Exámenes Resueltos 2018-2019.pdf

MA1004 ´ Algebra Lineal: Ex´ amenes Resueltos

´ s Sa ´ nchez Jesu ´ n 0.1 - Enero 2020 Versio

© 2020, Jes´ us S´ anchez © De esta edici´ on: 2020, Universidad de Costa Rica San Pedro de Montes de Oca, Costa Rica

ISBN: xx-0x-0xxxxx-x Dep´ osito legal: J. xx.xxxx - xxxxx

Impreso en Costa Rica

Queda rigurosamente prohibida, sin la autorizaci´ on escrita de los titulares del ((Copyright)), bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducci´ on parcial o total de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprograf´ıa y el tratamiento inform´ atico, y la distribuci´ on de ejemplares de ella mediante alquiler o pr´ estamo p´ ublicos.

´Indice general

Introducci´ on 1. Primer semestre del 2018 Muestra primer parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra primer parcial . . Primer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on primer parcial . . . . . . . Reposici´ on primer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on primer parcial . Muestra segundo parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra segundo parcial . Segundo parcial . . . . . . . . . . . . Soluci´ on segundo parcial . . . . . . Reposici´ on segundo parcial . . . . . Soluci´ on reposici´ on segundo parcial Muestra tercer parcial . . . . . . . . Soluci´ on muestra tercer parcial . . . Tercer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on tercer parcial . . . . . . . . Reposici´ on tercer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on tercer parcial . Ampliaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on ampliaci´ on . . . . . . . . . Suficiencia . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on suficiencia . . . . . . . . . .

VII

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1 3 3 5 7 11 13 15 15 17 19 23 25 27 27 29 31 35 37 39 41 45 47

2. Segundo semestre del 2018 51 Muestra primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Soluci´ on muestra primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 iii

Primer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on primer parcial . . . . . . . Reposici´ on primer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on primer parcial . Muestra segundo parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra segundo parcial . Segundo parcial . . . . . . . . . . . . Soluci´ on segundo parcial . . . . . . Reposici´ on segundo parcial . . . . . Soluci´ on reposici´ on segundo parcial Muestra tercer parcial . . . . . . . . Soluci´ on muestra tercer parcial . . . Tercer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on tercer parcial . . . . . . . . Reposici´ on tercer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on tercer parcial . Ampliaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on ampliaci´ on . . . . . . . . . Suficiencia . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on suficiencia . . . . . . . . . .

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57 59 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 91 93 95 97 99 101

3. Verano del 2019 Muestra primer parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra primer parcial . . Primer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on primer parcial . . . . . . . Reposici´ on primer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on primer parcial . Muestra segundo parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra segundo parcial . Segundo parcial . . . . . . . . . . . . Soluci´ on segundo parcial . . . . . . Reposici´ on segundo parcial . . . . . Soluci´ on reposici´ on segundo parcial Ampliaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on ampliaci´ on . . . . . . . . .

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103 105 109 111 113 117 119 121 123 123 125 129 131 133 135

4. Primer semestre del 2019 Muestra primer parcial . . . . . . Soluci´ on muestra primer parcial . Primer parcial . . . . . . . . . . . . Soluci´ on primer parcial . . . . . . Reposici´ on primer parcial . . . . . Soluci´ on reposici´ on primer parcial Muestra segundo parcial . . . . . . Soluci´ on muestra segundo parcial Segundo parcial . . . . . . . . . . .

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Soluci´ on segundo parcial . . . . . . Reposici´ on segundo parcial . . . . . Soluci´ on reposici´ on segundo parcial Muestra tercer parcial . . . . . . . . Soluci´ on muestra tercer parcial . . . Tercer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on tercer parcial . . . . . . . . Reposici´ on tercer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on tercer parcial . Ampliaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on ampliaci´ on . . . . . . . . . Suficiencia . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on suficiencia . . . . . . . . . .

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169 173 175 177 181 183 187 193 195 197 199 201 203

5. Segundo semestre del 2019 Muestra primer parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra primer parcial . . Primer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on primer parcial . . . . . . . Reposici´ on primer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on primer parcial . Muestra segundo parcial . . . . . . . Soluci´ on muestra segundo parcial . Segundo parcial . . . . . . . . . . . . Soluci´ on segundo parcial . . . . . . Reposici´ on segundo parcial . . . . . Soluci´ on reposici´ on segundo parcial Muestra tercer parcial . . . . . . . . Soluci´ on muestra tercer parcial . . . Tercer parcial . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on tercer parcial . . . . . . . . Reposici´ on tercer parcial . . . . . . Soluci´ on reposici´ on tercer parcial . Ampliaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on ampliaci´ on . . . . . . . . . Suficiencia . . . . . . . . . . . . . . . Soluci´ on suficiencia . . . . . . . . . .

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205 207 209 211 213 219 221 223 225 227 229 233 235 237 239 241 243 247 249 251 253 255 257

Bibliograf´ıa

259

Introducci´on

Esta es la versi´on 0.1 de este libro. Se pueden encontrar todos los enunciados de los ex´amenes aplicados durante los a˜nos 2018 y 2019. Se incluye solamente la soluci´on de los ex´amenes principales de cada ciclo. En las pr´oxima versi´on se incluir´an las soluciones de todos los ex´amenes. La nueva versi´on estar´a terminada a inicios de Marzo 2020.

vii

CAP´ITULO

1

Primer semestre del 2018

Aqu´ı va la introducci´ on del primer cap´ıtulo

1

2

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

1

Soluci´ on

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

3

4

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

5

5 de Mayo, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Primer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛1 o 1 (20pts). Si A = ⎜1 ⎝0

1 −1 1

0⎞ 1⎟, calcule la matriz (A3 − (A3 + I)t )(2I − A2 )t . 1⎠

⎧ 4x + (2a + 2)y + (b + 6)z = 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 2 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨2x + 2ay + 4z = 3 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + y + (b + 1)z =2 ⎩ (a) (10pts) Determine los valores de a y b para los cuales el sistema no tiene soluci´on. (b) (10pts) Resuelva el sistema usando el m´etodo de Gauss-Jordan cuando a = 1 y b = 2. ⎛k 0 −k ⎞ ⎛−k 0 k ⎞ o 3 (20pts). Si k ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜0 −k 0 ⎟ ⎜ 0 −k 0⎟. ⎝0 0 k ⎠⎝ k 0 0⎠ ⎧ x +z− w =2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x + y −z+ w =0 ⎪ o 4 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ . ⎪ −x + 2y − 2w = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + z − 2w = 8 ⎩−x Este sistema tiene una u ´nica soluci´ on. Usando la regla de Cramer encuentre solamente el valor de w. ⃗ = (1, −1, 1), v⃗ = (−1, −2, 1) y w ⃗ = (0, 0, 1) vectores de R3 . Calcule o 5 (10pts). Sean u ⃗ − 2⃗ ⃗ y el vector proyecci´on ortogonal de u ⃗ − 2⃗ ⃗ sobre el ´ angulo entre el vector u v+w v+w ⃗ v⃗ − 2⃗ u + w. o 6 (10pts). Sean R, A y D matrices invertibles. Muestre que la inversa de Rt A−1 D−1 At R−1 es igual a la transpuesta de R−1 At Dt A−1 Rt y que su determinante solamente depende de D. "Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

6

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

1

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Soluci´ on del Primer Examen Parcial, I Semestre 2018

o 1. Como A es sim´etrica (A2 )t = A2 y (A3 )t = A3 , por lo que: (A3 − (A3 + I)t )(2I − A2 )t = (A3 − A3 − I)(2I − A2 ) = −2I + A2 ⎛1 0 0⎞ ⎛1 1 0⎞ ⎛1 1 0⎞ ⎛0 0 1⎞ = −2 ⎜0 1 0⎟ + ⎜1 −1 1⎟ ⎜1 −1 1⎟ = ⎜0 1 0⎟. ⎝0 0 1⎠ ⎝0 1 1⎠ ⎝0 1 1⎠ ⎝1 0 0⎠ o 2.

(a) Se reduce el sistema poco a poco para ir obteniendo los casos. ⎛4 ⎜2 ⎝1

2a + 2 2a 1

1 f3 − f2 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎝ 0

1 1 b + 1RRRR2⎞ f2 − 2f1 ⎛1 b + 6RRRR6⎞ R R f1 ↔ f2 ⎛ 2a 4 RRRR3⎟ Ð→ ⎜0 4 RRRR3⎟ ⎜2 R RR ⎠ Ð→ ⎝ R 4 2a + 2 b + 6RRRR6⎠ f3 − 4f1 ⎝0 b + 1RR2 1 1 b + 1 RRRR 2 ⎞ 1 b + 1 RRRR 2 ⎞ R R −f3 ⎛ 2a − 2 2 − 2bRRRR−1⎟ ⎜0 2a − 2 2 − 2bRRRR−1⎟. R RRR ⎠ Ð→ ⎝ 0 0 b RRRR 1 ⎠ 0 −b RR−1

1 2a − 2 2a − 2

b + 1 RRRR 2 ⎞ R 2 − 2bRRRR−1⎟ R 2 − 3bRRRR−2⎠

⎛1 1 b + 1 RRRR 2 ⎞ n Si a = 1, el sistema se convierte en ⎜0 0 2 − 2bRRRRR−1⎟ ⎝0 0 b RRRR 1 ⎠ f2 + 2f3 ⎛1 1 1RRRR1⎞ 1 ⎛1 1 1RRRR 1 ⎞ f1 − f2 ⎛1 1 f Ð→ ⎜0 0 2RRRR1⎟ 2 2 ⎜0 0 1RRRR1/2⎟ Ð→ ⎜0 0 RRR Ð→ R ⎝0 0 b RRRR 1 ⎠ f3 − bf2 ⎝0 0 f1 − f3 ⎝0 0 b RR1⎠

0RRRR 1/2 ⎞ 1RRRR 1/2 ⎟. R 0RRRR(2 − b)/2⎠ El cual no tiene solui´ on cuando b ≠ 2, pues la tercera ecuaci´on ser´ıa inconsistente.

n Si a ≠ 1: ⎛1 ⎜0 ⎝0

1 2a − 2 0

1 b + 1 RRRR 2 ⎞ 1 R f ⎛ 2 − 2bRRRR−1⎟ 2a−2 2 ⎜0 Ð→ ⎝ R 0 b RRRR 1 ⎠

1 1 0

RRR b+1 2 ⎞ RR (2 − 2b)/(2a − 2)RRRR−1/(2a − 2)⎟ . RRR ⎠ b 1 RR

Y en este caso no hay soluci´ on si b = 0. En res´ umen, el sistema no tiene soluci´on cuando a = 1 y b ≠ 2, o cuando a ≠ 1 y b = 0. (b) Se sustituye b = 2 en el sistema reducido del caso a = 1: ⎛1 ⎜0 ⎝0

1 0 0

0RRRR 1/2 ⎞ 1 b = 2⎛ 1RRRR 1/2 ⎟ ⎜0 R Ð→ ⎝ 0RRRR(2 − b)/2⎠ 0

1 0 0

0RRRR1/2⎞ x+y = 1RRRR1/2⎟ ⇒ { RRR z= 0RR 0 ⎠

por lo tanto, el conjunto soluci´ on es S = {( 12 − h, h, 21 ) ∶ h ∈ R}.

1 2 1 2

,

8

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

o 3. Se tiene que ⎛k A = ⎜0 ⎝0

−k ⎞ ⎛−k 0 ⎟⎜ 0 k ⎠⎝ k

0 −k 0

0 −k 0

k⎞ ⎛1 0⎟ = k 2 ⎜0 ⎝0 0⎠

−1⎞ ⎛−1 0 ⎟⎜ 0 1 ⎠⎝ 1

0 −1 0

−2 0 1⎞ ⎛−2 0 1⎞ 1 ⎛ = k ⎜ 0 1 0⎟ ⇒ A−1 = 2 ⎜ 0 1 0⎟ k ⎝ 1 0 0⎠ ⎝ 1 0 0⎠

0 1⎞ −1 0⎟ 0 0⎠

−1

2

.

Se hace el c´ alculo de la inversa que aparece: ⎛−2 0 1RRRR1 ⎜ 0 1 0RRRR0 R ⎝ 1 0 0RRRR0

0 1 0

0⎞ 1 0 0RRRR0 f ↔ f3 ⎛ 0⎟ 1 ⎜ 0 1 0RRRR0 R Ð→ ⎝ 1⎠ −2 0 1RRRR1

0 1 0

1 1⎞ f + 2f 1 ⎛ 0⎟ 3 ⎜0 Ð→ ⎝ 0 0⎠

0 1 0

0RRRR0 0RRRR0 R 1RRRR1

0 1 0

1⎞ 0⎟ . 2⎠

Finalmente, A

−1

0 1 ⎛ = 2 ⎜0 k ⎝1

1⎞ ⎛ 0 0⎟ = ⎜ 0 2⎠ ⎝1/k 2

0 1 0

0 1/k 2 0

1/k 2 ⎞ 0 ⎟. 2/k 2 ⎠

o 4. Por aplicaci´ on directa de la regla de Cramer: RRR 1 RRR RRR 2 RRR−1 RRR RR−1 w = RR RRR 1 RRR RRR 2 RRR−1 RRR RR−1

0 1 2 0 0 1 2 0

1 2RRRR R −1 0RRRR 0 1RRRR R 1 8RRRR 48 = −16. = R 1 −1RRR −3 R −1 1 RRRR 0 −2RRRR R 1 −2RRRR

o 5. Se tiene que: ⃗ − 2⃗ ⃗ = (1, −1, 1) − 2(−1, −2, 1) + (0, 0, 1) = (3, 3, 0). u v+w ⃗ = (−1, −2, 1) − 2(1, −1, 1) + (0, 0, 1) = (−3, 0, 0). v⃗ − 2⃗ u+w El vector proyecci´ on ortogonal de (3, 3, 0) sobre (−3, 0, 0) es:

Proy(−3,0,0) (3, 3, 0) =

(3, 3, 0) ⋅ (−3, 0, 0) −9 (−3, 0, 0) = (−3, 0, 0) = (3, 0, 0). ∥(−3, 0, 0)∥2 9

Finalmente, se calcula el ´ angulo entre (3, 3, 0) y (3, 0, 0): √ (3, 3, 0) ⋅ (3, 0, 0) 2 π cos(θ) = = ⇒θ= . ∥(3, 3, 0)∥ ⋅ ∥(3, 0, 0)∥ 2 4

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

o 6. Para mostrar que se cumple la igualdad (Rt A−1 D−1 At R−1 )−1 = (R−1 At Dt A−1 Rt )t , se usan las propiedades de la transpuesta e inversa con respecto al producto: (Rt A−1 D−1 At R−1 )−1 = (R−1 )−1 (At )−1 (D−1 )−1 (A−1 )−1 (Rt )−1 = R(At )−1 DA(Rt )−1 = R(A−1 )t DA(R−1 )t = (Rt )t (A−1 )t (Dt )t (At )t (R−1 )t = (R−1 At Dt A−1 Rt )t , y el determinante de Rt A−1 D−1 At R−1 depende s´olo de la matriz D ya que: ∣Rt A−1 D−1 At R−1 ∣ = ∣Rt ∣∣A−1 ∣∣D−1 ∣∣At ∣R−1 ∣ = ∣R∣∣A−1 ∣∣D−1 ∣∣A∣∣R−1 ∣ 1 1 1 = ∣R∣ ∣A∣ ∣A∣ ∣D∣ ∣R∣ = ∣D∣−1 . ***

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

16 de Mayo, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Reposici´ on Primer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛1 o 7 (20pts). Dadas las matrices A = ⎜0 ⎝0 2 t 2 t (2I − AB ) (2I − A B) .

0 3 −6

0⎞ ⎛1 1 ⎟ y B = ⎜0 ⎝0 −2⎠

0 2 −6

0⎞ −1⎟, calcule la matriz 3⎠

⎧ 2x + (a + 2)y + 2z = 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 8 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨3x + (2a + 2)y + 2 − bz = 7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ay + z=3 ⎩ x+ (a) (10pts) Determine los valores de a y b para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. (b) (10pts) Resuelva el sistema usando el m´etodo de Gauss-Jordan cuando a = 3 y b = −2. ⎛k o 9 (20pts). Si k ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜1 ⎝0

0 k 1

−1

0⎞ 0⎟ k⎠

⎛1 ⎜0 ⎝0

0 6 0

0⎞ 0⎟. 5⎠

o 10 (20pts). Usando solamente las propiedades del determinante verifique que: RRRa + b RRR RRRR b + c RRRc + a

b+c c+a a+b

RRRa c + aRRRR R R R a + bRR = 2 RRRR b RRR RRR b + c RR RR c

b c RRRR c aRRRR R a b RRRR

⃗ = (2, 1), r⃗ = (3, −1) y s⃗ = (−1, −3). Verifique que o 11 (10pts). Considere los vectores u ⃗, son vectores paralelos. Adem´as, los vectores proyecciones ortogonales de r⃗ y s⃗ sobre u calcule el ´ angulo entre dichas proyecciones. o 12 (10pts). Sea A una matriz sim´etrica no invertible tal que A3 es la matriz nula. Verifique que la matriz (I + At + AAt ) es la inversa de la matriz (I − A). ***

"Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

9 de Junio, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 13 (20pts). Sea π el plano x + y + z = 0 de R3 . (a) (5pts) Encuentre las ecuaciones param´etricas de la recta perpendicular a π en el origen. (b) (15pts) Determine la ecuaci´ on normal del plano que contiene a la recta (x, y, z) = (t, t, t) y al punto P = (1, 1, 0). ⎛4 1 o 14 (20pts). Sea W el espacio de columnas de la matriz A = ⎜−1 0 ⎝6 1

3 −4 11

0⎞ −1⎟. 2⎠

(a) (10pts) Encuentre una base para W y determine su dimensi´on. ⎧ a 0 ⎪ ⎪ ⎪⎛ (b) (10pts) Muestre que el conjunto D = ⎨⎜0 b ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0 0 un subespacio de M (3; R).

⎫ 0⎞ ⎪ ⎛a⎞ ⎪ ⎪ 0⎟ ∈ M (3; R) tal que ⎜ b ⎟ ∈ W ⎬ es ⎪ ⎪ ⎝c⎠ ⎪ c⎠ ⎭

⎧ 1 a a ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 15 (20pts). Considere el conjunto B = ⎨⎜1⎟ , ⎜2a⎟ , ⎜2a⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝2⎠ ⎝3a⎠ ⎝4a⎠⎪ ⎭ (a) (5pts) Determine todos los valores de a para los que B es una base de R3 . (b) (15pts) Con a = 1 y a = 2 se obtienen las bases B1 y B2 de R3 , respectivamente. B1 2 Calcule las matrices de cambio de base [I]B B1 y [I]B2 . o 16 (20pts). Considere la base can´ onica C = {e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 , e⃗4 } de R4 . Determine el criterio T (x, y, z, w) de una transformaci´ on lineal T ∶ R4 → R2 , tal que Nuc(T ) = Cl {e⃗1 , e⃗2 } y 1 1 Img(T ) = Cl {( ) , ( )}. ¿Es T sobreyectiva? Justifique su respuesta. 1 −1 o 17 (20pts). Sea T ∶ R → R definida por 3

3

[T ]CB

(a) (5pts) Calcule T (v) si [v]B = (3, 1, 4).

⎛1 = ⎜1 ⎝2

−1 −1 1

⎧ 1 −1 1 ⎫ 1⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ −1⎟, donde B = ⎨⎜1⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−1⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1⎠ ⎩⎝2⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎭

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

(b) (15pts) Compruebe que T es invertible y calcule la matriz de T −1 en la base can´onica.

"La imaginaci´ on puede adoptar ficciones ingeniosas; as´ ı, un cierto modelo intelectual puede reemplazar lo que falta en la realidad de las cosas". –Sophie Germain

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Soluci´ on del Segundo Examen Parcial, I Semestre 2018

o 7.

(a) El vector normal de π a partir de los coeficientes de la ecuaci´on que lo define ⃗ = (1, 1, 1). Como pasa por el origen (0, 0, 0), las ecuaciones param´etricas de la es n recta son: ⎧ x=t ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ y = t , con t ∈ R. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩z = t

(b) Se toman dos puntos de la recta (x, y, z) = (t, t, t), Q1 = (0, 0, 0) y Q2 = (1, 1, 1), con t = 0 y t = 1, respectivamente. Un vector normal al plano es: RRR⃗i ÐÐ→ ÐÐ→ RRRR Q1 P × Q2 P = RR1 RRR RR0

⃗j 1 0

k⃗ RRRR R 1 0 RRRR = (∣ 0 RRR −1RR

0 1 ∣,−∣ −1 0

0 1 ∣,∣ −1 0

1 ∣) = (1, −1, 0). 0

Finalmente, si el plano tiene normal (1, −1, 0) y contiene al punto (0, 0, 0) entonces su ecuaci´ on normal es x − y = 0. o 8.

(a) Una base para el espacio de columnas de A se encuentra al calcular la forma escalonada reducida de At : ⎛4 1 ⎜ A =⎜ ⎜3 ⎝0 t

6⎞ ⎛1 1 ⎟ f1 ↔ f2 ⎜4 ⎟ ⎜ 11⎟ Ð→ ⎜3 ⎠ ⎝0 2

−1 0 −4 −1

1 f3 + 4f2 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎜ ⎜0 f4 + f2 ⎝ 0

0 1 0 0

0 −1 −4 −1

1 1⎞ f2 − 4f1 ⎛ 6⎟ ⎜0 ⎟ Ð→ ⎜ ⎜0 11⎟ f3 − 3f1 ⎝ 0 2⎠

0 −1 −4 −1

1⎞ ⎛1 2⎟ −f2 ⎜0 ⎟ ⎜ 8⎟ Ð→ ⎜0 ⎠ ⎝0 2

0 1 −4 −1

1⎞ −2⎟ ⎟ 8⎟ 2⎠

1⎞ ⎧ 1 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ −2⎟ ⎟ . As´ı, B = ⎨⎜0⎟ , ⎜ 1 ⎟⎬ es una base del espacio de columnas de 0⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝−2⎠⎪ ⎭ 0⎠

A y al tener 2 elementos, su dimensi´ on es 2. ⎛a1 0 0 ⎞ ⎛a2 0 (b) Sean B = ⎜ 0 b1 0 ⎟ y C = ⎜ 0 b2 ⎝ 0 0 c1 ⎠ ⎝0 0 que mostrar que B + αC est´ a en D para ⎛a1 + αa2 0 B + αC = ⎜ ⎝ 0

0⎞ 0 ⎟ dos elementos cualquiera de D, hay c2 ⎠ todo α ∈ R. Ahora, 0 b1 + αb2 0

la cual estar´ıa en D si y s´ olo si ⎛a1 + αa2 ⎞ ⎜ b1 + αb2 ⎟ , ⎝ c1 + αc2 ⎠

0 ⎞ 0 ⎟, c1 + αc2 ⎠

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est´ a en W . Pero esto u ´ltimo se cumple ya que al estar B y C en D se tiene que ⎛a1 ⎞ ⎛a1 ⎞ ⎜ b1 ⎟ , ⎜ b1 ⎟ ∈ W , y al ser W un espacio vectorial entonces ⎝ c1 ⎠ ⎝ c1 ⎠ ⎛a1 ⎞ ⎛a2 ⎞ ⎛a1 + αa2 ⎞ ⎜ b1 ⎟ + α ⎜ b2 ⎟ = ⎜ b1 + αb2 ⎟ ∈ W. ⎝ c1 ⎠ ⎝ c2 ⎠ ⎝ c1 + αc2 ⎠ Por lo tanto, D es un subespacio de M (3; R). o 9.

(a) B es base si sus vectores son linealmente independientes o equivalentemente, si RRR1 R 0 ≠ RRRRR1 RRR2 R

a RRRR 2aRRRR = a2 . R 4aRRRR

a 2a 3a

Por lo tanto B es base para todo a ≠ 0. (b) Luego de hacer las sustituciones se obtiene: ⎧ ⎧ 1 1 1 ⎫ 2 ⎫ 2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ B1 = ⎨⎜1⎟ , ⎜2⎟ , ⎜2⎟⎬ y B2 = ⎨⎜1⎟ , ⎜4⎟ , ⎜4⎟⎬ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝2⎠ ⎝3⎠ ⎝4⎠⎪ ⎭ ⎭ ⎩⎝2⎠ ⎝6⎠ ⎝8⎠⎪ 2 Se calcula [I]B B1 mediante el proceso usual:

⎛1 ⎜1 ⎝2

2 4 6

2RRRR1 R 4RRRR1 R 8RRRR2

1 2 3

f1 − 2f2 ⎛1 Ð→ ⎜0 f3 − 2f2 ⎝0 1 f2 − f3 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎝ 0

0 1 0 0 1 0

1⎞ f2 − f1 ⎛1 2⎟ Ð→ ⎜0 4⎠ f3 − 2f1 ⎝0 0RRRR1 R 1RRRR0 R 2RRRR0 0RRRR1 R 0RRRR0 R 1RRRR0

0 1/2 0 0 1/2 0

2 2 2

2RRRR1 R 2RRRR0 R 4RRRR0

0 ⎞ 1 ⎛1 f 1/2⎟ 2 3 ⎜0 Ð→ ⎝ ⎠ 0 1

1 1 1

1 ⎞ 1 ⎛1 f2 1 ⎟ 2 ⎜0 Ð→ ⎝0 2⎠ 0RRRR1 R 1RRRR0 R 1RRRR0

0 1 0

0 ⎞ ⎛1 B2 0 ⎟ ⇒ [I]B ⎜0 = 1 ⎝0 1/2⎠

0 1/2 0

0 1/2 0

2 1 2

2RRRR1 R 1RRRR0 R 4RRRR0

1 1/2 1

1 ⎞ 1/2⎟ 2 ⎠

0 ⎞ 1/2⎟ 1/2⎠

0 ⎞ 0 ⎟. 1/2⎠

Finalmente,

1 [I]B B2

=

2 −1 ([I]B B1 )

⎛1 = ⎜0 ⎝0

0 1/2 0

0 ⎞ 0 ⎟ 1/2⎠

−1

⎛1 = ⎜0 ⎝0

0 2 0

0⎞ 0⎟ . 2⎠

0 0 1 1 o 10. Se toma T tal que: T (e⃗1 ) = ( ) , T (e⃗2 ) = ( ) , T (e⃗3 ) = ( ) y T (e⃗4 ) = ( ) . 0 0 1 −1 Por lo tanto:

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

T (x, y, z, w) = T (xe⃗1 + y e⃗2 + z e⃗3 + we⃗4 ) = xT (e⃗1 ) + yT (e⃗2 ) + zT (e⃗3 ) + wT (e⃗4 ) 0 0 1 1 = x( ) + y( ) + z( ) + w( ) 0 0 1 −1 =(

z+w ). z−w

Dado que dim(Im(T )) = dim(R4 ) − dim(Nuc(T )) = 4 − 2 = 2, entonces Im(T ), como subespacio de R2 , tiene la misma dimensi´ on que R2 , por lo tanto R2 = Im(T ) y as´ı, T es sobreyectiva. o 11.

(a) −1 −1 1

⎛1 T (v) = [T ]CB [v]B = ⎜1 ⎝2

(b) T es invertible ya que

det([T ]CB )

RRR1 R = RRRRR1 RRR2 R

−1 −1 1

1 ⎞ ⎛3⎞ ⎛ 6 ⎞ −1⎟ ⎜1⎟ = ⎜−2⎟ . −1⎠ ⎝4⎠ ⎝ 3 ⎠

1 RRRR −1RRRR = 6 ≠ 0. R −1RRRR

C −1 Como [T −1 ]B entonces, C = ([T ]B )

⎛1 ⎜1 [T −1 ]CC = [I]CB [T −1 ]B = C ⎝2

−1 −1 1

1 ⎞ ⎛1 −1⎟ ⎜1 −1⎠ ⎝2

Note que T es la identidad. ***

−1 −1 1

1⎞ −1⎟ −1⎠

−1

⎛1 = ⎜0 ⎝0

0 1 0

0⎞ 0⎟ . 1⎠

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

9 de Junio, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Reposici´ on Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 18 (20pts). Sea π el plano x + y + z = 0 de R3 . (a) (5pts) Encuentre la ecuaci´ on param´etrica de la recta perpendicular a π en el origen. (b) (15pts) Determine la ecuaci´ on normal del plano que contiene a la recta (x, y, z) = (t, t, t) y al punto P = (1, 1, 0). o 19 (20pts). Determine la ecuaci´ on normal del plano en R3 que contiene a los puntos A = (3, 1, 1), B = (1, 2, 1) y C = (1, 1, 1). o 20 (20pts). Determine la ecuaci´ on normal del plano que pasa por el punto (1, 1, 1) y contiene a las rectas (x, y, z) = (2t + 1, 1, 1) y (x, y, z) = (1, t + 1, 1). ⎛4 1 o 21 (20pts). Sea W el espacio de columnas de la matriz A = ⎜−1 0 ⎝6 1

3 −4 11

0⎞ −1⎟. 2⎠

(a) (10pts) Encuentre una base para W y determine su dimensi´on. ⎧ a 0 ⎪ ⎪ ⎪⎛ (b) (10pts) Muestre que el conjunto D = ⎨⎜0 b ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0 0 un subespacio de M (3; R).

⎫ 0⎞ ⎪ ⎛a⎞ ⎪ ⎪ 0⎟ ∈ M (3; R) tal que ⎜ b ⎟ ∈ W ⎬ es ⎪ ⎪ ⎝c⎠ ⎪ c⎠ ⎭

o 22 (20pts). Sea W = {(−x, x − 2y, 0) ∶ x, y ∈ R}. (a) (10 pts) Verifique que W es un subespacio de R3 . (b) (10 pts) Encuentre una base para W . o 23 (20pts). Sea W = {(−2x, x + y, x) ∶ x, y ∈ R}. (a) (10 pts) Verifique que W es un subespacio de R3 . (b) (10 pts) Encuentre una base para W . ⎧ 1 a a ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 24 (20pts). Considere el conjunto B = ⎨⎜1⎟ , ⎜2a⎟ , ⎜2a⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝2⎠ ⎝3a⎠ ⎝4a⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (a) (5pts) Determine todos los valores de a para los que B es una base de R3 .

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(b) (15pts) Con a = 1 y a = 2 se obtienen las bases B1 y B2 de R3 , respectivamente. B1 2 Calcule las matrices de cambio de base [I]B B1 y [I]B2 . ⎧ ⎧ 1 −1 −1 ⎫ −1 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 25 (20pts). Considere los conjuntos E = ⎨⎜1⎟ , ⎜−2⎟ , ⎜−2⎟⎬ y F = ⎨⎜−2⎟ , ⎜1⎟ , ⎜−2⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝2⎠ ⎝−3⎠ ⎝−4⎠⎪ ⎭ ⎩⎝−4⎠ ⎝2⎠ ⎝−3⎠⎪ ⎭ (a) (5pts) Muestre que E y F son bases de R3 . (b) (15pts) Determine las matrices de cambio de base [I]CE y [I]E F. o 26 (20pts). Considere la base can´ onica C = {e1 , e2 , e3 , e4 } de R4 . Determine el criterio T (x, y, z, w) de una transformaci´ on lineal T ∶ R4 → R2 , tal que Nuc(T ) = Cl {e1 , e2 } y 1 1 Img(T ) = Cl {( ) , ( )}. ¿Es T sobreyectiva? Justifique su respuesta. 1 −1 o 27 (20pts). Sea T ∶ R3 → R3 una transformaci´ on lineal tal que T (−1, −2, −4) = (1, 1), T (1, 1, 2) = (2, 2) y T (−1, −2, −3) = (−3, −3). (a) (10pts) Determine el criterio T (x, y, z) de esta transformaci´on. (b) (10pts) Calcule la dimensi´ on de la imagen de T . ¿Es T inyectiva? Justifique su respuesta. o 28 (20pts). Sea T ∶ R → R definida por 3

3

[T ]CB

⎛1 = ⎜1 ⎝2

−1 −1 1

⎧ 1⎞ 1 −1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ −1⎟, donde B = ⎨⎜1⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−1⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1⎠ ⎩⎝2⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎭

(a) (5pts) Calcule T (v) si [v]B = (3, 1, 4). (b) (15pts) Compruebe que T es invertible y calcule la matriz de T −1 en la base can´onica. ⎛ 1 0 2⎞ o 29 (20pts). Sea T ∶ R3 → R3 definida por [T ]B = ⎜−1 3 2⎟. ⎝ 0 1 1⎠ (a) (10pts) Verifique que T es invertible y calcule [T −1 ]B . ⎧ 1 0 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ (b) (10pts) Si B = ⎨⎜0⎟ , ⎜1⎟ , ⎜1⎟⎬, calcule la matriz de T −1 en la base can´onica. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠⎪ ⎭ ***

"La imaginaci´ on puede adoptar ficciones ingeniosas; as´ ı, un cierto modelo intelectual puede reemplazar lo que falta en la realidad de las cosas". –Sophie Germain

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11 de Julio, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Tercer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛1 ⎜0 o 30 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ ⎜0 ⎝0

2 1 0 0

3 5 14 −7

4⎞ 6⎟ ⎟. 14 ⎟ −7⎠

(a) (10pts) Verifique que v⃗ = (1, −1, −1, 1) es un vector propio de A. Explique. (b) (10pts) Calcule el polinomio caracter´ıstico de A y factor´ıcelo completamente. ⎛−13 −21 a − 2 ⎞ 22 −a + 2⎟ tiene polinomio caracter´ıstico (1 − o 31 (20pts). La matriz B = ⎜ 14 ⎝ 0 0 8 ⎠ λ)(8 − λ)2 . Determine todos los valores de a para los cuales B es diagonalizable. 2 −2⎞ ⎛0 3 −4⎟. o 32 (20pts). Considere la matriz M = ⎜ 2 ⎝−2 −4 3 ⎠ (a) (5pts) Sin hacer c´ alculos explique el porqu´e esta matriz es diagonalizable. (b) (15pts) Encuentre una matriz ortogonal P tal que P t M P sea diagonal. o 33 (20pts). Sea T ∶ R3 → R3 una transformaci´on lineal tal que: T (x, y, z) = (3x − 2z, 2x + y − 2z, −x + 2z). (a) (10pts) Verifique que λ = 1 y λ = 4 son los u ´nicos valores propios de T . (b) (10pts) Encuentre una base B de R3 donde la matriz [T ]B sea diagonal. o 34 (20pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on 2x2 − xy + 2y 2 = 2. (a) (15pts) Encuentre una matrix ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el x′ x cambio de variable ( ′ ) = C t ( ) elimine los terminos mixtos de la ecuaci´on de la y y curva. (b) (5pts) Identifique la curva y calcule el ´angulo de rotaci´on. (c) (Opcional, 5pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´on. "Siempre me han gustado los n´ umeros naturales. Lo que se demuestra para los n´ umeros naturales ser´ a un hecho en cualquier universo". –Julia Robinson

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Soluci´ on del Tercer Examen Parcial, I Semestre 2018 o 12.

