Aide-mémoire De Mathématiques De L'ingénieur

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Aide-mémoire

05

de mathématiques de I'ingénieur

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a' ide-~iiéiiioirc!r:st clt:stiiiti :cils iiig6nieiirs c:t tc:chqui iitiliseiit It!s iii;itlitiiiititicl~ips (iaiis ~111biit et pour dt:s prot)li:riit!s ~)rofc>ssioiirir,Is. sente siic:c:essi\,t!tiir:rit I'iiritliiii6ticliie rit la trigoétrie. l'arialvse, I'ktiidr! clr:s fi~nt:tioris.I'algkt~re ransforniatioiis. lt!s c:al(:~ils vectoriel r!t terisoriel. oniétrie, les probal>ilit6st:t Iti stiitistiqiic. ttil~lesdt: foiic:tioiis airisi cliic rle lois

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Maurice Chossat 1

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Aide-mémoire de mathématiques de l'ingénieur

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6

de mathématiques de l'ingénieur

l

M. CHOSSAT lngenieur Ancien éléve de I'ccole polytechnique

- . DEUXIÈME EDITION Nouveau tirage

TABLE DES MATI~RES

CHAPITRE 1. . Antbmétique, algèbre et trigonométie Stmeturcs algebnsu Exposants et radici Identités usuelles sommation^ "suc Numération bina' Algebie de Boole

.

Equniiops olgdbriques Propriétds générales .......................... Equationr du 2' dcgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations 3'dcgr& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equatianr 4r dcgré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Déterminants. SysrPrnes linéaires. Matrices ..........................

Fonctions usuelles simples

O BORDAS. Paris. 1977 ISBN 2-04-015663-1

........................................

Fonctions circulaires et inverses ....................................... Fonctions exponentielle et loganthmique ................................ Ponctions hyperboliques .............................................. Croissance et limites Fomes'iod6t~rmintes..............................

.

Nombres complexes .............................................

Trigonametrie plane ................. j.............................. Trigonométrie sphérique: ............................................. Trigonométrie hyperbolique ...........................................

TABLE DE5 M A ~ ~ È R E s

Séries

. . . . . . . .. ... . . .. ... ... . .. .....

CHAPITRE 3. -Fonctions

.. ..

1. Séries entiércs II. Séries alternies III. Séries ti termes

. . .

. . . . . .. .. . . . .:. . .. . . .. '.'. .. . . .. ... . . . ... . . , . ... .

- Analyse

.. . ..

..

. ..

Intégrales de Fresnel .. . .. . . .. . .. .. .. . .. . . . . , ,. . . . . , . . . ., . , ,. . . Sinus et cosinus intégral . .. .. . .. . .. . . . ... .... , . . . .. , . .. . , .. , ,.. Fonction Q(x) ou fonction erreur e l fonction n(x) . .. . . . ... . . ... . ., . Fonctions eulétiennes . .. .. . .-.... .. . ... . . . ... . . . . . ... . .. . . . , Fanction h~~ergéométrique . ... . .. .'.. . . .., ,.. . . .. . . ... . . ,,. .,...,.. Fonctions de Bessel. Propriétés. Fonctions apparentées . . . . . . . .. . .. . . .. . Fonctions de Kelvin . . .. . .. . .. .. ... . ... . . . . . . . . . ... . . ,, . .. . Séries et pol~nômesde L w n d l e . . . . . .. . .. . .. . . . .... . . . . .:. , ,. . . Fonctions de Weber-Hermite.. . . .. .. .. . . . . .. ... . , ., . . .. . . , ,. . ... . , . Palynômes d'Hermite .. . .. .. . . .. ... . .. . ... . . . . .. . . .. . . . .. . , .. .,.., Polyndmes de Tchebychef .. .. . .. ... . . . ... . .. . .. . , , ... . .. . , ... . . Polynômes de Laguerre.. .. . .. .. . .. .. . . . . . ... . . . . . ... , .. . . ... , ,. .

.. .

Reste de la somme dlune série Développements usuels simples ~ o r n b r e sde Bernoulli et séries s'y rattachan Nombres d'Euler et séries s'y rattachant Sommes de réries . .. . .. .. .. .. . . . .. . . . .. . Séries de Fourier. Applications et développements

CHAPITRE 2.

divenec

. ..

..

.

..

..

.

..

.

.

.

.

..

..

.

..

..

.

.

. . ... . . . . . . .. . ... . . . . .

127 128 129 132 135 136 146 146 151 152 154 156

1

1 1

. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . Regles de calcul . . .. .. .. . ... .. . .. . .. . , . . .. . . , . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . . . .. . . . . .. . .. . . . .. . . .. - . . . . .

Dérivées er différentielles .

'

''

Dérivées de fonctions usuelles

. . Intçgrale de Riema"" ................................................ rnt.4praiecurvilisne . ... ... . . .. . . . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . . .. . . . . .. . Intésrdc de Stieltjes.. . . .. .. ... . .. ... .. . .. .. . .. . . . . . . .. . . .. '. . . '. . . Méthodes de calcul . . . .. .. . . . .. . . . . . . . . , . . .. . . . . . . . . " ' . ' . ' Intégrales indéfinies.. .. . .. .. .. .. . . . .. . .. . . . . . . . . ' . . ."'."'." . . . .. . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . .. . ' .. . .. ' Intégrales "ruel]es des intégrales dc certaines expressions. . .. . . . . . .. .. . procédés de Intégraler définie$. .. .. . . . .. . . .. . .. .. . .. . . . . . .. . .. . .. ' . . .'. . .. . .." Méthode dccalcul ................................................... CJI,IJ~LC. r l n , t z ~ l e , definiei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

..

.

Transformation de Laplace ... .. . .. . . .. .. . ... . .. . .. . . , , ... . . .. . .. . . Propriétés. Calcul des transformées ... ... , , ... . .. . . .. . . . .. . , ,. : . . ,. . .. S Ud f .. . . ... . . . .. . .. . ... . ,... . . ., , . . .. ... , Calcul del'original.. . ... .. . ... . .. .. . . . . .. . . .. . . .. . . . . . ,.. . . . Transformation de Fourier. Propriétés. Calcul et catalogue de transformies .. Transformation de Mcllin. Propriétés. Calcul et catalogue de transformees . . Transformations réciproques . :. ... . . .. . . . ... . .. . , , . . . .. . , ,.. , . :. , . Transformation de Hankel. Propriétés. Calcul et catalogue de transformées ..

.. . . ..

Inrépro1.....................................

. . .

CHAPITRE 4. - Alghbre des itamformatiom

.

.

.

.

.. ..

..

.

.

.

.

159 159 163 177 178 180 183 183

"

~

c3lcul de, inicgr..~o dtbnioau nioycn de la irsn,forniaiiuii J; Irplaç: cl par I., methode der riridur E~zmplc< de crlcul.. . . . . . . . . . . . . . . . . ,"tegrales elliptiques . .. ... .. . . . . .. ... .. . . .. . .. . . ... . . .'. . .- ..."'. der intégrales définies. Méthodes. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. calcul intégrales doubler et tripler . . .. ... .. . .. . . , . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. '. ~ ~difércntielles. ~ niéor&mes ~ généraux t . .i. . .. ..~. .. . ..~ . .... ~ ~ ~ "diKirenticlle ~ t i du~premier ~ ordre . . . . .. . .. .. . .. . . . . .. .. . Equation diKérentiellc du deiiriemc ordre.. . . . . .. . . . . . . . . .. . .. . .. . lntigration au moyen de la transformation de Laplace.. .. . .. . . .. . .. .. Problernes aux limites et fonction de Green . . .. . . . ... .. . . . . ... .. . . .. Equations intégrales.. . . . .. ... . . . . . .. . . . . .. . .. ... . .. .. . . :. . CSICUI d s variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE S. - Calcul vectoriel et calcul tensoriel

.. . . . . . . . . . . , . . . . ., ..., . . ..., . . . . ., , , .. . . . .., . . . 187 ! Identité de chasle:. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . . . . . . ... . ... . .. . . . . .. . ..: . . 187 Produit scalairç.ou produit intérieur.. . . .. . . . .. . .. . . .. . ..... . . ... . ., , . .. . 187 Radnit vectoriel.. .. .. . .. .. . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . . . , . . . . .. , , ,. . 188 Produit mixte . . . .. . .. . .. .. . ... . , . . .. . .. . . . .. . . .. , .. . . . . .. . , . , . . . .. , , 188 e t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Vecteurs glissants. Moments . . .. . . .. . . .. . . ... . .. . . .. . , . . , . . .. . . , ., . ... 189 Systernes de vecteurs .. .. . .. . .. . . .. . ... ... . . .. . . ., , . .. . . ., , , . ... . . ,, , . 191 Analyse vectarielle . .. .. . .. . .. . . , . .. . . .. . , . .. . ... , .. . . . ... , , , .. . .. . . , . 192 Dérivée d'un vecteur et d'un point . ... . .. . . ... . .. . . .'. . . . .. . . . .. . , , , . . .. 192 Fonctions de points. Gradient. Divergence et rotationnel.. . . . . . .. . . .. , . .. . 193 Opérateurs .......................................................... 195 Fonnuleî de l'analyse vcctarielle.. . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .... ... . . . .. . .. . . 196

Calni1 vccroriel

TABLE DFS M A ~ ~ R E S

TABLE DES MAnERES

calcul tensoriel

.......... : ....................: ................

Homographie cl involution dans les soniques ............................ Etudc spéciale de l'ellipse ............................................. Formules ............................................................ Propriétés géoméuiquss ............................... ............ Etude spéciale de l'hyperbole .......................................... Formuler ........................................................... Propriétés géomYriqucs .............................................. Etude spéciale de la parabole .......................................... Formules ............................................................ Propriétés géométriques

197

............................. ~ é ~ é ~ de, ~ la notion i ~ ~de tvecteur i ~ .... ~ ................................. changement de base .~ c ~ s c métrique ur Coordonn~ercontravari antes et covariantes ............................. Définition des tenseurs ........;. ................................... propri&t6sdes tenseurs ............................................... ............................................ Coordonnées Symboles de ChristoKel................................................ Différentielle absolue ................................................. neoreme de Rissi ...................................................

:

197 198 199

. .

199 200 200 201 202 202

Cycloïdes. épicycloides et hypocyclaides Courber cisroidalss Folium de Descartes

\

CHAPITRE 6 ! 1

~

[

. - Geornehie

é de néornétrie ~ ~ ~générale r ~outres que gbombtrie analytique ........ 203

Ovales

~irapportourapporta"hamnique ................................... ~~~~~~~~d~~~~homographique et faisceaux ............................. der divisions et faisseaux homographiqueJ et ~~~~~l de involutif$ ...................................... " partagcenmoyeonEetextremsraison .................................. Géométrie et ,f' rm"Ies dl, triangle.'. .................................... et trigonométriques dans le triangle ................. xelations ............................. " .. Relations dans les

.............................................................

.

Formules de Frenet .................................................. Congruenses de lignes ................................................

Surfaces

.....................................................

ImI l

Géométrie ........................... Formules généraler. coordonnées cartésiennes La.droite. Fornules.,. .............................................. Courbes d'équations y = J ( x ) .......................... ;.............. .................................... Courbes définies paramét"quemeot ................................................. courbes ................................. propriétes des ~aurberplaner .courbes en coordonnéer ...................................... ~~~~l~~~~~et trajectoires orthogonales ................................. Développeer ......................................... ........

1

I

l

i

! i

1 ..

...................

.

215 215 217 221 222 224 225 227 229 231

problémes relatifJ au ~ i c u.rpuissances. Polaires 232 Relations analytiques dans cercle .................................... 234 ............................................. lnv;rsian dans ic 236 .coniques .......................................................... 237 ................................... Prop,j étes aux 3 ~ ~ n i q ~ c s 237 prapiiét~r projectives................... :.............................. 239 241 .................................... Intersection et faisceaux de coniques ..................................... coniques coordonn&er 243

............................................................

Représentation ....................................................... Enveloppes ...................... . . . .............................. Surfacer réglées. Canotder ............................................ Lignes iracees sur les surfaces ......................................... Surlases de révolution ................................................. Hélices ............................................................. Loxodromies ......................................................... Quadrique ; ..1. ............................................... Equations et classibation des quadriques ............................... Eléments divers ....................... ;.............................. Propriéles affines ..................................................... Propriétés métriques .................................................. Quadriques sur équations réduites ..................................... Divers genres de quadriques Propribtés .................. : ..............

.

.

,.

.

C H A P I T R E 7 . -Probabilités

et statistique

Evaluation des probabilitis . Principes

..................................

293

l

l

TABLE DES MATtÈRS

VI

Calcu/ tensoriel

..........: ......................................

............................. ~ é ~ é ~ d~d al notion i ~ ~de tvecteur i ~ .... ~ Changement de base T~~~~~~ metrique ................................. ~~~~d~~~~~~contravanantes et covariantes ............................. ,éfini[i.,n des tenseurs ........ ..................................... piopiiéfes d u tenseurs ............................................... ............................................ Coordonnée Symboles de ChgrtoEcl ................................................ ............................................... Différentielle Théor&mede Ricci ...................................................

:

.

:.

197 197 198 199 199 200 201 202 202

CHAPITRE 6. - Géométrie ~iemenrsde neornétriegénérale outres que géométrie analytique ........

TABLE

Homographie et involution dans les coniques ............................ Etude spéciale de l'ellipse ............................................. Fonnules ............................................................ Propriétes géométriques .............................................. Etad? spéciale de l'hyperbole .......................................... Formules ........................................................... Propriétés géométriques .............................................. Etude spiciale de la parabole ........................................... Formuler ............................................................ Propriétés géométriques Courbes usuelles diverses .................... Cycloldcs. épicyclaldcs et hypoçycloidcs Courbes cisroidales Folium de Descartes

Le plan ............................................................. La droite ........................................................... Courbcs gauches .................................... : ................ Définition Propriitk ................................................ Courbure et torsion .................................................. Formules de Frenct .................................................. Congruonces de lignes ................................................

.

Surfaces

...................................................... Géometrie ~~~~~l~~ générales. coordonnées cartésiennes ........................... La.droite. Formuler.,. ............................................... Courbes d'équations = /(x) .......................... :.............. Courbes définies paramit"q"cmeot .................................... .................. ........................... courbes éÿiqucr des urbcs pl,? "es ................................ ...................................... ~~~~~b~~en ................................. Enveloppes et trajestoires DéveloppéPs ........................................................ problhmer rolatirr au . ~ i e u rPuissances Palaires ................... Relations dans le cercle .................................... lnvGsion dans le cercle ............................................... coniques .......................................................... Propriétes eommuneJ coniques ................................... ................................................ Propriités .................................... ~ntcrsestionet faisceaux de coniques coniques en coordonnees po~aires .....................................

.-.

.

.

.

VI1

203

~irapportourapportanhamonique .. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ d ~ ~ ~ ~ h ~ ~ ~ ~ ........................... ~ ~ p h i q u e e t f a i r c e a u r R ~ de ~ ~ propriétés ~ I des divisions et faisceaux homographiques et in"alu[ifr ..................................... " ' ... partage en moyeonc et wvéme raison .................................. ~ é ~et formules ~ é du~triangle ~ .: i .................................... ~ ................. ~ ( e l ~algebriqusr t i ~ ~ ~ trigonométriques dans le triangle Relations dans les polygoneJ .................................

,,,

o n unènes

2i5 215 217 221 222 224 225 227 229 231 232 234 236 237 237 239 241 243

............................................................

Représentation ...................................................... Enveloppes .......................................................... Surfaces réglées. Conoides ............................................ Lignes tracées sur les surfaces .......................... : .............. Surfaces de rivolution ................................................. Hélices ............................................................. Loxodromies ........................................................ !. .................................................. Quadriques : Equations et $?ssification des quadriques ............................... Eléments divers ...................................................... Propriilér affines ..................................................... Propriétés métriques .................................................. Quadriques sur équations réduites ..................................... Divers genres de quadriques. Propriitis .................. : ..............

.,. ..

:HAPITRE 7. -Probabilités et statistique Evaluation des probabilités. Principes

..................................

293

I

Variables aléatoires. Elémcnts attachés ................................. Fonctions génératrice et caractéristique. Moments........................ Inégalité de nienaymé.. .............................................. Addition des vsriables alCaloires indépendantes.. ........................ Principales lois de probabilités.. ....................................... Lai binoniialc. Tables

CHAPITRE 1

Loi de Poisson. Lois d'EIIang ....................................................... Loi hyperexponentiellc .................. .:. .......................... Loir Loi logarithm~normaleou loi log-normale .............................. Loi du et rapport avec la loi dc Poisson. Tables.. ..................... Loi de Cauchy ....................................................... Loi de Studcnt. Tables ................................................ 1.01 de Sncdr.eor. T ~ b l e r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loir Je compo,iiion dc ? \artables Iic'er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T h d o r h e dc Ba)er e i probabiliit der ebLrev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemc des moindres carrés ..................

SYMBOLES USUELS DE L>ALG&BRE. Sy>rtboles

.

V

.

3 aE E a$E

E

, INDEX

...........................................................

F

2

F

c E

% E nF E UF

8, aT b=c

Sy,~ihr>l<,.~
signifie « quel que soit »; par.exemple Va E E, quel que soit a appartenant à E. signifie « il existe » ;par exemple 30 E E, il existe o appartenant à E, tel que ....
Relation exprimant que c est le résultat de l'opération interneeffectuéesuraet bé1émentsdeE. On trouveaussi : a1b;

a+b;

a c b ;

.

0.6.

e est l'élément neutre de l'opération T a et o' sont des éléments symétriques dans l'opération T. a et b satisfont à une relation binaire désignée par R. x élement de Es'applique sur y, élément de F. L'application est biunivoque. application composée signifiant y +/[g(x)] ; n e pas confondre avec/ o g signifiant y + g[/(x)]. signifie a Kn. quel que soit K entier relatif. valeur absolue ou module de o.

+

'

l

il '8

j: !:

...

,~l

A) Groupe :ensemble Gnon vide possédant uneloide composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : (associativité), 10 Va, 6, c e G : (a T 6) T e = a T (6 T c) (a, élément neutre), 203e~G,Va:oTe=eTo=a 30 V o e G , . 3 a ' : a ' T a = a T a ' = e (a', symétrique), (commutativité). Groupe obélien : Va, b e G : o T b = b T a Propriétés : Vo,b,eeG,nTc=bTc~a=b,eTa=cTb~a=b(to~téIémeflt

est régulier) ;

"1 1

Va,beG,3xeG

8 1 ,

Il 1' ,!

1

j:~~! i:i

/Il

telque

et

aTx=b:x=o'Tb ,x T o = b : x = b T o ' .

Sous-groupe : G' c Gest unsous-groupedeGsi Va, b E G' : a T b' E G'(b'sp6trique de b dans O.

Io V o , b , c e A : ( u + b ) + c = a + ( b + c ) ;

1

II. Va, 6, e E A : (06) c = o(bc)

1,

III. Va, 6, c E A : a(b

I), :II

,,# 111

II

I!

1.1

II,

+

+

(associativité de la multiplication).

+ c) = ab + oc, (O + 6) c = ae + bc . (distributivité).

Anneau unitaire : 3e E A, Va : en = oe = e (e, élément neutre pour la deuxième loi, appelé unité). Anneau d'intégrité : Vo # O, Vb # O * ob # O (pas de diviseurs de zéro). Propriétés : Va, b : (- a) b = a ( - 6) = (- ab), Va : p.0 = 0.a = O.

C) Corps : ensemble K muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : 1. K est un groupe abélien pour la premibre loi (addition).

,8'

(1 II

ji

'(1

Il

/

loVn,b,ceK:(a+b)+c=n+(b+c),

2030eK, V o : a + O = O + a = a , 30 VoeK, 3 ( - a ) : a + ( - a ) = ( - a ) + a = O , 40 V o , b ~ K : a + b = b + a .

+

+

EXPOSANTS ET RADICAUX.

l

Exposants : p , q entiers positifs, négatifs ou nuls, o et b réels différents de O 0-n =

ao=l:

.

1 0s.

aP

aq =

aP+9,

Radicaux : n, q entiers positifs, p entier relatif, a et b réels

"fi=r*

l/a=b+ri=b.,

1. A est un groupe abélien pour la première loi (addition) :

' ;1

ij,

+

III. Va, 6, c e K : a(b c) = ab oc, (a 6) c = oc + bc. Corps commutatif (ou droit) : la deuxième loi est commutative.

B) Anneau : ensemble A muni de deux loiS de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants :

2030eA, V o : : a + O = O + o = a ; 30 VaeA, 3 ( - a ) : O + ( - a ) = ( - o ) + a = O ; 40 Va, ~ E : A O b = b a.

/i

II. K (privé de 0) est un groupe pour la deuxième loi (multiplication). 10 Va, 6, c e K : (ab) c = a(bc), 20 3 e ~ K , V o: e a = a e = a , 30 va #0,3a-' : (I~I-' = o-'a = e .

J--J-

"<

1

..

o"P

II

in, m' rationnels, o t t b réels positifs

=

0 aq

=

-

Limite de S quand q < 1 et n

m :

s =O 1-y'

Produit des n premiers termes : sommation étendue i tout ensemble d'entiers u, P, y, ... j. = n. que D. 0 y Division par (x i 0)

+ + + +

\"

- <>" =

\-.-a"

(\.

-

= (\. + a,(,\

"-1

P=

positifs ou nuls tels

=

(O/)+

Sommations sur nombres entiers.

... + "nx"-#-I + ... ). - av.-i + ... + ( - ,)nooX"-P-i + ... - d - 1 1 +
',,,\.i-i

..., A

+

Somme des n premiers nombres entiers :

(si n pair, .y"

+

0"

=

,.y

+ a ) (;Y"-'

- a,\."-z

+

... + ( -

.!

...

1)' anx"-#-L + + 8.1) (si i! impair).

+ b' + c')

(0,'

+ b" + e") - (aa' + bW + cc')' = (be' - c h '

.

+

8,

Somme des cubes des n premiers nombres entiers : =

+ (ea' - o i i ' + (ab' - bu',' .

Théoreme de Bezaut. -Si 2 polynômes A et B sont premiers entre eux, il existe un ~olvnômeu de degré - < à celui de B et un polynôme u de degré < A telsque l'on ait Au Bu = 1.

.

+ 2> + 32 + ... + (11 - 1)l + n2 = !1(1! + 1 ) ( 2 + 1)

S , = 1'

6

Identité de Lagrange : (<,'

Somme des carrés des n premiers nombres entiers :

,

Sommedes quatribmes puissances des n premiers nombres entiers :

,

Sq = I 4

+ 2' + 3" + ... + (n - 1)4 + n4 =

1>(?3

+ 1)( 2 FI + 1) ( 3 t l ? + 3 30

Somme des nombres impairs :

11;

II 1. ; j/;

1+3+5+,;.+(2.n-3)+(2n-l);;nZ.

SOMMATIONS USUELLES. .

Somme des nombres pairs :

Progressions arithmétiques : n et 1 premier et dernier termes, r raison, n nombre de termes.

2$4+6+...+2ri=2S,

2

12 + 32 +

[2~1+111-11~]11 2

Progressionsg4ométriques :q = raison,a = le' terme, 1 = a<-'

11

52

+ ,,. + ( 2

- 1)' = "(2 11 - 11 ( 2 11 3

Somme des n premiers termes :

+

Somme des carrés des nombres pairs : = dernier terme.

22 + 4' +

... + (2 n)'

= 2 "(1'

+ 1) ( 2 11 + 3

1:

1).

-.

Somme des n premiers termes :

s = -( a=+ / ) , ,

=n(n+

Somme des carrécdes nombres impairs :

Il'

Somme des cubes des nombres impairs : 1'

+ 3' + S3 + ... + ( 2 n - 1)"

\

n2(2 ni

il

- 1)

Il

11

- Il

roRMuUlRE DE MATHÉMATIQUES

6

Sommations de IP forme

Somme des cubes des nombres pairs : 2'

+ (2 n)'

+ 4l + 63 +

= 2 n2(n

+ Il'

Sommes tirées de la relation : 1+

+

+

- 1 - l

... + T" = --- (progression géométrique). "+l .Y

Dérivons :

S "x"+'

1+2x+3xz+...+iix"-'=

- (n + 1) x" + 1 , (x - Il2

--+-1 - 1.2.3

1 2.3.4'

"'+

En numération binaire il n'y a que 2 signes (que l'on désigne généralement par O et 1). Todt nombre, en numération binaire, s'exprime par une suite de termes formés de O et de 1 qui, multipliés par les puissances de 2 successives, donnent la représentation décimale du nombre.

ou

Exemple : 23 = 16 ~n dérivant encore une fois, on a : ,d nx""

.-+ n(n - 1 ) ~ " - ' = -dx - 1) x"+l

(x - Il2

- 2 x"(x2 - l) + n(n + 1) x"-' - 2 (X - I)>

,

= 1.2

S,,

sL2, , ,

SII

+ 2.3 + 3.4 + ... + n(n - 1) =

= 1.2.3

1 2 4 8 16 32 64 128 256

.

+ 11 n(n - 11

+ 2.3.4 +.- + (n - 21iii - 1)ri =

3 (fl

+ 1, ,1[81

- Il 4

(11

- 21

<..<..<.....,<..<......<<..<................

..A

=

(,,

+ 1) ,,[#l-

1) ,,, (11 - k k t 1

+ 11

Pour transformer en binaire un nombre exprimé en décimal, 11 faut commencer par diviser ce nombre par la plus haute puissance de 2 y contenue, diviser le reste par la plus haute puissance de 2 contenue dans ce reste, etc. Puissances de 2.

1101 - 1). (n

+4 +2 + 1=

- [n + 1)x" + l -

1 1 1 En faisant x =-et en multipliant par et -,on a les sommes : 2 2 2' 2 2.3 3.4 n(n - 11 n1+3n+4 - + - i - + T + . . . + - = 2 3 - 2"-' . 2 2 2 n(n - 1) = 22 - 11' + 3 11 - 4 -2+ - +2.3 - + . . .3.4 +2" 2' 2' 24 2" Sommations de la forme S,2 =

il - ? I I =---2 2n'-Zn 4 2n(n-1)'

NUMERATION BINAIRE.

1

,(, -

-

= 1 ri' -

.Y#].

Faisons x = - : 2 2 3 l + -+-+...+ 2 2'

2 + 2 . 3 x + 3.4x2+

1 ln-2)(n-l)n

21°=1024 2" = 2 048 2" = 4 096 213 = 8192 Etc.

Exemple : Transformer 365 en numération binaire.

La plus haute puissance de 2 contenue : dans 365 est 256 = Z8, reste 109;

.

.

dans 109 est 64 = 26, reste 45 ; dans 45 est 32 = reste 13; dans 13 est 8 = Z3, reste 5 ; dans 5 est 4 = 2", reste 1 ; dans 1 est 1 = 2O, reste O;

3 6 5 = 2 8 ~ 1 + 2 7 ~ 0 + 2 6 ~ 1 + 2 5 ~ 1 + 2 4 ~ 0 + +2'~1+2'xI+2'xO+2~xI =101101101.

ror
6

Sommations de la forme

---

Somme des cubes des nombres pairs : 23 + 43

+ 63 + ... + (2 ')n

Sommes tirées de la relation : 1+

+

+

... + x" =

Dérivons :

= 2 n2(n

+ Il'

-1 (progression géométrique). r - 1

"+l

S

--+-1

1

1

- 1.2.3

2.3.4'

"'+

Exemple : 23 = 16 ,d nx"" 2 + 2 . 3 x + 3 . 4 x 2 + . . . + n ( n - 1 ) ~ " - ' = -dx

(x - 1)2

,

Sommations de la forme S,2 =

I

2n(n-1)'

+ 2.3 + 3.4 + ... + n(n - 1) =

(n

Puissances de 2. -1 2 4 8 16 32 64 128 256

.

+ 1) n(n - 1) 3 (ti

+

1,

11(11

- Ij 4

(11

- 21

,,,..<..<.....,...<.<.....<..<..............~'

+ 1) n ( i ~- 1) ...( 1 1 - k + 11 k + l

+4 +2 + 1=

Pour transformer en binaire un nombre exprimé en décimal, il faut commencer par diviser ce nombre par la plus haute puissance de 2 y contenue, diviser le reste par la plus haute puissance de 2 contenue dans ce reste, etc.

n(n - 1).

s,>, = 1.2.3 + 2.3.4 + .., + (n - 2ji11- l ) n = (it

I

4

- [n + 1) x" + 1 -

1 1 I En faisant x =-et en multipliant par et -,on a les sommes : 2 2 2' 2 2.3 3.4 n(n - 1) n1+3ii+4 - + 2 + T + . . . + - = 2 3 - 2"-' . 2 2 2 2 2.3 3.4 n(n - 11 = 22 - i,! + 3 r, - 4 -+-+-+...+2" 2' 23 24 2"

SII ...A =

il - ? 2 Zn'-Zn

En numération binaire il n'y a que 2 signes (que l'on désigne généralement par O et 1). Tout nombre, en numération binaire, s'exprime par une suite de termes formës de O et de 1 qui, multipliés par les puissances de 2 suaessives, donnent la représentation décimale du nombre.

En dérivant encore une fois, on a :

= 1.2

-

= 1 ri' -

NUMÉRATION BINAIRE.

1 Faisons x = - : 2

S,,

(n-2)(n-l)n

Exemple : Transformer 365 en numération binaire. La plus haute puissance de 2 contenue : dans 365 est 256 = 28, reste 109; dans 109 est 64 = 26, reste 45 ; dans 45 est 32 = 2', reste 13; . dans 13 est 8 = Z3, reste 5 ; dans 5 est 4 = 2', reste 1 ; dans l est 1 = 2O, reste O ;

.

.

-

2"'=1024 2" = 2 048 2" = 4 096 2"= 8192 Etc.

3 6 5 = 2 8 ~ 1 + 2 7 ~ 0 + 2 6 ~ 1 + 2 5 ~ 1 + 2 4 ~ 0 + + 2 ' ~ 1 + 2 ' x I + 2 ' ~ 0 + 2 ~ x I =101101101.

A R I T H ~ ~ ~ ~ffièsne I Q U E . ET ~ n i o o ~ o h a r n i ~

7

Sommations de la forme

il

somme des cubes des nombres pairs :

l

23

i

+ (2 n)= = 2 nn'(n+ 11'

+ 4' + 6' +

Sommes tirées de la relation : +

.v +

+

- 1 (progression géométrique). .Y-1

"+S

... +

=

Dérivons :

-(n+I)*"+l, (X -

1+2x+3x'+...+nX-'=

I

1

Faisons x = - : 2

2 3 1 + 2- + p +

En numération binaire il n'y a que 2 signes (que l'on désigne généralement par O et 1). Tout nombre, en numération binaire, s'exvrime Dar une suite de termes formis de O et de 1 qui, multipliés par les puissances de 2 successives, donnent la représentation décimale du nombre.

n+2 '++=4(1-7-r).

Exemple : 23 = 16 En dérivant encore une fois, on a : 2+2.3x+3.4x2+...+n(n-l)x"-'=& l1

- ,(,

- 1)

1

'

d nx"+'-[n+ I ) x n + 1 = (X - Ilz

-2

x"(x2 (X

- 1) + n(n + 1) x"-' - 1)3

-2

Sommations de la forme S12=

l S,,

=

1:2

n(n - 1).

+ 2.3 + 3.4 + ... + n(n - 1) =

(n

+ l)n(n - 1) 3 (PI

S,,, !

=

1.2.3+2.3.4+...+(~-2)("

l)n=

= 2 * ~ 1 + 2 ~ ~ 0 . + 2 ~ ~ 1 + 2 ~ ~ 1 +I 2I . ~ ~ 1 = 1 0

Pour transformer en binaire un nombre exprimé en décimal, il.faut commencer par diviser ce nombre par la plus haute puissance de 2 y contenue, diviser le reste - par la plus haute puissance de 2 contenue dans ce reste, etc. Puissances de 2.

1 1 I En faisant x =-et en multipliant pari et ^;,on a les sommes :

+ 1) ,1[11 4

1,

(ll

- 21

+4 +2 + 1=

-1 2 2' = 2'= 4 2'= 8 Z4 = 16 2$ = 32 26 = 64 2' = 128 28 = 256 2 * = 512 Z1O=1O24 2" = 2 048 2" = 4096 2" = 8 192 Etc.

Exemple : Transformer 365 en numération binaire. La plus haute puissance de 2 contenue : dans 365 est 256 = Z8, reste 109: dans 109 est 64 = 26, reste 45 ; dans 45 est 32 = 2$, reste 13; . dans 13 est 8 = z3, reste 5 ; dans 5 est 4 = 2", reste 1 ; dans l est l = 2O, reste 0 ;

.

.

365=28x1,+2'x0+26x I+25x I + Z 4 x 0 + + ~ ' X ~ + ~ ~ X I + ~ ' X O + ~ ~ X I = 1 0 1 ~ 0 1 1 0 1 .

ARITHM~TIQUE. ~LoEsneET

IF]

Inversement pour transformer un nombre du binaire en décimal, il faut additionner les puissances de 2 matérialisées par le rang du symbole 1.

//j

Exemple :Transformer 1 0 1 0 1 0 0 = 22

Ir!

i: i

log,, 2

1! ,

1'

1 1

+ 2' + 26 = 4 + 16 + 64 = 84. fl

Multipiicarion. - Table de multiplication

4301 03

Ainsi, un nombre de 9 chiffres en décimal exigera 30 signes en binaire. opérations en numération binaire.

!

,#

Table d'addition :

':

1:

1

1 O 1 O O

Le nombre de signes N utilisé en numération binaire est pour exprimer un même nombre de n chiffres en décimal,

N = n = -

,

Opération

nuooNodntie

,

1 1 0 avec report de 1 A la colonne suivante pour l'addition 1

+ 1 = 10.

,

ADDlrioN DE 2 NOMBRES. - Se fait comme en décimal, en additionnant les chiffres de même rang en commençant parla draite.Quand o n a 2 fois 1 le résultat est O et on reporte I à la colonne suivante.

autrement dit : I x 1 = 1. Tousles autres cas donnent O. La multiplication s'opère comme en décimal. Tous les produits partiels sont O ou le multiplicande. Additionner les produits partiels successivement. Exemple : 19 x 13 = 247

: Additionner 27 = I I O I I et 13 = 1 1 0 1

II

1 1 0 1 1

3 premières lignes Addition de plusieurs nombres. - II faut procéder par récurrence, additionner les 2 premiers, ajouter le troisième à la somme obtenue, etc.

Ill

SousT~~cnoN -. Méthode par complémentation.

I

1'

Dans le chiffre à soustraire on remplace les 1 par O et vice versa ; on additionne avec le premier nombre ; on supprime le premier 1 sur la gauche et on ajoute 1 au résultat obtenu.

lt,i

1.; 1

quatrième ligne 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 = 2 4 7

.<

1

/!i II

.IO01 1 1O 1 1 1 1 1

.

Exemple : 83

- 42 = 41.

42=101010;

-,

~~~~~~~r - Lc nombre de chiKres du produit est au plus la somme des nombres des &ifires dumultiplicandeet du multiplicateur (ici 5 + 4 = 9). Regle génirale quelle que soi[ la base de numiration. Divïsio~.- La division directe en binaire s'ooère var soustractions' rueces~~~~~..... . sives, opération asseL compliquk. Les machines qui utilisent la nuinCralion binaire, optrcni par formules itératives utilisant l'addition, la soustraction et la muliiplic ~ t i o net donnant l'inverse du diviseur. II suffit ensuite de multiplier.

.

complément 0 1 0 1 0 1

~

ARITHMÉTIQUE. ALGÈBRE ET TRIGONOMÉTRIE

Binaire d6cimal.

Distributivité d'une opération par rapport à l'autre :

Chaque chiffre décimal de O à 9 est représenté par sa valeur en binaire normal et un nombre est formé de la juxtaposjtion de ces représentations. Par exemple, 72 se traduit par 7 = 0 1 1 1 et 2 = 0 0 I O, soit 0 1 1 1 0 0 1 O. Cette représentation utilisée dans certaines machines électroniqries n'a plus aucun rapport avec le binaire normal (elle représenterait 114).

x.O>

L'algèbre de Boole opère sur 2 éléments seulement que l'on représente habituellement par O et 1. Cette notation indique seulement 2 états ou 2 positions qui s'excluent mutuellement (par exemple l'état ouvert ou fermé d'un contact électrique, comme nous le verrons plus loin). Une variable de l'algèbre de Boole est un symbole qui peut prendre arbitrairement l'une ou l'autre des 2 valeurs O et 1. En permutant ces valeurs, on obtient des relations correspondant par dualité avec les relations initiales. L'algbbre de Boole comporte 3 opérations de base : 10

Lo somme logique (symbole V) dont la table est celle ci-

contre : ce qui veut dire que x v y vaut 1 si l'une au moins des variables vaut 1 oii encore si I'iiiic oir l'autre vaut 1. Si les 2 variables valent O, x V y 5 0. Quel que soit r, x V x = x (idempotence).

20 Produit logique (symbole.) dont la table est celle ci-contre : ce aui veut dire que x.y vaut 1 si et seulement si les 2 variables valent I (ou encore si l'une el I'autre valent 1). Si l'une des 2 variables vaut O, x.y = 0. Quel que soit x, x.x = x (idempotence). On désigne encore quelquefois ces 2 opérations par l'opération ou (somme) et l'opération el (produit).

30 Négolion ou complémentalion. -Opération à 1 seule variable (symbole x' ou quelquïfuis X, x barre) qui consiste en ce que le rbsultat vaut 1 si la variable initiale vaut O et inversement. On vérifie que ces opérations possèdent les propriétés suivantes : Commutativité : x V Y =Y V x Associativité : x V 6'. V 2) = (x V Y) V r , Ce qui permet de supprimer les parenthbses.

x.y = y.x . n.(b.c) = ( o . b ) . e .

v

1)

= x.y V

X.*,

x V ( y . z ) = ( x v y).(xv r ) . Propriétés de la négation : x v

ALGEBRE DE LA LOGIQUE OU ALGEBRE DE BOOLE.

,

11

.Y'=

1,

(X V yy = X' y'

X.X' >

(X

=O

.y)' = X' V

)"

.

F o N c n o ~ DE s VARIABLCF BOOLÉENNEI x, y, Z, ... C'est une quantité binaire (c'està-dire qui ne prend que les valeurs O et 1) dont la valeur (O ou 1) est connue quand on connaît les valeurs de 3, y, z. Développement normal disjonety: Quelle que soit la fonction, on a : /(x,Y.Z> ... = f ( l , y . z ,

...1.x V

f(O.y.2 ,...)..Y'.

L'expression du premier membre comprend des termes comportant un variable de moins. On peut donc développer n'importe quelle fonction de n variables en une expression comportant 2" termes. Développement normal conioncti/ : dérivé du précédent par dualité. Identité.de base :

Comporte également 2" termes. Nombre de fonctions possibles de n variables = 2l". Applieatiqns de l'algèbre de Boole.

-.

Les 3pplicationr de I'algbbre de Boole sont imporianics et vsr:Ccs : clles intcrviennent dans tous les syrtCmcs fonciionn3ni par ouvcri ou ferme, par tout ou riçn (circ~iisélectriques. machines 4cctroniqucs. etc.). Nous allons en doniicr ~ucluues exemples relatifs aux circuits électriauei. on-appelle dipôle un circuit relié à; bornes extérieures. Si le circuit est constitué de contacts reliés par des connexions sans résistance. il n'v. a aue . 2 états oossibles : lecourant paçrc si l'un dcs trajcisconstiiuant le dipôle necomporte que descontacts ftrmCs; smon II ne prisse pas. et I'Ctat Clectriqucdu dipülc se traduit par un: vanable binaire.

. .

12

FORMULAIRE DE M A T H ~ M A ~ Q U E S

La somme et le produit logique peuvent être matérialisés par les montages suivants : Io Monrage en série. - Le courant passe si l'on a x et y fermés en même temps. Pour avoir f(x.y) = 1, il faut x = 1, + w v = l la oosition fermée des contacts

a-T-T-6

étant ouvertesymbolisée par O. Sinon paronI,a O, et celaqui position matérialise la table du produit logique.

20 Montage en parallèle. -11 est facile de voir que pour que f(x, y) = 1 il faut que x, ou y soit fermé. Ce sont les 2 opérations et et ou. La fonction qui traduit l'état d'un dipôle (O ou 1) s'appelle la fonction d'état du dipôle. Quand on a le schéma d'un circuit, il est possible d'établir la fonction d'état et réciproquement quand on connaît la fonction d'état, on peut obtenir un schéma équivalent par simplification de la fonction d'état. Exemple : soit le schéma ci-contre dépendant de 4 variables a, b, c, d. Fonction d'état dela branche 1.2 :

On a donc, en définitive, /@.y) = 0.6

Le dipôle dont la fonction d'état est a.b 4.' d . c ' sera équivalent au dipôle initial. Nombre maximal de contacts permettant la synthésc d'une fonitiun quclconquc de n variahlis Ithéortmc de Shÿnnon) : Ls synthtsc d'une fonction uuclconauc de n variahlrs peut toujours étre n'alisée Par un dipôlesemi-parallhle comportant ( 2 n t i - 2 ) contacts ~

+

0').

