Sistemas Eléctricos De Potencia - D P Kothari; I J Nagrath 3ra Edicion

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Sistemas eléctricos de potencia

¿.

Sistemas eléctricos de potencia Tercera edición

D. P. Kothari Indian Institute of kchnology, Nueva Delhi

I. J. Nagrath Birla Institute of Technology and Scíencie, Pilani

Revisión técnica

Luis Mauro Ortega Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Rubén González León Instituto Polité cnico N acional

LTBRO I}T

l,lEXlCO. BOGOTA. BUENOS AIRES. CARACAS. GUATEMALA LISBOA. MADRID. NUEVA YORK. SAN JUAN . SANTIAGO Ctri\Ti)() DE AUcKI-AND . LoNDRES . MILÁN . MoNTREAL . NUEVA oert¡¡g.fni dtlC¡O¡t SA¡¡ FRANCISCO. SINGAPUR. SAN LUIS. SIDNEY'TORONTO MEXICO

Director tligher Education: Miguel Ángel Toledo Cdh Director editorial: Ricardo del Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado Rodrígw Supervisor de producci ónz Zefeino García Garcíe Thaducción: Sergio A. Manuel Sarmiento

Virgilio Gonzílez y Pozo

SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POITENCIA Tercera edición Prohibida la reproducción total o puciel & c¡rr fu. por cualquier medio, sin la autorizrlí¡ cscirü oÉsr

Eil McGraw-H¡ll

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lnteramer¡cana

DERECHOS RESERVADOS O 2mE.

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¡ s5¡s

McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITUES. A Subsidiary of the McGrow-Hiü Coarprü*.

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¡rfi¡irñ¡ cn español por

SA & C.\.

Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Refrme l0l5-TcleA Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Sen FeC.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Crámara Nrcfuod & h h'hL EH

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Rq- )-Iún

ISBN- 10 : 97 0-10 -6529 -8 ISBN- 13: 978-97 0-10-6529 -7 Traducido de la tercera edición de: Modern h¡s S¡'smAnal-vsrs. Copyright O MMIII by Tata McGrar-Hill mffiing Corym,v I imited.

-

Aürights reserved.

097ó5432108 lmpreso en México

lngramex

Priñted in Mexico Priñted bv Litoqrafica

736

l Contenido "d;.crra de los

Wacio

autores xt

a la tercera

I

edición xiii

I

I

edición xv

W¡tio l- lntroducción l.l Una perspectiva l.l Estmctura de los sistemas de suministro eléctrico 10 l"-i Fuentes convencionales de energíaeléctrica 13 I "4 [:s fuentes renovables de energía 25 l-í Alrnacenamiento de energía 28 1"6 Crecimiento de los sistemas de suministro eléctrico en la India 29 1"7 Conservación de la energía 3I 1-8 Desregulación 33 1.9 Generación distribuida y dispersa 34 l.l0 Aspectos ambientales de la generación de energía 35 l.l I lngenieros y estudios de sistemas de suministro eléctrico 39 a la primera

I

1

I I

I

1.11 Uso de computadorasy microprocesadores 39 l_13 koblemas a los que se enfrenta la industria de energía de la India, y sus opciones 40 Referencias 43

a

Inductancia y resistencia en líneas de transmisión

:-l ": l*-1 l"_i

:.ó

::6 l9 : nll :nl .1:

lntroducción 45 psfinición de inductancia 45 Acoplamientos de flujo magnético de un conductor aislado que lleva corriente 46 lnductancia de una línea monofásica de dos conductores 50 Tipos de conductor 51 Acoplamientos de flujo magnético en un conductor de un grupo 53 lnductancia de líneas de conductores compuestos 54 Inducrencia de líneas trifásicas 59 I íneas trifrásicas de doble circuito 66 Conductores empaquetados 68 Resistencia 70 Efecto Kehin -v efecto de proximidad 7I

Prcblemas 72 Refercncias 75

4S

3.

Capacitancia de las líneas de

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4.

76

Introducción 76 Campo eléctrico de un conductor largo y recto 76 Diferencia de potencial entre dos conductores de un grupo de conductores

paralelos 77

Capacitancia de una línea de dos conductores 7g

capacitancia de una línea trifásica con espaciamiento equilátero g0 capacitancia de una línea trifásica con espaciamiento asimétrico gI Efecto de tierra en la capacitancia de líneas de transmisión g-t Método de GMD (modificado) 9l Conductores múltiples 92 Problemas 93 Referencias 94

Representación de componentes de sistemas eréctricos de

4.I 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5.

transmisión

potencia

gs

Introducción 95 Solución monofásica de redes trifásicas equilibradas 95 Diagrama unifilar y diagrama de impedancias y reactancias gg Sistema por unidad (pu) 99

compleja 105 síncrona 108 Representación de las cargas Problemas 125 Referencias 127 Potencia

Máquina

121

Características y desempeño de las líneas de transmisión

128

5.1 Introducción I28 5.2 Línea corta de transmisión 129 5.3 Línea de transmisión de longitud media 137 5.4 Línea de transmisión larga. Solución rigurosa 139 5.5 Interpretación de las ecuaciones para líneas largas 143 5.6 Efecto Ferranti l50 5.7 Líneas eléctricas de potencia sintonizadas 151 5.8 El circuito equivalente de una línea larga 152 5.9 Flujo de potencia a través de una línea de transmisión 158 5.10

Métodos de control de

voltaje

173

Problemas 181 Referencias 183

6.

Estudios de flujo de carga

6.r

Introducción 184

6.2

Formulación de modelos de red 185 Formación de Y"u, por transformación

6.3

184

singular

189

:' : -i r6 |t! f .9

Problema de flujo de

carga

196

\létodo Gauss-Seidel. 204

\létodo Newton-Raphson (NR) 213 \létodos desacoplados para flujo de carga 222 Comparación de los métodos de flujo de carga 228 Control del perfil de voltaje 230 i. 1r,l Conclusión 236 Problemqs 236 Referencias 240

l

242

Operación óptima del sistema

I -.1 -.-1

lntroducción 242

-

Programación óptima de generación 259 Solución óptima de flujo de carga 270 Programación óptima de un sistema hidrotérmico 276 Problemqs 284

-.

5 6

Operación óptima de generadores en una barra de Planificación óptima de las unidades (UC) 250

bus

243

i I

I

i

i

Referencias 286 I

S

Control automático de generación y voltaje

!I !I ! -1 ! -:' !5 r.6 ¡.

Control Control Control Control Control Control

carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola área) 291 de carga frecuencia y control de despacho económico 305 de carga frecuencia (potencia frecuencia) de dos áreas 307 óptimo de carga frecuencia (dos áreas) 310 automático de voltaje 318 de carga frecuencia con restricciones de tapidez

:

!

9 .

r-l

(GRC)

320

Banda muerta del gobernador de velocidad y su efecto en AGC (control automático de generación) 321 Controladores digitales de carga frecuencia 322 Control descentralizado 323 Problemas 324

Referencias 325 {nálisis de fallas simétricas

Introducción 327 Transitorios en una línea de transmisión 328 Conocircuito de una máquina síncrona (sin carga) 330 Conoci¡cuito de una máquina síncrona con carga 339 Seie¿.-ión de

cortacircuitos 344

i l

Introducción 290

de generación

:S

290

327

9.6 9.7

Algoritmo para el estudio de cortoci¡cuitos 319

Formulación de Z"u. 355

Problemas 363 Referencias 368

10. Componentessimétricos 10.1 Introducción 369 10.2 Transformación de componentes simétricos 370 10.3 Desplazamiento de fase en transformadores estrella-delta

369

377

lO.4 Impedancias de secuencia de las líneas de transmisión 379 10.5 Impedancias de secuencia y red de secuencia del sistema de potencia 381 10.6 Impedancias y redes de secuencia de máquinas síncronas 381 I0.7 Impedancias de secuencia en las líneas de transmisión 385 10.8 Impedancias y redes de secuencia en transformadores 386 10.9 Construcción de redes de secuencia para un sistema eléctrico de potencia 389 Problemas 393 Referencias 396

11.

Análisis de fallas

asimétricas

1.1 lI.2

Introducción 397

ll.7

Método de la matriz de impedancia de bus para el análisis de fallas asimétricas en deriración (shunt) 116 Problemas 427

I

397

Análisis de componentes asimétricos en fallas asimétricas 398

11.3 Falla de una línea a tiena (LG) 399 11.4 Falla de línea a línea tLL) 402 11.5 Falla de línea doble a tierra (LLG) 404 11.6 Fallas de conductor abierto 114

Referencias 432

12.

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Introducción 433 Dinámica de una máquina síncrona 435 Ecuación del ángulo de potencia 440 Técnica de eliminación de nodos 444 Sistemas

simples 451

Estabilidad de estado estable 454 Estabilidad transitoria 459

Cnterio del

.'-' I

-

iárea

igual

461

Solución numérica de la ecuación de oscilación 480 Esr¡bilidad con un sistema multimáquinas 487 .{tg'itos tactores que afectan la estabilidad transitoria 496 p1: i"

f

¿n1.¡

_s :06

¡-"' r¡ 1¡ j-;

r -itq

433

1 Contenido ü ix

I

l

13. Seguridad del sistema de potencia 13.1 Introducción 510 13.2 Clasificación del estado del sistema 512 13.3 Análisis de seguridad 512 13.4 Análisis de contingencias 516 13.5 Factores de sensibilidad 520 13.6 Estabilidad de voltaje en el sistema eléctrico de potencia

510 ,

524

Resumen 529 Referencias 529

¡

I

14. Introducción a la estimación

de estados de sistemas eléctricos

de potencia

l4.l

Introducción

l

531

531

Estimación por mínimos cuadrados: la solución básica t7l-l9l 532 Estimación de estado estático de sistemas eléctricos de potencia t10l-t121 538 14.4 Seguimiento de la estimación de estados para sistepas eléctricos \--l de potencia [16] 544 I4.5 Algunas consideraciones de cómputo 544 14.6 Equivalencia de sistema externo [20] 545 14.'7 Tratamiento de datos anómalos l2l,22l 546 14.8 Observabilidad de la red y pseudo mediciones 549 I4.g Aplicación de la estimación de estados del sistema de potencia 550

14.2 14.3

Problemas 552 Referencias 553 5JO

15. Compensación en los sistemas de potencia 15.1 Introducción 556 15.2 Capacidad de carga 557 15.3 Compensación de carga 557

I5.4

Compensación de

l5.g

Principios y operación de los convertidores 567

línea

558

15.5 Compensación en serie 559 15.6 Compensadores en paralelo 562 15.7 Comparación entre STIffCOM y SVC 566 15.8 Sistemas flexibles de transmisión de CA (FACTS)

567

15.10 Controiadores FACTS 569 Resumen 573 Referencias 574

16.

Técnicas para pronóstico de carga

16.1 Introducción

t6.2

575 Metodología de los pronósticos 577

3/5

r 16.3 Estimación de los términos de promedio y de tendencia 578 16.4 Estimación de los componentes periódicos 581 16.5 Estimación de las y(ft): método de serie de tiempo 582 16.6 Estimación del componente estocástico: método de filtrado de Kalman 16.1 Predicciones a largo plazo usando modelos econométricos 587 16.8 Pronóstico de la carga reactiva 587

58J

Resumen 588 Preguntas de

repaso

589

Referencias 589

17. Estabilidad de voltaje 17.1 Introducción 591 17.2 Comparación de estabilidad

I7.3

17.4 17.5 11.6

I7.7

591

de ángulo y estabilidad de voltaje 592 voltaje 593 Formulación matemática del problema de estabilidad de voltaje 594 Análisis de estabilidad de voltaje 597 Prevención del colapso de voltaje 600 Estado de la técnica, tendencias y desafíos para el futuro 601

Flujo de potencia reactiva y colapso de

Referencias 603 Apéndice

A:

Introducción al álgebra de vectores y matrices

605

Apéndice

B:

Constantes generalizadas de circuito

6t7

Apéndice

C:

Factorización triangular y ordenación

Apéndice

D:

Elementos de matriz jacobiana de sistemas de

Apéndice

E:

Teorema de

Apéndice

F:

Control por computadora de sistemas de potencia en tiempo real

634

Introducción a MATLAB y SIMULINK

640

Apéndice

Índice

G:

óptima potencia

Kuhn-Tl¡cker

623 629 632

685

\

Acerca de los autores D. P. Kothari es profesor del Centro de Estudios de Energía, del Indian Institute of Technolo-e¡' (IT), Delhi, India. Ha sido Jefe del Centro de Estudios de Energía (1995-1997) y Rctor (1997-1998) del Visvesvaraya Regional Engineering College, Nagpur. Fue Direcr1005) y Sub-Director (2003-2006) del IT Delhi. Anteriormente (1982-1983 y 1989)

rr

babía fungido como miembro visitante en el Royal Melbourne Institute of Technology ,R\ÍIT), de Melbourne, Australia. Obtuvo su licenciatura, maestría y doctorado en ingeuiería en el Birla Institute of Technology and Science (BITS), Pilani, India. Es miembro de instituciones tales como: Institution of Engineers (India), National Academy of Engineering y de la National Academy of Sciences. Asimismo es miembro numerario del IFFF. del IEE y del ISTE. El profesor Kothari ha publicado y presentado alrededor de autor y -iO0 conferencias en revistas y convenciones nacionales e internacionales. Ha sido anautor de más de 18 libros. Sus intereses de investigaciónrincluyen el control de sistemas eléctricos, así como la optimización, confiabilida{¡;:dnservación de la energía. Recibió el premio National Khosla, otorgado por el lndian Institute of Technology Roorkee, por log¡os durante su vida profesional en el campo de la ingeniería.

L J. Nagrath es profesor en BITS, Pilani, India. Fue profesor de ingeniería eléctrica y srbdirector del Birla Institute of Technology and Science, Pilani. Obtuvo su licenciatura en ingeniería eléctrica de la Universidad de Rajasthan en 1951 y su maestría de la Universidad de Wisconsin en 1956. Ha sido co-autor de varios libros exitosos y ha publicado rarios trabajos de investigación en prestigiadas revistas nacionales e internacionales.

i

Prefacio a la tercera edición -r'":r

t:t€r'

r" apanción de la segunda edición de esta obra en 1989,la situación energética

ha cambiado considerablemente, y esto ha generado un gran interés en fuentes de .':rÉ::1é no convencional y renovable, en la conservación y administración de la energía,

::

--r :eiormas y la reestructuración de la energía y en la generación distribuida y dis;e:i':. El '-apírulo l, por lo tanto, se ha aumentado y se ha vuelto a escribir enteramente. :.

:l;::- . s. se discuten también las influencias de las restricciones ambientales. -'. sistemas eléctricos de potencia modernos se han vuelto más grandes y se extien:É:, ::t rnavores áreas geográficas, con muchas interconexiones entre sistemas vecinos. --. ::::-1tra en la planeación, la operación y el control de tales sistemas de gran escala :, ._:; :icnicas avanzadas, basadas en computadora, muchas de las cuales se explican a lo ür:_: - ú. este libro de una manera directa y sencilla, y acompañadas de múltiples ejem: , . numéricos. Los futuros ingenieros encontrarán en este texto los elementos que los :':::.:¡¡án en forma adecuada para enfrentarse a los nuevos desafíos que presenta el - -:-r-r de los sistemas eléctricos. La amplia gama de tópicos facilita la selección versátil :É :'pírulos y secciones. Además, el estilo de escritura de esta obra se adecua al estudio ; -: -.:1,lacta. Se destacan en esta edición los cinco capítulos nuevos. El capítulo 13 trata de la :.:-:..Lidad en sistemas eléctricos. Se describen el análisis de contingencias y los factores :: 'ensibilidad. Se desarrolla un marco analítico de referencia con sistemas eléctricos de :,,:encia en el que se resalta la seguridad. Dado que todo parece estar propenso a fallar .' l-.. .istemas eléctricos no son la excepción, las prácticas de seguridad en los sistemas :,:;tncos que se presentan en este texto, buscan enseñar al lector a controlar y operar con -:. ¡ctirud defensiva, de manera que los efectos de las fallas ineludibles se reduzcan al ::tt11mo.

El capírulo 14 es una introducción al uso de estimación estado en sistemas eléctricos potencia. Se seleccionó la estimación por cuadrados mínimos para dar una solución :.-;ica. También se discuten la equiparación con sistemas externos y el tratamiento de i Lilrrmación defectuosa. La economía en la transmisión de energía ha seducido siempre a los planificadores, i¡niándolos a buscar la transmisión de la mayor cantidad posible de energía a través j: ias líneas existentes. La dificultad de conseguir derechos de paso para nuevas líneas 1¡ cnsis de los corredores) motiva siempre a los ingenieros eléctricos a desarrollar sis:t:rlas compensatorios. Por lo tanto, el capítulo 15 estudia la compensación en sistemas c-iitncos de potencia. Se discute a fondo la compensación en serie y la compensación er denración. Se han introducido brevemente los conceptos de SVS, STATCoM y

:;

F{CTS E- .-epírulo 16 cubre el importante tema de la técnica de predicción de cargas. Co:lr,c:r l¡ --ers3 es absolutamente esencial para resolver cualquier problema en sistemas :-::r:r;,ts.

El capítulo 17 estudia el importante problema de la estabilidad de voltaje.

Se

discuten

la formulación matemática, el análisis, el avance tecnológico, las tendencias y los retos del futuro. Se incluyen en este libro, en un apéndice, los programas MAILAB y SIMULINK, ideales para el análisis de sistemas eléctricos. Asimismo, se complementan con l8 ejemplos resueltos para ilustrar su uso en la resolución de problemas representativos en los sistemas eléctricos de potencia. Se agradece profundamente la ayuda prestada por Shri Sunil Bhat de VNIT, Nagpur para escribir este apéndice. La edición en inglés, publicada en Nueva Delhi, contó con la participación de: Prof. J.D. Sharma, IIT Roorkee; Prof. S.N. Tiwari, MNNIT, Allahabad; Dr. M.R. Mohan, Anna University, Chennai;Prof. M.K. Deshmukh, BITS, Pilani;Dr. H.R. Seedhar, PEC, Chandigarh; Prof. P.R. Bijwe y Dr. Sanjay Roy,IIT Delhi. Los autores agradecen los valiosos consejos y sugerencias de muchos profesores, estudiantes e ingenieros en ejercicio de su profesión que utilizaron las ediciones anteriores de este libro. Todas estas personas han tenido influencia en esta edición. Les expresamos nuestra gratitud. Esperamos que este apoyo y esta respuesta también continuarán en el

futuro. D P Kothari I J Nagrath

Prefacio a la primera edición .

¿ :-iñelación matemática y la solución mediante el uso de computadoras constituyen :'. nerrrdos más prácticos para el análisis y la planeación de los sistemas eléctricos de

:,

:::r,-ia modernos, dado su gran tamaño y naturaleza compleja. Se ha llegado a una etapa

.: " que un estudiante de ingenieúa debe estar capacitado en las técnicas más avanzadas :: ¡álisis de sistemas eléctricos de potencia de gran escala. También existe una necesi:: simiia¡ en la industria, donde un ingeniero se enfrenta constantemente al reto de este :::rüo

:..:rr

libro se ha diseñado para satisfacer esta necesidad, pues los principios básicos del análisis de sistemas eléctricos de potencia, ilustrados

de rápido progreso. Este

:.:i:¡nte

las estructuras más sencillas con técnicas de análisis para sistemas de tamaño

-::;:i,-o. En este libro, el análisis de sistemas de gran escala sigue como una extensión .-¡.:ral de los principios básicos. La forma y el nivel de algunas de las técnicas se pre-

r:r¡n

de manera tal que los graduados de licenciatura pueden fácilmente entendedas y

:::ecra¡las.

El libro está diseñado para un curso de uno o dos semestres a nivel de licenciatura.

l r una selección juiciosa de temas avanzados, : ir un primer curso de posgrado.

algunas instituciones recurren a este texto

Se espera que el lector tenga una base preliminar en teoría de circuitos y máquinas =-:;iricas. También debe estar familiarizado con la transfotmada de Laplace, ecuaciones

:--::enciales lineales, técnicas de optimización y contar un curso previo en teoría del nrrol. Se aplica el análisis matricial en todo el libro. Sin embargo, bastaría un conoci-

:

::-:ilto

de operaciones con las matrices simples, y éstas se resumen en un apéndice, para

:;-e¡encia rápida. Como la computadora se ha convertido una herramienta indispensable para el análisis r. rLrs sistemas eléctricos de potencia, se incluyen algoritmos computacionales para diver. . :srudios. Se sugiere que se aliente a 1os estudiantes a construir programas de cómpu. - r¡ra estos estudios y utilizar los algoritmos del texto. Asimismo, se puede pedir a los =.:¡iiantes compartir sus programas para estudios más avanzados y elaborados, como por =,':nplo la programación óptima. Una importante novedad del libro es la inclusión de los ..::s más recientes y de mayor utilidad práctica, como compromisos de suministro de -.,' . ;nidad. confiabilidad de generación, programación óptima térmica, programación ':--r;:r hidrotérmica y flujo desacoplado de cargas, en un texto concebido principalmente

:,:¡

esrudiantes de licenciatura.

capítulo inicial contiene una discusión de los diversos métodos de generación de =:,¡:-:ti eiéctrica. ) su comparación técnico-económica. Se da una mirada al futuro de la ,-:_=:; eléctrica. También se presenta al lector el escenario indio de energía eléctrica, con E1

'r

:- -- \ .r ,-t-_--it¿\.

:

.

r

L:.;:pítulos 11 3 dan los parámetros de líneas de transmisión, que se incluyen ::':li>i¡t de rener un texto completo. El capítulo 4, sobre la representación de 1os

¡-

:.::-3:i-r:i:3> le un si:tema de energía. da los modelos de estado estacionario de máqui-

Prefacio a la orimera edición

nas síncronas, y los modelos de circuito de sistemas compuestos de energía, junto con el

método por unidad. El capítulo 5 trata del desempeño de las líneas de transmisión. Se introduce el problema del flujo de carga precisamente en esta etapa mediante el sencillo sistema de dos buses, y se ilustran los conceptos básicos control de watts y vars. Se incluye un breve estudio de diagramas circulares, ya que esto da un excelente ambiente de enseñanza para hacer comprensible el concepto de flujo de carga y compensación de línea. Las constantes ABCD en general se cubren bien en el curso de teoría de circuitos, y por lo tanto se presentan en un apéndice. El capítulo 6 da el modelado de redes de energía y análisis de flujo de carga, mientras que el capítulo 7 muestra la operación óptima de sistemas con tratamiento tanto aproximado como riguroso. El capítulo 8 trata del control de frecuencia de carga, en el que se han adoptado vías de control, convencionales y modernos, para el análisis y el diseño. El control de voltaje se discute brevemente. Los capítulos 9 a 11 presentan estudios de fallas (operación anormal del sistema). El modelo de máquina sincrónica para estudios de fluctuaciones instantáneas se introduce heurísticamente al lector. El capítulo 12 destaca los conceptos de varios tipos de estabilidad en un sistemaeléctrico. Especialmente el concepto de estabilidad de fluctuaciones instantáneas se ilustra bien mediante el criterio de iíreas iguales. Se presenta la técnica clásica de solución numérica de la ecuación de oscilación, así como el algoritmo para estabilidad de sistemas grandes. Cada concepto y técnica que se presentan se apoya bien mediante ejemplos que utilizan principalmente una estructura de dos buses, aunque a veces, cuando ha sido necesario, se han usado también ilustraciones de tres y cuatro buses. Se incluye un gran número de problemas sin resolver, con sus respuestas, al final de cada capítulo. Esta selección, además de constituir un ejercicio para el lector, ayuda a desarrollar un entendimiento más profundo e ilustra algunos puntos más allá de lo que el texto cubre directamente. La organización interna de varios capítulos es flexible y permite que el maestro los adapte a las necesidades particulares y al programa de estudios de su clase. Si se desea, algunos de los temas de nivel avanzado se podrían saltar sin perder continuidad. El estilo de redacción se adapta también para el estudio autodidacta. Aprovechando esto, un maestro tendrá tiempo suficiente a su disposición para extender la cobertura de este libro para acomodarse a su programa particular y para incluir trabajo tutorial basado en los numerosos ejemplos sugeridos en el texto. Los autores están agradecidos con sus colegas del Birla Institute of Technology and Science, Pilani, y al Indian Institute of Technology, Delhi, por el aliento y las diversas sugerencias útiles que recibieron de ellos mientras escribían este libro. Agradecen a las autoridades del Birla Institute of Technology and Science, Pilani y del Indian Institute of

Technology, Delhi, por proporcionarles las facilidades necesarias para escribir el libro. Los autores apreciarán cualquier crítica constructiva del libro r. agradecerán cualquier evaluación que hagan los lectores.

D P Kothari

r

1.1 T'NA PERSPECTIVA I-a energía eléctrica es un ingrediente esencial para el desarrollo industrial y general de cualquier país. Es una forma codiciada de energía, porque se puede generar en forma cenüaliza{ta al mayoreo y transmitida económicamente a largas distancias. Además, se puede s,laptar con facilidad y eficiencia a aplicaciones domésticas e industriales, especialmente para propósitos de iluminación y de trabajo mecánico,* por ejemplo motores. El consumo pEr c4ita de energía eléctrica es un indicador confiable del estado de desarrollo de un pars. I-as cifras para 2006 son de 615 kWh para la India, 5 600 kWh para el Reino Unido

1

kWh para Estados Unidos. Convencionalmente, la energía eléctrica se obtiene por conversión de combustibles

15 000

fósiles (carbón, petróleo, gas natural), y de fuentes nucleares e hidráulicas. La energía Érmica überada al quemar combustibles fósiles o por flsión de material nuclear se conrierte a electricidad transformando primero la energía térmica a la forma mecánica a trar-és de un termociclo y luego convirtiendo la energía mecárrica, a través de generadores. a la forma eléctica. El termociclo es básicamente un proceso de baja eficienci¿; las eficiencias más altas para las plantas modernas de gran tamaño son del orden ilÉ -lO%. mientras que plantas más pequeñas pueden tener eficiencias considerablemenre más bajas. La tierra tiene reservas fijas y no renovables de combustibles fósiles y rnere¡i¿ts5 nucleares, con ciertos países sobredotados por la naturaleza y otros deficien¡es. I-a energía hidráulica, aunque es renovable, también está limitada en términos de porencia. Las necesidades crecientes que tiene el mundo de energía sólo se pueden sarisfacer parcialmente a partir de fuentes hidráulicas. Además, los factores ecológicos y tic{@icos ponen un esfficto límite al uso de recursos hidráulicos para la producción de energía (Estados Unidos ya ha desarrollado alrededor de 5O7o de su potencial hidráulico y diñcilmente se planea ninguna expansión futura, debido a consideraciones ecológicas.)

* I-r electicidad es un agente muy ineficiente para propósitos de calentamiento, porque se gener¿¡ a partir de arrgie Érni6¿- pu'un termociclo de baja eficiencia. La electricidad se usa para propósitos de calentamiento rnlc Em'a rylicriones muy especiales, por ejemplo un homo eléctrico'

Con el siempre creciente consumo de energía per cápita, y con el crecimiento exponencial de la población, los tecnólogos ya ven el final de los recursos de combustibles no renovables de la tierra.* La crisis del petróleo en la década de 1970 ha llamado dramáticamente la atención sobre esta realidad. De hecho, ya no podemos darnos el lujo de usar el petróleo como combustible para la generación de electricidad. En términos de la generación de energía eléctrica al mayoreo, está teniendo lugar un claro cambio en todo el mundo a favor del carbón y especialmente de las fuentes nucleares pnala generación de electricidad. Asimismo, los problemas de contaminación del aire y de contaminación térmica causada por la generación de energía se tienen que resolver eficientemente para evitar desastres ecológicos. Por lo tanto, es necesario un plan de acción mundial coordinado para asegurar el suministro de energía a la humanidad durante un tiempo largo y a un bajo costo económico. Algunos de los factores que deben considerarse y de las acciones que deben emprenderse son:

Reducción del consumo de energía El consumo de energía en los países más desarrollados 1'a ha alcanzado un nivel que el planeta no puede soportar. Hay, de hecho, necesidad de hallar r'ías v medios para reducir este nivel. Los países en desarrollo, por otro lado. tienen que intensificar sus esfuerzos para elevar su nivel de producción de energía para proporcionar sen'icios a sus muchos millones de habitantes. Por supuesto, al hacerlo, necesitan constantemente aprovechar las experiencias de países desarrollados y protegerse contra tecnología obsoleta.

Intensifrcación de esfuerzos para desarrollar fuentes alternas de energía, incluyendo fuentes no convencionales como Ia energía solar, Ia energía de las mareas, etcétera Se ponen distantes esperanzas en la energía de fusión, pero los avances científicos y tecnológicos a este respecto tienen todavía un largo camino que andar en este tema. Cuando se logre domar la fusión, se podrá proporcionar una fuente inagotable de energía. Una innovación notable en la conversión de energía solar a eléctrica podría dar otra respuesta a las necesidades de energía del mundo, rápidamente crecientes.

Reciclaie de desechos nucleares Se espera que la tecnología de reactor de regeneración rápida sea la respuesta para prolongar la duración de los recursos de energía nuclear.

Desarrollo y aplicación de tecnologías contra Ia contaminación A este respecto, los países en desarrollo ya tienen el ejemplo de los países desarrollados, por el cual pueden evitar pasar por las fases de contaminación intensa en sus programas *

Se han hecho estimados que dependen de las reservas de petróleo, gas, carbón y materiales fisionables. A las tasas proyectadas de consumo, no se espera que el petróleo y los gases duren mucho más allá de 50 años; varios países sufrirán seria escasez de carbón después del año 2200, mientras que los materiales fisionables pueden llevarnos bien hasta la mitad del próximo siglo. Estos estimados, sin embargo, no se pueden considerar

como altamente con{iables.

-; -:.:i: ..: energético.Lasplantasdegeneraciónmasivadeenergíaseprestanmáspara - -:- .- -; J.¡otdrtit&ción. ya que se pueden adoptar medidas centralizadas en un punto.

;:e:Sí: eléctrica constituye actualmente alrededor de30Vo del consumo total anual :r.-:::¿. a escala mundial. Se espera que esta cTfra crezca al hacerse más restnneido el ,.

-: .----,i:ü de petróleo para usos industriales. Se puede esperar que el transporte se con. :::, :: eiéctrico en una gran medida a largo plazo, cuando estén bien desarrollados los :.: -:: - s ;1o convencionales de energía, o se logra un drástico avance en la fusión. F":¡ entender algo de los problemas a los que se enfrenta la industria de suministro : :: ---:,:,. ievisemos brevemente algunos de los puntos característicos de Ia generación y

r:-,::-

>lórr. La electricidad, a diferencia del agua y el gas, no se puede almacenar en

for-

: - :; - :.inica (salvo en cantidades muy pequeñas, en baterías), y la empresa de suminisr : r-.nr-o puede ejercer poco control sobre la carga (demanda de potencia) en cualquier - . :-.:rto. El sistema eléctrico, por lo tatto, debe ser capaz de adecuar la producción de . . : ;.r-reradores a la demanda de cualquier momento, a un voltaje y una frecuencia espe- ,-:.dos. Se puede imaginar la dificultad que se encuentra en esta tarea si se considera .. ::;ho de que 1as variaciones de carga en un día incluyen tres componentes: un compo=.,.: ;niforme conocido como la carga base; un componente variable cuyo perfil diario :=:e:.1e de ia hora del día, del clima, de la estación, de un festival popular, etc.; y un - :r:onente variable puramente aleatorio de amplitud relativamente pequeña. La figura ::uestra una curva diaria de carga típica. Las características de una curva diaria de -:::; están grosso modo indicadas por la carga pico, el tiempo en que ésta ocurra, y por :. : ,e lciente de carga. que se define como carga

Promeolo =

carga máxima (pico)

menor gue uno

La car-ea promedio determina el consumo de energía a lo largo del día, mientras que :rlgf, pico. junto con consideraciones de capacidad de reserva, determina la capacidad -= .. :lanta para satisfacer 7a carga.

j

100

=

cd

80

.E

F6n t-' Cü

F40 E o20 c.)

I

12 '16 20

24

Tiempo, horas

Figura

'l .1

Curva diaria de carga típica

CAPíTULO1

Introducción

Un alto coeficiente de carga ayuda a obtener más energía de una instalación dada. Como los centros individuales de carga tienen sus propias características, sus picos en general tienen una diversidad de tiempos que. cuando se utiliza mediante la interconexión de transmisiones, ayuda en gran medida a levantar los coeficientes de carga en una planta individual: el exceso de potencia de una planta durante los periodos de carga ligera se evacua a través de líneas de transmisión a larga distancia y alto voltaje, mientras que una planta con mucha carga recibe la potencia.

Factor de diversidad Se deflne como la suma de las demandas máximas individuales de los consumidores, dividida entre la carga máxima del sistema. Este factor proporciona la diversificación en tiempo de la carga, y se usa para determinar la instalación con el suficiente equipo de generación y transmisión. Si todas las demandas se presentaran al mismo tiempo, es decir factor de diversidad igual a 1, la capacidad total instalada necesa¡ia seúa mucho mayor. Afortunadamente, el factor es mucho mayor que 1, especialmente para cargas domésticas. Se puede obtener un alto factor de diversidad mediante 1o sisuiente:

1.

Ofrecer incentivos a los agricultores y/o a algunas industna-:. para que usen la electricidad por la noche o en periodos de carga ligera.

2. 3. 4. 5.

Usar horario de verano como se hace en muchos otros oaíses. Escalonar los horarios de oficinas. Tener diferentes zonas horarias, como en Estados Unidos. Australia. etcétera. Tener una tarifa de dos partes, en la que el consumidor tiene que pa_sar una cantidad dependiendo de su demanda máxima, más un cargo por cada unidad de energía consumida. A veces se carga a un consumidor sobre la base de la demanda en kVA en yez de kW parupenalizar un bajo factor de potencia. Otros factores que se usan con frecuencia son:

Factor de capacidad de planta Enersía efectivamente producida Máxima energía posible, que podría haberse producido (basada en la capacidad instalada de la planta)

_

Demanda promedio Capacidad instalada

Factor de uso de planta Energía efectivamente producida (k$tir) Capacidad de planta (kW) x Tiempo (en horas) que ha estado en operación la planta

Tarifas El costo de la energía eléctrica normalmente se da por la expresión (a + b x kW + c x kWh) por año, donde a es un cargo fijo por el servicio, independiente de la producción de potencia; b depende de la demanda máxima al sistema y por lo tanto del interés y la

t.t

una perspectiva

¡s¡rsl.ación sobre la planta generadora instalada; y c depende de las unidades producipersonal de la planta. "3¡s ] tor lo tanto de los cargos por combustible y los salarios del L¿-<

estrucruras de tarifas pueden ser tales que influyan en la curva de carga y mejoren

d ¡.cn;iente

de carga.

I,a rarifa debe considerar el fp (factor de potencia) de la carga del consumidor. Si éste ss ra¡o. toma más corriente para los mismos kW, y por lo tanto, las pérdidas Iy D (trans:n¡,-i¡r-in 1- distribución) aumentan en forma correspondiente. La planta eléctrica tiene que ms¡¿Ia¡ \'a sea dispositivos de corrección de fp tales como capacitores síncronos (o motor* símronos). compensadores estáticos Var (SVC) o equipo de regulación de voltaje para ¡l,l.,*r¡rrpner los voltajes dentro de los límites permitidos, por lo que el costo total aumenta. Se p,rcde usar una de las siguientes alternativas para evitar el bajo fp:

; ; ;,

Cargar a los consumidores sobre la base de kVA en vez de kW. Se puede imponer al consumidor una cláusula de penalización por fp. Se puede pedir al consumidor usar capacitores en derivación para mejorar el factor de potencia de sus instalaciones.

Eft@o

r.1

--i|

I I

Ln¿ fiíbrica que se va a instalar va a tener una carga fija de 760 kW a 0.8 fp. El Consejo de Electricidad ofrece suministrar la energía a las siguientes tarifas alternativas: Suministro a bajo voltaje (LV) a Rs 32lkVA demanda máxima/año + 10 paise/kWh ht gnministro a alto voltaje (HV) a Rs 30/kVA demanda máximo/año + 10 paise/kWh

;I

Los dispositivos de distribución de alto voltaje cuestan Rs 60lkVA, y las pérdidas de di-qibución a plena carga son de 5Vo. Los intereses y los cargos por depreciación de los üspositivos de distribución son l27o del costo del capital. Si la planta va a trabajar 48 boraJsemana" determinar cuál es la tarifa más económica.

Solttcion

Demanda máxima =

760

0S

= 950 kVA

Pérdida en dispositivos de distribución = 5Vo 950 Demanda de alimentación =

= 1000 kVA 60x1000=60000Rs 0.12 x 60 000 = 7 200 Rs u.9)

Costo de los dispositivos de distribución = Cargos anuales por depreciación =

Cugos fijos anuales debidos

a la demanda miíxima correspondientes a la tarlfa b)

= 30 x 1 000 = 30000

Rs

Cr¡stos an'rales de operación debidos a los kWh consumidos

=1000x0.8x48x52x0.10 = I99 680 Rs

I

5

r .#

cAPÍfuLo

1

Introducción

I

mks/año = 236 880 Rs Demanda máxima correlnndien& e h hrife a) = 95O kVA Cargos fijos ¡nmles = 32 x 950 = 30 400 Rs Cargos anuales de operación pm tWh millo CtrEos

=910x0.8x48x52x0.10

Tifl

= 1t9696 Rs = U)G}6 Rs

Por lo tanto, la larlfa a) es económicl

ftr

MW ¡ m hctm de carga de 507o. Se puede Una región tiene una demanda miáxim& rii¡gulo- I-a planta tiene que alimentar suponer que la curva de duración de c4a cs lihfulico y parte térmico. Los costos esta carga instalando un sistema gcotrefu"

q pc

son como sigue:

tY pr ó, y Srsb6 e operación de 3 p por kWh. prtYpú,ytffide operación de 13 p por kWh. h--?f¡ geffrada anualmente por Determinar la capacidnd de lefuEh1l' cada una, y el costo general de gffiriaprt*hPlanta Planta

hidráulica: 600 Rs pr

térmica:

300 Rs

Solución

(IIlx 05 x 8 760 =2]9x ld kwt La flgura 1.2 muestra la crrrn & rbrión de c4z C-mo el msto de operación de la planta hidráulica es bajo, la cagt h É snúúgrú pu la planta hidnáulica, y la Energía total

generúIrú=flIDr

carga pico por la planta térmicaSea la capacidad hidnáulica P

kW y h

agÉ

I

gr¡Erlda por la planta hidráulica E

kWh/año.

s{nmo

CapacihdÉd:e =(fX)(m-P) kW Energír fui¡ =(219 x 107-E) kwh Coso aml de le plm hlkáttlica

A

-r--

-

P

=úffif

I I

Costo

ud & h plmta térmica

P

I

= 30(500 000

de

carrges

Cos¡o

C

dP

- P) + 0.13

(219xrc7-E)

= 6ffiP + 0-038 + 300(500 + 0.13(219 x tÚ - n¡ f, B*o 13 G¡rvadeduracirin paracmo mínimo. dC = O

Htras

Frgnrra

tml

+0-038

000

- P)

dE 6t0 + 0.03 dP

,1r

-300-0.13""=0 dP dE = 3OO0 dP

dE=dPxt

Pro

/=3000horas De los triángulos ADF

y ABC,

500000-P

_

3000

8760

500 000

P= 328, digamos 330 MW Capacidad de la planta térmica = 170 MW Ener,rra generada por la planta térmica =

170x3 000x1 000 2

= 255 x 106 kwh Emrgía generada por la planta hidráulica = 1 935 x 106 kwh Costo total anual = Rs 340.20 x 100/año Costo general de generación =

340.20x1006,.rOO

2l9xl}' 15.53 paise/kWh

L na planta generadora tiene una demanda máxima de 25 MW un factor de carga de 60Vo, :;n fa-tor de capacidad de planta de 50Vo y un factor de uso de planta de72Vo. Hallar a) la mrgía producida diaria, b) la capacidad de reserva de la planta y c) la energía máxima ax pndría producirse diariamente en la planta, si opera según el programa en condiciones

je ¡lena

car_ea.

*lw.iarr Factor de carga

-

Demanda Promedio Demanda máxima

^ -^ Demanda promedio 0.60= z

Demandapromedio= 15 MW Factor de capacidad de planta =

0.50 = Capacidad instalada =

Demanda promedio

Capacidad instalada 15

Capacidad instalada

15=30MW 0.5

7

.'. capacidad

de reserva de la ptanta

= Cqacirrd instálada - Demanda

-30-25=5MW

Energíadiariaproducida= Demandaprromedio = 3ó0 I[St

mráxima

x 24 = 15 x

24

Energía correspondiente a la capacidad inqrrlrd¡ pu.día

=f4x30=720MWh

Energía máxima que podría producirs€

_

EnergÍr cfectiva producida en un día

FactrO. *o

ffi =-o.T2

O"

pf.rntu-

= lX) MWh/día

m curre de &n¡cion de carga: La demanda máxima al sistema es & lf) !fi[-- h org" ,u-irristrada por las dos unidades es de 14 MW y 10 MW. t-a Uúhd I lnrútad r-.eitra¡aja duranre el I00Vo del tiempo, y la unidad 2 (unidad de crg¡ püro, s¡íro eran¡e +sq ¿eltiempo. La energía generada por la Unidad 1 es de I x ld unllrles. y la dc l¿ LTnidad Z es ¿e Z.S x tO6 u"ni_ Los siguientes datos se obtuvieron de

dades' Encuentre el factor de carga el frc¡u de .+..1¿r¿ de planta y el factor de uso de planta de cada unidad, y el factor de caBa pr¿ la plmta

total-

Solución Factor de carga anual para [a L.nfotd

I

t_tm gl.54vo = 14 ,111_9t üDx8 760 =

La demanda máxima para la Unidad 2 es de 6 MWFactor de carga anual para la LTnidad

t=

El factor de carga de ra unidad 2 durante er t@o

tj=I=t0u_t

lP

=

t4.Z7vo

6 000x8 760 que [o{ne ra carga

7-5x106 x100 6

9o--t

no hay disponible

00x

0.45x 8 760

= 31.71% reserva en la Unidad l. su factor de capacidad

es el mismo

que el factor de carga, es decir 81.54%.Asimimo. como la Unidad t ha estado operando en todo el año, el factor de uso de planta es igual al factor de capacidad de planta, es decir 81.54Vo.

Factor de capacidad anual de la Unidad 2

ry g.56vo = :7;'5:tg" 10x8 760x100 -= "'''

Factor de uso de planta de la Unidad 2 =

7.5 x10ó x100

10x0.45x8 760 x100 =

19.027o

E-

:,--e

nciente de carga anual de la planta

total =

g#ffi

= fil

-i-í-¿

¿tarios. Los diversos factores de planta, las capacidades de las unidades de base :: -i::a pico se pueden averiguar de esta forma a partir de la curva de duración de car:. E- i¿ct.rr de carga de la unidad de carga pico es mucho menor que el de la unidad de pico es mucho - . ,. ..... r' así, el costo de generación de energía de la unidad de carga - , -: Jue la de la unidad de carga base.

-

,,..e

Ejemplo

1.5

I

|

l

-{:'. :es consumidores de electricidad que tienen diferentes necesidades de carga en tiem:, . iiierentes. El consumidor 1 tiene una demanda máxima de 5 kW a las 6 p'm'' y una ::::¡¡da de 3 kW a las 7 p.m., y un coeficiente de carga diario de ZOVo' El consumidor _ -::re una demanda máxima de 5 kw a las 11 a.m., una carga de 2 kw alasT p.m.y promedio de 1 kW -r: Jiuga promedio de 1 200 W. El consumidor 3 tiene una cargafactor de diversidad' , ,; ¿emanda máxima es de 3 kW a las 7 p.m. Determinar: a) el promedio y el y la carga c) consumidor, cada de : :i :actor de carga y la cargapromedio -.-i.-r de de la carga combinada. S: ¿ción Cr-rnsumidor

1

Ct¡nsumidor 2

C¡nsumidor

3

DM5KW

3kw

Factor de carga

a las 6 p.m.

a las 7 p.m.

207o

DM5KW

2kw

a las

a las 7 p.m.

Carga promedio 1.2 kW

11 a.m.

Carga promedio

DM3KW

1kw

a las 7 p.m. La demanda máxima del sistema es de 8 kW a las 7 p.m. Suma de las demandas máximas individuales

Factor de diversidad

:

Corga promedio de consumidor

C.irga promedio de consumidor

.

3

|

+

ctrefrciente de carga combinado

=

1318

=

1.625

1 0.2 x 5 - 1 kW Coef' carga = 2OVo 1000 = 247o 2 l.zk¿, Coef.carga = 4" 5

Cirga promedio de consumidor Cirga promedio combinada =

= 5 + 5 + 3 = 13 kW

1

kW,

1..2^+ 1

=;

t

1x

100

=

33'3Vo

= 3.2 kW

100

Predicción de cargas - :r- -¡:ianeación r'la construcción de plantas

1

Coef' carga =

=

407o

eléctricas requieren un periodo de ges:': - - :j :e : jarJü a ocho años o incluso más largo para aquellas muy grandes en la acruali:'¡- ..::.¿ic,-ión de demanda de energía y carga juegan un papel crucial en los esrudios

::

::::-IT-ri de .uministro eléctnco.

CAPITULOl

Introducción

Se necesita una predicción a largo plazo. Aunque -L-.:in métodos probabilísticos complejos en la literatura 15, 16, 281,la técnica de err:"r:l=; ión simple es bastante adecuada para predicción a largo plazo. Como el clim¡ l:j*.; :,.i.'ho más en los componentes residenciales que en los industriales, puede se: :-3"-: :::!arar una predicción en las partes constituyentes para obtener un total. Se ha;¿: i::-r-.Jlrrnes tanto de potencia como de energía. Por la multiplicidad de los factores q13 rr-:.:-.:::len. la predicción es un proceso complejo que requiere experiencia y alta c,p"-:j.l .-..:.r-; Las predicciones anuales se basan en las cargas ¿¿ .: : .--. - : :jrriitrriS durante el periodo que se considera, puestas al día por factores I;13> - - rr - :-rr-3ritrs senerales en las cargas, cargas principales y tendencias climátrcas. En la predicción de cargas a corto plazo, las priúl:. : . :-- - :, r: : htri& se hacen para el día específico que se considera. Un error menor,je r:::r:--.:. :l¡.'ia el lado bajo podría incluir el uso de generadores ineficientes de turbri. ¡ :.;t- : "unidades de pico", que son bastante costosas. Por otro lado, un error h¡.':';- -':. "-t.. mantendría la generación excesiva en reserva caliente. Es deseable u[¿ tr];Jr:.-:- :ei orden de lVo.Una diferencia de temperaturade2oC puede variar ia ca¡:": -: =:. -::. Esto indica la importancia de una predicción climática confiable para 13:ri: -r-: r-3r; predicctón de cargas. El problema de la predicción a corto plazo no i: :<----.-- . '.: ilue frecuencia "-on factores aleatorios como torrnentas inesperadas. huel,s... ..:--.:::>ion repentina de un buen programa de televisión, pueden trastornar las;::;--:-":,.: C, r irecuencia se usa el análisis de regresión para obtener una predicción c: :--::. : - 1,,,plezo. que es muy importante y se necesita antes de resolver los prt":l=.---- -: .-'i::.':.1n de unidades y carga económica que se discuten en el capítulo -. D=:::- . .. .::: importancia de la predicción de cargas (una información importarti r.;: :r :.-.,.::;asi todos los problemas de los sistemas de suministro eléctricol. se h¡;i-¿J.rl, -: -';pítulo completo en este libro en donde se describen varios métodos J3 i:=.:--:,---. :-;rrgas (capítulo 16). ::..r.Jada de generación En la India, tanto la demanda de energía com,-- ,: -'::-':'' están creciendo exponencialmente (como también ;::;¡ -= :. :-.-':,Ín: una combinación verdaderamente formidable). La demanda de energi¡* s :-: r:i -J., Juplicando aproximadamente cada diez años, como en muchos otros p;r::! E- -: 1 :: :-r:zo de 2006, la capacidad instalada total de generación en la India es de - l-< .' ,, \f-¡\ .i - uzsar por las presentes indicaciones, cuando entremos a la segunda déc"i; ::- .:-:.: I I - estana aproximándose a 100 000 MW, una tarea estupenda, sin duda. E::¡, r :i ',-r :r.:':n¡ un desarrollo correspondiente en recursos de carbón.

1.2

ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS DE SUMINISTRO ELÉCTRICO Las estaciones de generación, las línea: ¿e t¡:r!:r>:r'l \ lo: !lltemas de distribución

son

los principales componentes de un si't:r¡,j: .ur:::-rsr¡ e.i--tnco. Las plantas generadoras y un sistema de distribución se co;le;:¡n r::i:.¡le ,rnegs de ransmisión, que también * Un 38Vo de la energía total que 5e ne.'3.r'-tr ::- .. I:-.::" ii p¡-¿ !-onsumo industrial. La generación de electricidad en la India fue alrededor de 5-r[r 'r, i:--i-,::.es ie k\\'en ]0fJ0-1001. en comoa¡ación con menos de 200 000 kW en 1986-1987.

1.2

Estructura de los sistemas de suministro eléctrico

conectan un sistema de suministro con otro. Un sistema de distribucrón conecta a las líneas de transmisión todas las cargas dentro de un área específlca. Por razones económicas y tecnológicas (que se discutirán en detalie en capítulos posteriores r. los sistemas individuales de suministro se organizan en fbrma de áreas cone"-tadas eléctricemente o redes regionales (también conocidas como "pools" de suminrstro r. Cada á¡ea o red re_sional opera independientemente, tanto en el aspecto técnico corno en ei econórnrco. Pero finalmente se interconectan* para formar una red nacional (que puede inclus.-r forma¡ una red internacional). De manera que cada ánea está contractualmente ligaia i oras áreas por lo que respecta a ciertas caracteústicas de generación y programaL¿ India se dirige ahora a una red nacional. "'i.in. L¡ ubicación de las estaciones hidráulicas está determinada por las fuentes naturales je energía hidráulica. La elección de sitios para estaciones térmicas que queman carbón ;. nás flexible. Son posibles las siguientes dos alternativas:

1. l.

Las plantas generadoras se pueden ubicar cerca de minas de carbón (se conocen como pll head stations, o "plantas a boca de mina"), y la energía eléctrica se evacua por líneas de transmisión hacia los centros de carga. Las plantas generadoras se pueden ubicar cerca de los centros de carga, y el carbón se transporta hacia ellas desde las minas por ferrocarril.

En la práctica, sin embargo, la ubicación de las plantas generadoras dependerá de y ambientales. Como es considerablemente más barato transportar energía eléctrica al mayoreo en líneas de transmisión de voltaje extra alto (EHV) que transportar las cantidades equivalentes de carbón en ferrocarril, las tendencias recientes en la India (así como en otros países) es construir estaciones ternoeléctricas extra-grandes cerca de las minas de carbón. La energía puede transmitirse masivamente a distancias razonablemente grandes por líneas de transmisión de 4001165 kV y más. Sin embargo, los recursos de carbón del país están ubicados principalmente :n la franja oriental, y algunas plantas eléctricas de carbón se seguirán ubicando en las ,':>tantes regiones del occidente y del sur. n.rucho factores: técnicos, económicos

Como las plantas nucleares no están sujetas a los problemas de transporte de combus\ contaminación de aire, existe mayor flexibilidad en su ubicación, de modo que estas :-¡r¡as se ubican cerca de los centros de carga, al mismo tiempo que se evitan áreas de alta ::nsidad poblacional para reducir el riesgo, por remoto que sea, de escapes radiactivos.

:r:le

' 1: rnterconexión tiene la ventaja económica de reducir la capacidad de generación de rese¡va en cada iírea. 3:-: --ondiciones de aumento repentino en las cargas o de pérdida de generación en un área, es posible de ::,:.eiralo tomar prestada energía de las iá¡eas interconectadas adyacentes. La interconexión hace que las co:::::.:e. más altas fluyan en líneas de transmisión en condiciones defectuosas, con un consecuente aumento en

.=:":.cidad

de los cortacircuitos. También, las máquinas síncronas de todas las iíreas interconectadas deben

:,::- en torma estable y sincronizada. El trastorno ocasionado por un cortocircuito en un ¿írea se debe desco- :::- :j¡:J¡-nente por Ia apertura del cortacircuito antes de que pueda afectar severamente las ií¡eas ad¡ acen.:. P:it¿ ia construcción de unidades generadoras más grandes y económicas. y la transmisión de grandes -:r'.:.r:J;> d¡

ener,gía de las plantas generadoras a los principales centros de carga. Permite ahorros de capa-

--::---:J:jjl::el rnterc¿mbiotemporaldeenergíaentreá¡easconnecesidadesopuestaseninrierno\ \errno. ::--:: .:--¡. ::.-.ipa.-idad por zonas hora¡ias v diversidad aleatorla. Facilita la transmisión de energía fuera :: -- : :r- ::- r T¡nbien proporciona fleribilidad para responder a cargas inesperadas de emergencia.

T

I

Enlalndia, hastaahora, cercadeT5Vo de laenergíaelécrricamilizalasegeneraenplantas térmicas (incluyendo las nucleares).El23Va principa¡rFqre de plantas hidráulicas, y 2Vo proviene de fuentes renovables y otros. El carbón es cl cmhs¡ible para la mayoría de las plantas de vapor. El resto depende de petróleo, gas nmml y comhrstibles nucleares.

La energía eléctrica se genera a un voltaje de I I a 25 kY qrc luego se incrementa por pasos a los niveles de transmisión en la gama de 6 e765 kV (o más alto). Como la capacidad de transmisión de una línea es proporcional al cu¡drado de su voltaje, continuamente se realiza investigación para elevar los voltajes & trmsmisión. Algunos países ya estián empleando 765 kV. Se espera que los voltajes * &cn a 800 kV en el futuro cercano. En la India ya estián en operación varias líneas dc {n kV. S€ acaba de construir una línea de 800 kV. Para distancias muy largas (mayores de 600 km). es emómico transmitir energía masiva por transmisión en corriente directa (CD). Tadier algrmos de los problemas técnicos relacionados con la transmisión en CA a dis¡mb nr¡' largas. Los voltajes de CD que se utilizan son 400 kV y mayores, y la línea s€ orma a los sistemas de CA por ambos extremos, mediante un transformador y equipo de cmr-ersión/inversión (se usan para este propósito rectificadores controlados por silicir¡ Se han construido varias llneas de transmisión de CD en Europa y Estados Unidos. En 1'a se han puesto en operación dos líneas de transmisión HVDC (bipolar), I' se ccit pl¡e-ndo algunas otras. Están en operación tres sistemas HVDC con conexión recúfoca tW. to fuck).

cin

hhli,

O | .-A-A-a-A-4,

O Phnbsgrrefec 11 ¡v-5tY | oara ' .r--t-t-S-q, L¡E(b cúsii cúr o¡c sisEnas

Nivel de transmisión (220 kV - 765 kV)

Nivel de subtransmisi¡n (33 kV - 132 kV)

Primarb Nivel de | | distribución1l S""rtrd.,i. I

v r I Consumi<Jores

Figura

1.3

Cms¡ibres

medlanos

agrfldes

44ovr2g)Y

p€qreñc

Diagrarna esqrlerftíilho que describe la estructura de un sisterna de suminis{ro eléctrico

'1

.3

Fuentes convencionales de energía eléctrica

:

:- -:r-rr p-ro de descenso de voltaje del nivel de transmisión tiene lugar en la subf"':-tL ,:- :: suministro al mayoreo, donde la reducción es a una gama de 33 a 131 kY :c:É:rl:3:r,.1o Cel voltaje de la línea de transmisión. Algunas industrias pueden necesitar : ::':;:üd r estos niveles de voltaje. Este paso de descenso es del nivel de transmisión -:: - :1,' el de subtransmisión. ;- .::urenre paso de descenso de voltaje es en la subestación de distribución. Normal*r - -: r3 ¿mnlean dos niveles de voltaie de distribución:

. l- '. ,:,lt¡-ie primario o de alimentador (11 kV) - 5- '..-¡haje secundario o de consumidor (440 V 3 fases/230 V una fase) i- ::>r:ma de distribución, alimentado desde las estaciones de transformadores

de dis-

:1:L:r,-,il" suministra energía a los consumidores domésticos o industriales y comerciales. .-r.i. el sistema de suministro opera a varios niveles de voltajes separados por transfor::;, -: La figura 1.3 describe esquemáticamente la estructura de un sistema de suministro. .\;n.lue el diseño, la planeación y la operación de sistemas de distribución son temas ;r';rr rmportancia, nos vemos obligados, por razones de espacio, a excluirlos del alcan-É :. :; :t¡e libro.

1.3

FUENTES CONVENCIONALES DE ENERCÍE U¡,ÉCTRICA

.'. :*entes rérmicas de energía eléctrica (carbón, petróleo, nuclear) y las hidráulicas son -:: :::rcipales fuentes convencionales. La necesidad de conservar los combustibles fósi.;, :¡ lorzado a los científicos y a los tecnólogos en todo el mundo a buscar fuentes no - , :--,:n.-ionales de energía eléctrica. Algunas de las fuentes que se están explorando son la =:.:¡; soia¡. 1a eólica y la de las mareas. Aquí se revisan brevemente las fuentes y técnicas - ,:-',en,-iona1es, y algunas de las no convencionales, de generación eléctrica, destacando

,':, ::ndencias futuras, especialmente con referencia al escenario eléctrico de la India.

Flantas termoeléctricas. Basadas en gas/vapor

i- :¡lor liberado durante la combustión de carbón, petróleo o gas se usa en una caldera : ¿¡¡ :roducir vapor. En la India, la generación de calor es principalmente basada en car:, :i- sui\.o en pequeños tamaños, debido a la limitada producción nacional de petróleo. F -,: -o ranto. discutiremos solamente calderas con quemador de carbón para generar el '.:fr1r que se usará en una turbina para generación eléctrica. La energía química almacenada en el carbón se transforma en energía eléctrica en -<, plantas ,seneradoras térmicas. El calor liberado por la combustión de carbón produce i;FLrr en una caldera a alta presión y temperatura que, cuando se pasa a través de una :¡Jlna de vapor cede algo de su energía interna como energía mecánica. Se usa normal::enre Ia rurbrna tipo flujo axial, con varios cilindros en el mismo eje.Laturbina de vapor -.cr-rr como un motor primario y acciona el generador eléctrico (alternador). La figura 1.-1 ::i*estra un sencillo diagrama esquemático de una planta térmica basada en carbón. La enciencia del proceso total de conversión es baja, y su valor márimo es de alretedrrr de -l¡,f-c. debido a las altas pérdidas de calor en los gases de combustión y'la gran

7

Cr -erea

Vapo. Caldera

Colector 0-30 kv

Turbina

1

Transformador elevador 220-400 kv Sistema de transmisión

'----> -:\) -- "---'l-

i

LGenerador

-

Iorre de enfr¡am¡ento

Condensador

Aire Molino precalentado pulverizador

Figura

1.4

* 3:¡3a de alimentación - ='+:::.::' a acaldera aa ?::' :: :: , :

Diagrama esqJe-a:

:::a --z:

cantidad de calor desechada por el :::;.:)¿dl:. que riene que cederse en las toffes de enfriamiento o en un ío o lago e:"r -, .:r, :- .r-n;.miento directo de condensadores. La planta de generación por vapor L-:-:i :ir-rr3 el ci.-lo de Rankine. modificado para incluir sobre-calentamiento, calentamieil:. iJ- :gl;r de alimentación v recalentamiento de vapor. La eficiencia térmica (conr,ersiór .ti J¿-ri a energía mecánica.¡ se puede aumentar usando vapor a la presión y temperaturi.l :1¿- ¡-:ú!. Con rurbinas de vapor de este tamaño, se obtiene un incremento adicional en ia e ic i:rcia mcdiante el recalentamiento del vapor después de que se ha expandido parcialmerle. usando un calentador externo. El vapor recalentado se hace luego retornar a la tu:brn¡. donde se expande en las etapas finales de purga. Para aprovechar el principio ,le economía de escala (que se aplica a unidades de todos los tamaños), la tendencia actual e : ir a mayores tamaños de las unidades. Las unidades más grandes se pueden instalar a un costo mucho menor por kilowatt. Su operación también es más barata debido a que la ehciencia es más alta. Necesitan menos mano de obra y menores gastos de manteninúen¡o. De acuerdo con Chaman Kashkari [3], puede haber un ahorro hasta de I57o en costo de capital por kilowatt al subir el tamaño de unidad de 100 a 2-50 MW y un ahoro adicional de combustible de alrededor de 8Vo por kryh. Como las unidades mayores consumen menos combustible por kWh, producen menos contaminación de aire, térmica y de desechos, y esto es una ventaja importante para nuestra p:eocupación por el medio ambiente. La única dificultad en el caso de una unidad grande ¡s el tremendo impacto en el sistema cuando ocurre un paro de una unidad de tan granie '-¡:acidad. Este impacto se puede tolerar mientras el tamaño de esta unidad no exceda :l i ,i -r de la capacidad en línea de una gran red. En .: India. en la década de 1970, se puso en marcha en Trombay la primera unidad !;rÉri;:ri-j,-; de -5Qg MW. Bharat Heavy Electricals Limited (BHEL) ha producido varios s1!:3ll-f,! lLrrtrliil€rsdores de 500 MW. El tamaño máximo actual de la unidad generado::. :-:e;;:,-::: 1 100 MW) está limitada por las densidades de coniente permisibles en los de"¡:":,¡i iel r.¡tor v de1 estator. Se realizan esfuerzos para desarrol).arla supercero. La c,--l:eni: ¡r:ren¡,1¡mente alta y las altas densidades de flujo que se obtienen en tales

convencronales

r' ':¿ qulzá aumentar

el tamaño de las unidades a varios G\\-. lo cual oodría

:*- :, : t':--"-r-tt¡ mejor economía de generaCión. ' : ,:.:.:r-iinación de aire y térmica siempre está presente en una planta r.apor de que , -:-: :-:--,n. Los agentes contaminadores del aire (que consisten en partículas \'_qase\ .- :: , :, \OX. CO. COr, SOX, etc.) se emiten con los gases de chimenea. y la conta

* - :; I : : -i¡:nica se debe al calor rechazado que se transfiere del condensador al a_tua de , -': -:'--nl.'r. Se usan tores de enfriamiento en situaciones en las que los ríos o lagos no | -: ):r ! rpLrnar la carga térmica sin una elevación excesiva de temperatura. El problema . :,::taminación del aire se puede reducir al mínimo mediante lavadores de gases y :::r¿dores electrostáticos, y acogiéndose al trámite de emisión mínima l32l ).:r .1.cr que ya se aprobó en el Parlamento de la India.

y ala

,,".

Caldera de lecho fluidizado : :::rcipal problema con el carbón en la India

es su alto contenido de cenizas (hasta Para resolver esto, se está desarrollando y perfeccionando tecnología de '"'.::tsriótt de lechofiuidizado. La caldera de lecho fluidizado está siendo objeto de un :i:-:.lso desarrollo, y se está prefiriendo debido a su nivel más bajo de contaminación y :'": .u mejor eficiencia. Se está introduciendo la ignición directa de carbón pulverizado, :,:rr ie neceslta apoyo inicial de ignición con diésel.

- :: :rárimo).

Cogeneración

::

:siderando la tremenda cantidad de desecho térmico generado en la generación térmica :lectricidad, es aconsejable ahorrar combustible mediante la generación simultánea de :-:¡tricidad y vapor (o agua caliente), para uso industrial o calentamiento de ambiente. :.I.rs sistemas, actualmente denominados cogeneración, han sido comunes en la India '' 3n otros países. En la actualidad, hay un interés renovado en esto, debido al aumento ::neral en las eficiencias energéticas, que se afirma pueden llegar hasta 65 por ciento. La cogeneración de vapor y electricidad tiene una alta eficiencia energética, y es ;spe cialmente adecuada para las industrias química, papelera, textil, de alimentos, de fer,:i;zantes y de refinación de petróleo. Así, estas industrias pueden resolver problemas de ;sJasez de energía en una gran medida. Además, no tendrán que depender de la energía :e la red, que no es tan confiable. Por supuesto, pueden vender la electricidad extra para Lsarse en áreas deficientes. Pueden también vender electricidad a las industrias vecinas, -n concepto que se llama rotación de energía (wheeling power). Hasta el 31 de diciembre de 2000, el potencial total para cogeneración en la India es

500MWylarealizaciónactuales de2l3MWsegúnelrepofie anual2OOO-2Ool del (Ministerio de Fuentes no Convencionales de Energía, del Gobierno de la India). Ha,v dos formas posibles de cogeneración de calor y electricidad: i) Ciclo de cabeza. ;; r Ciclo de fondo. En el ciclo de cabeza, el combustible se quema para producir ener-eía :iéctrica o mecánica. y el desecho térmico de la generación de energía suministra el calor je proceso. En el ciclo de fondo, el combustible produce primero calor, y el desecho térruco de los procesos se usa luego para producir electricidad. Las plantas de carbón comparten problemas de contaminación con alsunos o¡ros lipos de plantas de combustibles fósiles. Estos problemas inciul'en la "lluvia ácida" r' el ¿e 19

\f\ES

:l ccto de

"r

nternadero".

Ttrrbinas de gas Con la creciente disponibilidad de gas natural (metano) (hallazgos recientes en Bangladesh), se han desarrollado motores primarios basados en turbinas de gas desarrolladas con lineamientos similares a los de las turbinas de aeronáutica- I-a combustión de gas genera altas temperaturas y presiones, de modo que la eficiencia de la rurbina de gas es comparable a la de la turbina de vapor. La ventaja adicional es que los gases de escape de la turbina todavía tienen suficiente contenido térmico, que s€ usa para generar vapor para operar una turbina convencional de vapor acoplada a un generador. Esto se llama planta de turbinas de gas de ciclo combinado (CCGT, combined-a-cle gas-rurbine).El diagrama esquemático de esta planta se muestra en la figura 1.5. La planta CCGT tiene un affanque rápido de 2 a 3 minutos para la turbina de gas, y alrededor de 20 minutos para la turbina de vapor. Se pueden usal t2nques locales de almacenamiento de gas, en caso de interrupciones en el suministro de gas. La unidad puede tomar una sobrecarga de hasta l07o dtrante periodos cortos- para atender cualquier emergencia.

La unidad CCGT produce 557a del COr que produce rrn¡ planta de carbón o diésel. Ahora hay disponibles unidades para una operación totalmente automatizada dwanfe 24 horas, para responder a las demandas pico. En Delhi (India), hay una unidad CCGT de 3-l \tS- insulada en la planta eléctÁca de Indraprastha.

Hay actualmente muchas instalaciones en el mundo que uriliz¡n turbinas de gas con generadores de 100 MW. Una planta de turbinas de gas de 6 x 30 MW se ha puesto ya en operación en Delhi. Una unidad de turbina de gas se pede usa¡ también como compensador síncrono para ayudar a mantener un perfrl uniforme de roltajes en el sistema.

lntercafnbafur c'e calo.

Ctrrnna

I

Turbina ¡------oe oas

:-

Torre de enfriamiento Gases cajientes Vapor

VaPor

Figura

1.5

Planta de generacion eléctrica CCGT

1.3

F¡€ñteS

::-.:-::-a:s :e eneroía eléctrica

ración hidroeléctrica :. -.::.'J'r mi: antiguo y barato de generación Ge ne

eléctrica es el dc uriliz"r.r -':e:ií: i1odel agua. La energía se obtiene casi libre de costos de operación. r es tc:"lr-:ri¡ .-::¡ de contaminación. Por supuesto, implica alto costo de capital debido a 1a. pe..:.l:) ,rtrra-i de ingeniería y construcción civil que se necesitan. También requiere un lars.,. ::1rrdo de -sestación de alrededor de cinco a ocho años, en comparación con ios cualr'r - .cls años que se necesitan para plantas de vapor. Las plantas hidroeléctricas están di.:::ias pnncipalmente como proyectos de propósitos múltiples, tales como el controi :: rrundaciones de ríos, almacenamiento de agua de riego y potable, y navegación. Se :-.ede ver un sencillo diagrama de bloques de una planta hidroeléctrica en la figura 1.6. ¡ lit-erencia vertical entre el embalse superior y el canal de agua de descarga se conoce

.;:.:l.

, -\ir.o clrga o altura útil. Las plantas hidroeléctricas son de diferentes tipos: tipo cauce de río, sin almacenan:ento (uso de agua del caudal del rio natural), y tipo embalse (con alta carga o altura ,.:1 l. Las plantas tipo embalse son las que se emplean para Ia generación masiva de enerFrecuentemente, también se constnryen plantas en cascada, es decir, en una misma -::a. ,lrrriente de agua en la que la descarga de una planta se convierte en la entrada de otra :,enta ubicada aguas abajo. La utilización de energía en base a los flujos producidos por las mareas en canales ha .rdo durante largo tiempo un tema de investigación. Las dificultades técnicas y económic¡s todavía subsisten. Algunos de los principales sitios bajo investigación son Bhavnagar, \avalakhi (Kutch), Diamond Harbour y Ganga Sagar. Se ha estimado que la cuenca de Kandala (Gujrat) tiene una capacidad de 600 MW. Hay, por supuesto, intensos problemas de ubicación en la cuenca. El potencial total es de alrededor de 9 000 MW, de los cuales se están planeando aprovechar inicialmente 900 MW. Se ha construido una estación eléctrica de mareas en el estuario (desembocadura) de La Rance, en el norte de Francia, donde la gama de alturas de marea es de 9.2 m, y el flujo de marea se estima en 18 000 mj/s. Se usan diferentes tipos de turbina, tales como Pelton, Francis y Kaplan, para aquellas plantas con almacenamiento, con embalse y sin almacenamiento. respectivamente. Las plantas hidroeléctricas tienen la capacidad de arranque rápido, casi en cinco

Vertedero

Obras de

cabecera-

.-Y Receptor

Figura

1.6

Cámara de comoensación Casa de válvulas

\ \

Un diagrama típico de una planta hidroeléctrica con tanque de almacenamiento

minutos. La tasa de aumento de toma de carga en las máquinas es del orden de 20 MWmin [8]. Además, no se sufren pérdidas en estado de reposo. Así, las plantas hidráulicas son ideales para responder a cargas pico. El tiempo desde el affanque hasta la conexión efectiva a la red puede ser tan corto como dos minutos. La potencia disponible de una planta hidroeléctrica es:

p =gpWHW donde

W = descarga. m3/s. a través de la turbina p = densidad I 000 kg/m3 H = caÍEa o altura útil (m)

8

= 9'8lm/s2

Los problemas peculiares de la planta hidroeléctrica que inhiben su expansión son:

i.

Azolve. Según informes, el almacenaje muerto de Bhakra

se ha

azolvado por comple-

to en 30 años.

2. 3. 4. 5.

Filtración. Daño ecológico a la región.

Desplazamiento de asentamientos humanos de áreas dentro de las cuales la presa se llenará y se converlirá en un río. Estas plantas no pueden suministrar la carga base; se deben usar para atención de picos y ahorro de energía, en coordinación con plantas térmicas.

La India tiene también un potencial tremendo (5 000 MW) al tener un gran número de plantas hidroeléctricas micro (< 1 MW), mini (< 1-5 MW) y pequeñas (< 15 MW) en la región del Himalaya, Himachal, UP, Uttaranchal y JK, que deben explotarse por completo para generar energía barata y limpia para aldeas situadas lejos de la energía de red.x En la actualidad están en construcción 500 MW. En áreas en las que no hay disponible suficiente generación hidráulica, los picos de demanda se pueden manejar mediante el sistema de almacenaje bombeado. Este consiste en embalses superior e inferior y conjuntos reversibles turbina-generador que se pueden también usar como conjuntos motor-bomba. El embalse superior tiene suficiente almacenamiento para alrededor de seis horas de generación a plena carga. Una planta así actúa como hidroeléctrica convencional durante el periodo de cargas pico, cuando los costos de producción son máximos. Las turbinas se mueven con el agua del embalse superior de la manera usual. Durante los periodos de carga ligera, el agua del embalse inferior se bombea de regreso al superior, para que esté lista para usarse en el sisuiente ciclo del período de cargas pico. Los generadores durante este periodo se cambian a acción de motor sincrónico, y accionan las turbinas, que ahora trabajan como bombas. La energía eléctrica se suministra a los conjuntos de la red general de energía o de una planta iérmica adyacente. La eficiencia general de los conjuntos es normalmente tan alta como 60-J07o. * La capacidad eristente (pequeñas hidroeiéctnc¡: estimado es de l5 000 I1\\'.

\Í1\' :.¡:; ,:nio

de 1001. El potenciai totai

Fuentes conrenoo,nar€€ de eñergía

El sistema de almacenaje bombeado es análogo a la carga y descar-ua de una batería- Trene la ventaja adicional de que las máquinas síncronas pueden usarse como cotdensadores para compensación de VAR de la red de energía, si se necesita. En cierta torma des¡Je el punto de vista del sector térmico del sistema, el sistema de almacenaje bombeado "allena los picos" y "llena los valles" en la curva diaria de demanda. Dos de las plantas actualmente instaladas con almacenaje bombeado son una de Srisailem de 1 100 MW en AP, y una de 80 MW en Bhira en Maharashtra.

Plantas eléctricas nucleares Con la terminación a la vista, en un futuro no muy distante, de las reservas de carbón, la alternativa inmediata práctica parala generación de energía eléctrica a gran escala es la energía nuclear. De hecho, los países desarrollados ya han cambiado en gran medida hacia el uso de energía nuclear para la generación eléctrica. En la India, hoy en día, esta fuente representa solamente el 3Vo de la generación total de electricidad, con plantas nucleares

en Tarapur (Maharashtra), Kota (Rajasthan), Kalpakkam (Tamil Nadu), Narora (UP) y Kakrapar (Gujarat). Hacia 2012, se pondrán en operación varias plantas nucleares más. En el futuro, es probable que se genere más y más electricidad mediante el uso de este importante recurso (se planea elevar la generación nuclear a 10 000 MW hacia el año 2010). Cuando el uranio-235 se bombardea con neutrones, tiene lugar una reacción de fisión que libera neutrones y energía térmica. Estos neutrones participan luego en la reacción en cadena para fisionar más átomos de 235U. Para que los neutrones recién liberados sean capaces de fisionar los átomos de uranio, sus velocidades se deben reducir a un valor crítico. Por 1o tanto, para que la reacción se sostenga, las barras de combustible nuclear se deben introducir en agentes reductores de la velocidad de los neutrones (como grafito, agua pesada, etc.), que se llaman moderadores. Para el control de reacción, se usan varillas de material absorbente de neutrones (acero al boro) que, cuando se insertan en el reactor, controlan la cantidad de flujo de neutrones, regulando por este medio la velocidad de la reacción. Sin embargo, esta velocidad sólo se puede controlar dentro de una gama estrecha. El diagrama esquemático de una planta nuclear de generación se muestra en la frgura I.7 . El calor liberado por la reacción nuclear se transporta a un intercambiador de Barras de control Refrige- Intercambiador de calor rante

Vapor Y

Barras de combustible

Generador Condensador Reactor

Moderador Entrada de agua

Figura

1.7

Vista esquemática de una planta nuclear

r calor mediante el refrigerante primario (COr, agua, etc.). En el intercambiador de calor se genera vapor, que se usa de manera convencional para generar energía eléctrica mediante una turbina de vapor. En la p'nictica s€ usan diversos tipos de reactor para fines de generación eléctrica, tales como el reactm av¡nzado de gas (AGR), reactor de agua hirviente (BWR) y reactor moderado por agua pesada, etcéÍera. En la India se ha adoptafu el reectm CANDU, de uranio natural (en forma de óxido), moderado con agua pesada apres¡(tn- Su diagrama esquemático se muestra en la figura 1.8. Enseguida se mencionan las lentajas y problemas de las plantas nucleares para generación eléctrica en comptrrfuin con las plantas térmicas convencionales.

I

)

I

Corazón Refrigerante Confinamiento

Figura

1.8

Reactor CANDU, moderado con agua pesada presurizada en reactor, adoptado en la India

Ventajas

. .I--:.¡ planta nuclear de generación eléctricaes totalmente libre de contaminación del aire. I \::esita poco combustible en términos de volumen y peso, y por lo tanto no presenta :::,blemas de transportación, y se puede ubicar, independientemente de los suminis-

:,¡s de combustible nuclear, cerca de los centros de carga. Sin embargo, las conside:r.iLrnes de seguridad exigen que normalmente se ubiquen lejos de áreas pobladas.

Desventajas

.

Los reactores nucleares producen desperdicio de combustible radiactivo, cuyo manel!r presenta serios riesgos ambientales.

I

La ielocidad de la reacción nuclear se puede bajar sólo por un pequeño margen, de modo que sólo puede permitir reducir la carga marginalmente por debajo de su valor plena carga. Las plantas eléctricas nucleares, por lo tanto, deben conectar en for'1e ma confiable a una red eléctrica, ya que la desconexión automática de las líneas que --onectan la planta puede ser muy seria y puede obligar a parar el reactor, con todas sus consecuencias.

-:

Debido al costo de capital relativamente alto en comparación con el costo de operación. la planta nuclear debe operar continuamente como planta de carga base. Siempre que sea posible, es preferible apoyar una de estas plantas con un sistema de almacenaje bombeado como el mencionado anteriormente.

frigerante por un accidente. Aun cuando se bajen rápidamente las barras de control toperación scram),la fisión continúa, y su calentamiento posterior puede provocar la vaporización y dispersión de material radiactivo. Los recursos mundiales de uranio son bastante limitados, y a la tasa actual de con>:imo. no pueden durar mucho más de 50 años. Sin embargo, hay un dato esperanzaCor. Durante la fisión de|23srJ, algunos de los neutrones son absorbidos por el isótopo Je uranio más abundante,23sU (el uranio enriquecido contiene sólo alrededor de3Vo de l"U. la mayor parte es 238U;, convirtiéndolo en plutonio ("nU), que es en sí mismo un )' material fisionable y se puede extraer de los desechos de combustible del reactor en una rlanta reprocesadora de combustible. El plutonio se usaría luego en la siguiente etapa de _generación (reactores de regeneración rápida, FBR: /ast breeder reactors), prolongando considerablemente la vida de los combustibles nucleares. La tecnología FBR se está de.arrollando intensamente, ya que extenderá a varios siglos la disponibilidad de los combustibles nucleares a las tasas previstas de consumo de energía. La figura 1.9 muestra el diagrama esquemático de un FBR. Para la operación de regeneración. es esencial que la relación de conversión (material fisionable generado/material rrsionable consumido) sea mayor que 1. Esto se consigue con neutrones rápidos, de modo que no se necesita moderador. Los neutrones sí bajan un poco su velocidad debido a las ¡olisiones con los elementos estructurales y del combustible. La densidad de energíaÁ;g de combustible es muy alta, y por lo tanto el núcleo es pequeño. Por lo cual, es necesario que el retri-eerante posea buenas propiedades térmicas, por 1o que se usa sodio líquido. El combustible para un FBR consiste en 20Vo de plutonio más 8Vc de óxido de ura¡r¡r,.

r. CAPíTULO1 lntroducción

/;='

\'. [.1 f:1

''' r::

:

[,]l,:,,, i. r! :-.:

Núcleo Refrigerante Confinación

Figura

1.9

Reactor regenerador ráprdo tFBR: fast breeder reactor)

El refrigerante, sodio líquido, sale del reactor a 650'C a presión atmosférica. El calor así transportado se lleva a un circuito secundario de so.Jio que lo transfiere a un intercambiador de calor para generar vapor a 540"C. Con un reactor regenerador, la liberación de plutonio. un material extremadamente tóxico, haría más estrictas las condiciones ambientales. Se ha construido un reactor regenerador rápido TFBTR: fast breeder test reactor) experimental (40 MW) en Kalpakkam, adyacente a la planta de energía nuclear. Se espera que la tecnología FBR reduzca el costo de la energía eléctrica de tal manera que se compare favorablemente con la de las plantas térmicas convencionales Una ventaja importante de la tecnología FBR es que puede también usar torio (como material fértil), que se convierte a233U, que es fisionable. Esto es altamente promisorio para la India, ya que tenemos uno de los depósitos más grandes de torio (alrededor de :150 000 toneladas en forma de dunas de arena en Kerala, y a lo largo de la costa Gopalpur Chatrapur de Onssa). Tenemos apenas 17c de los recursos de carbón del mundo, y algu-

1.3

Fuentes convencionales de eneroía eléctrica

-

- r:: -rtrS de petróleo y gas. Así, la energía nuclear es idealmente adecuada para la India. : : r- .rrbón de baja calidad, potencial hidráulico inadecuado, abundantes relenas de ,:::-,: . -1-l Utl0 toneladas) y torio, y muchos años de experiencia en ingenieía nuclear. El : - ::rual de la generación nuclear, comparable con una planta eléctrica de carbón. se :-::: ;¡ducir estandarizando el diseño de plantas y cambiando de tecnología de reacror :. tr:,r pesada a reactor de agua ligera. ¡s densidades típicas de potencia (MWm3.¡ en los núcleos de reactores de fisión

:nrriadoporgas,0.53; altatemperatura,enfriadoporgas,T.T5;aguapesada, i8.0: -r -; air iente. 29.0: agua presurizada, 54.75 reactor regenerador rápido (FBR), 760.0.

'.:.

F"usión "

:

::iergía se produce en este proceso por la combinación de dos núcleos ligeros para

:::-:: un solo núcleo más pesado en condiciones sostenidas de temperaturas extrema: '::,.LI. altas (millones de grados centígrados). La fusión es futurista. La generación := :-::tricidad por fusión resolvería las necesidades de energía a largo plazo del mundo -.:- :rrrblemas ambientales mínimos. Se espera un reactor comercial hacia el año 2010.

- --,.iJerando los desechos :.:: r,r que 1os de fisión.

radiactivos, el impacto de los reactores de fusión sería mucho

E;r caso de éxito de la tecnología de fusión en algún momento del futuro distante, o -:. ;-,.rnce dramático en la energía solar, libre de contaminación, los FBR quedarían ob-

-::,:s. Sin embargo, hay una intensa necesidad actual de desarrollar FBR como seguro : -:.::¡ iallas en el desarrollo de estas dos tecnologías. En los últimos años, han surgido serias dudas acerca de las afirmaciones de seguridad -= -i. plantas eléctricas nucleares. Ha habido tantos como 150 accidentes nucleares casi ::;i¡rrosos. desde el accidente de Three Mile en Estados Unidos, hasta el accidente de -::rob¡ I en la ex Unión Soviética. Hay temor de que todo esto pueda poner en reversa -- ::.arroilo de la energía nuclear. Si esto sucede, podría haber serias crisis energéticas =.- . s países del tercer mundo, que han puesto sus esperanzas en la energía nuclear para ::.:^--nder a sus acuciantes necesidades de energía. Francia (con787o de sus necesidades :: :::rsía proveniente de fuentes nucleares), y Canadá son posiblemente los dos países - , :. .i:t histonal aceptablemente limpio en la generación nuclear. La India necesita vigilar - --:¡dosamente sus estrategias de diseño, consÍucción y operación, ya que está compro:.:::i; a ir a 1o grande a la generación nuclear, y espera obtener una capacidad de 10 000 1.1'¡. h¡cia el año 2010. Según los científicos nucleares indios, nuestras plantas basadas en : : -: Esada son seguras al máximo. Pero debemos adoptar estrategias más conservadoras :--, :-.eño. construcción y operación de plantas nucleares. Los científicos de todo el mundo tienen que adoptar diferentes estrategias de seguri:"r r3 la reacción, qurzápara descubrir aditivos para inhibir automáticamente la reacción :,': .,-á de condiciones críticas, eLvez de hacerlo por varillas de control mecánicamente -::ri¡J¿i que l.ienen posibilidades de varios evenlos de fallas primarias. -".

Generación magnetohidrodinámica (MHD) :.-. ." ¡e:r¡ración térmica de energía eléctrica, el calor liberado por el combusribie ¡e - .-.. .3:13 en energía mecánica rotacionai por medio del termociclo. La enereía me,-J.¡l^

CAPITULOl

Introducción

l,:. :: :lenen dos etapas de .:rr-.--: : ::lecánica tiene una ene:-¡.. de que la conversión conversión energética, en las ' :. . :.' :LS COffeSpolldienteS :,, eficiencia inherentemente baja. Asimismo, la máquina .: -'ncrgía eléctrica se pérdidas y problemas de mantenimiento. En la tecnolc':'. l.:r : ..: ,-!in de combustible, genera directamente por los gases calientes producidos p:: : sin necesidad de partes móviles mecánicas. ca se usa entonces para hacer girar el generador elé;tr-'

En el generador MHD, un gas eléctricamente coil:-.,: alta se pasa por un fuerte campo magnético, generandc ::, : : ratura se necesita paraionizar el gas de modo que teng; :-.:. El gas conductor se obtiene quemando un combustible e :r-'' = bra como carbonato de potasio en los productos de Collr-: neración eléctrica MHD se ilustra en la figura 1.10. Se :*.-alrededor de 507a si el generador MHD se opera en táni;:'- : -

..:.: leflpefatura muy La alta tempe: :*.-rir idad eléctrica. : :raterial de siemI . :r.ipio de la ge-

.:,::j.

-.: :: i:ti efiClencia de -

-

: l.:ll -; COnVenCiOnal

de vapor.

Aunque la factibilidad tecnológica de la generacrói: l'1--r- . ,.i establecida, su factibilidad económica todavía está por demostrarse' Le Ir: * - - -....::do un proyec> ,,-:.:'. para instalar to de investigación y desarrollo en colaboración con la : '. - . _r :' para generar - : _-. I -\1\\. En Ru_ carbón, una planta piloto MHD basada en --: l : corlr-:-gas cofilo natural sia, una planta de 25 MW que usa - ::,:l -, en operación p.:'. -- -rl "..:::na de gas de durante algunos años. De hecho, con el desarrollo de la ciclo combinado), el desarrollo de la MHD se congeló ,

Plantas generadoras geotérmicas .--t-

.lrNrÉrq. - -, . l tl uL l^^^.-íq En una planta geotérmica, el calor del interior de la tien"" :- - -: -':l' . t3r- del subsuelo, J3 form¡ geotérmica en de energía --: Ha habido algo de uso en Estados Unidos, Italia, Nueva Zelanda, México. Japrr-. -.. : .t-r::. i algunos otros países. En la India, se están llevando a cabo estudios i- 'r-..: -:l 13 una planta de I MW en el valle de Puggy en Ladakh. Se ha. localiza,j¡ - :: - -.: :, _:; - ::nnico en Chumantang. Hay varios manantiales calientes en la Indra. ¡:: :' :' .-'.--r:- it¡tal de energía

explotable parece ser muy pequeño. La capacidad instalada geotérmica actual en el m-l::, :: :: ' :.jrJ.rr de 500 MW, y la capacidad total estimada es inmensa, siempre \ ...;l-. 1 ;. :r...: generado en las regiones volcánicas se pueda utilizar. Como las presi;,:.e .', .:r'.1:r;iJI3\ son bajas, la vdr 9d

Flujo de gas a 2 500'C

Campo magnético fuefte

Figura

1.10

El principio de la gene'ac

c¡ e ectrica MHD

1.4

Las fuentes renovables de enerora

:---:-:r.ra e\ toda\ ía menor que la de las plantas convencionales de combustibles fósiles: :,::-, -"¡s costos de capital son menores y el combustible está disponible sin costo.

I.4

LAS FUENTES RENOVABLES DE ENERGÍA

P,ra proteger el ambiente, y para tener un desarrollo sustentable, no se exagera al hablar ;e ia importancia de las fuentes renovables de energía. Es un hecho aceptado que las :,-.rnas renovables y no convencionales de energía jugarán un papel crecientemente imDtrrtürte en el futuro, ya que son más limpias, fáciles de usar y ecológicamente benignas,

'.

se prer'é

que se harán más viables económicamente con su utilización creciente.

Debido a la disponibilidad limitada de carbón, hay un considerable esfuerzo inter;r¡,'ional para el desarrollo de fuentes de energía altemativa, nuevas, no convencionales, :enovables y limpias. La mayoría de las nuevas fuentes (¡algunas de ellas realmente se h¿n conocido y usado durante siglos!) no son sino manifestaciones de la energía solar: por :-rempio, el viento, el oleaje del mar, la conversión de energía térmica del océano (OTEC: o(ean thermal energy conversion), etc, En esta sección hablaremos de las posibilidades y p'otencialidades de varios métodos para utilizar la energía solar.

Energía eólica Los vientos se crean esencialmente por el calentamiento solar de la atmósfera. Se han hecho diversos intentos desde 1940 de usar el viento para generar energía eléctrica, y el desarrollo todavía continúa. Sin embargo, la factibilidad técnico-económica aún se tiene que establecer satisfactoriamente.

El viento como fuente de energía es atractivo, porque es abundante, inagotable y no r-ontaminante. Además, no impone sobre el ambiente cargas térmicas extra. Desafortunadamente, es inestable y poco fiable. Se ha desarrollado equipo de control para affancar una planta eólica siempre que la velocidad del viento llegue a 30 km/h. Se han encontrado

también métodos para generar energía de frecuencia constante con velocidades variables de viento y la consecuente velocidad variable de las hélices de los molinos de viento. La energía eólica puede resultar práctica para pequeñas necesidades de energía en sitios aislados. Pero, para velocidad máxima, la energía eólica se debe usar en combinación con otros métodos de generación eléctrica para asegurar la continuidad. Parala generación eólica hay tres tipos de operación:

l. 2. 3.

Pequeña, 0.5-10 kW, para instalaciones individuales aisladas.

Medianas, 10-100 kW, para comunidades. Grandes, 1.5 mW para conexión a la red.

La potencia teórica en una corriente de viento está dada por:

P = 0.5 pAVrW

donde

p = densidad del aire (l2Ol g/m3 a NTP) V = velocidad media del aire (m/s), y A = área de barrido lm2).

r un rotor de 17 m de diámetro y una velocidad de 48 km/h, la potencia teórica es r' la potencia práctica sería aproximadamente la mitad de este valor. Hav algunas características de uso final que son distintivas de los sistemas eólicos: P¿¡'a

ie

:ó-5

k\\.

l.

La mayor parte de las ubicaciones de plantas eólicas se encuentran en áreas rurales

2.

Los sistemas rurales de red probablemente sean "débiles" en estas áreas, ya que llevan suministros de voltaje relativamente bajo (por ejemplo, 33 kV).

3.

Hay siempre periodos sin viento.

remotas, islas o sitios marinos.

En la India, se han instalado plantas eólicas en Gujarat, Orissa, Maharashtra y Tamil Nadu, en donde el viento sopla a velocidades de 30 km/h durante el verano. En general, el potencial eólico de la India se ha estimado que es sustancial, y es de alrededor de 45 000 MW. La capacidad instalada hasta diciembre de 2000 es de | 267 MW, la mayoría está en Tamil Nadu (60Va). La cifra mundial conespondiente es de 14 000 MW, donde la mayoría está instalada en Europa (7}Vo).

Energía solar La incidencia promedio de energía solar recibida en la superficie terrestre es alrededor de 600 Wmz, pero el valor puntual varía considerablemente. Tiene la ventaja de ser libre de costos, inagotable y completamente libre de contaminación. Por otro lado, tiene muchos obstáculos: la densidad energética por unidad de área es muy baja; está disponible sólo durante parte del día, y las condiciones atmosféricas nubosas o neblinosas reducen mucho la energía recibida. Por lo tanto, para aprovechar Ia energía solar para la generación de electricidad, existen problemas tecnológicos que son retos. El más importante es la recolección y concentración de la energía solar y su conversión a la forma eléctrica por medios eficientes y comparativamente económicos. En la actualidad, se están desarrollando dos tecnologías para la conversión de energía solar a la forma eléctrica. En una tecnología, se emplean colectores con concentradores para conseguir temperaturas suficientemente altas (700"C) para operar una máquina térmica a una eficienciarazonable para generar electricidad. Sin embargo, hay dificultades considerables de ingenienapara construir unlazón heliotrópico individual con un diámetro que exceda 30 metros para generar quizá 200 kW. El proyecto implica estructuras grandes y complejas y un enorme desembolso y, hasta el día de hoy, está lejos de ser competitivo contra la generación convencional de electricidad. La torre de energía solar [15] genera vapor para la producción de electricidad. Hay una instalación de 10 MW con este sistema, de Southem California Edison Co., en Esta-

dosunidos,queusal8lBespejosplanos,cadaunodeTmxTmquereflejanlaradiación directa a la caldera elevada. La electricidad se puede generar en un estanque solar (Solar Pond) usando una máquina especial de "baja temperatura" acoplado a un generador eléctrico. Un estanque solar en Ein Borek, Israel, produce establemente 150 kW de 0.14 hectáreas, a un costo en barra colectora de alrededor de US$O.101kwh. El potencial de energía solar es, sin embargo, ilimitado, y se está planeando una ca:¡cid¡d total de 2 000 MW.

i I

I

:. :-.r:r::¡l

ioral de energía solar en la India es de 5 x

1015

kwh/año.

Se han instalaclcr

-.:-: :. -il de diciembre de 2000,462000 cocedores solares, 55 x 104m2 de área de r:; .-:,-rlin en sistemas de energía solar, 47 MW de potencia solar fotovoltaica (SPV), -- .---e: comunales. 278 000 linternas solares (unidades fotovoltaicas de iluminación - ::.->'.i.-a). 6+0 TV (solares), 39 000luces fotovoltaicas de alumbrado público, y 3 370 :',::.r¿s de agua. Hasta esa fecha, estaban en operación en aldeas plantas generadoras .-i,nrrnasJ de 1.1 MW de capacidad, y 1.1 MW de plantas solares conectadas aredes. >:--: un estimado [36], la energía solar rebasará a la eólica en2040, y se convertirá en - :-ente más grande de electricidad hacia 2050.

Conversión directa a electricidad (generación fotovoltaica)

;.¡:

tecnología convierte la energía solar a eléctrica por medio de celdas fotoeléctricas de

:ie¡ de silicio, conocidas como "celdas solares". Su eficiencia teórica es de alrededor :: l5-r. pero el valor práctico es sólo de alrededor de l57c. Pero esto no importa. ya

:*: la energía solar es básicamente libre de costo. El problema principal es el costo y el ::-.¡rtenimiento de las celdas solares. Con la probabilidad de un avance drástico en la pro:;;ción a gran escala de celdas solares con silicio amorfo, esta tecnología puede competir --:r los métodos convencionales de generación de electricidad, especialmente al escasear -'. combustibles convencionales. La energía solar, en el mejor de los casos, podría suplementar hasta 5-107o de la :emanda total de energía. Se ha estimado que, para producir 10" kWh/año, las celdas --:uparían alrededor deO.IVo del territorio de Estados Unidos, en comparación con las r¿rreteras, que ocu_pan l.5Vo (en 1915), suponiendo I}Vo de eficiencia y una insolación ;raria de 4 kWh/m'. En todos los proyectos solares térmicos se necesita almacenaje, debido a la natura.

-eza fluctuante de la energía del sol. Esto es igualmente verdad con muchas otras fuentes io convencionales. así como fuentes como el viento. Fuentes fluctuantes con cargas fluc:uantes complican todavía más el suministro de energía.

Energía de oleaje contenido energético de las olas del mar es muy alto. En 1a India, con varios cientos de kilómetros de litoral, hay disponible una vasta fuente de energía. La potencia en la ola es proporcional al cuadrado de la amplitud y al periodo del movimiento. Por lo tanto, las olas de penodo largo (-10 s), gran amplitud (-2m) son de interés considerable para la generar-'ión de electricidad, con promedios de flujo de energía comúnmente entre 50 y 70 kWm de amplitud de la ola que llega. Aunque los problemas de ingeniería relacionados con la energía de las olas son formidables, la cantidad de ingeniería que se puede aprovechar es grande, y está en progreso el trabajo de desarrollo (ver también la sección sobre generación hidroeléctrica, página 17). El potencial de energía de olas de mar es de 20 000 M\\'. E1

Conversión de energía térmica océanica (OTEC: ocean thermal energy conversion) El océano es el mayor colector de energía solar del mundo. Pueden presentarse díIe¡e:cias de temperatura de 20"C entre el agua tibia de la superflcie. absorbente de en:::r.

solar y entre el "agua de fondo". Esto puede proporcionar un almacenamiento de energía térmica que se repone constantemente. que en principio está disponible para su conversión a otras formas de energía. La OTEC se reñere a la conr¡ersión de esta energía térmica en trabajo, y subsecuentemente en electricidad. El potencial estimado de energía térmica oceánica en la India es de 50 000 MW Una planta propuesta para usar diferencia de temperaturas marinas estaría situada 25 km al este de Miami, Estados Unidos, donde la dittrencia de temperaturas es de 17.5"C.

Biocombustibles La materia de las plantas y los animales se conoce como bioma.r¿1, que se puede transformar por procesos químicos y biológicos para producir biocombustibles intermedios tales como gas metano, etanol líquido o carbón sólido. La biomasa se quema para obtener calor parala cocción, la calefacción de ambiente. secado de resetales. procesos de fabricación, y para la generación de vapor para la producción de electricidad y el transporte. En la India, el potencial para la bioenergía es de 17 000 \f\\- ¡'el potencial para los desechos agrícolas es de alrededor de 6 000 MW. Hay alrededor de I 000 plantas comunales de biogas, y las plantas de biogas tamaño familiar son -i. i x i 06. La energía total de biomasa puesta en servicio hasta ahora es de 222 MW. Los programas de energía renovable están diseñados especialmente para satisfacer las crecientes necesidades de energía en las áreas rurales para promover el desarrollo descentralizado y mixto, con objeto de frenar la creciente migración de la población rural hacia las áreas urbanas en búsqueda de mejores condiciones de vida. Sería mediante esta integración de esfuerzos de conservación de energía con programas de energíarenovable, como la India podría lograr una transición sin tropiezos de una economía de combustibles fósiles a una economía sostenible basada en energía renovable, y ofrecer "energía para todos" para un desarrollo equitativo y benigno al ambiente.

1.5

ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA

Hay mucho problema para almacenar electricidad en grandes cantidades. La energía que se puede convertir en electricidad es posible almacenarla de diversos modos. El almacenamiento de cualquier naturaleza es, sin embargo, muy costoso, y su economía debe pensarse adecuadamente. Las diversas opciones disponibles son: almacenaje bombeado, aire comprimido, calor, gas hidrógeno, baterías secundarias, volantes y bobinas superconductoras. Como ya se mencionó, las turbinas de gas se usan normalmente para responder a cargas pico; pero son muy costosas. Una cantidad importante de almacenamiento, capaz de uso instantáneo, sería una mejor manera de responder a tales cargas pico, y hasta ahora. la manera más importante consiste en tener una planta de almacenaje bombeado, como la que se describió anteriormente. Enseguida se discuten muy brevemente otros métodos.

Baterías secundarias El uso de baterías en gran escala está casi descartada, y se usarán para vehículos de batería v fuentes locales de enersía fluctuante. tales como molinos de viento o energía solar. La

1.6 i

Crecimrento de los sistemas de suministro

en la India

- : : i -. urd3.ria más ampliamente usada es la de plomo, inventada por Plante en 1 860. : .:, :- están desarrollando la batería de sodio y azufre (200 Wh/kg) y otras combina-

- -.-

- *., l:

n.rateriaies. para obtener mayor suministro y almacenaje por unidad de pe..'.

Celdas de combustible

"- -:li¡ de combustible convierte la energía química de un combustible directamenre - :-.. i¡iridad. sin ciclo intermedio de combustión. En la celda de combustible, se intro--:li.ígeno en el electrodo negativo y oxígeno (o aire) en el positivo. El hidrógeno ---¡' ,

:

: .. i.nrr se combinan para producir agua y electricidad. Los electrodos porosos per-' .:. e- paso de los iones de hidrógeno.Larazón principal por la que las celdas de - -.: *:Iible no se usan extensamente es su costo (> US$2 000lkw). La capacidad global -. .;:-¡ración de electricidad con celdas de combustible crecerá de sólo 75 MW en 2001 - -i 1i{-r \lW hacia 2010. Estados Unidos, Alemania y Japón pueden encabezar este :.tLt).

Sistemas de energía de hidrógeno

:

:.::óseno se puede usar como medio para la transmisión y almacenaje de energía. La rrilisis es un proceso comercial bien establecido para producir hidrógeno puro. El :i' .: puede convertir muy eficientemente de nuevo en electricidad mediante celdas de

: ::

-

:--':ustible. También el uso de hidrógeno como combustible para aviones y automóviles alentar su producción, almacenaje y distribución a gran escala.

- ,:l:

1,6

CRECIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE SUMINISTRO ELÉCTRICO EN LA INDIA

i:dra

razonablemente rica en recursos naturales como el carbón y la lignita. Habién- -:- encontrado algunas reservas de petróleo, se está llevando a cabo una intensa explo::-: -rt en varias regiones del país. La India tiene también inmensos recursos para genera- . - hidráulica, de los cuales sólo alrededor de 257o se han utilizado hasta ahora, es decir '" . - se han puesto en operación 25 000 MW hasta el final del Noveno Plan. Según un ::::irte informe de la CEA (Central Electric Authority), el potencial total hidroeléctrico :. :e 3J 040 MW a 60Vo de coeficiente de carga. Por lo que respecta ala energía nuclear, .. i:dia es deficiente en uranio, pero tiene ricos depósitos de torio, que se puede utilizar en ::;:¡ lutura en reactores de regeneración rápida (FBR). Desde la independencia, el país . . -enido un tremendo progreso en el desarrollo de energía eléctrica, y actualmente tiene :. .rste ma más grande entre los países en desarrollo. Cuando la India obtuvo su independencia, la capacidad instalada era tan baja como : r1,) \I\\- en las primeras etapas del crecimiento del sistema eléctrico. La mayor parte :- :eneraba en plantas térmicas; pero, debido a razones económicas, el desarrollo hi-

-.

es

:.--:lictrico recibió atención en regiones como Kerala, Tamil Nadu, uttar, pradesh 1 F-;:;:b.

:

\

rrincipios del Noveno Plan de Cinco Años (1951-1956), la capacidad instal¿J¡ -r¿ ::alrededor de 2 300 MW (560 MW hidroeléctrisos. 1 004 MW rérnricos. 1lg \f\\

>14

061

Región ortenle 90 396 5 664)

(1

Región sur

262 718 (42 061)

Figura

1.11

Mapa de la India que muestra, para cinco regiones. necesidades energéticas proyectadas en MkWh y cargas pico en MW para el periodo 2011-2012

en plantas de diésel, y 587

MW

en generación no comercial). Para transportar esta energía

a los centros de carga, se construyeron líneas de transmisión hasta de 110 KV. Durante el Segundo Plan (1956-1961), se puso énfasis en el desarrollo de industrias

básicas y pesadas, y por lo tanto hubo necesidad de incrementar la generación eléctrica. La capacidad total instalada, que era alrededor de 3 420 M\\: al final del Primer Plan de Cinco Años, se convirtió a 5100 MW al final del Segundo Plan de Cinco Años. La introducción del voltaje de transmisión de 230 kV tuvo lugar en Tamil Nadu y Punjab. Durante este plan, se energizaron en total alrededor de I 009 kiiómetros de circuito. En 1965-1966, la capacidad total instalada se aumentó a 10 170 MW. Durante el Tercer Plan de Cinco Años (1961-1966;), el crecimiento en transmisión tuvo lugar muy rápidamente, con una expansión de nueve veces en los niveles de voltaje de transmisión inferiores a 66 kV. Se dio preferencia a la electrificación rural. En esta fase, un importante desa¡rollo fue el surgimiento de una red eléctrica interestatal. El país se dividió en cinco regiones. cada una con un consejo regional de electricidad, para promover la operación

:::.::'d¡ de sus sistemas de suministro eléctrico. La figura 1.11 muestra estas cinco re-:-: del país con las necesidades de energía y picos de carga proyectadas en el periodo

r-

_. - --i,_rlt Ii9]. )rrante el Cuarto Periodo de Cinco Años, la India comenzó a generar energía nu-

:-:"¡ En la planta nuclear de Tarapur, se pusieron en operación 2 unidades de 210 MW -::; Lna. entre abril y mayo de1969. Estaplantausados reactores de aguahirviente de :->-:ir-r esudounidense. En agosto de 1972, se agregó a la capacidad de generación nuclear

-. :::mera unidad de 220 MW del Proyecto de Energía Atómica de Rajasthan, en Kota, R."--¿-rthan. La capacidad total de generación en Kota es de 430 MW con reactores nuclea::. ie diseño canadiense, que usan uranio natural como combustible y agua pesada como ::,.j¿rador 1' refrigerante. La tercera planta nuclear de 2 x 235 MW se puso en operación =: Kelpakkam (Tamil Nadu). Esta es la primera planta nuclear cuyo diseño, ingeniería y : -:sirucción se realizó por científicos e ingenieros indios. Se ha establecido un centro cie -:'.3stigación de reactores cerca de la planta atómica de Madras para llevar a cabo estu:r I s sLrbre tecnología de reactores de regeneración rápida (FBR). La cuarta planta nuclear re instalado en Narora, en Uttar Pradesh. Tiene dos unidades de235 MW cada una. La ''c :*inta está en Kaiga, en Kamataka, y \a sexta en Gujarat, cerca de Surat, Kakrapar (440 l.f\\-r. \-anas plantas más se pondrán en marcha hacia2012. La tabla 1.1 muestra el crecimiento de la capacidad de generación hasta ahora y la :r..,. ección para 20Il-2072. El patrón de utilización de la energía eléctrica en 1997-1998 era como sigue: do-

::,i.¡ica. 20.69Va: comercial, 6.9I7o; irrigación, 30.547o; industria, 35.22Vo, y otros usos, : 5-i'r. Se espera que permanezca aproximadamente igual en 2004-2005. Pa¡a ser autosuficiente en energía, BHEL tiene plantas distribuidas en todo el país, ;,-'nde se fabrica una gama completa de equipo para sistemas eléctricos, como conjuntos :e ¡urbina, conjuntos hidráulicos, turbinas para plantas nucleares, calderas de alta presión, :ansformadores de potencia, dispositivos de distribución, etc. Cada planta se especializr en una gama de equipo. El primer turbogenerador de 500 MW de BHEL se puso en - rcración en Singrauli. Actualmente, se considera a BHEL como uno de los principales :¡¡ricantes de equipo de planta en el mundo.

7.7 I

:

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

¡

'-onseryación de energía es la nueva fuente de energía más barata. Debemos recurrir dilersas medidas de cónservación de energía, tales como la cogeneración (discutida

Tabla

1.1

Crecimiento de la capacidad instalada en la lndia (en MW)

\ño

Hidráulica

,-0-1971 1 9-S- I 979 r 93-i- 198_5 lr,¡,rJ-l0O 1

6 383 11 378

19

t4

211

25 141

Nuclear

27 074

2120

71 060

r

Diésel

Ténnica

420 890 095

398

7 503 16 372

Total

14704 28 610

:

MW

2 700 renovable

42 210 101 630

anteriormente), y el uso de motores energéticamente eficientes para evitar desperdicio de electricidad. Podemos obtener ahorros considerables de energía eléctrica mediante la reducción de niveles de iluminación innecesariamente altos. motores sobredimensionados, etc. Se puede usar una lámpara fluorescente compacta de 9 W (CFL) en vez de un tubo fluorescente de 40 W o un foco de 60 W: los tres producen la misma iluminación en lúmenes. El periodo de recuperación de cualquier costo inicial adicional es menor de un año. Se debe crear conciencia en todas las personas. mediante medios impresos o electrónicos, de cómo se pueden reducir los niveles de consumo sin ninguna dismrnución esencial de la comodidad. La reestructuración de tarifas puede ofrecer incentivos a este respecto. Todavía no hay conciencia en cuanto a rendimiento de cuentas respecto a consumo energético, ni el sentido de urgencia que hay en los países desarrollados. Las pérdidas en transmisión y distribución no deben exceder 20Vo. Esto se puede lograr empleando compensación en serie/derivación, métodos de mejoramiento de factor de potencia, compensadores de var, opción de HVDC y dispositivos/controladores de FACTS (flexible AC technology: tecnologíaflexible de corriente alterna). Se usa una turbina de gas combinada con turbina de vapor para suavizar los picos de carga. Esto es más eficiente que la turbina normal de vapor, y es rápido en afranques y paros automáticos. Mejora el coeficiente de carga de la planta de vapor. El almacenaje de energía puede jugar un papel importante cuando hay falta de coincidencia en tiempo o potencia entre el suministro y la demanda de energía. Esto se ha discutido en la sección 1.5. Se ha considerado el almacenaje bombeado (hidroeléctricas) en la sección 1.3.

Industria En la India, la ley exige al sector empresarial incluir en su informe anual las medidas tomadas para conservación de energía. Uno de los pasos clave para la conservación de energía es una auditoría obligatoria de energía. Esto pondrá el dedo en los lugares y equipos en donde hay uso dispendioso. Se deben usar motores energéticamente eficientes y frenos regenerativos [1]. En la India, cuando la mayoría de las áreas tienen una gran cantidad de días soleados, el agua calentada en calentadores solares para el baño y la cocina se está haciendo común para edificios comerciales, hoteles e incluso hospitales. En la India, donde vastas regiones son deficientes en suministro eléctrico y están sujetas a largas horas de cofies eléctricos, la mayoría de ellos aleatorios, es muy común el uso doméstico y comercial de pequeños generadores de diésel o de gasolina. Éstos son dispositivos altamente dispendiosos de energía. Con mantenimiento adecuado y planeado, eltiempo muerto de las plantas grandes existentes se puede recortar. Los coeficientes de utilización de las plantas existentes se deben mejorar. El mantenimiento se debe hacer por programaenvezde emergencia. La capacitación del personal de mantenimiento debe despertar el sentido de prevención. Estas acciones mejorarán también el coeficiente de carga de la mayoría de plantas eléctricas, lo cual contribuirá indirectamente a la conserr-ación de enersía.

-¡"d¡:.i n i stración de

cargas

.-. :.:r ::encionado en varios planes de "administración

de cargas", es posible alejar de las horas pico (sección 1.1). Un método más directo seria el control de la '" de tarifas modificada que alentara a los clientes in" .:¿ mediante una estructura programas de uso eléctrico, o mediante el control directo de los ; reajustar sus :*.,:: y apagado con control remoto, con las mer forma switches de encendido :r: : 3 de " -r - :=, ::'.--iesiias para el cliente. Se describen varios sistemas de administración de cargas - ?.=- i-1. En Europa se ha probado el control remoto de fluctuaciones (control ripple). = : . =.,. ::obando un medidor de kWh por sistemas de onda portadora. La mayor parte del :" ..:: tr, para control de carga está en el sector doméstico. Las empresas de suministro : :: .:r. -r esrán ahora planeando la introducción de programas de administración de cargas

.;:i¡

--:

:r lj.lue il todo el sistema.

1,8 DESREGULACIÓN más de cien años, la industria de suministro eléctrico en todo el mundo operaba una industria regulada. En cualquier área, sólo había una empresa o una dependen::.:' - . :el gobierno (principalmente de propiedad estatal) que producía, transmitía, distribuía . en =:Jía ia energía eléctrica y sus servicios. La desregulación como concepto se inició -: Trajo cambios diseñados para alentar la competencia. Li reestructuroción implica desmantelar la industria eléctrica y el volverla a armar : - - r:a iorma u organización funcional. La privatización inició la venta por parte del l.r:.rno de sus activos de propiedad estatal en el suministro eléctrico, y de su estruc-:: e;onómíca de operación, a empresas privadas. En algunos casos, la desregulación -; :romovida por necesidades de pivatización. El estado desea vender su inversión en y cambiar las reglas (desregulación) para hacer la industria eléctrica =:, r--ios eléctricos -,:! rtractiva para inversionistas potenciales, lo cual permite elevar el precio que se puede :::-:er de la venta. El ecceso ebierto no es más que una manera ordinaria en la que un go:::::.to puede alentar la competencia en la industria eléctrica y derrocar al monopolio. Al - :.umidor se le da la seguridad de un suministro de buena calidad a precio competitivo. La estructura para la desregulación ha evolucionado en conceptos como Genco (Ger::¡tion Company, Empresa generadora), Transco (Transmission Company, Empresa de :r.misión) e ISO (Independent System Operator, Operador independiente de sistemas). S: :spera que la puja óptima aytdará a las Genco a elevar al máximo sus utilidades. Se da : ,,¡s consumidores la capacidad de elegir comprar energía de diferentes suministradores - nenudeo (IPP, Independent Power Producer, Productor independiente de energía), que : >u vez la compran de las Genco en el mercado de energía. La reestructuración de la industria de suministro eléctrico, que normalmente acompa:" ¡ la introducción de la competencia, ofrece un campo fértil para el crecimiento de ge.,:r¿ción incrustada, es decir, la generación que está conectada al sistema de distribución ::rls que al sistema de transmisión. Las primeras reformas en las industrias de suministro eléctrico se iniciaron en Clule. l-e:on se,euidas por las de Inglaterra, Estados Unidos, etc. Ahora la India está tambien ::-l.lzando la reestructuración. Se necesita mucha investigación para entender ciarament¡

- -:¡::e

3+

CAPITULOl

lntroducción

la operación de sistemas eléctricos bajo la desregulación. El enfbque de la investigación está virando ahora hacia la búsqueda de métodos óptimos de licitación que tomen en cuen-

ta el trámite óptimo local, la adecuación de los ingresos y las incerlidumbres de mercado.

La India ha promuigado ahora la Ley de 1a Comisión Reguladora de Electricidad de 1998, y la Enmienda de las Ley'es de Electricidad de 1998. Estas leyes permiten la creación de la Comisión Central Re-euladora de Electricidad (CERC), a nivel central, y de la Comisión Estatal Reguladora de Electricidad (SERC), a nivel estatal. El propósito principal de la CERC nistro de electricidad

promover la eficiencia. la economía y la competencia en el sumimayoreo. Orissa. Han,ana. Andhra Pradesh, etc., han comenzado el proceso de reestructurar el sector ener_eético en sus respectivos estados.

1.9

es

a1

GENERACIÓN DISTRIBUIDA Y DISPERSA

La generación distribuida (DG) conlleva e1 uso de muchos -qeneradores pequeños de 2-50 MW instalados en varios puntos estratégicos en ¡oda el área, de modo que cada uno proporciona energía a un pequeño número de consumidores cercanos. Estos generadores pueden ser solares, hidroeléctricos mini/micro o unidades de turbina de viento, turbinas de gas de alta eficiencia, o plantas pequeñas de ciclo combrnado. ya que éstas son las opciones más económicas. La generación dispersa se refiere al uso de unidades seneradoras aún n.rás pequeñas, menores de -500 kW, y frecuentemente dimensionadas para e1 sen'icio de residencias o negocios individuales. Esta categoría la constituyen turbinas de ga-s micro. ceidas de combustible, generadores diésel y pequeños generadores eólicos r soiares fotovoltaicos. La generación dispersa se ha usado durante décadas como iuente de energía para respaldo de emergencia. La mayoría de estas unidades se usan sólo para reforzar la fiabilidad. Actualmente se usan cadavez más los inversores en e1 sector doméstico. como suministro de emergencia durante apagones. Los generadores distribuidos/dispersos pueden ser autónonos o conectados a la red, según sea necesario.

En el momento de escribir esto (2001), todavía ha¡" ¡ probablemente siempre habrá alguna economía de escala a favor de los generadores grandes. Pero el margen de esta economía disminuyó considerablemente en los últimos 10 años [23]. Aun cuando la energía en sí misma cueste un poco mas que la generada en una planta central, no hay necesidad de líneas de transmisión, y qtizá también una necesidad reducida de equipo de distribución. Otra ventaja importante de la generación dispersa es su modularidad. su fortabilidad y su reubicabilidad. Los generadores dispersos también incluyen dos nuevos tipos de unidades de combustibles fósiles: las celdas de combustible y las microturbinas de gas. El reto principal actual es mejorar las tecnolo-eías eristentes y promover el desaruo1lo, la demostración, el crecimiento a escala y la comercialización de tecnologías nuevas y en desarrollo, para adaptarlas a una amplia difusión. En el sector rural, las áreas de mayor impulso son el briqueteo de biomasa, la cogeneración basada en biomasa, etc. En la -eeneración solar fotovoltaica, se necesitan desarrollar celdas y módulos solares de gran tamaño basadas en película delgada de silicio cristalino. La eficiencia de las celdas \Lrlares debe mejorarse a 15Vo para hacerlas utilizables a nivel comercial. Otra área es el ::.¡roilo de inversores de alta eficiencia. Los desechos urbanos e industriales se usan

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la generación eléctrica, que fue de alre-

'r'" r,;) -ll millones de chulhas (bracero hindú) mejoradas. Si las necesidades cre- :r.-: je energía en las ¿ireas rurales se atienden mediante sistemas descentralizados y -' , . : ;e energía (generación distribuida/dispersa), esto puede frenar la creciente mrgra- . , -l: ,; población rural a áreas urbanas en busca de mejores condiciones de vida. Así, la -- *-, :¡drá lo-qrar una transición sin tropiezos de la economía de combustibles fósiles a - ;: --iomía sustentable basada en energía renovable, y poner en práctica la idea de "ener. : r¡t; todos" para un desarrollo equitativo, benigno al ambiente y sustentable.

1.10 I :..

: .

ASPECTOS AMBIENTALES DE LA GENERACIÓN DE ENERGÍA

: io que respecta a los riesgos ambientales y de salud que conllevan las plantas nucleade larias clases, éstos ya se han discutido en la sección 1.3. Los problemas relacionas .on las grandes plantas hidroeléctricas también se han tratado en la sección 1.3. Por

:rnto. enfocaremos ahora la atención en las plantas de combustibles fósiles, incluyendo

.:> basadas en gas.

La conversión de una forma u otra de energía a la forma eléctrica tiene efectos co.':erales indeseables, y los contaminantes que se generan en el proceso se tienen que .-:minar. Los contaminantes no conocen fronteras geográficas, por lo cual el tema de la :,--ntanrinación se ha convertido en un problema de pesadilla, y han surgido fuertes grupos :e presión, nacionales e internacionales que están teniendo un impacto definitivo sobre el :esarrollo de recursos energéticos. Al reconocer los gobiemos el problema, se han creado :.umerosas normas tanto nacionales como internacionales, con las que los ingenieros de .uministro eléctrico deben estar familiarizados en la práctica de su profesión, y en los :studios y planeación para grandes proyectos energéticos. Trámites lentos y engoffosos : nivei gubernamental, litigaciones de interés público y manifestaciones de protesta han --ausado demoras en varios proyectos en varios países. Esto ha llevado a favorecer pro\ ectos pequeños y a redesarrollar sitios existentes. Pero, con la creciente brecha entre .iemanda eléctrica y producción, la India tiene que avanzar hacia grandes proyectos eléc:ricos témicos, hidráulicos y nucleares. Se está dando especial importancia a los temas de conservación, recorte de pérdidas en transmisión, robos, suministros subsidiados de energía y, sobre todo, el desorrollo ittsÍentable con la tecnolog.ía adecuada, siempre que sea factible. Se tiene que asegurar especialmente que no se provocará daño irreversible al ambiente, lo cual afectaría las condiciones de vida de las generaciones futuras. Los daños irreversibles, como los hoyos en la capa de ozono y el calentamiento global causado por el CO, en la atmósfera ya se están percibiendo.

Contaminación atmosférica Trataremos aquí sólo la contaminación causada por las plantas térmicas que usan ca¡h-'r. como combustible. Ciertos temas relacionados ya se han puesto de relieve en la sec;1,-': 1.3. Las plantas generadoras basadas en combustibles fósiles constitu-v-en 1a colunr¡¡ ', ¡r--

r ¡ebral de la generación de energía en la India, y también globalmente, ya que otras opcio_ nes (como la nuclear e incluso la hidroeléctrica) conllevan riesgos aún más fuertes.

Debe también entenderse que la contaminación en ciudadós grandes como Delhi se debe más al tránsito vehicular y sus emisiones. Por supuesto qu" .n Delhi, las plantas generadoras de Inderprastha y Badarpur apofian su contribución en ciertas áreas. Los contaminantes problemáticos en ia emisión de las plantas generadoras basadas en carbón son:

Soz

.

NO,,óxidos de nitrógeno

.co ' . .

Coz Ciertoshidrocarburos Partículas

Aunque la reseña que si-eue será gener:1.

se debe

mencionar que el carbón indio tiene

un contenido de azufre relatilamente b;jtr. pero un -eran contenido de cenizas, que en

algunos carbones puede ser hasta de -<_i por ciento. La siguiente es una brere reseña de clirersos contaminantes. su probable impacto y los métodos para abatirlo,

Óxidos de azufre (SO) La mayor parte del azufre presente en el combustible fósil se oxida a SO, en Ia cámara de combustión antes de salir por 1a chimenea. En la atmósfera, se convierie en HrSOo y

en sulfatos metálicos. que son una importante causa de preocupación porque pueden pro_ vocar lluvia ácida. disminución de la visibilidad y daños a los edificios y a la u.g.tu.ión. Concentraciones de sulfatos de 9-10 pg/m3 de aire agravan el asma y las enfermedades pulmonares y del corazón. También se puede señalar que, aunque el azufre no se acumula en el aire, sí lo hace en el suelo. La emisión de azufre se puede controlar mediante:

'

Uso de combustible con menos de 17ode azufre; generalmente ésta no es una solución factible.

'

Uso de reacción química para quitar de los productos de combustión el azufre en forma de ácido sulfúrico mediante lavadores con cal, o mediante combustión en lecho fluidizado.

'

Quitar el azufre del carbón por procesos de gasificación o de flotación.

Se ha observado que el azufre como subproducto puede contribuir a recuperar el costo de la planta de recuperación de azufte.

Óxidos de nitrógeno (NO*) Entre éstos' el NOr constituye una importante preocupación como contaminante. Es soluble en agua y por 1o tanto tiene efectos adversos en la salud humana al entrar a los nulIrltrre S en ia inhalación y combinarse con la humedad, convirtiéndose en ácidos nitroso

1.10

Aspectos ambientales de la generación de energra

i :-.:,. --ue dañan los pulmones. A niveles de 25-100 -- -,- ---.: :iui¡ r'neumonía.

ppm, los NO, pueden causar

' .. :n-:Siuio de NO.

:

se puede controlar instalando quemadores de tecnología avanzan ase-gurar una combustión más completa, reduciendo así la emisión de es: ::. Estos también se pueden quitar de los productos de combustión por procesos :-iLín con ciertos solventes antes del escape.

-: :*iie

' j -::

Cridos de carbono (CO, CO2)

: l,l e s un contaminante muy tóxico, pero se convierte en CO2 en la atmósfera abierta ' ;3 rrsne r que rodea la planta. Por otro lado, el CO, se ha identificado como una causa -::' :::nte del calentamiento global. No es todavía un problema serio en los países en - _ ---'t^ - -,,-tL¡. _-r

Eidrocarburos '' :;:re el proceso de oxidación en la cámara de combustión,

se pueden formar ciertos ---:--,.carburos de bajo peso. Los compuestos son una fuente principal de reacción fotoquí-:-:: que contribuye al agotamiento de la capa de ozono.

Partículas (polvo de chimenea) :- :..ntenido de polvo es particularmente alto en el carbón de la India. Las partículas salen :: i¡ chimenea como un polvo que comprende partículas finas de carbón, ceniza y otros :-"ieriales inertes. En altas concentraciones, causan mala visibilidad y enfermedades res::r¡torias. La concentración de contaminantes se puede reducir por dispersión en un área más r\rensa usando chimeneas altas. Se pueden utilizar precipiladores para quitar las partícu..-i mientras suben los gases de combustión por la chimenea. Si se fija un alambre vertical :r la chimenea, atado por la parte media, y se carga con un alto potencial negativo, emite :lectrones. Las moléculas de gas, al capturar estos electrones, se convierten en iones :.iesati\¡os. Estos iones se aceleran hacia las paredes, se neutralizan al tocarlas, y las par:ículas caen por las paredes. Los precipitadores tienen alta eficiencia, hasta de 99Va para rartículas grandes; pero tienen mal desempeño para partículas con diámetros menores de ,,t.1 ¡rm. La eficiencia de los precipitadores es alta con un contenido razonable de azufre en los gases de chimenea, pero disminuye para carbones con bajo contenido de azufre: 99dc para3Vo de azufrey 83Vo paru0.57o de azufre. También se han empleado filtros de tela en forma de saco qve se colocan antes de la entrada de los gases a la chimenea.

Contaminación térmica El vapor de la turbina de baja presión se tiene que condensar en un condensador y reducir a la temperatura más baja posible para elevar al máximo la eficiencia termodinámica. La mejor ef,ciencia del ciclo de valor disponible en la práctica es de alrededor de 40it. Estr-r significa que se debe quitar el 60Va del calor del vapor al final del ciclo. Esto se consigue mediante dos métodos:

CAPITULO

i.

(Jna sola circulación a través del condensador con tubos de enfriamiento que llevan agua de mar o de río, cuando está disponible. Esto eleva la temperatura del agua en estas dos fuentes, y es una amenaza para la vida marina alrededor de la descarga y para la vida fluvial aguas abajo. Estas son objeciones ambientales serias, y muchas veces no se pueden ignorar. También puede haber legislación contra este calentamiento.

2.

Torres de enfriamientr¡. Se recircula agua fría alrededor del condensador para quitar el calor del vapor de escape con objeto de condensarlo. El agua circulante, que se calienta en este proceso, se bornbea a la torre de enfriamiento y se rocía a través de boquillas en una coriente ascendente de aire. Algo del agua se evapora, provocando enfriamiento. El calor latente del agua es 2 x 106 Jkg,y el enfriamiento puede ocurrir rápidamente. Pero esto tiene la desr entaja de aumentar la humedad del aire a niveles altos (indeseables) en las áreas circundantes. Por supuesto, el agua evaporada se debe reponer al sistema agregando asua nuela del suministro.

Las torres de enfriamiento cenadas. donde el condensado fluye por tubos y el aire se sopla en dichos tubos, evitan el problema de humidificación del aire, pero a un costo muy alto. En la India sólo se \san ton'es lntnti¡lin¿ctdcts.

Radiación electromagnética de las líneas elevadas Los efectos biológicos de 1a radración electronasnética de las líneas eléctricas, e incluso de los cables lnuy cercanos a edihcios. ha llarnado recientemente la atención ¡r causado también algo de preocupación, La tiecuencia de 1a corriente (50 o 60 Hz), e incluso sus armónicas, no se consideran dañinos. Las investigaciones que se han llevado a cabo en ciertos países avanzados hasta ahora no han sido concluyentes. Los ingenieros eléctricos y electrónicos, aunque están conscientes de esta controversia, deben saber que hay otros agentes ambientales que pueden causar un daño mucho mayor a la salud humana que la radiación electromagnética. Como dato, se puede mencionar que directamente debajo de una línea de 400 kV la fuerua del campo eléctrico es de 1l 000 V/m, y la densidad de flujo magnético (dependiendo de la corriente) puede ser hasta de 40 p.T. Una fuerza de campo eléctrico en la gama de 10 000-15 000 V/m se puede considerar segura.

Impactos visuales y auditivos Estos problemas ambientales son provocados por los siguientes factores:

1. El derecho 2. 3.

de paso otorga el terreno que queda debajo de la línea. No es un serio problema en la India en la actualidad. Podría ser un problema en el futuro. Los cables que convergen en una subestación grande anuinan 1a belleza del paisaje circundante. Los cables subterráneos, como altemativa, son una propuesta demasiado costosa, salvo en áreas urbanas congestionadas. La radiointerferencia (RI) debe tomarse en cuenta y ser contrarrestada por diversos rnedios.

-rrea de alta tensión) produce un sonido sibilante que se puede escuchar cuando

.' :"':r:¡ción está en estrecha

proximidad. En las torres, se debe poner gran atención

1.12

Uso de computadoras y microp'ocesac:'=s

en apretar bien las juntas, evitar las aristas agudas y usar blindaje con mallas de tierra para limitar ei ruido audible dentro de niveles aceptables.

-¡.

Los trabajadores que están dentro de una planta eléctrica están sujetos a diversas clases de ruido (especialmente cerca de las turbinas) y vibración del piso. Para reducir este ruido a niveles tolerables, las cimentaciones y los filtros de vibración se deben diseñar correctamente, así como llevar a cabo estudios de simulación. Es necesario hacer al trabajador exámenes médicos periódicos y darle consejo médico confiable.

L.II

INGENIEROS Y ESTUDIOS DE SISTEMAS DE SUMINISTRO ELÉCTRICO

El ingeniero de sistemas de suministro eléctrico de la primera década del siglo xxl tiene que enfrentarse a una diversidad de tareas desafiantes, a las que sólo puede responder manteniéndose al día de los avances científicos recientes y de las últimas técnicas. Por el lado de planeación, tiene que tomar decisiones acerca de cuánta electricidad generar, dónde, cómo y usando qué combustible. Tiene que participar en tareas de construcción de gran magnitud, tanto en la generación como en la transmisión. Tiene que resolver los problemas de la planeación y de la operación coordinada de una red de energía vasta y compleja, con objeto de lograr un alto grado de economía y fiabilidad. En un país como la India, tiene además que encarar el perenne problema de la escasez de energía, y desarro* llar estrategias para su conservación y para la administración de cargas. Para planear la operación, la mejora y la expansión de un sistema de suministro eléctrico, el ingeniero necesita estudios de flujo de cargas, estudios de cortocircuitos y estudios de estabilidad. Tiene que conocer los principios del despacho económico de cargas y del control de frecuencia de cargas. Los siguientes capítulos tratan de todos estos problemas, después de discutir algunos conceptos básicos en la teoría de las líneas de transmisión. También se investigan las soluciones de estos problemas y la enorme contribución de las computadoras digitales para resolver los problemas de planeación y operación de sistemas de suministro eléctrico.

1.I2

USO DE COMPUTADORAS Y MICROPROCESADORES

Los primeros métodos para resolver diversos problemas de sistemas de suministro eléctrico fueron los analizadores de redes de AC y DC desarrollados a principio de la década de 1930. Los analizadores de AC se usaban para estudios de flujo de cargas y estabilidad. mientras que los analizadores de DC se preferían para estudios de cortocircuitos. Las computadoras analógicas se desarrollaron en la década de 1940, y se usaban en combinación con el analizador de redes de AC para resolver diversos problemas prr: estudios fuera de línea. En la década de 1950 se desarrollaron muchos dispositivo. .;-.ló-eicos para controlar funciones en línea tales como control de generación. fiecuel:-. ", control de 1íneas de empalme. La década de 1950 vio también el advenimiento de las computadoras dig:l;i:s. ;u; .:

usaron por primera vez en 1956 pararesolver un problema de flu-jo de cargas. L: s :::i¡i - s por computadora de sistemas de suministro eléctrico dieron mavor lleribihi¡J. E::;r¡r.'r-.

l3e

velocidad y economía. Hasta la década de 1970. hubo un extenso uso de las computadoras en el análisis de sistemas. Con la llegada de los microprocesadores, ahora, además de las computadoras multiusuario. 1as computadoras mini, micro y personales se están usando cadavez más para reaiizar diversos estudios de sistemas de suministro eléctrico y para resolver problemas de 1os sisternas para aplicaciones en línea y fuera de línea. Las aplicaciones tuera de línea incluyen la investigación, la evaluación rutinaria de desempeño del sistema r la asimilación y recuperación de datos. Se usa principalmente para planear y anahzar algunos aspectos nuevos del sistema. Las aplicaciones en línea y en tiempo real inclul'en el registro de datos y el monitoreo del estado del sistema. En los centros de despacho de cargas se usa una computadora central grande para el control económico y seguro de grandes sistemas integrados. Los microprocesadores y las computadoras que se instalan en las estaciones de generación controlan diversos procesos locales tales como el arranque en frío de un generador, etc. La tabla 1.2 muestra la escala

de tiempo de varios problemas jerárquicos de control, para resolverse mediante computadoras/microprocesadores. Algunos de estos problemas se resuelven en este libro.

1.13

PROBLEMAS A LOS OUE SE ENFRENTA LA INDUSTRIA DE ENERGÍA DE tA INDIA, Y SUS OPCIONES

Las necesidades de electricidad de la India han crecido tremendamente, y la demanda ha estado creciendo por delante de la oferta. Los procesos de generación y transmisión de electricidad en la India son muy ineficientes en comparación con los de algunos países desarollados. Según un estimado, en la India la capacidad de generación se utiliza, en promedio, durante 3 600 horas de 8 760 horas del año, mientras que en Japón se usa durante 5 100 horas. Si se pudiera aumentar el factor de utilización, debería ser posible evitar los cortes de energía. Las pérdidas de transmisión en el penodo 1991-1998, en base nacional, fue de 23.6870, consistente en pérdidas técnicas tanto en líneas como en transformadores, y también pérdidas no técnicas causadas por robos de energía y lecturas incorectas de

los medidores. Debe ser posible lograr ahorros considerables mediante la reducción de estas pérdidas a I5Va a finales del Décimo Plan de Cinco Años, usando métodos y me-

dios bien conocidos, y adoptando algunas prácticas comerciales. Además, se debe tratar

Tabla 1.2 Escala de tiempo

Problema de contrcl

Milisegundos

Control de transmisión, control de voltaje, contol de excitación

2 s-5 minutos

AGC (Automatic generation control.¡(Control automático de generación)

10 min-algunas horas

ED (Economic despatch)(Despacho económico)

H¡cer

Análisis de seguridad

--":::

pocas horas-una semana

,-6

meses

-

ri..S

UC (Unit commitment)(Asignación de unidades) Programación de mantenimiento Planeación de sistemas lmodif, cación/extensión)

'3

:.--:T?.

a ñq n¡-o Se elfrenta la infiUStfia indie elc Fnprnra v srrs nnejg¡gg

:, - ,: . -,- : ledios posibles para mejorar los coeficientes de carga del sistema allanandcr ; - -i. : :i .rrgas. ofreciendo incentivos tarifarios adecuados y tomando otras medidas *---.-r.-:-r:ti\,rs. Según el informe del decimosexto levantamiento anual energético de la --:-:. ;-e;tricit) Authority (CEA) de la India, el coeficiente de carga de toda 1a Inciia

'*-.. - , -,it-l999eradelordendeTSVo.Enelfuturo,esprobablequeseadeTl%.Hacia .::¡hiunelectrificado5.0Tx l05aldeas (86%o).ysehabíanenergizado llTx lU' -,

- " -11L'ú). -L.-

-

r.:.-mendo un crecimiento anual energético muy modesto de 57o,las necesidades de e-ée-trica de la India en 2010 serán enormemente altas. Es inminente una difícil -:-:r.rrl€ ta¡ea de planeación, ingeniería y construcción de nuevas plantas eléctricas :'--, ::sponder a esta situación. El gobierno ha construido varias superplantas térmicas ; :: --,nio Sin-srauli (Uttar Pradesh), Farakka (West Bengal), Korba (Madhya Pradesh), (Andhra Pradesh) y Neyveli (Tamil Nadu), Chandrapur (Maharashtra), to: ' -.:::ndam : .r Íeas de minas de carbón, y todas con una capacidad en la gama de 2 000 MW.* :: . - :¡turo se construirán muchas otras superplantas témicas. Se debe rcalizar trabajo -..::1\o en los quemadores de las calderas para quemar carbón con alto contenido de - : i -;:. La National Themal Power Corporation (NTPC) está a cargo de estos proyectos -. ::reración a gran escala. L; ener-eía hidroeléctrica seguirá siendo más barata que los otros tipos durante la si:-,-r:3 década. Como se mencionó antes, la India ha desanollado hasta ahora sólo el 187o := -- :otencial total estimado hidroeléctrico de 89 000 MW Lautilización de esta fuen. :';r-nne de energía conllevaría inversiones masivas en presas. canales y sistemas de ::-.:;.ión y transmisión. La Central Electricity Authority, la Comisión de Planeación y .- l'"l-rrs¡erio de Energía se están coordinando para elaborar un plan de perspectiva para -::;::o11ar todas las fuentes hidroeléctricas hacia el final de este siglo, para que lo ejecute - lr'iional Hydro Power Corporation (NHPC). La NTPC ha comenzado también recien'::--nte el desarrollo de plantas hidroeléctricas. I-: energía nuclear asume una importancia especial en la planeación energética de la .:-.. Debido a las reservas limitadas de carbón y su baja calidad, la India no tiene otra :,: - -,ii que seguir adelante con sus planes de energía nuclear. De acuerdo con la Comisión -. F:ergía Atómica, la generación nuclear de la India aumentará a 10 000 MW hacia el -"' lr )10. Todo parece estar preparado para un despegue en la producción de energía nu- -.: usando las reservas de torio del país en reactores regenerativos. Fl la India, se necesita alentar los esfuerzos concertados para desarrollar la energía ' ..: ', .rtras fuentes no convencionales de energía, para poder responder a la creciente de:,::,1¿ ¡ se puedan conservar las reservas de combustibles fósiles, que se están agotando. - ,:":esponder a la necesidad de energía, se espera que la producción de carbón se tenga : -: :'.mentar a más de 450 millones de toneladas en2004-2005, en comparación con 180 ,,,-,,nes de toneladas en 1998. \'¡nas línea de 400 kV están operando exitosamente desde la década de 1980, como * .¿ rrencionó. Éste fue el primer paso al trabajar hacia una red nacional. Hay necesidad >

:-::i:;

-- \Trc

ha construido también siete plantas generadoras de gas de ciclo combinado tales como

-t:.

CAPíTULO

1

Introducción

en el futuro de llegar a voltajes todavía más altos (800 kV). Se espera que' para el año 2OIl-2012, estarán en operación 5 400 km de líneas de 800 kV y 48 000 km de líneas para transde 400 kV. También se podrán compensar las líneas. en serie y en derivación, construir de necesidad Hay estabilidad. portar grandes bloques de energía con mayor pueden tfansportar DC 1íneas de que 1as enlacesde HVDC (alto voltaje DC) en el país. ya considerablemente más potencia al mismo voltaie. r' necesitan menos conductores. La NPTC ha puesto en operación el primer proyecto espaida con espalda, con capacidad de 500 MW 400 kV en Singrauli-Vindhyachal, seguido por la primera transmisión masiva punto a punto EHVDC de 1 500 MW a r- 500 kV en una drstancia de 910 km de Rihand un u O.t¡i. La power Grid puso recientemente en operación. e1 1-1 de febrero de 2003, y Kolar' Talcher entre 500 kV M\\2 000 de HVDC, sistema de transmisión bipolar, lo cual permite que la energía excesiva de 1a región oriental fluva al sur' Se esperan 7 000

km de circuito de línea -f 500 kV HVDC para201'l-2011' Ai momento de escribir esta obra, todo el escenario energético es tan nublado de incefiidumbre, que sería insensato cualquier predicctón cuantitativa. Sin embargo, son claras ciertas tenclencias que decidirán los desarrollos llturos de la industria del suministro eléctrico.

Generalmente. los tamaños de las unidades serán superiores a 500 MW Un voltaje más alto ('76511200 kV) se establecerá finalmente al nirel de transmisión. Hay poca probabilidad de que la transmisión de seis fases se popuiarice. aunque hay unas pocas de Como la poestas líneas en Estados Unidos. Se pondrán en operación más líneas HVDC' hacia blación ya tocó la marca de 1 000 millones en la India. podemos ver una tendencia

la transmisión subtenánea en las áreas urbanas' La inversión del sector público en energía ha aumentado de Rs 2 600 millones en el primer plan a ¡.¡s242 330 millones en el Séptimo Plan ( 1985-1990). El déficit en el Sexto plan ha sido alreded or del 267o. Ha habido serias situaciones de escasez de energía, y la generación y la disposición de energía a su vez se hln retrssado mucho en comparación enormes cantidaóon las necesidades industriales, agrícolas y domésticas' Se necesitarán una posición que alcanzar tenemos si millones 200 ) des de fondos (del orden de Rs 1 893 (2011-2012)' Plan del Undécimo final año al de superávit energético cuando lleguemos De otra manera, conseguir un objetivo de 975 brllones de unidades de energía eléctrica seguirá siendo un sueño utóPico. Power Grid está planeando la creación de careteras de transmisión para conservar 2001' la el derecho de paso. S! está desarrollando por fases una fuerte red nacional' E'n 30 000 de será para que 2011-2012' espera Se MW. 000 capacidad interregional era de 5 década' próxima la en billones US$20 de orden MW. Se planea una enorme inversión, del de La cifra actual para HVDC es de 3 136 km de circuito; para 850 kV 950 kilómetros km 000 215 kV para y 2201132 circuito; para 400 kV 45 500 kilómetros de circuito,

la India son HVDC de u-ircuito. Las tecnologías de avanzada que se usan actualmente en b,rolur. HVDC espalda con espalda, SVC (S¡arlc Var Compensalor: Compensador estáje ., rr r. dispositivos FACT (Flexibte AC TrcLnsmissi¿¡n: Transmisión flexible en AC),

:-

_.:_.,:..,1,rgírs nrejoradas de operación ) mantenimiento que se usan actualmente ..-:-rti.:t:L) en Línea caliente, sistema de restauración de emergencia, escaneo de

. - :'.:

D:¡ido ¡ la escasez de energía, muchas industrias, especialmente las de consumo in:.:sir... har insiaiado sus propias plantas generadoras cautivas.* En la actualidad,20Vo de -. ¡le.-rncidad generada en la India proviene de plantas generadoras cautivas, y es seguro

J;i

\ a a aumenrar en el futuro. Se debe alentar el consorcio de consumidores industriales esrablecer plantas cautivas basadas en carbón. Se debe TibenlizarTaimpoftación para esta actividad. "+.) ar -\nte la complejidad y el crecimiento de las plantas generadas, así como su coffes-

:,:a

ri,ndienre economía y operación, se han establecido múltiples centros despachadores, :enrales y locales, asistidos con computadoras de conlrol en tiempo real. En un futuro, :e ¿spera que se utilice SCADA (Supervision Control and Data Acquisition) con lo que

rú

posible lograr un monitoreo en línea en toda la nación y control en tiempo real del >:sr.ma de suministro eléctrico. Asimismo, se puede señalar que este libro ayudarátam-

para capacitar y preparar el gran número de profesionales entrenados en operación y ;i ;ontrol de sistemas de suministro eléctrico asistido por computadora que se necesitará :"rra manejar la vasta expansión planeada en los sistemas de suministro eléctrico en las

:-jr

::.irimas décadas.

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10.

j . 1

Bansal, R. C., D.P. Kothari y T. S. Bhatti, "On Some of the Design Aspects of Wind Energy Conversion Systems", Int. J. of Energy Conversion and Managment, vol. 43,16, noviembre,2002, pp. 2175-2187. D. P. Kothari y Amit Arora, "Fuel Cells in Transportation-Beyond Batteries ", Proc. Nut. Conf. on Transportation Systems, IIT Delhi, abil,2002, pp. 173-176. Sarena. Anshu, D. P. Kothari et al., "Analysis of Multimedia and Hypermedia for Computer Simul¡tron and Growth", EJEISA, (lK, vol.3, 1 septiembre,200I, 14-28.

2.I

INTRODUCCIÓN

Los cuatro parámetros que afectan el desempeño de una línea de transmisión como elemento de un sistema de suministro eléctrico son la inductancia, la capacitancia, la resistencia y la conductancia. La conductancia en derivación, que se debe normalmente a dispersión por los aislantes de las líneas, casi siempre se desprecia en las líneas de transmisión aéreas. Este capítulotrata de los parámetros de línea en serie; es decir, la inductancia y la resistencia. Estos parámetros se distribuyen uniformemente a lo largo de la fnea y juntos forman la impedancia en serie de la línea. La inductancia es con mucho el parámetro de línea más dominante desde el punto de vista del ingeniero de sistemas de potencia eléctrica. Como se verá en capítulos posteriores, es la reactancia inductiva la que limita la capacidad de transmisión de una línea.

2.2

DEFINICIÓN DE INDUCTANCIA

El voltaje inducido en un circuito está dado por

d¡'

(2.r)

"=#u donde ry'representa los acoplamientos de flujo del circuito en weber-vueltas (Wb-T)

d{, di

di dt donde L =

A,1. :a

.

-

L-

dr

.. Y

dt

(2.2)

se define como la inductancia del circuito en henrys, que en general puede dt ser función de i en un circuito magnético lineal, es decir, un circuito con permeabiüdad constante, los acoplamientos de flujo magnético varían linealmente con la corriente, de manera que la inductancia es constante dada por

CAPÍTULO

2

de transmisión

lnductancia v resistencia en

L_

i

o tL

= Li Wb-T

(2.3)

Si la corriente es alterna, la ecuación anterior puede escribirse como

o4\

l=LI

donde ,,\ e 1 son los valores rms de los acoplamienios de flujo magnético y la corriente, respectivamente. Éstos están, por supuesto, en fase.

.d

Si se sustituye 'dtI

en la ecuación (2.1) por

jo.

se obtiene la caída de voltaje en régi-

men estacionario de CA a causa de acoplamientos magnéticos como

V=

jaLI

= jrr.r,lt V

(2.s)

En líneas similares, la inductancia mutua entre dos circuitos se define como los acoplamientos de flujo magnético de un circuito por la corriente en otro, es decir

Mr= 4!H I"

La caída de voltaie en

e1

(2.6)

circuito debido a la corriente en el circuito 2 es

(2.'7) V, = jalf -I- = jr,.r,\,. \El concepto de inductancia mutua se necesita al considerar el acoplamiento entre líneas paralelas r' la influencia de

la-s

línea-r de energía en las líneas telefónicas.

2.3 ACOPI.AMIENTOS

DE FLUJO MAGNÉTICO DE UN CONDUCTOR AISI.ADO OI.JE LTEVA CORRIENTE

Las líneas de transmi>i.ir esrán --onnpueit¿s de conductores paralelos que, para todos los propósitos prácticos. se pureden ctn'idera¡ como infinitamente largos. Primero se desarrollan erpresiones paru Jcrrpllrni¿nios de un conductor largo, aislado por el que fluye corriente. con ruta de retorno que >e ens-uetrtr& en el infinito. Este sistema forma un circuito de una sola espira. con acop'lamiento de flujo magnético en forma de líneas circulares concéntricas al conductor. El flujo magnético total puede dividirse en dos paftes, aquella que es interna al conductor 1 la del flu-jo magnético extemo al conductor. Esta división es útil pues el flujo interno vincula progresivamente una cantidad más pequeña de corriente conforme se ingresa progresivamente hacia el centro del conductor, en tanto que el flujo exterior siempre vincula la corriente total dentro del conductor.

Vínculos de flujo magnético debidos al fluio interno La figura 2.1 muestra la sección transversal de un conductor cilíndrico que lleva una corriente L La mmf alrededor de una trayectoria circular cerada concéntrica de radio y interna al conductor como se muestra en la fisura. es

f

ar.ar= I, (Ley de Ampere)

(2.8)

2.3

Acoplam¡entos de flujo magnético de un conductor aislado que lleva corrienb

Figura

2.1

Acoplamientos de flujo magnético a causa del flujo interno (sección transversal)

donde

4 4

= intensidad magnética de campo (AT/m) = corriente confinada (A)

Por simetría, H, es constante, y está en la dirección de ds en todo lo largo de la travectoria circular. Por lo tanto, de la ecuación (2.8), se tiene

2tryH, = I, Si se supone densidad de corriente uniforme* /-.,2 \

(2.e)

/,,2 \

t,= ' l'4lt=llrlt \Tr- ) \r- )

(2.r0)

De las ecuaciones (2.9) y (2.10), se obtiene

¡1,=! ' 2rrr[-a densidad de flujo Br,

]

at.,-

(z.rr)

metros del centro de los conductores, es

B,= ltH, =

lYr, ¿7rr-

Wb/m2

(2.r2)

¡"c es la permeabilidad del conductor. Considere ahora un elemento tubular infinitesimal de espesor dy y longitud de un rnetro. El flujo magnético en el elemento tubular dó = Brdy webers, vincula la espira fraccional (I,lI =y2lf¡ queresulta en vínculos de flujo de

donde

*

Para una frecuencia de 50

ilmsidzl

H4es muy razonable suponer densidad uniforme de corriente. El efecto de la

no uniforme de corriente se considera más adelante en este capítulo, al tratar Ia resistetrcia

CAFíTULO

2

Inductahcia y resistencia en líneas de transmisión

(2.r3)

rntegrándora,."o,,""]l;l;tl:."t*,r*":.:: .

Para una permeabilidad 10-7

tVm. Por

10

(' t¿l

z. , _ ltl (2.14) Wb_T/m I"d) grr 2rro relativa F, = | (conductor no magnético), l't = 4t x

A-r=

Jo

tanto.

^,^,=Ixlo-7

wb-T/m

(2.rs)

2

Lio, =

1

2

x 10-7

FVrn

(2.16)

Acoplamiento de fluio magmético debido al fluio entre dos puntos extemos al conductor La figura 2.2 muestra dos puntos Pty Pz a distancias Dty Dz de un conductor que lleva

l

amperes. Como el conductor está lejos de la trayectoria de retorno de la corriente, el campo magnético externo al conductor consta de círculos concéntricos alrededor del conductor y, por lo tanto. todo el flujo entre PtY Pz se alinea dentro de las superficies cilíndricas concéntricas que pasan por PrrPr. La intensidad de campo magnético a la distancia y del conductor es

una corriente de

I H..= t

2¡¡,'

Figura2.2

AT/m

Acoplamientos de flujo magnético debido al flujo entre los puntos externos P', P"

2.3

Eü

@io magnético

Acoplam¡entos de flujo magnético de un conductor aislado gue llei,"a

d@

contenido en el elemento tubular de espesor dy

y= !_.ay 27ry

corriente

es

Wb/m longitud del conductor

C-w

el flujo d,f es externo al conductor, vincula toda la corriente en el conductor que. con el conductor de retorno en el infinito, forma un solo retorno, tal que sus vínculos !trF magnético estiín dados por

Fo e

d,l=

klo

I xa4=-4-¿, 2ry

tanto, los vínculos totales del conductor debidos al flujo entre los puntos

Pty

Pz

mr . lDzul ¡,r=Jr,ho,

=

u

rt

-rh2-

wb-T/m

In significa logaritmo natural.* Como p, - l. ¡t = 4¡rx l0-7

'fude

Itz=ZxI0lIh+Wb/m

(2.r7)

I-a inductancia del conductor aportada por el flujo magnético entre los puntos Pt y P- es entonces

Ltz=2 x

10-7 ln

Lo= 0.46r t

t+

o, w^ D1

(2.18)

mFVkm

(2.re)

Acoplamientos de flujo magnético debidos al fluio a un punto externo Soponga que el punto externo se encuentre a una distancia D del centro del conductor. l-os rínculos de flujo magnético del conductor a causa de un flujo externo (de la superficie del conductor hasta el punto externo) se obtiene de la ecuación (2.I7), al sustituir D, = ! D: = D, es decir,

,

A"*t=zxlo-7 IhL

r

Q.zo)

Los acoplamientos totales de flujo magnético debidos al flujo externo y al interno son:

i=

iin,

* i"r,

IhL -¿xrcJi+zx1o-7 2r t

En todo el libro, ln denota logaritmo natural (base e), mientras que log denota logaritmo base 10.

I

49

CAPíTULO

2

Inductancia v resistencia en líneas de transmisión

( | ,- D\ n ., ,nJ,1i-+ln-l =lxlu \4 r) ,D

=2x10-'Iln-{re Sea

r'=

re-t/4 =

0]788r

A=2x

10-71h

2 w¡-r¡*

Q.2la)

r'

La inductancia del conductor por el flujo magnético a un punto externo es, por lo tanto,

L=2x10-7h

(2.21b)

?n^

Aquí, r' se puede considerar como el radio de un conductor ficticio sin inducción interna, pero con la misma inductancia total que el conductor real.

2.4

INDUCTANCIA DE UNA LÍTTIEE MONOFÁSICA DE DOS CONDUCTORES

Considere una sola línea de dos hilos cornpuesta de conductores macizos redondos por los que fluyen las corrientes I, e lrque se muestran en la figura 2.3. en una línea monofásica.

I1

+ Ir=Q

Iz= -It Es importante observar que el efecto de la presencia de la Tierra en ia geometría del campo magnético* es insignificante. Esto es así porque la permeabilidad relativa de la Tierra es aproximadamente la misma que la del aire y su conductividad eléctrica es relativamente pequeña.

2

,l tzf":

l

\-'l

D-r, D

D+r" Figura

2.3

Línea monofásica de dos conductores y el campo magnético debido solamente a la corriente en el conductor 1

- L¿ seomería del campo eléctrico, sin embargo, será muy afectada como :

J

¿:ial:ancla.

se verá

posteriormente, al tratar de

:-.:"

:::.iDezar. considere los acoplamientos de flujo magnético del circuito causados resDecto a estos aco-

' I -i : -,:T:-nte sólo en el conductor 1. Se hacen tres observaciones :

:

,t

\.

- r) acopla toda la corriente 1, en el conductor 1. rr) a (D + 12) acopla una corriente cuya magnitud . pro eresivamente de I, a cero, a lo largo de esta distancia, a causa del efecto = . ; :uce :: .: -'omente negativa que fluye por el conductot 2.

I- : .^'.. ma-snético

externo de

11 a

(D

:. : -:'o ma_snético externo de (D E.

:ulo

ma,enético más allá de (D

+

12) acopla una corriente neta de cero.

F.:, ;alcular la inductancia total por la corriente

en el conductor 1, se hará ahora una de simplificación. Si D es mucho mayor que 11 y r, (1o cual es normalmente - :> - f ilr& 1íneas aéreas), se puede suponer que el flujo magnético de (D - rr) al centro : - riu,'tor I acopla toda la corriente 1, y ei flujo del centro del conductor 2 a (D + 12) - I : ',-ii13 Comente cero.x L'r base en la suposición anterior, los acoplamientos de flujo magnético del circuito - -::r -- ! por la corriente en el conductor 1 según la ecuación (2.27a), son

-:. -.::,in

It=2x lgt l,h 'r\ 4 -"-

(2.22a)

:,1u.-tancia del conductor por la corriente en el conductor 1 es entonces

Lt=2 x -,, :t.mo modo,

10-7

h+ f'1

(2.22b)

la inductancia del circuito debida a la corriente en el conductor 2 es

Lz=2x10-7h+

(2.23)

"z¡r el teorema de superposición, los acoplamientos de flujo magnético y del misJ,-. las inductancias del circuito debidas a la corriente en cada conductor al consi-' por separado puede sumarse para obtener la inductancia total del circuito. Por lo .

:ra

el circuito completo,

L=Lt*L2={Y

(2.24)

"lrtrz

- r- - r': entonces

L=4x :r

rc7m-!wm

10-7h D/r'fl/m L = 0.921 log D/r' mH/km

(2.25a)

(2.zsb)

siruaciones prácticas, las líneas de transmisión son infinitamente largas en compaD 1. por 1o tanto, sehan despreciado los efectos finales enladerivación anterior.

----,I

;,-rn

2.5

TIPOS DE CONDUCTOR

r.-:.:

. '

¿Lr-ie se han considerado líneas de transmisión que constan de conductores maci.;:--t-los para las rutas de ida y regreso. Para proporcionar la flexibilidad necesaria

h¿ most¡ado que los resultados basados en esta suposición son bastante precisos. in,'lus mavor que rl ) r-¡.

:u;ho

CAPITULO

2

Inductancia v resistencia en líneas de transmisión

pata el cableado, los conductores que se usan en la práctica son siempre trenzados, salvo para iíreas de sección transversal mu1 pequeñas. Los conductores trenzados están compuestos de filamentos de alambre, eléctricamente en paralelo, en los que las capas alternas siguen direcciones helicoidales opuestas. para evitar que se desenreden. El número total de filamentos (A) en cables trenzados concéntricamente con el espacio anular total lleno de filamentos de diámetro uniforme (d) está dado por

N=

3.r-

-

-l-r"

.

1

(2.26a)

donde ¡ es el número de capas en donde el filamento individual central se cuenta como la primera capa. El diámetro total (D) de un conductor trenzado es

P= (Lr - ltd

(2.26b)

En la actualidad, el material conductor que más se emplea es el aluminio. Tiene las ventajas de ser más barato y ligero que el cobre aunque tiene menor conductividad y resistencia a la tensión. Labaja densidad y la baja conductividad dan por resultado mayor diámetro total del conductor, lo cual ofrece otra r,entaja circunstancial en las líneas de alto voltaje. El mayor diámetro da por resultado el esfuerzo eléctrico reducido en la superficie del conductor para un voltaje dado, de manera que la 1ínea es libre del efecto corona. La baja resistencia a la tensión de los conductores de alumlruo se compensa poniendo fibras centrales de acero de alta resistencia a la tensión. Este tipo de conductor se conoce como conductor de aluminio reforzado con acero (ACSR) \ se usa por lo común en líneas aéreas de transmisión. La figura 2.4 muestra la sección transversal de un conductor ACSR con24 filamentos de aluminio y 7 filamentos de acero. En una línea de transmisión de voltaje extra alto (EHV r. se usan conductores ACSR expandidos. Éstos se suministran con separadores de papel entre las varias capas de filamentos a fin de aumentar el diámetro total del conductor en un intento por reducir el esfuerzo eléctrico en la superficie y evitar el efecto corona. La forma más efectiva de construir líneas EHV libres de corona es usar varios conductores Dor fase en configuraciones geométricas adecuadas. Éstos se conocen como cotttluctores trttiltíples y con-stituyen una práctica común actual para líneas EHV.

Filamentos de acero

Filamentos de aluminio

Figura

2.4

Vista en sección transversal de ACSR con 7 filamentos de acero y 24 filamentos de aluminio

Acoplamientos de flujo magnético en un conductor de un grupo

,S

AGOPT.AUIENTOS DE FLUJO MAGNÉTICO E5 T'IÜ CONDUCTOR DE UN GRUPO

C$a

moestra en la fgura 2.5, considere un grpo de n de conductores paralelos rellel-an corrientes fasoras Iy 12, ..., Ir, c:uya suma es igual a cero. Las dis,ñ irrq, & estos conductores de un punto remoto P se indican como Dr, D2, ..., D,. Se dhÍFF''ne expresión para los acoplamientos de flujo magnético total del conductor del lmryo- si r considera sólo un flujo hasta el punto P. Les rcoplamientos de flujo magnético del conductor I debidos a su propia corriente d umrrroplamientos) están dados por [vea ecuación (2.21)l

d*r¡rhü'

cix

\¡¡= Z x tOr

t,n!ri

(2.21)

Wb-T/m

Lm eorytamientos de flujo magnético del conductor I debidos a la corriente en el conduc-

m.r [rea

Me

ecuación (2.17)] es

\= z x ro-7r,^ +

wb-r/m

(2.28)

i desde el conductor j que lleva la corriente 1,. De (2.27) y mediante el uso repetido de la ecuación (2.28),los acoplamiéntos de flujo magnético del conductor i debidos al flujo hasta el punto p son

Dt

es la distancia del conductor

lr cmrión

ml6

\= \;r + \z +...+ \; +...+\ D2 ... + + ¡,1n!t = 2 x ro-7 (4 nlt + 1.,ln ' D¡t D¡z r,¡ I +...+ L¡ cuación anterior

se

+ (1, ln Dr+ Irln Dr+...+ I¡ In D,+ In=

-

)

puede reordenar como

\¡=2 rrt"*+ 12h-J-+...+ - rro-'l( LU D¡t ' D,z Fcro.

,"^+

r,'l+...+ r'i ...* In^ O,)

" hDn))

1,

1

(2.29)

Qt + Iz + ... + I._r).

o 3

?

o

o ,|

Ftgura

2.5

Grupo arbitrario de n conductores redondos paralelos que llevan conientes

2

CAPTTULO

Inductancia v resistencia en líneas de transmisión

Al sustituir para Inen el segundo término

de la ecuación (2.29) y luego de simplificar, se

tiene

_ -,1( ln-+I l;=2 . x 10-'ll1, D¡I LU

I - ln D,z+...+ 1, l¿/,

1.

ln

D'

D,*...+

¿

tn 4

D,

Con objeto de tomar en cuenta los acoplamientos totales de flujo magnético del conductor l, supongamos que el punto P se aleja hasta el infinito. Los términos tales como Dr/Dn, etc., se aproxima a ln 1 = 0. También, por simetría, si rj se denota como D¡¡, se tiene

(t t" * + Izrl,J+...+I-tn1l*t-t¡" D,,.)

t¡= 2 x

2.7

1o-7

*

I. h](2.30)

INDUCTANCIA DE LÍNEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS

Ya se está en condiciones para estudiar la inductancia de líneas de transmisión constituidas

por conductores compuestos. La frgura2.6 muestra una línea monofásica que comprende los conductores compuestos A y B. A tiene ¡¿ filamentos paralelos y B tiene m' filamentos paralelos. Aunque la inductancia de cada filamento será algo diferente (sus resistencias serán iguales si se elige que los diámetros de los conductores sean uniformes), es suficientemente exacto suponer que la corriente se divide por igual entre los filamentos de cada conductor compuesto. Así, cada filamento de A se considera que lleva tna coniente I/n, mientras que cada filamento del conductor B lleva una corriente de retorno de - I/m' .

rl

o

o

¡

2',

¿

o

o

a)

o¡' m

n

I

Conductor comouesto A

Figura

2.6

Conductor comouesto B

Línea monofásica constituida por dos conductores compuestos

lnductancia de líneas de conductores corllgu€SioS

A1 aplicar la ecuación (2.30) al filamento i del conductor A, se obtienen sus acoplamientos de flujo magnético como

1 + ...+ ln 1 +..'+ h -L) l,=2x10-7L(n]-+h D¡z Dr, ) D, n\ D,,.

| +...+rn l') D,,' D,z'

--2xro-7J--(rr-l +rn

m'\ D,r'

=2

x

l0-7I

)

(D"'D'''"'D'^')''*-'

ln

(D,rD,r... D,,. .. D,n)'' "

Wb-T/m

La inductancia del filamento i es entonces

i . ' =r=2nxl0-'ln# t/n

L,

\D,,,...D,,,.,.D,-,)t'*' (DuD,2...D,,...D,,)''"

La inductancia promedio de los filamentos del conductor compuesto A

r

Lprom

(2.3r)

FVm es

--h+Lz+Lr+"'tLn ,

Como el conductor A está compuesto de n filamentos eléctricamente en paralelo, su inductancia es

, Loro,= I-, + Lr+ ... + Ln L't= n i

() 7)\

Si la expresión se utiliza para la inductancia de filamento de la ecuación (2.31), en la ecuación (2.32\ se obtiene

l(Dt, L¿,=2

x 10-7 ln

... Dt

j,...Dr^,)...(Dn,.

..

pij, ... D¡*,)..,

(D rt,... D rj, ... D r^,)]t'

*'"

[(Drr.. . Du... Dn)...(Dt... Díj... D,n)... (

Hlm

(2.33)

Dnt...D,i... D,, )fi/"

El numerador del argumento del logaritmo en la ecuación (2.33) eslaruíz m'n-ésima de los términos m'n, los cuales son los productos de todas las posibles distancias mutuas de los filamentos n del conductor A a los filamentos m' del conductor B. Se llama distancia geométrica mutua media (GMD media) entre los conductores A y B y se abrevia D*. De igual manera, el denominador del argumento del logaritmo en la euación (2.33) eslaraíz r¿'de los términos de producto n' (n grupos de n términos de producto cada uno). Cada grupo de ¡z términos de producto pertenece a un filamento y consta de r'(D,,) para ese filamento y (n l) distancias de dicho filamento a cada uno de los demás filamentos en el conductor A, El denominador se define como la autodistancia geométríca media (autoGMD) del conductor A y se abrevia D"r. Algunas veces, la autoGMD se llama también radio geométrico medio (GMR). En términos de los símbolos va establecidos. ouede escribirse la ecuación,1.-1-r como

-

CAPÍruLO

2

lnductancia y resistencia en líneas de transmisión

Le=2x10-7nfiw^ = 0.461 roc

(2.34a) (2.34b)

mH/km D*2L

Obsérvese la similitud de esta relación con la ecuación (2.22b), que proporciona la inductancia de un conductor de una línea monofiísica para el caso especial de dos conductores macizos y redondos. En la ecuación(2.22b), ri es la autoGMD de un conductor individual y D es la GMD mutua de dos conductores individuales. La inductancia del conductor compuesto B se determina de manera similar y la in-

ductancia total de la línea es

L= L¡+

(2.3s)

Ln

Un conductor está compuesto de siete filamentos idénticos de cobre, cada uno con un radio r, como se muestra en la figura 2.7.Encontrar la autoGMD del conductor.

