Análisis Geo-estadístico Y Exposición Solar - Ilwis

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Análisis Geo-Estadístico y de Exposición Solar

Xander Bakker

Septiembre de 2000 Santafé de Bogotá, D.C., Colombia

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Advertencia: El presente documento fue elaborado como un curso de análisis geo-estadístico utilizando el sistema de información geográfica ILWIS versión 2.23 para Windows. Para el buen desarrollo de este curso los participantes deben tener conceptos básicos de sistemas de información geográfica, haber recibido el curso de introducción a ILWIS o tener experiencia con el sistema de información geográfica ILWIS versión para Windows obtenido por medio de métodos autodidactas. HeRindser Ltda ni el autor de este documento asumen responsabilidad por resultados erróneos obtenido en el análisis geo-estadístico efectuado con base en este documento.

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Contenido: 1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Definición de Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Interpolación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Interpolación de vecinos más cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Interpolación de promedio móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Interpolación de tendencia de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Interpolación de superficie móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Historia del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Aplicaciones del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 1 3 5 5 6 6

2. TEORÍA DE GEO-ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Distribución espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 (Auto-)Correlación espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Interpretación de “Moran's I” y “Geary's c”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Semivariogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Variograma representado como superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Variograma de cruces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Métodos de Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.1 Simple Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.2 Ordinary Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.3 Anisotropic Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.4 CoKriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.5 Universal Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Diagrama de flujo del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. EJERCICIO DE KRIGING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Reconocer la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Despliegue y consulta de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Análisis de distribución espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Generación de variogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Variograma representado como superficie (Anisotropía) . . . . . . . . . . . 3.2.2 Correlación espacial bi-direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22 23 23 24

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3.3

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Modelar el semivariograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Adicionar modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Anisotropía zonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Correlación espacial omnidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Adicionar modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Verificación y selección de los modelos (Goodness of Fitt R2) . . . . . . . Interpolación por medio del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verificación del resultado (Confidence interval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 27 27 28 33 34

4. EXPOSICIÓN SOLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 La trayectoria solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Declinación solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Latitud geográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Ángulo horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ocultamiento topográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Definición de exposición solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Ángulo de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Irradiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ejercicio práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Operaciones de conectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Intervisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Conectividad en ILWIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Iniciar el proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36 36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 41 43

3.4 3.5

5. RESPUESTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Anexo: Declinación solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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1. INTRODUCCIÓN La geo-estadística se aplica a un conjunto de puntos con sus atributos con el fin de comprender su distribución y comportamiento espacial y determinar el tipo de análisis que se puede aplicar. Tema central de este curso es el proceso de Kriging, entendido como una interpolación de atributos puntuales por medio de una función estadística. Dentro de este curso se explicarán los fundamentos de la geo-estadística y se pondrán en práctica dichos conocimientos. Además se ha incluido una sección teórico-práctica que trata del análisis de exposición solar.

1.1 Definición de Interpolación Es el procedimiento de estimar las propiedades en sitios no muestreados dentro de un área cubierta por valores conocidos en localidades vecinas. El estimar los valores de propiedades en lugares fuera del área cubierta por observaciones se llama extrapolación. La calidad de la interpolación depende de la confiabilidad, certeza, número y distribución de los puntos conocidos usados en el cálculo y en la precisión del modelamiento de la función utilizada. Los valores desconocidos son calculados con esta función. El escoger el modelo apropiado, es esencial para obtener buenos resultados. (Valenzuela 1989, Aronoff 1989) 1.2 Interpolación de puntos La interpolación de puntos sirve para generar un superficie continua de valores a partir de valores registrados en ubicaciones puntuales. Existen en la literatura muchas diferentes formas para efectuar este tipo de interpolación y cada una de estos tipos tiene su aplicación específica. ILWIS soporta varios de estas interpolaciones: vecino más cercano, promedio móvil, tendencia de superficie y superficie móvil. (ILWIS 1999) 1.2.1 Interpolación de vecinos más cercanos La interpolación de vecinos más cercanos crea los denominados polígonos de Thiessen (o "polígonos Voronoi") los cuales definen áreas de influencia individual por cada punto de un conjunto de puntos. Es una manera de extender la información puntual asumiendo que la mejor información, para ubicaciones sin observaciones, es el valor del punto más cercano. (Aronoff 1989). A

A B

C

B

D

C

D E

F

E

G

F

G H

H

Figura 1: Polígonos de Thiessen


  

1

Introducción

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for W I N D O W S La funcionalidad es la siguiente: para cada pixel las distancias euclidianas son calculadas hacia todos los puntos. A cada pixel se le asigna el valor del punto con la menor distancia. INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Este tipo de interpolación no se aplica para generar mapas de superficie continua, pero más bien para determinar áreas de influencia de, por ejemplo; escuelas con base en distancias o tiempos de viaje. (Ver gráfico abajo) (Bakker y Perez 2000) En la figura 2 se muestra un mapa de polígonos de Thiessen calculado sobre una superficie compleja mediante una operación de esparcimiento. (Datos: CVC, Cuenca Tulua-Morales, Proyecto SIGPAFC, asesorado por X. Bakker, HeRindser LTDA)

condiciones de esparcimiento

Figura 2: Polígonos de Thiessen sobre superficie compleja

Una función de esparcimiento evalúa fenómenos que se acumulan con la distancia. Se utiliza para evaluar tiempo o costo de transporte sobre una superficie compleja. Los movimientos pueden ser limitados por barreras parciales que reducen la velocidad de movimiento o por barreras absolutas que impiden completamente el movimiento. (Valenzuela 1989, Aronoff 1989). ILWIS permite por medio del programa “Distance” generar estos tipos de mapa, especificando un mapa de pesos (valor dificultad, tiempo o costo para atravesar un pixel). Dentro de esta operación se puede opcionalmente crear un mapa de polígonos de Thiessen.


  

2

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1.2.2 Interpolación de promedio móvil Una de los tipos de interpolación más aplicada para determinar un valor en ubicaciones “no-visitadas” es la del promedio móvil. Funciona por medio de una ventana circular donde el valor resultante es determinado por la influencia de puntos conocidos dentro de esta ventana. La influencia es ponderada con base en la distancia inversa o decrecimiento lineal (En las figuras 3 y 4: i es la influencia y d es una función de distancia). (Burrough 1985, ILWIS 1999). En ILWIS se pueden usar dos funciones para ponderar la influencia como función de distancia. La primera es la “Distancia Inversa” (ver figura 3) y la segunda es el “Decrecimiento Lineal” (ver figura 4).

La figura 3 muestra gráficamente la influencia de cada punto como función de distancia (Distancia Inversa). Los puntos más cercanos tendrán la mayor influencia en el valor resultante. Al incrementar la variable n los puntos a mayor distancia casi no tienen influencia en el resultado.

Figura 3: Influencia como función de distancia (distancia inversa)

La figura 4 muestra gráficamente la influencia de cada punto como función de distancia (Decrecimiento Lineal). Los puntos más cercanos tendrán la mayor influencia en el valor resultant. Al incrementar la variable n los puntos a mayor distancia ejercen influencia en el resultado. Con el valor 1 para la variable n el decrecimiento será una linea recta. Figura 4: Influencia como función de distancia (decrecimiento lineal)


  

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for W I N D O W S En la figura 5 se muestra el resultado de una interpolación de puntos, usando el método de promedio móvil con una función de Distancia Inversa con n=2.5. Información de precipitación en el área de estudio de la Bioreserva Amboseli, Kenia. INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Figura 5: Interpolación por medio del promedio móvil

Los puntos incluidos para la interpolación también están ubicados fuera del área de estudio, para evitar que los errores de interpolación ocurran dentro del área de interés. Posteriormente se recortó el área útil.
  

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1.2.3 Interpolación de tendencia de superficie Una forma relativamente sencilla para describir variaciones graduales sobre grandes distancias es por medio del modelamiento con una regresión “polynomial”. La idea es ajustar una superficie polynomial, usando “least squares fit” mediante los puntos conocidos. Las funciones que se pueden usar varían desde la más sencilla “plano” para áreas de poca variación hasta la más compleja “6o orden superficie polynomial” para superficies con un alto grado de variación. La superficie que resulta trata de ajustarse a la máxima cantidad de puntos. (Burrough 1985, ILWIS 1999). En ILWIS la interpolación de tendencia de superficie únicamente puede ser desarrollada con mapa de puntos con dominio de tipo valor o con base en un atributo numérico.

Figura 7: Regresión polynomial

Figura 6: Regresión lineal

Las figuras muestran dos funciones para ajustar la superficie a los puntos conocidos. La figura 6 muestra una función lineal, y la figura 7 muestra una función polynomial. Horizontalmente está graficada la distancia y verticalmente la varianza. En el análisis de tendencias la linea de regresión se ajusta de tal forma que la suma de los cuadrados de diferencia sea la mínima (b) y no la distancia mínima entre el punto y la linea (a) ni tampoco la desviación estándar en distancia (c). (Burrough 1985)

1.2.4 Interpolación de superficie móvil La interpolación de superficie móvil es una combinación de la interpolación de tendencias de superficie y el promedio móvil. Usa las mismas funciones que la anterior interpolación, pero adicionalmente utiliza un método de distancia como el empleado en la interpolación de promedio móvil. Se pueden usar las dos funciones de distancias (Distancia Inversa y Decrecimiento Lineal). Tanto en la interpolación de superficie móvil como en la de tendencias de superficie se recomienda determinar la distribución espacial con el programa “Pattern Analysis” y la correlación espacial por medio del programa “Spatial Correlation”.
  

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1.3 Historia del Kriging En la mayoría de los casos la interpolación de puntos (ej. promedio móvil) genera un resultado satisfactorio, sin embargo deja unas preguntas sin responder: a) b) c)

Que tan grande debería ser la distancia de los puntos que ejercen influencia en el valor del resultado? Existen mejores maneras para determinar el resultado? Cual es el error asociado con el resultado de la interpolación?

En 1971 estas preguntas motivaron al geo-matemático Francés Georges Matheron y el ingeniero de minería de Sud-África D.G. Krige a desarrollar un método para la interpolación de puntos con el objeto de ser aplicado en la industria minera. El método de interpolación es óptimo en el sentido que la función de ponderación se selecciona perfeccionando la función de interpolación con el fin de proveer el mejor estimado lineal imparcial (Best Linear Unbiased Estimate). La aplicabilidad del método se determina con la aceptación de que la distribución espacial de cualquier propiedad geológica, hidrológica o de suelos, conocida como variable regionalizada, es demasiado irregular para ser modelada usando una función matemática que promedie y que además puede ser representada con mejores resultados con una superficie empíricamente determinada. Antes de efectuar la interpolación se tiene que explorar y modelar estos aspectos por medio de funciones estadísticas que determinen las variables que van a ser utilizadas en el proceso. Por medio de la correlación espacial se selecciona la función estadística que mejor se adapte a los datos disponibles. (Burrough 1985, ILWIS 1999)

1.4 Aplicaciones del Kriging En documentos existentes el proceso del Kriging tiene muchas aplicaciones en campos de exploración y explotación, modelar aspectos hidrológicos hasta la generación de mapas de caracterización de suelos. Es importante notar que el proceso del Kriging dentro de ILWIS únicamente se puede efectuar con base en atributos numéricos.


  

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2. TEORÍA DE GEO-ESTADÍSTICA ILWIS cuenta con las herramientas para determinar la distribución espacial y la correlación de atributos. Todos estos procesos son pre-requisito para la operación del Kriging. En este capítulo se explica la utilidad de cada una de estas operaciones.

