2° Tomo Ii

Aritmética 2° DE SECUNDARIA

1 Razones - Proporciones Razón

Ejemplos prácticos

En matemática se denomina razón a la comparación de dos cantidades. En aritmética existen dos formas básicas de comparar; una mediante una sustracción (razón aritmética) y la otra, a través de una división (razón geométrica).

1. ¿Cuál es el consecuente de una razón geométrica cuyo valor es 3 y el antecedente es 42?

1. Razón aritmética

Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción, poniendo de manifiesto en cuánto excede una cantidad a la otra.

Resolución: 42 =3 x 42 =x 3

consecuente antecedente

a–b=r

razón aritmética

2. Razón geométrica

∴ x = 14

Es la comparación de dos cantidades mediante la división, poniendo de manifiesto en cuántas veces está contenida una cantidad de la otra. antecedente a b =K

razón geométrica

consecuente

Proporción aritmética Continua Discreta a–b=c–d a–b=b–c a+d=b+c a + c = 2b ∴b=



De ello: Z Z

Proporción geométrica Continua Discreta a b = =k b c

a+c 2

a c = =k b d ad = bc

ac = b2 ∴ b = ac

De ello:

b: media diferencial Z o aritmética c: tercera diferencial

De ello:

d: cuarta diferencial

Z Z

Se llama proporción a la igualdad de dos razones aritméticas o dos razones geométricas que tienen el mismo valor, y son de dos clases: proporción aritmética y proporción geométrica.

ARITMÉTICA 2° SEC

3

De ello:

b: media proporcional Z c: tercera proporcional

d: cuarta proporcional

Propiedad importante: a c e =k Si = = b d f entonces: a+c+e =k a. b+d+f

b.

axcxe = k3 bxdxf

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RAZONES

Trabajando en clase Integral

Integral

1. ¿Cuál es el antecedente de una razón aritmética cuyo valor es 93 y su consecuente es 42? 2. ¿Cuál es el consecuente de una razón geométrica cuyo valor es 4/5 y el antecedente es 68? 3. La razón aritmética de las edades de Juan y Pedro es 17. Si Pedro tiene 26 años, ¿cuántos años tendrá Juan dentro de 5 años? Católica 4. La razón aritmética de dos números es 12 y su razón geométrica, es 1,2. Calcula la suma de dichos números. 5. La razón aritmética de dos números es 15 y su razón geométrica es 2,5. Calcula la suma de dichos números. 6. Dos números están en la relación de 3 a 4. Si suman 28, ¿cuál es el mayor? 7. Carlos tiene 4 años más que María y las edades de ellos está en la relación de 9 a 7. ¿Qué edad tiene María? UNMSM 8. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Calcula la razón entre la suma y la diferencia de los números. 9. Dos números son entre sí como 3 es a 7. Calcula la razón entre la suma y la diferencia de los números. 10. Ivette tiene, entre muñecas y osos de peluche, 30 objetos. Si le regalan 4 muñecas, el número de muñecas y el de osos de peluche estará en la relación de 8 a 9 respectivamente. ¿Cuántas muñecas tiene Ivette? 11. Las edades de dos hermanos están en la relación de 4 a 7, y dentro de 10 años estarán de 2 a 3. ¿Qué edad tiene el mayor? UNI 12. Hace 3 años, las edades de Luis y Carlos estaban en la relación de 5 a 6; hoy sus edades están en la relación de 6 a 7. ¿Cuál es la edad de Luis?

1. En una proporción geométrica, los términos medios son iguales y suman 20. Si uno de los extremos es 5, calcula el otro extremo. 2. Halla la cuarta proporcional de 12; 18 y 28.

13. Hace 10 años, las edades de Humberto y Oswaldo estaban en la relación de 5 a 11; hoy sus edades están en la relación de 5 a 8. ¿Cuál es la edad de Humberto? 14. Un comerciante ha ganado 40 soles en la venta de un artefacto que le ha costado C soles, siendo el C 2 precio de venta V. Calcula C si = . V 7

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4

3. Halla la media proporcional de 12 y 75. Católica 4. En una proporción geométrica continua, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia, 21. ¿Cuál es la media proporcional? 5. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 45 y la diferencia de las mismas, 27. Halla la media proporcional. 6. Si los antecedentes de una proporción geométrica continua son 9 y 6, halla la tercera proporcional. 7. Si A es la media diferencial de 35 y 23, y B, la tercera diferencial de 32 y 22, calcula A – B. UNMSM 8. La media proporcional de «a» y 27 es «b» y, además, «a» es la tercera proporcional entre 3 y 27. Calcula (a – b). 9. La media proporcional de «m» y 27 es «n» y, además, «m» es la tercera proporcional entre 3 y 18. Halla (m – n). 10. Dos números son entre sí como 3 es a 4. Si su producto es 300, calcula su diferencia. 11. Si a = 2 y a2 + b2 = 52, b 3 calcula (b – a) UNI 12. Fredy y José tienen cantidades de dinero que están en relación de 4 a 7. Si José le diera 90 nuevos soles a Fredy, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto dinero tiene Fredy? 13. César y Andrea poseen cantidades de dinero que están en relación de 6 a 7. Si Andrea diera 10 nuevos soles a César, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene César? 14. En una proporción geométrica continua, el producto de todos sus términos es 1296. Calcula la media proporcional.

ARITMÉTICA 2° SEC

RAZONES

Tarea Integral 1. ¿Cuál es el antecedente de una razón aritmética cuyo valor es 48 y su consecuente es 59? a) 106 d) 109 b) 107 e) 110 c) 108 2. ¿Cuál es el consecuente de una razón geométrica cuyo valor es 2/3 y el antecedente es 38? a) 55 d) 58 b) 56 e) 59 c) 57 3. La razón aritmética de las edades de Roger e Ivette es 13. Si Ivette tiene 22 años, ¿cuántos años tendrá Roger dentro de 6 años? a) 41 d) 44 b) 42 e) 45 c) 43 4. Si 24a = 15b, además a + b = 26, calcula b. a) 13 d) 6 b) 16 e) 25 c) 8 PUCP 5. Dos números están en la relación de 7 a 5. Si su razón aritmética es 8, calcula el número menor. a) 48 d) 32 b) 20 e) 18 c) 40

6. Edwin tiene 7 años más que Carlos, y las edades de ellos están en la relación de 5 a 4. ¿Qué edad tiene Edwin? a) 28 d) 35 b) 30 e) 40 c) 34 7. Los números «a» y «b» son proporcionales a 4 y 9 (a < b), siendo su diferencia 35. Calcula el valor de (a + b). a) 90 d) 93 b) 91 e) 94 c) 92 8. De la expresión: 2a = 5b se sabe que 5a + 2b = 174. Calcula «a». a) 10 d) 40 b) 20 e) 50 c) 30 UNMSM 9. Dos números entre sí son como 5 es a 7. Calcula la razón entre la suma y la diferencia de los números. a) 1/6 d) 3 b) 6 e) 1 c) 1/3 10. Las edades de dos hermanos están en la relación de 5 a 8 y dentro de 12 años estarán en la de 7 a 10.

ARITMÉTICA 2° SEC

5

¿Cuántos años tendrá el menor dentro de 5 años? a) 30 d) 34 b) 6 e) 48 c) 35 11. Las edad de Rosa y Diana son entre sí como 5 es a 4. ¿Qué edad tiene Rosa si hace 3 años tenía 4 años más que Diana? a) 20 d) 21 b) 16 e) 24 c) 18 12. Al vender un objeto, un comerciante ganó 20 soles. Si lo que pagó por el objeto y el precio al que lo vendió están en la relación de 9 a 13, ¿cuánto le costó el objeto al comerciante? a) S/. 35 d) S/. 50 b) S/. 40 e) S/. 55 c) S/. 45 UNI 13. Hace 6 años, las edades de Miguel y Richard estaban en la relación de 6 a 7; hoy sus edades son como 9 a 10. ¿Cuál es la edad de Miguel? a) 20 d) 12 b) 15 e) 18 c) 24

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2 Magnitudes proporcionales Dos magnitudes son proporcionaes si al variar una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud varía en la misma proporción.

I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)

II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Si C y D son IP entonces: K: Constante de proporcionalidad

CxD=K

Si A es DP a B, entonces: A

B

Gráficamente:

K: Constante de proporcionalidad

=K

D

Gráficamente:

d1 d2 d3

B b4 b3

c1 c2

b2 b1 a1 a2 a3 a4 a1

b1

=

a2

=

b2

a3

b3

=

c1 x d1 = c2 x d2 = c3 x d3

A a4

b4

Si C aumenta D disminuye en la misma proporción =K

Si A aumenta B también aumenta en la misma proporción. Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes DP. A B Se cumple:

24 36 24

36

=

14 21 14

21

=

38 57 38

57

=

82

123

c3 C

82 123

Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes IP. C D

2 30

3 20

4 15

6 10

Se cumple: 2 x 30 = 3 x 20 = 4 x 15 = 6 x 10 = K donde K = 60 (constante de proporción)

=K

donde: K = 2 (constante de proporción) 3

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6

ARITMÉTICA 2° SEC

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Trabajando en clase Integral

9. Del gráfico, calcula a + b.

1. Si A es DP a B2 cuando A es 16 y B = 2, calcula A cuando B = 8.

y 24

2. Si A es IP a B cuando A = 24 y B = 8, ¿cuál será el valor de A cuando B = 16?

a 4

3. Si A es D.P. a B3, cuando A = 48 y B = 2, calcular A cuando B = 3. Católica 4. Si A es DP a B cuando A = 6 y B = 4, calcula A cuando B = 9. Resolución: Como A DP B , entonces: A = K



5

10. Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranan y están girando, si la primera rueda da 200 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la segunda? 11. Calcula (a + b)2. y

B

A 9

6 = 4

∴A=9

20

Rpta.: 9

5 2

5. Si A es DP a B , cuando A = 15 y B = 36, ¿cuánto valdrá B cuando A = 5? 6. Si A es IP a C2 cuando A = 18 y C = 5, calcula A cuando C = 3. 7. Si A es DP a B , calcula m + n. 2

A B

4 m

n m+5

m+6 2m

UNMSM

a

Precio = K Peso2

a

Rpta.: 7

2



12

Resolución: Según el gráfico x DP y: 3 12 c = =

2

Rpta.: 26

a

12

20 x

12. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 4 gramos vale S/. 1280. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/. 3920? Resolución: (Precio) DP (peso)2, entonces:

12

3

b UNI

8. Del gráfico, calcula a + c. y



b x

15

c

x

∴ a = 8 y c = 18

entonces a + c = 26

ARITMÉTICA 2° SEC

1280 3920 = 42 x2

x = 7 gramos

13. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta $ 4000, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 25 gramos? 14. Si A es IP a B y DP a C. Si cuando A = 5, B = 10 y C = 4. ¿Cuánto vale A si B = 15 y C = 10?

7

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MAGNITUDES PROPORCIONALES

Tarea Integral 1. Si A es DP a B, cuando A = 24 y B = 16. Calcula B cuando A = 18. a) 12 c) 8 e) 14 b) 16 d) 20 2. A es DP a B2, cuando A = 5 y B = 4, calcula B cuando A = 45. a) 10 c) 14 e) 18 b) 12 d) 16 3. Si M es IP a N, cuando M = 16, N = 45. Calcula en cuántas unidades varía N si el valor de M disminuye una unidad. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 4. Del gráfico, calcula m + a: a) 32 2m b) 30 m–a c) 34 d) 36 20 e) 40

m

36 3m

PUCP 5. A es DP a B y a C, cuando A = 25, B = 16 y C = 5. Calcula B cuando A = 30 y C = 24. a) 2 c) 4 e) 6 b) 3 d) 5 6. Calcula a + b, si las magnitudes A y B son directamente proporcionales.

a) 63 b) 52

A B

a 36

c) 115 d) 73

49 28

91 b

e) 125

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7. Se sabe que una magnitud A es IP a B2. Calcula el valor de A, sabiendo que si disminuye en 36 unidades, el valor de B varía en un 25%. a) 40 c) 75 e) 100 b) 50 d) 85 8. Si A es DP B2 y C es IP a B; entonces, ¿cómo se relaciona A con C? a) A DP 1 c) C IP 1 e) C(IP)A

c2

A

b) A DP C

d) A IP C2

UNMSM 9. Una rueda de 36 dientes da 280 rpm y engrana con un piñón que da 50 400 vueltas por hora. ¿Cuál es el número de dientes del piñón? a) 10 c) 12 e) 14 b) 11 d) 13 10. Calcula 2x. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2x 12 6 x

10

11. Si P es IP a T, además cuando P = 125 entonces T = 48, calcula T cuando P = 300. a) 25 c) 30 e) 45 b) 20 d) 40 12. Una rueda de 48 dientes da 560 rpm y engrana con un piñón que da 107 520 vueltas por hora. ¿Cuál es el número de dientes del piñón? a) 14 c) 12 e) 17 b) 13 d) 15

8

ARITMÉTICA 2° SEC

3 Estadística I El imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media solo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.

Población

Es un conjunto de elementos que tienen uno o más características en común. Ejemplos: ZZ Todos los alumnos matriculados en Pamer. ZZ Todos los peruanos que tienen 18 años o más. ZZ Todos los animales que están en el zoológico.

Muestra

Es una parte o subconjunto de la población, seleccionada de acuerdo a un plan o regla, con el fin de establecer información acerca de la población de la cual proviene. Ejemplos: ZZ 200 alumnos de Pamer elegidos al azar. ZZ 150 mil peruanos mayores de edad. ZZ 40 animales de un zoológico elegidos al azar.

Gráfica lineal A continuación se presenta el número de horas de trabajo de una persona en sus días de labor. Ejemplo: Horas de trabajo

14

Horas

12 10

Horas de trabajo

ESTADÍSTICA

Es la ciencia que se ocupa de recolectar, procesar, presentar, interpretar y analizar los datos, que sirven para la toma de decisiones en una investigación.

8 6 4

2 0 1

2

3

4

6

7

8

9 10 Días

Gráfico circular (sector circular) A continuación se presentan los deportes practicados por los alumnos del segundo año.

Representaciones gráficas Gráfica de barras

voleybol 15%

A continuación se muestra la cantidad de alumnos que tienen las mascotas indicadas. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 perro pajaro hamster gato mascota

ARITMÉTICA 2° SEC

5

9

fútbol 50%

natación 10%

l tbo e squ ba 25%

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ESTADÍSTICA I

Trabajando en clase Integral

UNMSM

Se encuestó a un grupo de personas sobre su entretenimiento preferido y cada una escogió una sola opción. El resultado fue el siguiente:

El siguiente diagrama es el gráfico de barras de una encuesta sobre chocolates en la ciudad de Lima. Cantidad de habitantes

Número de personas

Radio Televisión 45

50

Cine

Teatro

35

20

10 000 7 000 5 000

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? 2. ¿Qué tipo de entretenimiento prefiere la mayoría? 3. ¿Cuántas personas prefieren radio o teatro?

A

Católica El siguiente gráfico nos muestra la producción de papa del departamento de Huancayo en los últimos cuatro años. Toneladas de papa

50

2011

B C D E Chocolates 8. ¿Cuál es el chocolate preferido en la ciudad de Lima? Resolución: El preferido es el chocolate C. Rpta.: C 9. ¿Cuál es el chocolate menos consumido en la ciudad de Lima? 10. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate B? 11. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate A o E?

90

80

3 000

40 2012

2013

2014

Año

4. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en dicho departamento en el periodo 2011 – 2013? Resolución: 2011 → 50 toneladas 2012 → 80 toneladas 2013 → 40 toneladas En el periodo 2011 – 2013: 50 + 80 + 40 = 170 toneladas Rpta.: 170 toneladas 5. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en dicho departamento en el periodo 2012 – 2014? 6. ¿En cuántas toneladas disminuyó la producción de 2012 a 2013? 7. Si en 2015 se desea que la producción aumente en un 20% respecto a 2014, ¿cuántas toneladas se deben producir?

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UNI Según el siguiente gráfico circular: Comida Otros 20% 5% Luz/agua Casa 10% 40% Carro 25%

Distribución del presupuesto de la familia Porras

Si la familia Porras tiene un ingreso mensual de S/. 2400, contesta las siguientes preguntas: 12. ¿Cuánto gastan en comida? Resolución: Comida → 20% de S/. 2400 = S/. 480 Rpta.: S/. 480 13. ¿Cuánto gastan en casa? 14. ¿Cuánto más gastan en carro que en luz/agua?

10

ARITMÉTICA 2° SEC

ESTADÍSTICA I

Tarea Integral Las edades de los alumnos del coro de un colegio se distribuyen en la siguiente tabla: EDAD NÚMERO DE ALUMNOS 11 1 12 10 13 7

14

2

1. ¿Cuántos alumnos integran el coro? a) 4 c) 10 e) 20 b) 8 d) 15 2. ¿Qué edad tiene la mayoría de los alumnos? a) 11 c) 13 e) 15 b) 12 d) 14 3. ¿Cuántos alumnos tienen 11 o 13 años? a) 8 c) 10 e) 12 b) 9 d) 11

6. Si en 2015 se desea que la producción aumente en un 20% respecto a 2014, ¿cuántas toneladas se debe producir? a) 100 c) 120 e) 150 b) 110 d) 140 7. ¿Cuántas toneladas de zanahoria se produjeron en dicho departamento, en el período 2011 – 2013? a) 150 c) 170 e) 190 b) 160 d) 180 8. ¿Cuántas toneladas de zanahoria se produjeron en dicho departamento en el período 2012 – 2014? a) 180 c) 200 e) 220 b) 190 d) 210 UNMSM El siguiente diagrama es el gráfico de barras de una encuesta sobre galletas en el colegio Pamer. Cantidad de alumnos 45

4. ¿Cuántos alumnos tienen más de 12 años? a) 7 c) 9 e) 11 b) 8 d) 10

30 25 20

PUCP El siguiente gráfico nos muestra la producción de zanahoria del departamento de Junín en los últimos cuatro años. Toneladas de zanahoria 100 70 60 30 2011 2012 2013 2014 Año 5. ¿En cuántas toneladas disminuyó la producción del año 2012 al 2013? a) 40 c) 50 e) 5 b) 30 d) 10

ARITMÉTICA 2° SEC

A

B C D Galletas

E

9. ¿Cuántos alumnos prefieren la galleta B? a) 20 c) 30 e) 35 b) 25 d) 45 10. ¿Cuántos alumnos prefieren la galleta A o E? a) 40 d) 43 b) 41 e) 45 c) 42 11. ¿Cuál es la galleta preferida en el colegio Pamer? a) Galleta A c) Galleta C e) Galleta E b) Galleta B d) Galleta D 12. ¿Cuál es la galleta menos consumida en el colegio Pamer? a) Galleta A c) Galleta C e) Galleta E b) Galleta B d) Galleta D

11

COLEGIOS GUADALUPE

4 Estadística II Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son los valores que habitualmente se ubican en la parte central de una distribución.

Ejemplo 2: Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos que ocupan las posiciones centrales.

4; 5;

Media aritmética o media (x)

Es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos (numéricos). Ejemplo: Sean los datos: 12; 13; 13; 16; 17; 17; 17 x=

12 + 13 + 13 + 16 + 17 + 17 + 17 = 15 7

Mediana (Me)

Se considera el valor central de los datos ordenados. Ejemplo 1: Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición central. 4; 12; 17; 23; 43 Me

8; 12

Me = 8 + 12 = 10 2

; 13; 17

Moda (Mo)

Es el dato que tiene mayor frecuencia (el que más se repite) Ejemplos: 1; 2; 2; 2; 7: 4 → Mo = 2 5; 3; 4; 5; 7; 2; 4 → Hay dos modas, Mo(1) = 4 y Mo(2) = 5 2; 3; 7; 8; 10 → No hay moda (Ningún dato se repite) Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando. En este caso se observan variables cuantitativas.

Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.

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12

ARITMÉTICA 2° SEC

ESTADÍSTICA II

Trabajando en clase Integral 1. Dada las siguientes calificaciones: 12; 14; 13; 17; 10; 11; 12; 15 Calcula la media aritmética. 2. Según los siguientes datos, calcula su x. 8; 12; 15; 13; 15; 21; 24; 36 3. Según los siguientes datos, calcula su x. 12; 21; 22; 42; 13; 24; 20 Católica 4. Hallar A + B, si: «A» es la media de 3; 4; 5; 6; 8 “B” es la moda de 2; 2; 3; 3; 4; 2 Resolución: 3+4+5+6+8 = 5,2 A= 5 B = 2(el que más se repite) Por lo tanto A + B = 7,2 5. Calcula la media de A y B, sabiendo que: A es la media de 20; 22; 15; 12; 11 B es la moda de 10; 12; 14; 12; 11

Resolución: La moda es 6 (el dato con mayor frecuencia) 9. Según los siguientes datos, calcula la moda: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4; 6 10. El médico Rosales durante todos los días de la semana recibió pacientes que en número eran: 10; 8; 7; 5; 6; 3 y 6 por cada día respectivamente. Calcula la mediana, moda y media. 11. Las edades de diez alumnos de segundo año son las siguientes: 14; 15; 16; 14; 15; 15; 16; 14; 14 y 14. Calcula la media, mediana y moda. Da como respuesta la suma de ellos. UNI 12. Calcula la mediana de los siguientes datos: 14; 16; 25; 36; 18; 12; 11; 16; 14 Resolución: Primero se deben ordenar los datos de menor a mayor. 11; 12; 14; 14; 16; 16; 18; 25; 36 Me

6. De los siguientes datos: 8; 12; 15; 15; 13; 21; 24 y 36. Calcula su media. 7. En la práctica calificada de Aritmética se obtuvieron las siguientes notas de cinco alumnos: 08; 12; 14; 06 y 20. Calcula la mediana respectiva. UNMSM 8. De los siguientes datos: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4 y 6, calcula su moda.

ARITMÉTICA 2° SEC

La mediana es 16. 13. Indica la mediana de los siguientes datos: 12: 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13; 11; 11 14. Tenemos el siguiente grupo de notas de trece alumnos: 16; 15; 13; 12; 13; 13; 12; 11; 16; 08; 07; 11; 08. ¿Cuántos aprobarán si se aprueba con nota mayor a la mediana?

13

COLEGIOS GUADALUPE

ESTADÍSTICA II

Tarea Integral 8. De los siguientes datos calcula la moda: 120; 121; 122; 121; 124; 121; 126; 120; 122 a) 120 c) 121 e) 126 b) 122 d) 124

1. De los siguientes datos, calcula la media aritmética: 4; 12; 5; 7; 8; 6 a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7 2. Según los siguientes datos, calcula su x: 1,20; 1,22; 1,20; 1,18; 1,35 a) 1,20 c) 1,22 e) 1,24 b) 1,21 d) 1,23

UNMSM

3. Según los siguientes datos no agrupados, calcula x: 26; 34; 24; 16; 14; 12; 16; 18 a) 16 c) 18 e) 20 b) 17 d) 19 4. En la última práctica calificada de Aritmética se obtuvieron las siguientes notas de 5 alumnos: 08; 12; 14; 06; 20. Calcula la Me. a) 11 c) 13 e) 15 b) 12 d) 14

9. Las edades de los 10 alumnos de 4to año son las siguientes: 14; 15; 16; 14; 15; 15; 16; 14; 14; 14. Calcula x, Mo, Me. Da como respuesta la suma de ellos. a) 42,3 c) 41,3 e) 44,3 b) 43,2 d) 41,2 (Preguntas del 10 al 12) Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Aritmética, recogiéndose los siguientes datos:

PUCP 5. De los siguientes datos: 10; 12; 12; 16; 11; 17; 18; 22; 19 y 16. Calcula su media. a) 15,3 c) 14,2 e) 13,5 b) 15,2 d) 14,3 6. Después de un examen tomado a diez alumnos, se hizo una encuesta sobre la cantidad de problemas que han resuelto y se obtuvo la siguiente información: 7; 9; 12; 15; 18; 10; 5; 10; 10; 14. Calcula la mediana respectiva. a) 9 c) 11 e) 13 b) 10 d) 12 7. La media de las notas de 25 estudiantes es 12. Si se desea subir 2,5 puntos a cada uno de los 10 desaprobados y aumentar una unidad a cada aprobado, ¿cuál sería el nuevo promedio? a) 14,6 c) 13,6 e) 15,3 b) 12,6 d) 16,3

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10. Calcula la moda para los datos sin agrupar. a) 2 c) 4 e) 10 b) 8 d) 9 11. Calcula la media para los datos sin agrupar: a) 9,5 c) 9,6 e) 9,8 b) 9,2 d) 9,7 12. Calcula la mediana para los datos sin agrupar: a) 8 c) 10 e) 12 b) 9 d) 11 13. De los siguientes datos, calcula la mediana: 16; 15; 16; 14; 14; 15; 14; 14; 14; 15 a) 13,5 c) 15,5 e) 14 b) 14,5 d) 13

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ARITMÉTICA 2° SEC

5 Teoría de conjuntos I La teoría de conjuntos es una división de las Matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. La teoría de conjuntos fue creada por Georg Cantor, aunque George Boole dio los primeros pasos en su libro Investigations of the Laws of thought. El concepto de infinito fue tratado por Zenón de Elea y sus célebres paradojas como la de Aquiles y la tortuga.

1. IDEA DE CONJUNTO



El concepto conjunto, es una noción primitiva intuitiva y por consiguiente, no se puede definir. En la vida diaria usamos palabras tales como colección, grupo, conjunto: YY Una colección de libros YY Un conjunto de sillas YY Un grupo de muchachos

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Por comprensión (método implícito o descriptivo) Se determina enunciando Se determina nombrando una característica común todos sus elementos. a todos sus elementos. A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} A = {2x/x ∈ Z; 0 ≤ x ≤ 5} Por extensión (forma tabular o enumerativa)

2. NOTACIÓN



Es convenio denotar los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas u otros símbolos. Para representar simbólicamente, se escriben sus elementos entre llaves y separados por comas o por un punto y coma. Ejemplos: YY A = {enero, febrero, marzo} YY B = {a, e, i, o, u} YY C = {Ω, £, µ, ∞}

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈) (Elemento ∈ conjunto)

Si a es un elemento del conjunto A, se denota a ∈ A y se lee: el elemento a pertenece al conjunto A. La negación de a ∈ A es a ∉ A y se lee: el elemento a no pertenece al conjunto A. Ejemplo: Dado el conjunto R = {1; a; c; Ω; a}, entonces: a ∈ R b ∉ R Ω ∈ R b ∉ R

ARITMÉTICA 2° SEC

15

5. CARDINAL DE UN CONJUNTO



En términos prácticos, se llama cardinal de un conjunto A, al número de elementos no repetidos de A y se denota por n(A).

6. CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto vacío



Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota por φ o { }.



Conjunto unitario o Singleton



Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.



Conjunto universal



Es aquel conjunto de todos los elementos que habrá de analizarse en un problema propuesto.

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TEORÍA DE CONJUNTOS I

Trabajando en clase Integral 1. Sea A = {7; 9; 13}. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 7∈A ( ) 9∈A ( ) 11 ∈ A ( )

{7} ∈ A ( ) A ∈ 13 ( ) ∅∈A ( )

2. Dados los conjuntos A = {2; {2; 3}} y B = {{2}; 3; {4}} determina la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. {2} ∈ B ( ) {2; 3} ∈ A ( )

2 A ( ) {4} e A ( )

3. El conjunto que determina por comprensión al conjunto R = {1; 3; 5; 7; 9} es: Católica 4. Se conoce que: A = {2; 3; 4; 5; 6; 7}; B = {4; 5; 5; 6; 7; 7} y C = {6; 6; 6; 8}. Calcula: n(A) + n(B) n(C) Resolución: n(A) = 6 6+4 =5 n(B) = 4 2 n(C) = 2

5. Se conoce que R = {r, o, n, a, l, d}; C = {c, y, n, t, h, i, a} y M = {a, r, i, t, m, e, t, i, c, a}. Calcula: n(R) + n(C) + n(M) 6. Indica el n(A) si: A = {x2 + 1 / x ∈ Z, –1 ≤ x ≤ 3} 7. Indica el n(B) si: B = {x + 5 / x ∈ N, –6 ≤ x ≤ 1} UNMSM 8. Si el conjunto R es unitario, calcula (a)(b) B = {a + 2b; 3b – a + 2; 11}

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Resolución: Al ser B un conjunto unitario, entonces solo posee un elemento. Por lo tanto: a + 2b = 11 3b – a + 2 = 11



b=4ya=3

Por lo tanto (a)(b) = (3)(4) = 12

9. Si el conjunto C es unitario, calcula el producto de a y b. C = {2a + b; 3a – b; 15} 10. Determina por comprensión el siguiente conjunto: A = {5; 8; 11; 14; 17} 11. Dados los conjuntos unitarios M y N, calcula el valor de a. M = {a + b, 12} y N = {a – b; 6} UNI 12. Determina la suma de elementos de: M = {3x – 2 ∈ N/5 < 2x + 1 < 9} Resolución: 5 < 2x + 1 < 9 2<x<4 4 < 2x < 8 6 < 3x < 12 2 < x < 4 4 < 3x – 2 < 10

Por lo tanto M = {5; 6; 7; 8; 9} Nos piden 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

13. Calcula la suma de elementos de: C = {2x + 1 ∈ N / 11 < 3x – 1 < 23} 14. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es Singleton? A = {x/x ∈ Z; x < 1} B = {x/x ∈ N; x2 – 2x – 3 = 0} C = {x/x ∈ Z; 7 < 3x < 11}

16

ARITMÉTICA 2° SEC

TEORÍA DE CONJUNTOS I

Tarea Integral 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: A = {a, e, i, o, a} 1. a ∈ A ( )

2. u ∉ A

3. b ∈ A ( )

4. n(A) = 4 ( )

a) VVVV b) VVFF

c) VFVV d) FFVV

( )

e) FFFF

2. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: B = {{a}; a; {1; 2}; Ω} 1. a ∈ B ( )

2. {Ω} ∈ B

3. 2 ∉ B ( )

4. {1; 2} ∈ B ( )

a) VFVV b) VVVV

c) FFVV d) VFVF

( )

6. Determina n(B) B = {x/x ∈ N; 2x < 7} a) 1 c) 3 b) 2 d) 4

7. Si el conjunto A es unitario, calcula a + b + c: A = {a + b; b + c; a + c; 8} a) 11 c) 13 e) 15 b) 12 d) 14 8. Dado el conjunto A = { x ∈N / 8 < x < 29}, calcula 4 n(A). a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 UNMSM

e) VVVF

3. Determina por comprensión el siguiente conjunto: A = {2; 4; 6; 8; 10} a) {2x/x ∈ Z; 1 < x < 5} b) {2x/x ∈ Z; 1 ≤ x ≤ 5} c) {2x/x ∈ Z; 1 ≤ x < 5} d) {2x/x ∈ Z; 1 < x ≤ 5} e) {x/x ∈ Z; 1 ≤ x < 5} 4. Si A = {2; 3; 4; 5; 6} y B = {x + 3/x ∈ A}. Calcula n(B) a) 2 c) 4 e) 6 b) 3 d) 5 PUCP 5. Calcula el cardinal del conjunto A: A = {x/x ∈ N; x + 2 = x – 2} a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3

ARITMÉTICA 2° SEC

e) 5

9. Determina por comprensión el siguiente conjunto: {7; 9; 11; 13; 15} 10. Dados los conjuntos unitarios P y R: P = {x2 + 3; 28} y R = {y + 5; 12} Calcula x – y a) 2 c) 0 e) –5 b) –2 d) 5 11. Calcula la suma de elementos de A si: A = {x2 + 1 / x ∈ Z; –2 ≤ x ≤ 4} a) 32 c) 35 e) 38 b) 33 d) 36 12. Dado el conjunto B = {x/x ∈ N; 10 ≤ x < 15}, calcula la suma de sus elementos. a) 75 b) 85 c) 60 d) 50 e) 45

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6 Teoría de conjuntos II Hay indicios de que George Cantor, considerado como el Padre de la teoría de conjuntos, sufría una psicosis maniaco depresiva. Tuvo una vida triste. Su muerte se produjo cuando estaba hospitalizado por una enfermedad mental, en 1918. Pero sin duda hay que recordarlo por su valor al explorar la naturaleza de lo infinito de un modo absolutamente original, abriendo nuevos e inesperados panoramas. Se consideraba asimismo como aquel que registraba con exactitud, comunicaba y transmitía la teoría recién revelada de los números transfinitos.

1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂)



2. IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS

Un conjunto está incluido, contenido o es subconjunto de otro, si todos los elementos del primero son elementos del segundo. Se denota por ⊂ que se lee está incluido. En caso contrario por ⊄. La inclusión es una relación que se da solo ENTRE CONJUNTOS. Ejemplo: A = {1; 2} y B = {1; 2; 3; 4} entonces A ⊂ B Y se lee A está incluido en B, A está contenido en B o A es subconjunto de B.



OJO:

OJO:

El conjunto vacío o nulo está incluido en todo conjunto.



Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos elementos. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {a; m; o; r} y B = {r; o; m; a} Por lo tanto A = B.

3. CONJUNTO POTENCIA (P(A))



Dado un conjunto A, llamaremos potencia del conjunto A, al conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto A. Se representa P(A). Número de subconjuntos de A = 2n(A) Número de subconjuntos propios = 2n(A) – 1

4. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión o reunión (∪) Intersección (∩) Ejemplo: Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {5; 6; 7}, A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6; 7}, entonces: entonces: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A ∩ B = {4; 5}

Diferencia (–) Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6; 7}, entonces:

A – B = {1; 2; 3} y B – A = {6; 7}

Diferencia simétrica (∆) Intersección (∩) Ejemplo: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y B = {2; 4; 6; 8}, A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 5; 6; 7}, entonces: entonces: A ∆ B = {1; 2; 3; 6; 7} B’ = {1; 3; 5; 7; 9}

5. DIAGRAMA DE CONJUNTOS AoB

B

A

Bailan

Solo A y B Solo A B Ni A ni B

No bailan

HOMBRES MUJERES U

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ARITMÉTICA 2° SEC

TEORÍA DE CONJUNTOS II

Trabajando en clase Integral

Resolución: F = 60

1. Dados los conjuntos A = {1; {2}; 3; 4}, B = {{1}; 2; 3} y C = {1; 2; {3}; 4}, marca V o F según corresponda: a. {1} ⊂ A ( )

b. {1; 2} ⊂ B ( )

c. {1} ⊂ B ( )

d. {{2}} ⊂ A ( )

2. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3} y B = {{4}; 3; 2; 1} determina la veracidad (V) o falsedad (F) de: a. A ⊂ B ( )

b. {4} ⊂ B

c. B ⊂ A ( )

d. {2; 4} ⊂ A ( )

( )

3. Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {1; 3; 5}, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? B⊂A

{2; 3; 4} ⊂ B

{3; 5} ⊂ A

{5} ⊄ A

{1; 3} ⊄ B

{2; 5} ⊂ B

Católica 4. Si los conjuntos A y B son iguales, determina x + y: A = {3x + 2; 5y}, B = {30; 29} (x e y son enteros) Resolución: Como A = B, entonces: YY 3x + 2 = 29, entonces x = 9 YY 5y = 30, entonces y = 6 Por lo tanto: x + y = 9 + 6 = 15 5. Si los conjuntos P y Q son iguales, además a y b son enteros. Determina a + b: P = {2a + 1; 4b} y Q = {19; 32} 6. Un conjunto A tiene 16 subconjuntos. Si n(A) x n(C) = 24, ¿cuántos subconjuntos tiene C? 7. Si para dos conjuntos A y B se cumple: n(A) – n(B) = 2 y además 2n(A) – 2n(B) = 768; calcula n(A) – 1

10

B = 90 x 150

x = 50

9. En un avión hay 180 personas, de las cuales 80 fuman y 100 beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben si se sabe que hay 50 personas que solamente beben? 10. De 500 integrantes de un club deportivo, 200 se inscribieron en karate y 340 en boxeo. Si 50 no se inscribieron en ninguna de las dos disciplinas, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas? 11. De los deportistas de la plana de aritmética se supo que 9 practican fútbol y natación, 5 no practican estos deportes, 20 practican solamente natación y 13 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas hay en dicha plana? UNI 12. Nancy desayuna panetón o galleta cada mañana del mes de Octubre. Si come panetón 19 mañanas y galletas 27 mañanas, ¿cuál es la suma de los dígitos del número de mañanas que comió galletas y panetón? Resolución: P = 19 G = 27 4

x = 15 ∴1+5=6

x

12 31

UNMSM

13. Cynthia desayuna jamón o queso cada mañana del mes de noviembre. Si come jamón 15 mañanas y queso 22 mañanas, ¿cuántas mañanas comió queso y jamón?

8. En un avión hay 150 personas, de las cuales 60 fuman y 90 beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben si se sabe que hay 10 personas que solamente fuman?

14. En la fiesta de cachimbos de la UNI había 97 personas entre hombres y mujeres. En determinado momento 15 hombres y 6 mujeres no bailaban. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta?

ARITMÉTICA 2° SEC

19

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TEORÍA DE CONJUNTOS II

Tarea a) 32 b) 64

Integral 1. Dados los conjuntos A = {6; {2}; 3; 4}, B = {{6}; 2; 3} y C = {6; 2; {3}; 4}, marca V o F según corresponda: a. {6} ⊂ A ( )

b. {6; 2} ⊂ B ( )

c. {6} ⊂ B ( )

d. {{2}} ⊂ C ( )

a) VFFF b) VVFF

c) VFVF d) FFFF

e) FFVV

2. Dados los conjuntos A = {3; {6}; 9; {11}} determina la veracidad (V) o falsedad (F) de: a. {3} ⊂ A ( )

b. {{11}} ⊂ A ( )

c. {6} ⊂ A ( )

d. {9; 3} ⊂ A

a) VVFV b) VVVV

c) VFVF d) FVFV

( )

e) FFFF

3. Si A = {3; 4; 5; 6; 7} y B = {3; 5; 7} ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? B⊂A

{6; 5; 4} ⊂ B

{7; 5} ⊂ A

{7} ⊄ A

{5; 3} ⊄ B

{4; 7} ⊂ B

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

4. Si A = {a + b; 7} y B = {a – b; 13} son conjuntos iguales, entonces calcula a2 + b2. a) 99 c) 108 e) 109 b) 112 d) 121 PUCP 5. Un conjunto A tiene 32 subconjuntos. Si n(A) x n(C) = 30, ¿cuántos subconjuntos tiene C?

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c) 27 d) 16

e) 23

6. Si para dos conjuntos A y B se cumple: n(A) – n(B) = 3 y además 2n(A) – 2n(B) = 896; calcula n(A) – 1. a) 6 c) 8 e) 10 b) 7 d) 9 7. Si se sabe que n(A ∪ B) = 12, n(A) = 5 y n(A ∩ B) = 3, calcula n(B). a) 7 c) 9 e) 11 b) 8 d) 10 8. En un salón de 110 alumnos de la academia Pamer, se observa: 40 son hombres. 40 mujeres postulan a las UNMSM. 60 alumnos postulan a la UNI. Si solo se puede postular a una universidad, ¿cuántas mujeres postulan a la UNMSM? a) 20 c) 40 e) 60 b) 30 d) 50 UNMSM 9. De un grupo de 80 alumnos, 40 estudian inglés, 32, francés y 14 otros idiomas. ¿Cuántos estudian inglés y francés? a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7 10. De una clase de 75 alumnos, 50 estudian el fin de semana, 27 de lunes a viernes y 9 no estudian. ¿Cuántos estudian toda la semana? a) 11 c) 13 e) 15 b) 12 d) 14 11. De un grupo de 150 alumnos, 83 no estudian Biología, 79 no estudian Física y 47 no estudian ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos estudian solo un curso?

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ARITMÉTICA 2° SEC

7 Lógica proposicional I La lógica aristotélica es la lógica basada en los trabajos del filósofo griego Aristóteles, quien es ampliamente reconocido como el padre fundador de la lógica. Sus trabajos principales sobre la materia tradicionalmente se agrupan bajo el nombre Órganon «herramienta», y constituyen la primera investigación sistemática acerca de los principios del razonamiento válido o correcto. Para Aristóteles, la lógica era una herramienta necesaria para adentrarse en el mundo de la filosofía y la ciencia. Sus propuestas ejercieron una influencia sin par durante más de dos milenios.

I. DEFINICIÓN



Parte de la Matemática que estudia las proposiciones y las relaciones que hay entre ellas, así como las funciones que cumplen.

II. ENUNCIADO



Se llama enunciado a toda frase u oración que se utiliza en el lenguaje común. • ¡Ayuda! • ¿Qué hora es? • La capital del Perú es Lima.





2. Compuestas

III. PROPOSICIÓN LÓGICA



Es un enunciado u oración aseverativa que tiene la característica de ser verdadero o falso.



Denominada también atómicas o nomádicas.

También denominadas moleculares. Constituidas por dos o más proposiciones simples; y también cuando presentan adverbio de negación. ●● Ronald es profesor y Humberto ingeniero. ●● Si estudias entonces aprobarás. ●● Perú no clasificó al mundial.

V. NOTACIÓN



IV. CLASES DE PROPOSICIÓN 1. Simples

Son oraciones que expresan una sola idea. Ejemplos: YY La Tierra es redonda. YY Juan es abogado. YY Pedro y Juan son hermanos.

