Apostila De Estatística

Apostila

de

Estatística

Sumário

Página UNIDADE I -

CONCEITOS INICIAIS EM ESTATÍSTICA........................................................................................... 1

I.1. PANORAMA HISTÓRICO ......................................................................................................................... 1 I.2. A ESTATÍSTICA ....................................................................................................................................... 1 I.2.1. Ramos da Estatística ......................................................................................................................... 2 I.3. DEFINIÇÕES........................................................................................................................................... 2 I.3.1. Tipos de Amostragem ....................................................................................................................... 2 I.3.2. Variáveis Estatísticas ......................................................................................................................... 6 I.4. MÉTODO ESTATÍSTICO........................................................................................................................... 6 I.4.1. Fases do método estatístico .............................................................................................................. 7 I.5. USOS E ABUSOS DA ESTATÍSTICA ............................................................................................................ 8 I.6. EXERCÍCIOS ........................................................................................................................................... 9 UNIDADE II -

NORMAS PARA CONSTRUÇÃO DE TABELAS .................................................................................13

II.1. TABELAS ESTATÍSTICAS .........................................................................................................................13 II.2. SÉRIES ESTATÍSTICAS ............................................................................................................................15 II.2.1. Tipos de Séries Estatísticas ...........................................................................................................15 II.3. EXERCÍCIOS ..........................................................................................................................................18 UNIDADE III -

NORMAS PARA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS...............................................................................23

III.1. CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS .....................................................................................................................23 III.1.1. Quanto aos objetivos ...................................................................................................................23 III.1.2. Quanto a forma ...........................................................................................................................24 III.2. EXERCÍCIOS ..........................................................................................................................................30 UNIDADE IV IV.1. IV.2. IV.3.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ..............................................................................................35

DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR VALORES SIMPLES ..................................................35 DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR INTERVALO DE CLASSES ............................................36 EXERCÍCIOS ..........................................................................................................................................41

UNIDADE V -

MEDIDAS DE POSIÇÃO E SEPARATRIZES ......................................................................................45

V.1. MEDIDAS DE POSIÇÃO ..........................................................................................................................45 V.1.1. MÉDIA ARITMÉTICA .....................................................................................................................45 V.1.2. MODA - Mo .................................................................................................................................47 V.1.3. MEDIANA - Md ............................................................................................................................49 V.2. SEPARATRIZES ......................................................................................................................................52 V.2.1. QUARTIS ......................................................................................................................................52 V.2.2. DECIS ...........................................................................................................................................54 V.2.3. PERCENTIS ...................................................................................................................................55 V.3. EXERCÍCIOS ..........................................................................................................................................57 UNIDADE VI VI.1. VI.2. VI.3.

MEDIDAS DE DISPERSÃO .........................................................................................................63

AMPLITUDE TOTAL ....................................................................................................................................63 INTERVALO INTERQUARTÍLICO .......................................................................................................................63 DESVIO-MÉDIO.....................................................................................................................................64

VI.4. VI.5. VI.6.

VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO ............................................................................................................. 66 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.................................................................................................................. 70 EXERCÍCIOS.......................................................................................................................................... 71

UNIDADE VII -

MEDIDAS DE ASSIMETRIA E DE CURTOSE ............................................................................... 75

VII.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA..................................................................................................................... 75 VII.1.1. Coeficiente de Pearson ................................................................................................................ 75 VII.1.2. Coeficiente de Bowley.................................................................................................................. 76 VII.2. MEDIDAS DE CURTOSE .............................................................................................................................. 76 VII.3. EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................. 78 ANEXO ................................................................................................................................................................. 81 APENDICES .......................................................................................................................................................... 83 APÊNDICE A: REGRAS DE ARREDONDAMENTO .............................................................................................................. 83 APÊNDICE B: RAZÃO, PROPORÇÃO E PORCENTAGEM ..................................................................................................... 89

UNIDADE I -

I.1.

CONCEITOS INICIAIS EM ESTATÍSTICA

PANORAMA HISTÓRICO Toda Ciência tem suas raízes na história do homem. A Matemática que é considerada “A

Ciência que une a clareza do raciocínio à síntese da linguagem”, originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário e empírico. A Estatística é um ramo da Matemática que teve origem semelhante. Desde a Antiguidade vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimento, de óbitos, faziam estimativas de riquezas individuais e sociais, etc. Na idade média colhiam-se informações, geralmente com a finalidade tributária. A partir do século XVI começaram a surgir às primeiras análises de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. No século XVII o estudo de tais fatos foi adquirindo proporções verdadeiramente científicas. A estatística com feição científica foi batizada, no século XVIII, por Godofredo Achenwall. As tabelas ficaram mais completas, surgiram as primeiras representações gráficas e os cálculos de probabilidades. A estatística deixou de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar a conclusão sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)".

I.2.

A ESTATÍSTICA A Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de estudo. Podemos

dizer que a estatística é a ciência ou método científico que estuda os fenômenos multicausais, coletivos ou de massa e procura inferir as leis que os mesmos obedecem. Ou ainda, a estatística é a parte da Matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. Os principais propósitos da estatística são: – Estimação de relações entre variáveis; – Testar teorias econômicas; – Avaliar e implementar decisões estratégicas.

Assim, podemos concluir que a estatística é "um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos". Este estudo pode ser feito de duas maneiras: 

Investigando todos os elementos da população; ou



Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população.

1

I.2.1. Ramos da Estatística A estatística se divide em duas partes principais: ESTATÍSTICA DEDUTIVA ou DESCRITIVA: corresponde aos procedimentos relacionados com a coleta, elaboração, tabulação, análise, interpretação e apresentação dos dados. Isto é, inclui as técnicas que dizem respeito à síntese e à descrição de dados numéricos. O objetivo da estatística descritiva é tornar as coisas mais fáceis de entender, relatar e discutir. Ou seja, tira conclusões de uma amostra, mas não expande para a população. ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL: parte de um conjunto ou subconjunto de informações (subconjuntos da população ou amostra) e conclui sobre a população. Utiliza técnicas como a teoria das probabilidades, amostragem e inferência estatística. Ou seja, extrapola, para a população, as informações e conclusões obtidas de uma amostra.

I.3. 

DEFINIÇÕES POPULAÇÃO: É um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum.



AMOSTRA: Considerando a impossibilidade, na maioria das vezes do tratamento de todos os elementos da população, necessitaremos de uma parte representativa da mesma. A esta porção da população chamaremos de amostra.



CENSO: é a coleção de dados relativos a todos os elementos da população.



AMOSTRAGEM: É uma técnica especial para recolher amostras que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha, de modo a garantir à amostra o caráter de representatividade.



ESTATÍSTICA: é a medida numérica que descreve uma característica da amostra.



PARÂMETRO: é a medida numérica que descreve uma característica da população.

I.3.1.

Tipos de Amostragem Uma amostra é um subconjunto finito da população cujas características serão medidas. A

amostra será usada para descobrir características da população. Como toda a análise estatística será

2

inferida a partir das características obtidas da amostra, é importante que a amostra seja representativa da população, isto é, que as características de uma parte (amostra) sejam em geral as mesmas que do todo (população). Uma amostragem é a coleta das informações da amostra, mediante métodos adequados de seleção destas unidades. O objetivo da amostragem é permitir fazer inferências sobre uma população após inspeção de apenas parte dela. Fatores como: custo, tempo, e tamanho da populações tornam a amostragem preferível a um estudo completo (censo). As regras de amostragem podem ser classificadas em duas categorias gerais: Probabilísticas e Não probabilísticas. 

PROBABILÍSTICA - São amostragens em que a seleção é aleatória de tal forma que cada elemento tem igual probabilidade de ser sorteado para a amostra.

1) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES Também conhecida por amostragem ocasional, acidental, casual, randômica, etc. A amostragem simples ao acaso destaca-se por ser um processo de seleção bastante fácil e muito usado. Neste processo, todos os elementos da população têm igual probabilidade de serem escolhidos, desde o início até completo processo de coleta.

PROCEDIMENTO 1. Devemos enumerar todos os elementos da população 2. Devemos efetuar sucessivos sorteios com reposição até completar o tamanho da amostra (n) Para realizarmos este sorteio devemos fazer uso das “tábuas de números aleatórios” (veja anexo). Estas apresentam os dígitos de 0 a 9 distribuídos aleatoriamente.

EXEMPLO: Supor que nós tenhamos uma população com 1.000 elementos, que numeramos de 000 a 999, para selecionarmos uma amostra aleatória, de 200 elementos, basta escolhermos uma posição de qualquer linha e extrairmos conjuntos de três algarismos, até completarmos os 200 elementos da amostra. O processo termina quando for sorteado o elemento 200. Se o número sorteado não existia na população simplesmente não o consideramos, e prosseguimos com o processo.

2) AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Trata-se de uma variação da amostragem simples ao acaso, muito conveniente quando a população está naturalmente ordenada, como fichas em um fichário, listas telefônicas etc. Requer uma

3

lista dos itens da população, e, assim, padece das mesmas restrições já mencionadas na aleatória ao acaso. Se os itens da lista não se apresentarem numa ordem determinada à amostragem Sistemática pode dar uma amostra realmente aleatória.

PROCEDIMENTO Sejam os seguintes elementos: 

N: tamanho da população;



n: tamanho da amostra.

N (onde a é o inteiro mais n próximo). Sorteia-se, utilizando a tábua de números aleatórios, um número x entre 1 e a formando-se a Então, calcula-se o intervalo de amostragem através da razão a 

amostra dos elementos correspondentes ao conjunto de números:

x;

x  a;

x  2a;

EXEMPLO: Seja N  500 , n  50 . Então a 

...;

x  (n  1)a

500  10 . Sorteia-se um número de 1 a 10. Seja 3 (x = 50

3) o número sorteado. Logo, os elementos numerados por 3;13;23;33;... serão os componentes da amostra.

3) AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA No caso de possuir uma população com uma certa característica heterogênea, na qual podemos distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, denominadas de estratos, podemos usar a amostragem estratificada. Estratificar uma população em L subpopulações denominada estratos, tais que:

n1  n2  ...  nL  n onde os estratos são mutuamente exclusivos.

Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada subpopulação. Se as diversas sub-amostras tiverem tamanhos proporcionais ao respectivo número de elementos nos estratos, teremos a estratificação proporcional.

4

4) AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se identifiquem seus elementos. Não obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Em suma, divide-se a população em conglomerados (áreas), em seguida sorteiam-se algumas áreas e analisam-se todos os elementos dos conglomerados escolhidos. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios etc.

Exemplo: Num levantamento da população de determinada cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados. 

NÃO PROBABILISTICAS OU INTENCIONADAS - São amostragem em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra.

1) AMOSTRAGEM POR CONVENIÊNCIA Este tipo de amostragem não é representativo da população. Ocorre quando a participação é voluntária ou os elementos da amostra são escolhidos por uma questão de conveniência (muitas vezes, os amigos e os amigos dos amigos). Deste modo, o processo amostral não garante que a amostra seja representativa, pelo que os resultados desta só se aplicam a ela própria. Pode ser usada com êxito em situações nas quais seja mais importante captar ideias gerais, identificar aspectos críticos do que propriamente a objetividade científica. Contudo, o método tem a vantagem de ser rápido, barato e fácil.

