Módulo Iii: Bloque Temático 3

Taller de Actualización Docente del Área de Matemática UGEL CASMA

MÓDULO III DISCIPLINAR, DIDÁCTICO Y DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA

BLOQUE TEMÁTICO 3 Resolvemos situaciones de forma, Documentoydelocalización trabajo movimiento

2018

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MÓDULO PEDAGÓGICO PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA DE ÁREA DE MATEMÁTICA

ÍNDICE

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PRESENTACIÓN........................................................................................................................................ 6 PRODUCTO DEL BLOQUE TEMÁTICO ....................................................................................................... 7 RUTA FORMATIVA ESPECÍFICA ................................................................................................................ 7 PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD ............................................................................................................... 9 ESQUEMA DE CONTENIDOS .................................................................................................................. 10 1. Reflexión desde la práctica ............................................................................................................. 11 2. Reflexión teórica ............................................................................................................................. 13 2.1. ¿Cómo se relaciona la competencia con el enfoque del área? ..................................................... 13 2.2. ¿Cómo desarrollamos capacidades en la competencia relacionada con situaciones de forma, movimiento y localización? .......................................................................................................... 15 2.3. ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearía para el desarrollo de la competencia?.. 18 2.4. ¿Cómo debemos evaluar la competencia? ................................................................................... 24 2.5. ¿Cuáles son los estándares e indicadores nacionales de evaluación? .......................................... 26 2.6. ¿Cuáles son los recursos y materiales que permiten el desarrollo de la competencia? ............... 29 3. Herramientas para la nueva práctica .............................................................................................. 32 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo .................................................................................. 32 3.2. Actividades a distancia ................................................................................................................. 32 3.3. Actividades de metacognición ...................................................................................................... 33 3.4. Autoevaluación ............................................................................................................................. 33 4. Glosario ........................................................................................................................................... 33 5. Texto complementario ..................................................................................................................... 34 6. BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ELECTRÓNICA ................................................................................... 35 UNIDAD II .............................................................................................................................................. 36 PRESENTACIÓN...................................................................................................................................... 36 ESQUEMA DE CONTENIDOS .................................................................................................................. 36 1. Reflexión desde la práctica ............................................................................................................. 37 2. Reflexión teórica ............................................................................................................................. 38 2.1. Fundamente teórico ...................................................................................................................... 38 2.1.1. ¿Qué es la geometría? ................................................................................................................ 38 2.2. ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes? ................................................................................................................................ 42 2.2.1. Proponemos maximizar el área de un terreno para sembrío de flores ..................................... 42 2.2.2. Elaboramos un plan para maximizar el área de un terreno ....................................................... 46 2.2.3. Repartimos herencias haciendo uso del método de Pólya ........................................................ 51 Evaluación de los aprendizajes ............................................................................................................. 53 3. Herramientas para la nueva práctica .............................................................................................. 54 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo ................................................................................... 54 3.2 Actividades a distancia ................................................................................................................... 54 3.3. Actividades de metacognición ....................................................................................................... 55 3.4 Autoevaluación .............................................................................................................................. 55 4. GLOSARIO ......................................................................................................................................... 55 5. TEXTO COMPLEMENTARIO ............................................................................................................... 56 6. REFERENCIAS .................................................................................................................................... 56 EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES DE LA UNIDAD................................................................................... 58 PRESENTACIÓN.......................................................................................................................................... 60 CONTENIDO DE LA UNIDAD...........................................................................¡Error! Marcador no definido. 1. Reflexión desde la práctica ................................................................................................................ 61 2. Reflexión teórica................................................................................................................................ 62 2.1 Fundamento teórico ....................................................................................................................... 62 2.1.1 ¿Cuáles fueron los problemas sobre construcción en la historia? ............................................... 62 2.1.2 ¿Cuáles son las construcciones geométricas básicas? ................................................................. 64 2.1.3. ¿Cómo realizamos la construcción de la bisectriz de un ángulo? ............................................... 65 2.1.3 ¿Qué es la papiroflexia o geometría del papel? .......................................................................... 66 3

¿Por qué es importante la utilización de la mano?................................................................................ 67 2.2 ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes? 67 2.2.1 Diseñamos la ubicación del castillo en la fiesta costumbrista ..................................................... 67 2.2.2 Planificamos el incremento de área de un corral de vacas usando el origami ............................ 69 2.3 Evaluación de los aprendizajes ....................................................................................................... 71 3. Herramientas para la nueva práctica ................................................................................................. 72 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo ................................................................................. 72 3.2 Actividades a distancia ................................................................................................................... 72 3.3 Actividades de metacognición ........................................................................................................ 72 3.4 Autoevaluación (lista de cotejo) ..................................................................................................... 72 4. GLOSARIO ......................................................................................................................................... 73 5. TEXTO COMPLEMENTARIO ............................................................................................................... 73 6. REFERENCIAS .................................................................................................................................... 74 UNIDAD IV ............................................................................................................................................. 77 ESQUEMA DE CONTENIDOS .................................................................................................................. 77 1. REFLEXIÓN DESDE LA PRÁCTICA ...................................................................................................... 78 2. REFLEXIÓN TEÓRICA ........................................................................................................................ 79 2.2. Fundamento teórico ..................................................................................................................... 79 2.1.1. ¿Qué son las transformaciones geométricas? ........................................................................... 79 2.1.2. Clasificación de transformaciones ............................................................................................. 79 2.3. ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes? ................................................................................................................................ 85 2.2.1. Diseñamos el corral de ovejas con traslaciones......................................................................... 85 3. Herramientas para la nueva práctica ................................................................................................. 89 3.1 Actividades de reflexión individual/equipo .................................................................................... 89 3.2 Actividades a distancia ................................................................................................................... 89 3.3 Actividades de metacognición ........................................................................................................ 90 3.4 Autoevaluación .............................................................................................................................. 90 4. GLOSARIO ......................................................................................................................................... 90 5. TEXTO COMPLEMENTARIO ............................................................................................................... 91 6. REFERENCIAS .................................................................................................................................... 92 UNIDAD V .............................................................................................................................................. 97 PRESENTACIÓN...................................................................................................................................... 97 CONTENIDO DE LA UNIDAD ................................................................................................................... 97 1. Reflexión desde la práctica ............................................................................................................. 98 2. Reflexión teórica................................................................................................................................ 99 2.1 Fundamento teórico ....................................................................................................................... 99 2.1.1 ¿Qué es un sólido geométrico? ................................................................................................... 99 2.1.2 ¿Qué son los poliedros? .............................................................................................................. 99 2.1.3 ¿Qué son los cuerpos redondos? .............................................................................................. 101 2.1.4 Aplicación de la geometría en las culturas peruanas................................................................. 101 2.2 ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes?103 2.2.1 Diseñamos estanques para una piscigranja ............................................................................... 103 2.2.2 Construimos la cocina mejorada ............................................................................................... 106 3. Herramientas para la nueva práctica ............................................................................................... 111 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo ................................................................................. 111 3.2 Actividades a distancia ................................................................................................................. 111 3.3 Actividades de metacognición ...................................................................................................... 111 3.4 Actividad de autoevaluación ........................................................................................................ 112 4. Glosario .......................................................................................................................................... 112 5. Texto complementario ................................................................................................................... 112 6. REFERENCIAS .................................................................................................................................. 113

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PRESENTACIÓN Estimado(a) docente: El presente bloque temático 3 “Resolvemos situaciones de forma, movimiento y localización en un contexto intercultural”, un material educativo basado en el enfoque intercultural, crítico, reflexivo y por competencias, que considera diversas situaciones problemáticas del ámbito rural, orientado a servir de apoyo en tu práctica pedagógica para el desarrollo de la competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización”. El bloque temático 3 se desarrolla a través de tres fases metodológicas que intervienen transversalmente en sus cinco unidades: Reflexión desde la práctica. Esta primera sección se caracteriza por basarse en las experiencias más cercanas referidas a la práctica pedagógica, con el fin de captar sus intereses y propiciar la activación de los saberes previos para garantizar la construcción progresiva de los aprendizajes. A partir de la problematización y cuestionamientos de hechos concretos, se da inicio al tratamiento de cada unidad. Reflexión teórica. Esta segunda sección presenta los fundamentos teóricos que permiten al docente participante confrontar sus saberes previos con la información procedente de fuentes confiables y vigentes. Esta fase metodológica se caracteriza por plantear actividades que demandan la activación de habilidades cognitivas de mayor complejidad para reconstruir sus conocimientos a la luz de la información y de experiencias de interaprendizaje, que permitan la articulación de la teoría con la práctica pedagógica desde el aspecto disciplinar, didáctico y de evaluación. Herramientas para la nueva práctica. Esta tercera sección se orienta al desarrollo de la autorreflexión del docente desde una perspectiva orientada a la transformación y al mejoramiento de su práctica pedagógica. Es en el momento que, luego de haber analizado información y reflexionado sobre su actuar, el docente participante aplica los nuevos saberes en su quehacer pedagógico, reconociendo la importancia de la autorreflexión para el mejoramiento de su práctica. En este bloque temático 3, las fases metodológicas se orientan a la mejora continua de la práctica pedagógica cotidiana que redundará en la mejora de los aprendizajes de los estudiantes.

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COMPETENCIAS GENERALES 1. Planifica la enseñanza de forma colegiada, garantizando la coherencia entre los aprendizajes que quiere lograr en sus estudiantes, el proceso pedagógico, el uso de los recursos disponibles y la evaluación, en una programación curricular en permanente revisión. 2. Crea un clima propicio para el aprendizaje, la convivencia democrática y la vivencia de la diversidad en todas sus expresiones, con miras a formar ciudadanos críticos e interculturales. 3. Conduce el proceso de enseñanza con dominio de los contenidos disciplinares y el uso de estrategias y recursos pertinentes, para que todos los estudiantes aprendan de manera reflexiva y crítica lo que concierne a la solución de problemas relacionados con sus experiencias, intereses y contextos culturales. 4. Evalúa permanentemente el aprendizaje con los objetivos institucionales previstos, para tomar decisiones y retroalimentar a sus estudiantes y a la comunidad educativa, teniendo en cuenta las diferencias individuales y los contextos culturales. 5. Reflexiona sobre su práctica y experiencia institucional y desarrolla procesos de aprendizaje continuo de modo individual y colectivo, para construir y afirmar su identidad y responsabilidad profesional.

COMPETENCIA DEL BLOQUE TEMÁTICO Aplica los conocimientos disciplinares actualizados y pertinentes, y de la didáctica del área, demostrando dominio en el desarrollo de forma, movimiento y localización, a través de la resolución de problemas en sus diversos niveles de complejidad, trabajando de manera creativa, reflexiva y colaborativa, tomando en cuenta el contexto donde labora.

PRODUCTO DEL BLOQUE TEMÁTICO  Planificación de una sesión de aprendizaje, utilizando las orientaciones didácticas, recursos e instrumentos de evaluación para favorecer el desarrollo de la competencia.  Video de una sesión planificada y ejecutada.

RUTA FORMATIVA ESPECÍFICA El bloque temático 3 “Resolvemos situaciones de forma, movimiento y localización en un contexto intercultural” está organizado en cinco unidades didácticas Cada una de ellas tiene tres apartados principales, como son: la reflexión desde la práctica, reflexión teórica y herramientas para la nueva práctica; además, culmina con los apartados subsiguientes: glosario, texto complementario, referencias.

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Resolvemos situaciones de forma, movimiento y localización en un contexto intercultural

UNIDAD I: Conceptos básicos En esta unidad, se desarrolla aspectos teóricos de la competencia, relacionados a forma, movimiento y localización desde una perspectiva intercultural con un enfoque crítico reflexivo.

UNIDAD II: Áreas y perímetros En esta unidad, presentamos situaciones problemáticas sobre perímetros, áreas, semejanza de triángulo, aplicando la estrategia de George Pólya en un contexto intercultural con actores y escenarios propios de su comunidad.

UNIDAD III: Construcciones de figuras geométricas bidimensionales Se propone una breve teoría y situaciones problemáticas, que son resueltas mediante construcciones de figuras geométricas bidimensionales, permitiendo que el estudiante desarrolle habilidades y destrezas logrando un aprendizaje significativo.

UNIDAD IV: Transformaciones isométricas y homotecias El estudio de esta unidad nos permite afianzar en los participantes los conocimentos de de rotación, traslación y homotecia asumiendo su importancia para el desarrollo de capacidades geométricas en nuestros estudiantes.

UNIDAD V: Vivimos en un mundo tridimensional Se propone una breve teoría acerca de los sólidos geométricos y cuerpos redondos, que están estrechamente vinculados con nuestras actividades cotidianas y con los cuales el ser humano ha sido capaz de edificar asombrosas construcciones arquitectónicas, gracias al desarrollo del pensamiento espacial que ha permitido resolver problemas a través de la historia.

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UNIDAD I

Conceptos básicos PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Estimado docente participante, a continuación presentamos la unidad I que consta de tres partes: inicia con una reflexión desde la práctica, donde se muestra una imagen que explicita un diálogo entre docentes del área de Matemática; luego aborda la reflexión teórica, que dilucida los conceptos básicos; y, finalmente, presenta las herramientas para la nueva práctica, que considera las actividades de reflexión individual/equipo, de aplicación y metacognitivas; todo ello, referido a la competencia y sus capacidades en situaciones de forma, movimiento y localización, con el objetivo de reflexionar en cada una de las partes, lo que permitirá una acertada intervención y mejora continua de la práctica pedagógica.

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ESQUEMA DE CONTENIDOS Reflexión desde la práctica Reflexión teórica Competencia : Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

CONCEPTOS BÁSICOS

Capacidades de la competencia relacionada con forma, movimiento y localización Orientaciones didácticas para el desarrollo de la competencia Estrategias de evaluación Estándares e indicadores de desempeño Materiales y recursos Herramientas para la nueva práctica Actividades de reflexión individual/equipo, de distancia , de metacognición y autoevaluación Glosario, texto complementario, referencias y evaluación de la unidad

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1.

Reflexión desde la práctica

Estimado docente a continuación presentamos la siguiente situación: Graciano ¡Qué bien que estés contento!, ahora debes compartir lo aprendido con tus colegas del colegio. Si tienen dudas, pregúntenme, no se queden callados. ¡Qué bien!, los felicito. Nos vemos...

Yo en cambio, todavía no diferencio del todo lo que es competencia y capacidad. ¿Le pregunto o no? Me da mucha vergüenza, porque los demás entendieron.

Profesor Francisco, ¡estoy contento!, recién he comprendido lo que es saber hacer una planificación basada en las competencias, gracias a ti. ¿Tú qué dices, Ruperta?

¡Ah! ¡Me pareció interesante...! (Ruperta)

Colegas, ¡gracias por todo!, ahora sí me siento satisfecha porque me han aclarado todas las dudas que tenía, en especial sobre la competencia y sus capacidades en las situaciones de forma, movimiento y localización. El profesor lo hizo con ejemplos claros y sencillos, utilizando nuestras costumbres, empleando recursos y materiales propios de nuestro entorno. ¡Chaooooooo! (Yolanda) A partir de la lectura de la situación y tu experiencia, responde las siguientes preguntas:A partir de

La lectura de la situación y tu experiencia, responde las siguientes preguntas: a) ¿La estrategia que aplicó el docente capacitador fue pertinente para desarrollar competencias y capacidades? ¿Por qué? b) ¿Qué opinas sobre lo que dijo Yolanda? c) ¿Qué opinas sobre la actitud de Ruperta? d) ¿Crees que la estrategia aplicada por Francisco motivó el aprendizaje de los docentes? ¿Por qué? e) ¿Por qué es importante recoger los saberes previos de los participantes? 11

f) ¿Qué recomendaciones darías a los docentes de la imagen para mejorar sus prácticas pedagógicas?

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2.

Reflexión teórica

2.1.

¿Cómo se relaciona la competencia con el enfoque del área?

Frecuentemente, nos enfrentamos a diversos problemas espaciales que nos permiten construir referencias para ubicarnos y ubicar cuerpos geométricos. Manipular objetos, los cuales son representados como símbolos, nociones, conceptos, permitirá el reconocimiento de las formas y del movimiento de cuerpos geométricos, así como el desarrollo de la ubicación. La competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización” implica emplear procedimientos de construcción y medida para resolver situaciones problemáticas. La forma es la apariencia externa de las cosas, la identidad de cada una de ellas Es una conjuncion de puntos, de líneas, de planos, de colores, de texturas, que originan el aspecto de algo determinado y que lo distinguen de otro objeto o cosa.

El movimiento es el cambio de lugar o de posicion de un cuerpo en el espacio, en el cual todas las figuras mantienen su forma y tamaño, es decir, conservan las distancias.

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización en la resolución de problemas contextualizados.

Localización es la ubicación de un objeto o persona en un determinado espacio, el cual requiere de coordenadas que otorgen puntos de referencia para que esta sea trazable y comunicable. Un sistema de coordenadas permite que los matemáticos tracen puntos y hagan gráficos.

La competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización” implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos, la comprensión de propiedades de las formas y cómo estas se interrelacionan, así como la aplicación de estos conocimientos al resolver diversos problemas. (Rutas del Aprendizaje VI ciclo, 2015, p. 24)

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Se entiende que el enfoque centrado en la resolución de problemas busca dinamizar el actuar y pensar matemáticamente, mediante procesos en los cuales se requiere que la enseñanza y aprendizaje se realicen a través de, sobre y para la resolución de problemas en los contextos matemático, científico, social y económico. Finalmente, en la resolución de problemas en situaciones de forma, movimiento y localización —y en otras situaciones, inclusive—, se ve explicitada la puesta en práctica de los tres saberes, cuando el estudiante comprende el problema o la actividad dentro de su contexto (saber conocer), usa diversos procedimientos y estrategias a fin de resolver el problema (saber hacer) y muestra interés y motivación por realizar un buen trabajo, aportando positivamente a sus pares con la intención de una mejora continua de sus desempeños (saber ser). 2.1.1. Forma, movimiento y localización en la historia de la geometría Geometría (del griego geo, “tierra”; metrein, “medir”) es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, se preocupa de problemas métricos, como el cálculo del área y diámetro de figuras planas, de la superficie y volumen de cuerpos sólidos, entre otros. El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a. C., el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica, al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas o postulados, considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno, se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "Una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de tales axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "La suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos" y "El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días. Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando solo una regla de borde recto y un compás. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como 14

paraboloides y cilindros. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la Edad Media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El discurso del método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra, al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Este es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclidiana. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. http://www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.htm

Reflexión a) ¿Crees que la historia es importante para comprender el desarrollo de la geometría? ¿Por qué? b) ¿Cuáles fueron los aportes de los griegos en la evolución de la geometría? c) ¿Qué implica la competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización” en el desarrollo de la geometría? d) En tu práctica pedagógica, ¿compartes con tus estudiantes la historia de la geometría en la resolución de problemas de contexto?

2.2.

¿Cómo desarrollamos capacidades en la competencia relacionada con situaciones de forma, movimiento y localización?

Esta competencia se desarrolla a través de las cuatro capacidades matemáticas, que se interrelacionan para manifestar formas de actuar y pensar en el estudiante, lo que involucra: desarrollar modelos expresando un lenguaje geométrico; emplear variadas representaciones que describan atributos de forma, medida y localización de figuras y cuerpos geométricos; emplear procedimientos de construcción y medida para resolver problemas; así como expresar formas y propiedades geométricas a partir de razonamientos. Un estudiante actúa matemáticamente cuando resuelve problemas de contexto matemático, científico, social y económico (Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VI, p. 15). Por otro lado, el estudiante piensa matemáticamente cuando moviliza las cuatro capacidades: matematiza situaciones, comunica y representa ideas matemáticas, elabora y usa estrategias, y razona y argumenta generando ideas matemáticas; que obviamente se interrelacionan entre el actuar y el pensar matemáticamente.

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2.2.1. Capacidad 1. ¿Qué significa “matematiza situaciones” en esta competencia? Significa asociar problemas diversos con modelos referidos a propiedades de las formas, localización y movimiento en el espacio. Por ejemplo, ante una situación problemática, el estudiante matematiza cuando luego de leer u observar el problema, reconoce las características, datos y variables que le permiten construir un sistema de características matemáticas

Los estudiantes pueden relacionar lo observado en la situación problemática con poligonos.

http://www.gifmania.com/Gif-Animados-Objetos/Imagenes-Juguetes/Cometas/

“Matematiza situaciones” es la capacidad de expresar un problema, reconocido en una situación, en un modelo matemático. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo a la situación que le dio origen. (Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VI, p. 29)

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2.2.2. Capacidad 2. ¿Qué significa “comunica y representa ideas matemáticas” en esta competencia? Expresa las propiedades de las formas, localización y movimiento en el espacio, de manera oral o escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático. Por ejemplo, cuando después de leer y comprender un problema, construye un cubo para encontrar la solución. Para realizar esta construcción, el estudiante primero debe elaborar el molde de un cubo. https://www.youtube.com/watch?v=PAkliM_iO8s

Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas, y expresarlas en forma oral y escrita usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material concreto, gráfico, tablas, símbolos y recursos TIC, y transitando de una representación a otra. (Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VI, p. 30) 2.2.3.

Capacidad 3. ¿Qué significa “elabora y usa estrategias” en esta competencia?

Significa planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos de localización, construcción, medición y estimación, usando diversos recursos para resolver problemas. Por ejemplo, cuando resuelve un problema aplicando el teorema de Pitágoras mediante la estrategia heurística de Pólya.

Los estudiantes pueden aplicar una de las estrategias heurísticas.

https://www.youtube.com/watch?v=x23aM1CtpVw

Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación, empleándolas de manera flexible y eficaz en el planteamiento y resolución de problemas, incluidos los matemáticos. (Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VI, p. 32)

2.2.4. Capacidad 4. ¿Qué significa “razona y argumenta generando ideas matemáticas” en esta competencia? Significa justificar y validar conclusiones, supuestos, conjeturas e hipótesis respecto a las propiedades de las formas, sus transformaciones y la localización en el espacio. Por ejemplo, cuando un

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estudiante explica todo el proceso de cómo resolvió el problema y argumenta sus conclusiones utilizando el organizador la uve de Gowin. “Razona y argumenta...” es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática mediante diversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo), así como el verificarlos y validarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploración de situaciones vinculadas a la matemática para establecer relaciones entre ideas, establecer conclusiones a partir de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas conexiones e ideas matemáticas. (Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VI, p. 33)

2.3.

¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearía para el desarrollo de la competencia?

Es importante iniciar con situaciones problemáticas de la vida real, situaciones de contexto, que les permita a los estudiantes interactuar con naturalidad y seguridad, y utilizar materiales concretos para realizar actividades matemáticas que sean de su interés y respondan a su realidad. La experiencia nos demuestra que el punto de partida para el éxito del enfoque se encuentra en las orientaciones que hace el docente para que los estudiantes puedan elaborar, crear, diseñar y construir sus propios problemas a partir de su contexto, teniendo en cuenta a los personajes o actores más importantes de las comunidades, los escenarios de su realidad y, posteriormente, la resolución de problemas contextualizados, que conlleva a aprendizajes significativos o profundos, es decir, de larga duración. Para lograr nuestra competencia, de acuerdo al enfoque basado en resolución de problemas, presentamos el modelo de Van Hiele, la uve de Gowin, la estrategia de George Pólya y las principales estrategias heurísticas. 2.3.1.