Las proposiciones pueden ser analizadas en tablas de verdad, y se representan con letras minúsculas, que pueden ser: p, q, r, s, t, …

Trabajando en clase Integral 1. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. ¿Qué hora es? II. 5 + 2 = 8 III. ¡Alto! IV. Lima es la capital de Perú V. Hola

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21

2. De los siguientes enunciados, ¿cuáles no son proposiciones lógicas? I. 10 – 4 = 14 II. 6 < 3 III. ¡Qué hermoso día! IV. Messi es peruano V. ¿Cuál es tu nombre? VI. Silencio

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LÓGICA PROPOSICIONAL I 3. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. ¿Qué día es? II. ¡Ayúdame! III. La capital de Perú es Quito. IV. Juan es doctor. V. 2x = 10 Católica 4. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. 5 es número par. II. El auto es nuevo. III. X + 3 = 5 IV. El gato es un mamífero. V. ¿Qué hora es? Resolución: Las proposiciones lógicas son: I, II y IV 5. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. X + 2 < 5 II. El perro ladra III. ¿Te sientes bien? IV. Mañana es jueves 6. Determina cuántas son proposiciones lógicas. I. Desearía ir a la playa. II. ¡Aprobé aritmética! III. Si 2 = 2, entonces 5 = 6. IV. Pedro es doctor. V. 3x > 19 7. Determina cuántos no son proposiciones lógicas. I. ¡Arriba Perú! II. ( 9 + 5 = 7) o (2 = 2) III. Tengo hambre IV. Oswaldo es delgado. V. No es cierto que Michel estudia. VI. Colombia es un país Europeo. UNMSM 8. ¿Cuántas proposiciones son simples? YY Maradona es peruano. YY 23 < 24 YY ¡Buenos días! YY Si hoy es e lunes entonces mañana es miércoles. YY Nancy y Ronald son hermanos. Resolución: YY Maradona es peruano → P. simple YY 23 < 24 → P. simple YY ¡Buenos días! → No es proposición. YY Si hoy es lunes entonces mañana es miércoles

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→ P. compuesta

YY Nancy y Ronald son hermanos → P. simple

Son 3 proposiciones simples

9. ¿Cuántas proposiciones son simples? YY Claudio Pizarro no es peruano. YY Perú es un país europeo. YY Federer es futbolista o tenista. YY Farfán y Vargas son futbolistas. YY Gastón Acurio es chef. 10. ¿Cuántas proposiciones son simples? YY Selena es cantante y Cristiano Ronaldo es futbolista. YY Lady Gaga y Madonna son cantantes. YY Perú y Chile están en América. YY Nadine y Ollanta son esposos. YY Pedro y Juan son hermanos. 11. ¿Cuántas proposiciones son compuestas? YY Gustavo es estadístico. YY Ronald es karateca y nadador. YY Si Humberto es ingeniero entonces es profesional. YY No es cierto que Venezuela es un país europeo. YY 5 no es un número par. UNI 12. ¿Cuántas proposiciones son atómicas? YY Juan y Miguel son cuñados. YY 12 < 12 YY No es cierto que Alejandro estudie. YY ¡Me fallaste! YY Pedro y Ana son esposos. Resolución: YY Juan y Miguel son cuñados → Atómica YY 12 < 12 → Atómica YY No es cierto que Alejandro estudie → Molecular YY ¡Me fallaste! → No es proposición YY Pedro y Ana son esposos → Atómica Son 3 atómicas. 13. ¿Cuántas proposiciones son moleculares? YY Quisiera vivir en Madrid. YY Perú no es un país asiático. YY La capital de Venezuela es Caracas. YY Humberto y Oswaldo son ingenieros. YY Si Patty estudia entonces aprobará el examen. 14. Expresa en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones: YY América y África son continentes. YY Manuel es médico o abogado. YY Flor no es profesora. YY Si Cynthia estudia entonces aprobará el examen.

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ARITMÉTICA 2° SEC

LÓGICA PROPOSICIONAL I

Tarea PUCP

Integral 1. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. ¿Qué DÍA es? II. 9 + 1 = 8 III. ¡AYUDA! IV. El Cairo es la capital de Egipto. V. Adiós. a) I y II c) II y IV e) II b) II y III d) IV 2. De los siguientes enunciados, ¿cuáles no son proposiciones lógicas? I. 20 – 14 = 18 II. 3 < 6 III. ¡Qué hermoso salón! IV. Maradona es peruano V. ¿Cuál es tu edad? VI. Siéntate a) III, V, VI c) I, II, III e) III, VI b) II, VI d) V, VI 3. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones lógicas? I. ¿Qué día es? II. ¡Ayúdame! III. La capital de Perú es Quito. IV. Victoria es inteligente. V. 7x = 147 a) III, V c) I, II, III e) III, IV b) II, V d) V, IV 4. ¿Cuántas proposiciones son simples? I. 4 > 4 II. ¡Ayúdame! III. 18 – 8 = 10 IV. ¿Vamos al cine? V. Permíteme a) 2 c) 3 e) 5 b) 0 d) 4

ARITMÉTICA 2° SEC

5. Determina cuántas son proposiciones lógicas. I. 121 es un número capicúa. II. Léelo en voz alta. III. ¿Entiendes al profesor de aritmética? IV. Ojalá ingreses. V. 6 es múltiplo de 18. a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3 6. Determina cuántas no son proposiciones lógicas. I. Ana y Arturo son esposos. II. El delfín es un mamífero. III. X > 12 IV. ¿Qué hora tienes? V. ¿Me quieres? a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 7. Determina el valor de veracidad de los siguientes enunciados: Y El Cairo es la capital de Egipto. Y 2+5=7 Y El delfín es un anfibio. Y La manzana es una fruta. a) VVFF c) FFVF e) FVFV b) VVFV d) FVVV 8. Determina el valor de verdad de los siguientes enunciados: Y Ollanta Humala es el actual presidente del Perú. Y La capital de Venezuela es Caracas. Y 5 + 6 > 12 – 5 Y 4! = 24 Y Aritmética es un curso del área de Comunicación. a) VVFVF c) FVFVF e) VVVVV b) FFVVF d) VVVVF 9. ¿Cuántas proposiciones son simples? Y María y Mario son primos. Y Eva y Eduardo son ingenieros. Y Toledo es economista y peruano. Y Ronald y Cynthia son esposos. Y Perú y Ecuador son países limítrofes. a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3

23

COLEGIOS GUADALUPE

8 Lógica proposicional II I. CONECTIVOS LÓGICOS



U

OPERADORES

p V F

∼p F V



q V F V F

p∧q V F F F

Se lee: ●● No «p» ●● No es cierto que «p». ●● No es el caso que «p»



Se lee: ●● «p» y «q» ●● «p» además «q» ●● «p» pero «q»



c) La disyunción inclusiva (∨) p V V F F



q V F V F

p∨q V V V F



Se lee: ●● «p» o «q»

d) La condicional (→) p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

q V F V F

p↔q V F F V

Se lee: ●● «p» si y solo si «q»

II. TABLA DE VERDAD



b) La conjunción (∧) p V V F F

e) La bicondicional (↔) p V V F F

A partir de dos proposiciones dadas podemos formar una tercera, si las unimos mediante expresiones como y; o; si... entonces... si y solo si..., etc. A estas expresiones de enlace, las llamaremos conectivas u operadores lógicos.

a) La negación (∼)





Se lee: ●● Si «p» entonces «q»

COLEGIOS GUADALUPE

24

A la repesentación de proposiciones compuestas mediante conectivos lógicos y signos de colección se le llama fórmula proposicional. Para determinar todas las combinaciones de los valores de verdad de los componentes de una fórmula, se utiliza la tabla de verdad. p

q

4 1 2 3 1 p ∧ [(∼p → q) ∨ ∼q]

V

V

V V

FV V V V FV

V

F

V V

FV V F V VF

F

V

F F

VF V V V FV

F

F

F F

VF F F V VF

Los números indican el orden en que se han desarrollado los conectivos, siendo el resultado final de la evaluación la columna debajo del numero 4. De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos: YY Tautología, si la matriz principal resulta verdadera para cualquier caso. YY Contradicción, si la matriz principal resulta falsa para cualquier caso. YY Contingencia, si no es tautología ni contradicción.

Observación: El número de posibles combinaciones de los valores de verdad de n proposiciones componentes es 2n.

ARITMÉTICA 2° SEC

LÓGICA PROPOSICIONAL II

Trabajando en clase Integral

9. Si: p : 3 + 5 ≠ 6 q : 7 > –8 r : 16 – 15 = 0 determina el valor de (p ∧ q) ∧ ∼r.

1. Calcula el valor de verdad de: p → q, si p = F y q = V 2. Calcula el valor de verdad de: p ∧ ∼q, si p = V y q = F

10. ¿Cuántas combinaciones posibles de los valores de verdad existen para los componentes p, q, r y s?

3. Calcula el valor de verdad del siguiente molecular, si P = V, q = V y r = F (p ↔ q) ∧ ∼r. Católica 4. Si ∼(p ∨ q) es verdadero, determina el valor de p y q. Resolución: ∼(p ∨ q) p ∨ q p=F

V

F

q=F

5. Si (p ∧ q) → r es falso, determina el valor de p, q y r.

11. Según la matriz principal, la siguiente proposición es: (p ∧ q) → p UNI 12. Según la matriz principal, la siguiente proposición es: (p → q) ∨ p Resolución: Para determinar el tipo de proposición evaluamos mediante la tabla de verdad.

6. Si p = F, q = V, r = F y s = F, calcula el valor de verdad del siguiente esquema molecular: (r ∧ s) → (p ↔ q)

q

1 2 (p → q) ∨ p

V V

V V V VV

V F

V F F VV

7. Si (p ↔ r) ∧ r ≡ V, determina los valores de p y r.

F V

F V V VF

F

F V V VF

p

UNMSM 8. Si: p = 2 + 2 ≠ 4 q : 3 ≥ 2 r : 2 – 1 = 0 determina el valor de (p → q) ∧ r Resolución: p : F (p → q) ∧ r q : V ≡ (F → V) ∧ F r : F ≡ V ∧ F ≡ F

ARITMÉTICA 2° SEC

F

Como todos los valores en la matriz principal son verdaderos, la proposición es una TAUTOLOGÍA.

Matriz principal 13. Según la matriz principal la siguiente proposición es: (p → q) ∧ (p ∧ ∼p) 14. La siguiente proposición es: ∼(∼p ∧ q) → (p ∨ ∼q)

25

COLEGIOS GUADALUPE

LÓGICA PROPOSICIONAL II

Tarea Integral 1. Calcula el valor de verdad de: p → ∼q (p = V ; q = V) a) V d) a y b b) F e) a o b c) Tautología 2. Calcula el valor de verdad de: p ∨ ∼q si: p = F y q = V a) V d) a y b b) F e) V o F c) Tautología 3. Calcula el valor de verdad del siguiente esquema molecular Si: p = V, q = V y r = F: p ∨ (q → r) a) V d) a y b b) F e) V o F c) Contradicción 4. ¿Cuántas combinaciones posibles de los valores de verdad existen para los componentes p, q y r? a) 4 d) 12 b) 6 e) 16 c) 8 PUCP 5. Si p = V, q = V y r = F; determina el valor de verdad del siguiente esquema molecular: (q → r) ∨ (p ↔ q) a) V d) a y b b) F e) V o F c) Tautología

COLEGIOS GUADALUPE

6. Si ∼(p ∨ q) → r ≡ F, determina los valores de p; q y r. a) VVV d) FVV b) VFF e) FVF c) FFF 7. Si ∼(p → q) es verdadero, determina los valores de p y q. a) VV d) FF b) VF e) a y d c) FV 8. Si: p: Lima es la capital de Perú q: (7 – 2)2 = 25 r: 4! = 20 determina el valor de (p → q) ∨ r a) V d) a y b b) F e) Contradicción c) Tautología UNMSM 9. ¿Cuántas combinaciones posibles de los valores de verdad existen para los componentes p, q, r, s y t? a) 16 d) 64 b) 25 e) 8 c) 32 10. Según la matriz, la siguiente proposición es: (p ↔ q) ∨ ∼p a) Tautología d) Válida b) Contradicción e) Equivalente c) Contingencia 11. La siguiente proposición es: ∼(q ∨ ∼p) ∨ (q → p) a) Tautología d) Válida b) Contradicción e) Equivalente c) Contingencia

26

ARITMÉTICA 2° SEC

Álgebra 2° DE SECUNDARIA

1 Relaciones I. PAR ORDENADO Abscisa



(x; y)

Propiedades

Ordenada

AxB≠BxA

Gráfica de pares ordenados

Grafica A = (3; 5) C = (–2; –3) B = (–3; 4)

(B) El número de elementos del producto cartesiano de A x B es igual al producto del número de elementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B.

B = (–3; 4) D = (7; –4)

y(Eje de ordenadas) A = (3; 5)

n(A x B) = n(A) x n(B)

III.RELACIÓN



x (Eje de abscisas)



C = (–2; –3) D = (7; –4)

A = (3; 5) C = (–2; –3)

B = (–3; 4) D = (7; –4)

II. PRODUCTO CARTESIANO



Dados dos conjuntos no vacíos A y B; definimos el producto cartesiano de A por B denotado por A x B; como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B. A x B = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}

R = {(x; y) ∈ A x B / x R y} Regla de correspondencia Ejemplo: En el conjunto A = {1, 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9} Escribe los pares que cumplen las siguientes relaciones (A) R1 = {(a; b) / «a» es el doble de «b»} R1 = {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4)}

IV. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN



Resolución a) A x B = {2; 3} x {4; 5, 6} A x B = {(2; 4)(2; 5)(2; 6)(3; 4)(3; 5)(3; 6}

Dada la siguiente relación:

R = {(5; 3)(2; 1)(–1; 4)(0; 6)(2; 1)} Dominio: DR = {–1; 0; 2; 5} (Se toma las primeras componentes)

b) B x A = {4; 5; 6} x {2; 3} B x A = {(4; 2)(4; 3)(5; 2)(5; 3)(6; 2)(6; 3)}

ÁLGEBRA 2° SEC

Sean A y B dos conjuntos no vacíos; se llama relación de A en B a todo subconjunto R de A x B; es decir: R es una relación de A en B ↔ R ⊂ A x B

(B) R2 = {(a; b) / «a» es igual a «b»} R2 ={(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6),(7;7),(8;8),(9;9)}

Ejemplos: Dados los conjuntos A = {2; 3} B = {4; 5; 6}



(A) El producto cartesiano no es conmutativo.

Rango: RR = {1; 3; 4; 6}

29

(Se toma las segundas componentes)

COLEGIOS GUADALUPE

RELACIONES

Trabajando en clase Integral 1. Grafica e indica al cuadrante al que pertenece: (5; –9) 2. Grafica los siguientes puntos: A = (–5; 0) B = (0; 4)

9.

R = {(x; y) ∈ A x B / x + y = 2} 10. Dados los conjuntos: A = {2; 4} B = {6; 4; 8} Señala el dominio de la siguiente relación:

3. Si: A = {3; –1; 2} B = {0; 2} Calcula: A x B

R = {(x; y) ∈ A x B / y = 2x}

Católica 4. Calcula: n(A x B); dados los conjuntos: A = {3; –1; 0; 4} B = {–2; 5} Resolución: Por propiedad: n(A x B) = n(A) x n(B) n(A x B) = 4 x 2 n(A x B) = 8 5. Calcula: n(B x A); dados los conjuntos: A = {13; –1; 5, 4} B = {–7; 5, 0} 6. Si: A = {–3; 2}; calcula: A2 7. Si: B = {–1; 0; 1}; calcula: n(B2) UNMSM 8.



Dados los conjuntos: A = {2; –1; 0} B = {1; 3} Señala el número de elementos que tiene la siguiente relación

Dados los conjuntos A = {3; 2} B = {–2; 0; –1} Señala el número de elementos que tiene la siguiente relación: R = {(x; y) ∈ A x B / x + y = 2} Resolución: Primero desarrollamos A x B pues R ⊂ A x B A x B = {(3; –2)(3; 0)(3; –1)(2; –2)(2; 0)(2; –1)} Los elementos que cumplen la relación x + y = 2 son: (3; –1)(2; 0) → R = {(3; –1)(2, 0)} ∴ R tiene 2 elementos.

COLEGIOS GUADALUPE

11. Dados los conjuntos: A = {1; 4; 6} B = {3; 5; 9} Determina la suma de los elementos del rango de la siguiente relación: R = {(x; y) ∈ B x A / x < y} UNI 12. Dados los conjuntos: A = {x ∈ Z / –3 < x < 1} B = {x ∈ Z / 0 < x < 5} Calcula: A x B Resolución: A = {x ∈ Z / –3 < x < 3} → A = {–2; –1; 0; 1; 2} B = {x ∈ Z / 0 < x < 5} → B = {1; 2; 3; 4} Luego: A x B = {(–2; 1)(–2; 2)(–2; 3)(–2; 4)(–1;1)(–1; 2) (–1; 3)(–1; 4)(0; 1)(0, 2)(0, 3)(0; 4)(1; 1) (1; 2)(1; 3)(1; 4)(2; 1)(2; 2)(2; 3)(2; 4)} 13. Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / –4 < x < 1} B = {x ∈ Z / 8 < x < 12} Calcula: A x B 14. Dado el conjunto: A = {x ∈ Z / 6 < x + 2 < 9} Calcula: A2

30

ÁLGEBRA 2° SEC

RELACIONES

Tarea Integral 1. Grafica e indica al cuadrante al que pertenece: (–7; 8) a) I c) III e) Eje x b) II d) IV 2. Grafica los siguientes puntos: (–3; 9); (–2; 0) 3. Si: A = {–5; 2; 4} B = {0; –1} Calcula: «B x A» a) {(0; 2)(0; 4)(–1; 2)(–1; 4)} b) {(0; –5)(–1; –5)(0; 2)(0; 4)(–1; 2)(–1; 4)} c) {(–5; 0)(–5; –1)(2; 0)(2; –1)(4; 0)(4; –1)} d) {(–5; –1)(2; –1)(4; –1)} e) {0; –5; –2; –4} 4. Calcula el valor de «a – b» si se cumple que: (2a – 1; 5) = (3; b – 1) a) 8 c) 12 e) –4 b) 4 d) 6 PUCP 5. Si: A = {–1; 0; 2}, calcula «A2». a) {1; 0; 4} b) {(–1; –1)(0; 0)(2; 2)} c) {(2; 0)(2; –1)(0; 2)(–1; 2)} d) {(–1; –1)(–1; 0)(–1; 2)(0; –1)(0; 0)(0; 2)} e) {(–1; –1)(–1; 0)(–1; 2)(0; –1)(0; 0)(0; 2)(2; –1) (2; 0)(2; 2)} 6. Si: B = {2; 4; 6}; calcula: n(B2) a) 8 c) 5 b) 7 d) 9

e) 6

ÁLGEBRA 2° SEC

7. Dados los conjuntos: A = {–2; 0; 2} B = {3; 5} n(A) + n(A x B) Calcula:

n(B x A) – n(B)

a) 9/4 b) 9/8

c) –9/4 d) 4/9

e) 3/4

8. Si: A = {–1; 0; 3}; B = {0; 2; 4} y la relación R = {(x; y) ∈ A x B/x < y} indica el rango. a) {0; 2; 4} c) {–1; 3; 2} e) {2; 4; 1} b) {0; 2} d) {–1; 0; 3} UNMSM 9. Dados los conjuntos: A = {3; 4}, B = {–2; 6; 5} señala el número de elemetos que tiene la siguiente relación: R = {(x; y) ∈ A x B / x + y = 2} a) 1 c) 0 e) 4 b) 3 d) 2 10. Dados los conjuntos: A = {0; 2}, B = {1; 5; –2}; determina el número de elementos que tiene la relación: R = {(x; y) ∈ B x A / x > y} a) 6 c) 3 e) 4 b) 2 d) 5 11. Si: A = {2; 3; 4}, B = {3; 4; 5; 6} y la relación R = {(x; y) ∈ A x B / x – y = 1} Calcula: n(R) a) 2 c) 3 e) 1 b) 0 d) 4 12. Si: A = {2; 4} y la relación R = {(x; y) ∈ A2 / x + y = 6} Calcula la suma de elementos del dominio de R. a) 8 c) 6 e) 4 b) 2 d) 10

31

COLEGIOS GUADALUPE

2 Funciones I A continuación estudiaremos una clase especial de relaciones llamadas funciones de A en B.

I. DEFINICIÓN



Vemos que es necesario que se cubra a todo el conjunto B. 2) Graficando: g = {(1; b)(1; c)(2; a)(3; e)}



Dados dos conjuntos no vacíos A y B y una relación F ⊂ A x B, definimos a F como función de A en B si y solamente si, para cada x ∈ A existe a lo más un elemento y ∈ B, tal que el par ordenado (x; y) ∈ F Esto significa que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. f = {(x; y) ∈ A x B / ∀ x ∈ A; ∃ a los más un elemento y ∈ B} Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1; 2, 3} y B = {a; b; c; d; e} serán funciones? 1) f = {(1; b)(2; a)(3, d)} 2) g = {(1; b)(1; c)(2; a)(3; e)} Resolución: 1) Graficando: f = {(1; b), (2; a), (3; d)}

f 2 3



2

3

B

Diagrama Cartesiano

e d c b a 2

3



Sea: f: A → B; una función



Dominio de una función (Df )



Rango de una función (Rf )



A

Es el conjunto denotado por Df, que agrupa a todas las primeras componentes de los pares ordenados (a; b) ∈ f. Ejemplo: f = {(–2; 3)(1; 4)(0, 1)} → Df = {–2; 1; 0}

B

1

3

II. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Diagrama Cartesiano e d c b a

2

B

a b c d e

No es una función de A → B, porque a un mismo elemento de A; «el 1» le corresponde dos elementos de B, que son «b» y «c», incumpliendo con la definición de función. Sin embargo es una relación.

B

a b c d e

1

1

1

Diagrama sagital A

A

Diagrama sagital f



A

Si es una función de A → B; porque a cada elemento de A le corresponde uno y solamente un único elemento de B.

COLEGIOS GUADALUPE

32

Es el conjunto denotado por Rf, que agrupa a todas las segundas componentes de los pares ordenados (a; b) ∈ f. Ejemplo: f = {(5; 3)(2; 1)(–1, 2)} → Rf = {3; 1; 2}

ÁLGEBRA 2° SEC

FUNCIONES I

Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a una función? f I. A

–4

0

6

8

2

–9

B

5. 6.

Calcula el rango de la función F = {(2; 8)(–9; 4)(–11; 7)(14; 16)} Sea la función F = {(2; 6)(–4; 5)(13; –3)(–7; 8)} Además «m» es la suma de elementos del dominio y «n» es la suma de elementos del rango, calcula: «m – n» 7. Según la siguiente gráfica de la función F f A B 7 4

f II. A

B

1

–4

3



–7

5

3

2

B

–5

–1

5

16

2

calcula: A =

F(4) + F(–2)

F(16)

UNMSM

f III. A

–2

8 f

IV. A

B 4

6

5

7

2. ¿Cuál de las siguientes relaciones no representa a una función? a) R = {(4; 3)(2; 5)(5; 7)} b) R = {(–2; 0)(–2; –2)(–5; 4)} c) R = {(–4; 3)(3; 3)(7; 3)} d) R = {(5; 5)(9; –4)(–4; 8)} e) R = {(2; 3)(3; 2)} 3. Sea la función F F = {(1; 3)(2; 4)(1; a + 1)(5; 6)} Calcula «a» Católica 4. Calcula el dominio de la función F = {(4; 6)(–3; 1)(6; 4)(15; ­–9)}

ÁLGEBRA 2° SEC

8. 9.

Si: F = {(2; a – 7)(5; b + 3)(2; –4)(5; 3)} es función, calcula «a + b» Si: F = {(3; m – 1)(4; n + 2)(3; –5)(4; 7)} es función, calcula «m.n» 10. Según la gráfica f A B 3 

 

–5 7

Calcula: A = f() + f() + f() 11. Si: F = {(3; a + 9)(5; 6)(3; 6)(5; b – 3)} es una función, calcula «a – b» UNI 12. Sea la función: F = {(1; 5)(–2; 3)(4; 5)(–1; 2)} F(–2) + F(4) Calcula: A = F(1) + F(–1) 13. Sea la función G = {(–1; 2)(3; 4)(0; 12)} G(–1) G(3) + G(0) Calcula: B = 14. Sea la función: F = {(2; a + 2)(9; 7)(2; 5)(9; b + 3)(a, 7)(b; 1)} Calcula la suma de los elementos del dominio.

33

COLEGIOS GUADALUPE

FUNCIONES I

Tarea Integral 1. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función? f I. A

–5

7

6

2

4

3

B

3. Sea la función F calcula el valor de «b». F = {(0; 2)(–1; 5)(2; 3)(0; b – 1)} a) 1 c) 4 e) 2 b) 0 d) 3 4. Dada la función: F = {(4; 2m – 1)(–2; n – 5)(4; 5)(–2; 2)} Calcula: «m – n» a) 3 c) –4 e) 10 b) 4 d) 5

f II. A

4

0

–1

2

–4

5

PUCP

B

5. Sea la función: F = {(2; 3)(0; –1)(–1; 5)(4, 6)} Además «m» es la suma de elementos del dominio y «n» es la suma de elementos del rango; calcula «m + n» a) 18 c) 65 e) 8 b) 5 d) 13

f III. A

5

4

–3 1 2 IV. A

3 2

6. Según la gráfica: A 3

f B

–1 –2

B

5

–3 a) II; III b) I; IV

Calcula: c) I; III d) I; II

e) I; III; IV

2. ¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? a. {(–1; 3)(2; 4)(0; 5)(–2; 4)} b. {(3; 5)(7; 2)(3; 4)(–5; 1)} c. {(2; –1)(3; –1)(4; –1)(5; –1)} d. {(1; 6)(–2; 4)(1; 6)(–5; 2)} e. {(0; 1)(2; 3)(4; 5)(6; 7)} a) a; c; e c) a; c; d; e e) a; b; c b) a; c; d d) a; c; e

COLEGIOS GUADALUPE

f 5

2

7

–1

–4

4

2

A=

f(3) – f(–1)

f(2) + f(4)

a) 11/7 c) –11 b) –11/7 d) 11/2 7. Se define la función:

f(x) =

e) –11/5

x + 2; x ≤ 2 x – 1; x > 2

Calcula: f(2) + f(0) f(3) a) 4 c) 2 b) 1 d) 5

34

B

e) 3

ÁLGEBRA 2° SEC

3 Función lineal A. FUNCIÓN LINEAL



Es aquella función determinada por la siguiente regla de correspondencia:

C. CASOS PARTICULARES DE UNA FUNCIÓN LINEAL I. Función identidad Es aquella función en la cual m = 1 ∧ b = 0

f(x) = mx + b o

f(x) = x o y = x

y = mx + b

●● f(x) pasa por el origen de coordenadas.

Donde:

m: pendiente b: intercepto con el eje «y» Dominio de f(x) = R Rango de f(x) = R

Ejemplo:

f(x) = –3x + 5 Pendiente: –3 Intercepto: 5 Dom f(x): R Rango f(x): R

●● Es la bisectriz del I y III cuadrante.

y

0



f(x) = x 45°

x

II. Función constante Es aquella función en la cual m = 0; b ∈ R f(x) = b

o

y=b

●● Es una recta paralela al eje x.

B. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

y

Pasos: 1. Tabular la función 2. Ubicar los puntos en el eje de coordenadas.

o I(x) = x

f(x) = b

b 0

Ejemplo: Grafica

x

f(x) = –3x – 6 Tabulando



x

y

0

6

–2

0

Entonces los puntos a ubicar son (0; 6)(–2; 0) y (0; 6) (–2; 0)



Intercepto 0



x



ÁLGEBRA 2° SEC

35

NOTA: Dada la función f(x) = mx + b Si (3; 5) pertenece a la función; entonces: YY (3; 5) ∈ f(x) → x = 3 ∧ y = 5 Luego el siguiente paso es reemplazar estos valores en la función: f(3) = m(3) + b

COLEGIOS GUADALUPE

FUNCIÓN LINEAL

Trabajando en clase

Tarea

Integral

Integral

1. Calcula la pendiente de la siguiente función lineal. f(x) = 3 – 2x

1. Calcula la pendiente: f(x) = 5 – 4x a) –5 d) 1 b) 5 e) 4 c) –4

2. Calcula el intercepto en: 2x – 4 = y 3. Calcula la pendiente y el intercepto. 2y – 4x + 1 = 0

2. Calcula el intercepto: 3x – 5 = y a) –5 d) 3 b) 5 e) –2 c) –3

Católica 4. Grafica: f(x) = 5x – 10 5. Grafica: 6. Grafica: 7. Grafica:

y = –2x + 12 2x – y + 5 = 0



f(x) = –5 UNMSM

8. Calcula el rango de la función: f(x) = 2x – 1 ; x ∈ 〈2; 4] 9. Calcula el rango de la función: f(x) = 3x – 2; x ∈ 〈3; 5〉 10. Gráfica:

3. Calcula la pendiente y el intercepto: 3y – 5x + 2 = 0 m = –5 b = –2

a) m = 5/3 b = 2/3

d)

b) m = –5 b=2

e) m = –5/3 b = 2/3

c) m = 5/3 b = –2/3

f(x) = –x

11. Calcula la suma de la pendiente con el intercepto: –3x + 4y + 2= 0 UNI 12. Calcula «b» si (2; 3) pertenece a f(x) = 2x + b 13. Calcula «b» si (3; 4) pertenece a f(x) = 3x + b

4. Calcula el intercepto con el eje y. a) 0 y b) 2 (0; 3) c) –2 d) –3 e) 3 (2; 0) 0

x

14. Calcula «m.b» si f(x) = mx + b Además: f(1) = 4 ∧ f(2) = 5

COLEGIOS GUADALUPE

36

ÁLGEBRA 2° SEC

FUNCIÓN LINEAL

8. Calcula el rango de la función: f(x) = 5x – 1; x ∈ 〈2; 4〉 a) 〈9; 19〉 c) 〈–9; 19〉 e) 〈9; 19] b) [9; 19〉 d) [9; 19]

PUCP 5. Grafica: 3x – y + 2 = 0

a)

2 0

–2 3

0

d)

UNMSM

2

9. Grafica: f(x) = 2x y

–2 3 2

b) 0

0

2 3

y 2

b) c)

–2

0 –2 3

–7

0

e)

0

7 0

7

0

x

2

2

0

x

x

3 a)

–3 2

7

0

0

7. Calcula el rango de la función: f(x) = 3x – 2; x ∈ 〈5; 9] a) 〈–13; 25] c) 〈13; 25〉 e) 〈13; 25] b) [13; 25] d) [13; 25〉

d)

0 –3

3

b)

e) 3 2

x

0

3 2

3 –3

c)

–3

ÁLGEBRA 2° SEC

e)

11. Grafica: f(x) = –2x – 3

–7 c)

x

10. Calcula la suma de la pendiente con el intercepto –2x + 3y + 1 = 0 a) 2 c) 1/3 e) –1/3 b) 2/3 d) –1

0 y

b)

–2

2 0

d)

d)

x

y

6. Grafica: f(x) = –7 a)

0

y

0

c)

7

x

0

a)

2

e)

y

37

0 –3 2

COLEGIOS GUADALUPE

4 Logaritmos I I. DEFINICIÓN DE LOGARITMO



Dado un número real a > 0 ∧ a ≠ 1, el logaritmo de un número b > 0 en la base «a»; es el exponente «x» al que debe elevarse «a»; de manera que se cumple que ax = b.

Notación: Logab = x

Que se lee: «x» es el logaritmo del número «b» en la base «a».

Ejemplos: Calcula: LL Log28 = 3 porque 8 = 23 LL Log39 = 2 porque 9 = 32

II. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO

aLogax = x

YY De acuerdo con la definición tenemos que:

Logab = x ⇔ ax = b Donde: b ∈ R+ a ∈ R+ –{1}; x ∈ R

Ejemplos: ●● 13Log137 = 7 ●● 5Log5(x+1) = 6 (x + 1) = 6 x=5

Trabajando en clase Integral 1. Calcula:

B = Log33 + Log39

2. Calcula: A = Log216 – Log5125 + Log327 3. Calcula: A = Log100 + Log6216 – Log5625 Católica 4. Calcula «x» en: 5. Calcula «x» en:

8. Calcula: 9. Calcula: 10. Resuelve: 11. Resuelve:

Log3x = 4

12. Resuelve:

Logx32 = 5

13. Resuelve:

6. Calcula «x» en: Log3(2x – 1) = 3 7. Calcula «x» en: Log2(5x + 1) = 4

COLEGIOS GUADALUPE

14. Calcula:

38

UNMSM A = 8Log85 + 13Log134 B = 5Log510 + 6Log68 – 15Log152 18Log18(x – 3) = 15 10Log(2x – 1) = 3 UNI Log9(5x – 8) = 0 Log8 x –3 2 = 1 A = Log

1

1 2

32

+ Log

9

3 4

16

ÁLGEBRA 2° SEC

LOGARITMO I

Tarea 8. Log 3 (x – 2) = 2

Integral 1. Calcula

2

a) 4 b) 17/4

B = Log55 –Log216 c) 5 e) –3 d) 2

a) 4 b) –2

2. Calcula C = Log381 – Log264 + Log5625 a) 14 c) 2 e) 1 b) –2 d) 3 3. Calcula A = Log2525 – Log100 + Log3243 a) 2 c) –4 e) 8 b) 3 d) 4

a) 6 b) 9

c) –3 d) 1

9. Resuelve a) 10 b) 6

11. Resuelve a) 9 b) 7/2

a) –24/5 b) 24/5 7. Resuelve a) 0 b) 1

e) –3

UNI 13. Resuelve a) 3 b) 1 14. Calcula

Log13(2x – 3) = 0 c) 2 e) 4 d) 0 A = Log 1 3

a) 0 b) 2

Logx(3x – 2) = 1 c) ∅ e) 2 d) 3

ÁLGEBRA 2° SEC

3Log3(x – 1)= 4 c) 2 d) 1

a) 5 b) –1

6. Calcula «x» Log3(5x + 3) = 3 c) 5 e) 5/24 d) 6

e) 4

20Log20(2x – 1) = 8 c) 4 e) 5 d) 9/2

12. Resuelve

5. Calcula «x» a) 3 b) 2

10Log(3x – 4) = 5 c) 5 d) 2

a) 3 b) 1

PUCP Log2(3x – 1) = 3 c) 4 e) –3 d) 1

25Log25(x – 4) = 10 c) 4 e) 1 d) 14

10. Resuelve

8

e) 2

e) 4/17

UNMSM

4. Calcula 1 B = Log6216 – Log4256 + Log 1 2

c) –17/4 d) 17

39

1

27

c) 6 d) 1

– Log 2 3

8

27 e) –1

COLEGIOS GUADALUPE

5 Logaritmos II – Propiedades Si x > 0; y > 0; a ∈ R+ –{1} se cumple lo siguiente:

1. LOGARITMO DE UN PRODUCTO

2. LOGARITMO DE UN COCIENTE Loga xy = Logax – Logay

Loga(x.y) = Logax + Logay Ejemplos: YY Log235 = Log2(5 x 7) = Log25 + Log27

Ejemplos: YY Log3 4 = Log34 – Log37 7 YY Log428 – Log47 ⇒ Log4 28 ⇒ Log44 = 1

YY Log273 + Log279 = Log27(3 x 9) = Log2727 = 1

7

Trabajando en clase Integral 1. Determina el equivalente del siguiente logaritmo A = Log1133 2. Determina el equivalente del siguiente logaritmo B = Log4 9 4 3. Calcula: A = Log287 + Log284 Católica

4. Si: Log72 = a, Log73 = b; Log75 = c Calcular: Log7 6 5 5. Si: Log53 = m, Log57 = n Log511 = p

Calcular: Log5 21 11 6. Calcular: E = Log220 – Log25 Si: Log2 = x; Log3 = y 7. Log5 = z Calcula: Log30

COLEGIOS GUADALUPE

UNMSM 8. Calcula:

E = Log515 + Log52 –56

9. Calcula: F = Log25 + Log8 – Log2 10. Calcula: Log3 8 + Log3 27 3 8 11. Si: A = Log735 – Log75 B = Log93 + Log927 Calcular: BA UNI 12. Si: Log2 = a; Log3 = b Hallar el valor de Log30 13. Si: Log2 = m; Log7 = n Hallar el valor de Log70 14. Calcular: 1 Log 4 + Log 2 – Log 27 2 2 2

3

40

3

3

3

ÁLGEBRA 2° SEC

LOGARITMO II

Tarea a) 1 b) 2

Integral 1. Determina el equivalente del siguiente logaritmo. A = Log721 a) Log73 c) 1 e) 2 b) 1 + Log73 d) 2 + Log73 2. Determina el equivalente del siguiente logaritmo B = Log11 15 11 a) Log1115 – 1 b) Log1115 3. Calcula

c) –1 d) Log112

e) Log115

A = Log612 + Log63 c) 3 e) 5 d) 4

a) 1 b) 2

4. Si: Log5 = x; Log7 = y; Log11 = z Calcular Log 35 11 a) x + y – z c) z + y – z e) z – x – y b) x + y – y d) y – x – z

a) 1 b) 2

F = Log540 – Log58 c) 3 e) 5 d) 4

6. Si Log2 = a; Log3 = b; Log11 = c, calcular Log66 a) b + 2c c) a + b + c e) a – b – c b) a + b d) a + b – c

UNMSM 9. Calcula

M = Log7 13 + Log7 98 2 13

a) 3 b) 1

c) 4 d) 2

e) 5

10. Si: P = Log945 – Log95 Q = Log84 + Log816 Calcular PQ a) 0 c) 2 b) 1 d) 3 11. Calcula

e) 4

M = Log 3 9 + Log 3 3 – Log 3 8 2

2

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

2

e) 5

12. Si: 4 1 A = Log 1 + Log 2 2

4

5

25

B = Log4 32 – Log4 2 3 3 Hallar AB a) 10 b) 12

7. Calcular Log3 8 + Log3 7 + Log3 36 4 8 7

ÁLGEBRA 2° SEC

e) 5

8. Si Log23 = a, indicar el equivalente de Log221 a) a + Log27 c) a + Log7 e) a b) a – Log27 d) a – Log7

PUCP 5. Calcular

c) 3 d) 4

41

c) 14 d) 15

e) 16

COLEGIOS GUADALUPE

6 Logaritmos III 1. CAMBIO DE BASE LogNb Logab = LogNa

Observación: Log34 =

N>0∧N≠1

Cambiamos a base «N». Ejemplos: YY Cambiar Log135 a base 7. Resolución: Log75 Log35 = Log73 Log117 YY Reducir: Log1113 Log117 Log1113 = Log137

Log44 1 = Log43 Log43

2. REGLA DE LA CADENA Logab . Logbc . Logcd = Logad a > 0; a ≠ 1; b > 0; b ≠ 1; c > 0; c ≠ 1; d > 0 Ejemplo: YY Calcula x = Log37.Log711.Log1127

Resolución: x = Log37 . Log711 . Log1127 ⇒ x = Log327 ⇒ x = 3

Trabajando en clase Integral 1. Cambia a base 3 el Log513 2. Cambia a base 5 el Log1225 3. Cambia a base 10 el Log78 Católica 4. Calcula el equivalente de: Log94 Log95

5. Calcula el equivalente de Log58 Log53 6. Calcula:

A = Log217 . Log175 . Log54

UNMSM 8. Si: a = Log35; b = Log37, calcula Log75 9. Si: m = Log97; n = Log94, calcula Log47 10. Si: k = Log 7, calcula Log 5 5 7 11. Si: x = Log25 . Log58

Calcula: Logxy UNI

12. Si: a = Log72 y b = Log73 Calcula Log146 13. Si: m = Log95 y n = Log97 Calcula: Log4535 14. Si: x = Log 3 6.Log2 5 .Log616.Log

7. Si: x = Log27 . Log75 . Log58, calcula Logx27

COLEGIOS GUADALUPE

y = Log717 . Log177

5

3

Calcula: Logx256

42

ÁLGEBRA 2° SEC

LOGARITMO III

Tarea Integral

8. Calcula el equivalente de: Log117 Log113

1. Cambia a base 7 el Log513 a) Log713 b)

Log75 Log713

c)

Log713 Log75

a) Log3 b) Log7

e) Log135

d) Log137

2 Log148

c)

b) Log6414

2 d) Log814

e) Log648

a) Log139 b)

1 Log913

4. Calcula a) 1 b) 2

e) 1

d) Log913

B = Log581 . Log115 . Log311 c) 3 e) 5 d) 4 PUCP

5. Calcula a) 3 b) 1

A = Log45 . Log57 . Log764 c) 2 e) 4 d) 5

6. Si: x = Log9 . Log810 . Log38 Calcula Logx128 a) 5 c) 4 b) 6 d) 3

c) a + 1

b) b

d) b + 1

b a

e) –1

m

d) –m

10. Si: a = Log717 . Log177 b = Log513 . Log13125 Calcula Logba a) 0 c) 2 b) 1 d) 3

e) 4

11. Si x = Log531 . Log317 . Log75 Calcula Log8x a) 1 c) 0 b) 2 d) 3

e) 4

12. Si K = Log75, calcula Log57 a) K + 1 c) –K b) 1 d) –1 K

e) K + 2

UNI e) 7

7. Si: a = Log72 y b = Log78 Calcula Log82 en función de a y b a) a

9. Si: m = Log89, calcula Log98 a) 1 c) 1 b) m + 1

3. Cambia a base 13 el Log913 1 c) Log139

e) 1

UNMSM

2. Cambia a base 8 el Log1464 a) Log814

c) Log73 d) Log37

e) a

ÁLGEBRA 2° SEC

13. Si a = Log27 y b = Log23 Calcula Log621 a)

a+b b+1

c)

a+b b–1

b)

a–b b+1

d)

a–b b–1

43

e)

b–a 1–b

COLEGIOS GUADALUPE

7 Logaritmos IV RESOLUCIÓN DE ECUACIONES UTILIZANDO PROPIEDADES DE LOGARITMOS Para resolver los ejercicios de este tema, debemos recordar las definiciones y propiedades de logaritmos. Que son: 1. Logba = x ↔ bx = a; ∀ b ∈ R+; b ≠ 1 ∧ ∀ a ∈ R+ 2. Logba + Logbc = Logb(ac); b > 0; b ≠ 1; a; c ∈ R+ 3. Logb ac = Logba – Logbc; b > 0; b ≠ 1; ac > 0 4. Logba =

LogMa ;M>0∧M≠1 LogMb

5. Logba =

1 ; b > 0; b ≠ 1; a > 0; a ≠ 1 Logab

Trabajando en clase UNMSM

Integral 1. Calcula «x» en Logx8 = 3 2. Calcula «x» en Log2x = 4 3. Resuelve: Log3(2x + 1) = 3 Católica 4. Resuelve: Resuelve: 5. Resuelve: 6. 7. Resuelve:

8. Calcula «x» en Log 2 (x + 1) = 2 3

9. Calcula «x» en Log 2 (x + 1) = 2 3

10. Calcula «x» en Log2(x – 4) = –1 11. Resuelve:

Log5 x + 19 = 2 2 Log9 x – 1 = 1 2 Log8(5x – 19) = 0 Log49(x – 5) = 13°

COLEGIOS GUADALUPE

Logx(5x + 20) = 1 UNI

12. Resuelve: Log3 + Log(x – 2) = 1 13. Resuelve: Log23 + Log2(x + 1) = 2 14. Resuelve: Log 5 – Log (x + 1) = 3 2 2

44

ÁLGEBRA 2° SEC

LOGARITMO IV

Tarea 7. Resuelve

Integral 1. Calcula x en Logx81 = 4 a) –3 d) –2 b) 3 e) –9 c) 2

8. Resuelve

2. Calcula x en Log4x = 3 a) 64 d) 12 b) 54 e) 60 c) 36 3. Resuelve a) 9 b) 10 c) 11

a) 1

3

Log2(3x – 1) = 5 d) 12 e) 13

9. Calcula «x» a) – 2

e) 1

2

c) – 1

3

10. Resuelve

c) 1

2 PUCP

7

b) 1

7

c) 2

11. Resuelve

6. Resuelve

a) 1

Log9(7x – 3) = 0 d) 3

4 2

e) 4

c) –

7

d) 4 e) 5

ÁLGEBRA 2° SEC

Log13(6x – 1) = 19° – 23° d) 1 e) 1

5

1

3

12. Resuelve Log5(x + 2) = 15°

Logx(4x + 3) = 1 d) ∅ e) –2

3

b) 1

7

7

Log3(x + 1) = –1 d) 1 e) 1

3

a) 0 b) 1 c) –1

a) – 1

d) 10 e) 11

3

b) 2

Log11(4x – 1) = 7° – 14° d) – 1

b) – 1

a) 1 b) 2 c) 3

2

UNMSM

4

5. Resuelve

Log 1 (x – 5) = –2

a) 8 b) 7 c) 9

3

4. Resuelve

Log3(2x – 5) = Log525 d) 8 e) 9

a) 5 b) 6 c) 7

a) 5 b) –5 c) 4 13. Resuelve a) 55 b) 60 c) 65

45

Logx(6x + 25) = Log10 d) ∅ e) –4 Log2 + Log(x – 5) = 2 d) 75 e) 80

COLEGIOS GUADALUPE

8 Repaso 1. Calcula «x» en

7. Calcula «x» en:

Log 1 x = 3

2 1 1 a) d) 10 2 1 c) 1 8 b) e) 1 3 11 2. Si: Log3 = a y Log5 = b Calcule Log150 en función de a y b. a) b + 1 d) a – b b) a + 1 e) a + b + 1 c) a + b

Log3(x + 3)2 = 4 a) 6 b) –12 c) –6

8. Si log32 = x; log34 = y; log35 = z. Calcular: Log3 8 5 a) x – y – z b) x + y – z c) x + y + z

3. Calcula el valor de «E» si: E = Log2Log4Log84096 a) 0 b) 1 c) 2

Log3 5 + Log3 17 + Log3 729 3

5

a) 1 b) 2 c) 3

4. Resolver: Log3x + Log39x = 4 a) –3 d) –2 b) 3 e) 1 c) 2

17

d) 4 e) 5

10. Si: m = Log72, calcula Log27. a) 2m d) –2m 2 b) 1 e) m m

5. Reducir:

c) –m

E = Log216 . Log243 . Log42 . Log324

11. Si Log23 = a y Log25 = b

d) –1 e) 0



Calcula Log610

6. Calcula «x» en: Logx 16 = 4 81 2 a) 4 d) 3 3 1 c) 3 1 b) 3 e) 2 2

COLEGIOS GUADALUPE

d) x + y e) x – z

9. Calcular:

d) 3 e) 4

a) 2 b) –2 c) 1

d) 12 e) 6 ó –12

a) a +1 b+1

c) b a

b) b –1 a+1

d) a b

e) b +1 a+1

12. Resuelve: Log2(x + 2) + Log2(x – 2) = 3

46

a) 2 3

c)

b) –2 3

d) – 3

3

e) ∅

ÁLGEBRA 2° SEC

Geometría 2° DE SECUNDARIA

1

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

En todo triángulo rectángulo, al trazar la altura relativa a la hipotenusa se forman dos triángulos rectángulos adicionales semejantes entre sí y semejantes al primero. B

B. Teorema 2 (teorema de Pitagóras)

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. B AC2 = AB2 + BC2

A

H ABC ∼

C AHB ∼

A

BHC

De estas relaciones de semejanza se derivan proporciones entre los lados, que dan como resultado fórmulas que establecen las relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

C

C. Teorema 3

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. B

A. Teorema 1

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de su proyección por la longitud de la hipotenusa. B

A

A





Las relaciones métricas en un triángulo se demuestran a partir de la semejanza de triángulos.