2) AMOSTRABEM POR QUOTAS Este tipo de amostragem pode considerar-se análogo ao método de amostragem estratificada, mas com um aspecto que lhe faz toda a diferença: em vez de se escolher uma amostra aleatória dentro de cada um dos estratos da etapa final, escolhe-se uma amostra não aleatória de tamanho determinado pela fração de amostragem

5

I.3.2. Variáveis Estatísticas No dicionário variável é aquilo mutável, que muda, que sofre transformações, é flexível. Em estatística é a característica que vamos estudar em determinada população. Podemos classificar as variáveis da seguinte maneira:

VARIÁVEIS QUALITATIVAS – (ou dados categóricos) podem ser separados em diferentes categorias, atributos (características), que se distinguem por alguma característica não numérica. Exemplo: sexo (M ou F), cor da pele (branca, preta, amarela,...), estado civil (solteiro, casado,...), profissão (empregado ou desempregado), escolaridade (fundamental, médio ou superior), etc. •

Ordinais: é possível atribuir alguma ordem aos indivíduos depois de atribuída a característica. Ex.: Escolaridade (Grau de Instrução); classe social.

•

Nominais: não é possível fazer nenhuma classificação depois das realizações. Ex.: profissão; procedência.

VARIÁVEIS QUANTITATIVAS – consistem em números que representam contagens ou medidas. Exemplo: idade, salário, volume, etc •

Discretas: resultam de um conjunto finito, enumerável de valores possíveis (contagens). Ex. número de pessoas numa sala (1, 2, 3, ...)

•

Contínuas: resultam de números infinitos de valores possíveis que podem ser associados a pontos em uma escala contínua. Seus valores pertencem a um intervalo dos números reais (medições). Ex. volume de uma caixa d’água (1 m3, 1.1 m3, ...), temperatura,...

I.4.

MÉTODO ESTATÍSTICO Existem várias definições para métodos, Lakatos e Marconi (1982:39-40) mencionaram

diversas definições, entre elas: • Método é o “caminho pelo qual se chega a um determinado resultado...” (Hegemberg, 1976: II-115)

6

• Método é “um procedimento regular, explícito e passível de ser repetido para conseguirmos alguma coisa, seja material ou conceitual” (Bunge 1980: 19).

Destacam-se dois métodos científicos: o método experimental e o método estatístico. O método experimental consiste em manter constante todas as causas (fatores) menos uma e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos caso existam. Exemplo: estudos de Física ou Química. O método estatístico, diante da impossibilidade de se manter causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as registrando essa variação e procurando determinar no resultado final que influências cabem a cada uma delas. Exemplo: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui? Neste exemplo, seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc.

I.4.1. Fases do método estatístico A Estatística Descritiva pode ser resumida no diagrama a seguir:

DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema.

PLANEJAMENTO: Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? Censitário? Por amostragem? E o cronograma de atividades? Os custos envolvidos? etc. COLETA DOS DADOS: Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento da pesquisa (forma pela qual os dados serão coletados; cronograma das atividades; custos envolvidos; exame das informações disponíveis; delineamento da amostra, etc.), o passo seguinte é a coleta dos dados, que consiste na busca ou compilação dos dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser estudado. A coleta dos dados é direta quando os dados são obtidos diretamente da fonte originária, como no caso da empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca. A coleta dos dados é indireta quando é inferida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta. CRÍTICA DOS DADOS: A revisão crítica dos dados procede com a finalidade de suprimir os valores estranhos ao levantamento, os quais são capazes de provocar futuros enganos.

7

APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Convém organizarmos o conjunto de dados de maneira prática e racional. Tal organização denomina-se Série Estatística (que será abordado na próxima unidade). Sua apresentação pode ocorrer por meio de Tabelas e/ou Gráficos.

ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno.

I.5.

USOS E ABUSOS DA ESTATÍSTICA As Aplicações da estatística se desenvolveram de tal forma que, hoje, praticamente todo o

campo de estudo se beneficia da utilização de métodos estatísticos. Os fabricantes fornecem melhores produtos a custos menores através de técnicas de controle de qualidade. Controlam-se doenças com o auxilio de análises que antecipam epidemias. Espécies ameaçadas são protegidas por regulamentos e leis que reagem a estimativas estatísticas de modificação de tamanho da população. Visando reduzir as taxas de casos fatais, os legisladores têm melhor justificativas para leis como as que regem a poluição atmosférica, inspeções de automóveis, utilização de cinto de segurança, etc. Mas nem sempre a estatística é utilizada de modo coerente. Não é de hoje que ocorrem abusos com a estatística. Assim é que , há cerca de um século, o estadista Benjamin Disraeli disse: “Há três tipos de mentiras: as mentiras, as mentiras sérias e as estatísticas”. Já se disse também que “os números não mentem; mas os mentirosos forjam os números” (Figures don’t lie; liars figure) e que “se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admitir qualquer coisa”. O historiador Andrew Lang disse que algumas pessoas usam a estatística “como um bêbado utiliza um poste de iluminação – para servir de apoio e não para iluminar”. Todas essa afirmações se referem aos abusos da estatística quando os dados são apresentados de forma enganosa. Eis alguns exemplos das diversas maneiras como os dados podem ser distorcidos.  Pequenas amostras  Números imprecisos  Estimativas por suposição  Porcentagens distorcidas  Cifras parciais  Distorções deliberadas  Perguntas tendenciosas  Gráficos enganosos  Pressão do pesquisador  Más amostras

8

I.6.

EXERCÍCIOS

1. População ou universo é:

(a) Um conjunto de pessoas; (b) Um conjunto de elementos quaisquer (c) Um conjunto de pessoas com uma característica comum; (d) Um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum; (e) Um conjunto de indivíduo de um mesmo município, estado ou país. 2. Uma parte da população retirada para analisá-la denomina-se: (a) Universo; (b) Parte; (c) Pedaço; (d) Dados Brutos; (e) Amostra. 3. A parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de determinadas características de um grupo, sem tirar conclusões sobre um grupo maior denomina-se:

(a) Estatística de População; (b) Estatística de Amostra; (c) Estatística Inferencial (d) Estatística Descritiva; (e) Estatística Grupal.

4. Diga qual tipo de variáveis estamos trabalhando nos casos abaixo:

a. No. de inscrições no Seguro Social b. No. de passageiros no ônibus da linha Rio-São Paulo c. Escolaridade d. Peso Médio dos Recém Nascidos e. Altitude acima do nível do mar f. Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinantes de um serviço de computador on-line g. Cada cigarro Camel tem 16,13mg de alcatrão h. O radar indique que Nolan Ryan rebateu a ultima bola a 82,3mi/h i. O tempo gasta para uma pessoa fazer uma viagem de carro de Brasília até Belo Horizonte é de aproximadamente 8:00h a uma velocidade média de 93,75km/hs

9

5. Classifique as seguintes variáveis em:

( A ) Qualitativa Nominal ( B ) Qualitativa Ordinal; ( C ) Quantitativa Contínua; ( D ) Quantitativa Discreta; (

) Cor dos olhos

(

) Comprimento de um seguimento de reta

(

) Número de filhos de um casal

(

) Área de um Círculo

(

) Peso de um indivíduo

(

) Raça

(

) Altura de um indivíduo

(

) Quantidade de livro de uma biblioteca

(

) Número de alunos de uma escola

(

) Religião

(

) Tipo sanguíneo

(

) Salário dos Empregados de uma empresa

(

) Fator RH

(

) Estado Civil

(

) Valor obtido na face superior de um dado

(

) Profissão

(

) Sexo

(

) Volume de água contido numa piscina

(

) Resultado da extração da loteria Federal

(

) Nível de escolarização.

6. Suponha que existem N = 1.000 fichas de pacientes das quais uma amostra aleatória de n = 20 deve ser selecionada. Determine que fichas devem ser escolhidas na amostra de tamanho n = 20. Diga que tipo de amostragem foi feito e como foram selecionadas as fichas. 7. Suponha que uma pesquisa de opinião pública deve ser realizada em um estado que tem duas grandes cidades e uma zona rural. Os elementos na população de interesse são todos os homens e mulheres do estado com idade acima de 21 anos. Diga que tipo de amostragem utilizará?

8. Serviço florestal do estado está conduzindo um estudo das pessoas que usam as estruturas de um camping operado por ele. O estado tem duas áreas de camping, uma localizada nas montanhas e outra localizada ao longo da costa. O serviço florestal deseja estimar o número médio de pessoas por acampamento e a proporção de acampamento ocupada por pessoas de fora do estado, durante o fim de semana em particular, quando se espera que todos os acampamentos estejam ocupados. Sugira um plano amostral e explique rapidamente como devem ser feitos.

9. Um médico está interessado em obter informação sobre o número médio de vezes em que 15.000 especialistas prescreveram certa droga no ano anterior (N = 15.000). Deseja-se obter n = 1.600. Que tipo de amostragem você sugeriria e por que?

10

10. Um hematologista deseja fazer uma nova verificação de uma amostra de n = 10 dos 854 espécimes de sangue analisados por um laboratório médico em um determinado mês. Que tipo de amostragem você sugeriria e por que?

11. Um repórter da revista Business Week obtém uma relação numerada de 1.000 empresas com maiores de cotações de ações na bolsa. Ele entrevistará 100 gerentes gerais das empresas correspondentes a esta amostra. Que tipo de amostragem você sugeriria e por que? 12. Comente rapidamente sobre a pesquisa abaixo “Um relatório patrocinado pela Flórida Citru s Comission concluiu que os níveis de colesterol podem ser reduzidos mediante ingestão de produtos cítricos”. Por que razão a conclusão poderia ser suspeita

13. Dada uma população com seis elementos, A, B, C, D, E e F, explique como você faria para obter, dessa população, uma amostra aleatória simples com três elementos. 14. Descreva uma forma de se obter uma amostra sistemática com 10 elementos de uma população com tamanho 100.

15. Explique a forma de se obter uma amostragem estratificada dos empregados de uma firma, considerando que existem empregados de escritório, de oficina e representantes da mesma.

16. Imagine que se pretenda fazer um levantamento de opinião pública para verificar se as pessoas são contra ou a favor do uso gratuito de ônibus pelos idosos. Pense em três maneiras distintas de elaborar uma pergunta que induza a resposta positiva, outra que induza a resposta negativa e uma outra que não ocorra nenhum tip o de tendência na resposta.

17. Identifique o tipo de amostragem utilizado para cada uma das situações abaixo:

a. Quando escreveu Woman in Love: A Cultural Revolution, a autora Shere Hite baseou suas conclusões em 4.500 respostas a 100.000 questionários distribuídos a mulheres. b. Uma psicóloga da Universidade de Nova York faz uma pesquisa sobre alguns alunos selecionados aleatoriamente de todas as 20 turmas que participaram desta pesquisa.

c. Um sociólogo da Universidade Charleston seleciona 12 homens e 12 mulheres de cada uma de quatro turmas de inglês.

d. A empresa Sony seleciona cada 200 CD de sua linha de produção e faz um teste de qualidade o rigoroso.

11

e. Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador dos EUA em cartões separados, mistura-os e extrai 10 nomes.

f. Gerente comercial da America OnLine testa uma nova estratégia de vendas selecionando aleatoriamente 250 consumidores com renda inferior a US$50.000,00 e 250 consumidores com renda de ao menos de US$50.000,00. g. O programa Planned Parenthood (Planejamento Familiar) pesquisa 500 homens e 500 mulheres sobre seus pontos de vista sobre o uso de anticoncepcionais.

h. Um repórter da revista Business Week Entrevista todo o 50 gerente geral constante da relação o das 1.000 empresas com maior cotação de suas ações.

i. Um repórter da revista Business Week obtém uma relação numerada das 1.000 empresas com maior cotação de ações na bolsa, utiliza um computador para gerar 20 números aleatório s e então entrevista gerentes gerais das empresas correspondentes aos números extraídos.