(a) Por definici´ on, un vector no nulo v⃗ es un vector propio de A si existe λ ∈ R tal que A⃗ v = λ⃗ v . En efecto: ⎛1 ⎜0 A⃗ v=⎜ ⎜0 ⎝0

2 1 0 0

3 5 14 −7

4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛0⎞ 6 ⎟ ⎜−1⎟ ⎜0⎟ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0 ⋅ v⃗. En este caso λ = 0. 14 ⎟ ⎜−1⎟ ⎜0⎟ −7⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝0⎠

(b) Se calcula el polinomio caracter´ıstico de A: RRR1 − λ 2 3 4 RRRR RRR R R 0 1−λ 5 6 RRRR p(λ) = det(A − λI) = RRRR = λ(λ − 7)(λ − 1)2 . 0 14 − λ 14 RRRR RRR 0 R RRR 0 0 −7 −7 − λRRRR R o 13. B es diagonalizable cuando para todo valor propio la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geom´etrica. Como el polinomio caracter´ıstico de B es (1 − λ)(8 − λ)2 , sus valores propios son λ = 1 y λ = 8. Se analiza cada valor propio: n λ = 1: Tiene multiplicidad algebraica 1 por lo que su multiplicidad geom´etrica tambi´en es 1. n λ = 8: Tiene multiplicidad algebraica 2. Se calcula su multiplicidad geom´etrica: ⎛−21 −21 14 A − λI = A − 8I = ⎜ 14 ⎝ 0 0 1 −1 f ⎛ 7 1 ⎜14 Ð→ ⎝ 0

1 14 0

a−2 ⎞ −7 f + f2 ⎛ −a + 2⎟ 1 ⎜ 14 Ð→ ⎝ 0 ⎠ 0

0 ⎞ 1 1 f − 14f1 ⎛ −a + 2⎟ 2 ⎜0 0 Ð→ ⎝ 0 ⎠ 0 0

−7 14 0

0 ⎞ −a + 2⎟ 0 ⎠

0 ⎞ −a + 2⎟ . 0 ⎠

De la segunda l´ınea en la matriz resultante se deduce que B es diagonalizable si la matriz tiene dos filas nulas, es decir a = 2. As´ı, en este caso λ = 8 tiene multiplicidad geom´etrica 2. Si a ≠ 2, la matriz reducida tendr´ıa una sola fila nula, por lo que λ = 8 tendr´ıa multiplicidad geom´etrica 1. En res´ umen, B es diagonalizable solamente para el valor a = 2. o 14.

(a) Es diagonalizable porque es una matriz sim´etrica y todas las matrices sim´etricas son diagonalizables.

(b) Se calcula el polinomio caracter´ıstico de M : RRR−λ 2 −2 RRRR R det(A − λI) = RRRRR 2 3 − λ −4 RRRRR = −(λ − 8)(λ + 1)2 . RRR −2 −4 3 − λRRRR R

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1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Por lo que los valores propios de M son λ = −1 y λ = 8. Se analiza cada valor propio para encontrar la matriz ortogonal P . ⃗ = 0: ⃗ n λ = −1: Se resuelve el sistema (A − (−1)I)X ⎛1 ⎜2 ⎝−2

2 4 −4

−2RRRR0⎞ f2 − 2f1 ⎛1 2 −4RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 0 R 4 RRRR0⎠ f3 + 2f1 ⎝0 0

−2RRRR0⎞ 0 RRRR0⎟ R 0 RRRR0⎠

⎛x⎞ ⎛−2s + 2t⎞ ⎛−2⎞ ⎛2⎞ ⇒ ⎜y ⎟ = ⎜ s ⎟ = s ⎜ 1 ⎟ + t ⎜0⎟ , con t, s ∈ R. ⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝z ⎠ ⎝ t ⎧ −2 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ Se aplica Gram-Schmidt al conjunto ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜0⎟⎬: ⎪ ⎪⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ −2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Tome v⃗1 = ⎜ 1 ⎟ y v⃗2 = ⎜0⎟. ⎝1⎠ ⎝0⎠ √ √ (−2, 1, 0) √ = (−2/ 5, 1/ 5, 0) ⇒ u⃗1 = ∥vv⃗⃗11 ∥ = 5 √ √ √ v⃗2 − (v⃗2 ⋅ u⃗1 )u⃗1 (2, 0, 1) − (−4/ 5)(−2/ 5, 1/ 5, 0) ⇒ u⃗2 = = ∥v⃗2 − (v⃗2 ⋅ u⃗1 )u⃗1 ∥ ∥v⃗2 − (v⃗2 ⋅ u⃗1 )u⃗1 ∥ (2, 0, 1) + (−8/5, 4/5, 0) (2/5, 4/5, 1) (2/5, 4/5, 1) √ = = = ∥v⃗2 − (v⃗2 ⋅ u⃗1 )u⃗1 ∥ ∥(2/5, 4/5, 1)∥ 3/ 5 √ √ √ = (2 5/15, 4 5/15, 5/3). ⃗ = ⃗0: n λ = 8: Se resuelve el sistema (A − 8I)X ⎛−8 ⎜2 ⎝−2

2 −5 −4

2 f1 ←→ f2 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎝ 0

−2⎞ f1 + 4f2 ⎛0 −4⎟ Ð→ ⎜2 −5⎠ f3 + f2 ⎝0 −5 1 1

−18 −5 −9

−4⎞ 2 f − f2 ⎛ 1⎟ 3 ⎜0 Ð→ ⎝ 1⎠ 0

f 0 −18⎞ −1 18 1 ⎛ −4 ⎟ Ð→ ⎜2 −9 ⎠ −1 f ⎝0 9 3 −5 1 0

1 −5 1

−4⎞ 2 f + 5f2 ⎛ 1⎟ 1 ⎜0 Ð→ ⎝ 0⎠ 0

1⎞ −4⎟ 1⎠ 0 1 0

1⎞ 1⎟ 0⎠

⎛x⎞ ⎛−t/2⎞ ⎛−1/2⎞ ⇒ ⎜y ⎟ = ⎜ −t ⎟ = t ⎜ −1 ⎟ , con t ∈ R. ⎝z ⎠ ⎝ t ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎧ −1/2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎪ ⃗= Se aplica Gram-Schmidt al conjunto ⎨⎜ −1 ⎟⎬. Tome v⃗ = (−1/2, −1, 1), ⇒ u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1 ⎩ ⎭ 1 v⃗ = (−1/2, −1, 1) = (−1/3, −2/3, 2/3). ∥⃗ v ∥ 3/2

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Finalmente, la matriz ortogonal P tiene como columnas a los vectores obtenidos de sus valores propios. √ √ ⎛−2/√ 5 2√5/15 −1/3⎞ P = ⎜ 1/ 5 4√5/15 −2/3⎟ . ⎝ 0 5/3 2/3 ⎠ o 15.

⎛3 0 (a) La matriz de T en la base can´ onica es [T ]C = ⎜ 2 1 ⎝−1 0 polinomio caracter´ıstico: ⎛3 − λ det([T ]C − λI) = ⎜ 2 ⎝ −1

−2⎞ −2⎟. Se calcula su 2⎠

0 −2 ⎞ 1 − λ −2 ⎟ = −(λ − 4)(λ − 1)2 . 0 2 − λ⎠

Por lo que sus u ´nicos valores propios son λ = 4 y λ = 1. (b) Para encontrar la base B se analiza cada valor propio. ⃗ = 0: ⃗ n λ = 1: Se resuelve el sistema (A − I)X ⎛2 0 ⎜2 0 ⎝−1 0

−2RRRR0⎞ 21 f2 ⎛ 1 0 −2RRRR0⎟ Ð→ ⎜ 1 0 R 1 RRRR0⎠ 12 f2 ⎝−1 0

−1RRRR0⎞ f2 − f1 ⎛1 0 −1RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 0 R 1 RRRR0⎠ f3 + f2 ⎝0 0

−1RRRR0⎞ 0 RRRR0⎟ R 0 RRRR0⎠

⎛x⎞ ⎛ t ⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⇒ ⎜y ⎟ = ⎜s⎟ = t ⎜0⎟ + s ⎜1⎟ , con t, s ∈ R. ⎝z ⎠ ⎝ t ⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⃗ = ⃗0: n λ = 4: Se resuelve el sistema (A − 4I)X ⎛−1 ⎜2 ⎝−1

0 −3 0

1 f2 − 2f1 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎝ 0

−2RRRR0⎞ 0 2 RRRR0⎞ 2 RRRR0⎞ ⎛1 ⎛1 0 −f f + f R R 1 3 1 −2RRR0⎟ ⎜ 2 −3 −2RRR0⎟ ⎜2 −3 −2RRRR0⎟ RRR Ð→ RRR R Ð→ ⎝−1 0 −2RR0⎠ ⎝0 0 −2RR0⎠ 0 RRRR0⎠ 0 2 RRRR0⎞ −1 ⎛1 0 2RRRR0⎞ ⎛x⎞ ⎛−2⎞ f −3 −6RRRR0⎟ 3 2 ⎜0 1 2RRRR0⎟ ⇒ ⎜y ⎟ = t ⎜−2⎟ , t ∈ R. R R Ð→ ⎝ ⎝1⎠ 0 0 0RRRR0⎠ ⎝ z ⎠ 0 0 RRRR0⎠

⎧ 1 0 −2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ Por lo tanto la base es B = ⎨⎜0⎟ , ⎜1⎟ , ⎜−2⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ o 16. (a) La matriz sim´etrica asociada a la ecuaci´on de la curva es: A=(

2 −1/2

Su polinomio caracter´ıstico est´ a dado por:

−1/2 ). 2

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

2−λ det(A − λI) = ∣ −1/2

3 5 −1/2 ∣ = (λ − )(λ − ), 2−λ 2 2

por lo que los valores propios de A son λ = 3/2 y λ = 5/2. Se analiza cada valor propio para encontrar la matriz C: 1/2 n λ = 32 : A − 32 I = ( −1/2

2f1 −1/2 1 ) Ð→ ( 1/2 1 −2f2

−1 f2 − f1 1 ) ( −1 Ð→ 0

−1 ) 0

x 1 1 ⇒ ( ) = t ( ) , con t ∈ R. Se aplica Gram-Schmidt al conjunto {( )} y se y 1 1 √ 1/ 2 obtiene el vector ( √ ). 1/ 2 −1/2 n λ = 52 : A − 52 I = ( −1/2

−2f1 −1/2 1 ) Ð→ ( −1/2 1 −2f2

1 f2 − f1 1 ) ( 1 Ð→ 0

1 ) 0

x −1 −1 ⇒ ( ) = t ( ) , con t ∈ R. Se aplica Gram-Schmidt al conjunto {( )} y se y 1 1 √ −1/ 2 obtiene el vector ( √ ). 1/ 2 √ √ 1/ 2 −1/√ 2 Por lo tanto, la matriz ortogonal buscada es C = ( √ ). La cual cumple 1/ 2 1/ 2 1 1 −1 1 1 1 con det(C) = 1. En efecto det(C) = √ ⋅ √ − √ ⋅ √ = + = 1. 2 2 2 2 2 2 (b) Luego del cambio de variable se obtiene la ecuaci´on 23 x2 + 52 y 2 = 2, que se reescribe como

x2 ( √2 )2 3

+

y2 ( √2 )2

= 1, por lo que la curva es una elipse. El ´angulo de rotaci´on θ,

5

es el ´ angulo onico e⃗1 = (1, 0) y el primer vector columna de C, √ entre √ el vector can´ ⃗1 = (1/ 2, 1/ 2). As´ı, u cos(θ) =

√ e⃗1 ⋅ u⃗1 1 π 1 1/ 2 = e⃗1 ⋅ u⃗1 = ( ) ⋅ ( √ ) = √ ⇒ θ = . 0 1/ 2 ∥e⃗1 ∥∥u⃗1 ∥ 4 2

(c) La gr´ afica de la curva cuadr´ atica es la siguiente:

***

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

13 de Julio, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Reposici´ on Tercer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛1 ⎜0 o 35 (20pts). Considere la matriz M = ⎜ ⎜0 ⎝0

5 3 0 0

6 7 ⎞ 8 9 ⎟ ⎟. −14 −21⎟ 14 21 ⎠

(a) (10pts) Verifique que λ = 7 es un valor propio de M . Explique. (b) (10pts) Calcule el polinomio caracter´ıstico de M y factor´ıcelo completamente. 0 ⎞ ⎛1 0 o 36 (20pts). La matriz A = ⎜−7 8 a − 2⎟ tiene 2 valores propios: λ ⎝0 0 8 ⎠ Determine todos los valores de a para los cuales A no es diagonalizable. ⎛2 2 o 37 (20pts). Diagonalice ortogonalmente la matriz sim´etrica B = ⎜2 5 ⎝3 6

= 1 y λ = 8.

3⎞ 6 ⎟. 10⎠

o 38 (20pts). Sea T ∶ R3 → R3 una transformaci´on lineal tal que: T (x, y, z) = (−x + 12y + 8z, −2x + 9y + 4z, 2x − 6y − z) (a) (10pts) Verifique que v = (5, 1, 1) y w = (2, 1, −1) son vectores propios de T . (b) (10pts) Encuentre una base B de R3 donde [T ]B sea diagonal. o 39 (20pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on x2 − xy + y 2 = 1 (a) (15pts) Encuentre una matrix ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el x x′ cambio de variable ( ′ ) = C t ( ) elimine los terminos mixtos de la ecuaci´on de la y y curva. (b) (5pts) Identifique la curva y calcule el ´angulo de rotaci´on. *** "Siempre me han gustado los n´ umeros naturales. Lo que se demuestra para los n´ umeros naturales ser´ a un hecho en cualquier universo". –Julia Robinson

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Soluci´ on 1] 2] 3] 4] 5]

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

20 de Julio, I Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Examen de Ampliaci´on Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 1 hora por cada parte que el estudiante deba realizar. Complete los puntos respectivos.

I Parcial ⎛a 0 o 40 (10pts). Considere un sistema de ecuaciones cuya matriz aumentada es ⎜a a ⎝0 a Determine todos los valores de a y b para los cuales el sistema no tiene soluci´on.

b RRRR2⎞ 4RRRR4⎟. R 2RRRR b ⎠

o 41 (10pts). Usando solamente las propiedades del determinante verifique que: RRR2a + 2b 2b + 2c 2c + 2aRRR RRRa RRR RRR 4 RRR RRR 2b + 2c 2c + 2a 2a + 2bRRR = 2 RRR b RRR2c + 2a 2a + 2b 2b + 2c RRR RRR c R R R

b c a

c RRRR aRRRR . R b RRRR

II Parcial ⎧ ⎧ 1 −1 −1 ⎫ −1 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 42 (10pts). Muestre que los conjuntos E = ⎨⎜1⎟ , ⎜−2⎟ , ⎜−2⎟⎬ y F = ⎨⎜−2⎟ , ⎜1⎟ , ⎜−2⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝2⎠ ⎝−3⎠ ⎝−4⎠⎪ ⎭ ⎩⎝−4⎠ ⎝2⎠ ⎝−3⎠⎪ ⎭ 3 F son bases de R y calcule la matriz de cambio de base [I]E . o 43 (10pts). Considere la base can´ onica C = {e1 , e2 , e3 , e4 } de R4 . Determine el criterio T (x, y, z, w) de una transformaci´ on lineal T ∶ R4 → R2 , tal que Nuc(T ) = Cl {e1 , e2 } y 1 1 Img(T ) = Cl {( ) , ( )}. ¿Es T sobreyectiva? Justifique su respuesta. 1 −1 III Parcial o 44 (10pts). Considere la transformaci´ on T ∶ R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (5x + 4y + z, 4x + 8y − 4z, x − 4y + 5z). Determine una base B de R3 donde [T ]B sea diagonal. √ o 45 (10pts). Considere la curva cuadr´ atica x2 − 2 2xy + y 2 = 25. Haga un cambio de x′ x variable ( ′ ) = C t ( ), donde C es ortogonal y con determinante igual a 1, que elimine y y los t´erminos mixtos de la ecuaci´ on de la curva. Identifique la curva y calcule el ´angulo de rotaci´ on.

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Soluci´ on del Examen de Ampliaci´on, I Semestre 2018 o 17. Se usan operaciones ⎛a 0 b RRRR2⎞ f − f ⎛a 1 ⎜a a 4RRRR4⎟ 2 ⎜0 R ⎝0 a 2RRRR b ⎠ Ð→ ⎝0

de fila para simplificar 0 b RRRR2⎞ a f − f2 ⎛ a 4 − bRRRR2⎟ 3 ⎜0 R Ð→ ⎝ a 2 RRRR b ⎠ 0

la matriz aumentada: 0 b RRRR 2 ⎞ a 4 − b RRRR 2 ⎟. R 0 −2 + bRRRR−2 + b⎠

0 2RRRR2⎞ a 2RRRR2⎟. R 0 0RRRR0⎠ El cual siempre tiene soluci´ on para cualquier valor de a, ya que no hay manera de que el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz aumentada, sean diferentes. a 0 b RRRR2⎞ b RRRR 2 ⎞ 1 ⎛a 0 f ⎛ n Si b ≠ 2: ⎜0 a 4 − b RRRRR 2 ⎟ −2+b 3 ⎜0 a 4 − bRRRRR2⎟. ⎝0 0 −2 + bRRRR−2 + b⎠ Ð→ ⎝0 0 1 RRRR1⎠ Si a ≠ 0, el sistema tiene infinitas soluciones. Si a = 0: 0 0 b RRRR2⎞ b RRRR2⎞ 0 0 b RRRR2⎞ ⎛a 0 a = 0⎛ f2 + f1 ⎛ R R R R ⎜0 a 4 − bRR2⎟ ⎜0 0 4 − bRR2⎟ ⎜0 0 4RRRR4⎟. RRR RRR R Ð→ ⎝ Ð→ ⎝ ⎝0 0 ⎠ ⎠ 1 RR1 0 0 1 RR1 0 0 1RRRR1⎠ El cual es inconsistente. ⎛a n Si b = 2: ⎜0 ⎝0

0 a 0

b RRRR 2 ⎞ a b = 2⎛ 4 − b RRRR 2 ⎟ ⎜0 R Ð→ ⎝ −2 + bRRRR−2 + b⎠ 0

En resumen, el sistema no tiene soluci´ on cuando b ≠ 2 y a = 0. RRR2a + 2b 2b + 2c 2c + 2aRRR RRRa + b b + c c + aRRR R R RRR RRR R RRR f1 − f2 3 RRRRRa − c b − a c − b RRRRR 3 RR o 18. RRR 2b + 2c 2c + 2a 2a + 2bRRR = 2 RRR b + c c + a a + bRRR 2 RRR b + c c + a a + bRRR RRR2c + 2a 2a + 2b 2b + 2c RRR RRRc + a a + b b + c RRR = RRRc + a a + b b + c RRR R R R R R R RRR 2a R R R R RRR R R R R 2b 2c a b c a b c R R R R R R R f − f1 4 RRR R f1 + f3 3 RRR 2 RRR b + c c + a a + bRRRRR = 24 RRRRR b + c c + a a + bRRRRR 3 2 RRRb + c c + a a + bRRRRR = = RRR c RRRRc + a a + b b + c RRRR RRRRc + a a + b b + c RRRR a b RRRR R RRRa b c RRR R f2 − f3 4 RRR 2 RRR b c aRRRRR. = RRR c a b RRR R R o 19. Ambos conjuntos son bases de R3 ya que el determinante de la matriz que forman ⎛1 −1 −1⎞ ⎛−1 1 −1⎞ es diferente de cero: det ⎜1 −2 −2⎟ = 1 y det ⎜−2 1 −2⎟ = 1. Se calcula [I]F E: ⎝2 −3 −4⎠ ⎝−4 2 −3⎠ ⎛0 0 1⎞ ⎛−1 1 −1RRRR1 −1 −1⎞ (...) ⎛1 0 0RRRR0 0 1⎞ ⎜1 0 0⎟. ⎜−2 1 −2RRRR1 −2 −2⎟ ⎜0 1 0RRRR1 0 0⎟ ⇒ [I]F = E R R ⎝−4 2 −3RRRR2 −3 −4⎠ Ð→ ⎝0 0 1RRRR0 1 0⎠ ⎝0 1 0⎠ o 20. Para cumplir con las condiciones, se define T de la siguiente manera sobre la base can´ onica de R4 : T (⃗ e1 ) = (0, 0), T (⃗ e2 ) = (0, 0) T (⃗ e3 ) = (1, 1) y T (⃗ e4 ) = (1, −1). As´ı, T (x, y, z, w) = xT (⃗ e1 ) + yT (⃗ e2 ) + zT (⃗ e3 ) + wT (⃗ e4 ) = (z + w, z − w).

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La imagen de T est´ a generada por dos vectores linealmente independientes, por lo que su dimensi´ on es 2, la coincide con la dimensi´ on de R2 , el cual es el espacio de llegada. Por lo tanto, T es sobreyectiva. 1⎞ ⎛5 4 o 21. La matriz de T en la base can´ onica es [T ]C = ⎜4 8 −4⎟. Se calculan sus valores ⎝1 −4 5 ⎠ 5 − λ 4 1 ⎛ ⎞ 8 − λ −4 ⎟ = −λ(λ − 6)(λ − 12). As´ı, los valores propios: det([T ]C − λI) = det ⎜ 4 ⎝ 1 −4 5 − λ⎠ propios son λ = 0, λ = 6 y λ = 12. 1 0 1 RRRR0⎞ 1 RRRR0⎞ ⎛5 4 ⋯ ⎛ R R ⃗ ⎜0 1 −1RRRR0⎟ n λ = 0: Se resuelve el sistema (A − 0I)⃗ x = 0: ⎜4 8 −4RRR0⎟ R Ð→ ⎝0 0 0 RRRR0⎠ ⎝1 −4 5 RRRR0⎠ x

⇒ ( yz ) = ( 1 ) t, t ∈ R, por lo que el subespacio propio asociado a λ = 0 est´a generado 1 por (−1, 1, 1). −1

⎛−1 ⃗ ⎜4 n λ = 6: Se resuelve el sistema (A − 6I)⃗ x = 0: ⎝1 x

4 2 −4

1 RRRR0⎞ 1 0 ⋯ ⎛ −4RRRR0⎟ ⎜0 1 R Ð→ ⎝0 0 −1RRRR0⎠

−1RRRR0⎞ 0 RRRR0⎟ R 0 RRRR0⎠

1

⇒ ( yz ) = ( 0 ) t, t ∈ R, por lo que el subespacio propio asociado a λ = 6 est´a generado 1 por (1, 0, 1). ⎛−7 ⃗ ⎜4 n λ = 12: Se resuelve el sistema (A − 12I)⃗ x = 0: ⎝1 x

4 −4 −4

1 RRRR0⎞ 1 ⋯ ⎛ −4RRRR0⎟ ⎜0 R Ð→ ⎝0 −7RRRR0⎠

0 1 0

1RRRR0⎞ 2RRRR0⎟ R 0RRRR0⎠

⇒ ( yz ) = ( −2 ) t, t ∈ R, por lo que el subespacio propio asociado a λ = 12 est´a 1 generado por (−1, −2, 1). −1

⎧ −1 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ Finalmente, una base B donde [T ]B sea diagonal es B = ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜0⎟ , ⎜−2⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ √ 2 1 − ). o 22. La matriz sim´etrica de la curva cuadr´ atica es A = ( √ − 2 1 √ √ 1−λ − 2 Se calculan sus valores propios: det(A − λI) = det ( √ ) = (λ − 1 − 2)(λ − 1 + − 2 1−λ √ √ √ 2). As´ı, los valores propios son λ = 1 + 2 y λ = 1 − 2. √ √ n λ = 1 + 2: Se resuelve el sistema (A − (1 + 2)I)⃗ x = ⃗0: √ √ − 2 −√2 0 ⋯ 1 1 0 ( √ ∣ ) ( ∣ ) ⇒ ( xy ) = ( −1 1 ) t, t ∈ R, por lo que el subespacio pro− 2 − 2 0 Ð→ 0 0 0 √ pio asociado a generado por (−1, 1). El cual, ortonormalizado es √ √ a λ = 1 + 2 est´ (−1/ 2, 1/ 2).

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√ √ n λ = 1 − 2: Se resuelve el sistema (A − (1 − 2)I)⃗ x = ⃗0: √ √ 2 −√ 2 0 ⋯ 1 −1 0 ∣ ) ( √ ( ∣ ) ⇒ ( xy ) = ( 11 ) t, t ∈ R, por lo que el subespacio pro− 2 2 0 Ð→ 0 0 0 √ a generado por (1, 1). El cual, ortonormalizado es pio√asociado √ a λ = 1 − 2 est´ (1/ 2, 1/ 2). √ √ 1/√2 −1/√ 2 As´ı, la matriz C para el cambio de variables es C = ( ). Con el cambio 1/ 2 1/ 2 √ √ de variable, la ecuaci´ on de la curva pasa a ser: (1 + 2)x2 + (1 − 2)y 2 = 25, la cual se x2 y2 reescribe como √ √ − √ . As´ı, la curva es una hip´erbola. 2 2 √ ( 1 + 2/5) ( −1 + 2/5) √ √ ⃗ = (1/ 2, 1/ (2)): El ´ angulo de rotaci´ on es igual al ´ angulo entre e⃗1 y u cos(θ) =

⃗ e⃗1 ⋅ u π 1 = √ ⇒θ= . ∥⃗ e1 ∥∥⃗ u∥ 4 2 ***

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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18 de Abril, I Semestre 2018 08:00 am

MA-1004: Examen de Suficiencia Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎧ ax + y + bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 46 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones: ⎨ x + y + z = 0 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ bx + y + az = 0 (a) (15pts) Determine todos los valores de a y b donde el sistema tiene infinitas soluciones. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on si a = 3 y b = −1. ⎛1 ⎜1 o 47 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ ⎜1 ⎝0

x 1 1 0

x x x2 0

0⎞ 0⎟ ⎟. 0⎟ 1⎠

(a) (10pts) Calcule los valores de x para los cuales A tiene rango estrictamente menor a 4. (b) (10pts) Calcule A−1 cuando x = −1. ⎧ 1 2 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 48 (20pts). Considere el conjunto de vectores de R , S = ⎨⎜1⎟ , ⎜3⎟ , ⎜5⎟⎬. ⎪ ⎪⎝1⎠ ⎝3⎠ ⎝6⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 3

(a) (10pts) Muestre que S es una base del espacio R3 . ⎛1⎞ (b) (10pts) Calcule las coordenadas del vector ⎜2⎟ en la base S. ⎝3⎠ o 49 (20pts). Sean D y B bases de R3 y R2 respectivamente. Sea T ∶ R3 → R2 una 2 −1 1 1 0 transformaci´ on lineal tal que [T ]B ). Si B = {( ) , ( )} es una base de R2 , D = (1 2 0 −1 1 calcule la matriz [T ]CD , donde C es la base can´onica de R3 . ⎛4 o 50 (20pts). Sea A = ⎜3 ⎝2

4 4 2

3⎞ 3⎟. 3⎠

(a) (5pts) Calcule los valores propios de A. (b) (15pts) Obtenga una matriz C tal que C −1 AC sea una matriz diagonal.

46

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

1

47

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

Soluci´ on del Examen de Suficiencia, I Semestre 2018

o 23.

(a) Dado que el sistema es homog´eneo entonces tiene soluci´on u ´nica o tiene infinitas soluciones. El segundo caso sucede cuando el determinante de la matriz del sistema es cero: RRRa 1 RRR RRR1 1 RRR b 1 R

b RRRR 1 1RRRR = a ∣ RRR 1 aRR

1 1 1 1 ∣−∣ ∣ + b∣ a b a b

1 ∣ = (a − b)(a + b − 2). 1

Entonces, el sistema tiene infinitas soluciones cuando a y b son n´ umeros reales que satisfacen a = b ´ o a + b = 2. (b) Si a = 3 y b = −1, entonces a + b = 2, y por la soluciones. ⎛a 1 b RRRR0⎞ ⎛ 3 1 −1RRRR0⎞ f ↔ f ⎛ 1 2 ⎜1 1 1RRRR0⎟ = ⎜ 1 1 1 RRRR0⎟ 1 ⎜3 RRR RRR Ð→ ⎝ b 1 aRR0⎠ ⎝−1 1 3 RR0⎠ ⎝−1 1 f3 + f2 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎝ 0

1 RRRR0⎞ −1 ⎛1 f −4RRRR0⎟ 2 2 ⎜0 RRR Ð→ ⎝0 0 RR0⎠

1 −2 0

1 1 0

parte anterior el sistema tiene infinitas 1 1 1

1 RRRR0⎞ f2 − 3f1 ⎛1 −1RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 R 3 RRRR0⎠ f3 + f1 ⎝0

1RRRR0⎞ 1 f − f2 ⎛ 2RRRR0⎟ 1 ⎜0 R Ð→ ⎝ 0RRRR0⎠ 0

0 1 0

1 −2 2

1 RRRR0⎞ −4RRRR0⎟ R 4 RRRR0⎠

−1RRRR0⎞ x−z =0 2 RRRR0⎟ ⇒ { . RRR y + 2z = 0 0 RR0⎠

As´ı, el conjunto soluci´ on est´ a dado por S = {(h, −2h, h) ∶ h ∈ R}. o 24.

(a) El rango de A es estrictamente menor a 4 si det(A) es cero: RRR1 RRR RRR1 RRR1 RRR RRR0

0RRRR R R R1 0RRRR RRRR = R1 0RRRR RRRR RRR RR1 1RR

x x 1 x 1 x2 0 0

x x RRRR 1 1 x RRRR = ∣ 1 2 RRR 1 x RR

x 1 ∣ − x∣ x2 1

x 1 ∣ + x∣ x2 1

1 ∣ = −x(x − 1)2 , 1

por lo que esto sucede cuando x = 0 ´ o x = 1. (b) Por la parte anterior, cuando x = −1, A tiene rango 4 y adem´as, es invertible. ⎛1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎝0

x 1 1 0

x x x2 0

1 f2 − f1 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎜ ⎜0 f3 − f1 ⎝ 0

0RRRR1 R 0RRRR0 0RRRR0 R 1RRRR0 −1 2 2 0

−1 0 2 0

0 1 0 0

0 0 1 0 0RRRR 1 R 0RRRR−1 0RRRR−1 R 1RRRR 0

0⎞ ⎛1 0⎟ ⎜1 ⎟=⎜ 0⎟ ⎜1 1⎠ ⎝0 0 1 0 0

0 0 1 0

−1 1 1 0

−1 −1 1 0

0⎞ ⎛1 0⎟ 21 f2 ⎜0 ⎜ ⎟ 0⎟ Ð→ ⎜0 ⎝0 1⎠

0RRRR1 R 0RRRR0 0RRRR0 R 1RRRR0 −1 1 2 0

0 1 0 0 −1 0 2 0

0 0 1 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 1⎠

0RRRR 1 R 0RRRR−1/2 0RRRR −1 R 1RRRR 0

0 1/2 0 0

0 0 1 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 1⎠

48

1

1 f1 + f2 ⎛ ⎜0 Ð→ ⎜ ⎜0 f3 − 2f2 ⎝ 0

⎛1 f1 + f3 ⎜0 ⎜ Ð→ ⎜0 ⎝0 o 25.

0 1 0 0

0 1 0 0

−1 0 2 0

0 0 1 0

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

0RRRR 1/2 R 0RRRR−1/2 0RRRR 0 R 1RRRR 0

0RRRR 1/2 R 0RRRR−1/2 0RRRR 0 R 1RRRR 0

1/2 1/2 −1 0

0 1/2 −1/2 0

0 0 1 0

0⎞ ⎛1 0⎟ 21 f3 ⎜0 ⎟ ⎜ 0⎟ Ð→ ⎜0 ⎝0 1⎠

0 1 0 0

−1 0 1 0

0RRRR 1/2 R 0RRRR−1/2 0RRRR 0 R 1RRRR 0

1/2 0⎞ ⎛ 1/2 0 0⎟ ⎜−1/2 −1 ⎟⇒A =⎜ ⎜ 0 1/2 0⎟ ⎠ ⎝ 0 0 1

1/2 1/2 −1/2 0

0 1/2 −1/2 0

0 0 1/2 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠

1/2 0⎞ 0 0⎟ ⎟. 1/2 0⎟ 0 1⎠

(a) Como R3 es de dimensi´ on 3 y S tiene tres vectores, basta ver que S es un conjunto l.i. para mostrar que es una base. Para esto se verifica que el determinante de la matriz que forman los vectores de S es no nulo. RRR1 RRR RRRR1 RRR1

2 3 3

3RRRR 3 5RRRR = ∣ RRR 3 6RR

5 1 ∣ − 2∣ 6 1

5 1 ∣ + 3∣ 6 1

3 ∣ = 3 − 2 + 0 = 1. 3

(b) Las coordenadas (x, y, z) del vector (1, 2, 3) en la base S, se calculan resolviendo el sistema: ⎛1 2 3⎞ ⎛x⎞ ⎛1⎞ ⎛1 2 3RRRR1⎞ f2 − f1 ⎛1 2 3RRRR1⎞ ⎜1 3 5⎟ ⎜y ⎟ = ⎜2⎟ ⇒ ⎜1 3 5RRRR2⎟ Ð→ ⎜0 1 2RRRR1⎟ R R ⎝1 3 6⎠ ⎝ z ⎠ ⎝3⎠ ⎝1 3 6RRRR3⎠ f3 − f1 ⎝0 1 3RRRR2⎠ f1 − 2f2 ⎛1 0 −1RRRR−1⎞ f1 + f3 ⎛1 0 0RRRR 0 ⎞ ⎛x⎞ ⎛ 0 ⎞ Ð→ ⎜0 1 2 RRRR 1 ⎟ Ð→ ⎜0 1 0RRRR−1⎟ ⇒ ⎜y ⎟ = ⎜−1⎟ . R R f3 − f2 ⎝0 0 1 RRRR 1 ⎠ f2 − 2f3 ⎝0 0 1RRRR 1 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ 1 ⎠ 1 0 1 0 1 0 2 −1 o 26. Como B = {( ) , ( )}, entonces [I]CB = ( ) y [T ]CD = [I]CB [T ]B D = (−1 1) (1 −1 1 −1 1 2 2 −1 1 ( ). −1 3 −1 o 27.

