Fundamentos De Mecánica De Fluidos- Juan Luis González-c(1).pdf

ENCUENTRE MÁS AQUI

https://ingenieriacivilwil.blogspot.com/

Fundamentos de Mecánica de Fluidos Juan Luis González-Santander

Gloria Castellano Estornell

Fundamentos de mecánica de fluidos © Juan Luis González-Santander © Gloria Castellano Estornell ISBN: 978–84–16113–13–2 e-book v.1.0

ISBN edición en Papel: 978–84–15941–79–8

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Decano, 4 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Maqueta y diseño: Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o siste ma de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Índice general Prefacio

IX

Introducción

XIII

1. Conceptos fundamentales 1.1. Definición de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Densidad de un fluido 1.2.1. Factores de la densidad . . . . . . . . . . . 1.3. La hipótesis del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Estática de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. La presión hidrostática . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Barómetros y manómetros . . . . . . . . . . 1.4.3. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . 1.5. Viscosidad de un fluido 1.5.1. Esfuerzo y deformación . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ley de Newton de la viscosidad . . . . . . . 1.5.3. Dependencia de la temperatura y la presión 1.6. Tensión superficial 1.6.1. Concepto de tensión superficia 1.6.2. Coeficiente de tensión superficial . . . . . . 1.6.3. Dependencia de otras magnitudes 1.6.4. Gotas de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Tensión superficial en un capilar . . . . . . 1.6.6. Ley de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Dinámica de fluidos 1.7.1. Descripción del movimiento de un fluido . . 1.7.2. Clasificación de los flujos . . . . . . . . . . 1.7.3. Fuerzas de fricción en los fluidos . . . . . . 1.8. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

3 5 7 8 10 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24 30

. . . . . . . .

35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 43 44

. . . .

. . . .

47 48 52 60

2. Análisis Dimensional 2.1. Magnitudes físicas: unidades y dimensiones . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Base dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Principio geométrico de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 70 71

iii

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

1 2

. . . .

iv

ÍNDICE GENERAL 2.3. Las leyes físicas 2.3.1. Sistemas de unidades coherentes 2.3.2. Invariancia de las leyes físicas . . 2.3.3. Homogeneidad de las leyes físicas 2.4. Teorema Pi . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Teoría de modelos . . . . . . . . . . . . 2.6. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3. Régimen turbulento 3.1. Concepto de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Viscosidad de turbulencia . . . . . . . . . . . 3.2. Flujo turbulento sobre una placa plana 3.2.1. Perfil de velocidades dentro de la capa límite 3.2.2. Perfil de velocidades fuera de la capa límite . 3.2.3. Perfil de velocidades . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Flujo turbulento en una tubería . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Coeficiente de resistencia . . . . . . . . . . . 3.3.2. Régimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

74 76 77 79 88 92

. . . . . . . . . . . . . .

95 96 99

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

4. Fundamentos de Diferenciación 4.1. Concepto de campo escalar y vectorial 4.1.1. Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Equilibrio hidrostático dinámico . . . . . . . . . . 4.3. Nociones de Cálculo en varias variables 4.3.1. Aproximación de una función . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Concepto de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Derivadas parciales iteradas . . . . . . . . . . . . . 4.4. Campo de velocidades en un fluido 4.4.1. Líneas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. La derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Operadores diferenciales vectoriales 4.5.1. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Curvaturas principales en una superficie . . . . . . 4.7. Ley de Young-Laplace 4.7.1. Ley de Young-Laplace para una superficie esférica 4.7.2. Ley general de Young-Laplace . . . . . . . . . . . . 4.8. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

101 102 106 107 110 112 116

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

119 120 122 124 127 130

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

135 136 142 145

. . . . 146 . . . . 152 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

154 159 162 163 167

. . . . 168 . . . . 171 . . . . 178

ÍNDICE GENERAL

v

5. Fundamentos de Integración 5.1. Integrales dobles 5.1.1. Concepto de integral doble . . . . . . . . . . . 5.1.2. Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . 5.2. Integración sobre regiones más generales . . . . . . . . 5.2.1. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . 5.2.2. Fuerza hidrostática sobre superficies circulares 5.3. Estabilidad de cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Estabilidad y altura metacéntrica . . . . . . . . 5.3.2. Cálculo de la altura metacéntrica . . . . . . . . 5.4. Integrales triples 5.4.1. Integrales triples sobre regiones más generales . 5.4.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Centro de empuje . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Fuerzas debidas a la tensión superficial . . . . . 5.6. Integrales de superficie 5.6.1. Integrales de superficie de campos escalares . . 5.6.2. Películas jabonosas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3. Integrales de superficie de campos vectoriales . 5.6.4. Fuerza hidrostática sobre superficies alabeadas 5.7. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Teoremas integrales 6.1. Teorema de Stokes 6.1.1. Curvas orientadas . . 6.1.2. Enunciado del teorema 6.1.3. Vorticidad . . . . . . . 6.1.4. Función corriente . . . 6.2. Campos conservativos . . . . 6.3. Teorema de Gauss . . . . . . 6.3.1. Fuentes y sumideros . 6.4. Autoevaluación . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

183 185 190 197 199 203 209 210 211

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

216 222 225 232 234

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

237 241 245 249 257

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

261 263 265 269 274 280 282 284

7. Fluidos ideales 7.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . 7.2. Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . 7.2.1. Condiciones de contorno . . . . 7.2.2. Hidrostática . . . . . . . . . . . 7.3. Flujos de densidad constante . . . . . 7.4. Flujos adiabáticos . . . . . . . . . . . 7.4.1. Conservación de la circulación . 7.4.2. El fenómeno de la separación . 7.5. Flujos estacionarios e irrotacionales . . 7.6. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

287 292 294 296 298 303 305 307 309 314

vi

ÍNDICE GENERAL 7.7. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8. Fluidos viscosos 8.1. El tensor de esfuerzo viscoso . . . . . . . . . . . 8.1.1. Fuerza de rozamiento en fluidos viscosos 8.2. Ecuación de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . 8.2.2. Términos no inerciales . . . . . . . . . . 8.2.3. Presión modificada . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Fuerza de arrastre y sustentación . . . . 8.3. Ley de Newton de la viscosidad . . . . . . . . . 8.3.1. Energía disipada . . . . . . . . . . . . . 8.4. Ley de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Tubería circular . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Medida de la viscosidad . . . . . . . . . 8.4.3. Ascenso de un líquido por un capilar . . 8.5. Movimiento oscilatorio de un fluido viscoso . . 8.5.1. Condiciones de contorno 8.5.2. Ecuación del movimiento . . . . . . . . 8.5.3. Estado cuasi-estacionario . . . . . . . . 8.5.4. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . . . 8.6. Capa de Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . 8.6.3. Campo de velocidades . . . . . . . . . . 8.7. Ley de la semejanza . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1. Número de Reynolds grande 8.7.2. Número de Reynolds pequeño . . . . . . 8.8. Ley de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2. Función corriente . . . . . . . . . . . . . 8.8.3. Campo de velocidades . . . . . . . . . . 8.8.4. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.5. Fuerza de fricción . . . . . . . . . . . . . 8.9. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Capa límite 9.1. Paradoja de d’Alembert . . . . 9.1.1. Condiciones de contorno 9.1.2. Presión modificada 9.1.3. Fuerza de arrastre . . . 9.2. Teoría de la capa límite . . . . 9.2.1. Análisis de escala . . . . 9.2.2. Ecuaciones de Prandtl . 9.2.3. Adimensionalización . . 9.3. Ecuación de Blasius . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

331 333 335 336 339 340 344 347 352 360 362 367 369 372

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

374 375 379 383 383 384 385 391

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

394 395 399 403 404 406 407 422

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

430 434 435 438 439 440

ÍNDICE GENERAL

VII

9.3.1. Condiciones de contorno . . . . . . . 9.3.2. Resolución de la ecuación de Blasius 9.3.3. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . 9.3.4. Espesor desplazado . . . . . . . . . . 9.4. Autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

442 443 448 450 459

A. Funciones trigonométricas A.1. Derivadas de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 461 A.2. Forma exponencial de las funciones trigonométricas . . . . . . . . 463 B. Funciones hiperbólicas B.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 B.2. Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 C. Funciones especiales C.1. La integral exponencial C.1.1. Desarrollo asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 C.2. La función W de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 C.2.1. La fórmula de inversión de Lagrange C.2.2. Desarrollo asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 D. Ecuaciones algebraicas D.1. Resolución de la ecuación cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 D.1.1. Solución en términos de funciones elementales . . . . . . . 475 D.2. Ecuación de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 E. Operadores en coordenadas cilíndricas E.1. Las coordenadas polares . . . . . . . . . . E.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.3. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . E.4. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.5. Laplaciano E.5.1. Laplaciano de un campo escalar . . E.5.2. Laplaciano ³ ´ de un campo vectorial .   . . . . . . . . . . . . E.6. Operador q · u I E.7. Tensor de esfuerzo viscoso . . . . . . . . . F. Producto de Cauchy

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

479 481 482 483

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

484 485 486 488 491

G. Aceleración de Coriolis G.1. Movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 G.2. Movimiento relativo de rotación uniforme . . . . . . . . . . . . . 495 H. Cálculo de variaciones H.1. Ecuación de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 H.2. Identidad de Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

Prefacio El principal objetivo del presente libro es contribuir a ser un texto de referencia para un curso universitario de grado de una ingeniería o de una titulación científica. Para explicar la filosofía que ha inspirado la elaboración del presente texto, hay que partir de la doble problemática a la que los profesores universitarios nos enfrentamos actualmente en nuestra labor docente. Por un lado, los alumnos que ingresan a la universidad desde el bachillerato disponen de una escasa formación científica y matemática. Por otro lado, la reciente reforma universitaria de los planes de estudio para adaptarse al Espacio de Educación Europeo del Plan Bolonia incita a una acentuación de los contenidos prácticos y aplicados. Estos dos nuevos retos hacen que los actuales textos universitarios se hayan quedado obsoletos pedagógicamente, por lo que la necesidad de su adaptación se hace imprescindible. En el caso de la Mecánica de Fluidos, los manuales presuponen unos conocimientos de Matemáticas que han desaparecido de los planes de estudio de los niveles de grado. Sin este lenguaje matemático, la resolución de las aplicaciones ha de explicarse a un nivel muy superficial, con el consiguiente deterioro en el desarrollo de la capacidad crítica, argumental y operacional de los alumnos. La fundamentación básica que pretende este libro es lo que ha motivado el título de Fundamentos de Mecánica de Fluidos. De esta manera, se introducen, en primer lugar, los contenidos matemáticos básicos de un curso de Análisis Matemático en varias variables, para luego presentar las ecuaciones fundamentales de la Mecánica de Fluidos. El lenguaje matemático no sólo permite formular de una forma elegante y concisa ecuaciones como la de Euler o la de Navier-Stokes, sino que también representa una herramienta ideal para la resolución de muchos problemas aplicados relacionados con la Mecánica de Fluidos. De este modo, el esquema pedagógico que se repite a lo largo del presente texto es el siguiente: introducción de un concepto físico y/o matemático, ejemplo que ilustre dicho concepto, ejercicio propuesto al alumno para que practique. Además, para que el alumno compruebe si ha asimilado los conceptos teóricos desarrollados en cada capítulo, al final de cada uno de ellos se incluyen unas preguntas tipo test de autoevaluación. Por otro lado, los ejemplos que ilustran los conceptos matemáticos están pensados para que el alumno se familiarice con el lenguaje matemático introducido. Es más, la mayoría de los ejemplos que ilustran los conceptos físicos dan cuenta de aplicaciones prácticas relacionadas con la ingeniería o las disciplinas científicas. La resolución de dichos ejemplos ix

x

PREFACIO

precisa de los conceptos matemáticos previamente introducidos. En muchos casos, también se han escogido ejemplos que han tenido una relevancia histórica en el desarrollo de la Mecánica de Fluidos, de tal modo que dan pie a presentar a los principales personajes que han contribuido a esta rama de la ciencia, como Arquímedes, Euler, Stokes o Prandtl. A continuación, se comentan brevemente los contenidos fundamentales que se ofrecen en este texto. El primer capítulo constituye una introducción a los fluidos. En él se define qué es un fluido y cuáles son sus propiedades básicas: densidad, viscosidad y tensión superficial. También se presenta brevemente en qué consiste la hipótesis del continuo, así como los principios básicos de la Estática y la Dinámica de Fluidos. El segundo capítulo presenta los fundamentos del Análisis Dimensional y su resultado principal, el teorema Pi de Buckingham. Este teorema permite esbozar las bases de la teoría de modelos para el diseño a escala de prototipos, así como simplificar el estudio experimental de las leyes físicas que rigen fenómenos complejos de la Mecánica de Fluidos. En el tercer capítulo se aplicará ampliamente el Análisis Dimensional al estudio del fenómeno de la turbulencia, tanto en una placa plana como en una tubería. El cuarto capítulo establece los principios básicos del Cálculo Diferencial en varias variables. Este lenguaje matemático nos permitirá definir, por un lado, el concepto de flujo de un fluido; y, por otro lado, operadores diferenciales vectoriales tales como la divergencia, el rotacional y el gradiente, así como su interpretación física. Además, podremos definir el concepto de superficie paramétrica y aplicarlo a la forma que adquiere la superficie de un fluido debido a la ley de Young-Laplace. El quinto capítulo introduce el Cálculo Integral en varias variables. Con esta extraordinaria herramienta matemática podremos abordar una gran diversidad de problemas aplicados a la Mecánica de Fluidos. Entre ellos destacaremos el cálculo de la fuerza hidrostática y su punto de aplicación sobre superficies planas o alabeadas, el criterio de estabilidad de cuerpos flotantes, la forma de las películas jabonosas y el caudal de un fluido a través de una superficie cualquiera. El sexto capítulo presenta los teoremas integrales de Stokes y de Gauss. El teorema de Stokes permite comprender muy fácilmente en qué consisten los campos conservativos, así como la introducción de la función corriente para el cálculo del caudal en ciertos casos. Los teoremas de Gauss y de Stokes permiten respectivamente comprender cabalmente el significado físico del rotacional y la divergencia. El séptimo capítulo introduce la Dinámica de Fluidos, explicando, en primer lugar un resultado general para cualquier tipo de fluidos, la ecuación de continuidad. A continuación, se deducen, a partir de los teoremas de Gauss y de Stokes, las ecuaciones de Euler y de Bernoulli, que rigen el comportamiento de los fluidos ideales. La ecuación de Bernoulli permite explicar el fenómeno de la cavitación y el efecto Venturi, así como la resolución de muchos problemas aplicados. Cuando el flujo es adiabático, la ecuación de Euler permite también

xi explicar el fenómeno de la separación en cuerpos que se desplazan en el seno de un fluido. El octavo capítulo está dedicado a la dinámica de los fluidos viscosos, introduciendo el tensor de esfuerzos y la ecuación de Navier-Stokes. La resolución de la ecuación de Navier-Stokes es de una enorme complejidad, lo cual hace que en la actualidad se aborde fundamentalmente desde un punto de vista computacional. En este manual se presentan algunos casos clásicos que permiten una solución analítica y que tienen, o bien una relevancia práctica, como la ley de Poiseuille o la ley de Stokes, o bien una cierta importancia en Oceonagrafía Física, como la teoría de la capa de Ekman. En el noveno capítulo se describe la teoría de la capa límite de Prandtl a partir de la paradoja de d’Alembert. Esta teoría se aplica a la resolución de la ecuación de Blasius. Por último, se ofrece una definición precisa del espesor de la capa límite con el concepto de espesor desplazado.

Introducción La Mecánica de Fluidos es la parte de la Física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento. Actos tan cotidianos como el vuelo de un pájaro, la natación, tomar una ducha, respirar o beber agua requieren necesariamente de la circulación de fluidos. El estudio de la Mecánica de Fluidos puede ayudarnos tanto a comprender la complejidad del medio natural como a mejorar la eficacia de la técnica del mundo artificial. La Mecánica de Fluidos es una ciencia basada en la evidencia experimental, y tiene en cuenta, al igual que cualquier ciencia moderna, la interacción entre el experimento y la teoría. La teoría matemática de los fluidos es, como todas las teorías, un modelo idealizado de la realidad. Este texto pretende presentar el arte de la modelización matemática aplicada al comportamiento de los fluidos. El estudio de los modelos matemáticos de la Mecánica de Fluidos, incluidos en un gran número de problemas de diversas ciencias, atrae el interés de un creciente número de investigadores. Al mismo tiempo, el desarrollo de los métodos de cálculo ha llevado a una más estrecha colaboración de matemáticos, físicos e ingenieros en el tratamiento propuesto por las nuevas tecnologías. Uno de los aspectos más interesantes de la Mecánica de Fluidos es la gran cantidad de vertientes que tiene en distintas áreas de conocimiento, tanto matemáticas como científicas o tecnológicas. A continuación se apuntan algunas de dichas vertientes. Matemáticas: Resolución de ecuaciones diferenciales. Científicas Meteorología y Climatología (Glaciología). Oceanografía y Geofísica. Astrofísica: dinámica estelar. Biomedicina: interacción fluido-estructura en los distintos aparatos circulatorios (cardiaco, pulmonar, renal...). Tecnológicas Aeronáutica y Aeronáutica espacial en sus vertientes de aerodinámica y combustión. Hidrología terrestre y subterránea. Industria petrolífera y siderúrgica: procesos industriales de altas temperaturas (altos hornos). xiii

xiv

INTRODUCCIÓN

Ciencias ambientales y ecología: problemas de contaminación y control de recursos y residuos. Industria automovilística: diseño y optimización de la resistencia aerodinámica. Dado el carácter matemáticamente sofisticado de las aplicaciones, es de sumo interés que los estudiantes de ciencias aplicadas tengan a su alcance deducciones y argumentos matemáticamente rigurosos, escritos en el lenguaje matemático actual.

Capítulo 1

Conceptos fundamentales “La resistencia que se observa debida a la falta de lubricación en las partes de un fluido es, siendo iguales las demás cosas, proporcional a la velocidad con la que se separan dichas partes una de otra” (I. Newton). Aunque Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) introdujo algunas ideas básicas de la estática de fluidos y Leonardo da Vinci (1452-1519) observó y dibujó esquemas de flujos complejos sobre objetos inmersos en corrientes, hubo que esperar hasta Isaac Newton (1642-1727) para que empezara la descripción cuantitativa a nivel físico y matemático de la Mecánica de Fluidos con el Libro II de sus Principia Mathematica (1687). Durante el siguiente siglo a la publicación de los Principia se realizaron muchos esfuerzos en la formulación matemática del flujo de los fluidos con las contribuciones de Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) y Leonhard Euler (1707-1783). Aplicando los principos básicos de la conservación de masa y la segunda ley de Newton, Euler obtuvo un par de ecuaciones en derivadas parciales no lineales y acopladas que involucraban tanto la presión como el flujo del fluido. Aunque teóricamente las ecuaciones de Euler son un gran logro intelectual, no tienen en cuenta el efecto de la viscosidad del fluido. Además, la solución analítica de las ecuaciones de Euler es posible sólo en algunos pocos casos simples. Tuvo que pasar un siglo más para que los efectos de la viscosidad fueran modelizados matemáticamente. El resultado fue un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales y acopladas aún más elaboradas, las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones fueron obtenidas, en primer lugar, por Claude-Louis Navier en 1822, a partir de su trabajo experimental sobre modelos. Posteriormente y de manera independiente, fueron deducidas matemáticamente desde primeros principios por George Stokes en 1845. La incapacidad de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes para la mayoría de los problemas de Mecánica de Fluidos era particularmente frustrante para aquellos investigadores interesados en calcular las fuerzas de arrastre y sustentación debidas a la fricción que ejerce el flujo de un fluido sobre un objeto. Este hecho representaba una dificultad técnica severa a 1

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

2

comienzos del siglo XX, sobre todo con la invención del primer aeroplano por parte de los hermanos Orville y Wilbur Wright. En contra de esta dificultad, Ludwig Prandtl, en 1904, introdujo el concepto de la capa límite. La teoría de la capa límite no sólo daba una aproximación de las ecuaciones de Navier-Stokes convirtiéndolas en ecuaciones mucho más sencillas de resolver, sino que además permitía entender teóricamente la paradoja que d’Alembert planteara en el s. XVIII. La dificultad que plantea la resolución analítica de las ecuaciones de Navier-Stokes ha hecho que a lo largo del siglo XX se hayan desarrollado métodos de resolución numérica, surgiendo una nueva rama denominada Dinámica de Fluidos Computacional. Hasta finales de los años 60, los ordenadores no alcanzaron velocidades de cálculo suficientes como para resolver casos sencillos. Hasta entonces, las técnicas experimentales constituían la única herramienta de análisis y diseño de cualquier problema realista de Mecánica de Fluidos. Hoy día existe una complementariedad entre los ensayos experimentales y las soluciones computacionales. Desde un punto de vista estrictamente matemático, las ecuaciones de Navier-Stokes siguen retando al ingenio humano, siendo la demostración de la existencia de soluciones regulares uno de los siete problemas matemáticos del milenio al comienzo del s. XXI.

1.1.

Definición de fluido

Un fluido es una sustancia (considerada como un medio continuo) que carece de forma propia, por lo que adopta la forma del recipiente que lo contiene. De esta manera, los diferentes elementos de un fluido homogéneo pueden reordenarse libremente sin afectar a las propiedades macroscópicas del fluido, es decir, hay un movimiento relativo entre los distintos elementos del fluido. Existen principalmente tres clases de fluidos: Los líquidos (p. ej. el agua) son fluidos de muy baja compresibilidad. Los gases (p. ej. el aire) son fluidos de una alta compresibilidad. Los plasmas (p. ej. de la atmósfera solar) son fluidos en los que una determinada proporción de sus partículas está cargada eléctricamente, de tal manera que responden a la interacción electromagnética. La diferencia entre fluidos y sólidos no es siempre nítida en la práctica, debido a que existen sustancias que se comportan ambivalentemente según las circustancias. Por ejemplo, las sustancias tixotrópicas como la gelatina o la pintura se comportan como sólidos elásticos cuando se encuentran en un estado de reposo por un cierto tiempo, pero cuando se someten a una fuerte distorsión por agitación, pierden su elasticidad y se comportan como un fluido. El estado sólido interesa a la Mecánica de Fluidos en cuanto a que por un medio poroso (como el suelo) pueden discurrir gases o líquidos. Interesan también los procesos por los que se producen los fluidos, como la combustión. Sin embargo, a la Mecánica de Fluidos no le interesa la composición microscópica

1.2. DENSIDAD DE UN FLUIDO

3

de un fluido, sino más bien la descripción de su comportamiento macroscópico por medio de variables como velocidad, presión, densidad, temperatura, etc.

1.2.

Densidad de un fluido

La densidad  de una sustancia se define como la cantidad de masa p por unidad de volumen que ocupa Y , p = = Y 3 Las unidades en el S.I. son kg m . En los fluidos es muchas veces útil definir la densidad relativa u con respecto a la densidad del agua pura1 a 4  C> agua = 1000 kg m3 ,  u = = agua Lógicamente, la densidad relativa es una magnitud que carece de unidades. Este tipo de magnitudes se denominan adimensionales.

1.2.1.

Factores de la densidad

Si el fluido es una sustancia pura, la densidad puede variar con la temperatura W y la presión S . La ecuación que relaciona las distintas variables del estado de un sistema se denomina ecuación de estado. Cuando las variables que definen un fluido son la densidad , la presión S y la temperatura W , la ecuación de estado se puede escribir como una cierta función de la presión y la temperatura i (W> S ) que define la densidad del sistema,  = i (W> S )= En este texto consideraremos fundamentalmente fluidos de densidad constante. Si el fluido es un líquido en el que hay disueltos distintos solutos, la densidad del fluido varía según la cantidad de soluto disuelto. Un ejemplo típico es la salinidad del agua del mar, cuya densidad es mayor que la del agua dulce. Típicamente, el agua de mar es una mezcla de un 96> 5 % de agua pura y un 3> 5 % de otros materiales, tales como sales, gases disueltos, sustancias orgánicas y partículas sin disolver. Según la figura 1.1, se puede observar que para cualquier valor constante de la temperatura, a mayor salinidad, mayor densidad. También se observa que el valor máximo para el agua pura ocurre a 4  C. Esto quiere decir que cuando el agua pura se congela a 0  C su densidad es menor que a 4  C= Este comportamiento anómalo del agua es debido a que la estructura con la que el hielo cristaliza, realizando puentes de hidrógeno, ocupa un mayor volumen que el agua a 4  C. Por otro lado, también se puede apreciar que, a medida que la salinidad aumenta, la temperatura de máxima densidad disminuye. La línea de puntos une las temperaturas de máxima densidad a distintas salinidades. 1 Se toma como referencia la densidad del agua pura a 4  C porque a esta temperatura el agua pura alcanza el máximo de densidad.

4

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.1: Densidad del agua del mar en función de la salinidad y la temperatura. (Tablas de Knudsen). Ejemplo 1 ¿Cómo varía la densidad de un gas ideal en función de la presión y la temperatura? La ecuación de un gas ideal es S Y = qUW> donde la constante de los gases ideales es U = 8> 314 J mol1 K1 y q es el número de moles. Si p es la masa del gas y Pp es la masa molecular de éste, tenemos que p = q= Pp Por tanto, la ecuación de los gases ideales queda p UW= SY = Pp Teniendo en cuenta que la densidad se define como  = p@Y , reordenando términos en la ecuación anterior, obtenemos Pp S = (1.1) UW Lógicamente, la densidad es directamente proporcional a la presión e inversamente proporcional a la temperatura. N  (W> S ) =

1.3. LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

5

Figura 1.2: Diagrama S  Y de un gas ideal a distintas temperaturas. Ejercicio 1 La ecuación de estado para los gases reales viene dada por ³ d´ S + 2 (y  e) = UW> y donde y es el volumen molar y d y e son constantes que dependen de la naturaleza del gas. Determínese la densidad del R2 a presión atmosférica y 25  C, sabiendo que para este gas d = 0> 138 N m4 mol2 y e = 3> 18 × 105 m3 mol1 = Solución:   1> 309 kg m3 =

1.3.

La hipótesis del continuo

Las moléculas de un gas están separadas entre sí por distancias mucho mayores que las dimensiones de las moléculas mismas. Incluso en un líquido, en el cual las moléculas están estrechamente empaquetadas, la masa (que reside esencialmente en los núcleos atómicos) dista mucho de estar distribuida uniformemente en el espacio. Sin embargo, en muchas aplicaciones de interés práctico, tan sólo nos interesa el comportamiento de la materia en una escala macroscópica. Éste es el caso de la Mecánica de Fluidos, de tal manera que podemos ignorar en la práctica la estructura molecular del fluido cuando describimos su movimiento. La hipótesis básica de la Mecánica de Fluidos consiste en suponer que, a escala macroscópica, un fluido se comporta como si estuviera dotado de una estructura perfectamente continua (o como si no tuviera estructura alguna). Por tanto, magnitudes como la masa p, la cantidad de movimiento s y la energía

6

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

H se consideran uniformemente distribuidas en cada elemento diferencial de volumen del fluido gY (en lugar de estar concentradas en una pequeña fracción de éste, como realmente ocurre). En consecuencia, vamos a suponer que, en cada punto u del seno de un fluido y para cada instante w, es posible definir unas  (u> w), la aceleración funciones continuas para la densidad  (u> w), la velocidad Y  (u> w), etc. D Debe quedar claro que la hipótesis del continuo no implica que todo rastro de la granulosidad de la materia desaparece de las ecuaciones macroscópicas del movimiento. En estas ecuaciones quedan coeficientes (como la viscosidad) que no se pueden calcular o aproximar sin recurrir a modelos microscópicos. Pero el cálculo de estos coeficientes es misión de la Mecánica Estadística y no de la Mecánica de Fluidos. Ejemplo 2 Analícese la hipótesis del continuo para el caso de la densidad. Consideremos una porción de fluido de forma cúbica de lado c y masa p. Si el lado del cubo es c, el volumen de la porción de fluido será Y = c3 . Obviamente, la masa p estará en función del volumen Y de la porción del fluido considerado. Por tanto, la densidad vendrá dada en función del tamaño c> de la siguiente manera, ¡ ¢ p c3  (c) = = c3

Figura 1.3: Densidad de un fluido en función de la escala considerada.

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

7

En la figura 1.3 se pueden distinguir claramente tres dominios diferentes, Dominio 1: para valores muy pequeños de c, del orden de la distancia intermolecular g, la granulosidad de la materia produce variaciones bruscas de  (c). Éste es el dominio microscópico. Dominio 2: en un intervalo en que el valor de c es pequeño en la escala macroscópica, pero grande respecto a g,  (c) se mantiene prácticamente constante e independiente de c. Dominio 3: cuando c es muy grande,  (c) ya no se mantiene constante, debido a una posible distribución espacial no homogénea de la densidad. El límite c12 entre los dos primeros dominios depende del estado de condensación, Gas (S y W normales): c12  105  106 cm= Líquido o sólido: c12  107 cm= El límite c23 entre los dos últimos dominios (macroscópicos) depende de las particularidades del sistema sobre escalas grandes, que habitualmente suelen ser mayores de 1 mm, excepto cerca de superficies especiales (por ejemplo, interfases líquido-gas), que se observan como discontinuidades macroscópicas. En consecuencia, podemos concluir que en el intervalo c12 ? c ? c23 (región 2) tiene sentido definir una densidad  del elemento del fluido, pues  no depende ni de la forma ni de la dimensión del volumen de muestreo Y . Matemáticamente, la hipótesis del continuo para la densidad se escribe como l´ım

Y $0

gp p (Y ) = = > Y gY

aunque en la realidad, debido a la naturaleza atómica de la materia, tal límite no existe. N

1.4.

Estática de Fluidos

La Estática de Fluidos, históricamente denominada Hidrostática, es la parte de la Mecánica de Fluidos que trata de los fluidos en reposo. Los resultados descritos en esta sección también se pueden aplicar a fluidos con un movimiento uniforme con un cambio de coordenadas a un sistema inercial en reposo. Debido a su simplicidad, la Estática de Fluidos ha sido la primera rama de la Mecánica de Fluidos que ha sido estudiada científicamente, y durante muchos siglos la única. A ella pertenece el resultado más importante de la Antigüedad clásica, el principio de Arquímedes.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

8

1.4.1.

La presión hidrostática

La presión S se define como la magnitud de la fuerza normal IB por unidad de área D que se ejerce sobre una determinada superficie (véase figura 1.4), S =

IB = V

Figura 1.4: Definición de la presión. La presión en un determinado punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones. Esto es así debido a que, si hubiera una diferente presión en una dirección que en otra, el fluido estaría en movimiento y no en reposo. Supongamos que tenemos un punto { a una profundidad k, cuya presión hidrostática S queremos calcular. Observando la figura 1.5 consideremos la columna de fluido que se encuentra por encima del punto {, de altura k y volumen gY = k gD. El peso de esta columna de fluido es gI = j gp. Si la superficie se encuentra a una presión S0 y la diferencia de presión entre el punto { y la superficie es S = S  S0 , tenemos que S =

j gp gp gI = = k j= gD gD k gD

(1.2)

Sustituyendo en (1.2) la densidad del fluido, =

gp gp = > gY k gD

resulta, S = S  S0 = jk=

(1.3)

Observemos que la diferencia de presión hidrostática es directamente proporcional a k. La constante de proporcionalidad es j y se denomina peso específico del fluido. Como la presión hidrostática sólo depende de k, eso quiere decir que es la misma en cualquier plano horizontal de la superficie del fluido. Esta observación explica el fenómeno de los vasos comunicantes, como se aprecia en la figura 1.6.

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

9

Figura 1.5: Presión hidrostática en un punto { a una profundidad k de la superficie del fluido.

Figura 1.6: Fenómeno de los vasos comunicantes.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

10

La prensa hidráulica, inventada por J. Bramah en 1795, se basa en el mismo principio. Según la figura 1.7, como los puntos 1 y 2 se encuentran a la misma altura, tendrán la misma presión, S1 =

I1 I2 = = S2 = D1 D2

Figura 1.7: Esquema de funcionamiento de una prensa hidráulica. Despejando, I2 = I1

D2 = D1

Si D2 A D1 , entonces I2 A I1 , con lo que podemos aumentar la fuerza ejercida.

1.4.2.

Barómetros y manómetros

Un barómetro es un instrumento para medir la presión atmosférica Satm . Según la ecuación de la presión hidrostática (1.3), la variación de presión entre los puntos (1) y (2) de la figura 1.8 será S2  S1 = jk= Si en el punto (2) hemos practicado el vacío, entonces S1 = 0, por tanto, S2 = Satm = jk=

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

11

Figura 1.8: Esquema de funcionamiento de un barómetro. El líquido que se utiliza para fabricar barómetros suele ser mercurio, Kj, porque su presión de vapor es pequeña, con lo que preserva muy bien la condición S1  0. La altura que alcanza la columna de Kj a la presión atmosférica es de 760 mm. La equivalencia entre las distintas unidades de presión es 760 mmHg

= 1 atm = Kj j k = 13600 kg m3 × 9> 82 m s2 × 0> 760 m = 1> 013 × 105 N m2 =

La unidad de 1 atm se corresponde con la presión media de la atmósfera al nivel del mar. La variación meteorológica hace variar esta presión media  5 %. Por tanto, en unidades del Sistema Internacional (1 N m2 = 1 Pa), la presión atmosférica es Satm = 1> 013 × 105 N m2 = (1.4) Un manómetro es un instrumento que mide la diferencia de presión entre dos puntos dados. Si tenemos un recipiente con un gas, podemos medir la diferencia de presión con respecto a la presión atmosférica. De este modo, de acuerdo con la figura 1.9, la presión manométrica Sp vendrá dada por Sp = S = S2  S1 = jk=

Ejemplo 3 En la figura 1.10 el líquido en D y E es agua y el líquido del manómetro es aceite de densidad relativa 0> 80= Si k1 = 0> 25 m> k2 = 0> 15 m y k3 = 0> 50 m> determínese la diferencia de presión entre los puntos D y E=

12

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.9: Esquema de funcionamiento de un manómetro.

Figura 1.10: Manómetro diferencial de aceite.

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

13

Tomando como nivel de referencia el punto F, tenemos que SE  SF SD  SF

= d jk3 > = r jk2 + d jk1 >

(1.5) (1.6)

donde d es la densidad del agua y r la densidad del aceite. Restando las ecuaciones (1.5) y (1.6) obtenemos la diferencia de presión entre los puntos D y E, SE  SD

= d jk3  r jk2  d jk1 = d j (k3  k1  u k2 ) >

donde u = r @d es la densidad relativa del aceite. Sabiendo que la densidad del agua es d = 1000 kg m3 y teniendo en cuenta los datos del enunciado, SE  SD  1275> 3 Pa=

N

Ejercicio 2 En la figura 1.11 se presenta el esquema de un micromanómetro, utilizado para medir pequeñas diferencias de presión. El líquido más denso (de densidad 1 ) llena la parte inferior del tubo en forma de X (de sección D1 ) hasta el nivel 0. A continuación se añade el líquido menos denso (de densidad 2 ) por ambas ramas de la X> llenándose los depósitos (cada uno de sección D2 ) hasta el nivel 1= Si se introduce un líquido de densidad  por ambas ramas de tal manera que el líquido en la parte inferior del manómetro experimenta una diferencia de nivel k entre sus ramas, determínese la diferencia de presión entre los puntos de entrada de ambas ramas del micromanómetro. Solución: i h D1 SF  SG = (2  ) D2 + 1  2 jk= Ejemplo 4 Hacia 1657, Otto von Guericke, inventor de la bomba de aire, hizo el vacío en una esfera hueca construida a partir de dos semiesferas de latón. Dos equipos de ocho caballos cada uno podían separar las semiesferas sólo en alguno de los intentos y con “enorme dificultad”, resultando un sonido estruendoso parecido al que produce el disparo de un cañón. Calcúlese la fuerza necesaria para separar las semiesferas si el radio de éstas es de 30 cm. Para determinar la fuerza que ejerce sobre cada una de las semiesferas la diferencia de presión S entre el interior y el exterior de éstas, vamos a dividir la superficie en anillos de área diferencial gD tal como presenta la figura 1.12. gD = 2ugc= La fuerza que ejerce la diferencia de presión sobre el anillo es gI = S gD = 2u S gc= Ahora bien, la fuerza que ejercen los caballos para separar ambas semiesferas está sobre el eje [, por tanto, sólo nos interesa la fuerza que realiza la presión sobre dicho eje [, gI{ = gI cos  = 2u S cos  gc=

14

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.11: Micromanómetro de líquidos inmiscibles.

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

15

Figura 1.12: Fuerza diferencial gI debida a la presión atmosférica sobre un elemento diferencial de superficie gD en forma de anillo sobre una semiesfera.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

16

Notemos que a partir de la figura 1.12, u = U sin  y gc = U g, por consiguiente, gI{

= 2U2 S sin  cos  g = U2 S sin 2 g>

donde hemos utilizado la identidad trigonométrica sin 2 = 2 sin  cos . Sumando la contribución de todos los anillos que componen la semiesfera, tenemos la fuerza que la presión ejerce en la dirección [, es decir, Z gI{ I{ = Z

@2

2

= U S

sin 2 g 0

1 =  U2 S [cos 2]@2 0 2 2 = U S= Si se ha practicado el vacío en el interior de la esfera, la diferencia de presión será aproximadamente S  1 atm = 1> 013 105 N m2 = Por tanto, la fuerza I que han de ejercer los caballos para separar las esferas es de I A I{ = U2 S  28642 N=

1.4.3.

N

Principio de Arquímedes

Consideremos en el interior de un fluido una porción de éste de masa pi y volumen Y> figura 1.13. El peso Si de dicha porción de fluido ha de estar  pues dicha porción de compensado con otra fuerza, que llamaremos empuje H, fluido no se mueve en el seno del fluido. Es decir, la aceleración de la porción  = 0= Por tanto, aplicando la segunda ley de Newton a la de fluido es nula, D porción de fluido, tenemos  = pi D  = 0> Si + H es decir,  = Si = pi j = H Llamando i a la densidad del fluido,  = i Y j = H

(1.7)

Observemos que el punto de aplicación de la fuerza de empuje estará en el centro de masas de la porción de fluido. Si ahora sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones que la porción de fluido de masa pv > figura 1.14, el empuje

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

17

 en una porción de Figura 1.13: Equilibrio entre el peso pi j y el empuje H fluido. que experimenta dicho cuerpo sigue siendo el calculado anteriormente (1.7). Sin embargo, lo que sí puede variar ahora es el peso del sólido, Sv = pv j = v Y j >

(1.8)

pues su densidad v no tiene por qué coincidir con la del fluido. Según (1.7) y (1.8), el balance de fuerzas ahora es ¡ ¢  = v  i Y j = (1.9) Sv + H De acuerdo con (1.9), si la densidad del sólido es mayor que la densidad del fluido, v A i , el cuerpo se hundirá y, si v ? i , el cuerpo flotará. Obsérvese que ahora, figura 1.14, el punto de aplicación del peso estará en el centro de masas del cuerpo sólido, que no tiene por qué coincidir con el punto de aplicación del empuje. Principio de Arquímedes Todo cuerpo sumergido en un fluido en reposo experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado. Ejemplo 5 Una máquina de hacer hielo hace piezas de la misma masa en forma de bolitas y cubitos. Se sirve un refresco y se echan una bolita y un cubito de hielo. ¿Cuál de los dos alcanzará una mayor profundidad bajo la superficie? Consideremos que  es la densidad del refresco, 0 la densidad del hielo, Y 0 el volumen sumergido y Y el volumen total de la pieza de hielo. Como el hielo  se flota en el refresco, tenemos que por el principio de Arquímedes el empuje H contrarresta con el peso pj , ¯ ¯ 0 ¯¯ (1.10) ¯H ¯ = pj $  j Y 0 = 0 j Y $ Y 0 = Y = u Y 

18

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.14: Sustitución de la porción de fluido por un cuerpo sólido de las mismas dimensiones. donde u es la densidad relativa del hielo con respecto al refresco. En el caso de un cubito de lado d, el volumen total del cubito Yf y su volumen sumergido Yf0 son Yf Yf0

= d3 > = d2 kf >

(1.11) (1.12)

donde, según la figura 1.15, kf es la profundidad que alcanza el cubito bajo la superficie. Aplicado (1.10) a las ecuaciones (1.11) y (1.12), Yf0 = u Yf

$

kf = u d=

(1.13)

Para determinar el volumen de la parte sumergida de una bolita de hielo de radio U, hemos de calcular el volumen de un casquete esférico de altura k, tal y como aparece en la figura 1.16. Para ello, podemos dividir la esfera en discos de espesor diferencial g| y radio u cuyo volumen es gY = u2 g|= Observando la figura 1.16 podemos darnos cuenta de que U2 = u2 + | 2 , por tanto, el volumen de un casquete esférico de altura k será Z

U

u2 g|

Y (k) =  Uk Z U

=  Uk

¡ 2 ¢ U  | 2 g|

¤U £ =  U2 |  | 3 @3 Uk =

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

19

Figura 1.15: Esquema de un cubito de hielo flotando en un líquido. Operando obtenemos Y (k) =

1 2 k (3U  k) = 3

(1.14)

Observemos que, cuando k = 2U, obtenemos el volumen de la esfera, Y =

4 3 U = 3

(1.15)

Observando la figura 1.17, a partir de (1.14) y (1.15) podemos concluir que el volumen total y sumergido de una bolita de hielo flotante es Yh

=

Yh0

=

4 3 U > 3 1 2 k (3U  kh ) > 3 h

donde kh es la profundidad que alcanza la esfera bajo la superficie. Aplicando de nuevo (1.10) a las ecuaciones (1.11) y (1.12), resulta Yh0 = u Yh

$

k3h  3U k2h + 4u U3 = 0=

(1.16)

Ahora bien, como la masa de ambas piezas de hielo es la misma, ph = pf , su volumen también será igual, pues las piezas tienen la misma densidad, esto es, la densidad del hielo 0 , ph = pf

$

0 Yh = 0 Yf

$

d3 =

4 3 U 3

$

d = U>

(1.17)

20

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.16: Cálculo de un casquete esférico a partir de la integración de discos de espesor diferencial g|=

Figura 1.17: Esquema de una bolita de hielo flotando en un líquido.

1.4. ESTÁTICA DE FLUIDOS

21

donde por simplicidad hemos definido la constante, r 3 4  1> 612= = 3

(1.18)

De las ecuaciones (1.13) y (1.17), obtenemos kf = u U

U 1 = = kf u 

$

(1.19)

Dividiendo la ecuación (1.16) entre k3f y definiendo la proporción entre las profundidades que alcanzan las piezas, como {=

kh > kf

resulta la ecuación {3  3{2

U + 4u kf

(1.20)

μ

U kf

¶3 = 0>

que según (1.19) se puede escribir como {3 

4 3{2 + = 0> u  2u 3

o bien, teniendo en cuenta (1.18), como, {2u 

3 3 u + 2 = 0=  {

(1.21)

Despejando u de (1.21) obtenemos " # r 1 3 12 9 ± = u =  2{  2 { Observemos que, para que u sea un número real, el discriminante ha de ser mayor que cero, 12 9 A0  2 {

$

{A

42  1> 214 A 1= 3

(1.22)

Por tanto, teniendo en cuenta la definición de { dada en (1.20), resulta que (1.22) indica que kh A kf = Es decir, la bolita de hielo alcanzará una mayor profundidad. Señalemos por último que la solución { ? 0 en (1.22) no tiene sentido pues kh > kf A 0= N Ejercicio 3 Una burbuja de aire caliente (30  C) sube rodeada de aire frío (10  C). Si despreciamos la resistencia del aire, ¿cuál es la aceleración ascendente de la burbuja? Solución: de  0> 69 m s2 .

22

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Ejemplo 6 Según el arquitecto romano del s. I a. C. Marco Vitrubio, el rey de Siracusa, Hierón II, dio a un orfebre una cierta cantidad de oro para fabricar una corona triunfal. Cuando el orfebre entregó la corona al rey, éste no estaba muy seguro de si la corona estaba hecha con todo el oro que le había entregado, o si el orfebre se había quedado con parte del oro, sustituyendo éste por plata. Así que el rey ordenó a Arquímedes determinar si la corona estaba adulterada, pero con la condición de no dañar la corona. Galileo (1564-1642) pensó que el método que utilizó Arquímedes fue el siguiente. En primer lugar, Arquímedes comprobó que la balanza estaba equilibrada al poner en uno de sus platillos la corona y en el otro la misma cantidad de oro que el rey entregó al orfebre. De este modo, dedujo que si la corona estaba adulterada, la masa de oro robada debería coincidir con la masa de plata de la corona. A continuación, introdujo la balanza en el agua y ésta se desequilibró haciendo subir la corona. Utilizando el principio que lleva su nombre, Arquímedes dedujo que la corona tenía menor densidad que el oro, es decir, estaba adulterada con algún metal de menor densidad que el oro, como es el caso de la plata. Si además de utilizar plata, el orfebre hubiera utilizado también platino, ¿qué cantidades de estos metales debió utilizar para no ser descubierto por Arquímedes y poderse quedar con una quinta parte del oro del rey? Datos: masa de oro del rey, 200 g; densidad de la plata, 10 500 kg m3 ; densidad del oro, 19 320 kg m3 ; densidad del platino, 22420 kg m3 . Sea p la cantidad de oro del rey, que según la primera parte de la prueba de Arquímedes ha de coincidir con la masa de la corona. Si pAu , pAg y pPt son las masas de oro, plata y platino que tiene la corona, se ha de cumplir que, p = pAu + pAg + pPt =

(1.23)

Una parte de la masa de oro entregada por el rey p coincide con la masa de oro de la corona pAu , por tanto, pAu = s p>

(1.24)

donde según el enunciado s = 4@5. Sustituyendo (1.24) en (1.23), tenemos que (1  s) p = pAg + pPt =

(1.25)

Obsérvese que (1  s) p es precisamente la masa de oro robada por el orfebre. Análogamente, si Y es el volumen de la corona y YAu , YAg y YPt son los volúmenes de oro, plata y platino que tiene la corona, tenemos que (1  s) Y = YAg + YPt =

(1.26)

Para superar la segunda parte de la prueba de Arquímedes, la densidad de la corona ha de coincidir con la densidad del oro. Si Au es la densidad del oro, tenemos que p (1.27) Au = = Y

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

23

Por tanto, teniendo en cuenta (1.27) en (1.26) y denominando Ag y Pt a las densidades de la plata y el platino, respectivamente, resulta que (1  s)

p pAg pPt = + = Au Ag Pt

(1.28)

Las ecuaciones (1.25) y (1.28) constituyen un sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas pAg y pPt . Despejando, tenemos que ¡ ¢ Pt Ag  Au ¡ ¢  34> 35 g> pPt = (1  s) p (1.29) Au Ag  Pt y despejando de (1.25), teniendo en cuenta (1.29), resulta que pAg = (1  s) p  pPt  5> 65 g=

N

Ejercicio 4 Se tiene un cuerpo en forma de prisma cuya base cuadrada tiene 1 m de lado y al que se le ha practicado un vaciado coaxial de 40 cm de radio. Si el cuerpo flota en equilibrio, teniendo una de las caras laterales paralelas al agua y alcanzando una profundidad de 30 cm, ¿cuál será su densidad relativa? Solución: u  0> 4056=

1.5.

Viscosidad de un fluido

Etimológicamente la palabra viscosidad se deriva del término latino viscum, que significa muérdago. El origen de la palabra viscosidad proviene de que, en la Antigüedad, a partir de bayas de muérdago, se preparaba una cola pegajosa que se utilizaba para atrapar aves, encolando las ramas de los árboles.

1.5.1.

Esfuerzo y deformación

Si una fuerza IB produce un cierto alargamiento c en una cierta sustancia sólida (por ejemplo, una cinta de caucho) de sección transversal D (véase figura 1.18), se necesita el doble de fuerza, 2IB , para producir la misma deformación c en la misma sustancia, pero cuya sección transversal sea el doble 2D. Así pues, las deformaciones en los materiales se determinan por la fuerza por unidad de área y no por la fuerza total. Resulta entonces útil definir la magnitud esB aplicada sobre el material y el área fuerzo  como el cociente entre la fuerza I transversal de éste, D, IB  = = D Cuando tenemos esfuerzos de tracción, el cambio de longitud del cuerpo c en la dirección del esfuerzo es proporcional a la longitud del cuerpo c. Conviene entonces definir la deformación  como la variación relativa de la longitud, =

c = c

24

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.18: Esfuerzo de tracción y de cizalla (o cortante) sobre un material sólido. Para pequeños valores del esfuerzo aplicado, la deformación  es proporcional al módulo del esfuerzo ||. La constante de proporcionalidad se denomina módulo de Young H, | | = H = Sin embargo, cuando tenemos esfuerzos cortantes o de cizalladura (véase figura 1.18), Ik > (1.30)  = D la deformación se cuantifica con el ángulo , donde D es ahora el área tangencial donde se aplica esfuerzo. Para esfuerzos pequeños, la deformación angular  es también proporcional al módulo del esfuerzo aplicado | |. La constante de proporcionalidad se denomina módulo de cizalladura J, | | = J =

1.5.2.

(1.31)

Ley de Newton de la viscosidad

A diferencia de los materiales sólidos, los fluidos son sustancias que se deforman continuamente al aplicarles un esfuerzo cortante. Por tanto, para cuantificar su deformación al aplicarle dicho esfuerzo, resulta que éste es proporcional no ya a la deformación angular  (1.31), sino al ritmo de variación de la deformación

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

25

angular g@gw. La constante de proporcionalidad es precisamente la viscosidad dinámica  del fluido, g  = = (1.32) gw

Figura 1.19: Régimen laminar en un fluido viscoso. Cuando el esfuerzo cortante no es muy grande, podemos considerar el fluido como distintas capas que deslizan unas sobre otras, lo que se denomina régimen laminar (véase figura 1.19). Estas láminas de fluido tienen un rozamiento entre ellas debido a la viscosidad del fluido. Observemos que la velocidad de cada una de las capas es mayor cuanto mayor es la distancia | a la superficie del  es una magnitud creciente con recipiente. Es decir, el módulo de la velocidad Y |, ¯ ¯ ¯ ¯ gY ¯ ¯ ¯ A 0= ¯ ¯ g| ¯

Figura 1.20: Láminas adyacentes de fluido que deslizan una sobre otra al aplicarles un esfuerzo de cizalladura  =

26

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Si consideramos dos láminas de fluido adyacentes (véase figura 1.20) y un esfuerzo cortante pequeño (por tanto, un ángulo de deformación pequeño   0), tenemos que el fluido se mueve en régimen laminar y que   tan  =

g{ > g|

(1.33)

de tal manera que derivando con ¯respecto al tiempo (1.33) y teniendo en cuenta ¯ ¯ ¯ que la velocidad de la lámina es ¯Y ¯ = g{@gw> ¯ ¯ ¯ ¯ g ¯Y ¯ g g{ g  = = (1.34) gw gw g| g| A partir de (1.32) y (1.34) y sabiendo que el esfuerzo  es paralelo a la  , concluimos que velocidad de las láminas Y   

 gY = g|

(1.35)

La ecuación (1.35) se denomina ley de Newton de la viscosidad. Según esta ley, podemos clasificar los fluidos en: Fluidos newtonianos: Son aquellos cuya viscosidad dinámica depende del tipo de fluido y no del estado de su movimiento. Fluidos no newtonianos: Aquellos cuya viscosidad dinámica no sólo depende del tipo de fluido, sino también de su movimiento. En la figura 1.21 se presenta una gráfica en la que se representa la deformación de distintos tipos de fluidos frente a distintas magnitudes de esfuerzos tangenciales. Cuando la relación es lineal, tenemos fluidos newtonianos. Un caso especial de fluido newtoniano es un fluido ideal en el que la viscosidad dinámica es nula. Las unidades en el S.I. son Pa s y en el sistema cegesimal dyn cm2 s = 1 S (Poise). La equivalencia entre ambas unidades es: 10 S = 1 Pa s. En la tabla 1.36 se presentan los valores de la viscosidad para diversas sustancias a 20  C (y en el caso del aire a una presión de 100 kPa). SUSTANCIA Aire Metanol Agua Aceite de oliva Aceite de ricino Glicerina

 ( Pa s) 1> 81 × 105 5> 44 × 104 1> 002 × 103 8> 1 × 102 9> 85 × 101 8> 5 × 101

(1.36)

La viscosidad dinámica de los fluidos es la responsable de que éstos se adhieran a las superficies de los recipientes tal y como indica la figura 1.22. Este efecto se denomina efecto Coanda.

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

27

Figura 1.21: Relación entre el gradiente de velocidades y el esfuerzo tangencial para distintos tipos de fluidos.

Figura 1.22: Efecto Coanda sobre una superficie de vidrio.

28

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Ejemplo 7 Se dispone de un fluido newtoniano encerrado entre dos tubos cilíndricos coaxiales de longitud O> cuya distancia entre ellos es k. Si mantenemos ˙ para que el el cilindro exterior fijo y consumimos una potencia constante Z cilindro interior de radio U rote alrededor de su eje a una velocidad angular constante > ¿cuál es entonces la viscosidad dinámica del fluido? Supóngase que k ¿ U=

Figura 1.23: Disposición del fluido en el interior de dos cilindros coaxiales. Si Ih{w es la fuerza tangencial que realizamos sobre el cilindro interno para lqw > la potencia consumida Z ˙ es que se mueva con una velocidad tangencial Y lqw = Ih{w Ylqw > ˙ = Ih{w · Y Z

(1.37)

lqw son vectores paralelos. Ahora bien, como el cilindro interior pues Ih{w y Y está rotando con velocidad angular , tenemos que Ylqw = U =

(1.38)

Por tanto, según (1.37) y (1.38), Ih{w =

˙ Z = U

(1.39)

Por otro lado, Ih{w genera un esfuerzo tangencial sobre el fluido, de tal modo que lo deforma. Como, según el enunciado k ¿ U, podemos suponer que tenemos una situación como la que aparece en la figura 1.24. Como además el fluido es newtoniano, podemos aplicar con bastante aproximación la ley de la viscosidad de Newton, gY > (1.40) Ih{w =  D g| donde D es la superficie del cilindro interior, D = 2UO=

(1.41)

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

29

Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.39)-(1.41), resulta que, ˙ gY Z = = 2 U2 O g| Integrando, Y (|) =

˙ Z | + F> 2 U2 O

(1.42)

donde F es una constante de integración.

Figura 1.24: Deformación del fluido debido a que se genera un esfuerzo tangencial en la superficie del cilindro interno. Imponiendo en (1.42) la condición de contorno, Y (0) = 0> resulta que F = 0. Imponiendo también la condición de contorno, Y (k) = Ylqw = U > resulta que, ˙ Z k = U = 2 U2 O Por tanto, despejando la viscosidad dinámica, =

˙ k Z = 2 U3 O 2

N

(1.43)

Ejercicio 5 Un fluido de viscosidad dinámica  circula en régimen laminar por una tubería recta, horizontal y cilíndrica de radio ¡ ¢ u0 . La distribución de velocidades en la tubería es Y (u) = Ym´ax 1  u2 @u02 > donde u indica la distancia al eje de la tubería. Si la tubería tiene una longitud O> determínese la fuerza que ejerce el fluido sobre la tubería. Solución: I = 4OYm´ax =

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

30

1.5.3.

Dependencia de la temperatura y la presión

En los líquidos, la viscosidad dinámica depende fuertemente de la temperatura, de tal manera que puede haber variaciones de hasta un 10 % por cada  C modificado. Por ejemplo, la sensibilidad a la temperatura del agua es de un 3 % por grado centígrado a temperatura ambiente, de tal modo que para tener una precisión del 1 % se requiere que la temperatura esté regulada en 0> 3  C. Para líquidos más viscosos, esta dependencia es mayor y han de tomarse mayores precauciones en el control de la temperatura. Para la mayoría de los líquidos, la viscosidad dinámica disminuye exponencialmente con la temperatura, de tal manera que, para altas temperaturas, la viscosidad es muy pequeña. La expresión más común que liga la viscosidad dinámica con la temperatura es la ecuación de Guzmán-Andrade2 , μ ¶ W0 > (1.44)  (W ) =  4 exp W donde W0 es una temperatura característica del líquido y  4 = l´ım  (W ) W $4

es la viscosidad a la que tiende el fluido cuando la temperatura es muy elevada. Notemos que, derivando en (1.44), tenemos que μ ¶ 4 W0 W0 0 ? 0>  (W ) =  2 exp W W pues 4 > W0 A 0. De este modo, en los líquidos, el aumento de la temperatura resulta en una disminución de la viscosidad dinámica. En el caso de los gases, la fórmula más usual es la fórmula de Sutherland3 (con un error ? 2 % en un gran rango de temperaturas),  (W ) =  0

W0 + F W +F

μ

W W0

¶3@2 >

(1.45)

donde  0 es una viscosidad de referencia a la temperatura W0 ,  0 =  (W0 ), y F es la llamada constante de Sutherland, característica del gas en cuestión. Gas Aire K2 Q2 R2 FR2

F ( K) 120 72 111 127 240

W0 ( K) 291> 15 293> 85 300> 55 292> 25 293> 15

 0 ( Pa s) 18> 27 8> 76 17> 81 20> 18 14> 8

2 E. N. Andrade, C. Da, “A theory of the viscosity of liquids”, Philosophical Magazine 17 497-511, 698-732 (1934). 3 W. Sutherland, “The viscosity of gases and molecular force”, Philosophical Magazine, S. 5, 36, 507-531 (1893).

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

31

Obsérvese que, a diferencia de los líquidos, los gases aumentan su viscosidad con la temperatura W . Efectivamente, derivando en (1.45), tenemos que  0 (W ) =  0 (W0 + F)

(W + 3F) s W A 0> 2 (W + F)2

pues 0 > W0 > F A 0. Ejemplo 8 Sabiendo que la viscosidad dinámica del agua a 20  C y a 30  C es respectivamente 1> 002 ×103 Pa s y 7> 977×104 Pa s, determínese la viscosidad dinámica del agua a 25  C= Según la ecuación de Guzmán-Andrade (1.44), si conocemos la viscosidad dinámica de una sustancia a dos temperaturas diferentes, 1 =  (W1 ) y  2 =  (W2 ), tenemos que μ ¶ W0 > (1.46)  1 = 4 exp W1 μ ¶ W0  2 = 4 exp = (1.47) W2 Por tanto, para determinar la viscosidad dinámica a cualquier otra temperatura, hemos de determinar las constantes características 4 y W0 para el agua. Si dividimos (1.46) entre (1.47) y tomamos logaritmos, resulta que μ ¶ μ ¶ 1 1 1 = W0 >  log 2 W1 W2 y, despejando W0 , W1 W2 W0 = log W2  W1

μ

1 2

¶  2026> 38 K>

(1.48)

donde hemos sustituido los datos del enunciado, W1 = 293> 15 K, W2 = 303> 15 K>  1 = 1> 002 × 103 N m2 s y 2 = 7> 977 × 104 N m2 s. Por otro lado, a partir de (1.46) y teniendo en cuenta (1.48), ¶ μ W0  9> 973 × 107 N m2 s= (1.49)  4 =  1 exp  W1 Por tanto, según la ecuación de Guzmán-Andrade (1.44) y teniendo en cuenta los resultados (1.48) y (1.49), la viscosidad dinámica del agua a W = 25  C = 298> 15 K resulta ser μ ¶ W0  8> 923 × 104 N m2 s=  (W ) =  4 exp N W Ejercicio 6 Determínese la viscosidad del dióxido de carbono a 40  C sabiendo que a 15  C tiene una viscosidad de 1> 72 × 105 Pa s, mientras que a 100  C es de 2> 096 × 105 Pa s. Solución: 1> 84 × 105 Pa s.

32

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Ejemplo 9 Se dispone de dos placas paralelas separadas entre sí por una distancia k = 10 cm> estando el espacio entre ellas relleno de etanol. La placa inferior está fija y se halla a una temperatura W1 = 40  C, mientras que la placa superior es móvil y se encuentra a una temperatura W2 = 10  C. La distribución de temperaturas en el etanol es lineal entre las temperaturas de las placas. Si se ejerce un esfuerzo tangencial  = 0> 1 N m2 sobre la placa superior, determínese la velocidad que ésta adquiere. Datos: la viscosidad del etanol a las temperaturas 10  C y 40  C es de 1> 466 × 103 Pa s y 0> 834 × 103 Pa s respectivamente. En la figura 1.25 se ha tomado el eje \ como eje vertical.

Figura 1.25: Líquido entre dos placas paralelas sometido a un esfuerzo tangencial y a un gradiente de temperaturas. Como la distribución de temperaturas es lineal entre las placas, tenemos que W (|) = D| + E>

(1.50)

donde D y E son unas constantes que debemos determinar sabiendo que W (0) = W1 > W (k) = W2 =

(1.51) (1.52)

Sustituyendo (1.51) en (1.50) llegamos a que E = W1  313> 15 K>

(1.53)

y sustituyendo (1.52) y (1.53) en (1.50), llegamos a que W2  W1 = 300 K m1 = (1.54) k Por otro lado, sabemos que la viscosidad varía con la temperatura de acuerdo con la ecuación de Guzmán-Andrade (1.44), μ ¶ W0 > (1.55)  (W ) =  4 exp W D=

1.5. VISCOSIDAD DE UN FLUIDO

33

donde si  1 =  (W1 ) y  2 =  (W2 ) > según el ejemplo anterior (1.48) y (1.49), μ ¶ W1 W2 1  1667> 14 K> (1.56) log W0 = W2  W1 2 ¶ μ W0  4 =  1 exp   4> 065 × 106 Pa s= (1.57) W1 Sustituyendo (1.50) en (1.55), tenemos la variación de la viscosidad  con la coordenada |> ¶ μ W0 = (1.58)  (|) =  4 exp D| + E Ahora bien, como el etanol es un líquido newtoniano, tomando módulos en la ley de Newton de la viscosidad (1.35),  =

gY > g|

(1.59)

y sustituyendo (1.58) en (1.59), μ  =  4 exp

W0 D| + E

¶

gY = g|

Despejando de (1.60) e integrando, ¶ μ Z Y (k) Z k W0  g| = exp gY= 4 0 D| + E Y (0)

(1.60)

(1.61)

Como la placa inferior está fija, Y (0) = 0> según (1.61), la velocidad que adquiere la placa superior es ¶ μ Z k  W0 g|= (1.62) Y (k) = exp 4 0 D| + E Para efectuar la integral dada en (1.62), podemos realizar el cambio x = D| + E, gx = D g|> de tal modo que ¶ μ ¶ μ Z Z 1 W0 W0 g| = exp gx= L = exp D| + E D x Haciendo ahora el cambio, } = W0 @x, g} = W0 @x2 gx (de tal modo que gx = W0 @} 2 g}), llegamos a Z } W0 h L= g}= (1.63) D }2 Integrando por partes en (1.63),  } Z } ¸ h W0 h  + g} = L= D } }

(1.64)

34

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

La integral que hemos obtenido en (1.64) al integrar por partes se denomina integral exponencial (véase Apéndice C.1) y no se puede expresar en términos de funciones elementales, de tal modo que define la siguiente función especial, Z { w h Ei ({) = gw= (1.65) 4 w Por tanto, teniendo en cuenta (1.65) en (1.64) y deshaciendo los cambios efectuados,  ¸ h} W0 Ei (})  L = D }  μ ¶ ¶¸ μ W0 W0 D| + E W0 = Ei + = (1.66) exp D D| + E W0 D| + E Finalmente, sustituyendo (1.66) en (1.62), ¶ μ ¶  μ  W0 W0 W0 Y (k) =  Ei Ei D 4 Dk + E E ¶ ¶¸ μ μ Dk + E E W0 W0 +  = exp exp W0 Dk + E W0 E Sustituyendo los datos del enunciado y teniendo en cuenta (1.53), (1.54), (1.56) y (1.57), llegamos a que la placa superior tiene una velocidad de Y (k)  9> 25 m s1 =

N

Ejercicio 7 Se dispone de dos placas paralelas separadas entre sí por una distancia k> estando el espacio entre ellas relleno de un líquido newtoniano. La placa inferior está fija y se halla a una temperatura W1 , mientras que la placa superior es móvil y se encuentra a una temperatura W2 , siendo la distribución de temperaturas lineal entre las placas. Se ejerce un esfuerzo tangencial  sobre la placa superior y ésta adquiere una determinada velocidad. Si se repite el experimento, pero con la placa superior a una temperatura W1 y la placa inferior a una temperatura W2 , demuéstrese que la velocidad que adquiere la placa superior en ambos experimentos es la misma. La viscosidad dinámica de los líquidos aumenta exponencialmente con la presión. El agua por debajo de 30  C es la única excepción, en la que disminuye en un primer momento, a continuación del cual el comportamiento es normal. Para presiones que difieren poco de la atmosférica, los cambios son bastante pequeños. Por esta razón, en los usos de la mayoría de los fluidos, este factor apenas se toma en consideración. Sin embargo, hay casos, como en la industria de lubricantes, donde las medidas de viscosidad han de tomarse a elevadas presiones. Las presiones soportadas por lubricantes en engranajes son del orden de 103 MPa, mientras que en las perforadoras que operan a profundidad han

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL

35

de soportar presiones de aproximadamente 20 MPa. De forma general, se puede expresar la viscosidad como una función de la presión y la temperatura,  (S> W ) = i (W ) hS >

(1.67)

donde  tiene valores típicos entre 2 × 108 Pa1 y 6 × 108 Pa1 .

1.6.

Tensión superficial

1.6.1.

Concepto de tensión superficial

Las fuerzas de cohesión de las moléculas en un líquido dan lugar al fenómeno de la tensión superficial. Esto es debido a que la fuerza de cohesión resultante que experimenta una molécula en la región superficial es hacia el interior del líquido. Sin embargo, la fuerza resultante que experimenta una molécula en el interior del líquido es nula. Esta fuerza que experimentan las moléculas en la superficie es la causa del fenómeno de la tensión superficial.

Figura 1.26: Fuerzas de cohesión entre las moléculas de un líquido en la superficie y en el interior de éste. Debido a esta tensión superficial, podemos predecir que los líquidos no expuestos a interacciones externas tenderán a minimizar su superficie. Efectivamente, en gravedad cero, la tensión superficial de un líquido hace que éstos adquieran forma esférica (véase figura 1.27), pues, de entre todas las figuras geométricas con el mismo volumen, la esfera es la de menor superficie.

1.6.2.

Coeficiente de tensión superficial

Según acabamos de ver, la tensión superficial tiende a minimizar el área que ocupa un líquido. Por tanto, si queremos aumentar el área de un sistema líquido en una cantidad gV> deberemos ejercer un trabajo gZ sobre dicho sistema.

36

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.27: Porción de fluido en gravedad cero. Experimentalmente ambas magnitudes (el trabajo ejercido gZ y el aumento de área gV) son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad  depende de las fuerzas de cohesión del líquido y es lo que se denomina coeficiente de tensión superficial, =

gZ = gV

(1.68)

Una manera de interpretar la definición dada en (1.68) es considerando una lámina de jabón adherida a un alambre doblado en doble ángulo recto y a un alambre móvil DE> tal y como se presenta en la figura 1.28. Para evitar que la lámina se contraiga por efecto de las fuerzas de cohesión, es necesario aplicar una fuerza I al alambre deslizante. Si desplazamos el alambre móvil una longitud g{, la fuerza I ha realizado un trabajo, gZ = I g{=

(1.69)

Ahora bien, teniendo en cuenta que la película de jabón tiene dos caras, el incremento en la superficie del sistema será gV = 2d g{=

(1.70)

A partir de (1.68) y teniendo en cuenta (1.70), resulta que el trabajo invertido en aumentar la superficie del sistema es gZ = gV = 2d g{=

(1.71)

Igualando (1.69) y (1.71), llegamos a =

I > 2d

donde la fuerza I es paralela a la superficie y perpendicular a la línea de contacto entre el alambre móvil y la superficie. La longitud 2d es precisamente la longitud de la línea de contacto.

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL

37

Figura 1.28: Lámina de jabón en un alambre rectangular con un lado móvil. Por tanto, alternativamente, podemos definir el coeficiente de tensión superficial  como la fuerza gI a lo largo de la línea de contacto por unidad de longitud de contacto gc> gI > (1.72) = gc donde la fuerza gI es paralela a la superficie, pero perpendicular a la línea de contacto. Obsérvese que según (1.68) las unidades en el S.I. del coeficiente de tensión superficial  son J m2 , mientras que de una manera equivalente, según (1.72), las unidades son N m1 . Las fuerzas debidas a la tensión superficial aparecen en la línea de contacto entre un sólido parcialmente sumergido en un líquido. Para visualizar dichas fuerzas, imaginemos una aguja sobre la superficie del agua. En la figura 1.29 aparece la sección transversal de una aguja, en donde se observa que la fuerza debida a la tensión superficial es paralela a la superficie. En la figura 1.30 se observa que la fuerza debida a la tensión superficial es perpendicular a la línea de contacto. Notemos que, al colocar la aguja sobre la superficie del agua, ésta se ha deformado incrementando su área para poder mantener el peso de la aguja. Según la figura 1.29, las componentes horizontales de gI se anulan, mientras que las componentes verticales se pueden hallar a partir de (1.72), gI| = cos  gI =  cos  gc= Integrando a lo largo de toda la línea de contacto, teniendo en cuenta que su longitud es 2c (despreciamos la longitud de contacto en los extremos de la aguja), resulta que I| = 2c cos = (1.73) Ejemplo 10 Determínese el radio u máximo que puede tener una aguja de acero que flota sobre el agua. Datos: densidad del acero, 7850 kg m3 ; densi-

38

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.29: Sección transversal de una aguja sobre la superficie de un fluido.

Figura 1.30: Aguja de longitud c sobre la superficie de un fluido.

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL

39

dad del agua, 1000 kg m3 ; coeficiente de tensión superficial del agua, 7> 28 × 102 N m1 = Para que la aguja flote, su peso pj se ha de compensar con la fuerza vertical I| debida a la tensión superficial y el empuje hidrostático H> por tanto, pj = I| + H=

(1.74)

Observando la figura 1.31, tenemos que + = @2> por tanto, según (1.73), podemos expresar la fuerza vertical de la tensión superficial como I| = 2c sin >

(1.75)

donde c es la longitud de la aguja. Si Y es el volumen de la aguja, u su radio y 0 su densidad, podemos escribir la masa de la aguja como p = 0 Y = 0 u2 c=

(1.76)

Por otro lado, si Yv es el volumen sumergido, el empuje será H = jYv >

(1.77)

donde  es la densidad del agua. De acuerdo con la figura 1.31, el volumen sumergido será Yv = c (Dvf  Dwu ) > (1.78) donde Dvf es el área del sector circular RDE, mientras que Dwu es el área del triángulo RDE, Dvf

=  u2 >

Dwu

= {| = u2 sin  cos  =

(1.79) 1 2 u sin 2= 2

Figura 1.31: Flotación de la aguja sobre la superficie.

(1.80)

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

40

Por tanto, según (1.78)-(1.80), el empuje dado en (1.77) lo podemos escribir como ¶ μ sin 2 2 H = j c u   = (1.81) 2 Sustituyendo (1.75), (1.76) y (1.81) en (1.74), resulta que ¶ μ sin 2 = 0 u2 cj = 2c sin  + jc u2   2 Despejando el radio de la aguja, s u=2

j

[20

 sin  =   (2  sin 2)]

En la figura 1.32 se ha representado gráficamente el radio u en función del ángulo = El radio máximo se alcanza para un ángulo,  m´ax  1> 6572 rad=

r 0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figura 1.32: Radio de la aguja en función del ángulo de flotación. Por tanto, el radio máximo es um´ax  8> 031 × 104 m=

N

Ejercicio 8 Se construye un anillo de 1 cm de radio con un cable cilíndrico de acero. Determínese el diámetro máximo del cable para que el anillo flote en el agua. Datos: Densidad del acero, 7850 kg m3 ; densidad del agua, 1000 kg m3 ; coeficiente de tensión superficial del agua, 7> 28 × 102 N m1 = Solución: gm´ax  1> 606 × 103 m=

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL

1.6.3.

41

Dependencia de otras magnitudes

Obsérvese que la tensión superficial no sólo depende de la naturaleza del líquido, sino también del fluido con el que esté en contacto en la superficie. Esta dependencia se comprende ya que las moléculas del medio exterior ejercen acciones atractivas sobre las moléculas situadas en la superficie del líquido. De esta manera, la tensión superficial es una magnitud característica de la interfase entre dos medios. Cuando la tensión superficial de la interfase entre dos líquidos es positiva (por ejemplo, agua y aceite), dichos líquidos son inmiscibles, mientras que, cuando es negativa (por ejemplo, agua y alcohol), los líquidos tienden a mezclarse. Por otro lado, la tensión superficial también depende de la temperatura, disminuyendo normalmente con el aumento de ésta. En la tabla 1.82 se ofrece el coeficiente de tensión superficial de diversas sustancias en contacto con el aire a 20  C. ¡ ¢ SUSTANCIA  103 N m1 Agua 72> 8 (1.82) Aceite de oliva 33> 06 Benceno 29> 0 Glicerina 59> 4 También la magnitud del coeficiente de tensión superficial puede verse afectada significativamente por la presencia de sustancias surfactantes. El efecto usual de estas sustancias contaminantes en la superficie del agua es el de disminuir su tensión superficial. Los detergentes son sustancias surfactantes que, al disminuir la tensión superficial del agua, hacen que ésta moje (y por tanto lave) las sustancias sólidas con las que entra en contacto con una mayor facilidad.

1.6.4.

Gotas de Tate

Un método sencillo para realizar medidas relativas del coeficiente de tensión superficial se fundamenta en la formación de gotas. Según la figura 1.33, cuando una gota se está formando a la salida de un tubo vertical, ésta se mantiene sujeta debido a las fuerzas de la tensión superficial y que actúan a lo largo de la circunferencia de contacto de la gota con el tubo. De acuerdo con la figura 1.33, las componentes horizontales de gI se anulan, mientras que las componentes verticales se pueden hallar a partir de (1.72), gI| = cos  gI =  cos  gc= Integrando a lo largo de toda la línea de contacto (es decir, el perímetro del tubo, 2u), resulta que I| = 2u  cos = La fuerza máxima de sustentación de la gota I|>m´ax se corresponde con el peso de la gota al caer pj, I|>m´ax = 2u  = pj=

42

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.33: Formación de una gota de líquido en el extremo de un tubo de radio u= Debido a que la gota no se rompe justo en el extremo del tubo, sino más abajo (véase figura 1.34), y a que no hay seguridad de que el líquido situado entre los niveles de salida del tubo y de ruptura de la gota sea arrastrado por la gota, la fórmula que debemos emplear es pj = 2 nu >

(1.83)

donde n es un coeficiente que debemos determinar experimentalmente. La ecuación (1.83) se denomina ley de Tate, en la que el peso de la gota es proporcional al radio del tubo u y al coeficiente de tensión superficial  del líquido. Ejemplo 11 A la salida de un tubo vertical gotea un líquido sobre el platillo de una balanza a una temperatura ambiente de 20  C. Dejamos caer primero 10 gotas de agua y la balanza mide 586 mg. Repetimos la experiencia dejando caer 12 gotas de aceite, midiendo la balanza 320 mg. Si el coeficiente de tensión superficial del agua a 20  C es 7> 28 × 102 N m1 > determínese el coeficiente de tensión superficial del aceite. Según la ley de Tate, el peso de una gota es proporcional al coeficiente de tensión superficial del líquido que gotea (1.83). Por tanto, si recogemos q gotas de agua, q pj = 2 nu q > (1.84) donde p es la masa de una gota de agua y  su coeficiente de tensión superficial. Análogamente, recogiendo q0 gotas de aceite, q0 p0 j = 2 nu q0  0 =

(1.85)

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL

43

Figura 1.34: Formación de una gota a la salida de un tubo vertical. donde p0 es la masa de una gota de aceite y  0 su coeficiente de tensión superficial. Dividiendo entre sí (1.84) y (1.85), llegamos a qp q P = 0 0 = 0 0> 0 P qp q

(1.86)

donde P y P 0 es la masa de agua y aceite recogida en la balanza. Despejando de (1.86) el coeficiente de tensión superficial del aceite resulta ser 0 =

1.6.5.

P 0q   0> 0331 N m1 = P q0

N

Tensión superficial en un capilar

Si introducimos un capilar de vidrio en agua y en mercurio, observamos que el nivel del agua sube por el capilar, pero el de mercurio desciende por éste. Dado un mismo líquido, observamos que cuanto menor es el radio del capilar, mayor es la altura (de ascenso o descenso) alcanzada, tal y como se observa en la figura 1.35. En la figura 1.36 se puede apreciar que, en el caso en el que el líquido moja el vidrio, se produce una superficie menisco cóncava, debido a que la interacción de las moléculas del líquido entre sí es menor que con las del vidrio del capilar. En el caso en que el líquido no moje el vidrio, se produce una superficie menisco convexa, debido a que la interacción de las moléculas del líquido entre sí es mayor que con las del vidrio del capilar. El ángulo  se denomina ángulo de contacto.  ? 90  $ Menisco cóncavo.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

44

Figura 1.35: Efecto de la tensión superficial en un capilar para distintos líquidos.  A 90  $ Menisco convexo. El mercurio no moja ningún sólido debido a la elevada energía de cohesión entre sus moléculas, lo que indica una tensión superficial bastante elevada. El agua moja el vidrio si está limpio, pero, si está sucio, por ejemplo de grasa, no lo moja.

1.6.6.

Ley de Jurin

La altura de ascenso k de un líquido por el interior de un capilar cilíndrico de radio u se puede determinar a partir del equilibrio entre la fuerza que produce la tensión superficial del líquido y el peso del líquido ascendido (véase figura 1.37). Tal y como muestra la figura 1.38, la zona de contacto entre el capilar y el líquido es una circunferencia de radio u. Tomemos un elemento diferencial en esta circunferencia gc, siendo gI la fuerza diferencial que la tensión superficial, cuyo coeficiente es , ejerce sobre gc, gI = gc= La componente vertical de gI es la que contribuye a que el líquido ascienda, gI| =  cos  gc= Integrando todas las contribuciones verticales a lo largo de la zona de contacto, (1.87) I| =  cos  2u= La componente vertical de la fuerza vertical de ascenso I| , debida a la tensión superficial, se ha de equilibrar con el peso de la columna de líquido de

1.6. TENSIÓN SUPERFICIAL

45

Figura 1.36: Meniscos cóncavo y convexo que se pueden producir en un capilar.

Figura 1.37: Ascenso de un líquido por un capilar debido a la tensión superficial.

46

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.38: Esquema de fuerzas en el interior de un capilar.

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

47

altura k, radio u y densidad . pj = Y j =  u2 k j = I| =  cos  2u= Despejando la altura de ascenso k> obtenemos la ley de Jurin, k=

2 cos  = ju

(1.88)

Ejemplo 12 ¿Cuál es el diámetro que como máximo deberían tener los capilares del xilema de los árboles para que la tensión superficial sea una explicación satisfactoria del ascenso de la savia a la copa de una secuoya gigante de 100 m de altura? Supóngase que el coeficiente de tensión superficial de la savia es igual al del agua. Datos: coeficiente de tensión superficial del agua, 7> 3 ×102 N m1 ; densidad del agua, 103 kg m3 . El xilema es el tejido leñoso de las plantas, formado por células muy alargadas que han engrosado su membrana con lignina y acaban por reabsorber su protoplasma. De este modo actúa como un capilar natural. A partir de la ley de Jurin (1.88), tenemos que el diámetro g es g = 2u =

4 cos  = jk

Observemos que el diámetro máximo viene dado por un ángulo de contacto  = 0> 4  3> 0 × 107 m= gm´ax = jk Las medidas experimentales del diámetro del xilema dan como resultado g  2> 5 × 105 m ( 100 veces mayor), por tanto, la tensión superficial no justifica por sí sola el ascenso de la savia en las secuoyas. N Ejercicio 9 Determínese la altura k a la que se eleva el agua entre dos placas paralelas de vidrio separadas 0> 5 mm= Datos: ángulo de contacto del agua con el vidrio, 20  ; coeficiente de tensión superficial del agua, 7> 28 × 102 N m1 = Solución: k  2> 79 × 102 m=

1.7.

Dinámica de fluidos

1.7.1.

Descripción del movimiento de un fluido

Descripción lagrangiana En esta descripción del movimiento del fluido se presta atención al movimiento individual de cada partícula (o elemento diferencial de volumen) dentro de un fluido. La complejidad del estudio aumenta según el número de partículas. Esta descripción es debida al matemático francés J. L. Lagrange (1736-1813), y en ella se define la línea de trayectoria como el lugar geométrico de los puntos recorridos por una partícula de fluido a lo largo del tiempo.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

48 Descripción euleriana

Esta descripción es debida al matemático suizo L. Euler (1707-1783). En ella se observa la velocidad de las partículas del fluido que pasan por un determinado punto del espacio a lo largo del tiempo, es decir, su campo de velocidades,  =Y  ({> |> }> w) = Y

Figura 1.39: Campo de velocidades asociado a una línea de trayectoria. En esta descripción se define la línea de corriente como la línea tangente a los vectores del campo de velocidades en un determinado instante w. Un tubo de corriente será un tubo cuyas paredes son líneas de corriente, por tanto, nada de fluido atraviesa las paredes del tubo. Cuando el flujo es el mismo a lo largo del tiempo, decimos que el flujo es estacionario, es decir, el campo de velocidades del flujo no depende del tiempo,  =Y  ({> |> }) = Y En los flujos estacionarios, las líneas de corriente se mantienen fijas a lo largo del tiempo y la partícula sigue la trayectoria de la línea de corriente. Por tanto, cuando el flujo es estacionario, las líneas de corriente coinciden con las líneas de trayectoria.

1.7.2.

Clasificación de los flujos

Según el número de variables espaciales  =Y  ({> |> }> w), pero en algunos En general los flujos son tridimensionales, Y casos, debido a alguna simetría que presente el flujo, podemos caracterizarlo

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

49

con un número de variables espaciales menor. Por ejemplo, en la figura 1.40 se presenta un flujo estacionario perpendicular a una superficie plana, estamos en  =Y  ({> |). El origen R sería un punto en el un caso de flujo bidimensional, Y que la velocidad de las partículas es nula, llamado punto de estancamiento.

Figura 1.40: Flujo estacionario perpendicular a una superficie plana. Un caso de flujo unidimensional es el del flujo interno y estacionario de un tubo cilíndrico, figura 1.41, en el que sólo se precisa la distancia de la partícula al centro del tubo, coordenada radial u, para conocer la velocidad de la partícula.

Figura 1.41: Flujo estacionario en un tubo cilíndrico. Cuando el flujo no depende de ninguna coordenada espacial y temporal, $  = estamos en el caso de un flujo uniforme, Y fwh= Según la viscosidad del fluido Se denomina flujo no viscoso o invíscido a aquel en el que la viscosidad del fluido no influye significativamente en el flujo o movimiento del fluido. Este tipo de flujos ocurre en el exterior de un cuerpo o flujo externo, fuera de la capa

50

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

límite. Para entender lo que es la capa límite, observemos la figura 1.42, en la que se presenta un cuerpo en movimiento inmerso en un fluido, de tal modo que se genera un flujo debido a que existe una velocidad relativa de las partículas del fluido con respecto al cuerpo. Los efectos viscosos se dan en el interior de la capa límite.

Figura 1.42: Efectos viscosos en la capa límite de un sólido en movimiento en el seno de un fluido. El flujo viscoso se da cuando la viscosidad dinámica del fluido influye significativamente en la dinámica del fluido. Suelen ocurrir en los flujos internos, como el flujo en el interior de los gaseoductos, oleoductos o vasos sanguíneos. Según la compresibilidad del fluido Cuando las variaciones de densidad en el fluido influyen en el flujo, tenemos un flujo compresible. Esto ocurre en flujos de aire de alta velocidad. Cuando las variaciones de densidad no influyen en el flujo, tenemos un flujo incompresible. Siempre que la densidad del fluido es constante, tenemos un flujo incompresible, pero al revés no tiene por qué ocurrir. Por ejemplo, cuando tenemos una mezcla de agua salada y dulce, como en la desembocadura de un río, la densidad del fluido no es constante, pero el flujo es incompresible. Según la regularidad del flujo Cuando el flujo del fluido es regular, es decir, no existe un alto grado de mezcla de partículas próximas entre sí, tenemos que el flujo se encuentra en régimen laminar. Cuando además se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, nos encontramos en régimen laminar ideal. Cuando el flujo es irregular, es decir, las partículas próximas entre sí se mueven de manera aleatoria, nos encontramos

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

51

en régimen turbulento. En este caso, las magnitudes físicas como S , Y , W y  se describen por promedios estadísticos. ¿Qué parámetros indican si un flujo se encuentra en régimen laminar o turbulento? En la escala de longitud, podemos definir una magnitud O que da cuenta del tamaño del sistema físico en el que se halla el flujo. En el caso de flujos externos, O es el tamaño del cuerpo que se mueve en el seno del fluido y, en los flujos internos, el diámetro del tubo por donde discurre el flujo. Cuanto mayor sea O, mayor espacio libre tiene la perturbación del flujo para propagarse, por tanto, la turbulencia es directamente proporcional a O. En la escala de la velocidad, cuanto mayor sea la velocidad X del flujo, mayor velocidad de propagación de la perturbación del flujo habrá, por tanto, la turbulencia es directamente proporcional a X . Cuanto mayor sea la viscosidad dinámica  del fluido, más atenuadamente se propagarán las perturbaciones del flujo, por tanto, la turbulencia es inversamente proporcional a la viscosidad dinámica. Cuanto mayor sea la densidad , mayor cercanía y mayor interacción habrá entre las distintas moléculas del fluido. Por tanto, cuanto mayor sea la densidad, más fácilmente se propagarán las perturbaciones en el flujo. Es decir, la turbulencia es directamente proporcional a la densidad. Según estas consideraciones, podemos definir el siguiente parámetro adimensional denominado número de Reynolds como R=

 X O= 

(1.89)

El cociente entre la viscosidad dinámica  y la densidad  se denomina viscosidad cinemática,  (1.90) = >  de tal modo que el número de Reynolds (1.89) se puede escribir como, R=

XO = 

(1.91)

El número de Reynolds determina si nos encontramos en régimen turbulento o laminar. Rlaminar ¿ Rcrítico ¿ Rturbulento = (1.92) Para el flujo en una tubería circular, las observaciones experimentales muestran que el régimen laminar ocurre para Rlaminar ? 2300, mientras que el régimen turbulento ocurre para Rturbulento A 4000= En el intervalo entre 2300 y 4000, es posible encontrar tanto el régimen laminar como el turbulento (régimen

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

52

de transición), dependiendo de otros factores como la rugosidad de la tubería o la uniformidad del flujo. En la figura 1.43 se puede apreciar cómo el humo que sale de un cigarrillo, al principio, fluye en régimen laminar, pero rápidamente este movimiento se hace turbulento, de tal modo que el humo forma remolinos irregulares.

Figura 1.43: Humo que sale de un cigarrillo encendido.

1.7.3.

Fuerzas de fricción en los fluidos

Coeficiente de arrastre $  = Consideremos un fluido con un flujo uniforme Y fwh de densidad constante i que incide sobre una superficie de área D> de tal manera que todos los puntos de la superficie son de estancamiento (véase figura 1.44). Este flujo uniforme sobre la placa se puede conseguir si tenemos un fluido en reposo y desplazamos la superficie a una velocidad,  = Y = X

(1.93)

La energía cinética diferencial gHf que lleva el flujo que atraviesa un elemento diferencial de volumen gY = D g{> viene dada por, gHf =

¯ ¯2 1 ¯¯  ¯¯2 1 ¯¯  ¯¯2 1 ¯ ¯ ¯Y ¯ gp = i ¯Y ¯ gY = i D ¯Y ¯ g{= 2 2 2

(1.94)

Como todos los puntos de la superficie son de estancamiento, toda la energía cinética que lleva el fluido se transmite a la superficie. Por tanto, según (1.94),

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

53

Figura 1.44: Fuerza de arrastre sobre una superficie en la que todos los puntos de ésta son de estancamiento. la potencia que el flujo transmite a la superficie, viene dada por ¯ ¯2 g{ ¯ ¯3 1 1 gHf ¯ ¯ ¯ ¯ = i D ¯Y = i D ¯Y ¯ ¯ = gw 2 gw 2

(1.95)

Por otro lado, si Iarrastre es la fuerza que el flujo ejerce sobre la superficie, la potencia que lleva dicho flujo uniforme es ¯¯ ¯ ¯ gHf  ¯¯ >  = ¯¯Iarrastre ¯¯ ¯¯Y = Iarrastre · Y (1.96) gw  = A partir de (1.95) y (1.96) se puede donde, según la figura 1.44, Iarrastre k Y concluir que ¯ ¯ 1 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ (1.97) ¯Iarrastre ¯ = i D ¯Y ¯ = 2 Obsérvese en la figura 1.44 que la presión que se ejerce sobre la superficie es uniforme sobre toda la superficie y viene dada por ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iarrastre ¯ 1 ¯¯  ¯¯2 = i ¯Y (1.98) Sdinámica = ¯ = D 2 La presión dada en (1.98) se denomina presión dinámica, porque es debida  que lleva el flujo. En realidad, todos los puntos de la superficie a la velocidad Y no son de estancamiento (véase figura 1.45), por lo que la fuerza de arrastre será

54

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

por lo general menor que la calculada en (1.97) (excepto en el caso en que se produzca una presión negativa con respecto al ambiente en la parte trasera de la superficie). Definimos el coeficiente de arrastre FG como el factor adimensional por el que hay que multiplicar en (1.97) para obtener la fuerza de arrastre real, ¯ ¯ 1 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iarrastre ¯ = i FG D ¯Y ¯ = 2

(1.99)

Como la fuerza de arrastre tiene la misma dirección y sentido que el flujo, ¯ ¯ 1 ¯ ¯  (1.100) Iarrastre = i FG D ¯Y ¯Y = 2 Si estamos considerando un cuerpo inmerso en un fluido en reposo que se desplaza a velocidad constante en el seno de éste, según (1.93), ¯ ¯ 1 ¯ ¯  Iarrastre =  i FG D ¯X ¯ X= 2

(1.101)

Figura 1.45: Flujo real sobre una superficie plana. Para flujos incompresibles, el coeficiente de arrastre FG depende de la forma del cuerpo, del número de Reynolds R y de la dirección del flujo con respecto al cuerpo. Cuando tenemos un cuerpo inmerso en un fluido en reposo que se mueve en una dirección constante, la dirección del flujo es constante. Para el cálculo de la fuerza de arrastre en el caso de un volumen, el área D de la ecuación (1.99) es

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

55

el área del cuerpo ortogonal al flujo. En la figura 1.46 podemos observar cómo varía FG con R para diversos cuerpos moviéndose en una determinada dirección en el seno de un fluido en reposo. CD 1.5

Esfera

Cilindro 1.0

0.5

100

1000

10 4

10 5

106

Figura 1.46: Coeficientes de arrastre FG experimentales en función del número de Reynolds R para un cilindro circular que se mueve perpendicularmente a su eje y para una esfera. En la figura 1.46 se puede observar que la variación del coeficiente de arrastre con R es pequeña para un amplio rango de números de Reynolds de interés práctico (R  103  105 ). Por esta razón, en muchas ocasiones FG se considera como una constante que depende únicamente de la forma que tiene el cuerpo y de la dirección de su movimiento en un fluido en reposo. En la figura 1.47 se ofrece una tabla de coeficientes de arrastre FG para diferentes formas y direcciones en las que se mueve el cuerpo inmerso en un fluido en reposo para R A 104 = Experimentalmente, cuando el número de Reynolds es pequeño, R ? 1> la fuerza de arrastre ya no es proporcional al cuadrado de la velocidad (1.101), sino simplemente a la velocidad, > Iarrastre = N X

(1.102)

donde  es la viscosidad dinámica del fluido y N es un factor que depende de la forma del cuerpo. En el caso de una esfera de radio U, el factor N viene dado por la ley de Stokes, N = 6U= (1.103) Dinámica de un cuerpo sólido inmerso en un fluido Consideremos un cuerpo de masa p que se desplaza a través de un fluido viscoso bajo la acción de una fuerza I y de una fuerza de arrastre Iarrastre .

