Análisis De Sistemas De Control En El Espacio De Estado

Análisis de sistemas de control en el espacio de estado

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS 1. Introducción1 Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a computadoras que realicen una gran parte de los tediosos cálculos que son necesarios. El enfoque en el espacio de estados para el análisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista. Mientras la teoría de control convencional se basa en la relación entrada-salida, o función de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial vectorial de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en el número de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis de sistemas complicados con múltiples entradas y salidas se realiza mediante procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden. Este capítulo y el siguiente abordan el análisis y el diseño de sistemas de control en el espacio de estados. En este capítulo se presenta el material básico de análisis en el espacio de estados, que incluye la representación de sistemas en el espacio de estados, la controlabilidad y la observabilidad. 2. Características de las variables de estado Las variables de estado de los sistemas no son únicas. Una persona podría elegir un conjunto y otra elegiría otro y ambos podrían ser correctos y completos. Sin embargo, en muchos casos existe un conjunto de variables de estado que es más conveniente que cualquier otro para algunos propósitos de análisis. [1]El análisis de las variables de estado tiene las siguientes características:i  Reduce la probabilidad de errores de análisis al hacer sistemático el proceso.[3], [1]  Describe todas las señales importantes del sistema, tanto internas como externas

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Obsérvese que en este libro se utiliza un asterisco como superíndice de una matriz, por ejemplo A* significa la transpuesta conjugada de la matriz A. La transpuesta conjugada es la conjugada de la transpuesta de una matriz. Para una matriz real (una matris cuyos elementos son los reales), la transpuesta conjugada A* es la misma que la transpuesta 𝐀𝐓

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Ofrece información sobre la dinámica del sistema y puede ayudar a mejorar el diseño del mismo. Es posible formularlo a través de métodos matriciales y, cuando eso se hace, el estado del sistema y las respuestas del mismo pueden describirse mediante dos ecuaciones matriciales. Se puede combinar las técnicas de análisis de variables de estado con las de transformación. [1]

3. Modelamiento de un sistema. Se plantea un sistema electrico en el que se tienen 3 variables de estado de la siguiente forma:

A. SISTEMA. Un sistema modelado en variables de estado tiene la forma de la ecuacion 1, cuya salida tiene la forma de ecuación 2

Donde A y B son matrices cuyos valores se obtienen del sistema, la matriz C escoge la variable que se desea a la salida del sistema. estas ecuaciones tienen su representación en bloques como muestra la fig. 1.

Figure 1. Diagrama de bloques de las ecuaciones de espacio de estados.

Para modelar el sistema de la fig.2, se usan las Leyes de Kirchoff las cuales nos van a dar una perspectiva de las posibles variables de estado del sistema.

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Figure 2. Sistema Electrico de tercer orden.

Las variables de estado se definen u organizan buscando la variable de estado de orden más bajo con respecto a sus derivadas como muestra la tabla 1.

Tabla I ID E N T I FI C AC I O N D E VA R I A B L E S

por lo tanto para el sistema de la fig.2. se tienen 3 variables de estado

B. PLANTEAMIENTO DE LAS VARIABLES DE ESTADO.

Tomamos la ecuación (4) como punto de partida, la ’ ∫ 𝑖2 𝑑𝑡’ es nuestra primera variable de estado, por lo que se plantea la ecuación (5) luego de esta misma ecuación se obtiene la segunda variable de estado derivando a (5) quedando la ecuación (6) la misma que al derivarse nos da la ecuación (7). Ahora sobre la ecuación (3) obtendremos la tercera variable de estado x3, la misma que se plantea con la ecuación (8) y a esta se la deriva obteniendo la ecuación (9)

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El siguiente paso es reemplazar estas variables obtenidas, en las ecuaciones (3) y (4) quedando las ecuaciones (10) y (11) respectivamente.

Las ecuaciones (6), (10) y (11) muestran un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de donde se tiene que despejar las derivadas de las variables de estado quedando de esta forma las ecuaciones (12) , (13) y (14).

En este punto se completa la ecuación matricial característica de un sistema de 3 estados como muestra la ecuación (15), donde u es la entrada o Vent,

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y cuya salida se especifica mediante la matriz C segun las variables de estado propuestas en las ecuaciones anteriores como muestra la tabla. 2.

Tabla II REPRESENTACION DE LAS VARIABLES DE ESTADO

C. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD La matriz A lleva la información acerca de las características como la estabilidad, sensibilidad, ubicación de polos y ceros etc. del sistema, por lo que se plantea la ecuación (17) donde λ es una variable análoga a ’s’ del plano Laplace.

resolviendo la ecuación (17) se obtiene lo siguiente:

con la ayuda de MATLAB se obtiene :

de donde se observa en el Command Window de MATLAB la ecuación obtenida y sus raíces :

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la ecuación (19) es la ecuación característica del sistema, de donde se tiene que despejar los polos dominantes del sistema para obtener los factores de frecuencia natural, frecuencia y factor de amortiguamiento.

al “factorizar la ecuación (19)”1 obtenemos la ecuación (20) de donde se determina la existencia de 3 polos al lado izquierdo del plano (LO QUE DEMUESTRA ESTA- BILIDAD), un polo netamente real y dos polos complejos conjugados los mismos que son los polos dominantes del sistema como muestra la fig.3.