GEOMETRÍA 2° SEC

49

En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a ella es igual al producto de las longitudes de los catetos. B

A

H BH × AC = AB × BC

C

Propiedad

Recuerda

C

H

D. Teorema 4

C H En el ABC, donde AB y BC son catetos. Al segmento AH se le conoce como proyección de AB sobre AC; de la misma forma, al segmento HC se le conoce como proyección de BC sobre la hipotenusa AC. Luego, de la misma forma: AB2 = AH × AC BC2 = HC × AC

2 BH = AH × HC



En la semicircunferencia: x m



O n

se cumple lo siguiente: x2 = m . n

COLEGIOS GUADALUPE

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Trabajando en clase Integral 1. Calcula la longitud de la hipotenusa.

UNMSM 8. Encuentra el valor de «x».

B

B

12m

5m

6m A

C

A

2. Determina el valor de «x».

H

B

4u

x

A



x

13m 9. Encuentra el valor de «x».

B

3u

C

H

8m

C

5u

A

3. Encuentra el valor de «x».

C

H 20m

10. Calcula «x».

B

x 2u

B

D

x A

H 8m

2m

x

C

PUCP

4. Calcula «x».

B



4m

A

C

H

2x+2m

x

x

5. Calcula «x».

16m

B

4u

A

10u

H

16u

C

B



4m

A

C

7. Determina el valor de «x». B 5u A

12m

R O

x H 12 2 m

C

14. Calcula cuánto mide la altura CH. B H a

x H

C

H

13. Encuentra el valor de «x».

B

H

10u

x

A

x

6. Calcula la longitud del radio de la semicircunferencia. El centro es O. 6m

C

2x+3m

UNI 12. Encuentra el valor de «x».

B

A

C

5u

11. Determina el valor de «x».

B

A

45º

A

C

C

COLEGIOS GUADALUPE

50

b

A

GEOMETRÍA 2° SEC

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Tarea 6. Determina el valor de «x».

1. Calcula la longitud de la hipotenusa. B 8u

B

9m

15m

A

C e) 12 m

A

a) 17 m c) 15 m b) 16 m d) 13 m 2. Determina el valor de «x».

A

H

B

24u

x

x C

25u

a) 103/25 u c) 169/25 u b) 168/25 u d) 171/25 u 3. Encuentra el valor de «x». B

A

e) 179/25 u

H

x A

D

A

e) 12 m

a) 8 m b) 9 m c) 10 m

x

H 1m c) 3 10 m d) 4 10 m

a) 10 m b) 2 10 m 9. Calcula «x».

C e) 5 10 m 2u

B

D

13m x

C

H

A a) 31 u b) 33 u

45º 6u c) d)

C 35 u 38 u

e)

39 u

10. Determina el valor de «x». B x+1m

R

H O 2m

C

O 24m

O

A

3m

5m a) 10 m d) 14 m b) 11 m e) 16 m c) 12 m 5. Calcula la longitud del radio de la semicircunferencia, donde O es centro. B 6m

H 3m

5m

C

27m a) 7 m c) 9 m b) 8 m d) 11 m 4. Determina la longitud de «x». B

R

a) 7 m d) 11 m b) 8 m e) 12 m c) 9 m 8. Determina el valor de «x» si O es centro. B

x A

C

H

a) 351/41 m d) 361/41 m b) 253/41 m e) 365/41 m c) 360/41 m 7. Calcula «x» si O es centro.

B

7u

40m

x

x

C A

d) 12 m e) 13 m

GEOMETRÍA 2° SEC

a) 3 m b) 4 m

51

x+2m c) 5 m d) 6 m

C e) 7 m

COLEGIOS GUADALUPE

2 Áreas de regiones triangulares I. SUPERFICIE

Es aquello que limita a un cuerpo del resto del espacio, y puede ser plana, curva o una combinación de ambas.

V. CÁLCULO DEL ÁREA REGIÓN TRIANGULAR 1. Fórmula básica

DE

UNA

B

II. REGIÓN

Es la porción de una superficie limitada por una línea cerrada llamada frontera o perímetro, y se le denomina de acuerdo con su forma. Ejemplos:

A∆ABC =

h A



H

b

b×h 2

C

AC: base (b) ; BH: altura (h) A

Región triangular

Región cuadrangular m

III. ÁREA

Es la medida de la región, y se expresa por un número real positivo, acompañado de unidades cuadráticas. Por ejemplo: Q T U 4 cm2

5 cm2 P

S

R Área de la región triangular PQR igual a 5 cm2

V

Área de la región cuadrangular STUV igual a 4 cm2





Dos o más regiones son equivalentes si tienen igual área, sin importar la forma. E F B

A

C

D

La región triangular ABC es equivalente a la región cuadrangular DEFG

COLEGIOS GUADALUPE

AB: cateto (m)



BC: cateto (n)



AC: hipotenusa (c)



BH: altura (h)

ABC

=

m×n 2

A

ABC

=

c×h 2

2. Fórmula para un triángulo obtusángulo Sea el triángulo obtusángulo ABC donde el ángulo ABC es obtuso. Si se toma como base a BC (BC = b), entonces la altura relativa a BC será AH, donde AH = h.

Luego, tenemos: A

3 cm2

3 cm2

C

n





IV. REGIONES EQUIVALENTES

h B



c H

A

h

G

H

52

A∆ABC = B

b

b×h 2

C

GEOMETRÍA 2° SEC

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES



3. Fórmula para un triángulo equilátero de lado igual a l.

Sea el triángulo equilátero donde la longitud de su lado es l. El área de la región triangular será: B 60°

l 60°

l2 3 A∆ABC = 4



4. Fórmula de Herón

Sea el triángulo ABC cuyos lados tienen por medida a, b, c.

a

c

C

l

El área de la región triangular ABC será: B



l 60°

A





A A∆ABC =

b

C

p(p – a)(p – b)(p – c)

Donde «p» es el semiperímetro: p=



a+ b + c 2

Trabajando en clase Integral

PUCP 4. Calcula el área de la región triangular ABC.

1. Calcula el área de la región triangular ABC.

B

B

5m 3m



A

H 8m

A



C

H 13 m

C

5. Calcula el área de la región triangular ABC. B

2. Calcula el área de la región sombreada.

12 cm

B A

10 u A



H

4

3. Calcula el área de la región sombreada. B



A

H

2 m A

8 cm

6 cm

15 cm

6. Determina el área de la región sombreada. B

C

4u

45°

H

53°

C



C

GEOMETRÍA 2° SEC

C

53

COLEGIOS GUADALUPE

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES 7. Calcula el área de la región triangular ABC. B 4m

60°

4m

A



11. Determina el área de la región sombreada. La meida del perímetro es 18 cm. B

4m

C



A

60°

UNMSM 8. Indica el valor del área de la región sombreada. B

A



12. Calcula el área de la región sombreada.



30°

C

10. De acuerdo con la figura, calcula el área de la región sombreada. B 2m

A

60°

C R

4 cm

C

8 cm A

9 cm

B

9. Indica el valor del área de la región sombreada. B

C

UNI

12 m 30°

60°



A

P

Q

1 cm

D

13. Según la figura, calcula el área de la región sombreada. 10 m B C 2m S 5m A

P

Q

R

D

14. Calcula el área de una región triangular equilátera cuya longitud de altura es 2

3 m.

2m

C



COLEGIOS GUADALUPE



54

GEOMETRÍA 2° SEC

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

Tarea 5. Determina el área de la región sombreada. A 6

4m A

H C 12 m d) 24 m2 e) 26 m2

a) 18 m2 b) 20 m2 c) 22 m2 2. Determina el área de la región sombreada. B

2 m

D a) 40 m2 b) 42 m2 c) 43 m2

45°

37° B C 2 d) 45 m e) 48 m2

A

4m d) 10 m2 e) 12 m2

8 cm

b) 10

3 cm2

a) 90 m2 b) 92 m2 c) 94 m2

C

16 2 d) 96 m2 e) 98 m2

d) 16 3 cm2

3 m2

c) 4 3 m2 d) 5 3 m2

60°

10 m

B 10 u

10 u

a) 46 u2 b) 48 u2 c) 50 u2

C

a) 18

3 m2

b) 20

3 m2

c) 22 3 m2

7. Calcula el área de la región triangular ABC.

GEOMETRÍA 2° SEC

b) 3

A

c) 12 3 cm2

A

H

3 m2

C

3 cm

e) 18 3 cm

6 2 m

a) 2

10 m

2

A C 2 a) 54 m d) 60 m2 b) 56 m2 e) 62 m2 2 c) 58 m 4. Según la figura, calcula el área de la región sombreada. B

A

C

2

a) 8

H a

9. Calcula el área de la región sombreada. B

8 cm

A

a

e) 6 3 m2

C

12 m

10 m

A

B 8 cm

a) 6 m2 b) 8 m2 c) 9 m2 3. Calcula el área de la región sombreada. B



a

6. Calcula el área de la región triangular ABC.

6m D

8. Calcula el área de la región triangular ABC. B 2 3m

1. Calcula el área de la región triangular ABC. B

16 u d) 54 u2 e) 58 u2

C

d) 24 3 m2 e) 25 3 m2 10. Determina el área de la región sombreada, si su perímetro es 36 u. B a) 28

3 u2

b) 32

2

60°

3 u

c) 36 3 u2 d) 38 3 u2

A

60°

60°

C

e) 40 3 u2



55

COLEGIOS GUADALUPE

3 Áreas de regiones cuadrangulares I. REGIONES CUADRANGULARES



Son aquellas regiones encerradas por polígonos de 4 lados como son el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el romboide o paralelogramo, el trapecio y el trapezoide. Todas las fórmulas parten de la fórmula para el cálculo del área de una región triangular: A∆ = 1 (b)(h) 2

d

b

B

El rectángulo ABCD se puede considerarse como la unión del triángulo ABD y del triángulo BCD. Luego se tiene que para el cálculo del área de la región cuadrangular ABCD: A ABCD = A∆ABD + A∆BCD

⇒



A

ABCD



ABCD





En el rombo ABCD, el área de la región rombal se pueden calcular de dos formas: B

C

D

b A

ABCD

=b×h

●● Considerando que las diagonales del

rombo siempre se cortan formando un ángulo de 90°, se tiene:

=L×L=L

2

COLEGIOS GUADALUPE

2. Cálculo del área una región rombal

A

En el cuadrilátero: b = L, h = L. Luego se tiene: A

ABCD

h

=b×h

1. Cálculo del área de una región cuadrada

= L2 = d 2

2

A

●●

A ABCD = 1 (b × h) + 1 (b × h) 2 2

= L2,

Son paralelogramos, el romboide, el rombo, el rectángulo y el cuadrado.

D

ABCD

Advertencia pre

C

A

Pero el área de la región cuadrangular A de donde:



h

2 d2 = 2L2 ⇒ d = L2 2



Si observas bien un cuadrilátero, es la unión de dos triángulos. Ejemplo:

L

D A L Si trazamos la diagonal «d«, ABC: d2 = L2 + L2

Donde: b: base del triángulo h: altura relativa a la base

C

B

56

GEOMETRÍA 2° SEC

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

B C n

A D m





A

= ABCD



1 1 (AC)(BD) = = (m)(n) 2 2

Se tiene el paralelogramo ABCD: B C h2

h1 A



H

E b1

A



3. Cálculo del área de una región paralelo grámica o romboidal

Área de la región paralelográmica ABCD, donde AD se considera la base (b) y BH es la altura (h) relativa a esa base, entonces se cumple:

A

ABCD

= (DC)(BE) = b2 × h2

Luego, el área del paralelogramo ABCD se puede calcular de 2 formas:

b2

A



D

= AD × BH = b1 × h1

Además, si se consdiera a DC como base (b2) y BE como altura relativa a la base (h2), tenemos:



ABCD

ABCD

= b1 × h1 = b2 × h2

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Calcula el área de la región cuadrada ABCD. B C

4. Calcula el área de la región rombal ABCD. B

3 cm

A A



C 10 cm

D

2. Determina el área de la región rectangular ABCD. C B



D 12 cm

3m

A

D

8m



3. Indica el área de la región romboidal ABCD. B C



4u

A

7u

D

GEOMETRÍA 2° SEC

57

COLEGIOS GUADALUPE

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 5. Calcula el área de la región rombal ABCD. B

10. Calcula el área de la región romboidal ABCD. B

3u A

4 2 u

C

D 4u 6. Determina el área de la región rectangular ABCD. C B

C

A



6 2 u

D

11. Determina el área de la región rectangular ABCD. C

B 17 m

8m

9u

37°

A

A

D

7. Indica el área de la región trapecial ABCD si BC//AD. 2 cm C B

UNI 12. Indica el área de la región rombal ABCD.

5m

4 cm

A

37°

A

UNMSM 8. Calcula el área de la región cuadrada ABCD. C

A D

9. Calcula el área de la región cuadrada ABCD. B C 10 u

C

O

A

C

O

D 13. Indica el área de la región rombal ABCD. B m 15 53°

8m



B

D

6 cm

B

D

D 14. Calcula el área de la región trapecial ABCD, si

MN = 9 m y CH = 3 3 m. (BC//AD) B

C N

M

A

D

A

H

D



COLEGIOS GUADALUPE

58

GEOMETRÍA 2° SEC

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

Tarea Integral 1. Calcula el área de la región cuadrada ABCD. B C

a) 14 u2 b) 16 u2 c) 18 u2 PUCP

4 cm A a) 12 cm2 b) 14 cm2 c) 16 cm2

2

d) 18 cm e) 20 cm2

D

C

B

a) 12 m2 b) 13 m2 c) 15 m2

6m

D d) 16 m2 e) 18 m2

5u

9. Encuentra el área de la región romboidal ABCD. B C 4 2 u

D

3 cm2

A

2

3 cm

d) 36 3 cm2 e) 42 3 cm2

2m A

D

GEOMETRÍA 2° SEC

a) 162 cm b) 168 cm2 c) 170 cm2

D d) 278 cm2 e) 360 cm2

11. Calcula el área de la región sombreada. C

B

10 m A

C d) 54 u2 e) 58 u2

59

D 7m a) 50 m2 b) 52 m2 c) 54 m2

7°

D

2

9m

12

a

8u D a) 46 u2 b) 48 u2 c) 50 u2

41 m

D

a) 16 m b) 18 m2 c) 20 m2 7. Determina el área de la región romboidal ABCD. 6u B A

d) 50 u2 e) 54 u2

10. Determina el área de la región rectangular ABCD. C B

A

12 m d) 22 m2 e) 24 m2

D

6 2 u

a) 42 u2 b) 46 u2 c) 48 u2

c) 16 3 cm2

2

a) 54 u2 d) 60 u2 b) 56 u2 e) 62 u2 2 c) 58 u 4. Encuentra el área de la región rectangular ABCD, si AB + BC = 10 u. a + 4u C B

A

30°

6. Indica el área de la región trapecial ABCD si BC//AD. 8m B C

3. Indica el área de la región romboidal ABCD. B C

12 u

A a) 12 b) 14

2m A

5. Calcula el área de la región rectangular ABCD. B C

UNMSM

6 cm

2. Determina el área de la región rectangular ABCD.

A

8. Calcula el área de la región rombal ABCD, cuyas diagonales miden 15 u y 10 u. a) 75 u2 d) 81 u2 b) 77 u2 e) 82 u2 2 c) 79 u

d) 20 u2 e) 21 u2

E

d) 56 m2 e) 60 m2

COLEGIOS GUADALUPE

4 Áreas de regiones circulares Observaciones

1

¿Qué es un círculo? Es una porción de plano cuyo contorno es una circunferencia

0

2

3





d

En el gráfico: R: radio d: diámetro R

S = pR2

2 S = pR 6

60°

En el gráfico: R y r son las longitudes de los radios: S = p(R2 – r2)

Tambien: S = p(AB) 4

2

III. SECTOR CIRCULAR



2 Tambien: S = pd 4

2 S = pR 4

0 0

I. ÁREA DE UN CÍRCULO

2 S = pR 2

Es aquella porción de un círculo limitada por un ángulo central y un arco correspondiente. A

Longitud de circunferencia = 2pR

R

II. CORONA CIRCULAR

O

Es aquella región plana limitada por dos circunferencias concéntricas.

q

R R

B

A



B



T

S = pR q 360° 2

r

R

COLEGIOS GUADALUPE



60

En el gráfico: q: medida del ángulo central R: longitud del radio de la circunferencia

GEOMETRÍA 2° SEC

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES



9. Indica el área de la corona circular (O es centro).

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula el área del círculo. (O es centro, R = 2 m)

O 3m

O R

2. Determina el área del semicírculo. (O es centro) y R = 4 m. R A

10 m

B

O

3. Indica el área del sector circular O es centro.

10. Calcula el área de la región sombreada. El centro es O. B 8m





R

O

A

6m C

10 m 11. Determina el área del circulo (O es centro).

O 6m

B

C

PUCP O

4. Calcula el área del círculo cuyo diámetro mide 20 m. (O es centro)

5. Calcula el área del círculo cuyo diámetro mide 30 m.

6. Calcula el área de la región sombreada. El centro es 0.

A

6m

D

UNI

12. Indica el área de la región sombreada si O es centro. B C

O 8m

7. Determina el área del sector circular. El centro es O. A B 60° O

4m

A

D O 13. Indica el área de la región sombreada, si se sabe que O es centro. B C 6m

6u

A

UNMSM 8. Indica el área de la corona circular (O es centro).

O

O

D

14. Calcula el área de la región sombreada si se sabe que O es centro. B

4m

6m





GEOMETRÍA 2° SEC

61

A

53°

O 20 m

C

COLEGIOS GUADALUPE

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

Tarea Integral

PUCP

1. Calcula el área del círculo; O es centro, R = 4 u.

5. Calcula el área de la región sombreada si O es centro.

O R

a) 10π u2 b) 12π u2 c) 14π u2

d) 16π u2 e) 18π u2

2. Determina el área del semicírculo, O es centro, R = 8 m.

A

O

3. Indica el área del sector circular; O es centro. A 10 m O 10 m

B

10 m

d) 112π u2 e) 124π u2

75°

12 m

B

d) 25π m2 e) 30π m2

4. Calcular el área de la región sombreada si O es centro. B

C 45° O

A

B

C

D

d) 6π u2 e) 10π u2

A

COLEGIOS GUADALUPE

A

D

a) 46 m b) 48 m2 c) 49 m2

a) 15π m2 d) 30π m2 2 b) 20π m e) 40π m2 c) 25π m2 8. Determina el área de la región sombreada si A es centro. B

14 m

2

O

6u

C

O

7. Indica el área de la corona circular si O es centro.

d) 35π m2 e) 40π m2

D

62

C

10. Determina el área del círculo; O es centro.

B

a) 10π m2 b) 15π m2 c) 20π m2

12 m

20 m a) 2(48 – 25π) m3 b) 2(25π – 42) m3 c) 2(25π – 44) m3 d) 2(25π – 46) m3 e) 2(25π – 48) m3

A

O

R

O

A

10 m

a) 20π m2 b) 25π m2 c) 30π m2

a) 3π u2 b) 4π u2 c) 5π u2

B

a) 100π u2 b) 102π u2 c) 108π u2

d) 34π m2 e) 36π m2

a) 28π m b) 30π m2 c) 32π m2

A

16 m

B

R

2

A

6. Determina el área del sector circular si O es centro.

R

4u

O

12 m

a) 7π u2 d) 14π u2 2 b) 9π u e) 16π u2 c) 12π u2 9. Calcula el área de la región sombreada si O es centro. B

E

d) 50 m2 e) 52 m2

11. Calcula el área de la región sombreada, O es centro. R A

O 8u a) 32(π – 2) u2 b) 32(π – 3) u2 c) 32(π – 4) u2 d) 31(π – 5) u2 e) 30(π – 6) u2

B

GEOMETRÍA 2° SEC

5 Rectas y planos I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO



Tiene por objeto, el estudio de las figuras sólidas o del espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos no pertenecen todas a un mismo plano, sino al espacio tridimensional, por ejemplo: el ángulo diedro, el cubo, la pirámide, la esfera, etc.





Recta perpendicular a un plano.

Se define como aquella recta perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano. L

pie de la perpendicular

H

II. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Teorema 1



Tres puntos cualesquiera, no colineales, determinan un plano. Así, los puntos no colineales A, B, C determinan el plano H.

Teorema de las tres perpendiculares

Si desde el pie de una recta perpendicular a un plano, se traza otra perpendicular a una recta cualquiera dada en el plano, toda recta, que pasa por un punto cualquiera de la primera y el punto de intersección de las 2 últimas, es perpendicular a la recta dada en el plano. L

C

A



H

B





P m

Teorema 2

Una recta y un punto exterior a ella, determinan un plano. Así, la recta AB y el punto P situado fuera de ella, determinan el plano H. H

P

H

C

O

1. Posiciones relativas de dos planos. YY Secantes, en este caso tiene una recta común

que se llama «intersección de los dos planos».

A





YY Paralelos, cuando no tienen ningún punto en

B

común.

Teorema 3

Dos rectas que se intersectan en el espacio determinan un plano.

L

2 2 Cortándose

L1

GEOMETRÍA 2° SEC

1

1

L2

63

Paralelos

COLEGIOS GUADALUPE

RECTAS Y PLANOS

2. Posiciones relativas de un plano con una recta

cualquier otro segmento PN que une el punto P con cualquier otro punto del plano.

YY S ecantes, en este caso tienen un punto en

común. YY Paralelas, en este caso no tienen ningún punto en común.

P

3. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.

M

YY Secantes, en este caso tienen un punto en

común. YY Paralelas, en este caso están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. YY Cruzadas, en este caso no están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. También se les llama rectas alabeadas.

a

6. Distancia entre dos planos a y b paralelos.

a. «Las intersecciones L1 y L2 de dos planos paralelos a y b con un tercer plano q son rectas paralelas» (L1 // L2 ) q

Es el segmento MN perpendicular comprendido entre los 2 planos. O también es la distancia de un punto cualquiera M de uno de ellos al otro.

7. Proyección de un punto A sobre un plano a.

4. Teoremas importantes

N

La proyección de un punto A sobre un plano a es el pie A’ de la perpendicular trazada desde el punto A al plano. A

L1 A’

b a

L2

a

La proyección de una línea AB sobre un plano a es el conjunto A’B’, formado por las proyecciones de todos los puntos de la línea. A

b. «Si dos rectas L y L1 son paralelas, entonces todo plano a que contenga una de las dos rectas es paralelo a la otra recta».

B

L a a

L1

8. Distancia entre dos rectas que se cruzan

L1 // L2 c. «Si un plano a corta a una de dos rectas a y b paralelas, corta también a la otra». b a m a

Es el segmento perpendicular común comprendido entre ambas rectas. Para trazar esta distancia, sean a y b las dos rectas alabeadas. Por un punto M de una de ellas (b) se traza la recta c paralela a la otra (a), la cual determina con b el plano a. Se traza ahora el plano b, perpendicular al plano a, el cual corta a la recta a en el punto P. trazamos desde P la perpendicular PQ al plano a, tenemos que PQ es la distancia buscada entre las rectas a y b. a P

5. Distancia de un punto P a un plano a.

B’

A’

b M

Es el segmento PM perpendicular trazado del punto P al plano. Se llama así por ser menor que

COLEGIOS GUADALUPE

a

64

Q c

GEOMETRÍA 2° SEC

RECTAS Y PLANOS

Tarea 7. Calcula «x» si MN = 2 cm.

Integral 1. ¿Cuántos planos se forman con 8 puntos en el espacio? a) 56 c) 52 e) 48 b) 54 d) 50 2. ¿Cuántos planos se determinan con 14 rectas secantes en el espacio? a) 94 c) 92 e) 90 b) 93 d) 91 3. ¿Cuántos planos se forman con 10 rectas paralelas en el espacio? a) 41 c) 43 e) 45 b) 42 d) 44 4. Calcula «x» si se sabe que la proyección de AB sobre H mide 16 m. A 12m

a) 18 m b) 20 m

H

B e) 26 m

5. Calcula «x», si se sabe que PM = 26 u, NQ = 8 u y MN = 6 u. P x N Q M c) 24 u d) 26 u

e) 28 u

O x a) 11 m b) 10 m

c) 9 m d) 8 m

a) 1 cm b) 3 cm 8. Calcula «x».

c) 2 3 cm d) 3 3 cm

10m

a) 16 m b) 14 m

e) 5 3 cm

x

53°

30°

c) 13 m d) 12 m

e) 10 m

UNMSM

a) 11 m b) 9 m

O

M c) 8 m d) 7 m

e) 6 m

10. Calcula «x» si se sabe que la proyección PQ sobre H es «x». P 10m 6m H a) 10 m b) 9 m

6. Calcula «x», si T es punto de tangencia. 15m

M

P

PUCP

a) 20 u b) 22 u

N

9. Calcula «x» si se sabe que la proyección de MN sobre P mide 24 m. N 25m x

x

c) 22 m d) 24 m

x

O

Q

c) 8 m d) 7 m

e) 5 m

11. Calcula «x» si el ángulo entre AM y P mide 30°. A 18m x

17m T

P a) 13 m b) 12 m

e) 7 m

GEOMETRÍA 2° SEC

65

O c) 11 m d) 10 m

M e) 9 m

COLEGIOS GUADALUPE

RECTAS Y PLANOS

Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuántos planos se determinan con 10 puntos en el espacio? 2. ¿Cuántos planos se forman con 12 rectas secantes en el espacio? 3. ¿Cuántos planos se determinan con 8 rectas paralelas en el espacio? Católica 4. Calcula «x» 5cm

x

5. Calcula «x». 8m

D 10. Calcula «x» si se sabe que la proyección de MN sobre P mide 8 cm. N 17cm x

H

x

O



Q

O UNI

6. Calcula «x» si T es punto de tangencia.

12. Calcula «x»

x

T

7. Calcula «x» si el área de la región triangular ABC es 24 u2. A x 8u O

x



15u

12u

C

B

O P M 11. Calcula «x» si se sabe que la proyección PQ sobre H es «x». P 13cm 5cm

12cm

17m

9. Calcula «x» si AB = 9 m, BC = 20 m, DC = 16 m BD ⊥ DC. A

14u

6u 15u

Calcula «x». 13.

x 12u 7u 12u

B

14. Calcula «x» si se sabe que AB = BC = 10 cm.

UNMSM 8. Calcula «x» si AB = 7 m, BC = 26 m, DC = 10 m, BD ⊥ DC. A x C B

C x

D

B A

D

COLEGIOS GUADALUPE

66

GEOMETRÍA 2° SEC

6 Poliedro regular Es aquel poliedro que tiene por caras regiones poligonales regulares congruentes entre sí y en cada vértice concurren igual número de aristas. Solamente existen cinco poliedros regulares, los cuales son: el tetraedro regular, hexaedro regular (cubo), octaedro regular, dodecaedro regular y el icosaedro regular. A continuación, analicemos los siguientes poliedros regulares:

I. TEAEDRO REGULAR



Es aquel poliedro regular que se caracteriza por tener 4 caras que son regiones triangulares equiláteras. A

II. HEXAEDRO REGULAR O CUBO



B

a

a

D a

O

a



Cálculo de la longitud de su altura h= a 6 3



G

F H

a

a

Notación: Hexaedro regular: ABCD – EFGH O: centro del hexaedro regular a: longitud de la arista Diagonales del hexaedro: AG, BH, CE y DF

AO: altura (h) O : Centro de la cara BCD a: Longitud de la arista luego se realizan los siguientes cálculos:

O E

Notación: Tetraedro regular: A – BCD



D

a

C



C

A

h

B



Es aquel poliedro regular que se caracteriza por tener 6 caras que son regiones cuadradas congruentes entre sí.



Cálculo de la diagonal D=a 3

h: longitud de la altura

AG = BH = CE = DF = a 3

Área de la superficie total (Ast)



AST = a 3

Área de la superficie total (Ast)

2



AST = 6a2

Cálculo del volumen



2 V= a 2 12

GEOMETRÍA 2° SEC

Cálculo del volumen V = a3

67

COLEGIOS GUADALUPE

POLIEDRO REGULAR

III.OCTAEDRO REGULAR

Es aquel poliedro regular que se caracteriza por tener 8 caras que son regiones triangulares equiláteras.

Cálculo de la diagonal D=a 2

P

AC = BD = PQ = a 2 a

a

Área de la superficie total (Ast)

B A

a

O

a

C

a

D

AST = 2a2 3

Cálculo de su volumen

a

3 V= a 2 3

Q

Trabajando en clase Católica

Integral 1. Calcula el número de caras que tiene el poliedro regular P – ABC. P

4. Calcula el área de la superficie total del poliedro regular P – ABC. P 2 cm

A

C

A

C

B

B 2. Calcula el número de caras que tiene el poliedro regular ABCD – EFGH. B C A

D

5 cm

F

G

E

C

A

H

B

3. Calcula el número de caras que tiene el poliedro regular B – EADC – F B

E

5. Calcula el área de la superficie total del poliedro regular P – ABC. P

C A

6. Calcula la longitud de la altura del poliedro regular P – ABC. P 9 cm

D A

B

F

COLEGIOS GUADALUPE

C

O

68

GEOMETRÍA 2° SEC

POLIEDRO REGULAR 7. Calcula el volumen del poliedro regular P – ABC. P

11. Calcula la longitud de la diagonal BH del poliedro regular ABCD – EFGH. B

6 cm

C

A

D

C

A



B UNMSM

B

C

A

F

G

E

8. Calcula el área de la superficie total del poliedro regular ABCD – EFGH

H UNI

12. Calcula el área de la superficie total del poliedro regular B – ACDE – F B

D F

G

4 cm

E

3 cm

C D

F

F 13. Calcula el área de la superficie total del poliedro regular B – EADC – F B

7 cm C

E

G

E

10. Calcula el volumen del poliedro regular ABCD – EFGH 9 cm B C D

8 cm F 14. Calcula m
F E

D

A

H

A

D

A

9. Calcula el área de la superficie total del poliedro regular ABCD – EFGH

A

C

E

H

B

11 cm

D

G F

H E

GEOMETRÍA 2° SEC

69

G H

COLEGIOS GUADALUPE

POLIEDRO REGULAR

Tarea Integral 1. Calcula el número de vértices que tiene el poliedro regular P – ABC. P a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 C A e) 6 B 2. Calcula el número de caras laterales que tiene el poliedro regular ABCD – EFGH. B C a) 2 b) 4 A D c) 6 d) 8 F G e) 10 E H 3. Calcula el número de vértices que tiene el poliedro regular B – ADCE – F. B a) 2 b) 3 C E c) 4 D A d) 5 e) 6 F 4. Calcula el ángulo que forman las líneas rectas m y n , si ABCD – EFGH es un poliedro regular. B n C a) 30° b) 40° A D c) 50° m d) 90° F G e) 120° E H PUCP 5. Calcula la longitud de la altura del poliedro regular P P – ABC. a) 2 6 cm b) 4 6 cm 30 cm c) 6 6 cm d) 10 6 cm A C e) 12 6 cm O B

COLEGIOS GUADALUPE

6. Calcula el volumen del poliedro regular P – ABC, si su arista mide 10 cm. a) 50 2 cm3 P 3 b) 25 2 cm3 10 cm 6 3 c) 250 2 cm 3 A C d) 250 2 cm3 7 B e) 100 2 cm3 3 7. Calcula el área de la superficie total del poliedro P regular P – ABC. 2 a) 4 3 cm b) 6 3 cm2 c) 9 3 cm2 d) 10 6 cm2 A C O e) 12 6 cm2 3 cm B 8. Calcula la arista del poliedro regular P – ABCD, si el área de la superficie total es 49 3 cm2. P a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm A C e) 8 cm B 9. Calcula el volumen del poliedro regular ABCD – EFGH. B C 3 a) 36 cm A D b) 64 cm3 c) 81 cm3 F G d) 100 cm3 E 4 cm H e) 121 cm3 10. Calcula la longitud de la diagonal BH del poliedro regular ABCD – EFGH. B C a) 5 3 cm A b) 6 3 cm D 11 cm c) 8 3 cm F d) 11 3 cm G e) 13 3 cm E H

70

GEOMETRÍA 2° SEC

7 Prisma y cilindro I. PRISMA



Es aquel sólido geométrico que se encuentra limitado superior e inferiormente por dos regiones poligonales paralelas y lateralmente, se encuentra limitado por regiones paralelográmicas. B C A Base D Arista basica Arista Lateral F G Base Vértice E H



Clasificación 1. Prisma recto



2. Prisma oblicuo





II. CILINDRO





h cilindro recto cilindro oblicuo

Es aquel que tiene sus aristas laterales perpendiculares a las bases. Sus caras laterales son rectangulares. Es aquel prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases. Sus caras laterales son paralelogramos. (I) (II)

Es el sólido obtenido al interceptar una superficie cilíndrica cerrada, por medio de dos planos paralelos. Las regiones que determinan dichos planos son las bases del cilindro y la distancia entre ellos es la altura.





Si los planos son perpendiculares a las generatrices, el cilindro es recto; en caso contrario, es oblicuo. En ambos casos las bases son congruentes.

Cilindro de revolución

Se genera al girar (360°) una región rectangular alrededor de un eje que contiene a un lado. Las bases son círculos y la altura mide igual que la generatriz. Es también llamado, cilindro circular. x R

h g

g



Sus bases son regiones triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

3. Prisma regular

Es un prisma recto, cuyas bases son polígonos regulares. ASL: área de la superficie lateral AST: área de la superficie total V: volumen ASL = Arista x Perímetro de la base lateral



y

R: Radio g: generatriz h h: altura

y

Área de la superficie lateral de un cilindro (ASL).

El área lateral de un cilindro circular recto es igual al producto de la longitud de la circunferencia de su base por su altura. ASL = 2pR • g



AST = Área + 2 Área base lateral

Área de la superficie total de un cilindro (AST) AST = ASL + 2(Ab) Ab: área de la base

Volumen de un cilindro (VCil)

V = Área x Altura base

GEOMETRÍA 2° SEC

R



R R

VCil = Ab x h

71

VCil = pR2 x h

COLEGIOS GUADALUPE

PRISMA Y CILINDRO B

Trabajando en clase

10 m

Integral



1. Calcula el volumen del rectoedro. F E

G H

B

1m A

C 1m

4m

F B 37°

G

H

C 3m

A D 3. Calcula el volumen del rectoedro.

F E 1m A

B

45°

G

H 1m D

C 1m

Católica

C

B 1m

E A

B 1m

H 2m D

D

UNMSM

12 m A

o

4m

D

9. La figura muestra un tarro de leche cuya altura es 16 m y radio de la base 3 m. calcula el área de la etiqueta. B C 16 m 3m D o A 10. Calcula la cantidad de agua que puede almacenar el cilindro del gráfico si tiene 2 m de diámetro de la base y 6 m de altura. B

C

I

F G 2m 2m A 1m D E 5. Indica el volumen del paralelepípedo. F G H 2 m B E C 2m 4m 3m A D 6. Calcula el área total del rectoedro. F

4u

8. La figura muestra un tarro de leche cuya altura es 12 m y radio de la base 4 m. Calcula el área de la etiqueta. B C

4. Calcula el volumen del rectoedro. H

o

A



D 2. Determina el volumen del paralelepípedo.

E 3m

C

G C 3m

7. Encuentra el volumen del cilindro.

COLEGIOS GUADALUPE

D o A 11. En la figura se muestra un cilindro, calcula su área lateral. «O» es centro. B C 3u A

37° D o

UNI 12. En un cilindro recto su generatriz mide 7 u, el área de su base es 4p u2, calcula su área lateral, área total y volumen 13. En un cilindro recto su generatriz mide 10 u, el área de su base es 9p, calcular su área lateral, área total y volumen. 14. Calcula el volumen y área total de un cubo en el cual la suma de las longitudes de todas las aristas es 36 m.

72

GEOMETRÍA 2° SEC

PRISMA Y CILINDRO

Tarea Integral 1. Calcula el volumen del rectoedro a) 25 m3 F b) 30 m3 B E c) 35 m3 2m d) 40 m3 5m A e) 45 m3

G

H

C 4m

D

2. Determina el volumen del paralelepípedo. a) 18 u3 F G b) 20 u3 3 H E c) 22 u C B 2m d) 24 u3 2m 45° A e) 26 u3 4m D 3. Calcula el volumen del rectoedro. a) 3 m3 F G b) 2 3 m3 3 H E c) 3 3 m C B 1m d) 4 3 m3 2m 30° A e) 6 3 m3 D 4. Determina el área total del paralelepípedo. a) 48 m2 G F b) 50 m2 5m 2 2m 37° E c) 52 m C B H d) 54 m2 2 e) 56 m A D PUCP 5. Calcula el área total del rectoedro F a) 120 m2 G b) 122 m2 E c) 124 m2 H C B d) 126 m2 2m 4m e) 128 m2 A D 3m 6. Encuentra el volumen del cilindro. a) 280p m3 B C b) 290p m3 c) 300p m3 12 m d) 310p m3 5m e) 320p m3 A o D

GEOMETRÍA 2° SEC

7. Calcula el área total del rectoedro. a) 120 u2 G F b) 122 u2 3u H E c) 124 u2 ° B 37 C d) 126 u2 45° 2 A e) 128 u 4u D 8. Calcula el volumen de un cubo de área total 96 m2. a) 60 m3 b) 62 m3 c) 64 m3 d) 66 m3 e) 68 m3 UNMSM 9. En el gráfico se muestra un cilindro. Calcula su volumen. C B a) 32p u3 b) 34p u3 8u c) 36p u3 d) 38p u3 2u A D o e) 40p u3 10. En la figura se muestra un cilindro recto «O» es centro de la base, calcular el área lateral. a) 220p m2 B C b) 216p m2 c) 212p m2 15m d) 208p m2 53° D e) 202p m2 A o 11. En un cilindro, el área de una de sus bases es 4p y su volumen es 48p, calcula su área lateral. a) 42p m2 b) 44p m2 c) 48p m2 d) 50p m2 e) 52p m2 12. En un cilindro la base tiene 3 m de radio y la generatriz es congruente al diámetro, halla el volumen del sólido. a) 50p m3 b) 51p m3 c) 52p m3 d) 53p m3 e) 54p m3

73

COLEGIOS GUADALUPE

8 Pirámide y cono I. PIRAMIDE REGULAR



Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular y todas sus aristas laterales son de igual longitud. P Apotema de la altura (h) pirámide (Ap)



c. Cálculo del volumen (V) V=

II. CONO DE REVOLUCIÓN

A

Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos. V 360° Vértice o cúspide

C O 2a

a

B

M 2a

Notación: Pirámide P – ABCD Ap: apotema de la pirámide (PM) ap: apotema del polígono regular ABCD (OM) h: altura de la pirámide (PO) O: pie de dicha altura o centro del polígono regular

Superficie lateral

g

r O

Propiedades:

2a

B

a. Cálculo del área de la superficie lateral (ASL)



b. Cálculo del área de la superficie total (AST)



r Base

o : pie de dicha altura o centro de la base del cono r : radio de la base g : generatriz del cono

a. Cálculo del área de la superficie lateral (ASL) ASL = prg



b. Cálculo del área de la superficie total (AST) AST = pr(r + g)



c. Cálculo del volumen (V) V=

AST = ASL + ABASE

COLEGIOS GUADALUPE

O

Propiedades:

ASL = p . Ap Donde: p: semiperímetro de la base Ap: apotema de la pirámide

g

Base del cono de revolución

2a

A

Generatriz h

r Eje de giro

Base de la pirámide cuadrangular regular: 2a C D 2a

3

Donde: h: altura

D

ABASE . h

74

(pr2)h 3

GEOMETRÍA 2° SEC

PIRÁMIDE Y CONO

Trabajando en clase Integral 1. Calcula OM en la pirámide regular.