Modelo de Van Hiele

El modelo de Van Hiele marca la pauta que se debe seguir en el aprendizaje de la geometría. Este modelo de enseñanza tuvo su origen en Holanda, donde los esposos Van Hiele, profesores de Matemática, se encontraron con problemas para poder enseñar a sus estudiantes las definiciones, los procesos y las situaciones relacionadas casi exclusivamente con la enseñanza de la geometría, ya que su aplicación en otras ramas de la Matemática no ha sido tan eficiente. Pierre M. van Hiele y Dina van Hiele crean un modelo que explica, al mismo tiempo, cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo es posible ayudarlos a mejorar la calidad de su razonamiento. El modelo consta principalmente de dos partes. La primera es descriptiva y se refiere a lo que Van Hiele define como “niveles de razonamiento”; la segunda, da las directrices para el desarrollo docente en lo que llama “fases de aprendizaje”. Este modelo estratifica el conocimiento en cinco niveles, y dentro de cada nivel, en una serie de fases que permiten analizar el aprendizaje de la geometría. Estos niveles de razonamiento se repasan sucesivamente en cada ocasión en que el estudiante se encuentra con un nuevo tema matemático.

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a. Los niveles de razonamiento Son definidos como los estadios del desarrollo de las capacidades intelectuales del estudiante, los cuales no están directamente ligados con el crecimiento o la edad. Aunque este hecho hace que Van Hiele y Piaget difieran, la mayor parte de lo que se refiere a la adquisición del conocimiento y el desarrollo intelectual del estudiante concuerda entre ambos teóricos. A los niveles de razonamiento se les denomina de la siguiente manera:  Nivel 0: Básico, reconocimiento o visualización Si queremos que nuestros estudiantes puedan reconocer y diferenciar figuras geométricas, llevaríamos a cabo una sesión de aprendizaje orientado al siguiente objetivo: Objetivo: Reconocer figuras congruentes. Desarrollo de la actividad: Con el uso de láminas, presentamos parejas de figuras planas, algunas congruentes y otras no; pedimos a los estudiantes que identifiquen las parejas que son congruentes, explicando sus conclusiones. Para todo esto, les brindamos hojas de colores, reglas, etc. Además, se les dice que pueden realizar dobleces para superponer las figuras. Por último, el docente realiza el respectivo refuerzo para afianzar lo tratado.  Nivel 1: Análisis Objetivo: Establecer condiciones necesarias para la congruencia de triángulos. Desarrollo de la actividad: Organizamos equipos de trabajo donde a cada uno se le entrega un determinado número de triángulos numerados, y cada uno de los equipos debe agrupar los triángulos congruentes, indicando las propiedades. Para ello, pueden utilizar diferentes técnicas o métodos como, por ejemplo, superponer, medir, doblar, etc. Al culminar, cada equipo de trabajo comparte con los demás equipos el cómo realizó el trabajo y sus conclusiones encontradas. El docente cierra informando sobre las condiciones necesarias para la congruencia de triángulos.  Nivel 2: Deducción informal Objetivo: Establecer las condiciones suficientes para la congruencia de triángulos. Desarrollo de la actividad: El docente escribe en la pizarra las características de los tres triángulos dados (medidas de lados y ángulos) y les pedimos a los estudiantes que los dibujen; luego les preguntamos si es posible dibujar un triángulo diferente al dado en cada caso, pero con la condición de que mantengan las características indicadas. Al realizar esta actividad, nosotros los docentes tenemos que orientar constantemente a los estudiantes. En el caso de que un equipo de trabajo o más no logren establecer las condiciones suficientes para determinar la congruencia de triángulos, debemos explicarles, en forma detallada, cada una de las condiciones, y, posteriormente, dejarles problemas y/o ejercicios destinados a afianzar dicho conocimiento. 

Nivel 3: Deducción formal Objetivo: Demostrar formalmente la congruencia de triángulos. Desarrollo de la actividad: Se plantea el siguiente ejercicio:

B

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C

O A

D

Dados los triángulos ABO y DOC con lados y , respectivamente, como se muestra en la figura, se solicita a los equipos de trabajo que expliquen por qué dichos triángulos son congruentes. Tenemos que establecer un tiempo determinado para que los estudiantes puedan resolverlo. En esta actividad, los estudiantes necesitan constante orientación de parte nuestra. Para finalizar, el docente realiza la demostración formal. Como tarea, se les deja problemas y/o ejercicios similares para afianzar lo aprendido.  Nivel 4: Rigor El estudiante puede prescindir de cualquier soporte concreto para desarrollar la actividad matemática y puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos y compararlos; pero hay estudios que señalan que los estudiantes no universitarios alcanzan los tres primeros niveles. Por otro lado, para guiar el trabajo docente en el diseño de las experiencias de aprendizaje, los esposos Van Hiele, propusieron cinco fases de enseñanza adecuadas para el progreso del estudiante en su aprendizaje de la geometría. b. Fases de aprendizaje de la geometría en secundaria  Fase 1: Interrogación o discernimiento El docente y los estudiantes conversan sobre los objetos de estudio del nivel. Se hacen observaciones, se formulan preguntas y se introduce un vocabulario específico. El docente se informa del conocimiento previo que tienen los estudiantes, para lo cual se puede usar la estrategia de lluvia de ideas, que considera tres acciones básicas: el recojo, el análisis y la sistematización de los conocimientos que traen los estudiantes como punto de inicio. Ello significa que si formulamos una pregunta a fin de informarnos o recoger saberes previos, debe cumplirse con dichas acciones básicas; caso contrario, la pregunta requiere reformularse o refinarse. En el momento en que el estudiante manifiesta sus ideas frente a la pregunta para el recojo de sus saberes, como docentes debemos evitar su valoración (viable o no, pertinente o no) y alguna forma de crítica; solo se anotan sus aportes o ideas.

 Fase 2: Orientación dirigida Los estudiantes exploran el tópico de estudio con materiales que el docente ha secuenciado cuidadosamente. Las actividades le deben revelar gradualmente al estudiante las estructuras características del nivel.  Fase 3: Explicitación Los estudiantes expresan e intercambian sus visiones emergentes sobre las estructuras que han sido observadas, construyendo sobre sus experiencias previas. El rol del docente es mínimo, reduciéndose a asistir a los estudiantes en el uso cuidadoso y apropiado del lenguaje.

 Fase 4: Orientación libre 20

Los estudiantes enfrentan retos más complejos. Desafíos con muchos pasos que pueden ser resueltos de varias formas. Asimismo, encuentran sus propios caminos para resolver retos. Orientándose ellos mismos en el campo de la investigación, muchas relaciones entre los objetos de estudio se hacen explícitas a los estudiantes.  Fase 5: Integración Los estudiantes revisan y resumen lo que han aprendido sobre los objetos y sus relaciones, con el propósito de tener una vista panorámica. El docente puede apoyar esta síntesis exponiendo visiones globales. Es importante que los resúmenes no incluyan algo nuevo. c.

Propiedades del modelo de Van Hiele

 Secuencialidad De acuerdo con la mayor parte de teorías del desarrollo, cada estudiante debe pasar por todos los niveles en orden. Para funcionar exitosamente a un nivel particular, el estudiante debe haber adquirido las estrategias de los niveles precedentes. El progreso de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de instrucción que de la edad. No hay método pedagógico que permita que un estudiante ignore un nivel. Los objetos geométricos trabajados en un nivel siguen siendo objetos de estudio en el siguiente (intrínseco y extrínseco).  Lingüística Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones que conectan los símbolos. Una relación que es “correcta” a un nivel puede ser modificada a otro nivel. 2.3.2. La uve de Gowin La uve de Gowin es un organizador que puede constituirse en un potente instrumento de investigación y aprendizaje si es empleado de manera adecuada en el aula. El estudiante construye de forma activa su propio conocimiento, inmerso en el medio social en el que se desenvuelve, a partir de sus saberes previos. El diagrama V está formado por las siguientes partes:    



En el lado izquierdo, considera la conceptualización, que aborda: el marco teórico, los principios, las leyes y los conceptos claves. El lado derecho considera la metodología, que abarca: afirmaciones de valor y de conocimiento, transformaciones y registros de hechos. La parte inferior contempla el acontecimiento o tema de investigación y/o estudio. La parte central precisa las preguntas centrales de investigación. Los recursos tecnológicos son importantes para visualizar las formas y las propiedades, así como para llevar a cabo diversos procedimientos. En general, para elaborar un diagrama V, se debe realizar un diseño similar al que se muestra, y seguidamente responder a cada uno de los espacios reservados. En la parte central, se plantean las interrogantes de estudio; estas no son simples preguntas, sino que están en estrecha relación con el tema de investigación. Tema de estudio: en el vértice precisamos el acontecimiento que será estudiado.

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Desarrollada la investigación, sobre la base del conocimiento conceptual, se plantean los juicios y conclusiones sobre el acontecimiento o tema estudiado. Ejemplo de la Uve de Gowin

Ministerio de Educación. (2015). Rutas del Aprendizaje, VII ciclo: Área curricular Matemática, p. 103.

2.3.3. Método de George Pólya George Pólya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE. UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que, para entender una teoría, se debía conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento, aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. 2. 3. 4.

Comprender el problema. Concebir un plan. Ejecutar el plan. Examinar la solución obtenida.

2.3.4. Principales estrategias heurísticas a. Ensayo-error

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Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se hacen. En realidad, algunos métodos específicos de solución, como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas, se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta. b. Hacer una lista sistemática En los casos en que se requiere la enumeración de objetos matemáticos, es conveniente realizar un conteo o listado organizado con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones. c. Empezar por el final La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se da mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación final y también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potente técnica para demostrar teoremas. d. Razonar lógicamente El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamiento que se producen en el desarrollo de la resolución de problemas. e. Particularizar Conviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema; de este modo, es posible observar algún camino que guíe hacia la solución de un problema genérico. f. Generalizar En algunos problemas, puede ser muy útil averiguar si lo que se pide se refiere a un caso particular de alguna propiedad general. A esto se le conoce como la paradoja del inventor. g. Buscar patrones En algunos problemas, es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrar pautas o regularidades que después se podrían emplear para llegar a la solución. h. Plantear una ecuación Una de las técnicas de modelación por excelencia, a nivel elemental, lo constituye el planteo de ecuaciones. Lo primordial para poder aplicarla con éxito es el entrenamiento en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. i. Resolver un problema semejante pero más simple Algunas veces, utilizar un método que nos dio resultado con un problema más simple que el propuesto nos conduce a la solución del problema original. Ministerio de Educación (2012). Manual del docente: Resolvamos 1 y 2.

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2.4.

¿Cómo debemos evaluar la competencia?

Estimado participante, como docentes debemos propiciar situaciones de evaluación y realizarlas mediante el enfoque por competencias, el cual comenzó a establecerse oficialmente en el currículo del Perú, a mediados de la década de 1990. En tal sentido, es necesario concebir a la evaluación como un proceso significativo y contextualizado, inherente al proceso educativo, en el cual debemos distinguir la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa. Evaluación diagnóstica: Determina las fortalezas y limitaciones del estudiante. ¿Qué sabe antes de empezar?, ¿cuáles son sus intereses y expectativas?, para articular con las estrategias didácticas y procedimientos dirigidos a alcanzar una determinada meta de aprendizaje, mediante técnicas y el desarrollo de actividades acordes con estos aspectos.

La evaluación formativa: Comprueba los avances del aprendizaje y se da a lo largo de todo el proceso. Su propósito es la reflexión sobre lo que se va aprendiendo, la confrontación entre el aprendizaje esperado y lo que alcanza el estudiante, la búsqueda de mecanismos y estrategias para avanzar hacia lo que se espera que aprenda. La evaluación sumativa: Se aplica, en cambio, para dar fe del aprendizaje finalmente logrado por el estudiante y valorar su nivel de desempeño alcanzado en las competencias. Su propósito es la constatación del aprendizaje obtenido, teniendo como base el diagnóstico y el proceso. La observación y el registro continuo del desempeño de los estudiantes, en el transcurso del proceso, son esenciales para la evaluación; requiere que el docente tenga claro, desde el principio, qué es lo que espera que ellos logren y demuestren, y cuáles son las evidencias que le van a permitir reconocer el desempeño esperado. Tipos de evaluación de aprendizajes

DIAGNÓSTICA: Determina la fortaleza y limitación de los estudiantes. ¿Qué sabe el estudiante antes de empezar?

FORMATIVA: Comprueba los avances del aprendizaje mediante la reflexión. ¿Qué está aprendiendo? (Durante)

(Inicio)

SUMATIVA: Verifica el aprendizaje logrado ¿Qué aprendió al culminar el proceso? (Final)

La evaluación de los aprendizajes es un componente del proceso educativo, a través del cual se observa, recoge y analiza información significativa respecto de las posibilidades, necesidades y logros 24

de los estudiantes. Se clasifica en evaluación diagnóstica de inicio, evaluación formativa y evaluación sumativa. En este enfoque, la evaluación es un proceso de retroalimentación y reflexión en el desarrollo y mejoramiento de las competencias, considerando el diagnóstico, seguimiento y criterios consensuados, orientados a la toma de decisiones referidas a las estrategias docentes, estrategias de aprendizaje, recursos y materiales educativos, y hasta incluso la política institucional. 2.4.1. Técnicas e instrumentos de evaluación Se propone las siguientes técnicas e instrumentos: TÉCNICA

INSTRUMENTO

Observación. Implica percepción clara, registrar lo que sucede, recordar, interpretar, retroalimentar, a fin de detectar sus logros y aspectos a mejorar.

Lista de cotejo. Es un instrumento de la evaluación formativa que se usa para evaluar el proceso de aprendizaje con base en criterios e indicadores. Permite estimar la presencia o ausencia de atributos de un determinado elemento de la competencia. Rúbrica. Es un conjunto de criterios y estándares generalmente relacionados con objetivos de aprendizaje, que se utilizan para evaluar un nivel de desempeño o una tarea. Ficha de observación. Permite obtener información acerca del desempeño del estudiante, sus habilidades y destrezas en el desarrollo de sus actividades.

Portafolio. Es una organización de las evidencias de los estudiantes en un determinado ciclo educativo (Valencia, 1993, citado por Tobón, 2013, p. 341). Sociometría. Estudio de las formas o tipos de interrelación existentes en un grupo de personas mediante métodos estadísticos. Técnica oral. Pueden ser preparadas o espontáneas, utiliza la expresión oral. Técnica escrita. Pueden ser preparadas o espontáneas, utiliza la expresión escrita. Ejercicios prácticos. Son las actividades de carácter manipulativo, pueden ser trabajos y actividades realizadas.

Escalas de valoración. Posibilita estimar cualitativamente los procesos y los productos asociados a los criterios de evaluación y las evidencias de aprendizaje. Tipos: escalas formales de actitudes (por ejemplo, Likert), escalas tipo diferencial semántico, escalas de estimación y escalas de desempeño escolar. Rúbrica.

Registro de calificación. Se caracteriza por ser una evaluación sumativa o certificadora, puede tener escalas de calificación. Ficha de exposición o lista de cotejo. Lista de cotejo. Pruebas objetivas. Son instrumentos de medida, elaborados rigurosamente, que permiten evaluar conocimientos, capacidades, destrezas, rendimiento, aptitudes, actitudes, inteligencia, etc.

Reflexión a) ¿Cómo realizas la evaluación a tus estudiantes? b) ¿Qué instrumentos utilizas para evaluar a tus estudiantes? c) Dentro de la evaluación formativa, ¿los instrumentos que usas te permiten evaluar por competencias?, ¿qué debes seguir implementando?

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2.5.

¿Cuáles son los estándares e indicadores nacionales de evaluación?

Los estándares de aprendizaje nacionales son expectativas de aprendizaje que deben ser alcanzadas por todos los estudiantes para que puedan desenvolverse eficientemente y en igualdad de condiciones en los distintos ámbitos de su vida. Los estándares de aprendizaje nacionales del Perú son los Mapas de progreso del aprendizaje. (IPEBA, 2012). Los mapas de progreso describen la secuencia típica en que progresa el aprendizaje en las competencias, a lo largo de la trayectoria escolar, que se explicita a través de manifestaciones donde se observa el grado de desenvolvimiento de una determinada capacidad del estudiante, uno o más indicadores pueden medir una capacidad. A continuación, se muestran los indicadores de desempeño para los ciclos VI, VII y destacado, según el mapa de progreso de la competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización”. VI ciclo Discrimina información e identifica relaciones no explícitas de situaciones referidas a atributos, localización y transformación de objetos, y los expresa con modelos referidos a formas bidimensionales compuestas, relaciones de paralelismo y perpendicularidad, posiciones y vistas de cuerpos geométricos. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre propiedades de formas bidimensionales y tridimensionales, ángulos, superficies y volúmenes, transformaciones geométricas; elaborando diversas representaciones de una misma idea matemática usando gráficos y símbolos; y las relaciona entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos como calcular y estimar medidas de ángulos y distancias en mapas, superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; rotar, ampliar, reducir formas o teselar un plano, con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas sobre relaciones entre propiedades de formas geométricas trabajadas; e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros. Ejemplo: El profesor de Matemática pide al grupo de Felipe, estudiante de la región Arequipa, que construya un cajón, para embalar cajas de zapatos, con las siguientes características: la base debe estar formada por 5 filas y 4 columnas, la altura del cajón debe ser de 60 cm. Cada caja de zapatos tiene por dimensiones 30 cm de largo por 15 cm de ancho y 12 cm de altura;¿Qué dimensiones tendrá, como mínimo, el cajón? ¿Cuál será su volumen?

El grupo de Felipe tiene que leer detenidamente el problema hasta comprenderlo, solo así podrá saber que le piden encontrar y relacionar. Con las condiciones del problema, podrá hacer un gráfico con los datos. Hallamos el volumen de la caja de zapatos:

12 cm 15 cm

Área de la base del cajón = 120 x 75 = 9000 26

30 cm

Volumen del cajón = 9000 x 60 = 540 000 cm3 Como mínimo, el cajón debe tener un volumen de 540 000 cm3. Las dimensiones mínimas del cajón serán de 120 cm, 75 cm y 60 cm. VII ciclo Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre formas, localización y desplazamiento de objetos, y los expresa con modelos referidos a formas poligonales, cuerpos geométricos compuestos o de revolución, relaciones métricas, de semejanza y congruencia, y razones trigonométricas. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: relaciones entre las propiedades de figuras semejantes y congruentes, superficies compuestas que incluyen formas circulares y no poligonales, volúmenes de cuerpos de revolución, razones trigonométricas. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando mapas, planos, gráficos, recursos. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos como calcular y estimar medidas de ángulos, superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; establecer relaciones de inclusión entre clases para clasificar formas geométricas; con apoyo de diversos recursos. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas sobre posibles generalizaciones estableciendo relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos y propiedades matemáticas. Ejemplo: La figura muestra la vista aérea de la chacra que Marcela recibió de herencia en Tarma, de parte de sus padres. Ella desea cercar esa chacra con malla de alambre, dejando libre la entrada. ¿Cuántos metros lineales de malla serán necesarios para cercar el terreno? ¿Cuál es el área del terreno de Marcela?

10 m

9m

Les pedimos a nuestros estudiantes que lean detenidamente el problema, tantas veces como sea necesario, hasta entenderlo. ¿Qué nos piden encontrar? Tenemos que hallar el perímetro del terreno con los datos que están en la gráfica; también, el área del terreno. Bien, ahora buscamos una estrategia que nos permita encontrar la solución. Podemos colocar letras a los lados de la figura.

27

c 10 m

a

9m

b

Observamos que: per = 9 + a + b + 21 + c + 10 + 18 (para comprar la malla de alambre) , luego , luego , luego Asociando convenientemente: 2p = (a + b + c) + 58

(para comprar la malla de alambre)

2p = (8 + 33 + 24) + 58 = 123 m; tendrá que comprar 123 metros de malla de alambre para hacer el cerco. Para encontrar el área, podemos utilizar la estrategia de dividir en sectores el terreno de Marcela. El área 1 = 10.c = 10.24 = 240 m2, área 2 = 42.3 = 126 m2, área 3 = a.b = 8.33 = 264 m2 Área total: 240 + 126 + 264 = 630 m2 Destacado Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones, restricciones de situaciones referidas a formas, localización y desplazamiento de objetos, y los expresa con modelos referidos a composición y transformación de formas bidimensionales, definición geométrica de la elipse e hipérbola. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre propiedades de formas geométricas compuestas, transformaciones geométricas en el plano. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la más óptima. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, estrategias heurísticas o procedimientos, de usar o combinar propiedades y teoremas de formas geométricas, calcular volumen y superficie de sólidos de revolución compuestos, determinar equivalencias entre composiciones de transformaciones geométricas. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que disponía. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos geométricos; y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros. Rutas del Aprendizaje 2015. VI ciclo: Área curricular Matemática, p. 114.

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2.6.

¿Cuáles son los recursos y materiales que permiten el desarrollo de la competencia?

Un material educativo (geoplano, pentaminós, cubo soma, cubo de Steinhaus, cubo Durero, texto del Minedu, entre otros) es aquello que ha sido elaborado con fines pedagógicos, mientras que un recurso educativo (palitos de chupete, sorbetes para la construcción de idea de poliedros, envases cilíndricos para la idea de cuerpos de revolución: cilindro, entre otros) ha sido elaborado sin fines pedagógicos pero se usa con estos fines. Los materiales y los recursos son medios técnicos de apoyo en todo el proceso de aprendizaje. El desarrollo curricular del área de Matemática en las zonas rurales implica el diseño, adecuación, elaboración y uso de materiales educativos diversificados, de acuerdo con las particularidades de cada uno de los ámbitos donde se lleva a cabo la práctica pedagógica, y considerando los intereses y necesidades de los estudiantes. Es importante el uso de los textos y cuadernos de trabajo que brinda el Ministerio de Educación. De igual manera, es importante aprovechar los materiales que nos proporciona la naturaleza; por ejemplo, la yupana, utilizando materiales como pepas, semillas y/o cualquier grano de la zona. Es fundamental, además, considerar en la programación curricular el uso de material concreto, a través de actividades adecuadas que impliquen la resolución de problemas interesantes. Materiales como la yupana, bloques lógicos, geoplanos, regletas de Cuisenaire, material base 10, ábacos, caja de Mackinder, entre otros, deben utilizarse en inicial, primaria y secundaria. También objetos cotidianos o naturales que nos permiten aprovechar las variedades de la zona. Por otro lado, como docentes debemos considerar los seis desempeños básicos respecto al uso de materiales y recursos educativos (Rutas del Aprendizaje: Fascículo para la gestión de los aprendizajes en las instituciones educativas, 2013, p. 64):      

Conoce el material educativo disponible. Incluye el material educativo en las unidades didácticas, actividades diarias y sesiones de aprendizaje, de forma articulada y pertinente. Organiza los materiales en el aula para el uso de los estudiantes durante la sesión de aprendizaje o actividad diaria. Explica los aprendizajes esperados y cómo utilizar el o los materiales educativos. Acompaña a los estudiantes en el uso del material educativo durante el desarrollo de las actividades, contribuyendo al logro del aprendizaje esperado. Adecúa el uso del material educativo durante la actividad, considerando la realidad de los estudiantes.

Algunas sugerencias de materiales educativos: PENTAMINÓS Es un material muy recomendado para construir o consolidar el conocimiento matemático. Puede servir para la construcción de figuras de igual superficie y observar perímetros, introducir el principio de conservación de cantidad y utilizar diferentes unidades de superficie, etc. Dos de los juegos que se pueden hacer con ellos: Juego de estrategia Tipo Material necesario Número de jugadores Niveles de utilización

PENTAMINÓS Tablero Tablero y pentaminós Uno o dos A partir del primer grado de Educación Secundaria

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Objetivos

Desarrollar el sentido geométrico. Desarrollar las capacidades matemáticas. Estudiar todas las posibilidades de construcción.