Sotución La autoGMD del conductor

de siete filamentos es Ia raíz 49a. de las 49 dis-

tancias. Así

D" = ((

Al sustituir los valores

D"=

r'¡T

lDlrD2ruDroDrr)6{2r)6 )ttoe

de las diversas distancias,

((0.778gr)7

(22/ x 3 x 22f x

Dr=

2r(3(0.7788))tt1 6u4e

22r

x

2r x 2r¡6

¡ltae

= 2.177r

Dru=2JÜ

I

De=Ü Figura2.7 sección transversal de un conductor

de siete filamentos

Inductancia de líneas de corldt¡{tores @mpt e$bs

El dirímetro exterior de la capa sencilla de filamentos de aluminio de un conductorACSR que se muestra en la figura 2.8 es de 5.04 cm. El diámetro de cada filamento es de 1.68 cm- Determinar la reactancia a 50 Hz con un espaciamiento de 1 m; despreciar el efecto del f,lamento central de acero y dar razones para esto. Como la conductividad del acero es mucho más baja que la del aluminio y la indrctancia interna de los f,lamentos de acero es p veces la de los fllamentos de aluminio, l¡ corriente que fluye por el filamento central de acero se puede Suponer como cero. Diiámetro del filamento de acero = 5.04 - 2 x 1.68 = 1.68 cm. Así, todos los filamentos son del mismo diámetro, digamos d.Para una disposición & los filamentos como el que se muestra enlafigura2.8a),

&tución

Dn= Drc=

d

Dtz= Dts= Jld Dt+= 2d 2Z 16 ¡1/30 Dr= tJT¿> Qd)) ) lt(+),

a) Sección transversal de un conductor ACSR

b) Línea compuesta de dos conductores ACSR

Figura 2.8

GAPfTLO

2

lnductancia y resistencia en líneas de transmisión

Al sustituir d' =0.7788d y simplificar

D,= l.l55d = 1.155 x

1.68

= 1.93 cm

D*=DyaqueD>d Ahora, la inductancia de cada conductor es

L= 0.461lon- l0 = 0.789 1.93

mH/km

Inductancia de la espira 2 x 0.789 = 1.578 mll/km Reactancia de la espira = 1.578 x 314

x

10-3 = 0.495 ohms/km

La figura 2.9 muestra la disposición de conductores de ¡¡¿ línea monofásica de transmisión, donde el circuito de ida está constituido por tres alambres macizos de 2.5 mm de radio y el de retomo por dos alambres de 5 mm de radio, colocados simétricamente con respecto al circuito de ida. Encuentre la inductancia de cada lado de lalínea, y la de la línea completa. mutua entre los lados A y B es

Sotución La GMD

D* = ((DsDs) (Dz¿Dz)

(Dr+Dz))tt6

De la figura es evidente que

Dt+= Dzc- D2s= Dzs= J68 Dts= Dt¿ = 10 m D^= (682 x 100)l/6 = 8.8 m

Io' 4m

I

T-- Qz Y

I

4m I

I

4m

2.9

o t sQ T

I

Figura

*

2rn

(.

I

)3-

Lado A

Lado B

Disposición de los conductores para el ejemplo 2.3

\

l-¿ ru¡toG\fD para el lado A es D,A

=

((D rtD r2D B)(D

^D

z2D

n)(D 3rD

32D r))r/e

-{+j:-

Dtt= Dzz=

D33

= 2'5 x

10-3

x 0'7788

m

5i :e sustituyen los valores de las varias interdistancias y autodistancias en D,o, se ¡lnen€

D,o= ((2.5 x

10-3

x

0.7788)3

x

4a

x

82¡r/e

= 0.367 m Del mismo modo,

D,¡ = ((5 x 10-3 x 0.7788)2 x 42)1to = 0.125 m Si se sustituyen los valores de D*, D,¿,Y D,n en la ecuación (2.25b),

se obtienen las

úúerentes hductancias como

L^ = 0.46I

^

RR los - "'"

0.367

RR "'" L.= 0.461los "

0.t25

L= Lr*

= 0.635 mHlkm = 0.85 mH/km

Ls = 1.485 mH/km

Si los conductores de este problema están constituidos cada uno por siete filamentos rtÉnticos. como en el ejemplo 2.1, el problema se puede resolver si se escriben las autoi:;
D¡¡= 2'177r¡ ,fuÍl'J€ ri es el radio del filamento.

&8 INDUCTANCIA

DE LÍNEAS TRIFÁSICAS

H¿-.ra ahora se han considerado sólo líneas monofásicas. Las ecuaciones básicas desarro-

l-;*.]n: pueden, sin embargo, adaptarse fácilmente al cálculo de la inductancia en líneas :rjásicas. La figura. 2.10 muestra los conductores de una línea trifásica con espaciamien¡¡ a-iimétrico.

D' -tt

-.t

D""

\ \

"*Ds1 F¡guar

2.10

----€c trifásica con espaciamiento asimétrico Vista en sección transversal de una línea

CAPITULO

2

Inductancia y resistencia en líneas de transmisión

Figura

2.11

Un ciclo completo de transposición

Suponga que no hay cable neutro, de modo que

Io+

Iu

+ 1.=

0

El espaciamiento asimétrico hace que los acoplamientos de flujo magnético y, por lo tanto, la inductancia de cada fase sean diferentes, 1o cual da por resultado voltajes desequilibrados en el lado receptor, incluso cuando los voltajes y las corrientes del lado emisor estén equilibrados. También se inducirán voltajes en las líneas de comunicación contiguas, incluso cuando estén balanceadas las corrientes de la línea. Este problema se resuelve al intercambiar las posiciones de los conductores a intervalos regulares a lo largo de la línea, tal que cada conductor ocupe la posición inicial de cada uno de los otros conductores en una distancia igual. Este intercambio de posiciones de conductores se llama transposición. La figura 2.11 muestra un ciclo completo de transposición. Este arreglo hace que cada conductor tenga la misma inductancia promedio a lo largo de la duración ciclo de transposición. En la longitud de un ciclo de transposición los acoplamientos totales de flujo magnético y, por lo tanto, el voltaje neto inducido en la línea telefónica próxima es cero. Para hallar la inductancia promedio de cada conductor de una línea transpuesta, se determinan los acoplamientos de flujo magnético del conductor para cada posición que ocupa en el ciclo transpuesto. Si se aplica la ecuación (2.30) al conductor a de la figura 2.ll,para la sección 1 del ciclo de transposición, en la que a está en la posición l, b enla posición 2 y c en la posición 3, se obtiene

1 +I..rnJ-) lnDt,

y¿6-1¡-

rrlnl- * h-L'l r'o " D^ ¿ Dr, )

wb-r/m

-( | A..,=2x10'll-ln " \.

+1,

r'o

Dzt

)

Para la sesunda sección

toz= 2 x to-'( t"rn* + "

f

Para la tercera sección

Aot=

2x

(trr\ 10-71

r l"ln;-+ Ioln' + I,ln " r'o D*

I oru-r¡, Drr)"

\-

Los acoplamientos promedio de flujo magnético para el conductor a son

, ,,-j

Ao1+

=:xtO?[1,

rn

io2+ io3

J¡,," rn----f (D12DBD3I)"' ra

+ 1- In

(DlzDnD3)r/3

Inductancia de líneas trifásbas

kro

/b

* I, = -lo, por lo que (DnDnD3)1t3 r' 'a

lo=2xloJlo]rrr Sea D

Fntonces

",

=

(D eD zzD zt)r /3

Lo=

2x

10-7

= espaciamiento equilátero equivalente

h+ r'"

=2

x l¡rlnDjo D,

Ésta es la misma relación que la ecuación (2.34a), donde los conductores trifásicos. Si ro 16= r¡t se tiene

D*

-

i

*O-

(2.36)

D"s,la GMD mutua entre

Lo= L6= L, No es práctica actual transponer las líneas de transmisión a intervalos regulares. Sin embargo, se hace un intercambio de posición de los conductores al cambiar estaciones, para equilibrar la inductancia de las fases. Para todo fin práctico, la disimetría se puede despreciar, y la inductancia de una línea no transpuesta se puede considerar igual a la de una línea transpuesta. Si el espaciamiento es equilátero, entonces

D"q= v Si

Lo=2x

10-7

n!

Wn

(2.37)

r'o

r, = r'¡r= rs; se deduce de la ecuación (2.37) que Lo= Lu- L"

Demostrar que, a 1o largo de un ciclo de transposición de una línea de potencia eléctrica, los acoplamientos totales de flujo magnético de una línea telefónica vecina son cero. para corrientes trifásicas equilibradas.

I2

Figura

2.12

Efecto de la transposición en el voltaje inducido en una línea telefoni:a

rCAPITULO

2

resistencia en lÍneas de transmisión

Inductancia

Solución Refiriéndose a 1a figura 2.12,los acoplamientos de flujo magnético del conductor r, de la línea telefónica son A,t= 2

x

(trr\ /, In--!--+1,Dot \"

l0-?l

lnl+1.tn-! Da,

D,t) |

WU-fl-

(2.3g)

Del mismo modo,

A,z= 2

x

Itlr\ 10-71

1,ln

\-

I

Dot

+ IuIn=L " Da:]*

1.ln

--J_ | WU_flm e.39\ D,r)

Los acoplamientos netos de flujo magnético en la línea telefónica son

A,= lrt - 1,, = 2 x t0 '( t.- n 4nt * t^h?!* Dut " Da, \

¡

La fem inducida en el circuito de la línea telefónica

')

rn

wb-T/m ?' D,,

(2.40)

.)

es

E,= 2lfl,Ylm En condiciones de carga equilibrada. ,\, no es muy grande porque hay una cancelación en gran medida de los vínculos de flujo magnético debidos a Io, Ioe I,.Ta7 cancelación no ocune con conientes armónicas que sean múltiplos de tres y estén, por 1o tanto, en fase. En consecuencia, estas frecuencias, si están presentes, pueden causar problemas. Si la línea de transmisión eléctrica está totalmente transpuesta con respecto a la línea

telefónica

o _ 4r(I) + 4r (II) + 4r(III) donde .,\,,(I), ,t,,(II) y i,IGII) *n to, u"opturni"3nros de flujo magnético de la línea telefónica /, en las tres secciones de transposición de la línea de transmisión eléctrica. Si se escribe i/1G), i/1GI) y ,l,r(II! por uso repetido de la ecuación (2.38), se tiene

Lt = 2 x

7o-7

(to + I6 +

I,)t"

--=](D¡D6D,1)''-

Del mismo modo, Atz=

4r(I)+4r(II)+4r(III) J

=2xlo-7(Io+Ir+1.)ln

(Do2D62D,2)1/3

l, = 2 x to 11t" + Iu + t,¡m9444 ' ( DotDorD,.)"' I, = 0, i, -

(2.4r)

0, es decir, el voltaje inducido en el circuito telefónico es cero en un ciclo de transposición de la línea eléctrica. Se puede señalar aquí que la condición Io+ Iu+ 1, = 0 no se satisface para Si

i)

1o

+ I¡,+

Corrientes de falla línea-tierra (L-G) donde

Io+ Io+ I, =

3Io

r¡, cürientes arrnónicas terceras y múltiplos de terceras en condiciones adecuadas ,üumie

I"(3) + Ir(3) + I,(3) = 3¡13¡ EtQ)

=

67rf

it3)

I-¿s corrientes armónicas de línea son problemáticas en dos formas:

i¡ [¿ fem inducida es proporcional a la frecuencia. iir I as frecuencias más altas entran a la región audible. Por lo tanto, hay necesidad de evitar la presencia de tales corrientes armónicas en la fofuc¡ electrica por consideraciones de desempeño de las líneas telefónicas próximas.

Se ha mostrado antes que el voltaje inducido en una línea telefónica paralela a la lfoca eléctrica se reduce a cero si la línea eléctrica está transpuesta, siempre y cuando lLne corrientes equilibradas. También se mostró que la transposición de la línea eléctrica cr mñcaz para reducir el voltaje inducido en la línea telefónica cuando las corrientes de

l¡ lima

electrica están desequilibradas o cuando contienen corrientes armónicas terceras. -{^tem,ís de ser ineficaz la transposición de la línea, introduce problemas mecánicos y de üislamiento. Es, por lo tanto, más fácil suprimir los voltajes inducidos al transponer en lmgnr de la línea telefónica. De hecho, el lector puede verificar sin dificultad que cuando

i¡s corrientes de la línea eléctrica están desequilibradas o cuando contienen armónicas, el roltaje inducido a lo largo del ciclo completo de transposición (llamado un barril) de l"r¡ línea telefónica es cero. Siempre estará presente algo de voltaje inducido en una línea elefónica paralela a una eléctrica, porque en la prácticareal, la transposición nunca es por completo simétrica. Así que, cuando las líneas sean paralelas en una longitud considerable. es buena práctica transponer tanto la línea eléctrica como la telefónica. Los dos ¡clos de transposición están escalonados y la línea telefónica se transpone en longitudes mi¿is cortas en comparación con la línea eléctnca.

Lna línea trifásica de 50 Hz, de 15 km de longitud, tiene cuatro cables No. 4/0 (1 cm de üiímetro) espaciados horizontalmente 1.5 m en un plano. Los cables en orden llevan las iorrientes Io, Iue

Ir,y

el cuarto cable, que es el neutro, lleva cero corriente. Las corrientes

fln

Io= -30 + j50 A Io= -25 + j55 A

I,=

55

-

j105 A

l-a línea no es transpuesta. a

t A partir de la consideración

fundamental, encontrar los acoplamientos de flujo

magnético del neutro. También determinar

el voltaje inducido en el

neutro.

á)

Encontrar la caída de voltaie en cada uno de los conductores trifásicos.

conducror

CAPíTULO

2

Inductancia v resistencia en líneas de transmisión

o

I

F-l.s Figura

2.13

cmTl) r \-__-/

--l+1'5

1.5 m

ó

r *l

Disposición de los conductores para el ejemplo

Solución a)Delafigura2.l3 Don= 4.5 m, Dbn = 3 m' Drr= 1.5 m Los acoplamientos de flujo magnético del cable neutral n son

lrrr\

l,=2 x 10-71 /" Ix + \

Al sustituir los valores

+ Ib ln

-on

de Do,, Duny

+ /.ln wt-lDr, )| =Dan ' *-

D,, y simplificar,

se obtiene

l,= - 2 x r0-7 (1.51 L + 1.1 Io + 0.405 1") Wb-T/m Como 1. = -(Ia + 1r) (esto se verifica fácilmente a partir de los valores dados),

ln=-

2

x

t0-711.1051o

El voltaje inducido en el cable neutro

o

+ 0.6951) Wb-T/m

es entonces

V,= jaA, x 15 x 103 V = - j3I4 x 15 x 103 x 2 x 10-7(1.105 I"+ 0.6951) Y Vn= - j0.942 (1.105 I" + 0.695 I) Y

Al sustituir los valores

de 1o e 16 y simplificar

Vn= 0.942

x

106

= 100 V

á) De la ecuación (2.30), los acoplamientos de flujo magnético del conductor a son

/ r I r) lolnL+luln-'*t,ln:^ " 2D)| D \" r,

Ao=2x t07l

La caída de voltajeimetro en la fase a

se

wu-um

puede escribir como

r r' - (l, rn-f| + ro tnl+ LVo= 2 x 10-1jo[ " \." r'o " D 1. lni2D)I vlrn

Como 1. = -(Io + I), y además, como ro = rb = escribir en la forma simplificada

LVo= 2

x

l0-7ia

t, = r, la expresión

(t" n4+

\

r"/

l, ln 2)

para AV, se puede

V/m

Del mismo modo, las caídas de voltaje/metro de las fases b y c se pueden escribir

LVo= 2

L,V,= 2

x

I0r

irlbh +

2D') x l0' irll"' ',1r2+ l-. tn r, .)

Sl

r

miliz^ notación matricial, el resultado puede presentarse en forma compacta

[^%

I

L^%

l

2xro-7 lou, | =

¡¡

tnL o l[t,.l lIn2Dtr' o tnDtr' o t,

i,l

L 0

ln

2

ln2Dlr'

ll

lll,

I

)

caída de voltaje de la fase a se calcula enseguida:

Jvo

=i2xrlrx3r4 x 15 x ro3(rnffit-ro+i50) +0.693(-25+is5)) =

-

(348.6 +

j2O4) V

llna lÍnea monofásica de 50 Hz está soportada en un travesaño horizontal. El espacianriento entre los conductores es de 3 m. Una línea telefónica está soportada simétricamendebajo de la línea eléctrica como se muestra en la figura 2.14. Calclle la inductancia ufi¡a entre los dos circuitos y el voltaje inducido por kilómetro en la línea telefónica si la criente en la línea eléctrica es de 100 A. Suponga que la corriente en la línea telefónica

:

GS OerO.

$lución

Acoplamientos de flujo magnético del conductor Q

ttt=

2x

1o-7 f

\

z, rc-?I rn+ tt*-rrnll Dl Dr) = Dr

Acoplamientos de flujo magnético del conductor Z,

lrz= 2

x 1011rn+ D2

Acoplamiento total de flujo magnético en el circuito telefónico

It= ltr-

Figura

2.14

lt2= 4 x

If Ih + D,

Líneas eléctrica y telefónica para el ejemplo 2.6

CAPITULO

2

Inductancia v resistencia en líneas de transmisión

,, w^

Mr,=4 x 10-7h

Dl

n

= 0.921los"z -Dl mH./km D1= (1.12 + 2')1/2 = (5.21)1/2

Dr=

(1.92

+ 2')t'' -

(7.6D1/2

M^,= vI 0.9211og- [-ZÉ!)'/2 = 0.0]58mH/km

\52t)

Voltaje inducido en el circuito telefónico y¡

lV,l = Zt+

2.9

x

0.0758

=

ioMo,l

x 10-3 x

= 1.379 V¡rm

100

T.ÍNENS TRIFÁSICAS DE DOBTE CIRCUITO

Es práctica común construir líneas trif¡ásicas de doble chcuito para aumentar la conf,abilidad de transmisión a un costo un poco mayor. Desde el punto de vista de la transferencia eléctrica de un extremo al otro de la línea (vea sección 12.-1 l. es deseable construir las dos líneas con una relación inductancia/fase tan baja como sea posible. Para lograr este objetivo,la autoGMD (D,) se debe hacer alta, y la GMD murua (D,) se debe hacer baja. Por

lo tanto, los conductores individuales de una fase

se deben mantener tan alejados como

sea posible, mientras que la distancia entre las fases se debe mantener tan baja como sea

permisible (para una baja GMD mutua). La figura 2.15 muestra las tres secciones del ciclo de transposición de dos líneas trifásicas de circuitos paralelos con espaciamiento vertical (es una configuración que se usa muy comúnmente). Se puede observar aquí que los conductores ay a' en paralelo constituyenlafase a, y de forma similar b y b' componen la fase b y c y c' la fase c. Con objeto de obtener una alta D* los conductores de las dos fases se colocan diametralmente opuestos entre sí, y los de la tercera fase están horizontalmente opuestos entre sí. (El lector puede probar con

I

l)--¡--é) \...

ñ ,f

-

I

b

\\-\

\

P.

c

Sección

Figura

2.15

v

D

\ o€

\b'

O'0.€\

I oo D

b'ba' h-€)

\

1

\a

D

o

\",

o

Sección 2

Sección 3

Disposición de los conductores en una línea trifásica de doble circuito

Líneas trifásicas de doble circu:c

:']: .lrnñsuraciones para verificar que éstas llevan a baja Dr.) Si se aplica el método ' 3\fD. el espaciamiento equilátero equivalente es :: iie

de

D", = (Do6DbrDro)''' (2.42) Dob = mutua entre las fases a y b enla sección 1 del ciclo de transposición = TDpDp)lla = (Dp)1/2 Db, = GMD mutua entre las fases á y c enla sección

I

del ciclo de

transposición = (Dp)rt2

Dro = GMD mutua entre las fases c y a enla sección

1 del

ciclo de

transposición

-

(2n¡¡rn

Por lo tanto, D"q = 21/6D1/2rr/3¡1t6

(2.43)

Se puede observar aquí que D"o permanece igual en cada sección del ciclo de transposición, ya que los conductores de cada circuito paralelo rotan cíclicamente, y lo mismo hacen Dou, Dt,Y D,o.Se sugiere al lector verificar esto para las secciones 2 y 3 del ciclo de transposición en la figura 2.15. La autoGMD de la sección 1 de la fase a (es decir, en los conductores a y a,) es

Dro= (r'qr'q)t'o = (r'q)t'' La autoGMD de las fases b y c en la sección 1 son, respectivamente

Dru= (r'hr'h¡ta = 7r'h¡1t2 Drr= (r'qr'q)''o = (r'q)''' Por lo tanto, autoGMD equivalente: D, = (D*pr¡prr)r/3

=

() 44\

(rt)1/2q1/3h1t6

Debido a la rotación cíclica de los conductores de cada circuito paralelo a 1o largo del ciclo de transposición, D, también permanece igual en cada sección de transposición. El lector debe verificar esto para las secciones 2y 3 enlafigura2.I5. La inductancia por fase es

L= 2 x l0-r _

a

4q

ln .

D,

2t/6 Dt/2ot/3¡t/6

^ '?xl0-'ln:---A=fr' )t/2 qt/3 ht/6 -

(

I

=2

tta/

\l/3\

x ror n ltra( Q\""lLl lrvrur.r* ( \''I -

\q)

La autoinductancia de cada circuito está dada por

L,=2x

l0-7

Qltl3O

^

r'

)-

(

l.-15

r

CAPITULO

2

resistencia en líneas de transmisión

Inductancia

La ecuación (2.45) se puede escribir ahora como

,),'ln - / ..\2/31 t=ilrI 2xt0-' tnt¿t'u+2xIO-71"l¿I r. \q) I -L

= donde

M

e.46t

J

!(t" * ¡.t) 2

es la inductancia mutua entre los dos circuitos, es decir

.

,2/3

M=2 x 10-rrn f ¿]

\.q )

Éste es un resultado bien conocido para los dos circuitos acoplados conectados en parale1o

(con extremos Si ¿

d.e

polaridad similar).

L l-l y M * \q ) ID\

> D,l

0. es decir, la impedancia mutua entre los circuitos

vuelve cero. En esta condición

L= lx

.ll

.

lo'11n342,D r'

se

() 47\

El método de GMD. aunque aplicado aquí a una configuración particular de un doble circuito, es válido para cualquier configuración siempre y cuando los circuitos estén eléctricamente en paralelo.

por

Mientras el método GMD es válido para líneas por completo transpuestas, se aplica común para líneas no transpuestas y es muy preciso para fines prácticos.

1o

2.1.O CONDUCTORES EMPAOUETADOS Es económico transmitir grandes cantidades de energía eléctrica a largas distancias empleando líneas EHV. Sin embargo, los voltajes de línea que se pueden usar se ven seriamente limitados por el efecto corona. Este, de hecho, es el resultado de la ionización de la atmósfera cuando se alcanza cierta intensidad de campo (alrededor de 3 000 kV/m a NTP). La descarga por efecto corona provoca interferencia de comunicación y una pérdida asociada de potencia que puede ser muy seria en malas condiciones meteorológicas. El voltaje cítico de línea para la formación del efecto corona se puede elevar considerablemente mediante el uso de conductores múltiples, es decir, un grupo de dos o más conductores por fase. Este aumento en el voltaje crítico del efecto corona depende del número de conductores en el grupo, la distancia entre ellos y la distancia entre los grupos que forman las fases separadas.* Reichman [11] ha demostrado que el espaciamiento de los conductores empaquetados afecta el gradiente de voltaje y el espaciamiento óptimo es del orden de 8-10 veces el diámetro del conductor, independientemente del número de conductores en el paquete. x El paquete de conductores suele comprender dos, tres o cuatro conductores dispuestos en configuraciones que se ilustran en la figura 2.16.La corriente no se divide por igual entre los conductores del paquete a menos que éstos estén por completo transpuestos. El método GMD es todavía razonablemente preciso para todos los frnes orácticos.

2.10

\.-_,.

^n

d,b

/--\ --O \-/ Figura 2.16

Conductores ernpaquetao-

e--¿

Configu ración de conductores empaquetados

Además, debido al incremento de la autoGMD,* la inductancia de la línea se reduce considerablemente, con la ventaja circunstancial de un aumento en la capacidad de transmisión de la línea.

Ejemplo

2.7

E

|

-"¿fi

Calcule la reactancia inductiva en ohms por kilómetro a 50 Hz de una línea trifásica de conductor múltiple con dos conductores por fase, como se muestra en la figura 2.l7.Todos los conductores son ACSR con radios de l.'125 cm. Si bien las líneas eléctricas por lo común no se transponen (salvo cuando entran o salen de una estación de conmutación), es suficientemente preciso suponer una transposición completa (de los paquetes así como de los conductores dentro del paquete), de modo que se puede aplicar el método GMD. La GMD mutua entre los paquetes de las fases a y á

Do6= Ql (d + s) (d - s) d GMD mutua entre los paquetes de las fases á y c

)1/a

Db, = Dob (por simetría) GMD mutua entre los paquetes de las fases c y a

(M + s) (2d - s)2d)r/a Dro = (Do6DuPr)t'' = @é@ + s¡21d - s¡212d + s)(2d D,o=

=

(2d.

,))1tr2

@e)6 e .q2 6.q2 0q.qe3.6D1t12

= 8.81 m

-]r 'f,

=

o+mf-

*]r

= o.+

rf

i o"' d=7m bo I oo' +

Figura2.17 +

+l s=0.4mfe

cQ a=t

n-1

Línea trifásica con conductores empaquetados

A mayor número de conductores en un paquete, mayor autoGMD.

Qc'

CAPÍTULO

2

Inductancia y resistencia en líneas de transm¡sión

D,= (r'sr'sl/a- ¡,''t¡It2 = (0.7788 x I.725 x

10-2

x

0.4)tt2

= 0.073 m Reactancia inductiva por fase

Xr--

314 x 0.161

. 1 8R1 "'" x l0-' log -

0.073

= 0.301 ohm/km En la mayoría de los casos es suficientemente preciso usar las distancias centro a centro entre paquetes en vez de la GMD mutua entre paquetes para calcular D"o. Con esta aproximación, tenemos para este ejemplo

D"r= (7 x 7 x

xt=

314

l4)1t3= 8.82 m

x 0.46t x lo-3

rog*9 -

0.073

= 0.301 ohmlkm Así, el método aproximado da por resultado casi el mismo valor de reactancia que el método exacto. Es instructivo comparar la reactancia inductiva de una línea de conductores múltiples con una línea equivalente (sobre bases heuústicas) de un solo conductor. Para el ejemplo actual, lalínea equivalente ten$á d = 7 m y un diámetro de conductor (para la misma área de sección ffansversal) de {2 x 1.725 cm.

Xr=

314

x 0.461x

10-3 log

(7

x7 xI4)It3

0.7788 x ^,8 x

1.7

25 x lO-3

= 0.531 ohm/km Este valor es 76.417o mayor que el correspondiente a una línea de conductores empaquetados. Como ya se ha señalado, la menor reactancia de una línea de conductores empaquetados aumenta su capacidad de transmisión.

2.TI

RESISTENCIA

Aunque la contribución de la resistencia de línea a la impedancia en serie de la línea se puede despreciar en la mayoría de los casos, es la causa principal de pérdida de potencia en línea. Por lo tanto, al considerar la economía de la línea de transmisión, debe tomarse en cuenta la resistencia de la línea. La resistencia efectiva AC está dada por R=

!94glryaqq9&=Potencia

en \\'atts

ohms

(2.48)

donde 1es la corriente rms en el conductor, en amperios. La resistencia óhmica o CD está dada por la fórmula

Rn= "A

e!

ohms

(2.4e)

- " -:

-

= :3listividad del conductor, ohm-m = .or-lgitud. m

: - Jia de la sección transversal. -"-

mZ

-::.:.:rJi3.etectiradadaporlaecuación(2.48)esigualalaresistenciaenCDdelcon-

r:r:

--

-

;.-

t. -.nrbios pequeños -:r-t ;¡n la relación

r

por la ecuaci ón (2.49) sólo si la distribución de corriente en todo el conductor

:

de temperatura. la resistencia aumenta con la temperatura de

R¡=R (l+

: -::

aot)

(2.s0)

R = resistencia

¡r

a la temperatura a OoC coeficiente de temperatura del conductor a 0"C =

-.- =::",-ión (2.50) se puede usar para hallar la resistencia Rrrala temperatura rr, si se - - {3 la resistencia R,, a la temperatura 11 Rtz

_ Ilao+t,

Rtt - llao+t,

2,L2 -

-

(2.sr)

EFECTO KELVIN Y EFECTO DE PROXIMIDAD

. :r.rribución

de la corriente en toda la sección transversal de un conductor es uniforme

.

:¡ando se trata de CD. De 1o contrario, cuando fluye una CA por el conductor, la ::r3lte se distribuye en forma no uniforme en la sección transversal de una manera tal

-. .. densidad de corriente

es mayor en la superficie del conductor en comparación con

- ::rsidad de coriente en su centro. Este efecto se vuelve más pronunciado al aumen.: -¡ liecuencia. Este fenómeno se conoce como efecto Kelvin. Provoca mayores pérdidas

:: erergía para una CA rms en comparación con la pérdida cuando fluye el mismo valor :: CD por el conductor. En consecuencia, la resistencia efectiva del conductor es mayor :.:" CA que para CD. Enseguida se da una explicación cualitativa de este fenómeno. lma-eine el lector un conductor sólido redondo (la forma redonda se considera sólo

:, : conveniencia) compuesto de filamentos anulares de igual área de sección transversal. E, iujo magnético que acopla los filamentos disminuye progresivamente conforme se hacia los filamentos externos, por la sencillarazón de que el flujo magnético den-,- de un fiiamento no lo acopla. La reactancia inductiva de los filamentos imaginarios :r>:r[1nuye. hacia afuera, con el resultado de que los filamentos externos conducen más !.\ que los internos (cuando los filamentos son paralelos). Con el aumento de frecuencia .: ro uniforrnidad de la reactancia inductiva de los filamentos se hace más pronunciada y ..í también la no uniformidad de la distribución de la corriente. Para conductores grandes . -ilrdos. el efecto Kelvin es muy significativo incluso a50Hz. El estudio analítico del efec. -' Keh'in exige el uso de las funciones de Bessel y está más allá del alcance de este libro. -\parte del efecto Kelvin, la no uniformidad de la distribución de corriente también -: ;ausa el efecto de proximidad. Consideremos una línea de dos cables como la que 5e :ruestra en la figura 2.18. Cada conductor de la línea se puede dividir en seccione. d: =--J3\ e

CAPITULO

2

lnductancia v resistencia en líneas de transm¡sión

Figura 2.18

$

igual área de sección transversal (por ejemplo, tres secciones). Los panes aa', bb' y cc' pueden formar tres circuitos en paralelo. El flujo magnético que vincula el circuito aa'(y por lo tanto su inductancia) es el menor, y aumenta algo para los circuitos bb' y cc' . Así, la densidad de la CA que fluye por los conductores es máxima en los bordes internos (aa''¡ de los conductores y mínima en los bordes externos (cc'). Este tipo de distribución no uniforme de corriente CA se hace más pronunciado al reducirse la distancia entre conductores. Al igual que el efecto Kelvin, la no uniformidad de la distribución de corriente causada por el efecto de proximidad también aumenta la resistencia efectiva del conductor. Para el espaciamiento normal de líneas aéreas de transmisión, este efecto es siempre de un orden de magnitud despreciable. Sin embargo, para cables subterráneos, donde los cables se colocan cercanos entre sí, el efecto de proximidad puede causar un aumento apreciable en la resistencia efectiva del conductor. Tanto el efecto Kelvin como el de proximidad dependen del calibre del conductor, la

frecuencia, la distancia entre conductores y la permeabilidad del material del conductor.

PROBLETYTAS 2.1 Deduzca la fórmula para la inductancia interna en FVm de un conductor hueco con

radio interior r, y radio exterior rr, y también determine la expresión para la inductancia en FVm de una línea monofásica consistente en conductores huecos como los descritos, espaciados entre sí una distancia D. 2.2 Calcule lareactancia inductiva a5OHz y un espaciamiento de 1 m, en ohms/km, de un cable constituido por 12 filamentos iguales alrededor de un núcleo no conductor. El diámetro de cada filamento es de 0.25 cm y el diámetro exterior del cable es de

I.25 cm. 2.3 Un cable concéntrico consta de dos tubos de pared delgada con radios medios r¡'R respectivamente. Deduzca la expresión para la inductancia del cable por unidad de

longitud.

2.4 Un circuito monofásico de 50 Hz comprende dos cables de un solo núcleo, forrados de plomo, colocados lado a lado; si la distancia centro a centro de los cables es de 0.5 m y cada forro tiene un diámetro mínimo de 7.5 cm, estime el voltaje longitudinal inducido por km de forro cuando el circuito lleva una corriente de 800 A. 1.,< Dos conductores paralelos llevan corrientes de + I y - I. ¿Cuál es la intensidad del !-üJrlpo ma-enético en un punto P mostrado en la figura P-2.5?

L

b P

o

\----/ - I

Figura P-2.5

'

conectadas en paralelo tienen autorreactancias de Xt y X2. Si la reactancia mutua entre ellas es Xp, ¿cuál es la reactancia efectiva entre los dos extremos de la línea? Lna línea eléctrica monofásica de 50 Hz está soportada en un travesaño horizontal. El espaciamiento entre conductores es de 2.5 m. Una línea telefónica también está soportada en un travesaño horizontal en el mismo plano horizontal que la línea eléctrica. Los conductores de la línea telefónica son de cobre macizo espaciados 0.6 m entre centros. La distancia entre los conductores más cercanos de las dos líneas es de 20 m. Encuentre la inductancia mutua entre los circuitos y el voltaje por kilómetro inducido en la línea telefónica por la corriente de 150 A que fluye en la

6 Dos lÍneas trifásicas

l--

línea eléctrica.

l-8

Una línea telefónica corre palralela a una línea eléctrica no transpuesta como se muestra en la figura P-2.8. La línea eléctrica lleva corriente equilibrada de 400 A por fase. Calcule la inductancia mutua entre los circuitos y el voltaje inducido a 50 Hz enla línea telefónica, por km. D

¡1

r-) -5m

-r-

o

r-)

r-)

15m

5m

Figura P-2.8 Línea telefónica paralela a una línea eléctrica

1"9 Una línea de 500 kV tiene un arreglo enhaz de dos conductores por fase como muestra en la figura P-2.9.

> u5,m F-r [_,) 30 mm J

se

I

lA+.\ t-15

t

¡¡

I

o

(,

l, ,i

¡

15 m

I

Figura P-2.9 Línea trifásica de 500 kV, con conductores múltiples Calcule la reactancia por fase de esta línea a 50 Hz. Cada conductor lleva 50Va de la corriente de la fase. Suponga transposición plena.

CAPITULO

2.10

2

Inductancia y resistencia en líneas de transmisión

Se va a construir una línea aérea de 50 km de longitud con conductores de 2.56 cm de diámetro, para transmisión monofásica. La reactancia de la línea no debe exceder

2.ll

31.4 ohms. Determine el máximo espaciamiento permisible. En la figura P-2.1 1, se muestran dos circuitos trifásicos en una torre de acero, hay simetría respecto a las líneas axiales tanto horizoniales como verticales. Suponga que cada circuito trifásico se transpone reemplazando ¿z por ó y luego por c, de modo que las reactancias de las tres fases sean iguales v se pueda usar el método GMD para los cálculos de reactancia. Cada circuito perrnanece en su mismo lado de la torre. Suponga que la autoGMD de un solo conductor sea de 1 cm. Los conductores a y a', y otros conductores correspondientes de fase están conectados en paralelo. Encuentre la reactancia por fase de cada sistema. a

Figura P-2.11

2.I2 LafrgnaP-Zj2

muestra una línea trifásica de doble circuiio. Los conductores e, a' , b' y c, c' pertenecen a la misma fase, respectivamente. El radio de cada conductor es de 1.5 cm. Encuentre la inductancia de la línea de doble circuito en mH/km/ b,

fase. a

D

o

r-

u

r¡

o

1m

--]--

1m

->f-1

b' a-'

a) m

-T-

c'

t-

1m

*1

,)

r

'.t

Figura P-2.12 Disposición de conductores de una línea trifásica de doble circuito

2.13 Una línea trifásica con espaciamiento equilátero de 3 m se va

a reconstruir con espa-

ciamiento horizontal (Dn=2Dn=ZDr). Los conductores se van a transponer por completo. Encuentre el espaciamiento entre conductores contiguos necesario para que la nueva línea tenga la misma inductancia que la inicial.

2.14 Encuentre la autoGMD de las tres disposiciones de conductores múltiples que se muestran en la figura 2.16 en términos del área total de sección transversal A de los conductores (la misma en cada caso) y la distancia d entre ellos.

REFERENCIAS

Libros l. Electrical Transmission

and Distribution Book, Westinghouse Electric and Manufacturing Co.,

East Pittsburgh, Pennsylvania, 1964.

l.

Waddicor, H., Principles of Electric Power Transmission, 5a. ed., Chapman y Hall, Londres,

19&.

3. Nagrath, I.J. y D.P. Kothari, Electric Machines,2a. ed., Tata McGraw-Hill, Nueva Delhi, 1997. 4. Stevenson, W.D., Elements of Power System Analysis,4a. ed., McGraw-Hill, NuevaYork, 1982' 5. Edison Electric Institute, EHV Transmission Line Reference Book, 1968. 1971. 6. TheAluminiumAssociatíon,AlumíniumElectrtcalConductorHandbook,NuevaYork, Nueva York, Wiley & Sons, Transmlssion, John Woodruff, L.F., Principles of Electric Power 7. r94',7.

8. Gross, C.A., Power System Analysis, Wiley, NuevaYork, 1979. 9. Weed¡ B.M. y 8.J., Cory, Electríc Power Systems,4a. ed., Wiley, NuevaYork, 1998. 10. Kimbark,E.W,,ElectricalTransmissionof PowerandSignals,JohnWiley,NuevaYork,

1949.

Periódicos 11. Reichman, J., "Bundled Conductor Voltage Gradient Calculations", AIEE Trans. 1959, Pt III, 78; 598.

.

3.1

INTRODUCCIÓN

La capacitancia y la conductancia constituyen juntas la admitancia en derivación de una línea de transmisión. Como antes se mencionó, la conductancia es el resultado de la fuga sobre la superficie de los aisladores y es de orden de magnitud despreciable. Cuando se aplica un voltaje alterno a la línea, la capacitancia de ésta produce un adelanto en la corriente sinusoidal llamada corriente de carga, que se genera incluso cuando el circuito de la línea está abierto en el extremo distante. Como la capacitancia de la línea es proporcional a su longitud. la corrienie de carga es despreciable para líneas con longitud menor de 100 km. Para líneas más largas. 1a capacitancia adquiere una importancia mayor y se tiene que tomar en cuenta.

3.2

CAMPO ELÉCTRICO DE UN CONDUCTOR LARGO Y RECTO

Imagine un conductor inñnitamente largo bien alejado de otros conductores (incluyendo tierra), que lleva una carga uniforme de 4 coulomb/metro de longitud. Por simetría, las superficies equipotenciales serán cilindros concéntricos, mientras que las líneas de fuerza electrostática serán radiales. La intensidad de campo magnético a una distancia y del eje del conductor es

4 "= 2nkv v/^ donde,( es la permitividad* del medio. Como se muestra en la figura 3.1, considere dos puntos Pyy P2, ubicados a distancias Dt\ D:. respectivamente, del eje del conductor. La diferencia de potencialVrrentre Pry Ptestá dada por

* En unidades SI. la permitividad del espacio libre es ko = 8.85 x 10 = l.

aire es fr, = Wo

''

F/m. La permitividad relativa para el

3.3

Diferencia de ootencial entre dos conductores

D

Figura

3.1

Campo eléctrico de un conductor largo y recto

V,2=fedy=J ' S

q

zrb

drv

Como la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria, se elige la trayectoria de integración como PrPP2que se muestra en la línea gruesa. Como la ruta PP2 va a lo largo de un equipotencial, V, se obtiene simplemente al integrar a lo largo de P1P, es decir (3.1)

4 dt.- q hD'v v,"=1" Jo, 2rrky ' 2i7k Dl

3.3

DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS CONDUCTORES DE UN GRUPO DE CONDUCTORES PARALELOS

La figura 3.2 muestra un grupo de conductores paralelos cargados. Se supone que los conductores están alejados de la tierra y están suficientemente alejados entre sí; es decir, los radios de los conductores son mucho menores que las distancias entre ellos. El espaciamiento que se usa por

Figura

1o

común en las líneas aéreas de transmisión siempre satisface

3.2

Grupo de conductores paralelos cargados

CAPíTULO

3

Capacitancia de las líneas de transmisión

estas suposiciones. Además. estas suposiciones implican que la carga en cada conductor pennanece uniformemente distribuida alrededor de su periferia y longitud. La diferencia de potencial entre dos conductores cualesquiera del grupo puede en-

tonces obtenerse si se suman las contribuciones de los conductores cargados individuales con la aplicación repetida de la ecuación (3.1). Así,la diferencia de potencial entre los conductores a y b (caida de voltaje de a a b) es

ln rb + q^ ln D,u *...a^ In%'l Dro

Duo

Dro

)

"

(3.2)

Cada término de la ecuación (3.2) es la caída de potencial de a ab provocado por la carga en uno de los conductores del grupo. Se pueden escribir expresiones para líneas similares para caída de volu-ie entre dos conductores cualesquiera del grupo' Si l¡-. ;a¡ga-r rarían sinusoidalmente, así lo hacen los voltajes (éste es el caso para Línea-¡ de

ransnisión

de

AC); la expresión de la ecuación (3.2)

se aplica todavía con car-

sa-\'merro de ir-'ngirud 1' voltajes considerados como cantidades fasoriales. La ecuación { 3.1r es. pa'r Io tanto. r'álida para cantidades instantáneas y también para cantidades sinusoidales g¡ ]a-i que todas las cargas y todos los voltajes son fasores.

3,4

CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS COHDUCTORES

Considere se una línea de dos conductores que se muestra en la figura 3.3, excitada por una fuente mranolá-.ica. Lalínea desarrolla cargas sinusoidales iguales y opuestas en los dos conducrores- que se pueden representar como los fasores QoY Qo, de modo ¡lue Qo- -Qt. L¿,irlerencia de potencial enVouse puede escribir en términos de las contribuciones

de q, ! y-- mediante la ecuación (3.2), con las suposiciones asociadas, es decir, grande r Ia tierra está alejada. Así,

,"0= Puesto gue Qo=

-

ln

*(n.

r2+nr^+)

D/r

es

11 1)

Qb, se tiene

Y"'= 3-e-1n D2

2¡rk

rorb

La capacitancia de línea Cr¿ es entonces vab -

Q"

rrk

V, ,AD

In( D I Tror¡|tz)

F/m de longitud de línea A

a

(\r-7\ Figura

\

3.3

Lr\ ^\ ro\)

I

Vista en sección transversal de una línea de dos cables

(3.4a)

3.4

Capacitancia de una línea de dos

conductores

79

| o r

Si ro=

ru-

-r.-1b)

v,

(3.-lc

t

La corriente de carsa de la línea asociada es

Ir= jotCo¡Vo, A/km

(3.s)

Como se muestra en las figuras 3.4a) y b)la capacidad línea a línea puede ser considerada equivalentemente como dos capacitancias iguales en serie. El voltaje a través de las líneas se divide por igual entre las capacitancias de modo que el punto neutro n está al potencial de tierra. La capacitancia de cada línea a neutro está entonces dada por

C, =

Con

=

Cb, = 2Coa =

pFkm

#ffi

(3.6)

Las suposiciones inherentes en la derivación anterior son: i) La carya en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida, pero esto estrictamente no es correcto. Si se toma en cuenta la no uniformidad de distribución de la carsa. entonces

cr=

0.0242

/iFlkm

(3.7)

"'(+.(#-')"') Si DD.r ) 1, la expresión anterior se reduce a la de la ecuación (3.6), y el error que se introduce por la suposición de distribución uniforme de carga es despreciable. ll) La sección transversal de ambos conductores se supone circular, mientras que en lapráctica real se usan conductores trenzados. El uso del radio de la circunferencia circunscrita para un conductor ffenzado provoca un error insignificante. vab

a) Capacitancia línea a línea

C", C"r= Ctn-

Co, 2C"o

b) Capacitancia línea a neutro

Figura 3.4

CAPÍruLO

3

Capacitancia de las líneas de transmisión

DE UNA LÍNEA TRIFÁSICA CON ESPACIAMIENTO EOUILÁTERO

3.5 CAPACITANCIA

La figura 3.5 muestra una línea trifásica compuesta de tres conductores idénticos de radio r colocados en configuración equilátera. Si se emplea la ecuación (3.2), pueden escribirse las expresiones para VoaY V* como

v,^=

.2+ !-(q, r 2rk \'"

q¡,ln

vou

+

vo,

=

(3.8)

rn-

(3.e)

|

D./

v,"= | .(q,ln2+qrIn z,rfK \ r Al sumar las ecuaciones (3.8) y (3.9),

,rrr-D\

|

D)

se obtiene

filtn"

tn

2 + (qu + q,)t

;]

(3.10)

Como no hay otras cargas en la proximidad, la suma de cargas en los tres conductores cero. Así, ea+ er= -eoeúE; cuando se sustituye en ecuación (3.10) da voo

+ vo,=

es

(3.11)

*^l

Con voltajes trifásicos equilibrados aplicados a la línea, se sigue del diagrama de fasores de la figura 3.6 que Vou

+ V*=

3Von

Q'12)

Sustirur,endo tI'-" + l'-.1 en la ecuación (3.12) y luego en la ecuación (3.11), se llega a

v^-= Q" hL

2¡k

r

(3.1 3)

La capacitancia de Línea a neutro se deduce inmediatamente como

2¡rk Qo c_= " Von= ln (D/r)

Figura

3.5

(3.r4)

Sección transversal de una línea trifásica con espaciamiento equilátero

3.6 Para un medio como

Capacitancia de una línea trifásica con espaciamiento as¡métnc!

aire como (ft, =

1),

0'0242

" = log(D/rl' &F/km

c..

La corriente de carsa de línea de la fase a

(3.14b)

es

I o (carga de línea)

=

i

(3.1s)

@C nVo,

3.6 CAPACITANCIA

DE UNA LÍNEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO ASIMÉTRICO

La figura 3.7 muestra los tres conductores idénticos de radio r de una línea trifásica con espaciamiento asimétrico. Se supone que la línea está totalmente transpuesta. Como los conductores se rotan cíclicamente en las tres secciones del ciclo de transposición, se pueden escribir para Voo tres expresiones coffespondientes. Estas expresiones son: Para la primera sección del ciclo de transposición

,",

=

*(s

^h

+

*

qu, tn

V"o

Figura

3.6

* n,, r"

f

+

Vu"

K)

= 2 v€ cos 30" %n

-

3V",

Diagrama de fasores de voltajes trifásicos equilibrados

(3.1 6a)

tCáHru-O

3

Capacitancia de las líneas de transmisión

a-c Figura

3.7

Sección transversal de una línea trifásica con espac¡amiento asimétrico (totalmente transpuesta)

Para la segunda sección del ciclo de transposicrón

Dr, | ( Q.,t ,,lfl-+

,t V-¡=

2rk

-l

\'"'

r

qh) r,ln

'"'

r

- ,lfl+ Q.t

D¿

-

Drr) Drt

|

(3.16b)

.)

Para la tercera sección del ciclo de transposición

v"o=

*(n",^+

-oo,tnj;* s,,h#i)

(3.1 6c)

Si se despreciala caída de voltaje a lo largo de la línea, Vo6 es la misma en cada ciclo de transposición. En líneas similares, se pueden escribir tres ecuaciones como ésfas para Vo, = Voa I -120". Se pueden escribir tres ecuaciones más si la sumatoria se iguala a cero de todas las cargas de línea en cada sección del ciclo de transposición. De estas nueve ecuaciones (independientes), es posible determinar las nueve cargas desconocidas. La solución rigurosa, aunque posible, es demasiado compleja. Con el espaciamiento usual de los conductores, se obtiene suficiente precisión si se supone

4at= Qa2= Qa3= Qal Qut= 4b2= Quz= Qul 4cr = Qc2 = Qca = Qc

Q'17)

Esta suposición de igual cargalunidad de longitud de una línea en las tres secciones que el ciclo de transposición necesita, por otro lado, tres valores diferentes de Vr, designados como Vo61, Vatzy Vabz en las tres secciones. La solución se puede simplificar considerablemente tomando Vo, como el promedio de estos tres voltajes, es decir

V¿ (prom) = y^.

* l{v"^ J

Voaz

+

Vo6)

') DDDBD3. t' I ln n( = 6il I o- \ r' ))+ o^'" f Dt2D,.4t l'" \ )

o'rArq,

+0-tnf " I D'14tDrt )'] ))

3.7

Efecto de tierra en la capacitancia de líneas de transmisión

r( t"fD^-*nor" ,) 4r)

= n-,

14a

D^^

donde

-

(3.18)

TDrrDrrD3)1/3

Del mismo modo,

v*= Al

*(n,r^?* n,'";;)

(3.1e)

sumar las ecuaciones (3.18) y (3.19), se obtiene

Vou+ Vo, = Según la ecuación

D-^ t( qolnj-l(q6 r ¿rfK \ =l

+

s)tn;;)

(3 20)

(3.I2) para voltajes trifásicos equilibrados

+ V*= 3Vo, (qu+ q,)=- ea

Vo,

y también

El uso de estas relaciones en la ecuación (3.20) conduce

a

v'an- Qa lnD"o 27* r

(3.2r)

La capacitancia de línea al neutro de la línea transpuesta está dada entonces por

2¡k Qo c-= " Von= ln (D"rlr) F/lcmaneutro Para un medio como el aire (k,

=

(3.22a)

l) o'Y^42,,

" =,los (D^^Ir\

C,

p,F/krn a neutro

(3.22b)

-LY

Es obvio que para un espaciamiento equilátero D"n = D,la fórmula anterior (aproximada) da el resultado exacto presentado anteriormente. La corriente de carga de la línea para una línea trifásica en forma de fasor es

Io(carga de línea)

3.7

=

jt'tC,Vo,Nkm

(3.23)

EFECTO DE TIERRA EN LA CAPACITANCIA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Al calcular la capacitancia de líneas de transmisión se ha ignorado la presencia de tierra, hasta ahora. El efecto de tierra en la capacitancia se puede tomar en cuenta convenientemente por el método de imágenes.

Método de imágenes El campo eléctrico de los conductores de líneas de transmisión se debe ajustar a la presencia de tierra debajo de las líneas. Para este propósito, se puede suponer que la tierra e-s-r.=.a

CAPíTULO

3

Capacitancia de las

transmisión

placa horizontal perfectamente conductora de extensión infinita, que, por lo tanto, actúa como una superficie equipotencial. El campo eléctrico de dos conductores largos paralelos, cargados +q y -q por unidad es tal que tiene un plano de potencial cero a medio camino entre los conductores, como se muestra en la figura 3.8. Si una placa conductora de dimensiones infinitas se coloca en el plano de potencial cero, el campo eléctrico pernanece sin perturbarse. Además, si el conductor que lleva lacarga-q se quita ahora, el campo eléctrico por arriba de la placa conductora permanece intacto, mientras que el que queda debajo de ella desaparece. Si se utilizan los bien conocidos resultados en forma inversa, se puede en forma equivalente reemplazar la presencia de la tierra debajo de un conductor que se está cargando por un conductor ficticio con carga igual y opuesta y ubicada por debajo de la superficie del suelo, y tan lejos de ella como el conductor que queda encima del suelo. Tal conductor ficticio eslaimagen de espejo del conductor aéreo. Este método de crear el mismo campo eléctrico como en la presencia de tierra se conoce como el método de imágenes, sugerido

originalmente por Lord Kelvin.

Capacitancia de una línea monoÍásica Considere una línea monofásica como se muestra en la figura 3.9. Se necesita calcular su capacitancia tomando en cuenta la presencia de la tierra por el método de imágenes antes descrito. La ecuación para la caída de voltaje Vno determinado por los dos conductores cargados ay b,y sus imágenes a'y b 'se pueden escribir como sigue:

+n

2h

ln

(4h2

Figura

3.8

+

(3.24)

D2)t/2

Campo eléctrico de dos conductores largos, paralelos, con cargas opuestas

3,7 Radio

Efeclo de tierra en la capacitancia de líneas de transmisión

r

/

vqF;e

+q

-q Figura

3.9

Línea de transmisión monofásica con imágenes

Si los valores de las diferentes cargas se sustituyen y simplifican, se obtiene Vob =

2hD

Qln

rk

r(4hz +

(3.25)

D2)1/2

Se infiere de inmediato que

rk

vab-

ln

F/m línea a línea

D

r(l + (Dz l4hz

(3.26a)

))t/2

a

L',=

--¡I¡-n

r(l

lln L -t-

D---Flm

+ (D2 l4h:

a neutro

(3.26b)

)l':

Se observa de la ecuación anterior que la presencia de la tierra modifica el radio

r a r(l +

1n2/4h2¡¡1/2. Para un valor de h grande en comparación con D (éste es el caso común), el efecto de la tierra en la capacitancia de la línea es de un orden de magnitud despreciable.

Capacitancia de una línea trifásica El método de imágenes se puede aplicar de igual manera al cálculo de capacitancia de una línea trifásica como se muestra en la figura 3.10. La línea se considera por completo transpuesta. Los conductores a, b y c llevan las cargas eo, eny qc y ocupan las posiciones l,2y 3, respectivamente, en la primera sección del ciclo de transposición. El efecto de la tierra se simula por conductores en imagen, con cargas -qa, *qb y -4c. respectivamente, como se muestra. Las ecuaciones para las tres secciones del ciclo de transposición se pueden escribir para la caída de voltaje V"o determinado por los tres conductores cargados y sus imágenes.

CAPÍTLO

3

Capacitancia de las líneas de transmisión

h",

h.,,

Figura

3.10

Con el conductor a enla posición

, = ",

l,

Línea trifásica con imágenes

b en la posición 2 y c en la posición 3,

*1,,^y1 "

f Dr,.

;l* h, ))

n

-

u(,n

^

^

+) (3.27)

Se pueden escribir ecuaciones similares paraVo6 para la segunda y tercera secciones del ciclo de transposición. Si se hace la suposición, aceptablemente precisa, de carga constante por unidad de longitud del conductor en todo el ciclo de transmisión, el valor promedio de V,6para las tres secciones del ciclo está dado por

1 | o^(rn o'o ú"h"4'),1!t \ v-,=2rk r -1n (hth2lh)"' l'" I

1rrhrD''t -)f r D",-m(\rh.rrh,,¡"'11

*o,(rn'"(. donde D"o

= (DpD4D3)r/3

)

(3.28)

3.7

Efecto de tierra en la capacitancia de líneas de

transmisión

trrrrr,,:::@,,,,,,,:

¡

La ecuación para el valor promedio del fasor Vr. se deduce de manera simila¡. Si se procede según la sección 3.6 y si se usa Vr, *Vor=3Vory eo* Qt+ Qr= 0. se obtiene finalmente la siguiente expresión para la capacitancia a neutro.

(-_ -n

217k

4o In

r -n(I

F/m

ot"h"htt,lt )

a neutro

r

3.l9al

thrhrh3)"' )

0.0242

D.o,^-(ht2hyhjr)tt3 ,^_ Ios '- -" lo9 '"é (hh2h1)t/3 r -

gFlkm

a neutro

(3.29b)

Al comparar las ecuaciones (3.22a) y (3.29a), es evidente

que el efecto de tierra es aumentar la capacitancia de una línea. Si los conductores se encuenuan lo suúcientemente elevados sobre el suelo en comparación con las distancias entre ellos. el efecto de tierra en la capacitancia de líneas trifásicas se puede despreciar.

Calcule la capacitancia a neutro/km de una línea monofásica compuesta de con,Ju.-tores trenzados No. 2 (radio = 0.328 cm) espaciados 3 m entre sí y elevados 7.5 m sobre ei suelo. Compare los resultados obtenidos por las ecuaciones (3.6), (3.7) y (3.26b r. Soluci

on

(

1

) Si se desprecia la presencia de la tierra [ecuación (3.6)]

Ln= 0.0242 ,- D log

=

prlKm

-r

0.0242

,ffi

rog

=o'oo8l7 PFlkm

0328

Por la rigurosa relación [ecuación (3.7)]

Cn=

Como

"r'l r

0.0242

rcn(L.(4-[2r \4r' t)"')

pFkrn

= 915, el efecto de la no uniformidad de distribución de carga es casi des-

preciable.

C" = 0.008t7

ükrn

CAPÍruLO

3

Capacitancia de las líneas de lransmisiÓn

(2) Si se considera el efecto de la tierra y si se desprecia la no uniformidad de distribución de carga [ecuación (3.26b)]

cr- .D 0.0242 rvÉ---------------" r( I + (D' l4h' ¡¡" ' D

300 ------------7

r.ll.04

0.3284r.04

0'0242

Cn=

-=

2.953

= óYl

= o.oo82 r¿Flkm

Nota: La presencia de la tierra aumenta la capacitancia en aproximadamente 3 partes en 800.

Una línea de transmisión trifásica de 50 Hz tiene un espaciamiento plano horizontal de 3.5 m entre conductores adyacentes. Los conductores son No. 2/0, de siete filamentos de cobre estirado en frío (diámetro exterior del conductor = 1.05 cm). El voltaje de la línea es de 110 kV. Encuentre la capacitancia a neutro y la corriente de carga por kilómetro de línea.

Solucicn

D"o= (3.5 x 3.5 x 7)r/3 =4.4m

^"

L-

0.0242

0.0242 -

log (D.^

lr)

-

rog(44010.525)

-!!

= 0.00826 pF/km

l- -_ X-= " @Cn

100

314 x 0.00826

= 0.384 x 10" O/km Corriente de carga =

a neuffo

(110/Jt)x1000

+

0.384 x 106

= 0.17 A/km

Los seis conductores de una línea trifásica de doble circuito, con radio de 0.865 x 10-2 m, están dispuestos como se muestra en la figura 3.1 1. Encuentre la reactancia capacitiva a neutro y la corriente de carga por kilómetro por conductor, a 110 kV, 50 Hz.

3.7

Efecto de tierra en la capacitancia de líneas de

transmisión

hll% *

l

b'

a'

a,

c,

l

I

4

,l I

4m

s

ab

h=6m

atfc'b'

Figura 3.11 Sección transversal de una línea trifásica de doble c¡rcuito

Solución

Como en la sección 3.6, suponga que la carga por conductor en cada fase es igual en todas las tres secciones del ciclo de transposición. Para la sección I del ciclo de transposición

v

o6(r)

=, *Lln"(^ L + tn í). r,(^ : . *

Para la sección

II del ciclo de transposición v"b ttt =

hé''ll o-(rnt* -'\

i

h)J

(3.30)

*ln"(,"; .'"* )* n,(^:.'"+) *

Para la sección

^t)

ri)l

o,(t,l.

(3.31)

III del ciclo de transposición v"b ru\ =

*l ¿7KLn,(\

rn1

r

+ ln 4\-

I)

nJmr * mI', nl \ J

*n.(";.'":)] El valor promedio de Vo6

.

Vo6

en el ciclo de transposición está dado por

(prom)

=

,(igigih\, ,(rd,frf\1ll j;lI | q,lnl # l+ quln | -.5 ofirkL

\rJrdrI)

\r8t8Jn.))

(3.32)

CAPÍTLO

3

Capacitancia de las líneas de transmisión

=*(n.-eu)tn(ffi)'''

(3.33)

Del mismo modo

v,"

(prom) =

tn(ffi)"

(3.34)

- eu - n,> n (4*)t't

(3.35)

- q,)

);fa,

Ahora

vo,

+

vo,

3v ^-

= 3von =

rnL{zao

3'o !o\''t = znkln( ""t' r".f 'd \

Capacitancia a neutro por conducto,

)

=3: \r'f"d )

(3.36)

Capacitancia total a neutro para dos conductores en paralelo

¿-= ---4úrn

Ahora"

h=6m; d=

(Íf'!')"' \

p¡¡¡y

(3.37)

r'-f 'd )

8 m. Ref,riéndonos a la figura 3.12, podemos escribir

,= [l¿)'

*(¿-n¡'l''' =¡¡^

l\2) \ 2 )) f=G+hz)t't=l0m g = (72

+

4t)'/2 = J65 m

x 10-2 m. Sustituyendo los valores para las diversas distancias, tenemos:

Radio del conductor (general) = 0.865

*=

¡r,F/km

'nL roots = 0.0181 #F/km @Cn= 314 x 0.0181

= 5.68

\.os65ll

x 10{

x 10-6 Cl/km

Corriente de cargalfase

Uq+!@ .úJ

x 5.68 x

Corriente de carga/conductor = 0.1805 A/km

-

10-6

0'3-61

2

= 0.361 A/km

g.e

N¡étooo ¿e

cMD (modificado)

:llt E E

h=6m

d=8m Figura 3.12

3.8

MÉTODO DE GMD (MODIFICADO)

De una comparación de las varias expresiones para la inductancia y la capacitancia en las líneas de transmisión [por ejemplo, las ecuaciones (2.22b) y (3.6)], se infiere el hecho de que las dos son similares, salvo que en las expresiones de inductancia se usa el radio ficticio del conductor = 0.7788r, mientras que en las expresiones para capacitancia se usa el radio real del conductor. Este hecho sugiere que elmétodo de GDM sería aplicable también en los cálculos de capacitancia, siempre que se modifique alutllízar el radio exterior del conductor para determifiat D* la autodistancia media geométrica. El ejemplo 3.3 se puede resolver en forma conveniente como se muestra a continuación mediante el método de GMD modificado. Paralaprimera sección del ciclo de transposición la GMD mutua es

r'

D"6= ((ig) (id)'to = Dtr= (iiltl2 D,o= (jh)1/2 D

"c=

(D

(ig)1/2

oPuP,)t'' = ¡1i2 g2¡h¡r/31r/2

En la primera sección del ciclo de transposición la autoGMD es

Dro= (rf ,f )t'o = (rf)''' D,o = (rd)1t2 D,, = (Ú)r/2 D,= (D,,proD,r)t't = l?3f2ü1/31/2 Ahora

Ln -

2rk

h+

2¡rk

^l(ffi)'"]"'

4rk 7 ,1 1 ., 1ll3

. I t-P-th Inl_*l

\ r'f'd

I

)

F/m

,,,

3

CAPITULO

Capacitancia de las líneas de transmisión

¡ "e I e"'

l+ /+

F-q

cO

*l Qc'

n + u23

ri.| D"t

u12 ^

d

-

t oQ vl- Qo'

Figura 3.13 Sección transversal de una línea de transmisión trifásica con conductores múltiples

Este resultado coincide obviamente con las expresiones fundamentalmente obtenidas en el ejemplo 3.3.

3.9 CONDUCTORESMÚLTIPLES En la figura 3.13 se muestra una línea de conductores múltiples. Los conductores de cualquier haz están en paralelo, y se supone que la carga por haz se divide por igual entre los conductores del haz como Dn* d.También, Dn- d - Dtz+ d:Dtrpor la misma razón. Los resultados que se obtienen con estas suposiciones son aceptablemente precisos para los espaciamientos comunes. Así, si la carga en la fase a es qa, los conductores a y a'tienen una carga de qo/2 cada uno; del mismo modo, la carga se divide por igual para

lasfasesbyc. Ahora, al escribir una ecuación para el voltaje entre el conductor c y el conductor b, se obtiene

,,, = *l0.sq.(tnPrL . D=,

+o.sq-(ln ''

D|

\

v'ab

t( -

^+)+

0.5q6("

* l" 4t)l

n

.

^

(3.38)

Dt, ))

. D"¡ . JA

Dr,)

4z

Dy )

o- ln--:1q¡ln-+q"ln:l

2tk \'" -t

Jrd

*)

(3.3e)

Considere lalínea que se va a transponer y proceda de la manera usual, el resultado

final será cn

donde D"n

-

0.0242 log (D"rl J rd )

Élkm

a neutro

(3.40)

(DpD4D3)rn

Es obvio, por la ecuaciín (2.42) que el método de GMD modificado es igualmente válido (como debería) en este caso.

PROBLEIVIAS 3.1

Deduzca una expresión para el valor (complejo) de la carga por metro de longitud del conductor a de una línea trifásica no transpuesta que se muestra en la figura P-3.1. El voltaje aplicado es trifásico equilibrado, 50 Hz. Tome el voltaje de la fase a como fasor de referencia. Todos los conductores tienen radios iguales. También determine la corriente de carga de la fase a. Desprecie el efecto de tierra.

o ---'*

D

Figura

3.2

P-3.1

La figura P-3.2 muestra una línea trifásica de doble circuito. El diámetro de cada conductor es 2.0 cm. Lalínea está transpuesta y lleva carga equilibrada. Encuentre la capacitancia por fase a neutro de la línea.

T

aQ

Qc'

óo

Qo'

2m +I l

2m

I cQ 6m -

Qa' -

Figura P-3.2 J.J

Una línea aérea trifásica de 50 Hz tiene conductores transpuestos espaciados equilateralmente y uniformes a 4 m entre sí. La capacitancia de una línea así es de 0.01 p,Fkrn. Recalcule la capacitancia por kilómetro a neutro cuando los conductores están en el mismo plano horizontal con espaciamientos sucesivos de 4 m y están regularmente transpuestos.

.A

J.+

Considere la línea trifásica de conductores múltiples de 500 kV que se muestra en la figura P-2.9. Encuentre la reactancia capacitiva a neuffo en ohms/km a 5OHz.

3.5

Una línea trifásica de transrnisión tiene espaciamiento plano horizontal entre conductores adyacentes. El radio de cada conductor es 0.25 cm. En cierto instante, las cargas en el conductor central y en uno de los conductores externos son idénticas, y la caída de voltaje entre estos dos conductores idénticamente cargados es de 775 V. Desprecie el efecto de tierra y encuentre el valor de la carga idéntica en coulombs/ km en el instante especificado. Encuentre la susceptancia a neutro a 50 Hz por kilómetro de una línea trifásica de doble ci¡cuito con transposición como se muestra en la figura P-3.6. Dados D =7 m y radio de cada uno de los seis conductores = 1.38 cm.

3.6

CAPITII-O

3

CaDacitancia de las líneas de transmisión

abc

\_./

t.l

\_/ F- o--'l--

ooe a'

t.t

t.l

D

\_-/

-+-

b'

D +- D-+l<- D-¡

Figura P-3.6 Línea trifásica de doble circuito con espaciamiento plano 3.7

Un cable eléctrico tiene un solo conductor de cobre macizo No. 2 (radio = 0.328 cm). El aislamiento de papel que separa al conductor del forro concéntrico de plomo tiene un espesor de 2.5 mm y una permitividad relativa de 3.8. El espesor del forro de plomo es de 2 mm. Encuentre la reactancia capacitiva por kilómetro entre el conductor interno y el forro de plomo.

3.8

Encuentre la capacitancia de fase a neutro por kilómetro de una línea trifásica que tiene conductores de 2 cm de diámetro colocados en los vértices de un triángulo con lados de 5 m, 6 my 7 m, respectivamente. Suponga que la línea está totalmente transpuesta y lleva carga equilibrada.

3.9

Obtenga una expresión para la capacitancia por metro de longitud entre dos conductores largos paralelos, cada uno con radio r, con ejes separados por una distancia D, donde D r. El medio aislante es aire. Calcule la máxima diferencia de potencial permisible entre los conductores, si la intensidad de campo eléctrico entre ellos no debe exceder 25 kV/cm. donde r = 0.3 cm v D = 35 cm.

)

REFERENCIA'

Libros L Stevenson, W.D., Elements 2. 3.

of Power System Analysis, 4a. ed., McGraw-Hill, NuevaYork, 1982. Cotton, H. y H. Barber, The Transmíssíon and Distribution of Electrical Energy,3a. ed., Hodder and Stoughton, 1970. Stan A.T., Generation, Transmission and Utiliz.ation of Electric Power, Pitman, 7962.

Periódicos 4. 5.

Parton, J.E. y A. Wright, "Electric Stresses Associated with Bundle Conductors", International Journal of Electrical Engineering Education, 1965, 3:357. Stevens, R.A. y D.M. German, "The Capacitance and Inductance of Overhead Transmission Lines", Inte rnational Journal of Electical En gine e rin g Education, 1965, 2:'7 1.

tr}l,

::;," ::::,4.,:.a.,rl :

lit$ = t:rtl

)r

ReprsS

tación de sist

-''éléctrié6s" e potencra a-

4.r

"'' $

rNTRoDUccrór

Un diagrama completo de un sistema eléctrico de potencia que represente las tres fases se vuelve demasiado complicado para un sistema de tamaño práctico: tanto que puede suceder que éste ya no transmita la información que se supone debe transmitir. Es mucho

más práctico representar un sistema mediante símbolos sencillos para cada componente dando por resultado lo que se llama un diagrama unifilar. El sistema por unidad lleva a una gran simplificación de redes trifásicas que comprenden transformadores. Un diagrama de impedancia dibujado sobre la base por unidad no necesita incluir transformadores ideales. Un elemento importante de un sistema de suministro eléctrico es la máquina síncrona, que influye en gran medida en el comportamiento del sistema tanto durante el régimen permanente como en condiciones de régimen transitorio. En este capítulo se presenta el modelo de máquina síncrona en régimen permanente. El modelo para condiciones de régimen transitorio se presentará en el capítulo 9.

4.2

SOLUCIÓN MONOTÁSICA DE REDES TRIFÁSICAS EOUILIBRADAS

La solución de una red trifásica en condiciones equilibradas

se lleva a cabo con

facilidad

al resolver la red monofásica corresoondiente a la fase de referencia. La fisura 4.1 mues-

zc

+

Figura

4.1

Red trifásica equilibrada

CAPITULO

4

Reoresentación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

z"l

z, L_l -

+t

E"O T

Nn Figura

4,2

Red monofásica equivalente a una red trifásica equilibrada de la figura 4.1

tra una sencilla red trifásica equilibrada. Los neutros del generador y lacarga están, por lo tanto, al mismo potencial, de modo que Ir- 0. Así, la impedancia al neutro Zrno afecta el comportamiento de la red. Para la fase de referencia a

Eo= (26+ Z)Io

(4.1)

Las corrientes y los voltajes en las otras fases tienen la misma magnitud, pero se desfasan progresivamente por 120'. La ecuación (4.1) corresponde a la red monofásica de la figrtra 4.2, cuya solución determina por completo la solución de la red trifásica. Ahora se considerará el caso en el que un transformador trifásico forma parte de un sistema trifásico. Si el transformador está conectado en Y/Y como se muestra en la figura 4.3a), en el equivalente monofásico del circuito trifásico obviamente puede representarse

por un transformador monofásico (como en la f,gura 4.3b)), en donde el primario y el secundario pertenecen a la fase a del transformador trifásico.

-

rEi

Vun

N2

N,

('

¡-

v+ -.\

v-í+6

o>,

+u

I I

+C a) Transformador trifásico Y/Y a

N,:N,

- ,rl --___l r-l-T '"

|I

vun

nltl

)d arA

F

7f

A

vrn

lN I

b) Equivalente monofásico del transformador trifásico Y/Y

Figura 4.3

4.2

Solución monofásica de redes trifásicas equilibradas

Nzl\/l

a) Transformador Y/A con conexión estrella equivalente

ó) Equivalente monofásico de transformador y/A

Figura 4.4

Si el transformador está conectado enYlL como en la figura 4.4a), el lado delta tiene que reemplazarse por un equivalente en conexión estrella como se muestra en líneas punteadas, para obtener el equivalente monofásico de la flgwa 4.4b). Sin embargo, se tiene que observar aquí un hecho importante. Del lado delta, el voltaje a neutro Vru (voltaje de fase A) y la corriente de línea 1o tienen un cierto ángulo de desfasex con respecto a los valores del lado estrella Vore Io (90'para las marcas de fases que se muestran). En el equivalente monofásico (V¡¡¡, 1o) están respectivamente en fase con (Vo,, I). Como tanto el voltaje de fase como la corriente de línea se desfasan por el mismo ángulo de fase del lado estrella al lado delta, la impedancia y el flujo de potencia por fase del transformador se conservan en el equivalente monofásico. En la mayor parte de los estudios analíticos, sólo se interesa en la magnitud de los voltajes y las corrientes, de modo que el equivalente monofásico de la figura 4.4b) es una propuesta aceptable. Cuando se necesiten los ángulos coffectos de fase de corrientes y voltajes, se puede aplicar sin dificultad la corrección después de obtener la solución mediante un equivalente de transformador monofásico. Se puede observar aquí que, independientemente del tipo de conexión, la relación de transformación del equivalente monofásico de un transformador trifásico es la misma que la relación de transformación línea alínea.

* Vea la sección 10.3

cAPfrulo 4

4.3

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potenc¡a

DIAGRAMA UNIFILAR Y DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS Y REACTANCIAS

Un diagrama unifilar de un sistema de suministro eléctrico muestra las principales conexiones y la disposición de los componentes. Cualquier componente en particular puede mostrarse o no, dependiendo de la información necesaria en un estudio del sistema; por ejemplo, no se necesitan mostrar los cortacircuitos en un estudio de flujo de carga,pero son imprescindibles para un estudio de protección. Las redes de sistemas eléctricos de potencia se representan mediante diagramas unifilares que usan símbolos adecuados para generadores, motores, transformadores y cargas. Es una forma conveniente y prácticade representación de redes en vez de dibujar el diagrama trifásico real, que sin duda puede ser bastante engoffoso y confuso para una red eléctrica de tamaño práctico. Las conexiones de generadores y transformadores delta y neutro atiena- se indican mediante símbolos que se dibujan al lado de -estrella, la representación de estos elementos. Los cortacircuitos se representan como bloques rectangulares. La figura 4.5 muestra el diagrama unifilar de un sistema eléctrico sencillo. Los datos de reactancia de los elementos se dan debajo del diagrama. El diagrama de impedancias en base monofásica, para vtilizatse en condiciones de operación equilibradas, se puede dibujar sin dificultad a partir de un diagrama unifilar. Para el sistema de la figura 4.5, el diagrama de impedancias se dibuja en la figura 4.6. Los equivalentes de transformador monofásico se muestran como transformadores ideales, con las impedancias de transformador indicadas en el lado adecuado. Las reactancias magnetizantes de los transformadores se desprecian. Ésta es una aproximación aceptablemente buena para la mayor parte de estudios de sistemas de suministro eléctrico. Los generadores se representan como fuentes de voltaje con resistencia en serie y reactancia inductiva (el modelo para máquina síncrona se tratará en la sección 4.6).Lalínea de transmisión se representa por un modelo zr (que se tratará en el capítulo 5). Se supone que las T1

fl Figura

4.5

? 3

Representación unifilar de un sistema eléctrico sencillo

Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kY, X' = 1.6 ohms Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV. X' = 1 .2 ohms Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X' = 0.56 ohms Transformador fr (3 fases): 15 MVA, 33/1 1 kV, X = 15.2 ohms por fase del lado de alta tensión Transformador I, (3 fases): 15 MVA, 33/6.2 kV, X = 16 ohms por fase del lado de alta tensión Línea de transmisión: 20.5 ohms/fase Carga A'. 15 MW, 1 1 kV, factor de potencia 0.9 en atraso Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia 0.85 en atraso Nofa; Los generadores se especifican en MVA trifásicos, voltaje línea a línea y reactancia por fase (estrella equivalente). Los transformadores se especifican en MVA trifásicos, relación de transformación línea a línea e impedancia por fase de un lado (estrella equivalente). Las cargas se especifican en MW trifásicos, voltaje línea a línea y factor de potencia.

L

Carga B

Carga A

Figura

4.6

Diagrama de impedancias del sistema eléctrico de la figura 4.5

cargas son pasivas (que no incluyen máquinas rotativas), y se representan por resistencia

y reactancia inductiva en serie. Las impedancias de neutro a tierra no aparecen en los diagramas porque se suponen condiciones de operación equilibradas. y 33 kV). El análisis se En este sistema están presentes tres niveles de voltaje (6.6, inicia transformando todos los voltajes y todas las impedancias a un nivel seleccionado de voltaje, por ejemplo, el de la línea de transmisión (33 kV). Los voltajes de los generadores se transforman por la relación de transformación y todas las impedancias por el cuadrado de la relación de transformación. Éste es un procedimiento muy tedioso para una red grande con varios niveles de voltaje. El método por unidad que se explica a continuación es el más conveniente para el análisis de sistemas eléctricos de potencia y se usará en toda la obra.

ll

4.4 SISTEMA

POR UNIDAD (PU)

Es común expresar el voltaje, la corriente, los voltamperes y la impedancia de un circuito eléctrico en términos "por unidad" (o porcentaje) de valores base o de referencia de estas cantidades. El valor por unidad* de cualquier cantidad se define como:

el valor real en cualescuier unidades la base de referencia en las mismas unidades

El método por unidad

es en especial conveniente en sistemas eléctricos de potencia porque las diversas secciones de un sistema eléctrico de potencia se conectan a través de los transformadores y tienen diferentes niveles de voltaje. Considérese primero un sistema monofásico. Sea

Voltamperes base = (VA)B VA Voltaje base = V¡ V Entonces

Corriente base

/, =

?

O

* Valor porcentual = vaior por unidad x 100. No es conveniente usar el valor porcentual pues obliga a llevar el factor 100 en los cálculos

(4.2a'l

CAPÍTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

Impedancia base z,

=

o¡*, +IB = -Jlá(VA)¡

(4.2b)

Si la impedancia real es Z (ohms), su valor por unidad está dado por

z(pu\ =

Z(ohms)x(vt)a Vi z-s

-Z-

@3)

Para un sistema eléctrico de potencia, la selección práctica de valores base es:

Megavoltamperes base = (MVA)B o

Kilovoltamperes base = (kVA)B

Kilovolts 6mg = (kV)¡ Corriente base 1u =

1000x(MVA)B (kV)¡

Impedancia base Zu =

lmpedancia por unidad

(kvA)B =-A

a

(4.4)

(kV)¡

1000x(kV), IB

I 000x (kV)2.

GV)? (MVA)B

=-onms (kvA)B

(4.5)

Z (Pu) =

Z(ohms) x(MVA), _--__---;--

(4.6)

(kv);

Z(ohms) x(kVA)u

= (kvú"1000

En un sistema trifásico, en yez de obtener los valores por unidad al utilizar las cantidades base por fase, se pueden obtener directamente usando las cantidades bases trifásicas. Si Megavoltamperes trifásicos base = (MVA)B

Kilovolts línea

a línea base

= (kV)B

Si se suponeunaconexión estrella (siempre se puede determinar laestrellaequivalente),

Corriente base 1r

Impedancia baseZ"

1 000

x(MVA),

(4.7)

J5GD, =

1 000 x (kV) jjff)z

Ji ru (kv)'z.

=-=(MVA)R

1

000 x (kv)'zu

(kvA)*

ohms

(4.8)

*.q

S¡stena por unidad

(pu)

V:::$ffi,

I

Impedancia por unidad

Z(ohms) x (NIVAL (pu) Z \r"/ = ---------)---------(kV)28 Z(ohms)

(4.e)

x (kVA),

(kv)'z" x1000

Cuando los MVA base se cambian de (MVA),, viejo a (MVA),, no"uo, y kV base se (4.9) ui".¡o a (KV)¡,,o"uo, l& nueva impedancia por unidad de la ecuación está dada por cambia de (KV)u,

Z (Pu)no"uo= Z (Pu)ut"rox

(MVA)B,nu"uo

(kV)3. ______-;

(MVA)B,ui"jo

nr.io

(4.10)

(kV)á, n""'o

Representación en valores por unidad de un transformador Se ha dicho en la sección 4.2 que un transformador trifásico que forma parte de un sistema trifásico se puede representar por un transformador monofásico al obtener la solución por fase del sistema. El devanado conectado en delta se reemplaza por una estrella equivalente, de tal modo que la relación de transformación del transformador monofásico equivalente es siempre la relación de voltaje línea a línea del transformador trifásico. La figura 4.7a) reptesenta un transformador monofásico en términos de reactancias de fuga primaria y secundaria Zoy 2,, y un transformador ideal de relación l:a.Laimpedancia magnetizante se desprecia. Se selecciona un valor de voltamperes base de (VA), y bases de voltaje de ambos lados del transformador en la relación de transformación, es

decir

Vu1 vru a

F-E-:\ v,] 3

L7

a) Representación de un transformador monofásico (se desprecia la impedancia magnetizante)

b) Circuito equivalente por unidad de transformador monofásico

Figura 4.7

(4.rra)

CAPÍTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctr¡cos de potencia

= a (ya que (VA)B

+1,,

Por lo tanto,

V,^

77-28

LrD-

I,u

(4.1lb)

es común)

V L1D

lrt

-

-.

(4.11c)

-

De la figura 4.7a),puede escribirse

(4.r2)

V2= (V1- Iúp) a - IrZt La ecuación (4.I2) se convierle en la forma por unidad V2(pu)V2u

= [V,(pu)V1 p - I {pu)I sZo(pu)4da -12(pu)I2aZ,(pu)Zzs

Luego de dividir todo por

V* y utilizar las relaciones

vz(pu)= vr(pu)

11

Ahora

de base

(4.lla),

It(pt)Zr(vu)- It(pu)Z"(pu)

b), c)), se obtiene (4.13)

lro

Iz Ir" I, Itu =I'ltu

o

/1(pu)=12(pu)=1(p¡¡ Por 1o tanto la ecuación (4.13) se puede escribir como

vz(pu) = Vr(pu) donde

- I(Pt)z(Pu)

(4.r4)

Z(.pu)=Zo(W)+7,(pn)

La ecuación (4. 14) se puede representar por el circuito equivalente sencillo de la figura 4.7b), que no necesita un transformador ideal. Por lo tanto, se ha logrado una considerable simplificación mediante el método por unidad con una base común de voltamperes y bases de voltaje en ambos lados en la relación de transformación. Z(pu) se puede determinar directamente de la impedancia equivalente en el lado primario o el secundario de un transformador al usar la base de impedancia adecuada. En lado primario:

Zt=Zp+Z!a2

Z,(ou\ Pero

Z,Z"Z"I 2,, =----:-*ix---; Z* Zru Q' ozzru=

z*

zr(pt) = Zo(Pu) + z,(Pu) =z(Pu) En el lado secundario:

Zz=Zr+ a2z,

(4.15)

Zr(pu)

Z'

= Z*

Z. Zrt

'¡ Z,

+a-L

Ztu

Zz(pt) = Z,(pu) + Zo(pu) = Z(pu)

(+.16)

Así, la impedancia por unidad de un transformador es la misma ya sea si se calcula del lado primario o del secundario siempre y cuando las bases de voltaje en ambos lados estén en la relación de transformación (relación equivalente por fase de un transformador trifásico que sea la misma que la relación de voltaje nominal línea a línea). La impedancia en pu de un transformador trifásico se obtiene convenientemente mediante el uso directo de una base de MVA trifásica y una base de kV línea a línea en la relación (4.9). Cualquier otra impedancia en cualquier lado de un transformador se convierte a valor en pu al igual que Zo o 2,.

Diagrama de impedancias en valores por unidad de un sistema eléctrico de potencia De un diagrama unifilar de un sistema eléctrico de potencia puede dibujarse directamente el diagrama de impedancias siguiendo los pasos que se indican a continuación:

1. 2.

3.

Elegir una base común adecuada de MVA (o kVA) para el sistema. Considerar el sistema dividido en un número de secciones por los transformadores. Elegir una base adecuada de kV en una de las secciones. Calcular bases de kV de las otras secciones en la relación de transformación. Calcular valores por unidad de los voltajes e impedancias en cada sección y conectarlas de acuerdo con la topología del diagrama unifilar. El resultado es el diagrama

unifilar de impedancias por unidad. Los pasos anteriores se ilustran con los siguientes ejemplos.

"* Eiemplo

4.1

* 6

Obtener el diagrama de impedancia en valores por unidad (reactancia) del sistema de suministro eléctrico de la figura 4.5.

Solución El diagrama de impedancias por fase del sistema eléctrico de la figura 4.5 se ha dibujado en la figura 4.6. se harán algunas suposiciones más para simplificar.

1. 2.

La capacitancia y la resistencia de línea se desprecian de modo que se representan sólo como una reactancia en serie. Se supondrá que el diagrama de impedancias es aplicable para estudios de cortoci¡cuitos. La corriente tomada por cargas estáticas en condiciones de cortoci¡cuiio 'e puede despreciar. Por lo tanto, se ignoran las cargas Ay B. Todas las reactancias se convierten a la forma por unidad. Se elige una base común de

MVA trifásica de 30 y una base de voltaje de 33 kV línea a línea en el lado de transmisión. Entonces, la base de voltaje en el circuito del generador 1 es I 1 k\¡ línea a 1ínea y 1a de los circuitos de los generadores

2y

3 es 6.2kV.

lOf I

CAPÍTLO

Figura

4

4,8

Representac¡ón de componentes de sistemas eléctricos de potenc¡a

Diagrama de reactancias del sistema de la figura 4.5 (se desprecian las cargas)

Las reactancias por unidad de los diversos componentes se calculan enseguida: Línea de transmisión:

Transformador

Ir:

H#=0564 W=o'418 16x3!

Transformador Zr:

(33)" x 30 -(ff-

= 0.44

1.6

Generador 1:

#

Generador 2:

0.56 x 30

Generador 3:

6.D2

= 0'3e6

= =

o'e36 0.437

El diagrama de reactancias del sistema se muestra en la figura 4.8. El,E2 y E3 son los valores de voltajes por unidad a los cuales

se excitan los gene-

radores. A menudo, en un estudio de cortocircuitos se toman como 1l-0o pu (condición sin carga).

Los datos de reactancia de generadores y transformadores suelen especificarse en pu (o valores porcentuales), con base en valores nominales del equipo más que en valores reales óhmicos como se dan el ejemplo 4.I, mientras que las impedancias de la línea de transmisión se pueden dar en valores reales. Ahora se resuelve el ejemplo 4.1 de nuevo al suponer los siguientes valores en pu de las reactancias:

Transformador

T

r:

0.209

Transformador T2: 0.220

G,: Generador Gr: Generador Gr: Generador

0.435 0.413 0.3214

Con una base MVA de 30, voltaje base de 11 kV en el circuito del generador 1 y voltaje base de 6.2 kV en el circuito de los generadores 2 y 3 como se usaron en ei ejemplo 4.1, ahora se calcularán los valores pu de las reactancias de los transformadores 1-los seneradores de acuerdo con la relación (4.10):

Transformador

Z1:

x

ff

0.22

x

?n

ll 0.435 x f19*

Transformador Zr: Generador G1: Generador

?o

0.20e

(1

G2:

0.413

0.32t4

Generador G3:

" 30 15 " " 30 "

Y-Y-

Y-Y

25

= 0.418

= 0.44 = 0.396

l)'

6.612

6.2¡2 q6.6t2

t6.2t2

= 0.936 = 0.437

Es claro que estos valores son los mismos que los obtenidos ya en el ejemplo 4.1.

4,5

POTENCIA COMPLEJA

Considere una calga monofásica alimentada de una fuente como en la figura 4.9. Sea

V =lVl L6

I =lll L (6-

0)

Cuando d es positiva, la corriente se retrasa con respecto al voltaje. Esto ofrece una elección conveniente del signo de d en sistemas eléctricos de potencia donde las cargas tienen principalmente factores de potencia de atraso. El flujo de potencia compleja en la dirección indicada de la corriente está dado por

S=V1*

=lVllllL0 = lVl

l/l cos 9+ [Vl lll tSl

sen

(4.r7)

d= P + iQ

=(p2+e\t''

I Fuente

al

Figura

4.9

b)

Flujo de potencia compleja en una carga monofásica

CAPITULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

Aquí S = potencia compleja (VA,

kVA, MVA)

lSl = magnitud de potencia compleja (VA, kVA, MVA); significa potencia nominal de los equipos (generadores, transformadores)

P = lVl l1l cos d = potencia real (o activa) (watts, Q -- lvl l/i sen d = potencia reactiva = voltamperes reactivos (VAR) = kilovoltamperes reactivos (kVAR) = megavoltamperes reactivos (MVAR)

kW MW)

Se sigue de inmediato de la ecuación (4.17) que Q,la potencia reactiva. es positiva para corriente en atraso (carga con factor de potencia en atraso) y negativa para corriente adelantada (carga con factor de potencia de adelanto). Con la dirección de corriente indicada en la figura 4.9, S = P + jQ se suministra por la fuente y se absorbe por la carga. La ecuación (4.17) se puede representar por el diagrama de fasores de la figura 4.10,

donde 0

=

tan-t

I P

= positiva para corriente en atraso

(4.18)

= negativa para corriente en adelanto Si dos o más cargas están en paralelo como en la flgura 4. 11,

' =

it:,t{ ,,'.' ,,, + i(e, + ez)

(4.re)

De acuerdo con la ecuación (4.19), la ley de las corrientes de Kirchhoff se aplica a la potencia compleja (también se aplica por separado a las potencias real y reactiva). En una carga RL en serie que lieva corriente 1,

V=I(R+jX1) S=V1x=l2R+¡12X, P = 12R = potencia activa absorbida por la carga Q = I2Xt = potencia reactiva absorbida por la carga

Poiencia real

Figura

I

4.10

Representación fasorial de potencia compleja (carga con factor de potencia en atraso)

, I1

Figura

4.11

Dos cargas en paralelo

En caso de una carga RC en serie que lleva corriente

P=lzR O - - IzX,

1,

{lapotencia reactiva absorbida

es negativa)

Considere ahora una carga trifásica equilibrada representada en forma de una estrella equivalente, como se muestra en la figura 4.l2.La potencia trifásica compleja alimentada

ala carga está dada por

s = 3vpli = 3 lvpl L6r4, = JT lvrl L6pI;

(4.20)

Si

Ir =llrl L

(6p

-

0)

s=JJ tvLtvLlLo

entonces

=

Jl

lvrl l/¿l cos 0+ jJT tvLl lILl sen d=

Aquí

P + iQ

(4.2r)

JI IVLI IILI P = Jl lv¡l lrrl cos g Q = Jl lvTl llrl sen o

ISI =

donde d = ríngulo de factor de potencia

Si Vr, el voltaje de línea, se expresa en kV; e lr,la corriente de línea, g¡ emperesestará en kVA y si la corriente de línea está expresada en kA, ,S estará en MVA.

Figura

4.12

Potencia compleja alimentada a una carga trifásica

S

CAPíTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

En términos de la impedancia de ca:ga Z,

v,

, Luego de sustituir

lvLlL,P

Z

JTz

Irenla ecuación (4.20)

s=

lv'! Z

(4.22a)

Si V. está en kV S ahora estará dada en MVA. La impedancia de carga Z, si se necesita, se nuede calcular de

/,= lvrl' .S

lvrl' -- P-JQ

(4.22b)

4.6 MAOUINA SINCRONA La máquina síncrona es el elemento más importante de un sistema eléctrico de potencia. Convierte la potencia mecánica a la forma eléctrica y la alimenta a la red eléctrica o, en el caso de un motor, toma potencia eléctrica de la red y la convierte a la forma mecánica. La excitación de la máquina, que es controlable, determina el flujo de VAR hacia o desde la máquina. Se pueden consultar libros sobre máquinas eléctricas [1-5] para adquirir información detallada sobre la máquina síncrona. Aquí presentaremos un modelo simplificado de circuito de la máquina que, con modificaciones adecuadas cuando sean necesarias (en condiciones transitorias), se adoptará en todo este libro. La figura 4.13 muestra un diagrama en sección transversal de un generador (alternador) sincrónico trifásico con una estructura de dos polos. El estator tiene un devanado trifásico equilibrado, aa' , bb' y cc' . El devanado que se muestra es uno concentrado, mientras que el devanado en una máquina real está distribuido en toda la periferia del estator. El rotor que se muestra es de tipo cilíndrico* (rotor redondo o sin polos salientes) con devanado de rotor excitado por la fuente de CD. El devanado del rotor está dispuesto en la periferia del rotor de tal manera que la excitación de campo produce un flujo magnético/polo (d¡) casi senoidal en el entrehierro. Conforme gira el rotor, se producen fem tnfásicas en el devanado del estator. Como la máquina es equilibrada y se consideraráuna car-ea equilibrada. se puede modelar sobre la base por fase para la fase de referencia a. En una máquina con más de dos polos, la estructura descrita se repite eléctricamente para cada par de polos. La frecuencia de la fem inducida está dada por

¡=ffi

n'

donde

* Los turbogeneradores de alta velocidad tienen rotores cilíndricos y los hidrogeneradores de baja velocidad tienen rotores con polos salientes.

4.6

Máquina

síncrona---r".klQt ¡

Figura

4.13

Diagrama esquemático de un generador síncrono con rotor redondo

N = velocidad del rotor (velocidad síncrona) en rpm P = número de polos Sin carga, el voltaje Erinducido en la fase de referencia a se retrasa 90o con respecto al d¡ eue lo produce y es proporcional a {rsi se supone que el circuito magnético está no saturado. Estarelaciónfasorial se indica enlafrgura4.l4.Es claro que elvoltajeterminalV,= Er. Conforme el devanado trifásico del estator alimenta a una carga equilibrada y constante, las corrientes del estator producen un flujo magnético Q,/polo que gira síncronamente (en la dirección de la rotación del rotor). Este flujo magnético, llamado flujo magnético de reacción de armadura, es, por lo tanto, estacionario con respecto al flujo magnético del campo Q¡De aquí se deduce, intuitivamente, que Qoestá en fase con la corriente de la fase a, Ioque lo causa. Como el circuito magnético se ha supuesto no saturado, es

Et=Vt Figura

4.14

Relación fasorial entre óry Er

CAPíTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

il"X" = - E"

Figura

4.15

Diagrama fasorial de generador síncrono

aplicable el principio de superposición, de modo que el flujo magnético en el entrehierro resultante está dado por la suma fasorial (4.23) Q,= Q¡+ Qo Si además se supone que la reactancia por dispersión en la armadura y la resistencia son despreciables, /, induce la fem de armadura que es igual al voltaje terminal V,. El diagrama fasorial en condiciones de carga (balanceada) muestra como fasores los flujos magnéticos,las corrientes y los voltajes enlafrgura4.l5.

Aquí 0 = ángulo de factor de potencia á = ángulo en el que se adelanta

EraV,,llamado óngulo

de

par o momento

de torsión (dngulo de carga) En la sección 5.10 se verá que á determina principalmente la potencia generada por el generador y la magnitud de E¡(es decir, la excitación) determina los VAR generados por el mismo generador. En virtud de la linealidad supuesta del circuito magnético,los fasores devoltaje E, Eoy V,son proporcionales a los fasores de flujo magnético Ó¡ Ó"Y @., respectivamente. Además, los fasores de voltaje se retrasan 90o con respecto a los fasores de flujo magnético. Por lo tanto, se sigue sin dificultad de la figura 4.15 que el fasor AB = -Eo es proporcional a óo(y,por lo tanto, a I) y estáadelantado 90o con respecto a Qo@ 1o)' Con la

dirección del fasor AB indicada en el diagrama

¡g

=

jloXo

donde X, es la constante de proporcionalidad. En términos de la definici ón anteior de Xo, puede escribirse directamente la siguiente expresión para voltajes sin necesidad de invocar a los fasores de flujo magnético

V,=

E¡-iIoXo

donde Ef = voltaje inducido por el flujo magnético del campo Ó¡ solamente

= fem sin

cars.a

@.24)

xa

vt

Figura

4.16

Modelo de circuito de generador de rotor cilíndrico (se desprecian la resistencia y la reactancia de dispersión)

El modelo de circuito de la ecuación @.24) se dibuja en la figura 4.16, donde X, se interpreta como reactancia inductiva, lo cual explica el efecto de reacción de armadura, evitándose así la necesidad de recurrir a la suma de flujos magnéticos [ecuación (4.23)1. El circuito de la figura 4.16 puede modificarse sin dificultad para incluir el efecto de reactancia por fuga y resistencia en armadura (éstos son efectos en serie) para dar el modelo de circuito completo del generador síncrono como en la figura 4.17.Lareactancia total (Xo + X,) = X" se llama reactancia síncrona de la máquina. La ecuación (4.24) se vuelve ahora

V,= E¡-

jloXr-

IoRo

(4.25)

Este modelo de la máquina síncrona se puede modificar todavía más para tomar en cuenta el efecto de saturación magnética cuando no se cumple el principio de superposición. La resistencia de armadura Ro invariablemente se desprecia en los estudios de sistemas de potencia eléctrica. Por lo tanto, en lugar del modelo de circuito de la figura 4.17, se usará el modelo de la figura 4.18 en todo este libro. El diagrama fasorial correspondiente se da en la figura 4.79. La fem inducida en el campo E, se adelanta al voltaje terminal por el ángulo de par o momento torsional (carga) á. Ésta, de hecho, es la condición para que la potencia activa fluya de las terminales del generador hacia la carga. La magnitud de la potencia entregada depende de á. En la operación motriz de una máquina sincrónica, la corriente 1o se invierte, como se muestra en la figura 4.20, de modo que la ecuación (4.25) se modifica a Ef = V,-

jIoX,

(4.26)

x"

x

Figura

4.17

xl

ñe

Modelo de circuito de un generador síncrono de rotor cilíndrico

CAPÍTULO

4

Representac¡ón de componentes de sistemas eléctricos de potencia

4 vt

Figura

4.18

Modelo simplificado de circuito de generador sincrónico de rotor redondo

Figura

4.20

Operación motriz de máquina síncrona

Figura

Figuta

4.1

9

4.21

Diagrama fasorial de generador síncrono

Diagrama fasorial de ooeración como motor

que se representa por el diagrama fasorial de la figura 4.21. Se puede observar que V, ahora se adelanta a Eren á. Esto, de hecho, es la condición para que la potencia fluya a las terminales del motor. El flujo de potencia reactiva y voltaje terminal de una máquina síncrona se controla principalmente por medio de su sistema de excitación. Esto se trata en detalle en la sección 5.10. El voltaje y el flujo de potencia reactiva a menudo se regulan mediante reguladores de voltaje (vea la sección 8.6) que actúan en los circuitos de campo de los generadores y mediante dispositivos cambiadores automáticos de tomas en los transformadores. Normalmente, un generador síncrono opera en paralelo con otros generadores conectados al sistema eléctrico. Por simplicidad de operación considere un generador conectado a un bus infinito como se muestra en la figura 4.22. Bus infinito significa un sistema grande cuyo voltaje y cuya frecuencia peÍnanecen constantes independientemente del intercambio de potencia entre la máquina síncrona y el bus e independientemente de la excitación de la máquina síncrona. Considere ahora un generador síncrono que alimenta una potencia activa constante a una barra de bus infinito. Conforme la excitación de la máquinavaría, la corriente de

# * É Figura

4.22

rv,

/"

x"

I

Bus infinito

Máquina síncrona conectada a un bus infinito

armadura 1o y su ángulo á, es decir, el factor de potencia, cambian de tal manera que conservan

lvrl

Vol cos d = Qonstante = salida de potencia activa

EstosignificaquecomolV,l esfijo, laproyecciónl1ol cos 9delfasorlosobreV,permanece constante, mientras que la excitación varía. La flgwa 4.23 presenta diagramas fasoriales correspondientes a excitaciones altas, medias y bajas. El diagrama fasorial de la figura 4.23b) corresponde al caso de factor de potencia igual a la unidad. Es obvio, por el diagrama fasorial, que para esta excitación

lE¡lcos ó=

lV¡l

Esto se define como excitación normal. Para el caso sobreexcitado (figura 4.23a)), es decir,lE¡l cos ó lVrl, Iose retrasa respecto aV, de modo que el generador alimenta poten-

)

tr iIuX"

a) Sobreexcitado

b) Excitación normal

c) Subexcitado vt

Figura

4.23

Diagramas fasoriales de un generador síncrono que alimenta potencia constante al variar la excitación

CAPÍTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctr¡cos de potencia

cia reactiva positiva al bus (o toma potencia reactiva negativa del bus). Para el caso subexcitado (figura 4.23c)), es decir, lE¡l cos 6 < lyrl, 1o se adelantaaV,de modo que el generador alimenta potencia reactiva negativa al bus (o toma potencia reactiva positiva del bus). La figura 4.24 mueslra los casos sobreexcitado y subexcitado de un motor síncrono (conectado a un bus infinito) con toma constante de corriente del bus infinito. En el caso sobreexcitado, 1, se adelanta a Vp es decir el motor toma potencia reactiva negativa (o suministra potencia reactiva positiva); mientras que en el caso subexcitado, 1o se retrasa con respecto a %, es decir, el motor toma potencia reactiva positiva (o suministra potencia reactiva negativa). Del análisis anterior, puede concluirse en general que una máquina síncrona (operando como generador o motor) cuando opera a potencia constante suministra potencia reactiva positiva alabalrra de bus (o toma potencia reactiva negativa de la barra de bus) cuando está sobreexcitado. Una máquina subexcitada, por otro lado, alimenta potencia reactiva negativa alabarra de bus (o toma potencia reactiva positiva de la barra de bus). Considere ahora la potencia suministrada por un generador sincrónico a un bus inflnito. De la figura 4.19, esta potencia es

P = lVtl llol cos 0 La expresión anterior se puede escribir en una forma más útil fasorial. De la figura 4.19, sen

lE¡l

(90'+ d) --

a

partir de la geometría

V"lx, senó

Ia

E¡

a) Sobreexcitado

I" Figura

4.24

"

b) Subexcitado

Diagrama fasorial de motor síncrono que toma potencia constante al variar la excitación

P P

ono

Figura

4.25

Curva del ángulo de potencia de un generador síncrono

l1"l cos A =

lE,l .!f

lE,llv.l r = jf-:-

sen ó

t

A

)'7\

(4.28)

sen á

La gráfica

de P contra 6 que se muestra en la figura 4.25, se llama curva de dngulo de potencia.Lamáxima potencia que se puede generar ocuffe a á = 90o, y está dada por D

'máx

-

lE,llv,l | r t' '' X,

(4.2e)

o para 6 > 90" el generador pierde la sincronización y se hace inesta(la ble. El problema estabilidad) se tratará extensamente en el capíttlo 12. Para P

)P^'1,

Factor de potencia y control de potencia Aunque las f,guras 4.23 y 4.24 iltstran cómo cambia con la excitación el factor de potencia de una máquina síncrona, para intercambio fijo de potencia, no nos dan una idea con respecto a los valores cuantitativos de l1"l y á. Esta idea se puede obtener sin dificultad al reconocer de la ecuación (4.27) que

ilutX" lE, lsen 6

Figura

4.26

=

PX"

ly,

I

Efecto de la excitación variable de un generador que suministra ootencia constante al bus infinito

CAPfTLO

4

Figura

Flepresenlación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

4.27

Caso de excitación limitante de un generador que suministra potencia constante al bus infinito

lEtl sen á= l1olX" cos á

=

PX"

#" t' = constante (para intercambio constante de potencia a barra de bus infinito)

(4.30)

La figura 4.26 muestra el diagrama de fasores para un generador que suministra potencia constante a un bus infinito pero con excitación variable. Como lEtl sen ápermanece constante, la punta del fasor E¡ se mueve a lo largo de una línea paralela a V, al variar la excitación. La dirección del fasorlo siempre es con retraso de 90" con respecto a jIoXry su magnitud se obtiene de (ll"l Xr)|X,. La figura 4.27 muesffa el caso de excitación limitante con ó = 90o. Pero para una excitación menor que este valor el generador se vuelve inestable. Se pueden dibujar diagramas fasoriales similares también para un motor síncrono con toma constante de potencia (o carga constante si se desprecian las pérdidas de cobre y hierro y se combina la pérdida mecánica con la carga). Otra importante condición operativa es la de potencia variable y excitación fija. En este caso, lV,l y lE¡l son fijos, mientras que á y la potencia activa vaúan de acuerdo con la ecuación (4.28). La figura 4.28 muestra el diagrama fasorial correspondiente para dos valores de á. En este diagrama se ve que al aumentar ó la magnitud de la corriente aumenta y mejora el factor de potencia. En la sección 5.10 se mostrará que al cambiar 6, no hay cambio significativo en el flujo de potencia reactiva. Lugar geométrico de

E

-'. jI"zX,

Figura

4.28

Operación de un generador síncrono con potencia variable y excitación fija

Generador síncrono de polos salientes Una máquina síncrona de polos salientes, como la que se muestra en la figura -1.29. se distingue de una máquina de rotor cilíndrico por características de construcción de los polos de campo, que sobresalen (se proyectan), con un entrehierro interpolar. Este tipo de construcción se emplea por 1o común en máquinas acopladas a turbinas hidroeléct¡icas. que son inherentemente de baja velocidad, de modo que la máquina síncrona tiene múltiples pares de polos, a diferencia de las máquinas acopladas a turbinas de vapor de alta velocidad (3 000/1 500 rpm), que tienen una estructura de dos o cuafo polos. El análisis de máquinas de polos salientes se hace mediante la teoría de las dos reacciones que se describe a continuación. En una máquina de rotor cilíndrico, la corriente de armadura en fase con la fem inducida de campo E, o en cuadratura (a 90') con respecto a E, produce los mismos acoplamientos de flujo magnético por ampere, ya que el entrehierro es uniforme de tal modo que la reactancia de reacción de la armadura que se ofrece a la corriente en fase o en cuadratura es la misma (Xo+ Xt= Xs). En una máquina de polos salientes, el entrehieffo no es uniforme a lo largo de la periferia del rotor. La mínima brecha se encuentra a lo largo del eje de los polos principales (llamado eje directo) y la máxima se encuentra a 1o largo del eje de la región interpolar (llamado eje de cuadratura).La corriente de armadura en cuadratura con Etproduce flujo magnético a lo largo del eje directo y como la reluctancia de la trayectoria de flujo magnético es baja (a causa del pequeño entrehierro), ésta produce mayores acoplamientos de flujo magnético por ampere y, por lo tanto, la máquina presenta mayor reactancia de reacción de armadura X¿ (llamada reactancia de eje directo) al flujo del componente de cuadratura Iodela corriente de armadura Io.Por otro lado, la corriente de armadura en fase con E, produce flujo magnético a lo largo del Eje directo

o

N

!%

/I i I

N

alz

Figura

4.29

Máquina síncrona de polos salientes (estructura de 4 polos)

'llt

CAPÍTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

eje de cuadratura y como la reluctancia de la trayectoria de flujo magnético es alta (debido al gran entrehierro interpolar), ésta produce menores acoplamientos de flujo magnético por ampere y, por lo tanto, la máquina presenta una reactancia de reacción de armadura menor, Xn (reactancia de eje de cuadratura 1 X¿) al flujo de la componente en fase In de la corriente de armadura 1r.

Como una máquina de polos salientes ofrece diferentes reactancias al flujo de los Ioe In de la corriente de armadvrala, no se puede dibujar un modelo de circuito. La figura 4.30 muestra el diagrama fasorial de un generador de polos salientes. Se puede dibujar fácilmente al seguir los pasos que se indican enseguida: componentes

1. 2. 3. 4.

Dibuje V,e Ioal ángulo d Dibuje 1oRo. Dibuje CQ = jlfo(L a Io) Haga lCPl = lIolXn y dibuje la línea OP la oual da la dirección del fasor E¡ Dibuje una de Q alalínea extendida OP, de tal manera que OA = Et

I

Se puede mostrar por la teoría anterior que la salida de potencia de un generador de polos salientes está dada por

lv,lle ,l P=#sená+ zrd

lv)z

(x, - x^\ LAd Aq

sen2ó

(4.31)

El primer término es el mismo que para una máquina de rotor cilíndrico con X, = Xo y constituye la parte principal en la transferencia de potencia. El segundo término es muy pequeño (alrededor de I0-20Vo) en comparación con el primer término y se conoce como potencia de reluctancia. En la figura 4.31 se grafica P versus 6. Se observa que la generación máxima de po-

(

j{

lcambio en potencia por unidad dd de cambio en el iíngulo de potencia para cambios pequeños en ángulo de potencia), que se llama coeficiente de potencia sincronizante, enla región operativa (ó < 70") es mayor en una máquina de polos salientes que en una máquina de rotor cilíndrico. tencia ocurre a ó

90" (alrededor de 70'). Además,

CP = jt"Xo

= il"X¿ cs = jrdxd CQ

Id Figura

4.30

AS = ¡IoXo p¡ = jt"(Xo-Xo) Diagrama fasorial de un generador síncrono de polos salientes

Figura

4.31

Curva de ángulo de potencia para generador de polos salientes

En este libro se despreciará el efecto que producen los polos salientes y se tomará

X'=X¿ en todos los tipos de estudios de sistemas de potencia elécünca considerados. Durante una etapa transitoria de la máquina, la reactancia del eje directo cambia con el tiempo, adquiriendo los siguientes valores distintos durante la duración completa de la

fluctuación: Xá =Reactancia de eje directo subtransitoria X'¿ = Reactancia de eje directo transitoria X¿ = Reactancia de eje directo en régimen permanente

La importancia y el uso de estos tres valores de reactancia de eje directo

se tratarán

en el capítulo 9.

Gráfica operativa de un generador síncrono Al

seleccionar un generador grande, además de los MVA nominales y del factor de potencia, se deben considerar también las máximas corrientes permisibles de estator y rotor, ya que éstas influyen en los esfuerzos mecánicos y en la elevación de temperatura. Tales parámetros limitantes de operación se obtienen mediante una gráfica operativa o gráfica de desempeño.

Para simplicidad del análisis, se ignoran los efectos de saturación, sobresaliencia y resistencia, y se considera un valor insaturado de la reactancia sincrónica. Considérese la fi.gura 4.32, el diagrama fasorial de una máquina de rotor cilíndrico. El lugar geométrico de llolX,,llol y por lo tanto MVA es una circunferencia con centro en M. El lugar geométrico de lEtl constante (excitación) es también una circunferencia con centro en O. Como MP es proporcional a los };.fVA, QP es proporcional a MVAR y MQ a MW todo a la misma escala, que se obtiene como sigue:

C^ffruLo

4

Representac¡ón de componentes de sistemas eléctricos de potencia

Lugar geométrico de lE l constante (centro de circunferencia O) P

N o

-4 \7-

V,IM

il"x"

N

\

,métrico de l/"1 Lugar geométrico centro de circunfe circunferencia M)

Ia

Figura

4.32

Diagrama fasorial de un generador síncrono

Para excitación cero, es decir lEtl = g

- jIoX'= l/' o

Io=

jV/X,

= lV,l/X,, adelantado a 90o con respecto a OM que coffesponde a VAR/fase. Considere ahora la gráfica que se muestra en la figura 4.33, dibujada para una máquina síncrona que tiene Xz= 1.43 pu. Para excitación cero, la corriente es 1.0/1.43 = 0.7 pu, de modo que la longitud MO corresponde a la potencia reactiva de 0.7 pu, fijando así las escalas de potencia tanto activa como reactiva. Con el centro en 0 se dibujan varios semicírculos con radios iguales a diferentes cargas de MVA pu. Las circunferencias de la excitación por unidad se dibujan con centro M con excitación 1.0 pu correspondientes al voltaje terminal frjo OM. También se pueden trazat líneas desde 0 correspondientes a diversos factores de potencia pero, por claridad, sólo se muestra la línea de retraso de 0.85 pf. Los límites operativos se fijan como sigue. Si se toma una potencia activa de 1.0 pu como la máxima potencia permisible, se tÍaza una línea horizontal de límite abc a través de b a | .0 pu. Se supone que la máquina está clasifrcada para dar una potencia activa nominal de 1.0 pu, a un factor de potencia de 0.85 en retraso y esto fija el punto c. La limitación de la corriente de estator al valor correspondiente requiere que la línea límite se convierta en un arco circular cd con centro en 0. En el punto d, el calentamiento del rotor se vuelve más importante, y el arco de queda determinado por la máxima corriente de excitación permisible, en este caso, de supone que es lErl = 2.49 pu (es decir 2.4 veces lV,l). El límite restante se decide por la pérdida de sincronismo a factores de potencia en adelanto. El límite teórico es la línea perpendicular a MO en M (es decir 6 = 90'), pero en la práctica se introduce un margen de seguridad para permitir otro pequeño aumento en la carga antes de la inestabilidad. En la figura 4.33 se emplea un margen de 0.1 pu y se muestra en la curva afg la cual se taza de la sisuiente manera. es decir, llol

4.7

i

Representación de las cargas

Potencia activa (pu)

Excitación 2.0 pu

'.

(ú

0.85 pf en atraso

= 1.0 b

a q)

.E

Excitación 2.4 pu

c) q)

.= E

:

M

0.5

9 o.s En adelanto

Figura

4.33

1.0

Potencia reactiva (pu) en atraso

Gráfica operativa para generador síncrono grande

Considere un punto /z en el límite teórico en el arco de excitación lErl = 1.0. La potencia Mh se reduce en 0.1 pu a Mk; el punto de operación, sin embargo, todavía debe ser el mismo arco lE¡l y k se proyecta af, que es el punto que se necesita en la curva limitante deseada. Esto se repite para otras excitaciones, dando la curva afg.El área completa de

trabajo, que se muestra sombreada, es gfabcde. Un punto de trabajo colocado dentro de esta área define de una vez MVA, MW MVAR, la corriente, el fac¡or de potencia y la excitación. El ángulo de carga á se puede medir como se muestra en la figura.

4.7

REPRESENTACIÓN DE

tAS CARGAS

La carga tomada por los consumidores es el parámetro más difícil de evaluar científicamente. La magnitud de la carga, de hecho, cambia continuamente, de modo que el problema de predicción es en verdad un problema estadístico. Una curva típica de carga diaria se muestra en la figura 1.1. Las cargas por lo general están constituidas por componentes industriales y domésticos. Una carga industrial consiste principalmente en motores grandes trifásicos de inducción, con suficiente constancia de carga y ciclos de trabajo predecibles; mientras tanto la carga doméstica consiste principalmente en alumbrado, calefacción y muchos dispositivos monofásicos que los residentes usan de manera aleatoria. El diseño y la operación de sistemas de suministro de potencia, tanto económica como eléctricamente, están sujetos en gran medida a la influencia de la naturaleza y la magnitud de las cargas.

cAffruLo 4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

En la representación de las cargas para diversos estudios de sistemas como flujos de carga y estudios de estabilidad, es esencial conocer la variación de la potencia real y la potencia reactiva al variar el voltaje. Normalmente, en dichos estudios, la carga es de naturaleza compuesta, con componentes tanto industriales como domésticos. Una composición típica de la carga en un bus puede ser 55-75Vo Motores de inducción 5-l5Vo Motores síncronos y Iluminación calefacción 20-307o Aunque siempre es mejor considerar las características P-V y Q-V de cada una de estas cargas parala simulación, el tratamiento analítico sería muy engoffoso y complicado. En la mayor parte del trabajo analítico, se usa una de las siguientes tres formas de representación de la carga:

i) Representación de potencia constante Ésta se usa en los estudios de flujo de cargas. Se consideran constantes tanto los MW como los MVAR especificados.

ii) Representación de corriente constante Aquí, la coriente de carga está dada por la ecuación (4.17)'

t=

P,.iQ

v* =rl L(6-

es decir,

o)

donde V= lvl Z 6y 0=tan-l Q/P es el ángulo de factor de potencia. Ésta se conoce como representación de corriente constante porque la magnitud de la corriente se considera como constante en el estudio.

iii) Representación de impedancia constante Esto se usa con mucha frecuencia en estudios de estabilidad. La carga especificada en MW y MVAR a voltajes nominales se usa para calcular la impedancia de la carga (ecuación (4.22b)). Así.

w* lvl' _r 7_v _ -P-je- _ P-jQY

que entonces se considera como constante en todo el estudio'

Un generador síncrono tiene una capacidad nominal o está clasificado para 645 MYA,24 kV fp 0.9 en retraso. Tiene una reactancia sincrona de I.2 f). El generador está alimentando plena carga afp 0.9 en atraso a voltaje nominal' Calcule:

a) Fem de excitación (Ey' V ángulo de potencia 6 b) Potencia reactiva tomada por la carga Realice los cálculos en pu y convierta los resultados a valores reales.

Solución Base

MVA = 645, trifásica

Base kV

= 24.Iínea

a línea

Voltajedecarga=4=lpu 24

Reactancia síncrona

t,

=

4!51 (24)'

= r.344

pu

Plena carga (MVA) = 1 pu, fp 0.9 en atraso

Corriente de carga = corriente del generador Io

=

I

pu, 0.9 factor de potencia en aftaso

= 0.9 -

a)

j

0.436 pu

Fem de excitación (vea la figura 4.19)

Ef=V,+jXJ" = ILj" + j 1.344 (0.9 - j 0.436) = 1.586 - j I.2I = L99 L37.1" E, (real) = I'99 x 24 = 47.76 kY (de línea)

6-

b)

37.1" (en adelanto)

Potencia reactiva tomada por la carga

Q=vlosenó = 1x 1x0.436=0.436 puo0.436x645 = 281 MVAR

El generador del ejemplo 4.3

está operando a plena canga a voltaje nominal, pero su fem

de excitación l) se aumenta en20Vo y Calcule en cada caso

a) b) c)

li)

se reduce en20Vo.

fp de carga potencia reactiva tomada por la carga ángulo de carga 6

Solución Plenacarga,

P= 1 x 0.9 = 0.9 pu E¡= r'99

GAPÍruLO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

Vt=

i)

1

E, aumenta en 20Vo a la misma canga real. Ahora

E¡=

x I.2 = 2.388

1.99

Por la ecuación (4.28)

P=

lE,llv,l ssenó

(D

x"

U.9= / 2.388x1 \ \ 1.344 ) |

Seil 6

= 0.5065 ó= 30.4o

Io

_

E¡

- V _ z.3ggL3o.4"-rLo"

jx,

= 0.89

-

jr.344

j0.79 = 1.183 L-41.2"

a) fp = cos 4I.2" = 0.75 en retraso á) Potencia reactiva tomada por la carga Q

= lVtlllol

sen

ó

=1x1.183x0.659 = 0.78 pu o 502.8 MVAR

ii)

Ef disminuye en207o o

E¡= I.99 x 0.8 = Al sustituir

1.59

en la ecuación (i)

0.9= /1.59x1\ |\ t.344 )lsen

á

lo cual da 6

,

"

=

49.5"

1.59L49.5"-1L0" ir.344

=0.9-j0.024 = 0.9 L-I.5"

a) fp= cos l.5o = l;fp = I

b)

O- 1x0.9 x sen 1.5 = 0.024

o

Q= 0.024 x 645 = 15.2 MVAR

PROBLETYTAS

4.1 La figura P-4.1 muestra el diagrama esquemático de un sistema de transmisión radial. Se muestran los valores nominales y reactancias de los diversos componentes. Se toma una carga de 60 MW a fp 0.9 en atraso de la subestación de 66 kV que se debe mantener a 60 kV. Calcule el voltaje terminal de la máquina síncrona. Represente la línea de transmisión y los transformadores sólo como reactancias en serie. 220166

11/220 kV

kv

60 kv

60 MW 0.9 fp en retraso 1OO MVA X = 10"/"

100

MVA

v2

X = 8"/"

Figura P-4.1

4.2 Dlbuje el diagrama de impedancia en pu para el sistema eléctrico de potencia que se muestra en la figura P-4.2. Desprecie la resistencia y use una base de 100 MVA, 220kV en línea de 50 Q. Los valores nominales del generador, el motor y los transformadores son Generador 40 MVA. 25

kV X"=

207o

Motor 50 MVA, 11 kV X"=30Vo Transformador Y-Y,40 MVA, 33Y-220Y kY,X= l5Vo Transformador Y-A. 30 MVA, lI L-220Y kY, X = l57o

+.-) Un generador síncrono tiene una capacidad nominal o está clasificado para 60 MVA, ^1 1 1 kV. Tiene una resistenc ia Ro = 0. 1 pu y X a = 1.65 pu. Alimenta a una barra de bus

infinito a 11 kV y entrega una corriente de 3.15 kA

a

fp 0.9 en atraso.

a) Determine E¡y el ángulo 6. á) Dibuje un diagrama fasorial para esta operación. c) El voltaje de la barra de bus cae a 10 kV mientras la entrada de potencia

mecá-

nica al generador y su excitación permanecen sin cambio. ¿Cuál es el valor y el

lX I

CAPÍTULO

4

Representación de componentes de sistemas eléctricos de potencia

fp de la corriente alimentada al bus? En este caso, suponga que la resistencia del generador es despreciable.

4.4 Un generador clasificado para250 MVA, 16 kV alimenta a una barra de bus infinito a 15 kV. El generador tiene una reactancia síncrona de 1.62 pu. Se encuentra que la excitación de la máquina y la entrada de potencia mecánica se ajustan para dar Er= 24kY y el ángulo de potencia á = 30o. a) Determine la corriente de línea y las potencias reactivas que se alimentan a las barras de bus.

b) La c)

ü

entrada de potencia mecánica al generador se aumenta en 20Vo de la correspondiente a la parle a), pero su excitación no cambia. Encuentre la nueva corriente de línea y el factor de potencia. Con referencia a la corriente de la parte a) se debe reducir en 20Vo al mismo factor de potencia, ajustando la entrada de potencia mecánica al generador y su excitación. Determine E¡, 6 y la alimentación de potencia mecánica. Con la corriente reducida como en la parte c), la potencia debe alimentarse en las barras del bus con factor de potencia unitario. ¿Cuiáles son los valores correspondientes de E¡y ó y también la entrada de potencia mecánica al generador?

4.5 El generador del problema 4.4 alimenta 150 MVA a fp 0.85 en atraso a una barra de bus infinito a 15 kV. c) Determine E¡y 6para la operación anterior. ¿Cuáles son P y Q que se alimentan a la barras de bus?

á) Ahora, Et se reduce en l}Vo y se conserva la misma entrada de potencia mecánica al generador. Encuentre 6y Q que se suministra. c) E, se mantiene como en la parte cz) pero la entrada de potencia mecánica al generador se ajusta hasta qve Q= 0. Encuentre los nuevos valores de áy P d) Para el valor de Eret la parte a), ¿cuál es el máximo valor de Q que se puede suministrar a la barra de bus? ¿Cuáles son los correspondientes valores de 6 e Io? Bosqueje el diagrama fasorial para cada parte.

Respuestas 4.r t2kv 4.3 a) 26.8 kV (línea), 42-3" de adelanto c) 1.13 z-28.8" kA; 0.876 atraso 4.4 a) 0.511" Z-25.6" kA; 108 MW 51.75 MVAR b) 6.14 kA,0.908 de atraso c) 1.578, 13.5",53.3 MW ü t8.37 kV,35.5",96 MW 4.5 a) 25.28kV,20.2",127.5 MW 79.05 MVAR b) 33.9",54.14 MVAR c) 41.1'. 150.4 MW ü 184.45 MVAR, 53.6", - j 0.787 pu

REFERENCIAS

.Libros 1.

2.

Nagrath, I.J. y D.P. Kothari, Electric Machines,2a. ed., Tata McGraw-Hill, Nueva Delhi, 1997. Yan E. Mablekos, Electric Machine Theory for Power Engineers, Harper and Row, Nueva York,

3. 4.

DelToro, Y., Electric Machines and Power Systems,Prenttce-Hall, Inc., Nueva Jersey, 1985. Kothari, D.P. e I.J. Nagrath, Theory and Problems of Electrtc Machines,2a. ed.,TataMcGraw-Hill,

1980.

Nueva Delhi, 2002.

5.

Kothari, D.P. e I.J. Nagrath, Basic Electical Engineering,2a. ed.,TataMcGraw-Hil1, Nueva Delhi, 2002.

Periódicos 6.

IEEE Comittee Repof, "The Effect of Frequency and Voltage on Power System Load", Presentado en IEEE Winter Power Meering, NuevaYork, 1966.

5.1

INTRODUCCION

Este capítulo Íata principalmente de las características y desempeño de las líneas de transmisión. Un problema de gran importancia en los sistemas eléctricos de potencia es el tener un flujo de carga en las líneas de transmisión tal que el voltaje en los diversos nodos se mantenga dentro de los límites especificados. Aunque este problema general de sistemas interconectados se tratará en el capítulo 6, por ahora sólo se centra la atención en el desempeño de una sola línea de transmisión con obieto de dar al lector una idea clara del principio en el que se basa. Las líneas de transmisión por 1o común operan con una carga trifásica balanceada; el análisis, por lo tanto, se puede hacer sobre la base por fase. Una línea de transmisión, sobre la base por fase. se puede considerar como una red de dos puertos, donde el voltaje en el extremo transmisor Vr y la corriente.Ir están relacionados con el voltaje y corriente en el extremo receptor Voe I* mediante las constantes ABCD* como:

[v,.] |A I t=| 11,

.1 Lc

B.l[y*l il

Dl Ll^

|

l

(s.1)

También la siguiente identidad se cumple para las cons¡antes ABCD:

AD-BC=l

(s.2)

Estas constantes se pueden determinar sin diflcultad para líneas de longitud corta y media a través de aproximaciones adecuadas al concentrar la impedancia de la línea y la admitancia en derivación. Para líneas largas se necesita llevar a cabo un análisis exacto en el que se considera la distribución de los parámetros de resistencia, inductanciay capacitancia y las constantes ABCD de la línea se determinan a partir de este análisis. Las ecuaciones para el flujo de potencia en una línea y los diagramas circulares en el extremo transmisor y en el extremo receptor se desarrollarán también en este capítulo de tal manera que se puedan manejar diversos tipos de condiciones en el extremo respectivo.

x Referirse al aoéndice B

5.2

Línea corta de

transmisión

En este capítulo se adopta la siguiente nomenclatura: z = impedancia en serie/unidad de longitud/fase y = admitancia en derivación/unidad de longitud/fase a neutro

r = resistencia/unidad de longitud/fase Z = inductancia/unidad de longitud/fase C

=

capacitancia/unidad de longitud/fase a neutro

/ = longitud de la línea de transmisión Z = zl = impedancia total en serie/fase Y=

fl

= admitancia total en derivación/fase a neutro

Nota:El subíndice S significa una cantidad en el extremo transmisor y el subíndice R significa una cantidad en el extremo receptor (por sus siglas en inglés).

5.2 LÍNEA

CORTA DE TRANSMISIÓN

Para líneas cortas de longitud de 100 km o menos, la admitancia total en derivación a 50 }{z* QaCl) es 1o suficientemente pequeña para despreciarla lo cual da por resultado el sencillo circuito equivalente de la figura 5.1. Como éste es un circuito simple en serie, la relación entre Ios voltajes y corrientes en

el extremo transmisor y en el extremo receptor

se pueden escribir de manera inmediata

como:

[v,l [1 zflvo] I

t=|

il

Llrl L0 lJL/nl

(5.3)

|

El diagrama fasorial para la línea corta se muestra en la figura 5.2paru el caso de corriente retrasada. A partir de esta figura, podemos escribir

= [(lV*l cos Q*+ lIlR)2 + (lV*l sen {^ + lllx)2lr/2 lV5l= [v¡12 + ltP 1n2 + f¡ + 2lvRllll (R cos ón+ X *"n lV5l

=

.-lV

.1. zlnn

""i ILI + _ lyRl

COS (DD

,s

zrltx e" I

* _SeIl

lvRl

IR

2= p+ jX Carga

4)t" tfi (R' + x')1"' _________-__-__-

lvRr

(5.4)

t

.l

I J

Figura 5.1 Circuito eouivalente de una línea corta * Para líneas aéreas de transmisión, la admitancia en derivación es principalmente susceptancia capacitiva QaCl) ya qllela conductancia de línea (también llarnada conductancia de dispersión) es siempre despreciable.

I

129

i

CAPÍTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

El último término es casi siempre de un orden de magnitud despreciable.

ty"r=ry"rIt

*

211lR

.oró, +

L tvRt

ltlllx

senóo]1/2

lvRl

".1

Desarrollando el binomio y tomando en cuenta sólo los términos de primer orden,

se

obtiene

l%l=l%lll * lllR.oró" + lllxsen ó,]t" "l

lvRl

L lvRl

o lV5

|

:

lV* | + l1l (R cos

ón+ X

(5.s)

sen rf^)

La ecuación anterior es muy precisa para el intervalo normal de cargas.

Regulación de voltaie La regulación de voltaje de una línea de transmisión se define como la elevación de voltaje en el extremo de recepción, expresada como porcentaje del voltaje a plena carga, cuando se desconectala carga total a un factor de potencia especificado, es decir: Regulación porcentual

donde

=

ly^:],

lI^'l troo

(s.6)

lvRLl

lVpl = magnitud de voltaje sin carga en el extremo de recepción IVRLI = magnitud de voltaje a plena carga en el extremo de recepción (para un factor de potencia esPecificado)

Para una línea corta, lV¡sl = lV5l, lV^¿l = lV^l

Regulación porcentual

-

lysl-lyRl lyRl

ys

?

Ix

'I=1"=l^ Figura

5.2

Diagrama fasorial de una línea corta para corriente en atraso

_

lllR

d^+l1lX send^ ,,rOO

cos

I

(s.7)

yRl

/¡

En la deducción anterior, se ha considerado positiva para una carga en atraso. Será negativa para una carga en adelanto. Regulación porcentual

-

lllR

cos

éo-l1lX senén ,roo

(s.8)

lyRl

(para carga en adelanto)

La regulación de voltaje se vuelve negativa (es decir, el voltaje con carga es mayor que el voltaje sin carga), cuando en la ecuación (5.8)

X sen ft > R cos ón, o

.Xt +

tan ón (adelanto)

También se sigue de la ecuación (5.8) que para regulación cero de voltaje t;rrt

es decir,

ón=

*

@*(adelanto)=t

=

t

"ot

-t

(s.e)

donde d es el ángulo de la impedancia de la línea de transmisión. Ésta es, sin embargo, una condición aproximada. La condición exacta para la regulación cero se determina como sigue. La figura 5.3 muestra el diagrama fasorial en condiciones de cero regulación de voltaje, es decir

.

lV5l = lV^,

OC= ggn

o Figura

LAOD =

m 5.3

AD

OA

AC/2

oA - tynt -

"

I

llllzl zlvRl

l/lA

Diagrama fasorial en condición de regulación cero

CAPITULO

5

Características y desempeño de las

o

de transmisión

LA7D = r"n;llllZl

2lvRl

De la geometría de los ángulos en A, se sigue que para regulación cero de voltaje, @^ (adelanto )

+\2

=(

d

+ sen-r

) 2tVRt ) -!|s

(5.10)

A partir de lo anterior se ve que la regulación del voltaje de una línea depende mucho del factor de potencia de la carga. La regulación de voltaje mejora (disminuye) al aumentar el factor de potencia de una carga en retraso y se hace cero a un factor de potencia en adelanto dado por la ecuación (5.10).

Un generador monofásico de 50 Hz alimenta avnacargainductiva de 5 000 kW a un factor de potencia de 0.707 en atraso, mediante una línea aérea de transmisión de 20 km de largo. La resistencia y la inductancia de la línea son 0.0195 ohm y 0.63 mH por kilómetro. Es necesario mantener constante el voltaje en el extremo receptor a 10 kV. Encontrar a) el voltaje en el extremo transmisor y la regulación de voltaje de la línea; b) el valor de los capacitores que se deben colocar en paralelo con la carga de modo que la regulación se reduzca a 50Vo de la obtenida en la pafie a); y c) comparar la eficiencia de transmisión en las partes a) y b),

Solución

Las constantes de la llnea son

R = 0.0195 x 20 = 0.39 O X = 314 x 0.63 x l0-3 x 20 = 3.96 O ¿) Éste es el caso de una línea corta con 1 = In = 1s dada por

lll

5 000

=

10x0.707

= 70'7 A

De la ecuación (5.5), lVs

|

-

lVo

l+

l1l (R cos óo+ X sen @*)

= 10 000 + 707(0.39 x 0.707 + 3.96 x 0.707) = 12.175 kY 12j75--lo x 100 2l.75vo Regulación de voltaje = 10

b)

Regulación de voltaje -2deseada

=21!5 =

r%r- 10

-to o valor nuevo de lV5 | = 11.09

kV

10.97a

= o'109

Figura 5.4

La figura 5.4 muestra el circuito equivalente de la línea con una reactancia capacitiva colocada en paralelo con la carga. Si se supone que cos Qp sea ahora el factor de potencia de la carga y considera concentradas la reactancia capacitiva, puede escribirse (11.09

-

10)

x

103

= l/n | (R cos ón+ X sen {*)

(i)

Como la capacitancia no consume ninguna potencia real, se tiene

l=

l/R

Al resolver las ecuaciones (i) y (ii),

--lgl0 xcos/*

(ii)

se llega a

cos @* = 0.911 en retraso l1*l = 549

A

Ahora,

Ic= In- I =

549(0.911

-

j0.412)

-

707(0.707

-

j0.7o7)

= 0.29 + j273.7 Observe que la parte real 0.29 aparece por la aproximación en (i). Si se hace caso omiso

de ella se tiene

Ir= ,|

j273.7 A

lv

Xn= " 3t4xC=l-y¡l-10x1000 lI, | 2n.7 C=87

o

c)

I

p,F

Eficiencia de transmisión

q=

salida

salida + pérdida

Caso a)

q-

5 000

5 000 +

(7072 x 0.39 x 10=3 =

96.2Vo

CAPíTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Caso b)

n=

5 000 5 000

+ 649\2 x0.39 x 10-3

Debe observarse que mediante la instalación de un capacitor en paralelo con la carga, mejora el factor de potencia en el extremo receptor (de 0.707 en atraso a 0.91 1 en atraso), se reduce la corriente de línea (de707 Aa549 A), la regulación de voltaje se reduce (a la mitad del valor anterior) y mejora la eficiencia de transmisión (de 96.2 a97 .77o).Incluir capacitores en paralelo a la carga es un método muy poderoso para mejorar el desempeño de un sistema de transmisión y se tratará más extensamente hacia el final de este capítulo.

Una subestación como se muestra en la figura 5.5 recibe 5 MVA a 6 kV el transformador que alimenta a la subestación tiene un factor de potencia en atraso de 0.85 en el lado de bajo voltaje, mismo que es alimentado por una estación generadora a través de un sistema de alimentación por un cable con una resistencia y reactancia por fase de 8 y 2.5 ohms, respectivamente. Están instalados transformadores idénticos de 6.6/33 kV a cada extremo de la línea. El lado de 6.6 kV de los transformadores está conectado en delta mientras que el lado de 33 kV está conectado en estrella. La resistencia y la reactancia de los devanados conectados en estrella son 0.5 y 3.75 ohms, respectivamente, y para los devanados conectados en delta son de 0.06 y 0.36 ohms. ¿Cuál es el voltaje en el bus en el extremo de la planta generadora?

Solución

Conviene aquí emplear el método por unidad. Sea

MVA = 5 Base kV = 6.6 en el lado de bajo voltaje = 33 en el lado de alto voltaie Impedancia del cable = (8 +i2.5) O/fase Base

(8+72.5tx5 QTZ

= (0.037 + j0.0115) pu

lmpedancia equivalente en estrella del devanado del transformador de 6.6 kV I

= -f (0.06 + j0.36) = (0.02 + j0.12\,O/fase

i

Cable

,F\

caroa

33/6.6 kV

6.6/33 kV

Extremo de la subestación

Extremo de la planta generadora

Figura 5.5

Impedancia de transformador por unidad

Zr=

(0.02 +

jo.r2)x5 ,

j3.75)x5 - (0.5 +(33t'

\6.6)',

= (0.0046

+ j0.030) pu

Impedancia total en serie = (0.037 + j0.0115) + 2(0.0046 + j0.030)

= (0.046 + j0.072) pu Dada: carga MVA = 1 pu

Voltaje de carga = Corriente de carga Si se utiliza la ecuación (5.5) se obtiene

lV5l

+6.6

= 0.91 pu

=;+ 0.91

= 1.1 pu

= 0.91 + 1.1(0.046 x 0.85 + 0.0'72 x 0.527) = 0.995 pu = 0.995 x 6.6 = 6.57 kV (línea a línea)

La entrada a una línea monofásica corta que se muestra en la figura 5.6 es de 2 000 kW a un factor de potencia en atraso de 0.8. Lalíneatiene una impedancia en serie de (0.4 + j0.4) ohms. Si el voltaje de carga es de 3 kV determinarlacargay el factor de potencia en el extremo receptor. También encontrar el voltaje de suministro.

Solución

Es un problema con condiciones de extremos mixtos, se especifican el voltaje de carga y la potencia de entrada. La solución exacta se describe a continuación:

Potencia activa/reactiva en el extremo transmisor = potencia activa./reactiva en el extremo receptor + pérdidas activas/reactivas en la línea Parala potencia activa lys I l1l cos @, = lTnl l1l cos

@,*

+ lIl2R

(i)

@o

+lIl2X

(ii)

Para la potencia reactiva

lysllll

sen

@5

=lVnllll

sen X

a fp

0.8 *V,

l

3kv

_i Figura 5.6

CAPITULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Al elevar al cuadrado (i) y (ii) y luego de sumarlas y simplificar se llega a tVsP

IP = tVnt2 tlt2 + 2tV^t VP (ItR cos ft + lIlX sen @*) + ttl4 1n2 + f¡

Nota: Esto, de hecho, es lo mismo que la ecuación (5.4) si

l1l2 se

(iiD cancela en todos los

casos. Para los valores numéricos dados

lZl2=(R2+1¡=9.32 2 ooox

" l/l-

lV"l I l1l cos

@,

=

=

0.8

x lysl l1l sen@, = 2500 x

lVs

lo3

2 000

2 5oo

x

lo3

103

103

x 0.6 = 1 500 x

103

De las ecuaciones (i) y (ii) se obtiene

,

rfl cos pR

=

- 0.4t1t2 000-

2 000x 103

-----

(iv) (v)

3 000

Luego de sustituir todos los valores conocidos en la ecuación (iii), se llega a (2 500

x

2x 3 000 -v1l¡.4"2 000x!0:- 0'41fl2 3000 L 500x103 0.4tP'l +0.4x1 ^ ^^,.,, 0.32 t1 t"

l0r)2 = (3 000)2 Á2 +

3

Al simplificar

000-

l+

se obtiene

0.32

Vf -

11.8

x

106

x 10i2 = 0

tlt2+ 6.25

la cual al resolverla da

lll = 725 A Si lll se sustituye en la ecuación (iv) se llega a cos @¡

= 0.82 CargaPp= lVnl lll cos Ahora

ft

=

3 000

x 725 x

=1790kW lV5 |

= l1l cos ós = 2000

2000 lY"l= " 725x0.8 =3.44kY

0.82

5.3

Línea de transm¡sión de longitud

media.T-| 1S;7:

Z=R+jX y=¡úfi

Figura

5.7

Capacitancia localizada en el extremo de la carga para una línea de longitud media

5.3 LÍNEA DE TRANSMISIÓN

DE LONGITUD MEDIA

Para líneas de longitud mayor de 100 km, no se puede despreciar la corriente de carga debida a la admitancia en derivación. Para líneas en la gama de 100 a 250 km de longitud, es suficientemente preciso concentrar toda la admitancia de línea en el extremo receptor que resulta en el diagrama equivalente que se muestra en la figura 5'7. A partir de las ecuaciones fundamentales de circuitos es bastante sencillo escribir las ecuaciones de la línea de transmisión en la forma de constantes ABCD como se da en sesuida:

[u,l

=

lt+YZ tllr^]

Llrl L Y lll/^l Representación en

(s.11)

f nominal

Si toda la capacitancia en derivación se concentra en la parte media de la línea, esto lleva al circuito en Znominal que se muestra en la figura 5.8. Para el circuito en Znominal, se pueden escribir las siguientes ecuaciones de circuito:

+ IRQIL) Is= IR + VrY = 1R * W^+ I*(Z|2)Y Vs= Vc + Is (Z/2)

Vc=

Al sustituir V, e It vs

en la última ecuación, se tiene

= vn + rR(ztz) + (zt2) [r^(r * =

Figura

5.8

Vn

7). *-)

v,(t*Z\+t.z(t*L\ ^\ 2 ) " \ 4 )

Representación en

f

nominal para línea de longitud media

:

CAPITULO

5

Caracteristicas y desempeño de las líneas de transmisión

Figura

5.9

Representación en zl.nominal para línea de longitud media

Luego de reordenar los resultados, se llega a las siguientes ecuaciones:

fl

I \ / | rl zl t + . YZ l l¡z r llt+ :-zY ) \ / )ll'ol z .4 l-'l=1. l-%.1

L/'.1

(t+tyz\lJ-)

|L ,

\

2

tS.rZt

)-)

Representación en a'nominal En este método, la capacitancia total de la línea se divide en dos partes iguales que se concentran en los extremos de transmisión y recepción, lo cual da por resultado la representación en a'nominal como se muestra en la fisura 5.9. De la figura 5.9, se tiene

tl

Is= In+

tro,

+

TvrY

Vs= Vo + go +lvov)Z = vn(r *

ir^, * f trr^(t. |vz

1s=1n+

= Finalmente, se llega

VaY

a

?.

* r^z

+roZ t

?)+ ,o (r .I")

z f('.1') l=

ry,t L,,

!rt)

L'('

.

l,u^",

+r') ('.],'))1,-)

(5.13)

Se debe observar que Znominal y z'nominal con las constantes anteriores no son equivalentes entre sí. El lector debería verificar este hecho mediante la transformación estrelladelta a cualquiera de las dos.

Con el método en a- nominal, encontrar el voltaje en el extremo de transmisor y la regulación de voltaje de una línea de ¡ransmisión trifásica de 250 km, 50 Hz que entrega 25

5.4

Línea de transmisión larga. Solución rigurosa

MVA con un factor de potencia en atraso de 0.8 a una carga balanceada a 132 kV. Los conductores de la línea están espaciados 3 metros en forma de triángulo equilátero. La resistencia del conductor es de 0. 1 1 ohm/km y su diámetro efectivo es de 1.6 cm. Desprecie la conductancia de línea.

log2 - r' = 0.461toe.=4q-.. - 0.7788 x 0.8 = 1.24 mH/km

Sotución Ahora, L = 0.461 C

!'029 = o'02r9* = log Dlr lon JUU - 0.8

R = 0.1I

x

= o.oo94 ¡¿Flkm

250 = 27.5 O

X=2nfL=2¡rx50 x I.24 x 10-3 x250=97.4

d)

jX = 27.5 + j97.4 = 101.2 L74.2" O y = jt'tl = 314 x 0.0094 x l0{ x 250 L9O"

Z=

R+

= 7.38 x lOa LW 7,) )'2J-000 ,*__ _r, *r9 L-36.g"o = 109.3 L-36.g" A Vo(porfase)

= (13216lT) L0" = 76.2 L0" kV

vr= "\2)(r * !vz)

v^ + Zr*

l1

- |\2)+ =x 7.38 xt0-4 L90"xr01.2L74.2" 1

+

101.2 /.34.2"

x

x

109.3

)76.2

10-3 L-36.9"

= 76.2 + 2.85 L164.2" + 11.06 L37 = 82.26 + j7.48 = 82.5 L5.2 l%l(línea) = 82.6 xJT = 143 kV

.3"

t+1YZ=r+o.o3i4 L164.2" -- 0.964 + /0.01 2

lV¡sl (línea. sin carga) =

Regulación de voltaje

5.4

143

|.t"l

143

oe64

=

148.3 kV

- 148i:132 x 100 = 12.3Vo r32

T.Í¡UEE DE TRANSMISIÓN LARGA.

SOLUCIÓN RIGUROSA Para líneas de longitud mayor de 250 km, el hecho de que los parámetros de una línea no se concentren, sino que se distribuyen uniformemente a lo largo de su longitud. por lo cual debe considerarse.

CAPITULO

5

Características

Figura

desempeño de las líneas de transmisión

5.10

Diagrama esquemático de una línea larga

La figura 5.10 muestra una fase y el retomo del neutro (de impedancia cero) de una línea de transmisión. Sea dr una sección elemental de la línea a una distancia ¡ del extremo receptor con una impedancia en serie zü y una admitancia en derivación yü. La elevación en el voltaje* a neutro en la sección elemental en el sentido del incremento de x es dV". Pueden escribirse las siguientes relaciones diferenciales en la sección elemental:

dVx=l,zaxo*=zl, dx

dlx=V,ydx"

+dx

=yVx

(s.14) (s.1s)

Se puede observar que el tipo de conexión (por ejemplo , T o rr) supuesto para la sección elemental no afecta estas relaciones diferenciales de primer orden. Al diferenciar la ecuación (5.14) con respecto ax, obtenemos

dzv,

d.I, _ ü, ü'

Luego de sustituir el valor ¿"

I

dr

_

de la ecuación (5.15), se obtiene

drv: dx"

= ,rv_

(5.16)

Ésta es una ecuación diferencial lineal cuya solución general se puede escribir como sigue:

Vr=C(F+Cre-rx

(5.17)

y= Jw

(s.18)

donde

Cty Cz son constantes arbitrarias por evaluarse. Al derivar la ecuación (5.17) con respecto ar:

donde

* Aquí V, es la expresión compleja del voltaje rms, cuya magnitud y fase varían con la distancia a lo largo de la línea.

5.4 dV, dJr

= Ct7e7' -

Línea de transmisión larga. Solución

C2ye-Y*

1 l4I -t--

rigurosa

= zl*

,CrvxCllx l-= ^Z,Zr -e

(s.1e)

donde

¡

1112

z,=lLl

(s.20)

\y/

Las constantes Ct y C, se pueden evaluar mediante las condiciones en los extremos, es decir, cuando x = 0, V*= Vne Ir= In. Al sustituir estos valores en las ecuaciones (5.17) y (5.19), se obtiene

Vo= Ct + c2 Io= -,

J-

(Ct

Z,

-

Cz)

las que al resolverse dan

(VR+ ZJR)

C, = '2

]

cr= '2

!U^-

ZJa)

Con C, y Crcomo se acaban de deíerminar antes, las ecuaciones (5.17) y (5.19) dan la solución para V, e 4 como

,

"

=

,,=

(Y-?!"), * * ('^ - f '' ^)u *

(h4#)",'

-(v^tz;-

I^),-"'

Aquí Z, se llama la impedancia característica de la Línea,

(s.2r)

y 7 se llama la constante

de propagación.

Si se conocenVp, Ip y los parámetros de la línea, con la ecuación (5.21)

se pueden

determinar fácilmente los valores rms complejos de V, e l,para cualquier distancia x a lo largo de la línea. Una forma más conveniente de la expresión para el voltaje y la corriente se obtiene si se introducen funciones hiperbólicas. Si la ecuaciín(5.21) se reordena, se llega a

v. =

v,

( eY*

\

2

"'[

/

( eY'

-

e- Y' \

2

| ( evr - e-Y'\* ¡,( ,, * ,-,'\ "\

^= yo"2"\

1.

+ e-Y') + t,z-

2

)

2

) )

'

CAPÍÍULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Estas ecuaciones pueden reescribirse después de introducir las funciones hiperbólicas como sigue

V,=

Ir= dondex

p

Vn cosh

Iacosh 1a

=l,Vr=Vr, I, =Is [vr1 _ |

¡"

+

(s.22)

IRZC senh 1a

p

+ v^ ]senh Z,

| ;osn /','"nnr'llrof coshT/

l- l--:senh7/ lLc

¡""-

ll

l-

(s.23) I

Aquí

A=D =cosh 7/ B = Z, senh 7/

(s.24)

C= 1 senh y/ z,

En caso de conocerse [Vs 151, lVn In] se puede hallar sin dificultad si se invierte la ecuación (5.23). Así

[u^'l I LI^

-l

-ulfu''l

D

Al

L-C

(s.2s)

L1'.1

Evaluación de las constantes ABCD Las constantes ABCD de una línea larga se pueden evaluar a partir de los resultados dados en la ecuación (5.24). Se debe observar que y = f@ es en general un número complejo que se puede expresar como

y= a+iB

(s.26)

Las funciones hiperbólicas de los números complejos que intervienen en evaluar las constantes ABCD se pueden calcular mediante cualquiera de los siguientes métodos.

Método

I = cosh a/ cos Bl + j senh al

cosh (a/ +

jfl)

senh (a/ +

j!l)=

senh

a/

cos Bl +

j

cosh

al

sen

Bl

sen

fl

(s.27)

Observe que senh, cosh, sen y cos de los números reales como en las ecuaciones (5.27) se pueden consultar enlas tablas estándar

Método 2 cosh 7/

=, *

+.+*...:(t . +)

lnterpretación de las ecuaciones para líneas largas

senh

/

= yt

*+. +....-*(t.+)

(5.28a)

Esta serie converge rápidamente para los valores de yl qtue suelen encontrarse en las líneas eléctricas de transmisión y se pueden aproximar en forma conveniente como se indicó antes. Las expresiones correspondientes paraABCD son

A=D-l+

YZ 2

B

o Z (r.+)

c

- Y ('.+)

(5.28b)

La aproximación anterior es conveniente para el cálculo y bastante precisa para líneas hasta de 400 a 500 km.

Método 3 cosh (a/

+ jQl)= ,alrlFl *,-at"-IFt 2

=

,at"i9t _ e-ele-iPt senh (al + jQl)= =

5.5

l{r" ){r"t

LBI + e-"1 t4l¡ (s.2e)

LBt

-

e-"1

L-pt)

INTERPRETACIÓN DE LAS ECUACIONES PARA LÍNEAS LARGAS

Como ya se dijo en la ecuación (5.26),7es un número complejo que se puede expresar como

^y=a+jp La parte real q se llama la constante de atenuación y la parte imaginaria B se llama la constante de fase. Ahora V,dela ecuación (5.21) se puede escribir como

,, = lh-?le*

exe

*

o,t

.

l=¿"le-

* e- x o,- ozt

donde

Ót= L(VR+ IRZ,) ü.= z- (VR- IRZ,) El voltaje instantáneo v,(t) v

(5.30)

se puede escribir de la ecuación (5.30) como

x e)

=

""lnlh#ble*

et

{'t

* E' * ú t

CAPÍTLO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

.

tlY-?ltl

e

-

*

e

i

r''

- a. *

a

(5.31)

t

)

El voltaje instantáneo consta de dos términos cada uno de los cuales es una función de dos variables: el tiempo y la distancia. Por lo tanto, representan dos ondas viajeras, es decir

(s.32)

Vr=V¡llr2 Ahora

,,, = OlYS¿ulf

cos{,t

+

(s.33)

Bx + g1)

En cualquier instante del tiempo /, vr1 se distribuye senoidalmente a 1o largo de la distancia del extremo receptor con una amplitud que crece exponencialmente con la distancia, como se muestra en la figura 5.1 1 (a ) 0 para una línea que tenga resistencia). Después de un tiempo Al,la distribución avanza en fase distancia en Q'tLt/B). Así, esta onda viaja hacia el extremo receptor y es una onda incidente.Las pérdidas en la línea hacen que su amplitud disminuya exponencialmente al ir del extremo transmisor al extremo receptor.

Ahora

,,r= JtlYn=¿ul ,-*

"o,

(a - Bx + Qr)

(5.34)

Después del tiempo A¡ la distribución de voltaje se retarda en fase distancia en (aA't/F)' És1¿ es la onda reflejada que viaja del extremo receptor al extremo transmisor con una amplitud que decrece exponencialmente al ir del extremo receptor al transmisor, como se muestra en la figura 5.12. En cualquier punto a 1o largo de la línea, el voltaje es la suma de las ondas de voltaje incidente y reflejada presentes en el punto [ecuación (5.32)]. Lo mismo es verdad para las ondas de corriente. Las expresiones para ondas de corriente incidente y reflejada se pueden escribir de modo similar al proceder de la ecuación (5.21). Si Z. es pura resistencia, las ondas de corriente se pueden obtener sin dificultad de las ondas de voltaje, al dividir entre Z^ Envolvente

e"'

Enf ¡,¿A,t

B

rX+

Extremotransmisorx=J N2

Figura

5.11

x=0Extremoreceptor

+

Onda incidente

Dirección de la onda viajera

5.5

Interpretación de las ecuaciones para líneas largas

Enf :-----L-'-'-

a' En(t + .1t)

x = 0 Extremo

Extremotransmisorx=/

B\ Figura Si la impedancia de carga ZL

5.12

receptor Dirección de la onda viajera

Onda reflejada

= +IR - 2,, esdecir, la línea termina en su impedan-

cia característica, la onda de voltaje reflejada es cero (VR- ZJR= O). Una línea que termina en su impedancia característica se llama línea infinita. La onda incidente en esta condición no puede distinguirse entre una terminación y una continuación infinita de la línea. Los ingenieros de sistemas eléctricos de potencia por lo común llaman a Z,la impedancia de sobretensión.Tiene un valor de alrededor de 400 ohms para una línea aérea,y su ángulo de fase normalmente varía de 0 a -15". Para cables subterráneos, Z, es aproximadamente la décima parte del valor correspondiente a líneas aéreas. El término impedancia de sobretensión, sin embargo, se usa en referencia a sobretensiones (por causa de rayos o fenómenos de desconexión-conexión) en las líneas de transmisión, donde las pérdidas de línea se pueden despreciar de manera que

z,= Z,= -

( t?t=)t'' =(2\t't ' una resrstencra pura' \-.iac )

\c )

La impedancia de carga de sobretensión (SIL) de una línea de transmisión se define como la potencia suministrada por una línea a una carga puramente resistiva igual en valor a la impedancia de sobretensión de la línea. Así, para una línea que tenga una impedancia de sobretensión de 400 ohms.

sn=J5ffitv^|xloookw = 2.5 lvnl2 kw

15 15')

donde lV^l es el voltaje línea a línea en el extremo receptor en kV. A veces es conveniente expresar la carga de línea por unidad de SIL, es decir, como la relación de potencia transmitida a carga de impedancia de sobretensión. En cualquier momento, el voltaje y la corriente varían armónicamente a lo largo de la línea con respecto a x, la coordenada espacial. Un ciclo completo de voltaje o corriente a lo largo de la línea corresponde a un cambio en2¡rrad en el argumento angular Br. La longitud correspondiente de línea se define como longitud de onda. Si B se expresa en rad/m,

CAPíTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

), = 2¡/F m

(s.36)

Ahora, para una línea típica de transmisión

g (conductancia en derivación/unidad de longitud¡

r4o¡L

y-

(yz)'/2

=

QotC(r +

- ¡

jaL))lt2

= io (La1/2 (,

' \''' \ - ¡ úl-)

T= a+ jF = ja(LC¡t''(t-r#)

^.-r(C\'''

(5.37)

q--t

2\L) F -o (LC)rt2 -l

(5.38)

Ahora, el tiempo para un cambio de fase de 2n es I/f s, donde f = ul2¡r es la frecuencia en ciclos/s. Durante este tiempo la onda viaja una distancia igual a ,\, es decir, una longitud de onda. Velocidad de propagación de la onda,

, = .lrlf

=

fi rn/s

(5.39)

que es un resultado bien conocido. Para una línea de transmisión sin pérdidas (R = 0, G = 0),

i=02)t''=j(fuLc)rl2 talque

a=0,F=.(LQtt2 A

=

2o 2n/B= ,," = ---!- * ' a(LC)''' f (LC)"'

(5.40)

v

, = fl = Il(LAttz mJs

(5.41)

Para una línea de transmisión monofásica

L=

tro ln D

2rr

r'

c= ln2nko Dlr o 2¡rtco )ttz \2¡r r' lnD/r ) ( Po ,n Como los valores de

ry r'

están muy cercanos entre sí, al tomar el logaritmo, es suficien-

temente preciso suponer que

r¡

ln 1= ln O/r. r

velocidad de la luz (Fnkr)"' =

(5.42)

La velocidad real de propagación de la onda a lo largo de la línea seía algo menor que la velocidad de la luz. La longitud de onda de una transmisión de potencia a 50 Hz está dada aproximadamente por

.

O

3x108

=ñ

= 6000 km

En la práctica las líneas de transmisión son mucho más cortas que esto (usualmente unos pocos cientos de kilómetros). Se necesita señalar aquí que las ondas dibujadas en las figuras 5.1I y 5.12 son sólo parailustracióny no pertenecen auna línea real de transmisión.

Una línea de transmisión trifásica de 50 Hz tiene una longitud de 400 km. El voltaje en el extremo transmisor es de,220 kV. Los parámetros de línea son r = 0.125 ohm/km, x = 0.4 ohm,/km, y ! = 2.8 x 10* ohm/km. Encontrar lo siguiente:

l) ii) iii)

La corriente del extremo transmisor y el voltaje en el extremo receptor cuando no hay carga en la línea. La longitud máxima permisible de línea si el voltaje sin carga en el extremo receptor no excede 235 kY. Para la parte i), la frecuencia de línea máxima permisible, si el voltaje sin carga no excede 250 kV.

Solución Los parámetros

totales de línea son:

x 400 = 50.0 O X = 0.4 x 400 = 160.0 O R = 0.725

= 2.8 x 10-6 x 400 L90" = l.I2 x 10-3 LW 7J Z= R + 7X = (50.0 + j160.0) = 168.0 L72.6" Q YZ= l.I2 x 10-3 L90" x 168 L72.6 Y

= 0.188 L162.6"

l)

En condiciones sin carga Vs = AV¿, Is

=

CVn

A y C se calculan como sigue:

4=

1

+ LW =t + 1" 0.Ig8 Lt62.6"

22

= 0.91 + 70.028

CAPÍTLO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

= 0.91 / C = y0 + yzt6) = r.r2 x 10-3 zSo" (t

l,4l

=

1.09

x

* 0'Li8 nez.e")

10-3 L90.55"

Ahora

lvol,,-^.- 220 - 220 =

tAt

l15l

242 kY

0.91

tO-'rS x 103 = 152 A

= lCl lV¡ | = 1.09 x

Debe observarse que en condiciones sin carga, el voltaje en el extremo receptor (242 es mayor que el voltaje en el extremo transmisor. Este fenómeno se conoce como el efecto Ferranti y se trata extensamente en la sección 5.6. Voltaje máximo permisible sin carga en el extremo receptor = 235 kV.

kV)

li)

220

%

v^ll= 235

= 0.936

1" =l+ *t2x z

j2.8 x

x(0.125+

= (1 - 0.56

x

lAl =

Ahora

A- r+ LYz 2 I04P)

Como la parte imaginaria será menor que madamente

como

lAl

=

,2=

'

-

+ jo.l75 x

jO.4)

l0-6t2

:lo de la parte real, lAl se puede calcular aproxi-

0.56

x ITaP = 0.936

1- 0.936 oau"to'u

/=338km

o

tti)

1

10-6

lAl

ttn -- oo" = 0.88 250

A

- r* 1, ¿

"il.r2

xlo-3

x L(to+ "¡rooxf)

50\

50)

Si se desprecia la parte imaginaria, puede escribirse

lAl=1-+t¿ l.l2x10-3x 160xJ:(50\'

=0.88

Interpretación de las ecuaciones para líneas largas

Luego de simplificar se obtiene la frecuencia máxima permisible como

f = 57.9 Hz

Si en el ejemplo 5.5 la línea es un circuito abierto con un voltaje en el extremo receptor kV encontrar el valor rms y el ángulo de fase de lo siguiente:

de 220

a) Los voltajes incidente y reflejado a neutro en el extremo receptor. á) Los voltajes incidente y reflejado a neutro a 200 km del extremo receptor. c) El voltaje resultante a 200 km en el extremo receptor. Nota: use como referencia el voltaje de línea

Solución Del ejemplo

a neutro en el extremo receptor.

5.5, se tienen los siguientes parámetros de línea:

r = 0.125 f,Ukm; x = 0.4 Olkm; y = j2.8

x

10-6 (Jlkm

z= (0.125 + j0.$ O/km = 0.42 L72.6. Qlkrrl y= (yz)r/z = (Z.B x 10{ x 0.42 L(90 + 72.6\)r/2

= l.0g x l0-3

LgI.3"

= q+ jF a= 0.163 x 10-3; É= 1.068 x 10-3 = (0.163 + j1.068.¡

x

t0-3

a) En el extremo receptor, Para circuito abierto In

=0

uE-:Q"

Voltaieincidente=- .

- vo.

220tJ3 3 -r = 63.51 20" kV (a neutro) a Voltaje reflejado =

=

b) A

vR-zcIR _vR

22

63.51

20" kV (a neutro)

200 km en el extremo receptor: Voltaje - incidente

-

Vn

2

,*o*"i|'l l¡ =200km

= 63.51 exp (0.163 t .10-' x 200) x exp (71.068 x l0-' x 200)

CAPíTULO

5

Característtcas

desemoeño de las líneas de transmisión

= 65.62 L12.2" kV (a neutro) Voltaie refleiado

=

v! a

Z

,-*r-ial

l¡=200 km

= 63.51

e4'0326 e-j0'213s

= 61.47 L-12.2" kV (a neutro)

c)

Voltaje resultante a 200 km en el extremo receptor

= 65.62 L12.2" + 6L47 L -I2.2" = 124.2 + j0.877 = 124.2 L0.4" Voltaje resultante línea a línea a 200 km

=

5.6

124.2

x J3

= 215.1 kV

EFECTO FERRANTI

Como se ilustró en el ejemplo 5.5, el efecto de la capacitancia de la línea es causar que el voltaje en el extremo receptor en condiciones sin carga sea mayor que el voltaje en el extremo transmisor. El efecto se vuelve más pronunciado conforme la longitud de la línea aumenta. Este fenómeno se conoce como el efecto Ferrarcl/. Enseguida se presenta una explicación general de este efecto: Si x = / e 1* = Q (sin carga) se sustituye en la ecuación (5.21), se tiene

vr=

)"d¿s

* ?r-at ,-tH

(s.43)

La ecuación anterior muestra que en / = 0, las ondas de voltaje incidente (E,o) y reflejada (E*) son ambas iguales aVo/2. Con referencia a la figura 5.13, al aumentar I la onda de voltaje incidente aumenta exponencialmente en magnitud

N"n

(+"' ),

aumento Lugar geométrico de

\

Ep=E,o=Va/2

V,

con I

,tru por un

5.7

Líneas eléctricas de potencia sintonizadas

ángulo positivo Bl (representado por el fasor OB); mientras que el voltaje de la onda refle-

(+r-' )t

jada disminuye en magnitud exponencialmente

*ou por un ángulo negativo

B/ (representado por el fasor OC). Se ve de la geometría de esta figura que el voltaje del fasor resultante Vt (OF) es tal que ly¡l > lyj. Se puede dar una explicación sencilla del efecto Ferranti sobre una base aproximada al concentrar los parámetros de inductancia y capacitancia de la línea. Como se muestra en la figura 5.I4la capacitancia se concentra en el extremo receptor de la línea.

__ -r

Aquí

%

( t +¡rtt) \ ia¡Cl )

Como C es pequeña comparada con L, atLl se puede despreciar en comparación con

llaCl. Así,

Ahora

It :

jVsoCl

Vn= Vs- IrQaLl) =

Vs

Vr,,? CU2 (s.44)

= Vs (1 + ,']crP) La magnitud de la elevación de voltaje = lVrla¡2 =

*

CLlz

lvrl"!^'

(s.45)

v'

donde v = Ilf LC es la velocidad de propagación de la onda electromagnética alo largo de la línea, que es aproximadamente igual a la velocidad de la luz.

5.7 LÍNEAS ELÉCTRICAS DE POTENCIA SINTONIZADAS La ecuación (5.23) caractenza el desempeño de una línea larga. Para una línea aéreala conductancia en derivación G siempre es despreciable y es lo suficientemente preciso despreciar también la resistencia R de la línea.

y= cosh

jal

^li

=

=

senh

jatJ

I

I^

LC

= cosh jcotJ LC = cos alJ LC

/

senh 7/

ffi

fg

rc - j

sen

otJ LC

Lt

^l "'Ti 1

Figura 5.14

CAPíTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Por lo tanto, la ecuación (5.23) se simplifica a

[Y'l ll-

L1'.1

Ahora si al^l LC =

cos

alñd

jZ,senalñC

i" senalrl LC

cos¿,lJ¡¡J

Z,

nú n = L,2,3,

In

(s.46)

...

lV5l= lV^l l15l

=

l1¡l

es decir, el voltaje y la corriente en el extremo receptor son numéricamente iguales que

a los correspondientes valores en el extremo transmisor, de modo que no hay caída de voltaje en la carga. Una línea así se llama una línea sintonizada. Para 50 Hz, la longitud de la línea para sintonización es ¡=

Como lNrc :

--!!2rrf

"lLC

v.lavelocidad de la luz

I

r

1r l= VtuD= to.o.tn,..

(s.47)

= 3 000 km, 6 000 km,... Esta es una distancia de transmisión demasiado larga desde el punto de vista de costo y eficiencia (observe que se despreció la resistencia de la línea en el análisis antes indicado). Para una línea dada, se puede obtener la sintonización de la longitud y la frecuencia al aumentar Z o C, es decir, mediante la inclusión de inductancias en serie o capacitancias en derivación en diversos puntos a lo largo de la longitud de la línea. El método es impráctico y antieconómico para líneas de frecuencia de potencia y se adopta para telefonía

donde se utilizan frecuencias más altas.

Un método para sintonizar líneas eléctricas con el que en la actualidad se está experimentando utiliza capacitores en serie para cancelar el efecto de la inductancia de la línea e inductores en derivación para neutralizar la capacitancia. Una línea larga se divide en varias secciones que se sintonizan en forma individual. Sin embargo, hasta ahora, el método práctico para mejorar la regulación de la línea y la capacidad de transferencia es incluir capacitores en serie para reducir la inductancia de la línea, capacitores en derivación en condiciones de carga pesada e inductores en derivación en condiciones de carga ligera o nula.

5.8

EL CIRCUITO EOUIVALENTE DE UNA LÍNEA LARGA

Por 1o que respecta a las condiciones en los extremos, el circuito equivalente exacto de una línea de transmisión se puede establecer en la forma de una red en T o en a'. Los parámetros de la red equivalente se obtienen con facilidad al comparar las ecuaciones de desempeño de una red en 7r y vna línea de transmisión en términos de cantidades en el extremo.

5.8

El circuito equivalente de una lÍnea larga

senhTl = Z(senhyl/71)

Figura

5.15

Red en lz equivalente de una línea de transmisión

Para una red en zl'como se muestra en la figura 5.15 [consulte la ecuación (5.13)]

z'

lyst= [(t.*r't') L,,l

1,,

i+, ' )

('

['

.