~~~~

Permutations. Nombre de groupes différents que I'on peut faire avec m objets en tenant compte de I'ordre des objets.

I o Sansrépétitions (c'est-à-dire qu'il y a m objets différentset que, parconséquent, chaque objet figure une seule fois dans chaque groupe) : P, = m ! 2O Avec répérilions : plusieurs objets semblables peuvent figurer dans chaque groupe; hombre de permutations de ,>iobjets dont n. P, y, ... semblables, tels que u+/l+y+...=m ,

d.c'.(c

~

ANALYSE COMBINATOIRE.

R'L,P.Y..'

o.(b i c'.d). Fonction d'étatdela branche 3.4 :

+ d.e'.

,

Pm m ! P..Pp.P ,... a ! P l y!.,.'

Exemple : 4! m = 4 , @ = 2 ,8 = 2 ; R > ' = - = 6 . 2!2!

Fonction totale : a'

j(x, p) = a.(b

+ c'.d) + d.c'(c ia ' ) .

En supprimant les parentheses on a : a.b

+ a.c'.d

<. .

b a b

b u o b

a b b n

b b a o

o

Arrangements de m objets p à p = nombre de groupes de p objets différents que I'on peut former avec m objets différents en tenant compte de I'ordre :

+ a.c'.d

i d.e'.a'.

Mettons d.c' en facteur dans les 2 derniers termes : a Or j(x.y) = u.b d.c'(o 4 a ' ] .

+

b a b a

-i

+d.c'.e i d . c ' . a ' .

Le traisikme terne disparait car c'.e = O /(><.y) = a.b

,n a b b

.

A; = m(n1

+ o' = l .

m! - 1) ... (nt - p + 1) = (m - P) !

(Si p = m. on a A: = Pm = ns !)

Combiaalsons de m objets p à p = nombre de groupes de p objets différents qu'on peut former avec m objets sans tenir compte de l'ordre. 1,

:

,,,'8,

8,.

I o Sans répétitions :

C :

=

8

(x

+

xm

cn,,fl-l + ~

;

~

2

~

-

+ - ... 2 +

c;-l

,m.,

x

+ a'

A: m! P o -- P ! ( ~ - P ) !

.

.

Le nombre des termes est (m

que l'on peut encore mettre sous la forme

K: =

S i n = b = c ... = 1, on a la formule du bindme de Newton

+ 1).

.

Si x = a = l = ; . l + C : + C ; + . . . + c : = 2 "

( p + l ) ( p + 2) ...@+ m - 1) (", 1) !

-

x=-a=i-i+c~+c:+...=c:+c~+c;+...=2~-~

Répétition signifie ici que I'ompeut faire entrer dans le même groupe plusieurs fois le même objet (ou la même lettre) sans cependant que le total des objets di@-. rcnis dépasse m.

PROPRIÉT~S DES

, _ 4.5.6

:K,--=

c:=4

Exemple

COMBINAISONS

3 !

20.

:

Sans répdiitions : C i = Cn-' ,

c:

=

ci.,

+ CL:,

c:

=

cc,:'

+ ci:

+ ... + cg-' + ct-'I P-

t ! ' S

>/f

Avec rdpétitions : K i = K i - , KP = R

IF,

II,11 1!

1: il

+ K:"

~ ' - 1+ K P - 1 I

= C:,,., +

,

... + KPF' + ~ t"1 - l ni-,

Formule du binôme et formules dérivées. (x

+ a ) ( x + b) ...(x

-%

Fonctions symétriques des racines.

aLec :

,il,

+ ne + ... + br + bd + :.. + cd + ... = obe + obd + acd + bcd + ....

S2 = ab

S,

f(x)

%

a, x"

+ a , x".' + ... + a. = O ,

n, représente la somme des produits p à p des racines, S , la somme des puissancesp de celles-ci.

s,=o+b,+e+...+r,

;

.

+ 1) = xn + S , x m - ' + S>X"'-~ + ... + SpxR-0 + ..< + S m ,

,

=

a -2 ,,, 00

s

. -, 00

.... a,

.

(- 1)"

a a~'""

O

a. - (- I r - .

"-

00

ARITHM~IQIJE. A L G ~ B R ER

TR~GONOM~TR~E

17

Equations réciproques.

-

JIXI avec f ( l 1 f(x)

a,

se transforme par

\ri,

S.,,

+ a , s,+,_, + ... + a.sr

Pour le calcul dcs sommes S@ ,

1

y=;;-0.y"

y"-'

x2P

+ ... + aq x2p-* + .., + a

y =x

+ ... +

XII

1.1

;v 3.j

.;

aux inverses.

+ ... + ~ ay, + a.

=

Voir au chapitre Détermi~antset Matrices, le paragraphe « Systèmes linéaires », p. 26.

0,

U # P ,

:

xg = (S; - S*.] ,

Io A = b2 - 4 ac > O : 2 racines réelles

Si b est pair, b = 2 6' : Résultant de 2 équations (résultat de l'élimination de .r)

+ bx + e = O et a'x' + b' r + c' = O : R = (oc' - ca')' - (ab' - ba') (bc' - cb'] .

-

Resultant de oxp + b.~" + e = O et a' x p

R

(ea' - ad)" - (ab' -

... + 0 ,

Equations du premier degré.

ax2+bx+e=0.

Résultant de ox'

+

+ -x1 '

Equations du dcuxi&medegré.

;rx;~~=S.s,-S.+~,

,xs

=O.

iO), prendre l'équation

+ a,.,

# O, f ( - 1 ) # O :

+ b' + c' = O ( p > y) .yq

(bc'

2' Si d = b' :

- 4&

= 0, I racine double :

si R = O , au moins 1 racine commune; ' R < O , les 2 6quations ont leurs racines réelles et entrecroisées ; R > O. racines ou bien imaginaires, ou réelles mais non entrecroisées.

-b;

3' Si A = bz - 4 ac c 0, 2 raciies imaginaires :

- "6')" .

Pour I'équation du deuxième degré :

=

RELA~ONS ENTRE W ~ W E N TET S RACINES :

2a

m

A R I T H & T I Qm~é~s. n e

Signe du trinôme :

b + r" = - . e a. P = x' x" = - . . a

Somme des racines : S = x' Produit des racines :

'Différence des racines : D = x' - x" =

b'

7, b'

4 ae

x'

+y

- 4 ne < O ,

b1-4ac=0,

y toujours du signe de a ; y

> x"

b'

-

-

,sauf pour x

= -

b -

2O

- 4 oc > 10 ,

y du signe de a s a c s i x inririeur aux racines

Condifions de classement #un nombre u par rapport aux racines de l'équation axZ b x e ; 2 racines, x' > x".

+

= S, x et y sont racines de :

+

Classement impod

'Condition nécessaire et suffisante pour obtenir ce classement

X" < a < x'

af(d < O

Avec x - y = D( x et (- y) sont racines de :

X2-DX-P=O

u C x" < x',

CONSTRUCT~ON c É o ~ É r n q u e: connaissant S e t P.

-

pour lequel y = O ;

DÉTERMINATIONDE 2 NOMBRES x m y , dont on connaît la somme S et le produit P, ou la différence D et le produit P.

Avec x

19

TRIGONOMÉIRIE

A>O, af(a)>O, S

Connaissant D et P. X"

< x' < a

A

> O , af(a)> O ,

S -
Conditions de classement de 2 nombres u < B, par rapport aux racines x" < x' d'une équation du deuxieme degré. Classement impod

. ..

X" (L

On en déduit 2 théorèmes :

a) Le produit de 2 nombres réels variables, dont la somme est constante, est maximal lorsque ces 2 nombres sont égaux. 6) La somme de 2 nombres positifs, dont le produit est constant, est minimale lorsque ces 2 nombres sont égaux.

c a < X' <.p

< x*, < ,9 c

XI'

Condition nécessaire et suffisante pour obtenir ce classement

a f (a) < 0 ,

af (fi) > O

?fi.) > 0 ,

a f (8) < 0

L'un quelcon'q"e des 2 classements ci-dessus x" < u < p < X' u c x"

< x"< p

f (4.f (0)< 0 af(a)O,

af(P)
af(u)>O,

S 2

->u

S

T
af(p)>O

Les 3 racines sont alors : Equations du troisième degré.

/

x3++x2+bx+c=0.

(1)

, ~ S O L W I I O NALG~BRIQLIB. -En posant x = y

- -a , on obtient

Y , = - 2&sh$,

:

3

(2)

y%py+q=O,

avec p = b - -

(2)' Y t

Formons R = -

+ -

ou 4p3

a2

3

et

2 a' 4=--27

06

3"

Y3

=&shE-

3

iJjPch9. 3

2e cas :p < 0.

+ 27 9'.

u) p3

+ 9'

> O. On pose

p) p3

+ 9'

< O. On pose

Les racines de (2) sont :

u et u étant les expressions

a, et a, étant les racines cubiques de l'unité :

Si R > O, uneseule racine réelle :

cos rp =

On a

-

3q Si R = 0, 1 racine double = -et une simple = 3 9 2P P Si R < 0, 3 racines réelles qui, quoique réelles, se Présentent sous forme imaginaire (somme de 2 imaginaires conjugués) (voir tésolution trigonométrique).

R$.SOLUTION T ~ I ~ ~ N O M ~ T R-Par I Q U Ela. transformation x = y l'équation à la forme y' + 3py + 2 q = 0. CI

le' cas.: p > O. Posons sh yi = -.

PJP

-a,3

on amène

.1

)

9

- PG

y, = - 2,!5cos-,

y> = 2

Equation du quatrième de&

=21.w(y).

6 cos

3

(y) ,

22

FORMULAIRE DE MAMMAnQUES

+

+

ry2 + sy f = O, On calcule l'équation du troisiéme degré y' coefficients sont r = - b, s = ac - 4 d, r = d(4 b - oz) - c2. Soit y la plus grande racine réelle de l'équation en y. On calcule

dont les

Soit le tableau : 1 2 3 4

Ï

1 n b c d 2 c f g h 3 k 1 rnp 4 q r s r et soit le terme g. r .

Signe du terme = .

.

e = - i

si

d. k.

-.

2

1 + 2 = 3 inversions + 1 + I = 4 inversions

y - e < ~ .

P~OPRIETÉS DB DETERMINANIS : Io Nombre de termes = n ! 20 Un déterminant ne change pas de valeur quand on permute lignes et colonnes (autrement dit quand on le fait tourner autour de sa diagonale principale). 30 Quand onéchange 2 lignes (ou 2 colonnes) il change de signe. 40 Quand il a 2 lignes (ou 2 colonnes) identiques ou proportionnelles, s i valeur est 0. 50 Quand on multiplie tous les éléments d'une ligne (on d'une colonne) par un même nombre, le déterminant (sa valeur) est multiplié par ce nombre. 60 Quand on ajoute aux éléments d'une ligne (ou d'une colonne) les éléments d'autres l i e e s (ou colonnes) multipliés par un nombre quelconque (le même nombre pour une ligne ou une colonne) le déterminant ne change pas. 70 Développement d'un déterminant D selon les éléments de la ligne a :

Les racines de l'équation du quatrième degré sont racines des 2 trinômes : x2+px+q=o> x2+p,x+q,.=0.

DÉTERMINANTS SYSTÈMES LINÉAIRES ET MATRICES

D D É r l ~ t n o -Tableau ~. de 'n éléments rangés en carré. La valeur du déterminant est la somme algébrique . . des produits distincts obtenus en prenant comme facteurs, un élément et un seul de chaque ligne et de chaque colonne, tout produit itant prG&dé du signe T ou du signe - suivant quc les permutations des lignes et des colonnes qui lui correspondent sont ou ne sont pas de la même parité Deux nombres entiers appartenant une permutation forment une inversion lorsque le plus grand des deux précéde l'autre dans la suite. Exemple : la suite 6-9-4-1-5-11-3 présente 4 sions.

+ 4 + 2 + 1 + 1 = 12 inver-

--

= (- l)"+' $; A ; < + (- I r t 2 a; A;

*

+ ...+ (- I)"+DaE D A'8 '

.

a; représentant tous;les termes de la ligne a et A," le déterminant d'ordre (n - 1)

obtenu en supprimant la ligne ol et la colonne B. Même procédé pour une colonne. Si dans un déterminant, les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) sont des polynômes de j termes, le déterminant est la somme de p déterminants que l'on obtient en remplaçant successivement cette rangée par celles qui sont formées par les termes de rang 1, 2, 3, ..., p de ces polynômes. 90 On ne chanee oas la valeur d'un déterminant d'ordre n. en fui adioienant . au-dessus une ligne camposee de I et den rcros el en avant, une colonne de termes quelconques de façon a former ainsi un détcrminant d'ordre (n T 1).

- .

u
D'où (ab'

DémnMiNIiNr ADJOINT. - C'est le déterminant.: 0 : 0:

...

0: 0:

......

PRODUIT DE 2

...

0;

DÉTERMINANTS

D'ORDRE n : A x

...

b: b:

a.'

0:

a:

a:

.........

b: X

a;

......

a:

- bar)' = (a2 + b2) (a" + b'7 - (aa' + bb')'.

DPlermtnont diagonal. -Tous les termes d'un même côté de la diagonale principale sont des O (sans que cette diagonale principale campone elle-même un terme nul, sans quoi le d6terminant serait nul)

- D " - ~, avec Dp = (- i).+P A ; .

0;

25

DA

.

A=

n
...

b:

.........

... CA

c:

c:

c:

.........

c;

...... <

-

.

b;

B =C

......

b:

Ddlerminoni de Van der Monde. - Déterminant de la forme :

Dans le déterminant C, Ir termi: C$ est la somme dcs produiis des éIém:nis de par les L:lr:mcnrsde la y-iCme ligne de B. Peut èlre obtenu de dans chaque déterminant, lignes et colonnes : 4 maniéres in 13 0-iéme l i ~ n ede A

Exemple : Soit

D d t e r m i y r nntisymdrrique. - Diagonale principale composée de zéros. Les termes symétriques par rapport à cette diagonale principale égawr et de signes contraires :

Si l'on remplace le second déterminant par son transposé, on a :

A =

.'0

b c

-b

O e

-c .'

- e

est nul si d'ordre impair.

O

Applicatioit. Identiré de Logronge.

1.1, :, [ =l : ,

:,lx 11,

a'

+ b'

:,l=laa,+bb,

aa'

+ bb'

o?2+b#2

1

DLruvéE D'UN DÉ~E~M~NANT dont les éléments sont fonctions de x. La dbrivéc wt la somme des déterminants obtenus en dtrivanr successivement chaque ligne (ou colonne) sans changer les autres lignes.

A R I ~ ~ ~ ~ QALG~BRE U E . ET TRIGONOM~TRIE

l

Soit le systhme

i

a:x, a: x ,

+ a : x , + -.+ + a$ x, + ... +

=b,, O:

x. = b, ,

. . . . . . . . . . , , , . . .

ayx,

+ a;lx, + .-+ a r x .

27

+ ... + a' x. = b , n: x , + ... + xm= b2 ...................... avec m # ou m = n . Si m = n, on a une matrice carrée. a7 x , + ... + or x. = b. a: x ,

O:

ii

Si on écrit les coefficients sous la forme :

= b..

10 rr) m = n et D, déterminant des coefficients a # O. I solution, donnée par la règlcde Cramer : x, a pour valeur une fraction dont le dénominateur est D et le numérateur, D dans lequel on a remplacé la colonne i par la colonne des b. Si la colonne des b = O, on a un système homogène, dont la seule solution, si D # 0, est x, = x, ... = x. = 0. 8) m = n et D = O. Les inconnues s'expriment en fonction de l'une d'elles. Infinité de solutions dépendant d'un paramètre.

on a A X = B, équation matricielle.

20 m < n. Il y a au moins un déterminant d'ordre m tiré des équations, # O. On peut donner à (n - m) inconnues des valeurs arbitraires et les m inconnues s'expriment en fonction de ces (n - mJvaleurs.,II y a une infinité de solutions.

Regles d'ophration sur les matriees.

30 m > n. II y a au moins un déteminant d'ordre n tiré des équations, + 0. Pour vérifier que lesautres équations sontcompatibles, on borde ledéterminant # 0, à droite par les termes b ; en bas, par les coefficients de l'équation (n 1) : il faut que ce déterminant soit nul. Autre forme de la condition de compatibilité : il faut que la somme des produits respectifs des b par les solutions non nulles de I'équation homoghne transposée, = O (c'est-à-dire que le produit scalaire des 2 vecteurs soit nul).

+

I o Addilion : c = a b. Matrices ayant même nombre de lignes et de colonnes. Le terme général de c est cj = a! bj' (autrement dit, addition terme à terme).

+

+

2 O Multiplication par un scalaire. On multiplie fous les termes de la matrice par ce scalaire.

,

3' ~ulriplicofionde ??atrices

: A (m lignes, n colonnes) B (n lignes, m colonnes).

Terme général de C = A.B.

c: =

li=n

MATRICES.

,

Une matrice est un tableau dechiffres ou de données dont la manipulation obéit à certaines règles. A ce titre c'est un outil de transformation c'est-à-dire un opérateur. " , L'exemple le pluscourant de matrice est le tableau de coefficients d'un système linéaire de m équations linéaires à n inconnues.

,

x=

0: X

bl

l

Remorque très importante. -Ne pas intervertir l'ordre des matrices : A. B # B.A 40

det C = det A x det B

d'où : det A" = (det A)".

si matrices carrées;

Définitions et propriét6s. z) Motrice unite. Composée de O, sauf la diagonale principale, composée de 1 :

30 Le produit d'une matrice par son inverse est commutatif : AA'' = A-' A = I La transposée de l'inverse est l'inverse de la transposée : (A-')' = (A')-'

.

40

Matrices diagonales. Tous les termes sont nuls sauf ceux de la diagonale principale.

Produit

Inverse

Propriété : AI = ZA = A

fi)

o o c

Transposée A' de A. C:est la matrice dont les colonnes sont les lignes de A et inversement.

y ) Matrice inverse #une motrice eorrée. C'est une matrice A - ' A - ' A = 1.

telle que

O

l/e

Puissances

Calcul de I'inverse. C'est la matrice transposée de A dans laquelle les termes ont été remplacés par les termes correspondants du déterminant adjoint.

6) Motrice singuliere : Matrice carrée dont le déterminant = 0. Matrice régulibre : - - - - Z o. Matrice dont tous les termes sont nuls. La multiplication (pré ou post) d'une matrice régulibre par la matrice O, donne toujours la matrice O. L'inverse n'est pas vrai :le produit de 2 matrices non nulles, peut être nul si les matrices sont singulières. 8)

CmnÉPS

:

- Matrice --

ü dont les éléments sont conjugués des

a=o

Matrice nulle.

P n o o u l ~DE MATRICPS Io

a) Matrice conjuguée.

correspondants de o

ba

=

5.2

Si a = 2 , a est réel. La conjuguée de l'inverse est l'inverse de la conjuguée :

fi)

Transposée d'un produit = produit interverti des transposées

Matrice associée. -C'est

-.

(z) =

($1.

la conjuguée de la transposée de n O* = a'.

Valeurs caractéristiques on valeurs propres,

20 lnveise d'un produit = produit interverti des inverses :

Ce sont les racines de l'équation caractéristique :

- ai - a: . . . . o; - a: i- nt . . . . a. ......................... -.a; - a; ... ?, .a:

A

S'étend

A un nombre quelconque de matrices :

= O,

avec A =

.

.

a;

a;

...

32

r o ~ ~ u u r nDEa MATH~ATIQUES

La matrice A a pour équation Matrice A =

MAT RI^ DB BASE. - C'est le produit d, g; d'un mode B droite par le mode B gauche transposé correspondant B la même valeur de 1,. propridtds. - 10 Ce sont des matrices singulières (déterminant nul). 20 Le produit de 2 matrices de base correspondant à des valeurs caractéristiques différentes est nul. 30 Toutes les puissances des matrices de base sont égales entre elles et égales à la matrice de base. 40 Une matrice carrée e& égale B la somme de ses matrices de base, multipliées respectivement par les valeurs caractéristiques qui leur correspondent. 5 0 Toutes les puissances d'une matrice A s'expriment en fonction linéaire des matrices de base, les coefficients étant les puissances des valeurs caractéristiques de A. Si :

A =CiiB,.

A" = ~ i ; s ; . 60 Expression des matrices de base en fonction de la matrice génératrice A.

... - 0"

O O O

B est la mahice fornée avec Ics modes A droite normalisés. C est une matrice diagonale formée avec les valeurs 1,de A. La diagonalisation n'est en principe possible quesi les racines 1de A(d) = O sont toutes distinctes. Si toutefois, on peut trouver pour une racine d'ordre n, n vecteurs inddpendants lui correspondant, on peut diagonaliser. ,

caractéristique le polynôme.

S k E DE MATRICES OU SÉIUFS UE NEUMANN :

E

Série dont les termes sont des matrices carrées : la somme de la série est une matrice dont les termes sont les séries sommes des termes correspondants de chaque matrice terne. Si ces séries sont convergentes, la matrice somme est convergente.

+ ... + A" a" + ..., avec 1Z des valeurs caractéristiques den. Est convergente et égale ( I - h)lorsque 1 d 1 est inîérieur B l'inverse de la

Série S = 1 + l a

plus grande valeur caractéristique de o.

DBrivation des matrices. Les termes d'une matrice peuvent être fonctions d'une variable r. La matrice dérivée sera par définition, la matrice formée des dérivées des termes. Dérivée d'une somme de matrices = somme des matrices dérivées. Dérivée d'un produit ab :

d(n6) db da = a - + -b dt dt dt

'

(Nepos intervertir iesproduits.) le terme en 1,ne figurant ni au numérateur ni au dénominateur (formule de Sylvester). polynBmes, dries et fonctions de matrices carrées. Polynôme de motrice : g(o) = a"

+ m, a"-' + ... + m. o = matrice carrée.

La matrice g(a) a pour valeurs caractéristiques g(1,), les A, étant les valeurs caractéristiques de a. 20 Une matrice carrée est racine de son équation caractéristique. Si A(d) = O est I'équation caractéristique de la matrice a, on a A(=) = O, (thdoreme de CayleyHamilton). Io

30 Matrice ayant pour valeurs caractéristiques les racines d'un polynôme Soit = O polynôme en x de degré n.

.+ + a, Y-' + ... + a.

Dérivée de a' :

da' da = -o + o dl dt

Matrices particulières.

;

A

I. MATRICES S Y ~ I Q~ Matrices . dont les termes symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux. Propridtés : a = a'. La transposée de la matrice des modes B droite est égale B son inverse :

Diagonalisation : 1= d'ad et o = &'. Puissances : Ce sont encore des matrices symétriques

1;

, ;

PORMES QUADRATIQUES.

1

i.

!,

,;

!i

! . 1, '

I

!;

' !

,

-Toute

F = a , x : +a,x: + a , x : + 2 a ~ x , x , + 2 a , x , x 3

8

III. MATRICESSTocshsnQuES ou matrices de probabilités.

forme quadratique :

+ 2a6x2.~,.

il,

<

1.

,,

I'

i/

i

1, '

1:

on a :

1

1 , :1

l o Toutes les puissances des matrices stochastiques sont des matrices stochastiques. 2O La prémultiplication d'un vecteur stochastique par une matrice stochastique donne encore un vecteur stochastique. 30 L'équation caractéristique d'une matrice stochastique a au moins une racine = 1. 40 Les racines autres que 1 de l'équation caractéristique d'une matrice stochastique sont : a) toujours < 1 si elles sont réellgs : b) de module inférieur ou égal à '1 si elles sont comolexes. 50 Quand le module des racines complexes de l'équation caractéristique est égal à 1, ce sont les racines de l'unité.

FONCTIONS USUELLES SIMPLES

.

Fonctions circulaires.

I

+ rr) = - sin x

1

+ rr) = - cosx.

l

y = sin x. Période 2 n,impaire, sin (x ce qui donne une somme de carres (il faut que A soit diagonalisable). Matrices sybétriques résultant de la prémultiplicatioa d'une mavice rectangulaire par sa transposée : le carré du déterminant de la matrice produit est égal à la somme des carrés des déterminants des matrices carrées que I'on peut tirer de la matrice rectangulaire.

i !, l.

< 1 et la somme de chaque colonne ou

peut se mettre sous la forme :

Si I'on remplace A par A = dM'et si on pose

II

Tous les termes sont positifs ou nuls, ligne est égale à 1.

IN

,

II. MATRICESA N T I S ~ I Q U ~ . Matrice dont les termes diagonaux sont nuls et les termes symétriques égaux et de signes contraires. Une matrice antisymétrique d'ordre impair est siuguliere (déterminant = 0). La transposée e t Pinverse d'une matrice antisymétrique sont antisymétriques. d'symétrique s i n pair positif ;. Puissances

o" antisymékque si n impair positif.

y = cosx. Période2n,p?jre,cos(x cos x = sin ( x

+ ):

=

sin

(:

->

cos x 1 y = cot x = -= -. tgx sin x

xio

(; )

cotx=tg

cotx

- - X

Période z, impaire. =-tg

;

(

9

x+-

+ m l f i l l l - 1 0

4

Fonctions eirdaires inverses.

n

y = A r c s i n x ~ x = s i n y , avec - : < y < + , ~ .

2

I I Arcsinx

-- 7

y = arc sin x

= ,

i

7 +?

.

Arc sin x n

O

+ 2 nn

- Arc sin x + 2 nn

3x=siny.

(n entier).

y=ArccosxPx=cosy,

avec O < y < n .

Y+

Arc col x = l

1 n Arctgx+Arctg;=aZ ( ~ = 1, f avec ~ x ' > O l

Fonction puissance y = x".

Fonction exponentielle y = or.

Y =

= eml"'

défini pour x > O

x" défini aussi pour x < O si m est rationnel de la forme m = P

(

I)rn
si a' =

A,a'= =

a-', les graphes de y = o ' e t y = a'" sont symétriques par rapport

à oy.

%

Fonction logarithmique y = log. x.

Fonctions hyperboliques (voir : trigonométrie hyperbolique, p. 53).

Notoiion : log. x est le logarithme à base a de x: Inx - - - e de x, dit logarithme népérien. y = log,x t x = a Y y=Inx

Px=eY.

RELATIONS FONDAMENTALES : log; n = 1 , In e = 1 (e, base des logarithmes népériens = 2,718 28 ..3 log. u" = m log, u , log. uu = log. u In x log. x = log. b x log, x = -. In a log. b

x log, a

= l

+ log.

v

x.

y = ch x

(paire)

-..

.

,

1 = 2,302 59 ... log,, x = M.ln x , M = 0,434 29 ... ; M el"==

.

y = sh x (impaire)

-toshx

O

/ +m

.

.

40

FORMULAIRE DE M A ~ ~ ~ ~ < A T I Q U E S

y = th x (impaire) x 10 thxi0

+m / 1

Fonctions hyperboliques inverses.

"y=~rgshx=~n(x+J;i?-i)#x=shy l,,

,

- ,

CROISSANCE ET LIMITES

. ,

;

Croissance compr6e. '

y = A r g c h x = I n ( x + m ) # x=chy,

1

avec y > O (définie pour x '> 1).

a' -++m

x-

+ m,

x-

+m,

oix" + O

X-

+m,

log.+

x"

( a > l , m>O); ( o < ~ < I ,rn>o);'

....m ...

y = -~rgchx=~n(x-./ZT) # x=chy, avec y C O (définie pour x > 1).

Y'

X"!O&X-.O

*+O,

(m > 0 ) ; (m > 0)

Limites remarquables.

-L+(définie pour - 1 c x < 1) lim ( l j f a)'" = ex ; i- 0

S I G ~ ~ A T IGOÉNO

~ Q U E DES

FONCTIONS

Soit l'hyperbole équilathre x' - y' = 1. x=x,

M,coordonnées :

y

HYPEiBOLlQUES

:

lim (1

+ 01)'"

= [(I

+~

) l l= y ew si

a.0--0

sin x lim - (x exprimé en radians) = 1 ; r-0

X

!-+

B

,,;

Dérivons : 1

a>O;

-;)

X

r-O 0"

lim - = n !

- m. - Soit f(x) - g(x), f et

Forme m

8 - 1 lim --Inn,

I

-

X

( 4 se présente sous la forme -ou m O Regle de l'Hospital. - Si une expressionfg(x) m O pour x = a, on obtient la vraie valeur de l'expression en faisant x = o dans le rapport des dérivées

d(x)

m oX Forme-. - Limite de -quand x -t m. avec n > 1 et m > 0. m xm m. aZ(ln Le rapport desdérivées successives est - jusqu'àlam-%me, quiest - m : m m! l'exponentielle croit plus vite que le nombre. In x Limite de -, avec m > O quand x -t m

-

.

r"

1l x -+ O : le logarithme croît moins vite que le nombre. La dérivée est mP-' On écrit -.f

5-.

1 1 quandx-O:--Inx=-(1-xlnx). X

X

Forme ma. - Soit y = f ( ~ ) ~ ' ' /-+ , m, g + O. On prend le logarithme : In y = g Inf. Forme O x m .

Formes indeterminées. Regle de l'Hospital.

FOI.,IEP O x

m

f

Soit limitede--1nx ir-O

-

9 et on cherche la limite de -et du produit f par

On &rit4 0;

g

1 limite de y = x''l ; In y = -In x

Soit

X

x-"

On est ramené A 11s 0 Limite de x In x quand A -r O.

]If

In x xInx=-. ]lx

m

Donc y -+ 1

O.

Forme 00. - Même méthode. On prend le logarithme. Soit limite de y = x' quand x -t O par valeurs positives Iny=xInx-+O. Forme 1".

- Soit y = f ( ~ ) ~ "f,

+

1,

Donc y - 1 ~7-+

m.

,ln9 = 8 ln f . Forme O x m -c.

Limite de y =

- Soi1 j ( x ) x y(.v). avec f (x) -+ O et g(x) -t m. 0 ou 9 et on est ramené à -. m

-

Iny = x I n -

X.

x

+a

+b

(=y

quand x

x + a In =.b,.

- b) .

-+

m

Regle de I'HoSpital

-

X

In y 4 (O

.

Donc y

-

,

eaTL.

.

NOMBRES COMPLEXES OU IMAGINAIRES DJJîniiion. - Nombres r de la f o m e z = o et i le symbole ou i' = - 1.

m,

+ b i, a et b étant des nombres réels

i2

i =2

=-1,

i4" = 1 ,

e'^

Formes trigonomdtrique et exponeniielle. - En posant :

1

= 2

e-'x

=i

.

i4 = i

= - 1

= e31d2 =

Axe

t!ao=;:

- ,1= - = i-1

r

+ b i, 2'

La multiplication d e l = p eV p a r i soit iz = pe'B.e'zl' = p e"oi"ln équivaui à une rotation de z/Z. La multiplication par - i, soit - iz = p elo. ë'"' = p el'-'/') équivaut à une rotation de - n/Z.

+

= a'

+ b' i :

+ r' = (a + a') + i(b + b')

Diffdrence des imaginaires : z - 2' = (a

1. Trigoaom6ttie plane. RELATIONS ENTF3! LES PONCTIONS

- a') + i (b - 6')

Produit Gimaginaires de la fonne : p, (cos 8.

z = pi

P2

M

+ i sin O,,)

... COS (O,

= p, e ' "

......

+ O, + ... + O")

+ i sin ( 8 , + O, + ... + O.)] = Pi

...

= a r c tg-

,,

,

~.

O:

+

6

a

+ i sin

"

= cos m8

a

n=a+ai

Géométriquement : homothétie rotation. Argument de Z = somme des arguments des r,. Module de Z = produit des modules des z,. FORMULE DE M o i n e :

cos' x

+ sin2 x = 1 ,

1 . 1 + !g= x ADDinON DES mTS\ ' cos2 x =

4

et~ol+s2+...+e.~

(COS0

;

i

p = l a + b i l = ~ = m o d u l e .

Addition des imaginaires r = a

2. =

'

b

O = argument,

réel

a

,pTF'

-1;

-i .

+ f i - 1 + i - e'"l* fi' fi

b sin0 = -=A ,

i4"+3 =

etc. ;

= 1,

1 i ,i=in = -

cos0

=1

i'"+* = - 1 ,

p"+' = i

e-i=12

= -i

+ i sin mO = e'"";

CI

TRIGONOM~QUBS.

sin x tg x = - , COS X

sin2 x =

1

1

-

I COt X = tgx' -

tg2 x

+ cot2 x --1 + tg'

..+ b) = cos o cos b - sin o sin b ,

cos (a

+ sin a sin b , sin (a + b) = sin n cos b + sin b coca ,

cos (a - b) = cos a cos b

sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos o ,

x

cot (a

b-1 + b) = cotCOto.cot b + COt Q '

..

tg3'0=

+

n.cot b 1 - b) = cot cot b - cot Q '

cot (0

+ b + ... + I) = cos a.cos b ... cos /(1 - S, + S, - ...) sin (0 + b + ...+ I) = cos a.cos b ... cos I(S, - S, + S, + -.)

3 tg O - tg3 a 1-3tg2n '

DIVISION DEYARCS :

cos (a

a S, désignant la somme des produits p

A p de tg a, t i b, ..., tg 1.

+ arc cos b = arc cos [ab - J(1 - a') (1 arc sin o + arc sin b = arc sin [ a m +b v arc cos a

arc tg a arc cot

-,

+ arc tg b

--=-

b2)] ]

a +. b = arc tg 1 - ab

- 1 = 1 - 2sin1a

sin na = C,! cos".' a sin a

-

-C

m

sin'

i+igsn

m

"

m

- 1 - tg' a

=

cos"-' o sin3 a

C,! tg n Ci tg" + i,. 1 - c: tg2 n + Ct tg4 o - ... '

o sia' a -

+ ... ,

cosn-4

...,

a , a - sin4 - m

m

...

,

...

EXPRBSSION DES FONCTIONS T R I G O N O ~ QRN~ FONCTION DB LA TANGENTB DB L'ARC MOITd :

cosa =

+ Ct cosn-'

5 + C: m

m

...

m

-

a 2 tg2

1 -,tgp;

.

+ isin a)" = cos no + i sin na , a sin' a

m

m

1

i-tgl;;.

cos".'

m

C i tg 5 - 12: tg3 5 +

+

cos no = cos" a -C:

m

tga =

2 tg a sin 2 o = 2 sin a cos o = 1 tg' a ' 2 tg a tg2a = n

a . a a . a sin a = C i cosm-' -sin - - C i cosm-' - s1n3 - +

m

MULTIPLICATION DES ARCS !2I FORMULE DE MOIVRE.

(COS

1 - cosa sin a '

sino

+ cos a

a cos a = cos'" - - C i cos?-'-!

a+ arc cot b = arccol-.\aba +-b1

cos20 = cos2a - sin'a = 2 c o s 2 a

1

,

srna=-

l + t g ' ?2

1

..

+ tg2 -2

2 tg-n

tga =

+ sin q

-

= 2 sin P + 4

sin p - sin q =i2 sin

2

1 - tg2-

2

... , sin p

2 9

COS-

P-4 2 '

+4 cos P 2 '

DE MA&MATIQUES

PO-

cosp

+ cosq

P+4 = 2cos-cos2

cosp-cosq=

sin (p

- tgq

sin p

sin a 1 - cos a + cos a = sin a '

sin (a+b)-sin (a-b) sin (n+b)+sin (a-b), , sin b.cos a = 2 2 cos (a-b)-ws(a+b), cos (a-b)+cos (a+b)'

'

- cos a -

. tg'- a = 1

2

I+cosa'

1 - tga

+ sin a

( a;b)cOs(;-q)).

+ cos b = 2 sin - + -

sina-cosb=

-2sin

cos a

+ sin b = 2 sin

cos a

- sin b = 2 sin

tg o

sin o.cos b =

a 1 - cos a sin2- = 2 2 '

l+cosa ,

tg - = 2 1

1

cos(a-b)-cos(a+b): 2

- sin (p - q) sin p.sin q

(

(a - b) + cot b = cos cos a.sin b '

b,

4

- b = cos (a+b)+cos (a-b) , wsa.cos 2

sino.sin b =

. (p + q) + cot q = sin sin p.sin q '

FOSl=

o

- q)

= cosp.cosq'

cot p - cot q = a -2

cos (a + b) - cot b = -cos =.sin b '

-2sin-

sin (p q) =cosp.cosq'

'gp+%q

cot p

tg a

+

tgp

P-4 2 '

+

9) ,

tgo -= tg b

sin(a+b)-sin@-b) sin (a+b)+sin (a-b)

'

SOMMES DB SINUS BT DE COSINUS D*ARCS BN sin

PROORESION

cos a = cos b.cos c

ARITHM~TIQUB :

a + sin (a + h) + sin (a + 2 hl + ... + sin fa + (n - 1)hl =

+ sin b sin c cos A ,

cose = c o s a c o s b + s i n n s i n b c o s C . III. Relations parall&les : cos a 1,

cos A = - cos B cos C

+ cos (a + h) + cos (o + 2 h) + ... + cos [a + (n - l)'h] =

cosB = - c o s C c o s A + s i n C s i n A c o s b ,

l

Cos C = - cos A cos B

-

,,.,

sin RELATIONS TRIOONO~I~~~~IQU~F> DANS LE

h

IV. cot a sin b = cos b cos C

TRIANGLE.

+ sin A cot B , cot b sin a = cos a cos C + sin C cot B , cotre sin a = cos a cos B + sin B cot C , cot c sin b = cos b cos A + sin A cot C

D é n ~ l n o ~: s

+ b + c = 2 p = périmhtre du triangle sphérique ABC,

A+B+C=2S, A

+ B + C - n = 2 s = (2 S - n) ;

+ sin C cot A ,

cot b sin e = cos e cos A

Trigonométrie sphérique. a

+ sin A sin B cos e .

cotasinc =cosccosB +sinBcotA,

Voir : géomhtrie du triangle, p. 209.)

RELATIONS

IMPORTAm.

2 E = excés sphérique sin b.sin e COS

. VI.

-2 =

i

sin p.sin @ - a) sin b.sin e '

"

sinB.sin C

sin B.sin C

1i

+ sin B sin C c o s o ,

Relations correspondantes pour B et C

sin B.sin C

sin B.sin C Relations correspondantes pour b et c.

FORMULES FONDAMENTALES

a =-1. -sin sin A

sin b sin B

sine

- sinC'

a b cot-.cet2 2 = sin C

+ COS C

VII. cot &

52

P O ~ ~ < U LDE A J MA&TIQUES RE

VIII. tg!=2

p-b tg5.tgy.tg-.!g- 2

Rayons sphériques R et r du cercle circonscrit et du cercle inscrit à un triangle sphérique :

p-e. 2 .

a . b . c 2sin-sin-sin2 2 2

IX. Formules de Delambre : sin R = . C A + Bcosç.= cos-a + ,b $1" COS 2. 2 2 A+B c a-b C sin -cos - = cos 2 2 COST, cos

A-B.

SI"

A-B. sin 2

. a + b . C Sm 5 ,

c

- = SI" 2

tgR =

sin E sin (A - E)sin (B - E ) sin (C

c . a-b C 2 = sin 2 =OS?.

tgr =

sin (p - a) sin (p - b) sin (p sin p

- E)

- c)

X. Formules de Néper :

a+b tg2 = 1

/ I

1 1

1j.i

1:;

1'

COS

A-B 2

COS

A + BtgT. 2

e

sin A-B a-b 2 e t g =~A +Bt&T '. sin 2

a -b A+B 2 C t g 7=a b.cOt~; COS +

COS

A-B t g 7 = -

XI. 'Iltangles rectangles, C = 742,

I

c =

2

sin a-b 2 C a b.COt~. sin 2

+

Trigonometrie hyprbolique. DÉFINITIONS: 6-e-' eX+e-' s h x = -, c h x = D'où : c h x + s h x = e r ,

ex-e-'

ex+e-=,

ch

sh(-x)= ch' x

chx-sh~=e-~.

-shx,

- sh2 x = 1

.'

ch(-x)=chx, 1

ch2 x = 1 - th' x '

th(-x)=

I

cos B c o s b = - sin A '

P,

sin n sin^==,

=OSA=-

,i 1'

1': !!

1,'

tg b tg c '

tg a t g ~...= sin b

XII. surface d'un triangle sphérique : S=(A+B+C-ir)p2=2ep:

p=rayondelasph&re.

- b) = ch a ch b - sh n sh b , sh (a + b) = sh o ch b + sh b ch a , sh (a - b) = sh a ch b - sh b ch o .

ch (a

-thx

th' x sh2 x = 1 - th2 x '

$h(a+b)=chnchb+shashb, cos A w s a = - ,sin B

1 w t h = ~th x

RELATIONS FONDAMBNTALES.

hyporénuse :

cos e = cos =.cos b = cat A.cot B ,

, t h = - =s-h x

(ch a

+ sh O)"

+ sh na = en',

= ch na

ch na = ch" n

+ C.

ch"-' o sh' a + C: ch"-' a sh4,n

sh no = Ci ch"-' a sh o

'

l

shp

P+4 + s h q = 2sh-ch-, 2

P-4 2

shp

P-4 - s h q = 2sh-ch-, 2

P+4 2

thp+thq=-

!

thp-th¶=-

, 8

, " ,8

j

1

+

+ ...