56

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Figura 1.47: Coeficientes de arrastre experimentales para diferentes formas y direcciones del flujo para R A 104 =

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

57

Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos que  = I + Iarrastre = pD

(1.104)

 produce un auSuponiendo que la fuerza I es constante, la aceleración D  y, por tanto, también en la fuerza de arrasmento en la velocidad del cuerpo X tre Iarrastre , que depende linealmente (1.102) o cuadráticamente (1.101) de la  . De este modo, con el tiempo, la fuerza de arrastre Iarrastre se equivelocidad X  = 0, es decir, X  se hace libra con la fuerza I y la aceleración se hace nula, D  O y para hallarla constante. Esta velocidad se denomina velocidad límite X  = 0 en (1.104), de tal modo que debemos tomar D arrastre = I = I

(1.105)

Ahora bien, cuando R ? 1> hemos de considerar en (1.105) la fuerza de arrastre dada en (1.102), llegando a que la velocidad límite es  O = I > X N

(1.106)

mientras que, cuando R À 1, debemos tomar como fuerza de arrastre (1.101), llegando a v u 2 u  ¯ ¯ I = XO = t (1.107) ¯ ¯ i FG D ¯I ¯ Cuando un cuerpo de masa p y volumen Y está inmerso en un líquido, la  fuerza que experimenta será su peso pj menos el empuje H, ¢ ¡  = pj + H  = i   jY n> (1.108) I donde  es la densidad del cuerpo. Sustituyendo (1.108) en (1.106), llegamos a ¢ ¡ i   jY n>  XO = (1.109) N mientras que sustituyendo (1.108) en (1.107), llegamos a s ¯ ¯ ¯ ¯  O = ± 2jY ¯1   ¯ n= X ¯ FG D i ¯

(1.110)

Notemos que, según (1.109), si la densidad del cuerpo es mayor que la del fluido,  A i > el cuerpo desciende (signo  en (1.110)); y viceversa en caso contrario. Ejemplo 13 Un batiscafo de forma esférica tiene un radio de 1 m y una masa de 4000 kg. Para sumergirse, este submarino hace aumentar su masa dejando entrar agua del mar en unos depósitos. Calcule la masa que debe absorber el submarino para descender a una velocidad constante de 1 m s1 . La densidad del agua del mar es 1> 03×103 kg m3 y su viscosidad dinámica es 1> 005×103 Pa s.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

58

Sea, por un lado,  la densidad del batiscafo, U su radio y Y su volumen; y, por otro lado, i la densidad del agua del mar y  su viscosidad dinámica. Como el tamaño característico de una esfera es su diámetro, O = 2U> el número de Reynolds del fluido cuando el batiscafo desciende a la velocidad límite constante XO = 1 m s1 es i XO O  2> 05 × 106 = (1.111) R=  Según la figura 1.46 el coeficiente de arrastre para el número de Reynolds dado en (1.111) es, aproximadamente, FG  0> 14= Por tanto, para la velocidad límite tenemos que considerar (1.110). Efectivamente, tomando módulos en (1.110) y sabiendo que el batiscafo desciende,  A i , es decir, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯1   ¯ =   1> ¯ i ¯ i llegamos a que, s XO =

¯ s ¯ μ ¶ 2jY ¯¯ 8jU   ¯¯  1 > = 1  FG D ¯ i ¯ 3FG i

(1.112)

donde hemos tenido en cuenta que el volumen del batiscafo es el de una esfera, Y =

4 3 U > 3

(1.113)

y el área ortogonal al avance del batiscafo en el fluido es D = U2 = Despejando de (1.112),  = i

¶ μ 3FG XO2 = 1+ 8jU

(1.114)

Por otro lado, si P es la masa del batiscafo y p la masa de agua marina que entra en los depósitos, la densidad del batiscafo al descender será =

P +p = Y

(1.115)

Igualando (1.114) y (1.115), teniendo en cuenta (1.113), podemos despejar la masa p, ¶ μ 4 3FG XO2 p = U3 i 1 +  P  337> 5 kg= N (1.116) 3 8jU

1.7. DINÁMICA DE FLUIDOS

59

Ejercicio 10 Determínese la velocidad límite a la que cae una gota de agua de 10 mg de masa en un recipiente lleno de aceite. Datos: densidad del aceite, 916 kg m3 ; viscosidad del aceite, 0> 084 Pa s. Solución: 3> 89 × 103 n m s1 . Ejercicio 11 Un vehículo de Fórmula 1 de masa p pasa por línea de meta a 0 . Si el motor desarrolla una fuerza constante I , deteruna velocidad inicial Y mínese la posición del vehículo con respecto a la línea de meta en función del tiempo. Considérese que el arrastre es proporcional de la velocidad,  al³cuadrado q ´ ³ ´¸ p w n 2 Iarrastre = n Y = Solución: [ (w) = n log cosh w0 + Y0 I sinh ww0 > donde w0 = sp . (Véase el Apéndice B para la definición de las funciones In hiperbólicas: sinh { y cosh {=)

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

60

1.8.

Autoevaluación

1. Un fluido se define como: a) una sustancia comprimible que adopta la forma del recipiente que lo contiene. b) un líquido considerado como un medio continuo. c) una sustancia (considerada como un medio continuo) que carece de forma propia. d) una sustancia cuya fluidez es mayor que cero. 2. La unidad de la densidad relativa en el Sistema Internacional es: a)

g cm3 .

b)

kg m3 .

c) depende de la naturaleza del líquido. d) adimensional. 3. En un gas ideal, la densidad es: a) directamente proporcional a la presión y a la temperatura. b) inversamente proporcional a la presión y a la temperatura. c) directamente proporcional a la presión e inversamente proporcional a la temperatura. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 4. La hipótesis del continuo: a) afirma que los fluidos realmente no están constituidos por átomos ni moléculas. b) permite aproximar el campo de velocidades de un fluido con una función continua. c) predice que la densidad es una función fluctuante cuando nos encontramos en la escala de las distancias intermoleculares. d) permite deducir determinados coeficientes utilizados en la Mecánica de Fluidos, como la viscosidad o el coeficiente de tensión superficial. 5. Si tenemos un fluido apenas compresible, entonces: a) el fluido es de densidad constante. b) el fluido no es una mezcla de líquidos. c) la presión no cambia la forma que tiene el fluido. d) el fluido es un líquido.

1.8. AUTOEVALUACIÓN

61

6. Según la hipótesis del continuo, las magnitudes físicas que definen el comportamiento de un fluido: a) son funciones continuas. b) son funciones derivables. c) son constantes. d) son iguales en cualquier escala. 7. Todos los puntos de un fluido que se encuentran en un mismo plano horizontal: a) se encuentran a la misma presión. b) se encuentran a presión atmosférica. c) se encuentran a presión atmosférica si el fluido está en reposo. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 8. Si llenamos un tanque con un líquido, la presión hidrostática en un punto de la pared del tanque: a) depende de la forma que tenga la pared en dicho punto. b) depende de las coordenadas cartesianas de dicho punto con respecto al centro de masa del tanque. c) depende de la profundidad de dicho punto con respecto a la superficie del líquido. d) es independiente de la densidad del líquido. 9. Según el principio de Arquímedes, todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual: a) al volumen del fluido desalojado. b) al peso desalojado por el fluido. c) al peso del cuerpo. d) a la masa del fluido desalojado multiplicada por la aceleración de la gravedad. 10. Tenemos un envase con agua a temperatura ambiente y un bloque de hielo flotando sobre ésta. Con el tiempo, el hielo se funde en el agua y ésta vuelve a tener la misma temperatura ambiente inicial. Si despreciamos la evaporación del agua en este proceso, entonces el nivel del agua en el envase: a) no habrá variado. b) habrá aumentado.

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

62

c) habrá disminuido. d) podrá aumentar o disminuir, dependiendo de la temperatura ambiente. 11. En Estática de Fluidos, el centro de empuje de un cuerpo: a) siempre coincide con su centro de masa. b) nunca coincide con su centro de masa. c) nunca coincide con su centro de masa si éste flota. d) coincide con su centro de masa si éste es homogéneo y no flota. 12. El área del pistón de un extremo de una prensa hidráulica es el doble que la del otro extremo. Si ejercemos una fuerza de módulo I sobre el pistón pequeño, obtendremos sobre la otra plataforma una fuerza de módulo: a) 2I . b) I@2. c) 2I si los pistones se encuentran al mismo nivel. d) I@2 si los pistones se encuentran al mismo nivel. 13. Un manómetro es un instrumento que mide: a) la presión atmosférica. b) la diferencia de presión entre dos puntos. c) la presión absoluta en un punto. d) la presión de un fluido, siempre y cuando éste sea líquido. 14. La magnitud esfuerzo tiene unidades: a) de presión. b) de presión por unidad de superficie. c) de fuerza por unidad de longitud. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 15. Los fluidos no newtonianos: a) deben su nombre a que no siguen las leyes de la Dinámica de Newton. b) son aquellos cuya viscosidad depende del tipo de fluido, pero no de su estado de movimiento. c) son aquellos que no cumplen la ley de Newton de la viscosidad. d) son aquellos cuya viscosidad depende del tipo de fluido y de su estado de movimiento.

1.8. AUTOEVALUACIÓN

63

16. La unidad de la viscosidad en el Sistema Internacional es: a) el Poise. b)

N m2 s.

c)

N m s2 .

d)

dyn cm s.

17. La viscosidad dinámica de un líquido: a) es directamente proporcional a la temperatura. b) es inversamente proporcional a la temperatura. c) no depende de la temperatura. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 18. Según la fórmula de Sutherland, la viscosidad dinámica de los gases: a) no depende de la temperatura. b) depende de la temperatura de la misma forma que en el caso de los líquidos. c) es una función creciente con la temperatura. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 19. El coeficiente de tensión superficial de un líquido es: a) inversamente proporcional a la energía de cohesión de sus moléculas y directamente proporcional a su superficie. b) inversamente proporcional a su superficie y a la energía de cohesión de sus moléculas. c) inversamente proporcional a su superficie y directamente proporcional a la energía de cohesión de sus moléculas. d) directamente proporcional a su superficie y a la energía de cohesión de sus moléculas. 20. La tensión superficial: a) es una propiedad de la interfase entre dos líquidos. b) es una propiedad intrínseca de los líquidos. c) no depende de la temperatura, pero sí de la presión. d) siempre es una magnitud positiva. 21. Normalmente, la presencia de sustancias surfactantes en un líquido hace que su coeficiente de tensión superficial:

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

64 a) aumente. b) disminuya.

c) se mantenga más o menos igual. d) no dependa de la temperatura. 22. Usando la ley de Tate, se puede determinar experimentalmente: a) el coeficiente de tensión superficial de un líquido de una manera directa. b) el coeficiente de tensión superficial de un líquido, siempre y cuando se conozca el de otro líquido. c) el coeficiente de tensión superficial de un líquido, siempre y cuando se conozca su densidad. d) la viscosidad de un líquido, siempre que se conozca su coeficiente de tensión superficial. 23. La altura de ascenso de un líquido por un capilar es directamente proporcional: a) al ángulo de contacto. b) al peso específico del líquido. c) al diámetro del capilar. d) al coeficiente de tensión superficial. 24. Cuando introducimos un capilar en un líquido, éste asciende por el capilar: a) siempre que el ángulo de contacto sea mayor que cero. b) siempre que el ángulo de contacto sea menor que un ángulo recto. c) siempre que el ángulo de contacto sea mayor que un ángulo recto. d) para cualquier valor del ángulo de contacto. 25. La altura de ascenso de un líquido que sube por capilaridad por un tubo cilíndrico es: a) directamente proporcional a la densidad del líquido. b) directamente proporcional al radio del tubo. c) inversamente proporcional al coeficiente de tensión superficial del líquido. d) directamente proporcional al coseno del ángulo de contacto del líquido con el tubo. 26. Cuando el flujo es estacionario:

1.8. AUTOEVALUACIÓN

65

a) las descripciones lagrangiana y euleriana de la dinámica de un fluido son idénticas. b) el flujo no depende del tiempo. c) las partículas de fluido siguen las líneas de corriente, pero no las de trayectoria. d) las partículas de fluido siguen las líneas de trayectoria, pero no las de corriente. 27. Si todos los puntos de un fluido son de estancamiento, entonces: a) el fluido permanece estático. b) el flujo es estacionario. c) el flujo es externo. d) el flujo es invíscido. 28. El número de Reynolds: a) es directamente proporcional a la viscosidad dinámica del fluido. b) si es mucho menor que el número de Reynolds crítico, podemos decir que no nos encontramos con un flujo en régimen laminar. c) es inversamente proporcional a la densidad del fluido. d) si es mucho mayor que el número de Reynolds crítico, podemos decir que nos encontramos con un flujo en régimen turbulento. 29. Los efectos de la viscosidad en la dinámica de un fluido no son significativos: a) dentro de la capa límite de los flujos externos. b) fuera de la capa límite de los flujos externos. c) en los flujos internos. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 30. La fuerza de fricción de una esfera que se mueve en el interior de un fluido inicialmente en reposo: a) es inversamente proporcional al radio de la esfera. b) es directamente proporcional al diámetro de la esfera. c) la opción b), siempre y cuando el número de Reynolds sea menor que la unidad. d) depende del material con el que esté hecha la esfera. 31. El coeficiente de arrastre:

66

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES a) tiene unidades de presión. b) tiene unidades de trabajo. c) tiene unidades de fuerza. d) es adimensional.

Capítulo 2

Análisis Dimensional “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de ésta no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones” (J. B. J. Fourier). El Análisis Dimensional se ocupa de los conceptos de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas. Esta herramienta sencilla y potente permite obtener mucha información de las leyes que rigen los fenónemos físicos, si se conocen las magnitudes físicas involucradas en dichos fenómenos. En Mecánica de Fluidos, el Análisis Dimensional tiene una gran aplicabilidad en la construcción de modelos a escala de prototipos, simplificando el estudio experimental de los flujos. J. S. Rayleigh (1842-1919) junto con J. B. J. Fourier (1768-1830) fueron los primeros en utilizar el Análisis Dimensional en Mecánica de Fluidos.

2.1.

Magnitudes físicas: unidades y dimensiones

A diferencia de otras disciplinas del conocimiento humano, la Física siempre trata con fenómenos observables que sean medibles; es decir, fenómenos a los cuales se les pueda asociar una cantidad numérica y una unidad de medida. Dichos observables medibles se denominan magnitudes físicas. Una misma magnitud física se puede medir con diferentes unidades de medida, pero sus dimensiones son invariables. Por ejemplo, el tiempo  de oscilación de un péndulo se puede medir en segundos s, minutos min u horas h, pudiéndose establecer una relación entre dichas unidades, 1 h = 60 min = 3600 s> sin embargo, la magnitud  tiene siempre dimensiones de tiempo W , [ ] = W= 67

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

68

En general, si tenemos una magnitud física t, ésta se podra expresar como t = t˜ [t] >

(2.1)

donde t˜ se corresponde con la cantidad numérica asociada a la magnitud y [t] con sus dimensiones. Cualquier magnitud física t se puede expresar como el producto de un conjunto de magnitudes físicas tl , elevada cada una de ellas a una determinada potencia dl 5 R, (l = 1> = = = > q). De este modo, de acuerdo con (2.1), resulta que t

= t1d1 t2d2 · · · tqdq = t˜1d1 t˜2d2 = = = t˜qdq [t1 ]d1 [t2 ]d2 · · · [tq ]dq >

(2.2) (2.3)

por tanto, tomando dimensiones en (2.2) y teniendo en cuenta (2.3), [t] = [t1d1 t2d2 · · · tqdq ] = [t1 ]d1 [t2 ]d2 · · · [tq ]dq = Las unidades de cualquier magnitud física se pueden expresar en términos de unas determinadas unidades fundamentales. En el S.I. las unidades fundamentales son el metro m para la unidad de longitud c, el kilogramo kg para la unidad de masa p, el amperio A para la unidad de corriente eléctrica L, el kelvin K para la unidad de temperatura W , el mol mol para la cantidad de sustancia q y la candela cd para la intensidad luminosa LY . Sin embargo, la dimensión de cualquier magnitud física se puede expresar en términos de cuatro dimensiones fundamentales: masa P , tiempo W , longitud O y carga F. A la temperatura W no le corresponde una dimensión fundamental, porque en última instancia mide la energía cinética promedio de las partículas, de tal modo que sus dimensiones coinciden con las de la energía. A la cantidad de sustancia q tampoco le corresponde una dimensión fundamental, pues tiene dimensiones de masa. Por último, la intensidad luminosa LY tiene dimensiones de energía por unidad de tiempo. En la tabla 2.4 se presentan las unidades del S.I. y sus dimensiones. MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura Cantidad sustancia Intensidad luminosa

SÍMBOLO c p w L W q LY

UNIDAD m kg s A K mol cd

DIMENSIONES O P W FW 1 PO2 W 2 P PO2 W 3

(2.4)

En el presente texto no vamos a considerar fluidos cargados eléctricamente (como ocurre, por ejemplo, en Dinámica de Plasmas), por lo que las dimensiones fundamentales se reducirán a P, O y W . En la tabla 2.5 se presentan algunas de las magnitudes físicas habituales en Mecánica de Fluidos.

2.1. MAGNITUDES FÍSICAS: UNIDADES Y DIMENSIONES

MAGNITUD Área Volumen Velocidad Caudal Densidad Fuerza Presión Viscosidad Tensión superficial

SÍMBOLO D Y  Y T  I S  

DIMENSIONES O2 O3 OW 1 O3 W 1 PO3 P OW 2 P O1 W 2 P O1 W 1 P W 2

69

(2.5)

En general, las dimensiones de una magnitud física t serán [t] = P d1 Od2 W d3 > donde dl 5 R (l = 1> 2> 3) son unos ciertos exponentes numéricos. Obsérvese que cuando no aparece una determinada dimensión fundamental en una magnitud física, el correspondiente exponente dl es nulo. Por ejemplo, las dimensiones de la densidad se pueden escribir como [] = P O3 W 0 = Por tanto, cuando tenemos una magnitud t adimensional, resulta que [t] = P 0 O0 W 0 = 1=

(2.6)

Ejemplo 14 Determínense las dimensiones de un ángulo medido en radianes.

Figura 2.1: Definición de radián.

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

70

Según la figura 2.1, si el ángulo  está delimitado por dos radios de longitud U de una circunferencia, entonces el valor de  medido en radianes es igual a la longitud del arco v que abarcan los radios, =

v = U

(2.7)

Tomando dimensiones en (2.7) y teniendo en cuenta que [v] = [U] = O, resulta que [v] = 1= [] = [U] Por tanto, los ángulos medidos en radianes son magnitudes adimensionales. N Ejercicio 12 Verifíquese que el número de Reynolds es adimensional.

2.1.1.

Base dimensional

En general, para que un conjunto de dimensiones O1 > O2 > = = = > Op de una teoría física sea fundamental se requiere que: La dimensión de cualquier magnitud t de la teoría sea expresable en términos de las magnitudes fundamentales, [t] = Od1 1 Od2 2 · · · Odpp =

(2.8)

Las dimensiones fundamentales sean independientes en el siguiente sentido, Od1 1 Od2 2 · · · Odpp = 1 $ d1 = d2 = · · · = dp = 0= (2.9) A semejanza del Álgebra Lineal, las propiedades de completitud (2.8) e independencia (2.9) nos permiten decir que el conjunto de dimensiones fundamentales O1 > O2 > = = = > Op constituye una base dimensional de una cierta teoría física. Por ejemplo, tal y como se vio anteriormente, las dimensiones P , O y W constituyen una base dimensional para la Mecánica de Fluidos. Ejemplo 15 Demuéstrese que si las dimensiones O1 > O2 > = = = > Op constituyen un conjunto de dimensiones fundamentales de una teoría física, entonces ninguna dimensión Ol (l = 1> = = = > p) se puede expresar en función de las demás. Razonemos por reducción al absurdo suponiendo que una dimensión fundamental es expresable en términos de las demás dimensiones. Por simplicidad, tomaremos la primera dimensión O1 , pues el orden en que numeremos las dimensiones fundamentales es arbitrario. De este modo, existen unos l 5 R tales que p 2 O1 = O 2 · · · Op > es decir, 2 p O1 1 O2 · · · Op = 1>

2.2. PRINCIPIO GEOMÉTRICO DE SEMEJANZA

71

pero por hipótesis O1 > O2 > = = = > Op constituyen un conjunto de dimensiones fundamentales, por tanto, aplicando (2.9), 1 = 2 = · · · = p = 0> lo cual es imposible, c. q. d.

2.2.

N

Principio geométrico de semejanza

El principio geométrico de semejanza es un principio debido a Arquímedes (287-212 a. C.) que establece la proporcionalidad entre una longitud característica O de un cuerpo y un área D o un volumen Y característico de dicho cuerpo. D 2 O2 > Y 2 O3 =

(2.10) (2.11)

Ejemplo 16 Una longitud característica en un círculo es su diámetro G, mientras que un área característica D es el área de un sector circular que abarca 1 rad= Determínese la constante de proporcionalidad entre D y G2 .

Figura 2.2: Área de un sector circular de ángulo , medido en radianes. De acuerdo con la figura 2.2, consideremos un sector circular de radio U que abarca un cierto ángulo = Podemos dividir el área D de dicho sector circular en elementos diferenciales de área gD tal y como aparece en la figura 2.2, de tal modo que gD = c gu = u  gu> (2.12) donde  es el ángulo que abarca el sector circular medido en radianes y u 5 [0> U] = Integrando en (2.12), tenemos que Z U  u gu = U2 = D= 2 0

72

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL En nuestro caso,  = 1 rad y el diámetro es G = 2U, por tanto, D=

1 2 G > 8

siendo la constante de proporcionalidad entre D y G2 > F=

1 = 8

N

Ejemplo 17 Viajando en un tren en un día lluvioso podemos observar cómo descienden las gotas de lluvia pegadas a la ventana siguiendo trayectorias rectilíneas con un ángulo de inclinación * con respecto a la horizontal. Determínese la ley física que liga la velocidad del tren con el ángulo * y el tamaño de las gotas. En la figura 2.3 se ha representado el esquema de fuerzas que actúan sobre la gota, tomando como sistema de referencia unos ejes cartesianos solidarios con la gota.

Figura 2.3: Esquema de fuerzas que experimenta una gota que desliza sobre la ventana de un tren en movimiento. A partir de la figura 2.3 existen tres fuerzas actuando sobre la gota: La fuerza de arrastre Iarrastre que ejerce el aire sobre la gota. Debido al movimento del tren, Iarrastre actúa horizontalmente. El peso de la gota pj , que actúa en dirección vertical. La fuerza de adhesión de la gota con la superficie de la ventana, Iadhesión . Esta fuerza tiene la misma dirección que la velocidad de la gota y sentido

2.2. PRINCIPIO GEOMÉTRICO DE SEMEJANZA

73

opuesto, por tanto, no afecta a¯ la dirección de la gota, sino únicamente al ¯ ¯ ¯ módulo de su velocidad, ¯Ygota ¯ = De este modo, el ángulo de inclinación * vendrá dado por pj ¯= tan * = ¯¯ ¯  ¯Iarrastre ¯

(2.13)

Observemos que la masa p de la gota viene dada por p = agua Y 2 agua O3 >

(2.14)

donde hemos aplicado el principio de semejanza de Arquímedes (2.11), siendo O una longitud característica de la gota (por ejemplo, su diámetro). Por otro lado, según (1.99), la fuerza de arrastre viene dada por ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯2 ¯ (2.15) ¯Iarrastre ¯ = aire FG D ¯Y aire ¯ > 2 donde FG es el coeficiente de arrastre de la gota (que consideraremos constante), aire es la velocidad del aire sobre la D es el área de la gota ortogonal al flujo y Y gota. Ahora bien, según el principio de semejanza de Arquímedes (2.10),

y, según la figura 2.3,

D 2 O2 >

(2.16)

tren > aire = Y Y

(2.17)

donde suponemos que del ¯ ¯ ¯ tren es mucho mayor que la de la go¯ la velocidad ¯ ¯ ¯ ¯ ¿ ta sobre la ventana ¯Y Y ¯ ¯ gota tren ¯ = Sustituyendo (2.16) y (2.17) en (2.15), obtenemos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯2 (2.18) ¯Iarrastre ¯ 2 aire O2 ¯Y tren ¯ = Finalmente, sustituyendo (2.14) y (2.18) en ¯ y despejando, obtenemos ¯ (2.13) ¯ ¯ la ley física que relaciona la velocidad del tren ¯Y tren ¯ con el ángulo * y el tamaño de las gotas O, s ¯ ¯ O ¯ ¯ > ¯Ytren ¯ 2 tan * donde agua > aire y j son constantes en nuestro problema.

N

El principio de semejanza geométrico nos permite interpretar el número de Reynolds como el cociente entre la fuerza característica de inercia y la fuerza característica viscosa. Efectivamente, la fuerza de inercia viene dada por la segunda ley de Newton, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ gY ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ gY  ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (2.19) ¯ 2 O3 ¯ ¯> ¯Iinercia ¯ = p ¯D¯ = Y ¯ ¯ gw ¯ ¯ gw ¯

74

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

mientras que la fuerza viscosa viene dada por la ley de viscosidad de Newton (1.35), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ gY ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ gY ¯ (2.20) ¯Iviscosa ¯ = D ¯ ¯ 2 O ¯ ¯= ¯ g{ ¯ ¯ g{ ¯ Por tanto, el cociente entre la fuerza de inercia (2.19) y la fuerza viscosa (2.20) es ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iinercia ¯ ¯ O ¯ g{ OX gw ¯ ¯2 = > (2.21) ¯ ¯   ¯Iviscosa ¯ donde X es la velocidad característica del flujo. Aplicando en (2.21) la definición del número de Reynolds (1.89), resulta que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iinercia ¯ ¯ ¯ 2 R= (2.22) ¯ ¯ ¯Iviscosa ¯ Ejercicio 13 Si definimos el número de Froude como F=

X2 > jO

donde X y O son respectivamente la velocidad y longitud características de un cuerpo inmerso en un fluido, determínese que F es proporcional al cociente entre la fuerza de inercia y la fuerza gravitatoria.

2.3.

Las leyes físicas

Las leyes físicas tratan de relacionar matemáticamente las distintas magnitudes físicas que aparecen en un cierto fenómeno. Por ejemplo, la segunda ley de Newton establece una relación de proporcionalidad entre la causa del movimien que ejercemos sobre él) y el efecto sobre to de un cuerpo (es decir, la fuerza I  que experimenta), dicho cuerpo (es decir, la aceleración D  I = pD=

(2.23)

La constante de proporcionalidad p es lo que se denomina masa inercial del cuerpo. La ecuación (2.23) se corresponde con los experimentos en cuanto que, si duplicamos la fuerza ejercida sobre un cuerpo, obtenemos el doble de aceleración.

2.3.1.

Sistemas de unidades coherentes

Cualquier sistema de unidades elegido debe ser coherente con todas las leyes físicas de una determinada teoría, de tal manera que no aparezcan constantes

2.3. LAS LEYES FÍSICAS

75

superfluas en dichas leyes. Por ejemplo, el Sistema Internacional de Unidades es coherente, de tal manera que la segunda ley de Newton (2.23) implica que 1 N = 1 kg × 1 m s2 =

(2.24)

Ahora bien, si elegimos un sistema de unidades igual al S.I., pero reemplazando la unidad de fuerza de 1 N por 1 lbf (libra-fuerza), nos aparece en (2.23) una constante superflua. Efectivamente, la equivalencia entre newtons y libras-fuerza viene dada por 1 lbf  4> 44822 N>

(2.25)

F  4> 44822 N lbf 1 >

(2.26)

es decir,

donde la constante F se le denomina factor de conversión (en este caso, de lbf a N). Por tanto, de acuerdo con (2.24) y (2.25), 1 lbf = F × 1 kg × 1 m s2 = De este modo, en dicho sistema de unidades, la segunda ley de Newton (2.23) se tendría que reformular como  I = FpD=

(2.27)

En (2.27) la constante F es superflua, porque se puede eliminar eligiendo adecuadamente el sistema de unidades. Las constantes no superfluas de una teoría física pueden ser: Constantes particulares: son aquellas que dependen de la disposición particular (geometría, estructura, composición...) que tiene un determinado fenómeno físico. Por ejemplo, la constante recuperadora de un muelle. Constantes universales: son aquellas que no dependen de la disposición particular que tiene un determinado fenómeno físico. Por ejemplo, la constante de la gravitación universal, J  6> 6738 × 1011 N m2 kg2 .

Dimensión P O W 1 Sistema

SI kg m s

BG1 slug ft s

Equivalencia 1 slug  14> 5939 kg 1 ft  0> 3048 m 1s = 1s

Anglosajón de unidades (en inglés, British Gravity BG).

(2.28)

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

76

2.3.2.

Invariancia de las leyes físicas

Los sistemas de unidades convencionales (Sistema Internacional, Sistema Cegesimal, Sistema Anglosajón...) son todos coherentes, de tal modo que las leyes físicas son invariantes frente al cambio de unidades entre dichos sistemas. Decimos entonces que las leyes físicas son libres de unidades. En general, podemos considerar un conjunto de magnitudes físicas t1 > t2 > = = = > tq en un determinado sistema coherente de unidades, de tal modo que i (t1 > t2 > = = = > tq ) = 0>

(2.29)

represente una determinada ley física. Si medimos las mismas magnitudes físicas en otro sistema coherente de unidades, t10 > t20 > = = = > tq0 , de tal modo que las razones de cambio entre ambos sistemas vengan dadas por tl = l tl0 >

l = 1> = = = > q>

resulta que (2.29) se convierte en i (1 t10 > 2 t20 > = = = > q tq0 ) = 0=

(2.30)

Pero como toda ley física es invariante ante el cambio de unidades entre sistemas coherentes, (2.30) se puede escribir como (2.29), i (t10 > t20 > = = = > tq0 ) = 0= Ejemplo 18 Cuando tenemos una partícula que gira en torno a un eje de  la velocidad Y  de dicha partícula es rotación con una velocidad angular ,  =  × u> Y

(2.31)

donde u es el vector de posición de la partícula. Determínese si dicha ley es invariante si cambiamos las unidades de la velocidad angular de rad s1 a  s1 = La razón de cambio entre radianes y grados sexagesimales viene dada por 1 rad =

180  = 

Por tanto, la ley dada en (2.31) se ha de expresar como  = 180  × u= Y  De este modo, la ley física dada en (2.31) no es invariante frente a dicho cambio de unidades. N Nota 1 Los radianes son las unidades naturales para medir ángulos planos en las leyes físicas, pues hacen que los sistemas de unidades sean coherentes. También en Matemáticas los radianes son las unidades naturales para las variables

2.3. LAS LEYES FÍSICAS

77

angulares. Esto es debido a que las conocidas reglas de derivación de las funciones trigonométricas, g (sin {) = cos {> g{ g (cos {) =  sin {> g{ se basan en el límite, sin k = 1> k$0 k que es cierto únicamente si k se mide en radianes. Véase Apéndice A. l´ım

Ejercicio 14 En 1890, el ingeniero irlandés R. Manning propuso la siguiente fórmula empírica para la velocidad media Y¯ de un flujo uniforme que desciende por gravedad a lo largo de un canal: s 1 Y¯ = U2@3 tan > q donde U es el radio hidráulico del canal, q el factor de rugosidad de Manning y  el ángulo de inclinación del canal con respecto a la horizontal. Sabiendo que q es adimensional, determínese si la fórmula de Manning es invariante si cambiamos sus unidades del S.I. al Sistema Anglosajón de unidades. (Para los factores de conversión véase 2.28). Solución: No es invariante.

2.3.3.

Homogeneidad de las leyes físicas

Diremos que una ley física es dimensionalmente homogénea si todos sus términos aditivos en ambos miembros de dicha ley tienen la misma dimensión. Por ejemplo, según el principio de Arquímedes, un cuerpo flotando en un fluido  que experimenta ha de en reposo cumple que su peso S = pj más el empuje H ser nulo,  = 0= S + H (2.32) Si (2.32) se cumple midiendo la fuerza en el S.I. (en newtons N), también se debe cumplir si medimos en cualquier otro sistema de unidades con otra unidad de fuerza (por ejemplo, libras-fuerza lbf). Efectivamente, teniendo en cuenta que F es la razón de cambio de lbf a N (2.26), resulta que (2.32), en unidades de lbf, se escribe como 1  1  1 S+ H = 0> F F F y simplificando obtenemos de nuevo (2.32). Por tanto, (2.32) es independiente del sistema de unidades elegido, tal y como tiene que ocurrir en toda ley física. La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc., han de ser adimensionales. Veamos en el siguiente ejemplo la adimensionalidad de los argumentos de las funciones exponenciales.

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

78

Ejemplo 19 Según vimos en (1.67), en general la viscosidad de un líquido depende de la temperatura, de acuerdo con la ley μ ¶ W0  (W ) =  4 exp = (2.33) W Determínense las dimensiones de la magnitud W0 . Tomando logaritmos en (2.33), log [ (W )]  log [ 4 ] =

W0 > W

y derivando con respecto a la temperatura W , W0 1 g =  2=  gW W

(2.34)

Como g{ es una variación infinitesimal de la magnitud {, según la homogeneidad dimensional de todos los sumandos en una ley física, resulta que [g{] = [{] = Por tanto, tomando dimensiones en (2.34), [W0 ] 1 [g] = > [] [gW ] [W ]2 es decir, W0 tiene las mismas dimensiones que la temperatura, [W0 ] = [W ] = PO2 W 2 >

(2.35)

donde hemos utilizado las dimensiones de la temperatura dadas en la tabla 2.4. Este mismo resultado lo hubiéramos podido obtener directamente considerando que el argumento de la función exponencial en (2.33) ha de ser adimensional, [W0 ] = 1> [W ] llegando de nuevo a (2.35).

N

Nota 2 La adimesionalidad de los argumentos de las funciones trigonométricas e hiperbólicas se deduce inmediatamente a partir de la adimensionalidad de los argumentos de las funciones exponenciales, dado que todas las funciones trigonométricas e hiperbólicas se pueden expresar en términos de funciones exponenciales (véase Apéndice B). Ejercicio 15 Según la solución del ejercicio 11, la posición [ de un cuerpo de masa p inmerso en un fluido en función del tiempo w viene dado por " Ãs ! Ãs !# r p In n In [ (w) = log cosh w + Y0 sinh w = n p I p Determínense las dimensiones de las magnitudes n> I y Y0 = Solución: [n] = PO1 , [I ] = POW 2 y [Y0 ] = OW 1 .

2.4. TEOREMA PI

2.4.

79

Teorema Pi

Teorema 1 (Buckingham) 2 Sea una ley física i (t1 > t2 > = = = > tq ) = 0 que involucra las magnitudes físicas dimensionales tl (l = 1> = = = > q) en las que están presentes p ? q dimensiones independientes, O1 > O2 > = = = > Op = Si las dimensiones de cada una de las magnitudes físicas son [tl ] = Od1 1l Od2 2l · · · Odppl =

p Y

Odnnl >

(2.36)

n=1

y la matriz de exponentes Dp×q = (dnl ),

O1 .. .

[t1 ] d11 .. .

··· ··· .. .

[tq ] d1q .. .

Op

dp1

···

dpq

(2.37)

es de rango u> entonces, (l) Existen q  u cantidades adimensionales 1 >  2 > = = = >  qu independientes que se pueden formar con las magnitudes tl (l = 1> = = = > q) = (ll) La ley física i (t1 > t2 > = = = > tq ) = 0 se puede expresar como I ( 1 >  2 > = = = >  qu ) = 0> involucrando únicamente las magnitudes adimensionales  m (m = 1> = = = > q  u). Demostración. (l) Sea  una magnitud adimensional formada a partir de las magnitudes dimensionales tl , =

q Y



tl l =

(2.38)

l=1

¿Cuántas magnitudes  adimensionales independientes podemos establecer? Tomando dimensiones en (2.38) y sabiendo que  es adimensional, [] = [t1 ]1 [t2 ]2 · · · [tq ]q =

q Y

[tl ]l = 1=

(2.39)

l=1 2 E. Buckingham, “Model Experiments and the Form of Empirical Equations”, Trans. ASME 37, 263-296 (1915).

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

80

Sustituyendo (2.36) en (2.39),

[] = = = =

q Y

Ã

p Y

l=1 n=1 p q Y Y

!l Odnnl d l

Onnl

l=1 n=1 q p Y Y

d l

Onnl

n=1 l=1 p Y d  +···+dnq  q Onn1 1 n=1

= 1=

(2.40)

Pero como O1 > O2 > = = = > Op son dimensiones independientes, aplicando (2.9) a (2.40), resulta que dn1  1 + · · · + dnq  q = 0>

n = 1> = = = > p=

(2.41)

Definiendo el vector  = ( 1 >  2 > = = = >  q )W y teniendo en cuenta (2.37), podemos reescribir (2.41) matricialmente como D = 0=

(2.42)

Observemos que, según (2.38), el número de soluciones independientes  = ( 1 >  2 > = = = >  q )W del sistema homogéneo (2.42) coincidirá con el número de magnitudes adimensionales  independientes que se pueden formar con las magnitudes dimensionales tl . Pero el número de soluciones linealmente independientes en (2.42) viene dado por la dimensión del núcleo de la aplicación lineal D> dim ker (D) = Sabiendo que  5 H (donde dim H = q) y la siguiente relación del Álgebra Lineal (donde por hipótesis el uj (D) = u), dim H = dim ker (D) + uj (D) > resulta que el número de magnitudes adimensionales  independientes que se pueden formar con tl son dim ker (D) = q  u>

(2.43)

c. q. d. (ll) Observemos que ahora, según (2.43), podemos formar q  u magnitudes adimensionales m (2.38), m =

q Y l=1



tl ml >

m = 1> = = = > q  u>

(2.44)

2.4. TEOREMA PI

81

de tal modo que, tomando logaritmos, log m =

q X

 ml log tl =

(2.45)

l=1

Definiendo los vectores,  = (log  1 > log 2 > = = = > log qu )W > y

t = (log t1 > log t2 > = = = > log tq )W >

podemos expresar matricialmente (2.45) de la siguiente manera,  =  t>

(2.46)

donde  5 R(qu)×q es la matriz de los exponentes dados en (2.44), ´W ¡ ¢ ³  =  ml =  1 >  2 > = = = >  qu > cuyos vectores filas  m satisfacen (2.42), D m = 0>

m = 1> = = = > q  u=

Observemos que uj () = qu, pues según (2.43) tenemos qu soluciones  linealmente independientes. Por tanto, podemos invertir el sistema dado m en (2.46), parametrizando las qu últimas componentes de t> con las qu componentes del vector > log tn = log  m >

n = u + 1> = = = > q; m = 1> = = = > q  u>

(2.47)

y quedando las u primeras componentes de t como combinación lineal de los q  u parámetros log m , log tc =

qu X

mc log m >

m=1

es decir, tc =

qu Y



 m mc >

c = 1> = = = > u=

m=1

Por tanto, la ley física, i (t1 > t2 > = = = > tq ) = 0> de acuerdo con (2.47) y (2.48), se puede reescribir como 3 4 qu qu Y  Y  iC  m m1 > = = = >  m mu >  1 > = = = >  qu D = 0> m=1

m=1

(2.48)

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

82

es decir, como una función de las magnitudes adimensionales, I ( 1 >  2 > = = = >  qu ) = 0>

(2.49)

c.q.d.

Obsérvese que de la expresión de la ley física en función de los monomios (2.49), podríamos despejar un monomio (por ejemplo, el primero  1 ) en función de los demás, obteniendo 1 = I  ( 2 > = = = >  qu ) =

(2.50)

Si sólo disponemos de un monomio,  1 = I 1 (0) = fwh=

(2.51)

Con ayuda del teorema Pi de Buckingham se puede establecer la forma que tienen determinadas leyes físicas a partir del Análisis Dimensional del fenómeno físico que representan dichas leyes. A continuación veremos algunos ejemplos. Ejemplo 20 Los experimentos indican que el caudal (volumen de fluido por unidad de tiempo) T que discurre por un tubo capilar horizontal recto en régimen laminar depende del radio del capilar U, la caída de la presión por unidad de longitud del capilar S@c y la viscosidad del fluido . Determínese la ley física que determina el caudal que fluye por dicho tubo capilar. Según el enunciado, la ley física buscada será una función de las magnitudes T> U> S@c y , ¶ μ S >  = 0> (2.52) i T> U> c siendo el número de magnitudes, q = 4=

(2.53)

Las dimensiones de las magnitudes físicas involucradas en (2.52) son, [T] = O3 W 1 > [U] = O> ¸  S = PO2 W 2 > c

(2.54) (2.55)

[] = PO1 W 1 >

(2.57)

(2.56)

siendo P> O y W las dimensiones independientes que están presentes (p = 3 ? q). Por tanto, la matriz D de exponentes viene dada por P O W

[T] 0 3 1

[U] 0 1 0

[S@c] 1 2 2

[] 1 1 1

2.4. TEOREMA PI

83

Obsérvese que, como el ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 3 ¯ ¯ 1

siguiente menor de la matriz D es no nulo, ¯ ¯ 0 1 ¯¯ ¯¯ 3 1 ¯¯ 1 2 ¯¯ = ¯¯ = 1 6= 0> 1 0 ¯ 0 2 ¯

resulta que u = uj (D) = 3=

(2.58)

Aplicando entonces el teorema Pi de Buckingham, el número de magnitudes adimensionales que intervienen en la ley física buscada, según (2.53) y (2.58), se reduce a q  u = 1= Dicha magnitud adimensional  1 , según (2.44), se podrá escribir en términos de las magnitudes dimensionales que intervienen en la ley física, μ 1

1 = T U

2

S c

¶3

 4 =

(2.59)

Tomando dimensiones en (2.59), sabiendo que 1 es adimensional,  1 = [ 1 ] = [T]1 [U]2

S c

¸3

[]4 >

(2.60)

y sustituyendo (2.54)-(2.57) en (2.60), llegamos a 1 =

¡ 3 1 ¢1  ¡ ¢ ¡ ¢ O W O 2 P O2 W 2 3 PO1 W 1 4

= P 3 +4 O31 +2 23 4 W 1 23 4 = Ahora bien, como las dimensiones P, O y W son independientes, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo, 3 + 4 3 1 +  2  2 3   4  1  2 3   4

= 0> = 0> = 0=

La matriz de coeficientes del sistema dado en (2.61)-(2.63) es 3 4 0 0 1 1 E = C 3 1 2 1 D > 0 1 2 1 siendo uj (E) = 3> pues el siguiente menor es no nulo, ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 1 ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 2 ¯ = ¯ 3 1 ¯ = 3 6= 0= ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ ¯ 0 1 2 ¯

(2.61) (2.62) (2.63)

84

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

Por tanto, para resolver (2.61)-(2.63), parametrizamos una incógnita (por ejemplo,  4 = ) de tal manera que obtenemos el siguiente sistema, 3 3 1 +  2  2 3  1  2 3

= > = > = >

que se puede resolver fácilmente sustituyendo en cascada, 1 2 3 4

= = = =

> 4> > =

Sustituyendo (2.64)-(2.67) en (2.59), resulta que à ¶1 ! μ S 4  = 1 = fwh> TU c

(2.64) (2.65) (2.66) (2.67)

(2.68)

donde hemos aplicado (2.51), pues disponemos de un único monomio adimensional. Despejando de (2.68), obtenemos T=F

S 4 U > c

(2.69)

donde F es una cierta constante numérica que se puede determinar experimentalmente, obteniéndose F  0> 393= Este resultado está plenamente de acuerdo con la teoría, véase (8.157), donde F = @8. La ley física obtenida en (2.69) se denomina ley de Poiseuille y ofrece el caudal que discurre por un capilar horizontal recto en régimen laminar. N Como hemos podido comprobar en el ejemplo anterior, el Análisis Dimensional es una herramienta muy útil para reducir el número de experimentos necesarios para determinar una ley física, siempre y cuando conozcamos las magnitudes físicas involucradas en dicha ley. Ejemplo 21 Justifíquese que, si tenemos un cuerpo que se mueve en una dirección constante en el seno de un fluido en reposo, el coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds. Podemos pensar que la fuerza de arrastre que experimenta el cuerpo es debida al impacto de las moléculas del fluido contra dicho cuerpo. Por tanto, el número de “impactos” por unidad de tiempo ¯ ¯ depende de la densidad del fluido ¯ ¯ i , del módulo de la velocidad del cuerpo ¯X ¯ y del tamaño de éste (por ejemplo, una longitud característica G). Asimismo, el fluido ejercerá un mayor arrastre

2.4. TEOREMA PI

85

¯ ¯ ¯ ¯ cuanto más viscoso sea éste. En definitiva, podemos afirmar que ¯Iarrastre ¯ de¯ ¯ ¯ ¯ penderá de las magnitudes i , ¯X ¯, G y > según una determinada ley física, ¯ ¯ ¯´ ³¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯Iarrastre ¯ > G> i > > ¯X ¯ = 0>

(2.70)

siendo el número de magnitudes físicas involucradas q = 5=

(2.71)

Las dimensiones de las magnitudes físicas involucradas en (2.70) son i h = POW 2 > (2.72) Iarrastre [G] = O> £ ¤ = PO3 > i

(2.73) (2.74)

[] = PO1 W 1 > h i  X = OW 1 =

(2.75) (2.76)

siendo P> O y W las dimensiones independientes que están presentes (p = 3 ? q). Por tanto, la matriz D de exponentes viene dada por h i h i £ ¤  [G] i [] Iarrastre X P O W Obsérvese que, como ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 2

1 1 2

0 1 0

1 3 0

1 1 1

0 1 1

(2.77)

el siguiente menor de la matriz D es no nulo, ¯ ¯ ¯ 0 1 ¯¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ = 2 6= 0> 1 3 ¯¯ = 2 ¯¯ 1 3 ¯ 0 0 ¯

resulta que u = uj (D) = 3=

(2.78)

Aplicando entonces el teorema Pi de Buckingham, el número de magnitudes adimensionales que intervienen en la ley física buscada, según (2.71) y (2.78), se reduce a q  u = 2= Cada una de estas magnitudes adimensionales  m > m = 1> 2 se podrá escribir en términos de las magnitudes físicas involucradas (2.44), ¯m1 ¯ ¯m5 ¯  ¯ ¯ ¯ ¯  m = ¯Iarrastre ¯ Gm2 im3  m4 ¯X ¯ >

(2.79)

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

86

de tal manera que, tomando dimensiones, im1 h im5 h £ ¤  1 = [m ] = Iarrastre [G]m2 i m3 []m4 X =

(2.80)

Sustituyendo ahora (2.72)-(2.76) en (2.80), llegamos a 1 =

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ POW 2 m1 Om2 P O3 m3 P O1 W 1 m4 OW 1 m5

= P m1 +m2 +m4 Om1 +m2 3m3 m4 +m5 W 2m1 m4 m5 = Ahora bien, como las dimensiones P , O y W son independientes, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo,  m1 +  m2 +  m4  m1 +  m2  3 m3   m4 +  m5 2 m1   m4   m5 La matriz de coeficientes del sistema dado en 3 1 1 0 1 E = C 1 1 3 1 2 0 0 1

= 0> = 0> = 0=

(2.81) (2.82) (2.83)

(2.81)-(2.83) es 4 0 1 D> 1

siendo uj (E) = 3> pues el siguiente menor es no nulo, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 3 ¯ = 2 ¯ 1 0 ¯ = 6 6= 0= ¯ ¯ ¯ 1 3 ¯ ¯ 2 0 0 ¯ Por tanto, para resolver (2.81)-(2.83) parametrizamos dos incógnitas (por ejemplo,  m4 =  y  m5 = ) de tal manera que obtenemos el siguiente sistema,  m1 +  m2  m1 +  m2  3 m3 2 m1

= > =   > =  + >

que se puede resolver fácilmente sustituyendo en cascada, + > 2

 m1

= 

 m2

= >  > = 2 = > = =

 m3  m4  m5

(2.84) (2.85) (2.86) (2.87) (2.88)

2.4. TEOREMA PI

87

Como necesitamos formar dos magnitudes adimensionales independientes  m > m = 1> 2, hemos de escoger dos soluciones linealmente independientes en (2.84)-(2.88). Por ejemplo, si tomamos  = 0 y  = 2 para  1 , resulta que  = (1> 2> 1> 0> 2)W > 1

(2.89)

y si tomamos  = 1 y  = 1 para 2 , resulta que  = (0> 1> 1> 1> 1)W = 2

(2.90)

Obsérvese que  1 y  2 son vectores linealmente independientes, pues no son proporcionales. Tomando m = 1> 2 en (2.79) y sustituyendo (2.89) y (2.90) respectivamente, resulta que ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iarrastre ¯ 1 = (2.91) ¯ ¯2 > ¯ ¯ G2 i ¯X ¯ i G ¯¯ ¯¯  ¯ = R> 2 = (2.92) ¯X  donde hemos tenido en cuenta la definición del número de Reynolds R dada en (1.89). Ahora bien, según (2.50), podemos expresar la ley física (2.70) en función de las magnitudes adimensionales 1 y 2 de la siguiente manera,  1 = I  ( 2 ) = Sustituyendo (2.91) y (2.92) en (2.93), llegamos a ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ I (R) = ¯Iarrastre ¯ = G2 i ¯X

(2.93)

(2.94)

Según el principio de semejanza de Arquímedes (2.10), el área D del cuerpo ortogonal al flujo del fluido sobre el cuerpo es directamente proporcional al cuadrado de una longitud característica de éste, por ejemplo, G, D 2 G2 > Por consiguiente, sustituyendo (2.95) en (2.94), resulta que ¯ ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iarrastre ¯ = F I  (R) i D ¯X ¯ >

(2.95)

(2.96)

donde F es una determinada constante. Comparando (2.96) con la expresión obtenida en (1.99) para la fuerza de arrastre, ¯ ¯ 1 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iarrastre ¯ = i FG D ¯Y ¯ > 2  = Y  > resulta que el coeficiente de arrastre FG es función donde, según (1.93) X únicamente del número de Reynolds, FG = 2F I  (R) > tal y como queríamos justificar.

N

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

88

Ejercicio 16 Un fluido de viscosidad cinemática  incide horizontalmente a  0 sobre una placa plana horizontal. Determínese la forma fununa velocidad X cional del espesor  de la capa límite en función de la distancia al borde de la placa { sobre la que incide el flujo. Solución:  = { I  (R).

Figura 2.4: Capa límite formada por la incidencia de un flujo constante sobre una placa plana en la dirección del flujo.

2.5.

Teoría de modelos

En Mecánica de Fluidos, el Análisis Dimensional se utiliza para la adecuada experimentación de prototipos con modelos a escala. Por ejemplo, el ensayo en un túnel de viento de una maqueta a escala de un avión puede ahorrar un gran coste para determinar la aerodinamicidad del prototipo, que está a tamaño natural. La semejanza entre el modelo y el prototipo se debe dar en tres sentidos: Semejanza geométrica: las estructuras del modelo y del prototipo son proporcionales. Semejanza cinemática: el campo de velocidades del fluido sobre el modelo y sobre el prototipo son proporcionales. Semejanza dinámica: las fuerzas que ejerce el fluido sobre el modelo y sobre el prototipo son proporcionales. Ejemplo 22 Considérese un modelo a escala 1:40 de un submarino que opera a una velocidad de 5 m s1 en agua de mar a 0> 5  C. Se desea conocer la velocidad a la que debemos realizar el ensayo sobre el modelo en un canal hidráulico alimentado con agua dulce a 20  C. Si al realizar el ensayo se mide sobre el modelo una fuerza de arrastre de 1000 N, determínese la potencia que consume el submarino al operar en las condiciones indicadas. Datos: densidad del agua

2.5. TEORÍA DE MODELOS

89

del mar a 0> 5  C, 1028 kg m3 ; densidad del agua dulce a 20  C, 998 kg m3 ; viscosidad del agua del mar a 0> 5  C, 1> 88 ×103 Pa s; viscosidad del agua dulce a 20  C, 1> 002 × 103 Pa s. ˙ desarrollada por un cuerpo que se desplaza en el seno de un La potencia Z fluido se invierte en vencer la fuerza de arrastre I . Como la fuerza de arrastre  del cuerpo, resulta que tiene sentido opuesto a la velocidad X ¯ ¯¯ ¯ ˙ = I · X  =  ¯¯I ¯¯ ¯¯X  ¯¯ > Z (2.97) donde el signo  indica que el cuerpo ha de gastar dicha potencia para avanzar en el fluido. Ahora bien, según (2.70), la ley física para la fuerza de arrastre I viene dada por ¯ ¯´ ³¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯I ¯ > G> > > ¯X (2.98) ¯ = 0> donde G es el tamaño característico del cuerpo que experimenta el arrastre y  y  la densidad y la viscosidad del fluido en el que está inmerso el cuerpo. Aplicando el teorema Pi, la ley física (2.98) se puede escribir, según (2.93), en términos de dos magnitudes adimensionales,  1 = I  ( 2 ) > donde, según (2.91) y (2.92), 1

=

2

=

¯ ¯ ¯¯ ¯I ¯ ¯ ¯2 > ¯ ¯ G2  ¯X ¯ ¯ ¯  G ¯ ¯ ¯X ¯ = R= 

(2.99)

(2.100)

Ahora bien, para que exista semejanza dinámica entre el submarino y el modelo, las fuerzas que experimentan ambos han de ser proporcionales. ¯ ¯ Ob¯ ¯ servemos que en (2.99) tenemos el cociente entre la fuerza de arrastre ¯I ¯ y la ¯ ¯2 ¯ ¯ fuerza debida a la presión dinámica Sdinámica = 12  ¯Y ¯ , véase (1.98), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯I ¯ ¯I ¯ ¯I ¯ ¯ ¯= 2 > (2.101) ¯ ¯ ¯ ¯ Sdinámica × D ¯  ¯2 2 ¯Ipresión ¯  ¯X ¯ G  = Y  , D es el área del cuerpo ortogonal al flujo y G es donde según (1.93) X 2 una longitud ¯ del cuerpo (D 2 G ). Por tanto, si existe semejanza ¯ ¯característica ¯ ¯ ¯¯ ¯ dinámica, ¯I ¯ 2 ¯Ipresión ¯, de tal modo que, según (2.101), ¯ ¯ ¯¯ ¯I ¯ = fwh> ¯ ¯2 ¯ ¯ 2  ¯X ¯ G

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

90

es decir, hay una proporcionalidad entre las fuerzas de arrastre y de presión para el submarino (subíndice v) y el modelo (subíndice p), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iv ¯ ¯Ip ¯ = = (2.102) ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 2 X v ¯X G  G ¯ ¯ ¯ v p p v p Despejando de (2.102), 3 ¯¯ ¯¯ 42 μ ¶2 ¯ ¯  ¯ ¯ v C ¯Xv ¯ D Gv ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Iv ¯ = ¯Ip ¯ = ¯ p ¯¯X G  p¯ p

(2.103)

Asimismo, el número de Reynolds R indica el cociente entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa, véase (2.22). Por tanto, si queremos que el modelo preserve la semejanza con el submarino, según (2.100), tenemos que v Gv ¯¯  ¯¯  p Gp ¯¯  ¯¯ ¯Xv ¯ = ¯Xp ¯ > v p es decir,

¯ ¯ ¯ ¯ ¯Xv ¯  G  ¯ ¯= p p v= ¯ ¯ v Gv  p ¯Xp ¯

(2.104)

Por tanto, la velocidad a la que hemos de operar el modelo en el canal hidráulico es ¯ ¯  v Gv  p ¯¯  ¯¯ ¯ ¯ ¯Xp ¯ = ¯Xv ¯  109> 8 m s1 = p Gp  v Sustituyendo ahora (2.104) en (2.103), ¯ ¯  μ  ¶2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p v ¯Ip ¯ = ¯Iv ¯ = v  p De este modo, teniendo en cuenta (2.103) y (2.104) en (2.97), resulta que ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯˙ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Zv ¯ = ¯Iv ¯ ¯X v¯ μ ¶2 ¯ ¯ ¯ ¯  p v ¯  ¯ ¯ ¯ (2.105) = ¯Ip ¯ ¯Xv ¯ > v  p de tal manera que la potencia que consume el submarino es ¯ ¯ ¯˙ ¯ N ¯Zv ¯  17088 W=

2.5. TEORÍA DE MODELOS

91

Ejercicio 17 Considérese un barco de eslora c que navega a una velocidad constante X . Debido a la fricción viscosa del agua del mar con el casco del barco, se produce una transferencia de energía del barco al agua. Esta energía se invierte en producir olas en la superficie del mar y en superar la fricción interna del movimiento turbulento del agua. Por un lado, debido a la fricción, la viscosidad del agua del mar  está involucrada en la ley física que rige el avance del barco. Por otro lado, debido al peso de las olas generadas, están también involucradas tanto la densidad del agua del mar  como la aceleración de la gravedad j. Suponiendo que el casco del barco es hidrodinámico, de tal manera que su manga y su calado no tienen efecto sobre el avance del barco, demuéstrese que la ley física que describe el fenómeno se puede expresar en términos del número de Froude F y el número de Reynolds R. Si queremos realizar experimentos en un canal hidráulico que contiene mercurio a 20  C, con un modelo que representa a un barco de 10 m de eslora y que navega sobre el agua del mar a 5  C y a una velocidad de 15 m s1 , ¿cuál debe ser la eslora del modelo y la velocidad a la que debe operar en el canal hidráulico? Datos: viscosidad cinemática del agua del mar a 5  C, 1> 65 × 106 m2 s1 ; viscosidad cinemática del mercurio a 20  C, 1> 14 × 107 m2 s1 . Solución: eslora del modelo, 1> 68 m; velocidad del modelo, 6> 15 m s1 .

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

92

2.6.

Autoevaluación

1. Si w es el tiempo de caída de un objeto, entonces: a) [w] = min. b) [w] = s, en el Sistema Internacional. c) [w] = W . d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 2. Las dimensiones fundamentales de cualquier magnitud física se pueden expresar en términos de: a) P , O, W y F. b) P , O y W . c)

m, kg, s, A, K, mol, cd; si expresamos la magnitud física en el Sistema Internacional.

d)

cm, g, s; si expresamos la magnitud física en el Sistema Cegesimal.

3. Si t es una magnitud física adimensional, entonces: a) [t] depende de la cantidad que represente. b) [t] = 0. c) no existe [t]. d) [t] = 1. 4. Una magnitud física medida en grados sexagesimales: a) es adimensional. b) hace que los sistemas de unidades sean coherentes. c) es equivalente a una medida en radianes. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 5. La homogeneidad de las leyes físicas implica que: a) los argumentos de las funciones logarítmicas en dichas leyes sean adimensionales. b) todos los sumandos en dichas leyes sean adimensionales. c) las unidades utilizadas en dicha ley pertenezcan a un sistema coherente de unidades. d) todas las magnitudes físicas involucradas en dicha ley forman una base dimensional. 6. Indíquese cuál de los siguientes conjuntos de dimensiones forman una base dimensional en la Mecánica de Fluidos:

2.6. AUTOEVALUACIÓN

93

a) P O1 , OW 1 , P 1 W . b) P O2 W 3 , P 1 OW , O3 W 2 . c) P , O, W , F. d) P OW , OW , W . 7. Una combinación adimensional de S , , c y T es: p a) @S T@c2 . ¡ ¢ b)  T@ S c2 . c) S c T@. ¡ ¢ d)  c@ S T2 . 8. Si hinchamos un globo de tal manera que duplicamos su área, entonces su volumen habrá aumentado en un factor: a) 2. s b) 2. c) 23@2 . d) 22@3 . 9. El número de Reynolds puede interpretarse como el cociente entre: a) la fuerza de inercia y la fuerza viscosa. b) la fuerza de inercia y la fuerza gravitatoria. c) la fuerza debida a la presión y la fuerza de inercia. d) la fuerza gravitatoria y la fuerza debida a la presión. ¡ ¢ 10. La ecuación de los gases reales viene dada por S + d@y 2 (y  e) = UW , donde S es la presión, y es el volumen molar, U es la constante de los gases ideales y W es la temperatura absoluta. Entonces, en el Sistema Internacional, las unidades de las constantes d y e son, respectivamente: a)

N m4 mol2 ; m3 mol1 .

b)

Pa m mol1 ; m3 mol1 .

c)

J mol2 ; m3 mol1 .

d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 11. Si tenemos una ley física de Mecánica de Fluidos que describe la relación entre cuatro magnitudes físicas, entonces, el número mínimo de magnitudes adimensionales independientes con las que se puede reformular la ley física es: a) 3.

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DIMENSIONAL

94 b) 2. c) 1. d) no se puede saber.

12. Para que entre un modelo y un prototipo exista semejanza dinámica, ha de existir una proporcionalidad entre: a) la energía que consume el modelo y el prototipo. b) las estructuras del modelo y del prototipo. c) el campo de velocidades del fluido en el modelo y el prototipo. d) las fuerzas que ejerce el fluido sobre el modelo y sobre el prototipo.

Capítulo 3

Régimen turbulento “Esta es la clase exacta de relación definida que se estaba buscando. Evidentemente, sin la integración de las ecuaciones, sólo se aporta la relación sin que se muestre en absoluto de qué modo el movimiento pueda depender de ella. Parece ser cierto, sin embargo, que si los remolinos son debidos a una determinada causa, dicha integración mostraría que el surgimiento de los remolinos depende de un cierto valor definido de GX@” (O. Reynolds). Tal y como se comentó en la sección 1.7.2, experimentalmente se sabe que los flujos estacionarios son estables para números de Reynolds por debajo de un cierto número de Reynolds crítico, R ? Rcrítico . En 1883, O. Reynolds diseñó un experimento para visualizar la transición del régimen laminar al turbulento. En dicho experimento, se introduce un colorante en un tubo de vidrio de diámetro G por el que fluye agua tal y como indica la figura 3.1. Cuando el caudal de agua es pequeño, el colorante describe una línea recta a través del tubo, lo cual indica que el flujo es laminar. Cuando se aumenta el caudal, el número de Reynolds R = GX@ aumenta, puesto que G y  son constantes y el caudal T es directamente proporcional a la velocidad X del fluido en el tubo. Al ir aumentando el caudal, llega un momento en que el hilo de colorante se va ondulando hasta que, por último (para un cierto valor crítico del número de Reynolds, Rcrítico ), éste se rompe bruscamente, difundiéndose el colorante por todo el tubo (véase sección 1.7.2). A continuación se ofrecen algunos ejemplos en los que aparece el fenómeno de la turbulencia: Cuando el viento mezcla rápidamente aire caliente y frío en la atmósfera. Cuando tenemos intensas corrientes oceánicas o atmosféricas. Un chorro expulsado por una boquilla en el seno de un fluido en reposo (véase figura 3.2). A medida que el flujo del chorro se introduce en el fluido externo, se originan unas capas de cizallamiento en el extremo de la 95

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

96

Figura 3.1: Experimento de Reynolds en el que se observa la transición del régimen laminar al turbulento. boquilla. Estas capas separan el movimiento rápido del chorro del fluido externo, y para un cierto número crítico de Reynolds se vuelven inestables produciendo turbulencia. En condiciones de viento fuerte, los camiones en las autopistas son sacudidos por la propia estela que generan. Cuando los coches de carreras no pueden seguirse unos a otros en las curvas rápidas debido a la turbulencia creada por el coche delantero, forzando al coche trasero a producir un subviraje y a salirse de la curva. En el flujo externo sobre todo tipo de vehículos: coches, aviones, barcos y submarinos. En cardiología se utilizan los estetoscopios para detectar los sonidos cardiacos que son debidos al flujo turbulento de la sangre. En individuos normales, los sonidos del corazón son producto del flujo turbulento cuando las válvulas cardiacas se cierran. Sin embargo, en algunas condiciones de flujo turbulento, los sonidos cardiacos pueden ser audibles debido a otras razones, algunas de ellas de orden patológico.

3.1.

Concepto de turbulencia

El flujo turbulento está caracterizado por un campo de velocidades extremadamente irregular y fluctuante y, según acabamos de ver, se da cuando el

3.1. CONCEPTO DE TURBULENCIA

97

Figura 3.2: Flujo turbulento generado por una chorro expulsado por una boquilla en el interior de un fluido en reposo.

98

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

número de Reynolds supera un cierto valor crítico. Por tanto, en el régimen turbulento, la velocidad del fluido en un determinado punto del espacio e instante  (u> w) está continuamente oscilando en torno a un valor medio. Este de tiempo Y  (u) se obtiene promediando el campo de velocidades sobre largos valor medio X intervalos temporales en cada punto del espacio, de tal manera que el campo  (u) es una función “suave”, es decir, diferenciable. De este modo, el campo de X  (u> w) se puede descomponer en una componente promedio X  (u) velocidades Y 0  y una componente fluctuante Y (u> w),  (u> w) = X  (u) + Y  0 (u> w) = Y  0 (u> w) (que está superpuesPodemos interpretar la componente fluctuante Y  (u)) como una superposición de remolinos turbulentos de ta al flujo promedio X diferentes tamaños. A medida que el número de Reynolds aumenta, van apareciendo, en primer lugar, remolinos de gran tamaño y, progresivamente, se van añadiendo remolinos más pequeños. Cuando el número de Reynolds es muy grande, el flujo presenta una superposición de remolinos con una gran variedad de tamaños. La escala c de los remolinos más grandes (escala fundamental o externa de la turbulencia) viene dada por las dimensiones del lugar donde ocurre el flujo (por ejemplo, en una tubería vendría dada¯ por el diámetro de ésta). La ¯ ¯ 0 ¯ velocidad en los remolinos más grandes (es decir, ¯Y (u> w)¯ = Y 0 en la escala c) ¯ ¯ ¯ ¯ es comparable con la variación de la velocidad promedio  ¯X (u)¯ = X sobre la escala fundamental {  c y, por tanto, del flujo turbulento en su conjunto, X Y0  = (3.1) c { La ecuación (3.1) se justificará más claramente en (3.41). De este modo, el número de Reynolds del flujo turbulento coincide con el de los remolinos en la escala fundamental, c X R= = (3.2)  Asimismo, podemos definir cualitativamente un número de Reynolds para los diferentes tamaños  de remolinos turbulentos,  X > (3.3)  donde X es la velocidad característica del remolino de tamaño . Cuando tenemos flujo turbulento, el número de Reynolds R es grande (R A Rcrítico À 1), lo cual es equivalente a decir que la viscosidad de los remolinos en la escala fundamental es pequeña. De este modo, la disipación de la energía por rozamiento debido a la viscosidad es despreciable en los remolinos en la escala fundamental. Como según (3.3) R disminuye con el tamaño  del remolino, la disipación de la energía (transformación de la energía cinética en calor) se dará en los remolinos más pequeños, donde los efectos de la viscosidad empiezan a ser apreciables, es decir, cuando R  1= (3.4) R =

3.1. CONCEPTO DE TURBULENCIA

99

Evidentemente, para que el fluido permanezca continuamente en movimiento es necesario que una fuente de energía externa provea de energía al flujo turbulento considerado en su conjunto, es decir, a los remolinos en la escala fundamental. La energía se va transmitiendo (prácticamente sin pérdidas) de los remolinos más grandes a los más pequeños, hasta que se termina disipando en calor en estos últimos.

3.1.1.

Viscosidad de turbulencia

Sea % la disipación media de energía por unidad de tiempo y unidad de masa del fluido. Aunque la energía se disipa debido a la viscosidad cinemática  en los remolinos más pequeños, debido al mecanismo de transmisión de la energía en el flujo turbulento (es decir, de los remolinos más grandes a los más pequeños), % sólo depende de las magnitudes físicas escalares que caracterizan a los remolinos en la escala fundamental, es decir, , c y X . De este modo, el número de magnitudes físicas involucradas en la ley física que determina la disipación de energía en el flujo turbulento es q = 4. Aplicando el teorema Pi de Buckingham (véase sección 2.4), tenemos que la matriz D de exponentes viene dada por [%] [] [c] [X ] P 0 1 0 0 (3.5) O 2 3 1 1 W 3 0 0 1 y tiene u = uj (D) = 3= Por tanto, el número de magnitudes adimensionales que intervienen en la ley física buscada se reduce a q  u = 1. Dicha magnitud adimensional  1 se podrá escribir en términos de las magnitudes dimensionales que intervienen en la ley física, 1 = %1 2 c3 (X )4 = fwh>

(3.6)

donde al disponer de un único monomio adimensional, según (2.51), 1 = fwh. Tomando dimensiones en (3.6), sabiendo que 1 es adimensional, 1 = [ 1 ] = [%]1 []2 [c]3 [X ]4 >

(3.7)

y teniendo en cuenta (3.5), llegamos a 1 =

¢ ¡ ¢ ¡ 2 3 ¢1 ¡ PO3 2 O3 OW 1 4 O W

= P 2 O21 32 +3 +4 W 31 4 = Ahora bien, como las dimensiones P, O y W son independientes, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo, 2 2 1  3 2 +  3 +  4 3 1   4

= 0> = 0> = 0=

(3.8) (3.9) (3.10)

100

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

Como el sistema dado en (3.8)-(3.10) tiene rango 3, podemos resolverlo parametrizando una incógnita (por ejemplo,  4 = ) de tal manera que obtenemos el siguiente sistema, 2 2 1 +  3 3 1

= 0> = > = =

que se puede resolver fácilmente, obteniéndose 1 2 3 4

 =  > 3 = 0>  =  > 3 = =

(3.11) (3.12) (3.13) (3.14)

Sustituyendo (3.13)-(3.14) en (3.6), resulta que, ³ ´ %1@3 c1@3 X = 1 = fwh> es decir, (X)3 = (3.15) c En la escala fundamental del régimen turbulento, podemos definir una viscosidad  turb “efectiva” denominada viscosidad de turbulencia o de remolino, responsable de la disipación de la energía por unidad de tiempo y de masa de fluido % del flujo turbulento considerado en su conjunto. Al igual que %, la magnitud  turb sólo dependerá de las magnitudes físicas escalares que caracterizan a los remolinos en la escala fundamental, es decir, , c y X . %2

Ejercicio 18 Aplíquese el teorema Pi de Buckingham para probar que  turb 2 c X=

(3.16)

Por tanto, de acuerdo con (3.2) y (3.16),  turb 2 R>  es decir, los efectos de la disipación de la energía debidos a la turbulencia aumentan con el número de Reynolds. Asimismo, según (3.15) y (3.16), podemos expresar % en términos de la viscosidad de turbulencia  turb , μ % 2  turb

X c

¶2 =

(3.17)

3.2. FLUJO TURBULENTO SOBRE UNA PLACA PLANA

3.2.

101

Flujo turbulento sobre una placa plana

Consideremos el flujo turbulento por encima de un placa horizontal lisa tal  (|) la velocidad promedio del flujo tury como aparece en la figura 3.3. Sea X  (|) = X (|) l . bulento a una distancia | de dicho plano, de tal modo que, X Debido a que la placa está fija, X (0) = 0>

(3.18)

por tanto, debe existir cerca de la placa un gradiente de velocidades en la dirección del eje \ , gX@g|. Debido a este gradiente, la componente [ del momento de las partículas de fluido s{ que atraviesan un determinado plano horizontal | = fwh es mayor en las partículas que lo atraviesan descendiendo que en las que lo hacen ascendiendo. Por consiguiente, existe una transferencia o flujo de momento lineal Ms{ que se propaga en sentido vertical descendente sin pérdidas (recuérdese que el momento lineal siempre se conserva). Este flujo Ms{ = Ms{ m es la cantidad de momento gs{ que atraviesa la unidad de área D por unidad de tiempo gw, de tal modo que, teniendo en cuenta la definición de esfuerzo (1.30), Ms{ =

I{ 1 gs{ = = { = = D gw D

(3.19)

De esta manera, el gradiente de velocidades del flujo turbulento genera un flujo de momento lineal Ms que se propaga hasta alcanzar la pared de la placa sobre la que discurre el fluido en | = 0, generando sobre ésta un esfuerzo tangencial  =  l (es decir, una fuerza de rozamiento por unidad de superficie). De este modo, aunque  se da dentro de la capa límite, |  , en virtud de (3.19) es una magnitud que está involucrada en el gradiente de velocidades en todo el flujo turbulento.

3.2.1.

Perfil de velocidades dentro de la capa límite

Como hemos visto en (3.4), la disipación de la energía se da en los remolinos más pequeños y, a su vez, éstos se dan cerca de la pared, pues el tamaño de los remolinos viene limitado por su distancia a ésta. Es decir, dentro de la capa límite, |  , es donde se dan los efectos de la viscosidad, cumpliéndose la ley de Newton para la velocidad promedio X (|),  =

gX > g|

|  =

(3.20)

Es importante destacar que aunque la ley de Newton de la viscosidad (1.35)  (|) en régimen laminar, la ecuación se dedujo para el campo de velocidades Y (3.20) se cumple para la velocidad promedio X (|) en régimen turbulento. Definiendo ahora la siguiente velocidad característica, r  > (3.21) Y = 

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

102

Figura 3.3: Flujo turbulento sobre un plano horizontal. podemos escribir (3.20) como Y2 =

gX  = =  g|

(3.22)

Integrando en (3.22), Y2 | + F> (3.23)  donde la constante de integración F se puede evaluar fácilmente imponiendo la condición de no deslizamiento (3.18) en (3.23), llegando a F = 0= Por consiguiente, (3.23) se expresa finalmente como X (|) =

X (|) Y |> = Y 

3.2.2.

|  =

(3.24)

Perfil de velocidades fuera de la capa límite

Por otro lado, fuera de la capa límite, |  , el flujo se comporta como si fuera invíscido, por tanto, el gradiente de velocidades gX@g| en dicha región no dependerá de la viscosidad dinámica . Por tanto, las únicas magnitudes físicas escalares de las que dependerá el gradiente de velocidades fuera de la capa límite serán ,  (recuérdese 3.19) y la coordenada vertical |. De este modo, el número de magnitudes físicas involucradas en la ley física que determina el gradiente

3.2. FLUJO TURBULENTO SOBRE UNA PLACA PLANA

103

de velocidades en el flujo turbulento es q = 4. Aplicando el teorema Pi de Buckingham, tenemos que la matriz D de exponentes viene dada por [gX@g|] 0 0 1

P O W

[] 1 3 0

[ ] 1 1 2

[|] 0 1 0

(3.25)

y tiene u = uj (D) = 3= Por tanto, el número de magnitudes adimensionales que intervienen en la ley física buscada se reduce a q  u = 1. Dicha magnitud adimensional  1 se podrá escribir en términos de las magnitudes dimensionales que intervienen en la ley física, μ 1 =

¶1

gX g|

2  3 | 4 = fwh>

(3.26)

donde al disponer de un único monomio, según (2.51), 1 = fwh. Tomando dimensiones en (3.26), sabiendo que 1 es adimensional,  1 = [1 ] =

gX g|

¸1

[]2 [ ]3 [|]4 >

(3.27)

y, teniendo en cuenta (3.25), llegamos a ¡ ¢ ¡ ¢ 1 = W 1 PO3 2 P O1 W 2 3 O4 = P 2 +3 O32 3 +4 W 1 23 = Ahora bien, como las dimensiones P, O y W son independientes, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo, 2 + 3 3 2   3 +  4  1  2 3

= 0> = 0> = 0=

(3.28) (3.29) (3.30)

Resolviendo el sistema dado en (3.28)-(3.30), llegamos a, 1 2 3 4

= >  > = 2  =  > 2 = =

Sustituyendo (3.31)-(3.34) en (3.26), obtenemos, finalmente, r 1  gX 2 > g| | 

(3.31) (3.32) (3.33) (3.34)

104

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

que, teniendo en cuenta (3.21), se puede expresar como Y gX 2 > g| |

|  =

(3.35)

Asimismo, la componente fluctuante del flujo turbulento Y 0 dependerá de las magnitudes físicas ,  e |. Obsérvese que dicha componente es independiente de si estamos dentro o fuera de la capa límite, pues todo el flujo es turbulento. Ejercicio 19 Aplíquese el teorema Pi de Buckingham para probar que Y 0 2 Y =

(3.36)

Ejemplo 23 Determínese el orden de magnitud del espesor de la capa límite  de un flujo turbulento sobre una placa plana horizontal. El tamaño de los remolinos del flujo turbulento está limitado por la distancia de éstos a la pared, es decir, por la coordenada | (véase figura 3.3). Por tanto, el número de Reynolds del flujo turbulento a una distancia | se podrá determinar tomando  = | en (3.3), | X| R| = = (3.37)  Además, dentro de la capa límite, la componente fluctuante Y 0 es la componente dominante del campo de velocidades, porque la componente promedio X tiende a anularse cerca de la superficie por la condición de no deslizamiento (3.18), X (0) = 0. De este modo, la velocidad del remolino del tamaño de la capa límite será X|  Y 0 > |  = (3.38) Ahora bien, cuando |  , los efectos de la viscosidad empiezan a ser dominantes, por lo que, según (3.4), R  1. De este modo, de acuerdo con (3.37) y (3.38), el número de Reynolds para el flujo turbulento en la frontera de la capa límite será  Y  Y0 1  R = 2 > (3.39)   donde hemos tenido en cuenta (3.36). Despejando de (3.39) obtenemos, finalmente,  2 = N (3.40) Y Teniendo en cuenta (3.36), podemos reescribir (3.35) como, Y0 gX 2 = g| |

(3.41)

Obsérvese la semejanza de (3.1) con (3.41), considerando que ahora la escala fundamental c viene dada por la coordenada | (el tamaño de los remolinos está limitado por su distancia a la pared). Podemos expresar (3.35) como Y gX = > g| |

(3.42)

3.2. FLUJO TURBULENTO SOBRE UNA PLACA PLANA

105

donde,   0> 4

(3.43)

es una constante adimensional que se ha de determinar experimentalmente y se denomina constante de von Kármán 1 . Integrando (3.42), obtenemos X (|) =

Y (log | + F) > 

|  =

(3.44)

donde F es una constante de integración. Para determinar la constante de integración F> podemos empalmar las soluciones dadas en (3.24) y (3.44) en el extremo de la capa límite, | = , de tal manera que X () =

Y Y2 (log  + F) =  >  

y, despejando, Y   log =  Sustituyendo (3.45) en (3.44), llegamos a, μ ¶ Y Y X (|) = log | +   log     ³ ´ ¸ Y Y | = log +  =    F=

(3.45)

(3.46)

Sabiendo que, a partir de (3.40), podemos expresar el espesor  de la capa límite de la siguiente manera,  = > (3.47) Y donde,   11> 6

(3.48)

es una constante que se mide experimentalmente. De este modo, aplicando (3.47), resulta que (3.46) se puede escribir como  μ ¶ ¸ |Y Y log +  X (|) =    μ ¶ ¸ Y |Y = log +   log  = (3.49)   Introduciendo en (3.49) el valor experimental de las constantes  y , (3.43) y (3.48), respectivamente, tenemos que μ ¶ X (|) |Y 1 + D> |  > (3.50) = log Y   1 E. L. Andreas, “A New Value of the von Karman Constant: Implications and Implementation”, Journal of Applied Meteorology and Climatology 48, 923-944 (2009).

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

106 donde

D=

log   5> 472= 

El valor experimental de D según Nikuradse2 , es D  5> 5=

3.2.3.

Perfil de velocidades

Finalmente, podemos reunir los resultados dados en (3.24) y (3.50) para expresar conjuntamente el perfil de velocidades de la siguiente manera, X (|) = Y i () > donde,

½ i () =

1 

>  > log  + D>   

siendo, =

|Y = 

En la figura 3.4 se ha representado la función i () en la que claramente se distinguen la capa límite y el exterior de ésta. Experimentalmente, existe una zona de transición entre la capa límite viscosa y el flujo turbulento invíscido para valores de  comprendidos aproximadamente entre 5 y 30. f

25

20

Interior capa límite 15

Exterior capa límite 10

Zona de transición 5

10

100

1000

10 4

Figura 3.4: Función característica i () de la velocidad promedio para una placa plana en régimen turbulento. 2 J. Nikuradse, “Gesetzmässigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Rohren”, VDI Forschungsheft 356 (1932).

3.3. FLUJO TURBULENTO EN UNA TUBERÍA

3.3.

107

Flujo turbulento en una tubería

El resultado de haber obtenido un perfil logarítmico en (3.50) para |   (es decir, en una región infinita) es debido a que estamos considerando un flujo sobre una superficie de área infinita. Cuando tenemos un flujo sobre un cuerpo de área finita, sólo tenemos un perfil logarítmico a pequeñas distancias de la superficie, que denominaremos capa límite (véase figura 1.42). De este modo, la capa muy cercana a la pared del cuerpo que tiene un perfil lineal (3.24) sobre cuerpos finitos se denomina subcapa viscosa, y ésta suele ser pequeña con respecto al tamaño de la capa límite, que tiene un perfil logarítmico. Según la figura 2.4, el grosor de la capa límite crece en la dirección del flujo a lo largo de la superficie del cuerpo. Esto quiere decir que si tenemos una tubería suficientemente larga y estamos lejos del punto de entrada del fluido (véase figura 3.5), la velocidad del flujo, en prácticamente toda la sección recta de la tubería, vendrá dada por la que tenga la capa límite (perfil logarítmico, si estamos en régimen turbulento).

Figura 3.5: Suficientemente lejos del punto de entrada de una tubería, el flujo es viscoso. Considerando, por tanto, un perfil logarítmico para las velocidades en el interior de una tubería de radio U (fuera de la subcapa viscosa), según (3.50), la velocidad promedio máxima Xm´ax se encontrará en el centro de la tubería (es decir, a una distancia | = U de la pared de la tubería), μ ¶ ¸  UY 1 log +D = (3.51) Xm´ax = X (U) = Y   Por otro lado, la velocidad característica X del flujo turbulento se puede definir en términos del caudal T que fluye por una sección transversal de la tubería de área V = U2 . Efectivamente, el caudal T se define como el volumen de fluido que atraviesa una determinada superficie por unidad de tiempo, T=

gY = gw

(3.52)

108

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

Atendiendo a la figura 3.6, si consideramos que en el tiempo gw el fluido en su conjunto avanza g{ por la tubería, tenemos que T=V

g{ = U2 X> gw

(3.53)

donde X = g{@gw es la velocidad característica del flujo que circula por la tubería. Por tanto, T = (3.54) X= U2

Figura 3.6: Caudal que pasa por una tubería en régimen turbulento.

Ejemplo 24 Determínese la relación entre la velocidad máxima y la velocidad característica en el flujo turbulento que discurre por una tubería. Observemos que el perfil logarítmico de velocidades dado en (3.50) se puede expresar como 1 X (|) |  > (3.55) = log | + F> Y  donde F es una determinada constante. De este modo, de acuerdo con (3.51) y (3.55), Xm´ax 1 (3.56) = log U + F= Y  Eliminando la constante F de las ecuaciones (3.55) y (3.56), tenemos que X (|) = Xm´ax +

³|´ Y log =  U

(3.57)

3.3. FLUJO TURBULENTO EN UNA TUBERÍA

109

Si u es la distancia de un punto del interior de la tubería al centro de ésta, resulta que | = U  u. Por tanto, podemos expresar (3.57) como ³ u´ Y log 1  = (3.58) X (u) = Xm´ax +  U Dado que la subcapa viscosa es muy pequeña en comparación con las dimensiones de la tubería,  ¿ U> (3.59) resulta que apenas fluye caudal por ella. Por tanto, podemos calcular aproximadamente el caudal T tomando únicamente el perfil de velocidades logarítmico X (u), sobre la sección transversal circular V  de radio U   (véase figura 3.6). A partir de (3.53), tenemos que el flujo infinitesimal gT que fluye por una anillo circular de la tubería de radio u y espesor gu es, gT = X (u) gV  = 2 X (u) u gu= Sustituyendo (3.58) en (3.60) e integrando, ¸ Z U  ³ u´ Y log 1  u gu Xm´ax + T  2  U # "0 Z ³ Y U u´ Xm´ax 2 (U  ) + gu = 2 u log 1  2  0 U # " Z ³ u´ Xm´ax 2 Y U U + gu > u log 1   2 2  0 U

(3.60)

(3.61)

donde hemos tenido en cuenta la aproximación dada en (3.59). Haciendo el cambio  = 1  u@U en (3.61), tenemos que Z U Z @U ³ u´ gu = U2 u log 1  (1  ) log  g= (3.62) U 0 1 Integrando por partes, tomando x = log  y gy = (1  ) g, llegamos a Z

@U

(1  ) log  g 1

¶ ¸¾@U ½ μ   log  +  1  1 2 4 1 μ ¶ μ ¶ ¸    3  1 log + 1 + = = U 2U U 4U 4

=

Observemos que como, según (3.59), @U ¿ 1> obtenemos la siguiente aproximación,  μ ¶ ¸ Z @U  3  log 1 + = (1  ) log  g  U U 4 1

(3.63)

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

110

Ahora bien, teniendo en cuenta que l´ım { log { = 0 y (3.63), resulta que {$0

Z

@U

(1  ) log  g  1

3 = 4

(3.64)

Sustituyendo (3.64) en (3.62), Z U ³ 3U2 u´ gu   > u log 1  U 4 0

(3.65)

y sustituyendo a su vez (3.65) en (3.61), ¸  3Y 2 T  U Xm´ax  = 2 Teniendo ahora en cuenta la definición de la velocidad característica X dada en (3.54), llegamos finalmente a X  Xm´ax 

3Y = 2

N

(3.66)

Ejercicio 20 Compruébese que en régimen laminar el perfil de velocidades en el interior de una tubería de radio U viene dado por X (u) =

¢ S ¡ 2 U  u2 = 4c

¿A qué distancia u0 del centro de la tubería la velocidad s del fluido coincide con la velocidad característica del flujo? Solución: u0 = U@ 2.

3.3.1.

Coeficiente de resistencia

Según vimos en la sección 3.1.1, en el flujo turbulento existe una disipación de la energía por unidad de masa y de tiempo %, debido en última instancia a la viscosidad dinámica del fluido . Por tanto, para que el flujo esté constantemente en movimiento se necesita un continuo aporte de energía. En una tubería de longitud c, esto se consigue con una diferencia de presión externa S entre los extremos de la tubería, de tal manera que se produce un gradiente de presiones S@c. Es decir, debido a la viscosidad del fluido existe una pérdida de presión por unidad de longitud. Además de la viscosidad dinámica , otras magnitudes que intervienen en la ley física que determina este gradiente de presiones son la densidad , el diámetro de la tubería G y la velocidad característica del flujo turbulento X . De este modo, el número de magnitudes físicas involucradas en la ley física que determina el gradiente de presiones es q = 5. Aplicando el teorema Pi de Buckingham, tenemos que la matriz D de exponentes viene dada por, P O W

[S@c] 1 2 2

[X ] 0 1 1

[] 1 3 0

[G] 0 1 0

[] 1 1 1

(3.67)

3.3. FLUJO TURBULENTO EN UNA TUBERÍA

111

y tiene u = uj (D) = 3= Por tanto, el número de magnitudes adimensionales que intervienen en la ley física buscada se reduce a q  u = 2. Cada una de estas magnitudes adimensionales  m > m = 1> 2 se podrá escribir en términos de las magnitudes físicas involucradas, μ m =

S c

¶m1

X m2 m3 Gm4  m5 >

(3.68)

de tal manera que, tomando dimensiones, 

S 1 = [ m ] = c

¸m1

[X ]m2 []m3 [G]m4 []m5 =

(3.69)

Teniendo en cuenta (3.67) en (3.69), llegamos a 1 =

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ PO2 W 2 m1 OW 1 m2 PO3 m3 Om4 P OW 1 m5

= P m1 +m3 +m5 O2m1 +m2 3m3 +m4 m5 W 2m1 m2 m5 = Ahora bien, como las dimensiones P, O y W son independientes, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo,  m1 +  m3 +  m5 2 m1 +  m2  3 m3 +  m4   m5 2 m1 +  m2 +  m5

= 0> = 0> = 0=

(3.70) (3.71) (3.72)

Como la matriz de coeficientes del sistema dado en (3.70)-(3.72) tiene rango 3, podemos resolverlo parametrizando dos incógnitas (por ejemplo,  m5 =  y  m3 = ), llegando a  m1  m2  m3  m4  m5

= = = = =

  >  + 2> >   > =

(3.73) (3.74) (3.75) (3.76) (3.77)

Como necesitamos formar dos magnitudes adimensionales independientes  m > (m = 1> 2), hemos de escoger dos soluciones linealmente independientes en (3.73)-(3.77). Por ejemplo, si tomamos  = 1 y  = 1 para  1 , resulta que  = (0> 1> 1> 1> 1)W > 1

(3.78)

y, si tomamos  = 0 y  = 1 para 2 , resulta que  = (1> 2> 1> 1> 0)W = 2

(3.79)

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

112

Obsérvese que  1 y  2 son vectores linealmente independientes, pues no son proporcionales. Tomando m = 1> 2 en (3.68) y sustituyendo (3.78) y (3.79), respectivamente, resulta que 1

=

2

=

G S > X 2 c G X = R> 

(3.80) (3.81)

donde hemos tenido en cuenta la definición del número de Reynolds R dada en (1.89). En lugar de  1 , muchas veces se suele definir una magnitud adimensional equivalente  2  1 denominada coeficiente de resistencia de la tubería, =

G S@c = 1 2 2 X

(3.82)

Nótese que el denominador de (3.82) coincide, según (1.98), con la presión dinámica que fluye por la tubería, tomada ésta en su conjunto. Ahora bien, según (2.50), podemos expresar la ley física buscada en función de las magnitudes adimensionales  1 y 2 de la siguiente manera, 1 = I  ( 2 ) =

(3.83)

Sustituyendo (3.80) y (3.81) en (3.83) y despejando, llegamos finalmente a X 2  S = I (R) = c G

(3.84)

Ejercicio 21 Demuéstrese que la ley de Poiseuille se puede expresar en términos del coeficiente de resistencia como =

3.3.2.

64 = R

(3.85)

Régimen estacionario

Supongamos que tenemos una tubería horizontal cilíndrica de diámetro G y longitud c por la que circula un fluido en régimen turbulento (véase figura 3.7). El área de la pared de la tubería Vk y la de su sección transversal VB resulta ser Vk VB

= Gc>  2 G = = 4

(3.86) (3.87)

Si  es el módulo del esfuerzo tangencial que realiza el flujo sobre la pared interna de la tubería, según (3.21), el módulo de la fuerza de rozamiento viene dado por Iroz =  Vk = Y2 Gc> (3.88)

3.3. FLUJO TURBULENTO EN UNA TUBERÍA

113

Figura 3.7: Flujo turbulento fluyendo por una tubería circular horizontal. donde hemos tenido en cuenta (3.21) y (3.86). Asimismo, para contrarrestar la fuerza de rozamiento Iroz , hemos de realizar una diferencia de presión S entre los extremos de la tubería, de tal modo que la fuerza externa ejercida sobre ésta es  Iext = S VB = S G2 = (3.89) 4 En el régimen estacionario, la fuerza de rozamiento Iroz y la externa Iext se compensan, de tal modo que, igualando (3.88) con (3.89), llegamos a Y 2 S =4  = c G

(3.90)

Teniendo ahora en cuenta la definición dada para el coeficiente de resistencia  en una tubería (3.82), podemos expresar (3.90) como s X 2 2 (3.91) = s = Y  Por otro lado, a partir de (3.50) y (3.66),  μ ¶ ¸ UY 3 1 X log  + D= = Y   2

(3.92)

Por tanto, sustituyendo (3.91) en (3.92) y teniendo en cuenta que G = 2U, llegamos a " Ã s ! # s 3 1 2 2  s =  log R s + D> (3.93)  2 4 2  donde hemos hecho uso de la definición del número de Reynolds (1.91). Podemos expresar (3.93) de una manera más conveniente, ³ s ´ 1 s = d log R  + e> (3.94) 

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

114 donde, d = e =

1 s  0> 88> 2 2 " # ¡ s ¢ log 4 2  3@2 1 s D  0> 91=  2 2

Experimentalmente, se pueden determinar los parámetros adimensionales d y e, resultando un buen acuerdo para d y una ligera discrepancia para e  0> 85. Para despejar  de (3.94) hacemos lo siguiente, ³ s ´ e 1 s  = log R  > d  d es decir, he@d exp R o bien

1 s exp d 

μ

μ

1 s d 

1 s d 

¶ =

¶ =

s >

R e@d h = d

0.06

Régimen Laminar 0.05

0.04

Régimen Turbulento

0.03

0.02

0.01

5000

1 10 4

5

104 1

10 5

5

10 5 1

10 6

Figura 3.8: Coeficiente de resistencia  para régimen laminar y turbulento en función del número de Reynolds R. Sabiendo que la función W de Lambert es la función inversa de la función }h} (véase Apéndice C.2), resulta que μ ¶ R e@d 1 s =W h > d d 

3.3. FLUJO TURBULENTO EN UNA TUBERÍA es decir,

 μ ¶¸2 R e@d  = dW h = d

115

(3.95)

En la figura 3.8 se ha representado el coeficiente de resistencia de una tubería lisa en función del número de Reynolds  (R), tanto en régimen laminar (3.85) como en régimen turbulento (3.95). La transición del régimen laminar al turbulento se da cuando se incrementa el número de Reynolds R. El número de Reynolds crítico Rcrítico que discrimina ambos regímenes depende de las condiciones experimentales (rugosidad de la tubería, intensidad de las perturbaciones en el flujo...). Como se puede observar en la figura 3.8, cuando se produce la transición entre ambos regímenes, el coeficiente de resistencia  varía bruscamente. Ejercicio 22 Determínese la diferencia de presión que se ha de ejercer en una tubería lisa de 1 m de longitud y 2 cm de diámetro para que fluya agua a 20  C a un ritmo de 1 litro por segundo. ¿Qué pasa si el caudal es 100 veces menor? Datos: número de Reynolds crítico en una tubería lisa, Ucrítico  3000; viscosidad cinemática del agua a 20  C,  = 106 m2 s. Solución: S  4951 Pa y S  2> 55 Pa.

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

116

3.4.

Autoevaluación

1. La disipación de la energía en un flujo turbulento se da principalmente: a) en todas las escalas de remolinos de la turbulencia. b) en los remolinos más grandes de la turbulencia. c) en los remolinos más pequeños de la turbulencia. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 2. Los efectos de la disipación de la energía debidos a la turbulencia: a) aumentan con el número de Reynolds. b) disminuyen con el número de Reynolds. c) se mantienen constantes con el número de Reynolds. d) no dependen del número de Reynolds. 3. La energía media disipada por unidad de tiempo y de masa en el régimen turbulento: a) es inversamente proporcional a la viscosidad. b) es directamente proporcional a la viscosidad de turbulencia. c) es independiente del número de Reynolds. d) es independiente de la viscosidad. 4. Si tenemos un flujo turbulento sobre una placa plana horizontal, entonces: a) fuera de la capa límite, el perfil de velocidades promedio es logarítmico. b) dentro de la capa límite, el perfil de velocidades de la componente fluctuante es lineal. c) fuera de la capa límite, el perfil de velocidades de la componente fluctuante es lineal. d) dentro de la capa límite, el perfil de velocidades promedio es logarítmico. 5. La constante de von Kármán: a) tiene un valor que se puede deducir de la teoría de la turbulencia. b) es adimensional. c) depende del número de Reynolds. d) depende de si el flujo turbulento se da en una tubería o sobre una placa plana horizontal.