P

UNMSM 8. Calcula el área de la superficie lateral. P

O

A



C M

B

6u

A

6u

A

2. Calcula el área de la región de la base de la piráP mide regular.

B

O

9. Calcula el área de la superficie lateral. P

12u

D

8u

D

C

O

2u

M

B

3. Calcula la longitud de la generatriz del cono de revolución.

5u

A

B

O

10. Calcula el área de la superficie total. P

3u

A

24u

4u

P



B

O

4u 3u

M

B

4u

8u

B

O

UNI

12. Calcula el área de la superficie total de la pirámide P regular. 12u

C

O

A

P

A

5. Calcula el área de la superficie lateral de la pirámide P regular. D

11. Calcula el volumen.

C

O

A

6u

M

B

D A

P

C

O

5u

B

M

6u

14. Calcula el volumen.

B

O P

C 3u

B

15 u

A

O

5u

A

P

D

B

12u

13. Calcula el área de la superficie total.

7. Calcula el volumen de la pirámide regular.



M

10u

A

C

O

12 u

6. Calcula el área de la superficie total de la pirámiP de regular. D

B

O

8u

4. Calcula el área de la superficie lateral de la pirámide P regular. D

7u

A

Católica

M D A

GEOMETRÍA 2° SEC

75

C

O

8u

B

M

COLEGIOS GUADALUPE

PIRÁMIDE Y CONO

Tarea 1. Calcula OM en la pirámide regular. P a) 1 u b) 5 u c) 3 u d) 2 u D e) 4 u O A 10u

C M

4. Calcula el área de la región de la base del cono de revolución. a) 10p u2 b) 7p u2 5u 4u c) 9p u2 d) 8p u2 e) 12p u2 O 5. Calcula el área de la superficie total de la pirámide P regular. 2 a) 52 u b) 56 u2 5u c) 54 u2 D C d) 58 u2 O 2 M 2u e) 62 u A B

COLEGIOS GUADALUPE

76

20u

B 2. Calcula el área de la región de la base de la pirámide regular. P a) 212 u2 b) 224 u2 c) 240 u2 D C d) 256 u2 3 O e) 260 u 8u M A B 3. Calcula la longitud de la genetriz del cono de revolución. P a) 3 5 u b) 8 5 u 4u c) 2 5 u d) 4 5 u 2u A e) 6 5 u B O

6. Calcula el volumen de la pirámide regular. P a) 30 u3 b) 60 u3 c) 90 u3 10u d) 120 u3 D C e) 150 u3 O 3u M A B 7. Calcula el área de la superficie lateral de la pirámide P regular. 2 a) 50 u b) 100 u2 c) 200 u2 D C d) 300 u2 2 O M e) 400 u 5u A B 8. Calcula el área de la superficie lateral del cono de revolución. P a) 225p u2 b) 280p u2 25u c) 375p u2 2 d) 420p u e) 510p u2 A 15u O B 9. Calcula el área de la superficie total del cono de revolución. P 2 a) 200p u b) 220p u2 15u c) 300p u2 d) 350p u2 8u A e) 380p u2 B O 10. Calcula el volumen del cono de revolución. P a) 15p m3 3 b) 22p m c) 28p m3 24m d) 30p m3 e) 32p m3 2m A B O

GEOMETRÍA 2° SEC

Trigonometría 2° DE SECUNDARIA

1

Resolución de triángulos rectángulos II

Fórmula: Lado incógnita = R.T. (q) Lado dato

q

a

Área de una región triangular

S = ab Senq S : área 2

b

S

Si en un triángulo se conoce la longitud de dos lados y la medida del ángulo que forman dichos lados, se puede calcular el área de la región triangular.

Trabajando en clase Integral

PUCP

1. Halla el área sombreada.

4

4. Calcula «x» en función de los datos dados.

30º

B

5

C

E

S L q

2. Calcula el área de la región triangular mostrada. A

x

D

5

6



37º



Resolución: E

B

q

3. Calcula el área de la figura sombreada. L

2

L q

3 a 2

C



5

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

79

A

x

D

COLEGIOS GUADALUPE

RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II B L



UNMSM

E

8. Halla «x» en función de los datos dados. B

BE = Tanq L

q

BE = L⋅Tanq

x

A E

C

q



EC = Cotq L

L

EC = L⋅Cotq

A

C

a

9. Halla «x» en función de los datos dados.

D



b

a

q



x = BE + EC



x = LTanq + LCotq



x = L(Tanq + Cotq)

x

5. Halla «x» B

C

E

f



m

10. Calcula «x» en términos de r y q.

a x

m



r

q x

D

11. Calcula «x».



b

a a

x

1

30º

6. Halla «x» en función de los datos dados.

30º

A

O

x

2



ψ

7. Calcula «x» en función de a y L.

UNI 12. De la figura, determina «x» en términos de a, b y q. x

x

b

q a

a L

COLEGIOS GUADALUPE

80

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II

Tarea

1. Halle el área sombreada.



a) 9 5 b) 9 2 c) 9 7 d) 4 9 e) 5 2

u2 u2 u2

37º

5

S

u2

a) L Secq b) L Cosq Senq c) L Cotq Secq d) L Senq Tanq e) L Cscq Cosq

8. Según el gráfico, calcula «x» en término de α, b y f.

PUCP

3

5. Halla «x» en el gráfico.

x

f

u2

6m 30º

8m a) 10 m2 b) 12 m2 c) 14 m2

d) 16 m2 e) 18 m2

3. Calcula el área de la región sombreada. 4 6 30º 2 a) 20 u2 b) 24 u2 c) 26 u2

S 10

d) 27 u2 e) 30 u2

4. Halla «x» en función de los datos dados.

x

L

f

x

2. Calcula el área de la región triangular.

q

a) nSenq Cosq b) nSen2q c) nCos2q d) nSenq Cotq e) nSenq Secq

a

m

b a) a Senb ⋅ Cot(b - f)

w p a) p Cotw + m Cotf b) p Tanw + m Secf c) p Cosw + m Cosf d) p Senw + m Secf e) p Cosf + m Senw

b) a Cosf c) a Sef Cosb d) a Cotb ⋅ Sen(b + f) e) a Tanb ⋅ Tan (b - f) 9. Obtener «AB».

6. Calcula a: a

R

f

A a) R (1 + Tanf) b) R (1 + Cscf) c) R (1 + Senf) d) R ( 1 +Cotf) e) R (1 + Secf) 10. Halla «x».

q L a) L (Cotq – 1) b) L (Tanq + 1) c) L(1 - Cotq) d) L(1 - Tanq) e) L(1 - Senq)

4

B

30º 30º

Integral

x

5

7. Halla «x». a) 20 9 b) 20 13

q

x

n

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

81

d) 11 20 e) 2 11

3 c) 20 9

COLEGIOS GUADALUPE

2 Ángulos de elevación y depresión Ángulos verticales

2. Ángulo de depresión

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal, que parten de la vista del observador. Los ángulos verticales pueden ser:

1. Ángulo de elevación

Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. ira

em ad e Lín Línea horizontal a

Observador





Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. Línea horizontal b Lí ne ad em ira b: ángulo de depresión

Observación Al ángulo formado por dos líneas de mira se le denomina ángulo de observación o de visibilidad.

a: ángulo de observación

ea n í L q

r ho

ea Lín

Advertencia pre Un tema recurrente en los exámenes de admisión de la UNI es la aplicación de este tema en la teoría del radar, en ingeniería civil, arquitectura, topografía y astronomía.

al nt o iz ira

m de

q: ángulo de observación

Trabajando en clase Integral 1. A 28 m del pie de un poste la elevación angular para lo alto del mismo es de 37°. Calcula la altura del poste.

28 m

COLEGIOS GUADALUPE

2. Desde lo alto de un faro se observa un barco con un ángulo de depresión de 53º. Calcula la altura del faro.

36 m

82

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN 3. A 150 m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53º. Calcula la altura de la torre. Católica 4. Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. calcula la altura del poste. Resolución: Piden «h» En el BEA: AB = 4 m En el ABC: AC = 8 m \h=8m C B 60º

30º

2m E

9. Desde la base y la parte superior de un poste, se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Calcula la altura del edificio, si el poste mide 8 m. 10. Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros de 6 m y 8 m de altura, se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 37º y 53º respectivamente. Calcula la distancia entre los puntos más altos de los muros.

30º 4m

30º

Dh A

5. Un gorila de 3 m de estatura observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcula la altura del árbol. 6. Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º, si la altura de la torres es de 12 m, calcula la distancia entre las piedras.

7. Desde lo alto de un faro se observa un barco con un ángulo de depresión de 45º. Si luego de que el barco recorrió 70 m de éste se visualiza la parte superior del faro con un ángulo de elevación de 37º, calcula la altura del faro. UNMSM 8. Desde la base y la parte superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Calcula la altura del edificio si la torre mide 24 m.

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

11. Una persona observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 50 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 45º. Calcula la altura de la torre. UNI 12. Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12 m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación a la punta de la antena y es la parte superior del edificio son 53º y 37º respectivamente. Calcula la altura de la antena. 13. Una antena de comunicaciones está sobre un edificio. Desde un punto a 16 m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 45º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena. 14. Dos ciudades A y B se encuentran reparados por un camino recto, que mide 2( 3 + 1)km; desde un avión que vuela la línea que separa ambas ciudades, se les observa con ángulos de depresión de 30º y 45º. ¿A qué altura esta volando el avión?

83

COLEGIOS GUADALUPE

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

Tarea Integral 1. Desde la parte superior de un edificio de 45 m de altura se observa una roca con un ángulo de depresión de 37º. ¿A qué distancia del pie del edificio se encuentra la roca? a) 45 m d) 60 m b) 50 m e) 65 m c) 55 m 2. Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 60º. Si la altura del poste es de 4 3 m, calcula a qué distancia de la base del poste se ubica el punto. a) 4 m d) 8 m b) 6 m e) 12 m c) 4 3 m 3. Una persona de 2 m de altura observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 30º. Si la longitud del edificio es de 34 m, calcula a qué distancia de la base del edificio se ubica la persona. a) 32 m b) 32 3 m c) 32 2 m d) 34 m e) 36 m

4. Una mujer de 1,7 m de estatura divisa lo alto de un acantilado con un ángulo de elevación de 37º. Si la mujer está a 24 m del acantilado, ¿cuál es la altura del acantilado? a) 19,6 m b) 19,7 m c) 19,9 m

d) 21,2 m e) 21,5 m

PUCP 5. Desde la parte superior de un edificio de 4 m, se observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 53º y la parte más alta del árbol con un ángulo de elevación de 45º. Halla la longitud del árbol. a) 6 m d) 9 m b) 7 m e) 10 m c) 8 m 6. Fabiola observa un edificio con un ángulo de elevación de 37º, camina 7 m hacia el edificio, ahora lo observa con un ángulo de elevación b. Si la longitud del edificio es 12 m, hallar la medida de b. a) 37º d) 60º b) 45º e) 74º c) 53º

COLEGIOS GUADALUPE

84

7. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una casa con un ángulo de elevación de 15º. Si nos acercamos 40m, el ángulo de elevación se duplica. ¿Cuál es la longitud de la casa? a) 10 m d) 20 3 m b) 10 3 m e) 40 m c) 20 m 8. Desde lo alto de un acantilado, se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. Si el objeto se encuentra a 36 m de la base del acantilado. ¿Cuál es la altura del acantilado? a) 24 m d) 48 m b) 32 m e) 56 m c) 40 m UNMSM 9. Desde un punto en tierra se observa lo alto del quinto piso de un edificio con un ángulo de elevación q y la parte más baja del séptimo piso con un ángulo de eleTanq vación w. Halla . Tanw a) 6 5 b) 7 5 c) 5 7

d) 5 6 e) 1

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

3 Ángulos cuadrantales Ángulo cuadrantal

Es aquel ángulo canónico cuyo lado final coincide con algunos de los semiejes cartesianos. Su medida es múltiplo de 90º y no pertenece a cuadrante alguno. Ejemplo:

Signos de las RT en cada cuadrante Regla práctica: Son positivas y

y IIC 180º 270º

IC

-90º

x

IIIC Tan ∧ Cot

x IVC Cos ∧ Sec

IVC

En el siguiente cuadro sintetizamos los valores de las R.T. de los ángulos cuadrantales.

0º 0 1 0 N.D. 1 N.D.

IC Todas

90º

IIIC

R.T. Sen Cos Tan Cot Sec Csc

IIC Sen ∧ Csc

p/2 90º 1 0 N.D. 0 N.D. 1

p 180º 0 -1 0 N.D. -1 N.D.

3p/2 270º -1 0 N.D. 0 N.D. -1

Para recordar

2p 360º 0 1 0 N.D. 1 N.D.

R.T.

IC

IIC

Sen

+

Cos

+

+ -

Tan

+

-

+

Cot

+

-

Sec

+

-

+ -

+

-

Csc

+

IIIC -

IV -

-

+ + -

Trabajando en clase 1. Calcula:

Integral

3. Indica el signo de:

2Sen p - Cosp 2 E= 3p Cot + Sec2p 2

2. Indica en qué cuadrante se ubica «a» si Cosa rel="nofollow"> 0 y Tana < 0.

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

E=

Cos110º + Tan322º Csc125º PUCP

4. Halla el valor de: G = (3Sen90º - Cos180º)2 + (Sen270º + Cos360º)2

85

COLEGIOS GUADALUPE

ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÁTRICAS

Calcula: 5. H = (2Sen180º - Sen90º)2 + (3Cos180º - Cos90º)2 Calcula el valor de: 6. 2Cos2p - Csc 3p + Tanp 2 F= p Cot + Secp + Sen 3p 2 2 7.

Determina el signo de A, B y C. Si: α ∈ IIC , β ∈ IIIC y θ ∈ IVC Además: A = Cscα ⋅ Tanθ ⋅ Cosβ B = Cotα ⋅ Cscβ ⋅ Secθ C = Cosθ ⋅ Cotβ ⋅ Senα

Tarea 1. Se tiene un ángulo en posición normal «f» cuyo lado final pasa por el punto (-3; -4). Calcula el valor de Senf. 3 5 a) d) 5 3 2 3 b) e) 5 5 4 c) 5 2. Halla el valor de Cosf. y

(-5;12)

UNMSM

f

8. Si Secα = -6 ∧ ∈ IIC Calcula: E = 35 Cotα + Cosα

x

9. Si Senq = –3 ; q ∈ IVC 5



Calcula: E = Secθ – Tanθ

10. Si Senb = –2 ; b ∈ IIIC 3

5 12 5 b) 12 13 c) 5

5 13 5 e) 13

a)

Calcula: D = 5 Cotβ - Cscβ

11. Indica en qué cuadrante se ubica «a», si Sena > 0 y Seca < 0. UNI 2 3 2 5 12. Reduce: L = m Sen 90º - n Cos 360º mSen90º + nCos0º 13. Reduce: m3 Sen90º - n3Cos360º m Cos0º - mnSen270º + n2 Cos4 180º

d)

3. El punto P(-2; -1) pertenece al lado final de un ángulo canónico q. Calcular: T = Cotq + 5 Senq a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 4. Calcula: A = 5 Cscα - Cotα y (-2; 1)

2

α O

14. Si 8Tanq = (Sec45º)2Tanq – 3 y θ ∈ IVC. Calcula el valor de: Q = Secq – Tanq

a) 6 2 b) 5

x d) 5 e) 5

c) 7

COLEGIOS GUADALUPE

86

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

4 Reducción al primer cuadrante I Definición

Para ángulos negativos

Si el ángulo es mayor que una vuelta



Las razones trigonométricas (R.T.) de un ángulo de cualquier magnitud, positiva o negativa, pueden expresarse en términos de las R.T. de un ángulo positivo menor que 90°. Se establece la misma razón trigonométrica del ángulo que resulta ser el residuo al dividir la medida del ángulo entre 360° (una vuelta). Ejemplo: Reducir al primer cuadrante: ZZ Sen3285° 3285° 360° ⇒ Sen3285°= Sen45° 3240° 9 2 Sen3285° = 45° 2

En este caso usaremos las siguientes relaciones: Sen(–x) = –Senx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx Csc(–x) = – Cscx

Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Secx

Ejemplos: ZZ Sen(–28°) = –Sen28° ZZ Cos(–10°) = Cos10°

Trabajando en clase 6. Si: 2Csc(–x) + 5Cscx = 4,333.... Calcula: Sen(–x)

Integral 1. Calcula:

L=

Sen(–a) + Sec(–60°) Sena

7. Calcula: N = 4Sen450° – 3Tan2520°

2. Obtén el valor de: N = 2Sen1110° + Tan765° 3. Calcula:

UNMSM P = 8Tan(–37°) – Csc1830°

8. Calcula el valor de: R = 4Tan(–3285°)

PUCP 9. Obtén el valor de: P = 7Sec(–1860°)

4. Reduce la siguiente expresión: K = Sen20° + Sen1460° – 2Sen3620°

10. Reduce: (m+n)2Cos1440° + (m–n)2Sen990° Q= mnCos540°

5. Reduce la siguiente expresión: L = 3Cos760° – Cos40° –2Cos2920°

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

87

COLEGIOS GUADALUPE

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I 11. Simplifica: Sen(–x)Cscx + Cos(–x)Secx+Tan(–x)Cotx Q= 4Tan(–37°) + Csc(–30°)

6. Calcula: L = 2Cos720° – 3Sen1170° a) –4 c) 3 b) –1 d) 2 7. Calcula el valor de:

UNI

e) 0

Q = 3 Tan(–60°) + 2Sec2(–45°)

12. Simplifica: Sen(6p+x) + Sen(14p–x) + Sen(12 Q=

a) –3/4 b) 1

c) –1/2 d) 2

8. Obtén el valor de: T = Tan21500° – 5Sen3997° a) –1 c) 1 b) 0 d) –2

Simplifica: Tan(10p–x) +Tan(6p+x) + Tan(8p–x) E= 2Tan(–x) 14. Calcula el valor de:

e) 0

e) 2

UNMSM

N=(Cos810°+Cot405°)Sen450°+Tan 1140°+ Cot765° 2

9. Reduce: 2 2 N = (a+b) Sen1170° + (a–b) Cos900°

Tarea

2abCos2880°



1. Calcula: N= a) –2 b) –1

Cos(–q) + Tan (–45) Cosq c) 0 d) 1

2. Obtén el valor de: M = 2Cos 1140° + Sec2765° a) –1 c) 1 b) 0 d) 2 3. Calcula: P = 6Tan(–53) – Sec1860° a) –10 c) –6 b) –8 d) –4

e) 2

e) 3

c) –3 d) –2

e) 2

10. Simplifica: Senx.Csc(–x)+Cosx.Sec(–x)+Tanx.Cot(–x) a) –3 c) –1 e) 1/5 b) –2 d) –1/3 11. Reduce la expresión: Cos(4p+x) T = Sen(2p+x) +

Sen(–x)

a) –2 b) –1

e) –2

5. Si 3Tan(–x) + 7Tanx = 2,111...

a) –5 b) –4

c) 0 d) 1

5Cos(–53°)+2Cot(–45°)

4. Calcula el valor de: A = 2Sen (–30°) + 5Cos(–37°) + 3Cot(–45°) a) –2 c) 0 e) 2 b) –1 d) 1 Calcula Cot(–x) + 17 19

a) –2 b) –1

c) 0 d) 1

e) 2

12. Si Tan(–x) + 3Tanx = 4 (x es agudo) Determina Sec2x + 2 a) 1 c) 5 e) 9 b) 3 d) 7 13. Simplifica: Q=

Tan(8p + x) + Tan(6p + x) + Tan(10p – x)

a) –1/2 b) 1

e) –1

COLEGIOS GUADALUPE

Cos(–x)

88

2Tan(–x)

c) 0 d) –1

e) 1/3

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

5 Reducción al primer cuadrante II Para ángulos del segundo cuadrante

Para ángulos del cuarto cuadrante

(+): para seno y cosecante (–): para las demás funciones

(+): para coseno y secante (–): para las demás funciones Ejemplos: ZZ Cos280° = + Cos(360°–280°) = Cos80° ZZ Tan290° = –Tan(360° –290°) = –Tan70° ZZ Cot344° = –Cot(360° –344°) = –Cot16° 13p = +Sec(2p 13p ) = Sec p ZZ Sec 7 9 7

Si ∈ x IVC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (360° – x)

Si x∈IIC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (180° – x)

Ejemplos: ZZ Sen100° = + Sen(180° –100°) = Sen80° = Cos10° ZZ Cos130° = –Cos(180°–130°) = –Cos50° = –Sen40° ZZ Tan142° = –Tan(180°–142°)=–Tan38° = –Cot52° ZZ Cot168°=–Cot(180°–168°) = –Cot12° = –Tan78° 6p 6p p ZZ Sec = –Sec(p – ) = –Sec 7 7 7 8p 8p p ZZ Csc = +Csc(p – ) = Csc 9 9 9

Para ángulos del tercer cuadrante Si x∈IIIC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (x –180°)

Para ángulos de la forma: 180° o ± x 360° Se cumple:

90° o ± x 270°

180° F.T. o ± x = ± F.T.(x) 360°

(+): para tangente y cotangente (–): para las demás funciones

90° F.T. o ± x = ±CO–F.T(x) 270°

Ejemplos: ZZ Sen190°=–Sen(190°–180°)=–Sen10°=–Cos80° ZZ Cos220°=–Cos(220°–180°) = –Cos40° = –Sen50° ZZ Tan236° = +Tan(236°–180°)=Tan56° = Cot34° 13p = Cot( 13p – p) = Cot 4p ZZ Cot 9 9 9

Trabajando en clase Integral

3. Calcula:

1. Simplifica:

E=

Sen(90° + x) Cosx

N = Sen150° + Sen30° PUCP

4. Simplifica: 2. Reduce: P = Cot(180° + x) + Tan(270° + x)

TRIGONOMETRÍA 2° SEC



89

E=

Sen(180° + x) Sec(90° – x) + Sen(360°–x) Csc(180° + x)

COLEGIOS GUADALUPE

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II Resolución: IIIC

UNI

IC

12. Determina:

–Senx +Cscx E= + –Senx –Cscx

IVC E=1–1 E=0



IIIC

6. Calcula:

b

17 a 1

5. Simplifica: E=

Tana + Cotb

Tan(180°–x) Sen(270°+x) + Tan(360°+x) Sen(90°+x)

Resolución:

b 17

P = Tan135° + Cos300°

y

4

a

7. Calcula: E=

Sec(270°+x) Cos120° + Csc(180°–x) Cot315° UNMSM

8. Calcula:

E = Sen(–3645°) Resolución: i) Sen(–q) = –Senq ii) 3645° 360° 3600° 10° 45° iii) Sen(–3645°)= –Sen3645° Sen(–3645°)= –Sen45° Sen(–3645°)= – 2 2 9. Calcula: E = Tan(–2580°)

13. Calcula: Cotq + Cota a

10. Simplifica: Tan(270°–x) Sen(–120°) + Cos(–330°) – Cot(360°–x) 11. Calcula Cotq

x 1 Del gráfico: x + a = 360° ⇒ a = 360° – x Tana = Tan(360 – x) Tana = –Tanx Tana = – 4 y – b = 360° ⇒ y = 360° + b Coty = Cot(360° + b) Coty = Cotb ⇒ Cotb = 4 Nos piden: E = Tana + Cotb E = –4 + 4 = 0

y q

q

1 2

4 14. Si: Tan(360° –a) + Csc(270° + a) = 4 Calcula: Cot(270°+a)+Sen(180°+a) M= Cos(270°–a)

x (–2;–3)

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90

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II

Tarea 8. Simplifica:

Integral

Q = Sen(180° + x) + Cos(90° + x)

Sen(180° – x)

1. Simplifica: E=

Tan(90° + x) Cotx

a) 1 b) –1

c) 2 d) –2

a) 1 b) 2

e) 0

Cos(270° + x)

c) –1 d) –2

e) 0

UNMSM

2. Reduce: P = Cot(360° + x) + Tan(90° + x) a) 1 c) –1 e) –2 b) 0 d) 2

9. Calcula: P = Sen(–150°)+Cos(–300°) a) 3/2 c) –1 b) 0 d) –2

3. Calcula: N = Sen120° + Sen60° a) 1 c) 2 e) b) 2 d) –1

10. Calcula Tana.

a) –2 b) 1

a

x

Cot(90° – x)

c) 2 d) 0

(–2;–1)

e) –1 a) 2 b) –2

PUCP

e)

5

E = Sen(270°–x).Sec(180°–x).Tan(90°+x)

P = Sen(90° + x) + Tan(360° + x) Cos(180° – x) Cot(90° – x) c) 0 d) 2

Cos(–x).Cot(–x)

a) Senx b) Cosx

e) –2

c) Secx d) –Cscx

e) 1

12. En un triángulo ABC, simplifica:

A = Sen(A + B) + Tan(A + B + C)

6. Calcula:

P = Sen(90° + x) +Tan315° Cos(180° – x) a) –2 b) –1

c) 1/2 d) –1/2

11. Simplifica:

5. Simplifica:

a) 1 b) –1

y

3

4. Simplifica: E = Cos(180° + x) + Tan (180° – x)

Sen(90° + x)

e) 1/2

c) 0 d) 1

SenC

e) 2

a) –1 c) 0 b) 1 d) 2 13. Determina Tanq.

7. Calcula:

q

E = Sec120°

Csc225°

a) 6

c)

2

b) – 6

d) – 2

a) 1

e) – 3

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

5 b) – 1 5

91

e) –2

26 1

c) 5

e) 1

d) –5

COLEGIOS GUADALUPE

6 Identidades trigonométricas Obervamos lo siguiente

ZZ La igualdad (x – 2)(x + 2) = 0, es cierta si y sola-

mente si, cuando x = 2 ∨ x = –2. A este tipo de igualdad se le denomina «ecuación condicional». ZZ En cambio la igualdad: (x – 2)(x + 2) ≡ x2 – 4 Cumple para todo valor de «x» A este tipo de igualdad se le denomina «identidad».

Definición

Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible del ángulo Por ejemplo La identidad: Sen2x + Cos2x = 1

Identidades fundamentales

Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas Se clasifican en tres formas: ZZ Por cociente ZZ Recíprocas ZZ Pitagóricas

a. Identidades por cociente

Tga = Sena Cosa Ctga = Cosa Sena Se observa que Tga = 1 Ctga

b. Identidades recíprocas 1 Csca Cosa = 1 Seca Tga = 1 Ctga Sena =

c. Identidades pitagóricas Sen2a + Cos2a = 1 1 + Ctg2a = Csc2a 1 + Tg2a = Sec2a

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ZZ Algunas identidades auxiliares YY Sen4a + Cos4a = 1 – 2Sen2aCos2a YY Tga + Ctga = Seca.Csca YY Sen6a + Cos6a = 1 – 3Sen2aCos2a YY Sec2a + Csc2a = Sec2a.Csc2a

Ejemplo: Simplifica: E = (1 – Cosx)(Cscx + Ctgx)

1 + Cosx → E = (1 – Cosx) 1+Cosx Senx Senx Senx 2 2 Sen x 1 – Cos x E= = ⇒ E = Senx Senx Senx

E = (1 – Cosx)

Eliminación del ángulo

Estos ejercicios consistes en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos determinar relaciones algebraicas, en las que no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por ejemplo: ZZ Elimina a en la siguiente relación trigonométrica: Csca = m + n ... (I) Ctga = m – n ... (II) Resolución: Csca = m + n ∧ Ctga = m – n Ctg2a = (m + n)2 = m2 + 2mn + n2 (–) Ctg2a = (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 Csc2a – Ctg2a = m2 + 2mn + n2 – m2 + 2mn – n2 ∴ 1 = 4mn ZZ Recomendación:



Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión: E = (Senx ± Cosx) y se te pide Senx.Cosx, se recomienda que eleves el cuadrado ambos miembros para obtener: E2 = (Senx ± Cosx)2 E2 = Sen2x ± 2SenxCosx + Cos2x E2 = Sen2x + Cos2x ± 2SenxCosx E2 = 1 ± 2SenxCosx Lo que se pide ZZ Recordar la identidad algebraica (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) ZZ Identidad importante (1 ± Senq ± Cosq)2 = 2(1 ± Senq)(1 ± Cosq)

92

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Trabajando en clase Integral 1. Simplifica:

Resolución: Elevamos al cuadrado el dato: Tg2x – 2Tgx.Ctgx + Ctg2x = b2

E = Cosx.Tgx – Senx



2. Si Senx + Cosx = 1 . Calcula: P = Senx.Cosx 3 3. Simplifica: R = Ctgx.Sen2x – Tgx.Cos2x





10. Elimina el ángulo en: m = Senx .....(I) n = Cosx .....(II)

Q = Secx – Cosx Cscx – Senx

11. Si: Tgx + Ctgx = 3. Calcula: K = Sen6x + Cos6x

Resolución: Transformamos a senos y cosenos:

1 – Cosx 1 – Cos2x Cosx = Cosx = 1 – Senx 1 – Sen2x Senx Senx 3 = Sen x = Tg3x Cos3x ∴ Q = Tg3x 5. Simplifica: 6. Reduce: 7. Simplfica:

H = b2 + 2

9. Si Tgx – Ctgx = 3. Calcula: U = Tg2x + Ctg2x

PUCP 4. Simplifica:

Tg2x + Ctg2x – 2 = b2

UNI

Sen2x Cosx Cos2x Senx

12. Si Cscx + Ctgx = 5. Calcula: E = Senx Resolución: Aplicamos la propiedad: Si Cscx + Ctgx = m ⇒ Cscx – Ctgx = 1 m Entonces: Cscx + Ctgx = 5 (+) Cscx – Ctgx = 1 5 13 2 Cscx = 26 5

C = Senx + Tgx 1 + Secx

K = (Tgx + Ctgx). Cos2x

Invirtiendo: Senx = 5 13 13. Si Cscx + Ctgx = 7. Calcula: H = Senx

T = Cosx + Senx.Tgx Senx.Secx UNMSM

8. Si: Tgx – Ctgx = b. Calcula: H = Tg2x + Ctg2x

14. Si Tg2x + Ctg2x = 7. Calcula: G = Tgx + Ctgx

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

93

COLEGIOS GUADALUPE

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Tarea 7. Simplifica: G=

Integral 1. Simplifica: a) 0 b) 1

a) 0 b) 1

y = Senx.Ctgx – Cosx c) 2 e) 4 d) 3

8. Si Tgx – Ctgx = 3 . Calcular: 2 R = Sec2x + Csc2x + 3 4 a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7

2. Si: Sena + Cosa = 1 . Calcula: 2 P = Sena.Cosa a) –0,6 c) 0 e) 0,6 b) –0,25 d) 0,5

UNMSM

3. Simplifica: E = Tg2x.Cos2x + Ctg2x.Sen2x a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3 4. Simplifica:

9. Elimina el ángulo en: a = Tgx .....(I) b = Ctgx ..... (II) a) ab = 1 c) a = b e) a – 1 = 1 b) a2 + b2 = 1 d) a2 = b2 + 4

3 S = Tgx + Tg 3x Ctgx + Ctg x

c) Tg3x d) Tg4x

a) Tgx b) Tg2x

10. Si: Tgx + Ctgx = 2. Calcula: P = Sen6x + Cos6x a) 3 c) 15 e) 2 4 16

e) 1

PUCP 5. Reduce: a) Senx b) Cosx 6. Simplifica: a) 0 b) Senx

b) 13 16

Q = (Tgx + Ctgx).Sen2x c) Tgx e) 1 d) Ctgx

12. Si: Tgx – Ctgx = 2. Calcula: Q = Tg3x – Ctg3x a) 6 c) 11 e) 14 b) 8 d) 12

e) 1

COLEGIOS GUADALUPE

d) 1

11. Simplifica. K = 4(Sen6a + Cos6a) – 6(Sen4a + Cos4a) a) –3 c) 0 e) 2 b) –2 d) 1

M = Senx + Cosx.Ctgx Cos.Cscx c) Tgx d) Secx

Senx – 1 – Cosx 1 – Cosx Senx c) 2 e) 4 d) 3

94

TRIGONOMETRÍA 2° SEC

Razonamiento Matemático

2° DE SECUNDARIA

1 Problemas sobre fracciones FRACCIÓN

Es todo número racional (de la forma a ) que no b resulta ser entero, cuyos términos: numerador y denominador (a y b, respectivamente) son positivos. Ejemplo: 3 1 100 –2 0 –4 20 4 ; ; ; ; ; ; ; 4 8 30 4 3 5 7 –2 De todos los números racionales mostrados, solo 3 1 20 son fracciones, pues sus cocientes no ; y 7 4 8 resultan ser enteros y sus términos son positivos.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

3 8

2 5

5 9

Cada una de las partes es 1 del total 8

Cada una de las partes es 1 del total 5

Cada una de las partes es 1 del total 9

TIPOS DE FRACCIONES

Fracción impropia: f>1→a>b

ASPECTOS ELEMENTALES

En esta clase, estudiaremos la aplicación de fracciones a situaciones cotidianas, y serán resueltas de manera elemental.

Nota Recuerda que si una cantidad tiene mitad, tercia y quinta, en lugar de asignarle una variable, se le puede asignar una cantidad que sea divisible entre 2, 3 y 5, tal como 30 k.

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

Para hallar lo que le falta a una fracción respecto de una cantidad. Ejemplo: ¿Cuánto le falta a 3 para ser igual a 4? 5 Resolución: 4 – 3 = 17 = 3 2 5 5 5

Situación 2

Para hallar lo que sobra de una fracción respecto de una cantidad. Ejemplo: 1 3 ¿Cuánto le sobra a 4 respecto de 1 ? 3 5 Resolución: 4 1 –1 3 ⇒ 13 – 8 = 41 3 5 3 5 15

Situación 3

En general, una fracción es la comparación de una parte sobre el todo: Parte Todo Fracción propia: f < 1 → a < b

Situación 1

97

Para hallar la fracción de una cantidad. Ejemplo: Calcula los 3 de los 15 de 4. 5 6 Resolución: Para resolver estas situaciones tengamos en cuenta que la palabra «de» indica multiplicación. Así: 1

3

3 x 15 x 42 = 6 5 6

Situación 4

2 1

Para hallar qué fracción es una cantidad de otra. Esta comparación la haremos de acuerdo con el esquema: ES Num = DE Den Ejemplo: Calcula qué parte de 48 es 32. Resolución: 32 = 2 ES ⇒ 48 DE 3

Situación 5

Relación extraer-queda; añadir-resulta

COLEGIOS GUADALUPE

PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES

INICIAL

QUITA / AGREGA

FINAL

Tengo S/.48

Gasto los 3/8

Queda 5 x 48 = S/. 30 8

En una fiesta hay 60 personas

Se retiran los 5/12

Queda 7 . 60 = 35 12

Hay 280 alumnos

Se matriculan los 2/7

Ahora hay: 9 . 280 = 360 7

Jorge va a leer un libro de 300 En una semana leyó los 7/10 Falta leer: 3 . 300 = 90 páginas 10 Una fábrica produce 60 bicicletas

Aumentó la producción en Ahora produce: 19 . 60 = 76 15 4/15

Una joven pesa 52 kg

11 Luego de una dieta bajó 2/13 Ahora pesa: . 52 = 44 13

Trabajando en clase UNMSM

Integral 1. ¿Qué parte del total es la región sombreada?

8. ¿Ayer gasté 1 de mi dinero y hoy gasté 2 de lo que

4



3

me quedaba, ¿cuánto me quedará mañana luego de perder 1 de lo que me queda?

9. Ruperto tiene S/. 840 y pierde 1 , luego gana 4 de

2

5

lo que le queda y pierde nuevamente los 4 de lo

9

2. Calcula los 3 de los 2 de los 2 de 2400

4

3. Resuelve:

5

3

+ 1 4 2 5– 11 1– 2

que le queda. ¿Cuánto le queda al final? 10. Alicia va a Gamarra con S/. 420 y compra 4 minifaldas con los 3 de su dinero, ¿cuánto le costaron

7

3

las 4 minifaldas?

11. En un juego al azar Ruperto gana los 5 de su dinero,

8

¿con cuánto se retira si llegó al juego con S/. 544? UNI

Católica 4. ¿Cuánto le falta a 5 para ser igual a 2? 7 9 5. ¿Cuánto le falta a para ser igual a 3?

11

6. Calcula que parte es 20 de 380. 7. Ruperto estudia diariamente los 3 del día, ¿cuántas

8 horas estudia diariamente Ruperto?

12. Si vendo los 7 de lo que no vendo, ¿qué parte del

9

total no vendo? 13. Tenía S/. 50 y gasté S/. 20, ¿qué parte de lo que no gasté es lo que gasté? 14. Edelmira al dar su examen de RM comenta: he contestado los 3 de los que no he contestado, ¿qué

5

fracción del total ha contestado?

COLEGIOS GUADALUPE

98

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES

Tarea Integral 1. La figura es un triángulo equilátero. ¿Qué fracción de los sombreado es lo no sombreado?

6. Vladimir gasta diaramente 1 de su sueldo, ¿en 30 fracción, cuanto gastó en 12 días? 2 a) 1 c) e) 6

5

5

b)

a) 5

c)

3

b)

5

d)

7

7

e) 1

6 3

2. Calcula los 2 de 6 de 1 de 5600

3

a) 640 b) 320 3. Resuelve:

7

10

c) 460 d) 560

e) 280

b)

1

b) 31 63

d)

4

1

2

4. En un juego de azar perdí

7

de lo que no perdí, si

aún me quedan S/. 140. ¿Cuánto perdí? a) S/. 50 c) S/. 20 e) S/. 60 b) S/. 70 d) S/. 80 PUCP 5. Calcula que parte es 35 de 700. a) 1 c) 3 e) 19 20 20 5 b)

1

4

3

3

4 1

d)

5

1

8

3

UNMSM

e) 3

3

2

4

8. Erasmo tenía S/. 80 y gastó S/. 20, ¿qué parte de lo que no gastó, gastó? 2 a) 1 c) e) 1

5

c) 35 63

d)

3

9

a) 32 63

5

5

5

8

b)

+ 1 3 1+ 11 1+ 3

d)

5

4

7. Belisario tenia S/. 80 y gastó S/. 20, ¿qué fracción de lo que tenía gastó? 1 a) 1 c) e) 1

2

1

3

d) 23 20

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

9. Miguel va a la zapateria «BOTA» y compra un par de zapatos con los 3/11 del dinero que lleva. Si lleva 154 soles. ¿Cuánto le queda luego de la compra? a) S/. 115 c) S/. 112 e) S/. 128 b) S/. 120 d) S/. 124 10. En una apuesta, Maliño pierde los 3/13 de su dinero, ¿cuánto pierde si llegó con S/. 221? a) 102 c) 85 e) 68 b) 170 d) 51 11. ¿Cuántos octavos hay en 5/4? a) 5/2 c) 12 b) 10 d) 5

e) 6

12. Calcula el valor de P. 1 1 1 1 1 P=1+ 1+ 1+ 1 + ... 1 + 3 4 5 9 2

a) 1 b) 2

99

c) 5 d) 8

e) 10

COLEGIOS GUADALUPE

2 Porcentajes EXPRESIÓN GENERAL

Resolución: 20% más → (100 + 20) % de 800 = 120% (800) = 120 x 800 = 960 100

A% de N = A x N 100

SITUACIONES DE COMPRA-VENTA

Ejemplo: Calcula el 30% de 600. Resolución: 30% de 600 = 30 x 600 = 180 100

Tener presente:

PC: Precio de compra PV: Precio de venta G: Ganancia P: Pérdida

PV = PC + G

EQUIVALENTES FRACCIONARIOS

1% = 1 20% = 1 40% = 2 100% = 1 100 5 5 5% = 1 25% = 1 50% = 1 150% = 3 20 4 2 2 10% = 1 30% = 3 15% = 3 200% = 2 10 10 20

PV = PC – P

Ejemplo: Un comerciante compró una computadora en S/.1800 y la vendió ganando el 40% del costo. ¿En cuánto la vendió? Resolución: PC = S/.1800 G = 40% de S/.1800 = 2 × 1800 = 720 5

Ejemplo: Calcula el 5% del 75% del 40% de 1600. Resolución: 5% de 75% del 40% de 1600

Luego: PV = PC + G ↓ ↓ ↓ PV = 1800 + 720 = S/.2520

↓ 1 × 20

Para dos cantidades A y B, podemos obtener lo siguiente: Descuento AxB único = A + B – 100 %

↓ 3 4

×

↓ 2 5

× 1600 = 24

Situaciones elementales I. ¿Qué porcentaje de A es B? B x 100%

A

II. A% de B = B% de A

APLICACIONES COMERCIALES

Ejemplo: Calcula el 46% de 50. Resolución: 46% de 50 = 50% de 46 = 1 × 46 = 23 2

III. A% más = (100 + A)% A% menos = (100 – A)% Ejemplo: Calcula el 20% más de 800.

COLEGIOS GUADALUPE

Ejemplo: Calcula el descuento unitario de dos descuentos sucesivos del 30% y 20%. Resolución: Descuento 30 x 20 único = 30 + 20 – 100 = 44% Aumento AxB único = A + B + 100 % Ejemplo: Calcula el único aumento en dos aumentos sucesivos del 40% y 30%. Resolución: Aumento 40 x 30 único = 40 + 30 + 100 = 82%

100

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

PORCENTAJES

Trabajando en clase Integral



1. Calcular 30% del 40% del 35% de 1500. 2. ¿Qué porcentaje es 48 de 160?

1. Calcule el 28% del 38% del 25% de 5000 a) 140 c) 141 e) 133 b) 153 d) 162

3. ¿Qué porcentaje de 95 es 57? Católica

2. ¿Qué porcentaje es

4. Calcula el 25% del 35% del 40% de 1800. 5. Calcula el 15% del 65% de 3200 En el siguiente gráfico, ¿qué porcentaje repre6. senta la parte sombreada del total?