12

UNIDADE II -

NORMAS PARA CONSTRUÇÃO DE TABELAS

II.1. TABELAS ESTATÍSTICAS Um dos objetivos da estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação das mesmas.

Tabela é uma maneira de apresentar de forma resumida um conjunto de dados.

A tabela se apresenta da seguinte forma:

TÍTULO DA TABELA: Conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas: O que?, Quando? e Onde? Localizado no topo da tabela, além de conter a palavra “TABELA” e sua respectiva numeração. CORPO DA TABELA: É o conjunto de Linhas e Colunas que contém informações sobre a variável em estudo. a) Cabeçalho da Coluna – Parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;

13

b) Coluna Indicadora – Parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; c) Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as linhas; d) Casa ou Célula – espaço destinado a um só número; e) Total – deve ser SEMPRE destacado de alguma forma; f) Laterais da tabela – não devem ser fechadas. Caso as feche, passa a ser chamada de “QUADRO”. g) Número – preferencialmente utilizar separador de 1000 (por exemplo: 1.854.985 ao invés de 1854985).

Há ainda a considerar os elementos complementares da tabela, que são a fonte, as notas, e as chamadas, localizadas, de preferência, no rodapé. a) Fonte – identifica o responsável (pessoa física ou jurídica) ou responsável pelos dados numéricos; b) Notas – é o texto que irá esclarecer o conteúdo estudado, que poderá ser de caráter geral ou específico de uma tabela; c) Chamadas – símbolo remissivo atribuído a algum elemento de uma tabela que necessita de uma nota específica.

SINAL CONVENCIONAL: A substituição de uma informação da tabela poderá ser feita pelos sinais abaixo: De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar : – dado numérico igual a zero; ... Quando não temos os dados; ? Quando temos dúvida na informação; 0 quando o valor for muito pequeno.

EXEMPLO:

14

II.2. SÉRIES ESTATÍSTICAS Uma vez que os dados foram coletados, muitas vezes o conjunto de valores é extenso e desorganizado, e seu exame requer atenção, pois há o risco de se perder a visão global do fenômeno analisado. Para que isto não ocorra faz-se necessário reunir os valores em tabelas convenientes, facilitando sua compreensão. Além da apresentação do conjunto de valores na forma tabulada, tem-se também a forma gráfica, que por sua vez, representa uma forma mais útil e elegante de representar o conjunto dos valores. Qualquer que seja a forma de representação do conjunto de valores, desde de que não haja alterações em seus valores iniciais, quer seja o de caracterização de um conjunto, ou de comparação com outros semelhantes ou ainda o de previsão de valores possíveis, facilitará sua compreensão de qualquer estudo. É o caso da série estatística. Uma série estatística define-se como toda e qualquer coleção de dados estatísticos referidos a uma mesma ordem de classificação: QUANTITATIVA. Em um sentido mais amplo, SÉRIE é uma sequencia de números que se refere a uma certa variável. Caso estes números expressem dados estatísticos a série é chamada de série estatística. Em um sentido mais restrito, diz-se que uma série estatística é uma sucessão de dados estatísticos referidos a caracteres quantitativos. As séries estatísticas são classificadas em dois grupos: 

Séries Homógradas: aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou

descontínua. São séries homógradas a série temporal, a série geográfica, a série específica, e as séries mistas. 

Séries Heterógradas: aquelas nas quais o fenômeno ou o fato apresenta gradações ou subdivisões.

Embora fixo, o fenômeno varia em intensidade. A Distribuição de Frequências é uma série heterógrada.

Para diferenciar uma série estatística de outra, temos que levar em consideração três fatores: 

A ÉPOCA (fator temporal ou cronológico) a que se refere o fenômeno analisado;



O LOCAL (fator espacial ou geográfico) onde o fenômeno acontece;



O FENÔMENO (espécie do fator ou fator específico) que é descrito.

II.2.1. Tipos de Séries Estatísticas Vejamos quais são os tipos de séries estatísticas conforme a variação de um dos fatores: 

SÉRIE TEMPORAL: A série temporal, igualmente chamada série cronológica, histórica, evolutiva ou marcha, identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Assim deve-se ter: VARIÁVEL: a época FIXO: o local e o fenômeno

15

Exemplo:

Tabela 2: ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas nos primeiros meses de 1996 PERÍODO

UNIDADES VENDIDAS *

Jan/96 Fev/96 Mar/96 Abri/96 Mai/96

28 15 35 5 11 * Em mil unidades

Fonte fictícia. 

SÉRIE GEOGRÁFICA: Também denominadas séries territoriais, espaciais ou de localização, esta série apresenta como elemento ou caráter variável somente o fator local. Assim: VARIÁVEL: o local FIXO: a época e o fenômeno

Exemplo:

Tabela 3: ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas nos primeiros meses de 1996 FILIAIS Santa Catarina Minas São Paulo Paraná Rio Fonte fictícia



UNIDADES VENDIDAS * 20 4 35 26 15 * Em mil unidades

SÉRIE ESPECÍFICA: A série específica recebe também outras denominações tais como série categórica ou série por categoria. Agora o caráter variável é o fenômeno. VARIÁVEL: o fenômeno FIXO: a época e o local

Exemplo:

Tabela 4: ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 MARCA

UNIDADES VENDIDAS *

FIAT

13

GM

30

Fonte fictícia

16

* Em mil unidades



SÉRIES MISTAS As tabelas apresentadas anteriormente são tabelas estatísticas simples, onde apenas uma série

está representada. É comum, todavia, haver necessidade de apresentar, em uma única tabela, mais do que uma série. Quando as séries aparecem conjugadas, tem-se uma tabela de dupla entrada.  Série específico-temporal  Série geográfico-temporal  Série geográfico-específico  Série geográfico-específico-temporal

Exemplo:

Tabela 5: ABC VEÍCLULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 FILIAIS Santa Catarina Minas São Paulo Paraná Fonte fictícia 

jan/96 11 5 10 2

fev/96 7 4 3 1

* Em mil unidades

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA Neste caso todos os elementos (época, local e fenômeno) são fixos. Embora fixo, o fenômeno

apresenta-se agora através de graduações, isto é, os dados referentes ao fenômeno que se está representando são reunidos de acordo com a sua magnitude. Normalmente os problemas de tabulação são enquadrados neste tipo de série, que iremos estudar com maior detalhe mais adiante neste curso.

17

II.3. EXERCÍCIOS

1. Uma série estatística é denominada evolutiva quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 2. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é zero, deve-se colocar na célula correspondente:

(a) Zero (0); (b) Três pontos (...); (c) Um traço horizontal (-) (d) Um ponto de interrogação (?); (e) Um ponto de exclamação (!). 3. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é não está disponível, deve-se colocar na célula correspondente.

(a) Zero (0); (b) Três pontos (...); (c) Um traço horizontal (-) (d) Um ponto de interrogação (?); (e) Um ponto de exclamação (!). 4. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é muito pequeno, para ser expresso com o número de casa decimais utilizadas ou com a unidade de medida utilizada, deve-se colocar na célula correspondente. (a) Zero (0); (b) Três pontos (...); (c) Um traço horizontal (-) (d) Um ponto de interrogação (?); (e) Um ponto de exclamação (!).

18

5. Uma série estatística é denominada espacial quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 6. Uma série estatística é denominada cronológica quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 7. Uma série estatística é denominada categórica quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 8. Uma série estatística é denominada marcha quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 9. Uma série estatística é denominada geográfica quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.

19

10. Uma série estatística é denominada composta quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 11. Uma série estatística é denominada qualitativa quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 12. Uma série estatística é denominada específica quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 13. Uma série estatística é denominada mista quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado. 14. Uma série estatística é denominada Temporal quando?

(a) O elemento variável é o tempo; (b) O elemento variável é o local; (c) O elemento variável é a espécie; (d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes; (e) Os dados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.

20

15. A representação tabular de dados no Brasil obedece às normas

(a) Da SUNAB; (b) Da Receita Federal; (c) Do IBGE; (d) Do Governo Federal; (e) Da Secretaria Municipal de Estatística. 16. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando há dúvida, na exatidão do valor de um dado, deve-se colocar na célula correspondente.

(a) Zero (0); (b) Três pontos (...); (c) Um traço horizontal (-) (d) Um ponto de interrogação (?); (e) Um ponto de exclamação (!). 17. Assinale a alternativa verdadeira

(a) Tanto a nota quanto a chamada são usadas para esclarecimento geral sobre um quadro e uma tabela. (b) Tanto a nota quanto a chamada são usadas para esclarecer detalhes em relação à casa, linhas ou colunas de um quadro ou uma tabela. (c) A nota é usada para esclarecer detalhes em relação a casas, linhas ou colunas enquanto a chamada é usada para um esclarecimento geral sobre um quadro ou uma tabela. (d) A nota é usada para esclarecimento geral sobre um quadro ou tabela enquanto a chamada é usada para esclarecer detalhes em relação a casas, linhas ou colunas. (e) Todas as afirmativas anteriores são falsas.

21

UNIDADE III - NORMAS PARA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

A construção de gráficos tem como finalidade: 

Representar os resultados de forma simples, clara e verdadeira.



Demonstrar a evolução do fenômeno em estudo



Observar a relação dos valores da série

A disposição dos elementos é idêntica à das tabelas:

O uso indevido de Gráficos podem trazer uma ideia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção de escalas.

III.1. CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS Os gráficos podem ser classificados quanto a forma e quanto aos objetivos. Quanto aos objetivos temos os gráficos de informação e de análise. Quanto a forma, são divididos em Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas.

III.1.1. Quanto aos objetivos GRÁFICOS DE INFORMAÇÃO: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes.

23

GRÁFICOS DE ANÁLISE: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise frequentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico.

III.1.2. Quanto a forma DIAGRAMAS: São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas. Vejamos alguns tipos. 

24

Gráficos em colunas: Conjunto de retângulos dispostos verticalmente separados por um espaço.



Gráficos em barras: Semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente.



Gráficos em setores: É a representação através de um círculo, por meio de setores. Muito utilizado quando pretendemos comparar cada valor da série com o total - proporção.

25

Forma de cálculo:

FONTE: Tabela 3.

FONTE: Tabela 3.

26



Gráfico em curvas/linhas: Muito utilizado para representar dados temporais.



Gráfico polar/radar: Representação por meio de um polígono. Geralmente presta-se para apresentação de séries temporais.

27

Fonte: Tabela 04

ESTEREOGRAMAS

São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem.

Gráfico 6. (sem título)

PICTOGRAMA

Representação por meio de imagens. Geralmente aparecem para reforçar o dado em questão. São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos

28

devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos.

Gráfico 7. População da Argentina de 1930 a 1990.