Descripción del material del juego

El pentaminó está formado por cinco cuadrados unidos solo por sus lados.

Para el juego 1, un tablero rectangular 6 x 10 y los doce pentaminós diferentes que se pueden fabricar con facilidad, recortándolos en cartulina. Para el juego 2, como tablero un cuadrado (de 6, 7, 8 o 9 cuadrados de lado) y varios ejemplares de cada uno de los pentaminós. Reglas del juego JUEGO 1.- Es un juego solitario. Se trata de llenar el rectángulo 6 x 10 utilizando una sola vez cada uno de los 12 pentaminós diferentes. JUEGO 2.- Es un juego para dos personas. Cada uno de los dos jugadores va poniendo alternativamente un pentaminó en el tablero. Gana el jugador que pueda colocar un pentaminó llenando el tablero. Ministerio de Educación. (2007). Fascículo 5: Materiales educativos y el aprendizaje de la matemática, p. 11.

CUBO SOMA Juego de estrategia Tipo Material necesario Número de jugadores Referencias Niveles de utilización Objetivos

CUBO SOMA Rompecabezas 27 cubos iguales de madera Uno (solitario) Diseñado por Piet Hein A partir del primer grado de Educación Secundaria Desarrollar el sentido espacial. Buscar notaciones de las soluciones.

Descripción del material del juego A partir de 27 cubitos iguales (de madera, por ejemplo), y pegándolos por caras completas, se forman los siete bloques que componen el rompecabezas: seis tetracubos (cuatro cubos unidos entre sí) y un tricubo (tres cubos unidos entre sí), que se muestran en la figura.

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Reglas del juego Entre todos los bloques contienen 27 cubos iguales, el número suficiente para formar un cubo mayor de 3 cubitos de lado. El objetivo del juego es, justamente, lograr formar ese cubo. Solución

Observaciones • Aunque hay muchas soluciones posibles, no es nada sencilla la construcción del cubo soma. No debes conformarte con una sola solución, hay que buscar varias de ellas. • Se puede utilizar como una actividad de introducción a la geometría en el espacio.

Ministerio de Educación (2007). Fascículo 5: Materiales educativos y el aprendizaje de la matemática, p. 12.

2.6.1. Actores locales en el proceso de aprendizaje En toda sociedad, hay personas talentosas (niños, jóvenes, adultos, ancianos) e instituciones que, a partir de su experiencia, pueden intervenir como recursos de aprendizaje y transmitir sus vivencias de manera clara y dinámica, motivando la reflexión y el deseo de superación de los estudiantes.

Estudiantes

Comunidad

Yachachiq

Bordadora

Comunidad cosechando

2.6.2. La diversidad de escenarios para el aprendizaje En el área rural, se tiene la ventaja de contar con una mayor proximidad al medio natural, así como a los acontecimientos más significativos de la comunidad. La plaza del pueblo, la iglesia, el local comunal, el parque del pueblo, las chacras, el río, las pampas, el bosque, las casas de las familias y los demás lugares de la comunidad constituyen parte del espacio educativo, porque, en ellos, los estudiantes adquieren sus experiencias de vida familiar y comunal antes y durante su asistencia a la escuela. Los eventos significativos de la comunidad también son espacios propicios para aprender. Así tenemos las faenas, las fiestas comunales, la construcción de una casa, la limpieza de los canales de regadío, el deshierbe de las chacras, la esquila de los animales, la pesca en el río, la preparación de los adobes, etc. La alta diversidad de las aulas necesita de estrategias efectivas vinculadas especialmente a la organización para el aprendizaje, se necesitan estrategias de organización para una atención simultánea y diferenciada de los estudiantes.

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Reflexión a) ¿Crees que, en tu labor como docente, es importante el uso de los recursos y materiales educativos propios de tu zona? Argumenta. b) Si elaboras un material concreto a base de recursos naturales de la zona, ¿cuándo este material concreto será un material educativo? Justifica. c) ¿De qué manera esta práctica vivencial debe ser difundida y reconocida en otros espacios? d) ¿Es importante que los actores locales intervengan en el proceso de aprendizaje? ¿Por qué? e) ¿Qué valores podrías promover en tus estudiantes, a partir de situaciones problemáticas?

3. Herramientas para la nueva práctica 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo Te proponemos algunas interrogantes para que respondas con propuesta de actividades. a) ¿Qué enfoque pedagógico utilizarás para promover el desarrollo de la competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización”? b) ¿Cómo aprovecharás los calendarios comunales y el aporte de los sabios de la zona donde trabajas para promover el desarrollo de competencias en tus estudiantes? c) Desde tu práctica pedagógica actual, ¿qué estrategias propondrás a tus estudiantes para que resuelvan situaciones problemáticas de contexto rural? d) ¿Qué capacidad o capacidades crees que debes priorizar para el desarrollo de la competencia? Argumenta tu respuesta. e) ¿Cómo será la evaluación por competencias en su nueva práctica y qué instrumentos empleará? 3.2. Actividades a distancia Con base en los temas abordados en esta unidad, se deben desarrollar las siguientes actividades: a) Promover y participar en un GIA con los docentes de área de la institución educativa o de la red (mínimo 3 docentes), y en ella dialogar, debatir y consensuar sobre los temas tratados. Como producto de esta actividad, se deben redactar 5 conclusiones y/o compromisos de dicha reunión. b) Elige un grado y, a partir de ello, diseña una situación problemática de forma movimiento y localización, luego menciona el aprendizaje esperado. c) Adjuntar a su portafolio los productos de las dos actividades. 32

3.3. Actividades de metacognición a) ¿Por qué es importante que reflexionemos sobre nuestra práctica pedagógica? b) ¿Cuándo puedes afirmar que tus estudiantes están matematizando situaciones? c) ¿Cuándo afirmaremos que una pregunta está orientada a recoger saberes previos de los estudiantes? ¿Qué estrategia se puede usar para ello? d) ¿Cómo evaluar por competencias? e) Para la mejora de la práctica pedagógica, ¿las propuestas que puedas brindar tienen el soporte teórico vigente? f) ¿Por qué crees que es importante la geometría de Van Hiele? 3.4. Autoevaluación Es fundamental hacer una reflexión crítica sobre nuestra práctica pedagógica para mejorarla. Indicaciones: Estimado docente, evalúe su participación durante el taller marcando con un aspa según sea el caso. Apellidos y nombres: …………………………………………………………………………………………………………………… N.° 1 2 3 4 5 6

Indicadores

SÍ

NO

Mi participación fue activa y pertinente en las actividades indicadas durante el desarrollo de la sesión. Compartí y escuché a mis colegas las experiencias exitosas en la labor docente. Optimicé el uso del tiempo para el desarrollo de las actividades. Generé confianza y buen clima en las relaciones interpersonales con mis colegas. Propuse acciones respaldadas teóricamente para la mejora de la práctica pedagógica. Conozco el soporte teórico vigente que interviene en mi práctica pedagógica.

4. Glosario La uve de Gowin: Es un organizador visual heurístico que puede constituirse en un potente instrumento de investigación y aprendizaje si es empleado de manera adecuada en el aula. Modelo de Van Hiele: Modelo de razonamiento geométrico y de la enseñanza de la geometría. Razonamiento abductivo: Es un tipo de razonamiento que, a partir de la descripción de un hecho o fenómeno, ofrece o llega a una hipótesis que lo explica. Según Aristóteles, los razonamientos abductivos son silogismos, donde las premisas sólo brindan cierto grado de probabilidad a la conclusión. Razonamiento deductivo. Es aquel tipo de razonamiento que parte del todo, de lo general hacia lo particular, es decir, de una premisa general va deduciendo conclusiones particulares.

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Razonamiento inductivo. Es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general. La base de la inducción es la suposición.

5. Texto complementario La geometría en la Puerta del Sol La llamada Puerta del Sol del Kalasasaya es el monumento más característico del extraordinario conjunto monumental de la civilización tiahuanacota. La ciudad arqueológica de Tiahuanaco, al igual que Teotihuacán o Tikal, contenía un gran centro ceremonial, del que, a pesar de los intentos que se han hecho por reconstruirlo, se conserva muy poco en la actualidad. Con todo, se pueden distinguir varios núcleos importantes, el más famoso de los cuales lo constituyen los restos de Kalasasaya, llamado “palacio de justicia”, que representa un edificio de planta rectangular de 130 x 135 metros, de cuyo perímetro únicamente se conserva en la actualidad una serie de monolitos verticales, los cuales, posiblemente, son restos de un muro antiguo. Es en su interior donde se sitúan dos monumentos de gran interés en la escultura tiahuanacota: la Puerta del Sol y el conocido con el nombre de El Fraile, que representa una figura humana de caracteres hieráticos. La Puerta del Sol fue colocada en el lugar que ocupa hoy, el ángulo noroeste, en época muy reciente, hacia 1903 o 1904, y seguramente cambió de lugar otras veces. Es probable que se tratara de la entrada de un gran templo, desaparecido ya hace muchos años. Se trata de una pieza tallada en un solo bloque de lava andesítica, de 3 metros de altura por 4 metros de anchura, en la que se ha excavado una puerta sobre la cual hay esculpido un relieve llano, cuyo dibujo recuerda a los tapices de esta misma época. En el centro, se encuentra una figura humana de frente, con gran cabeza cuadrada, rodeada de rayos y con amplio y complicado pectoral, en cuyas manos se observa algo que asemeja a dos cetros decorados con cabeza de ave. Los bordes de su ropaje están adornados con cabezas humanas reducidas. La figura central de la portada está ornamentada como corresponde a una deidad suprema. Lleva en las manos emblemas de poder; en la boca, colmillos prominentes. Se ha querido ver en esta imagen al dios Sol, porque su rostro, de mirada fija, despide rayos en todas las direcciones, terminados en una cabeza de animal. A ambos lados de esta figura hay cuatro filas, dos de las cuales representan seres humanos alados con grandes ojos, con una rodilla doblada y coronas dentadas en sus cabezas; y las otras dos, figuras de aves con piernas humanas y cabezas de águila, avanzando hacia la divinidad central, como para rendirle homenaje. Posteriormente, algunos elementos de la iconografía de la Puerta del Sol aparecerán en la decoración cerámica y en los tejidos del periodo expansivo de Tiahuanaco, en todo el Perú y parte de Bolivia; pero adoptando distintas formas y variantes locales. Estos relieves han sido motivo de muy diversas interpretaciones por parte de los investigadores. Se han dado innumerables hipótesis, de las cuales la más probable es que simbolicen fenómenos cósmicos, una representación de tipo calendárico o cronológico, al estilo de los mayas. No obstante su significado, la Puerta del Sol, con su extraña iconografía de ritmo geométrico y con el convencionalismo de sus cuarenta y ocho figuras alineadas en posición de acatamiento al Ser Supremo, es el símbolo de Tiahuanaco. http://www.historiadelarte.us/andes/la-puerta-del-sol/

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6. Referencias Brousseau, G. (1999). Educación y didáctica de las Matemáticas. México: Educación Matemática. Huapaya, E. (2008). Revista Latinoamericana de Etnomatemática: “Uso de las ideas matemáticas y científicas de los incas, en la enseñanza-aprendizaje de la geometría”, consultado el 11 de febrero de 2011. http://www.etnomatematica.org/v1-n1-febrero2008/huapaya.pdf IPEBA. (2012). Mapa de progreso del aprendizaje. Lima: Ministerio de Educación. Ministerio de Educación. (2007). Fascículo 5: Materiales educativos y el aprendizaje de la Matemática. Lima: El Comercio S. A. Ministerio de Educación. (2013). Rutas del Aprendizaje, VI ciclo: ¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes? Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2013). Hacia una educación intercultural bilingüe. Lima:Autor Ministerio de Educación. (2013). Matemáticas en Educación Intercultural Bilinguie: Orientaciones pedagógicas. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015). Rutas del Aprendizaje VI ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015). Rutas del Aprendizaje VII ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2014). Orientaciones generales para la planificacion. Lima: Autor. Pólya, G. (1974). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.

35

UNIDAD II Áreas y perímetros PRESENTACIÓN Esta unidad tiene el propósito de generar procesos de reflexión sobre nuestra práctica pedagógica, lo cual se origina mediante preguntas que permitirán identificar el enfoque en el que se desarrolla dicha práctica pedagógica. Por otro lado, se promueve la reflexión teórica, a través de conceptos de la geometría, referidos a áreas y perímetros, y por medio de información referente a la resolución de problemas geométricos contextualizados de su entorno, aplicando el método de George Pólya. Finalmente, después de las reflexiones, se pretende que propongas nuevas formas de intervención para la nueva práctica pedagógica, lo que en la unidad se denomina herramientas para la nueva práctica.

ESQUEMA DE CONTENIDOS Reflexión desde la práctica Reflexión teórica La geometría

ÁREAS Y PERÍMETROS

Perímetro de un polígono Círculo Área-breve historia Semejanza de triángulos

Orientaciones didácticas Evaluación de los aprendizajes

Herramientas para la nueva práctica Actividades de reflexión individual/equipo, de distancia y de metacognición y autoevaluación Glosario, texto complementario, referencias

36

1.

Reflexión desde la práctica Estimado docente a continuación presentamos la siguiente situación:

Tenemos la idea del punto, cuando colocamos la punta de un lápiz sobre un papel. Buenos días, alumnos, hoy vamos a estudiar perímetros y áreas, pero previamente debemos conocer lo que es el punto, la recta y el plano.

Bien, en su casa van a trabajar los ejercicios de la página 45, del uno al veinte.

Profesor, espere, no dicte todavía, porque estoy por sacar mi cuaderno.

Qué aburrido, profe.

¿Qué hago para que entiendan?, ¿tendré que cambiar de estrategia?

¡Cállate, no hagas bulla!

¡No entendí nada!

a) A partir de la lectura de la situación y tu experiencia, responde las siguientes preguntas:¿Quién es el actor principal de esta situación? ¿Qué enfoque se está aplicando? Explica. b) ¿La sesión que lleva a cabo el profesor parte de un contexto real? ¿Por qué? c) ¿Es pertinente la sesión para lograr aprendizajes significativos sobre áreas y perímetros? Explica. d) e) Con respecto a la reflexión que hace el docente, ¿cuáles serían tus sugerencias para que mejore su práctica pedagógica?

37

2.

Reflexión teórica

2.1. Fundamente teórico

2.1.1. ¿Qué es la geometría? La geometría, como palabra, tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; es decir, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, donde se necesitaba para medir predios agrarios y construir pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica. Euclides, usando un razonamiento deductivo, parte de conceptos básicos primarios no demostrables, tales como el punto, la recta, el plano y el espacio, para plantear sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas que, a su vez, servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes, por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana, se basa en lo que históricamente se conoce como el quinto postulado de Euclides: "Por un punto situado fuera de una recta, se puede trazar una y solo una paralela a ella".

“El universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”. Galileo Galilei

Como se mencionó, los conceptos básicos primarios (punto, recta, plano y espacio) no se definen, sino que se captan a través de los sentidos. Pueden darse modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo, un punto puede estar representado por una estrella en el firmamento o por la huella que sobre un papel deja la presión de la punta de un alfiler; una recta está sugerida por un hilo a plomo; un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos. La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio, figuras que no están contenidas en un mismo plano. ¿Cuáles son sus conceptos fundamentales? La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea, el conjunto formado por todos los puntos: El punto: Es un elemento geométrico adimensional, descrito como una posición en el espacio, determinado en función de un sistema de coordenadas preestablecido. La recta o línea recta: Es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos).

38

A .

C .

. B

a c

b

El plano: En geometría, es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con la recta y el punto. Solamente puede definido o descrito, en relación con otros elementos.

α

β

ser

𝜱

Relaciones fundamentales Los tres conceptos anteriores están conectados a través de las relaciones de pertenencia e inclusión: Los puntos pertenecen a las rectas y los planos. Las rectas están incluidas en los planos.

A

.

B

.

B r

r

α

α Aєα

Bєr

𝑟⊂𝛼 αα¹¹¹¹¹¾€

El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. Es la distancia alrededor de una figura de dos dimensiones, o la medición de la distancia en torno a algo; la longitud de la frontera. El perímetro se puede utilizar para calcular la longitud de la valla requerida para rodear un patio o jardín.

El perímetro y el área son importantes en la determinación de un polígono o una figura geométrica. Para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla, se utiliza el perímetro. Cuando necesitamos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, como, por ejemplo, césped, se utiliza el área.

2.1.1. Perímetro de un polígono El perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de todos sus lados. Así pues, la fórmula para los triángulos es P = a + b + c; donde a, b y c son las longitudes de cada lado. Para los cuadriláteros, la ecuación es P = a + b + c + d. Más en general, para un polígono de “n” lados: ∑

Donde “n” es el número de lados y “ai” es la longitud del lado “i”. 39

Es, entonces, el perímetro para un polígono equilátero o regular, siendo sus lados iguales:

2.1.2. Círculo El círculo es la porción de plano que comprende la circunferencia y su interior. El perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia, consecuentemente se cumple:

Donde:

(

)

Para obtener el perímetro de un círculo, se multiplica el duplo del radio (diámetro) por el número π. Semicírculo Un semicírculo es delimitado por un diámetro y la mitad de una circunferencia; por eso, su perímetro es:

(

)

(

)

(

)

o

Donde: P: perímetro del semicírculo r: longitud del radio (

)

d: longitud del diámetro

2.1.3. Área de un polígono La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual del río Nilo inundando los campos, surgió la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites. Para resolver tal dificultad, los egipcios inventaron la geometría, según Herodoto.

40

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos es un método que fue propuesto por primera vez, hacia el año 430 a. C., por el sabio griego Antifón. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El área es una medida de una región plana, expresada en unidades de medida denominadas unidades de cuadradas. El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define se especifique con una unidad de medida.

2.1.4. Semejanza de triángulos no va en la malla

Semejanza es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos, pero cuyas formas son idénticas. En otras palabras, se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma, pero tamaños diferentes. Por ejemplo, un balón pequeño y otro grande, pues la forma de ambos no cambia, pero sí el tamaño, y eso es semejanza. Teorema: Si dos regiones triangulares son semejantes, se cumple que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus lados homólogos.

k: razón de semejanza o constante de proporcionalidad (razón lineal) En mérito a este teorema, la relación de áreas se generaliza y se cumple que, en dos regiones cualesquiera, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus lados homólogos. Reflexión a. ¿Crees que es importante que tus estudiantes conozcan las ideas de punto, recta y plano como base del desarrollo de la geometría? b. Dado el siguiente texto: “La palabra medida se refiere a un número (no se incluyen unidades). Por ejemplo, si Luis tiene un terreno de 458 m2, se dice que la medida del área de dicho terreno, en metros cuadrados, es 458. Cuando se aplica la palabra dimensión, se incluyen las unidades; de este modo, la dimensión del área del terreno de Luis es 458 m2”. ¿Qué opinión tienes al respecto? Justifica tu opinión con un respaldo teórico vigente.

41

2.2. ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo

de los aprendizajes? Consideramos que es imprescindible realizar las actividades con situaciones de la vida real, situaciones de contexto, a fin de que el estudiante pierda temor, interactúe con naturalidad, utilice materiales concretos para realizar actividades matemáticas y que estas sean de su interés y respondan a su realidad. El éxito del enfoque centrado en la resolución de problemas se da a partir de las orientaciones que hace el docente para que los estudiantes puedan plantear y resolver sus propios problemas de su entorno inmediato. En esta unidad, dentro de la sesión de aprendizaje, se considerará la estrategia de George Pólya para resolver problemas de contexto. A continuación, se realiza la explicación del desarrollo de la competencia a partir de situaciones problemáticas, utilizando orientaciones metodológicas, materiales, medios y verificación del logro de los aprendizajes.

2.2.1. Proponemos maximizar el área de un terreno para sembrío de flores Competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.

Capacidades  Matematiza situaciones.  Elabora y usa estrategias.

Indicadores  Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema.  Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas.

INICIO Situación problemática 1 Porfirio es un campesino de Ataura, Jauja, región Junín, dedicado al sembrío de flores para su venta y pasto para el consumo de sus cuyes. Tiene un terreno de forma rectangular, cuyas dimensiones son: 6 metros por 10 metros. El pasto debe ser plantado en cuatro triángulos rectángulos, cuyos ángulos rectos son los del rectángulo. Los triángulos rectángulos NDK y MBL son también triángulos isósceles congruentes (Fig. 1). Las flores deben ser plantadas en el paralelogramo restante. Sabiendo que los resultados son números enteros:   

¿Cuál será la mayor área destinada a las flores? ¿Qué área ocupará el pasto? ¿Qué área es mayor, la de las flores o la del pasto?

En este momento de inicio, el docente debe dar la bienvenida a los estudiantes y mencionar el propósito de la actividad: resolver problemas sobre áreas, haciendo uso de la estrategia de George Pólya. Asimismo, debe comunicar los criterios a evaluar (ficha de observación) y luego presentar la situación problemática. El docente debe promover la formación de equipos de trabajo, mediante una técnica (elección de líderes, por afinidad, entre otras) acorde con la realidad de los estudiantes, y, de manera inmediata, alcanzar a cada equipo la situación problemática. 42

La motivación y el recojo de saberes previos deben estar relacionados con los aprendizajes esperados. Para el recojo de saberes, se puede usar la estrategia de lluvia de ideas, que considera el registrar, analizar y sintetizar las intervenciones de los estudiantes, evitando cualquier tipo de burla y la valoración de la pertinencia o no de las ideas, las cuales, en este momento, solo se registran. En consecuencia, para formular preguntas durante el recojo de saberes, debe considerarse el registro, análisis y síntesis de sus ideas-respuestas. La situación problemática debe generar el conflicto cognitivo al estudiante. DESARROLLO En este proceso, el docente gestiona estrategias, recursos y tiempo, y acompaña en el desarrollo de la competencia a cada equipo de trabajo, brindando la orientación correspondiente. La actividad de acompañamiento debe considerar tres acciones básicas: la observación, el recojo de dudas/aciertos y la orientación; todo ello mediante preguntas guía u orientadoras, de modo que se puede afirmar que el docente está acompañando a sus estudiantes en el desarrollo de la competencia. Resolveremos la situación problemática presentada, empleando la estrategia heurística de George Pólya con sus cuatro pasos: Paso 1: Comprender el problema ¿Qué tenemos que hacer para comprender un problema? Primero tienes que leer el problema detenidamente, una o más veces hasta entenderlo, y luego encontrar los datos y condiciones que contiene. La redacción del problema debe ser clara. Es conveniente preguntar cuando vemos que se tardan. Si hay alguna palabra o palabras cuyo significado no entienden, debemos aclararlos para que nuestros estudiantes encuentren los datos. Para facilitar la comprensión del problema, las siguientes preguntas nos ayudan a conocer los datos: ¿Cuál es la pregunta? ¿Cuáles son sus datos? ¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible satisfacer esas condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para determinar lo desconocido? ¿Hay contradicciones? Haz una figura. Introduce notación adecuada. Separa las partes que puedan tener las condiciones o los datos. ¿Puedes escribirlas? Después de leer nuestra situación problemática, encontramos los datos: Largo del terreno: 10 metros Ancho del terreno: 6 metros El pasto debe ser sembrado en 4 triángulos rectángulos. Los triángulos rectángulos en NDK y LBM son isósceles congruentes. Paso 2: Concebir un plan

a

¿Qué tenemos que hacer para concebir un plan?

a

Tenemos que buscar qué estrategia va a ser la más pertinente para encontrar la solución; en este caso, podemos elaborar un gráfico que nos permita relacionar los datos con las condiciones de la situación problemática.