3.4. AUTOEVALUACIÓN

117

6. Si un flujo turbulento de densidad  circulando sobre una placa plana ejerce sobre ésta un esfuerzo cortante  , entonces, la velocidad característica Y se define como: p a) Y =  @. p b) Y = @ . c) Y = @ . d) Y =  @. 7. Si un fluido entra por una tubería, entonces, cuanto más lejos nos encontremos de la entrada de la tubería, el espesor de la capa límite: a) es mayor. b) es menor. c) se mantiene constante. d) depende del diámetro de la tubería. 8. Cuando tenemos un flujo turbulento circulando por una tubería cilíndrica, la velocidad característica del flujo X coincide con: a) la velocidad Y . b) la velocidad máxima promedio que se da en la tubería Xm´ax . c) la velocidad en la frontera de la capa límite. d) el caudal que circula por la tubería dividido por la sección transversal de ésta. 9. El coeficiente de resistencia  de una tubería cilíndrica de diámetro G y longitud c, entre cuyos extremos se ejerce una diferencia de presión S y por la que circula un fluido a una velocidad característica X , se define como: ¡ ¢ a)  = 2G S@ cX 2 . b)  = 64@R, donde R es el número de Reynolds. c)  = cX 2 @ (2G S ). d)  = X 2 I  (R) @G , donde I  (R) es una cierta función del número de Reynolds. 10. Si tenemos un líquido fluyendo por una tubería cilíndrica horizontal en régimen laminar, entonces, el coeficiente de resistencia: a) es directamente proporcional al número de Reynolds. b) es constante. c) es inversamente proporcional al número de Reynolds.

CAPÍTULO 3. RÉGIMEN TURBULENTO

118

d) es independiente del número de Reynolds. 11. Cuando tenemos un fluido en régimen estacionario fluyendo por una tubería lisa, si éste pasa de régimen laminar a régimen turbulento, entonces, el coeficiente de resistencia: a) disminuye bruscamente. b) aumenta bruscamente. c) se mantiene prácticamente igual, debido a que el régimen es estacionario. d) a veces aumenta y a veces disminuye, dependiendo del diámetro de la tubería. 12. El coeficiente de resistencia en una tubería cilíndrica por la que circula un fluido en régimen estacionario: a) decrece a medida que el número de Reynolds aumenta. b) no depende del número de Reynolds. c) es una función creciente con respecto al número de Reynolds. d) la opción a) siempre y cuando no se produzca una transición de régimenrégimen laminar a régimen turbulento.

Capítulo 4

Fundamentos de Diferenciación “La filosofía está escrita en ese gran libro del Universo, que está continuamente abierto ante nosotros para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y el alfabeto en que está compuesto. Está escrito en el lenguaje de las Matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin este lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto” (G. Galilei). En este capítulo sentaremos las bases del Cálculo Diferencial en varias variables1 y lo aplicaremos al cálculo de las líneas de flujo de un fluido en movimiento y a ley de Young-Laplace. También definiremos algunos de los operadores del Cálculo Diferencial Vectorial, como el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano. El vector gradiente nos permitirá el estudio del equilibrio hidrostático cuando un fluido es sometido a una aceleración uniforme. Además, en los capítulos 7 y 8, estos operadores nos permitirán escribir matemáticamente las ecuaciones fundamentales de la Mecánica de Fluidos.

4.1.

Concepto de campo escalar y vectorial

4.1.1.

Campo escalar

Definición 1 Un campo escalar se define como una función i que asocia a un vector { 5 Rq (en general, de q componentes) un número real o una magnitud escalar. Matemáticamente, se expresa como: i : Rq $ R= Ejemplo 25 La temperatura en una cierta región del espacio R3 se puede interpretar como un campo escalar, de tal modo que W ({> |> }) asocia a cada posición 1 J.

E. Marsden, A. J. Tromba, Cálculo Vectorial, Addison-Wesley Iberoamericana, 1991.

119

120

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

del espacio ({> |> }) un escalar que viene dado por la temperatura W en dicho punto (véase figura 4.1).

Figura 4.1: Campo de temperaturas de un fluido entre dos placas paralelas a distintas temperaturas.

4.1.2.

Campo vectorial

Definición 2 Un campo vectorial se define como una función I que asocia a un vector { 5 Rq (en general, de q componentes) otro vector (en general, de p  : Rq $ Rp = componentes). Matemáticamente, se expresa como, I Ejemplo 26 Un fluido en movimiento se puede interpretar como un campo  ({> |> }> w), en el que a cada punto del espacio e instante de de velocidades Y tiempo se le asocia el vector velocidad del fluido en dicho punto e instante. Cuando el campo de velocidades no depende del tiempo w, decimos que el flujo es estacionario. Matemáticamente hablando, un campo escalar es un caso particular de campo vectorial. También existe otro caso particular de campo vectorial de importancia, y es el caso de las funciones vectoriales, en donde i : R $ Rq = En

4.1. CONCEPTO DE CAMPO ESCALAR Y VECTORIAL

121

 al especificar Figura 4.2: Un fluido en movimiento define un campo vectorial Y la velocidad de las partículas en cada punto del espacio e instante de tiempo ({> |> }> w) =

122

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Figura 4.3: Esta curva se denomina cicloide. este caso, a partir de un parámetro, por ejemplo, w, la función vectorial i (w) va obteniendo un conjunto de vectores en Rq que describen una curva paramétrica en dicho espacio. Cuando q = 2, las funciones vectoriales describen, en función del parámetro w 5 R, la trayectoria de una curva en el plano, mientras que, cuando q = 3> la trayectoria se describe en el espacio tridimensional. Ejemplo 27 La función vectorial i (w) = U (w  sin w> 1  cos w) describe la posición de un punto en un círculo de radio U que va rodando sin deslizar.

4.1.3.

Derivadas parciales

Definición 3 Sea un campo escalar i de q variables { = ({1 > = = = > {q ) > i : Rq $ R= Se define la derivada parcial de i con respecto a una variable {l > l = 1> = = = > q> en el punto {0 , al siguiente límite, i ({0 + khl )  i ({0 ) Ci > ({0 ) = l´ım k$0 C{l k

(4.1)

siendo hl el i-ésimo vector de la base canónica. En otras palabras, Ci @C{l es simplemente la derivada de i con respecto a la variable {l dejando el resto de variables fijas. La derivada parcial con respecto a la variable {l nos da la tasa de variación del campo escalar con respecto a dicha variable {l = Por tanto, si Ci @C{l A 0, el campo escalar i es creciente al aumentar {l , y viceversa.

4.1. CONCEPTO DE CAMPO ESCALAR Y VECTORIAL

123

Ejemplo 28 Hállense las derivadas parciales con respecto a { e | del campo escalar i ({> |) = {2 | + | 3 en el punto ({> |) = (1> 1) =

Ci (1> 1) = C{ Ci (1> 1) = C|

2{||(1>1) = 2> ¯ {2 + 3| 2 ¯(1>1) = 4=

N

Ejemplo 29 Hállense las derivadas parciales con respecto a { e | del campo escalar i ({> |) = {1@3 |1@3 en el origen. Como las funciones {1@3 e | 1@3 no son funciones diferenciables en 0, hemos de aplicar la definición de derivada parcial, Ci i (k> 0)  i (0> 0) 00 (0> 0) = l´ım = l´ım = 0= k$0 k$0 k C{ k Análogamente, Ci i (0> k)  i (0> 0) 00 (0> 0) = l´ım = l´ım = 0= k$0 k$0 k C| k

N

Figura 4.4: Parte “superior” de la gráfica de i ({> |) = {1@3 |1@3 =

Nota 3 Considérese la siguiente composición de funciones, i  j : R $ R2 $ R>

124

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

donde i ({> |) = {1@3 | 1@3 y j ({) = ({> {) >de tal manera que (i  j) ({) = i [j ({)] = i ({> {) = {2@3 = Por tanto, la función compuesta i  j no es una función diferenciable en { = 0= Obsérvese que, aunque cada componente en j ({) es diferenciable en { = 0 y i ({> |) tiene derivadas parciales en (0> 0), la función compuesta no es una función diferenciable en { = 0= Esto demuestra que la existencia de las derivadas parciales no es una condición suficiente para que una función de varias variables sea diferenciable. Esto no ocurre con las funciones de una variable, en las que la composición de funciones diferenciables es a su vez diferenciable. Por tanto, en el caso de funciones de varias variables, se precisa de una definición de diferenciabilidad en la que la composición de funciones diferenciables sea a su vez diferenciable.

4.2.

Vector gradiente

Definición 4 Si tenemos un campo escalar de q variables i : Rq $ R> el vector gradiente se define como el vector μ  = ui

Ci Ci >===> C{1 C{q

¶ =

(4.2)

 indica el operador “nabla”. Los operadores actúan sobre funEl símbolo u ciones de variable real. En el caso del operador nabla, se trata de un operador vectorial (de q componentes) que actúa sobre un campo escalar i> μ  = u

C C >===> C{1 C{q

¶ =

Si h1 > = = = > hq son los vectores de la base canónica, una manera equivalente de expresar el gradiente de un campo escalar i de q variables es  = ui

q X Ci hl = C{ l l=1

(4.3)

Obsérvese que si i y j son dos campos escalares de q variables, a partir de la definición de gradiente (4.2) resulta inmediato comprobar que  (i + j) = ui  + uj=  u

(4.4)

Teorema 2 Si i y j son dos campos escalares de q variables, entonces,  (i j) = i uj  + jui=  u

(4.5)

4.2. VECTOR GRADIENTE

125

Demostración. Aplicando directamente la definición de gradiente y teniendo en cuenta la derivada del producto de dos funciones, ¶ μ C (i j) C (i j)  (i j) = >===> u C{1 C{q μ ¶ Cj Ci Cj Ci = i +j >===>i +j C{1 C{1 C{q C{q μ ¶ μ ¶ Cj Ci Cj Ci = i +j >===> >===> C{1 C{q C{1 C{q   = i uj + j ui=

Ejemplo 30 Determínese el gradiente del campo escalar que asocia cada punto del espacio bidimensional u 5 R2 con la potencia p-ésima de su distancia al origen, i (u) = |u|p = up = Obsérvese que, como en coordenadas cartesianas, u = que ¡ ¢p@2 i ({> |) = {2 + |2 =

p {2 + | 2 > tenemos

Por tanto, ¶ Ci Ci > C{ C| ³ ¡ ¡ ¢p@21 ¢p@21 ´ = p{ {2 + | 2 > p| {2 + | 2 ¢(p2)@2 ¡ ({> |) = p up2 u= = p {2 + | 2 μ

 ui

=

Es decir,  (up ) = p up2 u= u

(4.6)

Se puede p comprobar fácilmente que (4.6) se sigue cumpliendo si u 5 R3 > es decir, si u = {2 + | 2 + } 2 = N Ejercicio 23 Demuéstrese que, si i y j son dos campos escalares de q variables, entonces, μ ¶    i = j ui  i uj > u 2 j j en los puntos en donde j ({) 6= 0= ³ ´  = 2{|} l + } m + | n h{2 = Si i (0> 0> 0) = 5> Ejemplo 31 Supóngase que ui ¿cuánto vale i (1> 1> 2)?

126

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Desglosando por componentes, tenemos que Ci C{ Ci C| Ci C}

2

= 2{|} h{ >

(4.7)

2

= } h{ >

(4.8)

2

= | h{ =

Integrando en (4.7),

(4.9)

Z

2

2{h{ g{ + j (|> })

i ({> |> }) = |} 2

= |} h{ + j (|> }) >

(4.10)

donde la función j (|> }) es una constante de integración dependiente de las variables que no han sido integradas. Derivando con respecto a | en (4.10) e igualando el resultado a (4.8), 2 2 Ci Cj = } h{ + = } h{ = C| C|

Por tanto, Cj = 0 $ j (|> }) = k (}) > (4.11) C| donde la función k (}) es una constante de integración que depende de las variables que no se han integrado. Sustituyendo (4.11) en (4.10), 2

i ({> |> }) = |} h{ + k (}) =

(4.12)

Derivando en (4.12) con respecto a } e igualando el resultado a (4.9), 2 2 Ci = | h{ + k0 (}) = | h{ = C}

Por tanto,

k0 (}) = 0

$

k (}) = F>

(4.13)

donde F es una constante de integración. Sustituyendo (4.13) en (4.12), 2

i ({> |> }) = |} h{ + F=

(4.14)

Como, según el enunciado, i (0> 0> 0) = 5> de acuerdo con (4.14), tenemos que, i (0> 0> 0) = F = 5= Por tanto,

2

i ({> |> }) = |} h{ + 5= De este modo, i (1> 1> 2) = 2h + 5=

N

 = Ejercicio 24 Determínese el campo escalar i ({> |> }) cuyo gradiente es ui ³ ´ 1 { { { | log }>  | log }> } = Solución: i ({> |> }) = | log } + F=

4.2. VECTOR GRADIENTE

4.2.1.

127

Derivada direccional

Supongamos que tenemos un campo escalar i : R3 $ R= Sean {> y 5 R3 dos vectores fijos, teniendo |y | = 1= El conjunto de puntos { + wy > con w 5 R> es la recta O que pasa por el punto { y es paralela al vector unitario y = Por tanto, la función de w> i ({ + wy ) representa el campo escalar i restringido a la recta O.

Figura 4.5: La ecuación de la recta O es u (w) = { + wy = ¿Con qué rapidez están cambiando los valores de i a lo largo de la recta O en el punto {? Como la tasa de cambio de una función está dada por su derivada, podemos responder que es la derivada de la función i ({ + wy ) cuando w = 0 (cuando w = 0> { + wy se reduce a {). Esto debería ser la derivada de i en el punto { en la dirección de la recta O, es decir, del vector unitario.

Definición 5 Sea el campo escalar i : R3 $ R= Definimos la derivada direccional de i en el punto { en la dirección del vector unitario y , si es que existe, como ¯ ¯ g i ({ + wy )¯¯ = (4.15) Gy [i ({)] = gw w=0 Aplicando la regla de la cadena podemos dar una expresión de la derivada direccional en términos del vector gradiente. Efectivamente, consideremos la

128

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

recta O como la función vectorial u (w) = { + wy > por tanto, ¯ ¯ g i [u (w)]¯¯ Gy [i ({)] = gw w=0 = Gi (u) · Gu (w)|w=0 ¯  (u) · u0 (w)¯¯ = ui w=0

 ({) · y = = ui

(4.16)

Ahora bien, según (4.15) y (4.16), podemos escribir ¯ ¯ g  ({) · y > i ({ + wy )¯¯ = ui gw w=0 o, más condensadamente, tomando gu = y gw,  · gu= gi = ui

(4.17)

Es decir, si nos movemos un gu, el campo escalar experimentará una variación infinitesimal gi de acuerdo con (4.17). Obsérvese que (4.17) representa una generalización de lo que ocurre en una variable, gi = i 0 ({) g{. Ejemplo 32 Sea i ({> |> }) = {2 h|} = Calcúlese s la tasa de cambio de i en la dirección del vector unitario, y = (1> 1> 1) @ 3, si estamos en el punto {0 = (1> 0> 0) = Usando (4.16), tenemos que  ({0 ) · y Gy [i ({0 )] = ui ¶¯ μ Ci Ci Ci ¯¯ > > · y = C{ C| C} ¯{={0 ¡ ¢¯ = 2{h|} > {2 }h|} > {2 |h|} ¯{=(1>0>0) · y 2 1 = (2> 0> 0) · s (1> 1> 1) = s = 3 3

N

 6= 0> entonces, ui  apunTeorema 3 (Dirección del vector gradiente) Si ui ta en la dirección de mayor crecimiento de la función i= Demostración. Si q es un vector unitario, la tasa de cambio de i en la dirección de q es ¯ ¯ ¯ ¯  · q = ¯¯ui  ¯¯ · |q| cos  = ¯¯ui  ¯¯ cos > ui  La tasa de cambio de i es máxima cuando donde  es el ángulo entre q y ui=  son paralelos. Por tanto, la derivada direccional del campo  = 0> cuando q y ui  da el mayor crecimiento de i= escalar i en la dirección q = ui

4.2. VECTOR GRADIENTE

129

Observemos que si queremos movernos en la dirección en la que i decrece  más rápidamente, tenemos que tomar ui= Para interpretar geométricamente el teorema de la dirección del vector gradiente, consideremos un campo escalar en el que k = i ({> |) representa la altura de una montaña con respecto a las coordenadas cartesianas ({> |) en un mapa. La figura 4.6 ilustra el hecho de que el vector gradiente apunta en la dirección de mayor pendiente en un determinado punto.

 es la dirección de más rápido Figura 4.6: Ilustración de dos hechos físicos: (a) ui  es ortogonal a las curvas de nivel. crecimiento de i> (b) ui

Ejemplo 33 La temperatura del casco de un submarino, cuando éste está en 2 2 2 la posición ({> |> }) > viene dada por el campo escalar W ({> |> }) = h{ 2| 3} = Si el submarino está en la coordenada (1> 1> 1) > ¿en qué dirección ha de avanzar para disminuir la temperatura lo más rápidamente posible?  La dirección de máximo decrecimiento de la función W viene dada por uW>

130

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

por tanto, si u0 = (1> 1> 1) >

μ

 (u0 ) =  uW

¶¯ CW CW CW ¯¯ > > C{ C| C} ¯u=u0 2

=  h{ 6

= h

2| 2 3} 2

¯ ¯ (2{> 4|> 6})¯

 u=(1>1>1)

(2> 4> 6) =

Es decir, la dirección de máximo decrecimiento de la temperatura vendrá dada por el vector (1> 2> 3) = N

4.2.2.

Equilibrio hidrostático dinámico

Cuando tenemos un líquido en un recipiente sometido a una aceleración lineal uniforme d, la superficie del líquido se deforma hasta alcanzar un estado estacionario. Hablamos, por tanto, de un equilibrio dinámico, porque, en un sistema de referencia solidario con el recipiente que contiene el líquido, éste está en reposo. Según la figura 4.7, hemos tomado un sistema de coordenadas en el que el eje [ es horizontal y el plano [\ contiene al vector aceleración d.

Figura 4.7: Recipiente con un líquido en su interior sometido a una aceleración lineal. Consideremos un diferencial de volumen de líquido gY = g{g|g} tal como indica la figura 4.7. La masa contenida en dicho elemento diferencial de volumen será gp =  gY =  g{g|g}= (4.18)

4.2. VECTOR GRADIENTE

131

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento diferencial de líquido gp, IS + gp j = gpd>

(4.19)

donde IS son las fuerzas debidas a la presión (véase figura 4.8) que actúan sobre gp y, como éste se mueve con el recipiente, d = (d{ > d| ).

Figura 4.8: Fuerzas debidas a la presión que actúan sobre un elemento diferencial de líquido. Por tanto, según la figura 4.8 y teniendo en cuenta (4.18), la componente horizontal de (4.19) es S ({> |) g|g}  S ({ + g{> |) g|g} =  g{g|g} d{ > es decir, S ({> |)  S ({ + g{> |) =  d{ = g{ De acuerdo con la definición de derivada parcial (4.1), CS =  d{ = C{ Análogamente para la componente vertical de (4.19), S ({> |) g{g}  S ({> | + g|) g{g}   g{g|g} j =  g{g|g} d| > es decir, S ({> |)  S ({> | + g|) =  (d| + j) > g|

(4.20)

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

132 y, por tanto,

CS =  (d| + j) = (4.21) C| Podemos expresar más sintéticamente (4.20) y (4.21) con la definición de gradiente (4.2),  =  (d{ > d| + j) = (4.22) uS Ahora bien, según (4.17) y teniendo en cuenta (4.22), gS

 · gu = uS =  [d{ g{ + (d| + j) g|] >

(4.23)

donde gu = (g{> g|). Despejando de (4.23), gS + d{ g{ + (d| + j) g| = 0>  e, integrando, resulta que ; ({> |) del líquido en el recipiente, S ({> |) + d{ { + (d| + j) | = F> 

(4.24)

donde F es una constante de integración. Por tanto, si ({0 > |0 ) y ({1 > |1 ) son dos puntos del líquido, (4.24) se puede escribir como S ({1 > |1 ) S ({0 > |0 ) + d{ {0 + (d| + j) |0 = + d{ {1 + (d| + j) |1 =  

(4.25)

Si, además, ({0 > |0 ) y ({1 > |1 ) están sobre la superficie del líquido (véase figura 4.7), ambos están a la presión atmosférica, S ({0 > |0 ) = S ({1 > |1 ) = Satm > de tal manera que (4.25) se reduce a d{ ({0  {1 ) + (d| + j) (|0  |1 ) = 0> o bien, de acuerdo a al figura 4.7, |0  |1 d{ = = tan = d| + j {1  {0

(4.26)

 $ Como la aceleración es lineal uniforme d = (d{ > d| ) = fwh y los puntos ({0 > |0 ) y ({1 > |1 ) son cualesquiera de la superficie, la inclinación  de ésta, según (4.26), es constante. Ejemplo 34 Se dispone de un recipiente de forma cúbica que se desliza por un plano inclinado hacia arriba y sin rozamiento, mediante la acción de una polea de la que cuelga verticalmente un peso (véase figura 4.9). El recipiente está lleno de líquido hasta la mitad de su capacidad. La masa del peso es igual a la masa del recipiente con el líquido. Si la masa de la cuerda y de la polea son despreciables, determínese el máximo ángulo que puede tener el plano inclinado para que no se derrame líquido del recipiente.

4.2. VECTOR GRADIENTE

133

Figura 4.9: Recipiente con un líquido subiendo por una rampa inclinada. Sea * el ángulo de inclinación de la rampa y  el ángulo de la inclinación de la superficie del líquido con respecto a la horizontal debido a que el recipiente está acelerado. Como el recipiente está lleno hasta la mitad, el ángulo máximo que podrá hacer la superficie del líquido con respecto a la base del recipiente será @4 rad. De este modo, de acuerdo con la figura 4.9, tenemos que +*=

 = 4

(4.27)

Sea p la masa del peso y del recipiente con el líquido. Tomando el sistema de referencia [ 0 \ 0 (véase figura 4.9), podemos aplicar la segunda ley de Newton al recipiente, obteniendo para la componente sobre el eje [ 0 , W  pj sin * = pd>

(4.28)

donde W es el módulo de la tensión de la cuerda y d el módulo de la acelaración que experimenta el recipiente. Debido a que la masa de la polea y de la cuerda es despreciable, la tensión de la cuerda es la misma a lo largo de ésta. Por tanto, análogamente a como hemos hecho para obtener (4.28), la ecuación para el peso que baja es pj  W = pd= (4.29) Eliminando W de (4.28) y (4.29), resulta que pj  pj sin * = 2pd>

134

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

es decir,

j (1  sin *) = 2 Ahora bien, según (4.26),  satisface, d=

tan  =

d{ d cos * = = d| + j d sin * + j

Teniendo en cuenta (4.27) y (4.30) en (4.31), llegamos a ³ ´ (1  sin *) cos * tan * = = 4 (1  sin *) sin * + 2 Aplicando ahora la relación trigonométrica, tan (D ± E) = sulta que ´ ³ 1  tan * = * tan 4 1 + tan * cos *  sin * = = cos * + sin *

(4.30)

(4.31)

(4.32) tan D±tan E 1 tan D tan E ,

re-

(4.33)

Sustituyendo (4.33) en (4.32) y operando, llegamos a, 2 cos * = 1 + sin *=

(4.34) p Haciendo uso de la identidad trigonométrica cos * = 1  sin2 * y elevando al cuadrado en (4.34), llegamos a 5 sin2 * + 2 sin *  3 = 0>

(4.35)

cuyas soluciones son sin *1 sin *2

3 > 5 = 1=

(4.36)

=

(4.37)

La raíz obtenida en (4.37) es una raíz espúrea, pues no satisface (4.32), al contrario de lo que ocurre con (4.36). Por tanto, la solución buscada es μ ¶ 00 3 1 *1 = sin  36  52 0 12 = (4.38) 5 Sustituyendo (4.38) en (4.27), 00

  8  7 0 48 =

N

Ejercicio 25 Una caja cúbica de 2 m de arista, llena hasta la mitad con aceite, se acelera 2> 45 m s2 a lo largo de un plano inclinado 30  respecto de la horizontal. Determínese la inclinación de la superficie del aceite. ¿Dónde y qué valor tiene la presión máxima en el aceite? Datos: densidad del aceite, 916 kg m3 ; presión atmosférica, 1> 013 × 105 Pa. Solución:   10  53 0 36 00 con respecto a la horizontal, Sm´ax  1> 158 × 105 Pa.

4.3. NOCIONES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

4.3.

Nociones de Cálculo en varias variables

4.3.1.

Aproximación de una función

135

Recta tangente En el análisis de una variable, si i ({) es una función diferenciable en {0 , l´ım

k$0

i ({0 + k)  i ({0 ) = i 0 ({0 ) = k

Figura 4.10: La derivada en el punto {0 coincide con la pendiente de la recta tangente en {0 = Si tomamos { = {0 + k> i ({)  i ({0 ) = i 0 ({0 ) > {${0 {  {0 l´ım

o bien

i ({)  [i ({0 ) + i 0 ({0 ) ({  {0 )] = 0= {${0 {  {0 l´ım

Obsérvese que la recta tangente, que pasa por ({0 > i ({0 )) y tiene pendiente tan  = i 0 ({0 ) > es, precisamente, | ({) = i ({0 ) + i 0 ({0 ) ({  {0 ) = La recta tangente es una “buena aproximación” a la función i cerca del punto {0 . Por tanto, una forma de entender que | ({) es una “buena aproximación” a

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

136

i ({) en el entorno de {0 es l´ım

{${0

i ({)  | ({) = 0= {  {0

Plano tangente Cuando queremos aproximar un campo escalar bidimensional en el entorno de un punto, hemos de considerar no ya la recta tangente (como en el caso de una variable), sino el plano tangente. En R3 un plano no vertical tiene la forma } ({> |) = d{ + e| + f= Si queremos que el plano sea tangente a la gráfica de i en el punto ({0 > |0 ) > las pendientes a lo largo de los ejes { e | deben ser iguales a Ci @C{ y Ci @C| en ({0 > |0 ) respectivamente. De este modo, d=

Ci ({0 > |0 ) > C{

e=

Ci ({0 > |0 ) = C|

Para determinar f, observemos que } ({0 > |0 ) = i ({0 > |0 ) > por tanto,  ¸  ¸ Ci Ci ({0 > |0 ) ({  {0 ) + ({0 > |0 ) (|  |0 ) = } ({> |) = i ({0 > |0 ) + C{ C| En notación matricial, siendo u = ({> |) y u0 = ({0 > |0 ) > μ ¶ Ci Ci (u0 ) > (u0 ) · (u  u0 ) = } (u) = i (u0 ) + C{ C| Utilizando la notación del vector gradiente,  (u0 ) · (u  u0 ) = } (u) = i (u0 ) + ui

(4.39)

 en un campo escalar tiene el mismo papel Es decir, el vector gradiente ui que la derivada de una función i 0 en el caso de una variable.

4.3.2.

Concepto de diferenciabilidad

Definición 6 Sea el campo escalar i : Rq $ R= Decimos que i es diferenciable en u0 si existen las derivadas parciales Ci @C{l , (l = 1> = = = > q) > en u0 , y si h i  (u0 ) · (u  u0 ) i (u)  i (u0 ) + ui = 0= l´ım  u $ u0 |u  u0 | Es decir, no sólo basta que existan las derivadas parciales en u0 , sino que además es necesario que el plano tangente sea una “buena aproximación” en el entorno de u0 = Este concepto de diferenciabilidad es ampliable a campos vectoriales, es decir, a funciones que asocian, a cada vector u = ({1 > = = = > {q ) de q componentes, otro vector I (u) = (I1 > = = = Ip ) de p componentes.

4.3. NOCIONES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

137

Figura 4.11: Para los puntos ({> |) cerca de ({0 > |0 ) > la gráfica del plano tangente está cerca de la gráfica de i . Definición 7 Sea el campo vectorial I : Rq $ Rp = Decimos que I es diferenciable en u0 > si las derivadas parciales CIm @C{l , (l = 1> = = = > q; m = 1> = = = > p) existen en u0 y si

l´ım

¯ h i¯ ¯ ¯ ¯I (u)  I (u0 ) + GI (u0 ) · (u  u0 ) ¯ |u  u0 |

 u$ u0

= 0>

donde definimos la matriz derivada de I como 3 E E  GI = E E C

CI1 C{1 .. . CIp C{1

··· ..

.

···

CI1 C{q .. . CIp C{q

4 F F F= F D

(4.40)

Ejemplo 35 Determínese la matriz derivada del campo vectorial I ({> |> }) = (}h{ > |h} ) = Obsérvese que, en este caso, I = (I{ > I| ) > donde I{ ({> |> }) = }h{ y

138

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

I| ({> |> }) = |h} = 4 CI{ CI{ CI{ E C{ C| C} F = C CI CI| CI| D | C{ C| C} μ ¶ { { }h 0 h = = 0 h} |h} 3

GI

N

Cuando p = 1, tenemos una única componente en el campo vectorial, es decir, tenemos un campo escalar, i : Rq $ R1 = En este caso, la matriz derivada se corresponde con el vector gradiente, μ ¶ Ci Ci  Gi = = ui= (4.41) >===> C{1 C{q Por otro lado, cuando q = 1 y p = 3, tenemos una función vectorial en el espacio, u : [d> e] $ R3 = En este caso, la matriz derivada se corresponde con el vector velocidad u0 (w) sobre la curva paramétrica descrita por u (w) = ({ (w) > | (w) > } (w)) > tal y como aparece en la figura 4.12, 4 3 g{ E gw F E g| F 0 F (4.42) Gu = E E gw F = u (w) = C g} D gw De la misma manera, se puede definir el vector aceleración como 3 2 4 g { E gw2 F E 2 F E g | F u00 (w) = E F= E gw2 F C g2 } D gw2 Circunferencia osculatriz y curvatura Supongamos que tenemos una curva plana u (w) = ({ (w) > | (w)) y queremos determinar en un determinado punto de ésta u (w0 ) cuál es la circunferencia que más se ajusta a dicha curva. A dicha circunferencia la denominaremos circunferencia osculatriz 2 . En primer lugar, observemos que una circunferencia f (w) = ({f (w) > |f (w)) queda determinada por tres parámetros, su radio U y su centro (d> e), de tal manera que [{f (w)  d]2 + [|f (w)  e]2 = U2 = 2 En

latín osculare significa ‘besar’.

(4.43)

4.3. NOCIONES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

139

Figura 4.12: El vector u0 (w) representa el vector velocidad que es tangente a la curva u (w) =

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

140

Derivando en (4.43), el vector tangente f0 (w) = ({0f (w) > |f0 (w)) ha de cumplir que [{f (w)  d] {0f (w) + [|f (w)  e] |f0 (w) = 0= (4.44) Derivando de nuevo en (4.44), el vector aceleración f00 (w) = ({00f (w) > |f00 (w)) ha de cumplir, a su vez, que [{0f (w)] + [{f (w)  d] {00f (w) + [|f0 (w)] + [|f (w)  d] |f00 (w) = 0= 2

2

(4.45)

Para que la circunferencia osculatriz f (w) se aproxime a u (w) en w = w0 hemos de imponer al menos que ambas coincidan en w = w0 > es decir, u (w0 ) = f (w0 ). Entonces, de acuerdo con (4.43), tenemos que, [{ (w0 )  d]2 + [| (w0 )  e]2 = U2 =

(4.46)

Evidentemente, hay una infinidad de circunferencias que pasan por el punto ({ (w0 ) > | (w0 )) > por tanto, la ecuación (4.46) no basta para determinar unívocamente los parámetros d> e y U de la curva osculatriz. Si imponemos, además, que sus vectores velocidad y aceleración coincidan, u0 (w0 ) = f0 (w0 ) y u00 (w0 ) = f00 (w0 ), obtenemos un mejor ajuste y los parámetros de la curva osculatriz quedan determinados unívocamente. Según (4.44) y (4.45), tenemos, entonces, que [{ (w0 )  d] {0 (w0 ) + [| (w0 )  e] | 0 (w0 ) = 0>

(4.47)

y [{ (w0 )  d] {00 (w0 ) + [| (w0 )  e] | 00 (w0 ) =  [{0 (w0 )]  [|0 (w0 )] = 2

2

(4.48)

Las ecuaciones (4.47) y (4.48) se pueden expresar de forma matricial de la siguiente manera, μ 0 ¶ ¶μ ¶ μ 0 { (w0 ) | 0 (w0 ) { (w0 )  d = = 2 2 {00 (w0 ) |00 (w0 ) | (w0 )  e [{0 (w0 )] + [| 0 (w0 )] Resolviendo el sistema,

´ ³ 2 2 [{0 (w0 )] + [| 0 (w0 )]

> {0 (w0 ) | 00 (w0 )  | 0 (w0 ) {00 (w0 ) ´ ³ 2 2 {0 (w0 ) [{0 (w0 )] + [| 0 (w0 )]

{ (w0 )  d =

| (w0 )  e =

| 0 (w0 )

{0 (w0 ) | 00 (w0 )  | 0 (w0 ) {00 (w0 )

(4.49)

=

(4.50)

Sustituyendo (4.49) y (4.50) en (4.46) y operando, tenemos que el radio de la circunferencia osculatriz es ³ ´3@2 [{0 (w0 )]2 + [|0 (w0 )]2 U= 0 = (4.51) |{ (w0 ) | 00 (w0 )  |0 (w0 ) {00 (w0 )| Al radio U se le denomina radio de curvatura de la curva u (w) = ({ (w) > | (w)) en w = w0 =

4.3. NOCIONES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

141

Ejemplo 36 Determínese la curva osculatriz de la función i ({) = log { en el punto {0 = 1= La gráfica de cualquier función i ({) siempre se puede parametrizar como una curva. Basta tomar { (w) = w e | (w) = i [{ (w)] = i (w) = De este modo, {0 = { (w0 ) = w0 = 1= En este caso, las ecuaciones dadas en (4.49)-(4.51) se simplifican, ´ ³ | 0 (w0 ) 1 + [| 0 (w0 )]2 > (4.52) d = { (w0 )  | 00 (w0 ) ´ ³ 1 + [| 0 (w0 )]2 = (4.53) e = | (w0 ) + || 00 (w0 )| y ³ ´3@2 2 1 + [| 0 (w0 )] U= = (4.54) || 00 (w0 )| Evaluemos entonces las primeras derivadas sucesivas de | (w) en w0 = 1> | (w0 ) = log w0 = 0> 1 |0 (w0 ) = = 1> w0 1 | 00 (w0 ) =  2 = 1= w0

(4.55) (4.56) (4.57)

Por tanto, teniendo en cuenta que { (w0 ) = 1 y sustituyendo (4.55)-(4.57) en (4.52)-(4.54), resulta, finalmente, que d = 3> e = 2> s U = 2 2= En la figura 4.13 se puede apreciar cómo se ajusta la circunferencia osculatriz a la función logarítmica en el punto {0 = 1= N Definimos la curvatura  en un punto u0 de la curva como el inverso del radio de curvatura con un signo + o > dependiendo de si el vector velocidad al pasar por u0 gira en sentido positivo (antihorariamente) o negativo (horariamente). Por tanto, a partir de (4.51), podemos definir la curvatura de la siguiente manera: Definición 8 Sea una curva paramétrica u (w) = ({ (w) > | (w)) = Definimos la curvatura en un punto w de dicha curva como {0 (w) | 00 (w)  | 0 (w) {00 (w)  (w) = ³ ´3@2 = [{0 (w)]2 + [|0 (w)]2

(4.58)

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

142

1

1

2

3

4

5

6

1 R

2

2

2 C

3,

2

3

4

Figura 4.13: Circunferencia osculatriz de la función i ({) = log { en el punto {0 = 1= En el caso de gráficas de funciones, cuando la curva es cóncava, la curvatura es positiva; y convexa, cuando es negativa. En el ejemplo anterior tendríamos una curvatura negativa, pues la curva es convexa, |00 (w0 ) = 1 ? 0= A partir de (4.54), definimos la curvatura de gráficas de funciones como | 00 (w)  (w) = ³ ´3@2 = 1 + [| 0 (w)]2

(4.59)

Ejercicio 26 Determínese, en el punto u0 = (1> 0), la curvatura de la curva u (w) = (cos w + w sin w> sin w  w cos w) = Solución:  = 4=

4.3.3.

Regla de la cadena

Campos escalares Cuando tenemos la composición de dos funciones de una variable, } = i (|) e | = j ({), de tal manera que } ({) = i (|) = i [j ({)] = (i  j) ({) > la regla de la cadena nos ofrece la siguiente regla de derivación, (i  j)0 ({) = } 0 ({) =

g} g| g} = = i 0 (|) | 0 ({) = i 0 [j ({)] j0 ({) = g{ g| g{

El concepto de diferenciabilidad nos permite generalizar la regla de la cadena a la composición de funciones de varias variables.

4.3. NOCIONES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

143

 : Rq $ Teorema 4 (Regla de la cadena) Sean dos campos vectoriales J p p s  es diferenciable en {0 y I es diferenciable en |0 = R y I : R $ R = Si J  ({0 ) > entonces, I  J  es diferenciable en {0 y, J ³ ´  ({0 ) =  ({0 ) = GI (|0 ) · GJ G I  J (4.60) Es decir, la matriz derivada de la función compuesta viene dada por el producto de matrices de las derivadas de las funciones. Ejemplo 37 Aplíquese la regla de la cadena a la composición de un campo escalar i : R3 $ R> con una función vectorial u : R $ R3 = Consideremos i (u) = i ({> |> }) y u (w) = ({ (w) > | (w) > } (w)) = Por tanto, la función compuesta, (i  u) (w) = i [u (w)] = i ({ (w) > | (w) > } (w)) = Aplicando la regla de la cadena (4.60), de acuerdo con la derivada de un campo escalar (4.41) y una función vectorial (4.42), tenemos que G (i  u) (w) = Gi (u) · Gu (w)  (u) · u0 (w) > = ui es decir, g  (u) · u0 (w) = i [u (w)] = ui N gw Ejemplo 38 Verifíquese la regla de la cadena para el campo escalar i (x> y> z) = x2 + y 2  z> donde x ({> |> }) = {2 |> y ({> |> }) = | 2 > z ({> |> }) = h{} = Consideremos el campo vectorial,  ({) = J  ({> |> }) J = (x ({> |> }) > y ({> |> }) > z ({> |> })) ¢ ¡ = {2 |> | 2 > h{} > ³ ´  > por tanto, y el campo escalar k = i  J h i  ({) k ({> |> }) = i J ¢ ¡ = i {2 |> | 2 > h{} ¢2 ¡ ¢2 ¡ = {2 | + | 2  h{} = {4 | 2 + |4  h{} =

(4.61)

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

144 De este modo,

 ({) Gk ({) = uk ¶ μ Ck Ck Ck > > = C{ C| C} ¡ 3 2 ¢ = 4{ | + }h{} > 2{4 | + 4|3 > {h{} =

(4.62)

 ({) = (x> y> z) > Si aplicamos la regla de la cadena, sabiendo que | = J ³ ´  ({) Gk ({) = G i  J  ({) = Gi (|) · GJ

(4.63) 3

Cx Cx Cx E C{ C| C} ¶ μ Ci Ci Ci E E Cy Cy Cy > > = E Cx Cy Cz E C{ C| C} C Cz Cz Cz C{ C| C} ¶ μ Ci Cz  Ci Cx Ci Cy + + l = Cx C{ Cy C{ Cz C{ μ ¶ Ci Cx Ci Cy Ci Cz  + + + m Cx C| Cy C| Cz C| μ ¶ Ci Cx Ci Cy Ci Cz  + + + n= Cx C} Cy C} Cz C}

4 F F F F F D

Comparando por componentes (4.62) con (4.63), tenemos que la primera componente es Ck C{

Ci Cx Ci Cy Ci Cz + + Cx C{ Cy C{ Cz C{ = 2x (2{|) + 2y · 0 + (1) (}) h{} ¡ ¢ = 2 {2 | (2{|) + }h{} =

= 4{3 | 2 + }h{} = Análogamente para la segunda y tercera componentes, Ci Cx Ci Cy Ci Cz + + Cx C| Cy C| Cz C| = 2{4 | + 4| 3 >

Ck C|

=

Ck C}

=

Ci Cx Ci Cy Ci Cz + + Cx C} Cy C} Cz C} N = {h{} =

4.3. NOCIONES DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES

145

Ejercicio 27 Nos dan la expresión de un campo escalar en coordenadas cartesianas, i ({> |) = Si pasamos el campo escalar a coordenadas polares, i (u> ) > donde { = u cos , | = u sin > escríbanse las fórmulas de las derivadas parciales del campo escalar con respecto a las coordenadas u y = Solución: Ci Cu = Ci Ci Ci Ci cos  Ci + sin  y = u sin  + u cos  = C{ C| C C{ C|

4.3.4.

Derivadas parciales iteradas

Decimos que el campo escalar i : Rq $ R es de clase F 1 cuando tiene derivadas parciales continuas, es decir, las funciones Ci @C{l , (l = 1> = = = > q) son funciones continuas. Si estas derivadas tienen a su vez derivadas parciales continuas, decimos que i es de clase F 2 o dos veces continuamente diferenciable. En general, que i sea F n quiere decir que i admite derivadas parciales iteradas de orden n= Si i es una función de clase F 2 de las variables { e |, al tomar las derivadas parciales segundas, obtenemos las cuatro derivadas iteradas, μ ¶ μ ¶ C2i C2i C Ci C Ci = = > > C{ C{ C{2 C| C| C| 2 μ ¶ μ ¶ C2i C Ci C2i C Ci = > = > C| C{ C|C{ C{ C| C{C| en donde las dos últimas funciones se denominan derivadas parciales mixtas. Teorema 5 (Igualdad de las derivadas cruzadas) Si i ({> |) es de clase F 2 > entonces, las derivadas parciales mixtas son iguales, C2i C2i = = C{C| C|C{

(4.64)

Leonhard Euler, en 1734, fue quien por primera vez demostró este teorema, en relación con sus estudios de hidrodinámica. Una interesante consecuencia de este teorema es que, si un campo escalar es q veces continuamente diferenciable, podemos calcular las derivadas iteradas de orden q, en el orden que queramos. Ejemplo 39 Verifíquese la igualdad de las derivadas parciales mixtas para la función, i ({> |) = {h| + |{2 = Derivando, tenemos que Ci C{ Ci C|

= h| + 2{|> = {h| + {2 >

C2i = h| + 2{> C|C{ C2i = h| + 2{> C{C|

y, por lo tanto, comprobamos que C2i C2i = = C{C| C|C{

N

146

4.4.

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Campo de velocidades en un fluido

Recordemos que un campo vectorial I : Rq $ Rp es una función que asigna a cada vector { 5 Rq otro vector I ({) 5 Rp = Cuando q = p = 3> podemos ilustrar gráficamente el campo vectorial I adhiriendo a cada punto del espacio un vector.

Figura 4.14: Un campo vectorial I asocia a cada punto del espacio { un vector (flecha) I ({) =

Ejemplo 40 En la superficie de una tina que desagua por su centro, el campo de velocidades se puede aproximar por  ({> |) = Y

4.4.1.

{  |  l 2 m= {2 + | 2 { + |2

N

Líneas de flujo

Hemos visto anteriormente (sección 1.7.1) que, cuando el flujo es estacionario, las líneas de trayectoria de la descripción lagrangiana coinciden con las líneas de corriente de la descripción euleriana. Por tanto, en el caso estacionario hablaremos de líneas de flujo. Para visualizar este concepto, simplemente se ha de pensar en la trayectoria que sigue una partícula en el seno de un fluido en movimiento. Matemáticamente hablando, podemos definir una línea de flujo en el campo vectorial de velocidades de un fluido de la siguiente manera,

4.4. CAMPO DE VELOCIDADES EN UN FLUIDO

147

Figura 4.15: Campo de velocidades que describe el flujo circular en una tina.  el campo vectorial de velocidades de un fluido. Una línea Definición 9 Sea Y  de flujo del campo Y es una trayectoria u (w) tal que  [u (w)] > u0 (w) = Y u (0) = u0 >

(4.65)

 produce el campo de velocidades sobre la trayectoria u (w) = es decir, Y Geométricamente, el problema de hallar una línea de flujo u (w) que pase  consiste en ensartar inicialmente por el punto u0 en un campo de velocidades Y una curva por el campo vectorial de tal manera que el vector tangente a la curva coincida con el campo vectorial. Ejemplo 41 Determínense las líneas de flujo del campo de velocidades en la superficie de una tina que desagua por su centro, ¶ μ { |  ({> |) = = >  Y {2 + |2 {2 + |2 Si u (w) = ({ (w) > | (w)) es una línea de flujo, entonces,  [{ (w) > | (w)] = ({0 (w) > | 0 (w)) = Y Si desglosamos por componentes, g{ gw g| gw

| > + |2 { =  2 = { + |2 =

{2

(4.66) (4.67)

148

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Figura 4.16: Línea de flujo que se va ensartando por un campo de velocidades en el plano. Dividiendo (4.66) y (4.67) entre sí, | g{ =  $ { g{ + | g| = 0> g| { e, integrando, {2 + | 2 = U2 >

(4.68)

donde, por conveniencia, hemos escrito la constante de integración como U2 = Es decir, las líneas de flujo se corresponden con circunferencias de radio U= Despejando de (4.68), p | = U2  {2 > (4.69) y, sustituyendo (4.69) en (4.66), llegamos a s U2  {2 g{ g{ = $ U2 s = gw= gw U2 U2  {2 Sabiendo que

Z

g{ s = sin1 {> 1  {2 podemos integrar en (4.70), obteniendo ³{´ = w + w0 > U2 sin1 U

(4.70)

4.4. CAMPO DE VELOCIDADES EN UN FLUIDO donde w0 es una constante de integración. Despejando, ¶ μ w + w0 = { (w) = U sin U2

149

(4.71)

Sustituyendo (4.71) en (4.69), obtenemos, finalmente, ¶ μ w + w0 = | (w) = U cos U2 Por tanto, la línea de flujo viene dada por la trayectoria ¶ μ ¶ ¸  μ w + w0  w + w0  l + cos m = u (w) = U sin U2 U2

(4.72)

Para determinar las constantes de integración U y w0 > hemos de imponer la condición inicial u (0) = ({0 > |0 ) > por tanto, μ ¶ w0 > (4.73) {0 = U sin U2 μ ¶ w0 |0 = U cos = (4.74) U2 Elevando al cuadrado las ecuaciones (4.73) y (4.74) y sumándolas, obtenemos que (4.75) {20 + |02 = U2 = Por otro lado, dividiendo (4.73) entre (4.74), μ ¶ {0 w0 > = tan |0 U2 es decir,

μ 2

1

w0 = U tan

{0 |0

¶ =

Por tanto, queda finalmente, q {20 + |02 u (w) = ½  μ ¶¸ w {0  1 × sin 2 l + tan {0 + |02 |0  μ ¶¸ ¾ w {0  1 + cos 2 m = + tan {0 + |02 |0

(4.76)

(4.77)

Obsérvese que la trayectoria dada en (4.77) son círculos que se recorren en sentido horario. Esto es fácil de ver, pues, derivando en (4.72),  μ ¶ μ ¶ ¸ w + w0  w + w0  1 cos l  sin m = (4.78) u0 (w) = U U2 U2

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

150

1.0

y

0.5

0.0

0.5

1.0 1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

x

Figura 4.17: Las líneas de flujo se recorren en sentido horario.

4.4. CAMPO DE VELOCIDADES EN UN FLUIDO

151

Tomando como punto de partida ({0 > |0 ) = (0> 1), según (4.75) y (4.76), resulta que U = 1 y w0 = 0. De este modo, la velocidad inicial, w = 0, de acuerdo con (4.78), es u0 (0) = l> (4.79) por lo que, según la figura 4.17, las líneas de flujo se recorren en sentido horario. N Obsérvese que la línea de flujo u (w) no sólo depende del tiempo w, sino también del punto inicial u (0) = u0 = ({0 > |0 ) = Esto hace que sea conveniente utilizar una notación especial para explicitar la dependencia del punto de partida u0 = De este modo, decimos que el flujo ! (u0 > w) es la posición de una partícula de fluido después de un tiempo w, si inicialmente estaba en la posición u0 = Analíticamente se define de una manera análoga a una línea de flujo u (w) = h i C  ! (u0 > w) ! (u0 > w) = Y Cw ! (u0 > 0) = u0 =

Figura 4.18: Definición de flujo ! (u> w) =

Ejercicio 28 Determínese la línea de flujo u (w) que pasa inicialmente por el punto u (0) = (1> 0) > en el campo de velocidades, à ! | {  ({> |) = p Y  |> p +{ = {2 + |2 {2 + | 2

152

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Sugerencia: Exprésese el campo de velocidades en coordenadas polares. Solución: u (w) = (w + 1) (cos w> sin w) =

4.4.2.

La derivada material

Sea un campo escalar dependiente del tiempo, i (u> w) > es decir, a cada instante de tiempo w y a cada posición del espacio u le asociamos un valor escalar. Si una partícula de fluido es transportada por el flujo, ¿cómo variará a lo largo del tiempo el campo escalar que percibe dicha partícula de fluido? La localización de la partícula de fluido viene dada por la línea de flujo u (w) = ({ (w) > | (w) > } (w)) = Por tanto, el campo escalar que percibe la partícula de fluido en el instante w viene dado por i [u (w) > w] = i [{ (w) > | (w) > } (w) > w] = Aplicando la regla de la cadena (4.61), podemos calcular la variación del campo escalar en el tiempo de una partícula transportada por el flujo, g [i (u (w) > w)] = gw =

Ci Ci g{ Ci g| Ci g} + + + Cw C{ gw C| gw C} gw Ci  · u0 (w) = + ui Cw

 [u (w)] > Observemos que, como u (w) es una línea de flujo, entonces, u0 (w) = Y por tanto, podemos escribir Ci gi  ·Y = = + ui gw Cw

(4.80)

A la variación del campo escalar gi @gw se le denomina derivada material. Notemos que la variación del campo escalar que siente una partícula transportada por el flujo es debida a dos términos: 1. Ci @Cw es la variación del campo escalar debida a que éste no es constante, sino que cambia a lo largo del tiempo.  ·Y  es la variación del campo escalar debida a que la partícula de fluido 2. ui se está moviendo por el campo escalar. Si el campo escalar fuera constante  = 0 para todo w> por para todo u en cada instante de tiempo, entonces ui    = 0> lo que ui · Y sería nulo. Por otro lado, si el fluido está quieto, Y  ·Y  también sería nulo. Obsérvese que, según lo que se vio el término ui  ·Y  indica anteriormente sobre la derivada direccional (4.16), el término ui  la variación del campo escalar i en la dirección Y > es decir, en la dirección del flujo. Ejemplo 42 En una tina que desagua por su centro existe un pequeño oleaje que viene dado por k ({> |> w) = {2 cos w| 2 sin w> donde k representa la altura con respecto al centro de la tina (nótese que k (0> 0> w) = 0). Si se deposita un barquito de papel en el instante inicial en el punto (0> 1), ¿cómo estará inicialmente el barquito, subiendo o bajando?

4.4. CAMPO DE VELOCIDADES EN UN FLUIDO

153

Recordemos que el campo de velocidades en una tina que desagua por su centro viene dado por μ ¶ | {  Y ({> |) = = > {2 + |2 {2 + |2 Por tanto, aplicando la ecuación (4.80), tenemos que gk gw

=

Ck   + uk · Y Cw

(2{ cos w> 2| sin w) · (|> {) {2 + |2 2{| = {2 sin w  | 2 cos w + 2 (cos w + sin w) { + |2 ¶ μ ¶ μ 2{ 2|  { { sin w +  | | cos w= = {2 + |2 {2 + |2

= {2 sin w  | 2 cos w +

Obsérvese que en el instante inicial, w = 0, el barquito se encuentra en la posición ({0 > |0 ) = (0> 1) > por consiguiente, ¯ gk ¯¯ = 1 ? 0= gw ¯({>|>w)=(0>1>0) Es decir, el barquito en el instante inicial estará descendiendo de altura. Podríamos haber llegado a la misma conclusión sabiendo que la trayectoria que sigue el barquito es la del flujo. Para obtener la línea de trayectoria, basta sustituir en (4.77) la posición inicial, ({0 > |0 ) = (0> 1) > obteniendo u (w) = ({ (w) > | (w)) = (sin w> cos w) = De este modo, la altura del barquito en función del tiempo viene dada por k [{ (w) > | (w) > w] = sin2 w cos w  cos2 w sin w 1 sin 2w (sin w  cos w) = = 2 Derivando, gk 1 = cos 2w (sin w  cos w) + sin 2w (cos w + sin w) = gw 2 Por tanto, en el instante inicial, ¯ gk ¯¯ = 1= gw ¯w=0 Notemos que este último procedimiento requiere conocer la línea de flujo, lo cual no es necesario en el procedimiento anterior. N

154

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Observemos que, si, en lugar de un campo escalar i , tenemos un campo vectorial I = (I{ > I| > I} ), tendríamos que aplicar (4.80) en cada una de las coordenadas de I > μ ¶ gI{ gI| gI} gI = > > gw gw gw gw μ ¶ CI{   | ·Y  } ·Y  > CI| + uI  > CI} + uI  = + uI{ · Y Cw Cw Cw ¶ ³ μ ´ CI{ CI| CI}  · uI  |> Y  · uI  } =  · uI  {> Y > > + Y = Cw Cw Cw Utilizando la notación, ³ ´ ´ ³  ·u  I = Y  · uI  |> Y  · uI  } >  · uI  {> Y Y resulta, finalmente,

C I ³   ´  gI = + Y · u I= gw Cw

(4.81)

(4.82)

Ejercicio 29 En una cierta región del océano, el campo de temperaturas del aire al nivel del mar viene dado por W ({> |> w) =

{2

W0 hw > + |2 + 1

donde W0 es una constante positiva. En dicha región del océano, el campo de velocidades del agua del mar en la superficie viene dado por à ! | {  ({> |) = p Y  |> p +{ = {2 + | 2 {2 + | 2 Si un barco navega a la deriva en dicha región del océano, determínese si la tripulación del barco experimenta un aumento o una disminución de la temperatura con el tiempo. Solución: el barco experimenta una disminución de la temperatura con el tiempo.

4.5. 4.5.1.

Operadores diferenciales vectoriales Rotacional

Definición 10 El operador rotacional asocia a cada campo vectorial F 1 > I : R3 $ R3 > I = (I{ > I| > I} ) > el campo vectorial, rot I : R3 $ R3 > μ ¶ CI} CI| CI{ CI} CI| CI{ rot I =  >  >  = C| C} C} C{ C{ C|

(4.83)

4.5. OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES

155

Esta fórmula es más fácil de recordar utilizando el operador nabla, ¯ ¯ ¯ l n ¯ m ¯ ¯  × I = ¯ C@C{ C@C| C@C} ¯ = rot I = u ¯ ¯ ¯ I{ I| I} ¯  a partir de la Obsérvese que, si tenemos dos campos vectoriales, I y J> definición de la divergencia, es inmediato probar que ³ ´  = rot I + rot J=  rot I + J (4.84) Teorema 6 (El rotacional de un gradiente es nulo) Para cualquier campo escalar i : R3 $ R de clase F 2 > el rotacional de cualquier gradiente es el vector nulo, ³ ´  rot ui = 0= (4.85) Demostración. De acuerdo con la definición de rotacional y gradiente, ¯ ¯ ¯ ¯ n l m ³ ´ ¯ ¯  ¯ rot ui = ¯ C@C{ C@C| C@C} ¯¯ ¯ Ci @C{ Ci @C| Ci @C} ¯ ¶ μ 2 ¶ μ 2 ¶ μ 2 C2i  C i C2i  C i C2i  C i  l+  m+  n = C|C} C}C| C}C{ C{C} C{C| C|C{ = (0> 0> 0) > donde cada componente es cero debido a la propiedad simétrica de las derivadas parciales mixtas (4.64). Ejercicio 30 Demuéstrese que, ³ ´  × I = rot i I = i rot I + ui

(4.86)

En el siguiente ejemplo se ofrece una situación sencilla en donde se ve por qué el rotacional está asociado a las rotaciones. Ejemplo 43 Determínese el rotacional del campo de velocidades de las partícu las de un cuerpo rígido que gira a una velocidad angular = El campo de velocidades de un cuerpo rígido en rotación viene dado por  =  × u> Y  un vector paralelo al eje de donde u es el vector de posición de la partícula y ¯ ¯ ¯ ¯ giro y cuyo módulo es igual a la velocidad angular ¯ ¯ = =

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

156

 y la velocidad angular  están relacionadas por Figura 4.19: La velocidad Y  =  × u= Y Debido a la selección de ejes que aparece en la figura 4.19, podemos escribir  = n y u = { l + | m + } n de tal modo que

¯ ¯ ¯ l m n ¯ ¯ ¯  = ¯ 0 0 ¯ =  | l + { m= Y ¯ ¯ ¯ { | } ¯ Por tanto,

¯ ¯ l m ¯  = ¯ C@C{ C@C| rot Y ¯ ¯  |

{

n C@C} 0

¯ ¯ ¯  ¯ = 2 n = 2 = ¯ ¯

N

 representa el campo de velocidades de las partículas Si el campo vectorial Y  = 0 en un punto D significa que el fluido no tiene de un fluido, entonces, rot Y rotaciones (o es irrotacional) en el punto D; es decir, no tiene remolinos. Cuando el rotacional del campo de velocidades en el seno de un fluido es nulo en todo punto del fluido, decimos que el flujo es irrotacional o potencial. Informalmente podemos decir que, si colocamos en el fluido una pequeña rueda con aspas en un flujo irrotacional, la rueda se moverá con el flujo, pero no girará alrededor de su eje, tal y como se aprecia en la figura 4.20. Ejemplo 44 Determínese si el campo de velocidades de la superficie de una tina que desagua por su centro es irrotacional o no.

4.5. OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES

157

Figura 4.20: Si el flujo es irrotacional, una rueda con aspas no girará alrededor de su eje ]. Recordemos que este campo de velocidades, para ({> |) 6= (0> 0) > viene dado por

μ  ({> |) = Y

| { > {2 + |2 {2 + |2

¶ =

(4.87)

× (|> {) =

(4.88)

Obsérvese que podemos escribir (4.87) como  ({> |) = (|> {) = Y u2 Por tanto, aplicando (4.86),  = 1 rot (|> {) + u  rot Y u2

μ

1 u2

¶

Por un lado, ¯ ¯ l m ¯ rot (|> {) = ¯¯ C@C{ C@C| ¯ | {

n C@C} 0

¯ ¯ ¯ ¯ = 2n= ¯ ¯

 (up ) = p up2 u> Por otro lado, tomando p = 2 en (4.6), u μ  u

1 u2

¶ =

2 2 u =  4 ({> |) > u4 u

(4.89)

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

158 podemos efectuar

μ  u

1 u2

¶

¯ ¯ 2 ¯¯ × (|> {) =  4 ¯ u ¯

¯ l m n ¯ ¯ 2 { | 0 ¯¯ = 2 n= u | { 0 ¯

(4.90)

Sustituyendo (4.89) y (4.90) en (4.88), resulta que, ;u 6= 0,  = rot Y

2 2 n + 2 n = 0= 2 u u

Es decir, el campo de velocidades es irrotacional, para cualquier punto distinto del origen ;u 6= (0> 0). Obsérvese que, según vimos anteriormente, aunque las líneas de flujo son circunferencias alrededor del centro de la tina, ello no quiere decir que el fluido sea rotacional. Es decir, el fluido, globalmente, rota alrededor del centro de la tina, pero, localmente, el fluido no tiene remolinos en ningún punto, excepto en el centro, en donde el campo de velocidades no está definido (véase figura 4.20). N Ejercicio 31 Determínese si el siguiente campo de velocidades es irrotacional, ! à | {  ({> |) = p  |> p +{ = Y {2 + | 2 {2 + | 2 Solución: el campo es rotacional.

 : R3 $ R3 son dos campos vectoriales, de acuerdo con la Ejemplo 45 Si I > J notación utilizada en (4.81), demuéstrese que ³ ´ ³ ´ ³ ´  I · J  = I · u  J + J  ·u  I + I × rot J  +J  × rot I = u (4.91) Demostraremos la identidad (4.91) sólo para la primera componente, dejando la demostración de las demás componentes como ejercicio. Sea I = (I{ > I| > I} )  = (J{ > J| > J} ) = Aplicando (4.4) y (4.5), yJ ³ ´  I · J   (I{ J{ + I| J| + I} J} ) (4.92) u = u  (I{ J{ ) + u  (I| J| ) + u  (I} J} ) = u  { + J{ uI  { + I| uJ  | + J| uI  | + I} uJ  } + J} uI  }= = I{ uJ La primera componente de (4.92) resulta ser ³ ´  I · J  · l = I{ CJ{ + J{ CI{ + I| CJ| + J| CI| + I} CJ} + J} CI} = u C{ C{ C{ C{ C{ C{

4.5. OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES Por otro lado, según la notación utilizada en (4.81), ³ ´ ´ ³  | > I · uJ  } =  J  = I · uJ  { > I · uJ I · u

159

(4.93)

Por tanto, la primera componente de (4.93) resulta ser h³ ´ i  J  · l = I{ CJ{ + I| CJ{ + I} CJ{ > I · u C{ C| C}

(4.94)

 y, análogamente, intercambiando I y J> h³ ´ i  ·u  I · l = J{ CI{ + J| CI{ + J} CI{ = J C{ C| C}

(4.95)

Teniendo en cuenta ahora que, según (4.83), ¶ μ CI| CI{ CI} CI| CI{ CI}  >  >  > rot I = C| C} C} C{ C{ C|  × rot I resulta ser la primera componente de J ¯ ¯ n l m ¯ ³ ´ ¯ J J J { | }  × rot I · l = ¯ J ¯ CI} CI| CI{ CI} CI| CI{ ¯   ¯ C|  C} C} C{ C{ C| ¶ ¶ μ μ CI{ CI| CI{ CI}   J}  > = J| C{ C| C} C{  y, análogamente, intercambiando I y J> ¶ ¶ μ μ ³ ´ CJ{ CJ| CJ{ CJ}      I}  = I × rot J · l = I| C{ C| C} C{

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ · l ¯ ¯ ¯ (4.96)

(4.97)

A partir de (4.94)-(4.97), se puede comprobar fácilmente que ³ ´ h³ ´ ³ ´ i  I  ·J  · l = I · u  J + J  ·u  I + I × rot J  +J  × rot I · l= u

N

Las demás componentes, en m y en n> se demuestran de una manera análoga.

4.5.2.

Divergencia

Definición 11 Sea el campo vectorial I : R3 $ R3 > I = (I{ > I| > I} ) = Definimos el campo escalar “divergencia de I ”, div I : R3 $ R como div I =

CI} CI{ CI| + + = C{ C| C}

160

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Utilizando la notación del operador nabla y el producto escalar, podemos escribir la divergencia de un campo vectorial como ¶ μ C C C  · I = > > · (I{ > I| > I} ) = u div I = C{ C| C} Si I = (I1 > I2 > I3 ) y las coordenadas cartesianas vienen dadas por u = ({1 > {2 > {3 ) > también podemos expresar la divergencia como div I =

3 X CIl l=1

C{l

=

(4.98)

 a partir de la Obsérvese que, si tenemos dos campos vectoriales, I y J> definición de la divergencia, es inmediato probar que ³ ´  = div I + div J=  div I + J (4.99)  : R3 $ R3 y campo escalar Teorema 7 Para cualquier campo vectorial I 3 i : R $ R> se cumple que ³ ´  div i I = i div I + I · ui= (4.100) Demostración. Aplicando directamente la definición de divergencia, ³ ´ C (i I{ ) C (i I| ) C (i I} ) div i I = + + C{ C| C} CI| CI} CI{ Ci Ci Ci + I{ +i + I| +i + I} = i C{ C{ C| C| C} C} ¶ ¶ μ μ CI} Ci Ci Ci CI{ CI| + + + (I{ > I| > I} ) · > > = i C{ C| C} C{ C| C}    = i div I + I · ui=  de un fluido de densidad constante, Si tenemos el campo de velocidades Y  entonces, div Y A 0 representa la tasa de expansión por unidad de tiempo y de volumen del fluido, es decir, el campo de velocidades presenta una fuente por la  ? 0> entonces el fluido tiene un sumidero por el que se que mana fluido. Si div Y  = 0> decimos que el fluido no tiene ni fuentes desaloja el fluido. Cuando div Y ni sumideros. Ejemplo 46 El campo de velocidades en la superficie de un estanque circular viene dado por  (u) = u > Y u donde u es el vector de posición de un punto del estanque con respecto a su centro R= Determínese si el fluido se expande o se contrae.

4.5. OPERADORES DIFERENCIALES VECTORIALES

161

Figura 4.21: Campo de velocidades radial. De acuerdo con (4.100), resulta que μ ¶ μ ¶ 1 1 u   = div u + u · u = div Y (u) = div u u u

(4.101)

Observemos, en primer lugar, que div u = div ({> |) =

C{ C| + = 2= C{ C|

(4.102)

 (up ) = p up2 u , resulta que Por otro lado, tomando p = 1 en (4.6), u μ ¶  1 =  u = (4.103) u u u3 Por tanto, sustituyendo (4.102) y (4.103) en (4.101),  (u) = div Y

u 2 1  u · 3 = = u u u

Observemos que, como  (u) = div Y el fluido se expande.

1 A 0> u

N

 : R3 $ R3 . Demuéstrese que Ejercicio 32 Sean dos campos vectoriales I > J ³ ´  =J  · rot I  I · rot J=  div I × J

162

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Teorema 8 (La divergencia del rotacional es nula) Para cualquier campo vectorial I = (I{ > I| > I} ) de clase F 2 > div rot I = 0=

(4.104)

Demostración. Según la definición rotacional, ¶ μ CI| CI{ CI} CI| CI{ CI}   >  >  = rot I = C| C} C} C{ C{ C| Por tanto, hallando la divergencia, μ ¶ μ ¶ μ ¶ C CI} CI| C CI{ CI} C CI| CI{  div rot I =  +  +  C{ C| C} C| C} C{ C} C{ C| 2 2 2 2 2 2 C I| C I{ C I} C I| C I{ C I}  +  +  = = C{C| C{C} C|C} C|C{ C}C{ C}C| Como I es de clase F 2 > resulta que se cumple el teorema de la igualdad de las derivadas parciales mixtas (4.64), por tanto, div rot I = 0= Ejercicio 33 Sean dos campos escalares i> j : R3 $ R= A partir del resultado del ejercicio anterior, demuéstrese que ³ ´  × uj  div ui = 0=

4.5.3.

Operador laplaciano

Definición 12 El operador laplaciano u2 actúa sobre campos escalares i de clase F 2 , y se define como u2 i =

C2i C2i C2i + 2 + 2= 2 C{ C| C}

En términos del operador nabla, podemos escribir ³ ´ ³ ´  · ui   u2 i = u = div ui >

(4.105)

(4.106)

es decir, el operador laplaciano es la divergencia del gradiente. Si tenemos un campo vectorial de clase F 2 > I = (I{ > I| > I} ) > podemos definir el laplaciano del campo vectorial en términos de sus componentes, u2 I = u2 I{ l + u2 I| m + u2 I} n= Ejemplo 47 Sean dos campos escalares i> j : R3 $ R= Demuéstrese que ³ ´  · uj  u2 (i j) = i u2 j + ju2 i + 2 ui =

4.6. SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

163

De acuerdo con (4.106) y aplicando la propiedad (4.5) y (4.99), h i h i h i h i  (i j) = div i uj  + jui   + div j ui  = u2 (i j) = div u = div i uj Aplicando ahora (4.100), ³ ´ ³ ´   · ui  + j div ui   · uj=  + uj u2 (i j) = i div uj + ui Agrupando términos y volviendo a aplicar (4.106), ³ ´  · uj  = u2 (i j) = i u2 j + ju2 i + 2 ui

N

Ejercicio 34 Sea el campo vectorial I : R3 $ R3 = Demuéstrese que ³ ´ ³ ´  div I  u2 I = rot rot I = u

4.6.

(4.107)

Superficies parametrizadas

Hasta ahora hemos visto superficies dadas por la gráfica de una función } = i ({> |) > tal y como aparecen en la figura 4.22. Pero hay muchas superficies que no se pueden representar por funciones, porque tienen dobleces, de tal modo que, para un mismo valor de ({> |), tienen distintos valores de } (véase la figura 4.23). Por tanto, necesitamos ampliar el concepto de superficie con la siguiente definición.  : G  R2 $ R3 > Definición 13 Una superficie parametrizada es una función 2  se corresponde donde G es algún dominio en R = La imagen de la función  (G) = V> de tal modo que podemos escribir con la superficie V>  (x> y) = ({ (x> y) > | (x> y) > } (x> y)) =  tuerce o dobla la región G del plano para producir Podemos pensar que la superficie V> tal y como aparece en la figura 4.24. Ejemplo 48 Hállese una parametrización del hiperboloide de una hoja, {2 + | 2  } 2 = 1=

(4.108)

Como { e | aparecen en la combinación {2 + |2 > la superficie es invariante bajo rotación alrededor del eje ], tal y como se puede apreciar en la figura 4.25, de modo que es natural escribir { = u cos > | = u sin =

164

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Figura 4.22: El volumen Y está limitado por la región U y la gráfica de i ({> |) =

Figura 4.23: Ejemplo de una superficie que no es la gráfica de una función } = i ({> |) =

4.6. SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

 tuerce o dobla G dando lugar a la superficie V =  (G) = Figura 4.24:

Figura 4.25: Hiperboloide de revolución de una hoja.

165

166

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Entonces, (4.108) se puede escribir como u2  } 2 = 1= 2

(4.109)

2

De acuerdo con la identidad cosh sinh  = 1 (véase (B.3) en el Apéndice B), la ecuación (4.109) se puede parametrizar tomando u }

= cosh x> = sinh x>

de tal forma que la parametrización de (4.108) resulta ser { = cosh x cos > | = cosh x sin > } = sinh x> donde  5 [0> 2] y x 5 R=

N

Ejercicio 35 Determínese la parametrización de la superficie toroidal que aparece en la figura 4.26 cuyos radios exterior e interior son U y u respectivamente. Solución: { = (U + u cos !) cos > | = (U + u cos !) sin > } = u sin !=

Figura 4.26: El radio interior u viene dado por la circunferencia marcada más pequeña y el exterior U por la más grande.

 es diferenciable en el punto (x0 > y0 ) 5 R2 = Consideremos Supongamos que  (x0 > y) = ({ (x0 > y) > | (x0 > y) > } (x0 > y)) > atendiendo a la figura la curva i (y) =  (x0 > y0 ), 4.27. Llamemos Wy al vector tangente a la curva i (y) en el punto ¶¯ μ C{ C| C} ¯¯ > > = (4.110) Wy = i0 (y0 ) = Cy Cy Cy ¯(x0 >y0 )

4.6. SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

167

De manera análoga, considerando la curva,  (x> y0 ) = ({ (x> y0 ) > | (x> y0 ) > } (x> y0 )) > j (x) =  (x0 > y0 ), y llamando Wx al vector tangente a la curva j (x) en el punto ¶¯ μ C{ C| C} ¯¯ > > = (4.111) Wx = j 0 (x0 ) = Cx Cx Cx ¯(x0 >y0 ) Como los vectores Wx y Wy son tangentes a dos curvas sobre la superficie en  (x0 > y0 ) > deben determinar el plano tangente a la superficie en dicho el punto punto. De este modo, el vector unitario, Wx × Wy ¯> q = ± ¯¯ ¯ ¯Wx × Wy ¯

(4.112)

 (x0 > y0 ) = El signo + o  vendrá determidebe ser normal a la superficie V en nado según la orientación que tenga la superficie.

Figura 4.27: Vectores Wx y Wy sobre una superficie parametrizada.

4.6.1.

Curvaturas principales en una superficie

Según (4.112), en cada punto S de una superficie diferenciable podemos definir el vector unitario normal q= Tal y como indica la figura 4.28, un plano normal en S es aquel que contiene al vector normal q= Cada plano normal secciona la superfice en una curva normal y, a su vez, cada una de estas curvas normales tiene una curvatura. Llamamos curvaturas principales 1 y 2 a las curvaturas máxima y mínima de todas las curvas normales.

168

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Figura 4.28: Curvaturas principales de un punto de silla. Teorema 9 Los planos de las curvaturas principales siempre son perpendiculares entre sí3 . Nota 4 L. Euler (1707-1783) fue el primer matemático que presentó el primer estudio fundamental sobre la teoría de superficies en 1760, con un trabajo titulado “Investigaciones sobre la curvatura de las superficies”. Muy probablemente en este trabajo se definiera por primera vez una superficie como la gráfica de una función. En 1771 introdujo el concepto de superficie paramétrica descrito en esta sección.

4.7. 4.7.1.

Ley de Young-Laplace Ley de Young-Laplace para una superficie esférica

Supongamos una gota que se forma en el extremo de una jeringa al desplazar el émbolo, tal como se indica en la figura 4.29. Sea Sext la presión exterior. Para formar una gota es necesario aplicar mediante el émbolo una presión Sint algo mayor que Sext . El trabajo realizado por el émbolo sobre el líquido al desplazar un volumen gY es gZemb = Sint gY= 3 M.

Do Carmo, Dierential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Englewood Clis, 1976.

4.7. LEY DE YOUNG-LAPLACE

169

Figura 4.29: Gota de líquido que se forma en el extremo de la aguja de una jeringa. Como los líquidos se pueden considerar incompresibles, la gota desplaza también un volumen gY sobre su entorno, que está a una presión Sext = Por tanto, la gota realiza un trabajo, gZgota = Sext gY= La diferencia de trabajo entre el trabajo que hace el émbolo sobre la gota gZemb y el trabajo que hace la gota sobre su entorno gZgota , gZ = gZemb  gZgota = (Sint  Sext ) gY>

(4.113)

se invierte en incrementar la superficie de la gota, es decir, se invierte en vencer la tensión superficial de la gota (1.68), gZ =  gD=

(4.114)

Igualando (4.113) y (4.114), tenemos que S gY =  gD>

(4.115)

donde S = Sint  Sext A 0 es la diferencia de presión entre el interior de la gota y el exterior de ésta. Suponiendo que la gota es esférica y tiene radio U, 4 3 U > 3 D = 4U2 >

Y

=

gY = 4U2 gU>

(4.116)

gD = 8U gU=

(4.117)

Sustituyendo (4.116) y (4.117) en (4.115), resulta que la diferencia de presión en la interfase de una superficie esférica Sesfera es proporcional al coeficiente de tensión superficial  e inversamente proporcional al radio de curvatura U de la interfase, 2 = (4.118) Sesfera = U Obsérvese que cuando tenemos una pompa de jabón esférica, debido a que la pompa tiene una superficie de dos caras (una interior y otra exterior), el área en (4.117) es el doble, por lo que la ecuación (4.118) queda Sp om pa =

4 = U

170

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Ejemplo 49 Dedúzcase la ley de Jurin a partir de la ley de Laplace, considerando que el menisco tiene forma de casquete esférico.

Figura 4.30: El menisco que se forma en un capilar tiene forma de casquete esférico. Según la figura 4.30, la relación entre el radio de la esfera U (a la cual pertenece el casquete esférico del menisco) y el radio u del capilar es u = U cos >

(4.119)

donde  es el ángulo de contacto. Debido a la curvatura del menisco, habrá una diferencia de presión Smenisco = Satm  S2 en la interfase de éste. Teniendo en cuenta (4.119) y que el menisco tiene forma esférica (4.118), Sm enisco =

2 cos  2 = = U u

(4.120)

La sobrepresión que ejerce la tensión superficial (4.120) hace que el líquido ascienda una altura k hasta que ésta se iguale con la presión hidrostática de la columna de líquido que se eleva por el capilar. Efectivamente, la presión hidrostática de la columna de líquido ascendida por el capilar es Shidrostática = S1  S2 = jk>

(4.121)

siendo  la densidad del líquido. Debido a que S1 = Satm podemos igualar (4.120) con (4.121), de tal modo que despejando k, k=

2 cos  > ju

4.7. LEY DE YOUNG-LAPLACE

171

obtenemos la ley de Jurin (1.88). Por tanto, podemos considerar que la forma del menisco en un capilar tiene forma de casquete esférico. N Ejercicio 36 Dos pompas esféricas de jabón de radios u1 y u2 chocan entre sí isotérmicamente y a presión atmosférica S0 , produciéndose una única pompa de jabón de radio u. Suponiendo que el aire que contienen las pompas se comporta como un gas ideal y que el coeficiente de tensión superficial del agua con jabón es , determínese el radio u de la nueva pompa de jabón. Datos: u1 = 1 cm> u2 = 2 cm>  = 24> 25 × 103 N m1 > S0 = 101325 Pa. Solución: u  2> 08 × 102 m=

4.7.2.

Ley general de Young-Laplace

Cuando tenemos una superficie V que separa dos medios fluidos, la ley de Young-Laplace establece que la diferencia de presión S en un punto de V entre ambos medios viene dada por μ ¶ 1 1 S =  > (4.122) + U1 U2 donde U1 y U2 son los radios de las curvaturas principales y  es el coeficiente de tensión superficial. Obsérvese que en el caso de una superficie esférica de radio U> 1 1 1 (4.123) = = > U1 U2 U por tanto, sustituyendo (4.123) en (4.122), obtenemos de nuevo (4.118). Para deducir la ley de Young-Laplace, consideremos el entorno de un punto R de la superficie de la interfase. Elijamos dicho punto R como el origen de un sistema de coordenadas, cuyo eje ] coincide con la normal a la superficie en R> tal y como aparece en la figura 4.31. Además, elijamos la orientación de los ejes [ e \ de tal manera que los planos { = 0 e | = 0 coincidan con los planos de las curvaturas principales del punto R= (Recuérdese que los planos de las curvaturas principales son perpendiculares entre sí). De este modo, en la figura 4.31, U{ y U| son los radios de las curvaturas principales del punto R= Calculemos ahora la resultante de las fuerzas gI| ejercidas por la tensión superficial sobre los elementos de línea g| colocados a una distancia g{@2 de R= Según la figura 4.32, sólo tenemos componente en el eje ], gI| = 2g| sin =

(4.124)

Ahora bien, observando de nuevo la figura 4.32, como la curva que resulta de intersecar la superficie de la interfase y el plano | = 0 se aproxima a la circunferencia osculatriz en el entorno del punto R> tenemos que g{@2 = U{   U{ sin >

(4.125)

pues, como g{ es una cantidad infinitesimal, el ángulo   0= Por tanto, sustituyendo (4.125) en (4.124), resulta que gI| =

g|g{ = U{

(4.126)

172

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

Figura 4.31: Elemento diferencial de superficie en una interfase de coeficiente de tensión superficial =

4.7. LEY DE YOUNG-LAPLACE

173

Figura 4.32: Fuerza ejercida por la tensión superficial sobre los elementos de línea g|= Análogamente, para la resultante de las fuerzas ejercidas gI{ por la tensión superficial sobre los elementos de línea g{ colocados a una distancia g|@2 de R> tenemos que g|g{ = (4.127) gI{ = U| Por tanto, según (4.126) y (4.127), la presión de superficie Sv ejercida por la tensión superficial sobre el elemento de superficie gV = g{g| es μ ¶ gI{ + gI| 1 gI 1 Sv = = = + > gV g{g| U{ U| donde U{ y U| son los radios de las curvaturas principales. En el equilibrio, la presión de superficie Sv se ha de equilibrar con la diferencia de presión S que los fluidos ejercen a ambos lados de la interfase, ¶ μ 1 1 S = Sv =  > + U{ U|

174

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

que se corresponde con la ley de Young-Laplace, enunciada en (4.122). Menisco de un líquido en contacto con una pared vertical Cuando tenemos un líquido que se encuentra junto a una pared vertical, debido a la tensión superficial, la interfase líquido-gas adquiere una determinada forma.

Figura 4.33: Menisco que forma un líquido en contacto con una pared vertical. Tal y como aparece en la figura 4.33, cualquier plano vertical, perpendicular a la superficie del sólido, secciona la interfase en una misma curva que representaremos por la función } =  (|) = Cualquier plano horizonal, a una altura entre } = 0 y } = k> secciona la interfase en una línea recta, es decir, U1 $ 4, y por tanto su curvatura es nula (curvatura mínima), 1 = 0= U1

(4.128)

La curvatura principal máxima es la de la función  (|) > que, según vimos anteriormente en (4.59), se corresponde con  00 1 =¡ ¢3@2 A 0> U2 1 +  02

(4.129)

donde el signo de la curvatura es positivo por ser  (|) una función cóncava. Para determinar el salto de presiones que existe entre ambas caras de la interfase S , tomemos S0 como la presión al nivel } = 0= Considérese ahora el punto T de la interfase de coordenadas (|>  (|)) = Sean Sint y Sext las presiones en el interior y exterior de la interfase en el punto T= Observemos que, si O y J son las

4.7. LEY DE YOUNG-LAPLACE

175

densidades del líquido y el gas respectivamente, se cumple que S0 S0

= Sint + O j > = Sext + J j =

(4.130) (4.131)

Restando (4.131) a (4.130), resulta que S = Sext  Sint = (O  J ) j   O j >

(4.132)

pues normalmente O À J = Por tanto, sustituyendo (4.128), (4.129) y (4.132) en la ley de Young-Laplace (4.122), resulta que  00 O j ¡ ¢3@2 = 0=  1 +  02

(4.133)

Observemos que (4.133) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal. Integrando en (4.133), resulta que, 1 O j 2  +¡ ¢1@2 = F1 > 2 1 +  02

(4.134)

donde F1 es una constante de integración. Para comprobar que (4.134) es la integral de (4.133), basta derivar en (4.134) con respecto a | para obtener (4.133). Para determinar la constante de integración F1 , podemos darnos cuenta, a partir de la figura 4.33, de que, cuando | $ 4> tenemos que  =  0 = 0= Sustituyendo estos valores en (4.134), resulta que F1 = 1=

(4.135)

Por tanto, teniendo en cuenta (4.135) y definiendo por simplicidad el parámetro, D=

O j > 2

(4.136)

podemos escribir (4.134) como 1 D 2 + ¡ ¢1@2 = 1= 1 +  02

(4.137)

Por otro lado, observando de nuevo la figura 4.33, cuando | = 0> tenemos que  = k y  0 = 1@ tan , donde  es el ángulo de contacto. Sustituyendo estos valores en (4.137), resulta que 1 = 1> Dk2 + q 1 + tan12  y, despejando k, obtenemos,

r k=

1  sin  = D

(4.138)

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

176

Para resolver (4.137), observemos que se trata de una ecuación diferencial ordinaria de variables separables, por tanto, s g 1 0 = = ¡ (4.139) ¢2  1> g| 1  D 2 donde hemos elegido el signo  en (4.139) pues, según la figura 4.33, la función  (|) es decreciente. Integrando (4.139), tenemos que Z 1  D 2 (4.140) | + F2 =  q ¡ ¢2 g> 1  1  D 2 donde F2 es otra constante de integración. Para calcular la integral dada en (4.140), realicemos el cambio de variable, x = 1  D 2 > Z 1  D 2 L =  q ¡ ¢2 g 1  1  D 2 Z 1 x s s gx = (1  x) 1+x 2 D Z 1 1 + 1  x s s = gx (1  x) 1 + x 2 D Z ¸ Z 1 gx gx s s  s = (4.141) = (1  x) 1 + x 1+x 2 D y 0.0030 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005

0.002

0.004

0.006

0.008

Figura 4.34: Menisco que forma el agua en contacto con una superficie vertical. Se ha tomado un ángulo de contacto,  = @8= La segunda integral de (4.141) es inmediata, Z s gx s = 2 1 + x> 1+x

(4.142)

y

4.7. LEY DE YOUNG-LAPLACE mientras que para calcular la primera podemos hacer el cambio } = Z Z gx g} s = 2 2  }2 (1  x) 1 + x μs ¶ s 1+x 1 s = 2 tanh = 2 Teniendo en cuenta los resultados (4.142) y (4.143), llegamos a " ! q Ãp # 2 1 1 2  D s tanh1 s  2  D 2 = | + F2 = s 2 2 D

177 s 1 + x>

(4.143)

(4.144)

La constante de integración F2 se puede determinar recordando que cuando | = 0> tenemos que  = k> donde k viene dada por (4.138). Por tanto,  μs ¸ ¶ s 1 1 1 + sin  s tanh1 s (4.145)  1 + sin  = F2 = s 2 2 D En la figura 4.34 se ha representado el perfil de un menisco de agua a partir de (4.144) y (4.145), tomando un ángulo de contacto  = @8=

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

178

4.8.

Autoevaluación

1. Una función vectorial: a) es un campo escalar que transforma vectores en escalares. b) es un campo vectorial que transforma escalares en vectores. c) es un campo escalar que transforma escalares en vectores. d) es una campo vectorial que transforma vectores en escalares. 2. Un campo escalar de dos variables es diferenciable en un punto: a) siempre y cuando existan todas las derivadas parciales en ese punto. b) siempre y cuando el plano tangente en dicho punto sea una “buena aproximación” al campo escalar en el entorno de dicho punto. c) siempre y cuando exista el vector gradiente en dicho punto. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 3. La derivada de un campo vectorial I : R3 $ R2 es una matriz: a) tres por dos. b) dos por tres. c) dos por dos. d) tres por tres. 4. El vector gradiente de un campo escalar apunta en la dirección en la que la tasa de variación de dicho campo escalar es: a) máxima. b) mínima. c) nula. d) las opciones b) y c) simultáneamente. 5. Si aceleramos uniformemente un recipiente que contiene un líquido: a) la superficie del líquido adquiere una forma cóncava. b) la superficie del líquido adquiere una forma convexa. c) la opción a) cuando la aceleración es positiva y la opción b) cuando la aceleración es negativa. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 6. Todos los puntos de un fluido acelerado uniformemente que están sobre un mismo plano:

4.8. AUTOEVALUACIÓN

179

a) se encuentran a la misma presión. b) se encuentran a la presión atmosférica. c) la opción a) si el plano es paralelo a la superficie del fluido. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 7. La circunferencia osculatriz a una curva u (w) en un punto S de dicha curva: a) es la única circunferencia tangente a u (w) en S . b) tiene como radio el valor absoluto del inverso de la curvatura de u (w) en S . c) tiene como radio el inverso de la curvatura de u (w) en S . d) tiene como curvatura el inverso del radio de u (w). 8. La curvatura de la gráfica de una función convexa: a) es positiva. b) es negativa. c) es nula. d) tiene un signo que depende de si la función es positiva o negativa. 9. Dígase cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta: a) Las líneas de flujo coinciden con las líneas de trayectoria cuando el flujo es estacionario. b) Las líneas de corriente coinciden con las líneas de trayectoria cuando el flujo es estacionario. c) Las líneas de flujo coinciden con las líneas de corriente cuando el flujo es estacionario. d) Alguna de las otras opciones es incorrecta. 10. La derivada material de un campo escalar es nula si: a) el flujo es estacionario. b) el campo escalar no varía con el tiempo. c) el fluido está en reposo d) las opciones b) y c) simultáneamente. 11. Si tenemos un campo de temperaturas independiente del tiempo, en el seno de un fluido cuyas líneas de flujo son siempre perpendiculares al gradiente del campo de temperaturas; entonces, la variación de temperatura que experimenta una partícula que se mueva con el flujo:

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DE DIFERENCIACIÓN

180 a) es nula.

b) es positiva. c) es negativa. d) la opción b) o la opción c) dependiendo de cómo sean el campo y el flujo. 12. Dígase cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta: a) La divergencia de un gradiente es igual al laplaciano. b) La divergencia de un rotacional es siempre igual al rotacional de un gradiente. c) La divergencia del producto vectorial de dos gradientes es siempre nula. d) La divergencia de un rotacional es siempre nula. 13. Cuando tenemos un flujo estacionario, una línea de flujo siempre es: a) tangente al campo de velocidades del fluido. b) paralela al campo de velocidades del fluido. c) perpendicular al campo de velocidades del fluido. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 14. Si el campo de velocidades de un fluido es irrotacional, entonces: a) el flujo es estático. b) el fluido es de densidad constante. c) las líneas de flujo no pueden ser líneas cerradas. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 15. Si la divergencia del campo de velocidades de un fluido es nula, entonces: a) el fluido no tiene ni fuentes ni sumideros. b) la ecuación de continuidad se satisface. c) las opciones a) y b) siempre y cuando el fluido sea de densidad constante. d) las opciones a) y b) siempre y cuando el fluido sea incompresible. 16. Una superficie paramétrica: a) siempre se corresponde con la gráfica de una función de dos variables. b) nunca se corresponde con la gráfica de una función de dos variables. c) la opción a) cuando la función es diferenciable.

4.8. AUTOEVALUACIÓN

181

d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 17. El vector normal a una superficie: a) está definido de manera única sobre cualquier punto de la superficie. b) la opción a) siempre y cuando la superficie sea diferenciable. c) la opción b) siempre y cuando la superficie sea la gráfica de una función. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 18. Si tenemos una pompa de jabón esférica: a) la presión en el interior es mayor que la presión en el exterior. b) la presión en el exterior es mayor que la presión en el interior. c) la diferencia de presión entre el exterior y el interior es directamente proporcional al radio de la pompa. d) la diferencia de presión entre el exterior y el interior es inversamente proporcional al coeficiente de tensión superficial. 19. El menisco de un líquido en un capilar cilíndrico: a) tiene forma de casquete esférico. b) la opción a) solamente en el caso de meniscos cóncavos. c) la opción a) solamente en el caso de meniscos convexos. d) Ninguna de las otras opciones es correcta.

Capítulo 5

Fundamentos de Integración “Es a Arquímedes mismo (c. 225 a.C.) a quien debemos el mejor enfoque a la verdadera integración descubierto entre los griegos. Su primer avance notable en esta dirección se ocupaba de la demostración de que el área de un segmento parabólico es cuatro tercios del área del triángulo con la misma base y vértice, o dos tercios del área del paralelogramo circunscrito” (D. E. Smith, History of Mathematics). En este capítulo se presentan las distintas generalizaciones del concepto de integral en una variable: las integrales dobles, triples, de línea y de superficie. Estas herramientas matemáticas nos permitirán abordar problemas de Mecánica de Fluidos como la fuerza hidrostática sobre superficies planas y alabeadas, la estabilidad de cuerpos flotantes y el cálculo del flujo de un fluido a través de una determinada superficie.

5.1.

Integrales dobles

5.1.1.

Concepto de integral doble

Considérese un campo escalar bidimensional i : U  R2 $ R definido en una región rectangular U = [d> e] × [f> g] = Si i ({> |)  0 en U, podemos apreciar en la figura 5.1 que el volumen Y está limitado por la gráfica de i ({> |), los planos verticales { = d> { = e> | = f> | = g y el plano horizontal } = 0= Designaremos al volumen Y como la integral doble de i sobre la región U> y lo denotaremos como Z Y =

Z i=

U

Z i ({> |) gD =

U

Z Z i ({> |) g{ g| =

U

i ({> |) g{ g|= U

183

184

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.1: El volumen Y está limitado por la región U y la gráfica de i ({> |) =

5.1. INTEGRALES DOBLES

5.1.2.

185

Principio de Cavalieri

Para determinar el volumen de un cuerpo sólido, podemos dividirlo en secciones D ({) de espesor infinitesimal g{, de tal manera que el volumen diferencial gY de una sección a la altura { será gY = D ({) g{= Por tanto, integrando entre la altura mínima { = d y máxima { = e> Z

e

Y =

D ({) g{= d

Figura 5.2: Cuerpo sólido con una sección D ({) a una altura { del plano de referencia.

Ejemplo 50 Determínese el volumen de un elipsoide de semiejes d> e y f= Aplicando el principio de Cavalieri a la figura 5.3, tenemos que el volumen del elipsoide es Z f D (}) g}> (5.1) Y =2 0

donde D (}) es el área de una elipse de semiejes d (}) y e (}) > que dependen de la altura } a la que hayamos seccionado el elipsoide.

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

186

Figura 5.3: Corte horizontal de un elipsoide de semiejes d> e y f= Para determinar los semiejes d (}) y e (}) > recordemos que la superficie de un elipsoide viene dada por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas, {2 | 2 } 2 + 2 + 2 = 1= d2 e f Despejando, }2 {2 | 2 + = 1  = U2 (}) > d2 e2 f2 o bien

{2 2

[dU (})]

+

|2 [eU (})]2

(5.2)

= 1=

Es decir, si cortamos un elipsoide por un plano a una altura } 5 [f> f], tenemos la ecuación de una elipse de semiejes dU (}) y eU (}), por tanto, r }2 d (}) = d 1  2 > (5.3) f r }2 (5.4) e (}) = e 1  2 = f Ahora bien, ¿cuánto vale el área D de una elipse de semiejes d y e? Observando la figura 5.4, por integración simple, tenemos que Z d | ({) g{> D=4 0

5.1. INTEGRALES DOBLES

187

donde la ecuación | ({) se puede obtener a partir de la ecuación de una elipse de semiejes d y e> r {2 {2 | 2 + = 1 $ | ({) = e 1  = d2 e2 d2

Figura 5.4: El área de una elipse de semiejes d y e es 4 veces el área sombreada. Por tanto,

Z

d

r

{2 g{= d2 0 Realizando el cambio de variable, { = d sin > g{ = d cos  g> resulta que Z @2 p D = 4de 1  sin2  cos  g 1

D = 4e

0

Z

@2

cos2  g

= 4de 0

Z

@2

(1 + cos 2) g

= 2de 0

¸@2  1 = de= = 2de  + sin 2 2 0 Es decir, el área de una elipse de semiejes d y e es D = de=

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

188

Por tanto, si la elipse tiene semiejes d (}) y e (}), su área será, según (5.3) y (5.4), μ ¶ }2 D (}) = d (}) e (}) = de 1  2 = (5.5) f Sustituyendo (5.5) en (5.1),

μ ¶ }2 1  2 g} f 0 ¸  3 f } = 2de }  2 = 3f 0 Z

Y

f

= 2de

Por tanto, el volumen de un elipsoide de semiejes d> e y f es 4 def= (5.6) 3 Obsérvese que cuando los semiejes son iguales entre sí, d = e = f = U> obtenemos el volumen de una esfera de radio U= N Y =

Podemos utilizar el principio de Cavalieri para calcular la integral doble sobre una región rectangular U= Según la figura 5.5, si tomamos la sección del volumen Y del plano { = {0 > tenemos que Z g D ({0 ) = i ({0 > |) g|= f

La sección D como función de { vendrá dada por Z g i ({> |) g|> { 5 [d> e] = D ({) = f

Aplicando ahora el principio de Cavalieri, # Z Z e "Z g i ({> |) gD = i ({> |) g| g{= d

U

(5.7)

f

Si utilizásemos planos cortantes perpendiculares al eje \ , obtendríamos # Z Z g "Z e i ({> |) gD = i ({> |) g{ g|= (5.8) U

f

d

Las ecuaciones (5.7) y (5.8) son las integrales iteradas de la integral doble de i , donde en (5.7) primero integramos con respecto a | y luego con respecto a {, y viceversa en (5.8). Como (5.7) y (5.8) corresponden al mismo volumen, se suele quitar el corchete, utilizándose la notación, Z Z e Z g Z g Z e i ({> |) gD = g{ g| i ({> |) = g| g{ i ({> |) > (5.9) U

d

f

f

d

resultando indistinto el orden en que realicemos las integrales.