2.1 Distribución espacial La distribución espacial (Pattern Analysis) es una técnica que ofrece al usuario más información acerca la distribución del fenómeno a examinar. Se pueden distinguir 4 tipos de distribución espacial; Complete Spatial Randomness CSR (aleatorio), Cluster (agrupado), Regular (regular) y Paired (en parejas). Ver figuras 8 a 15. Es posible identificar visualmente la distribución espacial, sin embargo se recomienda graficar la distancia contra la probabilidad para encontrar 1 punto (columna Prob1Pnt graficado en rojo) y para encontrar todos los puntos (columna ProbAllPnt graficado en verde).

Figura 8: Distribución aleatoria

Figura 9: Distancia versus probabilidad (aleatoria)

Figura 10: Distribución agrupada

Figura 11: Distancia versus probabilidad (agrupada)


  

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Teoría de geo-estadísticas

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Figura 12: Distribución regular

Figura 13: Distancia versus Probabilidad (regular)

Figura 14: Distribución en pareja

Figura 15: Distancia versus probabilidad (en pareja)

Notese la diferencia en el comportamiento de las curvas de probabilidad tanto en el caso de encontrar un punto como en el de encontrarlos todos. En la distribución aleatoria y en la distribución regular la certeza (probabilidad igual a 1) de encontrar 1 punto ocurre a menor distancia que en las otras distribuciones. La diferencia entre la distribución aleatoria y la distribución regular se puede notar en la inclinación de la linea roja: la distribución aleatoria tiene un incremento gradual, mientras que la distribución regular causa una linea casi vertical. La curva roja (probabilidad de encontrar 1 punto) es muy similar para las distribuciones agrupadas y en pareja. Sin embargo, se pueden distinguir fácilmente por la curva verde (probabilidad de encontrar todos los puntos): para la distribución en pareja esta aumenta gradualmente, mientras para la distribución agrupada se incrementa con un comportamiento escalar. Una operación de Kriging requiere de una distribución aleatoria de los puntos.
  

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Teoría de geo-estadísticas

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for W I N D O W S En ILWIS existen dos técnicas para determinar la distribución espacial con base en un mapa de puntos: INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS




Nearest Neighbour Distance NND (Distancia de vecino más cercano) Este método consiste en analizar la distribución espacial, utilizando características de la distancia entre pares de puntos. La distribución se analiza calculando las distancias entre cada punto y su primer, segundo, tercer, cuarto, quinto y sexto vecino más cercano. El resultado se puede comprobar contra las distancias esperadas en una CSR (distribución completamente aleatoria). En el caso de que los pares de puntos sean más cercanos se evidenciará una distribución agrupada. En caso de que estén mas distanciados, se tomará como una distribución regular.

Figura 16: Tabla de distribución espacial (NND)


Reflexive Nearest Neighbour (RNN) En este método dos puntos son considerados RRN cuando dentro de un par de puntos cada uno es el vecino mas cercano del otro. Este cálculo se hace para el primer vecino más cercano hasta el sexto vecino más cercano (ILWIS 1997).

Figura 17: Información adicional acerca RNN


  

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for W I N D O W S A continuación se presenta información adicional acerca de RNN y NND que ILWIS genera para cuatro mapas de puntos con las cuatro diferentes distribuciones: aleatoria (1), agrupada (2), regular (3) y en pareja (4): INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Reflexive Nearest Neighbours

Reflexive Nearest Neighbours

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 62.00 62.15 2 40.00 32.91 3 30.00 24.31 4 18.00 20.15 5 22.00 17.60 6 12.00 15.82

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 64.00 62.15 2 32.00 32.91 3 22.00 24.31 4 24.00 20.15 5 16.00 17.60 6 8.00 15.82

Distance to Nearest Neighbours

Distance to Nearest Neighbours

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 5052.37 4899.90 2 7778.14 7349.84 3 10258.35 9187.30 4 12084.69 10718.03 5 13870.36 12058.64 6 15288.82 13264.02

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 1092.95 3590.43 2 1742.72 5385.65 3 2272.11 6732.06 4 2743.68 7853.72 5 3127.95 8836.06 6 3468.96 9719.31

Cuadro 1: RNN y NND para distribución aleatoria

Cuadro 2: RNN y NND para distribución agrupada

Reflexive Nearest Neighbours

Reflexive Nearest Neighbours

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 2.00 61.53 2 16.00 32.58 3 0.00 24.07 4 2.00 19.95 5 30.00 17.42 6 2.00 15.66

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 100.00 62.15 2 34.00 32.91 3 30.00 24.31 4 14.00 20.15 5 18.00 17.60 6 14.00 15.82

Distance to Nearest Neighbours

Distance to Nearest Neighbours

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 10000.00 4494.67 2 10000.00 6742.00 3 10167.36 8427.50 4 11742.91 9831.63 5 14378.82 11061.37 6 16367.65 12167.06

Order Obs. values Assumed CSR ================================== 1 759.91 4918.68 2 8138.23 7378.03 3 8632.07 9222.53 4 11342.81 10759.13 5 11812.38 12104.88 6 14382.59 13314.88

Cuadro 3: RNN y NND para distribución regular


  

Cuadro 4: RNN y NND para distribución en pareja

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Teoría de geo-estadísticas

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2.2 (Auto-) Correlación espacial Muchas variables tienen diversos valores en diferentes ubicaciones, estas pueden ser consideradas como ubicaciones geográficas aleatorias y ser analizadas usando una (auto-)correlación espacial. Ejemplos de este tipo de fenómeno son datos pluviométricos, concentración de elementos tóxicos, elevación en puntos de triangulación, etc. Por medio de la autocorrelación espacial se puede determinar la variación espacial del fenómeno a estudiar. Normalmente, parejas de puntos con menor distancia intermedia presentan una mayor correlación en la variable, mientras que puntos con mayor distancia intermedia presentan más variación. El “autocorrelogram“ cuantifica esta relación entre distancia y varianza y permite obtener una mejor comprensión del fenómeno a estudiar. ILWIS permite el cálculo de correlación espacial omnidireccional (en todas las direcciones) y bidireccional (en una dirección especificada con su dirección perpendicular). Requiere la especificación del “Lagspacing” (intervalo de distancia). En caso de seleccionar la opción bi-direccional se debe indicar la dirección, tolerancia y opcionalmente el ancho de banda. (Ver figura 18).

En caso de que exista un punto en el origen de la figura 18, se evalúan todos aquellos puntos que se encuentren entre la dirección (linea azul) menos la tolerancia (lineas rojas) y la dirección más la tolerancia. Cuando se encuentre un punto su varianza y otros atributos serán registrados en su correspondiente clase de “Lag spacing” (columna Distance de la figura 19).

Figura 18: Correlación espacial bi-direccional

El resultado de esta operación produce una tabla con las siguientes columnas:

Figura 19: tabla que resulta de la correlación espacial bi-direccional


  

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for W I N D O W S Indica el centro de cada clase de distancia (“Lag spacing”) El número de pares de puntos encontrados en las clases de distancia. ”Moran's I” representa la correlación espacial de los puntos dentro de cada clase de distancia. (La relación entre el producto de la diferencia de los valores entre puntos con la diferencia global). “Geary's c” representa la varianza espacial de los puntos dentro de cada clase de distancia (compara las diferencias en cuadrado con la media de todos los valores). Para cada clase de distancia se determina la distancia promedio entre los pares de puntos (1 es para la dirección principal de la operación bidireccional). Números de pares encontrados en cada clase de distancia (dirección principal) Semivarianza experimental para cada clase de distancia (dirección principal) Para cada clase de distancia se determina la distancia promedio entre los pares de puntos (2 es para la dirección perpendicular a la dirección principal de la operación bi-direccional). Números de pares encontrados en cada clase de distancia (dirección perpendicular) Semivarianza experimental para cada clase de distancia (dirección perpendicular)

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Distance NrPairs I

c

AvgLag1

NrPairs1 SemiVar1 AvgLag2

NrPairs2 SemiVar2

En caso de efectuar la operación omnidireccional, únicamente se genera una columna para el número de pares (NrPairs), distancia promedio (AvgLag) y semivarianza experimental (SemiVar). La operación bi-direccional únicamente se hace cuando se supone un comportamiento de Anisotropía en los datos. El ángulo de Anisotropía puede ser determinado por medio de una operación de “Variograma representado como superficie” (ver 2.4). Es importante que el “Lag spacing” sea seleccionado de tal forma que las clases de distancia tengan mínimo 30 puntos en cada clase.

2.2.1 Interpretación de “Moran's I” y “Geary's c” Los valores de “Moran’s I” y “Geary’s c” pueden interpretarse así: 01 c=1

Autocorrelación positiva Autocorrelación negativa Distribución aleatorio de los valores


  

12

I>0 I<0 I=0

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2.3 Semivariogramas El modelamiento de las semivariogramas es un aspecto muy importante en la preparación de la operación de Kriging. En este proceso se determina que modelo estadístico se ajusta mejor al comportamiento (correlación espacial) de los datos y cuales son las variables a ser usadas durante el Kriging. A partir de la tabla generada en la operación de correlación espacial se despliega la columna “Distance” o la columna “AvgLag” horizontalmente contra la columna “SemiVar” verticalmente. Al seleccionar el rango de distancia, no debe especificarse más que la mitad de la distancia máxima, puesto que se asume que después de una determinada distancia no existe correlación espacial entre los puntos. En caso que se use la opción bidireccional en la correlación espacial, se debe hacer este proceso para ambas direcciones. ILWIS soporta los siguientes variogramas teóricos para modelar el comportamiento de la correlación espacial (ver figura 20):

Figura 20: Modelos disponibles en ILWIS para modelar el semivariograma

En el ejemplo anterior se utilizaron las siguientes variables:








Power model: Gaussian model: Spherical model: Circular model: Exponential model: Rational Quadratic model: Wave model:


  

Nugget = 215, Slope = 0.000015 y Power = 1.6 Nugget = 350, Sill = 800, Range = 35km Nugget = 215, Sill = 750, Range = 39km Nugget = 150, Sill = 650, Range = 40km Nugget = 300, Sill = 700, Range = 35km Nugget = 260, Sill = 550, Range = 35km Nugget = 0, Sill = 350, Range = 4km 13

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for W I N D O W S Notése que todos los modelos utilizan las tres variables “Nugget”, “Sill” y “Range”, menos el Power model. El siguiente gráfico contiene la explicación de cada variable: INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Figura 21: semivariograma esférico

Nugget

Sill Range Slope

Es el valor inicial de la semivarianza (a la distancia cero) donde empieza el semivariogram (corte con el eje vertical). En teoría este valor debería ser cero, puesto que a distancia cero no debería existir varianza en el atributo. Sin embargo, en la práctica existen casos donde se requiere especificar un valor diferente a cero. Es el valor de semivarianza donde la curva se deja de incrementar. Corresponde a la distancia donde la curva se deja de incrementar. Para el “Power model” representa la pendiente de la curva (ver figura 20). En caso de usar un “Power” de 1 se obtiene una linea recta. Si en el ejemplo de la figura 20 se hubiera usado un Power igual a 1, la pendiente hubiera sido la siguiente:

∆ S em iva r 800 = ≈ 0 .0 1 2 ∆ D istan c ia 6 5 0 0 0 Power

Para el “Power model” representa la curvatura de la linea (ver figura 20).


  

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2.4 Variograma representado como superficie La operación “variogram surface” utilice un mapa de puntos (o mapa raster) y calcula una superficie de valores de semivarianza, donde cada pixel en la superficie representa una clase de distancia direccional. Esta superficie permite determinar visualmente la dirección de una posible anisotropía. En caso de establecerse la anisotropía en los datos, debe medirse el ángulo principal; luego realizar la correlación espacial usando este ángulo y modelar el semivariograma, estableciendo los parámetros necesarios para el proceso de Anisotropic Kriging.