7. Ruperto gana S/. 1500 al mes. Si le aumentaran el 30% de su sueldo, ¿cuánto ganaría? UNMSM 8. Calcula el descuento único de dos descuentos sucesivos del 30% y 20%. 9. Calcula el aumento único de dos aumentos suce sivos del 30% y 40%. 10. Después de descontarle el 20% al precio de un camión, se pagó S/. 800000. ¿En cuánto se vendía inicialmente el camión? 11. En un salón de clase del 2° año del Colegio Pamer, el 30% son varones, si en total hay 60 alumnos, ¿cuántas mujeres hay en ese salón? UNI

Tarea

1

8

de 25? 32

a) 16% c) 14% e) 22% b) 20% d) 18% 3. ¿Qué porcentaje de 0,2 es 0,025? a) 125% c) 1,25% e) 5% b) 12,5% d) 8% 4. Tengo S/. 3 000, si gastara el 20% de lo que tengo y ganara el 20% de lo que me quedaría, ¿cuánto tendría? a) S/. 2 880 c) S/. 2 920 e) S/. 2 960 b) S/. 2 720 d) S/. 3 000 5. ¿Qué porcentaje de lo sombreado es lo no sombreado?

a) 75% c) 125% e) 50% b) 100% d) 150% 6. Una persona gana S/. 600 mensuales; si le aumenta el 15%, ¿cuánto ganará? a) S/. 620 c) S/. 690 e) S/. 840 b) S/. 630 d) S/. 720 7. Un edificio le pertenece a dos hermanos; si la parte de uno de ellos es el 30% y está valorizado en S/. 150 000, ¿cuál es el valor de la parte que corresponde al otro hermano? a) S/. 400 000 c) S/. 360 000 e) S/. 390 000 b) S/. 380 000 d) S/. 350 000

12. En un almacén te hacen descuentos sucesivos del 40% y del 30%, ¿cuál es el descuento único? 13. Alicia va de compras y ve un lindo vestido con 8. En un corral de aves, los 7/12 son gallinas y los 5/7 de las gallinas son ponedoras y el resto que no oferta, con un descuento del 20% y si lo paga con su tarjeta de crédito, hay un descuento adicional son ponedoras son 280, ¿cuántas gallinas hay en ese corral? del 10%, ¿cuál es el descuento único si lo paga con a) 490 c) 980 e) 1020 su tarjeta? b) 630 d) 540 14. Un comerciante compró un televisor en S/. 400 9. Un obrero le aumentan el 20% en su sueldo y le y luego lo vendió ganando el 15% del costo, ¿en pagan S/. 1 200, ¿cuánto era su sueldo antes del cuánto vendió el televisor? aumento? a) S/. 1 050 c) S/. 900 e) S/. 1 100 b) S/. 1 000 d) S/. 950

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

101

COLEGIOS GUADALUPE

3 Análisis combinatorio I En el presente capítulo, veremos dos principios fundamentales del análisis combinatorio; el principio de adición y el principio de multiplicación.

PRINCIPIO DE ADICIÓN

Supongamos que nos vamos de viaje y tenemos dos opciones: por avión o por autobús. Tengo tres empresas para viajar por avión, y, además, cuento con 5 empresas de autobuses. ¿De cuántas maneras diferentes podré realizar dicho viaje? Debemos tener en cuenta que el viaje solamente lo podemos realizar por una sola vía.

Conclusión:

Si voy por autobús, tengo 5 formas diferentes de viajar; si voy por avión, 3 formas más; en total, tendría 8 formas de realizar el viaje.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

Supongamos que voy a una fiesta y me encuentro con tres amigos (Manuel, Wilfredo y Marco) y, además, nos encontramos cuatro amigas (Cinthia, Abigail, Geraldine y Susana); ¿de cuántas maneras se puede bailar en dicha fiesta? Consideremos que una chica baila solo con un chico a la vez, sin embargo, pueden intercambiar de parejas.

Conclusión:

Yo puedo bailar con Cinthia, Abigail, Geraldine y Susana, Manuel puede hacer lo mismo con las 4 chicas, al igual que Wilfredo y Marco; por lo tanto, tendremos 4 x 4 , y en total tendremos 16 chicos chicas formas. De manera general podemos indicar lo siguiente: «Si una elección A se puede hacer de «m» maneras, y luego de esta, una elección B se puede hacer de «n» maneras, entonces ambas elecciones (A y B) se pueden hacer de (m × n) maneras». Observación: El principio anterior se puede generalizar para más elecciones: A, B, C, ..., donde cada una se puede hacer de m, n, p, ... maneras. Luego, todas las elecciones se pueden hacer de m × n × p × ... maneras.

Nota Para descartar si un problema es de multiplicación o adición, ten en cuenta las letras «o» e «y».

Trabajando en clase Integral 1. Para viajar de Lima a Piura tengo 3 líneas diferentes aéreas, 10 empresas de transporte terrestre y 2 líneas marítimas, ¿de cuántas maneras distintas se puede ir de Lima a Piura? 2. María tiene 6 blusas, 8 pantalones y 4 pares de zapatos, todas sus prensas son diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá vestir María? 3. En el gráfico, ¿de cuántas maneras se puede ir de A a C sin pasar 2 veces por el mismo lugar?

COLEGIOS GUADALUPE

A

B

C

Católica 4. Con las cifras: 2; 4; 5; 7 y 9, ¿cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden determinar? 5. Con las cifras: 1; 2; 3; 5; 6; 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar?

102

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

ANÁLISIS COMBINATORIO I 6. Se tiene la palabra: ABUELO, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escribir no importa si no es pronunciable o entendible? 7. Para el desayuno se tiene 4 distintos panes, 3 tipos de infusión y mermelada, miel, mantequilla y queso para acompañar al pan, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden saborear un desayuno con una infusión y su respectivo pan acompañado? UNMSM 8. César tiene 8 camisas, 3 polos, 4 pantalones, 3 shorts, 5 pares de zapatos y 6 pares de zapatillas, todas las prendas diferentes, ¿de cuántas maneras podrá vestirse? 9. Juana tiene en su ropero 3 blusas, 5 minifaldas, 4 pantalones, 6 pares de zapatillas, todas las preguntas diferentes, ¿de cuántas maneras puede vestirse para salir con sus amigos? 10. Se tiene por temporada: manzana, naranja, uva, fresa, granadilla, papaya y piña, si tomamos 3 frutas cualesquiera, ¿de cuántas maneras podemos hacerlo? 11. Una profesora de primaria manda a sus alumnos a recortar rectángulos en una cartulina y escriban las letras: OCTUBRE sin importar su significado o pronunciación, ¿cuántas palabras de 5 letras se podrá determinar? UNI 12. Si Beatriz tiene 3 blusas de diferentes color y 4 faldas diferentes, ¿de cuántas maneras se puede vestir si la falta roja va siempre con la blusa amarilla? 13. Lucho tiene 6 polos diferentes y 4 pantalones también diferentes, ¿de cuántas maneras podrá vestirse si el polo azul va siempre con el pantalón celeste? 14. En el Estado Nacional se encuentran 6 amigos y se estrechan las manos todos, ¿cuántos apretones de mano hubo?

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

Tarea 1. Para ir de Lima a Tacna hay 12 líneas diferentes de bus, 6 líneas marítimas y 4 líneas aéreas, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de Lima a Tacna? a) 22 d) 24 b) 18 e) 17 c) 20 2. Juan tiene en su ropero, 4 camisas, 3 pantalones, 5 gorros y 6 pares de zapatos, todas las preguntas diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá vestir Juan? a) 270 d) 360 b) 240 e) 420 c) 380 3. ¿De cuántas maneras se puede ir de A hacia B sin retroceder ni pasar 2 veces por un mismo punto? A B a) 29 d) 25 b) 36 e) 31 c) 41 4. ¿De cuántas maneras se puede ir de A hasta B sin retroceder en ningún momento? A

B

a) 40 d) 32 b) 96 e) 72 c) 20 5. Con las letras de la palabra CARMEN, ¿cuál es el número total de permutaciones que se pueden forman, no importa si es entendible? a) 80 d) 120 b) 240 e) 680 c) 720 6. Para tomar lonche, Ruperto dispone de cinco tipos de mermelada, tres tipos de pan y cuatro tipos de infusiones. Si un lonche consta de una infusión y un pan con un tipo de mermelada, ¿cuántos lonches diferentes podrá preparar Ruperto? a) 72 d) 24 b) 60 e) 36 c) 40

103

COLEGIOS GUADALUPE

4 Análisis combinatorio II n

k ≤ n) y denotado como Vk, estará dado por lo siguiente: n Vk = n! (n – k)!

Para analizar los diferentes casos que se presentan en el análisis combinatorio es conveniente señalar algunas definiciones que serán utilizadas en los casos que vamos a estudiar.

1. FACTORIAL DE UN NÚMERO



El factorial de un número «n» entero y positivo, denotado por n! o n , es el producto de todos los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta el valor de «n». Ejemplos: YY 3! = 3 × 2 × 1 = 6 YY 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 En general: n! = n(n – 1)(n – 2) … 3 × 2 × 1 Al contar la cantidad de maneras o formas que un grupo de elementos puede realizar una actividad, debemos tomar en cuenta, si participan o no todos los elementos, así como también si importa o no el orden como dichos elementos son ubicados. Los métodos de conteo a estudiar se distinguen por tales consideraciones.

a) Permutación

Es un arreglo u ordenación de todos los elementos de un conjunto, considerando el orden en que se encuentran. ●● Permutación de A y B: AB, BA ⇒ 2 permutaciones ●● Permutación de A, B y C: ABC, BCA, CAB ACB, BAC, CBA 6 permutaciones Para «n» objetos diferentes, el número de permutaciones, representado como Pn, que se puede obtener está dado por lo siguiente: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2) ... 3 × 2 × 1 ; n ∈ N



b) Variación



c) Permutación circular



Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) señalado. El número de permutaciones circulares, denotado como Pc de «n» elementos, está dado por lo siguiente: Pc(n) = (n – 1)!



d) Permutación con repetición



Es un arreglo que presenta elementos repetidos y, por tanto, es importante eliminar estos elementos, y lo podemos hacer de la siguiente manera: Pna; b; c;... =



n! a! . b! . c!...

Donde a; b; c;... representa la cantidad de veces que los elementos se repiten.

e) Combinación



Es una selección o agrupamiento que se puede formar con los elementos de un conjunto (los elementos deben ser diferentes). El número de combinaciones de «n» elementos, agrupados de «k» en «k», está dado por lo siguiente: n n! Ck = (n – k)!k!

Donde n, k ∈ N y 0 ≤ k ≤ n

Observación

Es un arreglo u ordenación de una parte de los elementos de un conjunto, considerando el orden en que se encuentran. El número de permutaciones de «n» objetos tomados en grupos de «k» elementos (siendo

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Donde n ∈ N

2. MÉTODOS DE CONTEO



Donde n, k ∈ N y 0 ≤ k ≤ n

En las permutaciones o variaciones interesa el orden, se buscan ordenaciones. En las combinaciones no interesa el orden, se buscan agrupaciones.

104

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

ANÁLISIS COMBINATORIO II

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Abanto, Beatriz y Carlos van al cine y encuentran 3 asientos juntos, ¿de cuántas maneras podran sentarse? Escribe todos los casos posibles.

8. Seis amigos van de campamento y encienden una fogata en la noche, y todos se sientan alrededor, ¿de cuántas maneras se podrán ubicar? Resolución: Pc(n) = (n – 1)! = (6 – 1)! = 5! = 120 maneras

2. ¿Cuántos ordenamientos son posibles con tres letras de M, N, P y Q? 3. ¿Cuántas permutaciones puden formarse con las vocales a, e, i, o, u tomados de 2 en 2? Católica 4. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con las cifras: 1; 2; 3; 4; 6; 7; 9? Resolución: Como importa el orden:

V = 7! = 7 x 6 x 5 x 4! = 210 (7 – 3)! 4! 7 3

5. Juan, Sara, Edelmira, Jorge, Pepe y Flor van a los juegos mecánicos y solamente entran 2 en un carro chocón, ¿de cuántas maneras se podran formar parejas si importa el orden? 6. En una mesa circular de 6 asientos se ubican 6 amigas, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden sentar? 7. Ruperto y sus 5 engreidos van al cine y encuentran una fila de 6 asientos, ¿de cuántas maneras podran sentarse si Ruperto quiere estar junto a Vitocha?

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

9. Cinco niños juegan a la ronda, ¿de cuántas maneras distintas podran ubicarse? 10. ¿De cuántas maneras distintas se pueden escribir: COCOROCO no importa si no se entiende? 11. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra: MATEMÁTICAS? UNI 12. Tenemos en una mesa 6 caramelos de distintos sabores y nos permiten tomar 3 de ellos, ¿de cuántas maneras podemos hacer la elección? Resolución: 6 6! C3 = = 6! = 6 x 5 x 4 x 3! = 20 3!(6 – 3)! 3! . 3! 3 x 2 x 1 x 3! Se puede escoger de 20 maneras diferentes. 13. A una reunion asisten 10 personas e intercambian saludos entre todos, ¿cuántos saludos han intercambiado? 14. En una unidad militar hay 6 capitanes, 10 tenientes, 25 sargentos y 50 cabos, ¿de cuántas maneras se pueden seleccionar un grupo de 3 capitanes, 7 tenientes, 15 sargentos y 36 cabos?

105

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ANÁLISIS COMBINATORIO II

Tarea Integral 1. Adela, Beto, Carlos, Daniel y Fabiola van al cine y encuentran 5 asientos juntos, ¿de cuántas maneras podrán sentarse si Adela y Fabiola se sientan juntas? a) 72 d) 32 b) 60 e) 48 c) 120 2. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras a, b, c, d y m? a) 48 d) 24 b) 720 e) 60 c) 120 3. Se tienen los números: 9; 7; 5; 4; 3; 2 ¿Cuántos números de 2 cifras se podrán formar? a) 36 d) 54 b) 30 e) 120 c) 42 4. Se tienen las siguientes frutas: papaya, piña, manzana, naranja, fresa, guanabana y plátano. ¿Cuántos juegos diferentes se pueden preparar con estas frutas? a) 127 d) 124 b) 128 e) 120 c) 132 PUCP 5. 3 niños y 2 niñas se sientan alrededor de una mesa que tiene 6 asientos, ¿de cuántas maneras se podrán sentar si el asiento vacío está junto a las niñas? a) 24 d) 12 b) 72 e) 52 c) 36 6. Juan, Armando, Beto, César, Dionicio, Erasmo y Fabricio van al teatro y encuentran una fila con 7 asientos, ¿de cuántas maneras podrán sentarse si Armando, César y Fabricio quieren estar juntos? a) 600 d) 840 b) 660 e) 960 c) 720

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7. Juancito va a una tienda y encuentra seis polos de su agrado; si solamente tiene dinero para tres polos, ¿de cuántas formas podrá efectuar su compra sabiendo que invertirá todo su dinero en los polos? a) 9 d) 20 b) 12 e) 35 c) 18 8. Si cuatro personas entran a un vagón de ferrocarril, en el que hay siete asientos, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse? a) 840 d) 570 b) 760 e) 540 c) 680 UNMSM 9. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MATE, sin importar si estas tienen sentido o no? a) 4 d) 12 b) 8 e) 24 c) 16 10. ¿Cuántas palabras distintas, tengan o no tengan sentido, se podrá formar con las letras de la palabra DIPLOCOCO? a) 60480 d) 22680 b) 30240 e) 45360 c) 15120 11. Si el examen de RM consta de 10 preguntas, ¿de cuántas maneras un alumno puede escoger seis preguntas para contestar? a) 90 d) 210 b) 160 e) 220 c) 180 12. De la pregunta anterior, ¿de cuántas maneras un alumno puede escoger cuatro preguntas para contestar? a) 150 d) 250 b) 180 e) 270 c) 210

106

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

5 Probabilidades Se define como la relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

I. EXPERIMENTO ALEATORIO (ε)



III. EVENTO O SUCESO (A)

Es un experimento en el cual no se puede predecir con exactitud el resultado. Ejemplo: YY Lanzamiento de un dado. YY Lanzamiento de una moneda.



II. ESPACIO MUESTRAL (Ω)

P(A) =



Es un subconjunto del espacio muestral YY Números pares en un dado ⇒ A = {2; 4; 6}

IV. PROBABILIDAD DE UN EVENTO P(A)

Son todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. YY En un dado = {1; 2; 3; 4; 5; 6} YY En una moneda = {cara, sello}

Casos favorables Casos totales

YY 0 ≤ P(A) ≤ 1 YY P(A) + P’(A) = 1

Trabajando en clase Integral 1. Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara? 2. Al lanzar dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener resultados iguales? 3. Se lanza un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4 puntos?

6. De una baraja de cartas en una urna cerrada, ¿cuál es la probabilidad de extraer una carta de corazones? 7. Al lanzar dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de la suma de puntos sea 5? UNMSM

Católica 4. Al lanzar una moneda y un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara y un puntaje par?

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

5. Al lanzar una moneda y un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener sello y un puntaje menor que 3?

8. Al lanzar 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos y una cara?

107

COLEGIOS GUADALUPE

PROBABILIDADES 9. Al lanzar 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos 2 sellos? 10. Una bola se extrae aleatoriamente de una urna que contiene 3 bolas rojas y 2 bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja? 11. Se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener el mismo valor en los dados? UNI 12. Una caja contiene 5 bolas blancas, 3 bolas celestes y 2 amarillas. Se extrae aleatoriamente una bola. Determine m + n, si: m = probabilidad de que sea blanca. n = probabilidad de que sea blanca o amarilla. 13. Una caja contiene 10 bolas rojas, 12 bolas verdes y 8 blancas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola blanca o una bola roja?

5. De una baraja de cartas en una urna cerrrada, ¿cuál es la probabilidad de obtener 1 rey o una reina? a) 27/52 c) 4/13 e) 13/52 b) 1/52 d) 2/13 6. Al lanzar 2 dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener resultados diferentes? a) 5/6 c) 8/6 e) 4/52 b) 7/6 d) 3/13 7. Ocho amigos juegan al golf, 5 jóvenes y 3 adultos. Si los jóvenes tienen la mitad de habilidad de los adultos, ¿cuál es la probabilidad que un joven gane? a) 5/8 c) 5/13 e) 1/2 b) 5/11 d) 5/9 8. En una caja hay 20 bolas numeradas del 1 al 20, se extrae al azar una bola. ¿Cuál es la probabilidad que el número de la bola extraída sea mayor a 14? a) 2/10 c) 3/10 e) 7/10 b) 4/10 d) 5/10

14. Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntajes menor a 5?

9. Una bola se extrae aleatoriamente de una urna que contiene 4 bolas azules y 6 bolas rojas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola azul? a) 2/5 c) 4/5 e) 1/20 b) 3/5 d) 6/10

Tarea Integral 1. Al lanzar dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener resultados iguales? a) 1/4 c) 1/3 e) 3/5 b) 1/2 d) 2/3 2. Al lanzar tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? a) 2/8 c) 1/2 e) 1/3 b) 3/8 d) 3/4 3. Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntaje igual a 7? a) 1/5 c) 2/6 e) 1/6 b) 4/6 d) 2/3 4. De un mazo de 52 cartas, se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta cuyo símbolo numérico sea una letra? a) 4/13 c) 1/52 e) 2/5 b) 5/13 d) 4/52

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UNMSM

10. Se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 11? a) 7/10 c) 2/18 e) 1/18 b) 5/6 d) 2/9 11. Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Determine la probabilidad de que sea roja o azul. a) 10/15 c) 11/15 e) 4/15 b) 12/15 d) 14/15 12. Del enunciado anterior, calcula la probabilidad de que sea roja o blanca. a) 1/3 c) 2/3 e) 10/20 b) 4/5 d) 5/6 UNI 13. Una caja contiene 8 bolas verdes, 10 rojas y 2 blancas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 1 bola verde y 1 bola roja al extraer 2 bolas? a) 8/19 c) 5/19 e) 10/19 b) 3/19 d) 6/19

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RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

6 Gráfico de barras y líneas En este capítulo analizaremos y haremos comparaciones entre diferentes cantidades como por ejemplo variaciones porcentuales, promedios, etc.

TIPOS 1. BARRAS

2. LÍNEAS

Asistencia alumnos

Ventas

(millones de soles)

22

80 70

18

50

16 15

20 10

10

Días Lu Ma

Mi

Ju

99’ 00’ 01’ 02’ 03’ 04’

Vi

Años

VARIACIÓN PORCENTUAL

Inicio

ZZ 80

Final 120



Variación (%) 40 x 100% = 50% 80 Aumento porcentual



40

Inicio

ZZ 200

Final 150



50

Variación (%) 50 x 100% = 25% 200 Disminución porcentual

Trabajando en clase Integral

GRÁFICO 1

1. ¿Cuánto disminuyó el precio de la tonelada de zinc, de enero del 2001 a enero del 2002?

En el gráfico se muestra el precio del zinc, en dólares por tonelada, de enero del 2001 a enero del 2002. Precio ($) 100

80

60

50

2. ¿Cuál es el precio promedio de enero del 2001 a enero del 2002, tomando en cuenta los valores del gráfico? 3. ¿Cuál fue la variación porcentual en el precio del zinc, de enero del 2001 a enero del 2002?

40

Católica ENE MAR JUN SET ENE 2002 2001

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

4. ¿Cuál fue la variación porcentual en el precio del zinc, de marzo a junio del año 2001?

109

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GRÁFICO DE BARRAS Y LÍNEAS



Resolución: Marzo Junio 80 60

Variación (%) 20 x 100% = 25% 80 4 Disminuyó

20 5. ¿Cuál fue la variación porcentual en el precio del zinc, de junio a septiembre del año 2001 aproximadamente? 6. Si de enero del 2002 a marzo de ese mismo año el precio del zinc disminuyó en 20%. ¿Cuánto fue el precio de la tonelada de zinc, en marzo del 2002?

GRÁFICO 2

En el gráfico se muestra el número de empresas aceptadas al programa de reestructuración patrimonial. Número de solicitudes 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

9. ¿Cuál es la razón entre el número de solicitudes recibidas en el año 2000 con respecto a las recibidas en el año 1998? 10. ¿Cuántas solicitudes en total se han recibido en los cinco años? 11. ¿Qué porcentaje representan las solicitudes recibidas en el año 2000 respecto del total de solicitudes recibidas en los cinco años? UNI

GRÁFICO 3

En el gráfico se muestra la tasa de desempleo, en porcentaje en los 10 primeros meses del año 2005. 20 18 16 14 12 10 8 6 4

1100

1997 1998 1999 2000 2001 Año

7. ¿Cuántas solicitudes más se recibieron el año 2000 con respecto al año 1999?

E F M A M J J A S O

12. ¿Entre que meses se dio el mayor incremento en la tasa de desempleo? Resolución: Setiembre – Octubre 13. ¿En qué meses la tasa de desempleo no varió?

UNMSM 8. ¿Cuál es la razón entre el número de solicitudes recibidas en el año 2001 con respecto a las recibidas en el año 1997? Resolución: 2001 1400 1997 = 400 = 3,5

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Tasa (%)

14. ¿Entre qué meses la tasa de desempleos bajo?

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RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

GRÁFICO DE BARRAS Y LÍNEAS

Tarea GRÁFICO 2

Integral

GRÁFICO 1

El gráfico muestra las ventas de una tienda de artefactos eléctricos. Ventas (miles de dólares)

80 50 45 2006 2007 2008 Año 1. ¿En cuánto aumentó las ventas de los artefactos del año 2007 al año 2008? en miles de dólares. a) 50 c) 30 e) 25 b) 40 d) 10 2. ¿Cuál es el promedio de venta anual en los 3 años? en miles de dólares. a) 50 c) 58,3 e) 40 b) 57,4 d) 60 3. ¿Cuál es la variación porcentual en las ventas del año 2006 al 2007? a) 33,3 c) 41,2 e) 40% b) 30% d) 25% 4. ¿Cuál es la variación porcentual en las ventas del año 2007 al 2008? a) 40% c) 50% e) 70% b) 55% d) 60% PUCP 5. Si del año 2008 al año 2009 las ventas de artefactos disminuyó en un 25%. ¿Cuánto fueron las ventas en el año 2009? a) 60 c) 50 e) 45 b) 70 d) 40

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

El gráfico muestra los ingresos y egresos de una compañía durante cuatro años consecutivos. Millones Ingresos de soles Egresos 500 450 400 350 300 250 200 150 100 1997 1998 1999 2000 Año 6. ¿Cuanto más fueron los ingresos del año 2000 con respecto al año 1999? a) 150 c) 200 e) 300 b) 100 d) 250 7. ¿En qué año la compañía obtuvo una mayor ganancia? a) 1999 c) 1997 e) 2001 b) 1998 d) 2000 8. Las ganancias acumuladas en millones de soles durante los cuatro años fueron: a) 1700 c) 750 e) 800 b) 900 d) 1600 9. ¿Cuál fue el ingreso total en los años mencionados en millones de soles? a) 1650 c) 1700 e) 1750 b) 1600 d) 1640 10. ¿Qué porcentaje representan las ganancias del año 2000 con respecto al total de ganancias? a) 23% c) 20% e) 40% b) 30% d) 25% 11. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La ganancia de 1999 es la misma que la del año 2000. II. Los egresos aumentaron porcentualmente del año 1999 al 2000 en un 10%. III. Los ingresos decrecieron porcentualmente del año 1998 al 1999 en un 66,7%. a) Solo I c) Solo I y II e) Solo I y III b) Solo II d) Solo III

111

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7 Gráficos circulares En esta lección, estudiaremos gráficos circulares llamados «cakes» o diagramas circulares, los cuales, son muy utilizados en estadística.

Ejemplo:

Total: S/. 200

I. NOCIÓN BÁSICA

S/. 40

Recuerda que una circunferencia mide 360°.

Resolución: 360°

100%

ZZ Método 1: Por fracciones



40 x 360° = 72° → ángulo 200

ZZ Método 2: Por proporciones

II. CONVERSIONES



Parte x (360° o 100%) Todo



S/. 200 → 360° S/. 40 → x° 40 x 360° x= = 72° 200

Trabajando en clase GRÁFICO 1, preguntas 2, 3, 4 y 5

Integral 1. Determina la fracción, el ángulo y el porcentaje que corresponde al sector sombreado. Total: 400

100



Fracción Ángulo

= _________ = _________

Porcentaje = _________

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El siguiente gráfico muestra una encuesta realizada a un grupo de 1800 personas respecto a su género musical favorito. pop salsa 15% 25% cumbia 20% rock 40%

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RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

GRÁFICOS CIRCULARES 2. ¿Qué ángulo central corresponde al sector que prefieren rock? 3. ¿Cuántos prefieren pop?

Tarea GRÁFICO 1, preguntas 1, 2, 3, 4 Y 5 Ventas de artefactos en el 2010: Total: $ 90000

Católica

computadoras otros 120° 100° equipo de televisores sonido

4. ¿Qué fracción le corresponde al sector salsa? 5. ¿Qué fracción le corresponde al sector cumbia?

GRÁFICO 2, preguntas 6, 7, 8 y 9

alimentación

Distribución de los gastos familiares. Gasto mensual: S/. 3600 vivienda 25%

40%

vestido 10% otros

15% educación

6. ¿Cuánto se gasta en vivienda? 7. ¿Qué ángulo le corresponde al sector alimentación? UNMSM 8. ¿Cuánto más se gasta en vivienda que en vestido? 9. ¿Cuánto más se gasta en educación que en el sector otros? GRÁFICO 3, preguntas 10, 11, 12, 13 y 14 De un grupo de 720 profesionales se tiene la siguiente información: Universidad de Procedencia PUCP 100°

d) $ 20 000 e) $ 25 000

En los siguientes gráficos se muestra la información sobre el sexo de un grupo de 72 alumnos y las edades de los hombres: SEXO HOMBRES

10. ¿Cuántos profesionales son de San Marcos? 11. ¿Qué porcentaje le corresponde al sector de la U. Pacífico? UNI 12. ¿Qué porcentaje representan los de la U. Pacífico con respecto a los de la PUCP? 13. ¿Qué porcentaje representan los de San Marcos con respecto a los de la UNI? 14. ¿Cuántos profesionales más son de la PUCP que los de U. Pacífico?

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

a) $ 17 500 b) $ 18 500 c) $ 18 000

GRÁFICO 2, preguntas 6, 7, 8, 9 y 10

U. Pa cí

60° UNI 50° 40° 50° S.M. U. Lima

fico

otros

1. Determine el porcentaje que le corresponde al sector de computadoras. a) 25% d) 20% b) 33,3% e) 27,7% c) 30% 2. ¿Qué ángulo central le corresponde al sector otros? a) 40° d) 60° b) 45° e) 50° c) 55° 3. ¿Cuántos dólares se obtuvo por la venta de equipos de sonido? d) $ 40 000 a) $ 10 000 b) $ 22 500 e) $ 25 000 c) $ 30 000 4. ¿Cuánto se obtuvo por la venta de televisores? a) $ 45 000 d) $ 40 000 b) $ 30 000 e) $ 55 000 c) $ 25 000 5. ¿Cuánto más se obtuvo por las ventas de computadoras que por la venta de otros artefactos?

113

femenino

19 años

150° masculino

120°

22 años

20 o 21 años

6. ¿Qué ángulo le corresponde al sector de los hombres que tienen 22 años? a) 40° d) 70° b) 50° e) 60° c) 80° 8. ¿Cuántos hombres 7. ¿Cuántos hombres hay en total? tienen 22 años? a) 32 d) 50 a) 3 d) 8 b) 40 e) 62 b) 6 e) 10 c) 42 c) 7

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8 Operaciones matemáticas I. GENERALIDADES

El objetivo fundamental de los operadores matemáticos es desarrollar capacidad de interpretación frente a relaciones nuevas con las que no estás familiarizado.



A. Operador matemático



Es un símbolo gráfico cuya elección no está restringida y que permite establecer una determinanda operación.

Los símbolos gráficos que usaremos para representar operadores, será:



B. Operadores simples y compuestos



De acuerdo a la estructura que se presenta en los ejercicios, hablaremos de operadores simples y compuestos.

1. Operadores simples

Cuando en una operación o conjunto de operaciones interviene un solo operador, se le denomina operador simple.

Ejemplo: a # b = 2a – b Calcular: 3 # 4 2(3) – 4 = 2

2. Operadores compuestos

Las diversas formas de combinación de dos o más operadores simples se denominan operadores compuestos.

Conocidos: +;–;×;÷; (); ;∑; ∏ ; Lim ; ...

Ejemplos: x+y x # y = 2x – y ; x % y = 2 2 R = (4 # 6)

Arbitrarios: ∗;#;⊕; ;∆; @ ; % ; ...

Ejemplo de operaciones arbitrarias:





m ⊗ n = mn + 6m + 5n ↓

Operador matemático

Regla de definición

Calcula: 3 ⊗ 2 m ⊗ n = mn + 6m + 5n ↓ ↓ 3 ⊗ 2 = 32 + 6(3) + 5(2) = 37

2(4) – 6 2 1



% % %

(6 # 2) 2(6) – 2 2 5

=

1+5 =3 2

C. Tabla de doble entrada

En lugar de una fórmula para hallar un resultado, la operación binaria puede presentar estos resultados.

∗ a b c

a a b c

b b c a

c c a b

Calcular: (a ∗ b) ∗ c b∗c a



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114

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

OPERACIONES MATEMÁTICAS

Trabajando en clase Integral 1. Si: a ∆ b = a + 2ab Calcular 3 ∆ 2 + 2 ∆ 3 2

2. Si: x + y; x ≤ y x∆y= x – y; x ≥ y

Calcular (2 ∆ 1) ∆ (4 ∆ 3)

3. Si: m ∆ n2 = m2 + n Calcula (1 ∆ 4) ∆ 16 Católica 4. Si: x + 1 = x2 – 1 Calcular el valor de n = 80 5. Se define m = x (x – 1) ∀ x ∈ z+ Determina el valor de «a» en a – 9 = 380 6. Si ∆ es un operador tal que a ∆ b = a2 – a – 1. Calcula S = 3 ∆ (3 ∆ (3 ∆ (3 ∆ ...))...) 7. Si: 3x + 1 = 2x – 5 Calcula 10 + 25 UNMSM 8. Si: x ∆ y = x – y + 5 Calcular «a» en: a ∆ 1 = 1 ∆ a

9. Si: m % n = m – 2n + 6 Calcula «x» en: x%2=2%x 10. Si: ∆ a b c a a b c b b c a c c a b Calcula: [a ∆ b] ∆ [c ∆ a] ∆ b ∆ a a 11. Sea: b c = a2 – bc Calcula: 4 1 4 2 1 2 1 3 3

UNI 12. Si: x = x2 + 2 x = 4x + 2; x > 0 x Calcular ... 1000 operadores 13. Si: x = 3x + 6 x = 3x – 6 Calcula 10 14. Si m = (m + 1)2; m ∈ R+ Determina «x» en x = 100



RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

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OPERACIONES MATEMÁTICAS

Tarea 6. Si: x –1 = 3x +10 2

Integral 1. Si: x ∆ y = x3 + xy Calcula: 1 ∆ 2 + 2 ∆ 1 a) 10 d) 11 b) 13 e) 14 c) 15 2 2 2. Si m % n= m2 + n2 ; m < n m –n ;m>n

Calcula: (2 ∆ 1) ∆ (3 ∆ 2) a) 34 d) 45 b) 31 e) 49 c) 36 3

2

3. Si: m % (2n) = m + n Calcula: 8 % 4 a) 6 d) 13 b) 8 e) 15 c) 16

4. Si: n + 1 = n3 – n. Calcula el valor de «m» en: m = 336 a) 3 b) 2 c) 1

d) 16 e) 6

b=a–b+6 7. Si a Calcular m en: m 5=5 m a) 4 b) 3 c) 2 8. Si: % 1 2 3 4

d) 5 e) 1 1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

Calcula: [(1 % 2) % (3 % 4)] % 3 a) 2 d) 3 b) 4 e) 1 c) 5 UNMSM a+b 9. Si: ∫b = a–b a

PUCP 5. Si x @ y = (x + y)2 – (x2 + 2xy) Calcula: (100 @ 99) @ 98 ...@ 3 @2 @ 1 a) 1 b) 2 c) 3

Calcula: 10 + 6 a) 130 d) 128 b) 120 e) 115 c) 131

d) 4 e) 5

Calcula: 14 3 31 b) 3 29 c) 3 a)

10. Si:

x = x + 4; x+3

x =x+8 Determina el valor de: a) 1 b) 2 c) 3

19 5 29 e) 5

d)

5

d) 4 e) 5

11. Si: x = (x – 1)2, determina P n

en:

= 64; si ∈ Z+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Si: x – 2 = x(x – 2) Determina: x – 1 d) x4 – 1 e) x

a) x – 1 b) x2 – 1 c) x3 – 1

13. Si: x+1 = x2 – 1, entonces el valor de: –

1

10 7 3 ∫7 + ∫3 + ∫1

= x – 1;

0

es igual a:

–1 a) – 1 5 b) – 1 7 c) – 1 9

1 11 e) – 1 3

d) –



COLEGIOS GUADALUPE

116

RAZ. MATEMÁTICO 2° SEC

Física 2° DE SECUNDARIA

1 Estática Desde hace muchos años el estudio de la estática ha sido de gran importancia para las construcciones de grandes estructuras como las pirámides de Egipto, Machu Picchu, por mencionar algunas; pero, ¿qué condiciones debe cumplir un cuerpo para encontrarse en equilibrio? o mejor aún; ¿que entendemos por equilibrio?. En este capítulo estudiaremos la primera parte de este amplio tema. Recordemos: Tangente

I. PESO (W, Fg o P)

Es la fuerza con la que la Tierra atrae a cualquier cuerpo en su cercanía, se grafica siempre en dirección de la aceleración de la gravedad o dirigida al centro de la Tierra.



Esta fuerza se encuentra presente en cuerdas y cables para oponerse a efectos de estiramiento. Se grafica en la dirección de la cuerda saliendo del cuerpo. //= //= //= //= //= //= //=//= //= //=



//

W = m•g

//=

//=

//=

//=

//=

//= //=

N

//=

Esta fuerza se produce debido al contado entre dos cuerpos, se grafica perpendicular a la superficie de contacto. N

//=

T T

// =//=

IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL) Hacer un DCL es aislar el cuerpo que se requiere estudiar y representar todas fuerzas presentes en dicho cuerpo.

//= //= //= //= //=

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

//=

T

II. FUERZA NORMAL (N o RN)



//= /= / /

//=

T

// =//=// =// =// =

Unidades en el sistema internacional SI m: masa del cuerpo en kg. g : aceleración de la gravedad en m/s2 w: peso en N.

// =//=// =// =// =



g

//= //=



w

//=

m

Corte imaginario

cuerda

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

//=

//= //= //= //= //=

//=



w

w



N: fuerza normal del piso al bloque

III. FUERZA DE TENSIÓN (T)

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

//=

//=



m

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//=



//=

g

//=

g

N

//=



//= //=



FÍSICA 2° SEC

119

COLEGIOS GUADALUPE

ESTÁTICA

Trabajando en clase Integral

7. Realiza el DCL para el bloque mostrado. /= // =/ /= //= // =/ /= // =/ /= // =/ /= // =/ /= //

1. Realiza el DCL en:

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

g

// /= =/ //



m

2. Realiza el DCL para el bloque mostrado. //= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

8. Realiza el DCL para el bloque mostrado. //=

//



UNI

//= /= / /

3. Realiza el DCL para el bloque mostrado.

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//=

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

//=

//=

//=

F //=

4. Si un bloque de 3 kg de masa se encuentra como muestra la figura, calcula el valor del peso.

9. Realiza el DCL para la esfera mostrada. // =/ / //

= / =// /

=/ /=

=/

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

// //

/=

=/



=/ //

/=



//

/=

=/

UNMSM

=/ /=

5. Realiza el DCL en el siguiente caso.

//

//

/=

=/

// =//=

/=/

6. Realiza el DCL para la esfera mostrada. // =//=// =//=// =// =// =//



// =//=// =// =// =

//= /

/

/=

//=

/=

/ /=

//

//=

= //

/ =/

// =//=// =// =// =

/=//=

//= / = //=

/= //

//= /

10. Realiza el DCL para el bloque mostrado.

F

//= //= //= //=//= //=//= //=/

COLEGIOS GUADALUPE

120

FÍSICA 2° SEC

ESTÁTICA

Tarea Realiza el DCL para cada bloque y esfera.

UNMSM

UNI

//=

g

//=

//=

//=//

F

= //

a)

c)

b)

d)

e)

//=

a)

//=/

a)

d)

d)

b)

e)

b)

c)

//= //= //= // = // = //

2.

=//=

// =//=

// =//=// =// =// =

/=// =// =//=// =//=// =// =// =//

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

1.

8.

// =//=// =// =// =

5.

Integral

e) //= //= //= // = // = //

6.

c)

F 9. a) b)

//= //= //= // = // = //

e)

c) d)

3.

d)

b)

e)

/= =/

//

//=

//

a)

e)

/= //

F

// //=

/=

a)

d)

b)

e)

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

c)

b)

d)

e)

FÍSICA 2° SEC

10.

//=

//

//

//= //=

//=

/= =/

//=

/

//=

/=

/ /=

d)

a)

c)

//=

/= =/

/=

/ //=

// =// =//

4.

e)

//=

/= =/

/=

/ //=

//= //=

/= //=

//

=/

/= /

7.

//

b)

c)

//=

//=

d)

b)

=/

/=

//

=/

c)

/=

a)

//=

//

//

liso

a)

/= =/

/=

=/

// //=

c)

a) b)

//= //= //= //= //=/ /=

liso //=//=

//

d) e)

c)

121

COLEGIOS GUADALUPE

2 Estática II Hasta ahora hemos estudiado cada una de las fuerzas y cómo se grafican (DCL); pero, ¿qué condiciones se tiene que cumplir para que un cuerpo se encuentre en equilibrio?, es más; ¿qué significa que un cuerpo se encuentre en equilibrio?



De lo cual podemos decir: ∑F(↑) = ∑F(↓) ∑F(→) = ∑F(←) Por ejemplo:

I. EQUILÍBRIO MECÁNICO

F3

Un cuerpo se encuentra en equilibrio mecánico si no posee aceleración, en este caso encontramos dos tipos de equilibrio.



A. Equilibrio estático



V = 0 (reposo)



B. Equilibrio cinético

V(constante)

//= //=//= //= //= //=//

F T

DE



⇒F=T polea

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio de traslación, la sumatoria vectorial de las fuerzas que afectan a dicho cuerpo tiene que ser nula. F4

F1 F2



F4

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

II. PRIMERA CONDICIÓN EQUILIBRIO

F1 = F2 F3 = F4

Es un instrumento cuya función básica es cambiar la dirección de una fuerza. Para una misma cuerda que rodea a una polea la tensión es la misma en cada punto de dicha cuerda.

