Cours De Calculs Topometriques Définitif

COURS DE CALCULS TOPOMETRIQUES

INGENIEUR TINA

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SOMMAIRE GENERALITES ........................................................................................................................................................ 5 I.

DEFINITION ............................................................................................................................................... 5

II.

ORGANISATION DES CALCULS .................................................................................................................. 5 1.

Généralités : ......................................................................................................................................... 5

2.

Organisation des calculs ....................................................................................................................... 5

III.

UNITES UTILISEES EN TOPOMETRIE...................................................................................................... 6

1.

Unités linéaires ..................................................................................................................................... 6

2.

Unités angulaires .................................................................................................................................. 7

3.

Unités de surface (unités agraires) ....................................................................................................... 7

4.

Conversions angulaires ......................................................................................................................... 7

CHAPITRE I : CALCUL DE DISTANCES ET PROBLEME D’ORIENTATION .................................................................. 9 I.

CALCUL DE DISTANCES : RESOLUTION DE TRIANGLES ............................................................................. 9 1.

Triangle rectangle ................................................................................................................................. 9

1.

Formules dans les triangles quelconques................................................................................................. 9

2.

Cas classiques de résolutions de triangles ............................................................................................. 10

2.1.

Cas du triangle défini par un côté et les deux angles adjacents :....................................................... 10

2.2.

Cas du triangle défini par un angle et les deux côtés de cet angle : .................................................. 10

2.3.

Cas du triangle défini par ses trois côtés ............................................................................................ 11

2.4.

Cas du triangle défini par deux côtés et la surface............................................................................. 11

2.5.

Cas du triangle défini par un côté, un angle et la surface .................................................................. 12

2.6.

Cas du triangle défini par deux angles et la surface ........................................................................... 12

2.7.

Cas du triangle défini par un angle, un côté de cet angle et le côté opposé à cet angle ................... 12

2.8.

Cas du triangle défini par trois angles et la surface............................................................................ 13

II.

LES DIFFERENTES ORIENTATIONS ........................................................................................................... 13 1.

Gisement d’une direction ................................................................................................................... 14

2.

G0 de station ...................................................................................................................................... 15

CHAPITRE II : CALCUL D’UN CANEVAS PLANIMETRIQUE .................................................................................... 17 I.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR INTERSECTION ......................................... 17 1.

Formules simples ................................................................................................................................ 17

2.

Formule globale .................................................................................................................................. 18

3.

Formule de Hatt.................................................................................................................................. 18

II.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RELEVEMENT ........................................... 19 1.

Principe ............................................................................................................................................... 19

2.

Méthode géométrique ou relèvement italien.................................................................................... 20

3.

Méthode barycentrique ..................................................................................................................... 21 2 / 107

4.

Méthode de Delambre ....................................................................................................................... 22

III.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR DOUBLE RELEVEMENT ......................... 24

IV.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RECOUPEMENT.................................... 26

V.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR TRILATERATION ....................................... 27

VI.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RATTACHEMENT - RABATTEMENT ..... 28

VII.

CALCUL DE L’EXCENTREMENT ............................................................................................................ 29

1.

Correction de réduction au centre ..................................................................................................... 30

2.

Précisions à conserver dans les mesures des éléments de l’excentrement ...................................... 31

CHAPITRE III : CALCULER ET COMPENSER UN CHEMINEMENT PLANIMETRIQUE OU UNE POLYGONALE ......... 33 I.

DEFINITIONS ET PRINCIPE....................................................................................................................... 33 1.

Un cheminement en antenne ou ouvert ............................................................................................ 33

2.

Le cheminement encadré ................................................................................................................... 33

3.

Le cheminement dit fermé ou bouclé : .............................................................................................. 33

4.

Le point nodal : ................................................................................................................................... 34

II.

CALCULS .................................................................................................................................................. 34 1.

Calcul d’un cheminement encadré ..................................................................................................... 35

2.

Calcul d’un cheminement bouclé ou fermé ....................................................................................... 45

CHAPITRE IV : CALCUL DE SURFACES .................................................................................................................. 51 INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 51 I.

CALCUL DE SURFACES PAR DECOMPOSITION EN FIGURES GEOMETRIQUES SIMPLES .......................... 51

II.

CALCUL DE SURFACES PAR COORDONNEES RECTANGULAIRES ............................................................. 53

III.

CALCUL DE SURFACES PAR COORDONNEES POLAIRES (ANGLES, DISTANCES) .................................. 54

IV.

CALCUL DE SURFACES PAR LA METHODE POLYGONALE (OU METHODE DE SARRON) ...................... 56

V.

SURFACES DELIMITEES PAR DES LIGNES COURBES ................................................................................ 58 1.

Méthode de Poncelet. ........................................................................................................................ 58

2.

Méthode Simpson. ............................................................................................................................. 59

VI.

REDRESSEMENT DE LIMITES ............................................................................................................... 60

CHAPITRE V : DIVISIONS DE SURFACES............................................................................................................... 63 I.

LIMITES DIVISOIRES PASSANT PAR UN SOMMET ................................................................................... 63 1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 63

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 64

3.

Cas d’un polygone .............................................................................................................................. 64

II.

LIMITES DIVISOIRES PASSANT PAR UN POINT SITUE SUR UN CÔTÉ....................................................... 65 1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 65

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 65

3.

Cas d’un polygone .............................................................................................................................. 65

III.

LIMITES DIVISOIRES PARALLELES A UN CÔTÉ ..................................................................................... 66 3 / 107

1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 66

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 66

3.

Cas d’un polygone .............................................................................................................................. 67

IV.

LIMITE DIVISOIRE PERPENDICULAIRE A UN CÔTÉ .............................................................................. 68

1.

Cas d’un triangle ................................................................................................................................. 68

2.

Cas d’un quadrilatère ......................................................................................................................... 68

V.

LIMITE DIVISOIRE DANS UN ILOT............................................................................................................ 70 1.

Pan coupé parallèles à des alignements droits .................................................................................. 70

2.

Lot d’angle .......................................................................................................................................... 70

CHAPITRE VI : COMPENSATION PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES .................................................... 72 INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 72 I.

OBSERVATIONS INDIRECTES : METHODES DES MOINDRES CARRES ...................................................... 73 1.

Formation pratique des équations finales ......................................................................................... 74

2.

Résolution du système des équations finales .................................................................................... 78

II.

METHODE DE VARIATION DES COORDONNEES ..................................................................................... 87 1.

Intersection......................................................................................................................................... 87

2.

Relèvement......................................................................................................................................... 94

3.

Recoupement ................................................................................................................................... 100

4.

Multilatération ................................................................................................................................. 102

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GENERALITES I. DEFINITION La topométrie est l’ensemble des techniques de mesurage géométrique permettant d’obtenir l’ensemble des éléments métriques (éléments planimétriques et altimétriques), indispensables à la réalisation d’un plan à grande échelle. L’exécution d’un tel plan comporte en général trois phases : 1. mesures sur le terrain : c’est le levé. On ramènera du terrain : un croquis (représentation à main levée des lieux), un certain nombre de mesures (angles, distances) mentionnées sur le croquis et / ou sur le carnet de terrain. 2. les calculs (dépouillement et calculs proprement dits) : les mesures faites sur le terrain ne sont généralement pas directement exploitables. Il faudra parfois les transformer pour pouvoir dessiner le plan. D’autre part, certains éléments ne sont pas directement mesurables sur le terrain (la surface). Certains calculs simples (contrôle par exemple) peuvent être exécutés sur le terrain. 3. Le report graphique : c’est le dessin lui-même. Il comporte une partie technique et une partie d’habillage. Ce plan peut servir de base à l’étude d’un projet (forage, irrigation, routes, génie rural, lotissement, etc.) ; ce qui implique de nombreux calculs. Il est donc nécessaire d’effectuer sur le terrain des calculs rapides en faisant des contrôles nécessaires pour être sûr des résultats. Le plan obtenu peut-être utilisé ou repris par d’autres personnes d’où l’importance d’agir avec ordre et méthode.

II.

ORGANISATION DES CALCULS

1. Généralités : La transformation des éléments numériques mesurés sur le terrain nécessite une grande habitude de calcul. On rencontre les calculs soit seuls, soit comme compléments d’autres formes de calculs. 2. Organisation des calculs Une bonne organisation des calculs doit permettre : -

de diminuer les écritures ; de faciliter la compréhension pour d’autres utilisateurs que le calculateur lui-même ; de facilement contrôler les calculs eux-mêmes ; de facilement classer les documents.

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Pour une bonne organisation des calculs : -

il faut tant que c’est possible effectuer un report à l’aide des données du calcul. Si le report est exécuté avec soin, il permettra de contrôler l’ordre de grandeur des résultats ; si cela est nécessaire (calcul assez long), il convient d’indiquer une démarche à suivre que l’on respectera dans le développement des calculs ; il est impératif d’organiser les calculs sous forme de tableaux, cela présentant de nombreux avantages ; respecter l’unicité de présentation pour les calculs de même espèce ; éviter la réinscription de valeurs ; faciliter la lecture des valeurs numériques. Il faut pour cela : o régler l’importance des colonnes et des cases ; o bien former les chiffres ; o écrire les unités de même rang à la verticale les unes des autres ; o scinder les grands nombres en groupes de trois (3) chiffres de part et d’autre de la virgule ; o ne jamais surcharger les chiffres ; o encadrer, souligner, mais adopter une présentation différente pour les résultats.

-

Exemples : a d b c

h 12

a² d² b² c²

h1

h 22

h2

contrôle

a

b

h

h1 = h2 = h d

c

h12 = a² - d²

h22 = b² - c²

On a mesuré les demi-diagonales a, b, c et d. On veut calculer les quantités e, f, g et h. NON

a

e a h

f

b c d

g

b c b c d d a

OUI

a² b² c² b² c² d² d² a²

e f

a b

e²

e

f²

f

g²

g

h²

h

b²

g

c

c²

h

d

d²

a

III.

a²

a²

UNITES UTILISEES EN TOPOMETRIE.

1. Unités linéaires En topométrie, les unités utilisées sont les multiples et sous-multiples du mètre (m). 6 / 107

2. Unités angulaires Principalement en topométrie, nous utilisons : -

le grade (gr) ou le Gon (g) : Unités Grade Décigrade Centigrade ou Minute centésimale Milligrade Décimilligrade ou Seconde centésimale

-

Valeur 1 10-1 gr 10-2 gr 10-3 gr 10-4 gr

le degré (sexagésimal) :

Unités Degré Minute sexagésimale Seconde sexagésimale -

Symbole gr dgr cgr ( ˋ ) mgr dmgr ( ˋˋ )

Symbole ° ’ ’’

Valeur 1 1/60° 1/3600°

le radian (rd) : C’est l’angle au centre sous lequel est vu un arc de longueur égale au rayon du cercle. Pour les calculs, le radian est compatible avec les unités de longueur.

3. Unités de surface (unités agraires) Unités Symbole Valeur hectare ha 104 m² are a 10² m² centiare ca 1 m² 4. Conversions angulaires 2 π rd = 360° = 400 gr d’où π rd = 180° = 200 gr a) Degrés → grades (exemple : 93°24’33’’) 24′ 33′′ 10 (93 + )× + = 103.78797 𝑔𝑟 60 3600 9 b) Grades → degrés (exemple : 103.78797 gr) -

Convertir les grades en degrés décimaux : 9 103.78797 × = 93.4092° 10

-

Multiplier par 60 la partie décimale du résultat pour obtenir des minutes décimales : 0.4092 × 60 = 24.5504’

-

Multiplier par 60 la partie décimale de ce dernier pour obtenir des secondes : 0.5504 × 60 = 33.0228’’

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D’où 103.78797 gr = 93°24’33’’ c) Radians → grades → radians A(rd) = A(gr) × π rd = 200 gr 

𝐴 (𝑟𝑑) 𝜋

=

𝐴 (𝑔𝑟) 200

𝜋 200

 A(gr) = A(rd)*

200 𝜋

d) Radians →degrés →radians A(rd) = A(°)* π rd = 180° gr 

𝐴 (𝑟𝑑) 𝜋

=

𝐴 (°) 180

𝜋 180

 A(°) = A(rd)*

180 𝜋

(degrés décimaux)

Remarque : Aucune vérification n’est possible au cours de ces transformations. Il est donc hautement conseillé de convertir le résultat obtenu dans le premier par mesure de vérification. Exercice : Convertir : - 302°21’17’’ en radians - 318.0958 gr en degrés et ses sous-multiples - 249°08’02’’ en grades et ses sous-multiples

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CHAPITRE I : CALCUL DE DISTANCES ET PROBLEME D’ORIENTATION I. CALCUL DE DISTANCES : RESOLUTION DE TRIANGLES Résoudre un triangle consiste à calculer ses données manquantes (angles ; côtés ; surface) tout en faisant des contrôles. 1. Triangle rectangle A

𝑎 = 𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏 = 𝑎. 𝑡𝑎𝑛𝐵 = 𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵

c

𝑎 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝐵 1 1 1 𝑆 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 C B a 2 2 2 1. Formules dans les triangles quelconques

b

𝑐 =

Soit un triangle ABC, par convention a b c désignent les côtés du triangle respectivement opposés au sommet A, B, C. p désigne le demi- périmètre et S la surface ou superficie

A b

Somme des angles : 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 200

c

2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Périmètre :

C

a

B Théorème des sinus :

2R =

𝑎 𝑏 𝑐 = = (triangle inscrit dans un cercle) sin(𝐵 + 𝐶) sin 𝐵 sin 𝐶

Théorème d’Alkashi:

a² = b²+c²-2bc.cosA b² = a²+c²-2ac.cosB

Superficie:

𝑆 =

1 1 1 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 2 2 2

c² = a²+b²-2ab.cosC

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2. Cas classiques de résolutions de triangles 2.1. Cas du triangle défini par un côté et les deux angles adjacents :

Données : a ; B ; C A ? b? c?

C

S =

𝐴 = 200 − (𝐵 + 𝐶) 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin(𝐵 + 𝐶) sin 𝐵 sin 𝐶 B

a 𝑏=𝑎

Inconnues : A, b, c et S (superficie)

sin 𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝐵 + 𝐶)

𝑐=𝑎

sin 𝐶 𝑠𝑖𝑛(𝐵 + 𝐶)

𝑎² 1 1 1 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑎𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶) 2 2 2

a²

2S = Cas du triangle défini par un angle et les deux côtés de cet angle : 2.2. cotanB+cotanC) Données : A, b et c

Inconnues : B, C, a et S

A b B’ hB hc ? C a?

𝑡𝑎𝑛𝐵 =

c C’

ℎ𝑐 𝐵𝐶′

ℎ𝐶 = b.sinA

𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐 − 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑡𝑎𝑛𝐵 =

BC’ = c-b.cosA

𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐵 = arctan( ) 𝑐 − 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴

? B

𝑡𝑎𝑛𝐶 =

ℎ𝐵

ℎ𝐵 = c. sinA

𝑡𝑎𝑛𝐶 =

𝐶𝐵′

BC’ = b-c.cosA 𝐶 = arctan(

Contrôle

𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏 − 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 ) 𝑏 − 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

A+B+C = 200 gr

Remarque : si tan est inférieur à 0, alors l’angle est égal à + 200 gr 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin A sin 𝐵 sin 𝐶

𝑐=𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶 =𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵

1

𝑆 = 𝑏𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝐴 2

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2.3. Cas du triangle défini par ses trois côtés Données : a, b et c

Inconnues : A, B, C et S

A

a² = b²+c²-2bc.cosA

1ère méthode :

b² = a²+c²-2ac.cosB

? b ?

C

𝑠𝑖𝑛

𝐴 2

c ?

a

(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)

= √

𝑏𝑐

c² = a²+b²-2ab.cosC

𝑠𝑖𝑛

2ème méthode :

B

𝐵 2

=√

(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)

𝑠𝑖𝑛

𝑎𝑐

𝐶 2

𝑝=

𝑎+𝑏+𝑐 2

(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)

= √

𝑎𝑏

S = √𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

2.4. Cas du triangle défini par deux côtés et la surface Données : b, c et S

Inconnues : a, A, B et C

𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 A b

?

c

2𝑆 𝑏𝑐

𝑎 = √𝑏² + 𝑐² − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴

S C

? a?

?

B

𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏2 𝐵 = arccos( ) 2𝑎𝑐

𝐶 = arccos(

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟ô𝑙𝑒

𝑆 =

𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐 2 ) 2𝑎𝑏

𝑎² 2(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝐶)

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2.5. Cas du triangle défini par un côté, un angle et la surface Données : a, B et S

Inconnues : b, c, A et C

𝑐=

A ? b?

c?

𝑏 = √𝑎² + 𝑐² − 2𝑎𝑐. cos 𝐵

S ?

C

B

a

2𝑆 𝑏. 𝑠𝑖𝑛 𝐵

a. sin 𝐵 𝑏2 + 𝑐 2 − 𝑎2 ) = arccos( 𝐴 = arcsin ( ) 𝑏 2𝑏𝑐

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟ô𝑙𝑒

𝑆=

1 𝑏𝑐. sin 𝐴 2

2.6. Cas du triangle défini par deux angles et la surface Données : A, B et S

Inconnues : C, a, b et c

𝑐 = √2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵)

A b?

c?

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

S ?

C

B

a?

𝑎=

2𝑆 sin 𝐴 =𝑐 𝑐. 𝑠𝑖𝑛 𝐵 sin 𝐶

𝑏=

2𝑆 sin 𝐵 =𝑐 𝑎. sin 𝐶 sin 𝐶

2.7. Cas du triangle défini par un angle, un côté de cet angle et le côté opposé à cet angle Données : A, a et b

Inconnues : B, C, c et S

A b

a. sin 𝐴 𝐵 = arcsin( ) 𝑏

𝐶 = 200 − (𝐴 + 𝐵)

c? S

? C

? a

B

𝑐=𝑏

sin 𝐶 sin 𝐴

1

𝑆 = 𝑎𝑏. sin 𝐶 2

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2.8. Cas du triangle défini par trois angles et la surface Données : A, B, C et S

Inconnues : a, b et c

A

𝑎 = √2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐶)

b?

c? 𝑏 = √2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐶)

S C

B

a?

𝑐 = √2𝑆(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝐵) Contrôle 𝑝=

𝑎+𝑏+𝑐 2

S = √𝑝 ∗ (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

Application : N° 1 : Résoudre le triangle ABC sachant que B = 69.894 gr ; C = 51.312 gr ; BC=a = 315.712 m N°2 : Résoudre le triangle ABC sachant que BC=a = 224.55 m ; AC=b = 251.86 m ; AB=c = 412.29 m N°3 : Résoudre le triangle ABC sachant que BC=a = 151.46 m ; AC=b = 212.28 m ; C = 28.654 gr N°4 : Résoudre le triangle ABC sachant que AC= b = 49.12 m ; BC= a = 32.81 m ; S = 281.52 m² N°5 : Résoudre le triangle ABC sachant que AC= b = 51.02 m ; A = 127.100 gr ; S = 432.83 m² N°6 : Résoudre le triangle ABC sachant que A= 51.200 gr ; B = 121.720 gr ; C= 27.080 gr ; S = 2989.12 m²

II. LES DIFFERENTES ORIENTATIONS Il existe trois nord qui sont le nord géographique ; le nord magnétique et le nord de la représentation plane. -

L’angle que fait le nord magnétique avec la direction AB est appelé azimut magnétique ( AZm ) NM

AZm

B

A 13 / 107

-

L’angle que fait le nord géographique avec la direction AB est appelé azimut géographique (AZg) NG B

AZg

A L’angle que fait le nord de la représentation plane avec la direction AB est appelé Gisement noté souvent G ou V. Y B

-

GAB =VAB

X

A

1. Gisement d’une direction Le gisement d’une direction est l’angle orienté compris entre le nord de la représentation plane et la direction considérée. Il est compté positivement à partir des Y positifs dans le sens des aiguilles d’une montre. Il varie de 0 à 400 gr. a) Le gisement peut être obtenu par le calcul si on connaît les coordonnées des extrémités de la visée AB. Y tan GAB = B’’ YB

𝐵"𝐴

BB” = XB-XA =∆XAB

B

B”A = YB-XA =∆YAB

G YA A

𝐵"𝐵

tanGAB =

B’ XB

XA

𝑋𝐵 −𝑋𝐴 𝑌𝐵 −𝑌𝐴

GAB = arctg ( (0 gr)

=

∆𝑋𝐴𝐵 ∆𝑌𝐴𝐵

∆𝑋𝐴𝐵 ∆𝑌𝐴𝐵

)

Y Quadrant IV : ∆X<0 et ∆Y>0 g= arctg

∆𝑋 ( ∆𝑌

Quadrant I: ∆X>0 et ∆Y>0 ∆𝑋

)<0

g= arctg ( ∆𝑌 )>0

GAB = g+400gr

GAB =g

B1

B4 (300gr)

X

A

B3

B2

Quadrant III : ∆X<0 et ∆Y<0 ∆𝑋

(100gr)

Quadrant II : ∆X>0 et ∆Y<0 ∆𝑋

g= arctg ( ∆𝑌 )>0

g= arctg ( ∆𝑌 )<0

GAB = g+200gr

GAB = g+200gr (200gr)

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Tableau récapitulatif N° quadrant

∆X

1 2 3 4

∆Y

+ + -

Application : Pts X(m) A 789 050.55 B 786 786.62 C 786 450.78 D 791 753.90

g= arctg (

+ +

∆𝑿 ∆𝒀

)

g>0 g<0 g>0 g<0

G G=g G=g +200gr G= g +200gr G=g + 400gr

Y(m) 313 030.90 315 309.88 313 065.25 311 665.23

Calculons les gisements AB ; BC ; CD ; AC ; AD et BD. Résolution ∆X

∆Y

g= arctg (

∆𝑿 ∆𝒀

)

G

AB BC CD AD AC BD Exercice : Pts A B C D

X(m) 125 645.77 289 789.89 134 498.47 154 482.01

Y(m) 299 489.56 297 583.23 289 445.78 294 578.42

Calculer les gisements et les distances AB ; BC ; CD ; AC ; AD et BD. b) Le gisement peut être obtenu à partir des observations : GAM = G0 + Lm

2. G0 de station Le G0 d’une station est le gisement de la graduation 0 du limbe.

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Gisement du zéro du limbe pour une direction Symbole : G0A Le gisement du zéro du limbe est obtenu à partir du gisement d'une direction connue et de la lecture sur le limbe horizontal correspondant. Point de station S (XS ; YS) ; Point visé connu A (XA ; YA) (XA − XS ) GSA = arctg ( ) YA − YS Lecture sur le limbe relative à A : LA G0A = GSA - LA Gisement du zéro du limbe pour un tour d'horizon : Symbole : G0 ou 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 Gisement moyen du zéro, origine de la graduation du limbe après réduction du tour d'horizon. Il s'obtient par la moyenne arithmétique des gisements des zéros relatifs à plusieurs visées sur des points connus. G0A=GSA-LA, G0B=GSB-LB, G0C=GSC-LC 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 =

𝐺0𝐴 + 𝐺0𝐵 + 𝐺0𝐶 3

𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 =

∑𝑛𝑖=1 𝐺0𝑖 𝑛

Utilité du 𝑮𝟎𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 : Le 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 est le gisement qui, ajouté aux lectures réduites d'un tour d'horizon, donne les gisements des visées : GSM = 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 + LM (LM lecture réduite sur M) Exercice Station Points visés Lectures azimutales