A2

A3

6m

A5 6-a

A1

A4 10-a 10 m

43

a

a

Para facilitar la concepción del plan, podemos emplear las siguientes interrogantes que nos ayudan a su elaboración. • ¿Puedes enunciar el problema de otro modo? ¿Puedes enunciarlo aún en otra forma? • Si no puedes resolver el problema, trata primero de resolver otro relacionado con él. ¿Puedes imaginarte un problema parecido más accesible, más fácil? ¿Uno más general? ¿Uno más específico? ¿Uno parecido? ¿Puede resolver una parte del problema? (Estrategia de resolver un problema sencillo pero semejante). • Mantén solo una parte de las condiciones; abandona el resto. ¿Hasta qué punto queda determinada la incógnita? ¿Cómo varía la incógnita? ¿Puedes deducir algo útil de los datos? ¿Puedes pensar en otros datos para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos, de modo que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cerca? • ¿Usaste todos los datos? ¿Usaste todas las condiciones? ¿Has tomado en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema? En nuestro caso, podemos primero encontrar el área del rectángulo; luego, el área de los 4 triángulos, para poder hallar el área del paralelogramo, empleando la estrategia heuristica del ensayo-error. Paso 3: Ejecutar el plan ¿Qué tenemos que hacer para ejecutar el plan? Tenemos que ejecutar lo planificado, resolver lo planteado. De la gráfica elaborada, en nuestro caso, el área del rectángulo:

porque:

; entonces: (

)(

)

; entonces:

(

)( ( [

(

)(

)

) )(

) ]

Ahora aplicamos una tabla de doble entrada para encontrar la solución (Estrategia heuristica ensayoerror): Metros (a)

44

1 2 3 4 5 6

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

¿Cómo interpretamos nuestra tabla? De acuerdo a nuestra gráfica, el valor de “a” es 4, a fin de que el área destinada para las flores ( ) ( ) (paralelogramo) sea el máximo. El área para sembrar pasto será la suma de las áreas

(

; entonces (

)

)(

)

(también 60(

)(

).

)

Finalmente, 16 + 12 = será el área para sembrar pasto, que es el de menor área en relación con el área destinada para la plantación de las flores. Paso 4: Examinar la solución obtenida ¿Cómo examinamos la solución obtenida? Podemos hacer una visión retrospectiva de todo el proceso, verificando si la respuesta cumple con las condiciones dadas en la situación problemática. Para facilitar la visión retrospectiva, podemos emplear las siguientes preguntas: 

¿Puedes comprobar la respuesta? ¿Puedes comprobar los argumentos?

• ¿Puedes obtener el resultado por un camino diferente? ¿Puedes "ver" la respuesta de una sola mirada? ¿Puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? En nuestro caso, al reemplazar el valor de “a” y reemplazar los valores en la ecuación, observamos que cumplen las condiciones del problema. Metros ( a ) ( ( ( ( ( (

1 2 3 4 5 6

) ) ) ) ) )

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

El conjunto de preguntas orientadoras (no se brindan respuestas afirmativas o negativas) permite realizar el acompañamiento al estudiante. 45

CIERRE El docente debe lograr que los estudiantes reflexionen sobre todo el proceso de solución de la situación problemática, a través de preguntas con la posibilidad de tomar acciones cuando sea necesario. ¿En qué medida te ayudaron los pasos del método de Pólya a resolver la situación problemática? ¿En qué otras situaciones utilizarás la estrategia heurística del ensayo-error? ¿Qué acciones de mejora propones a fin optimizar el tiempo durante el trabajo en equipo? Te proponemos este instrumento de evaluación para recoger la información de tus estudiantes, que no necesariamente se puede usar al final, sino durante el desarrollo de la sesión.

Lista de cotejo N.° NOMBRES

Comprende el problema.

Concibe un plan.

Ejecuta el plan.

Evalúa el plan.

1 2 3 4

A: Logrado

B: En Proceso

C: En Inicio

Evidencia el nivel esperado del indicador propuesto

Está próximo a llegar al nivel esperado del indicador propuesto

No se evidencia el indicador propuesto

2.2.2. Elaboramos un plan para maximizar el área de un terreno Competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.

 

Capacidades Matematiza situaciones. Razona y argumenta generando ideas matemáticas.





Indicadores Organiza medidas, características y propiedades geométricas de figuras y superficies, y las expresa en un modelo referido a figuras poligonales. Plantea conjeturas para determinar perímetro y área de figuras poligonales.

INICIO 46

Situación problemática 2 Daniel Peña tiene una chacra en el barrio Dos de Mayo del distrito de Molinos, provincia de Jauja, él se dedica al cultivo de la papa y a la crianza de animales. Daniel entrega a su hijo Jorge, como adelanto de su herencia, una parte de su terreno para la crianza de gallinas. Para ello, le entrega una malla de 120 metros de longitud, señalándole dónde debía realizar la construcción del gallinero en forma rectangular, y le dice que tome toda el área que forme con la malla.

http://www.radionacional.co/noticia/ni-os-m-ssaludables-con-papas-criollas-producidas-en-nari-o

http://www.tiendanimal.es/pienso-ecologico-para-gallinas-p8760.html

Jorge quiere abarcar la mayor área posible para construir su gallinero y emplea, como uno de sus lados, el cerco de piedras que divide el terreno de sus padres con otra chacra. a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones del gallinero para que quede con la mayor área posible? b) ¿Cuál será el área del terreno? En este momento de inicio, el docente debe dar la bienvenida a los estudiantes y comunicar el propósito de esta actividad: maximizar el área del terreno de Jorge mediante el método de de Pólya y la estrategia heurística ensayo-error. Asimismo, debe mencionar los criterios a evaluar: el trabajo en equipo y su exposición mediante una lista de cotejo. Además, debe promover en sus estudiantes el respeto a sus acuerdos de convivencia y luego de presentar la situación problemática. El docente promueve la formación de equipos de trabajo (si se conformaron con anterioridad, solo se reagruparían, a fin de usar óptimamente el tiempo) para que los estudiantes participen de manera colaborativa, luego se reparte la situación problemática. A fin de realizar el recojo de saberes previos relacionados con los aprendizajes esperados, se puede formular la siguiente pregunta: ¿Cuál es la diferencia entre área y perímetro de un terreno? Las ideas que se manifiesten en las respuestas de los estudiantes, deben ser registradas, analizadas y sistematizadas. DESARROLLO Ante esta situación, los estudiantes buscan resolver el problema utilizando estrategias heurísticas. El docente, previamente, debió brindar al estudiante dichas estrategias. El docente debe estar acompañando a los grupos de trabajo. Esta situación presentada la vamos a resolver empleando el método de George Pólya, según el enfoque centrado en la resolución de problemas. Paso 1: Comprender el problema ¿Qué debemos hacer para comprender un problema? 47

Después de leer con detenimiento, debemos entender qué nos están preguntando, qué nos piden encontrar, ¿cuáles son los datos del problema?, ¿cuáles son las condiciones? En este caso, tenemos lo siguiente: Datos Malla = 120 m El gallinero tiene forma rectangular. Un lado del gallinero será parte del cerco de piedras. Ancho = ¿?

Largo = ¿?

Paso 2: Concebir un plan ¿Qué hacemos para concebir el plan? Podemos emplear la estrategia heurística del ensayo-error, donde para encontrar la solución elaboramos, previamente, un gráfico con los respectivos datos para representar la situación problemática, y los expresamos algebraicamente para aplicar la estrategia. Consideraremos el área del rectángulo.

𝑥 Vista frontal

x Vista aeréa 120 – 2x

Paso 3: Ejecutar el plan ¿Cómo ejecutamos el plan? Implementamos la estrategia elegida (ensayo-error) hasta llegar a la solución del problema. Ancho = a = x Largo = l = 120 – 2x (al total de la malla, 120 m, le restamos lo que se empleará en los dos costados del gallinero). Para tener el máximo valor, el área del gallinero será: Área del rectángulo = l x a = (120 - 2x). x = 120x – 2x2 Utilizamos una tabla de doble entrada para aplicar la estrategia ensayo-error, donde vamos a dar valores arbitrarios al ancho del terreno para obtener la mayor área posible. 48

ÁREA 120x – 2x2 120 (27) - 2(27)2 = 1782 120 (28) - 2(28)2 = 1792 120 (29) - 2(29)2 = 1798 120 (30) - 2(30)2 = 1800 120 (31) - 2(31)2 = 1798 120 (32) - 2(32)2 = 1792

ANCHO 27 m 28 29 30 31 32

¿Qué podemos observar en la tabla? Podemos observar que cuando el ancho del terreno aumenta hasta los 30 metros, el área también se incrementa hasta un máximo de 1800 m2; pero si sigue aumentando, el área comienza a disminuir. Entonces, las dimensiones del gallinero deben ser de: Ancho = 30 metros Largo = 120 – 2(30) = 60 metros Respuestas Las dimensiones del gallinero deben ser de 30 metros de ancho y 60 metros de largo, para que Jorge obtenga la mayor área de 1800 m2. 2.a forma A = (120 - 2x)x A = 120x - 2x2 Para obtener el máximo valor de la expresión, debemos expresar a la forma A = n(x-k)2 + r .

A = -2(x2 - 2 30x + 302 - 302) A = -2[(x - 30)2 - 900] A = 1800 - 2(x - 30)2 ⏟(

)

Si se desea el máximo valor, se debe restar lo mínimo a 180; luego, la expresión cuadrática = 0. Es decir: x – 30 = 0; x = 30 (ancho) Finalmente: Ancho = 30 metros Largo = 120 – 2(30) = 60 metros Respuestas

49

Las dimensiones del gallinero deben ser de 30 metros de ancho y 60 metros de largo, para que Jorge obtenga la mayor área de 1800 m2. Paso 4: Examinar la solución obtenida ¿Cómo examinan la solución obtenida? Los estudiantes verifican todo el proceso de la resolución del problema, es decir, su razonamiento, cómo llegaron a la solución, si esta cumple con las condiciones planteadas y si pueden obtenerla de forma diferente. ANCHO 29 30 31

ÁREA 120x – 2x2 120 (29) - 2(29)2 = 1798 m2 120 (30) - 2(30)2 = 1800 m2 120 (31) - 2(31)2 = 1798 m2

Verificamos que cuando el ancho es 30 metros, el área del corral será la máxima, favoreciendo a Jorge. CIERRE Al término de la exposición de los grupos de trabajo, el docente debe consolidar la sesión y lograr que los estudiantes reflexionen sobre todo el proceso de aprendizaje. Se realiza la metacognición mediante las preguntas: ¿En qué medida te ayudó el método de Pólya para resolver la situación problemática planteada? ¿En qué otras situaciones podrías aplicar la estrategia heurística del ensayo-error? Explícalo. ¿Qué aportes tuyos fueron considerados en la socialización del producto? El proceso de la sesión debe ser registrada en una ficha de observación, te proponemos la siguiente:

Ficha de observación

N.° NOMBRES

Comprende el problema. 1 2 3 4 5

Concibe un plan. 1

2

3

4

5

Ejecuta el plan. 1

2

3

4

5

Evalúa el plan. 1

2

3

4

5

Total

1 2 3 4 5 6

1: No hay evidencias. 2: Tiene nociones. 3: Usa conceptos básicos. 4: Refiere fundamento teórico. 5: Evidencia creatividad o dos formas de solución. 50

2.2.3. Repartimos herencias haciendo uso del método de Pólya Competencia Capacidades Actúa y piensa  Matematiza matemáticamente situaciones. en situaciones de  Elabora y usa forma, movimiento y estrategias. localización.

Indicadores  Emplea el modelo más pertinente relacionado a figuras poligonales y sus propiedades al plantear y resolver problemas.  Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, para resolver problemas de perímetro y área del triángulo, rectángulo, cuadrado, rombo y trapecio.

INICIO Situación problemática 3 En el pueblo de Viscap, distrito de Ataura, provincia de Jauja, Gregorio, un campesino dedicado a la siembra de maíz, hace la repartición de uno de sus terrenos sin riego, que tiene una hectárea cuadrada, entre sus tres hijos Pedro, Raúl y Silvano. El terreno ha sido dividido según el gráfico.

http://www.panoramio.com/photo/67346361

Pedro, por ser el mayor, recibe la mitad del terreno; Raúl, por ser el segundo hijo, recibe las tres cuartas partes de lo que queda; y Silvano, por ser el menor, recibe el resto del terreno. ¿Qué área le corresponde a cada hermano? ¿Qué figuras se han formado en cada terreno? ¿Qué perímetro tienen los terrenos de cada uno de los hermanos? Al empezar, debes dar la bienvenida a los estudiantes y mencionarles el propósito de esta actividad: repartir el terreno de tres hermanos haciendo uso de método Pólya. Tus estudiantes deben saber que uno de los criterios a evaluar es el trabajo en equipo mediante una ficha de coevaluación. Luego se reparte la situación problemática. El docente debe realizar la motivación y el recojo de saberes previos relacionados con la situación problemática que moviliza los aprendizajes esperados. Además, debe promover en sus estudiantes el trabajo en equipo. DESARROLLO En esta actividad, el docente propone una ficha de trabajo con la situación significativa, para que desarrollen capacidades en equipos de trabajo, aplicando las estrategias adecuadas. 51

Para resolver esta situación problemática, vamos a seguir los siguientes pasos: Paso 1: Comprender el problema ¿Qué debemos hacer para comprender un problema? Después de leer con detenimiento, debemos entender qué nos están preguntando, qué nos piden encontrar, ¿cuáles son los datos del problema?, ¿cuáles son las condiciones? En este caso, podemos encontrar los siguientes datos: El terreno a repartir es de una hectárea cuadrada y tiene la forma de un cuadrado. Pedro recibe la mitad del terreno. Raúl recibe las tres cuartas partes de lo que queda. Silvano recibe el resto del terreno. Paso 2: Concebir un plan Elaboramos un gráfico para representar la situación problemática y colocamos los datos en él. ¿Qué observamos en el gráfico? Observamos que se han formado tres figuras geométricas conocidas (un rectángulo, un trapecio y un triángulo); entonces, podemos encontrar el perímetro y el área de los terrenos si empleamos las respectivas fórmulas.

100 m 50 m

50 m

50 m

Paso 3: Ejecutar el plan

Implementamos la estrategia elegida hasta llegar a la solución del problema. De acuerdo a la gráfica: Al hermano mayor, Pedro, le toca la mitad; entonces: El perímetro del terreno es:

Y su área será:

= 100 x 50 = 5000 m2

Al segundo hermano, Raúl, le toca las tres cuartas partes de lo que queda; entonces: 52

Su perímetro será: √ ( Y su área será: A

=

(

)

(

√

)

)

Al tercer hermano, Silvano, le toca el resto; entonces: Su perímetro será: √ Tendrá un área de: A

√

=

Para la última pregunta, es pertinente que los estudiantes brinden sus apreciaciones en torno a sus vivencias y a las costumbres de su comunidad. Paso 4: Examinar la solución obtenida o visión retrospectiva Es importante que los estudiantes verifiquen todo el proceso de la resolución del problema, es decir, su razonamiento, cómo llegaron a la solución, si esta cumple con las condiciones planteadas y si pueden obtenerla de forma diferente.

CIERRE Tenemos que hacer preguntas a los estudiantes para verificar si aprendieron; caso contrario, debemos reforzar sobre algunos aspectos puntuales para consolidar el aprendizaje. Se realiza la metacognición mediante las siguientes preguntas:   

¿En qué medida te ayudó el método de Pólya para resolver la situación problemática? ¿Cómo ha sido tu participación en el trabajo en equipo? Explícala. ¿Qué acciones de mejora propondrías para optimizar el uso del tiempo?

Evaluación de los aprendizajes Para evaluar los aprendizajes, te proponemos una ficha de coevaluación. Para ello, es preciso comunicar a tus estudiantes en qué parte del proceso de su aprendizaje se va a utilizar dicho instrumento: Ficha de coevaluación Estimado estudiante, teniendo en cuenta el desempeño de los integrantes de tu equipo, es momento que marques con un aspa en la casilla que corresponde, considerando la escala de valoración. 53

N.° NOMBRES

Comprende el problema. 1 2 3 4 5

Concibe un plan. 1

2

3

4

5

Ejecuta el plan. 1

2

3

4

5

Evalúa el plan. 1

2

3

4

5

Total

1 2 3 4

Escala de valoración: 1: No hay evidencias. 2: Tiene nociones. 3: Usa conceptos básicos. 4: Refiere fundamento teórico. 5: Evidencia creatividad o dos o más formas de solución. Observación: Para la evaluación de los aprendizajes esperados, puede usarse también la ficha de observación, sobre la base de una escala de valoración, considerando como sugerencia: 0-10: Tiene nociones. 11-13: Usa conceptos básicos. 14-17: refiere fundamento teórico. 18-20: Evidencia creatividad o dos formas de solución.

3.

Herramientas para la nueva práctica

3.1. Actividades de reflexión individual/equipo Analizando las situaciones presentadasy realizando un análisis crítico-reflexivo sobre tu práctica pedagógica en el marco del enfoque centrado en la resolución de problemas para al aprendizaje de la matemática, es necesaria la reflexión individual para proponer actividades que fomenten una nueva práctica docente, donde se articulen la escuela y la comunidad con un enfoque intercultural, que comprenda el aporte de los sabios locales y la etnomatemática, utilizando pedagógicamente la cultura viva de cada región de nuestro grandioso Perú. En tal sentido, sugerimos algunas interrogantes que motiven propuestas de actividades innovadoras para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje. a. ¿Qué materiales o recursos disponibles de la zona donde llevas a cabo tu práctica pedagógica utilizas para tratar áreay perímetro? b. ¿Qué estrategias propones a tus estudiantes para resolver situaciones problemáticas que involucren áreas y perímetros? c. ¿Crees que es importante aplicar la estrategia de George Pólya? ¿Por qué? d. ¿Cómo aprovecharías el aporte de los sabios de la comunidad y los escenarios de aprendizaje en tus sesiones de clase? e. ¿Cuál es tu compromiso para innovar tu práctica pedagógica?

3.2 Actividades a distancia A continuación, se presentan actividades para poner en práctica aspectos desarrollados en esta unidad, las cuales serán ejecutadas en el componente a distancia. a. Crea una situación problemática de acuerdo a tu contexto intercultural, referida a áreas y perímetros. b. Selecciona una competencia, capacidades, indicadores, estrategias, recursos y materiales, a partir de la situación problemática creada. c. Elabora un diseño de sesión de aprendizaje, tomando en cuenta la actividad anterior. d. Incorpora en la sesión escenarios de aprendizaje y/o actores de la comunidad. e. Ejecuta la sesión elaborada y recoge las evidencias correspondientes, para que luego sean adjuntadas en el portafolio (fotos, videos, audios, trabajos de los estudiantes, etc.). 54

f.

Archiva el diseño de la sesión en su portafolio.

3.3. Actividades de metacognición Estimado docente, es necesaria una reflexión crítica sobre tu práctica pedagógica para poder mejorarla y brindar un mejor servicio a nuestros estudiantes. Con este fin, responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué beneficios a mi quehacer pedagógico generará el desarrollo de la geometría plana tratada en esta unidad? b) ¿Cuáles son los aportes desde la perspectiva de George Pólya que redundará en beneficio de mi quehacer pedagógico? c) ¿Cuáles son las herramientas pertinentes que se han implementado en el desarrollo de la presente unidad y que facilitaron la comprensión de los objetos matemáticos abordados? 3.4 Autoevaluación Indicaciones. Estimado docente, evalúa tu participación durante el taller. N.o 1 2 3 4 5 6

Indicadores

Si

No

Mi participación fue activa y pertinente en las actividades indicadas durante el desarrollo del taller. Compartí y escuché a mis colegas acerca de las experiencias exitosas en la labor docente. Optimicé el uso del tiempo para el desarrollo de las actividades. Generé confianza y buen clima en las relaciones interpersonales con mis colegas. Propuse acciones con respaldo teórico para la mejora de la práctica pedagógica. Conocí o afiancé el soporte teórico vigente que interviene en mi práctica pedagógica.

4. Glosario Estrategia: En el ámbito de la docencia, también es habitual que se hable de la estrategia educativa para definir a todas las actividades y actuaciones que se organizan con el claro objetivo de poder alcanzar los objetivos que se han marcado. Estrategia de lluvia de ideas: Es cuando el docente busca que los estudiantes aporten ideas (...) sin considerar si son viables o no, buenas o pertinentes. Se anotan todos los aportes. No está permitida ninguna forma de crítica. Luego, se organizan todos los aportes y se evalúan. Por último, se sacan conclusiones. (Tobón, 2013, p. 275) Heurística: Es la capacidad que ostenta un sistema determinado para realizar, de manera inmediata, innovaciones positivas para sí mismo y sus propósitos. Ilimitado: Que no tiene límites o cuyos límites se desconocen. Perímetro: Se refiere a la medida del contorno de una superficie o de una figura; en otras palabras, es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la medida de la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad. 55

Superficie: En matemática, una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un objeto topológico que, intuitivamente hablando, es localmente "parecido" al plano cartesiano.

5. Texto complementario ESTRATEGIAS DE CREACIÓN DEL AMBIENTE FAVORABLE PARA APRENDER Nuestros estudiantes centran su mayor interés de acuerdo al siguiente orden: 1. Relación que establecen con sus pares. 2. Recepción y buena acogida del docente al grupo y, en particular, a él. 3. El contenido del aprendizaje. Por otro lado, el estudiante debe percibir en el personal de la IE que:       

Reciben, saludan y despiden a los estudiantes. Llaman a cada uno por su nombre. Los miran a los ojos. Los escuchan. Tratan de comprenderlos. Conversan con ellos sobre temas de su interés. Solicitan las cosas por favor y dan las gracias.

Y en el aula de clases, el docente es quien:       

Conoce a sus estudiantes por sus virtudes e insuficiencias sin ponerlas en evidencia. Se desplaza por el salón. Se acerca a los estudiantes. Se esfuerza por comprenderlos. Hace comentarios positivos sobre cada uno, oportunamente. Alaba sus cualidades y esfuerzos. Mantiene un tono emocional afectivo alto.

Finalmente, se recomienda ambientar el aula según el contenido de enseñanza. Ferreiro, S. (2007). Estrategias didácticas del aprendizaje cooperativo, pp. 67- 68.

6. Referencias Ferreiro, S. (2007). Estrategias didácticas del aprendizaje cooperativo. México: Trillas. Ministerio de Educación. (2012). Resolvamos 2. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015). Rutas del Aprendizaje VI ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015). Rutas del Aprendizaje VII ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2014). Orientaciones generales para la planificacion. Lima: Ministerio Autor. Pólya, G. (1974). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas. Universidad Nacional del Centro del Perú. (2012). Módulo conocimientos disciplinares del área de Matemática con enfoque intercultural. Ministerio de Educación. Tobón, S. (2013). Formación integral y competencias: Pensamiento complejo, currículo, didáctica y evaluación. 4.a ed. Bogotá: Ecoe Ediciones. 56

Disfrutalasmatematicas.com. (2016). Teselaciones. Disponible http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html

en:

AulaFacil.com (2013). Disponible en:http://www.aulafacil.com/cursos/l9185/secundaria-eso/dibujolineal-secundaria/educacion-plastica-y-visual-3-eso/transformaciones-geometricas-isomorficas [Consultado el 9 de mayo de de 2016].