Fonte: Fictícia

CARTOGRAMA São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

Gráfico 8. Clientes atendidos pela empresa X em 2001

Fonte: fictícia

29

III.2. EXERCÍCIOS

1. Assinale a afirmativa verdadeira:

(a) Um gráfico de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos horizontalmente. (b) Um gráfico de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos verticalmente. (c) Um gráfico de barras é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos verticalmente e um gráfico de colunas, horizontalmente. (d)

Um gráfico de barras é aquele em que os retângulos que o compõem estão dispostos

horizontalmente e um gráfico de colunas, verticalmente. (e) Todas as alternativas anteriores são falsas. 2. O gráfico mais comumente utilizado quando se deseja evidenciar a participação de um dado em relação ao total é denominado:

(a) Gráfico em barras; (b) Gráficos em colunas; (c) Gráfico em setores; (d) Gráfico pictórico ou pictograma; (e) Gráfico decorativo. 3. Uma representação gráfica comumente encontrada em jornais e revistas que inclui figuras de modo a torná-las mais atraente é denominada: (a) Gráfico em barras; (b) Gráficos em colunas; (c) Gráfico em setores; (d) Gráfico pictórico ou pictograma; (e) Gráfico decorativo.

30

4. A tabela abaixo mostra o consumo de determinada bebida durante um baile de carnaval:

Tabela 5. Bar dos amigos, consumo em janeiro de 2012. Bebida

Consumo (l)

Vinho

100

Suco de Frutas

200

Água Mineral

400

Refrigerante

700

Cerveja

1600 Fonte: Fictícia

Foi construído um gráfico em setores para melhor representar o fenômeno acima.

a) Qual o ângulo do setor correspondente ao vinho?

(i) 6° (ii) 10° (iii) 12° (iv) 24° (v) 100°

b) Qual o ângulo do setor correspondente ao suco de frutas?

(i) 12° (ii) 20° (iii) 24° (iv) 48° (v) 200°

c) Qual o ângulo do setor correspondente à água mineral? (i) 24° (ii) 40° (iii) 48° (iv) 84° (v) 100°

31

d) Qual o ângulo do setor correspondente aos refrigerantes?

(i) 42° (ii) 70° (iii) 84° (iv) 192° (v) 700° e) Qual o ângulo do setor correspondente às cervejas?

(i) 12° (ii) 96° (iii) 160° (iv) 192° (v) 1600° 5. Utilizar um gráfico de setores para representar a tabela: Tabela 6. Comércio exterior Brasil 1984-1993 Especificação

Quantidade

Norte

301

Nordeste

2.937

Sudeste

7.071

Sul

4.542

Centro Oeste

979

TOTAL

15.830 Fonte: Fictícia

6. Usando o gráfico em colunas múltiplas, represente a tabela: Tabela 7. Balanço Comercial do Brasil (Valor US$)

32

7. Usando o gráfico em colunas, represente a tabela:

Tabela 8. Produção Brasileira de Carvão Mineral Bruto 1989-1992

Fonte: Fictícia

8. Usando o gráfico em barras, represente a tabela: Tabela 9. Produção de ovos de galinha Brasil – 1992 Regiões

Quantidade (1.000 dúzias)

Norte

57.297

Nordeste

414.804

Sudeste

984.659

Sul

615.978

Centro Oeste

126.345 Fonte: Fictícia

9. Dada a série abaixo, construa um gráfico de setores.

Tabela 10. Criação de cabeças de gado no Brasil em 1995

Fonte: Fictícia

33

10. Represente a série abaixo usando o gráfico em linhas

Tabela 11. Comércio exterior Brasil 1984-1993

Fonte: Fictícia

34

UNIDADE IV - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Podemos observar que a estatística tem como objetivo encontrar leis de comportamento para todo o conjunto, por meio da sintetização dos dados numéricos, sob a forma de tabelas, gráficos e medidas. Vejamos um procedimento comum para a representação em tabelas denominadas distribuições de frequências. Serão apresentados cada um dos itens envolvidos que devem ser organizados. 1) DADOS BRUTOS: O conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados constitui-se nos dados brutos. Esses dados são apresentados na sequência em que foram coletados. Exemplo 1: Idade das pessoas em um curso-técnico:

24

23

22

28

35

21

23

23

33

34

24

21

25

36

26

22

30

32

25

26

33

34

21

31

25

31

26

25

35

33

2) ROL: É o arranjo dos dados brutos em ordem de frequências crescente ou decrescente. No exemplo anterior, temos:

21

21

21

22

22

23

23

23

24

24

25

25

25

25

26

26

26

28

30

31

31

32

33

33

33

34

34

35

35

36

3) AMPLITUDE TOTAL OU RANGE “R” : É a diferença entre o maior e o menor valor observado. No exemplo 1: R = 36 - 21 = 15

4) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (Fi): É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe. No exemplo F(21) = 3. 5) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: É o arranjo dos valores e suas respectivas freqüências. A distribuição de frequências pode ser simples ou por intervalo de classes. A distribuição de frequência para o exemplo será:

IV.1. DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR VALORES SIMPLES

35

No exemplo anterior temos:

Xi

Fi

21

3

22

2

23

3

24

2

25

4

26

3

28

1

30

1

31

2

32

1

33

3

34

2

35

2

36

1

∑

30

IV.2. DADOS AGRUPADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR INTERVALO DE CLASSES Essa distribuição de frequências é mais utilizada quando os dados são variáveis continuas. No entanto, vejamos como poderia ser a representação do exemplo 1.

Classes

Idades

Fi

1

21 |- 24

8

2

24 |- 27

9

3

27 |- 30

1

4

30 |- 33

4

5

33 |- 36

7

6

36 |- 39

1

Total

-

30

Classes

Pesos

Fi

1

45 |- 55

15

2

55 |- 65

30

3

65 |- 75

35

4

75 |- 85

15

5

85 |- 95

5

∑

-

100

Exemplo 2: Seja Xi peso de 100 indivíduos.

36

Para a construção de uma distribuição de frequências por intervalo de classes, outros itens ainda devem ser considerados:

6) NUMERO DE CLASSES ( K ): Não há fórmula exata para o número de classes (arredondar para o inteiro mais próximo). Soluções:



 5 , se n  25 K   n , se n  25



Fórmula de Sturges:

K  1  3,32 log( n)

, onde: n = tamanho da amostra.

Exemplo: Considere o exemplo 1 apresentado no ROL:

K  1  3,32 log(30)  K  5,9  K  6 Portanto, a tabela irá conter 6 classes.

7) AMPLITUDE DA CLASSE ( h ):

h

R K

(aproximar para o maior inteiro).

Exemplo: Considere novamente o exemplo 1 apresentado no ROL:

h

15  h  2,5  h  3 6

8) LIMITE DE CLASSES: Maior ou menos valor do intervalo. O maior valor é chamado de limite superior, e o menos valor de limite inferior. Representado pelos símbolos: | ,

|.

Exemplo: 10 |

| 12: valores entre 10 e 12;

10

| 12: valores de 10 a 12, excluindo o 10;

10 |

12: valores de 10 a 12, excluindo o 12.

Exemplo: Considere o exemplo 1 apresentado no ROL. Na segunda classe percebemos que há 9 pessoas com idade entre 24 e 27 anos, sendo que 24 é uma idade incluída nessa classe mas 27 não é uma idade incluída. 9) PONTO MÉDIO DA CLASSE ( xi ): É a média aritmética entre o limite superior (Li) e o inferior da classe (li ).

xi 

li  Li 2 37

Exemplo: Da tabela acima temos:

Classes

Idades

Fi

xi

1

21 |- 24

8

22,5

2

24 |- 27

9

25,5

3

27 |- 30

1

28,5

4

30 |- 33

4

31,5

5

33 |- 36

7

34,5

6

36 |- 39

1

37,5

Total

-

30

-

10) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( Fac ): É a soma das frequências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Exemplo: continuando a tabela acima:

Classes

Idades

Fi

xi

Fac

1

21 |- 24

8

22,5

8

2

24 |- 27

9

25,5

17

3

27 |- 30

1

28,5

18

4

30 |- 33

4

31,5

22

5

33 |- 36

7

34,5

29

6

36 |- 39

1

37,5

30

Total

-

30

-

-

11) FREQÜÊNCIA RELATIVA SIMPLES ( fi ): A frequência relativa de um valor é dada por,

fi 

Fi  Fi

, ou a percentagem daquele valor na amostra caso multiplique por 100.

Exemplo: continuando a tabela acima:

38

Classes

Idades

Fi

xi

Fac

fi

1

21 |- 24

8

22,5

8

0,267

2

24 |- 27

9

25,5

17

0,300

3

27 |- 30

1

28,5

18

0,033

4

30 |- 33

4

31,5

22

0,133

5

33 |- 36

7

34,5

29

0,233

6

36 |- 39

1

37,5

30

0,033

Total

-

30

-

-

1,000

12) FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (f ac): É a soma das frequências relativas dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Exemplo: continuando a tabela acima:

Classes

Idades

Fi

xi

Fac

fi

fac

1

21 |- 24

8

22,5

8

0,267

0,267

2

24 |- 27

9

25,5

17

0,300

0,567

3

27 |- 30

1

28,5

18

0,033

0,600

4

30 |- 33

4

31,5

22

0,133

0,733

5

33 |- 36

7

34,5

29

0,233

0,966

6

36 |- 39

1

37,5

30

0,033

1,000

Total

-

30

-

-

1,000

-

13) HISTOGRAMA: É a representação gráfica de uma distribuição de frequências por meio de retângulos justapostos (veja exemplo a seguir).

14) POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA: É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono. Exemplo:

39

15) POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA: É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono, usando a sua frequência acumulada. Exemplo:

40

IV.3. EXERCÍCIOS

1. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos de uma faculdade:

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190 Calcule:

a) A amplitude amostral; b) O número de classes; c) A amplitude de classes; d) Os limites de classes; e) As frequências absolutas das classes; f) As frequências relativas; g) Os pontos médios das classes; h) As frequências acumuladas; i) O histograma e o polígono de frequência; j) O polígono de freqüência acumulada; 2. Um dado foi lançado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados

5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 4 4 1 5 5 6 1 2 5 1 3 4 5 1 1 6 6 2 1 1 4 4 4 3 4 3 2 2 2 3 6 6 3 2 4 2 6 6 2 1

Construa uma distribuição de frequência sem intervalo de classe e determine:

41

a) A Amplitude Total

iii) 1 iv) 10

i) 5

v) 20

ii) 6 iii) 7

f) A frequência acumulada relativa do primeiro

iv) 10

elemento:

v) 50 i) 10% b) A frequência total

ii) 20% iii) 1

i) 5

iv) 10

ii) 6

v) 20

iii) 7 iv) 10

g) A frequência simples absoluta do segundo

v) 50

elemento:

c) A frequência simples absoluta do primeiro

i) 19

elemento:

ii) 9 iii) 2

i) 10%

iv) 38%

ii) 20%

v) 18%

iii) 1 iv) 10

h)

A frequência simples relativa do quinto

v) 20

elemento:

d) A frequência simples relativa do primeiro

i) 12%

elemento:

ii) 84% iii) 5

i) 10%

iv) 6

ii) 20%

v) 42

iii) 1 iv) 10

i) A frequência acumulada relativa do sexto

v) 20

elemento:

e)

i) 50

A frequência acumulada do primeiro

elemento:

ii) 8 iii) 6

i) 10%

iv) 100%

ii) 20%

v) 16%

42

3.

Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em

determinado município do Estado: Milímetros de chuva 144 152 159 160 160 151 157 146 154 145 151 150 142 146 142 141 141 150 143 158

a) Determinar o número de classes pela regra de Sturges; b) Construir a tabela de frequências absolutas simples; c) Determinar as frequências absolutas acumuladas; d) Determinar as frequências simples relativas;

4. O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.

162 163 148 166 169 154 170 166 164 165 159 175 155 163 171 172 170 157 176 157 157 165 158 158 160 158 163 165 164 178 150 168 166 169 152 170 172 165 162 164 a) Calcular a amplitude total. b) Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe? c) Construir uma tabela de frequência das alturas dos alunos. d) Determinar os pontos médios das classes.