18

14 11 17 9

0.000 24.483 76.002 363.333

X (m) 285 152.36 277 697.47 276 228.59 284 212.37 274 326.64

Y (m) 843 277.34 845 224.20 849 881.14 850 968.62 839 683.62

a) Calculer le 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 de la station. b) Calculer le gisement G18-8 sachant que la lecture azimutale réduite sur 8 est L8 = 398.578 gr. c) Calculer les coordonnées rectangulaires du point 8 sachant que D18-8 = 315.45

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CHAPITRE II : CALCUL D’UN CANEVAS PLANIMETRIQUE I.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR INTERSECTION

L’intersection est la méthode topographique qui permet de déterminer un point en le visant à partir d’au moins 2 points. Y

M

M’ GAM 𝐺𝐵𝑀

GAM

GAB I

𝐴̂

A

K 𝐺𝐵𝑀

𝐵̂

X

H

B Soient les deux points A et B de coordonnées connues avec la mesure des angles A et B. nous devons déterminer les coordonnées du point M 1. Formules simples Considérons le triangle AMB. En utilisant les relations des sinus, on a : 𝐴𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐵

=

𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐴

=

𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛𝑀

ou

𝐴𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐵

=

𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑋𝑀1 = XA + X or X = AM*sin GAM 𝑌𝑀1 = YA + Y or Y = AM*cos GAM 𝑋𝑀1 = XA + AM*sin GAM

=

et

et

𝑌𝑀1 = YA + AM*cos GAM

𝐴𝐵 sin(𝐴+𝐵)

d’où 𝐴𝑀 =

𝐴𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐵 sin(𝐴+𝐵)

et 𝐵𝑀 =

𝐴𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐴 sin(𝐴+𝐵)

𝑋𝑀2 = XB + X or X = BM*sin GBM 𝑌𝑀2 = YB + Y or Y = BM*cos GBM 𝑋𝑀2 = XB + BM*sin GBM 𝑌𝑀2 = YB + BM*cos GBM

Les deux valeurs permettent de faire un contrôle. Si ces valeurs concordent, le résultat final sera la moyenne. XM =

𝑿𝑴𝟏 +𝑿𝑴𝟐 𝟐

et

YM =

𝒀𝑴𝟏 +𝒀𝑴𝟐 𝟐

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En pratique, les deux points connus en coordonnées constituent une condition nécessaire, mais pas suffisante. Il faut obligatoirement stationner un troisième point. 2. Formule globale En considérant le triangle AMB et en utilisant les relations des sinus, on a : YM - YA = AM*cos GAM

𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 = 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 𝐴𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝐵

YB - YA = AB*cos GAB

Avec 𝐴𝑀 =

𝐴𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐵 sin(𝐴+𝐵)

𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 = 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 sin(𝐴 + 𝐵) ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝐵 𝑌𝑀− 𝑌𝐴 = (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )

𝑠𝑖𝑛𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 sin(𝐴 + 𝐵) ∗ cos𝐺𝐴𝐵

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 + (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 )

𝑋𝑀 − 𝑋𝐴 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀

et

𝒔𝒊𝒏𝑩 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) ∗ 𝐜𝐨𝐬𝑮𝑨𝑩

et

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

3. Formule de Hatt H est le projeté de M sur l’axe des X ; I est le projeté de B sur l’axe des X ; K est l’intersection de (BM) et l’axe des X. 1er cas : AK = AH – KH (1) 2ème cas : AK = AI + IK

(2)

Considérons le 1er cas : AK = AH – KH • Expression de AH 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 =

𝐴𝐻

 𝐴𝐻 = 𝐴𝑀 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 = 𝑋𝑀 − 𝑋𝐴 (2)

𝐴𝑀 𝐴𝐻

𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 =

𝐴𝑀′

 𝐴𝐻 = 𝐴𝑀′ ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 Or 𝐴𝑀 ′ = 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴  𝐴𝐻 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 (3)

(2)=(3)  𝑨𝑯 = 𝑿𝑴 − 𝑿𝑨 = (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

(4)

• Expression de KH 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 =

𝐾𝐻 𝐴𝑀′

 𝑲𝑯 = 𝑨𝑴′ ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 = (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

(5)

(4)𝑒𝑡 (5)𝑑𝑎𝑛𝑠 (1)𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒𝑛𝑡 ∶ 𝐴𝐾 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑨𝑲 = (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )(𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 )

(𝟔) 18 / 107

Considérons le 2ème cas : AK = AI + IK 𝐴𝐼 = 𝑋𝐵 − 𝑋𝐴

𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 =

𝐼𝐾  𝐼𝐾 = 𝐼𝐵 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝐼𝐵

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐼𝐵 = 𝑌𝐴 − 𝑌𝐵

𝑨𝑲 =(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 (7)

(7) = (6) (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 = (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )(𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 ) 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 =

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

et

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

Application Soient deux points connus A et B tel que

B

XA = 782 333.32 m

XB = 785 489.74 m

YA = 310 192.99 m

YB = 315 556.44 m

LM = 372.5104 𝑔𝑟

LM = 129.5077 𝑔𝑟

𝐺0𝐴 = 106.7974 𝑔𝑟

𝐺0𝐵 = 46.8016 𝑔𝑟

A

M

Calculer les coordonnées du point M par la méthode des formules, globale et de Hatt.

II.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RELEVEMENT

1. Principe Le relèvement est l’opération topométrique permettant de déterminer les coordonnées d’un point en stationnant celui-ci pour viser au moins trois (3) points connus. Cependant en pratique, trois (3) points constituent une condition nécessaire mais pas suffisante, alors il faut un 4ème point connu en coordonnées rectangulaires.

19 / 107

2. Méthode géométrique ou relèvement italien Les points A, B et C sont des points connus. Le cercle passant par les points M, A et C coupe la droite (BM) au point I. La détermination des coordonnées de I nous permet de calculer les coordonnées de M en ramenant le problème à un simple calcul d’intersection.

B I



α

A

C 

α

Procédé de calcul • Calcul des angles α et   = (LC − LB )

α = (LB − LA )

M

• Calcul du gisement AC GAC = arctg

∆𝑋𝐴𝐶 ∆𝑌𝐴𝐶

• Calcul des gisements AI et CI : GAI = GAC –  GCI = GAC ± 200 + α • Détermination des coordonnées de I par la formule de Hatt

𝒀𝑰 = 𝒀𝑪 +

(𝑿𝑨 − 𝑿𝑪 ) − (𝒀𝑨 − 𝒀𝑪 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑰 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰

𝑿𝑰 = 𝑿𝑪 + (𝒀𝑰 − 𝒀𝑪 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑰 • Calcul des gisements AM et CM. Les points B, I et M étant alignés, on en déduit que : GBI = GBM GAM = GBM − α GCM = GBM +  • Calcul des coordonnées du point M. 𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

20 / 107

Actuellement, le relèvement se calcule par des méthodes numériques. La méthode de calcul que nous venons de voir comporte une certaine ambigüité. En effet, si le point B est à l’intérieur du cercle, il y aura confusion dans le calcul du gisement BI. Cependant, cette méthode est toujours utilisée pour les calculs du relèvement double.

3. Méthode barycentrique

B

A c

En visant les points connus, l’opérateur en station en M, fait un tour d’horizon.

b

M

a

Procédé de calcul Calcul des coordonnées du point M Pts A

Gi (gr)

C

Angles au sommet

Angles au centre

Coefficients mi

LB

𝐵̂ = GAB ± 200 − GBC

𝑏̂ = L𝐴 − L𝐶

mB

LC

𝐶̂ = GBC ± 200 − GCA

𝑐̂ = L𝐵 − L𝐴

mC

LA

𝐴̂ = GCA ± 200 − GAB

𝑎̂ = L𝐶 − L𝐵

mA

LB Σ

200.0000

400.0000

mA + mB + mC

Li (m)

X (m)

Y (m)

………

…….

LA

GAB

B GBC C GCA A B

GAB

Gi = arctg

mi =

∆𝑋 ∆𝑌

Angle au centre = Li−1 − Li+1

Angle au sommet = (Gi−1 ± 200) − Gi+1

1 cotan Angle au sommet I − cotan angle au centre i

∑ni=1 mi . Xi XM = ∑ni=1 mi

∑ni=1 mi . Yi YM = ∑ni=1 mi

La formule est valable pour tous les cas de figure. Il suffit de tourner dans le sens trigonométrique. Les coordonnées approchées de M se calculent avec des combinaisons qui permettent une meilleure détermination. NB : On se contrôle en calculant le G0 de la station en considérant tous les points sur lesquels l’on s’est relevé. 21 / 107

4. Méthode de Delambre B (X ; Y) A (X ; Y)

Soient les gisements AM et BM. D’après le schéma, GBM = GAM + α α

GCM = GAM + 



M

C (X ; Y)

Considérons le point M comme intersection à partir des points A et B avec des gisements pour le moment inconnus GAM et GBM . 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 =

(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀

Et remarquant que : 1 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 = = 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 − 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 sin(𝐺𝐴𝑀 − 𝐺𝐵𝑀 ) Il vient que : 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 = [(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 ] ∗

𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑩𝑴 −𝐬𝐢𝐧 𝛂

Avec sin(𝐺𝐴𝑀 − 𝐺𝐵𝑀 ) = sin(− α) = − sin α 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 = [(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 =

𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 ]∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 −sin α

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒔𝑮𝑩𝑴 − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒔𝒊𝒏𝑮𝑩𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 −𝐬𝐢𝐧 𝛂

Opérant de la même manière en considérant M comme une intersection à partir des points A et C avec des gisements pour le moment inconnus GAM et GCM = GAM +  𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 =

(𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐶𝑀 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐴𝑀 − 𝑡𝑎𝑛𝐺𝐶𝑀

Qui transformé comme précédemment devient : 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 = [(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴 ] ∗

𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑪𝑴 −𝐬𝐢𝐧  22 / 107

Avec sin(𝐺𝐴𝑀 − 𝐺𝐶𝑀 ) = sin(− ) = − sin  𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 = [(𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 ) − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 ) ∗ 𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 =

𝑠𝑖𝑛𝐺𝐶𝑀 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐶𝑀 ]∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐶𝑀 −sin 

(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒔𝑮𝑪𝑴 − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒔𝒊𝒏𝑮𝑪𝑴 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝑮𝑨𝑴 −𝐬𝐢𝐧 

On peut donc écrire : (𝑋𝐵 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀 −(𝑌𝐵 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 −sin α

∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 =

(𝑋𝐵 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠(GAM +α)−(𝑌𝐵 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛(GAM +α) sin α

=

(𝑋𝐶 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐶𝑀 −(𝑌𝐶 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐶𝑀 −sin 

∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀

(𝑋𝐶 −𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑠(GAM +)−(𝑌𝐶 −𝑌𝐴 )∗ 𝑠𝑖𝑛(GAM +) sin 

(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 − (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 = (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐶𝑀 − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀

En regroupant tous les termes composés de 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐴𝑀 à part et tous les termes composés de 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐴𝑀 à part, on obtient : [(𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐵 )] sin 𝐺𝐴𝑀 = [(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 + (𝑌𝐶 − 𝑌𝐵 )] cos 𝐺𝐴𝑀 tan 𝐺𝐴𝑀 =

(𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 + (𝑌𝐶 − 𝑌𝐵 ) (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐵 )

Remarque : 𝐭𝐚𝐧 𝑮𝑨𝑴 = 𝐭𝐚𝐧 𝑮𝑴𝑨 or le gisement calculé est un gisement par relèvement d’où :

𝐭𝐚𝐧 𝑮𝑴𝑨 =

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈𝛂 − (𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈 + (𝒀𝑪 − 𝒀𝑩 ) (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈𝛂 − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 )𝒄𝒐𝒕𝒈 − (𝑿𝑪 − 𝑿𝑩 )

Procédé de calcul • Calcul des angles 𝛼 et 𝛾 α = (LB − LA )

 = (LC − LA )

• Calcul des gisement AM et CM

23 / 107

AB AC BC

∆𝑋

∆𝑌

𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 𝑋𝐶 − 𝑋𝐵

𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 𝑌𝐶 − 𝑌𝐵

∆𝑋 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔 … 𝛼 𝛾 ……. ……..

∆𝑌 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔… 𝛼 𝛾 ……. …….

Numérateur

Dénominateur 𝑮𝑴𝑨

…………..

……………..

……….

𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 = (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 + (𝑌𝐶 − 𝑌𝐵 ) Dénominateur = (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔α − (𝑌𝐶 − 𝑌𝐴 )𝑐𝑜𝑡𝑔 − (𝑋𝐶 − 𝑋𝐵 )

𝐺𝑀𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 Dénominateur

𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝑀𝐴 ± 200

𝐺𝐶𝑀 = 𝐺𝐴𝑀 + 𝛾

• Calcul des coordonnées du point M

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑪 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑪 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

III.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR DOUBLE RELEVEMENT B

A

α2

α1

1 I

1

α1

D

M

P

2

2

J

α1

C

Soit le point M dont on veut déterminer les coordonnées. De M, on ne peut voir que deux (2) points connus A et D. Nous choisissons un point P situé à une distance donnée de M de manière à pouvoir viser deux autres points B et C connus également.

24 / 107

La droite (MP) en la prolongeant va couper les deux (2) cercles l’un passant par les points A, D et M au point I et l’autre passant par les points P, B et C au point J. La solution du problème est donnée par la résolution du relèvement italien. Procédé de calcul a) Calculer les différents angles : α1 = 200 − (LP − LA ) 1 = 200 − (LP − LD )

α2 = 200 − (LB − LM ) 2 = 200 − (L𝑀 − LC )

b) Calculer les coordonnées de I • Calculer gisement AD puis gisements AI et DI GAD = arctg

∆𝑋𝐴𝐷 ∆𝑌𝐴𝐷

GAI = GAD + 1

et GDI = GDA − α1

• Calculer les coordonnées de I par la formule de Hatt (𝑿𝑨 − 𝑿𝑫 ) − (𝒀𝑨 − 𝒀𝑫 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑰 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑰

𝒀𝑰 = 𝒀𝑫 +

𝑿𝑰 = 𝑿𝑫 + (𝒀𝑰 − 𝒀𝑫 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑰 c) Calculer les coordonnées de J • Calculer gisement AD puis gisements AI et DI GBC = arctg

∆𝑋𝐵𝐶 ∆𝑌𝐵𝐶

GBJ = GBC − 2

et GCJ = GCB + α2

• Calculer les coordonnées de I par la formule de Hatt

𝒀𝑱 = 𝒀𝑪 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑪 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑪 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑱 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑱 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑱

𝑿𝑱 = 𝑿𝑪 + (𝒀𝑱 − 𝒀𝑪 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑱 d) Calculer les coordonnées de • Calculer gisement IJ et en déduire le gisement MP 25 / 107

Les points I, M, P et J sont alignés et connaissant les coordonnées de I et J, nous pouvons calculer le gisement IJ GIJ = arctg

∆𝑋𝐼𝐽 ∆𝑌𝐼𝐽

= GMP

• Calculer les gisements AM et DM ; PB et PC GMA = GMP + 200 + α1

GAM = GMA ± 200

GMD = GMP + 200 − 1

GDM = GMC ± 200

• Calculer les coordonnées de P et M par la formule de Hatt GPB = GMP − α2 et GPC = GMB + 2

𝒀𝑴 = 𝒀𝑫 +

(𝑿𝑨 − 𝑿𝑫 ) − (𝒀𝑨 − 𝒀𝑫 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑫 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑫 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑫𝑴

𝒀𝑷 = 𝒀𝑪 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑪 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑪 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑷 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑷 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑷

𝑿𝑷 = 𝑿𝑪 + (𝒀𝑷 − 𝒀𝑪 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑪𝑷

NB : Le contrôle se fera par la comparaison de la distance MP mesurée sur le terrain et le calcul de la distance MP à partir des coordonnées trouvées.

IV.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RECOUPEMENT Le recoupement est le procédé topométrique qui utilise simultanément l’intersection et le relèvement par la détermination d’un point.

M

C (inaccessible) B (stationnable)

A (inaccessible)

Soient A, B et C, 3 points connus. Seul le point B est stationnable. On veut déterminer le point inconnu M. on stationne B et on vise A, C, M et on fait les lectures LA, LC, LM. On stationne M, on vise A et B et fait les lectures LA et LB.

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Procédé de calcul a) Calcul du G0moyen à partir des points connus Station B

Gi = arctg

PTS A C ∆𝑋 ∆𝑌

Gi (gr)

Li (m)

𝐺0𝑖 = 𝐺𝑖 − 𝐿𝑖 ;

;

𝐺0𝑚𝑜𝑦 =

G0i (gr)

G0moy (gr)

𝐺0𝐴 + 𝐺0𝐶 2

b) Calcul des gisements BM et AM 𝐺𝐵𝑀 = 𝐺0𝑚𝑜𝑦 + 𝐿𝑀

;

̂ = 𝐺𝐵𝑀 − (𝐿𝐵 − 𝐿𝐴 ) 𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝐵𝑀 − 𝐴𝑀𝐵

c) Calcul des coordonnées de M par la formule de Hatt.

𝒀𝑴 = 𝒀𝑨 +

(𝑿𝑩 − 𝑿𝑨 ) − (𝒀𝑩 − 𝒀𝑨 ) ∗ 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴 − 𝒕𝒂𝒏𝑮𝑩𝑴

𝑿𝑴 = 𝑿𝑨 + (𝒀𝑴 − 𝒀𝑨 )𝒕𝒂𝒏𝑮𝑨𝑴

V.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR TRILATERATION M 𝐷𝐴𝑀 𝐷𝐵𝑀

A

La trilatération est l’opération topométrique qui consiste à mesurer uniquement la distance entre le point nouveau à déterminer et deux points connus (« dits anciens ». Ce procédé nécessitant la mesure de plusieurs distances s’appelle aussi multilatération.

B

Procédé de calcul 1) Calcul du gisement AB et de la distance AB 2) Résolution du triangle ABM 3) en déduire les gisements AM et BM 4) Calcul des coordonnées du point M en utilisant l’une des méthodes de l’intersection. Application.

27 / 107

VI.

CALCUL DES COORDONNEES D’UN POINT DETERMINE PAR RATTACHEMENT - RABATTEMENT

Le rattachement consiste à déterminer les coordonnées d’un point proche du repère connu, qui présente de plus grandes facilités d’utilisation ou de meilleures chances de conservation. Les coordonnées du point rattaché M sont calculées à partir de celles du repère R après détermination des deux paramètres du rattachement : le gisement GRM et la distance RM réduite au système de projection. • Si le repère est stationnable, terrasse ou château d’eau par exemple, effectuer un tour d’horizon sur un ou plusieurs points connus en coordonnées : A, B, etc. ainsi que sur le point rattaché M et mesurer la distance RM. Le G0 de la station donne GRM, d’où les coordonnées de M. B

C

Procédé de calcul : a) Réduire le tour d’horizon à zéro

A R

b) Calculer les différents gisements c) En déduire les G0 individuels puis le G0moy

M

d) Calculer le gisement GRM e) Calculer les coordonnées du point M.

• Si R est inaccessible, flèche de clocher à rabattre au sol par exemple, implanter M de manière à pouvoir viser, outre R, au moins un point connu A, et déterminer deux triangles RMN et RMP les plus équilatéraux possible ; mesurer les distances MN et MP ainsi que tous les angles en M, N, P. R A N

M P

M

M

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Procédé de calcul a) Calculer la distance RM par résolution des triangles RMN et RMP 𝑅𝑀 =

𝑅𝑀𝑁 + 𝑅𝑀𝑃 2

b) calculer le gisement RA, puis la distance RA ̂ et 𝐴𝑀𝑅 ̂ par résolution du triangle RMA c) calculer les angles 𝑀𝐴𝑅 ̂ = 𝑎𝑟𝑐 sin ( 𝑀𝐴𝑅

̂ 𝑅𝑀. 𝑠𝑖𝑛 𝐴𝑀𝑅 ) 𝑅𝐴

̂ = 200 − (𝑀𝐴𝑅 ̂ + 𝐴𝑀𝑅 ̂) 𝐴𝑅𝑀 d) Calculer le gisement 𝐺𝑅𝑀 ̂ 𝐺𝑅𝑀 = 𝐺𝑅𝐴 + 𝐴𝑅𝑀

e) Calculer les coordonnées du point M 𝑋𝑀 = 𝑋𝑅 + 𝑅𝑀. 𝑠𝑖𝑛𝐺𝐵𝑀 𝑌𝑀 = 𝑌𝑅 + 𝑅𝑀. 𝑐𝑜𝑠𝐺𝐵𝑀

VII.