Equilibrio reposo (V = O) <> mecánico MRU (V = cte)



F2

III. POLEA

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=



F1

∑F=O

F3

COLEGIOS GUADALUPE

122

FÍSICA 2° SEC

ESTÁTICA II

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el módulo de la reacción del piso. F = 10 N

7. En la siguiente polea ideal, calcula T.

g = 10 m/s2

12 N T

2 kg



//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

2. Calcula el módulo de la reacción del piso. F = 20 N

20 N

g = 10 m/s2

UNI

5 kg



//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

// =// =//

3. Calcula el módulo de la tensión en la cuerda en: 20 N 4 kg 95 N

8. Calcula F + T si el cuerpo se encuentra en equilibrio. //= //= //= //= //= //= //=//= //= //= g = 10 m/s2

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//



F

piso

4. Calcula el valor de «x» en: 70 N



liso

20 N

4 kg

9. Calcula F + T si el bloque mostrado se encuentra en equilibrio.

2x +30 N

5 kg

T

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

UNMSM

g = 10 m/s2 F

5. Calcula el módulo de la tensión en el cable (1).

T 2 kg

50 N

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

(1)

10. En el siguiente bloque en equilibrio, calcula el valor de la tensión en la cuerda (1).

g=10 m/s2

//= //=//= //= //= // =// =// =

(1)

4 kg



6. Calcula el módulo de la tensión en la cuerda (1). //= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

(1)

18kg

g=10 m/s

2

C 6 kg

FÍSICA 2° SEC

123

COLEGIOS GUADALUPE

ESTÁTICA II

Tarea Integral

UNMSM

40 N 50 N

F 20 N

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 90 N b) 80 N c) 70 N

d) 60 N e) 50 N

2. Calcula el valor de la tensión en la cuerda para el bloque en equilibrio. // =// =//

10 N

5. Calcula el valor de «x» para el equilibrio. 5x 72 N

//= //= //= // = // = //

16 N

14 N

a) 14 N b) 16 N c) 17 N

d) 18 N e) 19 N

6. Calcula el valor de la tensión en la cuerda (1). //= //= //= //= //= //= //=//= //= //=

70 N

(1)

liso d) 80 N e) 90 N

3. Calcula el módulo de la reacción del techo sobre el bloque de 5 kg. (g = 10 m/s2) //= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

5kg

a) 14 N b) 16 N c) 17 N

d) 18 N e) 19 N

7 kg //= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 90 N b) 80 N c) 70 N

T F

7 kg

a) 12 N b) 70 N c) 80 N d) 82 N e) 85 N

12N

4 kg a) 30 N b) 40 N c) 50 N

124

F

d) 60 N e) 70 N

10. Calcula el valor de la tensión 2 ). para el equilibrio (g=10 m/s T

37°

a) 120 N b) 140 N c) 160 N

d) 60 N e) 50 N

COLEGIOS GUADALUPE

4 kg

37° T

7. Calcula el valor de F + T para el equilibrio (g=10 m/s2).

F=120 N

F=20 N

a) 5 N b) 10 N c) 20 N d) 40 N e) 80 N

3,2 kg

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 50 N d) 80 N b) 60 N e) 90 N c) 70 N 4. Calcula el valor de la reacción del peso sobre el bloque.

F

9. Calcula el valor de la tensión en la cuerda para el equilibrio mostrado. //= //= //= //= //

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

a) 50 N b) 60 N c) 70 N

8. Calcula el valor de F para el equilibrio mostrado (g=10 m/s 2 ).

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =//

1. Calcula el valor de F para el bloque en equilibrio.

UNI

16 kg d) 180 N e) 200 N

FÍSICA 2° SEC

3 Dinámica En el capítulo de cinemática estudiamos al movimiento de los cuerpos sin importar o considerar las causas que lo originan, por ese motivo durante mucho tiempo nos hemos preguntado, ¿qué es lo que produce el movimiento de los cuerpos? Newton se hizo esta misma pregunta, llevándolo a formular sus tres famosas leyes con las cuales pudo explicar el movimiento de los planetas y de todos los cuerpos.



I. SEGUNDA LEY DE NEWTON

F1no produce aceleración.

YY Si la masa es constante:

a1

F1



F2

m

//= //= //= //= //= //= //=//= //

a1







F1 F2

F4

a F3

m

DP

F

//= //= //= //= //= //= //=//= //

a



m2

a

IP

Sabemos que F4 y F5 no producen aceleración. YY En forma práctica



//= //= //= //= //= //= //=//= //

Si m1 > m2 ⇒ a1 > a2

Fs



a2

m1

m1 y m2: masas

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=//= //=

II. PARA MÁS DE UNA FUERZA

m

F

YY Si F es constante:



liso

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //=//= //=

a1 y a2 : fuerzas

F

F1

//= //= //= //= //= //= //=//= //

Si F1 > F2 ⇒ a1 > a2



produce aceleración.

a2

F1 y F2 : fuerzas

YY Una fuerza perpendicular al movimiento no

FR = ma

YY ∑F a favor del movimiento – ∑Fen contra del movimiento = m.a

Para este caso: F1 + F2 – F3 = m•a

m

De los dos casos anteriores podemos deducir, la siguiente fórmula: a= F m

Nota: la aceleración y la fuerza resultante tienen la misma dirección y sentido.

FÍSICA 2° SEC

125

COLEGIOS GUADALUPE

DINÁMICA

Trabajando en clase Integral 1. El siguiente bloque de masa 2 kg acelera a razón de 4 m/s2, calcula el módulo de la fuerza F . a

6. Calcula el módulo de la aceleración para el bloque de masa 2 kg. F=20 N

F



/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

Resolución: F = m× a ⇒ F = 2 × 4 ∴F = 8 N

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

7. Calcula el módulo de la aceleración para el bloque de masa 5 kg.

2. El bloque mostrado tiene masa 3 kg, calcula el módulo de la aceleración si F = 12 N.

UNI

//= //= //= //= //= //= //=//= //=//= //= //=/

a=2 m/s2

8. El bloque de masa 3kg realiza MRVU, calcula el



módulo de la fuerza F . Vi= 0

F=6 N

m

4. A un bloque se le imprime una fuerza F produciendo de esta manera una aceleración de módulo 2 m/s2, calcula el módulo de la aceleración si al mismo bloque se le imprime una fuerza de 3F. UNMSM 5. Calcula el módulo de la aceleración para el bloque de masa 2 kg. F=12 N



60°

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

Resolución:

F=12 N

a

6 3N 2 kg

60° Fx=6 N

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

Fx=m×a 6=a×a a = 3m/s2

COLEGIOS GUADALUPE

Vf=4 m/s F

F

/=// =// =//=// =//=// =// =// =// =// =// =//

m

F=20 N m

F

3. Calcula el valor de la masa del bloque.



g=10 m/s2

a

37°

m



//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=// = //= //= //=// = //

2m

Resolución: 2 2 Usando: VF + Vi + 2ad 42 = 02 + 2 × a × 2 ⇒ a = 4 m/s2. Usando: F = m × a F = 3 × 4 = 12 N 9. Se muestra un bloque de 5 kg que se mueve con MRUV, calcula el módulo de la fuerza F . Vi=6 m/s

Vf=9 m/s F

F

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=// = //= //= //=// = // 3m 10. El bloque de 2 kg se mueve con MRUV, calcula el módulo de la fuerza F constante.

2 m/s

126

2s F

6 = m/s

F

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=// = //= //= //=// = //

FÍSICA 2° SEC

DINÁMICA

Tarea Integral 1. Calcula el módulo de la aceleración en el bloque mostrado de masa 9 kg. m

liso

F=27 N

10 N

liso

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

a) 2 m/s2 b) 3 m/s2 c) 4 m/s2

m

liso

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 1 kg b) 2 kg c) 3 kg

d) 4 kg e) 5 kg

3. Calcula el módulo de la aceleración para el siguiente caso: liso

10 N

3 kg

70 N

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 10 m/s2 b) 20 m/s2 c) 30 m/s2

d) 40 m/s2 e) 50 m/s2

4. Calcula el módulo de la aceleración del bloque de 5 kg.

FÍSICA 2° SEC

F

2

g=10 m/s

d) 5 m/s2 e) 6 m/s2

5. Calcula el módulo de la aceleración en:

45°

10 kg

a) 20 N b) 50 N c) 80 N

d) 100 N e) 120 N

UNI 8. El bloque mostrado se mueve con MRUV, calcula F. (mbloque = 3 kg)

20 2 N liso

F=20 N

30 N

UNMSM

2. Calcula la masa del bloque. a=5 m/s2

m

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2

20 N

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

2

a) 2 m/s b) 3 m/s2 c) 4 m/s2

2 m/s

2

d) 5 m/s e) 6 m/s2

20 N

8 m/s

F

2 kg

60°

a) 7 N b) 8 N

c) 9 N e) 11 N d) 10 N

2 m/s2

10 m/s2 F

d) 10 m/s2 e) 12 m/s2

F

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=// = //

8m

7. Calcula F para que la esfera de 10 kg ascienda a razón de 2 m/s2.

127

liso

9. El bloque de 7 kg se mueve con MRUV como muestra la figura, calcula el valor de F.

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=//

a) 5 m/s2 b) 7 m/s2 c) 8 m/s2

F

//= //= //= //= //= //= //=//= //= //= //=// = //

6. Calcula el módulo de la aceleración.

liso

2s

a) 40 N b) 42 N

liso

c) 44 N e) 48 N d) 46 N

COLEGIOS GUADALUPE

4 Dinámica II En este capítulo veremos la aplicación de la 2da ley de Newton para un sistema de más de un cuerpo.

Recuerda F=m×a

m

Solución

donde: F: Módulo de la fuerza resultante N m: masa (kg) a: módulo de la aceleración (m/s2) Aplicación de la segunda ley de Newton para un conjunto de bloques 1. Cuando las superficies de las masas están en contacto. a F



m1 m 2

Consideramos a los dos bloques como si fuera uno solo. a F

mT = m1 + m2

m1 m 2

m2

F

Tomamos todo como un solo sistema. a m1

m2

F

COLEGIOS GUADALUPE

mT = m1 + m2

Aislamos un bloque:

a

F1

m1

R

⇒ F1 – R = m1 × a Reemplazando I F1 – F2 F1 – R = m1 × m1 + m2 Operando F1 × m2 + F2 × m1 m1 + m2

Método práctico: F1 1. 2.

mT = m1 + m2

F2

m1 m2

⇒ F1 – F2 = (m1 + m2)a F –F ⇒ a = m1 + m2 …. I 1 2

⇒ F = (m1 + m2) × a

m1



F1

R=

2. Cuando las masas están unidas a través de una cuerda. a



Método para calcular reacciones o tensiones entre bloques

Ejemplo: Calcula la reacción entre los bloques mostrados. F1 F2 Piso m1 m2

a F

⇒ F = (m1 + m2) × a



128

R= F1

T=

m1 m2

F2

F1 × m2 + F2 × m1 m1 + m2 m1

m2

F2

F1 × m2 + F2 × m1 m1 + m2

FÍSICA 2° SEC

DINÁMICA II

Trabajando en clase Integral

6. Calcula el módulo de la aceleración en el siguiente sistema.

1. Calcula el módulo de la aceleración. F = 12 N Piso 4kg 8kg

g = 10 m/s2 9kg

Resolución F = (m1 + m2)a Mtotal = 12 kg 12 F a= ⇒ a = = 1 m/s2 12 m1 + m2

3kg 7. Calcula el módulo de la aceleración. 27N 9N 2kg 4kg

2. Calcula el módulo de la aceleración. F = 27N Piso 2kg 7kg 3. Calcula el módulo de la aceleración en el siguiente sistema. F = 15N liso 3kg 2kg

UNI 8. Calcula el módulo de la aceleración en el sistema mostrado (g = 10 m/s2). 3kg

3kg 4. Calcula el módulo de la aceleración. 2kg 3kg 1kg

Resolución

F = 18N Piso

3kg

3kg

UNMSM 5. Calcula el módulo de la aceleración.

30N ⇒ 30 = 6 × a a = 5 m/s2

g = 10 m/s2

3kg

7kg

9. Calcula el módulo de la aceleración en el siguiente sistema (g = 10 m/s2).

Resolución

3kg

a 30N ⇒ 70 – 30 = (713) × a 70N a = 4 m/s2

FÍSICA 2° SEC



7kg

10. Del ejercicio anterior, calcula el módulo de la tensión en la cuerda.

129

COLEGIOS GUADALUPE

5 Trabajo mecánico Cuando empujamos una masa le estamos imprimiendo una fuerza, y dicha fuerza produce movimiento; al manejar una bicicleta, al correr o incluso con simplemente caminar, decimos que se está realizando un trabajo mecánico, ¿qué sucede si, por ejemplo, empujamos un muro de concreto y no producimos movimiento? Por más esfuerzo que hagamos, no se estará realizando trabajo mecánico alguno; pues no se ha realizado ningún movimiento. ¿Qué es el trabajo mecánico?

ZZ Caso 2



La fuerza contraria al movimiento (q = 180°). F W = –F.d d

ZZ Caso 3



Fuerza perpendicular al movimiento (q = 90°). F W=0

TRABAJO MECÁNICO

Es la capacidad que tiene una fuerza para producir un movimientode traslación, si dicha fuerza no produce traslación entonces no se estará realizando trabajo mecánico. ¡No se mueve! ¡Se mueve!

No se realiza trabajo mecánico

Se realiza trabajo mecánico

d Observación: Toda fuerza se puede descomponer en una fuerza a favor o en contra del movimiento y en otra fuerza perpendicular al movimiento. F F F y

¿Cómo se calcula el trabajo mecánico? Para cualquier fuerza q

d

d 2

2

Donde: F = Fx + Fy

F

⇒ W = Fx.d

W = Fd.Cosq

d El trabajo mecánico (W) se mide en el sistema internacional en joule y se representa por una J. F: módulo de la fuerza en N d: distancia en m q: ángulo que forma F con el eje horizontal x.

Trabajo mecánico neto (Wneto)

Es la suma algebraica de todos los trabajos producidos por todas las fuerzas presentes. F2 F4 F 1

F3

Casos particulares ZZ Caso 1



Fx

⇒

La fuerza en dirección al movimiento (q = 0º). F W = F.d d

COLEGIOS GUADALUPE

d

Wneto = WF1 + WF2 + WF3 + WF4 También: Wneto = Fr . d donde Fr: módulo de la fuerza resultante.

130

FÍSICA 2° SEC

TRABAJO MECÁNICO

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el trabajo mecánico realizado por la fuerza F en la trayectoria entre A y B. F = 20N 3m

A

6. Calcula el trabajo mecánico realizado por F = 40 2 N, entre A y B. F 45º

B

Resolución W = F × d = 20 × 3 = 60 J

2. Calcula el trabajo mecánico realizado por la fuerza de módulo F = 30 N en la trayectoria entre A y B. F 5m

A

W = Fx × d = 12 × 4 \ W = 48 J

B

A

4. Calcula el trabajo mecánico realizado por F = 15 N para llevar el bloque de A hacia B. B F = 15N A UNMSM 5. Calcula el trabajo mecánico de la fuerza de módulo F = 20 N, para llevar el bloque de A hacia B. F = 20N 53º

16N = Fy

B N 20 53º Fx = 12N

4m A

FÍSICA 2° SEC

4m

Resolución 60N 20N Fr = 30N 10N W = Fr × d = 30 × 4 ⇒ W = 120 J

5m

Resolución

A

UNI 8. Calcula el trabajo neto en la trayectoria de A hacia B. 20N 60N 10N

g = 10 m/s2

4m

4m

B

B

A

B

7. Calcula el trabajo mecánico realizado por F = 20 N en el tramo de A hacia B. F = 20N 60º

3. Calcula el trabajo mecánico del peso cuando el cuerpo sigue la trayectoria entre A y B. A m = 2kg h=3m

3m

A

B

9. Calcula el trabajo neto desarrollado para llevar el bloque de A hacia B. 20N 10N 70N A

2m

B

10. Calcula el trabajo neto para llevar al bloque de A hacia B. 100N 37º

50N A

B

131

3m

B

COLEGIOS GUADALUPE

TRABAJO MECÁNICO

Tarea 1. Calcula el trabajo mecánico desarrollado por la fuerza de módulo F = 5 N para llevar el bloque de A hacia B. F = 5N

30º

liso

3m A B a) 10 J d) 25 J b) 15 J e) 30 J c) 20 J 2. Calcula el trabajo mecánico desarrollado por la fuerza F = 6 N para llevar el bloque de A hacia B. F

a) 10 J b) –15 J c) –20 J

liso 5m

A

F

a) 22 J b) 24 J c) 26 J

7m

A

d) 28 J e) 30 J

6m

37º

a) 140 J b) 160 J c) 180 J

B

2m

A

B d) 200 J e) 220 J

9. Calcula el trabajo mecánico realizado por la fuerza horizontal F = 20 N para llevar el bloque de A hacia B. liso B

a) 60 J b) 70 J c) 80 J

d) 40 J e) 50 J

COLEGIOS GUADALUPE

liso

a) –84 J d) –90 J b) 86 J e) 92 J c) –88 J 8. Calcula el trabajo neto para llevar el bloque de A hacia B. 10N 50N 20N 70N liso

liso

5. Calcula el trabajo realizado por F = 2 N, para trasladar el bloque de A hacia B. liso B

A

B

7. Calcula el trabajo mecánico realizado por F = 20 N, para trasladar el bloque de A hacia B. F

d) –50 J e) –60 J

F

2 3m

liso

53º

4. Calcula el trabajo mecánico desarrollado por F = 10 N para que el bloque sea desplazado 4 m.

a) 10 J b) 20 J c) 30 J

A

B d) 25 J e) –30 J

3. Un bloque de masa 7 kg se suelta desde una altura de 2 m respecto al suelo, calcula el trabajo desarrollado por el peso desde el momento en el que se suelta hasta que llega al suelo (g = 10 m/s2). a) 140 J c) 180 J e) 220 J b) 160 J d) 200 J

a) 20 J b) –30 J c) –40 J

6. Calcula el trabajo mecánico realizado por F = 8 N para trasladar el bloque de A hacia B. F

d) 90 J e) 100 J

A

132

12 m

F 5m

FÍSICA 2° SEC

6 Potencia mecánica POTENCIA MECÁNICA

Hasta ahora hemos aprendiendo a calcular el trabajo mecánico para diferentes situaciones. Supongamos que queremos realizar un trabajo y tenemos dos diferentes maneras para hacerlo y que ambas nos lleven a nuestro objetivo, la diferencia estaría en el tiempo en que desarrollaremos dicho trabajo, obviamente elegiremos el camino que nos permita realizar este trabajo en el menor tiempo posible, entonces, nos podemos dar cuenta fácilmente de que mas importante que realizar un trabajo mecánico es la rapidez con la que podamos realizar dicho trabajo.

W: trabajo mecánico (en joule) t: tiempo transcurrido (en segundos) Nota: Si la fuerza que se aplica a un cuerpo es constante, y la velocidad también, la potencia mecánica se puede calcular como: t F d P=

POTENCIA MECÁNICA (P)

La potencia mecánica mide la rapidez con la que se realiza un trabajo. W P= t Donde la potencia mecánica en el SI se mide en watt y se simboliza por w.

F×d =F×V t

Donde: P: potencia mecánica (en watt) V: rapidez (en m/s) F: módulo de la fuerza (en newton). d: distancia (m) t: tiempo (s)

Trabajando en clase Integral 1. Una máquina realiza un trabajo de 120 J en 4 s, calcula la potencia mecánica. 2. Calcula la potencia mecánica para una máquina que realiza un trabajo de 400 J en 50 s. 3. Una máquina desarrolla un trabajo de 840 J en un tiempo de 2 min, calcula la potencia mecánica desarrollada. 4. Calcula la potencia mecánica que desarrolla una máquina para realizar un trabajo de 360 J en un tiempo de 3 min. UNMSM 5. Calcula la potencia mecánica:

6. Calcula la potencia mecánica: 2s

12N

3m

7. Si la potencia mecánica en el bloque es de 15 w, calcula la fuerza f. 6s F 3m

UNI 8. Calcula la potencia mecánica. V = 2 m/s

10 s

F = 20N

F = 20N

4m

FÍSICA 2° SEC

133

COLEGIOS GUADALUPE

POTENCIA MECÁNICA 9. Calcula la potencia mecánica.

10. Calcula la potencia mecánica en la siguiente figura (t = 4 s). a = 3 m/s2

V = 3 m/s F = 15N

F

4 kg 2m

Tarea Integral

UNMSM

1. Una máquina realiza un trabajo de 600 J en un tiempo de 20 s, calcula la potencia mecánica. a) 10 w d) 40 w b) 20 w e) 50 w c) 30 w 2. Calcula la potencia mecánica que desarrolla una máquina para realizar un trabajo de 300 J en 1 min. a) 5 w d) 8 w b) 6 w e) 10 w c) 7 w 3. Una grúa levanta un metro lineal un bloque de 120 kg en un tiempo de 10 s, calcula la potencia mecánica que desarrolla. a) 12 w d) 140 w b) 100 w e) 1200 w c) 120 w 4. En la figura, calcula la potencia mecánica. t=6s F = 8N

a) 2 w b) 4 w c) 6 w

3m

d) 8 w e) 10 w

liso

5. Calcula la potencia mecánica en la figura mostrada (t = 4 s). F = 50N 37º

a) 8 w b) 10 w c) 12 w

1m

liso

d) 14 w e) 16 w

6. Calcula la potencia mecánica en la figura mostrada. t = 10 s 12N

32N 3m

a) 2 w b) 3 w c) 4 w

liso

d) 5 w e) 6 w

7. Calcula la potencia mecánica para el siguiente caso. V = 5 m/s2 F = 12N a) 40 w b) 50 w c) 60 w

liso

d) 70 w e) 80 w UNI

8. Calcula la potencia mecánica para el caso siguiente:

COLEGIOS GUADALUPE

134

12N

V = 4 m/s2 20N

a) 32 w b) 34 w c) 36 w

liso

d) 38 w e) 40 w

9. Calcula la potencia mecánica en el siguiente caso. F = 100N V = 2 m/s 37º liso a) 100 w b) 120 w c) 140 w

d) 160 w e) 180 w

10. Calcula la potencia mecánica en la siguiente figura. t = 10 s a = 10 m/s 2 kg 3m

a) 6 w b) 7 w c) 8 w

F

liso

d) 9 w e) 10 w

Claves 1.

c

6.

e

2.

a

7.

c

3.

c

8.

a

4.

b

9.

d

5.

b

10.

a

FÍSICA 2° SEC

7 Energía Mecánica I En física la energía se manifiesta de diferentes maneras como calor, como transferencia de movimiento y existen diferentes tipos de energía como la energía nuclear, energía térmica, energía eléctrica, energía mecánica, etc. en este capítulo estudiaremos la energía cinética la cual es parte de la energía mecánica que se encuentra relacionada al movimiento de los cuerpos.

Observación: A

V

B

m

E. Cinética E. Mecánica

Gravitatoria

E. Potencial

ZZ A: El bloque tiene energía cinética ZZ B: El bloque no tiene energía cinética.

elástica

ENERGÍA CINÉTICA (EC)

“La energía cinética de un cuerpo es relativa”.

Un cuerpo en movimiento tiene la capacidad de realizar trabajo mecánico, si lanzamos un bloque hacia un resorte, como muestra la figura el resorte se comprime.

B. Energía cinética de rotación

V

El movimiento de un cuerpo puede ser de traslación y de rotación. w : Rapidez angular rad s

K

¡Se realiza trabajo mecánico para comprimir el resorte!

Ec =

1 2 2 Iw

A. Energía cinética de traslación masa (m)

rapidez (V)

Ec =

I: momento de inercia del cuerpo (kg.m2)

1 mV2 2

Nota

Unidades: YY M asa (m): en kilogramos (kg) YY Rapidez (V): en m/s YY Energía cinética: en joule (J)

FÍSICA 2° SEC

A nivel “pre” solo consideramos a la energía cinética de traslación.

135

COLEGIOS GUADALUPE

ENERGÍA MECÁNICA I

Trabajando en clase Integral

6. Calcula la energía cinética en el siguiente caso.

1. Calcula la energía cinética en el siguiente caso. V = 5 m/s

k 18

m = 2 kg

m = 2 kg

h m/

Resolución: 2 2 Ec = mv = 2 x 5 = 25 J 2 2

7. Calcula la energía cinética en el caso siguiente

2. Calcula la energía cinética en el siguiente caso.

72 km/h

m = 60 kg

m = 300 g

V = 2 m/s

UNI 8. Si el bloque realiza M.R.U.V. calcula la energía cinética en el punto “B”.

3. Calcula la energía cinética de la pelota. V = 4 m/s

Vi = 0

a = 4 m/s2

1kg

m = 1 kg

2s

A

4. Calcula la energía cinética del bloque de masa 6 kg.

B

Resolución:

3 m/s

Vi = 0 1kg

2s a = 4 m/s2

A UNMSM 5. En la siguiente figura, calcula la energía cinética. 36 km/h m = 40 kg



Resolución: V = 36 km = 36 5 m/s ⇒ V = 10 m/s 18 h



2 2 Ec = mV = 40 x 10 = 2000 J 2 2

COLEGIOS GUADALUPE

1kg

V 1kg B

Vf = Vi + at ⇒ V = 0 + 4 x 2 ⇒ V = 8 m/s 2 Ec = 1 x 8 = 32 J 2 9. Si el bloque realiza M.R.U.V. calcula la energía cinética en el punto “B”. 1s 2 m/s 2kg A

a = 3 m/s2

2kg B

10. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 1 kg, calcula la energía cinética en el punto más alto de su trayectoria.

136

FÍSICA 2° SEC

ENERGÍA MECÁNICA I

Tarea Integral

UNMSM

1. Calcula la energía cinética en: a) 96 J V = 7 m/s b) 98 J c) 100 J d) 102 J m = 4 kg e) 104 J

2. Calcula la energía cinética en: m = 6 kg

6. Calcula la energía cinética.

V = 30 m/s

a) 2700 J b) 2900 J

c) 3000 J d) 3200 J

a) 10 J b) 20 J

g

4k

V=

5

m = 2 kg

e) 3400 J

3. Calcula la energía cinética en la siguiente figura.

m=

5. Calcula la masa de un cuerpo si la energía cinética del cuerpo es de 18 J. /s a) 3 kg 1m b) 4 kg c) 5 kg d) 6 kg e) 7 kg

m/s

c) 30 J d) 40 J

a) 2 J b) 4 J

c) 6 J d) 8 J

a) 2500 J b) 2600 J

e) 50 J

V = 4 m/s

e) 10 J

7. Calcula la energía cinética de la siguiente figura. m = 6 kg

4. Calcula la energía cinética en la siguiente figura. m = 45 kg

14,4 km/h

108 km/h

c) 2700 J d) 2800 J

e) 2900 J

UNI 8. Si el bloque de 2 kg de masa realiza M.R.U.V. calcula la energía cinética en el punto “A”. t=2s 30 m/s a = 5 m/s2

a) 320 J b) 330 J

c) 340 J d) 350 J

A

e) 360 J

a) 400 J b) 600 J

c) 800 J d) 900 J

B e) 0 J

9. Una piedra de 1 kg se lanza verticalmente hacia arriba con cierta rapidez, calcula la energía cinética cuando alcanza su máxima altura. a) 0 J c) 2 J e) 4 J b) 1 J d) 3 J

FÍSICA 2° SEC

137

COLEGIOS GUADALUPE

8 Energía Mecánica II En la naturaleza existen muchos tipos de interacción como por ejemplo la interacción gravitatoria, interacción eléctrica, interacción electromagnética, etc. y asociado a esta interacción encontramos intercambio de movimiento y debido a este intercambio podemos hablar de un tipo de energía llamada energía potencial. En este capítulo estudiaremos a la energía relacionada con la interacción gravitatoria es decir la “energía potencial gravitatoria”.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (EPG)

Es la medida de la interacción entre un cuerpo y la masa de la tierra. C.G.

Cuerpo de masa “m”

h: altura (en m)

C.G: Centro de gravedad

Observación: m= 2 kg

N.R. (3) 2m N.R. (2) g = 10 m/s2

5m

N.R. (1)



Respecto al N.R. (1):

EPG = 2 x 10 x 5 ⇒ EPG = 100 J

Respecto al N.R. (2):

EPG = 2 x 10 x 2 ⇒

g

EPG = 0

¿Cuál de los “3” resultados es correcto?

EPG = mgh h: altura medida desde el N.R. hacia el C.G. (lugar geométrico donde se concentra toda la fuerza de gravedad)

COLEGIOS GUADALUPE

Respecto al N.R. (3):

EPG = 2 x 10 x 0 ⇒

Nivel de referencia (N.R.)

EPG = 40 J

Respuesta: Los “3”, la energía potencial gravitatoria depende del nivel de referencia, es decir: “la energía potencial gravitatoria es relativa”.

138

FÍSICA 2° SEC

ENERGÍA MECÁNICA II

Trabajando en clase Integral 1. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto al nivel de referencia. (g = 10m/s2)

6. Calcula la energía potencial gravitatoria en el 2 punto (g = 10“B” m/s ) respecto al nivel de referencia. B

m = 2 kg

m = 1 kg 6m N.R.

h=3m

30° A

N.R. 2. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto m = 1 kg al piso. (g = 10m/s2)

7. Calcula la energía potencial gravitatoria en el punto “A” respecto al piso. (g = 10 m/s2) B m = 2 kg g

1m 5m

N.R.

A

N.R.

3. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto al nivel de referencia.

m = 1,5 kg

g = 10 m/s2

6m N.R.

4. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto al nivel de referencia. (g = 10m/s2) m = 2kg h=7m N.R.

UNI 8. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s, si la masa del cuerpo es de 0,5 kg y no consideramos la resistencia del aire, calcula la energía potencial gravitatoria en el punto más alto de su trayectoria. (g = 10 m/s2) 9. Un cuerpo de 1 kg de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s, sin considerar la resistencia del aire, calcula la energía potencial gravitatoria en el punto más alto de su trayectoria respecto al punto de lanzamiento. (g = 10 m/s2) 10. Se suelta un objeto como muestra la figura, considerando caída libre calcula la energía potencial gravitatoria luego de 2 s respecto al suelo. (g = 10 m/s2). m = 2 kg

UNMSM 5. Calcula la energía potencial gravitatoria en el punto “B” respecto al nivel de referencia. (g = 10m/s2) B

g 45 m N.R.

m = 5 kg

5m N.R.

37° A

FÍSICA 2° SEC

139

COLEGIOS GUADALUPE

ENERGÍA MECÁNICA II

Tarea Integral

UNMSM

1. Un bloque de 20 kg se encuentra a 3 m sobre el suelo, calcula la energía potencial gravitatoria respecto al suelo. (g = 10 m/s2) a) 500 J c) 700 J e) 900 J b) 600 J d) 800 J

5. Una pelota de 0,1 kg se encuentra a 2 m del suelo, calcula la energía potencial gravitatoria respecto al suelo. (g = 10 m/s2) a) 0 J c) 2 J e) 4 J b) 1 J d) 3 J

2. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto al piso para el bloque de 15 kg (g = 10 m/s2)

6. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto al piso. (g = 10 m/s2) m = 40 kg

g h = 4m N.R. a) 600 J b) 700 J

c) 800 J d) 900 J

a) 320 J b) 3200 J

e) 0 J

3. Un cuerpo de 1 kg cae libremente, si tarda 32 s en llegar al suelo, calcula la energía potencial gravitatoria respecto al piso cuando el cuerpo a llegado a la superficie. (g = 10 m/s2) a) 0 J c) 400 J e) 500 J b) 30 J d) 450 J

c) 400 J d) 4000 J

e) 5000 J

B

N.R.

a) 100 J b) 120 J

m = 1 kg h = 1m

A

5m 37°

c) 130 J d) 140 J

e) 150 J

UNI

N.R. c) 5 J d) 7 J

53°

7. Un bloque de 5 kg es lanzado como muestra la figura, calcula la energía potencial gravitatoria cuando el bloque pasa por el punto “B”. (g = 10 m/s2.

4. Calcula la energía potencial gravitatoria respecto al piso. (g = 10 m/s2)

a) 0 J b) 3 J

10 m

N.R.

e) 10 J

8. Despreciando la resistencia del aire, calcula la energía potencial gravitatoria cuando el bloque de 1,5 kg alcanza su máxima altura. (g = 10 m/s2) g = 10 m/s2

a) 65 J b) 70 J

COLEGIOS GUADALUPE

140

c) 75 J d) 80 J

10 m/s

e) 85 J

FÍSICA 2° SEC

Química 2° DE SECUNDARIA

1 Óxidos básicos Los óxidos se han clasificado en óxidos básicos y óxidos ácidos, con la finalidad de facilitar el estudio de los diferentes compuestos que existen. Para ello, se han creado normas y reglas de formulación y nomenclatura aceptadas a nivel mundial. Estas normas y reglas son establecidas por la IUPAC (Unión Internacional de Química Pura y Aplicada).

Función óxido básico

Son compuestos binarios, formados por la combinación química de un metal con el oxígeno.

I. FORMULACIÓN GENERAL

Para escribir la fórmula de un óxido, se intercambian los estados de oxidación (E.O.) de los átomos, para que aparezcan como subíndices en la fórmula del compuesto. Si la fórmula obtenida se puede simplificar, se efectúa esta operación: M +x + O –2 ⇒ M2 Ox Metal



1º carga positiva

2º carga negativa

Orden de escritura de la fórmula: se nombra primero la carga positiva y segundo, la carga negativa. Estos compuestos son generalmente sólidos a temperatura ambiente.

II. NOMENCLATURA DE LOS ÓXIDOS BÁSICOS



Es el conjunto de reglas mediante el cual se puede dar un nombre a cualquier óxido o especie química. Se nombran mediante las siguientes nomenclaturas: 1. Nomenclatura IUPAC o sistemática 2. Nomenclatura Stock 3. Nomenclatura tradicional o clásica A. Nomenclatura IUPAC o sistemática Indica la función química y la cantidad de los átomos que forman el compuesto. Se caracteriza por el uso de prefijos numéricos; se nombra primero el elemento de carga negativa y luego el de carga positiva.

QUÍMICA 2° SEC

143

⇒ _______ ÓXIDO DE _______ ELEMENTO PREFIJO PREFIJO # de átomos Prefijos # de átomos Prefijos

1

2

3

4

5

Mono

Di

Tri

Tetra

Pent

6

7

8

9

10

Hex

Hept

Oct

Nona Deca

Ejemplos: a) Na+1 + O–2 → Na2O N. IUPAC: Monóxido de disodio b) Ca+2 + O–2 → Ca 2 O 2 → CaO N. IUPAC: Monóxido de calcio OJO Generalmente, el prefijo mono se omite, excepto en el caso del oxígeno.

B. Nomenclatura tradicional o clásica Indica el nombre genérico y el nombre específico del compuesto. Está acompañado de prefijos o sufijos que especifican la cantidad de átomos. Sufijo Menor estado de oxidación OSO Mayor estado de oxidación ICO ⇒ ÓXIDO ELEMENTO _______ Ejemplos:

SUFIJO

E.O.

a) Fe = {+2, +3} Menor (+2) Mayor (+3)

OSO ICO

COLEGIOS GUADALUPE

ÓXIDOS BÁSICOS

Trabajando en clase Integral 1. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene al combinar K+1 + O–2. 2. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene al combinar: Li+1 + O–2 → a) LiO → óxido de dilitio b) Li2O → monóxido de dilitio c) Li2O → dióxido de litio d) LiO2 → óxido de plato e) Li2O3 → trióxido de litio 3. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene al combinar: Mg+2 + O–2 → a) MgO2 → dióxido de magnesio b) MgO3 → óxido de magnesio c) MgO2 → dióxido de manganeso d) MgO → monóxido de magnesio e) MgO → óxido de manganeso 4. ¿Cuál es el nombre IUPAC del BeO? a) Monóxido de berilio b) Óxido de boro c) Monóxido de boro d) Monóxido de bromo e) Óxido de bromo

5. ¿Cuál es el nombre clásico o tradicional del compuesto formado por Au+1 + O–2 → ? Dato: E.O. del Au{ +1 , +3} 6. ¿Cuál es el nombre clásico o tradicional del compuesto formado por Cr+3 + O–2 → ? Dato: E.O. del Cr{+2, +3} a) Óxido de cobalto b) Óxido cromoso c) Óxido crómico d) Óxido cobaltico e) Óxido cobaltoso

COLEGIOS GUADALUPE

10. ¿Qué compuesto presenta mayor atomicidad? I. Na2O II. MgO III. Al2O3 IV. PbO3 V. K2O a) V d) II b) IV e) I c) III 11. Escribe el nombre IUPAC del compuesto Au2O3. a) Trióxido de oro b) Trióxido de dioro c) Dióxido de oro d) Óxido de azufre e) Trióxido de diazufre UNI

UNMSM

7. ¿Cómo se obtiene los óxidos básicos? a) Metal con hidrógeno b) No metal con hidrógeno c) Metal con oxígeno d) Metal con agua e) No metal con el oxígeno

8. Escribe la fórmula y la atomicidad del trióxido de dialuminio? 9. Escribe la fórmula y atomicidad del dióxido de plomo. a) PbO –2 d) PbO –4 b) PbO2 –3 e) PbO3 –4 c) Pb2O –3

12. La atomicidad de un óxido básico es 5. Determine el estado de oxidación del metal M. 13. La atomicidad de un óxido básico es 3. Determina el estado de oxidación del metal M. a) +1 d) +4 b) +2 e) +5 c) +3 14. La atomicidad de un óxido básico es 2. Determina el estado de oxidación (E.O.) del metal M. a) +1 d) +4 b) +2 e) +5 c) +3 15. ¿Cuál de los siguientes compuestos presenta mayor cantidad de oxígenos? I. Monóxido de dilitio II. Monóxido de calcio III. Dióxido de plomo IV. Óxido férrico V. Óxido ferroso a) I c) III e) V b) II d) IV

144

QUÍMICA 2° SEC

2 Óxidos ácidos o anhídridos Los óxidos ácidos o anhídridos no son términos extraños para nosotros, ya que producimos dióxido de carbono o anhídrido carbónico en la respiración; además, este gas natural genera las condiciones para que exista vida en nuestro planeta. Por lo tanto, es importante conocer la obtención y nomenclatura de este tipo de compuestos.

Auto a gas

Fabrica a gas

DEFINICIÓN

Son compuestos binarios formados por combinación de un no metal con el oxígeno.

la

Ejemplos: a) N+3 + O–2 → N2O3

Nombre IUPAC: trióxido de dinitrógeno

Formulación general

La fórmula de los óxidos ácidos se obtiene al intercambiar los estados de oxidación de los átomos para que aparezcan como subíndices en la fórmula del compuesto. Si la fórmula se puede simplificar, se simplifica. N.M +x + O –2 ⇒ N.M2 Ox No Metal Orden de la fórmula:

1º carga positiva

2º carga positiva

Nomenclatura IUPAC o sistemática



se simplifica

Nombre IUPAC: monóxido de carbono

Nomenclatura tradicional o clásica

Se nombran empleando los prefijos griegos. Se indica la función química y la cantidad de átomos que forman el compuesto. Se nombra primero el elemento de carga negativa y luego el de carga positiva. ⇒ _______ ÓXIDO DE _______ NO METAL PREFIJO PREFIJO

QUÍMICA 2° SEC

b) C+2 + O–2 → C 2 O 2 → CO

En esta nomenclatura, la función, se denomina «anhídrido» que significa ‘sin agua’. Se indica el nombre de la función, seguido del no metal con un prefijo o sufijo, que depende del estado de oxidación con que actúa el elemento. ⇒ ÓXIDO DE

145

PREFIJO _______

NO METAL _______ SUFIJO

COLEGIOS GUADALUPE

ÓXIDOS ÁCIDOS O ANHÍDRIDOS

Estados de oxidación de los principales no metales ELEMENTO C – Si – Ge carbono silicio germanio N – P – As – Sb nitrógeno arsenico fósforo antimonio

S – Se azufre selenio

ESTADO DE OXIDACIÓN (E.O.) +2 ; +4 Tiene 2 E.O.; por lo tanto, al Menor terminación

Menor: Mayor:

cloro

yodo

bromo

terminación

Intermedio:

ICO

terminación

terminación

ICO.

+3 ; +5 OSO

prefijo

OSO terminación

OSO

ICO

+1 ; +3 ; +5; +7 Tiene cuatro estados de oxidación: OSO Menor: HIPO elemento

Menor intermedio: Mayor intermedio: Mayor: PER

Ejemplos: halla los óxidos ácidos de los elementos: a) Nitrógeno (N) E.O.(N) {+3, +5} Menor (+3) OSO Mayor (+5) ICO \  N+3 + O–2 → N2O3 Nombre clásico: anhídrido nitroso  N + O → N2O5 Nombre clásico: anhídrido nítrico +5

terminación

terminación

Tiene tres estados de oxidación +2 ; +4 ; +6 Menor: HIPO ELEMENTO

Mayor:

Cl – Br – I

OSO y al Mayor

–2

b) Selenio (Se) E.O. (Se) = {+2, +4, +6}

OSO ICO ICO



Menor (+2) ⇒ Hipo OSO Intermedio (+4) ⇒ OSO Mayor (+6) ⇒ ICO



\  Se+2 + O–2 → Se 2 O 2 → SeO Nombre clásico: anhídrido hiposelenioso



 Se+4 + O–2 → Se 2 O 4 + SeO2 Nombre clásico: anhídrido selénioso



 Se+6 + O–2 → Se 2 O 6 → SeO3 Nombre clásico: anhídrido selénico

Trabajando en clase Integral 1. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene al combinar: As+5 + O–2 →

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2. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene al combinar: P+3 + O–2 → a) PO3 → trióxido de fósforo b) P2O3 → trióxido de difósforo c) P2O5 → óxido de fósforo d) P2O3 → óxido férrico e) P2O5 → óxido fosfórico

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ÓXIDOS ÁCIDOS O ANHÍDRIDOS 3. Indica la atomicidad y fórmula del dióxido de carbono. a) 5 – CO2O3 b) 4 – SO3 c) 3 – CO2 d) 2 – CO e) 1 – CO2O

9. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. La fórmula del dióxido de azufre es SO2 ( ). II. La fórmula del trióxido de difosforo es FeO3 ( ). III. El anhídrido cloroso es un óxido ácido ( ). a) VVV c) VFF e) FFV b) VFV d) FFF

4. ¿Cuál es el nombre IUPAC del Cl2O7? a) Óxido de cobalto b) Anhídrido cloroso c) Óxido cobáltico d) Heptóxido de dicloro e) Pentóxido de dicloro

10. Señala la fórmula y atomicidad del trióxido de azufre. a) SO3 – 2 c) SO2 – 3 e) SO3 – 4 b) Al2O3 – 5 d) CO2 – 3

UNMSM 5. ¿Cuál es el nombre clásico o tradicional del compuesto formado por: C+2 + O–2? Dato: estado de oxidación del C{+2, +4} Resolución C+2 + O–2 → C 2 O 2 → CO Actúa con menor estado de oxidación (+2) y la terminación OSO. a) Anhídrido carbónico b) Anhídrido carbonoso c) Óxido de carbono d) Monóxido de carbono e) Dióxido de carbono 6. ¿Cuál es el nombre clásico o tradicional del compuesto formado por P+5 + O–2 → ? Dato: E.O. del fósforo (P) {+3, +5} a) Pentóxido de dicloro b) Óxido cloroso c) Anhídrido clórico d) Anhídrido fosfórico e) Trióxido de difosforo 7. ¿Cómo se obtienen los anhídridos u óxidos ácidos? a) No metal con oxígeno b) Metal con oxígeno c) Metal con hidrógeno d) Gas noble con el oxígeno e) Metal con agua 8. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El CaO es un óxido ácido o anhídrido ( ). II. El CO es un óxido ácido o anhídrido ( ). III. El Cl2O3 es un óxido básico ( ).

