Programación Entera Por El Método Gráfico.

P.L.E ♥ MÈTODO GRÀFICO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I PRESENTAN: CHAVEZ PONCE, ERICK ROBERTO GURROLA GONZÀLEZ, SOCORRO TERCERO SERRANO, KARLA ALEJANDRA

 Introducción En muchos modelos algunas o todas las variables de decisión deben ser enteras. Estos modelos son conocidos como modelos de programación lineal entera.

Métodos de Resolución de problemas enteros

 método gráfico PROBLEMA DE 2 VARIABLES

Encontrar la solución optima entera a partir de la solución óptima continua utilizando el método gráfico. Soluciones enteras cercanas dentro del área de soluciones factibles.

Solución optima, ¿no es entera?

Es idéntico al método gráfico de programación lineal continua, solo que aquí, se seleccionan sólo las soluciones enteras dentro del área de soluciones factibles.

Resolución de problemas de P.L.E 1. Resolver el problema por medio de programación lineal. 2. A partir de la solución relajada, obtener la S.O entera. En donde; El punto intercepte con la función objetivo es la solución optima.

Para problemas de más variables, se aplicarán el Método de los planos cortantes y Brand and Bound. NÙMEROS ENTEROS FACTIBLES.

 PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÒN LINEAL ENTERA

Este método es eficaz para problemas de dos variables o menos.

PROGRAMACIÒN LINEAL Resolver por medio del método gráfico de programación lineal:

2. PROGRAMACIÒN ENTERA

1. Declarar variables

A partir de los resultados obtenidos, encontrar la S.O. entera, en donde:

2. Función Objetivo 3. Restricciones 4. Representación gráfica 5. Definir la región de solución y calcular el punto optimo.

◦ Las intersecciones de la cuadricula conforman soluciones factibles. ◦ El punto que intercepte con el barrido de F.O. será la solución optima.

¿Cómo plantear? «Modelo matemático» Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir el próximo día para maximizar su ganancia. Cuenta con 38 metros cuadrados de madera y disponible de 7,5 horas/hombre. Se requiere de 4

metros cuadrados y 1hora/hombre para confeccionar cada silla; y de 9,5 metros cuadrados de madera y 1 hora/hombre para confeccionar cada mesa. Se asume que se vende todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de $4, mientras que el beneficio por mesa es de $8,5. ¿Cuántas

sillas y mesas se deben producir? ¿Qué significa hacer un modelo matemático? Hacer un modelo matemático es interpretar lo mejor posible la realidad a través de ciertas formulas.

modelo matemático

NÙMEROS ENTEROS FACTIBLES.

 SOLUCIÒN ÒPTIMA FRACCIONARIA: (6.05, 1.45)

 ¿CÒMO FORMULAR UN PROBLEMA ENTERO?

◦ ¡No podemos producir 6.05 sillas y 1.45 mesas! ◦ ¿Qué le falta al modelo?

◦ Las variables tienen enteros: 0, 1, 2, 3…

que

tomar

números

¿Por qué no sólo redondear la solución real para obtener la óptima entera?

Posibles resultados de redondeo A veces es tentador usar el procedimiento aproximado y aplicar el método simplex al relajamiento de PL y después redondear los valores no enteros a enteros en la solución que se obtuvo. ¿POR QUÈ NO REDONDEAR?

◦ Este enfoque puede ser adecuado en algunas aplicaciones. Sin embargo, debe tenerse cuidado, pues se corren dos riesgos.

 EJEMPLO Dificultades que aparecen al calcular la solución optima de un modelo lineal entero. ◦ Sea el modelo lineal:

Representación gráfica ◦ Tenemos que: Primera restricción: X1 + X2 = 7

Segunda restricción: 12X1 + 5X2 = 60

X1 0 7

X2 7 0

X1

X2

0 5

12 0

Graficar ambas restricciones.

GRAFICANDO:

1 2

Valor de la función obj. en cada punto El número de puntos de la región es finito y, por lo tanto, se pueden calcular todos los puntos y el valor de la función objetivo en cada uno para identificar la solución óptima. 

Pero este método no es eficaz para

problemas

variables

por

la

puntos de la región.

con

muchas

cantidad

de

Problema Relajado.* ◦ Otra

manera

de

obtener

En el siguiente grafica se da la solución óptima del problema relajado

una

solución para el modelo entero es resolverlo sin tener en cuenta la restricción deben

de

tomar

que

las

valores

variables enteros

y

obtener la solución entera optima por redondeo. 