.

+ ... '

C A th o Ci th3 a C.' th5 a 1 C: th' n C i th4 o ...

+

+

+

, s h b - q) ch p ch q '

ch (a

!

+

a sh3 a

sh b + q) chpchq'

+ b + ... + l) = ch a.ch b ...ch 1 ( 1 + Sa '+ S4 + S6 + - 9 , sh (o + b + ... + I) = ch n.ch b ... ch 1 (S, + S, + S, + -),

.I, , ' 8

th no =

+ Cn ch"-'

+ ... ,

en désignant par S, la somme des produits p à p des quantités th o, th b,

1

+ th2:2

cha = =, l - th2 2

2th: sho=-

l

a

2

,

th==-

- th1-2

2th2

a'

l+thZ5

...,th 1.

MULTIPLICATION DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES. ch2a=ch20+sh'a=2ch2a-

1=2sh2a+I=-

+

1 th2 o 1 - th2 a '

Formule de Moivre : (cos x

elx =-" 2 +

COS X =

+ i sin x)"

cos&= chx,

= cos mx

e,x

sinix = i s h x ,

+ i sin mx = elm

- e-;x 2i ' tgix = i t h x ,

56

É O ~ U I R E DE M A T H ~ M A T ~ Q ~ ~

arc sin x = - i arg sh ix =

- i In (ix + m) ,

a r c c o s x = - i a r g c h x = &iln(x+i-), 1 arc tg x = - i arg t h ~ i ï= -In 2i 1 a r c c o t x = iargcothix =-In2i

1. Senes entiares

RÈGLB DE D ' A ~ B E R(u. T > O).

l+ix 1 -ix' ix - 1 ix+l'

1)

'"+
(Vn > N), 11y a convergence

2)

Un+ l >l U .

(Vn > N), il y a divergence.

l

( 1 < 1 il y a convergence,

arcsinix=iargshx = i I n ( x + ~ ) ,

n

arc cos ix = - i arg,ch ix = - + i In (x 2 -

+ m) ,

termes positifs.

Mais, si U.ti u.

-

1 > 1 il y a divergence, 1 = 1 incertitude.

1 en décroissant, il y a divergence

RÈOLB DE CAUCHY (u. > 0). i I + x arctgix = i a r g t h x =-In2 1-*

1)

Logarithmes des nombres iégoti/s et imaginaires :

21

In (- a) = In a

;/;n S

k <1

(Vn > N) il y a convergence,

(Vn >n N) il y a divergence,

na1;/;

( 1 < 1, il y a convergence, 3) lim ;/;n = 1 1 > 1, il y a divergence,

+ (2 k + 1) i n ,

0-*

Mais, si ;/;n

-

1 = 1, incertitude.

1 en décroissant, il y a divergence

A Ain" (un > O). COMPARAISON

1)

SÉRIES D6jinition.

un--.

2) lim n" un-- O,

oi > 1, il y a convergence, cr $ 1, il y a divergence,

a > 1, il y a convergence,

m-m

Etant donné une suite infinie :

3) lim n" un = m ,

u S 1, il y a divergence

"-m

U , , U 2 S... < U . . I < U . ,

la série dérivant de cette suite est convergente si la somme : un+, -=ri.

S = u , +u,+...+u., ,

.

tend vers une limite finie quand n

-r

l'infini. Sinon elle est divergente. CHosAr.

1

1

+ a.

(Vn > N), il y a convergence, 1) nu, a k > 1 - Mulhdmnt~perdr I'inzhirur

1

60

~ o n m u i n aDE

ARITHM~TIQUE. A L G ~ R Em

MATH~MATIQUES

TRIGONOMF~RIE

--l - 1 + x . + x 2 + . . . + x " + . . . , 1-x

4

In (1

x2- x3 - - + -2 3

+ X) = x

+

... + (-

x? - x3 -2 3

ln (1 - *) = -

1x1 < 1 ,

... + ( -

- -1 - 1 - x + * ' l + x '

...,

X + !"-=2

x

X" + ... l)"+' n . '

1x1 > 1 ,

5..

x > O,

1)"

X2n+ I

+

2n+l

1 x 3 1.3 x' ln(x+-)=x---+-----+=argshx. 2 3 2.4 5

...

+ l)x,+,,,

x3 2 x' tgx=x+-+-+-+-+"' 3 3.5

17 x' 3'.5.7

'

62 x9 3'.5.7.9

+

1.3.5 ... ( Z n - 1) x2"+' + ... 2.4.6 (Zn) Zn 1 '

1.3x5 2.4 5

...

+

1 1.1 1.1.3 1.1.3.5x'+,,, f i = 1 + Z ~ - Z T i i ~ 1 + m ~ 3 - m

2 X' - -23x ~ sin x.sh x = 2! 6!

25 x'O - ... , +IO!

2 2' 2) sinx.chx=x+-x3--xi--x7+-, 3! 5! 7! 2 3!

.

22 5 !

2' 7! 26

cosx.shx=x--x"-x5+-x'--.,

- 1.3.5 x3

'

.

2.4.6

,

1.3.5.7 + +x4 2.4.6.8

- -.. ,

22--c

'

cosx.chx= 1 --x4 4! COtX

1 -=

1 - -1 3

x

+

1.4 - x 3.6

'

. O < 1x1 < n ,

x à O,

1.3.5 ... ( 2 n - 1) x2"+' + ... 2.4.6 ... (Zn) 2 n 1 '

1.3 1 - -1x + -x' 2 2.4

1x1 . 2

...

~rgshx=x---+,---.-+(-1)"

1

IxIGI,

1.3 ... (2.n- l ) x n + . . . 2.4 ( 2 4

1 1.3 -1+-x+-x2+...+ 2 2.4

JI--

==

1.3.5 x' 2.4.6 7

I X' 2~~ X' COt = - - - - -- -- -- '.. x 3 3'.5 3"5.7 3'.5'.7 '

quel que soit m réel

lx3 2 3

1 3x3

n

XZn+l + ... + + ... 2n+l

1 x 3 . 1.3 x5 Arcsinx=x+--+--+-+ 2 3 2.4 5

(:-+-+-+...

X"

m(m - 1) m(m- 1) ... (m- n ( l + ~ ) " = l + m x2 + + ~ ..: + 2! n !

l

l

-1

... - - - ...

x3 xS Arctgx=x--+--...+(3 5 x3 x5 Arg th s = x - + 3 5

+

-

1.4.7 x 3 3.6.9

61

+

Ces développements ne sont valables que pour I x

X

1.4.7.10 4 7.6.9.12

1 < 1.

24

+-xs 8!

1 1 1 +-+=-+x x-rr x+n

--XI'

.12!

1 x-2n

+-,

1 +-+-+x+2n

1 x-3n

1 x+3n

+ '".

,

Nombres de Bernoulli et séries s'y rattachant.

Les nombres de Bernoulli sont les coefficients des termes

du développement

en série de la fonction

Séries s'exprimant en fonction des nombres d'Euler.

. ex-1'

ï2 - =11 + 2 + - +E - + . . . El x4 2! 4! COS x

8, = B, = B, = ... = O (tous les B d'indice impair sont nuls, à l'exception de B,) ,

1 1 B , = - - 2B, 2 --- , B 4 = - 6

.

1 1 B 30, 6 - 4 2 , B 8 =

6!

x3 X~ x1 =~+E,-+E,-+E,-+... 3! 5! 7!

+

Les nombres de Ber?oulli se calculent par la formule B. = (B 1)" dans laquelle les puissances BAsont remplacées dans le second membre par B, à partir de n = 2, ce qui entraîne

E, x6

~

~ - Devsloppemcnt r ~ . en seBe de /(x) =

Posons : J(x) = a.

+ 0, 1 +

On a :(6- 1) f (x) = x, soit :

x2 + ... + 21

& 0.-

Y

n!

/XI<'

et alcd der

2'

.

nombres de Bemou!li,

+ .,

1 5 - -30 ,BIO=~.

Series s'exprimant ou moyen des nombres de Bernoulli. (2 x)' Insinx=Inx-B,-+B,-2.2 !

(2 x ) ~ 4.4!

(2 x ) ~ -+... B6 6 . 6 !

'

D'où formules de hurrcnce : a, - 1 = O ,


Soit B' = (B + 1)" ou B. = (B + 1)". ~ e m i c simpain. CalculonS g(x) = f (x) - o, x = f(x)

Donc :

(Voir note relative au calcul des nombres de Bernoulli).

Nombres d'Euler et &ries s'y rattachant. Les nombres d'Euler sont définis par les formules de récurrence suivantes :

C:"E,-CPE,+CPE,+...+(-l)"E.=l E,=l,

E,=5,

, avec n = 1 , 2 , 3 ,...

E3=61, E4=1385,

E,=50521.

...

o o + , , - + ox ,z- +

2!

x1

3!

+ 52

'

X xex+l ... = A+-=-e'-! 2 2ex-1'

C'est uns fonction paire qui ne change pas quand on change x en Donc, A part!r.de a,, !es termes impairs s o ~ nuls. t En definitive :

- x.

x = l +%~+B,+!&+!&+...q.i<2~ ex- 1 1 21 4! 6!

=;-?+Lc-i<+.''-+... 2 6 2 ! 304! 426!

64

A~ITHM~TIQ ALOBBRE ~E.

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES

Sommes de séries.

Le calcul exact de la somme d'une série convergente ne peut s'eKectuer que dans des cas particuliers : en général on ne pourra calculer ladite somme que par approximations. Nous donnons ci-dessous quelques cas où le calcul exact de la somme de certaines séries est possible.

1

~i TRIGONOMÉIRIE

1

1

+ .y + .y2 + ... + .Y' + ... = - quand .Y < 1 - .Y

SÉRie - = [(a). Fonction de Riemann. u > 1. 'n Valeurs entières de ar.

1

En 'dérivant :

2

+2

. 3+ ~

SÉRIEHARMONIQUE

... +'n(n

' 1

- .SJ' ' 2 - l ) ~ " -+~... = (1 - ,XI'

1+2x+ax2+...+nr-'+...=-

,

(1

'

ALTERNÉE :

+ + - 4 + ... = ln 2 = 0,693 147 (In (1 + .Y) dans laquelle s = 1). 1-4

- Sommations :

En intégrant en r :

Note. -Démonstration

C

= consionle #Eule(.

'SERIEHARMONIQUE (DIVERGENTE). Somme des n premiers termes :

18

formule

x p1 = 2"n" ml

Bi8,,1.

x4 s o i t f ( x ) = L = 1 + B , -x+ E x - +x2- + . B. .. e' - 1 1 2! 4!

soit s(x) = C = constante'd'Euler. B2,= nombres de Bernoulli

de

+e -1

B x = 1

'

B,x2 + B,x' i- .... +21 4!

-eA x-1 + 2 ? 2x eZX = +- 1l - - .

65

66

r n ~ s l n m aDE suiliém*naues

Posons x = 2 iu : g = iu

e'i. +

1

+ s-l"

= iu

2%'U 2+u1 "sot"= I --B,+-B.+-+(21 41 c,,tu

LY-2'(,p P)"2. ! B2, + ...

. 2. - -1 = - fi B, +4iB4u3 ?!

ly-2'.( 2"2'-~ !)1

+-+(-

Ii

Ondémontre (voir sr'rier dç Fouricrjque :

"

u '2+"n ' + u ' - 42 "+ u i ï

1 cotu--=

x

+... = .-a

2

"-1

"-m

=

En dehors des points de discontinuité, elle peut être représentée par une série trigonométrique dite série de Fourier, de la forme suivante :

= " ~ = u c P t U

1 L+"-, u - n n u + n n '

.

/(x) = oO + O ,

2x8

x

+ b, sin x + ... + a. cos nx '+ b. sin n.x + ... ,

dans laquelle les coefficients a et b sont donnés par : 00

1

+" ' f(x) d x , 2%

=-

iR J

+n

4= i l %

-s

+r

-.

/lx) cor nx dx , bn =

-<

/(x) sin nx dx

Sif(x) paire dans (- n, + n), tous les b. = 0. Sif (x) impaire dans (- n, + n), a,, et tous les g = O. D~VELOPPEMENT D'UNE FONCrION PÉRIODIQUE De PéRIOoe T QUELCONQUE.

Donc :

f --, - +-. +

- ~ B , u . + ~ B , u ~ + . . . + ~ -2=p ~ ~ ~ - ~ 2 ~ - ~ ~ 2 , + i i i = 1 u "11 u nn 21 41 (2 P) 1

2 nr Onpose x = - =To c ,

Dé"vonr uns prsmi8ic fois : 2' 2" -2 ' ~ , + - ~ 43 u ' + ~ ~ ~ ' + ( - l ~ - ~ ~ , ( 2 p - I ) u ' J - ~ =: 2!

COS

4!

( 2 ~!)

x i- + - , + "G)? 1

("

" T ) ~ ("

2n T

o=-

2 rc

2n

2 nn

2 rin

j(c)=A,+A,cos-r+B,sin-r+...+A.cos-r+B.sin-r+..., T T T

T

avec :

Faisbnn u = O : 2' -!B,

=

x 7,=iGz1B, "-,

2 - x-.n'n2

1

D

12'

'n =-.

6

Dérivon? 2 fois et faisons u = O :

:!.3.2.8,

=

-2

1 2. -Z7=74jB1n4;

~ o m u i cgeneraie :

2 ;;r -- 2 2(2 p) ! 2.

9,

'

B

*

1

1

1

. 3 ~ 2 '

APPUPA~ONS ET WMPLES

DE D~VELOPPBMENTS.

Développement de O < cos Ax < n, rl quelconque non entier : 'n

Znr=w

1.

1.

Series de Fourier.

Soit f(x) une fonction définie pour - n < x < n. Cette fonction étant supposée intégrable et obéissant dans l'intervalle (- n, + n) aux conditions suivantes dites conditions de Dirichlet : Io la fonction est bornée; 20 elle a un nombre fini de maximums et de minimums ; 30 elle n'est discontinue qu'en un nombre fini de points.

Zcosx

2cos2x A2 - 4

1)"-

2 cos nx A2 - n* +

Y.

Développement de

- n < sin rlx < n

: '

+ ... [-p-1+p-4

2 sin An sin LX = -

sin x 2 sin 2 x -

(- 1)" n sin nx n'

1 1

...

'

- + .'. .

x

pour

-n cx cO :

Développement de la fonction définie par : pour O < x c n .

Fonction paire. Tous les coefficients b. = O :

n 2

= p dans l'intervalle 0, - ;

Intégrons par parties : x = u ;

do = cos nx dx ; n

-

b" =

5'"'

2p cas nu "" sinmdu=-l-nlo

'

=$(l-cosy)

D'où le développement :

4

Si n pair, am= O ; si n impair, an = - - Donc : zn2 '

Intégration et dérivation des &es de Fourier.

+

n) et remplissant dans cet Une fonction f (x) définie dans l'intervalle (- n, intervalle, les conditions de Dirichlet peut être intégrée et dérivée dans cet intervalle, à condition d'opérer séparément dans les intervalles où elle est continue.

Si x = O, on a :

1 l + z +I, + " . +I - + ... = -z1 3 5 (2 n 1)l 8 ' Développement d'une fonction impaire de période 2 I &galeà p(x) dans isinterO, 1, avec p(x) = p sur OBet O sur BA :

+

p(x) = O

pour

'

, -1<x < -l , 2

1 --<x
pour

- = O

1' pour - < x < l . 2

I o Intdgra~ion.- S o i t f ( ~ ) = ~ ~ + o , c o ~ x + b , ~ i n x + ~ ~ ~ + < ~ . c ~ ~ n ~ ~ b ~ ~ i n n x

J,(rldx

=

l

,

b

+L(J r l

-cos.y)+

+-sinn.y n

b - cosns)+-, + *(I

On n'obtient pas, d a n s 6 cas, une série de Fourier en raison de la présence du terme a, x.

- Soit la dérivée ft(x) 'développée en série de Fourier. f ' ( x ) = oh + a; cos s + b; sin x + ... + a; cos n r + b' sin ,?.Y + ... Calculons les coefficients 06, ...,a., b: :

20 De+ivalion.

&a

+ %sinx

Si l'on tient compte des discontinuit6s de f(x) dans I'intervallc (- n,

+ n), on a

Note. -Démonstration de 1s formule

c o t u - -1i . " . +2" "~ + + . " + ~ . 2 "

2"

"

p étant le nombre de discontinuités dans (- n,

+ n)

Partons de I'expresion &cos iIx, dCvcloppk en d"c de Foufier dans I'intemdlls O n.

so=f(n-0)-J(-n+O), si = f ( %

+ O) -](XI

-O),

Faisons x = n. On a :

c'est-idire les sauts'de la fonction aux points x,. De meme :

-

So

s, cos ".Y,

1'

1

Faisons maintenant An

3

U, 1 = U/Z :

+

bl = - -CS, sin nx, - no. .,

[A

1

cosU=~+"gnu

Ces fonnules permettent de former le développement d'une fonction non Continue en partant de sa dhnvée, dans le cas oh ceta dernière est continue. Exemple. -Fonction

égale

- 1 dans l'intervalle - n, O ; +1 - - O, n.

La dbnvée de cette fonction est nulle et tous les coefficients O;, a;, b: sont nuls s, = 2. Une seule discontinuité pour x = O, pour laquelle s, = 2. On a donc O = - na., soit an = 0,

Faisant x = n/2 par exemple, f

Divisons par sin u

(2)

:

l

cOtY=-+-

1

U-z

Y

1

u-nn

Y+I

1 u+nn+""

Pmduitr i&s. sin x x x x = COS-.cos-.cos-.COSx 2 4 8

x 16"'

=1:

chx=

(

4

l +7

")(sl + %4") ... '+

72

FORMULAIRE DE UA~~ÉM*TIQUES

Formule de Stirüng :

CHAPITRE 2 avec 8,

+O

quand n + m

ANALYSE (1)

DÉnivé~ : Limite du rapport de i'accroissement Ay de la fonctipn y =/(x) à i'accroissement de la variable dï :

. AY Limite - = y, = ,yx) = Ax dx

9

Avec la notation y' = dy dx ' on a dy = y' dx = f'(x) dx. dx = différentielle de x, y = différentielle de y. Géométriquement, la dérivée est la tangente trigonométrique de l'angle que fait la tangente géométrique à la courbe représentative, avec la direction de I'axe des x : y' = tg or. D~FFÉRENT~ELL~. - ~o'nctiony = f(x) et sa dérivée au point d'absC&ex, y' =f'(x). La différentielle dy de cette fonction est le produit de f ' ( ~ ) par un accroissement h de la variable dy = f'(x) h. Comme la différentielledela fonction/(x) = x estdx = 1 x h, on a h = dx et on.écrit dy = f'(x) dx. Géombtriqnement : dy = HM".

75

ANALYSE

i

RPgla de dérivation et de düïérenliation.

1

u, v, w,

... sont des fonctions de la variable x. Dérivées :

Fonctions :

Différentielles : Dérivh.

u'

u+v+w

uu

Y'

"du

UV'

U

y =

du

vu' v1

-U

",

... Dq

ff.

VI

m m - ' u'

-

Y

2

01

du

zJu

7

+ vu' u'-'

'u v' In u

Dérivées :

mff-'du

e' du

U' eV

uY

'

- udv

ut

u'

e"

I

Fonctions :

dy=Cd--#l

ut

J;

DPS FONCTIONS USUELLES SIMPLES.

Y=

,L=x3-c!i Y

DÉRivLns

+ d u + dw udv + "du

+ v' + w' UV' + u' v

u'lnudv

+ uY-'"du

1 x In a

-1 X

- sin x sin x DBRiVéES ET D 1 ~ E N T l B L L P SDES PONCTIONS DE FONCTIONS : y = f(u),

u = g(x)

r ( ~= ) T(U).~'(X), Noie.

*

tg r.

Y =f b h ) l = F(4,

dy = F(X) dx = y(u) du

.

.

cos x (Xen radians) L o u l+tgfx cosz X (x en radians)

--

l ou - (1 + COI' x) sin' x (x en radians)

- Calclcul de 1s d k v k do y = uo

10 Fonction composk y = f ( u , u) :

y x - ~ < + ~ s d . .+I.=uuq-'. y' = ouo-' u'

,

(x en radians)

+ uvv'Inu.

I:=u'Inu:

Arc sin x

76

PORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

Fonctions :

l

77

ANALYSE

Dérivées :

Dérivées n-ièmes :

Fonctions :

Arc cos x Arc tg x Arc cot x

sin x

ch x

l

sh x

,

(-

ly-L

(1

+ x)"

Formule de Leibniz : u et u fonctions de x,

th x coth x

Déni&

arg sh x = In (x

+

m)

arg ch x = In (x

+

m)

Dérivée du logarithme de la fonction y = f (x). Soit r = l n y = i n f ( x ) , =

?cY

(derivée d'une fonction de fonction).

DÉnlvÉE D'UNE FONCTION IMPLICITE :f (x, y ) = 0. Dérivée de y considérée comme fonction de x : y' =

1 l + x argthx = -In2 1-x

-'Y= ,, fx', f; dérivées ,Y

partielles de f gar rapport à x et y.

1 x + l argcothx =-In2 x-1

DÉnivÉE D'UNE

~ O ~ C ~ l COMPOSÉE olti

"

: y =f(u,

U,

w). U, U, w étant fonctions de x.

y'=j"u:+~:v:+ji.w:.

EonMuLs DES ACCROISSEMENTS FINIS.

DÉnivh D'onDna n. Fonctions :

$OG*RITHMIQUE.

l

f (b) - f (4 = (b - a)f'ic)

Dérivées n-ièmes : ou

f(o+h)=f(a)+hf'(a+Bh)

Hypothèses : f continue pour x a [a, b] , ou

c E la, b[ , 0<8<1. [O,

a

f dérivable pour x € ] a , b[ , ou ]a, a

+ hl

;

+ h[ .

79

ANALYSE

STleLTJFS : considéions une fonctiqn f (x) dans l'intervalle (a, b) et une fonction cr(x). Considérons encore une subdivision a = x,, x,, ...,x,, x,,,, ...,x.-,, x. = b de I'intervalle et formons la somme S de toutesles quantités telles que 3O

INTfJGRALE DE

Soit f (x) une fonction réelle, définie et borne% sur le regment (ab) et une subdivision de ce segment en n segments partiels tels que

Si 5, est un nombre arbitraire du segment (x,, x,,,), avec x, < 5, < x,+,, on dit quef(x) est intégrable au sens de Riemann sur (ab) si la somme :

1 (x,+ - xp)f(Sp)= ( X I - a)f(St) + ... + (xPtl.P-O

~ ~ ) f (+5 ... ~+ ) (b

,

5."

f(x)dx.

20 I N I ~ D R A L ECURYILIONE. - Si on se donne une fonction y = f(x) et une autre fonction F(x, y) continue par rapport aux variables x et y, on dit que

i:flx,

y) dx est une intégrale cuwiligie le long de la courbe C[y = f(x)].

,) - a(x.ll, .

.

,

x, étant une quantité arbitraire comprise entre x, et x,,,. Supposons que cette somme S tende vers une limite finie I lorsque n augmente indéfiniment, le plus grand des intervalles (x,, x,+,) tendant vers O. On dit alors que la fonctionf(x) est intégrable au sens de Stieljes, avec la fonction déterminante a(x), et I'on écrit :

i:

1=

-~Jf(k)

tend vers une limite I quel que soit le choix des 5, lorsquc le nombre des segments partiels augmente indéfiniment, le plus grand d'ento eux tendant vers O. Cette limite I est l'intégrale de f(x) et s'écrit: I=

f ( x 3 [cix,.+

f (x) d[a(x)l.

On démontre que l'intégrale I existe si la fonctionf(x) est continue et si la fonction u(x) est à variation bornée. En particulier, si de plus u(x) est continue, I'intégrale I s e ramène à 2 intégrales ordinaires de fonctions continues. Si u(x) n'est pas continue, on peut la considérer comme la somme d'une fonction continue et d'une fonction discontinue qui est constante entre ses discontinuités. Cette dernière fonction donne naissance dans l'intégration une.série dont les termes sont obtenus en multipliant le saut de la fonction en un point de discoitinuité par la valeur de f(x) en ce point. 40 INT~JGRALECONSID~RÉEcorne F D N C ~ O ND e

SA LIMITE SUP~RIEURE.

Si f(x) est une fonction intégrable sur le segment (ab), la fonction

On écrit : a pour dérivéef (x) sur ce segment. Si C est définie paramé(nquement, on est amené considérer les intégrales curvilignes du type

i .

O)

Jcmy)dx+~(x.Y)dY.

'

qu'on ramène A une intégtale simple de la forme :

Si les limites a et b ne dépendent pas de la variable r :

80

FORMULAIRE DE I~ATH~MATIQuKS

81

ANALYSE

METHODES DE CALCUL DES INTEGRALES.

Fonctions :

1

Intégrales :

S

1. Changement de variables. - Soit /(x) dx.

~ r g c h x +C

On pose x = q(t) ou t = $(x), $(x) étant une fonction appropriée de x. On a dx =
Arg sh 5 a

e"

/(x) dx = lf[
ex+ C a'

a=

II. Inrdgrorion par ponie.r.

J

U

du = uv

- J u du,

u et u étant des fonctions de .Y.

+C

-+C In a

+C

COS X

sin x

sin x

- cos x tgx

INTÉGRALES INDÉFINIES. Integrales usuelles simples.

+C

+C

- cot x + C

Ces intégrales ne sont définies qu'à une constante quelconque pres.

1

?(x - sinx.cosx) Fonctions :

Intégrales : xm

X"

+

,

(m+l+O)

-+C m + l

I -

InIxl+C

X

I

(X

COt X

In / sin x

-

In tg-

1

.

..

tg2 x

J."-r;.

X

Arc sin -

+ C,

ou

- Arc cos X-a + C

1

+C

I il+

sin x

1

+ sin x.cos x) + C

- InIcosxj + C

tg x

COS X

lnItg(z+;)

-

tgx - x

shx+C

sh x

chx

+C

1 -

thx

+C

1 sh2 x

C

l+

+C

ch x

ch' x

+C

-- 1 + C th x

c

83

ANALYSE

Fonctions :

Intégrales :

sh' x

t(-x+shx.chx)+~

P(x) s'écrit u) Racines simples :A

Q
+ B, + bx + e.+

A2 x

A, x

+ B,

+

+ b , x + c, On met les dénominateurs sous la forme u' + a', et l'on ax'

,,,

a, x2

a des intégrales de la

forme

1 shx

. 2 Arc th (e3

+C

x - thx+ C

Intégrale de la forme I = Onposeu' + a z = u. D ' o h Z u d u = d v .

I =,

Procéd6s de calcul des intégrdes de certaines expressions.

-;

- Intégrale de la forme

P et Q étant 2 polynômes (degré P < degré Q) (s'il n'en était pas ainsi, il n'y aurait qu'à effectuer la division et le reste se présenterait sous cette forme). Décomposition en fractions rationnelles.

u) Racinessimples.

P - On met sous la forme

1

B x-b

x - e

du oz

+ u2 '

+

Intégrale I , =

j

Intégrale I . =

B) Racines multiples de Q. On écrit :

A P(x) - At -+ L + ... + (X - a)" (X - by) ... x - a (x (x

A -.+ B, ... O)"

I. = -

+

c)'

o n pose u2 + a2

I

j

-du.

;0 , 2 u du = du. ,

P

1

= 2(1 - m) O"-' du.

du

+ a')

est ramené à des intégrales de la forme

Sirn>l,

+

(uf

C'est un arc tg.

j P: b*

(calcul de A, B, C, ... soit en donnant à x les valeurs des racines, soit en identifiant les puissances égales de x). Les intégrales sont de la forme A In (x - a) Constante.

et on inthgre terme à terme.

I

avec rn > 1, qui peuvent se mettre sous la forme

Q

A -+-+x-a

u ='-ln 2

5

8) Racines muIliples. -On

10 Rocines rdeliès de Q.

M

M

de la forme -In

'

85

ANALYSE

J-

- Si R est de la forme

s'intègre par parties et donne u 2(1 - m) (u'

1-1

du

1

+ a')".'

dx a s i n x + bcosx' a sin x

b Onpose-=tg+?;

D'oii la formule de récurrence :

osinx+bcosx=

cos rp

dx

+ b cas x sin (x + 9 ) '

O

cas rp

1

= -cos
2

INT~ORALES DE LA

FORME

sin" x dx et J =

INTÉGRALES DEFRACTIONS RATIONNELLESDELIONESTRIOONOMÉTRIQUEF DE L'ARC 1=

S

X

S

cos" x d x , m entier positif

On exprime sin'" x et cos" x en fonction linéaire des sinus et cosinus des arcs multiples. m = positif ou négatif, mais pair.

R(sin x, cos x, tg x) dx ,

R étant une fraction rationnelle. Méthode générale : on pose tg

2

= t ci r = 2 arc tg 1. dx =

2 dt + On exprime

cos x, sin x, tg x en fonction de r : 2t

sin x = + ,

COS

1 - t2 * =2

.

2t

tgx=- 1

- t"

- Si R est une fonction de sin' x cosZx, sin x x cos x, tg .Y, on pose : tg x = 1, dt x = arc tg 1, dx = 1

+ tZ'

On exprime sin et cos en fonction de r et on est amené à intégrer une fraction rationnelle de 1. m positif ou négatif, mais impair. On pose sin x = 1, cos x d x = dl. 1=

J

cosm-' cos x dx =

1

(1 - t2)[m-'m dt .

mx. cos nx. sin nx, tg nx) dx. R fraction rationnelle; m et n entiers quelconques. On exprime rationnellement les lignes trigonométriques en fonction des lignes d'un seul arc soit le p. g. c. d. de rn et n, soitp. On pose alorspx = t ; p d s = dl.

87

ANALYSE

INTÉOULESDE LA FORME

J

Première Mdthode. -On peut décomposer en 3 parties : une fraction rationnelle ;

Sin mX COS nX dx ET ANALWUES.

une somme de termes de la forme

On transforme les produits en sommes : sin mx.cos nx = +[sin (m

+ n ) x + sin (m - n) x] ,

et on a à calculer des intégrales de la forme 1NTÉc-m

une somme de termes de la forme

I

ginaire

sin a x dx.

[ P(x, sin mx, cos m. sin nx. cos nx) dx, P étant

Da u Fonm 1=

I

x" cos bx dx

et

, m positifounégatif;

1

(X - a r J a r 2

+ bx + c

, a réel ou ims-

:

1 F J A L ~ + B ~ C+ '

des sin et cos ou tout produit de'ces On peut remplacer toutes les lignes par une fonction lineaire de lignes d'arcs multiples. On est alors ramené A des intégrales de la forme

Posons x" = u

+ bx + c

- a = 1, la troisi&meforme se traduit par

J

un polynôme entier.

1. =

En posant x

x'" Jar2

v' = cos bx

Jm

,

sin bx v =b '

=

x'"

J a r 2 + bx

I

et

On est donc ramené à la forme :

xmsin bx dx

+c

1 On p u t écrire x'" = -(2 ax 2a numérateur la dé""& de ax2 bx

+

dx ; m, positif, négatif ou nul

b + b) x'"-' - -XI-'

20 + c). Intégrons par

.

(on fait apparaitre au :

En intégrant par parties :

Loi de récurrence : bJm- ml,-, b1, = sin bx b1,

+ J,

+c,

= x sin bx,

- x" cos bx bJ, = - cos bx + c bJ, - 1, = - x cos bx,

=

etc. = 2X"-'J=+

Intégration de. radicaux. FRACTIONS RATIONNELLES DE X ET D'UN

RADICAL

DU DEUXIEME DEGRÉ

:

c

- 2(m - 1) ( a L + bIm., + clmM2).

D'où :

1 b 1. = ' 9 - 1 Ja x 2 + b x + c - - ( m - l ) [ a l . + b l . - , + c l . - , ] - - l m - , , a ,' 20

89

ANALYSE

et la formule de récurrence : 2rna1.

On a

+ ( 2 m - l)bim.., +(2rn-~)c1.-,

-2~"-'Jax2+

bx+ c,

ce qui donne : 2a1,

+ bzo = 2Jax2 + bx + c

pour

4a1,+3bI,+2c1,=2xJax2+bx+c,

.pour

- bl.,

- 2 al.,

- 2 cl-,

2 = -,/axa

- 3 bi-,

X

2

=

+ bs + c

Jax2

X

et la suite pour les exposants négatifs.

m=2;

pour

rn = O

pour

m=

a > O. Racines réelles. On peut mettre ax2 + bx + c SOUS la forme z' - rn'. rn -m ,?E' On pose dz = -cos yo dyo . sin

Ona:

a > O. Racines de ar2 On peut mettre ax2 bx

+ b i + c imaginaires.

+ + c sous la forme rZ + m l . Posons :

-1 On est ramené

.

II est donc nécessaire de connaître 1, et I - . . dx Calcul de Io = ox2 + b x + e ' a > O. On se ramène à

I,

A

Intégrales de la forme 1 =

a < O. On se ramène à

Im

R,(m sin
Fraction rationnelle en sin

+ bx + c

- 4cI.,

J

rn = I ;

et la suite pour les exposants positifs ; et

I =

I

Jax'

+ bx + c dx

intégrales de la forme précédente. dz

= arc sin A rn

INTEGRALES DE :

FRACTIONS

RATIONNELLES DE

X ET DE RADICAUX DU PREMIER

DEGRÉ

IL, = -

1.-

1 du On pose x = - ; dx = - -

Calcul de 1-, =

U

I,

+ +n

eu2 dubu

, de la forme précédente

On pose ax

Deuxième Méihode.

a < O. Racines réelles. On peut mettre ax' On pose z = m sin

dz=rncosyodyo,

+ bx + c sous la forme m"

m = m c o s < p .

dx ,

1 = 'R(X,=)

u2

'

+ b = 'u

'

; x =

1= a JR (u, - .'2

u2 - b , n

R = fraction rationnelle. dx=-.

2udu O

q)

I

u du. fraction rationnelle en u ,

Intégrales de la forme ~ ( x , J o X f b ,

Je*+d)dx

91

ANALYSE

Onposeox

u2 - b

+b=u2;x

=-

+

, ex

1 d = -(eu2

+ ad - bc)

Intégration par parties :

On est ramené à la forme 1," =

R ( ~ , , /+~ ~ -~ bc) dx .

S

1 x" e- dx = - 9 e= a

- L'

19-'

,"d x .

Formule de récurrence : INTÉGRALESD E

LA FORME.

al,+

ml,-,

1, = e Y , a l ,

Soit n le p. p. c. m. de q, q',

+ +

ax b Posons -= u" ex d

m m' ...,Les fractions deviennent -, -. n n

+ mlo = x ea,

etc.

Integrales d'expressions dans lesquelles figurent des logarithmes.

du" - b -,eu" -n

: x=

= x"'ey,

~oitP j In x dx = ,Tm.

'

Intégration par parties

n(be - 4 u".' du, (CU"- a)% -

dx = -

p+i

,lm =-

Pour m =

du,

avec rn # - 1 .

- 1, ,I-,

Forme pl. = fraction rationnelle en u.

*"+a

r

= $(ln x)'.

xm(lnx ) dx, ~ m quelconque, p entier et positif.

d

Intbgration' par parties :

Intégrales d'expressions oii figurent des exponentielles. 1=

S

R(e") dr ;

Onposee"'=u;men*dx=du,

Intégrales

1 comprenant

r

R

Formule de récurrence :

= fraction rationnelle.

1 du

dx=--

ni

(m

,,

P(x, en', sin mx, cos mx, sin nx, cos nx,

...) dx,

+, 1)' <1 + p ,_,lm = x"+' (ln x)' .

p=O,

(m+l),l,=Pf';

p=l,

(m+l),I.+,I.=~+'lnx;

P = 2,

(m

--.

+ 1) ,lm+ 2 ,lm = xm+'(lnx)'

,

etc.

J

P = polynôme entier. On exprime sin x et cos x par des exponentielles. On est ramené

A des intégrales de la forme

S

x" e"' dx. Io

On peut décomposer en termes de la forme .?'(ln x)O.

92

FORMULAI~E DE MATHÉMATIQUES

Autres méthodes :

2oPosonsInx= r ; x = e a , d x = e ' d r . 1=

I

P(el, t) e' d i ,

Utilisation de la méthode des résidus. Utilisation des transformations soit de Laplace, soit de Mellin.

forme précédente

Integrales d'expreîsians cornprenantides fonctions circulaires inverses. 1. =

J

93

ANALYSE

x" arc tg nx

dx

Nous donnons ci-dessous un certain nombre d'intégrales définies parmi les plus usuelles, et nous indiquerons ensuite les principes et des exemples d'utilisation des méthodes des résidus et de Laplace.

LA FONCTION SOUS LE SIGNE

Intégration par parties :

I

EST UNE FONCTION ALOÉBRIQUE :

On est ramené à une fraction rationnelle. 1. =

xl+ l - a xmarc sin ax dx = -arc sin ax m+l

I

-

Xm-l

foEdx=-;

I

xm-'(1 - ~p)"-'dx =

P(x, arc sin ex) dx

a

:J( I )

(1

+ x2)' - 316n

'

; B = fonction eulérienne de lre espece.

1 Onposearcsin a x = 1 ; dx = - c o s t d t .

1 = - P -sint,t

dx

O
I:

Polyn6mes en (x, arc sin ax) :.

I =

R

sin na

O
r = fonction eulérienne de Ze espèce.

cost dr

(i)- r ( .) î 1--

=--

sin Y. n

Méthodes de cdcd des intégrales définies. 11 y a de nombreuses méthodes de calcul des intégrales définies

1: [

dont la plus

courante est, quand il est possible,le calcul de l'intégrale indéfinie F(x) = /(x) dx, J dont on tire Rb) - fia). Malheureusement ce calcul n'est pas toujours possible ou quand les limites sont O on m, on tombe souvent sur une indétermination et l'on est obligé de chercher un autre moyen.

dx -, XZ" + 1

II

xP-

=

n 2 p t 1 ' nsin2n n-

'(

"

y

"

y1 - ~ ) - ndx = - - - o < p < 1 ; x + a a 1 + a sinpn' o réel et extérieur à (- 1,O).

J.

1

+ dxcos2 x = n J Z .

xp-'

COS

xS-' sin x dx = r(p) sin PZ 2 '

x dx = r(p)

(Si I'on fait p = 112, on retrouve lés intégrales de Fresnel).

-

1

rn

c o ~ x " d x = ~ Z ' ( ~ ) c o s ~ ;s i n x n d x = i r ( ~ ) ; i n & ,

0

n.1,

O

INTÉGIULES D~FINIES Da

FONCTIONS EXPONENTIELLES.

e-" rel="nofollow">

-

1.

dx =-e

;

a>O,b>O.

e-w - e-b.

Jo

n"

1.

x,,e.=?dx=1.3.5...2n-l 20+1 a"

, a > O , n = 0 , 1 , 2 , 3 ,...

x In (sin x) dx =

J:ln(l

2acosx

1t2 - -In 2

2

+ oz)&

=

0 pour 1 ~ 1 ~ 1 , 2 r i n l a l pour l o l > 1 .

99

ANALYSE

Calcul des intégrales définies au moyen de la transformation de Laplace. (voir page 159). Soit F image de f (1) ou de h(f). e-xln

dx = 1 - C = $(l) ; C = constsnted'Euler = 0,577 215 6i5 $(x) : voir fonctions eulériennes .

IntPgrales de la forme On utilise la relation

1:

h(t) dt .

JO

h(1) dl = 1 F b ) IL .

m

Exemple :

Intégrales de la forme P h(t). -On Exemple :

a

S."

n

r" h(t) dt = (- I r + '

~':i~e-~dt=(-l)

- Inidgrales de la forme e-" h(t).

Exemple :

1:

1

e

h t 1 = 1 F@

e-a J&) d l ,

Si I'on fait u = O, on retrouve

+ u)I: .

n quelconque

1

J.(t) dt = 1 ;quel que soit n. JO - Calcul des iniJgrales ddjnies au moyen $e Io tramformafion de Millin. (Voir définition de la transformation de Mellin. p. 180.) Calcul des intégrales définies par la methode des résidus. RAPPELDE NOTIONS RELATIVES AUX FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. Une fonction complexe est de la forme F = P(x, y) iQ(x, y). Pour que F soit

+

b) Pôle multiple : f (z) = Y(-) 2. l(z) 2

g(z) (2

L'imaginaire sous 1s signe

- a)"

J

-

-

a pour module Rp-' eëRo4' quand r pareouri le quart de

cerdc AB. II est facile de voir que cette erprerrion vers O.