Figura 22: Generación de un variograma representado como superficie

La figura 22 contiene 4 gráficos: el primero representa un mapa de puntos donde todos los pares de puntos han sido identificados mediante lineas de color (son 6). El segundo representa estas lineas (separation vectors) dibujadas desde el orígen en ambas direcciones (es decir dirección CB y también dirección BC) con su correspondiente longitud (distancia entre puntos). El tercer gráfico muestra las clases de distancias (Lag spacing) como un mapa raster con las lineas sobrepuestas. El cuarto muestra el resultado del variograma: un mapa raster con valores de semivarianza en los pixeles correspondientes a las clases de distancia direccional. Para obtener buenos resultados se recomienda tener unos 30 pares de puntos por cada pixel.

Normalmente el semivariograma representado como superficie debe ser circular (baja varianza cerca del orígen {color azul} y alta varianza {color rojo} hacia afuera). En caso que el comportamiento sea más similar a una elipse se puede concluir que los datos tienen anisotropía y se debe usar el proceso “Anisotropic Kriging”. En este caso debe medirse el ángulo de poca varianza y su tolerancia.

Figura 23: “variogram surface”


  

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2.5 Variograma de cruces El variograma de cruces calcula valores de semivarianza experimental para dos variables de entrada y un variograma de cruces para la combinación de estas dos variables. Esta aplicación es útil cuando se tiene un conjunto de puntos donde la variable de interés tiene pocas observaciones (debido al costo o dificultad para medir la variable), y otra variable que si tiene observaciones. En caso que exista entre estas dos variables una correlación determinante (positiva o negativa), se puede usar el comportamiento de esta co-variable para interpolar la variable de interés. Este método de interpolación es llamado CoKriging.

Figura 24: tabla que resulta de la operación “Cross variogram”

En este caso se debe modelar el semivariograma de la semivarianza de la variable de interés (columna SemiVarA), la co-variable (columna SemiVarB) y la semivarianza de cruce entre las dos. (columna CrossVarAB). (ver figura 25).

Figura 25: modelamiento de los tres semivariogramas


  

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for W I N D O W S Los valores del semivariograma de cruce pueden incrementarse o reducirse con la distancia dependiendo de la correlación entre las variables A y B. Los valores de los semivariogramas de las variables A y B son positivos. Cuando se modelan estos tres variogramas la relación definida por Cauchy-Schwartz debe cumplirse con el fin de garantizar resultados confiables de la operación CoKriging. INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Para todos los valores de distancia entre cero y la distancia limitante en la operación de CoKriging. donde: es la variable del variograma de cruce, es el valor del semivariograma para la variable A, es el valor del semivariograma para la co-variable B. La distancia limitante es la máxima (de un pixel) con respecto a un punto donde este punto todavía ejerza influencia en el resultado (del pixel).

2.6 Métodos de Kriging ILWIS soporta diferentes tipos de procesos de Kriging: Simple Kriging, Ordinary Kriging, Anisotropic Kriging, CoKriging y Universal Kriging. Cada uno de ellos tiene aplicabilidad especifica así: 2.6.1 Simple Kriging El Simple Kriging como su nombre lo indica es la forma más sencilla de Kriging. Se debe especificar el modelo del semivariograma y sus variables (Nugget, Sill y Range o Nugget, Slope y Power). Todos los puntos serán incluidos en este proceso, no puede especificarse el número de puntos a ser usado para determinar los valores de salida. Opcionalmente (como en todos los procesos de Kriging) puede generarse un mapa de errores. 2.6.2 Ordinary Kriging El Ordinary Kriging es muy similar a Simple Kriging, con la diferencia que en este caso si puede especificarse el número de puntos que serán usados para determinar los valores en el mapa raster de salida. Este se puede hacer indicando la distancia limitante, el número mínimo y máximo de puntos que se requieren para determinar los valores en el mapa de salida. Este método es más verosímil, puesto que normalmente después de una cierta distancia no existe ninguna correlación entre los atributos de los puntos.


  

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2.6.3 Anisotropic Kriging Como fue explicado en el numeral 2.4 (variograma representado como superficie) en caso que exista anisotropía en los datos (comportamiento distinto en diferentes ángulos), se debe usar el Anisotropic Kriging. Para este proceso se debe modelar el semivariograma para ambas direcciones (resultado de la correlación espacial bi-direccional). Además, del ángulo de anisotropía, Anisotropic Kriging tal como Ordinary Kriging permite al usuario definir la distancia limitante y el mínimo y máximo número de puntos. En caso de obtener dos diferentes tipos de semivariogramas (ej: esférico y gausiano) se habla de Anisotropía zonal (no soportada por ILWIS, ver figura 26).

Figura 26: Anisotropía zonal

Es importante destacar que en el modelamiento de los semivariogramas, no se trata de ajustar todos los puntos. Los puntos más importantes están a menor distancia. La distancia en donde no se puede ajustar el semivariograma corresponde a la distancia limitante. En la figura 26 la distancia limitante es de 30 a 35 km.

2.6.4 CoKriging El proceso de CoKriging, como fue explicado en el numeral 2.5 (variograma de cruces), es útil en caso de contar con un conjunto de puntos donde la variable de interés tiene pocas observaciones, pero existe otra variable que si tiene observaciones (debido al costo o dificultad para medir la variable).


  

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for W I N D O W S En caso de que exista entre estas dos variables una correlación fuerte (positiva o negativa), se puede usar el comportamiento de la variable observada para interpolar la variable de interés. Este método de interpolación es llamado CoKriging.

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2.6.5 Universal Kriging El Universal Kriging es una variación del Ordinary Kriging. La diferencia es que este usa una tendencia local. El Universal Kriging consiste en una superficie de tendencias que cambian gradualmente sobre la cual se superpone la variación a ser interpolada. Cuando la media de una variable regionalizada no es constante para toda la superficie se denomina “no estacionaria”. Este tipo de variables es muy frecuente y tiene dos componentes:



el promedio o valor esperado de la variable regionalizada un residual determinado por la diferencia entre el valor medido y el valor esperado

Puede usarse el proceso de Universal Kriging en vez de quitar este tipo de variación debido a la tendencia local.


  

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2.7 Diagrama de flujo de Kriging El siguiente es un diagrama de flujo para determinar el proceso de Kriging que debe usarse y para verificar si el conjunto de datos es apto para su aplicación:

Los rombos representan la toma de una decisión y los cuadros representan operaciones dentro de ILWIS. En varios casos no debe usarse Kriging:




Cuando no se tiene una buena distribución Si se tienen pocas observaciones y no se cuenta con una co-variable Cuando el resultado del “Cross variogram” no cumple la relación Cauchy-Schwartz.

Si se detecta una “Anisotropía zonal” es posible efectuar Simple o Ordinary Kriging. Luego de efectuar un proceso de Kriging se recomienda hacer una verificación de los resultados por medio de un proceso llamado “intervalo de confiabilidad” (ver numeral 3.4).


  

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3. EJERCICIO DE KRIGING Para este ejercicio se tomaron como base los datos existentes en la versión 2.2 de ILWIS elaborados por A. Gieske de la Universidad de Botswana y la Universidad Libre de Amsterdam. Dichos datos fueron editados para mejorar el nivel de aprehensión del ejercicio y del mismo proceso de Kriging.




Cambie al sub-directorio “C14" del directorio “C:\ILWIS22\DATA\” . Se asume que ILWIS esta instalado en el directorio “C:\ILWIS22\” y los datos para este curso fueron copiados en dicho directorio.

3.1 Reconozca la información El primer paso es conocer los datos y visualmente. Determine su distribución espacial y atributos. Establezca si cuenta con observaciones suficientes. Estos pasos definen si el conjunto de datos es apto para ser utilizado en el proceso de Kriging. 3.1.1 Despliegue y consulte la información Despliegue los puntos para evaluar de manera visual su distribución espacial.




Haga doble clic sobre el mapa de puntos “C14". En la ventana del diálogo oprima el botón “Symbol” y en la ventana de la definición del símbolo seleccione el “Fill color” rojo, luego oprima dos veces el botón “OK”.

Los puntos se despliegan dentro de una ventana con círculos rojos. Los puntos están bien distribuidos dentro de la ventana. Que tipo de distribución es, según su opinión?
Aleatoria
Agrupada
Regular
En pareja Cambie el despliegue de los símbolos con el fin de poder medir una distancia entre los puntos:




Seleccione el menú “Layers” en la ventana del mapa, luego seleccione la opción “Display Options” y “1 pnt C14". En la ventana de las opciones del despliegue oprima el botón “Symbol” y cambie el símbolo a “+ Plus”, luego oprima dos veces el botón “OK”. Con el botón

mida las distancias mínima y máxima existente entre los puntos:

Distancia mínima:.............


  

Distancia máxima:................

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for W I N D O W S Que tipo de dominio tiene el mapa (ver propiedades del mapa)? ...............

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Cuantos puntos tiene el mapa (ver propiedades del mapa)?

...............

Cuantos pares de puntos se pueden crear con estos puntos?

...............

Despliegue la tabla de atributos del mapa:




Haga doble clic sobre la tabla “C14". La tabla se abre y se puede observarse que tiene además de los códigos del dominio un atributo (columna “C14").

Los valores que aparecen el la columna “C14" representan porcentajes de contenido de C14 (p.m.c. = porcentaje de “carbono 14”). Cuales son los valores mínimos y máximos de la columna “C14"? Valor mínimo:............. Valor máximo:................ Se debe establecer cual es la varianza de los datos de atributos. Esto se hace dentro de la tabla de atributos:




Entre al menú “Column” y seleccione la opción “Statistics”. Seleccione la función “Variance” y asegure que la columna “C14" este seleccionada como columna. Oprima el botón “OK”.

Anote el valor de varianza:................ La varianza es un indicador para la variable “Sill” cuando el semivariograma no tiene “Nugget”.




Cierre la tabla de atributos y cierre el mapa de puntos.

3.1.2 Análisis de distribución espacial En este proceso se determina la distribución espacial del mapa de puntos:




En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción “Statistics” y luego “Pattern Analysis”. Por defecto el sistema tiene seleccionado en mapa de puntos “C14" como mapa de entrada. Escriba “distrib” como nombre de la tabla de salida, active la opción “Show” y oprima el botón “OK”.


  

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Ejercicio de Kriging

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for W I N D O W S Con el fin de interpretar los valores generados en esta tabla, se debe graficar la distancia (abscisa) y la probabilidad de encontrar 1 punto y todos los puntos (ordenada):

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En el menú “Options” de la tabla seleccione la opción “Show Graph”. En la caja de diálogo seleccione la columna “Distance” como eje X (izquierda) y la columna “Prob1Pnt” como eje Y (derecha). Oprima el botón “OK”. Acepte los valores por defecto de la ventana “Edit Graph” y oprime el botón “OK”. La curva de distancia versus la probabilidad se despliega en color rojo. En la ventana del gráfico, entre al menú “Graph” y seleccione la opción “Add Graph form Columns”. Seleccione “Distance” como eje X, “ProbAllPnt” como eje Y y oprima el botón “OK”. Acepte los valores por defecto de la ventana “Edit Graph” y oprime el botón “OK”.

Se actualiza el despliegue asignando a la curva de distancia versus probabilidad de encontrar todos los puntos el color verde. Compare este gráfico con los figuras de las páginas 7 y 8 de este manual. Con que distribución corresponde el comportamiento del gráfico?
Aleatoria
Agrupada
Regular
En pareja Este corresponde con lo que usted visualmente había concluido?

