X ,x ,x ,....,x: Guia 4: Estimación De Parametros

Guia 4: ESTIMACIÓN DE PARAMETROS 1.

X ,X ,X ,....,X

7 una muestra aleatoria de una población que tiene promedio µ y varianza σ2. Se Sea 1 2 3 proponen los siguientes estimadores del parámetro µ:

X  X 2  ....  X 7 ˆ 1  1 7 , a)

2X  X 6  X 4 ˆ 2  1 2

Determine si los estimadores son insesgados. Para estudiar el insesgamiento de los estimadores se debe calcular las esperanzas de estos estimadores:

 X  X2  X7  1 E ˆ1  E  1    E  X 1   E  X 2     E  X 7   7   7 1 1             7    7 7  2X  X6  X4  1 E ˆ2  E  1    E  2 X 1   E  X 6   E  X 4   2   2 1 1 1   2 E  X 1   E  X 6   E  X 4     2        2    2 2 2

 

 

Se pudo comprobar que ambos estimadores son insesgados ya que las esperanzas de estos estimadores son iguales al parámetro, que en este caso es µ. b)

Calcule la eficiencia relativa de ambos estimadores, interprete los resultados.

Para estudiar la eficiencia tenemos que calcular las varianzas de los estimadores insesgados. El estimador más eficiente es el que tenga la menor varianza. 2

 X  X2  X7   1   V ˆ1  V  1     V  X 1   V  X 2     V  X 7   7   7

 

2

2

1 1      2   2     2      7 2   0.14 2 7 7 2

 2X  X6  X4   1  V ˆ2  V  1     V  2 X 1   V  X 6   V  X 4   2   2

 

2

2

2

1 1 1     4V  X 1   V  X 6   V  X 4       4 2   2   2      6 2   1.5 2 2 2 2 Relativamente el primer estimador tiene menor varianza, por lo tanto, sería más eficiente. c)

¿Cuál de los dos estimadores elegiría? Elegiría el primer estimador por ser más eficiente.

ESTIMACIÓN MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA

Intervalo de confianza para la media 2.

Para un investigador social es importante determinar el tiempo promedio que se requiere para desarrollar un test y medir el tipo de liderazgo de una persona. Con esta finalidad aplica el test a una muestra aleatoria de 36 sujetos y fija un nivel de confianza del 95%. Luego de evaluar a los 36 sujetos obtiene los siguientes resultados: el tiempo promedio requerido fue de 35 minutos, se sabe además, por antecedentes históricos, que la varianza del tiempo que se requiere para el desarrollo del test es de 25 minutos2 y que se comporta de acuerdo a un distribución normal. a) Hallar e interpretar un intervalo de confianza para el promedio real de tiempo que se requiera en el desarrollo de dicho test. 2 Información: n = 36 ; X  35 ;   25 ;   5 ; nivel de confianza  95% Z  1.96  5  IC (  )  35  1.96    35  1.633    33.367 ; 36.633   36  Interpretación

Con 95% de confianza y basado en una muestra de tamaño 36, se puede afirmar que el tiempo promedio para desarrollar el test se encuentra entre 33.367 y 36.633 minutos siendo el error de la estimación ± 1.6333 minutos

Resultados técnicos Objetivo: Estimar promedio del tiempo para resolver el test Valor estimado: 35 minutos Margen de error: ± 1.6333 minutos Nivel de confianza: 95% Muestra tomada: 36 sujetos elegidos al azar de entre todos los que tomaron el test b) Cuál es el tamaño del error de estimación en este caso. E =± 1.6333 minutos c)

Si el error de estimación hallado se desea reducir en un 40% manteniendo el nivel de confianza ¿Qué tamaño de muestra necesitará seleccionar? Información: Nuevo error E = 0.6*1.633 = 0.9798 ; nivel de confianza: 95%  Z = 1.96 ;  = 5 2

 1.96*5  n    100.04 n  101  0.9798  Si E = 0.6*1.633 = 0.9798 ; nivel de confianza: 96%  Z = 2.054

;=5

2

 2.054*5  n   110  0.9798  3.

El dueño de un servicio de fotocopias está preocupado por conocer el ingreso promedio diario obtenido por el servicio de fotocopiado, dado que sospecha de la honestidad del encargado del establecimiento. Suponga que dicho ingreso se comporta de acuerdo a una distribución normal cuya desviación estándar es de S/. 50. ¿Cuál debe ser el número de días que debe supervisar personalmente el establecimiento para que con un nivel del 95% de confianza el valor del promedio muestral difiera del promedio real en a lo más S/.15? Información: X : ingresos diarios X  N(µ = ¿? ;  = 50)

nivel de confianza: 95%  Z = 1.96 ; E = ± 15 2

 1.96*50  n    42.68 43 días  15  Con 98% de confianza, el tamaño de la muestra es: 2

 2.326*50  n    60.114 61 días 15   4.