O quand R

m. L'integrals tend donc

,,-,

d"-L -[(z - a)"f (~)lPouri=.

k

(

f(z) dr & l'intérieur du domaine délimité par la courbe C Jc est égale à 2 ia(B, B, B.) si la fonctionf(i) est golomorphe dans c> domaine sauf bien entendu aux ~ ô l e sou points essentiels dont les résidus sont B,>B2, ..., Br Si la fonction est multiforme, on détermine une zone fermée en entourant les points de ramification de petits cercles que l'on raccorde à la zone générale par des lacets et on intbgre le long de la courbe ainsi formée qui délimite un domaine dans lequel la fonction est holomorphe. Cette intégration est facilitée par les 2 théorbmes suivants : Donc l'intégrale

+ + ." +

'

,

L'integrale est donc le long de Bp :

Théorème A. -Soit

f(z) une fonction continue dans le voisinage du point a, sauf au point a lui-même et telle que 1 ( z - a)f(z) 1 tende vers O avec 1 r - a 1. L'intégrale

1"

f (2) d r prise le long d'une circonférence y de centre n et de rayon p,

tend vers O avec p.

-

Thdoreme B. -Soit f(r) une fonction continue à l'extérieur d'un cercle T de centre o et telle que I(2 - a)f (z)] + O quand / i - o 1 croît indéfiniment. L'intégrale f (r)d r prise le long d'une circonférence C de centre a et de rayon R, O avec 1/R, c'est-&-dire quand R W .

-

{ ..

1,;

Exemples de calcul dune ~nrfgroledefinh par Io methode der idszdus

la limite :

1

= - (cos

y + i sin $)J:

1 f )1=e

Fo" c,im ""forme. 'oit f ( z ) = ~ - ~ e - :cmtante p -le tekque o < p < ' ; f i ) -nhc dans le domaine aABp(C). Iotegrons l e long de la courbe C.

On a donc (theor&mcdc Cauchy) :

WI i

,

20 Cercle AB

p * - ~ c o sp -.i sin p) dp

BI

s

-

O

quand

r +O

107

ANALYSE

- 3 in. II en *sdte : - 3 in + 2 i l = 2 inR.,. Calculons R.,. C est, pour r = - 1, la valeur d.eDono J /(z) d r

=

III. Fonctions comportant un logarithme sous le signe

Car des integrales de la forme

[-F(x) In

5

n dx, où Fest

.

'

une fonction rationnelle sans pole

J O

Donc R., = J(- I ) ( - ~ ) ~ - 4=. -fi Endefinitive: 3n+21= -zR\li;

-

Nous donnons ci-dessous, à titre de contr6le el de comparaison, le calcul direct de I'inté-

sur le demi-axe réel (O. m). Considérons la fonetion F(r) (Io 1)' et integrons le long d'un cercle de centre O avec un lacet le long de I'axe des x et ~ntourant I'origine. Les intégrales le long des courbes y, et y, O. Restent donc les intégrales le long du lacet. Quand I'argumcnt de z tourne de 2 n (de A à B dans le sen? de la flkchc) In r devient In r + 2 in :

-

(In e"tmi = Ln e '

+ In e".

=

In z + 2 i d .

L'intégrale le long du lacet donne :

*-

em

(8, intémale eulérienne de premiere espbc) Calcul de 1, =

Faisons e = 1, p = 112.

J

F(x1 (ln XI' dx

J:

F(ln x~ -

-J

1

F(x) (ln x

+ 2 inla dx = 2 in C RCsidus de F(r) (In 1)l

~ 1 +%(2 in)'

+ 4 in in XI dx = 2 i. 2 Résidus.

109

ANALYSE

Exemple : Calculer

'" dx /.'m.

La fonction devient [In

(',y ')la .Le résidu au point - 1 est le coefficient de 1'

dans le

développement de [In (1 - l)]'

Intégrales eliiptiques. Ce. sont des intégrales de la forme

J.

dx, dans lesquelles P(x) est un

polynôme du quatrieme degré au plus. Elles se ramènent toutes à 3 types :

[ln (1

1.

Le coefficient de 1' est 1 Donc :

[

- 1}12

= ir

Inidgrole de premiare espèce

1'

- L - - - ...

dt 0

- in dont la partie rielle est?

Dans cc cas, le circuit d'intégration a la forme cicontre et présente en plus du lacet O m . une petite demi-eirconfircnce au point x = 1. On demontre que dans CC CBJ on a

f étant la fonction flr) (In r)' ,

,

n'Re [Résidu FI,.,

Intégrale de deuxième espèce :

Intégrale de troisième espace :

~~F(x)lnxdx= =

, avec O < k < l ;

et, en Dosant 1 = sin 0 :

Cas où la fonction f i )a un p8le au point x = 1.

I

- t2)(1 - k2 t2)

J(1

- 4 Re LE Résidu/].

où la sommation est étendue A tous les pdles de Fautres que 1 et où Re signifie partie réelle.

>,

=1=+ (1

dt nt2)J(I A

-,

do ta) (I

,

- kZ t2)

(1

+ n2 sinz 8)J '

Caleal approché de&tégrales défies.

A) Méthode des trapèzes. -Elle consiste à remplacer la courbe par un segment de droite dans tout intervalle (x. x,,,). Si (a, b) est l'intervalle d'intégration : 1 1

Résidu do- (ln i)' r-1

pour

1

=

-1

Dtnominatcur = - 2. Numérateur (ln - 1) = in(in - 1)'

=

-

a v e c : I R I <M,- (b12 -'na"

, M, étant le maximum de 1 f"(x)

1

111

ANALYSE

TABLES DEF IPIT~GRALESELLIPTIQUES ! intagrde a1lip;ique de piemihm c i p k s F(q,k], y a et rp en degrés.

-1Jm

etk=rino.

'

Intégrale elliptique de deuxieme cspke E(rp, k), k = sin a, E(rp, k) cr et rp en degres. 30 25 15 20 10 5 a O

1'

rp

k

O

'

=

J0

J1

35

- k' sin2 8 dB. 40

45

0,087 2 0,173 7 0,258 8 0,342 O 0.422 6 0,500 O 0,573 6 0,642 8 '0,707 1

112

-

FORMILAIRE

De

B) Méfhode de Simpson. - On remplace la courbe par une parabole d'axe

(

parallèle à Oy ayant memes ordonnées pour x,,.Y,+,, ?Lk!!5 2 on a jabf(x)dx =

b -o

bo+ 4 Y,

C) Formule GEuler. -Si

)

;

If"

partiels croît indéfiniment de façon que chacun d'eux tende vers O dans'toutes ses dimensions. On écrit :

;taétant pair,

+ 2 Y. + 4 Y, + 2 y+ + + 4 .-, v +YJ+R,

i (b - O)$ avecIRI <-M, , M, étant le maximum de 180 n4

113

ANALYSE

MATHÉMA~QUES

(x) 1

f ( x 2Y)

1=

dy .

Coleul des intégrales doubles. Dans le cas où la courbeentourant le domaine est rencontrée en 2 points seulement par toute paralIèle à Ox, et à Oy, on a :

f(x) est dérivable 2 r fois : 1

=JI

A

d x j "Y'Xf ~i X, yI ) d y ,

!

Si le domaine a une forme plus compliquée, on le partage en domaines partiels de façon quela condition énoncée ci-dessus soit remplie. Dans le cas où f (x, y) = 9(x) +(y) et que le domaine est un rectangle de côtés parallèles aux axes, on a

avec

h"+ B,, B,,

'

5

+ B(b - a ) ,

R = -nB

,f

..., B,..,

étant les nombres de Bernoulli

f

=a

O c9 c 1;

Jnt6grnles doubles et triples.

Ddfinition. -Analogue

à celle des intégrales doubles. a""

Ddfnilion. - Analogue à celle des intégrales simples. Soit (D) un domaine plan borné, quarrable et une fonctionf(x, y) bornée dans ce domaine. Subdivisons D en n domaines partiels quarrables D,; soit w , I'aire de Di et M,, m, les bornes supérieure et inférieure de f(x, y) dans D,. A chaque subdivision correspondent les sommes : JI*

Les sommes S . ont une borne ~nfcricurc1, les sommes s. une borne supérieure I'. On dit que/(x, y) est intégrable dans (D)si 1 = I' lorsque le nombre des domaines

JJo.

os., est le contour apparent du domaine w sur xoy ; Z, et r. sont les cotes extrêmes du domaine ;
114

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

CHANOEMENTDE VARIABLES

DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES.

S i o n a x = f ( u , u, w), y = d u , u, w ) , z = b(u,

O,

w), o n a

115

ANALYSE

c'est-à-dire dans laquelleles différentes dérivées d e y figurent au premier degré et n e s e multiplient pas entre elles. Le théorkme général est le suivant : 10 Equorions sons second membre (c'est-à-dire dans laquelle q = 0). - Si l'on connait n solutions particulières indépendantes y,, y,, ...,y, de l'équation sans second membre, la solution générale de cette équation est

C,,C2,..., C. étant des constantes quelconques r 20 Equations avec secondmembre. - Si l'on connaît une solution particulikre y' de l'équation avec second membre, la splution générale de cette équation avec second membre est Y = y + y ' y étant la solution générale de l'équation sans second membre.

étant le déierminonr/oncti~nneIou jacobien de la transformation, et w' le domaine correspondant à w dans l'espace des u, u, w, à condition que ce jacobien ne change pas de signe dans D et que les domaines se correspondent d'une façon biunivoque.

Equations différentielles du premier ordre. A) Equarions dont les variables se séparenr :

-

dy = / (x, Y), avec / (XI'= 9(x) *(Y) dx

D.frnition. - Relation entre une variable x, une fonction y de x et ses dérivées

-9 soit :

2

dx ' dx' ' "" dx" ' "' '

B) Equations homogènes ; de la forme ! dx != / O n p o s e y = u x . D'où -dy= u + x -

Ordre. -Elle est d'ordre n si elle ne renferme aucune dérivée d'ordre supérieur à n. La solution générale contient n constantes arbitraires c,, c,, ..., c.. Théoreme général sur les équations linéaires (à second membre ou non) d'ordre quelconque..

A

Les variables se sépar:.?t

4.

du dx

.

e) -

soit u + x - =du /(II) dx

et :

Equations de la forme

Une équation diîïérentielle linéaire est une équation de la forme On pose x = X + a et y = Y + p, et on détermine a et /3 de façon que les termes constants du numérateur et du dénominateur soient nuls. On est alors

116

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

ramené à :

ANALYSE

Portons dans l'équation

1)

=j

il faut ab' - ba'

jc

O.

Si ab' - ba' = O, on pose

o

dC e-"'

, bquation homogène,

=
dx

Les variables se séparent :

. .. b

=A =-

b' '

ona : D) Equntions se rmenonr a u ipuations linéaires du premier ordre.

On pose a ' x

+ b'y = z

dy % + yf(x)

10 ~q"ation de Bernoulli. De la forme

= y' ~ ( x ) .

On se ramène à une équation linéaire :

équation à variables qui se séparent.

On pose

C) Equations linéaires du premier ordre : équations du premier degré par rap dy dy port à y et y et - Forme + yj(x) =
-

Io

dy Equation sans second membre : dx

+ yj(x) = O

Elle est à variables séparées : Y = - j ( ~ ) Y

1 =z

Y"-'

,dz=

--n - 1 Y"

dy

1 dz n-ldx n-ldx

et

Z/(X) = V ( X ) + z/(x)

équation linéaire. 20 Equation de ~ a g r a n g è: y = xfW)
+

Différentions : dy = f(p) dx 2. Equations avec second membre :

dx[f(p) On commence à résoudre l'équation sans second membre : dy + y j(x) = 0 , d?

soit y = C e-Fi'l

et on considère C comme une fonction de x (méthode de la variation des constantes) :

+ x/'(p)

dp

+
dp

,+ dp[xf'@) +
= /@) d x

dy = p dx ; (2)

équation linbaire si l'on considère x comme la fonction et p comme lai variable On résout en x :x = $@, c), et I'on éliminep entre (1) et (2). 30 Equation de Clairaut (cas particulier du précédent) Même méthode . y = xy' qw).

+

+

On a [X
y = CX

+
118

E) Equafions linéaires du premier ordre à coefficients constants.

119

ANALYSE

FORMULAIRE DE MATHÉMA~QUES

On détermine u par les racines de I'équorion caractérisfique :

a) Sans second membre : le' cas : racines réelles, pz

- 4 q > 0.

y = C, e"lX + C, eYY; Soit une solution de la forme y = eu: u = Cfe : eYqu+p)=O,

u=-p.

,

u

+ p = équation caractéristique.

b) Solution particulière de I'équation avec second membre. m) Si le second membre est de la forme Pen", Pétant un polynôme entier en x et a une constante, une solutbn particuliere est de la forme x kQ.e", Q étant un polynôme de même degré que P e t k = O ou 1 suivant que rn n'est pas ou est racine de I'équation caractéristique u p = 0. On calcule les constantes par identification. .

+

+

fl) Si le second membre est de la forme R cos Px S sin Px, R et S étant des polynômes en x et p une constante, une solution particulière est de la forme Tcos Px U sin fix, T e t Uétant des polynômes de degrés égaux au plus élevé des degrés de R et S.

+

y) Si le second membre est de la forme

+C.(TCOSpx

+

Recherche d'une solution particulière. m) Si le second membre est de la forme P em, P étant un polynôme en x, a une constante, une solution particuli6re est de la forme : x k Q en'; Q, polynôme de même degré que P. k = O si or n'est pas racine de u' + p u q = 0. k = 1 si cr est racine simple de u1 + p u q = 0. k = 2 si e est racine double de uZ pu q = 0. On calcule les coefficients par identification.

+ +

+ +

+

une solution particulière est de la forme :

w + x xk Q e"

u , et u, racines de I'équation caractéristique 2ecas:p2-4q=0, y=eW(C,x+C,); y = e"(C, cos px C, sin 6x1 ; 3e cas : - 4 q < O , cr pi = u, . avec G pi = u, , b) Equations avec second membre :

+

Solution générale : y = C eë".

xY

C,, C, constantes arbitraires.

+ u sin px),

avec les mêmes conditions que précédemment et W polynôme de même degré que Y,y = O ou I suivant que O n'est pas racine ou est racine de I'équation caractéristique. Equations düï6rentielles du deuxSrne ordre. A) Equations lindaires à coefficients constonfs

a) Equations sans second membre :

Soit une solution de la forme y = eu', u étant une constante.

8) Si le second membre est de la forme R cos Px S sin Px, R et S étant des polynômes en x et ji une constante, une solution particulière est de la forme xk(Tcosjix

+ U sin Px),

T et U étant des polynômesàe degré au plus égal au plus élevé des degrés de R et S. et k = O ou 1 suiv&t que pi n'est pas ou est racine de I'équation caracté*. ristique. y) Cas général où le second membre est de la forme :

v + 1 P e"

+ C ( R cos Bx

Une solution particulière est de la forme :

avec les conditions ci-dessus.

+ S sin Px)

ANALYSE

121

I,,,

Les coemcients se calculent par identification. La solution générale est donc y i y,, y étant la soliition générale de I'équation sans second membre (calculée en a) et y, une solution particuli.?re.de I'équation avec second membre. d'y - f(x) . B) Equations de laforme dx' -, On résout par 2 intégrations :

Fonctions de Bessel

dx : (1 - 79

Polyn6mcs de Legendre

J

.

d2y - f b ) C) Equations de laforme dx' , dy : On multiplie les 2 membres par 2 dx dy d'y 2---2fb)dxdx2-

Palynômss d'Hermite

:

~oiynômesde ~agucrrc

:

2-

2 x$

+ 2 *y = O ,

a = Cre

.

$$ + (1 - .xl 3 dx + 2 y = O

Polynômes de Tchsbytchcff : (1

di' dx'

=O

d'y + [(l + a + B) x - y] d; dy + aBy = 0. - x ) d;r

Fonction hyprgbombtriquc : (x'

*dx= I f i ) d x = ~ + c , ,

7 - 2 x 2 + n(n + 1)y dx

- x'), d'dxy

dy; + n'y = 0. - xd

(Voir au chapitre des fonctions particulibres, les propriétés de certaines de ces , fonctions.) Intégration des équations diaéreotieiles su moyen de la transformation de Laplace.

dy

Principe. -On

et x = \

exprime x,

dy d'y x, -. -.

fonction des images de y. [Voir le ~

Onpose -dy= u , dx

-d2y - - = du dx' - dx

E) Equations de loforme- d'y dx2

f(x, u) :équation du premier ordre .

dy + q(x) y = 0 , p et q étant des fonctions + p(x)-dx

Exemple :

X

dx

d'"

x ,).avec

.A

y(0) = O , ~'(0)= O, ~"(0)= O

dxr+u--sinx.

Soit F image de u. On a :

+ U o + or, x + ... et

Ce genre d'équation s'intègre par des développements en séries représentant des fonctions particulibres dont les principales sont :

3 + 3 = sin d~

~ o s o n s3dx= u ;

algébriques et répondant aux conditions (diles de Fuchs). A p(x) = -

...

tableau des transformées des exmessions th(& 1 . 1' h(O, h'(0, lh'(O, 1' h'(1). II en résulte une equation diffirentielle en p d'un ordre gcn6ralement inférieur. L'avantage de la méthode est que les relations ci-dessus dépcndent dc)(OJ, ).'(O), ce qui permet d'introduire immédiatement des conditions que, par la méthode générale, on est obligé d'utiliser pour calculer les constantes.

Y=+

S

(sint-1cost)dt:

en tenant compte de y(0) = O e l en revenant

la variable x : y=1-msx-+xsinx.

123

ANALYSE

PROBLÈMES AUX LIMITES ET FONCTION DE GREEN.

C , et C , étant ici 2 fonctions'de u que l'an détermine par les équations suivantes :

La fonction de Green est une fonction qui permet de calculer l'intégrale d'une équation linéaire du deuxième ordre de la forme :

C,(u) y,(u) =

c.(u) dx'

c m Y,(u)

>

- c2(u)y;(") =

-.

1

A(u)

dx]

.

En posant :

répondant A 2 conditions données a l'avance que l'on appelle conditions aux limites. Problkme en général possible puisque l'intégrale générale dépend de 2 constantes quelconques.

c = A(u) Cy;(u)Y2(4 - Y;(u)Y,(~)I ci -- C Y2

e t ' c,=%,

yi(l)Y20, G(x, u) = L'intégrale cherchée est de la forme

y@)=

Yi(U),

jab~(x.

u)f(uidu,

+ p,(x) dy - + p,(x)

y

+ J(x) = O

dx' dx Soient y, et y, 2 solutions indépendantes de I'équation sans second membre, telles que si y(a) = y(b) = O on ait y,@) = y,(b) = O.

G(x, u) =

{

1:

Y;(u)

avec

c h )Y b )

*g b .

- yi(u) Y,(u) ilo.

Déj~ition.- Equations de la forme :

l'inconnue étant la fonction q ;f (s) : fonction connue et intégrable; A : terme numérique réel quelconqte ;.G(s,t) : noyau de l'équation. Premier cas : Le noyoù'est dézénéré, c'est-A-dire est la somme d'un nombre fini de produits de fonctions u(s) par des fonctions B(t) :

G(x,u)f (u)du, avec :

c,(u) Y ~ X )

u g

a
y , et y, étant 2 solutions indépendantes de I'équation sans second membre On prend C , = C , = C, ce qui détermine C :

.L'intégrale sera encore y =

.a

a<x
Cs Y I ( ~ ) Y , ( ~ ) lorsque c2 Y&) Y,(u)

-

o<x
Condition d'existence de la fonction de Green :

G(x, u) étant une fonction répondant aux conditions suivantes :

Deuxieme cas : Cos général :

>

on a

différentielle est de la forme :

Premier cas. -L'équation

G(x, U) =

avec ~ ( x=) exp

[

a<x
On pose

125

ANALYSE

Troisième cos : Cos général. - On recherche une solution de ]a forme : =

x, - i(r: x, T t: x, 1

:

+ .:. c am
+

Par identification, on calcule :

Les x, sont solutions du systéme linéaire : 1

+


+ ... + t: x ) = f, , + ... + 1; xJ = r, ,

<po(s)= f (-4,

- i(1: x, + 1: x, .......................

x,

x" '4l;x,

+t;x,

+ ..: + t:x")=f".
Sous réserve que L/,?ne soit pas une valeur caractéristique de la matrice M du système, la solution est donnée par

=

J-:

G(s, t)
,(t)df

.

relations qui permettent de calculer les

121

Deuxième cas : Equolions résolubles par la iransformarion de Lnploce. a) Cas où lenoyau est égal à 1 et I'intérvalle d'intégration de

''

OAs :

m = ~ ~ 'O ~ ( l ) a l + f ( s ) .

8;

8

., ,, ,

*

On prend les images des 2 membies. @, image de

<m.

B étant une borne supérieure du noyau G(s, t). La série est appelée série de Liouville-Neumann. Si l'on pose G,(x, t) =

G(x, u) G.. ,(u, t) du :
S:

G.(x, t) <pa(c) dl.

Les G. sont appelés les noyaux itérés.

CALCUL DES VARIATIONS.

:l

,,; , ,

Connaissant F, on en déduit @et
i

- r)dr = f (c),,

Soit F image de.?, @ image dé K,G image de$ On a

F-,v@=G,

F = - .

' ,

G

1- a m '

Le calcul des variations d t une pqrtie des mathématiques qui traite du maximum ou du minimum d$.certaines intégrales dépendant d'une ou plusieurs fonctions inconnues. Le plus simple des problèmes du calcul des variations est le suivant :soit F(x, y, y') une fonction donnée des variables x, y, y' continue et ayant des dérivées partielles jusqu'au deuxième ordre. Soit, d'autre part, un arc de courbe AB du plan, susceptible d'être représenté par une fonction y = f (x) continue et pourvue de dérivées, et l'intégrale

126

FORMULAIRE

DE MATH~IATIQUES

II s'agit de déterminer si parmi les courbesf(x) il en existe une qui rende maximale ou minimale l'intégrale I et de calculer cette fonctionf(x). La fonction y = f(x) doit vérifier l'équation différentielle suivante dite équolion 8Euler :

CHAPITRE 3

Application.

- Courbes extrémales de l'intégrale

FONCTIONS DNERSES

:

dans laquelle m désigne un exposant positif, négatif ou nul. Après transformations, I'équction d'Euler s'écrit :

INTÉGRALES DE FRESNEL.

c(x) = Sous cette forme, cette bquation est identique &-celledes courbes pour lesquelles on a la relation

m=+ m = - 1

s

(1

+ y") + yy" = O .

Cercles.

j,:

cos

$1

+ y") - yy" = O

Paraboles.

r,

$1

+ y") + yy" = O .

Qcloides.

dt ,

=Ji

($)

d x 2 , d'où

S=

($)

1

S(x)

sin

dt

+ S'(x)']

($1 1: dt =

sin

dl =

Il

dx = x ;

Développements en série : C(x) =

.

($)

dX2 + dY2 = [C(x)'

+

m = - l

cos

X = C(x), Y = S(x).

Propriétés. -Soit dS2

M C étant le rayon de courbure de la courbe en M e t MN la portion de la normale comprise entre M et I'axe des x. Ces courbss sont dites courbes de Ribeaucour. Pour m = 1, on a (1 y") - yy" = 0 . Les courbes sont des chaînettes.

1:

x

(- 1)"

i "=O

(Zn)! 4 n + 1 '

Expressions en fonction des fonctions de Bessel :

1: ($1 ($1 sin

I:co8

dx = J-($)

+ J , , ~ ( $ ) + . + J ~ ~ . + . - ($)

dx = J , ~ . ( $ )

+ J ~ , ~ ( $ ) + + J l ~ m + , m($)+ ....

+ ...

1,'.

,.,,

:.:.!

128

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

129 ,

FONCTIONS DlVWSES

Tables :

Ci (x) = ln x

+C-

,,:; 3 ',/ ,, ,

dt.

Développement en sene asymptotique :

cosx x

n Si(*)=--2 sin x Ci@)=-

"="

,!

C" (-1)"---(2 n) ! x2"

"..O

(-1)"---

0-0

sin x x

(2 n) !

cosx

xl"

X

"

C

"

C

(2 n + 1) ! (-1)" X2"+l

(- 1)"

(2n+ l)! x'"+l

2

.

V w s DES MAXIMUMS ET miluimums De Si (x) ET Ci (x).

x n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n 9n 10 n Il n 12 n 13 n 14n 15 n

SINUS INTÉGRAL ET COSINUS INTEGRAL.

Si (x)

x

Ci (x)

+ 1,851 94 + 1,418 16 + 1,674 76 + 1,492 161 + 1,633 964 + 1,518 034 + 1,616 085

0,s n 1,5 n 2,5 n 3,5 n 4,5 n 5,s n 6,s n 7,5 n 8.5 n 9.5 n 10,5 n 11.5 n 12,5 n 13,s n 14,s n 15,s n

+ 0,472 00 - 0,198 41 + 0,123 77 - 0,089 564 + 0,070 065 - 0,057 501 + 0,048 742

+ 1,531 131 + 1,606 076

+ 1,539 029 + 1,599 685 + 1,544 307 + 1,595 252 + 1,548 083

+ 1,591 997

,

- 0,042 292 0,037 345 - 0,033 433 +'0,030 260 - 0,027 637 0,025 432 - 0,023 552 0,021 931 - 0,020 519

+

+ +

#

~ i o pose n si (x) =

-

df

n , on a Si (x) = + si(x) 2

FONCTION O(x)

.

fonction d'erreur et fonction n(x). @(x) =

Développement en série : X x3 . x* (- 1)" *'"+ L +.'.. si (x) = -- -+ -+ ... + 1.1 ! 3.3 ! 5.5 ! (211+1)(2n+l)! ' ,

x1 x4 Ci(x)=Inx+C--+-+-+2.2 ! 4.4 !

(- 1)" x2"

2 n(2 n) ! '

.

C = constante d'Euler

Relation :

Jn

eëc'

O

dt,

:<

----- -Aey-G--oh

mP-u-m. QNhION m u o w - P . Y"" NNNN? C m m m O nn.?lO'? ô ô ~ -o ~od ooo ooooo ooooo oooooo + T + T +

mwmCI-

s~~mww

T T T T +

T + T T +

T + + T T

+ s r + + +

--Ohm O W N O W mmminW N C N P N-OmP wnuci- smriSV, mNOmP-w N O b m O C m m h O - N o T m Q r m m O-NNn* =O--CWV>UC)

+ T + T +

*

T T + - +

T + + T f

T T + T T

+ T T + + +

-OP-mm 0-NCI m w c m m O-NOU mat-mm c r r r - r m m m m 8 m m m m m m q m m m m.mmm.m.8 0-40-0-0-0-0-0-0-00-0-ôo"~ O-oo'ô& oo-600-

n~a34;

2 RZSO OOOOO

o-60-0-6 i

i

i

i

i

1 +++++ +++++ +++++.+++++ +++++

*

O-NO* ir>i~r-mm O-mm m w c m h O-mm* in,,,, , a W W " W " i q S w"U>W"W"w" rc=yC-y ôàààoôoôôàooooôooooo ooooo

I I I I I

*

3

I

~

I

I

SE255 ZzQh: 0 0 m m m m m h m h

1I 1 1 1 1

I I I I I

Xm %mhh%mZh Z FRcu mmmmm

S ô ô Z ! 2 a28Zo C Z Z N O Z2'0Z5

1 1 1 1 1 . io,*o,.

mmmmm

ôo"o"0"o-o ' o - ~ o 0 -~ ôo-ô0 àôo-o"ô O 0 O 0 0

+ + + + + + + + + + +++++ +++++ +++++

*

-.-- - -

- - ---

O-NCI*."wP-mm 0-NO* m w P m m O-NO* o*o"O*o" O~O"O"0"O" N"""" , o o o o o o o o o o oo-0'0-0- ôôôo-ô o o o o o

'

132

FONCTIONS

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES

Représentation : Courbe en cloche représentative de la fonction

133

DIYBRSBS

n Propriétés : r(a) r ( l - a) = sin an ' n non entier

1

de Gauss $(x) = -e-I2l2.

&

n(x) = aire' de la courbe en cloche située à gauche de l'abscisse x.

1

Formule de duplication :

Développement en s61ie de O(x) : On en tire :

Développement asymptotique de ! - 0(x) :

Tables (voir tables statistiques).

FONCTIONS EUL&RIENNES. Fonction de première espèce (fonction bêta) : B(p,q)=~o'xp-'(1 -X)LL d x - 2

sin ~ ~ - l O C o' *s - ' O do=

S,- + (1 .+.)i

Fonction de deuxième cspèce :

d' -lnT(x) dx'

1 =-+x2

1 (x

+ 1)'

1

+...+(x

+

+...,

FORMULE DE STIRLING : r(x) =

e-' du,

PropIiété principale : .

avec

x > O (fonction gamma Ir]). avec u -t

.

r(x

+ 1) y * ' e - = ~ ( ' + 1 -. O (valeur approchée de r pour les grandes valeurs de x). r(x

+ 1) = x ~ ( x ) .

'Six < O, fonction définie entre O et 1, 1 et 2, ~ e l a t i o navec Pintégrale de première espèce :

( x + 1) ... par r(x) = rX

Voleurs rernorquobles de T(x) ( 1 ) 1 , r(2) = 1, r(3) = 2 !

FONCILONS DIVERSES

r(n

+ 4)

Integrales de la forme 1, =

:

135

II

sinp x cosDx dx = 2-p

la n pair,

r(. + f)=

1.3.5 ... (Zn 2"

- l),h (voir tableau des intégrales définies).

20 n impair, soit n = 2 p

+ 1:

r(n+$)=r(zp+i+4)=r(2~+:+l) =(2p+:)r(2~+4) et l'on est ramené au cas n pair. Minimum de r(x) dans la partie positive des x : 0,885 60 pour x = 1,461 63..

'

dx

YI

o)

n pair : (voir tableau des intégrales definies),

b) n impair : 1, =

.

C)

1.3.5... n

a quelconque, mais > - I :

'

i

FONCTION HYPERGEOMETRIQUE

136

FORMULAI.

DE M A T H ~ M A ~ Q u E s

Développement en série :

US F(u,fl,y;z)= 1 +-z+ 1.y

ais + 1) Bi8 + 1) z2 1 . 2 . d ~ 1)

+

+

Si rr esr entier. Dans -cas J. et J-. ne sont pas indépendants. II faut trouver une autresolution particulihre de l'équation différentielleet l'on adopte souvent la fonction : cos rrnJ.(x) - JJx) N.(x) = sin un

....+

...( E + P - l)/@ + 1) ... (8 + p - l),+ + a(a + 1)1.2 ... p.y(y+l)...(y+p-1)

,,,

*

Cas particulier de a = kl2, k étant un entier impair. On démontre que par exception, dans ce cas, les 2 intégrales Jq2(x) et J-ta(x) sont indépendantes et l'intégrale générale est encore de la forme

La série hypergéométriqne Ist génératrice de nombreuses fonctions.

- Si a = 1, 8 = y, 1 I

on a la série géométrique :

+ z + z2 + ... + z' + -..,

- Si a = - n (entier), a + & = p , F(u, 8, y ;z) = r(- n, p

AJ&)

convergente si 1 z 1 < 1. m

J&) =

+ n, q ;z) ; on a les polynômes de Jacobi ;

xF(&,+,$;x2)=atcsinx;

1 (-

1-0

J.(z) =

+ x)" .; xF(f,I,f;-x')=arctgx;.

.

+ 112)

. J.(4 =

(z/2)'"'" 1)" n ! r ( a + n + 1)'

(z/2)"

f i r i a + 112)

J.(4 =

FONCïIONS DE BESSEL. D é n ~ m o~ .Ce sont des intégrales J. de l'équation differentielle : y =O,

u é e t quelconque.

.

.

(1

J.(z) =

1

J&) = 1

(~/2)~"+~

JAz) =

1 (-

"-0

1)"

n!r(a+n+l)'

sin2=t cos (z cos tj dt ,

O

f i r ( +~ 112)

.

Si a n'es1 pas wt enlier, I'intégrale générale de cette équation est de la forme y = AJ.(x) + BJ-.(x), A et B étant 2 constantes quelconques et :

lx

(1 - u')"-'/~ cos zu du,

J.(4 =

m

+ BJ-,/,(x).

~xferuitesrepr6sentatioos des fonctions de BeJsel. y=q > 1 :

xF(1,1,2 ; - x) = ln (1 + x) ; F(- a, 8, B ; - x) = (1

137

PONCTIONS DNBRSES

"

Si a est entier :

- u ~ ) ' : " ~es- du,

'cos (a0 - z sin ô') d0 -

O

dt . O

138

FONCTIONS DIVERSES

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES

Proprietes des fonctions de Bessel. Formules de récurrence : Jn+,

2 aJ. + Jn-, = Z ' Intégrales de Fresnel :

sin

$dx

=

($) + ($) +

J,/.

J,/.

+ J,~.+.-

($1 +

Fonctions dérivant des fonctions de Bessel. d dr

-(Pt'

J E + , )= l " + ' J .

d _ 9-6 " J.) dz

+ J.+,

Io FONCTION I..

=O

Formes diverses de la fonction 1. :

Valeurs de J , l t , JL,,,, J,,,, etc

IAZ) =

)

"

6l;;~u+ 112)

1

'sinzmt ch (z cos t ) dt

O

2 sin z J ~ / ; =& ( T - c o s z ) .

O=+-

FONCTIONcéwkuTnice :

C

t" Jn(z) = et('-+),

n entier

m=--

cos ut d t - O

dt O

Si a entier : cos nt dt

FONCTIONS DIVERSES Equation différentielle d'origine : y"

QUELQUES FORMULES IMPORTANTES RELATIVES AUX

+

Formules d e récurrence : 1

)=1

J,(,/.x'

+

FONCTIONS DE

BESSEL.

rn

- 2 xy c o s a) = J0(x).J&)

+ 2 1 J.(x).J.(y)

c o s nor ,

n= 1

) s i u entier;

+

zI:(z) = uIm(z) zIn+,(2)= zI=.,

iy

- UIn;

J~(,/X'

QUELQUES INTÉGULES

=

J.(r) c o s a n - J - d z ) sin nu-

N-.(r) =

J&) - J J z ) c o s un sin nu

I

141

HP1(z)=

J - J z ) - J . e-"'" i sin an

HL1](z)=

J.(r) e'"" - J - J z ) i sin an

+ y'

- 2 xy c o s u) du = 2 nJo(x)J o b ) .

PARTICULI~E! DES FONCTIONS

DE BEEL.

(

)=

-

-1 2 s i n crrr

-

i:

e-soht

c h xt d t ,

O,5

5

10

15

Graphique de la fonction J.(x).

20

25

FONCTIONS DIVERSES

RACINESDe .TA(=)

= 0.

Rang de la racine

Graphique de la fonction 18(x).

RACINESDE J.(z)

= 0.

Rang de la racine

Graphique des fonctions I.(x) et K.(x)

143

IE81'0 5 501'0 9 EZOO ' 5 051'0 IEEZ'O

-.

+ + +

+

E 991'0 6 681'0 5 811'0 OZ10'0 + Z SP1'0 +

6 55Z'O 9 8ZZ'O + 6 ELI'O + O 5PI'O + 5 990'0 + L EEOO ' + 6P1OC0+ L 500'0 + 8 100'0 + 5 000'0 +

5 PEZ'O 1 19Z'O OPEZ'O 5 LLI'O Z 911'0 1990'0 L ZEOO ' OP10'0 1500'0 9 100'0

+

P 000'0 I000'0 O 000'0 O 000'0 . O 000'0 O 000'0

1 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0

9 8E0'0 8 851'0 6 561'0 1 ZEl'O 8 000'0

+

-

+

+

6 8EICO 9 5EZCO+ 9 99Z'O + 8 6EZ'O + E 181'0 + P L11'0 9 590'0 + 9 IEO'O + O E10'0 + 5 POOO ' +

+ + +

+

+ + + + + + +

E 100'0 E 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0

+ +

,

O OEl'O + 8 E91'O + Z 850'0 + Z ZOI'O Z P81'0 -

O ELO'O O ELI'O

9 951'0 6 ZEOO ' O 611'0 -

E ~01'0L ZPOO ' + IM1'0 Z ELI'O P 190'0

1510'0 9 1E1'0 + P9EZ'O + P ZLZ'O + P 9PZ'O + 5 581'0 + 8 811'0 + O 590'0 + P OEOO ' + O ~10'0+

Z 191'0 6 OEO'O 8 ZZ1'0 + 8 9EZ'O + L 8LZ'O + 9 ESZO ' + 1 061'0 + 1 OZI'O + E 990'0 + O 620'0 +

5 SOZO ' Z 9L1'0 9 8W'O P ZII'O + L 9EZaO:+ 5 582'0 + 5 19Z'O + E 561'0 + 9 IZ1'0 + P E90'0 +

P 860'0 1 POZO ' P 161'0 Z 890'0 6 660'0 + L SEZ'O + L Z6Z.'0 + P OLZ'O + O T0ZC0+ 1 EZI'O +

6 EOO'O O 100'0 Z 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0

+ + +

E Z91'0 P 911'0 E 9EO'O L E91'0 Z 151'0

LP61'0 + 6260'0 + 5911'0 - 88LI'O 8ZZt'O + 6561'0 + P 150'0 + 0951'0 6ZW'O - LESI'O SL81'0 + LOW'O + S 681'0 - O LW'O - 5 281'0 + L 991'0 + O OZZ'O - O PLI'O - 5 PEOO ' + 1 90Z'O + E PII'O - O ZEZ'O - 8 0S1'0 - Z 180'0 + O L90'0 + O IPT'O - 9 WZ'O - 0 811'0 P OEZO ' +. 1 90'0 + E OLI'O - L EPZ'O 6 80E'O + O SZZ'O + P 810'0 + 9 10ZCO6 16Z'O + 6LIE2'0 + L 91Z'O + S PIO'O -

9 EW'O PSSI'O OL81'0 5 LSO'O 5 DEI'O P OZZ'O 9 1E1'0 5 ELOO ' E 8EZ'O 1 PEZ'O

+

+ + + + + +

+

(Vr

1 SOE'O 5 EZZ'O 0 8ZI'O 5 950'0 P 810'0 O PW'O 5 OW'O O 000'0 O 000'0 O 000'0

+ + +

+ +

+ +

5 LZELO+ 9 OZEO ' 9 EEZO ' + 9 621'0 + P ESOO ' + Z 510'0 5 ZOOO ' + Z MX)'O + O 000'0 O 000'0

(~)~i

+ +

E POZ'O 9 LEE'O Z 6EEO ' 8 5PZ'O O IEl'O 1 6W'O P 110'0 Z IW'O O 000'0 O 000'0

+

8 010'0 E EOO'O 8 000'0 1000'0 O 000'0 O 000'0

+

+

+ +

+ +

+

+

O 550'0 8 581'0 6 LPE'O 1 Z9E'O 1 192'0 1 ZEl'O O EW'O O LW'O z 000'0 O 000'0

+

+

+ + +

+

+ + + +

P LZO'O 9 600'0 9 ZOOO ' 5 000'0 1000'0 O 000'0

(~)*~r (~)~'r

5M0'0 6 060'0 + E ELI'O + 9 LOI'O + 1SO'O-

6 PIZ'O E 9ZI'O 6 850'0 Z IZO'O S SW'O 6 000'0 1 000'0 O 000'0 O 000'0 O 000'0

+

E 9L1'0 6 LEI'O + L 900'0 9 ÇE1'0 1 WZ'O -

( ~ ) ~ ! r ( ~ ) ~ i(z)srr

P9E0'0 - P OPI'O + 9 LST'O - 8 800'0 + E LSI'O - Z 9E1'0 L IEO'O - L SLI'O 1 SZ1'0 + 6 ELO'O -

+

O 811'0 Z L10'0 L 8P1'0 8 00Z'O P9P1'0 -

+ + + +

+

Z 299'0 9 5ZOO ' E 800'0 0 Z00'0 E 000'0 O 000'0

+

+k +

+

+

9081'0 + 5 ZLO'O + 8 L5ICO9690'0 + E981'0 + SLW'O LOII'O - 6PEI'O + P85I'O + 9 ZOZO ' - 8 EM'O - Z 981'0 + Z 611'0 - O P61'0 - 9 1POO ' + Z 9L0'0 + 8 9L1'0 - O ZSI'O E 61Z'O E EW'O L LIZ'O 5 181'0 + 1 561'0 + 6 P80'O O 510'0 - E LZZ'O + 0 6EI'O + 9 612'0 - P 850'0 + 9 PSZ'O +

-

+ + +

E 191'0 + P EWLO+ Z L90'0 + 0 651'0 + E E60'0 - E IEI'O + O SL1'0 - E OZOO ' 6 860'0 - E 091'0 -

-

+

+

5 592'0 P501'0 + 8 LSI'O + + 9 LSE'O + + Z 16E'O + + 1 182'0 + + O ZEl'O + + O PEOO' + + 5 ZW'O + . O WO'O

6 081'0 1 162'0 9 L91'0 8 PII'O + 8 ME'O + Z OEPO ' + 1 60E'O + 6 8ZlZ0+ s 610'0 + O 000'0

-

-

+

( ~ ) ~ r(4'1.