CALCUL DE L’EXCENTREMENT

Lorsque les conditions d’observation n’autorisent pas le centrage du théodolite sur le repère, l’opérateur se place en S à une station dite « excentrée » ; la réduction des observations consiste à calculer les lectures du cercle horizontal du théodolite qui auraient été faites, toutes choses égales, si l’instrument avait été mis en station, donc centré sur le repère. 𝐿𝐵

𝐿𝐴 𝐷𝐴 𝐴

𝛼𝐴

𝑅

𝐷𝐵

𝛼𝐵 𝐿𝑅𝐵

𝐿𝑅𝐴

𝐵

𝛼𝐵

𝛼𝐴 𝐿𝑅 𝐿𝐵

𝐿𝐴 𝑆

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1. Correction de réduction au centre ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑆𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = LR – LA , en Les lectures LA et LR faites en S sur le point A et le repère R donnent : (𝑆𝐴 supposant que le chiffrage croît dans le sens des aiguilles d’une montre. Si SR = r et RA = DA désignent les distances réduites au système de projection entre la station et le repère d’une part, le repère et le point A d’autre part, le triangle RSA donne : 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝐴 sin(𝐿𝑅 − 𝐿𝐴 ) = 𝑟 𝐷𝐴 𝑟

𝑠𝑖𝑛 𝛼𝐴 =

étant souvent très faible, 𝛼𝐴 est aussi très faible d’où :

𝐷𝐴

𝛼𝐵 =

De même

𝑟 𝐷𝐵

𝑟 sin(𝐿𝑅 − 𝐿𝐴 ) 𝐷𝐴

𝛼𝐴 =

𝑟 𝐷𝐴

sin(𝐿𝑅 − 𝐿𝐴 )

sin(𝐿𝐵 − 𝐿𝑅 )

En admettant que le cercle horizontal ait été translaté en R, autrement dit centré sur R après avoir été déplacé parallèlement à lui-même, les lectures faites auraient été : 𝐿𝑅𝐴 = 𝐿𝐴 − 𝛼𝐴

et

𝐿𝑅𝐵 = 𝐿𝐵 + 𝛼𝐵

Pour que les angles correctifs 𝛼𝐴 et 𝛼𝐵 aient le signe voulu, quel que soit le cas de figure, les formules précédentes s’écrivent : 𝛼𝐴 =

𝑟 𝐷𝐴

sin(𝐿𝐴 − 𝐿𝑅 )

et

𝛼𝐵 =

𝑟 𝐷𝐵

sin(𝐿𝐵 − 𝐿𝑅 )

Soit de manière générale pour un point i d’un tour d’horizon effectué sur n points : 𝑟 𝛼𝑖 (𝑟𝑎𝑑) = sin(𝐿𝑖 − 𝐿𝑅 ) 𝐷𝑖

𝜶˵𝒊

𝒓 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = 𝐬𝐢𝐧(𝑳𝒊 − 𝑳𝑹 ) × 𝑫𝒊 𝝅 𝜶𝒊 (𝒈𝒓) =

𝒓 𝟐𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧(𝑳𝒊 − 𝑳𝑹 ) × 𝑫𝒊 𝝅

Lectures ramenées au repère 𝑳𝑹𝒊 (𝒈𝒓) = 𝑳𝒊 + 𝜶𝒊 (𝒈𝒓) Après chaque correction individuelle de chaque lecture du tour d’horizon, réduire celui-ci à zéro sur la référence. NB : ➢ La réduction des observations d’une station excentrée nécessite la connaissance de trois paramètres : - la distance d’excentrement r = SR ; - la distance repère-point visé Di = Ri, déterminée avec une précision d’autant plus grande qu’elle est plus courte ; - les lectures azimutales Li, faites en S sur les différents points visés et sur le repère. 30 / 107

➢

𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎𝟒

= 𝟔𝟑𝟔𝟔𝟐𝟎

𝝅

Tableau de calculs des corrections de réduction au centre et des lectures corrigées Station

S

𝜶𝒊 (𝒈𝒓) =

PV

Distances (m)

Li (m)

Corrections 𝜶𝒊 (𝒈𝒓)

Lectures corrigées Li’ (gr)

R

r

LR

±200

LR ± 200

A

RA

LA

LA’= LA+ 𝛼𝐴

B C D

RB RC RD

LB LC LD

𝛼𝐴 𝛼𝐵 𝛼𝐶 𝛼𝐷

𝒓 𝑫𝒊

𝐬𝐢 𝐧(𝑳𝒊 − 𝑳𝑹 ) ×

𝟐𝟎𝟎

LB’= LB+ 𝛼𝐵 LC’= LC+ 𝛼𝐶 LD’= LD+ 𝛼𝐷

𝑳𝑹𝒊 (𝒈𝒓) = 𝑳𝒊 + 𝜶𝒊 (𝒈𝒓)

𝝅

Lectures ramenées au repère R Station

PV

R

Lectures corrigées Li’ (gr)

S

LR±200

A B C D

LA’= LA+ 𝛼𝐴 LB’= LB+ 𝛼𝐵 LC’= LC+ 𝛼𝐶 LD’= LD+ 𝛼𝐷

2. Précisions à conserver dans les mesures des éléments de l’excentrement

𝛼𝑖 =

𝑑𝛼𝑖 =

𝑟 sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 𝐷𝑖

sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) r sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) r cos(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 𝑑𝑟 − 𝑑𝐷 + 𝑑(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 𝐷𝑖 𝐷𝑖 𝐷𝑖2

Si nous nous mettons dans le cas le plus défavorable, c’est-à-dire que l’erreur sur 𝑑𝛼𝑖 devient une erreur systématique, alors nous avons l’erreur sur 𝑑𝛼𝑖 qui est la somme des erreurs sur r, Di et Li – L0 de sorte que chaque erreur agit au 1/3 de dα. a) Calcul de dr 𝑑𝛼 sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) = 𝑑𝑟 3 𝐷𝑖

𝑑𝑟 =

𝑑𝛼 × 𝐷𝑖 3 sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 31 / 107

𝒅𝜶˵ × 𝑫𝒊 (𝒎) 𝟏 𝒅𝒓 (𝒎) = × 𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 ) 𝟔𝟑𝟔𝟔𝟐𝟎 b) Calcul de dD 𝑑𝛼 × 𝐷𝑖2 𝑑𝐷 = 3r sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 )

𝑑𝛼 r sin(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) = 𝑑𝐷 3 𝐷𝑖2

𝒅𝜶˵ × 𝑫𝟐𝒊 𝟏 𝒅𝑫 (𝒎) = × 𝟑𝐫 𝐬𝐢𝐧(𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 ) 𝟔𝟑𝟔𝟔𝟐𝟎

c) Calcul de d ( Li – L0 ) 𝑑𝛼 r cos(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) = 𝑑(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) 3 𝐷𝑖

𝑑(𝐿𝑖 − 𝐿0 ) =

𝒅(𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 )(𝒈𝒓) =

𝑑𝛼 × 𝐷𝑖 3r cos(𝐿𝑖 − 𝐿0 )

𝒅𝜶˵ × 𝑫𝒊 (𝒎) × 𝟏𝟎−𝟒 𝟑𝐫 𝐜𝐨𝐬(𝑳𝒊 − 𝑳𝟎 )

Application Station S

Points visés A B C D R A

Lectures Li (gr) 0.0000 108.6779 186.4524 293.3156 72.0512 399.9996

Distances Ri (m) 1 649.01 1 262.87 997.35 1 428.16 3.174

1. Réduire le tour d’horizon 2. Calculer les corrections de réduction au centre puis les lectures ramenées au repère R

32 / 107

CHAPITRE III : CALCULER ET COMPENSER UN CHEMINEMENT PLANIMETRIQUE OU UNE POLYGONALE I.

DEFINITIONS ET PRINCIPE

Un cheminement planimétrique ou cheminement polygonal est une ligne brisée orientée dans laquelle on connaît les longueurs des côtés successifs, et les angles que deux cotés consécutifs font entre eux. Le but est de déterminer les coordonnées des sommets de la ligne brisée. Le cheminement polygonal est aussi appelé par simplification polygonale. On distingue plusieurs sortes de cheminements polygonaux : 1. Un cheminement en antenne ou ouvert C’est un cheminement qui partant d’un point connu en coordonnées avec une référence connue aboutit à un point à déterminer. Ce cheminement est à éviter parce qu’il n’y a pas de contrôles.

2. Le cheminement encadré C’est un cheminement qui partant d’un point connu en coordonnées avec une référence connue passe par des points à déterminer pour se refermer sur un point également connu en coordonnées avec une référence également connue. Autrement dit, c’est une ligne polygonale qui relie deux points connus en coordonnées, avec une orientation (Gisement) au départ et à l'arrivée.

3. Le cheminement dit fermé ou bouclé : C’est un cheminement qui passe par des points à déterminer pour se refermer sur le même point de départ. Autrement dit, c’est un cheminement qui a le point et la référence de départ confondus avec le point et la référence d'arrivée.

33 / 107

4. Le point nodal :

Un point nodal N est un point d'arrivée inconnu commun à 3 ou plusieurs cheminements polygonaux. N

Les coordonnées brutes du point nodal peuvent être calculées depuis chaque cheminement polygonal. On effectue alors la moyenne pondérée (en fonction de la précision de chaque cheminement) de ces coordonnées brutes pour obtenir les coordonnées définitives du point nodal. Les coordonnées des sommets de chaque cheminement polygonal peuvent ensuite être calculées comme précédemment (cheminement encadré). Remarque : On peut se trouver face à des configurations beaucoup plus complexes dans lesquelles les cheminements sont imbriqués les uns dans les autres. Le calcul s'effectue alors soit par la méthode des moindres carrés, soit plus simplement en fixant un cheminement polygonal principal calculé en premier puis des cheminements successifs qui s'appuient sur les cheminements de niveaux supérieurs. Il est à noter que plus on descend dans le niveau du cheminement, moins il sera précis.

II.

CALCULS

Les calculs s’effectuent en deux phases : orientation et coordonnées des différents sommets de la polygonale. On détermine de proche en proche les coordonnées de tous les sommets de la polygonale. Pour cela, il faut connaître : - les coordonnées du point de départ. - le gisement origine au départ du cheminement appelé gisement de départ. - les distances horizontales des côtés réduites à la projection, si la précision l'exige. - les angles que font entre eux les différents côtés consécutifs depuis la direction de référence jusqu'à celle de l'arrivée. Si le cheminement est encadré, il faut en plus connaître : - les coordonnées du point d'arrivée. - le gisement origine à l'arrivée du cheminement appelé gisement d’arrivée.

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1. CALCUL D’UN CHEMINEMENT ENCADRE ORDINAIRE

Sens de parcours

Y+

Y+

Y+

Y+

Y+ T

R

GAR

GAS1

α4

GS1S2

α2

GS2S3

α3

α1 S1

DAS1

DS2S3

DS1S2

A

GS3B

S2

α5

S3 DS3B

B

GBT

a) Orientation du cheminement ➢ Transmission des gisements En général, pour la transmission des gisements (détermination de l'orientation de chaque côté du cheminement polygonal), on utilise les angles de gauche en chaque station. Ces angles correspondent à ceux situés à gauche du sens de parcours du cheminement. Chaque angle de gauche est donc égal à la différence entre les lectures angulaires sur les points avant et arrière. 𝜶𝒊 = 𝒍 𝑺 𝒊

𝑺𝒊+𝟏

− 𝒍𝑺 𝒊

𝑺𝒊−𝟏

Le gisement du côté "𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 " se déduit de celui du côté "𝑆𝑖 𝑆𝑖−1 ". On a ainsi :

𝑮𝑺𝒊 𝑺𝒊+𝟏 = 𝑮𝑺𝒊 𝑺𝒊−𝟏 ± 𝟐𝟎𝟎 + 𝜶𝒊

Connaissant le gisement de référence au point de départ 𝐺𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 , on peut donc calculer les gisements de chaque côté du cheminement de proche en proche jusqu'au gisement de référence au point d'arrivée 𝐺𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 ∆𝑋

GDépart = arctan ∆𝑌

G𝑆𝑖 ;𝑆𝑖+1 = G𝑆𝑖−1 ; 𝑆𝑖 + αi ± 200

𝐺𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 = arctan

∆𝑋 ∆𝑌

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On aura donc : GRA = arctan

∆𝑋 ∆𝑌

GAS1 = GRA + α1 ± 200

GS2S3 = GS1S2 + α3 ± 200

𝐆𝐁𝐓𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 = arctan

GS3B = GS2S3 + α4 ± 200

GS1S2 = GAS1 + α2 ± 200

𝐆𝐁𝐓𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é = GS3B + α5 ± 200

∆𝑋 ∆𝑌

➢ Ecart de fermeture angulaire ou fermeture angulaire On appelle fermeture angulaire notée fa la différence entre le gisement arrivée observé (gisement calculé à partir des mesures entachées des imprécisions de mesure) et le gisement arrivée connu ou calculé à partir à partir des coordonnées connues. 𝐟𝐚 = 𝐆𝐚𝐫𝐫𝐢𝐯é𝐞𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é − 𝐆𝐚𝐫𝐫𝐢𝐯é𝐞𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 𝐟𝐚 = 𝐆𝐁𝐓𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é − 𝐆𝐁𝐓𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 = 𝐆𝑫é𝒑𝒂𝒓𝒕 + ∑ α𝑖 − 200(𝑛 + 1) − 𝐆𝐁𝐓𝐜𝐨𝐧𝐧𝐮 ➢ Tolérance de fermeture angulaire Les tolérances sont calculées à partir des précisions des appareils (écarts types sur les mesures). On considère que sur chaque mesure angulaire on a un écart type 𝜎𝛼 et sur les gisements de départ et d'arrivée un écart type 𝜎𝐺 . L'écart type sur l'écart de fermeture angulaire vaut alors:

𝜎𝐟𝐚 = ±√2 × 𝜎𝐺 2 + (𝑛 + 1) × 𝜎𝛼 2 On considérera que la précision sur les gisements de départ et d'arrivée est nulle. D’où : L'écart type sur l'écart de fermeture angulaire : 𝝈𝐟𝐚 = ±𝝈𝜶 √𝒏 + 𝟏 et la tolérance sur fa : 8 𝑇𝐚 = ± 𝜎𝐟𝐚 3 𝑻𝐚 = ±

𝟖 𝟖 𝝈𝜶 √𝒏 + 𝟏 == ± 𝝈𝒍 √𝟐(𝒏 + 𝟏) 𝟑 𝟑 36 / 107

➢ Compensation de l'écart de fermeture angulaire En fonction des gammes de précision des appareils de mesure, des conditions dans lesquelles ont été effectuées ces mesures, du cahier des charges..., on compare l'écart de fermeture angulaire à la tolérance. Si fa n'est pas acceptable, soit on effectue une recherche de faute, soit on refait les mesures. Si fa est acceptable, on répartit cet écart sur tous les angles mesurés et donc les gisements. La compensation sur chaque angle vaut : 𝒄𝒂 = −

𝐟𝐚 𝒏+𝟏

La compensation sur chaque gisement brut vaut : 𝒄𝒂𝒊 = −

𝐢 × 𝐟𝐚 𝒏+𝟏

Avec i étant le rang occupé par le sommet dans le cheminement. b) Coordonnées rectangulaires des sommets ➢ Coordonnées brutes Tous les côtés du cheminement polygonal sont dorénavant orientés puisque nous avons calculé et compensé leurs gisements. Nous pouvons calculer les coordonnées planes des sommets (stations) de proche en proche, à partir du point de départ, comme des points rayonnés. Nous allons obtenir des coordonnées brutes des sommets et du point d'arrivée. On utilisera les formules générales suivantes Xi = Xi−1 + ∆Xi−1; i = X i−1 + Di−1; i × sin Gi−1; i

Yi = Yi−1 + ∆Yi−1; i = Yi−1 + Di−1; i × cos Gi−1; i

On aura donc : X1 = XA + ∆XA1 = XA + DA1 × sin GA1

Y1 = YA + ∆YA1 = YA + DA1 × cos GA1

X2 = X1 + ∆X12 = X1 + D12 × sin G12

Y2 = Y1 + ∆Y12 = Y1 + D12 × cos G12

X3 = X2 + ∆X23 = X2 + D23 × sin G23

Y3 = Y2 + ∆Y23 = Y2 + D23 × cos G23

XB = X3 + ∆X3B = X3 + D3B × sin G3B

YB = Y3 + ∆Y3B = Y3 + D3B × cos G3B

X𝐁𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é = XA + ∑ Di−1; i × sin Gi−1; i

Y𝐁𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯é = YA + ∑ Di−1; i × cos Gi−1; i 37 / 107

➢ Fermeture planimétrique ou écart de fermeture planimétrique Les coordonnées du point d'arrivée B étant connues, nous pouvons donc les comparer avec celles mesurées et calculées ci-dessus (coordonnées brutes). Nous obtenons : - un écart de fermeture en X: 𝑓𝑋 = 𝑋𝐵 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é − 𝑋𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 = 𝑋𝐴 + ∑ 𝐷𝑖−1; 𝑖 × 𝑠𝑖𝑛 𝐺𝑖−1; 𝑖 − 𝑋𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 - un écart de fermeture en Y: 𝑓𝑌 = 𝑌𝐵 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é − 𝑌𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 = 𝑌𝐴 + ∑ 𝐷𝑖−1; 𝑖 × 𝑐𝑜𝑠 𝐺𝑖−1; 𝑖 − 𝑌𝐵 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

Ces deux écarts forment un vecteur de fermeture planimétrique noté fp dont la norme vaut : 𝑓𝑝 = √𝑓𝑋2 + 𝑓𝑌2

➢ Ecart type sur l’écart de fermeture planimétrique ou linéaire. L’étude des erreurs de fermeture planimétrique se fait sur un cheminement considéré rectiligne. Nous distinguons deux erreurs de fermeture planimétrique qui sont :

❖ Erreur longitudinale ou écart de fermeture longitudinale 𝝈𝑫 ou 𝝈𝑳 . Elle est provoquée par l’erreur sur les distances.

S1

A ✓

d3

d2

d1

S2

d4 S3

B

𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍′ 𝒆𝒓𝒓𝒆𝒖𝒓 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆

𝝈𝑫 = √𝝈𝒅𝟏 𝟐 + 𝝈𝒅𝟐 𝟐 + 𝝈𝒅𝟑 𝟐 + 𝝈𝒅𝟒 𝟐 = √∑ 𝝈𝒅𝒊 𝟐

Exemple : on donne une erreur relative de Longueurs d1 d2 d3 d4

𝝈𝒅𝒊 𝝈𝒅𝟏 𝝈𝒅𝟐 𝝈𝒅𝟑 𝝈𝒅𝟒 ∑

𝝈𝒅𝒊 𝟐 𝝈𝒅𝟏 𝟐 𝝈𝒅𝟐 𝟐 𝝈𝒅𝟑 𝟐 𝝈𝒅𝟒 𝟐 ∑ 𝝈𝒅𝒊 𝟐

± 1𝑚𝑚/100m

𝝈𝒅𝒊 =

± 1𝑚𝑚 × 𝑑𝑖 100

𝝈𝑫 = √∑ 𝝈𝒅𝒊 𝟐 38 / 107

✓

𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒓é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒓 𝒖𝒏𝒆 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓

Si 𝝈𝒅𝟏 = 𝝈𝒅𝟐 = 𝝈𝒅𝟑 = 𝝈𝒅𝟒 = 𝝈𝒅 , précision sur une longueur 𝝈𝑫 = 𝝈𝑳 = 𝝈𝒅 √𝒏

Avec n = nombre de nouveaux côtés

❖ Erreur transversale ou écart de fermeture transversale. Elle est provoquée par l’erreur sur l’angle. Supposons que les erreurs commises sur les sommets sont les mêmes. B0

En A, l’erreur provoquée est : B0 B = 4l. 𝛼 𝛼 En S1, l’erreur provoquée 𝛼 est : B1 B = 3l. 𝛼 𝛼 En S2, l’erreur provoquée est : B2 B = 2l. 𝛼 𝛼 𝛼 En S3, l’erreur provoquée 𝛼 est : B3 B = l. 𝛼 𝛼 𝛼

B1 B2 B3

A

𝜎𝑇 2

𝛼

𝛼 S1

𝛼

𝛼 S2

B

S3

∆𝑇 2 = (l. ∆𝛼)2 + (2l. ∆𝛼)2 + (3l. ∆𝛼)2 + (4l. ∆𝛼)2 𝛼 𝜎𝛼𝑇 2 = (l. 𝜎𝛼 )2 + (2l. 𝜎𝛼 )2 + (3l. 𝜎𝛼 )2 + (4l. 𝜎𝛼 )2 𝛼 2 2 2 2 = 𝜎𝛼 . 𝑙 (1 + 2 +𝛼32 + 42 ) Avec (12 + 22 + 32 + 42 ) somme des carrés des n premiers nombres 𝜎𝑇 2 = 𝜎𝛼 2 . 𝑙 2

𝑛(2𝑛 + 1)(𝑛 + 1) 6

𝛼 2𝑛3 𝜎𝑇𝛼2 = 𝜎𝛼 2 . 𝑙 2 6 𝛼 𝛼 𝜎 = 𝜎 . 𝑛𝑙√𝑛 = L. 𝜎 . √𝑛 𝑇 𝛼 𝛼 3 3 𝛼

𝒏𝛼 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝝅 𝒏 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝝅 𝟐𝒏 √ √ = 𝑳 ∗ 𝝈𝒍 (𝒅𝒎𝒈𝒓) ∗ 𝝈𝑻 = 𝑳 ∗ 𝝈𝜶 (𝒓𝒂𝒅) ∗ √ = 𝑳 ∗ 𝝈𝜶 (𝒅𝒎𝒈𝒓) ∗ 𝟑 𝟐𝟎𝟎 𝟑 𝟐𝟎𝟎 𝟑

Ecart type sur l’écart de fermeture planimétrique ou linéaire :

σ𝐟𝐩 = √σ2T + σ2L

➢ Tolérance de fermeture planimétrique ou tolérance planimétrique 8 Tp = ± σ𝐟𝐩 3

8 Tp = ± √σ2T + σ2L 3 39 / 107

➢ Compensation de l'écart de fermeture planimétrique Comme pour la fermeture angulaire, on compare l'écart de fermeture planimétrique à la tolérance. Si fp>Tp, fp n'est pas acceptable. Soit on effectue une recherche de faute, soit on refait les mesures. Si fp
𝑐𝑋𝑖 = −

𝐷𝑖 × 𝑓𝑋 ∑𝑛𝑖 𝐷𝑖

𝑐𝑌𝑖 = −

𝐷𝑖 × 𝑓𝑌 ∑𝑛𝑖 𝐷𝑖

Remarque : Si les côtés sont de longueurs sensiblement égales, tous les côtés vont être compensés de la même valeur. Tous les calculs ci-dessus des gisements et des coordonnées se feront dans un même tableau qui se présente comme suit :

40 / 107

Pts

α𝑖 (𝑔𝑟)

c𝑖 (𝑔𝑟)

α1

cα

R A 1

α2

cα

2

α3

cα

Gi−1; i (𝑔𝑟) ∆𝑋 arctan ∆𝑌

Di−1; i

∆Xi−1; i

GRA + α1 + cα ± 200

DA1

DA1 . sin GA1

GA1 + α2 + cα ± 200

D12

G12 + α3 + cα ± 200

3

α4

B

α5

D23

D23 . sin G23

cα

−𝑓𝑋 . 𝐷1 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑋 . 𝐷2 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑋 . 𝐷3 ∑ 𝐷𝑖

𝐶𝑌𝑖

∆Yi−1; i

DA1 . cos GA1 D12 . cos G12 D23 . cos G23

−𝑓𝑌 . 𝐷1 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑌 . 𝐷2 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑌 . 𝐷3 ∑ 𝐷𝑖

D3B

D3B . sin G3B

−𝑓𝑋 . 𝐷4 ∑ 𝐷𝑖

D3B . cos G3B

−𝑓𝑌 . 𝐷4 ∑ 𝐷𝑖

∑ Di−1; i

∑ ∆Xi−1; i

∑ 𝐶𝑋𝑖

∑ ∆Yi−1; i

∑ 𝐶𝑌𝑖

G23 + α4 + cα ± 200

cα

Xi (m)

Yi (m)

XA

YA

X A + DA1 . sin GA1 + 𝐶𝑋1

YA + DA1 . cos GA1 + 𝐶𝑌1

X1 + D12 . sin G12 + 𝐶𝑋2

Y1 + D12 . cos G12 + 𝐶𝑌2

X 2 + D23 . sin G23 + 𝐶𝑋3

Y2 + D23 . cos G23 + 𝐶𝑌3

X 3 + D3B . sin G3B + 𝐶𝑋4

Y3 + D3B . cos G3B + 𝐶𝑌4

G3B + α5 + cα ± 200

T ∑

D12 . sin G12

𝐶𝑋𝑖

∑ α𝑖

∑ cα

𝑓𝑎 = 𝐺𝑅𝐴 + ∑ α𝑖 − 5 × 200 − 𝐺𝐵𝑇𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 𝑇𝑎 = ±

8 3

𝑓𝑎 < Ta 𝐶𝛼𝑖 =

−𝑓𝑎 5

𝜎𝛼 √𝑛 + 1 == ±

8 3

𝜎𝑙 √2(𝑛 + 1)

Compensation

𝑓𝑋 = X A + ∑ ∆Xi−1; i − X 𝐵𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 ;

𝑓𝑌 = 𝑌A + ∑ ∆Yi−1; i − Y𝐵𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

𝐹𝑃 = √𝑓𝑋 2 + 𝑓𝑌 𝜎𝐿 = 𝜎𝑑 √𝑛 10−4∗𝜋

2𝑛

𝜎𝑇 = 𝐿 ∗ 𝜎𝑙 (𝑑𝑚𝑔𝑟) ∗ 200 √ 3 8 3

𝑇𝑃 = √𝜎𝐿 2 + 𝜎𝑇 2 𝐹𝑃 < 𝑇𝑃

Compensation

𝐶𝑋𝑖 =

−𝑓𝑋 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖

et 𝐶𝑌𝑖 =

−𝑓𝑌 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖 41 / 107

Application :