5.1. INTEGRALES DOBLES

189

Figura 5.5: Dos secciones transversales que barren el volumen Y bajo } = i ({> |) =

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

190

Nota 5 No siempre es posible cambiar el orden de integración en una integral doble, pero basta con que la función i ({> |) sea continua sobre la región U= A este resultado se le conoce como teorema de Fubini. EjemploR 51 Sea i ({> |) = {2 + | 2 y sea U = [1> 1] × [0> 1]. Evalúese la integral, U i ({> |) gD= Según (5.9), tenemos que Z

Z

U

5.1.3.

Z

1

i ({> |) gD =

g{ 1 1

1

¡ ¢ g| {2 + | 2

0

¸1  1 3 2 | g{ { | + = 3 1 |=0 ¶ μ Z 1 1 = g{ {2 + 3 1 ¸1  1 3 1 4 { + { = = = 3 3 {=1 3 Z

N

Fuerzas sobre superficies sumergidas

Si tenemos una placa sumergida en un fluido en reposo, la fuerza que ejerce la presión hidrostática en un punto cualquiera de la placa es normal a la superficie de la placa. En efecto, si se supone que la fuerza hidrostática I no es normal, ésta se puede descomponer en una componente paralela a la superficie Ik y en otra normal IB (véase figura 5.6). La fuerza paralela hace que las capas de fluido deslicen unas sobre otras, en contra de que por principio, en Hidrostática, un fluido debe estar en reposo. Por tanto, Ik = 0 y I = IB =

Figura 5.6: La fuerza hidrostática es normal a la superficie. Consideremos ahora que tenemos una placa plana sumergida verticalmente en el seno de un fluido en reposo (figura 5.7). La fuerza gI debida a la presión hidrostática S que se ejerce sobre un elemento de superficie gD situado en el

5.1. INTEGRALES DOBLES

191

punto ({> |) tiene la misma orientación en todos los elementos de superficie de la placa. Por tanto, el módulo de la fuerza resultante I debida a la presión hidrostática sobre toda la placa vendrá dado por Z Z Z I = gI = S gD = S ({> |) g{ g|= (5.10) D

D

D

Figura 5.7: Fuerza debida a la presión sobre una superficie vertical sumergida. Si tenemos un fluido de densidad , la presión hidrostática en un punto situado a una profundidad | con respecto a la superficie del fluido es S ({> |) = j|= Sustituyendo (5.11) en (5.10), resulta Z I = j | g{ g|=

(5.11)

(5.12)

D

El centro de presiones uS = ({S > |S ) se define como el punto de aplicación de la fuerza hidrostática resultante. Para determinar uS podemos observar que la suma de los torques de cada gI sobre la placa, que ocupa una superficie D, ha de ser igual al torque de la fuerza resultante I , Z  uS × I = u × gI = (5.13) D

En el caso de una placa vertical sumergida, ¯ ¯ ¯ l m n ¯ ¯ ¯ uS × I = ¯¯ {S |S 0 ¯¯ = |S I l  {S I m> ¯ 0 0 I ¯

(5.14)

192 y

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN ¯ ¯ l m ¯  u × gI = ¯¯ { | ¯ 0 0

n 0 gI

¯ ¯ ¯ ¯ = | gI l  { gI m= ¯ ¯

(5.15)

Sustituyendo (5.14) y (5.15) en (5.13) e igualando componentes, Z Z 1 1 {S = { gI = { S ({> |) g{ g|> I D I D Z Z 1 1 | gI = | S ({> |) g{ g|= |S = I D I D Teniendo en cuenta (5.11) y (5.12), las coordenadas del centro de presiones finalmente resultan ser R {| g{ g| > (5.16) {S = RD | g{ g| D R 2 | g{ g| |S = RD = (5.17) | g{ g| D Ejemplo 52 Determínese la fuerza y el centro de presiones que ejerce un líquido de densidad  sobre una superficie rectangular vertical de anchura z cuyo extremo superior está a una profundidad |1 y su extremo inferior a una profundidad |2 = Según el enunciado, D = [0> z] × [|1 > |2 ] > por tanto, Z I = j | g{ g| D Z z Z |2 g{ | g| = j |1

0

¡ ¢ 1 j z |22  |12 = 2

=

En el caso especial en que |1 = 0 e |2 = k> resulta que I =

1 j z k2 = 2

(5.18)

Por otro lado, la coordenada { del centro de presiones vendrá dada por R { | g{ g| {S = RD | g{ g| R| R zD { g{ |12 | g| 0 = R z R |2 g{ |1 | g| 0 =

1 2 2z

z

=

z = 2

5.1. INTEGRALES DOBLES

193

Figura 5.8: Fuerza hidrostática sobre una superficie rectangular vertical. Es decir, el centro de presiones estará en el punto medio sobre la anchura. Por otro lado, el centro de presiones sobre la coordenada | es R 2 | g{ g| |S = RD | g{ g| D R| Rz g{ |12 | 2 g| 0 = R z R |2 g{ |1 | g| 0 ¡ 3 ¢ 1 3 3 |2  |1 = 1 2 = 2 2 (|2  |1 ) En el caso especial en que |1 = 0 e |2 = k> resulta que, |S =

2 k= 3

N

(5.19)

Cuando la superficie está inclinada un ángulo  con respecto a la vertical, podemos tomar un sistema de coordenadas en donde el eje \ también esté inclinado un ángulo  con respecto a la vertical, tal como indica la figura 5.9. Como ahora la profundidad de un elemento de superficie gD con respecto a la superficie del fluido es k = | cos > resulta que S ({> |) =

gI = j | cos > gD

es decir, gI = j | cos  gD=

194

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.9: Fuerza debida a la presión sobre una superficie plana inclinada. Por tanto, integrando todos los elementos de superficie de D> Z | gD= I = j cos 

(5.20)

D

Obsérvese que las coordenadas del centro de presiones ({S > |S ) tienen las mismas expresiones que (5.16) y (5.17), pero ahora el significado de | no representa la profundidad k del elemento de superficie gD como antes. Si definimos el centroide uF = ({F > |F ) de una superficie de área D como Z 1 { gD> (5.21) {F = D D Z 1 | gD> (5.22) |F = D D podemos expresar (5.20) como I

= j cos  |F D = jkF D>

(5.23)

donde kF es la profundidad a la que se encuentra el centroide de la placa. Por ejemplo, el resultado obtenido en (5.18) coincide con (5.23), donde el área de la placa rectancular es D = zk y la profundidad a la que se encuentra el centroide es la misma que la profundidad a la que se encuentra el centro de la placa kF = k@2. Por otro lado, obsérvese que (5.23) no depende de la inclinación de la placa. Por tanto, si movemos la placa de tal modo que su centroide quede a la misma profundidad, el módulo de la fuerza hidrostática I permanece constante. Ejemplo 53 Se dispone de una compuerta cuadrada articulada por su borde inferior de 1 m de lado y 1000 kg de masa que separa agua dulce de agua de

5.1. INTEGRALES DOBLES

195

mar. Si el agua dulce moja un 80 % de la compuerta y el agua de mar un 70 %, determínese el ángulo de inclinación de la compuerta para que ésta esté en equilibrio. La densidad relativa del agua del mar es 1> 03= Según la figura 5.10, sobre la compuerta actúan la fuerza hidrostática del agua dulce Ig > la fuerza hisdrostática del agua del mar Ip y el peso de la compuerta S = Si  es el ángulo de inclinación de la compuerta con respecto a la vertical, tenemos que Ig Ip S

= Ig (cos >  sin ) >

(5.24)

= Ip ( cos > sin ) >

(5.25)

= pj (0> 1) =

(5.26)

Figura 5.10: Esquema de fuerzas que actúan sobre una compuerta que separa agua dulce de salada. Consideremos que la compuerta tiene una longitud O de lado. Si llamamos, a la longitud de contacto de la compuerta con el mar y con el agua dulce, Op y Og respectivamente, tenemos que Og Op

= ng O> = np O>

(5.27) (5.28)

donde ng y np representan el porcentaje de contacto de la compuerta con el agua dulce y del mar respectivamente. Como la puerta está articulada en su borde inferior, tomamos como origen de coordenadas dicho punto de articulación (punto R de la figura 5.10). Los vectores de posición donde se aplican las fuerzas hidrostáticas del agua dulce y del agua de mar, ug y up respectivamente, serán ug

=

up

=

1 Og (sin > cos ) > 3 1 Op (sin > cos ) > 3

(5.29) (5.30)

196

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

mientras que el vector de posición donde se aplica el peso será uj =

O (sin > cos ) = 2

(5.31)

Si g y p son las densidades del agua dulce y del agua del mar respectivamente, según (5.20), resulta que Z O Z Og Ig = g j cos  g{ | g| 0

0

=

1  j cos  O O2g > 2 g

(5.32)

y Z Ip

= p j cos  =

Z

O

g{ 0

Op

| g| 0

1  j cos  O O2p = 2 p

(5.33)

Para que la compuerta esté en equilibrio, ésta no debe girar en torno a su articulación, por consiguiente, el torque total con respecto a R es nulo, uj × S + up × Ip + ug × Ig = 0=

(5.34)

Teniendo en cuenta (5.24)-(5.26) y (5.29)-(5.31), la ecuación (5.34) se puede reescribir como ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ l ¯ n ¯ n ¯ m l m ¯ Op ¯ ¯ ¯ O pj ¯¯ sin  cos  0 ¯¯ + Ip ¯¯ sin  cos  0 ¯¯ 2 3 ¯ 0 ¯  cos  sin  0 ¯ 1 ¯ 0 ¯ ¯ ¯ l n ¯ m ¯ ¯ Og + Ig ¯¯ sin  cos  0 ¯¯ = 0> 3 ¯ cos   sin  0 ¯ donde las componentes en l y m no imponen ninguna condición, mientras que la componente en n impone la condición 1 O 1  pj sin  + Op Ip  Og Ig = 0= 2 3 3

(5.35)

Aplicando ahora (5.32) y (5.33) en (5.35) y simplificando, 1 1 p sin  + O3p p cos   O3g g cos  = 0= 3 3

(5.36)

Teniendo en cuenta (5.27) y (5.28), podemos despejar de (5.36), resultando tan 

= =

¢ O3 ¡ 3 n   ng3 g 3p p p ¢ O3 ¡ 3 np u  ng3 g > 3p

5.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

197

donde u es la densidad relativa del agua del mar. Sustituyendo los datos del enunciado: p = 1000 kg, O = 1 m, np = 0> 7, ng = 0> 8> u = 1> 03 y considerando que el agua dulce tiene una densidad de g = 1000 kg m3 > resulta, finalmente, que 00   3  10 41> 93 = N Ejercicio 37 Una ventana cuadrada de 80 cm de lado y masa despreciable actúa como la ventana de un sumergible en los Grandes Lagos. La ventana está articulada en su lado superior y el plano que la contiene está inclinado 45  con respecto a la horizontal. Cuando el centro de la ventana se encuentra sumergido a una profundidad de 10 m, se abre aplicando una fuerza perpendicular a la ventana sobre su extremo inferior. Si la presión dentro del sumergible es la atmosférica, ¿cuál es la mínima fuerza que se ha necesitado ejercer? Solución: I  3> 17 × 104 N.

5.2.

Integración sobre regiones más generales

Si queremos calcular una integral doble sobre una región más general que un rectángulo, podemos considerar dos funciones continuas !1>2 : [d> e] $ R, que satisfacen !1 ({)  !2 ({) para todo { 5 [d> e] = Sea G el conjunto de todos los puntos ({> |) tales que { 5 [d> e] >

!1 ({)  |  !2 ({) =

A este tipo de regiones las llamaremos de tipo 1. Las curvas y segmentos rectos que delimitan la región G forman la frontera de G, y se denota como CG=

Figura 5.11: Algunas regiones de tipo 1. Decimos que una región es de tipo 2 si existen funciones continuas # 1>2 : [f> g] $ R, que satisfacen #1 (|)  #2 (|) para todo | 5 [f> g] = Sea G el conjunto de todos los puntos ({> |) tales que | 5 [f> g] >

# 1 (|)  {  #2 (|) =

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

198

Figura 5.12: Algunas regiones tipo 2.

Teorema 10 Si G es una región de tipo 1, entonces, Z

Z i ({> |) gD =

G

Z

e

g{ d

!2 ({)

g| i ({> |) =

!1 ({)

Figura 5.13: Integración sobre una región tipo 1.

Obsérvese en la figura 5.13 cómo ahora, a medida que vamos barriendo con rectas perpendiculares al eje [> tal que { 5 [d> e] > los límites de integración sobre la variable | vienen definidos por las funciones !1 ({) y !2 ({) = Cuando i ({> |) = 1> podemos comprobar que la integral doble es precisamente el área

5.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

199

de la región G> D (G) = Efectivamente, Z

Z gD =

G

Z

e

g{ d

Z

!2 ({)

g|

!1 ({) e

g{ [!2 ({)  !1 ({)]

= d

= D (G) = Análogamente para una región de tipo 2, podemos afirmar que Z

Z

Z

g

i ({> |) gD =

g| f

G

# 2 (|)

g{ i ({> |) =

# 1 (|)

Por último, una región del tipo 3 es una región que simultáneamente es de tipo 1 y de tipo 2. Ejemplo 54 Compruébese que el disco centrado en el origen de radio unidad es una región de tipo 3. La frontera del disco unitario viene dada por la circunferencia de radio unidad, {2 + |2 = 1> de tal manera que

p | = ± 1  {2 >

o bien

p { = ± 1  |2 =

Por tanto, según la figura 5.14, el disco unidad considerado como región tipo 1 es, p p { 5 [1> 1] >  1  {2  |  1  {2 > mientras que como región tipo 2 es | 5 [1> 1] >

p p  1  |2  {  1  |2 =

De este modo, el disco unidad es simultáneamente región tipo 1 y región tipo 2, por lo que también es región del tipo 3, como queríamos comprobar. N

5.2.1.

Teorema del cambio de variables

Recordemos que, cuando tenemos una integral definida en una variable, Z L=

e

i ({) g{> d

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

200

Figura 5.14: Disco unidad considerado como (d) región tipo 1, (e) región tipo 2. y hacemos un cambio de variable, { = { (x) > no sólo hemos de cambiar el integrando de la variable { a la variable x> i [{ (x)] > sino que también el elemento diferencial g{ cambia, g{ = {0 (x) gx, así como los límites de integración, Z

{1 (e)

L=

i [{ (x)] {0 (x) gx=

(5.37)

{1 (d)

Cuando realizamos un cambio de variable sobre una integral doble, tenemos una situación análoga. Supongamos que G es un subconjunto de R2 del tipo 1, en las variables coordenadas ({> |); y que la región G es un subconjunto de R2 del tipo 1 en las variables coordenadas (x> y) > de tal manera que la transformación W relaciona ambas regiones, W (G ) = G> es decir, W (x> y) = ({ (x> y) > | (x> y))

para

(x> y) 5 G =

Si queremos calcular la integral de la función i sobre la región G, en las variables ({> |) > Z i ({> |) g{g|> G

¿cuánto valdrá dicha integral si cambiamos las variables ({> |) por (x> y) mediante la transformación W ? La primera conjetura que podríamos hacer sería Z Z ? i ({> |) g{g| = i ({ (x> y) > | (x> y)) gx gy= (5.38) G

G

5.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

201

Notemos que esta suposición, en general, no se cumplirá, porque tomando i ({> |) = 1 en (5.38) obtendríamos, Z

Z g{g| 6=

D (G) = G

gx gy = D (G ) = G

Efectivamente, si tomamos la transformación W (x> y) = (3x> y) y la aplicamos sobre el cuadrado unitario G = [0> 1] × [0> 1] > podemos observar en la figura 5.15 que W (G ) = G = [0> 3] × [0> 1] > de tal manera que D (G) 6= D (G ) =

Figura 5.15: La transformación W : (x> y) $ (3x> y) convierte el cuadrado G en el rectángulo G= Lo que se necesita, por tanto, es una medida de cómo la transformación W distorsiona el área de la región G . Esto viene dado por el jacobiano, que se define a continuación. Definición 14 Sea W : G  R2 $ R2 una transformación F 1 dada por { = { (x> y) e | = | (x> y) = Llamamos jacobiano de W> y lo denotamos por C ({> |) @C (x> y), al determinante de la matriz derivada GW ({> |) de la transformación W> ¯ ¯ C ({> |) ¯¯ C{@Cx C{@Cy ¯¯ =¯ = C|@Cx C|@Cy ¯ C (x> y) Ejemplo 55 Determínese el jacobiano de la transformación que convierte las coordenadas polares en cartesianas. La función que transforma coordenadas polares (u> ) en coordenadas cartesianas ({> |) viene dada por { = u cos > | = u sin >

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

202

por lo que el jacobiano viene dado por ¯ ¯ ¯ C{@Cu C{@C ¯ C ({> |) ¯ = ¯¯ C|@Cu C|@C ¯ C (u> ) ¯ ¯ ¯ cos  u sin  ¯ ¯ = ¯¯ sin  u cos  ¯ ¡ ¢ = u cos2  + sin2  = u=

N

(5.39)

Teorema 11 (Teorema del cambio de variables) Sean G y G dos regiones en el plano relacionadas mediante la transformación W : G $ G de clase F 1 = Si i : G $ R es una función integrable, entonces, ¯ ¯ Z Z ¯ C ({> |) ¯ ¯ ¯ gx gy= i ({> |) g{g| = i ({ (x> y) > | (x> y)) ¯ (5.40) C (x> y) ¯ G G Uno de los propósitos del teorema del cambio de variables es proporcionar una herramienta para simplificar algunas integrales dobles, bien porque el integrando sea más sencillo, o bien porque en la región G la integral sea más sencilla de evaluar. Obsérvese que, como el jacobiano en una dimensión es g{@gx = {0 (x) > el teorema del cambio de variables (5.40) se reduce a (5.37) en el caso unidimensional. Ejemplo 56 Sea G la región del primer cuadrante que está entre los arcos de las circunferencias {2 + | 2 = d2 y {2 + | 2 = e2 con 0 ? d ? e= Evalúese la integral doble Z ¡ ¢ log {2 + | 2 g{g|= G

Según la figura 5.16, un cambio a coordenadas polares hace que el recinto de integración G = [d> e] × [0> @2] se convierta en el recinto G. Como en coordenadas polares, {2 + | 2 = u2 > y, según (5.39), el valor absoluto del jacobiano de la transformación de coordenadas polares a rectangulares es ¯ ¯ ¯ C ({> |) ¯ ¯ ¯ ¯ C (x> y) ¯ = u> podemos aplicar (5.40), de tal modo que Z Z ¡ 2 ¢ 2 log { + | g{g| =

¡ ¢ log u2 u gu g

G @2

G

Z

Z g

=

2u log (u) gu d

0

Z

e

e

u log (u) gu=

=  d

5.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

203

Figura 5.16: El cambio de variables a coordenadas polares convierte un rectángulo en un cuarto de corona circular. Integrando por partes se obtiene fácilmente que μ ¶ Z 1 {2 log {  = { log { g{ = 2 2 Por tanto,  μ ¶ ¶¸ μ Z ¡ 2 ¢ 1 1  2 2 2 e log e   d log d  = log { + | g{g| = 2 2 2 G

5.2.2.

N

Fuerza hidrostática sobre superficies circulares

Según hemos visto anteriormente en (5.12), la fuerza hidrostática ejercida sobre una superficie D sumergida verticalmente viene dada por Z I = j | g{ g|= (5.41) D

Si la superficie D es un círculo de radio U cuyo centro está a una profundidad k A U (figura 5.17), para resolver (5.41), podemos realizar el siguiente cambio de variables, { = u cos > | = k + u sin >

(5.42) (5.43)

donde u 5 [0> U] y  5 [0> 2]. De este modo, G = [0> U] × [0> 2] es una región rectangular.

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

204

Figura 5.17: Dominio de integración D para calcular la fuerza hidrostática sobre una superficie circular vertical.

Análogamente a (5.39), el valor absoluto del jacobiano de la transformación (5.42) y (5.43) es ¯ ¯ ¯ C ({> |) ¯ ¯ ¯ ¯ C (u> ) ¯ = u= Por tanto, aplicando (5.40) a (5.41), Z I

(k + u sin ) u gu g

= j G Z U

Z

0

Z =

2

gu u

= j

g (k + u sin ) 0

U

j 0

μ Z gu u k

Z

Z

2

g + u

0

¶

2

sin  g 0

U

gu u

= 2jk 0 2

= jk U =

(5.44)

Obsérvese que el resultado obtenido en (5.44) coincide con el dado en (5.23), pues el área de la placa es D = U2 y la profundidad a la que está el centroide de la placa es k. Para calcular el centro de presiones, recordemos que la coordenada { del centro de presiones viene dada por (5.16), R { | g{ g| {S = RD = | g{ g| D

5.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

205

Realizando el cambio de variables dado en (5.42)-(5.43), tenemos que Z Z { | g{ g| = u cos  (k + u sin ) u gu g G U

D

Z

Z

gu u

= 0

Z

2

2

g cos  (k + u sin ) 0

U

=

μ Z gu u2 k

0

Z

2

0

Observemos que, como Z

2

0

2

cos g + u

¶ sin  cos g =

0

cos g = [sin ]2 0 = 0>

y Z

2

sin  cos g

=

0

1 2

Z

2

sin 2g 0

1 =  [cos 2]2 0 = 0> 4 resulta que

Z { | g{ g| = 0> D

y. por tanto, {S = 0= La coordenada | del centro de presiones será, R 2 | g{ g| = |S = RD | g{ g| D Observemos, en primer lugar, que, según (5.41) y (5.44), Z I = U2 k= | g{ g| = j D Por otro lado, realizando el cambio dado en (5.42)-(5.43), Z Z | 2 g{ g| = (k + u sin )2 u gu g G U

D

Z

Z

gu u

= 0

Observemos que, como Z 2 0

2

¡ ¢ g k2 + 2ku sin  + u2 sin2  =

0

sin  g =  [cos ]2 0 = 0>

(5.45)

(5.46)

(5.47)

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

206 y Z

2

sin2  g

=

0

=

1 2

Z

2

(1  cos 2) g 0

 ¸2 1 1   sin 2 = > 2 2 0

resulta que Z

Z

2

| g{ g| D

¡ ¢ u 2k2 + u2 gu 0 ¶ μ U2 2 2 = = U k + 4 U

= 

(5.48)

Por tanto, sustituyendo (5.47) y (5.48) en (5.46), obtenemos, finalmente, que |S =

U2 + k= 4k

(5.49)

Ejemplo 57 Las descargas de agua dulce desde el estuario de un río al mar están controladas por una compuerta circular de 1 m de diámetro que está articulada en su extremo superior. Cuando la compuerta está cerrada tiene una inclinación de 80  respecto a la horizontal. Suponiendo que la compuerta es homogénea y tiene una masa de 500 kg> y que además el nivel del mar coincide con el de la articulación de la puerta, determínese el incremento máximo k que la compuerta puede tolerar aguas arriba antes de abrirse. Considérese que la densidad relativa del agua del mar es 1> 03. Recordemos que la fuerza hidrostática sobre una superficie circular vertical de radio U cuyo centro se haya sumergido a una profundidad k es I = jk U2 > y la profundidad en donde se aplica la fuerza I es |S =

U2 + k= 4k

Si la superficie se halla inclinada un ángulo , escogemos un eje de coordenadas \¯ inclinado un ángulo  con respecto de la vertical, de tal modo que ¯ U2 cos > I = j k ¯ es la coordenada |¯ del centro de la superficie circular. En estas nuevas donde k coordenadas, el punto de aplicación de la fuerza será U2 ¯ |¯S = ¯ + k= 4k

5.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

207

Por tanto, según la figura 5.18, si g es la densidad del agua dulce, la fuerza hidrostática Ig que realiza el agua dulce del estuario es ¯ g U2 cos > Ig = g j k

(5.50)

donde, según la figura 5.18, ¯g k

= RR0 + U k + U= = cos 

(5.51) (5.52)

Figura 5.18: Fuerzas hidrostáticas y centros de presiones del agua dulce y el agua salada sobre la compuerta de separación. El punto de aplicación de Ig será U2 ¯ g= |¯S>g = ¯ + k 4kg

(5.53)

Análogamente, si v es la densidad del agua salada, la fuerza hidrostática Iv que realiza el agua salada del mar es ¯ v U2 cos > Iv = v j k

(5.54)

U2 ¯v= |¯S>v = ¯ + k 4kv

(5.55)

y el punto de aplicación es

208

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Como el nivel del agua del mar coincide con el de la articulación de la puerta, ¯ v = U, por lo que (5.54) y (5.55) se convierten en tenemos que k Iv = v j U3 cos >

(5.56)

y |¯S>v =

5 U= 4

(5.57)

Para que la compuerta esté cerrada y en equilibrio, el momento con respecto al punto R (donde está la articulación) ha de ser nulo. Por tanto, según la figura 5.19, ¡ ¢ Iv |¯S>v + pj sin U = Ig |¯S>g  RR0 = (5.58)

Figura 5.19: Equilibrio de momentos respecto al punto R. Sustituyendo las ecuaciones (5.56), (5.57), (5.50) y (5.53) en (5.58) y simplificando, μ 2 ¶ U 5 3 0 ¯ ¯  U + p tan  = g kg U (5.59) ¯ g + kg  RR = 4 v 4k Llamando a la densidad relativa del agua salada del mar 0 = v @g y sustituyendo (5.51) en (5.59), simplificando obtenemos p tan  5 0 2 U + 4 g U

μ

U2 0 0 ¯ g + RR + U  RR 4k

=

¯g k

=

U2 ¯ g= +Uk 4

Sustituyendo ahora (5.52) en (5.60), μ ¶ p tan  1 k 5 0  U + + U= = 4 5 g U2 cos 

¶

(5.60)

5.3. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

209

Despejando k, k =

p sin  5 0 (  1) U cos  +  0> 129 m> 4 g U2

donde hemos sustituido g = 1000 kg m3 y los datos ofrecidos por el enunciado: 0 = 1> 03; U = 0> 5 m;  = 90   80  = 10  ; p = 500 kg= N Ejercicio 38 Un tanque provisto de una compuerta circular de 5 m de diámetro y articulada en su extremo superior se destina a la recolección de agua de mar, tal y como se muestra en la figura 5.20. La compuerta tiene 1000 kg de masa y una inclinación de 30  con respecto a la horizontal. Para impedir que la compuerta se abra se coloca una piedra en su extremo inferior. Si el nivel del agua del mar en el depósito es de 20 m, determínese la masa mínima que debe tener la piedra. Considérese que la densidad relativa del agua del mar es 1> 03. Solución: p  2> 22 × 105 kg.

Figura 5.20: Vista lateral del tanque de agua de mar con una compuerta circular.

5.3.

Estabilidad de cuerpos flotantes

Un barco es un cuerpo flotante parcialmente sumergido. Según la dinámica de rotación de un sólido rígido, todo eje de simetría de un cuerpo es un eje principal de rotación. Recordemos que, cuando un cuerpo rota alrededor de  del cuerpo es proporcional al vector un eje principal, el momento angular O  velocidad angular ,  = L >  O donde L es el momento de inercia del cuerpo alrededor de dicho eje principal. En el caso de un barco, tenemos un eje principal a lo largo de la quilla (eje \ \ 0 )

210

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

que da lugar al movimiento de balanceo del barco; y otro eje transversal a la quilla (eje [[ 0 ) que da lugar al movimiento de cabeceo del barco (véase figura 5.21). El área D es el área del barco al nivel de la línea de flotación.

Figura 5.21: Ejes de balanceo y cabeceo en un barco.

5.3.1.

Estabilidad y altura metacéntrica

Tomemos la sección transversal del barco que contenga al eje [[ 0 . En una situación de equilibrio (figura 5.22), el eje [[ 0 es paralelo a la superficie del agua. El centro de gravedad del barco está situado en J, y por debajo de él está situado el centro de empuje H, debido a que este último se sitúa en el centro de gravedad del fluido desalojado.

Figura 5.22: Sección transversal de un barco en una situación de equilibrio.

5.3. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

211

En una situación de escoramiento (véase figura 5.23), el eje vertical del barco ] se ha inclinado un ángulo de escora . Si la situación es estable, el par que genera el empuje del barco y el peso de éste tiende a restaurar la posición de equilibrio. Si la situación es inestable, el par que se genera tiende a volcar el barco. Definimos el metacentro P como el punto de intersección entre el eje vertical del barco ] y la línea de acción del empuje. La altura metacéntrica es la distancia entre el metacentro P y el centro de gravedad J. Observemos que, en la situación estable, el metacentro queda por encima del centro de gravedad, es decir, JP A 0; mientras que, en un situación inestable, el metacentro queda por debajo, JP ? 0. Nótese que cuanto mayor sea la altura metacéntrica por encima del centro de gravedad, más estable será el barco.

Figura 5.23: Situación estable (izquierda) e inestable (derecha) cuando el barco escora un ángulo =

5.3.2.

Cálculo de la altura metacéntrica

Antes del escoramiento, el centro de empuje se encuentra en H y la fuerza  Después del escoramiento, el centro de empuje ha de empuje viene dada por H. 0  0 (véase figura 5.24). Ahora cambiado a la posición H y la fuerza de empuje es H bien, cuando el barco escora, el volumen sumergido del barco es el mismo que el volumen emergido, por tanto, antes y después del escoramiento, el volumen total sumergido es el mismo y, por consiguiente,   0 = H= H

(5.61)

212

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

 estaba equiliPor otro lado, antes del escoramiento, la fuerza de empuje H brada con el peso del barco Pj , por tanto, según (5.61),  = Pj = 0 = H H  0 forman un par Por tanto, según la figura 5.24, el peso P j y el empuje H de fuerzas de brazo > cuyo torque viene dado por ¯ ¯ (5.62)  = Pj  = Pj ¯JP ¯ sin > ¯ ¯ siendo ¯JP ¯ el valor absoluto de la altura metacéntrica.

Figura 5.24: Localización del metacentro P en el balanceo de un barco. Por otro lado, podemos calcular este torque  de una manera aproximada cuando el ángulo de escora es pequeño   0. Las fuerzas que se producen en el volumen sumergido y emergido, Iv y Ih respectivamente, generan un torque alrededor del punto central del barco R. Notemos que, en las cuñas sumergida y emergida, el elemento diferencial de volumen es gY = { tan  gD>

(5.63)

donde gD es el elemento diferencial de área al nivel de la línea de flotación. Si  es la densidad del agua y 0 es la densidad del barco, el elemento diferencial

5.3. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

213

de fuerza que actúa en el volumen sumergido gIv a una distancia { del punto R será el empuje jgY menos el peso 0 jgY , gIv = (  0 ) jgY>

(5.64)

mientras que en la cuña emergida sólo actúa el peso, gIh = 0 jgY=

(5.65)

Figura 5.25: Balanceo al nivel de la línea de flotación. El torque diferencial g que generan las fuerzas gIv y gIh con respecto al punto R> de acuerdo con (5.64), (5.65) y (5.63), resulta ser, g = { gIh + { gIv = j{ gY = j tan  {2 gD=

(5.66)

Integrando en (5.66), Z {2 gD=

 = j tan 

(5.67)

D

Igualando las expresiones (5.62) y (5.67), ¯ ¯  = P j ¯JP ¯ sin  = j tan 

Z {2 gD> D

y, despejando,

R ¯  D {2 gD ¯ ¯JP ¯ = = (5.68) P cos  Como el ángulo de escora ha de ser pequeño,   0, tenemos que cos   1, y, por tanto, en (5.68) queda finalmente que la altura metacéntrica de balanceo es R ¯ ¯  D {2 gD ¯JP ¯ = (5.69)  balanceo P

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

214

La aproximación dada en (5.69) no nos dice si el barco es estable o no. De todas maneras, podemos dar un criterio para asegurar la estabilidad. Si observamos la figura 5.24, podemos darnos cuenta de que para un ángulo de escora  A 0, si el barco tiene simetría axial, el centro de empuje H 0 quedará siempre a la izquierda de la vertical que pasa por H, de tal manera que es imposible ¯ que ¯el metacentro P quede por debajo de H sobre el eje ]. Por ¯ ¯ tanto, si ¯JP ¯ ? ¯JH ¯, según la figura 5.26, puede darse una situación de inestabilidad, mientras que en caso contrario, esto es imposible.

¯ ¯ ¯ ¯ Figura 5.26: Posible situación de inestabilidad si ¯JP ¯ ? ¯JH ¯ = Por tanto,

¯ ¯ ¯ ¯ ¯JP ¯ A ¯JH ¯ $ Estabilidad.

Análogamente a (5.69), se puede obtener la altura metacéntrica de cabeceo, R ¯ ¯  D |2 gD ¯JP ¯ = (5.70)  cabeceo P Notemos que, R si el área RD al nivel de flotación fuera cuadrada o circular, según la figura 5.21, D | 2 gD = D {2 gD, pues daría igual realizar la integración con respecto al eje [[ 0 que con respecto al eje \ \ 0 . En el caso de un barco, el área D siempre Res alargada,R de tal manera que la eslora es mayor que la manga. De este modo, D |2 gD A D {2 gD, por lo que, según (5.69) y (5.70), la altura metacéntrica de cabeceo es siempre superior a la de balanceo, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯JP ¯ A ¯JP ¯balanceo . cabeceo Es decir, un barco es más estable cuando cabecea que cuando se balancea. Ejemplo 58 La superficie al nivel de flotación de una embarcación en equilibrio tiene un contorno parabólico, de tal modo que la longitud de su eje de

5.3. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

215

simetría es e y la anchura en popa es 2d= Si la embarcación desaloja un volumen Y al introducirse en el agua, determínese la altura metacéntrica para ángulos pequeños de escora con respecto al eje de simetría del barco. En primer lugar, observemos que, según la figura 5.27, cuando el barco está escorando con respecto a su eje de simetría, está realizando un movimiento de balanceo. Por otro lado, debido al principio de Arquímedes, el peso del volumen del fluido desalojado por el barco jY es igual al peso del barco Pj> por tanto, 1  = > P Y de tal manera que, según (5.69), R JP balanceo 

D

{2 gD = Y

(5.71)

Figura 5.27: Superficie al nivel de flotación de contorno parabólico. Según los ejes que se han tomado en la figura 5.27, el contorno de la superficie al nivel de flotación viene dado por un polinomio de segundo grado,  ³ { ´2 ¸ | ({) = e 1  = d

(5.72)

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

216

Notemos que (5.72) satisface, de acuerdo con la figura 5.27, | (0) = e e | (±d) = 0= De este modo, Z

Z 2

d 2

{ gD =

Z e[1({@d)2 ]

g{ { g| 0  ¸ ³ { ´2 {2 1  g{ = e d d  ¸ Z d ³ { ´2 g{= {2 1  = 2e d 0 d Z d

D

Realizando el cambio  = {@d> Z

Z

1

{2 gD = 2d3 e D

0

¡ 2 ¢ 4d3 e =    4 g = 15

(5.73)

Sustituyendo el resultado (5.73) en (5.71), obtenemos, finalmente, JP balanceo 

4d3 e = 15Y

N

Ejercicio 39 Una barcaza con forma de paralelepípedo tiene una eslora de 10 m y una manga de 5 m. Si desplaza un volumen de agua de 50 m3 , determínese la ¯ ¯ altura metacéntrica de cabeceo y de balanceo de la barcaza. Solución: ¯JP ¯balanceo  ¯ ¯ 2> 08 m y ¯JP ¯cabeceo  8> 33 m.

5.4.

Integrales triples

Análogamente a las integrales iteradas dobles, podemos definir las diversas integrales iteradas de una integral triple, según el orden en el que realicemos la integración sobre cada una de las variables de un campo escalar tridimensional i ({> |> }). Por ejemplo, si integramos primero sobre la variable }, luego sobre la variable | y, por último sobre la variable {, tenemos la integral iterada triple, Z

Z

e

g{ d

Z

g

y

g| f

g} i ({> |> }) > x

donde el recinto de integración sería el paralelepípedo [d> e] × [f> g] × [x> y] (véase figura 5.28). Si la función i es continua, el teorema de Fubini asegura que las seis integrales iteradas posibles de una integral triple son iguales.

5.4.1.

Integrales triples sobre regiones más generales

Región tipo I Es una región acotada   R3 cuyos puntos ({> |> }) 5  son tales que (véase figura 5.29), para el caso tipo Ia, d  {  e>

!1 ({)  |  !2 ({) >

 1 ({> |)  }   2 ({> |) >

5.4. INTEGRALES TRIPLES

217

Figura 5.28: Recinto de integración E = [d> e] × [f> g] × [x> y], en una integral triple.

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

218

o bien (figura 5.30), para el caso tipo Ib, f  |  g>

# 1 (|)  {  # 2 (|) >

 1 ({> |)  }   2 ({> |) =

De esta manera, las integrales del tipo Ia serían Z Z e Z !2 ({) Z  2 ({>|) i gY = g{ g| g} i ({> |> }) > 

d

!1 ({)

y las integrales del tipo Ib serían Z Z g Z i gY = g| 

f

# 2 (|)

# 1 (|)

 1 ({>|)

Z g{

 2 ({>|)

g} i ({> |> }) =

 1 ({>|)

Figura 5.29: Integral triple tipo Ia. Región tipo II Es una región acotada   R3 cuyos puntos ({> |> }) 5  son tales que d  }  e>

!1 (})  |  !2 (}) >

 1 (|> })  {   2 (|> }) >

# 1 (|)  }  # 2 (|) >

 1 (|> })  {   2 (|> }) >

o bien f  |  g>

es decir, se obtienen intercambiando los papeles de las coordenadas { y } en la región tipo I.

5.4. INTEGRALES TRIPLES

Figura 5.30: Integral triple tipo Ib.

219

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

220

Región tipo III Es una región acotada   R3 cuyos puntos ({> |> }) 5  son tales que d  {  e>

!1 ({)  }  !2 ({) >

 1 ({> })  |   2 ({> }) >

# 1 (})  {  # 2 (}) >

 1 ({> })  |   2 ({> }) >

o bien f  }  g>

es decir, se obtienen intercambiando los papeles de | y } en la región tipo I. Región tipo IV Es una región que simultáneamente se puede considerar de tipo I, II y III. Si i ({> |> }) = 1 para todo ({> |> }) 5 > entonces, obtenemos Z Z i ({> |> }) gY = 1 gY = Y () > 

(5.74)



donde Y () es el volumen que ocupa la región .

Figura 5.31: Regiones en el espacio tipo I, II y III. Teorema 12 (Teorema del valor medio) Sea i : R3 $ R un campo escalar continuo en una región = Si Y () es el volumen de dicha región , entonces, existe t 5  tal que Z i (u) gY = i (t) Y () = 

(5.75)

5.4. INTEGRALES TRIPLES

221

Figura 5.32: Región en el espacio tipo IV. Demostración. Si P y p son los valores máximo y mínimo respectivamente que adquiere i en > tenemos que ;u 5 > p  i (u)  P=

(5.76)

Integrando sobre (5.76) y teniendo en cuenta (5.74), Z Z Z p gY  i (u) gY  P gY = P Y () > p Y () = 



es decir, p

1 Y ()



Z i (u) gY  P= 

Como i es un campo escalar continuo en , i adquiere en  todos los valores intermedios entre el valor mínimo p y máximo P= Por tanto, de acuerdo con (5.76), existe un punto  t 5  tal que Z 1 i (t) = i (u) gY= Y ()  Análogamente a (5.75), el teorema del valor medio para un campo escalar bidimensional, i : R2 $ R, continuo en una región  se escribiría como Z i (u) gY = i (t) D () > (5.77) 

donde D () es la superficie de la región  y t 5 =

222

5.4.2.

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Centro de masa

El centro de masa de un sistema de Q partículas de masas p1 > p2 > = = = > pQ se define como uFP = ({FP > |FP > }FP ), donde =

Q 1 X {l pl > P l=1

|FP

=

Q 1 X |l pl > P l=1

}FP

=

Q 1 X }l pl > P l=1

{FP

P siendo P = Q l=1 pl la masa total del sistema de partículas. Cuando tenemos un cuerpo que ocupa un volumen > podemos dividirlo en un conjunto infinito de masas infinitesimales gp, de tal manera que podemos definir el centro de masa de la siguiente manera, R { gp  > (5.78) {FP = R P | gp  > (5.79) |FP = P R } gp  > (5.80) }FP = P donde la masa total del cuerpo es

Z

P=

gp= 

Si la densidad volumétrica (medida en kg m3 en el S.I.) en cada punto ({> |> }) viene dada por gp  ({> |> }) = > gY y sabemos que en coordenadas cartesianas gY = g{ g| g}, las coordenadas del centro de masa resultan ser R { ({> |> }) g{ g| g}  {FP = > (5.81) P R | ({> |> }) g{ g| g}  > (5.82) |FP = P R } ({> |> }) g{ g| g}  = (5.83) }FP = P Ejemplo 59 Demuéstrese que el centro de masa de una placa homogénea coincide con su centroide.

5.4. INTEGRALES TRIPLES

223

Como todos los puntos de la placa ({> |) no tienen coordenada }, únicamente hemos de considerar el centro de masa localizado bidimensionalmente ({FP > |FP ). Es más, como ahora el cuerpo ocupa una superficie D, las integrales dadas en (5.78) y (5.79) se reducen a integrales dobles, R { gp D > (5.84) {FP = R P | gp D = (5.85) |FP = P Teniendo en cuenta ahora que la placa es homogénea, su densidad superficial es constante  = fwh, de tal manera que gp = gD> e, integrando,

Z P=

Z gp = 

D

(5.86)

gD = D=

(5.87)

D

Sustituyendo (5.86) y (5.87) en (5.84)-(5.85) y simplificando, resulta que R { gD D > (5.88) {FP = R D | gD D = (5.89) |FP = D Obsérvese que (5.88)-(5.89) coincide con la definición de centroide de una placa dada en (5.21)-(5.22), tal y como queríamos demostrar. N Ejemplo 60 Hállese el centro de masa de medio elipsoide de densidad  constante y de semiejes d> e y f> cuya cara plana es una elipse de semiejes d y e= Según la figura 5.33, si dividimos el medio elipsoide en “rebanadas” horizontales de espesor g}, cada una de ellas a una altura }, según vimos anteriormente en (5.5), el área de cada una de dichas secciones elípticas es μ ¶ }2 D (}) = de 1  2 = f Por tanto, el volumen diferencial de cada sección es, μ ¶ }2 gY = de 1  2 g}= f

(5.90)

Por simetría, podemos darnos cuenta de que el centro de masa de cada rebanada se encuentra sobre el eje ]> por tanto, el centro de masa de medio elipsoide cumplirá {FP = |FP = 0= (5.91)

224

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.33: Sección horizontal de espesor g} de medio elipsoide. Para determinar la altura a la que se encuentra el centro de masa apliquemos (5.80), Z 1 } gp> }FP = P  siendo  la región del espacio que ocupa medio elipsoide. Como gp =  gY y  es constante, resulta que Z Z  1 } gY = } gY> (5.92) }FP = P  Y  donde Y es el volumen que ocupa el medio elipsoide. Según vimos anteriormente en (5.6), el volumen de un elipsoide de semiejes d> e y f es 43 def> por tanto, medio elipsoide ocupará el volumen 2 def= (5.93) 3 Sustituyendo (5.90) y (5.93) en (5.92), resulta que la integral extendida a toda la región del espacio  se corresponde con la siguiente integral unidimensional en la variable }> ¶ μ Z 3 f }2 }FP = } 1  2 g} 2f 0 f  2 ¸ 4 f } 3 3 }  2 = f= (5.94) = 2f 2 4f 0 8 Y =

Finalmente, según (5.91) y (5.94), las coordenadas del centro de masa de medio elipsoide vienen dadas por ¶ μ 3 N uFP = 0> 0> f = 8

5.4. INTEGRALES TRIPLES

225

Ejercicio 40 Hállese el centro de masa de medio cilindro cortado a lo largo de su eje, U y longitud O> cuya densidad  es constante. Solución: ¡ de radio ¢ uFP = 0> 0> 4U = 3

5.4.3.

Centro de empuje

Recordemos que cuando tenemos un cuerpo sumergido en un fluido, el centro de empuje es el punto donde actúa la fuerza de empuje. Este centro de empuje uH = ({H > |H > }H ) está situado en el centro de masa del fluido desalojado. Si la parte sumergida ocupa la región 0 y la masa del fluido desalojado es P 0 , análogamente a (5.81)-(5.83), las coordenadas del centro de empuje serán R {H

=

|H

=

}H

=

{ 0 ({> |> }) g{ g| g} > P0 R | 0 ({> |> }) g{ g| g} 0 > P0 R } 0 ({> |> }) g{ g| g} 0 > P0 0

(5.95) (5.96) (5.97)

donde 0 ({> |> }) es la densidad volumétrica del fluido en el punto ({> |> }) = Si tenemos un fluido de densidad constante, 0 ({> |> }) = 0 = P 0 @Y 0 , donde Y 0 es el volumen de fluido desalojado, entonces, (5.95)-(5.97) se reducen a R {H

=

|H

=

}H

=

{ gY 0 > 0 R Y 0 | gY 0 > 0 R Y } gY 0 0 = Y0 0

(5.98) (5.99) (5.100)

donde gY 0 es un elemento diferencial de volumen de la región sumergida 0 = Ejemplo 61 El casco de un barco tiene forma de medio elipsoide de semiejes d> e y f> y una densidad relativa de u , de tal manera que la cubierta es una elipse de semiejes d y e= Determínese la posición del centro de empuje. Según hemos visto anteriormente en (5.5), si cortamos un elipsoide por un plano a una altura } 5 [f> f], resulta una elipse de área μ ¶ }2 D (}) = de 1  2 = f

(5.101)

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

226

Por el principio de Cavalieri, el volumen Yk que aparece en la figura 5.34 viene dado por Z k Yk = D (}) g} 0 ¶ Z kμ }2 1  2 g} = de f 0 ¡ ¢ def = " 3  "2 > (5.102) 3 donde hemos definido "=

k = f

(5.103)

Figura 5.34: Casco de un barco en forma elipsoidal. Obsérvese que, según la figura 5.34 " 5 [0> 1] = Según el principio de Arquímedes, si  es la densidad del barco y 0 es la densidad del agua, Y j = 0 Y 0 j>

(5.104)

donde Y es el volumen del barco y Y 0 es el volumen sumergido del barco. Obsérvese que según la figura 5.34, Y 0 = Y  Yk =

(5.105)

Por tanto, según (5.104) y (5.105), y llamando u a la densidad relativa, u =

Yk  Y0 =1 > = 0  Y Y

(5.106)

Yk = 1  u = Y

(5.107)

es decir,

5.4. INTEGRALES TRIPLES

227

donde u es la densidad relativa del casco con respecto al agua. Como el volumen del barco es el de medio elipsoide, Y =

2 def> 3

(5.108)

según (5.107) y (5.108), ¢ Yk 1 ¡ = " 3  "2 = 1  u > Y 2 es decir, "3  3" + 2 (1  u ) = 0=

(5.109)

En la seccion D.1 del Apéndice D se presentan los distintos casos de la resolución de una ecuación cúbica. En el caso de la ecuación (5.109), tenemos las siguientes tres soluciones reales para q = 0> 1> 2> ¶ μ  + 2q > (5.110) "q = 2 cos 3 donde  = cos1 (1  u ) 5 [0> ] = Como para que un cuerpo flote, u 5 [0> 1] > resulta que  5 [0> @2] = (5.111) Por otro lado, imponiendo en (5.110) que "q 5 [0> 1] > μ ¶  + 2q 1  0=   cos 2 3

(5.112)

Tenemos dos posibles soluciones en (5.112),  + 2q 2    > 2 3 3

(5.113)

o bien

4  + 2q 3   = (5.114) 3 3 2 Se puede comprobar fácilmente que (5.113) es incompatible con (5.111) para q = 0> 1> 2; mientras que (5.114) es compatible con (5.111) sólo en el caso q = 2= Por tanto, sabiendo que cos (d + ) =  cos d, resulta, finalmente, que, " = 2 cos >

(5.115)

donde, por simplicidad, hemos definido =

cos1 (1  u ) +  = 3

(5.116)

Por otro lado, teniendo en cuenta (5.106) y (5.108), Y 0 = u Y =

2 defu > 3

(5.117)

228

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

donde hemos aplicado (5.109). Para calcular el centro de empuje, podemos darnos cuenta de que, al igual que en el ejemplo anterior, por simetría {H = |H = 0= La coordenada } del centro de empuje vendrá dada por Z 1 }H = 0 } gY 0 > Y 0 donde 0 es la región de la parte sumergida del casco del barco. Según el principio de Cavalieri, gY 0 = D (}) g}> por tanto, según (5.101), Z f 1 } D (}) g} }H = Y0 k ¶ Z f μ de }2 = } 1  2 g} Y0 k f ¢¤ ¡ def2 £ (5.118) 1 + "2 "2  2 = = 0 4Y Obsérvese que, sustituyendo (5.115), podemos simplificar el siguiente factor, ¢ ¡ ¢ ¡ 1 + "2 "2  2 = 1 + 8 cos2  2 cos2   1 = 1 + 4 (1 + cos 2) cos 2 = 1 + 4 cos 2 + 4 cos2 2 (5.119) = (1 + 2 cos 2)2 = Por tanto, sustituyendo (5.117) y (5.119) en (5.118), resulta }H =

3f (1 + 2 cos 2)2 = 8u

(5.120)

Por último, de acuerdo con (5.116) y teniendo en cuenta la identidad sin1  + cos1  = @2> podemos simplificar más aún (5.120), obteniendo 3f }H = 8u

½ μ ¶¾2 2 1 sin (1  u ) 1  2 cos = 3

N

(5.121)

Ejercicio 41 El casco de un barco tiene forma de medio cilindro cortado a lo largo de su eje, con un radio U y una longitud O= Si queremos que la línea de flotación esté situada a una distancia U@2 por debajo de la cubierta, determínese la densidad relativa con la que hemos ´ el barco y la posición de su ³ de construir s 3 3U s = centro de empuje. Solución: uH = 0> 0> 43 3 Ejemplo 62 La forma del casco de una embarcación es medio elipsoide cuya manga es la mitad de su puntal. ¿Con qué rango de densidades relativas podemos construir el casco para asegurar que éste sea estable en el agua? En la figura 5.35 podemos apreciar los nombres con los que se denominan las diferentes medidas características de un barco.

5.4. INTEGRALES TRIPLES

229

Figura 5.35: Medidas características de un barco. Según vimos anteriormente,¯podremos asegurar que la embarcación es estable ¯ cuando la altura metacéntrica ¯¯JP¯¯ sea mayor que la distancia entre el centro de masa y el centro de empuje ¯JH ¯, es decir, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯JP ¯ A ¯JH ¯ = (5.122) Obsérvese que, en el caso de cuerpos flotantes de densidad homogénea, el centro de empuje del barco estará a más profundidad que el centro de masa, es decir, }H A }FP = Por tanto, si tenemos un casco semielipsoidal de semiejes d> e y f> de acuerdo con los ejemplos anteriores, resultados (5.94) y (5.121), la distancia entre el centro de masa y el centro de empuje vendrá dada por ¯ ¯ ¯JH ¯ = }H  }FP = 3f [D (u )  1] (5.123) 8 donde hemos definido ½ μ ¶¾2 2 1 1 sin (1  u ) 1  2 cos (5.124) D (u ) = u 3 Por otro lado, hemos visto anteriormente que la altura metacéntrica viene dada por R 2 ¯ ¯ ¯JP ¯ = D { gD > (5.125) Y0 donde D es el área al nivel de flotación y Y 0 es el fluido desalojado por el casco. Recordemos que, cuando seccionamos un elipsoide por un plano horizontal a una altura }, resulta una elipse de semiejes d (}) y e (}). Observemos que tomando } = k obtenemos la elipse que se forma al nivel de flotación. Dicha elipse tiene por semiejes dU y eU> donde, según (5.2), s μ ¶2 p k = 1  "2 = (5.126) U = U (k) = 1  f Según la figura 5.36, tenemos que Z Z dU Z 2 2 { gD = { g{ D

eU

dU

Z

s

Z

dU

{2 g{

= 4 0

1({@dU)2

eU

g| s 1({@dU)2 s 2

eU

1({@dU)

g|> 0

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

230

por la simetría par del integrando.

Figura 5.36: Elipse a nivel de flotación. Haciendo los cambios, [ =

{ dU

e\ = Z

Z 2

3

| eU >

Z

1

4

2

{ gD = 4d eU D

llegamos a

[ g[ Z

g\ 0

0

= 4d3 eU4

s 1[ 2

1

[2

p 1  [ 2 g[=

0

Realizando ahora el cambio [ = sin > Z @2 Z {2 gD = 4d3 eU4 sin2  cos2  g= D

(5.127)

0

Notemos que, a partir de la relación trigonométrica sin 2 = 2 sin  cos > podemos obtener la siguiente identidad, sin2  cos2  =

1 2 1 sin 2 = (1  cos 4) = 4 8

Por tanto, sustituyendo (5.128) en (5.127) llegamos a Z Z d3 eU4 @2 {2 gD = (1  cos 4) g 2 0 D ¢2  3 ¡ d e 1  "2 = = 4

(5.128)

(5.129)

donde hemos sustituido (5.126). Sustituyendo en (5.125) el resultado dado en (5.129) y el volumen desalojado calculado en el ejemplo anterior (5.117), la altura metacéntrica queda 2 ¡ ¯ ¯ ¢ ¯JP ¯ = 3d 1  "2 2 = 8fu

5.4. INTEGRALES TRIPLES

231

Como, según el enunciado, el puntal es el doble de la manga, 2d = f> ¯ ¯ ¡ ¢ ¯JP ¯ = 3f 1  "2 2 = 3f E (u ) > 32u 8

(5.130)

donde, teniendo en cuenta (5.115), hemos definido 1 E (u ) = 4u

¶¾2 ½ μ 1 cos (1  u ) +  2 = 1  4 cos 3

(5.131)

Al igual que en el ejemplo anterior, teniendo en cuenta las identidades trigonométricas 2 cos2  = 1  cos 2 y sin1  + cos1  = @2> podemos reescribir (5.131) como ¤ª2 © £ 1  2 cos 23 sin1 (1  u ) 1 = D (u ) > E (u ) = 4u 4 donde hemos tenido en cuenta (5.124). Sustituyendo (5.123) y (5.130) en (5.122), podremos asegurar la estabilidad cuando 1 D (u ) A D (u )  1> 4 es decir, D (u ) ?

4 = 3

2.5

A

r

4

2.0

3 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r

Figura 5.37: Gráfica de la curva D (u ) y la recta 4@3 para densidades relativas de flotación u 5 (0> 1) = En la figura 5.37 se ha representado gráficamente la función D (u ) y la recta 4@3 en la que se aprecia que la estabilidad se alcanza para valores de la densidad relativa, u 5 (¯ u > 1) >

232

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

donde  ¯u viene dado por el punto de corte que aparece en la gráfica y puede ser evaluado numéricamente, N  ¯u  0> 682= Ejercicio 42 Se dispone de un cono de 12 cm de altura, 100 g de masa y cuya base tiene un radio de 3 cm. Si se coloca sobre el agua con su vértice apuntando hacia abajo, determínese si flota establemente. Solución: El cono flota establemente en el agua.

5.5.

Integrales de línea

Definición 15 Sea I un campo vectorial I : R3 $ R3 que sea continuo sobre la trayectoria F dada por u : [d> e] $ R3 . Definimos la integral de línea de I a lo largo de la trayectoria F como Z

I · gu =

Z

F

e

I [u (w)] · u0 (w) gw=

(5.132)

d

Obsérvese que la definición de integral de línea coincide con el trabajo Z que realiza una partícula al desplazarse a lo largo de la trayectoria F cuando actúa sobre ella un campo de fuerzas I , Z Z = I · gu= (5.133) F

Si escribimos el campo vectorial I = (I{ > I| > I} ) > podemos reescribir (5.132) como Z Z  I{ g{ + I| g| + I} g}= (5.134) I · gu = F

F

La expresión I{ g{ + I| g| + I} g} se denomina forma diferencial. Obsérvese también que en (5.132) la trayectoria F se recorre desde el punto u (d) hasta u (e). Si la trayectoria sigue el camino inverso en la curva F, resulta que la integral de línea cambia de signo, Z Z d I · gu = I [u (w)] · u0 (w) gw F

e

Z

e

=  Z

I [u (w)] · u0 (w) gw

d

= 

I · gu=

F

Por último, observemos que si dividimos una trayectoria F en varios tramos Fl > (l = 1> = = = > n), como muestra la figura 5.38, entonces, escribiremos F = F1 + · · · + Fn y la integral de línea se podrá escribir como la suma de las integrales de línea en cada uno de los tramos,

5.5. INTEGRALES DE LÍNEA

233

Figura 5.38: Una trayectoria se puede descomponer en varios tramos. Z

I · gu =

F

Z

I · gu + · · · +

F1

Z

I · gu=

Fn

Ejemplo 63 Si un campo vectorial de fuerzas viene dado por I = {3 l+| m+} n> determínese el trabajo realizado por una partícula cuya trayectoria es un tramo de circunferencia de radio d centrada en el origen y situada en el plano |}= Obsérvese que según la figura 5.39, la velocidad de la partícula es en todo momento perpendicular a la fuerza, por lo que el trabajo a lo largo de cualquier tramo de la trayectoria ha de ser nulo. Efectivamente, la trayectoria viene dada por u (&) = d cos & m + d sin & n> & 5 [0> 2] = Según (5.133) y (5.134), el trabajo Z vendrá dado por Z Z = {3 g{ + | g| + } g}= F

Como resulta que ({ (&) > | (&) > } (&)) = d (0> cos &> sin &) y además los elementos diferenciales son g| = d sin & g& y g} = d cos & g&> Z 0 + Z 0 + 2 2 sin & cos & g& + d sin & cos & g& = 0= N Z = d 0

0

Teorema 13 (Teorema fundamental de las integrales de línea) Sea el campo escalar i : R3 $ R y la trayectoria F dada por u : [d> e] $ R3 . Si i y u son de clase F 1 > entonces, Z  · gu = i [u (e)]  i [u (d)] = ui (5.135) F

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

234

Figura 5.39: Campo vectorial I normal a una circunferencia sobre el plano |}= Demostración. Si aplicamos la regla de la cadena a la función compuesta k (w) = i [u (w)], resulta  [u (w)] · u0 (w) = k0 (w) = (i  u)0 (w) = ui

(5.136)

Como k : [d> e] $ R es una función real de variable real, por el teorema fundamental del cálculo, Z e k0 (w) gw = k (e)  k (d) = i [u (e)]  i [u (d)] = (5.137) d

Por tanto, teniendo en cuenta la definición de integral de línea (5.132) y aplicando (5.136) y (5.137), Z Z e  · gu =  [u (w)] · u0 (w) gw (5.138) ui ui F

d

Z =

e

k0 (w) gw

d

= i [u (e)]  i [u (d)] =

5.5.1.

Fuerzas debidas a la tensión superficial

Según vimos en (1.72), cuando tenemos un cuerpo sólido en contacto con un líquido surgen unas fuerzas debidas a la tensión superficial. Estas fuerzas son tangentes a la superficie del líquido y perpendiculares a la línea de contacto

5.5. INTEGRALES DE LÍNEA

235

entre el líquido y el cuerpo (véase figura 5.40). De este modo, si q es el vector normal a la superficie del líquido y gu es el vector diferencial tangente a la línea de contacto, resulta que la fuerza diferencial debida a la tensión superficial es gI =  q × gu> donde  es el coeficiente de tensión superficial. Integrando a lo largo de toda la línea de contacto F, Z  q × gu> (5.139) I = F

donde F es siempre una curva cerrada simple. Si u (w) : [d> e] $ R3 es una parametrización de F, análogamente a la definición de una integral de línea (5.132), podemos escribir (5.139), como Z e q [u (w)] × u0 (w) gw= (5.140) I =  d

Ejemplo 64 Determínese la fuerza que ejerce la tensión superficial sobre un líquido que asciende por un capilar de radio u0 = Supóngase que la forma del menisco (véase figura 5.40) es un casquete esférico de radio U A u0 = Según la figura 5.40, vamos a tomar el origen de coordenadas en R (centro de la esfera a la cual pertenece el menisco). Parametrizamos la línea de contacto con el vector de posición u (w) > w 5 [0> 2] > de la siguiente manera, u (w) = (u0 cos w> u0 sin w> }0 ) >

(5.141)

donde }0 es la distancia del segmento RR0 (distancia entre los centros de la esfera y del casquete). Derivando en (5.141), resulta que u0 (w) = u0 ( sin w> cos w> 0) =

(5.142)

Ahora bien, el vector unitario normal de una esfera de radio U viene dado por q =

1 u = (u0 cos w> u0 sin w> }0 ) > |u| U

(5.143)

donde U es el radio de la esfera, U = |u| =

q u02 + }02 =

De este modo, a partir de (5.142) y (5.143), tenemos que ¯ ¯ ¯ n ¯ l m ¯ ¯ u 0 ¯ q × u0 = u0 cos w u0 sin w }0 ¯¯ ¯ U¯  sin w cos w 0 ¯ u0 = (}0 cos w> }0 sin w> u0 ) U

(5.144)

236

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.40: El menisco de un capilar tiene forma de casquete esférico.

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

237

Sustituyendo (5.144) en (5.140), obtenemos  u0 I = U Sabiendo que

Z

Z

2

(}0 cos w> }0 sin w> u0 ) gw=

(5.145)

0

Z

2

cos w gw = 0

2

sin w gw = 0> 0

(5.145) se reduce a 2

u I = 2 0 n> (5.146) U es decir, la fuerza debida a la tensión superficial es vertical y hacia arriba. Observemos que, de acuerdo con la figura 5.40,  +  = @2> por tanto, cos  = sin  =

u0 = U

(5.147)

Sustituyendo (5.147) en (5.146), tenemos que I = 2u0 cos  n>

(5.148)

donde  es el ángulo de contacto (véase sección 1.6.5). El resultado dado en (5.148) coincide con el obtenido anteriormente en (1.87), con lo que podemos concluir que la forma del menisco de un líquido en un capilar vertical y cilíndrico tiene forma de casquete esférico (véase ejemplo 49). N

5.6.

Integrales de superficie

Hasta ahora hemos visto la integral sobre una superficie dada por la gráfica de una función } = i ({> |) > tal y como aparece en la figura 5.41, Z i ({> |) gD= Y = U

En esta sección vamos a generalizar el concepto de integral a superficies paramétricas, definidas en la sección 4.6.

5.6.1.

Integrales de superficie de campos escalares

De acuerdo con la figura 5.42, un elemento diferencial de superficie gV 0 = gx gy del dominio G se transforma en el elemento diferencial de superficie, gV

= edvh ¯ ¯ ¯ ¯ × dowxud ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯Wx ¯ gx ¯Wy ¯ gy sin  ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯Wx × Wy ¯ gx gy=

(5.149)

238

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.41: El volumen Y está limitado por la región U y la gráfica de i ({> |) =

Figura 5.42: Elemento diferencial de superficie en una superficie parametrizada.

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

239

Consideremos ahora un campo escalar i : R3 $ R= Si queremos hallar la integral de esta función i , en lugar de sobre una superficie plana U (véase figura 5.41), sobre una superficie parametrizada V, de acuerdo con (5.149), tenemos que Z Z ¯ h i¯  (x> y) ¯¯Wx × Wy ¯¯ gx gy= (5.150) i (u) gV = i V

G

El miembro izquierdo de (5.150) se denomina integral paramétrica de i , pues la superficie V está parametrizada. El miembro derecho de (5.150) es una integral doble sobre la región plana G= Notemos que cuando i = 1> la integral paramétrica se corresponde con el área de la superficie V> Z V= V

Z ¯ ¯ ¯ ¯ gV = ¯Wx × Wy ¯ gx gy=

(5.151)

G

De acuerdo con (4.110) y (4.111), resulta que ¯¯ ¯¯ ¯¯ n l m ¯ ¯¯¯¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯Wx × Wy ¯ = ¯¯¯¯ C{@Cx C|@Cx C}@Cx ¯¯¯¯ = ¯¯ C{@Cy C|@Cy C}@Cy ¯¯

(5.152)

Ejemplo 65 Determínese el área de la superficie que se genera al rotar alrededor del eje ] la curva | = i (}), } 5 [}1 > }2 ] (véase figura 5.43). Según la figura 5.43, un punto cualquiera S de la superficie generada por rotación tiene por coordenadas { = i (}) cos > | = i (}) sin > } = }>

(5.153) (5.154) (5.155)

donde } 5 [}1 > }2 ] y  5 [0> 2]. El área pedida D viene dada por (5.151), que en nuestro caso, es D =

Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯W} × W ¯ g} g G 2

Z

Z

}2

g

= 0

}1

¯ ¯ ¯ ¯ g} ¯W} × W ¯ =

(5.156)

Teniendo en cuenta (5.152) y la parametrización dada en (5.153)-(5.154),

240

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.43: Superficie generada por la rotación de la curva | = i (}) alrededor del eje ]. calculemos, ¯¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯  ¯¯ = × W W ¯ } ¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ = ¯¯¯¯ ¯¯

n l m C{@C} C|@C} C}@C} C{@C C|@C C}@C l m 0 0 i (}) cos  i (}) sin  i (}) sin  i (}) cos 

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ n 1 0

¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯

= |i (}) ( cos >  sin > i 0 (}))| p = |i (})| 1 + i 02 (})= Sustituyendo (5.157) en (5.156), llegamos a Z }2 p |i (})| 1 + i 02 (}) g}= D = 2

N

}1

 : G $ R3 > donde Ejercicio 43 Un helicoide se define como  { = u cos > | = u sin > } = >

(5.157)

(5.158)

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

241

y G es la región donde  5 [0> 2] y u 5 [0> 1] (véase figura 5.44). Hállese su área.

Figura 5.44: Representación gráfica de un helicoide.

5.6.2.

Películas jabonosas

Si se sumerge un alambre en una solución de jabón y glicerina, entonces, se suele obtener una película de jabón tendida sobre dicho alambre. El jabón disminuye la tensión superficial del agua, evitando que las películas de jabón se rompan, mientras que la glicerina evita la evaporación del agua, haciendo que las películas sean más resistentes. En la figura 5.45 se dan algunos ejemplos de películas jabonosas sobre diversas formas de alambres. J. A. F. Plateau (1801-1883) fue un profesor belga de Física que se dedicó a estudiar en detalle las propiedades de las películas de jabón, por lo que al problema de encontrar qué película de jabón tiene por borde una curva dada se le conoce con el nombre de problema de Plateau. Plateau se quedó ciego a los 42 años, según se cree, por haber mirado al sol durante 25 segundos a los 27 años de edad, cuando hacía estudios de fisiología óptica. Después de quedarse ciego, llevó a cabo su estudio de las películas de jabón. Diseñaba los alambres y, con la colaboración de su mujer e hijos, que le explicaban las formas de las pompas obtenidas, llegó a conclusiones experimentales que dejó recogidas en una famosa monografía sobre el tema1 . La resolución matemática del problema 1 G. Plateau, Statique expérimentale et theorique des liquides soumise aux seules forces moleculaires, 2 vols., Paris-London (1873).

242

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.45: Ejemplos de películas jabonosas. tardó mucho tiempo en llegar y no fue hasta mediados de los años 70 (casi siglo y medio después) cuando las tesis de Plateau fueron demostradas. Matemáticamente, Plateau planteó el problema de la siguiente manera. Sea © ª G  R2 el disco unitario definido por G = (x> y) 5 R2 @ x2 + y 2  1 , de tal manera que su frontera CG es la circunferencia de radio unidad. Consideremos también la curva cerrada simple u (w) : [0> 2] $ R3 , que representa al alambre que limita la película jabonosa. Sea S el conjunto de todas las superficies  (x> y) : G $ R3 tales que  (CG) = u (w), es decir, cada suparamétricas  perficie paramétrica 5 S tiene como contorno la curva cerrada simple que  5 S podemos calcular su área, representa al alambre. Para cada ¯ ³ ´ Z ¯ ¯ ¯  = D ¯Wx × Wy ¯ gx gy= G

Debido a que la tensión superficial tiende a minimizar ³ ´ la superficie de la  tiene un mínimo en película de jabón, Plateau se preguntó si la función D ³ ´ ³ ´  para 0 D  0 tal que D S, es decir, ¿existe una superficie paramétrica  5 S? Durante más de 70 años, matemáticos como G. F. B. Riemann, todo K. Weierstrass, H. A. Schwarz o H. L. Lebesgue buscaron una solución al reto planteado por Plateau. En 1931 se resolvió por fin el problema cuando J. Douglas  0. demostró que sí existía dicha superficie paramétrica Ejemplo 66 Determínese la forma de una película de jabón delimitada por dos alambres circulares cuyos centros yacen en una recta perpendicular a los planos que contienen a dichos alambres. De acuerdo con la figura 5.46, la película de jabón que enuncia el problema tiene simetría de rotación. Por tanto, el problema consiste en encontrar la curva u = u (}) tal que la superficie de rotación engendrada por ella tenga área mínima. Según vimos en

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

243

Figura 5.46: Película de jabón entre dos alambres circulares. el ejemplo 65, dada la curva u = u (}), entonces, el área viene dada por (5.158), Z }2 p D = 2 u (}) 1 + u02 (}) g}= (5.159) }1

En el Apéndice H se demuestra que si existe una función | = | ({) que haga mínima la integral, Z {2

L=

i [{> | ({) > | 0 ({)] g{>

{1

entonces, la función i ({> |> | 0 ) ha de cumplir la ecuación de Euler-Lagrange (H.15), μ ¶ g Ci Ci  = 0= C| g{ C| 0 En el caso concreto de que la función i no dependa explícitamente de {> i = i (|> |0 ) > entonces se ha de cumplir la identidad de Beltrami (H.18), Ci 0 |  i = F> C| 0 donde F es una constante. En nuestro caso, según (5.159), tenemos que p i (u> u0 ) = 2u 1 + u02 >

244

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

que como no depende explícitamente de }, la identidad de Beltrami resulta ser, p uu02 s  u 1 + u02 = F1 = 1 + u02 Operando, u s = F1 > 1 + u02 es decir,

q u2  F12 = F1 u0 =

Separando variables e integrando, Z Z gu q = } = g} = (u@F1 )2  1 Realizando el cambio u = F1 cosh x> gu = F1 sinh x gx> obtenemos una integral inmediata, Z sinh x } = F1 p gx cosh2 x  1 = F1 x + F2 > donde hemos hecho uso de la identidad (B.3), cosh2 {sinh2 { = 1. Deshaciendo el cambio efectuado, μ ¶ u 1 } = F1 cosh + F2 > F1 y, despejando, obtenemos, finalmente, μ u (}) = F1 cosh

}  F2 F1

¶ =

(5.160)

La curva dada en (5.160) se denomina catenaria y la superficie engendrada por revolución por una catenaria, catenoide. Según (5.153)-(5.155), las ecuaciones paramétricas de la catenoide son { = u (}) cos > | = u (}) sin > } = }>

(5.161) (5.162) (5.163)

donde u (}) viene dada por (5.160), siendo } 5 [}1 > }2 ] y  5 [0> 2] = Por tanto, la superficie de la película de jabón pedida por el enunciado es una catenoide. N

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

5.6.3.

245

Integrales de superficie de campos vectoriales

Si tenemos un campo vectorial constante I que atraviesa una superficie plana V> obsérvese que, según la figura 5.47, la única componente del campo vectorial I que contribuye a la cantidad de flujo  que atraviesa la superficie V es IB , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  = ¯IB ¯ V = ¯I ¯ cos  V = I · q V> donde q es un vector unitario normal a la superficie V=

Figura 5.47: Componentes paralela y perpendicular de un campo vectorial constante al atravesar una superficie plana. Si la superficie V ahora es infinitesimal, la cantidad de flujo diferencial g que atraviesa la superficie gV es g = I · q gV= Integrando sobre todos los elementos de superficie gV de una superficie  : G  R2 $ R3 ), paramétrica V (que viene dada por la parametrización resulta que Z = I · q gV= (5.164) V

Podemos expresar más concisamente (5.164) definiendo el vector elemento diferencial de superficie como  = q gV> gV de tal manera que

Z =

 I · gV=

(5.165)

(5.166)

V

Decimos, entonces, que  es la cantidad de flujo2 del campo vectorial I a través de la superficie V. Sustituyendo ahora en (5.164) las expresiones obtenidas 2 Para evitar confusiones, utilizamos flujo como equivalente al término flow en inglés, y cantidad de flujo como equivalente al término inglés flux.

246

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

para q y gV ofrecidas en (4.112) y (5.149), Z ´ h i ³  (x> y) · Wx × Wy gx gy> =± I

(5.167)

G

donde ahora la integral de superficie sobre V la hemos convertido en una integral doble sobre la región G= Observemos que el signo + o  depende de la orientación de la superficie. Esto quiere decir que hemos de definir la cara interior y exterior de la superficie para determinar si el flujo es entrante o saliente. Teorema 14 (del valor medio) Si I es un campo vectorial continuo, entonces, Z h i  = I (t) · q (t) D (V) > I · gV (5.168) V

para algún punto  t 5 V> donde D (V) es el área de la superficie V y q (t) un vector unitario perpendicular a la superficie V en t 5 V= Demostración. Basta tomar, en el teorema del valor medio para campos escalares bidimensionales (5.77), Z i (u) gV = i (t) D (V) > t 5 V> (5.169) V

como función i> i (u) = I (u) · q (u) >

u 5 V>

(5.170)

siendo q (u) el vector normal a la superficie V correspondiente a la posición u= Por tanto, sustituyendo (5.170) en (5.169) y teniendo en cuenta (5.165), llegamos a (5.168), tal y como queríamos demostrar. Cantidad de flujo de un fluido a través de una superficie  ({> |> }> w) el campo de velocidades en el seno de un fluido y  ({> |> }> w) Sea Y el campo escalar de su densidad. Definamos el campo vectorial, = M = Y

(5.171)

Observemos que M es un campo vectorial cuya dirección es la del movimiento  y cuya magnitud es la cantidad de masa que atraviesa perpendidel fluido Y cularmente la unidad de superficie por unidad de tiempo (en unidades del S.I., M se mide en kg m2 s1 ). Por tanto, la cantidad de flujo de M a través de la superficie V da cuenta de la cantidad de masa por unidad de tiempo que atraviesa dicha superficie V> Z Z gp  · gV>  = = ± Y (5.172) M · gV gw V V

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

247

donde el signo + o  depende de la orientación de la superficie. Si el fluido tiene una densidad constante > entonces, gp =  gY> por lo que el caudal T (V) (volumen que atraviesa la superficie V por unidad de tiempo) viene dado por Z gY  · gV=  = ±T (V) = Y (5.173) gw V Nótese que (5.172) y (5.173) son dimensionalmente correctas.  = l + { m + Ejemplo 67 El campo de velocidades de un fluido viene dado por Y 1  } n medido en m s . ¿Cuántos metros cúbicos por segundo atraviesan la mitad superior de una superficie esférica centrada en el origen y de radio U? De acuerdo con la figura 5.48, la parametrización de una esfera de radio U  (> !) = ({ (> !) > | (> !) > } (> !)) > siendo viene dada por { (> !) = U sin ! cos > | (> !) = U sin ! sin > } (> !) = U cos !=

Figura 5.48: Coordenadas esféricas (u> > !) = Como en nuestro caso la superficie es semiesférica, tomaremos  5 [0> 2] y ! 5 [0> @2] = Es decir, la región G = [0> 2] × [0> @2] es una región rectangular. De este modo, el campo de velocidades viene dado por h i   (> !) = (1> U sin ! cos > U cos !) = Y (5.174)

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

248

Según (5.166), (5.167) y (5.173), el caudal que atraviesa una superficie V viene dado por Z ´ h i ³   (> !) · W × W! g g!> (5.175) ±T = Y G

donde el signo + o  depende de la orientación de la superficie. Observemos que ¯ ¯ ¯ ¯ n l m ¯ ¯ W × W! = ¯¯ C{@C C|@C C}@C ¯¯ ¯ C{@C! C|@C! C}@C! ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n l m ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ U sin ! sin  U sin ! cos  0 ¯ ¯ U cos ! cos  U cos ! sin  U sin ! ¯ ¢ ¡ = U2 sin2 ! cos > sin2 ! sin > sin ! cos ! = (5.176) Sustituyendo (5.174) y (5.176) en (5.175), Z

Z

@2

±T = U2

2

g! sin2 ! 0

Z

Z

@2

(5.177)

g sin  cos 

(5.178)

2

3

3

U

g! sin ! 0

Z

g cos  0

0 @2

U3

Z

0

Observemos que, como Z 0

y

Z

2

2

g! cos2 ! sin !

g= 0

g cos  = [sin ]2 0 = 0>

2

g sin  cos  = 0

Z

1 2

2

0

1 g sin 2 =  [cos 2]2 0 = 0> 4

resulta que las integrales dadas en (5.177) y (5.178) se anulan, quedando Z ±T = 2U3

@2

g! cos2 ! sin ! 0

=

2 3 £ 3 ¤@2 2 3 3 1 U cos ! 0 = U m s = 3 3

N

Ejercicio 44 Si la velocidad del agua al llover es de 1 m s1 vertical y hacia abajo, determínese el caudal de agua que se puede recoger con un cono vertical invertido cuyo radio y altura es de 1 m. ¿Qué pasa si por la acción del viento la lluvia cae a la misma velocidad pero con un ángulo  con respecto a la vertical? Solución: T =  m3 s1 y T =  cos  m3 s1 ( ? @4 rad) =

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

5.6.4.

249

Fuerza hidrostática sobre superficies alabeadas

Cuando tenemos una superficie alabeada V en el seno de un fluido (véase figura 5.49), la fuerza hidrostática resultante I sobre dicha superficie se puede hallar evaluando la integral de las fuerzas diferenciales gI sobre cada elemento  diferencial de superficie gV> Z gI = (5.179) I = V

Figura 5.49: Fuerza hidrostática sobre una superfice alabeada. Como la fuerza debida a la presión en un determinado punto es normal a la superficie en dicho punto, figura 5.6, resulta que gI = q gI> donde q viene dado por (4.112). De este modo, (5.179) se puede escribir como Z  Z W × Wy ¯ x ¯ S gV= q gI = ± I = ¯  ¯ V V ¯W x × Wy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Como, según (5.149), en una superficie paramétrica gV = ¯Wx × Wy ¯ gx gy,  : G  R2 $ R3 > resulta que parametrizada por Z ³ ´ (5.180) I = ± Wx × Wy S (x> y) gx gy> G

h i  (x> y) = De acuerdo con donde, por simplicidad, hemos escrito S (x> y) = S la figura 5.49, la presión hidrostática viene dada por S = j}> por tanto, Z  (x> y) } (x> y) gx gy> Q (5.181) I = j G

donde hemos definido

´ ³  = ± Wx × Wy = Q

(5.182)

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

250

Notemos que el signo en (5.181) se ha de escoger dependiendo de a qué lado de la superficie V esté ejerciendo presión el fluido. Observemos también que comparando (5.181) con (5.179), resulta que  = j Q  (x> y) } (x> y) gx gy> gI

(5.183)

es decir, gI{ gI| gI}

= j Q{ (x> y) } (x> y) gx gy> = j Q| (x> y) } (x> y) gx gy> = j Q} (x> y) } (x> y) gx gy=

(5.184) (5.185) (5.186)

Centro de presiones Recordemos que el centro de presiones uS = ({S > |S > }S ) se podía hallar a partir de la ecuación (5.13), Z > uS × I = u × gI (5.187) donde ahora tenemos ¯ ¯ l ¯  uS × I = ¯¯ {S ¯ I{

m |S I|

n }S I}

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(5.188)

= (|S I}  }S I| ) l + (}S I{  {S I} ) m + ({S I|  |S I{ ) n> y u × gI

¯ ¯ l ¯ = ¯¯ { ¯ gI{

¯ n ¯ ¯ (5.189) } ¯¯ gI} ¯ = (| gI}  } gI| ) l + (} gI{  { gI} ) m + ({ gI|  | gI{ ) n= m | gI|

Introduciendo (5.188) y (5.189) en (5.187), tenemos las siguientes ecuaciones para cada una de las componentes, Z |s I}  }S I| = | gI}  } gI| = D> (5.190) Z }S I{  {S I} = } gI{  { gI} = E> (5.191) Z {S I|  |S I{ = { gI|  | gI{ = F= (5.192) Las ecuaciones (5.190)-(5.192) se pueden escribir en notación matricial de la siguiente manera, 4 3 4 3 43 D 0 I} I| {S C I} 0 I{ D C |S D = C E D = (5.193) F I| I{ 0 }S

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

251

La matriz dada en (5.193) es una matriz de rango 2 y por tanto, parametrizando }S , la solución de (5.193) viene dada por {S

=

|S

=

}S I{  E > I} }S I| + D = I}

(5.194) (5.195)

Las cantidades D y E se pueden evaluar a partir de (5.190)-(5.191), teniendo en cuenta (5.184)-(5.186), de tal modo que Z D = | gI}  } gI| (5.196) Z = j [| (x> y) Q} (x> y)  } (x> y) Q| (x> y)] } (x> y) gx gy> G

y

Z E

(5.197) } gI{  { gI} Z [} (x> y) Q{ (x> y)  { (x> y) Q} (x> y)] } (x> y) gx gy= = j

=

G

Observemos que la superficie V vendrá dada por una ecuación que ligue las coordenadas, z ({> |> }) = 0= Como el centro de presiones uS = ({S > |S > }S ) es un punto que pertenece a la superficie V> se ha de cumplir que z ({S > |S > }S ) = 0=

(5.198)

De este modo, resolviendo las ecuaciones (5.194), (5.195) y (5.198), podemos determinar el centro de presiones. Ejemplo 68 En un oceanográfico se dispone de una piscina de profundidad k que se rellena de agua de mar. En una esquina del fondo de la piscina hay un mirador hecho con una mampara de vidrio en forma de octante esférico de radio U. Determínese la fuerza hidrostática que ejerce el agua de la piscina sobre la mampara de vidrio y el punto de aplicación de ésta. En la figura 5.50 se presenta un esquema de la mampara sumergida en una esquina del fondo de la piscina. Para parametrizar la superficie de la mampara, podemos utilizar la figura 5.51, que es equivalente a la figura 5.50, de tal manera que { (> !) = U sin ! cos > | (> !) = U sin ! sin > } (> !) = k + U cos !> donde  5 [0> @2] y ! 5 [@2> ] = Es decir, G = [0> @2] × [@2> ] es una región rectangular.

252

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Figura 5.50: Mampara esférica sumergida en una piscina de profundidad k=

Figura 5.51: Vectores W y W! sobre la superficie de la mampara esférica.

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

253

 esté dirigido hacia el interior de Según la figura 5.51, para que el vector Q la mampara, tenemos que  Q

= W × W! ¯ ¯ n l m ¯ ¯ = ¯ C{@C C|@C C}@C ¯ C{@C! C|@C! C}@C!

¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯

Operando, llegamos a Q{ (> !) = U2 sin2 ! cos > Q| (> !) = U2 sin2 ! sin > Q} (> !) = U2 sin ! cos != La fuerza hidrostática resultante sobre la mampara vendrá dada por (5.181), I = j

Z

 (> !) } (> !) g g!> Q

G

donde , en este caso, es la densidad del agua del mar. Por tanto, deglosando la fuerza hidrostática en sus componentes, tenemos, para la primera componente, Z I{

= j

Q{ (> !) } (> !) g g! Z sin2 ! cos  (k + U cos !) g g! = jU2 G " Z Z @2 Z  2 2 cos g k sin ! g! + U = jU G

@2

0

Sabiendo que

Z

#

 2

sin ! cos ! g! =

@2

@2

cos g = 1>

(5.199)

 > 4

(5.200)

0

Z



sin2 ! g! = @2

y

Z



1 sin2 ! cos ! g! =  > 3 @2

(5.201)

tenemos, finalmente, que μ I{ = jU2

U k  3 4

¶ =

(5.202)

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

254

Análogamente, se puede obtener Z Q| (> !) } (> !) g g! I| = j G Z sin2 ! sin  (k + U cos !) g g! = jU2 G " Z Z @2 Z  2 2 sin g k sin ! g! + U = jU @2

0

#

 2

sin ! cos ! g! =

@2

Aplicando (5.200) y (5.201) y teniendo en cuenta que Z @2 sin g = 1>

(5.203)

0

resulta que I| = I{ = Asimismo, I}

(5.204)

Z

= j

Q} (> !) } (> !) g g! Z 2 sin ! cos ! (k + U cos !) g g! = jU G Z @2 " Z  Z 2 g k sin ! cos ! g! + U = jU G

@2

0

Teniendo en cuenta que

Z

2

sin ! cos ! g! =

@2

@2

g = Z

#



0

 > 2



1 sin ! cos ! g! =  > 2 @2 Z  1 sin ! cos2 ! g! = > 3 @2

resulta que

¶ k U I} = jU  = (5.205) 2 2 3 Para determinar el centro de presiones (donde se aplica la fuerza resultante  I sobre la superficie de la mampara), calculemos los coeficientes D y E dados por las ecuaciones (5.196) y (5.197), Z [| (> !) Q} (> !)  } (> !) Q| (> !)] } (> !) g g! D = j G Z sin2 ! sin  (k + U cos !) g g! = jU2 k G " Z # Z Z 2

@2

= jU2 k





sin2 ! g! + U

sin g k 0

μ

@2

sin2 ! cos ! g! = @2

5.6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

255

Teniendo en cuenta (5.200), (5.201) y (5.203), resulta que, ¶ μ k U  = D = jU2 k 4 3

(5.206)

Análogamente, Z E = j [} (> !) Q{ (> !)  { (> !) Q} (> !)] } (> !) g g! G Z 2 sin2 ! cos  (k + U cos !) g g! = jU k G " Z Z Z @2

2

= jU k





2

cos g k

sin ! g! + U @2

0

#

2

sin ! cos ! g! = @2

Teniendo en cuenta (5.200), (5.201) y (5.199), resulta que, E = D=

(5.207)

Según (5.194) y (5.195), tenemos que las coordenadas {S e |S del centro de presiones vienen dadas por {S

=

|S

=

}S I{  E > I} }S I| + D = I}

Aplicando (5.204) y (5.207), resulta que {S = |S >

(5.208)

lo cual resulta bastante lógico debido a la simetría de la mampara esférica con respecto a los ejes [ e \= Calculando {S > teniendo en cuenta los resultados (5.202), (5.207) y (5.205), llegamos a {S =  (}S  k) >

(5.209)

donde por simplicidad hemos definido la constante adimensional, =

3k  4U =  (2U  3k)

Como el centro de presiones ha de estar sobre la superficie de la mampara, es decir, sobre una esfera de radio U centrada en el punto (0> 0> k), tenemos que se ha de satisfacer {2S + |S2 + (}S  k)2 = U2 = (5.210) Sustituyendo (5.208) y (5.209) en (5.210), obtenemos una ecuación de la que podemos despejar }S > llegando a U + k= }S = ± s 22 + 1

(5.211)

256

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

Observando la figura 5.51, hemos de elegir el signo negativo en (5.211), pues }S ? k= Sustituyendo (5.211) en (5.209) y teniendo en cuenta (5.208), resulta, finalmente, que U = N {S = |S =  s 22 + 1 Ejercicio 45 Tenemos un presa llena de agua de una anchura { = {0 cuya pared en contacto con el agua presenta un perfil parabólico }@}0 = (|@|0 )2 tal y como aparece en la figura 5.52. Despreciando la presión atmosférica, determínese la fuerza hidrostática pared de la pre³ y el2 centro ´ de presiones ³ sobre la2 ´ } }4 | sa. Solución: I = j{0 |02 0> 12 |02 >  13 y uS = {20 > |S > }0 |S2 > donde |S = 0 0 ´ 0 ³p 1 8 + 6} 4 (3| 4 + 4} 4 )  2| 4 = 4| 3 0 0 0 0 0 6} 0

Figura 5.52: Presa de perfil parabólico.

5.7. AUTOEVALUACIÓN

5.7.

257

Autoevaluación

1. Una integral doble de una función: a) es el volumen encerrado por la gráfica de la función y el plano horizontal. b) la opción a) siempre y cuando el recinto de integración sea rectangular. c) la opción b) siempre que el volumen encerrado esté limitado por los planos verticales que limitan el recinto de integración. d) la opción c) siempre y cuando la función sea positiva en el recinto de integración. 2. La fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie plana sumergida en dicho fluido: a) es siempre perpendicular a la superficie sumergida. b) es proporcional al área de la superficie sumergida. c) no tiene componente perpendicular a la normal de la superficie sumergida, si el fluido está en reposo. d) es perpendicular a la superficie sumergida, siempre que la superficie esté sumergida verticalmente. 3. Tenemos una superficie plana V sumergida verticalmente. Sea un punto S por el que pasa una línea recta horizontal que divide a V en dos mitades de la misma área. El centro de presiones estará a una profundidad: a) mayor que S . b) menor que S . c) igual a S . d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 4. Tenemos dos envases idénticos en forma de tronco de cono que están completamente llenos de agua y herméticamente cerrados. Ambos envases están sobre una misma superficie horizontal plana, pero uno de ellos está apoyado sobre su base circular más pequeña y el otro sobre su base más grande. Dígase cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a) La presión que ambos envases ejercen sobre la superficie en la que están apoyados es la misma. b) El peso que el agua ejerce sobre la superficie en la que cada envase está apoyado es distinto. c) La presión hidrostática sobre la base inferior de cada envase es la misma.

258

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN d) La fuerza hidrostática sobre la base inferior de cada envase es la misma.

5. El centro de presiones coincide con: a) el centro de empuje cuando el cuerpo es simétrico. b) el punto de aplicación de la fuerza hidrostática resultante sobre la superficie de un cuerpo sumergido. c) el centro geométrico de un cuerpo sumergido. d) el centro de masa de una superficie plana sumergida verticalmente. 6. Se dispone de una placa plana homogénea sumergida verticalmente. Si se gira un ángulo  en torno a un eje horizontal que pasa por su centro de masa: a) la fuerza hidrostática sobre la placa no varía. b) el módulo de la fuerza hidrostática no varía. c) la opción b) solamente en el caso en que el eje de giro esté sobre el plano de la placa. d) la opción b) solamente en el caso en que el eje de giro sea perpendicular a la placa. 7. Si tenemos una compuerta circular totalmente sumergida, el centro de presiones estará: a) en el centro de la compuerta. b) a una profundidad menor a la que está el centro de la compuerta. c) por debajo del centro de la compuerta, pero sólo en el caso de que la compuerta esté en posición vertical. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 8. Un cuerpo flotante tenderá a ser estable, si el metacentro cae por: a) encima del centro de gravedad. b) encima del centro de empuje. c) debajo del centro de gravedad. d) debajo del centro de empuje. 9. Podemos asegurar que un cuerpo flotante será estable si la distancia entre: a) el centro de gravedad y el metacentro es mayor que la distancia entre el centro de gravedad y el centro de empuje. b) el centro de gravedad y el centro de empuje es mayor que la distancia entre el metacentro y el centro de empuje.

5.7. AUTOEVALUACIÓN

259

c) el centro de gravedad y el nivel de flotación del barco es menor que la distancia entre el centro de empuje y el nivel de flotación del barco. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 10. La altura metacéntrica de cabeceo de un barco: a) es menor que la de balanceo. b) es mayor que la de balanceo. c) es igual que la de balanceo. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 11. El centro de empuje de un cuerpo de densidad homogénea: a) siempre coincide con el centro de masa del cuerpo. b) nunca coincide con el centro de masa del cuerpo. c) coincide con el centro de masa del cuerpo si éste está completamente sumergido. d) coincide con el centro de masa del cuerpo si el volumen sumergido es igual al volumen emergido. 12. El caudal, en el Sistema Internacional, tiene unidades de: a)

kg s1 .

b) litros por segundo. c)

m3 @ s.

d)

kg m2 s1 .

13. Sea S un punto de una superficie V. Si tomamos un elemento diferencial de V en el entorno de S , dicho elemento diferencial es una magnitud: a) escalar que se mide en unidades de m2 en el Sistema Internacional. b) vectorial perpendicular a V en S . c) vectorial perpendicular hacia fuera en S . d) vectorial cuyo módulo coincide con el área de V.  en el Sistema Internacional, tiene unidades de: 14. El campo vectorial M, a)

kg m3 s.

b)

kg m2 s1 .

c)

kg m1 s2 .

d)

m2 s1 .

