Villon M, 2007 Hidrología Estadística

Instituto Tecnológico de:

80 70 60

I

50

\rl I

40

-

30 20 10 0

:l§Q.!€a\Nlñ6És¡-eo !Qto\o€\o€¡--rF-a€-áoi aaia\aaao\aá6áááá ÉÉÉÉÉÉÉÉrÉ*-i

Béja

tüüd-u@U@gnúa-

EElsta.d-ústü@4.

Máximo Vil6n Béiar

Contenido Materia

contenido. PróIogo..... básicos... muestral.... Eventos

pagma

.................]

.................. 5

................ 11

............... 15 .......... 15 .......... 16 l.3Definiciónclásicadeprobabilidad......... .............17 1.4 Definición axiomática de probabilidad......... ....... 18 1.5 Período de retorno ...........21 1.6 Concepto de riesgo:.................. ..........22 1.7 Cálculo de la probabilidad empírica o experimental.............26 1.8 Variables a1eatorias................ -...........28 Variable aleatoria discreta ...................30 ...............30 Variable aleatoria continua... 1.9 Distribuciones....... ...........31 Función de de densidad de probabilidad de una variable ...........32 aleatoria discreta..... Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria ...........33 continua

1. Conceptos

1.1 Espacio 1.2

Contenido

-

Hidrologfa Estadística

Página (6)

a una Función de distribución acumulada, correspondiente """"' 36 distribución discreta" una a Función de distribución acumulada, correspondiente """"'37 distribución continua """""""'44 1.10 Valor esPerado """" 40 1.11 Momentos de una distribución """"""""46 Momento respecto al origen media la """"""'46 a resiecto Momento ."rrruiton """""""""'41 Media de una distribución

Nlediana Moda........

Varianza de una distribución Sesgo de una

"""""'48 """" 48 """""""""49

"""""""'

""""""""""49 """""""" 50

distribución

Curtosis

1.12T-¡:ansfbrmaciUlllinealdevariablesaieatorias'..........,..,.,...,62 """""' 65 1.13 Problemas propuestos """""'

muestra

""""""13 Distribuciones de frecuencia de una 2. _z"|Representacióntabularygraficadelasmuestras,.,.........'.....73 Z.ZProcedimiento de cálculo'

,3 R"p*tentación grá1irca Histograma...........""' rárfgáro de frecuencia """""""

83 """""""""'15 """""""""""

""""'

"":"""""""""""'

83 84

""' Función ¿" A"uti¿ud de probabilidad empírica Función¿"¿ist'iuuciónacumuladaoempírica..'................'...86 """"" 88 2.4 Problemas propuestos """""""

,3. Medidas de las

distribuciones""""""

""""""""""""

85

91

3'lMedidaso"scripivasdelasdistribucionesdefrecuencias...:91 ^Á

central La media aritmética La media Ponderada'

3.2 Medidas de tendencia

"""""">+ """""' 95 oÁ

-

página (7)

La media geométrica .........97 La mediana............... .........98 La moda ......... 100 Comparación entre la media, la mediana y la moda.............. 101 3.3 Medidas de dispersión .......... ...........102 Rango....... ......L02 Yariatza... ......102 Desviación estándar.... ..... 105 Coeficientes de variación............ ....... 107 3.4 Medida de simetría y asimetría ........107 Sesgo........ ...... L07 3.5 Medida de achatamiento.......... ........ 110 Curtosis.... ...... I 10 3.6 Momentos lineales (L-moments).............:................. .......... t 17 3.7 Problemas propuestos............ .......... 133

parámetros ....137 4.1 Definición de parámetros ................. 137 4.2Definición de estimadores............... .................. 138 4.3 Métodos de estimación de parámetros ............... 140 Método gráfrco ............,... 140 Método de mínimos cuadrados................ ............145 Método de momentos ............................... ........... 148 Método de máxima verosimilitud............. ........... 161 4.4 Problemas propuestos............ ..........L67

4. Estimación de

de bondad y ajuste..... Definición............ .5.2 Ajuste gráfico .5.3 Prueba de Chi-cuadrado........

...............171 ..........171 ................172 ...........174 5.4 Prueba de Smirnov-Kolmogorov............... ........ 181 ..........192 .5.5 Problemas propuestos............

.5. Pruebas

5.1

Contenido

-

página (8)

teóricas Introducción......... gaussiana

6. Distribüciones 6.1 6.2 Distribución normal o

Hidrologfa Estadfstica

-

página (9)

estadístico............... saltos ............ propuestos..............

"""" 195

8.4 Análisis Análisis de Análisis de tendencias 8.5 Problemas

..........195

""'197

...........314 .............315 ...........319 ...,....330

extensión Definiciones......... 9.2Técmcas................ 9.3 Proceso

9. Completación y 9.1

...335 ..........335 .........336 .........337 9.4 Criterios para mejorar los estimados de los parámetros ......341 ......342 9.5 Problemas

6.7 Distribución 6.8 Problemas

log-Gumbel................ """""""""'257

propuestos...'..........

""""262

propuestos................

'10. Generación de números

aleatorios..

.....347

10.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos ...........347 10.2 Generación de números aleatorios normales independientes

..'....... """""""'267 """"'267 Covarianza.......-.-........268 ............'. correlación'.........'. """"268 correlación..'....... """""269 """""""'269 correlación determinación...""""' """"""""'27O

...............

7. Correlación y regresión 7.1 7.2 Correlación 7.3 Medidas de 7.4 Análisis de 7.5 Coeficiente de 7.6 Coeficiente de

......... 35 1 10.3 Generación de números aleatorios log-normales independientes 10.4 Problemas

........... propuestos...........

I

l. Intervalos

.......... 353

.........355

confianzl..........

..............359 puntual y por estimación intervalos................ 359 11.1 Estimación ll.2lntervalo de confiatzapata la media de una distribución normal, cuya varianza es ..............361 I1.3 Intervalo de confialzapara la media de una distribución normal, con varianza desconocida............. .............365 11.4 Intervalo de confianzaparalavaianza de la distribución ..........368 I L5 Problemas .........377 de

conocida............

consistencia.--........ Introducción......-..

8. Análisis de 8.1

"""'"""' """""

307 307

normal...... propuestos........... Bibliografía

á.¡ ¡ráriris doble

masa.............".".'....... """"""""312

consu1tada................

..............373

Fconr.,iiao - página (10)

Anexo A. Transformada de Laplace y función gamma.......,.'.......377 ...,.,........,.,.379 A.1 A.2Latransformada de Laplace.............. .............'..380 A. 3 Ejercicios propuestos transformada de LapaIce ................. 396 .....'......398 A.4 Función ....,.........407 A.5 Ejercicios propuestos funcidn

Justificación

gamma

Anexo B: Funciones

trigonométricas

........409

Apéndice: Tablas estadísticas y papeles probabilísticos .....'.........413 Otras

publicaciones...,

Prólogo

gamma

..............435

Los estudios hidrológicos requieren del análisis de

cuantiosa información hidrometeológica; esta información puede consistir de datos de precipitación, caudales, temperatura, evaporación, etc.

Los datos recopilados, solo representan una información en bruto, si éstos se organizan y analizan en forma adecuada, proporcionan al hidrólogo una herramienta de gran utilidad, que le

pero

permite tomar decisiones en el diseño de estructuras hidráulicas.

úiliza los conceptos de probabilidades y estadística, siendo este campo, una de las primeras áreas de la ciencia e ingeniería, en usar los conceptos Para el análisis de la información, la hidrología

I

l

cstadísticos, en un esfuerzo para analtzar los fenómenos naturales.

I

I

La presente publicación bajo el nombre de Hidrología Estadística, 3¡tá orientada a ayudar a comprender los principios fundamentales dc la probabilidad y la estadística, aplicada ala hidrología, así como, mosffar algunas herramientas estadísticas, que han sido aplicadas gon éxito, en la solución de problemas hidrológicos. Prra la simplificación del análisis de la abundante información, se Fquiere del uso de la computadora digital, es por eso, que el autor hl desarollando la aplicación HidroEsta, que tiene la finalidad de Prccesar fácilmente esta información. Ella se utiliza en la solución d¡ los ejemplos resueltos.

F Prólogo

-

Hidrología Estadística

página (12)

La publicación cubre los siguientes temas:

! capitulo I,

conceptos básicos, incluyendo los eventos, probabilidades, variables aleatorias, distribuciones, función densidad, función acumulada, valor esperado, momentos y

.

.

capítulo

II,

capítulo

III,

distribuciones de frecuencia de una muestra, su representación tabular y gráfica, y su procedimiento de cálculo.

de las

distribuciones, como media, mediana, moda, medidas de dispersión, medidas de simetría y asimetría, y medidas de achatamiento, también se incluye el cálculo de los parámetros estadísticos utilizando la técnica de los

medidas

momentos lineales.

. .

capítulo IV, estimación de parámetros, mediante método gráfico, mínimos cuadrados, momentos y máxima verosimilitud.

capítulo V, pruebas de bondad de ajuste, dentro de las cuales se contemplan el ajuste gráfico, Chi-cuadrado y SmirnovKolmogorov.

. .

capítulo IX, completación y extensión de series hidrológicas, utilizando la correlación lineal, para llenar registros con valores incompletos, o para extender registros cortos, con base en otros

. .

X, técnicas de generación de números aleatorios uniformes, normales y log-normales, y de series sintéticas. capítulo

capítulo XI, la estimación de los intervalos de confianza, parala media y varianza de la población, a partir de datos muestrales.

Como anexo se incluye la transformada de Laplace y la función gamma completa, conceptos matemáticos de gran importancia, que ayudan a simplificar los cálculos que se realizan en la estimación de parámetros y distribuciones teóricas. También, se incluye un listados de funciones trigonométricas, que ayudan al lector, en los ejercicios de transformada de Laplace. Por otro lado, se incluye un apéndice con las tablas estadísticas más usuales, las cuales ayudan en los cálculos a realizar, así como los papeles probabilísticos normal, log-normal, Gumbel y log-Gumbel.

capítulo VI, distribuciones teóricas más utilizadas en hidrología, como la normal, log-normal, gamma, log-Pearson tipo III, Gumbel y log-Gumbel.

capítulo

VII,

conceptos

de

correlación

y

regresión, los

y

coeficientes de correlación determinación, las ecuaciones de regresión lineal y no lineal simple, las ecuaciones de regresión lineal y no lineal múltiple, y la ecuación de regresión polinomial.

.

página (13)

registros mas largos.

transformación lineal de variables aleatorias.

.

-

capítulo VIII, análisis de consistencia, como el análisis visual, doble masa, estadístico con los análisis de saltos y tendencias.

El autor desea expresar su agradecimiento, a aquellas personas que de una u otra manera, han estado involucradas con la elaboración de enta publicación, como por ejemplo: los estudiantes de la Escuela de ,lngeniería Agrícola, quienes utilizaron, como texto la versión proliminar de esta publicación, en el curso Estadística Aplicada, el dlscñador gráfrco, Rafael Murillo que trabajó con las ilustraciones, cl estudiante Gerardo Espinoza, por la dígitalización de parte del toxto y Alexis Rodríguez del Instituto Costarricense de Electricidad (lCE), por sus acertadas sugerencias.

,7 Prólogo

-

página(l4)

Un agradecimiento muy especial, al Comité Regional de Recursos Hidráulicos (CRRH), por el apoyo económico, pors financiar la primera edición, y por hacer llegar el libro a todos los países de Centroamérica.

Máximo Villón Béjar

Conceptos básicos 1.1 Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

un

experimento, no es posible determinar con seguridad su resultado, si se puede, definir con precisión un listado de los resultados posibles de ocurrir. Esta lista constituye el espacio muestral, y se designa como §.

Aún cuando en

ffjemplos

l,

I:1

.

Si el experimento consiste en lanzar una moneda, los resultados posibles son escudo o corona, luego el espacio muestral se representa como:

S = { escudo, corona } tlonde: NS = 2 llcndo, Ng : número posible de resultados del espacio muestral

7,

Si el experimento consiste enlanzar un dado, el espacio muestral será:

t7 Conceptos básicos

S=

-

página (16)

Hidrologfa Estadística

-

página (lZ

)

Nc=6

t 1,2,3,4,5,61

N^s=6

3. Si el

experimento consiste en lanzar

2

dados,

el

espacio

muestral, de la suma de los resultados de los dos dados, será:

S= {2,3,4,5,6,7,8,9, 10, ll,L2l = l1

L.3 Definición clásica de probabilidad La probabilidad P(AL de un evento A, en un experimento aleatorio y de los cuales N¿, son

que tiene N5 resultados igualmente posibles, resultados favorables, esta dada por:

N.s

pre)=+ ...(t.t) Ns

1.2 Eventos Son los resultados posibles que se pueden presentar enlarealización de un experimento. Es un subconjunto del espacio muesffal.

Ejemplos

1.

\iemplos 1.3

l,

i.2

Al anojar

una moneda, la probabilidad de que salga escudo, es:

P=!

En el experimento de lanzar una moneda el evento A, que salga escudo es:

4=

{ escudo } donde: NA= | siendo, N¿ : número posible de resultados del experimento

2

Al anojar un dado, hay seis casos igualmente posibles, la probabilidad de que salga un número igual o mayor que 3 es:

P=!-z' 63

lanzar un dado, el evento B que salga número mayor o igual que 3, es:

Al anojar dos dados, hay 36 casos igualmente posibles, la probabilidad de que la suma de los resultados sea 7, es:

B = {3,4,5,6} NB=4

P=9=r 366

2. En el experimento

3. En el experimento

lanzar dos dados, el evento C, que salga un

es:

C

= { (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) I

En una urna se tienen dos bolas rojas y ocho bolas negras, hallar la probabilidad que al extraer una bola, esta sea de colór rojo.

Conceptos básicos

-

página (18)

Hidrología Estadfstica

2. P(IC'¡

o-2 -l ----

105

página (19)

l. P(a)=g

De los 10 casos igualmente probables, en 2 casos sucederá el evento que se considera, por lo que se tendrá:

I

-

= 1 - P(A), dohdeACes el complemento deA

Los axiomas anteriores, permiten la definición de los siguientes conceptos importantes

:

El

concepto clásico de probabilidad sólo se puede aplicar en experimentos en los que hay un número finito de casos igualmente posibles. Pero en la naturaleza, los principales problemas prácticos no son de este tipo.

Probabilidad de Ia unión de sucesos Si A

yB

son eventos cualesquiera en un espacio muestral §,

entonces:

1.4 Definición axiomática de probabilidad

.

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A

n

B)

...(r.2)

Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y

A cualquier suceso de S (A subconjunto de S). Se dice que P es una función de probabilidad en el espacio muestral S, si se satisfacen los siguientes

La P(A U B), es llamada unión de probabilidades y se lee la probabilidad deAoB.

tres axiomas:

Probabilidad de eventos independientes

1.

0 < P(A) SI,paru

todoA e

Si

,S

A y B son eventos independientes de un espacio muestral

§,

cntonces: 2. P(S) 3

=I

P(A

Si 47, A2,..., A¡¿ es una serie de sucesos, independientes mutuamente excluyentes, entonces:

a

B) = P(A) x

P(B)

.. . (1.3)

La P(A n B), es llamada Ia probabilidad de intersección probabilidadde Ay B.

y

se lee

P(A1U AZU 43 U...UA¡¡) = P(AD + P(A) +... + P(A¡¿)

Notá. Dos eventos, son independientes

si la

probabilidad ocurrencia de uno, no se ve afectada por la ocurrencia del otro, son matuamente exéluyentes, cuando la ocurrencia de imposibilita la ocurrencia del otro. De estos axiomas, se deducen los siguientes teoremas:

Probabilidad condicional §l e y B son dos eventos en los cuales P(A) + 0, entonces, la probabilidad condicional de que ocrrra el suceso B, dado que tucedió A, se define por:

7 Conceptos básicos

-

página (20)

P(BtA\-P(A.B) P(A)

Ejemplo 1.4 Supóngase que el río Turrialba alcanza cada invierno un nivel de creciente con una frecuencia relativa de 0.2. En el río Turrialba, cuando atraviesa la ciudad del mismo nombre, hay un puente cuya probabilidad de falla en los estribos es 0.3 y la experiencia muestra que cuando hay creciente, las probabilidades de esta falla suben a 0.5. Con estos datos se desea conocer la probabilidad de falla en eI puente.

Solución: De acuerdo a los datos del problema, se tiene: Probabilidad ocurrencia de la creciente: P(C) = 0.2 Probabilidad no ocurrencia de la creciente: p(C) = 1-0.2 = 0.8 Probabilidad falla: P(O = 0.3 Probabilidad no falla: P(F1= I - 0.3 = 0.7 Probabilidad falla dada la creciente: P(Flq =O.5

El puente falla (queda inutilizado), cuando falla en los estribos cuando hay creciente; esto se representa de acuerdo a Ia (L.2), de la siguiente forma: P(CU F)= P(A+ P(D - P(C nfl ... (1.5)

De otro lado, de la ecuación (1.4) de la probabilidad condicional, tiene:

P(F'tC)='(?.2,') = p(CnF) = p(c)xp(F tC) P(C) Luego: P(C o F) =O.2 x 0.5 = 0.1

Hidrología Estadística

-

página (21)

Sustituyendo valores en la ecuación (1.5), resulta: P(CU F)=0.2+0.3 -0.1

P(CU F)=0.4 .'. La probabilidad de falla en el puente es del 40 7o.

1.5 Período de retorno (T) Se define el pertodo de retorno T, como el intervalo promedio de tiempo en años, dentro del cual un evento de magnitud x puede ser igualado o excedido, por lo menos una vez en promedio. Así, si un evento igual o mayor a -r, ocurre una vez en I años, su probabilidad de ocurrencia P, es igual a I en Tcasos, es decir:

p(x > *> =

l;

I

... (1.6)

ó

fdonde

-I P(X > x)

...fi.7\

:

P(X>x ) = probabilidad

de ocurrencia de un evento

f = período de retorno

>.r

L¡ definición anterior, permite indicar que la probabilidad de que x ll0 ocuna en cualquier año; es decir, la probabilidad de ocurrencia ,Ét un evento <.r, se expresa como:

P(X<x)=1-P(X>-x) le:

Pk ,T
...(1.8)

,'-lr(x<x)

...(1.e)

1

F Conceptos básicos

-

págirc(22)

Hidrología Estadística

donde:

período de retorno P(X>x) = probabilidad de excedencia P(X <x) = probabilidad de no excedencia

P

Tabla 1.1 Período de retorno de diseño recomendado, para

corta duración Drena¡e de aeropuertos Drenaie urbano Drenaie Aqrícola Muros de encauzamiento Alcantarillas para carreteras

Periodo de Retorno laños)

50-100 25

P=L-P 1

=l-1T

P

Si se supone que la no ocurrencia de un evento en un año cualquiera, es independiente de la no ocurencia del mismo, en los años anteriores y posteriores, entonces la probabilidad de que el evento no ocurra en n años sucesivos ó confiabilidad, es:

5-10

1-2

P.P....P n factores

5

2-10

5-10 2-50* 1.1

-5

-/-

1.6 Concepto de Riesgo (R) Si un evento de diseño, por ejemplo un caudal de diseño Q, tiene un período de retorno de T años, y una probabilidad de excedencia P, de acuerdo al apartado anterior, se cumple:

T

- Pn =1,(.- 1)' r)

La probabilidad de que el evento, oculTa al menos una vez en r¿ años sucesivos, es conocida como riesgo o falla R, y se representa por: R = 1- (P)'

* Puede aumentar si estas obras protegen poblados de importancia.

p=!

probabilidad de ocurrencia de un caudal > Q período de retorno

La probabilidad de que Q no ocuna en cualquier año; es decir, la probabilidad de ocurrencia de un caudal < Q, es:

estructuras menores

Puente sobre carretera menos importante o alcantarillas sobre carretera imoortante Alcantarillas sobre camino secundario Drenaje lateralde los pavimentos, donde puede tolerarse encharcamiento con lluvia de

-

I-

En la tabla 1.1, se muestran los períodos de retorno recomendados, para el cálculo de caudales de diseño de estructuras menores.

Puente sobre carretera importante

págha (231

donde:

I-

Tipo de estructura

-

n=

r-[r-+)'

(1 ro)

donde:

R=riesgoofalla

I-

período de retorno n = vida útil del proyecto

Conceptor básicos

-

Hidrología Estadfstica

p&gina (24l-

Con el prrámetro riesgo, ee posiHe determinar cuáles son las implicaciones, de seleccionar un período de retorno dado de una obra, que tiene una vida útil de n años.

l,-1)'=r-R r]

I

1-:=1r-n)i T\

Para diferentes valores de períodos de retorno (7) y diferentes valores de vida útil (n) de las obras.

1-(1-RÉ =

Tabla 1.2 Valores de R, en función de T y n

l,=fl)

10

0.99485

20 50

0.92306 0.63583

100

0.39499 0.09525

500 1000

5000 10000

0.04879 0.0099s 0.00499

7=

Hlesoo ffI)

n=100

n=150

0.99997 0.99408 0.86738 0.63397 0.18143 0.09521 0.01980 0.00995

0.99999 0.99954 0.95170 0.77855 0.25940 0.f 3936 0.02956 0.01489

La probabilidad de que se presente al menos un evento de probabilidad llT en I años es: 1- (l - lfi)r, que para un peíodo

largo tiende a ser 0.6321. En consecuencia, si la vida útil de una estructura y el período de retorno de diseño son iguales, la probabilidad de que la capacidad de la estructura sea excedida durante la vida útil es muy alta. Por lo tanto, el período de retorno debe rer mucho mayor que la vida útil de la estructura para estar razonablemente seguros de que ningún valor exceda su capacidad. Sin embargo, para cualquier período de retorno de diseño que se seleccione, siempre hay una probabilidad de que el valor sea excedido; por supuesto, si se selecciona un período de retorno de diseño muy alto en comparaeión con la vida útil de la estructura, la probabilidad de que su eapacidad sea excedida podrá ser muy b{a, pero siempre existe.

página (25]l

Despejando T de la ecuación (1.10), se tiene:

En la tabla 1.2, se muestran algtmos valores de riesgo.

T

-

1

T

--J , r-(r-n);

(l.ll)

...

En la tabla 1.3, se presentan valores de T, para diferentes valores de riesgo (R) y diferentes valores de vida úül (n) de las obras. Tabla 1.3 Valores de T, en función de R y n Vida

R

299

5 498

995

25 2488

149

248

495

1238

59 29

98 48

195

488

18

95 35

238

11

3

0.01

100

2 199

o.o2 0.05 0.10 0.25 0.50

50 20

99 39

10

19

4 2 1.3 1.0

7 3 2

5

I

2.7

4.1

111

1.27

1.66

0.75

0.99

10

15

7.7 2.7

87 37

50

100

2lJlJ

4975

99s0

2475 975 475 174

4950 1 950 950 348 145 73 22

1990 0 9900 3900 1899 695

18

73 37

5.9

11

289 144 44

Ejemplo 1.5: Determinar el riesgo o falla de una obra que tiene una vida útil de 15 años, si se diseña para un período de retorno de 10 años.

F Conceptos básicos

- página (26)

Hidrología Estadística

Solución:

página (27

Z=10y n=15 Sustituyendo valores en la ecuación (1.10), se tiene:

Tabla 1.4 Fórmulas para determinar la probabilidad experimental

R=1-1,-l)"

Fórmula empírica

10J

R =0.7941=79.417o

Probabilidad experimental acumulada P

California

Si el riesgo es de 79.41Vo, se tiene una probabilidad del79.4lVo de que la obra falle durante su vida útil.

m n

Hazen

m-1

2

Ejemplo 1.6: Para el diseño de una estructura hidráulica, con vida

Blom

Tukey

.'.f=238años

experimental Dado un conjunto de datos ordenados:

m-0.3 n+0.4

Chegadayev

=237'78

1.7 Cálculo de la probabilidad empírica o

nll

'i

Solución: De los datos del ejemplo, se tiene: T=l0Vo=0.Ly n= 25 años Sustituyendo valores en la ecuación (1.1 1), se tiene:

11 ' =1-grno* l-(l-o.l),5

n m

Weibull

útil de 25 años,

se acepta sólo el IO %o'de riesgo. ¿Qué período de retorno se debe escoger para el diseño de la estructura?

T=

I

XlrX2, I3r...,fN Existen varias fórmulas para calcular la probabilidad de ocurrencia los datos ordenados, los cuales se muestran en la tabla 1.4. "de-

De los datos del ejemplo, se tiene:

[

-

m-a

Gringorten

n

donde

*7- 2a

:

-

probabilidad experimental acumulada o frecuencia relativa empírica m= nimeto de orden n = número de datos P

Conceptos básicos

-

págna (2Bl

a = yalor comprendido en el intervalo

O

de n, de acuerdo amst a la siguiente tabla: n 10 20 30 40 a o.448 o.443 0.442 0.441 n 60 70 80 90 a 0.440 o.440 o.440 0.439

Hidrologfa Estadística


l, y depende

50

o.440 100

0.439

De todas estas fórmulas empíricas, la más utilizada es'la de weibull.

p(x ) x), los datos se ordenan de mayor a menor, mientras que para caicular ra probabilidad de no excedencia p(x < x), los datós se ordenan de

-

págrna (291

En este caso el espacio muestral §, consta de los cuatro puntos (resultados): (e,e), (e,c), (c,e), (c,c) donde: e = escudo, C = COfOna primera la letra, se refiere a la moneda de 10 colones y la segunda a la de 20 colones.

Para calcular la probabilidad de excedencia

menor a mayor.

L.8 Variables aleatorias una variable aleatoria,'", ,nu función x, definida sobre un espacio muestral ,s, que asigna un valor a esta variable, correspondiente a cada punto (o cada resultado) del espacio -r.rt ul de un

experimento.

A

una variable aleatoria, se le conoce también como variable estocástica, sus valores son números reales, que no pueden predecirse con certeza antes de ocurrir el fenómeno, es decir, ocurren al azar. El comportamiento de una variable aleatoria está descrito por una ley de probabilidades, la cual asigna medidas de probabilidad a posibles valores o rangos de ocurrencia de la variable aleatoria.

Ejempla 1.7 sea el experimento: lanzamientos independientes de una moneda de

l0yuna de2}colones.

Si se define como va¡iable aleatoria: X = número total de escudos que se obtiene al efectua¡ el experimento entonces, la variable aleatoria X, puede ser: X= 0, t,2 donde:

X = 0, si el resultado son 0 escudos X= l, si el resultado es I escudo X = 2, si el resultado son 2 escudos luego, considerando que las monedas no son falsas, si: X = 0; le corresponde una probabilidad de: P(X=O) =ll4=0.25 X = l,le corresponde una probabilidad de:

P(X=l) =214= ll2=0.5

X =2,1e corresponde una probabilidad de:

P(X=2) = ll4 =0.25

En forma general, X puede tomar un valor cualquiera del siguiente htodo:

X=a =+ a<Xd +

P(X=

a)

P(a<X< P(Xsc) P(X> d)

b)

Conceptos básicos

-

página (30)

Hidrología Estadística

Clases de variables aleatorias

página (31)

C0ntinua. En este caso la ley de probabilidades asigna medidas de probabilidad a rangos de ocurrencia de la variable aleatoria.

1. Variable aleatoria discreta

se dice que una variable aleatoria X es discreta, cuando sus valores conjunto enumerable finito o infinito.

o

se restringen a un

Ejemplo: si X representa el número de días de lruvias ocurridas en los meses de un año cualquiera (figura l.l), entonces X es una variable aleatoria discreta. En este caso, la ley de probabilida asocia medidas de probabilidad a cada posible ocurrencia de

12

Número de

31 días

Figura 1.2 Ejemplo de variable aleatoria continua

variable aleatoria.

muyorfa

de secuencias de variables hidrológicas son series continuas. Sin embargo, para propósitos

de variables

dias 30 de 25 lluvia 20

lcos, una variable discreta puede tratarse arbitrariamente como ajustándose a una función continua, o bien, una continua discreta, dividiendo éstas en intervalos y agrupándolas en discretos.

15

10 5 0

-

EF

Meses

Figura 1.1 Ejemplo de variable aleatoria discreta 2. Variable aleatoria continua Se dice que una variable aleatoria

X es continua, cuando sus se encuentran en un rango continuo y puede ser representado cualquier número entero o decimal.

Ejemplo: Si Q es una variable aleatoria que denota el valor de caudales promedios diarios del río corobicí (figura r.2), entonces puede asumir cualquier valor y es entonces una variable

Dlstribuciones 0omportamiento de una variable aleatoria se describe mediante su de probabilidades, que a su vez se puede caracteizr de varias La más común es mediante [a distribución de liclades de la variable aleatoria.

X + variable aleatoria de la función I =+ valor particular que toma la variable aleatoria flf) + l'unción de densidad (función de probabilidad, F(l)

distribución de probabilidad de x) -+ llnción acumulada (función de distribución acumulada)

Conceptos básicos

- página (321 Hidrologla Estadlstica

-

página (33 )

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria discreta f(x)

x36-1

<1

V*i

23456789101112 Figura 1.3 Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

f Ejernplo

1.8

(x,)

;

sea X la variable aleatoria que representa la suma de los puntos que se obtiene al lanzar dos dados, esta tiene como función di densidad

de probabilidad:

x-l 36 f (x) =

13- x

1;

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua Es una función matemática que permite determinar la probabilidad, de que una variable aleatoria continua X, tome los diferentes valores x;, dentro del rango en el que está definido, y cumple con las siguientes condiciones:

para x =2,3,4,5,G,7

0
para x = 8,9,lo,ll,l2

ll*f @)a* =t

en otros

casos

los diferentes valores de x. se tiene: x 2 3 4 5 6 7 I 9 10 11 12 f(x) 1136 2t36 3/36 4t36 5/36 6/36 5/36 4136 3/36 2136 1t36 su representación gráÉica se muestra en la figura 1.3.

p(asx( u¡=[bf{*)ax QJemplo 1.9 Sca X una variable aleatoria continua que tiene la

densidad de probabilidad:

función de

Conceptos básicos

fo.rrr,

f(x)=j

- x')

lo

-

página (34)

'

Hidrología Estadística

-

página (35

)

,para -1<x<1 ,

para cualquier otro valor de x

Se pide:

gráfico de la función de densidad de probabilidad 2. CalcularP(-0.5 < x < 0.5) 1. Elaborar el

)l

Solución:

1. x f(x)

Para elaborar el gráfico, se evalúaf(x), para valores de x, que estén en el intervalo definido por [-1,1], así se tiene: -1

-0.8

-0.5

-o.2

0

0.2

0.5

0

0.27

0.5625

0.72

o.75

o.72

0.562s o.27

su representación gráfrca se muestra en la

08

1

0

figura 1.4.

f(x) 0.

0

l,'r¡

0

rrción de distribución acumulada

'ir \ t's una variable aleatoria

0.

-1 -0.8 -0.6 -0 4 -0.200.2 0 4 0.6 0.8

1

x

Figura 1.4 Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

(discreta o continua), se define la Irrrr rorr rlc distribución o función de distribución acumulada F(x), ,,nr, lr ¡rrobabilidad de que X tome cualquier valor menor o igual r¡rr' r, r's tlccir:

/tr) I'(X<x) ,'r lrltr'(l(' rlctttostrar que:

2. P(-o.s< x < o5) = Il j.ro.r

s(-

x2)dx

l't,t r'/r)=F(b)-F(a)

7 Conceptos básicos

-

página (36)

Hidrología Estadística

Función de distribución acumulada correspondiente a una distribución discreta

-

página (371

f(x)

Para el caso de una variable discreta F(x), se puede expresar como la sumatoria de los f(x), para los cuales ri es menor o igual que r, es

1

7t8

decir:

F(x)=P(X<x)= Ef(x¡) xi(x

... (1.14)

Ejemplo 1.10: Sea

X una variable aleatoria discreta con función de probabitidades:

f(o) =

l.

8'

f(1) =

1. Calcular

1.

8'

34

. fr3) = I 8' 8

f(2\ =1

Figura 1.5 Función acumulada de una variable discreta

P(X<2)

2. Dibujar la función de distribución acumulada

lfunción de distribución acumulada correspondiente a r¡na distribución continua

Solución: 1. p(x

<2)=F(2)=ÉnO =f(0)+f(1) +f(2)

l'irra el caso de una variable continua, F(x) se representa por:

x=0

P(x<

2\=!+3*1

888

F(x)=P(X<

x¡=f

r1x¡Ax

... (1.1s)

Pñ < 2\=! 8

2.

Siguiendo el mismo proceso del punto (1), se puede determinar F(x) para los diferentes intervalos de x, así se tiene: x

x<0

0<x<1

0<x<2

0<x<3

x>3

F(x)

0

118

418

7t8

1

Su gráfico se muestra en Ia figura 1.5.

L;r rclación entre la función de distribución acumulada y la función rh'rlcnsidad de probabilidad, es: d

F(x) dx

f(x)

l¡,'(1.13),setiene:

... (1.16)

Conceptos básicos

P(a <

x

< b) = F(b) - F(a) =

-

página (38)

l.'f1*¡

a^

Hidrología Estadística

...

(1.t7)

Esto significa que la probabilidad del evento a < x 1 b, es igual al área que hay bajo la curva de la función de densidad de probabilidad f(x), enfie x = a y x = b (fi1¡ra 1.6).

-

página (39

)

P(a < x 3 b) = P(a < x < b) = P(a < x < b) = P(a 3 x 3 b) Esta situación es diferente para el caso de una distribución discreta.

Ejemplo 1.11 : Sea X una variable aleatoria continua, que tiene la

densidad de probabilidad:

ab Figura 1.6 Representación de probabilidad También se cumple que, la probabilidad P(x = a) = 0, en efecto:

P(x=a)=F(a)-F(a)=g

es decir, que

el área bajo la curva/(x) en un punto, es cero (figura

Calcular: l. La función acumulada 2. P(X <2) 3. P(0.2 <X <2.5)

4. P(X> t) 5. Dibujar la función

de distribución acumulada

r.7). Solución:

l. Por definición: F(x)

=

Figura 1.7 Laprobabilidad en un punto es cero

De esto, como F(x) es continua, se observa que las probabilidades correspondientes a los intervalos:

a<x1b, a<x
y

con b > a), son todos iguales, es

J_f

r«*¡ a* 0

!/xx) dx + ffrr*l ¿* F(x) = lj rf*l a* rr*>=

1x3¡ x3 rr(x)=lJt* =_27 930 =--u

función de

7 Conceptos básicos

-

página (40)

Hidrología Estadística

F(x) = {

F(x)

1

2. P(x < 2) - P(0 < x < 2) = F(2) - F(0)

< zl=L -o

o.4

3. P(0.2< x < 2.5) = F(2.s) - F(0.2)

4. P(x > 1) =

-Y= 27'1rS.O2s 27

-

0.00s)

0

= 0.5784

I - P(xS

1)

=

1

,/

o.2

a

=ry 27

<x <2.5)

/

0.6

P(x<2)=O.2963

p(0.2 < x <2.5)

I

0.8

27

P(0.2

página (41)

1.2

27

P(x

-

/

/

-/ x

- tF(l) - F(Q)l

Figura 1.8 Éunción acumulada de variable continua

1

P(x>l)=1-Ír-Ol P(x>1)=0.963 5. Para elaborar el sráfico de F(r)

=I'n, "" dan valores a x en el

intervalo [0,3], así se tiene: x

Flx)

0 0

0.5 0.00463

1

1.5

2

2.5

3

0.03704

0.12500

0.29630

0.57870

1

Solución

por definición, para una variable aleatoria discreta , para que flx), sea una función de densidad de probabilidad, se cumple:

La representación gráfrca de la función acumulada, se muestra en la figura 1.8. Ejemplo 1.12: Dado una variable aleatoria discreta donde:

X y n un número positivo,

cntonces: n

L"flx)=I

7 Conceptos básicos

-

página(42)

x=1

página (43

)

Demostración: Para que fz) sea una función de densidad de probabilidad, se debe cumplir que:

n

» C2x=l

x=1

ll *f {da' =t

n

¿

-

Hidrología Estadística

\ )x=l

x=1

Comprobación:

2_2 z-z -^ltoo

Cl2+22+23+...+2nl=L

2Cl1+2+22+23+...*2n-11-1

2 dz =--1--

... (1.18)

l+2+Zz +23 +...+ 2,-t ==='-?'

t-2

-1

=2n

-1

^12ÍI

22 z-z

pero, de la propiedad de los cocientes notables, se tiene:

[* " J-*

dr+ l.,-l;"

^I¡o 2

... (1.19)

2 d,

2 dz ...(1.20)

luego, sustituyendo (1.19) en (1.18), se tiene:

2C(2¡-l) =

L

(-z)2

.^1 Ejemplo

2(2^

-l)

l.l3

:

fr_z\=] ' ^l2rle 2 =-L, ^l2fr Por

Sabiendo que la variable aleatoria densidad de probabilidad:

f (z)= psro

-oo

,

h,

'"

2

z, tiene la siguiente función

se dice matemáticamente

2

2

=f(z)

queflz),

es una función

Par.

.'.

(distribución normal estándar)

1Z 16, comprobar queflz)

probabilidad.

de

serflz) ='f(-z),

_z

[!_rrrtor=

luego de (1.20), se

li rr.,0,

tiene: z

es una función de densidad de

!I*¡
2

2 dz

... (t.2r)

Conceptos básicos

-

página(44)

Hidrología Estadística

Haciendo:

z2

Lzdz

dy

=Cly"-dZ=t

222

Se requiere que

+z="12y

#f

)

parax continua

... (1.23)

g(x) esté definida para todo x real, para el cual flx)

Propiedades del valor esperado

!1*¡<,t¿,=#ff"-,+=hff [1 *¡

página (45

sea diferente de cero.

sustituyendo en (1.21), resulta:

r,r>¿r=

¡@

= $(xX(xEx

E(s(X))

-

g(x) = E(A =

1. Si

y-1,-,

d.y

Aplicando la transformada de Laplace, resulta:

f,

C

constante

.,(1.24)

en efecto, por definición:

.€1

)-*f {dar= ñ

Variable

continua:

E(c) =

I]*rf A>*

ó

E(C) =EC(fx¡¡

CJ-- f (x)d,x

ó

E(C) =

E(C) =

Variable discreta:

c \(fx¡)

Pero:

ll*f {ia* =t ó

.,ffi=1

I LQQD

(1o que se quería demostrar)

E(C) = C luego: E(1)

1.10 Valor esperado

E(1(X»

=

| g(x)flx)

paraXdiscreta

... (1.22)

ó

de tunción densidad)

E(C)=C

=1

2. E(a.g(x)) = a

Si X es una variable aleatoria (discreta o continua), con función de densidad de probabilidad f(x), y si g(x) es otra función de X, entonces el valor esperado de S(D se define de lasiguiente forma:

2,flx¡)= I (definición

E(S@)) a= cte.

t. E(a"g(x\ + b.h(x)) = a E(g(x))

+

... (1.2s) b E(h(x))

...

(t.26)

Conceptosbásicos

-

página (46)

Hidrología Estadística

L.L1 Momentos de una distribución

tty= E((x - p.f)

Momento respecto al origen Si S(X)

-

tl'k=

XK, donde K=1,2,3,..., se define el momento k-ésimo, ¡r'¡,

E(x\ = | xKJ(x) para X discreta

l.t'k= E(xK)=

l_:x*f1x¡ d* p*qX

...

(r.27)

.

=2

Fr Si K = 1, se tiene el momento de 1er orden respecto al origen, así:

Variable discreta:

F'l= 2x.f(x) pl=E(x)=lt

LL'l

= J-

xf(x)

dx - lt

... (1.29)

se tiene

(1.30)

el 1"'momento central: Variable continua:

- tt)f(x)

ó

rr1

=

J:(x

-p) f(x) dx

Si K = 2, se tiene el 2o momento central:

=Z @ - tt),f(x)

kz

¡r

Si K = 2, se tiene el momento de 2" orden respecto al origen, así:

ó

/z=!l**2f(x)

dx

Si K = 3, se tiene el momento de 3er orden respecto al origen, así:

F3= L*3f(*)

paraXdiscreta

ó

t2=

l:

6 - Lt)rf(x)

dx

.'. El segundo

El primer momento respecto al origen es la media

F'2= E x'f(x)

(x

p"fflñ

)

Si ¡r1 existe debe ser igual a 0

.

Variable continua:

I,

(x -

Variable discreta:

... (1.28)

continua

Si K =

)

página (47

- pÉi)= J_1f"-p)^f(x) dx paraXcontinua...

tty= E((x respecto al origen como:

=

-

ó

lt'3

= J- *'r1*¡ a,

Momento central con respecto a la media Si S(X) - (X - ¡lf, donde K=1,2,3,..., se define el momento central k-ésimo, pk, respecto a la media p, como:

momento central con respecto a la media es la varianTa, es decir: o2 =V(D = E((X - tt)2) = ttz

.

Si K = 3, se tiene el 3er momento central:

ü3

=L

@

- p)3fl*)

ó

p3

= J:(x

-tr¿)' f(x) dx

Media de una distribución El valor medio o media de una distribución p, es el esperado de la variable X o momento de ler orden con respecto al origen, proporciona una idea del lugar donde están concentrados los valores que toma la variable X, es decir: paruX discreta p = E(n =2 x.f(x)

lt

= E(X)

= J_: x f(x) dx

para X continua

7 Conceptos básicos

-

página (48)

Hidrología Estadística

Mediana

-

página (49)

Varianza de una distribución

Si X es una variable aleatoria y F(x) su función de distribución

¡ de la ecuación:

acumulada, la solución

F(x) = 9'5 recibe el nombre de mediana de la variable aleatoria distribución). Se puede representar en forma gráfica como:

X (o de la

r(x)

F(x

La vaianza de una distribución 02, es el segundo momento central

con respecto a la media, mide la variabilidad alrededor de la media, de es decir, expresa cualitativamente la dispersión que hay alrededor la media, se representa como:

d

=V(X) = X(X

.

paraX discreta

p)2f(x) = E((x - P)2)

& = V(X) = J-1«. -p)2f(x)dx=E((x -t¿)2) paruXcontinua x

t mediana mediana

F(x) =

^/

J',

t(*) dx = 0.5

F(x)=X/(x)=0.5

paraX continua paraX discreta

Ala raíz cuadrada positiva de la varian

le llama desviación

estándar y se designa Por o es decir:

o

= JV(x)

Coeficiente de variación El coef,rciente.de variaci6n

Moda

u,i"

Cu, es una medida relativa de dispersión

y se define como el cociente entre la desviación estándar y la media

La moda es el valor de ocurrencia más frecuente. Así la moda de la población, es el valor de X que maximiza f(x) y que satisface la ecuación:

df (x)

=o v J dx

d'llD .g

oaraxcontinua

d)cz

i=1

=!p

Es una medida adimensional de la variabilidad alrededor de la media.

Sesgo de una

o el valor de X asociado con: n

Max f(x¡)

C,

paraX discreta

distribución

EI sesgo de una distribución Y, es una medida de asimetría de las distribuciones y se representa por la siguiente relación:

Conceptos básicos

tt^

E((x

. .

página (50)

Hidrologfa Estadfstica

tt)3)

=

E(*) - 2¡rE(x) + tt"zE(l)

=

E(f)

=

E(*) - 2lt'+ lt'

=

E(f)

=

E(f) - (E(x))'

03

'-ot-

.

-

-

Si y = 0 la distribución

es simétrica

y > 0 la distribución tiene cola en el lado derecho, o es ' Si sesgada ala derccha.

Si y < 0 la distribución tiene cola en el lado

izquierdo,

o

es

sesgada alaizquierda'

- 2l.rtt +

-

página (51)

pero: E(x) = tt y

E(l) = 1

tt'

- tt2

p¡ = d = V(n = E(f) - (E(x))'

Curtosis

Ejemplo 1.15:

El coef,rciente de curtosis, es una medida de achatamiento, indica el grado de llanura de la curva de la función de densidad flx), se iepresenta por la siguiente relación:

l,to n(x-

Expresar E((x - p)3) en términos de E(x),

E(*),

E@3¡

Solución:

lt)o)

E(*

o4

-

tt)3) = E(x3 -

3fp

+

3xp"z

- ¡fi¡

= n@3) - E(3ftt") + E(3x¡t2) -E(tt3)

Ejempla 1.14: Expresar:

&

= E((x - P)2) en términos de E(x),

E(*)

= o(x3) - 3p"E(*) + 3¡t2E(x) - n(p3) = E(x3) - 3pE(*) +

Solución: = E(x3) -

o2=E((x= =

lt)2)

E((* -2W+ tt') E(*)

3¡t"z¡r

- ¡¡3

3ttE(f) + 2¡fi

¡4 = E((x - D, = s@3) - 3E(x)E(*) + 2(E(x))3 Ejernplo 1.16:

- E(ztt"x) + E(tt2) Expresar: E((x

-

tt)4) entérminos de E(x), E(*),E(x3), E(A)

Conceptos básicos

-

página(52)

Hidrología Estadística

Solución: E(x)

E((x-pt') = E(A - +ú p + 6x2p"2 - 4x¡fi + U,4)

n(A)

- E@x3¡¡¡ + E(áxzpz¡ - nf+ití¡ +

= n(A)

+ 4¡tE(x3¡ + 6tt2E(*) - 4¡t3o1x¡ +

=

:.

=

z(A) - 4¡tE@\+ 6¡t2E(*)

=

z(#)

- 4p,3p +

EQl¡

1

E(x)

tL4= E((x-pf) =

E(#)

- 4E(x)EQ¡3) + 6(E(x))2E(*)

36

a

+zx

36

!+lox I 36

Z L 36+11x 36+n, 36

(, + 6 + 12 + 20 + 30 +42 +40 +36+

*

- 4¡tE(x3¡ + 6¡t2E(f) - 3t 4

+t2)

30 + 22

Ek\=252 -7

- 3qzqx¡¡4

36

Ejemplo 1.17:

E(x) =7

sea X la variable aleatoria que representa el resultado que se obtiene ellanzat dos dados. Calcular E(x),V(x).

2. Cálculo de V(x): Del ejemplo 1.14, se tiene que: V(x) = E(*) "

(E(x))"

Solución:

si x = v.a. que representa la suma de los valores de los dos dados,

tiene:

xl f(xi)

=

)

36

36

¡fi

página (53

a+¡ *Z*+x1+s*!*oxl 36 36

=2Y

*sx A +g*

¡/

-

.... (1,31)

CáIculo de E(f) se

11

E(*) = .E-ri'f3i) l=l

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x1l

2

3

4

5

6

7

8

I

10

11

12

4136

3/36

1136

J36 3/36 4/36 s/36 6/36 5/36

xfflxt)

?/36 1136

= 4x

Cálculo de E(x): t1 E(x) = .2_*l\*)

1.