]

lTu^, ,, ,,1)l,r )

(s.48)

De acuerdo con la solución exacta de una línea larga [referirse a la ecuación (5.23)]

lyrl = I cosh t1 Lt,.i ltsenhYt

Z,senhr')lr^] (s.4e)

coshYl

.lLr^J

Para equivalencia exacta se debe tener

Z'= Z, sen h / r+

LY'z'=

cosh 7/

(s.s0) (5.51)

De la ecuación (5.50)

z'=

!Er.nr,

. senh v/ Así, """"- /' es el factor por el cual

tt

=ztff=t(ry)

se debe

/5 5?\

multiplicar la impedancia en serie de rr no-

yt

1

minal para obtener el parámetro en ecuación (5.51), se llega a

Z' del rrequivalente. Al sustituir Z'

delaecuación (5.50)

* I Y'2" senh yl = cosh yl 2' 1,,, I fcoshTl-l) I

t'=11 *"A

1

1 tu*! = .E runnL = Z, 2 2 lz yl (

tanh

yll2\

2\ ytt2 ) | ,,, f ( 'ann Yl/2\ 2 2\ yt/2 )

=

I

-r-

t

5.53

r

CAPITULO

5

Características

desempeño de las líneas de transmisión

Y'= Y(senhyllyl)

Figura

5.16

Red en

f equivalente

de una línea de transmisión

(

. . tanh vl/2 \ Así, I ililii-Z!-1- les el factor por el cual elbrazo de admitancia en derivación (en pa-

\ ytlz

)

ralelo) del z'nominal se debe multiplicar para obtener el parámetro en derivación (Y'/2) de a'equivalente.

ObserveOuef'[1 ' * LY'Z') 4 ) = +Z, de los valores antes indicados de Y' y Z'

para una línea de longitud media

-

senh 7/ es una ecuación congruente en términos .

yll2

| y senl y/ = I de modo que la red = yll2 yl

tanh

en a'equivalente se reduce a la de a'nominal. Los parámetros de red de Z equivalente de una línea de transmisión se obtienen de argumentos similares. La red en Iequivalente se muestra en la figura 5.16. Como se verá en el capítulo 6 la red en z'equivalente (o a'nominal) se adopta sin dificultad en estudios de flujo de carga y, por lo tanto, se usa universalmente.

Una línea de transmisión de 50 Hz con longitud de 300 km tiene una impedancia total en 3 serie de 40 + jl25 ohms y una admitancia total en derivación de 10 ohm. La carga en el extremo receptor es de 50 MW a 220kV, con factor de potencia en atraso de 0.8. Encontrar el voltaje, la corriente, la potencia y el factor de potencia en el extremo transmisor por medio de

a) aproximación de línea corta, b) método en z'nominal, c) ecuación exacta de la línea de transmisión d) aproximación [ecuación (5.28b)]

[ecuación (5.27)l

Comparar y comentar los resultados

Solución Z = 40 +

i125

=

131.2 L72.3" Q

Y= l0-3 Lgo" a

El circuito equivalente de una línea larga

La carga en el extremo receptor

+=

es 50

MW a220kV, factor

de potencia en atraso de 0.8.

L-36.g" = 0.164 L-36.g" kA

,,'#*

))^

V*=:frL0" = 127L0" kY r/J a)

Aproximación de línea corta: De la ecuación (5.3),

Vs= I27 + 0.164 L-36.9" x 131.2 L72.3"

= 145 L4.9" lV5l¡n"u= 251'2 kV

Is= In= 0'164 L-36.9" kA Factor de potencia en el extremo transmisor = cos (4.9o + 36.9') = 41.8o = 0.745 en atraso Potencia en el extremo transmisor =

f

3

x

251.2

x 0.164 x 0.145

= 53.2 MW

á)

Método de a'nominal:

A= D = | + Lyz= I + !x r0-3 Lgo x 13r.2 L72.3"

22

=

1 + 0.0656 LI62.3" = 0.938 L1.2"

B=Z=131.2 ,.( .- tlt+

L72.3"

| \ I Y+ J-t'2 oL'vz)=

= 0.001 L90" + = 0.001 Z90o Vs = 0.938 LI.2"

ax t0-Ó L780" x 131.2 L72.3" 4

x I27 + 131.2 L72.3" x 0.164 L-36.9"

= 119.1 LI.2" + 2I.5 L35.4" = 737.4 L6.2" lV5l¡i,"u= 238 kV

Is = 0.001 L90"

x

127

+ 0.938 Ll.2 x 0.164 L-36.9"

= 0.127 L9tr + 0.154 L-35.7" = 0.13 L16.5" Factor de potencia en el extremo transmisor = cos (16.5o

Potencia en el extremo transmisor

=13

-

6.2") = 0.984 en adelanto

x 238 x 0.13 x 0.984

= 52.7 MW

c)

Ecuaciones exactas de línea de transmisión [ecuación (5.29)l

yl=al+jBl=fYZ

CAPíTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

=

",1I0-"

L90"xI3I.2 L72.3" = 0.0554 + j0.3577

= 0.362 L8I.2o cosh

(a/ + j7lt=

Lk"'

LFt + e-"1 z--Bt¡

L

Bl = 0.3577 (radianes) = L20.49" e0'0ss4

L(20.49")

= r.057 L20.49" =

0.99

+

e40ss4 L-20.49" = 0.946 L-20.49" = 0.886

j0.37

-

70.331

cosh 7/ = 0.938 + j0.02 = 0.938 LI.2o senh y/ = 0.052

+

10.35

= 0.354 LBI.S"

E = F¡.znn" '"= l; lffi= A=

362'2t ¿-8'85'

D = cosh yl =0.938 L1.2" B = Z, senh y/ = 362.2I ¿-8.85"

x 0.354 LBI.5"

= 128.2 L72.65" Ahora, Vs

= 0.938 LI.Z"

x 127 LO' + 128.2 L72.65" x 0.164 L-36.9"

= 119.13 L1.2" + 2I.03

L35.75

= 136.97 L6.2" kV lV5 l1in"u= 23'7.23

¿'=

kY

-Lr.¡t Z,

n¡ =

362.2tL-8.85"

= 9.77 x 10- L90.4" Is= 9.77 x 104 L90.4"

x

= 0.124 L90.4" + 0.154" = 0.1286 L15.3" kA

127

-

x 0.354 L815"

+ 0.938 L1.2" x 0.164 L-36.9"

35.7"

Factor de potencia en el extremo transmisor = cos (15.3o en adelanto Potencia en el extremo transmisor

=f

6.2" = 9.1') = 0.987

3 x237.23 x 0.1286 x 0.987

= 52.15 MW

d; Aproximación

-

(5.28b):

A=D=l+

ryz 2

5.8

El circuito equivalente de una línea

targa l1LlSy

= 0.938 L1.2" (ya calculado enlaparte b))

I vzt B=Zll+'' l=Z- :Y7 \ 6/ 6 I = 131.2 L72.3" + -X

lo-3 L9o"

6

= 131.2 L'12.3 =

x

(131.2)2 L144.6"

+ 2.87 L-125.4"

128.5 L72.7"

c = y (t

\

. 4) 6)

= 0.001 L9tr +

1x 6

10-6 LrSv x r3r.z 1:72.3"

= 0.001 l.90" Vs

= 0.938 LI.2" x 721 L0" + 728.5 L72.7" x 0.164 L-36.9"

= 119.13 LI.2" + 2I.07 135.8" = = 137 L6.2 kY lV5l1in"u= 23'7.3 1s

136.2

+

iI4.82

kV

= 0.13 L16.5"

(1o mismo que

lo calculado enlaparte b))

Factor de potencia en el extremo transmisor = cos (16.5o en adelanto Potencia del lado de envío =

f

3

*

237

- 6.2 = 10.3") = 0.984

.3 x 0. 13 x 0.9g4

= 52.58 MW Los resultados se tabulan ensesuida: Aproximación

de línea corta

lyslÍn.a 25l.2ky

1, pf, P,

r

nominal

Exacto

Aproximación (s.28b)

238 kV

237.23kV 0.1286

0.745 en

0.13 L16.5kA 0.984 en adelanto

0.987 en adelanto

0.984 en adelanto

53.2

52.1MW

52.15 MW

52.58 MW

0.164-36.9.kA

atraso MW

Ll5.3.kA

237.3kV 0.13 216.5. kA

Comentarios En el ejemplo anterior se encontró que los resultados obtenidos por el método en z-nominal y la aproximación (5.28b) son casi iguales y son muy próximos a los obtenidos por cálculos exactos (parte c)). Por otro lado, los resultados obtenidos por la aproximación de línea corta tienen un etror considerable. Por lo tanto, para una línea de esta longirud (alrededor de 300 km), es suficientemente preciso usar el método en a'nominal (o aprorimación (5.28b)), que da por resultado un considerable ahorro en esfuerzo de cálculo.

,,i

CAPÍruLO

5.9

5

desempeño de las líneas de transmisión

Características

FLUJO DE POTENCIA A TRAVÉS DE UNA LÍNggE DE TRANSMISIÓN

Hasta ahora, la ecuación de desempeño de líneas de transmisión se ha presentado en forma de relaciones de voltaje y corriente entre los extremos de transmisión y de recepción. Como las cargas se expresan más a menudo en términos de potencia real (wattslkW) y reactiva (VAR/kVAR), es conveniente tratar las ecuaciones de líneas de transmisión en la forma de potencias y voltajes complejos de los extremos de transmisión y de recepción. Aunque el problema del flujo de potencia en una red general se tratará en el siguiente capítulo, se ilustran aquí los principios correspondientes, mediante una línea de transmisión (sistema de 2 nodosl2 buses) como se muestra en la figura 5'17. Considere el voltaje en el extremo receptor como fasor de referencia (Vn= lVnl L0"), y supongamos que el voltaje en el extremo transmisor lo adelanta por un ángulo 6 (ys = lVrl Z-a¡.El ángulo á se conoce como el ángulo del momento de torsión, cuyo significado se-ha explicado en el capítulo 4 y se trafará más extensamente en el capítulo 12 alhablat del problema de la estabilidad. La potencia compleja que sale del extremo receptor y entra en el extremo transmisor de la línea de transmisión se puede expresar como (sobre la base por fase)

(s.s4)

= Pn + iQn= VnIn Ss= Ps + iQs= VsII

Sn

(s.ss)

Las corrientes en el extremo receptor y en el extremo transmisor, sin embargo' se pueden expresar en términos de voltajes de los extremos respectivos [vea la ecuación (5.1)] como

In=

!y. B

Is= Lv, B

A

(s.s6)

VR

B

-

Las constantes de la línea de transmisión A, B, D, se pueden escribir como

A=

lAl

La, B = lBl LB, D = lDl La

(como

A = D)

Por lo tanto, puede escribirse

In= l1l tvst L(6-

Iá

4=

l+l

v5t

B)

lAl lV^l L(a - B) -Ia

L(a+ á- o

- lJ'lv^t t-B

Izó Generador ""{ ,lV"

,

r

¡

Sn =

S, = Pr +lQg

Figura

lVnlrO

5.17

Sistema de 2 buses

Carga

Pn+/Qn

Flujo de potencia a través de una línea de transmisión

Si 1* se sustituye en la ecuación (5.54) se llega a

sn

Del mismo modo,

n

^ [l+l vstL(B- r- l+l vRtL(B- dl

=

rvnr

=

\#r(B_

=

Bl

vsP L(p

o_

l+l

-

-\#

a)

v*tz

4B_ t,B

(s.s8)

a¡

+ 6)

(5.5e)

En las ecuaciones anteriores ,So y S, son voltamperes complejos por fase, mientras que V^ y V, se expresan en volts por fase. Si Vo y V, se expresan en kV línea, entonces la potencia compleja trifásica en el extremo receptor está dada por

so {3 fases VA)

so (3 rases

MVA)

I ^ ^ l¡ | lvol2 x 106 (B-á)-Élt.trft-trFatl = t{''!''-':to: I J3 xJ3 tBt'

=

*#4u-

t -l*l * P z-(B - a)

(5.60)

Esto es sin duda lo mismo que la ecuación (5.58). El mismo resultado se cumple para,Sr. Así, se ve que las ecuaciones (5.58) y (5.59) dan los MVA trifásicos si V5 y Vo se expresan en kV línea. Si la ecuación (5.58) se expresa en partes real e imaginaria, las potencias real y reactiva en el extremo receptor pueden escribirse como

(É-á)- l{l tBt I Bl "^= 'u:'ll^'cos Qo=

!*!sen

(B- ó,- l+l lBl

tBt

rv-r'cos

(É- a)

(s.61)

lvol2sen

(B-

(s.62)

o)

Del mismo modo, las potencias real y reactiva en el extremo transmisor son

- q)- -!-vs-llvRlcos (p+6)

(5.63)

g, = l+l rvrt2sen (F- ot- 'u:'lÍ'ren(B+á) I Bl tBl

(s.64)

rr=

l4l

lvrr'

cos

1B

Es fácil ver de la ecuación (5.61) que la potencia recibida Po será máxima en

6= F tal que

Po{máx)=

+#

La correspondiente Qo (a máxima Po)

e*=

(5.65)

^#cos(F-a)

es

- 'ol.lYj" tBl

sen (B

-

a)

l6a I

CAPÍruLO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Así, la carga debe tomar esta cantidad de MVAR en adelanto a fin de recibir la máxipotencia ma real. Considere ahora el caso especial de una línea corta con una impedancia en sene Z. Ahora

A=D=l L0;B=Z=lZ L0 Al sustituir esto en las ecuaciones (5.61) a (5.64), se obtienen los resultados simplificados para línea corta como lv'llvol

po

" = tzt

n*=

cos(g- ó) -

\#sen

(g-

lv^l'

.ora

(5.66)

at-S,ene

(s.67)

tzl

para los extremos receptor y transmisor

lv'l'

p"

lv'llvol

" = tzt.o, dtl/ tz

tzl lt/ |t/

cos

(á+

|

á)

¿. = IrJ-qenA- '"s" "R'sen (9+ ól lzt tzl

(s.68) (s.6e)

La ecuación anterior de la línea corta también se aplica para una línea larga cuando la línea se rcemplazapor su a'equivalente (o z'nominal) y se concentran las admitancias en derivación con la carga en el extremo receptor y la generación en el extremo transmisor. De hecho, esta técnica se usa siempre en el problema de flujo de carga el cual se tratará en el próximo capítulo. De la ecuación (5.66), la potencia máxima en el extremo receptor se recibe cuando D=

I

de modo

que

P¡

(máx) =

Ahoracos0=RIIZ,

l%llvPt tzl

tvPP

lzl

---coso lYsllYRl P, (máx)' o lzl - 'uol' lzl'

(s.70)

Normalmente, la resistencia de una línea de transmisión es pequeña en comparación

con su reactancia {pues es necesario mantener una alta eficiencia de transmisión), de modo que 0 = fan-' X/R : 90'; donde Z = R + jX. En el extremo receptor las ecuaciones (5.66) y (5.67) pueden aproximarse entonces como

= ]l![&l ,.n5 -'x

Po

(s.7r)

lv^l' o,= lv'llvol XX"oró-

(s.72)

5.9

Flujo de potencia a través de una línea de transmisión

La ecuación (5.2) se puede simplificar más si se supone cos general es pequeño.x Así

o*= Sea lV5l transmisión.

-

l$1{tyd

-

ó:

1, ya que

ópor

1o

(s.73)

tynt)

lV¡l = IAVI, la magnitud de la caída de voltaje a lo largo de la línea de

g^= tv-l

(s.74)

-_lLVl

Enseguida se enumeran diversas conclusiones importantes que se deducen fácilmente de las ecuaciones (5.7 1 ) a (5 .7 4):

1. 2. 3.

:

0 (que es una aproximación válida para una línea de transmisión), la potencia real transferida al extremo receptor es proporcional a sená (: á para pequeños valores de ó), mientras que la potencia reactiva es proporcional a la magnitud de la caídade voltaje a lo largo de la línea. La potencia real recibida es máxima para ó - 90" y tiene un valor lVrll7^llX. Por supuesto, á se restringe a valores inferiores a 90" por consideraciones de estabilidad que se tatarán en el capítulo 12. La potencia real transferida para una línea dada (X fija) se puede aumentar si su nivel de voltaje se aumenta. Esta consideración es la razón de que los niveles de voltaje se hacen subir progresivamente para transmitir cantidades cadavez mayores de potencia Para R

a distancias más largas, garantizadas por plantas generadoras grandes.

4.

Para líneas muy largas el nivel de voltaje no se puede elevar más allá de los niveles establecidos por la tecnología actual de alto voltaje. Para aumentar la potencia transmitida en tales casos, la única opción es reducir la reactancia de la línea. Esto se consigue al incluir capacitores en serie a la línea. Esta idea se explorará más extensamente en el capítulo 12. Los capacitores en serie por supuesto que aumentarían la severidad de los voltajes de la línea en condiciones de conmutación. Como se dijo en el punto 1 que antecede, los VAR (potencia reactiva en retraso) entregados por una línea son proporcionales a la caída de voltaje de la línea, y es independiente de ó . Por lo tanto, en un sistema de transmisión si la demanda de VAR de la carga es grande, el perfil de voltajes en ese punto tiende a caer en forma suave en lugar de hacerlo en forma abrupta. Para mantener un perfil deseado de voltajes, la demanda de VAR de la carga se debe satisfacer de manera local mediante generadores positivos de VAR (condensadores). Esto se ve con detalle en la sección 5.10.

De la ecuación (5.5) se puede escribir directamente un resultado algo más preciso aunque todavía aproximado que expresa la caída de voltaje en términos de las potencias activa y reactiva, es decir,

lAVl=

_

Rcos Q+ll*lXsen$ lVolllol R cos d + lV^lllolX

l1^l

sen

d

yRl I

* Un ó pequeño es necesario por consideraciones de estabilidad del sistema lo cual se tratariín en detalle en el capítulo 12.

CAPÍTLO

5

Características y desempeño de las

_

transmisión

RP^ + XQo

lynl se reduce a aquél de la ecuación (5.74) si R = 0.

Un cable interconector enlaza a las estaciones de generación 1 y 2 como se muestra en la flgura 5.18. El perfil deseado de voltaje es plano, es decir, lVll=lV2l = 1 pu. Las demandas totales en los dos buses son

S¿t=15+j5Pu Soz= 25 + j15 Pu Las cargas de la estación se igualan por el flujo de potencia en el cable. Estimar el ángulo del par o momento de torsión y los factores de potencia de la planta: a) para Z del cable = 0 + j0.05 pu y b) paruZ del cable = 0.005 + j0.05 pu. Como dato, el generador Gt puede generar un máximo de 20.0 pu de potencia real. Las potencias en los diversos puntos en el sistema fundamental (de dos buses) se define en la fisura 5.184).

Sotución

{

Sn, = P6t +

lvll

lQ6'

{

lV2lL0"

Bus

L61

g"= p5+lQs

56r= P6r+1Q6,

S"= P"+lQ¡

Sor=Por+lQor

S

oz= P oz+ jQoz

a)

Snr= 20+115.638

Sn,=20+15.638

Vr=

v, = 1.0 L14.5"

1.0

L0"

Ss=5+10.638 a

vD1-

-l('riR ' te

Soz= 25+115

t v

b)

20.1O+ j16.12

{20+l5.13

v2= 1.0 L0"

v1= 1.0 L14.4" 4.9

5+10.13

-

j1 .12

25+ j15

15+15 c)

Figura

5.18

Sistema de dos buses

Flujo de potencia a través de una línea de transmisión

Caso a): Impedancia del cable =i0.05 pu. Como la resistencia del cable es cero, no hay pérdida de potencia real en el cable. Por lo tanto,

* Poz = 40 ptt

Pot + Po, = Pnt

Parala igualación de las cargas de la estación,

Pct = Pcz = 20 Pu se toma como referencia, es decir, Vz L0" y el voltaje del bus 1 es Además, para perfil plano de voltaje lVll = lV2l = l. El flujo de potencia real del bus 1 al bus 2 se obtiene de la ecuación (5.68) al observar que como R = 0, á= 90'. De aquí

El voltaje del bus 2

Vr

L6r

Ps= Pn

tv.Iv^l

':; ''

-

senát

- = ," 0.05 -senó1 I

5

4=

o

14'5o

vt= | Ll4'5' De la ecuación (5.69)

'' "'' ^ tu?- turvl

Qc= L =

COS dr

XX

x 0.968 = 0.638 pu +0.05-^+= 0.05

De la ecuaciín (5.6'7)

eo=

lPcos X,X

á,

-

''r.)' = - es = -

La pérdida de potencia reactiva* en el cable

es

Qr = Qs - Qn = 2Qs = I'276 La carga total en la estación

1

0.638 pu

Pu

= (15 +75) + (5 + j0.638) = 2O + j5.638

Factor de potencia en la estación 1

-

cos ( tun-t

Carga total en la estaciónz = (25 +715)

\

-

(5

!gq) 20)

= 0.963

en retraso

-j0.638)

= 20 + j15.638 * Lapérdida depotenciareactivatambién

s2 + ro ÁtR r2 puede calcularse como 11l2X

= 1

CAPITULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Factor de potencia en la estación 2

tt:U="

= cos Irun-t

\20)

) = 0.788 en atraso

Las cargas de la estación, las cargas demandadas y los flujos se muestran en la figura 5.18b). Se puede observar que para mantener un perfil plano de voltaje es necesario que los generadores suministren potencias reactivas Qa = 5.638 y Qcz= 15.638, respectivamente. Caso b): Impedancia del cable = 0.005 + j0.05 = 0.0502 L84.3" pu. En este caso, la resistencia del cable provoca una pérdida de potencia real que no se conoce a priori. El flujo de carga real, por lo tanto, no es tan claro como lo fue en el caso de R = 0. Se especifica la generación en la planta 1 como

Pct =

2O Pu

El criterio para fijar esta generación es de carácter económico como se verá en el capítulo 7. La generación en la planta2 será20 pu más la pérdida en el cable. Las variables desconocidas en este problema son

p62,

61,

ect, ecz

Ahora se examinará cuántas ecuaciones del sistema De las ecuaciones (5.68) y (5.69)

-

Pc,

Pr,-

" = S.o, tzt

Ps

-l 0.0502

eot

- eot= es=

Qct

-

5

=

se

pueden formar.

o-tvr,\Y) tzl

cos 84.3o

ros(d+ á,)

- 0.0502 ^+-

tYt-r"nu-''\Y:'ren

84.3" ---]-sen 0.0502

cos (84.3"

+

á1)

(i)

(d+ 6,)

0.0502

De las ecuaciones (5.66) y (5.67)

Prz- Pcz-

25-P.,

Pn=

-

Qcz=

(9-

cos

6r)-

#"oro

s(84.3"-A)- I 0.0502 0.0502

eoz- ecz= en= 15

ry

tY!!l-rrn,á-

--l-r.n

(84.3"

a)

- ár) -

cos84.3"

(iii)

- 'lli *"u 1 0.0502

sen 84.3"

(iv)

Así se tienen cuatro ecuaciones, ecuaciones (i) a (iv), con cuatro incógnitas P62, 6y Qcr.Qcz. Aunque no son ecuaciones algebraicas lineales, es posible resolverlas en este caso.

Al despejar 6, de la ecuación (i),

se llega a

6t = 14.4"

Fluio de potencia a través de una línea de transmisiÓn

Si

á1 se

(iii) y (iv),

sustituye en las ecuaciones (ii),

Qa = 5'I3,

QG2

se obtiene

16'12, Pcz

=

= 20'10

El flujo de potencias real y reactiva para este caso se muestra en la figura 5.18c). Se puede observar que la pérdida de potencia real de 0.1 pu es suministrada por Gz(Pcz = 20.10).

flujo de cargas de dos buses. Siempre es posible una solución explícita en un caso de dos buses. El lector El problema que

se presenta con anterioridad es un problema de

debe intentar el caso en el que

Qcz= j10

y

lV2l

=

?

se tratará en capítulo 6. Se verá que no es posible y se tiene que recurrir a técnicas iterativas. general una solución explícita en el caso

El problema general de flujo de cargas

Una línea de transmisi6n de 275 kV tiene las siguientes constantes de línea

A = 0.85 L5"; B = 200 L75"

a) b)

Determinar la potencia con un factor de potencia 1 que se puede recibir si se debe mantener el perfil de voltaje en cada extremo a 215 kY. ¿Qué tipo y capacidad de equipo de compensación será necesario si la carga es de 150 MW con factor de potencia unitario con el mismo perfil de voltaje que en

la parfe a). c) Con la carga como en la parte b), ¿cuál sería el voltaje en el extremo receptor no se instala el equipo de compensación?

Solución

a) Dados lV5l = lVol =275kY; un factor de potencia de unitario

a= 5ot B=75".

Como la potencia se recibe con

Qn=0 Si estos vaiores se sustituyen en la ecuación (5.62), puede escribirse

o

=

Z#sen

0 = 378 sen (75"

(75'-

-

ó)

-

ó)

-

#

r

e7r2

sen

(75'- 5')

302

lo cual da

6=22" De la ecuación (5.61)

,o=

!#cos

=22'1.6

-

109.9

(75"

=

-22")-

117.7 MW

#,.

si

eis)z

cos 70o

CAPíTLO

Dl

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Ahora lV5l = lV¡l = 275 kY

Potencia demandada por la carga = 150 MW a UPF (factor de potencia unitario).

Pn= Pn =

150

MW; Q, =

Q

De la ecuación (5.61)

275,\?75

tso= 150

o

6

200

= 378 cos (75"

=

-

cos (75o

-

á)

-

ól

-

r QTrz cos 70o

#

110

28.46

De la ecuación (5.62)

Q*=

,15z771sen

-ro,

= 274.46

-

(75o

302 =

-

-

28.46")

-

0'85

zoo

x

QTr2sen

70o

27.56 MVAR

Así, con objeto de mantener 275kY en un extremo de recepción, se debe tomar Q* = -27.56 MVAR junto con la potencia real de Pn = 150 MW. Donde la carga 150 MW a factor de potencia unitario, es decir, Qn = 0, se debe instalar un equipo de compensación en el extremo receptor. Con referencia a la figura 5.19 se tiene

-27.56+Qc=O

o

Qc = + 27 '56 MVAR

es decir, el equipo de compensación debe alimentar VAR positivos a la línea. Vea la sub-

sección 5.10 para una explicación más detallada.

c)

Como no se provee un equipo de compensación,

Pn=150MW,On=0 Ahora,

lvsl -- 215 kv, lv*l =

Al sustituir

?

estos datos en las ecuaciones (5.61) y (5.62), se llega a

Éo =

Z#cos

15O

-

(75.

- á) - ffirv*r,

j27.56

Figura 5.19

cos 7oo

(i)

5.9

o De la ecuación

(ii)

=

#sen

Flujo de potencia a través de una línea de transmisión

(75'-

- ffirv*r'

ó)

sen 7oo

(ii)

se llega a

(7f - á) = 0.00291YR| (75"- á)= (1 - (0.0029¡2lv*12¡rt2

sen

cos

Al sustituir

en la ecuación (i), se obtiene

150

= 1.375

lyRl (1

-

(0.002cD2 lv*12¡1t2

-

0.001451yR12

Si se resuelve la cuadrática y si se retiene el valor mayor de lVol, se obtiene

lV*l = 244.9 kY

Nota: La segunda solución y la de menor valor, de lV¡l aunque factible, es impráctico pues coffesponde a un voltaje y una eficiencia anotmalmente bajos' Debe observarse de los resultados de este problema que se puede transmitir mayor potencia en una línea con perfil fijo de voltaje mediante la instalación de equipo de compensación en el extremo de recepción capaz de alimentar VAR positivos a la línea.

Diagramas circulares Sehamostrado anteriormente que el flujo depotencias activayreactivaenunalíneadetransmisión se puede manejar por computación. Se mostrará ahora que el lugar geométrico de la potencia compleja del extremo de transmisión y del extremo de recepción es una circunferencia. Como las circunferencias se dibujan de manera directa, los diagramas circulares son una útil ayuda para visualizar el problema de flujos de carga sobre una sola transmisión. Las expresiones para las potencias del extremo de recepción y del extremo de transmisión de números complejos se reproducen enseguida de las ecuaciones (5.58) y (5'59):

cuR

v,P L(B' - - lLl tBl

n

=

l+l

tvst2

L(p-

- a) + $I4 tBt a)

- j#

L(3

-

6t

L@ + 6)

(s.s8) (s.se)

Las unidades para Sn1l Ss son MVA (de tres fases) con voltajes en línea KV Según las ecuaciones que anteceden, Sn y Ss se forman por dos componentes fasoriales: uno es un fasor constante y el otro es un fasor de magnitud fija pero de ángulo variable. Los lugares geométricos para S^ y ,S, serán, por lo tanto, circunferencias trazadas por la punta de los fasores constantes como centros. De la ecuación (5.58) se sigue que el centro de la circunferencia del extremo receptor se localiza en la punta del fasor

L(F-lLltvrp tBt

a)

(5.76)

en coordenadas polares o en términos de coordenadas rectangulares.

Coordenada horizontal del centro

=l+llv*l2

cos

(B-

a) MW

(5.-a

r

CAPITULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Coordenada vertical del centro.

=

- l+ltv¡t2sen (F-

o) MVAR

El radio de la circunferencia en el extremo receptor

es

tysilyRtMVA lBl

(s.78)

El diagrama circular del extremo receptor

se tfaza en la figura 5.20. El centro se localiza al trazar OC * en un ángulo (F - q) en la dirección positiva respecto del eje negativo MW. Del centro C* se traza la circunferencia del extremo receptor con el radio lysllyRl/lBl. El punto de operación M se ubica sobre la circunferencia mediante la potencia real recibida P*.La correspondiente Q^(o d*) se puede leer inmediatamente del diagrama circular. El ángulo del momento de torsión ó se puede leer de acuerdo con la dirección positiva indicada respecto a la línea de referencia. Para lV¡l constante, el centro C^ permanece fijo y resultan circunferencias concéntricas para lVrl variable. Sin embargo, para el caso de lVrl constante y lV^l variable los centros de las circunferencias se mueven a lo largo de la línea OCny tienen radios de acuerdo con lV5llV*l/18,. Del mismo modo, de la ecuación (5.59) se sigue que el centro de la circunferencia del extremo transmisor se ubica en la punta del fasor

Lrgl{llv,l' tBl

(s.7e)

a\

en coordenadas polares o en términos de coordenadas rectangulares.

Coordenada horizontal del centro

=

l$lrvrr'cos

(B-

(5.80)

a) MW

MVAR

Fasor Sn = Pn

Figura

5.20

+

/Qn

Diagrama circular del extremo receptor

5,9

Fluio de potencia a través de una línea de transmisión

Coordenada vertical del centro

= l¿ltv.t2sen (.8- a) MVAR I Bl El radio de la circunferencia del extremo transmisor es lysllyRl

(s.81)

tBl

El diagrama circular del extremo transmisor se muestra en la figura 5.2l.El cenÍo se determina altrazar OCrcon un ángulo (F - o) respecto del eje positivo MW Desde el centro, la circunferencia del extremo transmisor se tÍazacon un .u¿io

lyqllhl

qel mismo

tBl

que en el caso del extremo receptor). El punto de operación N se determina al medir el ángulo del momento de torsión á (como se lee en el diagrama circular del extremo receptor) en la dirección indicada por la línea de referencia. Para lVsl constante el centro Crpermanece fijo y resultan circunferencias concéntricas para lVol variable. Sin embargo, si lVol es fija y lVrl varía, los centros de las circunferencias se mueven a lo largo de la línea OCsy tienen radios de acuerdo con lV5llVol/lBl. Para el caso de una línea corta con una impedancia en serie lZ L0, los diagramas circulares simplificados se puede trazar fácilmente al considerar que

lAl=lDl=1, a=0 lBl=lZl, F= 0 Los diagramas circulares correspondientes de los extremos de transmisión y de recepción se han ttazado en las figuras 5.22y 5.23. MVAR

(É+á) a

//

Línea de referencia para el ángulo ó

*"0,o

'u']lY"'

Fasor S" = Ps +lQs

Figura

5.21

Diagrama circular en el extremo de transmisión

GIPíI! LO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

MVAR

Pa= oK Qa= KM

Flgura5.22

Diagrama circular del extremo receptor para una línea corta

El uso de diagramas circulares

se ilustra por medio de los dos ejemplos que se dan a

continuación:

Una línea de transmisión de 50 Hz, trifásica,275 kV y 400 km tiene los siguientes parámetros:

Ps= o¿ Qs= LN

Figura

5.23

Diagrama circular del extremo transmisor para una línea corta

s.g

Flujo Oe potencia a través de una línea de

transmisión

Resistencia = 0.035 C)/km por fase Inductancia = 1.1 mH/kmporfase Capacitancia = O.Ol2 p,F knpor fase Si la línea se alimenta a275kY. determinar los MVA nominales de un reactor en derivación con pérdidas despreciables que serían necesarios para mantener 275 kV en el extremo receptor cuando la línea no entrega carga. Use el método en z'nominal.

Solución

R=0.035x400=14O = 314 x 1.1 x l0-3 x 400 = 138.2 O Z= 14 + j138 = 138.7 L84.2" A Y=314 x 0.012 x 104 x400 L90" - 1.507 x 10-3 LW lt\l ¿'= {I+!vz) = t + a x 1.507 x 10-3 x 138.7 L174.2

X

7J

\2)2

= (0.896 + t0.0106) = 0.896 L0.7"

B=Z = 138.7 L84.2" lVsl = 275 kV, lYRl = 275 kY Radio de la circunferencia en el extremo receptor '

='u:'ll^' = 138.7 tBt = "l:!t

545.2 MY

A

Ubicación del centro de la circunferencia del extremo receptor,

lLltv.t, "

lBt L(B-

_

275x27.1\0.896 138.7

= 488.5 MVA

q)

= 84.2" - 0.7" = 83'5o De acuerdo con el diagrama circular de la figura 5.24, se deben tomar +55 MVAR del extremo de recepción de la línea a fin de mantener un voltaje de 27 5 kV. Así, el valor nominal del reactor en derivación necesario = 55 MVA.

Figura

5.24

Diagrama circular para el ejemplo 5.10

l'r,úi!S I

CAPíTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

L'i::o'u Una línea trifásica de 275 kV tiene los siguientes parámetros de línea:

A = 0.93 L1.5", B =

lI5

L77"

Si el voltaje en el extremo receptor es de 275 kV, determinar:

a) El voltaje b) c)

necesario en el extremo de transmisión si una carga de 250 MW con un factor de potencia en atraso de 0.85 está siendo alimentada en el extremo receptor. La potencia miixima que se puede entregar si el voltaje del extremo transmisor se mantiene a 295 kY. Los MVA adicionales que deben suministrarse al extremo receptor cuando se entregan 400 MVA con un factor de potencia en retraso de 0.8, si el voltaje de suministro se

mantiene a295kY.

Sotución

En la figura 5.25 el centro de la circunferencia del extremo receptor está ubi-

cado en

=

l|fv^e

275x275 x 0.93 115

= 611.6 MVA

cos-l 0.85 = 31.8"

L@- d) = 77" -

1.5" = 75.5"

MVAR

t 4OO MVA

295 MVAR (en adelanto)

250 MW

61 1.6 MVA

850 MVA lVsl = 295

P".* Figura

5.25

kV

------

= 556 MW

Diagrama circular para el ejemplo 5.11

a)

Localizar OP correspondiente a una carga en el extremo receptor de 250 MW con factor de potencia en retraso de 0.85 (+31.8'). Entonces

lysllyRt _ 27stvsl

C¡P = 850 =

lBl

tv^t -?555

KV

"J'

b)

Dado lV5l = 295 kV. Radio del diagrama circular =

115

4]?a 115

= 705.4 MVA

Al

trazar la circunferencia del extremo receptor (vea figura 5.25) y la línea CnQ paralela al eje MW se lee

PR.á*

c)

-

RQ = 556 MW

Localizar OP' que corresponda a 400 MVA para un factor de potencia en retraso de 0.8 (+36.8'). Trace P'S paralela al eje MVAR para cortar la circunferenciatrazada en la parte á) en el punto S. Para el perfil especificado de voltaje, la carga de la línea debe ser O,S. Por lo tanto, los MVA adicionales que se deben tomar de la línea son P'S

5.10

= 295 MVAR o 295 MVA en adelanto

WTÉTOOOS DE CONTROL DE VOLTAJE

Prácticamente todos los equipos que se usan en los sistemas eléctricos de potencia están especificados para cierto voltaje con una banda permisible de variaciones en dicho voltaje. Los voltajes en los diversos buses deben, por lo tanto, controlarse dentro de una cifra especificada de regulación. Este parte del libro tratará de los dos métodos por medio de los cuales se puede controlar el voltaje en un bus. Considérese el sistema de dos buses que se muestra en la figura 5.26 (este ejemplo se consideró ya en la sección 5.9). Por simplicidad, suponga que la línea está caracteizada por una reactancia en serie (es decir, tiene resistencia despreciable). Además, como el ángulo de par o momento de torsión ó es pequeño en condiciones prácticas, las potencias real y reactiva que entregalalínea para voltajes ljos en el extremo de transmisión lVrl y un voltaje especificado en el extremo receptor lV|l se puede escribir como se indica enseguida a partir de las ecuaciones (5.71) y (5.73)

l-r"n P* = .JV,l1vf 5

(5.82) lV^lz-o

Figura

5.26

Sistema de dos buses

CAPíTULO

5

Características y desempeño de las líneas de transmisión

Of,

=

tyit) 9trystX

(s.83)

La ecuación (5.83) mediante solución cuadrática* se puede escribir como

tyi t=

lrvrr /- * |,u, (r '

xesRlvstz)tn

(s.84)

Como la potencia real que demanda la carga la debe suministrar la línea

Pn= Po La demanda de potencia real variable se satisface por cambios consecuentes en el ángulo del momento de torsión á. Sin embargo, debe observarse que la potencia reactiva que se recibe de la línea debe pennanecer fija en pfl, como se da en la ecuación (5.83) para lvrl fijo y lvfll especificado. La línea, por lo tanto, operaría con voltaje especificado en el extremo receptor sólo para un valor de p, dado por QD =

Qso

Las cargas, en la práctica, son por lo general de naturaleza en retraso y son tales que la demanda de VAR Qoptede exceder Oi. D" la ecuación (5.83) se sigue sin dificultad que voltaje en el extremo receptor debe cambiar del valor especificado lTsol Peuia Qo > Qlo "l a algún valor lV^l para satisfacer con los VAR que se demandan. Así

eo= en=

ry

lyst

- tv*t) para (eD> esR)

^

El lyRl modificado está entonces dado por

v*t =

Lvrl + Lvsl (t -

xeRilvrt )t,,

La comparación de las ecuacjones (5.8a) y (5.85) revela que para en el extremo receptor es lVfl, pero para Qo= Qn> Qs*,

tyR |

eo= en= efi,

(5.8s) el voltaje

< tyil

Así, para una demanda de VAR mayor que Oi se satisface por una caída consecuente en el voltaje del extremo receptor respecto del valor especificado. De igual manera, si la demanda de VAR es menor que Ci . resulta que tvRt

> tvil

En efecto, en condiciones de carga ligera, la capacitancia de carga de la línea puede hacer que la demanda de VAR se vuelva negativa lo cual da por resultado que el voltaje en el extremo receptor exceda el voltaje del extremo transmisor (éste es el efecto Ferranti que ya se ilustró en la sección 5.6). Con objeto de regular el voltaje de la línea en condiciones variables de VAR, se emplean los dos métodos que se describen enseguida. x El signo negativo en la solución cuadrática se rechaza porque de otra manera la solución no correspondeía al voltaje especificado para el extremo receptor que es sólo ligeramente menor que el voltaje del extremo transmisor (la diferencia es menor delT2Vo).

s.ro

F\gura5.27

_r-

voltaie I I#s

lr¡¿tooos de contror de

Uso de un generador local de VAR en el bus de carga

Inyección de potencia reactiva Se deduce de lo expuesto que a fin de mantener el voltaje en el extremo receptor a un valor especificado lVfll, se debe tomar de la línea una cantidad fija de VAR (0i).8 Para lograr esto en condiciones de una demanda variable de VAR, Qo, se debe usar un generador local de VAR (fuente controlada de potencia reactiva./equipo compensador) como se muestra en la figura 5.27.La ecuación de equilibrio de VAR en el extremo receptor es ahora

dn+Qc=Qo Las fluctuaciones en Q, se absorben por el generador local de VAR 06 de modo que los VAR que se toman de la línea peÍnanecen fijos en A*.EI voltaje en el extremo receptor, por consiguiente, permaneceúa f,jo en V| (esto por supuesto supone un voltaje lV5l fijo en el extremo transmisor). La compensación local de VAR puede, de hecho, hacerse automática mediante el uso de la señal del medidor de VAR instalado en extremo de recepción de la línea.

En la práctica se utilizan dos tipos de generadores de V,\R: tipo estdtico y tipo rotatorio.Ésbs se explican en seguida.

Generador estático de VAR No es más que un banco de capacitores trifásicos y/o inductores. Con referencia a la figura 5.28, si lV*l está

,"

kV y X. es la reactancia capacitiva por fase de capacitores sobre una base en estrella banco del equivalente, la expresión para los VAR que se alimentan a la línea se puede deducir como sigue en la línea

¡.= ' -¡)P-

kA

"l3xc

* Por supuesto, como lVfl diente.

se especifica dentro de una banda,

I

TIC

=x^

)Figura

5.28

Banco de capacitores estáticos

@ puede variar dentro de una banda correspon-

CAPITULO

5

Características

desempeño de las líneas de transmisión

iecefases)= 3

#e

=i3x o-

(3 fases)

=

rL)

#'ffi

ruo

lu*lt MuoR

(5.86)

XC

Si se usan inductores enyez de capacitores, los VAR que se alimentan a la línea son

o,(3

fases)

=-

lvRP XL

(s.87)

MVAR

En condiciones de carga pesada, cuando se necesitan VAR positivos, se usan bancos de capacitores; mientras que en condiciones de catga ligera, cuando se necesitan VAR negativos, se conmuta para conectar bancos de inductores. Se pueden hacer las siguientes observaciones para generadores estáticos de VAR:

l) ii) ttt)

Los bancos de capacitores e inductores se pueden conectar por pasos. Sin embargo, en la actualidad se puede obtener control de VAR sin pasos (continuo) con circuitería de SCR (Sl/icon Controlled Rectifier: rectificador controlado de silicio). Como O5 es proporcional al cuadrado del voltaje terminal, para un banco dado de capacitores, su efectividad tiende a disminuir cuando el voltaje cae lentamente en condiciones de plena carga. Si el voltaje del sistema contiene armónicas apreciables, en la que la quinta es la que más problemas causa, los capacitores se pueden sobrecargar de manera considerable.

iv) Los capacitores actúan como cortocircuito al conectarse. v) Hay posibilidad de resonancia en serie con la inductancia

de la línea, en particular

para frecuencias armónicas.

Generadores rotativos de l/AR No es más que un motor síncrono o sincrónico que trabaja sin carga con excitación ajustable en una

lh

Excitación ajustable

Figura

5.29

---_::) :l

Generación rotativa de VAR

amplia región. Alimenta VAR positivos a la línea en condiciones de sobreexcitación, y VAR negativos en condiciones de subexcitación. Una máquina que trabaja así se llama condensador síncrono o sincrónico. La figura 5.29 muestra un motor síncrono conectado a las barras de bus en el extremo receptor y que trabaja sin carga. Como el motor toma de la barra de bus una potencia real despreciable, E6 y V^ están casi en fase. Xr es la reactancia síncrona

del motor el cual se supone que tiene resistencia despreciable. Si lEcl y lVol estiín en kV línea. se tiene

Ic=

(lyRt

-

lEGl)L0"

J5 x ¡xs

KA

jec= 3lvRl:O" r- li-t l. !J

tyRt- tEGt) .tvRt(_-------------F v3 \ -ixs43 )

= -----;,

t

- lYRl)/& MVA lVnl (lEGl - lVRDlXs MVAR

= jlVRl(lEGl

Qc=

(s.88)

Se puede deducir de inmediato de la relación anterior que la máquina alimenta VAR positivos alalínea cuando lEGl > lVRl (caso de sobreexcitación) e inyecta VAR negativos si lEol < lVol (caso de subexcitación). Los VAR son ajustables de forma fácily continua mediante el ajuste de la excitación de la máquina que controla lEol. En contraste con los generadores estáticos de VAR, se hacen las siguientes observaciones con respecto a los VAR rotatorios.

i)

Éstos pueden suministrar VAR tanto positivos como negativos ajustables de forma continua.

ii) La inyección de VAR a una excitación dada es menos sensible a cambios en el voltaje del bus. Al disminuir lVol y aumentar (lEGl - lV^l), con una consecuente menor reducción en Qc en comparación con el caso de los capacitores estáticos.

De las observaciones anteriores en relación con los generadores de VAR estáticos y rotatorios parece que los generadores rotatorios de VAR serían los preferidos. Sin embargo, consideraciones económicas y problemas de instalación y mantenimiento limitan su uso práctico a tales buses en el sistema donde es necesaria una gran cantidad de inyección

deVAR.

Control mediante transformadores de VAR descrito antes carece de la flexibilidad y la economía del control de voltaje mediante cambio de tomas o derivaciones del transformador. El cambio de tomas del transformador está obviamente limitado a un intervalo o región reducido de control de voltaje. Si la corrección de voltaje que se necesita excede este intervalo, el cambio de toma o derivación se usa en combinación con el método de inyección de VAR. El voltaje del extremo receptor que tiende a reducirse a causa de los VAR que demanda la carga, se puede elevar al cambiar simultáneamente las tomas o derivaciones de los transformadores de los extremos de transmisión y de recepción. Tales cambios de tomas se deben hacer con cargay se pueden realizar ya sea manual o automáticamente. El transformador se llama TCUL (Tap Changíng Under Load; cambio de tomas bajo carga).

El método de inyección

CAPITULO

5

Características y desempeño de las líneas de transrnisión

1s T=É *\--3p I "-A.3tr -{ )< Ys

|| |

-J(

Z=R+jX

clk

Carga

-1 tr -1 tr -1 f

P, +

jQe,

1 : t"n,

Figura

5.30

Línea de transmisión con transformador con cambio de tomas en cada extremo

Considere la operación de una línea de transmisión con un transformador con cambio de tomas en cada extremo como se muestra en la figura 5.30. Sean /, y /^ las fracciones de las relaciones nominales de transformación, es decir, la relación de tomas/relación nominal. Por ejemplo, un transformador con relación nominal 3.3 kV/11 kV cuando se conecta de una toma o derivación para dar 12 kV con 3.3 kV de entrada tiene r, = 12/11 = 1.09.

Con referencia a la figura 5.30, suponga que las impedancias del transformador se concentran en Z jtnto con la impedancia de la línea. Para compensar el voltaje en la línea y en los transformadores, suponga que las tomas se ajustan a valores fuera de los nominales, r, y l" . Con referencia al circuito que se muestra, se tiene

tsnrVs- ton2V*+ IZ

(s.8e)

De la ecuación (5.75) lacaída de voltaje con referencia al extremo de alto voltaje está dada por

lAVl= Ahora

RPo+XQo tonrlV^l

(5.e0)

lATl = ttnt lVtl

-

tonrlV*l

t,nrlv, | = tnnz lv*l

+

!&! 49a

(s.e1)

t^nrlV*l

Con objeto de que el voltaje en el lado de alto voltaje (HV) de los dos transformadores sea del mismo orden de magnitud y la selección de tomas o derivaciones de cada transformador sea la mínima, se elige

tstn=l Al sustituir tn= lltsen

(5'92)

la ecuación (5.91) y luego de reordenar, se llega a

RP*+xQ*\ -nrlv*l ; = __

t;.r(, I I _ ________.1______=.ji_ "( nrnrlVtllV*l

) r,

(s.e3)

lVrl

Para una compensación completa de la caída de voltaje el miembro derecho de la ecuación (5.93) debe ser isual a 1.

Es obvio de la figura 5.30 que /, ) 1 y que /R < 1 para la compensación de la caída de voltaje. La ecuación (5.90) indica que /o tiende a aumentar* el voltaje lll4 que debe compensarse. Por lo tanto, la sola conmutación de tomas como método de compensación de caída de voltaje ocasionaría la necesidad de cambio excesivo de tomas si la compensación excede ciertos límites. Así, si el ajuste de tomas dictado por la ecuación (5.93) para lograr el voltaje deseado en el extremo receptor excede el intervalo normal de cambio de tomas (por lo común no mayor de +207o), sería necesario inyectar simultáneamente VAR en el extremo receptor a fin de mantener el nivel deseado de voltaje.

Compensación de líneas de transmisión El desempeño de sistemas largos de transmisión de AC de EHV (Extra High

Voltage:

voltaje extra alto) se puede mejorar mediante la compensación reactiva del tipo en serie o en derivación (en paralelo). Se usan capacitores en serie y reactores en derivación para reducir de manera artificial la reactancia en serie y la susceptancia en derivación de las líneas y así actúan como compensadores de la línea. La compensación de las líneas da por resultado la mejoría de la estabilidad del sistema (capítulo 12) y el control de voltaje aumenta la eficiencia de la transrnisión de potencia, facilitando la energización de la línea y reduciendo los sobrevoltajes transitorios. La compensación en serie reduce la impedancia en serie de la línea que causa la caída de voltaje y es el factor más importante para determinar la capacidad máxima de transmisión de potencia de una línea [ecuación (5.70)]. Las constantes A, C y D son funciones de Z y, por 1o tanto, también se ven afectadas por un cambio en el valor de Z, pero estos cambios son pequeños en comparación con el cambio enB yaque B = Zpara el z'nominal y es igual a Z (sen y U y l) para el z' equivalente. La caída de voltaje AV debida a la compensación en serie está dada por

LV = IR cos

@,

+ I(XL- Xr)

sen

ó,

(s.e4)

Aquí X, = reactancia capacitiva del banco de capacitores en serie por fase y X. es la reactancia inductiva total de la línea/fase. En la práctica, X, se puede seleccionar de tal manera que el factor (XL- Xd sen @. se vuelva negativo y sea igual (en magnitud) a R cos /, de modo que AV se vuelve cero. La relaciónXrlXrsellamafactor de compensacióny, cuando se expresa como porcentaje, se conoce como compensación porcentual. La magnitud del efecto de compensación depende del número, de la ubicación y de los arreglos de circuitos de las estaciones de capacitores en serie y reactores en derivación. Al planear líneas de larga distancia, además del grado promedio de compensación necesario se requiere determinar la ubicación más adecuada de los bancos de reactores y capacitores, el mejor sistema de conexiones y el número de estaciones intermedias. Para averiguar las condiciones de operación a lo largo de la línea, se pueden determinar primero las constantes ABCD de los tramos de la línea en cada extremo del banco de capacitores y las constantes ABCD del banco y entonces llegar a las constantes equivalentes de la combinación en serie de línea-capacitor-línea mediante las expresiones que se dan en el apéndice B. * Esto se debe a que

/R

< I aumenta

la corriente de línea

1

y por lo tanto la caída de voltaje

CAPÍTLO

5

Características y desempeño de las líneas de

En la India, en estados como UP, la compensación en serie es muy importante pues las plantas supertérmicas se encuentran (al este) a varios cientos de kilómetros de los centros de carga (al oeste) y se deben transmitir grandes cantidades de potencia a largas distancias. Los capacitores en serie también ayudan a equilibrar la caída de voltaje de dos líneas paralelas. Cuando se usa compensación en serie, hay posibilidades de sobrevoltaje sostenido a tierra en las terminales de los capacitores en serie. Este sobrevoltaje puede ser el criterio limitante de potencia para un grado alto de compensación. Se usa un espacio de aire (como un entrehierro) para chispa en un contactor de alta velocidad para proteger los capacitores en condiciones de sobrevoltaje. En condiciones de carga ligera o sin carga, la corriente de carga se debe conservar menor que la corriente nominal a plena carga de la línea. La corriente de carga se da en forrna aproximada pot Brl\4, donde B. es la susceptancia capacitiva total de la línea y lVl es el voltaje especificado a neutro. Si la susceptancia inductiva total es B, por varios inductores conectados (compensación en derivación) de línea al neutro en lugares adecuados a 1o largo de la línea, entonces la corriente de carga sería I"u,su=

(Bc-

Bt

) lYl = B.tvh -

\

-4.] Br.)

r5 Q5)

La reducción de la corriente de carga es por el factor de (1 - BrlB¿ y Bt/B, es el factor de compensación en derivación. La compensación en derivación en condiciones sin carga también mantiene dentro de límites el voltaje en el extremo receptor que de otra manera sería muy alto a causa del efecto Ferranti. Por consiguiente, se deben introducir reactores en la medida en que se quita cargapara un control adecuado del voltaje. Como antes se mencionó, los capacitores en derivación se utilizan a través de una carga inductiva a fin de proporcionar parte de los VAR reactivos necesarios patala carga para mantener el voltaje dentro de límites deseables. De igual manera, se mantienen los reactores en paralelo a través de cargas capacitivas o en condiciones de carga ligera, como antes se expuso, para absorber algunos de los VAR en adelanto y así lograr el control de voltaje. Los capacitores se conectan ya sea directamente a un bus o por el devanado terciario del transformador principal y se colocan a lo largo de la línea para reducir al mínimo las pérdidas y la caída de voltaje. Se puede observar que, para la misma elevación de voltaje, la capacidad de potencia reactiva de un capacitor en derivación es mayor que la de un capacitor en serie. El capacitor en derivación mejora el factor de potencia de la carga mientras que el capacitor en serie apenas tiene algún efecto en el factor de potencia. Los capacitores en serie son más eficaces en líneas largas para mejorar la estabilidad del sistema. Así, se observa que en la compensación tanto en serie como en derivación de líneas largas de transmisión es posible transmitir grandes cantidades de potencia de forma eficiente con un perfil de voltaje plano. Se debe proporcionar el tipo adecuado de compensación, en la cantidad correcta en los sitios adecuados para lograr el control de voltaje deseado. Se invita al lector a leer los detalles sobre los sistemas estáticos de VAR (SVS: Static Var Systems) en las referen cias 7 ,8 y 16. Para una explicación completa sobre compensación, el lector puede consultar el capítulo 15.

PROBLEtvtAS

trifásico de 1l kV a una línea que tiene R = 10 O y X = 12 Q por conductor. En el extremo de la línea hay una carga equilibrada de P kW con un factor de potencia en adelanto. ¿A qué valor de P se tiene regulación de voltaje cero cuando el factor de potencia de la carga es a) 0.707, á) 0.85? 5.2 Una línea larga con A = D = 0.9 LI.5" y B = 150 L65' Atiene al final de la carga una serie de impedancia Z, = 100 L67" O. El voltaje y la corriente de carga son V. e 1.. Obtenga expresiones para V, e 1, en forma de 5.1 Se aplica un voltaje

lvr.l I A' B'flvrf 11, _l lC' D')Lr, J |

|-

|

il

¡

y evalúe estas constantes. 5.3 Una línea aérea trifásic a de 200 km de largo tiene una resistencia = 0. 16 O/km y un diámetro de conductor de 2 cmcon un espaciamiento de 4 m, 5 m y 6 m transpuesto. Encuentre: a) Las constantes ABCD por medio de la ecuación (5.28b); b) V,,1,, pf,, P,, cuando la línea entrega plena carga de 50 MW a 132 kY y 0.8 fp en retraso; c) eficiencia de transmisiín,y ü regulación de voltaje en el extremo receptor.

5.4 Una línea de transmisión corta de 230 kV con una reactancia de 18 f)/fase suministra una carga a factor de potencia en retraso de 0.85. Para una corriente de línea de i 000 A, se deben mantener los voltajes de los extremos receptor y transmisor a 230 kV. Calcule: a) Capacidad nominal del capacitor síncrono que se necesita, b) la corriente de carga, c) los MVA de la carga. La potencia que toma el capacitor síncrono se puede despreciar. 5.5 Una planta generadora de 40

Z=

3OO

MVA está conectada

a una línea trifásica que tiene

L75" A Y = 0.0025 Lgtr U.

La potencia en la planta generadora es de 40 MVA con factor de potencia unitario, a un voltaje de 120 kV. Hay una carga de 10 MW con un factor de potencia unitario en el punto medio de la línea. Calcule el voltaje y la carga en el extremo distante de la línea. Use circuito en 7 nominal para la línea.

5.6 Las constantes seneralizadas de circuito de una línea de transmisión son

A=0.93+j0.016

B=20+

j140

La carga en el extremo receptor es de 60 MVA, 50 H4 factor de potencia en retraso 0.8. El voltaje en el extremo de suministro es de 220 kY. Calcule el voltaje de carga. 5.7 Encuentre las corrientes incidente y reflejada parala línea del problema 5.3 en el

extremo receptor

y a200 km del extremo receptor.

ll0

5.8 Si la línea del problema 5.6 tiene una longitud de 200 km y entrega 50 MW- a kV y factor de potencia en retraso de 0.8, determine el voltaje, la corriente. el factor

cAPfrulo 5

características y desempeño de las líneas de transmisión

de potencia y la potencia en el extremo transmisor. Calcule la eficiencia de transmisión, la impedanciacaracterística, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

5.9 Para el ejemplo 5.7, encuentre los parámetros del circuito en z.equivalente para la línea.

5.10 Uncableinterconectorconunareactanciade6O enlazalasplantasgeneradoras 1 y 2 como se muestra en la figura 5.18a). El perfil de voltaje deseado lV,l = lV2l =22

"r potencia en rekV. Las cargas en las dos barras de bus son 40 MW con un factor de traso de 0'8 y 20 MW con un factor de potencia en retraso de 0.6, respectivamente. Las cargas de la planta están igualadas por el flujo de potencia en el cable. Estime el ángulo del momento de torsión y los factores de potencia de la planta. 5.11 Una línea de transmisión de 50 Hz, tres fases, 275 kV,400 km tiene los sisuientes parámetros (por fase): Resistencia = 0.035 O/km

Inductancia = 1 mH/km Capacitancia = 0.0 1 ¡¿Flkm Si la línea se alimenta a275 kY determine los MVA nominales de un reactor en derivación con pérdidas despreciables, que se necesitarían para manten er 27 5 ky en el exffemo receptor cuando la línea entrega sin carga. Use el método en a'nominal. 5.12 Un alimentador trifásico con una resistencia de 3 O y una reactancia de 10 f) suministra una carga de 2.0 MW con un factor de potencia en retraso de 0.85. El voltaje en el extremo receptor se mantiene a 11 kV mediante un condensador estático que toma2.7 MVAR de la línea. Calcule el voltaje y el factor de potencia en el extremo transmisor. ¿Cuál es la regulación de voltaje y la eficiencia del alimentador? 5.13 Una línea trifásic a aérea tiene una resistencia y una reactancia de 5 y 20 O, respectivamente. La carga en el extremo receptor es de 30 MW, con un factor de potencia en retraso de 0.85, a 33 kV. Encuentre el voltaje en el extremo transmisor. ¿Cuáles serán los kVAR nominales del equipo de compensación insertado en extremo receptor para mantener un voltaje de 33 kV en cada extremo? Encuentre también la cars.a miáxima que se puede transmitir. 5.14 Construya un diagrama de una circunferencia de potencia en el extremo receptor para la línea del ejemplo 5.7. ubique el punto que conesponde a la carga de 50 Mw a 220 kY con un factor de potencia en retraso de 0.8. Trace la circunferencia que pasa por el punto de carga. Mida el radio y determine apartir de éste lVrl. También trace la circunferencia del extremo transmisor y determine a partir de éste la potencia y el factor de potencia del extremo transmisor.

5.15 Una línea trifásic a

aérea tiene una resistencia y una reactancia por fase de 5 y 25 A, respectivamente. La carga en el extremo receptor es de 15 MW 33 ky factor de potencia en retraso 0.8. Encuentre la capacidad del equipo de compensación necesaria para enffegar esta carga con un voltaje en el extremo transmisor de 33 kv.

Calcule la carga extra con un factor de potencia en retraso de 0.8 la cual puede entregarse con un equipo de compensación (con la capacidad calculada antes) insta-

lado, si se permite que el voltaje en el extremo receptor caiga a2g kv.

REFERENCIA'

Libros 7.

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Alto

Calif,1975.

2. 3. 4.

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6.1

INTRODUCCION

Con los antecedentes de los anteriores capítulos, ya se tienen las bases para estudiar las características de operación de un sistema eléctrico de potencia. El régimen permanente simétrico es, de hecho, el modo más importante de operación de un sistema eléctrico de potencia. Enseguida se relacionan, en orden jerárquico, tres importantes problemas que se encuentran en este modo de operación:

1. 2. 3.

Problema de flujo de carga. Problema de programación óptima de carga. Problema de control de sistemas.

Este capítulo se dedica al problema de flujo de carga y los otros dos se tratarán en capítulos posteriores. El estudio de flujo de carga, en la jerga de sistemas eléctricos de potencia, es la solución de régimen permanente de la red del sistema. La principal información que se obtiene de este estudio incluye las magnitudes y los ángulos de fase de voltajes de bus de carga. potencia reactiva en los buses del generador, flujo real y reactivo de potencia en las iíneas de transmisión y otras variables que se especifiquen. Esta información es esencial para el monitoreo continuo del estado actual del sistema y para analizar la eficacia de plantas alternas para futuras expansiones del sistema para satisfacer una demanda creciente de carga. Antes del advenimiento de las computadoras digitales, la tabla de cálculo de CA (corriente alterna) era el único medio para llevar a cabo estudios de flujo de carga. Estos estudios, por lo tanto, eran tediosos y consumían mucho tiempo. Con la disponibilidad de computadoras digitales rápidas y grandes, ahora se puede realizar de forma conveniente toda clase de estudios de todo tipo de sistemas eléctricos de potencia, en el que se incluyen los de flujo de carga. De hecho, algunos de los estudios elaborados de nivel avanzado que eran casi imposibles de realizar con la tabla de cálculo CA se han vuelto ahora posibles. La tabla de cálculo CA para todo propósito práctico ya no se utiliza.

6.2

6.2

Formulación de modelos de red

FORMUTACION DE MODELOS DE RED

El problema de flujos de carga ya se introdujo en el capítulo 5, con la ayuda de un sistema fundamental, a saber: un problema de dos buses (véase el ejemplo 5.8). Para un estudio de flujos de carga de un sistema eléctrico de la vida real que comprende un gran número de buses, es necesario proceder de manera sistemática al formular primero el modelo de red del sistema.

Un sistema eléctrico comprende varios buses interconectados mediante líneas de transmisión. La potencia se inyecta de los generadores, mientras que las cargas se toman de éste. Por supuesto, puede haber buses sólo en un bus por generadores y sin ninguna carga y puede haber otros con sólo cargas y ningún generador. Además, los generadores de VAR pueden también estar conectados a algunos buses. La potencia excedente en algunos de los buses se transporta vía líneas de transmisión a buses deficitarios en potencia. La figura 6.la) muestra el diagrama unifilar de un sistema de cuatro buses con generadores y cargas en cada bus. Para llegar al modelo de red del sistema, es suficientemente exacto representar una línea corta por una impedancia en serie y una línea larga por un modelo a nominal.x (Se puede usar z equivalente para líneas muy largas.) A menudo se puede despreciar la resistencia de línea con una pequeña pérdida de exactitud pero un gran ahorro en tiempo de cálculo. Para el análisis sistemático, conviene considerar las cargas como generadores negativos y concentrar las potencias de generadores y cargas en los buses. Así, en el bus l-ésimo, la potencia compleja neta que se inyecta en el bus está dada por S¡

=

P¿

+ jQ¡ =

(Pc¡-

Po) +

j(Qc¡-

Qo¡)

donde la potencia compleja que el generador suministra es

Sc¡= Pc¡+ iQc¡ y la potencia compleja que toma la carga

es

So¡= Pnt+ iQo¡ Las potencias real y reactiva inyectadas en el bus i-ésimo son entonces

P¡= P6¡-

Pp¡ i = 7,2, ...,n

Q¡= Qc¡-

Qn¡

(6.1)

La figura 6.lb) ilustra el modelo de red del sistema muestra de suministro eléctrico preparado como se indica antes. La fuente equivalente de potencia en cada bus se representa mediante un círculo sombreado. La fuente equivalente de potencia en el i-ésimo bus inyecta corriente J, en el bus. Se puede observar que la estructura de un sistema eléctrico de potencia es tal que todas las fuentes están siempre conectadas aun nodo de tierra común.

Elmodelodereddelafigura6.Ib) sehavuelto adibujarenlafigura6.lc) después deconcentrar las admitancias en derivación (en paralelo) en los buses. Además del nodo de tierra. tiene otros cuatro nodos (buses) en los cuales se inyecta la corriente de las fuentes a la red. * Los transformadores de línea se representan mediante una impedancia en seúe (o para una representación exacta mediante impedancias en serie y en derivación, es decir, ¡ed en L invertida).

CAPlTt.l,O

6

Es¡rdros de flujo de carga

tr- ¡dmitancia de líneas ente nodos i y ft se describe por )¡r = yo,. Además, la admitancia rnutua entre líneas se supone que es cero. Luego de aplicar la ley de las corrientes de Kirchhoff (KCL: Kirchhoff' s current law) en los nodos r,2,3 y 4, respectivamente, se llega a las siguientes cuatro ecuaciones

Jt= Jz= Jz= J+=

V) yn+ (Vr - V) ls V) yn + (Vz- V) yzt + (VzVztzo + (Vz- V)tn + (Vz- V)yzz + (VzVüqo + (Vq - V) !z+ + (Vq - Vz) yz+

VÜrc + (Vt Vüzo + (Vz-

Al reordenar y escribir en forma de maúiz,

-ln -!n )r:) (Vr^ * V,' - ln -!zt ;';^ ;';il ,l;.r* -ln - lzz l,;,,,

lJ, I-l

l

lJ+)

o_ La ecuación (6.3)

se

v^, - Jz4

!z+

(o'¿)

yy

o

+

I Jrl

V+t

se obtiene

(tn + ln

t4t tl

V¿,)

-!zq -rzq

\!+o + lzq

v", - rr4

I I I

u'l u,

|

(6.3)

u'l

LV¿

l

+)¡¿)

puede reconocer que es de la forma estándar

J,l [- 4, Ytz YB Yt+f t y,l Yzt v^l lvrl lJrl-lYl Yzz Yzz Yzz v*l l/rl IY3l Yqz Y+z Y* lYrl L I

J+

J

LYq,,

)

(6.4)

lvo )

Al comparar las ecuaciones (6.3) y 6,4), puede escribirse

Ytt= ln* !nt

ln lzo* lnl lzz+ !z+ Yzz= lzo * )r¡ * lzz + ly Yq+= lqo + lzq + ly Ytz= Yzt = - lnl Yzz = Yzz = - !23 Yst=Ytz =- ¡'rr:i Ytq= Yqt=- lA=0 Yzz=

Yzq=Y¿2.=- !z+l Yz+= Yqz=-

!z+

Cada admitanciaY,t(i = 1,2,3, 4) se llama autoadmitancia (o admitancia de convergencia) del nodo i y es igual a la suma algebraica de todas las admitancias que terminan en el nodo. Cada término fuera de la diagonalyikQ, k = 1,2,3, 4) es la admitancia mutua (o admitancia de transferencia) enúe los nodos i y k, y es igual al negativo de la suma de

todas las admitancias conectadas directamente entre estos nodos. Además, Y¡t =

Yt

r

Formulación de modelos de red

^

so,

vDi

se,

2

e+tl Y

v

v4

leVG3'!

üna

üo¿

a\

YY a)

b)

Diagrama unifilar

Yzo

Yrc

l,

t

s3

s¿

Circuito equivalente

A

ls,

c) Red de potencia de la figura 6.1b) concentrada y redibujada

Figura

6.1

Sistema muestra de cuatro buses

En la notación de índices, la ecuación (6.4) se puede escribir en forma compacta como n

J¡= o en fonna

T

Y¡¡, V¡rl

i = 1,2, ..., n

(6.s)

dematiz /BUs

= Isus

Vsus

(6.6)

denota lamatiz de admitancia de bus y se conoce como matriz de admitancia "u, dimensión de la mafnz Íuu5 es (n x n), donde r¿ es el número de buses. [El de bus. La número total de nodos es m = n + 1 e incluye el nodo de tierra (referencia).1 Como se ha visto arriba, I"u, es una matriz simétrica, excepto cuando intervienen transformadores con cambio de fase, de modo que sólo se almacenarán los términos

donde

,

de

nfu+I) para un sistema

#

de n buses. Además, 4¿= 0 si los buses

iy

kno están conecta-

dos (es decÍ, Yro = 0). Como en una red de potencia cada bus está conectado sólo a otros pocos buses (por lo común a dos o tres), la matnz I¡",^ de una red grande es muy escasa, es decir, tiene un gran número de elementos cero. Aunque esta propiedad no es evidente en un sistema pequeño como el sistema muestra que se considera. en un sistema que contenga cientos de buses, la escasez de la matriz puede ser tan alta como 90Vo. Tinney y asociados l22l de Bonnevile Power Authority fueron los primeros en explotar la característica de escasez de Yuur para obtener una gran reducción de los cálculos numéricos en estudios de flujo de carga y para minimizar la memoria necesaria. ya que sólo se necesita almacenar los términos no cero. La ecuación (6.6) se puede también escribir en la forma Vsus

(6.7)

= Zsuslsus

donde

Zs$(matriz de impedancia de bus) = lsLs

(6.8)

para una red de cuatro buses (cuatro nodos independientes)

l Zsus =

t,, Ztz ztt

trof

| 2., Z' 2., Zrn | Z-', Z'.', Z.'. Z'^-^l

l;^:,, io,

;,,

I

;r^)

Una Yru, simétrica lleva a una Z"u, simétrica. Los elementos diagonales de Z".rt se llaman autoadmitancias de los nodos y los elementos fuera de la diagonal se llaman impedancías de transferencia de los nodos. Z"u5 no se necesita obtener al invertir fuur. Mientras Y"u, es una matriz escasa, Z"ur es una matriz plena; es decir, los elementos cero de Isus se vuelven no cero en los correspondientes elementos de Z"ut. Debe hacerse hincapié en que YsLrs/ZBus constituyen modelos de las porciones pasivas de la red de potencia. Lamatriz de admitancia de bus se usa con frecuencia para resolver problemas de flujo de carga. Ha ganado aplicación muy amplia gracias a su sencillez parala preparación de los datos y la facilidad con la que lamatriz de admitancia de bus se puede formar y modificar para cambios en la red, tales como adición de líneas, transformadores de regulación, etc. (véase los ejemplos 6.2 y 6.7). Por supuesto, la escasez de la matriz es una de sus más grandes ventajas pues reduce mucho la necesidad de memoria de computadora y consumo de tiempo. En contraste con esto, la formación de una matnz de impedancia de bus requiere ya sea la inversión de la matriz* o el uso de algoritmos complicados. Además, la matriz de impedancia es una matiz plena.**

x Zsu5 se puede referir a bus de tierra o a bus de referencia. En el primer caso, usualmente se necesita crear por

lo menos un enlace fuerte artificial a tierra para evitar dificultades numéricas al obtener .Z"u5, porque en ausencia de esto, Y"u, resultará mal condicionada o incluso singular. Una alta admitancia en derivación insertada en el bus de referencia obtiene el resultado deseado de la manera más sencilla [20]. ** Las desventajas de la matriz convencional de impedancia se pueden obviar por medio de los factores LU de la matriz de admitancia y utilizar un sistema de almacenamiento compacto. Recientemente se aplican métodos

6.3

Formación de

lrr.

por transformación

_r-

singular |

La mafriz de impedancia de bus, sin embargo, es sumamente útil para estudios de cortocircuito, como se verá en los capítulos 10 y 11. Nola: En el sistema muestra de la figura 6. 1, los buses se numeran de manera arbitraria, si bien en estudios más elaborados de sistemas eléctricos de potencia grandes se ha demostrado que cierto ordenamiento de los nodos produce una convergencia más rápida y soluciones eficientes. El apéndice C trata de los temas de esc(tsezy ordenación óptima.

6.3 FORMACIÓN DE

yBUs

pOR TRANSFORMACIÓN

SINGUTAR El par de matrices Ysus y 2".r. forman los modelos de red para estudios de flujo de carga. La Yuur se puede construir alternativamente mediante las transformaciones singulares dadas por un procedimiento teórico gráfico. Este procedimiento alterno tiene una gran importancia teórica y práctica y, por lo tanto, se trata aqtí. Para comenzar, se repasa brevemente la teoría de gráficas.

Gráfica Para describir las características geométricas de una red, se reemplaza con segmentos individuales de línea que se llaman elementos, cuyas terminaciones se llaman nodos.Una grófica lineal descibe la interconexión geométrica de los elementos de una red. Una gráfica está conectqda si y sólo si hay una trayectoria entre cada par de nodos. Si a cada elemento de una gráfica conectada se le asigna una dirección,x se llama gráfica orientad(t. Las redes de potencia se estructuran de tal manera que del número total de nodos rn, un nodo (en general descrito por 0) está siempre al potencial de tierra y los nodos restantes n = m son los buses en los que se inyecta la potencia de la fuente. Laflgura 6.2 muestra la gráfica de la red de potencia de la figura 6.1c). Se puede observar aquí que cada fuente y la admitancia en derivación (en paralelo) conectada a través de ella se representan por un solo elemento. De hecho, esta combinación representa el elemento más general de red y se describe bajo el subtítulo red primitiva. Una subgráfica conectada que contiene todos los nodos de una gráfica pero no tiene trayectorias cerradas se llama órbol.Los elementos de un árbol se llaman ramas o rqmas de órbol. El número de ramas á que forman un árbol está dado por

-l

b=m

- | = n (número de buses)

(6.e)

Los elementos de la gráficaque no se incluyen en el iírbol se llaman vínculos o ramas de vínculos y forman una subgráfica, no necesariamente conectada, que se llama coórbol. El número de vínculos 1de la wáfica conectada con ¿ elementos es

l=e-b=e-m+l

(6.10)

segmento por segmento o técnicas de desglose (dialóptica) para superar las desventajas de almacenamiento de datos excesivos [18]. * Por conveniencia, la dirección se asigna de tal manera que coincida con la dirección positiva supuesta de la coriente del elemento.

1-8.9

CAFfTLO

6

Estudios de flulo de

Figura

6.2

Gráfica linealdelcircuito de la figura 6.1c)

Observe que un árbol (y, por 1o tanto, un coárbol) de una gráficano es único. Un árbol y el correspondiente coárbol de la gráfica de la figura 6.2 se muestran en la figura 6.3. El lector debe tratar de encontrar algunos otros pares árbol y coárbol. Si se incluye un vínculo al árbol, la gráfica correspondiente contiene una trayectoria cerrada que se llama lazo. Así, una gráfica tiene tantos lazos como el número de vínculos.

Red

primitiva

Un elemento de red puede contener en general componentes activos y pasivos. Las figuras 6.4a) y á) muestran la forma alternativa de representación de impedancia y admitancia de un elemento general de la red, respectivamente. La forma de la impedancia es una fuente de voltaje e," en serie con una impedancia ¿rs en tanto que la forma de la impedancia es

eC ---- Rama

Vínculo ó-O

m=5

\9

\,,/'-------->--J-

-

@5@

----a

b=m- 'l =5-1=4=n I=e-b=5 @ a) Árbol

Figura

6.3

b) Coárbol

Arbol y coárbol de la gráfica conectada y orientada de la figura 6.2

6.3

Formación de

Yr*

por transformación

singular

una fuente de corriente jrs en paralelo con una admitancia yrrL& corriente del elemento es l,, y el voltaje del elemento es

vn=Er-E, donde E, y

{

son los voltajes de los nodos de elemento r y s, respectivamente.

Se puede recordar aquí que para desempeño en régimen permanente de CA, todas las

variables de elemento (vr* E, En iru jrr) son fasores y los parámetros de elemento (2..,, )rr) son números complejos. La relación de voltaje para la figura 6.4a) se puede escribir como

v^ I €r, =

Zrri

(6.11)

,,

Del mismo modo, la relación de corriente parala figura 6.4á)

es

(6.r2)

'rs ' Jrs - Jrs"rs

Las formas de las flguras 6.4a) y á) son equivalentes, donde la corriente de la fuente en paralelo en forma de admitancia se relaciona con el voltaje en serie en forma de impedancia por

jr, = _ lrr€r, También

!r, = llZ^ Un conjunto de elementos no conectados se define como red primitiva. Las ecuaciones de desempeño de una red primitiva se dan enseguida: En forma de impedancia

V+E=ZI

(6.13)

I+J=W

(6.r4)

En forma de admitancia

Aquí V e 1 son los vectores de voltaje y corriente del elemento, respectivamente, son los vectores de la fuente. Z y Y son las matrices primitivas de impedancia y admitancia, respectivamente. Éstas se hallan relacionadas como Z = y-1. Si no hay y

JyE

tt -E l

I

F -s

a) Forma de impedancia

Figura

6.4

I

b) Forma de admitancia

Representación de un elemento de red

I

I91

CAPíTULO

6

Estudios de fluio de carga

acoplamiento mutuo entre los elementos, Z y Y seún diagonales, donde las entradas (o elementos) diagonales son las impedancias/admitancias de los elementos de la red y son recíprocas.

Variables de red en marco de referencia de bus Lagráfi.ca lineal de red ayuda en la construcción sistemát\cade un modelo de red. El principal problema al obtener modelos matemáticos para redes de potencia grandes y complejas es seleccionar un conjunto de variables de coniente o voltaje con redundancia mínima o cero (linealmente independientes) que sea suficiente para dar la información acerca de todos los voltajes y corrientes de los elementos. Un conjunto de tales variables 1o constituyen los voltajes del árbol á.* Se puede ver fácilmente por medio de un razonamiento topológico que estas variables constituyen un conjunto no redundante. El conocimiento de los voltajes del árbol b permite calcular todos los voltajes de elementos y, por lo tanto, todas las corientes de bus, si se supone que todas las admitancias de los elementos se conocen. Considere la gráfica de árbol mostrada en la figura 6.3a) en la que el nodo de tierra se elige como nodo de referencia. Ésta es la opción de árbol más adecuada para una red de potencia. Con esta selección, los voltajes de rama del árbol b se vuelven idénticos a los voltajes de bus, ya que las ramas del árbol son incidentes al nodo de tierra.

Matriz de incidencia de bus para el sistema específico de la figura 6.3a),las siguientes relaciones entre los nueve voltajes de elemento y los cuatro voltajes de bus Vr, Vz, Vz Y Vq se obtienen'

=

Vt

Vttz=

Vz

=

Vz

Vtr+=

V+

Vot Vttz

(6.15)

V6= V3- Va V6= V3- V2 V17= V1 - V2 V1s= Va- V2 Vp= V3- V1 o. en forma matricial

V = AVsug

::ii ;onjunto .::.'¡l¿.

(6.16)

de r,ariables de red son las coffientes del vínculo I (lazo), las cuales constttuyen un conjun-

Je r¡d de redundancia cero [6].

6.3

Formación de

Yrr.

por transformación

singular üi,{lisl* N

donde la matriz A de incidencia de bus bus

T 2 J A

-56

7 8

9

1

23

es

4

1000 0100 0010 0001 -0 ---ó---f--ri 0 -1 i 1 -1 0 0 -1 0 -1 0 I

Ab t vínculos

L

Il=li1l l

-At I

LA,

(6.17)

-l

0 0 1

0

Esta matriz es rectangular y, por consiguiente, singular. Sus elementos d,k se encuentran de las siguientes reglas:

a¡*=

|

si el elemento l-ésimo es incidente al k-ésimo nodo (bus) y con orientación

que lo aleje del nodo =

-1

si el elemento l-ésimo es incidente pero orientado hacia el nodo k-ésimo

= 0 si el elemento l-ésimo no es incidente al k-ésimo nodo Si la ecuación (6.16) se sustituye en la (6.14), se obtiene

Si

se

I+J-YAVBUS

(6.18)

ATI+ATJ=ATYAVBUS

(6.1e)

premultiplica porAr,

Cada componente del vector n-dimensional Ar1 es la suma algebraica de las corrientes de elementos que salen de los nodos I,2, ..., n. Por lo tanto, al aplicar* la ley de las corrientes de Kirchhoff (KCL) debe dar por resultado

ArI=0

(6.20)

A'J se puede reconocer como la suma algebraica de todas las corrientes de fuente que se inyecta en los nodos I,2, ..., n. Estos componentes son, en consecuencia, las corrientes de bus.*x Así, puede escribirse De forma análoga, cada componente del vector

AT =,/sus * Para el nodo

1,

Ar1 da

lls+i,r-1,,=0 El lector debe verificar esto para otro nodo. xx Para el nodo l, Ar"I da jor = corriente que se inyecta en e1 bus 1 porque los otros elementos conectados al bus 1 no tienen fuentes

(6.2r)

CAPÍruLO

6

Estudios de flujo de carga

La ecuación (6.19) se simplifica entonces a

(6.22)

/sus = ATYAÍBUS

Así, si se sigue un procedimiento sistemático alterno, se llega a la misma ecuación de corriente nodal que (6.6). La matdz de admitancia de bus se puede entonces obtener de la transformación singular de la Y primitiva, es decir, (6.23)

Ysus = ArYA

Se puede desarrollar un programa de computadora para escribir la matriz de inciden-

A apntir de los datos de interconexión de los elementos dirigidos del sistema de potencia. Se pueden usa.r entonces las subrutinas de transpuesta y multiplicación matricial para calcular Y"u5 de la ecuación (6.23). cia de bus

Encontrar la Isu5 por medio de una transformación singular del sistema de la flgura 6.2

Solución )ro

lzo )¡o !+o

f=

¿t1

lzt

lp \o¡

!tz Si se utilizaA de la ecuación (6.17), se llega a 0

0

0

0

lzo

0

0

0

0

0

0

0

!zo 0

0

0

Jy'z¡

-lz+

0

JZJ

!zz

0

)ro

YA=

!qo

!tz

- ltz

0

0

0

-

0

lzq

J t)

Jy'ot

0

ftz

0

e¡

Formaciin oe

y*"

por transformación

singutar

Filalmente.

Inus ='{TIA ()ro + )lz + )l:) -)lr

-fn (!zo + ln

-}r: -lt¡

-l're

+ yB + y24)

()so + /rs

- ltt

- lzz

o

* !z+

+

ly

!3) - rz+

lzq

+

(lqo + lzq * Vr¡)

Los elementos de esta matr^z, por supuesto, concuerdan con los que se calcularon previamente en la ecuación (6.3)

La figura 6.5 muestra el diagrama unifilar de un sistema sencillo de cuatro buses. La tabla 6.1 da las impedancias de línea identificadas por los buses en el que terminan las líneas. La admitancia en derivación (en paralelo) de todos los buses se supone que es despreciable.

a) b)

Encontrar Y"ur al suponer que la línea que se muestra punteada no está conectada. ¿Qué modificaciones se tienen que realizar en Y",r. si la línea punteada se conectara?

Figura 6.5 Sistema muestra para el ejemplo 6.2

Tabla

6.1

Línea,

bus a bus

R' Pu

X' pu

r-2

l-3

0.05 0.10 0.15

0.15 0.30 0.45

.A a/ J-+

0.10 0.0s

0.30 0.15

I

#F

I}'l

cJinfo 6

Estudkrs de flujo de carga

I

Tabla 6.2 G' pu

B' pu

1a

2.0

t-3

1.0

- 6.0 - 3.0 -2.0 - 3.0 - 6.0

0.666

Solución a)Dela

1A

1.0

J-+

2.0

tabla 6.1 se obtiene la tabla 6.2, de la cual se puede escribir Y"u, para

el sistema como

rn

Ytz Ytt t o1

l I Yz, Yzz Yzt rBUS=l

Yzz Yzz Yoz Yot

lr,

LYq

Yzq

(i)

I

,*|

I

Yu

)

o o -]r: [rr:o !zz+!z+ -!zz -!z+ =l -l-r,, -lzE lzt+lsz*lzq -lzq 0 -!zq -!zq !+z+!qz) L -l

(ii)

|

I I

0

[t-;,0

-7+i3

0

1.666-js -0.666+j2 -1+j3 I | j2 3.666-jn -z+ ¡e| 'BUS=|-r*;¡ l"l 0 -0.666+ 3-j9) L -1+j3 -2+j6 l

á) Los siguientes elementos de Y"u, una línea entre los buses 1 Y,2, nu..,u

Yll.

nu.tu

Y22. n

La

"'u

y

(iii)

de la parte a) se modifican cuando se agrega

2:

= Yt2. anteÁor - Q - j6) = Yzl, nurro = Yll. anterio. + Q - j6) = Il2. ante.io. + Q - j6¡

(iv)

I"u. modificada se escribe en seguida

0 I -2+j6 -r+j3 l t-¡, 3.666-jrr l-2+j6 -0.666+j2 -r+j3l /BUS =l-r+l: L 0 6.4

(v)

-0.666+i2 3.666-jlr -Z+ jll -r+j3 -2+j6 3-je)

PROBLEMA DE FI,UJO DE CARGA

La potencia compleja inyectada por la fuente en el i-ésimo bus de un sistema eléctrico

es

(6.24)

Problema de flujo de cara¿

donde If es el voltaje en el l-ésimo bus con respecto a tierra y.r, es la corriente de la fuente que se inyecta al bus. Ei problema de flujo de carga se maneja en forma más conveniente mediante el uso de "/,en vez de "rf. Por lo tanto, si se toma el complejo conjugado de la ecuación (6.24), se tiene P¡

Si se sustituy e t,

=i

- jQ¡ = V¡*J¡l i = I, 2, ..., n

(6.25a')

Y,nVo deecuación (6.5), puede escribirse

k=1 P¡

- jQ¡ = vf L y,tvt; i = r, 2, ..., n

(6.zsb)

k=l

Si se igualan las partes reales e imaginarias

(".l {yi \ y,, Vr)I I n?i'^ fnl Q¡ (potencia reactiva) = - Im ly,l L y,o "-v, I I o-=r rJ P, {potencia real) = ne

(6.26a)

(6.26b)

En forma polar

V¡= lV¡lej4 Y¡t = lY¡tleio,r Ahora las potencias real y reactiva se pueden expresar como n

P¡ (potencia real)

=

lV.l

k=l

i = 1,2, ..., Q, (potenciareactiva) =

- Vl t

(6.27)

n

lvkl lyikl sen (d¿ + ór

i = 1,2, ..., n

-

4); (6.28)

Las ecuaciones (6.27) y (6.28) representan 2n ecuaciones de flujo de potencia en n buses de un sistema eléctrico de potencia (n ecuaciones de potencia real y n ecuaciones de potencia reactiva). cada bus se caracteriza por cuaúo variables; p,, eplvl y á, dando por resultado un total de 4n variables. Las ecuaciones (6.27) y (6.28) se pueden resolver para 2n vanables si se especifican las restantes 2n vanables. Consideraciones prácdcas permiten a un analista de sistemas eléctricos de potencia fijar a priori dos variable; en cada bus. La solución para las 2n vaiables restantes se vuelve dificil por el hecho .ie que las ecuaciones (6.21) y (6.28) son ecuaciones algebraicas no lineales ilos rolx..:.1e: de bus participan en forma de producto y hay presentes términos seno v coseno \. Fn¡r lo tanto, no es posible la solución explícita. La solución sólo se puede obtener mediante técnicas numéricas iterativas.

Dependiendo de cuáles dos variables se especifiqten a priori, los buses se clasifican en tres categorías:

1)

Bus PO

En este tipo de bus, se conocen las potencias netas P, y Q¡(P o¡! Qo¡se conocen de la predicción de cargas y Pc¡y Q", se especifican). Las incógnitas son lV,l y 4. Un bus de carga pura (sin equipo de generación en el bus, es decir, Po,= Qc¡= 0) es un bus PQ.

2)

Bus PV/bus de generador/bus controlado por voltaje

En este tipo de bus, P' y Qn¡ se conocen a priori y fican. Las incógnitas son Q, (por lo tanto Qo) y 6,.

3)

lvl y P, (por lo tanto, P6¡)

se especi-

Bus de baja actividad/bus oscilante/bus de referencia

Este bus se distingue de los otros dos tipos por el hecho de que las potencias real y reactiva en este bus no se especifican. En vez de esto, se especifican la magnitud del voltaje y el ángulo de fase (que por lo común se hace igual a cero). Normalmente, sólo hay un bus de este tipo en un sistema eléctrico dado. La necesidad de tal bus para un estudio de flujo de carga se explica a continuación. En un estudio de flujo, las potencias real y reactiva (es decir, potencia compleja) no se pueden frjar a priori en todos los buses, pues el flujo neto complejo de potencia hacia la red no se conoce por anticipado y la pérdida de potencia del sistema no se conoce sino hasta que se concluye el estudio de flujo de carga. Por lo tanto, es necesario tener un bus (es decir, el bus de referencia) en el que la potencia compleja no está especiflcada de modo que ésta suministre la diferencia en la carga total del sistema más las pérdidas y la suma de las potencias complejas especificadas en los buses restantes. Por el mismo razonamiento, el bus de referencia debe ser un bus del generador. La potencia compleja asignada a este bus está determinada como parte de la solución. Con objeto de que las variaciones en las potencias real y reactiva del bus de referencia durante el proceso iterativo sean un porcentaje pequeño de su capacidad de generación, el bus conectado a la planta generadora más grande se selecciona por lo común como el bus de referencia. Además, por conveniencia, el bus de referencia se numera como bus L Las ecuaciones (6.27) y (6.28) se conocen como ecuaciones de flujo de carga estático (SLFE: static load fior equations). Una vez que se transponen todas las variables a un miembro, estas ecuaciones se pueden escribir en forma vectorial.

f(x,y)=o donde

,f = función vectorial de dimensión 2n

r = vector dependiente

o de estado de dimensión 2n

(2n variables no especificadas)

y = vector de variables independientes de dimensión 2n (2n vanables independientes que se especiflcan a priori)

(6.2e)

Algunas de las variables independiente eny se pueden usar para manipular algunas de las variables de estado. Estas variables independientes ajustables se llaman parámetros de control. El vectory se puede entonces separar en un vector u de parámetros de control y un vectorp de parámetros fijos:

'y=l l") lp)

(6.30)

I

Los parámetros de control pueden ser magnitudes de voltaje en los buses PV, potencias reales P¡, etc. El vectorp incluye todos los parámetros restantes que son no controlables. Para que la solución SLFE (static load flow equations: ecuaciones de flujo de carga estática) tenga un significado práctico, todas las variables de estado y control deben encontrarse dentro de los límites prácticos especificados. A continuación se describen estos límites, dictados por las especificaciones del equipo (hardware) del sistema eléctrico y por restricciones de operación: La magnitud de voltaje lV,l debe satisfacer la desigualdad

i)

l%l*n=l%l
(6.31)

a voltajes fijos con variaciones permisibles ¿s -r (J-10)Vo de los valores nominales. Algunos de los ái (variables de estado) deben satisfacer la restricción de desigualdad

El equipo del sistema eléctrico de potencia está diseñado para operar

ii)

14-

< lá,- árl_á"

6ft1

(6.32)

Ésta limita el ángulo de potencia máximo permisible de los buses que conectan de la línea de transmisióniy k y se impone por consideraciones de estabilidad del sistema lr'éase el capítulo 12). il¿) Por limitaciones físicas de las fuentes de generación P 1/o Q.Pc, )'0,;. se linl nn

como

si_eue: D !a

_._.<

p- .. p- _

--tQ:

':

-t: rj -

tr -D

_:-:

frl

=Q' -,

Por supuesto. e5 oh\ iu qu: i; Sina:iJt,ir. r.-r '' *i l\- .ila demanda total de carsa márr 1e-. pe:il;.r<- es ;-.:r

\L'. p -\

5

_

.

:e;;:r', ¡ ;ebe ser isual

a

(6.35)

\-0.=\e--e,

(6.36) i: donde Pry Qrson la pérdida de potencia real ¡ la pérdida de potencia reactiva del sistema, respectivamente. En e1 capítulo 7 se tratará ia repartición óptima de generación de potencia real y reactiva entre las fuentes. * El voltaje en un bus PV se puede mantener constante sólo si hay disponible en el bus una fuente controlable de Q y la generación reactiva necesaria está dentro de los límites prescritos.

CAPITULO

6

Estudios de flujo de carga

El problema del flujo de carga se puede ahora definir plenamente como sigue: Suponga una cierta configuración nominal de bus de carga. Especifique Po, + Qo, en todos los buses PQ (esto especifica P, + jQ, en estos buses);especifique P6¡ (esto especifica Pr) y ll{l en todos los buses Pll. También especifique lV,l y á, (= 0) en el bus de referencia. Así, se especifican 2¡r rariables del vectory. Las2n ecuaciones SLFE se pueden ahora resolver (iterativamente) para determinar los valores delas2n variables del vectorx que comprenden voltajes ¡' án-eulos en los buses PQ, potencias reactivas y ángulos en los buses PV y potencias reactivas en el bus de referencia. El siguiente paso lógico es calcular los flujos de línea. Hasta ahora. se han presentado los métodos para establecer una matriz I"u, y las ecuaciones de fluio r se ha definido el problema del flujo de carga en su forma general con definiciones de rarios tipos de buses. Se ha demostrado que las ecuaciones de flujo de carga, por ser ecuaciones alsebraicas esencialmente no lineales, han de resolverse mediante técnicas numéricas iterativas. La sección 6.5 presenta algunos de los algoritmos que se usan para soluciones de flujo de ca¡_sa de exactitud aceptable para sistemas de tamaño práctico. A costa de la precisión de la solución, es posible linealizar las ecuaciones de flujo al hacer suposiciones 1 aprorimaciones adecuadas para hacer posibles soluciones rápidas y explícitas. Tales técnicas tienen valor en particular para estudios de planeación, donde se tienen que llevar a cabo soluciones de flujo de carga de forma repetida, pero no se necesita un alto grado de exacdrud.

Una solución aproximada de flujo de carga Se hacen las siguientes suposiciones y aproximaciones en las ecuaciones de

flujo de carga

(6.27) y (6.28):

i)

Como las resistencias de línea son pequeñas se desprecian (las conductancias en derivación de líneas aéreas siempre son despreciables), es decir, P., la pérdida de potencia activa del sistema es cero. Por lo tanto, en las ecuaciones (6.27) y (6.28), 0r¡

iii)

- 90o y 0,, - -90". - 6¿) es pequeio (< 1116) de modo que sen(6, -

ó¿) - (4 - ár. Esto se justifica por consideraciones de estabilidad (véase el capítulo 12). Todos los buses distintos del de referencia (que se numera como bus 1) son buses PV, es decir, se especifican las magnitudes de voltaje en todos los buses en el que se incluye el de referencia.

tD (4

Las ecuaciones (6.27) y (6.28) se reducen entonces a n

P¡

=lV¡l

t.

lykl lYikl 6i- 5o); ¡ =

2,3, ..., n

(6.37)

k=l Q¡ =

-

1,2, .... n

lV¡l

(.6.38)

k=l k+i

Como se especifican los l$, la ecuación (6.37) representa un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en á, que son (n 1) en número, pues á, se especifica en el bus de

-

Problema de flujo de carga

reterencia ró. = 01. La ecuación n-ésima que coffesponde al bus de referencia (n = 1) es re¡Jund¿¡re )'a que la potencia real que se inyecta en este bus se especifica por completo

cofntr

p.

=L

p^

- 2

i=2

t=2

P.,; (P¿ = 0). La ecuación (6.37)

se puede resolver de

for-

ma erpiícita (no iterativamente) para 62,53, ...ón, las cuales, cuando se sustituyen en la ecuación (6.38), dan las Q,, inyecciones de bus de potencia reactiva. Se puede observar que las suposiciones hechas pueden haber desacoplado las ecuaciones (6.37) y (6.38) de modo que no necesitan resolverse simultáneamente, pero se pueden resolver de manera secuencial [a solución de la ecuación (6.38) sigue de inmediato la solución simultánea de la ecuación (6.37)1. Como la solución es no iterativa y la dimensión se reduce de 2n a (n

-

- 1), la economía en tiempo de cálculo es mucha.

e¡"rnplo

,.J-l

--f

Considere el sistema muestra de cuatro buses de la figura 6.6 donde las reactancias de línea se indican en pu. Las resistencias de línea se consideran despreciables. La magnitud de todos los voltajes de los cuatro buses se especifica como 1.0 pu. Las potencias en el bus se especif,can en la tabla que sigue: Generación real

Generación reactiva

Qot=o.5

Pa=?

Qa (no especificado)

Poz= 1'0

Qoz= 0.4

-l

Poz= 2'o

Qoz= l.o

Pcz= 4'o Pcz= 0

Qcz(no especificado) Qcz (no especificado)

4

Poq =

Demanda real

Demanda reactiva

1

D :1n

2

Bus

Qo+=l.a

2'o

Pc+=o

qa4gg!ry

La figura 6.6 indica inyecciones en el bus para los datos especificados en la tabla. Como los voltajes de bus se especifican, todos los buses deben tener fuentes Q controlables. De los datos es también claro que los buses 3 y 4 sólo tienen fuentes Q. Además, como se supone que el sistema es sin pérdidas, la generación de potencia real en el bus I se conoce a priori y es

Pct = Pot + Pnz +

PoE

+ Po+- Pc, = 2'0 Pu -r3=-2+ lo. Ss

10.15

Val So

Figura

6.6

= 1.0

= -2+ lo"

lVrl = 1.0

2

S,= 3+ l^-

Sistema muestra de cuatro buses sin pérdidas

CAPíTULO

6

Estudios de ftuio de

Por lo tanto, se tienen siete incógnitas en vez de 2 x 4 = 8 incógnitas. En el problema presente, las variables de estado y control desconocidas son 62, 62, 6+, y

ea, ecz, ecz

Qc+.

Aunque las pérdidas reales son cero, la presencia de las pérdidas reactivas requiere que la generación reactiva total debe ser mayor que la demanda reactiva total (2.9 pu). De los datos dados, fuu, se puede escribir como sigue:

1234

rl- i2r.661 i5.000 i6.667 i10.0001 v _21 i5.000 _ j21.667 i10.000 j6.667 'eus-rl i6.667 i10.000 _ ir6.667 i0.000 4l j10.000 j6.667 j0.000 _ jr6.667 )

|

I

(i)

Se utiliza la Yuur anterior y las potencias de bus que se muestran en la figura 6.6, y las ecuaciones aproximadas de flujo de carga (6.37) se expresan como (todos las magnitudes de voltaje son iguales a 1.0 pu)

(q-

4) + 10 (q- 4)+6.66i Pz=-2=6.667 (q- q) + 10 (Q- ó,; P+=-2= I0 (ó¿- 4) +6.667 (ó+- 4) Pz=3 =s

(q- át

(ii) (iii) (iv)

Si se toma el bus 1 como bus de referencia, es decir, ór = 0 )' lue-eo de resolver (ii), (iii) y iv), se llega a

4

= 0.077 rad = 4.41o

=- 0.074rad= - 4.23" A¿ -- 0.089 rad = - 5.11" á3

Al sustituir

(v)

ó en las ecuaciones (6.38), se tiene

=Qz =Qz = Q¿ =Qt

5 cos 4.41' - 6.667 cos 4.23" - 10 cos 5.11" + 21.667 5 cos 4.41o - 10 cos 8.64" - 6.667 cos 9.52" + 21.667 6.667 cos 4.23" - 10 cos 8.64' + 16.667 10 cos 5.11'- 6.667 cos 9.52" + 16.667

o

Qt = 0'01

Pu

Qz = 0'22 Pu Qz = 0'132 Pu Q+ = 0'132 Pu

(vi)

Las generaciones de potencia reactiva en los cuatro buses son:

Qct = Q, + 0.5 = 0.57 pu Qcz = Q, + 0.4 = 0.62 pu Qcz = Qt + 1.0 = 1.132 pu Qcq = Qo

+ 1.0 = 1.132 pu

(vii)

Problema de flujo de carga

Las perdidas reactivas de línea son il

Qt=

Z e",- L

eo

;-l

= 3.454

-

tviii)

2.9 = 0.55-l pu

Ahora se encontrarán los flujos en la línea. La ecuación (5.68)

se

puede escribi¡ en la

forma(lZ=X,0=90") p¡k

-

=

po,=

V1P

sen rQ

X,o

- e)

donde P,n es el flujo de potencia real del bus I al bus ft:

se\1?3' sen (Q - ár) = =- Prr= = 0.492 p¡ " |= 0.15 0.15 sen441o Pt2=-Prr= sen(á, -Dz)==-0.385 pu -' l^ 0.2 0.2 P14=- Por= lsen (6, - 4) = 10 sen 5.11o = 0.891 pu 0.1 Ptz

(ix)

Los flujos de potencia real en las otras líneas se pueden calcular de igual manera. Para el flujo de potencia reactiva, la ecuación (5.69) se puede escribir en la forma general

(lZ=X, d=90")

0*

=

tv¡-ttvkt

++ x¡r -

x,o

cos (4

- 6k)

donde Q,res el flujo de carga reactiva del bus I al bus ft.

en en

=

=

ezt=

+0.2- +0.2

cos

ey= =+ - :-0.1s 0.15

ev =e+t= + 0.1-

+0.1

(e

- óz) = 0.015 pu

cos (á,

cos (6,

-

-

63) ó¿)

= 0.018 pu

= 0.04 pu

2+j0.57 1

0.891+10.04

.385-7O.015

0.492-10.018 0.385+7O.015

0.891-7O.04

1 .1

03-10.092

4

¡.132

1+

;'r v2

1+io.4

.?

Figura

6.7

Solución de flujo de carga para el sistema de cuatro buses

CAPITULO

6

Estudios de fluio de

Los flujos de potencia reactiva en otras líneas se pueden calcular del mismo modo.

En la figura 6.7 se indican las generaciones y las demandas de carga en todos los buses, así como todos los flujos de línea.

6.5

MÉTODOGAUSS.SEIDEL

El método Gauss-Seidel (GS)

es un algoritmo iterativo para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. Para comenzar, se supone un vector de solución, basado en la guía de la experienciapráctica en una situación física. Una de las ecuaciones se usa entonces para obtener el valor revisado de una variable particular al sustituir en ella los valores presentes de las restantes variables. El vector solución se actualiza de manera inmediata con respecto a esta variable. El proceso se repite luego para todas las variables y así se concluye unaiteración El proceso iterativo entonces se repite hasta que el vector solución converja dentro de la exactitud prescrita. La convergencia es muy sensible a los valores supuestos con los que se comienza. Por fortuna, en un estudio de flujo de carga se puede sin dificultad identificar por la experiencia previa un vector inicial cercano a la

solución final. Para explicar cómo se aplica el método GS para obtener la solución de flujo de carga, suponga que todos los buses distintos del de referencia son buses PQ.Lluego se verá que el método puede adaptarse fácilmente para incluir también los buses Py. Si se especifica el voltaje del bus de referencia,hay (n -1) valores iniciales de los voltajes de buses cuyas magnitudes y ángulos se suponen. Estos valores entonces se actualizan mediante un proceso iterativo. Durante el curso de cualquier iteración, el voltaje revisado en el í-ésimo bus se obtiene como sigue:

J¡ = (P¡ De la ecuación (6.5)

- jQ)lvf

[de la ecuación (6.25a)]

,[

-l

v,=ll ,,- i ,,,

Yovol

L T;:

Al sustituir J,dela

(6.3e)

(6.40)

-]

ecuación (6.39) en (6.40)

V¡=

,f

-LY,oVnl;¡=2,3,...,n =1 k+i k

(6.4r)

|

_l

Los voltajes que se sustituyen en el miembro derecho de la ecuación (6.41) son los valores más recientemente calculados (actualizados) para los buses correspondientes. Durante cada iteración se actualizan de manera secuencial los voltajes en los buses i = 2, 3,..., n mediante el uso de la ecuación (6.41). Como el voltaje V1 del bus de referencia es fijo, no es necesario que se actualice. Las iteraciones se repiten hasta que ninguna magnitud de voltaje de bus cambie más que un valor prescrito durante la iteración. Se dice entonces que el proceso de cálculo coffverge hacia una solución.

Si en rez de actualizar los voltajes en cada paso de una iteración,la acttalización se lleva a cabo al final de una iteración completa, el proceso se conoce como método iteratito de Gauss. Es mucho más lento para converger y puede en ocasiones no llegar a la conr-ergencia.

Algoritmo para la solución de flujo de carga Ahora se considerará el caso en el que todos los buses distintos del de referencia son buses PQ. Enseguida se dan los pasos de un algoritmo de cálculo:

1.

Con el perfil de carga conocido en cada bus (es decir, Po,y Qo,conocidos), asigne*

Pc¡y Qc¡ a todas las plantas generadoras. Aunque las generaciones activas y reactivas se asignan al bus de referencia, se les

permite variar durante el cálculo iterativo. Esto es necesario porque la magnitud del voltaje y el ángulo se especifican en este bus (sólo se pueden especificar dos variables en cada bus). Con este paso, las inyecciones de bus (P¡ + distintos del de referencia.

2.

3.

jQ)

se conocen en todos los buses

Construcción de la matriz de admitancia de bus I"ur: Con los datos de admitancia de línea y en derivación almacenados en la computadora, Y"ur se construye al usar la regla para autoadmitancia y admitancia mutua (sección 6.2). Como alternativa, I"u, se construye al aplicar la ecuación (6.23), donde los datos de entrada están en la forma de lamatiz primitiva Yy una matnzA de conexión singular. Cólculo iterativo de los voltajes de bus (V¡; i = 2,3, ..., n): Para comenzar las iteraciones se supone un conjunto de valores para los voltajes iniciales. Como en un sistema de potencia la gama de voltajes no es muy amplia, es práctica normal usar un voltaje inicial constante,** es decir, al inicio todos los voltajes se hacen igual a (1 +j0) excepto el voltaje del bus de referencia, que es fljo. Debe observarse que se deben resolver iterativamente (n 1) ecuaciones (6.41) en números complejos para encontrar (n I) voltajes complejos, V2, V3, ..., V,.Si no se tienen disponibles en la computadora operaciones con números complejos, las ecuaciones (6.41) se pueden convertir en2(n 1) ecuaciones con incógnitas reales (e¡,f¡ o lI{1, á,) al escribir

-

-

-

V¡ = €¡ + Se puede

if¡ = lv,l e¡3'

lograr una importante reducción en el tiempo de computadora al llevar

(6.42) a

cabo

por anticipado todas las operaciones aritméticas que no cambian con las iteraciones. Defina

o, =

Ll3

i = 2,3, ..., n

(6.43)

* Las asignaciones de generación activa y reactiva se hacen con base en los criterios económicos que se tratan en el capítulo 7. ** Un voltaje inicial constante significa que para comenzar la iteración se ajustan las magnitudes del voltaje y los ángulos de todos los buses salvo los buses PVigual a (0 +j0). El ángulo del bus de referencia se considera convenrentemente como cero. Las magnitudes de voltaje en los buses PV y en el bus de referencia se hacen iguales a los valores especificados.

CAPTTULO

6

Estudios de flujo de carga

Y.,

i = 2,3, ..., ni

8,, = |! '^

Y"

6A4)

k = 1,2, ..', n;

k+i

Ahora para la iteración (r + l)-ésima, la ecuación de voltaje (6.41) se vuelve

y.(r+t)

'

i-l

¡

n

- -+- - \n.kvk"*r'- 2B,nvl" i=2,3, ...,n (Vi') r=i+l t=l

(6.45)

se continúa hasta que el cambio en magnitud del voltaje de bus, entre dos iteraciones consecutivas sea menor que una cierta tolerancia para

El proceso iterativo

lAy('*l)|,

todos los voltajes de bus, es decir ILV.O+1)¡ = 1y.('+t)

4. 5.

_

V.(nl <

s ; i = 2, 3, ..., n

(6.46)

Cólculo de la potencia del bus de referencía: la sustitución de todos Ios voltajes de bus que se calcularon en el paso 3 junto conV, en laecuación(6.25b) da Sl= Pt- jQt. Computación de los flujos de línea: éste es el último paso en el aniílisis de flujo de carga en el que se calculan los flujos de potencia en las diversas líneas de la red. Considere la línea que conecta los buses i y k. Lalínea y los transformadores en cada extremo se pueden representar por un circuito con admitancia en serie y,o y dos admitancias en derivación!¡^:y )¿¿s, corno se muestra en la figura 6.8. La corriente que alimenta el bus i alalínea se puede expresar como

I¡t = I¡t t * I¡t{ = (ViLa potencia que alimenta alalínea del bus i S¡* =

p¡t +

je¡t=

V¡

Vk)

!¡*+

(6.47)

VJ¡*o

es

ITr= VlVf _ Vt\ yff +

VrVty,fo

(6.48)

De igual modo, la potencia que alimenta a la línea del bus k es St¡

=Vt

Vf - VÍ) yft+ VoVfiifio

(6.4e)

La pérdida de potencia enlaTínea (l - k)-ésima es la suma de los flujos de potencia que se determinaron de las ecuaciones (6.48) y $.a\. La pérdida total de transmisión se puede calcular al sumar todos los flujos de línea (es decir, s,o + s¿, para toda i, ft).

Se puede rrt'sen.ar que la potencia del bus de referencia también se puede encontrar al suma¡ 1si flrrjLr! de las líneas que terminan en dicho bus.

Aceleración de convergencia La convergencia en el método GS algunas veces se puede acelerar mediante el uso del factor de aceleración. Para el bus i-ésimo, el valor obtenido del proceso de aceleración de voltaje en la iteración (r + 1)-ésima está dado por y('+1)lacelerado)

=

*

y.(r)

o1y.t+t) -y.{r)¡

donde a es un número real que sellamafactor de acelerqción. Se puede obtener un valor adecuado de a para cualquier sistema mediante estudios de ensayo de flujo de carga. Un valor que en general se recomienda es a = 1.6. Una mala selecciín de a puede sin duda disminui¡ la convergencia o incluso ocasionar que el método diverja. Esto concluye el análisis de flujo de carga para el caso de tener sólo buses PQ.

Modifrcación del algoritmo cuando también hay presentes buses PV En los buses PV, P y lI4 se especiflcan y Qy 6 son las incógnitas que se van a determinar. Por lo tanto, los valores de Q y á se van a acfualizar en cada iteración GS por medio de las ecuaciones adecuadas de bus. Esto se logra en los siguientes pasos para el bus PV l-ésimo.

1.

De la ecuación (6.26b)

e¡=-*

{n.

)¡ur}

El valor revisado de Q, se obtiene de la ecuación anterior al sustituir los valores de voltaje en el miembro derecho de la ecuación por los valores más actualizados. De hecho, parala iteración (r + l)-ésima se puede escribir de la ecuación anterior

i-r

,

f .. ...l t) Q,"*" = -Im l(14,',)* 2 y,oVo(,* a lytrt¡ * 2 y,oVo,,, I k=i ¿=r |. ) 2.

El valor revisado de 61 se obtiene de la ecuación (6.45) enseguida del paso 5

(r+1)

- LVO

1.

Así,

+ r)

f t r*t

= iinsulo de | :'

"

t6.50)

(Y,''' )* L

t-l

- L k=l

n

B,ovktr+t)

I

- 2 e*vo' | k=¡+1 I

(6.511

donde

^(r+tr ^i-h

4-¡9r+t'

El algoritmo para los buses PQ sigue inalterado.

(6.s2)

LEER

1 Matriz orimitiva Y 2 Matriz de incidencia de bus A 3 Voltaje de bus de referencia (l%1,61) 4 Potencia real de bus P,para i = 2,3,4, ..., n 5 Potencias reales de bus Q,, para i= m + 1,..., n (buses PQ) 6 Magnitudes de voltaje lV,sl para i=2, ..., rn (buses PV) 7 Límites de magnitud de voltaje lV,l mín y lV,l máx para buses PQ 8 Límites de potencia reactiva Q, mín y Q, máx para buses PV

Formar Y"r, con la ecuación (6.23) o según las reglas pedinentes suposiciones iniciales Vf

pa|ai= m + 1,..., n y

6,0

parai = 2,..., m

Calcular los parámetros A, para i = m + 1, ..., n y B¡t pa6 ¡ = 1, 2, ..., n; k= 1, 2, ..., n (salvo k = ¡) de ecuaciones (6.a3 y 6.aa) Establezca la cuenta de ¡teraciones r = 0

a!-:-

Establezca la cuenta de buses i =

2y

AV^ax= 0

IR

Calcular Qu,*,, de la ecuación (6

Reemplazar Q,,,*, por Q¡.6,

Calcular 4,,,*',, por ecuación (6.52)

Calcular A, por la ecuación (6.43)

Calcular ór,*.,, al utilizar la ecuación

4¡*

ly

de la ecuación (6.

(6.51 )

Reempfazar V, por Vu, *, y zar cuenta de buses i

>i+

y

Vq, *

¡=lV ¡"1 L 6,,, * r,

1

Avanzar cuenta de

iteracionesr=r+1 Calcular potencia de bus de referencia Pr+ jQl con la ecuac¡ón (6.25b) y todos los flujos de línea por medio de la ecuación (6.48)

Figura

6.9

Diagrama de flujo para la solución de flujo de carga por el método iterativo Gauss-Seidel usando Yru.

- :-,o r a se explicó, las limitaciones físicas de la generación Q exigen que la deman:" Je Q en cualquier bus debe estar comprendida en la región Q,¡n ) Q.6*. Si en :ualquier etapa durante el cálculo, Q en cualquier bus sale de estos límites, se fija a Qn¡n o Q-u, según sea el caso y la especificación de voltaje de bus se omite; es decir, bus se trata ahora como un bus PQ. Así, el paso 1 descrito antes se ramifica al paso 3 que sigue.

e1

-l.

gt' + t) 1

+ r) = Q¡, mín y tratar al bus I como un bus PQ. Q¡. *in, establec er Q.(r * t)''y * 1) lt' de las ecuaciones 6,..52¡ y (6.45),respectivamente. Si Q,t.'* t.' CalcularA,(' t) t, tf atar al bus I como un bus PQ. Calcular A-('* > Qi, ,na], establecer Qr,'* = Qi, ^á*y y V;'* ') de las ecuaciones (6.52) y (6.45), respectivamente. Ahora, todos los pasos del cálculo se resumen en el diagrama detallado de flujo

Si

de la figura 6.9 que sirve como base para que el lector escriba su propio programa de computadora. Se supone que de n buses, el primero es el de referencia, como es usual, entonces 2,3, ..., m sonbuses PVy los restantes m + I,..., n son buses PQ.

Eiemplo

6.4 I

Para el sistema de muestra de la figura 6.5 los generadores están conectados a los cuatro buses, mientras que las cargas están en los buses 2 y 3. Los valores de potencias real y reactiva se relacionan en la tabla 6.3. Todos los buses distintos del de referencia son tipo PQ. Si se supone un voltaje inicial constante, determine los voltajes y los ángulos de bus en los tres buses al final de la primera iteración GS.

Solución Yuu5 para el sistema muestra se calculó antes en el ejemplo 6.2b) (es decir, se supone que la línea punteada está conectada). Con objeto de aproximarse a la exactitud de una computadora digital, los cálculos que se dan a continuación se realizaron en una calculadora electrónica. Los voltajes de bus al final de la primera iteración se calculan con la ecuación

La

6.45\:

+{

vt = ' Yr, l.",.o',?' (Y2') *

-] {o :*i9 = -Yrl l-jO

-YrrvS

t

(-2+ j6\-(-0.666 + i2)-r-r+y¡rf

-1.04

)

Tabla Bus

P¡' Pu

6.3

V¡ Pu 1.04

2 A

Datos de entrada

Q¡' Pu

I J

-t^r2|

- Yztvt

0.5

-

1.0

U.J

-

0.2 0.5

-tr.l

L0"

Notas Bus de referencia Bus PQ Bus PQ Bus PQ

CAPÍTULO

6

Estudios de flujo de carga

v;'

4-?46

-

3.666

jrr-04

- jrr

=

1.019

+ jo.o46 pu

!r?: - yztvt - y'vl - yrovl\ +Yzz {':=-) l(yi) -19 t t.o4(- 1 + j3) = -1- {-1 =

Yzz

|. 1-j0

- (- 0.666 + i2) (1.01e + i0,046) - e 2 + j6) )

-

2'F1-

-

ir1'627 = i.028 - jo.o87 pu jrr

3.666

-

- Yttvt - Yorv) - Yorv'rl * !{'f:!r?^ Yoo l(Yi)) =+ -(-1+ j3)(1.01e+ j0.046) YM {o'?+i^ot L 1-j0

v,o =

- (- 2+ j6) (1.028 2.99r - j9.2s3

3- je

=

1.025

-

;o.o*t,

)

j0.0093 pu

En el ejemplo 6.4, sea el bus 2 un bus PV ahora con lVrl = 1.04 pu. Una vez más, si se supone un voltaje inicial constante, encuentre Qz, 6z, Vt, Vo al final de la primera iteración GS.

Dado:0.2

= Qz= l.

4 = O. es decir, Vjz= 1.04 + jol *Yztv, + (vy*lYrrvl + Yr'rv\ + Yrovll} Qtt = -L" {(vt) =- Im {1.04 (- 2 + j6) r.04 + 1.04 [(3.666 - jII) 1.04 + (- 0.666 + j2) + (- 1 + j3)l ) = - Im {- 0.0693 - j0.20791 = 0.2079 pu

De la ecuación (6.5) se obtiene (note que

Qrz = 0.2079 Prt

De la ecuación (6.51)

6\' = =

.{+l Yz,v, - Y,,v3 - r,^rfll (vY)* lY, l "r.;!g} \

--L

-))

o's jo'zgtg t{=-; e 2 + j6) (1.0a + r0) *l j11 | 3.666 L r.04 - j0 -

- (- 0.666 +

- (- 1 + j3) (1 + ,, ]) ¡t-'-'!" I = .1,.0r,2 + jo.o33e) = t(o ?!-\ 3.666 - jll ) o

ál = v1z

1.84659o

j2)

(1+

-r0)

= 0.032 rad

= 1.0+ (cos 6j + 7 sen ój) = 1.04 (0.99948 + j0.0322) = 1.03946 + j0.03351

v,, =

'

- Yttv, -rr ' - Y,,v} -)¿ L - Y,^vi} +{':.;!r?: Yr:. |.(vi)) 3.666-

-(-1 + jlrl [-1-¡9t (1 -j0)

- (- 0.666 + j2) (r.03e46 + 2.7992- irr.6766 3.666

- jrr

= 1.0317 -

i3)t.04 j0.03351)

- (- z + iel)

t0.08937

(D ;rr I v'o -yo,v, -vorv'rl -yrv) ,|?^ -' - = +1', ") Yoo

l(Yo')*

t (- 1 + (1.03e4 + j0.0335) =--l [o ?./^o ¡3) 3-j9 L l-,r0 -

-

2.967!-

j.8_'9962

3-je

(- 2 + j6) (1.031t

-

;U.Otnrtl

I I

= 0.9985 _ j0.0031

Ahora, suponga que los límites permisibles para Q2 (inyección de potencia reactiva) se modifican como sigue:

0.25

< Q, < L0 pt

CAPíTULo

6

Estudios de flujo de carga

Es claro que si los demás datos permanecen iguales, el Q2 calculado (= 0.2079) es ahora es decir, menor que el Qr, *n. Por lo tanto, Qrsehace igual a Qz, ^ín,

Qz

= 0'25 Ptt

El bus 2, por lo tanto, se convierte de bus PV a bus PQ. Por ende, lV2l no puede ya petmanecer fijo en 1 .04 pu. El valor de V2 al final de la primera iteración se calcula como sigue (note que Vf = t + j0 en virtud del inicio con voltaje constante)

\ /yrov\l yrrv! vt' = +[ 'r,=o!.?, - yztvt -) Yr, | (YY)'k "

I [o.s-io.zs =3.666-jlrL r-i0 - (- 2 + j6)r.04- (- 0.666 + j2) -C r + r:l ]

-

4.?49: j1r'49 3.666

- jrr

+(u:*-

v,,r = rr,[(yro)*

= 1.0559 + jo.o341

Y,,v '''

-Yuv)r+-) rzz v,,4]

[-l-l9t-(-1+i3)r.o4 1-j0 3.666-jttl - (- 0.666 + i2)(1.055e + i0.0341) - (- 2 + iO l

-

2.8!r? - jrr'709 r.034i j0.0893 pu = 3.666 - jLr

* +(':,^(?: Y*[(y;)*

vr^ =

=

*' - Y*u) - v., vll ")

-Yorv,

*{o t (- I + j3) (t.0s0e + j0.0341) ? --1-[o 3- je L I -io - (- 2 +

_ 4.0630 - j9.42M _

3-je

j6) (r.0347

1.0775 + 70.0923 pu

-

i0.08e3)

]

Método Newton-Raphson (NR)

6.6 nrrÉrooo NEWroN-RAPHSON

(r\rR)

El método \eu'ton-Raphson es un método muv poderoso para resolver

ecuaciones aleebraica5 no lineales. Funciona más rápidamente )' es seguro que con\-er-se en la mavor parte de los casos al compararlo con el método GS. Es sin duda el método práctico para la solución de flujo de carga en redes eléctricas de potencia grandes. Su única limitante es la necesidad de una gran memoria de computadora, la cual se ha superado mediante un sistema de almacenamiento compacto de datos (véase el apéndice C). La convergencia se puede acelerar de forma considerable al ejecutar la primera iteración por el método GS y los valores así obtenidos se utilizan para iniciar las iteraciones NR. Antes de explicar cómo se aplica el método NR para resolver el problema de flujo de carga, es útil revisar el método en su forma general. Considere un sistema de n ecuaciones alsebraicas no lineales

f¡(4, xt, ...,

xn)

=

0; i = I,2,

'..,

(6.53)

n

Suponga que los valores iniciales de las incógnitas son *ov *02, ..., x0,. Sean Lr?, A*or, ..., A"x! las correcciones que, al hacerse a la primera suposición, dan la solución real. Por lo tanto,

f,(*ot

Al desarrollar I,t*?.

+ L.xl, x02+ L*3, ..., xon*

o; i = 1,2, ..., n

Ar9) =

(6.54)

estas ecuaciones en serie de Taylor con la suposición inicial, se tiene

4..

I

. *9)

.ll

r ." r0

+ )I

l\dxt

¡ r. \0

.l+l

\d*, ) z .^ r0 z .^ r0

/ ¡. .l+ | r'9 * \dxz ) \o

o*?

I

o": l+terminosdemayororden=0

(6.55)

|

z -- r0

,l+]

+] t+ I \dxt) \d*r)

donde[

\dr,)

sonturderivadasdef conrespecro &xy,x2,...,xn.

evaluadas en ("r!, *1, ..., xo,¡. Si los términos de orden superior se desprecian, puede escribirse (ecuación 6.55) en

forma matricial

Ji-o r0

"o

JN

(

af,\o ( af,\o

l.ll"l

\oxt ) \dxz ) ( ar,\o ( dr,\'

(

af,)'

l"

\ox, ) ( ar,\'

[,',::

Q.,)

l.

( af,

( af,\o

( a¡,\o

\d\

\o

)

o en forma de matnz vectorial

ari

I

Lx3 (6.56a)

I

\ox, ) :

la\

)

trr,l

\.1

CAPíTULO

6

Estudios de ftuio de

/o+.ÉA;ro:0

(6.s6b)

conoce como matriz jacobiana (que se obtiene al diferenciar el vector función/con respecto a.r y se evalúa en xu). La ecuación (6.56b) se puede escribir como

,10 se

fo -

l_

Jo)

(6.s7)

Aro

Se pueden obtener valores aproximados de corrección A"r0 de la ecuación (6.57). Como éstos constituyen un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se pueden resolver de manera eficiente mediante triangularipción y resustitución (véase el apéndice C). Los valores actualizados de x son entonces

xl=xo+Axo o, en general, para la iteración (r +1)-ésima,

*(r

+1)

= ¡(r) I 6"(r)

(6.58)

Las iteraciones se continúan hasta que la ecuación (6.53) se satisfaga para cualquier exactitud deseada. es decir.

lfi@u')l

(

a (un valor especificado);

i = I,2, ...,

(6.se)

n

Algoritmo NR para solución de fluio de carga Primero se supone que todos los buses son PQ. En cualquier bus

pe, la solución de flujo

de carga debe satisfacer las siguientes ecuaciones algebraicas no lineales

(6.60a) A = Pi (especificada) - P¡ = 0 (6.60b) fig (1V1, A = Q¡ (especificada) - Q¡ = 0 donde las expresiones para P,y Q¡ se dan en las ecuaciones (6.27) y (6.28). para un conjunto de ensayo de las variables lV,l, ó,, el vector de los residuos/0 de la ecuación (6.57)

f¡p

(1V1,

corresponde a

- P¡ (calculada) = fig = Qi (especificada) - Q¡ (calculada) = f¡p = P¡ (especificada)

LP,

(6.61a)

LQ¡

(6.61b)

mientras que el vector de correcciones Axu corresponde a

arr4t,

a4

La ecuación (6.57) para obtener el vector aproximado de correcciones para el caso del flujo de carga como

se puede escribir

bus m-és¡mo

(6.62a)

LP¡

ous iesimo {

AQi

46, \

lr/.

]uu.

'-e,i'o

donde

'r-=# Nr*=h Jr^=K

(6.63a)

r -oQ¡ "'^dw Se observa inmediatamente que los elementos jacobianos correspondientes a los residuos del bus l-ésimo y las correcciones del bus rn-ésimo son una matiz de 2 x 2 incluida en la ecuación (6.62a), donde tanto I como ru son buses PQ. Como en el bus de referencia (bus número l), Pty Q, son no especificados y lV,l, ár son fijos, no hay ecuaciones que correspondan a la ecuación (6.60) en este bus. Por lo tanto, el bus de referencia no interviene en el jacobiano de la ecuación (6.62a). Considere ahora la presencia de buses Py. Si el bus l-ésimo es un bus P% Q,no est"á especificado, de modo que no hay ecuación correspondiente a la ecuación (6.60b) para este bus. Por lo tanto, los elementos jacobianos del bus i-ésimo se convierten en un solo renglón que pertenece a 4,P,, es decir,

bus m-ésimo bus t-ésimo

E

=

(6.62b)

H.

Aó. \

Si el bus m-ésimo también es un bus

PV,lv^l

se vuelve

tvm

]u,,,,-e,i'o

fijo tal que AlV.l = 0. Ahora

puede escribirse

bus rn-ésimo

busi-ésimo

_4

=

u.

! r]'-m.ésm.

(6.62c¡

CAPÍTLO

6

Estudios de ftuio de ca

También, el l-ésimo bus es un bus pe,mientras el z-ésimo bus es pv, podemos entonces

escribir

bus m-ésimo H¡m

bus Éésimo

J¡,

I

L]

(6.62d)

ü"'rn-ésimo

Es conveniente para la solución numérica normalizar las coffecciones

como

de voltaje

Llv.l lv*l como consecuencia de lo cual los elementos jacobianos correspondientes se convierten

en

w,*=ffiv^t

r,-=ffiv*t

(6.63b)

Las expresiones para los elementos de los jacobianos (en forma normalizada) de las ecuaciones de flujo de carga (6.60ay b) se deducen en el apéndice D y se dan enseguida: Caso

7

m+i Hi^= Li^=

Nr^=donde

Caso 2

a*f,-

b*e,

(6.64)

Jr*= e^er+ brf¡

Y¡.= G¡*+ jBi* V,= e¡ + jf, (a* + jb.) = (Gi. + jB¡*) (e* + jf*)

m= I H¡¡=- Qi- Biilvil2 Ni¡= Pi + G,,lV,l2 J¡¡= P¡- GiilViP L¡¡= Q¡- Biilvil2

(6.65) observación importante respecto a los jacobianos si se examina la matnz YBUS. Si los buses i y m no están conectados, yr^ = 0 (G¡_ Bi_ 0). por lo tanto, = = de las ecuaciones (6.63) y (6.60 puede escribirse Se puede hacer una

H¡^= N¡*= J¡^= L¡*=

H^¡ = 0 N^¡ = O J*¡ = 0 L^¡ = 0

(6.66)

Así, la matnz jacobiana es tan escasa como la matriz l"ur. La formación de la ecuación (6.62) delmétodo NR se ilustra mejor mediante un problema. La f,gura 6.10 muestra una red eléctt'rca de potencia de cinco buses con los tipos de buses que ahí se indican. A continuación se da la ecuación matricial para determinar el vector de correcciones a partir del vector de los residuos. Correspondiendo aun vectorparticularde las variables l62lv2l464lv4lá51r, se calculan el vector de los residuos [AP2 LQ2LP, LP4 LQ4AP']' y el jacobiano (6 x 6 en este ejemplo). La ecuación (6.67) se resuelve entonces por el procedimiento de triangularizacfu

y resustirución para obtener el vector de

| eccrones ^ ' corr L"*

Aly'l

' ' tv4tA6,'l l¿i " Qaáo+l1l ^

I

Las correcciones se agregan entonces par:a acÍualizar el vector de variables.

+

número de bus

z5 I

LPz

Hzz

aez

Jzz

Aps

Hsz

Nez

LP¿

Hqz

Nqz

Hq¿

te+

J+z

Ltz

Nzz

Hzz

Hz+

Nz+

Jzs

Jz¿

Lz+

aóz

z

Y

Llv2l lv2l

o Hzs

A6g

N+¿

Hqs

Aó,

J¿¿

La¿

J+s

H5a

Ns¿

Hss

Hss

(6.67) 6

.!+ c

Aps

t Residuos

Hss

tt

Llv4l Va

a6s

Jacobiano (evaluado con los valores Correcciones en Ias varíables supuestos de las varíables)

1(de referencia)

Figura

6.10

Red muestra de cinco buses

CAPÍTULO

6

Estudios de flujo de carga

Algoritmo iterativo A1 omitir los detalles de programación, el algoritmo iterativo parala solución del problema de flujo de carga por el método NR es como sigue:

1.

Con el voltaje y el ángulo (por lo común ó= 0) en el bus de referencia fijos, suponer lVl, á en todos los buses PQ y á en todos los buses PV. En ausencia de cualquier otra información, se recomienda un voltaje inicial constante.

2.

CalcularAP,(paralosbuses PVy PQ)y A,Q¡(pnatodoslosbusesPQ)apartirdelas

3. 4. 5.

ecuaciones (6.60 a y b). Si todos los valores son menores que la tolerancia prescrita, detener la iteración, calcular PtY Qt e imprimir la solución completa en la que se incluyen flujos de línea. Si el criterio de convergencia no se satisface, evaluar los elementos del jacobiano por medio de las ecuaciones (6.64) y (6.65). Resolver la ecuación (6.61) pnala corrección de ángulos y magnitudes de voltaje. Actualizar los ángulos y magnitudes de voltaje agregando los cambios coffespondientes a los valores anteriores y regresar al paso 2.

Nota: I. En el paso 2, si hay límites de las fuentes Q controlables en los buses P%

0

se

calcula cada vez y, si viola los límites, se hace igual al valor límite y el bus PV correspondiente se considera un bus PQ en esa iteración. Si en el siguiente cálculo Q queda dentro de los límites prescritos, el bus se convierte de nuevo en un bus PV. 2. Si hay límites en el voltaje de un bus PQ y si se viola cualquiera de estos límites, el bus PQ correspondiente se hace un bus PV en esa iteración al fijar el voltaje en el valor

límite.

Ejemplo 6.6 Considerar el sistema de tres buses de la figura 6.11. Cada una de las tres líneas tiene una impedancia en serie de 0.02 + j0.08 pu y una admitancia total en derivación dei0.02 pu' Las cantidades especificadas en los buses se tabulan a continuación:

Bus

I

Demanda de carga real

Demanda de carSa reactwa

Generación de potencia real

P

eo

P

)^

1.0

Generación de Especificación de voltaje

potencia reactiva

No especificada No especificada

4

= 1.04 +i0 (bus de

referencia) 0.0

0.0

0.5

1.0

1.5

0.6

0.0

Qc:=?

No especificada (bus PO) =

1.04

(bus

PI4

lV3l

La fuente de potencia reactiva controlable está disponible en el bus 3 con la restricción

0 < Qcz <

1.5 Pu

Método Newton-Raphson (NR)

3_t=-t_ 1.04L0"

lon.ll){ Figura

6.11

1.s+10"6

Sistema de tres buses para el ejemplo 6.6

Encontrar la solución del flujo de carga con el método NR. Use una tolerancia de 0.01 para desequilibrio de potencia.

Solución Si se utiliza el modelo z'nominal

para las líneas de transmisión,

I"ur

para el

sistema dado se obtiene como sigue: Para cada línea

/se¡ie=

#

= 2.g4r - irt.764

,.r*

=

12.13

L-

75.96"

Cada término fuera de la diagonal= -2.941 + jll.764 Cada término autónomo = 2I(2.941 - jlL764) + 10.011

= 5.882 - j23.528 = 24.23 L-15.95" -75.95" t2.r3Lr04.04" r2.r3Lr04.M'

-l

lz+.zzz-

y-,.,BUS = -

| nwto+.0+" --.LJLtz.t3Lro4.04" 24.23L- tJ.lr 75.95' rL.rJLtw

I I

Itzlzz-to+n+" t2.r3Lt04.04" Para iniciar la iteración se elige Voz=

24.23L- 75951

t + j0 y ó! = 0. De las ecuaciones (6.17t )

(6.18)

se obtiene

Pz =lVzl

lvl

lÍ231 cos

lY2rl cos (d21 + Q

(0r, + 6,

Pz=lVzllvll\rl

-

cos (á,t

+ lVrl2 lf22l cos &' + ll'.1 ll.l

-

6r)

-

6r) + lVrl

6r)

+

Q

- ór) + lv3l2 Vi cos d' Qz=-lvzllvl ll21l sen (0n+ ülv3l lY1¡l sen (dr, + 6z - 4) Al sustituir los valores dados y los valores

ó:)

-

lv2llYtl x

cos (.dr'

+

ó2

lv.l2 V22lxsen0rr-lV2l

supuestos de las diferentes cantidades, los

valores de las potencias se obtienen como

Pl.=-o'23Pu

CAPíTULO

6

Estudios de flujo de carga

P! = 0'12

QZ=

-

Pu

o'96

Pu

Los residuos de potencia según la ecuación (6.61) son

P! lcalculado)

AP9 = P, {especificado)-

=0.5-G0.23\=0.73 AP3 = -1.5

-

(0.12) =

-

1.62

tQoz=1-(-0.96)=1.96 Los cambios en las variables al final de la primera iteración se obtienen como sigue:

Il¿l

tlla& l= tllao,l L

ryZJ

0P, 0P, 0P, 06r. aq alv2l dP, LP:. 0P, ^al aal 06, aq alv|l aQ, aQ, aQ, ar%rl

aE aq

atvzl

Los elementos jacobianos se pueden evaluar al diferenciar las expresiones dadas anteriores para P2, Pz, Qzcon fespecto a 62, 63y lV2l y al sustituir los valores dados y supuestos al principio de la iteración. Los cambios en las variables se obtienen como

-l s64l '[ 0.731 [-00231 Ia4 t 2447 -12.23 I ¡4 l=l-tz.zs 24.es -3.0s I l- 1.62l= | -0.06s4 lltv,t'l L -o.lt 3.05 22.s4) [ t.e0] | o.oso.l I

taj | ' I|

tall [-0.0231 [-0023-1 | aql=101 | '*l-o.oos+l=l-o.oos+l | 6il*l ^ | Ia6i ' I| Tol la¡l=l , rr Irv,r'_j lrv,tol Ilt4t'] LtJ L 0.08e1 L r.08e.l

I

Ahora puede calcularse [con la ecuación (6.28)]

= 0'4611 Qo\= Q\+ Qrz = 0.467'7 + 0.6 = Qtz

l'0677

que está dentro de límites. Si el mismo problema se resuelve con una computadora digital, la solución converge en tres iteraciones. Los resultados finales son:

L- 0.024 tad Vz= l.O4 L- 0.0655 rad Qcz= - 0.15 + 0.6 = 0.45 (dentro de los límites) Sr = 1.031 + j(- 0.19I) Vz

=

1.081

6.6

Método Newton-Raphson

(NR) kaf I

Sz=0'5+71'00

S:=-1'5-j0'15 Pérdida de transmisión = 0.0031 pu

Flujos de línea La siguiente matiz muestra la parte real de los flujos de línea

t-

o.o

0.191312800 0.8398618001

o.o

0.684697 Eoo |II -on+zzsnoo L-0.8262r3E00 -0.673847E00 0.0 I

I

La siguiente matiz muestra la parte imaginaria de los flujos de línea

0.0

-0.s99464E00 -0.r9r782800f

lo.soszt+noo 10.224742800

o.o

0.396045¿'00

-0.375165E00 0.0

|

|

Versión rectangular de desequilibrio de potencia Esta versión usa como variables e,y f,,la parte real y la parte imaginaria de los voltajes, respectivamente. El número de ecuaciones y variables es mayor que para la ecuación (6.67), por el número de buses PV. Como en los buses PV e,y f¡pueden vaiar pero e,2 + f¡2 = lV)z, es necesaria una ecuación de desequilibrio cuadrática de la magnitud de voliaje para cada bus PV. Con programación de escasez matricial, este aumento en el orden casi no tiene importancia. Efectivamente, cada iteración es de forma marginal más rápida que parala ecuación (6.67) ya que no contiene términos seno y coseno que consumen mucho tiempo de cálculo. Se puede, no obstante, observar que incluso en la versión polar se evitan estos términos tanto como sea posible al utilizar aritmética rectangular en la construcción de las ecuaciones (6.64) y (6.65). Sin embargo, la versión rectangular parece ser un poco menos confiable, pero con convergencia más rápida que la versión polar. El número total de ecuaciones de flujo de potencia no lineales que se consideran en este caso es fijo e igual a 2(n 1). Estas ecuaciones provienen de las ecuaciones (6.26a) y (6.26b) y son

-

P, (especificada)

- i{r,{rnC* - fiB¡) + fi(fñ,,

+ ekBik} = 0

k=I

n Q, (especificada)

i=I,2,...,n , * bus(es) de referencia

- \{f,{"nC,o - f*Bt) -

(6.68)

e¡(fnGit + enB,)} = 0 (para cada bus PO)

(6.6e)

CAPITULO

6

Estudios de fluio de

lV,l (especificado)2

1el + f,zl = 0 (para cada bus PIz)

-

(6.70)

Con el método NR, las ecuaciones linealizadas en la iteración r-ésima del proceso iterativo se pueden escribir como

Parai #

j

or-1"' ["r, ,r-l'''Io"1,,, I oo.l I Atvr =lr, tol lorl l LJ, /o_l L

Jt,¡j

=

Jz¡j=

Parai=j

(6.7r)

Ja¡¡

=

Grt

e¡

f¡

Jz¡j - B¡j"¡+ G,¡ft

(6.12)

J5¡¡= J6¡¡ = 0

Jt¡¡= a¡ + G,e, + B¡f,

a¡- G¡¡et- Brft Jz¡¡= b¡- B¡ e¡+ G¡¡f¡ Jz¡¡=- b,- 8,,e,+ G¡¡f¡ J+¡¡=

(6.13)

Js¡t= 2"¡ J6¡¡ = 2f¡

ary brson los componentes

de la corriente que fluye hacia el nodo i, es decir,

(6.74)

Los pasos del procedimiento de solución son similares al caso de coordenadas polares, salvo que se hacen los estimados iniciales de las partes real e imaginaria de los voltajes en los buses PQ y las correcciones necesarias se obtienen en cada iteración al emplear

ri;::rl

liil Í|l ["l;r ]

(6.7s)

Las correcciones se aplican luego a e y fy se repiten los cálculos hasta lograr la convergencia. En la figura 6.12 se da una gráficadetallada de flujo que describe el procedimiento para el análisis de flujo de carga por el método NR.

6.7

MÉTODOS DESACOPTADOS PARA FLUJO DE CARGA

rJna característica importante de cualquier sistema práctico de transmisión de potencia eléctrica que opera en régimen permanente es la fuerte interdependencia entre las potencias reales y los ángulos de voltaje del bus y entre las potencias reactivas y las magnitudes de voltaje. Esta interesante propiedad de acoplamiento débil entre las variables P-á y Q-V dio la motivación necesaria para desarrollar el método desacoplado de flujo de carga

6.7

Métodos desacoplados para flujo de carga

(DLF: decoupled load flow), en el cual se resuelven por separado los problemas P-ó Q-v.

-r'

Métodos Newton desacoplados En cualquier método de Newton convencional, la mitad de los elementos de la matriz jacobiana representa el acoplamiento débil antes mencionado y, por lo tanto, se puede omitir. Cualquier aproximación como ésta reduce la convergencia cuadrática real a una geométrica, pero hay ventajas de cálculo que compensan esto. Se ha desarrollado en la literatura un gran número de algoritmos desacoplados. Sin embargo, aquí sólo se presenta la versión más popular de la versión de Newton desacoplada [19]. En la ecuación (6.67),los elementos que se van a despreciar son las submatrices [N] y [J]. Las ecuaciones de Newton lineales desacopladas resultantes son

[aP] = tlrl t^ál

(6.76)

raol = t¿l [+Il.l Lrvr l

(6.77)

donde se puede demostrar que H¡j

= L¡j =

lvl lvjl (Cu sen 6,j -

- Bii lViP - Qi L¡i= - 8,, lV,lz + Q,

H¡¡=

(6.78)

B,j cos á¡)

i+j (ecuación

(6.65))

(ecuación (6.65))

(6.79) (6.80)

Las ecuaciones (6.76) y (6.77) se pueden construir y resolver simultáneamente entre sí en cada iteración y actualizar las matrices lHl V ILI en cada iteración al utilizar las ecuaciones (6.78') a (6.80). Un mejor procedimiento es llevar a cabo cada iteración al resolver primero la ecuación (6.76) para Aá y luego emplear la á actualizada para construir y luego resolver la ecuación (6.77) para AlVl. Esto dará como resultado una convergencia más rápida que en el modo simultáneo. La principal ventaja del método desacoplado de flujo de carga (DLF), en comparación con el método NR es su requerimiento reducido de memoÁa para almacenar el jacobiano. No hay mucha ventaja desde el punto de vista de velocidad, pues el tiempo por iteración del método DLF es casi el mismo que el del método NR y siempre toma mayor número de iteraciones para converger a causa de la aproximación.

Método rápido desacoplado de flujo de carga (FDLF) Se pueden llevar a cabo más simplificaciones físicamente justificables para lograr alguna ventaja de velocidad sin mucha pérdida de exactitud en la solución, por medio del modelo DLF descrito en la subsección anterior. Este esfuerzo culminó en el desarrollo del método rápido desacoplado de flujo de carga (FDLF: fast decoupled load -flotr ) por B. Stott en f914l2ll. Las suposiciones que son válidas en operación normal del sistema de potencia se hacen como sigue:

CAPíTULO

6

Estudios de flujo de carga

Avanzar la cuenta de iteraciones r=r+1 Calcular €4r*t¡ = €4r1+ A€4r;

1,-n,i+s Establecer la cuenta de iteraciones r=0 Establecer la cuenta de buses l= 1

del bus l¡=

Determine cambio máx en potenc¡a máx AP,, AQ,

ciñ+

Sí ¿Es I el último nodo?

Figura 6.12

- 1; Sen ó¡: 0 G4 sen 6ij < B¡j; Qi < B¡i lvil2 cos

á,1

(6.81)

forCon estas suposiciones, las entradas de las submatrices [11] y [L] se simplificarán de ma considerable Y están dadas Por

Hij = L¡j =

-

lV¡l lvjl Bij

para

i+i

(6.82)

6.7

Métodos desacoplados para flujo de

carga I a

H¡¡= L¡¡ = - B¡¡ Las matrices

Paft i = j

lV)'

lH V tLl son cuadradas, con dimensiÓn (nrn + npy) y n",

(6.83) respectiva-

mente.

Las ecuaciones (6.76) y (6.11) se pueden escribir ahora como

donde

8,r1, B',r1

Bil t^ál

laPl = Ítvit

tvjt

tLet=

tvjt%r

Ítvit

son elementos de la matriz

(6.84)

(6.8s)

[#]

[- B].

Se consigue mayor desacoplamiento y simplificación lógica del algoritmo

FDLF me-

diante lo siguiente:

1.

2.

Omitir de [B'] la representación de aquellos elementos de la red que afectan de forma predominante los flujos de potencia reactiva, es decir, las reactancias en derivación (en paralelo) y las tomas o derivaciones de los transformadores fuera de operación nominal en fase; Despreciar de [8"] los efectos de desplazamiento de ángulo de los cambiadores de fase;

3.

Dividir cada una de las ecuaciones (6.84) y (6.85) entre

lV,l y establecer lVrl

= I pu en

las ecuaciones;

4.

Omitir las resistencias en serie en el cálculo de los elementos de [B'] que entonces convierte en la matriz de flujo de potencia de aproximación de CD.

se

Con las modificaciones antes indicadas, las ecuaciones FDLF simplificadas resultantes son

ILP/ ll4f = lB' I tA6l ILQ| lIAl = LB" I IAlYll

(6.86) (6.87)

En las ecuaciones (6.86) y (6.87), tanto [B'] como [-B"] son reales, escasas y tienen las estructuras de [É1] y [Z], respectivamente. Como contienen sólo admitancias, son constantes y necesitan invertirse sólo una vez al principio del estudio. Si no hay cambiadores de fase presentes, tanto [B'] como [8"] son siempre simétricas y sus factores triangulares superiores escasos constantes se calculan y almacenan sólo una vez al principio de la solución. Las ecuaciones (6.86) y (6.87) se resuelven alternativamente, siempre empleando los valores de voltaje más recientes. Una iteración conlleva una solución para [Afl, para actttalizar á y luego una solución para [AlVl] para act:ualizar [yl] que se llamará iteración 1- áy 1- V. Se aplican pruebas separadas de convergenciapara los desequilibrios de potencia real y reactiva como sigue:

máx [AP]

<

sp; máx I AQI <.

en

donde €py ee son las tolerancias. Un diagrama de flujo que da el algoritmo FDLF se presenta en la figura 6.13.

(6.88)

225

CAPTTULO

6

Estudios de flujo de carga

Considerar el sistema de tres buses del ejemplo 6.6. Use a) método desacoplado NR y b) método FDLF para obtener una iteración de la solución de flujo de carga.

Solución

a) Método desacoplado NR Las ecuaciones que se deben resolver son (véanse las ecuaciones (6.76) y (6.77)). Los valores pertinentes se sustituyen en las ecuaciones (6.78) (6.80) y se obtiene Hzz= 0.96 + 23.508 = 24.47 Hzz= Hzz = l'04 (- Bz) = - I'04

H3z=-

Qt-

x

11.764 =

-

12.23

Bzt (1.04)2

_,_ i,, ;)l;r"

j,,:;:|i?

ri,#,

;

u.,i,uol,l,,

x2x23.508=25.89 Lzz= Qz- Bzz = 1 + 23.508 = 24.508

l- 0.731 | 24.47 -12.2311ad''l ll--¿. | l.--l=l L-1.62) L-12.23 2s.8ella4r,l t^Qzt= r24.s]t '

(i)

t4#l L lv"t

'

(ii)

-'

obtiene ' Aájl) - - 0.0082 - 0.0401 = - 0.002 Aajtr - - 0.018 - o.o8 = - 0.062 Qz= - lvzl lvl lÍ211 sen (0n + 4- D - lVzP lY22l sen022

Al resolver la ecuación (i)

se

- lv2l l\l

=

-

1.04 sen

x

12.13 sen (104.04

(-75.95')

-

1.04

x

+

0-

ll23l sen (% 0.115)

Qz=

-

L'125

LQz=1-(-1.125)=2.125 Si se sustituye en la ecuación (ii) 12.1251= 124.511

I alY'(1)ll

l--+ ly2("1 L

l

I

4-

4)

-24.23 + .115 - 3.55')

12.13 sen (104.04

=-12.24+23.505-12.39

+

6.7

Métodos desacoplados para flujo de

carga...ñ b*227 I

Leer datos LF y formar

Y"r"

Suponer voltajes de bus V4o¡+i = 1, ".' n, ¡ + s del Formar matrices [B'] y [8"] Establecer cuenta de iteraciones r = 0

Calcular AP,' mediante la ecuación (6.60a) Para

i=1.2.....n.i*s

convergencia. ¿Es

Resolver para Aó,r usando la ecuación (6.86)

i=1,2,...,n,¡+s Calcular 67*,= á,r+ Aó,,

para¡=1,2,...,n,i* Calcular AQr usando ec. (6.60a) bus PV ¡ = 1, 2,..., n, ¡ + s y i

*

Resolver para AlV,l. usando

ec. (6.87) pa'a ¡ = 1, 2,..., n,

¡+sy¡*PVbus

Calcular lV,l,,, =lV,1,a

61Y

1,

Figura 6.13

s

Calcular potencia de bus de referencia y todos los flujos

CAPITULO

6

Estudios de flujo de carga

Aty(.1) t= 0.086

lv|t)1= lv;o)é

Aty2(1)t

= 1.086 pu

)

b)

Of r" calcula de manera análoga con la ecuación (6.28). Método FDLF

Las ecuaciones matriciales para la solución del flujo de carga por el método FDLF son [véanse las ecuaciones (6.86) y (6.87)]:

IpJ''l I

I

lef I l-n,, -B,,ff ¡a;" o",'o'

l= L-u,,

-l

(iii)

-8,,_lLouj',.1

Irvfr I

= rB22)[arti)r] i4+l lvj"'l

(iv)

-1 1i641[rai',-i i !12, l_ ¡ ,rro8 n.764 23.so8llouj',1

(v)

L

J

|L= - 1.5571l- LAl

-tgo:_

resolver la ecuación (v), se obtiene

Ad" = A4t'= -

o.oo3 0.068

4t' = - 0.068 [2.r2s) = [23.s08] tLlvitl

ájtr =

-

0.003 rad;

AlVjl=

rad

0.09

lVll= t.09 pu Ahora se puede calcular Qr. Estos valores se usan para calcular los desequilibrios de potencia del bus para la siguiente iteración. Con los valores de[A,P/14]y ÍLAVI se resuelven alternativamente las ecuaciones anteriores con los valores más recientes, hasta que la solución converja dentro de los límites especificados.

6.8 COMPARACIÓN

DE LOS DE FLUJO DE CARGA

MÉTODOS

¡

En esta sección se comparan los métodos GS y NR cuando ambos utilizan Ysus como el modelo de red. Se tiene la experiencia de que el método GS funciona bien cuando se procon coordenadas rectangulares, mientras que el método NR necesita más memoria -qrama cuando se usan coordenadas rectangulares. Por lo tanto, se prefieren las coordenadas ¡-rlares para el método NR.

Comparación de los métodos de flujo de carga

El método GS necesita el mínimo número de operaciones aritméticas para completar una iteración. Esto se debe a la escasez de la matiz de red y a la simplicidad de las técnicas de solución. En consecuencia, este método toma menos tiempo por iteración. Con el método NR, los elementos del jacobiano se deben calcular en cada iteración, por lo cual el tiempo es considerablemente mayor. Para sistemas grandes típicos, el tiempo por iteración en el método NR es aproximadamente equivalente aJ veces el del método GS [20]. El tiempo por iteración en ambos métodos aumenta casi directamente con el número de buses de la red. La rapidez de convergencia del método GS es baja (característica de convergencia lineal), requiere un número considerablemente mayor de iteraciones para obtener una solución que el método NR el cual tiene caracteísticas de convergencia cuadrática y es el mejor entre todos los métodos desde el punto de vista de convergencia. Además, el número de iteraciones para el método GS aumenta directamente con el número de buses de la red, mientras que el número de iteraciones del método NR permanece casi constante y es independiente del tamaño del sistema. El método NR necesita 3 a 5 iteraciones para alcanzar una solución aceptable para un sistema grande. En el método GS y otros, la convergencia se afecta por la selección del bus de referencia y la presencia de capacitor en serie, pero la sensibilidad del método NR a estos factores es mínima, lo cual da por resultado una convergencia pobre. Por lo tanto, para sistemas grandes, el método NR es más rápido, más exacto y más confiable que el método GS o cualquier otro método conocido. De hecho, funciona para cualquier tamaño y clase de problema y es capaz de resolver una variedad más amplia de problemas mal condicionados [23]. Su lógica de programación es por mucho más compleja y tiene la desventaja de ocupar mucha memoria de computadora, incluso cuando se usa almacenamiento compacto de datos para las matrices jacobianas y de admitancia. De hecho, se puede hacer todavía mayor al adoptar el sistema de renumeración óptima de buses. El método probablemente es más adecuado para estudios de flujo óptimo de carga (capítulo 7) gracias a su alta exactitud, limitada sólo por los errores de redondeo. La principal ventaja del método GS es la facilidad de programación y su más eficiente tttilización de memoria central de la computadora. Sin embargo, su uso está limitado a sistemas de tamaño pequeño por su dudosa convergencia y al mayor tiempo que toma para la solución de redes eléctricas de potencia grandes. Así, el método NR es decididamente más adecuado que el GS para todos los sistemas, salvo para los muy pequeños. Para el FDLF, la convergencia es geométicay se requieren por 1o común de dos a cinco iteraciones para exactitudes prácticas y es más confiable que el método formal NR. Esto se debe al hecho de que los elementos de [B'] y [,B"] son una aproximación fija a las tangentes de las funciones de definición LP/II4y L,Q/M y no son sensibles a ningún máximo absoluto en las funciones definidas. Si LP/IIA y LQ/|I1 se calculan de manera eficiente, entonces larapidez de las iteraciones del FDLF es casi cinco veces la del método formal NR o aproximadamente dos tercios la del método GS. La capacidad necesaria de almacenamiento de datos es de alrededor de 6OVo de las del método NR formal, pero un poco mayores que las del método

NR desacoplado.

CAPITULO

6

Estudios de flujo de carga

Los cambios en las configuraciones del sistema se pueden considerar sin dificultad y aunque las soluciones ajustadas toman mucho más iteraciones, cada una de ellas lleva menos tiempo y, por lo tanto, el tiempo total de solución es todavía bajo. El FDLF se puede emplear en estudios de optimización y en particular se utiliza para información exacta de potencia tanto real como reactivapara estudios de flujo de carga múltiples, en la er aluación de contingencias. en el análisis de estimación de seguridad del sistema y en el análisis de mejoía. Nota: Cuando se realiza una serie de cálculos de flujo de carga, los valores finales de los voltajes de bus en cada caso suelen utilizarse como los voltajes iniciales del siguiente caso. Esto reduce el número de iteraciones, en particular cuando hay cambios menores en las condiciones del sistema.

6.9

CONTROL DEL PERFIL DE VOLTAJE

Control por generadores El control del voltaje en el bus receptor en el sistema fundamental de dos buses se trató en la sección 5.10. Aunque las mismas conclusiones generales se cumplen para un sistema interconectado, es importanfe analizar este problema con mayor detalle. En un bus con generación, el voltaje se controla de forma conveniente al ajustar la excitación del generador. Esto se ilustra en la figura 6.14, donde el generador equivalente en el bus l-ésimo se modela por una reactancia síncrona (se supone resistencia despreciable) y el voltaje detrás de la reactancia síncrona. Se sigue inmediatamente de las ecuaciones 15.71)

t' Li.?-r ¡ q¡g

,",= U#sen(óo, -á,) oo, = Con (Po, + jQc)

y lV,lL\,

fft-tv,t+tEo,t)

(6.8e) (6.e0)

dados por la solución de flujo de carga, estos valores

se pueden obtener en el bus si la excitación del generador se ajusta para dar lEo,l como se

requiere por la ecuación (6.90) y al ajustar el gobernador de tal modo que la alimentación (entrada) de potencia al generador de la turbina sea Po, más pérdidas, dando por resultado un ángulo de carga de (ár, - 4), que corresponde a la ecuación (6.89). Si la demanda Q6, excede la capacidad de los generadores, se deben emplear generadores VAR (síncronos o de capacitor estático) para modificar la carga local.

L6¡ I

Figura 6.14

Control del perfil de voltaje

De lo anterior se concluye que para controlar el pernl ie r..ltsje de un sistema interconectado, los buses con generadores suelen hacerse bu.es Pt- es .1ecir. de control de voltaje). La solución del flujo de carga entonces da los nir eles ie \ Lrlt¡_I. en los buses de carga. Si algunos de los voltajes de buses de carga resultan s.r r.nür-s que el iímtte inferior de voltaje especificado, esto indica que el hecho de que .; --;p"''rd:; ie tlujo de potencia reactiva de las líneas de transmisión para los límite: de r.".i.,1- espe¡in"-ados no puede satisfacer la demanda de carga reactiva (el flujo reactivo de .ire: ie1 bus ¡ il bus t es proporcional a lAVl = lvíl - lV¿l). Esta situación se puede remeCrr :r ]- -i't::ú;"rl se neradores VAR en algunos de los buses de carga. Estos buses. en anáL.ts :: iu_i¡ Je carga. se consideran buses PV y la solución resultante da los valores requen:.,s :¿ tn" e.-;ión de

VAR (/Oc) en estos buses. El hecho de que la inyección positiva de VAR en cualquier bus de u--r :-::-Tr; :nlirconectado aytdaría a elevar el voltaje en el bus se demuestra fácilmenie ..-.'-:- : La figura 6.15a) muestra el circuito Thevenin equivalente del st..::.: t: :"-I3:t!-ia. como se ve desde el bus l-ésimo. Es claro que lE ¡ = yt. Si ahora jQ, de I ge:e:.; - : ;: \ -\R se inyecta en el bus como se muestra en la figura 6.15b), de la ecuación -< -r s: -::::

tAVl=

tErht

_ tvl =

o

lV',|

=

lErnl +

=

rv,r

+

_üY^.

O,

Y^

fi.a

Qc

!*0, lv'í l--

Como se considera una pequeña elevación porcentual de voltaje, todavía más como

lV',|

Y^. :lVl+"'no.

l('l

se pue C.

'p::

r.imu 6.91

lyrl-'

r

Así, la inyección deVAR de + jQ, provoca que el voltaje en el bus ;-es'n,: sut¡¡ aproximadamente en (XrtllviDQc. Los voltajes en otros buses de carga se eie', "¡¡: tinbién debido a esta inyección en un grado variable pero más pequeño.

Control por transformadores Aparte de ser generadores de VAR, los transformadores proporcionan un medit -,rrr iniente para controlar ei flujo de potencia real y potencia reactiva a 1o largo de un: -:::¡ jQ"

Figura 6.15

CAPíTULO

6

Estudios de flujo de carga

de transmisión. Como ya se ha aclarado, la potencia real se controla al cambiar la fase

del voltaje y la potencia reactiva al cambiar su magnitud. La magnitud del voltaje

se

puede cambiar mediante transformadores provistos de dispositivo para cambio de tomas o derivaciones bajo carga (TCUL'. tap changing under load). Los transformadores especialmente diseñados para ajustar la magnitud del voltaje o el ángulo de fase en pequeños valores se llaman transfonnadores de regulación. La figura 6.16 muestra un transformador regulador para controlar la magnitud del voltaje, la cual se logra al agregar un amplificador de voltaje en fase en la línea. La figura 6.11a) muestra un transformador de regulación que cambia el ángulo de fase del voltaje sin cambio apreciable en su magnitud. Esto se consigue al agregar un voltaje en serie con la línea a un ángulo de fase de 90' al voltaje correspondiente línea a neutro como se ilustra por medio del diagrama fasorial de la figura 6.I7b). Aqai, V'on=

donde a = (l - j {3t)

(Vor+ tV6) = (1 - ¡Jlt) Vo,=

:lL -

eVon

(6.e2)

tan-l .F3t

ya que el valor de ¡ es pequeño. La presencia de transformadores reguladores en las líneas modifica la matriz Isug y, por consiguiente. modifica la solución de flujo de carga. Considérese una línea que conecta dos buses. con un transformador regulador con la relación de espiras fuera de nominal (tomas) a que se incluve en un extremo como se muestra en la figura 6.18a). Es muy e\acto despreciar la pequeña impedancia del transformador regulador, es decir, se considera como un dispositivo ideal. La figura 6.18á) da la representación del circuito correspondiente con la línea representada por una admitancia en serie.

['u-

--]

(V"n+tV",)=aVu, ( d es un número real)

Figura

6.16

Transformador regulador para el control de la magnitud del voltaje

Cqüd G pefl de voltaje Como se supone que el transformador es ideal, la salida de potencia coryleja de él es igual a la entrada de potencia compleja, es decir,

Sl=YlIi=aVJi* It= dl't

o

(6.e3)

Para la línea de transmisión

I\= y(a\ -

V2)

o

It= q*Il=

lqlzyVt

q*yVz

(6.e4)

alVt + lVz

(6.es)

-

También

Iz=

j(Vz-

oVr) =

-

Las ecuaciones (6.94) y (6.95) no se pueden representar por una red bilateral. La representación de la matnz Y se puede escribir como sigue de las ecuaciones (6.94) y (6.e5):

V'

Figura

6.17

"r=

av

",

Transformador regulador para el control del ángulo de fase de voltaie

CAPITULO

6

oe carga

Estudios de

Bus

1

|Lil

í-^^ tcd

L_

Bus 2 I'

''?ü',:ffir' a)

v1 --T--S, +i

l:a

/'\lt,tP

sc r- ---J-? ,

avr a

'

I I

f-

a*--

a : o)

Figura

6.18

Línea con transformador regulador y su representación en circuito

Y=l[lol=r' tl

L-dy

a*r'I

(6.e6)

I

)

_i

delamatizY dela ecuación (6.96) se utilizarían entonces para escribir de la red de potencia completa. Para un transformador regulador de voltaje a es real, es decir, q* = d, por lo tanto, las ecuaciones (6.9D y (6.95) se pueden representar por la red rr de la fi,eura 6.19. Las entradas

lamatiz l"u,

Si la línea que se muestra en la figura 6.18a) se representa por una red z con admitancia en derivación (paralelo) yo en cada extremo, la admitancia adicional en derivación lal2ysaparece en el bus 1 y y6 en el bus 2. Las deducciones antes indicadas también se aplican para un transformador con ajuste de tomas fuera de nominal*, donde a = (kV)surrl(kl4ro,nu es un valor real. il

Ejemplo

6.7

I I

El sistema de cuatro buses de la figura 6.5 se modifica ahora para incluir un transformador regulador en la línea 3-4 cercadel bus 3. Determinar la Y"ut modificada del sistema para

Figura

*

6.19

Representación en circuito de una línea con ajuste de tomas o derivaciones no nominal y transformador regulador de voltaje

Puede escribirse con transformadores aiuste de tomas no nominales en cada extremo de la línea como se muestra en la fieura 6.20.

6.9

Controt det perfit de

vottaje [ t

WVi=1.04o a=I/1.04 V3/Vi= ¿3 o o=

¡) J;I

"-i3" el transformador regulador en la línea3-4,1os elementos de la submatriz correspondiente en (v) del ejemplo 6.2 se modifican como sigue:

Solución i) Con

34 .666

- j2)

r.^ - j6) I[(1-13)+(o

5| +

/

|

_ /

1.04'

(1.04)' |-----l | 4 L -t 1.04'- - + i6)

ii)

r, ^J

/l

J J

[3.s 16

4

|

a

.r, j6 =

Jt

| - iro.s4j

|

-r.92 +

j5.777

-r.e2 +

j5.777

-t

La submatriz modificada en (v) del ejemplo 6.2 es

3434 j6)

,66

j2) | si3" eZ+ j6)l ¡r

,[,3.666 - jr :1383-

ol j6.0965 i+ j6)I 3 i, _l= l 1,, f r -']f[uí ] _t IL-v -L fzl yl lvi ) v', 1 lo, ol l-ql rlq 0 _[ -L t vi .l = Lo "rllurl'It; l 0 l/a2 I

|

1

-2.3rt3 +j5.887

I

3- je

+

(i)

I

L

Al sustituir (ii)

en

(i) y resolver,

t1,'l t-l

ltz)

(ii)

se llega a

|It "?'

L-atqz!

-Q¡ ,Prl q4v)

lu It-tl

[1'

I

lu ) ltz)

(iii)

Así Y

olY -"'l'i1 =lL-atdz! dr, )

No¡a.' Resuélvala para el caso en que

Figura

6.20

dty

qzson complejos

Transformadores que operan en forma no nominal en arnbos extremos de la línea (a,, a, reales)

(iv)

¿¡.,S-

CAPíTULO

6.10

6

Estudios de

CONCLUSIÓN

En este capítulo se introdujo y analizó en detalle el que quizá sea el estudio más relevante en los sistemas eléctricos de potencia, a saber: el del flujo de cargas. Los métodos importantes disponibles se describieron en forma breve. Es casi imposible decir cuál de los métodos existentes es el mejor, porque el comportamiento de los diferentes métodos de flujo de carga está dictado por los tipos y tamaños de los problemas que han de resolverse, así como los detalles precisos para su realizaciín. La elección de un método en particular en cualquier situación dada normalmente es un compromiso entre los diversos criterios de bondad de los métodos de flujo de carga. No seúa incorrecto decir que. entre los métodos existentes, ninguno satisface todos los requisitos deseables de un método ideal de flujo de carga, alta velocidad, baja necesidad de almacenamiento de datos, confiabilidad para sistemas mal condicionados, flexibilidad para manejar diversos ajustes y simplicidad en la programación. Por fortuna, no todas las características deseables de un método de flujo de carga son necesarias en todas las situaciones. A pesar del gran número de métodos disponibles, es fácil ver que sólo el NR y el FDLF son los métodos más importantes en el análisis de flujo de carga de propósito general. El método FDLF es claramente superior al NR desde el punto de vista de velocidad, así como en cuanto a almacenamiento de datos. Con todo, el método NR todavía se utiliza por su gran flexibilidad, exactitud y confiabilidad y por eso se usa ampliamente para una variedad de cálculos de optimización de sistemas; da análisis de sensibilidad y se puede utilizar en los cálculos modernos de respuesta dinámica y evaluación de intemrpciones eléctricas. Por supuesto, se seguirán desarrollando métodos nuevos, los cuales reduciían los requisitos de computación para grandes sistemas o bien resultarían más favorables para su puesta en práctica en línea.

PROBLETY1AS 6.1 Para el sistema de potencia que se muestra en la figura P-6.1, obtenga la matriz de incidencia del bus A. Tome la tierra como referencia. ¿Es esta matriz única? Explique.

Figura P-6.1 6.2 Para la red que se muestra en la figura P-6.2, obtenga el voltaje complejo de la barra de bus en el bus 2 al frnal de la primera iteración. Use el método GS. Las impedane-ias de la línea que se muestran en la figura P-6.2 están en pu. Dado:

f,

n¡..