42 / 107

2. CAS PARTICULIER : CHEMINEMENT ENCADRE AVEC TOUR D’HORIZON AU DEBUT ET A LA FIN

Y+

Sens de parcours

Y+

Y+

Y+

Y+ T

Q

R U

α4

GS1S2

α2

GS2S3

α3 S1

DAS1

S3

DS2S3

DS1S2

A

GS3B

DS3B

S2

B

P V

Calcul du tour d’horizon en A STAT PV P A Q R

Gi GAP GAQ GAR

Li LP LQ LR

Gdépart = G0moy ±200

G0i G0P G0Q G0R

Calcul du tour d’horizon en B G0moy

STAT PV T B U V

Gi GBT GBU GBV

Li LT LU LV

G0i G0T G0U G0V

G0moy

Garrivé = G0moy

Angle A = lecture faite sur le 2ème point du tour d’horizon en A (1) = Ls1 Angle B = 400-lecture faite sur l’avant dernier point du tour d’horizon en B (S3) = 400 – Ls3

43 / 107

Pts

α𝑖 (𝑔𝑟)

c𝑖 (𝑔𝑟)

Gi−1; i (𝑔𝑟)

Di−1; i

∆Xi−1; i

DA1

DA1 . sin GA1

𝐶𝑋𝑖

𝐶𝑌𝑖

∆Yi−1; i

Xi (m)

Yi (m)

XA

YA

X A + DA1 . sin GA1 + 𝐶𝑋1

YA + DA1 . cos GA1 + 𝐶𝑌1

𝐺𝐷é𝑝𝑎𝑟𝑡

A

cα

L1

G𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 + α1 + cα ± 200

1

α2

cα

2

α3

cα

GA1 + α2 + cα ± 200

D12

G12 + α3 + cα ± 200

D23

D12 . sin G12 D23 . sin G23

cα

3

α4

B

400 − L3

−𝑓𝑋 . 𝐷1 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑋 . 𝐷2 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑋 . 𝐷3 ∑ 𝐷𝑖

−𝑓𝑌 . 𝐷1 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑌 . 𝐷2 ∑ 𝐷𝑖 −𝑓𝑌 . 𝐷3 ∑ 𝐷𝑖

DA1 . cos GA1 D12 . cos G12 D23 . cos G23

D3B

D3B . sin G3B

−𝑓𝑋 . 𝐷4 ∑ 𝐷𝑖

D3B . cos G3B

−𝑓𝑌 . 𝐷4 ∑ 𝐷𝑖

∑ Di−1; i

∑ ∆Xi−1; i

∑ 𝐶𝑋𝑖

∑ ∆Yi−1; i

∑ 𝐶𝑌𝑖

G23 + α4 + cα ± 200

cα

X1 + D12 . sin G12 + 𝐶𝑋2 X 2 + D23 . sin G23 + 𝐶𝑋3 X 3 + D3B . sin G3B + 𝐶𝑋4

Y1 + D12 . cos G12 + 𝐶𝑌2 Y2 + D23 . cos G23 + 𝐶𝑌3 Y3 + D3B . cos G3B + 𝐶𝑌4

G3B + α5 + cα ± 200 ∑

∑ α𝑖

∑ cα

𝑓𝑎 = 𝐺𝑑é𝑝𝑎𝑟𝑡 + ∑ α𝑖 − 5 × 200 − 𝐺𝑎𝑟𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑇𝑎 = ±

8 3

𝑓𝑎 < Ta 𝐶𝛼𝑖 =

−𝑓𝑎 5

𝜎𝛼 √𝑛 + 1 == ±

8 3

𝜎𝑙 √2(𝑛 + 1)

Compensation

𝑓𝑋 = X A + ∑ ∆Xi−1; i − X 𝐵𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢 ;

𝑓𝑌 = 𝑌A + ∑ ∆Yi−1; i − Y𝐵𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

𝐹𝑃 = √𝑓𝑋 2 + 𝑓𝑌 𝜎𝐿 = 𝜎𝑑 √𝑛 10−4∗𝜋

2𝑛

𝜎𝑇 = 𝐿 ∗ 𝜎𝑙 (𝑑𝑚𝑔𝑟) ∗ 200 √ 3 8 3

𝑇𝑃 = √𝜎𝐿 2 + 𝜎𝑇 2 𝐹𝑃 < 𝑇𝑃

Compensation

𝐶𝑋𝑖 =

−𝑓𝑋 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖

et 𝐶𝑌𝑖 =

−𝑓𝑌 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖 44 / 107

3. CALCUL D’UN CHEMINEMENT BOUCLE OU FERME

Deux cas se présentent : le cas où un côté du cheminement bouclé est orienté c’est-à-dire que le gisement d’un côté est connu et le cas où la référence est un point qui ne fait pas parti du cheminement bouclé. B 1er cas : 3

A

+ 2

1

Transmission de gisement Elle se fait comme dans le cas du cheminement encadré. Le gisement de départ sera 𝑮𝑹𝑨 . NB : Les formules ci-après sont valables dans les deux cas du cheminement bouclé sauf au niveau de la compensation angulaire. ❖ Fermeture angulaire : fa = ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 − (𝑛 − 2) × 200 (angles intérieurs) fa = ∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 − (𝑛 + 2) × 200 (angles extérieurs) ❖ Tolérance angulaire :

𝑻𝐚 = ±

𝟖

𝝈𝜶 √𝒏 = ±

𝟑

𝟖 𝟑

𝝈𝜶 √𝟐𝒏

❖ Compensation angulaire

𝒄𝒂 = − Si fa < Ta

𝐟𝐚

sur chaque angle

𝒏

𝒄𝒂𝒊 = −

𝐢×𝐟𝐚 𝒏

sur chaque gisement

❖ Coordonnées rectangulaires des sommets ➢ Fermeture planimétrique : 𝑓𝑋 = ∑ ∆𝑋𝑖 𝐹𝑝 = √𝑓𝑋 2 + 𝑓𝑌 2 𝑓𝑌 = ∑ ∆𝑌𝑖 ➢ Erreur longitudinale :

𝜎𝐿 = ± 𝜎𝐷 √𝑛 45 / 107

𝑛 𝜎𝑇 = ± 𝐿. 𝜎𝛼 (𝑟𝑎𝑑)√ 3

➢ Erreur transversale :

𝑇𝑝 = ± √𝜎𝐿 2 + 𝜎𝑇 2

➢ Tolérance planimétrique :

EXERCICE D’APPLICATION E 85.23 m

85.61 m 142.740 gr

D

A 115.701 gr

115.735 gr 79.39 m

90.67 m 118.657 gr

+ B

107.157 gr C

120.09 m

Calculer les coordonnées compensées des sommets de la polygonale ci-après, sachant que les coordonnées du point A sont X=1 996.50 m et Y= 911.77 m, le gisement EA est 264.3633 gr ; l’écart type angulaire sur une visée est ±3 mgr et l’écart type sur la distance est ±5 cm.

46 / 107

CORRECTION Points 𝜶𝒊 (gr)

𝑪𝜶𝒊 (𝒈𝒓) 𝑮𝒊𝒄𝒐𝒎𝒑 (𝒈𝒓)

𝑫𝒊 (𝒎)

∆𝑿𝒊 (𝒎)

𝑪𝑿𝒊 (𝒎)

∆𝒀𝒊 (𝒎)

𝑪𝒀𝒊 (𝒎) X (m)

Y (m)

E 264,3633 A

115,735

0,002

B

118,657

0,002

180,1003 98,7593 C

107,157 115,701 142,740

120,067

0,001 0,003

-75,543 2,340

90,67

8,417

0,001

90,278

85,23

-80,362

0,001

28,393

85,61

-72,544

0,001

-45,459

0,010

𝑓𝑎 = 599.990 − (5 − 2) × 200 = −0.010 𝑔𝑟 8

460,99

-0,007

0,007

0,010

836,23

2140,98

838,56

2149,40

928,84

2069,04

957,23

1996,50

911,77

-0,002 -0,002 -0,002

A 599,990

2020,92 -0,003

0,002 264,3633

911,77

-0,001

0,002 321,6213

E

120,09

24,414

0,002 5,9183

D

79,39

1996,50

-0,010

𝑓𝑋 = −0.007 𝑚 ; 𝑓𝑌 = −0.010 𝑚

𝑇𝑎 = 3 × 0.003√2 × √5 = ±0.025 𝑔𝑟

𝐹𝑃 = √(−0.007)2 + (−0.010)2 = +0.112 𝑚

𝑓𝑎 < Ta

𝜎𝐿 = 0.05√5 = ±0.112 𝑚

𝐶𝛼𝑖 =

−(−0.010) 5

Compensation = +0.002 𝑔𝑟

2×5 3

𝜎𝑇 = 30 × √2 × 1.57. 10−6 × 460.99 × √

= ±0.056𝑚

8

𝑇𝑃 = √0.1122 + 0.0382 = ±0.334 𝑚 3 𝐹𝑃 < 𝑇𝑃

Compensation

𝐶𝑋𝑖 =

−𝑓𝑋 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖

et 𝐶𝑌𝑖 =

−𝑓𝑌 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖

47 / 107

2ème cas : R

Conseil :

+

Sur le terrain, il est souhaitable de faire un tour d’horizon en A afin d’éviter des erreurs d’orientation de tout le cheminement.

B C

A

F

D

L’angle extérieur A est la somme des deux angles extérieurs ̂ et 𝐹𝐴𝑅 ̂. 𝑅𝐴𝐵 𝐴̂ = (𝑙𝐵 − 𝑙𝑅 ) + (𝑙𝑅 − 𝑙𝐹 ).

Pour le calcul du cheminement, ces deux angles apparaissent dans le tableau. Le premier angle ̂ le second 𝐴𝐵𝐶 ̂ … et le dernier 𝐹𝐴𝑅 ̂. sera 𝑅𝐴𝐵 ATTENTION : a. le gisement de départ sera 𝐺𝐴𝑅 et non 𝐺𝑅𝐴 . ̂ = 𝐺𝐴𝑅 + (𝑙𝐴 − 𝑙𝐴 ) b. le 1er gisement calculé sera alors : 𝐺𝐴𝐵 = 𝐺𝐴𝑅 + 𝑅𝐴𝐵 𝐵 𝑅 c. la transmission des autres gisements se fera selon la formule :

𝐺𝑖 = 𝐺𝑖−1 + 𝛼𝑔 ± 200𝑔𝑟

A partir du côté BC jusqu’à FA (dernier côté), tous les gisements se calculent selon cette formule. d. Dans la compensation angulaire, le nombre de nouveaux côtés correspond au nombre de sommets : soit n. 𝑐𝑎𝑖 = −

fa 𝑛

Or dans le tableau, vous aurez (n+1) angles.

̂ et 𝐹𝐴𝑅 ̂ . Ainsi, vous diviserez par 2 la En effet, l’angle 𝐴̂ est cindé en 2 angles : 𝑅𝐴𝐵 correction à apporter à l’angle 𝐴̂. Soit ̂ 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈é = 𝑹𝑨𝑩 ̂ 𝒃𝒓𝒖𝒕 + 𝒄𝜶 𝑹𝑨𝑩 𝟐

̂ 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈é = 𝑭𝑨𝑹 ̂ 𝒃𝒓𝒖𝒕 + 𝑭𝑨𝑹

𝒄𝜶 𝟐

48 / 107

EXERCICE D’APPLICATION Calculer les coordonnées compensées des sommets de la polygonale ci-après, sachant que les coordonnées du point A sont X=1 000.00 m et Y= 1000.00 m, le gisement EA est 350.0000 gr ; l’écart type angulaire sur une visée est ±3 mgr et l’écart type sur la distance est ±5 cm.

R

+ 276,335 gr 85,453 gr

B

176,00 m

194,50 m 199,792 gr

C

A

276,426 gr

210,10 m E 277,773 gr

208,50 m D 284,204 gr

49 / 107

Points 𝜶𝒊 (gr)

𝑪𝜶𝒊 (𝒈𝒓) 𝑮𝒊𝒄𝒐𝒎𝒑 (𝒈𝒓)

𝑫𝒊 (𝒎)

∆𝑿𝒊 (𝒎)

𝑪𝑿𝒊 (𝒎)

∆𝒀𝒊 (𝒎)

𝑪𝒀𝒊 (𝒎) X (m)

194,50

102,808

+0,007

165,108

+0,002

Y (m)

R 350,0000 A

85,453

+0,002 35,4550

B

276,335

+0,003 111,7930

C

276,426

E A

284,204 277,773 199,792

172,989

+0,006

-32,417

208,50

38,355

+0,008

-204,942

1000,00

1102,82

1165,11

1275,81

1132,69

1314,17

927,75

1148,08

850,96

1000,00

1000,00

+0,001

+0,003 188,2220

D

176,00

1000,00

+0,002

+0,003 272,4290

183,00

-166,105

+0,007

-76,800

+0,001

350,2060

210,10

-148,082

+0,007

149,043

+0,002

+0,004 +0,002 350,0000

R 1399,983 + 0.017 𝑓𝑎 = 1399.983 − (5 + 2) × 200 = −0.017 𝑔𝑟

972,100

-0,034

+0,034

-0,008 +0,008

𝑓𝑋 = −0.034 𝑚 ; 𝑓𝑌 = −0.008 𝑚

𝑇𝑎 = 3 × 0.003√2 × √5 = ±0.025 𝑔𝑟

𝐹𝑃 = √(−0.034)2 + (−0.008)2 = +0.035 𝑚

𝑓𝑎 < Ta

𝜎𝐿 = 0.05√5 = ±0.112 𝑚

8

𝐶𝛼𝑖 =

−(−0.017) 5

Compensation = +0.003 𝑔𝑟

𝜋

5

𝜎𝑇 = 0.003√2 × 200 × 972.10 × √3 = ±0.084𝑚 8

𝑇𝑃 = 3 √0.1122 + 0.0752 = ±0.373 𝑚 𝐹𝑃 < 𝑇𝑃

Compensation

𝐶𝑋𝑖 =

−𝑓𝑋 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖

et 𝐶𝑌𝑖 =

−𝑓𝑌 .𝐷𝑖 ∑ 𝐷𝑖

50 / 107

CHAPITRE IV : CALCUL DE SURFACES INTRODUCTION Le calcul de surface est l’une des opérations la plus importante en topographie. Ces opérations vont servir à la vente des parcelles, à l’évaluation de l’impôt foncier et au partage des terrains. Les calculs de surfaces sont effectués soit d’après les relevés de terrain, soit d’après un plan déjà établi. Les surfaces sont déterminées à partir de : -

Formules mathématiques usuelles ; Procédés topométriques (numériques, graphique…) ou Par comparaison de différentes méthodes.

Ce présent chapitre fera l’objet des calculs de surface à partir de formules mathématiques usuelles et procédés topométriques numériques.

I.

CALCUL DE SURFACES PAR DECOMPOSITION EN FIGURES GEOMETRIQUES SIMPLES

Soit un polygone dont on veut déterminer la superficie. Pour se faire, on va procéder à la décomposition en figures géométriques simples qui sont : le triangle, le rectangle, le carré et le trapèze. Rappel 1 1 𝑎² 1 Triangle : 𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝑐 = = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) = 𝑏 × ℎ 2 2 (cot 𝐵 + cot 𝐶) 2

Rectangle :

𝑆 =𝐿×𝑙

Carré :

𝑆 = 𝑎²

Trapèze :

𝑆=

𝐵+𝑏 ×ℎ 2

51 / 107

Application

𝐴̂ = 77.967𝑔𝑟 ; 𝐵̂ = 229.918 𝑔𝑟

C

𝐶̂ = 70.632 𝑔𝑟 ;

430.14

470.80

4

D

̂ = 163.656 𝑔𝑟 𝐷

𝐸̂ = 119.970 𝑔𝑟

B 3

396.04 1

A

370.98

2 E

430.44 F

52 / 107

II.

CALCUL DE SURFACES PAR COORDONNEES RECTANGULAIRES Soient les trapèzes (1, X1, X3 ; 3) ; (1, 2, X2, X1) et (2, X2, X3 ; 3)

𝑌 1

𝑌1

Trapèze (1, X1, X3, 3) 3

𝑌3

2𝑆1 = (𝑌1 + 𝑌3 )(𝑋1 − 𝑋3 )

Trapèze (1, 2, X2, X1)

2𝑆2 = (𝑌1 + 𝑌2 )(𝑋2 − 𝑋1 )

Trapèze (2, X2, X3 ; 3)

2𝑆3 = (𝑌3 + 𝑌2 )(𝑋2 − 𝑋3 )

2

𝑌2

𝑋 𝑋3

𝑋1 𝑋2

2𝑆1,2,3 = 2𝑆1 + 2𝑆2 − 2𝑆3

2𝑆 = (𝑌1 + 𝑌3 )(𝑋1 − 𝑋3 ) + (𝑌1 + 𝑌2 )(𝑋2 − 𝑋1 ) − (𝑌3 + 𝑌2 )(𝑋2 − 𝑋3 ) 2𝑆 = 𝑌1 𝑋1 − 𝑌1 𝑋3 + 𝑌3 𝑋1 − 𝑌3 𝑋3 + 𝑌1 𝑋2 − 𝑌1 𝑌1 + 𝑌2 𝑋2 − 𝑌2 𝑋1 − 𝑌3 𝑋2 + 𝑌3 𝑋3 − 𝑌2 𝑋2 + 𝑌2 𝑋3 2𝑆 = 𝑌1 𝑋2 − 𝑌1 𝑋3 − 𝑌2 𝑋1 + 𝑌2 𝑋3 + 𝑌3 𝑋1 − 𝑌3 𝑋2 2𝑆 = 𝑌1 (𝑋2 − 𝑋3 ) + 𝑌2 (𝑋3 − 𝑋1 ) + 𝑌3 (𝑋1 − 𝑋2 ) −2𝑆 = 𝑋1 (𝑌2 − 𝑌3 ) + 𝑋2 (𝑌3 − 𝑌1 ) + 𝑋3 (𝑌1 − 𝑌2 )

Formule générale :

𝒏

𝒏

𝟐𝑺 = ∑ 𝒀𝒊 (𝑿𝒊+𝟏 − 𝑿𝒊−𝟏 ) = − ∑ 𝑿𝒊 (𝒀𝒊+𝟏 − 𝒀𝒊−𝟏 ) 𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

Application Pts A B C D E A B

X (m) 158.183 100.000 91.904 162.188 197.762 158.183 100.000

Y (m) 0.000 0.000 50.829 47.790 31.970 0.000 0.000 ∑

X i+1 − X i−1

.....................

Yi+1 − Yi−1

Yi (X i+1 − X i−1 )

...................... 2 S (m²) .............................. S (m²) ..............................

X i (Yi+1 − Yi−1 )

............................ ............................

53 / 107

III.

CALCUL DE SURFACES PAR COORDONNEES POLAIRES (ANGLES, DISTANCES) 2 𝑆 𝑃12 = 𝑑1 . 𝑑2 sin( 𝐿2 − 𝐿1 )

O 2 𝑆 𝑃13 = 𝑑1 . 𝑑3 sin( 𝐿3 − 𝐿1 )

L1 d1

L2

2 𝑆 𝑃23 = 𝑑2 . 𝑑3 sin( 𝐿3 − 𝐿2 ) 2 𝑆 123 = 2 𝑆 𝑃12 + 2 𝑆 𝑃23 − 2 𝑆 𝑃13

1 2 𝑆 = 𝑑1 . 𝑑2 sin( 𝐿2 − 𝐿1 ) + 𝑑2 . 𝑑3 sin( 𝐿3 − 𝐿2 ) − 𝑑1 . 𝑑3 sin( 𝐿3 − 𝐿1 )

L3 d2 P

2 𝑆 = 𝑑1 . 𝑑2 sin( 𝐿2 − 𝐿1 ) + 𝑑2 . 𝑑3 sin( 𝐿3 − 𝐿2 ) + 𝑑1 . 𝑑3 sin( 𝐿1 − 𝐿3 )

2

d3 3

Formule générale : 𝒏

𝟐 𝑺 = ∑ 𝒅𝒊 . 𝒅𝒊+𝟏 𝐬𝐢𝐧( 𝑳𝒊+𝟏 − 𝑳𝒊 ) 𝒊=𝟏

La formule est valable quel que soit la parcelle et quel que soit la position de la station, à l’intérieur comme à l’extérieur du polygone. Inconvénient : Il est très rare de voir d’une seule station tous les sommets de la parcelle. Le rayonnement n’offre aucun contrôle. Si les distances sont longues, le chaînage perd sa précision. Avantages : rapidité des éditions, utilisation de formule simples. NB : Il est déconseillé d’utiliser cette formule pour le foncier et le cadastre (parce qu’il n’y a pas de contrôle) Sommets Gi (gr) Di (m) 1 333.842 72.41 Application 2 368.805 40.67 5 6 3 340.791 25.15 4 59.999 22.83 1 2 5 29.467 45.36 6 68.666 75.19 3 4 7 121.503 68.51 P 8 277.014 67.02 8 7

54 / 107

Résolution

Sommets 1 2 3 4 5 6 7 8 1

Di (m) 72.41 40.67 25.15 22.83 45.36 75.19 68.51 67.02 72.41

Gi (gr) 333.842 368.805 340.791 59.999 29.467 68.666 121.503 277.014 333.842

(𝐺𝑖+1 − 𝐺𝑖 )

(𝐷𝑖+1 . 𝐷𝑖 )

𝐷𝑖+1 . 𝐷𝑖 . 𝑠𝑖𝑛(𝐺𝑖+1 − 𝐺𝑖 )

2 S (m²) S (m²)

55 / 107

IV.

CALCUL DE SURFACES PAR LA METHODE POLYGONALE (OU METHODE DE SARRON) La méthode de Sarron permet de calculer la surface de tout polygone de n côtés dont on connaît les longueurs de (n-1) côtés et les valeurs des (n-2) angles.

෢ 𝑎𝑏 3 b ෢ 𝑎𝑏

4’’

𝑎𝑐 ෞ

෢ 𝑏𝑐

Soit la parcelle 1, 2, 3,4 parcourue dans le sens des gisements. On a les angles dirigés qui sont donnés par les vecteurs des côtés. Un angle dirigé est un angle qui est le complément de l’angle interne compris par les côtés.

෢ 𝑎𝑏

2 2’ ℎ 𝑏 a

4’

c

ℎ𝑎

ℎ𝑎 = 4′ 3′ + 3′4

3’ 4

1

෢ 4′ 3′ = 22′ = 𝑏 sin 𝑎𝑏 3′ 4 = 𝑐 sin(200 − 𝑎𝑐 ෞ) = 𝑐 sin 𝑎𝑐 ෞ ෢ + 𝑐 sin 𝑎𝑐 ℎ𝑎 = 𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ ෢ ) = 𝑐 sin 𝑏𝑐 ෢ ℎ𝑏 = 𝑐 sin(200 − 𝑏𝑐

෢ + 𝑐 sin 𝑎𝑐 ෢ 2𝑆123 = 2𝑆124 + 2𝑆234 = 𝑎. ℎ𝑎 + 𝑏. ℎ𝑏 = 𝑎(𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ) + 𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐 ෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 ෢ 2𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + 𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐

Remarque : ෢ + 𝑏𝑐 ෢; 𝑎𝑐 ෞ = 𝑎𝑏

෢ = 200 − 2̂ ; 𝑎𝑏

෢ = 200 − 3̂ 𝑏𝑐

Pour un polygone de n côtés, le nombre de termes dans la formule de Sarron est :

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 2

Le nombre de côtés utilisés est n-1 et celui des angles dirigés n-2. Formule générale ෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + ⋯ + 𝑎(𝑛 − 1) sin(𝑎,̂ 𝑛 − 1)

n-2 termes

෢ + 𝑏𝑑 sin 𝑏𝑑 ෢ + ⋯ + 𝑏(𝑛 − 2) sin(𝑏,̂ +𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐 𝑛 − 2)

n-2 termes

2𝑆 =

. . .

