2x + 2senx secx + 1 + cos2x = 2 + (1 + tanx)m

Factorizamos: A=

sena _sen 2 a + cos 2 ai sena

1 1 + sec2x + 2senx . secx + 1 = 2 + (1 + tanx)m 2 + sec2x + 2senx . secx = 2 + (1 + tanx)m 2 + 1 + tan2x + 2tanx = 2 + (1 + tanx)m (1 + tanx)2 `m=2

A = sen2a + cos2a (identidad pitagórica) A=1

4

Simplifica la siguiente expresión: S = tanx(1 + cosx) - sen2x . cscx

8

Resolución: En la expresión, tenemos:

Halla x en: x(cosq - secq) = tanq

Resolución: 1

S = tanx(1 + cosx) - senx(senx . cscx) Recordemos que: senx . cscx = 1 (Identidad recíproca) S = tanx + tanx.cosx - senx S = tanx + senx .cos x - senx cos x S = tanx + senx - senx & S = tanx

42 Intelectum 2.°

Si: sen4x + cos4x = A + B sen2xcos2x calcula: 3A - B

Resolución:

& m = 10 / n = 10 ` m + n = 10 + 10 = 20

3

Factoriza el siguiente enunciado:

Aplicando las identidades recíprocas y de cociente se tiene:

x dcos θ -

1 senθ n= cos θ cos θ

2 x d cos θ 1 n = senθ cos θ cos θ

x(-sen2q) = senq

x = senθ2 - sen θ

` x = -cscq

t

sistema mEtrico decimal

DEFINICIÓN

El sistema métrico decimal es el sistema de medida universalmente aceptado, cuyas unidades están relacionadas mediante potencias de 10.

Unidades de longitud

Las medidas de longitud son utilizadas para medir distancias entre dos puntos dados. El metro (m) es la unidad fundamental de la longitud en el sistema internacional de unidades.

Importante Una magnitud es todo lo que se puede medir. Los ejemplos más comunes de magnitud son: la longitud, la superficie, el volumen, la capacidad, la masa y el tiempo.

Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro son: Unidad principal

Múltiplos del metro 10 000 m miriámetro mam

1000 m kilómetro km

100 m hectómetro hm

10 m decámetro dam

metro m

Nota

Submúltiplos del metro 0,1 m decímetro dm

0,01 m centímetro cm

0,001 m milímetro mm

Para convertir una unidad de longitud en otra se multiplica o se divide por 10n, donde n es el número de espacios que hay entre la unidad dada y la unidad a convertir. Observa el siguiente cuadro: #10 mam

#10 km

'10

#10

#10

hm

dam '10

'10

Ejemplos: Convierte 3,2 m a: (a) centímetro

#10 m

'10

#10 dm

#10 cm

'10

'10

mm

Para multiplicar (dividir) un número por 10; 100; 1000; ... etc., se desplaza la coma a la derecha (izquierda) tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplo: 0,34 # 100 = 34 0,05 # 10 = 0,5 Además, utilizamos el micrómetro (mm) para medir longitudes muy pequeñas: 1 mm = 10-6 m

'10

(b) decámetro

Resolución (a) C entímetro: observando en el cuadro anterior notamos que los centímetros están a la derecha del metro, entonces en este caso debemos multiplicar: 3,2 metros = 3,2 # 102 cm = 320 cm Importante

(b) D ecámetro: de la tabla, el decámetro se encuentra a la izquierda, en este caso debemos dividir: 3,2 metros = 3,2 ' 10 dam = 0,32 dam

Estos son algunos instrumentos de medida de capacidad:

Unidades de Capacidad

Jarras y vasos graduados

Cuando nos referimos a la capacidad que contiene un depósito, hacemos mención a la cantidad de líquido que este puede tener. El litro (l) es la unidad principal de capacidad. Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del litro son: Unidad principal

Múltiplos del litro 10 000 l mirialitro mal

1000 l kilolitro kl

100 l hectolitro hl

10 l decalitro dal

Submúltiplos del litro 0,1 l decilitro dl

litro l

0,01 l centilitro cl

0,001 l mililitro ml

Probetas

Para convertir de una unidad a otra tomaremos en cuenta el siguiente esquema: #10

#10 kl

mal '10

#10 hl

'10

#10 dal

'10

#10 l

'10

#10 dl

'10

#10 cl

'10

ml '10

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

43

Observación Las siguientes equivalencias también son muy utilizadas: El litro

Ejemplo: Convierte 17,2 l a: (a) mililitro (b) hectolitro Resolución: (a) Mililitro: los mililitros se encuentran a 3 espacios a la derecha del litro, entonces multiplicamos. 17,2 litros = 17,2 # 103 ml = 17 200 ml (b) Hectolitro: los hectolitros se encuentran a 2 espacios a la izquierda del litro, entonces dividimos: 17,2 litros = 17,2 ' 102 hl = 0,172 hl