5. Vinte alunos foram submetidos a um teste de aproveitamento cujos resultados são.

26 28 24 13 18 18 25 18 25 24 20 21 15 28 17 27 22 13 19 28

Pede-se agrupar tais resultados em uma distribuição de frequências.

43

6. Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas.

Preços

Nº de Lojas

50

2

51

5

52

6

53

6

54

1

Total

20

a) Quantas lojas apresentaram um preço de R$52,00? b) Construa uma tabela de freqüências simples relativas. c) Construa uma tabela de freqüências absolutas acumuladas. d) Quantas lojas apresentaram um preço de até R$52,00 (inclusive)? e) Qual o percentual de lojas com preço maior de que R$51,00 e menor de que R$54,00?

44

UNIDADE V -

V.1.

MEDIDAS DE POSIÇÃO E SEPARATRIZES

MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de posição, também chamadas de medidas de tendência central, possuem três

formas diferentes para três situações distintas. Consideraremos três medidas de posição: Média, Moda e Mediana.

V.1.1. MÉDIA ARITMÉTICA Existem duas médias:  POPULACIONAL, representada letra grega µ  AMOSTRAL, representada por 

x

1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos

x1 , x2 , x3 , ...,xn

A média aritmética da variável aleatória de

x

de uma amostra, portanto “n” valores da variável

x.

é definida por,

n

x

x i 1

n

i

ou simplesmente,

x

x n

Onde n é o número de elementos do conjunto.

Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a média aritmética simples deste conjunto de dados. Neste caso, temos que n = 5 e que

x

x1  3 , x2  7 , x3  8 , x4  10 , x5  11 . Então

3  7  8  10  11 39   7,8 5 5

Interpretação: o tempo médio de serviço deste grupo de funcionários é de 7,8 anos. 

2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a média

aritmética dos valores

x1 , x2 , x3 , ...,xn , ponderados pelas respectivas frequências absolutas: F1,

F2, F3, ... , Fn . Assim n

x

x i 1

i

Fi

n 45

Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis obtendo a seguinte tabela:

veículos negociados (xi)

número de vendedores (Fi)

1

1

1 .1 =

1

2

3

2.3=

6

3

5

3 . 5 = 15

4

1

4.1= 4

x



n = 10

TOTAL

Portanto:

xi . F i

= 26

26  2,6 . 10

Interpretação: em média, cada vendedor negociou 2,6 veículos.

OBSERVAÇÃO: Também podemos fazer primeiramente a interpretação da tabela através de um rol e depois calcular a média (simples ou ponderada)

Veículos Negociados:

x

1 2 2 2 3 3 3 3 3 4

1  2  2  2  3  3  3  3  3  4 26   2,6 10 10

ou

x



1  1  2  3  3  5  4  1 1  6  15  4 26    2,6 10 10 10

3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a média

aritmética dos pontos médios

x1 , x2 , x3 , ...,xn

de cada classe, ponderados pelas respectivas

frequências absolutas: F1, F2, F3 , ... , Fn. Desta forma, o cálculo da média passa a ser igual ao da 2

a

situação. Assim n

x

x i 1

i

Fi

n

Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina:

46

Portanto,

x

ESCORES

ALUNOS (Fi)

xi

xi Fi

35 |- 45

5

40

200

45 |- 55

12

50

600

55 |- 65

18

60

1.080

65 |- 75

14

70

980

75 |- 85

6

80

480

85 |- 95

3

90

270

TOTAL

n = 58

-



= 3.610

3610  62,24 . 58

Interpretação: o desempenho médio deste grupo de alunos foi de 62,24 pontos nesta disciplina.

V.1.2. MODA - Mo Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a moda. É o valor mais frequente da distribuição. 

1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos

x1 , x2 , x3 , ...,xn

de uma amostra, o valor da moda para este tipo de

conjunto de dados é simplesmente o valor com maior frequência. Exemplo 1: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 8 e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados. Mo = 8  Distribuição unimodal ou modal

Interpretação: o tempo de serviço com maior frequência é de 8 anos. Exemplo 2: Suponha o conjunto de tempo de serviço de seis funcionários: 3, 3, 7, 8, 8 e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados.

Mo = 3  Distribuição bimodal Mo = 8 Interpretação: os tempos de serviço com maior frequência foram de 3 e 8 anos.

47

Exemplo 3: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados. não existe Mo  Distribuição amodal

Interpretação: não existe o tempo de serviço com maior frequência. 

a

2 SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples Para este tipo de distribuição, a identificação da moda é facilitada pela simples observação

do elemento que apresenta maior frequência. Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis obtendo a seguinte tabela:

veículos negociados (xi)

número de vendedores (Fi)

1

1

2

3

3

5

4

1

TOTAL

10

Portanto, se a maior frequência é Fi = 5, temos que Mo = 3. Interpretação: A quantidade de veículos comercializados no dia com maior frequência foi de três veículos.

OBSERVAÇÃO: Formando o rol teríamos, como já visto, temos 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4, onde a moda torna-se mais simples de ser verificada. 

3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes Para dados agrupados em classes, não temos uma forma exata de cálculo, mas diversas

fórmulas para o cálculo estimado da moda. A utilizada será a Fórmula de Czuber.

Procedimento: a) Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior frequência) – CLASSE(Mo). b) Utiliza-se a fórmula:

48

Mo  li 

1 .h 1   2

em que:

li = limite inferior da classe modal 1 = Fi  Fi,ant 2 = Fi  Fi,post h = amplitude da classe modal. Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina: ESCORES

ALUNOS (Fi)

35 |- 45

5

45 |- 55

12

55 |- 65

18

65 |- 75

14

75 |- 85

6

85 |- 95

3

TOTAL

58

CLASSE (Mo)  55 |- 65

Mo  55 

6 64

.10  55  6  Mo  61

onde:

1 = 18  12 = 6 2 = 18  14 = 4 Interpretação: O escore com maior frequência entre o grupo de 58 alunos foi de 61 pontos.

V.1.3. MEDIANA - Md Construído o ROL, o valor da mediana é o elemento que ocupa a posição central, ou seja, é o elemento que divide a distribuição em 50% de cada lado:

49



1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos

x1 , x2 , x3 , ...,xn

A mediana da variável aleatória de

x

de uma amostra, portanto “n” valores da variável

x.

é definida por,

par, então o valor da mediana será a média dos dois valores adjacentes à posição

n 1 2

se n = ímpar, então o valor da mediana será o valor localizado na posição

n 1 2

Exemplo 1: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a mediana deste conjunto de dados.

Como n = 5, então o valor da mediana estará localizado na posição

5 1

 3 . Portanto,

2 Md = 8.

Interpretação: 50% dos funcionários possuem até oito anos de tempo de serviço, ou, 50% dos funcionários possuem no mínimo oito anos de tempo de serviço. Exemplo 2: Suponha o conjunto de tempo de serviço de seis funcionários: 3, 7, 8, 10, 11 e 13. Determinar a mediana deste conjunto de dados. Como n = 6, então o valor da mediana estará localizado na posição

6 1

 3,5 . Portanto,

2 Md 

8  10

9

2 Interpretação: 50% dos funcionários possuem até nove anos de tempo de serviço, ou, 50% dos funcionários possuem no mínimo nove anos de tempo de serviço. 

2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência identificaremos a

mediana dos valores

x1 , x2 , x3 , ...,xn

pela posição da mediana POS(Md) 

n

através da

2

frequência absoluta acumulada - Fac. Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis obtendo a seguinte tabela:

50

veículos negociados (xi)

número de vendedores (Fi)

Fac

1

1

1

2

3

4

3

5

9

4

1

10

TOTAL

10

-

Portanto:

POS(Md) 

10

 5  Md  3

2 Observe que analisamos a classe na qual a frequência acumulada atinge o valor 5.

Interpretação: 50% dos vendedores comercializaram no máximo três veículos, ou então, metade dos vendedores comercializou pelo menos três veículos.

OBSERVAÇÃO: Formando o rol temos 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4. Como n é par, a posição da mediana é



10  1 2



33 11  5,5 . Então Md   3. 2 2

3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes

Procedimento: 1. Calcula-se a posição da mediana: POS(Md) 

n 2

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor da mediana - CLASSE(Md) 3. Utiliza-se a fórmula:

Md  li 

POS(Md)  Fac,ant

Fi

.h

Onde:

li = Limite inferior da classe mediana n = Tamanho da amostra ou número de elementos Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe mediana h = Amplitude da classe mediana Fi = Frequência absoluta simples da classe mediana

51

Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina:

ESCORES

ALUNOS (Fi)

Fac

35 |- 45

5

5

45 |- 55

12

17

55 |- 65

18

35

65 |- 75

14

49

75 |- 85

6

55

85 |- 95

3

58

TOTAL

58

-

Portanto, 1. POS(Md) 

58

 29

2 2. CLASSE (Md) = 55 |- 65 3.

Md  55 

29  17 .10  55  6,67  Md  61,67 18

Interpretação: 50% dos alunos obtiveram escore máximo de 61,67 pontos, ou então, metade dos alunos obtiveram escore maior que 61,67 pontos.

V.2.

SEPARATRIZES

V.2.1. QUARTIS

Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.

Onde: Q1 = 1° quartil, deixa 25% dos elementos. Q2 = 2° quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos. Q3 = 3° quartil, deixa 75% dos elementos.

52

Procedimento: 1. Calcula-se a posição do quartil: POS(Q i ) 

n

. i onde: i = 1,2,3

4

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor do quartil - CLASSE(Qi ) 3. Utiliza-se a fórmula:

Qi  li 

POS(Qi )  Fac,ant

Fi

.h

onde:

li = Limite inferior da classe quartílica n = Tamanho da amostra ou número de elementos Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe quartílica h = Amplitude da classe quartílica Fi = Freqüência absoluta simples da classe quartílica Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o primeiro e o terceiro quartil.

ESCORES

ALUNOS (Fi)

Fac

35 |- 45

5

5

45 |- 55

12

17

55 |- 65

18

35

65 |- 75

14

49

75 |- 85

6

55

85 |- 95

3

58

TOTAL

58

-

Portanto, 1. POS(Q1) 

58

. 1  14,5

4 2. CLASSE (Q1) = 45 |- 55 3.

Q1  45 

14,5  5 .10  45  7,92  Q1  52,92 12

Interpretação: 25% dos alunos obtiveram escore máximo de 52,92 pontos, ou então, 75% dos alunos obtiveram escore maior que 52,92 pontos.

1. POS(Q 3 ) 

58

. 3  43,5

4

2. CLASSE (Q3) = 65 |- 75

53

3.

Q3  65 

43,5  35 .10  65  6,07  Q3  71,07 14

Interpretação: 75% dos alunos obtiveram escore menor que 71,07 pontos, ou então, 25% dos alunos obtiveram escore de pelo menos 71,07 pontos.

V.2.2. DECIS São valores que divide a série em dez partes iguais.

Procedimento: 1. Calcula-se a posição da medida: POS(D i ) 

n

. i onde: i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

10

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor do decil - CLASSE(Di ) 3. Utiliza-se a fórmula:

Di  li 

POS(Di )  Fac,ant

Fi

.h

onde:

li = Limite inferior do decil n = Tamanho da amostra ou número de elementos Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe decil h = Amplitude da classe do decil Fi = Frequência absoluta simples da classe do decil Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o sexto decil.