Con estos datos obtenemos la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento del sistema, especificados en las ecuaciones 21 y 22.

4. Representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transferencia Existen muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transferencia. En el Capítulo 2 presentamos algunos métodos. Esta sección aborda las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, observable, diagonal o de Jordan. (Los métodos para obtener representaciones en el espacio de estados de funciones de transferencia se analizan en los Problemas A-9-1 a A-9-4.) Representación en el espacio de estados en formas canónicas. Considérese un sistema definido mediante:

(4.1)

donde u es la entrada e y es la salida. Esta ecuación también puede escribirse como:

(4.2)

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A continuación se presentan las representaciones en el espacio de estados del sistema definido mediante las Ecuaciones (9-1) o (9-2), en su forma canónica controlable, en su forma canónica observable y en su forma canónica diagonal (o de Jordan). Forma canónica controlable. La siguiente representación en el espacio de estados se denomina forma canónica controlable:

(4.3)

(4.4)

La forma canónica controlable es importante cuando se analiza el método de asignación de polos para el diseño de sistemas de control.

(4.5)

(4.6)

Obsérvese que la matriz de estado de n#n de la ecuación de estado obtenida mediante la Ecuación (9-5) es la transpuesta de la ecuación de estado definida por la Ecuación (9-3). Forma canónica diagonal. Considérese el sistema representado por la función de transferencia definida mediante la Ecuación (9-2). Se considera el caso en el que el polinomio del denominador sólo contiene raíces distintas. En este caso, la Ecuación (9-2) se puede escribir como: UNAP

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(4.7)

La fórmula canónica diagonal de la representación en el espacio de estados de este sistema viene dada por

(4.8)

(4.9)

Forma canónica de Jordan. A continuación se considera el caso en el que el polinomio del denominador de la Ecuación (9-2) contiene raíces múltiples. En este caso la forma canónica diagonal anterior debe modificarse a la forma canónica de Jordan. Suponga, por ejemplo, que todos los pi, excepto los tres primeros, son diferentes entre sí, o sea, p1%p2%p3. En este caso, la forma factorizada de Y(s)/U(s) se hace

El desarrollo en fracciones simples de esta última ecuación se convierte en

Una representación en el espacio de estados de este sistema en su forma canónica de Jordan se obtiene mediante

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(4.10)

(4.11)

EJEMPLO 1 Considere el sistema definido por

Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, en la forma canónica observable y en la forma canónica diagonal. Forma canónica controlable

Forma canónica observable

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5. Transformación de modelos de sistemas con MATLAB En esta sección se considera la transformación del modelo del sistema basado en su función de transferencia al espacio de estados, y viceversa. Se comenzará el análisis con la transformación de una función de transferencia al espacio de estados. Se escribe la función de transferencia en lazo cerrado como

Una vez que se tiene esta expresión, la orden de MATLAB [A, B, C, D] % tf2ss(num,den) producirá una representación en el espacio de estados. Es importante señalar que la representación en el espacio de estados para cualquier sistema no es única. Existen muchas (en realidad infinitas) representaciones en el espacio de estados para el mismo sistema. La orden tf2ss de MATLAB ofrece una de las posibles representaciones en el espacio de estados.

Formulación en el espacio de estados de sistemas basados en su función de transferencia. Considérese el sistema definido por la función de transferencia

Existen muchas representaciones posibles en el espacio de estados para este sistema. Una representación posible en el espacio de estados es

Otra representación posible en el espacio de estados (entre muchas alternativas) es

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MATLAB transforma la función de transferencia obtenida mediante la Ecuación (922) en la representación en el espacio de estados obtenida mediante las Ecuaciones (9-23) y (9-24). Para el sistema del ejemplo que se considera aquí, el Programa MATLAB 9-1 producirá las matrices A, B, C y D

Transformación del espacio de estados a una función de transferencia. Para obtener la función de transferencia a partir de las ecuaciones en el espacio de estados, se utiliza la orden siguiente [num,den] % ss2tf[A,B,C,D,iu] iu debe especificarse para los sistemas con más de una entrada. Por ejemplo, si el sistema tiene tres entradas (u1, u2, u3), entonces iu debe ser 1, 2 o 3, en donde 1 implica u1, 2 implica u2 y 3 implica u3. Si el sistema sólo tiene una entrada, entonces se puede utilizar [num,den] % ss2tf[A,B,C,D] [num,den] % ss2tf[A,B,C,D,1)

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REFERENCIAS

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M.J. Roberts, SEÑALES Y SISTEMAS, análisis mediante métodos de

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