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Anexo Evaluación de aprendizajes de la unidad Tabla de especificaciones La tabla de especificaciones es un instrumento de evaluación que contiene información sobre el contenido esencial de lo que se va a evaluar en esta unidad. Funciones de la tabla de especificaciones La tabla de especificaciones sirve para: 1. Construir los ítems del instrumento de evaluación. 2. Orientar la interpretación de los resultados. TABLA DE ESPECIFICACIONES CÓDIGO ISFMLRP1 GSPCPSP2 PSFMLRP3 RPSFMLC4 ESOVPS5 TOTAL

DESCRIPTORES Interpreta situaciones de forma, movimiento y localización que permitan obtener datos para resolver problemas. Grafica las situaciones problemáticas para concebir el plan de solución de la situación problemática. Plantea situaciones de forma, movimiento y localización que permitan resolver problemas. Resuelve problemas sobre situaciones de forma, movimiento y localización utilizando conceptos. Examina el resultado obtenido verificando el proceso de solución.

N.° DE ÍTEMS 1 1 1 1 1 5

Pruebas de desempeño A diferencia de las pruebas de opción múltiple, que son instrumentos de evaluación cerrados, las pruebas de desempeño son instrumentos de evaluación abiertos, que permiten evaluar los procesos de planteamiento y resolución de diversas situaciones problemáticas de gestión de datos. Consistencia de las pruebas de desempeño Una prueba de desempeño es consistente si corresponde a la tabla de especificaciones, es decir, si cada uno de los ítems de la prueba responde a los descriptores y es un representante significativo del descriptor. ISFMLRP 1. Interpreta situaciones problemáticas de forma, movimiento y localización que permitan obtener datos para resolver problemas.    

Debe tratar sobre alguna actividad socioproductiva de una comunidad rural. Los datos deben obtenerse a partir de la elaboración de gráficos, tablas de doble entrada. Deben ser organizados y relacionados con las condiciones del problema. Deben permitir formular preguntas.

GSPCPSP 2. Grafica las situaciones problemáticas para concebir el plan de solución de la situación problemática. En la IE José Abelardo Quiñones del centro poblado Pacchac, distrito de Palca, provincia de Tarma, Junín, en su última asamblea de CONEI, acordaron pintar la fachada porque estaba muy descuidada y colocar las ventanas en los salones que no las tenían; además, se acercaba el aniversario de la institución y del centro poblado. La escalera de los trabajadores que están pintando la fachada tiene 58

una medida de 2,5 m de longitud y se coloca contra la pared para alcanzar una ventana que está ubicada en el aula del 4.o grado A. Si el pie de la escalera está a 2 m de la base de la pared, ¿a qué altura aproximadamente se encuentra la ventana? Los estudiantes realizarán la gráfica adecuada a la situación problemática para poder concebir un plan de solución, colocando en ella los respectivos datos y la relación con las condiciones del problema. PSFMLRP 3. Plantea situaciones de forma, movimiento y localización que permitan resolver problemas.    

Con los datos obtenidos podemos plantear la solución aplicando estrategias heurísticas. Debe tratar sobre alguna actividad socioeconómica de una comunidad rural. Los datos deben obtenerse a partir de una variable categórica numérica. Deben permitir formular, por lo menos, tres preguntas.

RPSFMLC 4. Resuelve problemas sobre situaciones de forma, movimiento y localización utilizando conceptos.  

Ejecutamos el plan de solución aplicando la estrategia más pertinente, hasta encontrar la solución al problema. Si no encontráramos la respuesta, tendríamos que buscar otra estrategia que permita hallar la solución.

ESOVPS 5. Examina la solución obtenida verificando el proceso seguido.  

Una vez que encontramos la solución al problema, debemos verificar si son correctos o no los resultados obtenidos, hacer una visión retrospectiva de todo el proceso. Buscar otra forma de solución.

Indicadores de evaluación   

Los indicadores de evaluación son afirmaciones que expresan conductas observables y nos permiten evaluar los desempeños del estudiante sobre la base de información cuantitativa. Función: los indicadores de evaluación permiten cuantificar los ítems de la prueba a través de la medición de cada una de las conductas observables. Consistencia: los indicadores de evaluación son consistentes si ellos corresponden a los descriptores de la tabla de especificaciones.

TABLA DE INDICADORES DE EVALUACIÓN CÓDIGO IOE IDOE DCOE OVOEEG DPVPF ILS ORDVS RSMG RVS CERV

INDICADOR Identifica el objeto de estudio. Identifica la dificultad del objeto de estudio. Determina la característica del objeto de estudio. Organiza las variables del objeto de estudio en esquemas gráficos. Determina los posibles valores de los patrones de formación. Identifica límites en las situaciones. Opera y relaciona las diferentes variables de la situación. Resuelve las situaciones mediante generalizaciones. Relaciona las variables dadas en las situaciones. Correlaciona y encuentra las relaciones entre las variables.

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DESCRIPTOR

ISFMLRP 1 ISFMLRP 1 GSPCPSP2 GSPCPSP2 PSFMLRP3 PSFMLRP3 RPSFMLC4 RPSFMLC4 ESOVPS 5 ESOVPS 5

PUNTAJE 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3

TOTAL

20

UNIDAD III Construcciones de figuras geométricas bidimensionales PRESENTACIÓN Estimado docente participante, en esta oportunidad te presentamos la UNIDAD III “Construcciones de figuras geométricas bidimensionales”, que tiene el propósito de generar procesos de reflexión sobre nuestra práctica pedagógica en la construcción del pensamiento matemático en nuestros estudiantes, tarea en la que somos parte importante. Las construcciones geométricas son factores esenciales en los estudios matemáticos, puesto que representan un arma potente en las investigaciones geométricas. Podemos decir que la construcción con regla y compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos), a partir de una regla y un compás ideales. También en esta unidad encontraremos la papiroflexia, el arte de crear con las manos figuras y objetos de una reconocible significación, mediante el plegado de una hoja de papel sin cortar ni pegar. Además, se deberá utilizar como punto de partida un único trozo de papel cuadrado. La papiroflexia juega un papel importante en el campo de la educación primaria y secundaria, pues reúne cualidades indispensables desde el punto de vista pedagógico. Asimismo, fomenta el espíritu creativo, enseña al estudiante a seguir instrucciones y ayuda a desarrollar la sociabilidad y el trabajo en equipo. También desarrolla diferentes tipos de habilidades mentales.

ESQUEMA DE CONTENIDOS

CONSTRUCCIONES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS BIDIMENSIONALES

Reflexión desde la práctica Reflexión teórica Problemas sobre construcción en la historia Construcciones básicas La papiroflexia o geometría del papel Orientaciones didácticas Evaluación de los aprendizajes Herramientas para la nueva práctica Actividades de reflexión individual/equipo, de distancia y de metacognición y autoevaluación Glosario, texto complementario, referencias y evaluación de la unidad

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1. Reflexión desde la práctica Presentamos diálogo entre dos docentes. Bien, Ruperta. Espero que me brindes algunos alcances sobre construcciones geométricas.

Hola, Felicita, ¿cómo estás?

Como no, colega.

Felicita y Ruperta son profesoras del área de Matemática de la IE José Carlos Mariátegui del distrito de Santa Lucía, provincia de Lampa, región Puno. Ruperta es una docente que se está actualizando constantemente. Siempre viaja a la capital para capacitarse y, en una reunión de docentes de Matemática, se inicia un diálogo de la siguiente forma: Felicita: ¿Cómo enseñas la geometría sobre construcciones? Ruperta: Primero les enseño a utilizar la regla y el compás. Felicita: ¿Por qué? Ruperta: Es necesario que nuestros estudiantes aprendan a construir figuras, que manipulen. Felicita: ¿Para qué? Ruperta: Para resolver problemas, sobre todo, de construcción en geometría; así nuestros estudiantes podrán profundizar en el conocimiento de algunas características de las figuras geométricas, al poner en juego la aplicación de muchas propiedades. También tendrán la oportunidad de argumentar, e incluso demostrar, al tratar de justificar que los trazados realizados cumplen con las condiciones que plantea el problema. Felicita: Pero yo les digo que construyan, por ejemplo, un triángulo isósceles y lo hacen colocando las mismas marcas a dos lados y, al otro lado, otra marca diferente. Ruperta: ¿Y tú has comprobado que esas figuras están bien construidas? Felicita: Bueno, he observado que algunos lo han hecho bien y que otros lo han dibujado mal; pero le han puesto las marcas a los lados del triángulo. Ruperta: Es necesario que nuestros estudiantes construyan correctamente las figuras para facilitar la resolución de los problemas; además, porque van a desarrollar capacidades en ellos. Felicita: ¿Me podrías enseñar?, ¿qué tendría que hacer primero? Ruperta: Primero enseñarles las construcciones básicas, para que luego ellos solos puedan construir figuras más complejas. 61

Felicita: ¿Cuáles son las construcciones básicas? Ruperta: Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, rectas y circunferencias que se hayan creado en fases anteriores. Felicita: Con razón, tus estudiantes siempre ganan los concursos internos de Matemática y realizan buenos trabajos en el Día del Logro. Ruperta: Bien, entonces, pon en práctica lo que hemos dialogado y verás los buenos resultados que obtendrás. Felicita: Muchas gracias, me esforzaré por cambiar mi práctica pedagógica. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué opinas sobre lo que manifiesta la profesora Ruperta con respecto a las construcciones geométricas? b) ¿Qué opinas sobre la reflexión que realiza la profesora Ruperta? c) ¿Cómo trabajas con tus estudiantes en el proceso de construcción de figuras geométricas? d) ¿Es importante la papiroflexia para construir figuras geométricas? ¿Por qué? e) ¿Es importante que los profesores enseñen a utilizar la regla y compás? ¿Por qué? f) ¿Consideras necesario aprender a construir figuras geométricas empleando la regla y el compás? g) ¿Qué técnicas e instrumentos de evaluación emplearías para evaluar construcciones? h) ¿Cuáles serían las posibles razones por las que un estudiante presenta dificultad para realizar construcciones con regla y compás?

2. Reflexión teórica 2.1 Fundamento teórico 2.1.1 ¿Cuáles fueron los problemas sobre construcción en la historia? Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debía ser construida utilizando solo una regla de borde recto y un compás. ¿Cuáles fueron los tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega y se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos? Los tres problemas famosos sobre construcción en la época griega fueron: - La duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo). - La trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). - La cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882. Es importante observar que los tres problemas debían ser resueltos utilizando solamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la geometría de Euclides. Estos tres problemas, en su detalle, son los siguientes: La duplicación en el cubo

Cuenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas. Una embajada de la ciudad fue al Oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa, tras consultar al Oráculo, dijo que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico

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en el que las medidas de los lados eran el doble de las medidas del altar de Delos, pero la peste no cesó. Consultado de nuevo el Oráculo, la pitonisa advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado. Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema persistió durante siglos. La trisección del ángulo Este problema consiste en conseguir dividir un ángulo dado cualquiera en tres ángulos iguales, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Nadie supo cómo hacerlo.

La cuadratura del círculo

Se trata de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por cuestiones políticas. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.

Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos (álgebra y trigonometría) de la mano de indios y árabes, y la geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de carácter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la geometría es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar "Los elementos". El estudio de la geometría ayuda a los estudiantes a que representen y den sentido al mundo. Deben tener contacto con ella desde los primeros grados de la educación primaria, así como haber aprendido sobre figuras geométricas y desarrollado un sentido del espacio. Para comprender el mundo, la mente humana depende, en gran medida, de su percepción de las figuras y modelos. La experiencia nos ha enseñado que un aprendizaje significativo de conceptos y propiedades de la geometría debe ir de la mano con la realización de actividades de comprobación y verificación de estas. Por ello, es aconsejable realizar actividades de construcción con regla y compás, simultáneamente al desarrollo de los contenidos teóricos del área. Los procedimientos deben ser presentados de la forma práctica más sencilla posible, sin mayor profundización en las partes teóricas que los justifiquen, aun cuando no deben dejar de mencionarse. El uso de materiales concretos, como la regla y el compás, facilitan el trazado de figuras geométricas.

El estudiante debe ser el autor principal en el proceso de aprendizaje y enseñanza. Aprenderá construcciones, si él construye con regla y compás.

http://geometriacabri.blogspot.pe/2012/08/instrumentos-para-la-recoleccion-de.html

63

2.1.2 ¿Cuáles son las construcciones geométricas básicas? Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una puntos, rectas y circunferencias que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:

 Trazar el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, recuérdese que la recta es de longitud infinita).  Trazar la circunferencia con centro en un punto dado y tocar otro punto dado.  Graficar el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.  Graficar el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia.  Graficar el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias. ¿Cómo se construye un cuadrado utilizando regla y compás? Para ello, es necesario seguir los siguientes pasos:      

Dado el segmento AB, trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB. Trazamos una perpendicular al ̅̅̅̅ que contiene al punto B. Señalamos el punto E, intersección de la perpendicular al segmento AB que contiene al punto A con la circunferencia. Trazamos la recta paralela al segmento AB y que contiene el punto E. Señalamos el punto D, intersección de la paralela al segmento AB y la perpendicular al segmento AB que contiene el punto B. Trazamos el cuadrado ABDE.

Recordando el diálogo presentado al inicio de esta unidad, la situación por la que atraviesa la profesora Felicita es muy similar por la que pasamos gran parte de los docentes de nuestro país: no 64

utilizamos materiales concretos e instrumentos pertinentes para realizar nuestras sesiones de aprendizaje, generalmente usamos la pizarra, tizas y mota. Es muy importante darles un papel importante a las construcciones utilizando solamente la regla y el compás.

2.1.3. ¿Cómo realizamos la construcción de la bisectriz de un ángulo? Una de las formas de realizar esta construcción sería como sigue: 

Dibujamos un ángulo cualquiera ABC.



Con centro en B y radio cualquiera, buscamos las intersecciones D y E.



Con centro en D y radio cualquiera, trazamos una circunferencia. Análogamente en E.



Trazamos la bisectriz que será la recta que pase por los puntos B y F.

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F

Las construcciones geométricas facilitan la conceptualización y formalización de ideas geométricas en los estudiantes.

Estimado docente, ahora realiza las demás construcciones para luego transmitirlas a tus estudiantes.

2.1.3 ¿Qué es la papiroflexia o geometría del papel? La papiroflexia se puede definir como la creación de figuras fácilmente reconocibles a partir de una hoja de papel, sin cortar ni pegar, solamente haciendo dobleces. Una simple hoja de papel y algo de paciencia son los requisitos fundamentales para desarrollarla. Esta disciplina juega un papel importante en el campo de la educación a cualquier nivel: primaria, secundaria, e incluso como apoyo de ciertas áreas a nivel universitario, pues reúne cualidades indispensables desde el punto de vista pedagógico. Además, desarrolla en el estudiante aprendizajes tan evidentes como el de la habilidad manual, de la concepción volumétrica, de la coordinación de movimientos y de la psicomotricidad fina. Asimismo, fomenta el espíritu creativo, enseña al estudiante a seguir instrucciones y ayuda a desarrollar la sociabilidad y el trabajo en equipo. También desarrolla diferentes tipos de habilidades mentales. Dentro del campo de la matemática, la papiroflexia o plegado de papel es un recurso que ayuda al uso y comprensión de conceptos geométricos básicos, tales como diagonal, mediana, vértice, bisectriz, etc., y favorece la visualización de figuras y cuerpos tridimensionales. El proceso de creación y ejecución de una figura de papiroflexia implica, en mayor o menor grado, dependiendo de su complejidad, análisis e imaginación; además, fomenta la agilidad mental y desarrolla estrategias para enfrentar y resolver problemas de lógica o matemática.

Una simple hoja de papel puede convertirse en un excelente material educativo si lo usamos con creatividad.

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Asimismo, es importante no olvidar que la papiroflexia es un medio, no un fin. No consiste solo en una herramienta para visualizar, es mucho más rica, pues permite estudiar propiedades, observar, analizar y conjeturar ¿Por qué es importante la utilización de la mano? La mano es en nuestro arte la herramienta de trabajo; el papel, la materia con la que trabajamos. Por ello, es primordial que nuestras herramientas (las manos) tengan una buena destreza, agilidad, habilidad y perfección en el plegado del papel. La mano humana es fascinante por su movilidad, por la complejidad de su organización neuromuscular así como por su habilidad y capacidad de expresión. Es la fuente de autonomía, de dominio, de descubrimiento corporal, de exploración y manipulación espacial y temporal. Además, tiene las siguientes funciones: instrumento, expresión, relación y lateralidad. De estas cuatro, tres se van a destacar en su uso en el plegado del papel. Se puede decir que la mano, junto con el lenguaje verbal, es la que marca una diferencia clara entre el ser humano y los animales, siendo verdaderamente considerada como una útil herramienta para todo. Podemos concluir con una frase de Henri Fouillon, que dice: “entre la mano y la herramienta hay como una amistad que no tendrá fin”. Con los trabajos manuales, el individuo, el niño en particular, refleja el proceso de su pensamiento a través de sus vacilaciones, sus ensayos, sus triunfos gestuales y sus fracasos. El niño nos muestra cómo piensa a medida que sus manos actúan. Es por todo ello que el trabajo manual del plegado de papel será inmejorable para entrenar a esta función útil de las manos, ya que no se emplea ninguna herramienta. Reflexiones: -

¿Nuestros sentidos son importantes para el aprendizaje de la geometría? ¿Por qué? ¿Por qué es importante el estudio de la papiroflexia? ¿Aplicamos estos conocimientos en nuestra práctica pedagógica? Explica.

2.2 ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes? A continuación, se realiza la explicación del desarrollo de la competencia a partir de situaciones problemáticas, utilizando orientaciones metodológicas, materiales, medios e instrumentos de verificación del logro de los aprendizajes. 2.2.1 Diseñamos la ubicación del castillo en la fiesta costumbrista Competencia Capacidades Actúa y piensa  Matematiza matemáticamente en situaciones. situaciones de forma,  Comunica y movimiento y localización. representa ideas matemáticas.

Indicadores  Examina propuestas de modelos referidos a relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y ángulos de elevación y depresión al plantear y resolver problemas.  Expresa las líneas y puntos notables del triángulo usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas.

INICIO 67

Al empezar, dé la bienvenida a los estudiantes y mencióneles el propósito de esta actividad: ubicar apropiadamente el castillo, trabajando colaborativamente. Puedes realizar el recojo de saberes previos mediante la estrategia de lluvia de ideas (registras, analizas y sintetizas las ideas), asociados a: Punto medio: distancia equidistante entre dos puntos de referencia. Perpendicular: línea que al intersecarse con otra forma ángulos rectos. Mediatriz: perpendicular levantada en el punto medio de un lado. Circuncentro: punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Debes comunicar a tus estudiantes que los criterios a evaluar, mediante una ficha de coevaluación, responden al trabajo en equipo. Luego presentas la situación problemática: Situación problemática 1 En la fiesta de carnavales de Querobamba, Sucre, Ayacucho, que se realiza todos los años en el mes de marzo, el pueblo tiene por costumbre colocar los árboles de la yunza en los hoyos que ya se tienen

B B A

preparados. El mayordomo ha ordenado que el castillo debe estar ubicado al

O

C centro de las tres yunzas, de tal manera que se encuentre a la misma distancia de los tres árboles. Sabiendo que el ángulo ABO mide 37° y la distancia de AB es 32 metros, ¿cuál es la distancia del castillo al árbol C? ¿Cómo resolverían el problema los pobladores? ¿Será importante el conocimiento de la matemática para resolver este problema? ¿Por qué? DESARROLLO Ante esta situación, los estudiantes deben buscar diferentes estrategias heurísticas para resolver el problema, donde previamente se les debió brindar dichas estrategias. Continuamente debes realizar la actividad de acompañamiento individual y/o grupal, que necesariamente considera las siguientes acciones: observar, recoger dudas/aciertos y orientar mediante preguntas guía, no darles la solución. Para encontrar respuesta a estas interrogantes, los pobladores tendrían que realizar lo siguiente si no hubiera datos: a) Trazar con cal o yeso la distancia entre cada árbol de la yunza. b) Medir las distancias que hay entre los tres árboles. c) Ubicar el punto medio entre cada dos árboles. d) Levantar una perpendicular por cada punto medio.

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Encontramos un punto donde se unen estas tres perpendiculares (circuncentro). Si realizamos la medición del punto encontrado hacia la ubicación de las tres yunzas, hallaremos que las distancias son iguales; por lo tanto, hemos encontrado la solución al problema. En nuestro caso, podemos trazar AO y OB. Estas distancias son iguales porque “O” es el circuncentro, el punto de intersección de las tres mediatrices. Por lo tanto, ABO es un triángulo isósceles y la altura del punto “O” hacia el lado AB caerá en el punto medio de AB, formándose un triángulo rectángulo notable de 37o y 53o. Si el punto medio de AB es P, entonces BP = 16 m, y tendríamos el triángulo rectángulo notable BPO, donde OP = 12 m, porque está frente al ángulo de 37 o; entonces, BC mide 20 m por estar frente al ángulo recto, y OC = 20 metros porque la distancia del circuncentro a los vértices son iguales por propiedad. CIERRE Como docente, puedes promover la consolidación del conocimiento como producto de sus experiencias en el momento anterior; asimismo, se debe promover la metacognición mediante preguntas de reflexión sobre el propósito de la sesión de aprendizaje, con la posibilidad de que genere acciones de mejora.  

¿Cómo has llegado a la solución? ¿Qué te dio la pista para ayudarte en el proceso? ¿Qué acciones de mejora propondrías para optimizar el trabajo en equipo y la presentación del producto? Ficha de coevaluación

ESTUDIANTE EVALUADOR: ....................................................................... INTEGRANTES DEL EQUIPO INDICADORES Participó durante la clase. (1 - 4 puntos) Escucha a los demás. (1 - 4 puntos) Respeta opiniones de los demás. (1 - 4 puntos) Asume con responsabilidad su rol dentro del equipo. (1 - 4 puntos) Apoya al equipo. (1 - 4 puntos)

2.2.2 Planificamos el incremento de área de un corral de vacas usando el origami Competencia Capacidades Actúa y piensa  Matematiza matemáticamente en situaciones. situaciones de forma,  Comunica y movimiento y localización. representa ideas matemáticas.

Indicadores  Evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver el problema.  Expresa líneas y puntos notables del triángulo usando terminologías matemáticas.

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INICIO En este momento de la sesión de aprendizaje, el docente da la bienvenida a los estudiantes y menciona el propósito de la actividad: resolver problemas con la papiroflexia. Menciona los criterios a evaluar en el trabajo en equipo, mediante una lista de cotejo; luego presenta la situación problemática. Situación problemática 2 La familia Aroni vive en el distrito de Querobamba, provincia de Sucre, región Ayacucho. Teresa es la hija mayor, quien se encarga de la crianza de las vacas. Esta familia tiene un corral cercado de 5 m de largo, 4 m de ancho y 1,5 m de altura. Como las vacas han aumentado en cantidad, el corral quedó muy reducido y presenta dificultad para los becerros (crías que no pasan, o pasan muy poco, de dos años), con peligro de que algunos fueran aplastados por los más grandes. Entonces ella determina la ampliación del corral aumentando 2 metros a cada lado. Para eso, emplea la papiroflexia, a fin de representar esta situación problemática e informarle al albañil, de manera detallada, cómo quiere su nuevo corral.      

¿Cuál es el perímetro inicial del corral? ¿Cuál es su área inicial? ¿Cuál será su nuevo perímetro? ¿Cuál será su nueva área? ¿En qué porcentaje aumentará la nueva área del corral? ¿Cómo representarías la situación empleando la papiroflexia? https://marketplace.secondlife.com/p/CORRAL-Square-FP/1616326

El docente promueve la formación de equipos de trabajo, luego se reparte la situación problemática. Debe realizar la motivación y el recojo de saberes previos relacionados con los aprendizajes esperados. DESARROLLO Ante esta situación, los estudiantes deben buscar diferentes estrategias heurísticas para resolver el problema, para lo cual el docente les brindará dichas estrategias previamente. Además, deberá acompañar el trabajo de los equipos. Para encontrar la solución a estas interrogantes, tendríamos que encontrar el perímetro y el área que inicialmente tenía el corral, mediante las fórmulas del perímetro y el área de un rectángulo.