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11. De los siguientes compuestos, determina cuántos óxidos ácidos o anhídridos están presentes. YY CaO YY Cl2O3 YY Na2O YY CO2 YY HCl YY Fe2O3 YY HNO3 YY SO3 a) 1 c) 3 e) 4 b) 5 d) 8 UNI 12. Un óxido ácido o anhídrido presenta de atomicidad 4. Determina el estado de oxidación del no metal (N.M.) 13. La atomicidad de un óxido ácido es 5. Determina el estado de oxidación del no metal. (N.M.) a) +3 d) +4 b) +5 e) +1 c) +7 14. La atomicidad de un óxido ácido es 7. Determina el estado de oxidación (E.O.) del no metal (N.M.) a) +1 d) +4 b) +2 e) +5 c) +3 15. ¿Qué compuesto presenta mayor atomicidad? Dato: E.O. del nitrógeno {+3, +5}, E.O. del carbono {+2, +4} I. Anhídrido nitroso II. Anhídrido nítrico III. Anhídrido carbonoso IV. Anhídrido carbónico V. Dióxido de azufre a) I d) IV b) II e) V c) III

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3 Hidróxidos La palabra hidróxido resulta de la combinación del elemento compositivo hidra («agua») y del término óxido, proveniente de la voz griega y significa «ácido»). HIDRÓXIDO agua + óxido

Estos hidróxidos poseen características opuestas a los ácidos, por lo que son llamados antiácidos. Los hidróxidos están presente en los jabones, detergentes, leche de magnesia, grasas lubricantes, baterías, entre otros.

Jabón

Leche de magnesia

DEFINICIÓN

Los hidróxidos son compuestos ternarios formados por la combinación química de un óxido básico con el agua. Se caracterizan por presentar el radical hidróxido o hidróxilo, (OH)–1, unido al catión metálico por enlace iónico. Los hidróxidos tienen propiedades básicas, por ello se les denomina «bases». ZZ Poseen sabor amargo. ZZ Al tacto son jabonosos. ZZ Solubles en agua. ZZ Neutralizan a los ácidos. ZZ Enrojecen la fenolftaleína.

1. Formulación general



Para escribir la fórmula de los hidróxidos, se intercambian los estados de oxidación del metal y del radical hidróxido para que aparezcan como subíndices en la fórmula del compuesto. Si la carga del metal es +1, no es necesario encerrar entre paréntesis al radical hidróxido.

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Shampoo

M +x + (OH) –1 ⇒ M(OH)x Metal Radical hidróxilo Orden de escritura de la fórmula: 1o metal, 2o radical hidróxilo. Los hidróxidos de sodio y potasio se usan en la elaboración del jabón.

2. Obtención general:

Se producen por la reacción química del agua con los óxidos básicos.



Óxido básico + agua → hidróxido

3. Nomenclatura de los hidróxidos

148

a. Nomenclatura IUPAC o sistemática Se caracteriza por el uso de prefijos numéricos. Se indica la función química hidróxido, seguido del nombre del metal. HIDRÓXIDO DE METAL PREFIJO

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HIDRÓXIDOS Ejemplos: YY Na+1 + (OH)–1 → NaOH Nombre IUPAC: monohidróxido de sodio.

Si el metal tiene un único estado de oxidación, le corresponde la terminación en ICO. Ejemplos: YY Al(E.O.) {+3} único estado de oxidación Al+3 + (OH)–1 → Al(OH)3 Nomenclatura clásica: hidróxido alumínico

Solo si el metal tiene de estado de oxidación +1, se puede omitir el paréntesis en el radical hidróxilo.



YY Ba+2 + (OH)–1 → Ba(OH)2



YY Cobre (Cu)



Nombre IUPAC: dihidróxido de bario

b. Nomenclatura tradicional o clásica Se indica la función química hidróxido, seguido del metal con la terminación en OSO o ICO, según corresponda. HIDRÓXIDO METAL

Menor +1 Mayor +2

E.O. (Cu) = {+1,+2} OSO ICO

●● Cu+1 + (OH)–1 → CuOH



Nombre clásico: hidróxido cuproso

●● Cu+2 + (OH)–1 → Cu(OH)2



SUFIJO

Nombre clásico: hidróxido cúprico

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Escribe la obtención y nombre IUPAC del siguiente compuesto. Li+1 + (OH)–1 →

5. Determina la atomicidad del dihidróxido de magnesio. Resolución: La fórmula del dihidróxido de magnesio es Mg(OH)2, por lo tanto está formado así: 1 átomo de magnesio 2 átomos de oxígeno (O) 2 átomos de hidrógeno (H) 5 es la atomicidad Recuerda: El paréntesis está afectado por el subíndice 2.

Resolución: Li+1 + (OH)–1 → Li OH Nombre IUPAC: monohidróxido de litio 2. Escribe la obtención y nombre IUPAC del siguiente compuesto: Fe+3 + (OH)–1 → a) Fe(OH) → hidróxido de hierro b) Fe(OH) → hidróxido de trihierro c) Fe(OH)3 → trihidróxido de hierro d) Fe(OH)2 → dihidróxido de hierro e) Fe2O3 → trióxido de dihierro 3. ¿Cuántos elementos están presentes en el monohidróxido de litio? a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 4. Escribe la representación del radical hidróxido u hidróxilo. a) (OH)–1 d) H+1 b) O–2 e) S–2 –1 c) H

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6. Determina la atomicidad del monohidróxido de potasio. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 7. ¿Cuál es el nombre IUPAC del compuesto Au(OH)3? a) Hidróxido de oro b) Dihidróxido de oro c) Hidróxido de aluminio d) Trihidróxido de oro e) Hidróxido auroso 8. Escribe el nombre clásico o tradicional del compuesto formado por: Fe+3 + (OH)–1 → Dato: E.O. Fe{+2, +3}

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HIDRÓXIDOS Resolución: Fe+3 + (OH)–1 → Fe(OH)3 Según el ejercicio, el Fe actúa con E.O. (+3), es decir, el mayor E.O. Por lo tanto, al nombrar le corresponde la terminación en ICO. Nombre clásico: hidróxido férrico 9. ¿Cuál es el nombre clásico o tradicional que se obtiene al combinar Cr+2 + (OH)–1 → ? Dato: Cr = {+2, +3} a) Óxido crómico b) Óxido cromoso c) Hidróxido cromoso d) Hidróxido crómico e) Hidruro de cromo 10. ¿Cómo se obtienen los hidróxidos? a) Metal con hidrógeno b) No metal con hidrógeno c) Metal con oxígeno d) Metal con ion hidróxido e) No metal con oxígeno

13. Se tiene un metal M cuya atomicidad en la fórmula de su óxido es 5. ¿Cuál es la fórmula del hidróxido formado por dicho metal? a) MOH d) M(OH)4 b) M(OH)2 e) M(OH) c) M(OH)3 14. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Fórmula – nombre clásico Dato: Fe{+2, +3}, E.O. Pb{+2, +4} I. Fe(OH)3 → hidróxido ferrroso ( ) II. Fe(OH)2 → hidróxido ferroso ( ) III. Pb(OH)2 → hidróxido plúmbico ( ) a) FVF d) VVV b) FFF e) VFF c) FVV

11. Marca dos propiedades de los hidróxidos o bases. a) Sabor amargo, enrojecen la fenolftaleína. b) Sabor ácido, azulean el indicador. c) Malos conductores eléctricos, térmicos. d) Tienen un no metal y el hidrógeno. e) Enlace covalente, sin ácidos. UNI 12. Se tiene un metal M cuya atomicidad en la fórmula de su óxido es 3. ¿Cuál es la fórmula del hidróxido formado por dicho metal?

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Resolución: La fórmula del ácido metálico es: M+x + O–2 → M2Ox Si la atomicidad es 3, M tiene de E.O. +1. Formando el hidróxido: M+1 + (OH)–1 → M(OH) Obtención del hidróxido La respuesta es MOH.

15. Indica el hidróxido que presenta mayor atomicidad. I. Monohidróxido de litio. II. Dihidróxido de calcio. III. Tetrahidróxido de plomo. a) I d) I y II b) II e) II y III c) III

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QUÍMICA 2° SEC

4 Hidruros metálicos y moleculares El día de hoy aprenderemos sobre los compuestos químicos denominados «hidruros». Los hidruros se utilizan como desecantes (absorben agua), desengrasantes, tintes, en la elaboración de baterías, como medio de almacenamiento de hidrógeno, para combustible de vehículos eléctricos. En esta lección, aprenderemos su obtención, clasificación y nomenclatura.

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Los hidruros son compuestos binarios que se producen de la combinación del hidrógeno con un elemento químico. De acuerdo con el tipo de elemento con que se combinen, los hidruros se clasifican así: ZZ Hidruros metálicos ZZ Hidruros no metálicos o moleculares

I. Hidruros metálicos

Se obtienen de la combinación del hidrógeno con los metales. En este tipo de compuestos, el hidrógeno (H) actúa con estado de oxidación –1; es decir forma el ion hidruro ⇒ H–1.



Obtención general







Generalmente estos compuestos son sólidos a temperatura ambiente.

Nomenclatura

Se nombran según la nomenclatura IUPAC o sistemática. __________ hidruro de metal prefijo



Ejemplos: YY Li+1 + H–1 → LiH Nombre IUPAC: monohidruro de litio YY Fe+3 + H–1 → FeH3



Metal + hidrógeno → hidruro metálico



Compuestos binarios que se obtienen de la combinación de los elementos no metálicos con el hidrógeno. Estos hidruros se clasifican en hidruros especiales y ácidos hidrácidos. En este tema solo trabajaremos con los hidruros especiales.



Hidruros especiales Son los hidruros de los no metales de los grupos: III A → boro (B) IV A → carbono (C), silicio (Si) V A → nitrógeno (N), fósforo (P), arsénico (As) y antimonio (Sb)

MHx

metal ion hidruro Para escribir la fórmula de los hidruros metálicos se intercambian los estados de oxidación (E. O.) del metal y del ion hidrógeno, para que aparezcan como subíndices en la fórmula.

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Nombre IUPAC: trihidruro de hierro

II. Hidruros no metálicos o moleculares

Formulación general M +x + H –1



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HIDRUROS METÁLICOS Y MOLECULARES









Nomenclatura

Se nombran según la nomenclatura IUPAC y la nomenclatura común. Ejemplos: YY B–3 + H+1 → BH3 Nombre IUPAC: trihidruro de boro Nombre común: borano YY C–4 + H+1 → CH4 Nombre IUPAC: tetrahidruro de carbono Nombre común: metano

No metal + hidrógeno → hidruro especial

Formulación general de hidruros especiales N • M –x + H +1





Obtención general

N • MHx

Para escribir la fórmula, primero se coloca el nometal y luego el hidrógeno.

Fórmula

Nombre común

SiH4

Silano

Por lo general, estos compuestos son sustancias gaseosas muy tóxicas. Si se disuelven en agua, no poseen carácter ácido.

NH3

Amoniaco

PH3

Fosfina

Trabajando en clase Integral 1. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene al combinar: Mg+2 + H–1 → Resolución:

Mg+2 + H–1 → MgH2

Nombre IUPAC: dihidruro de magnesio 2. Escribe la fórmula y nombre IUPAC que se obtiene de combinar: Pb+4 + H–1 → a) Pb(OH)4 → hidróxido de plomo b) PbH4 → tetrahidruro de plomo c) PbO2 → óxido plúmbico d) PbH → hidruro plumboso e) PbH2 → hidruro plumbico 3. ¿Cómo se obtienen los hidruros metálicos? a) Metal con oxígeno b) No metal con oxígeno c) No metal con hidrógeno d) No metal con agua e) Metal con hidrógeno 4. ¿Cuántos y qué elementos están presentes en el compuesto CuH2? a) 2 – calcio – hidrógeno b) 3 – calcio – hidrógeno c) 3 – cobre – hidrógeno

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d) 4 – cobre – hidrógeno e) 3 – carbono – hidrógeno UNMSM 5. Hallar la suma (Σ) de atomicidades de los compuestos: a) Tetrahidruro de plomo b) Metano Resolución: a) Fórmula del tetrahidruro de plomo → PbH4 Atomicidad = 5 b) Fórmula del amoniaco → NH3 Atomicidad = 4



Nos piden: suma de atomicidades ⇒5+4=9

Rpta.: 9

6. Hallar la suma de atomicidades de los compuestos: a. Trihidruro de aluminio b. Metano a) 9 c) 5 e) 4 b) 7 d) 6 7. Determina la atomicidad del hidruro de sodio. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4

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QUÍMICA 2° SEC

HIDRUROS METÁLICOS Y MOLECULARES 8. Escribe el nombre común y IUPAC del compuesto formado por: P–3 + H+1 →

YY YY YY YY

Resolución: P–3 + H+1 → PH3



Nombre común: fosfina Nombre IUPAC: trididruo de fósforo

9. Escribir el nombre común y IUPAC del compuesto formado por: P–3 + H+1 → a) Fosforo – trihidruro de fosforo b) Potasio – hidruro de potasio c) Borano – trihidruro de fosforo d) Fosfina – trihidruro de fosforo e) Etano – dihidruro de fosforo 10. Completa: Nombre Fórmula I. Dihidruro de calcio: ____________ II. ________________: CH4 III. Amoniaco ____________ IV. ________________: AlH3 a) I–CaH2 / II–Metano/ III–NH3 / IV–Trihidruro de aluminio b) I–KH2 / II–Silano/ III–NH3 / IV–Trihidruro de aluminio c) I–Ca(OH)2 / II–Metano/ III–NH4 / IV. Aluminio d) I–CaO / II–Borano/ III–NaH / IV. Óxido de aluminio e) I–CaO / II–Silano/ III–As2O3 / IV. Aluminio 11. Indica la representación del ión hidruro. a) H+1 c) H–1 e) O–1 b) O–2 d) (OH)–1 UNI 12. De acuerdo con la atomicidad de cada compuesto, ordena de menor a mayor.

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Fosfina Hidruro de potasio Tetrahidruro de plomo Dihidruro de cobre

Resolución: YY Fosfina, PH3: atomocidad: 4 YY Hidruro de potasio, KH: atomicidad 2 YY Tetrahidruro de plomo, PbH4: atomicidad 5 YY Dihidruro de cobre, CuH2: atomicidad 3 Ordenando de menor a mayor: 1. Hidruro de potasio: atomicidad 2 2. Dihidruro de cobre: atomicidad 3 3. Fosfina: atomicidad 4 4. Tetrahidruro de plomo: atomicidad 5

13. De acuerdo con la atomicidad de cada compuesto, ordena de menor a mayor. M) Metano N) Amoniaco O) Hidruro de sodio P) Dihidruro de calcio a) O – P – N – M d) P – N – M – O b) N – O – P – M e) M – O – N – P c) O – M – P – N 14. Marca la relación que es incorrecta. I. Un hidruro metálico es un compuesto binario. II. Un hidróxido es un compuesto ternario. III.Un óxido básico es un compuesto ternario. a) I d) I y II b) II e) II y III c) III 15. Identifica la fórmula de los siguientes compuestos: I. Dihidruro de cobre II. Metano III.Trihidruo de boro a) CuH2 / NH3 / CH4 b) CaH2 /CH4 / NH3 c) CuH / CH4 / CO2 d) CuH2 / CH4 / BH3 e) CaH2 / BH3 / C2H6

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5 Unidades químicas de masa I El tema surge de la necesidad que tienen los químicos por conocer la masa de los átomos, moléculas o iones, que son las partículas que forman la materia. Como dichas partículas son extremedamente pequeñas no pueden ser medidas directamente con una balanza; por lo tanto, se trabaja con cantidades mayores (grupo muy grande de átomos, moléculas). A partir de ello, los científicos han creado y establecido unidades químicas de masa que permiten conocer la masa de los átomos o moléculas, como la u. m. a. (unidad de masa atómica).

UNIDADES QUÍMICAS DE MASA



Las unidades químicas de masa estudia las diferentes formas de expresar las masas de las especies químicas (átomos, moléculas, iones, etc.). La unidad química de masa fundamental es la u. m. a. (unidad de masa atómica).

Unidad de masa atómica (u. m. a)

Es la unidad patrón para expresar la masa de las especies químicas. Se define como la doceava parte de la masa del átomo, patrón del isótopo de carbono 12 (C-12). 1 uma =





masa del isótopo C-12 = 1,66 × 10–24 g (gramos) 12

1. Masa atómica promedio (m. a.)

Expresa la masa promedio de los átomos de un elemento químico, y se determina a partir del promedio ponderado de las masas atómicas de todos los isótopos que conforman un elemento.

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Se halla de manera general de la siguiente manera: m. a.(elemento) =

m1 × %1 + m2 × %2 + ... 100

Las masas atómicas promedios se encuentran en la tabla periódica.

Masas atómicas promedio de los principales elementos químicos Elemento Carbono (C) Hidrógeno (H) Oxígeno (O) Nitrógeno (N) Fósforo (P) Azufre (S) Sodio (Na) Potasio (K) Calcio (Ca) Cloro (Cl)

masa atómica promedio en u. m. a 12 uma 1 uma 16 uma 14 uma 31 uma 32 uma 23 uma 39 uma 40 uma 35,5 uma

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UNIDADES QUÍMICAS DE MASA I

2. Masa molecular (M)

Expresa la masa promedio de las moléculas de una sustancia covalente. Se determina sumando las masas atómicas de todos los átomos que forman la molécula. Ejemplos: a) Halla la M del metano (CH4)

3. Peso fórmula (P. F.)

El término se emplea para conocer la masa o el peso de los compuestos iónicos, ya que dichos compuestos no presentan moléculas, por ello sería erróneo hablar de masa molecular. Se calcula de igual manera que la masa molecular. Ejemplos: a) Hallar el P. F. del cloruro de sodio (NaCl)

Resolución: CH4 1 átomo de carbono (12) ⇒ 1 × 12 = 12 +



4 átomos de hidrógeno (1) ⇒ 4 × 1 = 4 16

Resolución: H3PO4



3 iones Ca(40) = 3 × 40 = 120 +



3 átomos de hidrógeno (1) ⇒ 3 × 1 =

58,5 uma

Resolución: Dato: m. a. (Ca) = 40; m.a. (P) = 31

Rpta.: la masa molecular M del metano es 16 uma





b) Hallar el P. F. del fosfato de calcio Ca3(PO4)2

b) Halla la M del ácido fosfórico (H3PO4) m. a. del fósforo = 31.

Resolución: Dato: m. a. (Na) = 23; m.a. (Cl) = 35,5 1 ion Na (2,3) = 1 × 23 = 23 + 1 ion Cl (35,5) = 1 × 35,5 = 35,5

2 iones P(31) = 2 × 31 = 62 8 iones O(16) = 8 × 16 = 128

310 uma

3 +

1 átomo de fósforo (31) ⇒ 1 × 31 = 31 4 átomos de oxígeno (36) ⇒ 4 × 16 = 64 98

Rpta.: la M del H3PO4 es 98 uma

Trabajando en clase Integral 1. ¿Qué es la uma? Resolución: Es la unidad química de masa patrón, expresa la masa de las especies químicas. 2. ¿A cuánto equivale 1 uma en gramos? a) 12 g d) 1,66 × 10–24 g b) 1 g e) 6,022 × 1023 g c) 14 g

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3. ¿Cuál es la masa atómica del hidrógeno? a) 14 uma d) 16 uma b) 12 uma e) 40 uma c) 1 uma 4. ¿A qué elemento le corresponde la masa atómica de 16 uma? a) Carbono d) Oxígeno b) Calcio e) Nitrógeno c) Hidrógeno

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UNIDADES QUÍMICAS DE MASA I PUCP 5. Calcula la masa molecular del ácido acético (CH3COOH) Resolución: La fórmula es CH3COOH 2 átomos de C(12) ⇒ 2 × 12 = 24 + 4 átomos de H(1) ⇒ 4 × 1 = 4 2 átomos de O(16) ⇒ 2 × 16 = 32 60 Rpta.: el CH3COHH tiene una masa de 60 uma 6. Calcula la masa molecular de la glucosa (C6H12O6). a) 192 uma d) 200 uma b) 180 uma e) 174 uma c) 202 uma 7. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La masa molecular del ozono (O3) es 48 uma. ( ) II.El término masa molecular se aplica en todo compuesto. ( ) III.La masa molecular del CO2 es 28 uma. ( ) a) FFF c) VVF e) VFF b) VVV d) FVV UNMSM 8. Calcula el peso fórmula (P. F.) del sulfato de aluminio Al2(SO4)3. Dato: m. a.(uma): Al = 23; S = 32

Rpta.: el peso fórmula del sulfato de aluminio es de 342 uma 9. Calcular el peso fórmula (P. F.) del dihidróxido de magnesio. Dato: m. a.(Mg) = 24 uma. a) 58 uma d) 72 uma b) 54 uma e) 62 uma c) 68 uma

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11. ¿A qué compuesto le corresponde la masa molecular igual a 44 uma? a) H2O2 d) NH3 b) HNO3 e) CO2 c) H2CO3 UNI 12. Un hidrocarburo tiene por fórmula global CxHx y su masa molecular es 78 uma. Hallar «x» y la fórmula molecular de dicho hidrocarburo. Resolución: La fórmula del compuesto es CxHx si la M es 78 uma. ⇒ CxHx El carbono tiene de m. a. = 12 El hidrógeno tiene de m. a. = 1 ⇒ 12x + 1x = 78 13x = 78 x = 6

Resolución: 2 Al (27) ⇒ 2 × 27 = 54 + 3 S (32) ⇒ 3 × 32 = 96 12 O (16) ⇒ 12 × 16 = 192 342 uma

10. Relacione: I. Masa molecular II. Peso fórmula III.Unidad de masa atómica

A. Se aplica a compuestos iónicos B. Unidad patrón C. Se aplica a compuestos covalentes a) I-B / II-C / III-A b) I-A / II-B / III-C c) I-C / II-A / III-B d) I-C / II-B / III-A e) I-B / II-A / III-C

Por lo tanto, la fórmula es C6H6.

13. Un compuesto orgánico tiene por fórmula C12H2xOx y su masa molecular es 342 uma. Halla «x» y la fórmula molecular de dicho compuesto. a) 5 – C12H10O5 d) 11 – C12H22O11 b) 6 – C12O12O6 e) 8 – C12H16O8 c) 7 – C12H14O7 14. Un compuesto tiene por fórmula HEO3 y su masa molecular es 63 uma. Hallar la masa atómica del elemento E y la fórmula de dicho compuesto. a) 12 uma – H2CO3 d) 32 uma – HNO3 b) 14 uma – HNO3 e) 7 uma – HNO2 c) 16 uma – HClO 15. Halla la masa molecular del propano (CH3CH2CH3). a) 32 uma d) 54 uma b) 44 uma e) 34 uma c) 42 uma

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6 Unidades químicas de masa II H O

H

H O

H

Los cuerpos visibles, como por ejemplo, lapiceros, libros, clips, hojas, etc., se cuantifican empleando las docenas, el ciento, millar, entre otras unidades. En química, para contar partículas extremadamente pequeñas como los átomos, moléculas, iones, protones y otros; se utiliza el mol, la relación entre la cantidad enorme de átomos o moléculas y la masa de estas partículas.

MOL

Es una unidad de conteo que se utiliza para expresar la cantidad de sustancias que contiene tantas unidades estructurales (átomos, moléculas y otras partículas) como átomos hay exactamente en 12 gramos de carbono-12. A este número se le denomina: «Número de Avogadro» (NA). Por lo tanto, podemos afirmar lo siguiente: 1 mol = 6,022 × 1023 unidades = 1 NA unidades Ejemplos: 1 mol de carbono → 6,022 × 10 23 átomos de carbono → 1 NA de átomos de carbono 2 mol de hierro → 2(6,022 × 10 23) átomos de hierro → 2 NA de átomos de hierro 1 mol de agua → 6,022 × 10 23 moléculas de agua → 1 NA de moléculas de agua 5 mol de agua → 5(6,022 × 10 23 moléculas de agua → 5 NA de moléculas de agua

MASA MOLAR

Se define como la masa en gramos de 1 mol de unidades de una sustancia. Esta unidad denominada «masa molar» relaciona la masa en gramos con la cantidad de unidades estructurales de una sustancia; por lo tanto, se puede decir que: ZZ La masa molar del carbono -12 tiene una masa exactamente igual a 12 gramos y contiene 6,022 × 1023 átomos de carbono o 1 NA de átomos de carbono. ZZ La masa molar de cualquier molécula o sustancia es igual a su masa molecular expresada en gramos y tendrá 6,022 × 1023 moléculas de la sustancia o 1 NA de moléculas.

QUÍMICA 2° SEC

Recuerda Si se conoce la masa atómica (m. a.) de un elemento y también su masa molar, así como algunas la masa molecular o peso fórmula de un compuesto, se conoce su masa molar. De lo explicado, podemos relacionarlo de la siguiente manera:

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1mol(sustancia) =m.a.oMengramos=NA unidadesdelasustancia

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UNIDADES QUÍMICAS DE MASA II A partir de esta relación, se han deducido las siguientes fórmulas:

II. Para hallar la cantidad de átomos o moléculas

I. Para hallar el número de mol (n) 1. En un elemento:



#átomos m = NA m.a.

m n= m. a.

Donde: # átomos = número de átomos NA = número de Avogadro (6,022 × 1023) m = masa en gramos m.a = masa atómica del elemento

Donde: n = número de mol m = masa en gramos m. a. = masa atómica del elemento



1. En un elemento:

2. En un compuesto:



m n= M ó PF

Donde: n = número de mol m = masa en gramos M = masa molecular o peso fórmula del componente

2. En un compuesto:



#moléculas o iones m = NA M o PF

Donde: M o PF = masa molecular o peso fórmula

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el número de mol contenidos en 280 gramos de hierro. Dato: m. a. (Fe = 56 uma) Resolución: Aplicando la fórmula para un elemento: m n= m.a

4. Si la masa molecular de H3EO4 es 98 uma, calcular la masa molecualr de E2O3. a) 148 uma d) 101 uma b) 110 uma e) 120 uma c) 108 uma

280 g 56 g/mol



n=



n = 5 mol Rpta.: en 280 gramos de hierro están contenidos 5 mol de hierro.

2. Calcula el número de mol contenidos en 84 gramos de carbono. a) 3 d) 9 b) 5 e) 10 c) 7

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3. Indica V o F según corresponda. I. La masa atómica y la masa molecular se expresan en uma. ( ) –24 II. 1 mol equivale a 1,66 × 10 gramos. ( ) III.Si la masa atómica del carbono es 12 uma, su masa molar será 0,12 gramos. ( ) a) VFV d) FVF b) VFF e) VVF c) VVV

PUCP 5. ¿Cuántos mol están contenidos en 368 gramos de etanol (C2H5OH)? Resolución: Aplicando la fórmula para compuestos covalentes:

158

QUÍMICA 2° SEC

UNIDADES QUÍMICAS DE MASA II



m M 368 g n= 46 g/mol

n=

n = 8 mol

Hallando la M del etanol → C2H5OH 2 C(12) ⇒ 2 × 12 = 24 + 6 H(1) ⇒ 6 × 1 =

6

1 O(16) ⇒ 1 × 16 = 16 46 Rpta.: en 368 gramos de etanol están contenidos 8 mol del compuesto. 6. ¿Cuántas mol están contenidas en 378 gramos de ácido nítrico (HNO3)? a) 2 mol d) 5 mol b) 3 mol e) 6 mol c) 4 mol 7. Señale que enunciado es incorrecto: I. Las masas moleculares del CO y CO2 son iguales. II. En 120 gramos de carbono hay 10 mol de este elemento. III. 1 NA (número de Avogadro) equivale a 1,66 × 10–24. a) Solo I d) I y III b) Solo II e) II y III c) Solo III UNMSM 8. ¿Cuántos gramos de calcio están contenidos en 12 mol de este elemento? Dato: m.a. del (Ca = 40)



Resolución: Aplicando la fórmula para el elementos: m n= m.a m 12 mol = 40 g/mol



m = 480 gramos



11. Relaciona: I. 1 mol de CO2 II. 10 mol de H2O III. 1 NA de hierro A. Su masa es 44 gramos B. Contiene 6,022 × 1023 átomos de Fe. C. Su masa es de 180 gramos. a) IA / IIC / IIIB d) IB / IIC / IIIA b) IC / IIB / IIIA e) IA / IIB / IIIC c) IB / IIA / IIIC UNI 12. ¿Cuántos gramos de sulfato de sodio (Na2SO4) están contenidos en 5 mol de este compuesto? Dato: m.a. del (S = 32; Na = 23)

Resolución: Aplicando la fórmula para compuestos iónicos: m Hallando el PF del Na2SO4 n= P.F 2 Na(28) ⇒ 2 × 23 = 46 + m 5 mol = 142g/mol 1(S) 32 ⇒ 1 × 32 = 32 m = 710 gramos 4 (O) 16 ⇒ 4 × 16 = 64 142 Rpta.: En 5 mol de sulfato de sodio hay 710 gramos de este compuesto.

13. ¿Cuántos gramos de propano (C3H8) están contenido en 3 mol de este compuesto? a) 88 g d) 220 g b) 132 g e) 264 g c) 152 g

Rpta.: en 12 mol de calcio hay 480 gramos de este metal. 9. ¿Cuántos gramos de azufre están contenidos en 9 mol de este elemento? Dato: m.a. (S = 32) a) 8 mol d) 9 mol b) 5 mol e) 10 mol c) 7 mol

QUÍMICA 2° SEC

10. Señalar el enunciado incorrecto: a) 1 mol contiene 6,022 × 1023 unidades b) 1 mol de carbono tiene una masa de 12 gramos c) 1/2 mol de carbono tiene una masa de 6 gramos. d) 1 mol de H2O tiene una masa de 40 gramos. e) 1 mol es igual a 1 número de Avogadro (NA).

14. En 12 gramos de carbono: a) Contiene 6,022 × 1023 átomos de carbono. b) Contiene 1 mol de átomos c) Contiene 1 número de Avogadro de átomos de C. d) Su masa atómica es 12 uma. e) Todas son correctas 15. ¿A qué sustancias se debe hallar el peso fórmula (P.F)? a) NaCl y KNO3 d) HNO3 y HNO2 b) C3H8 y H2O e) H3PO4 y HCl c) H2O y CH4

159

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7 Masa equivalente La masa equivalente está referida a las equivalencias. Asi por ejemplo cuando consumimos 200 mL de leche, la cantidad de proteínas contenidas en ella es la misma que encontramos al consumir 2 huevos cocidos, tambien podemos afirmar que en 324 km hay 200 millas, por lo tanto 1 milla equivale a 1,62 km. Los científicos especialmente los químicos deben recurrir a estas equivalencias, ya que en las reacciones químicas ocurre algo similar; es decir las sustancias que participan se combinan en cantidaddes equivalentes en masa, a esta equivalencia se le denomina masa-equivalente. Dibujos comparativos

1 vaso con leche

≅

1 kg de azúcar

2,2 libras de azúcar

≅

2 huevos

I. MASA EQUIVALENTE (P.E.)

El término empleado antiguamente era peso equivalente, de alli su abreviatura (P.E.). La masa equivalente es la cantidad de sustancia o porción de masa con la que se establece una proporción definida. Los pesos equivalentes o masas equivalentes del hidrógeno (H2) y el oxígeno (O2) están establecidos como patrones de referencia. Masa equivalente del hidrógeno ⇒ P.E. (H2) = 1 Masa equivalente del oxígeno ⇒ P.E. (O2) = 8

II. DETERMINACIÓN DE LA MASA EQUIVALENTE

El valor de la masa equivalente se determina empleando la masa atómica (m.a.) o la masa molecular (M) dependiendo del tipo de sustancia. Para ello se emplea el termino «parámetro q», que es el parámetro de combinación, el cual depende de la naturaleza química de la sustancia y el tipo de reacción en la que se desarrolla.



La masa equivalente es adimensional, es decir no posee unidades.

A. En elementos químicos



En un elemento químico la valencia es una característica que está relacionada con su capacidad de combinación, generalmente la valencia es numérica igual al estado de oxidación del elemento. Entonces: Grupo IA (Li – Na – K); Valencia = 1 Grupo IIA (Mg – Ca); Valencia = 2 Grupo IIIA (B – Al); Valencia = 3

∴P.E. = masa atómica ⇒ P.E. = m.a. Val Valencia (Val)

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160

QUÍMICA 2° SEC

MASA EQUIVALENTE



B. En compuestos químicos En un compuesto se debe tener en cuenta la función química a la que corresponde. Es decir si es un ácido, un hidróxido, un óxido o una sal. Debes tener en cuenta lo siguiente: Función Parámetro de combinación química q=número de H+ liberadas Ácido Hidróxido q=número de (OH)– liberadas Sal q=Carga neta del catión Óxido q=Carga neta del catión

∴P.E. (compuesto) =



Masa molecular Parámetro de combinación

M ⇒ P.E.(compuesto covalente) = q

⇒ P.E.(compuesto iónico) =

P.F.

q

Donde P.F. = peso fórmula

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Calcular la masa equivalente (P.E.) del estroncio. Dato: m.a. Sr = 88.

8. Determina la masa equivalente (P.E.) del hidróxido férrico (Fe(OH)3). Dato: m.a (Fe=56)

2. Calcular la masa equivalente (P.E.) del aluminio (grupo IIIA). Dato m.a.(Al) = 27

9. Determinar la masa equivalente (P.E.) del hidróxido de aluminio. Al(OH)3.

3. ¿Cuál es la valencia del elemento Litio?

10. Calcular el peso fórmula (P.F.) del sulfito de sodio (Na2SO3). Dato: m.a. del Na = 23; S = 32

4. Determina verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La unidad en que se expresa el peso equivalente es la mol ( ) II. El dióxido de carbono es un elemento ( ) III. El agua es un compuesto covalente ( ) Católica 5. Determina la masa equivalente (P.E.) del ácido fosfórico (H3PO4). Dato m.a. (P) = 31 6. Determina la masa equivalente (P.E.) del ácido nítrico (HNO3) 7. Calcular el peso fórmula del dihidróxido de hierro. Dato: m.a. Fe = 56

QUÍMICA 2° SEC

161

11. Si el elemento Cesio (Cs) se encuentra en el grupo IA, indica su valencia. UNI 12. Calcular la masa equivalente (P.E.) del carbonato de calcio (CaCO3). Dato: m.a. de Ca = 40 13. Calcular la masa equivalente (P.E.) de la sal llamada nitrato de sodio. (NaNO3). Dato m.a. Na = 23 14. Calcular la masa molecular del ácido carbónico (H2CO3). 15. Calcular la masa molecular del amoniaco.

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8 Reacciones químicas Las reacciones químicas forman parte de nuestra vida diaria como es el caso del proceso de respiración, la digestión de los alimentos, la fotosíntesis en las plantas. En este tema aprenderemos a reconocer cuando ocurre una reacción química y diferenciar los tipos de reacciones en base a ciertos criterios.

I. REACCIÓN QUÍMICA



Es el cambio o transformación que modifica la estructura molecular de una o más sustancias, para formar nuevas sustancias con propiedades diferentes. La causa fundamental para esta transformación es un agente energético (luz solar, calor, entre otros).

Ejemplos REACTANTES H2(g) + Cl2(g) YY

II. ETAPAS DE UNA REACCIÓN QUÍMICA 1. Etapa inicial



También llamada reactantes o reaccionantes. Es aquella sustancia o sustancias que se encuentran antes del cambio.

2. Etapa final



REACTANTES

Condiciones finales REACCIÓN QUÍMICA

aA + bB





PRODUCTOS

cC + dD

Donde: a, b, c, d, son coeficientes.

III. ECUACIÓN QUIMICA



Es la representación matemática de una reacción química usando símbolos y fórmulas. Donde se especifica las características de las sustancias reactantes y los productos.

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Sustancias Iniciales

Sustancias Finales

REACTANTES YY CaCO3(s)

PRODUCTOS CaO(s) + CO2(g)

IV. EVIDENCIAS PRACTICAS DE UNA REACCIÓN QUIMICA

También llamada productos. Es aquella sustancia o sustancias que se encuentran después del cambio.

Condiciones iniciales

PRODUCTOS 2HCl(g)

Son aquellos cambios que pueden ser percibidos por nuestros sentidos. 1. Cambio de color, olor y sabor. Ejemplo: Descomposición de los alimentos. 2. Variación de la temperatura (liberación u absorción de energía). Ejemplo: La combustión del papel, libera gran cantidad de energía calorífica. 3. Desprendimiento o liberación de un gas. Ejemplo: La reacción entre el bicarbonato de sodio con vinagre. 4. Formación de precipitados (sustancias sólidas insolubles que se encuentran en el fondo del recipiente). Ejemplo: En la reacción del cloruro de sodio (NaCl) con el nitrato de plata (AgNO3) forma una sustancia insoluble llamada cloruro de plata (AgCl)

V. CLASIFICACIÓN DE LAS RACCIONES QUÍMICAS



162

De acuerdo al mecanismo de reacción.

QUÍMICA 2° SEC

REACCIONES QUÍMICAS

1. Reacción de adición, combinación o síntesis

Dos o más sustancias se unen para formar un solo producto. (2) Reactantes



C

Ejemplo: 2H2 + 1O2

La combustion es una reacción exotérmica donde se libera calor y luz. Entre los reactantes encontramos a una sustancia combustible y otra comburente (generalmente oxígeno).

2H2O

Un solo reactante puede formar dos o más sustancias por medio de un agente energético externo.

(1) Reactante

Productos (2)

CaO + CO2

3. Reacción de desplazamiento simple o sustitución única Se da cuando un elemento más reactivo reemplaza a otro menor reactivo; el elemento desplazado queda en forma libre. desplaza

A + BC Ejemplo:

AC + B

El zinc desplaza al hidrógeno

Zn + H2SO4

ZnSO4 + H2

4. Reacción se desplazamiento doble o metátesis



TIPOS DE COMBUSTIÓN Combustión completa

A+B

AB



AgCl + NaNO3

COMBUSTIÓN

2. Reacción de descomposición

Ejemplo: CaCO3

Ag NO3 + Na Cl

Producto (1)

A+B



Ejemplo:

En los productos se obtienen únicamente CO2 y H2O Ejemplo: 1C3H8 + 5O2 3CO2 + 4H2O Productos Produce una llama de color azul.

Combustión incompleta

En los productos se obtienen generalmente; monóxido de carbono (CO) y agua (H2O). produce una llama de color amarillo. Ejemplo: 1C2H4 + 2O2 2CO + 2H2O Productos Cabe resaltar que los productos en una combustión incompleta son variados. Puede estar presente también el hollín (C) Ejemplo: 2CO + C + 4H2O 1C3H8 + 3O2

Se da cuando dos elementos de compuestos diferentes intercambian posición. AB + CD

AD + BC

QUÍMICA 2° SEC

163

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REACCIONES QUÍMICAS

Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuál es la causa fundamental para que ocurra una reacción química? Resolución: La causa fundamental para que ocurra una reacción química es un agente energético. 2. ¿Qué factor energético interviene en la reacción química de la fotosíntesis en las plantas? 3. En una reacción química, ¿cómo se les denomina a las sustancias finales o de salida? 4. En la siguiente reacción química indica la o las sustancia (s) reactantes. 1 N2 + 3H2 2NH3 UNMSM 5. ¿En qué etapa de la reacción química se encuentra el cloruro de sodio? HCl + NaOH NaCl + H2O Resolución El compuesto cloruro de sodio se encuentra en los productos; es decir en la etapa final. 6. ¿En qué etapa de la reacción química se encuentra el agua? 2H2O 2H2 + 1O2 7. ¿Cuál de las siguientes alternativas es una evidencia de una reacción química? a) Doblar un papel. b) Inflar un globo. c) Liberación de un gas. d) Doblar un clavo. e) Calentar agua. 8. Indica el tipo de reacción química a la que representa 2Na + 2HCl 2NaCl + 1H2 Resolución Representa a una reacción de desplazamiento simple, ya que el sodio desplaza al hidrógeno.

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9. Indica el tipo de reacción química a la que representa. KClO3 KCl + O2 10. Respecto a las reacciones químicas indique verdadero (V) o falso (F) I. Los productos se encuentra al final de la reacción. ( ) II. Son procesos que indican cambios en las propiedades de las sustancias. ( ) III. Los reactantes y productos poseen las mismas propiedades químicas. ( ) 11. ¿Qué ecuación química no está acompañada de su nombre correcto? a) 2CuO 2Cu + O2 → Descomposición b) CaO + H2O Ca(OH)2 → Adición c) 1CH4 + 2O2 1CO2 + 2H2O → Desplazamiento simple UNI 12. ¿Qué productos se obtienen en una reacción de combustión completa? Resolución Una combustión completa tiene como productos CO2 y H2O. 13. ¿Qué color de llama produce una reacción de combustión completa? 14. Relacionar adecuadamente I. 2HBr 1H2 + 1Br2 II. 2Fe + 1O2 2FeO III. 2K + 2H2O 2KOH + H2 A. Desplazamiento simple B. Descomposición C. Adición 15. ¿Cómo se denomina a la reacción química donde dos elementos de compuestos diferentes intercambian posición?

164

QUÍMICA 2° SEC

Biología 2° DE SECUNDARIA

1 Hormonas vegetales ¿Sabías que...? El tomate maduro toma un hermoso color rojo brillante gracias a una hormona vegetal llamada etileno.

I. DEFINICIÓN



Las fitohormonas u hormonas vegetales son sustancias mensajeras que actúan en concentración muy baja y son producidas por células vegetales en sitios estratégicos de la planta, estas hormonas vegetales son capaces de regular de manera predominante los fenómenos fisiológicos de las plantas.

Las hormonas y las enzimas cumplen funciones de control químico en los organismos multicelulares.

