Serie D’exercices Serie D’exercices

SERIE D’EXERCICES

EXERCICE 1 NIVEAU : 2 éme LMD OBJECTIF : calcul gisements et angles DURÉE : 1 heure

on a lancer une serie de visés apartir des sommets A,B,C pour implanter le point D

1.Remplissez le tableau suivant :

2-déterminez à partir de l’angle Zénithale la distance horizontale Dh BD sachant que la distance DpBD=315.11m

3. par résolution du triangle BCD, calculez les distances BC et BD

4.Dans le triangle ABC :on vous donne BC = 163,696 m a-Faites les compensations des angles nécessaires ,A1,C1,B b-calculez les distances AB ,AC

5) a- déterminez la mesure de l’angle D b- calculez les distaces AD ,CD

CORRECTION EXERCICE 1

Détermination de la lecture moyenne :

Lmoy =LCG +( LCD ±200 ) 2   ¤ Remarque : Si LCG > 200 𝑔𝑟 Lmoy = LCG +( LCD + 200 ) 2 Si LCG < 200 𝑔𝑟 Lmoy = LCG +( LCD − 200 ) 2

Détermination des orientements θ0 de chaque station

θ0 = θAB + LBmoy → θAM = θ0 –Lm(M) Sauf ans le cas de la première base → θAM = θ0 +Lm(M)

Détermination de θ0 de la station A et les orientements : θ0 = θAB + LBmoy = 0,000 + 0,006 = 0,006 gr → θAC = θ0 +LCmoy = 0,006 + 60,072 = 60,078 gr → θAD = θ0 + LDmoy = 0,006 + 127,349 = 127,355 gr Détermination θ0 de de la station B et les orientements : θAB = 0,000 < 200 𝑔𝑟 → θBA = θAB + 200 gr = 200,000 gr θ0 = θBA + LAmoy = 200,000 + 90,236 = 290,236 gr θBC = θ0 − LCmoy = 290,236 − 0,011 = 290,225 gr θBD = θ0 − LDmoy = 290,236 − 47,402 = 242,834 gr Détermination de θ0 de la station C et les orientements : θBC = 290,225 > 200 𝑔𝑟 → θCB = θBC − 200 gr = 90,225 gr θ0 = θCB + LBmoy = 90,225 + 49,079 = 139,304 gr θCA = θ0 − LAmoy = 139,304 − 0,020 = 139,284 gr θCD = θ0 − LDmoy = 139,304 − 334,588 = −195,284 +400 gr = 204,716 gr

Détermination des angles :

A1 = θAC − θAB = 60,072 − 0,000 = 60,072 gr A2 = θAD − θAC = 127,355 − 60,072 = 67,277 gr B1 = θBC − θBD = 290,255 − 242,834 = 47,391 gr B2 = θBD − θBA = 242,834 − 200,000 = 42,834 gr C1 = θCA − θCB = 139,284 − 90,225 = 49,059 gr C2 = θCD − θCA = 204,716 − 139,284 = 65,432 gr

la distance horizontale Dh BD

Dh = Dp × sin(gisement D,B)

Dh = Dp × sin72,670 = 315,11 × sin72,670 = 286,516 m

3) Calcule des distances BC et DC : FORMULE DE SINUS

Dans Le triangle BCD,on BD = 286,516 m On applique la relation des sinus : b/ sinB1 = c /sinC =d/ sinD1 → BC = d = c ×sin D1 /sin C = 286,516 ×sin D1/ sin (C1+C2) Or :C1+C2=114.497 Avec D 1 = 200 − B1 + C = 200 − B1 + C1 + C2 = 200-47,391 + 49,059 + 65,432 = 38,118 gr → BC = 286,516 × sin 38,118 /sin 114.97 → 𝐝 = 𝐁𝐂 = 𝟏𝟔𝟓,𝟕𝟔𝟎 𝐦 → DC = b = c ×sin B1 /sin C = 286,516 ×sin 47,391 /sin 114,491 → 𝐛 = 𝐃𝐂 = 𝟏𝟗𝟗,𝟐𝟔𝟔 𝐦

Compensation des angles 𝐴1 ,𝐶1 𝑒𝑡 𝐵 Σangle =200gr

𝐴1 + 𝐶1 + 𝐵 = 60,072+ 49,059+ 47,391 + 42,834 = 199,356 𝑔𝑟 ∑ αmes = 199,356 gr La compensation totale : 𝐶𝑇 = 200,000 −∑ αmes = 200,000− 199,356 = 0,644 𝑔𝑟 𝐶𝑖 = 𝐶𝑇/ 𝑛 = 0,644 /3 = 0.2146 𝑔𝑟 ; avec n : nombre des angles compensés. → 𝐴 1 𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐴 1 + 𝐶𝑖 = 60,072 + 0,215 = 60,287 𝑔𝑟 → 𝐶 1 𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐶 1 + 𝐶𝑖 = 49,059 + 0,2015 = 49,274 𝑔𝑟 → 𝐵 𝑐𝑜𝑚𝑝 = 𝐵 + 𝐶𝑖 = 47,391+ 42,834 + 0,214 = 90,439 𝑔𝑟 Vérification : 𝐴 1 𝑐𝑜𝑚𝑝 + 𝐶 1 𝑐𝑜𝑚𝑝 + 𝐵 𝑐𝑜𝑚𝑝 = 60,287 + 49,274 + 90,439 = 200,000 𝑔𝑟