+ + + + +

6 8 L 9 5 P

5 LOZ'O

L PZ1'0 8 090'0 5 EZOO ' O LOOO ' 5 100'0 z 000'0

+

+

zz

IZ

oz

61 81 LI 91 51 PI EI ZI 11 O1

Z

l

1 E00'0 5 IPI'O 8 951'0 L 6Z0'0 L OEI'O

+

PZ EZ

( ~ ) ~ ; r (2)O'r

(2)"~

+ + + -

-

.

+ + + 5 160'0 + 2 ELO'O 1 661'0 Z 90Z'O O 060'0 O 580'0 + 8 EEZO ' + 5 OOE'O + P 082'0 + L ~91'0 Z ZEl'O 5 ~00'0 5 8PI'O 5 981'0

1 P51'0 - Z 950'0 - PZ 9 6E0'0 - P Z91'0 - EZ Z LI1'0 + 9 OZI'O - ZZ 1 IL1'0 + 9 9E0'0 + 1Z 8 990'0 + O L9T'O OZ

+

LSOT'O 0 881'0 9L60'0 P 060'0 + 1 5OZCO+ P EEI'O + E OLOO ' P EZZ'O 8 9L1'0 5 EPOO ' +

L9P1'0 PEIO'O 6691'0 6 PLI'O Z P10'0 1 ILI'O 6 902'0 L LW'O Z ILI'O 6 SPZ'O

+

8 WI'O + E 5PZ'O + E 060'0 O E l l ' O - 9 PEZ'O + L ILl'O P TOE'O - L POOO ' - 1 OOE'O 6 ZPZ'O - L 9LZ'O - 9 051'0 9 9 w 0 + 9 LZE'O - 9 LLI'O 1 ME'O + 0 990'0 - 1 L6E'O 1 98P'O + 1 6EE'O + 1 091'0 8 ZSE'O + L 9LS'O + 6 EZZ'O 6 PIIO ' + r ow'o + z sw'o O 000'0 000'0 000'1

+

( ~ ) ~. r( ~ ) ~ r( z ) ?

61 - 81 - LI - 91 - 51 + PI El +. ZI - II - O1

+

+

+

6 8 L 9 5 P E Z

+ r.

(-9°r

O 2

.

.

146

FORMULAIRE DE

FONCTIONS

MATHOMATIQUES

147

DIVKRSBS

SERIE ET P O L Y N ~ M E SDE LEGENDRE.

FONCTIONS DE KELVIN. Solutions de l'équation différentielle :

Découlent de l'équation différentielle : (1

+ i Bei x = Jo(x i fi = Io(x fi).

FoNcrio~so'o?~na0. - Définition : Ber x

- 2)y" - 2 zyl + k(k + 1) y = 0.

Dérivent de la série hypergbométrique en faisant : a = k + l ,

Développement en serie :

B=-k,

y=-],

x=-

1-z 2 '

Intégrale générale de l'équation de Legendre : Ber x =

C(2 4

.=a

11'

ly

(-

= .=a

(?

.

!q2

[

'

A 1--

+ =,

k(k 1) 2!

+

k(k

- 2) (k + 1) (k + 3)

+ 1) !12

[(Zr

=

x

(-,IY+' .

1

,,,

+

rn

Bei x =. .C

+

4!

5!

' (1

Si k est entier cette expression se réduit à des polynômes. Si B = O e t k = 2 , on a A(l -31'); .

Bei.(x) =

.

,

,

.

-

C

(-

,=O

[(ie .) :] 6)""

,

SiA=Oet k = 1 , onaBn;

-

sin

r ! T(a

+ r + 1)

~éfinitio"et expression générale des polynômes de Legendre :

Formules dans le cas de z entier : beiL.(x) = (- 1)" ber,($ , bei..(x)

= (- 1)" bei.(x),

ber.(-

x) = (- 1)" ber&),

bei.(-

x) = (- 1)" beidx) ,

ber.(-

x) = cos an ber. x --sin an bei.(x),

bei,(- x) = cos crn bei. x

+ sin un ber.(x).

ce qui donne : P, = z , 32-1 2 '

P, = -

5 P,=-z'-2

3r 2 '

35z4 15 p , = - - -8~ z + -4

3 8'

TABLES NUM~RIQUESDES

SePT PREMIERS POLYNbMES DE LEGENDRE.

151

PONCTIONS DIYBRSBS

Formule d'olinde ~ o d ~ i :g un ~ ~polynôme s d'ordre n de Legendre peut se mettre sousla forme :

1 d" P. = --(2 - 1)". 2" n ! dr"

+

. Fonction générornce : q(p, 4 = (1 - 2 pz Les termes n !P.(=) sont les coefficients du développement en série de Mac Laurin de q (en p). Formules de rlnrrrence : (n+ l)P.+,-(Zn+

ZL;ros des polynômes. Racines de

P.

l)rP.+nP..,

=O,

= O.

Elles sont toutes rbelles, distinctes et comprises entre - 1 et Orihogonnliié : dz = 0 J - ~ ~ A ~ )

si

i

+

;

FONCTION DE WEBER-HERMITE. 4

,

Solutions particuli.?res.de l'équation diKérentielle : n quelconque réel

s i yen pose y = eë""

u 1'6quation diEérentielle deviént d'u du --z-+nu=O d r h z

+ 1.

FONCTIONS DIVERSES

Développement en série :

Fonction de Weber-Hermite, n entier :

Orthogonalité :

+

a, et a, quelconques.

1 = J-m

Fonction de Weber-Hermite, D.(z). On pose

io

Dm(=) Dm(z)dz

=

H.(z) dn = O

si

m # n.

FORMULES RELATIVKS AUXPOLYN~MES D'HERMITE :

Formules de récurrence : 4 + i(z) - zD.(z)

2Di(1

+ nD.-

,(z)

=

O;

H.(z) = (- 1)"

+ zDn(z) - 2 nD._ ,(r) = O ;

d" [e'''4 di"

D.(r)] = n(n

d" Ce-''" di"

Dm(=)]= (- l)m et'*" D.+,(z)

- 1) ... (n - m + 1) etZ'"

D.-,(z),

2 dr" ,-.'/a

n > m;

.

POLYNÔMKS D.HERMITE. - Quand n entier, le développement s'arrête.. Si n pair positif : Zp,, a, = O, et le développement s'arrête auterme en 9 ' . S i n impair : 2p 1, a, = O, et ledeuxième terme s'arrête au terme en z"+' En général :Dn(z) = eë"/'H.(z): H., polynôme de degré n. Formule générale de H.(z) :

+

2"

--n(n 2- 1)

.-, +n(n-

Fonctions .génératrices : Polynômes d'Hermite :

l)(n-2)(n-3)f-d+...+

2.4

H , , = r'"

45 rs

+ 630 r6 - 3 150 z4 + 4 725 r2 - 945,

H,,= z"

- 55 z9 + 990 z' - 6 930 z5 + 17 325 r ' -

H , , = z"

- 66

z'O

10 395 z ,

+ 1485 z8 - 13 860 r6 + 51 975 r4 - 62 370'1 + 10 395

155

FONCTIONS DIVERSES

1

Zéros des polyn6mcr. - Les zéros des polynômes T sont réels et compris entre - 1 et + 1. Le zéro de rang r est donné par la formule

POLYNOMES DE TCHEBYCHEFF. Solutions de l'équation différentielle : (1 - a 2 ) - d'y - O - + n 2 dy y=0 d"o"'. . Solutions indépendantes :

Les zéros de U sont donnés par la formule' o. Expression por dérivees :

1 1

T.(w) = cos (n arc cos o )

u.(o) = sin (n arc cos or T.(o) = ch (n arg ch o ) um(w)= sh (n arg ch w) T.(w) = :[(O

I w l < 1;

101 >

1;

+',hT). + ( o - J2T)nl

FORMULES DE R~CURRBNCE OU A D D i i I p :

Développement du polynôme :

,

- U m ( 4 u.(o),

T,+.(w)

= TAwI

U.+.(w)

= U.(o)

T,-.(o)

= T.(w) T m ( 4 + u.(o) u.(w),

U.-.(w)

= U.(o)

-2

T,+,(w)

Dernier terme :

U.+,(w)

T b ) + U.(d T m ( ~ ) ,

T.(w) - U.(w) Tm(w),

lol > 1

si

n=2k+l.

i

= cos (nmarc cos o ) = T.,,(o),

2 z2(w) = 1 si

+ Tm-,(w) = O, + U,-,(w) = O

0 Tm@)

- 2 O U",(O)

T.[T,,(w)] = T.[T.(o)] = f J 2 T p .

r* = cos-.

+ T,.(w).

avec :

Dernier terme : e'- cos (t

=

1 "=O

t"

Z(w) ,

e" sin )-t(

=

r C* 7 " . U.(w)

"-0

Relation de récurrence : nLtl(x) = (- x

+ 2 n + c - 1)Li'?

,(x) - (n

+ u - 1) L$L,(x)

Fonctions génératrices :

e'x-" d" L~'(x= ) --(e-=x"+") n ! dx"

,

Orthogonalité :

6 , , = symbole de Kronecker (voir p"ge 31)

POLYNBMES DE LAGUERRE. Solutions de l'équation différentielle :

+

XY"+ (OL 1 - X) Y' 'Forme eédrale :

+ ny = O .

CHAPITRE 4

ALGÈBRE DES TRANSFORMATIONS

TRANSFORMATION DE LAPLACE. Nous ne donnerons pas ici, les origines, ni les utilisations (voir au calcul des intégrales définies et aux équations différentielles, les utilisations mathématiques de la transformation de Laplace) de la transformation de Laplace; nous nous bornerons indiquer les méthodes de calcul, les propriétés de ladite transformation ainsi que les transformées d'un certain nombre de fonctions.

D~N~TIO -NC'est . l'intégrale Fb) =

1'

h(t) e-*. di

0

.

h(t) étant une fonction de la variable réelle 1, p une variable complexe ou non, h(i) étant toujours supposée nulle lorsque t < 0. Symbolisme. - F@) C h(i) signifie F@) =

I:

h(t) eëm dr et h(1) 3 F@) de

même. On énonce que F@) est la transformée ou l'image h(t) et h(t) est l'original de Conditions #existence., R faut que l'intégrale soit convergente, ce qui implique e-"' 1 h(01 -. limite finie, Si h(t) n'est pas nulle quand I , < O, on suppose toujours que h(t) est multipliée :O et = 1 quand r > 0. par une fonction dite fonction unité, telle que = O quand t ; Propriétés de la transformation de Laplace (nous supposerons que les fonctions h remplissent les conditions ci-dessus).

10 h,

+ h,

3 F, + F , ; ahci) 3 a*).

20 ~ransforméed'une constante n : h(1) = a ,

a

Fb) = P

30 Transformées des puissances de r : h(t) =

I l o Changement d'échelle :

1".

n !

a) n entier : F@) = p,; b) n quelconque réel : h(t) = t" , ...

r(@+l) F@) = P'+~ '

1

40 Transformée de ë"': eë" 3 p+a' 5 0 Transformées des dérivées de h(t) :

@>-l,

12O Théorkme du produit, ou théorème de Borel : F, F,

h'(t) 3PF(P) - h(O) ; h(0) = valeur que prend h(t) quand t + O par valeurs positives ;

h,(A) h,(t - A) d l =

h(t) 130 Transformées de th(t) et -(voir t

1:

h,(q h,(t

- 1)d l .

70 et 80) :

d'h 3 p V @ ) - ph@) - #(O) : dt2

q h(t) entre 0 et t :

di

(c'est une égalité ici).

S.'

1 h(t) dt 3 - F(p), P

F@)étant la transformée de h(t) . 7O Dérivation par rapport à p : F'@) C

- th@)

80 Intégration par rapport

.

ou

th@) 3 - Pb),

170 Transformées de 1" h(t) et des dérivées successives de h(r). Multipliées par les puissances (entières) de r (Fimage de h) :

p :

.

90 Transiation de la variable t :

h(t

- l ) 3 eë"

F@) .

100 Translation de la variable p : F@ + 2) C e-" h(t)

.

d'h t3h(0)-2pF-p'-, dt2 d2h d2F dF tl--7p'-+4p-+ZF. dt2 dp' d~

dF dp

162

190 Transformée de h(sh 1) :

F = image de h(1) =

-

1 . -un ( ~ , / ~ i h ( u > , d u

" = - -I .

Jp= f?nction J de Bessel ,

O

2

F = image de h(t). 220 Original de F G ) C -

200 Transformée de f-. h

J Jn 1 -

O &

jD(~ F(U) ) du,

h ( ~ ht) 3

(:)'"Jti2&*.du

PJP

'"=::

dx ,

CC

'F(t)

1

180 Transformée de h(tz) : e-'''4i'

163

A L G È B F ~ DFS TFANSFORMATIONS

F O W L N R B DB MATHÉMATIQUBS

(+)Il:1 (i)" '(245)

F(t) dt

D'où, pour z = l :

:

j

=.h t i o n de Bessel.

(il (k) "'

J,(2&)

h

F(t) dt ,

u eë"""

FG) 23" Original de -

h(u) du.

h(u) du

JP

240 Original de ?(ln p) C

~ s b i e r udes transformées d'un certain nombre de fonctions.

a=o :

FONCTIONS A L G E B F U Q ~ .

1 2

F(t) sin ( 2 6 ) dt ,

g=-:

= = - - ., 2

l F 210 Original de p'i'

1:

-h tJ;l

1

C)- fi 1: J

(i) 1 (:)"" - C:

3-

Constante a

~cos(2fi)dt.

Y(t) : fonction de Dirac

Y "(1) Y(t) .

n=l.:

.

.

-1 P

Y(t) : fonction ùxité

J n ( 2 & )h(u) du .

I

Fk)

.\

~ ' o i pour , n =O :

'

1

h(t)

a = l :

dP

l

1 1

164

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES

en' K a P

) , K, = fonction K de Bessel

F o ~ c n o CIRCULAIRES ~s ET HYPERBOLIQUB.

l

COS of

1 1-f 1 -

e''

$

,

.

t -

1

+P

.

~

sin p

[:

[:

,

1

1

- - Si (p)

ch ot

- - Si(p)

,finpCi(p)+cosp

sh wt

- cos p Ci (p)

+

-

m.

e-" sin or

t

At + B t1 + 113

e-x,

Ci (op) [B sin (op) - A cos (op)] sin (op)

.,# 1 '! 8

+ 0'

sin ot

t2 + a2

4

pz

ep[l - ? ~ ) ,] @=fonction erreur

J1+;"

1 1 + 't

Ei (p)

p

+

+ B cos (op)]

COS Of

eëa sh of

w

(p

+ a)' + 0'

A L G ~ R EDES

e-" ch wt

cos o t sin' o t

t sin wt

sin3 o t

167

TRANSFORMAnONS 2o'p (p2

+ 0')

(pz

+ 9 oz)

6w" (~2+~')(p~+90~)

1COS 0 1

\'

Y54

J;cos ut

tshwt

pz - a Z + +

p)Jm

P

m

JT,

t c h or sin ~t sin o t

sin o t

- .

+ o t cos o t

-

20 sin wt

, sin' o t

*

- o t cos wt

t

2 O'

+ (a - w)'

1 p2+402 -In

..

4

PZ

+ 40' 2w o a r c t g - - ~ ~ n L PZ P 4

t2

sin o t t

pz

4

1

2 n! o z " sin'" o t (')

,

1 - cos wt t

..

sin'"+' Wt

,

J

Y-.. arc t g t sin' o t

COS?

1'

1)2021

~[.inp~ip+cosp

& fi

ot

(,) La tranrfomk de

1 . cos o t sin o t = -sin 2 or 2

+

(2 n 1) ! 02"" b 2 + 0 2 ] [p1+(30)2]...[p2+(2n+

dire

p*nt

a>r

sc calcule de la mtme façon que celle de sin'"

de sin'.-* mr, en multipliant par

el*' -. e-""

i

c'eit-a-

et en appliquant la rdation

I

169

DES TRANSFORMATIONS

sin 2 f i

I

$(P

+ a) - $(pl,

d ln r(P) avec $(p) = d~

*(P+a)-*(P)-$(P+a+b)+*(p+b)

COSINUS I N T ~ G R A L R

2p -

arc tg p

1

parc = fonction l' incomplète

r(- p, a), avec r(u, x) = T(cr) - y(u, x)

ap

170

MATHEMATIQUES

n>RMULAIRE DE

cos t Si (t) - sin t Ci (t)

A L G ~ B W DES TRANSFORMATIONS

+

l

np 2 l n p 2(p2 1)

+ cos t Ci (t)

+

1 t2 a2 1 -In= - [ln (t2 t oz t

l

FONCTIONS LOGARITHMIQUES.

In t

In (1

.

+ at)

filnt

(In 1)'

a2)

2P [ln a + Y

- si (op$ -

1

- cos ap Ci op

cos t si (t) - sin t Ci (t) (avec si = Si (t) - 4 2 ) sin t si (t)

In (t\

+

171

%

lnp

+ C,

C = constante d'Euler

+ a 3 - in oz]

- [(si ap)'

+ (Ci ap)']

173

*LGÈBRE DE TRANSFORMATIONS en(Kl -A

J,,(JZG)

e-'V°""T JO-)

JP2+1 rn

eml~-

r , v )

fi e-" fi

1

I

JO-)

en posant r =

J-+."et p/a =

Jp"-i

,

,II

u,

J.(at) 3 r-' eë"'

1

J,(JGG~

- e'-"m

JzG J

,

r

a e-oP

n

'm

- e-am a

.

- e-dP

1,a

J;"-2

Io' (-1+

JO-),(") .

en posant

Y,([)=

1

2i

[HS'(t) - Hf'(t)]

= fonction

Y de Bessel

J.(,,/FT~

2

1

R

fi

--ln(p+fi).-

.

"'

O-',

O

a

S

e =1+o

m,

F imagedej

,@-Ti m e-a

J , J ~a2~

m

rn

du

--fi - ,Y

fi

.

.

1 (pz

..

+ 1)'

174

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES

1

-1

Ber (2$)

-cos

Bei (2,h)

1 . 1 -sin

Images de fonctions discontinues.

P

P

P

-

P

1

176

rORMuLAiRE

DE MATHÉMATIQUES

l

,

h(t) : arcs positifs de la sinusoïde

h(t) : arcs positifs séparés par un intervalle

F@) :

w

1 z+ ,,, 1-

=-*Pb

Recherche de l'original d'une ionclion donnée F(p) de p. 10 Consultation du catalogue. 20 Quand 'on 'peut mettre F@) sous la forme d'une somme de fonctions (par ex. fractions rationnelles) I'original est la somme des originaux des termes de la somme.

30 Quand on peut mettre la fonction sous la forme p-' G@). l'original est P'

JO

40 Application du thé%r$id'ede Borel. Quand la fonction peut être mise sous la foime F,@) x F,@), rojginal est :

W

h(t) : sin o t

h(t) d t ; h(t) étant I'original de Ch).

C h, et h, étant les originaux de F , et F,. 50

1

h(t) : premibre boucle

1

F@) : -(l

W

+ eëa3

Formule de Mellin-Fourier :

.il I i

I ;

178

FORMULAIRE DE M A T H ~ M A ~ Q U E S

n variables :

TRANSFORMA'I'ION ,DEFOURIER. Ddfinirion. -Transformation qui, A une fonction /(t) de la vanable r fait correspondre une autre fonction F(f) telle que :

Avec x:

+ x: + ... + x.l = r 2 , u: + u: + ... + u;

:

=

Inversible : Propriétés de la transformation de Fourier. Rdciprocitd. - On a :

J,..,,,,

TRANSFORMÉGF DE F

+m

flt) =

[

O

=

fonction J de Bessel

~DEFONCTIONS I ~

f (t)

~ ( f j

e-"J=

e-xtz

.

e-l=

&"

'

r(t) :fonction unité

Transposition :f (ur) a pour transfom6e T R A N S F O RDE M ~FOURIER A PLUSIEURS VARIABLES 2 variables :

=lalm tia

=

$ [cosy ;]

ut1

-

7

~(u.0)

si x2 +

COS

+m

e-lir(ui+uy,

I

sin U ~ Z .

/lx, Y)dx dy

2a

e-nltl

.

:

2O

a

+ 4 'n + r2

,

.

n+4n2fz e-oill

r2

1 -

1

+

[cos

-5

r2 et, en posant u2 + u' = p?

e-^'",' 1

l $

USUELLGF.

F(/) elix" df.

ze-.2*lf,

a]

181

ALG~BRE DES TRANSFORMAlTONS

Triasformfes de fonctions usuelles.

TRANSFORMATION DE MELLIN. D-finilion. - Transfomtion qui, A une fonction f ( i ) de la variable réelle fait correspondre une fonction
+

1

f = e-I

~ [ f ( t l= l r(s)

f = elIf f=-

1 I+t

M = r(-s) M=-

n sin ns


Transformée M [ f ( a t ) ] = a-"
f (13

[: C)I -

tf(+)

M -f

=

(:)
{1

r-1j ( t ) = O M[/71)] = - (s - 1)
f'(t)

f ("'(1)

COS

sin t

Formule d'inversion :

,

1

"

.(SI=

f-'f(t)dl,

Formule du produit :/et g dont les transformées sont

{ W) (i)2 rt,"

M(f x

1

g)

='-

original cie
2in

c.,m


1 t

-ln(l

+ t)

ns sin - r ( s ) , avec 0 < n < 1 2

n (1 - s) sin ns

182 TMNSFORMÉES DE^

F O N ~ I O N SDE

183

ALG~BRB DE3 TRANSPDRMAnONS

h'OBMULAlRE DE MATHÉMA~QUES

BESSEL.

TRANSFORMATIONS D E HANKEL.

RECIPROQUES ET

TRANSFORMATION

Translormations réeiproqnes.

x-" Jdx)

Soit K(h, 1) une fonction de k et de r et 2 fonctions f (r) et g(r). On dit que I'on a une transformation réciproque si K est telle que I'on ait à J.(x) ( )=

( 1 )g

et

.(h)' =

[

K(*, t)f(r) dr ;

K(u) est appelé le n o y u de la transformation. Condition pour que K, étant une fonction du produit u = hr, soit noyau d'une transformation'ré"proque :

*" JE@)

p(s) p(l

- s) = 1 ,

pétant la transformée de Mellin de K(u)

.

10 Transformation réciproque en cosinus :

4 J.(x)

K = $;cos

1;

K,(x) Kdx)

dh

JcOs

x .si un noyau. En efîet. p(s) p(l dm. on a g(m) =

mg(.

- 4 = 1 .' $;&mf(x)dx.

. 29 Transformation réciproque en sinus :

K,(x)

Si

fo =

1$;

sin ~ ( mdm, ) on a . g(m) =

,

K,(J;) KO(~&) eë" cos bx

i

4'

q s ) cos rps

=

= b-"'sin' rpT(s) cos rps

a-' cos' rpï(s) sin rps

mm dx .

la transformation de noyau

K(u) = u"' J.(u)

.

Ce noyau remplit la condition p(s) q(1 - s) = 1 ;J.foncti6n de Bessel d'ordre cr.

f eë"' sin bx

$$in

I .

30 Transfomafian de Hankel. -C'est a-' cos' rp

1:

=

Y

J

Y Y

et

.(Y) =

(XY)"~ JAxy)f(x) dx

.

TABLEAU DE

Autres forme, dc la transformation : Si f (x) = x 2 ( x )

.Y=@

g(Y) = y"' y(y)

YU)d~

V(X) =

Si

et

et

et

QUELQUES TRANSFORMEES DE

1

HANKKL.

1

1,

Fonction
II

$1

",:/<

; I:

7 ~= )j o m x ~ i ( x y*xi ) di.

y=&:

RBo~rso~fn~roines :' I o Relation de récurrencè :

-

20' Transformée de la dérivée :

sin nx X

Si u = 1 : H , ( v ) = - yHo(
'H o @ ) ,

x-'

y - l [ ~ n ~ + ~ ) ' - g ] , a=, à condition que

C1 = constante d'Euler

40 Produit. Si f i )= H.[f(x)] et GCy) = H.[g(x)l :

- x2)-1/2

Formule de réciprocité. Soient' H(p) et G@) les images de Laplace des fonctions f (1) 1'' f ( t ) et g(t) étant 2 fonctions réciproques de Hankel, on a :

1 - cos ay

,

1

O<x
50

et g(1)

FORMULAIRB De MATH~MATIQUES

CALCUL VECTORIEL ET CALCUL TENSORIEL

c.

Produit Yectoriel :FA

Double produit vectoriel de 3 vecteurs.

d

V

A

= vecteur 0P.dont l'origine est un point

+

O quelconque, la direction

d +

T = V,

%

perpendiculaire au plan de O M , O M , vecteurs équipollents A ?et (sens tel que le tritdre O M M , P ait la m k i e disposition que le tritdre de référence choisi a + .-+ -3 l'origine) et qui a pour mesure le produit 1 V 1.1 V, 1 sin (Y, V,) des mesures des vecteurs par le sinus de leun angles. C'est un vecteur. EXPRESSION EN AXES U R T H ~ N O R M ~;ScoordonnCes : + -+ V , n V , : Y,Z,-Z,Y2, Z , X 2 - X , Z , ,

A

+ (V2

-

(OM,

+ O-< M , + ...) = O A A 4

.

3

OM,

-

-

+ A, OA, + ... + ilna. , (1, + A, + ... + 1. # O) A, + A, + ... + A.

+

OG = il, OA,

.--+

4

il, GA, +.A, GA,

X,Y,-Y,X2.

A,

Z.(3

A

A

A

#) =

<.(Y:

A

C).

V,) = (Z A 2).V,.

+

21 2 , + A Z Z , ... + il. A, + L, + ... + il"

-

-.-+ le vecteur M Y = il, M A ,

-

-

+ A, MA, + ...+ ilnMA, est indépendant de M.

VECTEURS GLISSANTS. MOMENTS (repère orthonormé).

, ' Moment d'un vecteur par rapport B un point. -=

x,x1 x, + + (VI, &, ri>= r, y, Z, Z1 z,

Ax

y

O ) ,

+

(X,X Z)= composantes de A B ,

01 origine des coordonnées

---

Valeur absolue = mesure du volume du parallélépip6de qui a pour atëtes les vecteurs O M , , OM2, O M , équipollents aux vecteurs donnés ; c'est aussi le produit par 6 de la mesure du volume du tétrabdre O M , ' M 2 M3.

.

'

:

3' Expression analytique(axes orthonormés) :

.

.yn

Si

10 On peut permuter circulairement les 3 vecteurs composants.

Z) = z . ( g 20 On peut intervertir les signes . et

+ ... + An + il, + ... + A"

+ -< + OA A O M , + ... .

ProdUit scalaire d'un vecteur et d'un produit vectoriel. C'est un scalaire.

A

+ ..- + A, GA,= O

A, s, + 1, x,

=

V,.(z

Non commutatif.

4

-

Batycenbe.

Produit mixte.

',.+

+ Va)

++,+ T = (V,.V,) V, - (V,.V,) V, 4

+ + + + Le produit vectoriel est non commutatif : V A V , # V, A V. Distributif par rapport A l'addition

-., OA A

A

*.Tc,

.:.,>$-

..~.

Moment en O , (x,, y,,

2,)

:

&;(a) =

A

d=z

=.

OZ- z+ 03 & A

(& =

d) ,

CALCUL VECTORIEL BI CALCUL TENSORIEL

Invariants du systdme :

Y,

L, = L - y , z + z ,

+ O,R(X,i:Z)

M,=M-n,X+x,Z,

-+

et

O,R.O,G, = L , X + M , Y + N , Z

sont indépendants du point 0 , envisagé,

N , = N - x, Y + y i X .

. .

Moment d'un vecteur par rapport 1uo axe A. + A défini par O,(x,, Y , , 2,) et Uiu, B. Y),

Axe ceneal.

ièie

où

1

:

L-yZ+zY-M-zX+xZ-N-xY+yX X Y Z

r , d - x, y ,

Systèmes 4quivalents.

est l e ~ ~ ( U j

v =x,,9-Y,".

-

&(AB, A'B. = (

~

A

systbme équivalent à O :

a = o d = 0 ,

-+

2= 0 , 2 # O (constant),

4

Moment relaüi de deux veneurs AB et A'B'. 4

a 02)

I.=y,y-z,P, p =

a+o,.oR.OG

+ d

3AB).AeB. = ( A X

A

A ~ ) . Z

El6rnenb de réduction d'm systhme de veeteors (w toaeur).

AU

torseur le plus général, équivalent à un vecteur et un couple ou à deux vecteurs non coplanaires.

POINT De VUE ANALYTIQUE.

Systbme équivalent à 2 vecteurs non situés dans un même plan ; équivalent aussi à un vecteur dirigé suivant l'axe central et à un couple dont le plan est perpendiculaire à cet axe.

Rdsultanie géndrale ou somme giomirriyuc :

[

1

L

Moment rdsultanr en O :O(tG = C

=CL,,

M = C M,,

N =EN,,

=

'système équivalent à un couple ; systbme équivalent t i un vecteur unique (le support de ce vecteur est le lieu des points où le moment résultant est nul) ;

= O,

++ OR.OG # 0 ,

Moment en 0 , :

-

Lieu des points où le moment résultant est parallèle à O R (c'est la droite paral-

,

,

'

+ .&;, (G.

Les composantes écrites pour un vecteur restent valables. Momentpnrropportàunoxe :lesfomulesécritespoutunvecteurrestentvalables,

1

>

i

'

Système équivalent à 2 vecteurs situés dans un même plan.

Io[ p+ ' Y2+Z1>0

[

Système équivaunique lent à un dirigé vecteur suivant l'axecentral.

i

20 X = Y = Z = O

Systbme équivaunique.

CALCUL VECTORIEL ET CALCUL TENSORIEL

-

ANALYSE VECTORIELLE. Dérivée #un vecleur. -Si

193

dM .C'est donc un vecteur. On écrit Myr) = - Si I'on joint M à un point f u e 0 , dl ' dM est également la dérivée du vecteur U = OM. dt

t

le vecteur Uest fonction d'un param&tre1, la dérivée U'

est la limite du vecteur

+

Formule de Taylor.

c'est un vecteur; c'est la tangente à la trajectoire de l'extrémité des vecteurs équi-

Expressions de dérivées veetorieiies et règles de dérivation.

+

O

c

-

t,

/'

Y~

.

~,

'./

+

+

+

+

t

GRADIENT. - Point M = 0 X i Y j ? 2 k ; X, Y, 2 coordonnées du + + + point; i , j,, k vecteurs unitaires selon les axes. Soit m = / ( M ) : amgrad in = - i ax

dPX dtP

lorsque

Fonctions dépendant de la position d'un point M. Fonction scalaire s'il s'agit d'un élément scalaire (densité, potentiel, etc.). Fonction vectorielle s'il s'agit d'un vecteur (vitesse, accélération, champ élec. trique, magnétique, etc.).

U(0, V(r), vecteurs fonctions d'une variable t :

dDY dtP dPZ dt'

e

Fonctions de points.

-

--

t

où

pollents à 8(t) menés par un point fixe. On déduit : si le vecteur a un module constant (non nul), il est perpendiculaire à sa dérivée. t' -+ + Si le vecteur U # O satisfait à U A U' = O, sa direction est fixe. -, + -+ ++ + Si Von a U ilO, U A Li' Z O et U U' U" (produit mixte) = O, le vecteur U est parallèle à un plan fixe.

amt am-+ +ay + az k .

Vecteur

On a grad m.dM = dm. d Û d Û du -=-dt du . d l '

SURFACES DE

NIVEAU.

- Surfaces telles que m = Clc, soit dm = 0.

On a alors grad m.dM = 0. Donc le vecteur M.=

est normal à la surface.

LrGNe DE FORCE. - Lieg de 'M tel que vecteur M(grad m) soit tangent à cette ligne : grad m A d M L O. -5

DinivÉ~NORMALE

DE

PAR RAPPORT A UNE SURFACE S

:

(grad).: X= vecteur uniCaire de la normale à S (scalaire, produit de 2 vecDans cette dcrnibre expression, ne pas modifier l'ordre des facteurs. Dérivée d'un point. Si un point est fonction d'une variable 1, et en désignant par M(r) ce point, la dérivée du point est la limite du vecteur.

teurs). C'est la projection de (grad m) sur la normale. PROPniÉTbS DU GRADIENT :

I o Soitf(m, n,

...), on a

FORMULAIF@ DE MATH~MATIQUES

CALCUL VEC~ORIEL

rn

CUCUL

TENSOMEL

+ + + - + - + + 40 div(U A Y)= V r o t U - Urot V. 50

-+ rot (grad m) = 0, div (rot LI) = O, div (grad m) = Am.

M,=0+xl+y7+zl.

OP~RATEURS. - Opbrateur laplacien :

A = - +a'- + -

a2

a'

atm

a'm

ay2 az2'

ax2

Appliqué à une fonction scalaire m : u = l x + / ~ + l z ,

.

a'm

.

ai'

, Am=-+-+ax2 ay2

'

.

+

al8

a25

AU=-+-+ax'

a25

arl *

ay2

'

vecteur.

0 h r a t e u r hamiltonien ou nnbla

+j - a+ -ka- . ay az

; V = ki - a+ ax Appliqub

A une fonction scalaire m : + am Vm= i - +

ax

-am j-+

-

ay -,

-+am k-=gradm.

ai

Produit scalaire de V et du vecteur U : div ( m û ) = rn div û

+ (grad m)û

au. J U ~.Û=divU=-+--Y+_. a~

ay

au az

CALCUL VECTORIEL EI CALCUL ~ N S O R I E L

.+

-

IIIz

-

Dérivée d'un vecteur suivant un autre vecteur : +

dû aû = - V, dV ax

,

197

40 FORMULE DE GREEN. p et q étant 2 scalaires fonctions de M.

Produit vectoriel de V et du vecteur U :

Dérivée de Li suivant v :

'

aû

aû

-

dz =

II,

P grad q - q g n d

i do

50 FORMULE DE S T O ~. La circulation du vecteur 2 le long d'une courbe fermée C est égale au flux de son rotationnel sortant de S, surface délimitée par C :

+ay V, + az V ,

LÜ'dM =

II

E!mt

Ûdm.

Formules de l'analyse vectorielle.

CALCUL TENSORIEL

Circulation d'un vecteur ?fonction de M :

Jc

C'est l'intégralecu~iligne dM. En mécanique, c'est le travail de la force ' Flux d'un vecteur sortant d'une surface .?(da, élément d'aire) : C'est

[js

Ï?.:da,ï?

= vecteur unitaire de la nomale, un sens positif ayant été

G6nhraüsation de 1s notion de vecteur./ Une suite de n nombres dans un espace Rn,pris dans un ordre donné, constltue un vecteur. Tout vecteur de cet espace peut se mettre sous la forme -+ x =&x'

fixé.

+ê2x2+...

+Xxm,

les vecteurs e, étant les composantes d'une base dans R", x' étant les composantes

Formules fondamentales :

du vecteur 2 10 T~éoRÈme~ ' O s r n o c n ~ o s(ou ~ vformule de la divergence). CHANGEMENT DE BASE. les E,. On a

S. surface fermée limitant le volume r.

L'intégrale de la divergence d'un vecteur, étendue à un volume est égale au flux de ce vecteur sortant de la surface qui limite ce volume.

rot 2

les o sont les projections des E sur les axes déteminés par les e. On écrit E, =

C?;iaje);:la'composan

selon l'axe j dans le système E est la

somme des termes dOnt l'indice j et l'indice supérieur toutes les valeurs de 1 à n. i, indice de sommation, s'appelle Si l'on résout par les formules de Crapier, on a

?" FORMULE OU GRADIENT.

JlJ'.

- Soit une autre base du même espace R",définie par

=

z S

A

û da

199

CALCUL V E C T O ~ET CALCUL TENSORIEL

Relations entre les a et les b. b( =

A' i , A déterminant des a, Ai =

= coefficient des a;

Dans R3, en coordonnées orthogonales, Si e, = e, = ... = 1, la base est normée.

dans A (mineur

En coordonnées orthogonales et normées,

avec son signe) ;

ai = Bk !

B '

xaibf=l

,

'i=j.

B = détermgnant des b,

t$ = coefkient des b:

= x2 + y 2

+.'2

z.<

= O si i # j et

<.;

=

1 si

ANGLE DE 2 VECTEURS (dans R") :

1 B=-

si

A' k=j,

si k # j .

=O

(rappelons toujours qu'il s'agit de sommations).

TRANSFORMATION oes COOROONNÉES base :

D'UN

vEmEun V dans un changement de Coordonn6es contravariantes et covariaoies.

X',=CbjxJ,

x'=xa{x'.

Soit le vecteur X = zx'.

I

Les nouveaux X (dans les nouveaux axes) se déduisent des anciens x (anciens axes) par les coefficients b qui donnent les anciens e en fonction des nouveaux E.

Cette dernière quantité s'écrit gu x' = x,, et s'appelle coordonnée covariante de 2 Signification géométrique dans RZ :

PRODUIT SCALAIRE DE 2 VECTEURS :

-+ +

-, x.y = (x' e,

le produit-scalaire-<.~:

+ -+ -, + x2 + e, + ... + x" en) (y' e, + ... + y" eJ

x L = a,,

x2 = a 2 ,

X, = a;,

x, = a ; ,

confondues Relations en coordonnées orthogonales. que l'on écrit :

x;";~

y'.

x,=gtjxj,

x ~ = g ~ x , avec , 9 ~ =9 4 .

Q =

i et j prenant toutes les valeurs de 1 à n: -++ x y = e, ej x'xj

, convention d'Einstein

TENSEUR U~TRIQUE. - Par définition, c'est g , ~ = de'n coefficients. NORME

,>'

D'UN VECTEUR.

-+

-,

-Produit

x. i = g v ~x'i ,

z, 6 (= % -,

= (Nx)

a:

'

Produit scalaire :-x. y = xi y,. Norme : (Nx) = go xi xJ = g" x, XJ = x' x,

9.

.

Definition d'un tenseur.

Ensemble

scalaire d'un vecteur par lui-même : qu'on écrit ($

déterminant des gu,

'i+

On écrit encore'cette sommation sous la forme abrégée. +-+

O

a,

II

i

;

1

Groupe de termes appelés composantes du tenseur (en nombre 3* dans R3) chacune de ces composantes étant rattachée A 1, 2,3 ou n axes de coordonnées et tels que, dans un changement de base défini par les a et les b, les nouvelles composantes dérivent des anciennes au moyen des formules de transformation suivantes : 1

CALCUL VECTORIEL E t CALCUL

Si 1, m, n sont les indices des nouveaux axes correspondant à i, j, k, des anciens, la composante

TENSORIEL

201

Les y sont les coordonnées d u point dans un systéme de coordonnées défini par les surfaces g, = g, = g, = 0.

Condirion. -II

faut que le jacobien J # 0,

la sommation se faisant selon les indices de l'ancienne base et en respectant la règle des indices muets (ïes indices supérieurs correspondant aux composantes contravariantes, et les indices inférieurs aux composantes covariantes). La position des indices indique la variance. Le nombre des indices indique l'ordre p du tenseur. On a donc des tenseurs entièrement contravariants (ne comportant que des indices supérieurs) ; des tenseurs entièrement covariants (ne comportant que des indices inférieurs) ; des tenseurs mixtes (comportant les 2 sortes d'indices). / On définit le repère naturel dans ce système par

~ i o ~ r i é t des é s tenseurs.

* {-

ax'

Addilion. -Les tenseurs de même ordre et de même variance s'additionnent : ry + est encore un tenseur. MiillipIiufion p h un scalaire : rp x A = Al? est encore un tenseur. Mulriplicarion de 2 tenseurs : étant donnés 2 tenseurs d'ordres et de variances quelconques, les divers produits d'une composante du premier et d'une composante du second sont les composantes d'un tenseur. Multiplication d'un tenseur d'ordre n par les composantes de n vecteurs de variances inverses et sommation des termes : on a un invariant. Relations entre les composantes covariantes et contravariantes d b n tenseur et transformation des tenseurs :

UY

1 tiyQg,, '= ty ;

r* =

C th g"

' ( ~ i s ~ o s i t i de o nl'indice) .

h

Tenseur de Kronecker. - Transformation du tenseur métrique en tenseur mixte : g:=O si i # j et = 1 si i = j .

ax2 ax'

-(dans

ayl '

' ayt

les systèmes des x, x, x,)

Tenseur métrique appelé ici tenseur fondamental : Elément linéaire

.

z<.

Symboles de CMstoEel. Dc'terminons. par rapport A un nperc R altachi au point A l (x'j, 1.' rcpérc similaire (R')relatifau point infiniment voisin M',de coordonnées curviligne, . x' + dx'. Les composantes du vecteur e;, dans la base R, sont : w:, o:,...,o;infiniment < petits, combinaisons linéaires et homogènes dcs dx', ..., dr". On pose of =; T:, $Y'. D'où

*

'

Coordonnées curvilignes. Soit un systéme de coordonnées curvilignes tel que (dans R3) :

Si on exprime y', y', y' en fonction des x', x2, x3 :

Ces ï:,au nombre de n3 (dans R3) sont appelés symboles de Christoffel. On a

Les quantités rf1sont syméthues par rapport à leurs indices infbrieurs; et les T,k, sont symétriques par rapport à leurs indices extrêmes.