+ x22flx2) +

x¡fxtt)

qrfrq)

+ ... +

xtt2flxtt)

L+g* ?*rox a +25x ! +za, A* 36 36 36 36

36

qgx

I 36

1+ntr?*ru+xL

36+St *!*100x 36 36

+64x1

t=I

E(x) = xf(xi + xyflx2) + x¡fl4)+ ... +

=

36

36

+

Conceptosbásicos

=!g+18 36'

-

1956 36

=

+ 48 +100 + r80

+

294

-

+

página (54)

320

+ 324+ 300 +

Hidrología Estadística

242

+

ra¿i)

-

página (55

Solución: 1) Cálculo de la media: 0

54.3333

tt = E(x) =fiX*>dx

+lixf(x)

ax

.'. E(xz¡ = 54.3333 ¡r

Luego sustituyendo valores en (1.31), se tiene:

= lixf(x)

dx

V(x)=54.3333-72

, = I;x.xe'* dx

V(x)=54.3333-49 V(x) = 5.3333

¡r =J-x2e-. dx

Ejempla 1.18:

Sea

X

aplicando la transformada de Laplace, se tiene:

una variable aleatoria con función de densidad

de

probabilidad:

(_,

"-^ L0

f (x\ =.1*

Para x > o

para cualquier otro valor de x

,, n-

2t

rt

E(x) =

l! =2

2) Cálculo de la varianza: Calcular: . Media . Yarianza . Mediana . Moda . Coeficiente de variación . Coeficiente de sesgo . Coeficiente de curtosis . Dibujar la función densidad e indicar la posición de la media, mediana y moda

V(x)= o2=E(*)-(E(x))' dx

E(x2)

=

E(xz)

=J-x3e-* dx

lix'xe--

aplicando la transformada de Laplace, se tiene: E(xz) = 3t

)

Conceptos básicos

-

Página (56)

Hidrología Estadística

.... (r.34)

-

página (57

)

u=x + du=dx

luego, sustituyendo (1.32) y (1.34) en (1.33), se tiene:

dv=e-XdX

o2=6-22

J

y=-s-X

luego:

d=2

I=-xe-x-J1-e-x¡ax

I=-xe-x+fe-xdx también:

x

o=Ji

.... (1.3s)

I = -xe-x - e-x

I

,0

3) Cálculo de Ia mediana:

I=-xe-x-e-x-(-0-e0¡

Se debe calcular el valor de x que cumpla con la condición:

I=-xe-X-e-x+1

Il""t«*l

sustituyendo (1.37) en (1.36), resulta:

dx =0.5

_xe-x_e-x+1=0.5

0

J]-rt*l a*--¡f ;rx)

lí(.) ff..-

dx +

0.5

Integrando por partes:

,=fl+

Ifrt*>

a*

-xe-x-e-x=-0.5 xe-x + e-1= 0.5

dx = o'5

x dx =

... (1.37)

*=-xe. "-.1;

fudv=uv-Jvdu

... (1.36)

(x+ l)e-x=0.5 haciendo:

h(x)='*1

=0.5

ex resolviendo por tanteos:

x

h(x)

1.00

0.7358 0.9098 0.6626

0.s0

t.20

x r.70 1.65

t.67

hlx) 0.4932 0.5089 0.5026

Conceptos básicos

i.30

0.6268 0.5918 0.5578 0.5249

1.40 1.50 1.60

-

1.68

1.675 1.678

t.6785

página (58)

Hidrología Estadística

0.4995 0.5010 0.5001 0.5000

-

página (59

)

d'f\*)=_e-X_e-x+xe-X t'z

ax para x = 1, se tiene:

Como se observa de la tabla, el valor de x que hace que h(x) = 9.5, es 1.6785

d'fl*)=_e-r_"-1+"-l r'2

ax

4'l!4=-1.o

el valor de la mediana es: 1.6

dxz

4) Cálculo de la moda: La moda es el valor de x que maximizaflx), y matemáticamente se debe cumplir:

q1ñ d'!:ñ .0 ü'úcJ'dx"=o y »

e

1o cual cumple con la condición (b)

5) Cálculo del coeficiente de variación:

cv

=9 p

...

(1.39)

Sustituyendo (1.32) y (1.35) en (1.39), se tiene: de (a):

qP

úc

=

4

dx'1¡1e-x) =

e-x+ x(-e-x) = e-X - xe-x=

de donde:

e-x(l

-x)=0

puesto que e-x É 0, entonces:

1-x=0 de donde, la moda es:

x=1

dx'

6 u"

.... (1.38)

2

6) Cálculo del coeficiente de sesgo:

Cs=y = U1 =E((x-tt)')

o'

o'

-Del eiemplo 1.15, se tiene: n@3) - 3E(x)E(*) + 2(E(x))3 t;

='n«*-t )i¡ =

Cálculo de E(x3):

de (b), se tiene:

t!9=

0

Cv-

41"-*1r-x)) = e-x(-r) + (l-x)(-e-x)

dx'

E(*3)= al@

E(*3)

=

E(*3)=

fx'fix¡dx J;-x3xe-*

rxae-*

dx

dx

... (1.40)

... (1.41)

Conceptos básicos

-

página (60)

Hidrología Estadística

aplicando transformada de Laplace, se tiene: E(x3¡ = 4t

E$3¡ = 24

E(A)= .... (1.42)

Sustituyendo (1.32), (1.34) y G.aD en (1.41), resulta:

.... (1.35)

("D'f

Cs

=

.-

P4=24

=

T

8) Dando valores a x,la función:

2 2j,

fx) - xe-x

2

toma los sisui ^,D

7) Crálculo del coeficiente de curtosis: ,\-

.... (1.46)

K=6

oli -l "12

aplicando transformada de Laplace, resulta: E(x4; = s r n(*4) = l2O

f,2424 o= ("rr'

lc:-

CS=

a*

Reemplazando valores en (1.44), resulta:

Sustituyendo (1.43) y (1.35) en (1.40), resulta: 4

Cs=

página (61)

Sustituyendo valores en (1.45), se tiene: ¡t4= l2O - 4x2x24 + 6x22x6 - 3x24

14=24-3x2x6+2x23

tB=4

li*s"-*

-

_ ltq _ E((x -

lt)o )

4 -

ool

Del ejemplo 1.16, se tiene: pq= E(A) - 4E(x)E@3) + 6(E(.r))28(*) - 3¡o1x¡¡4 Cálculo de E(A):

E(xa¡=l;*4*.-*d*

... (1.44)

... (1.4s)

parax > 0 V

x

f(x)

x

f(x)

0.0 0.5

0.0000 0.3033

0.1494

1.0 1.5 2.O

0.3679 o.3347 0.2707

2.5

0.2052

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

0.1057 0.0733 0.0500 0.0337

0.0225

ploteando los pares de valores, se obtiene la figura 1.9.

Conceptos básicos

r(x)

- página(62)

Hidrología Estadística

moda

página (63

)

luego:

p*=E(Xx)=E(alx+az)

0.4 0.3

-

media

p*=atE(X)+E(a2)

I

I

o.2

p* = atE(x) + a2E(l)

, pero

E(l) = t

entonces:

0.1

Itx=alE(X)+a2

l# = atp + aZ Figura 1.9 Función de densidad de probabilidad

.... (1.49)

De otro lado, de (1.47) - (1.48), se tiene:

De la figura 1.9, se observa que la función de densidad de probabilidad no es simétrica, sino que es sesgada a la derecha, en este caso, el valor de la mediana se encuentra, entre los valores de la moda y la media.

X*- p* = (a1X + a2) - @1¡t + a2)

xx- P* = al(x - t't ) De donde, los k-ésimos momentos centrales se relacionan como

l.lzTransformación lineal

sigue:

de las variables

E( lY* - p*lk) = E(la(X- p )lk)

con mucha frecuencia, a fin de realizar simplificaciones con la funcién densidad, se requiere la transformación de la variable .aleatoria X a una nueva variable aleatoria:

En el caso particular, de (1.49), cuando o*2 = E(¡ytr_ p\4 - a12o2

X*=alX+az conal*0 Se dice entonces que X* se ha obtenido a partir de X, mediante la 'transformación lineal (1.47). Se desea calcular la media ¡t,*, y la vananza ox2, de la variable usando la media pr y la vaianza o2 de X. Se sabe que:

tt= E(X)

E( lx* : p*lk) = utk¿([(x - p )]k)

X*,

.... (1.4e)

k=2,

se tiene:

o*2 = ay262 Si se haóe la transformación 1.47 los parámetros de la variable X*, se calculln con las ecuaciones t.48 y t.50. Para el caso particular que: F* = 0 y o*2 - | de (1.50), se tiene:

Conceptos básicos

at=-

-

página(64)

Hidrología Estadística

1

Si z = (x - tt)/o,

o

de (1.48), resulta:

f

I

9=-ltlaz o n

SiZ= X*,

/,-

de

o (l-47),

página (65

)

se tendrá:

1

---:.e o42Il

-Lr2 2

y v aianza 02 z = 1, la cual se conoce como ,'ción normal estándar.

,,, n meclia Wz =

u --L

(x) =

-

O

1.L3 Problemas propuestos se tiene:

1.

!x-L oo

.

Z_ x-¡t

por

ambas

Asumir que: t La probabilidad de falla por deslizamiento es dos veces la probabilidad de falla por creciente: P(A) =2 P(B) . La probabilidad de falla por deslizamiento, dado que ha habido creciente, es 0.8: P(A/B) =O.8 . Laprobabilidad de falla de la presa, es de 0.001: P(AUB) =

o

De lo anterior se puede manifestar que, si una variable X tiene media ¡ty vaianza 02, entonces la variable:

--x-lt o

tiene media 0 y varianza 1, es decir: $z = O , 02,

Una presa de gravedad puede fallar por: . deslizamiento (A) ' creciente (B)

0.001

=

t

Determinar la probabilidad de que oculra un deslizamiento: P(A)

A Z se le llama la variable estandarizada correspondiente

a X.

2.

Una agencia de arrendamiento de automóyiles recibe cada día de regreso O, t,2,3, 4,6 5 automóviles, con probabilidades de 1/6, 116, ll3, lll2, 116 y lll2, respectivamente. Obtener la media y v aftanza correspondientes al número de automóviles devueltos.

3.

Dos tetraedros regulares tienen las caras numeradas 1,2,3, y 4 respectivamente. Se arrojan los dos. Sea X la variable aleatoria correspondiente a la suma de las caras "hacia alriba". ¿Cuál es el espacio muestral de X? ¿Cuáles son las probabilidades de cada evento?

Ejemplo 1.19:

La función de'densidad de probabilidad de la distribución normal o gaussiana es:

I -'i'-l'l' f(x\= )-*ezl" ) o,l2ll

con media p"y

vaianzao2

. .

Conceptos

. 4.

básicos'

¿Cuáles son la media probabilística de X?

Hidrología Estadística

página (66)

y la varianza de la distribución

Una variable aleatoria X tiene como función de densidad probabilidad Ce'x,para 0 ( X < "".

. . .

)

para 2<x<3 en otros

casos

Hallar el valor de C Calcular Ia media Calcular lavaianza

aleatoria X toma los valores l, 2, 3, ó 4 con probabilidades (1+3ft)/4, (L-2k)14, (l+5kY4 y (l-6k)14, respec-

8.

Una variable aleatoria X, tiene como función de densidad de probabilidad: (

tivamente.

t

¿Para qué valores de

.

probabilidad? Dibujar la función acumulada.

6. Dada una variable

k es esta una función de densidad

lbu-u'

de

f(x)=1 I

l0

I

aleatoria X, donde la función de distribución

ll- r-'*

F(x) = l I

L0

9.

para

para x2o en otros

casos

. Hallar su función acumulada F(x) . CalcularP(j<x< j+I)

acumulada es:

. r .

página (67

para l< x<2

de

5. Una variable

'

-

Sea

X una variable aleatoria, uniformemente distribuida:

.r > o

para .r S 0

Hallar su función de densidad de probabilidad¡(¡) Calcular P(x>Z) Calcular P(-2
7, Una variable aleatoria X, tiene como función

de densidad de

Si a 1 c < d < 10. Dada la

b,hallar P(c < x < d)

función de densidad de probabilidad de X:

probabilidad:

.

Obtener el valor de k para densidad de probabilidad.

el cual flx) es una función

de

Conceptos básicos

, . .

-

página (68)

Hidrología Estadística

Calcular la media y Yarianza de X Determinar P(x S 3) Determinar P(1 < x < 3.5)

-

página (69

)

Indicar cuál es la media de la distribución. 14. Una variable continua

X, tiene como función de densidad

de

probabilidad: 11. Si X tiene la siguiente distribución:

f(x) =B

Xes la variable aleatoria que representa el resultado de arrojar dos dados, su función de densidad de probabilidad puede

-

13-x

Calcular: . La media de la distribución . La varianza de la distribución

para x=2,3,...,6

para x=7,8,...,12

16. Suponga que X tiene la función de densidad de probabilidad:

36

0

I -rtll6xe a^ para ¡ > 0 f(x)=i en otros casos [0 I

expresarse como:

f(x)

en otros

casos

f(x)

calcular E(*3) 13. Una variable aleatoria continua

X tiene la siguiente función

densidad de probabilidad: (

f(x) =

Itx'(t-x)

para 0<x
[O

para otro valor de x

i

0, 0 > 0 y fijo (es un parámetro), y cero para cualquier otro caso.

para x >

15. Si X tiene la función de densidad de probabilidad:

12. Si

36

,

Calcular: . La media . La mediana

Calcular: ¡ La media de la distribución . Lavarianza de la distribución.

x-l

,-0'

de

=

-l< x
[o.zs(t- xr)

para

l0

para cualquier otro valor

{

Encontrar la media y varianza de:

. .

Y=2X-2 Z=5X+6

17. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad

de probabilidad:

Conceptos básicos

-o-Yt 2'r-I2

xtt .f

(x) =

u

-

-

página (70)

Hidrología Estadística

Gamma

Para x)0,Y>0

t,lt olros

,

casos

.L (,

Y=5X-2 18. Sea X Lr¡i., de probabilidad:

Hallar la mediana. 19. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad:

Determinar la mediana.

página (71)

20. Se dice que una variable aleatoria

de 2

parámetros

si

su

X, tiene una distribución función de densidad de

probabilidad, es:

z2 rrY '2'¡

Encontrar la media y r.. ,

-

.f

(x) =

v-l x'e

p

0'r(v)

0

en otros

para

0(x<*,7)0,p>0

CASOS

Determinar: . La media de la distribución . Lavarianza de la distribución . La moda

Distribución de frecuencias de una mErestra 2.L Representación tabular y gráfica de las muestras En hidrología se trabaja con informaciones hidrometeorológicas; estas informaciones pueden consistir de datos de precipitación, caudales, temperatura, evaporación, etc.

Por lo general, se cuenta solo con una muestra de los datos de esa población, es decir, nunca se puede disponer de la totalidad de los datos. Pero cuando éstos datos se organizan en forma compacta y fácil de utilizar, los hidrólogos pueden disponer de una herramienta de gran utilidad, para las decisiones a tomar.

Distribución de frecuencias de una muestra

-

págha (74)

Hidrología Estadística

Existenmuchasformasdeclasificarlosdatos'unamaneraútil'es el núrnero dividirlo en categorías similares o clases, y luego contar lo que constituye una de observaciones que caen en cada categoía' tabla de frecuenciai o una distribución de frecuencias' Para una muestra dada, se escoge

tt

ranSo R, que contenga a todos

Iosvaloresdelamisma.SesubdivideRensubintervalosquese de estos intervalos se llaman intervalos de clasei los puntos medios denominanmarcasdeclase.Sedicequelosvaloresdelamuestra (figura 2'1)' Al en cada uno de los intervalos forma wa clase la clase; su de valores en una clase se llama frecuencia de número relativa de división entre el tamaño N de la muestra eslafrecuencia

ciase.Estafrecuenciaconsideradacomofuncióndelasmarcasde clase,sedenominafuncióndefrecuenciasdelamuestra'ysedenota de la muestra' se como flx). Lafuni¡A, cle frecuencias acumuladas denota como F(x),Y se define como: F(x) = 2 ¡fr> t1x

v

=xmin

-.-/

x2

13

{4

xI

+-f t-f llmltes marcas intervalo de

clase

de

clase

xmáx

púginfl

05)

2.2 Procedimiento de cáIculo A continuación

se indica un procedimiento práctico, para el cálculo de las frecuencias y frecuencias acumuladas, la misma que s€ usará más adelante para eI cálculo de la distribución de probabilidades empíricas de datos agrupados en intervalos de clase:

Frocedimiento: forma creciente o decreciente: Para agllizar los cálculos resulta conveniente conta¡ con una aplicación que permita el ordenamiento de los datos. Por ejemplo, si se ordenan los datos en forma creciente, se tiene: 1. Ordenar la muestra en

fnÍn, x2, X3,... , fmáX

...(2.1)

donde:

rmín = x1 es el valor mínimo xmáx= rI{

x1

-

de los datos

es el valor máximo de los datos

2. Calcula¡ el rango R de la muestra:

R=

*máx- rmín

...(2.2)

de clase

de clase Figura 2.1 Clasificación de datos, en intervalos

l. ,Seleccionar el número de intervalos de clase NC: depende del tamaño de la muestra N. En aplicaciones de lrrrlrología el número de intervalos de clase puede estar entre 6y 25. Ycv.icvich sugiere para seleccionar NC, las siguientes relaciones trrr¡ríricas:

N('

(¡r) NC = l.33lnN+ I

...(2.3)

Distribución de frecuencias de una muestra

(b) siN<30

si30
si

N >75

= + =

-

l0
= tamaño de la muestra lnN = logaritmo natural o neperiano del tamaño muestral. |y'

4. Calcular la amplitud de cada intervalo de clase Ax, según la ecuación:

- NC _I

...(2.4)

Al dividir el rango entre NC -

1, lo que en realidad se hace es incrementar el rango en Ax, incluyendo un intervalo más, el mismo que resulta, de agregar medio intervalo ( xlz), en cada extremo de la serie ordenada, a fin de que rnún Y xmáx sean respectivamente, las marcas de clase de la primera y última clase. Esto se aprecia en la frgtsra2.2,

marca de xm¡n clase

-

pá,gina (77 |

Como se manifestó en el punto 4, con el artificio de dividir entre NC-t, se logra que xmín y xmáx queden centrados y representan las marcas de clase de la primera y última clase, entonces los límites de clase inferior y superior del primer intervalo de clase, son:

NC<5 8
donde:

- rmín ^^--***NC -1

Hidrología Estadística

página (761

límites

fango real = xmax-xll'lln + Ax Figura 2.2 Representación del total de la muestra en intervalos de clase igualmente espaciados

LCII = xrlrin- Lxl2 LCSI =xmín

* LxlZ = LCII + Lx

...(2.6)

Los otros límites de clase, se obtienen sumando la amplitud Lx, al límite de clase anterior. 6. Calcular las marcas de clase de cada uno de los intervalos: Las marcas de clase se obtienen del promedio de los límites de clase. Así la marca de clase del primer intervalo es:

MCl =

LCI1 + LCSl

...(2.7)

Con el artificio realizado anteriormente la marca de clase del primer intervalo es igual al valor mínimo, de igual forma la marca de clase del último intervalo es igual al valor máximo es decir: MCI = xmín

MCn = xmáx Las otras marcas de clase, se obtienen sumando la amplitud Ax, a las ¡narcas de clase anteriores. 7. Calcular la frecuencia absoluta: llsta es igual al número de observaciones, que caen dentro de cada

intervalo definido por sus límites de clases respectivos, la misma (lue se obtiene por conteo, así se obtiene:

5. Calcular los límites de clase de cada uno de los intervalos:

...(2.s)

Distri6o"¡6n

de

frecuencias de una muestra

-

página (78

Hidrología Estadística

= función densidad empírica para el intervalo ni = número de observaciones en el intervalo d N= número total de observaciones Ax = amplitud del intervalo de clases

donde: frecuencia absoluta del intervalo i rlúmero de observaciones en el intervalo i 8. Calcular la frecuencia relativa/ry, de cada intervalo: Esta es iguat ¿ la frecuencia absoluta del mismo, dividido entre el número total de observaciones, es decir:

fabi= ni =

fú. fri= ---1= NN

n. I

...(2.e)

= frssuencia relativa del intervalo i ni = nú¡ns¡s de observaciones en el intervalo N = número total de observaciones

i

i

11. Calcular la función de distribución acumulada empírica usando la fórmula: ... (2.12) donde:

4

= función de distribución acumulada = función densidad empírica para el intervalo Ax = amplitud del intervalo de clase

f

donde:

¿

página (791

f

...(2.8)

fabi= ni

-

)

j

Los valores de Fn y Fi obtenidos con las ecuaciones (2.10) y (2.12) resultan similares.

9. Calcular la frecuencia relativa acumulada Fr¡, usando la fórmula:

Ejemplo 2.1:

",=,frfr¡=f-ft=iá

n

j

,.. (2.10)

donde:

Fri = ftecuencia relativa acumulada hasta el'intervalo i j = 1,2,..., i acumulación de los intervalos hasta i ni = iliÍ¡s¡t de observaciones en el intervalo

i

Dada Ia serie histórica de caudales medios anuales en m3ls (tabla 2.1), de la estación Salinar del Río Chicama (Perú), para el perfodo 1911-1980, calcule las frecuencias absolutas, relativa, acumulada, función densidad, función acumulada.

Solución: 1. Ordenando los datos de la tabla 2.1, se obtiene

10. Calcular lo función densidad empíricafi,para cada intervalo: Esta función según Yevjevich, se calcula usando la fórmula:

fr. fr. f.= lim l- l= Ax-+0 A¡ Ar donde:

n. -1

Lx

...

(z.tt)

2. Cálculo de R: De (2.2), se tiene:

R=80.83 -3.14 R=77.69

latabla2.2.

Distribución de frecuencias de una muestra

-

página (80

Hidrología Estadística

)

Tabla 2.1. Serie histórica de caudales medios anuales en m3ls del Chicama, estación Salinar (1911 - 1980) Año 191

1

1912 1913

1914 1915 1916 1917 1918 1919

1920 1921

1922 923 1924 1925 1926 1

1927

1928 1929 1 930 1

931

1932 1933

.1934

Caudal m3/s 7.91 8.01

13.27 16.39 80.83 60.08 21.55

Año

Caudal m3/s

Año

1

959 960

1

961

1

1

24.58 28.49 10.05

1

28.O1

194'.1

34.92 31.36 42.74

1

935

'1936

937 938 1 939 1 940

27.71

1942

12.94

962 963 1 964 1 965 1 966

28.63 30.27 33.43 35.16

1

943

41 .16

1967

1944

35.90 33.76 29.28

1

19.17

1971

29.37 30.06 9.67

1972

27.21

15.58 64.81

51.26 33.48 25.79 25.80 18.93 16.15 38.30 54.54

59.40

3. Cálculo de NC: De (2.3), resulta: NC = 1.33 1n70 + I NC = 6.65 Redondeando: NC =7

945 946 't947 1948 1 949 1 950 1

1

951

10.42

952 1 953 1 954 1 955 1 956 1 957 1 958

23.99 42.17 16.00 22.78 32.69 34.28 20.24

1 1

1 1

968 1 969 1 970

973 1974 1 975 1 976 1

1977

978 1 979 1 980

1

ío

Tabla 2.2 Seriede caudales en ascendentemente

3.14

4.58

10.42 11.78 15.58 16.00 18.91 18.93 22.88 22.99 27.21 27.71 29.37 30.06 32.26 32.69 34.99 35.16 45.38 51.26

Caudal m3/s 22.88 17.57 14.60

31.14 18.20

24.69 22.99

-

página (81)

-3/s, del río Chicama, ordenado

4.76 7.91

12.46 12.70 16.15 16.19 19.77 20.24 23.99 24.58 28.01 28.49 30.14 30.27 33.43 33.48 35.90 38.30 54.54 59.40

8.01 12.92

16.39 21.49 24.69 28.63 30.57 33.76 41.16

60.08

9.67

10.05

13.27 14.60 't7.57 18.20 21.55 22.78 25.79 25.80 29.26 29.28 31.14 31.36 34.28 34.92 42.17 42.74 64.81 80,83

11.78

32.26 4.76 12.70 16.19 30.14 30.57 45.38 18.91

34.99 21.49 29.26 4,58 12.46

4. Cálculo de Ax: De (2.4) se obtiene: 77.69 Lx= =12.95

7-l

Si se quisiera redondear a fin de c¡ue los límites y las marcas de clase resulten númeroS más simples, podría ser:

Lx=13

ó Lx=12.

Si se escoge Ax = 13 los límites de clase superior e inferior, resultan un poco mayor y menor respectivamente qu€ si se escoge Lx = 12.

3.14

Para

el ejemplo se escoge Ax = 12, a fin de obtener valores

¡larecidos,

al

que se obtiene con el proceso computacional.

Cálculo de los límites de clase: l)o (2.5), el límite de clase inferior del primer intervalo sería: LCII =3.t4 - 1212= -2.86

.5.

¡rcro físicamente los caudales nb pueden ser negativos, por lo que el nrcnor valor es 0.

Distribución de frecuencias de una muestra

-

página (82

De (2.6), se tiene: LCSL =0+12=72

Los otros límites, se calculan sumando

a¡ al límite

de clase que Ie la tabLa2.3'

antecede; los resultados se muestran en la columna 1 de

clase es negativo, su valor' por

condiciones físicas será cero. 6. Cálcuio de las marcas de clase De (2.7),la marca de clase del primer intervalo es:

MCI=

O+12

-

página (83

)

9. Cálculo de la función densidad empírica y la función de distribución acumulada. Usando las ecuaciones (2.1 l) y (2.12), se obtienen los valores que se muestran en las columnas 5 y 6 de latabla2.3.

LCII =O

Nrrr. Cr*d" el límite de

Hidrología Estadística

)

-6

Ax Las marcas de clase de lo§ otros'intervalos se obtienen sumando la de 2 columna la en a la precedente; los resultados se muestran tabla2.3.

¡frr¿- O¡r"*u. qo"-"oundo el límite de clase es inferior a cero, la

7. Cálc.ulo de la frecuencia absoluta A partir de los datos ordenados de la tabla 2.2, es fácil determinar el primer número de valores comprendidos en cada intervalo, así en el intervalo entre 0-12, hay g valores y así sucesivamente, los resultados se muestran en la columna 3 de la tabla2'3' 8. Cálculo de la frecuencia relativa

en usando la ecuación (2.9), se obtienen los valores que se muestran la columna 4 de la tabla2.3-

Tabla 2.3. Cálculo de la frecuencia relativa, absoluta, función densidad y acumulada del río Chicama, proceso manual. lntervalo de clase

Marca de

Frecuenci

clase

a absoluta

Frecuenci a relativa

(r)

(21

(3)

(4)

0-12 12-24 24-36 36-48 48-60 60 -72 72- 84

6 18 30

42 54 66 78

I 22 28 5 3 2 1

Función densidad (s)

Función acumulad a 16t

0.1286 0.3143 0.4000

o.o714 0.04296 0.0286 0.0f 43

0.0107

0.1286

0.0262

o.4429 o.8429

0.0333 0.0060 0.0036

o.0024 0.0012

0.9143 0.9571

0.9857 1.0000

Número total de datos: 70

2.3 Representación gráfica Existen varias formas de representar las muestras en forma gráfica, clentro de las cuales se pueden mencionar:

Histograma [Jn histograma es la representación gráfrca de las frecuencias, en Iorma de rectángulos, siendo la base de cada rectángulo el intervalo tle clase y la altura la frecuencia absoluta, fabl ó la frecuencia rclativa fr¡.

I Distribución de frecuencias de una muestra

-

página (84)

Hidrologla Estadística

En la figura 2.3, se muestra el histograma del ejemplo anterior, que se obtiene graficando las columnas (1) y (4) de latabla2.3.

-

página (85)

fr o.4 0.3

o.4

o.2

0.3

0.1

o.2

-6 0

0.1

0 12 24 36 48 60 72 U

intervalo de clase Figura 2.3. Histograma o distribución de frecuencias relativas de los caudales del ío Chicama

Polígono de frecuencia

relativa. Para que el polígono alcance al eje horizontal, a ambos lados de la distribución, se le agtega un intervalo de clase con frecuencia igual a cero.

En forma práctsca, un polígono de frecuencia se obtiene, uniendo con líneas rectas los puntos medios de todas las ba:ras de un histograma.

la anteri tabla valores -6 y 90.

18 30 42 54 06

78 90 marca de clase

Figura 2.4.Polígono de frecuencia de los caudales del río Chicama

Función de densidad de probabilidad empírica El histograma o el polígono de frecuencia, son dependientes del

Un polígono de frecuencia es la representación grffica de las frecuencias, se obtiene uniendo con líneas rectas, los puntos formados por las marcas de clase vs. la frecuencia absoluta o

En

6

ejemPlo

(4) de la clase los

tamaño del intervalo de clase y la posición del límite de clase. para evitar esta dependencia el histograma o el polígono de frecuencia

puede transformarse en una función de densidad de probabilidad empírica, usando la ecuación (2.11) propuesta por yevjevich. En esta ecuación el intervalo de clase tiende a cero, con lo que el número de intervalos tiende a infinito. El gráfico es parecido al polígono de frecuencia, pero con la variante r:n la escala vertical, que se hace pequeña y la unión de los puntos se hace mediante líneas curvas.

lin la figura 2.5, se muestra la función de densidad de probabilidad tlol ejemplo anterior, que se obtiene graficando las columnas (2) vs. (.5), de latabla2.3.

Distribución de frecuencias de una muestra

-

página (86

Hidrología Estadística

)

-

página (g7)

100 0

0 035

*\

0.030

060

I

0.015

0,005

0"70

I

0.020

0,010

080

I

0.025

I

f .6 6

§ir3

050

I

040 Ll30

\

18 30 42 54 66 7E

020

SO

0Í0

marca de clase

-6 6

Figura 2.5. Función de densidad de probabilidad empírica de los caudales del río Chicama

18 30 42 54 66

Ig g0

Figura 2.6. Función de distribución acumulada de los caudales clel

Este gráfico de Ia función de densidad de probabilidad; es muy útil para comparar los resultados empíricos, con la función de densidad de probabilidad de distribuciones conocidas, como la normal, lognormal y otras.

r'ío Chicama

lin la figura 2.J

se muestran los resultados, para los mismos crat.s. rrsundo el proceso computacional utilizando HidroEsta. En la tabi¿r

tlc la figura 2.7,Ia frecuencia relativa

Función de distribución acumulada o empírica

¡rc'urnulada se expresan en

Permite ver el porcentaje de las observaciones que quedan por encima o por debajo de ciertos valores, con respecto al totai. El gráfico se obtiene uniendo los puntos obtenidos por las marcas de clase vs. la función acumulada.

MEL

LCS

F¡eAbsoluta

FreBelativa

00

6.0

12.0

I

12.8571

1.071

12 8E

7.99

I

23.S9

22

3r.4286

2.6200

44 29

1

FunDensidad

FunAcumulada

13 99

29.99

35.99

28

40.0000

3.3345

J5 39

41.99

84 29

5

7.1429

47 38

53.38

47.98 59.98

sl

4 2857

0.5s55 0.3573

53 98

95 7l

65.S8

71.97

2

2.8571

o.2382

s8 57

71 97

97

l'r1ltrra 2.7 ,

y la función de densicl:rri

Vo.

LC

12.0

En la Figura 2.6, se muestra la función acumulada del ejemplo anterior, que se obtiene graficando las columnas (2) vs. (6) de la tabla2.3.

marca Cc cli:sc

r (' u nt u

43

00

Ftnciónde densidad de probabilidad empírica y función

lada, proceso computacional con HidroEsta

Distribución de frecuencias de una muestra

-

página (88

Dada la serie histórica de caudales medios anuales "n m3/s del río Santa que se muestran enlatabla2'4'

Tabla 2.4 Seriehistórica de caudales medios anuales del río Santa

239.07

197.58 144.22 169.64 212.48 184.98

98.13

182,53 266.54

101.76 153.64 134.10 158.48 123.22 146.08 106.40 183.49 256.62

100.18 169.18 156.80 164.35 177

.00

128.15 145.79

95.05

107.43 124.31

119.52 163.88 193.78 101.66 207.78 132.49

't83.1

1

154.80

107.62 108.75 105.21 1 16.69 105.81 110.77 162.29 133.97 123.00 127.82 217.52 208.18 114,31 136.22

Realizar el gráfico de: . Histográma de distribución de frecuencias relativas . Polígono de frecuencias . Función densidad emPírica ' Función acumulada

2.

. , '.

-

página (89

)

Tabla 2.5 Caudales medios anuales del río Corobicí

2.4 Problemas Propuestos

1.

Hidrología Estadística

)

de la Dada la serie histórica de caudales medios anuales .n *3/, estación 76-20-0l del río Corobicí, que se muestra en la tabla 2.5,realizar el gráfico de: Histograma de distribución de frecuencias relativas Polígono de frecuencias Función densidad emPírica Función acumulada

Año hidrolóoico

Caudal fmslst

54-55 55-56 56-57 57-58 58-59 59-60

13.35 21.90 11.13 5.22 4.40 6.70 8.55 8.12 7.86

60-61

61-62 62-63 63-64 64-65 65-66 66-67 67-68 68-69 69-70

Año hidrolóoico

Caudal (m3lsl

70-71

15.06

71-72 72-73 73-74 74-75

10.20

75-76

8.57 6.10 5.33 6.68

76-77 77-78

78-79

4.85 11.77 8.41

5.3s

79-80

45.92

7.51

80-81

56.92

5.82 10.05 9.66 7.61

10.54

81-82

52.64

82-83 83-84 84-85 85-86

42.56 44.19 41.94

44.73

Medidas de las distribuciones 3.1 Medidas descriptivas de las distribuciones de frecuencias Para describir ciertas características de un conjunto de datos, se pueden usar números simples, llamados estadísticos. De ellos se puede obtener un conocimiento más preciso de los datos, que el que se obtiene a partir de las tablas y los gráficos. Las caracteísticas más importantes de este conjunto de datos son:

Medida de tendencia central o medidas de localización Indican cual será el punto medio o localización central. En la figura 3.1 la curva A queda a la izquierda de los puntos medios de las curvas B y C,las cuales tienen la misma localizaciún central.

Hidrología Estadística

-

página (92)

Medidas de las distribuciones

Figura. 3.1 Comparación de la localización central de tres curvas

Medidas de dispersión

Se refiere a la forma como se encuentran esparcidas

las

observaciones. En Ia figura 3.2, se observa que la curva A tiene una mayor separación o dispersión que la curva B.

Curva O

\

-

página (93)

Figura. 3.3 Curva simétrica Las curvas asimétricas o sesgadas, como las que se muestran en la figura 3.4, son aquellas en las cuales la distribución de frecuencia, se concentran en el extremo inferior o superior de la escala de medida sobré el eje horizontal. Los valores no se distribuyen igualmente, por lo que pueden ser sesgadas a la derecha, (curva A) o sesgadas a la izquierda (curva B)

B

Figura. 3.2 Comparación de la dispersión de dos curvas

Medidas de simetría y asimetría Las curvas que representan los datos puntuales de un conjunto pueden ser simétricas o asimétricas. Las curvas simétricas, como la

que se muestra en la figura 3.3, son las que al ttazar una línea vertical desde el pico de la curva al eje horizontal dividen su área en dos partes iguales, cada una idéntica a la otra.

Figura 3.4 Curvas sesgadas, A: sesgo a la derecha o positivo, B: sesgo a la izquierda o negativo

Medidas de achatamiento o curtosis Indican el grado de llanura de la curva. Por ejemplo en la figura 3.5, las curvas A y B tienen la misma localización central, pero difieren por el hecho que una es más puntiaguda que la otra, por 1o que tienen diferente grado de curtosis.

Hidrologla Estadística

-

Medidas de las distribuciones

página (94)

-

página (95)

La media aritmética Dada la muestra compuesta de n datos, xL, x2, ..., xn,la media, se define como la suma algebraica de ellas, dividida entre el número de datos. Cuando se calcula la media para una población, esta se denota pof l.L, y cuando se trata de una muestra, por .r.

Media aritmética de datos no agrupados

Figura. 3.5 Curvas con diferente curtosis

De acuerdo al grado de achatamiento, las curvas pueden ser mesocúrtica (curva A, figura 3.6), leptocúrtica (curva B) y

Matemáticamente la media de los datos no agrupados, se representa por:

platicúrtica (curva C) ,, _

B (leptocúrtica)

i=t

...(3.1)

n

Curva A (mesocúrtica

_ i*,

Curva C (platicúrtica)

I ! I I

f*,

x- i-s n

...(3.2)

donde:

l¿ = media poblacional

x = media muestral

ri

= valor i-ésimo de la muestra n = número de datos de la muestra o población

Figura 3.6. Grados de achatamiento

3.2 Medidas de tendencia central

Media aritmética de datos agrupados

Se define una medida de tendencia central, como un índice de

localización central, empleado

en la

descripción

de

Para el caso de datos agrupados, la fórmula es:

las

distribuciones de frecuencias. En términos generales se tienen tres medidas: la media, la mediana y la moda-

K

Dr' n

x¡

...(3.3)

I Hidrología Estadística

-

Medidas de las distribuciones

página (96)

-

página (97)

donde:

'

fi= frecuencia

absoluta (número de observaciones) en el

intervalo i ri = marca de clase del intervalo i k = número de intervalos de clase ¿ = número de observaciones de la muestra

La media ponderada El promedio ponderado permite calcular un promedio que toma en cuenta la pOnderación de los datos con respecto a un factor, es un caso particular de ta fórmüla del cálculo de la media para los datos agrupados, su fórmula es: n

-

x, =

)¿ L¿J

I

xi

donde:

P - precipitación promedio

Pi = valor de la precipitación en la estación í áoeu de influencia de la estación i

Ai=

n = número de estaciones

Otro ejemplo del uso de la media ponderada, es el cálculo del promedio de la nota de los estudiantes en el TEC, donde para cada nota obtenida en un curso, el factor de ponderación es el número de créditos, así:

i=1 n

2,¡, i=l donde:

rp = media Ponderada ri = valor i-ésimo de la muestra de la .ñ = valor del factor de ponderación del i-ésimo valor muestra. n = número de observaciones de la muestra.

La media ponderada, se utiliza por ejemplo para el cálculo de la precipitación promedio de una cuenca, donde para cada valor de precipitación de una estación, el factor de ponderación es el área, así:

donde:

N = nota promedio

nota del curso i C = número de créditos del curso i ¡¿ = número de cursos

N¡

-

La media geométrica Dada la muestra compuesta de n datos, xlt x2, ..., xn, la media geométrica se define como la raíz n-ésima, de la productoria de los datos, es decir:

Hidrología Estadística

-

página (98)

Medidas de las distribuciones

Med xG

...(3.5)

+

! ilZ+t,

página (99)

...(3.2)

para npat

2

Ejemplo 3.1:

donde:

xG

fi,*, i=l

=

media geométrica

= xl.x2.. ....

xi

= n=

.

Para el conjunto de datos ordenados: 2,

x¡ (productoria de los datos)

i-ésimo valor de la muestra número de elementos de la muestra

Ejemplo 3.2: Para el conjunto de datos ordenados: 2,

Mediana de los datos no agrupados

x3, ..., xn datos ordenados por magnitud creciente o decreciente y n el número impar de datos, la mediana (Med) es el Sean x7, x2,

Med=8+14=11 ?

Mediana de datos agruPados Siendo la mediana el valor de la observación central de un arreglo, y como no se conocen los valores de cada observación en datos agrupados, la mediana se suele aproximar, después de localizar el intervalo de clase de la mediana, por la siguiente ecuación:

Med=lrr#")**r*

dato situado en el centro, es decir:

@+l)12,

5,8, 14,21,32, la mediana

es:

Es un valor único de un conjunto de datos que mide al elemento central en los datos. Este único elemento de los datos ordenados, es el más cercano a la mitad, o el más central en el conjunto de números. La mitad de los elementos quedan por encima de ese punto, y la otra mitad por debajo de é1.

Med= X

5,8,14,21,1a mediana es:

Med=8

La mediana

PsrB n imPar

...(3.6)

si n es par, la mediana es el promedio de los números centrales, decir:

=x il2

-

...(3.8)

donde: es

Med = mediana muestral n= número total de elementos de la muestra p= suma de todas las frecuencias hasta la clase de la mediana pero sin incluirla frecuencia únicamente de la clase de Ia mediana w= amplitud del intervalo de clase Lm= límite inferior de la clase de la mediana

tu-

Hidrología Estadística

-

página (100)

En general la clase donde se encuentra la mediana, es aquella que tiene al elemento situado en la porción (n + l)12.

La moda Es aquel valor que se repite más frecuentemente en un conjunto de datos, se denota por Mo.

Ejemplo 3.3: Para el conjunto de datos:

'

2,3, 4, 4, 4,8,9, la moda es:

Mo=4

Pma datos agrupados en intervalos de clase, la moda, una vez determinada la clase modal, se calcula con la siguiente ecuación:

Mo=L** dl * dl+ d2

...(3.e)

donde:

Mo = moda Lm= límite inferior de la clase modal dl = difercncia entre la frecuencia de la clase modal y la premodal (clase anterior) d2= üferencia enfre la frecuencia de la clase modal y la postmodal (clase siguiente) w = amplitud del intervalo de clase

Medidas de las distribuciones

-

página (101)

Comparación entre la media,la mediana y la moda La media, la mediana y la moda de una distribución de frecuencias, son consideradas como los tres promedios más importantes. Sin embargo, no son igualmente aplicables y representativos a todas las situaciones. Como se muestra en la figura 3.7 las posiciones relativas de estas tres medidas dependen de la asimetría de la distribución. Si la distribución es simétrica (figura 3.7a), las tres medidas de tendencia central tienen valores idénticos.

Si la distribución es asimétrica (figura 3.7b y 3.7c),los tres valores divergen, aunque siempre para una distribución unimodal, la moda está localizada en su punto más alto y la mediana está entre la media y la moda. media

mediana moda

I t

simétrica

con sesgo a la derecha

(a)

(b)

En general la clase modal es aquella que tiene la máxima frecuencia. con sesgo a la izquierda

(c) Figura 3.7 Localizaciínde la media, mediana y moda

I Hidrología Estadística

-

página (102)

Medidhs de las distribuciones

-

página (103)

3.3 Medidas de dispersión Las medidas de dispersión o variabilidad permiten observar como se reparten o dispersan los datos a uno y otro lado del centro. Si la dispersión es poca, indica gran uniformidad de los datos en la distribución. Por el contrario, gran dispersión indica poca uniformidad.

02=

... (3.1 1)

La

vananza muestral (óP), se obtiene dividiendo la suma de cuadrados de las observaciones de los datos con respecto a la media, entre el número total de datos menos uno, es decir: I

Rango

\(x' - x¡'

Es una medida de distancia y representa la diferencia entre el mayor y el menor de los valores observados, es decir: ... (3.10) R=Xmáx-Xmín dondp:

i=l oa2 -- ----

Para el cálculo computacional es siguiente forma:

dispersión, sin embargo, no da rnedida alguna de la dispersión entre los datos con respecto al valor central.

Varianza Datos no agrupados:

La yarianza poblacion al (o2 ), se define como la suma de cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media, dividida entre el número total de datos, es decir:

útil expresar la sumatoria de la

){x, -i)'= ) (*i2-2ixr+*')

= rango Xmáx = valor máximo de los datos Xmín = valor mínimo de los datos R

El rango o la amplitud es una manera conveniente de describir la

(3.12)

n--l

=

» x? -2*) *i +nx'

,.. (3.13) 1

pero:

.§

='i E*'=nL'i n

,.. (3.14)

luego, sustituyendo (3.14) en (3.13), resulta:

){x, -i)'= )*,' -2n i' +ri' )(xr -l)' =2*,'-n i' Sustituyendo (3.15) en (3.11), se tiene:

,.. (3.1s)

Hidrología Estadística

-

página

-rr')

(lM)

Medidas de las distribuciones

... (3.16)

n ... (3.17)

página (105)

de la i-ésima marca de clase -x=xip = valor = media f = valor de la i-ésima frecuencia absoluta, es decir, número /<

-r'-.,'f

-

= =

de datos en el intervalo i número de intervalos de clase número total de datos

Pa¡a el cálculo computacional, las ecuaciones (3.18) pueden expresar como:

y

(3.19),

se

donde:

= varianzamuestral o = varianzapoblacional valor i-ésimo de la muestra -x xi= = p = media muestral o poblacional n = número total de datos 52

2

Datos agrupadés

z

Para el caso de datos agrupados en intervalos de clase, la varianza poblacional, se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media, por la frecuencia absoluta, dividido entre eI número total de datos, es decir:

k 1) "

- P)'f , »G, i-1

... (3.18)

n

»G, -*)',f, n-l

donde:

... (3.20)

,,=+(L.:r,-,;'l n_tlf=t, ,

...(3.2t)

)

Desviación estándar La desviación estándar, se define como la rufz cuadrada posiüva de la varianza, es decir:

o

=JJ

(poblacional)

§ = Jst (muestral)

y lavariarna muestral por: k

o2 i=l

"' =:l,ir*i'fi -"p')

Asf se tiene, para datos no agrupados: (3.1e)

I Hidrología Estadística

-

página (106)

Medidas de las distribuciones

-

página (tO7)

Coeficiente de variación

o-

... (3.22)

Es una medida relativa de dispersión, que relaciona la desviación estándar y la media, es decir:

;')

§=

... (3.23)

C,

={x

... (3.28)

Generalmente en Hidrología se suele trabajar con datos muestrales. siendo:

ln x=p= -)*, n

... (3.24)

3.4 Medida de simetría y asimetría

i=l

Para datos agrupados:

Sesgo

,=^ff91,,-;A ijn[á,",

... (3.2s)

El sesgo es el estadístico que mide Ia simetría y asimetría.

) Datos no agrupados:

2- . rlf

_2

-nx

... (3.26)

El

sesgo

(y

) para datos poblacionales, se

obtiene con la siguiente

ecuación: 4r-L I-

siendo: tk ls

x =tL=;L*rr,

... (3.27)

f = valor de la i-ésima frecuencia absoluta, de datos

donde:

n, :_1

PY

,12-l-L

es decir, número

... (3.30)

n

en el intervalo i

= número de intervalos de clase n = número total de datos ft

... (3.2e)

2

o'

2G,-

xi = valor de la i-ésima marca de clase x= F = media

u3

" = l:2o¡

_D2

Hidrología Estadística

-

página (108)

Medidas de las distribuciones

', = 1s,' nf=l' El sesgo para datos muestrales,

o-

página (109)

- D2 r¡

tk

u =1! f. *:; ?rrr*,

se obtiene con:

cr="Y'- (n-lXn-2)S'

)»a,

-

... (3.31)

,i = marca de clase del intervalo i

f

= valor de la i-ésima frecuencia intervalos de clase n = número total de datos El sesgo para datos muestrales, se obtiene con: fr = número de

donde:

ca=(n n'M'

,.. (3.32)

-

l)(n - 2) S'

... (3.34.)

donde:

k

.I(*t -x)'f¡

M3= l=l

r=1s, ..L¿ " i=l

I

Datos agrupados:

El sesgo (y ) para datos poblacionales, u3

i=!,Lr.'t'

se obtiene con:

T=t^ o'

xi=

donde:

marca de clase del intervalo i = valor de la i-ésima frecuencia ft = número de intervalos de clase n = número total de datos

f

Ll.,- tY r,

U3=

i=l

... (3.33)

... (3.3s)

rHidrología Estadística

-

página

(l l0)

Medidas de las distribuciones

-

página (111)

3.5 Medida de achatamiento .... (3.3e)

El grado de achatamiento se mide con el estadístico denominado coeficiente de curtosis.

Curtosis Datos no agrupados:

Para datos poblacionales el coeficiente de curtosis (k), se mediante la siguiente ecuación: ... (3.36) *, ¡t4

=;o

tfl i= t !r.

n ¡=?:,

,

Datos agrupados:

El coeficiente de curtosis

(ft), para datos poblacionales se define

mediante la siguiente ecuación:

donde:

i,6, - pY P4

=i=l

,

¡14

... (3.37)

o4 donde:

"=i;){*,

-t')'

f^u,lt4 =

Da r¡ ... (3.40)

n

*' 'u=!§ nl=l'

;k =

El coeficiente de curtosis para datos muestrales, se define como: .... (3.38)

" 1; ilru, 'k x. u=lIr.

-

- tt)2 r,

' nf-:tr I

,i

= marca de clase del intervalo i

Hidrología Estadística

-

página

(ll2)

Medidas de las distribuciones

-

página (113)

realice estos cálculos. El autor en la aplicación HidroEsta, presenta una opción para éstos cálculos,

,fi = valor de la i-ésima frecuencia k = número de intervalos de clase n = número total de datos

Ejemplo 3.4:

El coeficiente de curtosis para datos muestrales, se define como:

,'*o

ck=

... (3.41)

(n - lXn - 2)(n- 3) 54

Dado los datos de precipitación anual, en mm de la estación El Coyol, para el período 1974-1986, los mismos que se muestran en la tabla 3.1. Calcular su media, varíanza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de sesgo y el coeficiente de curtosis.

donde:

k

)(*,

Tabla 3.1 Precipitación anual de la estación El Coyol

-i)4 ri

M4= l=I

... (3.42)

Prec¡p¡tac¡ón (mm)

1974

1418.60 1527.30 1 108,60 1084.20

1

ir\;.)