260

CAPÍTULO 5. FUNDAMENTOS DE INTEGRACIÓN

15. La cantidad de flujo del campo vectorial M a través de una superficie V es igual: a) a la cantidad de volumen que atraviesa la superficie V por unidad de tiempo. b) a la cantidad de masa que atraviesa la superficie V por unidad de tiempo. c) al caudal que atraviesa la superficie V. d) Ninguna de las otras opciones es correcta.

Capítulo 6

Teoremas integrales “Las Matemáticas son la reina de las Ciencias y la Aritmética la reina de las Matemáticas” (C. F. Gauss). Ahora estamos preparados para relacionar el Cálculo Diferencial Vectorial (capítulo 4) con el Cálculo Integral Vectorial (capítulo 5) mediate dos teoremas importantes, el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. Con el teorema de Stokes podremos definir la función corriente, lo cual resultará útil para calcular el caudal en flujos bidimensionales. Además, nos permitirá enunciar el teorema de los campos conservativos y el significado del operador rotacional. Por otro lado, el teorema de Gauss nos permitirá entender el significado del operador divergencia. A partir de los teoremas de Stokes y de Gauss podremos enunciar en los capítulos 7 y 8 las principales leyes que rigen la Mecánica de Fluidos.

6.1.

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez en una carta del físico Lord Kelvin a Stokes en 1850 y fue usado por Stokes en el examen para el premio Smith en 1854.

6.1.1.

Curvas orientadas

Una curva cerrada simple F que es la frontera de una región de tipo 1, 2 o 3, tiene dos posibles orientaciones: antihoraria (positiva), que se denota por F + > y horaria (negativa), que se denota por F  (figura 6.1).  : Supongamos que tenemos una superficie V que viene parametrizada por G  R2 $ R3 = Denotemos por CG la frontera de la región G> tal como se indica en la figura 6.2. Sea v (w) = ({ (w) > | (w)) : [d> e] $ R2 una parametrización de CG en la dirección positiva. Definimos CV como la curva cerrada simple  [v (w)] con la orientación inducida por v (w) = u (w) = 261

262

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

Figura 6.1: Orientación positiva F + y negativa F  de la curva F=

Figura 6.2: Orientación inducida en CV= Conforme se camina alrededor de la frontera, la superficie ha de quedar a la izquierda.

6.1. TEOREMA DE STOKES

6.1.2.

263

Enunciado del teorema

 : G  R2 $ R3 que define la Teorema 15 (Stokes) Sea la parametrización superficie orientada V y sea CV la frontera orientada de V= Si I es un campo vectorial F 1 en V> entonces, Z Z    · gu= rot I · gV = I (6.1) V

CV

Ejemplo 69 Haciendo uso del teorema de Stokes, evalúese la integral de línea Z | 3 g{ + {3 g|  } 3 g}> F

donde F es la intersección del cilindro {2 + |2 = 1 y el plano { + | + } = 1, estando orientada F en sentido antihorario en el plano [\ . ¡ ¢ Obsérvese que tomando u = ({> |> }) y I = | 3 > {3 > } 3 y aplicando el teorema de Stokes, podemos escribir Z Z | 3 g{ + {3 g|  } 3 g} = I · gu (6.2) F F Z  rot I · gV> (6.3) = V

donde, según la figura 6.3, la superficie V tiene como frontera la curva F, CV = F= De este modo, una posible superficie V sería el plano } = 1  {  |, que se puede  : G  R2 $ R3 , parametrizar con { (x> y) = x> | (x> y) = y> } (x> y) = 1  x  y> ª © siendo G = (x> y) 5 R2 tal que x2 + y 2  1 = Podemos calcular la integral de superficie dada en (6.3) aplicando (5.167), Z Z ´ h i ³    (x> y) · Wx × Wy gx gy> (6.4) rot I · gV = ± rot I V

G

donde el signo + o  depende de la orientación de la superficie V. Como ¯ ¯ ¯ ¯ n l m ¯ ¯ Wx × Wy = ¯¯ C{@Cx C|@Cx C}@Cx ¯¯ ¯ C{@Cy C|@Cy C}@Cy ¯ ¯ ¯ ¯ l m n ¯ ¯ ¯ = ¯¯ 1 0 1 ¯¯ = l + m + n> ¯ 0 1 1 ¯

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

264

Figura 6.3: La curva F es la intersección entre el cilindro {2 + |2 = 1 y el plano { + | + } = 1= según la figura 6.3 y el criterio dado en la figura 6.2, el +. Calculando, ahora, ¯ ¯ l n m ¯  ¯ rot I = ¯ C@C{ C@C| C@C} ¯ |3 {3 } 3 ¡ 2 ¢ = 3 { + | 2 n> resulta que

Z

 rot I · gV

Z = 3 ZG

V

= 3

signo en (6.4) ha de ser ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

³ ´ ¡ 2 ¢ x + y 2 n · l + m + n gx gy ¡ 2 ¢ x + y 2 gx gy=

(6.5)

G

La integral dada en (6.5) se puede evaluar fácilmente haciendo un cambio a coordenadas polares, Z Z 2 Z 1 3 =3 = (6.6) rot I · gV g u3 gu = 2 0 0 V Finalmente, sustituyendo (6.6) en (6.3), tenemos que Z 3 = N |3 g{ + {3 g|  } 3 g} = 2 F Ejercicio 46 Evalúese directamente la integral de línea del ejemplo anterior sin utilizar el teorema de Stokes.

6.1. TEOREMA DE STOKES

6.1.3.

265

Vorticidad

 representa el campo vectorial de velocidades en un fluido. Supongamos que Y Sea s el vector que indica la posición del punto S en el seno de dicho fluido y un vector unitario q= Denotemos por V el disco de radio  y centro S , el cual es perpendicular a q. Por el teorema de Stokes, Z Z  · q gV =  · gu> rot Y Y (6.7) V

CV

donde CV tiene la orientación inducida por q> tal y como indica la figura 6.4.

Figura 6.4: Una normal q induce una orientación en la frontera CV del disco V = Según el teorema del valor medio para integrales de superficie (5.168), tenemos que Z h i  · q gV = rot Y  (t) · q (t) D (V ) > rot Y (6.8) V

donde  t 5 V y D (V ) = 2 es el área de V = Dividiendo por D (V ) en (6.7), tomando límites y aplicando (6.8), 1 $0 D (V )

Z

l´ım

 · gu = Y

CV

=

1 $0 D (V )

Z

 · q gV rot Y

l´ım

V

 (t) · q (t) l´ım rot Y

$0

 ( = rot Y s) · q ( s) = De este modo, 1 $0 D (V )

 ( rot Y s) · q ( s) = l´ım

Z CV

 · gu= Y

(6.9)

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

266

Para interpretar (6.9), consideremos la integral de línea del campo de veloci a lo largo de la trayectoria F> figura 6.5, dades Y Z Z  Yw gu> Y · gu = F

F

 sobre la curva F= donde Yw es la componente tangencial Y

Figura 6.5: Significado intuitivo de los signos posibles de

R F

 · gu= Y

 apunta en la dirección tangente a la curva orientada F> entonces Yw A 0 Si Y y, por tanto, Z  · gu A 0> Y F

 apunta en el sentido opuesto, rotando el fluido en sentido antihorario. Si Y Z  · gu ? 0> Y F

 es perpendicular a F> y el fluido rota en sentido horario. Si Y Z  · gu = 0> Y F

y el fluido no rota. En general, Z

 · gu Y

(6.10)

F

representa la cantidad neta de giro de fluido en el sentido antihorario. Por tanto,  alrededor de F, tal y como nos referiremos a (6.10) como la circulación de Y se indica en la figura 6.6.

6.1. TEOREMA DE STOKES

267

Figura 6.6: Circulación del campo de velocidades de un fluido. (a) Circulación nula. (b) Circulación no nula, “remolino”.  ( De este modo, podemos interpretar (6.9) diciendo que rot Y s) · q ( s) es la  por unidad de área en s en una superficie perpendicular a q ( circulación de Y s).  Obsérvese que la cantidad rot Y ( s) · q ( s) se maximiza cuando  rot Y ¯= q = qm´ax = ¯¯  ¯¯ ¯rot Y Por lo tanto, el efecto de la rotación en s es mayor si el eje es paralelo al vector qm´ax . Así, acertadamente, al vector, > $  = rot Y

(6.11)

se le denomina vector vorticidad. Ejemplo 70 Un globo aerostático tiene forma de esfera truncada de radio U tal y como muestra la figura 6.7. Los gases calientes escapan por la cubierta porosa con un campo vectorial de velocidades,

donde

 = rot >  Y

(6.12)

 = | l + { m=

(6.13)

Calcúlese el caudal de los gases que pasan a través de la superficie del globo. Considérese que las unidades de todas las magnitudes vienen dadas en el Sistema Internacional.

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

268

Figura 6.7: Globo aerostático.

Según (5.173), el caudal que atraviesa una superficie V es gY = T= gw

Z

 · gV=  Y

(6.14)

V

Sustituyendo (6.12) en (6.14) y aplicando el teorema de Stokes, Z T=

 · gV = rot

V

Z

 · gu>

(6.15)

CV

donde, de acuerdo con la figura 6.7, la frontera de la superficie del globo CV viene dada por la parametrización u (w) = ({ (w) > | (w)) =

U (cos w> sin w) > 4

w 5 [0> 2] =

(6.16)

Por tanto, u0 (w) = ({0 (w) > | 0 (w)) =

U ( sin w> cos w) = 4

(6.17)

Nótese que la parametrización dada en (6.16) induce la orientación adecuada en V, dado que el flujo sale del globo aerostático. Teniendo en cuenta (6.13),

6.1. TEOREMA DE STOKES

269

(6.16) y (6.17) podemos evaluar (6.15), de la siguiente manera, Z 2  [u (w)] · u0 (w) gw T = 0

Z =

2

[| (w) {0 (w) + { (w) | 0 (w)] gw

0

= =

Z ¢ U2 2 ¡ 2 sin w + cos2 w gw 16 0 U2 3 1 m s = N 8

 ({> |> }) = Ejercicio 47 Considérese un fluido con un campo de velocidades Y     {| l + |} m + {} n. ¿Cuál es la circulación de Y alrededor de la circunferencia unitaria de orientación positiva en el plano } = 0? Interprétese la respuesta dada. Solución: 0=

6.1.4.

Función corriente

Cuando tenemos flujos bidimensionales,  ({> |) = (Y{ ({> |) > Y| ({> |) > 0) > Y

(6.18)

 como el rotacional de un determipodemos expresar el campo de velocidades Y  nado campo >  = rot >  Y (6.19) siempre que

 = (0> 0> # ({> |)) >

(6.20)

y Y{ Y|

C# > C| C# =  = C{ =

(6.21) (6.22)

 se le denomina función corriente. A la función Para comprobar que las condiciones (6.20)-(6.22) satisfacen (6.19), basta tomar el rotacional en (6.20) y aplicar (6.21)-(6.22), ¯ ¯ ¯ l n ¯ m ¯ ¯  = ¯ C@C{ C@C| C@C} ¯ rot ¯ ¯ ¯ 0 0 # ¯ μ ¶ C# C# = > >0 C| C{ = (Y{ > Y| > 0) = En el siguiente ejemplo se aplica la función corriente al cálculo de un caudal que de otra manera no sería posible.

270

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

Ejemplo 71 Se dispone de un depósito cilíndrico y vertical lleno de agua, cuyo campo de velocidades es  ({> |) = Y

{  |  l 2 m= {2 + | 2 { + |2

Se dispone también de una red cuyo contorno está enmarcado en un cuadro rectangular de altura k y anchura c. Si dicho cuadro se coloca en un plano radial del depósito (véase figura 6.8), de tal manera que el extremo más cercano está a una distancia U del eje de éste, determínese el caudal que atraviesa la red. Considérese que las unidades de todas las magnitudes vienen dadas en el Sistema Internacional.

Figura 6.8: Flujo a través de una red cuyo marco está en un plano radial.

Tal y como se aprecia en la figura 6.8, la red puede estar ligeramente abombada, de tal manera que se puede salir del plano radial en la que está situado el cuadro sobre la que está fijada la red. Por tanto, no podemos parametrizar la superficie V que ocupa la red, siendo imposible la evaluación directa del caudal que pasa por ella, Z gY  · gV=  = Y (6.23) T= gw V

6.1. TEOREMA DE STOKES

271

Ahora bien, como el flujo es bidimensional, podemos buscar una función #  como el rotacional de una función para expresar el campo de velocidades Y  corriente = (0> 0> #) >  = rot >  Y (6.24) de tal manera que aplicando (6.24) y el teorema de Stokes en (6.23), Z  · gV  rot T = V Z  · gu = CV Z # n · gu> =

(6.25) (6.26)

CV

donde ahora CV es el marco de la red que sí está en un plano radial. Sabiendo que las líneas de flujo son circunferencias horizontales, concéntricas al eje del depósito y que se recorren en sentido horario (véase ejemplo 41), tenemos que parametrizar el marco en el sentido indicado en la figura 6.8, para que el caudal hallado sea una cantidad positiva. De este modo, de acuerdo con la figura 6.8, tenemos que F1 F2 F3 F4

: u1 (w) : u2 (w) : u3 (w) : u4 (w)

(w cos > w sin > 0) > w 5 (U> U + c) > (6.27) ((U + c) cos > (U + c) sin > w) > w 5 (0> k) > (6.28) ((U + c  w) cos > (U + c  w) sin > k) > w 5 (0> c) > (6.29) (U cos > U sin > k  w) > w 5 (0> k) = (6.30)

= = = =

Teniendo en cuenta (6.27)-(6.30) en (6.26), obtenemos Z

U+c

T = U

Z

c

+

# [u1 (w)] n · u10 (w) gw +

# [u3 (w)] n · u30 (w) gw +

Z

Z

0

k

0 k

# [u2 (w)] n · u20 (w) gw

(6.31)

# [u4 (w)] n · u40 (w) gw=

0

Ahora bien, derivando en (6.27)-(6.30), u10 (w) u20 (w) u30 (w) u40 (w)

= = = =

(cos > sin > 0) > (0> 0> 1) > ( cos >  sin > 0) > (0> 0> 1) >

(6.32) (6.33) (6.34) (6.35)

y, teniendo en cuenta (6.32)-(6.35) en (6.31), resulta que Z T=

Z

k

# [u2 (w)] gw  0

k

# [u4 (w)] gw= 0

(6.36)

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

272

Busquemos ahora la función # a partir del campo de velocidades dado en el enunciado y las ecuaciones (6.21) y (6.22), de tal manera que C# C| C# C{

= =

| > {2 + | 2 { = {2 + | 2

(6.37) (6.38)

Integrando en (6.37), Z # ({> |) = =

| g| + F ({) + |2 ¡ ¢ 1 log {2 + | 2 + F ({) = 2 {2

(6.39)

Derivando en (6.39) con respecto a { e igualando el resultado a (6.38), tenemos que { C# { = 2 + F 0 ({) = 2 > 2 C{ { +| { + |2 es decir, F ({) = F = fwh> por tanto, la función # resulta ser # ({> |) =

¡ ¢ 1 log {2 + | 2 + F= 2

(6.40)

Teniendo en cuenta en (6.36) las parametrizaciones (6.28) y (6.30) y la expresión de la función # (6.40), llegamos a que ½

¾ h i 1 log (U + c)2 cos2  + (U + c)2 sin2  + F gw 2 0 ¾ Z k½ £ 2 ¤ 1 2 2 2 log U cos  + U sin  + F gw  2 0 = k log (U + c)  k log U> Z

k

T =

es decir,

¶ μ c m3 s1 = T = k log 1 + U

(6.41)

Obsérvese que el caudal T no depende del ángulo , pues el flujo tiene simetría cilíndrica (las líneas de flujo son circunferencias horizontales concéntricas al eje del depósito, véase ejemplo 41). Alternativamente, podemos pensar de la siguiente manera. Si aplicamos de nuevo el teorema de Stokes en (6.25), resulta que Z  · gV  0> T= rot V0

6.1. TEOREMA DE STOKES

273

donde V 0 puede ser cualquier superficie que también tenga como frontera el marco de la red, CV= La superficie V 0 más simple que podemos escoger es la que está en el plano del marco (es decir, un plano radial). Aplicando de nuevo (6.24), tenemos que Z  · gV  0= T= (6.42) Y V0

Recordemos que las líneas de flujo son circunferencias horizontales, concéntricas al eje del depósito, lo cual sugiere un cambio a polares, { = u cos > | = u sin =

(6.43) (6.44)

Además, si hu y h son los vectores unitarios en las direcciones radial y tangencial respectivamente, la relación de éstos con los vectores unitarios cartesianos viene dada por (véase (E.13) y (E.14) del Apéndice E), l = cos  hu  sin  h > (6.45) m = sin  hu + cos  h = (6.46) Teniendo en cuenta (6.43)-(6.46), podemos expresar el campo de velocidades como  (u> ) = sin  (cos  hu  sin  h ) Y u cos  (sin  hu + cos  h )  u 1 =  h = (6.47) u Ahora bien, h es un vector perpendicular a cualquier plano radial, por tanto, según la orientación de V 0 dada en la figura 6.8, tenemos que  0 = h gu g}> (6.48) gV donde u 5 [U> U + c] y } 5 [0> k] = Sustituyendo (6.47) y (6.48) en (6.42), tenemos que Z 1 T = h · h gu g} 0 V u Z k Z U+c gu g} = u 0 ¶ μ U c m3 s1 > = k log 1 + U tal y como habíamos obtenido anteriormente en (6.41).

N

Ejercicio 48 Realícese el ejemplo anterior, pero tomando el siguiente campo de velocidades, ¶ μ | {  ({> |) =  |> + { = Y {2 + |2 {2 + | 2 Solución: |T| = 12 kc (2U + c) m3 s1 .

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

274

6.2.

Campos conservativos

Según vimos en el teorema fundamental de las integrales de línea (5.135), cuando un campo vectorial se puede expresar como el gradiente de un campo  la integral de línea de I se puede evaluar como escalar, I = ui> Z I · gu = i [u (e)]  i [u (d)] > F

donde u (d) y u (e) son los extremos inicial y final respectivamente de la trayectoria F. Es decir, si usáramos otra trayectoria F 0 con los mismos extremos, obtendríamos lo mismo. Por tanto, podemos decir que cuando el campo vectorial se puede expresar como un gradiente, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Este tipo de campos vectoriales I son los que en Física se denominan campos conservativos y al campo escalar i se le denomina potencial. ¿Cuáles son los campos que se pueden expresar como un gradiente? Teorema 16 (Campos conservativos) Sea I un campo vectorial F 1 = Diremos que I es un campo conservativo si satisface alguna de las siguientes proposiciones equivalentes. (l) Para cualquier trayectoria cerrada F, Z

I · gu = 0=

F

(ll) Para cualquier par de trayectorias F1 y F2 que tengan los mismos extremos, Z Z  I · gu = I · gu= F1

F2

(lll) I es el gradiente de alguna función i>  = ui=  I (ly) El rotacional del campo I es el vector nulo, rot I = 0= Demostración. Probaremos la siguiente cadena de implicaciones, (l) $ (ll) $ (lll) $ (ly) $ (l) > lo cual probará el teorema. (l) $ (ll) Según la figura 6.9 podemos ir del punto D al E por medio de dos trayectorias distintas F1 y F2 = Invirtiendo el sentido de la trayectoria F2 tenemos

6.2. CAMPOS CONSERVATIVOS

275

Figura 6.9: Construcción de una trayectoria cerrada F a partir de dos trayectorias F1 y F2 entre D y E= que el camino cerrado F = F1  F2 > por tanto, Z I · gu 0 = F Z I · gu = F1 F2 Z Z  = I · gu + I · gu F1 F2 Z Z = I · gu  I · gu> F1

es decir,

Z

F2

I · gu =

F1

Z

I · gu=

F2

(ll) $ (lll) Sea I = (I{ > I| > I} ) y Fn una trayectoria cualquiera que vaya de D a E= Definamos el campo escalar, Z I · gu= i= Fn

Tomando el origen de coordenadas en D = ({0 > |0 > }0 ), consideremos que el punto E = ({> |> }) = Si tomamos la trayectoria Fn como la que aparece en la figura 6.10, resulta que Z { Z | Z } i ({> |> }) = I{ (w> 0> 0) gw + I| ({> w> 0) gw + I} ({> |> w) gw= {0

|0

}0

(6.49) Observemos que Ci = I} = C} Debido a que la trayectoria Fn puede ser cualquiera, podemos permutar cíclicamente {> |> } en (6.49), de tal manera que Ci = I{ > C{

Ci = I| = C|

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

276

Figura 6.10: Trayectoria que une ({0 > |0 > }0 ) = (0> 0> 0) con ({> |> }) = Por tanto,  = ui=  I  (lll) $ (ly) Si un campo vectorial I se puede expresar como un gradiente, I = ui> ya demostramos en (4.85) que  = 0= rot I = rot ui

(6.50)

(ly) $ (l) Sea V una superficie cuya frontera sea la trayectoria F> tal y como aparece en la figura 6.11. Según el teorema de Stokes y teniendo en cuenta (6.50), R R  = 0. I · gu = V rot I · gV F

Ejemplo 72 En un proyecto de colonización de Marte se pretende construir un canal para conducir el agua de los casquetes polares hasta el ecuador a lo largo de un meridiano (véase figura 6.12). Como el planeta Marte está achatado por los polos, supóngase que la superficie marciana se aproxima a un elipsoide de radio ecuatorial Uh y radio polar Us > donde Uh A Us = Despreciando los efectos de rozamiento, determínese la potencia de bombeo que se consume para conducir el agua por el canal si el caudal que fluye por éste es constante a lo largo de todo el recorrido. Una partícula de masa p que se desplaza en el campo gravitacional marciano está sometida a una fuerza u I = JPp 3 > u

6.2. CAMPOS CONSERVATIVOS

277

Figura 6.11: Superficie V que genera una curva F=

Figura 6.12: ¿Qué potencia se consume al bombear un líquido desde el polo norte hasta el ecuador?

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

278

donde J  6> 67 × 1011 N m2 kg2 es la constante de la gravitación universal, P es la masa del planeta Marte y u es el vector de posición de la partícula con respecto al centro de masas del planeta. El trabajo diferencial gZ que realiza una partícula de masa p que se deplaza infinitesimalmente gu en dicho campo vectorial gravitatorio es gZ = I · gu = JPp

u · gu= u3

˙ es Por tanto, la potencia Z ˙ = gZ = JPp u · gu = Z gw u3 gw Si estamos moviendo una partícula de masa infinitesimal gp> resulta que ˙ = JP gZ

gp u · gu= gw u3

Si la partícula es una partícula de fluido, y ésta es de densidad  constante (como en el caso del agua), entonces gp =  gY> de tal modo que gY u · gu gw u3 u = JP  T 3 · gu> u

˙ gZ

= JP 

donde recordemos que T = gY @gw es el caudal del fluido. Integrando a lo largo de toda la trayectoria F por la que circula el fluido, obtenemos la potencia de bombeo, Z u ˙ T 3 · gu= Z = JP  u F Como el caudal T que discurre por el canal es constante, Z u ˙ · gu= Z = JPT 3 u F

(6.51)

La integral de línea dada en (6.51) exige, en principio, parametrizar la trayectoria por la que discurre el fluido a través del canal. Podemos simplificar mucho el cálculo si nos damos cuenta de que el campo I = u@u3 es irrotacional, por lo que puede como el gradiente un potencial. Efectivamente, aplicando ³ expresar ´   × I > (4.86), rot i I = i rot I + ui μ rot

u u3

¶ =

1  rot u + u u3

μ

1 u3

¶ × u=

 (up ) = p up2 u> resulta que Tomando p = 3 en (4.6), u μ ¶  1 =  3 u> u u3 u5

(6.52)

6.2. CAMPOS CONSERVATIVOS de tal manera que

μ  u

Por otro lado,

1 u3

279

¶ × u = 

3 u × u = 0= u5

¯ ¯ l m ¯ rot u = ¯¯ C@C{ C@C| ¯ { |

n C@C} }

(6.53)

¯ ¯ ¯ ¯ = 0= ¯ ¯

(6.54)

Por tanto, sustituyendo (6.53) y (6.54) en (6.52), μ ¶ u rot 3 = 0= u De este modo, según el teorema de los campos conservativos, existe un potencial i (u) > tal que ({> |> }) u  = = ui= 2 u3 ({ + | 2 + } 2 )3@2

(6.55)

Para calcular i apliquemos (6.49), tomando como punto D = ({0 > 0> 0) > de tal modo que, Z | Z } Z { I{ (w> 0> 0) gw + I| ({> w> 0) gw + I} ({> |> w) gw i ({> |> }) = { 0 0 Z | Z } Z {0 gw w gw w gw + + = 2 3@2 3@2 2 2 2 w {0 0 ({ + w ) 0 ({ + | 2 + w2 ) ¯ } ¯| ¯{ ¯ ¯ 1¯ 1 1 ¯ ¯  p =  ¯¯  s ¯ w {2 + w2 ¯ {2 + | 2 + w2 ¯ {0

=

0

0

1 1 p = 2 {0 { + |2 + } 2

En definitiva, llamando F a la constante 1@{0 , resulta que, 1 (6.56) i (u) =  + F= u De este modo, si inicialmente el agua del canal parte del polo, u (d) = Us > y llega al ecuador u (e) = Uh > según (6.55) y (5.135), Z Z u  · gu · g u = ui 3 F u F = i [u (e)]  i [u (d)] 1 1  = (6.57) = Us Uh Sustituyendo (6.57) en (6.51), obtenemos, finalmente, μ ¶ ˙ = JPT 1  1 = Z N Uh Us

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

280

 ({> |> }) = Ejercicio 49 Determínese la circulación del campo de velocidades Y |} l + {} m + {| n alrededor de la curva F formada por la intersección del cilindro {2 + | 2 = 1 y el plano { + 2| + 3} = 1> estando orientada F en sentido antihorario. Solución: 0=

6.3.

Teorema de Gauss

El teorema de la divergencia surgió en relación con la electrostática, y debería darse crédito conjunto tanto a Gauss como al matemático ruso Ostrogradsky. En él se relacionan las integrales de superficie con las integrales de volumen. De este modo, la cantidad de flujo  de un campo vectorial I a través de una superficie cerrada V es igual a la integral de div I sobre el volumen  que encierra la superficie V. Por tanto, la superficie V es la frontera del volumen > V = C. Teorema 17 (Gauss-Ostrogradsky) Sea   R3 una región en el espacio del tipo IV y denotemos por C a la superficie cerrada orientada que es la frontera de = Si I es un campo vectorial F 1 en > entonces, Z Z   div I gY = I · gV= (6.58) 

C

Obsérvese que podemos extender el teorema de Gauss a cualquier región que pueda partirse en regiones del tipo IV. Nota 6 Si denotamos el campo vectorial como I = (I1 > I2 > I3 ) y las coordenadas cartesianas por u = ({1 > {2 > {3 ), para demostrar el teorema de Gauss, lo que se demuestra es lo siguiente, Z Z CIn gY = In qn gV> n = 1> 2> 3= (6.59)  C{n C De este modo, sumando el índice n en (6.59), tenemos que 3 Z 3 Z X X CIn gY = In qn gV>  C{n C

n=1

es decir,

n=1

Z X 3 CIn  n=1

C{n

Z gY =

3 X

In qn gV>

C n=1

o bien, según la definición de divergencia (4.98) y la de producto escalar, Z Z  div I gY = I · q gV> 

como se tiene en (6.58).

C

6.3. TEOREMA DE GAUSS

281

Corolario 18 Si V es una superfice cerrada cualquiera, entonces, Z  = 0= gV

(6.60)

V

 $ Demostración. Basta tomar en (6.58) un campo vectorial constante, I = fwh, de tal manera que div I = 0, Z Z Z   = I · 0= div I gY = gV> (6.61) I · gV 

C

C

como I es arbitrario, para que se satisfaga (6.61), necesariamente, Z  = 0> gV C

donde C es una superficie cerrada cualquiera.  ({> |> }) = Ejemplo 73 El campo de velocidades en un fluido viene dado por Y {| 2 l + {2 | m + |3 n , en unidades del Sistema Internacional. Determínese el caudal que pasa a través de la superficie V del cilindro cuya superficie lateral es {2 + | 2 = 1, acotada por los planos } = 1 y } = 1 e incluyendo las porciones {2 + | 2  1 cuando } = ±1.

Figura 6.13: Flujo a través de un cilindro coaxial con el eje } de radio unidad y limitado por los planos } = ±1= Según (5.173) tenemos que calcular la integral de superficie, Z  · gV=  Y T= V

(6.62)

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

282

Es posible calcular (6.62) directamente, pero es más fácil usar el teorema de la divergencia. Aplicando el teorema de Gauss (6.58), Z  gY> div Y T= 

donde  es la región del espacio dada por {2 + | 2  1 y 1  }  1= Como  = div Y resulta que

CY} CY{ CY| + + = | 2 + {2 > C{ C| C} Z

¡ 2 ¢ { + | 2 g{ g| g}

T =

 1

Z

Z

g}

= 1

Z

= 2

¡ 2 ¢ { + | 2 g{ g|

G

¡ 2 ¢ { + | 2 g{ g|>

(6.63)

G

donde G es la región en el plano que cumple {2 +| 2  1= Para evaluar la integral doble que aparece en (6.63), podemos realizar un cambio a coordenadas polares, { = u cos > | = u sin > donde u 5 [0> 1] y  5 [0> 2] = Sabiendo que el jacobiano en polares es (5.39), C ({> |) = u> C (u> ) y que {2 + | 2 = u2 > tenemos que Z Z ¡ 2 ¢ { + | 2 g{ g| = G

Z

2

0

1

u3 gu =

g 0

 = 2

(6.64)

Sustituyendo (6.64) en (6.63), obtenemos, finalmente, T =  m3 s1 =

N

Ejercicio 50 Realizar el ejercicio anterior sin usar el teorema de Gauss.

6.3.1.

Fuentes y sumideros

El significado físico de la divergencia de un campo de velocidades en un fluido  en el punto u es que div Y  (u) es la tasa de caudal neto T hacia el exterior en Y u por unidad de volumen. Si  es una región esférica en R3 de radio ( centrada en u> según (5.173), el caudal que atraviesa la frontera de la región ( es Z  · gV=  T (C( ) = Y (6.65) C(

6.3. TEOREMA DE GAUSS

283

Según el teorema de Gauss (6.58) y el teorema del valor medio (5.75), Z Z  gY = div Y  (t) Y (( ) >   div Y (6.66) Y · gV = C(

(

donde t 5 ( y Y (( ) es el volumen de la región ( , es decir, el de una esfera de radio (. De (6.65) y (6.66), resulta que  (t) = div Y

T (C( ) = Y (( )

Tomando el límite cuando ( $ 0,  (u) = div Y =

 (t) l´ım div Y

($0

T (C( ) = ($0 Y (( ) l´ım

 (u) A 0, tenemos que en u hay un caudal neto por De este modo, si div Y unidad de volumen hacia el exterior. Es decir, el punto u se comporta como  (u) ? 0, hay un una fuente de la que mana caudal. Por el contrario, si div Y caudal neto por unidad de volumen hacia el interior, por lo que decimos que en u hay un sumidero. Cuando tenemos un campo de velocidades en el que  (u) = 0 para todos los puntos u, entonces, en dicha región no hay ni fuentes div Y ni sumideros, por lo que el caudal que entra en ésta es el mismo que el que sale. Decimos entonces que el flujo es no divergente. Es importante recordar que la interpretación del signo de la divergencia como una fuente o un sumidero sólo sirve para fluidos de densidad constante, pues (6.65) únicamente es válida para flujos de densidad constante, véase (5.173).

CAPÍTULO 6. TEOREMAS INTEGRALES

284

6.4.

Autoevaluación

1. La vorticidad de un fluido se define como: a) la divergencia del campo de velocidades de dicho fluido. b) la circulación del campo de velocidades. c) el gradiente de la densidad de dicho fluido. d) el rotacional del campo de velocidades de dicho fluido. 2. Si un campo es conservativo, en general, no se cumple que: a) su rotacional es el vector nulo. b) la integral de línea a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nula. c) la divergencia es nula. d) el campo se puede expresar como el gradiente de un campo escalar. 3. Si una partícula vuelve al punto de partida realizando un trabajo nulo, entonces, no siempre se cumple que: a) la fuerza que ha actuado sobre la partícula es nula. b) la fuerza que ha actuado sobre la partícula se puede expresar como el gradiente de un campo escalar. c) el rotacional de la fuerza que ha actuado sobre la partícula es el vector nulo. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 4. El campo de velocidades de un fluido se puede expresar como el rotacional de un campo vectorial I : a) siempre que el flujo del fluido sea bidimensional. b) siempre que I = (0> 0> I} ({> |)). c) las opciones a) y b) simultáneamente. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 5. El caudal que atraviesa una determinada superficie V debido al flujo de  , es igual a: un fluido, cuyo campo de velocidades es Y a) la integral de superficie del vector M en V. b) la circulación de la función corriente (si ésta existe) a lo largo de CV.  en una región , tal que C = V. c) la integral de volumen de Y  a través de una superficie V 0 , siempre d) la integral de superficie de Y 0 y cuando CV = CV.

6.4. AUTOEVALUACIÓN

285

6. Si V es una superficie cerrada, entonces: ¯ ¯R ¯  ¯¯ = 0. a) ¯ V gV ¯ ¯R ¯  ¯¯ A 0. b) ¯ V gV R  = 0. c) V gV R  A 0. d) V gV 7. El caudal que atraviesa una superficie cerrada V debido al flujo de un  , es igual a: fluido, cuyo campo de velocidades es Y a) la integral de superficie extendida a la superficie V del rotacional del . campo de velocidades Y b) la integral de volumen encerrado por dicha superficie V de la diver. gencia del campo de velocidades Y  a lo largo de una curva c) la integral de línea de campo de velocidades Y F limitada por la superficie V. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 8. El caudal del flujo de un fluido que atraviesa una superficie V es igual al que atraviesa otra superficie V 0 , si: a) ambas superficies tienen la misma área. b) ambas superficies tienen la misma frontera. c) la opción a) siempre y cuando el flujo sea uniforme. d) la opción b) siempre y cuando la frontera sea una curva abierta.

Capítulo 7

Fluidos ideales “Toda la teoría del movimiento de los fluidos se ha reducido a la solución de fórmulas analíticas” (L. Euler). Con el presente capítulo sobre fluidos ideales se inicia el estudio de la Dinámica de Fluidos. Cuando los efectos de la viscosidad en un fluido son despreciables en su dinámica, decimos que el fluido se comporta como un fluido ideal o perfecto. De todas maneras, comenzaremos el capítulo deduciendo un resultado general de la Dinámica de Fluidos, ya sean ideales o viscosos, la llamada ecuación de continuidad. A continuación, presentaremos la ecuación de Euler, que junto con la ecuación de continuidad, determinan la dinámica de un fluido ideal. En el caso de flujos adiabáticos, aplicando la ecuación de Euler estudiaremos el fenómeno de la separación. Veremos también como la ecuación de Euler se simplifica en el caso de un flujo estacionario e irrotacional. Cuando el fluido ideal está en un régimen estacionario y su densidad es constante, de la ecuación de Euler se puede deducir la ecuación de Bernoulli, la cual tiene un gran interés desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas.

7.1.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad expresa la conservación de la masa en un fluido en movimiento y parte del principio básico de que la materia “ni se crea ni se  ({> |> }> w) como destruye”. Para deducirla, consideremos el campo vectorial Y el campo de velocidades en el seno de un fluido y  ({> |> }> w) como el campo escalar de su densidad. Obsérvese que la masa p en el interior de una región  del fluido viene dada por Z Z gp =  gY= (7.1) p= 



Por otro lado, de acuerdo con (5.172), Z gp  =± M · gV= gw C 287

(7.2)

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

288

Por tanto, si derivamos con respecto a w en (7.1) e igualamos el resultado a (7.2), tomando la orientación de la superficie dada en la figura 7.1, resulta que Z Z g   gY =  M · gV= (7.3) gw  C

Figura 7.1: La tasa de cambio de la masa de fluido en  es igual a la tasa de cambio a la cual la masa de fluido cruza C= Introduciendo la derivada total dentro de la integral como derivada parcial y aplicando el teorema de la divergencia, podemos escribir (7.3) como Z Z C gY =  div M gY>  Cw  es decir,

Z μ 

¶ C  + div M gY = 0= Cw

(7.4)

Como (7.4) ha de cumplirse para cualquier región > entonces, C + div M = 0= Cw Recordando ahora (4.100), tenemos que ³ ´  =  div Y  +Y  · u>  div M = div  Y por tanto, C  +Y  · u  = 0> +  div Y Cw

(7.5)

7.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

289

o más compactamente, en términos de la derivada material (4.80), 1 g  = 0= + div Y  gw

(7.6)

La ecuación (7.5) se denomina ecuación de continuidad. Esta ecuación no determina el movimiento de un fluido, pero siempre se ha de cumplir. Cuando la densidad es constante,  = fwh> la ecuación de continuidad se convierte en  = 0= div Y

(7.7)

Aplicando el teorema de Gauss, según (7.7), resulta que Z Z   · gV  = 0= div Y gY = Y 

C

Pero, según la definición de caudal (5.173), Z  · gV  = 0= Y T (C) =

(7.8)

C

Es decir, cuando la densidad es constante,  = fwh, la ecuación de continuidad nos dice que el caudal de fluido T que atraviesa una región cerrada C es nulo.  se puede expresar como el rotaPor otro lado, si el campo de velocidades Y cional de otro campo (véase sección 6.1.4),  = rot >  Y

(7.9)

 = 0= Efectivamente, tomando la diverentonces, el flujo es no divergente, div Y gencia en ambos miembros de (7.9) y aplicando (4.104), resulta que ³ ´  = div rot  = 0= div Y Por tanto, si el flujo proviene de un rotacional y es de densidad constante, la ecuación de continuidad (7.7) se cumple automáticamente. Ejemplo 74 Si el campo de velocidades de un fluido viene dado por ¶ μ { |  ({> |) = > > Y {2 + |2 {2 + | 2 determínese la densidad del flujo en el estado estacionario. El fluido ha de satisfacer la ecuación de continuidad (7.6), 1 g  = 0= + div Y  gw

(7.10)

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

290 Como, según el enunciado, Y{

=

Y|

=

| > + |2 { > {2 + | 2 {2

tenemos que  div Y

CY{ CY| + C{ C| 2{| 2{| =  2 + 2 2 2 ({ + | ) ({ + | 2 )2 = 0=

=

(7.11)

 = 0, la densidad  no tiene por qué ser consObservemos que, aunque div Y tante, (en caso contrario, sí, es decir, si la densidad es constante, el campo es no divergente). Por tanto, sustituyendo (7.11) en (7.10), resulta que g = 0= gw

(7.12)

Como estamos buscando la solución estacionaria,  =  ({> |) no depende del tiempo, por tanto, g gw

= = =

C  +Y Cw (|> {) {2 + | 2 1 2 { + |2

 · u ¶ μ C C > · C{ C| ¶ μ C C { = | C{ C|

(7.13)

Sustituyendo (7.11) en (7.12), resulta que |

C C { = 0= C{ C|

(7.14)

La ecuación (7.14) es una ecuación diferencial en derivadas parciales. Un método usual para resolver este tipo de ecuaciones es el de separación de variables1 . Para aplicarlo, supondremos que  se puede factorizar de la siguiente manera,  ({> |) = [ ({) \ (|) = (7.15) Sustituyendo (7.15) en (7.14), tenemos que |[ 0 ({) \ (|)  {[ ({) \ 0 (|) = 0> 1 R. Haberman, Elementary Applied Partial Dierential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems, Prentice-Hall, New Jersey, 1987.

7.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD o bien

[ 0 ({) = {[ ({) | {z } Función de {

291

\ 0 (|) = |\ (|) | {z }

(7.16)

Función de |

La única manera de que se cumpla (7.16) es siendo ambos miembros de (7.16) iguales a una constante, [ 0 ({) {[ ({) \ 0 (|) |\ (|)

= >

(7.17)

= =

(7.18)

Despejando de (7.17) e integrando, Z

g[ = [

Z {g{

$

es decir,

μ [ ({) = N1 exp

 2 { + F1 > 2

log [ =

{2 2

¶ >

(7.19)

donde N1 es una constante de integración. Procediendo análogamente en (7.18), llegamos a μ 2¶ | = (7.20) \ (|) = N2 exp 2 Sustituyendo ahora (7.19) y (7.20) en (7.15), " ¡ ¢#  {2 + |2 >  ({> |) = F exp 2

(7.21)

donde F y  son constantes que tenemos que determinar a partir de las condiciones del problema. En coordenadas polares, { = u cos > | = u sin > observemos que la densidad sólo depende de la coordenada radial u> ¸ u2  (u) =  (0) exp > 2 

(7.22)

donde  (0) = F= Obsérvese que, para que tengamos densidades finitas (por tanto, físicamente admisibles) en u $ 4> necesariamente,   0= N

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

292

7.2.

Ecuación de Euler

Consideremos un fluido no viscoso moviéndose en el espacio con un campo  . Si tenemos una porción cualquiera de fluido , las fuerzas de velocidades Y debidas a la presión actúan a lo largo de la normal q de la frontera de la porción de fluido, C. Por tanto, si gIS es la fuerza diferencial debida a la presión S que actúa sobre el elemento diferencial de superficie gV de la frontera C, según la figura 7.2, tenemos que  gIS = S q gV = S gV=

Figura 7.2: La fuerza debida a la presión S que experimenta una partícula de fluido ocupando una región  actúa a través de la frontera de dicha región C. Integrando todos los elementos de la frontera, la fuerza total debida a la presión IS que experimenta la porción de fluido que se halla en la región , Z  S gV= (7.23) IS =  C

Si h es un vector fijo en el espacio, IS · h = 

Z C

 S h · gV=

³ ´ Aplicando el teorema de la divergencia y la identidad (4.100), div i I =  i div I + I · ui> Z S · h =  div (S h ) gY I Z ³ ´  S div h + h · uS gY =   Z  gY> = h · uS 

7.2. ECUACIÓN DE EULER

293

debido a que h es un vector fijo en el espacio, por lo que div h = 0. De este modo, como h es un vector arbitrario, Z  gY= (7.24) IS =  uS 

Si, además, la porción de fluido está sometida a un campo gravitatorio, la fuerza total I que actúa sobre dicha porción de fluido será I = IS + pj >

(7.25)

donde p es la masa de la porción de fluido. Sustituyendo (7.1) y (7.24) en (7.25), tenemos que Z Z    gY I =  uS gY + j  Z ³ ´  j  uS gY= (7.26) = 

Aplicando ahora la segunda ley de Newton a la porción de fluido que se encuentra en  de masa p y densidad  que experimenta una fuerza I ,  gY I = p = gw

(7.27)

Aplicando (7.1) a (7.27), tenemos que  gY I = gw

Z

Z  gY =



 

 gY gY= gw

(7.28)

Comparando (7.26) y (7.28) y teniendo en cuenta que  es una región cualquiera del espacio, concluimos que 

 gY  = j  uS= gw

(7.29)

 @gw denota el ritmo de cambio del campo vectorial Y  de una La derivada gY  partícula de fluido transportada por el flujo. Es decir, gY @gw es la derivada material, por lo tanto, aplicando (4.82), ³ ´   gY CY  ·u  Y = = + Y gw Cw

(7.30)

Sustituyendo (7.30) en (7.29), obtenemos, finalmente, ³ ´   CY  ·u  Y  = j  uS = + Y Cw 

(7.31)

Esta ecuación se denomina ecuación de Euler. Junto con la ecuación de continuidad (7.5) determinan la dinámica del fluido. Ambas ecuaciones fueron

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

294

deducidas por primera vez por Leonhard Euler en 1755 en un artículo titulado “Principios Generales del Movimiento de los Fluidos”. Obsérvese que en la deducción de la ecuación de Euler no hemos tenido en cuenta la disipación de la energía debida al rozamiento interno producido por la viscosidad. Por tanto, la ecuación de Euler es una buena aproximación para describir la dinámica de un fluido cuando los efectos de la viscosidad son despreciables. Denominamos a estos fluidos perfectos o ideales. De esta manera, (7.31) determina la dinámica de un fluido no viscoso en un campo gravitacional.

7.2.1.

Condiciones de contorno

Cuando tenemos un fluido ideal que se mueve en el interior de un recipiente fijo (o un cuerpo sólido fijo está en el interior de un fluido ideal en movimiento), obviamente, el fluido no puede penetrar en el interior de las paredes del recipiente (ni tampoco en la superficie del sólido). Si q es el vector normal a la superficie en contacto con el fluido, la condición de contorno que habrá que imponer a la ecuación de Euler (7.31) será que no exista componente normal del campo de velocidades sobre dicha frontera entre el fluido y el sólido, es decir, ¯  ¯¯ Y

frontera

· q = 0=

(7.32)

Cuando las paredes del recipiente y/o el cuerpo sólido se mueven a una ve , la condición (7.32) se ha de reescribir teniendo en cuenta la velocidad locidad X  X  > entre el fluido y el sólido, relativa, Y ³ ´¯  X  ¯¯ Y

frontera

· q = 0=

(7.33)

Ejemplo 75 Considérese que por el estrechamiento de una tubería circula agua de mar, tal como indica la figura 7.3. Si en la tubería entran 10 kg s1 > determínese el caudal que sale por el otro extremo de la tubería. Dato: densidad del agua del mar, 1> 03 × 103 kg m3 = Tomemos como región  el volumen que ocupa el estrechamiento de la tubería. Obsérvese que, debido a la condición de contorno (7.32), sobre las paredes de la tubería, ¯  ¯¯  = 0= Y · gV (7.34) Cp a r e d

Según la figura 7.3, la frontera de la región  está constituida por la pared y las superficies por las que entra y sale el fluido, C = Cpared + Cin + Cout >

7.2. ECUACIÓN DE EULER

295

Figura 7.3: Circulación de un fluido de densidad constante por el estrechamiento de una tubería. por tanto, Z

 · gV  Y

T (C) = Z

C

 · gV + Y = Cp a r e d Z Z   Y · gV + = Ci n

Z

 · gV + Y

Ci n

 · gV>  Y

Z

 · gV  Y

Co u t

(7.35)

Co u t

donde hemos aplicado (7.34). Sabiendo que el caudal de fluido T que atraviesa una región cerrada C es nulo, T (C) = 0, (7.8); y denominando al caudal entrante y saliente como Z  · gV>  Tin = Y ZCi n Tout

=

 · gV>  Y

Co u t

tenemos que (7.35) se puede escribir como Tin + Tout = 0> o bien |Tin | = |Tout | =

(7.36)

La ecuación (7.36) quiere decir que si el fluido es de densidad constante, el caudal entrante es igual al caudal saliente, en valor absoluto (recuérdese que el signo en el caudal indicaba si el flujo era entrante o saliente). Dicho de otra manera, a lo largo de una tubería por la que circula un fluido de densidad

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

296

constante, el caudal se mantiene constante. Como el caudal se define como el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo, T = gY @gw (5.173), y como en un fluido de densidad constante gp =  gY , a partir de (7.36), el caudal saliente resulta ser ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ gYin ¯ ¯ 1 gpin ¯ ¯=¯ ¯  9> 709 × 103 m3 s1 = |Tout | = ¯¯ N gw ¯ ¯  gw ¯  de un fluido ideal queda Conviene destacar que el campo de velocidades Y determinado no sólo imponiendo la ecuación de continuidad (7.5) y la ecuación de Euler (7.31), sino que, además, hemos de imponer las condiciones de contorno del recipiente que contiene al fluido (7.32) y unas condiciones iniciales de presión y densidad en el fluido.

7.2.2.

Hidrostática

 = 0, Cuando un fluido está en reposo, su campo de velocidades es nulo, Y por tanto, la ecuación de Euler (7.31) resulta ser, en este caso,  = j = uS

(7.37)

Desglosando (7.37) por componentes, ¶ μ CS CS CS > > = (0> 0> j) > C{ C| C} es decir, CS@C{ = CS@C| = 0. Por tanto, la presión S es una función dependiente únicamente de la altura, S ({> |> }) = S (}). De este modo, gS = j= g}

(7.38)

Sabiendo cómo varía la densidad con la altura  =  (}), podemos tratar de integrar (7.38) para determinar cómo varía la presión con la altura. En el caso de que tengamos un fluido de densidad constante, la integración de (7.38) es inmediata, Z

Z

S (}2 )

S (}2 )  S (}1 ) =

}2

gS = j S (}1 )

g} = j (}1  }2 ) > }1

es decir, S = jk=

(7.39)

La ecuación (7.39) ya la habíamos obtenido en (1.3). Ejemplo 76 Si la temperatura en la troposfera disminuye linealmente con la altitud, determínese cómo disminuye la presión con la altitud.

7.2. ECUACIÓN DE EULER

297

Si suponemos que la atmósfera se comporta como un gas ideal, según vimos anteriormente en (1.1), Pp S  (W> S ) = > (7.40) UW donde Pp es la masa molecular del aire y U la constante de los gases ideales. Sustituyendo (7.40) en (7.38), Pp j gS = g}= S UW

(7.41)

Según el enunciado, la temperatura en la troposfera disminuye linealmente con la altitud, por tanto, W (}) = W0  }> (7.42) donde W0 = W (0) es la temperatura al nivel del mar, } = 0.

Figura 7.4: En la troposfera, la temperatura del aire disminuye linealmente con la altitud. Sustituyendo (7.42) en (7.41) e integrando, Z

S

S0

Pp j gS = S U

Z 0

}

g} > W0  }

donde S0 = S (0) es la presión a nivel del mar. Resolviendo, μ μ ¶ ¶ W0  } S Pp j log log = > S0 U W0

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

298 es decir,

μ S (}) = S0

7.3.

W0  } W0

¶Pp j@U =

N

Flujos de densidad constante

En una gran variedad de flujos de líquidos (y también en algunos de gases), no existe una expansión o compresión apreciable del fluido a lo largo de su movimiento y, por tanto, podemos considerar que tienen un flujo incompresible. En la sección 1.7.2 vimos que todos los fluidos de densidad constante son incompresibles, pero no al revés. Para flujos de densidad constante recordemos que la ecuación de continuidad se reduce a (7.7),  = 0> div Y

(7.43)

es decir, el campo de velocidades es no divergente, sin fuentes ni sumideros (véase sección 6.3.1). Para flujos de densidad constante, podemos reescribir la ecuación de Euler (7.31) introduciendo  dentro del gradiente y teniendo en  (j}), cuenta que j = j n = u ¶ μ ³ ´  CY S     + Y · u Y = u + j} = (7.44) Cw  la identidad de análisis vectorial (4.91), ³Podemos ´ expresar ³ ´ (7.44)³ aplicando ´           +J  × rot I , tomando I = u I · J = I · u J + J · u I + I × rot J  =Y  , de tal manera que J ¶ μ ³ ´ 1  ¯¯  ¯¯2  × rot Y =    (7.45) Y · u Y = u ¯Y ¯  Y 2 Sustituyendo (7.45) en (7.47) y agrupando términos, μ ¯ ¯ ¶  2 CY  × rot Y  = u  1 ¯¯Y  ¯¯ + S + j} = Y Cw 2 

(7.46)

Tomando el rotacional en ambos lados de ³(7.46) ´ y teniendo en cuenta que  un campo gradiente es irrotacional (4.85), rot ui = 0, resulta que ´ ³ ´ C ³  = rot Y  × rot Y  > rot Y Cw o bien, en términos del vector vorticidad (6.11), ³ ´ C $  ×$ = rot Y  = Cw

(7.47)

La ecuación (7.47) es la ecuación de Euler para flujos de densidad constante. = Obsérvese que ahora (7.47) involucra únicamente al campo de velocidades Y

7.3. FLUJOS DE DENSIDAD CONSTANTE

299

Ejemplo 77 Se dispone de un recipiente cilíndrico de radio U y altura 2k relleno hasta la mitad de un líquido de densidad constante. Determínese la velocidad angular máxima a la que podemos girar el recipiente en torno a su eje para que el líquido no se salga del recipiente. Debido a la selección de ejes que aparece en la figura 7.5, tenemos que la  = (0> 0> ). Tomando u = ({> |> }), resulta que velocidad angular es ¯ ¯ ¯ l m n ¯ ¯ ¯  =  × u = ¯ 0 0 ¯ = ( |> {> 0) > Y ¯ ¯ ¯ { | } ¯ es decir, Y{ Y| Y}

=  |> = {> = 0=

(7.48) (7.49) (7.50)

Figura 7.5: La superficie de un líquido rotante adquiere la forma de un paraboloide de revolución. En primer lugar, observemos que las componentes del campo de velocidades (7.48)-(7.50) satisfacen la ecuación de continuidad para flujos de densidad constante (7.43),  = CY{ + CY| + CY} = 0= div Y C{ C| C} Notemos también que como = fwh> el flujo es estacionario,  CY = 0= Cw

(7.51)

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

300

Por otro lado, según (7.48)-(7.50), ¶ μ CY{ CY{ CY{  { = > > = (0>  > 0) > uY C{ C| C} ¶ μ CY| CY| CY|  | = uY > > = ( > 0> 0) > C{ C| C} ¶ μ CY} CY} CY}  } = uY > > = (0> 0> 0) = C{ C| C} Por tanto, de acuerdo con la definición dada en (4.81), ³ ´ ´ ³  ·u  Y  · uY  |> Y  · uY  }  =  · uY  {> Y Y Y ¡ ¢ =  2 {>  2 |> 0 =

(7.52)

Aplicando ahora la ecuación de Euler para flujos de densidad constante (7.44), ¶ μ ³ ´  CY S     + Y · u Y = u + j} > Cw  teniendo en cuenta (7.51) y (7.52), llegamos a ¶ μ S  + j} = 2 ({> |> 0) = u 

(7.53)

Llamando, i= tenemos que

S + j}> 

(7.54)

 = 2 ({> |> 0) = ui

Desglosando en componentes, Ci C{ Ci C| Ci C}

= 2 {>

(7.55)

= 2 |>

(7.56)

= 0=

(7.57)

Integrando (7.55) con respecto a {, i ({> |> }) =

2 2 { + j1 (|> }) > 2

(7.58)

donde j1 (|> }) es una constante de integración que depende de las variables con respecto a las que no se ha integrado. Derivando (7.58) con respecto a | e igualando el resultado con (7.56), Cj1 Ci = = 2 |= C| C|

(7.59)

7.3. FLUJOS DE DENSIDAD CONSTANTE

301

Integrando en (7.59) con respecto a |, j1 (|> }) =

2 2 | + j2 (}) > 2

(7.60)

donde j2 (}) es una constante de integración que depende únicamente de la variable } (la variable con respecto a la que no se ha integrado). Sustituyendo (7.60) en (7.58), ¢

2 ¡ 2 i ({> |> }) = { + | 2 + j2 (}) = (7.61) 2 Derivando en (7.61) con respecto a } e igualando el resultado con (7.57), Ci = j20 (}) = 0> C} es decir, j2 (}) = F1 >

(7.62)

donde F1 es una constante de integración. Sustituyendo (7.62) en (7.61), i ({> |> }) =

¢

2 ¡ 2 { + |2 + F1 = 2

(7.63)

Recordando ahora (7.54), podemos escribir (7.63) como ¢

2 ¡ 2 S ({> |> }) +} { + |2 = F2 = j 2j

(7.64)

Sea u0 = ({0 > |0 > }0 ) un punto de la superficie del fluido. Obsérvese que todo punto de la superficie del fluido está sometido a la presión atmosférica S0 = S ({0 > |0 > }0 ) = fwh. Como el fluido es de densidad constante, tenemos también que j = fwh> por tanto, en la superficie del fluido (7.64) se convierte en ¢

2 ¡ 2 {0 + |02 = F> (7.65) }0  2j donde F es una constante. La ecuación (7.65) corresponde a un paraboloide de revolución. Si ( es la distancia de un punto de la superficie del líquido al eje de rotación, tenemos que (2 = {20 + |02 . Por tanto, podemos expresar (7.65) como }0 (() =

2 2 ( + F= 2j

(7.66)

La ecuación (7.66) da la altura de un punto de la superficie }0 en función de la distancia ( de dicho punto al eje de rotación. En la figura 7.6 se ha representado el perfil de la superficie del líquido rotante, }0 ((). Obsérvese que, como el fluido es de densidad constante, al ponerlo en movimiento, su volumen no varía. Si centramos el origen de coordenadas sobre el eje de

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

302

Figura 7.6: Vista lateral de la superficie de un fluido rotante. rotación a la altura del líquido en reposo, esta condición de densidad constante se puede expresar como Z U }0 (() g( = 0> (7.67) 0

donde U es el radio del recipiente. Cabe señalar que la condición (7.67) es aplicable siempre y cuando la altura del líquido en su centro, }0 (0), esté por encima de su profundidad inicial, k, }0 (0) A k=

(7.68)

Sustituyendo (7.66) en (7.67), Z 0= 0

U

μ

¶

2 2

2 3 ( + F g( = U + FU> 2j 6j

es decir,

2 2 U = 6j

(7.69)

μ ¶ U2 (2  = 3

(7.70)

F= Sustituyendo (7.69) en (7.66), }0 (() =

2 2j

Para obtener la velocidad angular máxima de rotación m´ax para que el fluido no se salga del recipiente, tenemos que imponer la condición k = }0 (U) =

2m´ax 2 U > 3j

7.4. FLUJOS ADIABÁTICOS

303

es decir,

s 3jk = (7.71) U Es preciso recordar que la solución dada en (7.71) es válida siempre y cuando se satisfaga la condición (7.68). Por tanto, a partir de (7.70) y (7.68) tenemos que

2 U2 A k> }0 (0) =  6j

m´ax =

es decir,

s 6jk = (7.72) U Como podemos observar, (7.71) siempre satisface (7.72), por lo que siempre es un resultado válido para este problema. N

?

Ejercicio 51 Un recipiente cilíndrico, cerrado y lleno de agua, está rotando a una velocidad angular constante con respecto a su eje, que permanece fijo y en posición horizontal. Determínese la forma de las superficies que se encuentran ¢ 2 ¡ a la misma presión (superficies isobáricas). Solución: }  2j | 2 + } 2 = fwh=

7.4.

Flujos adiabáticos

Recordemos que la energía interna X de un sistema termodinámico es la energía total contenida en él. Según el Primer Principio de la Termodinámica, los sistemas termodinámicos pueden variar su energía interna X intercambiando calor T y trabajo Z con el exterior. Por tanto, un cambio infinitesimal de energía interna vendrá dado por gX = gT  gZ=

(7.73)

Si el trabajo gZ intercambiado es de tipo mecánico, produciéndose una variación infinitesimal de volumen gY en el sistema, tenemos que gZ = S gY>

(7.74)

Por otro lado, según el Segundo Principio de la Termodinámica, cuando se produce un intercambio de calor gT con el ambiente, la variación infinitesimal de la entropía gV en un sistema viene dada por gV =

gT > W

(7.75)

donde W es la temperatura absoluta. Sustituyendo (7.74) y (7.75) en (7.73) tenemos que gX = W gV  S gY= (7.76) Ahora bien, la entalpía K se define como la energía total para crear un sistema termodinámico de volumen Y en un entorno a presión S . Por tanto, la

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

304

entalpía debe incluir la energía interna del sistema que queremos crear X y el trabajo mecánico para dejarle espacio en el entorno S Y , es decir, K = X + S Y=

(7.77)

Difenciando en (7.77), la variación infinitesimal de entalpía vendrá dada por gK = gX + S gY + Y gS=

(7.78)

Sustituyendo (7.76) en (7.78), resulta que gK = W gV + Y gS=

(7.79)

Si consideramos un fluido como un sistema termodinámico en el que no hay intercambio de calor con el exterior (es decir, evoluciona adiabáticamente), tenemos que, gT = 0> que, según (7.75), quiere decir que gV = 0>

(7.80)

es decir, su entropía es constante a lo largo del tiempo (evolución isoentrópica). Por tanto, sustituyendo (7.80) en (7.79), resulta que gK = Y gS=

(7.81)

Tomando las variables extensivas2 K y Y por unidad de masa: k = K@p y y = Y @p = 1@ (entalpía y volumen específicos respectivamente), podemos expresar (7.81) como gS = (7.82) gk =  Recordando ahora que la variación infinitesimal de un campo escalar viene  · gu, véase (4.17), podemos reformular (7.82) como dada por gi = ui   = uS = uk 

(7.83)

Por tanto, si un flujo es adiabático, sustituyendo (7.83) en (7.31), podemos escribir la ecuación de Euler como ³ ´  CY  ·u  Y  = j  uk>  + Y (7.84) Cw o bien, teniendo en cuenta (7.30), como  gY  = j  uk= gw

(7.85)

 @gw se corresponde con la aceleración de un partícula donde recordemos que gY de fluido transportada por el flujo. 2 Las variables extensivas de un sistema termodinámico son variables globales y son propias del sistema considerado en su conjunto, como por ejemplo el volumen Y o la masa p. Las variables intensivas son variables locales y se caracterizan por estar defindas en cada pequeña región del sistema, como por ejemplo la presión S o la temperatura W .

7.4. FLUJOS ADIABÁTICOS

7.4.1.

305

Conservación de la circulación

Consideremos un camino cerrado F (w) en el seno de un fluido en movimiento en un determinado instante w y sea  (w) la circulación del campo de velocidades a lo largo de F (w), Z  · gu=  (w) = Y (7.86) F(w)

Debido al movimiento del fluido, las partículas de éste que yacen en F (w) en dicho instante w se desplazan, de tal manera que el camino cerrado F (w) cambia  @Cw = 0, con el tiempo. De este modo, aunque el flujo sea estacionario, C Y en principio, la circulación dada en (7.86) dependerá del tiempo,  =  (w). Calculemos entonces su derivada temporal, Z g g  · gu = Y gw gw F(w) Z Z  gY  · g (gu) = · gu + (7.87) Y = gw gw F(w) F(w) Aplicando el teorema de Stokes (6.1), la primera integral dada en (7.87) resulta ser ! à Z Z   gY gY  · gu = · gV> (7.88) rot gw F(w) gw V(w) donde V (w) es una superficie cuya frontera coincide con el camino F (w), CV (w) = F (w). Si suponemos que el fluido se mueve adiabáticamente (flujo isoentrópico), podemos sustituir (7.85) en (7.88), llegando a Z Z ³ ´  gY   = 0> · gu = rot j  uk · gV (7.89) F(w) gw V(w) donde hemos aplicado que el rotacional de un gradiente (4.85) y el de una constante son nulos, ³ ´ ³ ´   rot j  uk = rot (j )  rot uk = 0= Por otro lado, para calcular la segunda integral dada en (7.88), observemos que intercambiando el orden de la derivación, tenemos que μ ¶  · g gu =  · g (gu) = Y (7.90) Y gw gw Recordemos que u en (7.86) denota el vector de posición de las partículas de fluido que yacen en el contorno F en un determinado instante w. Como g@gw es la derivada material, gu@gw es la variación de la posición de las partículas de fluido que yacen en F (w) debido a su transporte por el flujo; es decir, el campo  en dicho contorno F (w), de velocidades Y gu = =Y gw

(7.91)

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

306 Sustituyendo (7.91) en (7.90),

 · gY =  · g (gu) = Y Y gw

(7.92)

¯ ¯2 ¯ ¯  ·Y  , tenemos Observemos ahora que, diferenciando la identidad ¯Y ¯ = Y que μ¯ ¯ ¶ ³ ´ ¯  ¯2  ·Y  = 2Y  · gY > g ¯Y ¯ =g Y de tal modo que (7.93) se puede expresar como μ ¯ ¯ ¶ 1 ¯  ¯2 g  Y · (gu) = g ¯Y ¯ = gw 2

(7.93)

Sustituyendo (7.93) en la segunda integral dada en (7.87) y teniendo en  · gu, véase (4.17), obtenemos cuenta que gi = ui μ ¯ ¯ ¶ Z Z 1 ¯  ¯2 g  g Y · (gu) = ¯Y ¯ gw 2 F(w) F(w) μ ¯ ¯ ¶ Z 2  ¯¯ · gu=  1 ¯¯Y = u 2 F(w) Si la trayectoria F (w) viene dada por uw : [d> e] $ R3 , aplicando el teorema fundamental de las integrales de línea (5.135), resulta que ¯ Z ¯2 ¯ ¯2 ¸  [uw (e)]¯¯  ¯¯Y  [uw (d)]¯¯ = 0>  · g (gu) = 1 ¯¯Y (7.94) Y gw 2 F(w) pues F (w) es una trayectoria cerrada ;w y por tanto, uw (d) = uw (e). De este modo, reuniendo en (7.87) los resultados obtenidos en (7.89) y (7.94), llegamos a que la circulación  (w) se conserva, g =0 gw

$

 = fwh>

(7.95)

siempre y cuando el flujo sea adiabático. El resultado dado en (7.95) se conoce con teorema de Kelvin (1869) o ley de la conservación de la circulación. Obsérvese que la ecuación de Euler trata de fluidos ideales, pues en su derivación no hemos tenido en cuenta la fuerza de rozamiento que experimentan las partículas de fluido en su avance (7.25). De este modo, si un fluido se comporta idealmente, estamos considerando que la disipación de la energía debida a la viscosidad es despreciable, por lo que su evolución, si no hay fuentes térmicas extrínsecas al flujo, es prácticamente adiabática. Tomando ahora un contorno circular F (w) centrado en el instante w en u (w) y de radio > de tal modo que abarque una superficie V (w) (es decir, CV = F ), podemos aplicar el teorema de Stokes en (7.86), obteniendo Z Z  · gV=   · gu = rot Y (7.96)  (w) = Y F (w)

V (w)

7.4. FLUJOS ADIABÁTICOS

307

Tomando en (7.96) el límite cuando  $ 0, estamos tomando un contorno que tiende a abarcar la partícula de fluido que está en u (w), de tal modo que Z  · gV  0 (w) = l´ım rot Y $0

V (w)

 [u (w)] · gV  = rot Y  = $  [u (w)] · gV>

(7.97)

donde hemos aplicado la definición de vorticidad (6.11). Ahora bien, cuando tenemos un flujo ideal adiabático, en virtud de (7.95), la circulación 0 (w) se conserva cuando la partícula se mueve con el flujo. Por tanto, podemos interpretar (7.97) diciendo que a lo largo de una línea de flujo ideal adiabático u (w), la vorticidad se conserva,  $ $ [u (w)] = fwh= (7.98) Observemos que, si el flujo no es estacionario, u (w) representa más bien las líneas de trayectoria, que en general no coincidirán con las líneas de corriente (véase la sección 1.7.1).

7.4.2.

El fenómeno de la separación

Consideremos ahora un cuerpo que se mueve a velocidad constante en el seno de un fluido y tomemos un sistema de referencia solidario a un punto del cuerpo. Si el fluido está inicialmente en reposo y únicamente es perturbado por el desplazamiento del cuerpo, podemos considerar que el campo de velocidades del fluido es estacionario. Evidentemente, en un punto muy lejano del cuerpo, |u| $ 4, el fluido está en reposo, por lo que su vorticidad es nula, l´ım $  (u) = 0=

| u|$4

Por tanto, si el flujo es ideal y adiabático, en virtud de (7.98), todas las líneas de flujo u (w) que pasan cerca del cuerpo y se alejan indefinidamente de él deben tener vorticidad nula. En el caso de régimen laminar, esto ocurre con todas las líneas de flujo, por lo que el campo de velocidades en su conjunto es irrotacional. De manera análoga, si tenemos un flujo uniforme que incide sobre un cuerpo fijo en régimen laminar, podemos decir que el flujo también es irrotacional. Asimismo, si en un determinado instante w tenemos un flujo irrotacional en una región del espacio u 5 > $ (u) = 0> según (7.97), la circulación en un punto cualquiera u 5  ha de ser nula, 0 (w) = 0. Pero, según el teorema de Kelvin (7.95), la circulación en cualquier punto u 5  no evoluciona, 0 (w) = fwh, por lo que si el flujo es irrotacional en un determinado instante, lo será en todos los instantes siguientes. Esto está de acuerdo con la ecuación de Euler para flujos de densidad constante (7.47), en la que si, $  = 0, dicha ecuación se satisface idénticamente, ³ ´ C $  ×$ = rot Y  = 0= Cw

308

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

De todas maneras, todas estas conclusiones son válidas para todos los puntos del fluido en los que podamos aplicar el teorema de Kelvin. Según la condición de contorno (7.32), tenemos líneas de flujo tangentes a la superficie del cuerpo. En dichas líneas de flujo, el teorema de Kelvin no es aplicable, pues no podemos tomar un contorno cerrado F (w) de partículas de fluido, pues la pared del cuerpo lo impide (véase figura 7.7). De este modo, las líneas de flujo que inciden tangencialmente con vorticidad nula sobre la superficie del cuerpo se separan de éste con vorticidad en general no nula, estableciendo una línea de separación entre el flujo rotacional e irrotacional. Estas superficies de separación entre ambos flujos rotacional e irrotacional son inestables y se convierten en turbulentas.

Figura 7.7: En un punto S de la superficie no se cumple el teorema de Kelvin, produciéndose una separación entre el flujo rotacional y el irrotacional.

Por otro lado, obsérvese en la figura 7.7 que el punto D es un punto de estancamiento cuya presión es máxima sobre la superficie del cuerpo, mientras que el punto D0 tiene una presión mínima. Esta diferencia de presión entre la parte delantera y trasera del cuerpo es la responsable de la fuerza de arrastre. Cuanto mayor sea la estela de flujo rotacional por detrás del cuerpo, mayor será dicha fuerza de arrastre. En algunas ocasiones, para reducir dicho arrastre, se pueden diseñar cuerpos de superficie rugosa, de tal manera que la superficie de separación se convierte rápidamente en turbulenta y el tamaño de la estela de flujo rotacional se reduce.

7.5. FLUJOS ESTACIONARIOS E IRROTACIONALES

7.5.

309

Flujos estacionarios e irrotacionales

Veamos ahora cómo se expresa la ecuación de Euler bajo las hipotésis de estacionariedad,  CY = 0> (7.99) Cw e irrotacionalidad,  = 0= rot Y (7.100) Obsérvese que, sustituyendo (7.100) en (7.45) y aplicando la regla de la cadena, μ¯ ¯ ¶ ³ ´ 2  ·u  Y  ¯¯Y  = 1u  ¯¯ Y 2 3 ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯2 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 E C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ F = > > C D 2 C{ C| C} 3 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯ 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 E C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ C ¯Y ¯ F > ¯ ¯¯ > ¯ ¯¯ = C ¯ ¯¯ D 2 C ¯¯Y  ¯ C{ C ¯¯Y  ¯ C| C ¯¯Y  ¯ C} ¯ ¯ ³¯ ¯´ ¯ ¯  ¯ ¯ = ¯Y (7.101) ¯ u ¯Y ¯ = Por tanto, sustituyendo (7.99) y (7.101) en la ecuación de Euler (7.31), resulta que ¯ ¯ ³¯ ¯´  uS ¯ ¯  ¯ ¯ = 0> (7.102) ¯Y ¯ u ¯Y ¯  j +  y como j = (0> 0> j) > desglosando en componentes, tenemos ¯ ¯  ¯¯ ¯ ¯ C ¯¯Y 1 CS ¯ ¯ Y + = 0> (7.103) ¯ ¯ C{  C{ ¯ ¯  ¯¯ ¯ ¯ C ¯¯Y 1 CS ¯ ¯ + = 0> (7.104) ¯Y ¯ C|  C| ¯ ¯  ¯¯ ¯ ¯ C ¯¯Y 1 CS ¯ ¯ +j+ = 0= (7.105) ¯Y ¯ C}  C} Obsérvese que en (7.103)-(7.105),  no tiene por qué ser constante como en la sección 7.3. Ejemplo 78 Si el campo de velocidades en una superficie horizontal de un fluido viene dado por μ ¶ | {  ({> |) = Y > > {2 + |2 {2 + | 2 determínese la presión S en todos los puntos de dicha superficie horizontal.

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

310

 @Cw = 0 y, según Observemos que el campo de velocidades es estacionario, C Y  = 0> por lo que, según se vio en el ejemplo 44, es también irrotacional, rot Y (7.102), la ecuación de Euler se reduce a ¯ ¯ ³¯ ¯´  uS ¯ ¯  ¯ ¯ = 0= ¯Y ¯ u ¯Y ¯  j +  Como la gravedad está en la dirección vertical, j = (0> 0> j) > y el fluido se mueve en un plano horizontal, la gravedad no afecta a la dinámica del fluido. Por tanto, ¯ ¯ ³¯ ¯´  uS ¯ ¯  ¯ ¯ = (7.106) ¯Y ¯ u ¯Y ¯ =    son circunferencias (véase Debido a a que las líneas de flujo del campo Y ejemplo 41), la simetría del campo sugiere que tomemos coordenadas polares, { = u cos > | = u sin > de tal modo que

¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯Y ¯ = = u

(7.107)

Sustituyendo (7.107) en (7.106), 1 u u

μ ¶  1 uS = = u 

(7.108)

Ahora bien, según (E.20), el gradiente en coordenadas polares viene dado por  = Ci hu + 1 Ci h > (7.109) ui Cu u C donde los vectores hu y h son los vectores unitarios en la dirección radial y tangencial (véase figura E.1). De este modo, CS 1 CS  hu + h > hu = u3 Cu u C e, igualando componentes,  u3 CS C

=

CS > Cu

= 0=

(7.110) (7.111)

La ecuación (7.111) indica que la presión no depende de > por lo que S = S (u) =

(7.112)

7.5. FLUJOS ESTACIONARIOS E IRROTACIONALES

311

Ahora bien, según el ejemplo 74, la densidad del flujo también tiene simetría radial (7.22), 2  (u) = 0 hu > (7.113) donde 0 =  (0) = Teniendo en cuenta (7.112) y (7.113) en (7.110), obtenemos la siguiente ecuación, 2 hu gS = 0 3 = (7.114) gu u Integrando por partes en (7.114), 2

2

x = hu > gu gy = > u3

gx = 2uhu > 1 y =  2> 2u

tenemos que Z

2

hu gu + F S (u) = 0 u3 Ã Z u2 ! 2 hu h gu + F= = 0  2 +  2u u Realizando ahora el cambio, v = u2 > gv = 2u gu> resulta que,

à S (u) = 0

2

hu   2 + 2u 2

Z

! hv gv + F= v

(7.115)

(7.116)

La integral obtenida en (7.116) se denomina integral exponencial (véase Apéndice C.1) y no se puede expresar en términos de funciones elementales, de tal modo que define la siguiente función especial, Z { w h gw= (7.117) Ei ({) = 4 w Teniendo en cuenta (7.117) y deshaciendo el cambio realizado en (7.115), llegamos a " # 2 hu  ¡ 2¢ + F= N S (u) = 0  2 + Ei u 2u 2 Ejemplo 79 Tenemos un tubo aspirador vertical de 10 m de altura que aspira a un ritmo constante oxígeno de un recinto tal y como indica la figura 7.8. Si en la base del tubo la presión es la atmosférica y en la parte superior del tubo el motor del aspirador reduce la presión atmosférica en un 1 %, determínese la velocidad a la que entra y sale el oxígeno del tubo. Supóngase que el oxígeno asciende a una temperatura de 27  C y se comporta como un fluido perfecto y como un gas perfecto.

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

312

Según la figura 7.8 y debido a que el ritmo de aspiración es constante, tenemos un campo de velocidades unidimensional vertical,  = (0> 0> Y} (})) > Y

(7.118)

de tal manera que el flujo es estacionario,  CY = 0> Cw e irrotacional,

siendo

¯ ¯ l m ¯  ¯ rot Y = ¯ C@C{ C@C| ¯ 0 0

(7.119) n C@C} Y} (})

¯ ¯ ¯ ¯ = 0> ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯Y ¯ = Y} (}) =

(7.120)

(7.121)

Figura 7.8: Esquema de un tubo aspirador vertical. Debido a (7.119) y (7.120) y a que el fluido es perfecto, deben satisfacerse las ecuaciones (7.103)-(7.105). De acuerdo con (7.121), las ecuaciones (7.103) y (7.104) nos dicen que CS CS = =0 C| C{

$

S = S (}) >

(7.122)

7.5. FLUJOS ESTACIONARIOS E IRROTACIONALES

313

por lo que (7.105) se puede expresar como Y}

1 gS gY} +j+ = 0> g}  g}

o bien como Y} gY} + j g} +

gS = 0= 

(7.123)

Como estamos considerando que el aire es un gas perfecto, según (1.1), =

Pp S> UW

(7.124)

donde Pp = 16 g mol1 es la masa molecular del oxígeno, W = 300 K la temperatura absoluta y U = 8> 314 J mol1 K1 es la constante de los gases ideales. Sustituyendo (7.124) en (7.123), Y} gY} + j g} +

UW gS = 0> Pp S

e, integrando, 1 2 UW Y} + j} + log S = fwh= 2 Pp

(7.125)

Notemos que, según (7.122) y (7.124),  =  (}), por lo que la ecuación de continuidad (7.5), C  +Y  · u  = 0> +  div Y Cw de acuerdo con (7.118), se traduce en 

gY} g + Y} = 0> g} g}

es decir, g (Y} ) = 0 $ Y} = fwh= g} Aplicando (7.124) a (7.126), tenemos que S Y} = fwh=

(7.126)

(7.127)

Aplicando (7.125) y (7.127) entre los puntos } = 0 y } = k> tenemos que, ¤ 1£ 2 UW Y} (k)  Y}2 (0) + jk + log " = 0> 2 Pp

(7.128)

Y} (0) = "Y} (k) >

(7.129)

y que donde hemos definido "=

S (k) = S (0)

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

314

Sustituyendo (7.129) en (7.128) y despejando, s  ¸ UW 2 Y} (k) = log " + jk  384> 2 m s1 > "2  1 Pp

(7.130)

donde según el enunciado " = 0> 99= Por último, sustituyendo (7.130) en (7.129) resulta que Y} (0)  380> 3 m s1 = N Ejercicio 52 Tenemos un tubo aspirador vertical de una altura k que aspira a un ritmo constante un gas. Si en la base del tubo la temperatura es W0 y la presión es la atmosférica y en la parte superior del tubo el motor del aspirador reduce la presión atmosférica en un s %, determínese la velocidad a la que entra y sale el gas del tubo. Supóngase que el gas asciende adiabáticamente (es decir, S Y  = fwh> donde  es el exponente adiabático del gas), y que como un fluido y como un gas perfecto. Solución: r se comporta n h io 1@1 UW0 (1  s)  1 = Y} (k) = (1s)22@ 1 jk + (1)P p

7.6.

Ecuación de Bernoulli

Recordemos que, si el campo de velocidades no varía en el tiempo, decimos que el flujo es estacionario,  CY = 0= (7.131) Cw De este modo, si el fluido es de densidad constante, (7.46) se convierte en, μ ¯ ¯ ¶ 1 ¯  ¯2 S    Y × rot Y = u (7.132) ¯Y ¯ + + j} = 2  Sea la trayectoria dada por u : [d> e] $ R3 > la que describe una partícula de fluido en el seno de éste. Aplicando el teorema fundamental de las integrales de línea (5.135), Z e  [u (w)] · u0 (w) gw> i [u (e)]  i [u (d)] = ui d

tomando i=

1 ¯¯  ¯¯2 S ¯Y ¯ + + j}> 2 

(7.133)

según (7.132), resulta que i [u (e)]  i [u (d)] =

Z e³ ´  [u (w)] × rot Y  [u (w)] · u0 (w) gw= Y d

Como el flujo es estacionario (7.131), la línea de trayectoria u (w) coincide  [u (w)] y, por con la línea de flujo, de tal manera que, según (4.65), u0 (w) = Y

7.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI

315

tanto, Z e³ ´  [u (w)] × rot Y  [u (w)] · Y  [u (w)] gw= i [u (e)]  i [u (d)] = Y

(7.134)

d

 × rot Y  es perpendicular a Y  , resulta que Ahora bien, como el vector Y ³ ´  = 0>  × rot Y  ·Y (7.135) Y de tal manera que, sustituyendo (7.135) en (7.134), concluimos que i [u (e)] = i [u (d)] =

(7.136)

Recordando (7.133), la ecuación (7.136) quiere decir que a lo largo de una línea de flujo, 1 ¯¯  ¯¯2  ¯Y ¯ + S + j} = fwh= (7.137) 2 Recordemos que, para deducir (7.137), hemos partido de la ecuación de Euler dada en (7.46), es decir, los efectos de rozamiento por la viscosidad son despreciables y la densidad del fluido es constante. Además, hemos supuesto que el flujo es estacionario. Obsérvese que cada uno de los sumandos de (7.137) tiene dimensiones de presión: S es la presión ¯ ¯2externa que hace que el fluido se mueva, ¯ ¯ j} es la presión hidrostática y @2 ¯Y ¯ es una presión dinámica producida por el movimiento del fluido, véase (1.98). De este modo, podemos decir que en un fluido con flujo estacionario, densidad constante y viscosidad despreciable, la presión ¯ ¯2ejercida S , más la presión hidrostática j}, más la presión dinámica ¯ ¯ @2 ¯Y ¯ se mantiene constante a lo largo de una línea de flujo. Aunque (7.137) se denomina habitualmente ecuación de Bernoulli, en la obra Hidrodinámica (1738) de D. Bernoulli (1700-1782) no se encuentra dicha ecuación3 . La ecuación (7.137) aparece por primera vez en la obra Mecánica Analítica (1788) de L. Lagrange (1736-1813) como una solución particular de las ecuaciones de Euler (7.31). Ejemplo 80 Un depósito semiesférico de radio U se encuentra completamente lleno de agua y en su fondo existe un pequeño orificio de radio u0 ¿ U= Calcúlese el tiempo que tarda el depósito en descender su nivel a la mitad. La figura 7.9 representa el depósito en un instante dado mientras se vacía. Debido a que la densidad del agua  es constante, podemos considerar que se cumple la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y 1> siempre y cuando supongamos que el flujo es estacionario durante el vaciado del depósito, 1 ¯¯  ¯¯2 1 ¯¯  ¯¯2  ¯Y1 ¯ + S1 + j}1 =  ¯Y (7.138) 0 ¯ + S0 + j}0 = 2 2 3 G.

A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics, Dover, 1971, p.80.

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

316

Figura 7.9: Vaciado de un depósito semiesférico. Notemos que tanto el punto 0 como el 1 se encuentran a presión atmosférica, S0 = S1 = Satm > y, además, según el sistema de coordenadas elegido, }0 }1

= 0> = }>

la ecuación de Bernoulli (7.138) se puede expresar como ¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Y1 ¯ + 2j} = ¯Y 0¯ =

(7.139)

Por otro lado, cuando tenemos un fluido de densidad constante, la ecuación (7.8) nos dice que el caudal a través de una superficie cerrada C es nulo, Z  · gV  = 0= Y C

Tomemos como superficie C la frontera en donde se encuentra el fluido en el depósito en un cierto instante, tal y como muestra la figura 7.9. Obsérvese que la cantidad de flujo a través de C sólo se da a través de la superficie del agua en el depósito V1 y el orificio inferior V0 , pues a través de las paredes del depósito no hay flujo de fluido, Z Z Z 1 + 0 = 0=  · gV =  (V1 ) · gV  (V0 ) · gV (7.140) Y Y Y C

V1

V0

7.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI

317

Como la velocidad a la que descienden todos los puntos en V1 es la misma e igual a la velocidad del fluido en el punto 1, tenemos que ¯ ¯ 1 ¯¯ n>  (V1 ) =  ¯¯Y Y y, como V1 es una superficie plana, el vector normal q1 es el mismo para todos los puntos de dicha superficie, 1 = q1 gV1 = n gV1 > gV por tanto,

Z V1

¯ ¯Z ¯ ¯   Y (V1 ) · gV1 =  ¯Y 1¯

V1

¯ ¯ ¯ ¯ gV1 =  ¯Y 1 ¯ D (V1 ) =

(7.141)

Análogamente, como la superficie de V0 es también plana, el vector normal q0 es el mismo para todos los puntos de la superficie, 0 = q0 gV0 = n gV0 = gV Si suponemos que la velocidad a la que mana el agua en todos los puntos del orificio es la misma (lo cual es razonable, pues estamos suponiendo que el fluido no es viscoso para poder aplicar Bernoulli), ¯ ¯ 0 ¯¯ n>  (V0 ) =  ¯¯Y Y tenemos que

Z V0

¯ ¯ ¯ ¯ 0 = ¯¯Y 0 ¯¯ D (V0 ) = u02 ¯¯Y  (V0 ) · gV 0 ¯¯ = Y

Sustituyendo (7.141) y (7.142) en (7.140), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u02 ¯Y 0 ¯ = D (V1 ) ¯Y1 ¯ =

(7.142)

(7.143)

Según la figura 7.9, D (V1 ) = u2 > donde U2 = (U  })2 + u2 > es decir, i h D (V1 ) =  U2  (U  })2 = } (2U  }) = Por tanto, sustituyendo (7.144) en (7.143), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ u02 ¯Y 0 ¯ = } (2U  }) ¯Y1 ¯ =

(7.144)

(7.145)

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

318 Elevando al cuadrado (7.145),

¯ ¯2 ¯ ¯2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 2 u04 ¯Y 0 ¯ = } (2U  }) ¯Y1 ¯ > y, sustituyendo (7.139), μ¯ ¯ ¶ ¯ ¯2 ¯  ¯2 2 ¯ ¯ 2 u04 ¯Y + 2j} = } (2U  }) ¯ ¯Y1 ¯ = 1 Despejando,

¯ ¯ p ¯ ¯ ¯Y1 ¯ = 2ju02

s

2j} } 2 (2U  })2  u04

=

(7.146)

Obsérvese que según la figura 7.9 el punto 1 se mueve a la velocidad de descenso del nivel del agua en el depósito, por tanto, ¯ ¯ g} ¯ ¯ ¯Y1 ¯ =  > gw

(7.147)

donde hemos tenido que tomar el signo  en (7.147), pues con el tiempo w la coordenada } va disminuyendo, por lo que g}@gw ? 0= Sustituyendo (7.147) en (7.146), nos queda una ecuación diferencial ordinaria para el nivel } (w) de agua en el depósito, s p 2 g} } =  2ju0 = (7.148) gw } 2 (2U  })2  u04 Integrando en (7.148), el tiempo que se tarda en descender desde el nivel } = U (el depósito inicialmente está lleno), hasta la mitad, } = U@2> será Z U r Z w 1 u4 (7.149) gw = s 2 } (2U  })2  0 g}= w= } 2ju0 U@2 0 Obsérvese que en el integrando } 5 [U@2> U] > por tanto, }  U@2 y el término del integrando, u04 2u4  0 ¿ 2U3 > } U pues, según el enunciado, el orificio es pequeño en comparación con las dimensiones del depósito, u0 ¿ U= Por otro lado, aplicando de nuevo que U@2  }  U (es decir, }  U@2 y }  U), el otro término del integrando cumple que } (2U  })2 

U U3 (2U  U)2 = = 2 2

Por tanto, dentro de los límites de integración, podemos decir que } (2U  })2 À

u04 > }

7.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI

319

y, de este modo, podemos aproximar la integral dada en (7.149) de la siguiente manera, w 

1 s 2 2ju0

Z

U

s (2U  }) } g}

U@2

¸U 2} 3@2 1 s 2 (3}  10U) = 15 2ju0 U@2 

=

Por tanto, queda, finalmente, s ¢ ¡ 56  17 2 U5@2 s = w 60 2ju02

N

Ejercicio 53 ¿A qué presión está el aire en el interior de un extintor para que el chorro de agua salga a una velocidad de 20 m s1 si el nivel del agua está 25 cm por debajo de la boquilla de salida? Solución: S  3> 037 × 105 Pa= Ejercicio 54 En el antiguo Egipto (hacia el 1400 a.C.) se usaban relojes de agua, llamados clepsidras, para medir el tiempo. Para ello, se llenaba de agua una vasija de simetría cilíndrica con un pequeño orificio en su parte inferior, de tal manera que el nivel del agua en el interior de la vasija descendía a un ritmo que se calibraba con el movimiento del sol4 . Determínese la forma que debe tener la vasija de una clepsidra para que el ritmo de descenso del agua sea constante. Solución: la altura de lavasija en función del radio u de ésta viene ¸ ¯ ¯ ³ ´4 2 |Y1 | ¯ ¯ u dada por la función: i (u) = 2j  1 > donde ¯Y1 ¯ es el ritmo al que u0 desciende el nivel en la vasija y u0 es el radio del orificio en la parte inferior de ésta. Nota 7 La cavitación o aspiración en vacío es un efecto hidrodinámico que se produce cuando el agua (o cualquier otro fluido en estado líquido) pasa a gran velocidad, produciendo una descompresión del fluido debido a la conservación de la constante de Bernoulli (7.137). Puede ocurrir que se alcance la presión de vapor del líquido de tal forma que las moléculas que lo componen cambien inmediatamente a estado de vapor, formándose burbujas o, más correctamente, cavidades. Este efecto se puede observar cuando una arista afilada se mueve a gran velocidad en el interior de un líquido, véase figura 7.10. Cuando las burbujas formadas por cavitación entran en una zona de mayor presión sobre una superficie metálica, éstas implosionan sobre dicha superficie (el vapor regresa al estado líquido de manera súbita, “aplastándose” bruscamente las burbujas). La repetición cíclica de este fenómeno de implosión produce la fatiga (y con el tiempo la erosión) de la superficie metálica. A este efecto también se le denomina cavitación. 4 G.

A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics, Dover, 1971, pp. 11-12.

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

320

Figura 7.10: Cavitación producida por una hélice de barco. Ejemplo 81 Un depósito elevado descarga agua en una piscina situada 3 m por debajo del nivel del depósito por medio de un sifón cuya tubería se eleva 1 m por encima del nivel del depósito y cuyo diámetro es de 2 cm. Si durante la descarga de agua el nivel del depósito se puede considerar constante, determínese la velocidad y el caudal del agua que llega a la piscina, así como la presión en el punto más elevado del sifón. Supóngase que no hay disipación de energía debido al efecto de la viscosidad. Suponiendo que el flujo es estacionario a lo largo de la tubería del sifón, como la densidad de agua  es constante y el enunciado nos dice que el flujo es ideal, podemos aplicar la ecuación de Bernoulli. Aplicando, entonces, la ecuación de Bernoulli entre los puntos D y F, 1 ¯¯  ¯¯2 1 ¯¯  ¯¯2  ¯YD ¯ + SD + j}D =  ¯Y F ¯ + SF + j}F = 2 2

(7.150)

Como según la figura 7.11,

y, según el enunciado,

SD = SF = Satm >

(7.151)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯YD ¯  0>

(7.152)

tenemos que (7.158) se puede escribir como ¯ ¯ p ¯ ¯ ¯YF ¯  2j (}D  }F )  7> 67 p@v=

(7.153)

7.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI

321

Figura 7.11: Esquema de un sifón que vierte agua en una piscina. Como la tubería es cilíndrica, si suponemos que tiene un radio U y una longitud O> el volumen de fluido que contiene es, Y = U2 O> por tanto, la cantidad de volumen que circula por la tubería por unidad de tiempo es gY gO = U2 > gw gw

(7.154)

donde U es constante a lo largo de toda la tubería y gO@gw es el desplazamiento gO por unidad de tiempo gw del volumen de fluido gY a lo de la tubería. De ¯ largo ¯ ¯ ¯ este modo, gO@gw viene a ser la velocidad “promedio” ¯Y ¯ a la que se desplaza el agua por la tubería. Según esto y atendiendo a la definición de caudal T = gY @gw, podemos expresar (7.154) de la siguiente manera, ¯ ¯ ¯ ¯ (7.155) T = U2 ¯Y ¯= Sustituyendo (7.153) en (7.155), sabiendo que según el enunciado, U = 102 p, tenemos que el caudal en el punto F es ¯ ¯ ¯ ¯ 2 3 3 1 m s = TF = ¯Y F ¯ U  2> 41 × 10 Según vimos en (7.36), el caudal a lo largo de una tubería es constante en valor absoluto, por tanto, (7.156) |TE | = |TF | >

322

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

que, de acuerdo con (7.155), quiere decir que, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯YE ¯ = ¯YF ¯ =

(7.157)

Para determinar la presión en el punto E, podemos aplicar Bernoulli entre los puntos D y E, 1 ¯¯  ¯¯2 1 ¯¯  ¯¯2  ¯YD ¯ + SD + j}D =  ¯Y (7.158) E ¯ + SE + j}E = 2 2 Sustituyendo (7.152), (7.151) y (7.157) en (7.158), tenemos que 1 ¯¯  ¯¯2 SE = Satm  j (}E  }D )   ¯Y F¯ = 2

(7.159)

Finalmente, sustituyendo en (7.159), la velocidad en F (7.153), la presión atmosférica (1.4), Satm = 1> 013×105 N m2 > la densidad del agua,  = 103 kg m3 y la diferencia de alturas, }E  }D = 1 m> SE  6> 21 × 104 N m2  0> 613 atm= Obsérvese que el punto E tiene una presión inferior a la atmosférica, por lo que, si elevamos el punto E, podríamos encontrar problemas de cavitación. N Ejercicio 55 En un tubo en forma de U de 50 cm de largo y 1 cm de diámetro se vierten 30 g de agua. Posteriormente, por su rama derecha se vierte 1 g de aceite de 750 kg m3 de densidad y se tapa dicha rama. ¿A qué velocidad se ha de pasar una corriente de aire por la boca de la rama izquierda para que los niveles¯ de¯ ambas ramas sean iguales? Dato: densidad del aire, 1> 29 kg m3 . ¯ ¯ Solución: ¯Y ¯  81> 3 m s1 = El efecto Venturi y la medida de la velocidad del flujo Si tenemos dos puntos 1 y 2 de una línea de flujo, la ecuación (7.137) se puede expresar como, 1 ¯¯  ¯¯2 1 ¯¯  ¯¯2  ¯Y1 ¯ + S1 + j}1 =  ¯Y 2 ¯ + S2 + j}2 = 2 2 Llamando a la diferencia de presión S = S2  S1 y a la diferencia de altura } = }2  }1 > podemos expresar la ecuación de Bernoulli como μ¯ ¯ ¯ ¯ ¶ 1 ¯  ¯2 ¯  ¯2 = S + j } =  ¯Y 1 ¯  ¯Y2 ¯ 2 Si los puntos 1 y 2 se encuentran a la misma altura } = 0> resulta que μ¯ ¯ ¯ ¯ ¶ 1 ¯  ¯2 ¯  ¯2 (7.160)  S =  ¯Y ¯ ¯Y2 ¯ = 1 2

7.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI

323

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ De este modo, si ¯Y 1 ¯ A ¯Y2 ¯ > entonces, S2 A S1 y viceversa. Es decir, entre dos puntos que están a la misma altura, donde hay mayor velocidad, hay menor presión y viceversa. Este fenómeno se denomina efecto Venturi y se utiliza para medir la velocidad de un fluido en el interior de una tubería, mediante un dispositivo denominado tubo de Prandtl o sonda de Pitot estática. En la figura 7.12 se ha representado un tubo Prandtl en el interior de una tubería por la que circula un fluido. El tubo Prandtl, al ser introducido en el fluido en movimiento, produce una perturbación en el flujo que se traduce en la aparición de un punto 1 = 0= Como el tubo de Prandtl es muy fino, los de estancamiento en el punto 1> Y puntos 1 y 2 se encuentran prácticamente a la misma altura, } = }2  }1  0, por lo que podemos aplicar (7.160), de tal manera que 1 ¯¯  ¯¯2 (7.161) S1  S2 =  ¯Y 2¯ = 2 Por otro lado, cuando el fluido dentro del manómetro diferencial alcanza el reposo, la presión hidrostática en ambos ramales del manómetro es la misma. Por tanto, según la figura 7.12 y considerando de nuevo que } = }2  }1  0, tenemos que S1 + j (d + o) = S2 + jd + p jo> (7.162) siendo  y p las densidades del fluido de la tubería y del fluido del manómetro respectivamente y o la diferencia de nivel entre ambos fluidos. Despejando de (7.162), S1  S2 = (p  ) jo> (7.163) de tal manera que a partir de (7.161) y (7.163) resulta que ¯ ¯ p ¯ ¯ ¯Y2 ¯ = 2jo (u  1)>

(7.164)

donde u es la densidad relativa del fluido del manómetro con respecto al fluido de la tubería,  u = p =  Nota 8 El Titanic, antes de zarpar del puerto de Southampton cuando iba a iniciar su viaje inaugural, estuvo a punto de colisionar con el New York. El Titanic pasó por al lado del New York cuando éste estaba atracado en el muelle. El paso del Titanic atrajo hacia sí al New York, las sogas de amarre se rompieron y la popa de éste se dirigió hacia el Titanic. El práctico del puerto encargado del Titanic invirtió la marcha de los motores haciendo disminuir su velocidad y permitiendo el paso del New York sin que colisionaran ambos barcos. ¿Por qué el Titanic atrajo al New York al pasar junto a él? Cuando un barco navega por el mar, aparta el agua hacia los lados de su trayectoria, y el agua se mueve alrededor de los costados del barco. Cuando el Titanic pasó por al lado del New York con sus quillas en paralelo, el agua que estaba entre ambos barcos se vio obligada a pasar por un canal muy estrecho. Como el agua es un fluido incompresible, la

324

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

Figura 7.12: Esquema de un tubo Prandtl para medir velocidades en un flujo.