3.2 Generación de variogramas Siguiendo el diagrama de flujo de la página 20, el proceso anterior determinó que el conjunto de puntos tiene una distribución espacial adecuada con buenas observaciones (todos los puntos tiene información acerca el atributo de interés C 14). En este sección generamos el variograma representado como superficie para determinar si el conjunto de datos presenta anisotropía. En este momento queda descartado el proceso de “CoKriging” por no tener otra (co-)variable y además se cuenta con buenas observaciones. 3.2.1 Variograma representado como superficie (Anisotropía) El proceso de la generación de un variograma representado como superficie nos permite verificar la existencia de anisotropía en los datos:




En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción “Statistics” y luego “Variogram Surface”. Asegure que el mapa “C14" y la columna “C14" están seleccionados.


  

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Ejercicio de Kriging

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for W I N D O W S Especifique un ‘Lag spacing” (intervalo de distancia) de 5000 metros y mantenga el número de “Lags” en 10. Especifique el nombre “supvario” como mapa de salida, acepta los valores por defecto de rango y precisión, prenda la opción “Show” y oprima el botón “OK”. En la caja del diálogo de opciones de despliegue oprima el botón “OK” para visualizar el mapa.

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Se crea un mapa de 19 por 19 pixeles. Para una mejor comprensión se debe adicionar una grilla para indicar el origen:




En el menú “Layers” seleccione la opción “Add Annotation” y luego la opción “Grid Lines”. Desactive la opción “Coordinates”, cambie la distancia (“Grid distance”) a 50000 y oprima el botón “OK”.

La grilla muestra el origen del mapa (el centro). Esto permite al usuario medir el ángulo de posible anisotropía. La georeferenciación es interna y no está disponible para el usuario. En caso de no tener anisotropía el mapa tendrá un comportamiento circular, con los colores azules (baja varianza) en el centro y colores rojo en las partes afuera (alta varianza). Es evidente que el comportamiento no es circular, pero más bien de tipo elíptico indicando la presencia de anisotropía en los datos. Para mediar el ángulo de la anisotropía se debe usar la herramienta de medición y medir la línea central de la elipse por los pixeles de baja varianza (color azul). Anote el ángulo principal de la anisotropía:

............°

Anote también un ángulo de tolerancia:

............°

Este valor del ángulo principal de anisotropía se debe usar en la correlación espacial bi-direccional. Figura 29: mapa supvario

3.2.2 Correlación espacial bi-direccional Ahora debe determinar la correlación espacial bi-direccional:




En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción “Statistics” y luego “Spatial Correlation”. Seleccione la opción “Bidirectional” y especifique un “Lag spacing” de 5000 metros. Especifique la dirección y tolerancia determinada en el ejercicio anterior, mantenga la opción “Band width” desactivada. Escriba “cebi5" como nombre de la tabla de salida, active la opción ”Show” y oprima el botón “OK”.


  

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for W I N D O W S El la tabla se debe visualizar el comportamiento de la semivarianza contra los clases de distancia para ambas direcciones:

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En el menú “Options” de la tabla seleccione la opción “Show Graph”. En la caja del diálogo seleccione la columna “Distance” como eje X (izquierda) y la columna “SemiVar1” como eje Y (derecha). Oprima el botón “OK”. En la caja del diálogo “Edit Graph” seleccione “Point” como tipo de gráfico, cambie el tamaño del símbolo de “3" a “5", seleccione el color rojo como “Color”. El rango del eje X no debe ser mayor a la mitad de la distancia máxima: especifique 45000 metros como máxima X y oprima el botón “OK”.

Es posible desplegar los modelos en ventanas separadas pero por comodidad use la misma ventana:




En el menú “Graph” de la ventana del gráfico, seleccione la opción “Add Graph from Columns”. Seleccione las columnas “Distance” contra “SemiVar2". Para el despliegue use símbolo de puntos, tamaño 5 y color verde con la misma definición del eje X.

No cierre las ventanas de gráfico y tabla.

3.3 Modelar el semivariograma El modelamiento del semivariograma es fundamental para el proceso del Kriging. Se basa en ajustar una función estadística al comportamiento calculado en la correlación espacial. 3.3.1 Adicionar modelos Use el gráfico de la página 13 para definir cual o cuales modelos pueden ajustarse a los dos semivariogramas experimentales.




En el menú “Graph” de la ventana del gráfico, seleccione la opción “Add Semivariogram Model”. Seleccione el semivariograma que más se ajuste y especifique las tres variables para definir el modelo. Oprima “OK” para adicionar el modelo a la ventana del gráfico. En caso que el modelo no se ajuste y se requiere edición de las variables, entre al menú “Graph” y seleccione la opción “Graph Management”. Seleccione el gráfico a editar y oprima el botón “Edit Graph”. Haga los ajustes necesarios y oprima el botón “OK” para regresar a la ventana de “Graph Management”. Seleccione el siguiente gráfico a editar o oprima “OK” para cerrar la ventana.


  

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for W I N D O W S Anote los modelos para la semivarianza de la dirección perpendicular (SemiVar2, color verde): Modelo 1: ...................... Modelo2: ...................... Nugget: ...................... Nugget: ...................... Sill: ...................... Sill: ...................... Range: ...................... Range: ...................... INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Es más complejo definir el modelo para la dirección principal ( SemiVar1). Observe la figura abajo:

Figura 30: Modelamiento de semivariogramas

Como puede verse en la figura 30, la semivarianza correspondiente a las distancias 0, 5 y 15 km no se ajustan al modelo.

3.3.2 Anisotropía zonal Se puede notar que el comportamiento del modelo de semivariograma es distinto para la dirección principal y la dirección perpendicular. Esto significaría que se presenta anisotropía zonal en los datos y ILWIS no soporta el procesamiento de anisotropía zonal. De todas formas, el cálculo no ha sido muy exacto, puesto que para asegurar un resultado confidencial se requiere tener al menos 30 puntos por clases de distancia (por pixel) y solamente un rango pequeño cumple con esta condición (ver columnas “NrPairs1" y “NrPairs2"). Es posible que la diferencia en el número de puntos por pixel en el variograma representado como superficie cause la aparente anisotropía.


  

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3.3.3 Correlación espacial omnidireccional Se recomienda en este caso hacer una correlación espacial omnidireccional y continuar con un proceso de Kriging descartando el “Anisotropic Kriging”.




En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción “Statistics” y luego “Spatial Correlation”. Seleccione la opción “Omnidirectional” y especifique un “Lag spacing” de 5000 metros. Escriba el nombre “ceom5" como nombre de la tabla de salida, active la opción “Show” y oprima “OK”.

Visualice el comportamiento de la semivarianza contra las clases de distancia:




En el menú “Options” de la tabla seleccione la opción “Show Graph”. En la caja de diálogo seleccione la columna “Distance” como eje X (izquierda) y la columna “SemiVar” como eje Y (derecha). Oprima el botón “OK”. En la caja de diálogo “Edit Graph” seleccione “Point” como tipo de gráfico, cambie el tamaño del símbolo de “3" a “5" y seleccione el color rojo como “Color”. Especifique 45000 metros como máximo X y oprima el botón “OK”.

3.3.4 Adicional modelos Se tiene que volver a modelar el semivariograma, puesto que su comportamiento es distinto al comportamiento calculado bi-direccionalmente:




En el menú “Graph” de la ventana del gráfico, seleccione la opción “Add Semivariogram Model”. Seleccione el semivariograma que más se ajuste y especifique las tres variables para definir el modelo. Oprima “OK” para adicionar el modelo a la ventana del gráfico.

Hay 4 modelos que se ajusten a la semivariograma experimental: Modelo 1: Nugget: Sill/Slope: Range/Power:

...................... ...................... ...................... ......................

Modelo 2: Nugget: Sill/Slope: Range/Power:

...................... ...................... ...................... ......................

Modelo 3: Nugget: Sill/Slope: Range/Power:

...................... ...................... ...................... ......................

Modelo 4: Nugget: Sill/Slope: Range/Power:

...................... ...................... ...................... ......................


  

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for W I N D O W S 3.3.5 Verificación y selección de los modelos (Goodness of Fit R2) Es posible que existan varios modelos que se ajusten satisfactoriamente al semivariograma experimental. En este caso se puede hacer un cálculo de “Goodness of Fit R2”. Los valores que resultan de esta operación permiten seleccionar el modelo más apropiada para el proceso. INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

El “Goodness of Fit R2” se determina con la siguiente fórmula:

donde:
^ valor experimental de semivarianza generado durante la operación de correlación espacial o variograma de cruces.
valor de semivarianza determinado por medio del modelamiento del semivariograma. N el número total de clases de distancias (Lags). Observe el resultado de analizar el “Goodness of Fit R2" Se modeló 3 funciones estadísticas: Power model (azul), Exponential model (magenta) y


  

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for W I N D O W S Spherical model (verde). Es necesario entender que no se debe calcular el R2 para toda la columna, puesto que esto únicamente tiene sentido para el intervalo de distancia que se utilizará como distancia limitante. En este caso se hizo 2 cálculos para dos intervalos de distancia: La de abajo (de 2.5km hasta 37.5km) y la de arriba (de 2.5km hasta 12.5km y 17.5km hasta 37.5km).

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El último excluyó el valor correspondiente a la distancia 15km y así incrementa el valor de R2 (ejemplo: el Power model para el primer intervalo tuve un valor 0.63 y excluyendo la distancia 15km se incrementó a 0.92). Haciendo este cálculo se puede determinar la distancia limitante necesaria en la mayoría de los procesos de Kriging, y evaluar cual modelo se ajuste mejor. Este proceso se hace en la tabla de la correlación espacial o la tabla de la variograma de cruces: Es necesario anotar para que rango de distancia los modelos se están ajustando: Modelo 1: ...................... Distancia mínima: ...................... Distancia máxima: ......................

Modelo 2: ...................... Distancia mínima: ...................... Distancia máxima: ......................

Modelo 3: ...................... Distancia mínima: ...................... Distancia máxima: ......................

Modelo 4: ...................... Distancia mínima: ...................... Distancia máxima: ......................

Cual modelo, según su criterio, se ajuste mejor a los valores experimentales? Cierre la ventana de los gráficos




Entre al menú “Columns” de la tabla y selecciona la opción “Semivariogram”. En la caja del diálogo seleccione el primer modelo (Power model), especifique 250 como “Nugget”, el valor 0.0001 como “Slope” y el valor 1.5 como “Power”. Escriba “semipow como nombre de la columna y oprime “OK”. Acepta los valores que salen por defecto y oprime “OK”. Repite este proceso para los otros tres modelos (ver capítulo 5. RESPUESTAS, punto 3.3.4), creando las columnas “semigau” para el “Gaussian model”, “semirat” para el “Rational Quadratic model” y “semiwav” para el “Wave model”.

No es útil determinar el R2 para toda la columna, como se indica en el manual de ILWIS, pues solamente estamos interesados en el comportamiento hasta la distancia limitante (entre 25 y 45km).


  

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for W I N D O W S Por tanto debemos crear una columna con dominio de tipo clase, e indicar en ella las filas de la tabla a incluir en el cálculo:

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Entre al menú “Columns” y seleccione la opción “Add Column”. Especifique el nombre “usar” como nombre de la columna y oprima el botón para crear el dominio. En la caja de diálogo “Create domain” especifique el nombre “usar” como nombre del dominio, asegurese que el tipo “Class” está seleccionado y oprima “OK”. Luego en la ventana de dominio adicione el elemento “usar”: entre al menú “Edit” y seleccione la opción “Add item”, luego especifique “usar” como nombre del elemento, no especifique ningún código y oprima “OK”. Cierre el dominio y oprima “OK” en la caja de diálogo “Add Column”.