Perímetro = Área aumentada:

(

)(

)

Nuevo perímetro = Aumento

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De igual manera, para encontrar el nuevo perímetro y la nueva área del corral utilizando la papiroflexia, construye el corral siguiendo el procedimiento presentado en el video: Puedes verlo en: https://www.youtube.com/watch?v=9LlHZ9aizzc CIERRE Se consolida el aprendizaje y se realiza la metacognición mediante las preguntas: a) ¿La papiroflexia te ha permitido resolver la situación problemática? Justifica. b) ¿Qué conceptos matemáticos se involucran en la papiroflexia realizada? c) ¿Qué acciones pertinentes propones a fin de optimizar el uso del tiempo?

2.3 Evaluación de los aprendizajes Respecto a la evaluación y su respectiva aplicación del instrumento, es pertinente comunicar (en el momento de inicio) la forma y el instante de evaluación de sus aprendizajes. Ahora, te proponemos la ficha de observación, con su respectiva escala de valoración de niveles de desempeños.

Ficha de observación Competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.

N°

Apellidos y nombres

Matematiza situaciones.

Indicadores

Comunica y matemáticas.

representa

ideas Elabora y estrategias.

Indicadores

1 2 3 … 40

Escala de valoración: 0-10: Tiene nociones. 11-13: Usa conceptos básicos. 14-17: Refiere fundamento teórico. 18-20: Evidencia creatividad o dos o más formas de solución.

71

Indicadores

Razona y usa argumenta generando ideas matemáticas.

Indicadores

Promedio

3. Herramientas para la nueva práctica 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo El mundo donde vivimos es tridimensional; por tanto, todos los objetos ocupan un lugar en el espacio. Esta es una característica objetiva de nuestro entorno que, sin embargo, genera dificultades, debido a que los recursos que empleamos, como los libros y la pizarra, solo permiten realizar construcciones bidimensionales. Es, por ello, indispensable realizar actividades donde sea posible elaborar construcciones manipulativas de objetos tridimensionales. Por tal motivo, los docentes en geometría debemos conocer la forma en que se realizan tanto las construcciones con regla y compás como las construcciones con papiroflexia, de tal manera que se beneficien nuestros estudiantes para lograr aprendizajes significativos. a) ¿Es importante trabajar con material concreto para afianzar el aprendizaje? Explica. b) ¿Qué parte de la unidad te pareció muy interesante e innovador y que te ayudará en tu práctica pedagógica? c) ¿Por qué es importante enseñar la papiroflexia? 3.2 Actividades a distancia A continuación, se presentan actividades para poner en práctica aspectos desarrollados en esta unidad, las cuales serán ejecutadas en el componente a distancia. a) Elabora una sesión de aprendizaje incorporando aspectos considerados en la unidad. b) Propón a tus estudiantes resolver una situación problemática que involucre construcciones geométricas y construir figuras geométricas con regla y compás. c) Utiliza la papiroflexia en la sesión, para abordar rectas paralelas y rectas perpendiculares, líneas notables de un triángulo, propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo. d) Ejecuta la sesión y recoge las evidencias correspondientes, para que luego sean adjuntadas en el portafolio (fotos, videos, audios, trabajos de los estudiantes, etc.). e) Adjunta el instrumento de evaluación en tu portafolio. 3.3 Actividades de metacognición a) ¿Qué dificultades has encontrado en tus estudiantes en cuanto a los aprendizajes de la papiroflexia y el modelo de Van Hiele? b) ¿Cuáles son los aportes desde la perspectiva de Van Hiele que redundarán en beneficio de tu quehacer pedagógico? c) ¿Qué podemos concluir con respecto a esta unidad sobre construcciones? ¿Qué beneficios a tu quehacer pedagógico generará el desarrollo de las construcciones tratado en esta unidad? 3.4 Autoevaluación (lista de cotejo) Indicación. Estimado docente, evalúa tu participación durante el taller. Apellidos y nombres: 1. 2. 3. 4. 5.

Sí

Participé activamente en las actividades indicadas durante el desarrollo de la sesión. Escuché con atención las indicaciones y respeté los acuerdos de convivencia o las consignas de trabajo. Cumplí en el tiempo previsto con las actividades señaladas. Respeté a mis colegas y contribuí en las actividades grupales. Me interesé en el tema y aclaré mis dudas.

72

No

4. Glosario Construcción geométrica: Dibujo técnico en el que la utilización apropiada de ciertos instrumentos, como la regla y el compás, asegura la adecuación del dibujo a determinadas propiedades. También estas representan un arma potente en las investigaciones geométricas. El modelo de Van Hiele es un modelo de enseñanza que marca la pauta que se debe seguir en el aprendizaje de la geometría. Fases del aprendizaje: Directrices para el desarrollo docente, que permiten analizar el aprendizaje de la geometría. Niveles de razonamiento: Estadios del desarrollo de las capacidades intelectuales del estudiante, los cuales no están directamente ligados con el crecimiento o la edad. Papiroflexia: Arte de crear con las manos figuras y objetos de una reconocible significación, mediante el plegado de una hoja de papel sin cortar ni pegar. Secuencialidad: De acuerdo con la mayor parte de las teorías del desarrollo, cada estudiante debe pasar en orden por todos los niveles. 5. Texto Complementario

Diez acciones esenciales en las competencias articulando la metacognición 1.

Metasensibilización. Se toma conocimiento del estado afectivo-motivacional y se autorregula mediante estrategias que lo optimicen, las cuales se monitorean y evalúan de acuerdo con el logro de una meta. Implica comprender cómo está la atención y la concentración respecto de una actividad o problema, e implementar acciones de mejora. 2. Metaconceptualización. Consiste en determinar cómo nos encontramos respecto a un determinado concepto o teoría clave para comprender y explicar un fenómeno, y luego mejorar en esto con acciones puntuales, como, por ejemplo, buscar en fuentes, modificar el concepto, ampliarlo, etc. 3. Metaresolución. Consiste en conocer cómo se está abordando una actividad o problema desde la interpretación, argumentación y resolución, para implementar acciones de mejora en caso de ser necesario. 4. Metavalores. Es comprender cómo son nuestros valores y cómo estamos viviendo la vida para implementar acciones de mejora que permitan llegar a la auténtica felicidad. 5. Metacolaboración. Es conocer cómo se trabaja de manera colaborativa con los demás para implementar acciones de mejoramiento continuo. 6. Metaasertividad. Conocimiento de cómo es nuestra comunicación asertiva e implementación de acciones concretas para mejorarla. 7. Metacreatividad. Consiste en el conocimiento de cómo se está creando, personalizando e innovando la información o el conocimiento, y cómo se requiere mejorar, poniendo en acción estrategias para ello con base en el proyecto ético de vida. 8. Metatransversalidad. Implica el conocimiento de cómo se está haciendo la vinculación de saberes y la transferencia a nuevas situaciones para generar un mejoramiento continuo con base en unas metas. 9. Metarrecursos. Conocimiento de cómo se están determinando, buscando, adaptando y empleando los recursos en el abordaje de situaciones y problemas de contexto, mejorando continuamente este proceso. 10.Metaevaluación. Determinación de los logros y aspectos por mejorar en el desempeño, e implementación de mejoras continuas para alcanzar las metas. (Tobón, 2013: 242-247) 73

6. Referencias Instituto Pedagógico Nacional de Monterrico. Programa de Segunda Especialidad en Didáctica de la Matemática en Educación Secundaria. Módulo de Geometría. IPEBA - Programa Estándares de Aprendizaje. (2013). Mapas de Progreso del Aprendizaje: Matemática-Geometría. CEPREDIM. Ministerio de Educación. (2007). Aspectos metodológicos en el aprendizaje de la geometría en secundaria. Fascículo 4. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2014). Orientaciones generales para la planificación. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015a). Rutas del Aprendizaje VI ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015b). Rutas del Aprendizaje VII ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Tobón, S. (2013). Formación integral y competencias: Pensamiento complejo, currículo, didáctica y evaluación. 4.a ed. Bogotá: Ecoe Ediciones. Youtube. (2016). Instrucciones de Origami Caja Rectangular: Recuperado el 9 de mayo de 2016 de: https://www.youtube.com/watch?v=9LlHZ9aizzc

Anexo EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES DE LA UNIDAD Tabla de especificaciones La tabla de especificaciones es un instrumento de evaluación que contiene información sobre el contenido esencial de lo que se va a evaluar en esta unidad.

TABLA DE ESPECIFICACIONES

CÓDIGO RSFMLRC 1

CFGRC 2 EMVH 3 CFGEP 4

DESCRIPTORES Reconoce situaciones de forma, movimiento y localización que permitan emplear regla y compás para resolver problemas. Construye figuras geométricas empleando regla y compás para representar la situación problemática. Emplea el modelo de Van Hiele aplicando los niveles y fases para desarrollar el pensamiento geométrico. Construye figuras geométricas empleando la papiroflexia, para representar y resolver la situación problemática.

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N.° ÍTEMS 1

1 1 1

TOTAL

4

RSFMLRC 1. El presidente de una comunidad campesina desea colocar un altavoz con alcance de 200 m para convocar a reuniones extraordinarias de los moradores. Él necesita ubicar el poste de unos 10 m de altura, que servirá de soporte para el altavoz, en la parte central de la comunidad. a) ¿Podrían construir y resolver la situación problemática empleando la regla y el compás? b) ¿Podrían construir y resolver la situación problemática sin emplear la regla y el compás? c) Si la comunidad tiene una forma poligonal irregular, ¿es posible circunscribirlo para aprovechar al máximo el radio de acción del altavoz?

JCFGRC 2. En la fiesta de carnavales de Querobamba, Sucre, Ayacucho, que se realiza todos los años en el mes de marzo, el pueblo tiene por costumbre colocar los árboles de la yunza en los huecos que ya tienen preparados. El mayordomo ha ordenado que el castillón debe estar ubicado al centro de las tres yunzas, de tal manera que se encuentre a la misma distancia de los tres árboles. a) ¿Qué tendrían que hacer los encargados de colocar el castillón? b) ¿Cómo resolverían el problema los pobladores? c) Resuelve la situación problemática empleando la regla y el compás.

EMVH 3. Emplea el modelo de Van Hiele aplicando los niveles y fases para desarrollar el pensamiento geométrico en una sesión de aprendizaje

CFGEP 4. La familia Aroni vive en Querobamba, Sucre, región Ayacucho. Teresa es la hija mayor y encargada de la crianza de las vacas. Esta familia tiene un corral cercado de 5 m de largo, 4 m de ancho y 1,5 m de altura. Como las vacas han aumentado en cantidad, el corral quedó muy reducido, teniendo dificultad con las crías, porque algunas fueron aplastadas por las más grandes. Entonces ella determina una ampliación del corral de 2 metros a cada lado. Para eso, emplea la papiroflexia, a fin de representar esta situación problemática e informarle al albañil, de manera detallada, cómo quiere su nuevo corral. a) ¿Cuál es el perímetro inicial del corral? b) ¿Cuál es su área inicial? c) ¿Cuál será su nuevo perímetro? d) ¿Cuál será su nueva área? 75 la papiroflexia? e) ¿Cómo representaría la situación empleando

Indicadores de evaluación   

Los indicadores de evaluación son afirmaciones que expresan conductas observables y nos permiten evaluar los desempeños del estudiante sobre la base de información cuantitativa. Los indicadores de evaluación permiten cuantificar los ítems de la prueba a través de la medición de cada una de las conductas observables. Los indicadores de evaluación son consistentes si ellos corresponden a los descriptores de la tabla de especificaciones.

TABLA DE INDICADORES DE EVALUACIÓN CÓDIGO IOE ESPRC DCOE URCIC CASERC RICR IFDF UPCF DPFRF CDUM CFGRP DCFG

INDICADOR Identifica el objeto de estudio. Expresa la situación problemática con regla y compás. Determina la característica del objeto de estudio. Utiliza la regla y compás como instrumento de construcción. Construye adecuadamente la situación empleando regla y compás. Recoge información de la construcción realizada. Identifica formas, dada una figura la pueden reproducir. Usa las propiedades para concebir clases de forma. Deduce las propiedades de una figura y reconoce las clases de figuras. Construye demostraciones usando más de una manera. Construye figuras geométricas realizando la papiroflexia. Desarrolla su creatividad al construir figuras geométricas.

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DESCRIPTOR RSFMLRC 1 RSFMLRC 1 RSFMLRC 1 CFGRC 2 CFGRC 2 CFGRC 2 EMVH 3 EMVH 3 EMVH 3 EMVH 3 CFGEP 4 CFGEP 4

UNIDAD IV Transformaciones isométricas y homotecias PRESENTACIÓN El manejar un auto o ir en tren, trasladarse en una escalera mecánica, girar en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. Algo interesante es que la persona o el objeto que se desliza, gira o se voltea no cambia de forma ni tamaño. La geometría estudia los movimientos en cada uno de los casos planteados. Esos movimientos inducen en la geometría el estudio de las transformaciones de figuras. En esta unidad, presentamos las transformaciones geométricas que son importantes para que nuestros estudiantes desarrollen capacidades y logren competencias. Traslación, rotación y simetrías de figuras son movimientos que no solo están inmersos en la matemática, sino en el arte y la naturaleza. Esta unidad tiene como finalidad desarrollar el pensamiento geométrico y espacial, de manera que puedas modelar representaciones del espacio que percibes y aplicar las propiedades de la geometría que se relacionan con forma, movimiento y localización. Aplicar las transformaciones geométricas permitirá que el estudiante desarrolle sus capacidades en cuanto a rotación, traslación, isometría, homotecia, etc.

ESQUEMA DE CONTENIDOS Reflexión desde la práctica Reflexión teórica

TRANSFORMACIONES

Transformaciones geométricas

Clasificación de transformaciones

Orientaciones didácticas

Evaluación de los aprendizajes

Herramientas para la nueva práctica Actividades de reflexión individual/equipo, de distancia y de metacognición y autoevaluación Glosario, texto complementario, referencias y evaluación de la unidad

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1.

REFLEXIÓN DESDE LA PRÁCTICA

Estimado docente a continuación presentamos la siguiente situación:

La sesión de aprendizaje de Juan Pablo: Por favor, las preguntas después.

Buenos días, hoy voy a dictarles sobre transformaciones geométricas.

¿Qué es eso, profesor? Seguro que nos vamos a aburrir.

http://matematicas-maravillosas.blogspot.pe/2008/08/congruencia-problemas-relativos.html

A partir de la lectura de la situación y tu experiencia, responde las siguientes preguntasa) ¿Juan Pablo está desarrollando su clase con un enfoque por competencias o por contenidos? b) ¿La sesión que lleva a cabo Juan Pablo parte de un contexto real? c) ¿Tus sesiones de aprendizaje despiertan el interés y mantienen motivados a tus estudiantes? e) ¿Cómo realizas tus sesiones con respecto a traslación, rotación y simetrías? Explica brevemente. f) ¿Crees que es importante realizar las transformaciones geométricas? ¿Por qué?

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2. REFLEXIÓN TEÓRICA

2.2.

Fundamento teórico

2.1.1. ¿Qué son las transformaciones geométricas? Transformación geométrica es la operación que permite deducir una nueva figura de otra dada. Por tanto, existirán elementos origen y elementos transformados. El interés del estudio de las transformaciones radica en la posibilidad de facilitar la resolución de problemas gráficos de difícil resolución. En estos casos, se aplica una transformación a los datos, convirtiéndolos en otros de disposición más sencilla, con los que se resuelve el problema. Después basta aplicar a esta solución la transformación inversa para obtener el resultado buscado.

2.1.2. Clasificación de transformaciones a. Transformaciones isométricas. Son aquellas que conservan las dimensiones y los ángulos entre la figura original y su transformada. También se llaman movimientos. Ejemplos: simetrías (o reflexión), traslación, rotación (o giro). Las transformaciones isométricas son cambios de posición (orientación) de una figura determinada que NO alteran la forma ni el tamaño de esta. La palabra isometría tiene origen griego: iso, que significa igual, y metria, que significa medir. Por lo tanto, esta palabra puede ser traducida como igual medida. Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías), que serán vistas a continuación y cuyo estudio será pieza fundamental para la posterior comprensión de contenidos tales como las teselaciones o embaldosados. Cuando las transformaciones presentan las características mostradas en la figura, reciben el nombre de isometrías (iso: igual, metria: medida). En este caso observado, se trata de una transformación por traslación. Si observamos cada uno de los motivos que han ido trasladándose, podemos observar que han sido formados por cuatro cerámicas que han girado un ángulo de 90° respecto al centro de las cuatro cerámicas que forman el motivo. En este caso, se trata de una transformación por rotación. En el mismo motivo de la decoración, podemos observar que si doblamos por la recta, parece que la zona de la derecha se superpone sobre la zona de la izquierda. En este caso, se trata de una transformación por simetría, donde la recta es el eje de simetría. Como puedes observar, las traslaciones, rotaciones y simetrías son transformaciones isométricas a las que llamamos movimientos, los cuales son utilizados en los diseños de papel tapiz, diseños de cerámicas y arte en general.

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Observa cada una de estas imágenes:

Las imágenes mostradas son un ejemplo claro de transformaciones realizadas por traslación. Puedes observar que, en cada una de ellas, el motivo es el mismo, solo cambia la posición inicial como si se deslizara en forma horizontal, vertical u oblicua, pero sin girar. A los desplazamientos que realiza una figura sin girar o rotar sobre sí misma, se le denomina traslación. ¿Qué es una reflexión o simetría? Una reflexión o simetría es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto (llamado imagen), de modo que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría. ¡Simetrías a nuestro alrededor! La simetría está presente en nuestra vida, en nuestro entorno, en muchas de las cosas que nos rodean, basta con dar una mirada alrededor para darnos cuenta de ello. Por ejemplo, en las imágenes que te presentamos, puedes observar que si trazamos en ellas una recta que las divida, cada una queda en dos mitades.

https://www.pinterest.com/pin/386394843003243580/

Puedes observar que las dos partes de la figura que están a ambos lados de la recta son idénticas; debido a ello, podemos decir que se trata de figuras simétricas. A la recta que divide a la figura en dos mitades iguales, se le llama eje de simetría. La simetría la podemos encontrar en el arte, en la naturaleza, en las cerámicas, en las construcciones; basta con determinar una reflexión respecto a una recta o eje.

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La reflexión puede ser de dos tipos: - Simetría axial: Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

- Simetría central: Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión, se encuentran a igual distancia de un punto llamado punto de simetría.

¿Qué es una rotación? Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación (O), en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación. El centro de rotación puede estar en el interior, en el contorno o en el exterior de la figura.

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El sentido positivo de la rotación es el sentido antihorario, es decir, contrario al movimiento de las manecillas del reloj; mientras que el sentido negativo de la rotación es en el sentido horario. Objeto girado 60° En esta figura, se observa que el silbato ha dado un giro en sentido antihorario y con un ángulo de 60°.

60°

¿Qué es una teselación? La teselación es una técnica que permite recubrir el plano con figuras geométricas planas, de tal manera que todos los espacios resulten cubiertos, sin dejar vacíos ni tampoco figuras superpuestas.

Una teselación es regular, semirregular y no regular.  ¿Cuándo decimos que una teselación es regular? Si la telesación está formada solo por polígonos regulares, es decir, cuando resulta de un patrón que se consigue repitiendo un polígono regular. Este tipo de teselaciones solo es posible utilizando triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. Como la unión en cada vértice debe sumar 360o para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que logran esa suma al unirlos por sus ángulos interiores son estos. En consecuencia, solo existen tres teselaciones regulares:

Triángulos 3.3.3.3.3.3

Cuadrados 4.4.4.4

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Hexágonos 6.6.6

 Fíjate en un vértice...

Un vértice es simplemente "una esquina". ¿Cuáles son las formas que coinciden en un vértice?

En este vértice coinciden tres hexágonos, y un hexágono tiene 6 lados. Así que esta teselación se llama "6.6.6". 

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teselaciones.html

 ¿Cuándo decimos que una teselación es semirregular? Si está formada por dos o más polígonos regulares. Para que esto sea posible, los polígonos que se juntan en un vértice deben tener ángulos interiores que sumen exactamente 360°.

 ¿Cuándo decimos que una teselación es no regular? Si está formada por polígonos no regulares. En otras palabras, una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas, de manera que no se superponen ni hay huecos. Ejemplos:

Rectángulos

Octágonos y cuadrados

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Pentágonos

b. Transformaciones isomórficas. En geometría, las transformaciones geométricas isomórficas son aquellas que solo conservan la forma; es decir, en ellas los ángulos de la figura original y de la transformada son iguales y las longitudes, proporcionales. La palabra isomórfica tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y morphe (mórfica), una definición cercana es igual forma. Podemos distinguir dos tipos: semejanza y homotecia ¿Cuándo decimos que dos figuras son semejantes? Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma (el mismo número de lados y ángulos iguales) y distinto tamaño (sus dimensiones son distintas). Los diversos elementos que en las figuras semejantes se corresponden son proporcionales entre sí, existiendo igualdad entre sus ángulos. Esta correspondencia se denomina razón de semejanza (K) y es la relación de proporcionalidad constante que existe entre los elementos de las dos figuras semejantes. ¿Qué es la homotecia? La homotecia es una transformación geométrica, una correspondencia entre dos figuras en la que se cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia O y los segmentos homotéticos son paralelos. Homotecia directa: Cuando los dos puntos homotéticos se encuentran al mismo lado respecto al centro, la homotecia es directa. Las figuras homotéticas directas son semejantes y nunca son equivalentes.

Homotecia inversa: Cuando los puntos homotéticos se encuentran alineados con el centro, pero en extremos opuestos de las radiaciones, la homotecia es inversa. En este caso, la figura no es semejante, sino el producto de dos simetrías axiales cuyos ejes, uno vertical y otro horizontal pasan por el centro de homotecia.

http://www.aulafacil.com/cursos/l9185/secundaria-eso/dibujo-lineal-secundaria/educacion-plastica-y-visual-3-eso/transformacionesgeometricas-isomorficas

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Factor de proporcionalidad en la homotecia: El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre figuras homotéticas directas es siempre positiva. Las figuras homotéticas inversas responden a un factor de proporcionalidad negativo, son equivalentes si el factor de proporcionalidad es -1. Reflexiones: ¿Por qué son importantes las homotecias? ¿Por qué es importante la simetría en geometría? c. Transformaciones anamórficas. Son aquellas en las que cambia la forma entre la original y la transformada. Podemos distinguir tres tipos: homología, afinidad e inversión.

2.3.

¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes?

Los estudiantes deben realizar transformaciones considerando situaciones problemáticas reales, actuando y pensando matemáticamente durante todo el proceso de la sesión. A continuación, se realiza la explicación del desarrollo de la competencia a partir de situaciones problemáticas, utilizando orientaciones metodológicas, materiales, medios e instrumentos para la verificación del logro de los aprendizajes.

2.3.1. Diseñamos el corral de ovejas con traslaciones Competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.

Capacidades  Matematiza situaciones.  Elabora y usa estrategias.  Razona y argumenta generando ideas matemáticas.

Indicadores  Reconoce relaciones geométricas al expresar modelos de traslación.  Realiza transformaciones de traslación con segmentos, rectas y formas geométricas en el plano cartesiano al resolver problemas, con recursos gráficos y otros.  Justifica que una figura de dos dimensiones es similar o congruente a otro considerando el plano cartesiano y transformaciones.