975

1976

s- i ' !rx.-xl¿f. ?t' t

1977

V'-l

978 979 1 980 1

1

tk

i='nlJ"' l, f ,*, ri

Año

= marca de clase del intervalo .ñ = valor de la i-ésima frecuencia ft = número de intervalos de clase n = número total de datos

1

509.1 0

1394.90 1334.40

Año

Precipitación lmm)

981

1441.50 133.20 891.00 1429.80 1141.50 1312.60

1

982 1 983 1 984 1 985 1 986 1

1

Solución:

¿

Los cálculos de los estadísticos de una serie de datos son por sí laboriosos. Para la simplificación de los cálculos, donde se requieren la determinación de la media, varianza, desviación estándar, el coeficiente de variación, coeficiente de sesgo y coeficiente de curtosis, tanto para datos poblacionales o muestrales y para datos agrupados o no agrupados, es mejor contar con una aplicación que

En la tabla 3.2 se muestran los resultados parciales de las potencias X2, X3, x4, 1x-xm¡3, 1x-xm¡a y sus sumatorias.

.

Cálculo de la media:

De la ecuación (3.2), se tiene: n

tz

LX, -

¡=t

n

Hidrología Estadística

-

página

(l

Medidas de las distribuciones

14)

-

Sustituyendo valores, resulta:

\(\¡ o (o

o o to \f o (o t o @ §¡

o q

x -16726'7 =1286.6692

o

.

(o D(o a? I.§l lo a: ro (o o) q $ (f) (f) ro rO lo ro §l co @ F(f) (o (o §t o N (o @ @ C o) $ to o) @ (\¡ q) §l ol (f) c) o, F rf) F (f) $ o, (f) t- @ ¡\ o) F- $ @ (\I (o E rr) N ro §t t- §t (f) @ (o t\ o, o, (o ]\ C»

xI §¡ x o cf)

rO

cr) (f)

a

o t F-

t\ o) (f) lo

r.(-)

t3

Cálculo de la varianza: De la ecuación (3.17), se tiene:

sl §t t rO .l ro §t t+ sl sf GI
o) rf) lO $

to o,

(h

d ¡r

o (Ú

x x

(A

F*

$

F

(Y)

q D

r.r)

«q

@

(o q q \ s s2 .+ rft (Y) @ (o o (f) ct) @ @ (o o) t Fo (0 $ (fI o) §t o N co

E (o §t (Y) q, (f) ! §t C» §t (f) roI @I

h

(Y)

o o u? q tI@

F

o) (o

o t(f)

(Y)

oq

o (o t (f)

o) r\ N q q o? q ro @ (f) e §t $ ¡o

§l

(o (o ro

@

(f)

(f)

§T o) Ioi $ a) lo (\l (f)

@ o) o)

o

(o

I

F

(f) I

"=*[ f,*;-,r')

N $

§¡

(f)

Sustituyendo valores, resulta:

!f,

§t @

H

o?

X

o;

x I

@ ro $ .+ O) @ e

x

X X I

tt

X

X N X

.A

q)

x

I

«l

a €o(!

(f)

(f)

s

(f)

(f)

s

(o N oq f (o (o lO .lf t- o) §t $ @ (o $ §t lo (o

(o

q q $ Fo r- @ @ CD

ru? o) (f)

ro §t (o (o @ (f)

(o o) (o

q

§l o)

rü

T\ §t

t

(f)

o

§t §t

N

cl

q

F

ú

ca¡ (É

.o (€

F

q §l @ t- o § o; x * §llO o @o orr) g?

q

t(f?

(f) §t rO (o @ $ o) o N r- (o (o § r\ §t §t @ o o) r(f) N o) (o (o

t

o q

(o §t @ l@ o) o) o) (f) o) r(o $ §¡ @ !ü (f) a) o (o ro ro t!O o no) (f) o) f.§t §l

s

o §l c! q (o cr) §t §t !+ N N $ @ (o O) I\ o to o r- t T\ @ o) so) @ §¡ f.t- o C\I rr)

$

(f)

$

fs

cr)

CY)

o?

O) C')

r¡?

$ $ r

O)

F

CD

(o \t q q q q

Íi o) §,t §t $ o) @ @ $ (o q) $ (f) o ro FN §¡ (r) N Fo (f) §t §l F §t

U)

o r

§t

(f)

@ @

a? u?

o) §t

rr) rO

x

r.c)

@ t t\

$ t §¡ (o

s

@ o)

cÉ

ch

o s (o sf o §l q §l q q u? §t (o o ro o) o lo cf) o) ro -l §t

ro §t (f) 1r) N o) $ t.l o) (o §t o (o @ raf ro to @ §t rO §t F* o, o @ st lr) (f) §t N T\ §¡ r (o §t o) (o t'\ o @ §t t N rO o r\ o) o) o (o @ o t$ $ ro @ (r) (v) (o F* o $ t.. cr) c) $ t ro

@ rf) §¡ (r)

o

C\I O) (o o c) q O) o? qq q n n (o Flo o tt- $o t @ lF- §t t (Y) ro o t*

o, @ rf?

(r)

-l rO o N o) (o t c)

so

C')

@

(o (o o) C" §¡ cr¡ (f¡

@

o? c) (o

+ + o t o

o o)

§t

§

a §]

N

\ o

ts c

o, §t §t

§l

§]

§] r

F

cr)

O)

o,

u?

§l st

s

i.r

iltlN T<

úú

N^^

N §t e) (o

.

-lflItOl-

c,

De la ecuación (3.28), se tiene:

S

C.,={ "X

ü @

Sustituyendo valores, resulta: Í1 _ 195.3184

N r\o

-u -

XXX-" NNN

12g6.6692 Cv = 0.1518

il

NI §E§ ioN§| nl

r^"

Cálculo del coeficiente de variación:

a

\ E \o c{

Cálculo de la desviación estándar:

s = J3Stqyngo = 195.3184

lt

üE rt

= 38149.2790

§

t%h s§*

u?

q \ §t (o

.

gEF §EB HTH tsllll

(o

§t ú, o) o)

52

Aciñ

§¡

tJ:

(f)

I

NJ oo)h

§t -l §I C')

t

q q @

ro N

@ (f) o) (o §t @ (f) (o o) eit @ o, o) (f) lo §t },- (o §t @

§l F

F

s' = * Qonszt.Sl - t3xtzs6.66szr) 12'

-l!

I

I

X

*

.

Cálculo del coeficiente del sesgo: De la ecuación (3.32), se tiene:

página

(l

15)

Hidrología Estadística

-

n

-i¡' M3=l{---n )(x..

Sustituyendo valores, resulta: -47291508.92

Mt=

13

Mt = -3637808.38

página (116)

Medidas de las distribuciones

-

página (117)

Sustituyendo valores, resulta:

ck=

t33 x2725751676.23

12x11x10x195.31844 Ck=3.1172 Para los datos de Ia tabla 3.1, utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestran en Ia figura 3.8.

De la ecuación (3.31), se üene:

Cs=

n'M, (n-lXn-2)S'

Sustituyendo valores, resulta: 132

x(-3637808.38)

t § =--12x11x195.31843 Cs =

-0.625t

.

Cálculo del coeficiente de curtosis: la ecuación (3.39), se tiene: De

Parámetros Media: Varianza:

Desviación Estándar:

I

Muestralas 'r286.6892 49.279 19s.3184 0.1518

381

I

Poblacionales 1

3521 4.71

S1

87.6559

1

Coeficiente de Sesgo:

-0.8251

0.1458 -0.5505

Coeficiente de Eu¡tosis:

3.1172

2.1S81

Coef iciente Variación:

I

286.6692

Figura 3.8 Cálculo de los parámetros estadísticos para datos no agrupados

n

§ rx. - il4 ?-' I fu[

. =t=l 4n

Introducción

Sustituyendo valores, resulta: 35434771791.03

M4=

l3

M+=272575L676.23 De la ecuación (3.38), se tiene:

ck=

3.6 Momentos Lineales (L-moments)

n3 M4

(n-lXn -2)(n-3)54

Los momentos lineales (L - momerzrs), constituyen una metodología moderna que permite estimar los parámetros estadísticos de una población o de una muestra. Son similares a los momentos ordinarios pues proporcionan las medidas de localización,

dispersión, asimetría, curtosis,

pero se calculan de

las

combinaciones lineales de los datos (de aquí el nombre de momento lineal). Los parámetros estadísticos estimados con esta metodología, son menos sensibles a los valores extremos, por 1o que permite

l'

Hidrología Estadística

-

página

(l l8)

Medidas de las distribuciones

determinar la distribución teórica de probabilidad que mejor ajusta a los datos analizados.

L(*,-

-

página

(l

19)

uY

i=1

Método tradicional Por el método tradicional la media aritmética, la varianza, la desviación estándar, el coeficiente de variación, el coeficiente de asimetía y el coeficiente de curtosis de una población, constituida pon n valores de la variable aleatoria X, se definen de la siguiente

CS=

Coeficiente de curtosis, CK:

L(*,i=1

manera:

CK=

.

Media aitmética;

P=

' o

o' I

o'

- p)' L(*, i=l n

simétrica, como la normal, el coeficiente de asimetría es cero. Las distribuciones con coeficiente de asimetría positivo están sesgadas hacia la derecha (cola larga hacia la derecha), mientras que las que tienen coeficiente de asimetría negativo están sesgadas hacia la izquierda (cola larga hacia la izquierda). Además, la distribución normal tiene un coeficiente de curtosis igual a 3 y se le llama mesocúrtica; las distribuciones con curtosis mayor de 3 se llaman leptocúrticas ("picudas"), las que tienen curtosis menor de tres se llaman platicúrtica s (" achat adas" ).

Desviación estándar, o

=J7

. CV

.

il'

Es conveniente recordar que en el caso de una distribución

Ex, i=l

Yaianza, o2

¡t:

o'

Coeficiente de variación, CV

=!p Coeficiente de asimetría o coeficiente de sesgo, CS

En este método tradicional la dispersión de los datos se calcula con respecto a un valor central, la media aritmética; es decir, se calculan las diferencias de cada uno de los datos con respecto a la media aritmética, elevándose luego estas diferencias a una potencia según el parámetro estadístico por calcular (por ejemplo, para el cálculo de la vaÁanza la potencia es 2; para el coeficiente de asimetría es 3, etc.). En consecuencia, los parámetros así calculados son muy sensibles a los valores extremos, puesto que si la diferencia de alguno o algunos de los datos con respecto a la media es muy grande, al elevar esa diferencia a una potencia se obtienen valores enormes, 1o cual afecta mucho el resultado de los parámetros obtenidos. Puesto que los parámetros estadísticos citados

Hidrología Estadística

constituyen

la

-

página (120)

Medidas de las distribuciones

se calcula con diferencias de

las

aritmética de Ia muestra, es una medida de localización y su valor es el mismo que el calculado por el método tradicional. El segundo momento lineal l,z (ecuación 3.44) es equivalente a la desviación estándar pero calculada mediante las diferencias de todos los datos entre sí, no con respecto a un valor central; es un parámetro de escala o dispersión de la variable aleatoria X.

posibles

se elevan a ninguna estimados parámetros los lineales, por 1o cual

porestemétodoSonmenossensiblesalosvaloresextremos.

Dividiendo el segundo momento lineal entre el primer momento lineal (desviación estándar entre la media), se obtiene el coeficiente lineal de variación (CLV), es decir: ... (3.47)

Definición de los momentos lineales rrqgol desarrolló lafeoríade los momentos de los lineales basada en el oidenamiento estadístico, a diferencia

Jonathan R. M. Hosking

pesados' cálculos indirectos usando la probabilidad de los momentos de la lineales los cuatro primeros momentos

Hosking definió

I

'2=lolxz,z-xn) L^ =\Elxr,r-2xr,r* X,,r]

7,

J^

"4

donde:

"(3'43) ..(3.44)

"' (3'45)

5

1^ =1 Elx

o,o

-3x r,o + 3x 2.4 - x r,o] "' t¡'+ol

eli-ésimo valor de la variable aleatoria X' de un g*po de tamaño m' ctyos valores han sido ordenados en

4,r=

que toma valores entre 0

y

1.

Dividiendo el momento lineal de orden r, entre la medida de dispersión, se obtiene la relación de momentos, es decir:

t,

sisuiente forma:

L,=ElXr.,]

(l2l)

El primer momento lineal l,r (ecuación 3.43) representa la media

todos los datos entre s .o-uiru.iones. Además, las diferencias nunca

ñ;;;i;;;tmantienen

página

E = valor esperado

base

'teóricas de Probabilid los datos, también se teórica aProPiada. En ocasione diferente de la media aritmétic distribución teórica de probabilid analizados. Por ei método de momentos r"tp""á u un valor central,

-

=LU

parat =3,4,...

... (3.48)

El'ts es una medida de asimetría y t4 es una medida de curtosis, éstas son respectivamente el coeficiente lineal de asimetría o sesgo (C¿S) y el coeficiente lineal de curtosis (CLn, es decir: ... (3.4e) ... (3.s0)

es

forma ascendente

Ellos toman valores entre -1 y +1 (existe excepción para algunas muestras muy pequeñas, las cuales pueden tener valores menores de

Hidrología Estadística

-

página (122)

-1). Si es casi seguro que X ) 0, entonces 0 < CLV < 1. En el caso de una distribución simétrica, como es el caso de la distribución normal, f3 es igual a cero, mientras que para esta misma distribución, t¿ = 0.1226.

Estimado directo de los momentos lineales Existe una manera indirecta para el cálculo de los momentos lineales, la cual es utilizar los momentos pesados por probabilidad, definido por Greenwood et al. Sin embargo una forma directa de estimar los momentos lineales, es siguiendo la definición misma de

Medidas de Ias distribuciones

-

página (123)

Cuando la población es reemplazadapor una muestra, los momentos lineales dan sus respectivos estimados.

Dado que los resultados de los posibles números de combinaciones de2 (C2n),3 (C3') y 4 (Co'), valores de la muestra, pueden ser cantidades grandes, esto hace que los cálculos de los momentos lineales sea un poco laborioso. En este caso, a fin de simplificar los cálculos, Hosking muestra el conjunto de ecuaciones equivalentes de estimación directa de los momentos lineales, las cuales resultan más sencillas para implementar cálculos computacionales, las ecuaciones simplificadas, son:

los momentos lineales desarrollada por Hosking. El cálculo de )uz (ecuación 3.44), para una población finita de tamaño n, se realiza con la combinación de n elementos tomados en

hr=

grupos de 2 en 2 (Cr" ), tomando en todos los casos la diferencia entre el valor mayor (Xzi), menos el menor (Xt,z).

Lr=

-

El

Lr=

_2Ci-1Cn-, +C;-,)X,

tro=

-

cálculo de 1.¡ (ecuación 3.45), se realiza de forma similar considerando todas las posibles combinaciones de n elementos tomados en grupos de 3 en 3 (Cr" ), en este caso, cada elemento del valor esperado está dado por el valor mayor (Xt,z), menos 2 veces el valor intermedio (Xz.:), más el valor menor (Xr,¡), es decir: (Xyz-2 Xzs* Xrz). Similarmente, el cálculo de l.a (ecuaciót 3.46), se obtiene de las combinaciones de n elementos tomados en grupos de 4 en 4 (Co'), en este caso, cada elemento del valor esperado está compuesto del valor mayor (Xq,+), menos 3 veces el valor inmediato inferior del grupo (Xt,q), más 3 veces del siguiente valor inferior (Xz,i, menos el valor menor del grupo (Xt,D, es decir: (X+,+-3 Xz.ct 3 Xz,¿,-Xru).

... (3.51)

ci-')x

3c;-t

... (3.52)

,

... (3.s3)

ci-t + 3citc;-t - c;-')x, .. qz.s+¡

donde:

X¡ (parai= 1,2

,3, ..., n) = son los valores de la muestra ordenados ascendentemente CÍ = combinaciones

de n elementos en grupos de k en

(r\ n! n(n-L)(n-2)...(n-k+t) ^n =[n 'o kI )= k,l"-fr)!= paru k

Sift=n)Cn=I


k

Hidrología Estadística

Si

-

página (124)

fr>ry+Cí=0

Por propiedad de los números combinatorios, se tiene:

Ci = CX-n

:. c: 'c:-, = c[ =l La derivación de las ecuaciones (3.51) - (3.54), se explica detalladamente tomando como ejemplo el estimador de i,: (ecuación 3.53). En una muestra de tamaño n, ordenada ascendentemente, hay (l -l) valores iguales o más pequeños Y @ - i) valores iguales o más grandes que el valor de la muestra Xi. Para que Xi sea un valor más grande de una combinación de tres valores de la muestra, los otros dos tiene que venir de los (, -1) valores más pequeños y hay un total de Cit de tales combinaciones. Para que X sea el segundo más grande se una combinación de tres valores de una muestra, los otros dos tienen que venir de los (, -1) valores más pequeños y de (n - i\ valores más grandes, y hay un total de Cl'Ci-'de tales combinaciones. Para que Xi sea el valor más pequeño de una combinación de tres valores de una muestra, los otros dos tienen que venir de los (n - i) valores más grandes, y hay un total de Ci-' de tales combinaciones. La ecuación (3.53), es derivada de la ecuación (3.45), reemplazando veces por X¡ para C;t X3s, Xzs

, Ci'Ci-' y C;-' rgspectivamente, y haciendo para todos los caso i = l, 2, 3, ..., n, luego dividiéndolo entre el número de todas las posibles y Xtt

combinaciones de tres valores de la muestra de tamaño n, es decir Ci , paru obtener el promedio.

Los otros momentos lineales se derivan de manera similar. Los cálculos de los momentos lineales L, lr, 13, 14, con el uso de calculadoras e incluso con la computadora, resulta bastante

Medidas de las distribuciones

-

página (L25)

complejo. Con el fin de simplificar éstos cálculos, en la tabla 3.3 se presenta el código fuente en Basic, de Ia subrutina que calcula estos momentos, también se incluyen los cálculos de los parámetros estadísticos lineales. En el código: Ll= Lt, L2= ),r, L3= )"r, L4= ha, y xxordQ) es la serie ordenada en forma ascendente.

Ejemplo 3.5: Para una muestra de 6 datos que se indica:

56,81, 89,33,79y 6l Calcular: . Los momentos lineales: Lt,)"z,Lzy )"q . La relación de momentos: media = Ir, desviación estándar =)uz, CLV, CLS, CLK

Solución: 1. Ordenando los valores ascendentemente, se

tiene: 33, 56,61,78,

81 y 89.

2. Cálculo de,).r: Las combinaciones de 6 elementos en grupos de 1, es:

6g,1=9 =6 De acuerdo a la ecuación (3.43), se tiene: 6

Ex,

h,=Elxrr]=tU

=

33+56+61+78+81+89

= 66.3333

3. Cálculo de l.z: Las combinaciones de 6 elementos en grupos de2, es

Hidrología Estadística

-

página (126)

Tabla 3.3 Código de la subrutina para el cálculo de los parámetros y momentos lineales 'Cálculo de los parámetros lineales 'xxordO es la serie ordenada en forma ascendente L1

=0

L2=O

L3=0 L4=0 Forj=1Ton

=j-1 CLZ= CL1 .0

Medidas de las distribuciones

-

página (127)

6x5 a6 -_-15

" lx2

c'."

En la tabla 3.4 se muestran las 15 combinaciones de los datos tomados en grupos de 2, siendo en todos los casos: X2l = valor mayor Xr2 = valor menor Tabla 3.4 Combinaciones de 6 elementos de la serie, en grupos de 2

CL1

-

1

cL3 = cL2. 0-

1

t2. 2) l3 1)

en2

=n-j CR2=CR1 .(n- -1)t2 CR3 = CR2. (n - -2)t3

X,

L1

CR1

=11 +xxord(i) 12=L2 + (CL1 - CR1). xxord(i) . ¡3 = L3 + (CL2 '2. CL1* CR1 + CR2) xxordÜ) * * L4 = L4 + (CL3 - 3* CL2 CR1 + 3. CL1 cR2 - cR3).

Xr.,

Xo.o

- X.

89

81

I

89

78

11

89

61

89

28 33

89

56 33

81

78

3

Next j

81

61

C1

81

56

81

33

20 25 48

C4=c3.(n-3)/4

78

61

17

L1 = L1 /C1 L2 =L2lC2l2

78

56

78

33 56 33 33

22 45

xxord(j)

=n

C2=C1.(n-1112 c3=C2.(n-2)13

L3=L3lc3l3 L4=L4lC4l4

61 61

'Cálculo de los momentos lineales

6¡¡¡sfli¿ = L1 ClDesEstandar = L2 ClVarianza =L2^2 ClVariacion =L2lL1 ClSesgo =L3lL2 ClKurtosis =L4lL2

56

56

5

28 23

\=372 De acuerdo a la ecuación (3.44), se tiene:

L,

=;Elxr,r- x,,rf

Hidrología Estadística

I 7r= \

@i¡emcia c ombinacione

-

página (128)

Medidas de las distribuciones

s de 2 elementos)

ci

2

Lr= L"!2

215

=12.4

4. Cálculo de 1.3: Las combinaciones de 6 elementos en grupos de 3, es:

c!= 6x5x4 =20 lx2x3

página (129)

15

61

56 33

56

JJ

2

81

61

81 81

-8

78

61

56

12

78

61

33

-11

78

56

61

56

33 33

-1

-18 E = -166

De acuerdo a la ecuación (3.45), se tiene:

En la tabla 3.5 se muestran las 20 combinaciones de los tomados en grupos X33 = valor Xzs= valor Xts= valor

-

de 3, siendo en todos los casos: mayor de los tres intermedio de los tres menor dp los tres

Tabla 3.5 Combinaciones de 6 elementos en grupos de 3 en 3 X¡,¡ 89 89 89

Xr,"

Xrrs

X..r-2Xu.¡*Xr'¡

81

78

5

81

61

81

89

81

56 33

-12 -'t7

89

78

61

-6

89 89 89 89

7B

56

11

78

33

-34

61

56

23

61

33

0

89

56

33

10

81

78

61

81

78

56

-14 -19

81

78

33

-42

-40

datos

1, = ! Elx h3

t

r,,

- 2x r,, t x r,t]

*D-9?:!l-o:

*"Y1 --zxy1!or int ermedio t

valor menor)

320 )". =!x-166 = -2.7667 '320 5. Cálculo de ).+:

Las combinaciones de 6 elementos en grupos de 4, es:

n6 6x5x4x3

C'I* =

1x2x3x4

--15

En la tabla 3.6, se muestran las 15 combinaciones de los datos tomados en grupos de 4, siendo en todos los casos: X4l = valor mayor de los cuatro

X3l = valor menor inmediato = segundo valor menor inmediato Xt,4= valor menor de los cuatro X2,4

De acuerdo a la ecuación (3.46), se tiene:

Lo =

!

E.fx oo

-3x r,o + 3x 2.4 - x

'o),

-

Hidrología Estadística

página (130)

Medidas de las distribuciones

Tabla 3.6 Combinaciones de 6 elementos en grupos de 4 en 4 Xn,¿

Xr,¿

Xr.o

Xr.n

X,.,- 3X".¿* 3Xr,¿- Xr,¿

89

81

78

61

19

89

81

78

56

89

81

78

89

81

61

89

81

61

33 56 33

24 47 -27

89

81

56

33

-19

89

61

56

-18

61

33

5

89

78 78 78

56

33

-10

89

61

56

33

41

81

61

56

-26

81

78 78

61

33

-3

81

61

56

33

33

8'l ao ta

7B

56

33

-18

61

56

33

89

)"4

=X

\

lrroy o,

4

=L 11

CLV= l2.a

66.3333

=0.1869

9. Cálculo del coeficiente lineal de sesgo: De la ecuación (3.49), se tiene:

-4

CLS

=L 12

CLS =

-2.1667 12.4

= -0.2231

10. Cálculo del coeficiente lineal de curtosis: De la ecuación (3.50), se tiene:

30

- 3 x ü un. n't e no r * 3 l?"

página (131)

De la ecuación (3.47),, se tiene:

CLV

CLK =

»=74 1

-

iym' yeno

15

L.'415 --l *74 =1.2333

: -

-

*'29!

CLK =

L4 12

t.2333 12.4

= 0.0995

Para los datos del ejemplo, utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestran en la figura 3.9.

6. Cálculo de la media:

Media=l.r=66.3333 7. Cálculo de la desviación estándar: Desviación estándar =Xz= 12.4 8. Cálculo del coeficiente lineal de variación:

De los resultados obtenidos con HidroEsta, puede observarse que los valores de los parámetros estadísticos calculados por el método de los momentos lineales, son en todos los casos menores que los calculados por el método tradicional, por supuesto, exceptuando el valor de la media que por los dos procesos, tiene la misma fórmula de cálculo. De los resultados de los parámetros estadísticos, se

Hidrología Estadística

-

Medidas de las distribuciones

página (132)

analizado no tiene valores observa que Pese a que el ejemPlo en los resultados obtenidos, extremos muy grandes, la diferencia entre un método Y otro, es evidente' lngreso. de

Ll:

1.

8S.0

1971 1972

Fz¿¡oo--

1973

[ffi La: llf,

78.0 61.0

Muestrales

Momentos Lineales

68.3333

66.3333

66.3333

Media: Varianza:

42?:.2867

351.8883

Desviación Estándar: Coeficiente Variación:

20.5491

18.7587

153.76 12.4000

0.30s8 -0.7573

-0.2231

CoeIiciente de Ses¡1o: Coeficiente de Cu¡tosts

ú 2828 -0.5530

5.3016

2.1206

0.09s5

Parámetros

buenos resultados' para el Esta metodología es usada con muy en el Instituto nrocesamiento de la información hidrometeorológica' (rcE), fue recomendada por los

ilr"¡'u.j1.il;" áá Br""tricided "*rultore,

Lars Gottschaly e Irina Krasovskaia'

en m3/s:

o m3/s

399

1

2.96

1982

1.79 1.55

1

981

983 984 1 985 1 986 1

2.61

1977

2.27

1987

978 1979 1 980

1.86

1

2.O7

1

2.48

u, ío,

988 989

4.52 3.09 5.00 6.03 2.73 3.13 4.18 3.26

403

2.70

Calcular la media, varianza, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría o sesgo y coeficiente de curtosis, usando tanto los momentos tradicionales, como los momentos lineales.

0.186S

estadísticos para datos no Figura 3.9 Cálculo de los parámetros ;;ñ;"t utilizando los Áomentos ordinarios y lineales

Año

1974 1975 1 976 1

Poblacionales

o m3/s

L3:

33.0

Dado los caudales medios del mes de Mayo, ¿" Año

166.3333

u2:

81.0

página (133)

3.7 Problemas propuestos

Coeficientes Lineales:

58.0

-

2.

Si los datos del problema L, se agrupan en los siguientes intervalos de clase: !ntervalos de clase

1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

Marca de clase 1.5

2.5 3.5

45 55 65

Calcular la media, varianza, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría o sesgo y coeficiente de curtosis.

\--

Hidrología Estadística

-

página (134)

Medidas de las distribuciones

3.

Se tiene una cuenca en la que se han instalado 8 pluviómetros. Las precipitaciones promedios anuales registradas, en mm, para el período l97O - 1991, y las áreas de influencia, en I<mZ, de esas estaciones, se muestran en la siguiente tabla:

Estación 150

291 5

2 3

300

2563 3241

4

600 550 145

5321

278

5002

110

4932

187

5 6 7 8

4017 4621

Determinar la precipitación promedio.

4.

. . .

En la tabla 3.7, se muestran los caudales picos, en m3/s, en cada año, del periodo 1915-2000, de una estación. Calcular:

Lamedia de los caudales picos La desviación estándar El coeficiente de variación

Tabla 3.7 Catdales picos para el periodo 1975-2000

o

Año 1975 1 976 1977 1978 1 979

880 360 885

1

180 1 100 1

o

Año

m'ls

m'/s 988 989 1 990

1

1

1

1

070 060

718

991

965

1992

370

1

980

1390

981

2230

982 983 1 984 1 985 1 986 I 987 1

1

Precipitación (mm)

1

1 1

5.

1

480

993 994 1 995 1 996 1 997

página (135)

1

549

1

2240

400 866 6130

1998

1910 1310

1 999 2000

319 772

882 1010 I 130

1260

Una estación tiene un registro de caudales medios anuales de20 años, en m3/s, los misáos que se muestran en la tabla 3.8. Calcular su Cr y Cs.

Tabla 3.8 Registro de caudales, en m3/s

Estimación de , parámetros 4.L Definición de parámetros Los parámetros de una distribución teórica, son variables que para cada conjunto de datos tienen un valor definido. Una vez que los parámetros quedan definidos, también queda definida la distribución teórica.

Por lo general, una función de densidad de probabilidaes o una función de distribución acumulada, puede escribirse como una función de la variable aleatoria y en general como una función de sus parámetros, así por ejemplo, la función de densidad de probabilidad de la distribución normal, de variable aleatoria X, es:

tEstimación de parámetros

-

página (138)

Hidrología Estadística

-

Para que

localización. paútmetro de escala.

ParáLmetro de

o2-

la

función 2

flx),

quede definida, debe calcularse los

parámetros PYo -Co*o normalmente, no se conoce la población de la variable aleatoria, la estimación de los parámetros, se rcaliza a partir de una muestra. Por ejemplo, si se tiene la muestra: xl, x2, xJ,....., x¡1 y si éstos se ajustan a una distribución normal los parámetros

La bondad de estos estimadores está dado por las diferencias ( a a), (B - b), (y - c), etc., pero como es fácil intuir, hay infinitas posibilidades para a, b, c, por lo tanto se consideran como mejores estimadores aquellos, que se aproximan más a los valores poblacionales, y se llaman q, p, y,.... Los estimadores se clasifican como:

p, o -,2

se estiman a Partir de: n

!r. L¿" i

U=X=

'

Sesgado si:

'

Insesgado si:

.'_1 l-L

E(a)= a +v(a)

E(a) =

n

donde: v

) 62 =52 =

página (139)

estadísticos de la muestra, que se supone pertenece a la población que se pretende caracterizar.

donde: U"

-

(r¡ - r)2

n-l

.

(ü)

e¿

= E(a) -

q, es el sesgo

Eficiente si: El estimador es insesgado y además:

donde:

ü es el estimador de ¡r d 2 es el estimador de o2

Cualquier estimado desde la muestra es denominado un estimado o

VAR(a) = E(a-q)2

.

Consistente: Si el tamaño muestral N es largo.

estimador de los parámetros poblacionales'.

4.2 Definición de estimadores Dada una función de distribución con parámetros a, P , T , "'' sa llaman estimadores a los valores a, b, c,"', obtenidos a partir de los

En hidrología, se requiere principalmente que los estimadores sean insesgados y eficientes, cuando se requiere extraer la máxima información, desde los datos muestrales.

Estimación de parámetros

-

4.3 Métodos de estimación de parámetros Para determinar los valores numéricos de los pariámetros de la distribución teórica, a partir de los datos muestrales, se utilizan varios métodos de estimación, siendo en orden ascendente de menor a mayor eficiencia, los siguientes: . Gráfico . Mínimos Cuadrados

. .

Hidrología Estadística

página (140)

1.

2. 3.

)

X=K1

X-S=K3 15.87 o/o 50

0,6

84.13

o/D

Figura 4.1 Probabilidades en una distribución normal

4.

allí estimar los parámetros buscados.

Calcular el valor para una probahilidad del 84.137o, el mismo que corresponde a X +,S, es decir:

X+S=KZ + S=KZ-X

Así:

. El papel de probabilidades

Por ejemplo, para determinar los estimadores de p y o, por medio de una muestra dada correspondiente a una población normal, hacer lo siguiente:

(l4l

X+S=K2

Método gráfico

normal, representa la distribución normal como una línea recta. . El papel de probabilidades log-normal, representa la distribución log-normal como una línea recta. . EI papel de probabilidades Gumbel, representa la distribución Gumbel como una línea recta. . El papel de probabilidades log-Gumbel, representa la distribución log-Gumbel como una línea recta. En el apéndice, se muestran estos cuatro papeles especiales.

página

Plotear los valores de la distribución empírica de la muestra. Dibujar una recta que se aproxime a los puntos, tanto como sea posible. Calcular el valor correspondiente para una probabilidad del50Vo, este valor es x , el cual es un estimador de ¡r (figura 4.1).

Momentos Máxima Verosimilitud

Este método, consiste en plotear los valores de la distribución empírica sobre un papel especial, donde la distribución teórica asignada a priori, se puedé representar como una línea recta, y de

-

^S

es un estimador

de o

.

Otra forma de calcular ,S, es para una probabilidad del 15.87 7o, el mismo que corresponde a X - S, es decir:

X -S=K3 =+ S=X-K3 Ejemplo 4.1: Para la serie de datos de caudales, en

-3/s,

correspondientes a 38

años:

.3 26.7 144.9 92.8 121

1

10.1

95.6

63.4 76.3

122.4 162.1

64.2 110.2

59.6 40.3

Estimación de parámetros

205.8

58.8 57.4

114.5

79.O

72.5

76.9

142.4

48.8 148.3 67,5 70.0

52.3 36.3 88.0

-

página (142)

97.2 144.7 52.5 109.2 165.5 48.5

Hidrología Estadística

112.2

16

137.1

17

32.9

18 19

Suponiendo que se ajustan a una distribución normal, estimar los parámetros X y S, usando el método gráfrco.

J.

probabilidad empírica Weibull, se obtiene la tabla 4.1.

m

o I

(1)

(21

--

2 3 4 5 6 7 8 9

36.3 40.3 48.5 48.8 52.3 52.5

o.1282 0.1s38

57.4

0.2308

10

588

o.2564

11

59.6 63.4

0.2821 0.3077 0.3333 0.3590 0.3846

64.2

67.5 70.o

0.0256 0.0513 0.0769 0.1026

0.1795 0.2051

D-

T_

(1)

f3)

26.7

12 13 14 15

o

n*L

1

32.9

m

m

D-

(21

2A

88.O

21

92.8 95.6 97.2

22

se obtiene

.

.

n*I

t3)

.

0.5128 0.5385

0.9231

165.5 205.8

0.9487 0.9744

la distribución teórica normal, la

misma que

se

enlafigua 4.2.

X , hacu lo siguiente: En la figura 4.2 ingresar en el eje de probabilidades (eje X), con el 50 Vo y ffazar una vertical, hasta interceptar a la línea de distribución teórica. Por la intersecciín, frazar una línea horizontal, hasta cortar al eje de caudales (eje I'). En el eje de caudales, leer el valor correspondiente de X, para este caso se tiene: X = 92 m3ls.

0.5641

110.2 112.2 114.5 121.3 122.4

31

137.1

32 33 34

142.4

0.8205

144.7 144.9

o.8462

110.1

162.1

4. Para calcular la media

m

23 24 25 26 27 28 29 30

109.2

148.3

Trazando una línea recta de mejor ajuste , de tal manera que se adapte mejor a los puntos ploteados, de la distribución empírica, muestra

Tabla 4.1 Caudales ordenados ascendentemente y sus probabilidades acumuladas calculadas con el método de Weibull

0.4872

o.8974

35

36 37 38

papel probabilístico normal, se obtiene la distribución empírica que se muestra enlafiglura4.2. a

y calculando la acumulada, mediante el método de

Ordenando los valores de menor a mayor

0.4103 0.4359 0.4615

página (143)

2. Ploteando los valores de las columnas (2) V Q) de la tabla 4.1, en

Solución:

l.

72.5 76.3 76.9 79.0

-

0.5897 0.6154 0.6410 0.6667 0.6923 0.7179

0.7436 0.7692 o.7949

0.8718

5.

Para calcular la desviación estándar,S, hacer 1o siguiente:

.

. .

En la figura 4.2 ingresar en-'el eje de probabilidades, con el 84.13 Vo y trazar una vertical, hasta interceptar a la línea de distribución teórica. Por la intersección, trazat una línea horizontal, hasta cortar al eje de caudales.

En el eje de caudales, leer el valor correspondiente de X + para este caso se tiene: X +,S = 135 m3/s, de donde:

,S,

Hidrología Estadfstica

-

Hidrología Estadística

página (144)

,S= 135

-

página (145

)

-X

S=135-92 S

= 34 m3ls

Método de mínimos cuadrados Este método es más aplicable para la estimación de los parámetros de una ecuación de regresión. Por ejemplo, dada la recta de regresión lineal:

!=a*bx

donde

ay b son los parámetros.

El error entre el valor observado I y el teórico ei=yi- a - bxi

es:

y la suma de los cuadrados, de los errores de los valores observados ES:

nafl

S=!(J. n.'=!rr. t ?¿."t -a-bx.\2 t' l=I

I=l

Esta suma puede minimizase para a y b, esto se consigue derivando parcialmente ^S, en función de cada estimado a y b, e igualando a cero, es decir:

o!

aI=-r$ da 6 E

o c

o=

(v. ?_l" t

-a-bx)=o t'

Q[=-r$ x.(v. -a-bx.\=o t' ab 3_t,"t

¡

c o

...(4.r)

...(4.2)

o.

oü

(,

(f,

o+I

lX

I o (n o §t il

x

Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se denominan ecuaciones normales, las cuales resueltas dan para ay b:

Estimación de parámetros

-

página (146)

Hidrología Estadística

-

págína (147l'

Solución:

...(4.3) 1. Cálculo de la sumatorias: Los cálculos se muestran en la tabla 4.3

...(4.4)

2.

Estimación de á: De la ecuación (4.3), se tiene:

Ejemplo 4.2:

,!r.v. r. L) l"t -)x.) L¿ 1.t-t¿7

- ü*r'-Eü

L_ Se cuenta con 13 pares de datos de caudales picos para el año 2000,

en m3/s, de las estaciones La Bomba y Asunción, cuyos valores se muestran en la tabla 4.2. Considerando que los caudales de la estación La Bomba, son las variables independientes (x), y que los caudales de la estación Asunción, son las variables dependientes (y), y que estas variables se relacionan con la ecuación lineal:

Tabla 4.3 Cálculo de sumatorias x

!=a*bx

estimar los parámetros ¿ y b, qlue defina la ecuación lineal. Tabla 4.2 Caudales picos en m3/s para el año 2000 de las estaciones La Bomba y Asunción Asunción La Bomba

x'

xv

v 2e

1t

42C

178

142

2527C

31 681

9( 9(

5C

450C

810C

7l

720C

122

8€

1073e

921e 14884

5(

41

205C

250C

62

QC

241t

7Í

61 5C

3844 6724

8541

1

009[ 126C

10404 202a

784

lx)

lvl

82

28 178

15

111

73

142

102

9S

4a

2E

6C

5€

336C

360C

o.:

453€

51

844

86545

90 96

122

50 75 88

50 62 82

41

72

39

1104

117

73 99 28 56 63

102 45 60 72

1

11

75

Sustituyendo valores, resulta: 13 x 86545 -1104x844

s-

t3xll2638 -IlO42

b = 0.7875

368S

8r

263t

a Estimación de parámetros

-

página (148)

Hidrología Estadística

3. Estimaciúnde a:

se obtiene será a, b, c,

De la ecuación (4.4), se tiene:

nn

a

ó a,6,e, como estimadores sesgados o

Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estiman los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este es un método muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como sucede muy a menudo con la mayoría de las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación.

Sustituyendo valores, resulta: 1104

0.7875

13

= -1.952

.'. La ecuación que relaciona

página (149)

insesgados de los parámetros.

2r, ).,,'b a=--u o=8* 13

-

las variable

r

e

y es:

y = -1.952 + 0-7875 x

Método de los momentos

Ejemplo 4.3:

El método de los momentos fue desa¡rollado por KarI Pearson en 1902. El principio básico de la estimación por este método, es establecer para cada función de distribución, la relación entre los

1. Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución normal:

parámetros y los momentos centrales, de tal manera que:

pafa

=Íi(lti,

tti+I,...)

A

=fZ (lt

tt

y

=f3 (ttk, lt k+l,

d,

i, ¡+t,

...)

...(4.s)

...)

oo< X <

oo

estimar los parámetros 0 y 0 2, por el método de momentos.

Solución: Sabemos que:

donde:

ü,0 ,T Iti, lti, llk

-

son los parámetros de la función de distribución són los momentos con respecto a la media, o

momentos centrales de la población

Como los momentos, son estimados a partir de los momentos de la muestra, como estimadores sesgados o insesgados, el resultado que

1. La media poblacional es igual al origen, es decir:

'Ó u=E(x\=u'7=lJ-o xf(x)dx

ler momento con

respecto al

...(4.6)

Estimación de pariímetros

-

Hidrología Estadística

página (150)

2. Lavaixtza 02 es igual al 2" momento con respecto a la media, es decir:

v(x) =o.2 =

p2= Iitr-¡r¡2r1x¡ax

-

e,e" r€ g- -!-'' 'l2nor t-"" |

... (4.7)

Sustituyendo/(x) en (4:6), resulta:

P=

roo

v2

l- ye 2 ¿y

I

A. -F-

Cálculo de:

v

ll=-l 1r- t-* x'e ^lznor I

^"'

02

.

límites:

...(4.8)

fÉ^

A=l J-ó

)

2

e "

v' - -n-

dy

-f r0 e ' J-É

v

+ l? e "J0

¿v

2

2

dy .,. (4.11)

-vry2 =y

-) x =0t + 0r! ) dx=7rdy

...(4.e)

siendo: f(y) =

e

-V'(-Y)2 -V'Y2

Si X -+-co

á)/-)-oo

Si x -++""

á)-)*oo

dado que: f(-y) = f(y) por lo cual se tiene:

v2

J]-tr, +oril'e @0,

=e =f(y)

f(-y)=e

Sustituyendo (a.9) en (4.8), se tiene:

P=

... (4.10)

.I-€

J-**' lzoer'

Haciendo: -_A

página (151)

!!*¡rrtor-f luego (4.1I), se escribe:

lz

"ro,

o=li

n-

2'

dr+

,

f(y)

matemáticamente, es una función par,

rl)dv

12

I;,- 2'

dy

Estimación de parámetros

¡.oo

l,l --vz^ r

A=21 e J0

-

Hiclrología Estadística

página (152)

-

página (153)

luego:

A=

... (4.12)

dv

",frl -:--

I

,D Haciendo: Y2

y2=t +

y=t 2YdY=i¡ =

A=

dY-

dt dt 2vl ' 2t2

Cálculo de:

B=

límites: par

)=0 + t=0 y-+"o + t+6

luego (4.I2), se convierte

L,

A=zÍ* -J0-e 2"

roo

"-Ó

2e 2 ,lt A=f*t J0 Aplicando la transformada de LapLace, se tiene:

dy

I _,2

''

o,

_L ,,2

*!; ,,

2'

dv

lZ

donde: pero:

-V'(-Y)2

f(-y)=(-y)e

-/'Y2 =-!e =-ÍU)

puesto que: fl-y) = -Ky), impar, por lo tanto se tiene:

fly)

matemáticamente, es una función

l..z I z -;l foo r0 "!- dY = -lo t' L dY )l*r" ¿

luego (4.L4), se escribe: pero por propiedad de la función Gamma, se tiene:

| (Y2)=\,fr

... (4.14)

---v ¿ ye f(y) =

2tz

, _L,

-l^ y2

i- ye 2'

, = I:"" y,

ein:

dt l

... (4.13)

^lri

-!r

6 -'^r' r€ 2' 2" at+liw a=-liw f

"

dy

Estimación de parámetros

-

página (154)

B=0

... (4.15)

Sustituyendo (4.13) y (4.15) en (4.10), resulta: e1

0,

'u= ^lzn -!-- ".!zn + -Lxo ^121r

.t,

.tr

-+

-ó -

N.

(Tz v

*

-) -co

=

L.---

l.t

f- * er2l2, 2'

o,

Sustituyendo/(x) en (4.7), se tiene:

='2= J-f**' n2"

^Cl,-, 2

l.¡ -;Y'

"l2l

l2v2

1

azdy

'lZfIArJD2

f,). oZ= Uz =J_"oGtt)-

siendofly) = y2

e

y

at

f(-D

=Ki

(función par), por lo cual:

{l *trr>a, =rl; ro)dy

como: p = 0l

luego:

o2=F2=

'

^[-zle,J:""

, -!.r' ^ 20"2 ¿- l,* uz" z dv o'= J0

G-ot"-;l';)'*

Haciendo:

--J=y 02

límites:

^,2II

yZ=t = y=tVz =dy=

Haciendo:

x-0.

)

Iuego:

It=01

=

y

página (155

.tr-+oo -/-)oo

lo que indica que el primer parámetro 0 1, es igual a la media

.',0,I =i» xi

-

Hidrología Estadística

+ x=0t+02y +

dx=?zdy

dt

-I 2t2

límites:

+ t=0 Y-+- =+ t)6

si )=0 se tiene:

I Estimación de parámetros

o'='ff5,"

_t

-

página (156)

Hidrología Estadística

I

2'

página (157

)

o2 = 0 22 (el parámetro 0 2es igual a. o )

dt

1

.a2- _N{.L\ni_nl s/v -v\2 ..u2

I

2td

o'

-

I en2 -oo I --t 2dt

o2=

=#[s,,"

Ét)k,

-xY

Ejemplo 4.4: Aplicando la transformada de Laplace, se tiene:

Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución de Poisson:

o2=

o2=

Calcular usando el método de momentos: o El parámetro a

" pero:

I

(yr)

Lavaríanza

Solución:

=^tE,

luego:

1. Como X es una variable discreta:

o2= tt=E(X)= )xf(x)

0"2 ,/ o', = !--rx yfn "izfl

tr=i*q': l=0 xl

r Estimación de parámetros

-

página (158)

t,-ifr

página (159

o2 =E(x2) - a2 Cálculo de

-f(0)=".

. oor-ü -"-a -"-o -n - r(o) ''

--; -'

fra

... (4.16)

E(*):

E(*)=

i .' a*r-d xl

x=0

E(*)=,-"

r, = § o,*'-1

Aff,rl,

f=1Q -r)r

.) (r d2 d3 +... 'u=e-ald ¡---+l! 2t [o' ) , d,1or2 - ¡... ) *l l+.-*( I

It=de

2t

Ir!

I

)

pero, por desarrollo de serie de Taylor, se tiene:

(

. _2 ) I t*a *o- * ...1= "o

[,,

2t

entonces:

P = ae-a ed Lt

=d,

)

fi:

(x-t+tfox G-t)l

='-&tár5.á?f]

,..d= ll 2. Cálculo de o2 Sabemos que:

)

o2=E(*)-Qt')

tr=Tll ¿-rT:ú

luego:

-

o2=E(*)-(E(x)),

oor-o + ?ax"-d

pero: (-1)!

Hidrología Estadística

§-4-="-d § 11]-. +r-d -c ?t!-l)! '" !1!-z}

----r*

Estimación de parámetros

-

página (160)

Hidrología Estadística

Se observa que la media igual a d, es decir:

E(*)= ¡t + e

y

-

página (161

)

varianza de la distribución Poisson es

)

fi=o- =q Método de máxima verosimilitud

E(*)=

tt+e

E(f)=tt+e E(x2)=

"

F_rr*

El

*er!*"'!. 4t 2t l L0!

f(x;u, F,y,...)

1

o o2fr. ¡r + r-

-* . I

-s-

donde:

d, )

la

función verosimilitud de

la

muestra, como la

t-l

L=

f (xr,a,

fr.,T,...).

f (xZ,ü, §,T,...).

....

f

(x

N,ü, 4,T,...)

siendo N el tamaño de la muestra

E(tZ) = lt + r- ao2ra'

-o2

, ... son los parámetros que deben ser estimados

N

Luego:

o2 =o*o2 o2 =d

y

¿=fI f (xi,d,fr,y,...) -'_t

)

Sustituyendo (4.17) en (4.16), resulta:

,

Se define

(r*" *o' *...1=,o 2!

E(*2) = p+a2 Pero: ¡r,=d,entonces: E (*2) =q, + q2

B

productoria:

Por desarrollo de la serie de Taylor, se tiene:

(.,,

método de máxima verosimilitud, fue desarrollado por R.A.

Fisher (1922). Dada una función densidad de probabilidad:

El método de máxima verosimilitud, consiste en estimard, §, T ,... a partir de la muestra, de tal manera que Z sea máxima. Esto se obtiene por la diferenciación parcial de L, con respecto a cada ... (4.17)

parámetro e igualando a cero.

Puesto que flx) es no negativa, un valor máximo de L será, en general positivo. Como el logaritmo natural lnL es una función monotómicamente creciente de L, ésta tiene un máximo,

r Estimación de parrímefros

-

página (162)

Hidrología Estadística

precisamente en los puntos en que L tiene un máximo. Por lo tanto, se puede ttsar lnL en lugar de L, es decir:

N

N

L

este artificio, permite transformar una productoria a una sumatoria, donde: a,b,c, son estimadores de d, F, y ,..