(a) Para obtener los valores propios de A se calcula: RRR4 − λ R det(A − λI) = RRRRR 3 RRR 2 R

3 RRRR √ √ 3 RRRR = (1 − λ)(5 + 19 − λ)(5 − 19 − λ). R 3 − λRRRR √ √ As´ı, los valores propios de A son λ1 = 1, λ2 = 5 + 19 y λ3 = 5 − 19. 4 4−λ 2

(b) Para encontrar la matrix C√se calculan los√generadores de los subespacios propios asociados a λ1 = 1, λ2 = 5 + 19 y λ3 = 5 − 19. ⃗ = ⃗0. n λ1 = 1: se resuelve el sistema (A − I)X 1 0 1RRRR0⎞ ⎛x⎞ ⎛−1⎞ 3RRRR0⎞ ⋯ ⎛ 3RRRR0⎟ ⎜0 1 0RRRR0⎟ ⇒ ⎜y ⎟ = ⎜ 0 ⎟ t, con t ∈ R. R RRR Ð→ ⎝0 0 0RRRR0⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ 1 ⎠ 2RR0⎠ Por lo tanto, el subespacio propio asociado a λ1 = 1 est´a generado por el vector (−1, 0, 1). ⎛3 ⎜3 ⎝2

4 3 2

1 )= 0

1

n λ2 = 5 +

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PRIMER SEMESTRE DEL 2018

√ √ ⃗ = 0. ⃗ 19: se resuelve el sistema (A − (5 + 19)I)X √ RRR0 4√ 3 ⎛−1 − 19 RR ⎞ ⋯ ⎛1 ⎜ ⎜0 3 −1 − 19 3√ RRRR0⎟ R Ð→ ⎝ ⎝ 0 2 2 −2 − 19RRRR0⎠

0 1 0

√ 1− 19 RR0 RRR ⎞ 2

−3/2 RRRR0⎟ R 0 RRRR0⎠

√

⇒ (x, y, z) = (− 1− 2 19 , 3/2, 1)t, con t ∈ R. As´ı, el subespacio propio asociado a √ √ λ2 = 5 + 19 est´ a generado por (−(1 − 19)/2, 3/2, 1). √ √ ⃗ = 0. ⃗ n λ3 = 5 − 19: se resuelve el sistema (A − (5 − 19)I)X √ RRR0 4√ 3 ⎛−1 + 19 RR ⎞ ⋯ ⎛1 ⎜ ⎜0 3 −1 + 19 3√ RRRR0⎟ R Ð→ ⎝ ⎝ 0 2 2 −2 + 19RRRR0⎠

0 1 0

√

√ 1+ 19 RR0 RRR ⎞ 2

−3/2 RRRR0⎟ R 0 RRRR0⎠

⇒ (x, y, z) = (− 1+ 2 19 , 3/2, 1)t, con t ∈ R. As´ı, el subespacio propio asociado a √ √ λ2 = 5 + 19 est´ a generado por (−(1 + 19)/2, 3/2, 1). Finalmente, la matriz C tal que C −1 AC sea diagonal es: ⎛−1 C=⎜0 ⎝1

√ −(1 − 19)/2 3/2 1

***

√ −(1 + 19)/2⎞ ⎟. 3/2 ⎠ 1

50

1

PRIMER SEMESTRE DEL 2018

CAP´ITULO

2

Segundo semestre del 2018

Aqu´ı va la introducci´ on del segundo cap´ıtulo.

51

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2

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

2

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

19 de Septiembre, II Semestre 2018 1 pm

MA-1004: Primer Examen Parcial (Muestra) Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛1 o 51 (20pts). Si A = ⎜2 ⎝2 I) (x

y

2 −1 0

2⎞ 0⎟, calcule la matriz (x 1⎠

y

x) (At − I)(A3 − A2 −

t

x) .

⎧ (4a + 8)x + (−8b − 16)y + 7bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 52 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ (3a + 6)x + (−b − 2)y + −5bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(−2a − 4)x + (−2b − 4)y + −5bz = 0 (a) (5pts) Muestre que el sistema siempre tiene soluci´on para todo valor de a y b. Explique. (b) (15pts) Determine todos los valores de a y b para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Calcule el conjunto soluci´ on en cada caso usando el m´etodo de GaussJordan. ⎛ 2h 10h −6h⎞ 0 0 ⎟. o 53 (20pts). Sea h ∈ R no nulo. Calcule la inversa de la matriz B = ⎜ 3h ⎝−4h 3h −2h⎠ o 54 (20pts). Usando solamente las propiedades del determinante verifique que: RRR2a + 2b 2b + 2c 2c + 2aRRR RRRa b c RRR RRR RRR RR 4 RRR RRRR 2b + 2c 2c + 2a 2a + 2bRRRR = 2 RRRR b c aRRRRR RRR2c + 2a 2a + 2b 2b + 2c RRR RRR c a b RRR o 55 (20pts). Considere la matriz ⎛ r ⎜−5r C=⎜ ⎜−2r ⎝ 0

−8 + 8r −6 + 6r −6 + 6r 0

−10 − 5r −4 − 2r −6 − 3r 0

0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 1⎠

(a) (10pts) Calcule los valores de r para los cuales C tiene rango estrictamente menor a 4. (b) (10pts) Si r = 2, use la regla de Cramer para resolver el sistema CX = v, donde t t X = (x y z w) y v = (2 −10 −4 0) . ***

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2

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

2

Solucion

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

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2

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

19 de Septiembre, II Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Primer Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛−1 o 56 (20pts). Si A = ⎜ 0 ⎝−1

0 −1 0 1 ( 0

−1⎞ 0 ⎟ y x es una variable real, calcule la matriz 0⎠ x 1

0 ) (2A − I)2 (A2 + I)t x

o 57 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎧ (−a + 2)y + (−3a + 10)z = b − 19 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨x + (−a + 3)y + (−a + 5)z = b − 19 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩x + (−2a + 5)y + (−a + 6)z = −19 + b (a) (5pts) Explique porqu´e el sistema nunca es inconsistente si b = 19. (b) (15pts) Si b = 19, encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones con un par´ ametro y en estos casos, escriba el conjunto soluci´on. ⎛1 o 58 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜0 ⎝1 ⎛1 ⎜−2 o 59 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ ⎜2 ⎝−2

−1 3 −2 2

1 −3 3 −2

2 1 2

−1⎞ ⎛h 0 1 ⎟ ⋅ ⎜0 1 −2⎠ ⎝ 0 0

−1

1⎞ 0⎟ . −h⎠

−1⎞ 3⎟ ⎟. −3⎟ 3⎠

(a) (10pts) Muestre que los sistemas de ecuaciones de la forma AX = b, donde X = (x, y, z, w)t y b ∈ R4 , siempre tienen soluci´on u ´nica. (b) (10pts) Si b = (1, 9, 0, 9)t , encuentre solamente el valor de w de la soluci´on del sistema AX = b usando la regla de Cramer.

58

2

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

o 60 (20pts). Considere la ecuaci´ on matricial 3X t − B t = (C + X t )At donde A = (

2 0

1 3 ), B = ( 2 4

3 0 ) y C=( 1 −2

−2 ). 0

(a) (5 pts) Verifique que 3I2 − A es invertible y calcule su inversa. (b) (15 pts) Despeje la matriz X de la ecuaci´ on utilizando las propiedades de matrices y calcule su valor.

"M´ as que c´ alculos elementales, las matem´ aticas son como deducci´ on y pensamiento l´ ogico" –Kaisa Matom¨ aki

2

59

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

  MA-1004: Soluci´ on Primer Examen Parcial, II Semestre 2018   ⎛−1 o 1 (20pts). Si A = ⎜ 0 ⎝−1

0 −1 0

−1⎞ 0 ⎟ y x es una variable real, calcule la matriz 0⎠ 1 x 0 ( ) (2A − I)2 (A2 + I)t 0 1 x

o 28. R/ ⎛⎛−1 2 t (A +I) = ⎜ ⎜⎜ 0 ⎝⎝−1

⎛ ⎛−1 (2A − I)2 = ⎜2 ⎜ 0 ⎝ ⎝−1 1 ( 0 =(

x 1 1 0

2

−1⎞ ⎛1 0 ⎟ + ⎜0 0 ⎠ ⎝0

0 −1 0

t

0⎞⎞ ⎛⎛2 0⎟⎟ ⎟ = ⎜⎜0 1⎠⎠ ⎝⎝1

0 1 0

2

0 1 0

−1⎞ ⎛1 0 ⎟ − ⎜0 0 ⎠ ⎝0

0 1 0

0⎞⎞ ⎛−3 0⎟⎟ = ⎜ 0 1⎠⎠ ⎝−2

0 1 ) (2A − I)2 (A2 + I)t = ( x 0

x 1

13 0 ⎛ )⋅⎜0 x ⎝ 8

0 −1 0

47 0 x 0 ⎛ ) ⋅ ⎜ 0 18 1 x ⎝ 29 0

29⎞ 47 0⎟=( 29x 18⎠

18x 18

1⎞ ⎛1 0⎟ + ⎜0 1⎠ ⎝0 0 −3 0

t

0⎞⎞ ⎛3 0⎟⎟ = ⎜0 1⎠⎠ ⎝1

0 1 0

0 2 0

1⎞ 0⎟ 2⎠

2

−2⎞ ⎛13 0 8⎞ 0 ⎟ = ⎜ 0 9 0⎟ −1⎠ ⎝ 8 0 5⎠

0 8⎞ ⎛3 9 0⎟ ⋅ ⎜0 0 5⎠ ⎝1

0 2 0

1⎞ 0⎟ 2⎠

29 ) 18x

o 2 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎧ (−a + 2)y + (−3a + 10)z = b − 19 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨x + (−a + 3)y + (−a + 5)z = b − 19 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩x + (−2a + 5)y + (−a + 6)z = −19 + b (a) (5pts) Explique porqu´e el sistema nunca es inconsistente si b = 19. (b) (15pts) Si b = 19, encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones con un par´ ametro y en estos casos, escriba el conjunto soluci´on. o 29.

(a) Si b = 19 el sistema ser´ıa homog´eneo, por lo que (x, y, z) = (0, 0, 0) siempre ser´ıa soluci´ on, es decir, siempre ser´ıa consistente.

(b) Se reduce la matriz del sistema ⎛0 −a + 2 −3a + 10RRRR0⎞ f ↔ f ⎛1 −2a + 5 −a + 6 RRRR0⎞ f − f ⎛1 −2a + 5 −a + 6 RRRR0 3 1 −a + 5 RRRR0⎟ 1 −a + 5 RRRR0⎟ 2 a−2 −1 RRRR0 ⎜1 −a + 3 ⎜1 −a + 3 ⎜0 RRR RRR R Ð→ Ð→ ⎝1 −2a + 5 −a + 6 RR0⎠ ⎝0 −a + 2 −3a + 10RR0⎠ ⎝0 −a + 2 −3a + 10RRRR0 1 1 RRRR0⎞ 1 −a + 4RRRR0⎞ f1 + 2f2 ⎛1 1 −a + 4 RRRR0⎞ −1 ⎛1 ⎛1 f + f f R R 1 3 3 Ð→ ⎜0 a − 2 −1 RRR0⎟ −1 RRR0⎟ 3 ⎜0 a − 2 ⎜0 a − 2 −1 RRRR0⎟ RRR R RRR Ð→ Ð→ ⎝0 ⎝0 0 a − 3 RR0⎠ 0 a − 3RRRR0⎠ f3 + f2 ⎝0 0 −3a + 9RR0⎠ Ahora se analizan los casos:

60

2

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

(Caso 1) Si a = 3:

⎧ x = −2t ⎪ 1 RRRR0⎞ ⎪ ⎪ x+y+z =0 ⎪ R −1RRR0⎟ ⇒ { ⇒ ⎨y = t R ⎪ y−z =0 ⎪ ⎪ 0 RRRR0⎠ ⎪ ⎩z = t ⎧ ⎫ x ⎪ ⎪ ⎛−2⎞ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ Por lo tanto S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜ 1 ⎟ , t ∈ R⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝1⎠ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎭ (Caso 2) Si a ≠ 3: 1 1 1 RRRR0⎞ f1 − f3 ⎛1 1 0RRRR0⎞ 1 1 RRRR0⎞ 1 ⎛1 f3 ⎛ R R R R a−3 ⎜0 a − 2 −1RR0⎟ Ð→ ⎜0 a − 2 0RRRR0⎟ ⎜0 a − 2 −1 RR0⎟ R R RRR Ð→ ⎝ ⎝0 ⎠ 0 0 1 RRRR0⎠ f2 + f3 ⎝0 0 1RRRR0⎠ 0 a − 3RR0 (Caso 2.1) Si a = 2: ⎧ x = −t ⎪ 1 0RRRR0⎞ ⎛1 1 0RRRR0⎞ ⎪ ⎛1 ⎪ x+y =0 ⎪ R R ⎜0 a − 2 0RRR0⎟ = ⎜0 0 0RRR0⎟ ⇒ { ⇒ ⎨ y=t R R ⎪ z=0 ⎪ ⎝0 ⎪ 0 1RRRR0⎠ ⎝0 0 1RRRR0⎠ ⎪ ⎩z = 0 ⎧ ⎫ x −1 ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ Por lo tanto S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜ 1 ⎟ , t ∈ R⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝ z ⎠ ⎪ ⎝0⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ x=0 R ⎪ 1 1 0RRRR0⎞ ⎪ 1 0RRR0⎞ 1 ⎛1 ⎪ ⎪ f2 ⎛ R R R R a−2 ⎜0 1 0RR0⎟ ⇒ ⎨ y = 0 (Caso 2.2) Si a ≠ 2: ⎜0 a − 2 0RRR0⎟ R Ð→ ⎝ ⎪ ⎝0 ⎪ 0 0 1RRRR0⎠ ⎪ 0 1RRRR0⎠ ⎪ ⎩z = 0 Por lo que el sistema tiene soluci´ on u ´nica. ⎛1 ⎜0 ⎝0

1 a−2 0

1 RRRR0⎞ ⎛1 −1 RRRR0⎟ = ⎜0 R a − 3RRRR0⎠ ⎝0

1 1 0

En resumen, el sistema tiene infinitas soluciones con un par´ametro cuando a = 2 y cuando a = 3. En los dem´ as valores de a, el sistema tiene soluci´on u ´nica. ⎛1 2 o 3 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜0 1 ⎝1 2 −1 −1

−1⎞ ⎛h 0 1 ⎟ ⋅ ⎜0 1 −2⎠ ⎝ 0 0

⎛⎛1 o 30. A−1 = ⎜ ⎜⎜0 ⎝⎝1

2 1 2

1 ⎞ ⎛1 0 ⎟ ⋅ ⎜0 −h⎠ ⎝1

2 1 2

−1⎞ 1⎟ −2⎠

⎛1 Se calcula ⎜0 ⎝1 ⎛1 2 −1RRRR1 ⎜0 1 1 RRRR0 R ⎝1 2 −2RRRR0 ⎛1 0 −3RRRR1 −2 ⎜0 1 1 RRRR0 1 R ⎝0 0 1 RRRR1 0 Finalmente

2 −1⎞ 1 1⎟ : 2 −2⎠ 1 0 0⎞ 1 2 −1RRRR 1 0 0⎞ f − 2f2 ⎛ f3 − f1 ⎛ 1 0⎟ ⎜0 ⎜0 1 1 RRRR 0 1 0⎟ 1 R Ð→ ⎝ Ð→ ⎝ 0 1⎠ 0 0 −1RRRR−1 0 1⎠ 0 0 ⎞ f1 + 3f3 ⎛1 0 0RRRR 4 −2 −3⎞ 0 ⎟ Ð→ ⎜0 1 0RRRR−1 1 1⎟ R 0 −1⎠ −1⎠ f2 − f1 ⎝0 0 1RRRR 1

0 1 0

−3RRRR 1 1 RRRR 0 R −1RRRR−1

−1⎞ ⎛h 0 1 ⎟ ⋅ ⎜0 1 −2⎠ ⎝ 0 0

1⎞ 0⎟ −h⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛h 0 = ⎜0 1 ⎝0 0

−1

1⎞ 0⎟ . −h⎠

−1

−1

−2 0⎞ −f 1 0⎟ 3 Ð→ 0 1⎠

2

⎛h 0 A−1 = ⎜ 0 1 ⎝0 0

1⎞ ⎛4 0 ⎟ ⋅ ⎜−1 −h⎠ ⎝ 1

61

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

−2 1 0

−3⎞ ⎛4h + 1 1 ⎟ = ⎜ −1 −1⎠ ⎝ −h

⎛1 ⎜−2 o 4 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ ⎜2 ⎝−2

−1 3 −2 2

−2h −3h − 1⎞ 1 1 ⎟ 0 h ⎠ 1 −3 3 −2

−1⎞ 3⎟ ⎟. −3⎟ 3⎠

(a) (10pts) Muestre que los sistemas de ecuaciones de la forma AX = b, donde X = (x, y, z, w)t y b ∈ R4 , siempre tienen soluci´on u ´nica. (b) (10pts) Si b = (1, 9, 0, 9)t , encuentre solamente el valor de w de la soluci´on del sistema AX = b usando la regla de Cramer. (a) Se tiene que det(A) = 1, lo que implica que el sistema u ´nica. RRR 1 −1 1 RRR det(A(c4 ∣b)) R−2 3 −3 = det(A(c4 ∣b)) = RRRR (b) Por Cramer w = RRR 2 −2 3 det(A) RRR−2 2 −2 R o 5 (20pts). Considere la ecuaci´ on matricial o 31.

AX = b tiene soluci´on 1RRRR R 9RRRR = 11. 0RRRR RRR 9RR

3X t − B t = (C + X t )At 2 donde A = ( 0

1 3 ), B = ( 2 4

3 0 ) y C=( 1 −2

−2 ). 0

(a) (5 pts) Verifique que 3I2 − A es invertible y calcule su inversa. (b) (15 pts) Despeje la matriz X de la ecuaci´on utilizando las propiedades de matrices y calcule su valor. o 32.

1 (a) 3I2 − A = ( 0

−1 ), su determinante es 1 por lo que es invertible. 1

1 Su inversa es (3I2 − A)−1 = ( 0

1 ) 1

(b) 3X t − B t = (C + X t )At ⇒ 3X − B = A(C + X t )t ⇒ 3X − B = A(C t + X) ⇒ 3X − B = AC t + AX ⇒ 3X − AX = B + AC t ⇒ (3I2 − A)X = B + AC t ⇒ X = (3I2 − A)−1 (B + AC t ) Se sustituye para calcular X: 1 X = (3I2 − A)−1 (B + AC t ) = ( 0

1 ⎛ 3 ) ( 1 ⎝ 4

3 2 )+( 1 0

t

1 0 −2 ⎞ )( ) 2 −2 0 ⎠

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1 =( 0 1 =( 0

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1 3 3 2 1 0 ) (( )+( )( 1 4 1 0 2 −2 1 1 −1 1 0 )( )=( ) 1 0 1 0 1

−2 1 )) = ( 0 0

***

1 3 ) (( 1 4

3 −2 )+( 1 −4

−4 )) 0

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

19 de Septiembre, II Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Reposici´ on Primer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎛1 o 61 (20pts). Si A = ⎜1 ⎝1

0 1 0

1⎞ 0⎟ y x es una variable real, calcule la matriz 1⎠ t

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜x⎟ (3A − 2I)2 ⎜x⎟ ⎝x ⎠ ⎝1⎠ o 62 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎧ 3ax − 10ay + 2az = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨−6ax + 11ay − 2az = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ax − 5ay + az = 0 (a) (10pts) Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema es inconsistente. (b) (10pts) Determine el conjunto soluci´ on del sistema cuando a = 2. ⎛−7 o 63 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜ 5 ⎝1

−8 5 1

−8⎞ ⎛h 0 0⎞ 4 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟. 1 ⎠ ⎝ 0 0 1⎠

o 64 (20pts). Considere la matriz ⎛1 0 0 ⎜0 1 6 A=⎜ ⎜−1 0 7 ⎝ 1 5 24

8⎞ 0⎟ ⎟ −9⎟ 9⎠

Muestre que el sistema de ecuaciones de la forma AX = b, donde X = (x, y, z, w)t y b = (8, 0, −9, 9)t tiene soluci´ on u ´nica y calcule dicha soluci´on usando la regla de Cramer. o 65 (20pts). Considere la ecuaci´ on matricial 3X t − B t = (C + X t )At donde A = (

2 0

1 3 ), B = ( 2 4

3 0 ) y C=( 1 −2

−2 ). 0

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(a) (5 pts) Verifique que 3I2 − A es invertible y calcule su inversa. (b) (15 pts) Despeje la matriz X de la ecuaci´ on utilizando las propiedades de matrices y calcule su valor. ***

"M´ as que c´ alculos elementales, las matem´ aticas son como deducci´ on y pensamiento l´ ogico" –Kaisa Matom¨ aki

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31 de Octubre, II Semestre 2018 1 pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial (Muestra)

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 66 (20pts). Considere el paralelep´ıpedo determinado por los vectores v⃗ = (1, 0, 0), ⃗ = (0, 1, 0) y w ⃗ = (1, 1, 1). Determine las ecuaciones param´etricas de las que rectas que u contienen a sus aristas, as´ı como las ecuaciones normales de los planos que contienen a sus caras. o 67 (20pts). En R4 , considere el conjunto de vectores ⎧ ⎪ ⎪ ⎛ a ⎞ ⎛−a⎞ ⎛a⎞ ⎛2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜6⎟⎪ C = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 3 a 0 −a ⎭ ⎩ (a) (10pts) Determine todos los valores de a para que C sea un conjunto linealmente independiente. (b) (10pts) Para a = 1, muestre que C es una base de R4 , y determine las coordenadas del vector v⃗ = (1, 1, 1, 1) en esta base. o 68 (20pts). Encuentre una base para el espacio de la matriz: 2 3 ⎛1 6 4 ⎜3 ⎝−5 −10 0

de filas y para el espacio de columnas 5⎞ 8⎟ 0⎠

Adem´ as, determine la dimensi´ on de estos espacios. o 69 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 5 −1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−1⎟ , ⎜ 0 ⎟ , ⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 4 ⎠ ⎝−1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ como T (5, −1, 4) = (−2, 9, −7), T (−1, 0, −1) = (−7, 5, 1) y T (1, 1, 1) = (62, −67, 13). (a) (10pts) Determine si T es inyectiva. (b) (10pts) Determine el criterio T (x, y, z) de la transformaci´on.

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o 70 (20pts). Sean T ∶ R2 → R3 y R ∶ R3 → R2 transformaciones lineales definidas como T (x, y) = (−x + 2y, −5x + 4, −4y) y R(x, y, z) = (−3x + z, −5x − 2y + 4z), respectivamente. (a) (10pts) Calcule la matriz en las bases can´ onicas de la composici´on R ○ T . (b) (10pts) Si v⃗ = (1, 0, 1), calcule las coordenas del vector (R ○ T )(⃗ v ) en la base 2 1 2 B = {( ) , ( )} de R . 1 1

***

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31 de Octubre, II Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 71 (20pts). Sea P el paralelogramo en R3 determinado por los vectores v⃗1 = (1, 0, −1) y v⃗2 = (2, −1, −1). (a) (10 pts) Calcule el ´ area del paralelogramo P . (b) (10 pts) Determine la ecuaci´ on normal del plano que pasa por el punto Q = (3, 1, 0) y cuya normal es ortogonal a los vectores v⃗1 + v⃗2 y v⃗1 − v⃗2 , que corresponden a las diagonales de P . o 72 (20pts). Considere la siguiente matriz ⎛1 −1 ⎜2 −2 A=⎜ ⎜3 −2 ⎝4 −2

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

(a) (10 pts) Verifique que sus columnas forman un conjunto linealmente dependiente. (b) (10 pts) Determine una base para el espacio de filas de A. o 73 (20pts). En R3 , considere el conjunto de vectores ⎧ a a ⎞ ⎛2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎪ B = ⎨⎜2a⎟ , ⎜3a + 1⎟ , ⎜4⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝3⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (a) (10pts) Determine todos los valores de a para que B sea un conjunto linealmente independiente. (b) (10pts) Justifique brevemente porqu´e cuando a = 1 se tiene que B es una base de R3 , adem´ as, determine las coordenadas del vector v⃗ = (2, 2, 3) en esta base.

o 74 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ Calcule [T ]CB , donde C es la base can´ onica de R3 , y determine si existe un vector no 3 nulo v⃗ ∈ R que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0).

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o 75 (20pts). Considere las transformaciones lineales T ∶ R2 → R2 y S ∶ R2 → R2 con criterio T (x, y) = (x − y, x + y) y S(x, y) = (y, x + y). Adem´as, considere la siguiente base de R2 1 −1 B = {( ) , ( )} −1 2 (a) (10 pts) Calcule [I]B on identidad de R2 . C , donde I es la transformaci´ (b) (10 pts) Cacule [S ○ T ]B C. ***

"Las buenas ideas aparecen a no importa que hora del d´ ıa o de la noche" –Nalini Anantharaman

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  MA-1004: Soluci´ on Segundo Examen Parcial, II Semestre 2018   o 33. R/ (a) Primero se calcula el producto cruz de los vectores v⃗1 y v⃗2 : RRR i j k RRRR RRR v⃗1 × v⃗2 = RRR1 0 −1RRRRR = (−1, −1, −1) RRR2 −1 −1RRR R R Luego, por f´ ormula, el ´ area de P es ∥⃗ v1 × v⃗2 ∥ = ∥(−1, −1, −1)∥ =

√

3

⃗ est´ (b) El vector normal del plano N a dado por el producto cruz de v⃗1 + v⃗2 y v⃗1 − v⃗2 : RRR i j k RRRR RRR (⃗ v1 + v⃗2 ) × (⃗ v1 − v⃗2 ) = (3, −1, −2) × (−1, 1, 0) RRR 3 −1 −2RRRRR = (2, 2, 2) RRR−1 1 0 RRRR R As´ı, la ecuaci´ on normal del plano est´ a dada por: ⎛2⎞ ⎛x⎞ ⎛2⎞ ⎛3⎞ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ N ⋅ X = N ⋅ Q ⇒ ⎜2⎟ ⋅ ⎜y ⎟ = ⎜2⎟ ⋅ ⎜1⎟ ⇒ x + y + z = 4 ⎝2⎠ ⎝ z ⎠ ⎝2⎠ ⎝0⎠ o 34. R/ (a) Esto sucede si efecto: 2 ⎛1 At = ⎜−1 −2 ⎝0 0

el rango de At es menor estricto que el n´ umero de columnas, en 3 −2 1

4⎞ 1 f + f1 ⎛ −2⎟ 2 ⎜0 → ⎝ 2⎠ 0

2 0 0

3 1 1

4⎞ 1 f − f2 ⎛ 2⎟ 3 ⎜0 → ⎝ 2⎠ 0

2 0 0

3 1 0

4⎞ 1 f − 3f2 ⎛ 2⎟ 1 ⎜0 → ⎝ 0⎠ 0

2 0 0

por lo que el rango de At = 2 < 3 = n´ umero de columnas de A. (b) Una base est´ a dada por las filas no nulas de la forma escalonada reducida de A: ⎛1 ⎜2 A=⎜ ⎜3 ⎝4

−1 −2 −2 −2

0⎞ 1 f − 2f1 ⎛ 0⎟ 2 0 ⎜ ⎟ f − 3f1 → ⎜ ⎜0 1⎟ 3 f − 4f2 ⎝ 2⎠ 4 0

−1 0 1 2

0⎞ ⎛1 0⎟ f3 ↔ f2 ⎜0 ⎟ ⎜ 1⎟ → ⎜0 ⎝0 2⎠

−1 1 0 2

0⎞ 1 f − 2f2 ⎛ 1⎟ 4 ⎜0 ⎟ → ⎜ ⎜0 0⎟ f + f2 ⎝ 2⎠ 1 0

0 1 0 0

1⎞ 1⎟ ⎟ 0⎟ 0⎠

As´ı, una base para el espacio de filas de A es ⎧ 1 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜0⎟ , ⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ o 35. R/ (a) B es linealmente independiente si y solo si el determinante de la matriz A que tiene como columnas a los vectores de B es diferente de cero. RRR a a 2RRRR RRR det(A) = RRR2a 3a + 1 4RRRRR = a(a + 1) RRR a a 3RRRR R Por lo que B es linealmente independiente si a ≠ 0 y a ≠ −1.

0 1 0

−2⎞ 2⎟ 0⎠

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(b) Si a = 1 se tiene que ⎧ 1 1 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜2⎟ , ⎜4⎟ , ⎜4⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝3⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Ahora, [⃗ v ]B , el vector de coordenadas de v⃗ el sistema: ⎛1 1 2RRRR2⎞ f2 − 2f1 ⎛1 1 2RRRR 2 ⎞ 1 f ⎛1 ⎜2 4 4RRRR2⎟ → ⎜0 2 0RRRR−2⎟ 2 2 ⎜0 R R ⎝1 1 3RRRR3⎠ f3 − f1 ⎝0 0 1RRRR 1 ⎠ → ⎝0 Por lo que [⃗ v ]B = (1, −1, 1).

en la base B se determina resolviendo 1 1 0

2RRRR 2 ⎞ 1 f − f − 2⎛ 0RRRR−1⎟ 1 ⎜0 R → ⎝0 1RRRR 1 ⎠

0 1 0

2RRRR 3 ⎞ 1 f − 2f3 ⎛ 0RRRR−1⎟ 1 ⎜0 R → ⎝ 1RRRR 1 ⎠ 0

o 36. R/ 1 2⎞ ⎛1 [T ]CB = ([T (9, −2, 1)]C , [T (3, −1, 1)]C , [T (8, −2, 1)]C ) = ⎜−1 −1 −2⎟ ⎝1 2 2⎠ Un vector no nulo tal que T (⃗ v ) = (0, 0, 0) existe si y solo si el sistema 1 2 ⎞ ⎛x⎞ ⎛0⎞ ⎛1 ⎜−1 −1 −2⎟ ⎜y ⎟ = ⎜0⎟ ⎝1 2 2 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝0⎠ no tiene soluci´ on u ´nica, lo cual sucede si el determinante de la matriz es cero. En efecto: 1 2⎞ ⎛1 det ⎜−1 −1 −2⎟ = 0, pues la segunda fila es m´ ultiplo de la primera. ⎝1 2 2⎠ o 37. R/ C −1 (a) [I]B =( C = ([I]B )

1 −1

−1

−1 ) 2

=(

2 1

1 ). 1

C C B C B (b) [S ○ T ]B C = [I]C [S ○ T ]C = [I]C [S]C [T ]C = (

2 1

1 0 )( 1 1

1 1 )( 1 1

−1 4 )=( 1 3

2 ) 1

0 1 0

0RRRR 1 0RRRR− R 1RRRR 1

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Universidad de Costa Rica 07 de Noviembre, II Semestre 2018 Escuela de Matem´ aticas 08:00 am MA-1004: Reposici´ on Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 76 (20pts). Sean x + y + z = 0 y x − y + z = 0 dos planos de R3 . (a) (10pts) Calcule el ´ area del paralelogramo P que determinan las normales de estos dos planos. (b) (10pts) Determine la ecuaci´ on normal del plano que pasa por el punto Q = (7, 1, 1) y cuya normal es ortogonal a los vectores normales de los dos planos dados. o 77 (20pts). Considere la matriz ⎛1 ⎜2 A=⎜ ⎜3 ⎝4

−1 −2 −2 −2

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

(a) (10pts) Verifique que sus columnas forman un conjunto linealmente dependiente y exprese una de las columnas de A como combinaci´on lineal de las otras dos. (b) (10pts) Muestre que el conjunto de vectores v⃗ ∈ R3 que cumplen con A⃗ v = 0⃗ es un subespacio de R3 . o 78 (20pts). En R3 considere el conjunto de vectores ⎧ a a ⎞ ⎛2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎪ B = ⎨⎜2a⎟ , ⎜3a + 1⎟ , ⎜4⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝3⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (a) (10pts) Determine todos los valores de a para que B sea un conjunto linealmente independiente. (b) (10pts) Justifique brevemente porqu´e cuanco a = 1 se tiene que B es una base de R3 , adem´ as, determine las coordenadas del vector v⃗ = (1, 2, 1) en esta base. o 79 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ Como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, −2, 2). Calcule [T ]B y determine si existe un vector no nulo v⃗ ∈ R3 que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0).

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o 80 (20pts). Considere las transformaciones lineales T ∶ R2 → R2 y S ∶ R2 → R2 con criterio T (x.y) = (x − y, x + y) y S(x, y) = (y, x + y). Adem´as, considere las siguientes bases de R2 1 −1 2 1 B1 = {( ) , ( )} &B2 = {( ) , ( )} −1 2 1 1 2 (a) (10pts) Calcule [I]B on identidad de R2 y C la base C , donde I es la transformaci´ can´ onica. 2 (b) (10pts) Calcule [S ○ T ]B B1 .

***

"M´ as que c´ alculos elementales, las matem´ aticas son como deducci´ on y pensamiento l´ ogico" –Kaisa Matom¨ aki

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04 de Diciembre, II Semestre 2018 1 pm

MA-1004: Tercer Examen Parcial (Muestra)

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 81 (20pts). Considere los siguientes subespacios de R4 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎫ ⎛−2⎞ ⎛−3⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜−1⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 4 ⎟⎪ F = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ y G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 3 2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 1 1 1 ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ Muestre que son ortogonales y los vectores generadores dados forman una base de R4 . ⎛3 o 82 (20pts). Considere la matriz A = ⎜0 ⎝0

−1 − 2b −2 − 3b⎞ 6 6 ⎟. −2 −1 ⎠

1. Determine los valores de b para los cuales A no es diagonalizable. Sugerencia: Analice la multiplidad geom´etrica de cada valor propio. 2. Para b = 0 calcule C invertible tal que C −1 AC sea diagonal. ⎛5 o 83 (20pts). Considere la matriz A = ⎜4 ⎝2

4 5 2

2⎞ 2⎟. 2⎠

1. Sin hacer c´ alculos, explique por qu´e esta matriz es diagonalizable. 2. Determine una matriz ortogonal C y una matriz diagonal D tal que A = CDC t . o 84 (20pts). Sea el operador T ∶ R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (x + y + z, −x − y + z, x + y − z). 1. Determine una base B de R3 tal que [T ]B sea diagonal. 2. Calcule una matriz ortogonal H tal que H t [T ]C H sea diagonal, donde C es la base can´ onica. o 85 (20pts). Considere la hiperbola de ecuaci´on x2 − 4xy − y 2 + 6 = 0. 1. Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica. 2. Determine una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal y que det(P ) = 1.

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3. Usando P , haga un cambio de variable en la ecuaci´on de la hip´erbola y obtenga una nueva ecuaci´ on sin el t´ermino xy. Calcule el ´angulo de rotaci´on que da este cambio de variable. ***

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4 de Diciembre, II Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Tercer Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 86 (20pts). Considere los siguientes subespacios de R4 : ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛2⎞⎫ ⎛0⎞ ⎛−1⎞ ⎛ 4 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ F = Cl ⎨⎜ ⎟⎬ y G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 2 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 8 0 0 ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ donde los conjuntos generadores de ambos son linealmente independientes. (a) (5pts) Muestre que F y G son ortogonales. (b) (15pts) Use Gram-Smith para encontrar una base ortonormal de G a partir de su conjunto generador. ⎛4 o 87 (20pts). Considere la matriz A = ⎜2 ⎝2 −1 que A = CDC . ⎛8 o 88 (20pts). Considere la matriz A = ⎜4 ⎝0 2 (4 − λ) (12 − λ).