7.6. ECUACIÓN DE BERNOULLI

Figura 7.13: Conato de accidente en el Titanic.

325

326

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

tendencia inicial fue que subiera el nivel del agua entre los dos barcos, pero, una vez que el nivel subió, el agua tendió a fluir paralela a las quillas hacia donde el nivel del agua era menor. Así, el agua situada entre los barcos se movió a mayor velocidad que el agua situada en los lados opuestos de ambas quillas. Por el principio de Venturi, hubo una sobrepresión en los costados de los barcos que hizo que se acercaran.

7.7. AUTOEVALUACIÓN

7.7.

327

Autoevaluación

1. Si tenemos un fluido que es una mezcla de agua y aceite, la ecuación de continuidad nos dice que: a) la derivada material de la densidad es nula. b) la divergencia del campo de velocidades es nula. c) la derivada material de la densidad es igual a la divergencia del campo de velocidades. d) la derivada material de la densidad es igual a menos la divergencia del campo de velocidades por la densidad. 2. La ecuación de Euler es una buena aproximación para describir la dinámica de un fluido cuando: a) los efectos de la viscosidad son despreciables. b) la densidad del fluido es constante. c) el flujo no es turbulento. d) la dinámica del fluido se puede describir bidimensionalmente. 3. La ecuación de continuidad nos dice que: a) el caudal se mantiene constante. b) el caudal se mantiene constante si el fluido tiene densidad constante. c) el caudal a través de una superficie cerrada se mantiene constante. d) el caudal a través de una superficie cerrada es nulo si el fluido tiene densidad constante. 4. Un fluido perfecto es aquel: a) al que se le puede aplicar la ecuación de los gases perfectos. b) en el que los efectos de la viscosidad son despreciables para describir su dinámica. c) que mantiene sus propiedades intactas a lo largo del tiempo. d) al que se le aplica la ecuación de Navier-Stokes. 5. La dinámica de un fluido ideal queda completamente determinada por, a) la ecuación de continuidad. b) la ecuación de Euler. c) las opciones a) y b) simultáneamente. d) la opción c) imponiendo unas condiciones iniciales y de contorno.

CAPÍTULO 7. FLUIDOS IDEALES

328

6. Dígase cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a) Cuando la divergencia del campo de velocidades de un fluido es nula, entonces, el fluido es de densidad constante. b) Cuando el fluido es de densidad constante, entonces, la divergencia del campo de velocidades del fluido es nula. c) Cuando existe la función corriente del campo de velocidades de un fluido, entonces, la divergencia del campo de velocidades es nula. d) Cuando el campo de velocidades del fluido se puede expresar como un rotacional y el flujo es de densidad constante, la ecuación de continuidad se cumple automáticamente. 7. Cuando la densidad de un fluido es constante, la ecuación de Euler se puede escribir únicamente en términos: a) del campo de velocidades. b) de la vorticidad. c) de la presión y la gravedad. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 8. El teorema de Kelvin dice que: a) la circulación del campo de velocidades de un fluido siempre se conserva. b) la opción a) solamente cuando el flujo es estacionario. c) la opción a) solamente cuando el flujo es adiabático. d) la opción a) solamente cuando el flujo es de densidad constante. 9. El fenómeno de la separación se da cuando el flujo es: a) estacionario. b) ideal y adiabático. c) turbulento. d) de densidad constante. 10. La ecuación de Bernoulli se basa en las siguientes hipótesis: a) Fluido viscoso de densidad constante y con flujo estacionario. b) Fluido ideal y compresible. c) Fluido incompresible y no viscoso. d) Fluido ideal de densidad constante con flujo estacionario. 11. La ecuación de Bernoulli dice que:

7.7. AUTOEVALUACIÓN

329

a) la presión externa, más la presión dinámica, más la presión hidrostática, se mantienen constantes. b) la opción a), pero solamente en la frontera del recipiente. c) la opción a), pero solamente en la superficie del fluido. d) la opción a), pero solamente a lo largo de una línea de corriente. 12. La cavitación se produce cuando: a) la presión a la que se encuentra un líquido está por encima de la presión de vapor. b) al agitarse un líquido, el gas disuelto en él produce burbujas. c) la velocidad de un líquido produce una descompresión por debajo de la presión de vapor del líquido. d) las burbujas formadas a partir del aire disuelto en un líquido implosionan de manera súbita. 13. Cuando dos puntos de un fluido en movimiento están a la misma altura, según la ecuación de Bernoulli se cumple que: a) en el punto de mayor velocidad hay menor presión. b) en el punto de menor velocidad hay menor presión. c) en ambos puntos hay la misma velocidad. d) en ambos puntos hay la misma presión. 14. El efecto Venturi afirma que dos puntos a la misma altura en un flujo: a) si uno tiene mayor velocidad, el otro tiene mayor presión. b) si uno tiene menor velocidad, el otro tiene mayor presión. c) si uno tiene mayor velocidad, el otro tiene menor presión. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 15. Un tubo de Prandtl o sonda de Pitot estática sirve para medir: a) la densidad de un flujo. b) la velocidad en el seno un flujo. c) la presión en el seno de un flujo. d) la presión hidrostática en el seno de un flujo.

Capítulo 8

Fluidos viscosos “La frase más excitante que se puede oír en Ciencia, la que anuncia nuevos conocimientos, no es « ¡Eureka!» («¡Lo encontré!»), sino «¡Es extraño!»” (I. Asimov). En este capítulo se deduce la ecuación de Navier-Stokes, que introduce la viscosidad de los fluidos en su dinámica. El estudio matemático de la ecuación de Navier-Stokes es de una gran dificultad y sólo ha podido ser abordado analíticamente con éxito en casos muy específicos. Aún hoy en día siguen abiertos algunos problemas matemáticos relacionados con la ecuación de Navier-Stokes. Por ejemplo, uno de los siete problemas del milenio consiste precisamente en demostrar si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo también implica un flujo suave y laminar. Una vez deducida la ecuación de Navier-Stokes, procederemos a deducir a partir de ella la ley de la viscosidad de Newton y la ley de Poiseuille, que ya habíamos introducido anteriormente en la sección 1.5.2 y en el ejemplo 20, respectivamente. También deduciremos a partir de la ecuación de Navier-Stokes la dinámica de la capa de Ekman y la de un fluido viscoso cuando la base plana y horizontal que lo limita está sometida a un movimiento oscilatorio. Por último, deduciremos también, a partir de la ecuación de Navier-Stokes, la ley de Stokes, ya enunciada en (1.102)-(1.103).

8.1.

El tensor de esfuerzo viscoso

Supóngase una porción de fluido que en su movimiento experimenta una cierta fuerza de fricción por su rozamiento con las partículas de fluido contiguas. La fuerza de rozamiento diferencial gIroz que experimenta una partícula de  viene dada fluido por su contacto con otra a través de un área infinitesimal gV por  gIroz = gV> (8.1) 331

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

332

donde es una matriz que se denomina tensor de esfuerzo viscoso, 4 3  11  12  13 = C  21  22  23 D =  31  32  33  no serán vectores paralelos. Observemos Nótese que, en general, gIroz y gV también que los procesos de fricción interna entre las partículas de fluido sólo se producen cuando las diferentes partículas de fluido se mueven a distintas velocidades de tal manera que existe un movimiento relativo entre partículas  = contiguas. De este modo, cuando el campo de velocidades es constante, Y  $ (Y1 > Y2 > Y3 ) = fwh, el tensor de esfuerzos ha de ser nulo. Por tanto, el tensor de esfuerzo viscoso ha de ser una combinación lineal de las derivadas espaciales del campo de velocidades. Un posible candidato a tensor de esfuerzos podría ser la  : R3 $ R3 , que, según derivada espacial del campo vectorial de velocidades Y (4.40), viene dada por 4 3 CY1 @C{1 CY1 @C{2 CY1 @C{3  = C CY2 @C{1 CY2 @C{2 CY2 @C{3 D = (8.2) GY CY3 @C{1 CY3 @C{2 CY3 @C{3 Consideremos ahora que todas las partículas de un fluido están rotando  = ( 1 > 2 > 3 ) = Si u = ({1 > {2 > {3 ), uniformemente con una velocidad angular entonces el campo de velocidades viene dado por  =  × u = ( 2 {3  3 {2 > 3 {1  1 {3 > 1 {2  2 {1 ) = Y Observemos que, en este caso,  = div Y y

CY1 CY2 CY3 + + = 0> C{1 C{2 C{3

3

0  = C 3 GY  2

 3 0

1

4

2  1 D = 0

(8.3)

Como todas las partículas del fluido están rotando uniformemente con una  el fluido rota como un sólido rígido, por lo que no existe velocidad angular , ningún movimiento relativo entre partículas contiguas y, por tanto, no puede haber ninguna fricción entre éstas. De este modo, cuando el fluido rota uniformemente, el tensor de esfuerzo viscoso ha de ser nulo. Como hemos dicho que el tensor de esfuerzo viscoso es una combinación lineal de las derivadas espaciales del campo de velocidades, obsérvese que la siguiente combinación lineal de derivadas espaciales, ¸  ³ ´w 2   L>   (8.4) =  GY + GY  div Y L +  div Y 3 | {z } E

8.1. EL TENSOR DE ESFUERZO VISCOSO

333

donde L es la matriz identidad de orden 3, hace que el tensor de esfuerzo viscoso sea nulo cuando el fluido rota uniformemente; es decir, cuando sustituimos (8.3) en (8.4). A partir de (8.2) y (8.4), cada uno de los elementos de la matriz lm del tensor de esfuerzo viscoso viene dado por μ ¶ CYl CYm 2  +  lm div Y =  lm =  +   lm div Y (8.5) C{m C{l 3 | {z } elm

donde  y  se denominan coeficientes de viscosidad (a menudo  se denomina segunda viscosidad ) y donde  lm es la delta de Kronecker, ½ 1> l = m>  lm = 0> l 6= m= La matriz E se ha tomado de tal manera que la suma de los elementos de su diagonal (o traza) es nula, 3 X

3 3 X X CYl 2  ell = 2  div Y 1 = 0= C{l 3 l=1 l=1 l=1 | {z } | {z } 3

 div Y

Observemos que el tensor de esfuerzo viscoso es simétrico, pues a partir de (8.4) es fácil ver que = w =

(8.6)

Cabe señalar que un valor alto de los coeficientes de viscosidad,  o , hace que la fuerza de rozamiento entre las partículas de fluido sea grande, por lo que son fluidos “viscosos”, mientras que un valor bajo hace que el fluido sea “poco viscoso”. Veremos posteriormente que  coincidirá con la viscosidad dinámica del fluido (véase sección 1.5.2), y en la mayoría de los fluidos es una constante que no depende del estado del movimiento del fluido. En este último caso decimos que el fluido es newtoniano.

8.1.1.

Fuerza de rozamiento en fluidos viscosos

Considérese una partícula de fluido que ocupa la región del espacio = Integrando en (8.1) sobre toda la superficie de la partícula de fluido C, obtenemos la fuerza de rozamiento total Iroz de la partícula de fluido con su entorno, Z   gV= (8.7) Iroz = C

Si expresamos el tensor de esfuerzos como 4 3  1 = C  2 D >  3

(8.8)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

334

de acuerdo con (8.4), tenemos que, ;l = 1> 2> 3, " #  C Y 2  +  hl div Y =  l+  hl div Y l =  uY C{l 3

(8.9)

donde h1 = (1> 0> 0), h2 = (0> 1> 0) y h3 = (0> 0> 1) son los vectores de la base canónica de las coordenadas cartesianas. De este modo, cada una de las componentes de la fuerza de rozamiento Iroz = (Iroz>1 > Iroz>2 > Iroz>3 ) se puede expresar como Z   l · gV= (8.10) Iroz>l = C

Aplicando el teorema de la divergencia a (8.10), Z div ( l ) gY= Iroz>l =

(8.11)



Para calcular div ( l ), podemos aplicar el operador divergencia en (8.9), suponiendo que el fluido es newtoniano ( y  son coeficientes constantes), ! à " # ³ ´ ³ ´  2 C Y   l + div  div hl div Y (8.12) div (  l ) =  div uY C{l 3 ³ ´  = + div hl div Y En primer lugar, observemos que, debido al teorema de las derivadas cruzadas (4.64), ! à ´  C ³ CY  = = div Y (8.13) div C{l C{l ³ ´ En segundo lugar, teniendo en cuenta la propiedad (4.100), div i I =  , calculemos, i div I + I · ui ´ ³ ´ ³   div hl + hl · u  div Y  = div Y div hl div Y ³ ´  div Y  = hl · u ´ C ³  = div Y = C{l

(8.14)

³ ´  Sustituyendo (8.14) en (8.12) y teniendo en cuenta (8.13) y (4.106) div ui = u2 i , resulta que  ´¸ ´ C ³ 1 C ³   div Y + div Y div (  l ) =  u2 Yl + 3 C{l C{l ¶ μ ³ ´ C 1  = div Y =  u2 Yl +  +  3 C{l

(8.15)

8.2. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

335

Sustituyendo ahora (8.15) en (8.11), obtenemos ¶ μ Z  ´¸ C ³ 1 2  Iroz>l = div Y gY>  u Yl +  +  3 C{l  y expresado vectorialmente, resulta ¶ ³ μ Z  ´¸  div Y   +  + 1 u gY= u2 Y Iroz =  3 

8.2.

(8.16)

Ecuación de Navier-Stokes

Una partícula de fluido viscoso, además de estar sometida a la fuerza de rozamiento, está sometida a las fuerzas debidas a la presión y al campo gravitatorio. Por tanto, la fuerza total I que actúa sobre dicha porción de fluido será I = IS + Iroz + pj > (8.17) donde p es la masa de la porción de fluido. Aplicando (8.16) y recordando (7.1), (7.24) y (7.28), Z p=

 gY>

(8.18)

 gY> uS

(8.19)



IS =  I =

Z

Z



 

 gY gY> gw

podemos expresar (8.17) de la siguiente manera, Z  

 gY gY = gw

¶ ³ μ Z  ´¸   div Y  +  u2 Y  +  + 1 u gY= j  uS 3 

(8.20)

Como (8.20) se cumple para una región  cualquiera del espacio, concluimos que ¶ ³ μ ´  gY 1 2   div Y  =  = j  uS +  u Y +  +  u (8.21) gw 3  @gw es la derivada material, podemos sustituir (7.30) en Sabiendo que gY (8.21), obteniendo, finalmente, " # ¶ ³ μ ³ ´ ´  1 CY 2    div Y  = (8.22)    + Y · u Y = j  uS +  u Y +  +  u Cw 3 La ecuación (8.22) se denomina ecuación de Navier-Stokes y se ha deducido para fluidos newtonianos en un campo gravitatorio. Obsérvese que cuando la viscosidad es nula,  =  = 0, la ecuación de Navier-Stokes (8.23) se convierte en la ecuación de Euler (7.31), como cabe esperar. Por otro lado, si el fluido es

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

336

 = 0, de tal modo que (8.22) de densidad constante  = fwh, según (7.43) div Y se simplifica de la siguiente manera, ³ ´   CY =  ·u  Y  = j  uS +  u2 Y + Y Cw 

(8.23)

donde hemos aplicado la definición de la viscosidad cinemática (1.90), =

 = 

La ecuación (8.23) también se suele denominar ecuación de Navier-Stokes, pero sólo se puede aplicar a fluidos newtonianos de densidad constante en un campo gravitatorio. En la tabla 8.24 se ofrece una tabla de valores de la viscosidad dinámica  y la viscosidad cinemática  a la temperatura de 20  C. ¡ ¢  ( Pa s)  m2 s1 SUSTANCIA Aire 1> 81 × 105 1> 50 × 105 3 Etanol 1> 07 × 10 1> 36 × 106 (8.24) 3 Agua 1> 002 × 10 1> 004 × 106 Mercurio 1> 56 × 103 1> 2 × 107 1 Glicerina 8> 5 × 10 6> 8 × 104 El primero que obtuvo la ecuación (8.23) fue C. L. Navier en 1827, a partir del estudio sobre modelos. Una deducción similar a la moderna fue obtenida por G. G. Stokes en 1845.

8.2.1.

Condiciones de contorno

La naturaleza de las fuerzas viscosas de fricción consiste en fuerzas de atracción intermolecular. Estas fuerzas de atracción hacen que la capa de fluido inmediatamente adyacente a la superficie del recipiente se mantenga completamente adherida a dicha superficie. De este modo, la condición de contorno de la ecuación del movimiento de un fluido viscoso (la ecuación de Navier-Stokes) requiere que la velocidad del fluido en contacto con la pared sea igual a la  pared , velocidad de la pared X ¯  ¯¯ Y

frontera

 pared = =X

(8.25)

En muchas ocasiones, consideraremos un sistema de referencia en el que la pared está en reposo, por tanto (8.25) se escribirá como ¯  ¯¯ = 0= (8.26) Y frontera

La condición (8.26) se conoce como condición de no deslizamiento.

8.2. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

337

Ejemplo 82 Determínese cuál es el campo de presiones S ({> |> }) que genera el siguiente campo de velocidades, ¢ ¡  = {2  |2 > 2{|> 0 > (8.27) Y en un fluido de densidad  y viscosidad dinámica , que se mueve en el seno de un campo gravitatorio. Vamos a sustituir el campo de velocidades (8.27) en la ecuación de Navier . En Stokes (8.23) y, a partir de ahí, deduciremos el gradiente de presiones uS primer lugar, obsérvese que el flujo es estacionario,  CY = 0= Cw

(8.28)

Por otro lado, como  { uY  | uY

= (2{> 2|> 0) >

 } uY

= (0> 0> 0) >

= (2|> 2{> 0) >

tenemos que  · uY  { Y

 · uY  | Y

y

¡ 2 ¢ {  | 2 > 2{|> 0 · (2{> 2|> 0) ¡ ¢ = 2{ {2  | 2 + 4{| 2 ¡ ¢ = 2{ {2 + | 2 > =

¡ 2 ¢ {  | 2 > 2{|> 0 · (2|> 2{> 0) ¡ ¢ = 2| {2  |2 + 4{2 | ¡ ¢ = 2| {2 + | 2 > =

 · uY  } = 0= Y Por tanto,

³ ´ ¡ ¢  ·u  Y  = 2 {2 + |2 ({> |> 0) = Y

También se puede comprobar que ¢ ¡  = u2 Y{ > u2 Y| > u2 Y} u2 Y = (2  2> 0> 0) = 0=

(8.29)

(8.30)

Sustituyendo (8.28), (8.29) y (8.30) en la ecuación de Navier-Stokes (8.23), resulta que  ¡ ¢ uS 2 {2 + | 2 ({> |> 0) = (0> 0> j)  = (8.31) 

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

338

Notemos que, como el laplaciano es nulo, la ecuación de Navier-Stokes que hemos obtenido en (8.31) no depende de la viscosidad cinemática  y, por tanto, el fluido, aun siendo viscoso, se comporta como un fluido ideal. Desglosando (8.31) por componentes, tenemos que CS C{ CS C| CS C}

¡ ¢ = 2 {2 + | 2 {>

(8.32)

¡ ¢ = 2 {2 + | 2 |>

(8.33)

= j=

(8.34)

Integrando (8.32) con respecto a {> μ 4 ¶ { {2 |2 S ({> |> }) = 2 + + i1 (|> }) > 4 2

(8.35)

donde i1 ({> |) es una constante de integración que depende de las variables que no han sido integradas. Derivando (8.35) con respecto a | y comparando el resultado con (8.33), ¡ ¢ Ci1 CS = 2 {2 | + = 2 {2 + | 2 |= C| C| Por tanto, Ci1 = 2| 3 = C|

(8.36)

1 i1 (|> }) = 2 | 4 + i2 (}) > 4

(8.37)

Integrando en (8.36),

donde i2 (}) es una constante de integración que depende únicamente de la variable que no ha sido integrada. Sustituyendo (8.37) en (8.35), ¶ μ 4 {2 | 2 |4 { + + + i2 (}) S ({> |> }) = 2 4 2 4 ¢2 ¡ (8.38) =  {2 + | 2 + i2 (}) = 2 Derivando en (8.38) con respecto a } y comparando el resultado con (8.34) resulta CS = i20 (}) = j= (8.39) C} Integrando en (8.39), i2 (}) = j} + F> (8.40) donde F es una constante de integración. Sustituyendo (8.40) en (8.38), resulta, finalmente, ¢2 ¡ (8.41) S ({> |> }) =  {2 + | 2  j} + F= 2

8.2. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES Sabiendo que ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯Y ¯

339

 ·Y  = Y ¢ ¡ ¢ ¡ 2 = {  | 2 > 2{|> 0 · {2  | 2 > 2{|> 0 ¡ ¢2 = {2  | 2 + 4{2 | 2 ¡ ¢2 = {2 + | 2 >

podemos escribir (8.41) de una manera más compacta,  ¯¯  ¯¯2 S + ¯Y ¯ + j} = F= 2 Tal y como habíamos comentado anteriormente, la viscosidad del fluido no afecta a su dinámica cuando éste se mueve con el campo de velocidades dado en (8.27), por lo que se comporta como un fluido ideal, satisfaciéndose la ecuación de Bernoulli (7.137). N

8.2.2.

Términos no inerciales

Un sistema de referencia solidario a un punto de la superficie terrestre es un sistema rotante no inercial (debido a la rotación de la Tierra), por lo que  es la aparecen fuerzas ficticias. Tal y como se demuestra en el Apéndice G, si Y velocidad de una partícula cuyo vector de posición es u y que está medida en un  0 es la velocidad medida en un sistema rotante a sistema de referencia fijo, y Y  $  una velocidad = fwh con respecto a dicho sistema fijo, según (G.19), tenemos que  =Y 0+  × u= Y (8.42)  = gY  @gw es la aceleración medida en un sistema de referencia Es más, si D 0 0   fijo y D = gY @gw es la aceleración medida en un sistema rotante a una velocidad  con respecto a dicho sistema fijo, según (G.23) tenemos que angular ³ ´ 0  gY gY  ×Y 0 +  ×  × u = = + 2| {z } gw gw {z } | A. Coriolis

(8.43)

A. centrípeta

Aplicando el operador laplaciano a (8.42), ³ ´  = u2 Y  0 + u2  × u = u2 Y

(8.44)

Observemos que tomando un sistema de referencia fijo cuyo eje ] coincida  = (0> 0> ) > resulta que con el eje de rotación ¯ ¯ ¯ l m n ¯ ¯ ¯  × u = ¯ 0 0 ¯ = (|> {> 0) >

¯ ¯ ¯ { | } ¯

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

340 de tal manera que

³ ´  × u = u2 (|> {> 0) = 0= u2

(8.45)

Sustituyendo (8.45) en (8.44), resulta que  = u2 Y  0= u2 Y

(8.46)

Por otro lado, según (8.18) y (8.43), la fuerza I que experimenta una partícula de fluido que ocupa la región  es I

 gY = p gw Z  gY gY  = gw  # Z " 0 ³ ´ gY 0     + 2 × Y + × × u gY= =  gw 

(8.47)

De acuerdo con (8.20) y (8.47), # Z " 0 Z ³ ´ ³ ´ gY 0  +  u2 Y     0 gY=  j  uS + 2 × Y + × × u gY =  gw   (8.48) Como (8.48) se cumple para una región  cualquiera del espacio, concluimos que ³ ´ 0  gY  ×Y  0 = j  uS   × 0=  × u +  u2 Y + 2 (8.49) gw   0 @gw es la derivada material, de acuerdo con (7.30), podemos Sabiendo que gY expresar (8.49) como ³ ´ ´ 0 ³  CY  ×  Y  ×Y  0 = j  uS  0= 0·u  × u +  u2 Y  0 + 2 + Y Cw 

(8.50)

Por tanto, la ecuación (8.50) es la ecuación de Navier-Stokes para un campo  0 que está referido a un sistema no inercial que rota a velocidad de velocidades Y  respecto a un sistema fijo. angular constante

8.2.3.

Presión modificada

 y no Cuando las condiciones de contorno sólo dependen de la velocidad Y de la presión, es conveniente expresar la ecuación de Navier-Stokes (8.23) como ³ ´   CY >  ·u  Y  =  us +  u2 Y + Y Cw 

(8.51)

8.2. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

341

donde s es una presión que tiene en cuenta el efecto de la gravedad, s = S  j · u=

(8.52)

Dicha presión s se denomina presión modificada. Para comprobar que (8.51) es correcta, basta probar el siguiente resultado. Teorema 19 Si la presión modificada viene dada por (8.52), entonces se cumple que   uS us = j  > (8.53)    de tal manera que la ecuación de Navier-Stokes dada en (8.51) es equivalente a la expresión obtenida anteriormente en (8.23). Demostración. Tomando el gradiente en (8.52), recordando que en (8.23) la densidad es constante,  = fwh,  = uS   u  (j · u) = us

(8.54)

Aplicando la propiedad (4.91), tenemos que ³ ´ ³ ´  (j · u) = j · u  u + u · u  j + j × rot u + u × rot j = u

(8.55)

Elegimos un sistema de coordenadas en donde j = (j{ > j| > j} ) = Como j es un vector constante, tenemos que

y

Además,

rot j = 0>

(8.56)

´ ³ ´ ³  | > u · uj  } = 0=  j = u · uj  { > u · uj u · u

(8.57)

¯ ¯ l m ¯ ¯ rot u = ¯ C@C{ C@C| ¯ { |

n C@C} }

¯ ¯ ¯ ¯ = 0> ¯ ¯

(8.58)

y ³ ´ ³ ´  u =  j · u|>  j · u}  j · u j · u{> ³ ´ = j · l> j · m> j · n = (j{ > j| > j} ) = j =

(8.59)

Por tanto, sustituyendo (8.56)-(8.59) en (8.55), resulta que  (j · u) = j = u

(8.60)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

342

De este modo, teniendo en cuenta (8.54) y (8.60), concluimos que 

  us uS = j  >  

como queríamos demostrar. Obsérvese que eligiendo un sistema de coordenadas cartesiano en el que la aceleración de la gravedad se exprese como j = (0> 0> j) > según (8.52), la presión modificada es s = S  j · u = S   (0> 0> j) · ({> |> }) = S + j}=

(8.61)

Por tanto, según (8.61), la ecuación de Bernoulli (7.137) se puede expresar de la siguiente manera, 1 ¯¯  ¯¯2  ¯Y ¯ + s = fwh= (8.62) 2 En algunos casos, la rotación de la Tierra hace que la aceleración de Coriolis y la centrípeta sean significativas en la dinámica del campo de velocidades observado en el seno de un fluido. Eligiendo para medir el campo de velocidades  0 un sistema de referencia solidario con un punto de la superficie de la Tierra, Y podemos escribir la ecuación de Navier-Stokes dada en (8.50) de la siguiente forma, ´ 0 ³  0 CY 0·u  Y  ×Y  0 =  us +  u2 Y 0>  0 + 2 + Y (8.63) Cw  donde s0 se denomina presión modificada centrífuga y tiene en cuenta el efecto de la gravedad efectiva o gravedad en un punto u de la superficie terrestre, ´2 1 ³ × u = s0 = S  j · u   2

(8.64)

Para comprobar que (8.63) es correcta, basta demostrar el siguiente resultado. Teorema 20 Si la presión modificada centrífuga viene dada por (8.64), entonces se cumple que, 

³ ´   0 uS us  ×  × u > = j    

(8.65)

de tal manera que la ecuación de Navier-Stokes dada en (8.63) es equivalente a la expresión obtenida anteriormente en (8.50).

8.2. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

343

Demostración. Tomando el gradiente en (8.64), ³ ´2 ¸   × u   u  (j · u)  1 u  0 = uS

= us 2

(8.66)

Calculemos ahora el último término de (8.66),  ´2 ¸ 1  ³ u × u = 2 = =

 ¯2 ¸ 1  ¯¯  ¯ u ¯ × u¯ 2 1  £ 2 2 2 ¤ u u sin * 2

2  £ 2 ¤ u ( > 2

(8.67)

¯ ¯ ¯ ¯ donde la velocidad de rotación ¯ ¯ = = fwh, el ángulo * es el ángulo que  y u (véase figura 8.1) y la distancia entre el punto de la forman los vectores superficie terrestre y el eje de rotación de la Tierra es ( = u sin *= Obsérvese que, si  es la latitud, * +  = @2=

Figura 8.1: Coordenadas de un punto de la superficie terrestre. La coordenada ( coincide con la coordenada radial de las coordenadas cilíndricas, por tanto, sabiendo que el gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas i = i ((> > }) viene dado por (E.21),  = Ci h( + 1 Ci h + Ci n> ui C( ( C C}

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

344

resulta que (8.67) puede escribirse como  ´2 ¸ 1  ³ u × u = 2  ( h( 2 ³ ´ = 2  ( cos  l + sin  m > donde hemos aplicado (E.7). Pasando a coordenadas cartesianas, cos  = {@(> sin  = |@( y (2 = {2 + |2 > (E.3), (E.4) y (E.1), llegamos a  ´2 ¸ 1  ³ u × u = 2  ({> |> 0) = (8.68) 2 Por otro lado, según la figura por lo que, ¯ ¯ l ¯ 

× u = ¯¯ 0 ¯ {

 = (0> 0> ) y u = ({> |> }) > 8.1, tenemos que ¯ m n ¯ ¯ 0 ¯¯ = (|> {> 0) > | } ¯

de tal manera que

¯ ¯ ³ ´ ¯    × × u =  ¯¯ ¯

¯ l m n ¯ ¯ 0 0 ¯¯ = 2 ({> |> 0) = | { 0 ¯

Por tanto, comparando (8.68) y (8.69), resulta que  ´2 ¸ h ³ ´i 1  ³  ×  × u = u × u =  2

(8.69)

(8.70)

Finalmente, sustituyendo (8.60) y (8.70) en (8.66), h ³ ´i   j    ×  × u >  0 = uS us como queríamos demostrar en (8.65).

8.2.4.

Fuerza de arrastre y sustentación

Observemos ahora que según (8.17) las fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido son las debidas a la presión IS , a la fuerza de gravedad pj y al rozamiento viscoso Iroz . Según (8.18) y (8.19), si  es la región donde está la porción de fluido, las fuerzas debidas a la presión y a la gravedad se pueden escribir, aplicando (8.53), como Z Z ³ ´   gY= j  uS gY =  us IS + pj = 



Por tanto, podemos definir la fuerza debida a la presión modificada como Z  gY= (8.71) Is = IS + pj =  us 

8.2. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES

345

Anteriormente habíamos deducido en (7.23) y (7.24) que en el caso de la presión S , Z Z  =  uS  gY= S gV (8.72) IS =  C



La última igualdad en (8.72) se dedujo siendo S cualquier campo escalar, por tanto, también se puede aplicar cuando tengamos la presión modificada s en lugar de la presión S> de tal modo que Z  s gV= Is =  C

Como, según (8.7), la fuerza debida al rozamiento es Z  gV> Iroz = C

la fuerza total I que experimenta la porción de fluido es Z  (  sL) gV> I = Is + Iroz =

(8.73)

C

donde L es la matriz identidad. A la matriz 0 =  sL>

(8.74)

se le denomina tensor de esfuerzo. Consideremos ahora el caso de un cuerpo que ocupa una región  y que  con respecto a unos ejes fijos en el se desplaza a una velocidad constante X seno de un fluido en reposo1 . Si tomamos un sistema de referencia solidario con el cuerpo, es el fluido el que está en movimiento con respecto al cuerpo. Este movimiento del fluido ejerce una fuerza sobre la porción de fluido que envuelve a la superficie del cuerpo C y, que, según (8.73), viene dada por Z  (  sL) gV> Ifluido = C

donde C es, a su vez, la frontera de la lámina de fluido que envuelve al cuerpo, es decir, coincide con la superficie exterior del cuerpo. Debido a la condición de no deslizamiento (8.26), dicha porción de fluido está pegada al cuerpo. De este modo, el cuerpo experimenta en su avance una fuerza de fricción Ii igual a la que actúa sobre la porción de fluido pegada a la superficie del cuerpo Ifluido , Z  (  sL) gV= (8.75) Ii = Ifluido = C 1 El

movimiento del cuerpo desplaza fluido en su avance, haciendo que éste ya no esté en reposo. Sin embargo, el fluido permanece asintóticamente en reposo cuando está muy lejos del movimiento del cuerpo.

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

346

Si descomponemos la fuerza de fricción Ii en sus componentes paralela y perpendicular a la dirección de avance del cuerpo, obtenemos respectivamente la fuerza de arrastre Iarrastre y la fuerza de sustentación Isust del cuerpo. Según la figura 8.2, tenemos entonces que Iarrastre Isust

³ ´ Ii · x x>

(8.76)

= Ii  Iarrastre >

(8.77)

=

donde x es un vector unitario con la misma dirección y sentido que el del avance del cuerpo,  X x = ¯¯ ¯¯ = (8.78) ¯ ¯X

Figura 8.2: Fuerza de arrastre y sustentación de un cuerpo desplazándose en el seno de un fluido.

Perfiles aerodinámicos El perfil del ala de un avión está diseñado de tal manera que la fuerza de sustentación tiene una orientación vertical y hacia arriba. De este modo, un aeroplano tiende a despegar al alcanzar una cierta velocidad (véase figura 8.3). Análogamente a la definición del coeficiente de arrastre FG para la fuerza de arrastre (1.101), ¯ 1 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ > ¯Iarrastre ¯ = i FG D ¯X 2

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

347

Figura 8.3: Fuerzas que actúan sobre el ala de una avión: I , fuerza del avión; Iarrastre , fuerza de arrastre; Isust , fuerza de sustentación; pj , peso del ala. donde i es la densidad del fluido y D es el área del cuerpo ortogonal al flujo; podemos definir un coeficiente de sustentación FO de tal manera que ¯ ¯ ¯ ¯2 ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯Isust ¯ = i FO D ¯X ¯ > 2 donde ahora D es una área de referencia en el cuerpo aerodinámico (superficie alar). Para flujos incompresibles, el coeficiente de sustentación FO depende del número de Reynolds R y del ángulo de ataque  o ángulo que forma el perfil aerodinámico con respecto a la dirección del flujo principal (véase figura 8.4). Cuando el ángulo de ataque es pequeño, el flujo es laminar alrededor del perfil aerodinámico; pero cuando éste aumenta, empieza a producirse el fenómeno de la separación (véase sección 7.4.2). Para un cierto ángulo de separación crítico m´ax , el coeficiente de sustentación es máximo. Para  A m´ax , el flujo se separa tanto del perfil aerodinámico que el coeficiente de sustentación disminuye. En la figura 8.5 se muestra un gráfico típico de cómo varía el coeficiente de sustentación FO con el ángulo de ataque  en un perfil aerodinámico. Nota 9 Los alerones de los vehículos de Fórmula 1 están diseñados para que la fuerza de sustentación sea vertical y hacia abajo, de tal manera que el vehículo quede en todo momento pegado al suelo y no despegue como un avión al alcanzar cierta velocidad.

8.3.

Ley de Newton de la viscosidad

Consideremos un fluido incompresible viscoso encerrado entre dos planos paralelos separados una distancia k que se mueven con una velocidad relativa  . De acuerdo con la figura 8.6, el plano inferior es el plano [] y la dirección del X  . De este modo, suponiendo régimen eje [ se toma en la misma dirección de X  = (Y{ > 0> 0). laminar, el campo de velocidades del fluido es Y

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

348

Figura 8.4: Cuando el ángulo de ataque  es muy grande se produce el fenómeno de la separación.

CL

1.5

1.0

0.5

5

5

10

15

20

25

º

Figura 8.5: Coeficiente de sustentación FO en función del ángulo de ataque .

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

349

Figura 8.6: Fluido viscoso encerrado entre dos planos paralelos. Estamos interesados en conocer el campo de velocidades en el interior del fluido en el caso estacionario, por tanto,  CY = 0= (8.79) Cw Además, según la figura 8.6, resulta claro que todas las magnitudes que  dependen únicamente de la coordenada determinan el campo de velocidades Y |, es decir,  = (Y{ (|) > 0> 0) > Y s = S  j · u = S (|) + j|=

(8.80) (8.81)

De este modo, la ecuación de continuidad para flujos incompresibles (7.43), según (8.80), se satisface de manera automática,  = div Y

CY} CY{ CY| + + = 0= C{ C| C}

Por otro lado, según (8.80), también se cumple que ³ ´ ³ ´  ·u  Y  =  · uY  {> Y  · uY  |> Y  · uY  } Y Y ¶ μ CY{ > 0> 0 = 0= = Y{ C{

(8.82)

Sustituyendo (8.79)-(8.82) y teniendo en cuenta que  = @ (1.90) en la ecuación de Navier-Stokes (8.51), tenemos que  =  u2 Y = us

(8.83)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

350

Por otro lado, teniendo en cuenta (8.81), ¶ μ Cs Cs Cs  > > us = C{ C| C} μ ¶ gs = 0> > 0 > g|

(8.84)

y (8.80),  u2 Y

¢ ¡ 2 u Y{ > u2 Y| > u2 Y} ¶ μ 2 C Y{ C 2 Y{ C 2 Y{ + + > 0> 0 = C{2 C| 2 C} 2 ¶ μ 2 g Y{ > 0> 0 = = g| 2

=

(8.85)

Por tanto, sustituyendo (8.84) y (8.85) en (8.83), tenemos que gs = 0> g|

(8.86)

g2 Y{ = 0= g| 2

(8.87)

y

La solución de (8.86) es s = S0 > donde S0 es una constante. Según (8.81), la presión S se corresponde con la presión hidrostática, S = S0  j|= Por otro lado, la solución de (8.87) es Y{ (|) = d| + e>

(8.88)

donde d y e son dos constantes que tenemos que determinar a partir de las condiciones de contorno. Efectivamente, tomando un sistema de referencia fijo ¯  ¯¯ al plano inferior en | = 0, y sabiendo que, según (8.26), Y = 0, la lámina frontera de fluido que está pegada a dicho plano inferior también está parada, Y{ (0) = e = 0=

(8.89)

 , y el plano Como la velocidad relativa entre el plano inferior y superior es X superior se encuentra a una distancia k del plano inferior, tenemos de nuevo, según (8.26), que la lámina de fluido pegada al plano superior debe tener la misma velocidad que dicho plano superior, es decir, ¯ ¯ ¯ ¯ (8.90) Y{ (k) = dk + e = ¯X ¯=

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

351

Por tanto, de acuerdo con (8.89) y (8.90), resulta que (8.88) se puede expresar como ¯ ¯| ¯ ¯ (8.91) Y{ (|) = ¯X ¯ = k Por otro lado, recordemos que según (8.7), la fuerza de rozamiento que experimenta una partícula de fluido que ocupa una región  es Z roz = q gV= (8.92) I C

Si tomamos como región  la lámina horizontal de fluido correspondiente a | = k (de la cual consideramos un área D), entonces, el vector q es un vector unitario perpendicular al plano de la lámina y hacia afuera de ésta; es decir, según la figura 8.6, q = m> pues en el cálculo de la fuerza de rozamiento debemos considerar la cara de la lámina en | = k en contacto con el resto del fluido. Por tanto, para | = k> la fuerza de rozamiento es Z ¯ ¯ = m gV= Iroz ¯ |=k

C

Teniendo, además, en cuenta la expresión dada para el tensor de esfuerzo viscoso (8.8) y la simetría de éste (8.6), resulta que Z ¯ ¯ Iroz ¯ =  w m gV |=k C Z ( 1 >  2 > 3 ) m gV =  C Z  2 gV= =  C

Ahora bien, de acuerdo con (8.9) y (8.80), μ ¶  gY{ CY  = > 0> 0 =  2 = uY| + C| g| Por tanto,

¯ ¯ Iroz ¯

|=k

Z =  l C

¯ gY{ ¯¯ gV= g| ¯|=k

Como, según (8.80), Y{ es una función únicamente de |> en la superficie C (correspondiente al plano | = k), gY{ @g| es una constante, por tanto, ¯ Z ¯ gY{ ¯¯ ¯ l =  gV= Iroz ¯ g| ¯|=k |=k C Como de la superficie C sólo consideramos un área D> resulta, finalmente, que ¯ ¯ gY{ ¯¯ ¯  =  Dl> (8.93) Iroz ¯ g| ¯|=k |=k

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

352

de tal manera que para cualquier lámina de fluido que se encuentre en un plano | = fwh, podemos expresar (8.93) como, gY{  Iroz =  l= D g| Sea I la fuerza que hay que ejercer sobre una lámina de fluido para que ésta se deforme según la figura 8.6. Obsérvese que, sobre una lámina de fluido, la resultante de las fuerzas es nula, pues, según (8.91), dicha lámina lleva una velocidad constante (no se acelera), I + Iroz = 0=

(8.94)

Por tanto, el esfuerzo  que ejercemos sobre dicha lámina de fluido es,  =

gY{  I Iroz = = l> D D g|

(8.95)

es decir, el esfuerzo  es tangecial (paralelo a la dirección en la que se aplica la fuerza). La ecuación (8.95) se denomina ley de Newton de la viscosidad y ya fue introducida en (1.35). Sustituyendo (8.91) en (8.95), obtenemos el esfuerzo tangencial  que hay que aplicar para deslizar entre sí dos placas paralelas, > separadas una distancia k> para que se muevan a una velocidad relativa de X entre las cuales se encuentra un fluido de viscosidad dinámica , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X ¯ l=  =  k

8.3.1.

Energía disipada

Observemos que, debido a la viscosidad, existe una fuerza de rozamiento Iroz (8.92). Esta fuerza de rozamiento es la responsable de que un fluido viscoso vaya disipando una energía en su movimiento. Si gH es la energía disipada en un desplazamiento infinitesimal gu del fluido, tenemos que gH = Iroz · gu=

(8.96)

Si tenemos el movimiento de un fluido debido a la aplicación de un esfuerzo tangencial  en su superficie (véase figura 8.6), podemos aplicar la ley de Newton de la viscosidad (8.95) en (8.96), obteniendo gH

= D  · gu  gY = D · gu> g|

 = Y{ l. Tomando como donde, según (8.80), hemos tenido en cuenta que Y elemento diferencial de masa gp una lámina de fluido de área D y espesor g| (sabiendo que ésta experimenta un desplazamiento gu = g{ l), gp =  gY =  D g|>

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

353

resulta que la energía disipada por unidad de masa es  gu gY gH =  · > gp g| g|

(8.97)

donde  = @ es la viscosidad cinemática (1.90). Por tanto, si definimos % como la energía disipada en el fluido por unidad de masa y de tiempo, según (8.97), llegamos a μ ¶ g gH % = gw gp  g μ gu ¶ gY =  · g| gw g|  g μ gu ¶ gY =  · > (8.98) g| g| gw donde hemos aplicado la igualdad de las derivadas cruzadas (4.64). Como gu es el desplazamiento que experimenta una lámina de fluido, la velocidad de ésta  = gu@gw> de tal modo que (8.98) se puede expresar como será Y à % = 

 gY g|

!2 =

(8.99)

Sustituyendo (8.91) en (8.99), resulta, finalmente, que

% = 

¯ ¯2 ¯ ¯ ¯X ¯ k2

>

(8.100)

donde el signo  indica que la energía disipada % la va perdiendo el fluido. Obsérvese la semejanza de (8.100) con la disipación de la energía que obtuvimos para el régimen turbulento (3.17), μ % 2  turb

X c

¶2 >

siendo X la variación de la velocidad promedio en una distancia c, y siendo  turb la viscosidad de turbulencia. Ejemplo 83 Se dispone de un líquido newtoniano encerrado entre dos tubos cilíndricos verticales coaxiales de longitud O> separados entre sí una distancia k. Si mantenemos el cilindro exterior fijo y necesitamos consumir una potencia ˙ para que el cilindro interior de radio U rote alrededor de su eje a constante Z  ¿cuál es entonces la viscosidad dinámica del una velocidad angular constante > fluido?

354

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

Como los líquidos son incompresibles y nos dicen que se trata de un líquido newtoniano, podemos aplicar la ecuación de Navier-Stokes dada en (8.51), " # ³ ´  CY >     +  u2 Y  + Y · u Y = us (8.101) Cw donde s = S  j · u=

(8.102)

˙ es constante, El enunciado nos dice que el ritmo al que se consume energía Z lo cual indica que el fluido ha alcanzado un régimen estacionario, es decir,  CY = 0= Cw

(8.103)

Debido a la simetría del problema, vamos a utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas: hu > h > n, tal y como aparece en la figura 8.7. De este modo, podemos expresar el campo de velocidades como  (u> > }) = Yu (u> > }) hu + Y (u> > }) h + Y} (u> > }) n Y = (Yu (u> > }) > Y (u> > }) > Y} (u> > })) = Además, como los cilindros están colocados verticalmente, j = (0> 0> j) > por tanto, (8.102) se convierte en s = S0 + S + j}=

(8.104)

Figura 8.7: Entre los dos cilindros la velocidad del fluido sólo tiene componente tangencial, Y (u) =

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

355

Es decir, de ahora en adelante las componentes de los vectores vendrán referidas a un sistema de coordenadas cilíndricas: hu > h > n= En nuestro caso tenemos  que solamente tiene componente tangencial Y , y un campo de velocidades Y esta componente sólo depende de la coordenada radial u>  = (0> Y (u) > 0) = Y

(8.105)

Según (E.58) (véase Apéndice E), el siguiente operador en coordenadas cilíndricas resulta ser ¶ μ ³ ´ Y2   Y Yu        > Y · uY  > Y · uY} Y ·u Y = Y · uYu  u u ¶ μ Y2   · uY > 0 > (8.106) =   >Y u donde, según (E.21), el gradiente en coordenadas cilíndricas es ¶ μ  = Ci > 1 Ci > Ci > ui Cu u C C} de tal manera que, de acuerdo con (8.105), ¶ μ gY  > 0> 0 = uY = gu

(8.107)

Multiplicando escalarmente (8.105) y (8.107), resulta que  · uY   = 0> Y y, por tanto, (8.106) se puede escribir como ¶ μ ³ ´ Y2    Y · u Y =  > 0> 0 = u

(8.108)

Aplicando ahora el resultado obtenido en (E.48) para el laplaciano de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas al campo vectorial (8.105), tenemos que ¶ μ Yu 2 CY 2 Y 2 CYu 2 2 2 > u Y  2 + 2 > u Y} u Y = u Yu  2  2 u u C u u C μ ¶ Y = 0> u2 Y  2 > 0 = (8.109) u Ahora bien, según (E.44), el laplaciano de un campo escalar en coordenadas cilíndricas es μ ¶ Ci 1 C2i 1 C C2i u + 2 2 + 2> u2 i = u Cu Cu u C C}

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

356 por tanto, de acuerdo con (8.105),

1 g u Y = u gu 2

μ ¶ gY u > gu

de tal modo que (8.109) resulta ser μ ¶ ¶ μ gY Y 1 g 2 u Y = 0> u  2 >0 = u gu gu u

(8.110)

Por otro lado, debido a la simetría radial del problema, la presión sólo depende de la coordenada radial, s = s (u) = Por tanto, μ ¶ Cs 1 Cs Cs  us = > > Cu u C C} μ ¶ gs = > 0> 0 = (8.111) gu Sustituyendo (8.103), (8.108) y (8.110) la ecuación de Navier-Stokes (8.101) se reduce a μ ¶ μ ¶ μ μ ¶ ¶ Y2 gs 1 g gY Y    > 0> 0 =  > 0> 0 +  0> u  2 >0 = (8.112) u gu u gu gu u Desglosando por componentes tenemos Y2 gs =  > gu u y g gu es decir,

(8.113)

μ ¶ gY Y u  = 0> gu u

u2 Y00 (u) + uY0 (u)  Y (u) = 0=

(8.114)

Para integrar (8.114) probemos soluciones del tipo Y (u) = Fuq >

(8.115)

de tal modo que, sustituyendo (8.115) en (8.114), resulta la siguiente ecuación para q> q (q  1) + q  1 = 0> es decir, q = ±1= Por tanto, la solución general de (8.114) es Y (u) =

F1 + F2 u= u

(8.116)

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

357

Las constantes de integración F1 y F2 se obtienen a partir de las condiciones de contorno. La primera condición de contorno resulta de considerar que el cilindro exterior está fijo, Y (U + k) =

F1 + F2 (U + k) = 0= U+k

(8.117)

La segunda condición de contorno resulta de considerar que el cilindro interno gira a una velocidad angular constante > Y (U) =

F1 + F2 U = U = U

(8.118)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (8.117) y (8.118), resulta que F1

=

F2

=

(U + k)2 U2 > (k + 2U) k U2 = (k + 2U) k

Sustituyendo (8.119)-(8.120) en (8.116), " # U2 (U + k)2 u = Y (u) = (k + 2U) k u

(8.119) (8.120)

(8.121)

 = Y h , podemos resolver Una vez que conocemos el campo de velocidades, Y la ecuación para la presión modificada s> integrando en (8.113) y teniendo en cuenta (8.116), s (u) 

Z

Y2 gu + F3 u μ ¶2 Z 1 F1 + F2 u gu + F3 = u u F12 F22 2 u + 2F1 F2 log u + F3 = = + 2u2 2

=

Por tanto, según (8.104), la presión en el interior del cilindro es ¸  2 F22 2 F1 u + 2F1 F2 log u + F3  j}= + S (u> }) =  2u2 2

(8.122)

Si antes de que empiece a rotar el sistema ( = 0), la presión sobre la superficie superior (digamos } = 0) es la atmosférica Satm > obsérvese que F1 = F2 = 0> y por tanto, según (8.122), S (u> 0)| =0 = Satm = F3 =

(8.123)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

358

Sustituyendo (8.123) en (8.122),  2 ¸ F1 F22 2 S (u> }) = Satm +  u + + 2F F log u  j} = 1 2 2u2 2 Veamos ahora la fuerza de rozamiento Iroz que ejerce la lámina de fluido que está en contacto con el cilindro interior rotante (es decir, cuando u = U). Aplicando (8.7), tenemos que Z ¯ ¯ Iroz ¯ = q gV> (8.124) u=U

C

donde C es la superficie de la lámina en contacto con el cilindro interior. Obsérvese, que según la figura 8.8, el vector normal q de la superficie de la lámina de fluido en contacto con el cilindro es q = hu = Como, además, el tensor de esfuerzo viscoso es simétrico, podemos escribir el integrando de (8.124) como q = w hu =  ( u >   >  } ) hu =  u > de tal modo que podemos expresar (8.124) como Z ¯ ¯ = u gV= Iroz ¯ u=U

(8.125)

C

Figura 8.8: Vectores radial hu y tangencial h sobre la superficie del cilindro interior.

8.3. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

359

En el Apéndice E se detalla la forma del tensor de esfuerzo viscoso en cilíndricas. De este modo, de acuerdo con (E.67), tenemos que μ ¶ ¶ μ 1 CYu CYu CY} CYu C Y >u + > + = u = 2 Cu Cu u u C C} Cu Como en nuestro caso, según (8.105), Yu = Y} = 0 y Y = Y (u) > teniendo en cuenta (8.121), resulta que ¶ μ Y CY  >0 0>  u = Cu u = 

2U2 (U + k)2 h = (k + 2U) k u2

(8.126)

Según (8.125), hemos de calcular el vector  u sobre la superficie C (es decir, cuando u = U), por tanto, u |u=U = 

2 (U + k)2 h = (k + 2U) k

(8.127)

Sustituyendo (8.127) en (8.125), ¯ ¯ Iroz ¯

u=U

=

2  (U + k)2 h (k + 2U) k

Z gV=

(8.128)

C

Obsérvese que la integral dada en (8.128) es la superficie del cilindro exterior. Según la figura 8.8, Z gV = 2UO> C

por tanto,

¯ ¯ Iroz ¯

u=U

=

4UO  (U + k)2 h = (k + 2U) k

(8.129)

Notemos que la fuerza externa es, efectivamente, una fuerza tangencial sobre la superficie del cilindro interno rotante. Esta fuerza se ha de compensar con la fuerza externa Iext que ejercemos al cilindro interno para mantenerlo rotando a una velocidad angular constante = ¯ ¯ = 0> Iext + Iroz ¯ u=U

por lo que, según (8.129), 4UO  (U + k)2 h = Iext = (k + 2U) k

(8.130)

Multiplicando (8.130) escalarmente por la velocidad tangencial que tiene el cilindro interno, int = U h > Y

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

360

obtenemos la potencia suministrada al sistema, 2 2 2 int = 4U O  (U + k) = ˙ = Iext · Y Z (k + 2U) k

(8.131)

Despejando de (8.131) la viscosidad dinámica, =

˙ (k + 2U) kZ 4U2 O 2 (U + k)2

=

(8.132)

Obsérvese que, cuando k ¿ U> tenemos que k + 2U  2U y U + k  U> por tanto, (8.132) se puede aproximar por ˙k Z > 2U3 O 2 en consonancia con el resultado obtenido en (1.43). 

(8.133) N

Ejercicio 56 Se dispone de un canal de anchura  y profundidad constante k que está inclinado un ángulo  con respecto a la horizontal, tal y como indica la figura 8.9. Si por dicho canal baja por la acción de la gravedad un líquido de viscosidad dinámica constante > determínese el caudal que circula por el canal. sin  3 Solución: T =  j 3 k =

Figura 8.9: Sistema de ejes coordenados de una capa de fluido de espesor k descendiendo por una rampa de inclinación =

8.4.

Ley de Poiseuille

Consideremos un flujo estacionario y de densidad constante en una tubería recta con una misma sección transversal V a lo largo de dicha tubería, tal y como aparece en la figura 8.10,  CY = 0= Cw

(8.134)

8.4. LEY DE POISEUILLE

361

Observemos en la figura 8.10 que el eje [ coincide con el eje de la tubería. Si suponemos que el fluido fluye en régimen laminar, entonces, la velocidad del fluido sólo tiene componente en { y es únicamente función de las coordenadas |> }> es decir,  = (Y{ (|> }) > 0> 0) = Y (8.135)

 en una tubería recta de sección arbitraria. Figura 8.10: Campo de velocidades Y Notemos, en primer lugar, que la ecuación de continuidad para flujos de densidad constante (7.43), según (8.135), se satisface de manera automática,  = div Y

CY} CY{ CY| + + = 0= C{ C| C}

Por otro lado, según (8.135), se cumple que ³ ´ ´ ³  · uY  |> Y  · uY  }  ·u  Y  =  · uY  {> Y Y Y ¶ μ CY{ CY{ CY{ + Y| + Y} > 0> 0 = 0= = Y{ C{ C| C}

(8.136)

Sustituyendo (8.134)-(8.136) en la ecuación de Navier-Stokes (8.51), tenemos que  =  u2 Y = us (8.137) Observemos que

μ  = us

y, según (8.135),  u2 Y

Cs Cs Cs > > C{ C| C}

¶ >

¢ ¡ 2 u Y{ > u2 Y| > u2 Y} ¶ μ 2 C Y{ C 2 Y{ + > 0> 0 = = C| 2 C} 2

(8.138)

=

(8.139)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

362

Por tanto, sustituyendo (8.138) y (8.139) en (8.137), tenemos, por un lado, Cs Cs = = 0> C| C} es decir, la presión es constante en todos los puntos de una sección transversal de la tubería, por tanto, s = s ({) > (8.140) y, por otro lado, C 2 Y{ C 2 Y{ 1 gs = + = (8.141)  g{ C| 2 C} 2 Observemos que, debido a (8.140), el miembro de la derecha de (8.141) ha de ser una función de {, mientras que, debido a (8.135), el miembro de la izquierda ha de ser una función de | y de }= La única manera de que (8.141) se satisfaga es suponiendo que ambos miembros son iguales a una misma constante , es decir, 1 gs = > (8.142)  g{ y C 2 Y{ C 2 Y{ + = = (8.143) C| 2 C} 2 Integrando en (8.142) de acuerdo con la figura 8.10, tenemos que Z S1 Z c gs =  g{ = c= (8.144) s1  s0 = S0

0

Llamando s = s0  s1 a la diferencia de presión entre los extremos de una tubería de longitud c> resulta, según (8.142) y (8.144), que s gs =  =  = g{ c

(8.145)

De esta manera, sustituyendo (8.145) en (8.143), u2 Y{ = 

s = c

(8.146)

Obsérvese que precisamente la diferencia de presión s entre los extremos de la tubería es la que hace mover el fluido.

8.4.1.

Tubería circular

Vamos a resolver (8.146) para una tubería de sección transversal circular. Para ello, tomemos el eje [ (que es perpendicular a la sección transversal circular) de tal manera que pase por el centro de la circunferencia. En el Apéndice E se demuestra que el laplaciano en coordenadas polares es (E.43), μ ¶ Ci 1 C2i 1 C u + 2 2= u2 i = u Cu Cu u C

8.4. LEY DE POISEUILLE

363

 =Y  (u) = (Y{ (u) > 0> 0) > Por tanto, sabiendo que el flujo tiene simetría radial, Y podemos expresar (8.146) como μ ¶ gY{ s 1 g u = = u gu gu c Integrando,

Z

μ ¶ Z gY{ s g u = u gu> gu c

es decir, u

s 2 gY{ = u + F1 > gu 2c

(8.147)

donde F1 es una constante de integración. Volviendo a integrar sobre (8.147), ¶ Z Z μ F1 s u+ gu> gY{ =  2c u es decir, s 2 u + F1 log u + F2 > (8.148) 4c donde F2 es otra constante de integración. Debido a que la velocidad en el centro de la tubería es finita, |Y{ (0)| ? 4> la constante F1 ha de ser cero, Y{ (u) = 

F1 = 0=

(8.149)

Por otro lado, en la zona de contacto entre el fluido y la tubería, u = U, según la condición de no deslizamiento (8.26), la velocidad del fluido es nula, Y{ (U) = 0=

(8.150)

Por tanto, sustituyendo (8.149) y (8.150) en (8.148), obtenemos que F2 =

s 2 U = 4c

(8.151)

Sustituyendo (8.149) y (8.151) en (8.148), obtenemos el siguiente perfil parabólico de velocidades en la sección transversal de una tubería (véase figura ??), Y{ (u) =

¢ s ¡ 2 U  u2 = 4c

(8.152)

Esta situación es similar a la que habíamos obtenido en régimen turbulento, pues los efectos de la viscosidad se dan en toda la sección recta de la tubería (obteniéndose en el caso turbulento un perfil logarítmico (3.50)) y no sólo en las inmediaciones de la pared de la tubería. Para determinar el caudal que atraviesa una sección transversal de tubería V, podemos aplicar (5.173), Z Z  · gV =  · q gV> Y Y T = |T (V)| = V

V

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

364

Figura 8.11: Perfil parabólico de velocidades en el interior de una tubería cilíndrica en régimen laminar. donde V es la región del plano \ ] que cumple | 2 + } 2  U2 = Como, según la  = (Y{ > 0> 0) > tenemos que figura 8.10, q = l> y Y Z T= Y{ gV= (8.153) V

Efectuando un cambio a coordenadas polares (recordando que según (5.39) el jacobiano de la transformación a polares es u), resulta que Z U Z 2 Z U g Y{ u gu = 2 Y{ u gu= (8.154) T= 0

0

0

Sustituyendo (8.152) en (8.154), Z ¢ s U ¡ 2 U  u2 u gu> T= 2c 0 es decir, T=

s 4 U = 8c

(8.155)

Obsérvese que cuando la tubería circular está en posición horizontal, j = (0> 0> }), según (8.61), la diferencia de presión modificada resulta ser s = S + j}>

(8.156)

donde |}| ? U. Si la tubería es suficientemente estrecha U ¿ 1 (por ejemplo, un tubo capilar), podemos considerar que la diferencia de presión hidrostática en el interior de la tubería j} es despreciable frente a la diferencia de presión externa S , j} ¿ S . De este modo, según (8.156), s  S y, entonces, (8.155) puede escribirse como T

S 4 U = 8c

(8.157)

8.4. LEY DE POISEUILLE

365

La dependencia del caudal T en función de S y U dada por (8.157) fue establecida empíricamente por G. Haagen (1839) y J. L. M. Poiseuille (1840) haciendo uso del Análisis Dimensional, tal y como vimos en (2.69). Posteriormente, fue justificada teóricamente por G. G. Stokes (1845), a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, tal y como hemos visto en esta sección. En honor a uno de sus primeros descubridores, la ecuación (8.155) se denomina ley de Poiseuille. Si definimos la resistencia hidrodinámica Uk como Uk =

8c > U4

(8.158)

podemos escribir la ley de Poiseuille (8.155) de una manera análoga a la ley de Ohm, s = Uk T>

(8.159)

donde la causa del movimiento del fluido (diferencia de presión modificada entre los extremos de la tubería, s) es directamente proporcional al efecto (caudal T que fluye por la tubería). La constante de proporcionalidad es precisamente la resistencia hidrodinámica Uk = Obsérvese que la resistencia hidrodinámica es fuertemente dependiente del radio U> de tal manera que, si tenemos dos tuberías de la misma longitud por las que circula el mismo fluido, pero una tiene la mitad de radio que la otra, la tubería más estrecha tiene una resistencia hidrodinámica 24 = 16 veces mayor. Ejemplo 84 Un líquido de viscosidad dinámica  fluye entre dos tuberías coaxiales de radios U1 y U2 > paralelamente al eje de dichas tuberías. Si en una distancia c existe una diferencia de presión s> determínese el caudal. Tomando como eje [ el eje de ambas tuberías, tenemos que el campo de velocidades tiene sólo componente {> y esta componente tiene simetría radial,  = (Y{ (u) > 0> 0) = Al igual que anteriormente, resolviendo la ecuación de NavierY Stokes llegaríamos a la expresión (8.148), Y{ (u) = 

s 2 u + F1 log u + F2 > 4c

(8.160)

donde las constantes se han de determinar de acuerdo con (8.26), es decir, Y{ (U1 ) = Y{ (U2 ) = 0= De este modo, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones con las incógnitas F1 y F2 > log U1 F1 + F2

=

log U2 F1 + F2

=

s 2 U > 4c 1 s 2 U = 4c 2

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

366

Podemos resolver fácilmente este sistema por Cramer, ¯ 2 ¯ ¯ U1 1 ¯ ¯ 2 ¯ s U12  U22 s ¯ U2 1 ¯ ¯= ¯ > F1 = 4c ¯¯ log U1 1 ¯¯ 4c log (U1 @U2 ) ¯ log U2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ log U1 U12 ¯ ¯ ¯ s U22 log U1  U12 log U2 s ¯ log U2 U22 ¯ ¯ ¯ = = F2 = 4c ¯¯ log U1 1 ¯¯ 4c log (U1 @U2 ) ¯ log U2 1 ¯

(8.161)

(8.162)

Sustituyendo (8.161) y (8.162) en (8.160), " # ¢ ¡ 2 2 2 2  U log U  U log U log u + U U s 1 2 1 2 2 1 u2 + Y{ (u) = 4c log (U1 @U2 ) " # ¢ ¡ 2 U1  U22 (log u  log U2 ) + U22 (log U1  log U2 ) s 2 u + > = 4c log (U1 @U2 ) es decir,

 ¸ s U12  U22 2 2 Y{ (u) = U2  u + log (u@U2 ) = 4c log (U1 @U2 )

(8.163)

Para determinar el caudal que pasa por la sección transversal V entre las dos tuberías, al igual que en (8.153), tenemos que Z Y{ gV> T= V

donde V es la región del plano \ ] que cumple que U12  | 2 + } 2  U22 = Efectuando un cambio a coordenadas polares y teniendo en cuenta (8.163), Z

Z

2

0

=

 s 2 c

Y{ u gu

Z 

=

U2

g

T =

U1 U2

U1

"

# ¢ ¡ 2 2  U U 1 2 U22  u2 + log (u@U2 ) u gu log (U1 @U2 )

¢ U4  U14  s U22 ¡ 2 U2  U12  2 2 c 2 4 # ¢ Z U ¡ 2 2 2 U1  U2 + log (u@U2 ) u gu = log (U1 @U2 ) U1

Haciendo el cambio z = u@U2 , evaluemos la siguiente integral, Z

U2

L= U1

Z log (u@U2 ) u gu = U22

1

z log z gz= U1 @U2

(8.164)

8.4. LEY DE POISEUILLE

367

Integrando por partes, x = log z> gy = z gz> L U22

 =

z2 log z 2

= 

¸1  U1 @U2

1 2

Z

1

z gz U1 @U2

1 1 U12 log (U1 @U2 )  2 2 U2 4

μ ¶ U2 1  12 = U2

Por tanto,

¢ 1 1¡ 2 U2  U12 = L =  U12 log (U1 @U2 )  (8.165) 2 4 Sustituyendo (8.165) en (8.164) y operando, " ¡ ¢2 # ¢ U24  U14 U12 ¡ 2 ¢ 1 U22  U12  s U22 ¡ 2 2 2 T= U2  U1  + U2  U1 + > 2 c 2 4 2 4 log (U1 @U2 ) es decir,

" ¢2 # ¡ 2 U2  U12  s 4 4 U2  U1 + = T= 8 c log (U1 @U2 )

N

Ejercicio 57 Por una tubería cilíndrica horizontal fluye, isotérmicamente y a un ritmo constante de masa por unidad de tiempo, un gas ideal viscoso. Si en un punto de la tubería la presión es S0 > determínese la presión del gas a una q distancia c más adelante según la dirección del flujo. Solución: S (c) = S02 

8.4.2.

16UW pc ˙ U4 Pp >

donde S (0) = S0 es la presión en el punto { = 0=

Medida de la viscosidad

Una de las aplicaciones prácticas de la ley de Poiseuille es la determinación experimental de la viscosidad cinemática de un líquido. Atendiendo al esquema de la figura 8.12, el viscosímetro consta de un capilar D de longitud c y radio U, que se mantiene a temperatura constante. El líquido, cuya viscosidad dinámica  se quiere determinar, fluye a través del capilar desde la bureta graduada cilíndrica E al embudo H, por rebosamiento del tubo grueso F. En el instante w, si la diferencia de nivel del líquido en los dos tubos comunicantes E y F es k, la diferencia de presión que rige el flujo en el viscosímetro es la presión hidrostática (1.3), s = jk=

(8.166)

Obsérvese que la resistencia hidrodinámica de la bureta y del tubo grueso es despreciable frente a la resistencia hidrodinámica del capilar Uk>f , pues el radio del capilar es mucho más pequeño que el de la bureta y el tubo grueso, véase (8.158). Por tanto, según la figura 8.12, la resistencia hidrodinámica entre los extremos 1 y 2 es prácticamente igual a la del capilar D= Además, según la ecuación de continuidad aplicada a fluidos de densidad constante que circulan

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

368

Figura 8.12: Esquema de funcionamiento de un viscosímetro en forma de U. por tuberías (7.36), el caudal que fluye por el viscosímetro es el mismo que el caudal que fluye por el capilar, Tviscosímetro = Tf , por tanto, según la ley de Poiseuille (8.155), el caudal que fluye por el capilar es Tf = Tviscosímetro =

s Uk>viscosímetro



s U4 jk> = Uk>f 8c

(8.167)

donde hemos tenido en cuenta (8.166). Obsérvese que, como estamos despreciando la resistencia hidrodinámica de la bureta, podemos considerar que el fluido circula por ésta de una manera ideal, de tal manera que podemos aplicar (7.154) para determinar el caudal que fluye por ésta, Te = u2

gk > gw

(8.168)

donde u es el radio de la bureta y gk@gw es el ritmo de descenso de nivel de líquido en ésta. Aplicando de nuevo (7.36), podemos igualar el caudal que fluye por la bureta (8.167) con el caudal que fluye por el capilar (8.168), llegando a U4 jk gk = u2 = 8c gw

(8.169)

Reordenando términos en (8.169) y teniendo en cuenta que la viscosidad cinemática se define como  = @ (1.90), obtenemos la siguiente ecuación

8.4. LEY DE POISEUILLE

369

diferencial ordinaria, gk U4 j gw = = (8.170) 8u2 c k Si los niveles de la bureta en los tiempos w1 y w2 son respectivamente k1 y k2 podemos integrar en (8.170), llegando a μ ¶ k2 U4 j (w  w ) = log = (8.171) 2 1 8u2 c k1 Despejando la viscosidad cinemática de (8.171) y llamando al intervalo temporal w = w2  w1 > tenemos que =

U4 j w = 8u2 log (k2 @k1 ) c

(8.172)

Sabiendo que el volumen Y que ha desolajado la bureta en el intervalo de tiempo w es Y = u2 (k2  k1 ) = u2 k> podemos reescribir (8.172) de una manera más conveniente desde el punto de vista experimental, U4 j w k = (8.173) = 8Y log (k2 @k1 ) c

8.4.3.

Ascenso de un líquido por un capilar

En la sección 1.6.6 vimos que lo que asciende un líquido viene dado por medio de la ley de Jurin (1.88). En esta sección vamos a deducir una expresión para la altura de ascenso en función del tiempo. Según la figura 8.13, disponemos de un capilar de radio U inclinado un ángulo  con respecto a la vertical por el que asciende un líquido de densidad constante . La fuerza I que experimenta dicho líquido es el balance entre la fuerza de ascenso que ejerce la tensión superficial, cuyo coeficeinte es , y el peso del líquido, es decir, I = 2U  cos    j U2 cos  v (w) >

(8.174)

donde  es el ángulo de contacto entre el líquido y el capilar y v (w) es la distancia recorrida por el líquido a lo largo del capilar en función del tiempo w. Por tanto, según (8.174), la diferencia de presión que hace ascender el líquido por el capilar es S =

I 2 cos   j cos  v (w) = = U2 U

(8.175)

La ley de Poiseuille (8.155) ofrece una expresión para el caudal T de un líquido de viscosidad dinámica  que discurre por un tubo de sección circular y longitud v, entre cuyos extremos se ejerce una diferencia de presión S . Aplicando la ley de Poiseuille a nuestro caso, según (8.175), resulta que μ ¶ U4 S U3  cos  jU cos  T= =  = (8.176) 8v 4 v (w) 2

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

370

Figura 8.13: Líquido ascendiendo por un capilar de radio U inclinado un ángulo  con respecto a la vertical. Por otro lado, como hemos supuesto que el líquido es de densidad constante, el caudal T que circula por el capilar viene dado por T = U2 v0 (w) =

(8.177)

Igualando (8.176) y (8.177), tenemos la siguiente ecuación diferencial ordinaria para la distancia recorrida v, μ ¶ U  cos  jU cos   = (8.178) v0 (w) = 4 v (w) 2 En el estado estacionario, el líquido no asciende más por el capilar, por lo que habrá recorrido una distancia máxima, v = vm´ax , y la velocidad de ascenso será nula, v0 (w) = 0= Por tanto, según (8.178), tenemos que vm´ax =

2 cos  = jU cos 

(8.179)

La ecuación (8.179) se conoce como ley de Jurin, y ya la habíamos deducido anteriomente en (1.88) para capilares verticales,  = 0= Por simplicidad, expresemos (8.178) de la siguiente manera, d gv =  e> gw v donde hemos definido d=

(8.180)

U cos  > 4

(8.181)

jU2 = 8

(8.182)

y e=

8.4. LEY DE POISEUILLE

371

Suponiendo que inicialmente el extremo inferior del capilar está justo al nivel de la superficie del líquido que asciende por el capilar, hemos de imponer la condición inicial, v (0) = 0= (8.183) Por tanto, la integración de (8.180) resulta ser μ ¶ e d ew = v + log 1  v = e d

(8.184)

Para despejar k de (8.184), realicemos el siguiente cambio de variable, e } = 1  v> d

(8.185)

de tal modo que 1  o bien }

}h

e2 w = log }  }> d

¶ μ e2 =  exp 1  w = d

Sabiendo que la función W de Lambert es la función inversa de la función }h} (véase Apéndice C.2), resulta que ¶¸  μ e2 } = W  exp 1  w = d Deshaciendo los cambios dados en (8.181), (8.182) y (8.185), y teniendo en cuenta (8.179), llegamos a ½  μ ¶¸¾ jU2 cos  w = (8.186) v (w) = vm´ax 1 + W  exp 1  8 vm´ax ¡ ¢ donde  = @ es la viscosidad cinemática. Obsérvese que, debido a que W h1 = 1 y W (0) = 0, (8.186) satisface la condición inicial (8.183), £ ¡ ¢¤ v (0) = vm´ax 1 + W h1 = 0> y el estado estacionario (8.179), £ ¢¤ ¡ l´ım v (w) = vm´ax 1 + W h4 = km´ax =

w$4

Por otro lado, podemos definir el siguiente tiempo característico para el ascenso del líquido en el capilar, w0 =

16 cos  8vm´ax = 2 2 3 > jU2 cos   j U cos2 

(8.187)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

372

de tal manera que, según (8.186), la proporción de distancia recorrida respecto a vm´ax en el tiempo w0 es ¡ ¢ v (w0 ) = 1 + W h2  84> 14 %= vm´ax Por tanto, el tiempo de relajación w0 definido en (8.187) nos da una idea de lo rápido que es el ascenso del líquido dentro del capilar. Ejemplo 85 Un líquido asciende por un capilar vertical de radio 104 m hasta una altura máxima de 1 cm. Si la mitad de la altura máxima la alcanza en 1 s> determínese la viscosidad cinemática del líquido. Llamando w1@2 al tiempo que tarda en alcanzar la mitad de la altura máxima, ¢ vm´ax ¡ > v w1@2 = 2 según (8.186) (tomando  = 0> pues el capilar es vertical), tenemos que  μ ¶¸ jU2 1  = W  exp 1  (8.188) w1@2 = 2 8 km´ax Sabiendo que la función W de Lambert es la función inversa de la función }h} , podemos despejar de (8.188), ¶ μ 1 jU2  h1@2 =  exp 1  w1@2 > 2 8 km´ax o bien

jU2 w1@2 = log 1  8 km´ax

μ

h1@2 2

¶

1 =   log 2= 2

(8.189)

Despejando la viscosidad cinemática de (8.189) y sustituyendo los datos del problema, U = 104 m> w1@2 = 1 s y vm´ax = 102 m, =

jU2 w1@2  6> 35 × 106 m2 s1 = 4 (log 4  1) km´ax

N

Ejercicio 58 Un líquido asciende por dos capilares verticales de vidrio, uno el doble de ancho que el otro. Si por el capilar más estrecho el líquido tarda en alcanzar la mitad de la altura máxima 1 s, ¿cuánto tiempo tardará el líquido en alcanzar por el capilar ancho el 80 % de su altura máxima? Solución: w  0> 52 s=

8.5.

Movimiento oscilatorio de un fluido viscoso

Supongamos que tenemos un fluido viscoso de densidad constante que inicialmente está en reposo y está limitado por una pared plana horizontal. Veamos  que se genera en el fluido, si la pared realiza cuál es el campo de velocidades Y

8.5. MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN FLUIDO VISCOSO

373

Figura 8.14: Movimiento oscilatorio de una pared horizontal que contiene un fluido viscoso. un movimiento oscilatorio armónico simple de frecuencia en el plano que la contiene. De acuerdo con la figura 8.14, tomaremos el plano \ ] como el plano que contiene la pared y supondremos que ésta se mueve en la dirección del eje \ , estando el fluido en la región { A 0. Resulta claro que, en régimen laminar, el fluido se estratifica en capas horizontales, por lo que el campo de velocidades que el movimiento de la pared induce en el fluido no tiene componente }. Observemos también que el campo de velocidades sólo presenta dependencia en la coordenada { y el tiempo w.  = (Y{ (w> {) > Y| (w> {) > 0) = Y (8.190) Análogamente, s = s (w> {) =

(8.191)

Como el fluido es de densidad constante, se ha de cumplir la ecuación de continuidad (7.7),  = CY{ + CY| + CY} = 0> div Y C{ C| C} que, según (8.190), se reduce a, CY{ = 0 $ Y{ = Y{ (w) > (8.192) C{ es decir, la componente { del campo de velocidades Y{ es función únicamente del tiempo w. Sustituyendo (8.192) en (8.190),  = (Y{ (w) > Y| (w> {) > 0) = Y

(8.193)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

374

8.5.1.

Condiciones de contorno

Observemos que la frontera con la que limita el fluido es el plano { = 0> de tal manera que la condición de no deslizamiento (8.25) resulta ser ¯  pared =  ¯¯ = (Y{ (w) > Y| (w> {) > 0)|{=0 = X (8.194) Y frontera

Como la pared se desplaza con un movimiento armónico simple de frecuencia

en la dirección del eje \>  pared = X0 cos w m> X

w A 0=

(8.195)

Por tanto, según (8.194) y (8.195), Y{ (w) = 0>

w A 0>

(8.196)

y Y| (w> 0) = X0 cos w>

w A 0=

(8.197)

Sustituyendo (8.196) en (8.193), resulta que  = (0> Y| (w> {) > 0) = Y

(8.198)

Por otro lado, en un lugar muy alejado de la pared oscilante, { $ 4, el fluido permanecerá en reposo, de tal manera que l´ım Y| (w> {) = 0=

{$4

8.5.2.

(8.199)

Ecuación del movimiento

Procedamos ahora a sustituir el campo de velocidades dado en (8.198) en la ecuación de Navier-Stokes. En primer lugar, observemos que, según (8.198), resulta que ³ ´ ´ ³  · uY  |> Y  · uY  }  ·u  Y  =  · uY  {> Y Y Y ¶ μ CY| CY| CY| + Y| + Y} >0 = 0> Y{ C{ C| C} = 0> (8.200) y  u2 Y

¢ ¡ 2 u Y{ > u2 Y| > u2 Y} ¶ μ C 2 Y| C 2 Y| C 2 Y| + + > 0 = 0> C{2 C| 2 C} 2 ¶ μ C 2 Y| >0 = = 0> C{2

=

(8.201)

8.5. MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN FLUIDO VISCOSO

375

También, según (8.191), μ

Cs Cs Cs > > C{ C| C} μ ¶ Cs = > 0> 0 = C{

¶

 us =

(8.202)

Por tanto, teniendo en cuenta (8.200), (8.201) y (8.202) en la ecuación de Navier-Stokes (8.51), ³ ´   CY >  ·u  Y  =  us +  u2 Y + Y Cw  resulta que ¶ μ ¶ μ ¶ μ 1 Cs C 2 Y| CY| >0 =  > 0> 0 +  0> > 0 > 0> Cw  C{ C{2 es decir, C 2 Y| CY| = > Cw C{2

(8.203)

y Cs =0 C{

$

s = fwh=

La ecuación (8.203) es formalmente idéntica a la ecuación de la transmisión del calor en una dimensión2 . Basta interpretar en (8.203) el campo escalar Y| (w> {) como el campo de temperaturas W (w> {) en una barra, y la viscosidad cinemática  como la difusividad térmica.

8.5.3.

Estado cuasi-estacionario

Como hemos comentado anteriormente, el fluido parte inicialmente del reposo y es perturbado por el movimiento oscilatorio horizontal que realiza la pared. Como estamos suponiendo régimen laminar, podemos imaginar el líquido estratificado en un conjunto de capas horizontales de espesor infinitesimal (cada una a una cierta altura {), donde la capa que está en contacto con la pared ({ = 0), debido a la condición de no deslizamiento, se mueve con la pared; y las demás deslizan unas sobre otras, con un cierto rozamiento entre sí debido a la viscosidad. Es esperable que todas las capas de fluido, con el tiempo, w $ 4, tiendan a oscilar con la misma frecuencia que la pared, de tal manera que vamos a suponer una solución del tipo Y| (w> {) = X ({) cos [ w +  ({)] >

w $ 4>

(8.204)

2 H. S. Carslaw y J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Clarendon Press, Oxford, 1988.

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

376

donde la amplitud de oscilación X ({) y la fase  ({) dependen de la coordenada {= Al campo de velocidades descrito por (8.204) se le denomina estado cuasiestacionario, porque el campo tiende a estabilizarse periódicamente. Ahora bien, (8.204) se puede reescribir de la siguiente manera, £ ¤ Y| (w> {) = Re I ({) hl w > (8.205) donde Re } denota la parte real de un número complejo } = d + el, (d> e 5 R), Re } =

} + }¯ > 2

(8.206)

(siendo }¯ = d  el el complejo conjugado de }) y donde hemos definido I ({) = D ({) + l E ({) =

(8.207)

Efectivamente, sustituyendo (8.207) en (8.205) y teniendo en cuenta la identidad (A.22), hl{ = cos { + l sin {> (8.208) resulta que, Y| (w> {) = Re [(D ({) + l E ({)) (cos w + l sin w)] = D ({) cos w  E ({) sin w=

(8.209)

Por otro lado, desarrollando (8.204), llegamos a Y| (w> {) = X ({) [cos w cos  ({)  sin w sin  ({)] >

(8.210)

de tal manera que, para que sean iguales (8.209) y (8.210), se ha de cumplir que D ({) = X ({) cos  ({) > E({) = X ({) sin  ({) > o bien E ({) > D ({) p D2 ({) + E 2 ({)= X ({) =

tan  ({) =

(8.211) (8.212)

Condiciones de contorno Las condiciones de contorno para la función I ({) se traducen de la siguiente manera. A partir de (8.197) y (8.204), Y| (w> 0) = X0 cos w = X (0) cos [ w +  (0)] > de tal modo que, para que se cumpla ;w> X (0) = X0 >  (0) = 0=

(8.213) (8.214)

8.5. MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN FLUIDO VISCOSO

377

Por tanto, de acuerdo con (8.211) y (8.213), tan  (0) =

E (0) =0 D (0)

$

E (0) = 0>

(8.215)

y de acuerdo con (8.213), (8.212) y (8.215), p X0 = X (0) = D2 (0) + E 2 (0) = D (0) =

(8.216)

De este modo, según (8.207) y (8.215), I (0) = D (0) + l E (0) = D (0) > y, según (8.216), I (0) = X0 =

(8.217)

Por otro lado, de acuerdo con (8.199), (8.205), llegamos a £ ¤ 0 = l´ım Y| (w> {) = Re } hl w = 0> {$4

(8.218)

donde hemos definido } = l´ım I ({) = {$4

(8.219)

Como } 5 C, se puede escribir de la forma } = { + l|> de tal modo que aplicando (8.208), la ecuación (8.218) se puede escribir como Re [({ + l|) (cos w + l sin w)] = { cos w  | sin w = 0=

(8.220)

Como (8.220) se ha de cumplir ;w À 1> resulta que {=|=0

$

} = 0=

(8.221)

Por tanto, aplicando (8.221) a (8.219), l´ım I ({) = 0=

{$4

(8.222)

Resolución Observemos que la definición de la parte real de un número complejo (8.206) nos indica que ésta es una operación lineal, por tanto, g Re [i (})] = Re [i 0 (})] = g}

(8.223)

Aplicando la propiedad (8.223) a (8.205) resulta que CY| Cw C 2 Y| C{2

£ ¤ = Re l I ({) hl w >

(8.224)

£ ¤ = Re I 00 ({) hl w =

(8.225)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

378

Sustituyendo (8.224) y (8.225) en la ecuación del movimiento (8.203), ¤ £ ¤ £ (8.226) Re l I ({) hl w =  Re I 00 ({) hl w = A partir de la definición de la parte real de un número complejo (8.206) es fácil ver que Re [d}1 + e}2 ] = d Re }1 + e Re }2 >

d> e 5 R> }1 > }2 5 C>

de tal manera que (8.226) se puede escribir como ¶ ¸ μ l 00 l w I ({) h = 0> Re I ({)   que, según el mismo razonamiento dado en (8.218)-(8.222), quiere decir que I 00 ({) 

l I ({) = 0= 

(8.227)

Según la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, la solución general de (8.227) es una combinación lineal de dos soluciones particulares linealmente independientes3 . Si sustituimos en (8.227) soluciones particulares de la forma

llegamos a

I ({) = h{ >

(8.228)

¶ μ l { h = 0= 2  

(8.229)

Como (8.229) se ha de sastifacer ;{ A 0> resulta que r 1+l l =± > =±   donde hemos definido la profundidad de penetración como, r 2 = >

(8.230)

(8.231)

y hemos aplicado (8.208), de tal manera que p s l = cos @2 + l sin @2 p = hl@2 = hl@4 1+l = cos @4 + l sin @4 = s = 2

(8.232)

Por tanto, según (8.228) y (8.230), la solución general de (8.227) es I ({) = F1 h(1+l){@ + F2 h(1+l){@ > 3 G.

(8.233)

F. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, McGrawHill, 1993.

8.5. MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN FLUIDO VISCOSO

379

donde F1 y F2 son constantes que hemos de determinar con las condiciones de contorno. Efectivamente, según (8.222), l´ım I ({) = 0

{$4

$

F1 = 0>

(8.234)

y, según (8.217) y (8.234), I (0) = X0 = F2 =

(8.235)

Por tanto, sustituyendo (8.234) y (8.235) en (8.233) y teniendo en cuenta (8.208), I ({) = X0 h{@ hl{@ = X0 h{@ [cos ({@)  l sin ({@)] =

(8.236)

Comparando (8.207) con (8.236), resulta que D ({) = X0 h{@ cos ({@) > E ({) = X0 h{@ sin ({@) =

(8.237) (8.238)

Sustituyendo (8.237)-(8.238) en (8.211) y teniendo en cuenta que la función tangente es una función impar, tan { = tan ({) > ³ {´ { E ({) = tan  $  ({) =  = (8.239) tan  ({) = D ({)   Sustituyendo ahora (8.237)-(8.238) en (8.212), p X ({) = D2 ({) + E 2 ({) = X0 h{@ =

(8.240)

Finalmente, sustituyendo los resultados (8.239) y (8.240) en (8.204), obtenemos las solución cuasi-estacionaria del campo de velocidades, Y| (w> {)  X0 h{@ cos ( w  {@) >

w $ 4=

(8.241)

Obsérvese que en (8.241) la amplitud de las oscilaciones del campo de velocidades Y| (w> {) decrece exponencialmente con la distancia al plano oscilante, de tal manera que, entre { = 0 y { = , la amplitud de las oscilaciones ha disminuido a un h1  37 %= De ahí que para { A  la amplitud del campo deja de ser significativa, es decir, la oscilación que induce el plano en el fluido tiene una penetración aproximadamente de {  = Por otro lado, a partir de (8.241) podemos darnos cuenta también de que las oscilaciones del campo Y| (w> {) tienen la misma frecuencia que el plano oscilante en { = 0, pero van retrasadas una fase {@ con respecto a éste.

8.5.4.

Fuerza de rozamiento

Veamos ahora cuál es la fuerza de rozamiento por unidad de superficie que ejerce el fluido sobre la pared (véase figura 8.14). Recordemos que la fuerza de rozamiento viene dada por la expresión (8.7), Z q gV> Iroz = C

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

380

que en forma diferencial resulta ser la fuerza de rozamiento por unidad de superficie, ¯ gIroz ¯¯ (8.242) ¯ = q|C = gV ¯ C

En nuestro caso, la superficie C es el plano { = 0, por lo que su vector normal es q = l> de tal manera que, según (8.6) y (8.8), q = w l =  (1 >  2 >  3 ) l =  1 =

(8.243)

De acuerdo con (8.9),  1+  1 = uY

 CY > C{1

y, según la notación que hemos utilizado, ({1 > {2 > {3 ) = ({> |> }) y (Y1 > Y2 > Y3 ) = (Y{ > Y| > Y} ), podemos escribir (8.243) como ¶ μ ¸ C C C C > > Y{ + (Y{ > Y| > Y} ) = (8.244) q =   1 =  C{ C| C} C{ Obsérvese que (8.244) ha de evaluarse en C, es decir, en { = 0= Por tanto, según (8.198), la ecuación (8.242) se reduce a ¯ ¶¯ μ ¯ CY| gIroz ¯¯ > 0 ¯¯ = q|{=0 =  0> = (8.245) ¯ gV ¯ C{ {=0 {=0

Evaluemos la fuerza de rozamiento por unidad de superficie en el estado cuasi-estacionario, w $ 4> derivando en (8.245) y teniendo en cuenta (8.241), ¯ o X0   n {@ gIroz ¯¯ = [sin ( w  {@)  cos ( w  {@)] m h ¯ gV ¯  {=0 {=0

=

X0   m (sin w  cos w) = 

(8.246)

Teniendo ahora en cuenta en (8.246) la definición de la profundidad de penetración  (8.231), llegamos a ¯ p gIroz ¯¯ = X0  cos ( w + @4) m> (8.247) ¯ gV ¯ {=0

donde hemos hecho uso de la identidad cos ( w + @4) =

s1 2

(cos w  sin w).

Ejemplo 86 Determínese la fuerza de fricción por unidad de área en el estado cuasi-estacionario de un plano oscilante de frecuencia y amplitud X0 > cubierto por una capa de fluido de viscosidad cinemática  y profundidad k> suponiendo que la superficie superior está libre.