Fntonces el conjunto de ecuaciones de máxima verosimilitud es:

0ln/ EtnZ }lnL #=o: #=o; #=o; dc db da

siendo:

e¡,1)

f(xi,)") = )r-h¡

luego:

n

¿

_4,x.

=fI le

'*',

i=l\.

Usualmente insesgado Si la eficiencia de estimadores existe para los parámetros U, B, T ,..., el método puede producirlos. La solución de la ecuación de verosimilitud, proporciona un estimador que converge al valor poblacional, cuando el tamaño muestral tiende a infinito, por 1o que el estimador es consistente.

¡

/ N¡ '"'i tnL= )l t, )"+tn,-tu.\

I

i=l\

)

Nt

\

7nL=Itr^ -tu,) i=l

derivando con respecto

a ),, se tiene:

otnL-=

'*' i=o" '[S hnt"-¿" al Ol'"la'r"'" ')-

Ejemplos 4.5:

Dada la función de densidad de probabilidad de

la

distribución

exponencial: (i

lln-*

para r ) o, h>o

I

en otros

L0

i=l

N ( _)x.\ tnL=\t"l l* '^i

Las propiedades de los estimadores calculados por el método de máxima verosimilitud, son;

f(x)=1

=flf

i=l

el mismo que tiene tantas ecuaciones como incógnitas.

.

Solución: Sea la función de verosimilitud: n

L=Uf @i,a,b,c,...)+tnL= )h f @i,a,b,c,...)

. .

-

casos

Estimar el parámetro2, usando el método de máxima verosimilitud.

§(

!-,.)=0 tl

?,lL r-r\ ntfl

»; -),; .i=1tv ¡=1

,/

=0

página (163

)

Estimación de parámetros

-

página (164)

Hidrología Estadística

nl

-

página (165

)

t

1r¿=)tnl ¡=1 I

L

tnL=

Ejemplo 4.6:

,l

»l-

,=1L

Dada la función de densidad de probabilidad de

la

distribución

"1'

normal:

rnL=I 3.

Fstimar los parámetros

el e2, por el

verosimilitud. Solución: 1.

La función de verosimilitud es:

2. Tomando ln:

método de máxima

a)

] , resulta:

üJ]=.

r Estimación de parámetros

-

página (166)

Hidrología Estadística

nn

E*,=Eo, i=l -

0,2

i=l

'

n

\x¡

--

no,

t=l

,=)L*, =, trY(-zor-3)]=t '(,¿ -

=lnF.t i6,

-

página (167

)

-e1)2 =12

Nota. El método de máxima verosimilitud, teóricamente es el más correcto para el cálculo de los parámetros de las distribuciones, en el sentido que produce menos errores, en la estimación de los parámetros de la población. Pero, para algunas distribuciones de probabilidad, no existe solución analítica para todos los parámetros, en términos de los estadísticos de la muestra, lo cual lleva a calcular éstos parámetros por métodos numéricos. En general, el método de los momentos es más fácil de aplicar que el método de máxima verosimilitud, y resulta más apropiado para análisis práctico en hidrología.

á[

;.ry)='

tf"l,.+I]=,

4.4 Problemas propuestos 1. Dada

la función de densidad de probabilidad de la distribución

uniforme: 1

para o(
f(x) =

ÉF,)* i=l Lb4:-=o i=l 02'

,;-vr6'-01)2

=n

:V=,6,-trY -e2

B-cr Estimar sus parámetros o y B, utilizando el método de momentos.

2.

Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial:

-l.x

flx) =)"

e

Para x> 0, ¡, > 0

Estimar su parámetro 1,, utilizando el método de momentos.

I Estimación de pariámetros

3.

-

página (168)

-

página (169)

Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución de Poisson:

Calcular el parámetroa, usando el método de máxima verosimilitud.

4.

Hidrología Estadística

Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución

v Calcular los parámetros pty, or, utilizando el método de máxima verosimilitud.

7. Dada la función de densidad gamma de parámetros y y B:

x

exponencial de dos parámetros: -1.(x - e)

f(x)=)"e

para x)E, ¡,>0

Estimar sus parámetros l, y

f(x)-

g utilizando el método de momentos.

5. Dada la función de densidad de probabilidad

de la distribución

exponencial de dos parámetros: -i.(x - e)

f(x)=)"e

para

Estimar sus parámetros verosimilitud.

x)8, I>0

l, y e, utilizando el método de máxima

6. Dada la función de densidad log-normal de dos parámetros:

de probabilidad de la distribución

de probabilidad de la distribución

*Y

-1, P

PY

r
para: 0(x<"" 0
Pruebas de bondad de ajuste 5.1 Definición Las pruebas de bondad de ajuste, en compro bar gráfica y "orrir*n de la serie analizada, se estadísticamente, si la frecuencia empírica ajusta a una determinada función de probabilidades teórica seleccionada a priori, con los parámetros estimados con base en los valores muestrales. Las pruebas estadísticas, tienen por objeto medir la certidumbre que se obtiene al hacer una hipótesis estadfstica sobre una población, es decir, calificar el hecho de suponer que una variable aleatoria, se distribuya según una cierta función de probabilidades. Las pruebas de bondad de ajuste más utilizadas son:

.

Ajuste gráfico

Pruebas de bondad de ajuste

.

Ajuste estadístico

-

págtna (172)

lctri - cuadrado i-

Hidrología Estadística

probabilidad

[Smirnov - Kolmogorov

-

función acumulada empfri

(%)

función acumulada teórica

5.2 Ajuste grafico El ajuste grráfico

.

se puede realizar de las siguientes formas:

Comparar gráficamente eI histograma ó función densidad empírica de la serie de datos, con la función densidad teórica y decidir visualmente, si hay o no ajuste de acuerdo a la similitud o diferencia de ambos (figura 5.1).

frecuencia relaüva

página (173)

Figura 5.2 Ajuste gráfrcocon la función acu.rruladaln papel

milimétrico

función densidad teórica

función densidad emplrica

marca de dase Figura 5.1 Ajuste gráfico con la función densidad Comparar gráficamente la función acumulada de la serie de datos, con la función acumulada teóica seleccionada, dibujada en papel milimétrico (figura 5.2), y decidir visualmente si hay o no ajuste.

Se puede también comparar gráficamente la función acumulada de la serie de datos, con Ia función acumulada teórica, ploteada en un papel probabilístico adecuado (figura 5.3), donde la distribución teórica seleccionada, se pueda representar como una línea recta (por lo general, sólo se pueden representar por una línea recta las distribuciones de 2 parámetros). Así se tienen disponibles los papeles probabilísticos normal, log-normal, gumbel, etc. El procedimiento consiste en plotear los valores de la variable hidrológica (caudal, precipitación, temperatura, etc.), versus la probabilidad empírica en el papel de probabilidad correspondiente. Si los puntos ploteados se agrupan alrededor de una línea recta, que es la representación de la distribución te6rica, se puede afirmar con cierta certeza que estos datos se ajustan a la distribución deseada.

Pruebas de bondad de ajuste

-

págha (174)

Hidrología Estadística

-

página (175)

,|

variable aleatoria

y.o ,"c distribución empirica

=

valor calculado de Chi-cuadrado, a partir de los datos

0 i = número de valores observados en el intervalo de clase i ei = número de valores esperados en el intervalo de clase i |¡ = número de intervalos de clase

ibucién teórica

Asignando probabilidades a la ecuación (5.1) es decir, asignando igual probabilidad de ocurrencia a cada intervalo de clase, se tiene:

probabilidad

...(s.2)

(o/o)

Figura 5.3 Ajuste gráfico con la función acumulada en papel especial

donde:

número de observaciones que caen dentro de los límites de clases ajustadas del intervalo i. N = tamaño muestral P¡ = probabilidad igual pala todos los intervalos de clases

Ni

5.3 Prueba Chi-cuadrado U2 ) La prueba Chi-cuadrado se basa en el cálculo de frecuencias, tanto de valores observados, como valores esperados, para un número determinado de intervalos. Esta prueba es comúnmente usada, para verificar la bondad de ajuste de la distribución empírica a una distribución teórica conocida, fue propuesta por Karl Pearson en

=

Pi=

llk ó ei= PiN

Simplificando

la

... (5.3)

ecuación (5.2),

se obtiene la

fórmula

computacional desarrollada por Markovic ( 1965):

x?

1900.

=#frl?

--

...(5.4)

.)

La expresión general de la prueba Chi-cuadrado está dada por:

El valor d" X,; obtenido por la ecuación (5.4) se compara con el de la tabla A.8 del apéndice, cuyo valor se determina con:

donde:

nivel de significación: a= 0.05 grados de

kk

=fy' Eo,=Er, i=l

i=l

donde:

libertadi

ó d = 0.01

g.l.= k-l-h

x7

r Pruebas de bondad de ajuste

-

página (176)

Hidrologfa Estadfstica

njem)to s.I: Dada la serie histórica de caudales medios anuales en m3/s, que corresponde a un registro de 38 años:

Criterio de decisión: El criterio de decisión se fundamenta en la comparación del valor calculado de Chi-cuadrado con el valor tabular encontrado, esto es: . Si el Chi-cuadrado calculado es menor o igual que el valor tabular, es decir:

))

x;<x; Si el Chi-cuadrado calculado es mayor que el valor tabular,

70.0

Realizar la prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado para ver si se ajustan a una distribución nornul.

es

SOLUCION:

'))

x;, x;

1. La hipótesis

el ajuste es malo y

entonces, se rechaza la hipótesis, siendo necesario probar con otra distribución teórica.

Ventajas y limitaciones: Es aplicable sólo para ajustes a la distribución normal, puesto que ha sido desarrollado con base en los datos normales e independientes.

2. Se realiza en la función

densidad de clatos agrupados en

intervalos de clases. Requiere un conocimiento a priori, de la función de distribución teórica utilizada en el ajuste. 4. En la práctica se usa para cualquier modelo de ajuste, pero estrictamente es válido sólo para la normal. 3.

121.3 26.7 1 10.1 63.4 122,4 64,2 59.6 144.9 92.8 95.6 76.3 162,1 110.2 40.3 142,4 58.8 48.8 s2.3 97.2 144.7 112.2 205.8 57.4 148.3 36.3 52.5 109,2 137.1 88,0 165,6 48.5 32.9 1 14.5 79.0 67.5

72.5 76.9

entonces, se acepta la hipótesis que eI ajuste es bueno al nivel de significación seleccionado

1.

páeina (177)

5. Es de fácil aplicación.

h = as el número de parámetros a estimarse, así: h = 2, para la distribución normal h = 3, para la disribución log-normal de 3 parámetros

decir:

-

será:

Ho : frecuencia observada H¿ : frecuencia observada

=

*

frecuerlcia esperada frecuencia esperada

2. Ordenando los datos de menor a mayor, se tiene: 26.7 32.9 36.3 40.3 48.s 48.8 52.3 52.5 57.4 58.8 59,6 63.4 64,2 67.5 70.0 72.5 76.3 76.9 79.0 88,0 92,8 95.6 97.2 109.2 1 10.1 1 10.2 112,2 114.5 121.3 122.4 137.1 142,4 144,7 144.9 148.3 162.1 165,5 205.8

3. Cálculo de la frecuencia

para datos agrupados 3.1. Cálculo del número de intervalos de clase, según Yevjevich:

NC=1+1.33 ln(M) NC=1+1.33 ln(38)

Pruebas de bondad de ajuste

NC=5.84 =

-

página (178)

Hidrología Estadística

página (179)

Columna (5): acumular valores dq la columna (4)

6

3.4 Cálculo de la media y desviación estándar para datos agrupados, utilizando las columnas (2) y (3):

3.2. Cálculo de la amplitud de cada intervalo:

min NC_l =

X max- X --l=

-

205.8

- 26.5 5

t_

&

N( =35.82=36 -

AX 2

=18 = 43.03

,3.3. Cálculo de los intervalos de clase, marcas de clase, frecuencia

absoluta observada, frecuencia relativa,

los

resultados

se

muestran en la tabla 5.1

donde:

xi=

marca de clase frecuencia relativa -ñ =

Tabla 5.1 Cálculo de la frecuencia acumulada !ntervalos de clase (1)

44.7 -

(3)

)

44.7

80.7 't16.7 152.7

80.7 - 116.7 - 152.7 - 188.7 - 224.7

26.7 62.7 98.7 134.7

4 15

170.7

9 7 2

206.7

1

0.1053 o.3947 0.2368

0.1053 0.5000 0.7368

o.1842

0.9211

0.0526 0.0263

o.9737 1.0000

Columna

(3): Z -

x-X

variable estandarizada de la

distribución normal paru x = límites de clase, de la columna (2). Columna (4): área bajo la curva normal, puede usar la tabla A.1 del apéndice.

donde:

Columna

Cálculo de la frecuencia esperada, utilizando la distribución teórica normal, los resultados se muestran en la tabla 5.2 donde:

8.7

188.7

Marcas Frecuencia Frecuencia Frecuencia acumulada relativa de clase absotuta (0 (5) (4) (21

(3):

número de valores comprendido en el intervalo de la columna (1).

Columna (4): columna (3) entre N = 38

Columna

(5): áreap xa cada intervalo

de cl se, se obtiene restando los valores de la columna (4), si los signos de Z dela columna (3) son iguales, y sumando los valores de la columna (4), si los signos de Z son diferentes.

Pruebas de bondad de ajuste

-

Hidrología Estadística

página (180)

Tabla 5.2 Cálculo de la frecuencia absoluta intervalo de

Iímite

clase

de

x-X

clase

t3)

8.7

447

44.7

44.7- 80.7

80.7

80.7- 116.7

116.7

116.7-152.7 152.7-188.7 188.7-224.7

152.7 188.7 224.7

Columna

Columna

á¡ea

Frecu-

balo la curva

encla relativa

normal de

Frecuencia

absoluta

Frecuencia observada

ei

OaZ

el

(1)

8.7-

s

x? =

f6)

17l

0.3554

o.1152

4.38 = 5

4

0.0871

o.2687 0.3195

-1.89 1.057 -0.220 0.617 1.453

o.4706

2.290

0.4890

0.0625

7.34=7 2.38=3

3.126

0.4991

0.0101

0.38 =

o.2324 0.4265

0.1931

10.21

=

10

12.14=12

1

15 9 7

grados de

.

U=6 - I -2=3 nivel de significación: a= 0.05 = 5Vo

libertadi I)=

k -1- h

para D = 3 y a = 0.05, se tiene:

Criterio de decisión:

Como v2 =3.78

. ,2

=7.87

se acepta la hipótesis nula

.'.

)

7':

Ho

Los datos se ajustan a la distribución normal, con un nivel de significación del 5Vo ó 95Vo de probabilidad.

Nota. En la aplicación Cestadis, existe una opción para el cáIculo de

De (5.1), se tiene:

)

x;

@_:J

t=r

.

7.

sonlos mismos valores de la columna (3) de la tabla 5.1.

^.2_€ Lc -2

Xi

v2=7.81 ,"t

en forma adecuada, de,tal manera que la suma de las frecuencias absolutas sea igual a N = 38'

5. Cálculo de

.)

1

(ó): columna (5) x N = 38, se redondea

(7):

+0 + 0.33 + 0

De la tabla A.8 del apéndice,

2

página (181)

x? = 3.78 6. Cálculo del

e¡ 15)

(4)

0.2 + 2.5 + 0.75

-

ei

sustituyendo valores de las columnas (6)

y (7) de la tabla 5.2, se

5.4 Prueba

de Smirnov-Kolmogorov

tiene:

(r--r)2 * ,z -@-s)z * (rs -ro)2 *(g -tz)z n0 -t)z *Q'])z /Lc3 7 12 10 5 1

La prueba de ajuste de Smirnov-Kolmogorov, consiste en comparar las diferencias existentes, entre la probabilidad empírica de los datos de la muestra y la probabilidad teórica, tomando el valor máximo

r Pruebas de bondad de ajuste

-

Hidrología Estadística

página (182)

del valor absoluto, de la diferencia entre el valor observado y el

2o Calcular la

"'(s's)

lnlx¡ - e1x¡l

. donde:

El estadístico A tiene su función de distribución de probabilidades.

Si

A o es un

valor crítico para un nivel de significación

a,

probabilidad teórica F(x):

Para el caso de utilizar el procedimiento de los modelos teóricos, la ecuación de función acumulada F(x), tablas elaboradas para tal f,rn.

usar

A = estadístico de Smirnov-Kolmogorov,

cuyo valor es igual a la diferencia máxima existente entre la probabilidad ajustada y la probabilidad empírica. F(x) = probabilidad de la distribución teórica P(x) = probabilidad experimental o empírica de los datos, denominada también frecuencia acumulada.

'

o

P(A

6) -

P(x)l 2 L,o]=

puntos:

se tiene

Valor

Probabilidad

X

50

X+S X-S

80.13 15.87

o/o

6¿

> Lo)=q

o

la

Si se quiere aplicar el procedimiento gráfico, se utiliza un papel probabilístico especial donde F(x), puede representarse como una línea recta, por 1o cual, se puede trazat con solo 2 puntos, pero si se quiere chequear que es una recta, se pueden plotear 3 puntos, por ejemplo para el caso de una distribución normal, los

que:

rlm,axlr

página (183)

M = nimeto de orden N = número de datos

valor de la recta teórica del modelo, es decir:

A = máx

-

...(s.6) representados en un papel de probabilidad normal, forman una recta.

también:

P(4. Lo)=1-o

...(s.7)

El procedimiento para efectuar el ajuste, mediante el estadístico

de

Smirnov-Kolmogorov, es el siguiente: 1o Calcular la probabilidad empírica o experimental P(x) de los datos, para esto usar la fórmula de Weibull: P(.r) =

M

N+1

donde:

P(x) = probabilidad empírica o experimental

...(s.8)

3o Calcular las diferencias P(x) - F(x), para todos los valores de x 4" Seleccionar la máxima diferencia: a= máx ]nqx¡-e1x¡l

5'Calcular el valor crítico del estadístico A, es decir Ao, para un a = 0.05 y N igual al número de datos. Los valores de Ao, se muestran en la tabla 5.3.

Pruebas de bondad de ajuste

-

página (184)

Hidrología Estadística

valor del estadístico A, con el valor crítico A o de la tabla 5.3, con los siguientes criterios de decisión deducidos de la ecuación (5.6):

6o Comparar el

Si A < Ao + A)Ao=

a

Tamaño muestral

el ajuste no es bueno, al nivel de significación seleccionado, siendo necesario probar con otra distribución

1

2 3 4 5 b 7 8

distribución teórica.

9 10

Es aplicable a distribu.io.r", de datos no agrupados, es decir, no se requiere hacer intervalos de clase.

12 13

11

14

Es aplicáble a cualquier distribución teórica.

4. Se aplica en la función de distribución acumulada función de densidad.

5.

*

Nivel de siqnificación 0.20

0.15

0.10

0.05

0.01

N

1. No requiere un conocimiento a priori de la función de

J.

página (185)

Tabla 5.3 Valores críticos de L,o del estadístico SmirnovKolmogorov a, para varios valores de N y niveles de significación

el ajuste es bueno, al nivel de significación seleccionado.

Ventajas y limitaciones

a

-

y no en la

Comparándola con la prueba Chi-cuadrado, no se requiere que la frecuencia absoluta de cada clase, sea igual o mayor que 5.

6. No es una prueba exacta, sino una prueba aproximada.

0.900 0.684 0.565

0.494 0.446 0.410 0.381

0.358 0,339

0322 0.307 0.295

0.284

0.925 o.726 0.597 0.525 0.474 0.436 0.405

0.950 0.776

0.975

0.842

0.642

0.708

0.624

0.252

0.564 0.510 0.470 0.438 0.411 0.388 0.368 0.352 0.338 0.325 0.314 0.304 0.295 0.286 0.278 0.272

0.301

0.246

0.264

0.294

024

0.381

0,360 0.342 0.326 0.313 0.302

0.565 0.521 0.486 0.457

0.432 0.410 0.391

0.375 0.361

0.995 0.929 0.828 0.733 0.669 0.618 0.577 0.543 0.514 0.490 0.468 0.450 0.433 0.418

20

0,274 0.266 0.258 0.250 o.244 0.237 o.231

25 30 35

0.19 0.18

0.22 0.20 0.19

0.22

0.27 0.24

o.21

N>35

023

t.07

t.t4

1.22

1.36

,tr

0.363 0.356 0.32 0.29 0.27 1.63

^ltr

",/N

,tr

,tr

15 16 17 18

19

0.21

o.292 0.283 o.274 0.266 0.259

0.349 0.338 0.328 0.318 0.309

0.404 0.392 0.381 0.371

Pruebas de bondad de ajuste

-

página (186)

Hidrología Estadística

Tabla 5.4 Cálculo de P(X), Kolmogorov

Ejemplo 5.2: Para los mismos datos del ejemplo 5.1, realizar la prueba de bondad de ajuste Smirnov-Kolmogorov, p&ro ver si se ajustan a una

distribución normal, usando 121.3 144.9

142.4 205.8 114.5

72.5

. .

:

26.7 110.1 63.4 122.4 64.2 59.6 92.8 95.6 76.3 162.1 110.2 40.3 58.8 48.8 52.3 97.2 144.7 112.2 57.4 148.3 36.3 52.5 109.2 137.1 79.0 67.5 88.0 165.6 48.5 32.9

76.9

m

70.0

(1)

Q=X

P(x)

mtls

m/n+1

(2)

(3)

2

26.7 32.9

3

36.3

4 5

40.3

1

F(z)

1.39 -1.31 -1.22

485

0.1282

-1.02 -1.02

(donde x,representa el caudal).

0.1538 0.1 795

I Usando el procedimiento gráfico.

10

57.4 58.8 59.6

Solución:

1. Cálculo de P(x): Ordenando los datos de caudales en forma creciente y calculando la probabilidad empírica P(x), usando la fórmula de Weibull:

Pifx:)=h se obtienen las columnas

2. Cálculo de X y,§, de los

x

='nuI x. =92.32 1

L

(2) y (3) de la tabla 5.4. datos no agrupados

0.2061

0.2177

-o.76

0.2236 0.2483 0.2546

22 23 24 25 26 27 28 29 30

95.6

0.5641

0.08

97.2 109.2

0.5897

0.11

0.61s4

10.1

0.6410 0.6667 0.6923 0.7179

0.39 0.42 o.42 0.46 0.52 0.60 0.70

1

110.2 1'12.2

114.5 121.3 122.4

0.1736

-0.82

92.8

19

0.1 539 0.1 539

-0.78

21

1B

0.0182 0.0086 0.0257

0.2308

20

64.2

0.7436 0.7692

-0.52

-0.46 -0.37 -0.36

0.0310

0.1112

0.2564

-0.68 -0.66 -0.58

l6) 0.0374

0.0951

0.1762

67.5 70.o 72.5 76.3 76.9 79.0 88.0

634

12 13 14 15 16 17

0.0630 0.0823

-0.94 -0.93

0.2821 0.3077 0.3333 0.3590 0.3846 0.4103 0.4359 0.4615 0.4872 0.5128 0.5385

11

A

(5) -1.53

0.0256 0.0513 0.0769 0.1026

0.2051

de Smirnov-

lnlz¡ -r1x¡l

48.8 52.3 52.5

página (187)

F(4 y A, para la prueba

6 7 8

El cálculo de los valores de F(x) para todos los valores de x

-

0.2810 0,3015

03228

-0.31

0.3557 0.3594 0.3783

-0.10

0.4602

0.01

0.5040 0.5319 0.5438 0.6517 0.6628 0,6628 0.6772 0.6985 0.7517 0.7580

0.0001

0.0059 0.0289 o.0247 0.0387 0.0585 0.0594 0.0787 0.0780 0.0831

0.0875 0.0802 0.1021 0.1

089

0.0526 c.0345

0.0322 0.04s9 0.0363 0.0218 0.0039 0.0151

0.0194 0.0081

0.0112

<- max

Pruebas de bondad de ajuste

-

página (188)

Hidrología Estadísrica

Q=X

P(x)

mtls

m/n+1

(5) 0.8531

0.8718

1.05 1.17 1.22 1.23

148.3

0.8974

1.31

0.8790 0.8888 0.8907 0.9049

162.1

0.9231

1.63

0.9484

165.5 205.8

o.9487 0.9744

1.71

2.65

0.9564 0.9960

(3)

31

137.1

32 33 34 35 36 37 38

142.4 144.7 144.9

0.7949 0.8205

§=

o.8462

A

lrlz¡ -e1x¡l

s (4)

(21

(1)

F(z)

X_X

-

Amáx: De la tabla 5.4, se observa que:

t6)

A = -u* lrfrl - p(x)l = 0.1089

o.0424 0.0189 0.0075 0.0253 0.0077 0.0216

n-lu

Cálculo de la variable estandarizada Z: Usando la..ecuación:

X_X

7. Cálculo de Ao crírico: De la tabla 5.3, para 1.36 ci¿ ^ =- t.36 --= "ln J38

a

= 0.05 se tiene:

Lo= 0'22

8. Criterio

de decisión Como: A = 0.1089 < Ao =0.22 Se concluye que los datos de caudales se ajustan a la distribución normal, con un nivel de significación del 5vo o una probabilidad del 95Vo.

s (a) de la tabla 5'4'

F(D = F(X): Usando la tabla A.2 del apéndice, se obtiene la columna (5) de la tabla 5.4. Para valores positivos de Z, los valores se obtienen en forma directa. Para valores negativos de Z, los resultados se obtienen de: 1 - valor tabla A.2

4. Cálculo de

5. Cálculo de A

6. Cálculo del A

0.0582 0,0585

1 Y (x -v\2 / =42.80

se obtiene la columna

página (189)

A partir de las columnas (3) y (5) de la tabla 5.4, se obtiene los A = ¡n1z¡ - p(x)l , Ia misma que se muesrra en la columna (6).

Tabla 5.4 Continuación ... m

-

- lrlz¡ - e1x¡l

La aplicación cestadis, permite rearizar la prueba de bondad

ajuste, para varias distribuciones teóricas, entre ellas la normal.

de

Procedimiento grafico:

l.

Gráfico de P(X) y F(Z) en papel de probabilidad normal. 1.1. Gráfico de disrribución ernpírica p(.tr): Plotear en un papel de probabilidad normal los valores de las columnas (2)V Q) de la tabla5.4. 1.2. Gráfico de la distribución teórica F(4 = F(X):

Pruebas de bondad de ajuste

-

página (190)

Hidrologfa Estadísrica

-

página (191)

Plotear los puntos:

Valor de caudal

Probabilidad

(m3/s)

Vo

X = 92.32

X +S =135.12 X -S = 49.52

€c 9'5

50 84.73

.i«t"tr -o (l)-o v,o E(É!!

15.87

O«l

1.3. Con los procesos 1.1. y 1.2 se obtiene lafigwa5.4.

-o

o.¡ I .1, g

do 300

2. Cála¡lo

de A =max F(z)-P(x) Observando la figura 5.4, se tiene: A = 0.10

0)o

o.z

-cY h> ñ=Rt

De la tabla A-

^o

-

5.3,para

1.36 ^[n

=.= b .99E fLa c

ts

3. Cálculo de Ao

-x

o q I

@ = 0.05 y n = 38, se obtiene:

\o 5\ O

t.36

-]3s

I

t\

t\ I E-

'd '§ )e

Ao = 0.4

il

4. Criterio

de decisión:

Como:

A =0.10
Se concluye que los datos de caudales se ajustan a una distribución normal, con un nivel de significación del57o, o una probabilidad del 95 7o.

op 5

o o N

o ro

oo

Pruebas de bondad de ajuste

-

página (192)

5.5 Problemas propuestos 1.

100.18 107.62 169.64 177.00 123.00 182.53

107 .43 1 83.1 1 154.80 197.58 153.65 108.75 144.22 134.10 156.80 1 19.52 158.48 164.35 193.88 105,81 110.77 193.78 162.29 133.97 184.96 146.08 127.82 98,16 106.40 145.79 207.78 183.49 95.05 132.49 114.31 136.22

Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si los datos ajustan a una distribución normal.

Utilizar: Prueba Chi-cuadrado Prueba Smirnov-Kolmogorov, para este caso realizar:

o o o 2.

Cálculo de las diferencias de lffrl - P(r) L para cada valor de x, y obtener Lmax. Plotear x vs F(x) y x vs P(x), en un papel milimétrico, a fin" de representar la función acumulada teórica y empírica. Calcular A = rnsx I rf*) - P(r) L ploteando los valores en un papel probabilístico.

Dado el registro de caudales máximos anuales para la estación Tacares, en m3/s, de 25 años, que se muestran en la tabla 5.5, realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si los datos se ajustan a una distribución normal.

-

página (193)

Tabla 5.5 Caudales máximos anuales de la estación Tacares

Dado el registro de caudales, e, -3/s, de una serie histórica,la misma que coffesponde a un registro de 50 años:

239.07 101.76 169.18 124.31 105.21 1 16.69 212.48 123.28 128.15 1 01 .66 217.52 208.18 266.54 256.62

. .

Hidrología Estadística

37 48 86 74

100

91

s61 79 83

230

85

'101

182

91

77

67

63

67

62 45

90 70

49 50 45

Utllizar:

. .

Prueba Chi-cuadrado PruebaSmirnov-Kolmogorov

3. Dado el registro de caudales

medios anuares para ra estación Corobicí, m3ls de 2O años, que se muestran en la tabla 5.6, rcalizar la",prueba de bondad de ajuste smirnov-Kolmogorov, con un nivel de significación del 5 7o, pzrz ver si los datos se ajustan a una distribución gamma de 2 parámetros.

Tabla 5.6 Registro de caudales del río Corobicí, en m3ls 223.0 207.0 248.9 626.7

322.0 386.2 238.9 597.1

224.6 424.0 235.0 414.4

180.4 273.7

236.t 706.1 370.6 267.s 600.0 406.0

Distribuciones teóricas 6.1 Introducción El hidrólogo generalmente tendrá disponible un registro de datos hidrometeorológico (precipitación, . caudales, evapotranspiración, temperaturas,,etc.), a través de su conocimiento del problema físico, escogerá un modelo probabilístico a usar, que represente en forma satisfactoria el comportamiento de la variable. Para úilizar estos modelos probabilísticos, se deben calcular sus parámetros y realizar la prueba de bondad de ajuste, un esquema de este proceso se muestra en la figura 6.1.

Si el ajuste es bueno, se puede úilizar la distribución elegida, una vez encontrada la ley de distribución que rige a las variables aleatorias, además, se podrá predecir con determinada probabilidad, la ocurrencia de una determinada magnitud, de un fenómeno

Distribuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

página (196)

hidrometeorológico. También se podrá determinar Ia magnitud de un fenómeno para un determinado periodo de retorno.

-

página (197)

Las distribuciones teóricas comúnmente utilizadas en Hidrología, son entre otras:

. . . . . .

Distribución normal Distribución log-normal de 2 ó 3 parámetros Distribución gammade2 ó 3 parámetros Distribución log-Pearson tipo III Distribución Gumbel Distribuciónlog-Gumbel

Estas distribuciones se estudian en este capítulo. Elegir una distribución teórica

6.2 Distribución normal o gaussiana

1.

Función densidad

Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución normal,

si su función densidad, es:

:1._:)rl sl] Jzns Lrt

r (x) = ___L EXpl _

..\--l .. (6. r)

Utilizar distribución teórica elegida

pAfA -@ <.tr< oo donde:

f(x) = función densidad normal de la variable x x = variable independiente Figura 6.1 Proceso de selección de una distribución teórica

Distribuciones teóricas

X-

-

página (198)

Hidrologfa Estadlstica

página (199)

parámetro de localización, igual a la media aritmética

dex

-

parámetro de escala, igual a la desviación estándar de x EXP = función exponencial con base e, de los logaritmos neperianos.

S

-

Cuando la variable aleatoria X, se distribuye normalmente con media

lt = X y varianza (o2 = S2), se denota

de la siguiente forma:

densidad de la distribución normal se muestra en la figura 6.2, y es como se observa en la figura, una función continua y simétrica con respecto a X .

El gráfico de la función

f

,

_2,

(Z) = --L,_

42n

e2

para -*
*

Los valores de flx)

o

... (6.5)

f(D, pueden ser fácihnente evaluados para un valor dado de )c o de Z por las ecuaciones (6.2) ó (6.5),

respectivamente. El gráfico de la función densidad de la distribución nonnal estándar, se muestra en la figura 6.3.

I

-

+rfi

u)

X

l"rz = 0

Figura 6.2 Función densidad de la distribución normal

Si:

Z-n

-_Y

s

"

fm

-co

...(6.3)

densidad de Z, §d -llama función densidad de la distribución normal estándar y tiene la siguiente expresión:

Figura 6.3 Función densidad de la distribución normal estándar Una característica fundamental de la distribución normal estándar es que tiene Fz = 0 O 2z = 1, es decir: z - N (0,1)

!

La función

...(6.4)

2. Función de distribución acumulada (F.D.A.) La función de distribución acumulada de la distribución normal, Ia integral de las ecuaciones (6.I) 6 (6.2):

es

Distribuciones teóricas

-

página (200)

F(x)=#lr-

Hidrología Estadística

... (6.6)

o su

equivalent F(z)

=

...(6.7)

aciones (6.4) ó (6.5)

h,

l

... (6.8)

Cálculo de la función de distribución acumulada

Pararealizar cálculos computacionales de F(Q, se utilizan funciones de aproximación, dentro de las cuales se pueden mencionar:

a) Abramowitz y Stegun (1965), han dado varias aproximaciones para la ormal estandarizada Z. Una aproxi-

mación F(4

menor que 10-5 es: 1201676 P + 0.9372980 ,3) ... (6.10)

=

donde:

ó

F(Z)

F(4 = es la función de distribución acumulada flZ) = es la función densidad de la variable estandarizada

=

/

... (6.9)

= es definido paruZ t,-

es la función de distribución acumulada de la para distribución la variable original X, según la ecuación (6.6), o también parala variable estandarizada Z, segin la ecuación (6.8), es decir F()) = F(4. donde F(x)

Esta función de distribución, tiene las siguientes propiedades:

. '. F(X)

página (201)

Existen tablas, por ejemplo las tablas 4.1 y A.2 del apéndice, que permiten calailar F(Z).

, llx-Xl'-') __t__l

F(x)=.r+ll- u2l s )d,

3.

-

F(__) _

... (6.11)

0.3326t121

b)

Masting (1955), ha dado una aproximación polinomial que ha sido utilizado por la IBM (1968). Esta aproximación con un error menor que 7.5 * 1g-8, es:

F(4 = | - flD (bf

+ b2P +

\rt + b4A + b5t5)

... (6.12)

0

=0.5

F(+"") =

t+

) 0, como:

1

donde:

r

es definido para

l=

Z rel="nofollow"> 0, como:

I

... (6.13)

t+ 0.23164telzl

siendo las constantes:

bl

= 0.319381530

b2= - 0.356563782

7Disttibuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

pági¡a (202)

si Z < 0, la F.D.A. se calcula

Para estimar los parámetros de la distribución teórica se pueden usar el método de momentos ó el método de máxima verosimilitud.

Cabe mencionar que la distribución normal, es la rinica función de distribución, que produce los mismos resultados de los parámetros, estimados por el método de momentos y máxima verosimilitud, los parámetros obtenidos son 1o§ siguientes:

,N

Una aproximación para el cálculo de la inversa de la distribución normal estándar, con un elTor menor que 4.5x104, se calcula con las

X=u=1!X. ' t

l+ dl,xw+ d2xw2 + d3xw3

Z=w-

-w

paruD < FZ<

0.5 . .. (6.14)

s=o=[+,

c0+c1x w+c2xw2 para0.5
I

LN-t

... (6,15)

ik, ¡1i

-.i:

... (6.1e)

donde:

X=

donde:

... (6.18)

N.ut=l

ecuaciones:

c0+clxw+e2xw2

de momentos y

máxima verosimilitud

4. Cálculo de la inversa de la distribución normal estándar

7¿/-

página (203)

5. Estimación de parámetros, métodos

b3 = 1.781477937 b4 = -1.821255978 b5 = t,330274429 En las aproximaciones (6.10) y (6.t2), como: t - F(z),

-

es el estimado de la media, llamado también parámetro

de posición

w=

w=

para 0

^(,ártJ ,*'


§=

es el estimado insesgado de la desviación estándar o parámetro de escala

6. Estimación

o's
de parámetros, método de los momentos

lineales

c0= 2.515517: c1 = 0.802853: c2 = 0.010328

Los parámetros de la distribución normal, estimados por el método

d3 = 0.001308 normal estándar de la distibución acumulada FZ = fu¡cién Z = ordenada inversa de la distribución normal estándar

de momentos lineales son:

dl= 1,432788: d2 = 0,189269:

X=lt=lt

,.. (2.20)

s = J-Ir2,

,.. (2.21)

Distribuciones teóricas

-

página (204)

-

Hidrología Estadística

donde:

página (205)

Ejemplo 6.1: = primer momento lineal que se calcula con la ecuación (3.51) trz = segundo momento lineal que se calcula con la ecuación (3.s2) ,1,,

7. Aplicaciones

Dada la serie histórica de caudales medios anuales, en m3ls, que corresponde a un registro de 50 años para el río Santa (Perú):

95.05 98.13

105.21 105.81 108.75 110.77 123.00 123.22 132.49 134.10 146.08 153.64 158.48 162.29 177.00 182.53 193.78 193.88 212.48 217.52

en hidrología

La distribución normal tiene gran utilidad en hidrología,

siendo

alguna¡ de sus principales aplicaciones:

. En el

de

distri6uciones empíricas de variables hidrológicas de intervalos de tiempo grandes, tales como variables medias anuales, mensuales, estacionales, etc., que

.

ajuste

pueden ser caudales, precipitación, entre otros.

Análisis de los effores aleatorios en las observaciones

o

mediciones hidrológicas.

¡ . ,

l.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Para hacer procesos de inferencia estadística.

Para generación de datos por el método de Monte Carlos. Fl inconveniente en la generación de datos, es que se obtienen valores negativos, lo cual físicamente no es justificado.

114.3',1

124.31

136.22 153.97 164.35 183.1

1

197.58 239.07

101

Ajuste a la distribución normal: 1.1. Cálculo de los parámetros:

.N

8. Ajuste

O=

El ajuste puede realizarse

gráfrcamente utilizando papel analíticamente, mediante los estadísticos

probabilístico normal ó Chi-cuadrado ó Smirnov-Kolmogorov.

101 .76

distribución normal, calcular: P (0 < 180 rn3ls) P (Q > lOO m3/s) P(50m3/s
Solución: 1.

.66

107.43 107.62 1 16.69 1 19.52 127.82 128.15 144.22 145.79 154.80 156.80 169.18 169.64 183.49 184.98 207.78 208.18 256.62 266.54

Averiguar si se ajustan a una distribución normal.

2. Si se ajusta

Como referencia para -comparar varias distribuciones teóricas de ajuste en una distribución empírica.

100.18 106.40

§=

:-l,a¡ N -: t=I

=t52.2476m3h

2@,-o)'

a Distribuciones teóricas

S

-

página (206)

-

Hidrología Estadística

= 43.6124

Z= -L1980 = -1.2O F(Q = 100) = F(Z=

1.2. Ajuste a) Utilizando la aplicación HidroEsta, se tiene:

página (207)

-1.20) = 1 - 0.8849 (tabla 4.2)

Sustituyendo en (6.22), se tiene: > 100) = 1 - (1 - 0.8849)

P(Q

a = max lr«xl - P(x) | = 0.1019 Lo=0.1923, paraa =0.05

>

b) Criterio de.decisión:

Como:

A =0.1019 < Ao =0.1923 se concluye, que los datos se ajustan a la distribución normal, con un nivel de significación del 0.05, o una

probabilidad del95Vo. Cálculo de probabilidades: 2,1. Cálctlo de:

100) = 0.884

Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/lr{ormal de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestra en la figura 6.4; enesta figura, se observa que P (0 < 180 -3is) =73.77 7o y la

P(Q ¡

>

100

mr/s) = 88.45

7o - Caudal de diseño:

Caudal de diseño:

caudal

(Q); [i --oE-¡1p*r

P(Q<180)=F(0=.180) Cálculo de Z, para O = I80:

-

u-

Q-O

180

s

-

152.2476

i

43.6124

t

Z = 0.6363 F (Q = 180) = F(Z = 0.6363) = 0.7377 (valor interpolado)

.'.

P(Q

<

180) = 0.7377 =73.77

2.2. Cálctlo de P (O >

Cálculo deZpara 0= 100 100 - t52.2476 L--

43.6124

2.3. P(50

Vo

< Q < 200) = F (200) - F(sO)

Si 0=

100 m3/s)

P(Q>100)=t-P(Q<100) = I - F(Q = 100)

Figura 6.4 Probabilidades de ocurrencia de caudales

... (6.22)

2oO

= ,=2001246 43.6724

SiQ=59 = /,-

50 -152.2476

43.6124

=1.0949=1.095

= -2.3445 = -2.345

F(Q= 200) = F(Z= 1.095) =0.8632 (valor interpolado)

Distribuciones teóricas

l-

F(Q=50) = F(Z= -2.345) = interpolado)

-

página (208)

Hidrología Estadística

0.9905 = 0.0095 (valor

F(Q = 210) = F(Z = L32) = 0.9066

1

.'.@

1- 0.9066

De igual manera en la figura 6.5, se observan los resultados con HidroEsta para: P (Q < 50 -3/s) = 0.95 Vo y P(Q < 200 -3ls) = 86.327o,por lo queP (50 < Q < 200) = 86.32-0.95 =85.37 %o Cauy'al de diseño:

CaudalfQJ:

-- -- -- I

IEE--mg/s --

Caudal de diseño:

Esto significa que cada 10 años el caudal de2l0 m3ls será igualado o excedido.

2.5 Caudal

I

para un período de retorno de 50 años

De la ecuación (1.8), se tiene:

q)=t-

!

p(o
+

P(O<

P(a
2.4 Período

r- p(O<2to)

T

o.es

Si F(4 = 0.98 pero: Z

de retorno para un caudal de 210 m3/s:

- F(z)

=

Z = 2.055 (valor interpolado)

+ e= e+ =9+ s

S

Z

Q= 152.2476 + 43.6L24x2.055

De la ecuación (1.9), se tiene:

l-

página (209)

sustituyendo en (6.23), se tiene:

Luego: F(200) - F(50) =0.8632 - 0.0095 = 0.8537

-

-

... (6.23)

Q=24L

87 m3/s

un período de retorno de 50 años es 241.87 m

pero:

P(Q<210)=F(Q=2r0)

si e=2t0 + z-210-152'2476 43.6124

=1.3242=1.32

En la figura 6.6, se observa que el período de retorno obtenido con HidroEsta, para un caudal de 2lO *3/s, 10.8 años; mientras que el caudal para un período de retorno de 50 ". años, es 241.84 m3/s.

r Distribuciones teóricas

-

página (210)

Hidrología Estadística

-

página

(2ll)

La variable aleatoria: Y = lnX, es normalmente distribuida media tt y y varran u o2 ,

con

Se usan estos parámetros para especificar que la distribución es logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la vananza de X.

Figura 6,6 Caudales y períodos de retorno

6.3 Distribución log-normal

1.

Función densidad

Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución 1ognormal de 2 paúmetros, si su función de densidad de probabilidad, ES:

Las distribuciones logarítmicas más conocidas en hidrología son la log-normal, log-Pearson tipo III y log-Gumbel. Por ejemplo, si la variable aleatoria X, tiene una distribución log-normal, esto significa que I = lnX, tiene una distribución normal. Análogamente, si X es una variable aleatoria log-Pearson tipo III, f - lnX, es una variable aleatoria Pearson tipo III. También, si la variable aleatoria X, tiene una distribución log-Gumbel, Y = lnX, es una variable aleatoria Gumbel. Es posible una generalización, en el caso que se introduzca un límite inferior .16, on cuyo caso el lnX, anteriores, es sustituido por ln(X - xs). En este capítulo, se estudian las distribuciones log-normal. Hay una distribución log-normal de 2 parámetros y otra de 3 parámetros, en la de 3 parámetros, el tercer parámetro es el límite inferior xe, denominado parámetro de posición.

Distribución log-normal de 2 parámetros La variable aleatoria X, es positiva y el límite inferior.ro no aparece.

... (6.24)

v

para0
oo

,,o'r)

Donde Fy, o y, son la media y desviación estándar de los logaritmos naturales de x, es decir de lnx, y representan respectivamente, el parámetro de escala y el parámetro de forma de la distribución.

2. Función de distribución en términos de

!

= lnx

Puesto que:

!=lnx-

dy=

!¿, x

-

dx dy

=

x

también, por las distribuciones acumuladas, se tiene:

... (6.25)

r Distribuciones teór{cas

-

página (212)

Hidrología Estadística

fly) dy =fix) dx

página (213)

3. Función de la distribución acumulada

ó

Í(y) =

-

fv)! dy

...

(6.26)

La función de distribución acumulada de la distribución log-normal de 2 parámeffos, es la integral de las ecuaciones (6.24) o (6.27), es decir:

sustituyendo (6.24) y (6.25), en (6.26), resulta:

_1

f(y)= ,

!-,

2

/x"tZtto,

v

o también:

ó

v finalmehte, reemplazando y = lnx, se tiene:

/,... (6.27)

v-u "vv

v

lnx-u

yv

Entonces se obtiene, la

distrib ción normal estándar: 2

F(z)= L=|', e 2 Jv2fI

dz

... (6.30)

z - N(o,t)

siertdo:

¡r, - parámetro de escala o, = parámetro de forma

Nota. Para el cálculo de la distribución acumulada de la normal o la log-normal, una vez conocido sus parámetros, hacer la transformación a la distribución normal estándar y usar las tablas o las ecuaciones de aproximación, elaboradas para su cálculo.

r Distribuciones teóricas

-

página (214)

Hidrología Estadística

4. Estimación de parámetros, método de momentos utilizando el método de los momentos, las relaciones entre la media y la varianza de la variable X y los parámetros Fy y o 2y , eue se

o2 lnx= 'v U +- v 2

u+-1-

= Elx- n@)12

desviaciónestándar:

2

u =lni'v

... (6.31)

."'rl =

"",

S=rF

tl

""3 -r)

-

Y

... (6.3s)

2

u =tnx- 2r-n(t+c2) 'v \ ,/ u =ltri2 -!2lnft*c2') 'y 2

-rl"'

Cu

o2

sustituye (6.33) en (6.35), se tiene:

\

u =!(2[,n¡2 -n{ t* c2"/)') 'Y \ '))

) coeficiente de variación:

... (6.34)

Tomando logaritmos a (6.31), resulta:

o2

varianza: S2

página (215)

oY=./tr(t v' V +c2\

obtiene, son:

media: X=E(x)="'!

-

)r/2 1

... (6.36) I

02 C2 =e v

v_l

o2 L+C2 =e v v

Luego, dado un conjunto de valores xb xz, x3, ...,.trn, con parámetros

Í, ... (6.32)

Tomando logaritmos a(6.32), se tiene:

tnfl' + c2l--o2 v' y

=n6+ c2) y'v

o?'

'v',o!.v',de la distribución log-normal

,S, 52, Cy,los parámetros /r-.

de 2 parámetros, obtenidos por el método de/momentos, se calculan con las ecuaciones (6.36) y (6.33), respectivamente. También se obtiene del método de momentos, la siguiente ecuación:

... (6.33)

r Distribuciones teóricas

-

página (216)

Hidrología Estadística

I Fa

cr= 8= a,rj= l-t2

-r]

e

págha (217)

Fy=I2,"',

... (6.39)

... (6.37)

=:7=F.,-ur)

o2

Para valores prácticos de o2,'.0.1 lineal y puede ser aproximada por:

-

... (6.40)

< o2, < 0.6, la relación es casi 6. Estimación de parámetros, método de momentos

lineales

Cs=8=0.52+4.85 o2t que es correcta dentro del2Vo, en

... (6.38)

el rango mencionado.