0⎞ 1⎟. Calcule C invertible y D diagonal tal 2⎠

0 1 0 4 8 0

0⎞ 0⎟, con polinomio caracter´ıstico p(λ) = 4⎠

(a) (5 pts) Sin hacer c´ alculos, explique ¿por qu´e el valor propio λ = 12 tiene multiplicidad geom´etrica 1? (b) (15 pts) Determine una matriz ortogonal C tal que C t AC sea diagonal. o 89 (20pts). Sea T ∶ R3 → R3 la transformaci´on lineal definida por: T (x, y, z) = (6x + 4y − 8z, 2y + 2z, 0) Determine una base B de R3 tal que [T ]B sea diagonal. o 90 (20pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on −4xy = 1.

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

(a) (5 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica y los valores propios de esta. (b) (15 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x′ x ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´ on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. (c) (Opcional, 5pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´on.

"Cuando estudio un dominio de las matem´ aticas necesito saber en qu´ e se aplica" –Sophie Dabo

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Soluci´on

o 1. Considere los siguientes subespacios de R4 : ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛0⎞ ⎛−1⎞ ⎛ 4 ⎞⎫ ⎛2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ F = Cl ⎨⎜ ⎟⎬ y G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 2 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝8⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎭ donde los conjuntos generadores de ambos son linealmente independientes. (a) (5pts) Muestre que F y G son ortogonales. (b) (15pts) Use Gram-Smith para encontrar una base ortonormal de G a partir de su conjunto generador. o 38.

(a) Se verifica que el producto punto del generador de F por los generadores de G es cero. n (2, 0, 1, 8) ⋅ (0, 1, 0, 0) = 0 n (2, 0, 1, 8) ⋅ (−1, 2, 2, 0) = 0 n (2, 0, 1, 8) ⋅ (4, 0, 0, −1) = 0 Por lo tanto F y G son ortogonales.

(b) Se aplica el proceso de Gram-Smith a los generadores de G para encontrar una ⃗2 , u ⃗3 } de G. Se toma v⃗1 = (0, 1, 0, 0), v⃗2 = (−1, 2, 2, 0) y base ortonormal B = {⃗ u1 , u v⃗3 = (4, 0, 0, −1).

⃗1 : C´ alculo de u (0, 1, 0, 0) v⃗1 ⃗1 = =√ = (0, 1, 0, 0) u ∥⃗ v1 ∥ 0+1+0+0 ⃗2 : C´ alculo de u ⃗1 )u⃗1 v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ u ⃗2 = u ⃗1 )u⃗1 ∥ ∥⃗ v2 − (⃗ v2 ⋅ u ⃗1 = (−1, 2, 2, 0) ⋅ (0, 1, 0, 0) = 2 n v⃗2 ⋅ u ⃗1 )u⃗1 = 2⃗ n (⃗ v2 ⋅ u u1 = (0, 2, 0, 0) ⃗1 )u⃗1 = (−1, 2, 2, 0) − (0, 2, 0, 0) = (−1, 0, 2, 0) n v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ u √ √ (−1, 0, 2, 0) ⃗2 = √ As´ı, u = (−1/ 5, 0, 2/ 5, 0) 1+0+4+0 ⃗3 : C´ alculo de u √ √ ⃗1 )⃗ ⃗2 )⃗ v⃗3 − (⃗ v3 ⋅ u u1 − (⃗ v3 ⋅ u u2 (16, 0, 8, −5) ⃗3 = u =√ = (16/ 345, 0, 8/ 345, −5 ⃗1 )⃗ ⃗2 )⃗ ∥⃗ v3 − (⃗ v3 ⋅ u u1 − (⃗ v3 ⋅ u u2 ∥ 256 + 0 + 64 + 25 ⃗1 = (4, 0, 0, −1) ⋅ (0, 1, 0, 0) = 0 n v⃗3 ⋅ u ⃗1 )u⃗1 = 0⃗ n (⃗ v3 ⋅ u u1 = (0, 0, 0, 0)

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

√ √ √ ⃗2 = (4, 0, 0, −1) ⋅ (−1/ 5, 0, 2/ 5, 0) = −4/ 5 n v⃗3 ⋅ u √ ⃗2 )u⃗2 = −4/ 5⃗ n (⃗ v3 ⋅ u u2 = (4/5, 0, −8/5, 0) ⃗1 )u⃗1 − (⃗ ⃗2 )u⃗2 = (4, 0, 0, −1) − (0, 0, 0, 0) − (4/5, 0, −8/5, 0) = n v⃗3 − (⃗ v3 ⋅ u v3 ⋅ u (16/5, 0, 8/5, −1) √ ⎧ 0⎞ ⎛−1/ 5⎞ ⎛16/5⎞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 0√ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎪ ⎟,⎜ ⎟,⎬ Finalmente, B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 8/5 ⎪ ⎪ 5 2/ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎛4 o 2. Considere la matriz A = ⎜2 ⎝2 −1 A = CDC .

0 1 0

0⎞ 1⎟. Calcule C invertible y D diagonal tal que 2⎠

o 39. Se calcula el polinomio caracter´ıstico y valores propios de A. RRR4 − λ R det(A − λI) = RRRRR 2 RRR 2 R

0 1−λ 0

0 RRRR 1 RRRR = (4 − λ)(1 − λ)(2 − λ). R 2 − λRRRR

Los valores propios de A son 4, 1 y 2. Se determinan los generadores de los subespacios propios asociados a cada vector propio. ⃗ = ⃗0. 1. λ = 4: Se resuelve el sistema homog´eneo (A − 4I)X 1 0 RRRR0⎞ 0 RRRR0⎞ ⎛0 0 ⎛0 0 ⎛0 0 0 RRRR0⎞ 2 f2 ⎛0 f − f f + f R R R 3 2 2 3 ⎜2 −3 1 RRR0⎟ ⎜2 −3 1 RRR0⎟ ⎜2 0 −2RRR0⎟ Ð→ ⎜1 R R R ⎝2 0 −2RRRR0⎠ Ð→ ⎝0 3 −3RRRR0⎠ Ð→ ⎝0 3 −3RRRR0⎠ 1 f3 ⎝0 3 ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ x 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜1⎟ , t ∈ R⎬ y as´ı, Bλ=4 = ⎨⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ z ⎠ ⎪ ⎪⎝1⎠⎪ ⎪ ⎝1⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⃗ = 0. ⃗ 2. λ = 1: Se resuelve el sistema homog´eneo (A − I)X ⎛3 0 0RRRR0⎞ 1 f ⎛1 0 0RRRR0⎞ f2 − 2f1 ⎛1 0 0RRRR0⎞ f − f ⎛1 2 ⎜0 ⎜2 0 1RRRR0⎟ 3 1 ⎜2 0 1RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 0 1RRRR0⎟ 3 R R R ⎝2 0 1RRRR0⎠ Ð→ ⎝2 0 1RRRR0⎠ f3 − 2f1 ⎝0 0 1RRRR0⎠ Ð→ ⎝0 ⎧ ⎫ ⎧ 0 ⎫ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎛0⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜1⎟ , t ∈ R⎬ y as´ı, Bλ=4 = ⎨⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝0⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎭ ⎩⎝0⎠⎪ ⎭ ⃗ = 0. ⃗ 3. λ = 2: Se resuelve el sistema homog´eneo (A − 2I)X ⎛2 0 0RRRR0⎞ 1 f ⎛1 0 0RRRR0⎞ f2 − 2f1 ⎛1 0 0RRRR0⎞ −f ⎛1 ⎜2 −1 1RRRR0⎟ 2 1 ⎜2 −1 1RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 −1 1RRRR0⎟ 2 ⎜0 R R R ⎝2 0 0RRRR0⎠ Ð→ ⎝2 0 0RRRR0⎠ f3 − 2f1 ⎝0 0 0RRRR0⎠ Ð→ ⎝0

0 0 0

0 1 0

0 0 1

0 RRRR0⎞ −1RRRR0⎟ R −1RRRR0⎠

0RRRR0⎞ 1RRRR0⎟ R 0RRRR0⎠

0 RRRR0⎞ −1RRRR0⎟ R 0 RRRR0⎠

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

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⎧ ⎫ ⎧ 0 ⎫ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎛0⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜1⎟ , t ∈ R⎬ y as´ı, Bλ=4 = ⎨⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝1⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎭ ⎩⎝1⎠⎪ ⎭ Finalmente, C tiene como columnas a los vectores obtenidos por cada valor propio y D es la diagonal formada por los valores propios de la columna correspondiente de C. ⎛1 0 0⎞ ⎛4 0 0⎞ C = ⎜1 1 1⎟ y D = ⎜0 1 0⎟. ⎝1 0 1⎠ ⎝0 0 2⎠ ⎛8 o 3. Considere la matriz A = ⎜4 ⎝0 2 λ) (12 − λ).

4 8 0

0⎞ 0⎟, con polinomio caracter´ıstico p(λ) = (4 − 4⎠

(a) (5 pts) Sin hacer c´ alculos, explique ¿por qu´e el valor propio λ = 12 tiene multiplicidad geom´etrica 1? (b) (15 pts) Determine una matriz ortogonal C tal que C t AC sea diagonal. o 40.

(a) Por la factorizaci´ on del polinomio caracter´ıstico la multiplicidad algebraica de 12 es 1, y como la multiplicidad geom´etrica siempre es menor o igual que la algebr´ aica y mayor o igual que 1, necesariamente la multiplicidad geom´etrica tiene que ser 1.

(b) Se calculan los generadores del subespacio propio de cada valor propio y a cada uno de estos conjuntos se les aplica Gram-Smith. ⃗ = 0. ⃗ λ = 12: Se resuelve el sistema homog´eneo (A − 12I)X R R R 0 RRR0⎞ f2 + f1 ⎛−4 4 0RRR0⎞ −1 ⎛1 −1 0RRR0⎞ ⎛−4 4 f ⎜ 4 −4 0 RRRR0⎟ Ð→ ⎜ 0 0 0RRRR0⎟ 4 1 ⎜0 0 0RRRR0⎟ RRR R R Ð→ ⎝0 ⎝0 0 1RRRR0⎠ 0 −8RR0⎠ −1 f ⎝ 0 0 1RRRR0⎠ 8 3 ⎧ ⎫ ⎧ x 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜1⎟ , t ∈ R⎬. As´ı, Bλ=12 = ⎨⎜1⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝0⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎭ ⎩⎝0⎠⎪ ⎭ Se le aplica Gram-Smith a Bλ=12 : v⃗1 = (1, 1, 0) √ √ (1, 1, 0) v⃗1 ⃗1 = =√ = (1/ 2, 1/ 2, 0). u ∥⃗ v1 ∥ 1+1+0 ⃗ = 0. ⃗ λ = 4: Se resuelve el sistema homog´eneo (A − 4I)X R R R ⎛4 4 0RRR0⎞ f2 − f1 ⎛4 4 0RRR0⎞ 1 f ⎛1 1 0RRR0⎞ ⎜4 4 0RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 0 0RRRR0⎟ 4 1 ⎜0 0 0RRRR0⎟ R R R ⎝0 0 0RRRR0⎠ −1 f3 ⎝0 0 0RRRR0⎠ Ð→ ⎝0 0 0RRRR0⎠ 8 ⎧ ⎫ ⎧ x −1 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛−1⎞ ⎛0⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜ 1 ⎟ + s ⎜0⎟ , t, s ∈ R⎬. As´ı, Bλ=4 = ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜0⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎭ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

Se le aplica Gram-Smith a Bλ=4 : v⃗1 = (−1, 1, 0) √ √ (−1, 1, 0) v⃗1 ⃗1 = u =√ = (−1/ 2, 1/ 2, 0) ∥⃗ v1 ∥ 1+1+0 v⃗2 = (0, 0, 1) ⃗1 )⃗ v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ u u1 (0, 0, 1) ⃗2 = u =√ = (0, 0, 1) ⃗1 )⃗ ∥⃗ v2 − (⃗ v2 ⋅ u u1 ∥ 0+0+1 Finalmente, la matriz ortogonal buscada tiene como columnas a los vectores de cada valor propio obtenidos por el proceso de Gram-Smith. √ √ ⎛1/√ 2 −1/ √ 2 0⎞ C=⎜/ 2 / 2 0⎟ ⎝ 0 0 1⎠ ⎛12 0 0⎞ y se tiene que C t AC = ⎜ 0 4 0⎟. ⎝ 0 0 4⎠ o 4. Sea T ∶ R3 → R3 la transformaci´ on lineal definida por: T (x, y, z) = (6x + 4y − 8z, 2y + 2z, 0) Determine una base B de R3 tal que [T ]B sea diagonal. o 41. Del criterio de la transformaci´ on lineal se obtiene su matriz con respecto a la base can´ onica de R3 . ⎛6 4 −8⎞ [T ]C = ⎜0 2 2 ⎟ ⎝0 0 0 ⎠ Su polinomio caracter´ıstico es: RRR6 − λ 4 −8 RRRR RRR 2 − λ 2 RRRR = −(6 − λ)(2 − λ)λ det([T ]C − λI) = RRR 0 R RRR 0 0 −λRRRR R Sus valores propios son λ = 6, λ = 2 y λ = 0. Para obtener la base buscada se encuentran los vectores generadores de los subespacios asociados a cada valor propio de [T ]C . ⃗ = 0. ⃗ 1. λ = 6: Se resuelve el sistema homog´eneo ([T ]C − 6I)X 1 R R R ⎛0 4 −8RRR0⎞ 4 f1 ⎛0 1 −2RRR0⎞ f + 4f ⎛0 1 −2RRR0⎞ f1 + 2f3 ⎛0 1 ⎜0 0 −6RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 ⎜0 −4 2 RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 −4 2 RRRR0⎟ 2 RRR R RRR Ð→ −1 ⎝0 0 ⎝0 0 1 RRRR0⎠ f2 + 6f3 ⎝0 ⎝0 0 −6RR0⎠ 1 RR0⎠ 6 ⎧ ⎧ ⎫ 1 ⎫ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜0⎟ , t ∈ R⎬ y as´ı, Bλ=6 = ⎨⎜0⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ z ⎠ ⎝0⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝0⎠⎪ ⎭ ⎩ ⃗ = 0. ⃗ 2. λ = 2: Se resuelve el sistema homog´eneo ([T ]C − 2I)X

1 0 0

0RRRR0⎞ 0RRRR0⎟ R 1RRRR0⎠

2

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

−8RRRR0⎞ 41 f1 ⎛1 1 −2RRRR0⎞ f1 + 2f2 ⎛1 1 0RRRR0⎞ 2 RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 0 1 RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 0 1RRRR0⎟ R R R 0 RRRR0⎠ 12 f2 ⎝0 0 0 RRRR0⎠ f3 − 2f1 ⎝0 0 0RRRR0⎠ ⎧ ⎧ ⎫ x −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛−1⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜ 1 ⎟ , t ∈ R⎬ y as´ı, Bλ=2 = ⎨⎜ 1 ⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ z ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝0⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩⎝ 0 ⎠⎪ ⎭ ⎛4 ⎜0 ⎝0

4 0 0

⃗ = 0. ⃗ 3. λ = 0: Se resuelve el sistema homog´eneo ([T ]C − 0I)X 1 R R R ⎛6 4 −8RRR0⎞ f − 2f ⎛6 0 −12RRR0⎞ 6 f1 ⎛1 0 −2RRR0⎞ 2 2 RRRR0⎟ Ð→ ⎜0 1 1 RRRR0⎟ ⎜0 2 2 RRRR0⎟ 1 ⎜0 2 R RRR R Ð→ ⎝0 0 0 RR0⎠ ⎝0 0 0 RRRR0⎠ 12 f2 ⎝0 0 0 RRRR0⎠ ⎧ ⎫ ⎧ x 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛2⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⇒ S = ⎨⎜y ⎟ = t ⎜−1⎟ , t ∈ R⎬ y as´ı, Bλ=0 = ⎨⎜−1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ z ⎠ ⎪ ⎪⎝ 1 ⎠⎪ ⎪ ⎝1⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ 1 −1 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ Finalmente, la base buscada es B = ⎨⎜0⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜−1⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ o 5. Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on −4xy = 1. (a) (5 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica y los valores propios de esta. (b) (15 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x′ x ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. (c) (Opcional, 5pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´ on. o 42.

0 (a) La matriz A asociada a la forma cuadr´atica de la curva es A = ( −2 −λ El polinomio caracter´ıstico es p(λ) = det(A−λI) = ∣ −2

−2 ). 0

−2 ∣ = λ2 −4 = (λ−2)(λ+2). −λ

Sus valores propios son λ = 2 y λ = −2. (b) Se diagonaliza ortonormalmente la matriz A para encontrar la matriz C. ⃗ = 0. ⃗ (−2 a) λ = 2: Se resuelve el sistema (A−2I)X −2

−2 0 f2 − f1 −2 ∣ ) ( −2 0 Ð→ 0

−2 0 −1 f 1 ∣ ) 2 1( 0 0 Ð→ 0

10 ∣ ) 00

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

x −1 −1 ⇒ S = {( ) = t ( ) , t ∈ R} y as´ı, Bλ=2 = {( )} y 1 1 √ −1/ 2 por lo que el vector que necesitamos es ( √ ) 1/ 2 ⃗ = ⃗0. ( 2 b) λ = −2: Se resuelve el sistema (A+2I)X −2

−2 0 f2 + f1 2 ∣ ) ( 2 0 Ð→ 0

−2 0 21 f1 1 ( ∣ ) 0 0 Ð→ 0

x 1 1 ⇒ S = {( ) = t ( ) , t ∈ R} y as´ı, Bλ=−2 = {( )} y 1 1 √ 1/ 2 por lo que el vector que necesitamos es ( √ ) 1/ 2 La matriz de determinante 1 que √ hace√posible eliminar el t´ermino mixto de la 1/√2 −1/√ 2 ). ecuaci´ on de la curva es C = ( 1/ 2 1/ 2 −2 0 Como ( ) = C t AC, luego del cambio de variable la ecuaci´on de la curva 0 2 −4xy = 1 queda −2x2 + 2y 2 = 1. Por lo tanto la curva es una hip´erbola. El ´ angulo θ de rotaci´ on es igual al ´ angulo entre e⃗1 y la primera columna de C: √ √ (1, 0) ⋅ (1/ 2, 1/ 2) 1 π √ √ cos(θ) = = √ , por lo que θ = . 4 ∥(1, 0)∥∥(1/ 2, 1/ 2)∥ 2 (Opcional)

−1 0 ∣ ) 0 0

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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7 de Diciembre, II Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Reposici´ on Tercer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 91 (20pts). Considere la siguiente base de R4 ⎧ ⎪ ⎪ ⎛−1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜−1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜−1⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝−1⎠⎪ Use Gram-Smith para determinar una base ortonormal de R4 a partir de B. ⎛4 o 92 (20pts). Considere la matriz A = ⎜2 ⎝2 −1 que A = CDC .

0 1 0

⎛−1 o 93 (20pts). Considere la matriz A = ⎜−2 ⎝2 2 p(λ) = (3 − λ) (3 + λ).

0⎞ 1⎟. Calcule C invertible y D diagonal tal 2⎠ −2 −1 −2

2⎞ −2⎟, con polinomio caracter´ıstico −1⎠

(a) (5 pts) Verifique que v⃗ = (1, −1, 1) es un vector propio de A. (b) (15 pts) Determine una matriz ortogonal C tal queC t AC sea diagonal. o 94 (20pts). Sea T ∶ R3 → R3 la transformaci´on lineal definida por T (x, y, z) = (3x − 3y − z, −3x + 3y − z, 2z) Determine una base B de R3 tal que [T ]B sea diagonal. o 95 (20pts). Considere la curva −2xy = 1. (a) (5 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica y los valores propios de esta. (b) (15 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x′ x ( ′) = Ct ( ) y y

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´ on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. (c) (Opcional, 5pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´on.

"Cuando estudio un dominio de las matem´ aticas necesito saber en qu´ e se aplica" –Sophie Dabo

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Solucion

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

14 de Diciembre, II Semestre 2018 01:00 pm

MA-1004: Ampliaci´on Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 1 hora por cada parte que el estudiante deba realizar. Complete los puntos respectivos. I Parcial ⎧ −3ax + (−2 − 2a)y + (−3 − 3a)z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 96 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ 2ax + (1 + a)y + (−1 + a)z = 3 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−5ax + (1 + a)y + (−3 + 3a)z = −2 (a) (15pts) Determine todos los valores de a para los cuales el sistema es inconsistente. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on si a = −1. ⎛−7 o 97 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜ 5 ⎝1

−8 5 1

−8⎞ ⎛h 0 0⎞ 4 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 0 ⎟. 1 ⎠ ⎝ 0 0 1⎠

II Parcial o 98 (20pts). Considere la siguiente matriz ⎛1 ⎜2 A=⎜ ⎜3 ⎝4

−1 −2 −2 −2

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

(a) (10 pts) Verifique que sus columnas forman un conjunto linealmente dependiente. (b) (10 pts) Determine una base para el espacio de filas de A. o 99 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R

⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ Calcule [T ]B onica de R3 , y determine si existe un vector no C , donde C es la base can´ 3 nulo v⃗ ∈ R que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0).

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

III Parcial

o 100 (20pts). Considere el siguiente conjunto linealmente independiente de R4 ⎧ ⎪ ⎪ ⎛−1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1 −1 1 ⎩ ⎭ Use Gram-Smith para determinar un conjunto ortonormal a partir de B. ⎛−1 o 101 (20pts). Para la matriz A = ⎜−2 ⎝2 que A = CDC −1 .

−2 −1 −2

2⎞ −2⎟, calcule C invertible y D diagonal tal −1⎠

***

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Soluci´ on

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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12 de Septiembre, II Semestre 2018 08:30 am

MA-1004: Examen de Suficiencia Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎧ −3ax + (−2 − 2a)y + (−3 − 3a)z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 102 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ 2ax + (1 + a)y + (−1 + a)z = 3 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−5ax + (1 + a)y + (−3 + 3a)z = −2 (a) (15pts) Determine todos los valores de a para los cuales el sistema es inconsistente. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on si a = −1. ⎛ 5 ⎜−15 o 103 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ ⎜ 8 ⎝ −4

5 10 −1⎞ −15 −42 4 ⎟ ⎟. 8 21 −2⎟ −5 −10 1 ⎠

(a) (10pts) Muestre que los sistemas de ecuaciones de la forma AX = b, donde X = (x, y, z, w)t y b ∈ R4 , siempre tienen soluci´on u ´nica. (b) (10pts) Si b = (1, −1, 0, 1)t , encuentre la soluci´on de AX = b usando la regla de Cramer. o 104 (20pts). Encuentre una base para el espacio de filas y para el espacio de columnas de la matriz: 2 3 5⎞ ⎛1 6 4 8⎟ ⎜3 ⎝−5 −10 0 0⎠ Adem´ as, determine la dimensi´ on de estos espacios. o 105 (20pts). Sean T ∶ R2 → R3 y R ∶ R3 → R2 transformaciones lineales definidas como T (x, y) = (−x + 2y, −5x + 4, −4y) y R(x, y, z) = (−3x + z, −5x − 2y + 4z), respectivamente. (a) (15pts) Calcule la matriz en las bases can´onicas de la composici´on R ○ T . (b) (5pts) Si v⃗ = (1, 0, 1), calcule las coordenas del vector (R ○ T )(⃗ v ) en la base B = 2 1 {( ) , ( )} de R2 . 1 1 ⎛−4 −1 −1⎞ 5 ⎟, encuentre una matriz invertible C y una matriz o 106 (20pts). Si A = ⎜ 20 5 ⎝−8 −2 −2⎠ diagonal D tal que D = CAC −1 . ***

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2018

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Soluci´ on

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CAP´ITULO

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Verano del 2019

Introducci´ on

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

01 de Febrero, III Ciclo 2018 1pm

MA-1004: Primer Examen Parcial (Muestra) Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, escriba en los espacios delineados correspondientes los datos solicitados. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

⎛1 o 107. A A = ⎜0 ⎝0

1 −1 1

1⎞ 1⎟, ¿Cu´ al es el resultado de (A + 2I)(I − A)t ? 0⎠

9 ⎛ −9 −2 1 −6 ⎜ 5 o 108. ¿Cu´ al es el valor del determinante de ⎜ ⎜−12 −2 19 ⎝−65 −12 89

−7⎞ 0⎟ ⎟? 7⎟ 22 ⎠

R/

R/

o 109. Una matriz elemental de tama˜ no 4 × 4 y determinante −1 corresponde a

R/

⎛x + 1 o 110. ¿Cu´ al es un valor de x para el cual ⎜ x ⎝ x

R/

x x+1 x

x ⎞ x ⎟ es invertible? x + 1⎠

⃗ = (1, 0, −1)? o 111. ¿Cu´ al es el valor del ´ angulo entre los vectores v⃗ = (1, 1, 1) y w

R/

⎧ 4x + 2y + 10z = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ un la regla de Cramer? o 112. ¿Cu´ al es el valor de z en ⎨ 3x + 2y + z = 6 seg´ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩4x + 6y − 41z = 0

R/

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o 113. Un vector no nulo perpendicular al plano x + y − 2z = 1 es R/

3

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones lineales ⎧ −9x + (−4 + 4a)y − 6z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x + (7 − 7a)y − 6z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 6z = 9 ⎩ 3x Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema sea inconsistente, tenga soluci´on u ´nica y tenga infinitas soluciones. Adem´ as, escriba el conjunto soluci´on en los casos consistentes. o 2 (10pts). En R3 , considere el plano π dado por la ecuaci´on 7x + y + z = 0. (a) (5pts) Muestre que el plano π es un subespacio de R3 . (b) (5pts) Encuentre una base para el plano π.

o 3 (10pts). En R3 , considere el conjunto de vectores ⎧ a a ⎞ ⎛2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎪ B = ⎨⎜2a⎟ , ⎜3a + 1⎟ , ⎜4⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝3⎠⎪ ⎭ (a) (5pts) Determine todos los valores de a para que B sea un conjunto linealmente independiente. (b) (5pts) Justifique brevemente porqu´e cuando a = 1 se tiene que B es una base de R3 , adem´ as, determine las coordenadas del vector v⃗ = (1, 2, 1) en esta base. ***

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Respuesta corta 1) A=[]

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

01 de Febrero, III Ciclo 2018 1pm

MA-1004: Primer Examen Parcial Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, escriba en los espacios delineados correspondientes los datos solicitados. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

⎛0 o 1. ¿Cu´ al es el resultado de ⎜0 ⎝0

1 0 1

1⎞ ⎛0 0⎟ ⋅ ⎜0 1⎠ ⎝1

1 0 1

t

1⎞ 0⎟ ? 1⎠

R/

⎛−1 1 0⎞ ⎛1 0 o 2. ¿Cu´ al es el valor del determinante de 2 ⋅ ⎜ 0 0 0⎟ − ⎜0 1 ⎝ 1 0 1 ⎠ ⎝1 0

−1⎞ −1⎟ ? 1⎠

R/

o 3. Una matriz elemental de tama˜ no 4 × 4 y determinante −1 corresponde a

R/

⎛1 + x o 4. ¿Cu´ al es un valor de x para el cual ⎜ x ⎝1 + x

R/

x x x

x ⎞ 1 + x⎟ no es invertible? 1 + x⎠

o 5. Si v⃗ = (1, 2, 19) ¿Cu´ al es el valor del ´ angulo entre los vectores −2⃗ v y 3⃗ v?

R/

⎧ 3x + y + z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 6. ¿Cu´ al es el valor de y en ⎨ 3y + z = 1 seg´ un la regla de Cramer? ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩2x + y + 3z = 3

R/

o 7. Un vector no nulo perpendicular al plano x + 9y + 9z = 6 es R/

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones lineales ⎧ ax + (1 + a)y + az = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (1 + a)y + 2az = 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (2 + 2a)y + 3az = 5 Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema sea inconsistente. Adem´as, escriba el conjunto soluci´ on cuando a = 1. o 2 (10pts). En R3 , considere el plano π dado por la ecuaci´on x − y + z = 0. (a) (5pts) Muestre que el plano π es un subespacio de R3 . (b) (5pts) Encuentre una base para el plano π.

o 3 (10pts). En R3 , considere el conjunto de vectores ⎧ a b −b ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜ b ⎟ , ⎜a⎟ , ⎜−b⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−b⎠ ⎝a⎠ ⎝ a ⎠⎪ ⎭ (a) (5pts) Justifique porqu´e B sea un conjunto linealmente dependiente si a = b = 1. (b) (5pts) Verique que B es una base de R3 cuando a = 0 y b = 1. Adem´as, determine las coordenadas del vector v⃗ = (0, 0, −1) en esta base. ***

"Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

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Soluci´ on

Respuesta Corta [14pts] ⎛0 o 1. ¿Cu´ al es el resultado de ⎜0 ⎝0 ⎛0 o 1. ⎜0 ⎝0

1 0 1

1⎞ ⎛0 0⎟ ⋅ ⎜0 1⎠ ⎝1

1 0 1

t

1⎞ ⎛0 0⎟ = ⎜0 1⎠ ⎝0

1⎞ ⎛0 0⎟ ⋅ ⎜0 1⎠ ⎝1

1 0 1 1 0 1

1⎞ ⎛0 0⎟ ⋅ ⎜1 1⎠ ⎝1

t

1⎞ 0⎟ ? 1⎠

1 0 1 0 0 0

1⎞ ⎛2 1⎟ = ⎜0 1⎠ ⎝2

⎛2 R/ ⎜0 ⎝2 0 0 0

0 1 0

2⎞ 0⎟ 2⎠

2⎞ 0⎟ 2⎠

⎛−1 1 0⎞ ⎛1 0 o 2. ¿Cu´ al es el valor del determinante de 2 ⋅ ⎜ 0 0 0⎟ − ⎜0 1 ⎝ 1 0 1 ⎠ ⎝1 0 ⎛ ⎛−1 1 0⎞ ⎛1 o 2. det ⎜2 ⋅ ⎜ 0 0 0⎟ − ⎜0 ⎝ ⎝ 1 0 1⎠ ⎝1 6

0 0 0

−1⎞ −1⎟ ? 1⎠

−1⎞⎞ ⎛ ⎛−2 2 0⎞ ⎛1 0 −1⎟⎟ = det ⎜⋅ ⎜ 0 0 0⎟ − ⎜0 1 ⎝ ⎝ 2 0 2 ⎠ ⎝1 0 1 ⎠⎠

R/ 6

−1⎞⎞ ⎛−3 −1⎟⎟ = det ⎜ 0 ⎝1 1 ⎠⎠

o 3. Una matriz elemental de tama˜ no 4 × 4 y determinante −1 corresponde a R/ ⎛1 0 0 0⎞ ⎜0 1 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝0 0 1 0⎠ o 3. Al intercambiar las dos u ´ltimas filas de la matriz identidad 4×4 se obtiene la matriz ⎛1 0 0 0⎞ ⎜0 1 0 0⎟ ⎟. elemental de determinante −1 : ⎜ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝0 0 1 0⎠ x ⎞ ⎛1 + x x x 1 + x⎟ no es invertible? R/ x = 0 o 4. ¿Cu´ al es un valor de x para el cual ⎜ x ⎝1 + x x 1 + x⎠ o 4. Al ser una matriz cuadrada, basta ver para cuales valores el determinante es cero. x ⎞ ⎛1 + x x x 1 + x⎟ = x, el u Como det ⎜ x ´nico valor para el cual la matriz no ser´ıa invertible ⎝1 + x x 1 + x ⎠ es x = 0. o 5. Si v⃗ = (1, 2, 19) ¿Cu´ al es el valor del ´ angulo entre los vectores −2⃗ v y 3⃗ v?

R/ π

o 5. Los vectores no nulos −2⃗ v y 3⃗ v , son paralelos pero con direcciones opuestas, por lo que el ´ angulo entre ellos debe ser π.

2 1⎞ −1 1⎟ = 0 1⎠

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⎧ 3x + y + z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 6. ¿Cu´ al es el valor de y en ⎨ 3y + z = 1 seg´ un la regla de Cramer? ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩2x + y + 3z = 3 RRR3 1 1RRR RRR RR RRRR0 1 1RRRRR RR2 3 3RRR 0 = 0. = o 6. Por Cramer se tiene que y = RR RRR3 1 1RRRR 20 RRR0 3 1RRR RRR R RRR2 1 3RRRRR o 7. Un vector no nulo perpendicular al plano x + 9y + 9z = 6 es

R/ y = 0

R/ v⃗ = (1, 9, 9)

o 7. El vector normal del plano que se obtiene de los coeficientes de la ecuaci´on v⃗ = (1, 9, 9) cumple con la condici´ on.

Desarrollo [30pts] o 1 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones lineales ⎧ ax + (1 + a)y + az = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (1 + a)y + 2az = 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (2 + 2a)y + 3az = 5 Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema sea inconsistente. Adem´as, escriba el conjunto soluci´ on cuando a = 1.

o 8. Se considera la matriz aumentada del sistema y se le aplican operaciones de fila para simplicarla. 0 −aRRRR−1⎞ ⎛a 1 + a a RRRR2⎞ f − f ⎛a 1 + a a RRRR2⎞ f1 − f2 ⎛a R R 3 1 ⎜0 1 + a 2aRRR3⎟ ⎜0 1 + a 2aRRR3⎟ Ð→ ⎜0 1 + a 2a RRRR 3 ⎟ RRR R R Ð→ ⎝a 2 + 2a 3aRR5⎠ ⎝0 1 + a 2aRRRR3⎠ f3 − f2 ⎝0 0 0 RRRR 0 ⎠ Caso a = 0: la primera fila ser´ıa inconsistente. Por lo que el conjunto soluci´on es vac´ıo. Caso a ≠ 0: se tienen dos casos. ⎛−1 0 1 RRRR−1⎞ Caso a = −1: la matriz queda ⎜ 0 0 −2RRRRR 3 ⎟ En este caso el sistema tiene ⎝ 0 0 0 RRRR 0 ⎠ infinitas soluciones con un par´ ametro. Caso a ≠ −1: al dividir la primera fila por a y la segunda por a + 1, se obtiene un sistema con infinitas soluciones y un par´ametro.