En la calificación de su eficacia, una muestra aleatoria de 312 empleados arrojó una puntuación media de 13.9 puntos, con una desviación estándar de 6 puntos. Si un intervalo de confianza del 95% indica que la media real (µ) de todos los empleados es menor que 15 puntos, la dirección implantará un nuevo programa de formación. Considerando que dichos puntajes se ajustan a una distribución normal, calcular e interpretar el intervalo de confianza correspondiente y en base a ello indique si se debe llevar a cabo el programa o no Información: n = 312 ; X 13.9 ; S  6 ; nivel de confianza = 95% t(n-1) = t(311)  t = 1.968



   13.9  0.6685    13.2315 ;14.5685   312 

IC (  )  13.9  1.968 

6

E = ± (14.568 – 13.232)/2 = ± 0.668 puntos

Decisión: como la media real (µ=15) está fuera de los limites, la dirección tiene evidencias para implantar un programa de formación 5.

A manera experimental, SURMEBANK ha entregado, previa evaluación, tarjetas de crédito a una muestra de 20 profesores universitarios de Lima, luego de un mes se registra el consumo, en soles, de cada uno de ellos con la mencionada tarjeta. Los datos obtenidos son: 680 660

762 622

633 765

770 790

875 583

633 737

641 667

880 696

760 640

670 510

a) Considerando que dicho consumo se ajusta a una distribución normal, estime con 97% de confianza el consumo promedio real (µ) mensual de los profesores que hacen uso de esta tarjeta Interprete el resultado obtenido. Información: n = 20 ; nivel de confianza = 97% ; distribución a usar t(19)  t = 2.346 Media = 698.7 , S = 93.2

 93.2  747.6  649.8   48.9     649.8 ; 747.6  ; E   2  20 

IC (  )  698.7  2.346 

Con 97% de confianza y basado en una muestra aleatoria de tamaño 20, se puede afirmar que el consumo promedio con tarjeta de los profesores universitarios de Lima está entre 649.8 y 747.6 soles con un error en la estimación de ± 48.9 soles Resultados técnicos

Objetivo: Estimar promedio del consumo con tarjeta de crédito Valor estimado: 698.7 soles Margen de error: ± 48.9 soles Nivel de confianza: 97% Muestra tomada: 20 profesores universitarios de Lima elegidos al azar que usan tarjetas de crédito del banco

b) Si el banco espera entregar en el futuro esta tarjeta a N = 2500 profesores universitarios de todo Lima, estime con 97% de confianza el ingreso total del banco por consumos con esta tarjeta. Hallamos el IC del 97% para estimar µ (consumo promedio de todos los profesores) IC (  )    649.8 ; 747.6  IC del 97% para T = Nµ (consumo total de los N = 2500 profesores) IC (T ) T  2500 * 649.8 ; 2500 * 747.6  ; T  1624500 ;1869000  Intervalo de confianza para la proporción 6.

Los anunciadores de publicidad en televisión afirman que la mayoría de televidentes entienden la mayor parte de la publicidad que ven y escuchan. Una investigación utilizó recientemente 2000 telespectadores de 18 años o más de edad. Cada uno vio cortos de 30 segundos de publicidad televisiva. Resultó que 1540de los televidentes no entendieron todo o parte de los cortos. Utilizando un nivel de confianza del 95%, ¿Usted diría que los anunciadores de publicidad en televisión están en lo correcto? Información: n = 2000 . x = 1540 , p = 1540 / 2000 = 0.77 ; nivel de confianza = 95%  Z = 1.96

0.77 *0.23  0.77  0.01844 2000 IC ( )   0.75156;0.78844  IC ( )  0.77  1.96

Interpretación: Con 95% de confianza y en base a una muestra de tamaño 2000, se puede afirmar que la proporción de televidentes que no entiende el mensaje está entre 0.7515 y 0.7884 con un margen de error de ± 0.0184 Conclusión: con 95% de confianza, se puede concluir que más de la mitad de televidentes no entiende el mensaje publicitario 7.

Se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporción de consumidores que prefieren cierta marca de embutidos. Asimismo, se requiere que el error al estimar esta proporción no sea mayor de 4 puntos porcentuales con un nivel de confianza del 95%. El Dpto. de marketing estima que el 25% de los consumidores prefieren dicha marca de embutido. Si cuesta 1500 dólares poner en marcha la encuesta y 5 dólares por entrevista, ¿cuál será el costo total de la encuesta? Primero determinamos n : tamaño de la muestra Información p = 0.25 , E = ± 0.04 ; nivel de confianza : 95%  Z = 1.96 2

 1.96  n  0.25*0.75*    450.1875  n  451 0.04   Costo total de la encuesta = 1500 + 5*n = 1500 + 5*451 = 3755 dólares 8.