Explicitation des symboles de Christoffel. On a :

CHAPITRE 6

GÉOMI~TRIE DV= e,(dV'

+ w: V"

).

Composantes contravanantes de la différentielleabsolue : ,

VkV'=J,y'+r&Vh,

avec J,V'=-.

avi Jxk

Composantes covariantes de la différentielle absolue :

T~éonèmeDE Ricci. -La est nulle.

BIRAPPORT OU RAPPORT ANHARMONIQUE. Biupponr DE QUATRE NOMBRES (OURAPPORT ANHARMONIQUE).

différentielle absolue du tenseur fondamental go

(LI, b, c, d)

=

e-a,d-o -- k c-b'd-b

1 (a, b, d, c) = -

(a,G3d)= 1 - k

k'

,

1 ,l-k

(a, c, d, b) =,

(a, b, c,

3= - 1

-=

-

(a

+ b) (c + d) = 2(ab + cd)

(les couples ab et cd sont con1ugu6s).

- ( M t , M2. Ma, M 3 =

. %= kt,PZ,

M M , . MzM,

PJ,

MzM,

(p,, abscisse de M isur un axe qui porte les points).

P.)

204 M, défini par

POMLKAIUE

DE MATH~,IATIQUES

Droites : D, = y - m,x = O (dans R'). Birapport : (D,, D,, D,, D,) = (m,, mp, m,, m,). Si OI(y = ix) et O J b = - Ur), droites isotropes. (OZ, OJ, D,, D2) = cos 2 V- i sin 2 Y = e-"" V = angle D, D,

(formulede Laguerre)

.

Si V = 42, birapport = - 1. Donc des droites rectangulaires sont conjugués harmoniques par rapport aux droites isotropes.

+ Cy' = O, conjugué par rapport à A'x' + 2B'xy + C'y2 = O . Condition 2BB' - (AC' + CA') = O.

En particulier, si Mo et M; sont les deux points qui définissent la droite,

DIVISION HARMONIQUE, birapport = - 1 :

1 =+===. -- - -M , M ,

M M M M = -1, IM,.IM, (XI O

=

2

M,MA M, M, (1 milieu de M, M,)

IM! = IM:

+ XZ)( ~ +3 x4) = 2(x, X2 + X3 x,) .

Mi, M M .

1

.

= -

1 (cf. ci-dessus) o 1,

M t et M , (abscisses solutions de ax2 + 2 bx

+ 1, = O .

+ e = 0) conjugués par rapport

Le binippon des 4 points d'intersection avcc une droite sécante des droiics (ou des plans) du faisceau est le mZme quelle que soit la s4cante. Correspondance homographique, (H). Axx'

.

+ Bx + Cx' + D = O

E h e n t s doubles :p et q racines de Ax2 Si A # O, P Z 4.

àM,etM4(o'x2+2b'x+c'=0):

2 bb'

-

BIRAPPORT DE

roit tes

: D,

QUATRE DROITES OU PLANS FORMANT FAISCEAU.

Formes reduites : si A # 0,

1.

#

A,

formules analogues pour les plans Pt = Po

. i

-=

Do + A, Do = O (dans R2),

(Do,D8, Di, D,) = ,' 2% (Do;DO, Di, D1) = - 1

+ 1, = O ;

+ A, P;

+ (B + C) x + D = 0.

(H)P (P.4. x, x') = k

- (ac' + CR')= O.

(Dt, D2, Da, D,) = (4,12,A,, A,),

.

(AD - BC Z O)

(x,, x2, x,, x 3 = (xi, x;, x;, xi) conservation du birapport

=

0.

X-P = k -X'; , - P x-q

x-9

.

206

P O ~ ~ ~ U L U RDE E

~*~~Baun~uas

ohomku~

en considérant x et x' comme abscisses de M e t M' sur deux droites distinctes au confondues ;

i

sont les foyers de la correspondance homagraphique MM'. CORRBPONDANCB INVOLUTIVE, (4.

Axx'

+ B(x + x') + C

-

4

Les milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont' 3 points en lime droite. Les orthocentres des 4 triangles formés ar les côtes sont sur une même droite perpendiculaire à celle qui Passe Par les milieux des diagonales.

2

PARTAGE EN YENNE ET EXTR~ME ISON DU SEG MENT A B = o. .

O

homographie réciproque (d suffit qu'elle le soit pour un couple).

C'est un point M ou M', tel que : AM2 = AB.MB

Eldmenu doubles : p et q (toujours distincts) racines de

--

I

et

AM"= z . n; AB AM=-#LI) 2 - AB AM=-#+l). 2

-

Forme rdduiie :

ou

-0M:OM' = K .

S

M e t M' ainsi liés sur une méme droife sont en correspondance involutive,

j

rI

AM et A%? ,

sont racines de

x2+ax-n2=0.

Construction géométrique d u p o l y g . e régulier de 10 côtés. : AM et AM'.

Cet? . i

RAPPEL DE QUELQUES P ~ 0 ~ r u É ' l ' kDES S DIVISIONS ET FAIS CEAUX HO.MOCRAPHIQUES ET IXVOLUTIFS.

G~OMETRIE ET FORMULES

POLAIRED'UN POINT P PAR RAPPORT A 2 DROITES : lieu géométriq~edes points 4 conjupés harmoniques de P par rapport aux intersections des 2 droites données . par une sécante quelriit>iliir.p:i~.;:i~ilp;ir P. Construction de la polaire. On mène de P, 2 sécantes coupant les.2 droites- en ... A B et CD. On ioint AD et BC qui se cnupcnt 1. La polaire isti01.-~ Quadrilatère complet. Les diagonales se coupent en division harmonique.

1

~

DU TRIANGLE. Ttidorèrne de Mdndlaus. - ~ e l a t i o n entre segments déterminés sur les c'ôtés d'un triangle par une sécante :

.Nc PB MA =.=.=FI. NB PA MC

..~

c

A

des segmeAts des hauteurs compris entre le sommet et l'orthocentre. Ravon : Rl2. , . R rayon du cercle circonscrit au triangle A B C ; O centre du cercle ci:conscrit ;H orthocentre ;G, point de concours des médianes ; w = centre du cercle des 9 points. 0, H, G, w sont 4 points alignés (droite d'Euler)

Théorème de CPvn. - Relation entre segments déterminés sur les côtés d'un triangle par des droites concourantes issues des 3sommets : NC PB MA =.=.== - 1. NB PA MC

-0~12,

Théorème de Stewart : -- -AB2.CD f AC2.BD = ---= AD2.BC f BC.CD.DB,

f suivant que

GO = 2 Gw en valeur absolue = GHI2. D'OU

Provriétés du cercle des 9 ~ o i n t s : Le cercle des 9 points est tangent au cercle inscrit et aux 3cercles exinscrits au triangle (théorème de Feuerbach). Les 3 triangles formés par les sommets A, B, C e t !'orthocentre H ont même cercle des 9 points. Ce dernier est donc tangent aux 16 cercles inscrits kt exinscrits à ces 4 triangles. Le lieu aéométriaue des centres des hvoerboles éauilatères oassant oar les 3 sommets d'uii triangle est le cercle des 9 points de ce triangle.

D intérieur ou extérieur

à BC.

8

a 0

C

Si AD est médiane : - AB'+AC2=2aD"+2Dci b2+e'=2m'+-

..

a2

2'

Relations algébriques et trigonométriques dans le triangle.

AD, AD' bissectrices de A. On a : -AB.AC = BD.DC AD2, -AB.AC = D'B .DrC - A D " .

RECTANGLE : TRIANGLE c 2 , théorème de Pythagore. h2 = HC.HB , en valeur absolue. b 2 = a.CH.

+

B

D

C

OG = 2 0w/3. Les 4 points O, G, w, H forment une division harmonique.

a' = bZ

+

Droite de Simson.

Les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point du cercle circonscrit à un triangle, sur les côtés de ce triangle sont en ligne droite. Les droites de Simson de 2 points diamétralement opposés du cercle sont rectangulaires. Le lieu de leur point de renwntre est le cercle des neufs points du triangle. Cercle des neuf points.

Cercle passant par les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux

,

TRIANGLE QUELCONQUE : ' C -i a, b, c côtés ; A, B , C , angles. R = rayon du cercle circonscrit. r = ravon du cercle inscrit. p = demi-périmètre = :(a b e). h. = hauteur issue de A. O = centre du cercle circonscrit. G = point de concours des médianes (centre de gravité). C r. = ravon du cercle exinscrit dans l'anale - A. bn, bl = bissectrices intérieure et extérieure de l'angle A.

+ +

-

.

H

\ y

a

A

A

ai ha

R,

212

oéoMén
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

R=

P P-a A B CB . C A' 4 cos - cas - cos - 4 sin - sin - cos 2 2 2 2 2 2

A A B C A B r=(P-o)tg-=ptg-tg-tg-=4Rsin-.sin-.sin2 2 2 2 2 , 2 n sin

-

C 2

B .sin -2C 2 A

'

2

21

i

A B . C c o s C = 4cos-cos-sin-1, 2 2 2 sin2 B sin2 C = 2 cos A.cos B.cos C + 2 ,

cosA

+ cosB-

sin' A

+

sin1 A

+ sin2B - sin" C = 2 sin A.sin B.cos C ,

't,

+

+

+

+

os2 A cos' B cos2 C 2 cos A .cos B.cos C = I tg A + t g B +Bt g C = t g A . t g B . t g C , C A B C cot-+cot-+ 2 2 cet-=cet-.cet-.cet-, 2 2 2 2 C O ~ A . C O ~ B + C O ~ A . C O ~ C + C=O1~, B . ~ O ~ C

+ si ni^ + sin2 C = 4sinA.sinB.sin C , sin 2 A + sin 2 B - sin 2 C = 4cos A.cos B.cos C . sin2A

Relations méttiques dans les polygones. A 2

B 2

= 4Rsin-cos-cos-

C B C = rcot-cot-, 2 2 2

B C B . C 2psin-sin2rcos-cos2 2 a sin B sin C 2 2 -h. = sin A A A sin "OS

Côtés a, b,,c, d. Rayon du cercle circonscrit :R.

--bc sin A n

T

B . C 2 r. sin -sin '

=2RsinBsinC.

A sinz

2bc A . b. = o+eCoSZ,

2 b e . A b.=- b - c s l n Z '

Relations burement tiigonomdtriques (A sinA

2 A = angle 2 B = angle etc. a = angle des diagonales. m, n, longueurs des diagonales.

b. B-C b., -=tg2

'

+ B + C = 1804 :

A B + s i n B + sinC = 4cos-cos-cos-, 2 2

C 2

2S sin a = -

î ~ = sin A&'

(ad

+ bc)

'

215 n côld8 que de nombres premiers

Théorèmes de PlolémPe : m.n = ac

POLYGONES (e,

RÉGULIERS.

+ bd,

m n

-=-

'

ad

ab

+ bc

Lasomme desmgles àunpolygone quelconque den côtés esi égale à 2(n-2) droits.

+ cd

.-

côté; a, a p o t h h e ; R, rayon du cercle circonsc"t; S, surface.) Apothbmes

Côtés

Polygones

GÉOIIIÉTRIE PLANE.

Surfaces

Formules généraies. Coord~meaenrt&iemes.

a) Axes quelconques : ZÜ = 1. y = mx

Carré

.........

Pentagone convexe

Pentagone étoilé..

Hexagone

Octogone convexe

1

Décagone étoilé

..

Dodécagone convexe .. .

. . . ..

R2 J i o Y f i

:+ J.(

R

2 R1

2

a =

58 ~~J1O+2fi

1)

(Jj - 1 )

:m RW :m

2

1

f (Jj + 1 ) R

(JS 2

/

-i:f R

-4) -4 (JS + JZ)

sin rr sin 8 '

tga =

x

b sin 0 U + ~ C O S O '

Changements d'axes. Coordonnées quelconques. Même origine : ( 0 1 , Oy) = 8,

-

R'JZ

(Ox, Ox') = a, (Ox, Oy') =

R

4

b=-

b = n tg a..

32 ~ ' ~ s

2

-2 @ - 1 )

. sin E , sin (8 - E ) '

b) Axes recfangulaires (ou orthonor-

RJS

R

sin (O - or) sin 0 '

m=

mes).

R-

.

Décagone convexe.

R-

f

.......

Octogone étoilé..

4

RjZ

, avec

1

YJ3 R1

l

8.

'

.

.

a

x

216

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES II

oéoMama

- ; fl - a = -2 '.

Axes rectangulaires 8 =

77

VOLUhIE D'UN TÉTFA~DREMI M2 M, M4 DANS R3.

x = x'cosu -.y'sina, y = x' sin LY

+ y' cos ar ;

x ' = xcosu

+ ysincr,

(axes orthonormés).

y' = y cos u - x sin cz . Si l'origine n'est pas la même, il suffit d'ajouter xo, y, (coordonnées de l'ancienne II. origine O par rapport aux nouveaux axes) aux coordonnées des formules MA Coordonnéesdu point Mqui divise A (xlyl), B (x2y2)dans le r a t == A : MB x, - Ax, x 5 y=- Y i - J.Y, 1-1 ' 1-2 ' DISTANCE De DEUX POINTS MI ET MI.

d' = ( x , - x,)'

+ UIi

- yJ2

Droite passant par Mo (x,, y,), parallele

4

OA (z, 0)

.

+ 2(x, - x,) UI, - y,)cos O (8 : angle des axes de R,) ,

d2 = (x, - x,)'

REPRÉSENTATIONS PARA&RIQU~~.

+ O>, - yl)' +

(2,

- z2)' (axes orthonormés de R,)

Droife passant par M, (x,, y,) et M , (x,, y,) :

.

x=- x,

+

ax, 1+A

Y=- Y i + A Y ~ 1+A '

2

ANGLE oe oaux oinecnoNs (axes orthonormés). Dans R2 :

Sf (CL,,PI). 6t (u2,PZ) 6,&) = q

(coordonnées homogènes).

ax

+ by + c =-O,

ou

aX

+ bY + e T = O

(homoghte); +

en axes orthonomés, cette droite est perpendiculaire à O P (a, b). AIRE DU

TRIANGLE

MIMZM,

x, 1 S = - x

DANS

Y,

1

y

1 sin 8 ,

x3 Y,

1

Equorions particulières :

R2

y = mx (8, angle des axes).

+p

(m. coefficientangulaire)

xcosu+ysina-p=O (Cquation normale en axes orthonormés, O H = p).

oéo~1a Droite passant par Mo (x,, y,,) et : de pente rn : .

Intersection de deux droites :

.

D,-o,x+b,y+c,=O, -" =-= b2-'

Cl

4

CL

D,-a,x+b,y+c,=O. : droites confondues,

3 = i!? + 5 : a, perpendiculaire

droites sécantes

OA :

o(x - x,) parallèle à nx

droites parallèles,

c,

+ P(Y

+ bj + e = O

perpendiculaire'&ox

Faisceou de droites : D, AD, = O, ensemble des droites passant par le point commun à D, et D,, ou pprall&lesAD,, si D, est elle-même parallèle A D,.

:

Condrtion pour que trois droites sorent concourantes :

+ b b - yo) = O .

a(x- x,)

OU

+

(axes orthonormés),

- ya) = O

+ by + e = O : -

ou :

Y - y, b

,-=- O '

-

il existe A, p, v non tous nuls tels que AD,

(axes orthonormés)

+ PD, + vD,

O

Vx, y, z .

.Droite passant par deux points, M, et

M,

Droite passant par le pôle : E = rr. Droite ne passant pas par le pôle, mais

:

perpendiculaire A Ox : x-x, -=-

Y-Y,

x,

Y, - Y ,

- x,

-x + - Y- 1 = o , a b

,

ou

: 1 ::

r

=

cos O

Equation générale :

:I=O

1 -=ocosO+bsin8,

ou r =

% -

si

M,(a, O),

MdO, b)

a cos (O - ).

a = distance de l'origine A la droite: ir =

angle de la perpendiculaire à la droite

lY

avec OX.

Condirion pour que trois points soient alignés : x,

Y, 1

X, Y , TI

x,

y,

1 = 0 , ou (coordonnées homogènes)

X, Y,

T,

x,

Y,

1

x,

T,

y,

"

= O.

Droite définie par un point A (a, cr) et l'angle que forme avec elle le rayon vecteur de A : -=-cos(@ - c) - *sin(O

- e).

/

1

-

POINTSTATIONNAIRE (U; = O soit

y=mx+p,

avec m = lim-,/ ( x )

%#O,

p=limCf(x)-mx]

x--

223

G~O&~IE X ; = y; =

0).

~ A $ ? D o :

x--

rebroussement de première espèce. i 3,%=0, 3,,@+0:

f (4

Utiliser de préférence les dbeloppements limités de x

3#0,

rebroussement de deuxième espèce.. Gbnéralement :

8 ~premier '

vecteur dérivée

-+

-+ Us' premiervecteur non nul et noncolinéaire à U r p impair, q pair, apparence ordinaire ; p impair, q impair, inflexion ; p pair,

q impair, rebroussement de première espèce ;

p pair,

q pair,

rebroussement de deuxième espèce.

Points doubles. f ( t J ='f(t,>

,

dl,) = d h ) ,

l'une des équations peut &treremplacée p u /(Ci) -=~ ( f i )

NORMALE EN M o (axes orthonormés).

z#O:

&(x

- x0) + yoUI

C O N C A VEN ~ TUN ~

.

.

'

Mo

des points A l'infini.

inflexion.

Proriquement : inflexions données par

,

N. B. -L'équation

1

,

x' y" - y' x" = O , ou - = o ( m = $ ) . drt,

dt

= O admet aussi des solutions en r dt

+T

( T : période commune de f et g).

i = J(t) = 32

3 par rapport 2

*

Ire

+

Ü?,AG=O.Ü ? , A ~ # o :

ou t , # t2

CASD'UNE COURBE UNICURWLE :

POINT ORDINAIRE

# O : courbe du côté de la tangente.

Ü?, A

11 # 1 ,

- yaJ = O .

/(ta) ~ ( t r')

correspondant

methode :

.

Q(t)

- f (ta) = (tt - 12) B(S, P) = O , ~ ( t i-) ~ ( t z=) ( f i -4,) $(s,p) = O ,

f

.

R(t) Y = g(t) = S(t)

à rbsoudre en

(fi)

s = fi

+i

et p = t , t,

2' méthode :Les coordonnées x,, y, d'un point double sont telles que Qx, - P = O , Sy,

-R =O,

admettent deux racines communes en t

.

224

F O ~ ~ U L A I RDE E MATHÉ~UTIQUES

COUR~ES ALGEBRIQUES jl~, y ) = O OU F(X, Y, T) =

+

o.

Asymprores oblrques : y = mx p, avec
Equation implicite et homoghe.

f(x, mx

POINTORDINAIRE Mo (Xo.Yo, TgHOMOOÈNFS).

EQUAnON T ~ N G ~ N T ~ E L L E .

&*,Fk0, Fr0 non tous nuls. Tangenre : (x - x,) f:,

+ O, - y.) 1;. = 0 , XF;,+

OU

Normale :

Y&,+

Y - x

fs.

=

'

-Fx = - =F; -

. fi*

u X + v Y + wT=O

y-Y0

,

Deuxikme méthode : racine double en x dans

%;

POINTMULTIPLE.

ÉQUATION PONCTUELLE A PARTIR

DE @(u, u, w

PremiPre méthode : élimination de u,

Poinr de mulriplicité p si toutes les dérivées d'ordre p - 1 (et d'ordre inférieur) sont nulles en ce point. =

f

x,

-- = 0,

:

ux w, on obtient @(u,O, w) = O homogene, le degré de @estla classe.

,

+ YF,, + TF~.)'"

F;.

Première méthode : élimination de X, Y , T entre

TF;,=O.

N. B. -Ces équations sont valables pour une courbenon algébrique d'équation non résolue j(x, y) = 0.

Faisceau desrongenres : (XF,,

+ P) .

O,

)= O.

w entre

{

-
X uX

+

Pm

Y T ' v Y + wT= O .

Deuxième'mérhode : racine double en m dans @(mi - 1, y - mx) = O (deux tangentes confondues menées d'un point).

O (('1.

Poinr à Porigine des coordonnées :

F o r < ~ u ~ e s ~ e P liantl'ordren, ~ücm la classe c et le nombre des points doubles d, des points de rebroussements r, des points d'inflexion i, des tangentes doubles t.

(%, polynOme homogéne d'ordre k). L'origine est un point.de multiplicité p. Faisceau.des tangentes en O :
ASYMPTOTES: f(x,y)

= &,y) + <~..,(x,y) + ....

If

PROPRIETES METRIQUES

i i VECTEUR TANCENT

Directions asymproriques :
DES COURBES PLANES (AXES

ORTHONORME$. -. UNITAIRE

7.

Asymptores paraIlPles à Oy : Leurs abscisses annulent le coefficient de la plu haute puissance de y dans f(x, y). Asymproles parailPles à Ox : Leurs ordonnées annulent le coefficient de la plus haute puissance de x dans/@, y). est la puissance symbolique de (XF,+ YF, + TF,) = développemont a la puissance D de la parenthése dans laauellî les puissances de F sont remplacAer par les d6rivçes eorrespondantcs. (') La notation (

+

+

n coordonnées polaires : (Ox, r )

)@)

d

= O,

+ (7,

3= V

dr=dscosV, rdO=dssinV.

Courbe r = f(8) : R =

(r2

Courbe enveloppe de x cos 8

+

+

v se déduit de t par une rotation de

+

n

:

d?

+ P)'J1

1 r2 + 2 rV2 - rr" 1

+ y sin 8 - p(8) = O

COURBURE

C.

.'

-

:

..+

= - t,.

R = IP

+ px(8)I , MC = - + p#s); ++ MC = projection de R sur r ; Ox, r = 8 .

:ourbe passant par l'origine et tangente

CENTRE DE

'

&

0.x :

Courbe passant par I'ongine et tangente B Oy :

MC = R $ = p;,

En représentation paramétrique :

D É ~ M I N A T I PRATIQUE ON DE R ET C. Courbe y = f(x) :

EQUAT~ONS ~hnTlcu41~iI~s. .

x =

Courbe

Y =

/(O '

:

1

.S

Droite : - = n cos 8

+ b sin 8

ou

-1 = A cos (0 - 4,

8 = 8, : droite passant par le pôle . Cercle passant par le pôle :

r = a cos O

+ b sin 8

ou r = A cos (O

Cercle quelconque : r z - 2 r(a cos O

-

a)

+ b sin 8) + e = 0.

Branches infinies (non spirnles).

Conique de foyer ou p6le :

- = o cos6 + b sin 8 + e

(axe focal quelconque).

. .

,

Tangente au point (r, 8,) :

ENVELOPPES ET TRAJECTOIRES ORTHOGONALES.

Courbes parakdtriques C,.

Normale au poinr ( r , 8,)

11 f; g; - f; g; = O N. 'B. -On Concoolré et inflexions.

,

'.

éliminer a et 1 entre 1 et II (équation canesienne de l'enveloppe), ou détenniner o(r) ou r(u) par II et reporter dans 1 (equations paramétriques de l'enveloppe).

obtient aussi le lieu des rebroussernents des courbes C,, vérifiant S '

,/:=.O

et

g;=0.

Concavité vers le pôle : ;[;+(;)'']>O,

O"

r2+2.'-<>O.

Deuxjeme methode : Ecrire que f ( x , y, u) = O'a une racine double en u : OU

encore

dg

- = O,

u=6

+ V = (Ox, M T ) .

A(x, y) a'

+ B k , Y)a + C(x, Y) = O

230

FORMULAIRE DB

MATHLMATIQUES

A(x, y) cos a

+ B(x, y) sin a + C(x, y) = O a pour enveloppe

A(x, y ) ch n

+ B(x, y) sh a + C(x,y)

=O

A'

a pour enveloppe A'

+ B2 = C2 ; ' - B2 ='C2.

Courbes en coordonnées polaires C., f(r, 8, a) = O.

i

f(r,8,u) = O.

Premier= méthode

O, a) = O

f

éliminer a entre f et f'

.

Deuxiéme méthode : Ecrire que f(r, 8, a) = O a une racine double en cc. Equrtion diR6reotiWe d'me famille de eoorbe~~ ( xy, , A) = 0. d x , Y, A) = O, Eliminer 2. entre
+ 9b.y'

=

* /(x.

O,

Y. Y') = O.

TWECTOIFS ORTHOGONALES D'UNE FMdlLLe DE un angle V, les courbes de la famille).

COURBES

C (OUcoupant sous

Courbes (O, solu~ronsde f(x, y, y') = O : Trajectoires orthogonales : f(x, y,

y)

Trajectoire o u a n g e V :

= 0.

-=O

(k = t g V)

Courbes (0,solurions de f(r, O, r') = O :

);

= 0 .'

Trajectoires orthogonales : f (r, O, Trajectoires sous l'angle V :

(k = tg V)

.

Courbes (CA), x = f(t, 2.) y =.g(t, 2) : Représentation paramétrique des trajectoires en déterminant 2(t) par

f l (A + f i

$1 +

g;

(.; + 6%)

=

9

(trajectoires orthogonales)

232

FORMULAIRE DE

~AilrfMAnQmS

Ellipse.

3. PUIS%NCED'UN POINT PAX RAPP , PORT A UN CERCLE :

+

Equation cartésienne : (a)"'(bY)lD= c q 3 . c2 . Y = - -sin3 b

c2

Equation paramétrique : X = ; cos3

a'

Equation tangentielle : ;5

b' - e4 +- 0. ut w2 -

P=D2-R2;

Hyperbole. Equation cartésienne : (aX)2/3- (b~)'/'= c4/' Equation parametrique : X =

-c2 ch3 7 , L2

~éveloppée: Y =

R = rayon du cercle, P =

MTf.

c2

Y= -sh3 7 , b

x = o(u - sin u), y = o(l

- cos u).

- o ( ~- cos U) ,

X = a(u

D=OM,

.

a' b2 - c4 ,,' - "2 ,"'--O.

Equation tangentielle :

Cyclofde, d'équation

--

Produit MA.MB = pour un point donne M et un cercle donne.


+ sin u) .

C'est une autre cycloide de même paramètre, située en dessous de la cycloïde donnée et décalée de tro.

ener des tangentes &&es aux 2 tercles. Si les 2 cercles se coupent, c'est la corde commune. Si les cercles ne se coupent pas, c'est la droite qui joint les milieux des tangentes communes, limitées aux points de contact.

PROBL~~MES RELATIFS AU CERCLE. Io

LIEUOÉO*TRIQUE

DES POINTS DONT LE RAPPORT DES DISTANCES

à 2 poi

MB fixes est constant et égal à -= K . MA .

s égales aux 3 cercles. Centre. rcle o~thogonalaux 3 fercles. ,

Cercle de diamétre CD, C et D étant les points qui partagent AB dans le rapport K.

6, A

D

C

B

RT A UN CERCLE.

2' LIEU DES POINT3 DONT LA SOMME DES C A R R ~des distances à 2 points fixes est constante :

..

i'l, O

A

.

.

8

MA2

+ MB2 = K 2 .

Lieu de M : Cercle de centre O, milieu de AB et de rayon

R ~ = -K-2- AB2 2

4 '

P61e d'une droite par rapport a n cercle : c'est le point P qui admet tte droite pour polaire. Réciprocité. Si la polaire du point Passe par P', la polaire de P' passe

,

,

Si le pôle de la droite D est sur la droite Dile pôle de D' est sur D. Les droites D et D' sont dites conjuguées. Un triangle est dit conjugué par rapport à un cercle lorsqne chaque sommet du triangle est le p61e du côté opposé. Relations analytiques dans le cerde. Centre (a, b), rayon R :

x =a

1

- 1'

1

+ t"

2t

[XX~

+ YY,

'

,

TANGENTES

xcosB+ysinB-R=O,

(x-0)2+(y-b)Z-~2=~,

si Oestlecentre.

x2+y2-RZ=O

f(x,y)-x~+y'-2ax-2by+c=0

Ax2 + 2 Bxy

est un cercle si

xx,

+ y/;, + /;,)12

AU CERCLE/

=O :

- /(XI, YI)./(X, Y) = O ,

RAPPORT A UN CERCLE :

A(xZ + y') ; 2 Bx

- 2 CY + D = O ,

si Oestlecentre,

(R1=a2+b'-4.

AXERADICAL DE DEUX CERCLES ( M ~NOTATION) E : ---= F(x,y)

B=0.

Fl(x,y)

ANGLEDE DEUX

CERCLD

f

- /,(x. y) =O,. b,) y - (c - c,) = 0 .

O ,, ou /(x, y)

2(a - a J x +;2(b

Tongente en Mo (xo, y,) au cerclef(x, Y) = 0 :

ou

MENTIESDE M i

. f ( ~ , y j - ~ - ~2 +~ ~- 2~ b y + ~ = o .

+ Cy2 + 2 Dx + 2 Ey + F = O ;

A = C,

xf:.

0:

- (x: + y? - 2art - 2 by, + c) (x' + y' - 2 o x - 2 by + e ) = 0 .

Cercle F(r, y)

-

E

- a(x + x,) - bO> + y,) + cl2 -

PUIS~ANCB DE M, PAR

OU

F ( X , y)

CERCLE/

+ yy, - a(x + xi) - b b + y , ) + c = O .

u(x/:,

(x-a)cosB+b-b)sin8.-R;.O,

ou

RAPPORT AU

+ RcosB -- a + R- 1 + t Z '

y=b+RsinB=b+RTangente en un point :

PAR

4,+ Y/;, + r;,= 0 ,

xx, FAISCEAUDES

1

E Q U A ~ ~ OP N A RS~ T R I Q U E S .

POMIRE DE M,(x,, y , )

--

V angle des rayons aboutissant à un point commun.

+ y/;. + /;. = 0 ,

+ yy, - 4%+ xo) - b(y + YO)+ c = O .

2M, +2bb,-c-e,

EQuA~GNTANGENTIELLE. Cercle de centre (a, b) rayon R : R1(u'

Cercle de cenire 0, rayon R : R2(u'

+ u 3 - (au + bu + w)' + v Z ) - w' = 0.

= 0.

-CLES

ORTHDGONAUX

:

Zan, + 2 b b , - c - c ,

=O.

.

f(x,Y ) = F(x,Y, 1) = O ,

équation non homoghe .

238

MAmBm~n~ues

FORMULAIRE DE

Binrs doubles : 1L", = 0, F; = O,

F; = O.

E d m e m TANGeNTreis. Equation tangentielle :

pas de points doubles ; lMl + O 1 M 1 = O rang 2 un point double (2 droites qÜi se coupent) ;

d(u,u,h)= U ' M - ' U = O

1 M 1 = O rang 1 une droite de points doubles (2 droites confondues).

Droites Do(uo, u,, wo) et Dl(ul,

+ O,

+ BQ' + hl2 = 0

+ 2pQt = 0 ,

1

deux droites distinctes réelles (ap < 0) ou imaginaires (ab > O).

{+

wo) :

UO si

= M.'

1 M1

U' = transposk de U ,

deux droites confondues. deux droites [imahnaires si ah > 0. parallèles IréelL si ah < O.

!

U',M''UO=O,

c'est-&-dire

parabole

h=O III. aPZ + hl' = O h O ,

=

I MI + O, ,coordonnées homodéterminant de M.

TANGENTES. ,

.

+ yF;, + tFi, = O .

,

Tangentes men&es.de P,(x,, y,, r,) : (faisceau des tangentes)

+ YF;,+ fF;,ll2-

et P, (x,, y,, t , ) conjugués.

XLMX, = O

X; MX,

ou

= O,

F(x,,~,,f,)F(x,~;= t) O ;

coefficients angulaires : solutions de @(m, - 1, y,

- mx,)

= O.

c'est-hdire

Polaire de Po :

c'est-à-dire

U

xF;,

=[!]

I

point de coordonn6es homoghnes (si I MI Z O)

=Mx,,,

+ yF;, + tF;,

Equation au centre (x,, yo) : = O.

x = x,

', ,' /<,

:j

Tangente en Po (appartenant h la conique) : xF:;

ELÉMEMSPONCTUELS.

.

/1

Propriétés projectives.

Points Po (x,, y,, 1,)

w,) conjuguées :

o u

ULM-'U,=O,

imaginaire ah > 0. II. aPZ

O,,

P e t Q formes linéaires indépendantes , (h = O ,

1. .PZ

I

@ S o u 2 + 2 b u u + ~ e u Z + 2 d u w + 2 e u w + fw2.

Formes rtduiles : a.p

si I M l + O ,

+ X,

Y = Y,

+Y

-

p(X,

Y) + :F;(x.,

y,, 1) = O .

240 ,

~ o m u i n DE e

MATHÉMATIQUES

oéohléme

Diomérres.

,

INTERSECTION ET FAISCEAUX DE CONIQUES.

+

De la direction 6(u; B) : rf: .p'f,! = O. Directions 6(a, p') et 6'(2', 8') conjuguées :

1. !

NI

a'
..

= Ax' + 2 Bxy + Cy2 + 2 Dxf + 2 Eyt + F r 2 , G(x, y, t) r A, x2 + ... + F, r' , F(x, y, t)

B
,

Equation aux coefficients angulaires des directions conjuguées :

+ B(m + m') + C = O (relation involutive). Direciromprrnctpoles : B(x2 - y') + (C - A) xy = O, ou directions pn Amm'

+ 2 buu + eu2 + 2 duw + 2 euw + f w 2 , Y(u, v, w) = a, uZ + ... + f, w2 . FAISCMUPONCTUEL : F + AG = 0 :

OU

m(u, U,W)= ou1

les points communs F = O et G = O sont ceux de . de la matrice fl =

F+AG=O FAISCEAU TANGENTIEL :. @ les tangentes communes

IA~",s/=O.

Equation en S :

- x , ) ~- O> - yO)'] + (C - A) (X - XO) (y - yo) = O ; Parabole f(x, y) = (mx -y)' + 2 Dx + 2 Ey + F = O ; f 'Y= O .

Foyers : points (x,, y,) d'où sont issues 2 tangentes isotropes :

-

. Equorion focale : (x '

- E ix,)

=O,

- x,)' + 0, - y,)'

Foyer (x,, y,), directrice QX

ou

F+ARS=O,

-,

S, et S,, racines de l'équation en S.

i, - 1, y,

E

= k(ax

1& - p%

F+;.PQ=O. OU PQ+'?.RS=O. 2 -Coniques tangentesen A à F = Oet pas-

PQ + lRS = O . 3 - coniques bitangenteGi~I O e n A e l B: F+AP2=0, 0% F+AQR=O,

S,X2+S,Y2+:F:(xo,yo,1)=o;

@(E

e t . Y=O.

I -Coniques passant par 4 points, A, 8 ,

F+iFQ=O,

'

l

= 0,

D F=o

S=O

Equarion rdduiie Gune conique de centre (xo, y,) : :

- ,

@ = O e t Y = O sont celles de

t+AY=O

B[(x

m fi '-

.

G=O.

Equations particulierer de faisceaux ponc-

Axes : Io Conique de centre (x,, y,) :

2'

+

et

=

1.

+ by + c)'

+ by + e = 0, excentricité e :

Pz + A Q R = O . 4 -Coniques qsculatricer à F = O en A et passant par B (figure page suivante) :

F+iPQ=O.. 5 . Coniques surosculatrices en A d F = O (figure page suivante) : F LP2 = O .

+

.@ -

P=O

3-

!

GBOM~TRIE

IRE DE MATH~MATIQUES

6 -Coniques circonscrites à un triangle : P=O,Q=O,R=O:

iQR

+ 1iRP + vPQ = 0 .

7 - Coniquesconjuguéespar rapport au triangle précédent :

lP2

+ pQ2 + vR2 = O .

CO NI QUI^

-

m+hg=o,

+

ab+rlys=.~

OU

+

(a un un' wa" = O est l'équation tangentielle du point A de coordonnées homoghes a , a', o" :de même fi, y, ...). , Coniques bitangentes à @ = O en A et B :

@+h,9=0,.

ou

u,9

+ ly'

OU

@+L~'=O, =

E N COORDONNCES POLAIRES.

(a, 4 coordonnées polaires de P '

r =

Coniques homofocales à 0 = O :

o.

Coniques inscrites à un triangle ABC :

+

p = ed

.

O

P 1 +ecos(a - a)'

. .

r =

1

P + ,e cos B

o u r =

1 - e cos 6

(suivant orientation axe focal)

p = longueur de la moitié de la corde focale parallble à D

d = 1 7u2 -el=-,

b'

.

p = e d = c . b = - . bZ

C

n

e

a

s i la conique est une parabole, e = 1, et OU . r1 r1 + = P cos a

2 cos'P 912

HOMOGRAPHIE ET INVOLUTION SUR LES CONIQUES.

@ = h,9 = O .

+

'

.

Si I'axe polaire est confondu avec l'axe focal :

O:

=

c

.Exceptiicité e = - ;

Coniques osculatrices @ = O en A et admettant une autre tangente ûxe :

m + A ( U ~+

k,,

Conique admettant le point O comme foyer et la droite D comme direc,trice.

Equations particuüèrk de faisceaux taogentiels. Coniques tangentes à quatre droites :

243

= O.

1. es droites qui joignent 2points fixes d'une conique à un point variab1e.de la conique, décrivent 2 $sceaux homographiques.

i

11. Rapport anharmà%ique (birapport) de 4 points fxes sur une Conique : c'est le rapport anharmonique des droites qui joignent les 4 points fixes à un cinquibme point de la conique. Theoreme : le rapport anharmonique de 4 points quelconques de la conique est constant. . ,

Coniques conjuguks par rapport à u triangle ABC :

la'

+ p,9' + vy'

=

O.

111. ~

é des prbcédents ~ : le lieu i géométrique ~ du ~point de rencontre ~ des ~ rayons hbmolog"es de 2 faisceaux homographiques'de sommets distincts S et S' (dans le même, est une conique ; le lieu se décompose en 2 droites si SS' est à lui-même son homologue.

~

244

NORMALES :

IV. Thdoréme de Pascal. -Les càtés opposés d'un hexagone dont les 6 sommets sont sur un conique, se coupent en 3 points alignés. V . Théorème de Frégieb

Condition pour' qu'une droite soir normale :

- Si 2 droites

issues d'un p o i n t s d'une conique, sont en involution, la droite qui joint les points de rencontre M et M' des 2 droites avec la conique, passe par unpoint fixe.

.

c4

(~quationtangentielledeladéveloppée),avecc2=o2-b'.

?

1

EQUATIONS:

(a'x'

+ b'

au a 2 u ' + b ' u ' - w 2 = 0 .

Equations paramétriques y=bsinO=b\

POINT XOy.

DE L'ELLIPSE

-XXO + T - YlbY=o o , nZ

ou

+ 27 a2 b2 c4 x2 y

=O,'

Equations paramétriqnes :

:

Polaire du point x,, y, :

.

.

.

2t 1

+ r"

Diamètres conjugués :

(O0).

x cos O

mm' =

y Sin Bo

_O+-
+ 2 mx, y, + b2 - y:

=0.

mi, m' coefficients angulaires

.

~ - ~ = 2n + n n , M(0) et M'(û') extrémités de deux diamétres conjugués. 0, 8' paramétres de l'équation paramétrique.

2

Equation donnant les coefficients angulaires des tangentes issues de.(x,, y,) :

b' . -7 ,r a S

]=O.

( a2 ~ + ~b2 - ~ 2 ( ~ + ~ - l ) ( $ + $ - , ) = o .

m2 (a2 - x:)

cd)'

+

:i

Faisceau des tangentes menées de ( x , , y,) : 2

y"

= (ox)~~' (by)l13 - CG' = 0 .

r

O =tg2'

4 Pellipse (hyperbole d'Apollonius)

:

8

-+, a2

Y0

Développée (enveloppe des normales) :

<

ËTUDE SPÉCIALE DE L'ELLIPSE.

y' 1=O; b . .

b'y

Pieds des normales mendes du point (x,, y,)

VIII. Théorème de Brianchon (corrélatif de celui de Pascal). -Dans un hex gone circonscrit B un conique, le! droites qui joignent les sommets opposés so concourantes.

TANGENTEAU

b2

a'x xo

VII. Propridtds corrélorives. - L'enveloppe des droites qui joignent les points homologues de 2 divisions homographiques dont les bases sont situées dans un . même plan et se coupent, est une conique.

1

af

.; +i; I- - - O w2 -

Normale au point (x,, yo) :

VI. Théorème de Desargues. - Les coniques passant par 4 points fixes rencontrent une droite du plan en 2 points qui décrivent des divisions en involution.

x2

245

oÉohCanie

FORMULAI^^ DE MATHÉWATIQUES

,

:

!

Lonaueur d'un diamètre : 1

cos2 O

sin2 O

8 = angle du diamhtre avec I'axe Ox + 7,

:

Théorèmes dApollonius :

OM2 + OM" = a 2

D'

;

+ b';

0M;OM'sin V = ab.