̂ − 1) +(𝑛 − 2)(𝑛 − 1) sin(𝑛 − 2)(𝑛

n(n-1)= 1 terme 56 / 107

Application : ෢ 𝑏𝑐

D

෢ 𝑐𝑑

c C

E b

𝐵̂ = 110.0506

AB = 98.18 m

𝐶̂ = 87.1931 𝑔𝑟

BC = 51.47 m

̂ = 176.0324 𝑔𝑟 𝑔𝑟 𝐷

CD = 70.35 m

෢ 𝑎𝑏

DE = 38.96 m B

a

A

෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 ෢ 2𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + 𝑎𝑑 sin 𝑎𝑑 ෢ + 𝑏𝑑 sin 𝑏𝑑 ෢ +𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐 ෢ +𝑐𝑑 sin 𝑐𝑑 1ère METHODE DE RESOLUTION

Côtés a b c d b c d c d

Longueurs i j 98.18 51.47 70.35 38.96 51.47 70.35 38.96 70.35 38.96

Angles dirigés (ij)

ij sin 𝑖𝑗 ̂

2 S (m²) S (m²) 2ème METHODE DE RESOLUTION

Pts

𝑖𝑗 ̂

A

a

B

෢ 𝑎𝑏

C

෢ 𝑏𝑐

b c D E

𝑖𝑗 ̂ ij.sin𝑖𝑗 ̂

Di

෢ 𝑐𝑑 d

෢ 𝑎𝑏 ෢ ab.sin𝑎𝑏

ෞ 𝑎𝑐 ac.sin ෞ 𝑎𝑐 ෢ 𝑏𝑐 ෢ bc.sin𝑏𝑐

2Si ෢ 𝑎𝑑 ෢ ad.sin𝑎𝑑 ෢ 𝑏𝑑 ෢ bd.sin𝑏𝑑 ෢ 𝑐𝑑 ෢ cd.sin𝑐𝑑

……………….

……………….

…………………

57 / 107

V.

SURFACES DELIMITEES PAR DES LIGNES COURBES

Soit la parcelle délimitée par ABCD dont on veut déterminer la superficie. On décompose la ligne d’opération en n nombre pair de segment de longueur x. 1. Méthode de Poncelet.

𝑌0

𝑌1

𝑌2

𝑌3

𝑌4

𝑌5

𝑌6

𝑌7

𝑌8

𝑥 On considère les trapèzes inscrits Si et les trapèzes circonscrits Sc , alors la formule de Poncelet s’écrit : 𝑺=

∑ 𝑺𝒊 + ∑ 𝑺𝒄 𝟐

∑ 𝑆𝑖 =

𝑥 𝑥 (𝑌0 + 𝑌1 ) + 𝑥(𝑌1 + 𝑌3 ) + 𝑥(𝑌3 + 𝑌5 ) + 𝑥(𝑌5 + 𝑌7 ) + (𝑌7 + 𝑌8 ) 2 2

∑ 𝑆𝑖 =

𝑥 [(𝑌 + 𝑌1 + 𝑌7 + 𝑌8 ) + 2(𝑌1 + 𝑌7 ) + 4(𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )] 2 0

∑ 𝑆𝑐 = 2𝑥(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )

𝑆= 𝑆=

𝑆=

∑ 𝑆𝑖 + ∑ 𝑆𝑐 𝑥 = [(𝑌0 + 𝑌1 + 𝑌7 + 𝑌8 ) + 2(𝑌1 + 𝑌7 ) + 4(𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 ) + 4(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )] 2 4

𝑥 [(𝑌 + 𝑌1 + 𝑌7 + 𝑌8 ) + 2(𝑌1 + 𝑌7 ) + 4(𝑌1 − 𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 − 𝑌7 ) + 4(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )] 4 0 𝑥 [(𝑌 + 𝑌8 ) − (𝑌1 + 𝑌7 ) + 8(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )] 4 0 Formule générale :

𝑺=

𝒙 [(𝒀 + 𝒀𝒏 ) − (𝒀𝟏 + 𝒀𝒏−𝟏 ) + 𝟖(𝒀𝟏 + 𝒀𝟑 + ⋯ + 𝒀𝒏−𝟏 )] 𝟒 𝟎

58 / 107

2. Méthode Simpson.

𝑌0

𝑌1

𝑌2

𝑌3

𝑌4

𝑌5

𝑌6

𝑌7

𝑌8

x Les portions de courbes sont assimilées à des segments de droites. On considère donc les trapèzes inscrits Si et les trapèzes circonscrits Sc . La formule de Simpson s’écrit : 𝑺=

∑ 𝑆𝑖 =

𝟐 ∑ 𝑺𝒊 + ∑ 𝑺𝒄 𝟑

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (𝑌0 + 𝑌1 ) + (𝑌1 + 𝑌2 ) + (𝑌2 + 𝑌3 ) + (𝑌3 + 𝑌4 ) + (𝑌4 + 𝑌5 ) + (𝑌5 + 𝑌6 ) + (𝑌6 + 𝑌7 ) + (𝑌7 + 𝑌8 ) 2 2 2 2 2 2 2 2

∑ 𝑆𝑖 =

𝑥 (𝑌 + 2𝑌1 + 2𝑌2 + 2𝑌3 + 2𝑌4 + 2𝑌5 + 2𝑌6 + 2𝑌7 + 𝑌8 ) 2 0 7

𝑌0 + 𝑌8 𝑌0 + 𝑌8 ∑ 𝑆𝑖 = 𝑥 [( ) +(𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + 𝑌5 + 𝑌6 + 𝑌7 )] = 𝑥 [( ) + ∑ 𝑌𝑖 ] 2 2 𝑖=1

D’où 7

3𝑆 = ∑ 𝑆𝑖 + ∑ 𝑆𝑐 = 𝑥 [𝑌0 + 𝑌8 + 2 ∑ 𝑌𝑖 + 2(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )] 𝑖=1

3𝑆 = 𝑥[𝑌0 + 𝑌8 + 2(𝑌2 + 𝑌4 + 𝑌6 ) + 4(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )]

𝑆=

𝑥 [(𝑌 + 𝑌8 ) + 2(𝑌2 + 𝑌4 + 𝑌6 ) + 4(𝑌1 + 𝑌3 + 𝑌5 + 𝑌7 )] 3 0

59 / 107

Formule générale : 𝒙 [(𝒀 + 𝒀𝒏 ) + 𝟐(𝒀𝟐 + 𝒀𝟒 + 𝒀𝟔 + ⋯ + 𝒀𝒏−𝟐 ) + 𝟒(𝒀𝟏 + 𝒀𝟑 + 𝒀𝟓 + ⋯ + 𝒀𝒏−𝟏 )] 𝟑 𝟎

𝑺=

Application La surface délimitée est représentée ci-après. Calculer la surface délimitée par la courbe C et la droite D. chacun des 14 tronçons de courbes de largeur d = 45.025 m est assimilé à un arc de parabole.

x 14 fois

45.025 m

𝑌1 = 0

𝑌7 = 104.915

𝑌13 = 101.232

𝑌2 = 51.337

𝑌8 = 99.047

𝑌14 = 59.466

𝑌3 = 84.433

𝑌9 = 95.458

𝑌15 = 0

𝑌4 = 102.737

𝑌10 = 93.791

𝑌5 = 111.879

𝑌11 = 101.979

𝑌6 = 113.336

𝑌12 = 112.756

Solution : S=......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... S = ...........................

VI.

REDRESSEMENT DE LIMITES

C

෢ 𝑏𝑐

b

A

E

c

x

a ෢ 𝑎𝑏

B

𝑐𝑥 ෞ

D

Le problème consiste à rendre rectiligne une limite formée par une ligne brisée (limite entre 2 parcelles, rectification de chemin ....) de manière que les parcelles considérées conservent leur superficie respectives. 60 / 107

La solution la plus simple est de remplacer la limite considérée (ABCD par exemple) par une droite issue de A et aboutissant en un point E. Les surfaces hachurées de part et d’autre de AE doivent s’équilibrer c.-à-d. que la surface du polygone ABCDE doit être nulle. On choisit donc comme sens de parcours celui des gisements et on applique la méthode de Sarron. ෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 2𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 ෞ

=0

෢ + 𝑏𝑥 sin 𝑏𝑥 ෢ +𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐

𝑥=

෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 ෢ −(𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + 𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐 ෢ + 𝑐 sin 𝑐𝑥 𝑎 sin 𝑎𝑥 ෞ + 𝑏 sin 𝑏𝑥 ෞ

+𝑐𝑥 sin 𝑐𝑥 ෞ

Application A

෢ 𝑎𝑏

D

෢ 𝑑𝑥

a b

d

I

෢ 𝑏𝑐

B

x J

c

෢ 𝑐𝑑

C

෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 ෢ + 𝑎𝑥 sin 𝑎𝑥 2𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + 𝑎𝑑 sin 𝑎𝑑 ෞ

a = 14.05 m

෢ = 147.39 𝑔𝑟 𝑎𝑏

b = 47.45 m

෢ = 376.97 𝑔𝑟 𝑏𝑐

c = 40.70 m

෢ = 342.41 𝑔𝑟 𝑐𝑑

d = 84.95 m

෢ = 142.45 𝑔𝑟 𝑑𝑥

=0

෢ + 𝑏𝑑 sin 𝑏𝑑 ෢ + 𝑏𝑥 sin 𝑏𝑥 ෢ +𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐 ෢ + 𝑐𝑥 sin 𝑐𝑥 +𝑐𝑑 sin 𝑐𝑑 ෞ ෢ +𝑑𝑥 sin 𝑑𝑥

𝑥=

෢ + 𝑎𝑐 sin 𝑎𝑐 ෢ + 𝑏𝑐 sin 𝑏𝑐 ෢ + 𝑏𝑑 sin 𝑏𝑑 ෢ + 𝑐𝑑 sin 𝑐𝑑 ෢) −(𝑎𝑏 sin 𝑎𝑏 ෞ + 𝑎𝑑 sin 𝑎𝑑 ෢ + 𝑐 sin 𝑐𝑥 ෢ 𝑎 sin 𝑎𝑥 ෞ + 𝑏 sin 𝑏𝑥 ෞ + 𝑑 sin 𝑑𝑥

61 / 107

1ère METHODE DE RESOLUTION

Côtés

Longueurs i j 14.05 47.45 40.70 84.95 x 47.45 40.70 84.95 x 40.70 84.95 x 84.95 x

a b c d x b c d x c d x d x

𝑥=−

Angles dirigés (ij)

̂ ij sin 𝒊𝒋

147.39

376.97

342.41

142.45 ̂ ∑ ij sin 𝒊𝒋 ෞ ∑ ix sin 𝒊𝒙

……………………………………… = ⋯ … … … … … … … .. … … … … … … … … … … … … … … .. 2ème METHODE DE RESOLUTION

Pts

𝑖𝑗 ̂

I A

𝑖𝑗 ̂ ij. sin𝑖𝑗 ̂

Di a

෢ 𝑎𝑏

෢ 𝑎𝑏 ෢ ab. sin𝑎𝑏

b B

෢ 𝑏𝑐 ෢ bc. sin𝑏𝑐

෢ 𝑏𝑐 c

C

෢ 𝑐𝑑

E

෢ 𝑎𝑑 ෢ ad. sin𝑎𝑑 ෢ 𝑏𝑥 ෢ 𝑏𝑑 ෢ bd. sin𝑏𝑑 ෢ 𝑐𝑑 ෢ cd. sin𝑐𝑑

d D

ෞ 𝑎𝑐 ac.sin ෞ 𝑎𝑐

2Si

෢ 𝑑𝑥 x

𝑎𝑥 ෞ ax. sin𝑎𝑥 ෞ

෢ bx. sin𝑏𝑥 𝑐𝑥 ෞ cx. sin𝑐𝑥 ෞ ෢ 𝑑𝑥 ෢ dx. sin𝑑𝑥

∑

𝑥=−

…………+…….x

…………+…….x

…………+………x ………….+………x …………..+……x

……………………………………… = ⋯ … … … … … … … .. … … … … … … … … … … … … … … ..

62 / 107

CHAPITRE V : DIVISIONS DE SURFACES Le partage de terre a pour but de diviser une surface donnée en plusieurs parties équivalentes ou en plusieurs parties proportionnelles à des valeurs données. Le partage de terrains trouve son application dans : les lotissements, remembrement, partage de succession, aménagement de forêt. Les règles pratiques suivantes doivent être observées : -

I.

Il faut constituer des lots formant un tout complet, indépendant les uns des autres ; Il faut éviter l’établissement de servitudes (contraintes) Le dimensionnement des parcelles : 1. Eviter les angles aigus et les parcelles dont les dimensions principales ont des longueurs très différentes. 2. Préférer le trapèze ou quadrilatère quelconque au triangle 3. Etablir des lignes de divisions parallèles plutôt que quelconque LIMITES DIVISOIRES PASSANT PAR UN SOMMET

1. Cas d’un triangle

Soit le triangle ABC de surface S connue à divisée en 3 parcelles de surfaces S1, S2 et S3.

A

Données du problème : S2 S1 C

h

Q

Tous les côtés et les angles du triangle sont connus. S1, et S2 sont connus

S3 B

Eléments à calculer : CQ, QP et PB

P

1ère méthode : en utilisant les angles 2𝑆1 = 𝐶𝑄. 𝐶𝐴. 𝑆𝑖𝑛𝐶

→

𝐶𝑄 =

2𝑆1 𝐶𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝐶

2𝑆3 = 𝐵𝑃. 𝐵𝐴. 𝑆𝑖𝑛𝐵

→

𝐵𝑃 =

2𝑆3 𝐵𝐴. 𝑠𝑖𝑛𝐵

QP = BC – (BP + CQ) ème

2 méthode : en utilisant la hauteur issue du point A 2𝑆 = ℎ. 𝐵𝐶 2𝑆1 = ℎ. 𝐶𝑄 2𝑆3 = ℎ. 𝑃𝐵

→ → →

2𝑆 𝐵𝐶 2𝑆1 𝐶𝑄 = ℎ 2𝑆3 𝑃𝐵 = ℎ ℎ=

63 / 107

3ème méthode : en utilisant le rapport de proportionnalité des surfaces

2𝑆2 ℎ. 𝑄𝑃 = 2𝑆 ℎ. 𝐶𝐵

→

𝑆2 𝑄𝑃 = = 𝑘2 𝑆 𝐶𝐵

→

𝑄𝑃 = 𝑘2 𝐶𝐵

2𝑆3 ℎ. 𝑃𝐵 = 2𝑆 ℎ. 𝐶𝐵

→

𝑆3 𝑃𝐵 = = 𝑘3 𝑆 𝐶𝐵

→

𝑃𝐵 = 𝑘3 𝐶𝐵 𝑎𝑣𝑒𝑐

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘2 = 𝑘3 =

𝑆2 𝑆 𝑆3 𝑆

NB : Les superficies sont proportionnelles à leur base sur BC selon leur rapport.

2. Cas d’un quadrilatère

Données: S; AB; BC; CD; AD; S1, S2 et S3; 𝐴̂ et 𝐶̂ .

h3

B

C

S3 h1

S2

Éléments à calculer, AP et PD, CQ, et QD •

Q

Calcul de AP et PD

S1 A

D

P

2S1 = AP. AB sinA

→

ℎ1

𝐴𝑃 =

2S1 2S1 = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝐴 ℎ1

𝑃𝐷 = 𝐴𝐷 – 𝐴𝑃

• Calcul de CQ et QD 2S3 = CQ. CB sinC

→

𝐶𝑄 =

2S3 2S3 = 𝐶𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝐶 ℎ3

𝑄𝐷 = 𝐶𝐷 – 𝐶𝑄

ℎ3

3. Cas d’un polygone

S1

Y1

S3

Y2 E

Eléments à calculer : X1 et X2, Y1 et Y2 X2 C

S2

F

Données S, S1, S2, S3, tous les côtés et angle sont connus.

B X1

A

D

Utiliser la méthode de SARRON pour calculer X1 X2 = BC – X1

Utiliser la méthode de SARRON pour calculer Y2 Y1 = CD – Y2

64 / 107

II.

LIMITES DIVISOIRES PASSANT PAR UN POINT SITUE SUR UN CÔTÉ

1. Cas d’un triangle A

Données S, S1, S2, S3, tous les côtés, AM et angles sont connus. Eléments à calculer : AP et PQ

S1

P

M

S2 Q

2S1 = AM. AP sinA → 𝐴𝑃 =

S3

C

B

2S1 𝐴𝑀𝑠𝑖𝑛 𝐴

2(S1 + S2 ) = AM. AQ sinA → 𝐴𝑄 =

2(S1 + S2 ) 𝐴𝑀𝑠𝑖𝑛 𝐴

𝑃𝑄 = 𝐴𝑄 – 𝐴𝑃

2. Cas d’un quadrilatère

Données S, S1, S2 ; tous les côtés et angles sont connus. X

A

M Y

Eléments à calculer : X et Y

B

Utiliser la méthode de SARRON pour calculer X et Y b

S1

D

c

S2

a

N

෢ + ax sin ax ෢ 2S1 = ab sin ab ෞ + bx sin bx C

d

X=

෢ 2𝑆1 − 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛ab ෢ 𝑎𝑠𝑖𝑛 ax ෞ + 𝑏𝑠𝑖𝑛 bx

෢ + cd sin cd ෢ 2S2 = yc sin yc ̂ + yd sin yd

Y=

Faire un contrôle

෢ 2𝑆2 − 𝑐𝑑 sin cd ෢ 𝑐𝑠𝑖𝑛 yc ̂ + 𝑑𝑠𝑖𝑛 yd

X + Y = AB

3. Cas d’un polygone A

Données S, S1, S2, tous les côtés et angles sont connus. Eléments à calculer : X et Y

E

B

S1 Y

S2 D

X

Faire un rapport graphique en vue de connaitre la position du point d’intersection de la limite avec la droite BC Utiliser la méthode de SARRON pour calculer X et Y.

C

65 / 107

III.

LIMITES DIVISOIRES PARALLELES A UN CÔTÉ

1. Cas d’un triangle

Données S, S1, S2 et S3 tous les côtés et angles sont connus.

A

Eléments à calculer : b1 ; b2 ; a1 ; a2 ; c1 et c2 b1

S1

b2

c1

𝑆1 = 𝑘1 𝑒𝑡 𝑆

c2

a1

𝑆1 + 𝑆2 = 𝑘2 𝑆

S2

a2

C

𝑎1 𝑏1 𝑐1 = = 𝑎 𝑏 𝑐

a

B

→

𝑏1 =

𝑏𝑐1 𝑐

𝑏𝑐1 1 × 𝑐1 𝑏𝑐12 1 𝑆1 2 𝑏1 𝑐1 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑏1 𝑐1 = = = 𝑏𝑐 = × 1 𝑆 𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑐 𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 2

𝑆1 𝑐12 = 2 = 𝑘1 𝑆 𝑐 𝑆1 + 𝑆2 = 𝑘2 𝑆

→

→

𝑐1 = 𝑐√𝑘1 ;

𝑐2 = 𝑐√𝑘2 ;

𝑎1 = 𝑎√𝑘1 ;

𝑎2 = 𝑎√𝑘2 ;

𝑏1 = 𝑏√𝑘1

𝑏2 = 𝑏√𝑘2

2. Cas d’un quadrilatère E

Données : S, S1, S2 et S3 DC les ̂ . (PP’) et (QQ’) // (CD) angles. 𝐶̂ et 𝐷 Eléments à calculer : DQ ; DP ; CQ’ et CP’ ; PP’ et QQ’

B A

•

S1

c

P

S2

b

Q D 2𝑆𝑄′𝐸𝑄 =

1 méthode : triangles

•

Q’

S3

a

Calcul de b = QQ’

ère

P’

2𝑆𝐶𝐸𝐷 =

𝑎2 ̂ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷

C

𝑏2 ̂ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷

2𝑆3 = 2𝑆𝐶𝐸𝐷 − 2𝑆𝑄′ 𝐸𝑄 =

𝑎2 ̂ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷

̂) → 𝑎2 − 𝑏 2 = 2𝑆3 (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷 ̂ = 𝟏𝟎𝟎 𝒈𝒓; Remarque : si 𝑫

−

𝑏2 ̂ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷

=

𝑎2 − 𝑏 2 ̂ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷

̂ + 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑫 ̂) 𝒃 = √𝒂𝟐 − 𝟐𝑺𝟑 (𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑪

̂ 𝒃 = √𝒂𝟐 − 𝟐𝑺𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑪 66 / 107

2ème méthode : trapèze 2𝑆3 = (𝑎 + 𝑏) × ℎ3

→

𝑎+𝑏 =

2𝑆3 ℎ3

̂) 𝑎 − 𝑏 = ℎ3 (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 =

2𝑆3 ̂) × ℎ3 (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷 ℎ3

̂) → 𝑎2 − 𝑏 2 = 2𝑆3 (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐶̂ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝐷

̂ + 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑫 ̂) 𝒃 = √𝒂𝟐 − 𝟐𝑺𝟑 (𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑪

• Calcul de DQ et CQ 2𝑆3 = (𝑎 + 𝑏) × ℎ3

→ ℎ3 =

2𝑆3 𝑎+𝑏

sin 𝐷 =

ℎ3 𝐷𝑄′

→

𝑫𝑸′ =

𝒉𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝑫

sin 𝐶 =

ℎ3 𝐶𝑄

→

𝑪𝑸 =

𝒉𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝑪

• Calcul de c= PP’ ̂ + 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑫 ̂) 𝒄 = √𝒃𝟐 − 𝟐𝑺𝟐 (𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑪

• Calcul de QP et Q’P’ 2𝑆2 = (𝑏 + 𝑐) × ℎ2

sin 𝐷 =

ℎ2 𝑄𝑃

sin 𝐶 =

ℎ2 𝑄′𝑃′

→ ℎ2 =

→

→

2𝑆2 𝑏+𝑐

𝑸𝑷 =

𝒉𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝑫

𝑸′𝑷′ =

𝒉𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝑪

3. Cas d’un polygone

Pour la résolution, nous aurons besoin de la méthode de SARRON (faire un report graphique pour voir le positionnement du point d’intersection)

67 / 107

IV.

LIMITE DIVISOIRE PERPENDICULAIRE A UN CÔTÉ

1. Cas d’un triangle

Données : S, S1, et S2 les angles. 𝐶̂ et 𝐵̂ . (PQ) ⊥ (BC)

A

Eléments à calculer : CP ; CQ ; PQ P

2𝑆 = ℎ × 𝐵𝐶

⇒ ℎ=

2𝑆 𝐵𝐶

h S2

S1

1 𝑆𝐶𝐴𝐴′ = 𝐶𝐴′ . 𝐶𝐴 sin 𝐶̂ 2

C

B Q

𝑆1

2𝑆1 = 𝐶𝑃. 𝐶𝑄 sin 𝐶̂ =

cos 𝐶̂ sin 𝐶̂

1 cos 𝐶̂ 𝑆𝐶𝐴𝐴′ = ℎ. . 𝐶𝐴 sin 𝐶̂ = ℎ. 𝐶𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝐶̂ 2 sin 𝐶̂

A’

𝑆𝐶𝐴𝐴′

𝑜𝑟 𝐶𝐴′ = ℎ. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝐶̂ = ℎ.

𝑷𝑸 = 𝒉√𝒌𝟏

=𝑘1 ⇒

𝐶𝑄

̂ 𝑐𝑜𝑠 𝐶 2 = 𝐶𝑄 tan 𝐶

𝑪𝑷 = 𝑪𝑨√𝒌𝟏

̂ 𝐶𝑄 sin 𝐶

𝑪𝑸 = √(𝟐𝑺𝟏 𝒄𝒐𝒕𝒈𝑪)

2. Cas d’un quadrilatère C

Données : S, S1, et S2 tous les côtés et les angles. (MN) ⊥ (AD)

M B

Eléments à calculer : CM ; MN ; DN

A

D

N

1ère Méthode : trapèze La résolution du triangle CC’D donne :

C M

̂ ; 𝐶 ′ 𝐷 = 𝐶𝐷 cos 𝐷

B S2

S1

1 ̂ ; 𝑆 ℎ = 𝐶𝐷 sin 𝐷 𝐶𝐶′𝐷 = 𝐶𝐷. ℎ 2

a) Dans le trapèze MNC’C rectangle en C’, on a :

h

𝑆𝑀𝑁𝐶′𝐶 = 𝑆2 − 𝑆𝐶𝐶′𝐷 A

N

C’

D

̂𝟐 𝑴𝑵 = √𝒉𝟐 − 𝟐𝑺𝑴𝑵𝑪′ 𝑪 . 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝑪 68 / 107

2𝑆 2𝑆𝑀𝑁𝐶′𝐶 𝑀𝑁𝐶′𝐶 𝑵𝑪′ 𝑁𝐶′ = = 𝑀𝑁 + ℎ 𝑀𝑁 + ℎ

⇒

2𝑆𝑀𝑁𝐶′𝐶 = (𝑀𝑁 + ℎ) × 𝑁𝐶′ 𝑫𝑵 = 𝑵𝑪′ + 𝑪𝑫

sin 𝐶2 =

𝑁𝐶′ 𝐶𝑀

⇒

𝑪𝑴 =

𝑵𝑪′ 𝐬𝐢𝐧 𝑪𝟐

2eme Méthode : triangles C M B S2

S1 E

D

N

A

Soit E, intersection des droites (BC) et (AD) La résolution du triangle ABE donne : 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝐸 = = ⇒ sin(𝐴 + 𝐵) sin 𝐴 sin 𝐵

𝑆𝐴𝐸𝐵 =

𝑨𝑬 = 𝑨𝑩

𝐬𝐢𝐧 𝑩 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩)

𝑩𝑬 = 𝑨𝑩

𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩)

𝐴𝐵² 2(𝐶𝑜𝑡𝑔(200 − 𝐴) + 𝐶𝑜𝑡𝑔(200 − 𝐵))

Dans le triangle EMN, 2𝑆𝐸𝑀𝑁 = 2𝑆𝐴𝐸𝐵 + 2𝑆1 = 𝑀𝑁. 𝐸𝑁 = 𝑀𝑁. (𝑀𝑁. tan 𝑀) = 𝑀𝑁 2 . tan 𝑀

𝑀𝑁 2 . tan 𝑀 = 2(𝑆𝐴𝐸𝐵 + 𝑆1 ) ⇒ 𝐸𝑁 = 𝑀𝑁 tan 𝑀

𝐸𝑀 =

𝑴𝑵 = √𝟐(𝑺𝑨𝑬𝑩 + 𝑺𝟏 )𝒄𝒐𝒕𝒈𝑴

𝑎vec 𝑀 = 400 − 𝐴 − 𝐵 − 100

𝑀𝑁 cos 𝑀

𝑀𝐶 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝑀 ⇒

𝑴𝑪 = 𝑩𝑪 − (𝑬𝑴 − 𝑬𝑩)

𝑁𝐷 = 𝐴𝐷 − 𝐴𝑁 ⇒

𝑴𝑪 = 𝑨𝑫 − (𝑬𝑵 − 𝑬𝑨)

69 / 107

V.

LIMITE DIVISOIRE DANS UN ILOT

Soit l’ilot ci-dessous à partager en lot d’angle et en lot successif par des limites Donnée : Â et BC surface des différents lots si Eléments à Calculer : Xi et Yi X1

L G

X0

F

B A

M

S

X0

Y1 S2

Y0 S1 S0

Y0 S1

C

K

H

E

Y1 S 2

D

X1

I J

1. Pan coupé parallèles à des alignements droits

On considère le plan coupé régulier ABC. AB=AC M est le milieu de BC AM est la bissectrice de l’angle  𝑡𝑎𝑛 𝑆 = 𝐴𝑀

𝐵𝐶 2

𝐴 2

𝐵𝐶

=

2 → 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶 𝐶𝑜𝑡𝑔 𝐴 𝐴𝑀 2 2

𝐵𝐶 𝐴 𝐵𝐶 𝐵𝐶 2 𝐴 =( × 𝐶𝑜𝑡 ) × = ( ) 𝑐𝑜𝑡𝑔 2

2

𝑺=

𝑩𝑪² 𝟒

2

𝑪𝒐𝒕𝒈

2

2

𝑨 𝟐

2. Lot d’angle

Il correspond au lot BCDEF de superficie S0. Nous allons calculer les coordonnées X0 et Y0 𝐴𝐷 = 𝐴𝐹 = X0 et 𝐸𝐷 = 𝐸𝐹 = Y0 𝐴

𝐸𝐷 = 𝐴𝐹. 𝑡𝑎𝑛 2 ⇔

Y0

=

X0 tan

1

𝐴 2

1

𝑆𝐴𝐷𝐸𝐹 = 𝑆𝐴𝐷𝐸 + 𝑆𝐴𝐸𝐹 = 2 X0 Y0 + 2 X0 Y0 = X0 Y 0

= X0 (X0 tan

𝐴 2

) = X0

2

tan

𝐴 2

70 / 107

𝐴 2 𝑆𝐴𝐷𝐸𝐹 = X0 tan 2 2

𝐴

𝑆0 = 𝑆𝐴𝐷𝐸𝐹 − 𝑆 = X0 tan 2 − 𝑆

𝐗 𝟎 = √(𝑺 + 𝑺𝟎 ) 𝐜𝐨𝐭𝐠

Y0

=

X0 tan

𝐴 2

⇒

X0 2 = (𝑆 + 𝑆0 ) cotg

𝐴 2

𝑨 𝟐

2

2

𝐴 2

Y0 = X0 (tan )

⇔

2

𝐴

𝐴 2

2

2

Y0 2 = (𝑆 + 𝑆0 ) cotg (tan )

𝐘𝟎 = √(𝑺 + 𝑺𝟎 ) 𝐭𝐚𝐧

𝑨 𝟐

𝒏

Formules générales :

𝐗 𝒊 = √(𝑺 + 𝑺𝟎 + 𝟐 ∑ 𝑺𝒊 ) 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝒊=𝟏

𝒏

𝐘𝒊 = √(𝑺 + 𝑺𝟎 + 𝟐 ∑ 𝑺𝒊 ) 𝐭𝐚𝐧 𝒊=𝟏

𝑨 𝟐

𝑨 𝟐

71 / 107

CHAPITRE VI : COMPENSATION PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES INTRODUCTION Dans toute science d’observation, il est d’usage de multiplier les observations. Ainsi, en sciences géographiques, nous effectuons toujours les mesures en nombre supérieur à celui des besoins de la résolution mathématique du problème à résoudre. Cette manière de faire permet tout d’abord de déceler et d’éliminer les fautes mais surtout l’expérience montre que cet usage conduit à une amélioration des résultats. Cependant, l’observateur qui connaît ou détermine la précision des mesures qu’il a faites est amené alors à répondre aux questions suivantes : -

à partir de l’ensemble des mesures effectuées, quelle valeur faut-il choisir pour la quantité qu’il s’agit de déterminer ? quelle est la précision de la valeur adoptée ?

Malgré la redondance des observations dont il dispose, le calculateur souhaite en outre obtenir une valeur unique pour la quantité qu’il se propose de déterminer. Cette exigence va le conduire à modifier (compenser) les diverses observations. Pour cela, il va substituer aux éléments observés des éléments conventionnels calculés formant un système tel que : -

soit assurée l’homogénéité de l’ensemble tel que le système des valeurs adoptées soit unique et satisfasse à toutes les conditions requises par la structure étudiée ; les valeurs substituées aux observations réelles soient voisines que possible dans leur ensemble des valeurs observées et que les écarts entre valeurs observées et valeurs compensées soient de l’ordre de grandeur des erreurs d’observations.

Un tel système forme un ensemble qui est dit ‘’compensé ‘’. Les compensations peuvent revêtir différentes formes : ➢ ➢ ➢ ➢

empiriques (par expérience) mécaniques ou analogiques graphiques numériques.

Les formes numériques sont les plus rigoureuses. Elles peuvent entraîner de grandes quantités de calculs qui sont aisément aujourd’hui abordés grâce aux traitements sur ordinateurs. En sciences géographiques, la méthode numérique de compensation dérive des moindres carrés ; ce qui n’est pas indispensable mais commode et admis. Il s’agit en définitive d’une méthode simple, bien étudiée et connue dont on s’entend à dire qu’elle donne de bons résultats. On ne voit pas actuellement quelle autre méthode pourrait valablement lui être opposée.

72 / 107

I.

OBSERVATIONS INDIRECTES : METHODES DES MOINDRES CARRES

Hypothèse Nous supposons que les observations sont supérieures en nombre d’inconnues. Toutes les relations d’observations doivent être mises sous forme linéaire. Pour la démonstration, nous allons utiliser des relations d’observations qui se limitent à trois inconnues. 𝑎𝑖 𝑋 + 𝑏𝑖 𝑌 + 𝑐𝑖 𝑍 + 𝑘𝑖 = 0 Les coefficients 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 et 𝑐𝑖 sont à déterminer ; X, Y et Z sont des inconnues ; 𝑘𝑖 sont des valeurs observées directement sur le terrain, elles sont donc entachées d’erreurs et la relation d’observation est alors : 𝑎𝑖 𝑋 + 𝑏𝑖 𝑌 + 𝑐𝑖 𝑍 + 𝑘𝑖 = 𝑣𝑖

avec

𝑣𝑖 = 𝑟é𝑠𝑖𝑑𝑢

𝑎1 𝑋 + 𝑏1 𝑌 + 𝑐1 𝑍 + 𝑘1 = 𝑣1 𝑎2 𝑋 + 𝑏2 𝑌 + 𝑐2 𝑍 + 𝑘2 = 𝑣2 𝑎3 𝑋 + 𝑏3 𝑌 + 𝑐3 𝑍 + 𝑘3 = 𝑣3 . . .

. . .

𝑎𝑛 𝑋 + 𝑏𝑛 𝑌 + 𝑐𝑛 𝑍 + 𝑘𝑛 = 𝑣𝑛 Nous allons rendre minimum la somme des carrés des résidus : ∑𝑛𝑖=1 𝑣 2𝑖 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 Pour rendre minimum la somme des carrés des résidus, il faut que la dérivée partielle par rapport à chaque variable soit nulle. (∑𝑛𝑖=1 𝑣 2𝑖 )′ = [ ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑖 𝑋 + 𝑏𝑖 𝑌 + 𝑐𝑖 𝑍 + 𝑘𝑖 )2 ]′

→

2∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 (𝑎𝑖 𝑋 + 𝑏𝑖 𝑌 + 𝑐𝑖 𝑍 + 𝑘𝑖 ) = 0 2∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖 (𝑎𝑖 𝑋 + 𝑏𝑖 𝑌 + 𝑐𝑖 𝑍 + 𝑘𝑖 ) = 0 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖 (𝑎𝑖 𝑋 + 𝑏𝑖 𝑌 + 𝑐𝑖 𝑍 + 𝑘𝑖 ) = 0

Le développement donne : ∑ 𝑎𝑖 𝑎𝑖 𝑋 + ∑ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑌 + ∑ 𝑎𝑖 𝑐𝑖 𝑍 + ∑ 𝑎𝑖 𝑘𝑖 = 0 ∑ 𝑏𝑖 𝑎𝑖 𝑋 + ∑ 𝑏𝑖 𝑏𝑖 𝑌 + ∑ 𝑏𝑖 𝑐𝑖 𝑍 + ∑ 𝑏𝑖 𝑘𝑖 = 0 ∑ 𝑐𝑖 𝑎𝑖 𝑋 + ∑ 𝑐𝑖 𝑏𝑖 𝑌 + ∑ 𝑐𝑖 𝑐𝑖 𝑍 + ∑ 𝑐𝑖 𝑘𝑖 = 0

73 / 107

Avec ∑ 𝑎𝑖 𝑎𝑖 = [𝑎𝑎]

∑ 𝑏𝑖 𝑏𝑖 = [𝑏𝑏]

∑ 𝑐𝑖 𝑐𝑖 = [𝑐𝑐 ]

∑ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = ∑ 𝑏𝑖 𝑎𝑖 = [𝑎𝑏]

∑ 𝑏𝑖 𝑐𝑖 = ∑ 𝑐𝑖 𝑏𝑖 = [𝑏𝑐 ]

∑ 𝑐𝑖 𝑘𝑖 = [𝑐𝑘]

∑ 𝑎𝑖 𝑐𝑖 = ∑ 𝑐𝑖 𝑎𝑖 = [𝑎𝑐 ]

∑ 𝑏𝑖 𝑘𝑖 = [𝑏𝑘]

∑ 𝑎𝑖 𝑘𝑖 = [𝑎𝑘] [𝑎𝑎]𝑋 + [𝑎𝑏]𝑌 + [𝑎𝑐 ]𝑍 + [𝑎𝑘] = 0

Le système devient donc :

[𝑏𝑎]𝑋 + [𝑏𝑏]𝑌 + [𝑏𝑐 ]𝑍 + [𝑏𝑘] = 0 [𝑐𝑎]𝑋 + [𝑐𝑏]𝑌 + [𝑐𝑐 ]𝑍 + [𝑐𝑘] = 0 On peut aussi écrire ce système sous forme matricielle : [𝑎𝑎] [[𝑏𝑎] [𝑐𝑎]

[𝑎𝑏] [𝑏𝑏] [𝑐𝑏]

[𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] 𝑋 [𝑏𝑐 ]] × [𝑌 ] + [[𝑏𝑘]] = 0 [𝑐𝑐 ] [𝑐𝑘] 𝑍

Ce système est appelé système des équations finales. Il a la particularité d’être un système symétrique par rapport à la première diagonale et compte autant d’équations que d’inconnues. La résolution de ce système donne une solution unique quel que soit le chemin suivi.

1. Formation pratique des équations finales A partir des relations d’observations, nous créons le tableau des relations d’observations. Tableau des relations d’observations N° 1 2 . . . n

X a1 a2 . . . an

Y b1 b2 . . . bn

Z c1 c2 . . . cn

ki k1 k2 . . . kn

∑ ou S s1 = a1 + b1+ c1+ k1 s2 = a2 + b2+ c2+ k2 . . . sn = an + bn+ cn+ kn

A l’aide du tableau des relations d’observations, nous formons les différentes équations finales :

74 / 107

a) Etape de la formation de la 1ère équation Multiplicateur a1 *.... a2*.... . . . an*....

X a1 a2 . . . an

Y b1 b2 . . . bn

Z c1 c2 . . . cn

ki k1 k2 . . . kn

∑ s1 s2 . . . sn

On obtient la 1ère équation finale : X Y Z ki ∑ a1a1 a1b1 a1c1 a1k1 a1s1 a2a2 a2b2 a2c2 a2k2 a2s2 . . . . . . . . . . . . . . . anan anbn ancn ankn ansn [𝑎𝑎] [𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] [𝑎𝑠] Remarque: [as] = [aa]+[ab]+[ac]+[ak]. Cela sert de contrôle des résultats b) Etape de la formation de la 2ème équation : Multiplicateur b1*.... b2*.... . . . bn*.....

Y b1 b2 . . . bn

Z c1 c2 . . . cn

ki k1 k2 . . . kn

∑ s1 s2 . . . sn

On obtient la 2ème équation finale : Y Z ki ∑ b1b1 b1c1 b1k1 b1s1 b2b2 b2c2 b2k2 b2s2 . . . . . . . . . . . . bnbn bncn bnkn bnsn [𝑏𝑏] [𝑏𝑐 ] [𝑏𝑘] [𝑏𝑠] Remarque: [𝑏𝑠] = [𝑎𝑏]+[𝑏𝑏]+[𝑏𝑐 ]+[𝑏𝑘]. Cela sert de contrôle des résultats 75 / 107

c) Etape de la formation de la 3ème équation Multiplicateur c1*.... c2*.... . . . cn*.....

Z c1 c2 . . . cn

ki k1 k2 . . . kn

∑ s1 s2 . . . sn

On obtient la 3ème équation finale : Z ki ∑ c1c1 c1k1 c1s1 c2c2 c2k2 c2s2 . . . . . . . . . cncn cnkn cnsn [𝑐𝑐 ] [𝑐𝑘] [𝑐𝑠] Remarque: [𝑐𝑠] = [𝑎𝑐 ]+[𝑏𝑐 ]+[𝑐𝑐 ]+[𝑐𝑘]. Cela sert de contrôle des résultats

Tous ces différents résultats nous permettent d’établir la table des équations finales suivante : Table des équations finales : X Y Z k ∑ [𝑎𝑎] [𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] [𝑎𝑠]= [𝑎𝑎]+[𝑎𝑏]+[𝑎𝑐 ]+[𝑎𝑘] [𝑎𝑏] [𝑏𝑏] [𝑏𝑐 ] [𝑏𝑘 ] [𝑏𝑠] = [𝑎𝑏]+[𝑏𝑏]+[𝑏𝑐 ]+[𝑏𝑘] [𝑎𝑐 ] [𝑏𝑐 ] [𝑐𝑐 ] [𝑐𝑘] [𝑐𝑠] = [𝑎𝑐 ]+[𝑏𝑐 ]+[𝑐𝑐 ]+[𝑐𝑘] Remarque : A partir du tableau des relations d’observations, on peut directement calculer les différents coefficients et passer à la table des équations finales. Les coefficients ai, bi, ci et ki doivent être à 4 chiffres après la virgule. Les valeurs à prendre en compte dans la colonne des sommes sont les résultats[𝑎𝑠], [𝑏𝑠] et [𝑐𝑠]. Application Soit le système des relations d’observations ci-dessous : 1.0596𝑋 + 0.7072𝑌 + 𝑍 + 0.83 = 𝑣1 0.6124𝑋 − 2.7157𝑌 + 𝑍 + 0.80 = 𝑣2 −2.4554𝑋 + 0.7317𝑌 + 𝑍 + 0.72 = 𝑣3 −0.2054𝑋 − 2.0941𝑌 + 𝑍 − 1.54 = 𝑣4 0.6736𝑋 + 1.6504𝑌 + 𝑍— 0.80 = 𝑣5 76 / 107

Etablir le tableau des relations d’observations et la table des équations finale Correction Tableau des relations d’observations N° X 1 1.0596 0.6124 2 3 −2.4554 4 −0.2054 0.6736 5

Y 0.7072 −2.7157 0.7317 −2.0941 1.6504

Z 1 1 1 1 1

ki 0.83 0.80 0.72 −1.54 — 0.80

∑

a) 1ère équation finale Multiplicateur 1.0596 0.6124 −2.4554 −0.2054 0.6736

X 1.0596 0.6124 −2.4554 −0.2054 0.6736

Y 0.7072 −2.7157 0.7317 −2.0941 1.6504

Z 1 1 1 1 1

ki 0.83 0.80 0.72 −1.54 — 0.80

∑

On obtient la 1ère équation finale : X

Y

Z

ki

∑

Contrôle

b) 2ème équation : Multiplicateur Y Z 0.7072 0.7072 1 −2.7157 −2.7157 1 0.7317 0.7317 1 −2.0941 −2.0941 1 1.6504 1.6504 1

ki 0.83 0.80 0.72 −1.54 — 0.80

∑

77 / 107

On obtient la 2ème équation finale : Y

Z

ki

∑

Contrôle : c) 3ème équation Multiplicateur 1 1 1 1 1

Z 1 1 1 1 1

ki 0.83 0.80 0.72 −1.54 — 0.80

∑

On obtient la 3ème équation finale : Z

ki

∑

Contrôle Table des équations finales : X

Y

Z

k

∑

8.0227

-1.1685

-0.3152

-0.6211

5.9179

15.5196

-1.7205

0.8458

13.4764

5.0000

0.0100

2.9743

2. Résolution du système des équations finales L1

[𝑎𝑎]𝑋 + [𝑎𝑏]𝑌 + [𝑎𝑐 ]𝑍 + [𝑎𝑘] = 0

L2

[𝑎𝑏]𝑋 + [𝑏𝑏]𝑌 + [𝑏𝑐 ]𝑍 + [𝑏𝑘] = 0

L3

[𝑎𝑐 ]𝑋 + [𝑐𝑏]𝑌 + [𝑐𝑐 ]𝑍 + [𝑐𝑘] = 0

78 / 107

Ce système peut être résolu par la méthode de substitution ou par la méthode des matrices. Nous allons utiliser la méthode de substitution. 1ère étape : Nous allons exprimer l’inconnue X en fonction des inconnues Y et Z. pour cela, nous allons considérer la ligne L1. 𝑋=−

[𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] 𝑌− 𝑍− [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

Résolvante de X. Ensuite, nous allons reporter X dans les lignes L2 et L3. [𝑎𝑏] ቈ−

[𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] ቉ + [𝑏𝑏]𝑌 + [𝑏𝑐 ]𝑍 + [𝑏𝑘] = 0 𝑌− 𝑍− [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

[𝑎𝑐 ] ቈ−

[𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] ቉ + [𝑏𝑐 ]𝑌 + [𝑐𝑐 ]𝑍 + [𝑐𝑘] = 0 𝑌− 𝑍− [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

[[𝑏𝑏] − [𝑎𝑏]

[𝑎𝑏] [𝑎𝑐] [𝑎𝑘] ] 𝑌 + [[𝑏𝑐] − [𝑎𝑏] ] 𝑍 + [[𝑏𝑘] − [𝑎𝑏] ] =0 [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑘1] [𝑏𝑐1] [𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] [[𝑏𝑐] − [𝑎𝑐 ] ] 𝑌 + [[𝑐𝑐] − [𝑎𝑐 ] ] 𝑍 + [[𝑐𝑘] − [𝑎𝑐 ] ] =0 [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑏𝑏1]

[𝑏𝑐1]

[𝑐𝑐1]

[𝑐𝑘1]

On obtient un nouveau système symétrique : L 2’

[𝑏𝑏1]𝑌 + [𝑏𝑐1]𝑍 + [𝑏𝑘1] = 0

L 3’

[𝑏𝑐1]𝑌 + [𝑐𝑐1]𝑍 + [𝑐𝑘1] = 0

2ème étape : Nous allons exprimer l’inconnue Y en fonction de l’inconnues Z. Pour cela, nous allons considérer la ligne L2’. 𝑌=−

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑘1] 𝑍− [𝑏𝑏1] [𝑏𝑏1]

79 / 107

Nous reportons Y dans la ligne L3’. [𝑏𝑐1] ቈ−

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑘1] ቉ + [𝑐𝑐1]𝑍 + [𝑐𝑘1] = 0 𝑍− [𝑏𝑏1] [𝑏𝑏1]

[[𝑐𝑐1] − [𝑏𝑐1]

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑘1] ] 𝑍 + [[𝑐𝑘1] − [𝑏𝑐1] ] =0 [𝑏𝑏1] [𝑏𝑏1] [𝑐𝑘2]

[𝑐𝑐2] On obtient enfin : [𝑐𝑐2]𝑍 + [𝑐𝑘2] = 0 D’où : 𝑍=−

[𝑐𝑘2] [𝑐𝑐2]