8.5. MOVIMIENTO OSCILATORIO DE UN FLUIDO VISCOSO

381

Como se indica en el apartado 8.5.1, vamos a suponer el mismo campo de  = (0> Y| (w> {) > 0) > que, según (8.203), ha de satvelocidades que en (8.198), Y isfacer la ecuación del movimiento, C 2 Y| CY| = = Cw C{2

(8.248)

Al igual que en (8.205), vamos a suponer una solución para el estado cuasiestacionario del tipo £ ¤ Y| (w> {) = Re I ({) hl w = (8.249) Según vimos en el apartado 8.5.3, sustituyendo (8.249) en (8.248), la ecuación diferencial ordinaria que ha de satisfacer I ({) es (8.227), I 00 ({) 

l I ({) = 0> 

cuya solución general, según (8.233), es I ({) = F1 h{ + F2 h{ >

(8.250)

siendo, según (8.230) y (8.231), 1+l > = 

r =

2 =

(8.251)

Las constantes F1 y F2 de (8.250) se determinan aplicando las condiciones de contorno. La condición sobre la pared oscilante indica que la capa de fluido en contacto con dicha pared (en { = 0) sigue el movimiento oscilatorio de ésta. De este modo, según se dedujo en el apartado 8.5.3, llegamos a (8.235), I (0) = X0 =

(8.252)

Por otro lado, el rozamiento en la capa que está en la superficie ({ = k) es nulo, pues la superficie está libre, por tanto, ¯ gIroz ¯¯ = 0= (8.253) ¯ gV ¯ {=k

Pero, según (8.245), ¯ gIroz ¯¯ ¯ gV ¯

=

{=k

¶¯ μ ¯ CY| > 0 ¯¯ 0> = C{ {=k

(8.254)

Comparando (8.253) y (8.254), ¯ CY| ¯¯ = 0= C{ ¯{=k

(8.255)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

382

Sustituyendo (8.249) en (8.255), resulta que, I 0 (k) = 0=

(8.256)

Sustituyendo las condiciones de contorno (8.252) y (8.256) en (8.250), resulta el siguiente sistema de ecuaciones, F1 + F2 F1 hk  F2 hk cuya solución es

F1

=

F2

=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 X0 0 hk 1 1 hk hk ¯ ¯ ¯ 1 X0 ¯ ¯ ¯ k ¯ h 0 ¯ 1 1 hk hk

= X0 > = 0> ¯ ¯ ¯ ¯ X hk ¯ = k 0 k > ¯ h +h ¯ ¯ X hk ¯ = k 0 k = ¯ h +h ¯ ¯

(8.257)

(8.258)

Sustituyendo (8.257) y (8.258) en (8.250) y teniendo en cuenta la definición del coseno hiperbólico, ecuación (B.2) del Apéndice B, llegamos a I ({) = X0

h({k) + h({k) cosh  ({  k) = = X0 hk + hk cosh k

Ahora bien, de acuerdo con (8.245), superficie sobre la pared oscilante, { = 0> ¯ gIroz ¯¯ = ¯ gV ¯ {=0

(8.259)

la fuerza de fricción por unidad de viene dada por ¯ CY| ¯¯ m= (8.260) C{ ¯{=0

Teniendo en cuenta (8.249) y (8.259) en (8.260), llegamos, finalmente, a ¯ £ ¤ gIroz ¯¯ =  Re I 0 (0) hl w m ¯ gV ¯ {=0 £ ¤ = X0 Re hl w tanh k m= Obsérvese que tomando el límite cuando k $ 4 recuperamos la solución dada en (8.247), como cabría esperar. Efectivamente, teniendo en cuenta (8.251), £ ¤ £ ¤ l´ım X0 Re hl w tanh k m = X0 Re hl w m k$4 r

Re [(1 + l) (cos w + l sin w)] m = X0 2 p cos w  sin w s m = X0  2 p N = X0  cos ( w + @4) m=

8.6. CAPA DE EKMAN

383

Ejercicio 59 Determínese en el estado cuasi-estacionario la fuerza de fricción por unidad de superficie sobre cada uno de dos planos paralelos, entre los cuales hay un fluido de viscosidad > cuando uno de los planos oscila en su propio plano con frecuencia

y amplitud X0 > mientras que¯ el otro permanece ¯ iSolución: h fijo. £ l w ¤ roz ¯ roz ¯ hl w  gI gI  = X0 Re h coth k m y gV ¯ = X0 Re sinh k m> donde gV ¯ {=0

{=k

m es el vector unitario en la dirección del movimiento oscilatorio.

8.6.

Capa de Ekman

Durante una expedición en el Ártico a bordo del buque Fram, Fridtjof Nansen observó que la deriva de los icebergs tenía un ángulo entre 20  y 40  a la derecha con respecto a la dirección predominante del viento. Nansen le pidió a su colega Vilhelm Bjerknes que pusiera a uno de sus estudiantes para que investigara el fenómeno. Bjerknes escogió a Ekman, que presentó sus resultados en 1902 como tesis doctoral.

8.6.1.

Planteamiento

Consideremos una masa de fluido (por ejemplo, una porción del océano), que está sometida a un esfuerzo tangencial constante  0 en su superficie debido  velocidad angular a la acción del viento. Debido a la rotación de la Tierra ( 0  (referido a un sistema que rota con la terrestre), el campo de velocidades Y Tierra y es solidario con la masa de fluido) está sometido a fuerzas ficticias debido a las aceleraciones de Coriolis y centrífuga (véase Apéndice G). En este  0 se formula de caso, según vimos en (8.63), la ecuación de Navier-Stokes para Y la siguiente manera, ´ 0 ³  0 CY 0·u  Y  ×Y  0 =  us +  u2 Y 0>  0 + 2 + Y Cw 

(8.261)

donde s0 es la presión modificada centrífuga, que tiene en cuenta el efecto de la gravedad efectiva o gravedad en un punto u = ({> |> }) de la superficie terrestre (referido a un sistema fijo cuyo origen es el centro de la Tierra), y según (8.64) es ´2 1 ³ × u = (8.262) s0 = S  j · u   2 En primer lugar, vamos a considerar que el fluido alcanza un estado estacionario, de tal manera que 0 CY = 0> (8.263) Cw  0 como la presión modificada centrífuga y que tanto el campo de velocidades Y 0 s dependen únicamente de la profundidad (eje ] 0 en la figura 8.15). También supondremos que el campo de velocidades es paralelo a la superficie, por tanto, ¡ ¢  0 (} 0 ) = Y{0 (} 0 ) > Y|0 (} 0 ) > 0 > (8.264) Y

384 y

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

s0 = s0 (} 0 ) =

(8.265) 0

Obsérvese que la dependencia únicamente en } de la presión modificada centrífuga s0 (8.265) es razonable, si consideramos que el término dominante en (8.262) es la presión hidrostática del fluido.

Figura 8.15: Sistema de coordenadas solidario con una masa de fluido sobre la superficie terrestre.

8.6.2.

Condiciones de contorno

Como sobre la superficie } 0 = 0 está actuando un esfuerzo tangencial constante  0 , según la ley de Newton de la viscosidad (1.35), ¯  0 ¯¯ gY  0 =  = (8.266) ¯ g} 0 ¯ 0 } =0

Si suponemos que la dirección del viento se realiza en la dirección [ 0 (dirección este en la figura 8.15), de acuerdo con (8.266), ¯ | 0 | gY{0 ¯¯ > (8.267) = ¯ 0 g} }0 =0  ¯ gY|0 ¯ ¯ = 0= (8.268) g} 0 ¯}0 =0

8.6. CAPA DE EKMAN

385

Por otro lado, cuanto más nos alejemos de la superficie, menor será la perturbación que el viento hace en el fluido, por tanto, es razonable considerar que l´ım Y{0 = l´ım Y|0 = 0= (8.269) 0 } $4

8.6.3.

}$4

Campo de velocidades

Observemos, en primer lugar, que, de acuerdo con (8.264), ¶ μ CY{0 0  uY{ = > 0> 0> C} 0 ¶ μ CY|0  |0 = > 0> 0> uY C} 0  }0 = 0> uY por tanto, ³ ´ ´ ³  Y  {0 > Y  0 · uY  |0 > Y  0 · uY  }0 = 0= 0·u 0 = Y  0 · uY Y

(8.270)

Además, de acuerdo de nuevo con (8.264), 0 u2 Y

¡ 2 0 2 0 2 0¢ u Y{ > u Y| > u Y} Ã ! g2 Y{0 g2 Y|0 = > >0 = g2 } 0 g2 } 0

=

(8.271)

Por otro lado, según la figura 8.15, si  es la latitud de la masa de fluido, entonces,  = (0> cos > sin ) >

por tanto, ¯ ¯ ¯ 0   2 × Y = 2 ¯¯ ¯

l 0 Y{0

n m cos  sin  Y|0 0

¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ = 2  sin Y|0 > sin Y{0 >  cos Y{0 = ¯ ¯ (8.272)

En cuanto al gradiente de presión, según (8.265), ¶ μ gs0 0  us = 0> 0> 0 = g}

(8.273)

Sustituyendo (8.263), (8.270), (8.271), (8.272) y (8.273) en (8.261), tenemos que à ! μ ¶ 0 2 0 g2 Y 0 ¢ ¡ gs 1 Y g | { 0> 0> 0 +  > >0 > 2  sin Y|0 > sin Y{0 >  cos Y{0 =   g} g2 } 0 g2 } 0

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

386

que, desglosado en componentes, resulta ser 2 sin Y|0 2 sin Y{0 2 cos Y{0

g2 Y{0 > g2 } 0 g2 Y|0 =  2 0> g } 1 gs0 = =  g} 0 = 

(8.274) (8.275) (8.276)

Multiplicando la ecuación (8.275) por la unidad imaginaria l y sumando el resultado a la ecuación (8.274), obtenemos ¡ ¢ ¢ g2 ¡ 2 sin  Y|0 + lY{0 =  2 0 Y{0 + lY|0 > g } es decir,

¢ 2l sin  ¡ 0 ¢ g2 ¡ 0 Y{ + lY|0 = Y{ + lY|0 = (8.277) 2 0 g }  Hallemos una solución particular de (8.277) suponiendo que es de la forma 0

Y{0 + lY|0 = h} >

(8.278)

de tal manera que, sustituyendo (8.278) en (8.277), concluimos que r 2l sin  = ± (1 + l) > =±  s s donde hemos aplicado (8.232), l = (1 + l) @ 2> y hemos definido r

sin  = = 

(8.279)

(8.280)

Como la ecuación diferencial ordinaria que tenemos en (8.277) es lineal y de segundo orden, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones particulares linealmente independientes, por tanto, según (8.278) y (8.279), Y{0 + lY|0 = F1 h(1+l)} + F2 h(1+l)} >

(8.281)

donde las constantes F1 y F2 se determinan con las condiciones de contorno. Efectivamente, según (8.269) y (8.281), 0

l´ım Y{0 + lY|0 = F2 0 l´ım h(1+l)} = 0>

} 0 $4

} $4

es decir, F2 = 0>

(8.282)

por tanto, sustituyendo (8.282) en (8.281), 0

Y{0 + lY|0 = F1 h(1+l)} =

(8.283)

8.6. CAPA DE EKMAN

387

Aplicando ahora (8.267) y (8.268) a (8.283), ¯ ¢¯ | 0 | g ¡ 0 0 ¯ Y{ + lY| ¯ > = F1 (1 + l)  = g}  } 0 =0 es decir, F1 =

| 0 | | 0 | = (1  l) = (1 + l)  2

(8.284)

(8.285)

Por tanto, sustituyendo (8.285) en (8.283), Y{0 + lY|0

= = =

0 | 0 | (1  l) h(1+l)} 2 0 | 0 | (1  l) h} (cos } 0 + l sin } 0 ) 2 | 0 | }0 h [cos } 0 + sin } 0 + l (sin } 0  cos } 0 )] = (8.286) 2

Igualando las partes reales e imaginarias de (8.286), resulta que Y{0 (} 0 ) = = Y|0 (} 0 ) = =

| 0 | }0 h (cos } 0 + sin } 0 ) 2 ³ 0 ´ | | s 0 h} cos } 0  > 4 2 | 0 | }0 h (sin } 0  cos } 0 ) 2 ³ 0 ´ | | s 0 h} sin } 0  = 4 2

Obsérvese que en la superficie, } 0 = 0> el campo de velocidades es ³ ³ ´ ³ ´´  0 (0) = s| 0 | cos   > sin   > Y 4 4 2 es decir, forma un ángulo de 45  con el eje [ 0 ; o bien, según la figura 8.15, tiene dirección VH. Sorprendentemente, este ángulo es independiente de la magnitud de la rotación de la Tierra. Por otro lado, la magnitud del campo de velocidades es, ¯ ¯ ¯  0 0 ¯ | 0 | }0 h > (8.287) ¯Y (} )¯ = 2 es decir, va disminuyendo exponencialmente con la profundidad. Podemos definir la profundidad de Ekman como aquella en la que la velocidad del fluido tiene sentido opuesto a la velocidad en la superficie, r   = (8.288) = = 

sin 

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

388

Obsérvese que, según (8.287), la magnitud de la velocidad disminuye a un h  4> 32 % con respecto a su valor en superficie, ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯Y ()¯  ¯ ¯ ¯ 0 ¯ = h = ¯Y (0)¯ Para tener una idea del orden de magnitud del tamaño de la capa de Ekman en el océano terrestre, podemos sustituir en (8.288) la velocidad angular de la Tierra, = 7> 292 × 105 rad s1 , tomando como latitud la del polo norte  = @2 rad, y como viscosidad cinemática la del agua  agua  106 m2 s1 , resultando un valor de   0> 38 m. Con estos mismos datos y tomando un esfuerzo tangencial de | 0 | = 1 N m2 , la figura 8.16 muestra cómo va variando la velocidad en la capa de Ekman con la profundidad, } 5 (0> ).

0.0

0.1

0.2

z

0.3 40

x

0.4

20

40

0 20 0

y

Figura 8.16: Campo de velocidades dentro de la capa de Ekman. Ejemplo 87 En una región del océano situada a 40  latitud norte el viento sopla realizando un esfuerzo tangencial sobre la superficie del mar de 100 N m2 en dirección sur. Determínese cuál es el caudal por unidad de anchura que atraviesa un plano vertical situado a lo largo de la dirección noreste. Datos: densidad del agua del mar, 1030 kg m3 ; velocidad angular de la Tierra, = 7> 292 × 105 rad s1 = Observemos que, cuando el viento tiene una dirección  en el sistema de coordenadas de la figura 8.17, las condiciones de contorno dadas en (8.267) y

8.6. CAPA DE EKMAN (8.268) se escriben como

389

¯ gY{0 ¯¯ g} 0 ¯}0 =0 ¯ gY|0 ¯ ¯ g} 0 ¯ 0 } =0

=

| 0 | cos > 

(8.289)

=

| 0 | sin = 

(8.290)

Figura 8.17: Situación de un plano vertical de anchura d a lo largo de la dirección noreste. Como tenemos las mismas condiciones que en (8.269), l´ım Y{0 = l´ım Y|0 = 0>

} 0 $4

}$4

llegamos al mismo resultado que habíamos obtenido en (8.283), 0

Y{0 + lY|0 = F1 h(1+l)} =

(8.291)

Sin embargo, al imponer las nuevas condiciones (8.289) y (8.290) en (8.291), resulta que ¯ ¢¯ | 0 | g ¡ 0 0 ¯ Y{ + lY| ¯ (cos  + l sin ) > = F1 (1 + l)  = g}  } 0 =0 es decir,

´ ³ ´i | 0 | h ³  cos    l sin  = F1 = s 4 4 2

(8.292)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

390

Sustituyendo (8.292) en (8.291) y desglosando la parte real y la imaginaria, llegamos a Y{0 (} 0 ) = Y|0 (} 0 ) =

´ ³ 0 | |  s 0 h} cos } 0    > 4 2 ´ ³ 0 | |  s 0 h} sin } 0  +  = 4 2

(8.293) (8.294)

Para determinar el caudal, sabemos, según (5.173), que Z   0 · gV> T= Y V

donde V es un plano vertical de anchura d y que forma un ángulo  con el eje [ 0 =  de V es  (u> u) = ({0 (u> }) > | 0 (u> }) > } 0 (u> })) > siendo Una parametrización {0 (u> }) = u cos > | 0 (u> }) = u sin > } 0 (u> }) = }>

(8.295) (8.296) (8.297)

donde, de acuerdo con la figura 8.17, (u> }) 5 [0> d] × (4> 0] = Por tanto, hemos de calcular la integral de superficie, Z h ´ i ³ 0  (u> }) · Wu × W} gu g}= (8.298) ±T = Y G

Obsérvese que, de acuerdo con (8.293)-(8.294) y con (8.295)-(8.297), h ³ ³ ´ ³ ´ ´ i  (u> }) = s| 0 | h} cos }     > sin } 0   +  > 0 > (8.299) 0 Y 4 4 2 y, al igual que en (5.176), Wu × W}

¯ ¯ n l m ¯ = ¯¯ C{0 @Cu C| 0 @Cu C} 0 @Cu ¯ C{0 @C} C| 0 @C} C} 0 @C} ¯ ¯ ¯ l n ¯ m ¯ ¯ = ¯¯ cos  sin  0 ¯¯ ¯ 0 0 1 ¯ = (sin >  cos > 0) =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(8.300)

Sustituyendo (8.299) y (8.300) en (8.298), ±T =

| | s 0 × (8.301) 2 Z h ³ ´ ³ ´i   h} sin  cos }     cos  sin }  +  gu g}= 4 4 G

8.7. LEY DE LA SEMEJANZA

391

Calculemos ahora el primer término de (8.301), haciendo el cambio de variable x = }    @4> Z

´ ³  h} cos }    gu g} 4 G

Z

Z

´ ³  g} h} cos }    4 0 4 +@4 Z @4 dh = gx hx cos x  4 ³ d h+@4 x  ´¯¯@4 s = h cos {  ¯ 4 4 2 d =  s sin = (8.302) 2 d

=

0

gu

Análogamente, Z

´ ³ d  h} sin }  +  gu g} =  s cos = 4 2 G

(8.303)

Sustituyendo (8.302) y (8.303) en (8.301), ±T = =

| 0 | d [ sin  sin  + cos  cos ] 22  | 0 | d cos ( + ) = 22 

(8.304)

Finalmente, aplicando a (8.304) la definición de , (8.280), el valor absoluto de caudal |T| por unidad de anchura d es | 0 | cos ( + ) |T| =  732> 3 m2 s1 = d 2  sin 

8.7.

N

Ley de la semejanza

En el estudio del movimiento de los fluidos viscosos, podemos obtener varios resultados importantes a partir de argumentos simples sobre las dimensiones de las magnitudes físicas involucradas en la ecuación de Navier-Stokes. Consideremos el movimiento de un cuerpo con una determinada forma en el interior de un fluido. Decimos que los cuerpos que tienen la misma forma son geométricamente semejantes (véase seccción 2.2); es decir, podemos obtener uno a partir del otro, cambiando todas sus dimensiones lineales en la misma proporción. De este modo, si nos dicen cuál es la forma del cuerpo (cilindro, elipsoide, etc.), basta con que nos digan una de sus dimensiones lineales (el radio del cilindro, un semieje del elipsoide, etc.) para determinar por completo sus dimensiones. Por tanto, llamemos O a la dimensión lineal que caracteriza el tamaño del cuerpo. También podemos considerar una velocidad X característica del flujo. Por ejemplo, X sería la velocidad a la que un cuerpo se está moviendo en el seno de un fluido inicialmente en reposo. De este modo, si tenemos un flujo cuya

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

392

dimensión lineal y velocidad características son O y X , podemos considerar las siguientes variables adimensionales,  (Y{ > Y| > Y} ) Y = > X X u ({> |> }) ( = (> > ) = = > O O wX >  = O s P = > X 2  V

= (V{ > V| > V} ) =

(8.305) (8.306) (8.307) (8.308)

en la ecuación de Navier-Stokes (8.51), ³ ´   CY =  ·u  Y  =  us +  u2 Y + Y Cw 

(8.309)

Para obtener una ecuación de Navier-Stokes en las cantidades adimensionales dadas en (8.305)-(8.308), observemos que, según (8.305) y (8.307), ³ ´  XV C   X 2 CV CY g = = = (8.310) Cw C gw O C Como ( = (> > ) > observemos que aplicando (8.306), resulta que Ci g 1 Ci Ci = = > C{ C g{ O C y C2i C = C{2 C{

μ

Ci C{

¶

C = C

μ

Ci g C g{

¶

g 1 C2i = 2 2> g{ O C

de tal forma que el gradiente y el laplaciano se transforman de la siguiente manera, ¶ μ $ 1 C C C  > > = ui= (8.311) ui = C{ C| C} O u2 i =

C2i C2i C2i 1 + 2 + 2 = 2 u2 i= 2 C{ C| C} O

(8.312)

De este modo, como, según (8.305) y (8.311), ³ ´ 1 $ X2    · $  · uY  { = XV u (X V{ ) = V · uV{ > Y O O resulta que ³ ´  ·u  Y  Y

´ ³  · uY  |> Y  · uY  }  · uY  {> Y Y $´  X 2 ³  = V · u V= O =

(8.313)

8.7. LEY DE LA SEMEJANZA

393

Además, como según (8.305) y (8.312), u2 Y{ =

1 2 X u (XV{ ) = 2 u2 V{ > O2 O

resulta también que  u2 Y

¢ ¡ 2 u Y{ > u2 Y| > u2 Y} X 2 = u V= O2

=

(8.314)

Por último, de acuerdo con (8.308) y (8.311), y recordando que en (8.309) estamos considerando fluidos de densidad constante  = fwh, tenemos que 2  $ us  =X  = X 2 uP uP=  O

(8.315)

Sustituyendo (8.310), (8.313), (8.314) y (8.315) en (8.309), y simplificando, llegamos a ´  ³  $  CV  ·$   =  + V u V u2 V= (8.316) uP + C XO Recordando que podemos escribir el número de Reynolds como (1.89), R=

XO > 

(8.317)

resulta que podemos expresar (8.316) como ´  ³  $ CV 1  ·$   =  + V u V uP + u2 V= C R

(8.318)

De este modo, todos los flujos con el mismo número de Reynolds son comparables. Es decir, la solución de (8.318) será un cierto campo vectorial I que sólo dependa de las coordenadas adimensionales ( y  y del número de Reynolds R,  = I ((>  > R) > V o bien, según (8.305), (8.307) y (8.306), ¶ μ u wX   > >R = Y =X I O O

(8.319)

Decimos que dos flujos son similares cuando pueden obtenerse uno a partir del otro por un cambio en las unidades de medida de las coordenadas y de la velocidad, es decir, si hay semejanza geométrica y cinemática (véase sección 2.5). Por tanto, según (8.319), todos los flujos son similares si tienen el mismo número de Reynolds R= Este resultado se conoce como la ley de semejanza y fue obtenido por O. Reynolds en 1883.

394

8.7.1.

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

Número de Reynolds grande

La ecuación de Euler adimensionalizada (para fluidos de densidad constante  = fwh) se puede obtener a partir de (8.316) tomando una viscosidad nula,  = 0> resultando ´  ³  $ CV  ·$  =  + V u V uP= (8.320) C Notemos que, cuando el flujo tiene un valor alto para el número de Reynolds, R À 1, la ecuación para flujos viscosos (8.318) tiende a la ecuación que rige los flujos invíscidos (8.320). Es decir, si el número de Reynolds es suficientemente alto, los flujos viscosos se comportan en la práctica como flujos ideales.

8.7.2.

Número de Reynolds pequeño

Cuando tenemos un flujo estacionario, la ecuación de Navier-Stokes dada en (8.318) se puede escribir como, ³  ´ $  R V  ·$  = R u2 V u V uP = (8.321) Si, además, el número de Reynolds es pequeño, R ¿ 1, resulta que ³  ´  R V   ·$  u2 V> u V u2 V y, por tanto, podemos reescribir (8.321) como una ecuación lineal, $  = R uP= u2 V

(8.322)

A partir de (8.314), (8.315) y (8.317), podemos expresar (8.322) como >  =  u2 Y us

(8.323)

que, junto con la ecuación de continuidad para fluidos de densidad constante,  = 0> div Y

(8.324)

determina por completo la dinámica del fluido. La manera más habitual de presentar las ecuaciones (8.323) y (8.324) es haciendo uso del vector vorticidad definido en (6.11), = $  = rot Y

(8.325)

Para ello, recordemos las siguientes propiedades obtenidas anteriormente en (4.107), (4.106), (4.104) y (4.85) respectivamente, ³ ´ ³ ´  div I   u2 I > (8.326) rot rot I = u ³ ´  (8.327) div ui = u2 i> ³ ´ div rot I = 0> (8.328) ³ ´  rot ui = 0= (8.329)

8.8. LEY DE STOKES

395

Aplicando el rotacional a ambos miembros de (8.323) y teniendo en cuenta la propiedad (8.326), resulta que ³ ´ ³ ´  =u  div Y   u2 Y  = u2 Y > rot $  = rot rot Y (8.330) donde hemos hecho uso de la ecuación de continuidad para fluidos de densi = 0, (8.324). Por tanto, de acuerdo con (8.330), podemos dad constante, div Y expresar (8.323) como  =  rot $ us = (8.331) Aplicando la divergencia a ambos miembros de (8.331), ³ ´  div us =  div (rot $ )> (8.332) y aplicando las propiedades (8.327) y (8.328) a (8.332), tenemos que u2 s = 0=

(8.333)

Por otro lado, aplicando el rotacional a ambos miembros de (8.331), teniendo en cuenta las propiedades (8.329) y (8.326), resulta que ³ ´   (div $ 0 = rot us = (8.334) =  rot (rot $ ) = u  )  u2 $ Obsérvese que, según la definición de vorticidad (8.325) y la ecuación de continuidad (8.324), tenemos que, ³ ´  = 0> div $  = div rot Y (8.335) por tanto, sustituyendo (8.335) en (8.334),  = 0= u2 $

(8.336)

Las ecuaciones (8.333) y (8.336) son equivalentes a la ecuación de NavierStokes dada en (8.323) y a la ecuación de continuidad (8.324). A modo de resumen, la figura 8.18 muestra un mapa conceptual de las distintas relaciones que se dan entre las ecuaciones que rigen la Mecánica de Fluidos.

8.8.

Ley de Stokes

Según vimos en (1.102) y (1.103), la ley de Stokes proporcionaba la fuerza de arrastre que experimentaba una esfera que se desplazaba a velocidad constante  en el seno de un fluido inicialmente en reposo4 . X = (8.337) Iarrastre = 6U X Una manera equivalente de ver el movimiento relativo de la esfera con respecto al fluido es tomar unos ejes solidarios a la esfera (cuyo origen sea el centro de ésta y con el eje ] en la dirección del movimiento de la esfera). En este sistema de referencia, sería el fluido el que tendría un campo de velocidades (véase figura 8.19). 4 Decimos inicialmente en reposo porque la esfera, al desplazarse, perturba el fluido en sus inmediaciones.

396

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

Figura 8.18: Mapa conceptual de las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos.

8.8. LEY DE STOKES

397

Figura 8.19: Fuerza de arrastre y dirección del movimiento de una esfera. Como la esfera se mueve en la dirección del eje ] y en sentido negativo,  = X n> X

(8.338)

entonces de acuerdo con (8.337) y (8.338), la fuerza de arrastre resulta ser, Iarrastre = 6UX n=

(8.339)

Trataremos de probar (8.339) determinando el campo de velocidades y de presiones resolviendo la ecuación de Navier-Stokes (8.323) en el caso de tener un número de Reynolds pequeño, R ¿ 1= Tomando como tamaño característico de la esfera su diámetro O = 2U, tenemos, según (8.317), que la velocidad de la esfera ha de ser pequeña en el siguiente sentido, X¿

 = 2U

De todas maneras, las medidas experimentales de la fuerza de arrastre indican que la ley de Stokes resulta ser una buena aproximación para números de Reynolds inferiores a la unidad, R ? 1= En primer lugar, observemos que debido a la simetría axial que tiene el campo de velocidades del fluido, figura 8.20, tomando coordenadas cilíndricas resulta que  (u> }) = Yu (u> }) hu + Y} (u> }) n Y = (Yu (u> }) > 0> Y} (u> })) =

(8.340)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

398

Figura 8.20: Campo de velocidades de un fluido que pasa por una esfera. De ahora en adelante, en esta sección, utilizaremos coordenadas cilíndricas para denotar los vectores. Una manera de hacer que el campo de velocidades satisfaga automáticamente  = 0> (8.324), es introduciendo la función cola ecuación de continuidad div Y rriente para las coordenadas cilíndricas5 , # (u> }) > de tal manera que 1 C# > u C} 1 C# = u Cu

Yu (u> }) = 

(8.341)

Y} (u> }) =

(8.342)

Efectivamente, según la divergencia en coordenadas cilíndricas (véase (E.21) del Apéndice E) y teniendo en cuenta la igualdad de las derivadas cruzadas (4.64), tenemos que, μ ¶ 1 C (uYu ) CY CY}  div Y = + + u Cu C C} 1 C2# 1 C2# + = 0= =  u CuC} u C}Cu Condiciones de contorno Notemos que, cuando estamos muy alejados del origen de coordenadas, el campo de velocidades del fluido es uniforme, y, según la figura 8.19, se corres, ponde con X  (u> }) = X  = X n> l´ım Y u>}$4

5 La

función corriente en coordenadas cartesianas fue introducida en la sección 6.1.4.

8.8. LEY DE STOKES

399

es decir, l´ım Yu (u> }) = 0>

(8.343)

l´ım Y} (u> }) = X=

(8.344)

u>}$4 u>}$4

8.8.1.

Vorticidad

Recordemos que, cuando R ¿ 1> la ecuación de Navier-Stokes se aproxima  =  u2 Y  , y ésta, a su vez, es equivalente a por la ecuación lineal (8.323), us  = 0. resolver que el laplaciano de la vorticidad es el vector nulo (8.336), u2 $ Por tanto, nos interesa, en primer lugar, determinar la vorticidad del campo de velocidades del fluido. En el Apéndice E se demuestra que el rotacional en coordenadas cilíndricas (E.36) se puede expresar como ¯ ¯ ¯ hu n ¯ uh ¯ ¯ 1 rot I = ¯¯ C@Cu C@C C@C} ¯¯ = (8.345) u¯ uI I} ¯ Iu Por tanto, la vorticidad del campo de velocidades dado en (8.340) resulta ser $ 

 = rot¯ Y ¯ 1 ¯¯ hu = C@Cu u ¯¯ Yu μ CYu  = 0> C}

n C@C} Y} ¶ CY} >0 > Cu uh C@C 0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (8.346)

es decir, la vorticidad sólo tiene componente polar, $u

= $} = 0> CY} CYu  = $  (u> }) = C} Cu

(8.347) (8.348)

Por otro lado, según un resultado que se prueba en el Apéndice E, véase (E.48), el laplaciano de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dado por el vector ¶ μ Iu 2 CI 2 I 2 CIu 2 2 2 > u I  2 + 2 > u I} > u I = u Iu  2  2 u u C u u C por tanto, de acuerdo con (8.347)-(8.348), el laplaciano de la vorticidad resulta ser ³ $ ´ u2  $ = 0> u2 $  2 > 0 = u Como, según (8.336), el laplaciano de la vorticidad es el vector nulo, u2 $ = 0, tenemos que $ u2 $   2 = 0= (8.349) u

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

400

En el Apéndice E, también se llega a demostrar en (E.44) que el laplaciano de un campo escalar en cilíndricas es μ ¶ Ci 1 C2i 1 C C2i u + 2 2 + 2> u2 i = u Cu Cu u C C} por tanto, (8.349) se puede escribir como C 2 $ 1 C$  C 2 $ $ + +  2 = 0= 2 u Cu Cu C} 2 u

(8.350)

Para resolver (8.350), hagamos el siguiente cambio de variable (véase figura 8.20), } u

=  cos !> =  sin !=

(8.351) (8.352)

El cambio dado en (8.351)-(8.352) funciona como un cambio a coordenadas polares, por tanto, según (E.43), (E.18) y (E.17) del Apéndice E, si i es un campo escalar, tenemos que6 , C2i C2i 1 C2i 1 Ci C2i > + 2 = + 2 2+ 2 2 Cu C} C  C!  C

(8.353)

Ci Ci cos ! Ci = sin ! + > Cu C C! u

(8.354)

Ci Ci sin ! Ci = cos   = C} C C! 

(8.355)

y

Tomando i = $ en (8.353) y (8.354), y teniendo en cuenta (8.351)-(8.352), la ecuación (8.350) se puede escribir como 2

$ C$ cos ! C$  C 2 $ C 2 $ = = + 2   2 2 C C sin ! C! sin ! C!2

(8.356)

Observemos que, atendiendo a (8.348) y según las condiciones de contorno (8.343) y (8.344), $  (> !) satisface la siguiente condición de contorno, l´ım $  (> !) =

$4

l´ım $  (u> }) ¶ μ CY} CYu  = 0= = l´ım u>}$4 C} Cu u>}$4

(8.357)

Supongamos que la solución de (8.356) tiene las variables separadas7 , es decir, $ (> !) = i () j (!) = (8.358) 6 Las variables {> |> u y  del Apéndice E se corresponden aquí con las variables }> u>  y ! respectivamente. 7 R. Haberman, Elementary Applied Partial Dierential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems, Prentice-Hall, New Jersey, 1987.

8.8. LEY DE STOKES

401

Sustituyendo (8.358) en (8.356) y dividiendo por i () j (!) > resulta que i 0 () 1 j 00 (!) cos ! j 0 (!) i 00 () + 2  2 = = =  2 i () i () j (!) sin ! j (!) sin ! {z } | | {z } Función de 

(8.359)

Función de !

Como en (8.359), el miembro de la izquierda es una función únicamente de  y el miembro de la derecha lo es sólo de !> la única posibilidad es que ambos miembros sean iguales a una constante > llamada constante de separación. Por tanto, de (8.359) salen dos ecuaciones diferenciales ordinarias,

y

2 i 00 () + 2i 0 ()  i () = 0>

(8.360)

μ ¶ cos ! 0 1 j (!) +   j (!) + j (!) = 0= sin ! sin2 !

(8.361)

00

Debido a que la vorticidad sólo tiene componente polar (8.347), $  = (0> $  > 0) >

(8.362)

según la figura 8.21, podemos expresar la vorticidad de la siguiente manera, ³ ´ $  = $ (> !) q × n > (8.363) donde q es un vector unitario en la dirección de . Tomando módulos en (8.362) y (8.363), tenemos que (8.364) | $ | = $ = $ (> !) sin != Comparando ahora (8.358) con (8.364), la parte angular de la vorticidad se puede expresar como j (!) = sin ! k (!) > (8.365) de tal manera que, sustituyendo (8.365) en (8.361), resulta que k00 (!) + 3

cos ! 0 (  1) sin2 ! + cos2 !  1 k (!) + k (!) = 0= sin ! sin2 !

(8.366)

Obsérvese que si  = 2> la ecuación (8.366) se simplifica notablemente, convirtiéndose en, cos ! 0 k (!) = 0= (8.367) k00 (!) + 3 sin ! Una solución particular de (8.367) es k (!) = F> donde F es una constante. De este modo, para  = 2> una solución particular de (8.361) resulta ser j (!) = F sin != (8.368)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

402

 y a q= Figura 8.21: La vorticidad $ es perpendicular a la velocidad Y Tomando la misma constante de separación  = 2 en (8.360), podemos probar soluciones del tipo i () = q > de tal modo que tenemos la siguiente ecuación en q> q2 + q  2

$

q = 1> 2=

Por tanto, dado que (8.360) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones particulares8 , es decir, F2 i () = F1  + 2 = (8.369)  Finalmente, sustituyendo (8.368) y (8.369) en (8.358), una solución particular de (8.356) es ¶ μ F2 (8.370) $  (> !) = F sin ! F1  + 2 =  Para que (8.370) satisfaga la condición de contorno (8.357), necesariamente F1 = 0> por tanto, D sin ! $  (> !) = > (8.371) 2 donde D es una constante. 8 G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, McGrawHill, 1993.

8.8. LEY DE STOKES

8.8.2.

403

Función corriente

Recordemos que, según (8.348), la vorticidad venía dada en términos de las derivadas de las componentes de la velocidad, $  (u> }) =

CY} CYu  = C} Cu

Como, según (8.341)-(8.342) las componentes de la velocidad en términos de la función corriente # (u> }), 1 C# > u C} 1 C# > u Cu

Yu (u> }) =  Y} (u> }) = resulta que 1 C# 1 $  (u> }) = 2  u Cu u

μ

C2# C2# + Cu2 C} 2

¶ =

(8.372)

Podemos hacer en (8.372) el mismo cambio a polares dado en (8.351) y (8.352), por tanto, tomando i = # en (8.353) y (8.354) y teniendo en cuenta (8.351) y (8.352), la ecuación (8.372) se puede escribir como μ ¶ 2 cos ! C# C 2 # 1 2C #  = (8.373)  $  (> !) = 3  sin ! sin ! C! C2 C!2 Sustituyendo ahora en (8.373) el resultado obtenido para la vorticidad (8.371), tenemos que, cos ! C# C 2 # C2#   2 2 = D sin2 != (8.374) 2 sin ! C! C C! Obsérvese que, si la función corriente tiene las variables separadas, # (> !) = I () J (!) > según (8.374), necesariamente J (!) = F sin2 ! (donde F es una constante), por tanto, busquemos soluciones del tipo # (> !) = D I () sin2 !=

(8.375)

Sustituyendo (8.375) en (8.374), llegamos a la siguiente ecuación diferencial ordinaria para I (), (8.376) 2I ()  2 I 00 () = = Es inmediato darse cuenta de que una solución particular de (8.376) es  Is () = = (8.377) 2 Según la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales9 , la solución general de (8.376) es una solución particular Is () más la solución general de la ecuación homogénea Ik (), I () = Is () + Ik () > 9 G.

(8.378)

F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, McGrawHill, 1993.

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

404 donde la ecuación homogénea es

2Ik ()  2 Ik00 () = 0=

(8.379)

Al igual que anteriormente, probamos soluciones del tipo Uk () = q > llegando a la conclusión de que la solución general de (8.379) es Ik () = E2 +

F > 

(8.380)

donde E y F son constantes. Sustituyendo (8.377) y (8.380) en (8.378), tenemos que F  I () = + E2 + > 2  por lo que la función corriente dada en (8.375) resulta ser ¶ μ  F 2 2 + E + = # (> !) = D sin ! 2 

8.8.3.

(8.381)

Campo de velocidades

Como hemos obtenido la función corriente en las coordenadas polares  y !, pasemos a coordenadas polares las derivadas de la función corriente para obtener las componentes del campo de velocidades Yu y Y} dadas en (8.341)-(8.342), 1 C# > u C} 1 C# = u Cu

Yu (u> }) =  Y} (u> }) =

Tomando i = # en (8.354) y (8.355), y teniendo en cuenta (8.351) y (8.352), resulta que μ ¶ C# C# sin ! 1 cos   > (8.382) Yu (> !) =   sin ! C C!  μ ¶ C# C# cos ! 1 Y} (> !) = sin ! + = (8.383)  sin ! C C!  Sustituyendo en (8.382) y (8.383) la expresión obtenida para la función corriente (8.381), llegamos a μ ¶ D sin 2! 1 3F Yu (> !) =  + 2 > (8.384) 2 2   μ ¶¸ 2F D 1 3F 1 + 2E + 2  sin2 ! + 2 Y} (> !) = = (8.385)   2  Para determinar las constantes D> E y F hemos de imponer las condiciones de contorno. Según la condición de no deslizamiento (8.26), la velocidad del

8.8. LEY DE STOKES

405

fluido sobre la superficie de la esfera es nula, por tanto, Yu (U> !) = 0> Y} (> !) = 0=

(8.386) (8.387)

De acuerdo con (8.384) y (8.386), resulta que U2 > 6

F=

(8.388)

y de acuerdo con (8.385), (8.387) y (8.388), resulta también que E=

1 = 3U

(8.389)

Por otro lado, observemos que en coordenadas polares, la condición (8.344) es equivalente a l´ım Y} (> !) = X>

(8.390)

$4

por consiguiente, sustituyendo (8.388) y (8.389) en (8.385), la condición (8.390) resulta ser  ¶¸ μ 2U2 U2 2D D 1 2 + 1  2  sin !  = X> l´ım  $4 3U  3 2 22 es decir, D=

3UX = 2

(8.391)

Sustituyendo las constantes dadas en (8.388), (8.389) y (8.391) y deshaciendo el cambio a polares, tenemos el siguiente resultado para las componentes del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas, ¡ ¢ 3UX u } U2  u2  } 2 Yu (u> }) = > (8.392) 4 (u2 + } 2 )5@2 " ¡ ¢# 3u4  2U2 } 2 + 6} 4 + u2 U2 + 9} 2 = (8.393) Y} (u> }) = X 1  U 4 (u2 + } 2 )5@2 Sustituyendo (8.391) en (8.371) y deshaciendo el cambio a polares, resulta que el vector vorticidad (8.346) en coordenadas cilíndricas es 3UX $  (u> }) =  2

à 0>

u (u2 + } 2 )3@2

! >0 =

(8.394)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

406

8.8.4.

Presión

Recordemos que cuando tenemos un número de Reynolds pequeño, R ¿ 1> según (8.331), podemos determinar el gradiente de la presión conociendo la vorticidad,  =  rot $ us = (8.395) Sabiendo la expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas (8.345), según (8.394), tenemos que ¯ ¯ ¯ h n ¯¯ uh ¯ u 3UX ¯ C@C C@C} ¯¯ rot $  =  ¯ C@Cu ¡ ¢ ¯ 2u ¯ 3@2 ¯ 0 0 ¯ u2 u2 + } 2 =

3UX 2 (u2 + } 2 )5@2

¡ ¢ 3u}> 0> u2  2} 2 =

(8.396)

Aplicando el resultado (E.21) del Apéndice E, tenemos que el gradiente de la presión en coordenadas cilíndricas es ¶ μ Cs 1 Cs Cs  > > > us = Cu u C C} por tanto, de acuerdo con (8.395) y (8.396) tenemos el siguiente sistema de ecuaciones, Cs Cu Cs C Cs C}

9UX  u} > 2 (u2 + } 2 )5@2

=

= 0> = 

(8.397) (8.398)

3UX  u2  2} 2 = 2 (u2 + } 2 )5@2

(8.399)

Según (8.398), podemos darnos cuenta de que la presión s no depende de > por tanto, es una función únicamente de u y }= Integrando en (8.397), tenemos que 3UX  } s (u> }) =  + s0 (}) = (8.400) 2 (u2 + } 2 )3@2 Derivando con respecto a } en (8.400) e igualando el resultado a (8.399), llegamos a que s00 (}) = 0= Por tanto, la presión resulta ser s (u> }) = 

3UX  } + s0 > 2 (u2 + } 2 )3@2

(8.401)

donde s0 es una constante. Obsérvese que s0 se corresponde con la presión en un punto muy alejado de la esfera, l´ım s (u> }) = s0 =

u>}$4

8.8. LEY DE STOKES

8.8.5.

407

Fuerza de fricción

De acuerdo con (8.75), la fuerza de fricción que experimenta la esfera viene dada por Ii =

Z

 (  sL) gV>

(8.402)

V

donde V es la superficie de dicha esfera y es el tensor de esfuerzo viscoso. En el Apéndice E se demuestra cuál es la expresión de dicho tensor en coordenadas cilíndricas. Por tanto, aplicando (8.392) y (8.393) a los elementos de matriz del tensor de esfuerzo viscoso dados en (E.61)-(E.66), resulta que

 uu

CYu Cu £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ 3UX  } u2 2u2 + } 2  4U2 + } 2 U2  } 2 > 2 (u2 + } 2 )7@2 μ ¶ 2 2 CY + Yu = Yu u C u ¡ ¢ 3UX  } U2  u2  } 2 > 2 (u2 + } 2 )5@2

= 2 =

 

= =

 }}

CY} C} £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ 3UX  } u2 3U2 + } 2  u2 + 2} 2 } 2  U2 > 2 (u2 + } 2 )7@2

= 2 =

u

= u = 0>

 u}

= =

}

= =

μ ¶ ¸  1 CYu C Y + = u Cu u u C

¶ CY} CYu + }u =  C} Cu £ 2¡ 2 ¢ ¡ ¢¤ 3UX  } u U + 3} 2 + } 2 3} 2  4U2 > 2 (u2 + } 2 )7@2 ¶ μ 1 CY} CY + } =  C} u C 0= μ

Si pasamos a coordenadas polares los elementos de matriz no nulos del tensor

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

408 de esfuerzo viscoso, resulta que  uu

=



=

 }}

=

 u}

=

3UX  44 3UX  24 3UX  44 3UX  44

£ ¡ ¢ ¤ cos ! 2  3U2 + 5U2  32 cos 2! >

(8.403)

¡ ¢ cos ! U2  2 >

(8.404)

£ ¡ ¢ ¤ cos ! 2 + U2 + 32  5U2 cos 2! >

(8.405)

£ ¡ ¢ ¡ ¢ ¤ sin ! 3 2  U2 + 32  5U2 cos 2! =

(8.406)

Para calcular (8.402), debemos saber cuánto vale el tensor de esfuerzo viscoso sobre la superficie de la esfera, que tiene radio U. Para ello, podemos tomar  = U> en (8.403)-(8.406), resultando el siguiente tensor de esfuerzo viscoso sobre la superficie de la esfera, 3 4  sin 2! 0  cos 2! 3X  D= 0 0 0 sin ! C (8.407) (U> !) = 2U  cos 2! 0 sin 2! Cambiando también a coordenadas polares la presión s (8.401), tenemos sobre la superficie de la esfera, s (U> !) = s0 

3X  cos != 2U

(8.408)

Recordemos que, según (5.165),  = q gV> gV

(8.409)

donde q es un vector unitario normal a la superficie. Como en nuestro caso tenemos una esfera, según la figura 8.22, q = sin ! hu + cos ! n = (sin !> 0> cos !) =

(8.410)

Por tanto, de acuerdo con (8.407)-(8.410), tenemos que, sobre la superficie de la esfera,  (  sL) gV

= (  sL) q gV ¶ μ 3X  s0 cos ! gV= = s0 sin !> 0> 2U

(8.411)

El vector dado en (8.411) está en coordenadas cilíndricas. Si lo queremos cambiar a coordenadas cartesianas, tenemos que multiplicar por la matriz de cambio de base dada en (E.16), 3 4 cos   sin  0 F = C sin  cos  0 D > 0 0 1

8.8. LEY DE STOKES

409

Figura 8.22: Vector unitario normal q de una superficie esférica. de tal modo que (8.411) se puede expresar como  (  sL) gV

=

h s0 sin ! cos  l  s0 sin ! sin  m ¶ ¸ μ 3X   s0 cos  n gV= + 2U

(8.412)

Recordemos ahora que, análogamente a (5.150), cuando queremos evaluar la integral de un campo vectorial I : R3 $ R3 > sobre una superficie parametrizada  : G  R2 $ R3 > tenemos que Z Z ¯ h i¯  (x> y) ¯¯Wx × Wy ¯¯ gx gy= (8.413) I (u) gV = I V

G

En nuestro caso, la parametrización de una esfera de radio U viene dada por { (> !) = U sin ! cos > | (> !) = U sin ! sin > } (> !) = U cos !> donde  5 [0> 2] y ! 5 [0> @2] = Es decir, la región G = [0> 2] × [0> @2] es una región rectangular. Además, ¯¯ ¯¯ ¯¯ ¯¯ n l m ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯W × W! ¯ = ¯¯¯¯ C{@C C|@C C}@C ¯¯¯¯ ¯¯ C{@C! C|@C! C}@C! ¯¯ ¯¡ ¢¯ = U2 ¯ sin2 ! cos > sin2 ! sin > sin ! cos ! ¯ = U2 sin !=

(8.414)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

410

De este modo, según (8.412), (8.413) y (8.414), la fuerza de fricción (8.402) es Ii

Z h s0 sin ! cos  l  s0 sin ! sin  m = G μ ¶ ¸ 3X  s0 cos  n U2 sin !gg! + 2U  Z 2 ¸Z  Z 2 2   cos  g + m sin  g sin2 ! g! =  s0 U l 0 0 0  ¸Z  Z 2 Z 2 2 3X   g  s0 cos  g sin ! g!> +n U 2U 0 0 0

es decir,

> Ii = 6UX n = 6U X

(8.415)

donde hemos tenido en cuenta (8.338). Por último, como la fuerza de fricción tiene la misma dirección que el movimiento de la esfera, según (8.76) y (8.77), tenemos que, de acuerdo con (8.415), 3 4   i · ¯X ¯ D ¯X ¯ = 6U X > Iarrastre = CI ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X ¯ ¯X ¯ Isust

arrastre = 0> = Ii  I

tal y como, según (8.339), queríamos demostrar. G. G. Stokes publicó este resultado en un trabajo fechado en 1851. Ejemplo 88 Se dispone de una cubeta de 1 cm de altura rellena de aceite de oliva. Sobre la superficie se depositan unas bolitas de material plástico de 1 mm de diámetro. Determínese cuánto tiempo tarda en llegar el material plástico al fondo de la cubeta. Datos: densidad del plástico, 1175 kg m3 ; densidad del aceite, 916 kg m3 ; viscosidad del aceite, 0> 081 Pa s= Podemos intuir que las bolitas de material plástico se depositarán lentamente, por lo que podemos conjeturar que el número de Reynolds será pequeño, R ¿ 1. Como, según el enunciado, las partículas de plástico son esféricas, podemos considerar que se cumple la ley de Stokes. De este modo, según la segunda ley de Newton y tomando unos ejes coordenados como en la figura 8.23, tenemos que ¯ ¯ ¯ ¯ g ¯Y ¯  g Y  m> =p I =p (8.416) gw gw donde p es la masa de una partícula y I la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella, I

 = Ii + pj + H ¯ ¯ ¯ ¯ = 6U ¯Y ¯ m + pj m  i Y j m>

(8.417)

8.8. LEY DE STOKES

411

 el empuje (1.7), y Ii la fuerza de fricción, que en este caso viene dada siendo H por la ley de Stokes (8.415).

Figura 8.23: Diagrama de fuerzas que actúan en una bola que desciende por un fluido. Sustituyendo (8.417) en (8.416), llegamos a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ g ¯Y ¯J¯ N ¯¯ ¯¯ ¯  ¯> =  ¯Y gw p p

(8.418)

donde N es el coeficiente de rozamiento, N = 6U  1> 33 × 106 N m1 s>  el peso aparente de la bola, yJ ¯ ¯ ¡ ¢ ¢ 4 ¡ ¯¯   i U3 j  7> 45 × 1010 N> ¯J¯ =   i Y j = 3 siendo  y i las densidades de las partículas de plástico y del agua del mar respectivamente y Y el volumen que ocupan dichas partículas, que consideramos esféricas. Según el enunciado, las partículas parten del reposo y debido a la aceleración de la gravedad van a ir adquiriendo cada vez más velocidad, pero, debido a la ley de Stokes, cuanta más velocidad adquieran, más se van frenando a su vez. Llega un momento en que la gravedad se compensa con el empuje y la $ O =  fricción, llegando a una velocidad constante llamada velocidad límite Y fwh, cuyo módulo a partir de (8.418) es ¯ ¯  ¯¯ ¯ ¯ ¯¯J ¯ ¯  1> 74 × 103 m s1 = (8.419) ¯YO ¯ = N

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

412

Comprobemos ahora que podemos aplicar la ley de Stokes. Sabiendo que el tamaño característico de la esfera es su diámetro 2U, observemos que el número de Reynolds máximo vendrá dado por ¯ ¯ ¯ ¯ 2Ui ¯Y O¯  0> 02 ¿ 1> R=  cumpliéndose así la hipótesis inicial. Para determinar ahora el tiempo que tardan las partículas en llegar al fondo, integremos en (8.418), sabiendo que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables separables, ¯ ¯ ¯ ¯ Z |Y | Z w g ¯Y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= gw> (8.420) 1 ¯¯ N ¯ ¯ 0 0 p ¯I ¯  p ¯Y ¯ donde, según el enunciado, la velocidad inicial que tiene la partícula es nula. Operando en (8.420), teniendo en cuenta (8.419), llegamos a ¶¯ Y 1 ¯¯  ¯¯ N ¯¯  ¯¯ ¯¯| | ¯I ¯  ¯Y ¯ ¯ p p 0 ¯ ¯4 3 ¯ ¯ ¯Y ¯ p =  log C1  ¯¯ ¯¯ D > N O ¯ ¯Y

w = 

es decir,

p log n

μ

¶¸ μ ¯ ¯ ¯ ¯ Nw ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯Y ¯ = ¯YO ¯ 1  exp p

Como el movimiento de la bola es rectilíneo, de acuerdo con la figura 8.23, ¶¸  μ g| ¯¯  ¯¯ Nw = ¯YO ¯ 1  exp = (8.421) gw p Por tanto, integrando en (8.421), teniendo en cuenta que inicialmente la partícula está sobre la superficie, | = 0> resulta que ¶¸ μ ¯ ¯Z w  Nw ¯ ¯ | (w) = ¯YO ¯ gw 1  exp p 0  μ ¶¸¾ ½ ¯ ¯ Nw p ¯ ¯ = ¯YO ¯ w  1  exp = N p Nos interesa saber el tiempo w para el cual la partícula ha llegado al fondo a una profundidad k> es decir,  μ ¶¸¾ ¯ ¯½ Nw p ¯ ¯ 1  exp = (8.422) w  | (w) = k = ¯Y ¯ O N p

8.8. LEY DE STOKES

413

Definiendo los tiempos característicos, k w1 = ¯¯ ¯¯ + w2  5> 73 s>  ¯YO ¯ w2 = siendo p = Y =

p  8> 06 × 104 s> N 4 3 U  6> 15 × 107 kg> 3

podemos expresar (8.422) como ¶ μ w > w1 = w + w2 exp  w2 o bien como

μ ¶ w1 } exp (}) =  exp  > w2

(8.423)

donde hemos definido,

w  w1 = (8.424) w2 Sabiendo que la función W de Lambert es la función inversa de la función } h} (véase Apéndice C.2), a partir de (8.423), resulta que, ¶¸  μ w1 > } = W  exp  w2 }=

y, deshaciendo el cambio (8.424),  μ ¶¸ w1 = w = w1 + w2 W  exp  w2 Observemos que en nuestro caso, w1 @w2  7121 À 1> por tanto,  μ ¶¸ w1  W (0) = 0> W  exp  w2 k w1  ¯¯ ¯¯ > O ¯ ¯Y

(8.425)

(8.426) (8.427)

de tal manera que, teniendo en cuenta (8.426) y (8.427) en (8.425), k w  ¯¯ ¯¯  5> 73 s= O ¯ ¯Y

(8.428)

El resultado dado en (8.428) se puede interpretar diciendo que las partículas de plástico, prácticamente en todo su recorrido hacia el fondo de la cubeta, viajan a la velocidad límite. N

414

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

Ejemplo 89 En el fondo de un depósito lleno de aceite de oliva a 20  C y de 1 m de profundidad se produce una burbuja de aire que tarda en subir a la superficie 30 s. Considerando que el aire de la burbuja se comporta como un gas ideal, determínese el número de moles de aire que contiene la burbuja. Datos: presión atmosférica, 1> 013 × 105 Pa; constante de los gases ideales, 8> 314 J mol1 K1 ; viscosidad del aceite de oliva a 20  C, 0> 084 Pa s; densidad del aceite de oliva a 20  C, 916 kg m3 ; masa molecular del aire, 2> 89 × 102 kg mol1 .

Figura 8.24: Fuerzas que experimenta la burbuja en el interior del depósito durante su ascenso.

Ecuación del movimiento de la burbuja Según el enunciado, el aire en el interior de la burbuja se comporta como un gas ideal, por tanto, si U es la constante de los gases ideales, tenemos que S Y = qUW>

(8.429)

donde S y W son la presión y la temperatura que experimenta la burbuja y Y y q su volumen y número de moles. Tomando el origen del sistema de coordenadas en el fondo del depósito (figura 8.24), la presión que experimenta la burbuja es S = Satm + j (k  |) >

(8.430)

donde Satm es la presión atmosférica,  la densidad del aceite y k la profundidad del depósito. Notemos que podemos expresar (8.430) como S = S0  j|>

(8.431)

8.8. LEY DE STOKES

415

donde S0 = Satm + jk  1> 103 × 105 Pa

(8.432)

es la presión en el fondo del depósito (para | = 0). Despejando el volumen de la burbuja de (8.429) y sabiendo que éste se corresponde con el de una esfera, resulta que 4 qUW = u3 > (8.433) Y = S 3 de tal modo que el radio de la burbuja es μ u=

3qUW 4S

¶1@3 =

(8.434)

Ahora bien, si  ¯ es la densidad del aire de la burbuja, su masa p viene dada por p= ¯Y=

(8.435)

Teniendo en cuenta (8.435) y (8.429), la densidad del aire de la burbuja  ¯ es  ¯=

p qPp Pp S = = > Y Y UW

(8.436)

donde Pp = p@q es la masa molecular del aire. Obsérvese que debido a (8.430), el radio u (8.434) y la densidad de la burbuja  ¯ (8.436) varían con la coordenada vertical |. Aplicando la segunda ley de Newton, sabiendo que el movimiento de la burbuja es vertical (figura 8.24), resulta que H  Ii  pj = p

g2 | > gw2

(8.437)

donde el empuje viene dado por H = Y j> y la fuerza de fricción, según la ley de Stokes (8.337), viene dada por ¯ ¯ ¯ ¯ Ii = 6u ¯Y ¯>

(8.438)

(8.439)

 la velocidad de la burbuja siendo  la viscosidad del agua y Y ¯ ¯ g| ¯ ¯ = ¯Y ¯ = gw

(8.440)

Hemos hecho la hipótesis de que se cumple la ley de Stokes debido a que el ascenso de la burbuja es lento, pues si k es la profundidad del depósito y wk el tiempo de ascenso de la burbuja, la velocidad media de ésta es D E  = k  0> 033 m s1 = Y wk

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

416

Sustituyendo (8.435) y (8.438)-(8.440) en (8.437), Y j  6u

g2 | g|  ¯Y j =  ¯Y = gw gw2

(8.441)

Reagrupando términos y teniendo en cuenta (8.433), podemos reescribir (8.441) como g2 | 9 g| = ¯ 2= (8.442) (   ¯) j  2 2u gw gw La ecuación (8.442) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal, pues, tal y como se comentó anteriormente, u y  ¯ son funciones de |= Por comodidad, escribiremos (8.442) en términos de la presión S como variable dependiente. Efectivamente, derivando en (8.430), tenemos que g| > gw g2 | = j 2 > gw

gS gw g2 S gw2

= j

de tal manera que (8.442) se convierte en (   ¯) j 2 +

g2 S 9 gS = ¯  = 2 2u gw gw2

(8.443)

Tanto (8.442) como (8.443) no tienen una solución analítica exacta, por lo que procederemos a dar una solución analítica aproximada. Régimen cuasi-estacionario Según el enunciado, la burbuja parte del reposo del fondo del depósito, de tal manera que inicialmente la fuerza de rozamiento es nula y el empuje produce una fuerte aceleración. Al ir adquiriendo velocidad, la fuerza de rozamiento va frenando la burbuja hasta alcanzar la velocidad límite, siendo la fuerza neta prácticamente nula. De todas maneras, debido a que la burbuja en su ascenso varía levemente su radio (y por tanto su volumen), la fuerza de rozamiento (y también el empuje) varían (8.439) y (8.438) respectivamente, por lo que experimenta una pequeña aceleración en toda su trayectoria. Llamaremos estado transitorio a la fase inicial en la que hay una fuerte aceleración y estado cuasi-estacionario a aquel en el que la variación de la velocidad es debida a la expansión de la burbuja. Por tanto, en el estado cuasi-estacionario, la aceleración de la burbuja es despreciable, g2 |  0= gw2

(8.444)

Además, como la densidad del aire es mucho menor que la densidad del agua, À ¯> según (8.444) y (8.445) podemos reescribir (8.442) como j 

9 g|  0> 2u2 gw

(8.445)

8.8. LEY DE STOKES

417

que, en términos de la presión S , se puede expresar como 2 j 2 +

9 gS  0= 2u2 gw

(8.446)

Obsérvese que (8.446) se puede obtener a partir de (8.443) haciendo  ¯  0, lo cual se corresponde asintóticamente con (8.445). A partir de (8.434) podemos escribir (8.446) de la siguiente manera, 2 j 2 +

9 gS  S 2@3  0> 2 gw

donde hemos definido la constante, μ ¶2@3 4 = = 3qUW

(8.447)

(8.448)

Integrando en (8.447), 2 j 2 w +

27  S 5@3  D> 10

(8.449)

donde D es una constante de integración. Para determinarla sabemos que inicialmente (w = 0) la burbuja se encuentra en el fondo del depósito (| = 0), donde la presión es S0 , por tanto, D

27 5@3  S0 = 10

Sustituyendo (8.450) en (8.449), llegamos a ´3@5 ³ 5@3 > S (w)  S0  w

(8.450)

(8.451)

donde hemos definido la constante, =

102 j 2 = 27

(8.452)

Deshaciendo en (8.451) el cambio dado en (8.431), obtenemos la coordenada vertical de la burbuja en función del tiempo en el estado cuasi-estacionario, ³ ´3@5 5@3 S0  S0  w = (8.453) |cuasi (w) = j Obsérvese que la solución dada en (8.453) cumple la condición inicial |cuasi (0) = 0> sin embargo, la velocidad inicial no es nula, 0 |cuasi (0) =

3 2@3 S 6= 0= 5j 0

(8.454)

Esto es bastante lógico porque la solución cuasi-estacionaria no debe ser válida para el instante inicial, pues la burbuja experimenta una fuerte aceleración y la aproximación dada en (8.444) no es válida.

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

418

Régimen transitorio El régimen transitorio se da en la primera fase del ascenso de la burbuja. Vamos a considerar que, en esta fase, el radio de la burbuja (y, por tanto, también su densidad) apenas varía, por lo que se mantiene con su radio y densidad iniciales, μ

¶1@3 3qUW =: u0 > 4S0 S0 Pp =:  ¯0 =  ¯ (|)   ¯ (0) = UW u (|)  u (0) =

(8.455) (8.456)

Por tanto, según (8.442), la ecuación que hemos de resolver es (   ¯0 ) j 

9 g| g2 |   ¯ = 0 2u02 gw gw2

(8.457)

La ecuación (8.457) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes. Para resolverla, podemos darnos cuenta de que una solución particular es de la forma |s (w) = Ew>

(8.458)

donde E es una constante que se determina sustituyendo (8.458) en (8.457), llegando a 2u2 (   ¯0 ) j = (8.459) E 0 9 Procedemos ahora a encontrar la solución de la ecuación homogénea de (8.457), 9 g| g2 |  0> (8.460)  ¯0 2 + 2 gw 2u0 gw tomando una solución del tipo | (w) = hw =

(8.461)

Sustituyendo (8.461) en (8.460), llegamos a  ¯0 2 +

9   0> 2u02

cuyas soluciones son 1

 0>

(8.462)

2

9   2 = 2u0  ¯0

(8.463)

Por tanto, la solución general de la homogénea es una combinación lineal de soluciones del tipo (8.461), tomando (8.462) y (8.463), es decir, |k (w)  F1 + F2 h2 w =

(8.464)

8.8. LEY DE STOKES

419

La solución general de (8.457) vendrá dada por la suma de la solución particular (8.458) y la homogénea (8.464), | (w) = |s (w) + |k (w)  Ew + F1 + F2 h2 w =

(8.465)

Para determinar las constantes F1 y F2 imponemos las condiciones iniciales, | (0) = 0 = F1 + F2 > |0 (0) = 0 = E + F2 2 > es decir, F2 F1

E > 2 = F2 = = 

(8.466) (8.467)

Sustituyendo (8.466)-(8.467) en (8.465), llegamos a que la solución del estado transitorio es ¢ E ¡ 2 w + 1  h2 w = (8.468) |trans (w)  2 Tiempo del transitorio Según vimos anteriormente en (8.444), el estado transitorio tiende a terminar cuando g2 |  0= gw2

(8.469)

Por tanto, sustituyendo (8.469) en (8.457), tenemos que (   ¯0 ) j 

9 g|  0= 2u02 gw

(8.470)

Integrando en (8.470) y teniendo en cuenta (8.459) llegamos a que asintóticamente el estado transitorio tiene la forma |asint (w)  Ew=

(8.471)

Para determinar cuándo termina el estado transitorio w = w podemos imponer que la velocidad en (8.468) y (8.471) son prácticamente iguales, es decir, 0 0 |trans (w )  |asint (w ) >

de tal modo que



h2 w  0> es decir, w  

1 = 2

(8.472)

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

420

Resolución del problema El enunciado del problema nos ofrece el tiempo wk = 30 s de ascenso de la burbuja. Consideremos por un momento que el tiempo del transitorio es muy corto, de tal manera que la burbuja asciende la mayor parte de su trayectoria en el estado cuasi-estacionario. De esta manera, según (8.453), ´3@5 ³ 5@3 S0  S0  wk  k= (8.473) |cuasi (wk ) = j Despejando de (8.473) y teniendo en cuenta (8.432), ³ ´3@5 5@3  S0  jk = Satm > S0  wk es decir, 5@3

5@3

S0

 Satm  1> 117 × 106 Pa5@3 s1 > (8.474) wk donde hemos sustituido los datos del problema y (8.432). De acuerdo con (8.452) y (8.474) y teniendo en cuenta los datos del problema, 

=

102 j 2  318> 8 m2 Pa2@3 > 27

(8.475)

mientras que, de acuerdo con (8.448) y (8.475), q=

4  3> 019 × 107 mol= 33@2 UW

(8.476)

donde hemos utilizado de nuevo los datos del problema. Para justificar que el tiempo del transitorio es muy corto, podemos evaluar (8.472) teniendo en cuenta (8.463), 2u2  ¯ (8.477) w  0 0  4> 72 × 106 s> 9 donde, según (8.455), (8.432) y (8.476), el radio inicial de la burbuja es ¶1@3 μ 3qUW u0 =  1> 17 × 103 m> 4S0 y según (8.456) y (8.432), la densidad inicial es  ¯0 =

S0 Pp  1> 31 kg m3 = UW

Como se puede observar, w ¿ wk > por lo que la consideración hecha en un principio queda justificada. Para justificar la aplicación de la ley de Stokes en (8.439), observemos que, como el tiempo del transitorio es muy pequeño (8.477), la velocidad de la burbuja es prácticamente la velocidad dada por el estado cuasi-estacionario (8.453), ´2@5 3 ³ 5@3 0 | 0 (w)  |cuasi S0  w (w) = = (8.478) 5j

8.8. LEY DE STOKES

421

Como (8.478) es una función creciente, la velocidad máxima vendrá dada por

0 0 1 |m´ = ax  |cuasi (wk )  0> 034 m s

Por otro lado, según (8.434), el radio máximo de la burbuja se producirá cuando ésta llegue a la superficie, es decir, donde S = Satm es mínima, μ um´ax =

3qUW 4Satm

¶1@3  1> 201 × 103 =

De este modo, sabiendo que el tamaño característico de la burbuja es el diámetro de ésta O = 2um´ax , el número de Reynolds máximo que experimenta la burbuja es 0 2um´ax |m´ ax  R=  0> 8989 ? 1>  por lo que la hipótesis que hemos hecho al aplicar la ley de Stokes queda también justificada. N

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

422

8.9.

Autoevaluación

1. Una partícula de fluido en contacto con otra a través de un elemento diferencial de área experimenta una fuerza de rozamiento infinitesimal: a) paralela al elemento diferencial de área. b) perpendicular al elemento diferencial de área. c) que hace un ángulo de 45  con respecto al elemento diferencial de área. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 2. La dinámica de un fluido viscoso satisface la ecuación de: a) continuidad. b) Euler. c) Navier-Stokes, solamente cuando el número de Reynolds es pequeño. d) Bernoulli. 3. El tensor de esfuerzo viscoso es: a) la matriz derivada del campo de velocidades de un fluido. b) una matriz simétrica. c) directamente proporcional a la viscosidad dinámica del fluido. d) equivalente al tensor de esfuerzo. 4. La viscosidad dinámica es: a) equivalente a la viscosidad cinemática en el Sistema Internacional. b) la viscosidad cinemática multiplicada por la densidad del fluido. c) la viscosidad cinemática dividida entre la densidad del fluido. d) siempre mayor que la viscosidad cinemática. ³ ´  @Cw + Y  ·u  Y  = j  uS@   es válida para: 5. La ecuación C Y +  u2 Y a) fluidos newtonianos. b) fluidos no newtonianos. c) una mezcla de agua y aceite. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 6. La ecuación de Navier-Stokes se reduce a la de Euler cuando: a) el fluido no está sometido a la fuerza gravitatoria. b) el flujo es estacionario.

8.9. AUTOEVALUACIÓN

423

c) los coeficientes de viscosidad son nulos. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 7. Un flujo viscoso satisface la ecuación de Euler: a) cuando el campo de velocidades es irrotacional. b) cuando el campo de velocidades es estacionario. c) cuando la divergencia del gradiente de cada una de las componentes del campo de velocidades es nula. d) en ningún caso. 8. La condición de no deslizamiento se aplica a la ecuación de: a) continuidad. b) Euler. c) Bernoulli. d) Navier-Stokes. 9. La condición de no deslizamiento indica que: a) la superficie de un cuerpo inmerso en un fluido es antideslizante. b) la componente normal de la velocidad del fluido sobre la superficie del cuerpo es nula. c) la componente tangencial de la velocidad del fluido sobre la superficie del cuerpo es nula. d) la velocidad del fluido sobre la superficie del cuerpo es nula. 10. La presión modificada: a) es equivalente a la presión en condiciones normales. b) es equivalente a la presión en ausencia de campo gravitatorio. c) tiene unidades de “pascales modificados” en el Sistema Internacional. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 11. La presión modificada centrífuga es equivalente a la: a) presión modificada en ausencia de campo gravitatorio. b) presión en ausencia de campo gravitatorio. c) presión modificada en ausencia de rotación terrestre. d) presión en ausencia de rotación terrestre. 12. La fuerza de fricción que experimenta un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido:

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS

424

a) es la fuerza por unidad de área que ejerce el movimiento relativo del fluido sobre el cuerpo. b) es proporcional al tensor de esfuerzo. c) se obtiene por medio de la integración del tensor de esfuerzo sobre la superficie del cuerpo sobre la que ésta actúa. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 13. El coeficiente de sustentación de un cuerpo: a) es el cociente entre el módulo de la fuerza de sustentación y el módulo de la fuerza debida a la presión dinámica sobre un área de referencia del cuerpo. b) tiene dimensiones de longitud, siendo ésta la longitud de sustentación del cuerpo. c) sólo depende del número de Reynolds. d) sólo depende del ángulo de ataque. 14. El coeficiente de sustentación, en función del ángulo de ataque: a) es una función creciente. b) es una función decreciente. c) es una función constante. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 15. Si tenemos un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido, la fuerza de arrastre que experimenta dicho cuerpo: a) es paralela a la fuerza de sustentación. b) es perpendicular a la dirección del movimiento del cuerpo. c) es paralela a la velocidad del cuerpo. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 16. Un fluido viscoso que tiene un campo de velocidades cuyo laplaciano es nulo: a) se comporta como si fuera invíscido. b) es irrotacional. c) es estacionario. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 17. Si tenemos un fluido de viscosidad  entre dos placas paralelas horizontales distantes una distancia k y que se mueven a una velocidad relativa X , entonces, la energía disipada por el fluido por unidad de tiempo y de masa es:

8.9. AUTOEVALUACIÓN

425

a) proporcional a X . b) inversamente proporcional a k. c) proporcional a . d) La opción c) solamente cuando estemos en régimen laminar. 18. La velocidad de un fluido que fluye en estado estacionario y en régimen laminar a lo largo de un tubo cilíndrico: a) es máxima en el eje del cilindro. b) es independiente de la longitud del cilindro. c) depende linealmente de la temperatura del fluido. d) es constante en una sección transversal del cilindro. 19. Tenemos dos tubos cilíndricos de la misma longitud por los que discurre el mismo fluido en estado estacionario y en régimen laminar, pero uno es el doble de ancho que el otro. Si queremos obtener el mismo caudal en ambos, debemos ejercer entre los extremos de ambos tubos: a) el doble de presión en el tubo estrecho que en el ancho. b) el cuádruple de presión en el tubo estrecho que en el ancho. c) ocho veces más presión en el tubo estrecho que en el ancho d) dieciséis veces más presión en el tubo estrecho que en el ancho. 20. El tiempo característico de ascenso de un líquido por un capilar: a) es inversamente proporcional a la densidad del líquido. b) es directamente proporcional a la tensión superficial del líquido. c) es inversamente proporcional a la viscosidad del líquido. d) es inversamente proporcional al radio del capilar. 21. Si se dispone de una placa horizontal que limita inferiormente un fluido y ésta oscila horizontalmente con una frecuencia , entonces: a) las capas de fluido oscilan a la frecuencia . b) la opción a) siempre y cuando estemos en régimen laminar. c) la opción b) siempre y cuando estemos en el régimen cuasi-estacionario. d) la opción c) siempre y cuando el fluido sea de densidad constante. 22. Dígase cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a) La capa de Ekman sólo es observable en un sistema de referencia solidario con un punto de la superficie terrestre. b) La profundidad de la capa de Ekman depende de la latitud.

426

CAPÍTULO 8. FLUIDOS VISCOSOS c) El ángulo que forma la dirección del viento y la velocidad de la capa de Ekman sobre la superficie es independiente del módulo de la velocidad angular de rotación terrestre. d) Alguna de las otras opciones es falsa.

23. Decimos que dos flujos son similares: a) cuando pueden obtenerse uno a partir del otro por un cambio en las unidades de medida de las coordenadas y de la velocidad. b) cuando con distintas condiciones iniciales y de contorno obtenemos el mismo campo de velocidades. c) cuando el campo de presiones y de velocidades de ambos flujos se pueden obtener a partir del principio de semejanza. d) cuando tienen números de Reynolds similares. 24. Experimentalmente, la ley de Stokes se cumple con bastante aproximación, siempre y cuando: a) el número de Reynolds es mucho mayor que la unidad. b) el número de Reynolds es menor que la unidad. c) el número de Reynolds es semejante a las dimensiones del flujo. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 25. Según la ley de Stokes, la fuerza de fricción que experimenta una esfera que se mueve inicialmente en un fluido en reposo: a) desvía la esfera a la derecha de la dirección del movimiento. b) desvía la esfera a la izquierda de la dirección del movimiento. c) no desvía la dirección que lleva la esfera. d) es mayor si estamos en régimen turbulento.

Capítulo 9

Capa límite “En los últimos 30 años ha habido una cierta tendencia a reunir de nuevo, como en los tiempos de Euler, la hidrodinámica teórica o matemática y la llamada hidráulica, que está basada por completo en los experimentos...” (L. Prandtl, 1934). En 1904, Heidelberg acogió a un grupo de científicos y matemáticos en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas. Allí, Ludwig Prandtl, un profesor de 29 años de la Escuela Técnica de Hannover, hizo una presentación de diez minutos de un nuevo concepto que iba a revolucionar la comprensión y el análisis de la Dinámica de Fluidos, el concepto de la capa límite1 . Actualmente, el mundo de la Aerodinámica y de la Dinámica de Fluidos sigue dominado por la idea de Prandtl y, aunque el concepto de la capa límite fue merecedor del premio Nobel, Prandtl nunca lo recibió. En este capítulo veremos cómo la idea de la capa límite permite comprender la secular paradoja de d’Alembert, además de permitir una aproximación de la ecuación de Navier-Stokes, que se puede resolver en algunos casos de interés como la ecuación de Blasius.

9.1.

Paradoja de d’Alembert

La paradoja de d’Alembert es una contradicción alcanzada en 1752 por el filósofo y científico francés J. R. d’Alembert, en la que se demuestra que la fuerza de arrastre de un cuerpo que se desplaza a una velocidad constante por el seno de un flujo de densidad constante, invíscido e irrotacional, es nula. Este temprano resultado hizo que desde los comienzos de la historia de la Mecánica de Fluidos, la Ingeniería desarrollara la Hidráulica de una manera independiente, al margen del desarrollo teórico de la Mecánica de Fluidos. 1 L. Prandtl, en Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heildelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, Alemania (1905), p. 484. Versión en inglés en Early Developments of Modern Aerodynamics, J. A. K. Ackroyd, B. P. Axcell, A. I. Ruban, eds., Butterworth-Heinemann, Oxford, Gran Bretaña (2001), p. 77.

427

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

428

Para demostrar este resultado, consideremos, en primer lugar, que el flujo es invíscido,  =  = 0, y de densidad constante,  = fwh, de tal manera que la ecuación de Navier-Stokes (8.51) se reduce a la siguiente expresión de la ecuación de Euler, ³ ´   CY  ·u  Y  =  us = + Y (9.1) Cw  ³ ´  I · J  = Por otro lado, según la identidad de análisis vectorial (4.91), u ³ ´ ³ ´  J + J  ·u  I + I × rot J  +J  × rot I > tomando I = J  =Y  > tenemos I · u que μ¯ ¯ ¶ ³ ´ 2  × rot Y =  ¯¯Y  ¯¯  Y  ·u  Y  = 1u (9.2) Y 2  = 0> podemos Como estamos considerando que el flujo es irrotacional, rot Y escribir (9.2) como ¶ μ ³ ´ 1  ¯¯  ¯¯2    (9.3) Y · u Y = u ¯Y ¯ > 2  = (Y1 > Y2 > Y3 ) > que, expresado en componentes cartesianas, u = ({1 > {2 > {3 ) y Y resulta ser μ¯ ¯ ¶ 1 C ¯  ¯2   n = 1> 2> 3= (9.4) Y · uYn = ¯Y ¯ > 2 C{n Además, como el campo es irrotacional, el teorema de los campos conserva se puede expresar tivos (Teorema 16) nos dice que el campo de velocidades Y como el gradiente de una función potencial *,  = 0 rot Y

$

 = u*=  Y

(9.5)

Sustituyendo (9.3) y (9.5) en la ecuación de Euler (9.1), ¶ μ  C ³  ´ 1  ¯¯  ¯¯2 us = u* + u ¯Y ¯ =  Cw 2 

(9.6)

Teniendo en cuenta que en el primer término de (9.6) la derivada temporal  conmutan, y considerando un flujo de densidad constante, C@Cw y el gradiente u  = fwh; la ecuación (9.6) se convierte en μ  u es decir,

¶ C* 1 ¯¯  ¯¯2 s + ¯Y ¯ + = 0> Cw 2 

C* 1 ¯¯  ¯¯2 s + ¯Y ¯ + = fwh= Cw 2 

(9.7)

9.1. PARADOJA DE D’ALEMBERT

9.1.1.

429

Condiciones de contorno

Observemos que el movimiento del cuerpo desplaza fluido en su avance. Si inicialmente el fluido estaba en resposo, podemos considerar que éste permanece asintóticamente en reposo cuando está muy lejos del movimiento del cuerpo. De este modo, podemos considerar la siguiente condición de contorno sobre el flujo, l´ım Y (u> w) = 0>

| u |$4

(9.8)

donde u hace referencia a un sistema de ejes solidario con el cuerpo. Sustituyendo (9.5) en (9.8),  (u> w) = 0> l´ım u* | u|$4

es decir, l´ım * (u> w) = i (w) =

| u|$4

(9.9)

Observemos que (9.5) no define unívocamente la función potencial *. Efectivamente, si redefinimos la función * como, * ˆ (u> w) = * (u> w)  i (w) > tenemos que

(9.10)

 = u*  = uˆ  *= Y

De este modo, tomando límites en (9.10) y teniendo en cuenta (9.9), ˆ (u> w) = l´ım * (u> w)  i (w) = 0= l´ım *

| u|$4

| u|$4

(9.11)

Por otro lado, recordemos que la presión modificada (8.52) viene dada por s = S  j · u> por tanto, tomando uB = ({> |> 0) > resulta que j · uB = 0> de tal manera que s (uB > w) = S (uB > w) =

(9.12)

Teniendo en cuenta que en el infinito el fluido está en reposo, ninguna magnitud del flujo depende del tiempo w. En concreto, la presión S es la presión hidrostática (S = jk), la cual está definida salvo una constante, que podemos tomar cero. Por tanto, tomando límites en (9.12), l´ım s (uB > w) =

| uB |$4

l´ım S (uB > w) = 0=

| uB |$4

(9.13)

En conclusión, según (9.8), (9.11) y (9.13), ¶ μ C* 1 ¯¯  ¯¯2 s + ¯Y ¯ + = 0> l´ım Cw 2  | uB |$4 es decir, la constante de la ecuación (9.7) es cero, C* 1 ¯¯  ¯¯2 s + ¯Y ¯ + = 0= Cw 2 

(9.14)

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

430

9.1.2.

Presión modificada

Sea u (w) = ({ (w) > | (w) > } (w)) la trayectoria que sigue el cuerpo que se mueve en el seno del fluido. De este modo, el campo escalar * a lo largo de la trayectoria u (w) en función del tiempo viene dado por * [u (w) > w] = * [{ (w) > | (w) > } (w) > w]. Aplicando la regla de la cadena, podemos calcular la variación de la función potencial * en el tiempo a lo largo de la trayectoria u (w), g [* (u (w) > w)] = gw =

C* C* g{ C* g| C* g} + + + Cw C{ gw C| gw C} gw C*  + u* · u0 (w) = Cw

Observemos que, como u (w) es la trayectoria del cuerpo y estamos consideran , entonces, u0 (w) = X  y, por tanto, do que éste se mueve a velocidad constante X C*  g* = = + u* · X gw Cw

(9.15)

Señalemos, por un lado, que g*@gw es una función que depende únicamente  =Y  . Por tanto, del tiempo w, llamémosla j (w); y, por otro lado, según (9.5), u* (9.15) se puede reescribir como C*  ·X = = j (w)  Y Cw Sustituyendo (9.16) en (9.14) y despejando, μ ¯ ¯ ¶ 1 ¯  ¯2  ·X  = s =  ¯Y ¯ + j (w)  Y 2

9.1.3.

(9.16)

(9.17)

Fuerza de arrastre

Según vimos en (8.75), la fuerza de fricción I que experimenta un cuerpo que se desplaza por el seno de un fluido es Z  I = (  sL) gV> (9.18) C

donde C es la superficie del cuerpo que ocupa la región . Como estamos considerando un flujo no viscoso, según (8.4), el tensor de esfuerzo viscoso es nulo, por lo que (9.18) se reduce a Z   s gV= (9.19) I = C

Sustituyendo (9.17) en (9.19), ¶ Z μ ¯ ¯2 1 ¯ ¯  ·X  gV=  I =  ¯Y ¯ + j (w)  Y 2 C

(9.20)

9.1. PARADOJA DE D’ALEMBERT

431

Observemos que, aplicando el corolario del teorema de Gauss (6.60), resulta que Z Z  = j (w)  = 0> j (w) gV gV C

C

por tanto (9.20) se reduce a  = I

μ ¯ ¯ ¶ 1 ¯  ¯2   ¯Y ¯  Y · X q gV= 2 C

Z

(9.21)

Cada una de las componentes de la fuerza de fricción In (n = 1> 2> 3) > en coordenadas cartesianas, es Z Z ³ ´ 1 ¯¯  ¯¯2  ·X  qn gV= (9.22) In =  Y ¯Y ¯ qn gV   2 C | C {z } Jn

Calculemos ahora Jn aplicando el teorema de Gauss (6.59) y el resultado (9.4), Z 1 ¯¯  ¯¯2 Jn = ¯Y ¯ qn gV 2 μ¯ ¯ ¶ ZC 1 C ¯  ¯2 = gY ¯Y ¯ 2 C{ n Z ³ ´  · uY  n gY= (9.23) = Y 

Desarrollando en componentes el producto escalar dado en (9.23), tenemos que ! Z ÃX 3 CYn Jn = gY= (9.24) Yl C{l  l=1  = 0, podemos reescribir Debido a que el flujo es de densidad constante, div Y el integrando de (9.24) de otra manera. Para verlo, apliquemos la propiedad de la derivada de un producto a la siguiente expresión, ¶ 3 3 μ X X CYl C CYn (Yl Yn ) = Yn + Yl C{l C{l C{l l=1 l=1 = Yn

3 X CYl l=1

C{l

+

3 X l=1

Yl

CYn = C{l

Teniendo en cuenta que la divergencia del flujo es nula,  = div Y

3 X CYl l=1

C{l

= 0>

(9.25)

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

432 la expresión (9.25) quiere decir que 3 X

X C CYn = (Yl Yn ) = C{l C{l l=1 3

Yl

l=1

(9.26)

Por tanto, sustituyendo (9.26) en (9.24) y volviendo a aplicar el teorema de Gauss (6.59), ! Z ÃX 3 C = (Yl Yn ) gY C{l  l=1 ¶ 3 Z μ X C (Yl Yn ) gY = C{l l=1  3 Z X Yl Yn ql gV =

Jn

C

Zl=1 ³ ´  · q Yn gV= = Y

(9.27)

C

Sustituyendo (9.27) en (9.22), Z

h³ ³ ´ ´ i  · q Yn  Y  ·X  qn gV= Y

In = 

(9.28)

C

Apliquemos ahora a (9.28) la condición de contorno para fluidos invíscidos (7.33), de tal manera que, sobre la superficie del cuerpo C, ¯  · q¯¯ Y

C

¯  · q¯¯ =X

C

>

de tal modo que Z In = 

h³ ³ ´ ´ i  · q Yn  Y  ·X  qn gV= X

(9.29)

C

Por último, la fuerza de arrastre Iarrastre resulta ser la fuerza de fricción I en la dirección del movimiento del cuerpo, por tanto, según (8.76) y (8.78), ³ ´  I · X = Iarrastre = I · x x = ¯ ¯2 X ¯ ¯ ¯X ¯ Pero, en nuestro caso, según (9.29) y teniendo en cuenta la definición de

9.1. PARADOJA DE D’ALEMBERT

433

producto escalar,  I · X

=

3 X

In Xn n=1 3 Z X

= 

n=1

Z

= 

h³ i ³ ´ ´  · q Yn Xn  Y  ·X  qn Xn gV X

C

h³ ´³ ´ ³ ´³ ´i  · q Y  ·X   Y  ·X   · q gV X X

C

= 0= Por tanto, concluimos que la fuerza de arrastre es nula, Iarrastre = 0= Para visualizar que la fuerza de arrastre es nula cuando tenemos un flujo invíscido, supóngase que tenemos un cilindro que se mueve en la dirección perpendicular a su eje. En la figura 9.1 se muestra una sección transversal del flujo que pasa por el cilindro. Si el flujo está en régimen laminar, la velocidad del fluido en los puntos D y D0 será nula (puntos de estancamiento), siendo, por tanto, su presión máxima; mientras que en los puntos E y E 0 la velocidad alcanza su valor máximo, y la presión su valor mínimo. En general, la distribución de presiones es simétrica, por lo que el fluido no ejerce ninguna fuerza de arrastre sobre el cilindro.

Figura 9.1: Flujo laminar que experimenta un cilindro que se mueve perpendicularmente a su eje. Sin embargo, experimentalmente no se observa una fuerza de arrastre nula cuando tenemos un cuerpo desplazándose a velocidad constante por el seno de

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

434

un fluido. Según el consenso científico, la explicación de la paradoja se debe a que en su deducción se desprecia el efecto de la viscosidad (se supone que el flujo es invíscido). En principio, esta explicación es insatisfactoria para flujos con un número de Reynolds grande, pues, como se vio en el apartado 8.7.1, estos flujos tienden a comportarse como si fueran invíscidos. Sin embargo, experimentalmente tampoco se observa una fuerza de arrastre nula para flujos con un número de Reynolds elevado. En 1904, L. Prandtl propuso que los efectos de la viscosidad se dan principalmente en la capa límite (véase figura 9.2). A medida que el número de Reynolds del flujo se va haciendo mayor, la capa límite va disminuyendo su espesor, es decir, el flujo invíscido que se da fuera de la capa límite va aumentando y el flujo viscoso se va reduciendo. Pero, debido a la condición de no deslizamiento (8.26), los efectos viscosos de la capa límite no terminan por desaparecer, aunque sea muy grande el número de Reynolds. Estos efectos viscosos de la capa límite son los responsables de la fuerza de arrastre experimentalmente observada.

Figura 9.2: Efectos viscosos en la capa límite de un sólido en movimiento en el seno de un fluido.

9.2.

Teoría de la capa límite

Como los efectos viscosos sólo son apreciables dentro de la capa límite, tenemos que usar la ecuación de Navier-Stokes en este dominio de la capa límite. Vamos a deducir las ecuaciones del movimiento de un fluido en una capa límite en régimen laminar. Por simplicidad, consideraremos un flujo estacionario,  CY = 0> Cw

(9.30)

9.2. TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

435

Figura 9.3: Capa límite laminar.  = (Y{ > Y| ) en coordenadas cartesianas. Por tanto, y bidimensional, es decir, Y la ecuación de Navier-Stokes (8.51) resulta ser μ ¶ ´ ³ ¡ ¢  · uY  | =  1 Cs > Cs +  u2 Y{ > u2 Y| >  · uY  {> Y Y  C{ C| que, desglosada en sus componentes cartesianas, queda μ 2 ¶ 1 Cs C Y{ C 2 Y{ CY{ CY{ Y{ + Y| =  + > + C{ C|  C{ C{2 C| 2 μ 2 ¶ 1 Cs C Y| C 2 Y| CY| CY| + Y| =  + = + Y{ C{ C|  C| C{2 C| 2

(9.31) (9.32)

Además, si suponemos que el fluido es de densidad constante, se ha de  = 0, es decir, cumplir la ecuación de continuidad (7.7), div Y CY{ CY| + = 0= C{ C|

9.2.1.

(9.33)

Análisis de escala

En la figura 9.3 se ha representado un ejemplo de capa límite laminar en el que un flujo horizontal es frenado al pasar sobre una pared sólida. El perfil de velocidad Y{ del fluido dentro de la capa límite depende fundamentalmente de la distancia a la superficie |. Debido a la condición de no deslizamiento (8.26), la velocidad del fluido en contacto con la pared es nula. Fuera de la capa límite, el fluido se desplaza prácticamente a la misma velocidad que en las condiciones iniciales X0 . Téngase en cuenta que la frontera de la capa límite no es abrupta, sino que la transición entre el flujo laminar y el flujo exterior invíscido es suave. Según la figura 9.3, podemos considerar que la magnitud de la velocidad horizontal Y{ es del orden de X0 , |Y{ |  X0 =

(9.34)

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

436

La componente Y{ varía apreciablemente en {, en distancias del orden de la longitud característica del problema O (por ejemplo, dimensiones del cuerpo en {), por tanto, según (9.34), ¯ ¯ ¯ CY{ ¯ |Y{ | X0 ¯ ¯ (9.35) ¯ C{ ¯  O  O > mientras que la variación de Y{ en | será apreciable en distancias del orden del espesor  de la capa límite, ¯ ¯ ¯ CY{ ¯ |Y{ | X0 ¯ ¯ (9.36) ¯ C| ¯     = Análogamente,

y

¯ ¯ ¯ CY| ¯ |Y| | ¯ ¯ ¯ C| ¯   >

(9.37)

¯ 2 ¯ ¯ C Y{ ¯ X0 ¯ ¯ ¯ C| 2 ¯   2 =

(9.38)

Observemos, por otro lado, que, según la ecuación de continuidad (9.33) y (9.35), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ CY| ¯ ¯ CY{ ¯ X0 ¯ ¯=¯ ¯ (9.39) ¯ C| ¯ ¯ C{ ¯  O > por tanto, comparando (9.37) y (9.39), |Y| | 

X0 = O

(9.40)

De este modo, análogamente a (9.35), tenemos, según (9.40), la variación de Y| en {, ¯ ¯ ¯ CY| ¯ |Y| | X0 ¯ ¯ (9.41) ¯ C{ ¯  O  O2 = Además, según la figura 9.3, la variación de Y{ es mucho mayor en | que en {, por tanto, se satisface ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ CY{ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ À ¯ CY{ ¯ > ¯ C| ¯ ¯ C{ ¯ y ¯ 2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ C Y{ ¯ ¯ À ¯ C Y{ ¯ = ¯ (9.42) ¯ C{2 ¯ ¯ C| 2 ¯ Aplicando (9.42) en (9.31) y (9.32), tenemos las siguientes aproximaciones, CY{ CY{ + Y| C{ C| CY| CY| + Y| Y{ C{ C|

Y{

1 Cs C 2 Y{ + >  C{ C| 2 1 Cs C 2 Y|   + =  C| C| 2

 

(9.43) (9.44)

9.2. TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

437

Suponiendo que los términos del miembro derecho de (9.43) son del mismo orden, ¯ ¯ ¯ 2 ¯ ¯ C Y{ ¯ 1 ¯¯ Cs ¯¯   ¯¯ 2 ¯¯ > ¯ ¯  C{ C| y, aplicando (9.34), (9.35), (9.40) y (9.36) a (9.43), llegamos a ¯ ¯ 1 ¯¯ Cs ¯¯ X02 >   ¯ C{ ¯ O y

¯ 2 ¯ ¯ C Y{ ¯ X 2  ¯¯ 2 ¯¯  0 = C| O Teniendo en cuenta (9.38) en (9.46), llegamos a r O O  =s > X0 R

(9.45)

(9.46)

(9.47)

donde recordemos que R es el número de Reynolds (8.317), R=

X0 O = 

Obsérvese que aplicando directamente el análisis dimensional, podemos obtener que  = { I  (R), véase ejercicio 16), donde {  O y I  (R) es una cierta función del número de Reynolds, que, según (9.47), es I  (R) 2 R1@2 . Por otro lado, a partir de (9.40) y (9.47), tenemos que X0 |Y| |  s = R

(9.48)

Observemos que en (9.47), para números de Reynolds grandes, R À 1, tenemos que el espesor de la capa límite, , es pequeño en comparación con las dimensiones del cuerpo, O,  ¿ O>

R À 1>

(9.49)

en coherencia con el apartado 8.7.1. Entonces, de acuerdo con (9.34) y (9.40), |Y| |  |Y{ |

 > O

de tal manera que |Y| | ¿ |Y{ | >

R À 1=

(9.50)

Observemos también que de acuerdo con (9.47), 

X0  2 > O

(9.51)

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

438

por tanto, aplicando (9.34), (9.41), (9.40) y (9.39) a (9.44), llegamos a ¯ ¯ 1 ¯¯ Cs ¯¯ X02 =   ¯ C| ¯ O2

(9.52)

Teniendo en cuenta (9.45) en (9.52), ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ Cs ¯¯ 1 ¯¯ Cs ¯¯  >   ¯ C| ¯  ¯ C{ ¯ O y considerando números de Reynolds grandes (9.49), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Cs ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ À ¯ Cs ¯ > R À 1> ¯ C{ ¯ ¯ C| ¯ es decir, Cs 0 C|

$

s  s ({) >

(9.53)

la presión no depende apreciablemente de la coordenada |.

9.2.2.