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Por lo tanto, s´ olo hay un valor de a para el cual el sistema es inconsistente, que es a = 0. (5 PTS) Cuando a = 1, por lo anterior, el conjunto soluci´on es el mismo que el del sistema: 0 −aRRRR−1⎞ 1 0 −1RRRR−1⎞ 1 ⎛1 0 −1RRRR −1 ⎞ ⎛a x − z = −1 a = 1⎛ f R R ⎜0 1 + a 2a RR 3 ⎟ ⎜0 2 2 RRRR 3 ⎟ 2 2 ⎜0 1 1 RRRR3/2⎟ ⇒ { RRR RRR RRR Ð→ Ð→ y + z = 32 ⎝0 0 0 RR 0 ⎠ ⎝0 ⎝0 0 0 RR 0 ⎠ 0 0 RR 0 ⎠ ⎧ ⎫ h−1 ⎞ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎪ 3 As´ı, el conjunto soluci´ on es S = ⎨⎜y ⎟ = ⎜−h + 2 ⎟ ∶ h ∈ R⎬ (5 PTS) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎝ h ⎠ ⎭ o 2 (10pts). En R3 , considere el plano π dado por la ecuaci´on x − y + z = 0. (a) (5pts) Muestre que el plano π es un subespacio de R3 . (b) (5pts) Encuentre una base para el plano π.

o 9.

1. Para mostrar que π es un subespacio, se toman dos vectores cualesquiera de ⃗ = (x2 , y2 , z2 ), y se verifica la combinaci´on lineal este plano, v⃗ = (x1 , y1 , z1 ) y w ⃗ pertenece al plano, para cualquier n´ v⃗ + αw umero real α. (2 PTS) ⃗ = (x1 , y1 , z1 ) + α(x2 , y2 , z2 ) = (x1 + αx2 , y1 + αy2 , z1 + αz2 ) est´a en El vector v⃗ + αw el plano si y solo si sus coordenadas satisfacen la ecuaci´on x − y + z = 0. En efecto: x−y +z = (x1 +αx2 )−(y1 +αy2 )+(z1 +αz2 ) = x1 −y1 +z1 +α(x2 −y2 +z2 ) = ⃗ satisfacen la ecuaci´on 0 + α ⋅ 0 = 0, ya que por hip´ otesis, las coordenadas de v⃗ y w del plano. (3 PTS)

2. Si v⃗ = (x, y, z) est´ a en el plano π, entonces ⎛1⎞ ⎛−1⎞ ⎛x⎞ ⎛y − z ⎞ ⎜y ⎟ = ⎜ y ⎟ = y ⎜1⎟ + z ⎜ 0 ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝z ⎠ ⎝ z ⎠ As´ı, una base para π es el conjunto ⎧ 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬ (3 PTS) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ Hay que verificar que efectivamente B es una base a) B es linealmente independiente: (1 PT) 1 1 0 B es l.i. si y solo la matriz ( ) tiene rango 2. En efecto, al calcular la −1 0 1 forma escalonada reducida de esta matriz se obtiene: 1 1 0 f2 + f1 1 1 0 f1 − f2 1 0 −1 ( ) ( ) ( ) −1 0 1 Ð→ 0 1 1 Ð→ 0 1 1 Que al tener 2 filas no nulas, quiere decir que la matriz original tiene rango 2. b) B genera al plano π: (1 PT) Ya se verific´ o que todo vector de π es combinaci´on lineal de los vectores de B. Ahora hay que ver que toda combinaci´on lineal de B es un vector de π.

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⎛1⎞ ⎛−1⎞ ⎛α − β ⎞ α ⎜1⎟ + β ⎜ 0 ⎟ = ⎜ α ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ β ⎠ Y para ver que este vector est´ a en el plano, se verifica que sus coordenadas cumplen con x − y + z = 0: x − y + z = (α − β) − α + β = α − α − β + β = 0. o 3 (10pts). En R3 , considere el conjunto de vectores ⎧ −b ⎫ b a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ B = ⎨⎜ b ⎟ , ⎜a⎟ , ⎜−b⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝−b⎠ ⎝a⎠ ⎝ a ⎠⎪ (a) (5pts) Justifique porqu´e B sea un conjunto linealmente dependiente si a = b = 1. (b) (5pts) Verique que B es una base de R3 cuando a = 0 y b = 1. Adem´as, determine las coordenadas del vector v⃗ = (0, 0, −1) en esta base. o 10.

1. En este caso basta ver que el vectores es cero. ⎛ a b −b⎞ a = b = 1 ⎛1 1 det ⎜ b a −b⎟ det ⎜ 1 1 ⎝−b a a ⎠ Ð→ ⎝−1 1

determinante de la matriz que forman los −1⎞ −1⎟ = 2 + 0 − 2 = 0 (5 PTS) 1⎠

2. Es una base porque el determinante de la matrix que forman los vectores es diferente de cero. ⎛ a b −b⎞ a = 0 ⎛ 0 1 −1⎞ det ⎜ b a −b⎟ Ð→ det ⎜ 1 0 −1⎟ = 0 + 1 + 0 = 1. (2 PTS) ⎝−b a a ⎠ b = 1 ⎝−1 0 0 ⎠ Note que la suma de los tres vectores de la base da el vector v⃗ = (0, 0, −1): ⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛−1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟ + ⎜0⎟ + ⎜−1⎟ = ⎜ 0 ⎟ = v⃗ ⎝−1⎠ ⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠ Por lo tanto [⃗ v ]B = (1, 1, 1). (3 PTS)

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

08 de Febrero, III Ciclo 2018 1pm

MA-1004: Primer Examen Parcial (Reposici´on) Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 50 puntos. o 1 (10pts). Considere las matrices ⎛1 A = ⎜−1 ⎝1

−1 −1 0

0⎞ ⎛0 1 ⎟, B = ⎜0 ⎝0 −1⎠

1 1 1

0⎞ ⎛0 0⎟ y C = ⎜1 ⎝0 0⎠

1 0 −1

1⎞ −1⎟ −1⎠

(a) (5pts) Calcule A + B t + 2C (b) (5pts) Calcule el determinante de (A + I)(B − C) o 2 (10pts). Los siguientes vectores de R3 forman un ´angulo de

π . 2

⃗ = (−1, 1, −1). v⃗ = (1, 2, 1) y w ⃗ (a) (5pts) Calcule el ´ angulo entre los vectores v⃗ y v⃗ + w. ⃗yw ⃗ − v⃗. (b) (5pts) Calcule el ´ area del paralelogramo que determinan los vectores w o 3 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones lineales ⎧ ax + (−1 − a)y + (−1 + a)z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ax + (−1 − a)y + (1 − a)z = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (1 + a)y + (1 − a)z = 1 (a) (5pts) Encuentre todos los valores de a para los cuales el sistema sea inconsistente. (b) (5pts) Use la regla de Cramer para resolver el sistema cuando a = 2. o 4 (10pts). En R3 , considere el conjunto C de todos los vectores que son perpendiculares a v⃗ = (1, 1, 1). (a) (5pts) Muestre que C es un subespacio de R3 (b) (5pts) Encuentre una base para C.

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o 5 (10pts). En R3 , considere el conjunto de vectores ⎧ ⎫ −a b ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ B = ⎨⎜ b ⎟ , ⎜−a⎟ , ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ b ⎠ ⎝−a⎠ ⎪ ⎭ (a) (5pts) Justifique porqu´e B sea un conjunto linealmente dependiente si a = b. (b) (5pts) Cuando a = 0 y b = 1 el conjunto B es linealmente independiente. Verifique vector v⃗ = (1, 1, 1) pertenece al conjunto generado por B. ***

"Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

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Soluci´ on

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

01 de Marzo, III Ciclo 2018 1pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial (Muestra) Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, escriba en los espacios delineados correspondientes los datos solicitados. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

o 1. Un vector no nulo en el n´ ucleo de T (x, y, z) = (x − y, x + y − z, z) es

R/

o 2. La dimensi´ on del espacio im´ agen de T (x, y) = (x + y, x + y, x) es

R/

o 3. Si [T ]C = (

1 1 1 ), calcule T (−1, 0, 1) −1 0 1

R/

o 4. Un vector no nulo ortogonal a los planos x + y + z = 1 y x − y + z = 0 es

R/

⎛−13 −21 a − 2 ⎞ 22 −a + 2⎟ es o 5. Si a ∈ R, el polinomio caracter´ıstico de A = ⎜ 14 ⎝ 0 0 8 ⎠

R/

o 6. ¿Cu´ al es la matriz asociada a la forma cuadr´atica 10xy + 6zy?

R/

o 7. La ecuaci´ on de una elipse con un eje de simetr´ıa paralelo a v⃗ = (1, 1) es

R/

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere los siguientes subespacios de R4 : ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛2⎞⎫ ⎛0⎞ ⎛−1⎞ ⎛ 4 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ F = Cl ⎨⎜ ⎟⎬ y G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 2 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 0 8 0 ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ donde los conjuntos generadores de ambos son linealmente independiente. (a) (5pts) Muestre que F y G son ortogonales. (b) (5pts) Use Gram-Smith para encontrar una base ortonormal de G a partir de su conjunto generador.

o 2 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la siguiente base de R3 ⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, −2, 2). (a) (5pts) Calcule [T ]B . (b) (5pts) Determine si existe un vector no nulo v⃗ ∈ R3 que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0).

⎛0 o 3 (10pts). Verifique que la matriz A = ⎜0 ⎝0

1 0 0

0⎞ 0⎟ no es diagonalizable. 0⎠

***

"Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

3

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VERANO DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

01 de Marzo, III Ciclo 2018 1pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, escriba en los espacios delineados correspondientes los datos solicitados. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

o 1. Una transformaci´ on T ∶ R3 → R3 cuya imagen contenga a v⃗ = (1, 2, 9) es

R/

o 2. ¿Cu´ al es la dimensi´ on del n´ ucleo de T (x, y) = (x − y, y, 2x)? R/ 1 o 3. Calcule (S ○ T )(0, 1, −1) si [T ]C = ( 0

−1 1

1 −1 2 ) y [S]C = ( ) 1 2 1

o 4. Una transformaci´ on T ∶ R3 → R3 de rango 2 es ⎛2 o 5. ¿Cu´ al es un vector propio de A = ⎜1 ⎝1

−1 0 −2

−1⎞ −1⎟? 1⎠

R/

R/

R/

⎧ 1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ o 6. Un vector no nulo ortogonal al subespacio W = Cl ⎨⎜1⎟ , ⎜−1⎟⎬ es ⎪ ⎪⎝1⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ o 7. ¿Cu´ al es la matriz sim´etrica asociada a la forma cuadr´atica x2 −

√

R/

2xy − y 2 ?

R/

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3

VERANO DEL 2019

Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere el siguiente subespacio de R4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛0⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 −1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ −1 0 0 ⎭ ⎩ donde el conjuntos de generadores es linealmente independiente, es decir una base. (a) (5pts) ¿Por qu´e esta base de G no es ortonogonal ni ortonormal?. (b) (5pts) Use Gram-Smith para encontrar una base ortonormal de G a partir de la base dada.

o 2 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la siguiente base de R3 ⎧ 8 7 7 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜3⎟ , ⎜4⎟ , ⎜3⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ como T (8, 3, 1) = (−2, −2, −3), T (7, 4, 1) = (4, 3, 9) y T (7, 3, 1) = (2, 3, 0). (a) (5pts) Calcule T (⃗ v ) si [⃗ v ]B = (2, −1, 1). (b) (5pts) Calcule el criterio T (x, y, z) de la transformaci´on.

0⎞ ⎛−1 0 o 3 (10pts). Diagonalice la matriz A = ⎜ 4 −4 −1⎟, es decir, encuentre C invertible ⎝ 14 0 −3⎠ tal que D = C −1 AC sea diagonal. Indique la matriz D. ***

"Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

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VERANO DEL 2019

Soluci´ on Respuesta Corta [14pts] o 1. ¿Cu´ al es el resultado de Una transformaci´on T ∶ R3 → R3 cuya imagen contenga a v⃗ = (1, 2, 9) es R/ T (x, y, z) = (x, y, z). o 1. En efecto, T (1, 2, 9) = (1, 2, 9) por lo que (1, 2, 9) ∈ Im(T ) o 2. ¿Cu´ al es la dimensi´ on del n´ ucleo de T (x, y) = (x − y, y, 2x)? ⎛1 −1⎞ ⎛1 o 2. La matriz de T es ⎜0 1 ⎟, la cual tiene forma escalonada reducida ⎜0 ⎝2 0 ⎠ ⎝0 lo que su rango es 2. Por el teorema de rango nulidad, la dimensi´on del n´ ucleo cero. 1 o 3. Calcule (S ○ T )(0, 1, −1) si [T ]C = ( 0 o 3. (S ○ T )(0, 1, −1) = (

−1 2 1 )⋅( 2 1 0

o 4. Una transformaci´ on T ⎛1 o 4. La matriz de T es ⎜0 ⎝0

−1 1

−1 1

1 −1 2 ) y [S]C = ( ) 1 2 1

0⎞ 1⎟, por 0⎠ de T es

R/ (2, −4)

0 −1 2 −2 2 1 ⎛ ⎞ )⋅( )=( ) )⋅⎜ 1 ⎟=( 2 1 0 −4 1 ⎝ ⎠ −1

∶ R3 → R3 de rango 2 es 0 0⎞ 1 0⎟ que tiene rango igual a 2. 1 0⎠

⎛2 o 5. ¿Cu´ al es un vector propio de A = ⎜1 ⎝1

R/ 0

−1 0 −2

R/ T (x, y, z) = (x, y, y)

−1⎞ −1⎟? 1⎠

R/ v⃗ = (1, 1, 1)

⎛2 −1 −1⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ o 5. En efecto A⃗ v = ⎜1 0 −1⎟ ⋅ ⎜1⎟ = ⎜0⎟ = 0 ⋅ ⎜1⎟=0 ⋅ v⃗, es decir v⃗ = (1, 1, 1) es una ⎝1 −2 1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ vector propio de A asociado al valor propio λ = 0. ⎧ 1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 6. Un vector no nulo ortogonal al subespacio W = Cl ⎨⎜1⎟ , ⎜−1⎟⎬ es ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎭

R/ (0, 2, −2)

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ o 6. Se puede tomar el producto cruz de los dos vectores generadores de W : ⎜1⎟ × ⎜−1⎟ = ⎝1⎠ ⎝−1⎠ RRR i j RRR k RRR R 1 RRRR = (0, 2, −2). RRR1 1 RRR1 −1 −1RRRR R R

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3

VERANO DEL 2019

o 7. ¿Cu´ al es la matriz sim´etrica asociada a la forma cuadr´atica x2 − √ 2⎞ − ⎛ 1 2 √ ⎝ − 2 2 −1 ⎠

√

2xy − y 2 ?

R/

Desarrollo [30pts] o 1 (10pts). Considere el siguiente subespacio de R4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛0⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 −1 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 0 0 −1 ⎩ ⎭ donde el conjuntos de generadores es linealmente independiente, es decir una base. (a) (5pts) ¿Por qu´e esta base de G no es ortonogonal ni ortonormal?. (b) (5pts) Use Gram-Smith para encontrar una base ortonormal de G a partir de la base dada.

o 7.

(a) No es ortogonal porque el producto punto de cualesquiera dos vectores diferentes debe ser cero y (0, 1, 0, 0) ⋅ (2, 2, −1, 0) = 2 ≠ 0. No es ortonormal porque adem´ as no cumplir con ser ortogonal √ por lo anterior, no todos los vectores tienen norma 1, por ejemplo ∥(2, 2, −1, 0)∥ = 22 + 22 + (−1)2 + 02 = 3 ≠ 1.

(b) Se aplica el proceso de Gram-Smith a los generadores de G para encontrar una ⃗2 , u ⃗3 } de G. Se toma v⃗1 = (0, 1, 0, 0), v⃗2 = (2, 2, −1, 0) y base ortonormal B = {⃗ u1 , u v⃗3 = (0, 0, 4, −1). ⃗1 : C´ alculo de u (0, 1, 0, 0) v⃗1 ⃗1 = = (0, 1, 0, 0) u =√ ∥⃗ v1 ∥ 0+1+0+0 ⃗2 : C´ alculo de u ⃗1 )u⃗1 v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ u ⃗2 = u ⃗1 )u⃗1 ∥ ∥⃗ v2 − (⃗ v2 ⋅ u ⃗1 = (2, 2, −1, 0) ⋅ (0, 1, 0, 0) = 2 n v⃗2 ⋅ u ⃗1 )u⃗1 = 2⃗ n (⃗ v2 ⋅ u u1 = (0, 2, 0, 0) ⃗1 )u⃗1 = (−1, 2, 2, 0) − (0, 2, 0, 0) = (−1, 0, 2, 0) n v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ u √ √ (−1, 0, 2, 0) ⃗2 = √ As´ı, u = (−1/ 5, 0, 2/ 5, 0) 1+0+4+0 ⃗3 : C´ alculo de u ⃗1 )⃗ ⃗2 )⃗ v⃗3 − (⃗ v3 ⋅ u u1 − (⃗ v3 ⋅ u u2 (8, 0, 4, −1) ⃗3 = u =√ = (8/9, 0, 4/9, −1/9) ⃗2 )⃗ ⃗1 )⃗ ∥⃗ v3 − (⃗ v3 ⋅ u u1 − (⃗ v3 ⋅ u u2 ∥ 64 + 0 + 16 + 1 ⃗1 = (0, 0, 4, −1) ⋅ (0, 1, 0, 0) = 0 n v⃗3 ⋅ u ⃗1 )u⃗1 = 0⃗ n (⃗ v3 ⋅ u u1 = (0, 0, 0, 0) √ √ √ ⃗2 = (0, 0, 4, −1) ⋅ (−1/ 5, 0, 2/ 5, 0) = 8/ 5 n v⃗3 ⋅ u

3

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VERANO DEL 2019

√ ⃗2 )u⃗2 = 8/ 5⃗ n (⃗ v3 ⋅ u u2 = (−8/5, 0, 16/5, 0) ⃗1 )u⃗1 −(⃗ ⃗2 )u⃗2 = (0, 0, 4, −1)−(0, 0, 0, 0)−(−8/5, 0, 16/5, 0) = n v⃗3 −(⃗ v3 ⋅ u v3 ⋅ u (8/5, 0, 4/5, −1) √ ⎧ 5⎞ ⎛ 8/9 ⎞ ⎫ 0 −1/ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎟,⎬ Finalmente, B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ √ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 4/9 ⎪ ⎪ 2/ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−1/9⎠ ⎪ ⎭ o 2 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 8 7 7 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜3⎟ , ⎜4⎟ , ⎜3⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ como T (8, 3, 1) = (−2, −2, −3), T (7, 4, 1) = (4, 3, 9) y T (7, 3, 1) = (2, 3, 0). (a) (5pts) Calcule T (⃗ v ) si [⃗ v ]B = (2, −1, 1). (b) (5pts) Calcule el criterio T (x, y, z) de la transformaci´on.

o 8.

1. ⎛−2 ⎜−2 ⎝−3

Se 4 3 9

tiene que T (⃗ v ) = [T ]CB [⃗ v ]B . Por los datos del problema se sabe que [T ]CB = 2⎞ 3⎟. 0⎠

⎛−2 As´ı: T (⃗ v ) = [T ]CB [⃗ v ]B = ⎜−2 ⎝−3

2⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 ⎞ 3⎟ ⋅ ⎜−1⎟ = ⎜ −4 ⎟. 0⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝−15⎠

4 3 9

2. Se puede calcular el criterio determinando la matriz [T ]C , que est´a dada por: [T ]C = [T ]CB ⋅ [I]B C La matriz [T ]CB se sabe por la parte anterior. −1

C La matriz [I]B C es igual a ([I]B ) .

por lo tanto

[I]B C

=

−1 ([I]CB )

⎛−2 Entonces [T ]C = ⎜−2 ⎝−3

4 3 9

⎛8 = ⎜3 ⎝1

2⎞ ⎛ 1 3⎟ ⋅ ⎜ 0 0⎠ ⎝−1

7 4 1

−1

7⎞ 3⎟ 1⎠ 0 1 −1

⎛1 =⎜0 ⎝−1

−7⎞ ⎛−4 −3⎟ = ⎜−5 11 ⎠ ⎝−2

0 1 −1 2 0 9

−7⎞ −3⎟. 11 ⎠ 24 ⎞ 38 ⎟ −13⎠

As´ı el criterio es T (x, y, z) = (−4x + 2y + 24z, −5x + 38z, −2x + 9y − 13z). 0⎞ ⎛−1 0 o 3 (10pts). Diagonalice la matriz A = ⎜ 4 −4 −1⎟, es decir, encuentre C invertible ⎝ 14 0 −3⎠ −1 tal que D = C AC sea diagonal. Indique la matriz D.

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3

VERANO DEL 2019

o 9. El polinomio caracter´ıstico de A es −λ3 − 8λ2 − 19λ − 12. Los valores propios son λ = −4, λ = −3 y λ = −1. Los vectores propios generadores del subespacio propio son uno por cada valor propio: Para λ = −4 es (0, 1, 0) Para λ = −3 es (0, −1, 1) Para λ = −1 es (1, −1, 7) 1⎞ ⎛0 0 As´ı la matriz C = ⎜1 −1 −1⎟. ⎝0 1 7⎠ 0⎞ ⎛−4 0 Y la matriz D es ⎜ 0 −3 0 ⎟ ⎝0 0 −1⎠

3

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VERANO DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

04 de Marzo, III Ciclo 2018 1pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial (Reposici´on) Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 50 puntos. o 1 (10pts). Calcule el rango y la dimensi´ on del n´ ucleo de la transformaci´on T ∶ R3 → R4 dada por T (x, y, z) = (x + y + z, 2x − z, z, y − 2z) o 2 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R

⎧ 8 ⎫ 3 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ Calcule [T ]B onica de R3 , y determine si existe un vector no C , donde C es la base can´ 3 nulo v⃗ ∈ R que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0). o 3 (10pts). Considere los siguientes subespacios de R4 : ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛2⎞⎫ ⎛0⎞ ⎛−1⎞ ⎛ 4 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ F = Cl ⎨⎜ ⎟⎬ y G = Cl ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜1⎟⎪ ⎜0⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝8⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎭ donde los conjuntos generadores de ambos son linealmente independientes. (a) (5pts) Muestre que F y G son ortogonales. (b) (5pts) Use Gram-Smith para encontrar una base ortonormal de G a partir de su conjunto generador. o 4 (10pts). Sea T ∶ R3 → R3 la transformaci´on lineal definida por: T (x, y, z) = (6x + 4y − 8z, 2y + 2z, 0) Determine una base B de R3 tal que [T ]B sea diagonal. o 5 (10pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on −4xy = 1.

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VERANO DEL 2019

(a) (5 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica y los valores propios de esta. (b) (5 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x′ x ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´ on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. ***

"Encuentro fascinante que puedas ver un mismo problema desde diferentes perspectivas, y analizarlo usando diferentes m´ etodos" –Maryam Mirzakhani

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Soluci´ on

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

04 de Marzo, III Ciclo 2018 1pm MA-1004: Ampliaci´ on

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 1,5 horas por cada parte que el estudiante deba realizar, complete los puntos respectivos. I Parcial ⎧ x + 2y + z = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y+ z=a ⎪ o 1 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ . ⎪ bx + 2y + 2z = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =b ⎩ax + by (a) (10pts) ¿Por qu´e el sistema tiene soluci´on u ´nica cuando a = 1 y b = 1? Explique (b) (10pts) Determine el conjunto soluci´ on cuando a = 0 y b = 0. ⎛−7 o 2 (10pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜ 5 ⎝1

−8 5 1

−8⎞ ⎛h 0 4 ⎟ ⋅ ⎜0 1 1 ⎠ ⎝0 0

0⎞ 0 ⎟. h⎠

o 3 (20pts). Considere la siguiente matriz ⎛1 ⎜2 A=⎜ ⎜3 ⎝4

−1 −2 −2 −2

0⎞ 0⎟ ⎟ 1⎟ 2⎠

(a) (10 pts) Verifique que sus columnas forman un conjunto linealmente dependiente. (b) (10 pts) Determine una base para el espacio de filas de A. II Parcial ⎛1 0 0⎞ o 1 (20pts). Diagonalice ortogonalmente la matriz A = ⎜0 0 1⎟, es decir, encuentre ⎝0 1 0⎠ t C ortogonal tal que D = C AC sea diagonal. Indique la matriz D. o 2 (10pts). Calcule el rango y la dimensi´ on del n´ ucleo de la transformaci´on T ∶ R3 → R4 dada por T (x, y, z) = (x + y + z, 2x − z, z, y − 2z)

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3

VERANO DEL 2019

o 3 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, −2, 2). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ (a) (10pts) Calcule [T ]B onica de R3 . C , donde C es la base can´ (b) (10pts) Determine si existe un vector no nulo v⃗ ∈ R3 que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0) ***

3

Soluci´ on

VERANO DEL 2019

135

136

3

VERANO DEL 2019

CAP´ITULO

4

Primer semestre del 2019

Aqu´ı va la introducci´ on del cap´ıtulo 4.

137

138

4

PRIMER SEMESTRE DEL 2019

4

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

13 de Abril, I Semestre 2019 1pm

MA-1004: Primer Examen Parcial (Muestra)

Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba todas sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] Responda cada pregunta en su cuaderno de examen y escriba el procedimiento usado. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

⎛0 o 1. ¿Cu´ al es el resultado de ⎜0 ⎝0

1 0 1

1⎞ ⎛0 0⎟ ⋅ ⎜0 1⎠ ⎝1

1 0 1

t

1⎞ 0⎟ ? 1⎠

R/

⎛−1 1 0⎞ ⎛1 0 o 2. ¿Cu´ al es el valor del determinante de 2 ⋅ ⎜ 0 0 0⎟ − ⎜0 1 ⎝ 1 0 1 ⎠ ⎝1 0

−1⎞ −1⎟ ? 1⎠

R/

o 3. Una matriz elemental de tama˜ no 4 × 4 y determinante −1 corresponde a

R/

⎛1 + x o 4. ¿Cu´ al es un valor de x para el cual ⎜ x ⎝1 + x

R/

x x x

x ⎞ 1 + x⎟ no es invertible? 1 + x⎠

⎛1 o 5. Una matriz con determinante 1 equivalente a ⎜2 ⎝1

9 −1 1

1⎞ 0⎟ es 1⎠

R/

140

4

PRIMER SEMESTRE DEL 2019

⎧ 3x + y + z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 6. ¿Cu´ al es el valor de y en ⎨ 3y + z = 1 seg´ un la regla de Cramer? ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩2x + y + 3z = 3

R/

o 7. Un sistema 3 × 4 cuyo conjunto soluci´ on depende de 2 par´ametros es

R/

4

141

PRIMER SEMESTRE DEL 2019

Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

⎛1 o 1 (10pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = ⎜0 ⎝0

0 −h⎞ ⎛−h 0 h⎞ −h 0 ⎟ ⎜ 0 −h 0 ⎟. 0 h ⎠⎝ 1 0 0⎠

⎧ (4a + 8)x + (−8b − 16)y + 7bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 2 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ (3a + 6)x + (−b − 2)y + −5bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(−2a − 4)x + (−2b − 4)y + −5bz = 0 (a) (5pts) Encuentre los valores de a y b para los cuales es inconsistente, tiene soluci´on u ´nica y tiene infinitas soluciones. (b) (5pts) Si a = 0 y b = 1 el sistema tiene soluci´on u ´nica, encu´entrela usando la regla de Cramer.

o 3 (10pts). Considere la matriz M = Rt A−1 D−1 At R−1 , donde R, A y D son matrices invertibles. (a) (5pts) Muestre que la inversa de M es igual a la transpuesta de R−1 At Dt A−1 Rt . (b) (5pts) Explique ¿Por qu´e el determinante de M solamente depende de D?. ***

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Soluci´ on

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

13 de Abril, I Ciclo 2019 1pm

MA-1004: Primer Examen Parcial

Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes, escriba las respuestas de ambas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, responda el ´ıtem junto con una breve y clara justificaci´ on de la respuesta. Todas las respuestas y justificaciones deben de estar escritas en el cuaderno de examen. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

⎛1 o 8. ¿Cu´ al es el resultado de ⎜0 ⎝1

t

3⎞ ⎛⎛1 4⎟ ⋅ ⎜⎜0 9⎠ ⎝⎝1

0⎞ ⎛1 1 ⎟ − 2 ⎜1 ⎝0 −1⎠

−1⎞⎞ 1 ⎟⎟? R/ 1 ⎠⎠

o 9. Determine la matriz escalonada reducida de la matriz de coeficientes del siguiente sistema ⎧ 2x + y + 3z + 2w = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x + y + z + 2w = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + 2z + w = 1 ⎩ x R/

⎛1 ⎜0 o 10. ¿Es la matriz ⎜ ⎜0 ⎝0

−2 1 0 0

3 −2 −2 2

−4⎞ 3⎟ ⎟ es equivalente a I4 ? 1⎟ −1⎠

R/

o 11. Una matriz 3 × 3 con determinante 3 y tres entradas nulas es

R/

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⎛1 ⎜1 o 12. ¿Es invertible la matriz ⎜ ⎜2 ⎝1

3 1 0 −1

0 4⎞ 1 1⎟ ⎟? 1 9⎟ 0 8⎠

R/

⎧ x + z=0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 13. ¿Cu´ al es el valor de x en ⎨−3x + 2y − 2z = 2 seg´ un la regla de Cramer? ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x+ y+ z =1

R/

o 14. Un sistema 2 × 3 cuyo conjunto soluci´ on dependa de un par´ametro es

R/

4

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Si a es un n´ umero real diferente de 0, calcule la matriz inversa de ⎛1 A = ⎜1 ⎝1

1 2 1

3⎞ ⎛a 1 5⎟ ⋅ ⎜0 a 4⎠ ⎝0 0

0⎞ 1⎟ a⎠

−1

o 2 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones lineales ⎧ ax + z=1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ax + (2 + 2a)y + 4z = 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (1 + a)y + 3z = 4 (a) (5pts) Determine los valores de a para los cuales el sistema es inconsistente, tiene soluci´ on u ´nica y tiene infinitas soluciones. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on cuando a = 0.

o 3 (10pts). Considere la siguiente matriz ⎛a + b + c a + b a+b M =⎜ b+c ⎝ c a

a + c⎞ a + c⎟ b ⎠

donde a, b y c son n´ umeros reales cualesquiera. Calcule el determinante de M si se sabe que a b det ( )=1 c a

***

"La estructura, elegancia y belleza de las matem´ aticas me atrap´ o inmediatamente, y se me fue el coraz´ on en eso" –Karen Uhlenbeck

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

Soluci´ on: Respuesta Corta ⎛1 o 1. ¿Cu´ al es el resultado de ⎜0 ⎝1 t

⎛1 3⎞ ⎛⎛1 o 1. ⎜0 4⎟ ⋅ ⎜⎜0 ⎝1 9⎠ ⎝⎝1 0 −1 ( ) −2 −25

0⎞ ⎛1 1 ⎟ − 2 ⎜1 ⎝0 −1⎠

t

3⎞ ⎛⎛1 4⎟ ⋅ ⎜⎜0 9⎠ ⎝⎝1

−1⎞⎞ ⎛1 1 ⎟⎟ = ⎜0 1 ⎠⎠ ⎝1

0⎞ ⎛1 1 ⎟ − 2 ⎜1 ⎝0 −1⎠ t

3⎞ ⎛−1 4⎟ ⋅ ⎜−2 9⎠ ⎝ 1

−1⎞⎞ 1 ⎟⎟? 1 ⎠⎠

2⎞ 1 −1⎟ = ( 3 −3⎠

0 4

−1 1 ⎛ ) ⋅ ⎜−2 9 ⎝ 1

2⎞ −1⎟ = −3⎠

−1 ) −25

0 R/ ( −2

o 2. Determine la matriz escalonada reducida de la matriz de coeficientes del siguiente sistema ⎧ 2x + y + 3z + 2w = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x + y + z + 2w = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + 2z + w = 1 ⎩ x ⎛2 1 3 o 2. ⎜1 1 1 ⎝1 0 2 1 0 2 −f3 ⎛ ⎜0 1 −1 Ð→ ⎝ 0 0 0 ⎛1 R/ ⎜0 ⎝0

0 1 0

2⎞ 1 0 2 1⎞ f2 − f1 ⎛1 f ↔ f3 ⎛ 2⎟ 1 ⎜1 1 1 2⎟ Ð→ ⎜0 Ð→ ⎝ 1⎠ 2 1 3 2⎠ f3 − 2f1 ⎝0 1⎞ f1 − f3 ⎛1 0 2 0⎞ 1⎟ Ð→ ⎜0 1 −1 0⎟ 1⎠ f2 − f3 ⎝0 0 0 1⎠

2 −1 0

0 1 1

2 −1 −1

1⎞ 1 f − f2 ⎛ 1⎟ 3 ⎜0 Ð→ ⎝ 0⎠ 0

0 1 0

2 −1 0

1⎞ 1⎟ −1⎠

0⎞ 0⎟ 1⎠

⎛1 ⎜0 o 3. ¿Es la matriz ⎜ ⎜0 ⎝0

−2 1 0 0

3 −2 −2 2

−4⎞ 3⎟ ⎟ es equivalente a I4 ? 1⎟ −1⎠

o 3. No, porque la fila 3 difiere de un signo de la fila 4, lo cual hace que su determinante sea 0. Ya que si fuera equivalente a I4 , su determinante deber´ıa ser diferente de 0. R/ No es equivalente a I4 .

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

o 4. Una matriz 3 × 3 con determinante 3 y tres entradas nulas es o 4. El determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de los 1⎞ ⎛3 2 elementos de su diagonal, por lo tanto la matriz ⎜0 −1 4 ⎟ cumple con las condiciones. ⎝0 0 −1⎠ ⎛3 R/ ⎜0 ⎝0

2 −1 0

1⎞ 4⎟ −1⎠

⎛1 ⎜1 o 5. ¿Es invertible la matriz ⎜ ⎜2 ⎝1

3 1 0 −1

0 4⎞ 1 1⎟ ⎟? 1 9⎟ 0 8⎠

o 5. La fila 4 es igual a la resta de la fila 3 con la fila 2, por lo que su determinante ser´a igual a 0. Esto implica que la matriz no sea invertible. R/ No es invertible.