II. CARACTERÍSTICAS



Regulan procesos de correlación, es decir, recibido el estímulo en un órgano lo amplifican, traducen y generan una respuesta en otra parte de la planta. Interactúan entre ellas por distintos mecanismos: YY Sinergismo: la acción de una determinada sustancia se ve favorecida por la presencia de otra. YY Antagonismo: la presencia de una sustancia evita la acción de otra. YY Balance cuantitativo: la acción de una determinada sustancia depende de la concentración de otra.



Tienen además, dos características que las diferencian de las hormonas animales: YY Ejercen efectos pleiotrópicos, actuando en numerosos procesos fisiológicos. YY Su síntesis no se relaciona con una glándula, sino que están presentes en casi todas las células y existe una variación cualitativa y cuantitativa según los órganos.

BIOLOGÍA 2° SEC

167

Recuerda ZZ

Ácido abscísico (ABA) Es una hormona isoprenoide que se sintetiza en los plastidios.

ZZ

Auxinas Tienen como representante más abundante al ácido indolacético (IAA), y se sintetiza en las regiones meristemáticas del ápice de los tallos.





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HORMONAS VEGETALES

III.CLASES Y FUNCIONES

●● I nduce la germinación ●● Activa la división del cámbium

1. Auxinas ●● ●● ●● ●● ●● ●●

Advertencia pre

escubiertas por F. Went en la avena D Promueve la síntesis de etileno Favorece el crecimiento en elongación Permite el desarrollo del fruto Permite el fototropismo Permite el geotropismo

ZZ ZZ





4. Citocininas o citoquininas ●● ●● ●● ●● ●● ●●

2. Etileno ●● ●● ●● ●●

Citocininas: se sintetiza en mayor cantidad en las raíces de la planta. Etileno: también es llamado eteno. Actúa además como antibacterial.

ormona de la maduración vegetal H Es un gas producido por el fruto Favorece la caída de las hojas Favorece la maduración del fruto

●● ●●



S on hormonas de la juventud vegetal Estimula la división celular Promueven la elongación Promueven el desarrollo de las yemas laterales Retrasan la senescencia vegetal Ofrecen resistencia a plagas, virus y climas adversos Incrementa la formación del fruto Incrementa la formación de la semilla

5. Ácido abscísico (ABA) ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●

I nhibe la giberelina Es la hormona del estrés Favorece el envejecimiento de las hojas Favorece el envejecimiento del fruto Inhibe la germinación Inhibe la transpiración Se activa en épocas de sequía Se produce en los cloroplastos



3. Giberelinas

●● Descubiertas en Japón en 1926 en el arroz ●● Favorece el crecimiento en elongación de

los entrenudos ●● Induce la floración ●● Induce el brote de yemas

Retroalimentación 1. Es la hormona del estrés vegetal: ______________________________________

3. Hormona que favorece la germinación de la semilla _____________.

2. Es considerada la hormona de la juventud vegetal ______________.

4. Hormona que se activa en épocas de sequías: ______________________________________

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168

BIOLOGÍA 2° SEC

HORMONAS VEGETALES

Verificando el aprendizaje 1. Permite el desarrollo en los entrenudos: a) ABA d) conjuntivo b) auxinas e) etileno c) giberelinas

6. Las auxinas fueron descubiertas por: a) Mendel d) Hooke b) Went e) Aristóteles c) Pasteur

2. No es una hormona vegetal: a) etileno d) auxina b) saliva e) citocinina c) ABA

7. Favorece la maduración de los frutos: a) Hemoglobina d) Fruto b) ABA e) Etileno c) Giberelina

3. Son las hormonas de la juventud vegetal: a) etileno b) auxinas c) hoja d) citocininas e) hialino

8. Hormona que se produce básicamente en los cloroplastos: a) Auxinas d) Etileno b) Citocininas e) ABA c) Elasticidad 9. Hormona vegetal que promueve la síntesis de etileno: a) Auxina d) Osteocito b) Giberelina e) Etileno c) ABA

4. Inhibe el crecimiento de la planta: a) condrocito d) tallo b) etileno e) auxina c) ABA

10. Las hormonas vegetales son sustancias _______ químicas. a) mensajeras d) neutras b) secas e) sólidas c) abundantes

5. ¿Cómo son llamadas las hormonas vegetales? a) Fitohormonas d) Hojas b) Savia e) Frutos c) Floema

Trabajando en clase A. Auxinas. B. ________________________

Hormonas vegetales

C. ________________________ D. ________________________ E. ________________________

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2 Organografía vegetal I ¿Sabías que...? Las hojas del llantén (plantago major) remojadas en agua tibia con algo de sal son utilizadas como desinflamantes en caso de heridas inesperadas.

I. DEFINICIÓN

LL Funciones: Absorción de nutrientes,

fijación de la planta al suelo y reserva de alimentos.

Es la ciencia encargada de estudiar los órganos de las plantas.

II. DESCRIPCIÓN 1. Órganos vegetativos:

●● Raíz: absorción ●● Tallo: conducción ●● Hoja: transformación



2. Órganos reproductivos:

Flor – fruto (semillas) – nueva planta

LL Partes: ®® Zona

A. La raíz LL Etimología: viene de la voz griega rhizo que significa raíz. LL Origen: del hipocótilo del embrión (radícula). LL Propiedades: geotropismo positivo e hidrotropismo positivo pero fototropismo negativo.

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meristemática: permite el crecimiento ®® Zona desnuda: sin pelos o vellosidades para el crecimiento ®® Zona pilífera: con pelos o vellosidades que absorben la savia bruta LL Tipos: ®® Raíz fasciculada: Carecen de

una raíz principal, es decir, todas poseen un espesor similar. Ejemplos: maíz y palmeras.

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ORGANOGRAFÍA VEGETAL I LL Tipos: ver en el gráfico inferior:

LL Modificaciones: zarcillos foliares (fi-

lamentosas como en algunas enredaderas), espinas foliares (protectoras como en el cactus), brácteas (protectoras como en el girasol), catafilos (reserva como en la cebolla), antófilos (los pételos y sépalos en las flores).

Advertencia pre ZZ

ZZ

La raíz: es un órgano vegetal que jamás hace fotosíntesis ya que no posee clorofila. La hoja: es el principal órgano fotosintético de la planta.

Retroalimentación 1. Es el órgano reproductor de la planta superior: _____________________________________

3. Órgano vegetal que absorbe agua y sales minerales: _____________________________________

2. La papa es un tipo de tallo denominado: _____________________________________

4. Cumple la función de transporte en las plantas: _____________________________________

Trabajando en clase 1. Reproductivo

Órganos vegetales

A. ________________________

A. ________________________

2. Vegetativos

B. ________________________ C. ________________________

Lectura

La tuna (Opuntia ficus-indica) La tuna es una fruta que se cultiva desde tiempos remotos en nuestro país, encontrándose rastros de ella en textiles de las culturas Huari, Tiahuanaco y Chimú. Su uso en la industria cosmética, farmacéutica y alimentaria hace de la tuna una fruta con enormes propiedades y múltiples usos. Su nombre científico es Opuntia ficusindica, pero comúnmente se le conoce como tuna o nopal en algunos países. Sobre su origen se suscitaron algunas discrepancias, pues muchos suelen señalar a la tuna cono una fruta oriunda de México.

BIOLOGÍA 2° SEC

171

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ORGANOGRAFÍA VEGETAL I Sin embargo, Antonio Brack, estudioso y experto ecologista, señala en su libro Perú, diez mil años de domesticación; que la tuna fue cultivada y consumida por los antiguos habitantes del Perú hace más de 2000 años. Asimismo, se ha comprobado que culturas del Perú prehispánico hacían uso de la cochinilla (Dactylopius coccus), insecto que crece en esta planta, para el teñido de sus textiles, llegando a encontrarse la presencia de cochinilla en 47 muestras de 52 textiles examinados que pertenecían a las culturas Tiahuanaco, Chancay, Chimú, Huari e Inca. La tuna fue llevada por los españoles a Europa y desde allí distribuida a otros países del mundo. Esta gran dispersión geográfica originó muchos tipos con características locales propias. Completa con información del texto: 1. El nombre científico de la tuna es ________________________________. 2. El libro del ecologista Antonio Brack se llama ________________________________. 3. La __________________ es un insecto que crece sobre la planta de tuna. 4. Los ______________ llevaron la planta de tuna a Europa.

Verificando el aprendizaje 1. Es el principal órgano fotosintético de la planta: a) Semilla d) Fruto b) Raíz e) Tallo c) Hoja

6. Las yemas axilares dan origen a las/los: a) Limbo d) Entrenudos b) Ramas e) Peciolos c) Nudos

2. Es el órgano reproductor de la planta: a) Tallo d) Savia b) Flor e) Hoja c) Fruto

7. La raíz posee geotropismo: a) Positivo d) Negativo b) Neutro e) Grasa c) Raro

3. Órgano vegetal que absorbe savia bruta: a) Hoja d) Raíz b) Fruto e) Flor c) Semilla

8. Parte de la planta que también realiza fotosíntesis: a) Embrión d) Geotropismo b) Raíz e) Tallo c) Esponjoso

4. Ciencia que estudia los órganos de una planta: a) Citología d) Genética b) Histología e) Parasitología c) Organografía

9. Función del tallo por la cual se transporta la savia bruta y elaborada: a) Conducción d) Reproducción b) Respiración e) Síntesis c) Sostén

5. Parte de la hoja denominada tallo de la hoja: a) Peciolo d) Limbo b) Haz e) Vaina c) Envés

10. No es un tipo de raíz: a) Flor b) Fasciculada c) Napiforme

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d) Acuática e) Adventicia

BIOLOGÍA 2° SEC

3 Organografía vegetal II ¿Sabías que...? Si vas al bosque con ropa muy llamativa y colorida atraerás los insectos, ya que estos te confundirán con los colores llamativos de los pétalos que tienen algunas flores… Definición

LL Pétalos: que en su conjunto forman

la corola (segundo verticilo), de hojas coloreadas que atraen a los polinizadores que pueden ser insectos, aves, murciélagos o humanos. LL Androceo: que tiene función sexual (tercer verticilo), es el órgano masculino de la flor y está constituido por estambres; los cuales presentan: filamento, antera y polen. LL Gineceo: que tiene función sexual (cuarto verticilo), es el órgano femenino de la flor y está constituido por el pistilo que a su vez presenta: estigma, estilo y ovario; que produce óvulos.

Es la ciencia encargada de estudiar los órganos de las plantas.

A. La flor

YY Etimología: viene de la voz latina florem YY Origen: de la modificación de hojas destina-

das para la reproducción YY Propiedades: fototropismo positivo YY Funciones: asegurar la reproducción de las especies YY Partes: 1. Pedúnculo floral: es la continuación del tallo. 2. Receptáculo floral: es la dilatación del pedúnculo floral. 3. Verticilos florales: son hojas modificadas que forman: LL Sépalos: que en su conjunto forman el cáliz (primer verticilo), generalmente verdes.

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a

B. La semilla

173

Y Etimología: viene del latín semen que signifi-

ca semilla.

Y Origen: de la maduración de un óvulo tras la

fecundación. Y Propiedades: nutricionales. Y Funciones: dispersión de la especie. Y Partes: tenemos: 1. Testa: es la capa que rodea y protege a la semilla 2. Endospermo: es el tejido nutricio 3. Embrión: es la parte más importante y presenta a la radícula que dará origen a la raíz, la plúmula que dará origen al tallo, y el cotiledón u hoja embrionaria.

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ORGANOGRAFÍA VEGETAL II

Retroalimentación 1. Es el paso de la semilla de estado latente a estado activo: ______________________________________ 2. La parte comestible de un fruto se denomina: ______________________________________

3. Es el tejido nutricio de la semilla: ______________________________________ 4. Nombra dos ejemplos de frutos drupa. ______________________________________ ______________________________________

Trabajando en clase

Flor

1. Segundo verticilo floral

A. ________________________

2. Cuarto verticilo floral

Lectura

A. ________________________

Hierbabuena

(Mentha spicata) Conocida también como: alavina, menta dulce, yerba buena. En otros países se le conoce también como: batán, hierba buena, hierba buena común, hierba romana, hojas de Santa María, hortelana, mastranzo, mastranzo menor, menta, menta griega, menta hortense, menta romana, menta verde, salvia romana, sándalo, sándalo de jardín, yerbabuena común, yerba buena de los huertos, yerba buena española, yerba de huerto, yerba del tiñoso, yerba olorosa o yerba santa. Tiene propiedades antiespasmódicas, antisépticas, analgésicas, antinflamatorias, calmantes, digestivas, diuréticas, emenagógicas, espasmolíticas, estimulantes, expectorantes, hipotensoras, sudoríficas y vermífugas. La forma más común de usar la hierbabuena es haciendo infusión con sus hojas. De esta forma se ayuda a tratar los problemas de indigestión, gases intestinales y las inflamaciones del hígado, actúa sobre la vesícula biliar ya que activa la producción de la bilis, además alivia los mareos y dolores. Contiene mentol como principal componente activo, pudiendo actuar directamente sobre los nervios que transmiten la sensación dolorosa, amortiguando así tal sensación. También contiene mentona y limoneno. Estudios recientes han mostrado que la infusión de hierbabuena puede ser usada como un ligero tratamiento de hirsutismo en las mujeres. Sus propiedades antiandrogénicas reducen el nivel de testosterona en la sangre. En su uso tópico, el aceite de hierbabuena tiene acción relajante y actúa como antirritante y analgésico con capacidad de reducir el dolor y de mejorar el flujo de la sangre al área afectada. Al mezclar la infusión con aceite de oliva se obtiene un excelente ungüento que puede ser usado en compresas para curar las quemaduras y como calmante de calambres musculares. Resolver de acuerdo al texto: 1. El nombre científico de la hierbabuena es ________________________________. 2. La hierbabuena tiene las propiedades de ser ________________________________. 3. La __________________ de la hierbabuena se hace empleando sus hojas. 4. Al mezclar la infusión de la hierbabuena con aceite de oliva se obtiene _______________________.

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ORGANOGRAFÍA VEGETAL II

Verificando el aprendizaje 1. El cáliz y la corola en conjunto reciben el nombre de: a) Semilla d) Fruto b) Raíz e) Tallo c) Perianto 2. Órgano reproductor de la planta: a) Tallo d) Savia b) Flor e) Hoja c) Ruto 3. Es el ovario fecundo, maduro y desarrollado luego de la fecundación: a) Óvulo d) Fruto b) Raíz e) Flor c) Semilla 4. Ciencia que estudia los órganos de una planta: a) Citología d) Genética b) Histología e) Parasitología c) Organografía 5. Formado por la reunión de órganos femeninos: a) Gineceo d) Androceo b) Estambres e) Vaina c) Envés

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6. En el gineceo no hallamos: a) Oósfera d) Estigma b) Antera e) Ovocélula c) Estilo 7. Los filamentos sostienen a: a) Las anteras d) Los pétalos b) Los sépalos e) La corola c) Los pistilos 8. ¿Cuál de las siguientes estructuras no forma parte de una semilla? a) Endospermo d) Testa b) Embrión e) Estoma c) Cotiledón 9. Si sépalo es a cáliz, perianto es a: a) Flor d) Cáliz b) Raíz e) Corola c) Savia 10. Son frutos drupa: a) mango y aceituna b) toronja y mandarina c) tuna y plátano d) papaya y uva e) pera y membrillo

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4 Plantas medicinales Desde tiempos ancestrales la medicina tradicional peruana ha utilizado la sangre de grado o látex rojizo de este árbol para la cicatrización de heridas externas y de ulceras estomacales e intestinales…

I. DEFINICIÓN



Una planta medicinal es un recurso, cuya parte o extractos se emplean como drogas en el tratamiento de alguna afección. La parte de la planta empleada medicinalmente se conoce con el nombre de droga vegetal, y puede suministrarse bajo diferentes formas galénicas: cápsulas, comprimidos, crema, decocción, elixir, infusión, jarabe, tintura, ungüento, etc.

II. HISTORIA



El uso de remedios de origen vegetal se remonta a la época prehistórica, y es una de las formas más extendidas de medicina, presente en virtualmente todas las culturas conocidas. La industria farmacéutica actual se ha basado en los conocimientos tradicionales para la síntesis y elaboración de fármacos, y el proceso de verificación científica de estas tradiciones continúa hoy en día, descubriéndose constantemente nuevas aplicaciones.

III. IMPORTANCIA

YY Las plantas medicinales son muy importantes porque brindan al ser humano una

posibilidad de poder tener en ellas una curación a miles de enfermedades que podrían ser mortíferas si no se curan, ni se atienden a tiempo. YY Son importantes también por que actúan como analgésico en caso de dolores medianos, como antiasmático, como laxante suave o bactericida en infecciones (como es el llantén). YY Las plantas medicinales son muy importantes porque nos ofrecen una medicina sana y natural, que hace posible valorar la cultura natural de los diferentes países del mundo.

IV. CONSEJOS PARA RECOLECTAR PLANTAS MEDICINALES



Solo raramente la planta entera tiene valor medicinal; normalmente los compuestos útiles se concentran en alguna de sus partes: hojas, semillas, flores, cortezas y raíces se utilizan con relativa frecuencia. YY Las plantas no deben estar húmedas por la lluvia o el rocío. YY Se debe evitar golpes en las plantas recolectadas. YY Las plantas no deben guardarse mientras estén frescas. YY Deben estar limpias de tierra, insectos, suciedad y maleza. YY No recolectar al lado de carreteras, cerca de agua contaminada, o lugares tóxicos.

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PLANTAS MEDICINALES





Retroalimentación 1. Una planta medicinal se puede emplear como: ___________________________________ ___________________________________

3. Influye en el desarrollo de la planta y en la formación de sus principios activos: ___________________________________

2. El uso de remedios vegetales se remonta a la época: ___________________________________

4. Consejo para recolectar una planta medicinal ___________________________________ ___________________________________

Trabajando en clase Completa el siguiente esquema: 1. Conservación Planta Medicinal 2. Fitoterapia

Lectura:

El platano (Musa paradisica)

A la mayoría de los niños les encantan los plátanos, de hecho es una de las primeras frutas que se introducen en su dieta. Es muy importante no prescindir del plátano, pues es muy nutritivo, combina la energía de los hidratos de carbono con vitaminas, como la C y la B6, además de minerales esenciales. Su elevado contenido en potasio, fósforo y magnesio hacen que sea un alimento ideal para las personas con cierta actividad física, como niños y deportistas, estos minerales son muy importantes para la función muscular y previenen los calambres. Quizá todavía hay personas que piensan que el plátano engorda, lo que es un error, a pesar que es una fruta más calórica que otras, como por ejemplo las manzanas, sólo posee 80 kcal por cada 100 gramos. Entre otras cualidades, el plátano es pobre en sodio, los azúcares son de absorción lenta y combate el estreñimiento. Además, su contenido en fibra soluble ayuda a regular el nivel de colesterol. Puedes tomarlo en el desayuno, en el almuerzo o como postre, solo o introduciéndolo en la papilla, en el yogur, etc. Conviene que se encuentre en su estado óptimo de madurez, su piel debe estar amarilla y con pequeñas manchas oscuras. ¿Hay alguna excusa más para que nuestros hijos coman un plátano al día? Sí, que su sabor y su textura es exquisita, seguro que con el plátano es mucho más sencillo que los pequeños coman una pieza de fruta, pero recuerda que no debe ser la única. Tanto en el desayuno, en el almuerzo o como postre, tu hijo disfrutará de un plátano en su punto óptimo de madurez.

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PLANTAS MEDICINALES Responde las siguientes preguntas: 1. El nombre científico del platano es: ______________________________________________________________ 2. El plátano presenta vitaminas como: ______________________________________________________________ 3. El plátano es importante para la función muscular y previene los: ______________________________________________________________ 4. El contenido en fibra soluble del plátano ayuda a regular el nivel de: ______________________________________________________________

Verificando el aprendizaje 1. Parte medicinalmente útil del árbol peruano sangre de grado: a) Semilla b) Raíz c) Látex d) Fruto e) Hoja 2. Es la parte de la planta empleada medicinalmente: a) Tallo b) Droga vegetal c) Fruto d) Savia e) Hoja 3. El uso de remedios de origen vegetal se remonta a la época: a) Moderna b) Posmoderna c) Robótica d) Prehistórica e) Futura 4. Las plantas medicinales son utilizadas para la elaboración de: a) Agua d) Genética b) Histología e) Parasitología c) Fármacos 5. Las plantas medicinales son importantes porque nos permiten valorar nuestra: a) Cultura b) Ignorancia c) Pasividad d) Flojera e) Ociosidad

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6. Al recolectar plantas medicinales deben estar limpias de maleza, suciedad e _______________. a) limpieza b) insectos c) agua d) iluminación e) higiene 7. Se obtiene por destilación y es la parte más potente de la planta: a) Aceite esencial b) Lavados c) Gárgaras d) Los pétalos e) La corola 8. Influye en el desarrollo de la planta y en la formación de sus principios activos: a) La indiferencia b) El río c) Los cerros d) El mar e) El clima 9. Para conservar las plantas medicinales no se deben __________________________. a) maltratar b) ventilar c) cubrir d) cuidar e) refrescar 10. Al añadir al agua las propiedades de las plantas medicinales, se la empleara para un __________. a) baño b) ensalada c) alimento d) emplasto e) secado

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5 Sistema digestivo Debes saber qué: …La llamada «comida chatarra» puede resultarte sabrosa, pero el consumo exagerado suele ser nocivo para tu salud. Es mejor que prefieras comida sana, como las frutas, las verduras y la leche.

I. CONCEPTO



Es un conjunto de órganos que transforman los alimentos en nutrientes, llevándolos a su mínima expresión por una serie de procesos mecánicos y químicos.

II. FUNCIÓN

Su función principal es mantener el equilibrio interno del organismo, es decir, la homeostasis.

III.COMPONENTES



El tracto o tubo digestivo es un conducto muscular constituido por la boca, faringe, esófago, estómago, intestino delgado, intestino grueso y ano.

IV. L A BOCA



La boca se encuentra rodeada por los labios. Dentro de la boca se encuentran los dientes; cuya función es cortar (caninos), desgarrar (incisivos) y triturar (premolares y molares) los alimentos (digestión mecánica). En la boca encontramos también la lengua -con gran cantidad de papilas gustativas-, cuya función es la de mezclar los alimentos y facilitar su tránsito hacia el esófago. En la cavidad bucal desembocan las glándulas salivales, que secretan saliva, cuyas funciones son: • Lubricante, destruir bacterias ingeridas con los alimentos. • Comenzar la digestión química de los glúcidos o hidratos de carbono mediante una enzima -proteína que acelera un cambio químico- llamada amilasa o ptialina.

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SISTEMA DIGESTIVO

Trabajando en clase Completa el siguiente esquema:

1. Delgado Intestinos

2. Grueso

Lectura: El apéndice (órgano vestigial) El apéndice humano es una estructura vestigial, es decir, que ha perdido todas o la mayor parte de sus funciones a través del proceso de la evolución. El apéndice vermiforme es un vestigio del ciego en los ancestros de los humanos. El ciego, que poseen muchos herbívoros existentes, aloja bacterias mutualistas que ayudan a los animales a digerir la celulosa encontrada en las plantas. Como el apéndice humano no contiene un número suficiente de esas bacterias, los humanos ya no son capaces de digerir más que una mínima cantidad de celulosa diaria. Esta interpretación se mantiene incluso descubriéndose alguna función en el cuerpo humano, ya que los órganos vestigiales a veces adquieren una función secundaria una vez que pierden su función original. Un posible escenario para la progresión de un ciego totalmente funcional al apéndice humano fue propuesto por Charles Darwin. Sugirió que el apéndice era usado para digerir hojas por los primeros primates. Puede ser un órgano vestigial, un bagaje evolutivo o algo que los antiguos humanos han ido degradando con el curso de la evolución. El gran ciego de algunos herbívoros, como en el caballo o el koala, apoyan esta teoría. El ciego del koala permite alojar bacterias que ayudan a degradar específicamente la celulosa. El sistema digestivo de los ancestros de los humanos puede haber tenido el mismo funcionamiento. Conforme los humanos comenzaron a comer alimentos más fáciles de digerir, se volvieron menos dependientes de la celulosa en las plantas para digerir energía. Conforme el ciego se iba haciendo menos necesario para la digestión, las mutaciones que antes eran perjudiciales ya no eran importantes, por lo que podían sobrevivir. Estos alelos se hicieron más frecuentes y el ciego empezó a menguar. Después de miles de años, el ciego que una vez fue necesario, se degradó en el apéndice actual. Por otra parte, los teóricos de la evolución han sugerido que la selección natural selecciona largos apéndices porque los más pequeños y delgados son más susceptibles de inflamarse y enfermar.

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SISTEMA DIGESTIVO Responde las siguientes preguntas: 1. El apéndice puede ser considerado un órgano o estructura: ____________________________________________________________________________________ 2. Vestigio del ciego en los ancestros de los humanos: ____________________________________________________________________________________ 3. ¿Qué ayudan a degradar las bacterias en el ciego del koala? ____________________________________________________________________________________ 4. ¿Qué apéndices son más susceptibles de inflamarse? ____________________________________________________________________________________

Verificando el aprendizaje 1. El bolo alimenticio se forma en el(la): a) Páncreas b) Hígado c) Boca d) Intestino e) Estómago

6. En la vesícula biliar se almacena la: a) Boca b) Bilis c) Glotis d) Lengua e) Saliva

2. El quimo se forma en el(la): a) Hígado b) Estómago c) Intestino d) Saliva e) Boca

7. El jugo pancreático es secretado por el: a) Páncreas b) Molar c) Labio d) Hígado e) Esófago

3. El quilo se forma en el(la): a) Esófago b) Boca c) Diente d) Intestino delgado e) Intestino grueso

8. La mayor absorción de nutrientes acurre en el(la): a) Faringe b) Intestino grueso c) Ano d) Boca e) Intestino delgado

4. La absorción de agua y la formación de heces ocurre en el/la: a) boca b) canino c) intestino grueso d) bilis e) duodeno

9. La vitamina K se absorbe en el(la): a) Intestino grueso b) Respiración c) Saliva d) Intestino delgado e) Boca

5. El hígado secreta: a) Bilis b) Pancreático c) Heces d) Saliva e) Molar

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10. ¿Dónde se encuentra el apéndice vermiforme? a) Ciego b) Boca c) Recto d) Colon e) Duodeno

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6 Sistema respiratorio El humo Contiene más de 3000 sustancias diferentes, más el alquitrán que es un carcinógeno muy fuerte. Además puede desencadenar una crisis de asma en alguien que lo padezca.

I. CONCEPTO

Es un conjunto de órganos que se encargan de conducir el aire desde el exterior a los alvéolos pulmonares, donde se llevará a cabo el intercambio gaseoso o hematosis.

II. FUNCIÓN



YY El aparato pulmonar, donde se efectúan

los intercambios gaseosos entre el aire del ambiente y la sangre.

IV. L AS FOSAS NASALES



Efectuar la hematosis o intercambio de gases (O2 por CO2) entre el medio y el organismo.

III.ESTRUCTURA

El sistema respiratorio está formado principalmente por dos grandes secciones: YY Las vías respiratorias, es decir, el conjunto de estructuras formado por la cavidad nasal, la faringe, laringe, tráquea, bronquios y subdivisiones más pequeñas. Esta sección es la encargada de permitir la entrada de aire a las superficies respiratorias.

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El primer tramo que recorre el aire está formado por las fosas nasales, con dos pares de aberturas, unas anteriores y otras posteriores. Las primeras están situadas en la nariz, y se mantienen en contacto con el exterior (narinas). Las segundas, llamadas coanas, comunican con el interior. Las paredes de las fosas nasales están recubiertas por una mucosa, denominada pituitaria, que presenta tres protuberancias, conocidas como cornetes. Cuando el aire pasa por este sector, es entibiado por la gran superficie mucosa del tabique nasal y de los cornetes, siguiendo su calentamiento durante el paso por las vías respiratorias hasta llegar a los bronquios.

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SISTEMA RESPIRATORIO

Retroalimentación 1. Conjunto de órganos que efectúan la hematosis. _____________________________________________________ _____________________________________________________ 2. Es la función del sistema respiratorio: _____________________________________________________ _____________________________________________________ 3. Son componentes del sistema respiratorio: _____________________________________________________ _____________________________________________________ 4. Son funciones de las vibrisas: _____________________________________________________ _____________________________________________________

Trabajando en clase Completa el siguiente esquema:

Sistema Respiratorio

componentes

Lectura: El diafragma (principal músculo de la respiración) El diafragma es un tejido músculotendinoso que separa la cavidad torácica de la abdominal; el término proviene del latín diaphragma , y éste del griego διάφραγμα (diáfragma), siendo diá: «a través de» o «diferencia»; phrag : «separación», y - ma . Es característico de todos los mamíferos y aparece en algunas aves de manera rudimentaria. En el humano, tiene forma de dos cúpulas, una para cada cavidad pulmonar, llamadas hemidiafragmas que cierran por arriba (donde es convexo) la cavidad torácica y lo separa la cavidad abdominal (donde es cóncavo). Su parte media es aponeurótica o tendinosa, llamada centro tendinoso. Las porciones musculares tienen su origen en el centro y se irradian hasta sus inserciones en la abertura torácica inferior. Las enfermedades respiratorias no suelen afectar al diafragma, aunque se puede padecer parálisis debido a una neuropatía que afecte a los nervios frénicos.

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SISTEMA RESPIRATORIO Cuando el diafragma se contrae, los músculos pectorales menores y los músculos intercostales presionan las costillas hacia fuera. La cavidad torácica se expande y el aire entra en los pulmones a través de la tráquea para llenar el vacío resultante. Cuando el diafragma se relaja, adopta su posición normal, convexo hacia arriba; entonces los pulmones se contraen y el aire se expele. Además, al contraerse ejerce presión sobre el abdomen, y de esta manera ayuda al tránsito gastrointestinal. Las contracciones espasmódicas involuntarias del diafragma originan el hipo. Además es uno de los músculos más importantes para una correcta ejecución del canto y de los instrumentos de viento. Responde las siguientes preguntas: 1. Principal músculo de la respiración: ____________________________________________________________________________________ 2. El _______________________ aparece en algunas aves de manera rudimentaria. 3. Las enfermedades respiratorias no suelen afectar el ___________________________________________ 4. Las contracciones involuntarias del diafragma suelen ocasionar el: ____________________________________________________________________________________

Verificando el aprendizaje 1. El proceso de intercambio de gases en el alvéolo pulmonar se denomina: a) Circulación d) Intestino b) Pleura e) Estómago c) Hematosis 2. Es la membrana que envuelve a los pulmones y los protege de las fricciones: a) Tráquea d) Saliva b) Pleura e) Aire c) Laringe 3. El ingreso del aire al aparato respiratorio se denomina: a) Esófago d) Inspiración b) Boca e) Espiración c) Pleura 4. La salida de aire por el aparato respiratorio se llama: a) Inspiración d) Diafragma b) Canino e) Oxígeno c) Espiración 5. Es el principal músculo de la respiración: a) Diafragma d) Saliva b) Páncreas e) Pulmón c) Aire

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6. Son llamadas también células del polvo: a) Boca d) Neumocito b) Macrófago alveolar e) Saliva c) Glotis 7. Un ciclo respiratorio está formado por una inspiración más una: a) Espiración d) Lengua b) Molar e) Oxígeno c) Respiración 8. Órgano fonador del ser humano: a) Faringe d) Boca b) Intestino grueso e) Laringe c) Ano 9. En la respiración se intercambia CO2 por: a) O2 d) Fe b) H e) Ca c) Na 10. Un ciclo respiratorio está formado por una espiración más una: a) Inspiración b) Glotis c) Respiración d) Epiglotis e) Oxígeno

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7 Sistema circulatorio Quienes practican actividades físicas con frecuencia tienen un riesgo menor de padecer de enfermedades del corazón y problemas de tensión o colesterol, esto se debe a su poderosa influencia sobre el sistema circulatorio.

I. Concepto

Es un conjunto de órganos que conducen sustancias por todo el organismo (sistema de bombeo continuo en circuito cerrado).

Vena cava superior

Aurícula izquierda

II. Función

Es el encargado de realizar la distribución, no solo de la sangre; sino además de hormonas, desechos y otros líquidos circulantes por todo el organismo.

Aurícula derecha

Ventrículo izquierdo

III. Componentes

Aorta

A. El corazón



El corazón se puede comparar con un trabajador incansable, que día y noche bombea el líquido que nos mantiene vivos: la sangre. Se calcula que el corazón late a un promedio de 70 veces por minuto en estado de reposo. Tiene forma de pera, mide 12,5 centímetros de longitud y pesa aproximadamente 450 gramos. Este poderosísimo órgano se encuentra situado en el interior del tórax, entre ambos pulmones; en el espacio conocido como mediastino. Está formado por un músculo hueco llamado miocardio, el que a su vez se recubre en el lado interno y externo por el endocardio y el pericardio, respectivamente.

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Ventrículo derecho



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Posee cuatro cavidades: dos superiores, llamadas aurículas, y dos inferiores, los ventrículos. Estas cavidades están separadas por tres tipos de tabiques: el interauricular, que divide las aurículas; el interventricular, que divide los ventrículos, y el auriculoventricular, que separa las aurículas de los ventrículos. Ahora que ya sabemos cómo está formado nuestro corazón, te habrás preguntado cómo se comunican sus cavidades, si aparentemente hay tabiques que las separan. Pues bien, te lo vamos a explicar: la aurícula derecha comunica con el ventrículo derecho por un orificio llamado auriculoventricular derecho. En los bordes de este agujero se sitúa la válvula tricúspide.

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SISTEMA CIRCULATORIO





La aurícula izquierda hace lo mismo con el ventrículo izquierdo a través del orificio auriculoventricular izquierdo, en cuyos contornos se encuentra la válvula mitral o bicúspide. Estas válvulas son sumamente importantes, por cuanto dejan pasar la sangre desde las aurículas hacia los ventrículos, pero impiden el paso en sentido contrario. Otras dos válvulas (denominadas pulmonar y aórtica) evitan que la sangre que está en las arterias refluya hacia los ventrículos.

Arterias y glóbulos rojos



1. Las arterias Son tubos que parten del corazón y se ramifican como lo hace el tronco de un árbol. Tienen paredes gruesas y resistentes formadas por tres capas: una interna o endotelial, una media con fibras musculares y elásticas, y una externa de fibras conjuntivas. Llevan sangre rica en oxígeno, y; según la forma que adopten, o hueso y órgano junto al cual corran, recibe en diferentes denominaciones, tales como humeral, renal o coronaria, entre otras.



2. Las venas Una vez que la sangre ha descargado el oxígeno y recogido el anhídrido carbónico, este fluido emprende el viaje de regreso hacia el corazón y los pulmones a través de las venas. A diferencia de las arterias, sus paredes son menos elásticas, y cada cierta distancia poseen válvulas que impiden que la sangre descienda por su propio peso.



3. Los capilares Los vasos sanguíneos se hacen cada vez más finos a medida que se van ramificando en el cuerpo. Formados por una sola capa de células, la endotelial, esta red, por su extrema delgadez, facilita su función de intercambio gaseoso entre la sangre y los tejidos o entre la sangre y el aire que ha penetrado en los pulmones.



4. La sangre La cual está compuesta por plasma (parte líquida de la sangre) glóbulos rojos, eritrocitos o hematíes (llevan oxígeno) plaquetas o trombocitos (coagulan) y glóbulos blancos o leucocitos (defensa).

Sabías que… El corazón humano late más de 10 000 veces por día.







El sistema nodal La principal acción que ejecuta nuestro corazón es la contracción, por lo que existen en él unos centros nerviosos -de células altamente especializadas- capaces de provocar impulsos rítmicos que ocasionan el latido cardíaco. Este sistema está formado por cuatro estructuras, que son: el nódulo sinoauricular, el nódulo auriculoventricular, el fascículo auriculoventricular de His y las fibras de Purkinje. La conducción de los impulsos en el corazón, en estado normal, se inicia en el nódulo sinoauricular y se propaga a través del fascículo de His por las fibras de Purkinje, desde donde llega a los músculos papilares y las paredes ventriculares, donde tiene lugar el estímulo contráctil. La actividad del corazón consiste en la alternancia sucesiva de un movimiento de contracción, llamado sístole, y uno de relajación, denominado diástole, de las paredes musculares de aurículas y ventrículos.

B. Arterias, venas y capilares

El sistema de canalizaciones de nuestro cuerpo está constituido por los vasos sanguíneos, que según su diámetro se clasifican en arterias, venas y capilares. Por esta estructura de conductos grandes y pequeños, circula la totalidad de nuestra sangre una y otra vez.

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SISTEMA CIRCULATORIO

Retroalimentación 1. Conjunto de órganos que efectúa la circulación de nutrientes: _____________________. 2. Función del sistema circulatorio: __________________________________. 3. Componentes del sistema circulatorio: __________________________________. 4. Los tipos de circulación son: ________________________________________________.

Trabajando en clase Sistema circulatorio

Componentes:

a. __________________________ b. __________________________ c. __________________________ d. __________________________

La Circulación en anfibios En los primeros vertebrados pulmonados (anfibios y reptiles no cocodrilianos) el corazón está en posición torácica y aparece una circulación doble, ya que existe un circuito menor o pulmonar, que lleva la sangre venosa a los pulmones y trae de vuelta al corazón la sangre arterial desde ellos, y el circuito mayor o general, que lleva la sangre arterial al resto del cuerpo y retorna la sangre venosa al corazón. En estos animales el corazón tiene tres cavidades: dos aurículas (derecha e izquierda) y un único ventrículo bastante musculoso. La aurícula derecha recibe la sangre venosa procedente del resto del cuerpo, y la manda al ventrículo para que este la bombee a los pulmones a través de la arteria pulmonar. La aurícula izquierda recibe la sangre arterial procedente de los pulmones, la manda al ventrículo y este la bombea al resto del cuerpo a través de la aorta. Entre las dos arterias existe un pequeño tubo llamado conducto arterioso o conducto de Botal. Las aurículas se contraen de forma sucesiva, por lo que la mezcla de sangres en el ventrículo es escasa. En cualquier forma, la circulación doble será incompleta. Resolver de acuerdo al texto: 1. En los anfibios la circulación es __________________________________________________________. 2. El corazón de los anfibios tiene __________________________________________________________. 3. El número de ventrículos en el corazón de los anfibios es de ____________________________________ ___________________________________________________________________________________. 4. El número de aurículas en los anfibios es de ________________________________________________.

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SISTEMA CIRCULATORIO

Verificando el aprendizaje 1. Conjunto de órganos que efectúan la circulación de nutrientes y hormonas: a) Sistema excretor b) Pleura c) Sistema circulatorio d) Intestino e) Sistema respiratorio 2. Componente del sistema circulatorio: a) Tráquea b) Corazón c) Laringe d) Saliva e) Aire 3. Es un tipo de circulación: a) Lenta b) Rápida c) Pleura d) Mayor e) Espiración 4. Célula sanguínea que lleva oxígeno: a) Leucocito b) Plaqueta c) Glóbulo rojo d) Diafragma e) Oxígeno 5. El músculo del miocardio hace alusión al: a) Corazón b) Páncreas c) Aire d) Saliva e) Pulmón

6. Es un tipo de circulación en el ser humano: a) Neutra b) Menor c) Glotis d) Neumocito e) Saliva 7. El corazón se ubica en el: a) Mediastino b) Molar c) Eespiración d) Hipocondrio e) Epigastrio 8. La capa muscular del corazón se denomina: a) Endocardio b) Grueso c) Pericardio d) Epicarpio e) Miocardio 9. De acuerdo con el número de compartimentos, nuestro corazón se clasifica como: a) Tetracameral b) Dicameral c) Pentacameral d) Bicameral e) Unicameral 10. La capa externa de la pared del corazón se denomina: a) Epicardio b) Glotis c) Miocardio d) Epiglotis e) Endocardio

Advertencia pre Z Z

Aneurisma Ateroesclerosis

Z Z Z Z

Bradicardia Electrocardiograma Taquicardia Várices

: dilatación anormal de una arteria : enfermedad caracterizada por la formación de placas de tejido fibroso y lípidos (grasas) en el endotelio de las arterias. La placa va obstruyendo paulatinamente los vasos hasta producir insuficiencia : disminución por debajo de 60 latidos por minuto : examen que evidencia la actividad eléctrica del corazón : aumento por encima de los 100 latidos por minuto : dilatación anormal de las venas

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8 Repaso 1. Hormona vegetal de la juventud: a) Etileno b) Auxinas c) Hoja d) Citocininas e) Hialino 2. Ciencia que estudia los órganos de una planta: a) Citología d) Genética b) Histología e) Parasitología c) Organografía 3. La flor, después de la fecundación forma: a) El ovario d) El estilo b) La raíz e) El tallo c) El fruto 4. Parte de la planta empleada medicinalmente: a) Tallo d) Savia b) Droga vegetal e) Hoja c) Fruto 5. El hígado secreta: a) Bilis d) Saliva b) Pancreático e) Molar c) Heces 6. No es una hormona vegetal: a) Etileno d) Llanten b) ABA e) Giberelina c) Auxina 7. El músculo del miocardio hace alusión al: a) Corazón d) Saliva b) Páncreas e) Pulmón c) Aire 8. Retrasa la senescencia vegetal: a) Etileno b) Ácido abscísico c) Citoquininas d) Elasticidad e) Periostio 9. Tiene la función de fijar la planta en el suelo: a) Hoja d) Flor b) Giberelina e) Tallo c) Raíz

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10. Es un fruto tipo baya: a) Tomate d) Trigo b) Tallo e) Papa c) Semilla 11. Aplicación de un líquido en la cavidad bucal: a) Llimbo d) Gárgara b) Emplasto e) Semilla c) Secado 12. Los movimientos del intestino se denominan: a) Nulos d) Lentos b) Contracciones e) Rápidos c) Peristálticos 13. Principal músculo de la respiración: a) Diafragma b) Páncreas c) Aire d) Saliva e) Pulmón 14. Célula encargada de la coagulación sanguínea: a) Macrófago d) Eritrocito b) Plaqueta e) Pulmón c) Parótida 15. Activa la división del cámbium: a) Giberelinas d) Grasa b) Sarcosomas e) Citoquininas c) Auxinas 16. Son llamadas también «nervios» de las hojas: a) Papas d) Raices b) Nervaduras e) Tallos c) Frutos 17. Son frutos drupa: a) Mango y aceituna b) Toronja y mandarina c) Tuna y plátano d) Papaya y uva e) Pera y membrillo 18. No es empleado en ensaladas: a) Tomate b) Naranja c) Palta d) Manzana e) Lenteja

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