Le système proposé devient donc : [𝑎𝑎]𝑋 + [𝑎𝑏]𝑌 + [𝑎𝑐 ]𝑍 + [𝑎𝑘] = 0 [𝑏𝑏1]𝑌 + [𝑏𝑐1]𝑍 + [𝑏𝑘1] = 0 [𝑐𝑐2]𝑍 + [𝑐𝑘2] = 0 La dernière équation donne la valeur de l’inconnue Z et l’on calcule de proche en proche les autres inconnues. Rappel des expressions suivantes des différents coefficients : [𝑎𝑘] [𝑎𝑏] [𝑐𝑘1] = [𝑐𝑘] − [𝑎𝑐 ] [𝑏𝑏1] = [𝑏𝑏] − [𝑎𝑏] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎 ] [𝑏𝑐1] = [𝑏𝑐 ] − [𝑎𝑏]

[𝑐𝑐2] = [𝑐𝑐1] − [𝑏𝑐1]

[𝑎𝑘] [𝑎𝑎 ]

[𝑐𝑘2] = [𝑐𝑘1] − [𝑏𝑐1]

[𝑏𝑘1] = [𝑏𝑘] − [𝑎𝑏] [𝑐𝑐1] = [𝑐𝑐 ] − [𝑎𝑐 ]

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑏1]

[𝑎𝑐 ] [𝑎𝑎 ]

[𝑏𝑘1] [𝑏𝑏1]

[𝑎𝑐 ] [𝑎𝑎 ]

80 / 107

Le tableau général de substitution appelé tableau de Doolittle est le suivant : Tableau de Doolittle :

𝐿0

X [𝑎𝑎]

𝐿1

𝐿2

−1

𝐿3

Report

𝐿4

S2 (X)

𝐿5

Résolvante

Y [𝑎𝑏] −

[𝑎𝑏] [𝑎𝑎]

−[𝑎𝑏]

[𝑎𝑏] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑏1]

−1

𝐿7

Report

S3 (X)

𝐿9

S3 (Y) Résolvante

𝐿10

−

[𝑏𝑏]

𝐿6

𝐿8

Z [𝑎𝑐 ]

𝐿11

[𝑎𝑐 ] [𝑎𝑎]

−

[𝑏𝑐 ] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑎]

−[𝑎𝑏]

−

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑏1]

[𝑎𝑘] [𝑎𝑎]

∑ [𝑎𝑠] −

[𝑏𝑘] −[𝑎𝑏]

[𝑏𝑐1]

[𝑎𝑘] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑘1] [𝑏𝑏1]

−

[𝑎𝑠] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑠] −[𝑎𝑏]

[𝑏𝑘1]

[𝑐𝑐 ]

[𝑎𝑠] [𝑎𝑎 ]

[𝑏𝑠1] [𝑏𝑠1] [𝑏𝑏1]

−

[𝑐𝑘]

[𝑐𝑠]

−[𝑎𝑐 ]

[𝑎𝑐 ] [𝑎𝑎]

−[𝑎𝑐 ]

[𝑎𝑘] [𝑎𝑎]

−[𝑎𝑐 ]

[𝑎𝑠] [𝑎𝑎 ]

−[𝑏𝑐1]

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑏1]

−[𝑏𝑐1]

[𝑏𝑘1] [𝑏𝑏1]

−[𝑏𝑐1]

[𝑏𝑠1] [𝑏𝑏1]

[𝑐𝑐2]

−1

Calcul des racines :

k [𝑎𝑘]

[𝑐𝑘2] −

[𝑐𝑘2] [𝑐𝑐2]

[𝑐𝑠2] −

[𝑐𝑠2] [𝑐𝑐2]

Vérification des résultats :

𝑍=−

[𝑐𝑘2] [𝑐𝑐2]

𝑍′ = −

[𝑐𝑠2] =𝑍−1 [𝑐𝑐2]

𝑌=−

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑘1] 𝑍− [𝑏𝑏1] [𝑏𝑏1]

𝑌′ = −

[𝑏𝑐1] [𝑏𝑠1] 𝑍′ − =𝑌−1 [𝑏𝑏1] [𝑏𝑏1]

𝑋=−

[𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑘] 𝑌− 𝑍− [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

𝑋′ = −

[𝑎𝑏] [𝑎𝑐 ] [𝑎𝑠] 𝑌′ − 𝑍′ − =𝑋−1 [𝑎𝑎] [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

81 / 107

Principe de fonctionnement du tableau de DOOLITTLE pour 3 inconnues Détermination des différents coefficients de chaque ligne du tableau : L0 = entête du tableau : inconnues à déterminer ; les constantes ki et les différentes sommes L1 = coefficients de la 1ère équation finale se trouvant dans la table des équations finales 𝐿2 =

𝐿1 −[𝑎𝑎]

L3 = coefficients de la 2ème équation finale se trouvant dans la table des équations finales 𝐿4 = [𝑎𝑏] × 𝐿2 𝐿5 = 𝐿3 + 𝐿4 𝐿6 =

𝐿5 −[𝑏𝑏1]

𝐿7 = coefficients de la 3ème équation finale se trouvant dans la table des équations finales 𝐿8 = [𝑎𝑐 ] × 𝐿2 𝐿9 = [𝑏𝑐1] × 𝐿6 𝐿10 = 𝐿7 + 𝐿8 + 𝐿9 𝐿11 =

𝐿1 −[𝑐𝑐2]

Tableau de DOOLITTLE pour la détermination de 2 inconnues

𝐿0 𝐿1

𝐿2 𝐿3

X [𝑎𝑎]

−1 Report

𝐿4

S2 (X)

𝐿5

Résolvante

𝐿6

Y [𝑎𝑏] [𝑎𝑏] [𝑎𝑎] [𝑏𝑏]

−

−[𝑎𝑏]

[𝑎𝑏] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑏1]

−1

k [𝑎𝑘] [𝑎𝑘] [𝑎𝑎] [𝑏𝑘]

−

−[𝑎𝑏]

[𝑎𝑘] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑘1] −

[𝑏𝑘1] [𝑏𝑏1]

∑ [𝑎𝑠] [𝑎𝑠] [𝑎𝑎] [𝑏𝑠]

−

−[𝑎𝑏]

[𝑎𝑠] [𝑎𝑎]

[𝑏𝑠1] −

[𝑏𝑠1] [𝑏𝑏1] 82 / 107

Vérification des résultats :

Calcul des racines : 𝑌=−

[𝑏𝑘1] [𝑏𝑏1]

𝑌′ = −

[𝑏𝑠1] =𝑌−1 [𝑏𝑏1]

𝑋=−

[𝑎𝑏] [𝑎𝑘] 𝑌− [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

𝑋′ = −

[𝑎𝑏] [𝑎𝑠] 𝑌′ − =𝑋−1 [𝑎𝑎] [𝑎𝑎]

Principe de fonctionnement du tableau de DOOLITTLE pour 2 inconnues Détermination des différents coefficients de chaque ligne du tableau : L0 = entête du tableau : inconnues à déterminer, les constantes ki et les différentes sommes L1 = coefficients de la 1ère équation finale se trouvant dans la table des équations finales 𝐿2 =

𝐿1 −[𝑎𝑎]

L3 = coefficients de la 2ème équation finale se trouvant dans la table des équations finales 𝐿4 = [𝑎𝑏] × 𝐿2 𝐿5 = 𝐿3 + 𝐿4 𝐿6 =

𝐿5 −[𝑏𝑏1] APPLICATIONS

APPLICATION 1 Soit le système des relations d’observations ci-dessous : 1.0596𝑋 + 0.7072𝑌 + 𝑍 + 0.83 = 0 0.6124𝑋 − 2.7157𝑌 + 𝑍 + 0.80 = 0 −2.4554𝑋 + 0.7317𝑌 + 𝑍 + 0.72 = 0 −0.2054𝑋 − 2.0941𝑌 + 𝑍 − 1.54 = 0 0.6736𝑋 + 1.6504𝑌 + 𝑍— 0.80 = 0 Déterminer X, Y et Z par la méthode des moindres carrés. RESOLUTION ❖ Tableau des relations d’observations

83 / 107

N°

X

Y

Z

ki

∑

1 2 3 4 5

1,0596 0,6124 -2,4554 -0,2054 0,6736

0,7072 -2,7157 0,7317 -2,0941 1,6504

1 1 1 1 1

0,83 0,8 0,72 -1,54 -0,8

3,5968 -0,3033 -0,0037 -2,8395 2,524

❖ Table des équations finales X

Y

Z

ki

∑

8,0227

-1,1685

-0,3152

-0,6211

5,9179

15,5196

-1,7205

0,8458

13,4764

5,0000

0,0100

2,9743

❖ Tableau de DOOLITTLE X

Y

Z

ki

∑

8,0227

-1,1685

-0,3152

-0,6211

5,9179

-1,0000

0,1457

0,0393

0,0774

-0,7376

15,5196

-1,7205

0,8458

13,4764

-0,1702

-0,0459

-0,0905

0,8620

15,3494

-1,7664

0,7554

14,3384

-1,0000

0,1151

-0,0492

-0,9341

5,0000

0,0100

2,9743

-0,0124

-0,0244

0,2325

-0,2033

0,0869

1,6501

4,7843

0,0725

4,8569

-1,0000

-0,0152

-1,0152

𝑍 = −0.0152 𝑌 = 0.1151 ∗ (−0.0152) − 0.0492 = −0.0510 𝑋 = 0,1457 ∗ (−0.0510) + 0,0393 ∗ (−0.0152) = 0.0694 Vérification 𝑍′ = −1.0152 𝑍 − 1 = −0.0152 − 1−= −1.0152 𝑌′ = 0.1151 ∗ (−1.0152) − 0,9341 = −1.0510 84 / 107

𝑌 − 1 = −0.0510 − 1−= −1.0510 𝑋′ = 0,1457 ∗ (−1.0510) + 0,0393 ∗ (−1.0152) = 0.9306 𝑋 − 1 = 0.0694 − 1−= 0.9306

APPLICATION 2 Soit le système des relations d’observations ci-dessous : −1.9353𝑋 + 0.6522𝑌 = 0 −0.8909𝑋 − 2.2826𝑌 = 0 3.4980𝑋 − 2.1462𝑌 − 4.16 = 0 1.8474𝑋 + 1.7924𝑌 + 0.42 = 0 Déterminer X, Y et Z par la méthode des moindres carrés.

RESOLUTION ❖ Tableau des relations d’observations Point A B C D

X -1,9353 -0,8909 3,4980 1,8474

Y 0,6522 -2,2826 -2,1462 1,7924

ki 0,00 0,00 -4,16 0,42

∑ -1,2831 -3,1736 -2,8116 4,0611

❖ Table des équations finales

X 20,1880

Y -3,4246 13,4545

ki -13,7854 9,6906

∑ 2,9780 19,7205

❖ Tableau de DOOLITTLE

X 20,1880 -1,0000

Y -3,4246 0,1696 13,4545 -0,5809 12,8736 -1,0000

ki -13,7854 0,6829 9,6906 -2,3385 7,3521 -0,5711

∑ 2,9780 -0,1475 19,7205 0,5052 20,2257 -1,5711

85 / 107

𝑌 = −0,5711 𝑋 = 0,1696 ∗ (−0,5711) − 0,6829 = 0,5860 Vérification 𝑌′ = −1,5711 𝑌 − 1 = −0,5711 − 1−= −1.5711 𝑋′ = 0,1696 ∗ (−1.5711) − 0,1475 = −0,4140 𝑋 − 1 = 0,5860 − 1−= −0,4140

86 / 107

II.

METHODE DE VARIATION DES COORDONNEES

Compenser une figure géodésique, c’est substituer au réseau approché obtenu un réseau géométrique bien défini s’appuyant sur l’ensemble des points. Notation ✓ Points anciens : ce sont des points dont les coordonnées sont connues ; elles ne peuvent être modifiées. On les note en général A, B, C .... ✓ Points nouveaux : ce sont les points à déterminer ; on les note I ; II ; III …. ✓ Coordonnées des points approchés : on les note X0 ; Y0. ✓ Corrections à apporter aux coordonnées approchées : on les note dX ; dY. ✓ δX et δY : inconnues, auxiliaires se rapportant à dX et dY. ✓ 𝐺𝑜𝑏𝑠 : gisement observé : 𝐺𝑜𝑏𝑠 = 𝐺0 + 𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 L ✓ 𝐺𝑐𝑎𝑙 : gisement calculé : 𝐺𝑐𝑎𝑙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ✓ ✓ ✓ ✓

∆𝑋 ∆𝑌

𝐺0 : gisement du zéro du limbe 𝐺0𝑝𝑟𝑜𝑣 : G0 provisoire ou 𝐺0𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑑𝐺0 : correction à apporter au 𝐺0𝑝𝑟𝑜𝑣 pour avoir le 𝐺0𝑑é𝑓 (G0 définitif) δG0 : inconnue, auxiliaire se rapportant à 𝑑𝐺0.

1. INTERSECTION 𝑌 𝑉𝑖𝑠é𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑀

𝐺𝑜𝑏𝑠 𝐺

𝑀0 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑐ℎé 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐺0

𝐷𝑐𝑎𝑙

𝑑𝑋 𝑣

𝑑𝑌 𝑀 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑓

𝐿

0 𝐴

La visée de A vers M donne : 𝐺 = arctan

𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 + 𝑑𝑋 𝑋𝑀 − 𝑋𝐴 ∆𝑋0 + 𝑑𝑋 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 + 𝑑𝑌 ∆𝑌0 + 𝑑𝑌

Le développement de Taylor limité au 1er degré nous permet de linéariser la fonction arctan qui nous donne :

87 / 107

∆𝑋0 ∆𝑋0 ′ ∆𝑋0 ′ ) . 𝑑𝑋 + (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ) . 𝑑𝑌 𝐺 = arctan + (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ∆𝑌0 ∆𝑌0 𝑋 ∆𝑌0 𝑌 Or 𝐺 = arctan

∆𝑋0 ∆𝑌0

= 𝐺𝑐𝑎𝑙

∆𝑋0 ′ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ) = ∆𝑌0 𝑋 ∆𝑋0 ′ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ) = ∆𝑌0 𝑌

1 1+(

×

2

× (−

∆𝑋0 ) ∆𝑌0

1 1+(

∆𝑋0 ) ∆𝑌0

1 ∆𝑌0 ∆𝑌0 = = 2 2 2 ∆𝑌0 ∆𝑋0 + ∆𝑌0 𝐷𝑐𝑎𝑙

2

∆𝑋0 ∆𝑌0

2)

=

∆𝑋0 2

∆𝑋0 + ∆𝑌0

2

=−

∆𝑋0 2 𝐷𝑐𝑎𝑙

D’où 𝐺 = 𝐺𝑐𝑎𝑙 +

∆𝑌0 ∆𝑋0 2 𝑑𝑋 − 2 𝑑𝑌 = 𝐺𝑜𝑏𝑠 + 𝑣 𝐷𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙

∆𝑌0 ∆𝑋0 𝑑𝑋 − 2 2 𝑑𝑌−(𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) = 𝑣 𝐷𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 Harmonisation des unités. Le résidu v étant la quantité à ajouter au gisement observé 𝐺𝑜𝑏𝑠 pour avoir le gisement définitif G, nous allons l’exprimer en seconde centésimale. Pour cela, 𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 doit être en seconde centésimale. Cela entraîne que les unités linéaires doivent être multipliées par

1 sin 1̏

D’où : 1 ∆𝑌0 ∆𝑋0 ( 𝑑𝑋 − 2 2 𝑑𝑌) −(𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ = 𝑣 ̏ sin 1̏ 𝐷𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 ∆𝑌0 (𝑘𝑚). 103 ∆𝑋0 (𝑘𝑚). 103 636620 ( 2 𝑑𝑋 − 2 𝑑𝑌) −(𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ = 𝑣 ̏ 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚). 106 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚). 106 6,36620. 102 (

6,36620 (

∆𝑌0 (𝑘𝑚) ∆𝑋0 (𝑘𝑚) 𝑑𝑋 − 2 𝑑𝑌) −(𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ = 𝑣 ̏ 2 ( 𝐷𝑐𝑎𝑙 𝑘𝑚) 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

10∆𝑌0 (𝑘𝑚) 10∆𝑋0 (𝑘𝑚) (𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ 𝑣 ̏ 𝑑𝑋 − 𝑑𝑌) − = 2 ( 2 ( 10 10 𝐷𝑐𝑎𝑙 𝑘𝑚) 𝐷𝑐𝑎𝑙 𝑘𝑚)

10 cos 𝐺𝑐𝑎𝑙 10 sin 𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ 𝑣 ̏ 6,36620 ( 𝑑𝑋 − 𝑑𝑌) − = 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 10 10 Posons: δX = 6,36620 𝑑𝑋 b=

10 cos 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

δY = 6,36620 𝑑𝑌 a=−

k̏ =

(𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ = 103 ∗ (𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) 10

10 sin 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 88 / 107

La relation d’observation d’une vise d’intersection s’écrit donc : 𝐚𝛅𝐘 + 𝐛𝛅𝐗 − 𝐤 𝐢 ̏ =

𝒗𝒊 ̏ 𝟏𝟎

Calcul des coefficients a, b et –ki

❖

Points approché anciens A

𝐺𝑜𝑏𝑠 (𝑔𝑟)

𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟)

𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

a

b

−k i ̏

B

M

C D

NB: • • • •

Les distances 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) seront données à 6 chiffres après la virgule ; les gisements à 5 chiffres, les coefficients a et b à 4 chiffres et –ki à 2 chiffres après la virgule.

❖ Calcul des vi Avant compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10𝑘𝑖 ̏

après compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10(bδX + aδY − k i ̏)

𝑣𝑖 ̏ 𝑣𝑖 ² 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ² Précision angulaire : ∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² √ 𝜎𝛼 = 𝑛 Calcul des rayons avant et après compensation : Avant compensation : 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 ∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

𝑣𝑖 ̏ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ² 𝜎𝛼 = √

𝑣𝑖 ²

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² 𝑛

𝑟𝑖 (𝑐𝑚) =

𝑣𝑖 ̏ × 𝐷𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 6,36620

après compensation 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 ∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

89 / 107

Précision sur le rayon moyen quadratique :

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² √ 𝜎𝑟 = 𝑛

𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² 𝑛

METHODOLOGIE : -

-

Calculer les coordonnées approchées du point M à partir de deux points anciens ; Déterminer les gisements observés à partir du calcul de gisements de points anciens et des lectures angulaires puis déterminer les gisements calculés et les distances calculées et enfin calculer les coefficients a, b et –k ; Etablir le tableau des relations d’observations ; Etablir la table des équations finales ; Etablir le tableau de Doolittle et calculer les dX et dY Calculer les coordonnées définitives Calculer les vi avant et après compensation et en déduire la précision angulaire Calculer les différents rayons et en déduire la précision sur le rayon moyen quadratique

APPLICATION B

A

M

D

Stations Points visés A B M B M A C D M D M C

Lectures

X (m)

Y (m)

0.0000 45.4548 0.0000 57.5437 0.0000 76.2305 0.0000 39.7009

785 489.74

315 558.44

782 333.32 789 761.91

310 192.99 309 051.37

789 050.55

313 030.98

C

a) Calculer les coordonnées approchées du point M à partir des points A et B. b) Calculer les coordonnées définitives du point M c) Calculer les précisions angulaires et les précisions sur le rayon moyen quadratique avant et après compensation RESOLUTION 1. Calcul des coordonnées approchées du point M à partir des points A et B • Calcul des angles A et B 𝐴̂ = 𝑙𝑀 − 𝑙𝐵 =………………..

𝐵̂ = 𝑙𝐴 − 𝑙𝑀 =…………………….. 90 / 107

• Calcul des gisements 𝑮𝑨𝑩 , 𝑮𝑨𝑴 et 𝑮𝑩𝑴

𝐺𝐴𝑀

𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 𝐺𝐴𝐵 = arctan( ) = ⋯ … … … … … … … … .. 𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 = 𝐺𝐴𝐵 + 𝐴̂ = ⋯ … … … … … … … …. 𝐺𝐵𝑀 = 𝐺𝐵𝐴 − 𝐵̂ = ⋯ … … … … … … … ..

• Calcul des coordonnées approchées du point M 𝑌𝑀0 = 𝑌𝐴 +

𝑋𝐵 − 𝑋𝐴 − (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴 ) ∗ tan 𝐺𝐵𝑀 = ⋯ … … … … … … …. tan 𝐺𝐴𝑀 − tan 𝐺𝐵𝑀

𝑋𝑀0 = 𝑋𝐴 +(𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ tan 𝐺𝐴𝑀 = ⋯ … … … … … … … .. 2. Calcul des coordonnées définitives du point M • Calcul des gisements observés 𝐶̂ = 𝑙𝑀 − 𝑙𝐷 =………………..

̂ = 𝑙𝐶 − 𝑙𝑀 =…………………….. 𝐷

𝐺𝐶𝑀 = 𝐺𝐶𝐷 + 𝐶̂ = ⋯ … … … … … … … ….

̂ = ⋯ … … … … … … … .. 𝐺𝐷𝑀 = 𝐺𝐷𝐶 − 𝐷

• Calcul des coefficients a, b et -k. La relation d’observation d’une visée d’intersection est :

Points appro. anc. M A

𝐺𝑜𝑏𝑠 (𝑔𝑟)

𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟)

𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

𝐚𝛅𝐘 + 𝐛𝛅𝐗 − 𝐤 𝐢 ̏ =

a

b

𝒗𝒊 ̏ 𝟏𝟎

−k i ̏

B C D

a=−

10 sin 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

∆𝑋 𝐺𝑐𝑎𝑙 = arctan ( ) ∆𝑌

b=

10 cos 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

−k ȉ = 103 ∗ (𝐺𝑐𝑎𝑙 − 𝐺𝑜𝑏𝑠 )

𝐷𝑐𝑎𝑙 = √∆𝑋 2 + ∆𝑌 2

91 / 107

• Tableau des relations d’observation N° 1

δX … . … … … ….

δY … . … … … ….

-ki … . … … … ….

∑ … . … … … ….

2

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

3

… … … … … ..

… … … … … ..

… … … … … ..

… … … … … ..

4

… … … … …..

… … … … …..

… … … … …..

… … … … …..

• Table des équations finales δX δY

-ki

∑

• Tableau du tableau de DOOLITTLE et résolution

δX … … … ….

δY … … … … … ….

-ki ………………

∑ … … … … … ….

… … … … ….

…………………

… … … … ….

… … … … … ….