Ecuaciones de Prandtl

Como estamos considerando un flujo estacionario (9.30), el flujo invíscido que se encuentra fuera de la capa límite (llamada corriente principal) debe cumplir la ecuación de Bernoulli (7.137), 1 ¯¯  ¯¯2  ¯Y ¯ + s = fwh= 2 Por tanto, derivando (9.54) con respecto a {, obtenemos ¯ ¯  ¯¯ ¯ ¯ C ¯¯Y 1 Cs ¯ ¯ = = ¯Y ¯ C{  C{

(9.54)

(9.55)

Cuando tenemos un número de Reynolds grande, según (9.53), las derivadas parciales de (9.55) pasan a ser derivadas totales, ¯ ¯  ¯¯ ¯ ¯ g ¯¯Y 1 gs ¯ ¯  > R À 1= (9.56) ¯Y ¯ g{  g{ Además, según (9.50), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Y ¯  Y{ >

R À 1>

y fuera de la capa límite, | A , el flujo es prácticamente igual a la corriente principal X , Y{ ({> |)  X ({) > | A >

9.2. TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

439

por tanto, podemos escribir (9.56) de la siguiente manera, X

1 gs gX  > g{  g{

R À 1=

(9.57)

Obsérvese que, cuando R À 1> según (9.49),  $ 0, por lo que (9.57) es válida para | A   0= Por tanto, de acuerdo con (9.57), podemos reescribir (9.43) de la siguiente manera, Y{

C 2 Y{ gX CY{ CY{ + Y|  > X C{ C| C| 2 g{

R À 1>

(9.58)

que junto con la ecuación de continuidad, CY{ CY| + = 0> C{ C|

(9.59)

son las denominadas ecuaciones de Prandtl, propuestas por L. Prandtl en 1904. Obsérvese que, aunque R À 1, los efectos de la viscosidad  no desaparecen en (9.58), a diferencia de lo que ocurría en (8.318). Las condiciones de contorno de las ecuaciones de Prandtl son, por un lado, la condición de no deslizamiento (8.26), que, según la figura 9.3, se da sobre la superficie de la pared, | = 0, es decir, Y{ ({> 0) = Y| ({> 0) = 0>

(9.60)

y, por otro lado, la condición de que infinitamente alejado de la pared, el flujo es igual a la corriente principal, l´ım Y{ ({> |) = X ({) =

(9.61)

|$4

9.2.3.

Adimensionalización

Para escribir las ecuaciones de Prandtl (9.58) y (9.59) en términos de variables adimensionales, realicemos los siguientes cambios de variable, V{

=

V|

=



=

x = U

=

Y{ > X0 Y| s R> X0 { > O |s R> O X > X0

(9.62) (9.63) (9.64) (9.65) (9.66)

de tal manera que V{

CV{ CV{ C 2 V{ + V|  C Cx Cx2 CV{ CV| + C Cx

 U = 0=

gU > g

(9.67) (9.68)

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

440

Notemos que en la escala de las dimensiones del cuerpo, |{|  O, y de la capa límite, |||  , tenemos que las variables independientes, según (9.47), son del orden de la unidad, |{|  O> |||  

$

||  |x|  1=

(9.69)

Además, de acuerdo con (9.34) y (9.48), las variables dependientes también son del orden de la unidad, |V{ |  |V| |  1. Observemos también que las ecuaciones de Prandtl adimensionalizadas (9.67) y (9.68) no dependen del número de Reynolds. De este modo, según (9.63) y (9.65), la relación entre dos flujos con un número de Reynolds distinto es simplemente un cambio de escala.

9.3.

Ecuación de Blasius

Apliquemos las ecuaciones de Prandtl (9.67) y (9.68) al caso de una pared delgada que ocupa el semiplano | = 0, con { A 0 (de tal manera que el borde de la pared es el eje ]). De este modo, se formarán dos capas límites, una por encima y otra por debajo del semiplano, tal y como indica la figura 9.4.

Figura 9.4: Flujo viscoso sobre un semiplano. Si consideramos que la velocidad de la corriente principal es constante, X ({) = X0 = fwh>

(9.70)

las ecuaciones (9.67) y (9.68) se convierten en V{

CV{ CV{ + V| C Cx CV{ CV| + C Cx

=

C 2 V{ > Cx2

= 0=

(9.71) (9.72)

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

441

Para que se satisfaga automáticamente la ecuación de continuidad (9.72), consideremos la función corriente #, de tal manera que, C# > Cx C# =  = C

V{

=

V|

Notemos que la siguiente variable adimensional , de acuerdo con (9.64) y (9.65), no depende de la longitud característica O, r x X0 > (9.73) = s =| {  de tal manera que | = 0 $  = x = 0> ||| $ 4 $ || > |x| $ 4>

(9.74) (9.75)

y, teniendo en cuenta (9.69), |||  

$

||  1=

Observemos que el problema planteado en la figura 9.4 no tiene una longitud característica O, por lo tanto, la solución de las ecuaciones (9.71)-(9.72) debe depender de una combinación de las variables  y x que no involucre O (como por ejemplo ). Obsérvese que, si suponemos una función corriente de la forma, p (9.76) # (> x) = i () > tenemos que

C# p 0 C = i () = i 0 () > Cx Cx Análogamente, operando, llegamos a V{ =

V| = 

1 C# = s [i 0 ()  i ()] = C 2 

(9.77)

(9.78)

Observemos por un lado que V{ , según (9.62), V{ =

Y{ > X0

(9.79)

no depende explícitamente de O, en coherencia con (9.77). Por otro lado, según (9.63) y (9.64), r p { > (9.80) V| = Y| X0  tampoco depende explícitamente de O, en coherencia con (9.78). Por tanto, la elección de la función corriente dada en (9.76) es una buena elección.

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

442

Teniendo ahora en cuenta (9.79), (9.77) y (9.73), podemos determinar cuál es la componente horizontal de la velocidad, Y{ = X0 V{ = X0 i 0 () = Asimismo, aplicando (9.80), (9.78), la componente vertical es r r 1 X0  X0  p [i 0 ()  i ()] = V| = Y| = { 2 {

(9.81)

(9.82)

Veamos por último qué ecuación ha de satisfacer la función i (). A partir de (9.77) y (9.78), llegamos a CV{ C CV{ Cx C 2 V{ Cx2

 00 i () > 2 i 00 () s >  i 000 () = 

= 

(9.83)

=

(9.84)

=

(9.85)

Sustituyendo (9.77)-(9.78) y (9.83)-(9.85) en (9.71), obtenemos, finalmente, i i 00 + 2i 000 = 0=

(9.86)

La ecuación (9.86) se conoce como la ecuación de Blasius2 y fue propuesta por este autor en 1908.

9.3.1.

Condiciones de contorno

Debido a la simetría del problema (véase figura 9.4) vamos a considerar |  0, por tanto, según (9.73),   0= (9.87) La primera condición de contorno surge de la condición de no deslizamiento, tal y como se vio en (9.60), Y{ ({> 0) = Y| ({> 0) = 0>

{  0>

(9.88)

y la segunda, a partir de (9.61) y (9.70), l´ım Y{ ({> |) = X0 =

|$4

(9.89)

Veamos ahora qué condiciones imponen (9.88) y (9.89) sobre la función i . Según (9.62), (9.74) y (9.88), V{ (> 0) =

Y{ ({> 0) = 0> X0

2 P. R. H. Blasius, “Boundary Layers in Fluids with Little Friction”, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 56, 1 (1908).

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS y según (9.77) y (9.74),

443

V{ (> 0) = i 0 (0) >

por tanto,

i 0 (0) = 0=

(9.90)

Por otro lado, según (9.63), (9.74) y (9.88), V| (> 0) =

Y| ({> 0) s R = 0> X0

y, según (9.78) y (9.74), i (0) V| (> 0) = s > 2  por tanto, i (0) = 0=

(9.91)

Por último, según (9.62), (9.75) y (9.89), l´ım V{ (> x) = l´ım

x$4

|$4

Y{ ({> |) = 1> X0

y, según (9.77) y (9.75), l´ım V{ (> x) = l´ım i 0 () >

x$4

por tanto,

$4

l´ım i 0 () = 1=

$4

9.3.2.

(9.92)

Resolución de la ecuación de Blasius

Observemos que la ecuación de Blasius (9.86), i 00 i + 2i 000 = 0>

(9.93)

es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden. Para resolverla, vamos a tomar una solución en forma de serie en torno al punto  = 0, con un radio de convergencia  ˜, i () =

4 X

{q q >

 5 [0>  ˜] =

(9.94)

q=0

Nota 10 El radio de convergencia3 denota el intervalo (centrado, en nuestro caso, en  = 0) en donde una serie de potencias converge absolutamente (en nuestro caso  5 [˜ >  ˜ ]). Como, según (9.87) estamos considerando,   0 tomamos el intervalo  5 [0>  ˜] = 3 T.

M. Apostol, Calculus, vol. I, New York, 1967.

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

444

Imponiendo las condiciones de contorno i (0) = 0, (9.91), y i 0 (0) = 0, (9.90), en (9.94) resulta que i (0) = {0 = 0> i 0 (0) = {1 = 0=

(9.95) (9.96)

Análogamente, podemos definir, 1 00 i (0) = {2 = D= 2

(9.97)

Sustituyendo ahora (9.94) en la ecuación de Blasius (9.93), tenemos que Ã4 !Ã 4 ! X X q2 q 0 = {q q (q  1)  {q  (9.98) q=0 4 X

+2

q=0

{q q (q  1) (q  2) q3 =

q=0

Teniendo en cuenta que los dos y tres primeros términos del primer y tercer sumatorio de (9.98) son respectivamente nulos, podemos escribir !Ã 4 ! Ã4 X X q q 0 = {q+2 (q + 2) (q + 1)  {q  (9.99) q=0 4 X

+2

q=0

{q+3 (q + 3) (q + 2) (q + 1) q =

q=0

Como la serie dada en (9.94) converge absolutamente dentro de su radio de convergencia,  5 [0>  ˜ ], podemos aplicar el producto de Cauchy (véase Apéndice F) de dos series de potencias (F.1)-(F.3), Ã4 !Ã 4 ! 4 X X X q q = dq w eq w fq wq > q=0

q=0

con fq =

q X

q=0

dn eqn >

n=0

de tal modo que podemos escribir (9.99) como 4 X

[|q + 2{q+3 (q + 3) (q + 2) (q + 1)] q = 0>

(9.100)

q=0

con |q =

q X n=0

{n+2 (n + 2) (n + 1) {qn =

(9.101)

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

445

Para que se satisfaga (9.100) para todo , necesariamente tienen que hacerse nulos todos los coeficientes de la serie de potencias dada en (9.100), es decir, |q + 2{q+3 (q + 3) (q + 2) (q + 1) = 0> o bien, teniendo en cuenta (9.101), X 1 {n+2 (n + 2) (n + 1) {qn = 2 (q + 3) (q + 2) (q + 1) q

{q+3 =

(9.102)

n=0

Tomando q = 0> 1> 2 en (9.102) y teniendo en cuenta (9.95)-(9.97), tenemos que {3 {4 {5

{2 {0 = 0> 6 {2 {1 + 3{3 {0 = 0> =  24 D2 {2 + 3{3 {1 + 6{4 {0 = = =  2 60 60 = 

(9.103) (9.104) (9.105)

Por tanto, sustituyendo (9.95)-(9.97) y (9.103)-(9.105) en (9.94), tenemos que los primeros términos del desarrollo en serie de la función i son i () = D2 

D2 5  + ··· > 60

 5 [0>  ˜] =

(9.106)

Por otro lado, observemos que la función i () = E + F>

 5 [˜ > 4) >

(9.107)

satisface la ecuación de Blasius (9.93). Si imponemos la condición i 0 (4) = 1 (véase (9.92)) en (9.107), resulta que l´ım i 0 () = F = 1>

$4

por tanto, i () = E + >

 5 [˜ > 4) =

(9.108)

Ambas soluciones, (9.106) y (9.108), tienen que empalmar en  =  ˜ , por tanto, i (˜ ) =  ˜ + E = D˜ 2 

D2 5  ˜ + ··· 60

D 4  ˜ + ··· 12 D2 3  ˜ + ··· i 00 (˜ ) = 0 = 2D  3 i 0 (˜ ) = 1 = 2D˜ 

(9.109)

2

(9.110) (9.111)

Si truncamos la serie al orden indicado en las ecuaciones (9.109)-(9.111) (que llamaremos segundo orden, pues tomamos los dos primeros términos no nulos

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

446

en el desarrollo de (9.106)), podemos determinar D>  ˜ y E a dicho orden (que denotaremos D2 >  ˜ 2 y E2 ). Para ello, despejando de (9.111), llegamos a D2 =

6 =  ˜ 32

(9.112)

Sustituyendo (9.112) en (9.110), obtenemos  ˜ 2 = 3>

(9.113)

donde hemos escogido únicamente el signo positivo en (9.113), pues recordemos que estamos suponiendo que en (9.87)   0. Sustituyendo (9.113) en (9.112), resulta que 2 (9.114) D2 = > 9 y, sustituyendo (9.113) y (9.114) en (9.109), obtenemos 6 E2 =  = 5 Análogamente, si tomamos más términos en las ecuaciones (9.109)-(9.111), podemos calcular D>  ˜ y E para órdenes sucesivos. Observemos que para determinar Dp y  ˜ p para p A 2, tenemos que resolver el sistema de ecuaciones en (9.110) y (9.111), que es altamente no lineal. Para ello, podemos utilizar el método de Newton, tomando como punto inicial de la iteración D2 y  ˜ 2 = De este modo, obtenemos la siguiente sucesión, Dp  0> 2222; 0> 1903; 0> 1803; 0> 1757 = = =

p = 2> 4> 6> 8> = = =

(9.115)

En (9.115), hemos tomado únicamente los términos pares, pues para p impar, el sistema de ecuaciones (9.110)-(9.111) sólo tiene soluciones complejas. En la figura 9.5 se puede apreciar cómo la sucesión dada en (9.115) converge lentamente. Si tomamos como criterio de parada que la diferencia entre dos términos consecutivos sea muy pequeña, por ejemplo, |Dp  Dp+2 |  106 , tenemos que D  D278  0> 16669 

1 > 6

(9.116)

y E  E278  1> 70715=

(9.117)

De este modo, según (9.97) y (9.116), i 00 (0) 

1 = 3

(9.118)

En la figura 9.6 se representan las componentes adimensionalizadas de la velocidad de acuerdo con (9.77) y (9.78).

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

447

A 0.173

0.172

0.171

0.170

0.169

0.168

10

20

30

40

m

Figura 9.5: Representación gráfica del valor de D en función del orden p.

1.0

0.8

0.6

' 0.4

1 ' 2

0.2

1

2

3

4

5

Figura 9.6: Componentes adimensionalizadas de la velocidad V{ = i 0 () y s V| = 12 [i 0 ()  i ()] =

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

448

9.3.3.

Fuerza de rozamiento

Veamos ahora cuál es la fuerza de rozamiento que ejerce el fluido por un lado de la pared delgada que aparece en la figura 9.4. (Debido a que el flujo es simétrico con respecto a |, para determinar el rozamiento por ambas caras de la pared, basta multiplicar por 2.) Recordemos que la fuerza de rozamiento viene dada por la expresión (8.7), Z q gV> (9.119) Iroz = C

donde, en nuestro caso, la superficie C es el semiplano | = 0, con {  0; por lo que su vector normal es q = m> de tal manera que, según (8.6) y (8.8), q = w m =  ( 1 > 2 >  3 ) m =   2 =

(9.120)

De acuerdo con (8.9),   2 + CY >  2 = uY C{2 y, según la notación que hemos utilizado, ({1 > {2 > {3 ) = ({> |> }) y (Y1 > Y2 > Y3 ) = (Y{ > Y| > Y} ), podemos escribir (9.120) como ¶ μ ¸ C C C C > > Y| + (Y{ > Y| > Y} ) = (9.121) q =  2 =  C{ C| C} C| Obsérvese que el integrando de (9.119) ha de evaluarse en C, es decir, en | = 0= Como, además, según la figura 9.4, no tenemos componente de la velocidad en }> Y} = 0, según (9.121), hemos de evaluar ¶¯ μ ¯ CY{ CY| CY| + >2 > 0 ¯¯ q||=0 =  = (9.122) C{ C| C| |=0 Recordemos que las componentes de la velocidad, Y{ y Y| > vienen dadas por (9.81) y (9.82) respectivamente, es decir, Y{ ({> |) = X0 i 0 () > r 1 X0  [i 0 ()  i ()] > Y| ({> |) = 2 { donde, según (9.73),

r  ({> |) = |

(9.123) (9.124)

X0 > {

y, por tanto,  ({> 0) = 0= De este modo,

¯ C ¯¯ C{ ¯|=0 ¯ C ¯¯ C| ¯|=0

(9.125)

= 0> r =

X0 = {

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

449

Por tanto, derivando en (9.124) y teniendo en cuenta (9.125), ¯ r ¯ ¯ CY| ¯¯ 1 X0  ¯ 0 =  [i ()  i ()] ¯ ¯ C{ ¯|=0 4 {3 |=0 ¯ r ¯ 1 X0  00 C ¯ i () + ¯ 2 { C{ ¯ |=0 r 1 X0  = i (0) = 4 {3 Recordando que i (0) = 0, (9.91), resulta que ¯ CY| ¯¯ = 0= C{ ¯|=0 Análogamente,

(9.126)

¯ r ¯ 1 X0  00 C ¯¯ CY| ¯¯ i () = ¯ C| ¯|=0 2 { C| ¯

= 0>

(9.127)

|=0

y

r ¯ ¯ C ¯¯ X0 00 CY{ ¯¯ 00 i (0) = = X0 i () = X0 ¯ ¯ C| |=0 C| |=0 {

(9.128)

Por tanto, sustituyendo (9.126), (9.127) y (9.128) en (9.122), resulta que r X0 00 i (0) l= q||=0 = X0 (9.129) { Sustituyendo ahora (9.129) en (9.119) y teniendo en cuenta la definición de la viscosidad cinemática,  = @, Z q 1 00 3   s gV= Iroz = X0 i (0) l { C Tomando una superficie C de anchura d y longitud o, ({> }) 5 (0> o) × (0> d), tenemos que Z d Z o q g{ s Iroz = X03 i 00 (0) l g} { 0 0 q = 2 oX03 i 00 (0) dl= (9.130) Si consideramos los dos lados de la pared, para obtener la fuerza de rozamiento total Iroz,t , tenemos que multiplicar (9.130) por 2= De este modo, la fuerza de rozamiento total por unidad de anchura d, teniendo en cuenta (9.118), se puede expresar como q 2Iur} 4 Iroz,t =  oX03 l= (9.131) d d 3

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

450

9.3.4.

Espesor desplazado

Anteriormente, en (9.47) hemos dado una expresión para el orden de magnitud de la capa límite, O s > R donde O es la dimensión del objeto en la dirección de la corriente principal. Podemos dar una definición más rigurosa del espesor de la capa límite definiendo el espesor desplazado   . Para ello, calculemos, en primer lugar, el caudal que atraviesa una superficie V perpendicular a la dirección de la corriente principal  0 tal y como aparece en la figura 9.7. Obsérvese que X  = gV l= gV

Figura 9.7: El caudal que atraviesa la superficie V sirve para definir el espesor desplazado   .

Si la placa situada en | = 0 no ejerciera ningún rozamiento, la velocidad del flujo sería la de la corriente principal a cualquier altura | sobre la placa,

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

451

 =X  0 = X0 l. De este modo, resultaría el siguiente caudal invíscido T0 , Y Z

 · gV  Y

T0 (V) = V

Z

Z



= X0

}

g| 0 

g} 0

= X0  }=

(9.132)

Sin embargo, debido al rozamiento que ejerce la placa sobre el flujo, la veloci = Y{ l + Y| m y el caudal real es menor que el caudal invíscido. dad de éste es Y La diferencia entre ambos caudales T sobre una superficie V 0 extendida hasta una altura arbitraria sobre la placa, | $ 4, resulta ser, entonces, Z

0

T (V ) =

0

³ ´  · gV  0  Y X

ZV h i (X0  Y{ )l  Y| m · gV l = V0 }

Z

Z

4

g}

= Z

0

(X0  Y{ ) g| 0

4

(X0  Y{ ) g|=

= }

(9.133)

0

Es decir, T es el caudal perdido debido al efecto de frenado que realiza la viscosidad sobre la corriente principal. El espesor desplazado   se define como aquel para el cual T0 (V) = T (V 0 ) > por tanto, según (9.132) y (9.133), Z 

X0  =

4

(X0  Y{ ) g|=

(9.134)

0

De este modo, el efecto que tiene el frenado de las partículas de fluido cerca de la pared debido a su rozamiento con ésta se traduce en una pérdida de caudal T. Si el flujo fuera invíscido, según (9.134), esta pérdida de caudal sería la misma que desplazar la placa hacia dentro del fluido una distancia   . Por tanto, podemos interpretar   como la distancia a la que el flujo es desplazado hacia el exterior de la placa debido al efecto de frenado del fluido en la capa límite. Sustituyendo (9.81) en (9.134) y teniendo en cuenta (9.73), Z 

 = 0

4

"

à r

1  i0 |

X0 {

!# g|=

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

452 q Realizando el cambio, x = |

X0 { >

tenemos que

r



Z { 4 [1  i 0 (x)] gx X0 0 r { [x  i (x)]4 = 0 X0 r { = l´ım x  i (x) X0 x$4 =

(9.135)

donde hemos aplicado la condición de contorno (9.91), i (0) = 0. Para resolver el límite dado en (9.135), podemos aplicar (9.108), de tal modo que r r { {  1> 71 = (9.136)   = E X0 X0 donde hemos sustituido el valor obtenido en (9.117). Ejemplo 90 Por un canal cuyas paredes no son paralelas, sino que forman entre sí un ángulo , circula un caudal constante T de un líquido de viscosidad cinemática . Si k es la profundidad del líquido en el canal, determínese el campo de velocidades en la capa límite y la fuerza de rozamiento por unidad de área que ejerce el líquido sobre cada una de las paredes.

Figura 9.8: Esquema de un flujo convergente en un canal de paredes oblicuas. Si por el canal circulara un fluido ideal, de acuerdo con la figura 9.8, el caudal vendría dado por gV g{ gY =k = kc = k{X> T= gw gw gw donde X es la velocidad del fluido en régimen ideal (es decir, fuera de la capa límite) y k la profundidad del líquido en el canal. Por tanto, X ({) =

T = k{

(9.137)

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

453

Obsérvese que en la figura 9.8 se ha representado un flujo convergente, g{ ? 0> por tanto, X = g{@gw ? 0 y, según (9.137), T ? 0= Supongamos ahora que el flujo que circula por el canal tiene un número de Reynolds elevado, R À 1> de tal manera que podemos aplicar las ecuaciones de Prandtl (9.58) y (9.59), Y{

C 2 Y{ gX CY{ CY{ + Y|  > =X 2 C{ C| C| g{

(9.138)

y CY{ CY| + = 0= C{ C|

(9.139)

Para simplificar las ecuaciones de Prandtl (9.138) y (9.139), hagamos el siguiente cambio, teniendo en cuenta (9.137), T i () > k{ T j () > Y| ({> |) = X ({) j () = k{ |  = > {

Y{ ({> |) = X ({) i () =

(9.140) (9.141) (9.142)

de tal manera que CY{ C{ CY| C|

T [i ()  i 0 ()] > k{2 T 0 j () = k{2

= 

(9.143)

=

(9.144)

Sustituyendo (9.143) y (9.144) en la ecuación de continuidad (9.139), llegamos a j 0 () = i ()  i 0 () = [i ()]0 >

(9.145)

j () = i () + F=

(9.146)

por tanto, Para determinar la constante F en (9.146), observemos que, según la condición de no deslizamiento (9.60), Y| ({> 0) = 0> por tanto, de acuerdo con (9.146) y (9.147), j (0) = 0> de tal manera que F = 0>

(9.147)

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

454 y (9.146) queda j () = i () >

(9.148)

Sustituyendo (9.148) en (9.141), tenemos que Y| ({> |) =

T i () = k{

(9.149)

Por otro lado, derivando en (9.140), T 0 CY{ = i () > C| k{2

(9.150)

de tal manera que, multiplicando (9.150) por (9.149), Y|

T2 CY{ = 2 2 3 i () i 0 () = C| k  {

(9.151)

Derivando de nuevo en (9.150), T 00 C 2 Y{ = i () = C| 2 k{3

(9.152)

Además, según (9.140) y (9.143), Y{

T2 CY{ =  2 2 3 [i ()  i 0 ()] i () = C{ k  {

(9.153)

Sustituyendo (9.151), (9.152) y (9.153) en (9.138) y teniendo en cuenta (9.137), llegamos a k 00 i () = 1  i 2 () = (9.154) T Para integrar la ecuación (9.154) podemos multiplicarla por gi y reescribir i 00 de la siguiente manera, g! > i 00 () = g donde != por tanto,

gi > g

(9.155)

¡ ¢ k k g! 1  i 2 gi = gi = !g!= T g T

Integrando y teniendo en cuenta (9.155), 1 k 2 k 02 ! = i = i  i3 + F = 3 2T 2T

(9.156)

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

455

Para obtener la constante de integración F dada en (9.156), podemos aplicar la condición asintótica de contorno (9.61), en la que, infinitamente alejado de la pared (| = 0), el flujo es igual a la corriente principal, l´ım Y{ ({> |) = X ({) >

|$4

por tanto, según (9.140), l´ım X ({) i () = X ({) >

|$4

es decir, teniendo en cuenta (9.142), l´ım i () = 1=

$4

(9.157)

Obsérvese que ; 0 5 R> según (9.157), l´ım i ( +  0 )  i () = 0>

$4

por tanto, i ( +  0 )  i () = 0= $4 0 $0 0

l´ım i 0 () = l´ım l´ım

$4

(9.158)

Por consiguiente, tomando el límite cuando  $ 4 en (9.156), teniendo en cuenta (9.157) y (9.158), concluimos que 2 F= > 3 de tal manera que k 02 i 2T

1 2 = i  i3  3 3 1 2 =  (i  1) (i + 2) = 3

(9.159)

Ahora bien, la condición de no deslizamiento (9.60), Y{ ({> 0) = 0> indica, según (9.140), que i (0) = 0=

(9.160)

Por otro lado, según la figura 9.3, en la capa límite la función Y{ es monótonamente creciente en |, por tanto, de acuerdo con (9.150), T 0 CY{ = i () A 0= C| k{2

(9.161)

De este modo, dentro de la capa límite, según (9.157), (9.160) y (9.161), se cumple que

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

456

0  i () ? 1=

(9.162)

Observemos que para que se satisfaga simultáneamente (9.159) y (9.162), necesariamente T ? 0> por tanto, la capa límite sólo se forma cuando tenemos un flujo convergente (véase figura 9.8). Por consiguiente, podemos reescribir (9.159) de la siguiente manera, k 02 1 i = (i  1)2 (i + 2) = 2 |T| 3

(9.163)

Recordemos ahora que en (1.89) habíamos definido el número de Reynolds como |X | O R= >  donde |X | es la magnitud de la velocidad del flujo y O da cuenta del tamaño del sistema físico en el que se halla éste. En nuestro caso, según la figura 9.8, O  { y X viene dado por la velocidad del flujo fuera de la capa límite, es decir (9.137). Por tanto, |T| R= > (9.164) k de tal manera que (9.163) se puede escribir como i 02 =

2R (i  1)2 (i + 2) = 3

Separando variables en (9.165) e integrando, r Z 2R gi s  + F= = 3 (i  1) i + 2

(9.165)

(9.166)

Para efectuar la integral dada en (9.166), realizamos el cambio x2 = i + 2> de tal manera que Z Z gi 2gx s (9.167) =  3  x2 (i  1) i + 2 μ ¶ x 2 =  s tanh1 s (9.168) 3 3 μs ¶ 2 i +2 s = (9.169) =  s tanh1 3 3 Observemos que la integral dada en (9.167) se puede expresar como (9.168), siempre y cuando x2 ? 3> es decir, i ? 1> en concordancia con (9.162). Sustituyendo (9.169) en (9.166), μs ¶ r 2 i +2 2R 1 s  + F>  s tanh = 3 3 3

9.3. ECUACIÓN DE BLASIUS

457

y, despejando,

Ãr 2

i () = 3 tanh

R +F 2

!  2=

(9.170)

La constante de integración F se puede hallar con la condición (9.160), i (0) = 0> llegando a r 2 1 > F = tanh 3 de tal manera que (9.170) se expresa, finalmente, como Ãr r ! R 2 2 1 i () = 3 tanh  + tanh  2= (9.171) 2 3 Sustituyendo (9.171) en (9.140) y (9.141), teniendo en cuenta (9.164), obtenemos el campo de velocidades dentro de la capa límite, Ãr " # r ! T |T| 2 | Y{ ({> |) = 3 tanh2 + tanh1 2 > k{ 2k { 3 | Y| ({> |) = Y{ ({> |) > (9.172) { siendo T ? 0= La fuerza de rozamiento por unidad de superficie C, según (8.242), viene dada por ¯ gIroz ¯¯ (9.173) ¯ = q|C = gV ¯ C

En nuestro caso, la superficie C es el plano | = 0, por lo que su vector normal es q = m> de tal manera que, según (8.6) y (8.8), q = w m =  ( 1 >  2 >  3 ) m =   2 =

(9.174)

De acuerdo con (8.9),  CY > C{2 y, según la notación que hemos utilizado, ({1 > {2 > {3 ) = ({> |> }) y (Y1 > Y2 > Y3 ) = (Y{ > Y| > Y} ), podemos escribir (9.174) como ¶ μ ¸ C C C C > > Y| + (Y{ > Y| > Y} ) = (9.175) q =   2 =  C{ C| C} C|  2+ 2 = uY

Obsérvese que (9.175) ha de evaluarse en C, es decir, en | = 0= Por tanto, teniendo en cuenta que en nuestro caso Y} = 0, (9.173) se reduce a ¯ gIroz ¯¯ = q||=0 ¯ gV ¯ |=0 ¶¯ μ ¯ CY{ CY| CY| + >2 > 0 ¯¯ =  = (9.176) C{ C| C| |=0

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

458

Para evaluar (9.176), tenemos que, según (9.172), ¯ ¯ | | CY{ ¯¯ CY| ¯¯ =  2 Y{ ({> |) + = 0> C{ ¯|=0 { { C{ ¯|=0 y, según (9.150),

¯ CY{ ¯¯ T 0 = i (0) = ¯ C| |=0 k{2

(9.177)

(9.178)

Además, según (9.144), (9.145) y (9.160), ¯ ¯ T 0 ¯¯ CY| ¯¯ = j () ¯ C| ¯|=0 k{2 =0 =

T [i ()  i 0 ()]=0 = 0= k{2

Sustituyendo (9.177)-(9.179) en (9.176), resulta que ¯ gIroz ¯¯ T 0  = i (0) l= ¯ gV ¯ k{2

(9.179)

(9.180)

|=0

Ahora bien, tomando  = 0 en (9.165), teniendo en cuenta que, según (9.160), i (0) = 0> llegamos a r r R |T| 0 =2 > (9.181) i (0) = 2 3 3k donde hemos tenido en cuenta (9.164). Sustituyendo (9.181) en (9.180), concluimos que la fuerza de rozamiento por unidad de superficie sobre la pared situada en | = 0 es, ¯ r gIroz ¯¯ 2T |T|  = l> (9.182) ¯ gV ¯ k{2 3k |=0

donde recordemos que T ? 0= Obsérvese que la fuerza de rozamiento sobre la otra pared es exactamente igual a (9.182), ya que la elección del eje [ sobre una de las paredes es totalmente arbitraria. La resolución de este problema se debe a K. Pohlhausen en 1921. N

9.4. AUTOEVALUACIÓN

9.4.

459

Autoevaluación

1. Según la paradoja de d’Alembert, todo cuerpo que se desplaza en el seno de un fluido inicialmente en reposo experimenta una fuerza de arrastre nula si: a) el fluido es ideal. b) la opción a) si además el fluido es irrotacional. c) la opción b) si además el fluido es de densidad constante. d) la opción c) si el cuerpo es simétrico con respecto a la dirección de avance. 2. El espesor de la capa límite de un flujo viscoso que discurre horizontalmente y en régimen laminar sobre una placa horizontal es: a) directamente proporcional al número de Reynolds. b) inversamente proporcional al número de Reynolds. c) no depende del número de Reynolds. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 3. Las ecuaciones de Prandtl se obtienen a partir de las ecuaciones de NavierStokes cuando consideramos que: a) el flujo es irrotacional y de densidad constante. b) el flujo es bidimensional y tiene un número de Reynolds mucho más grande que la unidad. c) las opciones a) y b) simultáneamente. d) la opción c) si además el flujo es estacionario y está en régimen laminar. 4. Según la teoría de la capa límite: a) fuera de la capa límite el flujo es prácticamente igual al de la corriente principal. b) dentro de la capa límite el flujo es prácticamente igual al de la corriente principal. c) fuera de la capa límite los efectos de la viscosidad son apreciables. d) dentro de la capa límite el flujo tiene un número de Reynolds mucho más pequeño que la unidad. 5. La ecuación de Blasius surge en la resolución de: a) las ecuaciones de Prandtl para un plano. b) la capa límite de las ecuaciones de Navier-Stokes.

CAPÍTULO 9. CAPA LÍMITE

460

c) las ecuaciones de Prandtl adimensionalizadas para un semiplano. d) Ninguna de las otras opciones es correcta. 6. La ecuación de Blasius es una ecuación diferencial ordinaria: a) lineal de segundo orden. b) lineal de tercer orden. c) no lineal de segundo orden. d) no lineal de tercer orden. 7. Si tenemos un flujo laminar viscoso sobre una placa plana horizontal, el espesor desplazado: a) se corresponde con la pérdida de caudal debido al rozamiento viscoso de las partículas de fluido sobre la placa. b) coincide con la distancia que habría que desplazar la placa verticalmente hacia arriba para obtener el mismo caudal que con el mismo flujo, pero invíscido. c) se obtiene de igualar el caudal sobre la placa, suponiendo un flujo invíscido; con el caudal, suponiendo un flujo viscoso. d) es siempre mayor que el espesor de la capa límite.

Apéndice A

Funciones trigonométricas A.1.

Derivadas de las funciones trigonométricas

De acuerdo con la definición de derivada de una función i , gi i ({ + k)  i ({) = l´ım > g{ k$0 k resulta que g sin { = g{

sin ({ + k)  sin { k$0 k sin { cos k + sin k cos {  sin { = l´ım k$0 k sin k = = cos { l´ım k$0 k l´ım

(A.1)

Ahora bien, para determinar el límite dado en (A.1), no podemos aplicar ni la regla de L’Hôpital, ni infinitésimos equivalentes, ni desarrollos de Taylor, porque todos estos métodos de cálculo se basan en la derivada de la función seno, que es precisamente lo que estamos intentando saber. Sin embargo, atendiendo a la figura A.1, podemos considerar el área de los siguientes triángulos sobre la circunferencia unidad en el primer cuadrante, DRDE

=

DRFG

=

1 sin  cos > 2 1 tan > 2

y el sector circular, 1 > (A.2) 2 donde  está medido en radianes. Observemos que, según la figura A.1, se cumple que DRDE ? DRDG ? DRFG > DRDG =

461

462

APÉNDICE A. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Figura A.1: Esquema geométrico sobre la circunferencia de radio unidad para calcular el límite (sin k) @k cuando k $ 0= es decir, 1 1 1 sin  cos  ?  ? tan = 2 2 2 Dividiendo (A.3) por  A 0), obtenemos

1 2

(A.3)

sin  A 0 (pues estamos en el primer cuadrante, cos  ?

1  ? = sin  cos 

(A.4)

De la primera desigualdad de (A.4) y sabiendo que > sin  y cos  son magnitudes positivas (recordemos que estamos en el primer cuadrante), resulta que 1 sin  ? > (A.5)  cos  y análogamente para la segunda desigualdad de (A.4), sin  A cos = 

(A.6)

Por tanto, según (A.5) y (A.6) podemos escribir, para  A 0> cos  ?

sin  1 ? =  cos 

(A.7)

Observemos que (A.7) se mantiene igual para  ? 0= Por tanto, tomando límites en (A.7), resulta, finalmente, que l´ım

$0

sin  = 1= 

(A.8)

A.2. FORMA EXPONENCIAL DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS463 De este modo, sustituyendo (A.8) en (A.1), llegamos a, g sin { = cos {= g{

(A.9)

Observemos que, debido a (A.2), el valor del límite dado en (A.8) se basa en que los ángulos estén medidos en radianes y, por consiguiente, también la fórmula para la derivada de la función seno (A.9). Asimismo, para determinar la derivada del coseno, podemos aplicar (A.9) y que el seno y el coseno son iguales para ángulos complementarios, ³ ´ g sin { g{ ³ 2 ´  { > =  cos 2

g cos { = g{

es decir, g cos { =  sin {= g{

A.2.

Forma exponencial de las funciones trigonométricas

Sea un número complejo } 5 C, cuyas partes real e imaginaria son { e | respectivamente, } = { + l |> {> | 5 R= De este modo, h} = h{+l| = h{ hl| =

(A.10)

Como h{ 5 R, nuestro objetivo para evaluar (A.10) es determinar cuánto vale la exponencial de un número complejo puro, es decir, hl| > que, en general, tendrá una parte real y una parte imaginaria, hl| = i (|) + l j (|) >

(A.11)

donde i> j : R $ R son funciones reales de variable real. Suponiendo que i> j son funciones al menos dos veces derivables, tenemos que lhl| hl|

= i 0 (|) + l j 0 (|) > = i 00 (|) + l j 00 (|) =

(A.12) (A.13)

Comparando (A.11) y (A.13), resulta que i y j satisfacen la misma ecuación diferencial (ecuación del oscilador armónico), i (|) = i 00 (|) > j (|) = j 00 (|) =

(A.14) (A.15)

APÉNDICE A. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

464

Además, tomando | = 0 en (A.11) y (A.13), 1 = i (0) + l j (0) $ i (0) = 1> j (0) = 0> l = i 0 (0) + l j 0 (0) $ i 0 (0) = 0> j 0 (0) = 1=

(A.16) (A.17)

Por tanto, de acuerdo con (A.14)-(A.17), hemos de resolver la ecuación del oscilador armónico con dos condiciones diferentes, i 00 + i j00 + j

= 0> = 0>

i (0) = 1> i 0 (0) = 0> j (0) = 0> j 0 (0) = 1=

(A.18) (A.19)

Por simple inspección, una solución de i es i (|) = cos |>

(A.20)

j (|) = sin |=

(A.21)

y una solución de j es El siguiente teorema nos asegura que las soluciones (A.20) y (A.21) son únicas. Teorema 21 (Unicidad de la solución del oscilador armónico) Sean dos funciones s> t : R $ R> que satisfacen la ecuación diferencial | 00 + e| = 0 en toda la recta real, w 5 R= Si s (w) y t (w) satisfacen las mismas condiciones, s (0) = t (0) > s0 (0) = t 0 (0) > resulta que s ({) = t ({) >

w 5 R=

De este modo, sustituyendo (A.20) y (A.21) en (A.11), obtenemos hl| = cos | + l sin |=

(A.22)

Por tanto, a partir de (A.22), las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de la función exponencial, de la siguiente manera, sin { = cos { =

hl{  hl{ > 2l hl{ + hl{ = 2

(A.23) (A.24)

Apéndice B

Funciones hiperbólicas B.1.

Definiciones y propiedades básicas

El seno y el coseno hiperbólico se definen como sinh { =

h{  h{ > 2

(B.1)

cosh { =

h{ + h{ = 2

(B.2)

Las funciones hiperbólicas cumplen propiedades muy similares a las funciones trigonométricas como el seno y el coseno, por ejemplo, cosh2 {  sinh2 { = 1>

(B.3)

sinh 2{ = 2 sinh { cosh {> ³ { ´ r 1 + cosh { = > cosh 2 2

(B.4) (B.5)

que se puede comprobar fácilmente a partir de las definiciones (B.1) y (B.2). Análogamente, se pueden comprobar las siguientes propiedades con respecto a la paridad, sinh ({) =  sinh {> cosh ({) = cosh {=

(B.6) (B.7)

A partir de la forma exponencial de las funciones trigonométricas (A.23) y (A.24), se puede comprobar también fácilmente que sinh (l{) = l sin {> cosh (l{) = cos {= 465

(B.8) (B.9)

APÉNDICE B. FUNCIONES HIPERBÓLICAS

466

Llamando | = sin {> es decir, { = sin1 | en (B.8), ¡ ¢ sinh l sin1 | = l|> por tanto, sinh1 (l|) = l sin1 |=

(B.10) 1

Teniendo en cuenta (B.7) y llamando | = cos {> es decir, { = cos (B.9), ¡ ¢ ¡ ¢ cosh ±l cos1 | = cosh l cos1 | = |>

| en

es decir, cosh1 | = ±l cos1 |=

B.2.

(B.11)

Funciones hiperbólicas inversas

Para hallar la función inversa del seno hiperbólico consideremos, { = sinh | =

h|  h| h2|  1 = = 2 2h|

(B.12)

Despejando de (B.12), h2|  2{h|  1 = 0= Haciendo el cambio } = h| , obtenemos una ecuación cuadrática, } 2  2{}  1 = 0> que se puede despejar fácilmente, h| = } = { ±

p {2 + 1=

(B.13)

{ s Como h A 0 para todo { 5 R> sólo vale la solución positiva de (B.13), pues 2 { + 1 A {> ;{ 5 R. Por tanto, teniendo en cuenta (B.12) y despejando de (B.13), h i p (B.14) sinh1 { = | = log { + {2 + 1 > { 5 R=

Tomando { = ±}@d y teniendo en cuenta (B.6), # " s ±} + } 2 + d2 1 > ± sinh (}@d) = log d es decir,

p £ ¤ d exp ± sinh1 (}@d) = ± } + } 2 + d2 =

Haciendo el cambio z = l} en (B.15) y teniendo en cuenta (B.10), p £ ¤ d exp ±l sin1 (z@d) = ± lz + d2  z2 =

(B.15)

(B.16)

B.2. FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

467

De una manera análoga al procedimiento seguido para obtener (B.14), se llega a que h i p cosh1 { = log { ± {2  1 (B.17) h i p = ± log { + {2  1 > (B.18) donde el signo ± en (B.17) se debe a que la gráfica de cosh1 {> según (B.18), tiene una rama positiva y otra negativa. Para definir la inversa de cosh { como una función tenemos que elegir una de las ramas. Llamamos valor principal a la rama positiva (con +), es decir, cosh1 {  0= Todo esto se puede expresar de la siguiente manera, h i p (B.19) ± cosh1 { = log { ± {2  1 > cosh1 {  0= Realizando de nuevo el cambio { = }@d en (B.19) y despejando, llegamos a p ¤ £ (B.20) d exp ± cosh1 (}@d) = } ± } 2  d2 > cosh1 (}@d)  0= Tomando en (B.20) el signo + y aplicando (B.11), resulta, finalmente, p £ ¤ d exp ± l cos1 (}@d) = } + l d2  } 2 > cos1 (}@d) 5 [0> ] = (B.21)

Apéndice C

Funciones especiales C.1.

La integral exponencial

La integral exponencial1 se define como Z

{

Ei ({) = 4

hw gw> w

(C.1)

por lo que, realizando el cambio w = v> tenemos que Z

4

 Ei ({) = {

C.1.1.

hv gv= v

(C.2)

Desarrollo asintótico

A partir de la definición dada en (C.1), podemos descomponer la integral exponencial en los siguientes sumandos, Z

1

Ei ({) = 4 1

Z =

4

hw gw + w hw gw + w

Z

0

1 0

Z

1

hw gw + w

Z

{

hw gw w 0 Z { w Z { hw  1 h 1 gw gw + gw + > (C.3) w w 0 1 w

donde hemos sumado y restado el término, Z

{

1

gw = w

Z

0

1

gw + w

Z 0

{

gw = w

Realizando en (C.3) el cambio w = 1@x, en la primera integral y w = x, 1 N. N. Lebedev, Special Functions and their applications, Dover Publications, New York, 1972.

469

APÉNDICE C. FUNCIONES ESPECIALES

470

en la segunda y cuarta integrales, llegamos a Z 1 x Z { w Z { Z 1 1@x h h 1 h 1 gx gx  gx + gw + Ei ({) =  x x w x 0 0 0 1 Z { w Z 1 x 1@x 1h h h 1 gx + gw + log ({) = (C.4) = x w 0 0 Sabiendo que el desarrollo de Taylor de la función exponencial es hw = tenemos que

por tanto,

4 q 4 q X X w w =1+ > q! q! q=0 q=1

hw  1 X wq1 = > w q! q=1 4

Z 0

{

4 X hw  1 {q gw = = w q q! q=1

Llamando a la constante  como, Z 1 1  hx  h1@x gx= = x 0

(C.5)

(C.6)

podemos sustituir (C.5) y (C.6) en (C.4), para obtener el siguiente desarrollo asintótico de la integral exponencial, Ei ({) =  + log ({) +

4 X {q = q q! q=1

(C.7)

La constante  se denomina constante de Euler y acostumbra a definirse con el siguiente límite, Ã q ! X1  = l´ım  log q = 0> 5772157 = = = (C.8) q$4 n n=1

C.2.

La función W de Lambert

La función W de Lambert se define como la función inversa de la función, | = { h{ =

(C.9)

La función W es una función multivaluada que presenta, para valores reales, dos ramas: W0 ({) o rama principal y W1 ({). La figura C.1 muestra la representación gráfica de ambas ramas. Para dar una expresión de su desarrolo asintótico de la rama principal W0 ({), hemos de utilizar la fórmula de inversión de Lagrange que enunciamos a continuación.

C.2. LA FUNCIÓN W DE LAMBERT

471

W x 1

1

2

3

x

1

W0 x 2

W

1

x

3

4

Figura C.1: Ramas reales de la función W ({) =

C.2.1.

La fórmula de inversión de Lagrange

Supongamos que | se define como una función de { mediante una ecuación de la forma | = i ({) > (C.10) donde i es analítica en {0 y i 0 ({0 ) 6= 0. Entonces, es posible invertir (C.10) en un entorno de |0 = i ({0 ), de tal manera que { = i 1 (|) " μ ¶n # 4 X {  {0 (|  |0 )n gn1 = {0 + n! g{n1 i ({)  |0 n=1

=

(C.11)

{={0

La ecuación (C.11) se denomina fórmula de inversión de Lagrange 2 .

C.2.2.

Desarrollo asintótico

Podemos utilizar (C.11) para encontrar el desarrollo de Taylor de la función W0 ({) en un entorno de {0 = 0= (C.12) Efectivamente, según (C.10), tomamos, i ({) = { h{ > 2 G.

1999.

(C.13)

E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions. Appendix E, Cambridge Univ. Press,

APÉNDICE C. FUNCIONES ESPECIALES

472

que es una función analítica y donde |0 = i ({0 ) = 0> i ({0 ) = [({ + 1) h{ ]{=0 = 1 6= 0=

(C.14)

0

Por tanto, según (C.12), (C.13) y (C.14), " μ ¶n # ¸  n1 {  {0 g gn1 n{ = h g{n1 i ({)  |0 g{n1 {=0 {={0 i h n1 n{ = (n) h

{=0

n1

= (n)

=

(C.15)

Sustituyendo (C.12), (C.14) y (C.15) en (C.11), tenemos que i 1 (|) =

4 X (n)n1

n!

n=1

Tomando dn =

|n =

(C.16)

(n)n1 n (1)n1 nn2 n | = | > n! (n  1)!

según el criterio del cociente3 , para que (C.16) sea convergente, necesariamente O ? 1> donde ¯ ¯ ¯ dn+1 ¯ ¯ O = l´ım ¯¯ n$4 dn ¯ ¯ ¯ ¯ (1)n (n + 1)n1 | n+1 ¯ (n  1)! ¯ ¯ = l´ım ¯ ¯ n$4 ¯ n! (1)n1 nn2 | n ¯ ¯μ ¶n1 ¯¯ ¯ 1 ¯ ¯ = l´ım ¯ 1 + | ¯ = h ||| = ¯ n$4 ¯ n De este modo, el radio de convergencia de (C.16) es ||| ?

1 = h

(C.17)

Por consiguiente, según (C.16) y (C.17), tenemos el siguiente desarrollo asintótico de la función W0 de Lambert, W 0 (|) =

4 X (n)n1 n=1

n!

|n >

||| ?

3 8 = }  }2 + }3  }4 + · · · 2 3 3 T.

M. Apostol, Calculus, vol. I, New York, 1967.

1 = h

Apéndice D

Ecuaciones algebraicas D.1.

Resolución de la ecuación cúbica

Cualquier ecuación cúbica con coeficientes reales se puede expresar como } 3 + d } 2 + e } + f = 0>

(D.1)

donde d> e> f 5 R= Haciendo en (D.1) el cambio, d } ={ > 3 obtenemos la ecuación cúbica sin el término cuadrático, {3 ± 3 { + 2 = 0>

(D.2)

donde  A 0 y d2 > 3 2d3 de  + f= 27 3

±3 = e  2

=

(D.3)

Realizando en (D.2) el cambio, { = x + y>

(D.4)

x3 + y 3 + 3 (x + y) (xy ± ) + 2 = 0=

(D.5)

llegamos a La ecuación (D.5) se cumple si x y y satisfacen x3 + y 3 + 2 = 0> xy ±  = 0= 473

(D.6) (D.7)

APÉNDICE D. ECUACIONES ALGEBRAICAS

474

Resolviendo (D.7) obtenemos y = @x>

(D.8)

y, sustituyendo (D.8) en (D.6), llegamos a x6 + 2x3 3 = 0=

(D.9) 3

La ecuación (D.9) es una ecuación cuadrática en x que fácilmente se puede resolver, obteniendo q (D.10) x3 =  +  2 ± 3 > de tal modo que, sustituyendo (D.10) en (D.8), q 3 (D.11) y 3 = 3 =    2 ± 3 = x A pesar de que en (D.10) y (D.11) se ha escogido el signo positivo en las raíces, no se pierde ninguna solución con esta elección. Hallando las raíces cúbicas en (D.10) y (D.11), tenemos el siguiente conjunto de soluciones, ¶1@3 μ q 2 3  +  ±  > x1 = ¶ μ s ´ 1³ 2l = 1 + 3l x1 > x2 = x1 exp 3 2 ¶ μ s ´ 1³ 2l =  1 + 3l x1 > x3 = x1 exp  3 2 y μ ¶1@3 q 2 3    ±  > y1 = ¶ μ s ´ 1³ 2l =  1 + 3l y1 > y2 = y1 exp  3 2 ¶ μ s ´ 1³ 2l = 1 + 3l y1 = y3 = y1 exp 3 2 De acuerdo con (D.4), tenemos que las tres soluciones de la ecuación cúbica son {1

{2

{3

= x1 + y1 μ ¶1@3 μ ¶1@3 q q =  +  2 ± 3 +    2 ± 3 > = x2 + y2 1 =  (x1 + y1 ) + 2 = x3 + y3 1 =  (x1 + y1 )  2

(D.12)

s 3l (x1  y1 ) > 2

(D.13)

s 3l (x1  y1 ) = 2

(D.14)

D.1. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CÚBICA

D.1.1.

475

Solución en términos de funciones elementales

A partir de las siguientes identidades, obtenidas en (B.15), (B.16), (B.20) y (B.21), ³ { ´i h p = ± { + {2 + d2 > d exp ± sinh1 (D.15) d ´i ³{ ³{´ h p = { ± {2  d2 > cosh1  0> (D.16) d exp ± cosh1 d d ³ { ´i h p = ± l{ + d2  {2 > d exp ± l sin1 (D.17) d ³ { ´i ³{´ h p = { + l d2  {2 > cos1 5 [0> ] > (D.18) d exp ± l cos1 d d las soluciones dadas en (D.12)-(D.14) se pueden reescribir de una manera mucho más conveniente1 . Por ejemplo, podemos reescribir la solución dada en (D.12), cuando escogemos el signo +> usando la identidad (D.15). Efectivamente, tomando d2 = 3 y { = > ¶1@3 μ ¶1@3 μ q q 2 2 3 3 {1 =  +  +   +  + μ ¶¾ ½ s  1 1 (D.19) =  exp  sinh 3 3@2 μ ¶¾ ½ s  1 sinh1   exp = 3 3@2 Según la definición (B.1), 2 sinh x = hx  hx > podemos reescribir (D.19) como μ ¶¾ ½ s  1 sinh1 {1 = 2  sinh = 3 3@2 De una manera análoga, utilizando (D.15)-(D.18), podemos distinguir los siguientes casos: Caso I Signo + en (D.2) con  A 0. Una raíz real y dos complejas, μ ¶ s  {1 = 2  sinh > 3 ½ μ ¶ μ ¶¾ s s   {2>3 = ± l 3 cosh >  sinh 3 3 ¡ ¢ donde  = sinh1 3@2 = Caso II Signo  en (D.2) con  2 3 A 0= Una raíz real y dos raíces complejas, μ ¶ s  > {1 = 2  cosh 3  μ ¶ μ ¶¸ s s   {2>3 = ± l 3 sinh >  cosh 3 3 1 J. P. McKelvey, “Simple trascendental expressions for the roots of cubic equations”, Am. J. Phys. 52, 3 (1984).

APÉNDICE D. ECUACIONES ALGEBRAICAS

476

¡ ¢ donde  = cosh1 3@2  0= Caso III Signo  en (D.2) con  2  3 ? 0= Tres raíces reales, μ ¶ s  > {1 = 2  cos 3 ½ μ ¶ μ ¶¾ s s   {2>3 = ± 3 sin >  cos 3 3

(D.20) (D.21)

¡ ¢ donde  = cos1 3@2 5 [0> ] = El último caso, en el que todas las raíces son reales, se puede expresar de una forma más compacta. Utilizando la forma exponencial de las funciones seno y coseno, (A.23) y (A.24), y agrupando términos, podemos reescribir (D.21) como à à " s ! s !# s 3l 3l 1 1 l@3 l@3 {2>3 =

+h ±  h 2 2 2 2 i s h l@3 l@3  h h + hl@3 h±l@3 = =

1 2

Teniendo en cuenta que la parte real de un número complejo es Re } = (} + }¯) > ¶¸  μ s   = (D.22) {2>3 = 2  Re exp l 3 Multiplicando por hl = 1 en (D.22), ¶¾ ½ μ s  + 2 (n  1) {n = 2  Re exp l 3 ¶ μ s  + 2 (n  1) = 2  cos > 3

donde n = 2> 3= Teniendo en cuenta (D.20), podemos expresar todas las soluciones del caso III como ¶ μ s  + 2q > {q = 2  cos 3 donde q = 0> 1> 2=

D.2.

Ecuación de cuarto grado

Cualquier ecuación de cuarto grado con coeficientes reales se puede expresar como } 4 + d} 3 + e} 2 + f} + g = 0> (D.23)

D.2. ECUACIÓN DE CUARTO GRADO

477

donde d> e> f> g 5 R. Realizando en (D.23) el cambio, d } ={ > 4 resulta un polinomio cuártico sin el término cúbico, {4 + s} 2 + t} + u = 0>

(D.24)

donde 3 s =  d2 + e> 8 d3 de   f> t = 8 2 3d4 d2 e df u =  +  + g= 256 16 4 La idea de Descartes2 consiste en factorizar el polinomio cuártico dado en (D.24) en dos polinomios cuadráticos de la siguiente manera, ¡ 2 ¢¡ ¢ { + { +  {2  { +  = 0> (D.25) donde, identificando los coeficientes de (D.24) y (D.25), tenemos que s =  +   2 > t =  (  ) > u = =

(D.26) (D.27) (D.28)

Obsérvese que la factorización dada en (D.25) ha sido posible porque (D.24) no tiene término cúbico. Para despejar , podemos, a partir de (D.26) y (D.27), hacer lo siguiente, ¢2 ³ t ´2 ¡ = ( + )2  (  )2 s + 2   = 4 = 4u> (D.29) donde hemos tenido en cuenta (D.28). Multiplicando por 2 en (D.29) tenemos que ¡ ¢ 2 s2 + 2s2 + 4  t 2 = 4u2 > es decir,

¡ ¢ 6 + 2s4 + s2  4u 2  t 2 = 0=

(D.30)

2

La ecuación (D.30) es una ecuación cúbica en  y por tanto se puede resolver con el método dado en la sección D.1. Una vez hallada una solución  de (D.30), podemos hallar  a partir de (D.26) y (D.27), s + 2 t  2 R.

=  + >

(D.31)

=   >

(D.32)

Descartes, La Geometría, IPN y Limusa, México, 1637.

APÉNDICE D. ECUACIONES ALGEBRAICAS

478

de tal manera que sumando (D.31) y (D.32), obtenemos =

t´ 1³ s + 2 + = 2 

Una vez conocido , a partir de (D.28), resulta que =

u = 

Conocidos ,  y , podemos resolver cada uno de los polinomios cuadráticos dados en (D.25), obteniendo, finalmente, {1>2

=

{3>4

=

´ p 1³  ± 2  4 > 2 ´ p 1³  ± 2  4 = 2

Apéndice E

Operadores en coordenadas cilíndricas E.1.

Las coordenadas polares

De acuerdo con la figura E.1, el cambio de coordenadas polares (u> ) a coordenadas cartesianas ({> |) viene dado por { = u cos > | = u sin = Mientras que el cambio de coordenadas cartesianas ({> |) a coordenadas polares (u> ) viene dado por p {2 + |2 > (E.1) u = ³|´ = (E.2)  = tan1 { Por tanto, derivando u con respecto a { e |> Cu C{

=

Cu C|

=

{ p = cos > 2 { + |2 | p = sin > {2 + | 2

y, derivando  con respecto a { e |> μ ¶ 1 | | sin  C = > = 2 = C{ 1 + |2 @{2 {2 { + |2 u μ ¶ 1 { 1 cos  C = = 2 = = C| 1 + |2 @{2 { { + |2 u 479

(E.3) (E.4)

(E.5) (E.6)

480

APÉNDICE E. OPERADORES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Figura E.1: Un punto S puede expresarse en coordenadas cartesianas ({> |) o en coordenadas polares (u> ) = El vector unitario radial hu viene dado por hu

{ u | = l + m u u u = cos  l + sin  m=

=

(E.7)

Según la figura E.1, el vector unitario tangencial h = ({ > | ) es perpendicular a hu > por tanto, h · hu = 0> es decir, { cos  + | sin  = 0=

(E.8)

Además, h es un vector unitario, {2 + |2 = 1=

(E.9)

{ =  tan  | >

(E.10)

Despejando de (E.8), y sustituyendo en (E.9),

¢ ¡ |2 1 + tan2  = 1=

Sabiendo que 1 + tan2  = 1@ cos2 , resulta que | = ± cos =

(E.11)

Elegimos el signo + en (E.11), para estar de acuerdo con la figura E.1. Sustituyendo (E.11) en (E.10), queda { =  sin = Por tanto, h =  sin  l + cos  m=

(E.12)

E.2. GRADIENTE

481

Multiplicando por cos  y  sin  las ecuaciones (E.7) y (E.12), respectivamente, y sumando el resultado, obtenemos l = cos  hu  sin  h =

(E.13)

Multiplicando por sin  y cos  las ecuaciones (E.7) y (E.12) respectivamente, y sumando el resultado, obtenemos, m = sin  hu + cos  h =

(E.14)

A partir de las ecuaciones (E.7) y (E.12), podemos observar que la matriz de cambio de base F que transforma vectores de coordenadas polares a coordenadas cartesianas es μ ¶ cos   sin  F= = (E.15) sin  cos  Cuando tenemos un sistema de coordenadas cilíndricas: hu > h > n, en donde la coordenada } es la misma que en las coordenadas cartesianas, la matriz de cambio de base resulta ser 3 4 cos   sin  0 F = C sin  cos  0 D = (E.16) 0 0 1

E.2.

Gradiente

Sea un campo escalar i : R2 $ R. Según la regla de la cadena y teniendo en cuenta (E.3) y (E.5), tenemos que la derivada parcial de i con respecto a { es Ci C{

= =

Ci Cu Ci C + Cu C{ C C{ Ci sin  Ci cos   = Cu C u

(E.17)

Teniendo en cuenta (E.4) y (E.6), la derivada parcial con respecto a | resulta ser Ci C|

= =

Ci Cu Ci C + Cu C| C C| Ci cos  Ci sin  + = Cu C u

(E.18)

Sabiendo que el gradiente en coordenadas cartesianas es  = Ci l + Ci m> ui C{ C|

(E.19)

sustituyendo (E.13), (E.14), (E.17) y (E.18) en (E.19) y simplificando, obtenemos el gradiente en coordenadas polares,  = Ci hu + 1 Ci h = ui Cu u C

(E.20)

APÉNDICE E. OPERADORES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

482

Cuando tenemos un sistema de coordenadas cilíndricas: hu > h > n, en donde la coordenada } es la misma que en las coordenadas cartesianas, el gradiente resulta ser  = Ci hu + 1 Ci h + Ci n= ui (E.21) Cu u C C}

E.3.

Divergencia

Si tenemos un campo vectorial bidimensional I , lo podemos expresar en coordenadas cartesianas y polares, I = I{ l + I| m = Iu hu + I h =

(E.22)

Sustituyendo (E.13) y (E.14) en (E.22) e igualando componentes, llegamos a I{ I|

= Iu cos   I sin > = Iu sin  + I cos =

(E.23) (E.24)

Como, según (E.17), CI{ CI{ sin  CI{ = cos   > C{ Cu C u teniendo en cuenta (E.23) y operando, resulta que CI{ C{

C sin  C (Iu cos   I sin )  (Iu cos   I sin ) Cu u C μ ¶ sin2  CIu CI + Iu + = (E.25) = cos2  Cu u C

= cos 

Análogamente, cos2  CIu CI| = sin2  + C| Cu u

μ ¶ CI Iu + = C

(E.26)

Por tanto, según (E.25) y (E.26), la divergencia en coordenadas polares se puede expresar como μ ¶ CI{ CI| 1 C (uIu ) CI  div I = + = + = C{ C| u Cu C Por consiguiente, la divergencia en coordenadas cilíndricas es μ ¶ CI} 1 C (uIu ) CI + + = div I = u Cu C C}

(E.27)

E.4. ROTACIONAL

E.4.

483

Rotacional

Si tenemos un campo vectorial tridimensional I > según la definición de rotacional (4.83), tenemos que ¶ μ ¶ μ ¶ μ CI|  CI{ CI}  CI| CI{  CI}   l+  m+  n= (E.28) rot I = C| C} C} C{ C{ C| Calculemos la primera componente de (E.28), ¶ μ CI|  CI}  l= D= C| C}

(E.29)

Observemos que, aplicando (E.18), obtenemos CI} CI} cos  CI} = sin  + > C| Cu C u

(E.30)

y, aplicando (E.24), obtenemos CI| CIu CI = sin  + cos = C} C} C}

(E.31)

Sustituyendo (E.30), (E.31) y (E.13) en (E.29) y operando, resulta que ¶ ¶¸  μ μ CIu CI CI} 1 CI} 2  + cos   hu (E.32) D = sin  cos  Cu C} u C C} ¶ μ ¶¸  μ CIu 1 CI} CI CI}  + cos  sin   h = + sin2  Cu C} u C C} Análogamente, para la segunda componente, ¶ μ CI{ CI}   m E = C} C{  μ ¶ ¶¸ μ CI} CIu CI 1 CI} =  sin  cos   + sin2   hu (E.33) Cu C} u C C} ¶ μ ¶¸  μ CIu 1 CI} CI CI}   cos  sin   h > + cos2  Cu C} u C C} y para la tercera componente, F

= =

¶ CI{  CI|  n C{ C| μ ¶ 1 C (uI ) CIu   n= u Cu C

μ

(E.34)

Sustituyendo (E.32), (E.33) y (E.34) en (E.28), tenemos finalmente que el rotacional en coordenadas cilíndricas es ¶ ¶ μ ¶ μ μ CI CI} CIu 1 C (uI ) CIu  1 CI}   hu +  h +  n= rot I = u C C} C} Cu u Cu C (E.35)

484

APÉNDICE E. OPERADORES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Una manera más compacta de escribir (E.35) es ¯ ¯ hu ¯ 1  rot I = ¯¯ C@Cu u¯ Iu

uh C@C uI

n C@C} I}

E.5.

Laplaciano

E.5.1.

Laplaciano de un campo escalar

¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯

(E.36)

Para hallar la derivada parcial segunda con respecto a { podemos aplicar la regla de la cadena teniendo en cuenta (E.3) y (E.5), C2i C{2

= = =

μ ¶ C Ci C{ C{ μ ¶ μ ¶ C Ci Cu C Ci C + Cu C{ C{ C C{ C{ μ ¶ μ ¶ C Ci sin  C Ci cos   = Cu C{ C C{ u

(E.37)

Teniendo en cuenta (E.17), evaluemos, en primer lugar, C Cu

μ

Ci C{

¶ = =

Análogamente, μ ¶ C Ci = C C{ =

μ ¶ C Ci Ci sin  cos   Cu Cu C u 2 2 C i C i sin  Ci sin  + cos   = Cu2 CuC u C u2

μ ¶ C Ci Ci sin  cos   C Cu C u 2 Ci C 2 i sin  Ci cos  C i cos   sin   2  = CCu Cu C u C u

(E.38)

(E.39)

Sustituyendo (E.38) y (E.39) en (E.37) y agrupando términos, C2i C{2

μ

¶ C2i C 2 i sin  Ci sin  + = cos   cos  Cu2 CuC u C u2 ¶ μ 2 Ci C 2 i sin  Ci cos  sin  C i cos   sin   2   CCu Cu C u u C u 2 2 2 C C2i C i i sin  sin 2 + 2 = cos2   (E.40) Cu2 CuC u C u2 Ci sin2  Ci sin 2 + + = Cu u C u2

E.5. LAPLACIANO

485

Podemos repetir el mismo tipo de cálculo para la derivada parcial segunda con respecto a |, obteniendo C2i C2i C 2 i sin 2 C 2 i cos2  Ci cos2  Ci sin 2 2 + 2 +  = sin  + = (E.41) C| 2 Cu2 CuC u u Cu u C u2 C De esta manera, según (E.40) y (E.41), el laplaciano en coordenadas polares resulta ser u2 i

= =

C2i C2i + 2 2 C{ C| 2 C i 1 C2i 1 Ci = + 2 2 + 2 Cu u C u Cu

(E.42)

Podemos escribir más compactamente (E.42) de la siguiente manera, 1 C u i= u Cu 2

μ ¶ Ci 1 C2i u + 2 2= Cu u C

(E.43)

Cuando tenemos un sistema de coordenadas cilíndricas: hu > h > n, en donde la coordenada } es la misma que en las coordenadas cartesianas, el laplaciano resulta ser μ ¶ Ci 1 C2i 1 C C2i u + 2 2 + 2= u2 i = (E.44) u Cu Cu u C C}

E.5.2.

Laplaciano de un campo vectorial

Para determinar el laplaciano de un campo vectorial tridimensional I , podemos aplicar la propiedad (4.107) de tal manera que ³ ´ ³ ´  div I  rot rot I = u2 I = u

(E.45)

De acuerdo con la expresión para el gradiente y la divergencia en coordenadas cilíndricas, (E.21) y (E.27), tenemos que ´ ´ ´ 1 C ³ C ³ C ³ div I hu + div I h + div I n u C μ C} ¶¸ Cu 2 C 2 I} 1 C (uIu ) CI hu C (uIu ) C 2 I + u  + + = 2 Cu CuC C}Cu u Cu C u ¸  μ 2 ¶ 2 2 1 C (uIu ) C I C I} h + (E.46) + + u CuC C}C u C2 ¶ ¸  μ 2 C 2 I}  1 C (uIu ) C 2 I + + n= + u CuC} CC} C}C

³ ´  div I = u

486

APÉNDICE E. OPERADORES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Por otro lado, de acuerdo con (E.35) y (E.36), tenemos que ¯ ¯ ¯ ¯ n hu uh ¯ ¯ ³ ´ 1¯ ¯  C@Cu C@C C@C} rot rot I = ¯ ³ ´ ¡ CIu ¢ 1 C(uI ) CIu ¯¯ u ¯ 1 CI} CI CI} ¯ u C  C} u C}  Cu  C ¯ u Cu  μ 2 ¶¸ ¶ μ 1 C (uIu ) C 2 Iu hu C 2 Iu C 2 I} =  (E.47) u  2 u CuC C} 2 CuC} u C μ ¶ μ ¶¸  2 C 2 I C 1 CIu 1 C I} C 1 C (uI )  + h +  u CC} C} 2 Cu u Cu Cu u C ¶ μ ¶ ¸  μ CIu C CI} 1 C 2 I} C C 2 I n u  u  = + + Cu C} Cu Cu u C2 C}C u Sustituyendo (E.46) y (E.47) en (E.45) y simplificando, llegamos a μ ¶ ¸  CIu 1 C 2 Iu C 2 Iu Iu 2 CI 1 C u2 I = u + 2 hu +  2  2 u Cu Cu u C2 C} 2 u u C μ ¶ ¸  CI 1 C 2 I 1 C C 2 I I 2 CIu u + 2 h + +  2 + 2 u Cu Cu u C2 C} 2 u u C μ ¶ ¸  CI} 1 C 2 I} 1 C C 2 I}  u + 2 n= + + u Cu Cu u C2 C} 2 Teniendo en cuenta la expresión obtenida para el laplaciano de un campo escalar (E.44), podemos escribir más simplificadamente, ¶ ¶ μ μ Iu 2 CI I 2 CIu 2 2 2 hu + u I  2 + 2 h + u2 I}n= u I = u Iu  2  2 u u C u u C (E.48)

E.6.

³ ´  Operador q · u I

Sea un campo vectorial tridimensional I , el cual podemos expresar tanto en coordenadas cartesianas como cilíndricas, I

= I{ l + I| m + I} n = Iu hu + I h + I} n>

y un vector q> expresado en coordenadas cilíndricas, q = qu hu + q h + q} n=

(E.49)

Según la definición que dimos en (4.81), tenemos que, en coordenadas cartesianas, ´ ´ ´ ³ ´ ³ ³ ³  I = q · uI  { l + q · uI  | m + q · uI  } n= q · u (E.50)

³ ´  ·u  I E.6. OPERADOR Q

487

Veamos la primera componente de (E.50). Según (E.21) tenemos que  { = CI{ hu + 1 CI{ h + CI{ n= uI Cu u C C}

(E.51)

Teniendo en cuenta (E.23), resulta que CI{ Cu CI{ C CI{ C}

CIu CI  sin  > μCu ¶Cu μ ¶ CIu CI = cos   I  sin  + Iu > C C CIu CI = cos   sin  = C} C}

= cos 

Por tanto, según (E.49) y (E.51)-(E.54), concluimos que ¶ μ CI CIu  { =  sin  qu q · uI cos  Cu Cu  μ ¶ μ ¶¸ CIu CI q  I  sin  + Iu + cos  C C u ¶ μ CI CIu  sin  q} = + cos  C} C} Análogamente,  | q · uI

=

¶ μ CI CIu + cos  qu sin  Cu Cu  μ ¶ μ ¶¸ CIu CI q  I + cos  + Iu + sin  C C u ¶ μ CI CIu + cos  q} = + sin  C} C}

(E.52) (E.53) (E.54)

(E.55)

(E.56)

Sustituyendo en (E.50) los resultados (E.55), (E.56) y las expresiones de los vectores l y m dadas en (E.13) y (E.14), operando llegamos a μ ¸ ¶  ³ ´ q CIu CIu CIu   q · u I = +  I + q} hu (E.57) qu Cu u C C} μ ¸  ¶ q CI CI CI + + Iu + q} h + qu Cu u C C} ´ ³  } n= + q · uI Teniendo en cuenta la expresión dada para el gradiente en coordenadas cilíndricas (E.21), podemos expresar más abreviadamente (E.57), ´ ´ ³ ´ ³ ³  I =   + q Iu h (E.58)  u  q I hu + q · uI q · u q · uI u ´u ³   + q · uI} n=

488

E.7.

APÉNDICE E. OPERADORES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Tensor de esfuerzo viscoso

Llamemos³a los vectores de la base de un sistema de coordenadas cartesiano ´ (h1 > h2 > h3 ) = l> m> n = De este modo, podemos expresar el campo de velocidades  en el seno de un fluido de la siguiente manera, Y  = Y1 h1 + Y2 h2 + Y3 h3 = Y Según (8.5), los elementos de matriz del tensor de esfuerzo viscoso en coordenadas cartesianas vienen dados por (l> m = 1> 2> 3) > ¶ μ CYl CYm = (E.59) + lm =  C{m C{l Observando (E.59) podemos darnos cuenta de que la matriz del tensor de esfuerzo viscoso es simétrica, pues lm =  ml = Para expresar (8.5) de una manera alternativa, calculemos, de acuerdo con (E.50), lo siguiente, ´ ³ ´ ³  Y  1 > hm · uY  2 > hm · uY  3  = hl · hm · uY hl · hm · u μ ¶ CY1 CY2 CY3 CYl = hl · > > = = C{m C{m C{m C{m Por tanto,

h ³ ´ ³ ´ i  Y  Y  + hm · hl · u  = lm =  hl · hm · u (E.60) ³ ´ En coordenadas cartesianas tenemos que (h1 > h2 > h3 ) = l> m> n y (Y1 > Y2 > Y3 ) = (Y{ > Y| > Y} ) = Los elementos de matriz del tensor de esfuerzo viscoso vienen dados por las siguientes expresiones, CY{ > C{ CY| >  || = 2 C| CY} > }} = 2 C} μ ¶ CY{ CY|  {| =  |{ =  + > C| C{ ¶ μ CY{ CY}  {} =  }{ =  + > C} C{ ¶ μ CY} CY|  |} =  }| =  + = C} C| ³ ´ En coordenadas cilíndricas tenemos que (h1 > h2 > h3 ) = hu > h > n y (Y1 > Y2 > Y3 ) = (Yu > Y > Y} ) = De acuerdo con (E.60), para calcular el primer elemento de matriz en el tensor de esfuerzo viscoso uu , podemos tomar en (E.58) el vector  {{

= 2

E.7. TENSOR DE ESFUERZO VISCOSO q = hu = (1> 0> 0) > uu

489

³ ´  Y  = 2 hu · hu · u ´ ³  u > hu · uY   > hu · uY  } = = 2 hu · hu · uY

Conociendo la expresión del gradiente en cilíndricas (E.21), tenemos que ¶ μ CYu CY CY}  uu = 2 hu · > > Cu Cu Cu CYu = 2 = Cu Si queremos calcular   , tendremos que tomar en (E.58) como vector q = h = (0> 1> 0) > de tal modo que ³ ´  Y    = 2 h · h · u ¶ μ  u  Y > h · uY   + Yu > h · uY  } = 2 h · h · uY u u ¶ μ Y 1 CY Yu 1 CY} 1 CYu  > + > = 2 h · u C u u C u u C μ ¶ 2 CY = + Yu = u C Análogamente, se pueden determinar todos los demás elementos de matriz del tensor de esfuerzo viscoso. A continuación se presentan conjuntamente todos los elementos de matriz del tensor de esfuerzo viscoso en coordenadas cilíndricas, CYu > Cu μ ¶ 2 CY + Yu > u C CY} > 2 C}  μ ¶ ¸ 1 CYu C Y + > u =  u Cu u u C ¶ μ CY} CYu + > }u =  C} Cu ¶ μ 1 CY} CY + = } =  C} u C

 uu

= 2

(E.61)



=

(E.62)

 }}

=

u

=

 u}

=

}

=

Si expresamos el tensor de esfuerzo viscoso como 3 4  u =  C   D >  }

(E.63) (E.64) (E.65) (E.66)

490

APÉNDICE E. OPERADORES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

tenemos que  u   }

μ ¶ ¶ μ 1 CYu CYu CY} CYu C Y >u + > + > (E.67) = 2 Cu Cu u u C C} Cu μ ¶ μ ¶ ¶ μ 1 CYu 2 CY 1 CY} CY C Y + > + Yu > + > (E.68) = u Cu u u C u C C} u C ¶ μ CY} CY 1 CY} CY} CYu + > + >2 = (E.69) = C} Cu C} u C C}

Apéndice F

Producto de Cauchy Definición 16 Se define el producto de Cauchy de las series 4 X

dq >

q=0

4 X

eq >

(F.1)

q=0

como la serie

4 X

fq >

(F.2)

dn eqn =

(F.3)

q=0

donde fq =

q X n=0

Teorema 22 (Mertens) El producto de dos series absolutamente convergentes D=

4 X

dq >

E=

q=0

4 X

eq >

q=0

converge al producto de Cauchy de dichas series. Demostración. Las sumas parciales de cada una de las series son Dv Ev

v X

=

q=0 v X

=

dq = d0 + d1 + · · · + dv > eq = e0 + e1 + · · · + ev >

q=0

de tal manera que su producto es Dv Ev

=

d0 e0 + d0 e1 + · · · + d0 ev +d1 e0 + d1 e1 + · · · + d1 ev +··· + +dv e0 + dv e1 + · · · + dv ev = 491

(F.4)

APÉNDICE F. PRODUCTO DE CAUCHY

492

Podemos agrupar los términos de (F.4) de forma diagonal, de tal manera que, definiendo los coeficientes, f0 f1 .. .

= d0 e0 > = d0 e1 + d1 e0 > .. = .

fq

= d0 eq + · · · + dq e0 =

q X

dn eqn >

(F.5)

dvn evq+n >

(F.6)

n=0

y g0 g1 .. .

= dv ev > = dv ev1 + dv1 ev > .. = .

gq

= dv evq + · · · + dvq ev =

q X n=0

resulta que

v X

Dv Ev =

fq +

q=0

v1 X

gq =

q=0

Observemos que, según (F.6), l´ım gq = l´ım

v$4

v$4

q X

dvn evq+n = 0>

n=0

pues las series son absolutamente convergentes y, por tanto, l´ım dv = l´ım ev = 0=

v$4

v$4

Por tanto, tomando límites en (F.4), teniendo en cuenta (F.7), DE = l´ım Dv Ev = v$4

4 X

fq >

q=0

donde fq viene dado por (F.5), tal y como queríamos demostrar.

(F.7)

Apéndice G

Aceleración de Coriolis G.1.

Movimiento circular uniforme

Supongamos una partícula que sigue una trayectoria circular de radio U, tal  , siendo tangente a la circunferencia, y como indica la figura G.1. La velocidad Y es perpendicular en todo momento al radio U. Según la figura G.1, cuando la partícula se mueve de D a E, recorre una longitud v = U || > por tanto, sabiendo que U permanece constante, ¯ ¯ ¯ ¯ gv ¯ g ¯ ¯ ¯ = U ¯¯ ¯¯ = U= (G.1) ¯Y ¯ = gw gw La cantidad = |g@gw| se denomina velocidad angular. Sus unidades en el S.I. son rad s1 . La figura G.2 representa el mismo movimiento circular que la figura G.1,  está considerando el eje ] como eje de rotación. El vector velocidad angular sobre el eje ], estando orientado hacia arriba cuando la partícula gira en sentido antihorario ¯ ¯ (y viceversa), y siendo su magnitud coincidente con la velocidad ¯ ¯  de la partícula en un angular ¯ ¯ = = g@gw. Obsérvese que la velocidad Y punto E de su trayectoria viene dada por gu  =  × u= =Y gw

(G.2)

 es perpendicular Para verificar (G.2), obsérvese que según (G.2), el vector Y  al plano que definen y u> y por tanto tangente a la trayectoria en E. Por  (hacia arriba cuando la partícula gira en otro lado, según la orientación de   . Además, tomando sentido antihorario), el sentido de ׁu coincide con el de Y módulos en (G.2), ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |u| sin  = U> ¯Y ¯ = ¯ × u¯ = ¯ llegamos a la misma expresión que en (G.1). 493

494

APÉNDICE G. ACELERACIÓN DE CORIOLIS

Figura G.1: Movimiento circular uniforme.

Figura G.2: Movimiento circular uniforme donde el eje ] es el eje de rotación.

G.2. MOVIMIENTO RELATIVO DE ROTACIÓN UNIFORME

G.2.

495

Movimiento relativo de rotación uniforme

De acuerdo con la figura G.3, consideremos un sistema de referencia fijo [\ ] con origen R (p. ej. el centro de la Tierra); y otro móvil [ 0 \ 0 ] 0 , con origen R0 (p. ej. un punto de la superficie terrestre). Ambos sistemas no son inerciales, debido a que el sistema móvil rota con una velocidad angular constante alrededor del eje ] de la figura (p. ej. la rotación de la Tierra). De este modo, la dinámica de una partícula que en un determinado instante está en el punto D, no es equivalente en ambos sistemas.

 En Figura G.3: Relación entre un sistema fijo y rotante a velocidad angular = 0 ambos sistemas de referencia los ejes ] y ] son perpendiculares al plano de la figura. El vector de posición, la velocidad y la aceleración en el sistema [\ ] de la partícula en D son u = {l + | m + } n> (G.3)

 Y

gu gw g{  g|  g}  = l+ m+ n gw gw gw = Y{ l + Y| m + Y} n>

=

(G.4)

APÉNDICE G. ACELERACIÓN DE CORIOLIS

496

 = D =

 gY gw gY{  gY|  gY}  l+ m+ n= gw gw gw

(G.5)

El vector de posición, la velocidad y la aceleración en el sistema [ 0 \ 0 ] 0 de la partícula en D son (G.6) u0 = {0 l0 + | 0 m 0 + } 0 n0 > 0 Y

g{0 0 g| 0  0 g} 0  0 l + m + n gw gw gw = Y{0 l0 + Y|0 m 0 + Y}0 n0 >

=

0 0 gY 0  0 = gY{ l0 + | m 0 + gY} n0 = D gw gw gw

(G.7) (G.8) (G.9)

Veamos ahora la relación entre el sistema fijo [\ ] y el móvil [ 0 \ 0 ] 0 . Según la figura G.3, podemos observar que se cumple $ u = RR0 + u0 =

(G.10)

Supongamos por un momento que el punto D está fijo con respecto al sistema  $ móvil [ 0 \ 0 ] 0 , de tal manera que u0 = e0 = fwh. Por tanto, según (G.10), $ e = RR0 + e0 =

(G.11)

Con respecto al sistema fijo [\ ], el vector está rotando alrededor del eje  por tanto, de acuerdo con (G.2), ] con una velocidad angular , ge   = × e= gw

(G.12)

$ Análogamente, el vector RR0 también está rotando alrededor del eje ] con  una velocidad angular , $ $ gRR0  × RR0 = = (G.13) gw Sustituyendo (G.11) en (G.12) y teniendo en cuenta (G.13), llegamos a ge0  × e0 = = gw

(G.14)

Obsérvese que los vectores unitarios l0 > m 0 > n0 son vectores constantes en el sistema móvil [ 0 \ 0 ] 0 , por tanto, de acuerdo con (G.14), gl0  × l0 > = gw

gm 0  × m 0 > = gw

gn0  × n0 = = gw

(G.15)

G.2. MOVIMIENTO RELATIVO DE ROTACIÓN UNIFORME

497

Ahora bien, ¿cuál es la variación del vector u0 desde el punto de vista del sistema fijo [\ ]? Observemos que no sólo las coordenadas {0 , |0 , } 0 dependen del tiempo, sino que también lo hacen los vectores l0 , m 0 , n0 . Por tanto, derivando en (G.6) y teniendo en cuenta (G.7), (G.15), (G.6) y (G.10), gu0 gw

g{0 0 g| 0  0 g} 0  0 gl0 0 gm 0 0 gn0 0 { + | + } l + m + n + gw ³ gw ´ gw³ gw ´ ´ gw ³ gw 0+  × l0 {0 +  × m 0 | 0 +  × n0 } 0 = Y ´ ³ 0+  × {0 l0 + | 0 m 0 + } 0 n0 = Y

=

 × u0 0+ = Y ³ $´ 0+  × u  RR0 = = Y

(G.16)

Por otro lado, derivando en (G.10) y teniendo en cuenta (G.13), resulta que gu0 gw

= =

$ gu gRR0  gw gw gu  $0  × RR = gw

(G.17)

Sustituyendo (G.17) en (G.16) y simplificando, llegamos a gu 0+  × u= =Y gw

(G.18)

Finalmente, sustituyendo (G.4) en (G.18), concluimos que  × u=  =Y 0+ Y

(G.19)

 es la velocidad observada Es decir, la velocidad observada en el sistema fijo Y 0   en el sistema rotante Y más el término ׁu. Derivando en (G.19), sabiendo que $  = el sistema rotante gira a una velocidad angular constante, fwh, y teniendo en cuenta (G.5) y (G.18), resulta que  = D =

0  gY gY  × gu = + gw gw gw ³ ´ 0 gY  × Y  × u = 0+ + gw

(G.20)

Ahora bien, derivando en (G.8), la variación con respecto al tiempo del vector  0 vista desde el sistema fijo resulta ser Y 0 gY|0 0 gY}0 0 gl0 0 gm 0 0 gn0 0 gY 0 gY n + m + = { l0 + Y + Y + Y = gw gw gw gw gw { gw | gw }

(G.21)

APÉNDICE G. ACELERACIÓN DE CORIOLIS

498

Aplicando (G.9) y (G.15) a (G.21) y teniendo en cuenta (G.8), llegamos a 0 gY gw

´ ´ ´ ³ ³ ³ 0 +  × l0 Y{0 +  × m 0 Y|0 +  × n0 Y}0 = D ´ ³ 0 +  × Y{0 l0 + Y|0 m 0 + Y}0 n0 = D  ×Y  0= 0 + = D

Por último, sustituyendo (G.22) en (G.20), concluimos que ³ ´  ×Y 0+  × =D  0 + 2  × u = D

(G.22)

(G.23)

Es decir, la aceleración medida por un observador en el sistema fijo es la  0 más³la aceleración de Coriolis aceleración medida en el sistema móvil D ´ 0    ×  × u . 2 × Y más una aceleración centrípeta

Apéndice H

Cálculo de variaciones H.1.

Ecuación de Euler-Lagrange

Supongamos que existe la función | ({) que hace mínima la integral Z {2 L= i [{> | ({) > | 0 ({)] g{=

(H.1)

{1

Para hallar dicha función | ({) > observemos que cualquier perturbación de | ({) hará crecer el valor de la integral L dada en (H.1). Para construir dicha perturbación, consideraremos una función  ({) > tal que  00 ({) sea una función continua y  ({1 ) =  ({2 ) = 0> (H.2) tal y como aparece en la figura H.1. Si  es un parámetro pequeño, |¯ ({) = | ({) +   ({) >

(H.3)

representa una familia uniparamétrica (de parámetro ) de funciones perturbadas. Derivando en (H.3), tenemos que, |¯0 ({) = |0 ({) +   0 ({) =

(H.4)

Al valor | = |¯ ({)  | ({) =   ({) > se le suele denotar como variación de la función |. A semejanza de (H.1), construimos ahora la siguiente integral que depende del parámetro , Z {2 L () = i [{> |¯ ({) > |¯0 ({)] g{ (H.5) {1 Z {2 £ ¤ = i {> | ({) +   ({) > | 0 ({) +   0 ({) g{> {1

499

APÉNDICE H. CÁLCULO DE VARIACIONES

500

Figura H.1: Perturbación   ({) en una curva | ({) = donde hemos tenido en cuenta (H.3) y (H.4). Por tanto, Z {2 i [{> | ({) > | 0 ({)] g{= L (0) =

(H.6)

{1

Comparando (H.1) con (H.6), resulta que L (0) es un valor mínimo de la función L (), por lo que ha de cumplirse que L 0 (0) = 0=

(H.7)

Ahora bien, derivando en (H.5),

Z {2 g i ({> |¯> |¯0 ) g{ L () = g {1 Z {2 C i ({> |¯> |¯0 ) g{= = C {1 0

(H.8)

Aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta (H.3) y (H.4), C i ({> |¯> |¯0 ) = C =

Ci C |¯0 Ci C{ Ci C |¯ + + 0 C{ C C |¯ C C |¯ C Ci Ci  ({) + 0  0 ({) = C |¯ C |¯

Sustituyendo (H.9) en (H.8), podemos escribir ¸ Z {2  Ci Ci  ({) + 0  0 ({) g{= L 0 () = C |¯ C |¯ {1

(H.9)

(H.10)

H.2. IDENTIDAD DE BELTRAMI

501

Ahora bien, según (H.3), |¯ ({) = | ({) cuando  = 0> por tanto, a partir de (H.7) y (H.10), tenemos que ¸ Z {2  Ci Ci  ({) + 0  0 ({) g{ = 0= (H.11) L 0 (0) = C| C| {1 Podemos simplificar (H.11) integrando por partes su segundo sumando, μ ¶  ¸{2 Z {2 Z {2 Ci Ci g Ci 0 g{ (H.12)  ({) g{ =  ({)   ({) 0 C| 0 g{ C| 0 {1 C| {1 {1 μ ¶ Z {2 Ci g =   ({) g{> (H.13) g{ C| 0 {1 donde el término de borde en (H.12) se anula debido a (H.2). Sustituyendo (H.13) en (H.11), llegamos a μ ¶¸  Z {2 g Ci Ci  g{ = 0= (H.14)  ({) C| g{ C| 0 {1 Como la función  ({) es una función arbitraria, para que se satisfaga (H.14), necesariamente se ha de cumplir que el integrando de (H.14) es nulo, es decir, μ ¶ g Ci Ci  = 0= (H.15) C| g{ C| 0 La ecuación (H.15) se denomina ecuación de Euler-Lagrange y fue descubierta por L. Euler en 1744. Posteriormente, J. L. Lagrange la utilizó para formular su Mecánica Analítica publicada en 1788.

H.2.

Identidad de Beltrami

Si { está ausente de la función i , de tal modo que tenemos i (|> | 0 ) > entonces, Ci = 0> C{ y (H.1) se escribe como

Z

{2

L=

i [| ({) > | 0 ({)] g{=

(H.16)

(H.17)

{1

En este caso, la ecuación de Euler-Lagrange (H.15) puede integrarse. Esto es debido a la siguiente identidad, que efectuamos aplicando la regla de la cadena, μ μ ¶ ¶ Ci 0 Ci 0 g gi g  |  i = | g{ C| 0 g{ C| 0 g{ μ μ ¶ ¶ Ci Ci Ci g| Ci g| 0 Ci g| 0 g 0  + + | + = g{ C| 0 C| 0 g{ C{ C| g{ C| 0 g{ ¸  μ ¶ Ci Ci g Ci = |0  = (H.18)  g{ C| 0 C| C{

502

APÉNDICE H. CÁLCULO DE VARIACIONES

Aplicando en (H.18) la ecuación de Euler-Lagrange (H.15) y teniendo en cuenta (H.16), resulta que μ ¶ Ci 0 g |  i = 0> g{ C| 0 es decir, Ci 0 |  i = F> C| 0

(H.19)

donde F es una constante de integración. Esta ecuación fue descubierta por E. Beltrami1 en 1868.

1 G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, McGrawHill, 1993.

Bibliografía [1] L. D. Landau y E. M. Lifschitz, Mecánica de Fluidos, Reverté, 1991. [2] G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Pres, 1967. [3] H. Lamb, Hydrodynamics, Dover, 1945. [4] G. A. Tokaty, A History and Philosophy of Fluid Mechanics, Dover, 1971. [5] M. C. Potter y D. C. Wiggert, Mecánica de fluidos, Thomson, 2004. [6] J. D. Anderson Jr, A History of Aerodynamics, Cambridge Univ. Press, 1998. [7] J. D. Anderson, Computational Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 1995. [8] P. R. H. Blasius, “Boundary Layers in Fluids with Little Friction”, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 56, 1 (1908). [9] L. Prandtl, en Verhandlungen des dritten internationalen MathematikerKongresses in Heildelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, Alemania (1905), p. 484. Versión en inglés en Early Developments of Modern Aerodynamics, J. A. K. Ackroyd, B. P. Axcell, A. I. Ruban, eds., ButterworthHeinemann, Oxford, Gran Bretaña (2001), p. 77. [10] J. E. Marsden, A. J. Tromba, Cálculo Vectorial, Addison-Wesley Iberoamericana, 1991. [11] G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, McGraw-Hill, 1993. [12] M. Do Carmo, Dierential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Englewood Clis, 1976. [13] J. P. McKelvey, “Simple trascendental expressions for the roots of cubic equations”, Am. J. Phys. 52, 3 (1984). [14] G. Plateau, Statique expérimentale et theorique des liquides soumise aux seules forces moleculaires, 2 vols., Paris-London (1873). 503

504

BIBLIOGRAFÍA

[15] E. Buckingham, “Model Experiments and the Form of Empirical Equations”, Trans. ASME 37, 263-296 (1915). [16] G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions, Cambridge Univ. Press, 1999. [17] J. Nikuradse, “Gesetzmässigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Rohren”, VDI Forschungsheft 356 (1932). [18] T. M. Apostol, Calculus, vol. I, New York, 1967. [19] N. N. Lebedev, Special Functions and their applications, Dover Publications, New York, 1972. [20] E. L. Andreas, “A New Value of the von Karman Constant: Implications and Implementation”, Journal of Applied Meteorology and Climatology 48, 923-944 (2009). [21] H. S. Carslaw y J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Clarendon Press, Oxford, 1988. [22] R. Haberman, Elementary Applied Partial Dierential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems, Prentice-Hall, New Jersey, 1987. [23] R. Descartes, La Geometría, IPN y Limusa, México, 1637. [24] D. S. Viswanath, T. K. Ghosh, D. H. L. Prasad, N. V. K. Dutt, K. Y. Rani, Viscosity of Liquids. Theory, Estimation, Experiment, and Data, Springer, 2007. [25] E. N. Andrade, C. Da, “A theory of the viscosity of liquids”, Philosophical Magazine 17, 497—511, 698—732 (1934). [26] W. Sutherland, “The viscosity of gases and molecular force”, Philosophical Magazine 5, 36, 507-531 (1893).