I

= 1.0 L0" Pz+ iQz = -5.96 + lV3l = I.02

es de referencia con V,

i1.46

Suponga:

Y2 = t.0zt0" y V3= IL1" 0.04

+7O.06

0.02

+F.03

Figura P-6.2

fi

Para el sistema de la figura P-6.3 encuentre el voltaje en el bus receptor al final de la + j0.8 pu. El voltaje en el extremo transmisor (bus

primera iteración. La carga es 2

j0 pu. La admitancia de la línea es 1.0 -74.0 pu. La reactancia del transformador es j0.4 pu. La relación de espiras no nominal es 1/1.04. Use la Écnica GS. Suponga Vn= 1L0". de referencia) es 1 +

Figura P-6.3

6.1 a) Encuentre lamatiz de incidencia de bus A para el sistema de cuatro buses de la figura P-6.4. Considere la tierra como referencia. b) Obtenga la matiz primitiva de admitancia para el sistema. Como dato, todas las líneas se caracterizan por una impedancia en serie de 0.1 + j0.7 O/km, y una admitancia en derivación de j0.35 x 10-s O/km. Las líneas tienen un voltaje nominal de 220 kY. c) Encuenúe la matnz de admitancia de bus para el sistema. Use los valores de base 220 kY y 100 MVA. Exprese todas las impedancias y admitancias en por unidad (pu). 1

100 km

110km

3

Figura P-6.4

6.5 Considere el sistema de tres buses de la figura P-6.5. Las reactancias pu de la línea se indican en la figura; las resistencias de línea son despreciables. Las magnitudes de los tres voltajes de bus se especifica que sean 1.0 pu. Las potencias de los buses se especifican en la siguiente tabla.

6

CAPITULO

Estudios de flujo de carga

1u2 \jo2/ ,\/

,r\ ) r^,/r,0, Figura P-6.5 -!t

Bus

Demanda

Demanda

real

reactiva

Qot = 0'6 Qoz= 0

Pq=?

Qoz =

Pc¡ =

I

P¿r = 1'0

L

Poz= 0

J

P oz

=

1

.0

1.0

Generación reactiya

Generación

real

(no especificado) Qcz (no especificado) Qcz (no especificado)

Qa

Pcz= l'4

0

la solución completa aproximada de flujo de carga. Marque las demandas de carga de generación y los flujos de línea en el diagrama unifilar.

Lleve

6.6

a)

a cabo

Repita el problema 6.5 con las especificaciones de voltaje de bus con los cambios como se indican:

lV,l = 1.00 pu lV2l = I.04 pu lV,l = 0.96 pu Los resultados deben mostrar que no ocuffe ningún cambio significativo en los flujos de potencia real, pero los flujos reactivos cambian de forma apreciable ya q)e Q es sensible al voltaje.

b)

Resuelva el problema 6.5 al suponer que la generación real se programa como sigue:

Pcr = 1.0 Pu, Pcz = 1.0 pu, Pcz =

O

La demanda real permanece sin cambios y el perfil deseado de voltaje es llano, es decir, lV,l = lVzl = lV3l = 1.0 pu. En este caso los resultados mostrarán que los flujos reactivos permanecen esencialmente sin cambio, pero los flujos reales cambian. 6.7 Considere el sistema de tres buses del problema 6.5. Como

se muestra en la figura introduce en la línea un transformador regulador I-2 cerca del bus 1. Los demás datos del sistema pennanecen iguales a los del problema 6.5. Considere P-6.'7

, ahora

se

dos casos:

t) RT es un regulador de magnitud con una relación = VtlVi = 0.99, ii) RT es un regulador de ángulo de fase que tiene una relación = VrlVi a)

Encuentre la matriz modificada Yuur.

el3"

á)

1r i' iri. Compare el cuadro de flujo de carga con el del problema 6.5. Se debe i'erificar que en el caso i) sólo cambiará el flujo reactivo, mientras que en el caso ll) los cambios ocurrirán en el flujo de potencia real.

Resuelva las ecuaciones de flujo de carga en los casos

,q v3

Figura P-6.7 Sistema muestra de tres buses que incluye un transformador reoulador

6.8 Calcule V3para el sistema de la figura 6.5 para la primera iteración con los datos del ejemplo 6.4. Inicie el algoritmo con los cálculos en el bus 3 envez del bus 2. 6.9 Para el sistema muestra del ejemplo 6.4 con el bus I como bus de referencia, use los siguientes métodos para obtener una solución de flujo de carga:

a) b)

Gauss-Seidel con Íuur, factor de aceleración de 1.6 y tolerancias de 0.0001 para los componentes reales e imaginarios del voltaje. Newton-Raphson con I"u. tolerancias de 0.01 pu para cambios en las potencias de bus real y reactiva.

Nota: Este problema necesita el uso de una computadora digital. 6.10 Realice un estudio de flujo de carga para el sistema del problema 6.4.Las especificaciones de voltajes y potencias de bus se dan en la tabla P-6.10.

Tabla P-6.10 Potencia de bus, pu Bus

Real

Reactiya

Magnitud de voltaje, pu

Tipo de bus

I

No especificado 0.95

No especificado No especificado _ 1.0

1.02

2

1.01

De referencia PV

No especificado No especificado

PQ PQ

-2.0 ^

_ 1.0

na

Calcule los voltajes de bus no especificados, todas las potencias de bus y todos los flujos de línea. Suponga fuentes ilimitadas de Q. Use el método NR.

CAPíTULO

6

Estudios de flujo de carga

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óptima Operác del si$téma

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..,:

',a"'til

7.I

INTRODUCCION

La operación óptima del sistema, en general, comprende criterios de economía de operación, seguridad del sistema, emisiones contaminantes de ciertas plantas de combustible fósil, liberaciones óptimas de agua en la generación hidroeléctrica, etc. Todas estas consideraciones pueden llevar a requisitos en conflicto y suele hacerse un compromiso para la operación óptima del sistema. En este capítulo se considerará sólo la economía de operación, que se conoce también como problema de despacho económico. El objetivo principal en el problema del suministro económico es reducir al mínimo el costo total de la generación de potencia real (costo de producción) en varias plantas, al mismo tiempo que se satisfacen las cargas y las pérdidas en los enlaces de transmisión. Por simplicidad, al principio sólo se considerará la presencia de plantas térmicas. En la parte final de este capítulo se tratará la presencia de plantas hidroeléctricas que operan en conjunción con plantas térmicas. Aunque hay un costo de operación despreciable en una plantahidroeléctrica, hay limitacióndedisponibilidadde aguaalolargo de unperiodoenque la hidroeléctrica se debe usar para ahorrar el máximo de combustible en las plantas térmicas. En el problema de flujo de carga como se detalló en el capítulo 6, se especifican dos variables en cada bus y la solución se obtiene entonces para las demás variables. Las variables especificadas son potencias real y reactiva en los buses PQ, potencias reales y magnitudes de voltaje en los buses PV y la magnitud y ángulo de voltaje en el bus de referencia. Las variables adicionales que se tienen que especificar para la solución de flujo de carga son los ajustes de tomas o derivaciones de los transformadores de regulación. Si se permite que las variables especificadas varíen en una región, restringidas por consideraciones prácticas (límites superior e inferior en las generaciones activa y reactiva, límites

de voltaje de bus y gama de ajustes de tomas o derivaciones de transformador), resulta un número infinito de soluciones de flujo de carga, y cada una pertenece a un conjunto de valores de las variables especificadas. La mejor elección, en cierto sentido, de los valores de las variables especificadas lleva ala mejor solución del flujo de carga. La economía

de operación naturalmente es predominante al determinar la asignación de generación a cada planta para varios niveles de carga del sistema. El primer problema en la jerga de los sistemas eléctricos de potencia, se llama el problema de compromiso de la unidad (UC: unit commitment) y el segundo es conocido como el problema de programación de

7.2

Operación óptima de generadores en una barra de bus

qtx c)

va

:YX ^L:

oq) oc)

E

|

(MW).i" Generación de potencia, MW

Figura

7.1

+

(MW (MW).¿* ).¿*

Curva de alimentación y generación de una un¡dad generadora

Lürgas (LS: Ioad scheduling). Se debe en un principio resolver el problema de UC antes Je proceder con el LS. En todo este capítulo nos ocuparemos de una instalación ya existente, de modo que 1as consideraciones económicas son las que cofresponden a costos de operación (funcionamiento) y no a las de inversión de capital.

7.2 OPERAC¡ÓU ÓPIIMA DE GENERADORES EN UNA BARRA DE BUS Antes de considerar el problema de compromiso de unidades, se consideraráLa operación óptima de los generadores en una barra de bus.

Costos de operación de un generador El principal componente del costo de operación de un generador es la alimentación de combustibleftrora, mientras que el mantenimiento contribuye sólo en pequeño grado. El costo de operación es significativo en los casos de plantas térmicas y nucleares, pero para plantas hidroeléctricas, donde el almacenamiento de energía es aparentemente gra-

tuito, el costo de operación como tal no es significativo. Se asignará una importancia adecuada al costo de energía hidráulica almacenada en la sección 7.1 de este capítulo. Por el momento hay que concentrarse en plantas que queman combustible. La curva de alimentación-generación de una unidad* se puede expresar en millones

de kilocalorías por hora o directamente en términos de rupias por agua contra la generación en megawatts. La curva de costo se puede determinar experimentalmente. La figura 7.1 muestra una curva típica, en la que (MW)¡¡in es el límite mínimo de carga por debajo del cual no es económico (o quizá técnicamente no factible) operar la unidad y (MW)-a, es el límite máximo de generación. La curva de alimentación/generación tiene discontinuidades, las cuales no se han indicado en la figura, en 1as aperturas de la válvula * Una unidad consta de caldera, turbina y generador

c) U'

o;

ñr> ü>

E} cc)

;

o O

o

(MW).,n

(MW)'¿,,

Generación de potencia, MW

Figura

7.2

Costo incremental de combustible contra generación de potencia para la unidad cuya curva alimentación-generación se muestra en la figura 7.1

de vapor. Si se ajusta un polinomio de grado adecuado, entonces se puede escribir una expresión analítica para el costo de operación como

C;(Pci)

Rs/hora en la salida P"t

donde el sufljo i indica el número de la unidad. En general basta con ajustar un polinomio de segundo grado, es decir

C,=

fo,ft,+

La pendiente de la curva de costo,

b,P.,+

," 43 ofc¡

d, Rsftrora

(1.r)

Ilama costo incremental de combustible (IC:

incremental fuel cost) y se expresa en unidades de rupias (moneda utilizada por asiáticos y africanos) por megawatt-hora (Rs/MWh). La figura 7.2 muestra una gráfica típica de costo incremental de combustible contra generación de potencia. Si la curva de costo se aproxima a una cuadrática como en la ecuación (7 .l), se tiene

(IC)i= alPo,+

(7.2)

b,

es decir, una relación lineal. Para mayor exactitud, el costo incremental de combustible se puede expresar mediante un número de pequeños segmentos de línea (linealización segmento por segmento). Alternativamente, puede ajustarse un polinomio de grado adecuado para representar la cuwa IC en la forma inversa

Pc¡= d¡+ F¡QQ¡+ X(IC)", +

...

(7.3)

Operación óptima Suponga que se sabe a priori cuáles generadores tienen que trabajar para satisfacer una demanda dada de carga en la planta. Es claro que >,PGi.

^á*>

PD

(7.4)

7.2

Operación óptima de generadores en una barra de

donde Po, -* es la capacidad nominal de potencia real del j-ésimo generador y P, es la demanda total de potencia de la planta. Además, la carga de cada generador debe estar restringida dentro de límites inferior y superior, es decir PGr,

^in

-

Pc¡

=

Pc¡,

^á,.,

i = 7,2, ..., k

(7.s)

Las consideraciones de reserva rodante, que se explicarán más adelante en esta sección, exigen que

2Po,,

^ ) Po

(7.6)

por un margen adecuado, es decir, la ecuación (7.6) debe ser una estricta desigualdad. Como el costo de operación es insensible ala carga reactiva de un generador, la manera en que la carga reactiva de la planta se reparte entre varios generadores en línea no afecta la economía de operación.x La pregunta que se tiene que responder ahora es " ¿cuál. es la manera óptima en que la demanda de car:ga P o se debe repartir entre los generadores en el bus?" A esto se responde al minimizar el costo de operación k

C

=

It=l Ciec)

('t.7)

bajo la restricción de igualdad de satisfacer la demanda de carga, es decir k

P6,- Pp=

0

(7.8)

i-l

donde fr = número de generadores en el bus. Además, la carga de cada generador está limitada por la restricción de desigualdad de la ecuación (7.5). Como C,(Po¡) es no lineal y C, es independiente de Pot Q + i), éste es un problema de programación separable no lineal. Si se supone por el momento que la restricción de desigualdad de la ecuación (7.4) no es efectiva, el problema se puede resolver por el método de los multiplicadores de Lagrange. El lagrangiano se define como

c

k = Zci(PGil -t=l

donde

,,\ es

f

k

- ¡lll IPo, ""] L r=l

(7.e)

el multiplicador de Lagrange.

La minimización se obtiene por la condición

aE =0

dPo,

dcr dP.,

-,\;i=1.2.....k

* El efecto de ia carga reactiva en las pérdidas del generador es de orden despreciable.

-r-i45

bus I

(7.10)

-

CAPíTULO

¿on¿e

j3

7

üot

Operación óptima del sistema

es el costo incremental del l-ésimo generador (unidades: Rs/MWh), una

fun-

ción de la carga del generadorPo,.La ecuación (7.10) se puede escribir como

dc, dc,

dCn

dPo, dPo,

dPoo

(7.11)

es decir, lacarga óptima de los generadores corresponde al punto de igual costo incremental de todos los generadores. Las k ecuaciones (7.11),llamadas ecuaciones de coor-

dinación, se resuelven simultáneamente con la ecuación de demanda de carga (7.8) para dar una solución para el multiplicador de Lagrange ,l y la carga óptima de k generadores. Esto se ilustra mediante el ejemplo 'l.l alfinal de esta sección. La solución por computadora para la carga óptima de los generadores se puede obtener iterativamente como sigue:

1. 2. 3.

Elegir un valor tentativo de ,\, es deck,IC = (/O0. Resolver parla P.¡ (i = I, 2, ..., k) de la ecuación (7.3). Si lIPc¡ - Prl < ¿ (un valor especificado), se habrá obtenido la solución óptima. De lo

4.

contrario,

Incrementar (IC) en A (1c), si

l2 Pc¡- Pol>

r

_

o disminuir /. [:fo, - rrl.0

en A(1.)

si

0 y repitir desde el paso 2. Este paso es posible porque Po, es una

función monótonamente creciente de (1.). Considere ahora el efecto de la restricción de desigualdad (7.5). Como (1Q aumenta o disminuye en el proceso iterativo, si una carga particular de generadot Po, alcanza el límite Pc¡,^ o PG¡,^ín, su carga de aquí en adelante se mantiene fija en este valor y el resto de la carga se reparte entonces entre los otros generadores sobre la base de igual costo incremental. El hecho de que esta operación sea óptima se demuestra por la teoría de Kuhn-Tucker (véase apéndice E).

Los costos incrementales de combustible en rupias por MWh de una planta consta de dos unidades que son:

+dPct

= 0.2oPG1+ 4o.o

!:'

= o.2sPcz+ 3o.o

dPcz

Suponga que ambas unidades operan todo el tiempo y 7a carga total varía de 40 a 250

MW

y las cargas máxima y mínima en cada unidad tienen que ser 125 y 20 MW, respectivamente. ¿Cómo se repartirá la carga entre las dos unidades al variar la carga del sistema dentro de la gama completa? ¿Cuáles son los valores correspondientes de los costos incrementales de la planta?

7.2

Operación óptima de generadores en una barra de bus

Solución Con cargas

ligeras, la unidad 1 tiene el mayor costo incremental de combuspor y, lo tanto, trabajará tible en su límite inferior de 20 MW para lo cual dCrldP", es Rs 44 por MWh. Cuando la generación de la unidad 2 es de 20 MW dC2ldPGz = Rs 35 por MWh. Así, con un aumento en la generación de la planta, la carga adicional la debe soportar la unidad 2 hasta que dC2ldP = Rs 44A4Wh. Hasta que se alcance este punto, el costo incremental de combustible de"2la planta corresponde al de la unidad 2 sola. Cuando lacatga de la planta es de 40 MW, cada unidad opera a su límite mínimo, es decir 20 MW con .,\ de planta = Rs 35/IVIWh.

Cuando

dC2ldPG2= Rs 44lMWh,

0.25PG2+

30=

44

P-,= L

o

0.25

= 56 MW

La generación total de la planta es entonces (56 + 20) = 76 MW Desde este punto en adelante, los valores de la carga de la planta repartida entre las dos unidades se encuentran si se suponen varios valores de .,\. Los resultados se muestran en la tabla7.l.

Tabla 7.1 Generación de cada unidad y generación de la planta para varios valores de para el ejemplo 7.'l ). de planta

Rs/\{Wh

Unidad

61.25 65

r25.0

50 55

60

La figura 7.3 muestra la gráfica de .,\ de la planta contra la generación de la planta. Se puede ver por la tablaT.I que, a A=61.25,

la unidad 2 opera en su límite superior y, por lo tanto, la carga adicional se debe obtener ahora de la unidad 1. lo cual. enton-

ces, determina la ,tr de la planta.

2 NN\t

Generacíón de la planta

Unidad

Pcl, Mw 20.0 20.0 50.0 75.0 100.0 106.25

35

44

^

I

PG2,

(Pct + PG), MW

20.0

40.0 76.0 130.0 175.0 220.0

56.0 80.0 100.0 120.0 125.0 125.0

23t.25 250.0

J 0)

_ol 6l

=l o

o=

i:< b# E o

.; o o

O

30

0

50

100

150 _*

200

2so

Generación de la planta, MW

Figura

7.3

Costo incremental de combustible contra generación de planta, como se encontró en el ejemplo 7.1

CAPíTULO

7

Operación óptima det sistema

150

I

rzs

(g

-"' /

Unidad 2 100

i )-'

75

,/*- -Unidad

=

1

o g 0)

o

25

a-

50

0

100

150 _-

200

250

Generación de la planta, MW

Figura7.4

Generación de cada un¡dad contra Ia generación de la planta para el ejemplo 7.1

Para determinar la repartición entre las unidades para la generación de una planta, por ejemplo de 150 MW, de la curva de la figura 7.3 se encuentra que la correspondiente ,l de la planta es Rs 52.22 por MWh. Las programaciones óptimas para cada unidad de 150

MW

se pueden encontrar ahora como

0.2P6+40=52.22; O.25PG2+ 30

=

= 61'11 MW PGz = 88'89 MW

PGt

52.22;

Pct + Pcz= 150 MW Si se procede según estos argumentos, se calculan los valores de generación por unidad para varios valores de generación de planta los cuales se grafican en la figura 7.4.La repartición óptima de carga para cualquier carga de planta se puede leer directamente en esta figura.

Para la planta descrita en el ejemplo 7.1 encontrar el ahorro en costo de combustible en rupias por hora para la programación óptima de una carga total de 130 MW comparada con una distribución igual de la misma carga entre ambas unidades.

Solucion El ejemplo 7.1 revela que la unidad 1 debe hacerse cargo de una carga de 50 MW y la unidad 2 debe suministrar 80 MW. Si cada unidad suministra 65 MW el aumento en costo para la unidad

I

es

165

..

l6s

+ 4})dPor= Q.lP26 + 40po) _. | = 772.5 Rs/h vso ^l-^{O.zro, lso Del mismo modo, para la unidad 2,

'ñs^165 .l^^(0.25Pc2 + 30) dPor= v8o

(0.125Pá2

= -721.875

+ 30P*)l lso

RsAr

7.2

Operación óptima de generadores en una barra de bus

El ahorro neto obtenido por programación óptima 772.5

-

es

721.875 = 50.625 Rs/h

El ahorro total anual al suponer una operación continua

= Rs 4 43 475.00 Este ahorro justifica la necesidad de la repartición óptima de carga y de los dispositivos que se deben instalar para controlar las cargas de cada unidad automáticamente.

Ei*et" ?3

-1 |

Suponga que las dos unidades del sistema que se estudió en el ejemplo 7.1 tienen las siguientes curvas de costo

Ct= O.lP2ct + 40P., + 120 Rs/h Cz=0.I25P25r + 30P62 + 100 Rs/h Suponga un ciclo diario de carga como el que se da en la figura 7.5. También suponga que se incurre eh un costo de Rs 400 por sacar de línea cualquiera de las unidades y ponerla nuevamente en servicio después de I 2 horas. Considere el periodo de 24 horas de las 6 a.m. de la mañana a las 6 a.m. de la siguiente mañana. Ahora, se quiere averiguar si resultaría más económico conservar ambas unidades en servicio durante este periodo de 24 horas o sacar de servicio una de ellas durante las 1 2 horas de carga ligera. Durante el periodo de 12 horas en el que la carga es de 220 MW, referida en la tabla 7.1 del ejemplo 7.I,la programación óptima que se obtiene es

Pcr

= 100 MW,

PGz

El costo total de combustible para este periodo

[0.] x

1002

+ 40

=

120 N{W

es

x 100 + 120+ 0.125 x

1202

+ 30 x 120 + 100]

= Rs 127 440 250

f

zoo

I

150

= 9j100

()-^ CU

0

126126 (noche) a.m. (mediodía) Figura

p.m.

126 (noche)

Tiemoo+ 7.5 Ciclo diario de cargas

a.m.

x

12

CAPÍTULO

7

Operación óptima del sistema

Si ambas unidades trabajan en el periodo de carga ligera (761\{W de las 6 p.m. a las 6 a.m.) también, entonces de la misma tabla se obtiene la programación óptima como

Pcr = 20

MW,

PGz

El costo total de combustible durante este periodo (0.1

x

202

= 56 MW es entonces

+ 40 x 20 + 120 + 0.125 x 562 +30 x 56 + 100) x

12

= Rs 37 584 Así, el costo total de combustible cuando las unidades operan durante todo el periodo de 24horus es Rs 1 65 024. Si sólo una de las unidades trabaja durante el periodo de carga ligera, se verifica sin diflcultad que resulta económico operar la unidad 2 y poner fuera de sen¡icio la unidad 1. Entonces el costo total de combustible durante este periodo será

= (0.125 x .'. costo total para este caso

+ 30 x 76 + 100) x 12 = Rs 37 224 = 127 440 + 37 224 762

= Rs 164664 El costo total de operación para este caso será el costo total de combustible más el costo de puesta en marcha de la unidad 1, es decir

Al

164 664 + 400 = Rs 1 65 064 comparar esto con el caso anterior, resulta claro que es económico operar ambas uni-

dades.

Es fácil ver que si el costo de puesta en marcha es Rs 200, entonces es económico operar sólo la unidad 2 en el periodo de carga ligera y sacar de servicio la unidad 1.

7.3 PLANIFICACIÓN

ÓPTINTE DE LAS UNIDADES (UC)

Como es evidente, no es económico operar todas las unidades disponibles durante todo el tiempo. Determinar las unidades de una planta que deberían operar para una carga dada es el problema de planiflcación de unidades (rJC: unit commitment)' Este problema es de importancia para las plantas térmicas pues para otros tipos de generación como la hidráulica el costo de operación y los tiempos de puesta en marcha son despreciables, de modo que no es importante si una unidad está encendida o apagada Un tratamiento sencillo pero subóptimo del problema es imponer un orden por prioridad, en el que la unidad más eficiente se carga primero, y en seguida las unidades menos eficientes, en orden, al aumentar lacarga. Una manera directa pero de alto consumo de tiempo para encontrar la combinación más económica de las unidades para satisfacer a una demanda dada de carga, es ensayar todas las posibles combinaciones de unidades r4ue puedan suministrar esta carga; dividir óptimamentelacarga entre las unidades de cada combinación mediante el uso de las ecuaciones de coordinación, para encontrar el costo de operación más económico de la combinación; luego, determinar la combinación que tenga el menor costo de operación entre todas éstas. Se puede obtener un considerable ahorro de cálculos si se utilizan ramas

7.3

Planificación óptima de las unidades (UC)

y límites o un método de programación dinámica para comparar la economía de las combinaciones, ya que ciertas combinaciones definitivamente no necesitan ensayarse.

Método de programación dinámica En un problema práctico, se llega alatabla de UC para el ciclo completo de carga. Si se supone que la carga aumenta en pasos pequeños pero finitos, se puede usar la programación dinámica (DP: dynamic programming) con ventaja para calcular la tabla de UC, donde no es necesario resolver las ecuaciones de coordinación; mientras que al mismo tiempo las combinaciones de unidades que se van a ensayar son mucho más reducidas en número. Por estas razones, aquí sólo se reseñará el método de DP. Se supone que se conocen a priori el número total de unidades disponibles, sus características individuales de costo y el ciclo de cargas de la planta. Además, se supondrá que lacargade cada unidad de una combinación de unidades cambia en pasos adecuadamente pequeños pero uniformes de tamaño AMW (por ejemplo, 1 MW). Si se comienza de manera arbifraia con cualesquiera de las dos unidades, la combinación más económica se determina para todos los niveles discretos de carga de la generación combinada de las dos unidades. Fara cada nivel de cargalarespuesta más económica puede ser operar cualesquiera de las unidades o ambas con una cierta repartición de cargas entre las dos. La curva que así se obtiene de costo más económico en forma discreta de las dos unidades se puede visualizar como la curva de costo de una sola unidad equivalente. Ahora se agrega la tercera unidad y se repite el procedimiento para encontrar la curva de costo de las tres unidades combinadas. Puede observarse que en este procedimiento no se necesita determinar las combinaciones de operación de tercera y primera, ni de tercera y segunda, lo cual da por resultado un considerable ahorro en el esfuerzo de cálculo. Se repite el proceso hasta terminar con todas las unidades disponibles. La ventaja de este procedimiento es que, una vez que se obtiene la manera óptima de cargar k unidades, es muy fácil determinar la manera óptima de cargar tk + 1) unidades. Sea una función de costo Flx) definida como sigue: (x) = el costo mínimo en Rs/h de generar x MW por N unidades, x0) = el costo de generar y MW por la N-ésima unidad

F¡¡

f F*_1@

-1l) = el costo mínimo de generar (x

(N-

- y) MW por las unidades restantes

1)

Ahora, la aplicación de la DP da por resultado la siguiente relación recursiva:

F¡

(x)

= T'[/"(y) +

F¡¿-r (x

- y))

(7.12)

Con esta relación recursiva, es posible determinar fácilmente la combinación de unidades que dan los costos mínimos de operación para cargas que varían en pasos convenientes desde la carga mínima permisible de la más pequeña unidad hasta la suma de las capacidades de todas las unidades disponibles. En este proceso se determinan automáticamente el costo mínimo total de operación y la repartición de carga por cada unidad de la combinación óptima para cada nivel de carga.

El uso de la DP para resolver el problema de UC se ilustra mejor por medio de un ejemplo. Considere un sistema muestra que tiene cuatro unidades generadoras térmicas con los parámetros que se listan en la tabla 7 .2. Se necesita deterrninar las unidades más

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

Tabla7.2

Parámetros de la unidad de generación para el sistema muestra Parómetros de curva de costo (d

Capacidad (MW)

=

0)

Unidad núm. Mín

Móx

a (RsMW2)

b (Rs/MW)

12.0 12.0 12.0 12.0

0.77 1.60 2.00

23.5 26.5 30.0 32.0

I

1.0

2

1.0

)

1.0

4

1.0

2.50

económicas que se van a comprometer para una carga de 9 MW. Suponga que los cambios de carga se hagan en pasos de 1 MW.

Ahora

F{x) F1r,

=

ft(c-)

=

ft(x)

+ bf Gl = *orrl, z = 0.385 x 92 + 23.5 x9 = Rs 242.685th

De la relación recursiva (7.12), se calcula para F2(0), F20), FzQ), ..., Ft(9). De éstos,

F2(9)= mín {[/z(0) + Fr(9)]' VzG) +

ri(8)l'

+ F{7)1, VzG) + F1(6)1, Vz@) + Fr(s)1, [fz6) + Ft@)1, VzG) + Fr(3)], VzQ) + F(2)1, [fz(S) + rr(1)], VzQ) + rr(0)l] VzQ)

Al calcular término por término y luego F2(9)

=

de comparar, se obtiene

+ FtQ)l = Rs 239.565/h F2(8), Fz(1)..., Fz[), Fz(O).

VzQ)

De igual manera puede calcularse Con la relación recursiva (7 .I2), ahora se calcula F3(0), F3(1),

.

.., Fz(9).De

éstos,

4(9)= mín {ffi(0) + Fr(9)1, [/:(1) + Fz(S)], ..., lhg + Fr(0)l] = [/3(0) + Fze)/l = Rs 239.565/h Luego de proceder de la misma manera se llega a F4(9)

=

[f¿(0)

+

FzQ)] = Rs 239.565/h

El examen de Fr(9), F2(9), \(9) y F+(9) lleva a la conclusión de que las unidades óptimas que se deben planificar para una carga de 9 MW son 1 y 2, que reparten la carga en7 y 2 MW, respectivamente, con un costo mínimo de operaciínde239.565 Rs/h. Se debe señalar aquí que la tabla de UC óptimo es independiente de la numeración de las unidades, la cual puede ser completamente arbitraria. Para comprobarlo, el problema anterior se resuelve \na vez más y se elige un sistema diferente para numerar las unidades.

7.4

Consideraciones de confiabilidad

7.3 Estado. de las unidades oara costo mrnrmo oe oDeracron (tabla de planificación de unidades para el sistema muestra)

Tabla

Unidad número

Región de cargas

14-18

I I I

t9-48

I

1-5

6-13

* I = unidad en operación; 0 = unidad no

_

0

0

I I I

0

I

0 0 0

I

I

en operación.

Si se desea mayor exactitud, se puede reducir el tamaño de cada paso (por ejemplo,

á MW) con un aumento considerable en el tiempo de computación y la capacidad necesa-

ria de almacenamiento de datos. El efecto del tamaño de cada paso podría eliminarse por completo si se usa latécnica de ramas y límites [30]. La respuesta al problema anterior si se utilizan ramas y límites es el mismo en términos de unidades que se deben comprometer, es decir unidades 1 y 2, pero con una repartición de carga de 7 .34 y I.66 MW, respectivamente, y un costo total de operación de 239.217 5 Pts/h.

De hecho, el mejor sistema es restringir el uso del método de DP para obtener la tabla de UC para varios niveles discretos de carga; mientras que la repartición de carga entre las unidades comprometidas se decide entonces mediante el uso de la ecuación de coordinación [ecuación (7. 10)]. Para el ejemplo que se considera, la tabla de UC está preparada en pasos de 1 MW. Al combinar el rango de carga dentro de la cual no cambia la planificación de unidades, el resultado total se puede resumir en la forma de latabla7.3. Latabla de UC se prepara una sola vezparaun conjunto dado de unidades. Al modificar el ciclo de cargas en la planta, esto sólo significaría cambios en el arranque y paro de las unidades y la tabla básica de UC permaneceúa sin cambios. Si se utiliza la tabla de UC y se aumentaralacngapor pasos, el costo más económico de operación de la planta se calcula para la región completa de capacidad de la planta al emplear las ecuaciones de coordinación. El resultado es el costo total de la planta caracteístico en la forma de un conjunto de puntos de datos. Entonces estos datos se pueden ajustar a una ecuación cuadrática (o de mayor orden si es necesario) para uso posterior en la repartición económica de carga entre plantas generadoras.

7,4 CONSIDERACIONES DE CONFIABILIDAD Con la creciente dependencia de la industria, la agricultura y la comodidad cotidiana de los hogares de la continuidad de suministro eléctrico, la confiabilidad de los sistemas de suministro ha adquirido gran importancia. Toda planta de suministro eléctrico normalmente tiene la obligación de dar a sus consumidores un cierto grado de continuidad y calidad de servicio (por ejemplo, voltajes y frecuencia dentro de una región especificada). Por lo tanto, la economía y la confiabilidad (seguridad) deben coordinarse en forma adecuada al llegar a la decisión de la planificación de operación de las unidades. En esta

CAPíTULo

7

del sistema

operación

sección, se verá cómo la decisión de UC puramente económica se debe modificar por consideraciones de confi abilidad. Con objeto de cumplir con la demanda de carga bajo la contingencia de falla (intemrpción forzada) de un generador o su reducción de capacidad causada por un defecto menor, en una planta generadora siempre se tiene una capacidad de reserva estótica de modo que la capacidad total instalada excede el pico anual de carga por un cierto margen. Tál es un problema de planeación particular y rebasa el alcance de este libro. Para llegar a la decisión de UC económico en un tiempo dado, la restricción que se tomó en cuenta fue meramente el hecho de que la capacidad total en línea era por lo menos igual a la carga. El margen, si es que había alguno, entre la capacidad de las unidades comprometidas y la carga, era accidental. Si en operación real una o más de las unidades casualmente fallara (intenupción aleatoria), no sería posible cumplir las necesidades de carga. Poner en marcha una unidad térmica de reserva* (standby) y colocarla en condiciones de asumir la carga puede llevar varias horas (2 a8), de modo que no puede satisfacerse la carga durante periodos intolerablemente largos. Por lo tanto, para satisfacer las contingencias, la capacidad de las unidades en línea (en operación) debe tener un margen definido sobre las necesidades de carga en todo tiempo. Este margen, que se conoce como reserya rodante, asegura la continuidad al satisfacer la demanda de carga hasta cierto grado de probable pérdida de capacidad de generación. Aunque se han usado reglas empíricas, basadas en experiencia pasada, para determinar la reserva rodante del sistema en cualquier tiempo, el enfoque analítico de Patton para este problema es el más prometedor. Como la probabilidad de interrupciones de unidades aumenta con el tiempo en ope-

ración y como una unidad destinada para usarse como reserva en marcha en un tiempo dado tiene que activarse varias horas antes, el problema de seguridad de suministro se debe tratar en su totalidad durante un periodo de un día. Además, las cargas nunca se conocen con completacetteza. Asimismo, la reserva rodante se debe proveer en plantas generadoras adecuadas del sistema y no necesariamente en cada planta generadora. Este es, sin lugar a dudas, un problema complejo. Enseguida se presenta una exposición simplificada del problema. Una unidad durante su vida útil pasa por periodos alternos de operación y reparación como se muestra en la figura 7.6. Las longitudes de los periodos individuales de t2 (en paro)

1 (estado en operación)

operación)

7.6

Iz(éfl

operación)

+

t(en operación)

Falla

0

(estado en paro)

Figura

lReparación +

+

ts (en paro)

-

Tiempo en paro

Tiempo_-

Registro aleatorio de desempeño de unidades, despreciando los paros programados

* Si en el sistema hay disponible hidrogeneración, podría ponerse en línea en cuestión de minutos para asumir la carga.

7.4

Consideraciones de confiabilidad

operación y reparación constituyen un fenómeno aleatorio y los penodos en operación son mucho más largos que los periodos en reparación. Cuando una unidad ha estado en operación durante un tiempo largo, el fenómeno aleatorio se puede describir por los siguientes parámetros.

Tiempo promedio hasta falla (tiempo medio en operación)

Llt(en operación) 7(en operación)

= r Núm. de ciclos

(1.13t

Tiempo promedio para reparar (significa tiempo en paro)

Irr(en paro) T (en paro)

'

(7.r4)

Núm. de ciclos

Tiempo promedio por ciclo = I (en operación) + Z (en paro) Los valores inversos de estos tiempos se pueden definir como frecuencias [1], es decir Frecuencia de fallas, ).

=

llT

(en operación) (fallas/año)

/¿- llT

Frecuencia de reparaciones.

(enparo) (reparaciones/año)

Los periodos de fallas y reparaciones se estiman a partir de los datos pasados de las unidades (o de otras unidades similares instaladas en otra parte) por el uso de las ecuaciones (7.13) y (7 .L$. Se debe ejercer un buen juicio de ingenieúa para llegar a estos estimados. Los periodos de fallas se afectan por el mantenimiento preventivo y los periodos de reparaciones son sensibles al tamaño, composición y experiencia de las cuadrillas de reparación. Con la definición de la razón de probabilidad, se puede escribir la probabilidad de una unidad en operación o en paro en cualquier instante de tiempo como

p (en operación) =

p

(en paro) =

Z (en operación) I(en operación) + Z(en paro)

=. ,¿ (en paro)

+Z

Z(en operación)

(en operación) +

p

p (en operaciín) y p (en paro) en las ecuaciones nib ilidad y no - di sp onib ilidad, respectivamente.

paro) p+

(en paro) (7. 15)

p+^ A

(en

Es claro que

p

p

y

(7

(7.15)

(1.16)

^

=l .16) se llaman también dispo-

Cuando hay ft unidades en operación, el estado del sistema cambia por las intemrpciones aleatorias. La falla de una unidad se puede considerar como un evento independiente del estado de las demás unidades. Si un estado dado i de un sistema se define como X, unidades en estado en paro y Y, unidades en estado en operación (k = X, + Y,),la probabilidad de que el sistema se encuentre en este estado es

-

o,

=

E",p;

(en operación)

,{*,p¡

(en paro)

(1.r7)

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

Función de seguridad de Patton Una violación del sistema de seguridad se define como una condición intolerable o indeseable. Laúnica violación de seguridad que se considera aquí es la capacidad insuficiente de generación. La seguridad de función de Patton, que estima cuantitativamente la probabilidad de que la capacidad disponible de generación (suma de las capacidades de las unidades planificadas) a una hora dada es menos que Ia carga del sistema a esa hora, se define como [25] S

=

Zptr,

(7.18)

donde p- = probabilidad de que el sistema esté en el estado i [(véase la ecuación (7.1'1)1 r, = probabilidad de que el estado i del sistema cause violación de la seguridad

del sistema.

la carga del sistema es determinística (es decir conocida con certidumbre completa), r; = 1 si la capacidad disponible es menor que la car}ay 0 en caso contrario. S, Cuando

efectivamente, es un estimado cuantitativo de la inseguridad del sistema. Aunque teóricamente la ecuación (7.18) debe sumarse sobre todos los estados posibles del sistema (éstos, de hecho, pueden ser muy grandes), desde un punto de vista práctico, la suma necesita llevarse a cabo para estados que reflejen un número relativamente pequeño de unidades en intemrpciones forzadas. Por ejemplo, se pueden despreciar estados con más de dos unidades en paro pues la probabilidad de que esto suceda será demasiado baja.

Planificación óptima de unidades restringidas por seguridad Una vez que las unidades que se van a planificar a un nivel dado de cnga se conoce desde sus consideraciones puramente económicas, la función de seguridad,S se calcula según la ecuación (7.18). Esta cifra no debe exceder un cierto nivel máximo tolerable de inseguridad (MTIL: maximum tolerable insecurity level).El MTIL para un sistema dado es una decisión administrativa guiada por la experiencia pasada. Si el valor de S excede el MTIL, se modifica el programa de compromiso económico de unidades al introducir la siguiente unidad más económica según la tabla de UC. Luego se recalcula y se verifica S. El proceso se continúa hasta que S S MTIL. Como la tabla de UC económico tiene alguna reserva en marcha inherente, rara vez se encuentra necesaria más de una iteración. Para ilustración, reconsidere el ejemplo de cuatro unidades de la sección 7.3. Suponga que la curva diaria de cargapara el sistema es como se indica en la figura 7.'7.EIUC económicamente óptimo para esta curva de carga se obtiene inmediatamente al usar la tabla de UC previamente preparada (véase la tabla 7.3) y está dado en latabla7.4. Ahora se comprobará si la tabla de UC óptimo anterior es segura para cada periodo de la curva de carga. Para la carga mínima de 5 MW (periodo E de la figwa 7 .7) de acuerdo con la tabla de UC óptimo 7 .7 , s6lo se debe operar la unidad 1. Si se supone una frecuencia de fallas idéntica,\ de l/año y una frecuencia de reparaciones p, de99lafro para las cuatro unidades, se comprueba que el sistema es seguro para el periodo E. Además, considere que

Tabla7.4

Tabla de UC económicamente óptimo para el sistema muestra para la curva de carga de lafiguraT.T Número de unidad

Periodo

A

I

I

B

1

C

0

0 0 0

I

t

D E F

0

0

I

0

0 0

el MTIL del sistema es 0.005. La unidad 1 puede estar sólo en dos estados posibles, en operación o en intemrpción forzada. Por lo tanto,

s= t=lI p¡r¡=ptrt+pzrz donde

pt = p(enoperación) Pz= P\enparo)

p+A

- -++ = 0.01, P i

rz

= 1 (con la unidad

1 en paro no se satisface la demanda de carga)

Por lo tanto

S= 0.99 x 0 + 0.01 x

1 = 0.01 > 0.005 (MTIL)

Así, la unidad 1 por sí sola que suministra 5 MW no satisface el criterio de seguridad prescrito. Con objeto de obtener una UC óptima y al mismo tiempo segura, es necesario operar la siguiente unidad más económica, es decir, la unidad 2 (tabla 7.3) junto con la unidad 1.

t

Iru = :10 o

o LE

0

(Mediodía)

81216 Tiempo en horas

Flgura7.7

+

Curva diaria de carga

CAPÍTULO

7

Ooeración óptima del sistema

Con ambas unidades I y 2 en operación, sólo se contribuye a la función de seguridad por el estado en que las dos unidades se encuentran en intemrpciÓnforzada. Los estados con ambas unidades en operación o cualquiera de las dos en falla pueden satisfacer la demanda de carga de 5 MW y, por consiguiente, no contribuyen a la función de seguridad. Por lo tanto,

5=p

(enparo)

x p (enparo) x

1 = 0.0001

Esta combinación (unidades 1 y 2 ambas comprometidas) sí satisface el MTIL prescrito de 0.005, es decir S < MTIL. Si se procede en forma similar y si se verifican las funciones de seguridad para los periodos A, B, C, D y f, se obtiene la siguiente tabla de UC óptimos y seguros para el sistema muestra parala curva de carga dada enla fi.gura 7 .7 .

Tabla

7.5

Tabla de UC óptimos y seguros Número de unidad

Periodo

A

I

B

1

I I

C

1

0

0

D E F

I

I

0

1*

0 0

0 0

* La unidad

1

se puso en marcha

I 0

por consideraciones de seguridad.

Consideraciones de arranque La tabla de UC como la que se obtuvo antes es segura y económicamente óptima para cada periodo individual de la curva de carga. Una tabla así puede requerir que ciertas unidades se pongan en marcha y en paro más de \na vez. Por lo tanto, se debe tomar en cuenta el costo de arranque, desde el punto de vista de economía total. Por ejemplo, la unidad 3 tiene que parar y volver uffancaÍ dos veces durante el ciclo. Por lo tanto, se debe examinar si será o no más económico evitar un nuevo ¿[ranque al continuar la operación de la unidad en el periodo C.

a

Cuando la unidad 3 no está en operación en el periodo C. Caso Los costos totales de combustible para los periodos B, C y D, como se obtienen por la repartición de cargas más económica, son como sigue (se omite el cálculo detallado)

=

1690.756

+ 1075.356 +

1690.756

Costo de alranque de la unidad 3 Costo

b

Ltal

de operación

=

Rs 4456.868

= Rs 50.000 (se dice) = R, + SO6¡68

Caso Cuando las tres unidades están en operación en el periodo C, es decir, la unidad 3 no se para al final del periodo B. Costos totales de operación = | 690.7 56 + 1 08 1.704 + I 690.7 56 = Rs 4 463.216 (costo de arranque = 0)

7,5

Programación óptima de generación

Es claro que el caso b dapor resultado una economía general. Por lo tanto, la tabla de UC óptimo y seguro para este ciclo de carga se modifica como sigue, con la consideración adecuada al costo total.

Tabla

7.6

Tabla de UC óptimo general y seguro Número de unidad

Periodo

A

1

1

1

1

B

I

1

I

0 0

C

1

D

I

E F

II

I I I

I

1

* La unidad

7.5

se

1* I

0 0

0 0 0

inició bajo consideraciones específicas de arranque.

PROGRAMACIÓN ÓPUUR DE GENERACIÓN

De la tabla de compromisos de unidades de una planta dada, se puede determinar la curva de costo de combustible en forma de un polinomio de grado adecuado por el método de ajuste de mínimos cuadrados. Si se desprecian las pérdidas de transmisión, la carga total del sistema se puede dividir óptimamente entre las varias plantas generadoras al utilizar el criterio de costo incremental igual al de la ecuación (7.10). Sin embargo, es poco realista despreciar las pérdidas de transmisión en particular cuando se trata de transmisión de potencia a larga distancia. Un sistema moderno de suministro eléctrico sirve a una vasta étrea de densidad de carga relativamente baja. Las pérdidas de transmisión pueden variar entre 5 y l5%o de la carga total y, por lo tanto, es esencial tomar en cuenta las pérdidas mientras se desarrolla una política de despacho económico de cargas. Es obvio que cuando están presentes las pérdidas, ya no es posible usar el simple criterio de costo incremental igual. Para ilustrar el punto, considere un sistema de dos buses con generadores idénticos en cada bus (es decir, 1as mismas curvas IC). Suponga que la carga está ubicada cerca de la planta 1 y que la planta 2tiene que entregar potencia por una línea con pérdidas. El criterio de costo incremental igual indicaría que cada planta debería entregar la mitad de la carga total; mientras que es obvio en este caso que la planta 1 debeía asumir una proporción mayor de la demanda de carga con lo cual así se reducen las pérdidas de transmisión. En esta sección se investigará cómo se debe repartir la carga entre varias plantas, cuando las pérdidas de línea se toman en cuenta. El objetivo es minimizar el costo total de seneración C = .L.C¡(P6¡)

(7.1)

CAPÍrULO

7

Operación óptima del sistema

en cualquier tiempo con una limitación de igualdad de satisfacer la demanda de carga con pérdida de transmisión, es decir k

- PD - PL= o Lro, i=I

(7.19)

donde

k = número total de plantas generadoras P.,=planta de generación i-ésima Po = SUma de la demanda de carga en todos los buses (demanda de carga del sistema) P, = pérdida total de transmisión del sistema Para resolver el problema, el lagrangiano se escribe como

t f r I E=>cr(PG,)-¡l IPo,-Po-Prl i=1

L

t=l

Q.2o)

I

Se mostrará más adelante en esta sección que, si el factor de potencia de la carga en cada bus se supone peÍnanece constante, se puede demostrar que la pérdida en el sistema P. es una función de la generación de potencia activa en cada planta, es decir

Pr= Pr(Pa, Pcz, ..., Pc)

0.21)

Así, en el problema de optimización antes planteado, P", (i = 1,2, ..., ft) son las únicas variables de control. Para el despacho óptimo de potencia real,

aE = dct ¡* ¡3!u =g, i = 1,2, ..., k 1Po, aPo, dPo, Al reordenar la ecuación (7.22) y reconocer que si se cambia la salida

(7.22) de sólo una planta

el costo sólo afecta en esa olanta. se tiene dCt

,(, *g, , =^o 0P. ) tl-\

dQ ffo,

L,=A,i=r,2,...,k

(7.23)

|

dPo,

)

donde

L¡=

(7.24)

G-APLIAPG.)

sellamafactor de penalización de la planta l-ésima. El multiplicador lagrangiano .,\ está en rupias por megawatt-hora, cuando el costo de combustible está en rupias por hora. La ecuación (7.23) implica que se obtiene el costo mínimo de combustible cuando el costo incremental de combustible de cada planta multiplicado por su factor de penalización es el mismo para todas las plantas.

Programación óptima de generación

Las (k + 1) variables, (Pcr, P62, ..., Pc*, l) se pueden obtener del despacho óptimo k fecuación (7.23)],junto con la ecuación (7.19) de equilibrio de potencia. La derivada parcial APLIAPG¡ se conoce comolapérdida incremental de transmisión (ITL; incremental transmisión /oss) asociada con la planta de generación l-ésima. La ecuación (7.23) se puede escribir también en la forma alternativa

(IC)¡=

ijl-

QTL)il i = 1,2, ..., k

(7.2s)

Esta ecuación se conoce como la ecuación de coordinación exacla. Así, es claro que para resolver el problema de programación óptima de carga, es necesario calcular ITL para cada planta y, por lo tanto, se debe determinar la dependencia funcional de la pérdida de transmisión en potencias reales de las plantas generadoras. Hay varios métodos, aproximados y exactos, para desarrollar un modelo de pérdida de transmisión. Un tratamiento completo de éstos rebasa el alcance de este libro. Uno de los métodos más importantes, sencillo pero aproximado, para expresar la pérdida de transmisión como función de las potencias de los generadores es mediante los coeficientes B. Este método es razonablemente adecuado para el tratamiento de la coordinación de pérdidas en la programación económica de cargas entre plantas. La forma general de la fórmula de pérdida (que se deduce más adelante en esta sección) usando coeficientes B es

kk

Pr=

(7.26)

ZZ'o*u*,'o,

m=l n=I

donde

P6*, P6n = generación de potencia real en las plantas m-ésima y n-ésima.

B*n= coaficientes de pérdida que son constantes en ciertas condiciones

supuestas

de operación.

Si las Pos están en megawatts, B*,están en valores recíprocos de megawatts.* Por supuesto, se pueden realizar los cálculos sobre la base por unidad. Tiambién, B*,= Bn^. La ecuación (7 .26) para pérdida de transmisión se puede escribir en forma de mafiz como

Pr= PIBP;

(7.27)

donde

ID_ G-

u'n1

"o,l [4 P.,l lB, r=¡ .-lv : :ll Pcn

)

LBn

uro 8,,,

:l ,*)

I

Se puede observar que B es una matriz simétrica.

Para un sistema de tres plantas, la expresión para pérdida puede escribirse como

Pr= Bnflt +

B,2PG2

+ BrP6 + 2BrrPorPo, + 2BrrPorP*

+ 2BrrPo.rP., x

B-(enpu) =B-n(en MW-l) x base MVA.

(7.28)

CAPITULO

7

Operación óptima del sistema

con el modelo de pérdida de potencia del sistema según ecuación(7.26), puede ahora

escribirse

orr= afr r oPo,

. io

r

u"",|)LPo'a"ro'l Lm=r n=t J

,

I

= \po,B,,po, + \po*B*,po, + po,B,,po,l "'rrtln=t m=l m+í ln+i |

#l

(7.29)

I

Se puede observar que en la expresión anterior otros términos son independientes de po, y, por lo tanto, se dejan fuera.

Si se simplifica la ecuación (7 .29) y al reconocer que B,¡ B¡;,puede escribirse =

9:' = f'u,'", opo, f,

(7.30a)

Si se suponen curvas cuadráticas de costo de planta como

C¡(Pc¡)=

*o,4,+

b,Po,+ d,

Se obtiene el costo incremental como

#

= a,Po,+

(7.30b)

b,

Luego de sustituir aPL/aPGiy dc,ldpo, en la ecuación de coordinación (7.22),

se

tiene

Aifci+ bi+ A' \- 28,,P^ ,r ui = i .o

(7.3r)

j=I

Al reunir todos los términos de Po,y resolver para pou

se llega a

('7

?)\

Para cualquier valor dado de ,1,, la ecuación (7.32) se puede resolver iterativamente al suponer valores iniciales de las Po, (una opción conveniente es po, 0; i 1, z, ...,k). = = Las iteraciones se detienen cuando las Po, convergen dentro de una exactitud especificada.

La ecuación (7.32) jwto con la ecuación de equilibrio de potencia (7.19) para una demanda dada de carga Po se resuelven iterativamente en las siguientes líneas.

1. Inicialmente elegir ,tr = ,lo. 2. Suponer Pc¡= 0; i = 1,2, ..., k. 3 . Resolver la ecuación (7 .32) iterativamente

4. 5.

Calcular

p, =L\e",n,,eo

.

t=l i=l

Verificar si la ecuación(7.19) de equilibrio de potencia se satisface, es decir

LO - Po -

Prl.

" ,u"

valor especificado).

Si sí, parar. De lo contrario, ir al paso

6.

para P.,.

kk

6.

r

Aumentar ,\ en A,tr (un tamaño de paso adecuado)l si

|

k

)

fo,

- f,

, )'=' minuir,\ en A,\ (un tamaño de paso adecuado); rt desde el paso 3.

[]"",

-

PD

- rr)< 0odis-

- ¿.]' ")

0, repetir

La figura 7.8 muestra un sistema de dos buses. Si se transmiten 100 MW de la planta 1 a la carga, se produce una pérdida de transmisión de 10 MW. Encontrar la generación que se requerirá para cada planta y la potencia recibida por la carga cuando la ,\ del sistema es Rs

25lI4Wh.

Los costos incrementales de las dos plantas se dan enseguida:

dc' dP.' A/uu2

dPc,

Solución Como la

= o.o2P., + 16.o Rs/I4wh

- o.o4P-, + 2o.o Rs/\4wh

carga está sólo en el bus 2, Pcz no tendrá ningún efecto sobre Pr.

Por lo tanto,

Bzz=0y

Figura

7.8

Bn=0=

Bzt

Un sistema de dos buses para el ejemplo 7.4

CAPÍTULO

7

Ooeración óptima del sistema

Luego

P¡= B1ff, Para

P"t =

100

MW, Pr = lO MW,

(i)

es decir

l0 = Brr (100)2 Brr = 0'001 MW-r La ecuación (7.3I) para la planta 1 se convierte en 16

(ii)

2iB2fü = A - 20 B y I = 25, se obtiene

(iii)

O.}2PG.

+ ziBnP6 + 2^BnPGz = )' -

0.04PG2

+ 2lBrrPo, +

y para laplanta2

Al sustituir los valores

de los coeficientes

= 128'57 MW Pcz= I25 Mw Pcr

La pérdida de potencia de transmisión es P¿

y la carga

= 0.001 x (128.57)'= 16.53 MW

es

Po= Pct + Pcz- Pr = 128.57 + 125 - 16.53 = 237'04 MW

Considerar el sistema del ejemplo 7 .4 conuna carga de237 .04 MW en el bus 2. Encontrar la distribución óptima de carga entre las dos plantas para: a) cuando las pérdidas están incluidas pero no coordinadas y b) cuando las pérdidas están coordinadas. También encontrar los ahorros en rupias por hora cuando las pérdidas están coordinadas.

a

Si las pérdidas de transmisión no están coordinadas, las programaSotucio¡t Caso ciones óptimas se obtienen al igualar los costos incrementales de combustible de las dos plantas. Así

0.02P- + 16= 0.04Por+20 La potencia que se entrega a la carga

Al resolver

Caso

b

(i)

es

P", + Por= 0.001 Po, + 237.04 las ecuaciones (i) y (ii) para Poty P62, se llega a

(ii)

Pr.¡=275.18 MW; y Pcz = 37.59 MW Este caso ya se resolvió en el ejemplo 7.4.Las cargas óptimas de planta con

coordinación de pérdidas son

Pa=

128.57

MW;

PGz

= 125 MW

La coordinación de pérdidas causa que la cnga en la planta 1 se reduzca de 275.18 a 128.57 MW. Por lo tanto, el ahorro en la planta 1 debido a la coordinación de pérdidas ES

r6)d,P", P.,l" "t fTé.trr., -"-r'l,rr.r, vt + --/-'-^-(,r * 16 vt = o.or4, Jliasl

= Rs 2 937.691h En la planta 2,la carga aumenta de 37 .59 a 125 MW debido a la coordinación de pérdidas.

El ahorro en la planta 2 es

^^-_, + 20p""1l37.se (0.04PG, |¡37.5e 2O) dp6, \ - uz + -"' "'"-'U2 ' -"'utlrx -- uz = 0.02pá2 J.ZS = - Rs 2032.431h El ahorro neto que se obtiene por coordinar las cargas y programar la carga recibida de 237.04 MW es 2 937.69

-

2 032.43 = Rs 905.26lh

Derivación de la fórmula de pérdida de transmisión Kron [4] ha dado un método exacto para obtener una fórmula general para la pérdida de transmisión. Este método, sin embargo, es muy complicado. El propósito de este artículo es presentar una deducción más sencilla al hacer ciertas suposiciones. La figura 7.9c) describe el caso de dos plantas generadoras conectadas a un número arbitrario de cargas a través de una red de transmisión. Una línea dentro de la red se designa como ramal p. Imagine que la corriente de carga total Ir la suministra sólo la planta 1, como en la figwa 7 .9a). Sea 1or la corriente en la línea p. Se define I^,

M^r=L

(7.33)

ID

l,

l' Figura

7.9

Diagrama esquemático que muestra dos plantas conectadas a través de una red de potencia a un cierto número de cargas

CAPITULO

7

Operación óptima del sistema

De modo similar, si la planta 2 suministra por sí sola toda la corriente dela carga ffigura 7.9b)1, puede definirse

I-. M-¡= L

(7.34)

ID

M4y Mpz se llaman/actores de distribución de corriente.

Los valores de estos factores dependen de las impedancias de las líneas y de su interconexión y son independientes de la corriente 1r. Cuando ambos generadores 1 y 2 suministran corriente a la red como en la figura 7 .9c), al aplicar el principio de superposición, la coriente enlalínea p se puede expresar como

Io= MoJcr + Mrzlcz

(1.3s)

donde 1or e 1G2 son las corrientes suministradas por las plantas 1 y 2, respectivamente. En esta etapa, ciertas suposiciones de simplificación son: 1. Todas las corrientes de carga tienen el mismo ángulo de fase con respecto a una referencia común. Para entender la implicación de esta suposición considere la carga en el bus i-ésimo. Se puede escribir como

llDil

L (6¡-

Ó¡)= llo¡l L0¡

donde ár es el ángulo de fase del voltaje de bus y ó¡ es al ángulo de fase en retraso de la carga. Como 6, y Q,varían sólo en una región estrecha en varios buses, es razonable suponer que I, es igual para todas las corrientes en todo tiempo. 2. La relación ()UR) es la misma para todos los ramales de la red. Estas dos suposiciones llevan a la conclusión de que lot e Io [figura 7.9a)] tienen el mismo ángulo de fase y 1o mismo vale para loz e In [flgura 7 .9b)], de tal manera que los factores de distribución de corriente Mot! Mp2son reales en vez de complejos. Sea, 1o1 = llctl Lo, e 162 = 1162l Lrr2

at y az son los ángulos de fase de 1o, e 1G2, respectivamente, con respecto a la referencia común. De la ecuación (7.35), puede escribirse donde

llol2

= (Mollc,l cos a, + Mpzllrrlcos Mo2ll52lsen o)2

Al desarrollar y simplificar esta ecuación, Volz

Ahora

a2)2

+ (Moll6lsen o1+

se llega a

= MzrrVorlz + M2o2llcrlz + 2MrlMorllorl ll-lcos (o1 1¡.,¡

=

(7.36)

I.,l= --&)-; ,/3lVrlcosS, r/3lV,lcos/r ---&¿l

n2)

(7.37) (7.38)

donde Po, y Po, son las salidas de potencia real trifásica de las plantas I y 2 para factores de potencia de cos {, y cos ózy Vt y V2 son los voltajes de bus en las plantas.

z.s

programac¡on opt¡ma de

generación

};tQütrriri x

Si Ro es la resistencia del ramal p, la pérdida total de transmisión está dada porx p¿

=

I3t

IeF Re

p

Sustituyendo llol2 de la ecuación (7.37), e l1o,l e

1162l

de la ecuación (7.38), obtenemos

PL=wkÍ7'3'o' qz\ *2Po,Pcrcos(o, l{llVrlcosfr cos@,

Lrz-,PLMPL.R^

P

?

M;rR,

- ,^ \ * . ."13, lV2P (cosfi \2

(7.39)

'(-/"'P¿'-P

La ecuación (7.39) se puede reconocer como

Pr= $rBn + 2P.rPorBrr + forB, B'," = 8,"

,,,.;L lVrl'(cosó1)' -, 'o}Mirn,

eos(crt - oz) \ M^,M^,R. = lvtllv2lcosS,cosfi r' |

(7.40)

Y

8,, = ----1----- ^ lVrl" (cosfu)'

\

7

ul.n^ rL

Y

Los términos B¡, Bpy Brrse llaman coeficientes de pérdida o coeficientes B. Si los voltajes s9n kV línea a línea con resistencia en ohms, las unidades de los coeficientes B son MW-'. Además, si Prt y Potse expresan en MW, Ptestará también en MW. Los resultados anteriores se pueden extender al caso general de kplantas con pérdida de transmisión expresada como * Esta expresión general para

e1 sistema de

potencia con

/<

plantas

se expresa

como

,," =

r' v+.... ==F!-,-=Lulono -.'F...l,*i,Ro lvtl'tcosót)' lVpl'{cosó¡,)' ? I t(l

*z

i

)Po^Po,cos(cr*-on't

m.n=tl ".1lV-llV.lcos$-cosó"

\ u_-u^_n-l Y"' '" 'I 2 ) P

Se puede reconocer que k

Pr= ÉorBr, + ... + Fop* + 2

\po*B*,po,

m'n=I

265

)

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

kk

P,

=Z\Po^B-,Po,

(7.4r)

m=I n=l

donde

cos!u, - on) = lv.llvnlcosQ,cos$, LM,.M,^Ro 2' -pril- -p't'-p

B^_ "mn

(7.42)

Si los coeficientes B se han de tratar como constantes al variar la carga total y la repartición de carga entre las plantas, son necesarias las siguientes suposiciones, incluyendo las ya mencionadas:

1.

Todas las corrientes de carga mantienen una relación constante respecto a la corriente

total.

2. 3. 4.

Las magnitudes de voltaje de todas las plantas perrnanecen constantes. La relación de potencia reactiva a real, o sea el factor de potencia de cada planta, permanece constante. Los ángulos de fase de voltaje en los buses de la planta perrnanecen fijos. Esto equivale a suponer que las corrientes de planta mantienen un ángulo de fase constante con respecto a la referencia común, ya que los factores de potencia de la fuente se suponen constantes según la suposición 3 anterior.

es afortunado que al tratar los exactos, cuando razonablemente produzcan resultados coeficientes B como constantes se promedio. Si hay camlos coeficientes se calculan para algunas condiciones de operación bios importantes en el sistema será necesario volver a calcular los coeficientes. Las pérdidas, como función de las generaciones de planta, se pueden expresal por otros métodos,* pero la simplicidad de las ecuaciones de pérdida es la principal ventaja

A pesar del número de suposiciones que se han hecho,

del método de coefientes B.

Tomar en cuenta las pérdidas de transmisión da por resultado una considerable economía de operación. Además, esta consideración es igualmente importante en la planeación de sistemas futuros y, en particular, respecto a la ubicación de plantas y la construcción de nuevas líneas de transmisión.

La figura 7.10 muestra un sistema que tiene dos plantas 1 y 2 conectadas a los buses I y 2, respectivamente. Hay dos cargas y una red de cuatro ramales. En este diagrama se muestra el bus de referencia con un voltaje de l.0ZO" pu. Las corrientes e impedancias de los ramales son

* Para métodos más precisos y la expresión exacta de

EUEGi,

se pueden consultar las referencias

t22,231

Io= 2 - j0.5

Iu=

1.6

-

I,=l-j0'25Pu

Pu

j0.4 Pu

Zo= 0.015 + j0.06 pu Zu

I2

I¿ = 3.6 - j0.9 pu Z, = 0.0I + j0.04 pu

= 0.015 + 70.06 pu

Z¿

= 0.01 + j0.04 pu

Calcular los coeficientes de la fórmula de pérdida para el sistema en pu y en megawatts recíprocos, si la base es 100 MVA.

Solucion Como todas las corrientes de carga mantienen una relación constante respecto a la corriente total, se tiene

Bus de referencia v =1¿0" Pu

Carga

1

Figura 7.10

Id _3.6-i0.9 =0.7826 I, + Io 4.6 - i1.ls I, _ t- i0.25 = 0.2174 I, + Io 4.6- il.ls

Sistema de muestra del ejemplo 7.6

Mo2= 0, Mn = 0'7826, Mr2 = 0'2174' M¿z = 0'1826 Como se conocen las corrientes de fuente, se pueden calcular los voltajes en los buses fuente. Sin embargo, en una red de tamaño práctico se tiene que hacer un estudio de flujo de carga para encontrar los factores de potencia en los buses, los voltajes en el bus y los ángulos de fase. Los voltajes de bus en las plantas son

Vr

=

1.0 + (2

-

j0.5) (0.015 + j0.06)

= 1.06 + j0.Il25 = 1.066 L6.05" pu Vz= | + (1.6 - j0.4) (0.015 + j0.06) =

1.048 +

j0.09 = I.051L4.9" pu

Los ángulos de fase de la corriente en las plantas son (1t = Io, Iz= Ia + I,)

= tan-r -0'5 = - 14o; cc = tan-1 -9 95 = -I4o '22.6

o, cos

(ar-

a1)

= cos

0o

=

1

Los factores de potencia de la planta son

pf, = cos (6.05' + 14") - 0.9393 Pfz = cos (4.9' + 14") = 0.946

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

Los coeficientes de pérdida son lecuaciín Q

^ o"

=

AD]

0.015 x12 + 0.015 x(0.2174)z + 0.01 x(0.2174)2 + 0.01 x(0.'7826)z

0.02224 pu D_

"22 -

0.0i5 x (0.'782fD2 + 0.01 x(0.2174)z + 0.01 x (0382q2 (1.051)2 x9.946)z

= 0.01597 pu Brz

(-0.2114)(0.7826)(0.015) + 0.01 x(0.2174)2 + 0.01 x(0.7826)? 1.066 x 1.051 x0.9393 x 0.946

= 0.00406 pu Para una base de 100 MVA, estos coef,cientes de pérdida se deben dividir entre 100 para obtener sus valores en unidades de megawatts recíprocos, es decir

g,,- 9'aD4 100

7.6

=0.02224

x

1o-2

Mw-r

p""

- 9lJ5fr = 0.01597 x 1o-2 Mw-r 100

8,"

=

o'oMo6 100

= o.oo4o6 x

1o-2

Mw-r

SOLUCIÓTrI ÓPITTV¡A DE FLUJO DE CARGA

El problema de despacho óptimo de potencia real se trató en la sección anterior mediante la fórmula aproximada de pérdida. Esta sección presenta el problema más general de flujo de potencia real y flujo de potencia reactiva para minimizar los costos instantáneos de operación. Es un problema de optimización estática con una función objetivo escalar (también llamada función de costo). La técnica de solución que aquí se da fue desarrollada primero por Dommel y Tinney [34]. Se basa en la solución de flujo de carga por el método NR, un algoritmo de ajuste de gradiente de primer orden para minimizar la función objetivo y el uso de funciones de penalización para incluir las restricciones de desigualdad de las variables dependientes. Primero se considera el problema de flujo óptimo de carga sin restricciones. Luego se introducen las restricciones de desigualdad, primero en las variables de control y luego en las variables dependientes.

Fluio de potencia óptimo sin restricciones de desigualdad La función objetivo que se va a minimizar es el costo de operación k

C_

Zc,eo) i

(7.7)

z.e

soluc¡on opt¡ma oe ftujo de

carga

f.1á¡¡::i:

t sujeta a las ecuaciones de flujo de carga [véanse las ecuaciones (6.27) y (6.28)]

n O,

-

ftv,ttvjttYijtcos

* it

(áu + ó;

víttvjtl Y,)sen (0,,+ 6;

(7.43)

- 4) = o -

para cada bus PQ

(7.44)

4)=o

n

4 - )rqf j=1

f

V,llY,,lcos(0,, + á;

- 4)= 0 para cada bus PV

(1.4s)

Debe observarse que en el bus i-ésimo,

P¡= P¡;¡- Pp¡

Q¡= Qc¡-

(7.46)

Qo¡

donde Po, y Qo,son las demandas de carga en el bus l. Las ecuaciones (7 .43), Q.aD y (7.45) se pueden expresar en forma vectorial l-

f

rl (7.44)l

Ec. ( 7.43

(x. v) = ,.. I

lEc.

(7.45)

I

para cada bus eQl

(1.41)

para cada bus PVI

donde el vector de las variables deoendientes es

i'r,r

- -r i para cada bus PO ^' J, x= || ó¡ -l

Lá,

A

i

v- ';,\

n*"

(7.48a)

para cada bus PV,l

y el vector de las variables independientes r14lt

I

es

el bus de referencia

n*^cada bus PQ

=

["-l LPJ

(7.4sb)

4 ] o*u cada bus PV tut) ' En la formulación anterior, la función objetivo debe incluir la potencia del bus de referencia.

El vector de las variables independientes y

se puede

dividir dos partes: un vector u

de las variables de control que se van a variar para obtener el valor óptimo de la función

objetivo y un vector p de los parámetros fijos, o de perturbación o no controlables. Los parámetros de control* pueden ser magnitudes de voltaje en los buses PV, PGi en buses con potencia controlada, etcétera. * El voltaje del bus de referencia y el ajuste de tomas o derivaciones del transformador regulador se pueden emplear como variables adicionales de control. Dopazo et al. [26] usan Q5¡ como variable de control en buses con conlrol de potencia reactiva.

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

El problema de optimizaciónx puede ahora expresarse como mín C(x' u)

(7.4e)

.f(x,u,p)=o

(7.s0)

sujeto a las restricciones de igualdad

Para resolver el problema de optimización, la función lagrangiana se define como

E (x, u, P)= C (x, u) + t'f (x, u' P)

(7.51)

donde .,\ es el vectof de los multiplicadores de Lagrange, de la misma dimensión que

f(x,

u,

p).

Las condiciones necesarias para minimizar la función lagrangiana sin restricciones (véase el apéndice A para la diferenciación de funciones matriciales) son

dc *[]Ll'o = 3x 0x LO¡l

aE

=o

(7.s2)

du L0ul 3u=!q-|-!l'l'^=u

(7.s3)

AE

(7.s4)

aE

a^

=f (x.u.p)=o

La ecuación (7.54) es obviamente la misma que la de restricciones de igualdad. Las 0C y D/ se necesitan en las ecuaciones (7.52) y (1 '53) son algo exoresiones p*u

dx

du

"o-o

complicadas.*x Sin embargo,

Af

? dx

matiziacobiana [igual

se a

puede observar, al comparar con la ecuación (6.56a) que

la utilizada en el método NR de solución de flujo de carga;

lai expresiones para los elementos del jacobiano

están dados en las ecuaciones (6.64)

y

(6.65)1.

Las ecuacion es (7 .52), (7 .53) y (7.54) son ecuaciones algebraicas no lineales y sólo se pueden resolver iterativamente. Un sistema sencillo pero eficiente de iteración que se puede utilizar es el método de descenso más abrupto (también llamado método de gradiente). La técnica básica es ajustar el vector de control z, de manera de moverse desde un punto de solución factible [un conjunto de valores de; que satisfaga la ecuación (7.54) para valores dados de uy p; es, efectivamente, la solución de flujo de cargal en la dirección de descenso más abrupto (gradiente negativo) a un nuevo punto de solución factible

* Si la pérdida de potencia real del sistema

se debe minimizar, la función objetivo es

C = Pr(lVl, á) Como en este caso las potencias reales inyectadas son fijas, la minimización de la potencia real inyectada Pt en el bus de referencia es equivalente a la minimización de la pérdida total del sistema. Esto se conoce como problema de flujo óptimo de potencia reactiva. ** Se puede consultar para detalles el artículo original de Dommel y Tinney [34]'

7.6

Solución óptima de flujo de

carga

con un menor valor de la función objetivo. Al repetir estos movimientos en la dirección del gradiente negativo, se alcanzará flnalmente el mínimo. Enseguida se da el procedimiento de cálculo para el método del gradiente con los detalles relevantes:

I Paso 2

Hacer una conjetura inicial para u, las variables de control. Encontrar una solución factible del flujo de carga de ecuación (7 .54) por el método iterativo NR. El método meiora sucesivamente la función x como sigue:

Paso

+1)

"(r

= x(r)

+

L.x

donde Ax se obtiene si se resuelve el sistema de ecuaciones lineales (6.56b) que se reproduce enseguida = - f (x"" Y) [9t*''''''-la' LOX J

A,r =

- (l') )-t f (r('), y)

Los resultados finales del paso 2 son una solución factible de x y la matriz jacobiana.

3

Paso

Resolver la ecuación (7.52) para

¡= -l( L)'.1-'!q L\a*/.l E" 4

Paso

Inserte

,)t

(7.ss)

de la ecuación (7.55) en la ecuación (7 .53) y calcular el gradiente

,"=#.[#]'^ Se puede observar que para calcular el gradiente, el jacobiano J

(7.s6)

=

+ya dx

se

conoce por la

solución de flujo de carga (paso 2 anterior). Paso 1o

5

Si V,C = 0 dentro de la tolerancia prescrita,

se habrá alcanzado

el mínimo. De

contrario,

Paso

6

Encontrar un nuevo coniunto de variables de control unu.uF uunt"io,

* Lu

(1.s7)

donde

L,u=-ayg

(7.58)

Aqlí Lu es un paso en la dirección negativa del gradiente. El tamaño del paso

se

ajusta por el escalar positivo a. Los pasos 1 a 5 son directos y no presentan problemas de cálculo. El paso 6 es la parte cntica del algoritmo, donde la selección de a es muy importante. Un valor demasiado pequeño de a garantiza la convergencia pero disminuye larapidez de convergencia; un

27q

|

r

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

valor demasiado alto provoca oscilaciones alrededor del mínimo. Hay disponibles diversos métodos parala selección óptima del tamaño de paso.

Restricciones de desigualdad en las variables de control Aunque en la explicación anterior se supone que las variables de control son sin restricción, los valores permisibles son, de hecho, siempre restringidos

Uoín3U1U^6* PGr,^in= Pc¡ 3 PG¡,^to

por ejemplo

(7.5e)

Estas restricciones de desigualdad en las variables de control se pueden manejar fácilmente. Si la correcciÍn Lu,en la ecuación(7.57) hace que u,excedauno de los límites, a' se ajusta igual al límite correspondiente Si ui, Si

-"t. nueva

ili,

-t".io, unt".io.

+ L,u, > ur,^* * A,\ 1 u¡, min

(7.60)

de otra manera

Después de que una variable de control alcanza cualquiera de los límites, su componente en el gradiente debe continuar calculándose en iteraciones posteriores, pues la variable puede llegar a estar dentro de los límites en una etapa posterior. De acuerdo con el teorema de Kuhn-Tucker (véase el apéndice E), las condiciones necesarias oara la minimización de B con restricciones (7.59) son:

=o # #=o

#=o

si u¡,,otn1uí 1u¡,^á* si ui = ui,^áo

,,

(7.6r)

= uí,máx

Por lo tanto, ahora, en el paso 5 del algoritmo de cálculo, el vector de gradiente tiene que satisfacer la condición óptima (1.6I).

Restricciones de desigualdad en variables dependientes A menudo, los límites superior e inferior de las variables independientes

se especiflcan

como

X,oínSX<Xmáx

lVl-í, < l\,'l < lVl-á" enunbusPQ

(7.62)

Tales restricciones de desigualdad se pueden manejar en forma conveniente mediante

el método defunción de penalización.La función objetivo aumenta por penalizaciones por violaciones a las restricciones de desigualdad. Esto obliga a la solución a quedar suficientemente próxima a los límites de la restricción, cuando se violan dichos límites. El método de función de penalización es válido en este caso, porque estas restricciones

z.a

sfJt:Ic,On

W¡na de

nujo

de

car}a r]iiwtk ¡

'6 (g

.N (g

I

Xmín

Figura 7.1 1

Xmáx

Función de penalización

raravez son límites rígidos en sentido estricto, sino que son, de hecho, límites blandos o suaves (por ejemplo, lvl < 1.0 en un bus PQ enrealidad significa que Vno debería exceder mucho de1.0 y l14 = 1.01 puede todavía ser permisible). El método de penalización reclama un aumento de la función objetivo de modo que la nueva función objetivo se vuelve

C'=C(x,ú+lW,

(7.63)

l

donde se introduce la penalidad W¡ pala cada restricción de desigualdad violada. Una función de penalidad adecuada se define como

*,= donde

factor

77

- '-l] {':lil i: :::::::::: '-': ^* lT¡lx,- r¡.mín )-: slemprequeri 1x¡,min

0

es un número real positivo que controla el grado de penalización

y

64\

se llama

de penalización.

La figura 7.1 1 muestra lna gráficade la función de penalización propuesta, donde se indica claramente cómo los límites rígidos son reemplazados por los suaves. Las condiciones necesarias (7 .52) y (7.53) se modificarían ahora como se indica enseguida, mientras que las condiciones (7.54), es decir, las ecuaciones de flujo de carga, pennanecen sin cambio.

dt: dx

-= ap du

El

aw,

vector;¿

dx

-=

oc*ta4*[!l'l'^=o 0x ?ar

LExl

0u 7 Au

L?tu)

(7.6s)

oc*tat,*ljll'o=o

(7.66)

que se obtiene de la ecuación (7 .64) debería contener sólo un término

no cero, que coffesponde a la variable dependiente ry; mientras

q"" aW, a;

= 0 ya que las

funciones de penalización en variables dependientes son independientes de las variables de control. Mediante la elección de un valor mayor pffia Tj, la función de penalización se puede hacer con mayor pendiente, de modo que la solución quede más cerca de los límites

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

rígidos; la convergencia, sin embargo, será menos eficiente. Un buen procedimiento es comenzar con un valor bajo d" y¡ y aumentarlo durante el proceso de optimización, si la solución excede un cierto límite de tolerancia. Esta sección ha mostrado que el método NR de flujo de carga se puede extender para dar la solución de flujo de carga óptimo que es factible con respecto a todas las restricciones pertinentes de desigualdad. Con frecuencia se necesitan estas soluciones para planeación y operación de sistemas.

7.7

PROGRAMACIÓN ÓPITUE DE UN SISTEMA HIDROTÉRMICO

Las secciones previas han tratado sobre el problema de programación óptima de un sistema eléctrico de potencia formado por sólo plantas térmicas. La política de operación óptima en este caso se puede determinar por completo en cualquier instante sin referencia a la operación en otros tiempos. Éste, efectivamente, es el problema de optimización estática. La operación de un sistema que tenga plantas tanto hidráulicas como térmicas es, sin embargo, mucho más compleja ya que las plantas hidráulicas tienen costos de operación despreciables, pero necesitan operar con restricciones de agua disponible para la hidrogeneración en un periodo dado. El problema, por lo tanto, pertenece al campo de la optimización dinámica. El asunto de minimizar el costo de operación de un sistema hidrotérmico se puede considerar como un problema de minimizar el costo de combustible para las plantas térmicas con la restricción de disponibilidad de agua (almacenamiento y flujo de entrada) parala hidrogeneración, para un periodo dado de operación. Para simplificar y entender el planteamiento del problema y la técnica de solución, se ilustran mediante un sistema hidrotérmico simplificado en la figura 7 .I2. Este sistema consta de una planta hidroeléctrica y una planta térmica que suministran potencia a una carga centralizaday se conoce como sistemafundamental. La optimización se llevná a cabo con la generación de potencia real como variable de control, con pérdida en la transmisión considerada por la fórmula de pérdida de la ecuación (1.26\.

J (flujo de entrada de agua) Embalse (presa, almacenamiento ,GH

Planta térmica

Planta hidráulica P

Figura7.12 Sistema hidrotérmico

q (descarga de agua) fundamenta

7.7

Programación óptima de un sistema hidrotérmico

Formulación matemática Para un cierto periodo de operación

Z(un año, un mes o un día, según sea necesario). se supone que: l) se especifican el almacenamiento del embalse hidráulico al principio v al final del periodo y lí) el flujo de entrada de agua al embalse (después de descontar el agua para irrigación) y la demanda de carga sobre el sistema se conocen como funciones del tiempo con certeza completa (caso determinístico). El problema es determinar q(t), e\ caudal de descarga de agua que minimice el costo de la generación térmica.

c, = fo'c'{rore))

dt

(7.67)

con las siguientes restncclones:

,)

Satisfacer la demanda de carga

Pcr(t) + Pcn (t)

-

Pr(t)

-

Pn(t) = 0; te l0,Tf

(7.68)

Esta ecuación se llama ecuación de equilibrio de potencia.

ii)

Disponibilidad de agua

x,

{r)

(r)- x, (o) -lo"r, ü +[o'a{t) tt = o

(7.69)

es (el caudal de) entrada de agua,

X'(r) es el almacenamiento de agua y X'(0), X'(Z) son almacenamientos especificados de agua al principio y al final del intervalo de donde

optimización.

iii)

La hidrogeneración PcaQ) es función de la descarga hidráulica y del almacenamiento de agua (o carga hidráulica), es decir

Pcn(t)=f(X'(t),q(t))

(7.70)

El problema se puede manejar convenientemente mediante discretización. El intervalo de optimización Z se subdivide en M subintervalos cada uno con una longitud AZ. En cada intervalo se supone que todas las variables permanecen fijas en valor. El problema se plantea ahora como

MM

p[7) = .. mín l,ctpt ¡ mín Ar q''tn=7.2.....tt1) )C'( o'rm=1.2....,Mt,1

(7.7r)

ñ

con las siguientes restricciones: Ecuación de equilibrio de potencia

i)

P{r+P[r-P{ -PI =o donde

Pf,, = generación térmica en el intervalo m-ésimo

Ptn = hidrogeneración en el intervalo r¿-ésimo

Pi=

pérdida de transmisión en el intervalo m-ésimo

= Bn(Pt)2 +zBrHPi:H +BHH(Pt)z P3 = demanda de carga en el intervalo ru-ésimo

(7.72)

CAPíTULO

ii)

7

Operación óptima del sistema

Ecuación de continuidad de agua

X'*

-

X'

(m-1)

-f

LT +

q* LT = 0

donde

X'^ = almacenamiento de agua al final del intervalo m-ésimo J* = entradade agua (caudal) en el intervalo rz-ésimo q^ = descarga de agua (caudal) en el intervalo r¿-ésimo La ecuación anterior se puede escribir como

X"-X*-1 - J* + q^ =0; m= 1,2, "'' M

Q'73)

donde X. = x,*lLT = almacenamiento en las unidades de descarga. al principio y En la ecuaci 6n (7 .73), K y X'son los almacenamientos especificados al flnal del intervalo de optimización. como La hidrogeneración en cualquier subintervalo se puede expresar8

iii)

Pta = h"{ 1 + 0.5¿

(Y + {))}

(q*

-

P)

(7.74)

donde

ho= 9.81

x

l0-3

h'o

muerto) cargahidráulica básica (Ia catgahidráulica corresponde al almacenamiento donde ho

=

P) = descarga efectiva enm3ls 14,:.^= C&fgahidráulica promedio en el intervalo m-ésimo

(q* '

-

Ahora

lfi*=

h,

+

Lr(x* + x*-r)

donde

A= h'o

dado' área de la sección transversal del embalse con un almacenamiento

que coresponde al almacenamiento = carga hidráulica básica (carga hidráulica

muerto). hf,,o^= h'o{l + 0.5e(X! -t x"^)J donde

AT e=-:e

se tabula para varios valores de almacenamiento'

Ah'n

Ahora

Ftn = ho {r + o.Se(X* + *

p2, = 9.81 x rol

hT,o^(q*

-p)

Ivtw.

x*-')}

(qo'

-

P)

7.7

Programación óptima de un sistema hidrotérmico

donde

ho= 9.87

x

70-3h'o

e = factor de corrección para variación en la carga hidráulica al variar el almacenamiento. p = descarga no efectiva (descarga de agua que se necesita para mover el hidrogenerador en condiciones sin carga).

En el planteamiento anterior del problema, es conveniente elegir descargas de agua en todos los subintervalos, excepto uno como variables independientes, mientras que las hidrogeneraciones, las generaciones térmicas y los almacenamientos de agua en todos los intervalos se consideran como variables dependientes. El hecho de que la descarga de agua en uno de los subintervalos es una variable dependiente, se muestra a continuación: Al sumar la ecuación (7 .73) para m = 1,2, ..., M lleva a la siguiente ecuación conocida como ecuación de disponibilidad de agua:

xM-xo-Lt**\a*=o

(7.7s)

Debido a esta ecuación, sólo (M 4s se pueden especificar independientemente y la q restante se puede determinar de esta ecuación y es, por lo tanto, una variable dependien-

-l)

te. Por conveniencia se elige

4l como variable dependiente, para la cual puede escribir M

qt=xo-xM+ I-t'-Ia' L¿' ' .L¿ m

(7.76)

m=2

Técnica de solución El problema

se resuelve aquí con la técnica de programación no lineal en combinación con el método de gradiente de primer orden. El lagrangiano se formula al aumentar la función de costo de la ecuación(7.71) con restricciones de igualdad de las ecuaciones (7.72)-(7.74) mediante multiplicadores de Lagrange (variables duales) y Así, ,

I

if

E=> tc(P\r) - ü (4r+ 4r-

li.

^y

ü) * ü fx: - Y-'-J- + q*) + ü {Ptu- h,(l + 0.5e(Y * *^-t))x(q- - il}l PT-

m

(7.77)

Las variables duales se obtienen al igualar a cero las derivadas parciales del lagrangiano con respecto a las variables dependientes con lo que se llega a las siguientes ecuaciones

aE dc(P:r) _ a"f '[ a4, )l= o aPt= dPt x(t_ [El lector puede comparar esta ecuación con la ecuación

(7

(7.78)

.23)]

#=^T-^T?-#)=o

(7.79)

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

ldEl

= AU - ü*t - ti I ax^ l^*, +(, (q^*'- p)) = o

{0.5h"e(q^

-

p)}

-

Af*t

l}.Shse (7.80)

y usando la ecuación (7.73) en la ecuación (7.7j). se obtiene (7.81) Las variables duales para cualquier subintervalo se pueden obtener como sigue:

t) ii) iii)

Obtener

Ai

delaecuación (7.78).

Obtener

l{

delaecuación (7.79).

obtener,tlr de la ecuación (7.81), y los otros valores de

li

(7.80).

@+

1) de la ecuación

El vector de gradiente está dado por los derivados parciales del lagrangiano con respecto a las variables independientes. Así,

( sn \

=iT- i\h" {1 + 0.5e (2x"-t +.t* -2q* + p)} É+l \ dQ"' )^+t

(7.82)

Para optimización, el vector gradiente debe ser cero si no hay restricciones de desigualdad para las variables de control,

Algoritmo

1.

Suponer un conjunto inicial de variables independientes qm subintervalos salvo el primero.

2.

obtener los valores de las variables dependienfes ecuaciones (7.73), (7.74), (7.72) y (7.76).

3.

obtener las variables duales , i{, AT @ * l) y ,tt2 con las ecuaciones (7.7g), (7 .79), (7.80) y (7.81). ^f Obtener el vector de gradiente mediante la ecuación (7.82) y verificar si todos sus

4.

x", ptr,

(m+ l)

trt

para todos los

qr por medio de las

elementos son iguales a cero dentro de una exactitud especificada. Si esto es así, se habrá alcanzado el óptimo. Si no, ir al paso 5.

5.

Obtener nuevos valores de las variables de control al aplicar el método de gradiente de primer orden, es decir

üo"uo=4Tn"¡o,-"1:+).^ \dq- )

*l

(7.83)

donde a es un escalar positivo. Repetir desde el paso 2. En la técnica de solución que se presenta antes, si algunas de las variables de control (descargas de agua) cruzan los límites superior o inferioq éstas se hacen iguales a sus respectivos valores límite. Para estas variables de control, se verifica el paso 4 anterior de acuerdo con las condiciones de Kuhn-Tucker (7.61) de la sección 7.6.

7.7

Programación óptima de un sistema

hidrotérmico

Las restricciones de desigualdad de las variables dependientes se tratan de Íranera conveniente si la función de costo se aumenta con funciones de penalidad como se expuso en la sección 7.6. El método antes descrito es muy general y se puede extender en forma directa a un sistema que tenga plantas múltiples hidráulicas y térmicas. El método, sin embargo. tiene la desventaja de requerir mucha memoria de computadora, ya que las variables independientes, las variables dependientes y los gradientes necesitan almacenarse simultáneamente. Una técnica modificada que se conoce como descomposición [24] supera esta dificultad. En esta técnica la optimización se lleva a cabo para cada subintervalo y se repite el ciclo completo de iteración si la ecuación de disponibilidad de agua no concuerda al final del ciclo.

Considere el sistema fundamental hidrotérmico que se muestra en la figura 7 .lZ.El objetivo es encontrar el programa óptimo de generación para un día típico, en el que la carga varía en tres pasos de 8 horas cada uno como 7 MW 10 MW y 5 MW respectivamente. No hay ninguna entrada de agua en el embalse de la planta hidráulica. El almacenamiento inicial de agua en el embalse es de 100 mr/s y el almacenamiento final debe ser de 60 m3/s, es decir, el agua total disponible paralahidrogeneración durante el día es 40 m3/s. La carga hidráulica básica es de 20 m. El factor de corrección e dela carga hidráulica está dado como 0.005. Suponga por simplicidad que el reservorio es rectangular de modo que e no cambia con el almacenamiento de agua. Suponga que la descarga de agua no efectiva es de 2 m'/s. El costo incremental de combustible de la planta térmica es

dC= dPc,

l.OPGr + 25.0 Rs/h

Además, las pérdidas de transmisión se pueden despreciar. El problema anterior se ha construido especialmente (más bien sobresimplificado) para ilustrar el algoritmo de programación óptima hidrotérmica, que por otro lado es complejo desde el punto de vista del cálculo y su solución se tiene que realizar en la computadora digital. Aquí se darán los pasos de una iteración completa. Como hay tres subintervalos, las variables de control son q'y 4'. Suponga que sus valores iniciales son

= 15 m3/s q3 = 15 mzls

q2

El valor de la descarga de agua en el primer subintervalo mente de la ecuación

(7

se puede encontrar inmediata-

.76), es decir

ql = 100 - 60 - (15 + 15) = 10 m3is Como dato, / = 100 m3/s y

)Í = 60 m3ls.

|

281

CAPíTULO

7

Ooeración óptima del sistema

De la ecuación (7 .73),

xl =f+J1 -q| =9om3ls

f=xt+12-q2=75m3ls Los valores de las hidrogeneraciones en los subintervalos se pueden obtener al usar la ecuación (7.74) como sigue:

4o=9.81 x =0.1962

10-3

lI

x 20 {1 + 0.5 x

0.005 1xi +

+ 25 x 10+ x 190) x

x0¡¡ {q'-

8

= 2.315 MW

4u=0.1962

{I +25 x 104 x 165} x 13

= 3.602 MW

P&, =0.1962

{I

+ 25

x 10r x 135} x

13

= 3.411 MW Las generaciones térmicas en los tres intervalos son entonces

PL- Pá, = 7 - 2.515 = 4.685 MW fo, = Fo - PLu = 1o - 3.602 = 6.398 Mw 4, = 4- Éou = 5 - 3.411 = 1.589 MW PLr =

De la ecuación (7 ,78),los valores de ,trf son

dC(Ptr)

trt' o

_ ,* = A1

Ai=P8r+25

Al calcular llpara los tres subintervalos,

[¡i

se tiene

]

[2e68sl

lri l=l:r.:rsl

Lril

Lzo.sss.l

También de ecuación (7.79), puede escribirse

[¡!l

l¡1 l= l,t1 L "J

I

[¡i

[2e

68s]

ld l=l:t.:sa lRata.t

| l¡il L

'J

caso sin pérdidas

lzo.:ssl

De la ecuación (7.81),

il"

= {1 + o.5e (2xo + J\ -2qr + p¡¡ ^\ho = 29.685 x 0.1962 {r + 25 x 104 (200 - 20 + 2)} =

8.474

p)

Programación óptima de un sistema hidrotérmico

De la ecuación (7.80) paru m = 1 y 2, se tiene

ii- ñr- ir3 {0.5h,e (qI - d} - ú {0.5h"e (q2 - p)} = 0 ¡7 - ¡Z- ,ú {0.5 hoe (q2 - p)} - t3.. 10.5hoe (q3 - p)} = 0 Al sustituir los diversos valores, l2z =8.474

-

0.7962

se llega a

29.685 {0.5

x 0.005 x

x

0.1962

x

0.005

x 8} -

31.398 {0.5 x

13)

= 8.1574 l3z=8.1574

-

-

31.398 (0.5

26.589 (0.5

x

x

0.1962

0.1962

x

x

0.005

0.005

x

Al aplicar la ecuación (7.82), el vector de gradiente

(an¡_. | 2¡ ^ ) \ds-

- ^Z- Én" tl

13)

=

13)

7.7817

es

+ 0.5 x 0.005

x 0.re62

x

II

(2x90 - 2x + 25 x 10*

x

15

+2)j

152\,

=r_r::^_;31.3e8 (::n\

l++ | - ttr\ dq' ./

¡1t

= 73877

-

+ 0.5e (zx2 + .i3 " tr 26.589

x 0.1962

zq3

+ p¡¡

{I + 25 x 10+ x

122}

= 0.9799 Si la tolerancia para el vector de gradiente es 0.1, entonces las condiciones óptimas no se han satisfecho todavía, ya que el vector de gradiente no es cero, es decir, (- 0.1); por 1o tanto, se tendrá que llevar a cabo la segunda iteración y comenzat con los siguientes valores nuevos de las variables de control obtenidos de la ecuación (7.83):

[;*"] =[;*::".]-l'#) Seaa=0.5,entonces

[cf*"1= [r5l u' Lqi,*"i Ltr-l-

y de la ecuación (7.16), 41n,"uo= 100

-

60

- í15j72 + 14'510) = 10.3i8 m3/s

El cómputo anterior nos conduce al punto de inicio de la siguiente iteración. Se llevan a cabo iteraciones hasta que el vector de gradiente se haga cero dentro de la tolerancia especificada.

CAPITULO

7

Ooeración óotima del sistema

PROBLE4vIAS

7.I

Para el ejemplo 7.1, calcule el costo extra en que se incurre en Rs/tr, si unacarga de220 MWcomo Pa= Pcz = 110 MW.

se

programa

7.2 Dos generadores I y 2, de 200 MW cada uno, suministran una carga constante de 300 MW Los costos incrementales de combustible respectivos son:

lSt=o.loPc1 ücr

+20.0

!9^' = o'zPcz+

dPcz

t5.o

con potencias Pr en MW y costos C en Rsftr. Determine: a) la división más económica de carga entre los generadores y b) el ahorro en Rs/día obtenido así comparado con repartición igual de carga entre ambas máquinas.

1.3 La figuraP-7 .3 muestra las curvas de costo incremental de combustible de los generadores A y B. ¿Cómo se repartiría entre A y B una carga: i) mayor que 2P., ii) igual a 2Poy iii) menor que 2P6;, si ambos generadores están en operación. 7.4 Considere las siguientes tres curvas IC

PGz= -

+ 50 (1C)r

- 2 (lC)21 l5o + 6o (lc)z - 2.5 (n) PGz= - 80 + 40 (/C)3 - 1.8 (1O3 Pct=

100

donde los 1C están en RsAvlWh y las Po están en MW.

La carga total a cierta hora del día es de 400 MW. Desprecie la pérdida de transmisión y desarrolle un programa de computadora para la programación óptima de generación dentro de una exactitud de +0.05 MW. Nof¿.' Todas las

P" deben ser reales positivas.

(MW).in

P^

Figura P-7.3

(MW)-¿'

7

.5

Para cierta unidad generadora de una planta termoeléctrica, la alimentación de combustible en kilocaloías por hora se puede expresar como función de una generación de potencia P, en megawatts por la ecuación

0.0001P¿ + O.03fG

+ l2.0PG+

150

Encuentre la expresión para el costo incremental de combustible en rupias por megawatt-hora como función de la generación de potencia en megawatts. También encuentre una buena aproximación lineal al costo incremental de combustible como

función de P¡;.

Dado: el costo de combustible es Rs 2/millones de kilocalorías. 7.6 Pan el sistema del ejemplo 7.4,1a,\ del sistema es Rs 26lI4Wh. Suponga además que los costos de combustible en condiciones sin carga sean Rs 250 y Rs 350, respectivamente, para las plantas 1 y 2.

a)

Para este valor del ,\ del sistema, ¿cuáles son los valores de Pot, recibida para operación óptima?

b)

Para el valor de carga recibida en el punto anterior, ¿cuáles son los valores óptimos de Pay Pcz si las pérdidas del sistema se tomaran en consideración pero

P6ry

carga

no coordinadas?

c) 7

Costos totales de combustible en Rsftr para las partes a) y b).

.7 LafigtraP-7 .7 muestra un sistema que tiene dos plantas 1 y 2 conectadas a los buses 1 y 2, respectivamente. Hay dos cargas y una red de tres ramales. El bus 1 es el de referencia con voltaje de 1.0 Z 0o pu. Las corrientes y las impedancias de ramal son

Io=2-

70.5 Pu

- j0.4 Pu 1" = 1.8 - j0'45 Pu

Ir = I.6

Zo= 0.06 + j0.24 pu Za= 0.03 + j0.12 pu

Z,=

0.03 + j0.12 pu

Calcule los coef,cientes de la fórmula de pérdida del sistema en pu y en megawatts recíprocos, si la base es 100 MVA.

Planta 2

FiguraP-7.7 Sistema de muestra para el problema P-7.7

CAPíTULO

7

Operación óptima del sistema

20

f

15

3,^ 5

0

0412162024 fiempo en horas

+

Figura P-7.8 Curva diaria de cargas para el problema P-7.8

7.8 Para la planta de potencia del ejemplo ilustrativo que se usó en la sección J.3, obtenga el compromiso de unidades económicamente óptimo para el ciclo diario de cargas que se da en la figura P-7.8.

Corrija el programa para satisfacer los requisitos de seguridad.

7.9 Repita el ejemplo '7 .3 con una carga de 220 MW de 6 a.m. a 6 p.-. y 40 MW de 6 p.m. a 6 a.m.

7.10 Replantee el problema de programación hidrotérmica óptima al considerar las restricciones de desigualdad en la generación térmica y el almacenamiento de agua con funciones de penalidad. Encuentre las ecuaciones necesarias y el vector gradiente para resolver el problema.

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2SS

I

CAPíTULO

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59.

*],lllr,,

aaa:aia,

Control au' ffiáticó de generaclo y voltaje

-$ ;ir rl. rr !

.l l

,r!

lllltlll

la/'

;,

8.1

rNTRoDUccrórrl

La operación de los sistemas eléctricos de potencia que se han considerado hasta ahora ha sido en condiciones de carga fija. Sin embargo, las demandas de potencia tanto activa (o real) como reactiva nunca son fijas y cambian de manera continua con tendencia a subir o bajar. La alimentación de vapor a los turbogeneradores (o entrada de agua a los hidrogeneradores) debe, por lo tanto, regularse continuamente para que corresponda a la demanda de potencia activa, sin lo cual la velocidad de la máquina variará con el consecuente cambio en la frecuencia, lo que puede ser muy indeseable* (el cambio máximo permisible en la frecuencia es * 0.5 Hz). Asimismo, la excitación de los generadores se debe regular de forma continua para igualar la demanda de potencia reactiva con generación reactiva; de otro modo, los voltajes en los diversos buses del sistema pueden ir más allá de los límites prescritos. En los sistemas modernos grandes interconectados, no es factible la regulación manual y, por 1o tanto, en cada generador se instala equipo para la generación automática y regulación de voltaje. La figura 8.1 da el diagrama esquemático de reguladores de frecuencia de carga y voltaje de excitación de un turbogenerador. Los controladores se ajustan para una condición dada de operación y se hacen cargo de pequeños cambios en la demanda de carga sin que ni la frecuencia ni el voltaje excedan los límites prescritos. Con el paso del tiempo, conforme el cambio en la demanda de carga se hace grande, los controladores se deben reajustar ya sea manual o automáticamente. Se ha mostrado en capítulos anteriores que para cambios pequeños la potencia activa depende del ángulo interno de la máquina áy es independiente del voltaje de bus; en tanto que el voltaje del bus depende de la excitación de la máquina (por lo tanto de la generación reactiva O) y es independiente del ángulo de máquina ó. El cambio en el ángulo

* El cambio en la frecuencia causa cambio en ia velocidad de la planta dei consumidor, lo cual afecta los procesos de producción. Además, es necesario mantener constante la frecuencia de la red, de modo que las plantas

de suministro eléctrico trabajen satisfactoriamente en paralelo, los diversos motores del sistema operen a la velocidad deseada, se obtenga 1a hora exacta en los relojes sincrónicos del sistema y funcionen cofiectamente los aoaratos de entretenimiento.

8.2

Control carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola

área)

@

Controlador de válvula de vapor

Sensor de voltaje

y comparaoor y comparaoor

Figura

8.1

Y

' tel

P+jQ

Diagrama esquemático de reguladores de frecuencia de carga y voltaje de excitación de un turbogenerador

á se debe a un cambio momentáneo en la velocidad del generador. En consecuencia, los controles de carga y voltaje de excitación son no interactivos para pequeños cambios y pueden modelarse y analizarse en forma independiente. Además, el control de voltaje de excitación es de acción rápida y su principal constante de tiempo es el campo del generador, mientras que el control de frecuencia de potencia es de acción lenta y su principal constante de tiempo la aporta el momento de inercia de la turbina y el generador. Esta constante de tiempo es mucho mayor que la del campo del generador. Por lo tanto, las fluctuaciones instantáneas en el control de voltaje de excitación desaparecen mucho más rápidamente y no afectan la dinámica del control de frecuencia de potencia. El cambio en la demandade carga se puede identificar como: l) cambios de variación lenta en la demanda promedio y ii) variaciones rápidas aleatorias alrededor del promedio. Los reguladores se deben diseñar para ser insensibles a los cambios rápidos aleatorios, ya que de otra manera el sistema estaría sujeto a oscilaciones excesivas, con el consecuente desgaste de las máquinas rotativas y del equipo de control.

8.2

CONTROL CARGA FRECUENCIA O POTENCIA FRECUENCIA (CASO DE UNA SOLA ÁNUA,)

Considere el problema de controlar la salida de potencia de los generadores de un iírea eléctrica muy compacta con objeto de mantener la frecuencia programada. Todos los generadores de tal área constituyen un grupo coherente, de tal manera que todos aceleran y desaceleran juntos y mantienen sus ángulos relativos de potencia. Un área así se define como un órea de control. Las líneas limítrofes de una área de control coincidirán en general con los de una empresa individual del Electricity Board. Para entender el problema de control de frecuencia catga, considere un sistema con un solo turbogenerador que suministra a una carga aislada.

-r-

[-.291

2n I

CAPíTULO

I

Control automático de generación y vottaje

Sistema gobernador de velocidad de turbina La figura 8.2 muestra esquemáticamente el sistema gobernador de velocidad de una turbina de vapor. El sistema consta de los siguientes componentes:

i)

Gobernador centrífugo de volante de bola: éste es el corazón del sistema que detecta el cambio de velocidad (frecuencia). Al aumentar la velocidad, las bolas del volante se mueven hacia afuera y el punto B del mecanismo de varillas se mueve hacia abajo. Cuando la velocidad disminuye, ocuffe lo contrario. Amplificador hidráulico: comprende una válvula piloto y un sistema de pistón principal. El movimiento de la válvula piloto de nivel de baja potencia se convierte en un movimiento de nivel de alta potencia de la válvula de pistón. Esto es necesario para abrir o cerrar la válvula de vapor contra el vapor de alta presión. El mecanismo de varillas: ABC es una varilla rígida con punto de giro en B y CDE es otra varilla con punto de giro en D. Este sistema de varillas imprime un movimiento a la válvula de control proporcional a la variación en la velocidad. También proporciona retroalimentación al movimiento de la válvula de vapor (segmento 4). Cambiador de velocidad: proporciona un ajuste para generación de potencia en régimen permanente para la turbina. Su movimiento descendente abre la válvula piloto

ii)

iii)

iv)

Vapor

-l

Cambiador de

velocidad

]

I

j

ub

Oet

fOirecciOn

movrmrenro Posnvo

,

Ala

turbina

D

Válvula

piloto\

Aceite a

alta presión

, eou"rn"oll. de vetocidad

Pistón principal

I nmpt¡ticaoor hidráulico (mecanismo de control de velocidad)

Reimpreso con permiso de McGraw-Hill Book Co., Nueva York, de Olle l. Elgerd, Electric Eneryy System Theory: An lnttoduction, 1971, p.322.

Figura

8.2

Sistema gobernador de la velocidad de turbina

8.2

Control carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola

área)

superior, de modo que admite más vapor a la turbina en condiciones estables (por lo tanto, mayor generación estable de potencia). Para movimiento ascendente del cambiador de velocidad, ocune lo contrario.

Modelo del sistema gobernador de velocidad Suponga que el sistema opera inicialmente en condiciones estables: el mecanismo de varillas está estacionario y la válvula piloto cerrada; la válvula de vapor abre en una magnitud definida, la turbina funciona con velocidad constante y la salida de potencia de la turbina equilibra la carga del generador. Las condiciones de operación están caracterizadas por:

f P

)

o

= frecuencia del sistema (velocidad)

oc

= salida del generador = salida de la turbina (se desprecia la pérdida en el generador) ? = ajuste de la válvula de vapor

modelo lineal incremental alrededor de estas condiciones de operación. Considere que el punto A del mecanismo de varillas se mueve hacia abajo en una cantidad pequeña Ayo. Éste es un comando que provoca que la salida de potencia de la turbina cambie y puede escribirse, por 1o tanto, como: Se obtendrá un

Lyt =kc\Pc

(8.1)

donde AP. es el aumento de potencia comandado. La señal de comando AP. (es decir, Ay") desencadena una serie de eventos: laváIvula piloto se mueve hacia arriba, el aceite de alta presión fluye a la parte superior del pistón principal que 1o empuja hacia abajo, la abertura de la válvula de valor aumenta en consecuencia, la velocidad del generador de turbina se incrementa, es decir, la frecuencia sube. Ahora se modelarán estos eventos matemáticamente. Dos factores contribuyen al movimiento de C:

i) Ayo contribuye

- [?] \ ¡r /

Or^o

-

krLyo(es decir, hacia arriba) de

- krK"LP,

ii) El aumento de frecuencia A/provoca que las bolas del volante se muevan hacia afuera de modo que B se mueve hacia abajo en una cantidad proporcional k2\f.Elmovimientoconsecuentede CconA quepennanece fijaen Ayoes

(t. *tr\ . -¡: k'2\f= + k2\f | )

(es decir, hacia abajo).

El movimiento neto de C es, por lo tanto,

AYc= El movimiento de D, Ay¡, buyen

-

kúcLPc+

h\f

(8.2)

es la cantidad por la cual abre la válvula piloto.

A ésta contri-

Ay. y Lyry se puede escribir como

Lyo=

( t¿. ) I tz ) Ay.* I-l l;--l \/3+/a)'- l/3+/4

= kzLyc + ko|y,

Av(8.3)

|

293

r,ti:@:11

CAPíTULO

8

control automat¡co oe generac¡on y voltaje

t

El movimiento Lyp, dependiendo de su signo, abre uno de los puertos de la válvula piloto y admite aceite de alta presión hacia el cilindro y, en consecuencia, mueve el pistón principal y abre la válvula de vapor en Ly u. Las siguientes son ciertas suposiciones justificables de simplificación que se pueden hacer en esta etapa:

i) Las fuerzas de reacción inercial del pistón principal y de la válvula de vapor son despreciables en comparación con las fuerzas ejercidas sobre el pistón por el aceite de alta presión. il) Del punto l), el caudal o gasto de aceite admitido al cilindro es proporcional ala abertura del puerto Ayo. El volumen de aceite admitido al cilindro es, por lo tanto, proporcional a la integral de tiempo de Ayr. El movimiento Ayu se obtiene al dividir el volumen de aceite entre el área de la sección transversal del pistón. Así,

tv"=

(8.4)

rsfot-Lv)dt

Del diagrama esquemático se puede observar que un movimiento positivo Ay, produce un movimiento negativo (hacia arriba) de Ayr,lo cual explica el signo negativo que se usa en la ecuación (8.4).

Al tomar la transformada de Laplace de las ecuaciones (8.2), (8.3) y (8.4), se obtiene

AI.(s) = - kftcLPr(s) + krAF(s)

(8.5) (8.6)

Ayr(r) =

-

ks

1 Afrlr¡

(8.7)

,s

Si se elimina AIr(s) y AYr(s), puede escribirse AYo(r)

-

k'ktk' LP'(s)- k'k' aF\s)

(, lK¿+ -') ks) \ |

=

[ot,r,-

L

-L

J l' ""

totril"

n

')

[+f,sJ

(8.8)

donde R

=

"1"C = regulación de velocidad del gobernador lK2

t- ,- t-

f,* = Il$e -

= ganancia del gobernador de velocidad

K,t

Z.* -

I

= ;;K¡K<

= constante de tiempo del gobernador de velocidad

La ecuación (8.8) se representa en forma de un diagrama de bloques en la figura 8.3.

8.2

Control carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola área)

AYr(s)

AF(s)

Figura

8.3

Representación en diagrama de bloques del sistema del gobernador de velocidad

El sistema del gobernador de velocidad de una hidroturbina es más complejo. Un lazo adicional de retroalimentación proporciona una reducción de compensación para prevenir inestabilidad. Esto se necesita por la gran inercia de la compuerta de canal que regula el caudal de entrada de agua a la turbina. El modelado de un sistema de regulación de hidroturbina rebasa el alcance de este libro.

Modelo de turbina Ahora se relaciona la respuesta dinámica de una turbina de vapor en términos de los cambios en la potencia de salida y en la abertura de la válvula de vapor Ayu. La figura 8.4a) muestra una turbina de vapor de dos etapas con una unidad de recalentamiento. La respuesta dinámica se ve altamente afectada por dos factores: i) vapor circulante entre la válvula de entrada de vapor y la primera etapa de la turbina, y li) acción de almacenamiento en el recalentador, el cual provoca que la salida de la etapa de baja presión se retrase con respecto a la de la etapa de alta presión. Así, la función de transferencia de la turbina se caracferiza por dos constantes de tiempo. Para facilidad en el análisis se supondrá aquí que la turbina se puede modelar para que tenga una sola constante de tiempo equivalente. La figura 8.4b) muestra el modelo de la función de transferencia de una turbina de vapor. Típicamente la constante de tiempo T,está dentro de 0.2 a 2.5 segundos.

Etapa de baja presión (LP)

a) Turbina de vapor de dos etapas

AYr(s)-

APr(s)

b) Modelo de función de transferencia de turbina

Figura 8-4

Modelo de carga del generador El incremento en la entrada de potencia al sistema generador-carga

LPG-

es

LPD

donde AP" = LPo, salida incremental de potencia de la turbina (si se supone que la pérdida incremental del generador es despreciable) y AP, es el incremento de carga. Este incremento en la entrada de potencia al sistema se toma en consideración de dos maneras:

l) Rapidez de aumento de la energía cínéfica almacenada en el rotor del generador. A

la frecuencia programada (f o),laenergía almacenada

Wi"

es

Ilx

P,kW = segundos (kilojoules) donde P, es el valor nominal de kW del turbogenerador y 11 se define como su constante =

de inercia. La energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad (frecuencia), la energía cinéticaa una frecuencia de (f" + Lfl está dada por

wu"=

w"*(+y)'

:,*(r.+y_) La rapidez de cambio de la energía cinética

$rr-"i

=

(8.e)

es, por 1o tanto,

fff

ron

(8.10)

ll) Conforme cambia la frecuencia,la carga del motor cambia pues es sensible a la velocidad, larapidez de cambio de la carga con respecto a la frecuencia, es decir, APJaf puede considerarse casi constante para cambios pequeños en frecuencia Afy puede expresarse como

QPDIAfl

Lf=BLf

(8.1 1)

donde la constante B se puede determinar empíricamente. B es positivo paracargapredominantemente motriz. Si se escribe la ecuación de equilibrio de potencia, se tiene

APo-

APD=

Al dividir todo entre P, y reordenar, APr(pu)

)HP

A

?

(Lft+BLf

"

se llega a

- APrrpu¡ = ++dt

tA/) +

"f"

B(pu)

A/

Si se toma la transformada de Laplace, AF(s) puede escribirse como

F, \ APo(s)- APr(s) Af ^ (i¡ = ----:--ZFT1

* J

^

S

(8.12)

Control carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola área)

aP"(s) Figura

8.5

lo"'''' ,J I -lrC''l

AF(s)

^0" 1-r^"s

Representación en diagrama de bloques del modelo de carga de generador

= [APo(s)

-

APr(s)]

i:

. I "f\r+tpss/

(8.13)

donde 7o,

2H

= Bfo -* = constante de tiempo del sistema K* =

I

¡

-

de potencta

ganancia del sistema de potencia

La ecuación (8.13) se puede representar en forma de diagrama de bloques como en la figura 8.5

Representación completa en diagrama de bloques del control carga frecuencia (potencia frecuencia) de un sistema de potencia aislado

'

Una representación completa en diagrama de bloques de un sistema aislado de potencia comprende turbina, generador, gobernador, cargay se obtiene fácilmente al combinar los diagramas de bloques de los componentes individuales, es decir, al combinar las figuras 8.3, 8.4 y 8.5. La figura 8.6 muestra el diagrama de bloques completo con circuito de retroalimentación.

Análisis de régimen permanente El modelo de la figura 8.6 muestra que hay dos entradas incrementales importantes al sistema de control de frecuencia de carga, - LPc, el cambio en el ajuste del cambiador de velocidad, ! LP n, el cambio en la demanda de carga. Ahora considere una situación AP,(s) = APc(s)

Figura

8.6

Modelo con diagrama de bloques de control de carga frecuencia (sistema aislado de potencia)

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

simple en la cual el cambiador de velocidad tiene un ajuste fijo (es decir, AP. = 0) y la demanda de carga cambia. Esto se conoce como operación libre del gobernador. Para una operación así, el cambio fijo o estable en la frecuencia_del sistema para un cambio repentino en la demanda de carga por una cantidad

AP,

(hp

Ies

decir, APrts) =

2

se

obtiene como sisue: (8.14)

I

= s AF(s)l

s--+0 |

tAPc(s) = 0

(t<) -_l

U

P¡

l{D

(8.1s)

+ {K,rK,Kp,lR),

Mientras la ganancia K, es fija para la turbina y Ko, es fijapara el sistema de potencia, Krn, la ganancia del gobernador de velocidad se ajustá fácilmente si se cambian las longitudel de los varios eslabones del dispositivo de varillas. Suponga por simplicidad que Krn se ajusta tal que

KrrK,

_I )D

También se reconoce que Kp. = 1/8, donde n = ? | P, (en pu MWcambio unidad en dÍ frecuencia). Ahora

Lf" =

[B+(uR))

laP,

(8.18)

.1 defrecuencia==-F (B +;) ' ñ'

105 (ú

.= 104

Ajuste del cambiador de velocidad oara dar la

(!)

I

(t)

-l _-

103

frecuencia programada a

102

i) carga de 100%

101

l0 carga de

600/o

100 0

Figura

8.7

Curva característica de carga frecuencia en régimen permanente de un sistema gobernador de velocidad

8.2

Control carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola areai

La ecuación anterior da los cambios en frecuencia en régimen permanente causados por cambios en la demanda de carga. La regulación de velocidad R naturalmente se ajusta tal que los cambios en frecuencia sean pequeños (del orden de 5Vo desde carga nula a plena carga). Por 1o tanto, la relación incremental lineal (8.16) se puede aplicar desde carga nula hasta plena carga. Con este entendimiento, la figura 8.7 muestra la relación lineal entre frecuencia y carga para operación libre del goberrrador con el cambiador de velocidad ajustado para dar una frecuencia p.rogramada de 7007o a plena carga. La caída o pendiente de esta relación

^ I "t -f\ =-+ B+(I/R)/

El parámetro del sistema de potencia B por lo general es mucho menor* que 1/R (un valor típico es B = 0.01 pu MWHz y IIR = l/3) de modo que B se puede despreciar en comparación. La ecuación (8.16) se simplifica entonces a (8.17)

Lf = - R(LP>)

La caída de la curva de frecuencia caÍga se mantiene así determinada principalmente por R, la regulación del gobernador de velocidad. También se observa por lo anterior que el aumento en la demanda de carga (APo) se satisface en condiciones estacionarias por el aumento en la generación (AP5), a causa de la aberlura de la válvula de vapor y en parte por la demanda disminuida de carga por la caída en la frecuencia del sistema. Del diagrama de bloques de la figura 8.6 (con KrnK,

:

1)

1¡r =l 1 llp, \BR+1/

A,Pn="R Disminución en la carga del sistema

=B

Lf- [- i4- lV, \BR + 1/

Por supuesto, la contribución de la disminución en la carga del sistema es mucho menor que el aumento en la generación. Para los valores típicos de B y R antes citados,

aPo - 0.911 LPD Aumento en la carga del sistema = 0.029 LP o Considere ahora el efecto de cambiar el ajuste del cambiador de velociaaO

si la demanda de carga perrnanece fija (es decir, régimen permanente se obtiene como sigue.

AP, = 0). El cambio

f

Af.

\.tt

fs,

=

O"t

l

de frecuencia en

* Para una máquina de 250 MW con una carga de operación de 125 MW, suponga que el cambio en la carga sea

de

1Va para

l7o de cambio en la frecuencia (frecuencia programada = 50 Hz). Entonces

¿p^ t)\ ''-" -

df

u=

1.5 MWHz

0.5

(+)1, = 2= laf )l' 250

o.or pu MW/Hz

CAPíTULO

8

Control automático de generación y vottaje

KrsK,Kp,

ArG)lap,(s)=o =

otl

*p=

**'anen'1e

=

Lp. .. ,_t'

ltfrffit)

^".

(8.18)

(8.19)

Si

KrrK,- | t1\

Af=f ' lt¿ \B+l/R)

(8.20)

Si el ajuste del cambiador de velocidad se cambia en AP. mientras que la demanda régimen"p"r-un.nt" se obtiene por superposición, es decir de carga cambia en A,Pp, el cambio de frecuencia en

o/=

(u*{,o)ro".

-

Lr,)

(8.21)

De acuerdo con la ecuación (8.21), el cambio de frecuencia causado por demanda de carga se puede compensar si el ajuste del cambiador de velocidades varía, es decir

APr= APo, pau':a Lf = 0 La figura 8.7 ilustra dos gráficas de frecuencia de carga: una para dar frecuencia programada al l}OVo de la carga nominal y la otra para dar la misma frecuencia al 60Vo de la carga nominal.

i

-''

i Eiemplo

"'...- ---3

8.1

I ñ

un generador síncrono de 100 MVA opera a plena carga a una frecuencia de 50 Hz. La carga repentinamente se reduce a 50 MW. Por el retraso en tiempo del sistema del gobernador, la válvula de vapor comienza a cerrar después de 0.4 segundos. Determinar el cambio en frecuencia que ocurre en este tiempo. Dado H = 5 kW s/kVA de Ia capacidad del generador.

Solución La turbina

energía cinética almacenada en las partes giratorias del generador

y la

=5x100x1000=5xlOskWs Exceso de entrada de potencia mecánica proporcionada por la turbina al generador antes de que la viálvula de vapor comience a cerr¿rr 50 MW = Exceso de entrada de energía a las partes giratorias en 0.4 segundos = 50 x 1 000 x 0.4=20 000 kW Energía cinética almacenada (frecuencia)2 Frecuencia al final de 0.4 s

s

-

=sox (

500 000 + 20 000 \ 500 000

r/2

) =t"'

8.2

Control carga frecuencia o potencia f recue¡c

a

:.as. ce una sola área)

Ejemplo 8.2 &

Dos generadores con potencia nominal de 200 MW y 400 MW están traba¡andrr en p.ralelo. Las características de la caída o pendiente de sus gobernadores son4Vc ), 5-.. respe.-t1\'amente, desde carga nula hasta carga plena. Si se supone que los generadores trabajan a 50 Hz con carga nula, ¿cómo se repartiría entre ellos una carga de 600 MW? ¿Cuál será la frecuencia del sistema con esta carga? Suponga operación libre del gobernador. Repita el problema si ambos gobernadores tienen una caída o pendiente de 4Vo.

Solución

Como los generadores están en paralelo, operarán a la misma frecuencia con

carga fija.

MW) = ¡ MW y la carga en el generador 2 (400 MW) = (600 - ¡) MW Reducción de frecuencia= Af Sea la carga en el generador 1 (200

Ahora,

_ 0.04x50 x 200 Lf _ 0.05x50 400 600 - ¡ A,f

(i) (ii)

Luego de igualar A/en (i) y (ii), se llega a x = 231MW (carga en el generador 1) 600 -x = 369 MW (cargaen el generador 2) Frecuencia del sistema

= 50

-

0'04 x 50 200

x

231

=

47.69 Hz

Se observa que debido a diferencias en las caracteísticas de caída o pendiente de los gobernadores, el generador 1 se sobrecarga mientras que el generador 2 se subcarga.

De lo anterior se sigue sin dificultad que si ambos gobernadores tienen una pendiente de 4Vo, compartirán lacarga como 200 MW y 400 MW respectivamente, es decir, se cargan correspondiendo a sus cargas nominales. Esto sin duda es deseable por consideraciones de operación.

Respuesta dinámica Para obtener 1a respuesta dinámica dado el cambio en la frecuencia como función del tiempo para un cambio por pasos en la carga, se debe obtener la inversa de Laplace de la ecuación (8.14). Como la ecuación característica es de tercer orden, la respuesta dinámica sólo se puede obtener para un caso numérico específico. Sin embargo, la ecuación característica se puede aproximar a una de primer orden si se examinan las magnitudes

l::::jDüX

GAPíTULO

a

control automát¡co oe generación y voltaje

APn(s)

Figura

8.8

Diagrama de bloques con aproximación de primer orden del control de frecuencia de carga de un área aislada

relativas de la constante de tiempo implicadas. Los valores típicos de las constantes de tiempo del sistema de control de frecuencia de carga se relacionan como

Tre< Tt < Tp" Típicamente* Z.e = 0.4 s, Z, = 0.5 s y Q, = 20 s Al hacer T"s= T, = 0 (y K,e k,= I), el diagrama de bloques de la figura 8.6 se reduce al de la figura 8.8, basado en el cual puede escribirse Ko,

AF(s)lM¡(s)=o =

x"LP"

(1+ Kps/R) +

s

%ss

Kerlre"

I R+Ko, Jl ,l*-l

LPo I

L R4.]

Lr Al tomar

R=

3,

1t¡

=

Ko,

r ro. -v uTfu {' "*vl["*")]] t

= llB = 100, Tn" = 20,

Af (t) = - 0.029

aPD

-

O'029 Hz

* Para la máquina de 250 MW antes citada, la constante de inercia 11= 5kW s/kVA

-PS 2H o

-'=-l¿ws

Bf

2x5 0.01x 50

(8.22)

= 0.01 pu

(l - ,-ttrtt,

A/|.¿gi*"np",-un"nt"=

*"

(8.23a) (8.23b)

8.2

Control carga frecuencia o potencia frecuencia (caso de una sola área)

Tiempo (s)

t

-l

----.

-

Aproximación de primer orden

l

t

Respuesta exacta

X

Figura

8.9

Respuesta dinámica del cambio en la frecuencia para un cambio por pasos en la carga (APD = 0.01 pu), I"s = 0.4 s, 4 = 0.5 s, Tr"=20 s, Kps = 100, R = 3)

La grífica que aparece antes, relativa al cambio en la frecuencia contra tiempo parala aproximación de primer orden, y la respuesta exacfa se muestran en la figura 8.9. Es claro que la aproximación de primer orden es una aproximación pobre.

Concepto de área de control Hasta ahora se ha considerado el caso simplificado de un solo turbogenerador que suministra potencia a una carga aislada. Considérese entonces un sistema práctico con varias plantas generadoras y varias cargas. Es posible dividir un sistema extendido de potencia (por ejemplo, una red nacional) en subáreas (quizá como las State Electricity Boards) en las que los generadores están estrechamente acoplados entre sí de tal modo que forman ungrupo coherenle, esdecir,todoslosgeneradoresresponden al unísono acambiosen la cnga o en los ajustes del cambiador de velocidad. Tal área coherente se llama área de control, en la cual se supone que la frecuencia es la misma siempre, tanto en condiciones estáticas como en condiciones dinámicas. Para propósitos de desarrollar una estrategia adecuada de control, un área de control se puede reducir a un solo sistema de gobernador de velocidad, turbogenerador y carga. Todas las estrategias de control que se han tratado hasta aquí son, por lo tanto, aplicables a un área de control independiente.

Control proporcional más integral (PI) De lo anterior se concluye que con el sistema de gobernador de velocidad instalado en cada máquina,la caracfenstica carga frecuencia es estable para un ajuste dado del cambiador de velocidad y se tiene una pendiente considerable, por ejemplo, para el sistema que se usó para la ilustración anterior, la frecuencia en régimen permanente será de 2.9 Hz [véase ecuación (8.23b)] desde carga nula hasta plena carga (carga de 1 pu). Las especificaciones de frecuencia del sistema son muy estrictas ¡ por lo tanto, no se puede tolerar tanto cambio en la frecuencia. De hecho, se espera que el cambio de frecuencia en régi-

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

Controlador integral

APn(s)

l. (1+I"ns)(1+Ip)

aPD(s)

I

ó-l I

AP"(s)

Sensor de

Figura

8.10

Control de frecuencia de carga proporcional más integral

men peÍnanente sea cero. Aunque la frecuencia de régimen permanente se puede hacer volver al valor programado al reajustar el cambiador de velocidad, el sistema puede sufrir cambios diniámicos intolerables de frecuencia al variar la carga. Esto lleva a la sugerencia natural de que el cambiador de velocidad se ajuste de forma automática por medio del monitoreo de los cambios en frecuencia. Para este propósito, una señal de A/se alimenta a través de un integrador al cambiador de velocidad, dando por resultado la configuración de diagrama de bloques que se muestra en la figura 8.10. El sistema se modifica ahora a un controlador proporcional más integral que, como se sabe bien por la teoría del control, da un error cero en régimen peffnanente, es decir, A/|.égi-.n p"*anent" = 0. La señal AP.(s) que se genera en el control integral debe ser de signo opuesto a AF(s), lo cual explica el signo negativo en el bloque para el controlador integral. Ahora

AF(s) =

Ko,

(l + [..S)

+

LPo

(l K'\ l_+-lxs.) \R

Ko, (1 +

rRKors(l+ (*s)(1+

s(l+ 4ssxl + {s)(1+

,s

{rs)(l+ 4s)

{s)

Zo.s)R + Kn,(K¿R + s)

x-AP'

(8_24)

.t

Obviamente,

A./ l.égi-"n p"*anente = so AF(s) = 0

(8.2s)

,

En contraste con la ecuación (8.16) se encuentra que el cambio en la frecuencia en régimen permanente se ha reducido a cero al agregar el controlador integral. Esto también se puede argumentar físicamente. Lf alcanza su valor de régimen permanente (un valor constante) sólo cuando LPc= APD= constante. A causa de la acción integradora del controlador, esto sólo es posible si A/= g. En el control central de frecuencia de carga de un área dada de control, el cambio (error) en la frecuencia se conoce como error de órea de control (ACE: area control error). La señal adicional retroalimentada en el arreglo modificado de control que se presenta antes es la integral del ACE.

8.3

Control de carga frecuencia y c-ontrol de despacho económico

Tiempo

I

(s)-

Con acción de control integral

T

; ,\ Sin acción de control integral

Figura

8.11

Respuesta dinámica de un controlador de carga frecuencia con y sin acción de control integral (LPD= 0.01 pu, I"g = 0.4 s, Ir = 0.5 S, Io" = 20 S, Ko" = 100, F = 3, Ki = 0.09)

Como en el arreglo que se muestra ACE es cero en condiciones de régimen pefinanente,* un criterio lógico de diseño es la minimización de leCn dt para una perturbación tipo escalón. Esta integral es en realidad el error en tiempo de un error eléctrico síncrono que funciona con una fuente de alimentación. De hecho, los sistemas modernos de suministro eléctrico siguen en todo momento el error integrado de tiempo. Tan pronto como el effor de tiempo excede un valor prescrito, una planta grande (preasignada) del área toma una acción correctiva (ajuste manual AP., ajuste del cambiador de velocidad). La dinámica del controlador proporcional más integral sólo se puede estudiar numéricamente, pues el sistema es de cuarto orden (el orden de sistema se aumentó en uno al agregar elTazo integral). En la figura 8.11 se graficala respuesta dinámica del controlador proporcional más integral con K, = 0.09 para una perturbación de carga por pasos de 0.01 pu obtenida con computadora digital. Para fines de comparación, la respuesta dinámica sin la acción del control integral también se graflca en la misma figura.

8.3

CONTROL DE CARGA FRECUENCIA Y CONTROT DE DESPACHO ECONÓMICO

El control carga frecuencia con controlador integral logra un effor cero de frecuencia en régimen permanente y una rápida respuesta dinámica, pero no ejerce control sobre las cargas relativas de varias plantas generadoras (es decir, despacho económico) del iárea de

control. Por ejemplo, si ocurre un aumento pequeño repentino en la carga (verbigracia, I7o) en el área de control, el control carga frecuencia cambia los ajustes de los cambiado* Tal control

se conoce como control isócrono, pero tiene su error de tiempo (integral de la frecuencia) aunque el error de la frecuencia de régimen permanente sea cero.

30ó |

CAPíTULO

I

control automático de generación y voltaje

t

res de velocidad de los gobemadores de todas las unidades generadoras delárea, de modo que, juntas, estas unidades igualan la carga y la frecuencia retorna al valor programado (esta acción ocuffe en pocos segundos). Sin embargo, en el proceso de este cambio, las

cargas de varias unidades generadoras cambian de manera independiente de consideraciones de carga económica. De hecho, algunas unidades en el proceso pueden incluso resultar sobrecargadas. Se puede ejercer algún control sobre la carga de las unidades individuales si se ajustan los factores de ganancia (K,) incluidos en la señal que representa la integral del error de control de área al alimentar a las unidades individuales. Sin embargo, esto no es satisfactorio. Se logra una solución satisfactoria mediante el uso de controles independientes para la frecuencia de carga y el despacho económico. Mientras el controlador de frecuencia de carga es un control de acción rápida (unos pocos segundos) y regula el sistema alrededor de un punto de operación, el controlador de despacho económico es un control de acción lenta que cambia el ajuste del cambiador de velocidad cada minuto (o cada medio minuto) de acuerdo con una señal de comando que genera la computadora central de despacho económico. La figura 8.12 da un diagrama esquemático de estos dos controles para dos unidades típicas de un área de control. La señal para cambiar el ajuste del cambiador de

JACE dt ACE

Cambiador de velocidad

l-r-¡

I

Turbina

I Ll

Gobernador

Pn(real)

enloeseaoa¡ I recibida de CEDC Turbina

enloeseaoa¡ I recibida de CEDC EDC - Controlador de despacho económico CEDC - Computadora central de despacho económico

Reproducida (modificada) con permiso de McGraw-Hill Book Company, Nueva York, de Olle l. Elgerd, Electric Energy Systems Theory: An lntroduction, 1971 , p. 345.

Figura

8.12

Control de carga frecuencia y despacho económico por área de control

8.¿

Controt de carga trecuencia (potenc¡a frecuencia) de dos

áreas

ñ,:::,lfli.,: ,

velocidad se construye de acuerdo con el effor de despacho económico. [P5 (deseado) - Po (real)1, modificado de forma adecuada por la señal que representa la integral de ACE en ese instante. La señal Po (deseada) procesada por la computadora centrai de despacho económico (CEDC: central economic despatch computer) se transmite al controlador local de despacho económico (EDC: economic despatch controller) instalado en cada planta. El sistema opera así con effor de despacho económico sólo durante periodos muy breves antes de reajustarse.

8.4

CONTROL DE CARGA FRECUENCIA (porENcrA FRECUENCTA) DE DOS ÁnUeS

Un sistema extendido de potencia se puede dividir en varias áreas de control de frecuencia de carga interconectadas por medio de líneas de interconexión. Sin perder la generalidad se considerará un caso de dos áreas interconectadas por una sola línea, como se ilustra en la figura 8.13. El objetivo del control es ahora regular simultáneamente la frecuencia de cada área y la potencia de las líneas de enlace según los contratos de suministro entre áreas. Como en el caso de la frecuencia, se instalará un controlador proporcional más integral para dar effor cero en régimen permanente en el flujo de potencia en las líneas de enlace en comparación con la potencia contratada. Se supone de manera conveniente que cada áreade control se puede representar por un sistema equivalente de turbina, generador y gobernador. Los símbolos con el sufijo 1 se refieren al fuea 1 y con el sufijo 2 se refieren al áreaZ. En el caso de un área de control aislada, la potencia incremental (APc APr) se consideraba por la rapidez de aumento de la energía cinética almacenada y el incremento en la carga del área ocasionado por el aumento en frecuencia. Como una línea de enlace transporta la potencia hacia adentro y afuera de un área, este hecho se debe considerar en la ecuación de equilibrio de potencia incremental de cada área. La potencia transportada hacia fuera del iírea 1 está dada por

-

P"nru.".

,= rysenrái -áj)

donde a1,

at= ángulos

de potencia de máquinas equivalentes de las dos áreas.

Línea de enlace Área de control 1

Figura

8.13

\7

í)

Dos áreas de control interconectadas (una sola línea de enlace)

(8.26)

3ffi |

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

a

Para cambios incrementales en á1 y 62,\a potencia incremental en la línea de enlace se puede expresar como

AP"ntu"", r(pu) = Trz(AQ

- A4l

(8.21)

donde

f rr.=

Y$cos P,tXtz

(6i

-

5í) = coeJicíente de sincronización

Como los ángulos incrementales de potencia son las integrales de las frecuencias incrementales, la ecuación (8.27) puede escribirse como

M.nru...

,= 2fl,ruLf,dr-

[t¡at)

(8.281

donde A/, y A/, son los cambios de frecuencia incremental de las iíreas 1 y 2, respectivamente. De igual manera, la potencia incremental de la línea de enlace hacia afuera del área 2 está dada por Ap.nlu...

,= 2flrr([

t¡rat -

[ t¡rat)

6.291

donde

rr,=Plcosrój-4t=f,+]E, " P,zXzt \P,, )

=atzrtz

(8.30)

Con referencia a la ecuación (8.12), la ecuación de equilibrio de potencia incremental para el área 1 se puede escribir como

LPor- LPnt= uL TLrAf ' d¡

)

f'o

+ BrL/r+ AP"n,u.",1

(8.31)

Se puede observar que todas las cantidades, salvo la frecuencia, aparecen por unidad

en la ecuación (8.31).

Al tomar la transformada

de Laplace de la ecuación (8.31) y luego de reordenar, se

llega a

AF,(s) = [APor(s)

-

APr,(s)

-

M"nru.",

,frll- ,'*L I + Iorrs

$'32)

donde como se definió antes [véase la ecuación (8.13)]

Kp¡= I/81 To¡= 2HrlBtf'

(8.33)

En comparación con la ecuación (8.13) del caso del iírea aislada de control, elúnico cambio es la aparición de la señal AP"¡u"", 1 (s) como se muestra en la figura 8.14. Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación (8.28), la señal AP.nlu"". I (s) se obtiene como 1;T (8.34) Aq AP"nru... t(il = "'tz t A¡i(s)

'

(

-

(r)l

8.4

Control de carga frecuencia (potencia frecuencia) de dos áreas

K1 ''ps' 1+I^^.s

AF,(s)

Figura 8.14

El diagrama de bloques conespondiente se muestra en la figura 8.15. Para el área de control 2, LP"ntu"".t(s) está dado por [ecuación (8.29)] Ap.nru...

2tsl

= -2Tap!17 | a{(s) s

-

a4 (r)l

(8.3s)

lo cual también se indica en el diagrama de bloques de la figura 8.15. Ahora considere el error de control de área (ACE: area control error) en presencia de una línea de enlace. En el caso de un área de control aislada, el ACE es el cambio en la frecuencia del área que cuando se usó en el lazo de control integral forzó a cero el error de frecuencia en régimen permanente. Con objeto de hacer cero el error de potencia de la línea de enlace en régimen permanente en un control de dos áreas, se debe introducir otro lazo de control integral (uno para cada área) para integrar la señal de potencia incremental de la línea de enlace y retroalimentarla al cambiador de velocidad. Esto se logra con un solo bloque integrador al redefinirACE como una combinación lineal de frecuencia incremental y potencia incremental de la línea de enlace. Así, para el área de control 1

ACE'- AP"nlu"".ibr\f.

(8.36)

donde la constante br se llama desviación de frecuencia. La ecuación (8.36) se puede expresar en la transformada de Laplace como

ACEl(s)

=

AP"nlu"", r(s)

+

bt AFt(s)

(8.37)

Del mismo modo, para el área de control 2, ACE¡ se expresa como ACE2(s)

=

AP.n1u.". 2G)

+ b2AF (s)

(8.38)

Al combinar los diagramas de bloques básicos de las dos áreas de control coffespondientes a la figura 8.6, con las APr,(s) y AP62(s) generadas por las integrales de los respectivos ACE (obtenidas por medio de señales que representan los cambios en la potencia de la línea de enlace y la desviación local de frecuencia), y al emplear los diagramas de

4P"nr""",2(s)

Figura 8.15

3I0 |

CAPíTULO

I

Controt automático de generación y voltaje

bloques de las figuras 8.14 y 8.15, fácilmente se obtiene el diagrama de bloques compuesto de la figura 8.16. Suponga que los cambios por pasos o escalones en las cargas LP m y LP o, se aplican simultiíneamente a las iíreas de control 1 y 2, respectivamente. Cuando se alcancen las condiciones de régimen permanente, las señales de salida de todos los bloques integradores se harán constantes, y para que esto sea así, sus señales de entrada deben hacerse cero. Por lo tanto, de la figura 8.16 se tiene AP",,ru.",

AP"n,u"",

i

brLfi = 0

z+

bzL.fz=

Lft

-

Lfz=

/K\ [ent

a¿a del bloque

intesrador-

0 ("nt uau del bloque integrador0

lentrada del btoque integrador

-

J!J-.J

(8.39a)

Y\ (8.39b)

+) 2tí1" S)

\

(8.40)

De las ecuaciones (8.28) y (8.29) M.nlu"".

I

M"t*",

z

= -Tr, Trl=-

| atz

=constante

(8.41)

Por lo tanto, las ecuaciones (8.39) a (8.41) se satisfacen simultáneamente sólo para AP"nlu"",

1= M"nl^"., 2 =

0

(8.42)

A,ft= Lfr=Q Así, en condiciones de régimen permanente, el cambio en la potencia de la línea de enlace y la frecuencia de cada iírea es cero. Esto se ha conseguido por la integración de los ACE en los lazos de retroalimentación de cada iírea. La respuesta dinámica es difícil de obtener por el procedimiento de la función de transferencia (como se usó en el caso de una sola área) a causa de la complejidad de los bloques y la situación de entrada múltiple (LPoy APo) y salida múltiple (AP"nru.", r, AP",ru"". ,, Lf1, Lf).Se lleva a cabo un análisis más organizado y de ejecución más conveniente mediante el procedimiento del espacio de estado (un procedimiento de dominio temporal). La formulación del modelo de espacio de estado para el sistema de dos iíreas se ilustrará en la sección 8.5. Los resultados del sistema de dos iáreas (AP"r*", cambio en la potencia en la línea de enlace, y AJ cambio en la frecuencia), que se obtuvieron mediante estudio en computadora digital, se muestran en forma de línea punteada en las figuras 8.18 y 8.19. Se supone que las dos áreas son idénticas con los parámetros del sistema dados por

Trr= 0.4 s, T, = 0.5 s, 70. = 20 s Kor= 100, R=3, b=0.425, Kt=O.09,2rfIrr=9.95

8.5

CONTROT. ÓPTUVIO DE CARGA FRECUENCIA (DOS Ánnes)

En esta sección se aplica la teoría moderna de control para diseñar un controlador óptimo de frecuencia de carga para un sistema de dos iíreas. De acuerdo con la terminología

8.5

ÁO+ .-r ü

ui\ lN

ll IJJ

o

Control óptimo de carga frecuencia (dos áreas)

o o .(U(,

oN

\a

Fi

R9 vo

eg *YL e=

I

tl

-%

J:' o_

"if

o (d

.y !, C@

o)

oo foo

U)

x.x

.i-}

()cD

o9

o (ú

E

o) .9.

a

9(Ú

6

oo

7io

(o

o

YrZ

o) q)

9c^ t'o e'd I : g'(Ú g pü

'6

(Ú

o=

I

a,tl 6

á tl

UI

o

'" wlilr

(o U'

(D

q)

Y

!oc a¡.:Q ope

x

6

ñl

=x x'ñ

g p

6 +

+

di

o¿6

o f

@

+

d (U

f

cn

+

II

lrJ

o+

ct)

l¡

312

|

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

Tiempo (s)

+

0 I I

^-1

Caso óptimo (retroalimentación completa de estado)

-l

X

9!-¿ = a-

-e

Con acción de control integral

-4 Figura

8.18

Cambio en la potencia de la línea de enlace debido al cambio de carga por pasos (0.01 pu) en el área 1

moderna de control, LPct y L,P* se denominarán entradas de control u1y ur. En el procedimiento convencional, u1y u2las daba la integral de las ACE. En el procedimiento por la teoía moderna de control, uty uz se crearán mediante una combinación lineal de todos los estados del sistema (retroalimentación completa de estado). Para formular el modelo de variable de estado para este propósito, se abren los lazos convencionales de retroalimentación y cada constante de tiempo se representa por un bloque individual, como se muestra en la figura 8.17. Las variables de estado se definen como las salidas de los bloques que tienen o un integrador o una constante de tiempo. Inmediatamente se observa que el sistema tiene nueve variables de estado. Antes de presentar el diseño óptimo es necesario formular el modelo de estado. Esto se consigue enseguida al escribir las ecuaciones diferenciales que describe cada bloque de la figura 8.17 en términos de las variables de estado (observe que las ecuaciones diferenciales se escriben

o alreemplazar s por;).

t )-r_q \ 4\ 6/ ',r-1-1| 12 \ \,/\ /..

t I

-1

\-/

'I

\-z :

\

14

l--t-|--r 16 18 Tiempo (s)

Con acción de control integral

rL

Caso óptimo (retroalimentación completa de estado)

-5 Figura

8.19

Cambio en la frecuencia del área 1 debido al cambio de carga por pasos (0.01 pu) en el área 1

-

8.5

Control óptimo de carga frecuencia (dos

áreas) [..#,M

Al comparar las figuras 8.16 y 8.17,

xt= Lft x2= A,P61 u1 = A.P¿1 w1= A,P¡¡

xq= Lfz x,

JACE,dt "* = x, = IACE, dt

= A'Po,

ur=

A,Pn

w2=

A,Po,

Para el bloque L

x1 + T'¡

o

it=

-

Knrt(xz- x7

Kprl

I

\=-ij-xr*-!xr-*xr-iw, ' 4,r 4rl '

w1)

Kprl

Kprl

Tpst

Zp.t

(8.43)

Para el bloque 2

x21 T¡*2=

x3

*,=-!*r*!*, ' Ttt Til'

o Para el bloque 3

G.44)

.l

x3+ lsgl x3= --xt+ul r\l

o

*.- =

*, - J-r, + J-u, --lT,et " T'et &4t'

(8.45)

Para el bloque 4

xa+ Tr"z*+=

oi+

.

Knrz(rs

+ anxi-

at2Kor2 Tps2

Korz

I

Tprz -

Tpsz "

x5

1Tr2*5=

wz) K orz Tprz

Para el bloque 5

o

*,- = - lt.

x6

7,, -

Para el bloque 6

*

!*^ T,t

$.41)

.1

x6+ lsg2x6= --X4*It2 a\2

o

i. = -=1- *o -J-*^" * 4-u, RzTrez Trsz Trez

(8.48)

Para el bloque 7

*7

= 2rrText

-

2rflt

xo

(8.49)

CAPíTULO

8

Control automát¡co de

Para el bloque 8

*r=

brx, + x,

(8.s0)

bzxa,- atút

(8.51)

Para el bloque 9

is=

Las nueve ecuaciones (8.43) a (8.51) se pueden organizar en la siguiente forma de matnz vectorial

*=Ax+Bu+Fw

(8.s2)

donde r = [r- r¡-L¿l^2...^91

vector v de estado

-=

".lI=-

u = fut u2fT = vector de control

w = fw 1 w 2]r =vector de perturbación mientras que las matrices A, B y F se definen en seguida:

234 Kprr

1

_1

-1Ttt

0 J

A_

5

6

0

0

0

0

7

2fltz

0

8

b1

0

9

0

0

o

K p"z

-1Tprz

1

0

T"

_1

0

0

0

0

^ 00 :]

0

-

I

T*,

zprt

00

1

0

t

Kp"z

Tprz

00

00

0

Tp"z

0

00

K_.

Q,n póL tL K ^^n

T.o't

0 00

_Prl0

J

0

00

4er

00

0

Tp"z Ttz

89 00

00

0

_1

00 BT=

Tpsl

0

0-1 RzTrez 0 -2dT2 00 obz

0

0

-

o

000

0

7

Kprt

Ttt

o -1 4gr

-

^t4t 4

0 1

Zpsl

&,r

56 00

,,.1

00 000.1

00 00 00 10 -ar2

0 0 0 0 0

A.S

Control óptimo de carga frecuencia (dos

áreas)

n} &

En el esquema convencional de control de la figura 8.16, las entradas de control construyen sólo de las variables de estado xsy xs como sigue.

ul=-

\y

u2se

K¡txB=- X,, IACErdt

u2=- K¡2xg=-

t<,, IXcerd,t

En el esquema de control óptimo, las entradas de control uty uzse generan mediante retroalimentaciones de los nueve estados: las constantes de retroalimentación se deben determinar de acuerdo con un criterio de optimización. A1 examinar la ecuación (8.52) se observa que el modelo no está en la forma estándar que se emplea en la teoría de control óptimo. La forma est¡índar es

i=Ax+Bu que no contiene el término de perturbación Fw presente en la ecuación (8.52). Además, un vector de perturbación constante w conduciría a algunos de los estados del sistema y al vector de control z a valores constantes de régimen permanente, mientras que la función de costo tttllizada en el control óptimo requiere que los vectores de estado del sistema y de control tengan valores de régimen permanente cero para que la función de costo tenga un mínimo. Para un vector de perturbación constante w, el régimen permanente se alcanza cuando

¡=0 en la ecuación (8.52), lo cual da entonces

(8.53) 0 = 4.r"" + Bur, + Fw Si se define.r y ,, como la suma de los términos transitorio y de régimen permanente, puede escribirse

x = x' * u,= u.' *

xss ur,

(8.54) (8.55)

Al sustituir¡ y u de las ecuaciones (8.54) y (8.55) en la ecuación (8.52), se llega a

i'

=

A (x' + xrr) + B(u' +

urr)

+ Fw

En virtud de la relación (8.53). se obtiene

i' = Ax' + Bu'

(8.56)

Esto representa el modelo del sistema en términos de excursión de estado y vectores de control desde sus respectivos valores de régimen permanente. Para retroalimentación completa de estado, el vector de control z se construye por una combinación lineal de todos los estados, es decir

u=- Kx

(8.57a)

donde K es la matriz de retroalimentación.

Ahora

u'+ rrrr-- K (r'+ Para un sistema estable, tanto.f

rr")

' como u' van a cero; por 1o tanto, ur, =

-

Kx*

316 |

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

Luego

u'=-

(8.57b)

Kx'

Al examinar la figura 8.i7 se observan sin dificultad los valores de régimen pelmanente de las variables de estado y de control para valores constantes de las entradas con perturbación wty wz. Éstos son

r1""=r4"r=x7""=0 x2rr= x3r, = ulrr= wr xsrr= x6rr= uzs, = w2 r8ss fgss

\11

(8.58)

w2

= Collstonte = CoflSt&nte

Los valores de r3r, y x9r, dependen de las constantes de retroalimentación y se pueden determinar a partir de las siguientes ecuaciones de régimen peflnanente:

+'..+ tt2ss = kztxtr, + "'+ u¡r=

k11x3s

+ k¡'xgrr= w, k2gx1r, I l9úgrr= w'

krrxr""

(8.se)

de retroalimentación K enla ecuación (8.57b) se debe determinar de tal manera que cierto índice de desempeño (PI performance index) se minimice al transferir el sistema de un estado inicial arbitrario r'(0) al origen en un tiempo infinito (es decir, x'(*) - 0). Un PI conveniente tiene la forma cuadrática

Lamatiz

p1=

\* t*'' Q*'* u'r Ru'\dt

(8.60)

Las matrices Qy R se definen para el problema de que se trata mediante las siguientes consideraciones de diseño:

i)

Se minimizan las excursiones de los ACE alrededor de los valores de régimen pelmaanx't + b2x'a). Los valores de régimen permanente de los ACE nente (xtt + bpl;

-

son, por supuesto, cero.

il)

Se minimizan las excursiones de JACE d¡ alrededor de los valores de régimen per*'). Los valores de régimen peffnanente ae JRCE d/ son, por supuesto, constantes.

manente (rá,

lll)

Se minimizan las excursiones del vector de control (ul, u\) alrededor del valor de régimen permanente. El valor de régimen permanente del vector del control es, por supuesto, una constante. Esta minimizacióntiene el objetivo de limitar indirectamente el esfuerzo de control dentro de la capacidad física de los componentes. Por ejemplo, la válvula de vapor no puede abrirse más que en cierto valor sin ocasionar una caída severa en la presión de la caldera.

Con este razonamiento, el PI puede escribirse como

pI =

lr-

*f ¿ro

f1x,

+ b,x',¡2 + (-

+ k@'l + u']¡1 dt

atzx't

+

b2x'a)2

+

@'3

*

*'&) (8.61)

8.5

Control óptimo de carga frecuencia (dos áreas)

Del PI de la ecuación (8.61), Q y R pueden reconocerse como -a bi

0 0 0

Q=

0 0 01

0 0

00 00 00 00 00 00 00 00 00

0 0 0

,)

b; 0 0

- atzbz 0 0

o0 4

0o 00 0 00 00 0 00 00 -apbz 00 00 0 00 00 0 00 0 0 (i+olr¡ O o 00 0 10

00

0

01

= mattiz simétrica =matnz simétrica

R=kI

La determinación de \a matríz de retroalimentación K que minimiza el PI arriba escrito es el problema de regulador óptimo estándar. K se obtiene al resolver la ecuación de Riccati de matriz reducida* (un sistema de ecuaciones algebraicas lineales) que se da .{ en seguloa:

Ars+sA-sBR-iBT+ Q=o K = R-rBrS

(8.62) (8.63)

La solución aceptable de K es aquella parala cual el sistema permanece estable. Al sustituir la ecuación (8.57b) en la ecuación (8.56), la dinámica del sistema con retroalimentación queda definida por

i,

= (A -

BI9x'

Para estabilidad, todos los eigenvalores de 7a matriz (A

(9.64)

- Bn

deben tener partes

reales negativas. Para ilustración, considere dos iíreas de control idénticas con los siguientes parámetros de sistema:

= 0.4 s; T, = 0.5 s; lo. = 20 s R=3, Ko"=IlB =100 b = 0.425; Kt = 0.09; an = 1; 2rrTr, = g.g5 La solución en computadora de la matiz de retroalimentación K y la respuesta dinámica del sistema se grafica en las figuras 8.18 y 8.19. Estas figuras también incluyen para comparación la respuesta dinámica sólo para el caso de la acción de control integral. El Z.e

mejoramiento en el desempeño que

se

obtiene mediante el controlador óptimo es evidente

en estas figuras.

[ 0.5286 l.r4le 0.ó813-0.0046-0.02t I -0.0100 -0.7437 0.9999 0.00001 K = L-o.oo 46 _.0.02u -0.0100 0.s28ó t.t4ts 0.68 r3 0.7437 0.0000 0.9999.] * Qfr Nagrath y Gopal [5].

318

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

Al extenderse las áreas de control sobre vastas regiones geográficas, hay dos maneras de obtener información de estado completo en cada áreapata propósitos de control.

i)

Transportar la información de estado del área distante por canales de comunicación. Esto, desde luego, es costoso.

ii)

Generar localmente todos los estados (que incluyen los estados distantes) por medio de unobservadorofiltro de Kalmqnmediante elprocesamiento de la señal local de salida. Como un observador es un sistema de orden superior, todo el sistema se vuelve muy complejo y puede darporresultado, de hecho, un deterioro de la estabilidad del sistema

y de la respuesta dinámica que

se

pretende mejorar mediante el control óptimo.

A causa de las dificultades antes mencionadas que se encuentran en la implementación de un sistema de control óptimo de frecuencia de carga, es preferible usar un esquema subóptimo que sólo utilice los estados locales del área. El diseño de tales sistemas de control óptimo con restricciones estructurales rebasa e1 alcance de este libro. El arreglo de control convencional de la figura 8.16 es, de hecho, el arreglo de retroalimentación de salida local en el que en cada área se úiliza la señal de retroalimentación derivada de los cambios en frecuencia local y potencia de línea de enlace.

8.6

CONTROL AUTOMÁUCO DE VOLTAJE

La figura 8.20 da un diagrama esquemático de un regulador automático de voltaje de un generador. Básicamente consta de un excitador principal que excita el campo del alternador para controlar el voltaje de salida. El campo del excitador se controla automáticamente mediante el error € = Vr"r* V. y se amplifica de forma adecuada por medio de amplificadores de voltaje y potencia. Es un sistema tipo 0 que necesita un error ¿ constante para un voltaje especificado en las terminales del generador. El diagrama de bloques del sistema está dado en la figura 8.21. Enseguida se describe la función de los componentes importantes y sus funciones de transferencia:

Transformador de potencia: da una muestra del voltaje en las terminales V7 Dispositivo de derivación: da el error actuante e

= VB.t- Vr Excitador Campo del generador

Amplificador de potencia SCR

Transformador estabilizador Transformador- de potencial

Figura

8.20

Diagrama esquemático de un sistema de regulador de voltaje del alternador

8.6

Control automático de

vottaje---lkfp t

Cambio en el voltaje causado por la

Cambio en la carga

carga

\

Figura

8.21

y

\f l-G;l

Diagrama de bloques de un sistema de regulador de voltaje de un alternador

El error inicia la acción correctiva de ajustar la excitación del alternador. La forma de la onda de error es una portadora suprimida modulada, donde la frecuencia de la portadora es la frecuencia del sistema de 50 Hz.

Amplificador de error: desmodula y amplifica la señal de error. Su amplificación es K,. Amplificador de potencia SCR y campo del excit(rdor: proporciona ala señal la amplificación de potencia necesaria para controlar el campo del excitador. Si la constante del tiempo del amplificador se supone que es lo suficientemente pequeña para despreciarla, la función total de transferencia de estos dos es K"

I + T"rs donde Qres la constante de tiempo del campo del excitador.

Alternador:

su campo está excitado por el voltaje principal del excitador , v En condicio,. nes de carga nula, produce un voltaje proporcional a la corriente de campo. La función de transferencia sin carga es

Kr I + T"rs donde

G=

constante de tiempo del campo del generador.

La catga ocasiona una caída de voltaje que es una función compleja de las corrientes de eje directo y de cuadratura. El efecto se representa sólo en forma esquemática por el bloque GL.EI modelo de carga exacto del alternador rebasa el alcance de este libro. Transformador estabilizador: T"¡y Q" son constantes de tiempo lo suficientemente grandes para deteriorar la respuesta dinámica del sistema. Se sabe que la respuesta dinámica de un sistema de control se puede mejorar mediante ellazo de retroalimentación de derivada interna. La retroalimentación de derivada en este sistema se da por medio del transformador estabilizador excitado por el voltaje de salida del excitador vo. La salida

l

l,,lll clpítuLo g

control automát¡co de generac¡ón y voltaje

del transformador estabilizador se alimenta negativamente en las terminales de entrada del amplificador de potencia SCR. Enseguida se deriva la función de transferencia del transformador estabilizador. Como el secundario está conectado a las terminales de entrada de un amplificador, se puede suponer que toma corriente cero. Ahora

vu=R,ir,*¿,9 o¡

vrr=

M

d;

?ot

A1 tomar la transformada de Laplace, se obtiene

%,(s) VaG)

=

sM

sMlRt

&+"4

1+{,s

JK"t

1+ {,s Hay disponibles en la literatura modelos exactos de variables de estado de alternador cargado alrededor de un punto de operación. Estos modelos se utilizan para diseñar sistemas óptimos de regulación. Esto, por supuesto, rebasa el alcance de este libro.

8.7

CONTROL DE CARGA FRECUENCIA CON RESTRICCIONES DE RAPIDEZ DE GENERACIÓN (GRC)

El problema del control de frecuencia de carga que hasta ahora se ha tratado no considera el efecto de las restricciones enlarapidez de cambio de la generación de potencia. En sistemas de suministro eléctrico que tienen planta de vapor, la generación de potencia puede cambiar sólo a una rapidez máxima especificada. La rupidez de generación (por consideraciones de seguridad del equipo) para las unidades de recalentamiento es muy de las unidades de recalentamiento tienen una rapidez de generación de alrededor de37olminuto. Algunas tienen unarapidez de generación entre 5 y l)Volmin. Si no se consideran estas restricciones, es probable que el sistema persiga perturbaciones momentáneas grandes. Esto da por resultado un desgaste indebido del controlador. Se han propuesto varios métodos para considerar los efectos de las GRC para el diseño

baja.Lamayor parte

de controladores automáticos de generación. Cuando se consideran las GRC, el modelo dinámico del sistema se vuelve no lineal y no se pueden aplicar las técnicas de control lineal para la optimización del ajuste del controlador. Si las rapideces de generación denotadas por Po¡ se incluyen en el vector de estado, el orden del sistema se alterará. En vez de agregarlas, mientras se resuelven las ecuaciones de estado, en cada paso se puede verificar si se violan las GRC. Otra manera de considerar las GRC para ambas áreas es agregar limitadores a los gobernadores t15, 171, como se muestra en la figura 8.22; es decir, la rapidez máxima de abertura o cierre de válvula está restringida por los limitadores. Aquí Z* 9-6* es el límite de rapidez de potencia impuesta por el control de válvula o compuerta. En este modelo I

AIul<

g^u*

(8.65)

8.8

Figura

Banda muerta del gobernador de velocidad y su efecto en AGC

8.22

Modelo de gobernador con GRC

Los valores de la banda impuesta por los limitadores están seleccionados para restringir larapidez de generación en IlVo por minuto. Las GRC dan por resultado mayores desviaciones en los ACE al restringirse, por los límites impuestos, larapidez a la cual puede cambiar la generación en el iárea. Por lo tanto, el tiempo durante el cual se necesita importar potencia aumenta de forma considerable al compararlo con el caso en el que no se restringe larapidez de generación. Con las GRC, R se deberían seleccionar con cuidado para dar la mejor respuesta dinámica. En un sistema hidrotérmico, la rapidez de generación en el rárea hidráulica por lo común perrnanece por debajo del límite de seguridad y, por 1o tanto, se pueden ignorar las GRC para todas las plantas hidroeléctricas.

8.8

BANDA MUERTA DEL GOBERNADOR DE VELOCIDAD Y SU EFECTO EN AGC (CONTROL AUTOMÁIICO DE GENERACIÓN)

es que, para una posición dada gobernador, puede de las válvulas de control del ocurrir un aumento o disminución en la velocidad antes de que cambie la posición de la válvula. La banda muerta del gobernador puede afectar sustancialmente la respuesta del sistema. En los estudios de AGC, el efecto de banda muerta puede, sin duda, ser importante pues se consideran señales relativamente

El efecto de la banda muefa del gobemador de velocidad

pequeñas.

La característica del gobernador de velocidad, aunque es no lineal, se ha aproximado mediante características lineales en análisis anteriores. Además, hay otra no linealidad introducida por la banda muerta en la operación del gobemador. La fricción mecánica, la holgura y también los traslapes de válvulas en los relevadores hidráulicos provocan la banda muerta del gobernador. A causa de esto, aunque aumente la señal de entrada, el gobernador de velocidad puede no reaccionar de inmediato hasta que la señal de entrada alcance un valor dado. Algo similar ocurre cuando la señal de entrada disminuye. Así, la banda muerta del gobernador se define como la magnitud total de cambio sostenido de velocidad dentro de la cual no hay cambio en la posición de la válvula. El valor limitante de la banda muerta se especifica como 0.06Vo. Se ha mostrado por Concordia et al. fl81

CAPITULO

8

Control automático de generación y voltaje

Banda

Figura

8.23

muerta

uY v'ruurudu

Banda muerta en el lazo de control del gobernador de velocidad

que uno de los efectos de la banda muerta del gobernador es aumentar la regulación de velocidad R de régimen permanente aparente. El efecto de la banda muerta se puede incluir en el diagrama dellazo de control del gobernador de velocidad, como se muestra en la figura 8.23. Si se considera el peor caso para la banda muerta (es decir, el sistema comienza a responder sólo después de recorrer toda la banda muerta) y al examinar el diagrama de bloques de la figura8.23, el siguiente sistema de ecuaciones define por completo el comportamiento de la banda muerta [19]. y(r

+ 1)

-

"(r)*

,¡

"(r t)

+

1)

_ x,

=

banda muerta

+ 1) = *(, - batrda muerta; r¡ "(r - x(t) > 0 l)'si xt*1- ¡t < 0 = x('* (r es el paso de computación)

(8.66)

La referencia [20] considera el efecto de la no linealidad de la banda muerta del gobernador alutllizar el procedimiento de función de descripción [11] e incluidas las ecuaciones linealizadas en el modelo espacial de estado. La presencia de la banda muerta del gobemador hace que la respuesta dinámica sea oscilatoria. Se ha visto [19] que la banda muefa del gobernador no influye en la selección de los ajustes de ganancia del controlador integral en presencia de GRC. En presencia de GRC y banda muerta incluso para pequeñas perturbaciones de carga, el sistema se vuelve altamente no lineal y, por lo tanto, el problema de optimización se vuelve más bien complejo.

8.9

CONTROLADORES DIGITALES DE CARGA FRECUENCIA

En años recientes, se ha prestado atención creciente a la cuestión de la implementación digital de los algoritmos para control automático de generación. Esto se debe principalmente al hecho de que el control digital resulta ser más exacto y confiable, más compacto en tamaño, menos sensible al ruido y a la deriva y más flexible. Se puede también implementar en forma de tiempo compartido al úllizar los sistemas de computadoras en el centro del despacho de carga, si así se desea. ACE es una señal que se utiliza para AGC que está disponible en forma discreta, es decir, ocune una operación de muestreo entre el

sistema y el controlador. A diferencia del sistema de tiempo continuo, el vector de control en modo discreto está restringido a permanecer constante entre los instantes de muestreo.

El proceso de control digital es inherentemente un proceso discontinuo y el diseñador tiene, por lo tanto, que recurrir al análisis de tiempo discreto para la optimización de las estrategias de AGC.

Modelo de control de tiempo discreto El sistema dinámico de tiempo continuo

se describe mediante un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales

x=Ax+Bu+ fp

(8.67)

donde x, u y p son vectores de estado, de control y de perturbación, respectivamente, y A, B y son matrices constantes asociadas con dichos vectores. El comportamiento de tiempo discreto del sistema de tiempo continuo se modela mediante el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

f

x(k +I) =

Q x(k)

+

tlt u(k)

+

y p(k)

(8.68)

donde x(ft), u(k) y p(k) son los vectores de estado, control y perturbación y se especifican

enr=kT, k=0, I,2,...etc., yZeselperiododemuestreo.ó,úy Tsonlasmatricesde transición de estado, control y perturbación y se evalúan por medio de las biguientes relaciones:

Ó=

I

eAr

ú= (4, _ I) A-tB y= Glr - D A-rf

donde A, B y son las matrices constantes asociadas con los vectores x, u y p en el correspondiente sistema dinámico de tiempo continuo. LamaÍnz y'z se puede evaluar si se utilizan varios procedimientos bien documentados, como el teorema de expansión de Sylvestor, latécnica de desarrollo en serie, etc. El problema de diseño óptimo del controlador digital de frecuencia de carga se trata en detalle en la referencialTl.

8.10 CONTROTDESCENTRALIZADO En vista del gran tamaño de un sistema moderno de suministro eléctrico, es virtualmente imposible realizar ya sea el algoritmo clásico o el moderno de control carga frecuencia de

Figura8.24 Controldescentralizado

324

|

CAPíTULO

8

Control automático de generación y voltaje

I

manera centralizada. En la fi.gura8.24 se muestra un esquema de control descentralizado. Se usa xl para hallar el vector ul, mientras que x2 se usa por sí solo para encontrar u2.

Así,

¡ = (x1 X2)1

ut=-ktXt uz=

-

kz xz

Se ha mostrado que el diseño sistemático de la solución de control de desviación de

línea de interconexión descentralizada es posible basado en el principio de control modal. La implementación descentralizada o jeriárquica de los algoritmos de control óptimo de frecuencia de carga (LFC) parece que se ha estudiado ampliamente para el caso estocás-

tico, pues las perturbaciones de carga real son realmente estocásticas. En la referencia [7] se trata un procedimiento sencillo, Puede observarse que hay disponibles otras técnicas de simplificación de modelos en la literatura sobre herramientas alternativas para el control descentralizado. Éstas incluyen el método de agregación, perturbación singular, congruencia de momenlos y otras técnicas [9] para encontrar modelos de menor orden de un sistema dado de gran escala.

PROBLEIYIAS

8.1 Dos generadores con potencias nominales de 200 MW y 400 MW operan en paralelo. Las características de depresión de sus gobernadores son4%o y 5Vo,respectivamente desde carga nula hasta plena carga. Los cambiadores de velocidad se ajustan de tal manera que los generadores operan a 50 Hz para compartir la carga total de 600 MW en la relación de sus nominales, Si lacarga se reduce a 400 MW ¿cómo se repartirá entre los generadores y será la frecuencia del sistema? Suponga operación

libre del gobernador. Los cambiadores de velocidad de los gobernadores se reajustan de tal modo que

la carga de 400 MW

se reparte entre los generadores a 50 Hz en la relación de sus nominales. ¿Cuáles son las frecuencias de los generadores sin carga? 8.2 Considere el modelo de diagrama de bloques de control de frecuencia de carga que se da en la figura 8.6. Haga la siguiente aproximación.