Cable Futuro S.A. desea estimar la proporción de sus clientes que comprarían una revista con los programas selectos de televisión por cable. La compañía emplea una confianza del 95% para un margen de error de 0,05 con respecto a la proporción real. La experiencia anterior en otras áreas señala que el 75% de los clientes comprarán la revista de programas. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? Información: n = ? ; E = 0,05 ; nivel de confianza = 95%  Z = 1.96 p = 0.75

2

 1.96  n  0.75*0.25*    288.12  n  289 0.05   Nota: En caso no se tenga referencias previas sobre el valor de p, entonces se asigna p = ½ = 0.5 2

 1.96  n  0.50*0.50*    384.16  n  385  0.05  9.

En una encuesta realizada a personas adultas se les preguntó si tenían cuenta de ahorros en algún banco. a) En la encuesta, se ha detectado que de 2000 adultos encuestados (elegidos aleatoriamente), 1280 tenían alguna cuenta de ahorros. Hallar una estimación con un 95% de confianza de la verdadera proporción de adultos con cuenta de ahorros. Información: n = 2000 , x = 1280 ; p = 1280 / 2000 = 0.64 , nivel de confianza = 95% , Z = 1.96

IC ( )  0.64  1.96 IC ( )   0.62; 0.66

b)

0.64*0.36  0.64  0.02 2000

Objetivos: Estimar el porcentaje de adultos con cuenta en el banco Valor estimado : 64% Margen de error : ± 2% Nivel de confianza : 95% Muestra tomada : 2000 adultos elegidos al azar ¿Cuántos elementos deberían haber compuesto la muestra para que el error fuera del 2%, suponiendo un 95% de confianza, y que no se tiene información previa sobre la verdadera proporción? 2

 1.96  n  0.50*0.50*    2401  0.02  10. En una encuesta de opinión pública se invita a 100 personas, seleccionadas de una población de

10000 a expresar su preferencia por el producto A con respecto a otras marcas; a partir de esta muestra se concluye que entre 2100 y 3900 personas prefieren el producto A. ¿Qué nivel de confianza se usó en este informe? 11. Un fabricante asegura a un potencial comprador que el porcentaje defectuoso de su proceso es

máximo el 4%. Para comprobar la afirmación del productor, el cliente solicita que se le inspeccione una muestra de 300 artículos de los que hay en el inventario. Al verificar esta muestra se obtienen 18 artículos defectuosos. Con 96% de confianza, ¿podrá el cliente potencial dudar de la afirmación del proveedor? 12. Se está estudiando un nuevo fármaco para utilizarlo en el tratamiento de cáncer de piel. Se espera

que sea eficaz en la mayoría de los pacientes sobre los que se aplica. La compañía que provee el fármaco quiere obtener alguna prueba estadística que apoye tal afirmación. Si se selecciona una muestra aleatoria de 400 pacientes y en 210 de ellos el fármaco fue eficaz. ¿Existe con el 95% de confianza suficiente evidencia de que el fármaco es efectivo?

Intervalo de confianza para la varianza 13. El gerente de ventas de una empresa industrial tiene que decidir si compra o no una nueva

máquina para reemplazar la que tienen en uso actualmente en el departamento de producción. Se sabe que la máquina que está en uso tiene una varianza, con respecto al tiempo que demora en producir una pieza, de 0.067 min2. Al tomar una muestra aleatoria de 20 piezas producidas por la máquina que se desea comprar se encontró una desviación estándar de 0.15 minutos y se sabe que el tiempo que demora en producir un artículo se comporta de acuerdo a una distribución normal. Si se utiliza un nivel de confianza del 95% y la decisión estará basada en la menor variabilidad, ¿Cuál será la decisión del gerente de ventas? 14. Se observaron las ventas mensuales de un producto nuevo durante varios meses verificándose que

el monto de ventas obedece a una distribución normal con una desviación estándar 30 soles. Fue adoptada una nueva técnica de venta y, durante 12 meses, se observó que el monto promedio de ventas de este producto fue de 10560 soles con una varianza de 40 soles 2. ¿Hay rezones para creer que la varianza cambio? Use 96% de confianza 15. El jefe de control de calidad de una compañía que fabrica tornillos y pernos indica que el diámetro

de los pernos debe tener una varianza de a lo más 0.005 mm 2 para que sean considerados útiles, Suponer que se producen pernos cuyos diámetros se distribuyen normalmente; con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos de una línea de producción y se obtuvo una varianza de 0.009 mm2. Construyendo un intervalo de confianza del 95%, ¿Qué conclusión podría Ud. obtener en base al resultado?