Calcule des distances AB et AC : On applique la relation des sinus : b /sin B =c/ sin C1 =a /sin A1 → AB = c = a ×sin C1 /sin A1 = 163,696 ×sin 49,274 sin 60,287 → AB = 140,974 m → AC = b = a ×sin B/ sin A1 = 163,696 ×sin 90,439/ sin 60,287 → AC = 199,411 m

mesure de l’angle D : A2 + C2 + D = 200,000 gr → D = 200,000 − A2 + C2 = 200,000 − (67,277 + 65,432) → 𝐃 = 𝟔𝟕,𝟐𝟗𝟏 𝐠𝐫

Calcule des distances AD et CD : On applique la relation des sinus : a /sin A2 = c /sin C2 = d /sin D → AD = c = d × sin C2/ sin D = 199,411 × sin 65,432/ sin 67,291 → 𝐀𝐃 = 𝟏𝟗𝟔,𝟎𝟒𝟎 𝐦 → CD = a = d ×sin A2 /sin D = 199,411 × sin 67,277/ sin 67,291 → 𝐂𝐃 = 𝟏𝟗𝟗,𝟑𝟖𝟔 𝐦

EXERCICE 2 OBJECTIF : RÉSOLUTION DE TRIANGLES, PRATIQUE DES COORDONNÉES ET DES GISEMENTS DURÉE : 1 HEURE

ÉNONCÉ  Un terrain triangulaire ABC destiné à des installations industrielles est défini dans un système de coordonnées local par les données suivantes : A (XA=14,89 m ; YA=14,22 m) ; DAB = 60,21 m ; DBC = 33,58 m ; DAC = 52,13 m. L’implantation des installations nécessite la connaissance du point R qui est le point d’intersection des médianes.

On vous demande de : •calculer les coordonnées des points B et C ; •calculer les gisements GBC et GAC avec contrôles numériques obligatoires des résultats ; •calculer les coordonnées du point R et la distance de R au coté AC ; contrôlez ce résultat.

• CORRECTION EXERCICE 2

Résolution du triangle ABC  par la loi de sinus : Angle CAB = 37,5799 gr. Angle ABC = 66,4215 gr Angle ACB = 95,9986 gr. Contrôle : somme égale à 200 gr. •Coordonnées de B : XB = XA + DAB.sin(GAB) = 14,86 + 60,21 . sin(53,61) = 59,779 YB = YA + DAB.cos(GAB) = 14,22 + 60,21 . cos(53,61) = 54,314 Résultat : B (59,78 m ; 54,31 m) Coordonnées de C  : GAC = GAB + BAC = GAB + 37,5799 = 91,1899 gon. XC = XA + DAC.sin(GAC) = 14,86 + 52,13 . sin(91,1899) = 66,492 YC = YA + DAC.cos(GAC) = 14,22 + 52,13 . cos(91,1899) = 21,411 Résultat : C (66,49 m ; 21,41 m)

•Gisements GBC et GAC :

66,492  59,779 21,411  54,314 .

GBC : tan(GBC) =

donc GBC = -12,813 gon soit GBC = 187,19 gr (2eme quadrant). Contrôle de GBC : on peut écrire que GBC = GAB + 200 – ABC = 53,61 + 200 – 66,4215 = 187,1885 gon. GAC déjà calculé plus haut : GAC = 91,19 gr. Contrôles de GAC à partir des coordonnées de A et C :

tan(GAC) =

66,492  14,86 21,411  14,22

Coordonnées du point R, intersection des médianes : Soit M milieu de BC, M(63,1355 m ; 37,8625 m) donc DMC = 16,790 m. La résolution du triangle MAC donne l’angle RAC : RAC = 20,1818 gr. On en déduit que l’angle ACR vaut ACR = 35,2348 gr. Soit N milieu de AC, N(40,676 m ; 17,816 m) donc DAN = 26,065 m. La résolution du triangle NAB donne l’angle RBA : RBA = 22,9119 gr. L’angle RAB vaut RAB = BAC – RAC = 37,5799 – 20,1818 = 17,3981 gr. Dans le triangle ARB, on calcule la distance AR : AR / sin(22,9119) = 60,21 / sin(200 – 22,9119 – 17,3981). D’où AR = 35,836 m. On calcule GAR = GAB + BAR = 53,61 + 17,3981 = 71,0081 gr. Donc R est déduit de A : XR = XA + DAR . sin(GAR) = 14,86 + 35,836 . sin(71,0081) = 47,044 m YR = YA + DAR . cos(GAR) = 14,22 + 35,836 . cos(71,0081) = 29,982 m Donc R(47,04 m ; 29,98 m).

• Distance du point R à la droite AC : Soit H, le pied de la perpendiculaire à AC issue de R : dans le triangle rectangle AHR, on écrit : RH = AR . sin(RAH) ; AR = 35,836 m calculé à partir des coordonnées de A et R. Donc RH = 35,836 . sin(20,1818) = 11,171 m. RH = 11,17 m.

Schéma général de correction