54

ESCORES

ALUNOS (Fi)

Fac

35 |- 45

5

5

45 |- 55

12

17

55 |- 65

18

35

65 |- 75

14

49

75 |- 85

6

55

85 |- 95

3

58

TOTAL

58

-

Portanto, 1. POS(D 6 ) 

58

. 6  34,8

10

2. CLASSE (D6) = 55 |- 65 3. D6  55 

34,8  17 .10  55  9,89  D6  64,89 18

Interpretação: 60% dos alunos obtiveram escore inferior a 64,89 pontos, ou então, 40% dos alunos obtiveram escore mínimo de 64,89 pontos.

V.2.3. PERCENTIS

São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais.

Procedimento: 1. Calcula-se a posição da medida: POS(Pi ) 

n 100

. i onde: i = 1,2,3, ...,98, 99.

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor do percentil - CLASSE(Pi ) 3. Utiliza-se a fórmula:

Pi  li 

POS(P i )  Fac,ant

Fi

.h

onde:

li = Limite inferior do percentil n = Tamanho da amostra ou número de elementos Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe percentil h = Amplitude da classe do percentil Fi = Freqüência absoluta simples da classe do percentil Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o percentil de ordem 23.

55

ESCORES

ALUNOS (Fi)

Fac

35 |- 45

5

5

45 |- 55

12

17

55 |- 65

18

35

65 |- 75

14

49

75 |- 85

6

55

85 |- 95

3

58

TOTAL

58

-

Portanto, 1. POS(P23 ) 

58

. 23  13,34

100

2. CLASSE (P23) = 45 |- 55 3.

P23  45 

13,34  5 .10  45  6,95  P23  51,95 12

Interpretação: 23% dos alunos com os menores escores obtiveram pontuação inferior a 51,95 pontos, ou então, 77% dos alunos obtiveram escore maior que 51,95 pontos.

56

V.3.

EXERCÍCIOS

1. Na série 6, 2, 8, 6, 3, 0, 4, 2, 6, 7, 10, 3, 6, composta de notas de uma prova de matemática, a média é :

(a) 4,85 (b) 5,33 (c) 5,16 (d) 4,75 (e) 6,3 2. Calcule a média ponderada das distribuições abaixo. Calcule também a moda e a mediana.

a)

b)

c)

3. Numa avaliação 6 alunos obtiveram nota 5 ; 8 alunos obtiveram nota 7 ; 5 alunos obtiveram nota 9 e um aluno obteve nota 10. Qual a média desses alunos?

(a) 7,05 (b) 6,5 (c) 7,5 (d) 7,0 (e) 7,5 4. Calcule a mediana de cada uma das séries abaixo:

a) 5, 6, 8, 10 e 15 b) 27, 10, 28, 31 e 27 c) 10, 11, 17, 15, 18, 21, 27 e 30 d) 31, 20, 7, 16, 30, 42, 9, 27 ,12 e 34

57

5. Em um projeto foi pesquisado o número de anos de estuda de uma população. Uma amostra de 5 pessoas apresentou as seguintes respostas: 6,4,11,6,8 a mediana dessa amostra é:

(a) 11 (b) 8 (c) 6 (d) 4 (e) Essa amostra não possui mediana. 6. Obtenha a moda das seguintes séries:

a) 2, 3, 4, 4, 5, 2, 3 e 2 b) 10, 9, 8, 10, 5, 9 e 7 c) 2, 3, 3, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9 e 9 d) 16, 15, 14, 11, 12 e 18 7. Dado o rol do número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obteve-se os seguintes resultados:

5

5

5

6

6

6

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

8

9

9

10 10 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 14 14 14 14 14 14 14

a) Complete a tabela de distribuição de frequência:

Segundo nos mostra a tabela acima responda:

58

15 16 19 22

i) Qual a amplitude total (r)?

ii) Qual o valor de k (número de classe)?

iii) Qual o intervalo de cada classe (h)?

b) Calcule a média,a moda e a mediana para essa distribuição de frequências.

c) Calcule o segundo quartil.

8. Considere a seguinte tabela:

Identificar os seguintes elementos da tabela:

a) Frequência simples absoluta da quinta classe. b) Frequência total. c) Limite inferior da sexta classe. d) Limite superior da quarta classe. e) Amplitude do intervalo de classe. f) Amplitude total. g) Ponto médio da terceira classe. h) Número total de classe. i) Frequência absoluta acumulada além da sexta classe. j) Porcentagem de valores iguais ou maiores que 3,20.

59

9. Complete a tabela a seguir e calcule a média, a moda e a mediana para essa distribuição.

10. Responda as questões abaixo:

I) Média, Mediana e Moda são medidas de : a) (

) Dispersão

b) (

) posição

c) (

) assimetria

d) (

) curtose

II) Na série 10, 20, 40, 50, 70, 80 a mediana será: a) (

) 30

b) (

) 35

c) (

) 40

d) (

) 45

III) 50% dos dados da distribuição situa-se: a) (

) abaixo da média

c) (

b) (

) acima da mediana

d) (

) abaixo da moda ) acima da média

11. Calcule para cada caso abaixo a respectiva média.

a) 7, 8, 9, 12, 14

b)

60

c)

12. Calcule o valor da mediana.

a) 82, 86, 88, 84, 91, 93 b)

c)

13. Calcule a moda

a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10

b)

c)

14. Para a distribuição abaixo calcular D2 , P4 Q3 .

61

UNIDADE VI - MEDIDAS DE DISPERSÃO As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos um dos outros, ou separados em torno de uma medida de posição: a média. Consideraremos quatro medidas de dispersão: Desvio-médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.

VI.1. AMPLITUDE TOTAL A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado: R = xmax  xmin Quanto maior a amplitude total , maior será a dispersão dos valores da variável em torno da média.

Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a amplitude total deste conjunto de dados. R = 11  3 = 8

VI.2. INTERVALO INTERQUARTÍLICO A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensível à existência, na amostra, de uma observação muito grande ou muito pequena. Assim, define-se uma outra medida, a amplitude (ou intervalo) interquartil, que é, em certa medida, uma solução de compromisso, pois não é afetada, de um modo geral, pela existência de um número pequeno de observações demasiado grandes ou demasiado pequenas. Essa medida é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil, ou seja Q3  Q1. Temos que 50% dos elementos do meio da amostra, estão contidos num intervalo com essa amplitude. Esta medida é não negativa e será tanto maior quanto maior for a variabilidade nos dados. Ao contrário do que acontece com o desvio padrão, uma amplitude interquartil nula, não significa necessariamente, que os dados não apresentem variabilidade. Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar o intervalo interquartílico deste conjunto de dados.

Temos que Q1 = 5

e Q3 = 10,5. Então, Q1  Q3 = 10,5  5 = 5,5.

Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o intervalo interquartílico.

63

Temos que

ESCORES

ALUNOS (Fi)

Fac

35 |- 45

5

5

45 |- 55

12

17

55 |- 65

18

35

65 |- 75

14

49

75 |- 85

6

55

85 |- 95

3

58

TOTAL

58

-

Q1  52,92 e Q3  71,07 , então o intervalo interquartílico é

Q3 - Q1  71,07  52,92  18,15 Interpretação: 50% dos escores dos alunos estão contidos num intervalo com amplitude 18,15.

VI.3. DESVIO-MÉDIO O desvio-médio analisa a média dos desvios em torno da média. 

1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos

X

, com média igual a

x

x1 , x2 , x3 , ...,xn

. O desvio-médio da variável aleatória de

DM  onde

n

de uma amostra, portanto

x

i

X

"n"

valores da variável

é,

x

n

é o número de elementos do conjunto.

Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar o desvio-médio deste conjunto de dados.

RESOLUÇÂO: Temos que E

x1  3 , x2  7 , x3  8 , x4  10 , x5  11 .

Então

64

x  7,8 .

DM 

 xi

x



 xi

 7,8

n 5 x1  7,8  x 2  7,8  x3  7,8  x 4  7,8  x5  7,8  5 3  7,8  7  7,8  8  7,8  10  7,8  11  7,8  5  4,8   0,8  0,2  2,2  3,2 4,8  0,8  0,2  2,2  3,2 11,2     2,24 5 5 5

Interpretação: em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários se desvia em 2,24 anos em torno dos 7,8 anos de tempo médio de serviço. 

2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos o desvio-

x1 , x2 , x3 , ...,xn ,

médio dos valores

F1 , F2 , F3 , ...,Fn

ponderados pelas respectivas frequências absolutas:

como no cálculo da média aritmética. Assim

DM 

x

i

 x . Fi n

Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. O cálculo do desvio-médio será:

RESOLUÇÂO: Temos que

Então

x  2,6 .

DM 

x

i

 x . Fi n



1,6  1,8  2,0  1,4 6,8   0,68 10 10

Interpretação: em média, a quantidade de veículos negociada de cada vendedor possuiu uma distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média por vendedor.

65



3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos o desvio-

médio dos pontos médios frequências absolutas:

x1 , x2 , x3 , ...,xn ,

F1 , F2 , F3 , ...,Fn .

de cada classe, ponderados pelas respectivas

Desta forma, o cálculo do desvio-médio passa a ser

a

igual ao da 2 situação. Assim

DM 

x

i

 x . Fi n

Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. O cálculo do desvio-médio será:

RESOLUÇÂO: Temos que

x  62,24 . Então DM 

597  10,29 58

Interpretação: Em média, a nota de cada aluno deste grupo teve um distanciamento de 10,29pontos em torno do desempenho médio deste grupo de alunos foi de 62,24 pontos nesta disciplina.

VI.4. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO A variância de um conjunto de dados é a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média. A fórmula da variância poderá ser calculada de duas formas:

 POPULACIONAL, representada letra grega  AMOSTRAL, representada por S2.

66

2.



1a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos

igual a

x

x1 , x2 , x3 , ...,xn

X

. A variância da variável aleatória de



2

 x i   2   N





"n"

, portanto

valores da variável

X

, com média

é,

2

1  N

2  2  x i    .  xi    N  

ou

 xi  x  

2

S

2

n 1



2 1  2  x i   S  .  xi   n 1  n   2

Obs: A Segunda fórmula é chamada de “Fórmula Desenvolvida”. Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar o desvio-padrão deste conjunto de dados.

RESOLUÇÂO: Temos que

x  7,8 .

Então

3  7,8 

2

S

2

 7  7,8  8  7,8  10  7,8  11  7,8 38,8   S 2  9,7 anos 2 5 1 4 2

2

2

2

Interpretação: encontramos então uma variância para o tempo de serviço de 9,7 anos2. Para eliminarmos o quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada do resultado da variância, que chegamos a uma terceira medida de dispersão, chamada de DESVIOPADRÃO:

 POPULACIONAL, representada letra grega  AMOSTRAL, representada por

S  S2

  2

.

.

Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 3,11 anos. Ou seja, se calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos dados.

67



2a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a

variância dos valores

F1 , F2 , F3 , ...,Fn 2 

x1 , x2 , x3 , ...,xn ,

ponderados pelas respectivas freqüências absolutas:

. Assim

  xi   2 . Fi N

1 N

 2 .   x i . Fi   

 xi . Fi 2 



2 



 xi . Fi 2  1  2 S  .  x i . Fi   n 1  n  

N

 

ou

 xi  x  . Fi  2

S

2

n 1

2

Exemplo: Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. O cálculo do desvio-médio será:

RESOLUÇÃO: Temos que Então

x  2,6 .