(1 Resuelva para

+

Z,rs) (1

+ Zp) :

1 + (2,,

+ f,¡s = 1 +

Z"qs

Lf (t) con los pariámetros que se dan en seguida. Dada AP, = 0.01 pu T"r= 0.4 + 0.5 = 0.9 s; Zo, = 20 s K"BK,=

l;

Ko,

= 100; R =

3

Compare con la respuesta exacta dada en la figura 8.9.

8.3 Para el control de frecuencia de carga con controlador proporcional más integral como se muestra en la flgura 8.10, obtenga una expresión para el error en régimen permanente en ciclos. es decir,

un paso de una unidad APr, ¿Cuál f^Of ,rrOr,para límtJoo

es el error de tiempo correspondiente en segundos (con respecto a 50 Hz)? Comente

sobre la dependencia del error en ciclos respecto a la ganancia K, del controlador

integral.

lsus"rrnrto,

n['o

t¡ g¡at

=

AF(s) If s

Jo

Lf(t)dt=

lím /-+co

lS,"+

=

lS o"(')]

8.4 Para el control de frecuencia de carga de dos áreas de la figura 8.16, suponga que los bloques de controlador integral se reemplazan por bloques de amplificación, es de-

cir, ACE, y ACE, se alimentan a los respectivos cambiadores de velocidad mediante las amplificaciones -Kn y -K;2. Obtenga una expresión para los valores en régimen permanente del cambio en frecuencia y en potencia de línea de interconexión para entradas de perturbación de carga de un paso de una unidad, aplicadas simultáneamente en las dos áreas. 8.5 Para el control de frecuencia de carga de dos áreasutllizando la integral del error de control de área en cadaárea(figura 8.16), obtenga una expresión para APin,"r.or"*ión(J) para una perturbación de un paso unidad en una de las áreas. Suponga que ambas áreas son idénticas. Comente sobre la estabilidad del sistema para los valores de parámetros que se dan enseguida:

Trr= 0.4 si Tt = 0.5 s; Zo, = 20 s Ko.= 100t R = 3t K¡=

an= I', 2df t, =

l;

b = 0.425

g.g5

fSugerencia: Aplique el criterio de estabilidad de Routh a la ecuación característica

del sistema.l

REFERENCIA'

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326

|

CAPíTULO

10.

8

Control automático de generación y volta¡e

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--Análisis de fatlas

:'...

sim 9.1

INTRODUCCION

Hasta ahora se ha tratado del comportamiento en régimen perrnanente de un sistema de potencia en condiciones normales de operación y de su comportamiento dinámico con perturbaciones de pequeña escala. Este capítulo se dedica al comportamiento anormal del sistema en condiciones de cortocircuito simétrico (falla simétnca trifásica).x Tales condiciones ocurren en forma accidental en e1 sistema por falla del aislamiento del equipo o una descarga disruptiva de las líneas ya sea por un rayo o por operación defectuosa accidental. El sistema debe protegerse contra el flujo de corientes intensas de cortocircuito (que puede causar daño permanente al equipo principal) al desconectar la parte con falla del sistema por medio de cortacircuitos operados por un sistema de relevadores de prorección. Para la selección adecuada de los cortacircuitos y de relevadores de protección, se debe estimar la magnitud de las corrientes que fluirían en condiciones de cortocircuito: éste es el objetivo del análisis (estudio) de fallas. La mayor parte de las fallas de los sistemas no son fallas trifásicas, sino fallas que afectan una línea a tierra o bien, ocasionalmente, dos líneas a tierra. Éstas son fallas asiméricas que necesitan herramientas especiales como componentes simétricos y constituyen el tema de estudio de los siguientes dos capítulos. Aunque las fallas simétricas son raras, se debe realizar el análisis de fallas simétricas, ya que este tipo de falla en general tiene e-orno coflsecuencia el más severo flujo de corriente de falla contra el cual se debe proteger el sistema. El análisis de fallas simétricas es, por supuesto, más sencillo de llevar a cabo. Una red de potencia comprende generadores síncronos, transformadores, líneas y cargas. Aunque las condiciones de operación en el momento de la fallas son importantes, las cargas se pueden despreciar durante la falla, ya que los voltajes caen a valores muy bajos de modo que las corrientes que toman las cargas se pueden despreciar en comparación con las corrientes de falla. El generador síncrono, durante un cortocircuito tiene un comportamiento caracteístico que varía con el tiempo. En el evento de un cortocircuito, el flujo magnético por polo

" La falla simétrica puede ser un cortocircuito sólido trifásico o comprender una impedancia de arco.

CAPITULO

9

Análisis de fallas simétricas

experimenta un cambio dinámico asociado con los transitorios en el devanado amortiguador y en el de campo. La reactancia del modelo del circuito de la máquina cambia en los primeros pocos ciclos a partir de una reactancia baja subtransitoria a un valor transitorio mayor, que al fina1 se estabiliza en un valor síncrono (régimen permanente) todavía más alto. Dependiendo del tiempo de interrupción de arco de los cortacircuitos, se usa un valor adecuado de reactancia para el modelo de circuito de los generadores síncronos para el análisis del cortocircuito. En un sistema eléctrico de potencia moderno grande interconectado, las corrientes intensas que flu1'en duran¡e una ial1a se deben interrumpir mucho antes de que se establezcan las condiciones de régimen perrnanente. Además, por la consideración de las fuerzas mecánicas que actúan en los componentes de un cortacircuito, también se debe determinar la corriente máxima que un cortacircuito tiene que llevar instantáneamente. Para seleccionar un coftacircuito se debe, por 1o tanto, determinar la coriente inicial que fluye si ocuffe un cortocircuito y también la corriente de valor transitorio que fluye en el momento de la interrupción del circuito.

9.2 TRANSITORIOS

EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN

Considere el transitorio de cortocircuito en una línea de transmisión. En esta etapa se hacen ciertas suposiciones de simplificación:

i)

La línea

il)

El cortocircuito ocurre cuando la línea está sin carga (el caso de cortocircuito en una

se alimenta desde una fuente de voltaje constante (el caso en que la línea se alimenta de una máquina síncrona en condiciones reales se tratará en la sección 9.3).

línea con carga se fratará más adelante en este capítulo).

iii)

La capacitancia de la línea es despreciable y la línea se puede representar por un circuito RZ de parámetros concentrado en serie.

Con las suposiciones anteriores la línea se puede representar por el modelo de circuito de la figura 9.1. El cortocircuito se supone que se presenta en / = 0. El parámetro a controla el instante en la onda de voltaje cuando ocurre el cortocircuito. Se sabe de la teoía de circuitos que la corriente después de un cortocircuito está compuesta de dos partes, es decir

I=Is+lr donde

j, = corriente en régimen permanente

f +i v

=tE

V sen (zot

*

") L) i

Figura 9.1

¡RL ;"/vu

tfff

9.2

!-a

Trans,:c'cs

.ea oe transmtston

I

Jlv = --:-Lsen(@t + a.

. 1t'

0)

I

z=(R2+ úrL')'''Ll9

-l

=

a.lz

\

R)

l¡ = corriente transitoria fes tal que l(0) = ¡r1g; + i,(0) = 0 por ser un circuito inductivo; decae conforme a la constante de tiempo 1,/R].

=

-

¡,71¡t-@tL)t

kr \r ^ dle -, ",'" lu_

"Ev = _S€11 tzl

Esta corriente de cortocircuito está dada por J )V ,[)v ( u¡í + a-d)+ li]sen i. - 1-#sen

ttt

tzl

!".."#

Coriente simétrica de cortocircuito

(0

*t t¡' - o)r'

(9.r)

Coniente de desplazamiento de CD

En la figura 9.2 se muestra una gráfica de i,, i, e i = i, + i,. En terminología de sistemas de potencia, la corriente senoidal en régimen permanente se 1lama cotiente sintétrica de cortocircuito y el componente momentáneo unidireccional se llama corriente de desplazamiento de CD,la cual causa que la corriente de cortocircuito sea asimétrica hasta que el transitorio decae. De la figura 9.2 se deduce sin dificultad que la corriente móxima instantánea de cortocircuito, i.. cottesponde al primer pico. Si el decaimiento de la corriente transitoria en este breve tiempo se desprecia,

.

"Ev

',,r = lzl

Sen

(d- ol t-"Ev

Como la resistencia de la línea de transmisión es pequeña, 0

.

ilv

l-*=-COSa*-

tzt

"Ev tzl

(e.2)

-

90" (e.3)

Esta tiene el valor máximo posible para a = 0, es decir, si el cortocircuito ocurre cuando la onda de voltaje pasa por cero. Así,

r;,,

.

-m

{lnax

posrole) ^l¿v - |t

(e.4)

¿,1

= dos veces el máximo de la corriente simétrica de cortocircuito (.efe c t o de dup lic ac ió n) Para la selección de los coftacircuitos, se toma la corriente instantánea de cortocircuito que conesponde a su máximo valor posible (una selección segura).

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

La siguiente pregunta es "¿cuál es la corriente que se deber intem¡mpir?" Como antes se señaló, los cortacircuitos modernos están diseñados para intemrmpir la corriente en los primeros ciclos (cinco ciclos o más). Con referencia a la figura 9.2, esto significa que cuando la corriente se intemrmpe, la componente de CD (t,) no se ha extinguido todavía y contribuye, por 1o tanto. a la corriente que se debe interrumpir.Envez de calcular el valor de la componente de CD en el tiempo de la intemrpción (esto sería muy complejo incluso en una red de tamaño moderadamente grande), se calcula sólo la corriente simétrica de cortocircuito. Esta cifra se aumenta entonces por un factor empírico multiplicador para considera¡ la corriente de desplazamiento de CD. Se dan detalles en la sección 9.5.

9.3

CORTOCIRCUITO DE UNA MÁOUINA SÍNCRONA (SIN CARGA)

En condicie-rnes de cortocircuito en régimen permanente, la reacción de la armadura de un qener¿dtrr :íncrono produce un flujo magnético desmagnetizante. En términos de un ci¡.-uito este eiicto se modela como una reactancia X, en serie con la fem (fuerza elec-

q¡ Y

Co:rente

instantánea.. máxima.

i-.

\l

Figura

9.2

Forma de onda de una corriente de cortocircuito en una línea de transmisión

Cortocircuito de una máquina síncrona (sin carga)

Xo*

xl

v F.\-_

-s

Xt

xu -tIl-

r.lüit, 'tt¡

I

Xr .

x"

xd Reactancia síncrona

a) Modelo de codocircuito en régimen b) Modelo aproximado de circuito durante permanente de una máquina síncrona el periodo subtransitorio del coñocircuito xr x,t

, 'lll-,1

'l-a¡-'

a-i X^

T-l_

_/'¡ -s

Reactanciatransito.ia de eje di.ecto

c) Modelo aoroximado de circuito durante el periodo transitorio del cortocrrcuito

Figura 9.3

tromotriz) inducida. Esta reactancia cuando se combina con la reactancia de dispersión X, de la máquina, se llama reactancia síncrona Xo (reactancia síncrona de eje directo en el caso de una máquina de polos salientes). Como la resistencia de armadura es pequeña, se puede despreciar. El modelo de cortocircuito en régimen perrnanente de una máquina síncrona se muestra en la figura 9.3a) en la base por fase. Considere ahora el cortocircuito repentino (trifásico) de un generador síncrono que inicialmente opera en condiciones de circuito abierto. La máquina experimenta un transitorio en las tres fases que al final termina en las condiciones de régimen pernanente antes descritas. El cortacircuito, por supuesto, debe intemrmpir la corriente mucho antes de que se alcancen las condiciones de régimen permanente. Inmediatamente al ocurrir el cortocircuito, las corrientes de desplazamiento de CD aparecen en las tres fases, cada una con una magnitud diferente ya que el punto en la onda de voltaje en el cual sucede el cortocircuito es diferente para cada fase. Estas corrientes de desplazamiento de CD se consideran por separado sobre una base empírica y, por 1o tanto, para estudios de cortocircuito, es necesario centrar la atención sólo en la corriente simétrica (sinusoide) de cortocircuito. Inmediatamente en el caso de un cortocircuito, la corriente simétrica de cortocircuito está limitada sólo por la reactancia de dispersión de la máquina. Como el flujo magnético en el entrehierro (separación entre el rotor y el estator de la maquina) no puede cambiar instantáneamente (teorema de los vínculos de flujo magnético constantes), para oponerse a la desmagnetización de la corriente de cortocircuito de la armadura, aparecen corrientes en el devanado de campo así como en el devanado amortiguador, en la dirección que ayuda a mantener el flujo magnético principal. Estas corrientes decaen conforne a las constantes de tiempo de los devanados. La constante de tiempo del devanado amortiguador el cual

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

tiene baja inductancia de dispersión, es mucho menor que la del devanado de campo el cual tiene alta inductancia de dispersión. Así, durante la parte inicial del cortocircuito, los devanados amortiguador y de campo tienen corrientes de transformador inducidas en del devanado de campo ellos de modo que en el modelo de circuito sus reactancia -X, paralelo* con Xo, como se muestra en y Xo. del devanado amorliguador- aparecen en la figura 9.3b). Como las corrientes del devanado amortiguador son las primeras en extinguirse, X¿, efectivamente se vuelve un circuito abierto y en una etapa posterior X¡ se vuelve un circuito abierlo. Larcactancia de la máquina cambia, por lo tanto, de la combinación en paralelo deXo,X¡y X¿-durante el periodo inicial del corlocircuito aXoy Xren paralelo (figura 9.3c)) en el periodo medio del cortocircuito y finalmente aXoen régimen permanente (figura 9 .3a)). La reactancia que presenta la máquina en el periodo inicial del cortocircuito, es decir,

Xt+

(I/X, +I/X, +IlX,tu) =X;

(e.s)

llama reactancia subtransitoria delamáquina. Mientras que la reactancia efectiva después de que se han extinguido las corientes del devanado amortiguador, es decir se

X'd= Xt + (Xoll X,)

(e.6)

se llama reactancia transitoria de la máquina. Por supuesto, la reactancia en condiciones de régimen permanente es la reactancia síncrona de la máquina. Es claro que X) < X; < X¿. La máquina ofrece así una reactancia variable en el tiempo que cambia de X) a X)y

finalmente a Xr. Si se examina el oscilograma de la coniente de cortocircuito de una máquina síncrona después de quitarle las corientes de desplazamiento de CD, se encontrará que la forma de onda de corriente será como se muestra en la figura 9.4a). La envolvente de la forma de onda de corriente se grafica en la figura 9 .4b). La corriente de cortocircuito se puede dividir en tres periodos: el periodo subtransitorio inicial en el que la corriente es grande pues la máquina ofrece reactancia subtransitoria; el periodo subtransitorio medio cuando la máquina ofrece reactancia transitoria y, finalmente, el periodo de régimen permanente, en el que la máquina ofrece reactancia síncrona. Si la envolvente transitoria se extrapola hacia atrás en el tiempo, la diferencia entre las envolventes transitorias y subtransitorias es la corriente Li" (que corresponde a la corriente del devanado amortiguador) el cual decae rápido de acuerdo con la c
tiempo del devanado amortiguador. Del mismo modo, la diferencia Al' entre las envolventes de régimen permanente y transitoria decaen de acuerdo con la constante de tiempo del campo. En términos del oscilosrama. las corrientes y las reactancias que se han tratado antes, ouede escribirse 1¡1= x

Aquí se supone una relación de espiras igual a

1

!! ='ur' .12 xd

(9.7a)

Cortocircuito de una máquina síncrona (sin

9.3

carga) -T-| .333

Periodo subtrans¡tono

Periodo transitorio Periodo de régimen permanente

Extrapolación de valor de régimen permanente Extrapolación de la envolvente transitoria

a) Coniente simétrica de la armadura en una máquina s¡ncrona

Amolitud de la corriente de Tiempo

b) Envolvente de corriente simétrica de cortocircu¡to de una máquina síncrona

Figura 9.4 lrtl-

lEsl ^h "" t;- -

.,1

L

tyt - 3!- l^ 1Z

lEsl X'O

donde

= corriente en régimen permanente (rms) 11'l = corriente transitoria (rms), se excluye el componente de CD l1'l = corriente subtransitoria (rms), se excluye el componente de CD X¿ = ra&etancia síncrona de eje directo l1l

(e.7b)

X,¿

(9.7c)

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

X'¿= reactancia transitoria de eje directo Xá= reactancia subtransitoria de eje directo lErl = voltaje (rms) por fase con carga nula Oa, Ob, Oc = intersecciones mostradas en las figuras9.4a)y b).

La intersección Ob para encontrar la reacfancia transitoria se puede determinar con exactitud por medio de una gráfica logarítmica. Tanto Al" como Ai ' decaen exponencialmente como

= ¡y =

L,i"

(- tl r¿.) Li's exp (- t/r¡) Li"o exp

y r/ son las constantes de tiempo de los devanados amortiguador y de campo, respectivamente, donde r¿r 4 rr. En el tiempo t * r¿r, Al' casi se ha extinguido y puede donde r¿*

escribirse

log ( Al" + Ar')1,

>

rd,,

:

log Al' = -

Li6rl r¡

Lagráficadelog(Ai"+Al')contraeltiempopafat> r¿.,poflotanto,sevuelveunalínea

recra con una pendiente de (-Al[/ r) como se muestra en la figura 9.5. Al extrapolar la porción de la línea recta de la gráfica (la extrapolación en línearccta es mucho más exacta que la extrapolación exponencial de la figura 9.4),la intercepción correspondiente a

f=0es Al'1,-o =

Aii,

exp{

-rl r¡

ll,-o = L,i'o =

ob

Aunque las reactancias de máquina dependen de la saturación magnética (correspondiente a la excitación), los valores de las reactancias por 1o común se encuentran dentro de ciertos límites predecibles para diferentes tipos de máquinas. La tabla 9.1 da valores típicos de reactancias de máquina las cuales se utilizan para cálculos de fallas y estudios de estabilidad.

Normalmente las reactancias subtransitorias tanto del generador como del motor se usan para determinar el flujo momentáneo de corriente al ocurrir un cortocircuito. Para decidir la capacidad de intemrpción de los cortacircuitos, salvo de aquellos que abren instantáneamente, se usa la reactancia subtransitoriapara generadores y la reactancia transitoria para motores síncronos. Como se verá más adelante las reactancias transitorias se usan para estudios de estabilidad. El modelo de máquina se emplea cuando el cortocircuito ocurre en condiciones con carga como se explicará en la sección 9.4.

Figura 9.5

Tabla

9.1

Valores típicos de reactancias sincrónicas de máquina. (Todos los valores expresados en pu de los MVA nominalesi Compensador

Tipo de rniíc¡uün

.{. (o X¿) \.]

Turboalternador ( generador de turbina)

síncrono

1.00-2.0

0.6-1.5

0.9- 1.5

0.4-1.0 0.2-0.5 0.13-0.35 = X"¿

X;

0.12-0.35 0.1-0.25 = X"¿ 0.04-0.14

fo

0.003-0.008

.Y'J

x"d

(condensador/ capacitor)

De polos salientes (hidroeléctrica)

Motores síncronos*

1.5-12.5 0.95- 1 .5

0.8- 1.10

0.3-0.35

0.02-0.2

0.3-0.6 0.18-0.38 0.17-0.37 0.025-0.16

0.003-0.015

0.004-0.01

0.65-0.8 0.18-0.2 0.19-0.35

0.05-0.07 0.003-0.012

¡; = Resistencia en CA del devanado de la armadura por fase. x Las unidades de alta velocidad tienden a tener baja reactancia y las unidades de baja velocidad, alta reactancla.

El método para calcular las corrientes de cortocircuito se ilustra mediante los ejemplos que se dan a continuación.

Para la red radial que se muestra en la figura 9.6, ocurre una falla trifásica en F. Determinar la corriente de falla y el voltaje de línea en el bus de 1 I kV en condiciones de falla.

Solución

Seleccione una base del sistema de 100 MVA. Las bases de voltaje son: 11 kV en los generadores, 33 kV para la línea aéreay 6.6 kV para el cable. Reactancia de G,

1O MVA reactancia de

=

iqq:q 10

=

il.5

pu

1O MVA

1s%Ql

reactancia de 12.5ok

11 kV ¡

X{i"X 33

franstormador núm. 1: 10 MVA, 107o reactancia

n kV--r-L

Línea aérea : 30 km, 2 = (0.27 +10.36)O/km

;):.)i

Transformador núm. 2: 5 MVA, 8"/o reaclancia

6.6 kV------r2 = (0.135 +10.08)O/km -----F Cable de 3 km

I

Figura

9.6

Red radial para el ejemplo 9.1

CAPITULO

9

Análisis de fallas simétricas

Reactancia de

G2-

Reactancia de T,

-

x 100 J. 0.125fO . 0.1x 100

"10

=

7l.z)

Pu

= /I.U Du

deTr- I. 0.08 x 100 -JI.oPu

Reactancia

,

Z (en ot-ry|) x

Impedancia de lalínea aérea=

YVA""'"

(kvBur" )2

30x(0.27 + j0.36)x100

Q'2 = (0.744 + j0.99) pu Impedanciadelcable=

= (0.93 + 70.55) pu

W

El modelo de circuito del sistema para el cálculo de la falla se muestra en la figura 9.7. Como el sistema no está con carga antes de que ocuna la falla, los voltajes de los dos generadores son idénticos (en fase y magnitud) y son iguales a 1 pu. El circuito del generador se puede, por lo tanto, reemplazar por una sola fuente de voltaje en serie con la combinación en paralelo de las reactancias de generador como se muestra. Impedancia total = (/1.5

ll

j1.25) + (71.0) + (0.744 + "¡0.99) + fr1.6) +

(0.93 + 70.55)

L

= 1.674 + j4.82 = 5.I

Ir, = "

14"

51L708" =]**

= 0.196

70.8o pu

L-

70.8" pu

1'l kV bus ¡1.s ¡1

.o

(0.744

Figura 9.7

+

1o.99)

11

.6

(0.93 + ¡0.55)

9.3

Cortocircuito de una máquina síncrona (sin carga)

100x 103 1Bur.=ffi=8750A

Isc=0.196x8750=17154 Impedancia total entre F y el bus de 11 kV

= (0.93 + j055) + U1.6) + (0.1-t-+ + i0.99) + 01.0) = 1.674 + j4.14 = 4.43 L16.8' Pu Voltaje en el bus de i I kV = 4.43 L67 '8" x 0.196 L - 10 S' = 0.88 L -3" pu = 0.88 x 11 = 9.6S k\' eiemplo

é.i

! I

se conecta por medio de un transformaa tres motores idénticos como que alimenta bus a un dor, una líneay un transformador X)=25V0 tiene Y x¿= 307c' sobre la base de 5 se muestra en la figura 9'8' Cada motor elevador es de 25 MVA. transformador MVA, 6.6 kV. La potencia nominal trifásica del

Un generado

r de 25 MVA,

1

1

kV con XJ = 20q'

11166 kV, con una reactancia de dispersión

de l\Va y la potencia nominal trifásica del

transformador reductor es de 25 MVA, 66/6.6 kV con reactancia de dispersión de I07o. El voltaje de bus en los motores es 6.6 kV cuando ocufie una falla trifásica en el punto F. Para la falla especif,cada, calcule

a) la corriente subtransitoria en la falla, b) la corriente subtransitoria en el cortacircuitos B, c) la corriente transitoria en el cortacircuitos B, y d) la corriente que debe interrumpir el cortacircuitos B en cinco ciclos. Dado: Reactancia en la línea de transmisión = 15Vo sobre la base de 25 MVA, 66 kV. Suponga que el sistema opera en condiciones sin carga cuando ocu1re la falla' una base de sistema de 25 MVA. para una base de voltaje de generador de 11 kV labase de voltaje de línea es 66 kV y la base de voltaje de motor es 6.6 kV.

Sotución Elegir

a) Para cada motor

Xj*= j0.25 x

25 5

= j1.25 pu

-r-> '-A)io+._._

_lt

J¡

1

'I

1/66 kV

Figura 9.8

o I

Motore.

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

Las reactancias de línea, de transformadores y de generador ya se conocen sobre los valores de base apropiados. El modelo de circuito del sistema para cálculos de fallas se muestra en la figura 9.9a). Como el sistema está inicialmente sin carga, las fem inducidas del generador y del motor son idénticas. El circuito puede, por lo tanto, reducirse al de la frgura9.9b) y luego al de la figura 9.9c). Ahora

1,.=3r. | + |

.it.2s

=-

10.55

Corriente de base en el circuito de 6.6 kV

i4.22ou

= 2!1!9q = 2I87 A x6.6

43 Isc= 4'22 x 2I87 = 9 229 A

b)Dela figura 9.9c), la corriente

a través del cortacircuito B es

1..(B)-2, | + I =-i3.42 0.ss

it.2s

i

= 3.42 x 2187 = 7 479.5 A 1

i0.

1

5

¡0.1

ItrlHf

F

j1

ffi!

.125 ^l r

\-/

-.¡l

10.55

-I 'lltrj1 .125

-'trtr-¡-'i i1.5

,-''--

i

j --¡]tr1 1 ¡t.tzs p

:r

_,_--fX-t-, I I

j1.125 0u

'!'

/'YL" /""(Cortacircu itos)

Figura 9.9

LO'

i1 E Jt¿

1

+

tLv ^

9.4

Cortocircuito de una máquina síncrona con caroa

cl Pa¡a encontrar la corriente transitoria por el cortacircuitos, se debe agregar la coinente de desplazamiento de CD a la corriente subtransitoria simétrica que se obtuvo en la parte b¡. En vez de calcular la corriente de desplazamiento de CD, se atlliza un factor empírico para considerarla. Como se explicó en la sección 9.5, la corriente transitoria por el cortacircuito

B = 1.6 x 7 419.5 = 1196l A

fl

Para calcular la corriente que el cortacircuito tiene que intemrmpir, la reactancia subtransitori a (X) = j0.25) se reemplaza ahora por la reactancia transitona (X) = j0.30). X1,

(motor) = j0.3

x 21 = ¡.5 )

pu

Las reactancias del circuito de la figura 9.9c) se modifican ahora al de la figura 9 9d).

Corriente (simétrica) que el cortacircuito debe interrumpir (como se indica por la flecha)

I * =2x jr.s

I

j0.ss =3.1515ou

Se da una tolerancia para el valor de corriente de desplazamiento de CD al multiplicar por un factor de 1.1 (sección 9.5). Por lo tanto, la corriente que se debe interrumpir es

l.l x 3.1515 x2181 9.4

= 7581 A

CORTOCIRCUITO DE UNA MÁOUINA

sÍucnowA coN cARcA

En el artículo anterior sobre el corlocircuito de una máquina síncrona. se supuso que r4 üupuüw la urdquru4 máquina vpvrdu(r operaba Srrr sin gArB¿1 que UUtIIIfeI¿ carga ¿1llLtrS antes (tE de qug ocurriera Cf el COIt(-)corto._ d circuito. El análisis de cortocircuito en una máquina síncrona con carga ^, I / r:r / ^1 ^1-,--,, -^^*-li^^l^ complicado y -^L^^^ rebasa el alcance de este libro. Sin embargo, se presentan Z-aquí los métodos para calcular la corriente de cortocircuito cuando éste EnO ocurre en condiciones de carga. La figura 9.10 muestra el modelo de circuito para un generador síncrono que opera en condiciones de régimen permanenre que suminisrra una corriente de carga P al bus con un voltaje en terminales de V'. E, es fem inducida en condiciones de carga y Xoes la reactancia síncrona de eje directo de la máquina. Cuando ocurre el cortocircuito en las terminales de esta máquina, el modelo de circuito que se va a usar para calcular la corriente de cortocircuito está dado en la figura 9.lIa) parala coriente subtransitoria. Las fem inducidas que se utilizarán en estos modelos están dadas por !

es

i

)_i

Í:il::Jl"#ff[,$" la ;;;;il; - -

E'r= vo + jfX'o EL= v" + jfx'd El voltaje E'!

se conoce como voltaje detrós de

(e.8) (e.e)

la reqctancia subtransitoria, y el voltaje la reactancia transitoria. De hecho, si /o es cero (caso sin carga), El= Er= E* el voltaje sin carga, en cuyo caso el modelo de circuito se

E!

se conoce como voltaje detrás de

reduce al que se estudió en la sección 9.3.

I

CAPITULO

9

Análisis de fallas simétricas

T-- 7-

X'd

--l

x'd 3

cl

.{ +

F'' I

a) Modelo de circuito para calcular

b) Modelo de circuito para calcular

la corr¡ente subtransitoria

la corriente transitoria

Figura 9.11

Los motores síncronos tienen fem y reactancias internas similares a las de un generador, excepto que la dirección de la corriente es invertida. Durante condiciones de cortocircuito, éstas se pueden reemplazar por modelos de circuito similares salvo que el voltaje detrás de la reactancia subtransitoria/transitoria está dado por

E',r= vo

- jIYi

(e.10)

E'rr=Vo-jl%i

(e.11)

Siempre que se trata sobre un cortocircuito de un sistema interconectado, las máquinas síncronas (generadores y motores) se reemplazan por sus correspondientes modelos de circuito que tienen voltaje detrás de la reactancia subtransitoria (transitoria) en serie con reactancia subtransitoria (transitoria). Como el resto de la red es pasiva pernanece sin cambio.

Un generador síncrono y un motor síncrono cada uno de 25 MVA nominales a 1l kV con reactancia subtransitoria de 15Vo, se conectan por transformadores y una línea como se muestra en la figura 9.12a). Las especificaciones de los transformadores son 25 MVA,

Gen

\-

T.,

Línea

a) Diagrama unifilar para el sistema del ejemplo 9.3

/o.3 {1r^ +--?f¡-ñ-\-iF r_

-'-

r-

t I

ñ

¡o.rs

-¡'

/

\Fil

b) Circuito equivalente de prefalla

Figura 9.12

.. ^;

5,;o.rs

lf

/ ( '\F' '.,,/'- ñ

c) Circuito equivalente durante la falla

9.¿

Cortoc¡rcuito de una máqurna srncrona con

carga fi:lll|,:: t

11/66 kV y 66/11 kV con reactancia de dispersión de 10Vo cada uno. La línea tiene una reactanciade IjVo sobre una base de 25 MVA, 66 kV. El motor toma 15 MW con un factor de potencia de 0.8 en adelanto y un voltaje de terminal de 10.6 kV cua¡do ocurre una falla simétrica trifásica en las terminales del motor. Encontrar la corriente subtransitoria en el generador, el motor y la falla.

Solución

Todas las reactancias se dan sobre una base de 15

\f\.\ r los r-oltajes apro-

piados.

Voltaje de prefalla yo=

-l!'6

Car_aa= 15

= 0.96-16 -ü'

\f\\.

ü.E

pf

p¡r

en aiel¿.nr.-'

15 = 0.6 Pu. 0.8 pf en a.Jela¡to = 25 Corrientedeprefalla In '

= 0.9636 ---JLL369" x 0.8

= 0.778-1

-16.9= pu

Voltaje detrás de la reactancia subtransitoria (generador)

EL= O9eZe L

0o

+ j0.45 x 0.7783

L

36.9'

= 0.7536 + 70.28 pu Voltaje detrás de la reactancia subtransitoria (motor)

E!" =0.9636 L0"- j0.15 x0.7783 L36.9' = 1.0336 - j0.0933 pu El circuito equivalente de prefalla se muestra en la figura 9.12b). En condición de falla (figura 9.I2c))

r;= 9!!39!j0,'28ffi j0.4s

I'*-

l'0336: j9'0933 j0.1s

= 0.6226 =

-

-

0.6226

jr.6746 pu

-

j6.8906 pu

Corriente en la falla

lf = I,s * f,* =corriente Ahora

de base (gen/motor)

-

103 = J3 x11

25

r<

r

7g.5653 pu 312.2

A

f,s= 1312.0 (a.6226 _ jt.6746) = (816.4 _ j2197.4) A fl,= t 312.2 (_ 0.6226 _ j6.8906) = (_ 876.2 _ j9 041.8) A ¡f =_ ¡nng A Cálculo de corriente de cortocircuito (SC) por el teorema de Thevenin Un método alterno de calcular corrientes de cortocircuito es mediante la aplicación del teorema de Thevenin. Este método es más rápido y se adapta fácilmente al cálculo sis-

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

temático para redes grandes. Aunque el método es perfectamente general, se ilustra aquí con un ejemplo sencillo. Considere un generador síncrono que alimenta un motor síncrono por una línea. La frgwa9.3a) muestra el modelo de circuito del sistema en condiciones de carga fija o estable. Se tienen que realtzar los cálculos de falla para una falla en F, en las terminales del motor. Como primer paso, el modelo de circuito se reemplaza por el que se muestra en la figura 9.I3b), donde 1as máquinas síncronas se representan por sus reactancias transitorias (o reactancias subtransitorias si son de interés las corrientes subtransitorias) en serie con los voltajes detrás de las reactancias transitorias. Este cambio no perturba la corriente de prefalla Io y elvoltaje de prefalla V'(en F). Como se ve desde FG el circuito equivalente de Thevenin de la figtna 9.13b) se dibuja en la figura 9.I3c). Comprende el voltaje de prefalla V' en serie con la red pasiva de impedancia Thevenin. Se observa que la corriente de prefalla Io no aparece en la red pasir.a de impedancia de Thevenin. Por 1o tanto, debe recordarse que esta corriente se debe considerar por superposición después de obtener la solución de cortocircuito mediante el uso del equivalente de Thevenin. Considere ahora una falla en F a través de una impedancia Zf .Lafigura 9.13fl muestra el equivalente de Thevenin del sistema que alimenta la impedancia de falla. Puede escribi¡se de inmediato

'rf -

Vo

\9.12)

jXrn + Zl

Corriente causada por la falla en el circuito del generador

xk

LI ,=

(X'0, +X + X)^

(e.13)

IJ

Fl*

Y

y,l) \___/

r+

Ll"

\

x,d,

I

I

x:h

,lI c) Figura

9.13

{"-

x A/11

d c{

Bus de ref

t

(Reactancia de Thevenin) d)

Cálculo de corriente de cortocircuito por el equivalente de Thevenin

9.4

Cortocircuito de -^a

Corriente causada por la falla en el circuito del motor LI

Y". +X '-ds ' '= "' (Xi* +X + X¿rl If

q

...

1-l

r

Las corrientes y los voltajes posfalla se obtienen como sigue por superposición:

I[= l" + a1s IÍ = - I" + L,l,n (en la dirección de A1,,)

(9.1s)

Voltaje posfalla (e.16) = V" + (- jXrnlf¡ = vo + L,V = -iXrhIJ es el voltaje del punto de falla F' en la red pasiva de Thevenin (con

Vf

donde AV respecto al bus de referencia G) causado por el flujo de corriente de falla 1/. Aquí se puede hacer una observación. Como la corriente de prefalla que fluye hacia fuera del punto de falla F siempre es cero, la corriente de posfalla desde F es independiente de la carga para un voltaje dado de prefalla en F. El procedimiento antes descrito para el cálculo de cortocircuitos se resume en los siguientes cuatro pasos: Paso

l:

Obtener la solución de régimen permanente del sistema con carga (estudio de

flujo de carga). Paso 2: Reemplazar las reactancias de las máquinas síncronas por sus valores transitorios/subtransitorios. Poner en cortocircuito todas las fuentes de fem. El resultado es la red

pasiva de Thevenin. Paso 3: Excitar la red pasiva del paso 2 en el punto de falla con un voltaje negativo de prefalla (véase la figura 9.13ü) en serie con la impedancia de falla. Calcular los voltajes y las corrientes en todos los puntos de interés. Paso 4: Las corrientes y los voltajes de posfalla se obtienen al sumar los resultados de

lospasosly3. Se pueden hacer con seguridad las siguientes suposiciones en los cálculos de cofio-

circuito que dan por resultado una considerabie simplificación en los cálculos: Suposición Suposición

I: 2:

Todas las magnitudes de voltajes de prefalia son Todas las corrientes de prefalla son cero.

i

pu.

La primera suposición es muy cercana a las condiciones reales ya que en operación normal todos los voltajes (pu) son casi 1. Los cambios en la corriente causados por el cortocircuito son muy grandes, del orden de 10-20 pu y son puramente reactivos, mientras que las corrientes de carga de prefalla son casi puramente reales. Por lo tanto, la corriente total de posfalla que es el resultado de las dos corientes se puede considerar en magnitud igual al componente mayor (causado por la falla). Estojustifica la suposición 2. El método antes descrito al volverse a calcular los resultados del ejemplo 9.3.

l

-t

^, v"'., )

r/- -\-io,3 \

j'

->1 t,

tn.-

/u,

1 lu

T--

--- F

rc

a '<'

t/-"'

tl

., -r

':'i

'10.15

Figura 9.14 F es el punto de falla en la red pasiva de Thevenin

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

El modelo de circuito para el sistema del ejemplo 9.3 para el cálculo de las condiciones posfalla se muestra en la figura 9.14.

IJ= Cambio en la corriente

VO

u0.1sil j0.4s) de1

o.?u,rjrr.o99 = j0.I5x j0.45 = - j8.565 pu

generador a causa de la falla,

41-=-

t8.565

*

j0'ts j0.60

=-

i2.141 pu

Cambio en la corriente del motor por la falla,

LI^= -j8.s6s

"

i::t^ i0.60

=

-

j6.424 pu

A estos cambios se suma la corriente de prefalla para obtener la corriente subtransitoria en las máquinas. Así,

f'r= I" + A1s = (0.623 - j1.674) pu lk= - Io + LI,, = (- 0.623 - j6.891)

pu

que son las mismas (y así debería ser) como las ya calculadas. El ejemplo 9.3 se resolvió de otra forma por medio del teorema de Thevenin superposición. Éste es un método poderoso para redes grandes.

9.5

y la

SELECCIÓN Pg CORTACIRCUITOS

Dos de las especificaciones de los cortacircuitos que se necesitan para el ciílculo de la corriente de cortocircuito son: corriente nominal instantánea y corriente nominal simétrica de interrupción. La corriente simétrica de cortocircuito (SC) se obtiene mediante el uso de reactancias subtransitorias para las máquinas síncronas. La corriente instantánea (rms) se calcula luego al multiplicar la corriente simétrica por un factor de 1.6 para considerar la presencia de la corriente de desplazamiento de CD. La corriente simétrica que se debe interrumpir se calcula al utilizar las reactancias subtransitorias para generadores síncronos y reactancias transitorias para motores síncronos; los motores de inducción se desprecian.x El valor de la corriente de desplazamiento de CD que se tiene que sumar para obtener la corriente que se va a intemrmpir se toma en cuenta al multiplicar la corriente simétrica de cortocircuito (SC) por un factor como se tabula ensesuida: Velocidad del cortacircuito

Factor de multiplicación

8 ciclos o más lento

1.0

5 ciclos

1.1

3 ciclos 2 ciclos

r.2 1.4

* En algunos intentos recientes, se toman en cuenta las corrientes aportadas por motores de inducción durante un cortocircuito.

Sr el

MVA de SC (que

:iicadores anteriores

se explican a continuación) es mayor que 500. los facrores

se aumentan en 0.1 cada uno.

multiEl factor multiplicador para cortacir-

--uitos de aire de 600 V nominales o menores es de 1.25. La corriente que puede intem;mpir un corlacircuitos es inversamente proporcional al r oltaje de operación dentro de cierto intervalo, es decir,

Amperes en el voltaje de operación = amperes en el voltaje nominal x voltaje nominaVvoltaje de operación. Por supuesto, el voltaje de operación no puede exceder el valor máximo de diseño. Thmbién, sin importar 1o bajo que sea el voltaje, la coriente nominal de intemrpción no puede exceder la corriente máxima nominal de interrupción.En este intervalo de voltajes, el producto del voltaje de operación por la corriente de interrupción es constante. Por lo tanto, es lógico y conveniente expresar la especificación del cortacircuito en términos de los MVA de SC que se pueden intemtmpir, que se define como Capacidad nominal de intemrpción MVA (trifásica)

=

Jl

ly0íne&)lno*¡.,u1

X lI (línea¡lcorriente

nominal de inrerrupción

donde v (línea) está en kv e 1úínea) está en kA. Así, en vez de calcular la corriente de SC que se va a interrumpir, se calculan los MVA de SC que se van a interrumpir, donde

MVA de SC (trifásica ) =

JT

x voltaje prefalla de línea en kV

x corriente de SC en kA. Si el voltaje y la corriente están en valores por unidad sobre la base de 3 fases

MVAde SC (trifásica) = lUprera'ax l1l5s x (MVA)"'"" (e.r7) Obviamente, la capacidad de intemrpción en MVA de un cortacircuito debe ser mayor (o igual) que los MVA de SC que se necesitan interrumpir. Para la selección de un cortacircuito para una ubicación dada, se deben encontrar los máximos posibles de MVA de SC que se tienen que intemrmpir con respecto al tipo y la ubicación de la falla y a la capacidad de generación (también carga de motores síncronos) conectada al sistema. Una falla de tres fases. aunque rara, es generalmente la que da los MVA de SC más altos y un cortacircuito debe ser capaz de intenumpirla. Una excepción es una falla de línea a tierra (LG) cercana a un generador síncrono.x En un sistema sencillo la ubicación de la falla que da los MVA de SC más altos puede ser obvia pero en un sistema grande se deben poner

a prueba varias ubicaciones posibles para obtener los más altos MVA de SC lo cual requiere repetidos cálculos de SC. Esto se ilustra en el ejemplo que sigue.

Ejemplo 9.4 Tres generadores de 6.6 kV, A, B y C, cada uno con reactancia de dispersión de I\Va y MVA nominales de 40, 50 y 25, respectivamente, están eléctricamente interconectados, como se muestra en la figura 9.15, por una barra de interconexión a través de reactores * Esto se explicará en el capítulo

1

1.

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

50

40

\

"\

Figura 9.15

(inductores\ limitadores de corriente, cada uno con reactanciade l27o basada en la nominal de 1a máquina a la que se conecta. Un alimentador trifásico se alimenta de la barra de bus del generador A a un voltaje de línea de 6.6 kV. El alimentador tiene una resistencia de 0.06 f)/fase, y una reactancia inductiva de 0.12 f)/fase. Estime el máximo MVA que se pueden alimentar a un cortocircuito simétrico en el extremo remoto del alimentador.

Solución

Se toma como base 50

MVA, 6.6 kV.

ImpedanciadelalimentaoorReactanciadelgenerado.n= '40

(0'06110-'-?)x50 (0.069 + 70.138) pu = (6.6)'

9*8

= 0.125 pu

Reactancia del generador B = 0.1 Pu

ReactanciadelgeneradorC Reactancia del reactor

4

Reactancia del reactor B Reactarcia del reactor

= 0.1t

=

#

0'12¡ 50 40

= 0'12

a=

,

= 0.2 pu = 0.15 pu

Pu

93iE

= 0.24 pu

4rl

C)u"=,t0" ,\z

IJ

I

t

+'al-

].

v"=tz-0.

e)

I'

(0.069 +10.138) a)

Figura 9.16

b)

t-

Suponga condiciones de prefalla sin carga, es decir, las corrientes de prefalla son cero. Las corrientes posfalla se pueden entonces calcular por el modelo de ci¡cuito de la figwa9.16a) que coffesponde a la frgura9.I3d). El circuito se reduce sin dificultad al de la figura 9.16b), donde

7 = (0.069 + i0.138) + i0.125 ll U0'15 + j0.22ll j0.{1r = 0.069 + j0.226 = 0.236L73" MVAde SC= VoIf = I Z 50

J.i

gaque nu -

V' =

1 pu)

(MVA)Bu,.

0.236

ei"'plo

v"(y;'l = 1 \Z) Z

= 212 }i4YA

I i

Considere el sistema de 4 buses de la figura 9.17. Los buses 1 y 2 son buses de generador y 3 y 4 son buses de carga. Los generadores tienen valores nominales de 11 kV. 100 \n-{. con reactancia transitoria de l\Va cada uno. Los dos transformadores son de I 1/1 10 k\. 100 MVA, con una reactancia de dispersión de 57o. Las reactancias de las líneas a una base de 100 MVA, 110 kV se indican en la figura. Obtenga la solución de cortoci¡cuttt-' para una falla sólida de tres fases en el bus 4 (bus de carga). Suponga que los voltajes prefalla son 1 pu y las corrientes prefalla son cero. en los voltajes y las corrientes ocasionados por un conoci¡cuito partir del modelo de circuito de la figura 9.18. La corriente de t-alla se pueden calcular a I/se calcula por la reducción sistemática de red como en la figura 9.19.

Sotución Los cambios

1

1/1 10 kV

10.15

t-J-r3

-:-/6.2

_--_-

t¡0.

-_\\__

T2>.+/ 11/110 kV

6-'

\v2 '!7

Figura

9.17

)

Sistema de 4 buses para el ejemplo 9.5

r

gffi I

CAPíTULo

9

Análisis de fallas simétricas

t

T3 I

¡

.l

i0. 1

1^,, ltzB

I"o

L2

10.15

i io.o¿roo I-? v", = 1.0 -v -

Figura

9.19

Reducción sistemática de la red de la figura 9.18

Algoritmo para el estudio de codocircuitos

De la figura 9.19e), se obtiene de manera directa la corriente de falla como

Ir=.-:+^=-j7.37463pu j0.13s60 De la figura 9.19ü, es fácil ver que 10.19583 It=Irx#=-j3.83701pu i0.37638

Iz=Ir"

i

0.18055

m=-i3.53762pu

Ahora se calculan los cambios de voltaje para los buses 1, 2 y 3. De la figura 9 .l9b), se llega a

= 0 - (10.15) (* j3.83701) = - 0.57555 pu LVr= 0 - (/0.15) (- j3'53762) = - 0.53064 pu

AV1

Ahora

Vrf

=7

Vl = t t

,r=

+ AV, =0.42445p:u

+

LVz = 0.46936 pu

J*4j0.15 + j0.l

=

jo.t7e64 pu

Ahora,

Lvt= 0 -

t00.15)

(* j3.83701) + f0.15)

A0.17e64))

= _ 0.54860 pu

V'z=

I-

0.54860 = 0.4514 pu

vr¿= o La determinación de las corrientes en las líneas restantes se deja como ejercicio para el lector. El estudio de cortocircuitos es completo con el cálculo de MVA de SC en el bus 4. (SC MVA)4 = 7.37463

x

100 = 737.463 .l¿VA

Es obvio que el procedimiento heurístico de reducción de red que se adoptó antes no práctico para una red de potencia real ni siquiera de tamaño moderado. Es, por lo tanto, esencial adoptar un algoritmo adecuado para llevar a cabo el estudio de cortocircuitos en una computadora digital. Esto se trata en la sección 9.6. es

9.6 ALGORITMO PARA EL ESTUDIO DE CORTOCIRCUITOS Hasta ahora se han realizado cálculos de cortocircuitos para sistemas sencillos cuyas redes pasivas se pueden reducir fácilmente. En esta sección extendemos nuestro estudio

CApífUlO

9

Análisis de faltas simétricas

i

I

I

I )

(_i

Gen n

I

Figura

9,20

Sistema de n buses bajo carga estabte

a sistemas grandes' Con objeto de aplicar a sistemas grandes los cuatro pasos del cálculo de cortocircuitos desarrollado antes, es necesario désarrollar un algoritmo sistemático general que permita usar una computadora

digital. considere un sistema de n buses Ll que se muestra esquemáticamente en la "o*o El figura 9 '20, que opera con carga fija estable. frimer paso hacia éi calcuto de cortocircuito es obtener los voltajes de prefalla en todos los buses y lu, en todas las líneas mediante un estudio de flujo de carga. El vector de voltaje"om"ntes de bus en prefalla se presenta como

iq'-l TBus =

lr: l:l

(e.18)

I

lryl suponga que el bus r-ésimo falla por una impedancia de falla

bus posfalla estará dado por

Zf . El vectordel voltaje

Vifus= Z$ur+ AIz donde

av

de

(e.1e)

es el vector de cambios en los voltajes de bus ocasionados por la falla. Como paso 2, se dibuja la red pasiva de Thevenin del sistema, con los generadores reemplazados por reactancias transitorias/subtransitorias con sus fem puestas en cortocircuito (figura 9.21).

Figura

9.21

Red der sistema de ra figura 9.20 para carcurar cambios en los voltajes de bus ocasionados por la falla

9.6

Algoritmo para el estudio de

cortocircuitos

* ** t

Como paso 3, ahora se excita la red pasiva de Thevenin con-Vo,errserie con en la figura 9 .2I. El vector AV comprende los voltajes de bus de esta red.

Z/como

-\hora

\V = ZsusJf

(e.20)

donde

tt,l

lt,t Zuut=l i

i l=tttu*rdeimpedanciadebus 2,,I de la red Pasiva de Thevenin

lZ,,

(e.2r)

,I/ = vector de inyección de corriente al bus Como la red se inyecta con corriente

-

1/ sólo en el bus r-ésimo, se tiene

0 0

Jf=

(9.22)

I! = -¡f 0

Luego de sustituir la ecuación (9.22) en la ecuación (9.20), para el bus r-ésimo se tiene

LVr=

- 7r¡l

Por el paso 4, el voltaje en el bus r-ésimo bajo la falla es

V{=Vo,+ AVo,=Vo,- Z,Jf

(e.23)

Sin embargo, este voltaje debe ser igual a

V{=

7f¡f

(e.24)

De las ecuaciones (9.23) y (9.24) se tiene

zrlr=vl-z,Jr

f=-!Zr, Zr

(e.2s)

+

En el bus i-ésimo (de las ecuaciones (9.20) y (9.22))

LV,=

- 7,¡t

v{= v?- z,Jf , i = r,2,

..., n

(9.26)

Al sustituir IJ delaecuación (9.25), se tiene (e.27)

CAPíTULO

9

Para i = r en

Análisis de fallas simétricas

la ecuaciín (9.27)

Zf vf-= ' Zrr+Zr, V!

(e.28)

En esta relación, los voltajes de bus en la prefalla. lpr. t" supone que se conocen por el estudio de flujo de carga. La matnz ZurJ, de la red de estudio de cortocircuito de la figura 9.21 se puede obtener por inversión de su matriz Y",r5 como en el ejemplo 9.6, o por el algoritmo de construcción de Zru, presentado en la sección 9.7. Se debe observar aquí que la red de estudio de cortocircuito de la flgura9.2l es diferente de la correspondiente red de estudio de flujo de carga por el hecho de que los ramales en derivación que corresponden a las reactancias del generador no aparecen en la red de estudio de flujo de carga. Además, al formular la red de estudio de cofocircuito, se hace caso omiso de las impedancias de cnga, que son mucho mayores que las impedancias de las líneas y de los generadores. Por supuesto, los motores síncronos se deben incluir en la formulación de Zu¡J¡paru el estudio de cortocircuito. Las corrientes de posfalla en las líneas están dadas por

Ir,j=

Y,j

V{-vl)

(e.2e)

para el cálculo de la corriente de posfalla del generador, considere las flguras 9.22a) y b). Del estudio de flujo de carga (figura 9.22a)). Salida de prefalla del generadot = PG, + iQc¡

.

fl -

Pc'

- iQa'

'G¡_v.0r\ug.¡vg--r.-.-

; (salida de prefalla del generado r = PG,+

E'.¡ = V¡ *

jX'c,Ioci

iQc)

(9.30)

(9'31)

Del estudio de cortocircuito, se obtiene V/,. Entonces, de la figura9'22b) se sigue que

,tIG¡ -_

E'o,

-v!

o32l

jX,c¡

para ilustrar el algoritmo antes expuesto, se volverá a calcular la solución de cortocircuito para el ejemplo 9.5 la cual se resolvió antes por la técnica de reducción de red'

,-#;'h+

lr r'",e)

j

\r¡

ta'

:

i

:

a)

Figura9.22

9.6

Algoritmo para el eso.do de

cortocircuitos -q53

|

Antes que nada, la matnz de admitancia de bus para la red de la figura 9.

l8 :e forma

como sigue: rw ll -

llll T-T-Tj0.15 j0.1s jo.1

j0.2

=-

¡-ü,jjj

vr12- Y¡t= j -1 = 15.000 jo.2 _1

rv 13 -

Y.,=j=i6.667

v

Yn,=-'X, = 110.000 .l v'r

i0.1s

-1

1

1

I

I

j0.15+ j0.1s+ jo.1+ j0.2 =-i28.333 y¡.=y.,- -l -i10.000

vt22-

j0.1

-l Y.n=Yn,-j0.1s v

'33

vt 1A

-

vI AA _

vIBUS

1 + 1 j0.1s j0.1

=i6.661

=-i16.667

I¿¡ = 0'000

1* 1

j0.1 j0.15 =-ir6.667 l- i28.333 is.000 i6.667 i10.0001 | ;s.ooo - jzl.333 ilo.ooo i6.667 iu.uu, iro.ooo _it6.66i io.ooo IL jI0.000 j6.667 j0.000 - j16.667 )

|

-

I

Por inversión, .Z",r. se obtiene como

[i0.0e03 i0.0se7 i0.07re i0.07801 lTo.oslz j0.0e03 j0.0780 j0.07le Zeus=

I

jo.otto io.o'47l lio.ottn jo.o7 ts i0.l3s6 j0.0743 j0.l3s;.1 lj0.0780

En este momento, los voltajes de bus en posfalla se pueden obtener de la ecuación (9.27) como

vI=

vro

-

Zr4 ,ro YÁ ZM -

l

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

- Voz= fz = VIo= 1 pu t!:y:8: x 1.0 = 0.4248 pu

Si la condición de prefalla es sin carga,

vI= '

-

r.o

Vor

i0.r356

v4=v"o-Lr: 244 =

1.0

-

V{=V9=

1.0

i,2?7^:7 j0.r3s6 Zto

x r.o = 0.46e8

pu

vP

Zoo

r.o = 0.4521 pu - i,\y!? j0.13s6

vi= o'o Usando la ecuación (9.25) podemos obtener la corriente de falla como

¡/= jo.r3s6 .P9 = - j7.37463 pu Estos valores concuerdan con los que se obtuvieron antes en el ejemplo 9.5. Ahora también se calcula la corriente de cortocircuito en las líneas 1-3, l-2, l-4,2-4 y 2-3.

"

_ ÍJ t12-

v,r 1 -v"r J Zn TfJ

rt.f72- -

vl -

0.4248 -

TlJ

v2

4z

.f W ,.,r= -

Zv

-

-

0.4521

j0.1s 0.4248

-

0.4698

v{

-v, Zzs

= j0.225 pu

j0.2

- 0'42+^8 -o = - i4.248 pu i0.1

,{^=Y*=ffifi, ¡trr=

= j0.182 pu

=

-i3.t32pu

-0'4698. -9'4521= i.01

-

i0. r77 pu

Para el ejemplo que se considera, este método parece más complejo al compararlo con el método heurístico de reducción de red que se emplea en el ejemplo 9.5. Ésrc, sin embargo, es un método sistemático y se puede adoptar con mayor facilidad en la computadora digital para redes prácticas de gran tamaño. Además, otra cnacferística importante del método es que, una yez que se calculó Z"ur, se obtiene de una vez todos los datos de cortocircuito necesarios para una falla en cualquier bus. Por ejemplo, en este sistema específico, la corriente de falla para una falla en el bus 1 (o bus 2) será

Ir=

9.7 Se

1.000

Z¡(o Zt )

FORMUTACION DE

= j0.0903 ^t'99^^ = -

jt7.o74re7 pu

4us

crea Y"ut Jsus Vsus

= Isus Vsus = [Y"us]-t /eus = Zsus /eus

(e.33)

Zsus= [Y".,r]-t La escasez de Y".r. se puede conservar si se utiliza una técnica eficiente de inversión [1] y entonces se puede calcular una matriz de impedancia nodal directamente a partir de la matiz de admitanciafactoizada. Esto rebasa el alcance de este libro.

Técnica de inyección de corriente La ecuación (9.33) se puede escribir en la forma desarrollada

+.--+ Zhl,

Vt=

ZtIt

+ ZDI2

V2

=

27111

+ Zzzlz + ...+ Zznln

V, =

Zrll

+ Zn2Ir + ...+ Znnln

t9.3.11

Se sigue de inmediato de la ecuación (9.34) que

tu=

| il,, ' v'

I

= 12

Ij+o

= ..=

(9'35'l tn=o

Asimismo Z¡¡ = Z¡i; (Z"ut es una matriz simétrica). Según la ecuación (9.35) si se inyecta una corriente de una unidad al bus (nodo)j, mientras que los otros buses se mantienen con circuito abierto, los voltajes de bus dan los valores de la columna j-ésima de Z"ur. Sin embargo, no son posibles técnicas organizadas adaptables al uso de computadora para encontrar los voltajes de bus. Latécnicatenía utilidad en los Analizadores de Red de CA (AC Network Analyzers), donde los voltajes de bus se podían leer con un voltímetro.

Eieiplo

t.t

I

f

Considere la red de la figura 9.23a) con úes buses uno de los cuales es el de referencia. Evalúe Zuur.

Solución Inyectar

una corriente unidad en el bus 1, el bus 2 se mantiene con circuito abierto, es decir, Ir= I e Iz=0, como en la figura 9.22b). Al calcular los voltajes en los

buseslv2selleeaa ztt _-t/ ,1_-'7 ' zzt

=Vz=4

GAPíTULO

9

Ahora

1, = 0 e

Se?

Análisis de fallas simétricas

Ir=

1. Se sigue en forma análoga que

Zn=Vt-4=Zn 222= V, = $

Al reunir los valores anteriores 7-.--| _

"nus

A

causa de este procedimiento de de impedancia de circuito abierto.

r7 14

4) |

6l

cálculo,lamatiz Zu,6

se conoce como la matriz

Algoritmo para la construcción de ^Qut Es una técnica programable paso a paso que avanza ramal por ramal. Tiene la ventaja de que cualquier modificación de la red no requiere la reconstrucción complefa de Zsut. Considere que Z"u, se formula hasta cierta etapa y que ahora se añade otro ramal.

Entonces ZBUS

(anterio.,

Z'= impedancia

de ramal

, Zru,

(nueva)

Al añadir un nuevo ramal se presenta una de las siguientes situaciones'

1.

de referencia (es decir, se agrega un nuevo ramal, aumenta en 1). Ésta esla modificacíón tipo I .

26se agregade un nuevo bus al bus

yia dimensión de Zuu,

I-

.1

,T

¿ ¿

3

i':

Lr

Bus de referencia

Figura

9.23

Método de inyección de corriente para calcular Zrrg

2. 3. 4. 5.

Se agrega 26detn bus nuevo a un bus anterior (es decir, se agrega un nuevo ramal y la dimensión de Z"u"aumenta en 1). Ésta eslamodificación tipo 2. 26 conecta un bus anterior al ramal de referencia (es decir, se forma un nuevo lazo pero la dimensión de Z"usno cambia). Ésta es lamodificación tipo 3. 26 conecta dos buses anteriores (es decir, se forma un nuevo lazo pero la dimensión de Z"usno cambia). Ésta es lamodifi.cación tipo 4.

Z6conectados buses nuevos (^Z",r5 permanece inalterado en este caso). Esta situación se puede evitar mediante una adecuada numeración de los buses y de aquí en adelante no se considerarán.

Notación:

ij-

buses anteriores,'

Modifrcación tipo

r-

bus de referencia,'

k-

bus nuevo.

I

La figura 9.24 muestra una red pasiva (lineal) de n buses en la cual se añade el ramal con la impedancia26 al nuevo bus k y el bus de referencia r. Ahora

Vr= Zdr Z*¡= Z¡* = 0; I = 1,2, ..., n

Zt*=

Za

Entonces,

Z"u, (nuevo)

2",r5(anterior)

(e.36)

=

Modifrcación tipo 2 Se agrega 26 del nuevo bus k al bus

j

anterior como en la figura 9.25. De esta figura

sigue que

Red pasiva lineal de n buses

-lr Figura

9.24

Modificación tipo

1

se

ffi I

CAPíTULo

9

Anátisis de fallas simétricas

I

1

¡

Red pasiva lineal de n buses

i k

r

9.25

Figura

Vn= ZuI*+

= ZrIr+

Modificación tipo 2

V¡

Zilr+

Z¡zIz

+

"'

+ Z,t (It+

Io)

* "'

+

Z¡nIn

Al reordenar,

V¡= Z¡lr + Z¡zlz+

"'

+ Z¡/¡ +

"'

+ Z¡,In + (Zu + Z)Io

En consecuencia

Z"u5 (nuevo) =

(e.37)

Zsu5 (anterior)

Z¡iZ¡2'..2¡

Zu+26

Modifrcación tipo 3 Zu se conecta a un bus anterior (D al bus de referencia (r) como en la figura 9.26. Este caso se sigue de la figura 9.25 al conectar el bus k al bus de referencia r, es decir, al hacer

Vp=

O'

I

n ¡

j r Figura

9.26

Modificación tipo 3

Así

u v2

Z"u, (anterior;

Ztj

Ir

Zzj

I2

(9.38)

Ii

Zrj

u

Z¡12¡z'..2j" I Z

0

Al eliminar I¡en el sistema de ecuaciones contenido en la operación matricial (9.38),

Z¡Jr+ Z¡zIz+ "' + ZrIn + lZtt + Z6)In ... + Zht ,) (2,,1, + Z,rI, IL= -**JrLL + rL '

0=

"

Ahora

(e.3e)

2,, -Zu

z,lr+ "'

v¡= z¡{1+

+ z,rl,+ zdr,

(e.40)

Si se sustituye la ecuación (9.40) en la ecuación (9.39)

I r' (2,,2,,)lI,+1 I' 2,, -l" z,,z,r)ll) v,=12,,'' ' L " Z,t+Zr'''' " Ztt+Zu ))' L

r (r,, 2,.\1L *"'*L| ,,-"- 2,,+26 ' " )'

e.4D

La ecuación (9.37) se puede escribir en forma de matriz como Zsu5 (nuevo)= zsus (anterior)-

.,

ltrtl

;--l- .u : ltzjl...Z¡) ", lr^,l

(9.42)

Modifrcación tipo 4 26 conecta dos buses anteriores como en la figura 9.27 . f,as ecuaciones pueden escribirse como sigue para todos los buses de la red.

V¡=Z¡yI1+ Z,rIr+ ... +

Zr,(It+ Ir)+ Z,t(I¡- I) +...+Ztnln e.$)

Siguen ecuaciones similares para los oEos buses.

(1,

+

l)

I,

Red pasiva lineal de n buses

Figura

9.27

Modificación tipo 4

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

Sin embargo, los voltajes de los buses i y

j

están restringidos por la ecuación (figura

9.27)

Vt= 261p+

Vt

(e.44)

Z¡Jt+ Z¡zIz+...+ Z¡iQ¡+ I)+ 2,,(I¡- I)+ ...+ Z¡J, =Z{*+ Z,rIr+ Z,rI, + ..' + 2,,(1,+ I) + Z,fI,- I)

o

* ... + 2,,1,

Al reordenar

Z¡) It + ". + (Z¡¡- Z¡) I¡ + Q¡¡ - Z¡) I¡ (Z,n+...+ Zj) In+ (Zo+ 2,,+ 2,,- Z¡- Z¡i) Ir

0 = (Zt

-

Si se reúnen las ecuaciones similares a la ecuación escribirse

u v2

V,

f =lI

Q.aT y

Zsus II I

It z;,- -

7 -, . .

(Zti

(e.4s)

a la ecuación (9.45), puede

-,zti'

lfl'i

(z,i- zn j) llll , -z . ( 2,, -- 2-,,| ; l- z;, ; z, - z z, )1,

(e.46)

0 Si

1¿

en la ecuación (9.46) se suprime en forma análoga como se hizo en la modifica-

ción tipo 2, se sigue que Zsu5 (nuevo)

=

Zsus (anterior)

-

ltt,

Zu + 2,, +

Zjj -22ír

l:l lZ,,

lZ¡¡- Z¡i... (Z¡n- Zj")l

tttl Z"¡

) (e.47)

Con las cuatro relaciones de las ecuaciones (9.36), (9.37), Q.aD y (9.47) se puede construir la matriz de impedancia mediante un procedimiento paso a paso (al introducir un ramal alavez) como se ilustra en el ejemplo 9.8. Como el procedimiento es mecánico se puede aplicar sin dificultad en la computadora. Cuando la red experimenta cambios, los procedimientos de modificación pueden emplearse para revisar la mal'riz de impedancia de bus de la red. Abrir la línea (2,,) es equivalente a agregar un ramal en paralelo a ella con impedancia -2,, (vea el ejemplo 9.8).

I

Eiempl6r,9-8

_'--'- |*$

Para la red de 3 buses que se muestra en la figura 9.28, construir

Z"ur.

Solución Paso

l:

Agregue el ramal

z¡=

0.25 (del bus 1 (nuevo) al bus r)

Zsus=10.251

(i)

Bus de referencia

r

Figura 9.28

2:

Paso

tipo 2

Agregue el ramal Zzt =

0J (del bus 2 (nuevo)

al bus 1 (anterior)); modificación

t¡o.zs o.2sf 7 _-

"BUS Paso

3:

tipo 2

4:

o35l

(ii)

Agregue el ramal zr¡ = 0.1 (del bus 3 (nuevo) al bus 1 (anterior)); modificación

o"'= Paso

,lo.zs

10.2s

Li;::

0.2s

0.251

',;',1

31il

(iii)

Agregue el ramal 22,(delbus 2 (anterior) al bus rj; modificación ripo

3

10.2s 0.2s 0.2s1 , l.0.2s.l z"u, = 0.3s 0.2s||o.:s | rc.2s -' 0.3s ,.zs) lo.zs + o'zs ---t-l Lo.zs o.zs o35l o'35 lo,ril'" = Paso

5:

tipo 4

i0.l4s8 0.1042 0.t4s8.1

LllliS i;it\,i i::,iill

Agregue el ramal Z4=0.1(del bus 2 (anterior) al bus 3 (anterior)); modificación

Zsvs

[0.1458

0.1042

= 10.1042 0.1458 10.14s8 0.t042 l-0.10421 o.o4r7 lt_otaz

=l

0.14s8'l

0.ro42l0.24581

0.0417

l-o.o+rzj

l0.L3e7 = 0.1103 |

0.1103

0.12s0-l

0.1397

0.12s0

10.1250 0.r2s0

0.1 + 0.1458 + 0.2458

|

0.17s0J

-0.04171

- 2 x0.t042 (iv)

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

es equivalente a conectar una impedancia de -0.1 entre el bus 3 (anterior) y el bus 2 (anterior), es decir modificación tipo 4.

Abrir una línea (línea 3-2): Esto Zsus =

[ I

Z"ut (anterior)

-

(-0.1) + 0.175 + 0.1397 -2x0.125

0.0147-l

-0.0147

L =

10.0147 |

-

0.0147 0.05001

0.0500-j

[0.14s8 10.1042

0.t042

0.1458-l

0.1458

0.1042

; (lo mismo que en el paso 4) |

Lo.r+ss

-e¡empto

s.s

0.24s8)

0.1042

:

t-

Para el sistema de potencia mostrado en la figura 9.29 se muestran las reactancias en pu. Para una falla sólida trifásica en el bus 3, calcular 1o siguiente:

a) Corriente de falla b) v\y vf2 c) If n, Ifrre If* g lforeIf., Suponer que el voltaje de prefalla es 1 pu. En la figura 9.28 se dibuja la red pasiva de Thevenin para este sistema con su Zuu. dado en la ecuación (iv) del ejemplo 9.8.

Sotución

a)

Por la ecuación (9.25)

,v9

IJ -

________J__

Zr, + Zt

-rv:1' =--:__ =* j5.7 Ir= zT i0.r75

¡ E

!

1

I

,aa \

\,/ ^) (

/Á'

J-

Figura 9.29

b)

Por la ecuación (9.26)

v{=v9-Zr,zt' ,v! + Zt Ahora

vt' =(t-

(,

t"\= 1- o'125 zu ) 0.175

= 0.286

y c)

vt= ?)= - (r\ ztt)

0.286

Estos dos voltajes son iguales por la simetría de la red de potencia dada. De la ecuación (9.29)

Ir,j=

Y,j

I{,=

y

gl- vl)

-J_

rIr= rIr=

(0.286

#

-

0.286) = o

(0.286

-

o)

= _ j2.86

d¡

Por la ecuación (9.32)

¡f-,

Pero

E'ct =

,r

E'c'-Vf

= jX',o + jX, |

pu (prefalla sin carga)

l-0.286 =-i2.g6

'b'= ¡uz + ¡o.os De igual manera

If62= j2.86

PROBLEIhIAS

9.1 Una línea de transmisión de inductancia 0.1 H y resistencia 5 ohms experimenta un cortocircuito repentino en / = 0 en el extremo de la barra como se muestra en Ia figura P-9.1. Escriba la expresión para la corriente de cortocircuito l(l). Encuentre aproximadamente el valor del primer miíximo de la corriente (corriente instantánea

máxima). fSugerencia: Suponga que el primer máximo de corriente ocurre al mismo tiempo que el primer miíximo de corriente de la corriente simétrica de cortocircuito.l

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

; 0.1H

aff.ii A

ll

5f} /v'/."-il

_|

v =1oo sen (1oozr + 1s.)

r_

|

Figura P-9.1 9.2

a)

¿Cuál debería ser el instante del cortocircuito en la figura P-9.1 para que la corriente de desplazamiento de CD sea cero?

b)

¿Cuál debería ser el instante del cortocircuito en la figura P-9.1 para que la corriente de desplazamiento de CD sea máxima?

9.3 Para el sistema de la figura 9.8 (ejemplo 9.2) determine las corrientes simétricas que deben intemrmpir los cortacircuitos A y B para una falla en t) P y tD Q.

9.4 Para el sistema de la figura P-9.4, los valores nominales de los diversos componentes son:

Generador:

25 MVA. 12.4kY. reactancia subtransitoria I}Vo

Motor:

20 MVA. 3.8 kV. reactancia subtransitoria I5Va

Transformador 7r: Transformador Zr:

25 MVA,

Línea:

reactancia 20 ohms

IIl33 kV, reactancia 8Vo

20 MVA. 33/3.3 kV. reactancia l07o

El sistema tiene una cargatal que el motor toma 15 MW con un factor de potencia de 0.9, donde el voltaje en terminales del motor es 3.1 kV. Encuentre la corriente subtransitoria en el generador y en el motor para una falla en el bus del generador.

fSugerencia: Suponga una base adecuada de voltaje para el generador. La base de voltaje para los transformadores, la línea y el motor se determinarían entonces de

las relaciones (razones) de los transformadores. Por ejemplo, si se elige una base de voltaje de generador de 11 kV la base de voltaje de la línea es de 33 kV y la base de voltaje del motor es 3.3 kV. Las reactancias por unidad se calculan en consecuencia.]

li\ /

I2

lo |

Motor

Figura P-9.4

9.5 Dos motores síncronos están conectados

a un bus de un sistema grande por medio de una línea corta de transmisión como se muestra en la fisura P-9.5. Los valores nominales de los componentes son:

Motores (cada

uno):

1

MVA, 440V, reactancia transitoria de

[t. 1

Línea:

0.05 ohm reactancia

Sistema grande:

Los MVA del cortocircuito en su bus a -1-10

pu

\- son 8.

Cuando los motores operan a440Y, calcule la comiente de cortocircuito (simétricat que alimenta a una falla trifásica en el bus del motor.

,,'-sisterna I 1 qranoe / L_r-) \\, | ,/ tin"^ __-f.-!r,,ro,or". Busl _-,/ ,,/1,-) Bus de motores

Figura P-9.5

9.6 Un generador síncrono con valores nominales 500 kVA, 440V, reactancia subtransitoria de 0.1 pu suministra auna carga pasiva de 400 kW con un factor de potencia de 0.8 en retraso. Calcule la corriente rms inicial simétrica para una falla trifásica en las terminales del generador. 9.7 Una unidad generador-transformador está conectada a una línea a través de un cortacircuito. Los valores nominales de la unidad son:

Generador: Transformador:

MVA, 6.6 kV; X'i= O.l

Xi=

0.20 pu y X¿ = 0.80 pu 10 MVA, 6.9/33 kV, reactancia 0.08 pu 10

prr,

El sistema está operando sin carga a un voltaje de línea de 30 kV cuando ocurre una falla trifásica en la línea justo poco después del cortacircuito. Encuentre

a) b) c)

A e) 9.8

la corriente rms inicial simétrica en el cortacircuito, la corriente de desplazamiento de CD máxima posible en el cortacircuito, la corriente nominal instantánea máxima del cortacircuito, la corriente que el cortacircuito debe intem-rmpir y los kVA de interrupción y la corriente sostenida de cortocircuito en el cortacircuito.

El sistema que se muestra en la figura P-9.8 entrega 50 MVA a 11 kV factor

de

potencia 0.8 en retraso a un bus que se puede considerar como infinito. Los datos de los componentes del sistema son:

Generador: Transformadores (cada

Línea:

l2kV, X'¿= 0.35 pu 80 MVA, l2/66kY,X = 0.08 pu 60 MVA,

uno):

Reactancia 12 C), resistencia despreciable.

Calcule la corriente simétrica que los cortacircuito s A y B deberán intemrmpir en el caso de una falla trifásica que ocurra en F cerca del cortacircuito B.

CAPíTULO

9

Análisis de fallas simétricas

t^

11

u;1 ti

'

./ 'l -

A,,

1]

.. ?! )(

.tA

ler. |

infinito

Figura P-9.8

9.9 Una planta generadora de dos generadores suministra a un alimentador por medio de un bus, como se muestra en la figura P-9.9. A través de un transformador, se suministra al bus potencia adicional de un sistema grande que se puede considerar como inflnito. Se incluye un reactor (inductor) X entre el transformador y el bus para limitar la capacidad de ruptura en cortocircuito del cortacircuito B del alimentador a 333 MVA (falla cercana al cortacircuito). Encuentre la reactancia inductiva del reactor que se requiere. Los datos del sistema son: Generador G1:

25 MVA, reactancial5%o

Generador G2:

50 MVA, reactancia2j7o

Transformador Zr: Transformador Zr:

100 MVA, rcactanciaS7o

40 MVA, reactancta IjVo.

Suponga que todas las reactancias se expresan sobre bases adecuadas de voltaje.

Elija una base de 100 MVA.

G,,

g,

+ff

lT-i!!^-!

/YYr

y

-ññ A

,i/

a

/

1

Alimentador

Figura P-9.9

9.10 Para la red de potencia trifásica que se muestra

en la figura P-9.10, las especificacio-

nes de los componentes son: Tr3

T1

| )( .sfri .) Xq

@

( -.,riA H+--

|.iiI,t*

Bus

p

,

L2

Figura P-9.10 Generadores Gt: 100 MVA, reactancia 0.30 pu G2:60 MVA, reactancia 0.18 pu

B

¡

fr--<

i

Io

Bus

Transformadores (cada uno): 50 MVA, reactancia 0.10 pu. Reactor inductivo X:0.20 pu sobre una base de 100 MVA. Líneas (c/u): 80 ohms (reactiva); desprecie la resistencia.

Con la red inicialmente sin carga y un voltaje de línea de 110 kV, ocurre un cortocircuito simétrico en el punto medio F de la línea L2. Calcule los MVA de circuito que deben intem,rmpir los corlacircuitos A y B en los extremos de la línea. ¿Cuáles serían estos valores si se eliminara el reactor X? Comente.

9.11 Un generador síncrono alimenta el bus 1 de un sistema. Una red de potencia alimenta el bus 2 del sistema. Los buses I y 2 están conectados por medio de un transformador y una línea de transmisión. Las reactancias por unidad de los diversos componentes son: Generador (conectado a la barra de bus 1)

0.25

Transformador Línea de transmisión

0.72 0.28

La red de potencia se puede representar por un generador con una reactancia (desconocida) en serie. Con el generador sin carga y con un voltaje de 1.0 pu en cada bus en condiciones de operación, un cortocircuito trifásico que ocuffe en el bus I provoca que fluya una corriente de 5.0 pu hacia la falla. Determine la reactancia equivalente de la red de potencia.

9.12 Considere el sistema de 3 buses de la figura P-9.12. Los generadores son de 100 MVA, con reactancia transitoria de lOTo cada uno. Los dos transformadores son de 100 MVA, con reactancia de dispersión de 5Vo. La reactancia de cada una de las líneas sobre una base de 100 MVA, 110 kV es 107o. Obtenga la solución de cortocircuito para un cortocircuito sólido trifásico en el bus 3. Suponga que los voltajes de prefalla son 1 pu y las corrientes de prefalla son cero.

,;',

2 ^v-_.,

!ur,¡

T

r'..LLL '-ú n' 1 r rJ--T

^-1'1/11^Al::>"2 '--'--.

11/110kV

T

-'!

-'------ 2 i0.1

jol

j0.1

Falla

/7i;aFigura P-9.12

9

CAPíTULO

9.

Análisis de fallas simétricas

13 En la configuración del sistema de la figura P-9.12, se proporcionan los siguientes datos de impedancia del sistema: Reactancia transitoria de cada generador = 0.15 pu Reactancia de dispersión de cada transformador = 0.05 pu

Zp= j0.1, zp= j0.I2,223

=

j0.08 pu

Para una falla sólida trifásica en el bus 3, determine todos los voltajes de bus y las corrientes de cortocircuito en cada componente.

9.14 Para la ubicación de la falla (sólida) que se muestra en la figura P-9.14, encuentre las corrientes de cortocircuito en las líneas I.2 y 1.3. El sistema prefalla está sin c¿uga con voltaje 1 pu y corrientes de prefalla cero. Use el método de Z",rs y calcule

sus elementos por la técnica de inyección de corriente.

e t' 'ijt: /ta¡^x-\

0.15 pu reactancia 1

1/ 1 1o kv, o.o5 pu reactancia

2____j_ 7O.1Ptt

r i

,

i Fa|a

,,,t,

10.15 pu

fr,_! Q I

.i-i -a

@ -

tl¡11okv'o.5pureactancia 0.1 pu reactancia

Figura P-9.14

REFEREN6IA5

Libros l. Brown, 2.

H.8., Solution of Large Nenvork by Matrix Methods, Wiley, Nueva York, 1975. Neuenswander, J.R., Modern Power Systems, International Textbook Company, Nueva York,

3.

Stagg, G.W. y A.H. El-Abiad, Computer Methods in Power Systems Analysis, McGraw-Hill Book

4. 5.

Co., NuevaYork, 1968. Anderson, P.M., Analysis of Faulted Power Systems, Iowa State Press, Ames, Iowa, 1973. Clarke, E., Círcuit Analysís of Alternating Current Power Systems, vol. 1, Wiley, Nueva York,

6.

Stevenson, W.D. Jr., Elements of Power Systems Analysis, 4a. ed.,

197

l.

1943.

McGraw-Hill, Nueva York,

1982.

Artículos 7.

Brown, H.8., et al. "Digital Calculation of Three-Phase Short Circuits by Matrix Methods", AIEE Trans.. 1960. 79:1277 .

10 .:j*:... ::::::lil

irriiíii Jf

l:

,

'l:,1

10.1 INTRODUCCION Hasta ahora se han considerado operaciones tanto normales como anormales (cortocircuito) de sistemas eléctricos de potencia en condiciones por completo balanceadas (simétricas). En esas operaciones, las impedancias del sistema en cada fase son idénticas y los voltajes y corrientes trifásicos en todo el sistema están completamente balanceados, es decir, tienen magnitudes iguales en cada fase y se desplazan en forma progresiva 120' en el tiempo (la fase a se adelanta./retrasa l2O" a la fase b y lafase b se adelanfa/retrasa 120' a la fase c). En un sistema balanceado, el análisis puede hacerse en una base monofásica. El conocimiento del voltaje y la corriente en una fase basta para determrnar por completo voltajes y corrientes en las otras dos fases. Las potencias reales y reactivas sólo son tres veces los valores correspondientes por fase. Una operación desbalanceada del sistema puede ser el resultado de un sistema que estaba balanceado, pero tuvo una falla asimétrica, por ejemplo, una falla de línea atiena o de línea alínea. Estas fallas, de hecho, se producen con más frecuenciax que la falla simétrica (trifásica). También, la operación del sistema se puede desbalancear cuando las cargas están desbalanceadas como cuando hay grandes cargas monofásicas. Se debe hacer el análisis bajo condiciones desbalanceadas en una base trifásica. En forma alternativa, un método más cómodo para analizar la operación desbalanceada es mediante componentes simétricos donde los voltajes (y corrientes) trifásicos, los cuales pueden estar desbalanceados, se transforman en tres conjuntos de voltajes (y corrientes) balanceados llamados componentes simétricos. Por fortuna, en esa transformación se desacoplan entre sí las impedancias que presentan diversos elementos del sistema eléctrico de potencia (generadores, síncronos, transformadores, líneas) a los componentes simétricos y resultan redes * Las frecuencias típicas de ocurrencia de distintas seriedad decreciente) son:

Fallas trifásicas (3L) Fallas de doble línea a tiena (LLG) Fallas de doble línea (LL) Fallas de una línea a tierra (LG)

5Vo

707c 15Vo

7jVo

clases de fallas en un sistema de potencia (en orden de

independientes del sistema para cada componente (conjunto balanceado). Ésta es la razón básica de la simplicidad del método de análisis de conponentes simétricos.

til.z TRANSFORMACIÓN

DE COMPONENTES

SIMÉTRICOS Un conjunto de tres voltajes balanceados (fasores) Vo, V5, V. se caracteizapor magnitudes iguales y diferencias de 120'entre fases. Se dice que el conjunto tiene una secuencia de fases abc (secuencia positiva) si V¡ está retrasado 120o con respecto a Vo, y V, está retrasado 120o con respecto a Vr. Entonces, los tres fasores se pueden expresar en función del fasor de referencia Vo como sigue

Vo

= Vo. Va = tVo,

V,

=

aVo

donde el operador a de número complejo se define como sigue:

a =

"j\20"

Tiene las propiedades siguientes

d2 -ei240" -e-i120" -q+ (o')- = o a3

=l I+a+a2 =0

(10.1 )

Si la secuencia de fase es acb (secuencianegativa), entonces

Vo= Vo, V6 = QVa, V, = &Vo Así, un conjunto de fasores balanceados se caracteriza por completo por su fasor de referencia (por ejemplo %) y su secuencia de fases (positiva o negativa). Se acostumbra usar el sufijo 1 para indicar la secuencia positiva. Un conjunto de fasores (balanceados) de secuencia positiva se escribe como sigue

Vot.

Vtt=

a2Vor, Vr,

=

aVo,

(10.2)

De igual forma, se usa el sufijo 2 para indicar la secuencia negativa. Un conjunto de fasores (balanceados) de secuencia negativa se escribe como

Voz. Vuz= dVo2,

Vrr= dVo,

(10.3)

Se dice que un conjunto de tres voltajes (fasores) de igual magnitud y con la misma fase tiene secuencia cero. Así, un coniunto de fasores de secuencia cero se escribe como Vog, V66

=

Voo, V"o

=

VoO

(10.4)

Considere ahora un conjunto de tres voltajes (fasores) V",Vuy V., que en general pueden estar desbalanceados. De acuerdo con el teorema de Fortesque* los tres fasores pue-

* El teorema es general y se aplica al caso de n fasores [6].

Transformación de cornponentes simétricos

den expresarse como la suma de fasores de secuencias positiva, negativa y c€,ro, como se definieron antes. Entonces

Vo=

Vol

Vt=

vut +

vr-

V"L

+ Voo Vu, + Vuo V", + V"o

(10.s)

Vo,

+

(10.6) (10.7)

Las tres secuencias fasoriales (positiva, negativa y cero) se llaman componentes simétricos del conjunto fasorial inicial Vo,V6,V".La adición de componentes simétricos de acuerdo con las ecuaciones (10.5) a (10.7) para generar Vo,V6,V, se indica en el diagrama fasorial de la figura 10.1. Ahora las ecuaciones (10.5) a (10.7) se expresan en función de los fasores de referencia Voy Vozy Voy Así,

Vo= Vor + Va2+ Vao Vb= q2Vot+ aVo,r+ Vo¡ V"= aVol + &vor+ voo

(10.8) (10.e) (10.10)

V.o

voolo /v"o=V"o

V.2= o2V.2

Vcr= aV".,

Vo.,=a2V.,

vc

v",

Figura

10.1

Adición gráfica de los componentes simétricos para obtener el conjunto de fasores Va, Vb, Vc (desbalanceado en general)

3"g.{

CAPíTULO

10

Componentes siméÜicos

Estas ecuaciones se pueden expresar en forma matricial

l';1=W:o2 lllr:l rl LY,.l Lu,l L " o sea

Vo=A\

(10.11)

(10.12)

en donde

f%l

Vo=lVo l= u""tot de los Lv. f

fasores iniciales

I

Y"'-l

v, =1V", | = u."to' de los

componentes simétricos

Lu,,l

[1 a1 tl o=lo' l" o' t-l 1.1

La ecuación (10.12)

se

(10.1 3)

puede escribir en la forma

Y' = A-'Vo

(10.14)

A1 calcular A-1 y utilizar las ecuaciones (10'1) se llega a

[t d "'] q

o-'=*l to'

-Ll 1 1l

(10.15)

I

En forma desarrollada, la ecuación (10.14) se escribe

v^, ut =

!

(v"+ av6+ &v,) ' g

(10.16)

v^, =

!3

(v"+ a2vo+ aV,)

(10.17)

(Vo+ V6+ V,)

(10.18)

a J

1

V,o

=

1

para obtener componentes Las ecuaciones (10.16) a (10.18) son las relaciones necesarias (10.5) a (10.7) son las ecuaciones que las mientras simétricos de los fasores originales, simétricos' relaciones para obtener los fasores originales a partir de los componentes que se üeron antes simétricos componentes de No obstante que las transformaciones fasores' y en de conjunto para cualquier estaban en términos de los voltajes, son válidas Así, corrientes' de consecuencia se aplican en forma automática a un conjunto

I, = il,

(10'19)

Transformación de componentes simétricos

I' = A-rIo en donde

l-r,Ie 1,=l,"tl [','I

Io=lI, l;

LI"l

Naturalmente,

(10.20)

Ay A-' son las mismas

L1,ol

que se presentaron antes.

En forma desarrollada, las relaciones (10.19) y (10.20) se pueden expresar como sigue:

l)

Construcción de fasores de corriente a partir de sus componentes simétricos:

Io= Iol+ Iaz+ Iao Iu= a2lot+ alor+ Ir= alol + a2lor+

ii)

(10.21) Ioo

(r0.22)

Ioo

(r0.23)

Obtención de componentes simétricos de fasores de corriente:

,^= l"r=

,^=

I I I

Qo+ alu+ o2I,)

(r0.24)

(Io+ a2lu+ aI,)

(r0.2s)

(to+ Ib+ I,l

(10.26)

Ya se pueden hacer ciertas observaciones acerca de un sistema trifásico que utiliza el neutro como retorno, véase figura 10.2. La suma de los tres voltajes de línea será siempre cero. Por consiguiente,la componente de secuencia cero de los voltajes de línea seró siempre cero. es deck.

vobo=!rv*+vo,+v,o)=o

Ic

Figura

10.2

Sistema trifásico que utiliza el neutro como retorno

(r0.27)

Por otra parte, la suma de los voltajes de fase (de línea a neutro) puede no ser cero, por fo que puede existir su componente Voo, de secuencia cero. Como la suma de las tres corrientes de línea es ieual a la corriente en el conductor neutro, entonces

,^

=

(o+

I

Io+

t,)=

!t,

(10.28)

es decir, la corriente en el neutro es tres veces la corriente de línea de secuencia cero. Si

la conexión del neutro es cortada o eliminada,

|'atJ _l -

^ I, = 0

es decir, en ausencia de una conexión neutra, siempre es cero.

(r0.2e)

la corriente de línea de secuencia cero

Invariancia de la potencia Ahora se demostrará que la transformación de componentes simétricos es invariante respecto a la potencia, 1o que quiere decir que la suma de las potencias de los tres componentes simétricos es igual a la potencia trifásica. La potencia total compleja en un circuito trifásico se determina por

S=4

lo= Ji

Uf"+

VuI'f

+V,I!

(10.30)

= [A%]rlA1"l. (

= vTrrA.l Ahora bien,

fr ;q ".1[r I r'] [1 o o'l {t=lr "'ll" o' rl=:l o r ol=r, It r 1llo'? d r.l Lo o

10.31)

(r0.32)

1.1

s=z4uII=341., = 3Va1, + 3V"rI), +

3V"d)o

(10.33)

= suma de potencias componentes simétricas Elemplo f 0.1

t--¡

Se conecta una carga resistiva balanceada en delta a una fuente trifásica desbalanceada, como se ve en la figura 10.3. Estando especificadas las corrientes en las líneas A y B, calcular los componentes simétricos de las corrientes de línea. Calcular también los componentes simétricos de las corrientes en delta. ¿Se observa alguna relación entre los componentes simétricos de las corrientes de líneay en delta? Comentar al respecto.

Transformacior¡ cle coÍponentes simétricos

1

0¿30'

Figura 10.3

Solucim

Io +

I" + Ic = 0

o sea

lOL30" + l5L- 60" + 1r = 6 16.2 + j8.0 = 18 L154" A

Ic= -

De acuerdo con las ecuaciones (10.24) a (10.26) 1

Iet= *(ü0L30" + l5L(-60" + 120') + I8L(154" + J 10.35 + j9.3 = 14L42" A =

Itz= ^ (I0L30" + I5L(1

60"

J

240'))

+ 240") + l8L(I54" + 120'))

= -I.7 - j4.3 = 4.65L248" A I

Ito= :UA + J

IB

+ Ic) =

(i)

(ii) (iii)

0

De acuerdo con la ecuación (10.2)

Im=

Inz= 4.65L8" A

Ict = l4Ll62" A Icz = 4'65L128' A

1ro=oA

lco=oA

14L282" A

Comprobación:

I¿.= Iet + Ior+

1¿o

= 8'65 + j5 = I0L3O"

Al convertir lacarga en delta a una carga equivalente en estrella, la figura 10.3 se puede modificar como se ve en la fieura 10.4.

Figura 10.4

CAPíTULO

10

Componentes simétricos

Las corrientes en delta se obtienen como sigue: 1

Vou=

,R

(lA-

IB)

Ahora bien,

Iou=

V*lll = l- tto - trl

De igual modo, 1

Iac=

1(In{ I

Iro= Se sustituyen los valores de Io,

Iue Ic,Y

Ic) IA)

)\lc-

se obtiene

Iou= I¡oL3o" -15L- 60") = 6L86" A 5

Iur=

I05LJ

60"

-

Iro= l.1BLl54" J

rBLl54")

= lo.5L-41.5" A

loL3o") = 8.3Lr73" A

Los componentes simétricos de las corrientes en delta son Ioo,

+ lO.5L(-41.5 + I2O") + 8.3L(173" + 240")) = Lt6tg6" 3

(iv)

= 8L72" A

+ 10.5L(-41.5" + Ino"= Ll6ag6" -'

240")

+ 8.3L(773" +

120'))

(v)

J

I¿,so

=

2.7

=

O

L278" A (vi)

Iss2, Is¿s, Isfi, Iro.te Iroo se pueden calcular usando la ecuación (10.2)' Si se comparan las ecuaciones (i) y (iv) y (ii) y (v), se observa de inrnediato la siguiente relación entre componentes simétricos de corrientes de línea y en delta: 1s61,

tou,

= fttzo"

to"r= El lector debe veriflcarlas calculand o I ¡s

ftz-zo" e I ou, a pattir de las ecuaciones

al comparar los resultados con las ecuaciones (iv) y (v).

(vii)

(viii) (vii) y (viii) y

10.3 DESPLAZAMIENTO DE FASE EN TRANSFORMADORES ESTRELLA-DELTA Los voltajes y las corrientes de secuencias positiva y negativa sufren un desfa:¡il:¿:-r,. ¡l pasar por un transformador estrella-delta, que depende de la identificación (maru-¡J¡' d¡ las terminales. Antes de describir este desfasamiento se necesita describir la identiñca,-i.in (marcado) normal (estándar) de la polaridad de un transformador monofásico como se indica en la figura 10.5. Las terminales del transformador marcadas con un punto tienen la misma polaridad. Por consiguiente, el voltaje Vou, está en fase con el voltaje V..,. Si ahora se supone que se puede despreciar la pequeña cantidad de coniente magnetizante, la corriente en el primario 1t que entra por la terminal con punto anula los amperes-vuelta desmagnetizantes de la corriente 1, del secundario, de modo que I, e Ircon las direcciones de flujo indicadas en el diagrama están en fase. Si se invierte la dirección de Ir, I, e I, estarán en contrafase. Ahora considere un transformador estrella"/delta, con la identificación (marcado) de terminales que se indica en la figura \0.6a). Los devanados que se muestran paralelos entre sí están magnéticamente acoplados. Suponga que el transformador se excita con voltajes de secuencia positiva y que tiene corrientes de secuencia positiva. Con las marcas de polaridad que se indican, de inmedi¿to se puede trazar el diagrama fasorial de la figura 10.7. De inmediato se observa la siguiente interrelación de los voltaies de los dos lados del transformador en el diasrama fasorial

Vtnt= x

Vout

L3tr. x = Íazó\

de transformación por fase

(10.34)

De acuerdo con la ecuación (10.34), los voltajes de línea en secuencia positiva en el lado de la estrella están 30" adelantados a los voltajes conespondientes en el lado de la delta (se aplicaría el mismo resultado a los voltajes de línea a neutro en los dos lados). Esto mismo se aplica para las corrientes de línea. Si se conecta el lado de la delta como en la figura 10.6b), el desplazamiento de fase se invierte (el lector debe trazar el diagrama fasorial); las cantidades en el lado de la delta se adelantan 30' a las cantidades en el lado de la estrella.

Vrr'

.-J :) :l

n á a

.a E

FEl

tv,,'

\

¿,

Figura

10.5

Marcado de la polaridad en un transformador monofásico

a) Las cantidades del lado de la estrella se adelantan 30" a las cantidades del lado de la delta

\ b) Las cantidades del lado de la delta se adelantan 30" a las cantidades de lado de la estrella

Figura

10.6

ldentificación de las terminales en un transformador estrella/delta

En cambio, si el transformador de la figura l}.pa) se excita por voltajes y corrientes con secuencia negativa, el diagrama fasorial de voltaje será como el de la figura 10.8. El desfasamiento, en comparación con el caso de secuencia positiva, se invierte, es decir, las cantidades en el lado de la estrella se adelantan 30o a las cantidades en el lado de la delta. También se invierte, en forma correspondiente, el resultado para la figura 10.6á). De ahora en adelante se supondrá qtJe un transformador estrella"/delta se identifica de tal modo que las cantidades con secuencia positiva en eI lado de alto voltaie se adelantan 30" a sus cantidades correspondientes de secuencia positiva en el lado de bajo voltaje. Se invierte el caso para cantidades de secuencia negativa, donde las cantidades en alto voltaje se retrasan 30" a las cantidades correspondientes en baio voltaje. v aBj

Vcot

V

Figura

10.7

"",

Voltajes de secuencia positiva en un transformador estrella/delta

lmpedancias de secuercia de

h

líneas de transmisión

vstt

vna

Figura

10.8

Voltajes con secuencia negativa en un transformador estrella/delta

IO.4 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN La figura 10.9 muestra el circuito de una línea totalmente transpuest¿ que conduce corrientes desbalanceadas. La trayectoria de retorno para In eslá suficientemente alejada para que se ignore el efecto mutuo. Sean

X" = reactancia propia de cada línea reactancia mutua de cualquier par de líneas

X^=

Las siguientes ecuaciones LVK (de ley de voltaje de Kirchhoff) se pueden escribir para la figura 10.9. Vo

-

V'o= jXJ" + jX"tro +

iI l'"l'

jXJ"

/ ln=

I"+

lo+ I"

Figura 10.9

'1"'l'

ry1

CAPíTULO

10

Componentes simétricos

Vr- Vi= jX,,Io+ jXJt + jx,l, V,- V;= jx,l,+ jX-Iu+ jXJ, o bien, en forma matricial

(10.3s)

l,"l lv; I ilx^x,x^ l*'r-*-fl,'1 lr, alv; l= lllb lv, ) lv', ) lx^x^x, )lt, ]

(10.36)

I

ve- v;=

es decir

o

sea

o

sea

A

(V,

-

(10.37)

zlp

V'r) = ZAI,

(10.38)

V,V!= A-rZAI,

Ahora bien

oll

A-rzA= .fl ;

tr,

q | )Lix^

ix* ix, ix*

llix. 'Lr lx,-x* =.rl o x,-x^ LooX, 1

(10.3e)

j*^fl'^ ix^llú jx, )L "

o

Así, la ecuación (10.37) se puede escribir en la forma

o lt,-o** x,-x^ lr,llrl l=il o Lyol Lv'o) L o

[u,l [ví I

o lt, =10 Z. L

en donde

o.

ol 0l

1

1.1

a

1

o'

1l

(10.40)

+2X*)

o o

Tr'l ,,

| X, +2X^ )llo )

(10.4r)

ll

ol[1 I

0ll /'l t,)1,,)

i(X, - X*) = impedancia de secuencia positiva = i(X, - X^) = impedancia de secuencia negativa Zs = j(X, + 2X*) = impedancia de secuencia cero Zt Z,

|

=

(r0.42)

(10.43)

(10.44) (10.45)

La conclusión es que una transmisión totalmente transpuesta tiene:

l) impedancias de secuencia positiva y negativa iguales. il) impedancia de secuencia cero mucho mayor que la impedancia de secuencia positiva o negativa (es aproximadamente 2.5 veces). Además se observa que las ecuaciones de secuencia del circuito (10.42) están en forma desacoplada, es decir, no hay inductancias mutuas de secuencia. La ecuación (10.42) se puede representar en forma de red como en la figura 10.10.

rI j

10.6

:-jv1

a)

tZ,

r;

l-

Red con secuencia pos¡tiva

lmpedancias y reoes re

lrZ,

Z.

f

lv'2

v2

b)

srncronas

Red con secuencia negativa

vo

c)

Red con secuencia cero

Figura 10.10 El desacoplamiento entre las redes de secuencia de una transmisión totalmente transpuesta también se aplica a máquinas trifásicas síncronas y a transformadores trifásicos. Este hecho permite que haya simplificaciones considerables en el uso del método de los componentes simétricos para el análisis de fallas no simétricas. En el caso de tres impedancias estáticas desbalanceadas, aparece acoplamiento entre las redes con secuencias y el método ya no ayuda más que un análisis trifásico directo.

10.5 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA Y RED DE SECUENCIA DEL SISTEMA DE POTENCIA Los elementos del sistema de potencia, como son líneas de transmisión. transformadores y máquinas síncronas, tienen simetría trifásica, por lo que, cuando pasan las corrientes de determinada secuencia por esos elementos, aparecen caídas de voltaje con la misma secuencia, es decir, los elementos sólo poseen impedancias propias contra las corientes de secuencia. Por consiguiente, cada elemento se puede representar por tres redes cle secuencia desacopladas (en base monofásica) que coresponden a secuencias positivas. negativas y cero, respectivamente. Las fem intervienen sólo en una red de secuencia positiva con máquinas síncronas. Para determinar una impedancia particular de secuencia, el elemento en cuestión se somete a corrientes y voltajes sólo con esa secuencia. Con el elemento operando en esas condiciones se puede determinar la impedancia de secuencia en forma analítica o por resultados de pruebas experimentales. Si se conocen las redes de secuencia de los elementos se pueden formar redes completas de secuencia positiva, negativa y cero de cualquier sistema de potencia. Como se explicará en el siguiente capítulo, esas redes se interconectan en forma adecuada para simular distintas fallas asimétricas. Las corientes y voltajes de secuencia durante 1a fa1la se calculan entonces y con ellas se pueden determinar las corrientes r r oltajes reaies de la falla.

10.6 IMPEDANCIAS Y REDES DE SECUENCIA DE MÁOUINAS SÍNCRONAS La figura 10.11 muestra una máquina síncrona (generador o motor) sin carga, conectada a tierra a través de un reactor o bobina (impedancia 2,,¡. Las fem inducidas son Eo, Eu y E,para las tres fases. Cuando una falla (que no se indica en la figura) sucede en las ter-

}üe'1 ¡

CAPíTULo

10

componentes simétricos

Figura

10.1

1

Generador trifásico síncrono con neutro aterrizado

minales de la máquina, en las tres líneas pasan las corrientes I* Io e 1". Siempre que en la falla interviene la tierra, la corriente In = Io + Iu + I, pasa al neutro desde la tierra a través de 2,. Se pueden descomponer las corrientes de línea desbalanceadas en sus componentes

simétricos Io1, Io2eloo.Antes deavanzar enelanálisisdelafalla(capítulo 11)sedebe conocer los circuitos equivalentes que presenta la máquina al flujo de las corrientes de secuencia positiva, negativa y cero, respectivamente. Debido a la simetría de devanados, las corrientes de determinada secuencia producen caídas de voltaje sólo con esa secuencia. Entonces, no hay acoplamiento entre los circuitos equivalentes de diversas secuencias.*

Impedancia y red de secuencia positiva Ya que una máquina síncrona se diseña con devanados simétricos, éstos inducen fem sólo de secuencia positiva, es decir, en ella no se inducen voltajes de secuencia negativa o cero. Cuando la máquina sólo conduce corrientes de secuencia positiva, este modo de operación es el modo balanceado que se describió en detalle en el capítulo 9. El campo de reacción en la armadura, causada por las corrientes de secuencia positiva, gira a velocidad síncrona en la misma dirección que el rotor, es decir, es estacionaria con respecto a la excitación del campo. En forma equivalente, la máquina ofrece una reactancia directa de eje, cuyo valor se reduce por la reactancia subtransitoia (X') a la reactancia transitoria (X'¿) y finalmente a la reactancia de estado estable (o síncrona) (X¿), conforme el transitorio del cortocircuito ayanza en el tiempo. Si se supone que la resistencia de la armadura es despreciable, la impedancia de secuencia positiva de la máquina es

21= jX"¿ (si interesa el transitorio del ciclo 1) = jX'¿ (si interesa el transitorio del ciclo 3-4) = jXo $i interesa el valor de estado estable)

(10.46)

(r0.41) (10.48)

Si el cortocircuito en la máquina sucede en condiciones sin carga, el voltaje terminal constituye el voltaje de secuencia positiva; por otra parte, si el cortocircuito sucede en * Esto se puede demostrar en la teoría de las máquinas síncronas [5].

10.6

lmpedancias y redes de secuencia de máquinas síncronas

Bus de referencia

a) Modelo

trifásico

b) Modelo monofásico

Figura 10.12 Red de secuencia positiva para una máquina síncrona condiciones con carga, el voltaje detrás de la reactancia correspondiente (subtransitoria, transitoria o síncrona) constituye el voltaje de secuencia positiva. La figura I0.2a) muestra el modelo de red trifásica de secuencia positiva, para una máquina síncrona. Zrno aparece en el modelo como In = 0 para corrientes de secuencia positiva. Como es una red balanceada se puede representar con el modelo de red monofásica de la figura 10.I2b) para fines de análisis. El bus de referencia para una red de secuencia positiva tiene el potencial del neutro. Además, como no pasa corriente de tierra al neutro, el neutro está al potencial de tierra. Con referencia ala figura 10.12á), el voltaje de secuencia positiva de la terminal a con respecto al bus de referencia es

Vot= Eo- Ztlot

(10.4e)

Impedancia y red de secuencia negativa Ya se dijo que una máquina síncrona tiene voltajes inducidos cero, de secuencia negativa. Con el flujo de corrientes de secuencia cero por el estator, se crea un campo rotatorio que gira en dirección contraria a la del campo de secuencia positiva y, en consecuencia, al doble de la velocidad síncrona con respecto al rotor. Por consiguiente se inducen corrientes con una frecuencia doble de la del estator, en el campo del rotor y en el devanado amortiguador. Al barrer sobre la superficie del rotor, lafierzamagnetomotriz de secuencia negativa se presenta en forma alternativa con reluctancias con ejes directo y en cuadratura. La impedancia de secuencia negativa que presenta la máquina al considerar los devanados amortiguadores se define con frecuencia como

Zz=

X'i + K' j+;lZ2l
(10.50)

Los modelos de red de secuencia negativa para una máquina síncrona, en base trifásica y monofásica, se muestran en las figuras 10.13a) y á), respectivamente. El bus de referencia está, como es de esperarse, al potencial del neutro que es igual al potencial de tierra.

CAPíTULO

1O

Componentes simétricos

Bus de referencia

-f, \l

-il lZ, a-

lV^,

t--

tt ---

a) Modelo

trifásico

,+a

b) Modelo monofásico

Figura 10.13 Red de secuencia negativa para una máquina síncrona De acuerdo con la figura l0.l3b), el voltaje de secuencia negativa en la terminal a con respecto al bus de referencia es

Voz=

-

Zzloz

(10.s 1)

Impedancia y red de secuencia cero De nuevo se af,rma que no se inducen voltajes de secuencia cero en una máquina síncrona. El flujo de corrientes de secuencia cero crea tres fem que están en fase en el tiempo, pero que se distribuyen a l20o en fase espacial. El campo resultante del entrehierro (brecha de aire) causado por las corrientes de secuencia cero es, por consiguiente, cero. Entonces, los devanados del rotor sólo presentan reactancia de fuga al flujo de las corrientes de secuencia cerc (Zor
figuras IO.l4a)y b).Enlafigura l0.I4a), elflujodecorrienteenlaimpedanciaZn,entre el neutro y la tierra es 1, = 3110. El voltaje terminal de secuencia cefo a con respecto a tierra, que es el bus de referencia, es entonces Voo=

-

3ZJoo

-

ZoJoo =

-

(3Zn

+ 26r)Ios

(10.s2)

donde Zrr es la impedancia de secuencia cero por fase de la máquina.

-f

Bus de referencia q

F3Z,

fJn a) Modelo

trifásico

v"o

b) Modelo monofás¡co

Figura 10.14 Red de secuencia cero en una máquina síncrona

10.7

lmpedanc as

:E -.g:-sr: a

€- as

Yaquelaredmonofásicadesecuenciaceroenlafigural[,.]-t¡

¡eas de transmisión

St',r-r.u-¡IlCue-ecorrien-

:e de secuencia cero por fase, su impedancia total de secuencia cerc debe ser Zo

=

3Zn

+ Zs,

fin de que éste tenga el mismo voltaje de a al bus de referencia. Aquí e1 bus ,ie está, naturalmente, al potencial de tierra. De acuerdo con la figura l0.l4b), el voltaje de secuencia cero de un punto necto al bus de referencia es a

V

o=

-

ZJoo

1i'.-<-1

r

re

:e:e:; r:

¿l

cor ie>(

i 0.,r4

r

Orden de valores de las impedancias de secuencia en un generador síncrono Los valores típicos de las impedancias de secuencia en un turbogenerador con capacidad de 5 MVA, a 6.6 kV 3 000 rpm son:

Zt = l27o (subtransitoria) Zt = 207o (transitoria) Zt = Il07o (síncrona)

Zz= l2vo Zo=

5vo

Para conocer los valores típicos de las reactancias de secuencia positiva, negativa y cero en una máquina síncrona, véase la tabla 9.1.

IO.7 IMPEDANCIAS DE SECUENCIA EN LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Una línea trifásica totalmente transpuesta es por completo simétrica y, por consiguiente, la impedancia por fase que presenta es independiente de la secuencia de fases en un conjunto balanceado de corrientes. En otras palabras, las impedancias que presenta a corrientes de secuencia positiva y negativa son idénticas. La ecuación de su reactancia inductiva por fase, teniendo en cuenta los acoplamientos propio y mutuo, se dedujeron en el capítulo 2. Cuando sólo pasan corrientes de secuencia cero en una línea de transmisión, las corrientes en cada fase son idénticas tanto en magnitud como en ángulo de fase. Parte de esas corrientes regresan por tierra física mientras que el resto regresan por los conductores de tierra aéreos. Los conductores de tierra están aterrizados en varias torres, y las corrientes de retomo en los conductores de tierra no necesariamente son uniformes a 1o largo de toda la longitud. El flujo de corrientes de secuencia cero por las líneas de transmisión, conductores de tierra y tierra física, crea una distribución de campo magnético que es por completo distinta de la causada por el flujo de corrientes de secuencia positiva o negativa donde las corrienles tienen 120o de diferencia de fase y la corriente de retomo es cero. La impedancia de secuencia cero en una línea de transmisión también explica la impedancia de tierra (Zo = Zto + 3Zns).Como la impedancia de tierra depende mucho de

CAPíTULO

10

Componentes simétricos

las condiciones del suelo, es esencial hacer algunas hipótesis simplificadoras para obtener resultados analíticos. La impedancia de secuencia cero en las líneas de transmisión suele ser de 2 a 3.5 veces la impedancia de secuencia positiva.* Tal relación está del lado más alto para líneas de doble circuito sin conductores de tierra.

10.8 IMPEDANCIAS Y REDES DE SECUENCIA EN TRANSFORMADORES Se sabe bien que casi todas las instalaciones actuales tienen transformadores trifásicos, porque implican menor costo inicial, tienen menos necesidades de espacio y su eficiencia es mayor. La impedancia en serie de secuencia positiva en un transformador es igual a su impedancia de fuga. Como un transformador es un elemento estático, la impedancia de fuga no cambia al alterar la secuencia de fases de voltajes balanceados aplicados. La impedancia de secuencia negativa en el transformador también es igual a su reactancia de dispersión. Así, para un transformador

(10.ss)

Zt=Zt=Z¡,,"^

Si se supone que las conexiones dél transformador sean tales que puedan fluir corrientes de secuencia cero en ambos lados, un transformador ofrece impedancia de secuencia cero que puede diferir muy poco de los valores correspondientes de secuencia positiva y negativa. Sin embargo,Tapráctica normal es suponer que las impedancias en serie de todas las secuencias son iguales independientemente del tipo de transformador. La corriente magnetizante de secuencia cero es algo mayor en un transformador de tipo de núcleo que de tipo acorazado. Esta diferencia no importa, porque nunca se toma en cuenta la corriente magnetizante de un transformador; siempre se desprecia en un análisis de cortocircuito. Por arriba de cierta capacidad (1 000 kVA) la reactancia y la impedancia de un transformador son casi iguales y. en consecuencia, no se hace diferencia entre ellas. x Se pueden comparar con facilidad las impedancias de secuencia positiva y cero de trayectoria directa, en una línea de transmisión con la trayectoria de retorno por tierra infinitamente alejada. Supongamos que cada línea tiene una inductancia propia L e inductancia mutua M enÍe dos líneas cualesquiera (caso por completo simétrico). La caída de voltaje en la 1ínea a causada por las corrientes de secuencia positiva es

V¡o1= aLI¿ + aMI6, + úAII,1

= ¡aL+ (a2 + a) oMllol = a(L-MI"t .'. Reactancia de secuencia positiva = a\L - M La caída de voltaje en la línea, causada por corrientes de secuencia cero

es

Vta¡= aLloo + aMI6o + aMI* = u(L + MI"o .'. Reactancia de secuencia cero = olL + 2M\ Es obvio que la reactancia de secuencia cero es mucho mayor que la reactancia de secuencia positiva. Este resultado ya se había deducido en la ecuación (10.45).

10,8

lmpedancias y redes de secuencia en transformadores

"1" Lo=LoJ I -l -

'b0

a) Estrella no aterrizada

1n

"\ lo

'a0

-c b) Estrella alerrizada

Figura 10.15 Flujo de corrientes de secuencia cero en una conexión en estrella

Redes de secuencia cero en transformadores Antes de describir las redes de secuencia cero en diversos tipos de conexiones de transformador, se harán tres observaciones importantes:

l)

Cuando se desprecia la corriente magnetizante, el primario del transformador sólo conduciúa corriente cuando haya flujo de corriente en el lado secundario.

il)

Las corrientes de secuencia cero pueden pasar por las ramas de una conexión en estrella sólo si el centro de la estrella está aterrizado el cual proporciona la trayectoria de retorno necesaria para las corrientes de secuencia cero. Este hecho se ilustra en

las figuras

iil)

l0.l5a) y

b).

No pueden fluir corrientes de secuencia cero en las líneas conectadas a una conexión en delta, porque no tienen disponibles trayectorias de retorno. Sin embargo, pueden fluir corrientes de secuencia cero por las ramas de una delta: tales corrientes se deben a voltajes de secuencia cero en la conexión en deita. Esto se ilustra en la

figura 10.16. Ahora se verán algunos tipos de conexiones de transformador. Caso

l:

Banco de transformadores Y-Y con cualquier neutro aterri:ado

Si cualquiera de los dos neutros en un transformador Y-Y no esfá aterizado, no pueden

fluir corrientes de secuencia cero en la estrella no aterrizada y'. por consiguiente, no pueden fluir a la estrella aferizada. Entonces existe un circuito abierto en la red de secuencia cero, entre H y L, es decir, entre las dos partes del sistema conectadas por el transformador como se muestra en la fisura 10.17.

Figura

10.16

Flujo de corrientes de secuencia cero en una conexión en delta

CAPíTULO

1o

Componentes simétricos

Bus de referencia

zo

- rTó'X1-L

r H

Figura 10.17 Banco de transformadores Y-Y con un neutro aterrizado y su red de secuencia cero Caso 2: Banco de transformadoresY-Y con ambos neutros aterrizados

Cuando se conectan atiena ambos neutros de un transformador Y-Y, existe una trayectoria que pasa por el transformador para corrientes de secuencia cero en ambos devanados por medio de los dos neutros aterrizados. Por consiguiente, en la red de secuencia cero H y L están conectados por la impedancia de secuencia cero del transformador como se ve en la figura 10.18.

Caso 3: Banco de transformadores Y-L con el neutro de Y Qterrizado Si el neutro del lado estrella está aterizado, pueden fluir corrientes de secuencia cero en

la estrella porque hay disponible una trayectoria a fierca, y pueden pasar las corrientes balanceadas de secuencia cero en la delta. Naturalmente, no pueden pasar corrientes de secuencia cero en la línea, en el lado de la delta. Por lo anterior, la red de secuencia cero

Bus de referencia

^

_

.rñ^LI] UU

HzoL Figura

10.1

8

Banco de transformador Y-Y con neutros aterrizados v su red de secuencia cero

Bus de referencia

Figura 10.19 Banco de transformador Y-A con neutro de Y alerrizado y su red de secuencia cero

10.9

Construcción de redes de secuencia

e ec:rico

de potencia

nBus de referenc,a

t

^,--"-¡h¡-(. )'.d\

e.]trT-r "2; H

-

L

Figura 10.20 Banco de transformador y-A con estrella sin aterrizar, y su red de secuencia cero debe tener una trayectoria desde lalínea fl del lado de la estrella que fluya por la impedancia de secuencia cero del transformador al bus de referencia, mientras que debe existir circuito abierto en el lado L dela línea en la delta (vea la figura 10.19). Si el neutro de la estrella se conecta a tiera por 2,, aparece una impedancia 32,, en serie con Zo en la red de secuencia. Caso 1: Banco de transformador Y-A, con eslrella no alerrizada

Es el caso especial del caso 3 donde el neutro se conecta a tierra a través de 2,. = *.En consecuencia, no puede fluir coriente de secuencia cero por los devanados del transformador. Entonces, la red de secuencia cero se convierte en la que muestra la figura 10.20. Caso 5: Banco de transfonnador A,-L Como un circuito en delta no tiene trayectoria de relorno, las corientes de secuencia cero y de entrada o salida no pueden fluir por el transformador A-4. Sin embargo, éstas pueden circular en los devanados de la delta.* Por lo anterior, hay circuito abierto entre H y L, y Zo está conectada al bus de referencia en ambos extremos para explicar cualquier corriente circulante de secuencia cero en las dos deltas (vea la figura 10.2I).

10.9 CONSTRUCCIÓN DE REDES DE SECUENCIA PARA UN SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA En las secciones anteriores se han descrito las redes de secuencia para diversos elementos del sistema eléctrico de potencia, como máquinas síncronas, transformadores y líneas. Con I

Bus de referencia

\^R

,h\ \"Q" c1

t;

l

\

^,,'

i¡ry -L

Figura 10.21 Banco de transformador A-^ y su red de secuencia cero * Esas corrientes ci¡culantes só1o existiían si se indujeran voltajes de secuencia cero de alguna manera en cada devanado de la delta.

estas redes de secuencia se pueden construir con facilidad redes de secuencia completas para un sistema de potencia. Para comenzar, la red de secuencia positiva se construye al examinar el diagrama unifilar del sistema. Debe notarse que sólo se presentan voltajes de secuencia positiva en las máquinas síncronas (generadores y motores). La transición de una red de secuencia positiva a una de secuencia negativa es inmediata. Como las impedancias de secuencia positiva y negativa son idénticas para los elementos estáticos (líneas y transformadores), el único cambio necesario en la red de secuencia positiva para obtener la red de secuencia negativa es respecto a las máquinas síncronas. Cada máquina se representa por su impedancia de secuencia negativa y el voltaje de secuencia negativa es cero. El bus de referencia para las redes de secuencia positiva y negativa es el neutro del sistema. Cualquier impedancia conectada entre un neutro y tierra no se incluye en estas redes de secuencia, porque ninguna de esas corrientes de secuencia puede fluir por tal impedancia. Las subredes de secuencia cero, para diversas partes de un sistema, se pueden combinar con facilidad formando la red completa de secuencia cero. No hay fuentes de voltaje en la red de secuencia cero. Toda impedancia que se incluya en el neutro del generador o del transformador triplica su valor en una red de secuencia cero. Se debe tener especial cuidado con los transformadores en lo que se refiere a la red de secuencia cero. En la sección anterior se describieron las redes de secuencia cero para todas las conexiones posibles en transformadores. El procedimiento para trazar redes de secuencia se ilustra en los ejemplos siguientes.

I Ejemplo 10.2 Un generador trifásico de 25 MVA, 11 kV tiene una reactancia subtransitoria de 20Vo.El generador alimenta a dos motores a través de una línea de transmisión, con transformadores en ambos extremos como se ve en el diagrama unifilar de la figura l0.22.Las capa' cidades nominales de los motores son de 15 y 7.5 MVA, ambos de 10 kV con reactancia subtransitoria de 25Vo. Los dos transformadores trifásicos tienen capacidad nominal de 30 MVA, 10.8/I2I kV, conexión A-Ycon una reactancia de dispersión de lOVo cadatno. La reactancia en serie de la línea es 100 ohms. Trazar las redes de secuencia positiva y negativa del sistema con reactancias especificadas por unidad. Suponer que la reactancia de secuencia negativa de cada máquina es igual alareactancia subtransitoria. Omitir las resistencias. Seleccionar la capacidad nominal del generador como base del circuito del generador.

Figura 10.22

10.9

Construcción de redes oe ^ecLi5'.ia Dafa

!¡

sste.na eléctrico de potencia

Bus de referencia

Una base de 25 MVA, 11 kV en el circuito del generador requiere una base de 25 MVA en todos los demás circuitos y las siguientes bases de voltaje

Sotucion

| " # = 123'2 kY I O.u 11 kV Base de voltaje del motor = 123.2 t # lzl =

Base de voltaje en la línea de transmisión

=

I

Las reactancias de transformadores, línea y motores se convierten en valores pu en las bases correspondientes como sigue: Reactancia

de

transformado = 0,1

Reactancia de línea

* ?rf )'= 0.0805 pu 30 \ ry 11 /

= ++ = (123.2)'

0.164 Pu

Reactancia del motor

r = 0.25

, ?rl+)' 15 \11l

Reactancia del motor

2=

" +tf+)' 7.5 \11l

0.25

= 0.345 pu ^

= 0.69 pu

La red de secuencia positiva que se pide se presenta en la figura 10.23. En vista de que todas las reactancias de secuencia negativa en el sistema son iguales a las reactancias de secuencia positiva, la red de secuencia negativa es idéntica a la red de secuencia positiva pero se omiten las fuentes de voltaje. La red de secuencia negativa para este eiercicio se ve en la figura 10.24.

/0.0805 Figura

10.24

j0.164

¡O.0805

Red de secuencia negativa para el ejemplo 10.3

zn

l*D'

aYr

¡Y^ Figura 10.25

f¡"rpn ro.á

"i

t--

Para el sistema de potencia cuyo diagrama unifilar se ve en la figura 10.25, trazn la red de secuencia cero

Solucion La red de secuencia

cero se ve en la fieura 10.26.

Dibujar la red de secuencia cero para el sistema descrito en el ejemplo 10.3. Suponer que las reactancias de secuencia cero para el generador y los motores son 0.06 por unidad. Se conectan reactores limitadores de corriente de 2.5 ohms cada uno al neutro del generador y del motor nim. 2. La reactancia de secuencia cero de la línea de transmisión es 300 ohms.

Solucion La reactancia

de secuencia cero del transformador es ieual a su reactancia de secuencja positiva. En consecuencia

Reactancia de secuencia cero del transformador = 0.0805 pu Reactancias de secuencia cero del generador = 0.06 pu Reactancia de secuencia cero del motor 1

= 0.06

,

25

t l-19)'

15 \ 11 /

= 0.082 pu

Bus de referencia

Zon, Zos,

Zrt

Zo(línea)

Zn

Figura 10.26 Red de secuencia cero del sistema presentado en la figura 10.25

Bus de referencia

j1.548

11.548

10.06

7O.164

Figura 10.27 Red de secuencia cero para el ejemplo 10.5

Reactancia de secuencia cero del motor

2=

0.06

25

,

\11l 7.5" l4)'

= 0.164 pu Reacrancia de los reactores limitadores de corrient.

=

?élé

= 0.516 pu

(1 1)'.

Reactancia del reactor o bobina limitadora de corriente incluido en la red de secuencia cero = 3 x 0.516 = 1.548 pu Reactancia de secuencia cero de la línea de transmisi

La red de secuencia cero

se

'n

2!

-

300 x

=

0.494 pu

(r23.Dz

muestra en la fisura 10.27.

PROBLEIvTAS

10.1

Calcule lo siguiente en forma polar:

ü ú4 10.2

ii)

r- a- &

iii) 3 a2 +

4a+2

iv)

ja

Se conectan tres resistores idénticos en estrella cuyas capacidades nominales son 2 500 V 750 kVA. Esta unidad trifásica de resistores se conecta con el lado Y de un transformador A-I. Los voltajes en los resistores con carga son lVosl

= 2 000 V; lV6,l = 2900 V; lV,ol = 2 500 V

Tome como base 2 500 V 750 kVA y determine los voltajes y corrientes de línea por unidad en el lado delta del transformador. Se puede suponer que el neutro de carga no se conecta al neutro del secundario del transformador.

10.3 Determine los componentes simétricos de los tres voltaies Vo= 200LV, Vb = 200L245"

y

V, = 200L105 V

l!4 |

CAPíTULO

1o

componentes s¡métr¡cos

I

P-l0.5

Figura

10.4

10.5

Secuencia de fase ABC

Se conecta una carga resistiva monofásica de 100 kVA entre las líneas bc de una fuente balanceada de 3 kV. Calcule los componentes simétricos de las corrientes de línea. Se conecta una carga resistiva en delta a una fuente trifásica balanceada de 400 se ve en la figura P-10.5. Calcule los componentes simétricos de las corrientes de línea y las corrientes en la delta.

V como

10.6

y 20 ohms a una fuente trifásiV por fase, como se ve en la figura P-10.6. El neutro de la fuente está conectado a tierra mientras que el neutro de la carga está aislado. Calcule las corrientes en cada rama de cargay el voltaje del neutro dela carga por arriba de Se conectan en estrella tres resistencias de 10, 15

ca de 200

tierra. Use el método de componentes simétricos.

I0.7

Los voltajes en las terminales de una carga balanceada, formada por tres resistores de 20 ohm conectados en I, son 200L0",700L225.5' y 20OLl5l" V. Calcule las corrientes de línea a partir de los componentes simétricos de los voltajes de línea si el neutro de la carga está aislado. ¿Qué relación existe entre los componentes simétricos de los voltajes de línea y de fase? Calcule la potencia consumida en tres resistores de 20 ohms a partir de los componentes simétricos de corriente y voltaje.

10.8

Trace las redes de impedancia de secuencia positiva, negativa y cero para el sistema de potencia de la flgura P-10.8. Tome como base 50 MVA, 200 kV en las líneas de transmisión de 50 0 y marque todas las reactancias en pu. Las capacidades nominales de los generadores y transformadores son:

t

200 I

Figura P-l0.6

ar 7/ l/

^É vr\

i),'Él

/'1-l

/t

X=5%

X = 5"/o

a la capacidad nominal

a la capacidad nominal de la máquina 1

de la máquina 2

Figura P-l0.8 Generador 1: 25 MVA" 11 kV. X"

=20

Vo

Generador 2: 25 MYA,11 kV, X" = 207o Transformador trifásico (cada uno): 20 MVA,

lIYl220Y

kY, X = I57o La reactancia de secuencia negativa de cada máquina síncrona es igual a su reactancia subtransitoria. Larcactancia de secuencia cero de cada máquina es \Vo. Suponga que las reactancias de secuencia cero de las líneas son 25OVo de sus reactancias de secuencia positiva.

10.9

Para el sistema de potencia de la figura P-10.9 trace las redes de secuencia positiva, negativa y cero. Las capacidades de los generadores y transformadores son las

siguientes: Generador 1:25 MVA, 11 kV X'=0.2,X2=0.15,X0 = 0.03 pu Generador 2: 15 MVA, 11 kV X' =0.2,X2=0.15,X0 = 0.05 pu Motor síncrono 3: 25 MVA, 11kV X'=O.2,Xz=0.2,X0 = 0.1 pu

Transformador

II LlI20 Y kV, X = IjVo 2: 12.5 MVA, lI L/I20 Y kV, X = I0Vo 1:

25 MVA,

10 MVA. 120 Yln Y kV, X = IUVo Escoja una base de 50 MVA, 11 kV en el circuito del generador 1. Nota:La reactancia de secuencia cero de cadalíneaes250Vo de su reactancia de

3'.

secuencia positiva.

Figura P-10.9

CAPíTULO,10 Comoonentes simétricos

xs

\7 von z--\+

Xab t. 'D

xs

X"u

10000

\

Xb" XS

a/-ffi

Figura P-10.10 10.10

Considere el circuito de la figura P-10.10. Suponga que von

= loo Lo

vu, = 6o L6o" vrn =

a) b)

Xr=12 O Xob=Xbr=Xro=5

d)

6o Ll2o"

Calcule Io, Iu e 1. sin usar componentes simétricos. Calcule Io, Ioe 1, usando componentes simétricos.

REFERENCIAS

tibros 1.

Wagner, C.F. y R.D. Evans, Symmetrical Components, Mccnaw-Hill, NuevaYork, 1933.

2.

CIarke, E., Circuit Analysis of Alternatíng Current Power Systems, vol. 1, Wiley, Nueva York,

3.

Austin Stigant, 5., Master Equations and Tables for Symmetrícal Components Fauh Studies, Mac-

1943.

donald. Londres. 1964.

4. Stevenson, W.D., Elements of Power System Analysis,4a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1982. 5. Nagrath, I.J. y D.P. Khotari, Electric Machines,2a. ed.,Tata McGraw-Hill, Nueva Delhi, 1997.

Artículos 6.

Fortescue, C.L., "Method

of Symmetrical Coordinates Applies to the Solution of Polyphase Net-

sorks". AIEE. 1918. 3'7: 102'7 .

IT Análists de fallas a

,.

asrmeIrrcas

::ll

ir

a

a,.

il

Í''r'ls

TI.7

INTRODUCCION

El capítulo 9 se dedicó al tratamiento de fallas simétricas (trifásicas) en un sistema eléctrico de potencia. Como el sistema permanece balanceado durante esas fallas, el análisis podría realizarse de modo conveniente en base monofásica. En este capítulo se tratarán fallas asimétricas. Varias clases de fallas asimétricas que se presentan en los sistemas eléctricos de potencia son:

Fallas tipo Paralelo (Shunt)

i) ii) iii)

Falla de una línea a tiena (LG). Falla de línea a línea (LL). Falla de doble línea a tierra (LLG).

Fallas tipo serie

t)

Falla de un conductor abierto (uno o dos conductores abiertos). Se indicó en el capítulo 9 que una falla trifásica (3L), como es la más grave, debe usarse para calcular la capacidad de ruptura de los disyuntores (cortacircuitos), aun cuando esta clase de falla sucede con poca frecuencia en comparación con las fallas asimétricas de la lista anterior. Sin embargo, hay casos en que una falla LG puede causar una corriente de falla mayor que una falla trifásica (puede suceder cuando el lugar de la falla es cercano a las grandes unidades generadoras). Aparte de esto, es importante el análisis de fallas asimétricas para ajustar relevadores, conmutación monofásica y estudios de estabilidad del sistema (capítulo 12). La probabilidad de que ocurran dos o más fallas simultáneas (en una gran área) en un sistema de potencia es remota y, por consiguiente, no se justifica en el diseño del sistema con condiciones anormales.

CAPITULO

11

Análisis de fallas asimétricas

Figura

11.1

Una red general de potencia

El método de componentes simétricos, presentado en el capítulo 10, es una poderosa herramienta para estudiar fallas asimétricas y se aprovechará a fondo en este capítulo.

II.2

ANÁLISIS DE COMPONENTES SIMÉTRICOS EN FALLAS ASIMÉTRICAS

Se tiene una red general de potencia como la de la figura 11.1. Se supone que sucede una falla tipo derivación (shunt) en el punto F del sistema, por cuyo resultado salen del sistema las corrientes Io, 16,1" y los voltajes de las líneas a, b, c con respecto a tierra son

Vo,Vay Vr. También se supone que el sistema trabaja sin carga antes de que suceda una falla. Por consiguiente, los voltajes de secuencia positiva de todas las máquinas síncronas serán idénticos e iguales al voltaje anterior a la falla en F. Este voltaje se denotará por Eo. Como se ve en F, el sistema de potencia presentará redes de secuencia positiva, negativa y cero, que se representan en forma esquemática en las figuras ll.2a), b) y c). El bus de referencia se representa con una línea gruesa y el punto F se identifica en cada red de secuencia. Los voltajes de secuencia en F y las corrientes de secuencia que salen de las redes en F también se muestran en las redes de secuencia. Las figuras ll.3a), b) y c), respectivamente. muestran los equivalentes de Thevenin de las tres redes de secuencia. Si se reconoce que el voltaje E" sólo está presente en la red de secuencia positiva y que no hay acoplamiento enÍe las redes de secuencia, entonces los voltajes de secuencia

F se pueden expresar en térmiros de corrientes de secuencia y de impedancias de secuencia de Thevenir como en

lu.

fz,

0

oI[t"l

l%'l=loo

ll

z2

o

[%'

I

LV,ol

L

0

zo

llr,,

(11.1) I

)ll"o )

Falla de una línea a tierra (LG)

a) a)

T] "4

b)

b)

Y*

llL_>JF la2

TI J] tá

c)

(l L-__Jt

vuo

c)

l.o

Figura

11.2

Redes de secuencia vistas

desde el punto de falla F

Figura

11.3

Equivalentes de Thevenin de las redes de secuencia vistas desde el punto de falla F

Dependiendo del tipo de falla, las corrientes y los voltajes de secuencia se restringen y llevan a una conexión particular de redes de secuencia. Entonces se pueden calcular con facilidad las corrientes y voltajes de secuencia, así como las corrientes y voltajes de falla. Ahora se verá los diversos tipos de falla que enumeramos antes.

11.3 FALLA

DE UNA LÍNEA A TIERRA (tG)

La figura 1 1.4 muestra una falla de una línea a tierra en F en un sistema eléctrico de potencia, que pasa por una impedancia Zf . Las fases se identifican de tal modo que la falla sucede en la fase a.

Figura

11.4

Falla de una línea a tierra (LG) en F

CAPíTULo

11

Análisis de fallas asimétricas

En el punto de la falla F, las corientes que salen del sistema eléctrico de potencia y los voltajes de línea a tierra se restringen como sigue:

It= 0

(rr.2)

I, = 0

(11.3)

vo = ZfIo

(11.4)

Los componentes simétricos de las corrientes de falla son

-', rl[r IIt,,li^=: f l dI I l-1',:', I I a

I

de donde se ve con facilidad que

Iot=

Iú=

Ioo=

'ltil llo

(11.5)

J

La ecuación ( I l -l) se expresa en función de componentes asimétricos como sigue Vo,

+

Vo,

*

Voo

= ZfIo =

(11.6)

37f¡o,

Como indican las ecuaciones (11.5) y (11.6), todas las corrientes de secuencia son iguales y la suma de los voltajes de secuencia es igual a 3Zrlot. Por consiguiente, esas ecuaciones parecen indicar que hay una conexión en serie de las redes de secuencia a través de una impedan cia 3ZJ , como se ve en las figuras ll .5a) y b).

r -t -, ..Lt

'a1-'a2_,a0-3,a

a)

Figura

11.5

b)

Conexión de la red de secuencia para una falla de una línea a tierra (LG)

Falla de una línea a tierra (LG)

En términos del equivalente de Thevenin de las redes de secuencia, se puede escribir de acuerdo con la figura 11.5á), que

'at-_E(Zt+22+zo¡+3Zf

(11.7)

Entonces, la corriente Iode falla se determina con 3Eo

I =?! =

(1 1.8)

Los resultados anteriores también se pueden obtener en forma directa de las ecuaciones (11.5) y (11.6), al emplear VovVozy V"ode la ecuación (11.1). Entonces

(8"- IoP) + (-I"rZr) + (-IosZd = 3Zflot o sea

L(Zt+ Zr+ Zo¡ + 3Z[flor=

Eo

es decir

'at

_E - (21+ 22 + zo) +3Zf

El voltaje de la línea b atiena, en condiciones de falla

Vo= &vor+ aVor+

=

o'(8.-

es

v^

^+)*

*(-2,+).(-',+)

Se sustituye Iodela ecuación (1 1.8) y al reorganizar se llega a

,r - 3a2ZI + Z.(d2 - q) + zold -t¡ 'b "a (zr+2"+Zo\+3ZJ I A _

L^

(11.e)

Se puede obtener en forma análoga la ecuación para Vr.

Fallas con carga Antes de que suceda una falla en condiciones balanceadas, por el sistema sólo pasan corrientes de secuencia positiva antes de presentarse la falla. En consecuencia, las corrientes de secuencia negativa y cero son las mismas que cuando no hay carga. Naturalmente, la red de secuencia positiva debe conducir la corriente de carga. Para cuantificar la corriente de carga, las máquinas síncronas en la red de secuencia positiva se sustituyen por reactancias subtransitorias, transitorias o síncronas (que dependen del tiempo después de la ocurrencia de la falla, cuando se deben determinar las corrientes) y los voltajes detrás de las reactancias correspondientes. Este cambio no perturba el flujo de corrientes de secuencia positiva antes de la falla (véase el capítulo 9). Esta red de secuencia positiva se uttlizafia entonces en la conexión de la red de secuencia de la figura ll.Sa) para calcular las corrientes de secuencia baio la falla.

CAPíTULO

11

Aná[sis de fallas asimétricas

En caso de que la red de secuencia positiva se sustituya por su equivalente de Thevenin como en la figura 11.5b), el voltaje de Thevenin es igual al voltaje de prefalla Vi en el punto de falla

Le2

F (en condiciones de carga). La impedancia de Thevenin

es la que hay entre F y el bus de referencia de la red pasiva de secuencia positiva (con los generadores de voltaje en cortocircuito).

l4y=l

¿

ll| )vf 1t4

Z,

c)

11.6

Red de secuencia positiva y su equivalente de Thevenin antes de que suceda una falla

rr.4

II.6,la

misma no existe en su red equivalente de Thevenin en la se usa el equivalente de Thevenin de la red de secuencia positiva para calcular corrientes de falla, las corrientes de secuencia positiva dentro de la red son las que se deben sólo a la falla y sobre ellas se deben superponer las corrientes anteriores a la falla. Claro está que la corriente de secuencia positiva que entra en la falla es directamente el resultado correcto y la corriente anterior a la falla es cero. Las observaciones anteriores son válidas para la red de secuencia positiva, independiente del tipo de falla.

figura 11.6b). Por consiguiente, cuando

7t-- p Figura

Esto se ilustra en la figura 11.6 con un sistema de dos máquinas. Se ve en esta figura que mientras que las corrientes anteriores a la falla pasan en la red de secuencia positiva real de la figura

FALLA DE LÍNEA A IÍNEA (rL)

La figura 11.7 muestra una falla de línea alínea en F de un sistema eléctrico de potencia en las fases b y c, que pasa por una impedancia de falla Zf .Las fases siempre pueden denotarse de diferente manera tal que la falla sea en las fases b y c. Las corrientes y voltajes en la falla se pueden expresar como

l''=o I Io=lIo l:Vu-V,= Iozf It, = -tr)

Los componentes simétricos de las corrientes de falla son

lI",f lr,, l=*lJI I I

lI"o)

Figura

11.7

[t t

aa2 o2a

Ll

Falla de línea a línea

(tt)

Itll

a través de la impedanciaZr

(1

1.10)

Falla de línea a línea (LL)

de donde se obtienen

Io2=

-

(11.11)

Iol

(1 1.12)

Ioo= 0 Los componentes simétricos de los voltajes en F en la falla son

q "'fl', lv,,i .[t o2 l";; l=il' | "llr, 1)lvu LV"r) Lr

l - z'

Ia

(1 1.13)

|

)

Si se escriben las dos primeras ecuaciones se obtiene

+ &¡ v, - &zrto 3vo2= vo + (a + t¡ vo- azf Io 3vo1= vo + (a

de donde

3(Va-

Voz)

= @ * &)zrto = ¡"5 zrto

(1

1.14)

Ahora bien,

(ú - a) Iot (: Ioz= -Ioi = _jJlIol

Io=

loo

=

0) (1 1.15)

Se sustituye Iudela ecuación (11.15) en la ecuación (11.14) para obtener

Vot-

Voz= Vlot

(1 1.16)

Las ecuaciones (11.11) y (11.16) sugieren una conexión en paralelo de las redes de 7 en sene como se muestra en las f,guras 11.8a) y á). Como loo=0, de acuerdo con la ecuación (ll.l2),lared de sesecuencia positiva y negativa a través de una impedancia

cuencia cero no está conectada. En términos de equivalentes de Thevenin, de acuerdo con la figura

-E.=

l^t

lI.8b) (11.17)

-----------:-

Zr+Zr+Zr

I

,2,

_l zf

a) Figura

11.8

b)

Conexión de redes de secuencia para una falla de línea a línea (LL)

cAPíTuLo

11

Análisis de fallas asimétricas

"!

Figura

11.9

I

l"-

0

Falla de doble línea a tierra a través de la impedanciaZf

De la ecuación (11.15) se obtiene

L= 'b- -I-'c-

-iJ3E" Zr+Zr+zf

(11.1s)

Una vez determinado 1o1 se pueden calcular VotY Voz, y con eso se pueden calcular los voltajes en la falla. Si la falla sucede en condiciones de carga, la red de secuencia positiva se puede modificar basándose en la última parte de la sección 1 1.3.

11.5 FATLA

DE LÍNEA DOBLE A TIERRA (LtG)

La figura 11.9 representa una falla de doble línea a tierra, en F de un sistema eléctrico de potencia. En general, la falla puede tener una impedancia Zf , como se indica. Las condiciones de corriente y voltaje (a tien.a) en la falla se expresan como

obien

I=0

I

,", +laz+l"o=oJ

(1

1.19)

3zfloo

(1i.20)

[". ] [r d "')lv,) la, I=11 o2 "llr,l

(11.21)

Vr= V,=

Zf

(Ia+ I,) =

Los componentes simétricos de los voltajes son

lv"o)'[r' r

rjl"r.J

de donde se sigue que

vor= vo2=

,^= I(v, De las ecuaciones (II.22a) y

voo-

\rr,

+ (a +

í)vul

+ zvu)

(ll.22b),

v¡=

&) vo= vu = 3zfloo Ir, - a-

(rr.22a) (Ir.22b)

115

Fa¡]a de línea doble a tierra

(LLG) t 405 ' -f*I

-l

I

l

vd

22

zo

'a2

-l

rY

t;

I

Vuo

gzf

b)

Figura 11.10 Conexión de redes de secuencia para una falla de doble línea a tierra (LLG)

o sea

(rr.23)

Voo= Vot + 3Zf loo

De acuerdo con las ecuaciones ( 1 1 . 1 9), (11 .22a) y (II .23) se puede trazar la conexión de las redes de secuencia como muestran las flguras 1 1 .10a) y b). El lector debe verificar esto, escribiendo las ecuaciones de red y de nodos para estas figuras. En términos de los equivalentes de Thevenin y de acuerdo con la figura 11.10b) f'al -

_

Z, +

Zrll(2,

+ 3Zr ) Eo

Z, + Zr(Zo + 3Zr ) I (2, + Zo + 3Zr )

(1r.24)

Este resultado se puede obtener analíticamente como sigue: Al sustituir vo1, vo2y vo6 en función de Eo en la ecuación (11.1)' y premultiplicar ambos lados por Z-I (inversadelamatiz de impedancia de secuencia), se llega a

o olle"-2,r,, lt¡' o z;t o -Zttot I Io

o

llt,

I

zl' llu" - ZrI o, + zzr t,o )

o olt",l lt¡' =l o Z,'oll ol-l¿,

[r,,-1

Io o

I

z;'.]Lol

(rr.2s) 1

L¡,ol

CnpífUlO

ll

Análisis de fallas asimétricas

Se premultiplican ambos lados por

lamatiz renglón

(11.19) y (ll.2O), se obtiene

De la ecuación

tl

1 1l y si

se usan las ecuaciones

t * 1), _!zf , +,(,.2,,2r\-( = + í-,,0 [r i. ¿ ),", \r, Z )""

(lI.22a)

(rr.26)

se tiene

Eo- ZJot=-ZzIo2 Al

hacer

la

sustitución,

+ I,,o) [vea laecuación Eo- Ztlot= Zz(Iot + Ios) Io2=

-

(Iar

(11.19)]

o

tt * t'), \ z, )'"'

l-^= 'oo- !-o Zz-(

.

Si se sustituye este valor de looenla ecuación (1I.26) llega a

I"l

y

se simplifica, finalmente se

Eo

=

Si la falla sucede desde las condiciones de carga, la red de secuencia positiva se mo-

dificará como se describió en la sección 11.3.

La figura 11.11 muestra un generador síncrono cuyo neutro está conectado a tierra a través de una reactanciaX,.El generador tiene fems balanceadas, y las reactancias de secuencia son X1, Xzy Xo tales que Xt = Xz* Xo.

a) Trazu las redes de secuencia del generador, vistas desde las terminales. b) Deducir una expresión para la corriente de falla para una falla sólida de línea a tierta en la fase a.

Figura

11.1

1

Generador síncrono aterrizado a través de una reactancia en el neutro

Falla de línea doble a tierra (LLG)

nX^

-)

:_) 3X= 2

Cero

Figura 11.12

síncrono aterrizado a través

c) Demostrar que, si el neutro está conectado sólidamente a tierra, la corriente de falla LG sería más que tres veces la corriente de falla trifásica.

ü

Escribir la ecuación para la reactancia de conexión a tierra del neutro, tal que la corriente de falla LG sea menor que la corriente de falla trifásica.

Solucion

a)

La figura I1 .I2 muestra las redes de secuencia del generador. Como se dijo antes, sólo se incluye la fuente de voltaje en la red de secuencia positiva.

b) La conexión de las redes de secuencia

para una falla LG sólida (Zf = 0) se ve en la figura 11.13, de donde se puede escribir que la corriente de falla es

-

ll)rc c)

3lE.l 2Xr+Xo+3X,

(i)

Xt= Xz

Si el neutro está sólidamente aterrizado llol

,6

=

3lE"l 2X, + Xo

(ii)

Para una falla trifásica sólida (véase la figura I 1.14),

trt 3L-_lE,l _3lE"l ttat X,

Al comparar (ll) con (iii)

3*,

(iii)

se ve con facilidad que

Iuo

= 1 /31"

Figura 11.13 Falla LG

lI) rc> lIol3L Aquí se hace la importante observación que, cuando el neutro del generador está sólidamente aterizado, la falla LG es más grave que una falla 3L. Esto es así porque Xo 4 Xt = Xz an el generador. Sin em-

) X1 = X2, pon lo que para una falla en una línea lo suficientemente alejada del generador, la falla 3L sería más grave que una falla LG.

bargo, para una línea Xo

Figura 11.14 Falla trifásica

r

CAPíTULO

11

Análisis de fallas asimétricas

Figura 11.15

d)

Con el generador conectado a tierra a través de la reactancia, al comparar las ecuaciones (i) y (iii), se tiene que la corriente de falla LG sea menor que la de falla 3L

3tE l 2Xr+Xo+3X,

3tE-l 3X,

o sea

2X, + Xo + 3X,> 3X, es decir,

Xn>

1

*(Xr 3

Xo)

(iv)

Dos generadores trifásicos de 11 kV, 20 MVA, conectados en estrella, funcionan en paralelo como se ve en la figura 11.15; las reactancias de secuencia positiva, negativa y cero son, respectivamente,j0.l8,j0.15 yj0.10 pu. El punto neutro de uno de los generadores está aislado y el del otro está conectado atiena a través de un resistor de2.0 ohms. Se presenta una falla de una línea a tierra en las terminales de uno de los generadores. Estimar: i) la corriente de falla, il) la coniente en el resistor a tierra y iii) el voltaje a través del resistor a tierra.

Solucim (Nota: Todos los valores se dan por unidad.) Como los dos generadores idénticos operan en paralelo, Xr"q

=

+q L'

= 70.09, X2,q=

4tl

= i0.07s

Como el punto neutro del segundo generador está aislado, su reactancia de secuencia cero no aparece en este desarrollo. Así,

Zo.q=j0.10+3R"= j0.10 Para una falla LG si se utiliza la ecuación

j0.1 a3* 2,!:2! (rt)' =0.99+

(11

.1

8), se obtiene

/¡(corriente de falla para falla LG) = Io = 3Io1=

38, Xt"o + Xz"q+Zo"q

Falla de línea doble a tierra (LLG)

a) It=

3x1 70.09 + j0.075 + 70.1 +

0.99

0.99 + j0.265

= 2.827 - j0.756

á)

Corriente en el resistor a tierra =

I, =

2.827

- j0.156

1^

ll{, = 2.926 x --J:-- = 3.07 kA xll "/3

c)

Caídade voltaje en el resistor de conexión a tierra

= 0.932

-

Q.827

-

i0.756)

j0.249 11

= 0.965 X --:

1'/J

i--__il I Ejemplo 11.3

=+ t2l

= 6.13 kV

|

Para el sistema del ejemplo 10.3 se vuelve a presentar el diagrama unifilar en la figura 1 1.16. Para una base de 25 MVA y 11 kV en el circuito generador, las redes de secuencia positiva, negativa y cero del sistema ya se trazaron en las figuras 10.23,10.24y t0.27 . Antes de que suceda una falla LG en el bus g, los motores se cargan para tomar 15 y 7.5 MW a 10 kV 0.8 factor de potencia en adelanto. Si se desprecia la corriente anterior a la falla, calcular la corriente de falla y la corriente subtransitoria en todas las partes del sistema. ¿Qué voltaje atrás de las reactancias subtransitorias se debe usar en una red de secuencia positiva si se debe tomar en cuenta la corriente anterior a la falla? redes de secuencia presentadas en las figuras 10.23, 10.24 y 10.27 se palia simular una falla LG sólida en el bus g (véase la flgura conectan en la figura 1 1. 1 6). Las corrientes de prefalla se desprecian

Solucion Las

ll.l7

E'l = E'in, = E'!z = v"t (voltale anterior a la falla en g) 10 11

= 0.909 pu

I

2.5 ct

Y-f5-'r

:

Figura

11

.16

Diagrama unifilar del sistema del ejemplo

11

.3

l

CAPíTULO

11

Análisis de fallas asimétricas

l- ¡0.+tz

Figura

11

.17 Conexión

de las redes de secuencia en el ejemplo 1 1 .3, En el diagrama se muesban las corrientes subtransitorias expresadas en pu para una falla consistente de línea a tierra en g

Ahora ya se puede reemplazar con facilidad la red de secuencia positiva por su equivalente de Thevenin como s€ ve en la figura 11.18. Ahora bien

i0.525x i0.23 Z,=# =j0.t6pu ' i0.755

Zz=

Zt:j0.16

pu

Bus de referencia

Figura 11.18

1

1.5

Falla de línea doble a tierra

(LLG)

De la conexión de la red de secuencia

v:

'o'- Zr+zr+Zo 9e.9,? =-jo.447pn = i2.032

Io2= Ioo= Ior = -j0'447 Corriente de falla

=

3loo

Pu

= 3 x (-j0.477) = -jl.34l pu

El componente de Io1 que pasa hacia g desde el lado del generador io )7

-i0.447" ffi

=-i0.l36pu

y su componente que pasa hacia g A"rd" el lado de los motores ro 5?5

-i0.447

=

" ffi

es

-j0.3ll

es

pu

De igual manera, el componen fe de lo2desde el lado del generador es -j0.136 pu y su componente desde el lado de los motores es -j0.311. Toda la losva desde el motor 2 hacia g. Las corrientes de falla desde el generador hacia g son

lr"f It d ' l,u l= 1"' Lr,l

l"

tl[-ro.r:01 l-io.ztz1 r

ll

-;o.tr l = l

;0.136 lnu

o2

rll o I

L ;o.r¡ol

I

ll[-r0.3tt1

[-rt.o6e1

y de los motores hacia g son

lt"f Ir

l,,l=l¿ d

Lr.l f o o2

r

ll -;o.rrr l=l-;o.r:olnu r)l-¡0.++t) [-;o.l:o.l

Los componentes de secuencia positiva y negativa de las corrientes en la Línea de transmisión están desplazados -90o y +90o, respectivamente, respecto de los componentes correspondientes en el lado del generador de 72, es decir,

Corriente de secuencia positiva = -j(-j0.I36) = -0.136 pu Corriente de secuencia negativa = j(-j0.I36) = 0.136 pu (.'. no hay corrientes de secuencia cero en la Corriente de secuencia cero = 0 línea de transmisión, véase la figura 11.17) Por lo tanto: Corriente a enla línea de transmisión

=-0.136+0.136+0=0 De igual manera se pueden calcular

16 e 1".

ffiI}

CAPíTULO

se

11

Análisis de fallas asimétricas

Ahora se calcularán los voltajes atrás de las reactancias subtransitorias que se usan si tienen en cuenta las corrientes de carga. Las corrientes del motor por unidad son:

Motor

1:

Motor

2:

15

25x0.909x0.8 7.5

25x0.909x0.8

136.86" = 0.825 L36.86" = 0.66 + j0.495 pu 136.86" = 0.4125 L36.86" = 0.33 + j0.248

pt

Corriente total tomada por ambos motores = 0.99 + j0.743 pu. Los voltajes tras las reactancias subtransitorias se calculan a continuación:

Motor

l: E".t

= 0.909 - i0.345 x 0.825L36.86" = 1,08 - j0.228 = LI04L-11.92" pu

E)2

= 0.909 - j0.69 x 0.4125L36.86 = 1.08 - j0.228 = 1.104L-11.92" pu

Motor 2:

Generador:

Ei

= 0.909

+

j0.525

x

I.2375L36.86"

= 0.52 + j0.52 = 0.735L45" pu Se podrá observar que con estos voltajes atrás de las reactancias subtransitorias, el

circuito equivalente de Thevenin seguirá siendo igual al de la figura 11.18. Por consiguiente, para calcular las corrientes de falla teniendo en cuenta la condición de carga anterior alafalla, no se necesitan calcular E'),t, Ek y E!. Si el método del equivalente de Thevenin se aplica, primero se calculan las corrientes causadas por la falla y a ellas se sumarán las corrientes de carga. Así, el valor real de la corriente de secuencia positiva del generador hacia la falla es

0.99 + -j0.743 -j0.136=0.99 + i0.607 y el valor real de la corriente de secuencia positiva de los motores a la falla

es

-0.99 -j0.743 -j0.3rl = -0.99 -ir.0s4 En este problema, a causa de la gran reactancia de secuencia cero, la corriente de carga es comparable (de hecho es mayor) a la corriente de falla. Sin embargo, en un sistema grande y práctico sucede lo contrario, por 1o que en la práctica normal se desprecia la corriente de carga sin incurrir en un error apreciable.

Eiemplo 11.4

I T

Suponer que. en el ejemplo 11.2, el generador está conectado sólidamente a tierra. Calcular la corriente y voltaje de falla de la fase sin falla, cuando hay una falla de línea a línea en las terminales de los generadores. Suponer una falla consistente (Zf = 01.

Solución Para la falla LL se usa la ecuación (11.17) y se sustituyen los valores de Xt"o y X2"n del ejemplo 11.2, Así se obtiene I_u_ 'al-

E v At

r!!-^

I

, /ltv

-!9-^

j0.09 + j0.07s

= _j6.06

Falla de línea doble a tierra (LLG)

Se usa la ecuación

(l

1.5) y entonces

1¡ (corriente de

falla) = Ib

= -iJTI^

=

(-iJtX-

i6.06) = -

10.-196

Ahora,

Vot= Vo2= Eo- IotXt"c = 1.0 -(-j6.06)(j0.09)

= 0.455 Vog=-IrtZr=Q

('.'

1oo

=

0)

Voltaje de la fase sin falla: vo

Vor

=

*

Vo,

+

Voo

=

0.91

Para el ejemplo 11.2, suponer que el generador aterrizado está sólidamente conectado a tierra. Calcular la corriente de falla en cada fase y el voltaje de la fase sin falla, para una falla de doble línea a tierra en las terminales del generador. Suponer una falla consistente

(Zf

=q.

Solucim Si se emplea la ecuación (I1,24) y si se sustituyen los valores de 21"r, Zo"ndel ejemplo I1.2, se obtiene (note que Zf = 0, Zorr= j0.l'¡ t-

'a1

-

l+j0 i0.075 x i0.10 i 0.09 + j0.075 + j0.10

"

- -i'7 57

Vot= Vaz= Vol= Eo- Iot Zbq=

|-

(-j7.53)(J0.09)

= 0.323 T_

'a2 -

_Voz -_ 0323 = j4.306 z"-^ i0.075

-eY

t-

'aO

-

_voo __0.323 - i7)7

Zo"o

i0.10

Ahora bien,

,,:

ú Io, + alo2 + Iog (-0.5 -j0.866) (-j7.s3) + (-0.5 + j0.866)(74.306) + j3.23 -10.248 + j4.842

I"= alor+ o2lor+ =

=

11.334 L154.74

Ioo

(-0.5 + j0.866) (-j'/.s3) + (-0.5 -j0.866)(j4.306) + j3.23 10.248

+

i4.842

=

1I.334L25.28"

Z2"r!

F

-

iF'

aia,

Figura 1 f .19 Corrientes y voltajes en una falla de conductor abierto

Voltaje de la línea sin falla,

Vo= 3Vo1 = 3 x 0.323 = 0.969

11.6 FALLAS DE CONDUCTOR ABIERTO Una falla de conductor abierto está en serie con la línea. Se requieren determinar las corrientes de línea y los voltajes en serie entre los extremos abiertos de los conductores. La figura I 1.19 muestra las corrientes y los voltajes en una falla por conductor abierto. Los extremos del sistema a los lados de la falla se identifican como fl F'. mientras que los extremos de los conductores se identifican con aa' , bb' y cc' . El conjunto de las corrientes y voltajes en serie en la falla son

Ip=

[r"l

lr*]

L¡.J

Lv..,l

llul:vo=lv*,

1

-l

Los componentes simétricos de las corrientes y los voltajes son

lr*,1 I,=llo,l,%=lv*,rl [,,'

LI,o

-l

Lv"oo )

De acuerdo con FF' se pueden trazarlas redes de secuencia para el sistema eléctrico de potencia y se muestran esquemáticamente en la figura 11.20. Se deben conectar en forma adecuada de acuerdo con el tipo de la falla (uno o dos conductores abiertos).

Dos condustores abiertos La figura I 1.21 representa la falla en FF' con los conductores tes y los voltajes a causa de esta falla se expresan como

by c abiertos.

Las corrien-

Voo'= 0

(rr.2t)

16=Ir=Q

(11.28)

Red de secuencia positiva

Red de secuencia negativa

Red de secuencia

cero

Figura 11.20 Redes de secuencia para falla por conductor abierto en

FF',

En términos de componentes simétricos puede escribirse

Voo't* Voo,zi Voo,o = 0 I

Iot= Io2= Ioo= lIo 5

(rr.2e) (11.30)

F iF' l, ^ da

^,

I I I

A P

IA/ tU

rI

¡l¡' I

Figura 11.21 Dos conductores abiertos

Figura11.22 Conexión de redes de secuencia para dos conductores abiertos

CAPíTULO

11

Análisis de fallas asimétricas

F

a'

Ia

b

ib'

cc' Figura

1

1.23

Un conductor

abierlo

Figura 11.24 Conexión de redes de secuencia para un conductor abiefto

Las ecuaciones (11.29) y (11.30) parecen indicar que hay una conexión en serie de redes de secuencia como se muestra en la figura 11.22.Entonces ya se pueden calcular las corrientes y voltajes de secuencia.

Un conductor abierto Para un conductor abierto, como en la figura que

1

1.23, las condiciones del circuito requieren

Vw'= V"r' = Io= O

0

(1i.31) (1 1.32)

En términos de componentes simétricos estas condiciones se pueden expresar como

Voo,r= Voo,2= V,¿o=

I^+ Ior*

Ioo=

IV,,,

0

(11.33)

(11.34)

Las ecuaciones (11.33) y (11.34) sugieren una conexión en paralelo de redes de secuencia, como muesfta

II.7

lafi.gurall.24.

MÉTODO DE tA MATRIZ DE IMPEDANCIA DE BUS PARA EL ANÁLISIS DE FALLAS ASIMÉTRICAS EN DERIVACIÓN (SHUNT)

El método de impedancia de bus para análisis de falla, presentado para fallas simétricas en el capítulo 9, se puede ampliar con facilidad para el caso de fallas asimétricas. Considere, por ejemplo, una falla LG en el r-ésimo bus de un sistema de n buses. La conexión de las redes de secuencia para simular la falla se ve en la flgura 1 1.25. Se ha sustituido la

I

L7

Método de la matriz de impedancia de bus para el análisis de

fallas I t*? -T--

Bus de referencia para red de secuencra positiva pasrva

Figura

11.25

Conexión de redes de secuencia para falla LG en el r" bus (la red de secuencia positiva está representada por su equivalente de Thevenin)

red de secuencia positiva por su equivalente de Thevenin, es decir, el voltaje de prefalla Vj _ , delbus r en serie con la red de secuencia positiva pasiva (todas las fuentes de voltaje en cortocircuito). Como los voltajes de prefalla de secuencia negativa y secuencia cero son cero, las dos sólo son redes pasivas. Se podrá notar que se ha omitido el subíndice a en las corrientes y voltajes de secuencia, mientras que se introduce un subíndice entero para identificar el bus. Los índices o y /indican, respectivamente, los valores antes y después de la falla. Para una red de secuencia positiva pasiva

Vi-sus = Z¡sus Jl-sut

(1

1.3s)

donde

Vl-eus =

f Zi-sus

Z,-,,

t-.--

Iu'-'l lvt-rl l:l lVt-,)

tl

zr_rn

-l -l I

lZ,-

n,

,r-,,

vector voltaje de secuencia positiva en

l

l-

bus

(11.36)

matiz de impedancia de secuencia positiva en bus

(rr.37)

v

Jr-sus

[/'-'l Jr-rl I

l:l

tl Ut-".)

vector de inyección de corriente en bus de secuencia positiva (11.38)

r

Análisis de fallas asimétricas

como en la conexión de red de secuencia, la corriente -I{-,se inyecta sólo en el bus r-ésimo que falló, de la red de secuencia positiva, por consiguiente, 0 0 :

Jr-sus =

(1 1.3e)

-4_, 0

Al sustituir la ecuación (11.39) en la ecuación (l1.35) puede escribirse el voltaje de secuencia positiva en el r-ésimo bus de la red de secuencia positiva como

Vr-, = -Zr-rrlfr-, Así, la red pasiva de- secuencia positiva presenta una impedan cia Z, secuencia positiva I{-,.

(11,40) _

-

a la corriente de

Para la red de secuencia nesativa

Vz-sus

La corriente

I{-,

=

Zz-sus Jz-sus

(11.41)

sólo se inyecta a la red de secuencia negativa en el bus r-ésimo. Por

consiguiente, 0 0

Jz-sus =

-i{-,

(rr.42)

0 Entonces, el voltaje de secuencia negativa en el bus r-ésimo está dado por

Y2-

r=

-Zr-rrlfr-,

(11.43)

Así, la red de secuencia negativa ofrece una impedanciaZ2- rra la corriente de secuencia

negatival{-,.

De igual modo, para la red de secuencia cero

Vo-sus

=

Zo-eus Jo-"u,

(rr.44)

0 0 :

Jo-sus =

_ IJ '0-r :

0

(1r.4s)

Método de la matriz de imoedancia de bus oara el análisis de fallas

(rr.46)

Vo-, = -Zo-rrIJo-u Esto es, la red de secuencia cero presenta una impedancia Zs cia cero

I{ -,.

_

rr aIa corriente de secuen-

De la conexión de la red de secuencia de la figura 11.25, ahonya se puede escribir que

(rr.41) En forma parecida se pueden calcular corrientes de secuencia para otros tipos de fallas mediante el uso de Zt-u, Zz-rry Zo_uen lugar de Zt, Z2y Zoenlas ecuaciones (11.1), (1

1.17) y

(IL24),

con Eo =

Vo1

-,.

Ahora ya se pueden calcular los voltajes de secuencia después de la falla, al superponer el voltaje desarrollado por la inyección de la corriente de secuencia apropiada en el bus r al voltaje del bus antes de la falla. Para la red de secuencia positiva pasiva, el voltaje desarrollado en el bus. debido a la inyección de -Ifr-, en el bus r es

Vt-¡=-Zr-olfr-,

(1 1.48)

Por consiguiente, el voltaje de secuencia positiva posterior a la falla en el bus i es

VI-,= Vi-¡- Zr-,Jfr-,) i = 1,2, "',

n

(II.49)

donde Vo1

21

- ¡ = voltaje de secuencia positiva anterior a la falla en el bus I jr-ésimo de Zt-"u" - ,, = componente Como los voltajes de secuencia negativa antes de la falla son cero, los voltajes de

secuencia negativa en bus, después de la falla, son

Vf'

'=o+

V2-'

= -Zz_¡rlfz_,

(11.s0)

donde 22

- r, = componente ir-ésimo de Zrtut

De igual modo, los voltajes de secuencia cero después de la falla en el bus son

Vd-¡ = -Zr-olfo-,; i = 1,2, ..., n

(

11.51)

donde Zo

Unavez que

- ,, = componente ir-ésimo de Zo-",rt

conocen los voltajes de secuencia después de la falla en los buses, las corrientes de secuencia en las líneas se pueden calcular como Para la línea uv, con admitancias de secuencia ! 1 _ ur, !2 _ u, y lo _ uu se

Ifr-ur= f1-uv g\-r- v{-,) Ifr-u,= !2-uv (v{-,- v6-") Ifo,ur= lo-r, (Vfo_r-

Vfo_r)

(rr.s2)

42e

I

CAPíTULo

11

Análisis de fallas asimétricas

I

Al conocer los voltajes y corrientes de secuencia se podrán calcular con facilidad los voltajes y las corrientes de la fase mediante la transfotmación de componente simétrico. Vo

= AV'

Io =

Ar'

La primera impresión es que este método es más laborioso que calcular corrientes de falla a partir de impedancias de Thevenin en las redes de secuencia, porque requiere calcular matrices de impedancia del bus para las tres redes de secuencia. Sin embargo, se debe observar aquí que una vez armadas las matrices de impedancia del bus el análisis de falla puede realizarse de modo conveniente para todos los buses; eso, de hecho, es el objetivo de un estudio de fallas. Además, las matrices de impedancia de bus se pueden modificar sin dificultad para tener en cuenta cambios en la configuración de la red de potencia.

Para el ejemplo 10.3, en las figuras 10.23, 10.24

y 10.27 se han tazado las redes

de se-

cuencia positiva, negativa y cero. Mediante el método de impedancia del bus pan el análisis de fallas, calcular las corrientes cuando hay una falla LG sólida en: l) el bus e y ii) el bus/. También, calcular los voltajes de bus y las corrientes de línea en el caso l). Suponer que las corrientes antes de la falla son cero y que los voltajes de antes de la falla son 1 pu.

Sotucion La figura 11.26 muestra la conexión de las redes de secuencia de las figuras 10.23, 10.24 y 10.27 para una falla LG sólida en el bus e.

)

I

Red de secuenc¡a positiva

tL

m2

tñ Aq

jo.345

¡0.2

@O G

j0.2

io.'oáos

i io.ro¿

lo.oeos

G

ac p.3451 : ''--@ ___ O __ -l ioiéris io.roo lo.ogo5 @ Red de secuencia negativa

10.6e

I

t

j1.548

j1.548

Red de secuencia cero

io.082

@o

10.060

lo.o8o5

i lo.4e4

7O.164

lo.o8o5

(?)