1 litro = 2 medios litros (también son 4 vasos)

Unidades de Masa

La masa de un cuerpo corresponde a la cantidad de materia que este posee. El kilogramo (kg) y el gramo (g) son las unidades principales de masa. Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del gramo son: 1 litro = 2 medios litros (son 4 vasos)

Medio litro = 2 vasos

10 000 g miriagramo mag

1000 g kilogramo kg

t

Tonelada métrica 1 t = 1000 kg Quintal métrico 1 q = 100 kg

Atención Normalmente utilizamos la palabra peso para referirnos a la masa.

#10 q

'10

Para medir grandes masas se utilizan las siguientes unidades:

100 g hectogramo hg

10 g decagramo dag

#10 mag

'10

#10 kg

'10

#10 hg

'10

0,1 g decigramo dg

0,01 g centigramo cg

0,001 g miligramo mg

#10 dag

'10

#10 g

'10

#10 dg

'10

#10 cg

'10

mg '10

Ejemplo: Convierte 0,7 g a: (a) centigramo (b) hectogramo Resolución: (a) Centigramo: el centigramo se encuentra a 2 espacios a la derecha del gramo; es decir; multiplicamos: 0,7 g = 0,7 # 102 = 70 cg (b) Hectogramo: los hectogramos se encuentran a 2 espacios a la izquierda del gramo, en este caso dividimos: 0,7 g = 0,7 ' 102 = 0,007 hg

Unidades de Volumen

El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. El metro cúbico (m3) es la unidad principal del volumen en el Sistema Internacional de Unidades. Los múltiplos y submúltiplos de metro cúbico se detallan en el siguiente cuadro: Múltiplos del metro cúbico 1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 100 m3 kilómetro hectómetro decámetro cúbico cúbico cúbico km3 hm3 dam3

44 Intelectum 2.°

gramo g

Submúltiplos del gramo

Para pasar de una unidad de masa a otra, debemos multiplicar por 10n (n es el número de espacios entre la unidad pedida y la dada) si la unidad pedida está hacia la derecha y dividimos si está a la izquierda. Observe el siguiente cuadro. #10

Nota

Unidad principal

Múltiplos del gramo

Unidad principal metro cúbico m3

Submúltiplos del metro cúbico 0,001 m3 decímetro cúbico dm3

0,000001 m3 centímetro cúbico cm3

0,000000001 m3 milímetro cúbico mm3

t

Para convertir de una unidad a otra utilizaremos el siguiente esquema: #1000 km3

#1000 hm3

'1000

#1000 dam3

'1000

#1000 m3

#1000 dm3

'1000

cm3 '1000

'1000

Importante

#1000 mm3

Los instrumentos de masa más utilizados son:

'1000

Ejemplo: Convierte 7,1 m3 a: (a) Centímetro cúbico (b) Decámetro cúbico Resolución: (a) C entímetro cúbico: sabemos que en el cuadro el centímetro cúbico se encuentra a 2 espacios a la derecha del m3, en este caso, debemos multiplicar: 7,1 m3 = 7,1 # 10002 cm3 = 7,1 # 106 cm3 = 7 100 000 cm3 (b) D ecámetro cúbico: la unidad pedida se encuentra a la izquierda del m3, entonces debemos dividir: 7,1 m3 = 7,1 ' 1000 dam3 = 0,0071 dam3

Un metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene un metro de arista.

1m

metro cúbico 1m

1m

Unidades de Superficie

La superficie es una magnitud que nos permite conocer la extensión de un cuerpo plano, es decir, su área. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado (m2). Un metro cuadrado es el área de un cuadrado, cuyo lado mide un metro. Los múltiplos (unidades mayores) y los submúltiplos (unidades menores) del metro cuadrado son: Unidad principal

Múltiplos del metro cuadrado 1 000 000 m2 kilómetro cuadrado km2

1 0 000 m2 hectómetro cuadrado hm2

100 m2 decámetro cuadrado dam2

Submúltiplos del metro cuadrado

metro cuadrado m2

0,01 m2 decímetro cuadrado dm2

0,0001 m2 centímetro cuadrado cm2

0,000001 m2 milímetro cuadrado mm2

Para convertir de una unidad de superficie a otra usaremos el siguiente esquema. #100 km2