Utilizando el método de momentos lineales, Fy

Recordar que para datos muestrales, de acuerdo a la ecuación (3.31), se tiene:

t1 (--J -

n'M ,

@-D(ü-2)5',

o,

... (6.42)

= ^f-fÚ,

los y¡

n

y que de acuerdo a la ecuación (3.23), se tiene:

5. Estimación de parámetros, método de máximá

verosimilitud Utilizando el método de máxima verosimilitud, los parámetros ¡r,, y

o2y,

... (6.41)

Lr, tr, = primer y segundo momento lineal calculados con

_

\(x, x),

Mr=E

Hr=4,

donde:

siendo: n

s€ obtienen, con las siguientes relaciones:

y o 2y , se obtienen,

con las siguientes relaciones:

-

ln-ri

Nota. Muchos registros hidrometeorológicos, tienen como valores de sus variables un valor igual a 0 (ejemplo, sino llueve la precipitación será 0). Al úilizar la distribución log-normal, cuando se toma logaritmos a éstos valores, el resultado es "". para dar solución a este problema, se pueden hacer cualquiera de los siguientes artificios :

1.

2. 3. 4. 5.

Sumar 1 a todos los datos Sumar un valor pequeño a todos los datos ( por ejemplo: 0.1, 0.01,0.001, etc.) Sustituir los ceros por un I Sustituir los ceros por un valor positivo pequeño Ignorar todos los ceros del registro

r Distribuciones teóricas

-

página (218)

Hidrología Estadística

Todas éstas soluciones, afectan los parámetros de Ia distribución log-normal; la solución 1 y 2, afectan el valor de py, y 3, 4 y 5,

-

página (219)

h[,r -

*o)- u,

afectanaFyy ov. En la figura 6.7, se presenta la función densidad de la distribución log-normal de2.parátmetros, para varios valores de p" y o2.

f(x)= (x-x

... (6.43)

\o ^m o'y

para .ro

r(x)

I x< ""

donde:

1.0

xol

parámetro de posición en el dominio x Fy: parámetro de escala en el dominio x o'y parámetro de forma en el dominio x '

0.8 0.5 o.4 o.:2

2. Estimación de parámetros, método de momentos

0

0

1

3 4

2

5

6

7

x Figura 6.7 Distribución log-normal de 2 parámetros, con varios valores de p" y o

Utilizando el método de los momentos, las relaciones entre la media, sesgo, de la variable X y los ry parámetros *o, lty y o , que se obtiene, son:

la vaianza y el coeficiente de

Distribución log-normal de 3 parámetros Esta difiere de la distribución log-normal de 2 parámetros por la introducción de un límite inferior x6, tal que: y = ln(x - xo)

=

y

-

u *"32

nredia: X:E(x)=xo+e Y

N(¡lr, o2y)

L. Función üensidad

vaianza: 52 = E(x - E(r))f

La función de densidad de probabilidad, ds la distribución log-

coeficiente de sesgo:

normal de 3 parámetros, es:

... (6.44)

=

r'U,

* o?'

o2

v

-1

... (6.4s)

Distribuciones teóricas

- pág¡na (220)

Hidrología Estadística

página (221)

... (6.s3)

de (6.45):

1

02 ,o2 l-1 el+2

-

... (6.46)

u

'y

s2

02

v_

6

Cs=8=O.52+4.85 ozt

... (6.47)

de

(6.M):

u+Y xo =X-e') 2

para datos muestrales el coeficiente de sesgo es: ¡,12 ¡rt

Cs=8= (N

z

... (6.48)

- lXN -2)53

Luego, dado un conjunto de valores )ct, x2, 13, ...,Xn, con parámetros

donde:

X,

M3=

Z@¡-,o3

... (6.s4)

o2

,s,

§,

Cu, Cs los parámetros Xo, lt

y,o2

,de la distribución log-

... (6.49)

normal de 3 parámetros, obtenidos por el método de momentos, se calculan con las ecuaciones (6.54), (6.53) y (6.52), respectivamente.

... (6.s0)

Nota limitante De la ecuación (6.52), se observa que para que exista un valor real deo Cs debe ser mayor que 0.52, en caso contrario, su valor será

r,

vL¿l

!x. N

imaginario. ... (6.s1)

3. Estimación de parámetros, método de máxima

luego:

de(6.47):

verosimilitud

oy=

...(6.s2)

Los parámetros de la distribución log-normal de 3

parrámetros,

estimados por el método de máxima verosimilitud son:

tty=*á-0,-ro)

... (6.5s)

lDistribuciones teóricas

-

página (222)

Hidrología Estadística

-

página (223)

= mediana de la serie de valores, cuyo valor se calcula como: si n = par = xmediana = (xntz + x,,r*r) l2 ... (6.59) si n = impar ) xn"d¡ona = x1n+t¡t2 ... (6.60)

rmediana

ov

=[*-tt''n

i -xor- rrr):

... (6.s6)

donde:

Fy = parámetro de escala, igual al promedio de los ln(x - xo) o y = parámeffo de forma, igual a la desviación estándar de los xo

-

ln(x - xc)) parámetro de posición

n = número de datos de la serie

Cuando xt + xn -2x*",tiono

y

oj

y

ol

0, xs representa el límite inferior

se estiman como la media

Cuando xt + xn

El parámetro de posición se calcula, mediante un proceso iterativo como solución de la siguiente expresión resumida:

)

y vaianzade

- 2x^"d¡ono < 0 , xo representa

se estiman como la media

y¡ =

y ¡r,

tn(xi- xú.

el límite superior

y ¡r,

y varanza d. y, - ln(xo - x).

5. Función de distribución acumulada

La función de distribución transformación,

La ecuación (6.57), solo es posible resolverla por un

proceso

ecuación:

_22

computacional, la aplicación HidroEsta, permite el cálculo de estos parámetros por el método de máxima verosimilitud.

4. Estimación de parámetros, método simplificado Una forma simple y eficiente de estimar el parámetro de posición xo de la distribución log-normal, es mediante el estimado del cuantil del límite inferior, con la siguiente ecuación:

... (6.58)

acumulada, se calcula haciendo la siendo su

a una distribución normal estándar,

F(Z) =

leZ e2 "FzIrJ-I

dz

donde:

xO)- tty z- ln(x- ay

y:

rl = primer valor de la serie ordenada ascendentemente rn = último valor de la serie ordenada ascendentemente

... (6.62)

Fy, o y ¡.16 son los parámetros de la distribución log-normal de 3 parámetros

y (6.62) ro = 0, las ecuaciones obtenidas corresponden a la distribución log-normal de dos parámetros. Cabe mencionar que, si en las ecuaciones (6.43)

donde:

... (6,61)

r Distribuciones teóricas

-

página (224)

Hidrología Estadística

Dada la serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, qre corresponde a un registro de 50 años para el río Santa (Perú): 98.13

105.21 105.81 108.75 110.77 123.00 123.22 132.49 134.10 146.08 153.64 158.48 162.29 177.00 182.53 193.78 193.88 212.48 217.52 1.

100.18 106.40

10r .66

101 .76

107.43

114.31 124.31

1

107.62 119.52 128.15 145.79 156.80 169.64 184.98 208.18 266.54

136.22 153.97 164.35 183.1

1

197.58 239.07

16.69

127.82 144.22

154.80 169.18 183.49 207.78 256.62

Averiguar si se ajustan a una distribución log-normal de dos

F(Q=q)=P(Q3q)=r-; F(Q=q)=1-

Si el ajuste es bueno, calcular retorno de 75 años.

! 75

F(Q=d=0.986666=F(4 De la tabla A.2 del apéndice, para interpolación: Z= 2.215

F(D

0.9866666, se obüene por

Pero para una distribución log-normal de 2 parámetros, la variable estandarizada es:

v lnQ- uy

parámetros 2.

página (225)

2. Cálculo del caudal para un período de retorno de 75 años: De la ecuación (1.8), se tiene:

Ejemplo 6.2:

95.05

-

oy el caudal para un período de

Solución:

I. Ajuste a la distribución log-normal de dos parámetros: Utilizando la aplicación HidroEsta, se encuentra que los datos, se ajustan a la distribución lóg-normal de 2 parámetros, con un nivel de significación del 5 Vo, o lur7z, probabilidad del95 7o. Un resumen de los resultados obtenidos con el programa, son: A = 0.0791 Ao = 0.1923 ,paraun nivel de significacióndel5 7o Como: A= 0.0791 < Ao = 0.1923, se concluye que los datos se ajustan a la distribución log-normal de 2 parámetros, con un nivel de significación del5 Vo.

... (6.63)

HidroEsta, permite calcular también los parámetros lry y o y,por el método de máxima verosimilitud, siendo los valores obtenidos para este caso:

ItY = o

4'9872

Y =0'277

Sustituyendo valores en la ecuación (6.63), se tiene:

lnQ-4.9872 o.277

=2.215

de donde:

lnQ

-

0.277 x2.215 + 4.9872

lnQ=J.666755 luego:

r Distribuciones teóricas

-

página (226)

Hidrología Estadística

Q = e5.600155

=270.63

f(x)=

El cqq4al para un período de retorno de 75 años, es:

e=W: thrrc'

Utilizando la opción Distribuciones/l.ogNormnl 2 parámetros

para:

0 de

HidroEsta, se obtienen los resultados de la figura 6.8, se observa que el caudal para un período de retorno de 75 años, es 270.16 m3ls.

siendo:

(

xy-le

-

página (227)

x p ... (6.64)

PY r(y)

X< ""

0< 1z < "" 0
By

f(f ) = r(r)=

parámetro de forma (+) parámetro de escala (+) función gaÍrma completa, definida como:

t- xT-le-xd:c que converge si y > 0

La función garnma tiene las siguientes propiedades: I

Figura 6.8 Caudal para un período de retorno de 75 años

6.4 Distribución gamma Otra distribución que juega un papel importante en Hidrología es la distribución Gamma. Su aplicación es tan común, como el uso de la distribución log-normal.

Distribución gamma de dos parámetros

1. Función densidad Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución gamma de 2 pañmetros si su función densidad de probabilidad es:

¡ ¡ T

I

r(r) =e-t)l

r(y+t)= yxt(y) f (l)= f(2)=l f (ltz) = "tfr f (0) = ""

Si 1, > 0 pero no entero,

paray =1,2,3,... paruy >0

l(y)

puede ser calculado por expansión de series e integración numérica por:

f(/)

= TT

e-T

Para más detallss sobre las propiedades de la función gamma completa, su forma de cálculo y la transformada de Laplace, se puede consultar en el anexo A.

r Distribuciones teóricas

-

página (228)

Hidrología Estadística

2. Función acumulada es

acumulada,

de la función

-lr- I

f

:

*T -1, B pY

re)

='nT ,(r)

(6.6e)

y la función de distribución acumulada a: úc

... (6.6s)

La integral de la ecuación (6.65) puede evaluarse para valores dados de B y y, usando la tabla A.7 del apéndice, en la cual se ha tabulado Ia función garnma incompleta. En esta tabla, se ingresa con los a

de 7'(Chi-caadrado) y v

(grados de libertad), y se determina los valores de la probabilidad de excedencia | - F(x),

valores

8U)

gamma

x

F(x) =

página (229)

la cual reduce la función de densidad de probabilidad a:

La función de distribución incompleta de 2 parámetros

-

siendo:

G(y)=lJ

v-l

-v ,_OO'

d,

... (6.70)

Las funciones reducidas contienen el parámetroy , por lo cual, cada valor positivo de y, determina una función diferente. Un extracto de las tablas de Wik, Gnanadesikan Huyett (1962), para las variables aleatorias reducida Gamma, se muestra en la tabla 6.1.

La solución de la integral de la función gamma reducida de la ecuación (6.70), se puede obtener por el desarrollo de la serie:

)2x Y ,'= p Si

y

v=27

... (6.66)

v+n-l

v'

y(y +t)...(y + es entero, la función de distribución gamma acumulada, según

Mood et al (1974), puede calcularse por:

G(y)=#,2,

yy k

n-r)

... (6.71)

+i-l ... (6.72)

rI (y + j-l)

j=l La variable aleatoria reducida garnma de 2 parámetros,

está

por:

'p v-

x

... (6.68)

En la ecuación (6.71) o (6.72), con un par de valores de determina G(y), siendo: x

"p \7=-

y, f , se

r Distribuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

pígina (230)

f(x)

Tabla 6.1. Función acumulada de variables aleatorias reducidas Gamma, G§), en función deyy T G(v)

T =10

v =5

0.10s

0.532

2.433

6.221

14.s3

o.223

o.824

7.289

0.357

1.097

3.090 3.634

16.17 17.44

0.511

1.376

4.148

0.s0

0.693 0.916

1.678

4.671 5.237 5.890

= TT

1.204 1.609 2.303

e-T

2.022 2.439 2.994

6.721

3,890

7.994

2.996

4.744

4.605

6.638

9.154 11.605

2TT

v

l+-+11 t2y

8.133 8.904 9.669 10.476 11.387 12.519 14.206 15.705 18.783

1.0

0.8

0,02

18.57 19.67

0.01

20.81

0

22.08 23.63 25.90 27.88 31.85

0,6 t).4

0.2 0

204060x

204060x función acumulada

función densidad

Figura 6.9 Función densidad y función acumulada de la distribución gaÍrma de dos parámetros

t39 288y2

5t84}y3

aplicación HidroEsta, permite calcular la función gaÍrma acumulada F(x) = G§), utilizando la transformación a la variable

La

reducida y.

3. Estimación de parámetros, método de momentos Utilizando el método de los.momentos, las relaciones entre la media X,lavaianza 52 y el coeficiente de sesgo Cs, de la variable X, y los parámetros B y y de la distribución gamma, que se obtiene, son:

de la función densidad y la función de distribución acumulada, pata una variable aleatoria X, que sigue una distribución gamma, con y - 5 y B = 5.63, se muestra en la figura

media:

X =E(x)-

yarianza:

Sz

6.9.

coeficiente de sesgo: Cs = g =

La representación

página (231)

r(x )

0.03

T =2O

0.10 0.20 0.30 0.40 0.60 o.70 0.80 0.90 0.95 0,99

f(/)

v =2

v =1

-

gráÉrca

... (6.73)

By

... (6.74)

= [327 2

I

y2 De las ecuaciones (6.73) y (6.74), se tiene:

... (6.7s)

r Distribuciones teóricas

-

X')

4' t.l -

Hidrología Estadística

página (232)

S.

De las ecuaciones (6.73) y (6.76), se tiene: '

a P

... (6.76)

o2

B=! ,X

... (6.77)

4. Estimación

de parámetros, método de máxima

-

págha (233)

_x -

... (6.81)

v

Greenwood y Durand (1960), establecieron que el máximo error de la ecuación (6.69) es de 0.00887o y en la ecuación (6.79) es 0.005470,

5. Estimación de parámetros, método de rnomentos lineales

verosimilitud Los 2 parámetros de la distribución gatnma, por el método de los Thom (1958), estableció que para y < I0, el método de momentos produce una estimación inaceptable de los parámetros B y y. Thom manifiesta qrle para y cerca de 1, el método de momentos usa solamente el 507o, de la información de la muestra paru estimar B, y solamente el 40Vo para estiqar 7 . Greenwood y Durand (1960), presentan las siguientes relaciones aproximadas, de estimación de parámetros por el método de máxima verosimilitud:

para:0
y y

0.5172

v-

y

(17

.7

97 28

siendo:

cvl

tl(b|+b2xtl)

v- l+ tl(b3 + b4xtl)

... (6.82

Si cvl < 0.5 + tl = flcvlz

.

l+ alxtl)

T= tl(l+ tl(aZ+ a3xtl))

... (6.83)

+ 11.968477 y +

... (6.84) a1 = -0.308: a2 = -0.05812: a3 = 0.01765

y')

bl =0.7213:b2 = -0.5947: b3 = -2.1817:b4 = 1.2113 hr, 7, - primer y segundo momento lineal ... (6.79)

B

donde:

.I=lnX-lnX

á tl=l-

... (6.78)


8.8989 I 9 + 9.05995y + 0.97 7 531 3>P y

Si cyl > 0.5

donde:

= (0.5000876 + 0.1648852y - 0.O544274y') I

parai

momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuaciones:

... (6.80)

=7' v

... (6.8s)

r Distribuciones teóricas

-

página (234)

Hidrología Estadística

Distribución gamma de 3 parámetros o Pearson tipo

B

UI

y

págira (235)

-

parámetro de escala = parámetro de forma

f (f ) = función gamma

cornpleta La integral de la ecuación (6.87) puede evaluarse para valores dados de B y y, usando la tabla A.1 del apéndice, en la cual se ha tabulado

1. Función densidad Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución garnma de 3 parámetros o distribución Pearson tipo III, si su función de densidad de probabilidad es:

-

f(x)=

-

(r-ro

(, - ro )Y-r,

)

la función gamma incompleta. En esta tabla, se ingresa con los valores de y2lcti-"uadrado) y v (grados de libertad), y se determina los valores de la probabilidad de excedencia I - F(x), siendo:

P

x'=

... (6.86)

aY r(y»

y

pata':

16 S x< "o -oo (fO ( 6

2(x-

xn)

... (6.88)

v=2y

... (6.8e)

La representación gráfica de la función densidad y de la función de distribución acumulada, pararo = 10, B = 5 y T = 3, se muestra en Ia figura 6.10. f(x)

0
2. Función acumulada

r(x)

1.0

La función de distribución acumulada de la distribución gamma de 3 parámetros es:

0,8 0,6

0.02

o.4

F@)=

lx txO

(*

- *o)Y-r, §Y r(y¡

dx

0,01

o.2

... (6.87)

0

0

10 20 30 en la cual:

x = variable aleatoria garnma de 3 parámetros o pearson tipo

u

ro = origen

de la variable x, parámetro de posición

40 50

función densidad

1020 3040 50

x

función acumulada

Figura 6.10 Función densidad y función acumulada de la distribución gamma de 3 parámetros

Distibuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

página (236)

La variable reducida y gamma de 3 parámetros o Pearson tipo III, es:

y=4 'p

+*

Cs--8=

N2twz

(N-lXN -2)53

donde:

La función acumulada Pearson tipo III reducida es:

c(y)=fJ

página (237)

Para el cálculo de Cs, para datos muestrales, usar la ecuación:

... (6.90)

v-l -v

-

M3=

...(6.er)

la cual tiene como parátmetroy, y cuya variable aleatoria tienen origenony=Oóx=xo,

Z@¡-x)3 N

2@,-x)'

La ecuación (6.91), como es similar que la ecuación (6.70), se calcula de la misma forma. u

A

3. Estimación de parámetros, método de momentos Aplicando el método de momentos, se obtienen las siguientes relaciones: ... (6.e2) X =xo+By media:

vaianza; sesgo:

Sz

Cs

= [JzT

=8

=+

-t^

N

(

0, de la ecuación (6.96), B sería negativo, por 1o que no cumple con la condición que B>0. Nota limitante: Si Cs

... (6.e3)

4. Estimación de parámetros, método de momentos lineales

... (6.e4)

Los 3 parámetros de la distribución gaÍtma, por el método de los momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuaciones:

1v

Resolviendo las ecuaciones (6.92), (6.93) 4

-2 --

§r. ,) I

y

(6.94), se obtiene: ... (6.es)

Cr"

Si

I

13

2 l, entonces rl = l-r3 3

Y=

B=CsSl2

... (6.e6)

xo =V-T Cs

... (6.e7)

tl(bl+ tl(b2+ b3xtr)) l+ tl(b4 + tl(b5 + b6xtl)

... (6.e8)

r Distribuciones teórichs

Si

13

<

1.

entonces

3

normal.

Ejemplo 6.3:

1" " A2

al = 0.2906: a2 = 0.1882: a3 = 0.0442 bl = 0.36067:b2= -0.59567: b3 = 0.25361 b4 = -2.78861: b5 = 2.56096: b6 = -0.77045 12, 13 = segundo y tercer momento lineal

Para proteger de inundaciones a la población de la ribera del río Turrialba, se desea construir muros de encauzamiento. Para esto, se cuenta con un registro de 25 años de caudales máximos e, m3/s, d" una estación aguas arclba de la población, los mismos que se muestran en la tabla 6.2. Determinar el caudal de diseño para un período de retorno de 50 años. Usar la distribución gamma de 2 parámetros. Tabla 6.2 Registro de caudales del río Turrialba, e, *3/s

... (6.100)

53.50 165.60 250.50 234.00 65.40

... (6.r01)

5. Aplicaciones

en hidrología

Su uso en hidrología está casi tan difundido, como el uso de la distribución log-normal de 3 parárrrctros, con la desventaja, que tiene mayor complicación al estimar sus parámetros y calcular los valores de la función de distribución acumulada.

La práctica ha demostrado que los resultados entre la distribución log-normal y la distribución Pearson tipo III, para el ajuste de series de precipitaciones anuales, rnódulos anuales, precipitaciones mensuales, etc. no difieren.

página (239)

... (6.ee)

=lrrl

0l -

-

Las razones que convalidan la utilización de ésta distribución de probabilidad, son las mismas que lo hacen en la distribución log-

donde:

B

Hidrología Estadística

página (238)

r1= 3f7t32

L+ alxtl t1(1+t1(a2+ a3xtl)

f-

-

64.00 155.80 120.50 189.00 123.00

169.60 199.00

250.50 196.00 1 19.00

162.70 22.80 231.70 96.90 200.00

102.10

76.00 207.00 91.60 380.00

Solución: 1. Ajuste de los datos de la serie a la distribución gamma de dos parámetros 1.1 Cálculo de parámetros

,

Calculo de los parámetros de la serie de caudales:

Para los datos indicados, utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestran en la figura 6.1

1.

Distribuciones teóricas

-

página (240)

Hidrología Estadística

a : Media:

1

I Varianza:

80.31 32

(Ul)

= máx lnt*) -P(x) | = 0.1046

y para a

Coeficiente Variación:

0.5114

Coeficiente de Sesgo;

0.656S

Coeficiente de Curtosis:

4.'1808

2. Cálculo del caudal de diseño, paraT = 50 años

Además del cálculo me la media de los logaritmos de los caudales se tiene: ln X = 4.9037

.

11 F(O=a)=1- r-1-

750

'

=0.98

F(Q= q) = F(x) = 0,98

L-F(x)=1-0.98=O.02 De la ecuación (6.66):

Cálculo de los parámetros de la distribución gamma Utilizando la ecuación (6.80), se tiene: = h 157.0480 - 4.9037 = 0.15285 1, = ln X -Ñ se utiliza para el cálculo dey

= 0.05 y n=25, se tine: Lo=0.2720

Puesto que: A = 0.1046 < A o = 0.2720, se concluye que los datos se ajustan a la distribución gammade2 parámetros.

Figura 6.11 Parámetros de la serie de caudales

v

=2y =2x3.4280

v =6.856=7 ,la

ecuación (6.78), es decir: = (0.500087 + 0.1648852y - 0.o5aa27af) I y

y

de donde:

Y

página

57.0480

6450.21 09

Desviación Estándar:

como: y = 015285 < 0.5772,

-

=3'4283

De la ecuación (6.81), se tiene:

F=L

De la tabla A.7 del apéndice:

pafa

v ='7 ;y L - F(x) = 0.02092 ,

se

obtiene: 12 = 16.5

Pero de la ecuación (6.66):

^.2 -2x -2q ^ --§X2 n - P-v"2

v

'0480 45.8091 = 'B -157

3.4283

,2

45.8091x 16.5

q=377.93 m3h 7.2 Cálc;¡lo de los estadíasticos A y Ao De la prueba de Smirnov-Kolmogorov, con HidroEsta, se obtiene:

.'. El caudal Q

de diseño, para un período de retorno de 50 años es:

= 377.96 m3h

r Distribuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

página (242)

Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones /Gamma 2 parámetros de HidroEsta, se obtienen.los resultados que se muestran en la figura 6.12. En la figura se observa que el caudal

-

página (243)

donde:

xo= parámetro de posición

- parámetro de escala y - parámetro de forma

B

para un período de retorno de 50 años, es 375.45 m3ts.

2. Proceso de cálculo Para el cálculo de los parámetros de la serie de datos: XL, X2, f3, ..., .ÍN se convierte a sus logaritmos, luego se calcula la media, desviación estándar y coeficiente de sesgo, con las siguientes ecuaciones:

Xlnx

media:

Figura 6.12 Catdal para un período de retorno de 50 años

6.5 Distribución log-p.urson tipo 1..

desviación estándar:

III

S.= lnx

Función densidad sesgo:

Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución logPearson tipo III, si su función de densidad de probabilidad es:

lnx-xO f(x)

=

(tnx- *o)T-1, *AY

para:

xg I x( -oo (fO

oo

( @

0
r(y)

¡1

-Sln¡

! ln,

... (6.103)

»(r, *-Xn*)z N-1

N)(rr r-Vn*P

... (6.104)

... (6.105)

(N-lXN-Z)Sr3n,

3. Estimación de parámetros, método de momentos

P ... (6.102)

Aplicando el método de momentos, se obtienen las siguientes relaciones: media:

Xlnx=xo+'[37

... (6.106)

vaianza:

t?n*= P'Y

... (6.107)

sesgol

/1

-Slnx

2

T

... (6.108)

Distribuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

págtrrl (244)

página (245)

bl = 0.36067:b2 = -0.59567: b3 = 0.25361 b4 = -2.18861: b5 =2.56096:b6 = -0.77045 h» L, = segundo y tercer momento lineal

Resolviendo las ecuaciones (6.106), (6,107) y (6.108), se.obtiener 4 ... (6.10e)

'n2

ln, t sln, c^s p= ln,

-

",s

... (6.tt4) ... (6.110)

25.

*o=7lr- -.-

... (6.l l

",S ln x

Nota: para calcular los momentos lineales 12, 13, trabajar con los

4. Estimación de parámetros, método de momentos lineales

Los 3 parámetros de la distribución log-Pearson tipo III, por el método de los momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuacionesl

Si

13

2

l.

3'

entonces

.,. (6.1ls)

r) y¡= lnxi

5. Función acumulada La función de distribución acumulada de la distribución log-Pearson tipo III, es:

lnx-

/l = l-r3

tl(bl+tl(b2+b3xtl))

I - l+t1(b4+tl(bs+b6xü

... (6.t12)

F@) =

I:^0

(tnx- *o)T -r, *§T

xO

P

ru)

dx

... (6.116)

en la cual:

Si

13

<

l.

3'

erton""s fl = 3Í1t32

l+ aLxtl

v- tl(I+tl(a2+ a3xtl) donde:

y y,

usando la tabla A.7 del apéndice, en la cual se ha

tabulado la función gamma incompleta. En esta tabla, se ingresa

1"

con los valores

A2

al = 0.2906;

La integral de la ecuación (6.116) puede evaluarse para valores dados de B

B =lt3l nJ 9^ JA -

... (6.r13)

xo = parámetro de posición B - parámetro de escala y - parámetro de forma

a2 = 0.1882: a3 = 0.0442

d" X,2(Chi-cuadrado) y v

(grados de libertad), y se

r Distribuciones teóricas

-

Hidrología Estadística

página (246)

determina los valores de la probabilidad de excedencia siendo:

-, _z(lnxtup y

*o)

...

563 824 557

I - F(x),

520 824

página (247)

367 522

360 1230 1 030

818

-

658 581

418

(6.r17) Solución:

v=27

... (6.118) 1. Cálculo de parámetros

La variable reducida y log-Pearson tipo III, es:

Tomando logaritmos neperianos

_._lnx-xo tp

... (6.119)

Siendo la función acumulada log-pearson tipo

_ y-l -Y

c(y)=fi

! L-

III reducida:

a,

... (6.120)

la cual tiene como parámetroy, y cuya variable aleatoria tienen

origenery=Oóx=xo. La ecuación (6.120), como es similar que la ecuación (6.61),

a los datos del problema,

obtienen los datos de la tabla 6.4. Tabla 6.4 Ln de los caudales máximos, de la estación Angostura 7.414573 6.426488 6.775366 6.333280 6.714171 6,322s65

6.821107 6.526495 6,606650 6.253829 6.71417',t 6.706862

7.114769

7.251345 6.658011 6,413459 5.905362 6.257668

6.937314

6.035481

8.242756 6.839476

7.021084 5.886104

7.731931 6.825460 7 .047517 6,489205 6.364751

calcula de la misma forma.

Los parámetros estadísticos de los LnQ, se obtienen con HidroEsta, utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados, los mismos que se muestran en la figura 6.13

Ejemplo 6.4: se tiene el registro de caudales máximos de 29 años, para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.3. En este río se desea construir una presa de armacenamiento, calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un período de retorno de 50 años. Usar la distribución log-pearson tipo III. Tabla 6.3 Caudales máximos, en m3/s, de la estación Angostura 1

660 618 876

917 683

3800 934

740

1120

1410 779 610

ParÉmetros

,Yh x .S.

lnx

c-slo

,

Muestrales

Media:

8.7116

Varianza:

0.2688

Desviación Estándar:

0.5184

Coef iciente Variación:

0.0772

Coeficiente de Sesgo:

0.9629

Coeficiente de f,urtosis:

4.8883

2280 921 1

150

Figura 6.13Parámetros estadísticos delos LnQ

r Distribuciones teóricas

-

página (248)

De la ecuación (6.109), se tiene:

Hidrología Estadística

F(e=d=t- '=l-1

i=

página(249)

=0.98

F(Q=d=F(x)=0.98 | - F(x) = 1- 0.98 =0.02

v- 0.96292 = 43142

De la ecuación (6.118):

v=2y =2x4.3142

De la ecuación (6.110), se tiene: sln, x sln, o

v

-C

. 0.9629¡0.5§a u=-z

50

-

=8.6284=9

De la tabla

A.l

del apéndice:

=0.2496 parav =9,y | - F(x)=0.02126,

De la ecuación (6.11 1), se tiene:

obtienei )(2 = 19.5

Pero de la ecuación (6.117), se tiene:

25.

lnx

*o=*lnx c,sl* xo =6.6116-219é184 0.9629

se

_, _ 2(lnx- ro) _ z(lnq

'L= 5.6349

p

-

xo)

p

Despejando q, se tiene:

tnq-É{-**o ,2

2. Prueba de bondad de ajuste

De la prueba de bondad de ajuste realizado con HidroEsta, se tiene:

A=0.06045y40=0.2525

(

Puesto que A = 0.06045 A6 = 0.2525, se concluye que los datos de lops caudales, se ajustan a la distribución log-Pearson tipo III. 3. Cálculo del caudal de diseño para T = 50 años

0x)(' *ro q=e 2 Sustituyendo valores, resulta: 0.2496x19.5

Q=e q=

2

+5.6349

3192.3098 m3ls

.'. El caudal de diseño, p¿ra un período Q=3192.3098 mr/s

de retorno de 50 años es:

r Distribuciones teóricas

-

página (250)

Para los datos indicados, utilizando

la

Hidrología Estadística

opción Distribuciones

/LogPearson tipo III de HidroUsta, se obtienen los resultados que se muestran en la ñgura 6.14. En la f,rgura se observa que el caudal para un período de retorno de 50 años, es 3042.02 m3ls.

-

página (251)

F(x) = EXP(-EXP(-(x - r¿) /cr))

... (6.121)

6

G-p) a

F(x) = ¿-e pafa: -oo
... (6.122)

donde:

0
tE(u¡ttuttt.

Probabilidad[PJ:l Z

, es el parámetro de escala , es el parámetro de posición, llamado también

-oo
i

valor central o moda

2. Función densidad Figura 6.14 Caudal para un período de retorno de 50 años

Nota: Observar que hay upa ligera diferencia entre los resultados obtenidos, con el proceso manual y computacional, eso se debe que en el proceso manual, se usa la tabla A.l y su cálculo, por la interpolación que se tiene que realizar, es en forma aproximada, mientras que en el proceso computacional, se calcuian los valores por desamollo de series, por lo que son más aproximados, además

Derivando la función de distribución acumulada, ecuación (6.121), con respecto a x, se obtiene la función densidad de probabilidad, es decir:

f(x)=

dF(x) dx

r(x)=*^\* ,.\t d-)

o;)

que éste proceso usa todos los decimales en los cálculos.

x-p

6.6 Distribución Gumbel La distribución Gumbel, es una de las distribuciones de valor extremo, es llamada también Valor Extremo Tipo I, Fisher-Tippett tipo I ó distribución doble exponencial.

1. Función acumulada La función de distribución acumulada de la distribución Gumbel, tiene la forma:

, -*-F -e d,

'"

f(x)= d,

a ... (6.124)

para: -oo

<.f < oo

La variable aleatoria reducida Gumbel, se define como: v

---- x-p d

...

(6.r2s)

I Distribuciones teóricas

-

página (252)

Hidrología Estadística

con lo cual, la función densidad reducida Gumbel es:

sO) =EXP(-y-ExP(-y))

- e Y-e

Y

... (6.126)

. Yarianza:

El@ - E(fl)21= 52

-

página (253)

ilZa2

... (6.130)

6

tle donde se obtiene: t>

y la función acumulada reducida Gumbel, es:

= ,-

G0) =EXP(-EXP(-y))

u-

!

... (6.127)

Los valores correspondientes x ey, estánrelacionados por:

X-0.57721566490153286061 a. =

ecuaciones (6.131) de la muestra.

y la relación:

u

$=

... (6.131)

S=0.779696g01s

X -0.45S

...(6.132)

Los parámetros de la distribución Gumbel cr y p, se calculan con las

F@) = 6r¿¡

,=+

a=ro II

a=

pta-!

y (6.732), en función de los parámetros

XyS

La distribución Gumbel, tiene un coeficiente de sesgo fijo, igual

3. Estimación de pará.metros, método

de momentos

utilizando el método de mornentos, se obtienen las siguientes relaciones:

. Moda: . Media:

xmoda = F

E(x)=

Y - p+aC

... (6.r28)

donde C, es la constante de Euler, cuyo valor es:

c=lim t

l+1*1*.... 23n

lineales

Los

parámetros de la distribución Gumbel, por el método de los momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuaciones: (l= )",... (6.133)

lt

n -)@ C = 0.57721566490153286061 ... por lo tanto, de la ecuación (6.128), se tiene: X = tL + 0.57721566490153286061

4. Estimación de parámetros, método de momentos

ln2

+ 1 - hnl

=

lt

-0.577215664901532861a ... (6.134)

donde:

Lr, 1,

cr

... (6.129)

a

r.1396.

-

primer y segundo momento lineal

Distribuciones teóricas

5. Aplicación

-

página(254)

Hidrología Estadística

en hidrología

La ley de Gumbel o ley de valores extremos, se utiliza generalmente para ajustar a una expresión matemática, las distribuciones

empíricas

de

frecuencia

de

caudales máximos

824

824

557

818

1230 030

-

págha (255)

522 418

1

581

Solución:

anuales,

precipitaciones máximas anuales, etc.

Es importante verificar, antes de aplicar esta distribución de probabilidad, que los coeficientes de asimetría y curtosis de la distribución empírica sean del mismo orden que los valores

L Ajuste de los datos de la serie

.

Ejemplo 6.5: Se tiene el registro de caudales máximos de 29 años, para la estación

9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.5. En este río se desea construir una presa de almacenamiento, calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un período de retorno de 50 años. Usar la distribución Gumbel.

distribución Gumbel

los datos de la tabla 6.5, se obtienen de los

parámetros de la serie de caudales, los cuales son:

X =957.59 Desviaciónestándar: S=682.72

Media:

poblacionales.

Uno de los inconvenientes del uso de esta distribución, es que en una distribución doble exponencial, la variable puede tomar cualquier valor, por lo que se puede asignar probalidades a valores negativos de la variable aJeatoria, cuestión que resta significación física a la aplicación, debido a que las variables hidrológicas toman solamente valores positivos o cero.

Procesando

a la

,

Cálculo de los parámetros de la distribución Gumbel: De la ecuación (6.131), se tiene:

D

d=ao,s

II t

a9 x682J2=532.3182 a=

II

De la ecuación (6.13), se tiene: p= X - 0.45 S =957.59 -0.45 x682.72 = 650.3238 Prueba de bondad de ajuste Los resultados que se obtienen de la aplicación HidroEsta, son:

A

=0.1454

Lo= 0.2525

, para un

nivel de significación del5

%o

Tabla 6.5 caudales máximos, en m3/s, de la estacón Angostura Decisión 1

660 618 876 563

917 683

3800

1410

2280

934

740

1120 360

779 610

921 1 150

367

658

520

Siendo: A =0.1454<

Ao = 0.2525 se concluye que los datos se ajustan a una distribución Gumbel, con un nivel de significación del 5 Vo

Distribuciones teóricas

-

págil;a (256)

Hidrología Estadística

-

página (257)

2. Cálcllo del caudal de diseño, para un período de retorno de 50 años.

F(Q=d=P(Q3q)=l-

_1

T

F(Q=q)=I-L

50 F(Q= 4) = 0.98 = F(!)

-v-

F(y)=e-e

=0.98

-e-Y = 1n 0'98

Figura 6.15 Caudal para un período de retorno de 50 años, utilizando la distribución Gumbel

e-Y = 9'929202707

6.7 Distribución log-Gumbel

-) = ln (0.020202707) y = 39019

1.

pero de la ecuación (6.L25):

Q- l.t y=-__, d,

^ =3.9019

Función acumulada

La función de distribución acumulada

-G-t') a F(x) = ¿-e

Q=ü+3.9019xcr Q=650.3238 + 3.9019 x532.3L82 Q = 2,727 .38 m3/s de diseño,para un periodo de retorno de 50 años es:

Q=2,727.38 mJ/s Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/ Gt¿mbel de HidroEslo, se obtienen los resultados que se muestran en la figura 6.15. En la figura se observa que el caudal para un período de retorno de 50 años, es 2127.40 m'ls.

la distribución Gumbel,

... (6.r35)

p&f&l -oo
g< "o -oo < lr < oo 0<

.'. El caudal

de

tiene la forma:

, es el parámetro de escala , es el parámetro de posición, llamado también

valor central o moda

si en la ecuación (6.135), la variable -r se reemplaza por lnx, se obtiene la función acumulada de la distribución log-Gumbel, o distribución de Fréchet.

2. Variable reducida La variable aleatoria reducida de la distribución log-Gumbel, define como:

se

a Distribuciones teóricas

y=

-

página (258)

lnx - ¡t a

Hidrologfa Estadística

... (6.136)

5. Estimaciép de parámetros, método de momentos

-v = e- e

.. (6.137)

Los parámetros de la distribución log-Gumbel, por el método de los momentos lineales se encuentras con las sigüentes ecuaciones:

d=

3. Proceso de cálculo

lt

Para el cálculo de los parámetros de la serie de datos: Xl, X2, f3, ..., "{N se convierte a sus logaritmos, luego se calcula la media y desviación

I In,

... (6.143)

donde: Nota:

1r, h2 - primer y segundo momento lineal para calcular los momentos lineales 7r, A, trabajar con los

Se tiene el registro de caudales máximos de 29 años, para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.6. En este río se desea construir una presa de almacenamiento, calcular

Aplicando el método de momentos, se obtienen los valores de los parámetros c y p de la distribución log-Gumbel, Ios cuales son:

V=

= 7, -0.577215664901532861a

... (6.138)

4. Estimación de parámetros, método de momentos

J6

s. Il Inx=0.779696801s.lnx

Xlnx-0.5772156649 u" = X

... (é.142)

l¡2

Ejemplo 6.6:

xlnx = "i

desviación estándar:

o=

1.'

yi= lnxi

estándar, con las siguientes ecuaciones:

media:

págtt^ (259)

lineales

con 1o cual, la función acumulada reducida log-Gumbel es: G(y) = ExP(-ExP(-y))

-

ln¡

el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un período de retorno de 50.años. Usar la distribución log-Gumbel. Tabla 6.6 Caudales máximos, en m3/s, de la estación Angostura

1660 618 876 563 824 557

... (6.140)

- 0.45

^Srr, ...(6.141)

917 683 740 520 824 818

Solución:

l.

Cálculo de parámetros

3800 1410 934 779 1120 610 360 367 1230 522 1030 418

2280 921 1150

658 581

r Distribuciones teóricas

Tomando logaritmos neperianos

-

página (260)

Hidrología Estadística

a los datos del problema,

se

obtienen los datos de la tabla 6.7. Tabla 6.1 Ln de los caudales máximos, de la estación Angostura

7.414573 6.426488 6.775366 6.333280 6.714171 6.322565

6.821107 6.526495 6.606650 6.253829 6.714171 6.706862

8.242756 6.839476 7.021084 5.886104 7.114769 6.937314

7.251345 6.658011 6.413459 5.905362 6.257668

7.731931 6.825460 7.047517 6.489205 6.364751

6.035481

-

2. Prueba de bondad de ajuste Los resultados que se obtienen con la aplicación HidroEsta, son:

A

= 0.0666

Lo= 0.2525 , para un nivel de significación del5 Vo que:

Puesto

se ajustan

A = 0.0666 < Ao = 0.2525, se concluye que los datos a una distribución log-Gumbel, con un nivel de

significación del5

Vo

3. Cálculo del caudal de diseño, para un período de retorno de 50 años.

Los parámetros estadísticos de los LnQ, se obtienen con HidroEsta, utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados, los mismos que se muestran en la figura 6.16 Parámekos

xln x

Media:

.s.

Varianz¡: Desviación Estándar:

lrr x

c.srr,

,

Muestlales

6.7116 0.2688 0.5184

F(Q=q)=P(Q
F(Q=q)=r-

+

L 50

F(Q=4)=0.98=F(y)

_--v

F(y)=e '

=0.98

Coeficiente Variación:

0.0772

Coeficiente de Sesgo:

0.3829

-e-Y = ln 0.98

Coeficiente de Eurtosis:

4.8683

e-Y = 0.020202707

Figura 6.L6Parámetros estadísticos delos LnQ De la ecuación (6.140), se tiene:

= -0.020202707

-/ = ln (0.020202707) = -3.9019 y = 3.9019

T;

a={o^s-tnx

II

o =&x0.5184 =o.4o4z

II

De la ecuación (6.141), se tiene: Xlnx - 0.45 ,Shr P,

=

lt=

6.7LL6 - 0.45 x 0.5184 = 6.4783

página (261)

¡rcro de la ecuación (6.136):

v-

lnQ- p a

= 3.9019

lnQ= ¡t + 3.9019

xa

- 6.4783 + 3.9019 x 0.4042 lnQ= 8.0555 lnQ

Q

=

e8.0555

r Distribuciones teóricas

-

flidrología Estadística

página (262)

-

página (263)

Si se ajustan a esa distribución, determinar la probabilidad de que un^caudal medio máximo diario, esté comprendido entre

Q = 3150.9637 m3ls

Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/ LogGumbel de HidroEsra, se obtienen los resltados que se muestran en la figura 6.17, se observa que en este caso, el caudal de diseño para un período de retorno de 50 años, es: 3135.15 m3ls.

6500 m3ls y 9300 m3ls.

Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si se ajustan a una distribución garnma de tres parámetros, si el ajuste es bueno, determinar el caudal medio diario máximo para un peíodo de retorno de 100 años.

2. Dada la serie de

caudales medios anuales,

en -3ls,

correspondientes a un registro de 40 años, los mismos que se muestran en la tabla 6.9.

Figura 6.17 Catdal para u.n período de retorno de 50 años, obtenido con la distribución log-Gumbel

6.8 Problemas propuestos 1.

En la tabla 6.8, se muestra el registro de caudales medios diarios máximos correspondientes a 28 años, en m3/s. Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si se ajustan a una distribución gamma de dos parámetros. Tabla 6.8 Registro de caudales medios diarios máximos 481 3

8551

6229

7645

55

8126

6456

6654 4983 4898

4870

4870

9231 10165 3029

6597 51 81

53

3851

4672 571 9

4757 5219 4474 3437

4898 4360

3794 7399

abla 6. 6.9 Regrstro de caudales medios máximos 200 480 430 880 470 350 555 370 695 690 730 340 s40 400 250 420 750 780 580 520 550 610 590 536 530 570 450 650 320 680

630 800 360 690 610

765 420 530 s48

290

Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si los datos de la serie se ajustan a las distribuciones:

o o o o o o

Normal Log-normal de2 parámetros Log-normal de 3 parámetros Gamma de 2 parámetros Gamma de 3 parámetros Log- Pearson tipo III

En el caso que se ajusten a las

distribuciones teóricas mencionadas, calcular paru cada una de las distribuciones:

o La probabilidad de que un caudal anual, esté comprendido entre 350

*3/s y 800 m3ls.

Distribuciones teóricas

-

página (264)

Hidrologla Estadística

o

La probabilidad de que un caudal anual, sea menor o

o

El caudal anual que ocurre con un período de retorno de

igual que 850 m3/s. 80 años.

3. A partir de un registro de 70 años, de volúmenes anuales en MM3 (millones de metros cúbicos), se desea realízar el ajuste a una distribución log-normal de tres parámetros, usando la

.

Indicar

utilizando la fórmula de Weibull, de los cuales en la tabla 6.10,

. 4.

se

Tabla 6.10 Caudal y su distribución empírica

382.376 493.536 644.736 709.546 80s.966 923.456 1058.286

serie de volúmenes anuales, se ajusta

a la

distribución log-normal de 3 parámetros.

muestran 12 puntos.

33.036

si la

Hallar en forma gráfrca (en papel de disribución log-normal), el valor del caudal que satisface la siguiente relación:

P(Q<0=0'9

En este sentido se calculó la función de distribución empírica,

o

página (265)

varianza de ln (x - ro) = 0.0553 con estos datos, se pide:

prueba Smirnov-Kolmogorov.

IMM3} 292.696

-

P(x) =

.

m(n+l)

0.056 0.098 0.155 0.197 0.310 0.409 0.507 0.606

0.704

1132.276

0.803

1386.224

0.901

1700.716

0.944

.

En la tabla 6.11, se muestra el registro de los caudales máximos instantáneos anuales, en -3/r, de la estación Gua¡dia, de la cuenca del Río Tempisque. Determina¡ estadfsticamente, si éstos caudales máximo anuales, se distribuyen según la distribución Gumbel. Si así fuera, determina¡ el caudal máximo anual, con un período de retorno de 50 años. Determinar estadfsticamente, si éstos caudales máximo anuales, se distribuyen según 1a distribución log-Gumbel. Si así fuera, determinar el caudal máximo anual, con un período de retorno de 50 años.

Tabla 6.11 Caudales máximos anuales de la Estación Guardia Año

Año

anual 962

-3/"

1

964

273 1045 1875

1

965.

2876

1

966

1967

967 1643

968

133

1

1963

Además, mediante un proceso computacional y utilizando el método de máxima verosimilitud, se estimaron sus parámetros, resultando: parámetro de posición ; xo = -997 .603 media de ln (x - xo) = 7.4865

Gaudal máximo

1

1

1977

734

978 1 979 1 980

1706

1

134

2409

981

551

982 1983

597 80

1 1

Distribuciones teóricas

1

969 970

186

1

-

984

985 1 986

página (266)

606 616 287

1971

883 3687

1972

756

1987

121

973 1974 1975 1 976

186

1

616 224

988 1 989 1 990

350 315

122

1

991

3384

1

1

1

294

Correlación y .2

regresron 7.1 Covarianza La covarianza, es una medida que permite determinar que tan independiente es una variable aleatoria de otra, es decir, el grado de independencia de dos variables aleatorias.

Si X e

I

son dos variables aleatorias con medias Ir*

, ¡t, , la

covarianza, se define como:

COV(X,Y)=§o

=o, = ,[( x - p,)(Y- p,)]

...(7.1)

Desarrollando:

cov(x,g= nfxr-xily- lt,Y+ ü,Fr) = E(XY)- ltrE(x¡- lt,E(Y)+ lt,lt, = E(xY)- ltylt,- lt,lty* lt,lty =E(xy)- ltylt*

r Correlación y regresión

-

página (268)

cov(x, Y) = E(xY) - E(Y).E(D

Hidrología Estadística

...(7.2)

-

página (269)

utilizados son los coeficientes de correlación y determinación y desviación típica de los residuos.

r¡rás l¡r

Casos:

1.

Si X e

I

7.4 Análisis de correlación

son independientes, se cumple que:

E(xn

= E Q).E(X) y de (7 .2), se tiene: COV(X, Y) = E(XY) - E(XY) = 0 .'. Si X e y son independientes -> COV

2.

('onsiste en el cálculo de una medida del grado de correlación y la rcalización de pruebas, p&rá determinar si es aceptable el grado de rsociación correlativa.

(X,I0 = 0

i

lil análisis

Si X = Y, de (7 .2), se tiene:

de correlación está estrechamente relacionado con el rrnálisis de regresión, puesto que.la fórmula utilizada en el cálculo rlo la medida de correlación, depende del modelo de regresión irrloptado. Por ejemplo, cuando se selecciona un modelo lineal

C)V(X, X) = E(*) - E(X).¿(D

CoV(x,x)=E(f)-(E(n)2 cov(x, x) = vAR(x) .'. Si X =

Y -)

sirnple, se habla de correlación lineal simple.