Figura 11.26 Conexión de las redes de secuencia del ejemplo 11.6 para una falla LG en el bus e

Método de la maüiz de

im@an*r

cb bus para el análisis de fallas

Consulte la figura II.26 para encontrar los elementos de las matrices de admitancia bus en las tres redes de secuencia, como sigue:

I

y,,t=L+ j0.2 Y,,_ra ,-= Y, )-a ,_ut n= '-- r'¡

=-i17.422

j0.0805

-|

=

i0.0905

*

= .+-

Yt

Yt -

Yt-nr= ,_q

j0.t64 = =+.

i12,422

j0.164 i0.0805 =J-

oo

= -j18.519

j6.0g7

Yt-oo=.l+-j .+ - óó j0.085 j0.345 - + j0.69 '¡

= -jr6.i6g

defg dl -17.422 12.422 0 0 rr -sus = Y2 -BUS = . tl n.422 - 18.519 6.097 0

td o ;L o

vl r¡

))= j1.608-

Yo-oo=Yo-e= w -''r Yo-se=

Yn ,- = Yn

6.0s7 -18.s1e

o

n.422

=-j0.621

*.f -.:j0.0805 j0.494 =-jI4.446

I

jLTn=-i0'584 0.0

-1 _.r=j0.494

j2.024

fo _/s = 0.0

.d

e

dl-0.621 v. O.BUS

-

.el 0 tAo "l 81

0

0

f 0

-14.446

2.024

2.024

-14.446

0

0

óa

0l 0l 0l - 0.s84J

I |

r2.4z2l

-t6.76s)

4224

CAPíTULo

11

Análisis de fallas asimétricas

,

Al invertir las tres matrices anteriores,

se

obtienen las tres matrices de impedancia del bus

siguientes

Zt-sus= Zz-sus =

10.14706 0.1257s 0.08233 0.06102-l I onsts 0.17636 o.rrslz o.osss8

'Itlo.osz:3 o.Il547 0.l12gg 0.13563 |

0.06102 0.08558 0.13563

| |

0.160191

0.1 0 [1.61031 0 I o 0.07061 0.00e8e o Zo-sus=il o.oo989 0.07061 o

o

I

looor.irz33J

I

La corriente con una falla LG en el bus e es

3'l II= .. . j0.17636 " j0.I'7636 +

+ j0.07061

=

-j7.o86

pu

(i)

La corriente de falla con falla LG en el bus/es

-lf-=3'r=3 I j0.r8299 + j0.r8299 + i0.07061 i0.43659 =

-j6.871

pu

(ii)

Los voltajes del bus y las corrientes de la línea para el caso (i) se pueden calcular con facilidad con las ecuaciones (1 1.49) a (I1.52). A continuación se presenta un cálculo muestra para determinar el voltaje en el bus/y la corriente enlalínea ef. Según la ecuación (11.49),

VIr-a= Vi-¿- Zr-0"=

Vft-f= = vf ,-r=

=

1.0

-

II-,

= 0.703 io-r2s7s(-i4qq) \J,/

Pu

Vi-¡- Zr-k- Ifr-, 1.0

-

io.rrs4l

(-rt#)

= 0.728 pu

vor-r- Zt-r"JIr-, 1.0

-

j0.17638 (- j2.363) = 0.584 pu

vI-s= vi-s - Zt-r"-I{-" = 1.0 - j0.08558 (- j2.363) = 0.798 pu Vfz-f = -4-¡,Ifr-, = - j0.I1547 x (-i2.362) = -0.272 Pt - Zo- f"If o-, = - i0.00989 x = - 0.023 pu

Vfo - f =

(- i2'362)

Método de la matriz de impedancia de bus para el análisis de fallas

Vl)_

"

Zr_""Ifr_" = - j 0.I7 636 x (-j2.362)

=

-

-

-0.417 pu

V[-, = - Zo-""f, = "

j0.0706

x (-j2.362)

-

-0.167 pu Vfz_s = - Zr-r"Ifr_" = -j0.08558 x (-j2.362)

-

-0.202 pu

Vfo-s=-Zo-sJfo-"=0 Con la ecuación (11.52) se pueden calcular las corrientes en varias partes de la figura 11.26, como sigue:

II_p=

Yr_¡"

VI_¡

-

v{_¡")

= - j6.097 (0.728

-

0.584)

= _jO.gg

If ,-0,=

(vf 1-¿ - Vf ,-r) = - j12.422 (0.703 - 0.584) = -j1.482 Iot= If t_f" + If ,_¿" = -70.88 + (- jL.482) Y1-¿"

= _ j2.362 que es lo mismo que se obtuvo antes fvéase la ecuación (i)] donde

If t_ef

=

Yr_uf (vf ,_,

-

II = 3Ia.

vf ,_)

0.728) = -j0.88 = j12.422 (--0.798 que, Observe de acuerdo con la figura 1 1.26, esto era necesa¡io que fuera igual a I{ _r".

-

I2-f"=

Yz-¡"

(Vfr-¡-

Vfr.-")

j6.097 (-0.272 + 0.417) = -j0.884 16-¡,= To-¡, U6-¡- vro-,) =

-

= - j2.024 (- 0.023 + 0.167) = -7O.291 pu

Iff"

(u) =

If t-f" + Itr-¡" +

Il¡"

= -7O.88 + (-¡0.88) +

(- j0.291)

= _ j2.05 Las demás corrientes se podrán calcular en forma similar.

Se presenta una falla de una línea a tierra (en la fase a) en el bus 1 del sistema de la figura

II.27. Calctlar

424

|

CAPíTULo

11

Anátisis de fattas asimétricas

t

t-

tr-1M)

cv

¡ t*l Figura 11.27

a) La corriente b) La corriente c) La corriente

fl

en la falla. SC en las tres fases de la línea de transmisión.

SC en la fase a del generador. El voltaje de las fases sin falla del bus 1.

Datos: capacidad nominal de cada máquina 1 200 kVA, 600 V con X' = Xz = 107o , Xo = 57a.La capacidad nominal de cada transformador es 1 200 kVA, 600 V - A/3 300 V-Y con rcactancia de fuga de 57o. Las reactancias de la línea de transmisión son Xr = X2= 207o y Xo= 4OVo en una base de 1 200 kVA, 3 300 V. Las reactancias de las bobinas de conexión del neutro atiena son 5Vo en la base de kVA y voltaje de la máquina. Nota: Usan el método Z"ur.

Solucion La figura 1 1 .28 muestra la red de secuencia positiva pasiva para el sistema de la f,gura 11.27 .También esa f,gura representa la red de secuencia negativa para el sistema. A continuación se calculan las matrices de impedancia de bus: Bus

I

al bus de referencia

Zt-sus = j[0.15] Bus 2 al bus

1

7

"r_BUS

;tt-0.r5 - ,LO.l5

0.r51

-l

0.3:_1

Bus 2 al bus de referencia

Zt-sus

-

rl

"

[0.15 10.15

0.15-l ; l-0.151 l- ' I lf0.l5 0.3s1 0.35 + 0.1s L0.3sJ

Bus de referencia

0.351

11.7

Método de la matriz de impedancia de bus para el análisis de

0.4

0.05

fallas

0.05

Figura 11.29

o

r-0.105

7 ¿r-BUS -;l

0.0451

-, Lo.o+s o.l05.ll-7- ¿2-BUS

sea

En la figura 11.29 se trazala red de secuencia cero para el sistema y abajo se calcula su matriz de impedancia del bus. Bus 1 a bus de referencia Zo-sus = Bus 2 abus

j

[0.05]

1

7-;l ¿0_BUS

t0.05

- 'Lo.os

0.05 0.45

Bus 2 a bus de referencia

Zoeus=,[33]

ll]]

r#*tlll]'"'

04sl

o sea Zo-sus =

1t-0.045

/zfo.oos

O.oosl

0.04s]

De acuerdo con la ecuación (11.47)

It1-1=

vl Zt-tt i Zz-n * Zo-r, +3Zf

Pero Vo1= 1 pu (sistema sin carga antes de la falla). Entonces

f,, -

-jl'o 0.105+0.105+0.045

=-i3.92

Ift-t = Itr; = If o-t = - j3.92 pt a) Corriente de falla, II = 3If tt = - jll.1 pt b) VI:= Vor-r= Zt-u I\-t =

1.0

-

j0.105 x -j3.92 = 0.588;

V'r-r = 1 pu

(iD

.rl#..4*.

CAPíTULO

Vf t

-z

=

11

Vo

t

Análisis de fallas asimétricas

-z

=

-

1.0

21

= 1.0 (sistema

Vo | -211f2- 1', -2

-fl.045 x -j3.92 =

0.824

Vt-t=-Zr-rlfr-, = -/0.105 x -j3.92 = 0.412 V{-z = - Zr,-r, If z-t = -70.045 x -j3.92 = -0.176 V{-t = - Zo-rrr[-t = -j0.045 x - j3.92

= -0.176

Ií-, = -70.005 x -j3.92 = -0.02 I{_n= h_n (VIt - Vfr_r) Vt-z= -Zo-r,

= += jo,2

(0.s88

Ifz_tz= yz_n

(Vfz_t

-

-

0.824) = j1.18

Vfr_r)

= j0.2' .!_t-0.4r2 + 0.176) = jl.18 Ifo-rr= !o-n

=

(Vfo_t

.

-

Vfo_r)

(-0.176 + o.o2o)

.^L jo.4

= jo.3g

I rl l,{_"1 ' l,{_,,1= 1", q tll,{_,, l4-,,1 " a2 r.lLrol,, l |

4_,,1

t-

I

L

=

I

It

l.l[,rt.ttl

q r ll ;r.ra lo, q2 ll L;0.¡qJ |

I

"

Ifo-tz=j1.18+ j1.18+ j0.39= j2.75 L120"

+

j0.39

L120" + j1.18 L240"

+

j0.39

Ifu-tz= jl.l8 LZN" + j1.18 = _j079

If

"-tz=

jI.I8

= j0.79

sin carga antes de la falla)

..1

(l " I',-. = -.^'./u.l )

0.588) L-33"

= -1.37 - j2.38 Iro-c=

io|l

-

to

eo.4t2)l L3o'

= L37 - j2.38 Ifo-c = 0 (véase la figura 1I.29) Iro_G=

et3i -

j2,38) + (r.37

-

j2.38)

= _ j4.76 Las corrientes en las fases á y c del generador se podrán calcular de modo similar.

ó

Vfa-t = 2Vf ,-,

+ Vfz-t +

Vfo-t

= 0.588 L240'

= -0.264

-

-

0.412 1120"

j0.866 = 0.905

-

0.176

L-lO7'

,-t+ Vfr-r+ vfo, = 0.588 L120" - 0.412 L240' -

Vfr-t=VI

0.176

= -0.264 + 70.866 = 0.905 Ll07'

PROBLEIv¡AS 11.

1

Un generador de 25 MVA, i 1 kV tiene X'i = 0.2 pu. Sus reactancias de secuencia negativa y cero son, respectivamente,0.3 y 0.1 pu. El neutro del generador está aterrizado sólidamente. Determine la corriente subtransitoria en el generador y los voltajes de línea alínea para unas condiciones subtransitorias cuando sucede una falla LG en las terminales del generador. Suponga que antes que se presente la falla, el generador está trabajando sin carga al voltaje nominal. Haga caso omiso de las resistencias.

11.2 Repita el problema 1 1.1 para: a) una fallaLL y b;) una falla LLG. 11.3 Un generador síncrono tiene capacidad nominal de 25 MVA, 11 kV. Está conectado en estrella y el punto neutro está sólidamente aterizado. El generador trabaja sin carga a su voltaje nominal. Sus reactancias son X" = X2 = 0.20 y Xo = 0.08 pu. Calcule las corrientes simétricas subtransitorias de línea para: l) una falla de una línea a tiena, ll) falla de doble línea, iii) falla de línea doble a tierra y lv) una falla trifásica simétrica. Compare esas corrientes y comente al respecto.

ll .4

Para el generador del problem a lI .3, calcule el valor de la reactancia que debe incluirse en el neutro la tierra del generador y para que la corriente de falla de

Análisis de fallas asimétricas

línea a tierra sea igual a la corriente de falla trifásica. ¿Cuál será el valor de la resistencia de puesta a tierra para obtener la misma condición? Con el valor de la reactancia (como se calculó antes) incluido entre el neutro

y la tierra, calcule la corriente de falla de doble línea y también la corriente

de

falla de doble línea a tierra.

11.5 Dos

generadores síncronos de 25 MVA, 11 kV se conectan a una barra de bus común, que abastece a un alimentador. El neutro de la estrella en uno de los generadores está conectado a tierra por medio de una resistencia de 1.0 ohm, mientras que el del otro generador está aislado. Se presenta una falla de línea a tierra en el extremo alejado del alimentador. Determine: a)la corriente de falla; á) el voltaje a tierra de las fases sin falla en el alimentador en el punto de falla, y c) el voltaje del punto neutro en el generador con respecto atierra.

Las impedancias para las corrientes de secuencia de cada generador y alimentador son las sisuientes:

I

Generador

Alimentador

(por unidad)

(ohms/fase)

Secuencia positiva

jo.2

Secuencia negativa

j0.1 5

Secuencia cero

j0.08

j0.4 j0.4 j0.8

1.6 Determine las corrientes

lI.7

de falla en cada fase después de que ocuffe un cortocircuito de línea doble a tiena en las terminales de un generador síncrono conectado en estrella que al principio trabajaba con un voltaje de circuito abierto igual a 1.0 pu. Las reactancias de secuencia positiva, negativa y cero del generador son, respectivamente,70.35.70.25 y j0.20 y su punto neutro está aislado de tierra.

Un generador trifásico síncrono tiene reactancias de secuencia positiva, negativa y cero, por fase, de 1.0,0.8 y 0.4 ohm, respectivamente. Las resistencias del devanado son despreciables. La secuencia de fases del generador es RYB con un voltaje sin carga de 1 I kV entre las líneas. Se presenta un cortocircuito entre las líneas Y y B y tierra en las terminales del generador. Calcule las corrientes de secuencia en la fase R y la corriente en el circuito de retorno de tierra: a) si el neutro del generador está sólidamente conectado a tierra y b) si el neutro del generador está aislado. Use como referencia el voltaje R por fase.

11.8 Un

generador abastece a un grupo de motores idénticos como muestra la figura P-l1.8. Las capacidades nominales de los motores son 600 Y,90Vo de eficiencia con un factor de potencia unidad a plena cafgay la suma de sus capacidades nominales de salida es 5 MW. Los motores comparten por igual una carga de 4 MW al voltaje nominal, factor de potencia 0.8 en retraso y 907a de eficiencia cuando se presenta una falla LG en el lado de bajo voltaje del transformador.

Especifique completamente las redes de secuencia que simulen la falla para

incluir el efecto de la corriente de antes de la falla. El grupo de motores considerar como un solo motor equivalente.

se puede

Calcule las corrientes subtransitonas de línea en todas las partes del sistema y no considere la corriente antes de la falla. 7,5 MVA 3.3i0.6 kV

Gen 'X=10oo ,---J ll'r- = kv r

10 t'/vA,3.3 X" -- X2= 1O"A

I Xo=S"k -

.-' -

' i

J

r

Motores

5MW (total)

Falla Cada motor LG

X'=Xz=20"k Xo = 5"/" Xn = 2.5o/"

Figura P-11.8 1

1.9

F del c de la en la fase sistema en la figura P-l1.9. Calcule la corriente subtransitoria máquina 1, suponiendo que las corrientes antes de la falla son cero. Ambas máquinas tienen capacidad nominal de 1 200 kVA, 600 V, con reactancias X" = X2= 107o y Xo = 5Vo. La capacidad nominal de cada transformador trifásico es 1 200 kVA, 600 V - A/3 300 V-Y con reactancia de fuga de 5Vo. Las reactancias de la línea de transmisión son X, = Xz= 207o y Xo = 40Vo en una base de 1 200 kVA, 3 300 V. Las reactancias de los reactores de conexión a tierra del neutro son 5Vo en la base de kVA de las máquinas. Se presenta una falla de línea doble a tierra en las líneas b y c en el punto

7,2

L HM)2

F \-/-

'

r^'*] Figura P-11.9

11.10 Una máquina síncrona 1 genera el voltaje de 1 pu y se conecta a través de un transformador Y/Y de reactancia 0.1 pu a dos líneas de transmisión en paralelo. Los otros extremos de las líneas están conectados a través de un transformador

YiY

de reactancia 0.1 pu con una máquina

los dos transformadores,

Xl

=

Xz=

2 que generu un voltaje de I pu. Para

Xo.

Calcule la corriente alimentada a una falla de línea doble a tierra en las terminales del transformador, del lado de la línea, que alimenta la máquina 2. Los puntos neutros de la conexión en estrella de la máquina 1 y de los dos transformadores están sólidamente aterrizados. Las reactancias de las máquinas v las líneas que se ref,eren a una base común son Máquina 1 Máquina 2 Línea (cada una)

xl

x2

0.35

0.25

0.05

0.30 0.40

0.20

0.04

0.40

0.80

^0

CAPíTULO

11

Análisis de fallas asimétricas

11.11 LafiguraP-l1.11 muestraunareddepotenciacondosgeneradoresconectadosen paralelo a un transformador que alimenta a una línea de transmisión. El extremo alejado de la línea se conecta a un bus infinito por medio de otro transformador. Los puntos neutros de la conexión en estrella de cada transformador, el generador 1 y el bus infrnito están conectados sólidamente a tierra. Las reactancias de secuencia positiva, negativa y cero de diversos componentes, por unidad, en una base común, son:

Positiva Negativa

1 2 Cada transformador Bus infinito Línea Generador Generador

a) b)

0.15 0.25 0.15 0.15 0.20

0.15 0.25 0.15 0.15 0.20

Cero 0.08

-

(es decir, neutro aislado)

0.15 0.05

0.40

Trace las redes de secuencia para el sistema de potencia. Cuando ambos generadores y el bus infinito están trabajando al voltaje 1.0 pu sin carga, se presenta una falla de línea a tierra en una de las terminales del devanado del transformador A conectado en estrella. Calcule las corrientes que pasan: i) en la falla y ll) por el transformador A.

€r-lf r ,^\ ¡-fl--\,

r3l

Y3ra-

fA'.q.u:. Figura P-l1.11

11.12 Un generador síncrono conectado

en estrella alimenta el bus 1 de un sistema eléc1 está conectada al bus 2 attavés de un transformador estrella./delta en serie con una línea de transmisión. La red de potencia

trico de potencia. Esa barra de bus

conectada al bus 2 se puede representar, en forma equivalente, por un generador conectado en estrella con reactancias de secuencia positiva y negativa iguales. Todos los puntos neutros están conectados sólidamente a tierra. Las reactancias de secuencia por unidad de varios componentes son: Positiva

Generador Transformador Línea de transmisión Red eléctrica de potencia

0.20

0.12 0.30

X

Negativa

0.r5 0.12 0.30 x

Cero 0.05

0.r2 0.50 0.10

Con la condición sin carga, y con voltaje 1.0 pu en cada barra, se alimenta una corriente de 4.0 pu a un cortocircuito trifásico en el bus 2. Determine la reactancia de secuencia positiva X del generador equivalente en la red de potencia. Para las mismas condiciones iniciales, calcule la corriente de falla de una línea a tierra individual en el bus 1.

11.13 Los datos de reactanciapara el sistema trifásico de la figura P-11.13 son: Generador: Xt = Xz = 0. 1 pu; Xo = 0.05 pu X, (reactancia de puesta a tierra) = 0.02 pu Transformador: X, - Xz=Xo= 0.1 pu X, (reactancia de puesta a tierra) = 0.04 pu Fotme las matrices de impedancia de bus de secuencia positiva, negativa y cero. Para una falla LG sólida en el bus 1, calcule la corriente de falla y sus contribuciones por parte del generador y el transformador.

-lrr'-@+'+' : r^ó-l'Ya

Figura P-l1.13 Sugerencia: note que no se proporcionan las reactancias de línea. Por consiguiente, conviene obtener directamente Zt,sus y no invertir Yr, sus. También Yo, nus es singular y Zo. sus no se puede obtener de ella. En esos casos se puede usar el método de inyección de corriente unitario que se describe a continuación. Para el caso de dos buses

tq I

It= lZ,' |

lvz) lzil

z,rll il

I'f |

Zrr_)Jr_)

Si se inyecta una corriente unitaria en el bus 1 (es decir,

ztt

It = I, b = 0) se obtiene

_ -l/ ,1

zzt -

v2

De igual modo, al inyectar una corriente unitaria en el bus 2 (es decir, 1r = 0,

Iz=

1), se llega a

=

Vt

Zzz=

Vz

Ztz

II.I4

De este modo se obtuvo Z"u, directamente con esta técnica. Se tiene el sistema de 2 buses del ejemplo 11.3. Suponga que sucede una falla LL sólida en el busl Determine la coriente y el voltaje (a tierra) de falla de la fase sin falla.

11.15 Escriba un programa de computadora para emplearse en el estudio de una corriente de falla LG sólida en el bus 2 del sistema que muestra la figura 9.17. Se trata de calcular la corriente de falla y todos los voltajes de bus y las corrientes de línea que siguen a la falla. Use los datos de impedancia del ejemplo 9.5. Suponga que todos los transformadores son del tipo Y/A, con sus neutros (en el lado de alto voltaje, AV) conectados sólidamente a tierra.

CAPíTULO

11

Análisis de fallas asimétricas

Suponga que las reactancias de secuencia positiva y negativa de los generadores son iguales en tanto que su reactancia de secuencia cero es la cuarta parte de su reactancia de secuencia positiva. Las reactancias de secuencia cero de las líneas deben considerarse 2.5 veces sus reactancias de secuencia positiva. Todos los

voltajes antes de lafalla =

I

pu.

REFERENCIAS

Libros 1. 2.

Stevenson, W.D., Elements of Power System Anahsis,4a. ed., McGraw-Hill, NuevaYork, 1982. Elgerd, O.L, Electric Energy Systems Theory': An Introduction,2a. ed., McGraw-Hill, Nueva York,

3. 4. 5. 6.

Gross, C.A., Power System Analysís, Wiley, NuevaYork, 1979.

1982. Neuenswander, J.R., Modem Power Systems, International Textbook Co., NuevaYotk, 1971. Bergan, A.R. y V. YtttaI, Power System Analysis,2.a. ed., Pearson Education Asia, Delhi, 2000. Soman, S.A., S.A. Khaparde y Shubba Pandít, Computarional Methods for Large Sparse Power Systems Analysls, KAP, Boston, 2002.

Artículos 7. 8.

Brown, H.E. y C.E. Person, "Short Circuit Studies of Large Systems by the Impedance Matrix Method", Proc. PICA, 1961 ,p.335. Smith, D.R., "Digital Simulation of Simultaneous Unbalances Involving Open and Faulted Conductors", IEEE Trans. PAS, 1970, 1826.

t2

i|l,lllllllli rr.l, :lllilllllrlll lir lirrrrl

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.¡¡.

¡¡¡¡¡¡¡1

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rrEstabilidad. de- sistemas

eléctricos de potencia ::::::,..t f:,t

12.I

INTRODUCCION

La estabilidad de un sistema interconectado de potencia es su capacidad para regresar a la operación normal o estable después de haber sido sometido a alguna forma de perturbación. Por el contrario, inestabilidad quiere decir una condición de pérdida de sincronismo o pérdida del paso. Se ha reconocido que las consideraciones de estabilidad son parte esencial de la planeación de un sistema eléctrico de potencia para largo tiempo. Con los sistemas interconectados en constante crecimiento en tamaño y extendiéndose sobre vastas regiones geográficas, cada vez es más difícil mantener la sincronía entre diversas partes de un sistema eléctrico de potencia. La dinámica de un sistema eléctrico de potencia se caracterizapor los rasgos básicos que se mencionan a continuación:

1. 2.

3.

La interconexión síncrona muestra el comportamiento típico de que conforme la transferencia de potencia se incrementa en forma gradual se alcanza un límite máximo, más allá del cual el sistema no permanece en sincronía, es decir, pierde el paso. Básicamente, el sistema es oscilatorio, por lo cual puede ser modelado por una combinación inercia-resorte, con la inercia en el lado mecánico y la acción de resorte por la conexión síncrona, donde la transferencia de potencia es proporcionar a sen á o E (para ó pequeños, donde ó es el ángulo interno relativo de las máquinas). Como la transferencia de potencia es proporcional a sen ó, la ecuación que determina

la dinámica del sistema es no lineal para perturbaciones que causen grandes variaciones del ángulo 6. El fenómeno de estabilidad peculiar de los sistemas no lineales, a diferencia de los sistemas lineales, es el que presentan entonces los sistemas eléctricos de potencia (son estables hasta cierta magnitud de la perlurbación e inestables para perturbaciones ma) ores

).

En consecuencia, los problemas de estabilidad del sistema de potencia se clasifican en tres tipos básicos:* estado estable, estado dinámico y estado transitorio. * No hay definiciones precisas de aceptación universal para esta terminología. Para conocer una definición de algunos términos importantes relacionados con la estabilidad de un sistema de potencia, vease IEEE Standard Dictionary of Electrical and Elecfronic Terms. IEEE. Nueva York, 1972.

Estabilidad de sistemas eléctricos de Dotencia

El estudio de estabilidad en estado estable está básicamente relacionado con la determinación del límite superior de las cargas de la máquina antes de perder el sincronismo, siempre que la carga se aumente en forma gradual. La inestabilidad dinámica es más probable que la inestabilidad de estado estable. En un sistema de potencia suceden continuamente pequeñas perturbaciones (variaciones de cargas, cambios de velocidades de turbina, etc.) que son lo suficientemente pequeñas para no causar que el sistema pierda el sincronismo, pero que sí excitan al sistema y lo pasan al estado de oscilaciones naturales. Se dice que el sistema es dinámicamente estable si las oscilaciones no adquieren más que cierta amplitud y disminuyen con rapidez (es decir, el sistema está bien amortiguado). En un sistema dinámicamente inestable, la amplitud de oscilación es grande y persiste durante largo tiempo (es decir, el sistema es subamortiguado). Esta clase de comportamiento de inestabilidad constituye una amenaza seria para la seguridad del sistema y ocasiona condiciones de operación muy difíciles. Se puede mejorar en forma apreciable la estabilidad dinámica al utllizar estabilizadores en el sistema de potencia. Se debe hacer un estudio del sistema dinámico durante 5 a 10 s y a veces hasta por 30 s. El único método efectivo para estudiar problemas de estabilidad dinámica es la simulación en computadora. Naturalmente, los mismos programas de cómputo son aplicables al estudio de la estabilidad transitoria. Después de una perturbación repentina de las velocidades de rotor en un sistema de potencia, las diferencias angulares del rotor y la transferencia de potencia experimentan cambios rápidos cuyas magnitudes dependen de la severidad de la perturbación. Cuando la perturbación es grande, los cambios en las diferencias angulares pueden ser tan grandes que hacen que las máquinas salgan de sincronismo o pierdan el paso. Este tipo de inestabilidad se llama inestabilidad transitoria y es un fenómeno rápido que sucede en menos de 1 s cuando un generador está cerca de la causa de la perturbación. Hay una gran variedad de perturbaciones que pueden ocurrir en un sistema eléctrico de potencia, pero una falla en una línea con carga muy grande requiere abrir la línea para eliminar la falla, lo cual es lo que más preocupa. La salida de un generador con carga o la intemrpción abrupta de una carga grande también puede causar inestabilidad.

El efecto de cortocircuitos (fallas), el tipo más grave de perturbación al que se somete un sistema eléctrico de potencia, debe determinarse en casi todos los estudios de estabilidad. Durante una falla, la potencia eléctrica procedente de los generadores cercanos se reduce en forma drástica, mientras que apenas si se ve afectada la potencia proveniente de generadores remotos. En algunos casos, el sistema puede ser estable aun con una falla sostenida, mientras que otros sistemas sólo son estables si la falla se elimina con la rapidez suficiente. El que el sistema sea estable al suceder una falla no sólo depende del sistema mismo, sino también del tipo de falla, lugar de la falla, de la rapidez y el método de su eliminación, es decir, si se elimina por la abertura sucesiva de dos o más disyuntores y de si la línea con falla se vuelve a cerrar o no. Casi siempre el límite de estabilidad transitoria es menor que el límite de estado estable, pero a diferencia de este último, puede presentar diferentes valores que dependen de la naturaleza,lugar y magnitud de la perturbación.

Los sistemas modernos eléctricos de potencia tienen muchas estaciones generadoras interconectadas, cada una con varios generadores y muchas cargas. Las máquinas en de-

Dinámica de una máquina síncrona

terminado punto en un sistema actúan por lo general al unísono. Por consiguiente, la práctica común en estudios de estabilidad es considerar que todas las máquinas en un punto son una sola máquina grande. También, las máquinas que no están separadas por líneas de alta reactancia se concentran y se consideran como una máquina equivalente. Así. un sistema con varias máquinas se puede reducir, con frecuencia, a un sistema equir,alente de pocas máquinas. Si se pierde el sincronismo, las máquinas de cada grupo pennanecen juntas aunque salgan de sincronía con otros grupos. El comportamiento cualitativo de las máquinas en un sistema real suele ser el de un sistema con dos máquinas. Por su simplicidad, el sistema de dos máquinas tiene una gran utilidad para describir los conceptos generales de estabilidad del sistema de potencia y la influencia de varios factores sobre la estabilidad. En este capítulo se verá que un sistema de dos máquinas se puede considerar como uno de una sola máquina conectado a un sistema infinito. Por necesidad, el estudio de estabilidad de un sistema de varias máquinas se debe hacer en una computadora digital.

I2.2 DINÁMICA DE UNA MÁOUINA

SÍNCRONA

La energía cinética del rotor de una máquina síncrona

gC=1 2

donde

Je,?rn

x

es

10-6 MJ

-/ = momento de inercia del rotor en

kg-m'

údr. = velocidad síncrona en rad (mecánicos)/s Pero

donde

@"

=

/P\

|\l ^ / | @,*=

velocidad del rotor en rad (e1éctricos)/s

P = número de polos de la máquina 't / to.r2 -\ EC= Y{ I ar" x l0-' lr.,

il2\ \P/ i

)

Lmr^ 2

donde

M=J

/ )\2

l-l

\P/

(t)"

x 10-6

= momento de inercia en MJ-s/rad eléctrico La constante de inercia H se define de tal forma que

GH=EC= donde

) u ',wt

G = potencia nominal (base) de la máquina en MVA (trifásica)

H = constante de inercia en MJAvIVA o MW-s/IVIVA

436

I

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

I

Tabla

12.1

Constantes de inercia típicas de máquinas síncronas* Constante de ínercía

Tipo de

móquina

Turbogenerador

Condensante No

H

Energía almacenada en MW s por MVA**

I 800 3 000 3 000

condensante

rpm rpm rPm

Generador de rueda hidráulica Baja velocidad (< 200 Alta velocidad (> 200 Condensador síncrono***

rpm) rpm)

9-6 7-4 4-3 2-3 2-4

Grande Pequeño

1.25

1.00

Motor síncrono con carga variable entre 1.0 y 5.0 y mayores para volantes

pesados

2.00

De inmediato se ve que rvr

2G.H GH MJ-s/rad eléctricos (Ds rr I " ctl = "" MJ-s/srados eléctricos

=

02.1)

180/

También a M se le llama constante de inercia. Al tomar G como base, la constante de inercia por unidad es

M(pu)

H s¿lradeléctricos - -:)7rÍ

=

H ü

Q2.2)

), s'lgrados eléctricos

La constante de inercia H tiene un valor o intervalo de valores característicos para cada clase de máquinas. En la tabla l2.l se ve una lista de algunas constantes de inercia típicas.

l2.l

se observa que el valor de H es considerablemente mayor para los turbogeneradores a vapor en comparación con las turbinas hidráulicas. De treinta a sesen-

En la tabla

ta por ciento de la inercia total de una unidad turbogeneradora de vapor corresponde al motor primatio o primomotor, mientras que sólo de 4 a l5%o de la inercia de una unidad generadora es la del rodete hidráulico, incluyendo el agua.

*

Reimpreso con autorización de Westinghouse Electric Corporation de Electrical Transmissíon and Dis-

tribution Reference Book.

** ***

Donde se indica el intervalo, el primer número se aplica a los MVA menores. Enfriado por hidrógeno, 25Vo menos.

Dinámica de una máquina síncrona

P+

P+

a^

Figura

12.1

Flujo de potencias mecánica y eléctrica en una máquina síncrona

La ecuación de oscilación La figura 12.1 muestra el par o momento de torsión, la velocidad y el flujo de potencias mecánica y eléctrica en una máquina síncrona. Se supone que se pueden despreciar las pérdidas por fricción, resistencia al avance del rotor y pérdida por incremento en la temperatura del hierro debido al par desarrollado. La ecuación diferencial que gobierna la dinámica del rotor se puede escribir, entonces, como d2 0* J--:+-T_-r"Nm

(12.3)

dt'

donde

0*= ángulo en radianes (mecánicos). T- = pat de rotación en Nm; adquiere un valor negativo para una máquina

en motoriza-

ción (consumiendo potencia). T" =

PT electromagnético desarrollado en Nm; adquiere un valor negativo para una máquina en motorización.

Mientras el motor tenga la dinámica descrita por la ecuación (I2.3), el rotor cambia de velocidad en una magnitud insignificante durante el periodo que interese (1 s) [sección I2.ll. En consecuencia, la ecuación (12.3) se puede convertir en su forma más adecuada para la potencia si se supone que la velocidad del rotor permanece constante en la velocidad síncrona (rr,,,.). Ambos lados de la ecuación (12.3) se multiplicanpor {o,*',para poder

escribir

Jr,-#

x 10{ =P*-P"MW

(12.4)

donde

P^=

enttada de potencia mecánica en MW. P, = salida de potencia eléctica en MW; se supone despreciable la pérdida en el cobre

del estator. La ecuación (12.4) se ordena como sigue:

u(+)"," \P) " donde

o

sea

0,

=

19*¡

d-4, dr

" = p*

p" Mw

ángulo en radianes (eléctricos)

M+ = p^- p, oÍ-

(r2.s)

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctrrcgx

j9!g9l9ra

con respecto a un marco de refeEs más conveniente medir la posición angular del rotor rencia en rotación síncrona. Sea 6

=

marco

0" art, desplazamiento angular del rotor respecto al de referencia en rotación síncrona (es lo que se llama ángulo de par/óngulo de potencia)

-

(r2.6)

De la ecuaciín (12.6)

d'0"

dtz dtz =ti

(r2.7)

función de 6 como Por consiguiente, la ecuación (12.5) se puede escribir en ¡2 s

M+-p^-p¿Mw df-

(12.8)

Si M se define como en la ecuación (12'l), puede escribirse

ggd'-á rrf dt' Al dividir entre G, la potencia nominal M(pu)

=p^

p¿Mw (r2.e)

de la máquina en

d26

#

= P.-

MVA'

P":

en pu de potencia nominal de la máquina como base

(12.10)

donde

M(pu) ^ =

o

sea

H d'9 nJ dt'

=

+ 1rf P^- P, pu

(i2.1

1)

Aestaecuaciónfecuación(12.|o)oecuación(12.11)]selellamaecuacióndeosci(en generación/motolación,y describe la dinámica del rotor para una máquina síncrona donde el término de amortiización).Es una ecuación diferencial de segundo orden en una máquina sin pérdidas y guamiento (proporcional adildt)no existe por la hipótesis de par del devanado amortiguador' Esta hipótesis causa iorq,r" no ," rru to-ado en cuenta el amortiguamiento ayuda ,"rulrudo, pesimistas en el análisis áe estabilidad transitoria; el en cuenta el amortiguamiento en un a estabilizar el sistema. Claro está que se debe tener

P, depende del seno del ánestudio de estabilidad dinámica. Como la potencia eléctrica ecuación diferencial gulo á [véase la ecuación (I2.2g)],1a ecuación de oscilación es una no lineal de segundo orden.

Sistema multimáquinas Enunsistemadevariasmáquinassedebeelegirunabasecomúndelmismo.

Dinámica de una máquina síncrona

s;: G-iq = potencia nominal de la máquina (base) J,.,r..u = base del sistema Enionces, la ecuación

(l2.II)

se puede escribir así

**i+#) =(P^-P")* 4$* P¡rf dtz- 'm-

o bien

donde

[n

H,i,,"-u=Hmáq

P" ^(

pu

enla base del

sistema (Iz.Iz)

\

lpl \ usistema /

(12'13)

constante de inercia de la máquina en la base del sistema.

Máquinas en oscilación coherente Ahora se considerarán las ecuaciones de oscilación de dos máquinas en una base de sistema común.

H, d'6, ¡r f dt' --.-+

H) d2ü

"f ¡-

=

P*r

=

P*2-

-

P"t

p\

P"zPv

(12.14)

(12'15)

como los rotores de la máquina oscilan juntos (en forma coherente o al unísono),

4 =4= Se suman las ecuaciones (12.14) y

á

(I2.I5)

H,qd26 _, -m_p'e

rr.f dt2

(r2.16)

en donde

P^=P-l* P"=P"r+

P^z

(r2.r7)

P",

H"o=Hr+ H, Las dos máquinas oscilan en forma coherente y, por consiguiente, se reducen a una sola máquina, como en la ecuación (12.16). La inercia equivalente en la ecuación (12.17) puede escribirse como

H.q = Ht'

^aqct

^aqlGristema

*

Hz

^eqGz-áqlcrirt.-u

Q2.18)

Estos resultados se extienden con facilidad a cualquier cantidad de máquinas que oscilen en forma coherente.

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

tt¡"rot i;.:;1

-f-

Un turbogenerador de 4 polos a 50Hz tiene potencia nominal de 100 MVA, 11 kV y una constante de inercia de 8.0 MJ/MVA.

a) b)

Calcular la energía almacenada en el rotor a la velocidad síncrona. Si de repente se incrementalaentradade potencia mecánica a 80 MW para satisfacer una carga eléctrica de 50 MW calcular la aceleración del rotor. Despreciar las pérdidas mecánicas y eléctricas.

c)

Si la aceleración calculada en la parte b) se mantiene durante 10 ciclos, calcular el cambio del ángulo del par y la velocidad del rotor en revoluciones por minuto al final de este periodo.

Solución

a)

Energíaalmacenada = GH = 100 x 8 = 800 MJ lz t

b) Po=80-50=30MW=M l+ dt' lvl--

GH 180/

a

8OO

180

x50

45

4 d2á_

.

45 ü2

o sea

MJ-r/*rudo eléctrico

30

o = o.'4 = 337.5

grados eléctricos/s2

dt-

c)

10 ciclos = 0.2 s

Cambio en 6 =

ltZll .S¡ x (0.2)z = 6.75 grados eléctricos = 6o

x

??7

5

= 28'125 rpm/s

**"

.'. Velocidad del rotor al terminar 10 ciclos

=

120 x

4

5o +

1 505.625

28.125

x

0.2

rpm

T2.3 ECUACIÓN DEL Á.NCUT.O DE POTENCIA Para resolver la ecuación de oscilación [ecuación (12.10)] se suelen hacer ciertas hipótesis de simplificación. Éstas son:

1.

La entrada de potencia mecánica a la máquina (Pr) permanece constante durante el periodo del transitorio electromecánico de interés. En otras palabras, significa que se hace caso omiso al efecto del circuito de control que gobierna la turbina porque es muchó más lento que la velocidad del transitorio. Esta hipótesis lleva a un resultado pesimista, ya que ellazo que gobierna ayuda a estabilizar el sistema'

Ecuación del ángulo de potencia

2.

Los cambios de velocidad del rotor son insignificantes, pues se han ignorado para

3.

No

formular la ecuación de oscilación. se tiene en cuenta el efecto del lazo de regulación de voltaje durante el transitorio: como consecuencia, la fem generada por la máquina peÍnanece constante. Esta hipótesis también conduce a resultados pesimistas, ya que el regulador de voltaje ayuda a

estabilizar el sistema. Para resolver la ecuación de oscilación, es necesario determinar la dependencia de la salida de potencia eléctrica (Pr) respecto al ángulo del rotor.

Modelo simplificado de máquina Para una máquina de polos lisos, la ecuación de fem inducida-voltaie en terminales en con-

diciones estables es

E = V + jX/¿ + jXoln; X¿> I - I,+ I-

donde

y

(r2.r9)

Xn

(r2.20)

se utilizan los símbolos de costumbre.

En la condición transitoria

X¿'X'¿1X¿

pero

X' n = Xn pues el campo principal está en el eje d X' o Xn; pero la diferencia es menor que en la ecuación (12.19)

I

La ecuación (12.19), durante el transitorio, se modif,ca a

E'=V+

jX'olo+ jXnln =V + jXq(I - I¿) + jXila - (V + jX{) + j(x'd - Xq)rd

(r2.2r) (r2.22)

En la figura r2.2 se ve el diagrama fasorial correspondiente a las ecuaciones (r2.2r) y (12.22).

/.-

i(X'd-Xq)lq

,{ /\\// ixqt-/ \ /\ /t / / ./-,,''

jXnlo

\

-/.t.,, V

Figura

12.2

JX'J¿

Diagrama fasorial: máquina de polos salientes

M2 |

CAPíTULo

12

Estabilidad de sistemas etéctricos de potencia

I

E',=lE',lL,

Flgura

12.3

Modelo de una máquina simplificada

Como en la condición transitoria, X' ¿ razonable suponer que X'd

(

X, pero Xo permanece casi inalterada,

o

Xo

es

(r2.23)

Entonces la ecuación (12.22) se convierte en

E' =V + jXnI

=

V + jX¿'I

(r2.24)

El modelo de máquina que corresponde a la ecuación (12.24) se muestra en la figura 12.3 y también se aplica a una máquina de rotor cilíndrico, donde X; = X; = XJ (reactancia síncrona transitoria). La máquina simplificada de la figura 12.3 se usará en todos los estudios de estabilidad.

Curva del ángulo de potencia Para fines de los estudios de estabilid,ad,, lE'l,la fem transitoria del motor generador permanece constante o es la variable independiente determinada por el lazo de regulación de voltaje, pero V, el voltaje del generador determinado entre terminales, es una variable

dependiente. Por consiguiente, los nodos (buses) de la red para estudio de estabilidad corresponden a la fem terminal en el modelo de máquina como muestrala figura 12.4, mientras que la reactancia de la máquina (Xj) se considera en la red del sistema en forma diferente a la de un estudio de flujo de carga. Además, las cargas (aparte de los grandes motores síncronos) se sustituirán por admitancias estáticas equivalentes (conectadas en paralelo entre los buses de la red de transmisión y el bus de referencia). Esto se debe a que los voltajes de carga vaúan durante un estudio de estabilidad (en un estudio de flujo de carga permanecen constantes dentro de una banda estrecha).

Figura 12.4

123

Ec¡ación del ángulo de

potencia

ffi--r.I

Figura

12.5

Red de dos bt¡ses para estudio de estabilidad

Para el sistema de 2 buses en la fisura 12.5.

v -in' r,r= ru Lr" i_l, v'"..

Ysus =

(r2.2s)

La potencia compleja al bus es

P¡+ En el bus

jQ¡=E!Í

1

Pt + jQt = E¡' (Y¡81')* + Et (YnEi)*

(r2.26)

Pero

Lq; Ei = lE'zl L4 Ytt = Gtt + jBr; Ytz.= lYnl L9n E't =lEt'l

Como sólo interviene potencia real en la solución de la ecuación de oscilación, entonces, de acuerdo con la ecuación (12.26),

Pt =lEll2 Grr+

lEll lE',|ly,,l

cos

(q

- 4 - 0rr)

(12.27)

Una ecuación similar es válida para el bus 2. Sean

lE1'ltG¡ = P, lEr'l lEz'l lYpl = P^6

4-4=6 Y

Ón =7112 -Y

Entonces, la ecuación (12.27) se puede escribir como

Pt = P,

*

P-e, sen

(6- y); Ecuación del ángulo de potencia

Para una red puramente reactiva

Grr = 0 (:. P, = 0); red sin Pérdidas

0p=rrD,:. 1=0

(12.28)

i

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

P 'md

-' -\

(P.^+lP.)-.-.-

Figura

12.6

Generador

Curva del ángulo de potencia

Por consiguiente,

P, = P-¡

P=

donde

-mil

sen 6

(12.29a)

lEr'llE2'1. X

ecuación del óngulo de potencia, simplificada

(r2.29b)

donde X = reaclancia de transferencia entre nodos (es decir, entre E1' y E)). La gráfica de la ecuación del ángulo de potencia [ecuación (12.29)l se muestra en la

flgura 12.6. Entonces, la ecuación de oscilación [ecuación (12.10)] se puede escribir como sigue:

i q - Pn - P.6* sen ápu

7rI (lt-

(r2.30)

que, como ya se dijo, es una ecuación diferencial de segundo orden sin amortiguamiento.

I2.4

TÉCNICA DE ELIMINACIÓN DE NODOS

Se ha indicado, en estudios de estabilidad, que los buses por considerar son aquellos que

se excitan por los voltajes internos de la máquina (fem transitorias) y no los buses de carga, los cuales se excitan por los voltajes de terminales en los generadores. Por consiguiente, en la formulación de fs,r5 para el estudio de estabilidad, se deben eliminar los buses de carga. Para la eliminación de buses se dispone de tres métodos. Se ilustran mediante el sistema simple de la figura 12.7a), cuyo diagrama de reactancia se dibuja en la figura 12.7b). En este caso sencillo, el bus 3 se elimina con facilidad por combinación de las líneas en paralelo. Entonces

Tecnica de eliminación de nodos

/;\ \"-/

@

1

LO"

b)

Figura

12.7

Un sistema simple con su diagrama de reactancias

Xn = 0.25 + 0.1 +

0.5

z

= 0.6 Considere ahora un caso más complicado donde sucede una falla trifásica en el punto medio de una de las líneas y en ese caso el diagrama de reactancia es el de la figura 12.8a).

Conversión estrella-delta Si se convierte la estrella en el bus 3 a delta, la red se transforma en el de la f,gura 12.8b), donde

0.25x 0.35 + 0.35 x0.5 + 0.5 x 0.25

xtz

0.25

=

1.55

Sin embargo, este método, cuando la red es compleja, no se puede mecanizar para preparar un programa de computadora.

Equivalente de Thevenin Consulte la figura I2.8a). El equivalente de Thevenin para la parte de la red alaizquierda de las terminales a b es como se ve en la fieura 12.8c). donde el bus 1 se ha modificado

al'.

{4S I

GAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

I

IE'IL6

<-----------

D

IE'IL6

c)

Figura 12.8

¡')\ Vn=:lE'lL6

0.25 + 0.35

= 0.411 | E' I

Xn= 0.35 x 0.25

0.35 + 0.25

L6 =0.

146

Ahora bien

Xn =0.146 + 0.5 = 0.646* * Este valor es diferente del obtenido por transformación estrella-delta, porque V* ya no lE'l L6.

es 0.417

es

lE'l L6; de hecho

Técnica de eliminación de nodos

Figura 12.9 Es obvio que este método es complicado para aplicarlo a una red incluso de pequeña complejidad y no se puede computaÁzar

Técnica de eliminación de nodos Ahora se formulan las admitancias de bus para el sistema de 3 buses de la figura 12.8a). Esta red se vuelve a presentar en la figura 12.9 donde en lugar de la rama de reactancia, se muestran las admitancias. Para esta red.

rl-2.86 0 v"ur=i2l 0 -6 3L 2.86

2

2.86

I

-8.86

l

2

|

Se va a eliminar el bus 3.

En general, para un sistema con 3 buses,

Y,, ,i,lIt1l [r,-l ftl, Y, Yr,llv,I ltz|=lYz,

(12.3r)

L1,l LYI Yy Yu)lvr) Como al bus 3 no hay conectada una fuente

1" =0

YrrVr+ YrrVr+ YyV3=0

v3=-?r,'Y,Y'

l:r r,

(r2.32)

Este valor de V, se sustituye en las dos ecuaciones restantes de (12.31), con lo que así se elimina Vr, 11

= Y¡V ,+ YrrVr+ YruV,

=

[n,

-

Ir4tl v, *( u, - Y,rY,, ) y Yzr)'1.''

Yrr)'

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

En forma compacta

Y'rt Y'r, ) yu*treduciaa) = I ,lr, )

(12.33)

fr,

en donde

'4,

(r2.34a)

Y'rr=Yr,-Y"Y" Y'12

Y"Yt'

Ytz

= Y'2t =

(r2.34b)

Y.t

Y'.r=Yrr-Y"Yt'

(r2.34c)

Y

En general, al eliminar el nodo n Y¿,

(nueva) = Y¿j (anterior)

I*, (anterior)

-

(anterior)

Y,,

(12.3s)

I,, (anterior)

La ecuación (12.34) se aplica a este ejemplo Ysu5 (reducida) =

¡

l- r.e37 | 0.646

0.646-l '' -5-'" 54q

I I

_J

Entonces se sigue que

x,,=L=1.548(-1.55) 0.646

eprpn rz.i

I I

En el sistema que muestra la flgura 12.10, un elemento reactivo capacitivo estático trifásico de reactancia 1 pu por fase está conectado a una barra de bus de un motor por medio de un intemrptor. Calcular el límite de potencia de estado estable, con y sin el intemrptor del capacitor cerrado. Volver a calcular el límite de potencia pero ahora sustituir el capacitor por un elemento reactivo inductivo (inductor) del mismo valor. X¡

X = o.1Pu

= 0.1Pu Motor

Xr = 0.25Pu

Xo, = 1Pu

\ I

x^

;t*" Figura 12.10

rz.¿

r¿cn¡ca oe el¡minación de

nodos lilW,:\ a

j1.0 j0.1

j0.25

jo.1

lE"l=1.2 -i1.0 -

iO.965

11.0

lEl=1.0

b)

a)

Figura 12.11 Suponer que el voltaje interno del generador es 1.2 pu y aquél del motor es 1.0 pu.

Solución

i.

Límite de potencia en estado estable sin capacitor

_lEsllE^l

1+0.1 +0.25 +0.1+1

X(total)

2.

l.2xl

_

Circuito equivalente con capacitor: se muestra en la figura l2.lIa). Al convertir la estrella a delta, la red de la figura l2.lla) se reduce a la de la figura

I2.llb)

donde

iX(transf'erencia.¡

= =

i1'35 x./1'1 + i1'1 x (-¡1'0) + (-i1'0) x i1'35 - j1.0

jo.g65

Límite de potencia de estado estable =

3.

= 0.49 pu

Al sustituir la reactancia capacitiva

r

1)

w1

0.965

=

1.244 pu

-

o capacitor por la reactancia inductiva o inductor, se obtiene el circuito equivalente de la figura 12.12. Al convertir la estrella a delt4 la reactancia de trasferencia es

7X(transferencia) =

jI.35x jt.I + j1'I x j1.0 + j1.0 x j1.35 j1.0

= i? 9?5 j1.1

i1.35

j1.o

Figura 12.12

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de ootenc¡a

Límite de potencia de estado estable

=

t^'^\^] 3.935

= 0.304 pu

El generador de la figura L2.7a) entrega 1.0 pu de potencia al bus infinito (lVl = 1.0 pu), con el voltaje de terminales del generador lV,l = 1.0 pu. Calcular la fem del generador detrás de la reactancia transitoria. Calcular la potencia máxima que se puede transferir en

las condiciones siguientes:

a) b) c)

El sistema sin fallas. Una línea en corto (trifásico) a la mitad. Una línea abierta.

Graficar las tres curvas de ángulo de potencia.

Solución

V,= lV,l La =ILa

Sea

De acuerdo con la ecuación de ángulo de potencia,

lv,llvl X

sena=p"

llxl I 0.2s + 0.1 )lsena=l

l

|

q = 20.5o Corriente hacia el bus infinito

-lVlL0" I_ lV,lLa jx tL20.5"-rLO" i0.3s

=1+j0.18=1.016 LI0.3" Voltaje detrás de larcactancia transitoria

lLj"+

j0.6 x (1 + j0.18) =0.892 + j0.6 = 1.075 L33.9"

E' =

a)

Con el sistema sin fallas P*á" P^

lV ll E' |

1x 1.075

xn

0.6

= 1.79 senó

b) Una línea en corto a la mitad

=

1.79 pu (D

Tal como ya se calculó en esta sección,

Xn = l'55 1x 1.075

P^

= 0.694 pu

1.55

P, = 0.694

o sea

c)

(ii)

sen ó

Una línea abierta: Con facilidad se ve en la figura 12.7b) que

Xn =0.25 + 0.1 + 0.5 =

lxl'075

P^^-=

0.85

=

0.85

1.265

P, = 1.265 sen 6

o sea

(iii)

La gráfica de las tres curvas del ángulo de potencia fecuaciones (i), (ii) y (iii)] se ve en la flgwa 12.13. En condición sin falla, el sistema se opera con P*= P"= 1.0 Pu Y óo =33.9", es decir, en el punto P en la curva de ángulo de potencia 1.79 sen 6. Cuando una línea se pone en corto en su mitad, P*permanece fija a 1.0 pu (el sistema de gobierno actúa en forma instantánea) y además se supone que permanece fija durante todo el transitorio (la acción de gobierno es lenta), mientras que el punto de operación se recolre en forma

instantáneaaQenlacurva0.694senDaó=33.9'.Observeque,acausadelainerciade la máquina, el ángulo del rotor no se puede cambiar de repente.

T2,5 SISTEMAS SIMPLES Máquina conectada a un bus infinito I2.I4 es el modelo de circuito para una sola máquina conectada a un bus infinito por medio de una línea de reactancia X". En este caso sencillo La flgura

Xt

unsferen"ia=

X'o

+ X,

P

1.79

1.265 P^ = 1'0 0.694

0

33.9'

90'

Figura 12.13 Curvas de ángulo de potencia

452

|

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Bus infinito P

lE'lL6

lvlLo" I

Figura 12.14 Máquina conectada a un bus infinito De la ecuación (12.29b)

^= P" "

E',llv -=I

Xt

I

sen

6= P.6* Sen D

(12.36)

-.f.r.n.iu

La dinámica de este sistema se describe en la ecuación (12.11) como

+#=P^-

P'pu

(r2.37)

Sistema de dos máquinas El caso de dos máquinas finitas conectadas por una línea (Xr)

se ilustra en la figura 12.15 donde una de las máquinas debe operar como generador y la otra como motor. En la condición estable, antes de que el sistema entre en dinámica y

P^l=-P^2=P*

(12.38a)

la entrada/salida mecánica de las dos máquinas se suponga pennanece constante en esos valores durante la dinámica (se asume que la acción del gobernador es lenta). Durante el estado estable o en la condición dinámica, la salida de potencia eléctrica del generador debe absorberla el motor (la red no tiene pérdidas). Así, en cualquier tiempo tDe\ _ --

|De2-_D t

(12.38b)

e

Las ecuaciones de oscilación para las dos máquinas pueden ahora escribirse como

d'?r

"\. Ht ) =or(+-'") " H, dr' = or(P^r-P"') I )

Pnt+

+

Pet

Pez+

lE'11L61

Figura 12.15 Sistema de dos máquinas

(r2.39a)

+t lE'21L62

D

m2

( P" - P,,,\ d'6, __r( P.:- P":) _ _. ttr ""' n. dI l.

)-

¡

Se resta la ecuación (12.39b) de la ecuación

(

",

t

12.39b1

.l

12.39a)

(r2.40)

fl.' dló , ) -o'nt 1rI^ cl¡-

o sea

(r2.4r)

D

'e

6=Q-óz

en donde

(12.42)

H.H,

t7-^=H,+H, El intercambio de potencia eléctrica

se

r I l.-13

)

describe mediante la expresión

p^= lE'tllE;l ' XL, + X" + X).,

sen6

(1) {Jt

La ecuación de oscilación (I2.4I) y la ecuación del ángulo de potencia (12.44') tienen la misma forma que para una sola máquina conectada a un bus infinito. Así, un sistema de dos máquinas es equivalente a una máquina conectada a un bus inflnito. En virtud de lo anterior, el sistema de una sola máquina (conectada a un bus infinito) se estudiará en forma extensa en este capítulo.

Eiemplo 12.4 á

x

En el sistema del ejemplo I2.3, el generador tiene una constante de inercia de 4 MJ/MVA, escribir la ecuación de oscilación cuando se presenta la falla. ¿Cuál es la aceleración angular inicial? Si se supone que esa aceleración permanece constante durante A/ = 0.05s, calcular el ángulo del rotor y la nueva aceleración al final de este intervalo de tiempo.

Solución La ecuación de oscilación cuando se Dresenta una falla

H

d'zá

180/ dr'

=P-.-P

*=1-0.694sen6

180x 50 dtes decir

4dt¿

=

22s0 (t

-

0.694 sen 6).

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potenc¡a

Ángulo inicial del rotor

áo

= 33.9" (calculado en el ejemplo I2.3)

d26l

-ldt' lt

=2250 (l-0.694 sen 33.9') __

o+

= I 379 grados eléctricos/s2

lql d/l¡=o+

= 0; la velocidad del rotor no puede cambiar

Aó(en A¡ = 0.05s) =

12 "

de repente

1319 x(0.05)2

= 1.7"

4 d'ál dt"l I

=óo

+ Aá= 33.9 + I.J" = 35.6o

= 2 250

-----;l

(I - 0.694 sen 35.6')

= 0.05s

= I 341 grados eléctricos/s2 Observe que conforme el ángulo del rotor aumenta, la producción de potencia del generador se incrementa y, por consiguiente, se reduce la aceleración del rotor.

12.6 ESTABILIDAD DE ESTADO

ESTABLE

El límite de estabilidad de estado estable para determinado circuito de un sistema eléctrico de potencia se def,ne como la potencia miáxima que se puede transmitir al extremo receptor sin pérdida del sincronismo. Se tiene el sistema simple de la figura 12.14 cuya dinámica se describe con las ecuaciones

Mq dtt

= P-

fU =

4rf

-

P, MW; Ecuación (12.8) (r2.4s)

en sistema pu

p _tEllvl "xd

sen á =

P.*

sen ó

(r2.46)

Para determinar la estabilidad de estado estable, en las ecuaciones anteriores se usan la reactancia de eje directo (X¿) y el voltaje detrás de X¿. La gráfrca de la ecuación 02.aO se ve en la figura 12.6. Sea el sistema operando con transferencia estable de potencia de P"s= P^con un iángulo de par á¡, corno se indica en la figura. Suponga que hay un pequeño incremento AP en la potencia eléctrica con la entrada del primotor flja en P^(larespuesta del gobernador es lenta en comparación con la

rapidez de la dinámica de la energía), que hace que cambie el ángulo de par a (áo + Aó). se linealiza respecto al punto de operación Qo (Pro, áo) se puede escribir que

Si

LP.=f!L) ' \ áóln

^ó

Las excursiones de Aá se describen entonces por

t

oilu - P^ (P"o+ dt'

es decir

M o sea

en donde

LP,\

=- LP,

d'4. [!L.l aá=0 dt' L áó lo

(r2.47)

()P\f llMp,+l \dó )o) =llaó=0 L P=!dt

La estabilidad del sistema frente a cambios pequeños se determina de la ecuación característica

Mp'+

lel Lááln

=Q

cuyas ralces son

,-*l-tLP,t06¡o)) '-:L M l Siempre que (dP, /dá)o sea positiva, las raíces son puramente imaginarias y conjugadas y el comportamiento del sistema es oscilatorio en torno a ás. La resistencia de línea y los devanados amortiguadores de la máquina, que no se han tenido en cuenta en el modelado anterior, hacen que las oscilaciones del sistema decaigan. En consecuencia, el sistema es estable frente a un pequeño incremento de potencia, siempre y cuando

Q P"/Aüo >

(r2.48)

O

Cuando (AP"/ADoes negativa, las raíces son reales, una positiva y la otra negativa pero de igual magnitud. En consecuencia, el ángulo del par aumenta sin límite cuando sucede un pequeño incremento de potencia (perturbación) y rápidamente se pierde el sincronismo. Así, el sistema es inestable para

@P"/aüo
se

llama rigidez(eléc-

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Si se supone que I E I y I V I peffnanecen constantes, el sistema es inestable, si

IEilVI cosá6<0

_

o

Uo

t nOo

(12.49)

La potencia máxima que se puede transmitir sin perder la estabilidad (estado estable)

se

tiene para

4 =90' y

(r2.s0)

se describe con

D_ 'máx-

tE'|vl

(r2.sr)

X

Si el sistema está operando por debajo del límite de condición de estabilidad fija (ecuación 12.48), puede continuar oscilando durante largo tiempo si el amortiguamiento es bajo. Las oscilaciones persistentes son una amenazaparala seguridad del sistema. El estudio del amortiguamiento del sistema es el estudio de su estabilidad dinámica. El procedimiento anterior también se aplica para sistemas complejos donde también se tienen en cuenta la acción del gobernador y el control de excitación. La ecuación diferencial que los describe se linealiza alrededor del punto de operación. Entonces se determina la condición para la estabilidad de estado estable apartir de la ecuación característica correspondiente (cuyo orden ahora es mayor que dos). Se supuso en lo anterior que el voltaje intemo de la máquina lEl permanece constante (es decir, que la excitación se mantiene constante). El resultado es que cuando aumenta Ia carga, el voltaje en terminales lV,l disminuye mucho, lo cual en la práctica no se puede tolerar. Por consiguiente, se debe examinar el límite de estabilidad de estado estable, al suponer que se ajusta la excitación para cada aumento de carga, para mantener constante a lV,l. Así es como el sistema opera en la práctica. Se entiende que todavía no estamos teniendo en cuenta el efecto del control automático de excitación. En el ejemplo 12.6 se considera el límite de estabilidad de estado estable, con lV,l y lVl constantes.

Un generador síncrono de reactancia 1.20 pu se conecta a un bus inflnito (l V | = 1.0 pu) por medio de transformadores y una línea cuya reactancia total es 0.60 pu. El voltaje del generador sin carga es 1.20 pu y su constante de inercia es H = 4 MW-s/MVA. Se puede suponer que la resistencia y el amortiguamiento de la máquina son despreciables. La frecuencia del sistema es 50 Hz. Calcular la frecuencia de las oscilaciones naturales, si el generador se carga ai) 50Vo y ii) 80Vo de su límite máximo de potencia. Solución

i)

Paola 50Vo

de carga

Estabilidad de estado estable

sen6o"

:" =0.5o fr=lQ'

P^e*

le] -r'2xr cos 30" L áD J¡0" 1.8

= A.577 MW (pu)/rad eléctricos

Mpu) -

H-: L = rrx50= ¡rx50

s2kadeléctricos

Según la ecuación característica

/"-1+ 'lraP' \ lMl p='!ill=l L\dó/n"l J

. O.Sll x50z-¡i ==rI O )=*t+.ro (

Frecuencia de las oscilaciones = 4.J6 raüs

= ii)

+

= 0.758 Hz

pan807o de carga

senáo=:4 " P^á* =0.8o ñ=53.1' ( dP,\ 1.2 xl cos fJ.I" t-¡ = 1.8 dÓ \ )n).

- MW (pu)/radián eléctrico = 0.4 p

x 50-\t =ti. (0.4 l.::]:-J =t i3.e6

Frecuencia de las oscilaciones = 3.96 rad/s

?q6

'r- = 0.63 Hz

Determinar el límite de potencia de estado estable para un sistema formado por un generador de reactancia equivalente a 0.50 pu, conectado a un bus infinito a través de una reactancia en serie de 1.0 pu. El voltaje en terminales del generador se mantiene a 1.20 pu y el voltaje del bus infinito es 1.0 pu.

Solución El sistema

se ve en la

flsura 12.16.

Se tomará como referencia el voltaie del bus

infinito.

4ss

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

1 V,

v = 1.oLo"

= 1 .2L0

Figura 12.16

V=1.0 L0",Vt=1.2 L0

Entonces

, v,-v JX

Ahora

1.2L0-1.0 JI

Lo. "Ljl ¡os lV 4-t'of

E = vt + ixdr = r.z

I

o sea

E = 1.8 L0

-

0.5 = (1.8 cos

á-

0.5) + j1.8 sen d

Se llega al límite de potencia de estado estable cuando E tiene un ángulo de á = 90", es decir, su parte real es cero. Así, 1.8 cos 0

o sea

Ahora,

á-

0.5 = 0

= 73.81"

V, = 1.2 L73.87" = 0.332 +

,

-

o'332 + j.r'152

jr

-r

=

jI.l52

1.152

+ j0.668

E = 0.332 + jt.I52 + j0.5 (1.152 + j0.668) =

El límite de estado estable

-

0.002

+

j1.728

-

1.128

L90'

es

El lvl l'128xr 1.152 P-,.. =l ^max xo+x - 1.5 =

pu

Si en vez de ello se mantiene flja la fem del generador, en un valor de I.2 pu, el límite de potencia de estado estable sería ^P^;* = max

l'2xl 1.5

= 0.8 pu

Se observa que al regular la fem del generador para mantener el voltaje entre terminales del generador a !.2 pu sube el límite de potencia de 0.8 pu a 1.152 pu; así es como ellazo de regulación de voltaje ayuda a la estabilidad del sistema de potencia.

Algunos comentarios sobre la estabilidad del estado estable Es importante conocer la estabilidad del estado estable por varias razones. Un sistema puede hacerse trabajar por arriba de su límite de estabilidad transitoria pero no por arriba de su límite de estado estable. Ahora, con mayores velocidades de eliminación de falla, es posible hacer que el límite transitorio se acerque mucho al límite del estado estable. Como queda claro de acuerdo con la ecuación (I2.51),los métodos para mejorar el

límitedeestabilidaddeestadoestabledeunsistemasonreducirXyaumentarlElolVl o ambos. Si las líneas de transmisión tienen la reactancia suficientemente alta, se puede elevar el límite de estabilidad mediante dos líneas paralelas, lo que por cierto aumenta también la confiabilidad del sistema. A veces se emplean capacitores en serie en las líneas para obtener mejor regulación de voltaje y para elevar el límite de estabilidad al disminuir la reactancia de la línea. También se emplean mayores voltajes de excitación y sistemas rápidos de excitación para mejorar el límite de estabilidad.

T2.7 ESTABILIDADTRANSITORIA Se demostró, en la sección 12.4, que la diniímica de una sola máquina síncrona conectada a barras infinitas está gobemada por la ecuación diferencial no lineal

M

Pu = P-6" sená

en donde o

*ot- =P^- P"

M

,r2s

#

=

P,- P.* senó

(r2.s2)

Como ya se dijo antes, a esta ecuación se le llama ecuación de oscilqcióru. No existe solución en forma cerrada para esa ecuación, excepto para el caso simple en que P^ = 0 (no es un caso práctico) en el cual intervienen integrales elípticas. Para una perturbación pequeña (por ejemplo , vna canga gradual) se puede linealizar la ecuación (véase la sección 12.6) y llegar al concepto de estabilidad de estado estable donde se pudiera establecer un criterio único de estabilidad @P"/A6> 0). No se dispone de criterios generalizados* para determinar los límites de estabilidad del sistema con grandes perturbaciones (el caso se llama de estabilidad transitoria). El método práctico para atacar el problema de estabilidad transitoria es, en consecuencia, hacer una lista de todas las perturbaciones graves importantes junto con sus lugares posibles, a las que sea probable que el sistema esté sometido de acuerdo con la experiencia y el juicio del analista del sistema de potencia. Entonces, la solución numérica de la ecuación (o ecuaciones, para un caso con varias máquinas) de oscilación se obtiene en presencia de esas perturbaciones y se rrazaúna gráfica de á en función de / que se llama curva de oscilación. Si á comienza a decrecer después de llegar a un valor máximo, se acostumbra suponer que el sistema es estable y que la oscilación de á alrededor del punto de equilibro disminuirá y al final cesará. Como ya se hizo notar en la introducción, las perturbaciones graves importantes son un cortocircuito o una pérdida repentina de carga. * En las publicaciones recientes se presentan métodos para determinar la estabilidad transitoria con criterios de estabilidad de Liapunov y Popov, pero hasta ahora no tienen uso práctico.

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Para facilidad de análisis siempre se hacen algunas suposiciones y simplificaciones [algunas de ellas ya se realizaron para llegar a la ecuación de oscilación (12.52)1. A continuación se presenta una lista de todas las suposiciones, junto con su justificación y sus consecuencias en la exactitud de los resultados.

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Lalíneade transmisión y la resistencia de la máquina síncrona no se tienen en cuenta. Esto conduce al resultado pesimista porque la resistencia introduce el término de amortiguamiento en la ecuación de oscilación, lo cual contribuye a la estabilidad del sistema. En el ejemplo I2.ll se ha tenido en cuenta la resistencia de la línea. No se tiene en cuenta el término de amortiguamiento que aporten los devanados amortiguadores de la máquina. Eso también conduce a resultados pesimistas del límite de estabilidad transitoria. Se supone que la velocidad del rotor es síncrona. De hecho, varía en forma insignificante durante el transitorio de estabilidad. Se supone que la entrada mecánica a la máquina permanece constante durante el transitorio, es decir, no se tiene en cuenta la acción reguladora del lazo del generador. Eso conduce a resultados pesimistas. Se supone que el voltaje detrás de la reactancia transitoria permanece constante, es decir, no se tiene en cuenta el circuito regulador de voltaje. Esto también conduce a resu ltados pesimi stas. No es difícil tener en cuenta las capacitancias en derivación (shunt) en un estudio de estabilidad. Cuando no se tienen en cuenta, no se causa un enor significativo.

Las cargas se modelan como admitancias constantes. Ésta es una representación razonablemente exacta.

Nota: Como la velocidad y, en consecuencia, la frecuencia del rotor varían en forma insignificante, los parámetros de la red permanecen fijos durante un estudio de estabilidad. Se puede modificar un programa de cómputo digital para calcular el transitorio que sigue a una perturbación repentina para incluir el efecto de la acción del gobemador y el control de la excitación. Los sistemas modernos de potencia son tan grandes que aun después de agrupar máquinas [ecuación (12.17)],el sistema sigue siendo de varias máquinas. Aun así, un sistema simple de dos máquinas ayuda mucho a comprender el problema de la estabilidad transitoria. En la sección 12.4 se demostró que se puede determinar un sistema equivalente de una máquina con bus inflnito para un sistema de dos máquinas [ecuaciones (12.4I) a (12.43)]. Cuando se presenta una perturbación grave, por ejemplo, un corlocircuito, se reduce mucho la transferencia de potencia entre las máquinas, y se provoca que los ángulos de par oscilen uno en relación con el otro. Los disyuntores cercanos a la falla desconectan la parte con problemas del sistema de manera tal que la transferencia de potencia se restituya en forma parcial y se mejoren las probabilidades de que el sistema permanezca estable. Cuanto más breve sea el tiempo de operación del disyuntor, que se llama tiempo de desconexión, tanto mayor será la probabilidad de que el sistema permanezca estable. La mayor parle de las fallas de línea son de naturaleza transitoria y se eliminan al abrir la |ínea. En consecuencia, la prácfica común actual es emplear disyunlores de reconexión

Bus infinito

Figura 12.17

--:. -:i¡ica que en torma inmediata cierran rápidamente

después de cada una de las dos

,lc:ruras secuen.-i¡-les. Si persiste aún la falla- los cortacircuitos abren r-se aseguran de :i¡era perrnanenle h¿-.ta que se cierr-¿n manualmente. \a que en la malor parte de las :.lias el primer ciere iendr:í érito. las probabiliüdes de estabilidad del sistema aumentan :nur-'ho con disrunttrres de reconerión automática.

Ei procedimiento parir determina¡ la estabilidad de un sistema cuando sucede una falla por una pem-rrbación seeuida de varias acciones de abertura y cierre, se llama estudio de estabilidad. Los pa5os que se deben seguir en un estudio de estabilidad se describen enseguida para un sistema de una sola máquina y bus infinito, que muestra la figwa 12.17 . Se supone que 1a falla es transitoria, pues se elimina cuando se hace la primera reconexión. En ei caso de una falla permanente, este sistema queda totalmente aislado. Esto no será el caso cuando el sistema sea de varias máquinas. Los pasos que se mencionan se aplican, de hecho, a un sistema de cualquier tamaño.

1.

De la carga antes de la falla, determinar el voltaje detrás de la reactancia transitoria y el ángulo de par 6o de la máquina con referencia al bus infinito.

2.

Para la falla especificada, determinar la ecuación de transferencia de potencia P"(á) durante la falla. En este sistema P" = 0 para una falla trifásica.

3.

De la ecuación de oscilación comenzando con el áo obtenido en el paso 1, calcular ó en función del tiempo, mediante una técnica numérica para resolver la ecuación diferencial no lineal.

4.

Después de desaparecer la falla, determinar vnavez más P"(ó) y resolver para ó(r). En este caso, P"(á) = 0, porque cuando se elimina la falla, el sistema se desconecta.

5.

Después de cerrar la línea de transmisión, calcular de nuevo P"(D V continuar calcu-

lando ó(¡).

6.

Si

{/)

pasa por un valor máximo

y comienza a reducirse, considerar que el sistema

es estable. Es inestable si á(¡) continúa en aumento. Se termina el cálculo desoués de

un tiempo adecuadamente largo.

Un importante método numérico para calcular

fir)

de la ecuación de oscilación se

presenta en la sección I2.9.Para un sistema de una sola máquina y bus infinito, la estabilidad puede ser determinada bajo el criterio del área igual, que se presenta en la sección

siguiente.

12.8 CRITERIO DEL ÁNUA IGUAL En un sistema donde una máquina oscila respecto a un bus infinito, es posible estudiar la estabilidad transitoria por medio de un criterio simple, sin recurrir a la solución numérica de una ecuación de oscilación.

46?

)

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas etéctricos de potencia

Se tiene la ecuación de oscilación

rM # = irr^- P")= L,

= potencia de aceleración

U=\rrf en sistema pu

(r2.s3)

Si el sistema es inestable E continúa en aumento de manera indefinida con el tiempo, y la máquina pierde el sincronismo. Por otra parte, si el sistema es estable, fll) hace oscilaciones (no senoidales) cuyas amplitudes disminuyen en la práctica, a causa de los términos de amortiguamiento (que no se incluyeron en la ecuación de oscilación). Estos dos casos se ven en la figura 12.18. Como el sistema es no lineal, lanafuraleza de su respuesta [á(/)] no es única y puede presentar inestabilidad en forma distinta a la indicada en la figura 12.18; eso depende de la naturalezay la gravedad de la perturbación. Sin embargo, la experiencia indica que la repuesta á(l) en un sistema de potencia en general cae dentro de dos grandes categorías como muestra tal figura. Con facilidad ahora se puede visualizar (lo cual ya se había señalado) que para un sistema estable, la indicación de la estabilidad es la observación de la primera oscilación donde 6 pasará por un máximo y comenzará a reducirse. Esto se puede establecer como criterio de estabilidad: el sistema es estable si en algún tiempo

_d6 dt

=(_)

(r2.s4)

y es inestable, si dá

dt

>0

para un tiempo suficientemente largo (en general basta con 1 s).

0f Figura 12.18 Gráfica de ó en función de f para sistemas estable e inestable

(12.ss)

Este criterio de estabilidad para sistemas de potencia se puede convefir en una forma simple y fácilmente aplicable a un sistema de u,na sola máquina y bus infinito.

p- |, Z9

Al multiplicar ambos lados de la ecuación

'1,

I d¡l

se obtiene

2d6.t!=2P"d.6 dt

M

dt"

dt

Luego de integrar, se obtiene

l¿a)'

l.d'l

dá

dt

=

#{,Pod6 (rrl

=lh{,*")

(r2.s6)

donde óo es el ángulo inicial del rotor antes que comience a oscilar a causa de la perturbación. De acuerdo con las ecuaciones (12.55) y (12.56),la condición de estabilidad se puede expresar como

(+i,*'l'=' a

Ir,aa

(r2.s7)

=o

óo

En consecuencia, la condición de estabilidad se puede enunciar como sigue: el sistema es estable si el iárea bajo la a,twa Po (potencia de aceleración) - á se reduce a cero en cierto valor de 6. En otras palabras, el área positiva (aceleración) bajo la curva Po- á debe ser igual al área negativa (desaceleración) y de aquí el nombre "área igual" del criterio de estabilidad. Para ilustrar el criterio de área igual para estabilidad, a continuación se consideran varios tipos de perturbaciones que pueden presentarse en un sistema de una sola máquina y bus infinito.

Cambio repentino en la entrada mecánica La figura 12.19 muestra el modelo transitorio de una sola máquina conectada a un bus inflnito. La potencia eléctrica transmitida se describe por

^ = | E',l lvl

''

*U *

sen

á= P"*

Bajo condiciones de operación estable

P*o = Pr6 = P.¿" senfr

send'

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de ootencia

P

Figura 12.19 Eso se indica por el punto a en el diagrama P, - ó de laflgura 12.20. La entrada mecánica al rotor aumenta bruscamente hasta P^, (al abrir la válvula de vapor). La potencia de aceleraciófl Po = P*t - P" hace que la velocidad del rotor aumente (o> tor) y también el ángulo del rotor. En el ángulo 6y Po = P^t - P, (= P*¿, sen át) = Q (punto del estado en b), pero el ángulo del rotor continúa aumentando porque @) @,. Ahora, Po se vuelve negativa (desaceleración), la velocidad del rotor comienza a reducirse, pero el iángulo continúa aumentando hasta el ángulo 62, @ = @" una vez más (punto del estado en c). En c eláneade desaceleraciínAres igual aláreaAt, de aceleración (las áreas están sombreadas), es Oecir,

J

Pu

dá = 0. Como el rotor está desacelerando, la velocidad

áo

se reduce por debajo de rrr" y el ángulo del rotor comienza a reducirse. El punto del estado ahora recorre la curva P"- 6en dirección opuesta como indican las flechas en la figura 12.20. Se ve con facilidad que el sistema oscila en torno al nuevo punto de estado estable b (6 = 6,) con excursión angular hasta óo y 6ren los dos lados. Estas oscilaciones son similares al movimiento armónico simple de un sistema de inercia y resorte, pero en este caso las oscilaciones no son senoidales. Conforme las oscilaciones disminuyen por el amortiguamiento inherente del sistema (no está modelado), éste llega al nuevo estado estable en el que

P*t=

áo

o^

Figura 12.20

P,

= Pr6* sen ó¡

óó^

+ 1¿ a> a. a< a"

Diagrama P" - ó para un aumento repentino de entrada mecánica al generador de la f igura 1 2.1 9

n.a

cr¡terio ¿et area¡guat

W,,*,ryq,:,::i:l

I

De la figura 12.20, las áreas At y A2 se definen por á,

(P-'A,=l 'J

P-)d6

4 a2

Az

=[

(P,

- P*)d6

al

Para que el sistema sea estable, debeúa ser posible determinar un ángulo 62tal qlue At= At. Al aumentar P-, al final se alcarrza una condición límite cuando Ar es igual al iírea por arriba de la línea de P*' como se ve en la fr,gura 12.21. En estas condiciones, ó2 adquiere el valor máximo tal que

4

=ór¿* = Ír

-

4.=

r-

ssn

t -&-'

(12.s8)

P^a

Todo aumento posterior en P., quiere decir que el iárea disponible paraA2 es menor que At, de modo que el exceso de energía cinética hace que ó aumente más allá del punto c, y la potencia de desaceleración cambia a potencia de aceleración, y en consecuencia el sistema se vuelve inestable. De este modo hemos demostrado, usando el criterio de áreas iguales, que hay un límite superior del aumento repentino en la entrada mecánica (Pn- P^6),para que el sistema en cuestión penmanezca estable. También se puede notar en la ecuación (12.2I) que el sistema permanecerá estable aun cuando el rotor pueda oscilar más allá de á = 90o, siempre y cuando se cumpla el criterio de áreas iguales. Só1o se pretende que la condición que á = 90o sea usada en estabilidad de estado estable, y no se aplica al caso de la estabilidad transitoria.

óo

t

Figura 12.21 Caso límite de estabilidad transitoria, cuando se aumenta repentinamente la entrada mecánica

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Figura12.22

Efecto del tiempo de desconexión sobre la estabilidad Sea el sistema de la figura 12.22 que opera con entrada mecánica P^con un ángulo estable de áo (P*= P") como se indica con el punto a enel diagrama Pr- 6 delafrgura12.23. Si se presenta una falla trifásica en el punto P de la línea radial saliente, la salida eléctica del generador se reduce instantáneamente a cero, es deciq P" = 0 y el punto del estado cae a b. El área de aceleración A, comienza a aumentar al igual que el ángulo del rotor mientras que el punto del estado se mueve a lo largo de bc.En el tiempo /c que coffesponde al ángulo ó", la línea de la falla se abre por la abertura del disyuntor de línea. Los valores de t, y 6. se llaman, respectivamente, tiempo de desconexión y ángulo de desconexión. El sistema una vez más queda sin falla y transmite P" = P^á*sen ó, es decir, el punto del estado se mueve a d enla curva P" 6 original. Ahora, el rotor desacelera y comienza el 6rea de desaceleraci ón A, mienlras que el punto del estado se desplaza a lo largo de de. Si se puede encontrar un ángulo ót tal que A2 = Ay se determinará que el sistema es estable. Al final, el sistema se establece en el punto de operación estable a, en forrna oscilatoria. sracias al amorti guamiento inherente.

-

P

D

'

máx

)

/N\

N óo

p

ó1

=0

(falla trifásica)

Ángulo de desconexión

Figura 12.23

ó

El valor del tiempo de desconexión que corresponde a un ángulo de desconexión sólo se puede determinar por integración numérica excepto en este caso simple. Por consiguiente, el criterio de área igual sólo es una respuesta cualitativa a la estabilidad del sistema, porque es difícil establecer el tiempo en el que debe abrirse el intemrptor. A medida que se demora la desconexión de la línea con falla, At aumenta y ár también, para que A, = Ar hasta que á, = á-,í* como se muestra en la figura 12.24. Para w tiempo (o ángulo) de desconexión mayor que este valor, el sistema seía inestable pues Az < At.El valor máximo permisible del tiempo y ángulo de desconexión para que el sistema permanezca estable se llaman, respectivamente, tiempo crítico de desconexión y

óngulo crítico de desconexión. Para este caso simple (P"=0 durante la falla) se deducen a continuación ecuaciones explícitas para 4 (cítico) y t,(crítico). Todos los ángulos están en radianes. De la figura 12.24 se ve sin dificultad que

á.á*=rP.

v Ahora bien

=

Pn¡

(r2.se)

&u

sen

(r2.60)

ág

óo

Ar=J (P,-0t

d5= P^ (4,- ñ)

ñ

A"=

|

(P-6* sen 6- P^) d6

6..

= P^^* (cos á.,

-

cos ó-e")

- P, (4"e" -

Figura12.24 Ángulo crítico de desconexión

6o)

CAPITULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Para que el sistema sea estable,

cos

donde

A2=

41, con

lo cual

P

6cr

D..

"' =

-:-!- (6.¿" - 4) + cos án.,u* P-á*

02.61)

= ángulo crítico de desconexión

Las ecuaciones (12.59) y (12.60) se sustituyen en la ecuación (12.61), para obtener

4.

-

= cos-l [(n

26)

sen 6s

-

cos

ós1

(r2.62)

Durante el periodo la falla persiste y la ecuación de oscilación es

(r2.63)

#=#'^tP"=o Se intesra dos veces

64.=

o

,rf

P^tz

2H

Tf

+$

P*t2",

2H

+$

(r2.64)

donde

f.. = tiempo cítico de desconexión

4. = ángulo crítico

de desconexión

De la ecuación (12.64\

2H

(4, -

óo)

(r2.6s)

en donde á.. está dada por la expresión de la ecuación(12.62). En este caso es posible obtener una relación explícita para determinar t"n pues durante la condición de falla P" = 0 y se puede integrar la ecuación de oscilación en forma cerrada. En la mayor parte de las demás situaciones esto no es posible.

Pérdida repentina de una de las líneas paralelas Ahora considere una sola máquina conectada a un bus infinito mediante dos líneas paralelas como en la figura 12.25a). El modelo del circuito para el sistema se presenta en la figura 12.25b). Ahora considere la estabilidad transitoria del sistema cuando se desconecta de repente una de las líneas cuando el sistema opera con carga estable. Antes de desconectar, el ángulo de potencia está dado por

p^=

#l!!! Xo + XrllX,

sen

6= P.u*,

sen6

De inmediato, al desconectar la línea 2,lacurva de ángulo de potencia se describe por

,,,

=

E#,

sen á

= P.*u

sen á

.tz.a criteriodetáreaiguat lil|@ I

Bus infinito

lvlL0"

lE'lL6

-_.-.Ñ lvlLo'

Desconectada P

b)

Figura12.25 Una sola máquina conectada a un bus infinito por medio de dos líneas paralelas

porque (Yo + Xt) > Estas dos curvas se grafican en la figura 12.26, donde Pm¿xn ( (X'o+ Xt ll Xt. El sistema opera al principio con una transferencia de potencia P" = Pestable con un ángulo de par 6o en la curva I. Una vez que la línea 2 se desconecta, el punto de operación eléctnca se desplaza a la curva II (punto b). En el rotor se presenta la energía de aceleración correspondiente al área Ar, y después la energía de desaceleración para ó > át. Suponga que se puede determinar un área A, correspondiente a la energía de desaceleración (energía que sale del rotor) tal que At = Az:. el sistema será estable y al final funcionará en c que corresponde a un nuevo ángulo de rotor á, > á0. Esto es así porque una sola línea presenta mayor reactancia, y se necesita un ángulo del rotor mayor para transferir la misma potencia estable.

P-*

P", (ambas líneas dentro)

Pe'(línea 2 fuera)

0606162iT Figura 12.26 Criterio de área igual aplicado a la abertura de una de las dos líneas en oaralelo

4:7A

I

cAPíTuLo

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potenc¡a

I

También es fácil ver que si aumenta la carga estable (la línea P- se desplazahacia arriba en la figura 12.26), al final se llega a un límite más allá del cual ya no se puede determinar un área de desaceleración que sea igual a A1 !, en consecuencia, el sistema se comporta como uno inestable. Para el caso de estabilidad límite, ót tiene un valor máximo definido por át = 6.á*

- T- 6"

que es la misma condición que la del ejemplo anterior.

Cortocircuito repentino en una de las líneas paralelas Caso a: cortocircuito en un extremo de Ia línea Ahora se supondrá que la perturbación es un cortocircuito en el lado del generador de la línea2 de una línea de doble circuito como se muestra en la figura 12.27a). Se supondrá que la falla es trifásica. Antes de que suceda la falla, la curva de ángulo de potencia está dado por

P", = "'

.u,,l-. -)E'l-l Xi + X,llX..

sen

6= P-*,

sená

cuya gráfica se muestra enlafigura 12.25. Cuando se presenta una falla trifásica en el extremo del generador de la línea2 (véase la figura I2.24a)), el generador queda aislado del sistema de potencia para fines de flujo de potencia como muestra la figura 12.27b). Así, durante el periodo que toma la falla,

P'll= 0 En consecuencia, el rotor acelera y el rángulo á aumenta. Se perderá el sincronismo a menos que se desconecte la falla a tiempo. Los cortacircuitos en los dos extremos de la línea con falla abren en el tiempo L (que corresponde a un ángulo á,), el tiempo de desconexión y desconectan a la línea con falla.

Bus infinito

lvlL0'

x1

lE'lLa

P^

-

/T 7-\

xi }_J-ó-ó1-\_/ |

-m''--L-r ,u'.0" F[-q6--f x2

b)

Figura12.27 Cortocircuito en un extremo de la línea

se restaura el flujo de potencia por medio de la línea sin falla (por una reactancia de línea mayor X, en lugar de X, ll X2). con la curva del ángulo de potencia

Ahora

Prln= Es obvio que P-u*r,

(

tF'I r,l I - x,

sen

ó= P-r' ,, sen6

P.árr. eiro.u at ,o,o, comienza a desacelerar, como se ve en la

figura 12.28. El sistema será estabie si se puede encontrar un área de desaceleración A, igual al área de aceleración A, antes de que á llegue al valor máximo permisible ó.u*. Como el área A, depende del tiempo de desconexión r. (que corresponde al ángulo de desconexión ó"), el tiempo de desconexión debe ser menor que cierto valor (tiempo crítico de desconexión) para que el sistema sea estable. Se debe observar que el criterio de igual área ayuda a determinar el ángulo crítico de desconerión y no el tiempo crítico de desconexión. Se puede obtener el tiempo crítico de desconerión por solución numérica de la ecuación de oscilación (que se describió en la sección 11.8 ). También, con facilidad se sigue que una carga irucial ma\.or (P,,,) aumenta a Arpara determinado ángulo (y tiempo) de desconexrón y. por consisuien¡e. se necesitaría una desconexión más rápida de la falla para mantener la operación estabie.

Caso b: cortocircuito alejado de los extremos de la línea Cuando la falla sucede lejos de los extremos de la línea (por ejemplo. a la mitad de una línea), durante la falla hay algo de flujo de potencia, aunque se reduce considerablemente. a diferencia del caso a donde P"t=0. El modelo del circuito para el slstema durarte la falla se ve ahora en la figura 12.29a). Este circuito se reduce a1 de la ñrura 11.19c) por una conversión delta-estrella y una estrella-delta. En su lu-ear. s; podn: :nplear L-on \ entaja la técnica de eliminación de nodos de la sección 12.3. La cun a de ángulo de potencia durante la falla se define entonces Dor

,"u=

0

óo

¿;

E#

sen

ó= P¡:,¡

óz6ra,

T

Seüd

6

Figura 12.28 Criterio del área igual aplicado al sistema de la figura 12.24a); I sistema normal, ll falla aplicada, lll línea con falla aislada

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

u

xc

Figura 12.29 En la figura 12.30 se ven Pery P"u, como en la figura 12.28 y P"o obtenido antes. El arca de aceleración A, que corresponde a determinado ángulo á, de desconexión es menor en este caso que en el caso a, dando una mejor probabilidad de que la operación sea p P",, antes de la falla (2 líneas)

P",,,, después

de la falla (1 lÍnea)

P",,, durante la falla

0óoóc62ómáxr6 Figura 12.30 Falla a la mitad de una línea del sistema de la figura 12.24a) con 6" <

ó",

r

_Pel, antes de la falla (2 líneas)

P",,,, después de la falla (1 línea)

P",,, durante la falla

óo

0

6",

áz

=

á.¿,

71

6

l ¡

Ángulo crítico de desconexión

Figura 12.31 Falla a la mitad de una línea del s¡stema de la figura 12.24a), caso de ángulo crítico de desconexión

estable. La operación estable del sistema se muestra en la figura 12.30, donde es posible determinar un áreaA2igual aA, para 6r( á.,i".A1 aumentar el ángulo de desconexión á., aumenta el area A, y para encontrar a A, = Ar, 5, atmenta hasta que su valor es ó-6", el máximo admisible para estabilidad. Este caso de ángulo cítico de desconexión se muestra en la flgura 12.31. Si se aplica el criterio de area igual al caso del ángulo cítico de la figura 12.31, se puede escribir que á..

I
óo

donde

6-,í*=z'-senr(+-) P*¿"m \.

(r2.66)

/

Se integra para obtener

(P^a

+ P.u"r, cosU)

¡a, * (Pmáxtrr cos 6+ I,,

¡a*

",t

Iu-

es decir

P* (6", - óo) + P-*u (cos 0.. - cos fr) + P* (6^¡ - 4.) * Pmáxrrr (cos á*u* - cos á"r) =

I (r2.67)

fut{

cAPíTuLo

12

Estabitidad de sistemas etéctricos de potencia

El ángulo crítico de desconexión se puede calcular con la ecuación anterior (12.67).En tal ecuación los ángulos están en radianes. La ecuación se modifica como se ve a continuación si los ¡ineulos están en srados.

cos á", -

ft

r^(6.,i*

- á0 ) - P-á*rr cos 6o * Pm'xrr cos á-* PnlxIu

-

Pm¿xu

Caso c: reconexión Si los disyuntores de lalínea 2 se reconectan con éxito (es decir, la falla fue transitoria y, por consiguiente, desapareció al desconectar la línea con falla), la transferencia de potencia vuelve a ser P"Iv = P"l= Pmair S9fl 6 Como la reconexión restaura la transferencia de potencia, las probabilidades de tener operación estable mejoran. En la figura 12.32 se indica un caso de operación estable. Para el iángulo cítico de desconexión,

4 = ó-¿" = rr - senl 7P*lP-*r¡ ó-

6".

I (P^-

P^ansen

fl dó= J {r-u"-

sen

á- P*) d6

a-

áo

"?-

+

J

(P,5¡

sen

ó- P,) dó

4."

en donde

tr"= t", *

r; r= tiempo entre desconexión y reconexión.

D

P

0

áo

(Angulo de

ó"

62 ó'6"

1

desconexión) (Ángulo de reconexión)

Figura 12.32 Falla a la mitad de una línea del sistema de la figura 12.27a)

Figura 12.33

Se tiene el sistema de la figura 12.33 en el que se presenta una falla trifásica en el punto

P como se indica. Calcular el ángulo cítico de desconexión para eliminar la falla, con abertura simultránea de los disyuntores 1 y 2. Los valores de reactancia de los diversos componentes se indican en el diagrama. El generador entrega la potencia 1.0 pu en el instante anterior a la falla.

Solución De acuerdo con la frgtna 12.3I intervienen tres curvas separadas de ángulo de potencia.

L

Operación nonnal (antes de Ia falla)

*

X, =0.25 '

o'5xo'4

+ o.o5

0.5 + 0.4

=0.522 pu

f^" -t =

|

E'l

lvl SenO= ^ t.2xt

xr

= 2.3 senó

El ángulo de potencia

en operación

^

0.522

-Sen¿

(i)

antes de la falla es 1.0 = 2.3 sen 6o

o sea

II.

6o

= 25.8o = 0.45 radianes

Durante Ia falla

En la figura 12.31 se ve con claridad que no se transfiere potencia durante la falla, es decir,

Prl=0

(ii)

10.05

|

T-rfm.-l lV=1L0" I Figura 12.34

47ó |

CAPíTULo

l2

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

6o=0.45

rad

6^u=2.41 rad

Figura 12.35

fiL

Operación después de la falla (Íalla eliminada aI abrir Ia línea con falla)

X.-=0.25+0.5+0.05=0.8 P^,,,

=

El ángulo máximo permisible

^-'1= ó*,i*

l'2x l'o

sen ó

0.8

á*¡

z'-

-

(iii)

1.5 sen ó

para que las áreas 41 = Az(véase la figura 12.35) es

sen

'

2'41 radianes ,'., =

Se aplica el criterio de áreaigual para el ángulo

At = P^ (4.

=

cítico

de desconexión 6.:

6o)

= 1.0 (4. _ 0.45)

6.. _ 0.45

=

á.u

A,= [ (P,t -P^\d6 6".

2.41

=J

(1.5 sen

ó- l)

dó

4".

t2.4I

=-t.5cosá-ál

lu-

=

-

1.5 (cos 2.4I

-

= 1.5 cos 4. + 4.

cos ó"r)

-

1.293

-

(2.41

-

6cr)

Criterio del área igual

Se igualan

At = Az, para despejar el ángulo crítico á",

o t

-

0.45 = 1.5 cos 4,

+ 4, -

1.293

cos á^- = 0.843/1.5 = 0.562 ó., = SS.g"

En la figura 12.35 se ven los diagramas de ángulo de potencia corespondientes.

---- " -----t

Eiemplo 12.8

E

$

Calcular el ángulo crítico de desconexión para e1 sistema de la figura 12.36 con una falla trifásica en el punto P. El generador entrega 1.0 pu de potencia en las condiciones de prefalla.

Solución

I. Operación antes de Ia falla el bus infinito

La reactancia de transferencia entre el generador y

es

Xt = 0.25 + 0.17 + P",

=

r#

sen ó

El ángulo de potencia de operación

=

0.71

1.69 sen ó

(i)

es

1.0 es decir,

áo

II. Durante Ia falla El diagrama se

=

0.15+0.28+0.15

= 1.69 sen

áo

= 0.633 rad.

de reactancia de secuencia positiva durante la falla

presenta en la figura 12.37 a).

10.15

Bus infinito

ef

lVl=1 .0LO"

lE'l=1.2 pu

Figura 12.36

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

10.15

7o.15 j0.14

i0.14

10.15

a) Diagrama de reactancia de secuencia positiva durante la falla

¡0.25

j0.145

j0.145

j0.17

tEt=t.¿

V

= 1.OLQ"

V

= 1.0L0"

b) Red después de la conversión delta-estrella

X,,

lE'l = 1.2

c) Red después de la conversión estrella-delta

Figura 12.37

Al convertir la delta en estrella,* la red de reactancias se cambia a la de la figura 12.37b). Además, al convertir la estrella en delta, se obtiene la red de reactancias de la figura 12.37c). La reactancia de transferencia se define por (0.25 + 0.145) 0.0725 + (0.145 + 0.17) 0.0725 + (0.25 + 0.145) (0.145 + 0.17)

xtr-

0.075

= 2.424 lrvl

p^n = 2 sen a A1,1

III.

6= 0.495

(ii)

sen 6

Operación después de la falla (línea con falla desconectada)

Xrt= 0.25 + 0.15 + 0.28 + 0.15 + 0.17 =

P,ilr= * En una red compleja

se usaría

1.2

?

xl

sen

á=

1.2 sen á

la técnica de eliminación de nodo

1.0

(iii)

12.8

Criterio delárea

igual 4F I

Con referencia a la figura 12.30 y la ecuación (12.66), se tiene

ó-*-=z-senl l1.2

=2.1 55rad

Para calcular el ángulo crítico de desconerión se deben igualar las áreas

Aty Ar.

¿_

Ar =

1.0

(6*

-

0.6-13r

-J q

0.-195 sen 6 dó

ómi¡

Ar=

I+

ód6-

1-l sen

1.0 (2.155

-

¿)

Ahora bien,

At=Az o ¿cr

d* ..J =0.633

F

- |

0.495 sen

ádá

0.633 1.155

=J

1.2 sen

ód6-

2.155

+

Q,

&r

o o o

-

0.63 3+ 0.-195cos 0.633 +0. 495 cos

tá6l =-7.2cos lo.o¡¡

4,-0.399

P'r

ól

|

-

2.155

6.,

= 0.661 + 1.2 cos

6",- 2.r55

cos ó", = 0.655

4'

= 49'1"

Un generador trabajando a 50 Hz entrega 1 pu de potencia a un bus infinito a través de una línea de transmisión en la que no se tiene en cuenta la resistencia. Sucede una falla que reduce la potencia máxima transferible a 0.5 pu, mientras que antes de la falla esa potencia era2.0 pu y después de la desconexión de la falla es 1.5 pu. Aplicar el criterio de áreaigual y determinar el rángulo crítico de desconexión. Solución En la figura 12.30 se muestran las tres curvas de ángulo de potencia.

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Aquí,

Pmáxr

Carga inicial

= 2.0 ptt'

P. = 1.0 pu

^ =sen't' 4' " 6^^-

-

Pmáxrr

= 0.5 pu

Y Pmáxrrr

=

1.5 pu

( P* -'| | -m )l=sen'--=0-523rad 2 \.P^*r)

rrr"nt

f, "' IDI r \

l

máx[Il ,/

I

=zz'-sen1 1.5 =2.4|rad Se aplica la ecuación (12.67) LUJ

"

I2.g

"

U^.

1.0(2.4I- 0.523)

-

0.5 cos 0.523 1's

;' = 'o'''

-

+I.5

cos2.4I A..-

o's

SOTUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE OSCILACIÓN

En la mayor parte de los sistemas prácticos, después de haber agrupado máquinas, todavía quedan más de dos máquinas por considerar desde el punto de vista de la estabilidad del sistema. Por consiguiente, la única opción es resolver la ecuación de oscilación de cada máquina con una técnica numérica en la computadora digital. Aun en el caso de una sola máquina conectada a un bus infinito, el tiempo cítico de desconexión no se puede obtener a paftir del criterio del área igual y se debe hacer numéricamente ese cálculo con la ecuación de oscilación. Hay varios métodos elaborados que hoy están disponibles para resolver la ecuación de oscilación, como el poderoso método de Runge-Kutta. Aquí se explicará el método de punto por punto para la solución que es muy convencional y aproximado, al igual que todos los métodos numéricos, pero es uno muy ensayado y probado. Se ilustrará el método de punto por punto para una máquina conectada a un bus infinito. Sin embargo, el procedimiento es general y se puede aplicar a cada máquina de un sistema de multimáquinas. La ecuación de oscilación es l¿ s

*# dt'

=

L(P- - P-r* sená)= Po lM'. M "'

(,

=

#

o en sistema

puM =

H)

a)

La solución ó(r) se obtiene a intervalos discretos de tiempo con separación uniforme intervalos de Lt.Lapotencia de aceleración y el cambio de velocidad, que son funciode nes continuas del tiempo, se discretizan como sigue:

1.

La potencia de aceleración Po calculada al principio de un intervalo se supone que pennanece constante desde la mitad del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo considerado, como se muestra en la figura 12.38.

Solución numérica de la ecuación de oscilación

2.

La velocidad angular del rotor o = d6/dt (mayor y sobre la velocidad síncrona ar") se supone constanfe a lo largo de cualquier intervalo, en el valor calculado para la mitad del intervalo como muestra la flgura 12.38.

En la figura 12.38,lanumeración en el eje t/Lt se refiere al f,nal de los intervalos. Al final del (n - l)-ésimo intervalo, la potencia de aceleración es Pa (n-r)

- P* - P-*

(r2.68)

sen Q-t

donde 8-, se ha calculado previamente. El cambio de velocidad (a- dildt), causado por la Po,n - 1) supuesta constante durante A¡ desde (n - 3/2) hasta (n - 1/2) es

wn_'2El cambio en

wn-3t2=

(LtlM)

(r2.69)

Patu-r)

ó durante el (n

- l)-ésimo intervalo es A4-r= 6r-t- 6r-z= Ltan4¡2

y durante el n-ésimo intervalo

(r2.70a)

es

Aán=$r-4-l=

(r2.70b)

Ltu,-r,,

P 'a

D

'

a(n)

n-2

n-1

n Solución cont¡nua

Solución discreta

-^@n-112-an-312

n-2 n-3/2 n-1

-L

n-1/2

t

n-2

n-1

n

Af

Figura 12.38 Solución, punto por punto, de la ecuación de oscilación

CAPITULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de ootencia

Alrestarlaecuación (I2.10a) delaecuación(12.70b) se obtiene

A á,

=

Aá,-

,

* g#

y

junto conlaecuación(12.69),

Pa(n-r)

(r2.7 r)

De acuerdo con esto se puede escribir que 6r=6r_1 +Aó,

(r2.12)

se repite el proceso de cálculo para obtener Po¡r¡, L6r* r y án + r. La solución de tiempo en forma discreta se obtiene así durante el intervalo de tiempo deseado, que por 1o común es de 0.5 s. La forma continua de la solución se obtiene al traz'ar una curva suave que pase por los valores discretos como se muesfa en la figura 12.38. Se puede lograr una mayor exactitud en la solución si la duración de los intervalos de tiempo se reduce. La ocurrencia o eliminación de una falla o la iniciación de cualquier evento de conmutación causa una discontinuidad en la potencia de aceleración Pr. Si se presenta esa discontinuidad al principio de un intervalo, entonces se debe usar el promedio de los valores de Po antes y después de la discontinuidad. Así, al calcular el incremento de ángulo que hay durante el primer intervalo después de que una falla se aplica cuando t = O,la ecuación (12.71\ se transforma en

Ahora

(A¡)2

= 'M2

aó,

*Poo*

donde Poo* es la potencia de aceleraciónjusto después de que sucede la falla. Inmediatamente antes de la falla, el sistema está en estado estable, por lo que, Poo- = 0 y ó6 es un valor conocido. Si la falla se separa al principio del n-ésimo intervalo, en el cálculo de este intervalo se debe usar el valor I lPatn r)- * Po(, - r¡*J donde Pa@ 1)- es la potencia de aceleración justo antes de la destonexióny Po,n- l)a eS la potencia inmediatamente después de desconectar la falla. Si la discontinuidad sucede a la mitad de un intervalo no se necesita un procedimiento especial. El incremento del ángulo durante ese intervalo se calcula, como de costumbre, apartft del valor de Poal principio del intervalo. En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento para calcular la solución de la ecuación de oscilación.

Un generador de 20 MVA, 50 Hz, entrega 18 MW por una línea de doble circui¡o a un bus infinito. La energía cinética del generador es 2.52 MJA4VA a la velocidad nominal. La reactancia transitoria del generador es Xo= 0.35 pu. Cada línea de transmisión tiene R = 0 y una reactancia de 0.2 pu en una base de 20 MVA. lE'l = LI pu y el voltaje del bus inflnito es V = l.O Z0o. Se presenta un cortocircuito trifásico en el punto medio de una de las líneas de transmisión. Graficar las curvas de oscilación cuando la falla se desconecta por abertura simultánea de disyuntores en ambos extremos de la línea a los 2.5 ciclos y a los 6.25 ciclos después de sucedida la falla. También graficar la curva de oscilación durante el periodo de 0.5 s, si la falla se mantiene.

12.9

Solución numérica de la ecuación de

oscilación

Solución Antes

de poder aplicar el método de paso por paso, se necesita calcular la constante de inercia M y las ecuaciones de iángulo de potencia en condiciones de prefalla y de posfalla.

MVAbase = 20 Constantedeinercia, M (:pa)

H l'0x252 = 180/- 180x50 = 2.8

I

Antes de

x I}a

szlsrado eléctrico

lafalla

Xr=0.35*Y=0.45 2

P"t =

-

P-*t

sen á

1'1t1 0.45

Transferencia de potencia antes de la falla =

El ángulo inicial de potencia

o

cuencia positiva. la que

18

-= 20

0.9 pu

es

2.44

sea II Durante la falla

(i)

,"n 6 = 2.44 sen a

sen áo 6o

= 0'9

= 21.64'

En la figura 12.39a) se muestra un diagrama de reactancia de sede estrella a delta se obtiene la red de la figura 12.39b), en

Al convertir

xnD_ 'eII-

0.35 x 0.1 + 0.2x 0.1 + 0.35 x 0.2 0.1

=

1.25 pu

P-u^t, sen á =

1'1x

1

sen á

= 0.88 sen

1.25 jo.2

{a p lo1

Figura 12.39

ó

(ii)

481.

I

CAPíTULO

m

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Después de

lafalla

Cuando la línea con falla está desconectada.

Xm= 0.35 + 0.2 = 0.55 Prm

=

-

Pm¿xIft sen ó

1'1x 1 0.55

,"n

á

(iii)

= 2.0 sen 6

Sea A¡ = 0.05 s Las relaciones recursivas para el cálculo paso por paso de la curva de oscilación se mues-

tran a continuación.

Pa(n_t)-

P*

Aó"= Aq-r

P-u,

sen ár_t

* '\')' M

6r= 4r; +

(iv)

poln-'. (v)

Aó,

Como hay una discontinuidad en P"y, en consecuencia, en medio de Popara el primer intervalo.

(vi)

P'

se debe usar el valor pro-

P"(0-) = 0 pu y P, (0*) = 0.9 - 0.88 sen 2l'64' = 0'576 pu Po(op.o-"aio)

gi*I4

= 0.288

Pu

Falla sostenida En la tabla 12.2 se ven los cálculos de acuerdo con las relaciones recursivas (iv), (v) y (vi) anteriores. La segunda columna de la tabla muestra P^*, la potencia máxima que se puede transferir en el tiempo ¡ indicado en la primera columna. En el caso de una falla sostenida, Pmáxsufre un cambio repentino en / = 0+ y de ahí en adelante peÍnanece constante. El procedimiento de los cálculos se ilustra a continuación, con el cálculo del renglón correspondiente at = 0.15 s.

(0.1 s) = 31.59' P-a" = 0.88 sen á(0.1 s)

= 0.524

P" (0.1 s) = P-e* sen 6(0.1 s) = 0.88 Po (0.1 s) = 0.9 - 0.46I = 0.439

t#r"(0.1

s)

x

0.524 = 0.461

= 8.e2e x 0.439 = 3.92"

* !At)t p, (o.t s) .M

á (0.15 s) = AD (0.1 ,.¡

= 7.38" + 3.92'= 11.33" 6 (0.15 s) = ó (0.1 s)

+

AD (0.15 s)

= 31.59' + 11.30' = 42.89"

Solución numérica de la ecuación de oscilación

A

I

100

E

"t (ú

g0

o o60

=

c '<

40 Falla desconectada a los 2.5 ciclos

t(s)

+

Figura 12.40 Curvas de oscilación para el ejemplo 12.10 de una falla sostenida y para desconexiones en 2.5 y 6.25 ciclos

{¡)

para la falla sostenida, como se calcula en la tabla 12.2y se graficaenlaf,gura12.40,

de la cual es claro que el sistema es inestable.

Tabla

12.2

Cálculos punto por punto de la curva de oscilación para una falla sostenida, Af = 0.05 s

L,t t2 LP., M (

Í

P^á*

s

pu

0_ 0* o"prom 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

sen 6

P" = P^u"sen 6

pu

Po= 0.9 pu

-

2.44 0.88

0.368 0.368 0.368

0.9 0.324

0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88

0.4r

0.361

0.0 0.516 0.288 0.539

0.524

0.461

0.439

0.680 0.837 0.953

0.598 0.736 0.838 0.879 0.852 0.754 0.578

0.301

0.999 0.968 0.856 0.651

P"

= g.g2g

2.57 4.81 3.92 2.68

0.1 63

1.45

0.06 0.021

0.55 0.18

0.048 0.145

0.426

0.321

1.30 2.87

Aá6

Po

grados

grados

2.57 7.38 1.30 13.98 t5.43 15.98 16.t6 16.58 17.88 20.7s 1

grados 21.64 21.64 21.64 24.21 31.59 42.89 56.87

72.30 88.28

t04.44 121.02 138.90 159.65

CAP|TULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

FaIIa desconectada a los 2.5 ciclos Tiempo para descone ctar lafalla =

?50

=

0.0S

,

P.u^ cambia repentinamente de 0.88 en / = 0.05 a2.0 en / = 0.05+. Como la discontinuidad sucede al principio de un intervalo, el valor promedio de P, se supondrá que peftnanece constante desde 0.025 s hasta 0.075 s. El resto del procedimiento es el mismo y los cálculos completos se muestran en la tabla L2.3.La curva de oscilación se grafica en la fi,gura 12.40, de la cual se determina que el generador experimenta una oscilación máxima de 37.5' pero es estable pues á flnalmente comienza a decrecer.

Falla desconectada a los 6.25 ciclos Tiempo para desconectar la falla

=

U?: 50

= 0.125

s

Como en este caso la discontinuidad está a la mitad de un intervalo, no es necesario procedimiento especial alguno, porque al deducir las ecuaciones (iv) - (vi) se supuso que sucede a la mitad del intervalo de tiempo. La curva de oscilación calculada en la tabla 12.4 también se grafica en la figura 12.40. Se observa que el sistema es estable con una oscilación máxima de 52.5", que es mucho mayor que para el caso del tiempo de desconexión de 2.5 ciclos.

Tabla

12.3

Cálculos de curva de oscilación para falla desconectada a los 2.5 ciclos (0.05 s), Af = 0.05 s

(41)2

LP^ M

t

P^eo

spupupu 2.44 0_ 0.88 0* op.o0.05_ 0.88 o.o5+ 2.00 0.05pro-

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.4s 0.s0

2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00

sen

6

P" = P^5*s€fl

0.368 0.368 0.368

0.9 0.324

0.4r

0.36 0.82

0.41

6

Po= 0.9 - P"

-

0.0 0.576 0.288 o.54 0.08 0.31 0.086

0.493 0.56

0.986

t.r2

-0.22

0.597 0.591 0.561

1.19

-

1.19

-0.29

0.494

0.989

0.4r

0.82

0.337

0.675

l.t2

0.29

-0.22

-

0.089 0.08 0.225

Po Aá grados grados

= 8.929

2.51 2.57

ó

grados

2t.64 2t.64 21.64 24.21

24.2r

2.767 5.33 24.21 - 0.767 4.s6 29.54 - r.96 2.60 34.t0 -2.58 0.02 36.70 - 2.58 - 2.56 37.72 - 1.96 - 4.52 34.16 -0.79 - 5.31 29.64 0.7t - 4.60 24.33 2.0 -2.6 19.13 t7.13

Estabilidad con un sistema multimáquinas

Tabla

12.4

Cálculos de curva de oscilación para falla desconectada a los 6.25 ciclos (0.125 s), Af = 0.05 s

(A¡12

t s

0_ 0+ o0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

P^á* pu

sen

2.44 0.88

0.368 0.368 0.368

0.9 0.324

0.88 0.88 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00 2.00

0.4r

0.361

0.524 0.680 0.167 0.78 0.734 0.613 0.430 0.233

0.461 r.36

" prom

6

P, = P^6^sen

pu

1.53

1.56 1.46 1.22 0.86

0.466

6

Po

= 6.9

pu

- P"

i'"

Po A6 grados grados

= 8.929

0.0

0.576 0.288 0.539

0.439

- 4.46 - 0.63 - 0.66 - 0.56 -0.327 0.04

0.434

7u 4.81 3.92

- 4.10 - 5.66 - 5.89 - 5.08 -2.92 0.35 3.87

ó

grados

2t.64 2t.64

2.57 21.64 7.38 24.21 I1.30 31.59 7.20 42.89 r.54 50.09 4.35 5r.63 -9.43 47.28 - 12.35 31.85 - 12.00 25.50 - 8.13 13.50 5.31

Para determinar el ángulo cítico de desconexión, se pueden obtener curvas de oscilación en forma parecida, para tiempos de desconexión cada vez mayores, hasta que aumente sin límite el ángulo de par. Sin embargo, en este ejemplo primero se puede determinar el ángulo crítico de desconexión mediante la ecuación (12.67) para entonces leer el tiempo crítico de desconexión en la curva de oscilación que corresponde al caso de falla sostenida. Los valores que se obtienen son:

Ángulo crítico de desconexión = I 18.62' Tiempo crítico de desconexión = 0.38 s

12.tO ESTABILIDAD

CON UN SISTEIVIA

MULTIMÁOUINAS De acuerdo con lo que se ha descrito hasta ahora, para determinar la estabiüdad con varias máquinas se distinguen sin dificultad los siguientes pasos:

1.

De los datos de flujo de carga antes delafalla determinar Ei, el voltaje detrás de la reactancia transitoria para todos los generadores. De esta forma se establecen las magnitudes de las fem de generador lE¡l que peÍnanecen constantes durante el estudio y el ángulo inicial del rotor 6?,= LE*. También, anotar las entradas del primomotor (turbina) a los generadores, P-t = PZr.

2.

Aumentar la red de flujo de carga con las reactancias transitorias de generador. Recorrer los buses de la red detrás de las reactancias transitorias. Calcular fuu, para diversas condiciones de red: durante la falla, después de la falla (línea con falla desconectada), después de la reconexión de la línea.

3.

CAPITULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

4.

Para el modo de falla, calcular las salidas del generador a partir de las ecuaciones de ángulo de potencia [formas generalizadas de la ecuación (12.27)l y resolver las ecuaciones de paso por paso (método de punto por punto).

5.

Repetir el paso anterior para el modo después de falla y después para el modo de reconexión de la línea. Examinar las gráficas de ó(r) para todos los generadores y establecer la solución de la

6.

cuestión de estabilidad.

Los pasos anteriores se ilustrarán en el siguiente ejemplo.

iEp*eüilil

l-

Una línea de transmisión de 50 H2,220 kV tiene dos generadores y un bus infinito como se muestra en la figura l2.4l.Los datos del transformador y la línea aparecen en la tabla 12.5. Se presenta una falla trifásica como muestra la figura. En la tabla 12.6 se encuentra la solución del flujo de carga antes de la falla. Calcular la ecuación de oscilación para cada generador durante el periodo de la falla. A continuación se presentan los datos de los dos generadores, en unabase de 100 MVA.

Gen 1 500 MVA, 25 kV, Xh = 0.0e1 pu, H = 12 MJ/MVA Gen 2 300 MVA, 20 kV, Xh = 0.t0 pu, H = 9 MJ/MVA Graficar las curvas de oscilación para las máquinas en los buses 2 y 3 para 1a falla anterior, la cual se desconecta por abertura simultánea de los disyuntores en los extremos de la línea con falla en (i) 0.275 s y (ii) 0.08 s.

;\url v2= 1.03L8.235'

@

@vu

V¿= 1'074L4'32"

e\ vD2 (1

+ jO.44

P

\

\\

0.01 8 + 10.1

1

0.007 +

\/

O

\/

ur= 1'o2L7'1G'

¡t

T-'-rv.,=1Lo"

ó Figura 12.41

=

t.ottz

Estabilidad con un sistema multimáquinas

12.5

Tabla

Datos de líneas y transformadores para el ejemplo 12.11. Todos los valores son en pu en base de 22O kV, 100 MVA Z serie

Bus a bus

Carga de media línea

Línea 4-5 Línea 5-1

0.018 0.004 0.007

Línea4-l

0.11

0.113 0.098 0.041

0.0235 0.04

Trans:2-4

0.022 0.04

Trans: 3-5

Solución Antes de determinar ecuaciones de oscilación,habrá que determinar voltaies intemos transitorios. Con base en los datos de la tabla 12.6,la corriente que entra a la red en el bus 2 es

,

I

'

P.-

-

Ei=

-

jQ.

3.2s -j0.6986

"--

v;

r.03L-8.235r9" 3.2s

0.0194 + j0.1475) +

- j0.6986 x 0.067L90"

L - 8.235t9"

t.03

= 1.0340929 + = 1.0960333 L19.354398" = 1.0960 L0.3377 j0.3632368

= 1.0 L0"

E'I

Ei = (1.0121

rad

(bus de referencia)

+

j0.1271)

¡ --2!:-194J1.02L- 7.15811'

= 1.0166979 + j0.335177 = = l.O7l L0.31845 rad

x 0.1Le0'

1.0705 L18.2459"

Las cargas en los buses 4 y 5 se representan por las admitancias calculadas como sigue:

Tabla

12.6

No. S

Voltaje

y No.

fotma polar

de bus 1

r.oLo"

2

1.o3L8.35'

J A

5

,*=

t.9.

t,, =

ff#r#

,]=o:t (I.0r74\"

(0.e661

-

(0.488e

jo.4zsr)

- io.rs647)

Datos de buses y valores de flujo de carga antes de la falla en pu, con base en220 kV, 100 MVA Voltaje

Tipo

ReaL

Imaginario

Generación

f

de bus 1.00

t.02L7.16"

Slack PV PV

1.0114L4.32" 1.0112L2.69"

PQ PQ

t.0146

r.0194

t.0t2l 1.0102

0.0 - 3.8083 0.1475 3.25 0.1271 2.10 0.767 0 0.0439 0

Carga

PO - 0.2799 0 0 0.6986 0 0 0.3110 0 0 1.0 1.0 0.44 0 0.5 0.16

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Matriz de buses antes de la falla Las admitancias de carga, junto con las reactancias transitorias, se usan con las admitancias de líneas y transformadores para formar la matiz de admitancia de bus aumentada que contiene las reactancias transitorias de las máquinas. Por consiguiente, ahora se denotar¡ín como buses 2 y 3 los nodos internos ficticios entre los voltajes internos y las reactancias transitorias de las máquinas. De esta forma se obtiene

vr22

_ - (j0.067 j0.022) = jll.236 +

Yto= jI1.236

Y,,-

=

Yqz

I .i 0.04 + .i 0.

Y35=

j7.143

Y++=

Yrq+ Yor+

=

=-

I

i1.143

Y53

Y** 1+) 22

+ Yro

= 0.9660871 - j0.4250785 + 4.245 - j24.2571 + 1.4488 j8.8538 + 70.041 + 70.113 - j11.2359

-

= 6.6598971 Yss= Yrs

+ Yro+

j44.6179 Yr,

* ?22* !

* vy

= 0.4889 - j0.1565 + 1.4488 - j8.S538 + 7.0391 + j0.113 + j0.098 - j1.1428

=

8.976955

-

12.7

¡41.335

j57.297202

Lamatriz de prefalla aumentada

Tabla

-

I"ur

se muestra

enlatabla

12.7

.

Matriz de admitancia de buses antes de la falla aumentada para el ejemplo 1 2.1 1 , admitancias en pu

Bus

1r.284-j65.473

0

0

-A )45 + i)A )\1

-jrr.2359

0

jrr.23s9

0

- j7.1428

0 6.6598-j44.611

j7.1428

--1.039 +

j41.3ss z

0 0

J

^

4.245

+

0

j24.257

jrr.23s9

0

-1.4488 +18.8538

-:7.039 + j41.355

0

0 + j7.L428

-1.4488 +j8.8538

8.9169 +

j57.2972

Estabilidad con un sistema multimáquinas

I|y'['atriz

de buses durante la falla

Como la falla está cerca del bus 4, debe estar en cortocircuito a tierra. La Yutt durante las condiciones de falla, en consecuencia. se obtendía al suprimir el 4o. renglón 1'la 4a. columna de la matriz Isus aumentada de prefalla. La matiz de falla reducida (para los nodos internos de generador) se obtiene al eliminar el nuevo 4o. renglón y la columna (nodo 5). La simulación de una intemrpción o corte del servicio de la línea es más compleja que la interrupción de un generador, ya que la interrupción de la línea da como resultado un cambio en la configuración del sistema mediante la relación Ifrj(nu"uu)

=

Ikj(ant"rio.)

-

Ykn(antenor¡Ynj(unt

nor)/Yrr(^t

lror)

Lamatnz reducida de falla (Y"u5 durante la falla) (3 x 3) se ve en la tabla 12.8, donde claramente se observa que el bus 2 se desacopla de los demás buses durante la falla y que el bus 3 está conectado directamente al bus 1, con lo que se demuestra que la falla en el bus 4 se reduce a potencia cero mandada al sistema desde el generador en el bus 2y hace que el segundo generador en el bus 3 ceda su potencia radialmente al bus 1.

Matriz de buses después de la falla Unavez que se desconecta la falla al quitar la línea por abefiura simultánea de los disyuntores en ambos lados de la línea entre los buses 4 y 5, Yeus antes de la falla debe modificarse otra vez. Esto se hace al sustituir Y+s = Ys+ = 0 y restar la admitancia en serie de la línea 4-5 y la susceptancia capacitiva de la mitad de la línea de los elementos Yaay Ytt. y++lposata¡

=

= 6.65989 = 5.2111 De igual modo,

-

Y+4qprefatta¡

-

-

y

-

B 45/2'

j44.6119

-

1.448

+ j8.853

-

j0.113

j35.8771

= 7 .5281

f55qposrana¡

45

- i48.5563.

La Yu,^ después de la falla reducida se ve en la mitad inferior de la tabla 12.8. Se notará que el elemento 0 aparece en los renglones segundo y tercero. Eso demuestra que, Tabla

12.8

Elementos de Yrr. (durante la falla) y Yrrs (después de la falla) para el ejemplo 12.11 , admitancias en pu Reducido durante Y

de

"ut

falla

Bus

I

5.7986-j3s.630r

0

0

- jrr.236

2 J

-

0.068

1

+

j5. 1661

0

- 0.0681 + j5.1661 0 0.1362 - j6.2'737

Reducido durante Y ur5 despué s de la falla 1

2 J

r.3932 - jr3.873r

-

0.2214 + j7.6289 0.0901 + j6.0975

-

0.2214 + j7.6289 0.5 - j7 ;t898 0

- 0.0901 + j6.0975 0 0.1591 -j6.1168

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de Dotencia

fisicamente, los generadores 1 y 2 no están interconectados cuando la línea 4-5 es eliminada.

Ecuación de ángulo de potencia durante la falla P"z= 0 P"z= Re lYrE3'Ei* +

Ei*

= Eilz Gr, + lE'rl lEil

Y31E'1)',

l\l

como Yr, =

cos (Q,

-

Q

0rr)

= (1.071)2 (0.1362) + 1 x 1.071 x 5.1665 cos (6, P"z= 0.1561+ 5.531 sen (ó, - 0.755)

90.755")

Ecuaciones de ángulo de potencia después de la falla P"z=

lELl2 Gr,,

= 1.0962 x

+ lE'rl lEil lY2l cos (Q, 0.5005

+1x

1.096 x7.6321cos

= 0.6012 + 8.365 sen (6, - 1.662') P"z= lEál'Gt, + lEll lEil lIr,l cos (4r

= 1.07!2 x

0.1591

+

1

x

d21)

1.071

x

-

(Q -91.662)

á:r)

6.098 cos (Q

-

90.8466")

= 0.1823 + 6.5282 sen (á3 - 0.8466')

Ecuaciones de oscilación: durante la falla

d26?= 180/ (p lSof - e¿' '- m¿ ^-p^)= HZ

dtz

-

180/ t2

ota, _ tso/

F= fr

- 180/ 9 -

180/ 9

H2

G.z5

-

{r^tI2.r

-

ú.g43g

p'a2

0) grados eléctricos/s2

P"z)

{0.1561 + 5.531 sen

-

5.531 sen (Q

-

(á3

-

0.755)}l

0.755)l grados eléctricos/s2

Ecuaciones de oscilación: después de la falla

d'6 lgof .^ ^ --* dt' =* 11 t3.25-{0.6012

+ 8.365 sen (Q - 1.662')}l grados eléctricos/s2

=ryt2.10-{0.18 23 + 6.5282 sen(Q - 0.8466)}l grados etécrricos/s2 {+ dt"9-

Estabilidad con un sistema multimáouinas

Se podrá notar que en las ecuaciones de oscilación anteriores, en general. se puede escribir Po como sigue:

Po=

P*- Pr-

Pn-'u, sen

(á-

y)

Solución de la ecuación de oscilación con computadora digital Las ecuaciones de oscilación anteriores (durante la falla seguida por la que aparece después de la falla) se pueden resolver con el método de punto por punto presentado antes o por el método de Euler, que se abordará más adelante en esta sección. Las gráficas de 6, y ó, se muestran en la figura 12.42 para un tiempo de desconexión de 0.275 s y en la figura 12.43 para un tiempo de desconexión de 0.08 s. Para el caso l), la máquina 2 es inestable, mientras que la máquina 3 es estable, pero oscila y se espera que las oscilaciones decaigan si se tiene en cuenta el efecto del devanado amortiguador. Para el caso ii), ambas máquinas son estables pero la máquina 2Íiene grandes oscilaciones angulares. Si la falla es transitoria y se reconecta la línea, se necesitan ecuaciones de ángulo de potencia y de oscilación para el periodo después de la reconexión. Se pueden calcular con la mafriz Y"u. reducida después de la reconexión de la línea. La máquina 1 es la referencia (bus infinito)

.._

Máquina 2

40" .t

o (ú

"'30"

Máquina 3

0.1 0.2 10.3 0.4

0.5

(falla desconectada a 0.275 s)

0.8

0.9

segundos+

Figura 12.42 Curvas de oscilación para las máquinas 2 y 3 del ejemplo para desconexión a los 0.275 s.

1

2.1

,

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

La máquina 1 es la referencia (bus infinito)

40"

Máquina

t

(

O JU(6

I

Máquina 3

zo.

=9'.^"

&'t

0' -1

0'

Figura

1 0.2

0.3

0.08 segundos; falla desconectada después de 4 ciclos

12.43

0.4 \r---.-/0.6

0.7

Tiempo en segundos

Curvas de oscilación para las máquinas 2 y 3 del ejemplo 12.11 oara desconexión a los 0.08 s

Consideración de los lazos del regulador automático de voltaje (AVR) y el gobernador de velocidad Se requiere modelar estos dos circuitos de control en forma de ecuaciones diferenciales.

Al final de cada paso en el algoritmo de estabilidad, el programa calcula los valores modificados de E'.,y P^r, y continúa el cálculo del siguiente paso. Esto aumenta en forma considerable la dimensionalidad y complejidad de los cálculos de estabilidad. Para reducir las dificultades computacionales, se puede pasar por alto el control de la velocidad, sin perder exactitud en los resultados.

Formulación de las ecuaciones de oscilación en variables de estado La ecuación de oscilación para el k-ésimo generador

ol? dt'

=

!!eo"nHk

es

pc); k = r,2, ..., ffi

(r2.i3)

Para el caso multimáquinas conviene organizar la ecuación (12.73) en su forma de variable de estado. Se definen

xt*= 6k- LEt' xztr= át Entonces

+rk--- ^2k

^

*f :l-1Pu", *rk 'Hk=

- P"). k = l. 2. .... m

(r2.74)

Estabilidad con un sistema multimáouinas

El vector de estado inicial (al suceder la falla)

r9r= 'ozl,

=

á?

es

= LEot (r2.7s)

o

La forma de estado de las ecuaciones de oscilación [ecuación (I2.74)l se puede resolver con los muchos algoritmos de integración disponibles (el método modificado de Euler es una opción cómoda).

Algoritmo de cómputo para obtener curvas de oscilación usando el método de Euler modificado 1. Realizar un estudio

de flujo de carga (antes de la perturbación) con voltajes y potencias

especificados.

2. Calctlar el voltaje detrás de las reactancias transitorias de los

generadores (E-0¿) mediante la ecuación (9.31). Con eso se fijan las magnitudes de las fem del generador y el ángulo inicial del rotor (voltaje del bus referencia V!).

3. Calcular Isu5 (durante la falla, después de la falla, línea reconectada). 4. Poner la cuenta del tiempo r = 0. 5. Calcular las salidas de potencia de generador con la I"u, apropiada con ayuda de la forma general de la ecuación (12.27). Con esto se obtiene Pprpara t - {') .

Nolc.' Después de la ocurrencia de la falla, el periodo se divide en intervalos de tiempo discretos uniformes (At) y el tiempo se cuenta como /(0), {), ... Un valor típico para Ar es 0.05

s.

6. Calcular IQÍ? ,it| \,k = 1, 2, ..., ml de las ecuaciones (12.74). 7. Calcular los primeros estimados de estado pvta t = ¡(' *1' como

*[í*') = x{l ,Li:'t) =

+*ll

xfl + *\')

8. Calcular los primeros estimados

El'*t) =

de

EOo

tt

k = 1,2, ..., m

a't

E['* tl

(cos *{í*r) + y sen x{[*1);

9. Calcular P$t'); [el Y"u, apropiado y la ecuación

(12.'72)1.

i\'['\,t,

l1lí.t,, = 1,2, ..., mlconlas ecuaciones (12.1|t. I 1. Calcular los valores promedio de las derivadas de estado 10. Calcular

ir(i), pro*=

*[i,r,'' + -ti:-t ]

i\'l.r,o = tli\'r, *.i!i-'']

t. _ 1

')

Estabilidad de sistemas eléctricos de ootencia

12. Calcular los estimados de estado final oara t = to + t)'.

"Í;*') = "fl

*

;f;)n."-,

lr k = 1,2, ...,

m

*;l*D = x(lo + i{),,o,o at 13. Calcular el estimado final de E,.en t = ¡(r+l) mediante

EÍ'*t) = lEf lcos

"Íí*')

+

;

sen

xfi*t)

14. Imprimi, @[í*t), *li*') ); k = 1,2, ..., m 15. Comprobar el límite de tiempo (tiempo para el cual se debe graficar la curva de os-

cilación),esdecir,verificarsir>r6nul.Sinolo€S,r=r+lyrepetirdesdeelpaso5 anterior. En caso contrario, imprimir los resultados y detenerse. Las curvas de oscilación para todas las máquinas se grafican. Si aumenta sin límite el ángulo del rotor de una máquina (o de un grupo de máquinas) con respecto a otras máquinas, esa máquina (o grupo de máquinas) es inestable y termina por salirse del paso. El algoritmo de cómputo presentado antes se puede modificar con facilidad para incluir la simulación del regulador de voltaje, la respuesta de la excitación de campo, la saturación de las trayectorias de flujo y la acción del gobernador.

Estudio de estabilidad de sistemas grandes Para limitar los requisitos de memoria de cómputo y de tiempo y, en aras de eficiencia computacional, un sistema grande de varias máquinas se divide en un subsistema de estudio y un sistema externo. El subsistema en estudio es modelado a detalle mientras un modelado aproximado es realizado para el subsistema externo. El estudio total se logra utilizando la técnica moderna de equivalencia dinámica. En los subsistemas externos el número de máquinas se reduce en forma drástica por medio de varios métodos; los basados en coherencia son los más populares y diversas compañías de servicio eléctrico los usan en todo el mundo.

I2.T1

ALGUNOS FACTORES OUE AFECTAN LA ESTABITIDAD TRANSITORIA

En este capítulo se ha visto que el subsistema de dos máquinas se puede reducir, en forma equivalente, a una sola máquina conectada a una barra infinita de bus. Las conclusiones cualitativas respecto a la estabilidad del sistema, obtenidas en un sistema de dos máquinas, o uno equivalente de una máquina y bus infinito, se pueden ampliar con facilidad a un sistema de varias máquinas. En el último artículo se estudió el algoritmo para determinar la estabilidad de un sistema de varias máquinas. Se ha visto que la estabilidad transitoria se ve muy afectada por el tipo y el lugar de la falla, de modo que un analista de sistemas de potencia debe, desde el comienzo de un estudio de estabilidad, decidir acefca de estos dos factores. En los ejemplos se han seleccionado una falla trifásica, la cual en general es más grave desde el punto de vista de transferencia de potencia. Dados el tipo de falla y su lugar ahora se consideran otros

Algunos factores que afectan la estabilidad transitoria

factores que afectan la estabilidad transitoria ¡,de allí:acar las conclusiones acerca de los métodos para mejorar el límite de estabilidad transr¡on¡ de un sistema y hacerlo tan cercano como sea posible al límite de régimen perrnanente Para el caso de una máquina conectada a un ru. lrnnito se ve con facilidad, de la ecuación (12.71), que un aumento en la constante ¡e r:e:;ia,l1 de la máquina reduce el ángulo dentro del cual oscila en determinado inle:.. -- trcmpo y con eso se tiene un método para mejorar la estabilidad, pero que en lr ::r...-* nrr ie puede emplear, por razones económicas y porque se hace lenta la respuest; dr- ;i:curto sobernador de velocidad (que incluso puede oscilar), además de un peso e\;is:', ,- d¡, irrtor. .

En relación con la figura 12.30, se ve fácri:ier.i:

Jrr plra determinado ángulo de

desconexión, el área de aceleración disrninur. p;:,-' :i:i[i¡ el á¡ea de desaceleración conforme crece el límite máximo de potenci¡ de i¡s j-'.::s'. !-ur\as de ángulo de potencia y con ello se incrementa el límite de est¡L,Lir¿'d .:.:.i.,--il¡ de1 sistema. La potencia máxima estable de un sistema puede aumenr¿rsi >t >. :;,3 ;r;cer el perfil de voltaje de1 sistema y si se reduce la reactancia de trans:er::-r; E>.:> :--n;lusiones, junto con los diversos casos de estabilidad transitona e.:.rc:¡dc'.. :;:-:-:. i:üj.Ji.1r el método que sigue para mejorarel límite de estabilidad tran.ri, :, -r -:. -.-:;-.: -i f,'tcncia.

1. 2. 3. 4.

Aumentar los voltajes del sistema. usrr¡ Usar sistemas de excitación de gran

re

,.u-::- r :'.r r-:.r-:, de roltaje.

r;tr:-z

Reducir la reactancia de transferencr¡

;':, :-:.:l;.

Usar disyuntores de cierre de alta rei.r.-r,j¡ü \3¿>i -" i-_:..¡. il.-lll. La tendencia modeflia es usar disyuntores de cier-re .on LrpcrrclL'rn ;i u:. .r -.. polo.

Cuando sucede una falla en un sistema. se reducen 1o: rolt; e. ;e rodos Ios buses. En las terminales del generador, estos voltajes se detectan por 1os re suladores automáticos de voltaje, que ayudan a restaurar los voltajes en las terminales del _senerador a1 actuar dentro

del sistema de excitación. Los sistemas modernos de excitador tienen controles de estado sólido que responden con rapidez a la reducción de voltaje en el bus y pueden lograr una ganancia de medio a uno y medio ciclos (de lz a lVz) en tiempos críticos de desconerión para fallas trifásicas en el bus de alta tensión (HT) del transformador del generador. Otro método práctico importante es reducir la reactancia de transferencia para aumentar el límite de estabilidad. Por cierto, con eso también se eleva el perfil de voltaje del sistema. La reactancia de una línea de transmisión puede disminuirse i) si la distancia entre conductores se reduce y ii) si el diámetro del conductor se aumenta [véase la ecuación (2.31)). Sin embargo, 1o común es que el espacio entre conductores se controle por otras funciones como, por ejemplo, protección contra rayos y holgura mínima para evitar que los arqueos pasen de una fase a otra. El diámetro de los conductores puede aumentarse si se utiliza material de baja conductividad o con núcleos huecos. Sin embargo, lo normal es que la configuración de los conductores se fije por consideraciones económicas muy ajenas a la estabilidad. El uso de conductores en haz es, naturalmente, un medio efectivo para reducir la reactancia en serie. La compensación de la reactancia de línea mediante capacitores en serie es un método efectivo y económico para aumentar el límite de estabilidad, en especial para distancias de transmisión mayores a 350 km. Sin embargo, el grado de compensación en

CAPITULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

serie acentúa los problemas de relevadores de protección, perfiles de voltaje normales y sobrevoltajes durante fallas de 7íneaatierra.La compensación en serie se vuelve más efectiva y económica si parte de ella se conecta de tal manera que el grado de compensación aumente cuando ocuna una perturbación que probablemente cause inestabilidad. Los capacitores en serie conmutados disminuyen en forma simultánea la fluctuación de voltajes de carga y aumentan el límite de estabilidad transitoria hasta un valor casi igual al límite del régimen permanente. Si se conectan capacitores en paralelo o desconectan reactores derivación, también se elevan los límites de estabilidad (véase el ejemplo 72.2), pero la capacidad de MAV de los capacitores en derivación que se requieren es de tres a seis veces la capacidad nominal de los capacitores serie conmutados que se requieren para el mismo aumento de límite de estabilidad. Por lo anterior, se prefieren los capacitores serie, a menos que se requieran elementos en derivación para otros fines como, por ejemplo, controlar el perfil de voltaje. Con mucha frecuencia se suele aumentar el número de líneas paralelas entre los puntos de transmisión para reducir la reactancia de transferencia. Al mismo tiempo aumenta la confiabilidad del sistema de transmisión. No es probable que circuitos de líneas adicionales sean económicos parala unidad / después de que se hayan llevado a cabo todas las mejoras posibles en los primeros dos circuitos. Antes se demostró que como la mayor parte de las fallas son de naturaleza transitoria, la conmutación y aislamiento rápidos de las líneas con problemas, seguidos por reconexión, son una gran ayuda para mejorar los miírgenes de estabilidad. La moderna tecnología de disyuntores ha hecho posible hoy desconectar la línea hasta en dos ciclos. Aún más, una gran parte de las fallas transitorias son de naturaleza de línea a tierra. Es natural que se hayan desarrollado métodos para abrir un solo polo en forma selectiva y reconectarlo, que ayuda todavía más a los límites de estabilidad. Con referencia a la figwa 12.17, si se supone que sucede una falla transitoria de línea a tierra en el bus del generador, se ve de inmediato que durante la falla habrá ahora una cantidad definida de transferencia de potencia, a diferencia del caso de transferencia cero de potencia en una falla trifásica. También, cuando el polo del disyuntor que corresponde a la línea que falló se abre, las otras dos líneas (sin falla) permanecen intactas por 1o que continúa una cuantiosa transferencia de potencia considerable por esas líneas en comparación con el caso de la conmutación de tres polos cuando la transferencia de potencia al desconectar la falla se reducirá a cero. Por lo anterior, es fácil ver por qué la conmutación y reconexión de un polo ayuda en el problema de la estabilidad y por qué se adopta tanto. Estos hechos se ilustran en el ejemplo 12.12. Aun cuando los márgenes de estabilidad sean suficientes, se adopta la conmutación de polos individuales para evitar grandes oscilaciones y las consecuentes reducciones de voltaje. La conmutación y reconexión de un solo polo es, naturalmente, costosa en términos de relevadores e introduce los problemas asociados de sobrevoltajes causados por la abertura de un solo polo por las capacitancias de línea. Hay métodos disponibles para anular estos efectos de acoplamiento capacitivo.

Tendencias recientes Las tendencias recientes en el diseño de grandes alternadores apuntan hacia menor relación de cortocircuito (SCR = IIX¿),lo cual se logra al reducir el entrehierro de la máquina

Algunos factores que afectan la estabilidad transitoria

con los ahorros consecuentes en la fem, tamaño, peso y costo de la máquina. La reducción en el tamaño del rotor aminora la constante de inercia y con ello una disminución en el margen de estabilidad. La pérdida en el margen de estabilidad se compensa por características como líneas de menor reactancia, disyuntores más rápidos y sistemas de excitación más rápidos, como ya se dijo, así como un sistema más ágil de control con válvulas el cual se describirá más adelante en este capítulo. En la tecnología se ha alcanzado hoy una etapa en la que los métodos para mejorar la estabilidad, considerados antes, han llegado a sus límites, por ejemplo, los tiempos de desconexión de los disyuntores se han reducido a valores virtualmente irreducibles del orden de dos ciclos. Con la tendencia para reducir las inercias en las máquinas hay una necesidad constante de deterrninar la disponibilidad, factibilidad y aplicabilidad de métodos nuevos para mantener o mejorar la estabilidad del sistema. A continuación se presenta una breve descripción de algunos de los métodos recientes para mantener la estabilidad:

Enlaces de CD en alto voltaje (HVDC) El incremento en el uso de enlaces de CD en alto voltaje que emplean tiristores aliviaría los problemas de estabilidad. Un enlace de CD es asíncrono, es decir, los dos sistemas de CA en uno u otro extremo no necesitan estar controlados en fase ni siquiera tener exactamente la misma frecuencia como es preciso cuando el enlace es de CD y la potencia que se transmite puede controlarse con facilidad. No hay nesgo de que una falla en un sistema cause pérdida de estabilidad en el otro sistema.

Resistores ruptores Para mejorar la estabilidad donde se demora la desconexión o se pierde una carga grande en forma repentina, se conecta una carga resistiva, llamada resistor ruptor en o cerca del

bus del generador. Esta carga compensa por 1o menos algo de la reducción de la carga en los generadores y así reduce la aceleración. Durante una falla los resistores se conectan en las terminales de los generadores mediante disyuntores con un complicado esquema de control. El esquema de control determina la cantidad de resistencia que se aplica. así como su duración. Los resistores ruptores peflnanecen conectados durante cosa de ciclos. tanto durante la desconexión de la falla como después de restaurado el voltaje del sistema.

Limitadores de corriente de cortocircuito En general se usan para limitar el servicio en condiciones de cortocircuito de las líneas de distribución. También se pueden usar en líneas de transmisión largas para modificar en forma favorable la impedancia de transferencia durante las condiciones de falla, de tal forma que el perfil de voltaje del sistema mejore algo y suba el nivel de carga del sistema durante la falla.

Acción rápida de válvulas de turbina o válvulas de desvío (bypass) Los dos métodos que se acaban de describir sirven para tratar de rcemplazat la carga del sistema y aumentar la salida eléctrica del generador durante las condiciones de falla. Otro

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

método reciente para mejorar la estabilidad de una unidad es disminuir la potencia de entrada mecánica a la turbina. Esto puede lograrse mediante acciones rápidas de válvulas, donde la diferencia entre la entrada mecánica y la salida eléctrica reducida de un generador, en una falla detectada por un esquema de control, inicia el cierre de una válvula de la turbina para reducir la entrada de potencia. En resumen, durante una operación rápida de válvula, las válvulas interceptoras se cierran con rapidez (en 0.1 a 0.2 s) y se abren de inmediato. Este procedimiento aumenta el tiempo crítico de conmutación lo suficiente para que en la mayor parte de los casos, la unidad perrnanezca estable ante fallas con tiempos de desconexión de "disyuntor atorado". El esquema se ha puesto en práctica en algunas estaciones en Estados Unidos.

Técnica de rechazo a plena carga La acción rápida de válvulas, combinada con un tiempo de desconexión de alta velocidad, bastan para mantener la estabilidad en la mayor parte de los casos. Sin embargo, todavía hay situaciones donde es difícil mantener la estabilidad. En esos casos, el procedimiento normal es sacar automáticamente la unidad de la línea. Empero, eso causa varias horas de demora para poder retornar la unidad a la operación. La pérdida de una unidad principal durante ese tiempo puede amenazr gravemente al sistema restante. Para remediar estas situaciones se podría utllizar un esquema de rechazo de plena carga, después de separar la unidad del sistema. Para hacerlo, la unidad debe tener un gran sistema de desvío de vapor. Después de que el sistema se ha recuperado del choque causado por la falla, se podría volver a sincronizar la unidad y volverla a cargat. La desventaja principal de este método es el costo extra de un sistema grande de desvío. I

Eiemplo 12.121 $

El sistema que muestra la figura 12.44 se carga a

1 pu. Calcular

la curva de oscilación y

determinar la estabilidad del sistema para:

i) ii)

Falla de línea a tierra con desconexión de tres polos seguida por reconexión. La línea se encuentra sin falla. Falla de línea a tierra con desconexión de un polo seguida por reconexión. La línea se encuentra sin falla.

La desconexión sucede a los 3.75 ciclos (0.075 s) y la reconexión se hace ciclos (0.325 s). Todos los valores que se ven en la figura están en pu. Itrt-.t

Xr=0.1 Xr=0.1 xt=xz-o.3,Xo=1.6 P ]t ]. --rXr = 0.3\-/ l 1t /\ V=1LO" ,r X^=0.15 1 / ' lÍnea a tierra A\r1 Falla de 'trarrauerrrreaatrcrrd H=q a! Xo=0.1 D

:'-': H=4J67r-,

I

Figura 12.44

a

los 16.25

Algunos factores que afectan la estabilidad transitoria

lEl = 1.2 tyt = 1.0 0.3

,9J". p

^q!-

^0.1^

a) Red de secuencia positiva

=

T a

xz=0.1s4

t, b) Red de secuencia negativa

T ?J=ooe15 c) Red de secuencia cero

Figura 12.45

Solución

Las redes de secuencia del sistema se muestran y se reducen en forma adecuada en las figuras I2.45a), b) y c). Para una falla de línea a tierra, LG, en P las redes de secuencia se conectarán en serie como se ve en la frgwa 12.46. Una transformación estrella-delta reduce la figura 12.38 de aquella de la figura 12.41 de la cual se calcula la reactancia de transferencia.

Xrr(farralc) = 0.4 + 0.4

* 0 0.246 !194 = L45

Cuando los polos del cortacircuitos que corresponden a la línea con falla se abren (coresponde a una falla por abertura de una sola línea) la conexión de las redes de secuencia se muestra en la figura 12.48.De la red reducida de la figura 12.49,1a reactancia de transferencia con la línea con falla desconectada es

Xp(línea intemrmpida) = 0.4 + 0.42 + 0.4 = I.22

lEl = 1.2

>

0.4

P

= 0.246

lvl = 1.0

o.4

Figura 12.46 Conexión de redes de secuencia para una falla LG

Figura 12.47 lmpedancia de transferencia para una falla LG

ffil

OAPíTULo

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

Secuencia positiva

o.4

0.4

0.25 P P'

0.1 P P'

0.4

1.1

Secuencia negativa

Figura

12.48

Conexión de redes de secuencia con la línea con falla desconectada

En condiciones sin falla se obtiene con facilidad la reactancia de transferencia apartir de la red de secuencia positiva de la f,gura t2.45 como

Xp(línea sin falla) = 0.8

Ecuaciones de ángulo de potencia Prefalla

P"r=

Y

sen

ó=

sen

i#

ó=

1.5 sen ó

Carga inicial = 1.0 pu

El rángulo inicial del par

es

1=1.5sen4 es decir

6o

= 41'8o

Durante lafalla

P"n=

sen ó

Í#

= 0.827 sen ó

Durante desconexión de un polo P ^,,,

lEl=

=

4

sen 6

1.22

= 0.985 sen ó

lVl = 1.0

1

P'

P 0.65 x 1.2

135

= v'+é

Figura 12.49 Red de ligura 12.48 reducida con reactancia de transferencia

12.11 Algunos factores que

afectan la estabilidad

-r-

transitoria HiQg---

Durante desconexión de tres polos P"ttl= 0 Después de

lafalla P"Iv= Pd= 1.5 sen á

Ahora bien t A-'2

9!-lPot' 46'= A4-' 'atn-l) -"n-t' + M

H = 4.167 MJA4VA

M= 4'167 = 4.63 x 10-4 s2/sradoeléctrico 180 x 50

Si Ar = 0.05

s

(Ar¿2

(o.o5l2

.=5.4 M = 4.63xl0-"

I !

i

Tiempo en el que sucede la conmutación de uno/tres polos = 0.075 s (durante la mitad de Ar)

Tiempo cuando sucede la reconexión= 0.325 s (durante la mitad de Ar) La curva de oscilación se grafica en la figura 12.50 y en ella es obvio que el sistema es inestable.

Tabla

12.9

t s

Cálculo de la ecuación de oscilación-desconexión de tres polos

P"

P^u (pu)

sen 6

(pu) 1.0

0+

1.5 0.667 0.827 0.661

o"prom 0.0s

0.827 0.682

0.564

0.10

0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0_

0.075-> 0.15

o.z0 0.25

0.30 0.325-+ 0.35

0.40 0.45

0.50 0.55

0.60 0.65

0.726

0.0 0.0 0.0 0.0

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

0.565

0.052

-

0.55

0.984 0.651 0.497

0.552

0.85

0.078

Po

(pu)

ó grado eléctrico eléctrico eléctrico

0.0

41.8

0.448

41.8

o.224 0.436

1.2 .tA

1.0

5.4

1.0

54

1.0 1.0

5.4 5.4 5.4

0.15

0.8

0.922 r.827

5.0

1.0

-0.827 - 1.48 2.48 - 0.98 1.98 0.146

5.4Po Aó grado grado

0.254

9.9 13.4

t0.7 l-4

1.2 3.6

41.8

43.0

9.0 14.4 19.8 25.2 30.6

46.6 55.6 70.0 89.8 115.0

3I.4 36.4 46.3 59.7 70.4 71.8

t45.6 177.0 213.4 259.7

3t9.4 389.8

46r.6

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

¡

I

|

250

I I

o

.g

200

o .o o aJ)

€g

rso

100

o'5

o

riemPo 1s¡

1!*

Figura 12.50 Curva de oscilación para desconexión de tres polos con reconexión

12.10

Tabla

t

Cálculo de curva de oscilación-desconexión de un solo polo sen 6

0_

1.5

0.667

0 o"prom

0.827

0.667

0.05

0.827

0.682

0.564

0.10

0.985 0.985 0.985 0.985 0.985

o.726

0.715

1.5 1.5

0.988 0.998

1.5

1.0

,s

0.075-+ 0.15

0.20 0.25

0.30 0.325-->

Pe

P*a* (pu)

0.35 0.40 0.45

0.184 0.848 0.908 0.956

(pu) 1.0

0.552

0.77

0.834 0.893 0.940 1.485 1.5 1.5 -

Po

(pu)

5.4Po Aó grado grado

ó

grado eléctrico eléctrico eléctrico 41.80

0.0

0.448 0.224

1.2

0.436

aA

0.285 0.230

1.5

0.166 0.107

0.060

0.9 0.6 0.3

0.485 0.5 0.5

-2.6 -2.7 -2.7

r.2

1.2 3.6 5.1 6.3 7.2 7.8 8.1 5.5 2.8 0.1

41.8 41.8

43.0 46.6

5r.7 58.0 65.2

73.0 81.1

86.6 89.4 (conünúa)

Algunos factores que afectan la estabilidad transitoria

Tabfa

12.10 (continuación\ 5.4Po

t

¡Dmáx

.t

(pul

sen 6

0.50

1.5

1.0

0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

1.5

0.80

1.5

0.9985 0.989 0.96 0.894 0.781 0.62

0.85

1.5

0.90

1.5

0.433 0.259

0.95

1.5

0.1 33

1.00

1.5

0.079

1.05

1.5

0.107

1.10

1.5

0.2t4

1.15

1.5

t.20 t.25

1.5

I.JU

1.5

0.38 0.566 0.738 0.867

1.35

1.5

0.946

1.40

1.5

1.45

1.5

0.983 0.997

1.50

1.5

1.5 1.5 1.5 1.5

1.5

D

P -a

(pu)

(pu)

l.) - u.) 1.5 - 0.5

1.485 - 0.485 1.44 -0.M 1.34 - 0.34 1 .17 - 0.t7

0.932 0.068 0.65 0.35 0.39 0.61 0.8 0.2 0.I 19 0.881 0.161 0.839 0.322 0.678 0.57 0.43 0.84 0.16 1.11 -0.11 1.3 - 0.3 1.42 -0.42 1.48 - 0.48 1.5 - 0.5

grado eléctrico

-

2.7

-2.7 -2.6 1A

-

1.8

-

0.9 0.4 1.9 3.3

4.3 4.8

A<

J.I 2.3

-

0.9 0.6

-

1.6

-2.3 -2.6 -2.7

Aáó

grado

grado

eléctrico eléctrico

- 2.6 - 5.3

-7.9 - 10.3 - 12.1 - 13.0 - 12.6 - r0.7 - 7 .4 - 3.1 1.7 6.2 9.9 12.2 13.1 r2.5 10.9 8.6 6.0 3.3

89.5

86.9 81.6 73.1 63.4 51.3 38.3 25.1 15.0 1.6 4.5 6.2 12.4

22.3 34.5 41.6 60.1

tt.0 79.6 85.6 88.9

En la figura 12.51 se grafica la curva de oscilación, y en ella se ve que el sistema estable. Desconexión de un polo

// I

Reconexión (falla eliminada)

80

o

/

'= .(¡)

o)

a (g

6

["'-^--7 TiemPo (s)

+

Figura 12.51 Curva de oscilación para desconexión de un polo con reconexión

es

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

PROBLEtvtAS

I2.l

Un turboalternador de dos polos, 50 Hz, Il kV tiene capacidad nominal de 100 MW, factor de potencia 0.85 en retraso. El momento de inercia del rotor es 10 000

kg.-'.Calcule HyM.

12.2

Dos turboalternadores tienen las capacidades nominales indicadas enseguida y se interconectan mediante una línea corta de transmisión.

Máquina

1:

4 polos, 5OHZ,60 MW factor de potencia 0.80 en retraso, momento de inercia 30 000 kg'm'.

Máquina

2:

2 polos, 50}J2,80 MW factor de potencia 0.85 en retraso, momento de inercia 10 000 kg'm'.

Calcule la constante de inercia de una sola máquina equivalente con una base de 2OO

MVA.

L2.3 La estación generadora

tiene cuatro grupos generadores idénticos cada uno con capacidad nominal de 80 MVA y con constante de inercia 7 MJ/MVA; mientras que la estación generadora tiene tres grupos cada uno con capacidad nominal de 200 MVA, 3 MJ/MVA. Las estaciones son cercanas como para considerarlas como una sola máquina equivalente para estudios de estabilidad. Calcule la constante de inercia de la máquina equivalente en una base de 100 MVA. 1

12.4 Una línea de transmisión de 50 Hz tiene 500 km de longitud y

sus constantes

indicadas a continuación; conecta a dos áreas de gran potencia.

R = 0.11 O/krn C = 0.009 pFlkm

L = I.45 mH/km

G=0

Calcule el límite de estabilidad de estado estable si I V5 | = | V¡ | = 200 kV (constante). ¿Cuál será el límite de estabilidad de estado estable si la capacitancia de la 1ínea se desprecia? ¿Cuál será el límite de estado estable si la resistencia de la línea también se desprecia? Comente los resultados. área escasa de energía recibe 50 MW por una línea de unión, desde otra área. La capacidad máxirna de estado estable de la línea de unión es 100 MW. Calcule la carga repentina permisible que se puede conectar sin perder la estabilidad. Un motor síncrono toma 307o de la potencia máxima de estado estable, de un bus infinito. Si la carga del motor aumenta bruscamente en l00Vo, ¿se perdería el sincronismo? Si no, ¿cuál es la máxima excursión del ángulo del par respecto a la nueva posición del rotor en estado estable? Las reactancias de transferencia entre un generador y un bus infinito que trabaja a 200 kV en condiciones diversas en el interconectador son:

12.5 Un

12.6

I2.7

Prefalla

150 C) por fase

Durante la falla

400 O por fase

Posfalla

200 O por fase

Si la falla se elimina cuando el rotor ha avanzado 60 grados eléctricos desde su posición prefalla, determine la carga máxima que podría transferirse sin perder estabilidad.

12.8 Un

generador síncrono alimenta 250 MW a una gran red de 50 Hz por una línea de transmisión de doble circuito. La potencia máxima de estado estable que puede transferir la línea con ambos circuitos operando es 500 MW y es 350 MW con cualesquiera de los circuitos. Una falla trifásica sólida que se presenta en el extremo de la red de una de las líneas la hace desconectarse. Estime el ángulo crítico de desconexión en el que deben abrirse los disyuntores p¿lra que no se pierda el sincronismo. ¿Qué información adicional se necesita para estimar el tiempo crítico de desconexión?

12.9

Un generador síncrono representado por una fuente de voltaje de 1.05 pu en serie con unareactancia transitoria dejO.15 pu y constante de inerciaÉ1= 4.0 s, se conecta a un sistema de inercia infinita por una línea de transmisión. La reactancia en serie de la línea es j0.30 pu, mientras que el sistema de inercia infinito se representa por una fuente de voltaje de 1.0 pu en serie con una reactancia transitoria dej0.20 pu.

El generador transmite una potencia activa de 1.0 pu cuando una falla trifásica se presenta en sus terminales. Si la falla se desconecta en 100 milisegundos, determine si el sistema permanecerá estable al calcular la curva de oscilación.

12.10

Para el problema I2.9 calcule el tiempo cútico de desconexión con la curva de oscilación para una falla sostenida.

l2.Il

Un generador síncrono representado por un voltaje de 1.15 pu en serie con una reactancia transitoria se conecta a un gran sistema de potencia con voltaje 1.0 pu, a través de una red de potencia. La reactancia transitoria equivalente de transferencia X entre las fuentes de voltaje esj0.50 pu. Después que se presenta una falla trifásica a tierra en una de las líneas de la red de potencia, dos de los disyuntores del circuito de la línea, Ay B, operan en secuencia, como sigue, donde se indica la reactancia de transferencia transitoria.

l) ll) iii)

El cortocircuito sucede en á = 30", A se abre instantáneamente para que X = 3.0 pu. En ó = 60o, A se reconecfa, X = 6.0 pu. En ó = 75', A se vuelve a abrir.

iv)

En ó = 90o, B también se abre para desconectar la falla tal que X = 0.60 pu.

Compruebe si el sistema operará en forma estable.

lZ.l2

Un generador síncrono de 50 Hz con constante de inercia H = 2.5 s y una reactancia transitoria de 0.20 pu alimenta 0.80 pu de potencia activa a un bus infinito (voltaje 1 pu) a factor de potencia 0.8 en retraso por medio de una red cuya reactancia equivalente es 0.25

pl.

Una falla trifásica se sostiene durante 150 milisegundos entre las terminales del generador. Determine al calcular la curva de oscilación el ángulo del par á, 250 milisegundos después de iniciada la falla.

CAPíTULO

12

Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

kV (con transformador) se conecta a un El generador tiene -É1= 2.5 MJ/MVA, por un interconector. 400 kV bus infinito de 450 kV y su carga es 460 MW. Las es transitoria el voltaje detrás de la reactancia y el bus en diversas condiciones, generador reactancias de transferencia entre el

12.13 Un generador

de 50 Hz, 500 MVA, 400

Prefalla

0.5 pu

Durante la falla

1.0 pu

Posfalla

0.75 pu

Calcule la curva de oscilación con intervalos de 0.05 s y al suponer que la falla se desconecta en 0.15 s.

para la falla que falla se desconecta por abefiura simultánea de los ruptores en los extremos de la línea con falla a los tres ciclos y a los ocho ciclos después de suceder la falla. También grafique la curva de oscilación durante un periodo de 0.6 s, si la falla es sostenida. Suponga para el generador que É1= 3.5 pu, G = 1 pu y haga los cálculos expresados por unidad. 12.15 Resuelva el ejemplo 12.10 parauna falla LLG.

12.14 Grafique curvas de oscilación y revise la estabilidad del sistema se ve en el sistema del ejemplo 12.10, cuando la

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13.1 INTRODUCCION El capítulo 7 trató principalmente sobre la operación económica de un sistema eléctrico de potencia. Un factor de igual importancia en la operación de un sistema de éstos es el deseo de mantener la seguridad del sistema. La seguridad del sistema implica prácticas diseñadas en forma adecuada para mantenerlo en operación cuando sus componentes fallan. Además de economizar costo de combustible y minimizar la emisión de gases (CO, COr, NOx, SOr), el sistema eléctrico de potencia debe ser operacionalmente seguro.Un sistema eléctrico de potencia operacionalmente seguro es aquel que tiene una probabilidad baja de apagón (colapso) o de daños del equipo. Si continúa el proceso de fallas en cascada, el sistema en su totalidad o sus partes principales podrán colapsarse por completo. A esto se le llama de modo común apagón del sistema. Todos estos aspectos requieren

la optimización restringida por la seguridad (SCO: security constrained optimization) del sistema eléctrico de potencia. La seguridad y la economía de un sistema presentan demandas contrapuestas, por lo cual es inadecuado tratarlas por separado. El objetivo final de la economía es la función de seguridad de la empresa generadora. El sistema de administración de energía (EMS: energy management s¡tstem) debe hacer trabajar al sistema a un costo mínimo con la atenuación garantizada en condiciones de emergencia. La condición de emergencia dependerá de la gravedad de las violaciones de los límites de operación (límites de flujos por ramales y de voltajes de bus). Las violaciones más graves son causadas por contingencias. Por consiguiente, una parte importante de un estudio de seguridad se refiere a la capacidad del sistema para resistir los efectos de contingencias. Se dice que determinado estado del sistema es seguro sólo con referencia a uno o más casos específicos de contingencia y un conjunto dado de cantidades monitoreadas por violación. La mayor parte de los sistemas de potencia trabajan de tal manera que cualquier contingencia aislada no cause una sobrecarga en otros componentes y evitar así las fallas en cascada. La mayor parte de las funciones relacionadas con la seguridad tienen que ver con los estados instantáneos estáticos del sistema eléctrico de potencia. Deben ejecutarse a intervalos compatibles con la rapidez de cambio del estado en el sistema. La aproximación casi estática es, en gran medida, el único método práctico en la actualidad, pues el

anáiisis y la optimización dinámicos son mucho más difíciles ya que computacionalmente consumen mucho tiempo. Se puede decir que la seguridad de un sistema comprende tres funciones principales que se efectúan en un cenffo de control de energía: i) monitoreo del sistema. ii) análisis de contingencia y iii') análisis de acción coffectiva. El monitoreo le proporciona a los operadores o despachadores del sistema de potencia información pertinente acttalizada de las condiciones del sistema en tiempo real conforme cambian la carga y la generación. Con sistemas de telemetía se miden, monitorean y transmiten los datos, voltajes, corrientes. flujos de corriente y el estado de los disyuntores e interruptores (conmutadores) en cada subestación en una red de transmisión. Además, también se puede telemedir otra información crítica e importante, como frecuencia, salida de generador y posiciones de tomas o derivaciones del transformador. Entonces, con computadoras digitales en un centro de control se procesan los datos telemedidos y se colocan en una forma de base de datos, y se informa a los operadores en caso de una sobrecarga o de un voltaje fuera de límite. También, los datos imporlantes se muestran en monitores de gran tamaño. En caso necesario también se utilizan alarmas y señales de advertencia. La estimación del estado (capítulo 14) es lo que por lo común se reutiliza en esos sistemas, para combinar los datos de telemetría y ofrecer el mejor estimado (en sentido estadístico) de la condición o estado actual del sistema. Dichos sistemas trabajan con frecuencia con sistemas de control de supervisión para ayudar a los operadores a controlar los cortocircuitos y operar conmutadores y tomas de transformador en forma remota. Esos sistemas en conjunto se llaman SCADA (supervisory control and deta acquisition, control supervisor y adquisición de datos).

La segunda de las funciones principales es el análisis de contingencia. Las modernas computadoras de operación tienen almacenados programas de análisis de contingencia. Ellos prevén problemas posibles (interrupción o corte del servicio) en el sistema antes que sucedan. Estudian eventos de intemrpción del servicio y alertan a los operadores respecto a cualquier sobrecarga potencial o violaciones graves de voltaje. Por ejemplo, la forma más simple de análisis de contingencia se puede combinar con un programa normal LF como se describió en el capítulo 6, junto con procedimientos para establecer los datos de flujo de carga para cada interrupción o corte que se vaya a estudiar con el programa LF. Eso permite que los operadores del sistema localicen estados defensivos de operación en donde ningún evento de contingencia aislado generurá sobrecargas y/o violaciones de voltaje. Así, este sistema produce restricciones de operación que se pueden emplear en el programa ED (economic dispatch: despacho económico) y UC (unit commifment: unidad de planificación). De este modo, el análisis de contingencias ejecuta la identificación de emergencia y simulación de "qué pasa si...". La tercera función principal de seguridad es el análisis de acciones correctivas que le permite al operador cambiar la operación del sistema de potencia si un programa de análisis de contingencia predice que habrá un problema grave si se presenta el caso de una intemrpción o corte determinado. Así, esto proporciona un control preventivo y posterior a la contingencia. Un ejemplo sencillo de acción correctiva es el desplazamiento de un generador de una estación a ofra. Esto podrá dar como resultado el cambio de flujos de potencia y causar un cambio de carga en las líneas sobrecargadas.

CAPITULO

13

Seguridad del sistema de potencia

Las tres funciones juntas comprenden un conjunto muy complicado de herramientas que pueden contribuir a la operación segura de un sistema de potencia.

I3.2 CLASIFICACIÓN DEL ESTADO DEL SISTEMA [3] sugirió una clasificación formal de niveles de seguridad de sistemas eléctricos de potencia, que fue aclarada y desarrollada por Fink y Carlsen l23l paru definir las funciones relevantes de sistemas de administración de energía (EMS: energy management Dyliacco

ll5l también presentaron un diagrama de niveles de seguridad estática más práctico (véase la figura 13.1), al incorporar niveles de seguridad correctivamente se-quros (nivel 2) y de emergencia corregible (nivel 4). $'stems). Stott e¡ al.