⎧ x + z=0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 6. ¿Cu´ al es el valor de x en ⎨−3x + 2y − 2z = 2 seg´ un la regla de Cramer? ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x+ y+ z =1 o 6. Por Cramer se tiene que ⎛0 0 1 ⎞ det ⎜2 2 −2⎟ ⎝1 1 1 ⎠ 0 0 = = =0 x= −1 1 0 1 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ det ⎜−3 2 −2⎟ det ⎜−3 2 −2⎟ ⎝1 1 1⎠ ⎝1 1 1⎠ R/ x = 0.

o 7. Un sistema 2 × 3 cuyo conjunto soluci´ on dependa de un par´ametro es o 7. Para que el conjunto soluci´ on dependa de un par´ametro debe de suceder que el n´ umero de columnas del sistema menos el rango de su matriz de coeficientes de como resultado 1. Por ejemplo, la siguiente matriz aumentada cumple con las condiciones ya que es escalonada reducida:

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

1 ( 0

0 1

11 ∣ ) 11

x +z =1 R/ { y+z =1 Soluci´ on: Desarrollo o 1 (10pts). Si a es un n´ umero real diferente de 0, calcule la matriz inversa de ⎛1 A = ⎜1 ⎝1 ⎛⎛1 o 1. A−1 = ⎜ ⎜⎜1 ⎝⎝1

1 2 1

3⎞ ⎛a 5⎟ ⋅ ⎜0 4⎠ ⎝0

1 a 0

1 2 1 −1 −1

0⎞ 1⎟ a⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1

3⎞ ⎛a 1 5⎟ ⋅ ⎜0 a 4⎠ ⎝0 0

0⎞ 1⎟ a⎠

⎛a 1 = ⎜0 a ⎝0 0

0⎞ ⎛1 1⎟ ⋅ ⎜1 a⎠ ⎝1

1 2 1

3⎞ 5⎟ 4⎠

−1

−1

⎛1 1 3⎞ Se calcula ⎜1 2 5⎟ : ⎝1 1 4⎠ R R ⎛1 1 3RR1 0 0⎞ f2 − f1 ⎛1 1 3RRRR 1 ⎜1 2 5RRRR0 1 0⎟ Ð→ ⎜0 1 2RRRR−1 R R ⎝1 1 4RRRR0 0 1⎠ f3 − f 1 ⎝0 0 1RRRR−1 f1 − f3 ⎛1 0 0RRRR 3 −1 −1⎞ Ð→ ⎜0 1 0RRRR 1 1 −2⎟ R f2 − f3 ⎝0 0 1RRRR−1 0 1⎠ As´ı se tiene que: −1 ⎛a 1 ⎛a 1 0⎞ ⎛1 1 3⎞ −1 A = ⎜0 a 1⎟⋅⎜1 2 5⎟ = ⎜0 a ⎝0 0 a⎠ ⎝1 1 4⎠ ⎝0 0

1 0 0⎞ f − f2 ⎛ 1 0⎟ 1 ⎜0 Ð→ ⎝ 0 0 1⎠

0⎞ ⎛ 3 1⎟⋅⎜ 1 a⎠ ⎝−1

−1 1 0

0 1 0

1RRRR 2 2RRRR−1 R 1RRRR−1

−1⎞ ⎛ 1 + 3a −2⎟ = ⎜−1 + a 1 ⎠ ⎝ −a

−1 1 0

0⎞ 0⎟ 1⎠

1 − a −2 − a⎞ a 1 − 2a ⎟ 0 a ⎠

o 2 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones lineales ⎧ ax + z=1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ax + (2 + 2a)y + 4z = 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (1 + a)y + 3z = 4 (a) (5pts) Determine los valores de a para los cuales el sistema es inconsistente, tiene soluci´ on u ´nica y tiene infinitas soluciones. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on cuando a = 0. o 2.

(a) Se reduce la matriz aumentada del sistema:

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

0 1RRRR1⎞ f2 − f1 ⎛a 0 1RRRR1⎞ a 0 1RRRR1⎞ a 0 1 RRRR 1 ⎞ f ↔ f3 ⎛ f − 2f2 ⎛ 2 + 2a 4RRRR6⎟ Ð→ ⎜0 2 + 2a 3RRRR5⎟ 2 ⎜0 1 + a 2RRRR3⎟ 3 ⎜0 1 + a 2 RRRR 3 ⎟ R R R R Ð→ ⎝ Ð→ ⎝ 1 + a 3RRRR4⎠ f3 − f1 ⎝0 1 + a 2RRRR3⎠ 0 2 + 2a 3RRRR5⎠ 0 0 −1RRRR−1⎠ a 0 1RRRR1⎞ f1 − f3 ⎛a 0 0RRRR0⎞ −f3 ⎛ R R ⎜0 1 + a 2RR3⎟ Ð→ ⎜0 1 + a 0RRRR1⎟ R R Ð→ ⎝ 0 0 1RRRR1⎠ f2 − 2f3 ⎝0 0 1RRRR1⎠

⎛a ⎜a ⎝a

Se hacen los casos con esta matriz reducida: ⎛0 0 0RRRR0⎞ o a = 0:Se obtiene la matriz ⎜0 1 0RRRRR1⎟ Esta matriz tiene rango 2 y 3 columnas, ⎝0 0 1RRRR1⎠ por lo que el sistema tendr´ıa infinitas soluciones con 3 − 2 = 1 par´ametros. 0 0RRRR0⎞ 0 0RRRR0⎞ 1 ⎛1 ⎛a f R 1 o a ≠ 0: ⎜0 1 + a 0RRRR1⎟ a ⎜0 1 + a 0RRRRR1⎟ Se hacen dos casos para esta ma⎝0 0 1RRRR1⎠ 0 1RRRR1⎠ Ð→ ⎝0 triz: ⎛1 0 0RRRR0⎞ o a = −1: Se obtiene la matriz ⎜0 0 0RRRRR1⎟, la cual tiene una fila inconsis⎝0 0 1RRRR1⎠ tente, por lo que su conjunto es vac´ıo. R ⎛1 0 0RRRR 0 ⎞ 0 0RRRR0⎞ 1 ⎛1 RR 1 ⎟ f R 2 o a ≠ −1: ⎜0 1 + a 0RRRR1⎟ a + 1 ⎜ ⎟ ⎜0 1 0RRRR R a ⎝0 0 1RRR1⎠ Ð→ ⎝0 0 1RRRR 1 + ⎠ 1 R As´ı en este caso se tendr´ıa soluci´ on u ´nica. ⎛0 (b) Por la parte anterior, cuando a = 0 la matriz del sistema es equivalente a ⎜0 ⎝0 ⎧ ⎫ x h ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ As´ı, el conjunto soluci´ on es S = ⎨⎜y ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ∶ h ∈ R⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ z ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭

0 1 0

0RRRR0⎞ 0RRRR1⎟ R 1RRRR1⎠

o 3 (10pts). Considere la siguiente matriz ⎛a + b + c a + b a+b M =⎜ b+c ⎝ c a

a + c⎞ a + c⎟ c ⎠

donde a, b y c son n´ umeros reales cualesquiera. Calcule el determinante de M si se sabe que a b det ( )=1 c a

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

0 ⎛a + b + c a + b a + c⎞ f − f ⎛ a 2 a + b a + c⎟ 1 o 8. det ⎜ b + c det ⎜b + c a + b = ⎝ c ⎝ c a c ⎠ a b a a c a b = a det ( ) = −a det ( ) = −a det ( ) = −a a c b a c a

0 ⎞ ⎛a f − f3 a + c⎟ 2 det ⎜ b = ⎝c c ⎠

153 0 0⎞ b a⎟ a c⎠

⎛a + b + c a + b a + c⎞ a + b a + c⎟ Observaci´ on: Por error apareci´ o en el examen la matriz ⎜ b + c ⎝ c a b ⎠ En este caso, la soluci´ on queda: 0 0 ⎞ ⎛a + b + c a + b a + c⎞ f − f ⎛ a a+b a+c 2 a + b a + c⎟ 1 det ⎜ b + c det ⎜b + c a + b a + c⎟ = a det ( ) = a ((a + b)b − a( = a b ⎝ c ⎝ c a b ⎠ a b ⎠ a(ab + b2 − a2 − ac)

***

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

04 de Mayo, I Semestre 2019 01:00 pm

MA-1004: Reposici´ on Primer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 50 puntos. ⎛1 o 15 (10pts). Si A = ⎜1 ⎝1

−1 0 0

1⎞ 2 1 0 1⎟ y B=( ) calcule la matriz B(A2 − 2A)B t . −1 1 1 −1⎠

⎧ (3 + 3a)x + ay + (2 + a)z + (−1 + a)w = 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 16 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ (1 + a)x + ay + (2 + a)z =1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(2 + 2a)x + ay + (2 + a)z + (−1 + a)w = 3 (a) (5pts) Determine todos los valores de a donde el sistema es inconsistente. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on cuando a = 0. o 17 (10pts). Si a ≠ 0, calcule la inversa de la matriz ⎛0 ⎜0 ⎝1

0 1 0

−1

1⎞ 0⎟ 0⎠

⎛1 ⎜1 ⎝0

1 2 0

0⎞ ⎛1 0⎟ ⎜0 1⎠ ⎝0

−1

0⎞ a⎟ 1⎠

a 1 0

o 18 (10pts). Considere el siguiente sistema de ecuaciones ⎛1 + b 2b 1⎞ ⎛x⎞ ⎛1⎞ ⎜1 + b 3b 1⎟ ⎜y ⎟ = ⎜1⎟ ⎝ 0 b 1⎠ ⎝ z ⎠ ⎝1⎠ (a) (5pts) Calcule el determinante de la matriz de coeficientes y determine todos los valores de b para los cuales el sistema tiene soluci´on u ´nica. (b) (5pts) Si b = 1 el sistema tiene soluci´ on u ´nica, encu´entrela usando el m´etodo de Cramer. o 19 (10pts). Use las propiedades del determinante para verificar la siguiente igualdad: ⎛ 1 det ⎜b + c ⎝ 1

1 a+c −1

1 ⎞ ⎛1 a + b⎟ + det ⎜a ⎝0 1 ⎠

1 1⎞ b c⎟ = 0 −2 0⎠

"La estructura, elegancia y belleza de las matem´ aticas me atrap´ o inmediatamente, y se me fue el coraz´ on en eso" –Karen Uhlenbeck

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

08 de Junio, I Semestre 2019 1pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial (Muestra) Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba todas sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] Responda cada pregunta en su cuaderno de examen y escriba el procedimiento usado. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

o 20. ¿Cu´ al es un vector de norma 2 perpendicular al plano −x + y + 2z = 2?

R/

o 21. Escriba la recta intersecci´ on de los planos 2x − y = 0 y y − 2z = 0 con ecuaciones param´etricas. R/ o 22. El ´ area del paralelogramo determinado por las proyecciones de v⃗ = (−2, 1, −1) sobre los ejes y y z es: R/ o 23. Una base del subespacio de matrices triangulares superiores de M (2; R) es

o 24. Un vector unitario que forme un ´ angulo de

π con v⃗ = (1, 0, 1) es 4

⎛1 ⎜−1 o 25. La dimensi´ on del espacio de columnas de A = ⎜ ⎜2 ⎝1

1 −1 1 0

1⎞ −1⎟ ⎟ es −1⎟ −2⎠

R/

R/

R/

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

o 26. Un vector que no pertenezca a la imagen de T (x, y) = (x + y, x − y, 2x + y) es R/

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). En R3 , considere el conjunto C de todos los vectores normales a v⃗ = (1, −1, 1). (a) (5pts) Muestre que C es un subespacio de R3 y que no es igual a todo R3 . (b) (5pts) Encuentre una base para C.

o 2 (10pts). En R3 , considere el conjunto de vectores ⎧ −a b ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜ b ⎟ , ⎜−a⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ b ⎠ ⎝−a⎠⎪ ⎭ (a) (5pts) Justifique porqu´e B es un conjunto linealmente indepenciente si a = b. (b) (5pts) Cuando a = 0 y b = 1 el conjunto B es linealmente independiente. Verifique que el vector v⃗ = (1, 1, 1) pertenece al conjunto generado por B.

o 3 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, −2, 2). Calcule [T ]B onica de R3 , y determine si existe un vector no nulo v⃗ ∈ R3 C , donde C es la base can´ que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0). ***

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

08 de Junio, I Semestre 2019 01:00 pm

MA-1004: Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes, escriba las respuestas de ambas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, responda el ´ıtem junto con una breve y clara justificaci´ on de la respuesta. Todas las respuestas y justificaciones deben de estar escritas en el cuaderno de examen. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

⃗ = (1, 1, 0) es o 27. El ´ angulo entre v⃗ = (1, 0, −1) y w R/ ⎧ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜2⎟ ⎜−1⎟⎪ ⎪ o 28. ¿Es linealmente dependiente el conjunto ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬? ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 0 1 ⎩ ⎭ R/ o 29. Un vector en R3 cuya proyecci´ on sobre cada vector can´onico, sea el mismo vector can´ onico es: R/ o 30. Un vector paralelo a la intersecci´ on de x − 2y + z = 0 y 2x − y + z = 0 es: R/

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

o 31. La dimensi´ on del espacio de columnas de A = (

1 1 2 1

−1 1

0 ) es: 1 R/

o 32. ¿Es inyectiva la transformaci´ on T (x, y, z) = (x + y + z, x − y + z)? R/ o 33. Si T (x, y) = (x − 2y, y) es invertible entonces [T −1 ]C es igual a: R/

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere el siguiente conjunto T de matrices 2 × 2: a T = {( 0

b ) ∶ a, b, c ∈ R} c

(a) (5pts) Muestre que T es un subespacio de M (2; R). (b) (5pts) Determine una base para T . o 2 (10pts). Se define T ∶ R3 → R2 sobre la base de R3 ⎧ 7 7 ⎫ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜3⎟ , ⎜4⎟ , ⎜3⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭ como T (8, 3, 1) = (1, 1), T (7, 4, 1) = (1, −1) y T (7, 3, 1) = (0, 1). Determine el criterio de T.

o 3 (10pts). Considere las bases de R3 : ⎧ ⎧ 7 −6 −2 ⎫ −3 14 −2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜−5⎟ , ⎜−2⎟⎬ y B2 = ⎨⎜−4⎟ , ⎜ 8 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎩⎝ 2 ⎠ ⎝−7⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ 2 (a) (5pts) Encuentre [I]B B1 .

(b) (5pts) Si v⃗ = (1, 2, 3), calcule [⃗ v ]B1 y [⃗ v ]B2 .

***

"Me preguntan si ya no hay cosas que descubrir en matem´ aticas. La verdad es que cada vez hay m´ as y m´ as cosas para investigar." –Alice Guionnet

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Respuesta Corta ⃗ = (1, 1, 0) es: o 1. El ´ angulo entre v⃗ = (1, 0, −1) y w R/ El ´ angulo es θ =

⃗ π v⃗ ⋅ w (1, 0, −1) ⋅ (1, 1, 0) 1 √ √ , ya que cos(θ) = = = . ⃗ 3 ∥⃗ v ∥ ⋅ ∥w∥ 2 2⋅ 2

⎧ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜2⎟ ⎜−1⎟⎪ o 2. ¿Es linealmente dependiente el conjunto ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬? ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ R/ No, porque si lo fuera el segundo vector ser´ıa multiplo no nulo del primero, lo cual es imposible de cumplir por la cuarta entrada. o 3. Un vector en R3 cuya proyecci´ on sobre cada vector can´onico, sea el mismo vector can´ onico es: v ⋅ e⃗1 )e⃗1 = R/ El vector v⃗ = (1, 1, 1) cumple con la condici´on. En efecto: Proye⃗1 v⃗ = (⃗ 1 ⋅ e⃗1 = e⃗1 , y de manera similar Proye⃗2 v⃗ = e⃗2 y Proye⃗3 v⃗ = e⃗3 . o 4. Un vector paralelo a la intersecci´ on de x − 2y + z = 0 y 2x − y + z = 0 es: R/ El vector v⃗ = (1, −1, −3) cumple con la condici´on, pues al restar las dos ecuaciones se obtiene x = −y, y al hacer x = 1 y sustituir en las ecuaciones se obtiene x = 1, y = −1, z = −3. o 5. La dimensi´ on del espacio de columnas de A = (

1 2

1 1

−1 1

⎛1 ⎜0 R/La dimensi´ on es 2, ya que al reducir A se obtiene ⎜ ⎜0 ⎝0

0 ) es: 1 0⎞ 1⎟ ⎟. 0⎟ 0⎠

t

o 6. ¿Es inyectiva la transformaci´ on T (x, y, z) = (x + y + z, x − y + z)? R/ No, ya que T va de R3 a R2 , imposibilitando que la dimensi´on de la imagen sea 3, por lo que nunca se podr´ıa tener nulidad igual a 0. o 7. Si T (x, y) = (x − 2y, y) es invertible entonces [T −1 ]C es igual a: R/ [T

−1

1 ]C = ( 0

2 1 ) ya que [T −1 ]C = ([T ]C )−1 = ( 1 0

−2 ) 1

−1

1 =( 0

2 ). 1

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Desarrollo o 4 (10pts). Considere el siguiente conjunto T de matrices 2 × 2: a T = {( 0

b ) ∶ a, b, c ∈ R} c

(a) (5pts) Muestre que T es un subespacio de M (2; R). (b) (5pts) Determine una base para T . o 9.

a a2 b b (a) Sean A = ( 1 ) y B = ( 1 2 ) son matrices en T , donde a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 0 a3 0 b3 son n´ umeros reales. Hay que mostrar que A + αB ∈ T para todo α ∈ R. En efecto: a a2 b b a + αb1 A + αB = ( 1 ) + α ( 1 2) = ( 1 0 a3 0 b3 0 requerida para pertenecer a T .

a (b) Note que ( 0

b 1 ) = a( c 0

0 0 ) + b( 0 0

1 0 ) + c( 0 0

por lo tanto una base para T es B = {(

1 0

a2 + αb2 ), la cual tiene la forma a3 + αb3 0 ) 1

0 0 ),( 0 0

1 0 ),( 0 0

0 )}. 1

o 5 (10pts). Se define T ∶ R3 → R2 sobre la base de R3 ⎧ 8 7 7 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜3⎟ , ⎜4⎟ , ⎜3⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ como T (8, 3, 1) = (1, 1), T (7, 4, 1) = (1, −1) y T (7, 3, 1) = (0, 1). Determine el criterio de T. 1 1 0 o 10. La informaci´ on del problema dice que [T ]CB2 = ( ). 1 −1 1 Para calcular el criterio se determina la matriz [T ]CC23 haciendo cambios de base a [T ]CB2 : −1 8 7 7⎞ 1 1 0 ⎛ C2 C2 C2 C3 −1 B [T ]C3 = [T ]B ⋅ [I]C3 = [T ]B ⋅ ([I]B ) = ( ) ⋅ ⎜3 4 3⎟ 1 −1 1 ⎝ 1 1 1⎠ 1 1 −10 ) =( 0 −2 7 por lo tanto T (x, y, z) = (x + y − 10z, −2y + 7z) o 6 (10pts). Considere las bases de R3 : ⎧ ⎧ 7 −6 −2 ⎫ −3 14 −2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜−5⎟ , ⎜−2⎟⎬ y B2 = ⎨⎜−4⎟ , ⎜ 8 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎩⎝ 2 ⎠ ⎝−7⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭

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2 (a) (5pts) Encuentre [I]B B1 .

(b) (5pts) Si v⃗ = (1, 2, 3), calcule [⃗ v ]B1 y [⃗ v ]B2 . ⎛7 o 11. De la informaci´ on del problema se tiene que [I]CB1 = ⎜ 0 ⎝−3 −3 14 −2 ⎛ ⎞ ⎜−4 8 −1⎟. ⎝ 2 −7 1 ⎠ B2 C C −1 2 ⋅ [I]CB1 (a) [I]B B1 = [I]C ⋅ [I]B1 = ([I]B2 )

⎛−3 = ⎜−4 ⎝2

−2⎞ −1⎟ 1⎠

−1

14 8 −7

⎛7 ⋅⎜ 0 ⎝−3

−6 −5 3

−6 −5 3

0 0⎞ ⎛ 1 = ⎜ −1 −2 −1⎟ ⎝−12 −11 −6⎠ (b) Como v⃗ = (1, 2, 3), [⃗ v ]C = (1, 2, 3) [⃗ v ]B1 =

1 [I]B v ]C C [⃗

[⃗ v ]B2 =

2 v ]C [I]B C [⃗

=

v ]C ([I]CB1 )−1 [⃗

⎛7 =⎜0 ⎝−3

−6 −5 3

−2⎞ −2⎟ 1⎠

⎛1⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜2⎟ = ⎜ 50 ⎟ ⎝3⎠ ⎝−126⎠

=

([I]CB2 )−1 [⃗ v ]C

⎛−3 = ⎜−4 ⎝2

14 8 −7

−2⎞ −1⎟ 1⎠

⎛1⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜2⎟ = ⎜ 19 ⎟ ⎝3⎠ ⎝122⎠

***

−1

−1

−2⎞ −2⎟ y [I]CB2 = 1⎠

−2⎞ −2⎟ 1⎠

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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19 de Junio, I Semestre 2019 08:00 am

MA-1004: Reposici´ on Segundo Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 50 puntos. o 34 (10pts). En el espacio R3 , considere el plano x + 9y + 6z = 0. (a) (5pts) Determine dos vectores normales al plano, cuyo ´angulo entre ellos sea π. (b) (5pts) Encuentre las ecuaciones param´etricas de la recta normal al plano.

o 35 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T (x, y) = (x + y, x − y, 2x + y). (a) (5pts) Determine el n´ ucleo de T , es decir, el subespacio de R2 formado por los ⃗ vectores v⃗, tales que T (⃗ v ) = 0. (b) (5pts) Encuentre un vector que no pertenezca a la imagen de T .

o 36 (10pts). Considere el siguiente conjunto T de matrices 2 × 2: a T = {( b

b ) ∶ a, b, c ∈ R} c

(a) (5pts) Muestre que T es un subespacio de M (2; R). (b) (5pts) Determine una base para T .

o 37 (10pts). Se define T ∶ R3 → R3 sobre la base de R3 ⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, −2, 2). Calcule la matriz [T ]B onica. C , donde C es la base can´

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o 38 (10pts). Considere las bases de R3 : ⎧ ⎧ 7 −6 −2 ⎫ −3 14 −2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜−5⎟ , ⎜−2⎟⎬ y B2 = ⎨⎜−4⎟ , ⎜ 8 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎩⎝ 2 ⎠ ⎝−7⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ 2 (a) (5pts) Encuentre [I]B B1 .

(b) (5pts) Si v⃗ = (1, 2, 3), calcule [⃗ v ]B1 y [⃗ v ]B2 .

"Me preguntan si ya no hay cosas que descubrir en matem´ aticas. La verdad es que cada vez hay m´ as y m´ as cosas para investigar." –Alice Guionnet

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

08 de Julio, I Semestre 2019 1pm

MA-1004: Tercer Examen Parcial (Muestra) Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes. Escriba todas sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] Responda cada pregunta en su cuaderno de examen y escriba el procedimiento usado. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

o 39. Una base ortogonal del plano x + y − z = 0 es: ⎛ 0√ o 40. Si A = ⎜1/√2 ⎝1/ 2

R/

1 0√ ⎞ 0 −1/√ 2⎟ es ortogonal, entonces A−1 es igual a: 0 1/ 2 ⎠

o 41. Una matriz 2 × 2 con valor propio λ = 2 es:

R/

o 42. Un ejemplo de matriz 3 × 3 no diagonalizable es:

R/

⎛1 o 43. El polinomio caracter´ıstico de ⎜1 ⎝1

R/

0 2 2

0⎞ 0⎟ es: 3⎠

⎛1 o 44. ¿Cu´ al es un vector propio de la matriz ⎜0 ⎝1

0 0 0

1⎞ 0⎟? 1⎠

R/

R/

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o 45. ¿Cu´ al es la matriz sim´etrica asociada a la forma cuadr´atica x2 − y 2 + z 2 + xy − xz? R/

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere la siguiente base de R4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜2⎟ ⎜−1⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟⎪ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 1 1 0 0 ⎭ ⎩ Use el proceso de Gram-Schmidt para determinar una base ortonormal de R4 a partir de la base B. o 2 (10pts). Considere la tranformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (−4x − 40z, 24x + 4y + 120z, 4z) (a) (5pts) Calcule la multiplicidad algebraica y geom´etrica de cada valor propio de T . (b) (5pts) Encuentre una base B de R3 donde [T ]B sea diagonal.

o 3 (10pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on −4xy = 1. (a) (5 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica y los valores propios de esta. (b) (5 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x x′ ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. (c) (Opcional, 3pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´on. ***

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

08 de Julio, I Semestre 2019 01:00 pm

MA-1004: Tercer Examen Parcial Instrucciones generales: Este examen cuenta con dos partes, escriba las respuestas de ambas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 3 horas. Complete 44 puntos.

Respuesta Corta [14pts] En cada caso, responda el ´ıtem junto con una breve y clara justificaci´ on de la respuesta. Todas las respuestas y justificaciones deben de estar escritas en el cuaderno de examen. No se reconocer´ a puntaje por respuestas ambiguas. Esta parte tiene un valor de 2 puntos por cada acierto.

o 46. Un ejemplo de base ortogonal de R2 que contenga al vector v⃗ = (

1 ) es: −1

R/ o 47. Escriba un ejemplo de matriz ortogonal de tama˜ no 3 × 3 diferente a la matriz identidad. R/ √ √ ⎧ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ 2 1/ −1/ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ ⎪ √ √ 2⎞ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1/ 2⎟ ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎜ 0√ ⎟ ⎜ 0√ ⎟⎪ ⎪ ⎟,⎜ ⎟⎬ es una ⎟,⎜ ⎟,⎜ o 48. Si B = ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 2 −1/ 1/ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ √ √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1/ 2⎠ ⎝ 1/ 2 ⎠⎪ ⎭ entonces el vector de coordenadas en la base B del vector v⃗ = igual a: ⎛1 o 49. ¿Cu´ al es el polinomio caracter´ıstico de A = ⎜1 ⎝0

0 0 1

base ortonormal de R4 , √ √ √ √ ( 2, 2, −4 2, 5 2) es R/

0⎞ 0⎟? 1⎠ R/

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o 50. Escriba un ejemplo de una matriz 2 × 2 no diagonalizable. R/ o 51. Si una matriz 3 × 3 tiene 3 valores propios diferentes ¿Puede suceder que la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geom´etrica de alguno de sus valores propios sean diferentes? R/

1 0 o 52. Si A = ( ) es la matriz de la forma cuadr´atica asociada a una ecuaci´on 0 −1 cuadr´ atica con t´ermino constante diferente de cero, entonces con seguridad la curva que representa la ecuaci´ on es una: R/

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Desarrollo [30pts] Escriba sus respuestas de forma ordenada y legible, con todos los detalles necesarios para justificarlas. Esta parte tiene un valor de 10 puntos por cada pregunta.

o 1 (10pts). Considere el siguiente conjunto linealmente independiente de R4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟⎪ C = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠⎪ y denote como S al subespacio de R4 generado por C. (a) (5pts) Utilice el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de S. (b) (5pts) Encuentre un vector unitario v⃗ ortogonal a S que sea base del complemento ortogonal de S. Adem´ as, verifique que C junto con el vector v⃗, forman una base de R4 . o 2 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 dada por la f´ormula: T (x, y, z) = (−x − 2y + 2z, −2x − y − 2z, 2x − 2y − z) (a) (3pts) Calcule todos los valores propios de T . (b) (7pts) Determine una base B de R3 donde [T ]B sea diagonal.

√ o 3 (10pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on 7x2 + 5y 2 + 2 3xy = 8. (a) (2 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica. (b) (8 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x x′ ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. (c) (Opcional, 3pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´on.

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"En la base de toda ciencia, de toda t´ ecnica y de toda tecnolog´ ıa, intervienen las matem´ aticas, tanto como modo de pensamiento que como instrumento de investigaci´ on." –Jos´ ephine Guidy Wandja

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Respuesta Corta

o 1. Un ejemplo de base ortogonal de R2 que contenga al vector v⃗ = (

1 ) es: −1

1 1 1 1 R/ B = {( ) , ( )} es una base ortogonal de R2 ya que ( ) ⋅ ( ) = 1 − 1 = 0. −1 1 −1 1 o 2. Escriba un ejemplo de matriz ortogonal de tama˜ no 3 × 3 diferente a la matriz identidad. ⎛0 R/ A = ⎜1 ⎝0

0 0 1

1⎞ 0⎟ es ortogonal ya que At ⋅ A = I3 . 0⎠

√ √ ⎧ 1/√2⎞ ⎛−1/√ 2⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1/ 2⎟ ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎜ 0√ ⎟ ⎜ 0√ ⎟⎪ ⎟,⎜ ⎟,⎜ ⎟,⎜ ⎟⎬ es una base ortonormal de R4 , o 3. Si B = ⎨⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 1/ −1/ 2 2 ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ √ ⎠ ⎝ √ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 0 1/ 2 1/ 2 ⎪ ⎭ ⎩ 0 √ √ √ √ entonces el vector de coordenadas en la base B del vector v⃗ = ( 2, 2, −4 2, 5 2) es igual a: R/ [⃗ v ]B =√(2, 0, 1, 9) ya que [⃗ v√ ]B = √ √ √ √ 2 ⎛⎛1/√2⎞ ⎛ √ ⎞ ⎛−1/√ 2⎞ ⎛ √2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ √2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ √2 ⎞⎞ ⎜⎜1/ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1/ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ √ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⋅⎜ √ ⎟ ⎟,⎜ ⎜ √ ⎟,⎜ √ ⎟ ⋅ ⎜ √ ⎟,⎜ ⎜ √ ⎟⎟ = (2, 0, 1, 9) ⎜⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜−4√ 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜−4√ 2⎟ ⎜1/√2⎟ ⎜−4√ 2⎟ ⎜−1/√ 2⎟ ⎜−4√ 2⎟⎟ ⎜ ⎝⎝ 0 ⎠ ⎝ 5 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 5 2 ⎠ ⎝1/ 2⎠ ⎝ 5 2 ⎠ ⎝ 1/ 2 ⎠ ⎝ 5 2 ⎠⎠ ⎛1 o 4. ¿Cu´ al es el polinomio caracter´ıstico de A = ⎜1 ⎝0

0 0 1

0⎞ 0⎟? 1⎠

⎛1 − x 0 −x R/ p(x) = −x(1−x)2 , pues p(x) = det(A−xI3 ) = det ⎜ 1 ⎝ 0 1

0 ⎞ 0 ⎟ = −x(1−x)2 . 1 − x⎠

o 5. Escriba un ejemplo de una matriz 2 × 2 no diagonalizable. 0 1 R/ B = ( ) no es diagonalizable ya que su u ´nico valor propio λ = 0 tiene multi0 0 plicidad algebraica 2, pues su polinomio caracter´ıstico es p(x) = x2 , y su multiplicidad 0 1 geom´etrica es 1, pues el sistema homog´eneo de ( ) tiene un solo par´ametro. 0 0 o 6. Si una matriz 3 × 3 tiene 3 valores propios diferentes ¿Puede suceder que la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geom´etrica de alguno de sus valores propios sean diferentes?

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R/ No, ya que esto implica que la multiplicidad algebraica de cada uno es 1, lo que obliga que la multiplicidad geom´etrica sea 1 tambi´en, pues 1 ≤ multiplicidad geom´etrica ≤ multiplicidad algebraica. 1 0 o 7. Si A = ( ) es la matriz de la forma cuadr´ atica asociada a una ecuaci´on cuadr´ati0 −1 ca con t´ermino constante diferente de cero, entonces con seguridad la curva que representa la ecuaci´ on es una: R/ Hip´erbola, pues la ecuaci´ on cuadr´ atica asociada ser´ıa de la forma x2 − y 2 + ax + by + c = 0, con c ≠ 0.

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Desarrollo o 7 (10pts). Considere el siguiente conjunto linealmente independiente de R4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟⎪ ⎪ C = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 0 0 0 ⎩ ⎭ y denote como S al subespacio de R4 generado por C. (a) (5pts) Utilice el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de S. (b) (5pts) Encuentre un vector unitario v⃗ ortogonal a S que sea base del complemento ortogonal de S. Adem´ as, verifique que C junto con el vector v⃗, forman una base de R4 . ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ o 12. (a) Se toman v⃗1 = ⎜ ⎟, v⃗2 = ⎜ ⎟ y v⃗3 = ⎜ ⎟, y se aplica Gram-Schmidt para ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⃗1 , w ⃗2 , w ⃗3 } ortonormal base de S. obtener a partir de ellos un conjunto {w √ √ (1, 1, 0, 0) (1, 1, 0, 0) v⃗1 √ ⃗1 = w = = = (1/ 2, 1/ 2, 0, 0). ∥⃗ v1 ∥ ∥(1, 1, 0, 0)∥ 2 √ ⃗ 1 )w ⃗1 ⃗1 v⃗2 − (1, 1, 0, 0) v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ w v⃗2 − (2/ 2)w (0, 0, 1, 0) ⃗2 = √ = w = = = ⃗ 1 )w ⃗1 ∥ ∥⃗ v2 − (⃗ v2 ⋅ w ∥⃗ v2 − (1, 1, 0, 0)∥ ∥(0, 0, 1, 0)∥ ⃗1 ∥ ∥⃗ v2 − (2/ 2)w (0, 0, 1, 0). √ ⃗ 1 )w ⃗1 − (⃗ ⃗2 )w ⃗2 ⃗1 − (1)w ⃗2 v⃗3 − (1/ 2)w v⃗3 − (1/2, 1/2, 0, 0) − (0, v⃗3 − (⃗ v3 ⋅ w v3 ⋅ w ⃗3 = √ = = w ⃗1 − (⃗ ⃗2 )w ⃗2 ∥ ∥⃗ ⃗ 1 )w ∥⃗ v3 − (⃗ v3 ⋅ w v3 ⋅ w v3 − (1/2, 1/2, 0, 0) − (0, ⃗1 − (1)w ⃗2 ∥ ∥⃗ v3 − (1/ 2)w √ √ (1/2, −1/2, 0, 0) = (1/ 2, −1/ 2, 0, 0) ∥(1/2, −1/2, 0, 0)∥ As´ı, una base ortonormal de S es: √ √ ⎫ ⎧ 2 0 1/ 1/ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ √ √2 ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1/ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜−1/ 2⎟⎪ ⎟,⎜ ⎟,⎜ ⎟⎬ ⎨⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 1 ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠⎪ (b) Se encuentra la mog´eneo: √ √ ⎛1/√2 1/ √2 ⎜1/ 2 −1/ 2 ⎝ 0 0

base del complemento ortogonal de S resolviendo el sistema ho-

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ x ⎞ ⎛0⎞ ⎪ ⎪ 0RRRR0⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R R 0RR0⎟ Ô⇒ Sol = ⎨⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ t, t ∈ R⎬ RRR ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ z 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0RR0⎠ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ w 1 ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ 0 ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟⎪ ⎪ As´ı, una base del complemento ortogonal de S es ⎨⎜ ⎟⎬, ⎟ ⎜ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1 ⎩ ⎭ 0 0RRRR0⎞ 1 R (⋯) ⎛ ⎜0 0 0RRRR0⎟ → ⎝ R 0 1 0RRRR0⎠

0 1 0

0 0 1

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√ √ ⎧ ⎫ 2 1/ 0 1/ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎪ ⎪ √ √2 ⎞ ⎛0⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜1/ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜−1/ 2⎟ ⎜0⎟⎪ ⎪ ⎟,⎜ ⎟,⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ que junto con los vectores de C forman la base de R4 : ⎨⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 1 0 ⎪ ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ La cual es efectivamente una base de R4 , pues el determinante de la matriz que forman es 1 y son cuatro vectores. o 8 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 dada por la f´ormula: T (x, y, z) = (−x − 2y + 2z, −2x − y − 2z, 2x − 2y − z) (a) (3pts) Calcule todos los valores propios de T . (b) (7pts) Determine una base B de R3 donde [T ]B sea diagonal. o 13.