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INICIO Situación problemática 1 Melquiades es un campesino del distrito de Yauri, provincia de Espinar, Cusco, dedicado a la crianza del ganado ovino. Él tiene un corral donde cría a sus ovejas, pero las autoridades de su localidad le han informado que, de acuerdo a los planos de lotización, por donde está su corral va a pasar una calle, por lo que debe cambiarlo de ubicación. Su corral tiene forma rectangular, de 10 metros de largo por 6 metros de ancho. Melquiades le dice al alcalde que la municipalidad le construya su nuevo corral porque está siendo perjudicado y que tenga la misma forma y dimensiones; además, que cada esquina de su terreno (cada vértice) sea trasladado a 8 metros a la derecha y 7 metros hacia adelante de su ubicación actual, porque de esa manera no perjudicaría la calle que se va a construir. ¿Cómo solucionaría el alcalde dicha situación problemática? ¿Qué harían primero los trabajadores en el terreno de Melquiades al empezar la obra? ¿Cómo ayudarías a solucionar esta situación problemática? El docente forma grupos de trabajo para que los estudiantes trabajen en equipos, luego reparte la situación problemática. El docente debe realizar la motivación y el recojo de saberes previos relacionados con los aprendizajes esperados. A continuación, debe presentar el propósito de la sesión y la forma como serán evaluados (a través de una lista de cotejo) durante el proceso de resolución de la situación problemática. DESARROLLO Para encontrar la solución a estas interrogantes, tendríamos que realizar: 1. Una traslación, es decir, cambiar de ubicación al terreno de acuerdo con el pedido de Melquiades: que se desplace 8 metros a la derecha y siete metros hacia adelante. 2. Encontramos el vector de traslación, llamado también vector guía (8; 7), donde el par ordenado es x = 8; y = 7. 3. Representamos gráficamente la situación problemática.

Es decir, cada uno de los vértices del terreno representado tiene que desplazarse 8 metros a la derecha y 7 metros hacia la izquierda. 86

¿Cómo solucionaría el alcalde dicha situación problemática? Tendría que enviar personal capacitado para realizar la obra. ¿Qué harían primero los trabajadores en el terreno de Melquiades al empezar la obra? Tendrían que realizar las mediciones pertinentes, colocar los nuevos hitos y empezar la construcción. ¿Cómo ayudarías a solucionar esta situación problemática? Sugiriéndole que encuentren el vector de traslación o vector guía, en nuestro caso (8;7). CIERRE Se realiza la consolidación de los aprendizajes y la metacognición mediante las preguntas de reflexión. a) ¿Qué aprendieron con esta situación problemática? b) ¿Crees que es importante la traslación, rotación para resolver problemas? ¿Por qué? c) ¿Les sirve lo que aprendieron? ¿Qué dificultades han tenido? ¿Cómo las superaron? d) ¿Qué propuestas brindarías para optimizar el trabajo en equipo? 11.

Elaboramos un plan sencillo para la construcción de una sala de cine

Competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.

Capacidades  Comunica y representa ideas matemáticas.  Elabora y usa estrategias. 

Razona y argumenta generando ideas matemáticas.

Indicadores  Grafica la composición de transformaciones de figuras geométricas planas que combinen transformaciones isométricas y la homotecia en un plano cartesiano.  Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan al resolver el problema.  Justifica la combinación de proyecciones y composiciones de transformaciones geométricas con polígonos en un plano cartesiano.

INICIO Situación problemática 2 Juan visitó a sus primos de Huancayo el fin de semana. Lo primero que quiso fue ir al cine, pues donde él vive no hay. Aquí las imágenes son muy grandes. Sabemos que esto se debe a que las salas de cine cuentan con un proyector especial que usa una lámpara como fuente de luz que traspasa la cinta y proyecta las imágenes pequeñas a gran tamaño en la pantalla. Esto implicaría que cuando se construye la sala de cine, se deben hacer los cálculos necesarios para que las imágenes proyectadas sean del tamaño exacto de la pantalla situada al frente de la sala; de lo contrario, podría proyectarse una imagen demasiado grande o pequeña, lo que afectaría su claridad. Se entiende que, en el momento de inicio, se recogen los saberes previos, se comunica el propósito de la sesión y la forma de evaluación, considerando los aprendizajes esperados. 87

DESARROLLO Aquí el docente gestiona el uso de las estrategias, los recursos y los tiempos a fin de optimizarlo; también se realiza la actividad de acompañamiento mediante la observación, recojo de aciertos/dudas y la orientación. Todas estas acciones se ejecutarán a través de preguntas guía, como, por ejemplo: ¿qué garantiza que sus procedimientos son correctos?, ¿se puede resolver solo de esta forma?, entre otras; todo ello orientado al desarrollo de la competencia. Actividad Si esta imagen es proyectada desde el punto A:

A

a. Dibuja y determina las dimensiones que tendría la imagen al triple de la distancia en que se encuentra. b. Dibuja y determina las dimensiones que tendría la imagen a la mitad de la distancia en que se encuentra. c. Compara las dimensiones de la imagen inicial y las obtenidas. ¿Qué se deduce de ellas? d. ¿A qué distancia del punto A, la imagen proyectada tendrá 50 cm de largo? Para poder construir las imágenes proyectadas que se nos pide, realizaremos los siguientes pasos: a. Se toma como punto de partida al punto A; al cual llamaremos centro de homotecia. b. Trazar rectas desde el punto A hacia cada uno de los vértices de la figura. c. Tomar la medida de la distancia entre el punto A y cada vértice. Para construir la figura a la distancia que se pide (caso “a”): d. Se multiplica la distancia por 3 y se marcan las nuevas distancias sobre las líneas. Aquí 3 es la razón de la homotecia. e. Por último, se unen los puntos, obteniéndose así una imagen semejante a la original. Entonces, se puede decir que: La homotecia es una transformación geométrica que sufre una figura, debido a que a partir de un determinado punto todas las medidas quedan multiplicadas por un mismo factor diferente de cero.

CIERRE Se realiza la consolidación de los aprendizajes y la metacognición mediante las preguntas: ¿Qué aspectos se han requerido para resolver problemas de homotecia? ¿Qué aportes tuyos sirvieron para la socialización del producto del equipo? ¿Qué acciones de mejora propondrías para optimizar el trabajo en equipo y la presentación del producto? 88

1.3. Evaluación de los aprendizajes Para efectos de evaluar el desempeño (saber ser) en el marco del enfoque por competencias, te proponemos este instrumento para una evaluación formativa, a fin de recoger la información y tomar decisiones en torno a que el estudiante pueda proponer su compromiso de mejora continua. LISTA DE COTEJO N.°

Estudiante

Respeta la opinión de sus compañeros.

Propone ideas en forma asertiva.

SÍ

SÍ

NO

NO

Usa el tiempo en forma óptima. SÍ

NO

Entrega el producto de calidad y a tiempo. SÍ NO

Propone nuevas formas de resolución. SÍ

NO

Muestra interés por mejorar su desempeño. SÍ

Compromiso de mejora

NO

1 2 3 … n

3. Herramientas para la nueva práctica 3.1 Actividades de reflexión individual/equipo A continuación, te proponemos algunas interrogantes que te permitan plantear propuestas de actividades innovadoras para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje.

a) ¿Qué materiales educativos y recursos disponibles de la zona donde ejecutas tu práctica pedagógica utilizarás para abordar las transformaciones geométricas? b) ¿En qué situaciones reales y de contexto rural empleas las rotaciones y traslaciones? c) ¿En qué situaciones reales y de contexto rural empleas la homotecia? d) ¿Qué materiales estructurados y no estructurados empleas para hacer teselaciones? e) ¿Qué estrategias emplearías para que tus estudiantes comprendan las transformaciones geométricas? f) ¿Cómo aprovecharías el aporte de los sabios de la comunidad en un proyecto con los estudiantes? g) ¿Qué acciones concretas propondrías y ejecutarías para innovar tu práctica pedagógica? 3.2 Actividades a distancia Te presentamos actividades para poner en práctica aspectos desarrollados en esta unidad, las cuales serán ejecutas en el componente a distancia. a) Elabora una sesión de aprendizaje incorporando lo aprendido en esta unidad. b) Propón estrategias en la sesión para que tus estudiantes puedan resolver situaciones problemáticas que involucren transformaciones geométricas. 89

c) Ejecuta la sesión y recoge las evidencias correspondientes, para que luego sean adjuntadas en el portafolio (fotos, videos, audios, trabajos de los estudiantes, etc.). d) Archiva en el portafolio el respectivo instrumento de evaluación. 3.3 Actividades de metacognición 1. 2. 3. 4. 5.

¿Cómo fue tu participación en el desarrollo de esta unidad? ¿Menciona tus conclusiones sobre las actividades propuestas? ¿Qué estrategias utilizaste para participar activamente en el proceso? ¿Cuál es el rol protagónico que asumirás en tu institución educativa? ¿Consideras que es importante trabajar con las transformaciones geométricas?

3.4 Autoevaluación ¿Qué mejoras has incorporado en tu práctica pedagógica, de modo que se logran los aprendizajes esperados de forma significativa? ¿Qué garantiza que tu práctica pedagógica se desarrolla en el marco del enfoque por competencias? Las estrategias que usas en la resolución de situaciones problemáticas de transformaciones geométricas, ¿tienen el respaldo teórico vigente? 4. Glosario Homotecia: Transformación geométrica, una correspondencia entre dos figuras en la que se cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia y los segmentos homotéticos son paralelos. Reflexión o simetría: Transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto (llamado imagen), de modo que el punto y su imagen están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría. Rotación: Transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo. Simetría axial: Cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría. Teselación: Técnica que permite recubrir el plano con figuras geométricas planas, de tal manera que todos los espacios resulten cubiertos, sin dejar vacíos ni tampoco figuras superpuestas. Transformaciones isométricas: Aquellas transformaciones que conservan las dimensiones y los ángulos entre la figura original y su transformada. También se llaman movimientos. Transformaciones isomórficas: Aquellas transformaciones que solo conservan la forma; es decir, en ellas los ángulos de la figura original y de la transformada son iguales y las longitudes, proporcionales. Traslación de una figura plana: Transformación isométrica que mueve todos los puntos de la figura en una misma dirección, sentido y longitud.

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5. Texto complementario Mosaicos peruanos Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas, las cuales no pueden superponerse ni dejar hueco sin recubrir y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben sumar 360o. Mosaico construido partiendo de una de las figuras de la ciudad de Chan Chan:

Todas las figuras que vemos, ya sean de forma geométrica o no, si las repetimos más de una vez, nos generan formas que nos permiten recrear o decorar espacios que, de estar vacíos, se verían muy sombríos. Toda transformación generará nuevas imágenes que combinadas nos van a dar más de una sorpresa. Los antiguos peruanos tenían una idea de ello, por eso en sus construcciones vemos que las figuras se repiten más de una vez. Observa: Figuras de manto funerario de la cultura Paracas.

Mosaico decorativo. Huaca de la Luna. Moche.

Ministerio de Educación. (2007). Fascículo 7: Decorando con las transformaciones, p. 23.

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6. Referencias IPEBA - Programa Estándares de Aprendizaje. (2013). Mapas de Progreso del Aprendizaje: Matemática-Geometría. CEPREDIM Ministerio de Educación (2007a). Fascículo 4: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de la geometría en secundaria. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2007b). Fascículo 7: Decorando con las transformaciones. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015a). Rutas del Aprendizaje VI ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015b). Rutas del Aprendizaje VII ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor.

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Anexo Evaluación de aprendizajes de la unidad Tabla de especificaciones La tabla de especificaciones es un instrumento de evaluación que contiene información sobre el contenido esencial de lo que se va a evaluar en esta unidad. La tabla de especificaciones sirve para: 1. Construir los ítems del instrumento de evaluación. 2. Orientar la interpretación de los resultados. TABLA DE ESPECIFICACIONES CÓDIGO RSFMLTGRP1 CFGATIRSP 2 ETIPRP 3 ATCSP 4 TOTAL

DESCRIPTORES Reconoce situaciones de forma, movimiento y localización que permitan emplear transformaciones geométricas para resolver problemas. Construye figuras geométricas aplicando las transformaciones isométricas para resolver la situación problemática. Emplea las transformaciones isomórficas para resolver problemas Aplica la teselación para cubrir una superficie plana.

N.° ÍTEMS 1 1 1 1 4

RSFMLTGRP 1. Roberto, que vive en la región Amazonas, es el más alto de sus hermanos. Mide 1,75 m. En el mismo instante que la medida de su sombra es 1,25 m, la sombra del árbol que está frente a su casa mide 25 m.

a) ¿Cuál será la altura del árbol? b) Si la sombra del árbol fuese de 30 metros, ¿cuánto mediría el árbol? c) Si la sombra fuese la mitad, ¿cuánto mediría el árbol?

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CFGATIRSP 2. De acuerdo a la situación 1, Melquiades es un campesino del distrito de Yauri, provincia de Espinar, Cusco, dedicado a la crianza del ganado ovino. Él tiene un corral donde cría sus ovejas…. Melquiades le dice al alcalde que la municipalidad le construya su nuevo corral porque está siendo perjudicado y que tenga la misma forma y dimensiones; además, que cada esquina de su terreno (cada vértice) sea trasladado a 8 metros a la derecha y 7 metros hacia adelante de su ubicación actual. a) ¿Cómo solucionaría el alcalde dicha situación problemática? b) ¿Qué harían primero los trabajadores en el terreno de Melquiades al empezar la obra? c) ¿Cómo ayudarías a solucionar esta situación problemática?

ETIPRP 3. Andrés, un poblador de la provincia de Tayacaja, región Huancavelica, por situaciones de lluvias, desea trasladar su corral de forma octagonal-irregular, desplazándolo 3 m al este y 4 m al norte. a) ¿Cuál será la longitud del desplazamiento final del corral? b) Si el desplazamiento final fuese la mitad y se conservara el desplazamiento al este, ¿cuántos metros al norte se habría desplazado? c) Si el desplazamiento final fuese el doble y se conservara el desplazamiento al norte, ¿cuántos metros al este se habría desplazado?

ATCSP 4. La figura muestra un rectángulo dividido en un sector A que ha sido teselado y un sector B sin teselar. Si se continúa con el teselado:

a)

b)

c)

d)

¿Cuál de las opciones corresponde al rectángulo señalado en el sector B?

Indicadores de evaluación   

Los indicadores de evaluación son afirmaciones que expresan conductas observables y nos permiten evaluar los desempeños del estudiante sobre la base de información cuantitativa. Los indicadores de evaluación permiten cuantificar los ítems de la prueba a través de la medición de cada una de las conductas observables. Los indicadores de evaluación son consistentes si ellos corresponden a los descriptores de la tabla de especificaciones.

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TABLA DE INDICADORES DE EVALUACIÓN CÓDIGO IOE ESPRC DCOE URCIC CASERC RICR IFDF UPCF DPFRF CDUM CFGRH DCFT

INDICADOR Identifica el objeto de estudio. Expresa la situación problemática con transformaciones geométricas. Determina la característica del objeto de estudio. Elabora figuras geométricas a partir de la traslación. Construye adecuadamente la situación empleando la rotación. Recoge información de la construcción realizada. Identifica formas, dada una figura la pueden reproducir. Usa las propiedades para concebir clases de forma. Deduce las propiedades de una figura y reconoce las clases de figuras. Construye demostraciones usando más de una manera. Construye figuras geométricas realizando la homotecia. Desarrolla su creatividad al construir figuras teseladas.

DESCRIPTOR RSFMLTGRP1 RSFMLTGRP1 RSFMLTGRP1 CFGATIRSP 2 CFGATIRSP 2 CFGATIRSP 2 ETIPRP 3 ETIPRP 3 ETIPRP 3 ATCSP 4 ATCSP 4 ATCSP 4

Descripción de la tabla de indicadores de evaluación En la primera columna, aparecen los códigos correspondientes a cada indicador; en la segunda, los indicadores de evaluación; y en la tercera, los códigos de los descriptores asociados a cada indicador. De esta manera, disponemos de un paquete de indicadores de evaluación para cada ítem de la prueba de desempeño. Asignación de valores a los indicadores de evaluación En principio, la cuantificación de los indicadores de evaluación es arbitraria. Sin embargo, para asignar un valor numérico a cada uno de los indicadores, con frecuencia se suele tomar en cuenta el nivel de dificultad de la conducta observable que expresa cada dificultad. En este caso, cada indicador tendrá su propio peso. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES DE LA UNIDAD IV Indicación. A continuación, te presentamos situaciones que requieren resolución por cualquiera de las estrategias que consideres pertinente. Explicita la estrategia que vas usando en la resolución de cada situación problemática: 1. Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determina, en cada caso, la razón de semejanza y los valores desconocidos: a) 2, 4, 5 b) 5, 8, 10

4, x, 10 150, x, y

2. Un rectángulo tiene una diagonal de 75 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 36 m y 48 m. 3. Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm y aplica una semejanza de razón ¼ para obtener otro semejante. Calcula la longitud de la hipotenusa en cada triángulo. 4. Considera el siguiente plano. Calcula el área real de cada recinto y el área total. 95

5. Ramón tiene una casa con dos dormitorios. Las dimensiones de uno de ellos son la tercera parte de las del otro. Dado que para enlosar el grande ha necesitado 189 baldosas, piensa que para el pequeño necesitará la tercera parte, es decir, 63 baldosas. ¿Está en lo cierto?

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UNIDAD V Vivimos en un mundo tridimensional PRESENTACIÓN En nuestro quehacer diario, frecuentemente nos encontramos con sólidos geométricos, ya que vivimos en un mundo de tres dimensiones: una caja de zapatos, una caja de panetón, un ladrillo, una pelota de fútbol, un cono señalizador, un edificio, un tanque de agua, una lata de leche, un envase para concentrado de frutas, un lápiz, entre otros. Estos sólidos geométricos están limitados por superficies que pueden ser planas o curvas. Vivimos en un mundo tridimensional, por lo que también existen cuerpos geométricos, como el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera, que, al colocarlos sobre una mesa, solo su base queda contenida en ella. Estos cuerpos están relacionados también con otra geometría, la que se encarga de estudiar nuestro espacio tridimensional, la que llamamos geometría del espacio o estereometría. En esta unidad, desarrollamos el estudio de los poliedros regulares. Empezamos revisando el concepto de sólido geométrico y poliedro, luego pasamos a estudiar a los poliedros regulares, sus elementos y propiedades más importantes (tales como área superficial, volumen, aplicaciones en la vida diaria), explicando, además, su relación, a través de la historia, con la filosofía, arquitectura, pintura y escultura.

ESQUEMAS DE LOS CONTENIDOS Reflexión desde la práctica Reflexión teórica

VIVIMOS EN UN MUNDO TRIDIMENSIONAL

Sólido geométrico Poliedros Cuerpos redondos Aplicación de la geometría en las culturas peruanas Orientaciones didácticas Evaluación de los aprendizajes Herramientas para la nueva práctica Actividades de reflexión individual/equipo, de distancia y de metacognición, y autoevaluación Glosario, texto complementario, referencias y evaluación de la unidad

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1. Reflexión desde la práctica Estimado docente a continuación presentamos la siguiente situación:

Hoy día, la clase se titula “Poliedros regulares”. Saquen sus cuadernos que voy a dictar el concepto. Buenos días, chicos.

Profesor, ¿puede volver a repetir?, no entiendo.

“Los poliedros son figuras geométricas…”. No es el momento para las preguntas…

Ahora, tienen que aprenderse las fórmulas para el examen.

Profesor, ¿qué es un poliedro?

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Son muchas fórmulas para aprenderse.

¡Mira, Teófila, la clase anterior ya lo vimos, no me hagas repetir lo mismo!

A partir de la lectura de la situación y tu experiencia, responde las siguientes preguntas:a) ¿Quién es el actor principal de esta historieta? ¿Qué enfoque está aplicando? b) ¿La sesión que lleva a cabo el profesor es contextualizada? Explica. c) ¿Qué actividades realizas para recoger los conocimientos previos de tus estudiantes? d) ¿Cómo realizas tus sesiones con respecto a los sólidos geométricos? Explica brevemente. f) ¿Crees que es importante estudiar a los sólidos geométricos? ¿Por qué? g) ¿Qué estrategias utilizas en tus sesiones de aprendizaje para desarrollar sólidos geométricos? h) ¿Tus sesiones de aprendizaje despiertan el interés y mantienen motivados a tus estudiantes?

2. Reflexión teórica 2.1 Fundamento teórico 2.1.1 ¿Qué es un sólido geométrico? Se denomina sólido geométrico a aquella porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto de puntos que conforman la superficie del sólido. Estos pueden ser poliedros (prisma, pirámide, entre otros) o cuerpos redondos (esfera, cilindro, etc.).

2.1.2 ¿Qué son los poliedros? Son sólidos geométricos que están limitados por polígonos; es decir, sus caras son polígonos.

Elementos de un poliedro Caras. Son las superficies planas poligonales que limitan al poliedro. 99

Aristas. Son cada una de las intersecciones de sus caras. Vértices. Son los puntos donde se intersecan tres o más aristas del poliedro. Ángulo diedro. Son los diedros formados por cada dos caras consecutivas. Ángulo poliedro. Son los anguloides por cada vértice del poliedro. Diagonal. Es el segmento de recta que une dos vértices no situados en una misma cara.

a. ¿Qué son los prismas? Son poliedros limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se nombran según el polígono de la base.

b. ¿Qué es una pirámide? Es un poliedro en el cual una de sus caras es un polígono cualquiera y las otras son triángulos que tienen un vértice común. Elementos: Vértice. Es el vértice común de las caras triangulares. 100

Caras laterales. Son las caras triangulares. Base. Es la cara no lateral que tiene la forma de un polígono. Altura. Es la perpendicular trazada del vértice a la base.

2.1.3 ¿Qué son los cuerpos redondos? Los cuerpos redondos son aquellos que tienen superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución, porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje. Son el cilindro, el cono y la esfera.

2.1.4 Aplicación de la geometría en las culturas peruanas Durante el desarrollo de la historia de la humanidad, los contenidos matemáticos han ido relacionándose con otras áreas del conocimiento; por ello, no debe sorprendernos que el ser humano haya buscado relacionar a los poliedros con elementos que nos rodean o utilizarlos en su quehacer diario. a. Los incas Usaron la geometría para moldear sus palacios, templos, fortalezas, tambos y otros edificios (puertas, ventanas, hornacinas y paredes). Un ejemplo de todo esto es la ciudadela de Machu Picchu. En cerámica. En el moldeado de sus ceramios (kero, huacos, aríbalos, vasos ceremoniales, platos, vasijas) usaron los cuerpos de revolución, conos truncados y cilindros.

101

En orfebrería. Aplicaron los sólidos geométricos, planos, paralelismo y perpendicularidad. Utilizaron estas nociones para el diseño de sus dibujos, estampados y grabados, de manera que el acabado sea estético, armónico y elegante.

En la textilería: Aplicaron las traslaciones, rotaciones, semejanza y proporcionalidad.

En la agricultura. Los incas usaron figuras a escala tanto en 2D (dos dimensiones) como en 3D (tres dimensiones) para reproducir campos de cultivo, canales de irrigación y modelos a escala.