Es decir, resolvemos el problema

quitando la restricción de enteras a las variables; llamaremos a este PROBLEMA RELAJADO.

7 6 5 4 3 2 1 0 123456 7

Problema Relajado. ◦ En este caso, la solución óptima del

problema

relajado

se

encuentra en el punto = (3.6, 3.4) y el valor optimo es Z = 440. 

Este

punto

no

es

solución

óptima del problema entero porque las variables optimas no son enteras.

Aproximación por redondeo Podemos considerar todas las aproximaciones por redondeo: (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4), y evaluar la función objetivo en todas las soluciones aproximadas para calcular la óptima.

 RIESGOS Una solución óptima de programación lineal no necesariamente es factible después de redondearla. (4,4)

En este caso la solución óptima sería el punto (4, 4). Sin embargo, se puede ver que el punto no verifica las restricciones.

SOLUCIÒN NO FACTIBLE

Riesgos!! Aun cuando una solución óptima, se pueda redondear con éxito. No existe garantía

de

que

esta

solución

redondeada sea la solución óptima de programación entera. En realidad, puede ser que se encuentre muy lejos del óptimo. Si redondeamos a (3,3) se cumple con las restricciones,

es

una

solución

factible.

Sin

embargo, no es la solución optima.

(3,3) Z = 375

El valor de Z esta bastante alejado del punto optimo del problema relajado.

Solución factible, NO OPTIMA.

¿Solución óptima? Existen diversos riesgos al momento de redondear, sin embargo existe la posibilidad de que al redondear obtengamos una solución optima. 

Si recordamos los valores de la función objetivo por redondeo: (3, 4): Z=420

(4, 4): Z=500

(3, 3): Z=375

(4, 3): Z=455

(3,4)

Valores:

El punto (3,4) cumple con las restricciones, (es una solución factible). Al mismo tiempo el valor de z es el valor máximo entero, por lo tanto, es también la solución optima.

Solución factible y OPTIMA.

en resumen…. ◦ Los puntos pueden ser no factibles ◦ Los puntos pueden ser factibles,no óptimos.

◦ Los puntos pueden ser factibles y óptimos

Aplicación*

Problema de aplicación de Programación entera

Un granjero decide subdividir su terreno en 6 campos de la misma área, de modo que en cada campo sólo podrá plantar un tipo de cultivo, ya sea cebada o lechugas. El granjero ha calculado que según el precio mínimo garantizado por el Gobierno Europeo y después de restar todos los costes, obtendrá un beneficio neto de 1000 euros por campo de cebada y 1600 euros por campo de lechugas. La recogida de un campo de cebada necesita 80 horas de mano obra y la de un campo de lechugas de 160 horas. Durante la cosecha el granjero dispondrá de 700 horas disponibles de mano de obra. Existe además la restricción de que no podrá plantar más de 3 campos de cebada.

¿Cuántos campos de lechugas y cuántos campos de cebada debe cultivar el agricultor para maximizar su beneficio?

 Planteamiento ◦ Función Objetivo: Max Z = 1000 X1 + 1600X2

◦ Variables de decisión: X1 = campos en que el agricultor cultivará cebada X2 = campos en que el agricultor cultivará lechugas

◦ Restricciones X1 ≤ 3

No podrá plantar más de 3 campos de cebada

80X1 + 160X2 ≤ 700 Las cosechas requieren de un tiempo de obra X1 + X2 ≤ 6

La suma de las divisiones debe ser igual o menor a 6

2.-Graficamos.

Ejercicio 1 Sea el modelo lineal.

1

Max Z = 1000 X1 + 1600X2 Sujeto a:

X1 ≤ 3 80X1 + 160X2 ≤ 700 X1 + X2 ≤ 6 2

X1 , X2 ≥ 0

1.-Obtener las coordenadas. 80X1 + 160X2 = 700 X1 + X2 = 6 X1 = 3 X1

X2

X1

X2

0 8.75

4.37 0

0 6

6 0

3

Ejercicio 1 3. Valor de la función obj. en cada punto Vértices

X1

X2

Z

A

0

0

0

B

0

4.37

6 992

C

3

2.88

7608

D

3

0

3000

Solución optima C (3, 72/25)

1

2 (3, 72/25)

Z = 7608 Solución optima, ¿no es entera?