Construction. De E on abaisse la perpendiculaire sur AB. Rayon de courbure en A = AC =

b2 -. a

Rayon de courbure en

a2 b'

B

= BC' =

EQUAT~ON POLAIRE :

Foyen.(x = 2 c, y = O). Directrices : x =

o2 -,

e' = a'

C

M F = a - - , ex

Rayonsfocaux:

M F ' = a + - .CX

:.

- b2 .

,

0

(I

1

POINTSCUCYCLIQLIES : Mt M2 MAM4 (tels que Mt : 0, ou 1,) sont sur un même cercle si Et, -It,t,t,.=O,

ou

CO,=O

+

+ fl sin O + y

1 cos2 8 Pôle au centre. Axe polaire = axe focal : ; i=

sin2 O

tY

1

Propri6tés g6ométriques élémentaires de l'ellipse.

i,

;

Si 2 demi-diambtres, OM, OM,; sont rectangulaires, on a . 1- - - 1 1 1 1 -OM1 + OM'-a'+~=jp.

x Donc O H constant.

(x+c)'+y2= CERCLES OSCULATEW

(1 )'.

Thdorame de Poncelet. Lw.aneles for-

-+a

AUX SOMMETS

:

. c1 x2+y'-2-x+02-2b2=O, a

x2

+ yZ+

c1

2-y

0 .

+'O2

- 2 a 2 = o.

+ -éi-.

!

. *.

:

Origine i'un des foyers. Axe Ox, grand axe de l'ellipse :

Foyer au pôle, mais axe polaire quelconque : -'= a cos 0

(mod2rr).

CERCLE ORTHOPTIQUE OU CERCLE DE MONGE(lieu géométrique des points tels que y' - (a2 + bf) = 0. les tangentes issues de ce point sont orthogonales) : x' E ~ U A T ~FOCALE ON

Foyer au pôle. Axe polaire = axe focal orient6 du centre vers la directrice :

248

TORMULAIRE

ËTUDE SPÉCIALE DE L'HYPERBOLE. point de rencontre avec ~ F . - ~ e r ~ e n diculaire en S à MKrencontre M N en 1, centre de courbure.

a

Ellipse projection du cerde.

1

a

y=bshB=btgrp=ba, 6, axes de l'ellipse. rp = angle du plan du cercle et de l'ellipse projection.

Application.

- Lieu du point

+

t" 1 - tZ'

x = achB=-=ncos rp

21 1 - t2'

1 Equation polaire, centre au pôle : r' = cos 2 8 '

Tangenre au point (x,, y,) :

N d'un

segment de longueur constante dont les extrémités décrivent 2 droites rectangulaires. .

xxo

YYo

oz

b'

Construction par points d'une ellipse dont on connaît les 2 axes. Sur une bande de papier on porte les longueurs. a et 6 ; on fait décrire aux extrémitésdu segment (a b), les2axes : le point N décrit I'ellipse de demilaxes a et b. - Le produit des distances des foyers à une tangente est constant :

Normale au point (xo, yo) :

+

a2 x + - b2 - cy' = O X"

Y0

Equation tangentielle de la dheloppée :

FL.FL' = 'a - e2 = b2 . - L'angle sous lequel on voit du foyer la portion de tangente limitée au point de contact et à la directrice, est droit : TFD = I droit. Construction d'une ellipse de demiaxes a et 6.

.quaiions paramétriques de lcdév$loppée

[Y =-ksh38, Pieds des normales menées de (x,, y,) :

de O et svmetriaues à OX: couoent

d

X-X' - Y - Y1

sur l'hyperbole
x/a2 1

-

sh2 8 Rayon de courbure : R = -(a2 ab demi-axes o et 6.

-'

+ b2 ch'

8)312. .

O

FORMULAIRE DE M A T H É M A ~ Q ~ E S

céohth-rnia

DIAMÈTRESC O N I U G U ~ . EQUATION FOCALE (origine aux foyers) :

Coefficients angulaires :

x = nchq et Mf

y =bshq

[

x = a sh
(sur l'hyperbole conjuguée

x2 a, - b: + 1 = 0 )

y = bchq

sont les extrémités de 2 diambtres conjugués. Longueur d'un diamttre : - - -- -(O = angle du rayon vecteur pz - nZ b2 avec Ox).

Rapportée A ses axes : x' - y 2 = oz. Rapportée à ses asymptotes : xy = a2/2. Equation polaire : même formule que l'ellipse, avec e > 1. Propri6tés g6om6triques de l'hyperbole.

.

0M.OM'sin V = a b , 10 Sécante coupant l'hyperbole en MN, les asymptotes en P et Q.

V = angle (OM, OM') . CERCLE

ORTHOPTIQUE

.,I

:

.

- b' , réel si a > b. xz + FOYERSET DIRECTRICES :

2O Un segment de droite perpendiulaire A l'axe OX, est tel que :

Coordonnées des foyers : OF = c OF=-

\ "1

P M = NQ.

CL an' + b' .

A?"

m I

c,

\-

Avl'.""

"\Y"'

30 Un segment de droite parallble à l'axe Ox c o m ~ r i sentre les branches de l'hyperbole est partagé par une asymptote en 2 segments dont le iiroduit = ' a 2 . .

Directrices

~

La portion de tan~ente'wmpriseentre les 2 asymptotes point de contact. . * 4O

A son milieu au

-%

Tous les triangles formés par les 2 asymplotes et une tangente ont même surface = ab. , . 60 La projection de la normale sur les rayons vecteurs est constante.

Rayons vecteurs :

M sur la branche de gauche. ex MF=n--, a Excentricité :

ex MF'= - - - a a

,

MF' = M F = -.c , ME

ME'

o

MF-MF'=20.

1 i

ETUDE SPECIALE

DE LA PARABOLE.

EQUATION : y' = 2 px

,

ou

pu2

- 2 uw = O :

p = paramètre = distance du foyer à la directrice.

~.

253

G~OM~TRIE

= -cot2

Equations paramétriques

O,

Excentricité : e = 1.

O , angle de la tangente avec Ox . ,

y = pcoto.

&

Rayon vecteur : MF = x

+.; P

Sous-tangente : TH = 2 x . Sous-nonnale : HN = p. T

V

V

/iYI

Rayon de courbure :

I

S

I

F

I H

\ N'

Faisceau des tangentes menées de Mdx,, Y,) : [yy, - p ( x + x , ) ] ' - ~ : - 2 ~ * , ) ~ = - 2 ~ x ) = 0 polaire de x, y, = corde des contacts : yy,

..

- p(x + y , )

= 0.

Coefficients angulaires des tangentes menées du point (x,, y , ) :

p = angle de la tangente et de l'axe Ox

,

.

Rayon de courbure au sommet :p.

Equafion polaire : NORMALE.

Normale en (,y,, Y,)

Y". .

x - x , = y-Y,

.

.

ou

x y ~+ py - ydxO + p) = O

P =.Pzpôle F et axe polaire = Ox . 1 + cos 0 2 cosZQ' ' 2

Pieds des normales menées de M , ( ~ , , Y , :) les ordonnées 0>',y", y"') sont solutions de

Propriétés géométriques.

, + + . y " + y"' = 0 .

20 La parabole est I'enveloppe du côté d'un angle droit dont I'autre côté passe par un point fixe F e t le sommet de I'angle droit décrit une droite D (foyer F, tangente au sommet D).

Développée :

POINTSCOCYCLIQUPS. Les ordonnées sont liées par y,

+ Y , + Y , + y4

Hyperbole ~"Apollonius.:(x,-

x)xP + (y, - y) = O

FOYERS ET

DIRECTRICES

=

0. -C

5" Le lied des foyers des paraboles inscrites A un triangle est lecercle circonscrit

:

Foyer, coordonnée

r, 2

OURBES USUELLES DIVERSES.

Directrice : x = -

P = lieu des sommets des angles droits circonscrits

Cycloïdes, épicyeloYdes et hypocycloïdes. 10 Cyclorde : Courbe décrite par un point de la circonférence d'un cercle rount sans glisser sur une droite de son plan.

GéO~TRre

254

FORMULAIRE DE MATH~IATIQUES

x =4t Equation paramétrique :

y =

41

- sin t).

Cas particuliers : Io r = a, rn = 2. Cardiofde.

COS^).

a = rayon du cercle, t = l'angle dont il a roulé.

- cos 2 f), y = a(2 sin t - sin 2 t) . . x = a(2 cos t

Coordonnées polaires (origuie en A) :

La normale au point P, passe en B : i

p=2a(fl-cos0).

Coordonnées cartésiennes (origine en A) : 1

1

- al) cos -2 - (y - 2 a) sin -2 = O t Rayon de courbure : R = 4 o sin - = 2 f i = 2 PB Tangente en 1 : (x

(X2+ Y 2 + 2 a X ) ' - 4 a 2 ( ~ ' +

Longueur = 8 a

2

Le lieu du centre de courbure est une autre cycloïde déealée de na et située en dessous de l'axe Ox.

Y3=O.

x = a cos t, y = O. C'est un diambtre du cercle de base.

Surface limitée par un arc = 3 no' cos - . ( Longueur de l'arc entre 2 points de rebroussement

Longueur de l'arc OP = 4 0 1

Epicycloïdeà 2'rebroussements ou nephroide. = 8 a.

20 Cyeloide allongte et raccourcie : engendrée par un point en dehors du cercle roulant, lié à ce cercle, à distance £se c de ce centre (appelée aussi trochoide). Equation: x = o t - c s i n t ,

Hypocycloïde à 3 rebroussements

y=o-ccost.

30 Epicycloides et hypocycioides : engendrées par un point de la circonférence d'un cercle roulant sans glisser sur un autre cercle. o = rayon du cercle de base, r = rayon du cercle rolilant, r > O si extérieure, r < O si intérieure.

Posons

a +r -m. -

Equation cartésienne : [m cos t - cos mt] ,

Equation

xw + y'13 = Equation paramétrique :

[m sin t

- sin mt] .

256

r o n a i u u i ~DE~

oéomérnie

MATHÉMATIQUES

Equation cartésienne de la cissoïde :

60 Formules générales relatives aux épi et hypocycloïdes. Rayon de courbure : R = &sin mZ - 1

(a - X)(x2 + y')

(q) . t

m(m 2(m

+ 1)a'

[(m - 1) t

- 1)'

Equation polaire : 0

cos- 2 p c o s B - 2 q s i n t l = r .

- sin (m - 1) t] .

Equations paramétriques :

Longueur de l'arc de la courbe à partir du point t = 0, jusqu'à P :

x = a - - 2(p + qr) l+t2 '

-cos(y)t].~

sz*[l (m - 1)'

- 2 x(px + qy) = O ;

origine en O, a = OP :

Aire comprise entre l'axe Ox, la courbe et le rayon vecteur OP : S=

Courbes eisoïdales Soit une droite D,un point O hors de D. Soit un point P du plan auquel on fait correspondre M tel que, Q étant l'intersection de D et de OP,

PX

o n ait oM'= Lorsque P décrit une courbe C M décrit la courbe T dite cissoïdale de C relativement à O et D.

,+

Equation cartésienne de C : f(X, Y) = O.

8

Equation cartésienne de

x

r

D

..

C

:

',

.

,

,

Equation polaire de

r

: r =

cos a

/(O) = p étant ici l'équation polaire de C .

'

I o Cissoioa DE CERCLE.

La courbe C est un cercle passant par 0. Cercle :

- f(%),

x2

+ y'

,

- 2 px - 2 qy = 0 .

,

-t

"-

'y = Or - 2@ + qt) t l+tZ '

Propridtés de la cissoide de cerile ou strophoide.

;I_

257

Toute strophoïde peut être considérée comme l'inverse d'une hyperbole équilatère, le centre d'inversion étant sur l'hyperbole. Si l'on fait toumer un angle.droit autour du point double, les 2 côtés de l'angle droit rencontrent la strophoïde en 2 points, C et D, et la droite CD passe par un point fixe F de la strophoïde, lequel est le point de contact de la tangente à la courbe menéedu point où cette courbe rencontre son asymptote. Quand OFest perpendiculaire sur CD,les 2 points C et D sont les points de la courbe où les tangentes sont parallèles l'asymptote. De plus, toute sécante passant par C (ou D)coupe la courbe en 2 points, M e t M',tels que CM.CM' = CO'. La strophoïde est donc anallagmatique (courbe se transformant en elle-même par inversion) avec 2 centres d'inversion, C et D.

Cas particulier. - Le cercle C a son centre sur D, sur la perpendiculaire abaissée de O. On a alors la strophoide droite, qui peut être considérée également comme le lieu des intersections d'un cercle variable tangent à OP, dont le centre se déplace sur la perpendiculaire en O à OP, et d'une droite passant par le centre de ce cercle et issue du point M opposé de P par rapport à 0 , et'sommet de la boucle de la strophoïde. Equation cartésienne :

i(x2

+ y') + o(x2 - y") = O .

,

Equation polaire de C :r = f(6). Equation polaire de la conchoïde :

Equation polaire :

--a c o s 2 8

r=

cos 6

'

Si, quel que soit 8, on a f(8

Equation paramétrique : x=CERCLE TANGENT A

a(t" 1) t?+l '

et

nt(t2 - 1) Y = - t2 + 1

Propriktk : la sous-normale à la conchoide = sous-normale à C , c'est-à-dire que les 2 normales se coupent sur ON, perpendiculaire à OPM.

D BN P. - Cisrnide de Dioclès.

Conchorde de droite ou de Nicomède : 3 formes.

Equation cartésienne :

Equation caitésienne :

x(x2 + y2) - oy2 = O .

( 1 '

,a cos O

r=-f

Equation paramétnque : x=-

nt2

Equation cartésienne : x3

+ y' - 3 axy = O. '

Equation paramétrique : x=-

3 at l+t"

P x2 .

3 at'

y=i+tli+tl

1.

conchofde de cercle par rapport à l'un de ses points, ou limaçons de Pascal. a = diamètre du cercle. Equation polaire : r = a cos O + 1.

'71'

y.=jt+l.

2

=

Equation polaire :

.

Folium de Dekartes.

+ y2) (x -

asin10 r =cos 8 '

O

+ n) = - f(@, il suffit de faire varier 6 entre O

X.

.

Spirales. Spirale logarithmique : courbe telle que la tangente et le rayon yecieur fassent un angle con2tatairt V :

Equation de l'asymptote : Conchoïdes.

Point asymptote à l'origine : Pôle O et courbe C. A tout point de C on fait correspondre M et M' sur OP tels que l'on ait MP = M' P = 1 = Cle. Equation polaire : sin t'.cos 8 r = 3 o . sin' 6 cos3 6

+

MT=

L cos V '

MsinN = rayonL de courbure. = V O N = rcot V .

--

260

oéohlarnia

FORMULAIRE DE M A ~ É M A ~ Q U E S

Spirale hyperbolique : -1 = -O

-.-...........-.. . . . . ........ ..........

ï

,

ou

,

C '

ON, = Rayon de courbure : p = r ,

OVALE

-' -.r2a

DE

CASSINI:

~ o u f b d'équation e bipolaire rp = a'

,

M

+ arg sh O ) .

s = $ a(O-

rO = a .

Asymptote horizontale : parallèle à I'axe polaire, d'ordonnée + a. Point asymptote à l'origine. Sous-tangentepolaire : OT, = - o. . Sous-nomale polaire :

......',y0

.. ,,p . - ....

0'

Longueur de I'arc :

261

r = M F , p=MF', FF'=2c. Equation cartésienne :

. .

(,+ )'" 1

+ y2)2 + 2 ?(y2 - x2) +

(x'

$F'

*

F

&

x

+c4-a4=0.

Equation polaire ; pôle en O :

Spirale $Archimède : r = aO. On peut également définir la spirale d'Archimède comme la courbe engendrée par un point P se mouvant uniformément sur un rayon vecteur OP, tournant d'un mouvement uniforme autour d'un pôle fixe 0 . Si r , est le chemin parcouru par le mobile sur le rayon vecteur pendant un tour de celuici, le chemin parcouni après l/n tour sera r = r,/n. La construction de la courbe se déduit de cette caractérisi O tique. On a ri = 2 rra.

r4-2e2r'cos20+P-04=0. Si O = c, on a la lemniscate de Bernoulli : (x'

+ y2)l = 2 c2(x2- y2) ;

Eq. polaire :

i.'

= 2 e' cos 2 O .

Rayon de courbure : R = 2
'\

,; ?' M.

'

/ I

G

Sous-rangenlc poloire : OT, =

..

OVALEDE DESCARTES :

+

Lieu des points FM nF M = 2 a, a et n positifs. Pôle F.

r2/
Sous-ndrmolepolaire ONo = o = û c .

/ )"

6

(n2 - 1) r' - 4(m1cos O - O) r

On peut en déduire la construction de la tangente à la spirale.

+ 4(c2n2 - oz) = O ,

Si ra = ? 1, ellipse ou hyperbole.

~

Si n = ale, limaçon de Pascal.

Rayoii- de courbure : (a2 P=

+ r1)3'2

2a2+r2

Equation cartésienne (origine en P) :

.

,

[(n2 - 1) (x2

+ y') - 4 en2 x + 4(c2 n2 - a')]'

= 16 a2(xf

+ y').

céoho&n<œ

GEOMÉTRIE DANS L'ESPACE PODAIRE D'UNE

COURBE

C

PAR

MPWRT

A UN POINT

A :

Transformation de coordonnk.

DPfniiion -Lieu des pieds des perpendiculaires menées de A aux tangentes C. Soit q(u, u, w) i'equation tangentielle de C, et a, b les coordonnées de A.

dans 8',

origine 0' de 'ti'

Equation cartésienne de la podaire : q ((x

- a), (y - b), [- x(x - a) - yOl - b ) ] ) = O .

les vecteurs unitaires de 7? ont pour composantes dans Z les vecteurs colOnnes matrice

Equation polaire, pôle A :
acosB- bsinB)=O.

P o o ~ i DU ~ e CERCLE : a, abscisse du centre : R, rayon du cercle. Equation tangentielle du cercle (centre a, O) : Rz[u2

+ u') - (au + w)'

Equation cartésien& de la podaire de l'origine :

~ ' ( x '+ y')

- (ox - x2 -

Equation polaire : r=acosO+R. C'est un limaçon de Pascal; déduit du cercle ayant OA comme diamktre. Si le cercle passe par l'origine, c'est une cardioide. PODAIRE DE PARABOLE : Podaire de O. Foyer F. Tangente au sommet D. Courbe cissoidale dont la droite dérive de D par une translation = FO, et le cercle est le symetrique par rapport a O de celui construit SUI OF comme diametre.

-

lZ1

ou, sous forme matricielle, avec X = y

= O.

et, inversement,

X' = P-'(X

:

X = XO

+ PX' ,

- X,) .

O.

Axes orihonormés de R3 : P e s t une matrice orthogonale : P-' = P', 1 P 1 = l , si 8 et 8'sont directs , o:+b:+c:=l,

o:+a:+a:=l,

a:+b:+c:=l,

b:+b:+b:=l,

ot+b?+c?=l.

c?+c!+e?=l.

soit

a , a , + b , b , +c,c, a,o,

=O,

+ b,b, + c 2 c , = O ,

a , c , +a,c, b, c,

+ b2 c,

+ o,c, + b, c,

=O, =

O.

P' est ici la transposée de P.

Angles #Euler :8 et 'ti' orthonormés directs, de même origine. déduit de 8 par rotation d'angle $ autour de Or : X = P, X,, déduit de 8, par rotation d!angle B autour de O x , : X, = P, X,,

264

FORMULAIRE DE M A T H ~ M A T I Q ~ E S

8' déduit de 8, par rotation d'angle yo autour de

Or, : X, = P, X'.

X = P, P, P, X', avec : cos $

- sin $

&

Plan passant par M,, M , et M , :

O

O

ou

X=X,+AX*+I<X,, Z = Z,

cos
P,

=

- sin
sin
1

+ AZ, + p z 3 ,

T = T,

+ AT, + PT,

(coordonnées homogènes).

O

cos

Y=Y,+2Y2+pY,,

. Equntions cartésiennes.

CoordonnéesdupointM(x,y,z)divisantA (x,, y , , ~ , ) ,B(x,,y,, z,)danslerapport MA = =K : ' MB z, - Kz, x = - xi - Kx, y=- Y II KY,-' - K z=1-K ' 1-K

ax+by+cz+d=O,

ou

aX+bY+cZ+dT=O

(homogéne) ;

?

1 i

en axes orthonormés un tel plan est perpendiculaire au vecteur (a, b, c). Plan passant par M o(x,, y,, z,) et perpendiculaire à (a, b, c) :

Cenire des distances proporiionnelles :

E

Plan passant par M o et parallèle aux vecteurs (a, B, y) et (n', B', y') : X-xo

y-y,

z-r,

B

y

B'

Y'

.' a

LE PLAN DANS

Plan défini par trais po$ts, M,, M,, M, :

R3.

*

%F

Equaoons parnm&riques. Plan passant par M O(x,, Y O ,2,) et paralléle aux directions a ( . ,

62(a,, 8'. y')

:

X=xo+pu+p'a', ~>=pz+p'0A'

=O

y=y,+pS+p'B'.

fi, y) et

x

y

r

l

x, Y,

2,

1

xt

2,

1

Y,

=

O

G ~ O M ~ I E

Plans bissecleurs de P , er P, :

Systhrnes de plans.

c nier se hi on des plans

:

Angle de deux plans P , et P, :

'2 = b2 - %= 5 a,

b,

CI

plans confondus

d -= b2 = - + 2 , b,

0,

.

dl'

CL

plans parallèles.

condition cforrho~onalir~ :

dl

Dans tous les autres cas, droite commune à distance finie. Faisceau de plans :

'IP,+pPz=0,

LA DROITE DANS R3.

P,+LP,=O,

OU

ensemble desplans passant par les points communs (à distance finie ou infinie) A P , et P,. Condition pour que rroisplons oient une droite commune (ou soient parallbles) :

4

Droite passant par Mo(x,, y,, z,), parallele à OA (E, B, y)

x=x,+pa,

il existe 2, p, v non tous nuls tels que

lP,+pP1+vP,-O

+

vx,y,z.

.

+

Rdseau de plans : P , LP, pPs = 0 . Ensemble des plans passant par le point commun (unique si P,, P I , P , n'appartiennent pas à un même faisceau) aux trois plans.

Droite passant par M, et M,

condition pour que quorre plans aient un point commun : de

a,

b,

a,

b2 c2 d2

a,

b3 c,

a,

bn en d4

CI

il existe A, p, v, p non tous nuls tels que

. I P , + ~ P , + v P , + ~ P , = o vx,y,n.

dx

,Piopriétés rnéhiques (axes ortbonorrnés). Distance de M, (x,, y,,

2,)

au plan ox

+ by + cz + d = O

:

Droite passant par Mo, parallèle à z ( a , B. y ) :

268

%

4

Cas particuliers Mo @, q, O), OA (a, b, 1) :

1" ou

+ bfl + cy # O :

un point de rencontre.

I

+ by, + cz, + d # O : droite parallèle au plan ; 0x0 + byo + czo + d = O : droite située dans le plan.

x=ar+p,

ax,

20 au+bji+cy=O

droite non parallèle à xOy

.

y=bz+q,

Angle des 2 droites :

.. Coordonnees plückeriennes :

X-xi -=-=-

y-y,

r-r,

B

Y

Les équations précédentes s'écrivent

Y

1 = YY, - Pz,,

a2 - y* = m ,

e,

269

oÉo~A-rnie

FORMULA~RE DE MATHEMATIQUES

- yx, , " = PX,, - uya .

m = uzo

ou

0, y, 1, m. n sont les coordonnées plückeriennes de la droite; al +.Bm

+ yn

COS

v=

x-x2 --

et

y-y2-1-z, 8' Y'

CI'

+ PP' + yy' + + yZ) (u" + pz + y*')

'

eu'

-+ J(u2

fipl

'

on pour que 2 droites soient rectangulaires :

uu'+flB'+w'=O.

'#

4d

elles vérifient

= O-.

$

Les trois ëquations représentent les trois plans projetants sur les plans de coordonnées.

.a

Perpendiculaire commune h deux droites.

Y

.

,

Direction : N @, q, r), où

P = P ~ Y ~ - P I Y ~ .q

= ~ i i - ~ , a , , r=u,f12-m2fi,.

Condition pour que les deux droites :

x--xi a,

Y-YL=Z-~I Pl Y'

et

x-x, -a2

y-Y*-r-n, Pz Y2

4

Io Solent coplanaires : x2

- XI

a , u2

Y2

- YI

Pi

P2

22

-

YI

Y2

2-1

= O, ou cr, 1,

+ 8 , m, + y , n, + u2 1, + P, m, + y , n, = (coordonnées pluckenennes) .

U Y 1 2' Soient paralldler : 2 =P -i = 2 =u2

x-x,

Pt

Y1

2'

- X o - Y-- Yo - 2 0 avec le plan Intersection de la droite X = 2a P Y ox+by+cr+d=O. ,

y-y,

2-z,

a,

PI

Y,

P

4

r

~ y x Yi

~

a:

P,

P

4

.

2 -Y2 , 2

=O,

~ =

o.

r

x-X =Y =3 Angle de Io droite O et duplan ax u P Y ,/a2

+

+

am + bP cy 1 b2 + e2 JI<'+ 8'

I

+ y'

+ by + cr + d = 0.

(axes orthonormés) .

270

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

O É

O

~

I

271

~

*

Conditions pour que la droite soit perpendiculaire au plan :

COURBES GAUCHES. Une courbe gauche peut être définie par l'intersection de 2 surfaces : Perpendiculaire issue de x,, y,, zo au plan a x

+ by + cr + d = O

:

j

(2) d x , Y, 2 ) = O .

(1) i ( x , Y, 2) = O

Elle peut être également définie paramétriquement :

x-x, Y-Y,--: Plan mené par x,, y,, r, perpendiculaire à la droite -= -a B a(x

- x,) + B(Y

- Y,)

x =

a

Y

+ Y ( Z - 6)= 0 .

=

4

d

+ bp + q = O

Distance de Mi, (x,, y,,

2,)

= (1

(axes quelconques)

Y = g(f) ,

f (1) 7 + g(t)/

MoM = U(t) -'

Condirionpour que la droife soif porall2le au plan : acr

f( 0 ,

+ h(t)z = ü ( t ),

= d:

+di.

- fo)" f - to)% 8; + ... + (1 - to)i7., +( [Ut' +a]. .

2

OU

n !

(x,, yo, z,,). ~ - ~ o ~ y - y o = ' - z o . --

s

d, et d, distances de Mo A P , et P,

Droite déjînie por deux planî P , el Pz quelconques : Même méthode, en remplaçant Pz par un plan P, (Pa à P , (ce qui détermine A).

-

U(t,,),

Droife d@ie par deux plans P,; P, orlhogonuux :

d'

.

h(f)

, -

TANGENTE eN MO( f = 1,);

ii une droite.

2 =

-

P,

Yo

+ iP,) orthogonal

4

Droife déjîniepnr M , (x,, y,, r,) e f OA (a, b, c) :

LONGUEURD e

L'Anc DE

wumn.

, . abscisse curviligne : s

'*

I

(8

.

.

+ by + cr + d = O . d = 1 ax, + by, + ez, + d 1 Ja' + b' + c'

:

aB

-

= arc AM, où

'

'dg = E J X "

Dislance du point (x,, yo, ro) au plan ax

28

'

+ x-Xo y-y. z-Zo , U t ' z O : --xg' yt' ' courbe sur un plm (xOy par exemple). S'obtient en éliminant z

+ y' + d 2 d f

= f 1 définit l'orientation).

Plan nompl nu point M (x,, yo, ro) : C'est le plan perpendiculaire à la tangente en ce point : # O :

xg(x

- x,) + y;(Y

- y.)

+ io(z - e,)

=O.

A(to),

272

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES

PLANOGCULATEUR

-

AU POINT ( x ~ yO, ,

:

Limite du plan passant par la tangente en M et par un point voisin M' quand M.

M'

Equation :

- z' y") + (Y- y) (z' x" - x' 2") + + ( 2 - z ) (x' y' - y' x") = O .

( X - x) U>' z:

Normale principale : Normale en M située dans le plan osculateur = intersection du plan osculateui et du plan normal. Binormale : perpendiculaire en M au plan osculateur. Equation de la binormale en M (x, y, z) :

Indicatrice sphhrique.

Si, par un point O quelconque, on mène des parallèles aux tangentes à une courbe gauche, ces parallèles décrivent sur la sphère de centre O et rayon 1, une courbe appelée indicatrice sphérique. Point m correspondant à M. Plan tangent au

= parallèle à binormale.

Tangente à la courbe décrite par p = parallèle à mr.

274 (L

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES X'

=

Jx"

+

y"

+

z"

'

da = da dt = da , - ,ds dt ds dt JxrZ

8=

Y' Jx"

+

y"

+

z''

,

Y =

Z'

Jx;/x'2

+ y"

+

r"

1

+ y" + z""

permettent de calculer R et a'. da' = da' -permettent dt De même, ds dr ' ds

de calculer T et a".

Directement, en posant

CONGRUENCES

5~ ~IGNES.

-F

Famille de lignes dépendant de 2 paramMres.

Fix, Y, z, u, O)

=

0,

G(x, y, z, u, v) = O .

II existe en génbral, une surface (dite surface focale) tangente A toutes ces lignes. Equation de la surface focale : élimination de u et v entre Cet

. ~ o n a u u i n aoe

276

MATHÉMATIQ~ES

SURFACES. Représentation paramétrique x = f(u, x

- /(us..O )

Plan tangent

O),

Y

y = g(u,

- du, V)

fu

S:

/:

s:

z

r

O),

= h(u, 0 ) . On élimine t entre les équations des 2 surfaces, rendues homogènes. Si le cône a son sommet en P(xo, y,, Y) on écrit :

- h(u, U)

p , et on élimine p entre :

Equation cartésienne f (x, y, z) = 0. Plan tangent en Mo (x,, y,, (X

2,)

+ PP. Y O + pqi 20 + P r ) = 0.

:

ce qui donne/(p, q, r) = O ; e t on éliminep, q, r entre les équationsj e t (1).

- *O) 7:. + O< - Y O ) f;,+ (2 - 20) fZD= O .

/:.

,

Y -Ya 1 - 2 0 Normale en Mo : X - X o - = - . (axes orthonormés)

r,

1;.

'

. Famille simplement .infinie de surfaces :

Surface algébriquef (x, y, z) = O ou F(X, Y ,2,T) = 0.

Ordre : degré du polynôme/, ou du polynôme homogène F. Plan tangent en un point ordinaire (Fi, Fi, y!, F;.non toutes nulles) :

XF;,

+ YF;, + ZF;, + TF;,

=

O.

'

Point multiple d!ordre p : toutes derivées de F d'ordr rieur) sont nulles. Cône des tangentes : (XFx,

+ YFyo + ZF,, + TF#

= O (!)

tion de x, y, z en fonction de u.

.

Equation ordonnée : /(XI

Y. ' . 4

+

< P . ( ~ ,2Y) .
+ .--+
2)

(bo,, polynôme homoghe d!ordre k); l'origine est mu11 tangentes 9, = O : cône asymptotique
Contour oppirent sur xOy : /(X, Y , z) = O . et (') Voir p. 224 la signification de (

)cpl.

/:(x, y, z) = 0 .

non parallèle A xOy

.

c é o ~ i a

Cône directeur : lieu de

279

éliminer p entre f(p,py, z) = 0 et g(px, py. z)

x = 2 =5 aO) b(t) 1 '

0;

30 Circonscrit ~3la surface f(x, y, 'z) = O : racine double en p dans f@x, py, z) ; ;0.

Surface développable (plan tangent fixe le long de chaque générauice)

Ligom t n c e sur ~ les ~nrfac&

, y=bz+q Arête de rebroussement

Point central d'une surjhce réglée non développable (surface gauche). Le plan men6 par G (génératrice) perpendiculaire au plan asymptote relatif à cette génératrice est tangent à la surface en un point o d e G. C'est le point cenrrol. Quand G se déplace, le lieu de o est la ligne de striction.

-J2f Jx - -2 = - J JP x

CONOIDE: Définition. -Surface engendrée par une droite qui s'appuie sur l'axe P = 0, Q = O et qui reste parallble au plan R = 0.

_

JP - 9 ay ax y' - pu' - qB' R = ru2 2 sup tP2 '

aZf ax ay

J2f- an = ay2 - ay I

+

Ne dépend que de la position de M. Donc le rayon de courbure est le même pour toute courbe tracée sur la surface et ayant même plan osculateur au point M. L'étude de ces courbes se ramène donc à l'étude des sections planes en M.

axe P = O, Q = 0, plan directeur R = 0.

axe Oz plan directeur xOy. f(8, z) = O, en coordonnées cylindriques (r, 8, r) pour un conoïde d'axe Or et de plan directeur xOy.

Le cenire de courbure d'une section oblique est la projection orthogonale, sur le d a n de cette section du centre de courbure de la section normale avant même tangente. L'étude des sections danes se raméne donc à l'étude des sections normales. - ,' Ravon de courbure de la section normale :

f(x, y, z) = O, homogbne en x et y

x = rcos8

r2

+

Forme générale d'équation d'un conoide. f(P, Q, R) = O, homogbne en P e t Q

Soit un arc de courbe OMM' tracé sur la surface i = f(x, y) ;a, l'arc de cette wurbe compté à partir de l'origine 0;R, le rayon de courbure en M ; a, 0,y les cosinus directeurs de la tangenïe M T ; u', p, y' les cosinus directeurs de la normaie principale MN. Posons

x = le(t)

équations paramétriques du même conoïde.

Formation de l'équation d'un conoide d'axe Oz et de plon directeur xOy : Io S'appuyant sur la courbe x = x Y éliminer u entre -= - et du)

,(!A),

y = (J(u), r = O(u) : z = 8(u);

Zo S'appuyant sur la courbe f(x, y, z) = O, g(x, y, z) = O :

:

Si rt - 's > O : surfaces à courbure totale positive. R, toujours > O, la surface est toute entibre du même côté du plan 4ngent au point M. Si rt - 3 = O :surfaces à courbure totale nulle en M. R, a toujours le même signe. Si rt - s2 < O : surface à courbure totale négative en M. R, est tantôt positif, tantôt négatif; le plan tangent traverse la surface e n M .

280

FORMULAIRE DE MATH~MAT~QUES

INDICATRICE

DE

DUPIN:

Si l'on prend M comme origine, la normale comme axe des z, le plan tangent commeplan xOy, la formule du rayon de courbure devient : 1

rcos2rp +Zssin
m.

rX2 + 2 sXY

.

+ tYz =

1.

R, et R,, rayons de courbure des sections suivant les axes, appelés rayons de courbure principaux. Tt - s l 1 M =Courbure totale en (p2 q2 Il2 ' R, R ,

-

+ + 1 1 (1 + q') r - 2 pqs + (1 + pz) t M = - + -= (1 + p' + q2)3" R, R,

LIGNESASYMPTOTIQUES : Courbestangentes en chacun de leuri points A Yune des directions asymptotiques en ce point, directions telles que le rayon de courbure de la section normale soit infini (ce qui suppose rf - s2 ,< O).

+ 2 s dx dy C f(dy)'

NIVEAU

: ,

Equation différentielle des lignes de niveau : pdx

.1 1 . -=cos2rp+-sin2
Equation di8éreotielle : r(dx)'

LIGNESDE

Ce sont les courbes d'intersection de la surface avec le plan r = Cie. Donc :
C'est une conique appelée indicatrice de Dupin. Si l'on prend pour axes des xy, les axes de symétrie de cette conique, on a

Courbure moyenne en

Lignes dont la tangente en un point quelconque est confondue avec une des directions principales de la surface en ce point. En chaque point 2 lignes de courbure se coupent A angle droit. Equation différentielie :

LIGNES DE

PENTE

+ qdy = O .

:

Trajectoires orthogonales des lignes de niveau :

LIGNES DE PLUS

GRANDE PENTE.

Surfacef(x, y, z) = O : les projections horizontales (sur xOy) sont trajectoires orthogonales des courbes f(x, y, A) = O. Surface x = f(u, v), y = g(u, u), z = h(u) dont les sections horizontales sont les lignes v = Cie : déterminer u(u) par

= 0.

LIGNESGEOD~SIQUES :

Surfaces de rhvhution (axes orthonormés).

Courbes telles qu'en chacun de leurs points le plan osculateur soit normal A la surface. Equation différentielledans le cas F(x, y, r) = 0 : p(dy d2z - d r d'y)

+ q(dz d'x

- dx d'r) = dx d'y

- dy d2x.

qui donne, lorsque z = f(x, y) : (1

+ p' + q2)y" =pl@') + 01')'

(2ps

- 41) + yj@r - 2 sq) - qr .

f(S, P) = 0, axe perpendiculaire au plan P = O et passant par le centre de la sphére S = 0. f(x2 + y 2 , z) = 0, axe Or. f , 2) = O équation en coordonnées cylindriques (r, O, 2). x = r cos O, y = r sin O, équations paramétriques d'une surface d'axe Oz. 2 = rpir),

282

FORMULNR~ DE MATH~MATIQUES

FORMATION DE L'ÉQUATION :

QUADRIQUES.

Surface d'axe Oz, de méridienne y = 6, f(x, r ) = O

i Equation et elassifieafiw des qusdnques.

f(*,FTF,.)=0. Surface d'axe Or contenant la courbe x = p(u), y = $(u), x' éliminer u entre

1=

8(u) :

+ y 2 =
f (x, y, z)

z = S(u).

1

E

F(x, y, z, 1) = O,


CÔNEDE RÉVOLUîION DE SOMMET O : x'

+ y' + z1 - k(ex + By + yz)'

équation non homogtne ;

X'MX (l'indice ' indique la transposée d'une = 0 , axe paralléle A (q 8, y)

Hélices sur surface de révolution. Courbe dont la tangente fait I'angle constant Vavec Oz, sur la surface de révolution x = r cos 8, y = r sin 8, z =
dl HÉLICESSUR

+


POINTSA

L'INFINI

: ceux du cône
z] p

+ r2 dB2 '

CYLINDRE :

où

--

M,,s,, R,, ..., éléments de la courbe (C,) dans le plan (P); M, s, R, ..., éléments de l'hélice (C) tracée sur le cylindre de section droite (C,) + k, vecteur unitaire perpendiculaire A P ; M , M = rk

;

IPI

cône asymptotique non décompod ;

$0,

1 p 1 = O, rang 2; deux plans asymptotiques ; 1 p 1 = O, rang 1, plan asymptotique double. A.

-,

T = mR, m = cot V [V, angle de la tangente à (C) avec k].

POINTS DOusLEs : F: = O, Loxodromies.

IMI+O

Trajectoires sous l'angle V des méridiennes d'une surface de révolution. Déterminer r(8) par

cos V =

+
drZ

+ r2 dB2

F: = O,

Fi

=O ;

pas de point double ; rang 3 un point double ;

dr J(l

F; = O,

rang 2 une droite de points doubles ; '

rang 1 un plan double. <:

i;

284

F O R M U ~ I R EOE M A ~ É M A ~ Q U E S

FORMESRÉDUITE~ pendantes)

D'ÉQUATION

: (a.B.y # O; P, Q, R formes linéaires i

(1)

irP2+BQ'+yR'+

hr2=O.

réel, c, 8, y de signes différents ; Io

imaginaire, a, B, y de même signe. e, fi, y de même signe, ellipsoide : imaginaire si ah < 0 ; réel si ah c 0.

2oh#O

C6ne circonscrit de sommer S(xo, y,, r,, équation ponctuelle : CHxF:,

m, B. y de signes différents, hyperboloide : une nappe (deux deux -) deux nappes (autres cas).

+,

(II) aP1

+ BQ2 + 2 yRf = 0. + BQ' + hi'

=O

+ (IV) uP2

+ 2 BQ = O,

(V) aP2

+ hr'

=

'YIindre

CO) F(x, Y,z, t ) = O ;

+ vy, + wz, + h = O

Plans zo(uo, D O , wo, ho) et n,(u,,

O,,

UaM-'U,=O soit .

,

w,, h,) conjugués : (ou K M - ' U o = O ) ,

uo~:,+v,~o,+w,~,,+h,~;,=~.

.P6le de no : X = M.' LI,,

si

1 M 1 # 0, m;, . .

coordonnées homogenes : C$,, O:,, @;,, Pôle du plon ux

Pornis Po (xo, y,, z, 1,) et P, (x,, Y,, 2,. t,) conjugués : (ou Xi MX, = O),

+ uy

* iJr +I. i>r

=O

s ..

9

xo=IMi(A~+B"~+B'~+Ch).

x,F~,+y,F;,+z,F:,+t,F~,=O.

.

Plan polarre de PO :

U=

# 0,

+ 2 c' vh + 2 c" wh + dh'

O, deux plans parall&les(h # O) ou confondus (h =

=O

1

O-au'+'a'~2+o"w'+2buw+2b'wu+2b"uu+2cuh+

E L É M E NPONCTUELS. ~

soit

20,

Equorion Langoriielle : *tu, u, w, h) = U'M-' U = O, si 1 M

cylindre parabolique.

xgMX,

Y,.

E L É M E NI A~N G E ~ I B L S .

elliptique @>O; {hyperbolique 4 c O.

Elérnents divers.