6,4 S   0,71 veículos2 9 2

 S  0,71 veículos2  0,84 veículos

1 26 2  S  .74   0,71 veículos2  9 10  2

 S  0,71 veículos2  0,84 veículos

Interpretação: Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 0,84 veículos. Ou seja, se calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos veículos negociados por vendedor.

68



3a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a

variância dos pontos médios freqüências absolutas:

x1 , x2 , x3 , ...,xn ,

de cada classe, ponderados pelas respectivas

F1 , F2 , F3 , ...,Fn . Desta forma, o cálculo da variância passa a ser igual ao

a

da 2 situação. Assim



2

S

2

 x i   2 . Fi   N

1  N

 2 .   x i . Fi   

 xi . Fi 2 







 xi . Fi 2  1  2 S  .  x i . Fi   n 1  n  

2

N

 

ou

 xi  x  . Fi  2

n 1

2

Exemplo: A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. O cálculo do desvio-médio será:

RESOLUÇÃO: Temos que Então

x  62,24 .

S2 

9409  165,1 veículos2 57

 S  165,1 veículos2  12,85 veículos

1  3610 2  S  .234100   12,85 veículos2  57  58  2

 S  165,1 veículos2  12,85 veículos

Interpretação: Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 12,85 pontos. Ou seja, se calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno do escore médio de 62,24 pontos, encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação.

69

VI.5. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Trata-se de uma média relativa à dispersão , útil para a comparação e observação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dada por:

CV 

 .100 

ou

CV 

S .100 x

Classificação da distribuição quanto à dispersão:

CV  15% DISPERSÃO MÉDIA: 15%  CV  30% DISPERSÃO ALTA: CV  30% DISPERSÃO BAIXA:

Exemplo: Numa empresa o salário médio dos funcionários do sexo masculino é de R$ 4.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.500,00, e os funcionários do sexo feminino é em média de R$ 3.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.200,00. Então:

Sexo masculino:

Sexo feminino:

CV 

CV 

1500 .100  37,5% 4000

1200 .100  40% 3000

Interpretação: Logo, podemos concluir que o salário das mulheres apresenta maior dispersão relativa que a dos homens. Para obtermos o resultado de CV basta multiplicarmos por 100.

70

VI.6. EXERCÍCIOS

1. Desvio Médio para o conjunto de dados abaixo será:

(a) 1,28 (b) 1,20 (c) 1,00 (d) 0,83 (e) 0,73 2. O Desvio Padrão de um conjunto de dados é 9. A variância é:

(a) 3 (b) 18 (c) 36 (d) 50 (e) 81 3. Na distribuição de valores iguais, o Desvio padrão é:

(a) Negativo (b) A unidade (c) Zero (d) Positivo (e) Impossível calcular 4. O calculo da variância supõe o conhecimento da:

(a) Frequência acumulada (b) Média (c) Mediana (d) Moda (e) Probabilidade

71

5. A variância do conjunto de dados tabelados abaixo será:

(a) 1,36 (b) 4,54 (c) 10,3 (d) 18,35 (e) 20,66 6. Calcule o desvio médio para as distribuições de frequência abaixo.

a)

b)

7. Calcule para cada caso abaixo desvio médio.

a) 7, 8, 9, 12, 14

b)

c)

8. Calcule para cada caso abaixo a variância.

a) 82, 86, 88, 84, 91, 93

72

c)

b)

c)

9. Calcule para cada caso abaixo o desvio padrão.

a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10

b)

c)

14. Em um exame final de Estatística, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi de 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Computação Básica, entretanto, o grau médio final foi de 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão?

15. Medidas as estaturas de 1.017 cearenses, obtivemos a estatura média = 162,2 cm e o desvio padrão = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses cearenses apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?

16. Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual o coeficiente de variação (CV) de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo?

73

UNIDADE VII - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E DE CURTOSE

VII.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA DEFINIÇÃO: grau de deformação de uma distribuição em relação ao eixo de simetria.

Podemos observar os tipos de assimetria abaixo:

a)

 x  Md  Mo

b)

 x  Md  Mo

c)

 x  Md  Mo

Existem várias coeficientes com o objetivo de quantificar tais assimetrias. Estudaremos dois destes coeficientes que veremos a seguir:

VII.1.1. Coeficiente de Pearson O coeficiente de Pearson é apresentado pela seguinte fórmula:

As 

  Mo 

ou

As 

x  Mo S 75

Classificação do coeficiente de Pearson:

As  0

Distribuição Simétrica

0  As  1

Distribuição Assimétrica Positiva Fraca

As  1

Distribuição Assimétrica Positiva Forte

 1  As  0

Distribuição Assimétrica Negativa Fraca

As  1

Distribuição Assimétrica Negativa Forte

VII.1.2.Coeficiente de Bowley O coeficiente de Bowley é apresentado pela seguinte fórmula:

As 

Q3  Q1  2.Md Q3  Q1

Classificação do coeficiente de Bowley:

As  0

Distribuição Simétrica

0  As  0,1

Distribuição Assimétrica Positiva Fraca

0,1  As  0,3

Distribuição Assimétrica Positiva Moderada

0,3  As  1

Distribuição Assimétrica Positiva Forte

 0,1  As  0

Distribuição Assimétrica Negativa Fraca

 0,3  As  0,1

Distribuição Assimétrica Negativa Moderada

 1  As  0,3

Distribuição Assimétrica Negativa Forte

VII.2. MEDIDAS DE CURTOSE Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma distribuição. Podemos ter:

 Curva Platicúrtica

76

 Curva Mesocúrtica

 Curva Leptocúrtica

Para medir o grau de curtose utilizaremos o coeficiente

K

Q3  Q1 2.( P90  P10 )

Classificação do coeficiente de Curtose:

K  0,263

Curva Mesocúrtica

K  0,263

Curva Platicúrtica

K  0,263

Curva Leptocúrtica

77

VII.3. EXERCÍCIOS 1. Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta.

I

II

(a) a curva I é simétrica

 x  Md  Mo

(b) a curva II é assimétrica positiva (c) a curva I é simétrica

III

 Mo   2  x

 x  Md  Mo

(d) a curva III é simétrica positiva

 x  Md  Mo

2. Para as distribuições abaixo calcule a média, moda, mediana e o desvio padrão.

Distribuição A

Distribuição B

Distribuição C

Marque a alternativa correta:

(a) a distribuição I é assimétrica negativa (b) a distribuição II é assimétrica positiva (c) a distribuição III é assimétrica negativa moderada (d) a distribuição I é simétrica 3. Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: Média= 33,18;

Mediana= 31,67;

a) Classifique o tipo de assimetria b) Calcule o coeficiente de assimetria

78

Moda= 27,50

e S= 12,45.

4. Uma distribuição de frequências apresenta os seguintes dados: Média= 48,1;

Mediana= 47,9

e

S= 2,12.

Calcule o coeficiente de assimetria.

5. Sabe-se que a distribuição apresentou as seguintes medidas: Q1 = 24,4 cm

Q3 = 41,2 cm

P10 = 20,2 cm

P90 = 49,5 cm

Com tais medidas a curtose é:

(a) Leptocúrtica (b) Platicúrtica (c) Mesocúrtica (d) Assimétrica 6. Considere os resultados relativos a três distribuições de frequências: Distribuição

Média

Moda

A

52

52

B

45

50

C

48

46

Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.

7. Classifique, quanto a assimetria a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de Pearson.

8. Considere as seguintes medidas, relativas as três distribuições de frequências:

a) calcule os respectivos graus de curtose b) classifique cada uma das distribuições em relação a curva normal

79

ANEXO Tabela de Números Aleatórios

81

APENDICES

APÊNDICE A: REGRAS DE ARREDONDAMENTO Se pedirmos a diferentes pessoas que meçam um segmento, certamente obteremos resultados diversos. Alguns poderão dar como resposta 3,4 cm (centímetros), outros, 3,5 cm. Quem poderá nos garantir que tal medida não seria 3,45 cm ou 3,449 cm? O valor obtido depende de quem efetuou a medida e do instrumento utilizado. Qualquer medição, por mais bem feita que seja, sempre nos dará um resultado aproximado. Assim, também cálculos que envolvam divisões nem sempre resultam em números exatos. Observemos o resultado de

146 99

. O número 1,474747... envolve uma dízima periódica. É, portanto,

um número decimal não-exato. Para calcularmos o valor da expressão

3,578 

146 , poderíamos pensar em usar apenas 99

três casas decimais, considerando: 

Um número menor que o valor real: 3,578 + 1,474 = 5,052



Um número maior que o valor real: 3,578 + 1,475 = 5,053 Nos dois casos estaríamos cometendo erros: para menos, no primeiro, e para mais no

segundo. O erro é a diferença entre o valor real do número e o valor considerado. Ao trabalharmos com frações sempre conseguimos resultados exatos, no entanto, quando usamos os números decimais isso não acontece. Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados ou valores. Estudar arredondamentos é de fundamental importância para os estudos de Estatística, principalmente para valores que tem muitas casas decimais. Mas esse arredondamento não pode ser efetuado de qualquer maneira. A definição de critérios para considerar números próximos aos que representam os valores reais é necessária par reduzir ao mínimo os efeitos dos erros. A quantidade de algarismos a conservar após a vírgula depende do problema que estamos resolvendo. O erro de 0,5 m (metros) na medida do comprimento de uma rua é diferente do erro de 0,5 m na medida do comprimento de uma sala. Vejamos isso por meio de duas situações práticas:

Exemplo: a) Um funcionário da prefeitura mede uma rua com o objetivo de numerar as casas em relação às medidas obtidas. O portão da casa do Sr. Francisco está a 21,5 m do início da rua, no lado

83

dos números ímpares. O funcionário dá o número 21 à residência em questão. Cometeu, assim, um erro de 0,5 m. b) Um operário mede o comprimento de uma sala, para a colocação de um carpete em seu piso. A medida obtida é 3,5 m. O operário anota 3 m, cometendo, portanto, um erro de 0,5 m.

Nos dois exemplos, o número que representa os erros é o mesmo, mas o significado dos erros cometidos é diferente, uma vez que as situações são diversas. Continuemos nosso raciocínio completando o problema do exemplo b: o operário, ao medir a sala, obteve comprimento 3,5 m e largura 2,3 m. Assim, a área do piso da sala é 3,5 m × 2,3 m = 8,05 m2. O erro de 0,5 m cometido pelo operário na anotação da medida levará ao seguinte cálculo de área: 2

3 m × 2,3 m = 6,9 m . 2

2

2

O erro na medida da área seria, portanto, de: 8,05 m – 6,9 m = 1,15 m . Um valor alto demais, considerando-se o problema.

Você já deve ter percebido, portanto, que devemos ter certo cuidado no arredondamento de dados. Deve ter notado também a importância do arredondamento e da definição de critérios para reduzir o efeito dos erros. Quando trabalhamos com arredondamentos de números, outro detalhe a se observar diz respeito as formas de representação de um número. Vejamos o exemplo do 2; 2,0 e 2,00: O valor “2” está compreendido entre os valores 1,5 e 2,5:

O valor “2,0” está compreendido entre 1,95 e 2,05:

O valor “2,00” está compreendido entre 1,995 e 2,005:

Cada uma das representações do número 2 irá auxiliar um tipo de arredondamento. Podemos perceber, então que há diferença entre os arredondamentos se tomarmos o inteiro, o décimo, o centésimo, etc.