3

Ejercicio 1 Identificar el punto entero más cercano a la función objetivo

1

A partir de los resultados obtenidos, encontrar la S.O. entera, en donde: ◦ Las intersecciones de la cuadricula conforman soluciones factibles. ◦ El punto más a la derecha (máximo) que intercepte con el barrido de F.O. conformará una solución optima.

Z = 1000 X1 + 1600X2 = 7608

2 (3, 72/25)

Z = 7608

3

Ejercicio 1 1

Valor de la función obj. en cada punto Vértices

X1

X2

Z

-

0

4

6 400

-

0

3

4 800

-

1

3

5 800

-

2

3

6 800

-

3

2

6 200

Solución optima

2 (3, 72/25)

Z = 7608

(2 , 3) 3

Ejercicio 1 1

Identificar el punto entero máximo más cercano a la función objetivo

Solución optima (problema relajado) X1 = 3, X2 = 72/25, Z = 7 608

2 (3, 72/25)

Solución optima (problema entero) X1 = 2, X2 = 3, Z = 6 800

Z = 7608 Solución optima, ENTERA Max.

3

¿Qué cree que suceda?

En el siguiente grafica se da la solución óptima del problema relajado y soluciones redondeadas. 1

Valor z de la solución optima con el problema relajado. (3 , 72/25): Z = 7608

2

Posibles redondeos con sus valores (3 , 3):

Z = 7800 (3 , 2):

Z = 6200

No cumple con las restricciones Solución factible, NO OPTIMA.

3

3

Ejercicio 2

2.- Graficamos.

Sea el modelo lineal. Max Z = 1200 X1 + 2000 X2 Sujeto a: 200 000X1 + 600 000X2 ≤ 2 700 000

X2 ≥ 2 3X1 + X2 ≤ 19 X1 , X2 ≥ 0 1.-Obtener las coordenadas. 2

200 000X1 + 600 000X2 = 700 X1

X2

0 13.5

4.5 0

1

3X1 + X2 = 19 X1

X2

0 6.3

19 0

X2 = 2

3

Ejercicio 2 3. Valor de la función obj. en cada punto Vértices

X1

X2

Z

A

0

2

4 000

B

0

4.5

9 000

C

5.5

2.8

12 200

D

5.8

2

10 960 2

Solución optima C (5.5, 2.8)

1

Ejercicio 2

3

4.- Identificar el punto entero más cercano a la función objetivo

Solución optima (problema relajado)

Solución optima entera

X1 = 5.5, X2= 2.8, Z = 12 200

Solución optima (problema entero) X1 = 4, X2= 3, Z = 10 800

2 1

2.-Graficamos.

Ejercicio ·3 Sea el modelo lineal. Max z = 3x1 + x2 Sujeto a

x1 + x2 ≤ 8 3x1 - 4x2 ≤ 12 enteras

x1,

x2

≥

2 0

y

1.-Obtenemos las coordenadas. 1.-x1 + 2x2 = 8 2.-3x1 – 4x2 = 12 x1

x2

x1

x2

0 8

4 0

0 4

-3 0

1

3.-Valores enteros factibles.

3.-Solucion optima con el problema relajado.

2

1

2

1

6.-Posiciones de las soluciones redondeos

4.- Valor z de la solución

optima con el problema relajado. (5.6 , 1.4): Z = 18.2

2 5.-Posibles redondeos con sus valores (5 , 2): Z = 17

(6 , 2): Z = 20

(5 , 1): Z = 16

(6 , 1): Z = 19

1

6.-Factibilidad de los posibles redondeos (5 , 2): Z = 17

No cumple con las restricciones

(6 , 2): Z = 20

No cumple con las restricciones

2

1

(5 , 1): Z = 16

(6 , 1): Z = 19

Cumple con las restricciones

No cumple con las restricciones

Resultado El resultado a este problema es : (5 , 1): Z = 16

2

Cumple con las restricciones Es el punto con el que se obtiene el valor mas alto

1

Comprobación.

(4,2): Z = 14 (2,3): Z = 9

2

(0,4): Z = 4

1

¡GRACIAS POR SU ATENCIÒN!