⎛−1 (a) De la informaci´ on del problema se tiene que [T ]C = ⎜−2 ⎝2 polinomio caracter´ıstico es: ⎛−1 − x p(x) = det([T ]C − xI) = det ⎜ −2 ⎝ 2 2 3)(x + 3)

−2 −1 −2

2⎞ −2⎟ y as´ı su −1⎠

−2 2 ⎞ −1 − x −2 ⎟ = −x3 − 3x2 + 9x + 27 = −(x − −2 −1 − x⎠

Por lo que los valores propios son λ1 = 3 y λ2 = −3. (b) Se encuentran bases para los espacios propios para cada valor propio de la matriz de T : ⎛−4 −2 2 RRRR0⎞ (⋯) ⎛1 0 −1RRRR0⎞ ⃗ ⎜0 1 1 RRRR0⎟ λ1 = 3: Se resuelve ([T ]C − λ1 I = 0) = ⎜−2 −4 −2RRRRR0⎟ R → ⎝ 2 −2 −4RRRR0⎠ ⎝0 0 0 RRRR0⎠ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ Ô⇒ Cλ1 = ⎨⎜−1⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎛ 2 −2 2 RRRR0⎞ ⎛1 −1 1RRRR0⎞ ⃗ = ⎜−2 2 −2RRRR0⎟ (⋯) ⎜0 0 0RRRR0⎟ λ1 = −3: Se resuelve ([T ]C − λ1 I = 0) R R ⎝ 2 −2 2 RRRR0⎠ → ⎝0 0 0RRRR0⎠ ⎧ 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ Ô⇒ Cλ2 = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎧ 1 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ Finalmente, en la base B = ⎨⎜−1⎟ , ⎜1⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ 3 0 0 ⎛ ⎞ se tiene que [T ]B = ⎜0 −3 0 ⎟. ⎝0 0 −3⎠

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

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√ o 9 (10pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on 7x2 + 5y 2 + 2 3xy = 8. (a) (2 pts) Determine la matriz A asociada a su forma cuadr´atica. (b) (8 pts) Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x′ x ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´on de la curva. Adem´as, identifique la curva y calcule el ´ angulo de rotaci´ on. (c) (Opcional, 3pts) Grafique la curva, los ejes x, y, los ejes x′ , y ′ y el ´angulo de rotaci´on. √ 3 7 √ ). o 14. (a) La matriz asociada a la forma cuadr´atica de la ecuaci´on es: A = ( 3 5 (b) Se encuentran los valores propios de A: √ 3 7−x ) = (x − 8)(x − 4). p(x) = det(A − xI) = det ( √ 3 5−x Por lo que los valores propios son λ1 = 8 y λ2 = 4. √ √ −1 3 0 (⋯) 1 − 3 0 ⃗ √ λ1 = 8: Se resuelve (A − λ1 I = 0) = ( ∣ ) ∣ ) ( 0 0 3 −3 0 → 0 √ √ 3 3/2 Lo que da el generador {( )}, que ortonormalizado da {( )}. 1 1/2 √ √ 3 3 0 (⋯) 1 1/ 3 0 ⃗ = (√ λ2 = 4: Se resuelve (A − λ2 I = 0) ∣ ) ∣ ) ( 0 0 3 1 0 → 0 √ −1/2 −1/ 3 Lo que da el generador {( )}, que ortonormalizado da {(√ )}. 1 3/2 √ 3/2 √ −1/2 ), que adem´as cumple con det(C) = 3/4 + Se toma como C la matriz ( 3/2 1/2 1/4 = 1. Al hacer el cambio de variable: √ x′ 3/2 ( ′) = ( y 1/2

t

−1/2 x √ ) ( ) y 3/2

√ La ecuaci´ on 7x2 + 5y 2 + 2 3xy = 8 pasa a ser 8(x′ )2 + 4(y ′ )2 = 8, ya que C t AC = 8 0 ( ), 0 4 (y ′ )2 y esta ecuaci´ on se reescribe como (x′ )2 + √ = 1, ( 2)2

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

la cual es la ecuaci´ on de una elipse.

√ ⎛ (1) ⋅ ( 3/2) ⎞ 0 √ 1/2 ⎜ ⎟ ⎟ = cos−1 ( 3/2) = El ´ angulo de rotaci´ on de los ejes es θ = cos−1 ⎜ √ ⎜ ⎟ ⎜ 1 3/2 ⎟ ⎝ ∥ (0) ∥ ⋅ ∥ ( 1/2 ) ∥ ⎠ π . 6 (c) (Opcional)

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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12 de Julio, I Semestre 2019 08:00 am

MA-1004: Reposici´ on Tercer Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 50 puntos. ⎧ 1 −1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 53 (10pts). Considere la siguiente base de R , B = ⎨⎜−1⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−1⎠ ⎝−1⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ Aplique el proceso de Gram-Schmidt para encontrar a partir de B una base ortonormal N de R3 y calcule las coordenadas en la base N del vector v⃗ = (1, 2, 7). 3

⎛1 o 54 (10pts). Considere la matriz A = ⎜0 ⎝0

1 1 0

0⎞ 1⎟ 1⎠

(a) (5pts) Verifique que v⃗ = (6, 0, 0) es un vector propio de A. (b) (5pts) Calcule la multiplicidad algebraica y geom´etrica del valor propio λ = 1 de A y explique porqu´e A no es diagonalizable.

⎛0 1 0⎞ o 55 (10pts). Considere la matriz S = ⎜1 0 0⎟. Encuentre C invertible y D diagonal ⎝0 0 0⎠ −1 tales que D = C SC, y verifique que las columnas de C forman una base ortogonal de R3 . o 56 (10pts). Diagonalize la transformaci´ on lineal T (x, y, z) = (0, 16y − 12z, −12y + 9z), la cual tiene a p(x) = x2 (25 − x) como polinomio caracter´ıstico. o 57 (10pts). Considere la curva cuadr´ atica con ecuaci´on 2xy = 1. Encuentre una matriz ortogonal C cuyo determinante sea 1 y tal que el cambio de variable x′ x ( ′) = Ct ( ) y y elimine los t´erminos mixtos de la ecuaci´ on de la curva e identifique la curva.

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

"En la base de toda ciencia, de toda t´ ecnica y de toda tecnolog´ ıa, intervienen las matem´ aticas, tanto como modo de pensamiento que como instrumento de investigaci´ on." –Jos´ ephine Guidy Wandja

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Soluci´ on

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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19 de Julio, I Semestre 2019 1pm

MA-1004: Ampliaci´on

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 1 hora por cada parte que el estudiante deba realizar, complete los puntos respectivos. I Parcial ⎧ (a + 2)x + ay − z − w = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 1 (10pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨(2a + 4)x + (3a + 1)y + (a − 2)z − aw = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (−a − 2)x − ay + z + aw = 1 ⎩ Encuentre los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. o 2 (10pts). Use las propiedades del determinante para verificar la siguiente igualdad: ⎛ 1 det ⎜b + c ⎝ 1

1 a+c −1

1 ⎞ ⎛1 a + b⎟ + det ⎜a ⎝0 1 ⎠

1 1⎞ b c⎟ = 0 −2 0⎠

II Parcial o 3 (10pts). Considere la siguiente matriz: ⎛1 A=⎜3 ⎝−5

2 3 5⎞ 6 4 8⎟ −10 0 0⎠

(a) (5pts) Verifique que el conjunto de combinaciones lineales de las filas de A forma un subespacio de R4 . (b) (5pts) Calcule la dimensi´ on del espacio de columnas de A y encuentre una base para este. o 4 (10pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 5 −1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−1⎟ , ⎜ 0 ⎟ , ⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 4 ⎠ ⎝−1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ como T (5, −1, 4) = (−2, 9, −7), T (−1, 0, −1) = (−7, 5, 1) y T (1, 1, 1) = (62, −67, 13).

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(a) (5pts) Calcule [T (0, 1, 0)]B . (b) (5pts) Determine el criterio T (x, y, z) de la transformaci´on. III Parcial o 5 (10pts). Considere la siguiente base de R4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜2⎟ ⎜−1⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟⎪ ⎪ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 0 0 1 1 ⎩ ⎭ Use el proceso de Gram-Schmidt para determinar una base ortonormal de R4 a partir de la base B. o 6 (10pts). Considere la tranformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (0, 16y − 12z, −12y + 9z) (a) (5pts) Calcule la multiplicidad algebraica y geom´etrica de cada valor propio de T . (b) (5pts) Encuentre una base B de R3 donde [T ]B sea diagonal. ***

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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19 de Julio, I Semestre 2019 01:00 pm

MA-1004: Examen de Suficiencia

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. ⎧ x + (−1 + a)y + (1 + a)z + (2 + a)w = 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 58 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ x + (−2 + 2a)y + (2 + 2a)z + (4 + 2a)w = 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = −2 ⎩−x + (1 − a)y + (−1 − a)z (a) (15pts) Determine todos los valores de a donde el sistema es inconsistente. (b) (5pts) Calcule el conjunto soluci´ on si a = 1. o 59 (20pts). Considere la siguiente matriz ⎛a + b + c a + b a+b M =⎜ b+c ⎝ c a

a + c⎞ a + c⎟ c ⎠

donde a, b y c son n´ umeros reales cualesquiera. Calcule el determinante de M si se sabe que a b det ( )=1 c a ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ o 60 (20pts). Considere el conjunto de vectores de R3 , S = {⎜ 0 ⎟ , ⎜1⎟ , ⎜ 1 ⎟} ⎝−1⎠ ⎝1⎠ ⎝−1⎠ (a) (10pts) Muestre que S es una base del espacio R3 . ⎛1⎞ (b) (10pts) Calcule las coordenadas del vector ⎜−1⎟ en la base S. ⎝−5⎠ o 61 (20pts). Sean D y B bases de R3 y R2 respectivamente. Considere T ∶ R3 → R2 una 1 −1 1 transformaci´ on lineal tal que [T ]B ). D = (1 2 1 1 1 (a) (10pts) Si B = {( ) , ( )}, calcule la matriz [T ]CD , donde C es la base can´onica de 1 −1 R3 .

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PRIMER SEMESTRE DEL 2019

(b) (10pts) ¿Es T sobreyectiva? Justifique su respuesta. 2 2⎞ ⎛0 o 62 (20pts). Diagonalize la matriz A = ⎜−1 3 −1⎟, es decir, obtenga una matriz ⎝ 3 −3 1 ⎠ invertible C tal que C −1 AC sea una matriz diagonal. ***

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Soluci´ on

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CAP´ITULO

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Segundo semestre del 2019

Aqu´ı la introducci´ on para este cap´ıtulo.

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

21 de Septiembre, II Semestre 2019 1pm

MA1004: Primer Examen Parcial (Muestra)

Instrucciones generales: Escriba todas sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). Sean A, B, X matrices de tama˜ no 3 × 3 tales que AX − 3I = (AB t − 2BAt )t (a) (5pts) Si A es invertible pero B no, ¿puede suceder que AB t sea invertible? Justifique su respuesta y d´e un ejemplo. ⎛1 (b) (15pts) Si A = ⎜0 ⎝0

1 1 0

−1⎞ ⎛1 −1⎟ y B = ⎜1 ⎝1 −1⎠

1 0 1

1⎞ 1⎟, calcule la matriz X. 1⎠

⎛1 o 2 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = 2 ⎜0 ⎝0

0 −h⎞ −h 0 ⎟ 0 h⎠

−1

⎛1 ⎜0 ⎝0

0 2 0

⎛ 2x y y ⎜x o 3 (20pts). Sean x, y, z, w n´ umeros reales diferentes de cero. Calcule: det ⎜ ⎜−x −y ⎝x y

1⎞ ⎛−h 0 h 0⎟ ⎜ 0 −h 0 1⎠ ⎝ 1 0 0

z z z z

w⎞ w⎟ ⎟ w⎟ 2w⎠

⎧ (4a + 8)x + (−8b − 16)y + 7bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 4 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ (3a + 6)x + (−b − 2)y + −5bz = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(−2a − 4)x + (−2b − 4)y + −5bz = 0 (a) (15pts) Encuentre los valores de a y b para los cuales es inconsistente, tiene soluci´on u ´nica y tiene infinitas soluciones. (b) (5pts) Si a = 0 y b = 1 el sistema tiene soluci´on u ´nica, encu´entrela usando la regla de Cramer.

o 5 (20pts). Considere la matriz M = Rt A−1 D−1 At R−1 , donde R, A y D son matrices invertibles.

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

(a) (5pts) Explique ¿Por qu´e el determinante de M solamente depende de D?. (b) (15pts) Muestre que la inversa de M es igual a la transpuesta de R−1 At Dt A−1 Rt .

⃗ vectores no nulos de R3 . o 6 (20pts). Sean v⃗ y w (a) (5pts) Bajo qu´e condici´ on sucede que el vector proyecci´on de v⃗ sobre v⃗ es el vector nulo. Explique su respuesta. ⃗ = (0, 1, 1), determine los ´angulos y y la longitud de los (b) (15pts) Si v⃗ = (1, −1, 1) y w lados, del tri´ angulo con un v´ertice en el origen que determinan. ***

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Soluci´ on

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

21 de Septiembre, II Semestre 2019 1pm

MA1004: Primer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). Sean A, B matrices no nulas de tama˜ no 2 × 2. (a) (5pts) D´e un ejemplo donde suceda que AB = BA. 1 1 1 1 ) y B=( ) cumplen con la ecuaci´on (AB − I)(AB + I) − 0 1 1 0 AX = AXB − I, determine la matriz X.

(b) (15pts) Si A = (

⎧ ax + y + (3a + 1)z = a + 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 2 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ ay + (a + 2)z = a + 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (1 − a)y + (a + 1)z = a + 2 (a) (15pts) Encuentre los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Adem´ as, escriba el conjunto soluci´on para estos casos. (b) (5pts) Si a = 1 el sistema tiene soluci´on u ´nica, encu´entrela usando la regla de Cramer.

⎛1 o 3 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = 3 ⎜0 ⎝0

0 1 0

t

−1

1⎞ ⎛ 1 h 1 ⎞ 0⎟ ⎜h 1 h⎟ . 1⎠ ⎝ 1 0 0 ⎠

⎛ 2x ⎜x/2 o 4 (20pts). Sean x, y, z, w n´ umeros reales diferentes de cero. Calcule: det ⎜ ⎜ −x ⎝ x

y y/2 −y y

z z/2 z z

o 5 (20pts). Responda las siguientes preguntas con respecto a geometr´ıa vectorial. (a) (5pts) D´e un ejemplo de un vector v⃗ que forme un ´angulo de π/3 con el eje z. Recuerde que el eje z es paralelo a cualquier vector de la forma (0, 0, a), donde a ∈ R.

w ⎞ w/2⎟ ⎟ w ⎟ 2w ⎠

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

(b) (15pts) Si P0 = (2, 0, 0), P1 = (0, 2, 0) y P3 = (0, 0, 9). Calculos los ´angulos y las longitudes de los lados del tri´ angulo que determinan. o 6 (20pts). Use las propiedades del determinante para verificar la siguiente igualdad: ⎛a 0 b a ⎞ ⎛a + b ⎜0 1 a a + b⎟ = −2 det ⎜ det ⎜ b ⎜b 0 ⎝ a a+b b ⎠ ⎝0 0

b 0 0 a

0⎞ 0⎟ ⎟ a⎟ b⎠

***

"Siempre estuve interesada por los fundamentos de las matem´ aticas, por saber si todo lo que es verdadero es demostrable" –Amina Doumane

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

Soluci´ on

o 63 (20pts). Sean A, B matrices no nulas de tama˜ no 2 × 2. (a) (5pts) D´e un ejemplo donde suceda que AB = BA. 1 1 1 1 ) y B=( ) cumplen con la ecuaci´on (AB − I)(AB + I) − 0 1 1 0 AX = AXB − I, determine la matriz X.

(b) (15pts) Si A = (

o 15.

1 −1 1 1 (a) Tome A = ( ) y B=( ) (3pts) 1 1 −1 1 En efecto: 1 −1 1 1 2 0 A⋅B =( )⋅( )=( ) (1pt) 1 1 −1 1 0 2 1 1 1 −1 2 0 y B⋅A=( )⋅( )=( ) (1pt) −1 1 1 1 0 2

(b) Se usan las propiedades de matrices para despejar X:

(AB − I)(AB + I) − AX = AXB − I ⇒ ABAB + AB − AB − I − AX = AXB − I ⇒ ABAB − AX = AXB ⇒ ABAB = AXB + AX ⇒ ABAB = AX(B + I) (5pts)

Como det A = det (

1 0

1 2 ) = 1 y det(B + I) = det ( 1 1

1 ) = 1, ambas matrices son 1

invertibles, (3pts) y se tiene que:

BAB(B + I)−1 = X (2pts)

Finalmente: X = BAB(B + I)

−1

1 =( 1

1 1 )⋅( 0 0

1 1 )⋅( 1 1

1 2 )⋅( 0 1

−1

1 ) 1

214

5

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

X = BAB(B + I)−1 1 =( 1

1 1 )⋅( 0 0

1 1 )⋅( 1 1

1 2 )⋅( 0 1

1 =( 1

2 1 )⋅( 0 1

1 2 )⋅( 0 1

1 ) 1

3 =( 1

1 2 )⋅( 1 1

1 ) 1

3 =( 1

1 1 )⋅( 1 −1

2 =( 0

−1 ) (5pts) 1

−1

1 ) 1

−1

−1

−1 ) 2

⎧ ax + y + (3a + 1)z = a + 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 64 (20pts). Considere el sistema de ecuaciones ⎨ ay + (a + 2)z = a + 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ax + (1 − a)y + (a + 1)z = a + 2 (a) (15pts) Encuentre los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Adem´ as, escriba el conjunto soluci´ on para estos casos. (b) (5pts) Si a = 1 el sistema tiene soluci´ on u ´nica, encu´entrela usando la regla de Cramer.

o 16.

(a) Se simplifica la matriz aumentada del sistema: 1 3a + 1RRRRa + 2⎞ a 1 3a + 1RRRRa + 2⎞ a 1 3a + 1 RRRRa + 2⎞ f − f1 ⎛ f + f2 ⎛ a a + 2 RRRRa + 1⎟ 3 a + 2 RRRRa + 1⎟ 3 ⎜0 a ⎜0 a a + 2 RRRRa + 1⎟ (2pts) R R R Ð→ ⎝ Ð→ ⎝ 1 − a a + 1 RRRRa + 2⎠ 0 −a −2a RRRR 0 ⎠ 0 0 −a + 2RRRRa + 1⎠ Caso 1: Si a = 0: ⎛a 1 3a + 1 RRRRa + 2⎞ ⎛0 1 1RRRR2⎞ f − f ⎛0 1 1RRRR2⎞ 1 f ⎛0 1 1RRRR 2 ⎞ f − f ⎛0 1 2 2 ⎜0 0 ⎜0 a a + 2 RRRRa + 1⎟ = ⎜0 0 2RRRR1⎟ 3 ⎜0 0 2RRRR1⎟ 2 2 ⎜0 0 1RRRR1/2⎟ 1 R R R R ⎝0 0 −a + 2RRRRa + 1⎠ ⎝0 0 2RRRR1⎠ Ð→ ⎝0 0 0RRRR0⎠ Ð→ ⎝0 0 0RRRR 0 ⎠ Ð→ ⎝0 0 En este caso hay infinitas soluciones con un par´ametro y el conjunto soluci´ on es S = {(x, y, z) = (t, 3/2, 1/2), t ∈ R} (8pts) ⎛a ⎜0 ⎝a

Caso 2: Si a ≠ 0: Como es un sistema de tama˜ no 3×3, es este caso habr´ıan infinitas soluciones solamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero, es decir, cuando a = 2. Sin embargo, al hacer a = 2, se obtiene la matriz:

0RRRR3/2⎞ 1RRRR1/2⎟ R 0RRRR 0 ⎠

5

⎛2 ⎜0 ⎝0

1 2 0

215

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

7RRRR4⎞ 4RRRR3⎟ R 0RRRR3⎠

la cual es inconsistente en la tercera fila, por lo que la soluci´on de este caso es vac´ıa. (5pts)

⎛1 (b) Si a = 1, se obtien la matriz aumentada del sistema: ⎜0 ⎝1

4RRRR3⎞ 3RRRR2⎟ (1pt) R 2RRRR3⎠

1 1 0

Por la regla de Cramer se tiene que la soluci´on u ´nica (x, y, z) de este sistema es:

x=

z=

⎛3 det ⎜2 ⎝3

1 1 0

4⎞ 3⎟ 2⎠

⎛1 det ⎜0 ⎝1

1 1 0

4⎞ 3⎟ 2⎠

⎛1 det ⎜0 ⎝1

1 1 0

3⎞ 2⎟ 3⎠

⎛1 det ⎜0 ⎝1

1 1 0

4⎞ 3⎟ 2⎠

=

−1 = 1. (1pt) y = 1

=

2 = 2. (1pt) 1

⎛1 det ⎜0 ⎝1

3 2 3

4⎞ 3⎟ 2⎠

⎛1 det ⎜0 ⎝1

1 1 0

4⎞ 3⎟ 2⎠

=

−4 = −4. (1pt) y 1

Soluci´ on correcta (1pt)

⎛1 o 65 (20pts). Si h ≠ 0, determine la matriz inversa de A = 3 ⎜0 ⎝0

0 1 0

t

−1

1⎞ ⎛ 1 h 1 ⎞ 0⎟ ⎜h 1 h⎟ . 1⎠ ⎝ 1 0 0 ⎠

216

5

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

o 17. ⎛ ⎛1 A−1 = ⎜ ⎜3 ⎜0 ⎝ ⎝0

0 1 0

−1 −1

t

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1⎞ ⎛ 1 h 1 ⎞ 0⎟ ⎜h 1 h⎟ 1⎠ ⎝ 1 0 0 ⎠

1 h 1 ⎞ ⎛⎛1 1⎛ ⎜0 = ⎜h 1 h⎟ ⎜ 3 ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎜⎝0 ⎝ 1 h 1 ⎞ ⎛1 1⎛ = ⎜h 1 h⎟ ⎜0 3 ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝1

0 1 0 0 1 0

1⎞ 0⎟ 1⎠

(3pts)

t −1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(6pts)

−1

0⎞ 0⎟ 1⎠

(3pts)

=

1 h 1 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ 1⎛ ⎜h 1 h⎟ ⎜ 0 1 0⎟ (4pts) 3 ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝−1 0 1⎠

=

0 1⎛ ⎜0 3 ⎝1

h 1⎞ ⎛ 0 1 h⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎠ ⎝1/3

h/3 1/3 0

1/3 ⎞ h/3⎟ (4pts) 0 ⎠

⎛ 2x ⎜x/2 o 66 (20pts). Sean x, y, z, w n´ umeros reales diferentes de cero. Calcule: det ⎜ ⎜ −x ⎝ x

y z w ⎞ ⎛ 2x ⎛ 2x y z 1 x/2 y/2 z/2 w/2 y z ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ = det ⎜ o 18. det ⎜ ⎜ −x −y ⎜−x −y z z w ⎟ 2 ⎝ x ⎝x y z 2w ⎠ y z z 2w ⎞ f2 − f1 ⎛x y ⎛x 1 0 −w ⎟ f2 ↔ f4 1 = ⎜0 0 ⎜0 ⎟ det ⎜ − det ⎜ ⎜ 0 0 2z 3w ⎟ ⎜0 = f3 + f1 2 2 ⎝ ⎠ ⎝0 0 −y −z −3w f4 − 2f1

w⎞ ⎛x w ⎟ f1 ↔ f4 1 ⎜x ⎟ − det ⎜ ⎜−x w⎟ = 2 ⎝ 2x 2w⎠ y −y 0 0

z −z 2z 0

y y/2 −y y

y y −y y

z z/2 z z

z z z z

2w ⎞ −3w⎟ ⎟ = xyzw (20pts) 3w ⎟ −w ⎠

o 1 (20pts). Responda las siguientes preguntas con respecto a geometr´ıa vectorial. (a) (5pts) D´e un ejemplo de un vector v⃗ que forme un ´angulo de π/3 con el eje z. Recuerde que el eje z es paralelo a cualquier vector de la forma (0, 0, a), donde a ∈ R. (b) (15pts) Si P0 = (2, 0, 0), P1 = (0, 2, 0) y P3 = (0, 0, 9). Calculos los ´angulos y las longitudes de los lados del tri´ angulo que determinan.

w ⎞ w/2⎟ ⎟ w ⎟ 2w ⎠

2w⎞ w⎟ ⎟ w⎟ w⎠

5

o 19.

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

217

(a) Si v⃗ = (x, y, z), el ´ angulo entre (0, 0, 1) y ´el debe ser π/3, por lo que cumplir´ıa que: (x, y, z) ⋅ (0, 0, 1) π (3pts) cos( ) = 3 ∥(x, y, z)∥ ⋅ ∥(0, 0, 1)∥ lo cual da √ 1 z =√ ⇒ x2 + y 2 + z 2 = 2z ⇒ x2 + y 2 − 3z 2 = 0 (1pt) 2 x2 + y 2 + z 2 √ As´ı que se puede tomar z = 1, y = 1 y x = 2, √ por lo que v⃗ = ( 2, 1, 1). (1pt)

(b) Primero calculamos las longitudes de los lados usando los vectores: √ ÐÐ→ ÐÐ→ P0 P1 = P1 − P0 = (0, 2, 0) − (2, 0, 0) = (−2, 2, 0), as´ı, el lado P0 P1 mide ∥P0 P1 ∥ = 2 2. (3pts) ÐÐ→ ÐÐ→ √ P0 P3 = P3 − P0 = (0, 0, 9) − (2, 0, 0) = (−2, 0, 9), as´ı, el lado P0 P3 mide ∥P0 P3 ∥ = 85. (3pts) ÐÐ→ ÐÐ→ √ P1 P3 = P3 − P1 = (0, 0, 9) − (0, 2, 0) = (0, −2, 9), as´ı, el lado P0 P1 mide ∥P0 P1 ∥ = 85. (3pts) Al ser este tri´ angulo is´ osceles, basta con calcular el ´angulo en P0 : ÐÐ→ ÐÐ→ ⎛ P0 P1 ⋅ P0 P3 ⎞ 4 2 ∠P0 = cos−1 ÐÐ→ = cos−1 ( √ √ ) = cos−1 ( √ ) ∼ 1, 4 rad ÐÐ→ ⎝ ∥ P0 P1 ∥ ⋅ ∥ P0 P 3 ∥ ⎠ 2 2 85 170 (2pts) y ∠P3 = ∠P1 = (π − ∠P0 )/2 ∼ 0, 9 rad (4pts) o 67 (20pts). Use las propiedades del determinante para verificar la siguiente igualdad: ⎛a + b det ⎜ b ⎝ a

⎛a 0 b a ⎞ ⎜0 1 a a + b⎟ = 2 det ⎜ ⎜b 0 a+b b ⎠ ⎝0 0

b 0⎞ 0 0⎟ ⎟ 0 a⎟ a b⎠

o 20. Se calcula el lado izquierdo b a ⎞ ⎛a + b ⎛a b − a −b ⎞ f − f ⎛a b − a −b ⎞ f − f2 1 a a + b⎟ 1 a a + b⎟ 3 a a + b⎟ det ⎜ b det ⎜ b det ⎜ b = = ⎝ a ⎝a a + b ⎝0 2a a+b b ⎠ b ⎠ 2b ⎠ a b − a −b f + f a b 0 3 ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ a a + b⎟ = 2 det ⎜ b 0 a⎟ = 2 det ⎜ b ⎝0 ⎝0 a b ⎠ a b ⎠ f2 − f3 0 a b a = 2 (a det ( ) − b det ( )) = −2a3 − 2b3 (12pts) a b 0 b Ahora se calcula el lado derecho, desarrollando el determinante por la segunda fila.

218 ⎛a 0 ⎜0 1 2 det ⎜ ⎜b 0 ⎝0 0 (8pts)

5

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

b 0⎞ ⎛a 0 0⎟ ⎟ = 2 det ⎜ b 0 a⎟ ⎝0 a b⎠

b 0 a

0⎞ 0 a b a a⎟ = 2 (a det ( ) − b det ( )) = −2a3 − 2b3 a b 0 b ⎠ b

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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02 de Octubre, II Semestre 2019 8am

MA1004: Reposici´ on Primer Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 1 (20pts). Responda las siguientes preguntas referentes a matrices. (a) (5pts) D´e un ejemplo de una matriz no nula 2 × 2 tal que A2 sea la matriz nula. (b) (15pts) Sea A una matriz no nula 3×3 tal que A2 es igual a la matriz nula. Encuentre una matriz X que satisfaga la ecuaci´ on (X − A)(A + I) = I. ⎧ (1 − a)x + ay + (1 + a)z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 2 (20pts). Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎨ (1 − a)x + −ay + (1 + a)z = a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(2 − 2a)x + ay + (1 + a)z = a (a) (15pts) Encuentre los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Adem´ as, escriba el conjunto soluci´on para estos casos. (b) (5pts) Si a = 2 el sistema tiene soluci´on u ´nica, encu´entrela usando la regla de Cramer. ⎛x + 1 o 3 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ x ⎝ −x

x x ⎞ x+1 x ⎟. x x + 1⎠

(a) (10pts) Encuentre los valores de x para los cuales A es invertible. (b) (10pts) Si x = 1, calcule A−1 .

o 4 (20pts). Responda las siguientes preguntas con respecto a geometr´ıa vectorial. (a) (5pts) D´e un ejemplo de un vector v⃗ que forme un ´angulo de π/6 con el eje z. Recuerde que el eje z es paralelo a cualquier vector de la forma (0, 0, a), donde a ∈ R. (b) (15pts) Si los puntos P0 = (0, 0, 0), P1 = (0, 1, 0), P3 = (1, 0, 1) y P4 = (1, 1, 1), son los v´ertices de un paralelogramo. Calcule las longitudes de sus lados y de sus dos diagonales.

220

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

o 5 (20pts). Use las propiedades del determinante para verificar la siguiente igualdad: ⎛1 ⎜1 ⎜ det ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎝1

0 a 0 −1 0

a 0 b 0 0

0 −1 0 0 0

b ⎞ b+1 ⎟ ⎟ a ⎟=0 ⎟ a + b + 1⎟ a+b ⎠

***

"Siempre estuve interesada por los fundamentos de las matem´ aticas, por saber si todo lo que es verdadero es demostrable" –Amina Doumane

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Soluci´ on

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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09 de Noviembre, II Semestre 2019 8am

MA1004: Segundo Examen Parcial (Muestra)

Instrucciones generales: Escriba todas sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). Determine la ecuaci´ on normal de un plano en R3 que contenga al eje y y que sea paralelo al vector v⃗ = (1, −1, 1). Adem´as, calcule la distancia del punto (0, −1, 1) a dicho plano.

o 2 (20pts). En R3 , considere el subespacio W generado por los vectores ⎧ 0 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜2⎟ , ⎜1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝2⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ . (a) (10pts) ¿Pertenece a W el vector v⃗ = (0, 2, −2)?. (b) (10pts) Verifique que B junto con el vector v⃗ forma una base de R3 y calcule [(1, 2, 3)]B . o 3 (20pts). Encuentre una base para el subespacio de R3 dado por el plano x − y − z = 0. Adem´ as, calcule su dimensi´ on.

o 4 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R3 que se define sobre la 3 siguiente base de R

⎧ 9 3 8 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜−2⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜−2⎟⎬ como T (9, −2, 1) = (1, −1, 1), T (3, −1, 1) = (1, −1, 2) y T (8, −2, 1) = (2, − ⎪ ⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Calcule T (x, y, z), es decir, el criterio de T . Adem´as, determine si existe un vector no nulo v⃗ ∈ R3 que cumpla con T (⃗ v ) = (0, 0, 0).

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

o 5 (20pts). Considere las bases de R3 : ⎧ ⎧ 7 −6 −2 ⎫ −3 14 −2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜−5⎟ , ⎜−2⎟⎬ y B2 = ⎨⎜−4⎟ , ⎜ 8 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎩⎝ 2 ⎠ ⎝−7⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ 2 Encuentre [I]B as, si v⃗ = (1, 2, 3), calcule [⃗ v ]B1 y [⃗ v ]B2 . B1 . Adem´

o 6 (20pts). Considere el siguiente conjunto T de matrices 2 × 2: a T = {( 0

b ) ∶ a, b ∈ R} a

. Muestre que T es un subespacio de M (2; R) y determine una base para T .

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Soluci´ on

SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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09 de Noviembre, II Semestre 2019 8am

MA1004: Segundo Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). En R3 considere los puntos A = (0, 0, 9), B = (3, 0, 3) y C = (0, 3, 0). Determine la ecuaci´ on normal del plano que los contiene y calcule la distancia del origen a este plano. o 2 (20pts). En R3 , considere el plano x − y + z = 0 y el conjunto: ⎧ 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ . (a) (10pts) Muestre que B es una base del plano. (b) (10pts) Verifique que el vector v⃗ = (0, 1, 1) pertenece al plano y encuentre su vector de coordenadas con respecto a la base B. o 3 (20pts). D´e un ejemplo de un conjunto C que no sea un subespacio de R3 y que contenga a la recta l ∶ (t, 2t, 3t), t ∈ R. Justifique su respuesta. o 4 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R2 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 0 0 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜0⎟ , ⎜1⎟ , ⎜1⎟⎬ como T (0, 0, 1) = (1, 0), T (0, 1, 1) = (2, 0) y T (1, 1, 1) = (2, 1). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ Calcule T (x, y, z), es decir, el criterio de T . o 5 (20pts). Considere las bases de R3 : ⎧ ⎧ 1 1 1 ⎫ 1 2 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ y B2 = ⎨⎜−1⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜ 1 ⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−2⎠⎪ ⎭ ⎩⎝−1⎠ ⎝−2⎠ ⎝ 1 ⎠⎪

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

2 (a) (10pts) Calcule [I]B B1 2 (b) (10pts) Calcule [T ]B on dada por T (x, y, z) = (z, y, x). C , donde T es la transformaci´

o 6 (20pts). Calcule el punto P donde el plano x − y + z = 1 interseca a la recta (x, y, z) = (1 + 2t, t, t), t ∈ R. Adem´ as, determine las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por el punto P y el punto (2, 0, −2). ***

"Aprovech´ e todo tipo de oportunidades para aprender sobre computadoras y computaci´ on" –Valerie Thomas

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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Soluci´ on o 68 (20pts). En R3 considere los puntos A = (0, 0, 9), B = (3, 0, 3) y C = (0, 3, 0). Determine la ecuaci´ on normal del plano que los contiene y calcule la distancia del origen a este plano.

o 21. Se obtiene un vector normal al plano mediante el producto cruz RRRˆi ˆj kˆ RRR 3 0 0 0 3 0 RR ⎛18⎞ Ð→ Ð→ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ RRRR ⃗ = AB × AC = ⎜⎜0⎟ − ⎜0⎟⎟ × ⎜⎜3⎟ − ⎜0⎟⎟ = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 3 ⎟ = RR3 0 −6RRRR = ⎜27⎟, n ⎝⎝3⎠ ⎝9⎠⎠ ⎝⎝0⎠ ⎝9⎠⎠ ⎝−6⎠ ⎝−9⎠ RRRR0 3 −9RRRR ⎝ 9 ⎠ R R por lo que la ecuaci´ on normal del plano es, ⎛18⎞ ⎛x⎞ ⎛18⎞ ⎛0⎞ ⎛x⎞ y ⃗ A ⇒ ⎜27⎟ ⎜y ⎟ = ⎜27⎟ ⎜0⎟ ⇒ 18x + 27y + 9z = 81 ⇒ 2x + 3y + z = 9. ⃗⎜ ⎟=n n ⎝ 9 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝9⎠ ⎝z ⎠ Para calcular la distacia d de P = (0, 0, 0) al plano 2x + 3y + z = 9, tomamos como ⃗ = (2, 3, 1) y el punto en el plano A = (0, 0, 9). normal al plano n (2, 3, 1) ⋅ (0, 0, −9) 9 d = ∥Proyn⃗ (P −A)∥ = ∥Proy(2,3,1) (0, 0, −9)∥ = ∥ (2, 3, 1)∥ = ∥ 14 (2, 3, 1)∥ = (2, 3, 1) ⋅ (2, 3, 1) √ 9 14 . 14 o 69 (20pts). En R3 , considere el plano x − y + z = 0 y el conjunto: ⎧ 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ . (a) (10pts) Muestre que B es una base del plano. (b) (10pts) Verifique que el vector v⃗ = (0, 1, 1) pertenece al plano y encuentre su vector de coordenadas con respecto a la base B.

o 22.