La columna se adiciona a la tabla y está llena de interrogantes “?”. Es necesario editar la columna:




Haga clic en el primer campo de la columna “usar”. Haga clic sobre el botón que aparece en la parte derecha del campo y seleccione el elemento “usar”. Repita este proceso para la segunda y hasta la sexta fila. Confirme el último campo con la tecla <Enter> y asegurese que los campos tienen un color blanco de fondo y no azul.

Con este proceso se ha indicado que el intervalo de 0 a 25km de distancia será incluido en el cálculo. Más adelante, después de efectuar los cálculos para determinar el R2, editará esta columna para cambiar este intervalo y actualizará los R2 para determinarlos para diferentes intervalos de distancia. Por medio de los siguientes cálculos obtendrá el R2. En la línea de comando escriba las siguientes formulas y acepte los valores de rango y precisión por defecto (se estará utilizando “pow” para los cálculos relacionadas con el ”Power model”, “gau” para el “Gaussian model”, “rat” para el “Rational Quadratic model” y “wav” para el “Wave model”): pow1=sq(semivar-semipow) gau1=sq(semivar-semigau) rat1=sq(semivar-semirat) wav1=sq(semivar-semiwav) Con estas formulas se generan 4 columnas con la diferencia entre la semivarianza experimental y la semivarianza de cada modelo en el cuadrado. Luego se calculará el promedio de la semivarianza experimental (columna “SemiVar”) usando la columna “usar”:


  

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for W I N D O W S Entre al menú “Columns” y seleccione la opción “Aggregation”. Seleccione la columna “SemiVar”, asegurese de que la función “Average” está seleccionada, active la opción “Group By” y asegurese de que la columna “usar” está seleccionada. Escriba el nombre “AvgSV” como nombre de salida y oprima el botón “OK”.

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El la nueva columna aparecen 2 valores: tanto para los elementos “usar” como para los interrogantes “?” de la columna “usar” se determinó el promedio de la semivarianza experimental. Por medio del siguiente cálculo se determina la diferencia en el cuadrado entre la semivarianza experimental y el promedio de la semivarianza experimental: sqdif=sq(semivar-avgsv) Luego sumamos esta diferencia en el cuadrado usando nuevamente la columna “usar”:




Entre al menú “Columns” y seleccione la opción “Aggregation”. Seleccione la columna “sqdif”, cambie la función a “Sum”, prenda la opción “Group By” y asegurese de que la columna “usar” está seleccionada. Escriba el nombre “SumSqDif” como nombre de salida y oprima el botón “OK”.

Ahora se sumarán la primera columna que se generó en los cuatro modelos (“pow1", “gau1", “rat1" y “wav1") usando en esta operación la columna “usar”:




Entre al menú “Columns” y seleccione la opción “Aggregation”. Seleccione la columna “pow1”, cambie la función a “Sum”, active la opción “Group By” y asegurese de que la columna “usar” está seleccionada. Escriba el nombre “pow2” como nombre de salida y oprima el botón “OK”. Repita este proceso para las columnas “gau1", “rat1" y “wav1" generando las columnas “gau2", “rat2" y “wav2".

Ya se puede determinar el R2 para los cuatro modelos para el intervalo 0 a 25km: PowR2 = 1 - (pow2 / sumsqdif) GauR2 = 1 - (gau2 / sumsqdif) RatR2 = 1 - (rat2 / sumsqdif) WavR2 = 1 - (wav2 / sumsqdif) Se puede observar que los valores de los primeros 6 registros fluctúan entre 0.5 y 0.6. Los valores mas cercanos a 1 representan un mejor modelo. También se puede notar que únicamente el “Wave model” tiene valores positivo en los otros registros.
  

31

Ejercicio de Kriging

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for W I N D O W S Aunque el “Power model” se ajusta mejor en este intervalo, el “Wave model” representa el mejor modelo globalmente. INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Anote el R2 para el intervalo de 0 a 25km de los 4 modelos en la siguiente tabla: Distancia

Modelo 1 (pow) Modelo 2 (gau)

Modelo 3 (rat)

Modelo 4 (wav)

0-25 km 0-35 km 0-40 km 0-45 km Promedio Es posible editar la columna “usar” e incluir las distancia para obtener el segundo intervalo de 0-35km:





Edite las filas 7 y 8 de la columna “usar” cambiando la interrogación “?” por el elemento “usar”. Asegurese de confirmar el último cambio con la tecla <Enter>. Para actualizar una columna se debe hacer doble clic sobre el nombre de la columna (empiece con la columna “PowR2") y en la caja del diálogo de las propiedades de la columna cambie el rango de valores de la columna a -1000 hasta 1 y oprima el botón “Make Up to Date”. Los valores en la columna se actualizan. Repite este proceso para las columnas “GauR2", “RatR2" y “WavR2".

Es necesario hacer este proceso para los otros intervalos: 0-40km y 0-45km:





Edite la fila 9 (intervalo 0-40km) de la columna “usar” cambiando la interrogación “?” por el elemento “usar”. Asegurese de confirmar el último cambio con la tecla <Enter>. Luego actualice las columnas y anote los R2 en el intervalo de distancia correspondiente. Edite la fila 10 (intervalo 0-45km) de la columna “usar” cambiando la interrogación “?” por el elemento “usar”. Asegurese de confirmar el último cambio con la tecla <Enter>. Luego actualice las columnas y anote los R2 en el intervalo de distancia correspondiente.


  

32

Ejercicio de Kriging

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for W I N D O W S Calcule también el promedio de los intervalos para cada modelo y anote los valores.

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Cual de los cuatro modelos se ajusta mejor al semivariograma experimental? Al incrementar el intervalo de distancia, el valor R2 incrementa a 0.7667 para el intervalo 0-50km, luego se reduce. Así se puede concluir que la distancia limitante es de 50km. Cierre la tabla.

3.4 Interpolación por medio de Kriging Ya que se ha establecido el modelo mas adecuado, se puede efectuar el proceso de Kriging. En este momento todavía se pueden usar tres tipos de Kriging:




Simple Kriging Ordinary Kriging Universal Kriging

Se puede descartar el “Simple Kriging”, puesto que el óptimo modelo debe usar la distancia limitante de 50 km y esto no es posible en “Simple Kriging”. El “Universal Kriging” también se puede excluir puesto que no se ha detectado ningún tipo de tendencia en los datos. De esta manera se puede concluir que se debe usar el “Ordinary Kriging”:




En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción “Interpolation” y luego “Kriging”. Asegurese de que el mapa “C14" y la columna “C14" están seleccionados y que el método es “Ordinary Kriging”. Especifique el “Wave model” con el valor 250 como “Nugget”, el valor 650 como “Sill” y el valor 7500 como “Range”. Especifique la distancia limitante de 50000, coloque el mínimo número de puntos en 3 y deje el máximo en 16. Escriba el nombre “OKwa50" como nombre, seleccione la georeferenciación “c14" y active la opción “Show”. Active además la opción “Error Map” y escriba como nombre para este mapa “OKwa50e”, oprima el botón “OK”. Este proceso es un poco demorado. Cuando aparezca la caja de diálogo de las opciones de despliegue haga clic en “OK” para desplegar el mapa. Despliegue también el mapa de errores “OKwa50e”. Hagalo sobre el mapa de puntos “C14" usando el símbolo “+”. Determine el error mínimo y máximo del mapa: Error mínimo:


  

.................

Error máximo:

33

.................

Ejercicio de Kriging

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3.5 Verificación del resultado (Confidence interval) El mapa resultado del proceso de Kriging contiene los estimativos del fenómeno a estudiar y el mapa de errores contiene una aproximación del error para el valor estimado. Es posible crear un mapa donde se indique con cierta certeza el rango en que se encuentran los valores del fenómeno estudiado. El rango se define de la siguiente manera: mínimo: estimativo Kriging - (Error * c) máximo: estimativo Kriging + (Error * c) “c” representa el valor crítico y depende del intervalo de confiabilidad: intervalo de confiabilidad valor crítico “c”

90%

95%

97.5%

98%

99%

99.5%

1.282

1.645

1.960

2.000

2.326

2.576

En la línea de comando del menú principal de ILWIS se pueden ejecutar las siguientes formulas para generar los mapas de nivel inferior y nivel superior para cada pixel de C14. Es necesario corregir los valores en nuestro ejemplo para que queden entre 0 y 100%: Kinf:=iff(OKwa50-1.96*OKwa50e<0,0,OKwa50-1.96*OKwa50e) Ksup:=iff(OKwa50+1.96*OKwa50e>100,100,OKwa50+1.96*OKwa50e) En este ejemplo se está usando un valor crítico de 1.96 correspondiente al intervalo de confiabilidad de 97.5%. Cambie los valores a 0 hasta 100 con precisión 0.01 y oprima “OK”. Por medio de la siguiente formula se puede crear un mapa donde se combinen los niveles superiores e inferiores: conf975 := iff((%L mod 8) - (%C mod 8) <= 0,Ksup,Kinf) en donde: %L valor de número de fila en el mapa de salida %C valor de número de columna en el mapa de salida mod valor residual de la división entera (ej: 10 mod 3 = 1) El mapa que resulta tiene cuadros de 8x8 pixeles, donde la parte inferior izquierda de cada cuadro representa el nivel inferior (mapa “Kinf”) y la parte superior derecha representa el nivel superior (mapa “Ksup”). (Ver figura 32)


  

34

Ejercicio de Kriging

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Figura 32: mapa de intervalo de confiabilidad

En el caso de que se cuente con un conjunto de datos relativamente grande se recomienda subdividirlo en dos partes con el fin de usar una parte para la verificación de los resultados del proceso de Kriging. Esto se puede hacer usando el operador de ILWIS “MAPVALUE”. Se debe abrir el mapa de puntos como tabla y escribir en la linea de comando de la tabla la siguiente formula: KRIG=MAPVALUE(OKWA50.MPR,COORD(X,Y)) para obtener el valor del resultado de Kriging en la tabla y: KERR=MAPVALUE(OKWA50E.MPR,COORD(X,Y)) para obtener el valor del mapa de errores en la tabla. Luego se puede adelantar el análisis del intervalo de confiabilidad en la tabla usando diferentes valores del valor crítico “c” y así evaluar si cada punto queda dentro del rango de confiabilidad.


  

35

Ejercicio de Kriging

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4. EXPOSICIÓN SOLAR En esta capítulo se impartirán los fundamentos que se requieren para adelantar un estudio de exposición solar. Un proceso de modelamiento de radiación solar incidente requiere datos auxiliares sobre la trayectoria solar, por lo que se presentarán las ecuaciones básicas que la definen.

4.1 La trayectoria solar Los parámetros que definen la trayectoria del sol constituyen datos externos imprescindibles para llevar a cabo el modelamiento de la radiación solar. La localización aparente del sol depende de una serie de parámetros de los cuales los más importantes son:




La latitud del punto a estudiar, que puede variar en un rango de -90° (polo Sur) hasta 90° (polo Norte). La declinación solar, variable según la época del año en un rango de -23½° (invierno) y 23½° (verano) en el Hemisferio Norte. El ángulo horario, dependiente de la hora del día y variable en un círculo de 360° centrado en el punto a analizar.