#100 hm2

'100

#100 dam2

'100

#100 m2

'100

Ejemplos: 1. Convierte 1,3 m2 a: (a) hectómetro cuadrado (b) milímetro cuadrado Resolución: a) Hectómetro cuadrado: convertimos a una unidad mayor, entonces dividimos: 1,3 m2 = 1,3 ' 1002 hm2 = 0,00013 hm2 b) Milímetro cuadrado: convertimos a una unidad menor, entonces multiplicamos: 1,3 m2 = 1,3 # 1003 mm2 = 1 300 000 mm2



#100 dm2

'100

#100 cm2

'100

mm2

Nota Estas son algunas equivalencias, más usadas: 1 hm3 = 1000 dam3 1 m3 = 1000 dm3 1 dm3 = 1000 cm3

Nota Para medir otras extensiones, como agrarias o terrestres, se emplean las siguientes unidades: Hectárea (ha): 1 hm2 = 10 000 m2 Área (a): 1 dam2 = 100 m2 Centiárea (ca): 1 m2 = 1 m2

'100

2. Convierte 2,5 m2 a: (a) kilómetro cuadrado (d) decímetro cuadrado Resolución: a) 2,5m2 = 2,5 ' 1003 km2 = 0,0000025 km2 b) 2,5m2 = 2,5 # 100 dm2 = 250dm2 3. Convierte 12,8 m2 a: (a) decámetro cuadrado (d) centímetro cuadrado

Atención Gráficamente, se representa a la superficie de la siguiente forma:

1 cm 1 mm 1 mm2 1 cm2

1 mm

Resolución: a) 12,8m2 = 12,8 ' 100 dam2 = 0,128 dam2 b) 12,8m2 = 12,8 # 1002 cm2 = 128000 cm2

1 cm

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

45

Problemas resueltos 1

¿A cuántos decímetros (dm) equivalen 0,0035 km?

4

Resolución: Tenemos en cuenta las equivalencias: 1 km = 1000 m = 1000 (10 dm) ` 1 km = 104 dm

Resolución:

Hallamos los dm: 1 km 0,0035 km

El n.º de días es:

&x=

Hallamos el volumen total a consumir: 3(15 dm3) = 45 dm3

104 dm x

3 45 (103 cm3) x = 45 dm3 = 30 cm 30 cm3

0, 0035 km (10 4 dm) 1km

x = 35 dm 2

Una cocina a gas utiliza 30 cm3 de gas por día. Si un balón de gas contiene 15 dm3 ¿cuántos días de consumo podrá abastecer 3 balones de gas?

5

¿A cuántos decalitros (dal) equivalen 267 # 102 mililitros (ml)?

Área = 75 dam2 = 75 # 102 m2 Dividimos en 25 partes iguales:

Tenemos en cuenta las equivalencias: 1 dal = 10 l = 10 (1 l) = 10 (1000 ml) ` 1 dal = 104 ml

& x=

2

(1 dal) . 267 # 10 ml 10 4 ml

Una chacra posee 75 dam2 de área. Se desea dividirlos en 25 partes iguales. Halla el área (en m) de cada una de las partes.

Resolución:

Resolución:

Hallamos el número de dal: 104 ml 1 dal x 267#102 ml

` x = 1500 días

2 2 x = 75 # 10 m = 3 # 102 m2 25 ` x = 300 m2

6

Halla el valor de k (en mm); si ABC es un triángulo rectángulo. B

x = 2,67 dal k

0,00040 hm

3

Una granja cosecha al año 800 miriagramos de cebada, cada 2 años cosecha 16 quintales de trigo y 0,35 toneladas de maíz. ¿Cuántas toneladas (t) producirá dentro de 8 años?

A

AB2 + AC2 = k2 (0,00040 hm)2 + (0,03 m)2 = k2 (40 mm)2 + (30 mm)2 = k2 2500 mm2 = k2 ` k = 50 mm

Hallamos la producción de cebada: 1 año 800 mag = 800(10-2 t) = 8 t 8 años 8 t # 8 = 64 t

Hallamos la producción de maíz: 0,35 t 2 años 8 años 1,4 t La producción total dentro de 8 años será: 64 t + 6,4 t + 1,4 t = 71,8 t

7

Un nevado posee una altura de 450 decámetros. Un montañista sube cada día 180 metros. ¿Cuántos días demorará en llegar a la cima del nevado?

Resolución: Dividimos para hallar el número de días: 450 (10 m) x = 450 dam = = 25 180 m 180 m ` x = 25 días

46 Intelectum 2.°

C

Resolución:

Resolución:

Hallamos la producción de trigo: 16 q = 16(10-1 t) = 1,6 t 2 años 8 años 1,6 t # 4 = 6,4 t

0,03 m

Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Editorial San Marcos situados en Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S.J.L. Lima, Perú RUC 10090984344