84

Exemplos:

a) O melhor arredondamento para o inteiro mais próximo de 72,8 seria 72 ou 73? Veja o esquema abaixo:

Vemos que 72,8 está mais próximo de 73. Considerando 73, o erro será: 73– 72,8 = 0,2. Considerando 72, o erro será: 72,8– 72 = 0,8. No segundo caso o erro é maior. Conclui-se que será melhor a aproximação (arredondamento) para 73.

b) Qual o melhor arredondamento do número 72,814 com aproximação para o décimo mais próximo? (chamamos “aproximação para o décimo mais próximo” o arredondamento do número considerando a casa dos décimos, ou seja, considerando uma casa decimal.)

Vemos que 7,814 está mais próximo de 72,8. Seu arredondamento para o décimo mais próximo é, então, 72,8. c) Aproximar 72,814 para o centésimo mais próximo (2 casas decimais).

A aproximação para o centésimo mais próximo é 72,81 porque está mais próximo do que 72,82 (o erro é menor). d) Qual é a melhor aproximação do número 72,815 para o centésimo mais próximo?

Deparamos agora com um número que tem a mesma distância tanto de 72,81 de 72,82. Na prática, costuma-se aproxima o algarismo que precede o 5 para o número par mais próximo. Assim, a aproximação de 72,815 para o centésimo mais próximo é 72,82. Esta prática é valiosa para reduzir ao mínimo os erros acumulados por arredondamento. Vejamos o exemplo seguinte:

85

e) Adicionar os números: 7,35 + 8,65 + 3,25 + 3,15 + 2,95 + 0,75 e 4,85. Solução: 

Adicionamos diretamente (sem arredondamento): total = 30,95



Com arredondamentos para décimos considerando o número par no algarismo que precede o 5: 7,4 + 8,6 + 3,2 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,8 = 31,0



Com arredondamentos para décimos acrescendo 1 ao algarismo que precede o 5: 7,4 + 8,7 + 3,3 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,9 = 31,3

O erro no segundo processo é 31,0 – 30,95 = 0,05 e no terceiro processo é 31,3– 30,95 = 0,35. Logo o segundo nos leva a um erro menor que o terceiro arredondamento, o que torna o segundo processo mais aconselhável.

Os arredondamentos, como os utilizados nos exemplos anteriores, são baseados em critérios já estabelecidos. De acordo com a resolução 886/66 do IBGE, o arredondamento deve efetuado da seguinte maneira:

Tabela 1: Em conformidade com a Resolução nº 886/66 da Fundação IBGE. Condições

<5

>5

Procedimentos O último algarismo a permanecer fica

53,24 passa a 53,2

inalterado.

42,03 passa a 42,0

Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer.

(i) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumentase uma unidade no algarismo a permanecer. =5

Exemplos

(ii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.

42,87 passa a 42,9 25,08 passa a 25,1 53,99 passa a 54,0

2,352 passa a 2,4 25,6501 passa a 25,7 76,250002 passa a 76,3

24,75 passa a 24,8 24,65 passa a 24,6 24,7500 passa a 24,8 24,6500 passa a 24,6

Fonte: Adaptado de CRESPO, 1991

Cabe ressaltar que, não se deve efetuar arredondamentos sucessivos (ex.: 17,3452 passa a 17,3 e não para 17,35; para 17,4). Caso se faça necessário um novo arredondamento recomendasse o retorno dos dados originalmente gerados.

86

Exercícios

1. Arredondar de acordo com o que se pede:

a) Para o inteiro mais próximo

53,02 =

23,5 =

99,900 =

26,5 =

98,49 =

108,5 =

1,008 =

49,98 =

71,50002 =

739,5 =

40,900 =

128,53 =

b) Para o centésimo mais próximo 20,742 =

46,727 =

28,255 =

205,238 =

12,352 =

253,65 =

5,385 =

45,097 =

39,49 =

84,259

c) Para o décimo mais próximo 0,061

23,40

120,4500

0,223

234,7832

26,55

7,7

12,235

129,98

30,0503

87

2. Uma transportadora entregou em um mês: 

6,19655 toneladas de produtos eletrônicos;



15,8561 toneladas de brinquedos;



13,6455 toneladas de alimentos;



09,7450 toneladas de papel;



10,3400 toneladas de remédio;



12,2350 toneladas de tecidos.

Calcule quanto a transportadora entregou nesse mês, em toneladas:

a) sem arredondar; b) arredondando para o centésimo mais próximo c) arredondando para o inteiro mais próximo.

3. Efetue as operações indicadas e calcule o erro, em cada caso de arredondamento (se possível, use calculadora): a) 3,253 + 1,725 + 1,23001 + 2,471 + 5,6451 b) 3,150· 2,335 c) 4,75¸ 1,2 d) 3,112- 1,3374 e) 45 + 29,12- 14,3303 + 9,99

Para cada operação considere: 

sem arredondamento;



com arredondamentos para décimos;



com arredondamentos para centésimos;



com arredondamentos para milésimos;



com arredondamentos para a unidade.

Em cada caso indique qual é o arredondamento que traz o menor acúmulo de erros.

88

APÊNDICE B: RAZÃO, PROPORÇÃO E PORCENTAGEM

Do ponto de vista estatístico, estas podem ser consideradas como medidas muito simples que permitem estabelecer comparações entre diversos grupos.

1) Razão e Proporção

A razão de um número A em relação a outro número B define-se como “A dividido por B”. A quantidade precedente é posta no numerador e a seguinte, no denominador. Uma proporção é uma igualdade entre razões. Exemplo: Através de uma pesquisa realizada em uma certa cidade, descobriu-se que, das pessoas entrevistadas, 300 se manifestaram a favor a uma determinada medida adotada pela prefeitura local, 400 contra e 70 eram indiferentes. Neste caso, a razão daquelas pessoas contra a medida para aquelas a favor foi de:

400 300

ou

4 3

ou

4:3

ou

1,33

para

1

E a razão daquelas a favor e contra para aquelas indiferentes foi de:

400  300 70

ou

70 7

ou

70 : 7

ou

10

para

1

Podemos também pensar em uma relação entre a parte e o todo. Considere um número de empregados que foi distribuído em quatro repartições de uma certa empresa de acordo com sua função. Estas repartições são mutuamente exclusivas (cada pessoa somente poderá ser alocada em uma única repartição) e exaustivas (todas as pessoas deverão ser alocadas). Em termos simbólicos podemos escrever:

N1 = número de pessoas alocadas na repartição 1 N2 = número de pessoas alocadas na repartição 2 N3 = número de pessoas alocadas na repartição 3 N4 = número de pessoas alocadas na repartição 4 N = N1 + N2 + N3 + N4 = número total de empregados

89

Neste caso, a proporção de empregados pertencentes à primeira repartição é determinada mediante o cálculo do quociente

N2 N3 , N N

e

N4 N

N1 N

; para as demais repartições segue o mesmo procedimento:

.

Note que o valor de uma proporção não pode exceder a unidade, e que a soma de todas as proporções será sempre igual à unidade. Assim,

N1 N 2 N 3 N 4 N     1 N N N N N Exemplo: Considere a Tabela 01.

Tabela 01. Número de empregados contratados (consultores) e com carteira assinada em dois órgãos públicos

FONTE: Departamento de Recursos Humanos destes Órgãos Públicos Não é simples raciocinar em termos absolutos e dizer qual dos dois órgãos públicos conta com maior número de empregados consultores em suas duas modalidades de expedientes porque o número total de empregados difere muito entre si. Por outro lado, a comparação direta pode ser estabelecida rapidamente, se os dados forem expressos em proporções. A proporção de consultores com tempo integral no órgão público 1 é:

N1 580   0,099  0,1 N 5820 E no órgão público 2, seguindo o mesmo raciocínio temos:

N1 680   0,0528  0,053 N 12860 Note que, em números absolutos, estes valores são muito próximos (580 e 680). Entretanto, o órgão público 2 apresenta uma proporção inferior de consultores com tempo integral.

90

Analogamente, fazendo os cálculos para ambos os órgãos públicos, têm:  ÓRGÃO PÚBLICO 1



Consultores com meio expediente:



Carteira assinada:

N 2 430   0,0738  0,074 N 5820

N 3 4810   0,8264  0,826 N 5820

 ÓRGÃO PÚBLICO 2



Consultores com meio expediente:



Carteira assinada:

N 2 1369   0,1064  0,106 N 12860

N 3 10811   0,8406  0,841 N 12860

Assim, temos a seguinte tabela de proporções: Tabela 02. Proporção de empregados contratados (consultores) e com carteira assinada em dois órgãos públicos

2) Porcentagem

As porcentagens são obtidas a partir do cálculo das proporções, simplesmente multiplicandose o quociente obtido por 100. A palavra porcentagem significa, portanto, “por cem”. Uma vez que a soma das proporções é igual a 1, a soma das porcentagens é igual a 100, a menos que as categorias não sejam mutuamente exclusivas e exaustivas. Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior e multiplicando as proporções por 100 teremos a seguinte tabela:

91

As porcentagens e proporções, em Estatística, têm como principal finalidade estabelecer comparações relativas. Como um outro exemplo, as vendas de duas empresas foram as seguintes em dois anos consecutivos:

Em valores absolutos, a empresa B teve um crescimento no faturamento maior que a empresa A. Contudo, na realidade, comparando estes valores em termos percentuais, a empresa A foi a que apresentou um desempenho superior (crescimento de 50% na empresa A e de 25% na empresa B).

92

Exercícios

Para cada tabela abaixo, calcule a proporção e a porcentagem e responda às perguntas:

Tabela 01. Quociente de Inteligência (QI) de uma certa faculdade brasileira

a) Qual o nível de QI que possui a maior proporção/percentual? E a menor? b) Calcule e interprete as seguintes razões: i) Alunos com QI entre 92 e 122 (exclusive) para aqueles com QI entre 137 e 152 (exclusive). ii) Alunos com QI entre 107 e 152 (exclusive) para os demais. iii) Alunos com QI entre 92 e 107 (exclusive) para aqueles com QI entre 152 e 167 (exclusive). iv) Alunos com QI inferior a 122 para aqueles com QI maior ou igual a 137.

Tabela 02. Notas de candidatos de um certo concurso público realizado em uma cidade

93

a) Dado que a nota de corte seja de 60 pon tos, qual a proporção/percentual dos candidatos que foram aprovados? b) Calcule e interprete as seguintes razões: i) Candidatos com nota menor que 20 para aqueles com nota de 40 a 60 (exclusive). ii) Candidatos com nota menor que 40 para aqueles com nota mínima de 60. iii) Candidatos com nota de 40 a 60 (exclusive) para aqueles com nota igual ou superior a 80. iv) Candidatos com nota máxima de 40 para aqueles com nota maior ou igual a 60. v) Candidatos com nota de 20 a 60 (exclusive) para os demais.

Tabela 03. Área das Regiões Brasileiras

a) Qual a região que ocupa a maior área do Brasil e qual é a sua proporção/porcentagem? b) Calcule e interprete as seguintes razões: i) Área da região Norte para a da região Nordeste. ii) Área das regiões Norte e Nordeste para o da região Centro-Oeste. iii) Área da região Sudeste para o das regiões Sul e Centro-Oeste. iv) Área da região Norte para as demais.

94