En la figura 13.1 las líneas con flecha representan transiciones involuntarias entre los niveles I a 5 por causas de contingencias. La eliminación de violaciones del nivel 4 requiere. por lo común, reprogramación correctiva o acción correctiva dirigidas por EMS, para llevar al sistema al nivel 3, de donde éste puede retornar al nivel 1 o 2 con más reprograntociórt preventiva dirigida por EMS que depende de los objetivos de seguridad operacional deseados. Los niveles 1 y 2 representan la operación normal del sistema de potencia. El nivel 1 tiene la se-euridad ideal pero es demasiado conservador y costoso. El sistema eléctrico de potencia sobrevive cualquiera de las contingencias creíbles sin recurrir a una acción correctiva alguna después de la contingencia. El nivel2 es más económico, pero depende de reprogramación correctiva después de la contingencia para aliviar las violaciones sin pérdida de carga, dentro de un tiempo especificado. Los límites de operación de poscontingencia podrían ser diferentes a sus valores de precontingencia.

13.3 ANÁLISIS DE SEGURIDAD La seguridad de un sistema se puede descomponer en dos funciones principales que se efectúan en un centro de control de operaciones: l) evaluación de la seguridad y ii) control de la seguridad. La primera indica el nivel de seguridad del estado de operación del sistema. La segunda determina la programación, restringida por la seguridad, adecuada y requerida para alcanzar en forma óptima el nivel de seguridad objetivo. Las funciones de seguridad en un EMS se pueden ejecutar en tiempo real así como su modo de estudio. Las funciones de aplicación en tiempo real tienen una necesidad particular de velocidad y confiabilidad de cómputo para que éstas cumplan con su objetivo satisfactoriamente. El nivel estático de seguridad de un sistema de potencia se caracteriza por la presencia de condiciones de operación de emergencia (violaciones de límites) en sus estados de operación reales (antes de contingencia) o potenciales (después de la contingencia). La evaluación de la seguridad del sistema es el proceso mediante el cual se detectan esas

violaciones. La evaluación del sistema comprende

dos

funciones:

l) Vigilancia o monitoreo del sistema, y ii) análisis de contingencia.La vigilancia del sistema suministra al operador del sistema de potencia información Dertinente actualizada

Se suministra

Nivel

toca a carga No se

violan límrtes de cperación. En GaSO Oe Una COni -gerCra nO habrá violac ores.

1

(Seguro)

Acción

Nivel 2

(Conectivamente

Contingencia

Acción de control Contrngencia

de contro

seguro) Se su,.ninistra toda la carga. No se violan límites de operación. Se

Se suministra toda la carga. pero con violación de los límites de carqa Éstos no pueden sercorregidos siñ pérdida de carga.

Acc¡ón de control

puede corregir cualquier violación

causada por una contingencia.

Nivel 3 (Alerta)

mediante la acción adecuada de control, sin pérdida de carga. Contingencia

Nivel 4 (Emergencia corregible)

Nivel 5 (Emergencia no corregible)

Nivel 6 (Restaurativo)

Figura

Acción de control

Se suministra toda la carga, pero se violan los lÍmites de ooeración Estos no se pueden corregrr, mediante la acciónde control apropiada, sin perder carga.

Contingencia

i

Acción de control Se suministra toda la carga. No se violan límrtes de operación. Algunas r¡inlaninnoc rnr por runa vrolactones narrcerlac causadas ñ^r contingencia no se pueden corregir sin pérdida de carga. Contingencia

Acciones de control No se violan límites de operación, pero se ha tenido una pérdida de carga.

13.1

Niveles de seguridad estática de un sistema eléctr¡co de potencia

acerca de las condiciones vigentes en el sistema de potencia. En su forma más simple, sólo detecta violaciones en el estado real de operación del sistema. El análisis de contingencia es mucho más demandante y por lo general se lleva a cabo en tres estados distintos, a saber: definición, selección y evaluación de la contingencia. La definición de una contingencia indica la lista de contingencias por procesar cuya probabilidad de que ocuffa es alta. Esta lista, la cual suele ser grande, está en términos de cambios de red, es deci¡ fallas y/o ramales que salen de operación. Estas contingencias se clasifican en orden aproximado de gravedad y se emplean algoritmos de selección de contingencia para acortat la lista. Como se requieren resultados con exactitud limitada, por lo tanto, se usa un modelo aproximado (lineal) del sistema por su velocidad. Entonces se lleva a cabo una evaluación de la contingencia (por medio de flujo de potencia en CA) para los casos individuales sucesivos en orden decreciente de severidad. El proceso de evaluación continúa hasta que yano se encuentrenviolaciones deposcontingencia. Porconsiguiente, el objetivo delanálisis de contingencia es identificar la lista de contingencias que, de presentarse, crearían violaciones en los estados de operación del sistema. Se clasifican por gravedad.

514 I

CAPíTULO

13

Seguridad del sistema de potenc¡a

La segunda función principal de seguridad es el control de la seguridad que permite al personal de operación cambiar el funcionamiento del sistema eléctrico en caso que un programa de análisis de contingencia prediga un problema serio, o de que sucediera una intemrpción o corte del servicio. En general, el control de seguridad se logra con un programa SCO (security constrained optimization, optimización restringida por seguridad).

Modelado para análisis de contingencias Los límites del sistema eléctrico de potencia que más interesan en un análisis de contingencia son los de flujos en líneas y los voltajes de bus. Como son límites suaves, se justiflcan modelos y soluciones de exactitud limitada. El modelo de flujo de carga, más fundamental y aproximado, es el modelo NR descrito en el capítulo 6. t-

aPt

Lool El modelo de fluio de CD en

l- Aó

I

= t'lLo'u,l

su versión incremental es el que se prefiere por

lAPl =

[B']

[Aó]

(13.1)

lo común, (r3.2)

En este modelo se supone que los voltajes pennanecen constantes después de las contingencias. Sin embargo, eso no es cierto en sistemas débiles. La empresa eléctrica debe especificarse por adelantado si se quiere monitorear condiciones de régimen permonente o estado estacionario después de la contingencia, inmediatamente después de la intemrpción del servicio (respuesta inercial del sistema) o después de que hayan respondido los controles automáticos (gobernador, AGC, ED).x De esta decisión depende el uso de distintos factores de participación para asignar la generación de MW entre las unidades restantes. El problema reactivo tiende más a ser no lineal, y también los flujos de potencia activa influyen sobre los voltajes. El método FDLF (capítulo 6) es el más común para estos fines, pues su matriz jacobiana es constante y las intemrpciones del servicio de una sola línea se pueden modelar mediante el lema de inversión matricial. El modelo que a menudo se emPlea es

l,LQ

tlyll = tB'l tAlYll

(13.3)

Selección de la contingencia Hay dos métodos principales: Métodos directos: Consisten en desechar y clasificar directamente los casos de contingencia. Las cantidades conespondientes poscontingencia (flujos, voltajes) son las que se monitorearon. La medida de gravedad suele ser un índice de desempeño. x Véanse los detalles de estos controles en el capítulo 8

Métodos indirectos: Indican los valores de índices de gravedad de la contingencia para su clasificación, sin calcular directamente las cantidades contingentes vigiladas.

La simulación de la intemrpción del senicio o corte de una 1ínea es más compleja que la intemrpción de servicio de un generador. pues el corte de una 1ínea causa un cambio en las configuraciones del sistema. En e1 campo del análisis de contingencias se usa el lema de modificación de matnz inrersa rI\1\lL: itnerse nutri.t ntodi-iiccttíott lentnta¡ o método de contpensación. EI método

I\f\fL

¿ruda en el cálculo de los efectos

de

cambios en la red por contingencias. qin rcconstruir \ rcr¿.itritZJ L¡ inrertir la matriz de la red del caso base. También es posible tener una e u-onomía de cómpuro al lle_sar sólo a soluciones locales al calcular los elementos inr,'ersos en la r ecindad de las contin_sencias. La cuestión es hasta dónde debe uno llegar. Se podrá usar a1-euna iorma de anáLsis de sensibilidad. El problema de estudiar cientos de intemrpciones posibles se vuelr e mu¡ diticil de resolver si se desea presentar los resultados con rapidez para emprender acclones correctivas. [Jna de las formas más simples de obtener un cálculo rápido de sobrecargas posibles es usar factores de sensibilidad de la red. Esos factores indican el cambio aproximado en flujos de línea para cambios en la generación en la configuración de la red y se obtienen del flujo de carga en CD [1]. Son de dos tipos:

i) ll) Y

Factores de distribución para desplazamiento de generación. Factores de distribución de interrupción del servicio o corte de la línea.

se describirán en detalle en la siguiente sección.

En un caso práctico. cuando sucede una emergencia que cause contingencia. siempre se emprende una acción de control correctivo para disminuir las violaciones de límites, si

existe esa capacidad y hay un sistema de protección [capítulo 15 de la referencia l] que permita hacerlo. La función de control de seguridad (que normalmente se logra por SCO) responde a cada caso inseguro de contingencia (como se obtiene de un análisis de contingencia), en general por orden de gravedad decreciente mediante:

i)

Reprogramación del estado de operación de precontingencia para aliviar la emergencia causada por la contingencia, y/o

il)

desanollo de una estrategia de control poscontingencia que eliminará la emergencia, o bien

ill)

ninguna acción, sobre la base de que la emergencia poscontingencia que la probabilidad de que ocurra sea muy baja.

sea

pequeña y/o

Entonces, se puede diseñar una función específica de control de seguridad que:

l) Opere en modo de tiempo real o de estudio. ii) Programe controles de potencia activa, reactiva o ambas. iii) Logre un nivel de seguridad definido. lv) Minimice un objetivo operacional definido.

CAPíTULO

13

Seguridad del sistema de potencia

En las restricciones de seguridad sólo se ha tomado en cuenta una pequeña proporción de trabajo sobre el flujo óptimo de potencia (OPF: optimal power flow). Las aplicaciones con más éxito han sido en el subproblema OPF de despacho de MW restringido por la seguridad. El problema de reprogramación de voltaje/var restringido por contingencia queda por resolver, al momento de escribir este libro, en forma satisfactoria. El número total de restricciones por contingencia impuestas por la operación restringida por la seguridad (SCO) es enorrne. El problema de SCO o de OPF restringido por la seguridad se resuelve primero optimizando (o no) con respecto a las restricciones del caso base (precontingencia). El procedimiento general que se adopta es el siguiente:

i)

Se hace un análisis de contingencias

y

se identifican los casos con violaciones o casi

con violaciones.

il)

Se resuelve el problema SCO.

iii)

Lareprogramación del paso

1 pudo haber creado nuevas violaciones y, en consecuencia, se debe repetir tal paso hasta que no existan violaciones. Por 1o anterior, el programa SCO representa un esfuerzo potencial de cómputo masivo. Una reseña excelente y detallada de diversos métodos disponibles se encuentra en Stott et al. ll5l.

Queda todavía mucho potencial de mejora en el control de la seguridad de sistemas de potencia. Se requieren mejores formulaciones, teoría, métodos de solución por computadora y técnicas de implementación del problema.

I3.4

ANÁLISIS DE CONTINGENCIAS

Antes sucedían muchos apagones extensos en sistemas eléctricos de potencia interconectados. Por consiguiente, es necesario asegurar que los sistemas eléctricos de potencia deban operar en la forma más económica, tal que la energíaeléctica se entregue en forma confiable. Operación confiable quiere decir que hay generación adecuada de energía y que ésta se pueda transmitir hasta las cargas en forma confiable. La mayor parte de los sistemas de potencia se diseñan con la redundancia suficiente para resistir los principales eventos grandes de falla. Aquí se estudiarán las posibles consecuencias y acciones coffectivas necesarias para dos eventos principales de falla: intemrpción o corte del servicio de línea y fallas en las unidades generadoras. Para explicar en resumen el problema, se considera el sistema de cinco buses de la referencia [10]. Los resultados del caso base del flujo de carga para el ejemplo se ilustran en la figura 13.2 y muestran un flujo de24.7 MW y 3.6 MVAR en la línea del bus 2 al bus 3. Suponga por el momento que sólo interesa la carga de la línea en MW. Se examina lo que sucederá si se abriera 1a 1ínea del bus 2 al bus 4.*Los flujos y voltajes resultantes en lalinea se muestran en la figura 13.3. Se nota que el flujo en la línea 2-3 aumentó a37.5 MW y que la mayor parte de los demás flujos de línea también cambiaron. También se nota que las magnitudes del voltaje en los buses se afectan, en especial en el bus 4, donde el cambio es casi 2Vo menos, de I.0236 a 1.0068 pu. Suponga que se abriera la línea del * La simulación de una intemrpción o corte del servicio de la línea generador, ya que la intemrpción de

1a

es más compleja que la interrupción de un línea da como resuitado un cambio en la configuración del sistema.

f+s+its 1.0242L1

+

.06¿ 0"

5.0"

^40+¡s

3

-40.7 + i1.2 - 39.5 -i3.0_-

88.s - l8

Y

18.9

-i 5.2

-18.8 +13.2

.

^ 41

.0236 6.3

- ¿+.J -/O.O

5.3

- j2.3

-z/.c-15.v I

+-53.7-j7.2

+54.8 + j7.3

5

1.0179L-6.2' 'f 'f

Figura

20 +i1 0

Y60

+11

0

+lgo

¿o

13.2

Caso base, flujo de CA en líneas del sistema de ejemplo para el bus 5

bus 2 al bus 4. La figura 13.4 muestra los flujos y voltajes resultantes. Ahora el cambio máximo en voltaje es en el bus 5, con casi I}Vo menos. La figura 13.5 es un ejemplo de intemrpción en el generador y se seleccionó para explicar el hecho de que las interrupciones en el generador también pueden causar cambios de flujo en líneas y voltajes en buses. En el ejemplo que se muestra en la figura 13.5, toda la generación perdida del bus 2lafoma el generador en el bus 1. Si hubiera más de 2 generadores en el sistema de muestra, por ejemplo, que también en el bus 3, sería posible que la pérdida de generación en el bus 2 se compensara por un aumento en la generación en los buses 1 y 3. Las diferencias de flujos de línea y voltajes de bus mostrarán que es muy significativa la forma en que la generación perdida se comparte por las unidades restantes. Es imporlante conocer cuáles interrupciones o cortes de línea o de unidad harán que los flujos o los voltajes de línea crucen los límites. Para calcular las intemrpciones o corBUS FLOJO

tas+its 1 '1

.06¿

0"

ql c-iR

.0107

L-

+48.6+j5.2 -46.7-j5

1

tr

3

41.0068¿-6.6'

>38.5 -10.6

.|

+-3o.?ter |

-1 .6

-13.e

37.5 +j7.3

+ j10.2

{20+i10 t +o

5.9'

+ -

61.6

-18.9

1 r.o -¡r .r -c 1.0114L-6.4"

i60+i10

+iso

Figura

13.3

Flujo de carga en CA después de la salida de operación (se abre la línea entre 2y 4)

CAPíTULO

13

Seguridad del sistema de

BUS FLOJO

t+s+7ts 0.993521.06¿0"

6.5'

_-94.4 + j11.3 -52.1 - j9.7¿_ *51.4

1

,i.Bo.e +13

+

| +s.s+¡tz.r

|

3 +

i7.3

-51.1

-

j8.4

-

+o

+¡s

4 0.9860L-7.4"

44:rzs

{ os.o

.:'szs

-t' +iu:

+

¡t o.t

- jts.ol

--.ls+.s

-

60.0

-110.0

5

l2o +i1o

foo+7to

| +o +¡so

Figura

13.4

Flujo de carga en AC después de la salida de operación (se abre la línea entre 2 y 5)

tes se emplean técnicas de análisis de contingencia. El análisis de contingencia modela eventos individuales de falla (es decir, cortes en una línea o intemrpciones de una unidad), o eventos múltiples de falla de equipo (falla de varias unidades o líneas, o combinaciones de ambas), uno tras otro hasta que se examinen todas las interrupciones o cortes creíbles. Para cada interrupción se comparan todas las líneas y voltajes en la red con sus límites respectivos. La figura 13.6 muestra un diagrama de flujo que ilustra un método simple para efectuar un análisis de contingencia. Uno de los problemas importantes es la selección de todas las interrupciones o cortes creíbles. El tiempo típico de ejecución paruanalizar varios miles de intemrpciones es de 1 minuto basado en la tecnología de cómputo y de análisis del año 2000. Un modelo aproximado como de flujo de carga en CD se podrá usar para tener una solución rápida; si también se requieren voltajes entonces se deberá hacer un análisis completo de flujo de carsa en CA. BUS FLOJO

l+s+ils 1.0061

'l

1.06¿0"

|

L-

5.7'

+47.6+j7.3 - 45.g-j7.6

123.8 +i21 .7

fa0+ls

3

222.4-j2.6 -22.3+iO.7 < 17.5-i1.3

I -zrs-¡ts :'zs.z - j+.q I

t t-

zt.e +¡t.s

tzo.s -,¡t s. 2

t- /.c -./J.c

+

-53.6 +16.8

1.0245L-3.7"

{zo +¡to

Figura

13.5

+

-52.5 -16.5

5

0.9956¿-7.1"

f60+110

Flujo de carga en AC después de la salida de operación (salida de operación del generador 2, pérdida de generación restablecida por el generador 1)

13.4

Análisis de

contingencias....&5#-. I

una intemrpción de la n-ésima unidad

¿Se violó un----/ límite de fluio de línea?

-¿Algún voltajd de bus salió del límite?

todas las unidades

Simular una interrupción de la r-ésima

¿Se violó algúñ límite de voltaje de

:mitir señal de alarma

todas las líneas

Figura

13.6

Técnica sencilla de análisis de contingencia

#'{

GAPÍTLLO

13

Seguridad det sistema de potenc¡a

13.5 FACTORES DE SENSIBILIDAD Un programa de análisis de seguridad se ejecuta con mucha rapidez en un centro de despacho de cargapara ayudar a los operadores. Se puede tratar de hacerlo con un análisis aproximado y usando un sistema de cómputo que tenga varios procesadores, o procesadores vectoriales para que el análisis sea rápido. El sistema se puede describir en forma adecuada y se debe usar un equivalente para los vecinos conectados por líneas de unión. Se pueden eliminar todos los casos que no causen violación, y cotrer el programa sólo en casos críticos. Eso se puede hacer con técnicas como selección de contingencia o filtrado de contingencias, o jerarquización de contingencias. De ese modo será fácil advertir por anticipado al personal de operación, para permitirles tomar acciones correctivas si una o más interrupciones causarán sobrecargas o violaciones graves. Una de las formas más sencillas de presentar un cálculo rápido de las sobrecargas posibles es emplear factores de sensibilidad de red (lineales). Estos factores dan el cambio aproximado en los flujos de línea para cambios en generación en el sistema y se pueden calcular a partir del flujo d. ga en CD. Principalmente hay dos tipos:

"--

1. 2.

Factores de cambio de generación. Factores de distribución de intemrpción de la línea.

Ahora se describirá en forma breve el uso de esos factores sin deducirlos. En la referencia [7] se da su deducción. Los factores de cambio de generación se definen como sigue:

,,

Clt:=

L

Af,

(13.4)

LP",

en donde

Af = Cambio

de flujo de potencia en MW en la línea / cuando sucede un cambio A,Po,de generación en el i-ésimo bus.

Aquí se supone que APo, se compensa totalmente por un cambio igual y opuesto en la generación en el seno del bus de referencia con todos los otros generadores permaneciendo fijos en su generación de potencia inicial. Entonces, el factor a,, indica la sensibilidad del flujo en la /-ésima línea frente a un cambio de generación en el i-ésimo bus. Ahora se estudiará la interrupción de una unidad generadora grande y supondrá que toda la generación perdida (P$) se suministraría por la generación en el seno del bus de referencia. Entonces,

A,Prr= -p¿ y el nuevo flujo de potencia en cada línea podría calcularse calculado de factores

"a"

donde, i

a

partir de un conjunto pre-

como los sisuientes:

ft = f i + a¡¡ APs¡ en

(13.s)

para todas las líneas

V

/

= flujo de potencia en la /-ésima línea después de la falla del i-ésimo generador.

f

(13.6)

?= flúo de potencia en la /-ésima línea antes de la falla o flujo de potencia en precontingencia.

Los valores de los flujos de línea obtenidos con la ecuación (13.6) se pueden compafar con sus límites, y los que violen su límlte pueden reportarse al operador, para que emprenda la acción de control necesaria. Los factores de sensibilidad por cambio de generación son estimaciones lineales del cambio de flujo en la línea con un cambio en ia potencia en un bus. Así, se pueden calcular los efectos de cambios simultáneos sobre un número dado de buses de generación mediante la aplicación del principio de superposición. Suponga ahora que la pérdida del i-ésimo generador se va a compensar por acción prodel gobernador en todos los generadores del sistema interconectado y se tomarán en gede de aumento por"ión a sus capacidades máximas de MW. Entonces, la proporción neración de la unidad k (k

+ l) sería P-,.

n

donde

(r3.7)

-^mu

lJt.: =

SD í'G^-* -

PG^á*= capacidad máxima nominal del n-ésimo generador, en MW. Fn¡

= facfor de proporcionalidad para el aumento en la k-ésima unidad cuando falla la l-ésima unidad.

Ahora, para comprobar el flujo en la /-ésima línea, se puede escribir

ft

=

fí+

a¡, L,P6¡-

l;,la*

Fn¡

LPc)

(13.8)

En la ecuación (13.8) se supone que ninguna unidad rebasará su límite máximo. Para violación del límite de la unidad, el algoritmo se puede modificar con facilidad' De igual modo, se pueden usar factores de distribución de intemrpciones de la línea para comprobar si las líneas se sobrecargan cuando algunas de las líneas se pierden' El factor de distribución de intermpciones de la línea se define como sigue:

,

d',=

Lf,

(13.e)

! f,o

donde dt,

¡=

factor de distribución de intemrpciones de la línea al monitorear la /-ésima línea después de una intemrpción de la i-ésima línea'

= cambio de flujo en la /-ésima línea en MW. línea' ,f í= flujo de precontingencia en la l-ésima

Af

Si hay flujos de precontingencia en las líneas / e l, el flujo de potencia en la línea / estando

fuera la línea i se puede calcular si se emplea los factores d'

f,=

(13.10)

f,'+d,.,f,o

Aquí,

f iy f "¡= flujos de precontingencia o de preintemrpción

en las líneas I e i,

respectivamente.

f

= flujo de potencia en la /-ésima línea con la l-ésima línea fuera.

CAPíTULO

13

Seguridad del sistema de potencia

Así puede comprobarse con rapidez, al precalcular si los factores d sobrecargan todas las líneas para intemrpciones de una línea particular. Esto se puede repetir para la intemrpción de cada línea una por una y se pueden calcular las sobrecargas para poner en práctica la acción coffectiva. Se notará que un flujo de línea puede ser positivo o negativo. En consecuencia se debe comparar/contra -f¡^6*así como confr.u*. Los flujos de línea se pueden calcular mediante sistemas de telemetría o con técnicas de estimación de estado. Si la red sufre un cambio estructural sienificativo. los factores de sensibilidad deberán actualizarse.

Calcular los factores de cambio de generación y los factores de distribución por intemrpción de línea para la red de ejemplo con cinco buses descrita anteriormente.

Solución La tabla 13.1 muestra lamatiz [X] para el sistema de ejemplo con cinco buses, junto con los factores de distribución de desplazamiento de generación y los factores de distribución de intemrpción de línea que se dan en las tablas 13.2 y 13.3, respectivamente. visto que si se calculan los flujos en línea por los métodos de sensibilidad, resultan ser razonablemente cercanos a los valores calculados con los flujos reales de carga en CA. Sin embargo, los cálculos realizados por los métodos de sensibilidad son más rápidos que los realizados por los métodos completos de flujo de carga en CA y, en consecuencia, Se ha

Tabla

13.1

Matriz X para el sistema de ejemplo con cinco buses (el bus 1 es una referencia)

0 0 0 0 0.

Tabla

0.05057 0.03772 0.04029 0.04714 13.2

0.03772 0.08914 0.07886 0.05143

0.04029 0.4714 0.07886 0.05143 0.09514 0.058s7 0.05857 0.13095

Factor de distribución y cambio de generación para el sistema con cinco buses Bus

I = I (línea l-/l I = 2 (línea I = 3 (línea I = 4 (línea )-L\ I = 5 (línea ?-5'l I = 6 (línea ?-4\ I = 7 (línea 4-s)

0 0

I

Bus 2

-

0.8428

0.t512

0

o.0114

0

0.0571

0.0286

0 0 0

-

0.0857

0.028s

Tabla

13.3

Factores de distribución de salida de línea para el sistema de ejemplo con cinco buses

j=I

;_A

(línea

I (Iínea l-2) = 2 (línea I-3) = 3 (línea2-3) = 4 (línea?- ) = 5 (línea?-S) = 6 (línea 3-4) = 7 (línea 4-5) =

(línea 1-3)

0.0 1.0

1.0001

0.0

(línea 2-3)

(línea 2-4)

- 0.3331 -0.2685 0.3332 0.2686

4.4542 0.4545 0 4.3634 0.3636 0.4443 -{.1819 0.1818 0.2222 0.5451 --0.5451 4.6662

0.4476 0.0

0.2835 0.7161

0.1816 -0.1818 4.2222 4.2835

(línea 2-5)

;-A

;-'7

(línea

(línea

3-4

)

4-s )

-0.2094 0.3735 0.209r

0.2092 -0.3735 -0.2093 0.3488 4.6226 -0.3488 0.4418 0.6642 4.4418

0.0

0.3321 1.0 0.5580 0.0 --0.5s80 1.0002

4.3321

0.0

se usan para monitoreo y control de los sistemas de potencia en tiempo real. Sin embargo, cuando lo que principalmente se requiere son flujos de potencia reacÍiva, se prefiere, para el análisis de contingencia, el método completo de flujo de carga en CA (NR/FDLF). El procedimiento más simple de análisis de seguridad en CA sólo necesita ejecutar un análisis de flujo de carga en CA palia cada unidad, línea e intemrpción de transformador posibles. Lo que uno hace normalmente es una categoización o lista corta de los casos malos más probables, que puedan causar una violación de límite de sobrecarga o de voltaje y no necesitan analizarse otros casos. Cualquier buen índice de desempeño, P1 (el índice de desempeño puede seleccionarse), se usa para categorizar. Uno de esos índices (PI, de perforrnance index) es

,

P/= ,Lrl TIP*¡"' D

,2n I

V/ \ 'I.míx /

(13.1 1)

I

Cuando n es grande, el PI será un número pequeño si todos los flujos de línea están dentro de su límite y será grande si una o más líneas están sobrecargadas. Cuando r¿ = 1 se pueden realizar cálculos exactos del PI. La tabla de PI se puede ordenar del valor máximo al mínimo. Se elige un número adecuado de candidatos para continuar con un análisis posterior [7]. Si hay que incluir voltajes, se puede emplear el siguiente P1.

pI=

aly'l f' If "o"r')"+tl I P,,^^ ?l ) fr\ tvt_á^ )

(r3.r2)

Aquí, Al [ | es la diferencia entre la magnitud de voltaje obtenida al terminar el algoritmo 1PlQ FDLF Al y l-á" es el valor fijado por la compañía eléctrica. Hasta arriba se pone el valor máximo de PL Se puede entonces iniciar el análisis de seguridad para el número deseado de casos hacia debajo de la lista de clasificación. Resumen y lecturas recomendadas: En la referencial25l se ha descrito el concepto de filtrar las contingencias. Esas técnicas de selección/filtrado de contingencias forman la base de muchos algoritmos de análisis computarizado de seguridad en tiempo real.

CAPITULO

13

Seguridad del sistema de potencia

La referencia [5] da un panorama amplio de la evaluación de seguridad y contiene una bibliografía excelente que cubre publicaciones sobre evaluación de seguridad hasta 1987. La referencia [11] presenta una excelente bibliografía sobre estabilidad de voltaje. Este tema se describirá en forma breve en la sisuiente sección.

13.6 ESTABILIDAD DE VOLTAJE EN EL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA En forma tradicional, la capacidad de transmisión de potencia se ha limitado ya sea por la estabilidad de ángulo de rotor (síncrona) o por capacidad de carga térmica. El problema de los apagones se ha vinculado a la estabilidad transitoria. Por suerte, hoy ya no es tan grave este problema por el rápido despeje o liberación del cortocircuito, los poderosos sistemas de excitación y otros controles especiales de estabilidad. Hoy se pide a las empresas eléctricas que concentren un máximo posible de potencia a través de las redes existentes, a causa de diversas restricciones en la construcción de instalaciones de generación y de transmisión. Sin embargo, la estabilidad del voltaje (carga) es hoy un tema principal en la planeación y operación de sistemas de potencia eléctrica y un factor que lleva a limitar transferencias de potencia. La estabilidad de voltaje está relacionada con la capacidad de un sistema eléctrico de potencia para mantener voltajes aceptables en todos los buses del sistema en condiciones normales y después de someterlos a una peÍurbación. Se dice que un sistema de potencia ha entrado en un estado de inestabilidad de voltaje cuando una pertur-

bación tiene como consecuencia una disminución de voltaje progresiva e incontrolable. Un soporte inadecuado de potencia reactiva por parte de generadores y líneas de transmisión provoca inestabilidad o colapso de voltaje, que ha causado varias y grandes fallas del sistema en todo el mundo. Algunas de éstas son:

l) li) iii)

Sur de Florida, Estados Unidos, perturbación del sistema el 17 de mayo de 1985 (transitoria, 4 segundos).

Perturbaciones en el sistema francés, 19 de diciembre de 1978 (mayor duración).

y

12 de enero de 1987

Perturbacióndelsistemasueco,2'7dediciembrede1983(mayorduración,55segundos).

lv) Sistema japonés (Tokio), perturbación el 23 de julio de 1981 (mayor duración, 20 min). v) Penurbación en la red NREB, India, 1984 y 1987 . vi) Bélgica,4 de agosto de 1982 (mayor duración,4.5 min). vli) Baltimore, Washington DC, Estados Unidos, 5 de julio de 1990 (mayor duración, inseguro durante horas). Por 1o anterior, la comprensión completa de los fenómenos de estabilidad de voltaje

y el diseño de esquemas de mitigación para evitar la inestabilidad de voltaje son muy valiosos para las empresas eléctricas. En consecuencia, durante los últimos diez años, los ingenieros, consultores e investigadores de generación han estudiado en forma detallada la estabilidad de voltaje.

Estabilidad de voltaje en el sistema eléctr¡co de potenc¡a

La estabilidad de voltaje abarca una amplia variedad de fenómenos. Es por eso que estabilidad de voltaje significa cosas diversas para diferentes ingenieros. Inestabilidad de voltaje y colapso de voltaje son términos que se usan de manera indistinta por parte de muchos investigadores. La inestabilidad o colapso de voltaje es un proceso dinámico más rápido. Al contrario de la estabilidad angular, la dinámica comprende principalmente a las cargas y los métodos de control de voltaje. La referencia [1 1] contiene una lista detallada de libros, informes, talleres y artículos técnicos relacionados con estabilidad de voltaje y de seguridad.

Definiciones [2] Un sistema eléctrico de potencia en un estado determinado de operación es estable para pequeñas perturbaciones de voltaje si, después de cualquier pequeña pefiurbación, los voltajes cerca de las cargas son idénticos o cercanos a los valores antes de la perturbación. El concepto de estabilidad de voltaje se relaciona con la estabilidad transitoria de un sistema eléctrico de potencia. El análisis de estabilidad de voltaje de perturbaciones está relacionado con la estabilidad en régimen perrnanente (capítulo 12) y puede analizarse mediante un modelo del sistema de señal pequeña (linealizado). Un sistema de potencia, en un estado determinado y sujeto a cierta perturbación, fiene voltaje estable si los voltajes cercanos a las cargas se aproximan a los valores de equilibrio posteriores a las perturbaciones. El concepto de estabilidad de voltaje requiere normalmente simulación del sistema modelado mediante ecuaciones diferenciales algebraicas, no lineales. Un sistema de potencia, en un estado determinado de operación y sujeto a cierta perturbación, sufre tn colapso de voltaje si los voltajes de equilibrio son inferiores a los límites aceptables. El colapso de voltaje puede ser total (apagón) o parcial. La inestabilidad y el colapso de voltaje pueden suceder en un marco de tiempo de un segundo. En este caso, se usa el término estabilidad de voltaje transitorio. A veces se necesitarán decenas de minutos, en cuyo caso se usa el término estabilidad de voltaje de larga duración. El término seguridad de voltaje quiere decir la capacidad de un sistema no sólo para trabajar en forma estable, sino también para peÍnanecer estable después de cualquier contingencia razonablemente creíble o cambio adverso del sistema como aumentos de carga

l2l.

La estabilidad de voltaje implica dinámica, pero en general se usan métodos de análisis estáticos basados en flujos de carga, para obtener resultados rápidos y aproximados. La figura 13.7 muestra cómo se puede clasificar la estabilidad de voltaje en marcos de tiempo transitorio y de larga duración [2]. Los problemas de estabilidad de voltaje, por lo común, se presentan en sistemas con gran exceso de carga. La estabilidad del voltaje y la del ángulo de rotor (o estabilidad síncrona) están más o menos relacionadas. La estabilidad del ángulo del rotor, al igual que la del voltaje, se afecta por el control de potencia reactiva. La estabilidad del voltaje se ocupa de las áreas y las características de la carga. Para la estabilidad del ángulo del rotor, lo que más interesa es la integración de plantas de potencia eléctricas remotas en un sistema grande en líneas de transmisión largas. La estabilidad de voltaje es, básicamente, estabilidad de carga y la estabilidad del ángulo del rotor es principalmente estabilidad

CAPíTULO

13

Seguridad del sistema de potencia

Estabilidad de voltaje de mayor duración

Estabilidad transitoria de voltaie

Aumento en transferencia de carga/potencia

Dinámica de motor de inducción

Reg. LTC de Transf. y Distr. de voltaje

Dinámica de oenerador/excitación Control de primotor

Diversidad de carga/termostato Limitación de excitación

Caoacitores/reactores de conmutación mecánica

Arranque de turbina oe gas

Desconexión de carga en bajo voltaje SVC Dinámica de la caldera

Dinámica inercial del generador

Sobrecarga de líneMransf.

Relevador de protección, incluvendo protección de sobrecaroa

t

1 min

hora I

10 Tiempo

Figura

13.7

100

segundos

1

+

000

Fenómenos de estabilidad de voltaje y duraciones

del generador. En un sistema interconectado grande, es posible un colapso de voltaje en un área de carga sin perder la sincronía de ningún generador. Las formas más lentas de inestabilidad de voltaje se analizan con frecuencia como problernas de régimen peÍnanente. Se simulan los estqdos instantáneos en el tiempo después de una intemrpción o durante la acumulación de carga. Además de flujos de carga después de la perturbación, se usan otros dos métodos basados en flujo de carga: curvas F-V y curvas Q-\-. I.as cut'\,/as P-V se usan para análisis conceptual de estabilidad de vollaje, en especiai para sistemas radiales. Para efectuar un análisis estático, las curvas P-V (figura 13.8), curvas Q-V (figura 13-9), cálculo del punto rodilla (o punto de nariz; véase la figura 13.8) y métodos para cuantificar dicho punto, se utilizan indicadores de proximidad. El análisis de flujo de potencia determina la forma en la que varía el punto de equilibrio del sistema en voltajes y flujos de línea conforne se cambian los diversos parámetros y controles del sistema. Para cada valor de carga existen dos valores de voltaje. El mayor indica voltaje estable y el menor es el valor inaceptable (flujo múltiple de carga). En la etapa límite de estabilidad de voltaje, es decir, en el punto rodilla, existe una sola solución de flujo de carga. Cuanto más cercano está al punto rodilla tanto menor es el margen de estabilidad.

Medidas efectivas (contramedidas) para evitar o contener la inestabilidad de voltaje

l) ll)

Se debe elevar el voltaje en las terminales del generador. Se puede aumentar el valor de la toma o derivación del transformador del generador.

13.6

Estabilidad de voltaje en el sistema eléctrico de potencia

Factor de potencia unitaria

,-

fp

0.9 en adelanto

¡ ,

0.8

roditta (punto de nariz) Lugar geométrico de Y¡ y P*-, el mismo para Z ea,rga constante: para otros tipos de carga la degradación de V

u.o 0.4

es más ráoida.

o.2

o.4

Figura

iil) lv)

u.b

13.8

1

4A

Curvas P-V con distintos factores de potencia

Se debe hacer inyección de Q en un lugar adecuado. Se debe usar en forma adecuada un cambiador de tomas o derivaciones en carga en el

extremo de carga.

u) Para condiciones

de bajo voltaje, se debe recurrir a eliminación estratégica de carga.

El refuerzo del sistema puede llevarse a cabo al instalar nuevas líneas de transmisión entre centros de generación y carga. Se puede hacer compensación en serie y paralelo (en derivación) y se puede instalar compensación estática, SVC, de var (SVC: static var compensation). Se podrá hacer una reprogramación y arranque de turbinas de gas. Aspectos prácticos de problemas de flujo de Q que causan coiapso de voltaje en líneas de EHV (voltaje extra alto):

I

1

1 000 t1

üvnt

P> P'> P"en

MW

8oo 600

- Características del sistema

400

200

0.6 Características de capacitor

Figura

13.9

0.9

0.95 1.0

Venpu

Curvas características Q-V en régimen permanente

52S

I

CAPíTULO

13

Seguridad del sistema de potencia

i)

Para líneas largas con buses no controlados, aumento de voltaje en el extremo receptor o voltajes de carga, para condiciones de carga ligera y disminución para condición de carga pesada.

ii)

Paralíneas radiales de transmisión, si ocurre cualquier pérdida de línea, la reactancia sube, la pérdida I2X aumenta lo cual resulta en un aumento en la caída de voltaje. Esto se debería compensar en forma adecuada por inyección local de Q. Naturalmente esto cuesta. Si hay una escasez de fuente de Q local, entonces, se debe importar Q por la línea larga. Sin embargo, eso no es deseable.

por encima del punto crítico representan condiciones satisfactorias de operación. En el punto rodilla de la curva V-P, las caídas de voltaje aumentan rápidamente la demanda de carga. La solución de flujo de potencia no converge más allá de este límite, 1o que indica inestabilidad. Es impráctica la operación en o cerca Só1o los puntos de operación

del límite de estabilidad, y con unmargen de potencia adecuado se asegura una condición satisfactoria de operación del sistema y del capacitor en derivación; los MVAr del capacitor se muestran al voltaje nominal.

Colapso del voltaje El colapso de voltaje es el proceso por el que la secuencia de eventos que acompañan a una inestabilidad de voltaje conduce a un perfil inaceptable de voltaje en una pafie apre-

ciable del sistema de potencia. Se puede manifestar de distintas maneras. El colapso de voltaje se puede caracferizar como sigue:

l)

El evento iniciador se puede deber a varias razones: cambios pequeños y graduales en el sistema, como aumento natural de carga en el sistema, o perturbaciones grandes y

repentinas, como la pérdida de una unidad generadora o de una línea muy catgada' il) La médula del problema es la incapacidad del sistema para satisfacer sus demandas reactivas. Cuando es difícil el transporte de potencia reactiva desde áreas vecinas, todo cambio que requiera respaldo adicional de potencia reactiva ferminará llevando al colapso de voltaje. lil) En general, el colapso de voltaje se manifiesta como una disminución lenta de voltaje. Es el resultado de un proceso acumulativo que implica acciones y reacciones de muchos dispositivos, controles y sistemas de protección. La escala de tiempo del colapso, en esos casos, sería del orden de varios minutos. El colapso de voltaje se ve muy influido por las condiciones y características del sistema. iv) Lacompensación reactiva se puede hacer más eficaz con una elección juiciosa de una mezclade capacitores shunt, sistema de var estático y posiblemente, condensadores síncronos.

Métodos para mejorar la estabilidad del voltaie La estabilidad del voltaje puede mejorar si se adoptan las siguientes medidas:

i)

Aumentar el respaldo localizado de potencia reactiva (SVC); es más efrcazy los bancos de capacitores (C) son más económicos. También se pueden usar dispositivos FACTS o de un condensador síncrono (motor síncrono)'

rr) La compensación de la longitud de la línea reduce la reactancia neta e incrementa los

flujos de potencia. iii) Se puede construir una línea de transmisión adicional. También mejora la fiabilidad. iv) Aumentar la excitación del generador, mejora el voltaje del sistema y se suministra Q al sistema.

v) Se puede usar una conexión de HVDC entre redes regionales. vi) Al recurrir a la eliminación estratégica de carga, el voltaje aumenta

al reducirse la carga

reactiva.

Tendencias y desafíos para el futuro

i) Localización óptima de dispositivos FACT. ll) Modelado mejor y probabilista de carga. líi) Desarrollo de técnicas y modelos para estudiar iv) v)

vl)

la dinámica no lineal de sistemas de para equivalentes de red adecuados obtener métodos nuevos gran tamaño. Por ejemplo, para análisis de estabilidad de voltaje. Representación mejor y más completa de sistema de cA en sistema de cA-cD. traducir los miárgenes de MWI4VAR después de la perturbación en límites de operación antes de la misma, tales que los operadores los puedan vigilar. Se deberán

Se debe impartir adiestramiento con base en estabilidad de voltaje (un simulador para

adiestramiento) para los operadores del centro de control y de la planta generadora.

RESUIvIEN Es probable que la seguridad del sistema de potencia (incluyendo la estabilidad de voltaje) desaffe a planeadores, analistas, investigadores y operadores durante el futuro previsible. Al crecer la cargay a medida que sea más difícil construir o incorporar nuevas líneas de transmisión y generadores, más y más empresas generadoras se verán frente al desafío de la seguridad.

La desregulación y las tendencias socioeconómicas, así como los desarrollos tecnológicos, han aumentado la probabilidad de inestabilidad de voltaje. Por suerte, hay muchas personas creativas que trabajan incansablemente para encontrar nuevos métodos y soluciones innovadoras para manejar este desafío.

REFERENCIAs

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CAPITULO

13

Seguridad del sistema de potencia

5. A. Chakrabarti, 6. 7

.

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14 -,:-r.r..

.,i*:"--

oducción''á la estimacióñri,i*r e estad sistem el I4.1

INTRODUCCION

La estimación de estados tiene un papel muy importante en el monitoreo y el control de los sistemas modernos de potencia. Como en el caso del análisis de flujo de carga, el objetivo de la estimación de estados es obtener los mejores valores posibles de las magnitudes

y ángulos de voltaje de bus al procesar los datos drsponibles de la red. Sin embargo, en este caso se introducen dos modificaciones para lo-urar una mejor exactitud de la solución con el costo de algunos cálculos adicionales. Primero. se reconoce que los valores numéricos de los datos por procesar para estimar el estado en contienen ruido debido a -qeneral los errores presentes. En segundo lugar. se nota que hav un mayor número de variables en el sistema (por ejemplo flujos de línea P. Q r que se pueden medir pero que no se utilizan

en el análisis de flujo de carga. Así. ei proceso implica mediciones imperfectas que son redundantes y el proceso de estimar 1os estados de1 sistema se basa en un criterio estadístico, que calcula el valor real de las vanables de estado, para minimizar o maximizat el criterio seleccionado. Un criterio bien conocido v de uso común es el de minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias enre los valores estimados y reales (es decir, medidos) de una función. La mayor parte de los programas de estimación de estados de uso práctico se formulan como sistemas sobredeterminados de ecuaciones no lineales y se resuelven como problemas de mínimos cuadrados ponderados r\\LS: weighted least-squares'). Las estimaciones de estado pueden ser estáticas y dinámicas. Ambas se han desarrollado para sistemas de potencia. Este capíru1o presentará los principios básicos de un estimador de estado estático. En un sistema de potencia, las va¡iables de estado son las magnitudes de voltaje y los ángulos de fase en los buses. Los datos para un estimador son mediciones imperfectas (con ruido) del sistema eléctrico de potencia. El estimador se diseña para dar la mejor estimación o mejor estimado del voltaje del sistema y los ángulos de fase, en el que se tiene presente que hay errores en las cantidades medidas y que pueden contener medidas redundantes. Los datos obtenidos (de salida) se usan entonces en los centros de control de energía para efectuar varios estudios del sistema en tiempo real o en línea como, por ejemplo, el despacho económico (capítulo 7) o el análisis de seguridad (capítulo 13).

CAPíTULO

I4.2

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

ESTIMACION POR MINIMOS CUADRADOS: LA SOLUCTÓrrl eÁSrCA t7l-[91

Como se verá más adelante en la sección 14.3, el problema de la estimación de estados del sistema eléctrico de potencia es un caso especial del problema más general de estimación de un vector aleatorio x a partir de los valores numéricos de otro vector aleatorio relacionado y donde se dispone de relativamente poca información estadística para x y para y. En esos casos se puede utilizar, con buenos resultados, el método de estimación del error de mínimos cuadrados, y, en consecuencia. se emplea ampliamente. Suponga que x es un vector de n variables aleatorias xy x2, ..., xn,y qae y es otro vecfor de m (> n) variables aleatorias lb !2, ..., !*, y gtJe ambos vectores se relacionan por

!=Hx+r

(14.1)

donde ,É1 es una mafiz conocida de dimensión m x n, y r es una variable aleatoria con promedio cero con las mismas dimensiones que y. El vector x representa las variables que se van a estimar mientras que el vector y representa las variables de cuyos valores numéricos se disponen. La ecuación (14.1) sugiere que el vector y de medición está linealmente relacionado con el vector x desconocido y que además está alterado por el vector r (vector error). El problema básico es obtener el mejor valor posible del vector x a partir de los valores dados del vector y. Como se supone que la variable r tiene promedio cero, se puede considerar esa expectativa en la ecuación (14.1) y obtener la relación

!=Hx donde:

f, y = valor esperado

(14.2)

de x y y, respectivamente.

Esto indica que se podrían usar los métodos de flujo de carga del capítulo 6 para estimar los valores promedio de los voltajes de bus. Sin embargo, se prefiere estimar los valores reales de voltaje del bus en lugar de sus promedios. Una forma posible de obtener el mejor estimado posible del vector x a partir de y se basa en el uso del método de estimación por mínimos cuadrados. Para desarrollar este método se supone que i representa el estimado deseado de x, de tal forma que f dada por la ecuación

j =H* represente el estimado del vector y. El error ces con

j

=y

!

(r4.3)

de la estimación de y se determina enton-

-

y

(r4.4)

El estimado ise define entonces como el estimado de mínimos cuadrados (LSE: least squares estimate) si se calcula al minimizar el índice de estimación "I dado por

J

=I' j

(14.5)

14.2

Estimación por mínimos cuadrados: la solución básica

De las ecuaciones (1,a3) y (14.4) se obtiene la siguiente expresión para el rndice:

J

= _r'')

- ,r'11i - i'¡r'r * i'¡¡'¡ri

(14.6)

Para minimizar J = f¡;¡ se debe satisfacer la siguiente condición.

gradu"r =

0

(l-1.7)

Es fácil comprobar (r'éase por ejemplo, [1]) que ia ecuación (14.7) lleva al siguiente

resultado.

H'H*,-H'y=O

(14.8)

A esta ecuación se le llama ecuación notmal y puede resolverse explícitamente para el estimado oor mínimos cuadrados del vector i como:

|

= 1H'H¡-t H'y

(14.e)

Ejémplo'14.1 Para ilustrar el método de estimación por mínimos cuadrados, si se considera el problema

sencillo de estimar dos variables aleatorias mensional.

\y

[1

,r=lo Ll

Suponer que

Entonces lamatriz

H'H

xz con los datos para un vector y tridi-

0l 1l 1.1

está dada por

l2 lt H'H=1. ^l ysuinversaes tl 2l , l2/3 -t/3) (H'I{\-'=l L- t/3 2/3 ) I

Es fácil formar el vector guiente estimado de x:

H' y al combinar con la inversa

de

t t2l3ly,-(l/3xy)-yr)

-l

^ =l X

(H'I{¡

se obtiene el si-

l-(l /3¡y, + (213)y, + (l/3))3 I I

Estimación por mínimos cuadrados ponderados El estimado de la ecuación (14.9) se suele referir como estimado ordinario por mínimos cuadrados y se obtiene al minimizar la función índice que asigna igual peso a los errores de estimación de todos los componentes del vector )¡. Con frecuencia se desea asignar distintos pesos a los diferentes componentes de ), ya que algunas de las mediciones pueden ser más confiables y exactas que otras y aquéllas a las que se les debería dar más importancia. Para lograrlo, el índice de estimación se define como

J=Í'Wi

(14.10)

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

donde W es una matriz real, simétrica, ponderada, de dimensión m x m. Por simplicidad, a menudo se escoge como una matriz diagonal. Es relativamente directo extender el método de estimación por mínimos cuadrados a la forma ponderada de "I y deducir la siguiente forma de la ecuación normal.

H'Wy =Q

(r4.Ita)

? =(H'WH)-n H'Wy

(14.1lb)

H'WH3,

-

Esto lleva a la estimación por mínimos cuadrados ponderado que se busca (WLSE: weighted least squares estimate) Esto pertenece alaminimización, ya que el hessiano 2H'WH es definido no negativo. Algunas de sus propiedades son:

Al escribir la ecuación (14.1lb) como

i=fty = (H'W H\-' H'W . Aquí la matiz k depende del valor de H y de la elección de 17. Con las ecuaciones (14.1) y (l4.l2b) es fácil obtener la relación que sigue.

donde

k

(r4.I2a) (r4.r2b)

*.=KHx+kr = (H'WH)-\ (H'WH) x o sea

v

+ kr

*.=x+kr E{}] = P1*¡

(14.13)

(r4.r4)

En la ecuación (14.14) se supone que el enor r es estadísticamente independiente de las columnas de ,Fl y que el vector r tiene promedio cero. Un estimado que satisfaga la ecuación (14.14) se llama estimado no sesgado. Eso implica que el error de estimación es cero en promedio.

(I4.I5a)

Í, =kr La covarianza del error de estimación

se determina entonces por

P' = KRK'

(14.1sb)

donde R es la covarianza del vector r de error. Note que la covadanza P" es una medida de la exactitud de la estimación y unatraza menor de esta matiz indica que el estimado es mejor. La ecuación (14.15b) parece indicar que la mejor elección posible de la matriz de ponderación es igualar W = R-'. El valor óptimo de la matriz de covarianza de error se expresa entonces como P, = 7H'R-rH)-I (14.15c)

Suponer que en el ejemplo 14.1 se desea obtener el estimado de mínimos cuadrados ponderados (WLSE) de la variable ¡ al seleccionar,la siguiente mafnz de ponderación

*=lfo'r L

l I

0.1-l

14.2

La matriz H'WH

Estimación por mínimos cuadrados: la solución básica

es

H'WH y lamatriz H'W se obtrene como

H'W =

lo.2

o.1l

10.1

1.1-l

| 0 L0 1 [0.1

0.1't |

0.11

El estimado de mínimos cuadrados ponderados del vector x se obtiene entonces como [de la ecuación (14.11b)]

i

(1r/2r)

= [ (1/2r) l-

yt - (r0l2l) y,

y,

(2Ol2r)

y,

(I0l2r) y.) (rl2\ y, l

Si este resultado se compara con el del ejemplo 14.1, es claro el efecto de introducir ponderación la en el estimado. Observe que en este caso la elección de l7 sugiere que los datos para y, se consideran más valiosos y eso causa que los componentes de x dependan en mayor grado de yr. En este caso la matiz ft resultó [ecuación (I4.I2b)]

-t0t2t r0/2tf K=lt1t2r U21 20t21 1t2r L-

)

Si se supone que la covarianzadel error de medición es R = 1, se obtiene la covarianza del error de estimación siguiente [consúltese la ecuación (14.15c)]

P-=

"

t07 - u'f L-67 t34l

(t/147 |

La elección anterior deW dacomo resultado varianzas de error de estimación inaceptablemente grandes. Ahora se seleccionarála matriz de ponderación W = 1. Entonces se obtiene la siguiente maÍriz K

2/3 - U3 u31 l- ,,, 2/3 r,')

*=|

Y lamatriz de covarianza del error es

p-=l/gtl6 '

-3-l

L-3 6)

Ahora se ve que las varianzas del error son mucho menores como era de esperarse.

Mediciones no lineales El caso de interés especial para el problema de estimación de estado del sistema de potencia corresponde al modelo de medición no lineal.

!=h(x)+r

(r4.16)

en donde /z(x) representa un vector de dimensiónm, de funciones no lineales de la variable x. Se supone que los componentes del vector á("r) son continuos en sus argumentos y,

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

por consiguiente, se pueden diferenciar con respecto a los componentes de x. El problema es extender al método de mínimos cuadrados a fin de estimar el vector x a partir de los datos para el vector y con esas dos variables relacionadas por medio de la ecuación

64.16\. Para imitar el manejo del caso de medición lineal, suponga que * representa el estimado que se busca de modo que el estimado de la medición y podría obtenerse mediante la relación

i = ñ(i)

(I4.l7a)

Esto conduce al error de estimación del vector y

(L4.nb)

)'-y-fi(x)

Para obtener el estimado por mínimos cuadrados ponderados de x se debe escoger como sigue el índice ,/ de estimación.

J=ú- h(il1'wú - h(i)l La condición necesaria para que el índice

"I tenga un

(14.18)

mínimo en ¿ está dada por la

ecuación (14.19\.

t)-fr(i)lHt*r=o

(r4.re)

i

I(i)

En general, esta ecuación no lineal no es eljacobiano de á(x) al evaluar en donde puede ser resuelta por el estimado i deseado. Una forma de salir de esta dificultad es usar latécnicade linealización. Suponga que se dispone de un estimado a priori, rs, del vector x (por ejemplo, por la solución del flujo de carga). Si se usa la aproximación en serie de Taylor se obtiene

)=

¿ (iro) +

Hs(x- xs)+ r

(r4.20)

representa el jacobiano al evaluarlo en r = r0 y el término r del ruido se supone entonces que ya incluye los efectos de los términos de orden superior en la serie de Taylor. La ecuación (14.20) se puede escribir como: donde

116

A1'=1,-h(xú=HoLx+r

(r4.2r)

en la que Ay es la medición pernrrbada y A-r es el valor perturbado del vector x. Entonces, se obtiene con facilidad el estimado ponderado por mínimos cuadrados de x como se des-

cribió antes y así se llega a la expresión deseada parala solución linealizada del problema de estimación no lineal.

(r4.22) *rol*t Ho' w {y - h (xü} No es probable que el estimado i obtenido con la ecuación (14.22) vaya a ser de

i

= ro + lHo'

mucha utilidad porque, en general, el estimado a priori 16 no S€ acercará al valor óptimo del vector x. Sin embargo, la ecuación (14.22) nos proporciona un resultado útil en el sentido que muestra un mecanismo para mejorar la estimación inicial al hacer uso de las mediciones disponibles. IJnavez obtenido el nuevo estimado i, el proceso de linealiza-

Estimación por minimos cuadrados:

ción se repite tantas \¡eces como se quiera y eso conduce a la siguiente forma iterativa de la solución del problema de estimación no lineal.

i

1t

+ r)=

i (t) + K(t) {y - h tt (l)l}

(r4.23)

donde la matnz K(A se define como

lHi wHi-t H,' w

K(t) =

El índice I representa el número de iteración y

(14.24)

representa el valor del jacobiano, evaluado en x = i(/). El proceso de iteración suele terminarse cuando la norma de la diferencia entre dos valores sucesivos del estimado i (t + t) - i 14 ttegue a un nivel de umbral preseleccionado. En la figura 14.1 se muestra un diagrama de flujo para implementar el algoritmo de iteración. Una de las grandes necesidades computacionales en el algoritmo es actualizar el jacobiano en cada etapa de la iteración. Como se describió antes en el capítulo 6 [véase las ecuaciones (6.86) y (6.87)l con frecuencia es posible reducir los cálculos al mantener constante el valor de 11, posiblemente después de que I sea mayor que 2 o 3. Esto es permisible, en general, porque el cambio de estimado tiende a ser muy pequeño después de un par de iteraciones.

Y--+'

11¡

Leer datos

Formarf

0=y-hl*01

Formar ganancia K(I):Ec. (14.24)

lsi Alto

)

Figura''|4.1

53S

I

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

t

Considerar el caso sencillo de una variable escalar n y suponer que la relación entre la medición y y la variable x está dada por

Y=x3+r El jacobiano 11, se obtiene con facilidad en este caso y el algoritmo de iteración tiene la

forma explícita

i (t + t)= i (I) + I3i (t)l-2 ty - ti (Dl3) donde se utilizó W =

l.

x' igual a 2 y supóngase que debido al efecto de r, el valor medido de y se determina que es 8.5. También se supone que la estimación inicial -r(0) se toma igual a l. La tabla siguiente muestra los resultados de las primeras iteraciones. Sea el valor correcto de

i(r) 0

1.0

I 2

3.5 2.56

J

2.t6

Es claro que el algoritmo llegaú a la solución correcta después de varias iteraciones.

I4.3

ESTIMACTÓTrI PE ESTADO ESTÁTICO DE SISTEMAS ELÉCTRTCOS DE POTENCTA [10]-[12]

Como se dijo antes, para un sistema con N buses, se puede definir el vector de estado x como el vector 2N - | de los N- I ángulos de voltaje ó2, ..., á¡y las Nmagnitudes de voltaje V1, V2, ..., Vx.Los datos de flujo de carga que depende del tipo de bus están, en general, alterados por el ruido y el problema es procesar un conjunto adecuado de datos disponibles para estimar el vector de estado. Los datos que se obtienen con facilidad pueden no proporcionar la suficiente redundancia (la gran área geográfica sobre la que se extiende el sistema con frecuencia prohíbe la telemetía de todas las mediciones disponibles hasta la estación central de cómputo). El factor de redundancia, definido como la relación m/n, debe tener un valor en el intervalo de 1.5 a 2.8,para que el valor calculado de los estados pueda poseer la exactitud deseada. Para aumentar el factor de redundancia, puede ser necesario incluir los datos de los flujos de potencia en las dos direcciones de algunas de las líneas. De hecho, también se pueden incluir en el vector y(k) algunas de las pseudo mediciones que representan los valores calculados de cantidades como inyecciones activas y reactivas en algunos buses remotos.

t4.3

Estimación de estado estático de sistemas eléctricos de Dotencia

Está entonces claro que el problema de estimar el estado del sistema de potencia es no lineal y que se puede resolver ya sea mediante la fórmula de procesamiento intermitente, o de procesamiento secuencial (véase la sección 3.3 de la referencia 1). También, si se supone que el sistema ha llegado a una condición de régimen permanente, los ángulos y magnitudes de los voltajes permanecerían más o menos constantes. Entonces, el problema de estimación de estado es un problema estático y se pueden usar los métodos de la sección I4.2 si así se desea. Para llegar a soluciones explícitas es necesario primero anotar las formas exactas de las ecuaciones del modelo de los componentes del vector y(k). Sean P, y Q,las inyecciones de potencia activa y reactiva en el i-ésimo bus. Éstas se relacionan con los componentes del vector de estado por medio de las siguientes ecuaciones.

lvillvjl

D_ i=l

Q¡=

-s^L

ll,rlcos (- 4+ 6¡+ 4)

lVil lvj | | Y,rl sen (-

ór

+

6,

+

0,,)

(r4.2s)

(r4.26)

donde lYUl representa la magnitud 1' du representa el ángulo de la admitancia de la línea que conecta los buses i-ésimo 1'7-ésimo. Por otra parte, los componentes activos y reactivos del flujo de potencia del i-ésimo al7-ésimo bus se dan por las siguientes relaciones.

Q,j=lvillvjl lr,,lsen (4Q,j= lvil lVjl lI,,l sen (4 -

*

-lviP lY,,lsen0,, 6, + 0¡¡\ - lViP lY¡¡l sen 9,, á;

0,)

(14.27)

(14.28)

Suponga ahora que el vector l- tiene la forma general

y=[P1

'..P¡ Qt..'Qs Pn...Pt¡-pn Qn...QN-vu, á, ó" I yr t. ...., I yN I l'

(14.29)

El jacobiano H tendrá entonces la forma

rt-

Hl

H2

H3 Hs Hj

H4

In , 0

0

H6 HB

(14.30)

I,v

donde 1" es la matriz identidad de dimensión N, /1, es la submatriz de N x (N - 1) de las derivadas parciales de las inyecciones de potencia activa wrt 6' , H, es la submatriz de N x N de las derivadas parciales de las inyecciones de potencia activa wrt lVl', etc. El jacobiano ,F1 también será una matnz dispersa, porque l es una matriz dispersa.

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

Dos casos de interés especial son los que coffesponden al uso de únicamente inyecciones activas y reactivas y el uso de flujos de línea sólo activos y reactivos en el vector y. En el primer caso hay un total de 2Ncomponentes de y comparado con los 2N- 1 componentes del estado x. Así, casi no hay redundancia de mediciones. Sin embargo, este caso se parece mucho al del análisis de flujo de carga y, por consiguiente, permite tener una buena medida de las fortalezas relativas de los métodos de flujo de carga y de la estimación de estado. En el segundo caso, es posible asegurar una redundancia suficientemente buena si hay bastantes líneas de enlace en el sistema. Se pueden obtener dos mediciones mediante dos medidores separados en los dos extremos de una sola línea de conexión. Como estos dos datos deben tener magnitudes iguales pero signos contrarios, este arreglo también permite hacer una fácil comprobación de mal funcionamiento de medidores. Hay otras ventajas de ese arreglo, que se tratarán después.

Algoritmo sólo para inyecciones En este caso, la ecuación de modelado tiene la forma

!=hlxl+

r

(14.31)

con los componentes de la función no lineal dados por

h¡ lxl =

T lvillvjl llulcos (4I YN_¡

6;

+

| lV jl IYN_i.jl sen (Q -

0,t),

6,

i = 1,..., N

+

(14.32a)

0,)

(r4.32b)

i=N+1,N+2...,2N Los elementos de las submatrices Hp H2, Hzy H+ se determinan entonces sin dificultad como sisue.

4

(i,

j) = lV¡l lVjl lYijl

sen (Q

-

6,

+

fltt)

,.= Hz Q, i) = lV¡l

I Y;71 cos

(4

-

ó;

+

!,

2, ..., N,

J=r' 2,...,N-l 0,t)

i

=

r,2, ..., N,

j=1' 2, ..., N. Hz (i, j) - - lV,l I Yjl I Iu I cos (4- á¡ + 0¡¡) i = I,2, ..., N, j=I' 2,...,N-l Hq (i, i) = lV¡l I Y,rl sen (4 - á, + 0,.\ i = 1,2, ..., N, ;- I 2, ..., N.

(14.33)

La ecuación (14.33) se puede usar para determinar el jacobiano para cualquier valor especificado del vector de estado del sistema. El algoritmo de estimación de estado de sólo inyecciones se obtiene directamente, entonces, de los resultados de la sección I4.2.Ya que el problema es no lineal, conviene emplear el algoritmo iterativo de la ecuación (14.22).

Es:ra; :- ie

estado estático de sistemas eléctricos de ootencia

Al aplicar el principro.j¡ l:>:.,',:l¡mlento, las submatrices H2 y 11, se vuelven is .;3 -¡ e ;"¡ci.in del modelo linealizado puede aproximarse

cero (nulas) y el resultadLr como:

I Si se separan los vectores .\.

-Jt -q

0-l lAx+r Ht)

(14.34)

\ ', r ;L.mo -\

-

fA'l l\v L-^i _lI

\

fr1 lr.. L'q )

l

entonces la ecuación r 1+.-:-: r. :r"13de escribir en la forma desacoplada como las siguientes dos ecuaciones sepaiians Ii:¿ ]r-]s dos componentes separados del vector de estado

l-,_- = 11r

Ará+ rp

-\.,,=& Lxy+rq

(14.35)

(14.36)

De acuerdo con er;¿. i-. :-..1¡.r..nes. se obtienen los siguientes algoritmos de estimación de estado casi d¿.¡¡ -,t-,:, .

\\

4 (il ttr- he ti (j)lj j = 0, t,2, ...

H. (il1-1

i,(i + 1)=,i,r,i' --nY- _' ',7-H.til)-1 H;(j)W"Iyo_ hottOl) j = 0. 1.2. ...

(14.37)

( 14.38)

I j j .,; -:¿: :rra indicar las separaciones de lamatiz de ponderay ci6nW de la función r¡ .-:: '' ;: que corresponden a los vectores !oy !o, respectivamente. Como se men.iir.- :-.:- -: -j .uponen conocidas las covarianzas Ro y Rn de los enores rpy rE se deben -.:-¡¡:--:r: l{ - = Rtpy Wq = Rll . donde los subíndices

Observequelasecur.:,-:.:i lj-1-,](14.38)noestánrealmentedesacopladasporque

las particiones de la tun¡ r --:- -- -

-,::*

dependen del estimado de todo el vector de estado.

Puedeserposible supLan3f i*i . .' = l para todaiy j mientrasquese utllizalaecuación (14.37) para estimar la ¡¿:l: :c- -rgulo del vector de estado. De igual modo, se puede suponer que ói 0) = [t' !::::,-i¿' ; \,¡ mientras se usa la ecuación (14.38) para estimar la parte del voltaje del r :¡r, : :e ;.:¡,1o. Esas aproximaciones permiten desacoplar totalmente las dos ecuacioi:. :E: -, - .: ,iegana a soluciones muy buenas. Una mejor forma de desacoplar las dos ec';¿-, -::. .eía utilizar las soluciones de flujo de carga paraxyy x6 ya que sus valores son >!::l::¿::31:e !'onstantes en las ecuaciones (14.37) y (14.38), respectivamente. Har' \'in¿! :: :::: r ti :_trsoritmos de estimación rápida desacoplada basadas en esas consideraciooi: ii'.i r'.r e-':nplo t131, t14l). En la figura l4.2se presentaun diagrama de flujo par¡ -:- i:ii:ir,¿ ;: esrimación rápida de estado desacoplado.

gZ ,

CAPíTULO

14

lntroducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

!

FormarAypfly LyqA Calcular Ht(fl y Hot$ Ka

i,

Ay K,A

(i):

ec. (r+.sz)

zarI, l¡¡:Ec.

lli11+t¡

(14.38)

-|(¡)tt=e

Figura 14.2

Para ilustrar una aplicación del algoritmo sólo para inyecciones, considere el sistema de 2 buses que se muestra en la figura 14.3. Si se supone que la línea es sin pérdidas, 0,, = 90'. También, sean Y11 = T2z= 2, y Yp = Yzr = 1. Las relaciones de potencia para este caso serían

- l\l lV2 | | Yt, I sen ót Pz= | Vtl I V2l l^Yn I sen á, Pt=

Qt=lYÍllVtl"-lYnl lYl llV2lcos 6, Qz= lY2zl lv2l2 - lYrrl I yl | | v2 | cos ó2 Si se seleccionanlos valores iniciales lVi | =lVíl=1,6f = 0o, los valores colres-

pondientes de potencia son Pf - Pí = 0, Qro = Qzo = l. El valor de la matriz jacobiana al evaluarla con los valores nominales anteriores de las variables es

14.3

Eslimación de estado estático de sistemas eléctricos de potencia

lVtlz-

6z

Figura 14.3

-1

0

1

0

0l 0l

0

J

-11

0

-1

al 1l -J

I

Ho=

I

I

La aplicación de la estimación por mínimos cuadrados da como resultado las siguientes expresiones de los es imados de las perturbaciones en las tres variables de estado respecto a sus valores iniciales elegidos:

r4 I

17,

LPz-

AP1

= 0.78 AQz

-

.\ t'. = 0.39 LQ2 +

0.26 AQl

o.I4

A'Q'

Estas ecuaciones se deberían usar para traducir los valores medidos de las perturbaciones en las inyecciones de potencia activa y reactiva en las estimaciones de las perturbaciones de las variables de estado. Es interesante notar que para el problema del ejemplo simple, las particion es Hry H, son matrices nulas, por 1o que los estimadores de estado desacoplado son los mismos que los indicados antes.

El algoritmo sólo para fluios de línea Se ha desarrollado este algoritmo para evitar la necesidad de resolver un problema de 'estimación no lineal, que como se vio antes, requiere alguna u otra aproximación. En el algoritmo. sólo para flujos de Línea, los datos de los flujos activo y reactivo en la unión se procesan para generar el r-ector de la diferencia de voltaje entre las líneas de conexión. Sea z este vector. una ecuación de modelo para este vector se puede expresar como

z

= Bx

* rz

04.39)

donde B es la matriz de incidencia en el elemento de nodo y r¿ es el vector de los errores en los datos de voltaje. Ya que ést¿ es una ecuación lineal, se podrá usar la técnica de estimación ponderada por mínimos cuadrados para generar el estimado como

?

= lB, wBl-t B, wz

(r4.40)

donde la matnz de ponderación se puede igualar a la inversa de la covarianzade r. si ésta se conoce. El problema principal con la ecuación (14.40) es que el vector z no es direc-

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

tamente mensurable, sino necesita ser generado a partir de los datos de flujo en la línea de conexión. V,, denota el voltaje entre la línea que conecta los buses j-ésimo y 7-ésimo, donde la siguiente relación se cumple: V¡j

= Z¡j [(P¡¡

- i Q)lV f-

V¡ Y,l

(r4.4r)

Aquí Z,,representa la impedancia de la línea. Esto muestra que el vector z está relacionado con los vectores x y y en forma no lineal y se puede usar la notación z

= g (x,

y)

(14.42)

En vista de que esta relación es no lineal, la ecuación (14.40) se puede expresar en la forma

i

= IB' WBI-' B'W S G,

y)

(r4.43)

Como ésta es una relación no lineal no se puede resolver, a no ser que se utilice un método numérico (solución iterativa). La forma iterativa de la ecuación (14.43) es

iQ + r)- lB'wBl-r B'w

I tiU), yl, i =0, r,2,...

(r4.44)

Note que el problema original de estimar x a partk de los datos para z es un problema lineal tal que la solución dada por la ecuaci6n Qa.40) es la solución óptima. Sin embargo, es necesario generar los datos para z mediante la transformación no lineal de la ecuación (14.42), que a su vez necesitó usar la ecuación iterativa (14.44). En comparación con el algoritmo iterativo de sólo para inyecciones, el presente algoritmo tiene la ventaja de una matriz de ganancia constante lB' W Bl-'B' Vfl. Esto da como resultado una simplificación considerable de cálculos. El concepto de estimación desacoplada se extiende con facilidad al caso de los flujos de línea [15].

I4.4

SEGUIMIENTO DE LA ESTIMACIÓN DE ESTADOS PARA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA [16]

Es importanterealizar el seguimiento (tracking) de la estimación de estados de un sistema de potencia dado para monitorear el sistema en tiempo real. Como se sabe bien, los voltajes de todos los sistemas reales varían aleatoriamente con el tiempo y, por lo tanto, deben considerarse que son procesos estocásticos. Entonces es necesario usar las técnicas de estimación secuencial de la referencia [1] para obtener la estimación del estado en cualquier punto en el tiempo dado. Las relaciones de potencia en las ecuaciones (14.25) y Qa.26) son todavía válidas, pero se expresan en forma distinta después de indicar que las magnitudes de voltaje y los ángulos son funciones nuevas del índice de tiempo discreto k.

I4.5

ALGUNAS CONSIDERACIONES DE CÓNNPUTO

Los algoritmos de estimación estática y de seguimiento que se presentaron en las secciones anteriores requieren mucho cómputo, en especial para grandes redes de potencia que pueden tener más de 200 buses importantes. Por consiguiente, es muy importante considerar esos asuntos computacionales como condicionantes perjudiciales, con necesidades de

14.6

Equivalencia de sistema externo

memoria de cómputo r de :rerip,c,. Sn ::n:.rgo. primero se debe considerar la cuestión de la existencia de una solución ¡el :r:.bien¿ de estimación de estado.

Posibilidad de observación de la red [17] Considere la fórmuia está:ii¡ ir :;:::-:,-i.in por mínimos cuadrados ponderados [ecuación (14.1 1b)] que sirve ctrm,: :url -, i; i¡nida para todos los algoritmos. La inversa de 1a matriz de información -11- , - - ;/ i{ l/¿ebe eristir, pues de lo contrario no hay estimación

de estados. Esto sucederá .i e- ---,: - :; ll es igual a n (número de variables de estado). Ya que siempre se puede escoser .::. li':: .ingular, entonces si.Fltiene un rango n, se dice que

la red de potencia es obsen:1.¿

Problema de mal condicio¡¡arniento Aun cuando el sistema de prrte-,;1. i¿.lo

sea sistema observable en términos de las mediciones seleccionadas para i:es .1r :sirra¡ e1 estado, no hay gnantía alguna de que exista la inversión requerida de -: ::.::--¡ Je inibrmación. Durante las multiplicaciones de las matrices hay algo de erro:- :rec¡er-- :ero definido, que se introduce debido a la longitud finita de las palabras \. a l¿ ---: -'t-r7¿--ltin. El que esos errores produzcan mal condicionamiento de la matriz de inrt,rr:^i¡: .e podrá determinar a parlir de un conocimiento del número de condición de l¡ :,:z E:e número se define como la relación de los eigenvalores (valores propios i rlrr.l::tr ,, imnimo de la matriz de información. La matriz M se vuelve cadavez más mrl ;..ri:;.-:¡da t'su número de condición aumenta en magnitud. Algunos resultados deul¡d:. :: -¿ estimación de estado de sistemas de potencia con técnicas de factorizació: d¡ C::1;s$ se pueden ver en [8]. La factorización ayuda a reducir el mal condicirrnfL-r::- :erLa podrá no aminorar Tacarga computacional. En la referencia [19] se des.-r:5r ::-; :3.r--,-¡ para reducir lacarga computacional.

t4.6

EOUTVALENCTA DE SISTEMA EXTERNO [20]

Uno de los métodos que m¿i r r:É.ucan para simplificar el cómputo es dividir el sistema en tres subsistemas. corr.r s€ r:';elma en la figura 14.4.Uno de ellos se llama subsistema interno y consta de aqr.lel-ls 'f'Li€S 3n los cuales se está realmente interesado. El segundo subsistema consta de itrs b;:es en ios cuales no se tiene un interés directo y se refiere

Sistema externo

Sisten a Inlerno

Figura 14.4

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de ootencia

como subsistema externo. Por último, los buses que dan las uniones entre estos subsistemas internos y externos constituyen el tercer subsistema, llamado subsistema defrontera. Para cualquier red de potencia dada, la identificación de los tres subsistemas se podrá hacer de una forma natural o artificial. Para ilustrar la simplificación del algoritmo de estimación de estado, considere la ecuación linealizada de medición para el caso sólo para inyecciones. Como el sistema se dividió en tres subsistemas, esta ecuación se puede escribir como

H,o olIo",-l [r.l lr,, IAy, l=lHu, Hau a*llAx, l+lr,I Ior,.l L

rr".l L o

H"o

a""

(r4.45)

l l l*" .] L." l

Se podrá notar que el vector de medición interna Ayr no es por completo independiente del Ar" de estado de subsistema externo porque Ayr depende de Lxo del estado del subsistema de frontera y A-r¿ depende de Lx".

(r4.46)

Lya= Lyu¡+ Lyao+ Lybe+ rb

donde Ay¡, representa las inyecciones hacia los buses de frontera desde los buses externos, Ay6¿ es la inyección desde los buses de frontera y Ay6 es la inyección desde los buses internos. Se supone que el términ o Llu (= HwA;r,) puede aproximarse po, fr A,*udonde 11se estima de la relación

fr Se puede estimar el componente

Ha,M,y HutMt y después

=

Lynl Lxr

Lyr"si los términos

(r4.47) de Ay6 y

Lyau se

calculan como

se restan del valor medido de Ayu. Esto haría que se reformu-

lara parte de la ecuación(14.45) para escribirse como

Ay,l lH,, a*llA",l -t+t .[', '=t tt Av¡l lau, H;,I lLxb) th)

1

I

i

(r4.48)

representa el jacobiano efectivo si el subsistema de frontera considera los efectos del subsistema externo sobre el subsistema de frontera. La ecuación (14.48) tiene una dimensión inferior que la ecuación de medición original y por consiguiente implicaría menos cálculos. Se puede emplear el concepto de equivalencia de sistema externo también en situaciones de datos de línea o mixtos. donde H 6u = Hub

.Fl

74.7 TRATAMIENTO

DE DATOS ANÓMALOS 12I,22]

La capacidad de detectar e identificar mediciones anómalas es de un gran valor para un centro de despacho de carga. Puede ser que uno o más de los datos esté afectado por mal funcionamiento, sea de los instrumentos de medición o del sistema de transmisión de datos o ambas cosas. Puede ser que se hayan conectado mal los transductores, o que el transductor mismo funcione mal, por 1o que simplemente ya no da indicaciones exactas. Si se incluyen esos datos defectuosos en el vector Ay. el algoritmo de estimación producirá estimados de los estados no confiables. Por consiguiente, es importante desarrollar técnicas para detectar la presencia de datos defectuosos en el vector de medición en cualquier punto del tiempo dado, para identiflcar los datos defectuosos y eliminarlos

Tratamiento de datos anómalos

del vector y antes de procesarlo para estimar el estado. También es importante modificar los algoritmos de estimación en una forma que permita una estimación de estado más confiable en presencia de datos malos.

Detección de datos anómalos [23] Una herramienta conveniente para detectar la presencia de uno o más datos anómalos en el vector y en cualquier punto del tiempo dado se basa en la prueba jl cuadrada. Pal;a: apreciar lo anterior, primero se notará que el método de mínimos cuadrados asegura que el índice de desempeño J(x) =ú - h(x)l' W bl - h(x)l= r'Wrtiene su valor mínimo cuando r = i. Como la variable r es aleatoria, el valor mínimo /-rn también es una cantidad aleatoria. Con mucha frecuencia se puede suponer que r es una variable gaussiana y entonces -/*n tendría una distribución ji cuadrada con L = m - n grados de libertad. Sucede que el promedio de -/*, es igual a I y que su varianza es igual a2L.Esto implica que si todos los datos procesados para estimar estados son confiables, entonces el valor calculado de J-in debe aproximarse al valor promedio (=¿;. Por otra parte, si uno o más de los datos de y son no confiables, se violan las suposiciones de la estimación por mínimos cuadrados y el valor calculado de J*n diferirá de Z, de manera significativa. De este modo es posible desarrollar un esquema confiable parala detección de datos anómalos en y al calcular el valor de [.r - hG)]'W - h(i)1, donde i es el estimado que se obtiene con base en la l implicada. Si el escalar que así se obtiene es mayor que cierto umbral Tt = cL, donde c es un número adecuado, la conclusión será que el vector y contiene algunos datos anómalos. (Observe que los datos para el componente y¡, i = 1,2, ..., ru se considerarán anómaios si se desvían del promedio de y, en más de + 3or, donde o¡ es la desviación estándar de r,.) Si se acerca a 1, la prueba puede producir muchas/a/sas alarmas, y si es muy grande. la prueba no podría detectar muchos datos anómalos. Para seleccionar un valor adecuado de c puede empezarse por escoger el nivel de significado d dela prueba con la relación

P {J(r) > cUl(x) sigue la distribución

ji

cuadrada} = d

Por ejemplo, se puede seleccionar d = 0.05 que corresponde a una situación del 5Vo de falsas alarmas. Entonces será posible determinar el valor de c mediante el uso de la tabla ¡(L). Una vez determinado el valor de c, es sencillo realizar la prueba para ver si

"r(r) es mayor de

cl.

Identificación de datos anómalos [23] Una vez detectada la presencia de datos anómalos, es imperativo identificarlos para poder eliminarlos del vector de mediciones antes de que se procesen. Una forma de hacerlo es evaluar los componentes del residuo de medición i ¡ = !¡ h, (x), i = I,2,...., zz. Si se,supone que los residuos tienen distribución gaussiana con promedio cero y vaianza 0r,2, entonces la magnirud del residuo y, debe estar en el intervalo -3o¡ 1y¡ < 3cr¡con un nivel de confianza del 95Vc . Así, si alguno de los residuos calculados tiene una magnitud apreciablemente mayor que tres veces su desviación estándar, se toma como dato anómalo el dato correspondiente. Si eso sucede con más de un componente de /¡, se supoo€ que el componente que tenga el residuo más grande es el dato anómalo y se elimina de y. Se vuelve a correr el algoritmo de estimación con los datos restantes y se efectúan

-

CAPITULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

las pruebas de detección e identificación de datos anómalos otra vez para averiguar si hay más datos anómalos en el conjunto de mediciones. Como se verá después, los datos anómalos de medición se detectan, eliminan y sustituyen por pseudo valores o valores calculados.

Eliminación de datos anómalos [24] Los procedimientos que se han descrito hasta aquí en esta sección son muy tediosos y tardados y pueden no usarse para eliminar todos los datos anómalos que puedan estar presentes en el vector y en un punto del tiempo dado. Con frecuencia, por otra parte, es deseable modificar los algoritmos de medición de tal forma que se minimice la influencia de los datos anómalos sobre los estimados del vector de estado. Eso sería posible si el índice de estimación -I(x) se escoge como una función que sea no cuadrática. Larazónporla que el algoritmo de estimación por mínimos cuadrados no funciona de manera adecuada en presencia de datos anómalos es por lanaturaleza cuadrática de J(x), el índice supone un valor grande para datos que están muy alejados de su valor esperado. Para evitar esta sobreenfatización de los datos erróneos y al mismo tiempo para conservar la maniobrabilidad analítica del índice cuadrático de desempeño, se escoge que

J(i) = s' 6) w s(Í)

(r4.49a)

lineal del residual j .Hay más opciones posibles para esta función. Una forma conveniente es la llamada plana cuadrática.En este caso, los comdonde

g(t)

es una función no

ponentes de la función g(y) se definen por la siguiente relación. C¡

(Í)

= Í¡, ptra l,la, < a¡ = ai, pafa l¡lor> a¡

(r4.99b)

donde a, es un nivel constante de umbral preseleccionado. Es obvio que el índice de desempeño -I(x) puede expresarse como m

J(i) =

2t,

r¡¡

(14.50)

y cada componente posee una nattxaleza cuadrática para valores pequeños del residuo pero tiene magnitud constante para valores del residuo mayores que el umbral. La figura 14.5 muestra una variación típica de /¡(¡) para las opciones cuadrática y no cuadrática.

I

Figura 14.5

14,8

Observabilidad de la red v pseudo mediciones

La ventaja principal de ele-ei,r ia forma (14.49) para el índice de estimación es que todavía es cuadrática en la función gLi) y así se puede utilizar la teoía de los mínimos cuadrados para deducir la siguiente fórmula iterativa de la estimación de estado

i(/

+ 1) = i(t) + lH'(t) C'wCH (t)l H'(t) wcs

li(t)l

(14.51a)

donde la matnz C es diasonal v sus elementos se calculan como C¡

= l,

para

l,lq < a,

(14.sib)

= 0. para j¡lc,> a,

Al comparar esta solución con la de la ecuación (14.22), se ve que el efecto principal de la elección particular del índice de estimación, en la ecuación (14.49), es asegurar que los datos que producen residuos en exceso del nivel del umbral no cambiarán el estimado. Esto se logra con la producción de un valor nulo para la matriz C palia valores grandes del residuo.

I4.8 OBSERVABILIDAD DE LA RED Y PSEUDO MEDICIONES Para que sea eficaz la estimación de los estados es necesaria una cantidad mínima de datos. Una forma más analítica para determinar si los datos son suficientes para estimar los estados del sistema se llama anólisis de observabilidad. Éste forma parte integral de todo estimador de estados en tiempo real.La capacidad de efectuar estimaciones de estado depende de que haya suficientes mediciones bien distribuidas por todo el sistema. Cuando se dispone de mediciones suficientes, la estimación de estado del sistema puede obtener el vector de estado de todo el sistema. En este caso la red es observable. Como se explicó antes, en la sección 14.5, esto es cierto cuando el rango delamatiu jacobiana de medición es igual al número de variables desconocidas de estado. El rango delamafiz jacobiana de medición depende de los lugares y tipos de mediciones disponibles así como de la topología de la red. Un problema auxiliar en la estimación de estado es dónde agregar datos adicionales o pseudo mediciones a un sistema de potencia para mejorar la exactitud del estado calculada, es decir, para mejorar la observabilidad. Las mediciones adicionales representan un costo por los transductores físicos, la terminal remota o el sistema de telemetúa y por software de procesamiento de datos en la computadora central. La selección de pseudo mediciones, la obtención de datos faltantes y proporcionar la ponderación apropiada son las funciones del algoritmo de análisis de observabilidad. La observabilidad se puede verificar durante lafactoización. Si algún pivote se vuelve muy pequeño o cero durantelafactonzación,lamatriz de ganancia puede ser singular y puede darse el caso que el sistema no sea observable. Para determinar el valor de una inyección sin medirla, el sistema de potencia debe conocerse más allá de las mediciones que se realicen en el momento. Por ejemplo, en general se conocen los MW y MVAR producidos en los generadores por medio de canales de telemetúa (es decir, en general el estimador de estado tendría conocimiento de esas mediciones).

CAPíTULO

14

lntroducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de potencia

Si esos canales están fuera, quizá se pueda uno comunicar con los operadores en la sala de control de la planta por teléfono y preguntar por esos valores e ingresarlos manualmente. De igual modo, si se necesita un MW y MVAR de bus de carga para una pseudo medición, se podrían usar registros anteriores que mostraran la relación entre una carga individual y la carga total del sistema. Puede estimarse con mucha exactitud la carga total del sistema al averiguar la potencia total que se esté generando y al estimar las pérdidas en línea. Además, si acaba de fallar el sistema de telemetría, se podían usar los valores estimados más recientes del estimador (si se supone que se realiza en forma periódica) como pseudo mediciones. Así, si es necesario, se puede dar al estimador de estado un valor razonable para usarlo como pseudo medición en cualquier bus en el sistema.

Las pseudo mediciones aumentan la redundancia de datos de la estimación de estado. Si se adopta este método, se debe tener cuidado al asignar peso a los diversos tipos de mediciones. En la referencia[25] se describen técnicas que se pueden aplicar para determinar los lugares de medidor o las pseudo mediciones para obtener una observabilidad completa del sistema. En la referencia[26] hay disponible una reseña de lo más relevante del análisis de observabilidad y algoritmos propuestos para medición.

14.9 APLICACIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE ESTADOS DEL SISTEMA DE POTENCIA En un ambiente de tiempo real el estimador de estado consta de distintos módulos como el procesador de topología de la red, análisis de observabilidad, estimación de estado y procesamiento de datos anómalos. El procesador de topología de la red es necesario en todo el análisis del sistema de potencia. Un programa de topología de red convencional usa la información de estado de los cortacircuitos y de conectividad de red para determinar la conectividad de la misma. La figura 14.6 es un diagrama esquemático que muestra el flujo de información entre las diversas funciones que se deben realizar en un sistema de cómputo para centro de control de operaciones. El sistema obtiene información de la unidad de terminal remota (RTU: remote terminal unit) que codifica las salidas de los transductores de medición y la información del estado de abierto/cerrado en señales digitales, las cuales se envían al centro de operación por medio de circuitos de comunicación. El centro de control también puede transmitir comandos, como por ejemplo subir/bajar a los generadores y abrir/cerrar a los disyuntores y los cortacircuitos. Las mediciones analógicas de salida del generador se usarían directamente en el programa AGC (capítulo 8). Sin embargo, el resto de los datos se procesará por el estimador de estado antes de usarse en otras funciones como

flujo de carga óptimo (OLF : optimal loadflow), etcétera. Antes de ejecutar la estimación de estado debe conocerse cómo están conectadas las líneas de transmisión a los buses de carga y del generador, es decir, la topología de la red. Ésta es cambiante, por lo que el estado actual telemedido del cortacircuitos/intemrptor debe usarse para reestructurar el modelo del sistema eléctrico. A esto se le llama progrqma de topología de red o procesador de estado de sistema o configurador de red. Los resultados del estimador de estado, es decir, I y l, A P,,y Q,t junto con el modelo más reciente forman la base del programa de despacho económico (ED, de economic

Aplicac¡ón de la estimación de estados del sistema de potencia

o

c

o (D

'-

= E G E c)

o a

s

.S

--

(ú

o E

(ú

ñ

o

o (ú E (ú

(ú

ot; 6ó EO (üE

:

68 o<
a

.g

o

=fr Eo'

o)

o (ú

E

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E

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o

o -9

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c

6

'()

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Eg ñF X¡r .Y; -@C) ñ-

E (E

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(I)

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o

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=8

x=(! .qo uotr 5

o

ñ(J ;-

=

;dO v.;.i

E

o

6

UJ3 o (ú

(ú

arO

o o o-

o

o.S

o

(úo =U, o >o o OE .(ú EE


4O

f

.o

'^ '5

o o

L

5

Et

lr

CAPíTULO

14

Introducción a la estimación de estados de sistemas eléctricos de ootencia

dispatch), o despacho con emisión mínima (MED: minimum emission dispatch), del programa de análisis de contingencias, etcétera.

Lecturas recomendadas El método de mínimos cuadrados ponderados para resolver problemas de estimación de estado estático en sistemas de potencia lo introdujo Schweppe 11969-19741. Se originó en la industria aeroespacial. Desde la década de 1970 se han instalado estimadores de estado

en forma regular en los nuevos centros de control de energía (sistema eléctrico de potencia o despacho de carga) que han demostrado ser muy útiles. Reseñas sobre el estado de avance de la técnica de algoritmos de estimación de estado basadas en este método de modelado fueron publicadas por Bose y Clements [27] y Wu [28]. En la referencia [29] se encuentran reseñas de modelado de sistema externo. Un estimador de estado generalizado con estado integrado con capacidad integrada de estimación de estado y de parámetros

fue recientemente propuesto por Alsac et al. 1301. El nuevo papel de la estimación de estado y otras funciones analíticas avanzadas en los mercados competitivos de energía se describe en la referencia [3 1 ]. En la referencia l32l se presenta una bibliografía detallada sobre estimación de estado. desde 1968 a 1989.

PROBLEIvIAS

I4.l

-

Para el ejemplo 6.6, si la potencia que se inyecta en los buses está dada por 51 l.O3I - j0.791, 52 = 0.5 + j1.0 Y S: = -1.5 - j0. 15 pu. Considere que l4zt = Wz = Wz = 1. El bus 1 es un bus de referencia. Con un arranque plano, calcule los estimados delV,l y á,. Tolerancia = 0.0001.

fResp.: Vl = tt\", fz= I.04222 L01297", Vtz = 0.99824 L-2.I864'; Valores finales: Vt = 1.04L0", Vz = 1.080215 L-1.356", V:

L-

I4.2

= 1.03831

3.736"1.

Para el sistema de ejemplo que muestra la figura P14.2, suponga que los tres medi-

dores tienen las sisuientes características. Escala (MW)

Medidor

Exactitud (Mw)

o (pu)

-r- 8

Mrz

100

Mr:

100

+4

Mzz

100

+

0.02 0.01 0.002

0.8

Calcule la mejor estimación para los ángulos de fase 6l

y

áz dadas las siguientes

mediciones Medidor

Valor medido (MW)

Mrz

70.0

Mi¡

4.0

M¡z

30.5

(con base de 100 MVA)

Figura P14.2 sola línea, como se muestra en la figura P14.3, se dispone de dos mediciones. Mediante flujo de carga en CD, calcule la mejor estimación de la potencia que

I4.3 Parauna

fluye por la línea.

/\.-_/ | _l;

1 '"'tz

I

l0.1puMVA) ;'''21

(con base de 100

I

2

Figura P14.3

Indicación

Desviación estóndar ( o) del medídor en escala completa

en el medidor

Medidor

Escala (MW)

Mtz

100

I

)¿

Mzr

100

A

-26

(Mw)

REFERENCIAS

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CAPíTULO

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14

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15 ....::..:aaa.

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...ti.a

en los sistem,a.b, ,ds- potencia li'ii

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15.1 INTRODUCCIÓN Para reducir costos y mejorar la confiabilidad, la mayor parte de los sistemas eléctricos de potencia en el mundo continuarán interconectados. Las interconexiones aprovechan la diversidad de cargas, disponibilidad de fuentes y precio del combustible para suministrar potencia a las cargas con costos y contaminación mínimos, con la confiabilidad requerida. En un ambiente de servicio eléctrico desreglado, es esencial una red eléctrica efectiva

para el ambiente competitivo del servicio eléctrico conflable. Hoy se demanda más de la red de transmisión y esas demandas continuarán aumentando, por la cantidad creciente de generadores que no son empresas de servicio y mayor competencia entre las empresas mismas de servicios. No es fácil adquirir nuevos derechos de vía. Las mayores demandas para la transmisión, la ausencia de planeación a largo plazoy la necesidad de dar acceso abierto a las empresas generadoras y a los clientes han dado como resultado menos seguridad y menor calidad de abastecimiento. Por lo anterior, es esencial la compensación en los sistemas de potencia, para aliviar algunos de estos problemas. Se ha usado durante ya muchos años la compensación en serie/paralelo para lograr este objetivo. En un sistema de potencia, dado el almacenamiento eléctrico insignificante, siempre debe equilibrarse la generación y 7a carga de potencia. Hasta cierto grado, el sistema eléctrico se autorregula. Si la generación es menor que la carga, bajan el voltaje y la frecuencia y, por consiguiente, se reduce la carga. Sin embargo sólo hay un pequeño margen porcentual para esa autorregulación. Si el voltaje aumenta con respaldo de potencia reactiva, el aumento de carga con la consiguiente disminución de frecuencia puede causar un colapso del sistema. También, si hay potencia reactiva inadecuada, el sistema podrá tener un colapso de voltaje. Este capítulo se dedica al estudio de diversos métodos para compensar sistemas de potencia y varios tipos de dispositivos de compensación, llamados compensadores, para aligerar el problema del sistema de potencia descrito arriba. Estos compensadores se pueden conectar de dos maneras en el sistema: en serie y en derivación (paralelo), en los extremos de la línea (o incluso en su punto medio).

Además de las bien conocidas tecnologías de compensación, al final del capítulo última tecnología de sistema flexible de transmisión de CA (FACTS: de flexible AC transmission system). se presentará la

I5.2

CAPACIDAD DE CARGA

Hay tres clases de limitaciones para la capacidad de carga del sistema de transmisión:

i)

térmica,ii) dieléctrica y iii) estabilidad.

La capacidad térmica. de una línea aérea es una función de la temperatura ambiente, las condiciones del viento, las condiciones del conductor y la distancia al suelo. Hay la posibilidad de convertir una línea de un circuito a una de doble circuito para aumentar la capacidad de carga.

Limitaciones dieléctricas. Desde ei punto de vista del aislamiento, se diseñan muchas líneas en forma muy conservadora.Para determinada capacidad nominal de voltaje a menudo es posible aumentar los voltajes normales de operación en l\Vo (por ejemplo, 400 kV - 440 kV). Sin embargo, se debe asegurar que los sobrevoltajes dinámicos y transitorios estén dentro de los límites. [Véase el capítulo 13, referenciaT]. Consideraciones de estobilidad. Hay ciertas consideraciones de estabilidad que limitan la capacidad de transmisión. Incluyen estabilidad del régimen permanente, estabilidad transitoria, estabilidad dinámica, colapso de frecuencia, colapso de voltaje y resonancia subsíncrona. Sobre estos temas hay varios libros fI,2,6,7, 81. con certeza, hoy se puede aplicar la tecnología FACTS para superar cualquiera de los límites de estabilidad, en cuyo caso los límites definitivos serían térmicos y dieléctricos.

15.3 COMPENSACIÓN DE CARGA La compensación de carga es la administración de potencia reactiva para mejorar la calidad de la potencia, es decir, el perfil de v y el factor de potencia, fp. En este caso, el flujo de potencia reactiva se controla al instalar dispositivos compensadores (capacitores/inductores) en paralelo, en el extremo de carga, para llevar a un equilibrio adecuado entre la potencia reactiva generada y consumida. Esto es lo más efectivo para mejorar la capacidad de transferencia de potencia en el sistema y su estabilidad de voltaje. Es preferible tanto desde el punto de vista económico como técnico operar el sistema cerca del factor de potencia unidad. Es la causa de que algunas empresas eléctricas imponen una penalización por cargas de bajo factor de potencia. Aun otra forma de mejorar el desempeño del sistema es hacerlo frabajar en condiciones cerca del equilibrio, de tal manera que se teduzca el flujo de corrientes de secuencia negativa y, así, aumentar la capacidad de carga

del sistema y de reducir pérdidas de potencia. Una línea de transmisión tiene tres cargas críticas: i) carganatu¡al. il) límite de estabilidad de régimen permanente y iii) cargade límite térmico. En una línea compensada la carga natural es la mínima, y antes de que alcance el límite de carga térmica, se llega al

límite de estabilidad de régimen permanente.

CAPíTULO

15

Compensación en los sistemas de potencia

T5.4 COMPENSACIÓN DE LÍNEA 1o cual sólo se puede lograr al cargar la línea con su carga de impedancia de sobretensión; mientras esto no se logre se pueden modificar las características de la línea mediante compensadores de línea para

El perfil ideal de voltaje para una línea de transmisión es plano,

l) Minimizar el efecto Ferranti. il) Que no se requiera una operación subexcitada de generadores síncronos. lli) Aumentar la capacidad de transferencia de potencia de la línea. La modificación caracteísticas de una o varias líneas

se

de las

llama compensación de línea.

Algunos dispositivos compensadores son:

. . .

Capacitores. Capacitores e inductores. Fuente activa de voltaje (generador síncrono).

Cuando se conecta un número de capacitores en paralelo para obtener la capacitancia necesaria, a eso se le llama banco de capacitores e igual para un banco de inductores. Un banco de capacitores ylo de inductores puede ajustarse en etapas, mediante conmutación (mecánica). Tales capacitores e inductores son compensadores de línea pasiva, mientras los generadores sincrónicos son compensadores activos. Cuando los dispositivos de estado sólido se utilizan para cambiar capacitores e inductores, se conoce como compensación activa. Antes de proceder a dar una explicación detallada del compensador de línea, se describirá en forma breve la compensación en derivación (paralelo) y en serie. La compensación en paralelo es más o menos como la compensación de carga con todas sus ventajas asociadas con ella y que se describieron en la sección 15.3. Necesita indicarse aquí que los capacitores/inductores en paralelo no se pueden distribuir uniformemente a lo largo de la línea. Por lo común, se conecten al extremo de la línea y/o en el punto medio de ella. Los capacitores en paralelo elevan el factor de potencia de carga, con 1o cual aumenta mucho la potencia transmitida por la línea porque no se necesita conducir la potencia reactiva. Hay un límite hasta el cual se puede aumentar la potencia transmitida por compensación en paralelo, porque necesitaría un banco de capacitores de tamaño inmenso, que no sería práctico. Para aumentar la potencia transmitida por la línea se pueden adoptar otros métodos mejores. Por ejemplo, compensación serie, mayor voltaje de transmisión,

HVDC, etcétera. Cuando se emplean capacitores conmutados para compensación, se deben desconectar de inmediato cuando las condiciones son de carga ligera, para evitar un aumento excesivo de voltaje y ferrorresonancia en presencia de transformadores. El objetivo de la compensación en serie es cancelar parte de la reactancia inductiva en serie de la línea mediante capacitores en serie. Esto ayuda a: l) aumentar la transferencia máxima de potencia, ll) reducir el ángulo de potencia para determinada cantidad de transferencia de poten cia e iii) incrementar la carga. Desde un punto de vista práctico lo deseable es no rebasar la compensación en serie más allá del 807o. Si la línea está

compensada l00Vc, se comportará como un elemento puramente resistivo y causaría resonancia en serie aun a la frecuencia fundamental . E7 emplazamiento de los capacitores en serie se decide teniendo en cuenta factores económicos y gravedad de las corrientes de falla. Un capacitor en serie reduce la reactancia de la línea, y con ello el nivel de corrientes de falla. A continuación se presenta una descripción detallada de diversas consideraciones que infervienen en los compensadores en serie y en paralelo.

15.5 COMPENSACIÓN EN SERIE Un capacitor en serie con una línea proporciona control sobre la reactancia efectiva entre los extremos de la línea. Esta reactancia efectiva se define por

xi=x-X" donde

Xt= reactancia de línea X" - reactancia del capacitor Es fácil ver que el capacitor reduce la reactancia efectiva de línea.x Con ello mejora el desempeño de sistema como se indica a continuación.

i)

Lacaída de voltaje en la línea se reduce (se compensa), es decir,

se

minimizan las

variaciones de voltaje en los extremos.

li) iil) lv)

Previene el colapso de voltaje.

Aumenta la transferencia de potencia de régimen permanente; es inversamente proporcional a Xi. Como consecuencia de ii), aumenta el límite de estabilidad transitoria.

Las ventajas del compensador de capacitor en serie se asocian con un problema. Lareactancia capacitiva X" forma un circuito resonante en serie con la reactancia total en serie

X=Xt*Xr.n*4r*, La frecuencia natural de oscilación de este circuito

es

fL

2¡rJ LC XC

X donde/= frecuencia del sistema * La caída reactiva de voltaje de una reactancia en serie agregada

a una línea es lX. Es positiva si X es inductiva, y negativa si X es capacitiva. Entonces, una reactancia capacitiva en serie reduce la caída de voltaie de reactancia en ia línea, 1o cual es una forma altemativa de decir que

Xi= Xt-

X".

CAPíTULO

15

Compensación en los sistemas de potencia

x", X

-

grado de compensaclon

= 25 a757o kecomendado) Para este grado de compensación

fc
l) li)

Detectar los bajos niveles de corrientes subarmónicas en la línea por medio relevadores sensibles, que a ciefto nivel de corriente genera la acción para evadir (bypass) a los capacitores en serie. Modulación de la corriente del campo en el generador para obtener mayor amortiguamiento positivo a la frecuencia subarmónica.

Para compensación de línea para cargas ligeras son necesarios inductores en serie para contrarrestar el aumento excesivo de voltaje (efecto Fenanti). Cuando varíala carga de lalínea y, en especial, el flujo de potencia reactiva por ella, hay necesidad de variar la compensación para tener un perfll aceptable de voltaje. En la figura 15.1 se muestra el arreglo de conmutación mecánica para ajustar la capacitancia del banco de capacitores en serie con la línea. La capacitanciavaría al abrir los intemrptores de las capacitancias individuales con la capacitancia C1 y se inicia por un intemrptor de paso. Este es un arreglo paso a paso. También se puede sacar todo el banco mediante el intemrptor de arranque en cualquier condición de emergencia en la línea. Como los interruptores en serie con los capacitores conducen corriente, son necesarios arreglos de cortacircuitos. Sin embargo, en general

Figura 15.1

hoy se evitan los capacitores conmutados por disyuntores en serie y el capacitor es fijo o conmutado por tiristor. Con el rápido avance de los dispositivos de tiristor y la correspondiente tecnología de control por conmutación, se puede controlar el banco de capacitancias en serie en forma mucho más eficaz, tanto con control escalonado como con control uniforme. Esto se demuestra con el es-

ls.5

Compensación en

serie | t

quema de la figura 15.2, donde el capacitor se conecta en paralelo con dos tidstores en antiparalelo uno con otro. Al disparar los tiristores en forma alternativa. uno conduce corriente en la mitad positiva del ciclo y el otro en la mitad negativa del cicto. En cada semiciclo, cuando dispara el tiristor (a un ángulo ajustable), conduce corriente durante el resto del semiciclo, hasta que la corriente natural es cero. Durante el tiempo de desconexión la corriente del tiristor se conduce por el capacitor y el voltaje de1 capacitor es vr. Durante el tiempo de conexión el capacitor tiristor se pone en cortocircuito, es decir, v. = 0 y el tiristor conduce la corriente. El mismo proceso se repite en el otro semiciclo. Eso quiere decir que se puede controlar vcpara cualquier i dada, lo que equivale a reducir la capacitancia porque C = vJi. Con este esquema se puede controlar uniformemente la capacitancia al ajustar el ángulo de disparo. Hoy se consiguen tiristores que conducen grandes corrientes y resisten (durante el tiempo de desconexión) grandes voltajes como los encontrados en los sistemas de potencia. El último de ellos, llamado tiristor de apagado por compuerta (GTO: de gate turn ffi tiene la capacidad de que con un circuito adecuado de disparo se pueden controlar los ángulos (tiempos) en los que se conecta y se desconecta. Esto significa un control más amplio y más fino de la capacitancia. De forma análoga, es posible tener un control para reactores en serie en la línea. Todos los compensadores en serie controlados y no controlados (fijos) requieren un dispositivo de protección. Se puede dar protección externa ya sea por un protector (arrester) de voltaje u otro dispositivo limitador de voltaje o un intemrptor aproximado de paso. En ningún caso se debe rebasar la capacidad V1 de los tiristores. Dependiendo de: i), la clase de dispositivo de estado sólido por emplear, li) la compensación con capacitor y/o reactor, y iii) el control conmutado (en escalones) o uniforme (sin escalones), se han ideado y se usan varios esquemas de compensación. Algunos de los esquemas más comunes de compensación son los siguientes.

l) Capacitorenseriecontroladoportiristor(TCSC: thyristorcontrolledseriescapacitor). ll) Capacitor en serie conmutado por tiristor (TSSC: thyristor switched series capacitor). iii) Inductor (reactor) controlado por tiristor y con capacitor fijo (TCR + FC: thyristor

iv)

controlled reactor with fixed capacitor) . Capacitor en serie controlado por tidstor GTO (GCSC, GTO: thyristor controlled series capacitor).

v) Inductor (reactor) controlado por tiristor (TCR: thyristor controlled reactor).

/

u"

Figura 15.2

,

Inducior (reactor) limitador de corriente

$é1

CAPíTULO

15

Comoensación en los sistemas de potencia

El compensador de capacitor y/o inductor en serie actúa al modiflcar la impedancia de la línea. Un método alternativo es introducir una fuente de voltaje controlable en serie con la línea. A este esquema se le llama compensador en serie síncrono estático (SSSC: static synchronous series compensator). El SSSC tiene capacidad para inducir voltaje tanto capacitivo como inductivo en serie con la línea y así ampliar la región de operación del esquema. Se puede usar para controlar el flujo de potencia, aumentando o disminuyendo el flujo reactivo en la línea. Además, este esquema da mejor estabilidad y es más efectivo

para eliminar por amortiguamiento las oscilaciones electromecánicas. Aunque diversos tipos de compensadores pueden proporcionar un control de flujo de potencia muy efectivo, sus características de operación y propiedades de compensación son diferentes. Estas diferencias se deben a los atributos inherentes de sus circuitos de control; también exhiben distintas características de pérdida. Desde el punto de vista de una operación casi sin mantenimiento, los esquemas de modificación de impedancia (capacitores y/o inductores (reactores)) son superiores. La clase específica de compensador para emplear depende mucho de la aplicación en par-

ticular.

15.6

COMPENSADORES EN PARALELO

Como ya se explicó en la sección 15.4 y en el capítulo 5 (sección 5.10), los compensadores en paralelo se conectan en derivación en diversos nodos del sistema (subestaciones principales) y a veces a la mitad de las líneas. Sirven para controlar el voltaje y estabilizar la carga. Como resultado de la instalación de compensadores en derivación en el sistema, los generadores cercanos operan con factor de potencia, cercanos a la unidad y casi no se presentan emergencias por voltaje. Las dos clases de compensadores que se usan son:

i) Compensadores estóticos de var (SVC):

son bancos de capacitores (también algunas veces se utilizan inductores para condiciones de carga ligera).

tt) STAICOM: compensador síncrono estático. iii) Condensador síncrono: es un motor síncrono

que trabaja sin carga y tiene excitación ajustable dentro de un amplio margen. AlimentaVAR positivos alalínea en condiciones de sobreexcitación y VAR negativos cuando está subexcitada. (Véase los detalles en la sección 5.10).

Se debe hacer notar aquí que los compensadores SVC y STAICOM son generadores estáticos de var controlados por tiristor. En esta sección se detallará el SVC mientras que el STAICOM forma parte de FACTS cuya operación se explicará enla sección 15.10.

Compensador estático de var (SVC) Estos dispositivos comprenden el banco de capacitores fijo o conmutado (controlado) o un banco fijo de capacitores y un banco de reactores conmutados en paralelo. Estos compensadores toman potencia reactiva (en adelanto o en atraso)* de la línea, con lo cual * Una reactancia conectada en paralelo a la línea al voltaje V toma la potencia reactiva V2/X. Es negativa (en adelanto) si la reactancia es capacitiva y positiva (en reffaso) si la reactancia es inductiva.

regulan voltaje, mejoran la estabilidad (de régimen permanente y dinámica). controlan el sobrevoltaje y reducen la fluctuación en el voltaje. También reducen los desequilibrios de voltaje y corriente. En aplicaciones en HVDC esos compensadores suministran la potenciareacliva necesaria y amortiguan las oscilaciones subarmónicas. Como los compensadores estáticos de var usan conmutación para controlar los var. también se llaman intemrptores o sistemas estáticos de var. Quiere decir que desde el punto de vista de terminología compensadores estáticos de var = compensadores de var estáticos (SVC = SVS)

y

se utilizará de manera indistinta.

Confrguraciones (o diseños) básicas de SVC Se pueden usar tiristores en antiparalelo para conectar una unidad de capacitor/reactor en control escalonado. Cuando los circuitos se diseñan para ajustar el ángulo de disparo la unidad de capacitor/reactor funciona como una variable continua en el circuito de potencia. El banco de capacitores, o banco de capacitores e inductores, puede variarse en forma escalonada o continua mediante control por tiristor. Se han ideado varias configuraciones SVS importantes y se aplican en compensación de línea en paralelo. Algunos de los esquemas de compensador estático se describen a continuación.

i) Reactor saturado Es un reactor de multinúcleos con sus devanados de fase dispuestos de tal manera que cancela las armónicas principales. Se considera una fuente reactiva de voltaje constante. Casi no necesita mantenimiento, pero no es muy flexible respecto a las características de operación.

ii) Reactor controlado por tiristor (TCR) Un compensador de reactor con¡rolado por tiristor (figura 15.3) consiste en una combinación de reactores controlados por tiristor de seis pulsos o doce pulsos, con un banco fijo de capacitores en paralelo. La potencia reactiva se combina al ajustar el ángulo de disparo

Salida de línea

Transformador de potencia

Reactor Reactor

Capacitor fijo

instrumentos

Figura

15.3

Reactor controlado por tiristor (TCR) con capacitor fijo

CAPíTULO

15

Comoensación en los sistemas de

del tiristor. Los TCR se caracterizan por tener control continuo, sin transitorios ni generación de armónicas.* El sistema de control está formado por medidores de voltaje (y de corriente), un controlador para acondicionar la señal de error, un circuito de linealización y uno o más circuitos sincronizadores.

iii)

Capacitor conmutado por tiristor (TSC)

Sólo consiste en un banco de capacitores conmutado por tiristor que se divide en varias unidades de capacidades iguales para tener un control escalonado (figura 15.4). Se aplican como fuente de potencia reactiva variable en forma discreta, cuando se considera que este tipo de respaldo de voltaje es adecuado. Toda la conmutación se efectúa cuando el voltaje a través de la compuerta del tiristor es cero y así se obtiene una conmutación casi sin transitorios. La desconexión se hace al suprimir el pulso de disparo de los tiristores, que se bloquearián cuando la corriente llegue a cero. Los TSC se caracterizan por su control escalonado, sin transitorios, muy bajos en armónicas, pérdidas pequeñas, redundancia y flexibilidad.

iv)

Compensador TCR y TSC combinado

Un TSC y TCR combinados (figura 15.5) es la óptima solución en la mayor parte de los casos. Con ese compensador se obtiene una potencia reactiva variable continua dentro de la región completa de control. Además se obtiene un control total de las partes inductiva y capacitiva del compensador. Ésta es una característica muy ventajosa que permite un desempeño óptimo durante grandes perturbaciones del sistema de potencia (como fallas en la línea, rechazos de carga, etc,). Las combinaciones TSC/TCR se caracterizan por su control continuo, sin transitorios, baja generación de armónicos, pérdidas bajas, redundancia, y control y operación flexibles. Las características básicas de los principales esquemas de generador de var estático se dan en la tabla 15.1.

Figura * Aunque aquí confisuración.

se usan

15.4

Capacitor conmutado por tiristor (TSC)

TCR conectados en estrella, es mejor usar TCR conectados en A, porque es una mejor

15.6

Compensadores en paralelo

Neutro

Figura

15.5

Compensador TCR/TSC combinado

Tabla 15.1 Comparación de oeneradores estáticos de var Tipo de generador de var

TCR-FC (1)

TSC-(TSR) (2)

La corriente de comp. máx. es proporcional al voltaje del sistema. La salida máxima de var cap. disminuye con el cuadrado de la disminución de voltaje

La corriente de comp. máx. es proporcional al voltaje del sistema. La salida máxima de var cap. disminuye con el cuadrado de la disminución de voltaje.

Igual que en (l ) o (2)

Grandes pérdidas a salida cero. Las pérdidas disminuyen uniformemente con salida de cap., aumentan con salida inductiva

Pocas pérdidas a salida

Pocas pérdidas con salida

cero. Las pérdidas aumentan en etapas con salida

cero. Las pérdidas aumentan en forma escalonada

de cap.

con saLida de cap.

Interaramente alta (gran TCR pu) Requiere filtrado importante

Internamente muy baja La resonancia puede requerir reactores de ajuste

Internamente baja (bajo TCR pu). Se requiere

Demora máxima teórica

I/2 ciclo

1

Compoftamiento transitorio por

Malo (FC causa sobre-

Puede ser neutro (se pueden desconectar los capacitores para minimizar sobrevoltaj es transi-

Características Vl

YVQ

Pérdida de

Vy var

Generación de

armónica

perturbaciones

voltajes transitorios como respuesta a perturbación

de voltaje en el

en escalón)

sistema

ciclo

torios)

TCR-TSC

(3)

filtrado 1

ciclo

Igual que en (2)

56ó |

CAPíTULO

15

Compensación en los sistemas de potencia

t

I5.7 COMPARACIÓN ENTRE STATCOM Y SVC Se notará que en la región de operación normal lineal de la curva caracteústica V-I, la capacidad de compensación funcional del STAICOM y el SVC son similares [2]. Sin embargo, los principios básicos de operación del STAICOM que, con un generador de var basado en convertidor, funciona como fuente de voltaje síncrona conectada en derivación, son básicamente distintos a los del SVC, pues éste funciona como admitancia reactiva controlada conectada en derivación (paralelo). Esta diferencia básica de operación hace que el STATCOM tenga mejores características funcionales, superior desempeño y mayor flexibilidad de aplicación cuando se compara con el SVC. También, la capacidad del STA|COM para mantener la salida total de corriente capacitiva a voltajes bajos del sistema lo hace más efectivo que el SVC en mejorar la estabilidad transitoria (primera oscilación).

Comparación entre compensación en serie y en derivación (paralelo): Ventajas de la compensación en serie:

i)

Los capacitores en serie son inherentemente autorreguladores y no se requiere un sistema de control.

ii)

Para el mismo desempeño, los capacitores en serie suelen ser menos costosos que los SVC y sus pérdidas son muy bajas.

iii) En cuanto a estabilidad

del voltaje, los capacitores en serie bajan el voltaje crítico o de

colapso.

iv) v)

Los capacitores en serie poseen capacidad adecuada tiempo-sobrecarga. Los capacitores en serie y los capacitores en serie conmutados pueden emplearse para controlar la carga de líneas en paralelo y así minimizar las pérdidas activas y reactivas.

Desventajas de la compensación en serie:

i)

Los capacitores en serie se conectan a la línea y se elimina la compensación durante apagones y los capacitores en líneas paralelas se pueden sobrecargar.

ll) Durante cargas pesadas, el voltaje en un extremo del capacitor

en serie puede salir de

escala.

iil)

Se pueden necesitar reactores en derivación (paralelo) para compensación para carga

ligera.

iv)

La resonancia subsíncrona puede necesitar costosas medidas de corrección.

Ventajas de los SVC:

i) li)

Los SVC controlan directamente el voltaje. Los SVC controlan rápidamente los sobrevoltajes temporales.

Desventajas de los SVC:

l) Los SVC tienen una capacidad limitada para sobrecargas. ii) Los SVC son costosos. El mejor diseño es quizá una combinación de compensación en serie y en paralelo. En virtud de los mayores costos iniciales y de operación, en el caso normal los capacitores síncronos no compiten con los SVC. Desde el punto de vista técnico, los capacitores

15.9

Principios y operación de los convertidores

síncronos son mejores que los SVC en redes con voltaje débil. Después de una caída en el voltaje de la red, el aumento en la salida de potencia reactiva del condensador es instantáneo. En la actualidad, la mayor parte de las aplicaciones del capacitor síncrono se asocian con instalaciones de HVDC.

15.8 SISTEMAS FLEXIBLES DE TRANSMISIÓN DE CA (FACTS) El rápido desarrollo de la tecnología electrónica de potencia ofrece grandes oportunidades para desarrollar el nuevo equipo de sistemas de potencia paru :utilizar mejor los sistemas existentes. A partir de 1990 se han propuesto e implementado varios dispositivos de control conocidos como tecnología FACTS ffiexible AC transmission systems, sistemas flexibles de transmisión de CA). Los dispositivos FACTS se pueden usar muy bien para controlar el flujo de potencia, compartir carga entre corredores paralelos, regular voltajes, aumentar la estabilidad transitoria y mitigar oscilaciones del sistema. Como otorgan una mayor flexibilidad, los controladores FACTS pueden permitir que una línea conduzca electricidad más cerca de su capacidadtérmica. La conmutación mecánica debe complementarse con electrónica de potencia de respuesta rápida. Se notará que FACTS es una tecnología ampliada y mejorada y no un sustituto uno a uno de los intemrptores mecánicos. En FACTS se emplean tiristores de alta velocidad para conmutación de componentes de líneas de transmisión como capacitores, reactores o transformador de desplazamiento de fase para tener cierto desempeño deseable de los sistemas. La tecnología FACTS no es un solo controlador de gran potencia, sino más bien una colección de controladores, los cuales pueden aplicarse en forma individual o en coordinación con otros, para controlar uno o más de los pariámetros del sistema. Antes de dar cuenta de algunos de los controladores FACTS importantes, se explicará principio el de operación de un convertidor de conmutación, el cual forma parte de dichos controladores.

15.9 PRINCIPIOS Y OPERACIÓN DE LOS CONVERTIDORES La potencia reactiva controlable se puede generar con convertidores de conmutación, de cd a ca, que conmutan en sincronía con el voltaje de línea con la cual se intercambia la potencia reactiva. Un convertidor de conmutación de potencia consiste en un conjunto de conmutadores de estado sólido, que conectan las terminales de entrada con las terminales de salida. No tiene almacenamiento intemo, por lo que la potencia instantánea de entrada y de salida son iguales. Además las terminaciones de entrada y salida son complementarias, esto es, si la entrada se termina con una fuente de voltaje (capacitor o "*guáo acumulador), la salida es una fuente de corriente (lo que significa una fuente de voltaje con una impedancia inductiva) y viceversa. Así, el convertidor puede tener fuente de voltaje (en paralelo con un capacitor o acumulador) o fuente de corriente (en paralelo con un inductor).

563 |

CAPíTULO

15

Compensación en los sistemas de potencia

t Bus de sistema V

--- _I--_.

Transformador de acoplamiento

I neactancia de fuga , en el transformador

En la flgura 15.6 se muestra el diagrama unifilar del esquema básico de convertidor con fuente de voltaje, para generar potencia reactiva. Para el voltaje de bus Vel flujo de potencia reactiva y el voltaje en las terminales del convertidor Vo están en fase. Con base en por fase,

I_ V-Vo

vo

X

Convertidor CD-CA de conmutac¡ór

El intercambio de potencia reactiva

O=Iry Figura

=

es

v(v-v^\

-----:----l¿:X

El circuito de conmutación es capaz de ajustar vo, el voltaje del convertidor. Para Vo 1 V,1 está retrasada respecto de salida reactiva a V y Q tomada del bus es inductiva, mientras que para Vo > V, I está adelanta aV y Q tomada del bus está en adelanto. La potencia reactiva tomada se puede variar fácil y uniformemente al ajustar V6 cambiando el tiempo de encendido de los intemrptores de estado sólido. Se debe hacer notar que la reactancia de fuga del transformador es muy pequeña (0.1 a 0.15 pu), lo que significa que una pequeña diferencia de voltaje (V - Vü produce el flujo requerido de I y Q. Así, el convertidor funciona como un capacitor síncrono estático (o generador de var). En la figura 15.7 se muestra un circuito convertidor típico. Es un puente H trifásico de dos niveles y seis pulsos con un diodo en antiparalelo con cada uno de los seis tiristores (por lo común se usan GTO). Los tiempos de los pulsos de disparo están sincronizados con las ondas de voltaie en el bus.

1s.6

estático

Generador de potencia

Vo"

Figura

15.7

Vot

Vo"

Puente trifásico de dos niveles y seis pulsos

15.10

Controtadores

FACTS

I a

Como el convertidor sólo toma potencia reactiva, la potencia real tomada del capacitor es cero. También en cd (frecuencia cero) el capacitor no suministra potencia reactiva alguna. Así, el voltaje en el capacitor no cambia y el capacitor sólo establece un nivel de voltaje para el convertidor. La conmutación hace que el convertidor interconecte las líneas trifásicas para que pueda fluir por ellas la corriente reactiva. El convertidor toma una pequeña cantidad de potencia real para compensar la pérdida interna (en conmutación). Si se requiere alimentar potencia real al bus, el capacitor se sustituye por un acumulador. Para ello, la conmutación del circuito se debe modificar para crear una diferencia áde fases entre Vo y % con Vo en adelanto respecto de V. El converlidor que se acaba de explicar se conecta en paralelo con la línea. En términos análogos, se puede construir un convefiidor con sus terminales en serie con la línea. Debe conducir la corriente de línea y suministrar un voltaje de magnitud adecuada (puede ser también de fase) en serie con la línea. En tal conexión ésta funcionaría como un modificador de impedancia de la línea.

15.10 CONTROLADORES FACTS El desarrollo de controladores FACTS ha ido por dos caminos diferentes. El primero emplea impedancias reactivas o un transformador con cambio de tomas o derivaciones con conmutadores de tiristor como elementos controlados; en el segundo método se emplean convertidores estáticos autoconmutados como fuentes controladas de voltaje. En general, los controladores FACTS se pueden dividir en cuatro categorías: i) en serie, ii) en paralelo, lli) en serie-serie combinados y lv) en serie-paralelo combinados.

En la figura 15.8a) se muestra el símbolo general de un controlador FACTS, que tiene una flecha de tiristor dentro del recuadro. El controlador en serie de la figura 15.8 á) podría ser una impedancia variable, como un capacitor, reactor, etc., o una fuente variable basada en circuitos electrónicos de potencia. Todos los controladores en serie inyectan voltaje en serie con la línea. Si el voltaje está en cuadratura de fase con la línea, el controlador en serie sólo suministra o consume potencia reactiva variable. Cualquier otra relación de fase también implicaría potencia real. Los controladores en paralelo de la figura 15.8c) pueden ser impedancia r.ariable, fuente variable o una combinación de ellas. Todos los controladores en paralelo inyectan corriente al sistema en el punto de conexión. Los controladores en serie-serie combinados de la figura 15.8ü podúan ser una combinación de controladores separados en serie que se controlan en forma coordinada, o bien podrían ser un controlador unificado. Los controladores combinados en serie-paralelo se controlan en forma coordinada como se muestra en la f,gura 15.8¿), o con un controlador unificado de flujo de potencia con elementos en serie y en paralelo, como se muestra en la figura 15.8/). Para el controlador unificado puede haber un intercambio de potencia real entre los controladores en serie y en paralelo a través del enlace cd de potencia. Se pueden agregar fuentes de almacenamiento, como un capacitor, acumulador, imán superconductor o cualquier otra fuente de energía, en paralelo, a través de una intertaz electrónica, para reabastecer el almacenamiento de cd del convertidor como se ve en línea de puntos en la figura 15.8á). Un controlador con almacenamiento es mucho más efectivo en controlar la dinámica del sistema que el mismo controlador sin almacenamiento.

5@

l

CAPíTULO

15

Compensación en los sistemas de Dotencia

171*

)f9,.

.

,

Almacenamientoi

a) Símbolo general

b) Controlador en serie

para controladores FACTS (FC)

i;;t l__i¡uf____ 'T*

II

Enl"9" Lín"".

Oe

f-tgfc) Controlador en paralelo

-r-

________

CO

oe ca

d) Controlador unificado serie-serie

Línea

l

I i

enlace de potencia de cd

e) Controlador coordinado en serie y en paralelo

Figura

15.8

f) Controlador unificado serie-oaralelo

Diferentes controladores FACTS

El grupo de controladores FACTS que emplea fuentes de voltaje síncrono con base en convertidor de conmutación comprenden el síncrono eSTATico COMpensador (STAICOM), el compensador serie síncrono estático (SSCC: static synchronous series compensator), el controlador de flujo de potencia unificado (UPFC: unified power flow controller) y por último, el controlador de flujo de potencia interlínea (IPFC: interline power flow controller). STATCOM El STAICOM es un generador síncrono estático operado como compensadorestático de var conectado en paralelo cuya corriente de salida, capacitiva o inductiva, se puede controlar de forma independiente del voltaje de CA del sistema. El STATCOM, al igual que su contraparte SVC convencional, controla el voltaje de transmisión por compensación reactiva en paralelo. Se puede basar en una fuente de voltaje o de corriente. La figura 15.9 muestra un diagrama unifilar de un STATCOM con base en un convertidor con fuente de voltaje y un convertidor con fuente de corriente. Por lo común se prefiere un convertidor con fuente de voltaje en la mayor parte de los controladores FACTS basados en un convertidor. Se puede diseñar el STATCOM como un filtro activo para absorber armónicas del sistema.

Line¿

-rLínea

rT-l

tl i,-,] ivl

+al

Figura

15.9

[noon,] b)

Convertrdores STATCOM: a) basados en fuente de voltaje y b) en fuente de corriente

Una combinación de ST-{TCO\Í 1' cualquier fuente de energía para suministrar o absorber potencia se llama generador síncrono estático (SSG: sraric synchronous generator).La fuente de energía puede ser un acumulador, un volante, un imán superconductor, un capacitor grande de almacenamiento de cd, otro rectificador/inversor, etcétera.

Compensador en serie síncrono estático (SSCC) Es un controlador conectado en serie. Aunque se parece al STAICOM, su voltaje de salida está en serie con la línea. Por consi-quiente, controla el voltaje a través de la línea y, en consecuencia. su impedancia.

Controlador de llujo de Tntencia interlínea (IPFC) Es un controlador recientemenrc introducido [2, 3]. Se trata de una combinación de dos o más compensadores en serie síncronos estáticos que se acoplan a través de un enlace común de cd para facilitar el flujo bidireccional de potencia real entre las terminales de ca de los SSSC, y se controlan para proporcionar compensación en serie reactiva independiente para el control de flujo de potencia real en cada línea y mantener la distribución deseada

de flujo de potencia entre las líneas. De este modo administra un manejo detallado de potencia real y reactiva. pa¡a un sistema de transmisión de multilínea.

Controlador de flujo de potencia unificado (UPFC) Este controlador se conecta como indica la figura 15.10. Es una combinación

de

STAICOM y SSSC, los cuales se acoplan por un enlace común de cd para permitir el flujo bidireccional de potencia real entre las terminales de salida en serie del SSSC y las terminales de salida en derivación (paralelo) del STAICOM. Se controlan para proporcionar una compensación en serie concurrente real y reactiva de línea sin una fuente externa de energía. El UPFC, mediante inyección de voltaje en serie no restringido angularmente, es capaz de controlar, en forma concurrente/simultánea o selectivamente, el voltaje, la impedancia y el ángulo en la línea de transmisión o, en forma alternativa, los flujos reales

CAPITULO

15

Compensación en los sistemas de potencia

STATCOM

Figura 15.10 Controlador de flujo unificado de potencia UPFC

y reactivos en la línea. También el UPFC puede proporcionar una compensación reactiva en derivación (paralelo), controlable en forma independiente.

Transformador por desplazamiento de fase controlado por tiristor FCPST) Este controlador también se llama regulador de ángulo de fase controlador por tiristor (TCPAR: thyristor-controlled phase angle regulator). Un transformador de desplazamiento de fase controlado por tiristor conmuta para dar un ángulo de fase de variación rápida.

Regulador de voltaje controlado por tiristor (TCVR) Un transformador controlado por tiristor que puede suministrar voltaje variable en fase con control continuo.

Controlador de potencia entre fases (IPC) Un contrólador conectado en serie de potencia activa y reactiva que consta, en cada fase, de ramas inductiva y capacitiva sometidas a voltajes con desplazamiento de fase por separado. La potencia activa y reactiva se puede ajustar en forma independiente si se ajustan los desplazamientos de fase y/o las impedancias de las ramas, por medio de conmutadores mecánicos o electrónicos.

Resistor de amortiguamiento controlado por titistor (TCBR) Es un resistor conmutado por un tiristor conectado en derivación (paralelo), el cual se controla para ayudar a estabilizar un sistema de potencia o para minimizar la aceleración de potencia de una unidad generadora durante una perturbación.

Limitador de voltaje controlado por tiristor ECVL) Es un varistor de metal-óxido (MOV: metal-oxide varistor) conmutado por tiristor para limitar el voltaje entre las terminales durante condiciones transitorias.

15.2 Comparac:- :: Í--::^=..:-:cs de los principales

Tabla

Estabilidad

Tipo de controladot FACTS

C, ,t;rol de V

SVC/STAICOM

XXX

SSSC

UPFC

transitoria XXX

Amortigtttuniento de oscilaciones

XX

X

XX XX XX XX

XXX

XXX

xxx

TCSC TCPAR

controladores FACTS

xxx XXX

X

pequeña influencia

HVDC Se hace notar que en !il:::- :-i-f,C ., F\CTS son tecnologías complementarias. El papel de la HVDC es. por rrz----¡: -----. n-i.i5. interconectar sistemas de ca donde una interconexión confiable di -: .:r-.: :.:-::iado costosa. La transmisión en HVDC así como un sistema de H\¡DC. :>::-;; ,,:: espalda, pueden mejorar la estabilidad transitoria y controlar los flujos en :" -r:.;: E- srsrema de HVDC basado en un convertidor de fuente de voltaje (autocorr:'.:.: :L3,le tener las mismas características que aquéllas del

STATCOM o LIPFC. E.I: .:.::n:' también regula el voltaje y proporciona amortiguamiento al sistema. En la tabla i5.l il- :: F:-senra una comparación del desempeño de los principales controladores FACTS i: r: ::>iema de ca.

RESUIJ4EN Desde la década de 19-r . --,S s't-rStoS de energía, las restricciones ambientales y las dificultades por el derecho de '. r". tunto con otros problemas legislativos y de costo social, han pospuesto la construc.-ir'l turlo de nuevos sistemas de generación como de transmisión en la India así como en 1: n¡r'oría de los demás países. En fecha reciente, por la adopción de reformas de potencre o por reestrLlcturación o desregulación, se están desarollando mercados competiti\ os Je energía eléctrica que obligan a servicios de transmisión de acceso abierto. A finales de la década de 1980 se formuló el concepto de FACTS. En estos diferentes controladores con base de electrónica de potencia (compensadores) se regula el flujo de potencia y el voltaje de transmisión, y mediante acciones rápidas de control se mitigan las perturbaciones dinámrcas. Debido a los FACTS ha aumentado la capacidad de las líneas de transmisión. Se desarrollaron dos tipos de controladores FACTS. En uno se emplean capacitores convencionales conmutados por tiristor y transformadores de cambios de tomas o derivaciones en cuadratura como SVC y TCSC. La segunda categoría fue la de los convertidores autoconmutados como fuentes de voltaje síncrono, por ejemplo, STAICOM, SSSC, UPFC e IPFC. Los dos grupos de controladores FACTS tienen características de operación y eficiencia muy diferentes. En el segundo grupo se usan conver-

CAPíTULO

15

Comoensación en los sistemas de potencia

tidores de cd a ca autoconmutado. El convertidor, respaldado por una fuente de alimentación de cd o de un dispositivo de almacenamiento de energía, también puede intercambiar potencia real con el sistema de ca, además de controlar en forma independiente la potencia reactiva. Está garantizado el uso cadavez mayor de los controladores FACTS en el futuro. Una de las principalesjustiflcaciones para optar por un controlador FACTS depende del grado de beneficios que se requieren para un sistema dado. Naturalmente, su forma y operación definitivas dependerán no sólo del buen desarrollo de las tecnologías y protocolos necesarios para control y comunicaciones, sino también de la estructura final de los sistemas de potencia en evolución y los recién estructurados.

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15. Kimbark,E.W,'ANewLookatShuntCompensation",IEEETrans.,vol.PAS-102,núm. de 1983, pp.212-218.

l,enero

r6

T6.1 INTRODUCCIÓN El pronóstico de carga tiene un importante papel en la planeación, operación y control de sistemas de potencia. Pronosticar quiere decir estimar 7a carga activa en diversos buses de carga antes de que se presente Ia carga real. Las aplicaciones del pronóstico de carga, en planeación y operación requieren cierto lapso de tiempo, que también se llama intervalos de pronósticos. La natnfaleza de los pronósticos, lapsos de tiempo y aplicaciones se resume en la tabla 16.1. Un buen pronostico que refleje las tendencias actuales y futuras, manejado con buen juicio, es la clave de todo éxito de planeación y financiero. La exactitud de un pronóstico es crucial para cualquier empresa eléctrica, porque determina los tiempos y características de las principales adiciones al sistema. Un pronóstico demasiado conservador puede producir bajos ingresos por ventas a las empresas vecinas o incluso en restricciones de carga. Los pronósticos muy altos pueden causar graves problemas flnancieros por in-

Tabla 16.1 Naturaleza del pronóstíco

Muy corto

plazo

Ittpsos de tíempo

Aplicación

De algunos segundos a algunos minutos

Programas de generación, distribución, análisis de contingencia por seguridad del sistema

Corto plazo

De media hora a algunas horas

Asignación de reserva de rodante, planeación de operaciones y dedicación de unidades; programación de man¡snimisalo

Intermedio

De algunos días a algunas semanas

Pla¡eación de picos en estaciones de invierno y verzrno

De algunos meses a algunos

Planeación del aumento de senera-

años

ción

Largo plazo

576

|

CAPíTULO

16

Técnicas para pronóstico de carga

t

versiones excesivas en una planta que no se utiliza en su totalidad o se opera con bajos factores de capacidad. No se puede confiar ciegamente en pronóstico alguno obtenido con procedimientos analíticos, sin el juicio del pronosticador, quien desempeña un papel sobresaliente para llegar a un pronóstico aceptable. Una tarea no trivial en sí misma es escoger una técnica de pronóstico para aplicarla a las necesidades futuras de carga. Dependiendo de la r'aloxaleza de las variaciones de carga, es posible que un determinado método sea mejor que otro. Los dos métodos para pronóstico de carga son el método de carga total y el método de componentes, que tienen sus propios méritos y desventajas. El método de carga total tiene la ventaja de ser mucho más uniforme e indicativo de las tendencias generales de crecimiento y que es fácil de aplicar. Por otra parte, en el mérito del método de componentes se pueden detectar las condiciones anormales en las tendencias de crecimiento de cierto componente y evitar así conclusiones engañosas del pronóstico. Sin embargo, hay una necesidad continua de mejorar 1a metodología para pronosticar con más exactitud la demanda de potencia. El objetivo de este capítulo es presentar breves descripciones de algunas de las técnicas que se han desarrollado a fin de tratar los diversos problemas de pronóstico de carga. Todas ellas se basan en la suposición que la carga real suministrada por determinado sistema es igual a las demandas en todo momento (es decir, no hay apagones ni pérdidas deliberados de carga). Entonces será posible realizar un análisis estadístico de datos previos de carga con objeto de establecer un modelo adecuado del patrón de demanda. Una vez que se ha hecho. en general, es posible utilizar el modelo de carga identificado para predecir la demanda estimada para el lapso de tiempo seleccionado. Una de las partes principales de la tarea de pronóstico está relacionada con la identificación del mejor modelo posible para el comportamiento de la cnga en el pasado. Esto se logra mejor al descomponer la demanda de carga en cualquier punto en el tiempo en varios componentes distintos. La carga depende de las actividades industriales, comerciales y agrícolas así como de las condiciones meteorológicas del sistema o área. El componente sensible del estado del tiempo depende de tempetatura, nubosidad, velocidad del viento, visibilidad y precipitación. Recuerde las breves descripciones en el capítulo 1 acerca de la naturaleza de la curva de carga diaria, que muestran una parte constante que corresponde a la carga base y otras partes variables. Para fines de pronóstico de carga, una descomposición sencilla puede servir como un buen punto de inicio. Sea y(k) la demanda total de carga (para el sistema completo o para una de sus partes) en los tiempos discretos k = I, 2,3, ... En general, es posible descomponer a y(k) en dos partes de la

forma

y(ft)= yo(k)+ t,&)

(16.1)

donde el subíndice d indica la parte determinista y el subíndice s indica la parte estocástica de la demanda. Si se considera que k sea el tiempo presente, entonces y(k + j), j > 0 representaría una demanda de carga futura, y el índicej indica elplazo. Para un valor seleccionado del índice j el problema de pronóstico es, entonces, el mismo que el problema de estimar el valor de y(k + j) sin procesar los datos adecuados para la demanda de carga en el pasado.

16.2

16.2 METODOLOGÍA

Metodología de los

DE LOS PRONÓSTICOS

Las técnicas de pronóstico se pueden dividir en tres extensas clases. Esas técnicas se pueden basar en extrapolación o en correlación o en una combinación de ambas. Además las técnicas se pueden clasificar en deterministas, probabilistas o estocásticas.

Extrapolación Las técnicas de extrapolación consisten en ajustar curvas de tendencia a datos históricos básicos ajustados para reflejar la tendencia misma de crecimiento. Con una curva de tendencia, el pronósfico se obtiene al evaluar la función de la curva de tendencia en el punto futuro deseado. Aunque es un procedimiento muy simple, da resultados razonables en algunos casos. A esa técnica se le llama extrapolación determinista, porque no se toman en cuenta los errores aleatorios en los datos o en el modelo analítico. Las funciones analíticas que por lo común se usan en ajustes de curvas de tendencias son [3] t) Línearecta

ii) iii)

!=a+bx

Parábola

!=a+bx+cf

Curva-S

iv) Exponencial

y=a+bx+cf+dx3 !=ce^

v) Gempertz

)

I S77 -r-

pronósticos

= ln-1 (a + cee)

Latécnica más común para ajuste de curvas para determinar coeficientes y exponentes (a-d) de una función en un pronóstico es el de mínimos cuadrados. Si se va a cuantificar la incertidumbre de los resultados extrapolados mediante entidades estadísticas como promedio y varianza, la técnica básica se convierte en extrapolación probabilista. Con el análisis de regresión se puede obtener y usar el mejor estimado del modelo que describe la tendencia para pronosticar ésta.

Correlación En las técnicas de correlación para pronósticos las cargas del sistema se relacionan con diversos factores demográficos y económicos. Este método tiene la ventaja de hacer que el pronosticador comprenda con claridad la interrelación entre los patrones de crecimiento de carga y otros factores medibles. La desventaja es la necesidad de pronosticar factores demográficos y económicos, lo cual puede ser más difícil que pronosticar la carga del sistema. En forma típica, factores como población, empleo, autorizaciones de construcción, comercio, datos meteorológicos y aspectos relacionados se empiean en las técnicas de correlación. Ninguno de los métodos de pronóstico es efectivo en todas las situaciones. Se deben

usar las técnicas de pronóstico como herramientas para ayudar al planeador; nunca se podrán sustituir el buen juicio y la experiencia por completo.

,

CAPITULO

16

Técnicas para pronóstico de carga

16.3 ESTIMACIÓN DE LOS TÉRMINOS DE PROMEDIO Y DE TENDENCIA La forma más sencilla posible de la parte determinista de y(t) está dada por y¿ (k)

= lo + bk + e(k)

(16.2)

donde y¿ representa el promedio o valor medio de ,,"¿(k), bk representa el término de Íendencia que crece linealmente con ft y e(k) representa el error de modelar la carga completa usando sólo los términos de promedio y de tendencia. La cuestión es estimar los valores de los dos parámetros desconocidos del modelo :"¿y b para asegurar un buen modelo. Como se vio en el capítulo 14, cuando hay poca o ninguna información estadística acerca del término de error, el método de estimación por mínimos cuadrados es útil. Si se va a usar este método para estimar lay b, se define el índice "I de estimación con la relación

r{e)&)}

J=

(16.3)

donde E(') representa la operación de expectativa. Al sustituir e(k) de la ecuación (16.2) y usando las condiciones necesarias de primer orden para que el índice -I tenga su valor mínimo con respecto alay a b, se encuentra que se deben satisfacer las condiciones siguientes [2].

E {!¿ - r'r(k) + bk}= g E {bÉ - r',,(A)ft + Uft} = 0

(16.4a) (16.4b)

Como la operación de expectativa no afecta las cantidades constantes, es fácil resolver estas dos ecuaciones y obtener las relaciones que se buscan.

-

Ya= Eb',lkl! b

b{E(k)}

-

= lE{\'d(b,t}

(16.5a)

.r,i E{kIllE&2)

(16.5b)

Si se supone que y(k) es estacionario (las cantidades estadísticas no dependen del tiempo), por lo que se puede hacer la hipótesis ergódica que la distribución final es independiente del estado inicial y sustiruir la operación de expectativa por la fórmula de promedio respecto al tiempo. Entonces. si se supone que hay N datos en total disponibles para determinar los promedios en el tiempo, las dos relaciones se pueden expresar en forma equivalente como sigue.

!a=

(*)[]'"'

D-b>kl

i, (k)/.]-

(16.6a)

-][á','-'] T [ t=1

N

[N

¡slr'-l )t H

r=l

lH L

(16.6b)

12 I I

t=l I

Estas dos relaciones se pueden emplear fructíferamente para estimar el promedio coeficiente de tendencia para cualesquiera datos de carga.

y

el

16.3

Estimación de los términos de promedio y de tendencia

Note que las ecuaciones (16.6a) y (16.6b) no son muy exactas cuando los datos de carga se comportan como proceso no estacionario, pues la hipótesis ergódica no se cum-

ple en esos casos. Todavía es posible suponer que los datos son estacionarios dentro de una ventana finita de tiempo y entonces se puede considerar que todo el conjunto de datos es la yuxtaposición de un número de bloques estacionarios, cada uno con estadísticas ligeramente distintas. Las ecuaciones (16.6a) y (16.6b) se pueden repetir entonces sobre los distintos bloques, para calcular el promedio y el coeficiente de tendencia para cada ventana de datos.

Para ilustrar la nattraleza de los resultados que pueden obtenerse con las ecuaciones (16.6a) y (16.6b), se tienen los datos que ilustran las gráficas de la figura 16.1 que expresan la población en millones. Los valores monetarios de las producciones agrícola e industrial están en rupias y el consumo de energía eléctrica (demanda de carga) en MW, en Punjab, durante siete años a partir de 1968. De las gráficas se generó un total de 85 datos, muestreándolas a intervalos de 30 días. Estos datos se han sustituido en las ecuaciones (16.6a) y (16.6b) para calcular los promedios y los coeficientes de tendencia de las cuatro variables. En la tabla 16.2 se muestran los resultados.

Precaución Los 85 datos del ejemplo 16.1, en general, no son adecuados para cálculos estadísticos y entonces los valores indicados antes pueden no ser del todo apropiados. Además, las características estadísticas del conjunto de variables relacionadas pudieron haber cambiado (es decir, de hecho los datos pueden ser no estacionarios) lo cual puede introducir error en los resultados. Por último, las gráficas de la figura 16.1 se basan en realidad en datos semestrales obtenidos del documento de la comisión de planeación y se empleó un proceso de interpolación para generar los datos mensuales. Esto puede agregar algunos enores no especificados a los datos, lo cual también afectará la exactitud de las estimaciones.

Predicción de y¿(k

+

j)

Una vez determinado el modelo de carga para el componente determinista es sencillo predecir su valor futuro. Para el modelo simple de la ecuación (16.2),la predicción que se busca se calcula con la relación

!¿(k+j)=i¿+b(k+j)

(16.7)

Tabla 16.2 Varíable

Población Producción industrial Producción agrícola Demanda de carga

Promedio 13 millones

397 millones de rupias 420.9 millones de rupias 855.8 MW

Coeficiente de tendencia 0.2 0.54 0.78 1.34

5S0l

CAPITULO

16

Técnicas para pronóstico de carga

Población en millones

-- -

-.

---

.-

Producción industrial en millones de rupias Producción agrícola en millones de rupias Demanda de carga, en MW

-

.7

lr'

J/

./;

I to

lili I

,@

-lrrr¡ Oc i=

'i9'-1,

o5I Años (1968-1976)

Figura

16.1

-

Gráficas de los datos

A

t¿ b

o

72 96 k (horas)-

120

144

168

Domingo

A

I¿ l

(ú

()6

168 192 216

240 k

Figura

16.2

264 288

(horas)--

312

336

Comportamiento de la carga por hora de Delhi durante dos semanas consecutivas

Estimación de los componentes periódicos

Formas más generales del modelo Antes de dejar esta sección, se debe indicar que se puede generalizar el modelo de carga si se incluyen términos de segundo orden 1' superiores en el miembro derecho de la ecuación (16.2), para representar un comportamiento de carga más complejo. Por ejemplo. se puede suponer que el modelo de car_ea es L

,, \'(/<)= sl> btKt+e\K)

(16.8a)

-4

donde el coeficiente á, se debe estimar a partir de los datos de carga en el pasado. Es obvio que el modelo de carga anterior es una función no lineal del índice k del tiempo y necesita la estimación de coeficientes Z,. Un método mucho más simple para modelar la carga en forma no lineal es introducir una forma exponencial

y(k)= cexplbkl+

(16.8b)

e(k)

donde sólo intervienen dos coeficientes desconocidos. Además de reducir la cantidad de incógnitas, el modelo exponencial tiene la ventaja adicional de poder transformarse con facilidad en forma lineal. Todo lo que se requiere es obtener el logaritmo natural de los datos dados. En cada caso, el método de estimación por mínimos cuadrados se amplía con facilidad para estimar los parámetros del modelo a partir de los datos históricos dados.

16.4 ESTIMACIÓN

DE LOS COMPONENTES

PERIÓDICOS La pane determinista de la carga puede contener algunos componentes periódicos además del promedio y los términos polinomiales. Por ejemplo, considere la curva de la figura 16.2 que muestra la variación de potencia activa suministrada por una empresa eléctrica durante un periodo de dos semanas. Se obsen'a que las variaciones diarias de la carga son repetitivas día a día excepto por algunas fluctuaciones aleatorias. También se ve que la curva para los domingos difiere de forma significatii'a de las de los otros días de la semana, porque los domingos son días de fiesta. Sucede que 1a cun'a para todo el periodo semanal que comienza, por ejemplo, a media noche de un domin_eo 1' termina a media noche del siguiente domingo, se comporta como una forma de onda periódica con va¡iables aleatorias sobrepuestas. Si se supone que los datos de carga se muestrean cada hora, habrá un total de 168 datos de carga en un periodo por lo que el patrón de carga se puede expresar en términos de una serie de Fourier con una frecuencia fundamental i.:oigual a2rrl168 radianes. Entonces, un modelo adecuado para la carga y(t) sería L

y(k) = y

+ sa). Ll-',

[a, sen iak+ b, cos irofr]

+

e(A)

(16.e)

donde l representa la cantidad total de armónicas presentes y a¡y b¡ son las amplitudes de los componentes senoidales y cosenoidales, respectivamente. En el modelo sólo se deben incluir las armónicas dominantes.

CAPÍTULO

16

Técnicas para pronóstico de

Una vez que se identiflca el modelo armónico de carga, es sencillo hacer un pronóstico de la carga futura y¿(k + j) con la relación

9¿(k +

(16.10)

i) = h' (k + i)i(k)

DE LAS y(k): MÉTODO DE SERIE DE TIEMPO

16.5 ESTIMACIÓN

Si se resra ylk) de la sucesión y(k), elresultado sería una sucesión de datos para la parte estocástica de la carga. Hay que identificar el modelo para y"(k) y usarlo entonces para predecir y"(k + j). Un método conveniente para ello se basa en el uso de modelos de series áe tiempoestocásticas. La forma más sencilla de ese modelo es el llamado modelo autorregresivo, que se ha usado mucho para representar el comportamiento de una sucesión estocástica estacionaria con promedio cero. El método propuesto para generar los datos de y,(t) asegura que la sucesión y,(k) tendrá promedio cero. Si también se supone que es estaóionaria, podrá identificarse un modelo autorregresivo adecuado para esta sucesión.

Modelos autorregresivos Se dice que la sucesión y,(k) satisface un modelo AR (autorregresivo) de orden n, es decir,

que es [AR(n)] y puede expresarse como (16.1 1) l=l

donde a; son los parámetros del modelo y w(k) es una sucesión blanca con promedio cero. para que la solución de esta ecuación pueda representar un proceso estacionario, es necesario que los coeficientes c, hagan que las raíces de la ecuación característica

I- a1{l- azzJ- '-. -

an z-n

=0

se encuentren dentro del círculo unitario en el plano z.

llamaproblema de identificación estructural, mientrás que el de estimar los parámetros a, se llamaproblema de estimación de paróme¡ros. Una ventaja del modelo de AR es que los dos problemas se resuelven con relativa facilidad si primero se calculan las funciones de autocorrelación con los datos dados. Una vez estimados el orden n del modelo y el vector a de pariámetros, el problema siguiente es estimar las estadísticas del proceso del ruido w(k).Lo mejor que se puede hacer se basa (ft)' el en suponer que la estimacién de u¡(k) la proporciona el residuo e(k) - y,(k) - Í,

El problema de estimar el valor de n

estimado

!,

se

(k) se determina con

i,(kt =

-Z

o, Y, (fr- l)

(16.r2)

i=1

Lavananza

&

de w(k) se estima entonces con la ecuación N

a,2

= (rll,{)

L"'Qr) k=l

(16.13)

16.6

Estimación del comoonente estocástico: método de filtrado de Kalman

Modelos autorregresivos de promedio móvil En algunos casos el modelo de AR no será adecuado para representar el comportamiento observado de la carga a menos que el orden n del modelo sea muy alto. En esos casos se usa el modelo ARMA (n, m).

(16.r4) Se requiere la estimación de dos parámetros estmcturales, n y m, así como de los parámetros a¡ b¡ y la varianza I del término del ruido w(k). pan el modelo. Puede representarse un comportamiento más complejo. El problema de identificación se resuelve fuera de la línea. Luego se usa el modelo aceptable de carga en línea para obtener pronósticos de carga en línea. Se puede modificar con facilidad el modelo ARMA para incorporar datos de temperatura, lluvia, velocidad del viento y humedad [2]. En algunos casos se prefiere mostrar la dependencia de la demanda de carga respecto a variables meteorológicas en forma explícita. Los modelos de series de tiempo se generalizan con facilidad para que reflejen la dependencia entre la demanda de carga y una o más variables climáticas.

16.6 ESTIMACIÓN DEL COMPONENTE ESTOCÁSTICO: MÉTODO DE FILTRADo DE KALMAN Se ha empleado mucho el modelo de series periódicas para tratar el problema de pronós-

tico de carga gracias a su relativa simplicidad de las formas del modelo. Sin embargo, con este método se tiende a pasar por alto información estadística acerca de los datos de carga que, con frecuencia, pueden estar disponibles y llevar a mejores pronósticos de carga si se usan de una manera apropiada. En el modelo ARMA, el problema de identificación de modelo no es tan simple. En algunas situaciones pueden evitarse estas dificultades si se utilizan las técnicas de filtrado de Kalman.

Aplicación a los pronósticos a corto plazo Toyada et al. llll sugirieron una aplicación del algoritmo de filtrado de Kalman al problema de pronóstico de carga para situaciones a muy corto y corto plazo. Para este último caso. por ejemplo, es posible basarse en razonamientos intuitivos para sugenr que un modelo aceptable de la demanda de carga tendría la forma

y,(k)=y,(k)+

v(k)

(16.15)

donde y,(k) es el valor observado de la carga estocástica en el tiempo k, y,(k) es el valor real o verdadero de esa carga,y v(k) es el error en la carga observada. Además, la dinrámica de la carga verdadera se puede expresar como

y,(k

+I) = yík) + z(k) + ur(k)

(

16.16)

donde z(k) representa el incremento de la demanda de carga en el momento k, y u1(k) representa un término de perturbación para considerar las perturbaciones estocásticas en

CAPíTULO

16

Técnicas para pronóstico de carga

yr(ft). Se supone que el mismo incremento de carga peÍnanece constante en un promedio en cada punto en el tiempo y que se modela con la ecuación

z(k +I) = z(k) + ur(k)

(16.r7)

donde el término u2(k) es un término de perturbación estocástica. Para aplicar las técnicas de filtrado de Kalman, se supone que los términos de ruido u{k), u2(k) y v(t) son sucesiones gaussianas blancas independientes con promedio cero. También, se reformulan como sigue las ecuaciones del modelo

x

(k+1)

+ Gu(k) = h' x(k) + v(ft)

=

Y"(k)

Px(k)

( 16.1

8a)

(16. r 8b)

donde los vectores x(k) y u(k) se def,nen como

x(k)

A continuación

= ty,(k) + (k)lr y

u(k)

= [ur(k)

se obtienen con facilidad las matrices.E G v

u2(k)]r

h'

de las ecuaciones (16.15)

a (16.17) y tienen los siguientes valores

ltl.G=ll-l 0rl.h=lt-lr F=lt-r 1l L0 L0 lJ LOl

I

Con base en el modelo (16.18), es posible usar el algoritmo de filtrado de Kalman para obtener la estimación de varianza mínima del vector x(k) con los datos yr(k): {yr(l), yr(z), ... y"(k)].Este algoritmo consiste en las ecuaciones siguientes:

i

(ktk)

= i (t il, -

1)

+ K, (k) tl,"(ft)

- h' i (k/k-r)l

i(ktk -r) = F i((k-L)/(k-r)) KÁk)

P.(klk)

P,(klk

-

1)

= Px(k/k-l) h[h' P*(klk-l)h + R(k)]-I

=

U-

K*(k) h'| P,(klk-I)

= FP,(k-flk-I)F' + GQ(k-l)G'

(16.l9a) (16.1eb) (

(16.1ed) (16.19e)

donde

Q&) = covarianzade u(k) R(/r)

i i

-

covaianza de v(k)

@k) = estimado filtrado

de x(k)

Wk K,(k) = vector de ganancia de filtro, de la misma dimensión que -r(k) P'(l(/k) = covatianza de error de filtrado 1) = predicción de x(ft) en una etapa

- 1) = covarianza del error de predicción La predicción i ((k + I)lk) se obtiene con la ecuación (16.18b). P,(l{k

16.19c)

16.6

Estimación del componente estocástico: método de filtrado de Kalman

De ella se obtiene la predicción de carga un paso adelante

,i,(ft +

l)= h'ft((k+l)lk)

( 16.1

eD

Se notará que el filtrado implica la supresión del término de perturbación o estocástico, cuyo promedio es cero. También es posible obtener una predicción de las cargas en varios pasos adelante a partir del vector x(ft) de predicción. Por ejemplo, si se requiere la predicctón x(k + d) al procesar el conjunto de datos Y,(k). para cualquier d > l, es posible usar la solución de la ecuación (16.18a) para el vectorr(fr + d) para llegar al resultado

i(k

+ d)= Fdi(klk)

(16.199)

Para poder usar este algoritmo y generar el pronóstico de la carga y r(k + que se disponga de las estadísticas del ruido y de alguna otra información.

rio el valor de R(k)

ó

es necesa-

A menudo,

se puede estimar de un conocimiento de

la exactitud de los medidores muy improbable que se conozca el valor de la covarianza Q(k) para comenzar y, en consecuencia, se deberá obtener por algún medio. Se puede usar una versión adaptable del algoritmo de flltrado de Kalman para estimar las estadísticas del ruido junto con el vector de estado x(k) I2l. Suponga ahora que tanto R(k) como Q(fr) son cantidades conocidas. También suponga que se conocen la estimación inicial i (0i0) y la covarianza P,(0/0). Con base en esta información a priori, es posible úilizalr las ecuaciones (16.19a) a (16.19e) en forma recursiva para procesar los datos de y"(1), yr(2), ...y,(k) y generar el estimado del filtrado i (klk).Unavez que se dispone de é1, se puede utilizar la ecuación (16.199) para generar el pronóstico de carga deseado. utilizados. Sin embargo,

es

Para ilustrar lanattraleza de los resultados que se pueden obtener por medio del algoritmo que se acaba de describir, se procesaron los datos del comportamiento de la carga para Delhi de corto plazo. Se procesó un total de I 030 datos reunidos a intervalos de 15 minutos. Se supuso que, en vista del corto interv'alo de tiempo en el cual se encuentran el conjunto total de datos, se puede suponer que la parte determinista de la carga es un término promedio constante. Si se emplea la fórmula (16.7) del promedio muestra (con b = 0), se obtiene y, =220li4W. Los datos de y"(k) se generaron al restar el Valor promedio de los datos medidos de carga. Para procesar estos datos estocásticos, se usó Ia siguiente información a priori:

R(k)

.

=

* roror =

3.74, t-O'r

t20 0t | 0 0.386.1 L t-0.1 0 r P-(0/0) = I ' 0.011 L0 O(kt=

I

I

[o ]

536 |

CAPíTULO

16

Técnicas para pronóstico de carga

t

1. Carga real 2. Error de pronóstico de 15 minutos

= o)

.i

ñ o (g

6 E

180

o

o

= rob ro :9 ol |

n 6l 4E

-l o

o

nuJc

Los resultados de aplicar el algoritmo (16.19) de predicción se ven en la figura 16.3. Se nota que el error de 15 minutos adelante de la carga pronosticada es de alrededor de 8 MW lo cual es cerca del 3Vo de la carga promedio y menor del 2Vo de la carga máxima diaria.

Comentario Con frecuencia,la aplicación de las técnicas de filtrado de Kalman y de predicción se dif,culta por la no disponibilidad del modelo de la variable de estado requerido para los datos de la carga en cuestión. Para los pocos casos descritos en esta sección se ha obtenido una parte del modelo por consideraciones físicas. La parte que no estuvo disponible comprende las varianzas de estado y de ruido de salida, y los datos para la estimación del estado inicial con su covarianza correspondiente. En una situación general de pronóstico de carga, puede ser que ninguno de los parámetros del modelo esté disponible para comenzar y sería necesario usar las técnicas de identificación del sistema, para obtener el modelo del estado necesario. Se ha demostrado que el modelo de Gauss-Markov descrito por la ecuación (16.18) no está sobreparametrizado desde el punto de vista de identificación del modelo, en el sentido que los datos de y,(k) no permiten la estimación de todos los parámetros de este modelo. Se ha demostrado asimismo, en la referencia [12], que un modelo adecuado que sea identificable y equivalente al modelo de Gauss-Markov para fines de estimación del estado es el modelo de innovación que se emplea para estimar el componente estocástico.

16,8

Pronóstico de la caroa reactiva

Técnicas en línea para predicción de carga no estacionaria La mayor parte de los datos prácticos de carga se comportan en forma no estacionaria, por lo que es importante considerar el problema de adaptar las técnicas descritas hasta ahora para la situación no estacionaria. En la referencia l2l se analizan los tres modelos para este propósito que son: i) modelos ARIMA (autoregressive integrated moving averages, promedios móviles integrados autorregresivos), il) modelo variable en el tiempo y ili) modelos no dinámicos.

16.7

PREDICCIONES A LARGO PLAZO USANDO MODELOS ECONOMÉTRICOS

Si se requieren los pronósticos de carga para fines de planeación, es necesario seleccionar el lapso de tiempo, que puede ir de algunos meses a algunos años. En esos casos la demanda de carga debería descomponerse en una forma que refleje la dependencia entre la carga y los diversos segmentos de la economía dela región en cuestión. Por ejemplo, se puede descomponer la demanda total de carga y(k) como

(16.20a) donde a, son los coeficientes de regresión, 1r¿(ft) son las variables económicas seleccionadas y e(k) representa el error del modelado. Un procedimiento relativamente sencillo es escribir la ecuación del modelo en la notación vectorial familiar

Y(k)=h'(k)x+

donde

(16.20b)

e(k)

h'(k)= lyt&) yz&) ... ym&\y x = fat a2...

a¡a).

Entonces, los coeficientes de regresión se pueden estimar usando el algoritmo adecuado de mínimos cuadrados. Así ya es posible tener pronósticos de carga, con la ecuación sencilla

i& + l) = i' (k) h(k +Ilk)

(16.21)

i

donde (k) es la estimación del vector de coeficientes, basada en los datos disponibles hasta el k-ésimo punto de muestreo y ñ 1t + t/k) es la predicción del vector de regresión h(k),un paso adelante.

16.8

PRONÓSTICO DE LA CARGA REACTIVA

Las cargas reactivas no son tan fáciles de predecir en comparación con las cargas activas, porque estas últimas no sólo están formadas por componentes reactivos de las cargas, sino también por redes de transmisión y distribución y por dispositivos compensadores de VAR, como SVC, FACT, etc. Por consiguiente, los datos pasados pueden no producir el

CAPíTULO

16

Técnicas para pronóstico de carga

pronóstico correcto porque la carga reactiva cambia con variaciones en la configuración de la red durante diversas condiciones de operación. El uso de un pronóstico de cargaactiva con predicción de factor de potencia puede llegar a resultados algo más satisfactorios. Naturalmente aquí también se pueden usar sólo datos anteriores muy recientes (de pocos minutos u horas) y suponer así una configuración de la red en régimen permanente. Las cargas reactivas pronosticadas se adaptan con los requisitos reactivos actuales de la red, los cuales incluyen dispositivos de compensación de var. Se necesitan esos pronósticos para análisis de seguridad, programación de voltaje/potencia reactiva, etc. Si es insuficiente la acción de control, deberán llevarse a cabo modificaciones estructurales, es decir, deberán instalarse en el caso normal nuevas unidades generadoras, nuevas líneas o nuevos dispositivos compensadores de var.

RESUIvtEN

El pronóstico de la carga es un paso básico de la planeación de los sistemas de potencia. En este capítulo se ha presentado una reseña razonablemente autosuficiente de las diversas técnicas para predicción de la carga de un sistema moderno de potencia, en el que se destacan los problemas de predicción a corto plazo. Se han descrito las aplicaciones de las series de tiempo, de los modelos de Gauss-Markov y de innovación para definir un modelo dinámico adecuado para la parte estocástica de los datos de carga. También se ha presentado el problema de identificación del modelo de serie de tiempo por técnicas de identificación de estimación por mínimos cuadrados desarrolladas en el capítulo 14. En un sistema interconectado de potencia, las predicciones de carga se suelen necesitar paratodos los buses imporlantes de carga. En años recientes se ha prestado gran atención a la cuestión de preparar los modelos de demanda para las aplicaciones de aparatos individuales y su impacto sobre la demanda agregada. Con frecuencia será necesario usar formas no lineales de modelos de carga y el problema importante es la identificación de modelos no lineales de formas diferentes. Por último, se puede afirmar que ningún método o ataque en particular funcionará para todas las empresas eléctricas. Todos los métodos se hilvanan con un solo hilo que es el juicio del pronosticador. De ninguna manera el material que se presentó aquí es detallado. Se ha hecho el intento para introducir algunas ideas que se emplean en la actualidad para pronosticar las necesidades de carga.

Tendencias futuras El pronóstico de cargas eléctricas ha llegado a un estado confortable de desempeño en los años anteriores a los recientes impulsos de reestructuración de la industria. Como se describió en este capítulo, las técnicas adaptivas de series de tiempo con base en métodos ARIMA, filtrado de Kalman o métodos espectrales, tienen la exactitud suficiente a corto plazo pna fines de operación, con effores del 1 al 2Vo. Sin embargo, la llegada de los mercados competitivos se ha relacionado con la expectativa de mayor participación del consumidor. En general se pueden identificar las siguientes tendencias:

l)

Los effores de pronóstico tienen implicaciones significativas en las utilidades, participación en el mercado v en el r'alor pera Ios accionistas.

li)

El pronóstico de día antictpado. basado e n res condiciones meteorológicas, es ahora la actividad más importante en un me¡cado desreslado.

iii) La información

se torna ahora comercialmenre sensible

\,cada vez es más secreto

comercial.

iv) La generación distribuida, embebida v dispersa puede aumenrar. Un artículo reciente [7] presenta un panorama selectivo de algunos de los asuntos de pronósticos que hoy se relacionan con la toma de decisiones en un mercado competitivo. El pronóstico de cargas y precios en los mercados al mayoreo son actividades mutuamente entrelazadas. Los modelos basados en agentes artificiales simulados pueden lle_ear a ser con el tiempo tan relevantes por el lado de la oferta como las redes neuronales anificiales ya son importantes para predicción de la demanda. Sin embargo, esos modelos necesitan más investigación e integración con los métodos convencionales de series de tiempo pa¡a permitir que los pronósticos sean más precisos.

PRECUNTA' DE REPA'O

6.1 ¿Cuál método 16.2 ¿Cu'ál método 1

de pronóstico de carga sugeriría para largo plazo y por qué? de pronóstico de carga sugeriría para muy corto plazo y por qué?

16.3 ¿Qué objeto tiene el pronóstico

16.4

a mediano plazo? qué se consideran el conocimiento y la intuición del pronosticador superiores ¿Por a cualquier método de pronóstico? ¿Debería el pronosticador intervenir para modificar un pronóstico?, ¿cuándo, por qué y cómo?

16'5 ¿Por qué y cuáles son los componentes no estacionarios de cambios de carga durante plazos muy cortos, cortos, medianos y largos?

REFERENCIAS

Libros 1' 2.

Nagrath, I.J. y D.P. Khotari, Power System Engíneerütg, Tata }fcGrau -Hill. Nueva Delhi, 1994. Mahalanabis. A.K., D.P Kothari y S.I. Ahson. Conryuter Aided Potrer St stetn Analysis and Control, Tata McGraw-Hill, Nueva Delhi, 1988.