COV (X, Y) = VAR(X)

7.5 Coeficiente de correlación

7.2 Correlación La correlación, se define como la asociación entre dos o

más

variables aleatorias, que explica sólo parcialmente la variación total de una variable aleatoria, por la variación de otras variables aleatorias involucradas en la ecuación de asociación.

La parte de la variación total que queda sin explicar, o sea, la variación no explicada, se debe a errores o a otras variables aleatorias, que no han sido tomadas en cuenta en la correlación.

lil coeficiente

de correlación, es el estadístico que permite medir el ¡1rado de asociación de dos variables linealmente relacionadas. l)ara el caso de una población se define como:

p(*,v) =

COV(x,y) (VARxVARy)z

nltx-tt*)(y-tD)

O, oro,

lrr* - p)2 EO - F;z1,z

l)ara una muestra:

sry »(, -;Xy - y)

7.3 Medidas

S,S,

de correlación

Se necesita un estadístico para medir

rS,S,

Zry - "iy nS*S,

donde:

el

grado de asociación correlativa entre las variables bajo consideración. Los estadísticos

..(7.3)

; Sr=

»6-i'

... (7.4)

Correlación y regresión

^-

2,* n

-

página (270)

Hidrología Estadística

; y= 2, n

Pasos

I.

también:

"2*y-}*Zy

...(7.s)

Selección de una función de relación correlativa, simple o múltiple,lineal o no lineal. y =flx)

!=atbx !=ab* Y

2. Coeficiente de determinación

Es la proporción o porcentaje, de la variación total de la variable dependiente y, que es explicada por la variable independiente r, por lo cual, es un criterio para explicar la importancia de la variable

!=a*bx

= 0.85, esto quiere decir que el85Vo de la variación dey, es explicada poru y el l57o restante es debido a los errores y a otras variables no consideradas. se

tiene:

7.7

12

,A.nálisis de regresión

Es una técnica determinística, que permite determinar Ia naluxaleza de la relación funcional entre dos o más variables, permite predecir los valores de y = flx) con un cierto grado de aproximación.

=

ax'b

etc Estimación de los parámetros que miden el grado de asociación correlativa

r2 r

3.

independiente dentro del modelo. Por ejemplo, si para la ecuación:

págtna (271)

para el análisis de regresión

Valores de r entre -1 y 1 describen los varios grados de asociación.

7.6

-

Prueba de significación de los estadísticos que miden la asociación correlativa, para lo cual se aplica la prueba f.

I'roceso: 3.1. Se plantea la hipótesis Ho : p = 0 (p es el coeficiente de correlación poblacional y su valor varía entre -l y 1)

'

Ha:p*0 3.2. Cálculo del r calculado (fc) Se

utiliza la ecuación

rJnl ' 4l- r'

t_ -

donde:

r = coeficiente de correlación n = número de pares de valores

3.3. Cálculo del, tabular (rr)

a Correlación y regresión

-

página (272)

Hidrología Estadística

El /¡ se obtiene de las tablas preparadas para este efecto, con un nivel de significación s o una probabilidad (l-cx ), y con grado de libertad (v = n - 2), donde n es el número de pares de valores. Por ejemplo la tabla ,4.5 del apéndice, permite calcular [, si se elige una probabilidad del95Vo, el valor que se debe tomar de la tabla corresponde ,2

a

a

$-

página (273)

Ir),

nZ*' -(»r'

...(7.6)

...(7.7)

= 0.025 tlonde:

),L

x=- nn ; y=-

rr/2 = 0.025

Así: para

"2*y-

-

.5. Determinar la significación de los parámetros de la ecuación de regresión, encontrando los límites de confianza de su variación (se usa el análisis de varianza).

n=15

-) v=15-2=13

para957o de probabilidad ->

a

i

=

'7.8 Regresión lineal simple

o'ozs

entonces, de la tabla ,4.5 del apéndice:

)

t¡ =

2J60

3.4 Criterios de decisión: . Si lt"l< h, se acepta la hipótesis nula, por lo que p =O,y por lo tanto no hay correlación significativa. . Si lr"l , /¡, se rechaza Ia hipótesis nula, por lo que p I 0, indicándose que es significativo y por lo tanto existe correlación entre las variables.

4.

Estimación de los parámetros de la ecuación regresión Por ejemplo para la ecuación de regresión lineal:

o función

!=a+bx Los parámetros ¿ y b,lutllizando mínimos cuadrados son:

de

En hidrología el modelo más simple y común, está basado en la suposición de que dos variables se relacionan en forma lineal. Como ejemplo se puede mencionar: . Caudales y precipitación de una misma cuenca . Precipitaciín de una estación, con precipitación de otra estación . Caudal de una estación con caudal de otra estación . Precipitación con la altitud de una cuenca Este hecho, permite correlacionar estas variables para completar datos o extender un registro.

Ecuación de regresión La ecuación general de la ecuación de regresión lineal es:

!= a*bx

...(7.8)

a Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (274)

-

página (275)

as

ó ===0 da

donde:

x

=

variable independiente, variable conocida ) = variable dependiente, variable que se trata de predecir a = intercepto, punto donde la línea de regresión cruza el eje J, es decir valor dey cuando ¡ = 0 b - pendiente de la línea o coeficiente de regresión, es decir, es la cantidad de cambio de y asociada a un cambio unitario de x.

as

ab=

0

ó

ff=-rá(r,-a-bx,)=s

#= r}*,(t,-a-bx,)=o

)y, - na-b\x. =0 ó na*bE*,- )r, - 0 ... (7.12) I)e (7.11) , se tiene:

Dada la ecuación de regresión lineal:

o

l=albx

b son los parámetros de la ecuación. método más utilizado para la estimación de los parámetros a y b, es el de mínimos cuadrados.

El

... (7.r1)

De (7.10), se tiene:

Estimación de parámetros

donde a y

... (7.10)

E*,y, -oE*, -b»x? =o oEx,

+b\x! -),*,y,

=o

... (7.13)

[-as ecuaciones (7.12) y (7.13) se denominan ecuaciones normales, las cuales resueltas dan para a y b: ... (7.14)

Procedimiento:

1.

Cálculo del error ei entre el valor observado

e¡=!¡-i¡

h y el teórico !,

... (7.1s)

:

tin los cálculos resulta más cómodo calcular b con la ecuación (7.15) y calcular c como:

ei= U -@:.)=ii-a-bx¡

)v, ' )',

observado tuórico

2.

... (1.16)

Cálculo de la suma de cuadrados de los effores:

s

=2r,, =26,-o-b*,)' j=l

...(7.e)

3. Hacer que la suma de cuadrados de los errores sea mínimo: Para que S sea mínimo, se requiere que la derivada parcial de S de la ecuación (7.9), con respecto a cada parámetro sea igual a cero, es decir:

Ejemplo 7.1:

En una cuenca, como se muestra en la figura 7.1 se tienen dos estaciones de aforo A y B, en las que se midieron los caudales 3/s para el año 1995, los que se muestran en medios mensuales, en n la tabla 7.1. Considerando que los caudales de la estación A, son las

Correlación y regresión

-

pítgina (276)

variables independientes (r) y que los caudales de la estación B, son las variables dependientes (y): 1. Probar si los datos de ambas estaciones se correlacionan linealmente. 2. Calcúar el caudal en la estación B, para un caudal de 800 m3/s en la estación A. Tabla 7.1 Caudales promedios mensuales de las estaciones A y B Mes

Estación A (m%)

Estación B rm3lsl

E F M

321

175

A M J J

A S

o N D

222

75

155

274

45 77

431

131

446 456 1270 2089

136

1618 431

710 268

página (277)

§r¡lución:

l,

Sea la ecuación que correlaciona a las variables

!=a+bx

...(7.17)

donde:

x = caudales de la estación A ) = caudales de la estación B De acuerdo a los datos se tiene n = 12 (número de pares de 2, tlatos); los cálculos de sus sumatorias, se muestran en la tabla7.2.

'l'll'¡laJ.2. Productos,

224

x'

t'

03041

30625 5625

v

xy

321

175

561 75

222 274

75 45 77

6650 6975 21 098

49284 24025 75076

431

131

56461

446 456 1270 2089

136 171

60656

85761 1 9891 6

77976 603250 1 873833

1

207936 61 2900 4363921

225625

1148780

2617924

804609 5041 00

155

475 897

cuadrados y sumatorias de las variables x, y

x

171

509

-

Hidrología Estadística

1618 431

509 8222

475 897 710 268 224 3384

1

1

11

5508

114016 4151378

1

§ttst

i

tuyendo valores, resulta:

71824 501 76

9883626

1765436

"Z*y- Ir), ,Z*' -(»,)')( nDy' -()r)')

A Figura 7.1. Estaciones de aforo A y B de una cuenca

5929 17161 1 8496 29241

r 85761 259081

J,

Cálculo de r: l)c la ecuación (7.5), se tiene:

2025

Correlación y regresión

'

-

Hidrología Estadística

página (278)

- 8222x3384 ,(-z» 883626 -Bezz'W"n654io - z§+' 12x4151378

página (279)

5.

Cálculo de los parámetros a y b: De la ecuació¡ (7.14), se tiene:

"

2l'993,288.00 I_

22',28r,026.59

- EvE*'-ErZ* nE*' -(»')'

Sustituyendo valores, resulta: 33 84 x 988 3626 - 415 137 I x 8222

r = 0.9811 rz = 0.9743

4.

-

12x9883626 -82222 a = - 13.4590

Prueba de significación

4.t IJipótesis: De la ecuación (7.15) , se tiene:

Ifo: r=0 }la'.

r *0

[-

4.2 Calculo de tc: l-

'

,J"-z ^ll- r' o.s87t^lT2

'

Jl

S

4.3 Cálculo del

12x4151378-8222x3384 L2x9883626-82222 b =0.4312

6. Ecuación

de regresión: Sustituyendo valores en la ecuación (7.17), se tiene: ... (7.18) ! = -13.4590 + 0.4312 x

rt:

De la tabla ,4.5 del apéndice, para:

y unaprobabilidaddel95To se tiene:

-().)'

b-

-0.9143

v=n-2=12-2=10

n2*'

ustituyendo valores, resulta:

-2

t, = 19.4J13

4.4

"E*y-ZrE,

a 0.05 U, = Z =0.OZS

h=2.228

Criterio de decisión: Como: I r. I = lg.47l3 ) t¡ = 2.228 se rechaza la hipótesis nula, siendo r + 0 .'. existe correlación entre las variables x e y.

7

.

Cálculo del caudal en la estaci ón A, para un caudal de 800 m3/s en la estación B.

Sustituyendo valores en la ecuación (7.18), resulta: y = -13.459O + O.4312 x 800 y = 331.5010 m3/s

a Hidrología Estadística

Proceso computacional

lafigura7.2.

Lineal Exponencial Potencial

Y = 13.4590'lü7 + 0.4312221 .H Y = 77.s880355. [ 1.001 3237 J ^X

0.38703

X ^ f].107t57

4 0.s653 0.9ü1

Con la ecuación lineal, para un caudal de 800 m3/s en la estación A, se obtiene un caudal 331.52 m3ls en Ia estación.8, este resultado se muestra en la figura 7 .3.

ecuaciÉn: Ecuación Line¡l

',1_"ro'*' dey: jtBi lmt

,

i

i

;

f. :con e c áón ecuación Exponencial C con ecuación Potencial

...

a+bx

t=alb

11.33181

Observar que la ecuación lineal, es la que tiene un coeficiente de correlación R = 0.98709 más alto que las otras ecuaciones

Aplicar

1

0.37434 0.81 253

Figura. 7.2 Regresión entre los caudales de las estaciones de aforo Ay B deunacuenca

Vator

Existen varias relaciones no lineales, que con un artificio adecuado ¡rueden reducirse a relaciones lineales, dentro de las cuales se pueden mencionar:

y=

Ecuación

Y = 0.1359426 .

página (281)

7.9 Regresión no lineal simple

Para los datos indicados, utilizando la opción Regresión/Regresión simple de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestran en

Correlación

-

1 x

(7.te)

... (7.20)

(inversa)

(7.2t)

!=ab^(exponencial)

...

y=axb

.." (1.22)

(potencial)

J = 0x*bx2

... (1.23)

I)ara el uso de estas ecuaciones, en todos como sigue:

los casos, el proceso

es

transformación de variables a fin de obtener una regresión lineal. 2. En la ecuación lineal obtenida, aplicar el método de mínimos cuadrados para estimar los nuevos parámetros at y br .1. Restituir los cambios de variables, a fin de obtener los parámetros iniciales ay b. 4. Utllizar la ecuación siempre y cuando exista correlación adecuada entre las variables.

l. Realizar la

A continuación, para las

ecuaciones de

la (7.19) a la (7.23),

rndican el proceso de linealización.

Ecuación: Figura. 7.3 Resultado obtenido con ecuación lineal

l)e la ecuación (7.19), invirtiendo los miembros se tiene:

se

Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (282)

-

página (283)

1

-=a+bx ¿

x

w

haciendo:

w=

v

1

-v

1

-v = w, se tiene la ecuación linealizada:

w=

a+bx

... (7.24)

Para aplicar el método de mínimos cuadrados trabajan con las variables:

y

estimar

a y b se

Ecuación:

! =ab*

1

x Y W=-

Tomando logaritmos neperianos en la ecuación (7.21), resulta:

v

lny=lna+xlnb

walbl

I

x

w=

haciendo:

1

lnY:

-v

Y'

... (7.26)

lna = a, lnb = bt

... (7.27)

se tiene:

W=at*btt Ecuación:

y=a+b!

Para aplicar el método de mínimos cuadrados y estimar at y bt, trabajan con las variables:

x

De la ecuaciín (7 .20), haciendo

!=a*bw

x y w=lny

1

; = *, se tiene: ... (7.2s)

Para aplicar el método de mínimos cuadrados y estimar ¿ trabajan con las variables: 1

w=-x a !

... (7.28)

Yó,se

x

v

w

=lnv

Correlación y regresión

-

página (284)

Hidrología Estadística

De (7.26) y (7.27), se tiene:

aa=e I

b,

Por lo tanto, la ecuación (7.22) toma la forma:

L

Por lo tanto, la ecuación (7 .21) para estos valores toma la forma:

y = uol .{rbt y=

página (285)

De (7:30), se tiene:

o=rol b=e

-

y = eal .xb

...

(7.3r)

¡*

,or 'rut'

... (7.2e)

Ecuación:

v=ax+

bxz

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (1.23) entre r, resulta:

! -a+bx

Ecuación: y=axb

4 w

Tomando ln a la ecuación (7.22), se tiene:

lny-lna+blnx

haciendo

!J

worz

x

w=a+bx

haciendo: lnY = Y'

lna=

!- w se tiene:

at

... (7.30)

lnx=z

Para aplicar el método de mínimos cuadrados v trabajan con las variables xy * =;

resulta:

v,= at *b

z

Para aplicar el método de mínimos cuadrados y estimar a7, y b, se trabajan con las variables: z= lnx y w = lny

x

v

z=lnx

w

=lnv

x

v

w= -v x

y

estimar

ay

b,

Correlación y regtesión

-

página (286)

Hidrología Estadística

Proceso computacional HidroEsta, permite resolver

de

valores experimentales a: . Una línea recta . Una curva exponencial ' Una curva poteucial Para cualquier tipo de curva, la aplicación permite calcular: Los parámetros a y ó

. . Loscoeficientet,y,2 . El valor de la variable dependiente para un valor de la variabl e independiente

7.L0 Ecuación de regresión lineal múltiple Esta técnica de análisis, se utiliza cuando la variable dependiente y, es función de dos o más variables independientes ,r1, x2, x3,. . ., rm, siendo el modelo lineal: !=ao* a1x1*a2x2* a34 +... + an#m ...(7.32) donde:

= número de variables independientes ao, a\, a2, . . , am= parámetlos a estimar p = m+ 1 = número de parámetros m

Estimación de parámetros Extendiendo el método de mínimos cuadrados, para el caso de una regresión lineal múltiple, las ecuaciones normales que se obtienen son:

página (287)

al)r, * or2*, * or\r, +........+a^\x^ L*ry = aoExr+ orl*', * or)*r*r* ar)r,rr*.... .+a.\xrx*

)y el problema del ajuste de pares

-

= aon+

L * ry = a,Z x, + arl x rx, + or\ *l + arl xrx 3+.....+a nE *r* ^ E *. y = a,E x ^ + a rl

x

rx.

+

a

r\

x,

x

^

*

a

r\

* r*

^*.....+

o

"'

^\ (7

donde: n = número de grupos de elementos de la muestra. [,a solución del sistema (7 .33) proporcionan los valores as, a1,

*'.

'33)

o.2,

.

.

. ram

El número de ecuaciones normales, deben ser tantas como incógnitas se tienen, a fin de que se tenga un sistema resoluble y así oncontrar: ao, al, a2, - .,, am

Hl conjunto de ecuaciones normales (7.33) son fáciles de recordar, observar que la primera se obtiene aplicando la sumatoria a ambos rniembros de la ecuación (7.32), es decir: L, =E@" + atxr + azxz + a3x3 +..... + a*x^)

E,

= aon+

or2*, + ar\x, + ar\xr+..... + o-2*^

La segunda se obtiene multiplicando ambos miembros de

la

ccuación (7.32) por .r¡ y luego aplicando la sumatoria, es decir:

Z*ry =Z*r(ao + arx, + azx2 + a3x3 +..... + a^x*) E*ry = o"Z*, + ar\xl + ar)xrx, * arZ*r*, +..... + a^\xrx^ Análogamente, la tercara se obtiene multiplicando ambos miembros de la ecuación (7.32) por x2, ! luego aplicando la sumatoria, es decir:

Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (288)

E*r, --Err(ao + arx, + a2xz + a3x3+.....+ a^x^) Z*r, = oo2*, + ar\x, x2 + azZ*3 * ar\*rx, + ..... + a*\*rx*

-

página (289)

pü [o que los estadísticos han derivado una fórmula más corta de calcular por el método computacional, la cual se muestra en la ecuación (7.35). La ecuación (7.34) es muy tediosa de calcular,

Las ecuaciones restantes se obtienen con el mismo proceso, pero multiplicando por x3, x4, . . ., xm, respectivamente. Cabe aclarar, que lo indicado en las líneas precedentes, no es una deducción de las ecuaciones normales, sino sólo una forma de recordarlas.

o.3s) Las variables definidas en la ecuación (7.35), son las ya indicadas anteriormente.

Error estándar del estimado para regresión múttiple

Coeficiente de determinación múltiple

(Se)

Representa la proporción de la variación total de y que es explicada por las variables involucradas en la ecuación de regresión múltiple, se puede calcular a partir de la ecuación (7-36) o (7.37).

Es la medida de dispersión que se calcula con la siguiente ecuación:

Se=

R'^= 1---^

Sez

... (7.34)

donde:

= error estándar del estimado y = valores muestrales (experimentales) de la variable dependiente 9 = oo* ay x1 * a2x2+ . . . + amxm = valores estimados de la variable dependiente con la ecuación de regresión e = ! - Í = e..o. entre el valor observado y estimado de la variable dependiente n = número de grupos de la muestra p = m+l = número de parámetros a estimar a partir de la muestra grados p n de libertad = .S¿

... (7.36)

S'Y

R2=

o,2 y * o r\ *,y + a r\

x

ry + a

r\

x ry

+......+

2v'-"v'

a

^2 ^, *

nt'

... (7.37) donde: Se

= =

S'y

=

R2

coeficiente de determinación effor estándar del estimado, calculado con las ecuaciones (7 .34) o (7.35) vaianza de la variable dependientey

s'y=*(»t,

-(t)'))

=*(»

y'-n(y)') . rz.rsl

, =:)r= media de la variable dependiente n = número de grupos de la muestra

r Correlación y regresión

-

página (290)

Hidrología Estadística

Coeficiente de correlación múltiple El coeficiente de correlación múltiple,

se puede calcular a

partir de 'l'rrtrla

7.3 Valores

de A,

... (7.39)

I

=[

t asE*rr*......+a^lx,y - n ' ... (1.40)

14 subcuencas

1.70

210

0.871

5.690

1.90

4

8.270 1.620 0.175

1.90 2.10 2.40 3.20 2.70 2.90 2.90 2.80 2.70 2.10 2.90

0.148 1.400 o.297 o.322

7 8

I

Del estudio de una re§ión de Costa Rica, se ha obtenido para 14 subcuencas, el caudal promedio anual (de los caudales máximos anuales) Q, en m3/s, el área de la cuenca A, enkmz, y la intensidad máxima de precipitación I, en cn/24 horas, siendo los resultados los que se muestran enlatabla7.3.

I

(cml24 horas)

2 3 5 6

Ejeruplo 7.2:

(xm') 1.250

1

Lv'-"v'

Se desea saber si éstas variables se correlacionan linealmente, es decir, si se puede establecer el siguiente modelo: ... (1 .4t) Q = ao+ arA + a2I Se pide : 1. Calcular el intercepto a6, los coeficientes de regresión at, a2, y definir la ecuación de regresión lineal múltiple. 2. Calcular Q, caudal estimado con la ecuación (1.41), para cada conjunto de valores de A e I. 3. Calcular los errores e, = Q- A 4. Calcular el error estándar del estimado (S¿) 5. Calcular lavarianza de la variable dependiente

I y Qpara

A

Estación

^

página (291)

(r, Calcular los coeficientes de determinación y correlación múltiple 7. Estimar el valor de Q, si A = 4 km2 e I = 1.5 cmt}4h

las ecuaciones (7.39) ó (1.40).

oo}y + orl*ry + ar)xr!

-

10 11

0.178

12 13 14

0.148

o.872 0.091

o (m%) 15.50 8.50 85.00 105.00 24.80 3.80 1.76

18.00 8.75 8.25 3.56 1.90 16.50

2.80

Solución:

l. Cálculo de los parámetros l.l. Para el ejemplo, utilizando las ecuaciones normales

(7.33), se

tiene:

Ee=

aon+

atZl* orZI

Z,qg = aoZ A + a,Z,q' *

or\ A* t

Lrc=ao»I *or\exI +ar\I' rlruttle n

=

14

.'.

(7

.42)

Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (292)

1.2. En la tabla 1.4 se encuentra tabulado los valores de las )s, que reemplazado en el conjunto de ecuaciones (7.42), resulta: 304.12 = 14 as + 21.332 q + 34.3 a2 ... (7.43) 1465.8929 = 21.332 ao + 108.7412 a1+ 43.3419 az ... (7.44) 627.8 34.3 as+ 43.3419 + 86.99 az ... (7.4s) Tabla

7.4

A

I

(r)

o

AxI

AxQ

IxQ

A"

(2)

lz

(3)

(4)

(s)

(6)

(7\

(8)

t.7

15.50

2.t

850

2.t250

l 9.3750

26.3500

t.5625

.829

7.4035

17.8500

0.7586

r

1

7225.OOOO

0.0083

3.6100 3.6100 4.4100 5.7600 10.240 7.2900 8.4100 8.4100 7.8400 7.2900 4.4100 8.4100

108.7412

86.990

19960.O742

t9

85.00

10.81 10

483.6.500

161 500

32.f76r

105.00

15.7130

199.500

68.3929

t.620

2t

24.80 3.80

3 4020 0.4200

868.3500 40.1760 0.6650 0.2605 25.2000 2.s987 2.6565 0.6337 o 2812 l 4.3880 0.2548 1465-8929

32 27

1;76

0.4'736

1.400

18.00

3.7800

0.291

29

8.75

0.86 r3

0 322

z9 28

8.25

0.178

3.56

0.148

27

190

0.9338 0.4984 0.3996

0.872

21

16.5

1.83

0.091

29

280

21.332

34.3

304.12

l2

0.2639 43.3419

l9) 240.2500 72.2500

19

s2.0800 9. l 200 s.6320 48 6000 25.3750 23.92s0 9.9680 s.1300 34.6s00 8.1200 627.800

Q,

2.8900 4.4lOO

5.690

0.148

2.6244

0.0306

0.02t9 1.9600

0.0882 0.1037 0.031 7

o.0219 0.'7604

Multiplicando la ecuación (7.43) (7 .44) por 14, se obtiene:

t4035.01216 =

por

r 1025.000

615.0400 14.4400 3.0976 324.0000 76.5625 68 062s t2.6736 3.6100 272.2500 '7.8400

-21.332 y la ecuación

1067.322576 a¡

- l24.9Ota1

+

41.37

1..5. Multiplicando la ecuación (7.46) por 124.901 (7.47) por 1067.322576, se obtiene: t I t t.46) x 124.901: 1752987.129 = 133309.6$71 a1r

t.47) xr067.322576:

I

- 175266'7.479 = -r33309.f571

319.65

=

ar

+

a2 Q.47)

y la ecuación 15600.2598

a2

44155 .t3497

u

28554.87517a2

rk: donde:

az= 0.01LI94 I

... (7.48)

.(r. Sustituyendo (7.48) en (7.46), se obtiene: 14035.01276 = 1067.322516 a1- 124901 x 0.011194

tlc donde:

1.3.

ecuación

11.45)

-1642.116 =

8.210 0.1 75

1.4 Multiplicando la ecuación (7.43) por -34.3 y la

Yalores para el cáIculo de los parámetros

r.250

página (293)

q

=

0.87 r

-

at =

13.151048

... (7.49)

y Q.a9) en (7.43), se obtiene: 304.12 = 14 ao + 21.332 x 13.151048 + 34.3 x 0.011194 rlc: donde: ao= 1.656991 ... (7.s0) 1.7. Sustituyendo (7.48)

- 124.901a2 ... (7.46)

a"= 1.656991 at = 13.151048 az = 0.0L1194

Correlación y regresión

-

página (294)

Siendo la ecuación de regresión múltiple: Q = 1.656991 + 13.151048 A + 0.01 ll94

Hidrologfa Estadística

-

página (295)

donde:

I

= l7l.Og84 , I de la columna (6) de la tabla 7.5 n= 14 , número de grupos de la muestra p =3 , número de parámetros a estimar (ao, a1, a2)

... (7.s1)

2. Uttlizando la ecuación (7.51) para los valores experimentales,

Ze2

se

obtienen los valores estimados del caudal, los que se muestran en la columna (4) de la tabla 7.5.

=

3. La diferencia entre el valor experimental y el valor estimado del caudal con la ecuación (7.51), representa el error, estos valores se muestran en la columna (5) de la tabla 7.5. Tabla

7.5

Cálculo del caudal estimado y del error

.5. De la ecuación (7.38),

^§e

se tiene:

$=*lEo'-no') donde:

2Q'=

o

19960.0742, (columnas (9) de lafablaT.4)

304.12

experimental

Q= *

(3) 18.1148

=21'722857

n=14

-2.6148 luego:

13.13s1

1

=

,s1 - ltsoao.ot +2 "a - L4-1"'uu'u'-u

110.4374 1

.8148

t4x2t.7zzg57rf - rrl\'

lozl.z}9l52

S'a=

(r. De la ecuación (7.36), se tiene:

R'^= 1

Sez

-----Sí,

tklnde: Se2

4.

» De

la

ecuación (7.34), se tiene:

»7 J¿=\n-

p

=3.943907

S'a=

171.0984

= 3.9439072 =

lo2l

15

.5544

-209152

lucgo:

^ R-=l R2

=

155544

1027.209152 0.984858

Correlación y regresión

-

página (296)

Hidrología Estadística

R = 0.9924

.

En la ecuación (7.51): Q = 1.656991 + 13. 151048 A + 0.01 Il94 para: 7

Q = 1.6570+ 13.

I

se tiene:

A = 1.656991 + 13.151048 x 4 + 0.01 Il94 x

¡

1.5

HidroEsta permite resolver el problema de la ecuación de regresión lineal múltiple, la aplicación perrnite calcular: . Parámetros: do, aj, dz, . . . . Coeficiente de determinación múltiple'. R2 . Coeficiente de correlación múltiple: . Effor estándar estimado: ,S¿ . Valor de la variable dependiente para conjuntos de valores de las variables independientes Los resultados obtenidos con la aplicación, permiten una mayor aproximación en los decimales.

la opción Regresión/Regresión var. independientes de HidroEsta, se obtienen los

Para los datos indicados, utilizando

resultados que se muestran en la figura 7.4.

i(l

ln

H^2

0.ss3E 0.9872

3.S43S

[ 9688 0 9388 Figura 7.4 Modelos de comelación múltiple

4.7153

+0 ü112 i42 Y = 1.ris7ll +13.151 U y= 11 3383X1^trt t2rl6l y2^t0 38751

0.0ll2l

Eorrelación lineal múltiple

Proceso cornputacional

cuEciúrr

104 +

Aplicar ecuación:

0 = 54.28 m3/s

E

15

tiene un coeficiente de correlación y determinación mayor. Con esta ccuación para A = 4 km2 e I = 1.5 cml24h, se obtiene un caudal Q = 54.2780 m'/r, cuyo resultado se muestra en la figura 7.5.

I = 1.5

2

página (297)

De la figura 7.4, se observa que el modelo de correlación lineal rnúltiple de la forma:

A_Á /1 -+

múltiple

-

Valor

deXl; l¡-

Valor

deX2:

L

ILS

-

I I

I

t

{^

con corelación potencialmúltiple

i J

Figura 7.5 Uso de la ecuación de regresión lineal múltiple

7.ll

Ecuación de regresión no lineal múltiple

l,u forma general de una ecuación de regresión no iineal múltiple es: .,, (7.52) ! = aoxrot xro'*r"

.....

ll misma que es posible transformar con un adecuado artificio,

en

u¡la ecuación de regresión lineal múltiple, de la siguiente forma: l. Tomando Iz a ambos miembros de Ia ecuación (7.52), se tiene: ln y - lnao + arlnx, + arlnx, I arlnxr+. . .

)..

Haciendo:

lny-z

Correlación y regresión

- página (299)

Hidrología Estadística

.

lnao- a'o lnxl - y¡,

-

página (299)

Valor de la variable dependiente para conjuntos de valores de las variables independientes.

lnx2= Y¡.-

,*t..*,

7.12 Ecuación de regresión polinomial l,n ecuación polinomial de grado m es: ! = ao + afl + arx' + arx3 +....+a^x^

se tiene:

z = a'o +

atwt + azwz + a3w3 +....

... (7.s3)

La ecuación (7.53) es una ecuación de regresión lineal múltiple, similar a la de la ecuación (7.32).

Por ejemplo, en hidrología existe una fórmula utilizada para el cálculo de la intensidad máxima:

,

max

KT'

... (7.s4)

l\rra el ajuste de los pares de valores, se puede utilizar la tnetodología descrita para el caso de una ecuación de regresión li¡real múltiple, siendo las ecuaciones normales:

X, = aon+at)r* orZ*' +or\*'+....+a^x^

E*, = ooZ* + or\*' + ar\x3 + ar\xa +....+a^x**l E*'y = aoEx' + ar\x' + ar\xo + or\*t +....+a^x^*2

Du

cuyos parámetros K, a y á se pueden determinar a partir de una correlación múltiple entre las variables, donde: Z- período de retorno D = duración de la lluvia I máx = intensidad máxima

L*^y

Proceso computacional

7.

HidroEsta, permite resolver el problema de la ecuación de regresión potencial múltiple, el programa permite calcular: . Parámetros ao, ab a2,.... . Coeficiente de determinación múltiple: . Coeficiente de correlación múltiple: R R2 . Error estándar estimado: .§¿

=

aoEx^ + ar\x^*' + ar\x^*' *or}*^*t+....+a^x2^ ... (7.ss)

I

[3

Problemas propuestos

De una prueba de infiltración, con cilindros infiltrómetros, se n obtuviel de datos: leron ln los ssl T De T (cm) (min) lmin) lcm)

4

5 10 15

20 25

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

75

3.8 8.0 9.6

200 255 300 450

1.0 14.5

1

Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (300)

donde:

T : tiempo en min. D": láminaacumulada

en cm.

Usando un polinomio de segundo grado:

.

Usando un polinomio de tercer grado:

Q=aota.th+a2h2 Q,=aotath+a2h2+a3h3

1.1. Realizar los cálculos, para ajustar por el método de mínimos

D^=at'

'

calcular los parámetros ¿ y á y los coeficientes de correlación y

determinación.

Graficar los datos en papel milimétrico, en papel semilogarítmico y en papel log-log. calcular con la ecuación ajustada los valores de Da q'e corresponden a los T dados y graficar los puntos obtenidos en

los mismos papeles.

1.2. Realizar los cálculos para ajustar los datos: . alaecuaciónlineal : Du=a+bT . a la curva exponencial: Du = agr Indicar de acuerdo a los resultados obtenidos para los coeficientes de correlación, cual sería la curva que se ajusta mejor a los datos de

2.3. En un papel milimétrico plotear: ¡ Datos empíricos de la tabla . Ecuación potencial teórica ajustada . Ecuación polinomial de 2" orden ajustada . Ecuación polinomial de 3"' orden ajustada

2.4. Calcular su coeficiente de correlación Tabla 7.6. Valores de altura en el limnímeho y sus caudales correspondientes I

prueba.

1'3 Plotear en un papel milimétrico los datos experimentales z y Dr, y las curvas teóricas: lineal, exponencial y potencial.

2. En una estación de aforo de un úo, se han medido las alturas de escala en el limnímetro y los caudales aforados para esas escalas, las mismas se muestran en la tabla7.6.

2.1. Hallar la ecuación

.

de calibración que relacione la lectura en el limnímetro (escala), con el caudal. Usando un modelo de la forma:

Q=ahb

página (301)

.

Se pide:

cuadrados a la curva potencial:

-

3.

h

o

lm)

tmslsl

1

2.45

531

2

1.51

3

1.48

294 288

4 5 6 7 8 9 10

.o.78

11

5.80 6.00 4.16 5.58 3.80 4.08 2.63

12

1.11

1s9 635

1

1705 1089

I

13 14 15 16 17 18 19

1560 937

20

1013

22 23

616

21

h

o

fml

tm3lsl

1.01

201

o.71 0.51

146 120

o.52 0.50

111 81

2.O2

449

1.72 1.92 1.35 1.28 1.40

369 422

266 247

280

210

En la tabla 7.7 se muestran las intensidades máximas I en mm/hr, para duraciones de 5, 15, 30, 60, 120, 240 y 480 min, y para períodos de retorno 7 de 50, 30,20,10 y 5 años.

Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (302)

-

página (303)

¡

Hallar la ecuación de la forma: Y =173- abx r¡ue relaciona estas variables, así como su coef,rciente de correlación. . Calcular Y,paraX= 14

3.1. Encontrar la ecuación de regresión:

I=m: DO que relacione estas variables

3.2. Encontrar la intensidad máxima I, para un período de retorno T = l0 años y una duración D = 45 min.

.5. La tabla 7.9 muestra los valores correspondientes a 3 variables X], X2, Y.

Tabla 7.7 Yalorcs de intensidad máxima 1, duración retorno Z, de las precipitaciones

'l'i¡hla 7.9 Variables

.20 10 5

30_

30

5

15

30

60

120

240

232 230 220 210 170

220 210 200

130

82 80 72 64 60

70 65 60 50 42

180

180 160

105 100

90

Y.

Tabla 7.8 Variables X,

x

Y

17 17 14.4 12.8 14.3 14.8 13.6

169

170 170 159

165 166

16-2

f

32 16 8 4 2

30_

235 233 230 225

120

n

\ 30 30 30 30 30

480 58 52 50

4.La tabla 7.8, muestra los valores correspondientes X,

de

I (mm/hora) D (min)

T (años) 50 30

D,y período

19 17

¡

1

0.5 0.25

xl

Y

4.51

4.3 4.3 4 3.8 3.7 3.4 3.6

40 40 40 40 40 40 40 40

Y

n 32 16

8 4 2 1

05 o.25

Y

x1

n

4.5 4.25

50

32

50

16

4.1

50

I

4.6 4.2

4

50 50 50 50 50

4 2

4 4 4

3.9 3.75 3.7 3.6

1

0.5 0.25

Y

3.8 3.8 3.8

I'lallar la ecuación:

Y a las variablee

Xl, X2,

- a"Xi'X;'

r¡rrr: r'elaciona estas

variables, así como su coeficiente de correlación.

(lalcular Y paraXt = 35 y Xz= 3

lin el laboratorio de hidráulica del ITCR, se trató de encontrar la ccuación de calibración de un vertedero triangular con ángulo de ()0o, del experimento realizado se obtuvieron los datos de carga h y caudal Q, que se muestran en la tabla 7.10. Indicar entre la ccuación lineal, exponencial y potencial, cual es la ecuación de calibración, que relaciona mejor los pares de datos de carga vs caudal.

Correlación y regresión

-

Hidrología Estadística

página (304)

0.19 1.36 2.O2

2.15 3.15

Caudal Q (lps) 0.037974 0.057915

tt.

0.113981 0.115118

0.292397

Se sabe que las variables ecuación:

máximos de la estación D en función de sus afluentes principales A, B y C.Para obtener la relación deseada, se eligieron sobre las

las

estaciones hidrométricas más representativas, de las cuales para las 4 estaciones se tienen registros de caudales desde 1996 al 2003,1os mismos que se muestran en la tablr 7 .l l. Tabla 7.11 Caudales máximo de las estaciones A, B, C, D Año

Qa

994

tm3lst 325

1

Qb tm3lsl

Qc lm3lst

555 1209

931

828 642

739

995 1 996 1 997 1 998 1 999 2000

327

774 604 856

2001

341

2002 2003

1

600

290 157

287

od fm3lsl

777 853

3295 1735

800

4037

748 793

2038 2621

522

1778

541 0

625

1118

2245

670

1272

1145

5233 2696

225

1

En una área sembrada de banano se tiene instalado un sistema de drenaje subterráneo. En una sección de ésta se hicieron las mediciones de los parámetros h (carga en el centro del dren) y Q (caudal descargado por el dren), cuyos resultados se muestran en

latabla7.l2.

7. se desea conocer la relación existente entre los caudares corrientes afectadas,

página (305)

Considerando los modelos de regresión lineal múltiple y potencial múltiple (la que mejor se ajuste), se desea completar los datos faltantes para la estación D, para los años 1994 y 1995 a partir de los datos de las estaciones A, B y C.

Tabla 7.10 Datos de carga h, en cm, y caudal e, en lps Carga h (cm)

-

h y Q se relacionan con la siguiente

Q=ah+bh2

. ,

Determinar los parámetros de la ecuación Determinar el valor de Q, si h = 0.82

'labla 7.12 Yalores de l¡ y Q obtenidos de las mediciones de campo

h

o

0.16

4.3

0.51

17.28

0.60 0.63 o.70 o.75 0.80 0.85 0.90

22.68 25.20 28.08 31.32 34.20 37.44 41.04

Análisis de consistencia tl.

lil

I

Introduccion

o

especialista que desea desarroilar un estudio lridrológico, debe buscar la infonnación de la cuenca en estudio, en It¡s instituciones encargadas de su recopilación, pero una vez que dstu se ha obtenido, una de las interrogantes que se debe hacer es: confiable la información disponible? ¿,1,)s

hidrólogo

l,rr respuesta a esta pregunta, se obtiene realizando un análisis de consistencia de la información disponible, mediante criterios físicos y métodos estadísticos que permitan identificar, evaluar y eliminar kls posibles errores sistemáticos que han podido ocurrir, sea por t'nusas naturales u ocasionados por la intervención de Ia mano del Itombre. l,¡r no homogeneidad e inconsistencia, son los causales del cambio a r¡ue están expuestas las informaciones hidrológicas, por lo cual su

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (309)

página (308)

xt

estudio, es de mucha importancia para determinar los errores

información lridrometeorológica

sistemáticos que puedan afectarlas. Inconsistencia es sinónimo de error sistemático y se presenta como saltos y tendencias, y no homogeneidad es definido como los cambios de datos vírgenes con el tiempo.

La no homogeneidad en una serie de tiempo hidrológica, se debe a factores humanos (tala indiscriminada de una cuenca, construcción de estructuras hidráulicas, etc.) o a factores naturales de gran significancia, como los desastres naturales (inundaciones, derrumbes, etc.) ocasionados en Costa Rica tanto por el huracán Joan como por el huracán César.

La inconsistencia de una serie de tiempo, está dada por la producción de errores sistemáticos (déficit en la toma de datos, cambio de estación de registro, etc.).

Irigura 8.1 Serie con componente transitoria en la forma de salto xt ínformación hidrometeorológica

Esta inconsistencia y no homogeneidad se pone de manifiesto con la presencia de saltos y/o tendencias en las series hidrológicas (las

cuales se muestran en las figuras 8.1 y 8.2 ), afectando las características estadísticas de dichas series, tales como la media, desviación estándar y correlación serial .

Figura 8.2 Serie con componenre rransitoria tendencia

El

análisis de consistencia de la información, es el proceso que consiste en la identificación o detección, descripción y remoción de la no homogeneidad e inconsistencia de una serie de tiempo hidrológica .

la

serie histórica para

el

modelamiento, es necesario efectuar el análisis de consistencia respectivo, a fin de obtener una serie confiable, es decir, homogénea y consistente.

1"

f"JiIá:

lrl análisis de consistencia de la información hidrológica, rr

Antes de utilizar

"r

. . .

rcdiante los siguientes procesos:

Análisis visual gráfico Análisis doble masa Análisis estadístico

T

se realiza

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (311)

página (310)

l. Cuando se tienen estaciones

8.2 Anátlisis visual grafico En coordenadas cartesianas se plotea la información hidrológica histórica, ubicándose en las ordenadas, los valores de la serie y en las abscisas el tiempo (años , meses , días , etc).

Un ejemplo de una serie de caudales promedio anuales se muestra en la figura 8.3. Este gráfico sirve para analizar la consistencia de la información hidrológica en forma visual, e indicar el período o períodos en los cuales la información es dudosa, lo cual se puede reflejar como " picos" muy altos o valores muy bajos, saltos ylo tendencias, los mismos que deberán comprobarse, si son fenómenos naturales que efectivamente han ocurrido, o si son producto de errores sistemáticos .

60

I

a 50 (f)

E

40

o

30

,Y

/ I

t

\

r

/

A

V

¡

J \^ A

A

lijemplo 8.1:

'l'abla 8.1 Caudales promedios anuales en m'/s del río Bebedero, ¡rcríodo 1954-1993. Año

o

Año

tm3lsl

20

954 955 1 956 1 957 1 958 r 959 I 960 1

10 0

l,a interpretación de estas comparaciones, se efectúa conjuntamente con el análisis doble masa.

I)ada la serie de caudales promedios de la estaci6n0762001 del río llebedero, que se muestra en la tabla 8.1, elaborar el hidrograma.

80 70

vecinas, se comparan los gráficos de las series históricas, y se observa cuál período va¡ía notoriamente uno con respecto al otro. 2. Cuando se tiene una sola estación, ésta se divide en varios periodos y se compara con la información de campo obtenida. 3. Cuando se tienen datos de precipitación y escorrentía, se comparan los diagramas, los cuales deben ser similares en su comportamiento.

1

.ü (O O) N lJ) @ r (o F.- t- t- @ §ó F(o CA (o (o r.r) F* rr) O @O cD

o, o) o) o, o) o, o) o) o) o) o) o) o)

(O

o) o)

-Frr-rrF-F

T años

r

Figura 8.3 Serie histórica de caudales promedios anuales.

r r

Para conocer la causa del fenómeno detectado, se puede analizar de diversas formas:

961

962

963

o

10.50 14.30

1971

10.10

1

1972

4.82

1982

55.20 42.60

11.70

983

44.10

1

7.51

1

s.83

8.55 8.16 7.83 5.35

o

964 965 1 966 1 967 1 968 1 969 1 970

1

973

10.10 9.65 7.51

Año

rm3ls) 1974 975 1 976 1977 1 978 1 979 1 980

13.30

21.00 11.10 5.22 4.40 6.71

Año

tm3/s) 1

1

981

8.41

8.68 6.10 5.33 6.68 38.00

s6.90

984 985 1 986 1 987 1 988 1 989 1 990 1

1

1 1 1

991

992 993

o tm3ls) 41.90 44.70

46.90 32.00 36.20 37.50 33.10 73.00 63.50 72.40

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (313)

págita (312)

relacionado a errores, que pueden producirse durante la obtención de los mismos, y no para una corrección a partir de la recta doble masa.

Solución: Graficando los pares de valores se obtiene la figura 8.4, en la cual, en el eje de la abscisas se coloca el tiempo en años, y en el eje de ordenadas el caudal en m3/s. 80 7A

60

o50 cf)

El diagrama doble masa se obtiene ploteando en el eje de las abscisas los acumulados, por ejemplo, de los promedios de los volúmenes anuales en millones de m31MM), de todas las estaciones rle la cuenca y, en el eje de las ordenadas los acumulados de los volúmenes anuales, en millones de m3, de cada una de las estaciones cn estudio, como se muestra en la figura 8.5. 5 quiebres Acumulade de <;ada estación

5-40

ogo

hidro"

rneteolológica

20

2 qurebres se eligs conÉ estacrón base

10 0

3 qurebres

sf

l'.(o lr) r.c) O o, o, o) rrrr

«) (o o)

(oorc\tto@r (o (o f'- F- l*o, o, o, o) o) trrrrr

co

o)

S l"* O 6@O)O)

o) ct o, rr

Cr)

o,

Tiempo en años Figura 8.4 Serie histórica del ío Bebedero. Realizando el análisis visual de la serie histórica, se observa que a partir del año l9l9 se produce un salto, esto se explica físicamente, ya que en ese año existe un trasvase al río Bebedero, al entrar a operar el proyecto hidroeléctrico Arenal-Tempisque.

8.3 Análisis doble masa Este análisis se utiliza pata tener una cierta confiabilidad en la información, así como también, para analizar la consistencia en lo

ff tlixrtr sñ l:;3r3ffi IJSL Figura 8.5 Análisis doble masa para determinar la estación "base l)c estos doble masas se selecciona como la estación más confiable, lir que presenta el menor número de quiebres, en el ejemplo de la ligura 8.5, corresponde a la estación C, la cual se usa como estación lrirse para el nuevo diagrama doble masa, es decir, se vuelve a t'onstruir el diagrama de doble masa colocando en el eje de las ¡rbscisas la estación base y en el de las ordenadas la estación en cstudio, como se muestra en la figura 8.6.

Anrálisis de consistencia

-

página (314)

Hidrología Estadística - página (315)

AcumularJo de

la ostaeión sn osturiio

1

9i6

se procede al análisis estadístico de saltos, tanto en en la desviación estándar.

la media como

Análisis de Saltos 1. Consistencia de la Media

El análisis estadístico consiste en probar, mediante la prueba t (prueba de hipótesis), si los valores medios (\,i) de las

n1'n2'n3

submuestras, son estadísticamente iguales o diferentes con una probabilidad del 95Vo o con 57o de nivel de significación, de Ia siguiente manera: Acr¡mulado de la estacíón base@

Figura 8.6 Análisis doble masa para obtener los períodos de estudio (en este c&So fl1, Ilz, n¡)

a

)

Cálculo de

l=+¿.,

El

análisis doble masa propiamente dicho, consiste en conocer mediante los "quiebres" que se presentan en los diagramas, las causas de los fenómenos naturales, o si estos han sido ocasionados por effores sistemáticos. En este último caso, permite determinar el rango de los periodos dudosos y confiables para cada estación en estudio, la cual se deberá corregir utilizando ciertos criterios estadísticos. Para el caso de la figura 8.6, el análisis de doble masa, permite obtener los períodos, h1, h2, tg, e\a deben estudiarse, con el análisis estadístico.