La localización del sol se suele expresar en coordenadas esféricas: acimut
y elevación angular sobre el horizonte
, cuyas expresiones de cálculo son las siguientes:

sen α = (sen D ⋅ sen L ) + (cos D ⋅ co s L ⋅ co s H ) cos ϕ =

(cos L ⋅ sen D ) − (cos D ⋅ sen L ⋅ cos H ) cos α

en donde: D es la Declinación solar L es la Latitud geográfica H es el ángulo Horario (Felicísimo, 1994)

4.1.1 Declinación solar La declinación solar para una determinada época del año puede determinarse a partir de tablas o, aproximarse mediante expresiones empíricas. Una de las más simples es:

D = 2 3.5 ⋅ sen [0 .9 8 6 ⋅ ( 2 8 4 + d ) ]


  

36

Exposición solar

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for W I N D O W S La siguiente figura muestra la relación entre el día del año y la declinación solar: INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Figura 33: Declinación solar en función del día del año

En ILWIS para determinar D, se puede efectuar el siguiente cálculo en la línea de comando (se debe cambiar d por el día de interés): ? 23.5*SIN(DEGRAD(0.986*(284+d))) Anexo se encuentra una tabla con la declinación solar para cada día del año.

4.1.2 Latitud geográfica La latitud influye en gran medida en la trayectoria del sol. Las influencias de las épocas del año no se notan cerca a la linea ecuatorial como es el caso de Colombia. Colombia está ubicada entre latitudes ± 4°15' Sur y ± 12°30' Norte.

4.1.3 Ángulo horario En el hemisferio Norte (donde está ubicado la mayor parte de Colombia), el ángulo horario suele tomarse como cero en el mediodía, cuando el acimut solar
es de 180° y, por tanto, el sol está situado al Sur. Los ángulos son negativos hacia el Oeste y positivos hacia el Este, con intervalos de 15° por hora. Observe la siguiente tabla donde se relaciona el ángulo para cada hora entre las 6:00 am y las 6:00 pm.


  

37

Exposición solar

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Hora

Ángulo horario (H)

Hora

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Ángulo horario (H)

6:00 a.m.

90°

1:00 p.m.

- 15°

7:00 a.m.

75°

2:00 p.m.

- 30°

8:00 a.m.

60°

3:00 p.m.

- 45°

9:00 a.m.

45°

4:00 p.m.

- 60°

10:00 a.m.

30°

5:00 p.m.

- 75°

11:00 a.m.

15°

6:00 p.m.

- 90°

mediodía

0°

4.2 Ocultamiento topográfico La existencia de zonas de sombra es una variable de gran interés en regiones montañosas, donde el relieve puede ser factor determinante del clima local. La sombra en un punto puede deberse a dos circunstancias:


Autoocultamiento, Se produce cuando el vector normal a la superficie forma un ángulo superior a los 90° con el vector solar, como sería el caso, por ejemplo, de una ladera orientada al Norte, con pendiente de 45°, cuando el sol ilumina desde el Sur, elevado solamente 30° sobre el horizonte. Ocultamiento por el relieve circundante, Se produce cuando la topografía
interrumpe la linea visual desde el sol hasta el punto analizado. (Felicísimo, 1994)

4.2.1 Definición de exposición solar Se define la exposición solar en un punto como el tiempo máximo que ese lugar puede estar sometido a la radiación solar directa en ausencia de nubosidad. (Felicísimo, 1994) En la mayoría de los estudios se asume este concepto como el tiempo teórico de incidencia solar directa sobre la superficie terrestre. Para crear un mapa de exposición solar, se deben usar diferentes intervalos de tiempo, empezando en el amanecer (6:00 am) y terminando en el ocaso (6:00 pm). En caso de usar intervalos de media hora, se puede generar un mapa de exposición solar donde la máxima exposición es de 12 horas con precisión de media hora.


  

38

Exposición solar

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4.2.2 Ángulo de incidencia Tanto para el cálculo de la exposición como para la radiación solar se requiere usar información acerca el terreno. El ángulo de incidencia es el ángulo entre el vector normal al terreno (
) y el vector solar (). Ver formula abajo.

co s( ϕ ) =

n ⋅s n ⋅s

Figura 34: ángulo de incidencia (
)

La determinación del vector normal al terreno (
) se hace a partir del modelo digital de elevación. (Ver figura 35 y formula abajo):

 ∆X   0   − ∆Z x ∆Y        n =  0  ⋅  ∆Y  =  − ∆Z y ∆X         ∆Z x   ∆Z y   ∆X ∆Y  Figura 35: vector normal al terreno (
)

La determinación del vector solar () se hace tomando en cuenta el ángulo de la elevación del sol (
) y el azimut del sol (). (Ver formula abajo y la figura 36):

 co s β sen α    s =  co s β co s β     sen β  Figura 36: vector solar ()

4.2.3 Irradiación De esta manera se puede calcular la irradiación potencial (Meijerink et al., 1994):

N salid a = N en trad a ⋅ r ⋅ co s( ϕ )
  

39

Exposición solar

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for W I N D O W S En los anteriores gráficos y formulas se utilizaron las siguientes convenciones: INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

N r



 


flujo de fotón reflectancia ángulo de incidencia vector normal al terreno vector solar ángulo de azimut del sol desde el Norte ángulo de elevación del sol tomado desde la horizontal

Felicísimo (1994), utiliza la siguiente formula para determinar la irradiación (energía incidente) sobre una superficie perpendicular a la radiación solar In :

In = Io ⋅ pm en donde: In irradiación incidente Io constante solar (1367 W m-2) p la transmisividad media cenital m la masa óptica de aire En circunstancias reales, el valor teórico de In se ve modificado por la pendiente y la orientación del terreno, lo cual obliga a considerar los ángulos de incidencia del vector solar sobre el mismo. La extensión del cálculo para periodos más largos obliga a considerar el cambio de valor de los parámetros que intervienen en la expresión anterior (ej.: el ángulo horario mínimo H1 y máximo H2). (Felicísimo, 1994) H2

In = Io

∫p

m

⋅ cos n ∠ s ⋅ dH

H1

4.3 Ejercicio práctico Por la complejidad de los cálculos, la exigencia de variables involucradas para determinar la irradiación, restringiremos el ejercicio práctico a la generación de un mapa de exposición solar. 4.3.1 Operaciones de conectividad En cierta forma la exposición solar puede ser comparada con funciones de intervisibilidad, tomando como punto de observación el sol. Las funciones de intervisibilidad hacen parte de las operaciones de conectividad. Las operaciones de conectividad son funciones que acumulan valores sobre el área que se atraviesa. Se requiere que uno o más atributos sean evaluados y un recorrido acumulado esté incluido en el próximo paso. El recorrido acumulado puede ser cuantitativo, como la distancia acumulada viajando, o el tiempo acumulado viajando.
  

40

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for W I N D O W S También puede ser cualitativo, como por ejemplo si un punto todavía es visible. (Bakker 2000) INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

4.3.2 Intervisibilidad Intervisibilidad ("viewshed modelling") es una operación acumulativa. Un "viewshed" es el área que se puede ver desde uno o más puntos de origen. Funciones de intervisibilidad son aplicadas para determinar la ubicación de torres de transmisión (aplicaciones en comunicaciones), determinar el impacto visual de la construcción de torres de transmisión eléctrica (aplicaciones ambientales), determinar el área que el enemigo puede ver desde sus puntos de observación (aplicaciones militares). Las funciones de intervisibilidad usan los modelos digitales de elevación para definir la topografía de los alrededores. También se debería incluir elementos individuales (edificios, vegetación, etc). (Aronoff 1989) 4.3.3 Conectividad en ILWIS ILWIS soporta el procesamiento de pixeles en relación con su vecindad directa en un ambiente de 3x3 pixeles. Dado que las operaciones de conectividad exigen ambientes más grandes, ILWIS ofrece estos cálculos con iteraciones. Iteraciones son cálculos repetitivos donde el resultado de un paso es el mapa de entrada para el siguiente paso. El ambiente de 3x3 pixeles se maneja de la siguiente manera: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

El pixel central (indicado con el número 5), obtiene el resultado de la operación de conectividad. En el cálculo de la exposición solar se debe tener en cuenta no solo el ángulo de elevación del sol, sino además su ángulo de azimut, puesto que éste ángulo define cuales pixeles vecinos potencialmente pueden generar sombra al pixel central (ver figura abajo):

Figura 37: Influencia de pixeles vecinos


  

41

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for W I N D O W S La exposición solar del pixel central está directamente influenciada por los pixeles 4 y 7. En el ejemplo anterior (figura 37), el ángulo de azimut solar () es de -60°. Este ángulo se determina a partir del Sur según se muestra en la siguiente figura (Meijerink et al.1994): INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Figura 38: ángulos en función de la trayectoria solar

Como fue expresado anteriormente, no solamente se debe verificar los pixeles vecinos del pixel central, sino además los vecinos de sus vecinos y más alla. La siguiente figura muestra este efecto: El pixel indicado con h4 causa a los pixeles h5 y h6 sombra con el ángulo de elevación . Puesto que esto no puede ser evaluado en un ambiente de 3x3 se asigna al pixel h5 una nueva altura (h4-dz45). En el siguiente paso esta nueva altura causa que el pixel h6 será identificado como sombra. Este proceso se debe repetir hasta que ninguna altura sea modificada. Luego se puede comparar el nuevo Modelo Digital de Elevación (MDE) con el MDE modificado y donde se encuentre diferencia se asigna “ocultamiento” y al resto “incidencia”. Figura 39: propagación de sombra

También es posible asignar un valor expresado en horas según el intervalo de horario (ej: intervalo de ½hora se asigna el valor 0.5), y así sumar los mapas correspondientes a diferentes horas del día, obteniendo el mapa numérico de exposición solar.
  

42

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for W I N D O W S La siguiente tabla relacione cuales pixeles tienen influencia sobre el pixel central dependiendo de diferentes ángulos de azimut solar y como calcular el valor p: INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS




p

m

n

0  < 45

| tan() |

9

8

45  < 90

| tan(90 - ) |

9

6

90  < 135

| tan(90 - ) |

3

6

135  < 180

| tan() |

3

2

180  < 225

| tan() |

1

2

225  < 270

| tan(90 - ) |

1

4

270  < 315

| tan(90 - ) |

7

4

315  < 360

| tan() |

7

8

Estos valores se usan para evaluar si el pixel central recibe luz solar directa o está ocultado por medio de la siguiente expresión:

M D E 5 < p ⋅ M D E m + ( 1 − p ) ⋅ M D E n − 1 + p 2 ⋅ d x ⋅ tan α en donde: MDE5 p MDEm MDEn dx




La altura del pixel central La fracción según el ángulo de azimut solar La altura del pixel vecino m La altura del pixel vecino n El tamaño del pixel El ángulo de elevación solar

En caso que el pixel central obtenga luz directa, se mantiene el valor del pixel, en caso contrario se debe asignar el nuevo valor de pixel. Puesto que el proceso iterativo es un proceso demorado, se recomienda dejar el proceso por la noche, o usar una reducción de la precisión original.

4.3.4 Iniciar el proceso En este paso se reconocerá el modelo digital de elevación con que se realizará el cálculo. Se trabajará con un MDE de gran parte de Cundinamarca (jurisdicción de la CAR, Bogotá) remuestreado a un tamaño de pixel de 1000 metros (conjunto original tiene 30 metros/pixel).
  

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for W I N D O W S Cambie al sub-directorio “exposol” del directorio “C:\ILWIS22\DATA\”. Haga doble clic sobre el icono del mapa raster “mde”. En las opciones del despliegue, asegurase que la representación “fincur” está seleccionada y haga clic en el botón “OK”.