0.

@(u,U, w, h) = O , ux,

elliptique aB i8> 0 ; paraboloide hyperbolique ci^ c o.

=

:

1,)

+ YF;. + zF:, + fF;.)IZ - F(x,,

équations tangentielles :

réels (III) cP2

+ yF9, + zFx, + CF;,

Plon Iongenr en Po : xF:,

h = 0, cône

.

2 r, = IM/ (CU + C' u

+ C" iv + ~

1 M ( =.déterminint de la matrice M.

h, )

= 0.

Propriétés affmes. CrNrne.

EQUAnON EN S : A-S

B"

B'

(O,O, o. 1)

B

A'-S

B

m, @,O, 0. 1)

B'

B

A"-S

i !

1

i

/:

@:

=O

f; =

p

f: = O

..~ ou point de coordonnées hornogenes si I M l Z O .

%(O, O, 0, 1) @;

-

Equation au centre (x,, y,,

2,)

: x = x,

!?QuATIONRÉDUITB

(O,0,0,1) .

+ X,y = y, + Y, r = 2, + Z

d X ,I:Z) + :F;(x,, y,, 20.1) = O

S,

D'UNE QU4DRIQUE DE CENTRE

=O.

(XO,Y@,21)) :

X 2 + S2 Y 2 + S3 Z 2 + +F;(xa, yo, 20, 1) = 0 .

S,, S,, S, : racines de l'équation en S. QUADRIQ~E Da névoLurro~(racine double S, = S,).

(9 : ensemble des termes de plus haut degré d e n .

PLANDIAMÉTRAL de la direction S(a, p, y) : 1

axe parallele

,. ,

r

Directions 6 et S'(u', ,Y, a' m:(%

y 7 conjuguées

B. Y) + 8'
D I A ~ RdeE la direction de plan ux

20

:

'

B'=O,

1

,1

s ; s B;;

(A'-A)(A"-A)B2 = 0 B" = O , axe parallele à [O, A' - A, BI;

S, = A.

B, Y ) = O .

+ vy + wz = O :

cas analogues avec deux autres coefficients B nuls.

RECH~RCHED~PLANSC~CLIQUES. rp(x,y,z) - S(xZ + y2 du Ze degré. S = racine non nulle de l'équation en S.

+ z2) = 0, q = termes

Quadriques sur l'équation réduite.

;1

Propriétés m6hiques (axes orthonormés).

I:

' D i n ~ c r i o ~PRINCIPALES s (a, B, y) : solutions de

1

r

ELLrPsoiDE : x1 z2 + a' b' e2

-%

S e c r i o ~ sPAR

t:

. i

ou directions propres de la matrice

LE PLAN

O

ou

ux + uy

a' u'

+ b2 u' + c'

a' 'u

+ b2 u' + e2 w"

+ wz i h = O :

wZ - h2 > 0,

PLANTANCENT EN (xO.yO,zo) :

i:

a'u'+b2v'+e2w'-h'=O

h2 < O ,

ellipse réelle ; ellipse imaginaire

-X-xo xo -

NORMALE :

SECTION

Y-Yo-2-20 Y0 20 6" cZ

oz

+ "y + W Z + h = 0

PAR LE PLAN U X

:

réelle : o z u' + b2 u' a' u'

+ b2 u2

- c%' + h'

imaginaire :

- c2 w2 < O

> 0, L

+b'u2-c'w'+h2<0; deux droites sécantes imaginaires : a*u'+b2u'-e'w2+h'=0. (parabole : h # O,

ELLIPSO~DE RAPPORTÉ

A

3 DIAMÈIRES CONIUGU~, a', b', C' (axes obliques) :

x1 y' z2 -a.'+ - +b'z- - 1 =c.z0 ,

avec a " + b ' f + e " = n ' + b 2 + c 2

,

oz u2

+ 6'

oz u'

+ b f v'

u2

- c2 w2 = O

deux droites parallèles imaginaires : h = O.

- c' w2 > O hyperbole.

Pour les ouiresproblèmes se reporter à Pellrpso<deen changeant aZ et 6' en et - b2.

- a'

SPHEREDE MONGE(lieu des sommets. des trièdres trirectangles circonscrits) x% SECTIONS C I R C U L A ~ E S .

3 + r' - (a2 + 6%

c2) =

Hyperboloïde 1une nappe.

O.

x2 y1 z2 -+,-7-I=O, a' b c

Pians cycliques centraux :

SECTION PAR

a' uZ Tout plan parallèle à l'un de ces plans est cyclique : a'

OMBILICS :

2

LE PLAN

ou n ' u ' + b Z v 2 - c ' w " h h ' = O ux

+ uy + wz + h = 0.

+ bZ u2 - c2 w2 < O,

aZ u' E'

et

E"

=

+1;

4 ombilics

+ b2 u2 - e'

w' > O

deui droites parallèles réelles : h = 0 ;

( hyperbole

i

: a' u2

+ b'

v' - e2 w2

- h2 # 0,

deux droites sécantes réelles : n' u Z

+ 6'

v'

- e2 w2 - h2 = 0 .

Pour les plans tangents, cônes ef cylindres circonscrits se reporter à l'ellipsoïde en remplaçant e' par - c'.

Hyperboloïde 2 deux nappes.

x1 y' r2 ni.+---+1=0, b2 c'

parabole : h # O,

+ b2 u2 - c2 w2 = O -t

ellipse réelle ;

ou

02u'+b2vZ-e'w2+h'=0

Génération : I'hyperboloide à une nappe est engendr6 par une droite variable assujettie à rencontrer 3 droites fixes non parallèles à un même plan.

Généralrices :

(-

2x0

P

Point commun à G et

r

--.-. ) =

+ YY,

(?+&-2zo) 4

4

($+ z2 4 3 - .0 ,

:

Plons cycliques eenlroux :

cyJ777+bz,/7T7=0,

a > )

Pnrsboloïdde elliptique. Paraboldide hyperbolique.

-- Y' - 2 2 = 0 , x2

P

SECIIONPLANE : w = O, parabole,

+

PLANTANGENT EN

OU

pu2-qul-2wh=O

(petqpositifs)

4 -%

1 2 wh > 0 ,

(XO,

ellipie réelle,

y,,, zo) : -xx, + - - (YY, z+zO)=O.. P 4

w = O{

w # O{

pu2 - qu2 # O,

parabole,

- pz= O, pu2 - qv2 - 2 wh # 0 , pu' - qu2 - 2 wk = O,

une droite.

pu2

hyperbole, deux droites sécantes reelles.

Pour les plans tangents, canes el cylindres circonserifs, se reporler ou paraboloide elliptique, en remplaçant q por - q.

292

FORMULAIRE DE

MATHEMATIQUES

parallèle au plan directeur

G Y

x

CHAPITRE 7 Y

r

I< ,

parallèle au plan directeur

r'

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE

3-3DénNlTlON R.PRINCIPES

Point commun à G et ï :

Plan (G,

r) :

GÉNÉRATION OU

~+I<x-kL'y-2Z-A,,=o -

&

PARABOLO~DEHYPERBOLIQUE

le' mode : une droite assujettie à s'appuyer sur 3 droites données paralléles A un même plan, deux quelconques de ces droites-n'étant pas dans un même plan. 2=mode : une droite assujettie à rencontrer 2 droites fixes non situées dans un même plan, et à rester parallèles à un plan fixe auquel les droites données ne sont pas parallèles.

GÉNÉRAUX

D'ÉVALUAITON

DES PROBABILITÉS.

Probabilité d'un événement E = rapport du nombre n des cas favorables au nombre N des cas possibles, soit : ' n p = -, en supposant tous les cas également possibles

N

PnBeipes d'évaluatiou des probabilités : 1. Probabilités conditionnelles : la probabilité pour que 2 événements se produisent est égale à la probabilité pour que le premier se produise, multipliée par la probabilité pour que le second se produise quand on sait que le premier s'est produit. II. Probabilités lotoles des éuénements incom~oiibles: auand un événement E peut se produire de 2 manié& différentes mais'inwmpatib~es, la probabilité de E est égale à la somme d e l a probabilité pour qu'il amve de la -vremite maniére. et dela probabilité pour-qu'il amve de fa deuAéme maniére. III. Probabilité composée des événements inddpendunts : si, un événement E résulte de l'arrivée de 2 événements indépendants A et B. la probabilité d'arrivée de E est égale au produit des probabilités des 2 événements composants. Variables aléatoires. Definition :une variable aléatoire est une variable Xqui prend une valeur donnée avec une probabilité donnee.

294

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

Ecart moyen quadratique centré : écart moyen quadratique de la variable quand l'origine est rapportée à la moyenne [soit à E(X)I. On a donc :

Elémeots attaehés h une variable aléatoire et permettant de la définir : FONCTION DE FdZARTlTION :

'

Flxl (X < x) , . . =..Probabilité .

E([x-E(x)]')

=C(~,-m)~p,=o'.

FORMULESI M P ~ R T A N T :~

x étant une valeur certaine que peut prendre X et que l'on appelle quelquefois valeur de réalisation de X. DENSI~É Da PROBABILITÉ : f(x) = F(x) = Probabilité pour que X soit compris entre x et x = Prob [x

<Xcx

+ dx

+ dxl .

Moments d'une distribuiion : E(X) et E ( p ) sont les moments du premier et du second ordre On définit les moments d'ordre supérieur par :

.:

Indicateur a'un éuénement : C'est une variable aléatoire X, qui prend la valeur 1 si l'événement se réalise, et O s'il ne se réalise pas, ceci avec les probabilitésp,et q, q = 1. telles que p

C P., ...,C XÎPb ....

+

FONCTION CARACTÉRISTIQUE: c'est ~(e'"'), V étant une variable certaine : E L É M BIMPORTANTS ~ A'ITACH~ A UNE VARIABLE AL~ATOIREet qui permettent de la caractériser si I'on ne eonnoitpos Io fonction Fb). a) Espérance marh6marique : E(X) = C x,p, = somme des produits de toutes les valeun distinctes x, que peut prendre X,multipliées par leun probabilités resaectives.

Si I'on Pait un certain nombre d'expL:rienccs et si on compte autant de x, que X prendcetrcvnleur x , E(X)esi Is moyenne arithmbtique deres valeursx, : E(X) = m. Espérance mathématique de l'indicateur d'un événement : E(X) = (1 x p)

-

+ (O x

q) = p = probabilité de sumenance de E

.

E(eflX)= =

C pi(cos Vx, + i sin Vx,) = q(V)

Si f(x) est continue : q(V) =

1

+-et''= f (x) d i = irr?ns/ormPe de Fouiier de f (x).

-m

Propriétés : ~ ( 0 = ) 1, 1 ?(Y) Passage de q(V) à f(x) :

Si f(x) est continue et intégrable : E(X) =

p, es"*,

1 4 1.

4 V ) eeiVxdV = rran?formation inverse de Fourier.

:1

x f (x) dx .

-%

Fonction $(Y) = ln ?(Y). c2 *(v) =irnV--V2

b) Ecart moyen quadraiique : Racine carrée de C (x: pJ = E(X2) Pour une fonction continue et intégrable :

.

2 q étant un inhiment petit en V d'ordre > 2.

+q,

Fonction caracrérislique de Pindicaieur d'un événement :

,

,

PROBABILI~ÉS ET STATISTIQUE FONCTION GÉNÉRATRICE DE LA VARIABLE AL~ATOIREX : C'est une fonction g(V) = E(evX), V étant une variable réelle. Si les valeurs de X sont des entiers positifs, g se réduit un polynônle ou une série. Par exemple, pour la loi de Poisson, en posant u = eV, on a

297

Densité de probabilité :

1

+m

=

g(s - x ) ,(x) d.x

-m

Espérance mathématique de la somme de 2 variables aléatoires indépendonfer :

1 J"G

Ona:

E(X On a également E, =

(2)

et G(1) = 1

+ Y) = E(X) + E(Y) .

.

Ecart moyeu quadratique

u=' l

Loi réduite de io uariable al4atotre X. Loi ayant pour origine la moyenne arithmétique des valeurs et pour unité l'écart X-m quadratique moyen. C'est la loi de 7 . V2 ?(Y) devient 1 - - et $(V) = 2

02(S) = 02(X)

+ a2(Y)

Fonctions caractéristiques :

V' -2 '

PRINCIPALES LOIS DE PROBABILITES. I N ~ G A LDE I TBIENAYMB ~ :

Loi binomiale (Table 1).

*

Variable aléatoire.X, de moyenne m. On a : Prob [i X - m

1

A]

a'


qui exprime que pou; une valeur donnée A, la probabilité qu'une valeur de Xsoit supérieure à rl décroit avec a. Ce dernier élément indique donc le degré de dispersion des valeurs de X autour de leur moyenne.

Probabilité Pr (k) de sortie au cours du tirage d'un échantillon de n boules, de k blanches, dans une urne contenant une proportion p de ces boules blanches (l'urne est supposée contenir un effectif total N, grand par rapport à n et la boule tirée est remise dans l'urne après chaque tirage).

,Pr(k) = Cf pk(l I

.

<

Loi du tirage dans ur rel="nofollow"> urne sans remise de la boule dans l'urne. Addition des variables aléatoires indépendantes. ~oi'éntles variablesaléatoires X et Y de fonctions de répartition F(x) et Go. Loi de répartition de S = X + Y quand X et Y prennent les valeurs x et y avec

-F

Soit une urne contenant a boules blanches et b noires, telles que o + b = N. On tire une boule que l'on ne remet pas dans l'urne. L'expérience s'arrête évidemment au N-ibme tirage. On tire un échantillon n < N, soit

s=x+y:

Fonction de répartition de S, Espr'r;in;s mnthCmatique de la somme drs variables aléatoires prcnanr 14 valeur 1 pour 13 ( o ~ t i ed'une blanche et O pour la sortie d'une noire.

PROBABILITÉS ET

STATISTIQUE

Effectif, n = 40 TAHLE 1 : LUI IIINUMIALC

Effectif n = 30. Probabilité Pr(k) = Ckpk(l - P ) " - ~ .

*-r

Probabilites cumulées =

C! p q l k-0

1I

,=e

Probabilites cumulées = *-O

Ci p'(1

- p)"-fi

- pY-*

,

I

300

FORMULAIRE DE MATH~MATIQUES

Moment d'ordre 1 de la loi : rn, = pn (indépendant de n). Moment d'ordre 2 : m, =

Npn

+ np(Npn - Np - n) N-1

Variance a' : E(x~)- rn: = npq(N (N - 1)

'

Si N est grand :

Loi de Laplace-Gauss ou loi nonoale réduite. (Table 2). Expression g&ndraie.Foneiion de riï>
.

m = moyenne ;

P..

a = k a R moyen quadratique centré

Densiié de probabilire :

Loi réduire :

.

Ordre O :

E(X) = -

Ordre 1 :

E(X) = 1 e-='iz dx = 1 ; =J=J 277 -,

Ordre 2 :

E(X1)

Ordre 3 :

E(X3) = -

1 & J: ,x3 e-x'i2 dx = O ;

PRDBABILITkS ET STATISTIQUE

DENSITE DE

301

(Loi de Laplace Gauss) (ordonnées de la courbe normale)

PROBABILITÉ DE LA LOI NORMALE RÉDUITE

TAIILF:2 : FONCTION DE I ~ ~ ; ~ , A ~ T I T IDE o NLA LOI NORMALE I~BDUITE (Loi

de Laplace-Gauss)

(Probabilité de trouver une valeur infbrieure à u)

Table peur les grandes voleurs de u

Nora. -La table donne les valeurs de F(u)pour u positif. Lonque u est négatif il faut prendre le complément à l'unité de la valeur lue dans la table. Exemple :

pour u = 1,25 pour u = 1,25

F(u) = 0,894 4

eu)= 0,105 6 .

1

E(X2') = 2J;;J

ordre 2 p :

xZ' eë"/Z dx = 1.3.5 ... (2 p - 1) ;

T A U L ~3 :

.,

Loi

DE

POISSON mk

ordre (2 p

+

!) =

0.

Vateur moyenne : E(( X

Prab (k) = ë" k !

.'

1)

=

Probabilites individuelles Pr (k) =

eë-6

Loi dePoisson. (Table 3). ,

Expression générale :P. = e ë r = Probabilité que des6vénements de même n ! nature puissent se produire O, 1, 2%..., n fois dans un temps déterminé, f étant un. paramètre

,n-O,

p,=e-r

n = 1,

P, = f

e-1

= /Po k

Probabilites individuelles Pr (k) = e - m m f k l m = I D m=1,5 m=2,0 m=2,5 m=3,0

20 Espérance mathématique = f = moyenne du nombre de survenances des événements pendant le temps considéré. Ecart moyen q;adratique

: E(X2) = f 2 +.J

Ecart m8yen quadratique centré = f Fonction caractéristique


+f -

f2

il

$ ( V ) = f(e"' - 1 ) .

=J

m=3.5 m = 4 , ~ m=4,5 m=5,0

1

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES

TABLE 3 : LOI DE POISSON (Suite) .. ,

.

..

& Probabilifes individuelles Pr (k) = cëmk 1

k

m=5,5 m=6,0 m=6.5 m=7.0 m=7,5 m=8,0 m=8,5 m=9,0 "8-9.5

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,004 1 0.022 5 0,061 8 0,113 3 0,1558 0,1714 0,157 1 0,123 4 0,084 9 0.051 9 0,028 5 0,014 3 0.0065 0,002 8 0,001 1 O,W04 O,W,l

.

--

0,002 5 0,001 5 0,014 9 0.009 8 0,0446 0,0318 0,089 2 0,068 8 0,1339 0.1118 0,1606 91454 0,160 6 0,157 5 0,137 7 0.146 2 0,103 3 0,118 8 0,068 8 0.085 8 0,041 3 0.055 8 0,022 5 0,033 O 0,011 3 0,0179 0,005 2 0,008 9 9,002 2 0,004 1 0,0009 0,0018 0,000 3 0,000 7 0,WOI 0 . W 3 0,m 1

O,W9 0,006 4 0,0223 0,052 1 0,0912 0.1277 0,149 O 0,149 O 0,130 4 0,101 4 0,071 0 0,045 2 0,0264 0,014 2 0,007 1 0,0033 0,001 4 O,W6 0,mZ 0.W0 1

0.0006 0,004 1 0,0156 0,038 9 0,0729 0,1094 0.136 7 0,146 5 0,137 3 0,1144 0,085 8 0,058 5 0,0366 0,021 1 0,011 3 0,0057 0.002 6 0.0012 0,0005 0,000 2 0,000 1

O,W3 0,002 7 0,0107 0,028 6 0,0573 0,0916 0,122 1 0,139 6 0,139 6 OJ24 1 4099 3 0,072 2 0,0481 0,029 6 0,016 9 0,0090 0.004 5 40021 O,m9 0,wO 4 0 , m2 0,m 1

0,0002 0.001 7 0,0074 0.020 8 0,0443 0,0752 0,106 6 0,129 4 0.137 5 0,129 9 0,1104 0,085 3 0,0604 0,039 5 0,024 O 0,0136 0,007 2 0,0036 0.0017 0,wO 8 0,m3 0,000 1 0,m 1

0,WO 1 0,001 1 0,0050 0,015 O 0,0337 0,0607 0,091 1 0,117 1 0.131 8 0.131 8 0.118 6 0.097 O 0,0728 0,0504 0.032 4 0,0194 0,0109 0,0058 0,0029 0,001 4 0,000 6 0,000 3 0,m1

0.m 1 O000 7 0,0034 0,010 7 0,0254 0,0483 0,076 4 0,103 7 0.123 2 0.1300 0,123 5 0,106 7 0,0844 0,061 7 0,041 9 0,0265 0,015 7 0,0088 O,W46 0,002 3 0,001 1 0,m 5 0,m 2

o,m i

309

FROB~BILITÉS BI' STATISTIQUE

Fonction génératrice :
Lois d'Erlnng.

f parambtre de la loi.

Lois dans lesquelles I'arrivée d'un événement coincide avec les arrivées multiples de k d'une loi de Poisson ;k est le rang de la loi d'Erlang k.

Ï

p. =

ycëk'

Exemple :soit Po, P,, ...,P.lesprobabilités de survenancedansuneloi d'Erlang 3.

(c'est la loi générale dans laquelle le parambtre est kt).

On

a :

Po = Po Supposons que l'événement obéissant à la loi de Poisson soit un événement composé dépendant lui-même d'une certaine loi de probabilité : exemple, Vévénement de base consistant en n livraisons (n = 0, 1,2, 3, ) pendant un temps déterminé, chaque livraison comportant elle-même k objets (k = 1, 2, 3, ...) de même nature, on a un phénomène ewgrappe et les k objets constituent une grappe. Soit y(u) la fonction génératrice de la loi des grappes :

...

y(u) =

u.P.,

+ Pi + Pz

1

p,,p,,..., p. étant lesprobabilitésdelaloide Poisson de base.

Les momentsdeslois d'Erlangpeuvent secalculer par la fonction génératrice G(u) Par exemple, pour la loi d'Erlang 2 :

P. = Probabilité (k = n ) , avec k = 1, 2,3, ...,k .

1étant le paramhtre de la loi de Poisson de base. h i d y intervallesdeslois d'ErIang :

(ck)k @-1 C'est La loi des intervalles entre les événements successifs d'une loi de Poisson est une loi exponentielle.

e-'LO

(k - 1) !

, (ck) étant le parambtre de la loi de Poisson initiale pour

les intervalles, et k l'ordre de la loi d'Erlang. Fonction de répartition complémentaire: F(0) =

Loi exponentielle.

(k-l)!

0

d l , d'oh

m = l/c et ' O = l/cZ k.

La probabilité pour que la durée entre 2 événements consécutifs d'une loi de Poisson soit comprise entre x et x + dx est de la forme eë'. De mëme, la probabilité pour que la durée séparant I'arrivée du premier événement de I'arrivée du (n 1)-ibme soit comprise entre x et x dx est :

+

(ck)k 2- 1 e-'*'

Loi hyperexponentielle. La loi exponentiell&est de la formef(x) = ie-". La loi hyperexp~nentielleest, par analogie, de la forme :

+

-5

+ a, 1, e-"'i + . + anAn e-" " n Espérance mathématique: m = 1 , )., . g(x) = a, 1, e-'"

Fonction caractéristique : q(V) = (1 - iV)'" =

(::Z)"

Espérànce mathématique : E(X) = n. Ecart moyen quadratique : E ( p ) = n(n 1). Ecart moyen quadratique centré : 'v = n, ou u = $.

+

i

Ecart moyen quadratique : 2

k. &.

soit : v2 = 2

i:

2

"

);

- (1

" a 1 , 2; 2

- m2 + oz . -

.",

avec

1O, = 1

311

PROBABILI~$S ET STATISTIQUE

Donc:

u1 mz

-

(=;y

1 , toujours > 1

Variance : c2 = ml 2,,

- m:

.-

= bz elr2- bz e'* = b2 e"[eC'

11 .

,

-.

COMPARAISON DU RAPPORT - WUR 3

Loi du z2.(khi'). (Tableil).

MIS.

m2

Loi expo'nentielle :

. ler moment, E. m. = b e"". 7 moment, E. m. q. = b2 eZZ.

c2 - 1. m"

C'est la loi de la somme descarrés devanables aléatoires suivant la loi de Laplace. Densité de probabilité :

o2 Loi hypwexponentielle : 7 > 1 . m

a'.

1

--< 1 m' - k

(k étant l'ordre de la loi). ~, Ceci permet donc d'adapter, par le choix d'un modele approprié, la loi de distribution aux situations réelles. Loi d'Erlang :

Espérance mathématique E. m. = m. Ecart moyen quadratique E. m. q. = m(m 2) Ecart moyen quadratique centré = o2 = 2 m.

+

R*PPORT ENTRE

Loi ï (gamma). Loi d'une variable aléatoire continue

a O dont la densité de probabilité est

:

LA LOI DU

X'

R. LA LD1 DE

POISSON:

Loi d~ y'définie par :

Posons m/2 = c et 4 2 = V :

Espérance mathématique = m.

B. m. q.

= ni'

+ m.

E. m. q. centré = a' = m. Donc,

Loi loganthmanormale ou lai log-normale. Loi de Laplace dans laquelle la variable x est remplacée par son logarithme.

avec

'1"

Jz;; z=

+

(r peut varier de - m à m). Moment d'ordre p = bP e@""2

ex.[

- m

In x

- ln b e

(

1 Inx-Inb

)']

*

4

Moyenne des log de x = b. Moyenne des écarts moyens quadratiques centrés des mêmes log = c. Fonction de répartitmn =

fonction de répaIJitioa P = Pr Posons

dx En intégrant par parties :

dV.

PROBABILI~$S EI STATISTIQUE TABLE 6 : Loi Da S N E D E ~ I I

Loi de Snedecor. (Table 6). Loi de la variable t = r,lr2, r , et r , étant 2 variables indépendantes, centrées, de mêmes variances, obéissant toutes deux d des lois du X' de parambtres rn, et

m, :

En posant

t2 =

5 4 on a m,

:

La table ci-dessous est donnée squs cette forme :

Valeurs de u ayant la probabilité P d'être dépassées

f(d du =

rp+)

,""'"IP

(mr)"'i2

(m, u

1

du

+ m,)'mim=~~'

319

PROBABLLIT~ET. STATISTIQUE

Lois de composition de 2 variables x et y Li&. Soient 2 variables x et y, suivant chacune une loi de Laplace de mêmes variances oz, ayant mêmes moyennes et liées par le coefficient de corre5Iation r . 10 ~~i de

+ y.

=

C'est une loi de Laplace :

f (u) du =

-y

20 Loi de u = x

1

2a

m

e-c.-tni~rnzci+r>

du

)

:

X

30 Loi de u = 7 : Y

du-

f (") du =

~n posant

u-r = V:

f(V) dV = -, dV n(V1 1)

+

Ji7

40 Loi de u =

loi de Cauchy

+Y x -Y x

Enposant v2-Ù

:

:

dV loi de Cauchy. f[V)dV= n(V2 1) '

+

50 Loi de u = xy (dans le cas de variables indépendantes, soit r = 0) :

Ko = fonction K d'ordre O de Bessel.

320

FOQXULAIRE

De

MATH~TIQUES

PROBABILITÉS 6T STATISTIQUE

Th6oreme de Bayes et probabiüt6 des causes.

au point moyen a pour coefficient angulaire :

....

Soit un événement susceptible de se produire par les causes C,, C,, Cmdont K , la probabilité de survenance de l'événement les orobabilités sont n,. .... n,, par la cause C, étant p,, la probabilité npriori de survenance de l'événement est Cpt Quand l'événement s'est produit;la probabilité x , o posteriori que cet événement soit dû à la cause C, est :

....

",.

Soient m, =

xi,

m,, =

L

f yx' .

Soit D, le déterminant :

soit :

Problhme des moindres carr&. i,

i

i

Position du problame. -Soient n inconnues, x,? par m équations 16sultant en général de mesures :

.... x,.

que l'on peut obtenir

DU'

a = 2- Dg) étant le déterminant

D, '

termes de la i-ibme colonne. Equation de la courbe : les v étant des auantités mesurées. En aénéral m > n ; les équations sont donc incompatibles, sauf cas particuliers. Si l'on pose S = 1 a,V, - y,]', a, étant un poids attribué à chaque équation, les valeurs les plus probables des x sont données par le systhme :

lli

équations en nombre égal au nombre des inconnues. 1. RePnBsemAnoN D'UNB s k i e (mesures, résultats, observations, etc.) par une droite de fendonce.

....

....

Soient y,, y,, ...,y. valeurs de la variable auxinstants x,, x,, x" ; XI, X2, Y. valeurs rapportées à leurs moyennes. La droite de tendance passant

X., Y,,

....

D, dans lequel on substitue les m,,aux

INDEX

Abélien (groupe). anneau, corps. 2. Ac~roissemeotsfinis (formule), 77. Aléatoires (variables), 293. 8'~lembert(regle), 57. Analyse combinatoire, 13. vwtorielle, 192. Analytique (gi~rnétric)~ 215. Anharmonique (rapport), 203, Anneau, 2. Antisymétriques (matrices), 34. Apollonius (théorémes), 246,250. (hyperbole), 245, 249, 252. Archimece (théoreme), 253. Arête de rebroussement, 278. Arrangements, 13. Associée (matrice), 29. Astroidc, 255. Asymptotes (dans R2),222-224. Asymptotiqves Oignes sur surfaces), 280. Axe ce-ral, 191. radical,.233. Ares d'une conique, 240.

-

*

Barycentre, ,189. : Base (matrices de), 32. Bayes (thAe+mer de), 318. Ber et bci (fonctions de Kdvin), 146. Bernoulli (nombres de), 61. (équation difiérenticllc), 117. Bessel (loncIians), 136. (équation difierentielle), 121. (intégrales des fonctions), 98. Bêta (fonction eulérienne de lm esphce), 132. Bsiout (theoreme de), 4.

Bienaymé'(inéga1ité de). 296 Binaire (relation). 1. , Binaire (numération), 7. BinBme (formule du), 14. Binomiale Ooi), 297. Binormalc (-), 272. Birapport, 203. Borel (thbrème de), 161. Boole (algébre), 10. Brianchon (thçorhme de), 244.

Caractérirtique (d'une enveloppe dans R3), 277. (fonction), 296. (valeur d'une matrice), 29. Cardan (formule), 20. Cardiolde, 255. . Cassini (ovale), 261. Cauchy (régle de), 57. (théoréme sur fonctions de variables complexes), IW. (loi), 313. Cayley-Hamilton (théoréme), 32. Centre radical, 233. Cercle (problémes relatifs au), 232. Ccva (théoreme de), 208. Chasles (identilt), 187. Chi2 (lai du), 311. Christoffel (symboles de), 201. Ciiculaiier (fonction@, 35. Circulation d'un vecteur, 196. Cissoidalcr (courbes), 256. Cissoide de cercle, 256. de Dioclès, 258. Clairaut (équation difiérontielle), 117.

INDEX INDEX Combinaisons: 14. Complexer (nombrcr),'44. Concavité (dans Ra), 221. Concholde, 258. de Nicornéde, 259. Congruences de lignes, 275. Coniques (sur équation géniralo), 237. Conjuguée (matrice), 29. Conoidc. 278. Coordonnées eontravarianteî, 199. covariantes, 199. eurviligoes. 200. pluckeriennes, 268. polaires, 227. corps, 2. Cosinus intégral, 128. Courbes planes. 221-224. ~, Courbes "suelles planes, 253. Courbes gaucher, 271. Courburo (plan). Rayon. Centre. 226. (courbes gauches), 273. (lignes), 281. (surfaces), 279. Cramer (règle ou formules), 26. Croissance, 41. Cycloidc, 253.

1

Diamètres (d'une conique), 240. . DiRércnticllcs, 73. . DiRérenticlle absolus (d'un vecteur), 202. Direction proprc (d'une matrice), 30. Direetions principales (d'une conique), 240. Dirichlet (conditions), 66.

1

~ i o i t cdans R< 267. Duhamel (&le), 57. Dupin (indicatrice), 280.

D Delambre (farmuleî), 52. Densite de probabilité, 294. Dérivation (règles), 74. Dérivk (d'un déterminant), 25. (d'une matrice), 33. Déiivks en général, 73. Dérivées de fonctions usuelles simples, 75. Desargues (theoreme), 244. Descanes (folium), 258. (ovale), 261. Determinants, 22. adjoint. 24. fonctionnel (jacobien). 114. ~Ciclappantedans Ra, 231. Développée dans R', 231. Diagonal (déterminant), 25. (matriee), 29. Diagonalisation (d'une matrice), 31.

1

1

Ecart moyen quadratique. 294. Ellipse (étude sur équation réduite), 244. Ellipsoïde (sur équation réduite), 288. Elliptiqucs-(intégrak), 135. Enveloppes dans Rl, 229. de surfaces, 277. Epicyçloidss, 253. Equations algébri
Faircwur deeerclss. 236. de coniques, 241. tangentiels de coniques, 242. Feuerbach (théareme). 209. Flux (d'un vecteur), 196. Folium de Descartes, 258. Fonctions usuelles simples, 35. Force (lignes de), 193. Formes indeterminées, 42. ' quadratiques, 34. .Fourier (series), 66. (transformation). 178. Foyers (d'uns conique), 240. Fiégicr (théorème), 244. Frenet (formules), 273. Fresnel (intLzralesl. . .. 127. Fuch (conditions de -), 120.

-

G Gamma (fonction tuleriety de 2* es+& 132. (loi), 310. Gauss (loi de Laplace-Gauss), 300. (courbe de), 302. Gegenbaucr (polyn6mes de), 121. Géné~atriee(fonction), 295. Géodésiques (lignes sur surfaces), 280. Géométrie analytique (plans). 215. (espace), 262. Ger~chgorin(cercles de), 31. Gradient, 193. Gradient (formule du), 196. , Green (formule de), 19% (fondion de), 122. Groupe, 2.

.

'

Hamilton (théorème de Cayley-Hamilton), 32. Hamiltonien (aperateur), 195. Hankcl (fooctionr de), 140. (transformation de), 183.

Harmonique (série), 64. (division), 204. (faisceau). 204. Hélices, 282. Hermite (équation diKérentielle et potynames), 121, 152. (polynbmer), 152. Holomorphe (fonction), 100. Homographie (sur les coniques), 243. Homographique (correspondance). 205. (faisceau), 206. Hyperbole (sur équation réduite), 249. Hyperboliques (fonctions), 39. Hypcrboloides, 288. Hyp~rerponcntielle(loi). 309. Hypcrg&ométriqus(fonction), 135. Hypocycloides, 253.

Identités usuelles, 3. de Lagrange, 4. 24. Imaginaires (nombres), 44. Inclusion, 1. Indicateur (d'un événement), 294. Indicatrice (de Dupin), 280. . sphérique. 272. Inflenbn (dans R '). 221, 222, 228. Intégrales (en général), 78. ' de Stieltjes, 79. Intégrales définies, 92. (calcul approche), 109. c a l ~ u par l transformation de Laplace, 99. méthode des résidus, 99. de Mellin, 99. catalogue, 93. doubles et tririler. 112. elliptiques. 109. Intégrales indéfinies (usuelles simples), 80. (calcul et expressions), 82. Intégrales (équations), 123. IntFgration (pracédér de calcul), 82. Intersection, 1. Inverse (d'une matrice), 28. Inversion dans Io cercle, 236.

I)

326

INDEX

Involutive (correspondance), 206. faisceaux. 206. Involution (sur les daniques), 243. ~~~

,!

~.

~~~

:i

!

J

:j

j

Jaeobi (équation ditïércntielle), 121. Jacobien, 114.

, t ,

1 i!

,

K Kelvin (fonctions), 146. Kronecker (symbole ou tenseur), 200. ,

l

M Mac-Laurin (formule), 58. Matrices. 26. Mellin-Fourier (formule), 177. Mollin (transformation). 180. Menélaus (théadme), 207. Meusnier ithéorèmel. 279. Modes (à droite et à gauche), 30. Modulo; 1. Moivre (formule de), M. Moindres carrés (probbme des), 320. Moments, 189. (d'une distribution), 295. Monge (cercle), 246. Multiforme (fonction), 100

,!

:j

2 d

I! 6!! :I

j/ 1 i

1 il,

;

;

il

/

1

1

!/ :.

i~ P.

:i!

1/ :,

Ii '

:#\

LBcLS, 102. Lagrange (identité), 4, 24. (èquation diKérentielle). 117. Lagucrrc (équation ditïércntielle), 121. (polynômes), 156. (formule), 205. Laplaci (transformation), 159. : (tableau de transforméer), 163. Laplace-Gauss (loi), 300. Laplacien (opérateur), 195. Laurent (thèorémc et série), 100. Legendre (équation dinèrenticlle), 121. (séries et polynômes), 146. Leibnitz (formule), 77. Lemmiscale de Bernoulli. 261. L'Hospital (règle), 42. Limacon de Pascal, 259, 261. Limiter, 41. (problemes aux limites), 122. Libuville-Neumann (série), 125. Logarithmique (fonction). 38. (dèrivèe), 77. . Logarithmonormale (loi), 310. Logique (algèbre ou algèbre de Boole], lu. Longueur (d'un arc decourbe), 227,229,271, Loxodromies, 282.

Nabla (opérateur), 195. Neper (formules), 52. Ncphraide, 255. Neumann (séries de), 33. Newton (binôme), 15. Niveau (surface de), 193. (lignes), 281. Nombres de Bernoulli, 61 d'Euler, 62. Normale (dans R2), 221; 222, 224, 228 principale (Ra), 272. Norme (d'un vecteur). 198. Noyau (équations intégrales), 123. (transformations réciproques), 183.

-

Parabole (sur équation réduite), 251. Parabalordes, 290. Parseval (théorème), 178. Pascd (triangle), 15. fthéoréme sur I'hexaeoncl. 244. " Pente. Plus grande pente (lignes), 281. Permutations, 13. (dans les déterminants), 22. Plan (dans Ra), 264. Plans cycliques (quadriques), 287, 288, 291, Pluckcr (formule). 225. P1"ckorienncs (coordonnées). 268. Points (fonctions de), 193. Point central, 278. critique (ou de branchement ou de rami. ficalion). LOO. essentiel, 101. singuliers, 100. Poisson (laide), 304, Podaire, 261. Polaües (par rapport à 2 droites), 206. (coordonn&s), 227. Pôle, polaire (dans le cercle), 233. Pôles (d'une fonction), 100. Polygoncs,213. Poncelet (points de), 236. (théarémc de), 247. Probabilités, 293. Produits infinis, 71. Produits vectoriel et mhtc, 188. progressions arithmétiques, 4.' géométriques, 4. Ptolémée (théorème), 214. Puissance bar rappoq* m c &), 273. Pythagore (thbrème), 209.

..

Radicaux, 3. Rayons de courbure (dans R'). 273. de tonion (dans R3.273. Réciproques (èquati&s), 17. Relation binaire, 1. Répartition (fonction de). 294. Résidus (méthode), 101. (théorème), 101. a~culsd'intégrales~arlaméthoded~s, 102 Résultant (de 2 &quation~), 16. Réunion. 1. Révolution (surfaces de). 281. Ribeaucour (courbes), 126. Ricci (théareme), 202. Riemann (fonction). 65. (intégrale), 78. Rotationnel, 194. Rotationnel (formule du), 196.

Scalaiie(définitionct produit), 187. Séries, 56. de Fourier, 66. de Laurent, 100. de Liouvillc-Neumann, 125. usuelles simples (dével6ppomcnt), 59. Simpson (méthode), 112. Simron (droite de), 208. Sinus intégral, 128. Snsdecor Ooi), 316. Sommationssur nombresentiers, 5. Somme d'une série (reste), 59. S o m m e r d e s P h , 64.

Spirales (logarithmiques, hyperboliques, d'Archimède, etc.), 259. Stationnaire (point), 223. Stewart (théoréme), 208. Sticltjcs (integrale), 79. Stirling (formule), 72, 133. stochastique^ (matricer), 35. , Stokes (farmul~),197. Striction (ligne), 278. Strophoide, 257. Student (loi), 314. '

Opérateurs, 195. Orthogonales (trajectoires), 230. Oscdatsur. (Plan), 272. cercle (centre et rayon), 226. Dstmgrsdsky(thbdmc), 196. Ovale, Cassini; 261. Descattes. 261.

Quadratiques (formes), 34. Quadrilatères, 213. Quadriques. Forme générale, 283. Quantificatcurs, 1.

,

328

INDEX

Surfaces (théorie générale), 276. rkgles, 277. développables, 278. Surfaces (de révolution), 281. Symboles (deI'algebremodcrne), 1. Symétriques (fonctions des racine d ' m e équation), 15. (matrices), 33. Sylvester (formule), 32. Systémcs Iinéaires, 26. équivalents (vecteur), 191.

Tranrporéc (matrice), 28. Tr~rndle(thCo~mcsgCntcaux), 207.

(relrlionralgCbriqucsci trigonom6triqurs). 209. Trigonométrie hypcrboliquc, 53. plane, 45. sphérique, 50. Trinôme du 2* degré, 18.

Unicursale (courbe), 223. Uniforme (fonction), 100.

1

1

Tangents i une courbe, 221, 222, 224,271. Tangentielle (équation), 225. Taylor (formule), 58. TchsbycheK (polynômes), 154. Tenrond (calcul), 197. Tenseur métrique, 198.. définition générale, 199. fondamental. 201. Theta (0) (fonction ou fonction erreur), 129. Tirage dan? une urne, 297. , Torsion, 273. Tracs (d'une matrice), 31. Trajectoire orthogonale, 229. Transformation de Laplace, 159. Fourier, 178. Hankol. 183. Msllin. l8b. r&ciproques. 183.

Valeurs propres ou,caract&ristiqucs (d'une matticel. 29. Van der Monde (déterminant), 25. Variables aléatoires, 293. Variations (calcul des). 125. Vecteurs, 189. Vecteur unitaire (tangente), 225. (normal). 226. Vectoriel (calcul), 187. (produit), 188. Volterra (équation intégrale de), 124.

Wallis (intégrales de), 134,. Weber-Hermittc (fonctions), 151.