8.4 Análisis estadístico Después de obtener de los gráficos construidos para el análisis visual y de los de doble masa, los períodos de posible comección, y los períodos de datos que se rnantendrán con sus valores originales,

la media y de la desviación estándar para las

submuestras, según:

i s,(x)=

i#l(,, -il,]u ...(8.1)

, = ;2.,

; Sz(x) =l#Í¿G, -iY11'

donde:

xi = valores de la serie del período xj = valores de la serie del período 2 1

xt , x2 = media de los períodos I y 2 respectivamente Sr(x) , ,Sz(x) = desviación estándar de los períodos 1 y 2 respectivamente n = tamaño de la muestra nt, hz = tamaño de las submuestras

n=nt + n2

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (317)

página (316)

b) Cálculo del I calculado (f") según:

. (f -ü-(p,,adonde:

Ff[tz=0

p,) ...(8.2)

E

(por hipótesis, la hipótesis es que las medias son iguales)

quedando:

...(8.3)

. Si I r" I , tt (95Vo) J i, * x, (estadísticamente) En este caso, siendo las medias 7, É corregir la información.

x,

estadísticamente, se debe

Ir

t

t, = s,L;;.irl,

El análisis estadístico consiste en probar, mediante la prueba F, si Ios valores de las desviaciones estándar de las submuestras son

)

...(8.4) 1

(,, - r)si +( n2-- r)sj nt+nz

-L

a

1¡

l

S; = desviación

¡nr_

de las diferencias de los promedios

...(8.s)

Sp = desviación estándar ponderada

s|(*)=[#)t G,-i)'

c) Cálculo

del t tabular t,: El valor crítico de / se obtiene de la tabla

/ de Student (tabla 4.5 del 95Vo, ó con un nivel de

apéndice), con una probabilidad al significación del 57o, es decir con aJ2

tfiz-2.

estadísticamente iguales o diferentes, con w 95Vo de probabilidad o con un 57o de nivel de significación, de la siguiente forma: a) Cálculo de la» variaozas de ambos períodos:

s,'zr,r=[-+ll(,, -l)' t)i=t

siendo:

libertadV=rll

debe realizar proceso de corrección.

2 . Consistencia de la Desviación Estándar

además:

,, =[

d) Comparación del f, con el fr: ' Si I t, I
=

0.O25

y con grados de

b) Cálculo del F calculado (F"), según:

s,'(') ,,=ffi

,

si Si(x)>

S22(x)

...(8.6)

Sr'(')

' = si_,(x)

F^

si,sr2(x)> s,r(x)

Análisis de consistencia

c)

-

página (318)

Hidrología Estadística - página (319)

Cálculo del F tabular (valor crítico de F ó F,), se obtiene de las tablas tr' (tabla A-4) para una probabilidad del95Vo, es decir, con un nivel de significación cr = 0.05 y grados de libertad:

G.L.N = .ra-11 , si G.L.D = nz -l)

,Sr(x)

+

(x) + x,

...(8.8)

clonde:

Análisis de Tendencias

G.L.N = grados de libertad del numerador G.L.D - grados de libertad del denominador

+

' S,

La ecuación (8.7), se utiliza cuando se deben corregir los valores de la submuestra de tamaño ry,y la ecuación (8.8), si se deben corregir la submuestra de tamafio n2 .

donde:

Si Fc > Ft (95Vo)

il,

= valor corregido de saltos rr = válor a ser corregido

G.L.N =nz-11 , si Sr2(x)> sf (x) G.L.D = nrl)

'

x.-x"

Xi,¡

,s,'(r), Sle)

d) Comparación del Fc con el Fr: . Si Fc < Ft (957o) j Sr(x) =.Sz

X(,, =

(x) (estadísticamente)

Sz@) (estadísticamente), por 1o

Antes de realizar el análisis de tendencias, se realiza el análisis de saltos y con la serie libre de saltos, se procede a analizar las tendencias en la media y en la desviación estándar.

[. Tendencia en Ia Media

que se debe corregir

La tendencia en la media Tm, puede ser expresada en forma general por la ecuación polinomial: Tm = A^+ Bmt + C^t2 + D.t3 ... (8.9)

3. Corrección de los datos

+.......

En los casos en que los parámetros media y desviación estándar de las submuestras de las series de tiempo, resultan estadísticamente iguales, la información original no se corrige, por ser consistente con 957o de probabilidad, aun cuando en el doble masa se observe pequeños quiebres. En caso contrario, se corrigen los valores de las submuestras mediante las siguientes ecuaciones:

xio

=ffi

.s,(x) + x,

...(8.7)

y en forma particular por la ecuación de regresión lineal simple: ' Tm =,4'n + B-t ... (8.10) donde: I = tiempo en años, tomado como la variable independiente de la tendencia

t =1,2,3,.....,n 7m = tendencia en la media, para este caso: Tm= Xi¡ valor corregido de saltos, es decir, datos a usarse para el cálculo de los parámetros

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (321)

página (320)

A*, B^, C^, D^,..' = coeficientes de los polinomios

1

de t-

regresión, que deben ser estimados con los datos

I

sr =l

ser estimados por el método de mínimos cuadrados, o por el método de regresión lineal múltiple.

Ilz

El cálcuIo de la tendencia en la media, haciendo uso de la ecuación (8.10), se realiza mediante el siguiente proceso:

simple

A*=T^-I'B^ B. =

sR'-j= J1

s,= además:

\=:2'* =i2*,,, 1« .r*

i lt,

I

I-

b) Evaluación de la tendencia Para averiguar si la tendencia es signiñcativa, se analiza el coeficiente de regresión Btn o también el coeficiente de correlación R.

El análisis de R según el estadístico f, es como sigue: l. Cálculo del estadístico /" según:

¡=i2,, t .T^ =

l

= promedio de las tendencias 7,n, o promedio de los datos corregidos de saltos X'11¡ t - promedio del tiempo r Sr. = desviación estándar de la tendencia de la media Tm §t = desviación estándar del tiempo r

... (8.12)

donde:

llL]

I I

fu

...(8.11)

... (8.13)

n-l

t

Los parámetros de regresión de estas ecuaciones, pueden

a) Cálculo de los parámetros de la ecuación de regresión lineal

Z(r--.)'

l;

'

nJn-z J1- R'

donde: ... (8.14)

= valor del estadístico r calculado. n = número total de datos R = coeficiente de correlación fc

... (8.1s)

Anrálisis de consistencia

-

página (322)

Hidrología Estadística - págha (323)

2. Cálcúo det¡ El valor crítico de /, se obtiene de la tabla de / de Student (tabla ,4.5 del apéndice), con 95Vo de probabilidad o con un nivel de significación del 5 Vo, es decfu:

!

2

= o.ozs

G.L. = n-2 3. Comparación del t" con el t¡ Si lhl
.

.

hQ5Vo) + R si es significativo. En este caso, la tendencia es significativa y hay necesidad de corregir la información de tendencia en la media.

Si

lr"l,

c) Corrección de la información: La tendencia en la media se elimina haciendo uso de la ecuación: y, = Xrr,., _T^ ... (8.16) ó Y,

= x(,¡ -(,q* + B^t)

... (8.17)

donde T^ es el promedio de la tendencia en la media o promedio de los valores corregidos de saltos.

2. Tendencia en Ia desviación estríndar Según Salas "la tendencia en la desviación estándar, generalmente se presenta en los datos semanales o mensuales, no así en datos anuales". Por lo que, cuando se trabajan con datos anuales, no hay necesidad de realizar el análisis de la tendencia en la desviación estándar.

La tendencia en la desviación estándar Ts, se expresa en forma general por la ecuación polinomial:

T, = A, + B,t + C,t' + D,t3 + ... (8.r8) y en forma particular, por la ecuación de regresión lineal simple: T,=4"+B,t ... (8.re) donde : 4 = tendencia en la desviación estándar T, = Y, valor corregido de tendencia en la media, es decir, datos a usarse para el cálculo de los parámetros r = tiempo en años

t=I,2,3,....,fl

donde: X'<¡ = serie corregida de saltos T^ = tendencias en la media, obtenida de la ecuación (8.10) = serie sin tendencia en la media

Yt

Xt preserve la media constante, se devuelve el promedio de las X't ó Q, luego las ecuaciones (8.16) y (8.17), Para que el proceso

toman la forma:

= X(,¡ -T^ +T^ Y, = X(o -(o* * 8,,.r) * Y,

.,..

r-

(8.18)

... (8.1e)

4", 8", C", Dr,.. = coeficientes de los polinomios de regresión que deben ser estimados con los datos l'ara calcular y probar si la tendencia en la desviación estándar es significativa, se sigue el siguiente proceso: rr)

La información ya sin tendencia en la media Y¡, se divide peíodos de datos anuales.

en

Análisis de consistencia

-

página (324)

Hidrología Estadística - página (325)

,,=T'1*T

b) Se calcula las desviaciones estándar paru cadaperíodo de toda la información:

,,=[+á {,,-r)'f;

... (8.20)

donde: §p = desviación estándar del año p, es decir de los datos mensuales del año p Yp = serie sin tendencia en la media fp = promedio de datos mensuales del año p

p =1,2,3,..,.,12

c) Se calculan los parámetros de la ecuación (8.19), a partir de las desviaciones estándar anuales y el tiempo r (en años ), utilizando las ecuaciones de la (8.11) a la (8.14), dadas para la tendencia en la media

d) Se realiza la evaluación de Zs siguiendo descrito paraTm.

el mismo proceso

x(¡

-r.

...

T,

(8.21)

ni en la desviación variables han sido definidas en piárrafos

donde: Z,

= serie sin

estándar. anteriores.

Las

Para que

el proceso preserve la media y la desviación estándar

demás

tendencia en la media

constante, la ecuación toma la forma:

donde T,,T^ son los promedios de la tendencia en la desviación estándar y media respectivamente.

La seie Z, es una serie

homogénea

y

consistente

al

95Vo de

probabilidad.

Ejemplo 8.1: Con el registro de volúmenes anuales de caudales en MIVÍ3, que se muestra en la tabla 8.2, se realizó el análisis de doble masa, y se obtuvo un quiebre que permitió separar los datos en los peúodos 1964-1985 y 1986-1999. Realizar el análisis estadístico de saltos en la media y desviación estándar para ambos períodos. Si obtiene diferencia significativa (al 95 Vo de probabilidad), rcalizar la corrección del primer período. Tabla 8.2 Volúmenes anuales de caudales en MM3

Si en la prueba R resulta significativo, la tendencia en la desviación estándar es significativa, por 1o que se debe eliminar de la serie, aplicando la siguiente ecuación: Z,

... (8.22)

Año

xt

Año

xt

1964

534.509

1982

318.882

1

965

404.034

1

983

1

966

504.878

1

984

450.2

1

967

444.O32

1

985

386.957

1

968

842.122

1

986

668.201

1

969

437.47

1

987

536.824

1970

264.O4

1

9BB

598.446

1971

464.628

1

989

573.582

1972

436.716

1

990

569.369

31

'1

.313

Análisis de consistencia

-

1973

493.988

1

991

330.482

1974

372.984

1992

949.436

1975

333.735

1

993

260.183

1976

645.182

1

994

430.169

1977

612.295

1

995

577.293

978

620.76

1979

557.882

1997

1

980

494.515

1

998

792.781

1

981

362.1 99

1

999

640.843

1

1

996

Hidrología Estadística - página (327)

página (326)

502.513

rkrnde:

s;

=

1

t

srl -+-

1-1,

... (8.24)

I

nt n, -)

t

-

se

+(", nrlnr-2

r)s,'

-ls] t, ]

1055.812

. (8.2s)

Srrstituyendo valores en la ecuación (8.25), resulta:

ztxr166o.3os7 + 13x 4657t.$181:

Solución:

" -f "n-L

.

SP= 1694542

Períodos De acuerdo a la condición del problema, se tienen los períodos: Peúodo I 1964 1985: nt=22 Período 2 L986 1999: nz= 14

-

.

Cálculo de los parámetros de cada período Utilizando el conjunto de fórmulas (8.1), se obtiene los parámetros de cada período: Xt = 467.8782 Xz = 606.1381 S2t

St

.

=

17660.3057

= 132.8921

S2z= 46571.8378 Sz = 215.8051

Evaluación de la consistencia en la media

Cálculo del /, De la ecuación (83), se tiene: 1.

x,-x^

t,=-?

.)-a

... (8.23)

3¡

-l

Sustituyendo valores en la ecuación (8.24), resulta: 1

s.=169.45+Zlt*l-l' " 122 t4) S¿ = 57 '9333 Srrstituyendo valores en la ecuación (8.23), resulta: tÚc

-

467.8782- 606.1381 51.9333

t"= -2.3865 .1. Cálculo del t tabular t,: Irl valor crítico de / se obtiene de la tablaA.5 del apéndice, con una ¡rrobabilidad al 957o, ó con un nivel de significación del 5%o, es rlccir con aJ2 = 0.025 y con grados de libertad v = 22 + 14 - 2 = 34. l'¿rra estos

tt= 1960

valores, se tiene:

Anrflisis de consistencia

-

página (328)

Hidrología Estadística - página (329)

3. Criterio de decisión

Como ld=2.3965> tr= 1.960 -+ xl+x, (estadísticamente) En este caso, siendo las medias xr* x-, estadísticamente, se debe corregir la información.

.

(

(1964

\ + 72 y Sr(x) * S2(x), para corregir los datos del 1"' período - 1985), se usa la ecuación (8.7): 1/' _ x,' -.x,:.Sr 1x) + x, ^(¡) S,(r/

Evaluación de la consistencia en la desviación estándar S

1.

'omo

rrstituyendo valores, resulta:

Cálculo de F"

xi., = (¿

'

x' - 467.!782 xzt5.go5t + 606.1381 132.8921

De la ecuación (8.6), se tiene: ,s^2lx)

F' =# §'" (x)

X', =1.6239x, - 153.6550 ... (8.26) llsando la ecuación (8.26) se corrige el período (1964

, si,Sr2(x)> S,,(x)

Sustituyendo valores, resulta: 46s71.8378

rcsultados obtenidos, se muestran en la tabla 8.3.

'

'l'abla 8.3 Resultados del análisis de saltos

n660.3057 F"=2.6371 2. Calculo de Ft Este valor se obtiene de la tabla A.4 para una probabilidad del95vo, es decir, con un nivel de significación cr = 0.05 y grados de libertad: G.L.N = l4-r = , si ^srz (x) > sf (x)

l3l

G.L.D =22-1=21) En la tabla A.4, paru G.L.N =

12 y

G.L.D =

21, se obtiene: F,

2.25

-

3. criterio de decisión

Ft=2.25 -+ §r(x) t Sz@) (estadísticamente). En este caso, siendo las desviaciones estándar ,S1(x) + Sz(x) Como F"=2.6371>

estadísticamente, se debe corregir la información.

'

Corrección de la información

Año

xt

1

964

714.3342

1

982

364.1775

1

965

502.4558

1

983

351.8862

1

966

666.2164

1

984

577.4248

1

967

567.4086

1

985

474.7245

1

968

1213.8669

1

986

668.201

1

969

556.7525

1987

536.824

1970

275.1196

1

988

598.446

1971

600.8544

1

989

573.582

1972

555.s281

1

990

569.369

1973

648.5321

1

991

330.482

1974

452.4337

1992

949.436

1975

388.2973

1

993

260.183

976

894.0560

1

994

430.169

1

Año

xt

-

1985), los

Anrálisis de consistencia

-

página(330)

1977

840.6s09

1

995

577.293

1978

854.3972

1

996

502.513

1979

752.2896

1997

1055.812

1

980

649.3879

1

998

792.781

1

981

434.5200

1

999

640.843

Hidrología Estadística - página (331)

Tabla 8.4 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río Chancay-Huaral, estación Santo Domingo, Penú (1939 - 1981) Año 939 't940

16.949

1941

16.010 14.080

1

1942 1 943 't944

l, Análisis de saltos Dada la información de las tablas 8.4 y 8.5, serie de caudales

945 1 946

anuales.

1947

1

948 1 949 1 950 1

Completar el dato faltante para el año 1955 de la tabla 8.4, haciendo la correlación de los datos de la tabla 8.4 y 8.5 para los

1

años comunes. 2.

Año

Gauda!

951

1952

Graficar la serie histórica de la tabla 8.4 en papel milimétrico, hacer un análisis visual e indicar si se presenta un salto.

1

26.704 13.872 8.373

14.733 13.848 15.664 11.827 10.583 20.459 19.416 19.684

mols

1954 1955 1 956

17.690 11.485

1971

1957

10.112

1972

958 1959 I 960

9.872

14.276 12.270 21 .189

973 1974 1 975 1 976

17.023 22.148

1977 1978

1

1

961

962 1 963 1 964 1 965 1 966 1 967 1 968 1

1

8.1 88

18.055 10.480

Gaudal

969

13.641

1970

18.306 15.935 33.480 25.139 20.321

1

1

1

979 980

1

981

1

r3.632 15.395 15.277 10.026 11.300 9.613 20.69

30.1 06

8.250

Proceso:

. .

o

953

12.812

Año

m'ls

m3rc

8.5 Problemas propuestos

1.

Caudal

Acumular los valores de los caudales. Graficar el diagrama de doble masa.

1rn3ls¡ Caudales acumulados estación en estudio

T (años) J. Para estar seguro de que se presenta salto, con

los datos de las tablas 8.4 y 8.5 rcalizar el análisis de doble masa, considerando como estación base los datos de la tabla 8.5.

Caudales acumulados estación base

Análisis de consistencia

-

Hidrología Estadística - página (333)

página (332)

Graficar nuevamente

Tabla 8.5 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río Jequetepeque, estación Ventanilla, Perú (1939 - 1980) Año

Caudal

1939

mtls 22.802

1940 1941

1942 1943 194r'.

1945

1946 1947

1948 1949 1950 195r 1952 1953

22.386 28.268 13.736 31.352

25.602 27.134 23.199 22.960 28.324 34.369 15.523 13.689

28.123 72.637

Año

Caudal

Año

1961

1962 1963 1964 1965 1966

20.793 23.s95 30.560 34.191

22.688 25.087 22.306 18.445 29.O43 18.330

19.67

23.679 27.359 r4.599 34.778

1968

6.695

una vez corregida, con líneas

punteadas.

Caudal

Notas: Si tlel análisis de doble masa obtiene:

1970 1971

m3ls 21.972 22.O73 38.698

1972 1973 1974

24.518 43.620 27.522

975 1976 1977

39.454

mtls 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960

la serie

1

969

1

l97B 1979 1980

23.1s3 29.701 6.462 16.494 6.395

. .

Solo dos períodos, siga la metodología indicada 3 ó más períodos, tomar los dos primeros peíodos y aplicar la metodología indicada, luego considerando éstos 2 períodos como uno solo y el 3er período; aplicar la metodología indicada, y así sucesivamente.

.' Análisis

de tendencias

l)rrtla la información de la tabla 8.6, serie de caudales anuales.

I

(iraficar los datos de esta serie en papel milimétrico, observe visualmente e indique si se presenta tendencia'

'

llealizar el análisis estadístico de tendencias y las correcciones tle los datos si fuera el caso. Debe rcalizar solo el análisis de tcndencia en la media (para datos anuales no se presenta tcndencia en la desviación estándar).

¡ I

Observa¡ los quiebres que se presentan. Con base en los quiebres que se presentan, separar los perfodos de los años donde posiblemente se presentan los saltos.

4. Realizar el análisis estadístico de saltos y las correcciones de los datos si fuera el caso, para perfodos obtenidos del anáIisis de

doble masa. I I I

Para este análisis de saltos debe realizar: Consistencia de la media Consistencia en las desviación estándar Corrección de los datos

t

(iraficar la serie corregida.

Análisis de consistencia

-

página(334)

Tabla 8.6 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río Chicama, estación Salinar, Perú (1911 - 1980) Año

Gaudal

Año

m3ls 191

1

1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919

1920 1921

1922

959 1 960

22.88

16.39 80.83 60.08 21.55

f 938

28.01

939 1 940 1941

34.92 31.36 42.74

1942

12.94 41.16

27.71

28.63 30.27 33.43 35.16

1925 1926

64.81

15.58

1928 1929 1 930

51.26 33.48 25.79 25.80 18.93

931

16.15

1932 933 1 934

38.30 54.54 59.40

1

Caudal

935 1 936 't937

27.21

1

Año

m3ls 24.58 28.49

7.91 8.01 13.27

1923 1924

1927

Caudal

1

1

1

943

1944

'10.05

945 946 1947 1 948 1 949 1 950

35.90 33.76 29.28 19.77 29.37 30.06 9.67

I 951

10.42

1952

23.99 42.17 16.00 22.78 32.69 34.28 20.24

1 1

953 954 1 955 1 956 1 957 1 958 1 1

mtls 1

1

961

I 962

17.57

14.60' 31.14

1

963

18.20

1

964

24.69 22.99

965 1 966 1 967 1 968 1 969 1 970 1

1971

1972 1973

1974 1975 976 1977 1 978 1979 1 980 1

11.78

32.26 4.76 12.70 16.19

30.14 30.57 45.38 18.91

34.99 21.49 29.26

458 12.46

3.14

Completación y extensión 9.1 Definiciones l.ir extensión de información, es el proceso de transferencia de rnlirrmación desde una estación con nn "largo" registro histórico a (

)l

rit con un "corto"tegistro.

l,rr completación de datos, es el proceso por el cual, se llenan "ltuecos" que existen en un registro de datos. La completación es un clso particular de la extensión. l,ir extensión de datos, es más importante que la completación, por r'r¡anto modifican sustancialmente a los estimadores de los ¡»rrámetros poblacionales, por ejemplo, la media de una rnuestra corta, será diferente a la media de una muestra extendida.

Completación y extensión

-

Hidrología Estadística

página (336)

-

página (337)

La completación y extensión de la información hidrometéorológica faltante, se efectúa para tener en lo posible series completas, más confiable y de un período uniforme.

En forma general, el modelo matemático más usado para transferir información hidrológica, entre estaciones medidas, es el modelo de regresión lineal simple.

9.2 Técnicas

9.3 Proceso

Las técnicas que se utilizan para la completación, en orden prioridad son: . Regresión lineal simple, entre éstas:

o

Correlación cruzada entre dos

de

El proceso a seguir para la completación o extensión, es como

, o más estaciones,

situación (1) sin defasaje de la figura 9.1 o Autocorrelación, situación (2) de la figura 9.1 . Relleno con criterios prácticos. Parala extensión se usan modelos de: . Regresión lineal simple . Regresiónlinealmúlíiple

Obtener la serie de tamaño N1, á cornpletar o extender (figura 9.2):

!t,!2,!3,.,...,!

¡¡,

Seleccionar la estación, que guarde una buena relación con la estación con la que se está trabajando, y cuya longitud de la serie sea mayor, como por ejemplo: N = Nr+ Nz. Xl, XZ, X3 r....,

XN t, X N t+1

r,,...,

X N,* N,

o (m3ls)

tiempo T

(1) (2)

Correlación cruzada sin defasaje (correlación espacial) Conelación serial con defasaje (correlación temporal o autocorrelación) (3) Conelación cruzada con defasaje (correlación espacial y temporal)

Figura 9.1 Serie histórica de caudales de las cuencas

se

indica:

Ay B

Figura 9.2 Series de tamaños donde:

& y N= Nr+ Af2

Completación y extensión

-

Hidrología Estadística

página (338)

)¡ =serie de registro "corto" rr = serie de registro "largo" Nr =tamaño del registro común

xl

página (339)

_D*, Nr

-L*,Ey, ry,» *i -(\*,)'\N ,Zv? -Er,)' N,» x¡!¡

a ambas series o tamaños

del registro corto Nz =tamaño del registro no común N = N, * N, = tamaño del registro largo

.

Seleccionar el modelo de correlación, en este caso, la ecuación de regresión lineal: y, = a*bx, ... (9.1) donde: )r = variable hidrológica dependiente xt = vzriable hidrológica independiente ay b = parámetros de la ecuación de regresión lineal simple

-

s,(r) =

...(e.4)

,Er;

S,,,)

tlonde:

f

¡

t Y xt=

son los estimados de las medias, de los períodos

comunes, de tamaño Nr de las variables yté xr S,,,, = son los estimados no sesgados de las desviaciones estándar, de yt y x¡de los períodos comunes de tamaño Nr r = coeficiente de correlación

Estimar los parámetros: Los estimadores de a, b y r se calculan con las siguientes ecuaciones: s,,,, D= f§,,,,

S,ar,

,

,

.

ó

...(e.2)

Ecuación de completación o extensión: Sustituyendo valores en la ecuación (9.1), resulta:

...(e.s)

a= yr-bx,

lt=

>¿ Nr

...(e.3) l)ara mejorar la información, a la ecuación (9.5) se le agrega otra componente, que es una variable aleatoria, que tiene por objeto dar tuna mejor representatividad de la serie hidrológica, especialmente t:uando se quiere extender la información a un periodo largo (por

Completación y extensión

-

HidrologíaEstadística

página (340)

ejemplo incrementar el registro en 20 ó 30 años), por lo cual, la ecuación (9.5) se puede expresar de la siguiente forma:

y,

s

=l*r#(r, -l)* deil-r'z.s,rr)r, Y xt= son los estimados de las medias,

,^Ñ,1 t,=-:- "ll- r'

...(9.6)

/c = valor del estadístico / calculado Nr = tamaño del registro común dó las series

de los períodos

desviaciones estándar, de yt y x¡ de los períodos comunes de tamaño N1 r = coeficiente de correlación tr = variable aleatoria normal e independiente, con media cero y varianza unitaria

€t- NI(0, 1). 0=

0

se usa en completación, en este caso el ruido aleatorio no es considerado

0=

I

se usa en extensión, en este caso el ruido o factor aleatorio si es considerado

f (Nl, N2) corrige el sesgo N, (N, - +)(r'r, - r)

*(r, -0(r, -l)(r'r, -z) u-T

.

...(9.8)

donde:

comunes de tamaño, Nr de las variables !¡ é xt S,,r, , S,,,, = son los estimados no sesgados de las

cr =

página (341)

ir) Cálculo del estadístico t", según:

donde:

lt

-

en la variancia del proceso

r = coeficiente

b) Cálculo de r¡ El valor crítico de t (t,), se obtiene de las tablas r de Student (tabla ,21.5 del apéndice), con 95Vo de probabilidad, o con un nivel de significación del 5 7o, es decir'. al2 = 0.025 G.L. = Nt-Z

c) Comparación del /" con el /,

correlación significativ

. Si

I t" l, t, -> r es significativo, por lo que sí existe correlación significativa entre las variables )1 ] /1, y se puede hacer uso de la ecuación (9.5) ó (9.6), para la completación y extensión.

...(e.7)

Criterios de confiabilidad.

de correlación

Si r resulta no significativo se puede aplicar el

proceso de

rrutocorrelación o probar con o[ra serie.

La ecuación (9.5) ó (9.6), sólo se podrá usar si hay una correlación significativa entre las variables )t y x¡, es decir, si el coeficiente de correlación r de la ecuación (9.4), es estadísticamente significativo con un cierto nivel de confiabilidad, utilizando el estadístico t, para esto se procede de la siguiente forma:

9.4 Criterios para mejorar los estimados de los

parámetros Usando el análisis de correlación, para extender el registro corto de l¿r

serie y, de una estación con tamaño Nr, utilizando otro registro

Completación y extensión

-

página (342)

Hidrología Estadística

largo de la serie x, de otra estación con tamaño N = Nr* N2, surge la pregunta, ¿si la extensión de Nz valores mejora o no, los parámetros requeridos de la serie y?. Es muy posible, que la adición de Nz valores, puede dar un estimado peor (más malo), de los parámetros de la serie y, por lo cual, es necesario conocer algunas medidas de confiabilidad de los parámetros estimados, antes y después de la extensión.

Se puede ltilizar La varianza, para medir

la precisión de los

-

página (343)

Con este registro, completar los datos faltantes de los años 1990 y 1998, de la estación San Antonio, a partir de su correlación con la cstación Cachí.

2. En la

tabla 9.2, se muestran los registros de caudales medios para el período 7g5g-lgg8, de las estacione A y anuales, "n -'ls, B.

'l'abla 9.2 Catdales medios anuales de las estaciones A y B

estimados, así se tiene:

. Si la VAR(serie y reconstituida) > VAR(serie y histórica),

.

entonces el estimado es menos preciso, por lo cual no se recomienda la extensión de los datos. Si la VAR(serie y reconsrituida) < VAR(serie y histórica), entonces el estimado es más preciso, por lo cual se puede usar la extensión de los datos.

Año

1.

969

15.81

1971

17.28 18.86 33.48

959 960

1

961

1

1962 1

963

965 1 966 1

En la tabla 9.7, se muestran los datos de precipitación anual, rnm, de las estaciones San Antonio y Cachí.

Tabla 9.1 Precipitación anual de las estaciones San Antonio y Cachí Año

San

Cachí

Año

Antonio 986 1987

1

4151 .0

1

3736.6 3263.2

988

2149.2 2115.5 2195.1

1

989 1 990

3438.1

1822.O

'1991

992

3140.4 3474.4

2000

31 1 6.1

2616.7 1739.8 1799.0 1621.7

1

San

Cachi

Antonio 1

993

994 1 995 1 996 1997 1 998 1 999 1

2987.7 3633.3 3606.8 3945.4 3004.1

2918.8

1888.1 2020.1

2095.2 2104.3 1678.0 1703.0 2083.5

B

rm3lsl

1970

1

1964

9.5 Problemas propuestos

A (m3/s) 26.26 22.12 33.39 21.15 25.64 20.99 22.06 25.74 30.90 25.97 20.56

1

967

'1968 1

1972 1973 1974 1975 1976 1977

1978

19.75

20.82 26.23 23.99 21.56

34.25 30.82 42.56 12.54 41.35

36.20 34.22 29.87 20.42 30.35 31.24 10.76

Año

A

B

1979 980

rm3lst 22.14 22.57 20.14

lm3/s) 25.89 20.70

26.51 15.06

34.85 21.92 31.58 27.15

1 1

981

1982 983 984 1 985 1 986 1 1

1987

988 1 989 1 990 1

28.83 26.03 21.02 25.88 13.62

17.88

'15.99

36.95 9.25

22.42

17.49

25.11

11.72

199'1

35.84

21.22 35.57

25.67

1

992 1 993 1 994 't995

24,11

36.'19

29.16 24.29 38.08 21.36

51.40 24.76

44.30 17.95 25.01

35.26 37.06 23.02

996 1997 1

1

998

18.16 14.98

41.25

27.76 35.83 1

1.00

Suponiendo que en la estación A, elperiodo 1989-1998 no tiene información, realizat el proceso de extensión de esta información para este período, a partir de la serie de la estación B.

Completación y extensión

.

-

Hidrología Estadística

página (344)

Indicar las ecuaciones de extensión, para e = 0 y 0 =

.

1.

Comparar los valores registrados, con los resultados obtenidos de la extensión, con ambas ecuaciones y obtener la diferencia en cada caso.

3. En una cuenca,

-

se tienen 2 estaciones A y B en las cuales se midieron los caudales medios mensuales, -3/s para el año 1999, y algunos caudales medios mensuales"npara la estación A, para el año 2000. Los resultados se muestran en la tabla 9.3.

Tabla 9.3 Caudales medios mensuales de las estaciones A y B, en

*3/. Año

Mes

Estación A mtls

Estación B mtls

999 999 I 999

E

175.97 75.83

321.08

1 1

F M

45.94

22.81 155.41

999

A

77.57

274.58

999 1 999 1 999 1 999 1 999

M

131 .1 8

J J

999 1 999

o

999

D

2000 2000 2000 2000 2000 2000

E

136.05 171.13 475.75 897.42 710.59 268.30 224.30 84.85

43'1.65 446.52

1 1

1

1

A S N

F M

189.32

321.67

A

567.21

M J

222.78 677.32

456.84 1270.04 2089.29 1618.41

431.72 509.33

-

página (345)

Se desea extender los datos para los meses Enero-Junio, del año

2000 de la estación B,para lo cual se pide:

Indicar cual sería la ecuación de extensión, simplificar ala forma:

Bt=a+bAt*Ct¡ donde: sr - NI (0,1) Extender los datos para los meses Enero-Junio del año 2000 de la estación B. Explicar todo el proceso seguido para la extensión.

Generación de números aleatorios L0.L Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos El método más aceptable, para generar números aleatorios es aquel que produce números que sean:

. . . ,

uniformemente distribuidos estadísticamenteindependientes reproducibles

sin repetición dentro de una longitud determinada de la sección

De igual manera, tal método deberá ser capaz de:

¡ .

generar números aleatorios a grandes velocidades requerir un mínimo de la capacidad de almacenamiento de la computadora

Generación de números aleatorios

-

página (34g)

Hidrología Estadística - págrna (349)

Los métodos de congruencia, se diseñaron específicamente para satisfacer los requerimientos antes mencionados y se basan en una relación fundamental de la congruencia, que puede expresarse por medio de la siguiente fórmula recursiva:

U¡*t=aF¡*c(modm) donde: Lti, a, c y mson enteros no negativos.

... (10.1)

Desarrollando la ecuación (10.1), para, i 0,1,2,..., se obtiene: = Ih=alto+c(mod m)

t!= ah +.c (mod m) =a2uo *

.:

: ui =

i

a. u,o

:

la cual permite calcular una sucesió"

b

a

ui*t =Q'u

se han desarrollado tres métodos básicos para generar

números

pseudoaleatorios, mediante el empleo de las diferentes versiones de la ecuación (10.1): el aditivo, el murtiplicativo y er mixto, sin

embargo, existe evidencia empírica de que tás métodos de congruencia multiplicativos, producen números pseudoaleatorios aceptables que pasan toda prueba estadísticá que permite considerarlos como verdaQeros números aleatorios. La ecuación de

este método es:

ui*t = au, (mod m)

=22 +l

... (10.3)

... (10.4)

Para estos valores la ecuación (10.3), toma la forma:

* c 4-1 @od m) a.- I

Una vez dado un valor inicial po, un factor constante a y una constante aditiva c, las ecuaciones (10.2) conducen a una relación de congruencia, para todo valor de i en la sucesión: {F,, ilr, r1r,.,.}

de enteros no negativos.

Este método adaptado para computadora, emplea un módulo m=pb que representa el tamaño de la palabra de la computadora, donde p es el número de guarismos, del sistema de números que usa la computadora, por ejemplo , p = 2 para el sistema binario y á denota el número de dígitos en una palabra, por ejemplo 32.Elvalor óptimo de ¿, está dado por la siguiente relación:

@+t) c (mod m)

(to2)

{r,}

*t)

u,(modz")

... (10.s)

Nota:

En forma práctica, la generación de números

uniformemente distribuidos entre 0 y 1, se puede hacer con una calculadora manual, ellas tienen incorporada la función RAN#, que genera estos números.

También, todos los lenguajes de computación, tienen incorporado subrutinas para la generación de números uniformemente distribuidos comprendidos entre 0 y 1. Por ejemplo Basic y Visual Basic, tienen la función de biblioteca Rnd,la que genera números uniformemente distribuidos, comprendidos entre 0 y 1.

El listado 10.1 permite generar la cantidad de números aleatorios uniformemente distribuidos, indicado por el usuario.

Generación de números aleatorios

Listado

l0.l;

-

Generación de números uniformemente distribuidos entre 0 y l.

lNPUT "lngresar la cantidad de números aleatorios a generar" ; n RANDOMIZE TIMER CLS PRINT n ; " Números uniformemente distribuidos entre 0 y 1"

FORI=1TOn

PRINT USING " #.####### " ; RND NEXT I PRINT

Hidrología Estadística - página (351)

página (350)

;

END

El

listado 7O.2, permite generar números aleatorios enteros, comprendidos entre dos valores a y b, esto resulta de interés cuando se desea realizar ejemplos de simulación de juegos.

.

En computación, permite la simulación de juegos.

10.2 Generación de números aleatorios

normales independientes l,lxisten varios métodos para generar números aleatorios normales, a partir de los números aleatorios uniformemente distribuidos, entre cllos se tiene:

l)rocedimiento del límite central l)rra el cálculo de números aleatorios normales, se usa la siguiente ccuación:

fl=uttur*...*ut

Listado 10.2: Generación de números aleatorios enteros entre a y b CLS INPUT " lngresar elvalor inferior A" ;A INPUT " lngresar el valor superior B" ;B INPUT " lngresar la cantidad de números aleatorios a generar" ; n RANDOMIZE TIMER CLS PRINT n ; " Números uniformemente distribuidos entre" ;A ; "y" ; B FOR l=1 TO n PRINT A+lNT ((B-A+1).RND) ; NEXT I PRINT END

-L2 ... (10.6)

ó

-qk n= L,l \ u.,

,)

tlonde: ai = número aleatorio uniformemente distribuido (0< ui
rnedia

i

y desviación estándar S, se emplea la siguiente ecuación: I

El uso de la

generación de números aleatorios, es de suma importancia en diferentes actividades, por ejemplo: . En hidrología, permite la generación de series sintéticas. . En trabajos de experimentos, permite la selección de muestras en forma aleatoria.

'= {?)ulr.",-i).0

... (10.7)

Generación de números aleatorios

-

Hidrología Estadística - página (353)

página (352)

l-istado 10.3: Generación de números normalmente distribuidos

Procedimiento rápido

CLS

Pata el cálculo de los números normales, se utiliza un polinomio do 5o grado que tiene como variable, a los números uniformemento distribuidos. Se afirma que esta técnica es la más rápida, aunque se le imputa, quo emplea varios cientos de ubicaciones de memoria para almacenar en la computadora ciertas constantes específicas.

pi= 4 * Atn(1) lNPUT "lngresar la cantidad de números aleatorios a generar"; n

nn=nl2

RANDOMIZE TIMER CLS

S=0 f)RINT n; "Números normalmente distribuidos FOR

Procedimiento directo

u'l = RND u2 = RND

El método de Box y Muller es el más práctico, requiere de dos

nx1 = SQR((-2. LOG(u1))) nx2 = SQR((-2. LOG(u1)))

números u t, uz aledtorios independientes uniformemente distribuidog y definidos en el intervalo (0,1), los cuales son transformados en dog números ni, tti+r aleatorios independientes normales, con media 0, y vaianza 1, donde:

n, =

{-ztnu, cos(zlur) ... (10.8)

ni*t =

"Frln\

sin(znu, )

El listado 10.3 permite

generar números aleatorios normalmentc distribuidos, utilizando el método de Box y Muller.

Para obtener números aleatorios normales, con

medra

PRINT USING PRINT USING NEXT

. COS(2 " pi* u2) SIN(2 . pi* u2)

.

' ##.####### "; nx1; ',

##.####### "; nx2;

i

lFnMOD2=0THEN LLSE u1 = RND u2 = RND nx1 = SQR((-2. LOG(u1))). COS(2 * pi * u2) PRINT USING ' ##.####### "; nx1; END IF

PRINT: PRINT t:ND

xy 10.3 Generación de números aleatorios lognormales independientes

desviación estándar S, se realiza la siguiente transformación:

N' = x*

"

i= 1 TO nn

Sn'

... (10.e)

N,*, = x*Snr*,

l'nlr r¡¡ rr

r

klncle:

donde, M, M+r son dos números normales independientes, con

x y desviación

estándar S.

generar números aleatorios log-normales, se utiliza la siguiente sformación exponencial: Ln,=EXP(n,)=e'' ... (10.10)

I

Generación de números aleatorios

-

10.4 Problemas propuestos

= número normal independiente (0,1) Lni = ¡¡¡i¡¡r"ro lo g - normal independiente (0, I ) /¿i

Para generar números log-normales con parámetros Fy

Hidrología Estadística - página (355)

página (354)

2

L

Se desarrolló un experimento en celdas, ubicadas en una tabla que tiene 10 filas y 20 columnas.

parámetros,

y Sy, se usa la ecuación:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16

u +S n.t Y LN,=EXP(ur1-Srn,)=e !

17

18

19 20

1

2

... (10.11)

u l-S n.t+l Y LN,*r=EXP(u, Srn,*r)=e !

3 4 5r

0

donde:

LNi, LNi*t = son dos valores log-normales independientes con parámetros p, , ,S, lr, , S y = Son los 2 parámetros de la distribución log ni, tti+r = son dors números aleatorios N(0,1), obtenidos da la ecuación (10.8)

parámetros py, §y, X6 se usa la ecuación:

z -lS n.t Y LN, = Xr+ EXP(u, * Srn,) = Xo +, ! ... (10.12) *,S n-

z +e !'"y'"i+l

donde:

LNi,

f)

10

l'nra el análisis de los resultados, de esta tabla se deben elegir 6 fila y columna.

ilruestras, seleccionando en forma aleatoria su

Para generar números log-normales con tres parámetros,

IN,*, = Xo+EXP(ur*Srn,*r)=Xo

7 {}

LNi+t = son dos valores log-normales independientol

con parámetros p, , ,Sy, Xo It, , S y, Xo = son los 3 parámetros de la distribución lo¡. normal hi ,tti+t = son dos números aleatorios N(0,1), obtenido¡ la ecuación (10.8)

l'¡ra realizar este proceso, generar 6 pares de números; para las filas Irlnerar números del 1 al 10; para las columnas generar números del I ¡rl 20, de tal manera que indiquen las muestras a seleccionar. Muestra

Fila

Columna

1

2 3 4 5 b

Nr¡ta. La función de biblioteca INT(x), extrae el mayor número tlrloro que algebraicamente no excede a x.

Í Generación de números aleatorios

-

Hidrología Estadística - página (357)

página (356)

Explicar detalladamente como se generaron los números para las filas y columnas, mostrando todos los resultados parciales.

2. En el

Departamento de Hidrología del ICE, existe una metodología, para calcular valores máximos de caudales y precipitaciones, utilizando valores índices. Los valores índices, se obtienen calculando la mediana de la serie y de las series

.

Calcular la mediana de la serie generada.

Nota. Explicar detalladamente como se generaron los caudales de la sr'r'ie generada, mostrar todos los resultados parciales.

1.

Una estación tiene un registro de caudales anuales de20 años, en m3/s, los mismos que se muestran en la tabla 10.2.

generadas.

I'lbla 10.2 Registro de caudales, Dada la serie de 15 datos de caudales que se muestra en la tabla 273 643

10.1.

1

756

Tabla 10.1 Serie de caudales

o (m3/s) 1

2 3 4 5 7 8

41.2

9 10

30.9

11

12 13 14

15 T

I

62.5

44.0 43.4

45.5 48.5 49.2 40.4

Calcular la mediana de la serie. Generar una serie de 15 datos, que contengan únicamente valores de caudales de la tabla 10.1, éstos pueden ser repetidos.

045

1875

2876

'133

186

883

616 706

224

122

2409

551

1

186 134

1

1 967 3687

.

Realizar

la

prueba de bondad de ajuste SmirnovKolmogorov, para ver si estos datos se ajustan a la distribución normal. Si el ajuste fuera bueno, generat 20 datos normales con parámetros X , S de Ia serie.

.

Realizar

la

51.9 42.5 58.8 59.6 55.3 59.0

6

734

", -'/.

prueba

de bondad de ajuste Smirnovsi estos datos se ajustan a la

Kolmogorov, para ver

distribución log-normal de 2 parámetros (py, oy). Si el ajuste fuera bueno, generar 20 datos log-normales con parámetros [ty, oy de la serie.

.

Realizar un análisis estadístico para probar si los datos de la tabla lO.2 (Í,, §',) y de las series generadas (X* S2z) normal y log-normal, tienen las medias iguales (X, = X r) o diferentes, las varianzas iguales (S2r=S2z) o diferentes.

Nota: Mostrar todos los resultados parciales obtuvieron.

y

explicar como

se

r-

Intervalos de confianza 11.1 Estimación puntual y estimación por

intervalos e, *3/r, de una tabla 11.1, al que indican en la (estación se de aforo), ¡roblación calcular sus parámetros estadísticos, se obtiene: Dada una muestra de20 datos de caudales anuales,

Media: Varianza'. Desviación Coeficiente Coeficiente Coeficiente

55.82 666.84 25.82 0.42 0.46 2.27

estándar: de sesgo: de variación: de curtosis: Población

(rr,"2)

Muestra

(x,s2,cv)

Intervalos de confianza

-

Tabla 11.1 Muestra de 20 datos de caudales, en m3ls, de una población 30.1 27.8 s0.4 100.1

26.5

80.4

50.3

60.2

90.6 90.1 85.3

34.1

17.l

48.3

50.6 95.2

44.4

33.3 60.8

40.2

Estadística Aplicada

página (360)

-

página (361)

ll.zlntervalos

de confianza para la media de una distribución normal, cuya varianza es conocida

Sea X1, X2, ..., X, una muestra dada extraída de una población clistribuida normalmente, y cuya vaianzao2 es conocida.

Estimación puntual

Ef intervalo de confianzapana la media poblacional p gs la siguiente:

Es un solo valor que se mide a partir de una muestra y se usa como una estimación del parámetro poblacional correspondiente. Por ejemplo, la muestra de la tabla 11.1 tiene una media de 55.82 m3/s, la misma que representa una estimación puntual para la media p de la población correspondiente.

donde:

X-k3pSX+k ,.-cor ^,ln X

Estimación por irrt..orlo y nivel de confianza La estimación por intervalo, establece un intervalo dentro del cual es mu¡r probable que se encuentre el parámetro poblacional. El coeficiente de confianza., se usa para indicar la probabilidad de que .una estimación por intervalo contenga el parámetro poblacional. El nivel de confianza (99Vo, 957o), es el coeficiente de confianza expresado como un porcentaje.

= media muestral

c = valor de la tabla normal estándar que refleja el nivel de conftanza \ (9 57o, 99 Vo, etc.) o = desviación estándar de la población n = tamaño de la muestra

El proceso de cálculo es como sigue:

L

Calcular la media

2.

Elegir un intervalo de confianza y (957o,997o, etc.)

X

de la muestra

Xr Xz, ..., Xn.

Por ejemplo, si se hacen los cálculos correspondientes, la media de la población p, de la muestra de la tabla 11.1, con una probabilidad del957o (nivel de confianza), esta en el intervalo: 43.73621 p I 61.9038 rr=5% J.

Determinar

c apartirdel valor de y de latabla ll.2

r Intervalos de confianza

página(362)

Estadística Aplicada

Tabla 11.2 Valores dec paray- 90,95, gg,gg.g % 0.90 1.645

"T

c

0.9s

0.99

1.960

2.576

0.999 3.291

-co =,-_ "Jn

De la tabla 11.2, para Y = 0.95, se tiene c = L.960

4.

Cálculo de k: 1.960 x 3 -

l¡-"-;--

.,/100

.... (11.1)

5. El intervalo de confianzapara la media ¡t delapoblación es: *.- t< < tt <X + t .... (tl.z) se observa en la tabla I 1.2, qae si y crece, c también crece. por lo tanto, mientras más cercano a r se escoja y, se debe esperar

página (363)

3.

4. Calcular: k

-

5. Cálculo

=0.588

de:

X -k=5-0.588=4.412 X +k=5+0.588=5.588

Luego, el intervalo para p, con una probabilidad del95 Vo es: 4.212 S tr 15.588

Iijemplo 11.2:

intervalos de confianza más grandes.

z en el ejemplo 11.1, si se desea obtener un intervalo de confianza del 957o de probabilidad y de longitud L =

¿,Qué tan grande debe ser

Por otro lado, de lu (r1.r), se observa que el varor de É "",.ru.ió, disminuye, al aumentar el tamaño n delamuestra. Ésto implica que, en general, las muestras más grandes darán intervalos detonfranza más cortos, es decir, información más precisa.

0.4?

Solución:

X

X-t<

Ejemplo

1l.l:

k

k

un 95vo de probabilidad, un intervalo de confianza para la media de una distribución normal, con varianza o2 9, = usando una muestra de n = 100 valores, con media T 5. =

L=2k

Determinar para

Solución:

1. ValordeX=5(dato)

2. Valor de y = 0.95 (dato)

X+k

t

La longitud L es:

L=2k =2'o -

"1"

donde:

-

^Jn =

2co L

4c2o2

ü

Intervalos de confianza

Si y

-

-

957o, de la tabla 11.2 se obtiene: c

4x7.9602

página (364)

Estadística Aplicada

x9

L/o

l

05

n=870 La figura 11.r muestra cómo decrece z cuando n crece.cuanto más cortas deseamos que sean los intervalos de confiunru,..ra, grande se debe escoger el tamañ o n de la muestra.

o.2

\ \ \ \

¿,

0

0.95

1

.00

lrigura 11.2 Longitud del intervalo de confianza, medido en múltiplo tlc o, como una función del tamaño n dela muestra Y=99%

0

.l

7--)

11.3

'!=95Yo 0

l=ioo n=1 000

0.90

U I

t

n=5j

-r n=200:

0.6

o.4

página (365)

10

= I.96O,luego:

0.42

t L/o

-

500

rooo

Figura l l.r Longirud der intervalo de confianzu, ,1"ároo en múlriplo de o, como una función del tamañ o n dela muestra

La figura 11.2 muestra cómo crece L, cuando y crece ( con constante ). Es claro que: L _+ * cuando y _+ l.

n

Intervalo de confianza para la media de una distribución normal, con varianza desconocida

lil

proceso para el cálculo del intervalo de confianza es como sigue: Calcular la media X y lavarianza,S2 de la muestra X1,X2,...,X'. 2. Escoger el nivel de confianzay (95Vo,99Vo, etc.) .t. Determinar la solución c de la ecuación:

l.