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Determine los valores mínimos y máximos del MDE. Luego cierre la ventana del mapa. Como se puede observar el área es bastante montañosa y esto tiene como efecto que habrá gran influencia de ocultamiento topográfico. Para este ejercicio se calculará la exposición solar durante el transcurso de la mañana (6:00 a.m. hasta 8:30 a.m.), cuando más se aprecian las diferencias en ocultamiento topográfico. Observe la siguiente tabla con los valores de los ángulos de elevación () y azimut (
) solar: 

Hora

elevación ()



azimut (
)

p

m

n

6:00 a.m.

0.4°

90.0°

0.0000

3

6

6:30 a.m.

4.1°

83.9°

0.1069

9

6

7:00 a.m.

14.3°

74.2°

0.2830

9

6

7:30 a.m.

25.0°

64.5°

0.4770

9

6

8:00 a.m.

35.8°

54.3°

0.7186

9

6

8:30 a.m.

46.5°

42.2°

0.9067

9

8

La formula que se debe ingresar al proceso de iteraciones es la siguiente: max(mde,p*mde#[m]+(1-p)*mde#[n]-sqrt(1+p^2)*tpix*tan()) donde se determina el máximo valor entre el MDE y los valores de los vecinos ajustados por el ángulo de elevación solar. A las 6:00 de la mañana (según la tabla en la página 43) p es igual a |tan(90-90.0)| 0.0000, m=3 y n=6. El tamaño del pixel (tpix) es de 1000 metros. Con estos valores se puede simplificar la formula de la siguiente manera: max(mde,mde#[6]-9.8732)


  

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for W I N D O W S Haga doble clic sobre el icono del programa “Iteration” en el listado de operaciones. Seleccione el mapa “mde” como “Start Map” y escriba la formula arriba en la caja de “Expression”. Asegurese de que para el “Stop Criterium” está seleccionada la opción “Until No changes” y desactive la opción “Propagation”. Escriba el nombre “mde60am” como mapa de salida, seleccione el domino “value”, active la opción “Show” y oprima el botón “OK”.

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El proceso es demorado y puede realizar al rededor de de 200 iteraciones, en caso de encontrar un elemento ubicado en el oriente del área de estudio que cause un sombra (ocultamiento) a elementos en el extremo occidente. En este proceso iterativo se recalcula la formula infinitamente, por ello el usuario debe observar el número de cambios del paso anterior y detectar cuando este valor sea constante (por unos 5 pasos). Cuando esto suceda se puede oprimir 1 vez el botón stop con el fin de que el sistema almacene el resultado (“Store Result”). Es importante notar que no se debe usar el dominio (“fincur”) que corresponde al MDE. Aunque los valores que resultan estarán dentro el rango de este dominio, ILWIS internamente trabaja con valores de mayor precisión de la que este dominio puede manejar y usarlo daría como resultado un mapa con todos los valores indefinidos!




Al terminar el proceso de iteración acepte las definiciones por defecto para desplegar el mapa. Despliegue el resultado al lado el mapa original “mde” con representación “pseudo”. Explique las diferencias.

Por medio de la siguiente formula se puede crear un mapa de exposición solar para las 6:00 de la mañana: sol60am:=iff(mde<mde60am,”ocultamiento”,”incidencia”)




Escriba esta formula en la linea de comando de la ventana principal de ILWIS y oprima <Enter>. En la caja del diálogo cree un nuevo dominio con nombre “sol”, al cual NO se adiciona ningún elemento. Al oprimir el botón “OK” en la caja de diálogo “Raster Map Definition” el sistema preguntará si desea adicionar los elementos “ocultamiento” y “incidencia” al dominio. En ambas casos elija “Si”.

Para crear un mapa que pueda ser usado de manera más eficiente en la generación del mapa de exposición solar para todo el día, se debe asignar el valor (en horas) correspondiente al intervalo que se utilizará: exp60am:=iff(mde<mde60am,0,0.5)


  

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for Repita este proceso para los otros momentos de la mañana.

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Para el mapa “mde65am” (6:30 a.m.): max(mde,0.1069*mde#[9]+(0.8931)*mde#[6]-72.0893) Para el mapa “mde70am” (7:00 a.m.): max(mde,0.2830*mde#[9]+(0.7170)*mde#[6]-264.9074) Para el mapa “mde75am” (7:30 a.m.): max(mde,0.4770*mde#[9]+(0.5230)*mde#[6]-516.6405) Para el mapa “mde80am” (8:00 a.m.): max(mde,0.7186*mde#[9]+(0.2814)*mde#[6]-888.1254) Para el mapa “mde85am” (8:30 a.m.): max(mde,0.9067*mde#[9]+(0.0933)*mde#[8]-1422.4490) Cree también los mapas de exposición expresados en horas y nombrelos “exp65am”, “exp70am”, “exp75am”, “exp80am” y “exp85am”. Despliegue los 6 mapas de exposición solar simultáneamente en la pantalla y compare los resultados. En que momento la diferencia entre dos cálculos es más grande? La suma de estos mapas generará un mapa de exposición solar para un intervalo de 3 horas. El máximo valor es 3 (correspondiente a 3 horas) y el mínimo es de 0 horas: exp60a85 := exp60am+exp65am+exp70am+exp75am+exp80am+exp85am




Escribe esta formula en la linea de comando de la ventana principal de ILWIS y oprima <Enter>. Asegurese de que el rango de valores es de 0.0 a 3.0 con precisión de 0.1 y oprima el botón “OK”. Despliegue el mapa usando la representación “Gray” e interprete el resultado.

Para su mejor interpretación se puede clasificar el resultado, asignar colores definido por el usuario y desplegarlo en una vista tridimensional (ver figura 40):


  

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La figura 40 muestra el resultado de esta operación, los colores más claros representan las zonas de mayor exposición solar. La posición relativa del sol es el la esquina superior derecha de la ventana. Figura 40: Exposición solar en 3D Los mapas “exp75am”, “exp80am” y “exp85am” revelaron que casi todo el terreno obtiene sol a partir de las 8:00 de la mañana. Al observar el terreno (ver figura 41) se puede notar que el mayor ocultamiento topográfico se presenta por la mañana cuando el sol está ubicado al Oriente del área de estudio.

Figura 41: Corte transversal del terreno, trayectoria solar

De esta manera se puede asumir que todo el área obtiene sol entre las 8:00 de la mañana y las 4:00 de la tarde. Se pueden hacer cálculos para exclusivamente este intervalo y sumarlos con el resultado “exp60a85" adicionando 7 horas para complementar el cálculo para todo el intervalo.
  

47

Exposición solar

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Hora

elevación ()



azimut (
)

WINDOWS

p

m

n

4:00 p.m.

38.6°

305.7°

0.7186

7

4

4:30 p.m.

26.2°

295.5°

0.4770

7

4

5:00 p.m.

14.7°

285.8°

0.2830

7

4

5:30 p.m.

4.3°

276.1°

0.1069

7

4

6:00 p.m.

0.5°

270.0°

0.0000

7

4

Para el mapa “mde40pm” (4:00 p.m.): max(mde,0.7186*mde#[7]+(0.2814)*mde#[4]-983.0267) Para el mapa “mde45pm” (4:30 p.m.): max(mde,0.4770*mde#[7]+(0.5230)*mde#[4]-545.1736) Para el mapa “mde50pm” (5:00 p.m.): max(mde,0.2830*mde#[7]+(0.7170)*mde#[4]-272.6482) Para el mapa “mde55pm” (5:30 p.m.): max(mde,0.1069*mde#[7]+(0.8931)*mde#[4]-75.6188) Para el mapa “mde60pm” (6:00 p.m.): max(mde,mde#[4]-8.7269)




Cree los anteriores mapas. Después cree también los mapas de exposición solar para cada momento del día (“exp40pm”, “exp45pm”, “exp50pm”, “exp55pm”, “exp60pm”).

Sume los mapas para crear el mapa de exposición solar para todo el día: expdia := exp60a85+exp40pm+exp45pm+exp50pm+exp55pm+exp60pm+7 Puesto que estamos asignando ½hora a cada momento el intervalo real es de las 5:45 a.m. hasta las 6:15 p.m.. De esta manera el máximo valor de exposición solar será de 12½ horas. Observe las siguientes figuras (42 y 43) donde se muestra el resultado de esta operación.


  

48

Exposición solar

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Los colores claros corresponden a las zonas con mayor incidencia solar, mientras las más oscuras corresponden a las zonas de mayor ocultamiento topográfico.

Figura 42: Exposición solar en Cundinamarca

Las lineas en la parte cerca de los límites de Cundinamarca son debido a errores generados durante la interpolación de las curvas de nivel, por falta de información.

Figura 43: Vista tridimensional de la exposición solar en Cundinamarca

Se puede notar que los picos, crestas y planicies tienen mayor exposición solar, mientras las laderas, pozos y canales reciben menor cantidad de horas de sol. -- . -
  

49

Exposición solar

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5. RESPUESTAS En este capitulo se consignan las respuestas a los ejercicios expuestos

3.1.1 Despliegue y consulta de la información

 La distribución de los puntos en el mapa “C14" es:  Aleatoria  Medición de las distancias en los puntos: Distancia mínima: Distancia máxima:

± 150 metros ± 85000 metros

 Que tipo de dominio tiene el mapa (ver propiedades del mapa)? Dominio identificador

 Cuantos puntos tiene el mapa (ver propiedades del mapa)? 60 puntos

 Cuantos pares de puntos se pueden crear con estos puntos? n*(n-1)/2 = 60*59/2=1770

 Cuales son los valores mínimos y máximos de la columna “C14"? Valor mínima: Valor máxima:

0.35 81.00

 La varianza de la columna “C14" es: 581.901

3.1.2 Análisis de distribución espacial

 Con que distribución corresponde el comportamiento del gráfico?  Aleatoria  Este corresponde con lo que usted visualmente había concluido? Si

3.2.1 Variograma representado como superficie (Anisotropía)

 El ángulo principal de anisotropía es: ± 20°


  

50

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 El ángulo de tolerancia es:

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± 15°

3.3.1 Adicionar modelos Los modelos que se ajustan al comportamiento del semivarianza de la dirección perpendicular son: Modelo 1: Spherical model Modelo2: Circular model Nugget: 50 Nugget: 50 Sill: 710 Sill: 690 Range: 20000 Range: 19000

3.3.4 Adicionar modelos Los modelos que se ajustan al comportamiento del semivarianza omnidireccional son:

Modelo 1: Nugget: Slope: Power:

Power model 250 0.0001 1.5

Modelo 2: Nugget: Sill: Range:

Gaussian model 250 750 22000

Modelo 3: Nugget: Sill: Range:

Rational Quadratic 250 800 17500

Modelo 4: Nugget: Sill: Range:

Wave model 250 650 7500


  

51

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for W I N D O W S 3.3.5 Verificación y selección de los modelos (Goodness of Fit R2) Intervalo de distancia donde se ajusten los modelos: Modelo 1: Modelo 2: Power model Gaussian model Distancia mínima: 0 Distancia mínima: 0 Distancia máxima: 25km Distancia máxima: 35km INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS

Modelo 3: Rational Quadratic Modelo 4: Wave model Distancia mínima: 0 Distancia mínima: 0 Distancia máxima: 40km Distancia máxima: >45km

 Cual modelo, según su criterio, se ajusta mejor a los valores experimentales? Wave model (0-45km)

Anote el R2 para los 4 modelos para las 4 distancias (25, 35, 40 y 45 km): Distancia

Modelo 1 (pow) Modelo 2 (gau)

Modelo 3 (rat)

Modelo 4 (wav)

0-25 km

0.5637

0.5318

0.502

0.5549

0-35 km

0.5747

0.7282

0.7131

0.7436

0-40 km

0.1388

0.7465

0.7348

0.749

0-45 km

-0.7671

0.74

0.7362

0.7647

0.1275

0.6866

0.6715

0.7031

Promedio

 Cual de los cuatro modelos se ajusta mejor al semivariograma experimental? Wave model (tanto valor más alto y promedio más alto)

