Método De Simpson 3/8

Simpson 3/8 Stefany Alejandra Luna Pérez Universidad Autonóma de Tlaxcala April 7, 2012

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Introducción

La fórmula fue utilizada por primera vez por Evangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático Inglés Thomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615. Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto en Praga en 1611, Kepler se casó nuevamente - en Linz, donde ahora trabajaba - en 1613. Para la boda compró algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista. A raíz de esto, Kepler formuló en 1615 el escrito Nova Stereometria doliorum vinariorum (Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino), en el que buscaba métodos veri…cables para el cálculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes. Entre otras cosas, Kepler describió en este texto una fórmula para el cálculo de la capacidad (más precisamente, del volumen) de barriles de vino con formas irregulares. Esta fórmula arroja valores exactos para el tronco de la pirámide (incluida la pirámide), la esfera, el paraboloide elíptico, el hiperboloide de una hoja y todas las demás super…cies de un cuerpo que pueden ser generadas por secciones planas perpendiculares al eje del cuerpo. En una manera similar a la derivación de la regla del trapecio y regla de 1

Simpson 1/3, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse. Z b Z b f (x)dx = f3 (x)dx a

Para obtener Rb a

f (x)dx

a

3 8 h [f (x0 )

+ 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )]

Donde h = (b 3 a) . Esta ecuación se le llama Regla de Simpson de 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. La Regla deSimpson de 3/8 se puede extender si subdividimos el intervalo [a; b] en n intervalos de la misma longitud h. Sea x0 ; x1 ; :::; xn la partición determinada de esta forma. Cada subintervalo [xi 1 ; xi ] lo dividimos en tres partes iguales, y sean yi y zi los puntos determinados así:

Aplicando la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de los intervalos, tenemos: Z

b

f (x)dx =

a

2

b a 8n

f (x0 ) + 3

Xn

i=1

[f (yi ) + f (zi )] + 2

Xn

1

i=1

f (xi ) + f (xn )

Aplicaciones 1. Para los datos de máximo punto del volumen en un tanque, tabulados en una fábrica de jugos y medidos por un sensor cada cierto tiempo. Datos t 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

tabulados f (t) 4.593 6.05 7.389 9.025 11.023 13.464 16.445 20.066 24.533 29.964

Solución. 2

Aplicando Simpson 3/8 I1 = (0:6)

4:593+3(6:050)+3(7:389)+9:025 8

I2 = (0:6)

9:025+3(11:023)+3(13:464)+16:445 8

I3 = (0:6)

16:445+3(20:086)+3(24:533)+39:964 8

= 4: 045 1 = 7: 419 8 = 14: 270

Así I = 4: 045 1 + 7: 419 8 + 14: 270 = 25: 735 2. Un cuerpo se desplaza linealmente a partir de cero, con una fuerza variable dada por: f (x) =

10x p

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( x+1) donde f se mide en newtons y x da la posición del objeto en metros. Calcula el trabajo realizado por el cuerpo en un desplazamiento desde 1 hasta 2 metros. a) Plantea el problema a resolver. b) Con la fórmula simpson 3/8 calcula la aproximación del trabajo realizado. Solución. R 2 10x dx 1 (px+1)5

Resultado = 0.276245 3. Calcular el área entre y = x2 y y =

2 x2 +1 .

Solución. Primero buscamos los puntos de intersección x2 =

2 x2 +1

x4 + x2 x = 1; x =

2 = 0 ) x2 + 2

x2

1 = x2 + 2 (x + 1) (x

1) = 0

1

Por lo tanto, tenemos los siguientes puntos de intersección: ( 1; 1) y (1; 1)

3

Podemos expresar el área como R1 2 x2 dx 1 x2 +1

La aproximación es 2.474926. 4. Calcular el área entre y = x2 + 2; y = 2x + 5, x = 0 y x = 6. Solución. Primero buscamos los puntos de intersección

y = x2 + 2

y = 2x + 5 2

) x + 2 = 2x + 5 4

x2

2x

3 = 0 ) (x

3) (x + 1) = 0

Por lo tanto los puntos de intersección: (-1,3) y (3,11). R6 R3 A = 0 (2x + 5) x2 + 2 dx + 3 [(2x + 5) (2x + 5)] dx R3 R6 A= 0 x2 + 2x + 3 dx + 3 x2 2x 3 dx A = 9 + 27

5. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. Función de demanda: p1(q) = 1000 42q.

0; 4q 2 . Función de oferta: p2(q) =

El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la grá…ca:

La oferta coincide con la demanda en (q0 ; p0 ) , es decir,: p1(q) = p2(q) ) 1000

q1 =

125q2 = 20

0:4q2 = 42q )

0; 4q2

42q + 1000 = 0 )

Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 = 840. El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la región comprendida entre p1(q) y la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea: 5

R 20 0

1000

0:4q 2

840 dq =

R 20 0

160

0:4q 2 dq

El excedente de demanda asciende a $2133,33 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea: R 20 (840 42q) dq 0

El superavit de oferta alcanza $8400.

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