F(c)=)O.

rl

.... (1 1.3)

t

rr partir de la tabla de la distribución con n-l grados de libertad (tabla 4.6 del apéndice, donde n = tamaio de la muestra)

(lon el valor de c calculado, determinar:

Intervalos de confianza

-

página (366)

c

Estadística Aplicada

.... (11.4)

"l;

En la tabla 11.3, se muestran algunos valores de c t Ji, p&rá y = 0.95 y \ = 0.99, para algunos valores de n.

Tabla 11.3 Valores de C

T"

n Y

2 3 4 5

6

248 1.59

124 105

, en función de

Y

9

0.764

1.12

10

0.715 0.554 0.468 0.413

0.769 0.640 0.559

20 25 30 40 50 100

200 500

0.373 0.284 0.198 0.139 0.088

0.'184 0.1 16

95Vo, para

la media de la

que la población se

población distribuye

normalmente.

=

666.84 S = 25.82 Por dato del problema, el nivel de confianza es: y = 0.95

.1. Puesto quen=20,delatabla 11.3, setiene:

f

=0.468

^Jn

Nota: El cálculo tabla

.

d" f- , se puede también ^Jn

realizar utilizando la

4.6 del apéndice, para esto hacer:

De la ecuación (11.3), para un F(c)= grados de libertad: 20-L=19, de c=2.09 De la ecuación

1+ 0.95

=0.975 y

"ln

(1

1.4), se tiene:

El valor de k de Ia ecuación k=25.82 x 0.468

.... (11.s)

k=

Calcular el intervalo de confianza para p: .... (11.6)

5.

con

la tabla (4.6), se encuentra

c =0.4673 ^,ln=2,P9 '120

Calcular:

)(-kSttSX+k

del

correspondiente. Suponer

0.263

_ .tc k=5.

Ljsando la tabla 11.1, determinar un intervalo de confianza, con una

probabilidad

').

103

0.s03 0.428 0.379

0.320

li.jemplo 11.3:

52

1.65

8

página (361)

Solución: l. De los datos, se tiene: X = 55.82

= 0.99 45.0 5.73 2.92 2.06

140 124

15

nyy

cuando

0.925 0.836

7

4.

= 0.95 8.99

!^ln

-

(1 1.5), es:

12.0838

Los límites del intervalo, utilizando la ecuación (11.6), son:

Intervalos de confianza

-

n

Por lo tanto, la media de la población p, pertenece al intervalo:

I

2 3

67.9038

4

5 6 7

De los cálculos anteriores se puede concluir, que al 95Vo de confranza,la media poblacional de los caudales, se encontrará entre los valores 43.7362 m'/s y 67.9038 m3ls.

I I

10

ll.Alntervalo

15

de confianza para l'a varianza de

20 25

la distribución normal

30

El proceso de cálculo del intervalo de confianza, es como sigue: 1. Calcutar la varianza',S2 de la muestrai X1, X2, ...,Xn, luego calcular (n-1)S2 2. Elegir el nivel de confianza! (95Vo,997a, etc.) 3. Determinar las solucioles c1, cz de las,ecuaciones: I

F(ci =:0-Y) 2.

r

página (369)

yy Tabla 11.4 Valores de ct, cz en función de n

X + k = 55.82+ 12.0838 = 67.9038 X - k = 55.82-12.0838 = 43.7362 43.73621tr

-

Estadística Aplicada

página (368)

40 50 100

4.

v = 0.95 C1

0.00 0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69

2.18 2.70 5.63 8.91 12.4 16.0

23.7 31.6 73.4

v = 0.999

q

Ct

h

5.02

0.00

7.88

738

001

9.35

0.07

11.1

o.21 0.41

10.6 12.8 14.9

12.8 14.4 16.0 17.5 19.0

a partir de la, tabla y2 con n - I grados de libertad (tabla A.g dél apéndice, siendo n = tamaño de la muestra) En la tabla 11.4, se muestran algunos valores de c¡ c2,palrty = 0.95 y T = 0.99, para algunos valores de n.

134

22.O

1.73

23.6 31.3 38.6 45.6

407

32.9 39.4

6.84 9.89

128

13.1

52.3

20.0 27.2 66.5

65.5 78.2 139

Calcular:

. (nKl---

1)s2

cl ... (11.8)

" ot'7)

F(cZ)=:(l+y)

18.5 20.3

26.1

45.7 58.1 70.2

167

0.68 0.99

k2=*h-t\sz c2 5.

El intervalo de confianzaparao2

kz
3

kt

es:

... (11.e)

Intervalos de confianza

-

Estadística Aplicada

página (370)

4. Con los datos de la muestra de la tabla 11.1, determinar un intervalo de confianza, con un 957o de probabilidad, de la varianza de La población, suponiendo que la población se distribuye normalmente.

Los valores de k de la ecuación (1 1.8), son:

'-

o,

x 666'84 = 1421.9933 g.8l 19x666.84

19

' -:':::::::' 32.9

k.t

Solución:

1.

De acuerdo a la tabla 1 1.1, se tiene: 52 = 666.84 luego: (n-I)52 = 19 x 666.84=12669.96 Por condición del problema y = 0.95

3. Paran=20y y=0.95, delatabla

11.4, setiene:

cr=8.91 ycz=32.9

5.

Nota: Los cálculos de c1 ! c2, sa pueden realizar también utilizando la tabla A.9 del apéndice, para esto hacer: De la ecuación (1 1.7) calcular: / \ 1- 0.95

\ r/

Fb2\\/2

2

1+ o'95

=0.975

Calcular los grados de libertad: 20-l = 19

De la tabla A.9, para F(c¡) = 0.025 y F(cz) 0.915 y grados de libertad 19, obtener ct y c2, art este caso, para estos datos, se tiene que: cr = 8'91

= 385.1052

Por 1o tanto, el intervalo de confiaflza para la vaianza de la

población 02, de la ecuación (1 1.9), es: 385.1052 <

d <142t.9933

1L.5 Problemas Propuestos

l.

En la tabla 11.5, se muestran 30 datos de caudales me
.

página (371)

cz=32'85

Ejemplo 11.4:

2.

-

"n

m'/s.

Tabla 11.5 Caudales medios anuales en m3ls 12.54

34.22

30.82 29.87

42.56 20.42

11.72

44.30

17.95

25.01

22.12 25.74

33.39 30.90

34.25

29.02 20.99

26.25 22.06

30.25

41.35 31.24 35.26 21.15 25.97

36.20 10.76 37.06 25.64 20.56

Realizar la prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov, para ver si eitos datos se ajustan a la distribución normal. Si los datos se distribuyen normalmente, determinar un intervalo de confianza con 95 Vo de probabilidad, para la media p' y varianzao2 de la población correspondiente'

Intervalos de confianza

-

página (372)

2. En la tabla 11.6, se muestran 24

datos de caudales medios

anuales, en m3/s.

Tabla 11.6 Caudales medios anuales 175.97 171.13

84.85 123:O2

75.83 475.75 189.32 226.25

45.94 897.42 321.67 322.12

"n

m3/s

77.57 710.59 567.21

433.39

131 18

268.30 222.78 521.15

136.05 224.30 677.32 725.64

Si los datos se distribuyen normalmente, determinar un intervalo

de confianza con 95 % de probabilidad, para la media p, y varianza o2 de la población correspondiente.

Bibliografía consultada Abramowitz, Milton - Stegun Irene. Handbook of Mathematical Func:tions. Dover Publications, Inc. New York, U.S.A, 1972

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I{osking, Jonathan L-moments: Analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics. Journal of the Royal Statistical Society B52: 105-124. 1990.

Anexos A. Transformada de Lapalce y función gamma B. Funciones trigonométricas

Transformada de Laplace y función gamma 4.1 Justificación Hrr Hidrologla es de uso frecuente las distribuciones normal, lognrrrmal, gamma de 2 parámetros, de 3 parámetros o Pearson tipo III, krg-Pearson tipo III, Chi-cuadrado, / de Student, F, y otras.

Lu evaluación de los parámetros de algunas de estas distribuciones, ¡xlr el método de los momentos, se simplifica enormemente, si se hace uso del concepto de la transformada de Laplace. Esta también se usa ¡tnra resolver ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. l{n las distribuciones mencionadas y otras, el uso de la función garnma os irnprescindible.

A l'in de simplificar los cálculos posteriores, y así contar con una Itcrramienta matemática adecuada, es que en esta sección, se realiza

Transformada de Laplace y función gamma

-

Hidrología Estadística

página (380)

l.,a

gamma.

l)cfinición:

Latransformada de LaPlace

§i la transformada de Laplace de una funciónflr), es F(s), es decir, si 1./(/))= F(s), entonces flr) se llama la transformada inversa de

*

l.l¡rlace de F(s) y se denota por:

Definición

>0. una función de valores reales, deirnida para t multiplica f(t) por e-" y se integra con respecto a f, desde cero infinito, es decir: Sea

flr)

ll

u-"

f (t)dt

- !; r-" f

se llama

el operador de la

transformada inversa de

l,rr¡llace.

* ''{F(s)} = *

-'{

Í{flt)}} =flt

hrtcgral impropia Dcl'inición: tftrn de las formas particulares de las integrales impropias de límites htl'irritos es:

La transformada de Laplace de la función original flt) 6 f, lc por F(s) o por .t {f:t)l,a lfl,"t ffir)}(s) ó "e [fl(s), es decir:

f t/(r)) = F(s) = f,'-" f (t)dt es llamado

of

siendo

Notación

of

tklncle

-,{r(r)} =á -1,

dt)dt

F(s) se define como la transformada de Laplace deflr)' función original y F(s) la función imagen'

Donde

fG)

l,n tlefinición anterior se puede expresar matemátícamente cofno:

y si esta integral converge, entonces es una función de sl' F(s)'

F(s)

página (381)

transformada inversa de Laplace

un estudio breve de la transformada de Laplace y de la A¡.2

-

li rr'v' It cual es similar

lrlrr integral

el operador de la transformada de Lapltol,

a la

definición de Ia transformada de Laplace.

se evalúa de acuerdo con la regla:

!í ¡a¡0,=, T".ff rQ)dt cl límite de la derecha existe y es finito,

que aquí se ocupa' En general, .§ es una variable compleja, pero para lo considerar como variable r':al. I

tl

se dice que la integral lpiá converge, de lo contrario, se dice que la integral diverge.

-

Transformada de Laplace y función gamma

Hidrología Estadística

página (382)

Ejemplos de la evaluación de la transformada de Laplace Solo a medida de ejemplo, del uso de la definición de la transf' de Laplace, se plantean 1« s siguientes ejemplos:

Solución:

l,o que indica que la transformada de Laplace de la función eut, es la lirrrción:

F(s)= '- paras){t s-a 1

'lirrnbién se puede concluir que:

'er{r(s)}-r {ls-a) ' I=r^ -r

lljcntplo A.2:

De acuerdo a la definici n:

(lrrlcular la transformada de Laplace de la función: ,llt) = sen at, donde a es constante

I

{uo'}

-

á

{ro'}

- l,* e-$-a' dt (s-a)t r-t'-"" t") ¿r= tirnl'I = lim l- ¿,-{ -1 i---Jo S-a-

lr*

e-" e"'dt

'

=_ ,

I

lr*b^'-''á - 1)/

§-4á+-\

r^'-^u -r) ... (a.1)

't {."} =- s-a' "l-(l,g

t:- --(s-a\b _ 1"=O ,Sis_a>0ós>a L!!, e

Luego de (a .1)

türlución:

l,

:

d {.u'}=-]-(-D s-a

Aplicando la definición:

á {sen at}=J* e-" sen at dt

,r*qr_r,_ru_uo)

s-ab-

pero:

página (383)

d {"u'}= I ,sis>a s-a

.'.

Ejemplo 4.1: Hallar la transformada de Laplace de la función: f(t) = eo', donde a s con tante.

-

2,

Cálculo de:

I

e-"

...(a.2)

sen at dt

Ittlcgrando por partes, se tiene:

u=e -st

=

dy=senatdt =

du=-se-"dt 1

,=-;cosat

tttstituyendo en (a .2), se obtiene:

Transformada de Laplace y función gamma

Ie-"

dt = -!

sen at

"-,,

cos at

-

_

IIu,,

página (3g4)

cos at

Hidrología Estadística

3.

Cálculo de:

dt ... (a .3)

t

I,

...(a.4)

,

=

senat at

-

página (385)

=¡y1J! e-" senat dt

Cálculo de:

Je-"

cos at dt

Integrando por partes, se tiene: u = e-tt =+ du = -s

dv=cosatdt =) ,=1

a

e-tt

te

.-"

at dt =

I

"-",

sen

at

+

!

sen at

dt = -!,,, =_

I

cos at

e-", cos

-

Je-"

t

!r-,,

sen at

dt ... (a .5)

haciendo:

I(?,,

ot_ !_r_,,sen

senat *

=

j#,

!,,*,)'uo]

,,[.o, o, *

!

[

r-,, senot

d)

t

=cos

-1

ob+!senab a

y sabiendo que, para s > 0: lim ¿'á -) oo b-+

*

_

,-,,

[

dt

=---1 J-+

¡-a

S¡r_ sen

)l atdt=f-l +o'Ll(*ro,,, a ---""+-senatl

sen at

at +

! sen ab

(r. :?)t ,-" sen oo, r, = - I , ,,"io,, o, - l Je-,,sen

;+,-"[.o,

senat

Reempla zando(a .5) en fu .:1, resulta:

I e-"

l,S{-

dÍ

Sustituyendo en (a .4), se obtiene: cos

=

!r"no,)

st

senat dt

se tiene:

at I = lu-" senat dt =

'

.'.

Í{sen o*=

Observar que:

-; -"! .§'+a'

?+t

para s > 0

para s > o

Transformada de Laplace y función gamma

-

Hidrología Estadlstica

página (386)

* t/(r)]= F(s) = I: n't f (t)dt

Ls-

Domlnlo

Fórmulas elementales

(0

La forma de calcular la transformada de Laplace, se puede observar en los dos ejemplos anteriores. Pero el cálculo de la transformada do Laplace, se simplifica, si se hace uso de tablas elaboradas para tal fin.

En la tabla A.1, se muestra la transformada de Laplace de algunas funciones, la misma que es suficientemente amplia, para lo¡ propósitos prácticos presentes.

(2) si (3)

d

a t/(r))=

F(s) -+

{1:1t¡}+6

* {g@}+re {n@}

* l"

,' d t/(/)}-,'/(o) -.f '(o) (5) .{ {,f ,', (r)}= ,' * tf trl}- s".f (0) - sn-' f '(0) -... - f "'(o) g¡

(u)* {lJ

{tl}=

ravt}=1 *

{¡u>}

s I

e^'

S-a I

{

)

s-

¡1.

---:

o

s'?+l

(0

de

deflnlclón

t t(ol C

s>0

I

Ce^l

S>a

10

g"'

s>0

t1

e"tt

s>0

12

s>0

13

e^tsen bt

s>0

14

e^tcos bt

s>lol

15

e'tsenh bt

slol

16

e^tcosh bt

S-a t

S-a

Dornlnlo de definición

S>a S>a

1

(s

-

o)2

S>a

nl.

e^'f

(S

- a)n+l

S>a

f(r + l) , n+l b

Sen bt

a k'' f @j= FG - a)

ü (r))=, * {Ffrl}-ffo)

t(t)l 9

C

Existen una serie de propiédades de la transformada de Laplace, quo pueden demostrarse. Para efectos prácticos, solo se enuncian 0 continuación:

Q)+bs|)+ch|)}="*

r

t

Propiedades de la transformada de Laplace

{af

página (387)

l'lbla A.1 Transformada de Laplace de algunas funciones elementales

o-'{ ro -}=t"n" + d-

0)a

-

s2 +u2 s

Cos bt

s2 +02 Senh bt

b

s2 -b2 s

Cosh bt

s2 -u2

b

(S-a)2 +b2

S-a (s

- a)2 +b2

S>a

sa+l¡l

b (S

-

a)2 -b2

S-a (s-a)2 -u2

5>a+ lol 5)a

+

b

Hidrología Estadística Transformada de Laplace y función gaÍrma

-

página (389)

pfoina (388)

4.3:

li.jamplo

(7)

-

)dt

(

'rrlcular:

a br' - 4t -3ea' + senZt]

Solución: llsando la propiedad (1) de la trar,lsf-ormada de Lapl¡ce_, se tiene:

(f))

(8)

e {sr' - 4; -3ro' + sen2t}= s *

l'}- o* {,}- :* ko'}** {sen 2r} ...(a.6)

I('t

(e)

():

2l 2, = (. J 'e ¡,1= ,, .,

(Fórmula 4)

+

(Fórmula 3)

"e

Lj=

.t

(10

(11)

4 {f t, -

donde: H(t

-

a)H (t

- d}=

e-o' A

"e {ro'}= L r s-4

{ff'l}

e

[o si ta

a) = I y

{sen

zr}=

irz*

(Fórmula 2)

+

(Fórmula 5)

lrrcgo, sustituyendo valores en (a.6), resulta:

'e b,'-4t-3ea' +sen2r)= ' +-+s-4 s'+4 .§' s' -\*-2,

a>0

^

(12) Teorema de convolución:

*

{.r

*a(r)}=

-

(.t

lf

f

l'"-

lijuuplo A.4:

I

G

st

-u)s@)d"l "t t/}*

{g}=n1s¡G(s)

f(t)¿t

(13) "e UOI=Jo-'-

l- e- ws

---con período w > 0' es decir: donde:flr) es periódica, f(t)= F(t+w)

(';rlcular:

e pe''

cos4t-5e4't5 +8senh3r)

§olr¡ción: llr¡urdo la propiedad (1) de la transformada de Laplace, se tiene:

Transformada de Laplace y función gamma _ página (390)

* brr, cos4t - 5eo, f+

gsenh3r]

=2Á p'' cos+t|-s; bour']*8 .o {senh zt}

pero: a pt, --" '"J- _-_s -3 t cos4r)=

¡r-r¡ *7 e {uotr'}= _ 120 t - r ("_ 1_= - +f G- 4t'

*

{senh3r}=

Hidrología Estadística

s'-3-9

* {senhar}=** k-}-)*

...qa.t¡

.e

(Fórmuta 7)

.'. *

,?1,

{senh af

}=

-, s-

o -a'

1

L.Q.Q.D

/

Calcular:

ls'

at}=

+341

(irmpletando cuadrados en el denominador:

s2 senh

6s

_a_ s'-a'

ot = "''__"_*_

sc puede

{senh at}=

d

+6s +34 = sz + 6s+9 + 25 = (r +3)2 + 52

escribir:

,+s l d,l-jl¿ I=*-,J -y +3a[ls2

Iuego:

.e

ot

a-ri +s+s I

Demostración:

que:

a-(s-a)

lljemplo A.6:

Demosffar que:

Sabemos

1. I -t 2 s-a 2 s-ta

2 s'-a' l2a n * -"'

Ejemplo A.S:

{senh

-

b--}

ot}=!.

1. s*

luego, remplazando valores en (a.7),se obüene:

ot

{senh

Górmula 12)

iri+

página (391)

Aplicando la fórmula 2 delatablaA.l, resulta:

(Fórmula 14)

* b"'' cos4t-se4,ts+8senhtr)=Je_2

-

+ 6s

{r;al

Aplicando la propiedad (1) de Ia fansformada de Laplace, se tiene:

l@rf

.

I

l)cscomponiendo el numerador de la siguiente forma:

s*5=(s+3)+2

¡'csulta:

Transformada de Laplace y función gamma

_

página

Hidrología Estadísticu

(392)

-

¡rl¡lttrt I lU I t

til lllr

('-r)(s-r) tlc donde:

A(s-3)+B(s-l)=2 A+B=Q=] ¿ = (n+r), -3A- B =2= _ 3A_ B =Z= B -

I

|

luego en (a.10), resulta:

2tl

...(a.8)

pero:

*,1

('*')ri=e-3,cos5/

l(s+r), *s,

I

wurJ'

(propiedad l4)

*''{ * ¡I?-'i=2*,1 *I )-z-, ;t, I= i . tl * s, "-'' ',nt, fG

1t,

Luego, sustituyendo en (a.g), se tiene:

' *-,f-L+5 f ''*6áj=s-3'l I

cos5r

l=

(propiedadl3)

sustituyendo (a.11) en (a.9), se tiene:

*,

I

z

I

f 1 *,_ll ll

á, t- ;= t(, _-* _r-ll=

,tl.

Aolic

'

,f , *- 'L'-¡J d

1

*-r1

+?'-''"nsr

,,,(rt,l l)

(.,-r[r-5¡=-s-t*r-3

Aplic

1, se tiene:

Djemplo A.7: Calcular:

I z-l *'l(;il,-l

(ae)

Ejemplo A.8: Calcular:

Solución: Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

ñ.-rl

s3+3s2+l

tr'(,'

+zt

I

+i)l

... (a.12)

Transformada de Laplace y función gamma

-

Hidrología Estadística

página (394)

Solución:

1

s3

Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

s'1s' ... (a.13)

2 2

+2s+2 +2s+2

+ s2(Cs +

+3s2 +1

*

2s

+2)+s'1cs + D) =s3

s3:A+C=I s2 2A+B+D=3

s 1

37 -s+2 2

.2 ^ s'^t s'+2s+2 11113s+7 _J-_._r s' 2 s' ' 2 s2 +2s+2

f

...(a.18)

Sustituyendo (a.18) en (a.12), se tiene:

1* 11 t *,f-1 s'1s' + 2s +2) j t2 2s' 2 s3 +3s2 +1

+ 2s +2)+rG'

+ 3s2 +

1

...(a.14) .. . (a.15)

s :2A+28 =O

...(a.16)

=l

...(a.r7)

:28

+2)

2

página (395)

D)

Igualando los coeficientes de las potencias iguales, se tiene:

so

s3

+ 2s

s'1s' + 2s +2)

de donde:

ar(r'

+3s2 +1

-

3s + 7

J=

s

2 .§

+ 2s + 2

Aplic ando la propiedad (1), resulta: 3 s + 3s2 + 1 ) , ^§-1 s +2s + , )

*;*'{i}. *;"'{;X*}

¡=-;",{:}

@te)

(fórmula I de la tabla 4,1)

de (a.17)

a=!2

(fórmula 2 de la tabla A. 1)

-!2

de (a.16)

,q.

de (a.15)

*D=31 p=7 -t+122

de (a.14)

=

-!+C=1=

C

a-,f 3s+z l= *.,f¡(s+t)++J lsz +2s +2) l(s + t)' + t

J

=1 3(s + 1)

Luego, sustituyendo en (a.13), resulta:

(s+1)2 +1

Transformada de Laplace y función garnma

='jrr

-

Hidrología Estadística

página (396)

i;+-)*o*'i#-i

=3e-'cosf + 4e-' sent (fórmulas

13

y

12

página (397)

+4s+10

s2

12.

-

s2 -2s +3 (s + l)3

Remprazando valores en (a. 1 9), s" outi"rJelspectivamente)

4-,J s' +3s' +l I=-1 *L*1r-, [r'(r' +2s +2)) 2 2 2

"o"r+2e-,sent

6s2

-lls

+ 15

s(s2

-

+3)

2s

s+2

A.3 Ejercicios proPuestos Calcular la transformada de Laplace de las siguientes fuaciones:

s2

""

+42s-34 (r'+l)(s2 -6s+13)

..

8s3

l. t' -7t'+8

2.

(t +Z)te'

3.

e3'cos3,t:cos4f

4. e'' sen'2t 5. e3' 7t + cosh r) 6. cos',

7.

sen'2t

8.

(senr + 1)3

+2s +13

t rr¡

t1

-10s2

+39s -12 -z3sz ----(s' +2)(s" - 4s + 5)^----_

2s3 +8s2

§trbiendo que:

y coshx= =!p, + 2' -e-,) ){". "-')

Hallar la transformada inversa de Laplace, de las funcioneg

¡errlrx

siguientes:

('ttlcular:

9.

5s+l (s+1)(s2

+s-2)

-14s+109

"' 15'-+ájqr, -+"+zq

¡¡,

* $"n3ar.(senh ot)o\

llcnrostrar que:

Trunslbrmada de Lapluce y función garn¡no _ página (39g)

19.

., {e"'senh or}=;, _to:, a $enh'

Hidrologíir list¡rrltnlh

+2Aa2

22. 23.

e

(x--l)!=

I-(x) =

l'

oj}=

s7s2

{senh ar .cosh

f(x)

-4az)

a}=

;;!

e{coshar.cosar}= '

t4

=

Ii

(x-I)!

u-'r''a*

= (x

oo;

f

',rr

f(x + t) = li

e-'t'' clx

'.vrrluando, usando la fórmula

f

Definición

('on.ro se observa de (a.22)

f(x

porf(x),

se define mediante

rr

lntr¡t{

f(x

O.

Se observa que la función gamma, es una forma particulrr th

f O)a*

4 dela tabla A.1, resull¡r:

...

(a.2t)

+ 1) =

x!- x'(x - l)!

f (t) = t'-t

)

... (a.25)

(a.22): f(x) = (x-1)!

lrrt'go (a.25), se puede escribir:

l(x+1)=xf(x) rlr' lrr ecuación (a.24):

en donde, de (a.20) y (a.21), se tiene: J-_l-L

... (¡t,2,1

r

... (¡,20)

transforma da de Laplace:

I; u',

¡!

,rl¡

y (a.24),la función gamma l)r'()tx)r(,lr)nl uur extensión útil del factorial, es por eso que se le llanl¡r l¡¡rrrlrrr,rr I rr rción factorial generalizada.

¡rt'ro de

e {¡¡t¡l=

+ 1) =

, (rt

l,rr lbrma recurrente para la función gamma, se obtiene de (a.24):

= I; nt,x-7¿*

la cual converge parax>

tl Jll

l)!

(a.20), si se reemplazax porx +1, se tienc:

4.4 Fun ión gamma

f(x)

-

!'ropiedades

" = -4aa

La función gamma, denotada impropia:

| tttUl

llsando la fórmula 4 dela tabla 21.1. st t[,r¡0,

--4' s1s2 -4a2) 2r. e{cosh' a}= L!o'-20.

¡t lrrl!llil

para x=0 =f(1)=0!=1 para x =l =r f(2) = 1!= 1

... (a.26)

frurrfo.-u¿a

de Laplace y función gamma

-

página (400)

Resumiendo, algunas de las propiedades de la función gamma son:

f(x)

1.

=

Hidrología Estadística

1< x<-2

I-(x)=fr-t,x-T*

2.

x

(x)

4.

página (401)

't'abla A.2.Yalores de la función gamma, para

ti r-'t*'a*= (x-1)!

J.

-

f(x)

x

f(x)

x

r(x)

x

f(x)

1

00 01

5. 6.

Evaluación Para calcular el valor numérico de

1.

2.

f(X),

se puede

utilizar:

Las propiedades anteriores Los valores que se muestran en la tabla A.2 para

l< x < 2

3. La aproximación factorial de Stirling (para x grande)

f(x + l) = ^L2tux' e-* = x! 4. La serie asintótica de Stirling

f(x)

= ,x

,-

r.r;; (1+ I + I ^,1,'" ^^ 288x' - ^: , \ x -lZx

163819+____ 5246819

209018880x5

75246796800x"

t39

51840x3

57t 2488320.x'l

534703531 902961561600x7

+)

5. La aproximación polinomial de 5" grado, para 0 < x <

f(x+1)=x!-l+arx+arxz donde:

I

+árx3 +aoxa +arxs +g(x)

02 03 o4 05 06 07 08 09

1.00000 0.99433 0.98885 0.98355

0.97844 0.97351

10

0.96874 0.96415 0.95973 0.95546 0.95135

11

0.94740

12

0.94359 0.93993

.13 .14

0.93642

15 16

0.93304 0.92980

.17 .18 .19

2! 21

22 23 24

1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31

1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41

0.92670 1.42 0.92373 1.43 0.92089 0.91817 0.91558 0.91311

0.91076 0.90852

1.44 1.45

0.90640

1.50

0.90440

1.51

0.90250

1.52 1.53 1.54 1.55 1.56

0.90072 0.89904 0.89747 0.89600 0.89464 0.89338

0.89222 0.891 15

0.89019 0.88931 0.88854 0.88785 0.88726 0.88677 0.88636 0,88604 0.88581

1.46

0.88s66 0.88560

1.47 1.48 1.49

0.88563 0.88575 0.88595

1.57 1.58 1.59 1.60

0.88623 0.88659 0.88704 0.88757 0.88818 0.88887 0.88964 0.89049

1.81

1.82

o.89142 't.83

1.62

0.89243 0.89352 0.89468 0.89592

1.63

0.89725

1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.7'l 1.72 1.73 1.74

0.89864 0.90012 0.90167 0.90330 0.90500 0.90678 0.90864 0.91057 0.91258 0.91467 0.91683

1.61

1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80

1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91

0.91906

0.92't38 0.92376 0.92623 0.92877 0.93138 0.93408 0.93685 0.93969 0.94261 0.94561

0.94869 0.95'184

0.95507 0.95838 0.96177 0.96523 0.96878

1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99

0.99171 0.99581

2.00

1.00000

o.97240 0.97610 0.97988 0.98374 0.98769

Transformada de Laplace y función gamma _ página (402)

Hidrología Estadísrica

at = -0.5748648

az = 0.9512363

az = -0.6998588

a4 =0.4245549

E

= -0.10L0678

f(x+1) = ¡!= I+brx+brxz +...+

,

paÍa 0 < x <

brxT

I I I I ¡ I

I

+e(x)

V

bs

= -0.756704078

bt = -0.193527818

\

V

bz = 0.988205891

4

bq = 0.918206857

-3

1

ft.

t-) l4

t-r¡

r-1

'r-0

n

be = 0.482199394

I

2

iJ

o.oooooo3

bt = -0.897056937

T

a

\)

donde:

4 = -0.577191652

I

A

6. La aproximación polinomial de go grado

lt(r)l<

página (403)

f(5) = 4!=4.3.2.1 l(5) = 24

le(r)l < o.oooos

as

-

/-\ \..-

{ 1

2

3

-1

-l

ás = 0.035868343

-3

Representación gráfica

/\

En la figuraA.l, se muestra el gráfico de la función gamnllt,

T

Ejemplo A.9:

Calcular: f(5)

Figura

Solución: lijcmplo Usando la propiedad 1 de la función gamma, se tiene:

A.l0:

('¡rlcular: f(3.5)

A.l

Función gamma completa

4

Transformada de Laplace y función garnma

-

-

Hidrología Estadística

p6gúa(404)

página (405)

Solución: usando la propiedad recurrente 3 de la función gamma, se tiene: f(3.5) =l(2.5 +1) = 2.5x1(2.5) = 2.5xf(t.S+t) = 2.5xl.5xl(l f(3.5) = 2.5 xl.5x 0.88623

1_, ¿¡=rx 'd!

r-J dx=1v 2dy

f(3.5) =3.32336 Ejemplo

A.l1:

Calcular

f(-1.2)

2'

Solución: De la propiedad recurrente 3 de la función gamma, se tieno:

r-

1

/ = i I y2e-Ydy

2r"

f(x)=f(x+1) x

luego:

rlonde los limites de integración son:

f(0.8) f(-1.2)=\?= (=1.2)(-0.2)

f(r.8) (-r.2)(-0.2x0.8)

l)ura

,r_r€___) y)@

o'e3138

r(-1.2)

- 1.2x0.2x0.8

f(-1.2)

= 4.85094

Ejemplo A.l2: Calcular:

Ii

*'"-" a*

Solución: Haciendo el siguiente cambio de variables:

x=0 ?.y=0

Irrego, la integral se puede expresar, como:

,=

,ll.ó

)Jo

y'e-'dy

A¡rlicando la fórmula 4 delatabla Irr tiene:

A.l,

de la transformada de Laplace,

Transformada de Laplace y función garnma

t

-

[2

x

I {;)

, por propiedad (3) de ra runción salrlma

=l'=

1=

12)

=

JfI

, por propie dad (2)de la función garlrma

luego:

I l*,)=@ 2 [2 )

y =O

luego la integral toma la forma:

además:

li)

página (407)

para:x=0=+y--)-

)

.(;.,)=

-

donde los límites de integración son:

=!2 lt *r)

pero:

Hidrología Estadística

página (406)

f

(- y)' (-

,-' ay)= [o f ,-' ay = -f f

e-v dy

Aplicando la propiedad (a) de la tabla .4.1 de la transformada Laplace, se tiene: I = -f(4)

pero:

f(4)

= 3!=

6

, por propiedad (1) de la función galnma

luego:

finalmente:

lfi I-- -._

22 ¡=Jn ,4 Ejemplo A.13: Calcular: 1t

I=-6 Nota: el signo (-) indica que el área de la función está en el 4" cuadrante.

4.5 Ejercicios propuestos Calcular:

lo(t") a'

Solución: Haciendo el siguiente cambio de variables:

2. I; .r"-2,' *

Transformada de Laplace y frrnción gamma

3.

!; n,3 d*

4.

I;r&n"li

d*

5.

!;.'"-'*t

d*

fton*>a 7.

-

página (408)

Funciones

a*

trigonométricas

lj«,,n ñ3 a*

8 fi,F(*J *

s lá# rc. li

Fórmulas de ángulo doble

**"-*n d*

donde m,n,a>o

11. Calcular con 5 decimales de aproximación, la integral:

,=

fZr-"^

o,

12. Calcular con 5 decimales de aproximación, la integral:

, = !í

o-3*5

*

sen2x = Zsenx. cos.r cos 2x = cos2 x - sen' x

=l-

2 sen' x

=2cos2 x -l

Fórmulas de ángulos múltiples

- 4srn3 * cos3¡=4cos3 x-3cosx sen3x =3senx

sen4x = 4senx. cos x -8sen3 *cos *

cos4x = 8cos4 x sen5x = 5 senx

-

-

8cos2

2Osen3

cos5x = 16cos5 x

-

¡

+

1

x + l6sen5 x

20 cos3 x + 5 cosx

Funciones trigonométricas

.

-

Hidrología Estadística

página (410)

Potencias de las funciones trigonométricas sen211 *=r__cos¿x

*= 1- * !"or2*

22 ,"n3*-1rr*-l 44

"or2

-

serrx.

s€/\

=1t"*t, - y)- cos(, + y)]

'2'

cos(, + y)]

'2'!lr"n(*- y)+ sen(x + y)l

I

*-3 -!"o"2*+ 1cos4x 82 8 4 1* 1 cos2x+ 1cos4x cos'x=g g .z ,"r5 * =5 ,r* - -5 ,"n3* + ! sen5x 81616 5 r= 5 cos * + Lcos5x "or5 "orr+ 81616

Fórmulas de adición

s"n(rt y)= cos(x

.

Funcioneshiperbólicas

2

cosh¡

.

=4-14 2

Relaciones entre las funciones trigonométricas

-

*'(u r) ;

* cosx. seny

t y)= cos.r'cos y t senx' seny

trigonométricas

^,,{?)*'[";' ) senx - seny - z"or( rJ2) */-'l ' t 2j t 2)

senx.cos y

x-x senlx-e -e

Suma, diferencia y producto de las funciones

r*'(,7)

- y)*

senx.cos y =

,rn3*

,"n4

cos.r + cos y =

página (411)

r,"{+) -{+)

cos.r. cos y = ] ["or(,

"or3r=3"orx+icos3x 44

senx + s€ny

cos y =

cos.r

-

tanx= Cotx =

secx=

senx cos -r 1

tanx

-

1

cos

x

Funciones trigonométric as

-

página (412)

1

CSCX

=

senx

-

sen2

xt

cos2 x = I

x-tan2 x=l csc2 x-cot2 x=L sec2

Apéndice .

Tablas esteilísticas

'

Papelesprobabilísticos

o o o o

normal log-normal Gumbel log-Gumbel

r Hidrología Estadística

Tabla

0.0

0.t

A.l

-

página (415)

Áreas de la dist¡ibución normal entre 0 y

Z

0.00000 0.00399 0.00796 0.0t 197 0.01595 0 01994 0.02392 0 02790 0 03188 0.03586 0.03983 0.04380 0.04776 0.051 72 0.05567 0.05962 0 06356 0 06749 0.07 r 42 0.07s35

o.2

0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0 r 1026 0.r r409

0.3

0.1r791

0.12r720 125520.129300.133070.136830.r40580.14¿131

0.4

0_15542

0.15910 0 16276 0.166400,17003 0.17364 0 r77240.18082 0

0.5

o 19146

0.1

0.6

0.9

o.22575 0.22907 0.23237 0.205A5 0.23891 0.24215 0 24537 0-24857 0.25175 0.25490 0.25804 0.26 r I 5 0.26424 0.26730 0 .27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524 o 28a14 0.29103 0 2s389 0.29673 0 29955 0.30234 0.3051 1 0 30785 0.31057 0 31 327 0 31594 0.31859 0 32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0 $39a 0 $645 0.3389i

1.0

0 34134

1.1

0.35433 0.36650 0.35864 0 37076 0.37286 0 37493 0 37698 0 37900 0.38100 0 38298

o.7 0.8

9,t97 0. 1 9847 0,201 94

0

0 r48030.rs173

r8€9 0.r8793

.20540 0 20444 0.21226 0 21566 0.21904 0.22240

0 34375 0.34614 0 34849 0 35083 0 35314 0 35543 0 35769 0.35993 0 35214

1,2

0.38493 0 38686 0 38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0 39796 0.39973 0 40147

1.3

0 40320

1.4

't.6

0.41924 o 42Of3 O 42220 O 42364 0.42507 O 426/7 0_42785 0_42922 0 43055 0.431 E9 0.433r9 0_434480 43574 0 436990 438220 439430 440620.44179 0_442950 44408 o 44520 0 44630 0.44738 0.44845 0 44950 0 45053 0.45154 0.45254 0.45352 0,45449

1.7

0..15543

t.8 t.9

046407 0.46485 0.46562 0 46ma 0.467r2 o 46784 0 46856 0.46926 0 46995 0 47062

2.O

2.3

o.47725 0.477740.478310 478820.47932 0 47982 0 48030 0.48077 0.4a124 0.48r69 0 48214 0 48257 0 483000 4834r 0.48382 0 484220 48461 0.485m 0.4a537 0.48574 o 48510 0.486450.48679 0.487r3 0 48745 0.4828 0.48809 0.48840 0 4a870 0.48899 o 48928 0,489560.48983 0,490100.490360 4906r 0.49086 0 49fi 1 0.491340.49158

2,4

0 49180

0,49202 0,49224 0.49245 0 49256 0 49286 0 49305 0 49324 0.49343 0 4936r

2.5

o_49379

0 49395 0.4941 3 0 49430 0.49446 0 49461 0

2.6

o 49534

0 49547 0 49560 0 495730 495850 49598 0 496090.4962t O 49632049543

2.7

0 49653

0.49664 0 49674 0 49663 0 49693 0 49702 0 49711 0.49720 0 49728 0 49736

2.8

0.49744 0 49752 0.49760 0 49767 0 49774 0 497A10 4978e

1.5

2-l 2.2

2.9 3.0

3.'l 3.2 3.3 3.4

o 47124

0 404s0 0,40658 0,40824 0.40988 0.41149 0.41308 0 41466 0.41621 0 41774

0.45837 0.45728 0 458t8 0.45907 0 45994 0 46080 0.46164 0.46246 0 46327 o 47193 0.47257 0.47320 0 47341 0 47441 0

475ñ

4942

O.4755A O 47615 0.47670

0 49492 0 49506 0 49520

O 49795 0 49801 0 49807 0.49813 0 49619 0.49825 0 4983r 0 49835 0 49841 0 49E46 0.49A51 0 49856 0 49861 0.49865 0.49869 0.49874 0 49878 0.49882 0.498a6 0.498890.49893 0 49896 0 49900 0 49903 0.49908 0.49910 0.49913 0 499160 49918 0 49921 0_49924 0.49926 0 49929 0.49931 0.49934 0 49936 0 49938 0 499400 49942 0 49944 0_49946 0.49948 O 49950

0.49952 0.499530 499550 49957 0 49958 0 49960 0.49961 0.49962 0.49981 0 4996s 0.49966 0.49e68 0,4996S 0,499700 4997r 0.49972 0.49S730.49974 0.49975 0.49976

o.49en

0.49070 0,49s790.409790.499800,49981

3¡

0.49S84

0.49985 0.4S€85 0,49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.499Ea 0.49989

3.7

0.49999 o.4gogo o,4gdgoo,4og9oo.49g9't

3.8

0.49903 0.40093 0.4s993 0.4S094 0.49994 0.49994 0.49994 0,49995 0.49995 0.49995

0.49981 0.49982 0 4998i] 0.49983

0,49991 0.49992 o 49992 o 498)2 0.49992

v Tablas estadísticas - páEi,na (416)

IlirhologÍa Estadísrrca

-

página (417)

Tabla A.3 Núnrcros ¿llcalorios unilb¡mes Tabla A-2 Distribución normal acumulada

nrz»=f-t-:"-t[a, =

|

0

50om

-^

F(4

Z

^-A 00 0 t 02 03 04 05 06

0 50399

O

50798 051197 051595 05199¡l o 52392 o 5279 053laa 0$536

5396 0 543¡0 0 51176 055172 055567 0 55962 0 56356 056749 057142 0 t/s26 054317 0 53706 0 59095 0 s9¡183 059871 060257 0606¡2 061026

057535

01

061409

02

63307 o 63683 0-64058 064431 064803 065r73 0 65542 065910 0 66276 0 666rt0 0 67003 067364 067724 0 64042 064¿39 068793 o69146 0 69.497 069347 070t9. 070540 0 7OAa4 O11226 O71566 O 71901 A 12244 0 7¿5¡5 072907 073237 0 73565 073391 074215 074531 0T1A5T 075175 075490 0_7 0 75€04 076rr5 016,124 0 76134 077035 077337 O t1631 O7t935 074230 073524 03 073a14 079103 079339 o 79673 079955 0¡0234 090511 0 A07A5 0A1057 031327

03

0

061791 062172 062552

0

62930

0

05 06

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il

Flidrología Estadística

Tablas esudísticas - página (420)

Tabla A.5 Valores de f

-

página (421)

Tabla A.6 Distribución , de Student F(¿)

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Tablas estadísricas - página (422)

Tabla

A,7 FDA

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A.7 FDA de las dist¡ibuciones 72

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V Tabtas esradísricas - página (,124)

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A.7 FDA de las distribuciones X2 , 00

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Tabla

A.7 FDA de las distribuciones 72 ,

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X-

.

Hidrologfo Estadfstica

Tablas estadísticas - página (428)

Tabla A.8 Valores de y2 en finci1n de la proporción del área que queda a la derecha_de la ordenada Ievantada por ellos.

-

página (429)

Tabla A.9 Distribución Chi-cuadrada F(,)

Etcnpto.ltr!,

s¡udo¡d§ l¡trurr$d.r'

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1.32 2.71 3.81 5.02 6.63 7.88 2.77 4.61 5.99 734 9.21 10.6 0.584 121 237 411 6.25 7.41 935 11.3 12.8 1.06 1.92 33.6 5.39 7.74 9.49 11.1 13.3 14.9 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7 220 3 45 5 35 7.84 10 6 12.6 14.4 16.8 18.5 2.A3 4.25 6.35 9.04 120 14.1 160 '18.5 20.3 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17.5 20.1 22.O 4.17 5.90 8.34 11.4 14.7 16.9 19.O 21.7 23.6 4.A7 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2 5.58 7.58 10.3 13.7 17 3 19.7 21.9 247 26.8 6.30 8.44 11.3 r4.8 18.s 21.0 23.3 26.2 28.3 7.O4 9.3 12.3 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.4 7.79 10.2 13.3 '17.1 21.1 23.7 26.1 29,1 3f.3 8.55 11.0 14.3 1A.2 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8 9.31 1r.9 1s.3 19.4 23.5 26.3 28.8 32 0 34,3 10.1 12.8 16.3 20.5 24.8 27.6 302 334 35.7 10,9 13.7 17.3 21.6 260 28.9 315 348 37.2 11.7 14.6 18.3 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6 12.4 15 5 19.3 23.8 24.4 31.4 34.2 37.6 40.O 13.2 16.3 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4 14.O 17.2 21.3 26.0 30 8 33.9 36,8 40.3 42.8 14.A 1A.1 22.3 27.1 32.O 35.2 38 1 416 44.2 15.7 19.0 233 2A.2 33 2 36 4 39.4 43.0 45.6 16.5 19.9 24.3 293 34.4 37.7 406 ¿4.3 46.9 17.3 20.A 25.3 30,4 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3 1A.1 21.7 263 31.5 36.7 40.1 43.2 470 49.6 18.9 22.7 27,3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0 19.8 23.6 28.3 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 523 20.6 24.5 29 3 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53 7 29.1 33.7 39 3 45.6 51.8 55.8 59.3 63.7 66 I 429 49 3 56 3 63 2 67 5 71.4 76.2 79 5 37.3 46.5 52 3 59 3 67.A 74.4 79 1 83.3 8A.4 92.0 61 7 693 776 85.5 90.5 95,0 100.4 104,2 64.3 71.1 79.3 88.1 96.6 101.9 106.6 112.3 116.3 80.6 a9.3 98.6 107.6 '113.1 118.1 124.1 128.3

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l2

14 I 3t.41

8t

16.t9

l4-17 37.s1

18.58 I 40.00 13

8L

4512

Tablas estadfsticas - Página (430)

I{idrologla Estadística

-

página (431)

Tabla A.9 Distribución Chi-cuadrada

I E

Núñcro d. Endos

r(,)

de ¡ibert¿d

2t | 12 | B | 24 | 25 |

7Á

127 128 l2e l30 .0

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16.0

13.8 15.0 16.8

16.2

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7.0

7.5

8.1

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9.2

9.8

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9.1

9.9

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10,2

5

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0-o2t

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l1.6

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t2.3

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l3.E

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13.8 15.4

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16.5

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l8.t

l8.l

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24,1

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29.r

20.8 25.3 30-4

11.2

34.4

35.6

16.4 39.4

11.1

t8.9

40.6

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I

0.1

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0.25 0.5

16.3

0.?5

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30.8

32.0

0.95

t2.7

lt.9

,5.2

0.975 o.99

15.5

38,1

t8-9

368 403

4t.6

46.8

42.8 48.1

49.7

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0.9

4t.{

0.995 0.999

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46.9

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54.1

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3

0.005

20.7

28.0 49.1

35.5

t.7

r8.9

19.8

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2r.6

21.5

26.3 31.5 36.7

21-3 12.6 37.9

2¡.3

29.'

40.1 41.2

4t.1

47.O

tt.7

34.E

39.1

40.1 43.8

48.3

42.6 45.1 49.6

49.6

51.0

523

J5.5

56.9

58.3

53.1 59-7

12.4

40,5 43,2

31.5

6t.9

65.6

14,2

69.r

77.9

55,3 61.7

64.3 11.1 79.3

?3.3 80.6 89.3

90. t

77.6

8t.l

98.6

109. t

E5,5

96.6

I0?,6

I18.5

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I t 3.l

t24,3

¡ I8. t

129 6

Ir2.l

t74.1

I15.8

r6.3 r24 8

128.3 t 1t.2

140.2

29.t

0.25 0.5

o.1s

I l.? 19.3 45.6

0.9

51.8

632

0.95 0.975 0.99 0.995 0.999

5J.8

61.5

59-3 63.1 66.8

1 1.4

79.1 81.3

90.5 95,0

7é.2

884

19.5 86.7

92.0

100.4 104.2

99.6

Il?.1

46.5

56.1

61.0

52.3 59.3

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54.2 s9.2 61.8

0,1

J1.7 42.9 49.J

|

46.s 51.2 53.5 57.2 60.4

14.4 16.5

34.t

l* l"

39.0 43.3 45.4 48.8 51.7

0.025 o.05

7l¡

I3,l

l.l

44_5

47.0

r).9

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Nómoro d¿ gadot de librrtad

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10.9 12.4

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82.4 99.3

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númcro dc gr¿dos de libcfÁd'

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0-

Ilidlología Estadística Papeles probabilísticos

-

-

página (433)

página (432)

3 3

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