En la arquitectura. El Intiwatana o "lugar donde se amarra al Sol" está ubicado en la cima de la "Colina sagrada", conformada por varias terrazas y andenes, a donde se llega luego de subir 78 escalones hasta el patio abierto de muros finamente labrados. El Intiwatana cumplió dos funciones: como piedra altar y para medición del tiempo (solsticio y equinoccio) por efecto de luz y sombra. En una terraza se ven tres escalones tallados en roca granítica, y en la parte central destaca una especie de monolito esculpido y pulido en varios planos, el cual termina en un prisma cuadrangular 102

de 0,36 m de alto, orientado en la línea noroeste-sudeste. Los vértices están dirigidos hacia los cuatro puntos cardinales. Esta piedra es la pieza central y más importante de un complejo sistema de mediciones astronómicas para determinar las fechas de inicio y fin de las campañas agrícolas, aunque al parecer también fue utilizado como altar ritual. Su forma es poligonal, como un poliedro casi cúbico. En la cima tiene las señales de haber sido pegado. Es incuestionable que también ha sido utilizado como un eficaz método para predecir y medir los solsticios y equinoccios, es decir, las estaciones y, por ende, los tiempos de siembra y cosecha. Referirse a esta piedra solo como un "reloj solar", "dial del Sol" u otros nombres similares es, aparentemente, un concepto erróneo, resultado de una limitada especulación. El inca y la sociedad incaica no necesitaban medir el día en horas o minutos. Para ello, solo miraban la posición del Sol, como hoy día hace quien tiene esa costumbre. Reflexión ¿Por qué crees que es importante el estudio de los sólidos geométricos? ¿Cuál es la relación entre la cultura incaica y la matemática (geometría)? ¿Crees que es importante que los estudiantes construyan los poliedros y cuerpos redondos? ¿Por qué?

2.2 ¿Cuáles son las orientaciones didácticas que emplearías para el desarrollo de los aprendizajes? A continuación, se realiza la explicación del desarrollo de una competencia a partir de una situación problemática, utilizando orientaciones metodológicas, materiales, medios e instrumentos para la verificación del logro de los aprendizajes.

2.2.1 Diseñamos estanques para una piscigranja Competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.

Capacidades  Matematiza situaciones. 



Comunica y representa ideas matemáticas. Razona y argumenta generando ideas matemáticas.

Indicadores  Selecciona un modelo relacionado a prismas o pirámides para plantear y resolver problemas.  Describe prismas y pirámides indicando la posición desde la cual se ha efectuado la observación. 

Justifica la pertenencia o no de un cuerpo geométrico dado a una clase determinada de prisma según sus características de forma (regulares, irregulares, rectos, etc.).

INICIO Al empezar, debes dar la bienvenida a los estudiantes y mencionarles el propósito de esta actividad: calcular las dimensiones de los estaques de truchas. Ellos deben saber los criterios a evaluar; en este

103

caso, el trabajo en equipo mediante una ficha de coevaluación. Luego les presentas la situación problemática.

Situación problemática 1 El centro piscícola El Ingenio cuenta con 105 estanques para producir alevinos, juveniles, adultos y reproductores y una batería de 24 estanques de experimentación. La producción anual es de 200 toneladas en promedio, 3 millones de ovas embrionadas y 2,5 millones de alevinos. Está encargado de producir truchas de talla comercial para su venta en el mercado regional y limeño. Produce ovas embrionadas y alevinos para el abastecimiento de piscigranjas comunales y pequeños productores a nivel nacional y regional. Brinda asesoramiento técnico a las entidades dedicadas a la crianza de truchas, dando, a su vez, facilidades para la ejecución de prácticas preprofesionales y profesionales a estudiantes de distintas universidades del país. Los estudiantes de la IE 30108 del distrito y provincia de Chupaca fueron de visita de estudio a esta piscigranja. El motivo es que en su comunidad desean construir un criadero de truchas, por lo que observan todo el proceso del desarrollo en las diferentes pozas que visitan. El profesor del área de Matemática les pide a los estudiantes que encuentren las dimensiones y el volumen de uno de los estanques. Ellos, al realizar las mediciones, descubren que el largo es cinco veces el ancho y diez veces la profundidad; además, encuentran que el contorno de la poza es de 28,8 metros. a) b) c) d)

¿Los estanques tienen las mismas dimensiones? ¿Cuál es el área del borde de la poza? ¿Cuál es el volumen de la poza? ¿Cuánto mide el ancho de la poza?

El docente forma equipos de trabajo para que los estudiantes trabajen colaborativamente, luego se reparte la situación problemática. El docente debe realizar la motivación y el recojo de saberes previos relacionados con la situación problemática y los aprendizajes esperados. DESARROLLO Ante esta situación, los estudiantes deben buscar diferentes estrategias heurísticas para resolver el problema. A continuación, se evidencian los cuatro pasos de Pólya para hallar la solución. Paso 1: Comprender el problema, es decir, entender qué me están preguntando, qué me piden 104

encontrar. Para esto, los estudiantes deben realizar las mediciones de los estanques, con cuerdas, cinta métrica, wincha, etc., y encontrarán los siguientes datos: Largo = 5 veces el ancho = 10 veces la profundidad Contorno = perímetro = 28,8 m Paso 2: Concebir un plan de solución, es decir, debemos determinar la relación entre los datos y la incógnita o las incógnitas. De no encontrarse una relación inmediata, pueden considerarse problemas auxiliares para obtener finalmente un plan de solución, es decir, buscar la estrategia adecuada que permita resolver la situación problemática. Del gráfico, podemos observar que los estanques tienen las mismas formas rectangulares y son del mismo tamaño; entonces, podemos encontrar el área de uno de los estanques y, como tenemos el dato de la profundidad, podemos hallar su volumen. Elaboramos un gráfico para representar la situación problemática. 10x

2x

x

Paso 3: Ejecutar el plan implementando la estrategia elegida hasta llegar a la solución del problema. Área del rectángulo = Largo x ancho = Base x altura = L x A Volumen de la poza = Largo x ancho x profundidad = L x A x P Por dato, el perímetro = 28,8 m = 10x + 2x + 10x + 2x

24x = 28,8 m x = 1,2 m

L = 10x = 10(1,2) = 12 m A = 2x = 2(1,2) = 2,4 m Área A

= L x A = 12 x 2,4 = 28,8 m2

Volumen V = 12 x 2,4 x 1,2 = 34,56 m3 Respuestas: a) b) c) d)

Los estanques (para una misma etapa biológica de la trucha) tienen las mismas dimensiones. El área del borde de la poza es 28,8 m2. El volumen del estanque es 34,56 m3. El ancho del estanque es 2,4 m. 105

Paso 4: Examinar la solución obtenida o visión retrospectiva. Es importante que los estudiantes verifiquen todo el proceso de la resolución del problema, es decir, su razonamiento, cómo llegaron a la solución del problema, si cumple con las condiciones planteadas y ver si pueden obtenerla de forma diferente. Actividad Si las dimensiones de los estanques se redujeran a la mitad, ¿cuál sería el perímetro del borde del estanque?, ¿cuál sería su área?, ¿cuál su volumen? CIERRE Tenemos que hacer preguntas a los estudiantes para verificar si aprendieron; caso contrario, debemos reforzar sobre algunos aspectos puntuales para consolidar el aprendizaje. Se realiza la metacognición mediante las siguientes preguntas: a) ¿En qué medida te ayudó la estrategia de Pólya para resolver la situación problemática? b) ¿Cómo ha sido tu participación en el trabajo en equipo? Explica. c) ¿Qué dificultades han tenido? ¿Cómo las superaron? Estimado docente, te proponemos un instrumento para evaluar la actividad desarrollada: Ficha de coevaluación Ahora, coloca los puntos con respecto a su trabajo en el aula. Comunicar, previamente, en qué momento del proceso se va a usar.

Integrantes

Apoya el trabajo en equipo.

Logra resolver el problema.

Respeta las opiniones del grupo.

Mantiene la disciplina.

(0-5)

(0-5)

(0-5)

(0-5)

Puntos

1. 2. 3. 4. 5. 0-1: No se observó. 2: Regular.

3: Bueno.

4: Muy bueno.

5: Excelente.

2.2.2 Construimos la cocina mejorada Competencia

Capacidades

Indicadores

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización.



Matematiza situaciones.



Comunica y representa ideas matemáticas.

 

106

Contrasta modelos basados en prismas y cuerpos de revolución al vincularlos a situaciones afines. Expresa enunciados generales relacionados a propiedades en prismas.



Elabora y estrategias.

usa



 

Razona y argumenta generando ideas matemáticas.

Halla el área y volumen del prisma y empleando unidades convencionales o descomponiendo formas geométricas cuyas medidas son conocidas, con recursos gráficos y otros. Justifica la clasificación de prismas (regulares, irregulares, rectos, oblicuos, paralepípedos, ortoedros) según sus atributos de forma.

INICIO Situación problemática 2 Octavio es un campesino ayacuchano que aprendió a construir la cocina mejorada en las capacitaciones que Midis-Foncodes desarrolló en el campo. Esta cocina tiene por objetivo reducir los problemas de salud en las familias rurales, como es el caso de las enfermedades respiratorias agudas, así como ahorrar el consumo de leñas y mantener la limpieza de una cocina, todo ello para mejorar la calidad de vida de los pobladores de las zonas rurales de la sierra y la selva. Octavio quiere encontrar la diagonal de esta cocina, que tiene la forma de un prisma rectangular, y también hallar su volumen (en metros cúbicos) para saber cuántos rajados de leña utilizará como combustible. Si la cocina tiene de largo 100 cm, de ancho la medida del largo disminuido en 20 cm y de altura la mitad del largo aumentado en 10 cm, ¿cómo ayudarías a resolver el problema que tiene Octavio?

El docente forma grupos de estudiantes para que trabajen en equipo, luego se reparte la situación problemática. El docente debe realizar la motivación y el recojo de saberes previos relacionados con la situación problemática. A continuación, el docente debe presentar el propósito de la sesión y la forma en que serán evaluados, mediante una lista de cotejo, durante el proceso de resolución de la situación problemática. DESARROLLO Paso 1: Comprender el problema. Primero tenemos que leer detenidamente la situación problemática hasta entenderla, luego sacamos los datos y debemos tener claro lo que nos están pidiendo encontrar. Datos 107

Forma de la cocina: prisma rectangular Largo: 100 cm Ancho: largo menos 20 cm Altura: mitad del largo más 10 cm Diagonal de la cocina: ¿? Volumen de la cocina: ¿? Paso 2: Concebir un plan. Encontramos la relación de los datos del problema con las condiciones que nos dan y la expresamos mediante un gráfico.

D

60 cm

A 80 cm

B

100 cm

C

Podemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar primero la diagonal de una cara y, posteriormente, la diagonal del cubo. Paso 3: Ejecutar el plan. En el triángulo rectángulo ABC tenemos: √ √ √ √ Ahora encontramos, de igual manera, la diagonal del cubo en el T (rectángulo ACD): √(

√

)

√

√

√

Hallando el volumen: Paso 4: Examinar la solución obtenida. En este paso de revisión o verificación, se hace el análisis de la solución obtenida, no solo en cuanto a la corrección del resultado, sino también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias, diferentes de la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original. Verificando la diagonal: √

√ √

√ √ √

√ √

Verificando el volumen:

En este momento, también se puede hacer la generalización del problema o la formulación de otros nuevos a partir de él. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son: ¿Hay otro modo 108

de resolver el problema? ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento empleado para resolver problemas semejantes?

109

CIERRE El docente debe lograr que los estudiantes, a través de preguntas, reflexionen sobre todo el proceso de solución de la situación problemática. ¿En qué medida te ayudaron los pasos de Pólya a resolver la situación problemática? ¿En qué otras situaciones utilizarás la estrategia heurística del ensayo-error? 1.3 Evaluación de los aprendizajes A continuación, te proponemos este instrumento de evaluación para recoger la información de tus estudiantes y pueda ser aplicado en todo el proceso de aprendizaje. Previamente, el estudiante debe conocer y contar con este instrumento, a fin de que sepa el cómo y en qué condiciones será evaluado. Competencia a ser evaluada: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización. Proceso de evaluación Momentos de evaluación: Cada estudiante y cada equipo de trabajo deben Se llevará a cabo durante el proceso (evaluación formativa autovalorarse con base en esta rúbrica. continua) y al final de cada unidad (evaluación de salida). El profesor evalúa la competencia también con esta rúbrica. Escala de valoración Usa Usa diversas AutoCoHeteroUsa Evidencia CAPACIDAD conceptos fuentes valoración valoración valoración nociones. creatividad. básicos. teóricas. (0-10) (18-20) (11-13) (14-17) Matematiza Logros Logros Logros situaciones. Aspectos Aspectos Aspectos a Indicadores de esta a mejorar a mejorar capacidad. mejorar Comunica y representa Logros Logros Logros ideas matemáticas. Indicadores capacidad. Elabora y estrategias. Indicadores capacidad.

de esta

usa

de esta

Razona y argumenta generando ideas matemáticas. Indicadores capacidad.

de esta

110

Aspectos a mejorar

Aspectos a mejorar

Aspectos a mejorar

Logros

Logros

Logros

Aspectos a mejorar

Aspectos a mejorar

Aspectos a mejorar

Logros

Logros

Logros

Aspectos a mejorar

Aspectos a mejorar

Aspectos a mejorar

3. Herramientas para la nueva práctica 3.1. Actividades de reflexión individual/equipo Vivimos en un mundo tridimensional; en consecuencia, todos los objetos ocupan un lugar en el espacio. Esta es una característica objetiva de nuestro entorno; sin embargo, genera dificultades por cuanto los recursos que empleamos, como los libros y pizarra, solo permiten realizar construcciones bidimensionales. Por tanto, es indispensable plantear actividades donde se elaboren construcciones manipulativas de objetos tridimensionales. En tal sentido, proponemos algunas interrogantes que motiven propuestas de actividades innovadoras para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje. ¿Qué materiales o recursos disponibles de la zona donde llevas a cabo tu práctica pedagógica utilizas para trabajar sólidos geométricos? Desde tu práctica pedagógica, ¿qué estrategias propones a tus estudiantes para resolver situaciones problemáticas que involucran sólidos geométricos? a) ¿Crees que es importante aplicar la estrategia de George Pólya en esta unidad? b) ¿Cómo aprovecharías al aporte de los sabios de la comunidad en tu proyecto con los estudiantes? c) ¿Qué parte de la unidad te pareció muy interesante e innovador y que te ayudará en tu práctica pedagógica? d) ¿Cuál es tu compromiso de innovar tu práctica pedagógica?

3.2 Actividades a distancia A continuación, se presentan actividades para poner en práctica aspectos desarrollados en esta unidad, las cuales serán ejecutas en el componente a distancia. a) Considerando la situación significativa de tu unidad didáctica, crea una situación problemática referida a poliedros en un contexto rural. b) Elabora una sesión de aprendizaje considerando la situación problemática referida a poliedros en el contexto rural y adjunta su correspondiente instrumento de evaluación. c) Ejecuta la sesión de aprendizaje y recoge las evidencias correspondientes, para que luego sean adjuntadas en el portafolio (fotos, videos, audios, trabajos de los estudiantes, etc.). d) Adjunta al portafolio el instrumento de evaluación utilizado.

3.3 Actividades de metacognición a) b) c) d) e) f) g) h) i)

¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas? ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades?, ¿por qué? Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo? ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades? ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayores dificultades? ¿Cómo lograste superar estas dificultades?, ¿qué pasos has seguido para superarlas? ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo? ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este fascículo? ¿Por qué? ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?, ¿qué sentimientos provocaron en ti este hecho? 111

3.4 Actividad de autoevaluación Indicación: Estimado docente, evalúa tu participación durante el taller. N.o 1

Indicadores Mi participación fue activa y pertinente en las actividades indicadas durante el desarrollo del taller. Compartí y escuché a mis colegas las experiencias exitosas en la labor docente. Optimicé el uso del tiempo para el desarrollo de las actividades. Generé confianza y buen clima en las relaciones interpersonales con mis colegas. Propuse acciones con respaldo teórico para la mejora de la práctica pedagógica. Conozco el soporte teórico vigente que interviene en mi práctica pedagógica.

2 3 4 5 6

Sí

No

4. Glosario Cilindro: Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos planos paralelos que forman sus bases; en especial, el cilindro circular. Paralelepípedo: Cuerpo geométrico formado por seis paralelogramos, de los cuales son iguales y paralelos los opuestos entre sí. Poliedros: Son sólidos geométricos que están limitados por polígonos; es decir, sus caras son polígonos. Prisma: Es un poliedro de base poligonal de n lados.

5. Texto complementario Poliedros en la crianza de peces. El estanque o pozas de crianza Los estanques son recintos cerrados en los cuales se almacena y circula una determinada cantidad de agua. Permite el encierro de los peces para lograr su crianza y desarrollo, ofreciéndoles una adecuada alimentación y protección sanitaria. Características geométricas: Dependen de la topografía del terreno y de las etapas de crianza, pueden ser RECTANGULARES o CIRCULARES, prefiriéndose los primeros. Los estanques de menor dimensión se utilizan para la fase de alevinaje, medianos para los juveniles y mayores para adultos y reproductores. Los estanques de tierra pueden tener cualquier tamaño; pero deben ser manejables y, frecuentemente, tienen dimensiones de 30 m de largo por 10 m de ancho. Tipos: -

Estanque seminatural, recinto natural de tierra acondicionado por la persona que almacena agua, el cual se encuentra preferentemente en terreno arcilloso, a fin de evitar filtraciones. 112

-

Estanque artificial, diseñado y construido con fines piscícolas, puede ser a tajo abierto o con material de concreto armado (cemento, ladrillo, refuerzo de piedras, etc.). Estanques de derivación, que se construyen aprovechando las características topográficas del terreno, de tal manera que el agua que los abastece es derivada del río, riachuelo o manantial hacia los estanques mediante un canal.

Pueden estar construidos de: -

Mampostería de piedra: con agregados y cemento. Concreto simple: cemento y agregados. Concreto armado: cemento y fierro.

Dimensiones de los estanques Para la crianza intensiva de truchas, se deben diseñar y construir estanques con características adecuadas a las etapas de crianza o biológicas de la especie. Puede emplearse cualquier forma o tamaño de estanques para cualquier etapa de crianza, pero con ciertas limitaciones de manejo. Sin embargo, una adecuada distribución de estanques para cada etapa biológica podrá permitir una crianza periódica, rotativa de alevines, juveniles, precomerciales, comerciales y reproductores, y a la vez posibilitará el uso racional del agua.

6. Referencias FONCODES. (s. f.). Manual de operación, conservación y mantenimiento de piscigranja. IPEBA - Programa Estándares de Aprendizaje. (2013). Mapas de Progreso del Aprendizaje: Matemática-Geometría. CEPREDIM. Ministerio de Educación. (2007). Fascículo 2: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de la geometría en secundaria. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2014). Orientaciones generales para la planificación. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015a). Rutas del Aprendizaje VI ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Ministerio de Educación. (2015b). Rutas del Aprendizaje VII ciclo: Área curricular Matemática. Lima: Autor. Sólidos

geométricos. (2016). Youtube. Consultado https://www.youtube.com/watch?v=NZUzMqAR4bo 113

el

6

de

abril

de

2016.

Anexo Evaluación de aprendizajes de la unidad Tabla de especificaciones CÓDIGO RSFMSGRP 1 CPSPRSPSP 2 RSFMLPRPSP3 APFSGPRP4

N.° ÍTEMS

DESCRIPTORES Reconoce situaciones de forma, movimiento y localización que permitan emplear sólidos geométricos para resolver problemas. Concibe un plan de solución para resolver situaciones problemáticas sobre poliedros. Resuelve situaciones de forma, movimiento y localización que permitan resolver problemas sobre prismas. Aplica las propiedades y fórmulas de los sólidos geométricos para resolver problemas.

TOTAL

1 1 1 1 4

RSFMSGRP 1. Los estudiantes de la IE 7085 del distrito de Chupaca fueron de visita de estudio a la piscigranja de Ingenio, porque en su comunidad desean construir un criadero de truchas. Ellos observan todo el proceso del desarrollo en las diferentes pozas. El profesor de Matemática les pide que encuentren las dimensiones de una de las pozas y su volumen. Al realizar las mediciones, los estudiantes encuentran que el largo es cinco veces el ancho y diez veces la profundidad; además, que el contorno de la poza es de 28,8 metros. a) ¿Cuál es área del borde la poza? b) ¿Cuál es el volumen de la poza? CPSPRSPSP 2. Octavio es un campesino ayacuchano que aprendió a construir la cocina mejorada en las capacitaciones que Midis-Foncodes desarrolló en el campo. Esta cocina tiene por objetivo reducir los problemas de salud en las familias rurales, como es el caso de las enfermedades respiratorias agudas; así como ahorrar el consumo de leñas y también mantener la limpieza de una cocina, para mejorar la calidad de vida de los pobladores de las zonas rurales de la sierra y la selva. Octavio quiere encontrar la diagonal de esta cocina que tiene la forma de un prisma rectangular y hallar su volumen (en metros cúbicos) para saber cuántos rajados de leña utilizará como combustible. Si la cocina tiene de largo 100 cm, de ancho la medida del largo disminuido en 20 cm y de altura la mitad del largo aumentado en 10 cm, ¿cómo ayudarías a resolver el problema que tiene Octavio? RSFMLPRPSP 3. Roberto, que vive en la región Ayacucho, trabaja con su hermano Julio vendiendo adobes. Con su camión, le han hecho un pedido de 6 millares. Para esto, tiene que calcular cuántos adobes puede llevar en la tolva de su camión que tiene por dimensiones 3 m de largo, 1,80 m de ancho y 1,60 m de alto; además, él sabe que cada adobe mide 24 cm de largo, 11 cm de ancho y 6 cm de altura. ¿Se podrán transportar todos los adobes en un solo viaje? APFSGPRP 4. La parte más alta de la torre de una iglesia de Ayacucho es una pirámide de base cuadrada. La altura de la pirámide es de 5 metros y la arista de la base mide 6 metros. Calcula el volumen de esa parte de la torre. 114

Indicadores de evaluación   

Los indicadores de evaluación son afirmaciones que expresan conductas observables y nos permiten evaluar los desempeños del estudiante sobre la base de información cuantitativa. Los indicadores de evaluación permiten cuantificar los ítems de la prueba a través de la medición de cada una de las conductas observables. Los indicadores de evaluación son consistentes si ellos corresponden a los descriptores de la tabla de especificaciones.

CÓDIGO IOE ESPRC GCOE EEARP ECLED ROIC EALFQN UPPRP

TABLA DE INDICADORES DE EVALUACIÓN INDICADOR Identifica el objeto de estudio. Expresa la situación problemática con sólidos geométricos. Grafica las características del objeto de estudio. Emplea estrategias adecuadas para resolver problemas. Ejecuta correctamente la estrategia diseñada. Realiza las operaciones indicadas correctamente. Emplea adecuadamente las fórmulas que necesita. Usan las propiedades para resolver problemas.

DESCRIPTOR RSFMSGRP 1 RSFMSGRP 1 CPSPRSPSP 2 CPSPRSPSP 2 RSFMLPRPSP 3 RSFMLPRPSP 3 APFSGPRP 4 APFSGPRP 4

Descripción de la tabla de indicadores de evaluación En la primera columna, aparecen los códigos correspondientes a cada indicador; en la segunda, los indicadores de evaluación; y en la tercera, los códigos de los descriptores asociados a cada indicador. De esta manera, disponemos de un paquete de indicadores de evaluación para cada ítem de la prueba de desempeño. Asignación de valores a los indicadores de evaluación En principio, la cuantificación de los indicadores de evaluación es arbitraria. Sin embargo, para asignar un valor numérico a cada uno de los indicadores, con frecuencia se suele tomar en cuenta el nivel de dificultad de la conducta observable que expresa cada dificultad. En este caso, cada indicador tendrá su propio peso.

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