(a) Primero se ve que B es linealmente independiente, verificando que el rango de la matriz que forman sus vectores tiene rango 2: ⎛1 −1⎞ f − f ⎛1 −1⎞ f3 − f2 ⎛1 0⎞ 1 ⎜1 0 ⎟ 2 ⎜0 1 ⎟ → ⎜0 1⎟. → ⎝0 1 ⎠ ⎝0 1 ⎠ f1 + f2 ⎝0 0⎠ Segundo, se muestra que el plano es igual a las combinaciones lineales de los vectores de B: ⎛x⎞ ⎛y − z ⎞ ⎛x⎞ ⎛1⎞ ⎛−1⎞ (x, y, z) ∈ plano ⇔ x−y +z = 0 ⇔ x = y −z ⇔ ⎜y ⎟ = ⎜ y ⎟ ⇔ ⎜y ⎟ = y ⎜1⎟ +z ⎜ 0 ⎟ ⎝z ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝z ⎠ ⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

(b) v⃗ = (0, 1, 1) pertenece al plano, ya que x − y + z = 0 − 1 + 1 = 0. Para calcular sus coordenadas con respecto a la base B se resuelve el sistema, ⎛1 −1RRRR0⎞ f − f ⎛1 −1RRRR0⎞ f3 − f2 ⎛1 0RRRR1⎞ 1 ⎜1 0 RRRR1⎟ 2 ⎜0 1 RRRR1⎟ → ⎜0 1RRRR1⎟, RRR R R → ⎝0 1 RR1⎠ ⎝0 1 RRRR1⎠ f1 + f2 ⎝0 0RRRR0⎠ por lo que [⃗ v ]B = (1, 1). o 70 (20pts). D´e un ejemplo de un conjunto C que no sea un subespacio de R3 y que contenga a la recta l ∶ (t, 2t, 3t), t ∈ R. Justifique su respuesta.

o 23. Los vectores de la recta l son todos m´ ultiplos de (1, 2, 3), por lo que el vector (1, 2, 0) no pertenece a l. Tome C como el conjunto compuesto por la recta l y el vector (1, 2, 0). Este conjunto no es un subespacio porque la combinaci´on lineal (1, 2, 3) − (1, 2, 0) = (0, 0, 3), de vectores en C da como resultado un vector que no pertenece a C, como lo es (0, 0, 3) (ya que no es m´ ultiplo de (1, 2, 3), ni es igual a (1, 2, 0)). o 71 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R3 → R2 que se define sobre la 3 siguiente base de R ⎧ 0 0 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜0⎟ , ⎜1⎟ , ⎜1⎟⎬ como T (0, 0, 1) = (1, 0), T (0, 1, 1) = (2, 0) y T (1, 1, 1) = (2, 1). ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ Calcule T (x, y, z), es decir, el criterio de T .

o 24. Se tiene que: ⎛x⎞ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ 1 T ⎜y ⎟ = [T ]CC ⎜y ⎟ = [T ]CB [I]B C ⎜ y ⎟ = (0 ⎝z ⎠ ⎝z ⎠ ⎝z ⎠ y+z ( ). x

2 0

0 2 ⎛ ) ⎜0 1 ⎝ 1

0 1 1

1⎞ 1⎟ 1⎠

−1

⎛x⎞ 0 ⎜y ⎟ = ( 1 ⎝z ⎠

1 0

x 1 ⎛ ⎞ ) ⎜y ⎟ = 0 ⎝ ⎠ z

o 72 (20pts). Considere las bases de R3 : ⎧ ⎧ 1 2 1 ⎫ 1 1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜−1⎟⎬ y B2 = ⎨⎜−1⎟ , ⎜−1⎟ , ⎜ 1 ⎟⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝−1⎠ ⎝−2⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ ⎩⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−2⎠⎪ 2 (a) (10pts) Calcule [I]B B1 2 (b) (10pts) Calcule [T ]B on dada por T (x, y, z) = (z, y, x). C , donde T es la transformaci´

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o 25.

(a) (10pts)

2 [I]B B1

=

C 2 [I]B C ⋅[I]B1

−1

2 ⎛1 = ⎜−1 −1 ⎝1 0

1⎞ ⎛1 1 ⎟ ⋅⎜ 0 −2⎠ ⎝−1

⎛0 (b) (10pts) Como T (x, y, z) = (z, y, x), entonces [T ]CC = ⎜0 ⎝1 2 [T ]B C

=

2 [I]B C

⋅ [T ]CC

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

⎛1 = ⎜−1 ⎝1

2 −1 0

−1

1⎞ 1⎟ −2⎠

⎛0 ⋅ ⎜0 ⎝1

0 1 0

0 1 0

1⎞ ⎛ 3 0⎟ = ⎜−2 0⎠ ⎝ 1

1 1 −2

1 ⎞ ⎛−1 0 1⎞ −1⎟ = ⎜ 1 0 0⎟. 1 ⎠ ⎝ 0 1 0⎠

1⎞ 0⎟, por lo tanto: 0⎠ 4 −3 2

2⎞ −1⎟. 1⎠

o 73 (20pts). Calcule el punto P donde el plano x − y + z = 1 interseca a la recta (x, y, z) = (1 + 2t, t, t), t ∈ R. Adem´ as, determine las ecuaciones sim´etricas de la recta que pasa por el punto P y el punto (2, 0, −2). o 26. Para encontrar P se sustituye en la ecuaci´on del plano, la forma general de un punto en la recta, y as´ı determinar par cual t la recta pasa por el plano: x − y + z = 1 ⇒ (1 + 2t) − t + t = 1 ⇒ t = 0 ⇒ P = (1, 0, 0). Una recta que pasa por P = (1, 0, 0) y (2, 0, −2), tiene direcci´on (2, 0, −2) − (1, 0, 0) = (1, 0, −2), por lo tanto sus ecuaciones sim´etricas son: x−1 z = , y=0 1 −2

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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20 de Noviembre, II Semestre 2019 8am

MA1004: Reposici´ on Segundo Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 1 (20pts). En R3 considere los puntos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Determine la ecuaci´ on normal del plano que los contiene y calcule la distancia del origen a este plano. o 2 (20pts). En R3 , considere el plano x + 2y − z = 0. Encuentre una base B para este plano y calcule las coordenadas del vector del plano (1, 0, 1) en esta base. o 3 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R4 → R2 que se define sobre la 4 siguiente base de R : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟⎪ ⎪ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 1 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1 0 0 0 ⎭ ⎩ como T (1, 0, 0, 0) = (1, 0), T (1, 1, 0, 0) = (2, 0), T (1, 1, 1, 0) = (2, 1) y T (1, 1, 1, 1) = (2, 2). Calcule T (x, y, z), es decir, el criterio de T . o 4 (20pts). Determine las ecuaciones sim´etricas de la recta normal al plano x + y + z = 1 en el punto donde el eje x interseca a este plano. o 5 (20pts). D´e un ejemplo de una base B de R2 que cumpla con que las coordenadas 2 1 1 del vector v⃗ = ( ) en esta base sean ( ), es decir, que [⃗ v ]B = ( ). 0 1 1

***

"Aprovech´ e todo tipo de oportunidades para aprender sobre computadoras y computaci´ on" –Valerie Thomas

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Diciembre, II Semestre 2019 8am

MA1004: Segundo Examen Parcial (Muestra) Instrucciones generales: Escriba todas sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). Encuentre una base B ortogonal de R3 tal que las coordenadas del vector v⃗ = (3, 0, 0) en esta base sean [⃗ v ]B = (1, 0, −1). o 2 (20pts). En R4 , considere los conjuntos ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞⎫ ⎛ 0 ⎞ ⎛−1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟⎪ ⎪ ⎪⎜−1⎟ ⎜ 2 ⎟⎪ B1 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , B2 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩⎝−1⎠ ⎝1⎠⎪ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ bases de los subespacios W1 y W2 , respectivamente. Dados los vectores v⃗1 = (2, 1, 1, 0) y v⃗2 = (−1, 1, 1, 1), responda las siguientes preguntas. (a) (10pts) Verifique que v⃗1 ∈ W1 y que v⃗2 ∈ W2 , pero que v⃗1 + v⃗2 no pertenece ni a W1 , ni a W2 . Calcule [v1 ]B1 y [v2 ]B2 . Adem´as, muestre que los subespacios W1 , W2 son ortogonales. (b) (10pts) Verifique que el conjunto B formado por los vectores de B1 y B2 , es una base de R4 y calcule [⃗ v1 + v⃗2 ]B . o 3 (20pts). Considere la siguiente base de R3 , ⎧ 1 1 −1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜1⎟ , ⎜0⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬ . ⎪ ⎪⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ¿Por qu´e B no es una base ortogonal?. Use el proceso de Gram-Schmidt para construir a partir de B, una base ortonormal D de R3 . Adem´as, calcule [⃗ v ]D , donde v⃗ = (a, b, c), con a, b, c ∈ R. o 4 (20pts). Encuentre una matriz 3 × 3 que tenga solamente como valores propios a λ = 0 y λ = 1, y que cumpla con que el vector v⃗ = (1, 2, 1) sea vector propio de λ = 1.

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⎛1 o 5 (20pts). Diagonalice ortogonalmente la matriz sim´etrica A = ⎜0 ⎝1

0 0 0

1⎞ 0⎟. 1⎠

o 6 (20pts). Verifique que las transformaciones lineales T (x, y, z) = (−y − z, y − z, z) y G(x, y, z) = (x, −x, −x−y), no son diagonalizables pero que la transformaci´on lineal F +G s´ı lo es. Diagonalice F + G. ***

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05 de Diciembre, II Semestre 2019 1pm

MA1004: Tercer Examen Parcial Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). En R3 considere el siguiente conjunto linealmente independiente: √ ⎧ 2/ √6 ⎞ ⎛ 0√ ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C = ⎨⎜−1/√6⎟ , ⎜ 1/ √2 ⎟⎬ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝−1/ 6⎠ ⎝−1/ 6⎠⎪ Encuentre un vector v⃗ que forme, junto con C, una base ortonormal B de R3 . Adem´as, ⃗ = (5, 1, 2) en esta base. calcule las coordenadas del vector w o 2 (20pts). En R4 , considere las bases, ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎫ ⎛−1⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜2⎟ ⎜1⎟⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜−1⎟⎪ B1 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ y B2 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎪ 0 ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩⎝2⎠ ⎝1⎠⎪ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ de los subespacios W1 y W2 , respectivamente. (a) (10pts) ¿Son estas bases ortogonales? Justifique su respuesta. (b) (10pts) Verifique que W1 y W2 son subespacios ortogonales. ⎧ 0 2 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 3 (20pts). Considere la siguiente base de R3 : B = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 2 ⎟ , ⎜−1⎟⎬. Use Gram-Smith ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝−1⎠ ⎝ 0 ⎠⎪ ⎭ 3 para determinar una base ortonormal de R a partir de B. ⎛3 o 4 (20pts). Diagonalice la matriz A = ⎜ 1 ⎝−1 −1 D diagonal tal que D = C AC.

−2 1⎞ 0 1⎟, es decir, determine C invertible y 2 1⎠

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⎛−2 + a −1 − a −3 + a⎞ −a −2a ⎟, donde a ∈ R. Calcule el o 5 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ −2a ⎝ 2 1+a 3 ⎠ polinomio caracteristico de A y determine todos los valores de a para los cuales la matriz A tiene exactamente dos valores propios distintos. Adem´as, verifique que v⃗ = (2, 0, −2) es un vector propio de A. o 6 (20pts). Verifique que la transformaci´ on lineal T (x, y) = (x + 2y, y) no es diagonalizable y pero que G(x, y) = (−x, −x + 2y) s´ı lo es. Adem´as, diagonalice T + G. ***

"Como las ciencias que tienen una gran variedad de temas, ya sea la matem´ atica o la f´ ısica, la variedad tambi´ en de personas puede estimular enormemente la investigaci´ on". –Annalaura Stingo

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Soluci´ on o 74 (20pts). En R3 considere el siguiente conjunto linealmente independiente: √ ⎧ ⎫ 2/ √6 ⎞ ⎛ 0 ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎪ C = ⎨⎜−1/ 6⎟ , ⎜ 1/ √2 ⎟⎬ . √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−1/ 6⎠ ⎝−1/ 6⎠⎪ ⎭ Encuentre un vector v⃗ que forme, junto con C, una base ortonormal B de R3 . Adem´ as, calcule las ⃗ = (5, 1, 2) en esta base. coordenadas del vector w

o 27. Se puede resolver el sistema homog´ eneo usual o se puede tomar v⃗ como el vector normalizado resultado del producto cruz de dos m´ ultiplos de los vectores de C: v⃗ =

√ √ √ (2, −1, −1) × (0, 1, −1) = (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3). ∥(2, −1, −1) × (0, 1, −1)∥

As´ı, √ √ ⎧ ⎫ 2/ √6 ⎞ ⎛ 0 ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎞ ⎛1/√3⎞⎪ ⎪⎛ ⎪ B = ⎨⎜−1/ 6⎟ , ⎜ 1/ √2 ⎟ , ⎜1/ 3⎟⎬ . √ √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝−1/ 6⎠ ⎝−1/ 6⎠ ⎝1/ 3⎠⎪ ⎭ es una base ortonormal de R3 . Finalmente, √ √ √ ⎛⎛ 2/ √6 ⎞ ⎛5⎞ ⎛ 0 √ ⎞ ⎛5⎞ ⎛1/√3⎞ ⎛5⎞⎞ ⎛ 7/ √6 ⎞ [⃗ v ]B = ⎜⎜−1/ 6⎟ ⋅ ⎜1⎟ , ⎜ 1/ √2 ⎟ ⋅ ⎜1⎟ , ⎜1/ 3⎟ ⋅ ⎜1⎟⎟ = ⎜−1/ 2⎟ ⎝⎝−1/√6⎠ ⎝2⎠ ⎝−1/ 6⎠ ⎝2⎠ ⎝1/√3⎠ ⎝2⎠⎠ ⎝ 8/√3 ⎠ o 75 (20pts). En R4 , considere las bases, ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎫ ⎛−1⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜2⎟ ⎜1⎟⎪ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜−1⎟⎪ ⎪ B1 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ y B2 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , ⎜1⎟ ⎜1⎟⎪ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝2⎠ ⎝1⎠⎪ ⎭ ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎭ de los subespacios W1 y W2 , respectivamente. (a) (10pts) ¿Son estas bases ortogonales? Justifique su respuesta. (b) (10pts) Verifique que W1 y W2 son subespacios ortogonales. o 28.

(a) B1 no es ortogonal porque (1, 2, 1, 2) ⋅ (1, 1, 1, 1) = 6 ≠ 0, y estos vectores deber´ıan ser ortogonales. B2 s´ı es una base ortogonal ya que (−1, 0, 1, 0) ⋅ (0, −1, 0, 1) = 0.

(b) Se puede verificar que W1 y W2 son subespacios ortogonales haciendo el producto ⎛1 ⎜2 ⎜ ⎜1 ⎝2

t

1⎞ ⎛−1 1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⋅⎜ 1⎟ ⎜ 1 1⎠ ⎝ 0

0⎞ −1⎟ 1 ⎟=( 0⎟ 1 1⎠

2 1

1 1

⎛−1 2 ⎜0 )⋅⎜ 1 ⎜1 ⎝0

0⎞ −1⎟ 0 ⎟=( 0⎟ 0 1⎠

0 ), 0

que al dar como resultado una matriz nula implica que W1 y W2 son ortogonales. ⎧ 0 2 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ o 76 (20pts). Considere la siguiente base de R3 : B = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 2 ⎟ , ⎜−1⎟⎬. Use Gram-Smith para deter⎪ ⎪⎝0⎠ ⎝−1⎠ ⎝ 0 ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ minar una base ortonormal de R3 a partir de B.

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⎛3⎞ ⎛2⎞ ⎛0⎞ o 29. Se toman v⃗1 = ⎜1⎟, v⃗2 = ⎜ 2 ⎟ y v⃗3 = ⎜−1⎟, y se aplica Gram-Schmidt para obtener a partir de ⎝0⎠ ⎝−1⎠ ⎝0⎠ ⃗2 , u ⃗3 } ortonormal base de R3 . ellos un conjunto {⃗ u1 , u v⃗1 (0, 1, 0) ⃗1 = u = = (0, 1, 0). ∥⃗ v1 ∥ ∥(0, 1, 0)∥ √ √ ⃗1 )⃗ v⃗2 − 2⃗ u1 (2, 0, −1) v⃗2 − (⃗ v2 ⋅ u u1 ⃗2 = = = = (2/ 5, 0, −1/ 5). u ⃗1 )⃗ ∥⃗ v2 − (⃗ v2 ⋅ u u1 ∥ ∥⃗ v2 − 2⃗ u1 ∥ ∥(2, 0, −1)∥ √ √ √ ⃗1 )⃗ ⃗2 )⃗ ⃗1 − (6/ 5)⃗ v⃗3 − (⃗ v3 ⋅ u u1 − (⃗ v3 ⋅ u u2 v⃗3 + u u2 (3/5, 0, 6/5) ⃗3 = u = = = (1/ 5, 0, 2/ 5) √ ⃗1 )⃗ ⃗2 )⃗ ∥⃗ v3 − (⃗ v3 ⋅ u u1 − (⃗ v3 ⋅ u u2 ∥ ∥⃗ ⃗1 − (6/ 5)⃗ v3 + u u2 ∥ ∥(3/5, 0, 6/5)∥ √ √ ⎧ 0 ⎫ 2 5 ⎞ ⎛1/ 5⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎪ ⎟⎬. As´ı la base ortonormal es: B = ⎨⎜1⎟ , ⎜ 0√ ⎟ , ⎜ 0 √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝0⎠ ⎝−1/ 5⎠ ⎝2/ 5⎠⎪ ⎭ ⎛3 o 77 (20pts). Diagonalice la matriz A = ⎜ 1 ⎝−1 tal que D = C −1 AC.

−2 0 2

1⎞ 1⎟, es decir, determine C invertible y D diagonal 1⎠

RRR3 − λ −2 1 RRRR R −λ 1 RRRR = −λ(2 − λ)2 . o 30. El polinomio caracter´ıstico de A es det(A − λI) = RRRRR 1 R RRR −1 2 1 − λRRRR R ⃗ Para λ = 0 se resuelve el sistema (A − 0I∣0): −2 1RRRR0⎞ 1 0 1RRRR0⎞ f2 − 3f1 ⎛1 0 1 RRRR0⎞ 1 0 1 RRRR0⎞ −1 ⎛1 0 ⎛3 ⎛ f ↔ f1 f + f2 ⎛ f −2 1RRRR0⎟ → 0 1RRRR0⎟ 2 ⎜1 ⎜3 ⎜0 −2 −2RRRR0⎟ 3 ⎜0 −2 −2RRRR0⎟ 2 2 ⎜0 1 R R R R → → ⎝ → ⎝ ⎝−1 ⎝−1 0 0 2 1RRRR0⎠ 2 1RRRR0⎠ f3 + f1 ⎝0 2 2 RRRR0⎠ 0 0 0 RRRR0⎠ ⎧ ⎫ −1 ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Por lo que el subespacio propio asociado a λ = 0 tiene base ⎨⎜−1⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⃗ Para λ = 2 se resuelve el sistema (A − 2I∣0): −2 1 RRRR0⎞ f2 − f1 ⎛1 −2 1RRRR0⎞ ⎛1 −2 1 RRRR0⎟ → ⎜0 0 0RRRR0⎟, ⎜1 RRR R ⎝−1 ⎠ ⎝ 2 −1RR0 f3 + f1 0 0 0RRRR0⎠ ⎧ −1 ⎫ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ Por lo que el subespacio propio asociado a λ = 2 tiene base ⎨⎜1⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 0 1 ⎭ ⎩ ⎛−1 2 −1⎞ 0 ⎟ que cumple con que D = C −1 AC, donde D es la matriz Finalmente se toma C = ⎜−1 1 ⎝1 0 1⎠ 0 0 0 ⎞ ⎛ diagonal D = ⎜0 2 0⎟. ⎝0 0 2⎠ ⎛−2 + a −1 − a −3 + a⎞ −a −2a ⎟, donde a ∈ R. Calcule el polinomio o 78 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ −2a ⎝ 2 1+a 3 ⎠ caracteristico de A y determine todos los valores de a para los cuales la matriz A tiene exactamente dos valores propios distintos. Adem´ as, verifique que v⃗ = (2, 0, −2) es un vector propio de A.

o 31. El polinomio caracter´ıstico de A es: RRR−2 + a − λ R p(λ) = det(A − λI) = RRRRR −2a RRR 2 R

−1 − a −a − λ 1+a

−3 + aRRRR −2a RRRR = (1 − λ)(a − λ)(a + λ) R 3 − λ RRRR

1RRRR0⎞ 1RRRR0⎟, R 0RRRR0⎠

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SEGUNDO SEMESTRE DEL 2019

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As´ı para que A tenga exactamente dos valores propios se puede tomar a = 0, a = 1 ´ o a = −1. Para cualquier otro valor de a, los valores propios ser´ıan 1, a y −a. Se verifica que v⃗ = (2, 0, −2) es un vector propio de A viendo que A⃗ v es un m´ ultiplo de v⃗. En efecto, ⎛2⎞ ⎛−2 + a −1 − a −3 + a⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛−4 + 2a + 6 − 2a⎞ −4a + 4a −a −2a ⎟ ⋅ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ ⎟ = 1 ⋅ ⎜ 0 ⎟. A⃗ v = ⎜ −2a ⎝−2⎠ ⎠ ⎝ 2 4−6 1+a 3 ⎠ ⎝−2⎠ ⎝

o 79 (20pts). Verifique que la transformaci´ on lineal T (x, y) = (x + 2y, y) no es diagonalizable y pero que G(x, y) = (−x, −x + 2y) s´ı lo es. Adem´ as, diagonalice T + G. o 32. T no es diagonalizable: 1 2 la matriz de T es [T ]C = ( ), tiene un s´ olo valor propio λ = 1 con multiplicidad algebraica 2. 0 1 ⃗ La multiplicidad geom´ etrica de este valor propio se calcula resolviendo el sistema ([T ]C − λI∣0): 0 2 0 21 f1 0 1 0 ( ∣ ) ( ∣ ), 0 00 → 0 00 As´ı su multiplidad geom´ etrica es 1. Como es diferente a la algebraica, T no es diagonalizable. G s´ı es diagonalizable: −1 0 la matriz de G es [G]C = ( ), tiene dos valores propios λ = −1 y λ = 2, ambos con multiplicidad −1 2 algebraica 1. G es diagonalizable porque la multiplicidad geom´ etrica de cada uno de ellos es necesariamente igual a 1. Para diagonalizar T + G se diagonaliza su matriz: 1 2 −1 0 0 2 [T + G]C = [T ]C + [G]C = ( )+( )=( ) −1 3 0 1 −1 2 El polinomio caracter´ıstico de [T + G]C es −λ p(λ) = ∣ −1

2 ∣ = (1 − λ)(2 − λ) 3−λ

2 Para λ = 1 se encuentra el generador de su subespacio propio, el cual es el vector ( ). 1 1 Para λ = 2 se encuentra el generador de su subespacio propio, el cual es el vector ( ). 1 2 1 1 0 Por lo tanto en la base B = {( ) , ( )} se satisface que [T ]B = ( ). 1 1 0 2

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ aticas

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06 de Diciembre, II Semestre 2019 8am

MA1004: Reposici´ on Tercer Examen Parcial

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Debe hacer solamente 5 preguntas de las 6 que se le presentan para completar 100 puntos. o 1 (20pts). Encuentre una base ortogonal B de R2 tal que las coordenas del vector v⃗ = (4, −3) en esta base sean [⃗ v ]B = (1, 2). o 2 (20pts). En R4 , considere las bases, √ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎛1/√10⎞ ⎛1/2⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛−1⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜1/2⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎪ 2/ 10 ⎜ 0 ⎟ ⎜−1⎟⎪ ⎟ ⎜ √ B1 = ⎨⎜ , ⎜ ⎟⎬ y B2 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1/2 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1/ 10 ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝1/2⎠⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 10 2/ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ de los subespacios W1 y W2 , respectivamente. (a) (10pts) ¿Son estas bases ortonormales? Justifique su respuesta. (b) (10pts) Verifique que W1 y W2 son subespacios ortogonales. o 3 (20pts). Considere la siguiente base de R3 ⎧ 1 1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ B = ⎨⎜1⎟ , ⎜2⎟ , ⎜ 0 ⎟⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝−1⎠⎪ ⎭ Use Gram-Smith para determinar una base ortonormal de R3 a partir de B. ⎛−8 o 4 (20pts). Diagonalice la matriz A = ⎜ 1 ⎝9 −1 y D diagonal tal que D = C AC.

−4 2 4

−14⎞ 1 ⎟, es decir, determine C invertible 15 ⎠

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⎛−2 + a −1 − a −3 + a⎞ −a −2a ⎟, donde a ∈ R. Calcule el o 5 (20pts). Considere la matriz A = ⎜ −2a ⎝ 2 1+a 3 ⎠ polinomio caracteristico de A y determine todos los valores de a para los cuales la matriz A tiene exactamente tres valores propios distintos. Adem´as, verifique que v⃗ = (2, 0, −2) es un vector propio de A. o 6 (20pts). Verifique que las transformaciones lineales T (x, y) = (x + y, y) y G(x, y) = (x, x + y), no son diagonalizables pero que la transformaci´on lineal F + G s´ı lo es. Diagonalice ortogonalmente F + G. ***

"Como las ciencias que tienen una gran variedad de temas, ya sea la matem´ atica o la f´ ısica, la variedad tambi´ en de personas puede estimular enormemente la investigaci´ on". –Annalaura Stingo

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16 de Diciembre, II Semestre 2019 01:00 pm MA-1004: Examen de Ampliaci´on

Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´ onico diferente a una calculadora no programable. El examen tiene una duraci´on de 1 hora por cada parte que el estudiante deba realizar. Complete los puntos respectivos. I Parcial ⎧ (1 − a)x + ay + (1 + a)z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ o 80 (20pts). Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales. ⎨ (1 − a)x + −ay + (1 + a)z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(2 − 2a)x + ay + (1 + a)z = 0 (a) (15pts) Encuentre los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Adem´ as, escriba el conjunto soluci´on para estos casos. (b) (5pts) Si a = 2 el sistema tiene soluci´on u ´nica, encu´entrela usando la regla de Cramer. o 81 (20pts). Responda las siguientes preguntas referentes matrices. (a) (5pts) Sean A y B matrices no nulas de tama˜ no 3 × 3, donde A es invertible y B no lo es. ¿Es posible que el producto AB sea invertible? Justifique su respuesta. (b) (15pts) Si x ≠ 0 calcule la inversa de la siguiente matriz: ⎛1 ⎜0 ⎝−1

−2 1 1

1 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜0 −1⎠ ⎝0

x 1 0

−1

0⎞ x⎟ 1⎠

II Parcial o 82 (20pts). En R3 , considere el plano x − z = 0. Encuentre una base B para este plano y calcule las coordenadas del vector del plano (1, 1, 1) en esta base. o 83 (20pts). Considere la transformaci´ on lineal T ∶ R4 → R2 que se define sobre la 4 siguiente base de R : ⎧ ⎪ ⎪ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟⎪ ⎪ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠⎪ como T (1, 0, 0, 0) = (1, 0), T (1, 1, 0, 0) = (2, 0), T (1, 1, 1, 0) = (2, 1) y T (1, 1, 1, 1) = (2, 2). Calcule T (x, y, z, w), es decir, el criterio de T .

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III Parcial o 84 (20pts). Encuentre una base ortogonal B de R2 tal que las coordenas del vector v⃗ = (3, −1) en esta base sean [⃗ v ]B = (1, −1). o 85 (20pts). Verifique que las transformaciones lineales T (x, y) = (x + 2y, y) y G(x, y) = (x, 2x + y), no son diagonalizables pero que la transformaci´on lineal F + G s´ı lo es. Diagonalice ortogonalmente F + G. ***

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11 de Septiembre, II Semestre 2019 09:00 am

MA-1004: Examen de Suficiencia Instrucciones generales: Escriba sus respuestas en un cuaderno de examen con todos los detalles necesarios para justificarlas. Utilice bol´ıgrafo azul o negro para tener derecho a reclamos. No se permite el uso de tel´efonos ni de ning´ un otro aparato electr´onico. El examen tiene una duraci´ on de 3 horas. Complete 100 puntos. o 86 (20pts). Responda las siguientes preguntas referentes a sistemas de ecuaciones lineales. (a) (5pts) ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales con una matriz de coeficientes 4 × 3 tenga soluci´ on u ´nica? Explique su respuesta y d´e un ejemplo. (b) (15pts) Considere el sistema: ⎧ ax + (a + 1)y + (a + 1)z + (2a + 2)w = 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ax + −(a + 1)y + −(a + 1)z + (2a + 2)w = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (a + 1)y + (a + 1)z + (a + 2)w = 2 ⎩ Determine todos los valores de a para los cuales este sistema tiene infinitas soluciones y escriba el conjunto soluci´ on correspondiente. o 87 (20pts). Responda las siguientes preguntas referentes matrices. (a) (5pts) Sean A y B matrices no nulas de tama˜ no 3 × 3, donde A es invertible y B no lo es. ¿Es posible que el producto AB sea invertible? Justifique su respuesta. (b) (15pts) Si x ≠ 0 calcule la inversa de la siguiente matriz: ⎛0 ⎜0 ⎝1

0 1 0

1⎞ ⎛1 0⎟ ⎜0 0⎠ ⎝0

−1

x 0⎞ 1 x⎟ 0 1⎠

⎧ 1 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ o 88 (20pts). Sea W el subespacio de R generado por los vectores B = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜1⎟ , ⎬ ⎪ ⎪⎝−1⎠ ⎝1⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 3

(a) (10pts) ¿Pertenece el vector v⃗ = (1, −2, 1) al subespacio W ? Justique su respuesta. (b) (10pts) Verifique que B junto con el vector v⃗ = (1, −2, 1) forma una base de R3 y ⃗ = (11, −17, 9) en esta base. calcule las coordenadas de w 2 1 o 89 (20pts). Sea B una base de R2 tal que [I]B onica C = (1 1), donde C es la base can´ de R2 . Adem´ as, considere T ∶ R2 → R2 una transformaci´on lineal tal que T (x, y) = (x + y, x − y).

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(a) (10pts) Calcule [T ]B . (b) (10pts) Determine [T (⃗ v )]B , donde v⃗ = (1, 1). ⎛0 0 2 ⎞ o 90 (20pts). Diagonalize la matriz A = ⎜1 4 −5⎟, es decir, obtenga una matriz ⎝2 0 0 ⎠ invertible C tal que C −1 AC sea una matriz diagonal. ***

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Bibliograf´ıa

[Anton, 2004] Anton, H. (2004). Introducci´ on al a ´lgebra lineal. Limusa, M´ exico. [Arce, 2014] Arce, C. (2014). Ejercicios resueltos de a ´lgebra lineal. Editorial UCR. ´ [Arce et al., 2014] Arce, C., Castillo, W., y Gonz´ alez, J. (2014). Algebra lineal. Editorial UCR. [Chancelier et al., 2007] Chancelier, J., Delebecque, F., Gomez, C., Goursat, M., Nikoukhah, R., y Steer, S. (2007). Introduction ` a SCILAB. Collection IRIS. Springer Paris. [Gerber, 1992] Gerber, H. (1992). Algebra lineal. Grupo Editorial Iberoam´ erica. ´ [Germain, 2013] Germain, S. (2013). Consid´ erations G´ en´ erales Sur l’Etat Des Sciences Et Des Lettres ´ Aux Diff´ erentes Epoques. Hachette Livre - BNF. ´ [Golovina, 1980] Golovina, L. (1980). Algebra Lineal y Algunas de sus Aplicaciones. Mir, Moscu. [Gomez et al., 2012] Gomez, C., Bunks, C., Chancelier, J., Delebecque, F., Goursat, M., Nikoukhah, R., y Steer, S. (2012). Engineering and Scientific Computing with Scilab. Birkh¨ auser Boston. ´ [Grossman y Flores, 2012] Grossman, S. y Flores, J. (2012). Algebra lineal. McGraw Hill. ´ [Maltsev, 1972] Maltsev, A. (1972). Fundamentos de Algebra Lineal. Mir, Mosc´ u. [Reid, 1996] Reid, C. (1996). Julia: A Life in Mathematics. MAA spectrum. Mathematical Association of America. ´ [S´ anchez, 2020] S´ anchez, J. (2020). Algebra Lineal Fundamental: Teor´ıa y Ejercicios. Editorial UCR. ´ [Strang, 2006] Strang, G. (2006). Algebra lineal y sus aplicaciones. Ediciones Paraninfo. [Vakil, 2008] Vakil, R. (2008). A Mathematical Mosaic: Patterns & Problem Solving. Brendan Kelly Pub. [Venema, 2013] Venema, G. (2013). Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra. Classroom Resource Materials. Mathematical Association of America.

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