Report

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

S2 (X)

…………………

…………………

…………………

Résolvante

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

…………………

…………………

…………………

Racines δ𝑌 = …………. δ𝑋 = ⋯ … … … … … … … … … . = ⋯ … … .. Vérification δ𝑌 ′ = ⋯ … … … … δ𝑌 − 1 = ⋯ … … … … 92 / 107

δ𝑋 ′ = ⋯ … … … … … … … … … … . . = ⋯ … … … …. δ𝑋 − 1 = ⋯ … … … … … … … … … = ⋯ … … … … • Calcul des variations dX et dY 𝑑𝑋 =

δ𝑋 = ⋯ … … …. 6,36620

𝑑𝑌 =

δ𝑌 = ⋯ … … …. 6,36620

• Coordonnées définitives du point M 𝑋𝑀 = 𝑋𝑀0 + 𝑑𝑋 = ⋯ … … … … … … … … 𝑌𝑀 = 𝑌𝑀0 + 𝑑𝑌 = ⋯ … … … … … … … … 3. Calcul des précisions angulaires et les précisions sur le rayon moyen quadratique avant et après compensation • Précisions angulaires avant et après compensation Avant compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10𝑘𝑖 ̏ 𝑣𝑖 ̏

après compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10(bδX + aδY − k i ̏)

𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ̏

∑ 𝑣𝑖 ²

∑ 𝑣𝑖 ²

Précision angulaire avant compensation : 𝜎𝛼 = √

•

𝑣𝑖 ²

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² = ⋯…………… 𝑛

Précision angulaire après compensation : 𝜎𝛼 = √

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² = ⋯ … … … … …. 𝑛

Calcul des rayons avant et après compensation : 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) =

Avant compensation : 𝑟𝑖 (𝑐𝑚)

∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

𝑣𝑖 ̏ × 𝐷𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 6,36620 après compensation 𝑟𝑖 (𝑐𝑚)

∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

93 / 107

Précision sur le rayon moyen quadratique : Avant compensation

Après compensation

𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² √ 𝜎𝑟 = = ⋯………… 𝑛

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² = ⋯………… 𝑛

2. RELEVEMENT Les gisements 𝐺𝐴𝑀 de l’intersection et de 𝐺𝑀𝐴 de relèvement, visée de M vers A diffèrent de 200 gr et par conséquent : ∆𝑋0 ′ ∆𝑌0 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ) =− 2 ∆𝑌0 𝑋 𝐷𝑐𝑎𝑙

𝑒𝑡

∆𝑋0 ′ ∆𝑋0 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ) = 2 ∆𝑌0 𝑌 𝐷𝑐𝑎𝑙

En outre, le théodolite en station au point M génère une variable supplémentaire, le G0 tel que : 𝐺0 = 𝐺0𝑝𝑟𝑜𝑣 + 𝑑𝐺0 = 𝐺0𝑚𝑜𝑦 + 𝑑𝐺0 . On aura donc 𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 = (𝐺0 + 𝐿) − 𝐺𝑐𝑎𝑙 = 𝐺0𝑚𝑜𝑦 + 𝑑𝐺0 + 𝐿 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 = 𝑑𝐺0 + 𝐺0𝑚𝑜𝑦 − (𝐺𝑐𝑎𝑙 − 𝐿) = 𝑑𝐺0 + 𝐺0𝑚𝑜𝑦 − 𝐺0𝑖 ( 𝐺𝑜𝑏𝑠 − 𝐺𝑐𝑎𝑙 ) ̏ 𝑑𝐺0 ̏ ( 𝐺0𝑚𝑜𝑦 − 𝐺0𝑖 ) ̏ = + 10 10 10 En posant que : 𝑑𝐺0 ̏ ( 𝐺0𝑚𝑜𝑦 − 𝐺0𝑖 ) ̏ δG0 ̏ = 3 k ȉ = = 10 ∗ (𝐺𝑚𝑜𝑦 − 𝐺0𝑖 ) 10 10 D’où avec les notations précédentes, la relation d’observation d’une visée de relèvement devient : 𝒗𝒊 ̏ −𝐚𝛅𝐘 − 𝐛𝛅𝐗 + 𝛅𝐆𝟎 ̏ − 𝐤 𝐢 ̏ = 𝟏𝟎

❖ Calcul des coefficients - a, - b et - ki

Points approché anciens A B M C D

𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟)

𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

𝐺0𝑖 (𝑔𝑟) 𝐺0𝑚𝑜𝑦 (𝑔𝑟)

−𝑎

−𝑏

−k i ̏

...........

94 / 107

Remarque : Le coefficient de δG0 ̏ est 1 ❖ Calcul des vi Avant compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10. 𝑘𝑖 ̏ après compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10(−aδY − bδX + δG0 ̏ − k i ̏) 𝑣𝑖 ̏ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ̏ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ² ̏

𝑣𝑖 ²

Précision angulaire : ∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² √ 𝜎𝛼 = 𝑛

𝜎𝛼 = √

Calcul des rayons avant et après compensation : Avant compensation : 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 ∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

Précision sur le rayon moyen quadratique : 𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² 𝑛

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² 𝑛 𝑣𝑖 ̏ × 𝐷𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 6,36620

𝑟𝑖 (𝑐𝑚) =

après compensation 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 ∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

Précision sur le rayon moyen quadratique : 𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² 𝑛

METHODOLOGIE : -

Calculer les coordonnées approchées du point M à partir de deux points anciens en utilisant l’une des trois méthodes de calcul de relèvement Calculer les gisements et les distances calculées ; les G0i et le G0moyen et les coefficients –a, –b et k ; Etablir le tableau des relations d’observations ; Etablir la table des équations finales ; Etablir le tableau de Doolittle et calculer les dX, dY et dG0 Calculer les coordonnées définitives et le G0 définitif ; Calculer les vi avant et après compensation et en déduire la précision angulaire 95 / 107

-

Calculer les différents rayons et en déduire la précision sur le rayon moyen quadratique

APPLICATION Sachant que l’opérateur a stationné en un point M et a visé successivement les points connus A, B et C, on se propose de calculer les coordonnées définitives de ce point M.

B

A

Station Points Lectures visés azimutales (gr)

M

Y (m)

A

150,6978

12271,85 4683,26

B

237,5126

12819,31 4737,39

C

331,2076

12994,39 4138,31

D

64,7218

12103,72 4092,39

A

150,6997

D

M C

X (m)

1. Calculer les coordonnées approchées du point M à partir des points A, B et C 2. Calculer les coordonnées définitives du point M et le G0 définitif 3. Calculer les précisions angulaires et le rayon moyen quadratique avant et après compensation

RESOLUTION 1. Calcul des coordonnées approchées du point M à partir des points A et B. Pts

Gi (gr)

Li (m)

Angles au sommet

Angles au centre

Coefficients mi

A B C A B Σ mi =

1 cotan Angle au sommet I − cotan angle au centre i

96 / 107

XM0 =

∑ni=1 mi . Xi = ⋯……………………… ∑ni=1 mi

YM0 =

∑ni=1 mi . Yi = ⋯ … … … … … … … … … .. ∑ni=1 mi

2. Calcul des coordonnées définitives du point M • Calcul des coefficients – a, – b et – ki La relation d’observation d’une visée de relèvement s’écrit : 𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟)

Points appro Anc. A

𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

𝐺0𝑖 (𝑔𝑟)

B

M

−𝐚𝛅𝐘 − 𝐛𝛅𝐗 + 𝛅𝐆𝟎 ̏ − 𝐤 𝐢 ̏ =

𝐺0𝑚𝑜𝑦 (𝑔𝑟)

−𝑎

−𝑏

𝒗𝒊 ̏ 𝟏𝟎 −k i ̏

..................

C D ∆𝑋 𝐺𝑐𝑎𝑙 = arctan ( ) ∆𝑌 −a =

10 sin 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

𝐷𝑐𝑎𝑙 = √∆𝑋 2 + ∆𝑌 2

−b = −

10 cos 𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚)

𝐺0𝑖 = 𝐺𝑐𝑎𝑙 − 𝐿𝑖 −k̏ = 103 ∗ (𝐺0𝑖 − 𝐺𝑚𝑜𝑦 )

• Tableau des relations d’observation N° 1

δX … . … … … ….

δY … . … … … ….

δG0 … … … … … ..

-ki … . … … … ….

∑ … . … … … ….

2

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

3

… … … … … ..

… … … … … ..

… . … … … ….

… … … … … ..

… … … … … ..

4

… … … … …..

… … … … …..

… … … … … ..

… … … … …..

… … … … …..

• Table des équations finales δX δY

δG0

-ki

∑

97 / 107

• Tableau du tableau de DOOLITTLE et résolution δX … … … ….

δY … … … … … ….

δG0 … … … … … ….

-ki ………………

∑ … … … … … ….

… … … … ….

…………………

… … … … … ….

… … … … ….

… … … … … ….

Report

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

S2 (X)

…………………

… … … … … ….

…………………

…………………

Résolvante

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

…………………

… … … … … ….

…………………

…………………

Report

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

S3 (X)

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

S3 (Y)

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

Résolvante

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

Racines δG0 = …………. δ𝑌 = ⋯ … … … … … … … … … … … … … … … … . . = ⋯ … … .. δ𝑋 = ⋯ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … = ⋯ … … .. Vérification δG0′ = ⋯ … … … … δG0 − 1 = ⋯ … … … … … … … . = ⋯ … … … … .. δ𝑌 ′ = ⋯ … … … … … … … … … … … … … … … = ⋯ … … … …. δ𝑌 − 1 = ⋯ … … … … … … … … = ⋯ … … … … δ𝑋 ′ = ⋯ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . = ⋯ … … … …. δ𝑋 − 1 = ⋯ … … … … … … … … = ⋯ … … … … • Calcul des variations dX, dY et dG0 𝑑𝑋 =

δ𝑋 = ⋯ … … …. 6,36620

𝑑𝑌 =

δ𝑌 = ⋯ … … …. 6,36620 98 / 107

𝑑𝐺0 =

δ𝐺0 = ⋯ … … …. 10

• Coordonnées définitives du point M et le G0 définitif 𝑋𝑀 = 𝑋𝑀0 + 𝑑𝑋 = ⋯ … … … … … … … … 𝑌𝑀 = 𝑌𝑀0 + 𝑑𝑌 = ⋯ … … … … … … … … 𝐺0𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑓 = 𝐺0𝑚𝑜𝑦 + 𝑑𝐺0 = ⋯ … … … … … … … … 3. Calcul des précisions angulaires et le rayon moyen quadratique avant et après compensation • Calcul des précisions angulaires avant et après compensation Avant compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10. 𝑘𝑖 ̏ après compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10(−aδY − bδX + δG0 ̏ − k i ̏) 𝑣𝑖 ̏

𝑣𝑖 ²

∑ 𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ̏

𝑣𝑖 ²

∑ 𝑣𝑖 ² ̏

Précision angulaire avant compensation : ∑𝑛 𝑣𝑖 ² 𝜎𝛼 = √ 𝑖 = ⋯ … … … .. 𝑛 Calcul des rayons avant et après compensation : Avant compensation : 𝑟𝑖 (𝑐𝑚)

Précision angulaire après compensation 𝜎𝛼 = √

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² = ⋯ … … … …. 𝑛

𝑟𝑖 (𝑐𝑚) =

𝑣𝑖 ̏ × 𝐷𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 6,36620

après compensation 𝑟𝑖 ²

∑ 𝑟𝑖 ² Précision sur le rayon moyen quadratique : ∑𝑛 𝑟𝑖 ² 𝜎𝑟 = √ 𝑖 = ⋯……… 𝑛

𝑟𝑖 (𝑐𝑚)

𝑟𝑖 ²

∑ 𝑟𝑖 ² Précision sur le rayon moyen quadratique : 𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² = ⋯ … … …. 𝑛

99 / 107

3. RECOUPEMENT Il faut au total au moins 6 visées dont 3 visées d’intersection et 3 visées de relèvement Relations d’observations : ❖ Visées d’intersection : ❖ Visées de relèvement :

aδY + bδX − k i ̏ =

𝑣𝑖 ̏ 10

−aδY − bδX + δG0 ̏ − k i ̏ =

𝑣𝑖 ̏ 10

❖ Calcul des coefficients a, b, -a, -b et –ki

Points 𝐺𝑜𝑏𝑠 (𝑔𝑟) 𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟) 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 𝐺0𝑖 (𝑔𝑟) 𝐺0𝑚𝑜𝑦 (𝑔𝑟) a ou 𝑏 𝑜𝑢 δG0 ̏ − ki ̏ -a -b appro anciens Relèvement ........... 1 1 1 M Intersection 0 0 0 −𝑘𝑖 ̏ = 103 ∗ (𝐺0𝑖 − 𝐺𝑚𝑜𝑦 ) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑙è𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

NB:

−𝑘𝑖 ̏ = 103 ∗ (𝐺𝑐𝑎𝑙 − 𝐺𝑜𝑏𝑠 ) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

❖ Calcul des vi NB : le calcul des 𝑣𝑖 tient compte de l’opération effectuée soit le relèvement, soit l’intersection. Avant compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10𝑘𝑖 ̏

après compensation : 𝑣𝑖 ̏ = 10(aδY + bδX − k i ̏) ou 𝑣𝑖̏ = −10(aδY + bδX − δG0 ̏ + k i ̏)

𝑣𝑖 ̏ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ̏ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4

𝑣𝑖 ²

∑ 𝑣𝑖 ² 100 / 107

Précision angulaire : ∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² √ 𝜎𝛼 = 𝑛 Calcul des rayons avant et après compensation : Avant compensation : 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 ∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

𝜎𝛼 = √

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² 𝑛

𝑣𝑖 ̏ × 𝐷𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑘𝑚) 6,36620 après compensation 𝑟𝑖 (𝑐𝑚) =

𝑟𝑖 (𝑐𝑚) 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟4 ∑ 𝑟𝑖 ²

𝑟𝑖 ²

Précision sur le rayon moyen quadratique : 𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² 𝑛

𝜎𝑟 = √

∑𝑛𝑖 𝑟𝑖 ² 𝑛

METHODOLOGIE : -

Calculer les gisements observés à partir du calcul de gisements de points anciens et des lectures angulaires ; Calculer les coordonnées approchées du point M soit par intersection ou soit par relèvement Déterminer les gisements et distances calculés ; Calculer les G0i et le G0moyen Calculer les coefficients a, b et –k ; Etablir le tableau des relations d’observations ; Etablir la table des équations finales ; Etablir le tableau de Doolittle et calculer les dX, dY et dG0 Calculer les coordonnées définitives et G0 définitif Calculer les vi avant et après compensation et en déduire la précision angulaire Calculer les différents rayons et en déduire la précision sur le rayon moyen quadratique

101 / 107

4. MULTILATERATION La Multilatération est la détermination de points par la mesure des distances. Les notions d’intersection et de relèvement n’existent pas ici. Tout point nouveau doit recevoir au moins 3 visées (distances). 𝑌 𝑀0 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑐ℎé 𝑑𝑋

𝐺𝑐𝑎𝑙

𝑑𝑌

𝐷𝑐𝑎𝑙

𝑀 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑓

𝐷

𝐴

𝐷 = 𝐴𝑀 étant la distance au point définitif, il vient : 2

2

𝐷 = √(𝑋𝑀 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 )² = √[(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 ) + 𝑑𝑋] + [(𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 ) + 𝑑𝑌] Soit en développant : ′

𝐷 = √(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )² + (√(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )²)

′

. 𝑑𝑋 + (√(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )²) 𝑑𝑋

. 𝑑𝑌 𝑑𝑌

Or √(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )² = 𝐷𝑐𝑎𝑙 ′

(√(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )²)

=

=

𝐷𝑐𝑎𝑙 . 𝑠𝑖𝑛𝐺𝑐𝑎𝑙 = 𝑠𝑖𝑛𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙

=

𝐷𝑐𝑎𝑙 . 𝑐𝑜𝑠𝐺𝑐𝑎𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝐺𝑐𝑎𝑙 𝐷𝑐𝑎𝑙

2√(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )²

𝑑𝑋

′

(√(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )²)

2(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )

= 𝑑𝑌

2(𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 ) 2√(𝑋𝑀0 − 𝑋𝐴 )² + (𝑌𝑀0 − 𝑌𝐴 )²

D’où 𝐷 = 𝐷𝑜𝑏𝑠 + 𝑣𝐷 = 𝐷𝑐𝑎𝑙 + 𝑠𝑖𝑛𝐺𝑐𝑎𝑙 . 𝑑𝑋 + 𝑐𝑜𝑠𝐺𝑐𝑎𝑙 . 𝑑𝑌 Soit :

𝑠𝑖𝑛𝐺𝑐𝑎𝑙 . 𝑑𝑋 + 𝑐𝑜𝑠𝐺𝑐𝑎𝑙 . 𝑑𝑌 − (𝐷𝑜𝑏𝑠 −𝐷𝑐𝑎𝑙 ) = 𝑣𝐷

Posons : 𝑎 = 𝑠𝑖𝑛𝐺𝑐𝑎𝑙

𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝐺𝑐𝑎𝑙

𝑘𝑖 = 𝐷𝑜𝑏𝑠 −𝐷𝑐𝑎𝑙

Alors la relation d’observation d’une mesure de distance s’écrit : 𝒂𝒅𝑿 + 𝒃𝒅𝒀 − 𝒌𝒊 = 𝒗𝒊 102 / 107

❖ Calcul des coefficients a, b et –ki

Points approché anciens

𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟)

𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑚)

𝐷𝑜𝑏𝑠 (𝑚)

a

b

−k i (m)

M

NB : • • • •

Les distances 𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑚) seront données à 2 chiffres après la virgule ; Les gisements à 4 chiffres, Les coefficients a et b à 4 chiffres et –ki à 2 chiffres après la virgule.

❖ Calcul des vi Avant compensation : 𝑣𝑖 = 𝑘𝑖 𝑣𝑖 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ²

après compensation : 𝑣𝑖 = 𝑎𝑑𝑋 + 𝑏𝑑𝑌 − 𝑘𝑖 𝑣𝑖 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ∑ 𝑣𝑖 ²

𝑣𝑖 ²

Précision sur la distance : ∑𝑛 𝑣𝑖 ² 𝜎𝐷 = √ 𝑖 𝑛

𝜎𝐷 = √

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² 𝑛

METHODOLOGIE : -

Calculer un gisement observé à partir de deux points anciens et la distance entre ces points ; Résoudre le triangle formé par les deux points anciens utilisés ci-dessus et le point à déterminer ; il s’agira de calculer les 3 angles par la formule des cosinus Déterminer les deux gisements des 2 directions formées par le point à déterminer et les 2 points anciens ; Calculer les coordonnées approchées du point M à partir des deux points anciens ; Déterminer tous les gisements et toutes les distances calculées Calculer les coefficients a, b et –k ; 103 / 107

-

Etablir le tableau des relations d’observations ; Etablir la table des équations finales ; Etablir le tableau de Doolittle et calculer les dX et dY Calculer les coordonnées définitives Calculer les vi avant et après compensation et en déduire la précision sur la distance ou précision linéaire.

APPLICATION En vue de déterminer les coordonnées du point M, un technicien supérieur géomètre, muni d’une chaîne a mesuré les distances suivantes : AM =232,989 m; BM = 224,851 m; CM = 127,442 m; DM = 218,701 m Coordonnées des points d’appui Points A B C D

X (m) 8 911,95 9 212,36 9 086,44 8 845,62

B

A

Y (m) 5 122,79 5 103,07 4 816,49 4 884,46

M

D

1. Calculer les coordonnées approchées du point M à partir des points A et D 2. Calculer les coordonnées définitives du point M 3. Calculer les précisions linéaires avant et après compensation.

C

RESOLUTION 1. Calcul des coordonnées approchées du point M à partir des points A et D • Calcul de 𝑮𝑨𝑫 et AD. 𝑋𝐷 − 𝑋𝐴 𝐺𝐴𝐷 = arctan( ) = ⋯ … … … … … … … … .. 𝑌𝐷 − 𝑌𝐴

𝐷𝐴𝐷 = √∆𝑋 2 + ∆𝑌 2 = ⋯ … … …

• Calcul des angles du triangle ADM 𝐴̂ = arccos (

𝐴𝑀 2 + 𝐴𝐷 2 − 𝐷𝑀 2 ) = ⋯………………… 2𝐴𝑀. 𝐴𝐷

̂ = arccos ( 𝐷

𝐷𝐴2 + 𝐷𝑀 2 − 𝐴𝑀 2 ) = ⋯ … … … … … … .. 2𝐷𝐴. 𝐷𝑀

̂ = arccos ( 𝑀 Contrôle :

𝑀𝐴2 + 𝑀𝐷 2 − 𝐴𝐷2 ) = ⋯………………… 2𝑀𝐴. 𝑀𝐷 ̂+𝑀 ̂ = ⋯ … … … … … … … …. 𝐴̂ + 𝐷 104 / 107

• Calcul de 𝑮𝑨𝑴 et 𝑮𝑫𝑴 𝐺𝐴𝑀 = 𝐺𝐴𝐷 − 𝐴̂ = ⋯ … … … … … … … ….

̂ = ⋯ … … … … … … … .. 𝐺𝐷𝑀 = 𝐺𝐷𝐴 + 𝐷

• Calcul des coordonnées approchées du point M 𝑌𝑀0 = 𝑌𝐴 +

𝑋𝐷 − 𝑋𝐴 − (𝑌𝐷 − 𝑌𝐴 ) ∗ tan 𝐺𝐷𝑀 = ⋯ … … … … … … …. tan 𝐺𝐴𝑀 − tan 𝐺𝐷𝑀

𝑋𝑀0 = 𝑋𝐴 +(𝑌𝑀 − 𝑌𝐴 ) ∗ tan 𝐺𝐴𝑀 = ⋯ … … … … … … … ..

2. Calcul des coordonnées définitives du point M • Calcul des coefficients a, b et -ki. La relation d’observation d’une visée d’intersection est : Points appro anc A M

𝐺𝑐𝑎𝑙 (𝑔𝑟)

𝐷𝑐𝑎𝑙 (𝑚)

𝐷𝑜𝑏𝑠 (𝑚)

𝒂𝒅𝑿 + 𝒃𝒅𝒀 − 𝒌𝒊 = 𝒗𝒊 a

b

−k i (𝑚)

B C D

∆𝑋 𝐺𝑐𝑎𝑙 = arctan ( ) ∆𝑌 a = sin 𝐺𝑐𝑎𝑙

𝐷𝑐𝑎𝑙 = √∆𝑋 2 + ∆𝑌 2

b = cos 𝐺𝑐𝑎𝑙

−k = 𝐷𝑐𝑎𝑙 − 𝐷𝑜𝑏𝑠

• Tableau des relations d’observation N° 1

dX … . … … … ….

dY … . … … … ….

-ki … . … … … ….

∑ … . … … … ….

2

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

… . … … … ….

3

… … … … … ..

… … … … … ..

… … … … … ..

… … … … … ..

4

… … … … …..

… … … … …..

… … … … …..

… … … … …..

105 / 107

• Table des équations finales dX dY

-ki

∑

• Tableau du tableau de DOOLITTLE et résolution

dX … … … ….

dY … … … … … ….

-ki ………………

∑ … … … … … ….

… … … … ….

…………………

… … … … ….

… … … … … ….

Report

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

S2 (X)

…………………

…………………

…………………

Résolvante

… … … … … ….

… … … … … ….

… … … … … ….

…………………

…………………

…………………

Racines d𝑌 = …………. d𝑋 = ⋯ … … … … … … … … … . = ⋯ … … .. Vérification d𝑌 ′ = ⋯ … … … … d𝑌 − 1 = ⋯ … … … … d𝑋 ′ = ⋯ … … … … … … … … … … . . = ⋯ … … … …. d𝑋 − 1 = ⋯ … … … … … … … … … = ⋯ … … … … • Coordonnées définitives du point M 𝑋𝑀 = 𝑋𝑀0 + 𝑑𝑋 = ⋯ … … … … … … … … 𝑌𝑀 = 𝑌𝑀0 + 𝑑𝑌 = ⋯ … … … … … … … …

106 / 107

3. Calcul des précisions linéaires avant et après compensation • Précisions linéaires avant et après compensation Avant compensation : 𝑣𝑖 = 𝑘𝑖 𝑣𝑖

𝑣𝑖 ²

∑ 𝑣𝑖 ²

après compensation : 𝑣𝑖 = 𝑎𝑑𝑋 + bdY − k i 𝑣𝑖

𝑣𝑖 ²

∑ 𝑣𝑖 ² Précisions linéaires :

Avant compensation :

𝜎𝐷 = √

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² = ⋯…………… 𝑛

Après compensation :

𝜎𝐷 = √

∑𝑛𝑖 𝑣𝑖 ² = ⋯ … … … … …. 𝑛

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