3.4 Interpolación por medio de Kriging Los errores mínimos y máximos leídos en el mapa “OKwa50e” son: Error mínimo: 16.704 Error máximo: 24.176 Cerca de: pnt 38 Cerca de: pnt 60 a distancia: ½km a distancia: 9km


  

52

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WINDOWS

Bibliografía

Aronoff, S. 1989. Geographical Information Systems: A Management Perspective. WDL Publications Otawa. Canada. 294p. Bakker, X. and F. Pérez, 2000, Conceptos de análisis y modelamiento en el formato raster. Notas de clase. Especialización en Sistemas de Información Geográfica. CIAF Universidad de Tunja, Santa Fe de Bogotá, 57 p. Burrough, P.A. 1985. Principles of Geographical Information Systems for Land Resource Assessment. Clarendon Press, Oxford. 193p. Felicísimo, A.M. 1994. Modelos Digitales del Terreno. Introducción y aplicaciones en las ciencias ambientales. España. 118 p. ILWIS 1997, ILWIS 2.1, User’s Guide. ITC, The Netherlands. ILWIS 1997, ILWIS 2.1, Application Guide. ITC, The Netherlands. ILWIS 1998, ILWIS 2.2, Installation & New Funcionality. ITC, The Netherlands. ILWIS 1999, Ayuda en línea de ILWIS 2.23. ITC The Netherlands. Meijerink, A.M.J., H.A.M. de Brouwer, C.M. Mannaerts y C.R. Valenzuela, 1994. Introductionto the use of Geographic Information Systems for practical Hydrology. ITC Publication number 23, Enschede, The Netherlands. 243p. Valenzuela, C, 1989, Análisis y modelamiento de datos, notas de clase.10p.


  

53

Respuestas

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Anexo: Declinación solar

Fecha 1-Ene 2-Ene 3-Ene 4-Ene 5-Ene 6-Ene 7-Ene 8-Ene 9-Ene 10-Ene 11-Ene 12-Ene 13-Ene 14-Ene 15-Ene 16-Ene 17-Ene 18-Ene 19-Ene 20-Ene 21-Ene 22-Ene 23-Ene 24-Ene 25-Ene 26-Ene 27-Ene 28-Ene 29-Ene 30-Ene 31-Ene 1-Feb 2-Feb 3-Feb 4-Feb 5-Feb 6-Feb 7-Feb 8-Feb

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39


  

D -23.07 -22.99 -22.90 -22.81 -22.70 -22.60 -22.48 -22.36 -22.23 -22.10 -21.96 -21.81 -21.66 -21.50 -21.33 -21.16 -20.98 -20.79 -20.60 -20.40 -20.20 -19.99 -19.78 -19.55 -19.33 -19.09 -18.85 -18.61 -18.36 -18.11 -17.85 -17.58 -17.31 -17.03 -16.75 -16.47 -16.17 -15.88 -15.58

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D = 2 3.5 ⋅ sen [0 .9 8 6 ⋅ ( 2 8 4 + d ) ] 9-Feb 10-Feb 11-Feb 12-Feb 13-Feb 14-Feb 15-Feb 16-Feb 17-Feb 18-Feb 19-Feb 20-Feb 21-Feb 22-Feb 23-Feb 24-Feb 25-Feb 26-Feb 27-Feb 28-Feb 1-Mar 2-Mar 3-Mar 4-Mar 5-Mar 6-Mar 7-Mar 8-Mar 9-Mar 10-Mar 11-Mar 12-Mar 13-Mar 14-Mar 15-Mar 16-Mar 17-Mar 18-Mar 19-Mar 20-Mar

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

54

-15.27 -14.96 -14.65 -14.33 -14.01 -13.68 -13.35 -13.02 -12.68 -12.34 -11.99 -11.64 -11.29 -10.93 -10.57 -10.21 -9.84 -9.47 -9.10 -8.73 -8.35 -7.97 -7.59 -7.21 -6.82 -6.43 -6.04 -5.65 -5.26 -4.86 -4.47 -4.07 -3.67 -3.27 -2.87 -2.47 -2.06 -1.66 -1.26 -0.85

21-Mar 22-Mar 23-Mar 24-Mar 25-Mar 26-Mar 27-Mar 28-Mar 29-Mar 30-Mar 31-Mar 1-Abr 2-Abr 3-Abr 4-Abr 5-Abr 6-Abr 7-Abr 8-Abr 9-Abr 10-Abr 11-Abr 12-Abr 13-Abr 14-Abr 15-Abr 16-Abr 17-Abr 18-Abr 19-Abr 20-Abr 21-Abr 22-Abr 23-Abr 24-Abr 25-Abr 26-Abr 27-Abr 28-Abr 29-Abr

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

-0.45 -0.05 0.36 0.76 1.17 1.57 1.97 2.38 2.78 3.18 3.58 3.98 4.38 4.77 5.17 5.56 5.96 6.35 6.73 7.12 7.50 7.89 8.27 8.64 9.02 9.39 9.76 10.13 10.49 10.85 11.21 11.56 11.91 12.26 12.60 12.94 13.28 13.61 13.94 14.26

Anexo - Declinación solar

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Fecha 30-Abr 1-May 2-May 3-May 4-May 5-May 6-May 7-May 8-May 9-May 10-May 11-May 12-May 13-May 14-May 15-May 16-May 17-May 18-May 19-May 20-May 21-May 22-May 23-May 24-May 25-May 26-May 27-May 28-May 29-May 30-May 31-May 1-Jun 2-Jun 3-Jun 4-Jun 5-Jun 6-Jun 7-Jun 8-Jun 9-Jun 10-Jun

d 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161


  

D 14.58 14.89 15.20 15.51 15.81 16.11 16.40 16.69 16.97 17.25 17.52 17.79 18.05 18.30 18.56 18.80 19.04 19.27 19.50 19.73 19.94 20.15 20.36 20.56 20.75 20.94 21.12 21.29 21.46 21.62 21.78 21.93 22.07 22.20 22.33 22.46 22.57 22.68 22.78 22.88 22.97 23.05

11-Jun 12-Jun 13-Jun 14-Jun 15-Jun 16-Jun 17-Jun 18-Jun 19-Jun 20-Jun 21-Jun 22-Jun 23-Jun 24-Jun 25-Jun 26-Jun 27-Jun 28-Jun 29-Jun 30-Jun 1-Jul 2-Jul 3-Jul 4-Jul 5-Jul 6-Jul 7-Jul 8-Jul 9-Jul 10-Jul 11-Jul 12-Jul 13-Jul 14-Jul 15-Jul 16-Jul 17-Jul 18-Jul 19-Jul 20-Jul 21-Jul 22-Jul

162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203

55

23.13 23.19 23.26 23.31 23.36 23.40 23.43 23.46 23.48 23.49 23.50 23.50 23.49 23.48 23.45 23.43 23.39 23.35 23.30 23.24 23.18 23.11 23.03 22.95 22.86 22.76 22.66 22.55 22.43 22.31 22.17 22.04 21.89 21.74 21.59 21.42 21.25 21.08 20.90 20.71 20.51 20.31

WINDOWS 23-Jul 24-Jul 25-Jul 26-Jul 27-Jul 28-Jul 29-Jul 30-Jul 31-Jul 1-Ago 2-Ago 3-Ago 4-Ago 5-Ago 6-Ago 7-Ago 8-Ago 9-Ago 10-Ago 11-Ago 12-Ago 13-Ago 14-Ago 15-Ago 16-Ago 17-Ago 18-Ago 19-Ago 20-Ago 21-Ago 22-Ago 23-Ago 24-Ago 25-Ago 26-Ago 27-Ago 28-Ago 29-Ago 30-Ago 31-Ago 1-Sep 2-Sep

204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245

20.11 19.90 19.68 19.45 19.22 18.99 18.75 18.50 18.25 17.99 17.73 17.46 17.19 16.91 16.63 16.34 16.04 15.75 15.44 15.14 14.82 14.51 14.19 13.86 13.54 13.20 12.87 12.53 12.18 11.83 11.48 11.13 10.77 10.41 10.05 9.68 9.31 8.94 8.56 8.18 7.80 7.42

Anexo - Declinación solar

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Fecha 3-Sep 4-Sep 5-Sep 6-Sep 7-Sep 8-Sep 9-Sep 10-Sep 11-Sep 12-Sep 13-Sep 14-Sep 15-Sep 16-Sep 17-Sep 18-Sep 19-Sep 20-Sep 21-Sep 22-Sep 23-Sep 24-Sep 25-Sep 26-Sep 27-Sep 28-Sep 29-Sep 30-Sep 1-Oct 2-Oct 3-Oct 4-Oct 5-Oct 6-Oct 7-Oct 8-Oct 9-Oct 10-Oct 11-Oct 12-Oct 13-Oct 14-Oct

d 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287


  

D 7.04 6.65 6.26 5.87 5.48 5.08 4.69 4.29 3.89 3.49 3.09 2.69 2.29 1.89 1.48 1.08 0.67 0.27 -0.13 -0.54 -0.94 -1.35 -1.75 -2.15 -2.56 -2.96 -3.36 -3.76 -4.16 -4.55 -4.95 -5.34 -5.74 -6.13 -6.52 -6.91 -7.29 -7.67 -8.06 -8.43 -8.81 -9.18

15-Oct 16-Oct 17-Oct 18-Oct 19-Oct 20-Oct 21-Oct 22-Oct 23-Oct 24-Oct 25-Oct 26-Oct 27-Oct 28-Oct 29-Oct 30-Oct 31-Oct 1-Nov 2-Nov 3-Nov 4-Nov 5-Nov 6-Nov 7-Nov 8-Nov 9-Nov 10-Nov 11-Nov 12-Nov 13-Nov 14-Nov 15-Nov 16-Nov 17-Nov 18-Nov 19-Nov 20-Nov 21-Nov 22-Nov 23-Nov 24-Nov 25-Nov

288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329

56

-9.56 -9.92 -10.29 -10.65 -11.01 -11.37 -11.72 -12.07 -12.41 -12.75 -13.09 -13.42 -13.75 -14.08 -14.40 -14.72 -15.03 -15.34 -15.65 -15.94 -16.24 -16.53 -16.81 -17.09 -17.37 -17.64 -17.90 -18.16 -18.42 -18.67 -18.91 -19.15 -19.38 -19.60 -19.82 -20.04 -20.25 -20.45 -20.64 -20.83 -21.02 -21.20

WINDOWS 26-Nov 27-Nov 28-Nov 29-Nov 30-Nov 1-Dic 2-Dic 3-Dic 4-Dic 5-Dic 6-Dic 7-Dic 8-Dic 9-Dic 10-Dic 11-Dic 12-Dic 13-Dic 14-Dic 15-Dic 16-Dic 17-Dic 18-Dic 19-Dic 20-Dic 21-Dic 22-Dic 23-Dic 24-Dic 25-Dic 26-Dic 27-Dic 28-Dic 29-Dic 30-Dic 31-Dic

330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365

-21.37 -21.53 -21.69 -21.84 -21.99 -22.13 -22.26 -22.39 -22.51 -22.62 -22.73 -22.83 -22.92 -23.01 -23.08 -23.16 -23.22 -23.28 -23.33 -23.38 -23.41 -23.45 -23.47 -23.49 -23.50 -23.50 -23.50 -23.49 -23.47 -23.44 -23.41 -23.37 -23.33 -23.27 -23.22 -23.15

Anexo - Declinación solar

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Anexo - Declinación solar