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cAPíTuLo

16

Técnicas para pronóstrco oe carga

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Tyoda,

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17 l::::\::l;:,::;,,M,,

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I7.I

INTRODUCCIÓN

Los problemas de control y estabilidad de voltaje son mucho muy familiares para la industria eléctrica pero ahora todos los analistas e investigadores les dan especial atención. Con el tamaño creciente junto con las presiones económicas y ambientales, la amenaza de unaposible inestabilidad de voltaje se vuelve cadavez más importante en las redes de sistemas de potencia. En años recientes, la inestabilidad del voltaje ha causado varios grandes colapsos de red en NuevaYork, Francia, Florida, Bélgica, Suecia y Japón[4,5]. Los investigadores, organizaciones de investigación y desarrollo y las empresas eléctricas en todo el mundo tratan de comprender, analizar y desarrollar estrategias cada vez más nuevas para contrarrestar la ameraza de inestabilidad/colapso de voltaje. La estabilidad del voltaje* abarca una variedad de fenómenos. Por ello, estabili-sran dad de voltaje significa cosas distintas para diferentes in-senieros. A veces. a la estabilidad de voltaje se le llama también estabilídctd de carga. Los términos inestabilidad de voltaje y colapso de voltaje a menudo se utilizan de forma indistinta. La inestabilidad de volraje es un proceso dinámico en donde, en contraste con la esrabilidad del ánsulo del rotor (estabilidad síncrona), la dinámica de voltaje implica principalmente los ripos de car_sas. r. los medios para el control del voltaje. Colapso de voltaje también se define como un proceso mediante el cual la inestabilidad del voltaje lleva a un perfil de voltaje muy bajo en una parte apreciable del sistema. El límite de inestabilidad de voltaje no está directamente correlacionado con el límite máximo de transferencia de potencia en la red. Un grupo de trabajo de CIGRE [25] ha propuesto las siguientes definiciones de estabilidad de voltaje.

Estabilidad de pequeñas perturbaciones de voltaie Un sistema eléctrico de potencia en determinado estado de operación es estable frente a pequeñas perturbaciones de voltaje si, después de cualquier pequeña perturbación, los voltajes cerca de las cargas no cambian o perrnanecen cercanos a los valores anteriores a * Ya se ha presentado el problema de la estabilidad del voltaje, brevemente, en el capítulo 13. Aquí se describe una vez más pero con mayor detalle al dedicarle todo un capítulo.

CAPíTULO

17

Estabilidad de voltaje

la perturbación. El concepto de estabilidad de pequeña perturbación de voltaje se relaciona con la estabilidad de régimen permanente y puede analizarse por medio de un modelo de pequeña señal (linealizado) del sistema.

Estabilidad de voltaje Un sistema eléctrico de potencia en un estado de operación dado es estable en voltaje o es de voltaje estable si al someterlo a cierta perturbación los voltajes cercanos a las cargas se aproximan a los valores de equilibrio después de la perturbación. El concepto de estabilidad de voltaje se relaciona con la estabilidad transitoria de un sistema de potencia. El análisis de la estabilidad de voltaje suele requerir la simulación del sistema, modelado con ecuaciones diferenciales-algebraicas no lineales'

Colapso de voltaie Después de una inestabilidad de voltaje un sistema de potencia experimenta un colapso de voltaje si los voltajes de equilibrio posperturbación, cerca de las cargas, están por debajo de los límites aceptables. El colapso de voltaje puede ser total (apagón) o parcial. La seguridad de voltaje es la capacidad de un sistema, no sólo para operar de manera estable, sino para peÍnanecer estable después de contingencias creíbles o aumentos de

la carga. Aunque la estabilidad de voltaje comprende a la dinámica, a menudo los métodos de análisis estático basado en flujo de potencia sirven al propósito de un análisis rápido y aproximado.

I7.2 COMPARACIÓN DE ESTABILIDAD DE ÁNGULO Y ESTABILIDAD DE VOTTAJE El problema de estabilidad (síncrona) del ángulo del rotor (descrito en el capítulo 12) se ha comprendido y documentado bien [3]. Sin embargo, como los sistemas eléctricos de potencia funcionan cadavez más forzados debido a limitaciones estructurales, económicas y de recursos, alagregn cadavez una mayor cantidad de generadores, transformadores, líneas de transmisión y equipos anexos, la inestabilidad de voltaje se ha vuelto un problema serio. Por consiguiente, los estudios sobre estabilidad de voltaje han captado la atención de investigadores y planificadores en todo el mundo y es un campo de investigación activo. La potencia real se relaciona con la inestabilidad de ángulo de rotor. De igual modo, la potencia reactiva es central en los análisis de inestabilidad de voltaje. Un déficit o un exceso de potencia reactiva causa inestabilidad de voltaje local o global y cualquier aumento de carga puede conducir a un colapso de voltaje.

Estudios de estabilidad de voltaie La estabilidad de voltaje puede estudiarse ya sea con consideraciones estáticas (marco de tiempos pequeños) o dinámicas (durante largos tiempos). Dependiendo de la naturaleza de la perturbación y de la estabilidad de voltaje dinámica del sistema/subsistema puede considerarse como un fenómeno lento o rápido.

Flujo de potencia reactiva y colapso de voltaje

Análisis estático de voltaie El análisis de flujo de carga indica cómo varían los valores de equilibrio del sistema (como voltaje y flujo de potencia) cuando cambian diversos parámetros y controles del sistema. El flujo de potencia es una herramienta de análisis estático en el que no se considera la dinámica enforma explícita. Muchos de los índices que se usan para evaluar la estabilidad de voltaje se relacionan con el estudio de flujo de carga NR. Más adelante. en la sección 17.5, se describirán los detalles de estabilidad estática y de dinámica de

voltaje.

Algunas medidas correctivas Algunas de las medidas para evitar la inestabilidad de voltaje son:

l)

aumentar el voltaje en las terminales del generador (sólo es posible un control limitado).

ll) aumentar la derivación o toma del transformador del generador, lll) inyección de potencia reactiva en los lugares adecuados, lv) bloquear cambio de tomas por sobrecarga (OIjIC) en el extremo de carga, v) desconectar cargaestratégicamente (al presentarse una caída de voltaje), Las medidas correctivas para evitar el colapso se describirán en la sección 17.6.

17.3 FLUJO DE POTENCIA REACTIVA Y COLAPSO DE VOLTAJE Ciertas situaciones en los sistemas de potencia causan problemas en el flujo de potencia reactiva, los que llevan a un colapso de r.oltaje en el sistema. A continuación se enlistan y explican algunas de las siruaciones.

t)

Líneas de transmisión largas: en los sistemas de potencia. las líneas largas con buses sin control de voltaje en los extremos de recepción causan grandes problemas de voltaje durante condiciones de carga ügera o de carga pesada.

ii)

Líneas de transmisión radiales: en un sistema de potencia, la mayor parte de las redes de voltaje extra alto (EHV) están compuestas por líneas de transmisión radiales. Cualquier pérdida de una línea de EHV en la red causa un aumento de la reactancia en el sistema. En ciertas condiciones de carga. el aumento en la potencia reactiva entregada por la o las líneas alacargapara una caída de voltaje dada es menor que el aumento en la potencia reactiva que requiere la carga para la misma caída de voltaje. En esos casos, un aumento pequeño en la carga causa que el sistema llegue a un estado inestable de

voltaje.

ili)

Escasez de potencia reactiva local: puede presentarse una combinación desorganizada de programas de interrupción y mantenimiento que pueda ocasionar escasez de potencia reactiva y de este modo llevar a problemas de control de voltaje. Cualquier intento de importar potencia reactiva por líneas largas de EHV no tendrá éxito. En estas condiciones, el grueso del sistema puede sufrir una caída considerable de voltaje.

CAPITULO

I7.4

17

Estabilidad de voltaie

FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA DE ESTABILIDAD DE VOLTAJE

Las formas más lentas de inestabilidad de voltaje se analizan por 1o común como problemas de régimen permanente por medio de simulación de flujo de potencia como método principal de estudio. Se simulan instantáneas en el tiempo que sigue a un apagón o durante la acumulación de carga. Además de estos flujos de potencia posteriores a la perturbación, se emplean otros dos métodos basados en flujo de potencia: curvas PV y curvas VQ. (Yéase también la sección 13.6). Con estos dos métodos se obtienen límites de capacidad de carga en régimen permanente, los cuales se relacionan con la estabilidad de voltaje. Se pueden usar programas convencionales de flujo de cargaparahacer análisis

aproximados. Las curvas PV son útiles para análisis conceptuales de estabilidad de voltaje y para estudiar sistemas radiales. El modelo que aquí se emplea para evaluar la estabilidad de voltaje se basa en un desempeño de una sola línea. El desempeño de voltaje de este sistema simple es similar cuantitativamente al de un sistema práctico con muchas fuentes de voltaje, cargas y de la red de líneas de transmisión. Considere el sistema radial de dos buses de la figura 17.1. Es el mismo diagrama que el de la figura 5.26 excepto que se simplificaron los símbolos. Aquí, E es Vr, V es Voy E y V son magnitudes con E en adelanto árespecto aV.El ángulo de línea es ó - tan-'XlR,

!lzl-X.

En términos de P y Q, el voltaje en el extremo de la carga del sistema puede expre-

sarse como [1]:

(r7 .r) Se ve, en la ecuación (17.1), que Ves una función bivaluada (es decir, tiene dos solu-

ciones) de P para determinado factor de potencia (fp), el cual determina a Q en términos de P. En la figura l7.2 se observan las curvas PV para diversos valores del fp. Para cada valor del fp, la solución con mayor voltaje indica un caso de voltaje estable, mientras que el voltaje menor se encuentra enlazona de operación de voltaje inestable. El cambio sucede enV"n(crítica) y P^,i*. El lugar geométrico de los puntos V"i- P*a*para diversos factores de potencia se representa como línea de puntos en la figura. Cualquier intento para aumentarlacarga más allá de P^u*causa una inversión de voltaje y de carga. La reducción del voltaje ocasiona que la carga tome más corriente. A su vez, la mayor caída

P+jQ

Figura 17.1

Formulación matemática del problema de estabilidad de voltaie

-+-

Lugar geométrico de V".

y P-.,

Rodilla de la curva

fp 0.9 en adelanto

fp =l

Figura

17.2

Curvas PV para varios factores de potencia

reactiva en la línea hace que el voltaje baje más. Esta operación, al ser inestable, permite que el sistema sufra un colapso de voltaje. Esto también se ve porque en la parte superior de la curva,

dv.

€,-

O,

y en la parte inferior (parte inestable)'dv ' -€-

t

O (reducción de carga

significa reducción de voltaje y viceversa). Se notará aquí que el tipo de carga que se supuso en la figura l7 .2 es de impedancia constante. En los sistemas prácticos, los tipos de carga son mixtos o predomina el tipo de potencia constante, de tal modo que es mayor la degradación de voltaje del sistema y se presenta inestabilidad de voltaje antes del límite teórico de potencia. Como en el caso del sistema de una sola línea, en un sistema de potencia, en general, la inestabilidad de voltaje se presenta por arriba de cierta carga en el bus y ciertas inyecciones Q. Esta condición se indica por la singularidad del jacobiano de las ecuaciones de flujo de carga y el nivel de inestabilidad de voltaje se evalúa con el valor singular mínimo. Ciertos resultados que son importantes paralaestabilidad de voltaje son los siguientes

.

El límite de estabilidad de voltaie

se alcanza cuando

l^l

| ,r -l=t

lY"tV'l donde

S

(17,2)

= potencia compleja en el bus de carga

Yn= admitancia del bus de carga V = voltaje en el bus de carga

Cuanto más cerca está la magnitud de la ecuación (11 .2) a la urudad. tanro menor el margen de estabilidad. . El límite de carga de una línea de transmisión se puede determina¡ de

tsl = %j

4.i

/xcn

07.3)

es la reactancia crítica del sistema más allá de la cual se pierde la estabilidad de

voltaje. Se puede expresar como v

-l F1D

(-fanó+sec@)

(r7.4)

CAPíTULO

17

Estabilidad de voltaie

Hasta ahora se ha considerado cómo las curvas características PV con factor de potencia constante afectan la estabilidad de voltaje de un sistema. Una curva característica más significativa para ciertos aspectos de estabilidad de voltaje es la curva característica QV, que destaca la sensibilidad y variación de voltaje del bus con respecto a inyecciones de potencia reactiva (+ve o -ve). Considere úna vez más el sistema radial simple de la figura I'l .7. Para el flujo Q es suficientemente exacto suponer que X ) R, es decir, qlue Ó = 90". En consecuencia,

o sea

o=EL cos6- v' XX

(17.5)

V2-Evcos ó+ QX=O

(17.6)

Se deriva con respecto al tiempo

dO

---:- =

dvx

Ecos6-2V

(r7.7)

En la figura 17.3 se grafica la curva la característica de QV en base normalizada (Q/P^a*, V/E) para varios valores de P/P^u*. El sistema es estable en voltaje en la región donde dQ/dV es positiva, en tanto que el límite de estabilidad de voltaje se alcanza en dQldV = 0 que también se puede llamar punto crítico de operación. El valor límite de transferencia de potencia reactiva, en la etapa límite de estabilidad de voltaje, está dado por

Qr^= t-cos26

(17.8)

Las inferencias que se sacan del sistema radial simple se aplican en forma cualitativa a un sistema de tamaño práctico. Hay otros factores que contribuyen al colapso de voltaje

Lugar geométrico de los puntos críticos

I

P.á" es la transferencia máxima de potencia con fp = 1

+Ooeración

0.75

Operació¡*_

estable

PlP^u= 9.5

inestable

VIE

0.2

Figura

1

7.3

0.6

0.8

Características QV para el sistema de la f igura 1 7.1 , con distintos valores de PIP^6".

Análisis de estabilidad de voltaje

del sistema como: saturación excesiva del sistema de transmisión, niveles de transferencia de potencia, caracteísticas de la carga, límites de potencia reactiva del generador v características de los dispositivos compensadores de potencia reactiva.

Otros criterios de estabilidad de voltaje

l)

Criterio

*, dV

fn = voltaje en el generad

or, V

=voltaje de carga). Al usar

es¡e criterio,

el límite de estabilidad de voltaie se alcanza cuando

dP

o rdv 2LI*r.nó xr x dv-4=

.o, a {do *

Al aplicar el principio de desacoplamiento,

es decir,

*L] 4Á,= "orá[g LdY XJ 1c¡=coS

43 dv

(r7.e)

= O, se obtiene

6liq *!] LdV X )

EI,.=Ecos

á1!9.!1 TdV X ]

Se logra la estabilidad de voltaje cuando

dQ .-2v) > Elsc (MVA de

C cos d^(| -= +

\dY

x )|

cortocircuito de la fuente de alimentación)

o7.10)

ii) Cnterio I

dv

La inestabilidad de voltaje

se

presenta cuando la

d'=.o dz

Z

ü dv

del sistema es tal que

=o

(r7.1

1)

Al aplicar este criterio se obtiene el valor de Z"r¡

iii)

La relación de reactancia de la fuente a la reactancia de carga es muy importante para la estabilidad de voltaie xtuente

r..gu

a

o2

(r7.r2)

a representa la relación de tomas o derivaciones, fuera de operación nominal, del transformador OLTC en el extremo de carga.

77.5 ANÁLISIS

DE ESTABILIDAD DE VOLTAJE

El análisis de estabilidad de voltaje para determinado estado del sistema comprende examen de los dos aspectos siguientes:

el

GAPíTULO

i)

17

Estabilidad de voltaje

Proximidad a la inestabilidad de voltaje: la distancia a la inestabilidad se puede medir en función de cantidades fisicas, como nivel de carga, flujo de potencia real por una intertaz críticay reserva de potencia reactiva. Deben considerarse las posibles contingencias, como intemrpciones o cortes de línea, pérdida de una unidad generadora o una fuente de potencia reactiva.

ii)

Mecanísmo de inestabilidad de voltaje: ¿cómo y por qué sucede la inestabilidad de voltaje? ¿Cuáles son los factores principales que conducen a la inestabilidad? ¿Cuáles son las áreas de voltaje débil? ¿Cuáles son las formas más efectivas para mejorar la estabilidad de voltaje?

Las técnicas de análisis estático permiten examinar una amplia gama de condiciones del sistema y pueden describir lanatnaleza del problema e indicar los principales factores causantes. El análisis dinámico es útil para llevar a cabo el estudio detallado de situaciones de colapso de voltaje específicas, coordinación de protección y control y pruebas de las medidas correctivas. Además, las simulaciones dinámicas dicen aún más acerca de si el punto de equilibrio de régimen permanente se alcanzará y cómo sucederá esto.

Requisitos de modelado de varios componentes de sistemas eléctricos de potencia Cargas Es cosa crítica el modelar la carga para análisis de estabilidad de voltaje. Se podrá necesitar la representación detallada del sistema de subtransmisión en un área de voltaje débil. Podrán incluirse acción de transformador TCUL (del inglés tap changing under load, cambio de derivaciones o tomas bajo carga), compensación de potencia reactiva y reguladores de voltaje. Es esencial tener en cuenta la dependencia del voltaje y la frecuencia respecto a las cargas. También se deberían modelar motores de inducción.

Generadores

y

sus controles de excitación

Es necesario considerar las características dinámicas de los reguladores automáticos de voltaje (AVR), compensación de carga, SVS (sistemas var estático), AGC (control automático de ganancia), protecciones y controles, los cuales también se deberán modelar en

forma adecuada[4].

Análisis dinámico La estructura general del modelo del sistema para análisis de estabilidad de voltaje

es

semejante a la del análisis de estabilidad transitoria. Las ecuaciones generales de sistema se pueden expresar en la forma

x=f(X,n

(17.13)

y un conjunto de ecuaciones algebraicas

I(X,n=YNV con un conjunto de condiciones iniciales conocidas (Xo,

(r7.14)

Vi,

Análisis de estabilidad de voltaie

donde

X = vector de estado del sistem¡ V = vector de voltaj e de L'u . / = vector de inr ecci'in -: - - irre Y¡v=matriz, de

adrni¡¡t;-'

::,:.

::

Las ecuaciones (17.13) y (17.11) se:-er-:. : -, cualquiera de los métodos de intesracrti:, :.-;:t. y los métodos de análisis de flujo ie i,_-.¡i.;:: estudio es del orden de varios rnin;:c,. C: r-. . representan 7a dinántica de sisiett:,i ,r,.,:,, ecuaciones diferenciales del sisten'r¡ :s -,1;, lidad transitona. A la n,srdez rambrén se J,l'3 describió en el capítu1o 12.

::, de red

-: :: l..mrnio de tiempo al emplear .. i:s:ibieron en el capítulo 12 : ir. ;- ;:¡ílulo 6. El periodo de :]..Lielos especiales que :.:¿le. la ngidez de las . . ::, ¡¡los de estabi-

::-:: :--::;l,in.

COmO

Se

Análisis estático El método estático captura instantáneas de las condiciones del sisterna en \ anoi :.i-.,rs de tiempo a lo largo de la trayectoria en dominio de tiempo. En cada uno de e SoS ilr¿rct-rS se supone que X es cero en la ecuación (17.13) y que las variables de estado asumen valores adecuados para el marco específico de tiempo. Así, las ecuaciones generales de1 sistema se reducen a ecuaciones puramente algebraicas que permiten usar técnicas de análisis estático. En el análisis estático se determina la estabilidad de voltaje al calcular las curvas VP y VQ a cargas en buses de carga seleccionados. En las publicaciones han aparecido técnicas especiales que usan análisis estático. Se han ideado métodos basados en la sensibilidad VQ como análisis de eigenvalor (o valor propio). Esos métodos proporcionan información relacionada con la estabilidad desde una perspectiva a nivel de todo el sistema y también identifican iíreas de problemas potenciales [13-15].

Proximidad a inestabilidad La proximidad a inestabilidad de voltaje por pequeñas perturbaciones se determina al aumentar la carga-,eeneración en etapas, hasta que el sistema se vuelva inestable, o que el flujo de carga no converja. En las referencias [16-18] se describen técnicas especiales para determinar el punto de colapso de voltaje y la proximidad a inestabilidad de voltaje.

Continuación del análisis de flujo de potencia La matriz jacobiana

se vuelr,e singular en el límite de estabilidad de voltaje. El resultado es que los algoritmos convencionales de flujo de carga pueden tener problemas de convergencia en las condiciones de operación cercanas al límite de estabilidad. El análisis de

continuación de flujo de potencra supera este problema al reformular las ecuaciones flujodecargade modo que perrnan e.en bien acondicionadas en toda: las condiciones posibles de carga. Eso permite lle_sar a l¡ st-luc:ón Jel lrtL,l¡n-rr de tlulo de ,-arge. para las porciones superior e inferior de ia cun. a P\ I El método de continuación de análi.is de iujo de po:enci: -s rLrbilSro r flerible;' se adecua para resolver problemas de flu_1o de carga con dincultades de conver-eencia. de

cAPíTuLo

17

Estabilidad de

Sin embargo, el método es muy lento y tardado. Por lo mismo, la mejor opción es usar combinaciones del método convencional de flujo de carga (NR/FDLF) y el método de continuación. Si se parte del caso base, el flujo de carga se resuelve mediante un método convencional para calcular soluciones de flujo de potencia para niveles de carga sucesivamente mayores, hasta que no se pueda obtener una solución. De ahí en adelante, se recurre al método de continuación para obtener las soluciones de flujo de carga. Por lo común sólo se requiere el método de continuación si se necesitan soluciones exactamente en y más allá del punto crítico.

Estabilidad de voltaje con enlaces HVDC Los enlaces de corriente directa de alto voltaje* (HVDC: high voltage direct current) se usan para transmisión a distancias extremadamente grandes y para interconexiones asíncronas. Un enlace de HVDC puede ser uno de rectificador/inversor espalda con espalda, o puede incluir transmisión de corriente directa (cd) a gran distancia. También son posibles enlaces de HVDC con varias terminales. La tecnología ha llegado a tal nivel que pueden conectarse terminales de HVDC aun en puntos de voltaje débil en sistemas de potencia. Los enlaces de HVDC pueden presentar características desfavorables de cargopara el sistema de potencia cuando el convertidor de HVDC consume potencia reactiva igual a entre 50 y 6OVo de la potencia de cd.

El control de voltaje relacionado con HVDC (estabilidad de voltaje y sobrevoltajes temporales de frecuencia fundamental) se puede estudiar con un programa de estabilidad

transitoria. Con frecuencia, la estabilidad transitoria se interrelaciona con la estabilidad de voltaje. En la referencia[2] se examina con más detalle este problema.

17.6 PREVENCIÓN DEL COLAPSO i)

Aplicación de dispositivos compensadores

de

DE VOTTAJE

potencia reactiva.

Se deben asegurar márgenes adecuados de estabilidad con una selección adecuada de

esquemas de compensación, en términos de su tamaño, capacidades y ubicaciones.

ii) Control del voltaje de red y salida reactiva del generador Varias empresas eléctricas en el mundo, como EDF (Francia), ENEL (Italia), están desarrollando esquemas especiales para control de voltajes de red y de potencia reactiva.

iii)

Coordinación

de

protecciones/controles.

Se debe asegurar que haya una coordinación adecuada entre protecciones/controles de equipo, basada en estudios de simulación dinámica. La última alternativa debe ser la desconexión (tripping) de equipos para evitar una condición de sobrecarga. Se pueden usar también la separación controlada del sistema y su control adaptativo o

inteligente.

iv) Control

de cambiadores de derivaciones o tomas de transformador. Se pueden controlar los cambiadores de derivaciones local o centralmente para reducir el riesgo de un colapso de voltaje. Los controles OLTC (overload tap changer,

* El lector puede consultar la referencia [3] para una descripción detallada de corriente directa de alto voltaje.

Estado de la técnica, tendencias y desafíos para el futuro

cambiador de terminales por sobrecarga) permiten una flexibilidad casi ilimitada para poner en práctica estrate_s1as de control ULIC (de cambio de derivaciones o tomas bajo carga, under load tap clutnqingl )' aprovechar las características de la carga. v) Desconexión deliberado por bajo voltaje. Para casos no planeados o e\tremos, podrán necesitarse esquemas de desconerión (shedding) de car-ea por ba-jo i.oltaje. Esto se parece a desconexión de carga por baja frecuencia que es una prá;tica común para manejar situaciones extremas debidas a deficiencias de genera.-ión. La desconerión esr¡té_slca de carga es la forma más económica de evitar un colapso extendido de r olt¡je. Se deben diseñar esquemas de desconexión deliberada de carga,para diferenci'¡ enre thllas, caídas transitorias de voltaje y condiciones de bajo voltaje que llelen al .-tr,apio de i'oltaje.

vi) Papel del operadttr Los operadores deben >er Japaces de reconocer síntomas relacionados con la estabilidad de voltale r en:prerder ias acciones correctivas necesarias para prevenir el colapso de volta_je. El mr.ni:oreo 1' el análisis en línea cobran utilidad extraordinaria para identificar problemas toienciaies de estabilidad de voltaje, así como las medidas correctivas aorooiadas.

17.7

ESTADO DE LA TECNICA, TENDENCIAS Y DESAFÍOS PENA EL FUTURO

Las redes actuales de transmisión es¡án cadavez más limitadas por restricciones económicas y ambientales. La tendenci: 3¡ t'rpe r3r en forma óptima las redes existentes, cerca de su límite de posibilidad de ca¡s¡. En consecuencia, esto significa que la operación del sistema también está cerca del lín:¡e de estabilidad de voltaje (punto rodilla) y que la

posibilidad de inestabilidad sea mar ¡r e incluso colapse. Las técnicas en línea y fuera de línea para determinar el estado de estabilidad de voltaje y cuándo entra en estado ines¡eL'le proporcionan las herramientas para planear el sistema y el control en tiempo real. Ei sistema de administración de energía (EMS. energy management system) proporciona una dir,ersidad de datos medidos 1' procesados por computadora. Esto es útil para que los operadores del sistema tomen decisiones críticas para controlar y administrar la potencia reactiva entre otras cosas. A este respecto. 1a automatización y el software especializado. liberan en gran medida al operador de la carga de administrar el sistema, pero agregan complejidad a 1a operactón de éste. Numerosos investigadores han impulsado e1 análisis r'las técnicas de estabilidad de voltaje y varios de esos métodos son de uso comercial como se describió en este capítulo. Como todavía es asunto de actualidad. se le dedican considerables esfuerzos de investigación. Pai et al. [8] describen un modelo de carga dependiente del voltaje de tipo exponencial y un nuevo índice, llamado número de condición para predicción de estabilidad de voltaje estático. Se han usado análisis con eigenvalores. para determinar el grupo crítico de buses responsables del colapso de voltaje. Algunos investigadores [26] también han estudiado aspectos de bifurcaciones (local, Hopf, global) y de caos y sus implicaciones

CAPITULO

17

Estabilidad de voltaie

sobre la estabilidad de voltaje del sistema de potencia. Los dispositivos FACTS se pueden usar muy bien para controlar la ocurrencia de bifurcaciones dinámicas y caos mediante una elección adecuada de la señal de error y de ganancias de controlador. La empresa Tokyo Electric Power Co., ha desarrollado un controlador con base en pP para control coordinado de conmutación de banco de capacitores y cambio de derivaciones o tomas de transformador en la red. Se emplea control de potencia de HVDC para mejorar la estabilidad. Todavía se requiere un método más sistemático para la determinación óptima de lugar y tamaño de los dispositivos FACTS. La disponibilidad de controladores FACTS permiten una operación cercana al límite térmico de las líneas sin poner en peligro la seguridad. Son esenciales la compensación de potencia reactiva cerca de los centros de carga y en los buses críticos para superar la inestabilidad de voltaje. Se debe intentar tener un mejor modelado probabilístico [11]. Valdrá la pena desarrollar técnicas y modelos para estudiar la dinámica no lineal de sistemas de gran tamaño. Para ello se podrá necesitar explorar nuevos métodos para obtener equivalentes de red adecuados para el análisis de estabilidad de voltaje. Otro método para un control centralizado de potencia reactiva y voltaje es el de inteligencia artificial (IA). Un sistema experto [9] podría ayudar a los operadores a aplicar los bancos C de capacitores de manera que los generadores operen cerca del factor de potencia unidad. Es necesario diseñar medidas adecuadas de protección en el caso de

inestabilidad de voltaje. Hasta ahora, el método que más se usa para estimar la seguridad de voltaje es el de curvas PVcomputadas que proporciona índices tipo de margen en MW Deben traducirse los MW posperturbación, o los márgenes de MVAI, a límites de operación preperturbación que los operadores puedan monitorear. Estos últimos, tanto del centro de control como de la planta de generación, deben estar capacitados en lo básico de la estabilidad de voltaje. Es de gran ayuda, para el simulador de capacitación de operadores [10], un modelo dinámico en tiempo real del sistema de potencia con interfaz con los controles EMS, como AGC (control automático de ganancia). Es probable que la estabilidad de voltaje siga siendo un reto a los planiflcadores y operadores de suministro eléctrico en el futuro previsible. Conforme la carga qezca y a medida que las nuevas transmisiones y áreas de generación se vuelvan más dificiles de construir, cada vez más y más empresas eléctricas encararán el reto de la estabilidad de voltaje. Por fortuna, muchos investigadores y planificadores creativos trabajan en nuevos métodos de análisis y llegan a soluciones innovadoras para el reto de la estabilidad de voltaje.

Un bus de carga está formado por un motor de inducción donde la potencia reactiva nominal es 1 pu. La compensación en paralelo es Krr,. Calcular la sensibilidad de potencia reactiva en el cambio con respecto al tiempo de voltaje en el bus.

Solución Q"*su= Qno

f

[dado]

fel signo -ve denota inyección

O.-o.p = -K,nV2

de potencia reactiva inductival

Q"ru= Qr*gu* Qro

o*-

.'. En este caso

do -=Fk

dt'

= 1'l

-

p

Krnv2 [0nor = 1.0 dadol

= 2V-2V K^,

La sensibilidad aumenta o disminuye con Ksh ala par de la magnitud del voltaje. Por ejemplo, con Y = 1.0 pu. K.n = 0.8.

dQ** dl'

=2_

1.6=o.4ou.

Calcular la capacidad de un compensador de VAR estático para instalarse en un bus con fluctuación de voltaje i_eual a +5.}Vo. La capacidad de corlocircuito es 5 000 MVA.

Solución

Para conmutación del compensador estático en paralelo,

Sean

AV= flucruación de voltaje AO = I'ariación de potencia reactiva (es decú. el tamaño del compensador)

S.l" = capacidad de cortocircuito del sistema

Entonces LV

\r) - "v sr,.

A0 = lVS..

=+(0.05x5000) =

!

250 NÍVAR

La capacidad del compensador de VAR estático es +250 MVAR.

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CAPíTULO

6.

17

Estabilidad de voltaie

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ApÉxnrcn A

El objetivo de este apéndice es presentar las definiciones y operaciones elementales necesarias, con vectores y matrices, para el análisis de sistemas de potencia.

VECTORES Un vector x se define como un conjunto ordenado de números (reales o complejos),

es

decir,

[x, I

x=^1";l |

(A-1)

l'l lr, )

|

A xp x2, ..., xn se les llama los (o las) componentes del vector r. Así, el vector x es un vector columna n-dimensional. A veces se encuentra que su forma transpuesta es más conveniente, y se escribe en forma de vector renglón. xT

!

f*r, x2, ...,

xn)

Algunos vectores especiales El vector nulo, 0,

es tal que cada uno de sus componentes es cero, es decir,

'.[:]

(A-2)

APÉNDICE

A

Introducción al álgebra de vectores y matr¡ces

El vector suma I tiene

a cada uno de sus componentes igual a la unidad, es decir

fit

Jl'l -i'l r

L'l El vector unitario

define como el vector cuyo ft-ésimo componente es uno y el resto de los componentes son cero, es decir. en se

0 A

€k= I

k-ésimo componente

0 ;

0

Algunas operaciones vectoriales Se dice que dos vectores x y y son iguales si y sólo sí,xo

se dice que

=y¿par ak= I,2, ...,n.Entonces

x=y El producto de un vector por un escalar se lleva a cabo al multiplicar cada componen_ te del vector por ese escalar, o sea

x2

A

aX=X& =q. ^n

Si se va a sumar o restar un vector y a oro vec tor x de la misma dimensión, cada componente del

vector resultante estará formado por la suma o resta de los componentes correspondientes de los vectores x y y, es decir,

f "t tt

t

y,

nlx"tv"l r +rrl,-.

-l

I

l,r,t r,) Las propiedades siguientes son propias del álgebra vectorial:

x+y=y+x x+(J¡z)=(x+y)+z

APÉNDICE

A

Introducción al álqebra de veciores v matrices

G({l = (ata:)x \u.1 + u1)x= atx* a* &(x+y+:)=ax+dy+dz a1

0-r=0 La multiplicación de dos vectores x )')-de la misma dimensión da como resultado un producto muy importante, que sellama prodLtcto escqlar* o producto inlerno,

"" t É ",v,1Y'x

(A-3)

xrx = lx 12

(A-4)

,a

(A-s)

También es interesante notar que

COS

ó=

xTv

lxllyl

donde/eselánguloentrelosvectores,lxlylylsonlaslongitudesgeométricasdelos vectores x y y, respectivamente. Se dice que dos vectores distintos de cero son ortogonales si

*tY=o

(A-6)

MATRICES Definiciones

Matriz Unamatnz

de m x n (o m, n) es un arreglo rectangular ordenado de elementos que pueden ser números reales, números complejos, funciones u operadores .La matnz

atz

A

azz :

o'"1 az" . |= I

'l

a*n

la¡¡J

(A-7)

)

es un arreglo rectangular de run elementos. ¿zü representa al elemento (r, j)-ésimo, es decir, al elemento que está en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna. La matiz A tiene m renglones y n columnas y se dice

que es del orden m x n. Cuando ffi= ft, es decir, la cantidad de renglones es igual al de las columnas, se dice que la matriz es una matríz cuadrada de orden n. Una matriz de m x 1, es decir, una matriz que sólo tiene una columna, se llama vector columna. Una matiz de I x n, es decir, una matriz que sólo tiene un renglón se llama vector renplón.

I Aveceselproductoescalartambiénserepresentaconlassiguientesformasalternativas:x.y,(x,y),(r,y)

APÉNDICE

A

Introducción al álgebra de vectores y matrices

Matriz diagonal Una matriz diagonal es una matiz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero (o¡¡ = 0 para i # j).

F¡"'pil.

- l 0 DAlo 2 ol Lo o el 14

0.1

Matriz nula -T Si todos los elementos de la matiz cuadrada son cero, la matiz es una matriz nula o cero,

o4

l0

|l0

0l (A-8) I

0l

Matriz unidad (identidad o unitaria) Una matriz unidqd I es una mafiz diagonal con todos los elementos diagonales

iguales a (l), por que resulta una constante la matriz la unidad. Si se multiplica una matiz diagonal es una matnz diagonal con todos sus elementos diagonales iguales a ,\. A esta matriz se le llama matriz escalar.

t-1 |t0 000t |n 0 0l14 0 I 0 0t I_ I l:410 I ol=lo 4 0 1 0t t0 | | t0 0 rlLo o 100011 I

I

mafiz unitaria de 4 x 4

0l ol 4l

= matnz escalar de 3 x 3

Determinante de una matriz Para cada matriz cuadrada existe un determinante que se forma al tomar el determinante de los elementos de lamatiz.

APÉNDICE

A

Introducción at átgebra de vectores y

matrices

Por ejemplo, si

2 -r | 4=l_r tl :

2l

(A-e)

241

Ll

entonces,

rl

2l l-l 2l l-l I -(- lll 'l r4l l+ |ll2l l24l =2(8)+(-6)+(-5)=5

det (A) =

13

3l

lAl= 2l

|

(A-10)

Transpuesta de una matriz La transpuesta de una matnzA se representa con cambiar renglones y columnas deA. Note

que

(Ar)r

=

Ar y es la matiz

que se forma al inter-

A

Matriz simétrica Una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta, es decir,

Ar =A Observe que la matriz

A dela

ecuación (A-9) es unamafnz simétrica.

Menor Elmenor M,, de una matiz de n x n es el determinante de lamatnz de (n - l) x (n - 1) que se forma al eliminar el l-ésimo renglón y laj-ésima columna de la matriz de n x n.

Cofactor El cofactor AU del elemenfo a,, de la matiz A

se define como

A¡j= (-1)'*j

M¡j

Matriz adjunta La matiz adjunta de una mafiz cuadrada A se forma al sustituir cada elemento a,, de la matnz A por su cofacfor A,, y después se realiza la transposición. Por ejemplo, si A está dada por la ecuación (A-9) entonces

2l l-r 2l l- | lz4l-lt4lir2l rl 12 tl -lr l-r 4l 12 -rl -lz 4l zl lr2 1l -rl l-r¡ 2l l 'l -l-r 2l l2 | l-r 13

adj

A=

3l

3l

l.-0q.9..

APÉNDICE

A

lntroducción al áloebra de vectores v matrices

ltt

8 6

=ltl 6 7 t-\

-5-l' -5 I \l

-1

6 -sl [8 tl = | 6 7 -sl tl | -.r

-'1*

\ 'J

(A-i

1)

|

Matrices singulares y no singulares Una matriz cuadrada se llama singular si su determinante asociado es cero y es no singular si su determinante asociado es distinto de cero.

OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES Igualdad de matrices Se dice que dos matrices

A(m x n) y B(m x n) son iguales si y sólo

s-

a¡¡=b¡¡ parai=7,2, ... m, j =1,2, ...,n En ese caso se escribe

A=B Multiplicación de una matriz por un escalaÍ Una matriz se multiplica por un escalar a si todos los mn elementos se multiplican por a, es decir

I

oo,t

aA=Aa=l

oo,,) I

da^n

loo^,

)

(A-12)

Suma (o resta) de matrices Para sumar (o restar) dos matrices del mismo orden (igual número de renglones y el mismo número de columnas) simplemente se suman (o restan) los elementos correspondientes de las dos matrices; es decir, cuando se suman dos matrices A y B del mismo orden, resulta una nueva matiz C tal que

C

cuyo ry-ésimo elemento

=A+ B;

es

c¡¡= a¡¡ +

Sean

b¡¡

r-3 0-t 12 -ll o=1, -'l "=Lo 3j

APÉNDICE

A

Introducción al álqebra de vectores v matrices

entonces,

c=A+r= [5

-1.l

L2

2)

La suma y resta sólo se definen para matrices del mismo orden. Las leyes que siguen se cumplen para la suma (o resta):

i)

Ley conmutativa:

ii)

Ley asociativa: A + (B + C)

A+ B =B +A

-

(A + B) + C

Además.

(A + B\r =Ar

-+

Br

Multiplicación de matrices El producto de dos matrices A x B se define si A tiene el mismo número de columnas como número de renglones en B. En ese caso, se dice que las matrices son conformables. Si una matnzA es de orden ¡r x n y B es una matnz de n x q, el producto C = AB será una matriz de m x 4. El elemento c,, del producto es n

c¡j

=

\.-

L

(A-13)

a,tbk

Así, los elementos cu se obtienen al multiplicar los elementos del i-ésimo renglón de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y luego sumar esos productos elementales. Por ejemplo,

1"" Lazt

orrfl b,,. b,r-l [.,, cr: I il t= | qr,)lb^ br,) Lct, c::I I

donde

a¡b¡+

arrb^

cp= al1bp+

atrb22

= a21b¡+ c22= a21bt+

arrb2t

c1r=

c21

ar2b22

Si el producto AB está definido, el producto BA puede o no estar definido. Aun cuando BA esté definido, los productos resultantes deAB y BA, en general, no son iguales. Así, es importante hacer notar que, en general, la multiplicación matricial no es conmutativa. es decir.

AB+BA Las leyes asociativa y distributiva se cumplen para la multiplicación de matrices (cuando están definidas las operaciones correspondientes), es decir, Ley asociativa: Ley distributiva:

(AB)C =A(BC) = ABC

AG +C,¡=AB +AC

APÉNDICE

A

Introducción al álgebra de vectores y matrices

Dadas las dos matrices

t-l 0l 3l I o=l? ll,I t-l -1zt) 1l "=Lo

L0

calcular AB y BA. A y B son conformables (,4 tiene dos columnas y B tiene dos renglones), entonces se tiene

3l [1 | -1 | BA=li-l 0l 4 9l; AB=12 141)-l

Lo

2l

IJna matiz queda inalterada si se le suma una matriz nula, definida por la ecuación (A-8):

A +0=A Si una matiz nula se multiplica por otra matiz A, el resultado es una matriz nula,

A0=04=0 También

A

-A=0

Note que la ecuación AB = 0 no significa que A o B deba ser necesariamente una matiz nula, es decir

l-l 3ll- 3 0l [0 Lo

oll-' ol=Lo

0] ol

La multiplicación de cualquier matiz por una matnz unitaria (o unidad) da como resultado lamatriz original, es decir,

AI --IA=A La transpuesta del producto de dos matrices es igual al producto de sus transpuestas en orden invertido, es decir,

(AB\r = BrAr El concepto de multiplicación de matrices es útil en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Para un conjunto de tales ecuaciones

+ 0gX2+ "' * QlnXn= C1 a2{t+ a22x2+ ..'* a2¿n= 6' A1(1

amlxl

+

am2x2+

"' +

clmfixn

=

cm

(A-14)

nPÉNotCe

I

Introducción al álgebra de vectores y

matrices l-&.3

o n

Iu,=, o,,x, Il r = c;, i = I,2, Al aplicar (A-14)

se

...-

nt

las reglas de multiplicación de matrices que se definieron antes, las ecuaciones pueden escribir con la notación compacta

Ax=c en donde

(A-15)

at: l"t, A". I Qtt

At.

l'::l

A^n)

A=l:'

Laa

"*f ;'l

.-

Qm2

I

[''] ["] l-r:l ¡=l l: c=llczl

l'll'l J

I

L-t, lc- ) Es claro que la matrizvector de la ecuación (A-15) es una útil representación abreviada del conjunto de ecuaciones algebraicas lineales (A-14).

Inversión de matrices En el álgebra de matrices no existe la división como tal. Sin embargo, si A es una matriz cuadrada no singular, su inversa (A-1.¡ se define con la relación

4-r¿-¡¡-r =¡ El método convencional para obtener una inversa

(A-16) es usar la siguiente relación

Ot - adiA det A Es fácil demostrar que la inversa es única. Las siguientes propiedades son importantes

(A-17)

y caracteizanalamatiz inversa:

(AD-r = 3-r¡-r (A-t¡r = (Ar)-1

(A-18)

(A-1)-r = A

Si

A

está dada por la ecuación (A-9), entonces, según las ecuaciones (A-10), (A-11) y

(A-17), el resultado

es

APÉNDICE

A

Introducción al álgebra de vectores y matrices

[ 8 6 -sl [8/s 6/s -1-l o-r -adjA-11 6 7 -sl=lo¡s lts -tl detA tl-r-5

sl L-r-1

1l

FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES Una función escalar de n variables escalares se define como

y

!

f@t, x2, ...,

xn)

(A-1e)

Se puede escribir como una función escalar de una variable vectorial x, es decir,

Y

=f (x)

(A-20)

en la que x es un vector de n dimensiones,

[''.1 tl lxzl

t= | , Lr,

I

J

En general, una función escalar podría ser una función de varias variables vectoriales,

como

=f (x,u,p)

y

(A-2r)

donde.r, u y p son vectores de varias dimensiones. Una función vectorial se define como

v=f(x,-L:l:l

(A-22)

En general, una función vectorial es una función de varias variables vectoriales, es decir,

y

=f (x.u,p)

(A-23)

DERIVADAS DE ESCATARES Y FUNCIONES VECTORIALES Una derivada de una función escalar (A-20) con respecto de una variable vectorial define como

¡

se

af a*t

aft 0x

af u*r'

dÍ

a-"

(A-24)

APÉNoGE

A

lntroducción al álgebra de vectores y

matrices

Se notará que la derivada de una función escalar con respecto a un vector de dimensión n es un vector de la misma dimensión.

La derivada de una función vectorial (A-22) con respecto a una variable vectorial x se define como

aft 0x

0ft

df'

0r,

dr,

3ft d*n

3fz

dfz

0fz

Er,

dr,

0rn

ai^

a;f^

dr,

0*,

ai: dtt

(A-2s)

r*I

r*l

(A-26)

[k]' Ahora considere una función escalar definid¿ sernt s

Para calcular

1^

f¿, di

= ,ü(¡, t, p) =,\rf(¡, a, p) + Azfz@, u, p) +

(A-27) ... + ,\

^f*(x,

u, p)

(A-28)

seg,ín la ecuación (A-24) puede escribirse

I

fr{t'

u,

+ =| a,rl:l

lf^@, Ahora determinaremos

ds

dx

d*t Ex

u,

0s

d:, ?s

?*,

|=

f

@, u. p¡

ill

. Según la ecuación

0s

Ds

P)l

fz(x,.u,o)

(A-24)

se puede escribir

oxt 4!*"'+^.+ oxt oxt ^,+ ,r,9* oxz 4Y*...+i^!üoxz oxz *

r,9* 4p-*.'.+^-Y dxn dxn dxn

(A-ze)

|

615

APÉNDICE

A

Introducción al

0s

?x

de vectores v matrices

afi ?fz

af*

dxt dxt

dxt

0f, dfz dxz dxz

af^ dxz

af^ oxn

i1

i2

;,

=[#]'^ REFERENCIAS Shipley, R.8., Introduction to Matrtces and Power Systems,Wiley, NuevaYork, 1976. Hadle¡ G., Linear Algebra, Addison-Wesley Pub. Co. Inc., Reading, Mass., 1961. Bellman, R., Introduction to Matrix Analysls, McGraw-Hill Book Co., NuevaYork, 1960.

(A-30)

ApÉNorcB B

Como se vio en el capítulo 5, una línea de transmisión trifásica* se puede representar por un circuito con dos terminales de entrada (extremo de transmisión, donde entra la potencia) y dos terminales de salida (extremo de recepción, donde sale la potencia). A este circuito de par de dos terminales se le llama pasivo, porqte no contiene fuentes de energía eléctrica, lineal, porque las impedancias de sus elementos son independientes de la cantidad de corriente que pasa por ellas, y bilateral, porque las impedancias son independientes de la corriente que pasa. Se puede demostrar que esa red de par de dos terminales se puede representar por una red equivalente T o a'. Considere la red T asimétrica de la figura B-1, que es equivalente a la red general de par de dos terminales. Para la figura B-1 se pueden escribir las siguientes ecuaciones de circuito

Is=1n+Y(V*+I&z) (B-1)

Is= Wp + (1 + Y4)IR Vs= Vn+

=

Vn

/s

Iúz+ IFt

1 Iúz + ZtWn + I&t + I*W:Z,

----4 A A.-----.-----^ /\ A zo

z1 i/s

Figura

*

B-1

,rv

vR

Circuito T asimétrico equivalente a una red de par de dos terminales

De igual modo, un transformador se representa por un circuito con dos terminales de entrada y dos de

salida.

Constantes generalizadas de circuito

o sea

V5= (1 + YZr) V^ + (Zr+ Se pueden

Zr+

YZ\Z)IR

(B-2)

simplificar las ecuaciones (B-1) y (B-2) al hacer que

A=l+YZt

B= Zt+ 22+ D=1+YZz

C=Y Al aplicarlas

YZ1Z2

(B-3)

se pueden entonces escribir las ecuaciones (B-1) y (B-2) en forma matricial

como

[v,.l IA I t=t 11,

_l LC

Bllv*f il

D)lr*

l

|

(B-4)

Esta última ecuación es igual que la ecuación (5 1) y es válida para cualquier red de par de dos terminales, pasiva y bilateral. Las constantes A, B, C y D se llaman constantes generalizctdas de circuito o constantes ABCD de la red y se pueden calcular para cualquier red de par de dos terminales. Se notará que las constantes ABCD de una red de par de dos terminales son, en gene-

ral, números complejos y siempre satisfacen la siguiente relación

AD-BC=1

(B-5)

También, para cualquier red simétrica 1as constantes A y D son iguales. De acuerdo con la ecuación (B-4) es claro que A y D son adimensionales, mientras que las dimensiones de B son de impedancia (ohms) y las de C son de admitancia (mhos). Las constantes ABCD se usan extensamente en análisis de los sistemas de potencia. Con frecuencia, una red general de par de dos terminales se representa como en la figura

B-2.

CONSTANTES ABCD PARA DIVERSAS REDES SENCILLAS Ya se obtuvieron las constantes ABCD para una red T asimétrica. Las constantes ABCD para una red z'asimétrica como la de la figura B-3 se pueden obtener en forma análoga y son las siguientes

A=I+YzZ B=Z C = Yt + Yr+ ZYrY,

D=l+YtZ

Figura

B-2

Representación esquemática de una red de par de dos terminales

con las constantes ABCD

(B-6)

tpÉttolCe

Figura

B-3

e

constantes generatizaoas oe

c¡rcu¡to [,:ifit9 :

Circuito Tasimétrico

Con frecuencia, la impedancia en serie representa líneas de transmisión en corto y transformadores. Las constantes ABCD para tal circuito (como el de la figura B-4) se pueden determinar en forma inmediata por inspección de las ecuaciones (B-1) y (B-2), como sigue: .,t-1

L

(B-7)

^-

B=Z C=0

D=l Otro circuito simple, el de la figura B-5, está formado por una admitancia en paralelo

y

se puede demostrar que posee las siguientes constantes

ABCD

A= I B=0 C=Y

(B-8)

D=l ABCD, se debe comprobar que (B-8) se obtiene

Se notará que siempre que se calculen las constantes se satisfaga la relación

AD -BC =

1. Por ejemplo, con

AD-BC=1x1-0xI=1 Si las constantes ABCD de un circuito son datos, se puede determinar su circuito Z o z'equivalente, al resolver las ecuaciones (B-3) o (8-6), respectivamente, para obtener los valores de las ramas en serie y en paralelo. Para el circuito zr equivalente de la figura B-3 se tienen:

Z=B

-B

rlY--

Yz=

#

D-l

(B-e)

-

A_I B

/ozt"

l1 lv" l"l

v,l

H

Figura

B-4

lmpedancia en serie

APÉNDICE

B

Constantes oeneralizadas de circuito

Figura

B-5

Admitancia en paralelo

CONSTANTES ABCD DE REDES EN SERIE Y EN PARALELO Cuando un sistema de potencia está formado por combinaciones de redes en serie y en p'aralelo, cuyas constantes ABCD se conocen, las constantes ABCD generales para el sistema se pueden determinar para analizalr la operación de todo el sistema. Considere las dos redes en serie que se muestra en la figura 8-6. Esta combinación se puede reducir a una sola red equivalente como sigue: Para la primera red se tiene

A, [yr'l I I l=l

Lls.l LC,

B,'l[v"'l ll

(B-10)

I

D,

)lrx

B,

l [v^ l

)

Para la segunda red puede escribirse

[v,'l l A, l, * )= De acuerdo con las ecuaciones (B-10) y

[u'.1 = L 1s

I

lr, ",l

Lr^

j

(B-11)

(g-tt), se puede escribir que

u,llo, ",lfu^ l [o' lC, )LC, )Lr D,

f

ArA, +

Dz

B,C,

oJ

ArBr+ BtD,f fVRl

=l-lll lCrAz + DrC, CrBr+ qDz ILI

(B-12) R

)

Si se conectan dos redes en paralelo como se ve en la figura B-7, las constantes ABCD se calculan para la red combinada en forma análoga, con algunas manipulaciones sencillas de álgebra de matrices. Los resultados se presentan a continuación:

/s

ys

o_ Figura

O-

--o

8-6 Redes en serie

lE

vR

A2B2C2D2

vx

A1B1C1D1

---o

---€

G--

---o

G_

APENDICE

B

Constantes generalizadas de circuito

A1B|C1D1

Figura

B-7

Redes en paralelo

A= (Apz+ ArBr)l(Br+ Br) B= BPzl(Bt+ Bz) C = (Ct + C2) + (At - A) (D2- D)/(Bt + D= (BzDr+ BrDr)l(Br+ Br)

(B-13) Bz)

Medición de las constantes ABCD Las constantes generalizadas del circuito se pueden calcular para una línea de transmisión que se va a diseñar, a partir del conocimiento de los parámetros de impedancia,/admitancia del sistema con las ecuaciones que se desarrollaron antes. Si ya existe la línea, se pueden medir las constantes generalizadas de circuito al realizar algunas pruebas ordinarias en la línea. Al aplicar la ecuación B-4 se puede demostrar con facilidad que son relaciones de voltaje o corriente en el extremo de transmisión o entre el voltaje o corriente en el extremo de recepción de la red con el extremo de recepción en circuito abierto o en cortocircuito. Cuando la red es un transformador, generador o circuito que tiene parámetros concentrados, pueden realizarse mediciones de voltaje y corriente en ambos extremos de la línea y se pueden determinar los ángulos de fase entre las cantidades en los extremos de transmisión y de recepción. De ese modo se pueden determinar las constantes ABCD. También es posible medir las magnitudes de los voltajes y corrientes requeridos al mismo tiempo en ambos extremos de una línea de transmisión, pero no hay un método simple para calcular la diferencia del ángulo de fase entre las cantidades en los dos extremos de la línea. Es necesaria la diferencia de fases porque las constantes ABCD son complejas. Sin embargo, si se miden dos impedancias en cada extremo de una línea de transmisión, se podrán calcula¡ las constantes generalizadas de circuito. Se deben medir las impedancias siguientes:

Zso= impedancia en el extremo de transmisión, con el extremo de recepción en circuito abierto Zss = impedancia en el extremo de transmisión, con el extremo de recepción

en cortocircuito Zno = impedancia en el extremo de recepción, con el extremo de transmisión en circuito abierto

62f

Constantes generalizadas de circuito

Zns = impedancia en el extremo de recepción, con el extremo de transmisión en cortocircuito

Las impedancias medidas en el extremo de transmisión pueden determinarse en términos de las constantes ABCD como sigue: De la ecuación (B-4), con 1o - 0, (B-14) Zss=VslIt=1/(

yconV^=Q, Zss=

VtlIt= filP

(B-15)

Cuando se miden las impedancias en el extremo de recepción se invierte la dirección de la corriente y, por consiguiente, los signos de todos los términos de la corriente en la ecuación (5.25). En consecuencia, esta ecuación se escribe como de

flujo

De las ecuaciones (8-16), con Is'

-

Vn= DVs+ BIs In= CVs+ AIs

(B-16)

Zps=Vpllp= DlC

(B-17)

Sll

(B-18)

0,

y cuando Vs = 0, Zos= l/^/lo=

y (B-18) para obtener los valores medidas como sigue. de las impedancias ABCD en términos de las constanÍes Se resuelven las ecuaciones (B-14), (B-15), (B-17)

Zoo

- Zns = *#

Z*P:Z-tt Z,O

=

[de la ecuación (B-5)]

#

I C=-L = AC A A,

'l'"

( Zso o=lt*ut*'I

(B-1e)

Entonces, este valor deA se sustituye en las ecuaciones (B-14)' (B-18) y al sustituir el valor de C así obtenido en la ecuación (B-17), se llega a

B_

(= P=

-l t*t

( I

z,n ""1 zoo

)1/2

(B-2i)

1

(z5s(Zno

- Z*r))''' (B-22)

Zoo

(zso(zRo

(B-20)

- Zo, )

-

zRs)\ttz

REFERENCIA

t.

Cotton, H. y H. Barber, The Transmission and Distribution of Electrical Energy, 3a. edición' B.I. Publishers, Nueva Delhi, 1970.

ApÉrqDrcn C

Se sabe que la matiz nodal Yu* y su jacobiano asociado son muy dispersas, mientras que sus matrices inversas están llenas. Para grandes sistemas de potencia, la dispersión de esas matrices puede ser hasta de 98Vo y debe aprovecharse. Aparte de reducir lugar y tiempo de computación, la utilización de la dispersión limita el redondeo de los errores de computación. De hecho, no es posible la aplicación directa del procedimiento iterativo para estudios de sistema como flujo de carga para grandes sistemas a menos que se maneje adecuadamente la dispersión del jacobiano.

ELIMINACIÓN DE GAUSS Una de las últimas técnicas para resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales se llama factorización triangular y sustituye el uso de la matiz inversa la cual es muy ineficiente para grandes sistemas dispersos. En la triangularización,los elementos de cada renglón por debajo de la diagonal principal se hacen cero y el elemento diagonal de cada renglón se normaliza tan pronto como se termina el procesamiento de ese renglón. Es posible ayanzar columna por columna pero es ineficiente desde el punto de vista de cómputo, por lo que no se usa. Después de la triangulnización la solución se obtiene con facilidad con sustitución inversa. La técnica se ilustra con el ejemplo siguiente.

12

1l

["i.]

L, 'lL-',l

=

l-1-l

Lol

624

|

APÉNDICE

C

Factorización tr¡angular y ordenación óptima

Procedimiento

1. 2.

3.

Dividir el renglón 1 entre el primer elemento del renglón, en este caso 2. Eliminar el elemento (2,I) al multiplicar el renglón modificado 1 por el elemento (2, I), y restarlo del renglón 2. Dividir el renglón modificado 2 entre su primer elemento (J) y detenerse.

Al seguir

este procedimiento se llega a la ecuación triangular superior siguiente

[r + l[',-l [-+l Il0 i= +-r ll l=lo-+l ll I l-+l t

t

JLxzJ tz

Con sustitución inversa, esto es, si se despeja primero

o- + xr=-f=-i

I

¿

y después .r1, se obtiene

a

2

xt=

i-irr=t-*t-1t= i

Comprobación

2x, + x2= 2(+)

3x, + 5x2= 3(+)

-1

=t

- 5(i)

=

O

De este modo se ha demostrado el uso del procedimiento básico de eliminación de Gauss y sustitución inversa para un sistema simple, pero el mismo procedimiento se aplica a cualquier sistema general de ecuaciones algebraicas lineales, es decir,

Ax =b

(c-1)

Una ventaja adicional del procesamiento por renglones (eliminación de elementos de renglón por debajo de la diagonal principal y la normalización del primer elemento) es que se presta con mucha facilidad al uso de esquemas de almacenamiento restringido y compacto, y se evita almacenar elementos cero.

ELIMINACIÓN DE GAUSS USANDO TABTA DE FACTORES Cuando se requiere la solución repetida de la ecuación matricial-vectorial (C-1) con A constante pero con valores variables del vector b,hay una ventaja computacional si se divide la maÍiz A en un factor triangular (llamado tabla de factores o descomposición L(IS por medio de la técnica de eliminación de Gauss. Si la matrizA es dispersa, también 1o es la tabla de factores que se pueden guardar en forma compacta, con lo que no sólo se reducen los requisitos de almacenamiento, sino también el esfuerzo de cómputo. En el ejemplo que sigue se ilustra la eliminación de Gauss mediante la utilización de la tabla de factores.

C

APÉNDICE

Factorización triangutar y ordenación

óptima M2q I

(2)xr+(1)x2+(3)x.=6 (2)xr+(3)x2+(4¡xr=9 (3)xt + (4)x2+(7)xr=14

(C-2t

Para su solución en computadora, la eficiencia miíxima se logra cuando se hace la eliminación por renglones en vez del orden por columnas que es más familiar. Los arreglos sucesivos reducidos de ecuaciones son los siquientes:

(l)x, +

(!)xr+ (t)*t

=

t

(2)xr+ (3)xt+ (4)xt =9 (3);r, + (4)x, + (7)x, = 14 (1)x, +

(!)*r+ (tr)*, = Z

(2)x2+ (1)x, =3 (3),rr + (4)x, + (1)xt = 14 (1)-r,

+

c-4)

(!)x2+ (t)r, = 3 (r)xr+

(3)xt + (4)x,

(l)xr +

(c-3)

{t)4 = }

+ (1)x.t = l/,

(l)*2+ (?)n

=

Z

(I)x2+ (t)xz =

t

(1)rr+ (;)x3 (1)x, + (!)xr+ (tr)*, (I)x.,

(c-s)

=

s

=

3

+ {t) xz =

t

(*)*' (1)x, + (t)*z+ (t)*t

=

I

=

Z

(I)xr+ {t)rz = t x3=I

(c-6)

(c-7)

(c-8)

Estos pasos se llaman operaciones de eliminación. La solución x se obtendrá de inmediato mediante la operación de sustitución inversa con la ecuación (C-8).

APENDICE

C

Factorización triangular y ordenación óptima

La solución para un nuevo conjunto de valores para b se puede obtener con facilidad con una tabla de factores, preparada al examinar con cuidado las ecuaciones (C-3) a (C-8). A continuación. para el ejemplo que nos ocupa, está la tabla de factores F: rr

¡ rt2

lrir

r -1 l-l

"rr:

I lT

F=l"6 fzz f"l=lz 1"r,, .ftz./rrj L3

TI Tll +l + +l

+

I

(c-e)

Los elementos de los renglones de F que están abajo de la diagonal son los multiplicadores de los renglones normalizados necesarios para eliminar el elemento de renglón; por ejemplo, fzz=2, el multiplicador del renglón 2normalizado [Ec. C-6)] para eliminar al elemento (3,2), es deck, ())xr. Los elementos diagonales de F son los multiplicadores necesarios para normalizar a los renglones, después de haber terminado la eliminación de renglón; por ejemplo, fzz = i, el factor por el que se debe multiplicar el renglón 2 de la ecuación (C-4) para norrnalizarlo. Los elementos de F arriba de la diagonal se pueden escribir de inmediato al inspeccionar la ecuación (C-8). Se necesitan para el proceso de sustitución retrógrada. Para resolver con rapidezla ectaciín (C-1) usando la tabla de factores F, 1os pasos sucesivos aparecen como columnas (izquierda a derecha) en la tabla C.1 siguiente: Tabla b 6 9

l4

1 2,1 333 933/2 14 t4

1,

El renglón superior

(1,

2,2

3,1

t4

j)

C.1 ^a

3

3

3tz

Jt¿

5

514

JIZ 1.t

t,

II

aa JJ

512

J

1 1

¿

x

I I I

I I I

de la tabla C. 1 representa los pasos sucesivos de eliminación

y sustitución retrógrada. Entonces,

T,I

representa la normalización del renglón 1 representa la eliminación del elemento (2,1)

2,r

)') 3

,

l;

3,

2

3,3 2,3 1,3;1,2

representa la normalización del rcnglón2 representa la eliminación de los elementos (3, 1) y (3, 2), respectivamente representa la normalización del renglón 3 representa la eliminación del elemento (2,3) por sustitución retrógrada representa la eliminación de los elementos (1, 3) y (1,2), respectivamente, por sustitución retrógrada.

El vector solución en cualquier etapa del desarrollo .,7

ür,lz' Yjl

se representa por

=Y

La modificación del vector solución de una columna a la siguiente (de izquierda a derecha) se lleva a cabo para el encabezado (i, j) de acuerdo con las operaciones que se definen a continuación:

!¡= f¡t¡

j=; Sil*i si

\,=1,-f,;l; "\t'I

(c-10) (c-11)

APÉNDICE

C

Factorización triangular y ordenación óptima

Así, para el encabezado 3, 2

y pafa el encabezado 3, 3,

De hecho, la operación (C-10) representa el proceso de normalización, y la (C-11) representa el de eliminación y sustitución retrógrada.

Orden óptimo En los estudios de sistemas de potencia. la ma¡riz A es mu.v dispersa, y la cantidad de operaciones distintas de cero, y memoria para ellas. necesarias en la eliminación de Gauss es muy sensible al orden en el que se procesan los renglones. La secuencia de renglones que conduce a la cantidad mínima de operaciones distintas de cero, en general no es igual a la que produce las necesidades mínimas de memoria. Se cree que la secuencia absoluta óptima en el ordenamiento de los renglones, en una matriz de red grande (equivale a repetir la numeración de los buses) es demasiado complicada y tardada para tener algún valor práctico. Entonces, han evolucionado algunos esquemas sencillos, pero efectivos, para alcanzar un ordenamiento casi óptimo con respecto a los dos criterios. Algunos de los esquemas de ordenamiento casi óptimo de las matrices dispersas, que son totalmente simétricos o al menos simétricos en la pauta de términos fuera de la diagonal y distintos de cero, se describirán a continuación [4].

Esquema

7

Numera los renglones de la matiz por más pocos términos distintos de cero en cada renglón. Si hay más de un renglón sin numero que tenga la misma cantidad de términos distintos de cero. se numera en cualquier orden.

Esquema 2 Numera los renglones por más pocos términos distintos de cero en un renglón. en cada etapa de eliminación. En este esquema se requiere acruaLizar el confeo de términos distintos de cero después de cada paso.

Esquema 3 Numera los renglones por más pocos términos fuera de la diagonal y distintos de cero, generados en los renglones restantes después de cada paso de eliminación. Este esquema también contiene un procedimiento de actualización. La elección del esquema es un equilibrio entre la velocidad de ejecución y la cantidad de veces que se va a usar el resultado. Para el método de Newton, de solución de flujo de

628 I

APÉNDICE

C

Factorización triangular y ordenación óptima

carga, parece que el esquema2 es el mejor. La eficiencia del esquema 3 no se ha establecido suflcientemente como para compensar el mayor tiempo requerido en su ejecución. El esquema 1 es útil para problemas que sólo necesiten una solución, sin iteración.

Esquemas de almacenamiento compacto La utilidad del método de Newton depende mucho de conservar el almacenamiento de cómputo y reducir el número de cálculos distintos de cero. Para llevar a cabo estas ideas en la computadora, la eliminación de los elementos del triángulo inferior se hace renglón por renglón con base en el concepto de renglón de trabajo compacto. Los elementos modificados del triángulo superior distintos de cero y desiguales se guardan en una forma compacta y conveniente. La sustitución inversa avanza hacia atrás en la tabla triangular superior compacta. Un esquema de almacenamiento compacto bien programado da como resultado ahorros considerables de tiempo de cómputo durante las operaciones con matrices. Es natural que haya tantos renglones de trabajo compacto y esquemas de almacenamiento de triángulo superior como programadores haya. Un esquema posible para una matnz general guarda los elementos distintos de cero en los renglones sucesivos en un arreglo lineal. El lugar de esos elementos distintos de cero en la columna y el lugar donde comienza el nuevo renglón (índice de renglón) se guardan por separado. En la referencia [2] se describen los detalles de este esquema y otros más.

REFERENCIAS

1.

Singh, L.P., Advanced Power System Analysis and ur\namícs, 2a. edición, Wiley Eastern, Nueva Delhi, 1986. 2. Agarwal, S.K., 'Optimal Power Flow Studies', Tesis de doctorado, B.I.T.S., Pilani, 1970. 3. Tinney, W.F. y J.W Walker, "Direct Solutions of Sparse Network Equations by Optimally Ordered Triangular Factorizations", Proc. IEEE, nov. 1967, 55: I 801. 4. Tinney, W.F. y C.E. Hart, "Power Flow Solution by Newton's Method", IEEE Trans., nov. 1967, núm. 11, PAS-86: 1449.

ApÉNnrcn D

A continuación

se deducen las ecuaciones que se usan para evaluar los elementos de Ia

matriz jacobiana de un sistema de potencia: De acuerdo con la ecuación (6.25b), n

P¡- iQ,=

t',}Y*vo t=1 n

= lv¡l exp

(-

ja')I

lY¿l exp

(j7il

lvkl exp (jó¿)

(D-1)

R=l

Al derivar parcialmente con respecto a 6*(m

*a6^- ¡* " a6^

*

i)

=

jlvil

=

j(e¡- jf¡) (a*+ jb*)

exp t-já¡) 1lY,-l exp Q0i*) lv^l exp ffá-)) (D-2)

en donde

Yr^= Gi-+ iB¡^ V¡= e, + if,

(a^+ jb^) = (G¡^+ iB¡^) (e^+ if*) Aunque se utiliza la forma polar del método NR para la evaluación numérica se usa aritmética compleja rectangular por ser más rápida. De acuerdo con (D-2) se puede escribir AP,

*dd^

= (a^f¡- b^e,\= H,^

ao, 3dó^ = - (a^e,+ hmfi)= Jim

APENDICE

D

Elementos de matriz iacobiana de sistemas de ootencia

Parael casom = i

se tiene

lo siguiente:

aP i?L aO, jlv,l exp t- jó,) _,n =" Ir=r 36, a4 =

lY*l exp QLil

lvl

exp 06k)

(-16) (lr,/ exp (j0i)lvil exp fó)) =- j(P¡- jQ)+ jtvitz(Gii+ jB¡¡) +

jlV,l exp

(D-3)

De la ecuación (D-3) puede escribirse

+aá, = - e¡+aE

=

P¡-

B¡¡

tv¡t2

G¡,lV¡12

=

t!

= J.

Ahora al derivar parcialmente la ecuación (D-1) con respecto al

an ^*^t-t

Al multiplicar

#av^l

V*l

(m + i). Entonces

t%t exp (-,rd¿) (tY¡^t exp Q0¡^) exp QD^))

=

ambos lados por I V, l,

o4 ,r...r- ¡aQ' tv-.t ' a lv^|" ^' " a lv^l ^' = lV;l exp (- "16) lY,^l exp (i9i^) lv^l exp Q6*) = (e¡- jf¡) (a^+ jb*) De la ecuación (D-a) se sigue que AP.

l;;w*l olvml

= a^€i + b.f¡= N¡.

0Q,

afirV^l=

a^f,- b-e¡=

L¡^

Ahora bien, para el caso de m = l, se tiene exp (- i6,) i3 ""i alvil - "i + alvil =

lr¿l exp

-o=,

Qtii

tvktexp

(7ó¡)

+ lV,l exp (- .16) lY,,l exp (j0,,) exp Q6,) Ambos lados se multiplican por

lV,l

v,1 ¡ a39!tr,rta lvil lvil

(D-4)

APÉNDICE

D

Elementos de matriz jacobiana de sistemas de

potencia ffi:l I

= lv¡l exp (-

j4)É

lr,¿l exp

(iLi) lvlexp

fiáu)

kFl

+ lvil2lY,,l = (P¡

exp Q0,,)

- jQ) + tvit2 (Gii + jBa)

(D-5)

Según la ecuación (D-5),

4! arql p, ar4l

I

,r,r= P¡* G¡¡rv¡t2 = N.. ,r¡ = e¡ -

B¡¡rv¡r2

= L,,

Los resultados anteriores se pueden res 'mir como sigue: Caso

7

m*i H¡^= L¡*= a^fi-

b^e¡

N,^=- J¡^= e^€¡+ b*f¡

(D-6)

en donde

Y¡*= G¡*+ jB¡* V¡= e¡+ jf¡

(D-7)

(a^ + jb*) = (G¡^ + jB¡^) (e* + jf^) Caso2

m=

I

H¡¡=- Qi- Biilvilz N¡¡= P¿ + GiilvÍ J¡¡ = L¡¿=

(D-8)

P¡- Giilvf Qi-

BiilViP

REFERENCIAS 1.

Tinne¡ W.F. y C.E. Hart, "Power Flow Solution by Newton's Method", IEEE Trans., nov. 1967,

2.

núm. 11, PAS-86: 1449. Van Ness, J.E., "Iteration Methods for Digital Load Flow Studies", Trans. AIEE, ago. 1959, 78A: 583.

ApÉNnrcE E

Con el teorema de Kuhn-Tucker es posible resolver el problema general de programación no lineal con varias variables cuando las variables también están restringidas para satisfacer ciertas restricciones de igualdad y de desigualdad. Se puede enunciar el problema de minimización con restricciones de desigualdad para las variables de control como sigue

"In 'f (*' ")

(E-l)

g(x,u,P)=o

(E-2)

sujeta a las restricciones de igualdad

y a las restricciones de desigualdad

u

- u^*30

(E-3)

u^n- u 30

(E-4)

El teorema de Kuhn-Tucker [1] indica las condiciones necesarias para el mínimo, al suponer convexidad para las funciones

(E-l)

a (E-4), con

LE = 0 (gradiente con respecto a u, x, ,t)

(E-s)

donde ,4 es el lagrangiano formado por

B = f(x, u) + ,\rg(x, u, p)

+

o'ua*(u

-

u^¿o)

+ [^rn(u*n- u)

(E-6)

ol*(u- u-¡)= 0l ali"(u*. -o)= d^á*2

0, a.rn

>

0

(E-7)

|

0J

Las ecuaciones (E-7) se llaman ecuaciones de exclusión. Los multiplicadores qnaxy dn¡n Sorl las variables duales asociadas con los límites superior e inferior de las variables de control. Son variables auxiliares similares a los multiplicadores lagrangianos ,\ para el caso de restricción de igualdad.

APENDICE

E

Teorema de Kuhn-Tucker

Si a, viola un límite, éste puede ser el límite superior o inferior y no ambos alavez. Así, la restricción de desigualdad (E-3) o (E-4) es activa en cierto momento. esto es. existe ya Se& a¡,-6" o oi-ín, pero nunca ambas. Se puede escribir la ecuación (E-5 t en Ia forma sieuiente / 1 'T

aE= af

I og \

,\=0 ar a"* \Exl 1 rT \ aE,= af (l-l/ oP ),+a= ao a,r* \ou/ ,

(E-81

(E-e)

0

.

En la ecuación (E-9),

ei= d¡,^áo si ur- u¡,^e*) 0 di= - di,-ín Si u¡, *¡- U¡ > O An

(E-10)

*=g(x,u.P)=0 dA

Es evidente que cuando a se calcula con la ecuación (E-9) para cualquier solución factible y con ,\ de la ecuación (E-8), es idéntica con el gradiente negativo, es decir,

dt

a - - :t = negativo del gradiente du

con respecto au

(E-11)

En el óptimo , a también debe satisfacer las ecuaciones de exclusión (E-7), que establecen que

a¡=

si z;,

O

Qi= 4i.

rr¿x

Z 0

Qi=- ai,^inl0

orr,

I

ór ui - ui,

lt¡

1

u¡, máx

máx

si ui=u¡,-ín

que se puede volver a escribir en términos del gradiente al usar la ecuación (E-11) como sisue:

aE ?u,

=0

Sl tl¡,

-i, 1

dL -0

si u¡ =

0E

si u¡

du,

?u,

=O

U¡

(

U¡,

^áo

(E-12)

u¡,

^6"

= u¡, -in

REFERENCIA t

.

Kuhn, H.W. y A.W. Tucker: "Nonlinear Programming", P roceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley, 1951.

ApÉNnrcE F :

Control por de sistemas en tie$po*rBal

En los países desarrollados. se está desplazando el enfoque, en el sector de potencia, de la creación de capacidad adicional. para una mejor utilización de capacidad por una administración más efectiva y tecnología eficiente. Esto se aplica por igual a los países en desarrollo donde este enfoque dará como resultado una reducción de la necesidad en lugar de un aumento de capacidad.

Por ahora, las prioridades inmediatas y para un futuro cercano son mejor administración de la planta, mayor disponibilidad. mejor administración de la carga, menores pérdidas de transmisión, renovaciones del sistema de distribución, mejor cobro y recolección, eficiencia energética, auditoría ener-eética y administración de energía. Con todo lo anterior el sistema eléctrico podría senerar. transmitir y distribuir energía eléctrica al menor costo económico y ecológico posible. Estos objetivos sólo se pueden alcanzar mediante el uso de servicios de tecnología de la información habilitados en la administración y control de sistemas de potencia. En consecuencia se está subrayando al control. transmisión e intercambio de información por computadora. Las operaciones que intervienen en los sistemas de potencia requieren un sistema de monitoreo y control funcionalmente complejo y geográficamente disperso. La vigilancia y control supervisor que están en constante desarrollo y mejorando su capacidad de control se presenta esquemáticamente en la figura F. 1, donde con facilidad se observa su naturaleza distribuida. De arriba a abajo. las funciones del sistema de control son:

EMS SCADA

DAC

Sistema de administración de energía (EMS: energy management system). Ejercita un control general sobre el sistema total. Sistema supervisor de control y adquisición de datos (SCADA: supervisory control and data acquisition system'). Cubre al sistema de generación y transmisión. Sistema de automatización de distribución y control (DAC: distribution automqtion qnd control system). Supervisa al sistema distribución en el que se incluye a las cargas conectadas. Laautomafización, el monitoreo y el control en tiempo real han sido siempre parte del sistema SCADA. Con el mayor énfasis en la tecnología de infor-

APÉNDICE

F

Control por computadora de sistemas de potencia en tiempo real

S¡s:er¡a DAC

Sistemas de generación y transmisión

Figura

F.1

Sistema de distribución

c*s" l

i conectada

Vigilancia y control de un sistema eléctrico en tiempo real

mación en los sistemas de potencia, el sistema SCADA últimamente recibe gran atención.

El sistema SCADA es uno que permite a la empresa eléctrica monitorear, coordinar, controlar y operar a distancia componentes, equipo y dispositivos de transmisión y distribución, desde un lugar remoto con adquisición de datos para su análisis y para planear desde el sitio de control. Así, el objetivo del sistema SCADA es permitir que los operadores observen y controlen el sistema de potencia. Las tareas específicas del sistema SCADA son:

.

Adquisición de datos. que proporcione a los operadores mediciones e información sobre el estado.

. .

Gráficas de tendencia y mediciones en escalas seleccionadas de tiempo.

Control supervisor, que permita a los operadores controlar a distancia dispositivos como disyuntores y relevadores.

La posibilidad del sistema SCADA es permitir que los operadores controlen cortacircuitos, desconecten intemrptores y cambien tomas o derivaciones de transformador y posición del desplazador de fase desde un lugar remoto. También permitirles vigilar los sistemas de generación y de transmisión en alto voltaje, así como emprender acciones para corregir las sobrecargas o los voltajes fuera de límite. Monitorea el estado en todos los puntos, como posición en el tablero de distribución (abierto o cerrado), cargas y voltajes de subestación, bancos de capacitores y programas de intercambio. Detecta, por telemetría, las fallas y effores en enlaces de comunicación bilateral entre la computadora digital y el equipo remoto. Las funciones más críticas, que antes se mencionaron, se examinan cada pocos segundos. Otras operaciones no críticas, como registro de la carga, pronóstico de la carga, puestas en marcha y paros de unidades, se efectúan cada hora. La mayor parte de los programas de baja prioridad (los que se ejecutan con menos frecuencia) se pueden ejecutar a demanda del operador para fines de estudio o para inicializar el sistema de potencia. Un operador también puede cambiar el código de la computadora digital en la ejecución si cambia un parámetro en el sistema. Por ejemplo, puede ser que cambie la capacidad de una unidad generadora, en MWmin, si provisionalmente se elimina una de las válvulas de con¡rol para su mantenimiento, por 1o que el código hará

APENDICE

F

Control por computadora de sistemas de potencia en tiempo real

que disminuyalaparte que tiene la unidad en la regulación de la potencia. Los compiladores de software de cómputo y los manejadores de datos están diseñados para ser flexibles y aceptar con facilidad los datos por parte del operador.

El programa DAC es una versión del SCADA de menor nivel aplicable al sistema de distribución (en el que se incluyen cargas) que desde luego toma potencia de los niveles de transmisión/subtransmisión. Es obvio que no hay límite definido entre los sistemas DAC y SCADA. En una red de distribución, la computarización puede ayudar a administrar cargas, mantener la calidad, detectar robos y alteraciones para reducir las pérdidas en el sistema. También el cómputo ayuda a centralizar la recolección de datos. En un centro de despacho de carga se telemiden y se despliegan datos como corriente, voltaje, factor de potencia y estado de ruptores. Esto permite que el operador tenga un panorama general de toda la red de distribución, y también le permite ejercer un control efectivo sobre toda la red y emitir instrucciones para optimizar el flujo, en caso de sobrecarga de alimentador de desviación de voltaje. Esto se efectúa al incluir o excluir capacitores en paralelo, condensadores síncronos, así como administrando la carga. Con ello se ayudaría a lograr un mejor perfil de voltaje, reducir pérdidas, tener mejor confiabilidad, detectar con rapidez fallas y restaurar el servicio. A nivel de sistemas, SCADA puede proporcionar el estado y mediciones de los alimentadores de distribución en la subestación. El equipo de automatización de distribución puede monitorear dispositivos de seccionalización como ruptores, intemrptores y fusibles. También puede accionar intemrptores para reconfigurar circuitos, controlar voltajes, leer los medidores de los usuarios, implementar precios por hora del día y conmutar equipos de usuarios para administrar la carga. Con este equipo se mejora de manera significativa la funcionalidad de los centros de control de distribución. Se puede usar el sistema SCADA en forma extensa, para compilar gran cantidad de datos y administrar sistemas de distribución: También se pueden anular los puntos de robo, porque el flujo de potencia se puede examinar muy de cerca. Aquí de nuevo se pueden evitar cortes por errores humanos. Los sistemas modernos de medición que utilizan medidores electrónicos, lectores automáticos de medidor (AMR: automatic meter reader), medición remota y cobro local pueden ayudar mucho a la empresa eléctrica. Estos sistemas pueden aportar ingresos adicionales y reducir también el tiempo de retraso entre el cobro y la recolección. La automatización de la distribución mediante un sistema SCADA lleva,en forma directa a una mayor confiabilidad de la energía, por parte de los consumidores y a menores costos de operación por parte de la empresa eléctrica. Da como resultado pronósticos exactos de la demanda y administración del suministro, restauración del servicio más rápida de energía en el caso de una falla y una ruta alterna a la corriente en caso de una urgencia. Una función clave de esos sistemas es el control remoto que permite la ejecución más rápida de las decisiones. Se eliminan los errores manuales y los descuidos. Además de tener la información en línea y en tiempo real, el sistema da informes periódicos los cuales ayudan a analizar el desempeño del sistema de potencia. Se combinan la automatización de la distribución con el monitoreo de la red de distribución con el mapeo geográfico,

APENDICE

F

Control por computadora de sistemas de potencia en tiempo real

ubicación de fallas, etc., para mejorar la disponibilidad. También se integran la administración de la carga, el despacho de la carga y la medición inreligente.

Sistemas de adquisición de datos e interfaz hombre-máquina Hoy, el uso de computadoras abarca todas las fase. Je ,. ,rperación de los sistemas de potencia: planeación, pronóstico, programación. er ¿,u¡.-:,j:l Je la seguridad y control. Un centro de control de energía administra e Sti-r rire ¿: '. ::: F,t:.'irrn3 una operación óptima del sistema. Un centro de control típico puede real:z¡¡ i-. s:guienres funciones:

i) ii) iii)

Pronóstico de carga (LF: loadforecasÍin?,¡.-onLr. rre,jt¡¡.. ', ,¡'g¡r plazo. Planeación del sistema (SP: -rus¡e¡n planninqt.

Compromiso de unidad tLC unit cottunitrnent) )' programa'-ión ,Je mantenimiento (MS: maintenanc e s c h e d ul i n g ).

iv) Monitoreo de la segundad tSlf : seclrriry' monitoring). v) Estimación de estado (SE: s¡are estimation). ul) Despacho económico (ED economic dispatch). vii) Control de frecuencia de carga (LFC: loadfrequency control). Estas funciones de vigilancia y control se ejecutan en el ordenjerárquico clasificado de acuerdo con escalas de tiempo. Las funciones que realiza el centro de control se basan en la disponibilidad de una gran base de información y requieren software extensos para adquisición y procesamiento de datos.

En el nivel de generación, la filosofía del control distribuido ha reducido en forma notable el costo de cableado dentro de una planta y tiene el potencial de sustituir las salas tradicionales de control por estaciones distribuidas de pantallas con teclado. Los sistemas de adquisición de datos proporcionan un papel de apoyo para el software de aplicación en un centro de control. El sistema de adquisición de datos (DAS: data acquisition system) recolecta datos sin procesar en puntos seleccionados del sistema de potencia y los conviefie a unidades técnicas. Los datos se comprueban para ver si violan límites y cambios de estado y se envían a la base de datos para procesarlos por software de aplicación. La base de datos en tiempo real proporcionan información estructurada para que los programas de aplicación que necesiten la información tengan un acceso directo y eficiente a ellos. Laintertaz entre hombre y máquina es un enlace entre el operador y el softwarelhardware que se usa para controlar o monitorear el sistema de potencia. En general, la interfaz es un sistema de presentaciín gráfrca en colores. Los procesadores de control tienen interfaz con la interfaz de control del sistema de despliegue o de presentación. La íntertaz entre DAS y hombre-máquina respalda las funciones siguientes:

i) il) iii) iv) v)

Carga y despacho de generación.

Presentación con tubo de rayos catódicos y control de la misma.

Mantenimiento de la base de datos. Manejo de alarmas. Control supervisor.

fiS I

APÉNDICE

F

Control por computadora de sistemas de potencia en t¡empo real

I

vl) vll) vlll)

x)

Funciones de programación. Ingreso de datos. Ingreso de eventos.

Análisis de la red en tiempo real.

Con la introducción de unidades generadoras de mayor tamaño, las necesidades de monitoreo también han aumentado en las plantas generadoras. Para mejorar el desempeño de la planta, hoy todas las empresas de energía han instalado sistemas DAS en sus unidades generadoras de capacidad de 20 MW y mayores. El sistema DAS en una estación de generación térmica reúne las siguientes entradas de diversos lugares de la planta y los convierte a unidades técnicas. Entradas analógicas:

i) Presiones, flujos, parámetros eléctricos, etcétera. il) Entradas analógicas de 0-10V CD. lil) Entradas de termopares. lu)

Datos de termómetros de resistencia (RTD: resistsnce thermometer data).

Entradas digitales:

l) ii)

Salidas de contratos.

Posición de válvulas, intemrptores de presión y de límites.

Todas estas entradas de proceso se recaban en campo por cables hasta las terminales. La computadora procesa la información y la pasa a laintertaz hombre-máquina para ejecutar las funciones siguientes:

i) Mostrar en la pantalla. ii) Mostrar gráficamente los subsistemas lll) Ingresar datos. lv) Generación de alarma. v) Ingresar eventos. vi) Determinar tendencias de variables vii) Cálculo de desempeño. viíi) Generar señales de control.

de la planta.

analógicas.

Algunas de las funciones anteriores se describirán en forma breve a continuación. En general hay de 2 a3 pantallas en una consola del operador en la sala de control, que facilitan al operador el tener a la vista alarmas, variables de la planta y otra información que desee tener en forma simultánea. Para tener una visión completa de la planta y al mismo tiempo información sobre diversas variables en tiempo real y el estado, son muy útil las presentaciones de diagramas semejantes en una pantalla. Los datos pueden registrarse con impresoras, a intervalo fljo y en forma automática y también a voluntad. Los límites de todas las variables se comprueban con el software y si alguna de ellas están fuera del intervalo predefinido, una alarma se activa para atraer la atención del operador.

APENDICE

F

Control por computadora de sistemas de potencia en tiempo real

Los cambios importantes y seleccionados de estado

se

regisÍan \. se mantiene un resistro

de las horas en que sucedieron.

El programa DAS contiene programas que calculan, en forma periódica. la enciencia de equipos diversos, como caldera, turbina. generador. condensador, ventiladores. calentadores, etcéteru. También ese programa puede reahzar un control completo en línea del equipo de Ia planta eléctrica. El sistema DAS para plantas modernas de fuerza emplea la configuración de sistema distribuido. El sistema está formado por varias microcomputadoras y cada una de ellas realiza una tarea asignada e intercambia información con otras por una interconexión de cable coaxial, la llamada carretera. El procesamiento distribuido es un término que indica cualquier ambiente de cómputo en el que varios sistemas de cómputo dábiimente acoplados realizan determinada aplicación. El control automático mediante inteligencia distribuida tiene, entre otras ventajas, gran flexibilidad de diseño junto con mejor confiabilidad y eficiencia. La tecnología de la información ha capturado hoy la imaeinación de los ingenieros en sistemas de potencia quienes están adoptando los dispositivos de cómputo de bajo costo y poder relativamente grande para implementar sus sistemas DAS y de control. El control por computadora aporta algoritmos poderosos con las siguientes ventajas: l) aumento de utilización de capacidad de generación, ii) ahorros en energía y en consecuencia en materias primas gracias a la mayor eficiencia de operación, lll) flexibilidad y posibilidad de modificación. lr') reducción del trabajo pesado, v) mejor eficacia del operador.

Los procesadores con base de datos inteligente se volverán más comunes en los sistemas de potencia pues puede acelerarse la actividad de búsqueda, recuperación y actualizaci6n. Se integrarán nuevos conceptos funcionales del campo de la inteligencia artificial (AI: artificial intelligence) con el monitoreo, restauración automática de redes de potencia y control en tiempo real.

Las computadoras personales se emplean en una amplia variedad de operaciones del sistema de potencia que incluyen control de la estación generadora, administración de carga, sistemas SCADA. protección, capacitación del operador, funciones de mantenimiento, procesamiento de datos administrativos, control de excitación del generador v control de las redes de distnbución. La tecnología de la información hizo posibie así que los sistemas no sólo monitorearan y controlaran la red, sino también mejoraran eficiencias de operación y desempeñan un papel clave en el mantenimiento de la seguridad del sistema de potencia.

REFERENCIAS

1.

2.

Power Line MagaTíne, vol. 7, núm. 1, octubre de20O2,pp.65-'71. A.K. Mahalanabis, D.P. Kothari y S.I. Ahson, Computer Aided Power System Analysis and TMH, Nueva De1hi, 1988.

3. 4.

IEEE Tutorial Course, Fundamentals of Supervisory Control System, 1987. IEEE Tutorial Course, Energy Control Centre Design, 1983.

Contol,

ApÉnDrcE G '..t.4",.

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Introducc

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El programa MATLAB fue desarrollado por MathWorks Inc. Es un paquete de software poderoso, que se usa para cálculos numéricos científicos de alto desempeño, análisis y visualización de datos. MATLAB quiere decir MATrix LABoratory, laboratorio matricial. La combinación de posibilidades de análisis, flexibilidad, confiabilidad y poderosas gráficas hace que MAILAB sea el principal paquete de software para ingenieros en sistemas de potencia. Esto se debe a que, a diferencia de otros lenguajes de programacion donde se deben declarar matrices y operar sobre ellas con sus índices, MATLAB tiene a lamatriz como uno de sus elementos básicos. Permite hacer operaciones básicas, como se verá después, como suma, resta y multiplicación mediante el uso de operadores matemáticos simples. También no se necesita declarar el tipo y tamaño de variable alguna por adelantado. Se decide en forma dinámica, pues depende de qué valor se le asigne. Pero MATLAB es sensible a las mayúsculas y minúsculas, por lo que se debe tener cuidado acerca de mayúsculas y minúsculas de las variables cuando se usan en los programas.

MATLAB proporciona un ambiente interactivo con cientos de funciones incorporadas, confiables y exactas. Esas funciones ayudan a proporcionar las soluciones a una variedad de problemas matemáticos en los que se incluyen álgebra de matrices, sistemas lineales, ecuaciones diferenciales, optimización, sistemas no lineales y muchos otros tipos de cálculos científicos y técnicos. La característica más importante de MATLAB es su posibilidad de programación, que soporta los dos tipos de programación: orientada a objetos y programación estructurada y es muy fácil de aprender y usar y permite emplear funciones desarrolladas por el usuario. Facilita acceso a los códigos de Fortran y de C mediante interfaces extemas. Hay varios conjuntos opcionales de herramientas para simular problemas especializados en diferentes áreas y extensiones para vincular MATLAB y otros programas. SIMULINK es un programa formado sobre el ambiente de MAILAB, que junto con sus productos especializados, aumenta el poder de MATLAB para hacer simulaciones y visualizaciones científicas. Para una descripción detallada de los comandos, posibilidades, funciones de MATLAB y muchas otras características útiles, se remite al lector a la Guía y Manual de

MATLAB.

APÉNDICE

G.l

G

Introducción a MATLABv SIMULINK

COMO INICIAR MATLAB

MAILAB al hacer doble clic en el ícono MATLAB en el escritorio de la computadora o al hacer clic en Start Menu (Menú Inicio) y después en Proqrams (Programas) y a continuación al hacer clic en el grupo apropiado de programas como "MAILAB Release 12" (MATLAB, comunicado 12). Se apreciará una pantalla como la de la figura G.1. La petición de comando se caracteriza por el símbolo >> y es donde se teclean los comandos. El menú principal contiene submenús como Eile (archivo), E_dit (editar), flelp (ayuda), etc. Si se desea iniciar un archivo nuevo de programa en MAILAB (que se indica por la extensión .m) puede hacerse clic en File (archivo) y después new (nuevo) y seleccionar el M-file (archivo de MATLAB) que se desee. Con eso se abrirá una ventana de editor/depurador de archivo MATLAB donde podrá ingresar el programa y guardarlo para usarlo después. Puede correr este programa tecleando su nombre frente a la petición de programa. Ahora se presentan aigunos comandos básicos. El lector puede iniciar

Inicialización de matriz Una matriz se inicializa al teclear su nombre 1' después el signo = r. abrir un corchete tparéntesis cuadrado) en el cual el usuario proporciona los valores y cierra el corchete. Cada elemento está separado del siguiente por uno o más espacios o tabulaciones. Cada renglón de la matiz se separa de otros cuando se oprime la tecla Enter (InIro) al final de cada renglón o al teclear un punto y coma al final. Con los siguientes ejemplos se ilustra esto.

>>A:lr25l >>B:[1 5

7

7 2-9 -3 2 -51

La operación anterior también se puede hacer tecleando

>>

B:

17 5

7; 7 2 -9; -3 2 -51

Figura

G.1

1o

siguiente:

APÉNDICE

G

Introducción a MATLAB v SIMULINK

Si no se escribe un punto y coma después de cerrar los corchetes, MATLAB despliega el valor de las matrices en la ventana de comando. Si no se desea que MATLAB muestre los resultados, sólo se teclea punto y coma(;) al ñnal de Ia declaración. Es la causa de que eso se vea en los programas que se presenten aquí, cuando se desea mostrar el valor de variables como voltajes; al terminar de teclear el nombre de la variable sin punto )' coma al final, el usuario verá los valores durante el programa. Después un programa se ejecuta sin que se muestren valores de las variables, si el usuario desea ver el valor de cualquiera de esas variables en el programa, sólo debe teclear el nombre de la variable y ver su valor.

Operaciones comunes con matrices Primero se declaran algunas matrices

>>A:[15;69] >> B : 12 7; 9 -31 Suma

>>C:A+B Suma las matrices A y B y guarda el resultado en la matriz C.

Resta

>>D:A-B Resta la mafriz B de la mafrizA v euarda el resultado en D.

Multiplicación

>>E:A*B Multiplica dos matrices A y B conformables y guarda el resultado en E.

Inversa >> F : inv(A) Calcula la inversa de la matriz A, al calcular los cofactores y guarda el resultado en F.

Transposición (') para obtener la transpuesta de una matnz. Si el elemento de guarda es complejo, el conjugado del elemento mientras calcula la transpuesta,

Se usa el operador comilla

lamatiz

por ejemplo

>>G:A' o bien

>>G1-t13;45;631' también guarda la transpuesta de una maftiz en corchetes enmatiz Gl. En caso que uno no desee conjugar los elementos mientras se toma transpuesta de mattiz, se debe utllizar el operador .'operator instead of '.

APÉNDICE

G

Inlroducción a MATLAB v SIMULINK

Determinante

>>H:det(A)

Guarda en H el determinante de la matriz A.

Eigenvalores >> K: eis(A) obtiene los eigenvalores (valores propios) de la matriz A y los guarda en K'

G.2 MATRICES ESPECIALES

Y VARIABLES PREDEFINIDAS Y ALGUNOS OPERADORES ÚtIT.gS

MATLAB tiene algunas variables preinicializadas. Esas variables

se pueden usar en

for-

ma directa en los programas.

pi Indica el valor de

)) r :

a'.

d*pi1180

pasa grados d a radianes, y los guarda en la variable r.

inf Se puede especificar que una variable tenga un valor

oo.

)) gain : inf

ivi Son variables predefinidas cuyo valor es igual a laraíz cuadrada de (-1). Se usan para definir números complejos. También se pueden especiflcar matrices complejas.

>>P:20 >>Q--10 >>S:P+¡*q La declaración anterior define la potencia compleja S. Aquí se debe tener cuidado porque si se usan las variables I yj como contadores de lazo, no se pueden usar para definir números complejos. Por consiguiente, se verá que en algunos de los programas se utilizaron 11 y j1 como variables de lazo en lugar de i y j.

eps Esta variable está inicializada previamenfe en2-s2.

Matriz identidad Para generar ana matriz identidad siguiente:

>>

K: eye (3,

3)

y guardarla en la variable K,

se indica el comando

APENDICE

G

lntroducción a MATLAB v SIMULINK

Después de lo anterior, entonces K viene a ser

K- t1 0 0 010 0 0 1l Matriz de ceros >> L - zeros (3, 2) genera una matriz de 3 x 2 con todos sus elementos igual a cero y los guarda en L.

Matriz de unos )) M : ones (3, 3) x 3 con todos sus elementos igual

genera una matriz de 3

a uno y los guarda en

M.

Operador: (dos puntos) Es un operador importante que puede extraer una submatriz detnamatriz dada. La matriz

A

se muestra a continuación:

A- t1 5 7 B 2 6 9 10 5 4 3 1

93r

2)

Este comando extrae todas las columnas de la matriz A que corresponden al renglón 2 y las guarda en B.

AsíBes[269I01 Ahora se intenta con el sisuiente comando.

>>

C: A (:,

3)

Este comando extrae todos los renglones que forman la columna 3 de la matriz A y los guarda en la matriz C. Así, C es 17

9 1l

Ahora, con este comando,

>>

D: A(2:4, 1:3)

Se extrae una submatriz fal que contiene todos los elementos que conesponden a los renglones número 2 a 4 y número de columna de 1 a 3.

Entonces,D=

[2 6

9

543 931.l

APÉNDICE

G

Introducción a N{ATLABVSIMULINK

G.3 MULTIPLICACION ELEMENTO POR ELEMENTO (OPERADOR.*) Esta operación, a diferencia de la multiplicación crrmpleta de matrrces. mulirplrci e i cl:mento de una matriz por el elemento corresponJtente de otra que tiene ei mismt, ln¿t.':. Sin embargo, en este último caso, las dos matn;es deben tener dimensiones iguales. Este operador se utilizó para calcular polen"-ras complejas en los buses. Por ejemplo: V = [0.845 +j*0.307 0.9]7 -.t-0.118 0.966 + j*0.4101 e I = [0.0654 - jxD.432 0.876 -.i "0.]89 0.543 +jxo.2l0l' Entonces, la potencia compleja S se calcula e'omo

S: V.* conj (I)

>>

Aquí, conj es una función incorporada. que determina el complejo conjugado de su argumento. Entonces, S se obtiene como {-0.0714 + 0.3851i 0.7404 + 0.4852i 0.6106 + 0.019811. Obsérvese que aquí. si el resultado es complejo, MATLAB asigna automáticamente la i en el resultado, sin signo de multiplicación (*). Pero al indicar la entrada como un número complejo, debemos usa¡ la multiplicación (x) junto con i o j.

G.4 FUNCIONES INCORPORADAS COMUNES suma sum(A) da la suma o total de todos los elementos de una matiz dada A.

min Esta función se puede usar en dos formas.

a)

Para comparar dos cantidades escalares:

))a-4

>>b-7

)) min (a, b) results in

4

si a o b es un número complejo, para la comparación se toma su valor absoluto.

b)

Para determinar el mínimo entre una

por ejemplo, si A =

))

matiz o arreglo:

[6 -3; 2

-51 min (A) da como resultado -5.

abs Si se aplica a un escalar, determina el valor absoluto positivo de ese elemento (su magnitud). Por ejemplo,

))

x = 3 + j*4

abs(x) da como resultado 5. Si se aplica a una matriz, produce una matriz que guarda los valores absolutos de todos los elementos de esa matr'z.

APÉNDICE

G

Introducción a MATLABvSIMULINK

G.5

ESTRUCTURAS DE CONTROL Declaración IF La forma general de la declaración (o instrucción) IF

es

I F exoressi on statements ELSE expressi on statements ELSEI

F

statements END

Expresión es una expresión lógica que resulta en una respuesta cierto La expresión lógica puede consistir en;

i)

(l) ofalso (0).

una expresión que contiene operadores de relación, que en la tabla G.1 se presentan con sus significados.

il) o muchas expresiones

lógicas combinadas con operadores lógicos (Logical Operators). En la tabla G.2 se muestran varios operadores lógicos y sus significados.

Lazos FOR Repiten un bloque de declaraciones un número predeterminado de veces. La forma más común delazo FOR que se usa es

fork:a:b:c, statements end donde k es la variable delazo que se inicializa al valor de la variable a inicial. Si el valor final (por ejemplo, c) no se alcanza, se ejecutan las declaraciones en el cuerpo dellazo.

Tabla G.l Significado

Operador de relación

Mayor que Mayor o igual

a

Menor que Menor o igual a

Igual

a

No es igual a

4=

Tabla G.2 Operador lógico

& I I

Significado

AND (Y)

oR (o) NOr (NO)

APÉNDICE

G

Introducción a MATLABvSIMULINK

El valor de k se incrementa a continuación en la variable de paso b. El proceso termina cuando k llega o rebasa el valor final c. Por ejemplo,

for i : 1:1:10, a(i ) : 1 eno De este modo se inicializa en 1 cada elemento de a. Si el incremento es l, como en este caso, también se puede omitir la parte del incremento y el lazo anterior se podría haber escrito en la forma

for i : 1 : a('i ):1

10,

eno

Lazo While Este lazo repite un bloque de declaraciones hasta que sea cierta la condición indicada en

ellazo.

while exoression statements eno Por ejemplo,

i:1 while i <: 10 a('i ) - 1 i : j + 1; end Este lazo hace que los diez primeros elementos del arreglo a sean iguales a

1.

Declaración break Esta declaración permite salir en forma prematura de un lazo for o uno while.

G.6 1. 2. 3.

4.

EJECUTAR LOS PROGRAMAS OUE HAY EN ESTE APÉNDICE CÓTVTO

Copie los programas en la subcarpeta de trabajo de la carpeta MATLAB. Sólo teclee el nombre del programa sin extensión .m, y el programa se ejecutará. Si quiere tenerlos en alguna otra carpeta, por ejemplo en c:\potencia, entonces, después de copiar los archivos a c:\potencia, cambie la carpeta de trabajo a c:\potencia. Eso se logra al hacer clic en la barra de herramientas que tiene tres puntos ..., que está al lado derecho del directorio actual, en la esquina superior derecha. Puede ver o editar estos programas al ir por el menú File-Open (archivo-abrir) y abrir el archivo apropiado. Sin embargo, esos archivos no se deberán guardar a menos que esté seguro de que quiere los cambios que se han hecho a esos archivos originales.

APÉNDICE

5.

G

Introducción a MATLABv SIMULINK

Pueden verse cuáles son las variables ya definidas al teclear whos frente a la petición de comando. Ésta es la razon por la cual normalmente se encuentra un comando clear (borrar) al principio de los programas. Éste borra todas las variables que se hayan definido en la memoria hasta ese momento, de modo que esas variables ya no interfieran

ni hagan funcionar mal los programas.

G.7 FUNDAMENTOS DE SIMULINK SIMTILINK es un paquete de programas desarrollado por MathWorks Inc., que es uno de los programas que más se usa en la academia y la industriapana modelar y simular sistemas dinámicos. Se puede usar para modelar sistemas lineales y no lineales ya sea en marco de tiempo continuo o en uno de tiempo de muestreo o incluso en un híbrido de estos dos marcos. Contiene una interfaz gráfica con el usuario muy fácil y del tipo de arrastrar y soltar, para formar los modelos en forma de diagrama de bloques. Tiene muchos componentes incorporados en la biblioteca de bloques que pueden utilizarse para modelar sistemas complejos. Si esos modelos incorporados no son suficientes, SIMULINK también permite tener bloques definidos por el usuario. Sin embargo, en este corto apéndice se tratará de describir algunos de los bloques más comunes que toma uno para simular un sistema. El lector puede intentar construir los modelos que se presentan en los ejemplos.

Cómo

iniciar

SIMULINK puede iniciarse con sólo hacer clic en el ícono simulink en la barra de herramientas o al teclear Simulink frente a la petición de comando >> de MATLAB. Con eso se abre el navegador de la biblioteca de SIMULINK, que debe parecerse al que muestra la figura G2. Puede haber otras cajas de herramienta pero depende de la licencia con que se cuente. El signo más que se ve en la mitad derecha de la ventana indica que hay más bloques disponibles por debajo del ícono al hacer clic en el signo (+) la biblioteca se expandirá. Ahora, para formar un modelo nuevo, haga clic en Eile (archivo) y seleccione New Model (modelo nuevo). Se abre una ventana vacía de modelo. Todo 1o que hay que hacer ahora es seleccionar el bloque, en el navegador de biblioteca de SIMULINK y soltar en su ventana de modelo. Entonces se unen los modelos v se eiecuta la simulación. Es todo.

Un eiemplo Se trata de simular un modelo sencillo en el que se toma una entrada senoidal, se integra

y

se observa la salida.

A continuación

se describen los pasos.

1. 2.

Clic en Sources (fuentes) en la ventana del navegador de biblioteca SIMULINK.

3.

Clic en este ícono fuente y sin soltar el botón del ratón

4.

Si se hace doble clic en esta fuente, se podrán ver los parámetros del bloque, para la onda senoidal, que incluyen amplitud, frecuencia, fase, etc. Por ahora no se cambiarán esos parámetros. Así que haga clic en cancel (cancelar) para regresar.

Se podrán ver varias fuentes que proporciona SIMULINK. Recórralas y verá un ícono de fuentes de Onda Senoidal (Sine Wave). se arrastra y se deja caer en la ventana de modelo, cuyo nombre actual es untitled (sin título).

APÉNDICE

i

.

0hcreie

:U |rhrl $ tttrncar

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&

T¡bl¿t

iX rqn*&1d€ar

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S

Introducción a MATLABv SIMULINK

H cr*r¡n¡

t"..8l¡¡s*s .' il trsiorr&I!ücr

, :

G

M*r

crt¡d tr*em toohx

H¡nk¿e

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&

$pter¡r

$i*r

Figura G.2

clic en el ícono de biblioteca continuous (continuo). Ahora se podrán ver varios bloques incorporados como derivada, integrador, función de transferencia, espacio de estado, etc. Seleccione el bloque integrador y déjelo caer en

5. En forma parecida, haga

su ventana de modelo.

6. Ahora haga clic en sinks (cargas) y Íürastre y deje caer el bloque scope (visor) en su modelo. Es uno de los bloques que se usan con más frecuencia para desplegar los valores de los bloques. 7. Ahora una la salida de la fuente de onda senoidal con la entrada del bloque Integrator (integrador). Se puede hacer de dos maneras. O se hace clic en el botón izquierdo y se affastra el ratón desde la salida de la fuente de onda senoidal hasta la entrada del bloque integrador y se suelta el botón izquierdo o bien se hace clic en el botón derecho y se ¿urastra el ratón para formar una conexión desde la entrada del bloque integrador hasta la salida de la fuente de onda senoidal.

el menú principal, haga clic en Simulation (simulación) y clic en Start (iniciar). La simulación se ejecuta y se detiene después del tiempo especificado cuando se indica listo en la petición en la esquina inferior izquierda. 9. Ahora, haga doble clic en scope (visor) para ver el resultado. ¿Algo está mal? ¿El resultado es una onda senoidal de magnitud 2? ¿Hay algin error en el software SIMULINK? No, de hecho se olvidó especificar ¡la constante de integración! La integración de sen d es -cos 0 +C. Cuando 0 = O, C = -1. Si no se especif,ca alguna condición inicial para la salida del integrador, SIMULINK supone que es 0 y calcula la constante. Por 8. Ahora, en

APÉNDICE

G

Introducción a MATLABv SIMULINK

-cos á+ C= 0 en /= 0 lo que resulta enC = 1. Entonces, laecuación para -cos 9+ 1. Así, naturalmente, comienza de 0 en t =0y llega a su valor máximo de 2 cuando 0= rr.es decir.3.14. eso calculó

la salida 10.

es

Para rectificar este error se hace doble clic en el bloque integrado¡ y en las condiciones iniciales se ingresa -1 la cual debeúa ser la salida del bloque en ¡ = 0. Ahora, se vuelve a

ejecutar la simulación y se observará que el resultado es el correcto.

Algunos bloques de uso frecuente 1. Integrator (integrador) Ya se describió su uso en el ejemplo anterior. 2. Transferfunction (función de transferencia) Con este bloque se puede simular una función de transferencia de la forma Z(s) = N(s)/D(s), donde N(s) y D(s) son polinomios en s. Se puede hacer doble clic en el bloque e ingresar los coeficientes de s en el numerador y el denominador de la expresión en orden ascendente de s que se encierran dentro de corchetes y se separan con un espacio.

3. Sum (suma) Este bloque se encuentra debajo de Math (matemáticas) en el bloque Simulink. En forma predeterminada tiene dos entradas, ambas con signos positivos. Se puede modificar el bloque para que tenga la cantidad necesaria de entradas que se van a sumar, al especificar una cadena de + o de - que depende de las entradas. Así, si hay 3 entradas, se podrá indicar la lista de signos como + - -. Con esto se indicará una entrada positiva y dos entradas con signo -, que se usan con frecuencia para simular retroal i mentación negativa.

4. Gain (ganancia)

Este bloque también se encuentra en Math, en el bloque Simulink. para Se usa simular la ganancia estática. Esta puede incluso tener valores fraccionarios para actuar como atenuador.

5. Switch (cambio) Este bloque está disponible en el bloque Non-linear (no lineal) en Simulink. Tiene tres entradas, y la superior tiene el número 1. Cuando la entrada número 2 es igual o mayor que el valor umbral especificado en las propiedades de este bloque, permite que laentrada número 1 pase, y si no, deja que pase laentradanúmero 3.

6. Mux and Demux Estos bloques están disponibles en Signals and systems (señales y sistemas) en Simulink. El bloque Mux combina sus entradas en una sola salida, y se usa casi siempre para formar un vector con cantidades escalares de entrada. El bloque Demux hace lo inverso. Descompone la cantidad vectorial en varias salidas escalares.

7. Scope (visor) Ya se describió su uso. Sin embargo, si se está graficando una gran cantidad de puntos, haga clic en la barra de herramientas Properties (propiedades) y seleccione la pestaña Data History (historial de datos). A continuación se deselecciona el cuadro Limit data points (límite de puntos de datos) para que se grafiquen todos los puntos. También, cuando la forma de onda noparezca suave, en la pestaña general de la barra de herramientas propiedades, seleccione un tiempo de muestreo en lugar de dividir en el cuadro de tiempo de muestreo e ingresar un valor adecuado como 1e-3 (10J).A continuación, Scope usa el valor en el intervalo de tiempo de muestreo para hacer la gráfica.

8. Clock

Este bloque se utiliza para aportar tiempo como una fuente de entrada y está disponible en Sources book en Simulink.

APÉNDICE

G

Introducción a MATLAB y SIMULINK

9. Constant (constante)

Este bloque es para dar una entrada constante s se llega a ól a través de Sources block (bloque de fuentes) en Simulink. Este bloque se ha udlizado en estudios de estabilidad para proporcionar una entrada mecánica constante.

IO. Sinewave (onda senoidal) Ya

se describió este bloque. Se puede usar para senera¡

una onda senoidal de cualquier amplitud, frecuencia y fase. pide al lector que desarrolle los ejemplos que aparecen en este apéndice, para tener una idea más cercana de los programas. Se

G.8. ARCHIVOS DE GUIÓN Y DE FUNCIÓN Tipos de archivos m En la programación en MATLAB se usan dos tipos de archivos m:

i)

Archivo m de guión (script). Este archivo no necesita parámetros de entrada y no retorna valor alguno como parámetro de salida. Sólo es un conjunto de declaraciones MATLAB que se guarda en un archivo de tal modo que se ejecutan sólo al teclear el nombre del archivo frente a la petición de comando; por ejemplo, los programas en G2 hasta Gl8 son archivos de guión.

ll) Archivos m de función. Este archivo acepta argumentos de entrada y retorna valores como parámetros de salida. Puede trabajar con variables que pertenezcan al espacio de trabajo y también con variables que son locales a las funciones. Estas últimas son útiles para formar las funciones propias para una aplicación particula¡ por ejemplo, PolarTorect.m (polar a rectangular) en Gl es un archivo m de función.

A continuación

a)

se indica la estructura básica de1 archivo m de función.

Renglón de definición de función. Es el primer renglón de una función. Especifica el nombre y número de la función, y el orden de las variables de entrada. Su sintaxis es: función lvariables de salida] = nombre de función (lista de variables de entrada).

á)

Primer renglón de ayuda. Siempre que se pida ayuda acerca de esta función o se vea

MATLAB despliega este renglón. sintaxis es: 7o nombre de la función, help (ayuda). Su su ejecución,

c)

Texto de ayuda. Siempre que se pide ayuda en el texto de ayuda acerca del nombre de la función se despliega el texto de ayuda por parte de MAILAB, además del pnmer renglón de ayuda. Su sintaxis es: 7o nombre de la función (variables de entrada).

fl

Cuerpo de la función. Éste consta de códigos que actúan sobre el conjunto de las variables de entrada para producir las variables de salida.

El usuario puede desarrollar así sus propios programas y funciones y agregarlos a la biblioteca existente de funciones y bloques.

G.9

ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS CON MATLAB

En esta sección se presentan 18 ejemplos resueltos de este libro y se vuelven a resolver usando MATLAB/SIMULINK para animar al lector para que resuelva más problemas de sistemas de potencia con

MAILAB.

t'651

APÉNDICE

G

Introducción a MATLAB v SIMULINK

Ejemplo G.I Esta funci ón pasa de coordenadas pol ares a coordenadas rectangul ares El angumento de esta función es 1) magnitud y 2) ángulo en grados Esta funcjón se utiljza en muchos problemas que se nesuelven en este apéndice functj on rect:po1 arTorect(a, b) rect:a*cos ( b*pr /180 )+j*a*si n( b*pi /180 ) ; % % %

Nota: Esta función

se usará para resolver muchos de los ejemplos que siguen.

Ejemplo G.2 (del ejemplo 5.6) % Se i I ustra el efecto Ferranti % Se simula el efecto al variar la

I ongi

tud de I a I í nea

oesoe

ceno (extremo de recepci ón ) hasta 5 000 km en incrementos de 10 % y grafica el fasor de voltaje en el extremo de transmi si ón % Corresponde a I a fi guna 5.13 y a I os datos del ejempl o 5.6 %

km

clean 2 0 e 3/ s qr t ( 3 ) ; pha:0.163e-3; al V

R:2

beta:1.068e-3; l:5000;

for i:0:10:1, VS:(VR/2)*exp(al pha*i )*exp(j*beta*j )+(VR/2)*exp( -al pha*i )*exp(j*beta*i ); X(

k):real (VS);

Y(k):imag(VS); k:k+1

;

end

plot(X,Y)

Ejemplo G.3 (del ejemplo 5.7) % %

Este prograrna ilustra el al del ejemplo 5.7

cl

ea

uso de modelos de I ínea djferentes

r

f:50 [.:300

l:40+¡x125 Y:1e-3 PR:50e6/3

VR:220e3/(sqrt(3))

pfl oad:0.8 I R:PR/ L:LI

(

VR*pfl oad

)

I

v:Y

ll

Ahora se cal cul ará el vol taje en el extremo de transmj sj ón, I a conrj ente en el extremo de transmi si ón y fp en extremo de transmjsión con los métodos siguientes, para djstjntas I ongi

tudes de I í nea

I longitudes de línea var.iables de 10 a 300 km en incnementos de 10 km i -, compararlos en func.i ón de las longitudes de.l ínea.

APÉNDICE

% Los métodos son % 1) Aproximacjón de I % 2) V1étodo PI nominal % %

G

Introducción a MATI AB y SIMULINK

ínea corta

3) tcuaciones exactas de I ínea de transmisión 4) Aproximacjón de ecuacjones exactas

for l:10:10:300, %

Short 1 i ne appnoxj mati

on

Vs_shbrtl ine(i ):VR+(z*l )*lR

Is_shorll ine(j ):lR Spf_shortl i ne( i ):cos ( angl e ( Vs_shontl r' ne ( i ) - angl e ( I s_shortl i ne ( i Spower_shortl j ne( i ):real ( Vs_shortl i ne( i )*conj ( I s_shortl j ne ( j ) ) ) 14étodo

PI

))))

nomi nal

A:1+(y*l )*(z*l) l2 B=z*l C:Y*l

*i 1+(Y*l )* (z*) ) I 4) Vs_nomi nal pi ( i )=A*VR+B*l R I s_nomj nal pi ( i ):C*VR+D*l R Spf_nomi nal pi ( i ):cos ( ang l e( Vs_nomi nal pi ( r' ) -angl e( Is_nomi nal pi ( i)))) Spower_nomi nal pi ( j ):real ( Vs_nomi nal pi ( i )*conj ( I s_nomj nal pi ( i ) ) ) % Ecuaciones exactas de lÍnea de transmisión lc=sqrL(z/ gamma:sq

y

)

rt (y*z )

Vs_exact(i ):cosh(gamma*l )*VR

Is_exact(i):(Il7c)*s

+

jnh(garnma*l

Zc*sinh(gamma*l )*lR

) + cosh(gamma*l )*lR

Spf_exact ( i ):cos ( ang l e ( Vs_exact ( j ) - angl e ( I s_exact( j ) ) ) ) Spower_exact( j ):real (Vs_exact( i )*conj ( Is_exact( j ) ) ) % Apt"oxi maci ones

A:1+(y*l

de I as ecuaci ones exactas anteri ores

)*(z*l)/2

D:A

B:(z*l )*(1+(y*l )*(z*l) l6) C:(y*l )*(1+1y*1 )*(z*l )/6) Vs_approx ( i ):A*VR+B*l R i s_appnox ( i ):C*VR+D*l R Spf_approx( i ):cos ( angl e ( Vs_approx( i ) - angl e( Is_approx( i ) ) ) ) Spower_approx ( i ):rea I ( Vs_approx ( i ) *con j ( I s_approx ( i ) ) ) point(i )=i t: trl end

El lector puede suprimir cualquiera de los comentarios en cualquiena de las declaracjones de graficacjón que se presentan abajo % al eliminar el signo de porcentaje frente a la declanación % por ejemplo, en Ia declaracjon de graficado sjguiente % gráfica en rojo los voltajes del extremo de transmisión para el modelo de %

I í nea corta

por modelo pi nominal en verde, por modelo de parámetros exactos en negro % y por modelo pi aproximado en azul pl ot(point, abs(Vs_shortl i ne),'r' ,point,abs(Vs_nomjnal pi ),'g' ,p0jnt,abs... %

APÉNDICE

G

Introducción a MATLAB

SIMULINK

(Vs_exact),'b', point,abs(Vs-approx),'k'

)

is-shortl i ne), 't"' ,point, ( Is_exact),' b',point,abs( Is_approx),' k' )

%grafi car(poínt,abs( %gr

af tcar ( poi nt, abs ( Spf_shortl j ne ),'

r',

abs( Is-nomjnal pi

),'g '

poi nt, abs ( Spf-nomi na1 pi

rrv

nninf

), 's'

¡

¡h<.

e,svv.¡

,

p0rnI,aDS...

(Spf_exact),' b',point,abs(Spf-approx),' k' ) 'r' ,poi nt,

pl ot( poi nt, abs( Spower-shontl i ne) ,

abs (Spower-nomj nal

pi ) , 'S'

,

point,abs...

(Spower_exacl),'b',point.abs(Spower_approx),'

k'

)

Ejemplo G.4 (del eiemplo 6.2) % Este progranta forma YBUS

por transformación singul ar

% Los datos para este programa es una malrjz primitiva de admitancia y % que debe darse en el formato siguiente, y guardarse en ydata. % La tierra se da como bus no 0. % Si e l el emento no está mutuamente acopl ado con al gún otro el emento, % entonces el elemento correspondienle a la 4a y 5a columna de ydata % debe

%

ser

cero

--

% elemento

% %

no lConectado

lder I al lBus nolBus

ydata:l

1

1 213 323 4?4

2

i y (propia) | I

l

l'4uluamente acopl ada con

I

y(mutua)

I

no]

/(0.05+j*0.15) 0 /(0.1+j*0.3) 0 /(0.15+j*0.45) 0 /(0.10+j*0.30) 0

0 0 0

0l; 4 U(0.05+j*0.15) 0 % formar la malrjz y primjtjva de estos datos e jnicjalizarla a cero. % para jniciar con

5

3

el ements=max(ydata ( : ,1 ) )

ypri

tj

ve:zeros ( el emenls , el ements ) % Process ydata matrj x rowwj se to form ypri mi

for i:1 : el ements

ml

ti

ve

,

i, i ):ydata( i,4) % Tambjén, si el elemento está mutuamente acoplado con cualquier otro elemento % (cuyo núm de elemento se indica en la 5a columna de ydala arrjba) % el núm. de colurnna correspondiente en el jésimo renglón se hace igual a yprimiti

y ( mulua

ve(

)

if (ydata(i,5) -= 0 ) j es el núm de elemento %

con

el

que está acoplado mutuamente el

iésimo elemento

j:ydata(i,5)

ymutual:ydala(i,6) yprimitive( j,j ) : ymulual end en0

% Formar

la matrjz de incidencia de bus A de ydata

APENDICE

esto forma una nlatriz de tamaño elemento buses:max(max(ydala (2,:)),max(ydata (3, : ) ) ) A:zeros ( el ements , buses ) %

for i:1: el ements

x

G

Introducción a IIATI.A'BySIMUL|NK

buses

,

ydata(i,2) indica el no de bus 'desde'

%

%

El elemento conrespondiente a la columna correspondiente a este en la matniz A se hace igual a 1 si no es el bus de tierra jf yd'ata(i,2) -= 0

:_,:

%%

A(

i

,

ydat a(

j

: ,2) ) 1;

en0

ydata (i, 3) indjca el no de bus 'hasta' E) elemento correspondiente a la columna correspondiente % en la malrjz A se iguala a 1 si no es el bus de tierra %

%

if ydata(j,3)-: A(

i

yda

,

ta(i

,3) )

:

a este

bus

0

-

1

en0

end

YBUS:A'*yprimitive*A

Ejemplo G.5 (con datos iguales a los del ejemplo 6.2) % u/

o/ a/ a/ o/

Esle programa forma YBUS sumando uno por uno I os el ementos Los datos para este pnograma es una matrjz primitiva de admjtancia que se debe indican con el siguiente formato, y guardar en ydata La tierra se da como bus no 0 Si el element0 no está mutuamente acoplado con algún otro elemento, entonces el elemento que cofresponde a las columnas 4 y 5 de ydata

ser

%

0eDe

%

Los datos deben arreglarse en onden crecjente de no de elemento

y

cer0

%

% el emento no

% %

IBus no]Bus

ydala:[

1

2 3

4 5

% La ca I

y

] conectado ldel lal

r 1 2 2 3

2 3 3 4 4

(propia)

lf4utuamente

I acopl ado con

I

y ( mutua

)

I

no

1/(0.05+j*0.15)

0

0

)

0

0

Il(A.1 +j*0.3

1/(0.15+j*0.45) 1/(0.10+j*0.30) 1/(0.05+j*0.15)

sjguiente declaracjón indica la cantjdad

00 00 0 máxjma

0t;

de elementos,

cul ando el

de saljda de todos los elementos (indicados con :) de la primera columna de ydata elements:max(ydata( :,1)) % lo siguienle da la cantidad de buses que no es más que ei elemento máxjmo % de la 2a y la 3a columna de ydata, que s0n las columnas 'desde'y 'hasta' % máximo

buses:max(max(ydata

(: ,2)),max(ydata (:

,3't t

t;

lpÉNDrcE

G

Introducción a MATLAB y SIMULINK

YBUS:zeros ( buses, buses )

;

for now:1:elements, % si ydata(row,5) es cero, quiere decir %

no está i

f

acoplado mutuamente con algún

)

ydata ( row,5

i1

::

que

el

otro

el emento co."espondi ente el emento

0

=ydata(now,2);

j1:ydata(row,3);

& jl ": 0 YBUS(i1,i1) : YBUS(i YBUS(i1,i1) : YBUS(i YBUS(j1,j1) = YBUS(i YBUS(j1,j1) = YBUS(j

if i1 -:0

en0

,i1) + ydata(row,4) ,j1) ydata(row,4) , ji); ,j1) + ydata(row,4)

if i1 ::0

& j1 ":o YBUS(J1,i1) : YBUS(J

1,j1) + ydata(row,4)

end

if i1 -:0

& i1 ==0 YBUS(j1,j1) = YBUS(j 1,j1) + ydata(row,4)

end en0

% %

i

N0 tS cero, quiere decir que e1 elemenlo correspondiente mutuamente acopl ado con el el emento j ndj cado en ydata ( row,5 )

si ydata(row,5)

f

está

ydata ( row,5

i1

) -:

0

=ydata(row,2);

j1:ydata(row,3); % mutualwith indjca el no del elemento con el que el elemento actual jndjca los nos de bus entre % está mutuamente acoplado con k y 1 % l os que está conectado el el emento mutuamente acop l ado mutua I wí

th:ydata ( i 1 ,5 ) ;

k:ydata ( mutua I wj lh ,2 ) ; 1:ydata (mutual wi th, 3 ) ; zs

1

:

1/ y da

zs?:I

Iy

t a(row,4 ) ;

data( mutual wj th,

4)

;

zn:Ilydala(row,6); zsm:Izs1

zn

zm

zsLl;

ysm:inv(zsm); ?,

El

si gu i enre bl oque i

if

f indica las modificaciones necesarias en YBUS a ( ti erra ) .

ninguno de los buses es bus de refenenci j1 -: 0 & i1 -: 0 & k -:0 & l":0 YBUS(J1,J1): YBUS(i 1,j1) + ysm(1,1); YBUS(ji,ji) : YBUS(i 1,j1) + ysm(1,1);

% cuando

YBUS(

l(,

l() =

YBUS(1,1):

l(, K YBUS(1,I YBUS(

YBUS(i1,j1): YBUS(J1,J1)

:

YBUS(l YBUS(i

+

ysm( 2,2 )

+ ysn(Z,2)

,j1) i1)'

; :

ysm(1,i);

¡pÉruOlCe

e

tntroOucc¡on

a UITUB y

Slt¡Ul-lNr kffi?--, ffi* t

: YBUS(I ,K) :

YBUS(k,l) - ysn(Z,2): YBUS(l<,I ); yBUS(j1,k) : yBUS(i1,k) + ysm(1,2); YBUS(k,l)

YBUS(l<,J1)

. end

:

YBUS(i1,K)

;

YRilqril l) : vRilqliI ) + ysm(1,2); YR|qrl i1): VRilqri1 ); vRrrq/i1 t\: vRiler.i'l ) - ysm(1,2); YBUS(I.Ji) : YBUS(i1. ): YBUS(J1, l() : YBUS(J ,k) - ysm(1,2); YBUS(k,j1) = YBUS(j .k):

if il ::0

j1 -:0

& k-0 & l-:0 YBUS(j1,j1) + ysm(1,1) yBUS(k,k) : yBUS(k,t() + ysm(2,2); YBUSil,t) : yBUSil,t) + ysm(2,2); YBUS(k,l): YBUS(k,l) - ysn(Z,2); &

YBUS(j1,ji)

YBUS(],|<)

:

: YBUS0 ,j1) : YBUS(j1,k) : YBUS(j1,1)

:

YBUS(K.1

;

);

YBUS(j1,1) + ysm(1,2); YBUS(j1,1

);

YBUS(j1,k)

- ysm(i,Z);

YBUS(k,j1) = YBUS(j1,k); end

jf j1-:0 & j1:0 & k"-0 & l-:0 yBUS(i1,ii) : YBUS(j1,i1) + ysm(1,1); yBUS(k,k): YBUS(k,k) + ysn(Z,Z): YBUS0,t) : yBUSil,t) + ysm(2,2); YBUS(k,l): YBUS(k,l) - ysn(Z,2); YBUS(I,|<) : YBUS(K,I ); yBUS(jt,k) : YBUS(i1,k) + ysm(i,2); YBUS(K,i1) : YBUS(i1,K) YBUS(j1,1) : YBUS(i1,1) - ysm(1,2); YBUS(1,i1) : YBUS(i1,1 ); end jf j1-:0 & j1-:0 & k:0 & l-:0 yBUS(i1,i1) : YBUS(i1,j1) + ysm(1,1); YBUS(j1,j1) : YBUS(j1,j1) + ysm(1,1); YBUS(l,l ) : YBUS(l,l ) + ysn(Z,2); YBUS(j1,j1) : YBUS(i1,j1) - ysm(1,1); YBUS(j1,i1) : YBUS(i1,j1) YBUS(j1,1 ) : YBUS(j1,1) + ysm(1,2); YBUSil ,j1) : YBUS(j1,r ); YBUS(i1,1) : YBUS(i1,1) - ysm(1,2); YBUS(],i1) : YBUS(Ji,1 ); ;

;

end

if i1-:0 & j1-:0 & k-:0 & 1::0 YBUS(j1,j1) : YBUS(i1,i1) + ysm(1,1); YBUS(j1,j1) : YBUS(j1,j1) + ysm(1,1); yBUS(k,k): yBUS(k,k) + ysm(2,2); YBUS(ii,j1) : YBUS(i1,j1) ysm(1,1);

W

lÉxo|ce G

lntrooucc¡on a

):

YBUS(j1,ii

: : : :

YBUS(i1,|( YBUS( K, i 1 YBUS(J1,l(

(k, i

YBUS

vRrtAg y sltr¡uu¡¡r

1

YBUS( YBUS (

.i

YBUS(i YBUS(J YBUS(J

l,j1); ,O + ysm(1,2); , k); ,k) - ysm(1,2); ,

Ki;

end

end end

YBUS

Ejemplo G.6 Éste es un programa para ejemplo 6.5

%

fluio

de carga gauss sejdel. Los datos son del

clear n:4

\/:t1.04 1.04 1 1l Y=[3-j*9 -2+j*6 -1 +¡*3 0 -2+j*6 3666-j * 11 -0.666 +j*2-1+i*3 * -1 +j * 3 -o.666 +j 23.666 - l* 1l -2 + i* 6 0 -1+j*3 -2+¡x6 3-j*91 type:ones(n,1) typechanged:zeros ( n,1 Ql i mi tmi n:zeros ( n ,1 ) Vmagfi xed:zeros ( n ,1 )

)0.1

jmj tmax:zeros ( n,1

)

type(?):? Qlimitmax(2):1.0 0'l i mi tmi n(?):0 .2 Vmagfixed(2):1.04 di ff:10; noofi ter:1 Vprev:V;

while (djff>0.00001 abs(V) abs ( Vprev %pa

|

noofiter::1),

)

use

Vprev:V;

P:[inf 0.5 -1 0.3]; Q:tinf 0 0.5 -0.11 S:[jnf+j*jnf (0.5-j*0.D (-I.0 + i*0.5) (0'3'j*0.1)J; for i:Z:n, if type( i)::2 ltypechanged( j )::1, ;

if

(0(j )>Ql imjtmax(i ) | 0(j )
0(j):0limitmin(i); el se

Q(i):0limitmax(i); end

type(i)=1;(

APÉNDICE

G

Introducción a ll,ATtáEyS¡MUL|NK

typechanged(j):1; el se

type(i ):2; typechanged( i )=0; end end end

s'umYv:0;

for

k:1: n,

if(j -= k) sumyv=sumyv+Y(

i , k)*V( k);

end end V( i

( P( i ) -j*Q( j ) ) /conj (V( j ) ) -sumyv); & typechanged(i )-:1, V ( i ):Pol arTorect( Vmagf i xed ( r' ), angl e(V ( i ) )*180/pi

):( 1/Y( j , i ) )*(

r'f type(j )::2

)

;

end end d

j ff:max( abs ( abs ( V( 2 : n ) ) -abs ( Vpnev(

noofi ter:noofi ter+1

2:n))));

;

end

Ejemplo G,7 (del eiemplo 6.6) % Programa para f1 ujo de carga con clear; canlidad de % '" n " renresenta '"r' n:3

método Newton-Raphson

buses

;

V, se jnicializan voltajes en esos buses \/=ti.04 i.0 1.041;

% %

Y es el bus Y (YBus) 5.882?8-j*23.50514 -2.9427+¡*1r.7676 -2.9427+¡*17.7676

Y:t

-2.9427+¡*1L7676 5.88228-¡*23.50514 -2.9427+i*I.'7676 -2.9427+¡x1r.7676 -2.9427+j*r|.7676 5.88228-j*23.505141 ; jnicjaljzan los tipos de b"rs en el conjunto tipo, al códjgo 1 que representa. % Se % bus PQ. % c.ódioo 2 renresenta bus PV type:ones(n,i); %Cuando se nebasan límjtes de Q para un bus PV se cambia tipo de bus a PQ %en forma provi si onal %un elemento j de tipo cambiado se p0ne en 1 en caso de que su estado de bus % cambie provis'ionalmente de PQ a PV. En caso contnani0 es cero typechanged:zeros (n,

1

)

;

% Como los límites máximo y mínimo % los límites máximo y mínimo de Q i gual ar a cual qui er va.1 or".

% Aqui los hemos igualado Ol imitm¡v:zonncln 1). Ol imiim'in=7an^cln v | | ilr I uill

1

).

\im¡nfiYpd:Tpnncln

1

).

de Q sólo se comprueban en buses PV, para otros tipos de buses se pueden

a cero, por

comodidad

'

re |

c

lpÉno¡Ce

Introducción a MATLAB y SIMULINK

% Aqui se cambia Q para ello

el tipo

de buses PV a

2, y también establecemos los límites

type(3)=2;

Qlimitmax(3):1.5; Qlimitmin(2):0; Vmagfi xed ( 2 ):1 .04;

ff:10; noofi ter:1 ; Pspec:[1nf 0.5 -1.5]; Qspec:[inf 1 0 ]; di

S:[]nf+i*inf (0.5-i*0.2) (-1.0 + i*0.5) (0.3-j*0.1)J; Aquí se inicjaliza, para todos los tipos de bus, según ei tipo de ellos,

el elemento de1 anreglo de variables asociadas para cada ecuacjón (deltaP o delta0) % También se forman las variables asociadas c0n cada columna (ddelta o dv) % %

whi

le (d1ff>0.00001 | noofiter::1),

eqcount:1;

for i:2:n, Scal(j)=0; s

umyv:0

;

f or" k:l : n, sumyv:sutttyv+Y ( i, k)*V( k)

;

end

(i ):V(i )*conj(sumyv); P(i)=real(Scal(i)); Q(i):imag(Scal(i)); Scal

el bus es PV y la Q calculada sale de los linites, el tipo de bus cambia temporalmente a PQ y el tipo cambiado se hace 1 para ese bus

% Si % % % en %%

caso contrar.i0, se regresa de nuevo a bus

PV y

el tipo cambiado se r"establece a cero para ese bus if type( i)::2 ltypechanged(j )::1, jf (Q(j )>Qlimitmax(i ) | 0(j )<01 jmr'tmin(i )), 'i

f (Q( j )(Ql imitmin(i ) ),

0(j):Qlimitmin(i); el se

0(i ):01imi tmax('i ); end

type(i):1; typechanged(i):1; el se type ( i ):2; typechanged

(1

):0;

end end %

Las ecuacjones de

falta

de coinc.idencja se arreglan y resuelven en forma de matriz

I como se indica adelante u ldPi ldDel ta q r l¡ni luu

?

r

ldP(

+ +

1)l 1)l

=

fJt

td\/l

ldDeltal ld\/l

I

ApÉNDtcE

G

Introduccion a

t¡ATt-ABystMULlNK l"OOf

% assoeqvan (j falta de %

) [variab]e de ecuacjón asocjadal indica sj la ¿cu':':- nnaneja coincidencia pard potencia 'P' % real o potencia 'Q' reactiva % Aqui se decide la cantjdad en numeradon del elemenlo del jacobianc % es decjr, sj la cantidad que se desea difenencjar será dP/d* o dQio% dorde * renneseqla Del t,a o estrel I a % el arreglo (arnay) mismatch guarda las cantidades de falta de coincidenc:a la

paraPoQ

% assoeqbus

(i ) lndjca

assocolvan

decide

%

% %

(j)

es

cuá.1

el

bus asociado con

la cantidad

en

el

denomjnador

la

ecuacjón i

del elemento de1 jacobiano

a lo lango de cada columna del.jacobian0 pana una ecuación dada es decir para un elemento del jacobiano en 1a iésima columna de una ecuación dada

la que se está diferenciando aquí se decide si el elemenlo es d*idDelta o d*/dV % donde * puede ser P o Q % assocol bus deci de el bus asoc i ado % con cada elemento en la columna cornespondiente a la ecuación %

con respecto a

% Entonces,

if type(j)::1,

a s s oe qv

a

r

(eqcoun

t ):

assoeqbus ( eqcount mi

'

P

):i

;

)

;

):' Q' ; ):j ;

assoeqbus ( eqcount+1

smatch(eqc0unt+1 ):Qspec( i ) -0( i );

assoco

I

van(eqcoun

t ):

assocol bus ( eqcount a

;

smatch(eqcount):Pspec( i ) -P( j

assoeqvar( eqcount+1 mi

'

dada

ssoco

I

va

r

(eqcoun

t

'd

):i +1)

assocol bus ( eqcount+1

'

;

;

:

'V'

):i

;

;

eqcount:eqcount+2; el se assoegva n( eqcount ):' P' assoeqbus ( eqcount )=i ; a s s o c

o

I

van(eqcoun

t ):

assoco.l bus (eqcount

'd

):i

;

'

;

;

mi smatch(eqcount)=Pspec( ananr.nt:ana^.rnl-+1'

i ) -P( i

)

;

end end mi

smatch

eqcount:eqcount

-1

;

noofeq=eqcount; Update:zeros ( eqcount,

1

)

;

Vpnev:V

abs(V); abs ( Vpnev

)

pause Vp rev=V ; % ceq represerta

la

ecuación que se esté pr0cesando, que se varÍa desce

APÉNDICE

G

Introducción a MATLABySIMULINK

t hasta el no total de ecuaci ones ( eqcount ) for ceq:1: eqcount, for ccol =1 : eqcount,

%

( Y ( assoeqbus ( ceq ), assocol bus ( ccol ) )*V( assocol bus ( ccol ) bm=i mag(Y (assoeqbus ( ceq ) , assoco.l bus ( ccol ) )*V (assocol bus ( ccol )

am:real

ej=neal (V(assoeqbus(ceq)

)

fi:imag(V( assoeqbus ( ceq)

))

) )

); ;

if assoeqvar(ceq)::'P' & assocolvar(ccol )::'d', if assoeqbus(ceq)-:assocol bus(ccol )' ¡:am*fi -bm*ei H

:

;

el se -Q(assoeqbus(ceq) )

i

ma

g(Y(assoeqbus(ceq

)

,assoco

I

bus (ceq

))

.

.

*abs (V (assoeqbus (ceq ) ) ) "2 ) ; end

Jacob( ceq, ccol ):H end

if assoeqvar(ceq)::'P' & assocolvar(ccol ):'V" if assoeqbus(ceq)-:assocol bus(ccol )' N:am*e.i +bm*f

el se N

:

P

(

a s s o e qbu

i

;

s(c

(ceq))...

e

q) )+ rea

I

(Y(assoeqbus(ceq

)

,assoco

I

bus

*abs (V(assoeqbus(ceq) ) )^2 ) ; end

Jacob(ceq,ccol

)=N

end

if

assoeqvar(ceq)=:'Q' & assocolvar(ccol if assoeqbus(ceq)-:assocol bus(ccol ), J:am*ei+bm*fi;

)::'d"

el se J:P( assoeqbus ( ceq

) ) real ( Y ( assoeqbus ( ceq ), assocol bus ( ceq *abs (V( assoeqbus ( ceq) ) )"2 ) ;

end

Jacob(ceq,cco1)=J en0

i

f

assoeqvar"(ceq)::'Q' & assocol var(ccol

if

assoeqbus(ceq)-:assocol bus(ccol

L:am*fi - bm*ei

i mag

)::'V'

'

)

;

el se L:0( assoeqbus (ceq ) )- . ' . ( Y ( assoeqbus ( ceq ), assocol bus ( ceq ) )*abs ( V( assoeqbus ( ceq

) ) ) ^2 )

;

end

Jacob( ceq , cco l

):L

end end end

%

El

nuevo vector actual j zado se cal cul a con

el

j nverso de

l

j acobi

ano

); );

I I i

APÉNDICE

G

Introducci¡n a

t|ATl-^EySllluLlNK

Jacob pause

update=i nv ( Jacob)*mi smatch'

;

noofeq:1;

for i:2:n, if type(i)::i

"

newchi nangV:update ( noof eq ) ; newangV=angl e ( V ( i ) )+newchi nangV

;

newchjnmagV:update(noofeq+1)*abs(V(i newmagV:abs ( V( j ) )+newchi nmagV V(

i ):pol arTorect(

newmagV,

))

;

;

newangV*180/pl ) ;

noofeq:noofeq+2; el se newchi nangV:update ( noof eq ) ; newangV:angl e( V( i ) )+newchi nangV V(

i ):po1 a rTonect(

abs ( V(

;

i ) ), newangV*180/pi

)

;

noofeq:noofeq+1; end end

% Todas las siguientes variables o anreglos se bonran de la % memoria. Esto se debe a que pueden cambiar sus dimensiones ponque el % bus es conmutador y una vez calculadas las actualjzacjones, las va[iables

ya no se usan p0nque se están reformulando al final de cada iteración clear mismatch Jacob update ass0eqvan assoeqbus assocolvar assocolbus;

%

%

di ff=mi

n(

abs ( abs (V(

noofi ter=noofi ter+i

2:n) ) -abs ( Vprev ( 2 : n ) ) ) ) ; ;

end

Ejemplo G.8 (tabla 7.1) para carga óptima de genenadores datos son del ejemplo 7.1 % Cal cul a I ambda por el al goritmo que se ve en la misma página, una vez % especi fj cada I a demanda % Se ha supuesto que 1a demanda es 231 .25 14f'l que corresponde al penúltimo % renglón de la tabl a 7.I, y calculado I ambda y I a reparti ci ón de carga % n es el número de genenadones % Programa f4ATLAB

% Los

n:? % Pd

representa demanda de carga. arreglos alpha y beta nepresentan

% Los % pa

ra

I os generadores dados

Pd:231.25 al pha:[0.20 0

.251

beta:[40 301

% estjmac i on j nj ci I amda:20

a1 para

I ambda

los coeficientes alfa y

beta

APÉNDICE

1

G

amdaprev:l

Introducción a MATLAB y SIMULINK

amda

la

tolerancia % eps=1

es eps y

el

i ncremento

de I ambda es del tal

ambda

deltalamda:0.25

mínjmo y máximo de cada unidad generadona guardan los arreglos Pgmin y Pgmax. en se % En los problemas reales a gran escala primeno se puede inicializar % Pgnax a inf usando un lazo for y % el arreglo Pgmin a cero mediante e'l comando Pgmin:zeros(n,1) % lespués se podrán cambjar los I ímites en forma jndjvjdual

% %

los límites

igrax:[125 Pgmi

n:[ 20

el

anreglo

125J

20

J

Pg:100*ones(n,1) whjl e abs(sum(Pg) -Pd))eps

for i=1:n, Pg(i ):(l amda-beta(i ) )/al pha(j ); if Pg(j ))Pgmax(i ) Pg(i):Pgmax(i); end

if

Pg(i )(Pgmjn(i ) Pg(j ):Pgmin(i );

end end

if

(sum(Ps)-Pd )(0 I amdaprev:l amda; I amda=l amda+del ta I amda

;

el se I amdaprev:l amda; I amda:l amda-del end end

di sp(

'

The

fi

I amdapnev

di sp(

'

The dj

na

l

tal

amda;

val ue of Lamda i s'

)

stri buti on of I oad shared by two units j s')

Pg

Ejemplo G.9 (tabla 7.2) para asignación óptima de la unidad por el método fuerza bruta % Los datos para este prograrna corresonden a la tabla 7.2 % Prognama I4ATLAB

cl ear;

dp

representan los coefjcientes alfa y beta para 1 os arregl os al pha y beta os generadores j ndi cados al pha:[0 .7/ L 60 2.00 2.50] ' beta:[23.5 76.5 30.0 32.0]'; Pgmin:[1 1 1 1]'; Pgmax:[12 72 12 121': % I

n:9 %

n nepresenta el total de l'1W que se van a

c0lrpr0meter

APÉNDrcE

min

G

Introdr¡cci¡n a I¡ATLAB y SIMUL|NK

: inf;

cost=0;

for i:0: n for" j:0:n, for k=0: n, fot l=0:n, ,

unit:t00001; % Aqul se eljminan directamente

'

1t no formen I % demanda de

las

combinaciones que

a

n Ml,J o las combinaciones en donde 1a generacion máxima en generadores indivjduales rebasa 1a capacidad máxima de cualquiena de los generadores jf(j+j+k+l )::n & i(Pgmax(1)& j(Pgmax(2) & k(Pgmax(3)&l(...

% % %

pgmax ( 4 )

i

f i":0

unit(1,1)=j;

el

costo de generación % Determjnar costo total % unidades y sumarlo cost=cost+0. 5*a1 pha ( 1 )*j *i+beta ( 1 )*i

al

de estas ;

en0

i

f j-:0

unjt(1,2):j;

cost=cost+0.5*alpha(2)*j*j+beta(2)*j

;

en0

i

f

k-:0

unit(1,3):k; cost:cost+0. 5*al

pha

(3)*k*k+beta

(3)*k

;

end

if

t":0 unit(1,4)=l

;

cost=cost+0. 5*a1 pha(4)*l*l+beta(4)*l end % Si

;

cp vp ñuc cl cn5l6 ve v, vv tOtal está nesultando Yue

el

% menor que mínimo del costo en % combl'naci0nes anteri0res, ent0nces

se hace mjn igual

a1 costo y % cunj t ( representa unj dades asj gnadas

) i gual a I as

uni dades % asi gnadas

en esta i teraci

ón

% (representada pon unidades 'í

f

( min cunit : unit;

cost mi

n=cost;

el se

cost:0; en0 end en0

varjables)

APÉNDICE

G

Introducción a MATLABV SIMULINK

end end end

di sp ( 'cuni

los cuatro di sp ( ' Si

t

muestra I as cantj dades

trridadpc comn.omelidas en cada uro

de

generadores') cuni

t

es 0

pa

ra

determi nado generador, qui

no eslá comprometi da ) di sp ( ' La cantj dad total de unj dades cunrl

a

ere deci

r

de

que I a uni dad

asi gnar es')

Ejemplo G.10 (del ejemplo 7.4) cl ear % Programa l'4ATLAB para carga óptima de generadores % tste progranla determina l a carga óptimd para generad0res, i ncl uyendo % factores de penal i zaci ón % lmplementa el algoritmo mencionado justo anles del ejemplo 7.4 % Los datos para este pnograma se tomaron del ejempi o 7.4 % Aqui se da Pd de demanda y a1fa, beta y coeficientes B % Cal cul aremos I a carga compartida pon cada genefador número de generadores % n es

el

n:2

% Pd repnesenta demanda de carga % %

1os anreglos alpha

y beta nepresentan los coeficientes alfa y

para 1 os generadores

beta

dados

Pd:237 .04: al pha:[0.020

0.041;

bela:[

16

201; % estimaci

ón i ni ci al del val on de

I ambda

I amda:20;

I amdaprev:l amda; % de tolerancia

es eps y

el

incremento en lambda es deltalambda

eps:1; del

tal amda:0.25;

mínimo y máxi mo de cada uni dad generadora se guardan en los anregl os Pgmi n y Pgmax % en probl emas real es a gran escala se puede injcializan primero el ai"re{l o Pgmax % a inf con un l azo for % y el arregl o Pgmi n a cero medi ante el comando Pgmi n : zenos ( n , 1) % Después se podní an cambi ar I os I ími tes en fonma i ndi vi dual % %

los límites

Pgmax:[200 200]; Pgmi

n:[0

B:[0.001

0

0J

;

0

0t;

Pg:zeros(n,1); noofi

:.:C:

ter:0;

.--:-:r.cln

I )'

l

APÉNDICE

I

G

lntroduccion a ltAT¡.AA y

SMULTNK

i

i

whi I e abs(sum( Pg) -Pd-PL))eps

for i:1:n,

j,

: )*Pg-B(i, j )*Pg( Ps( j )=(1- (beta( j amda) - ( *B* Pg ; P L=Pg '

sigma:B(

)/l

jf

i); 2*sigma))/(alpha(i )i lamda+2*B(i,i ) );

Pg(i))Pgmax(j)

Pg(j):Pgmax(j); end

if'Pg(i)(Pgmin(i) Pg(i):Pgmin(j); end

end

PL:Pg'*B*Pg;

'if

(sum(PS)-Pd-PL )<0 I amdaprev:l amda; I amda:l amda+del tal amda;

el se I amdapnev:l amda; I amda:l amda-del tal amda; end

noof i ten=noofi ter+1

;

Pg; end

sp ( 'El número de i terac.i ones necesari as es' ter di sp ( 'El val or fi nal de I ambda es' ) di

)

noofi

I ambdapnev

disp (La carga óptima de los generadores que incluyen iactores penal i zaci ón es'

de

)

Pg

dl sp ( 'Las pérdi das son'

)

PL

Ejemplo G.11 este ejemplo se jnicial izan los parámetros para todos los bloques el sisrema de la figura B.B. Este programa se debe ejecular antes simulacjón de ambos para las figuras G.3 y G.4.

% En %

para

la

Kt Tt^s +

1

Func. Transf. Func. Transf.

Figura

G.3

1

Func. Transf.2

Aproximación de primer orden para el control de frecuencia en la carga

de

14üff

-{G I

APÉHilCE

G

Introducción a MATLABV SIMULINK

Func. Transf. Func. Transf.

Figura

G.4

1

Transfer Fcn2

Control proporcional más integral, de la frecuencia en la carga

Ts g=. 4

Tt:O.

5

Tps=20

Kps:100 R:3 Ks

g:1

0

Kr:0 . 1 Ki=0.09

Ejemplo G.12 Se simulará el sistema de la figura 8.10 con Simulink como se hizo en el ejemplo G.11.

Ejemplo G.13 (del ejemplo 9.8) % Programa % lprinary

para fonmar Zbus oor adición de namal o enlace Iel emento desde hasra val or

:

% % %

'l

%

% Aqui debe cuidarse que para empezar, un elemento se suma %

la

neferencia,

y los nodos desde y

clear zprimary:I 1 1 0 0.25 ? 2 7 0.1 3 3 1 0.1 4 2 0 0.25 5 2 3 0.11 Iel ements col umns]:size(zprimary) para inicjar, la matri z zbus es matriz nula

%

a

hasta no deben ser nuevos

nodos

npÉNolCe

A

rntroo,roii.,.

unn¡e

y

SluUl_lNr

-_t l

--

?:,rrentbus indica la cantidad máxima de buses

hasr¿:-:.:

sumados

:,.rentbusno:0

I Drocesar cada nengl ón de zprimary ':r count:1 el ements :

,

Irows co] sl:size(zbus

f rom:zpri

ma

ry ( count,

)

2)

to=zprimary(count,3) va

1

ue:zpr"i

ma

f la vaniable %

el

ry (count,4

)

newbus indica el máximo de los dos buses bus newbus puede sen o n0 una parte de zbus exjstente

newbus=max

(

from, to

)

ref variable indica el mínimo de los dos buses % y no necesarjamente el bus de neferencia % ref bus siempre debe existin en el zbus ex i stente %

ref:mi

%

%

if

n(

from, to

)

odi f j caci ón de typel Se suma un nuevo elemento lf

de newbus newbus )currentbusno & ref =:0 zbus=[zbus zeros ( r"ows , 1)

al

bus

de referenci

a

zenos(1,cols) valuel currentbusno:nelvbus

conti

nue

end

j f i caci ón de type2 se agrega un nuevo elemento que n0 sea el de neferencia del nuevo bus bus anteri or 'if newbus )curnentbusno & ref -:0 zbus:Izbus zbus( :,ref) zbus( ref , : ) val ue+zbus(ref , ref )l % %

l'1od

a.l

currentbusno:newbus

conti

nue

end

l,lodifjcacjón de type3 se agrega un nuev0 elemento entre un bus anterior y e1 bus de refenencia if newbus (:currentbusno & ref=:0

% %

zbus:zbus-1/(zbus(newbus,newbus)+value)*zbus(:,newbus)*zbus(newbus,:) cont i nue end % l'lodi f j cac j % Se agnega

ón de type4 un nuevo bus entre dos buses anteri-ones if newbus (: currentbusno & ref -:0 zbus:zbus- 1/(val ue+zbus(fnom,from)+zbus(to,to)2*zbus ( from, to ) )*( ( zbus ( : , from) -zbus ( : , to ) )*( ( zbus ( from, conti nue end end

: ) -zbus

(to,

:)))

)

f,á@.I t

IÉ|Í,|CE G

Introducción a MATLABy SIMULINK

Ejemplo G,14 (del ejemplo 12.10) % Prognama para estabilidad transitoria de una %

inftnjto.

a punr0 clean +-n LI-U

tfinal:0.5 tc:0.125 tstep:0.05 t4:2.52/( 180*50

)

1=2

del ta:21.64*pi /180 ddel ta:0

time(1):0 ans(1)=21.64 Pm:0.9 Pmaxbf=2.44

Pmaxdf:0.88 Pmaxaf:2.00 whi

1

e t(tfi nal ,

if (t:=tf), Pami

nus:0. 9-Pmaxbf*si n(del ta

Papl us=0. 9- Pmaxdf*s j n ( del ta

Paav:(

Pamj

Pa:Pa

a

v

t==tc

)

,

)

)

nus+Papl us ) /2

end 'i

f

(

nus:0 .9 - Pmaxdf*s i n ( del ta Papl us=0. 9 - Pmaxaf*s j n ( del ta ) Paav:( Pami nus+Papl us ) i 2 Pami

)

Pa:Paav end

if(t>tf & t(tc), Pa-Pm- Pmaxdf*s i

n(

del ta

)

n(

del ta

)

end

if(t)tc), Pa:Pm- Pmaxaf*si

end

t,

Pa

dde i

ta:ddel ta+( t s tep*ts tep*

Pa /

M

)

ta:(del ta*180/pi+dde1 ta )*pi /180 de1 tadeg:dei ta*i80/pi del

t:t+t pa

máquina conectada a un bus el método de punto

Este programa simula e1 ejemplo 12. 10, usando

s

use

time(j

te

p

):t

ang(i ):deltadeg

APENDICE

G

Introducción a MATLABySIMULINK

ang(i ):deltadeg

j=j+1

end

axis([0 0.6 0 160]) p

I ot (t i me ,ang , '

ko

-'

)

Ejemplo G.15 Aquí

se vuelve a resolver el ejemplo G.14 con

SIMULINK.

Antes de ejecutar la simulación que se muestra en la figura G.5, debe inicializarse el integrador 1 al valor de á anterior alafalla, es decir, a á0. Esto se puede realizar al hacer doble clic en el bloque integrator L (integrador 1) y si se cambia el valor inicial de 0 a óo (en radianes). También, haga doble clic en el bloque de cambio (switch) y cambie el valor del umbral de 0 al tiempo de desconexión de falla (en segundos).

Ejemplo G.16 (del ejemplo 12.11) % Este pnogranta sjmul

a I a eslabi I jdad tnansi tori a de si stemas con vari as

máqui nas

% Los

datos son los del ejemplo 12.11

clear all format %Sten

1

ong

1 Ini li

ar i

sati on

wi

th

f=50;tstep:0,01; H=[12 9]' Pgnetterm:[ 3.25 2.10]' ;

1

oad f'ow and machi ne data

;

Qgnetterm=[ 0.6986 0.3110]' ; Xs:t0.067 0.101 ' ; % Note el uso del operador .' % Hace una transposi ci ón sj n sacar

el

conjugado de cada elemento

V0:Ipoi arTorect(1.03, 8.235) polarTorect(L02, 7',] 4)t ' % m es I a canti dad de genenadores dj stj ntos del busfl ujo

n:2; %Paso

2

V0conj:conj(V0); I

g0:conj

((

t

d a s h 0=V

0+j *

Pgnetterm+j*Qgnetterm) . /V0 (

X

g.*I

g

0

)

Pg0:neal ( Edash0.*conj xl_n:ang1 e( Edash0); % Ini ci a l i zaci ón del Pg_r=Pg0; % Pg_rpl us1:Pg0;

0]' ; xldot_r:[0 0]' x2dot_r:[0 0]' xZ_r"=[0

; ;

xldotrpi usl:[0 0]' x2dotrpl us1:[0 0]'

; ;

)

;

(

Ig0) ) ;

vector de estado

;

ry

AÉr{ucE

G

Introducción a MATLAB y SIMULINK

= i= .s

o

-o (ú (ú

E (ú ()

o o o '=

o

.(ú

c (5

=(¡) o o UJ

(ú

I

Pq 6=

Érú ,q6 vo_ (ú

o

=a

(ú

.9

o

.o.o :c

lJ_ o .E

'6 (ú

(t

po b U'

ul

u?

(5 (g L

= E)

E i:

o

E o)

o

iI

ApÉNplCE

G

Inrroducdón a

TATUAyflTUNK

%Paso 3

este ejemplo en real idad no se calcula se puede escrj bi n un pr0grama sepa rado

% En %

YBus,

pe

r0

YBusdf:I

5.7986-i*35.6301

-0.068i+j*5.1661

0

-j*11.236

0

-0.0681+¡*5.1661

0

0.1362-¡*6 .2737):

0

YBuspf:l -0.22I4+¡x7 .6299

1'3932-¡*13.9731 '0.2214+¡*7 .6299

0.

-0.0901+¡*6.¡975

el

t:0 ; tc:0.

0B

0

0.i591-i*6.11681;

0

%Paso 4 % Establecen va'lores % es tiemno en

tc

-0.0901+j*6.0975

5+j *7 . 7898

para e1 tiempo inicial t (ocurrencja de pl nrp sc dpc.nnpcta Ia falIa

;tf i nal:1. 0

la falla)

y

;

r=1; Edash_r=Edash0 ; Edash_rpl us1:Edash0

while

t ( tfinal,

% Paso 5 Cal cul ar potenci as % valor de YBus escogido % con tiempo actual

el

el

;

de generacj ón usando el bus apropi ado en el siguiente paso se establece de acuendo

if t (: tc YBus:YBusdf;

else YBus:YBuspf; end % 0bserve que aquí se obtendrán las corrientes inyectadas en bus del genenadon multipiicar e1 renglón correspondjente de Ybus por e1 vector de % % voltajes atrás de las reactanc.ias transitorjas. También se debe jnclujr % voltaje del bus flojo por consiguiente aparece % vector de voltaje de bus elemento 1 en % además de Ios volta ies de hus de oenerador

el

al

el y

el

el

I:YBus(2:m+l,: )*11 Pg_r=real

(

Edash_r"l; Edash_r".*conj ( I ) ) ;

6 calcular xldot_r y x2dot_r xldot_r:x2_r;

% Paso

for

k:1:m, x2dot_r"( k, I

):(pi *f/H(

k) )*( Pg0( k) - Pg r( k) ) ;

end

% Paso

7 Calcular primeros estjmados de estado para t=t(r+1)

x1_rpl x2_rpl

1=xi_r+x1dot_r"*tstep ; 1:x2_r"+x2dot_r*tstep ; %Paso B Cal cul ar primeros estimados de E'_r'+1 Edash_rp1 us1:abs ( Edash0 ) . *( cos (x1_rp1 ¡51 )+j*si n (x1_rpl us us

9 Calcular Pg para t I:YBus(2:m+1,: )*[1

%Paso

:t

Edash_r.p'l uslJ Pg_rp1 % Paso

us1:real 10

( Edash_r"p1

Cal cul

ar

(r+1)

;

us1.*conj

(

I));

deri vadas de estado cuando

t:t(

r+1

)

us1 ) )

;

W# f

APÉilDrcE

G

Introducción a MATLAB y SIMULINK

xldot_rp1us1:[0 0]'; x2dot_rpl us1:10 0l' ;

for

k=1:m,

xldot-rp1 us1( k,1):x2-t"pl us1(k,1) ; x2dot_rp1 us1 ( k,1 ):pi *f/H( k)*( Pg0( k) - Pg-rpl end %Paso

ar

va l

x2_r":x2_rpl

us 1

;

xl_r":x1_rpl

us 1

;

us1 ( k) )

;

ores promedi o de deri vadas de estado xldotav_r:( xldot-t"+x1dot-rpl us 1 ) / 2. 0 ; x2dotav_r:( x2dot_r+xzdot_rpl us 1 ) / 2 . 0 ; %Paso 12 Calculan estimados de estado final para t=t(r+1) x1_rpl us 1:x1_t"+xldota v_r*tstep ; x2_rp1 rr 1:¡l_r"+x2dota v_r*tstep ; fpaso 13 Calcular la estimación final pana Edash en t:t(n+-. Edash_rp1 us1:abs ( Edash0 ) . *( cos ( x1-rp l us 1 )+i*si n ( x1-rp1 us1 ) ) ; %Paso 14 Imprimir el vectot' de estado 11

Cal cul

tdash_r:Edash_npl us1 ; %Paso 15

time(n):t; for k:l:m, an

g(n,k)

:

(x

1-r

(k)*

1B

0)

/

p

i

;

end

t:t+tstep; r:r+1

;

end

pl ot

(

tj

me, ang

)

Ejemplo G.17 (del eiemplo 12.11) %Se resuelve el ejemplo I2.11 usando %E1 código

SIf4ULINK

sigujente debe eiecutarse antes de la simulaciÓn que muestra la

figuna G.6. clear all

globalnnyyn globalPmfHE Yngg gl obal rtd dtr %conversion factot'

rad/degree

global Ybf Ydf Yaf f=50; n99:2; n:6

.

nDus:1";

rtd:180/pi; dtr:pi/180;

%

gendata:[

Gen.

Ra

1

0

2

0

3

0

Xd' 0 0.067 0. 100

H

i nf 12.00 9

.00

t;

¡

APÉND|CE

¡

G

Introducc¡ón a MATua y

Stt UNK [-M_; I :w-:r. I

¡ r i

,/ ,E -o llt o /i\ r-id E 6 o 6 N UEU€UE =

6

!!6

.q

o

U -NO .6N60.6 UEU€UE

E

*o @o:

{d

= .a ,=

o

(U

= (!

o

tu (o

o

o 5

ctt

l¡.

"676

APÉNDICE

G

Introducción a MATLABy SIMULINK

Ydf:t 5.7986-j*35.6301

-0.0681+j*5.1661

0

-j*11.236

0

-0.0681+i*5.166:

Yaf:I

-0.2214+i*7 .6289

1.3932:--3.i;31 -0.??'-:-'- | .6?89 -i*6 0q76

0

0.1302-¡*6 .27371;

0

0.5+j*7.7898 0

-0.0901+j*6.0975 0

0.1591 -j*6.11681

;

--::: i nput( 'f aul t clearing time fct = '); lFactores de amorli guami ento damp2:0.0; damp3:0.0; %Ángulos

jnicjales

de generador

d2:0.337/*rtd: d3:0.31845*t"td; %Potenci

as j ni c i al es

Pn2=3.25; Pm3:2.10: %Vol

tajes j nternos de gererador

E1:1.0: E2:1.03: E3:1 . 02

:

%Constantes de i nercj a de máqui na, H2=gendata (2,4); H 3:g e n d a t a ( 3 , 4 ) ;

%Xd' de máqui na;

Xdd2:gendata(2,3); Xdd3:gendata(3,3);

Nota: Para la simulación de estabilidad de varias máquinas, los dos cuadros.de suma, sum 2 y sum 3, dan las potencias netas de aceleraciónPozy Pot.Las ganancias en los bloques de ganancia GI,G2,G3y G4 se hacen igual a pi*flHL,damp2, pi*f/H3 y damp3, respectivamente. La potencia de aceleración Po se integra entonces dos veces para cada máquina para dar los ángulos del rotor óz y á:. Las condiciones iniciales para los bloques de integrador: integrador 1, integrador 2, integrador 3 e integrador 4 se hacen igual a 0, d2lrtd, 0 y a d3/rtd, respectivamente. Los bloques de ganancia G5 y G6 convierten los ángulos 6z y á¡ en grados y, en consecuencia, sus ganancias se hacen igual a rtd. La potencia eléctrica P,2 se calcula al emplear dos subsistemas 1 y 2. El diagrama detallado para el subsistema 1 se muestra en la figura G.7. El subsistema 1 produce dos salidas i) voltaje complejo E2L62y ii)la corriente del generadot I,r,que es igual aEtL6,

ApÉNDICE

G

Introducción a TIATLAB y

Producto 21

Complejo

1

Complejo 2

Y23 Figura

G.7

Producto 2

Estabilidad transitoria multimáquina: subsistema

1

SffrUNK

W

m

AlÉlücE G

lntroducción a MATLAB y SIMULINK

*Y"f (2,f) + ErL6r*Y¡(2,2) + ErL6tY"f (2,3). Los cambios se usan para cambiar entre las condiciones antes de la falla y después de la falla, para cada máquina y sus valores de umbral se ajustan a fct, es decir, al tiempo de liberación de falla.

Ejemplo G,78 clear % Este pn0grama calcula la matriz reducida para estudios de estabiljdad % que eljml'na los buses de canga y só10 conserva los buses de generadon q

Is1

b

Is,2

Y1l \12 YZI YZI

Yln . YZn

Ign

Yn1 \nZ

Ynn

Y1n+1 YZn+7

YIn+? Y2n+2

Yln+m Yln+m

V1

b ol

q d

I

lo

Ll

Ynn

+1

Ynn

+

2

Ynn

\ n+IZ

Y

+

m

n+1m

/o

Vn

V

n+1 n+1

V

n+m

V

o/ o/ o/

l¡+m1

ILm

Yful

1: -¡*5 n v

j*5

Y

0 j*2.5

-i*7 q ¿

r.!

7*5

:*?

q

-j*12.51 (Yful 1) umns]:si ze col Irow n:2

YAA:Yfull (1:n,1:n) YAB=Yfull (1:n, n+1;columns) YBA:Yful YBB:Yful %

tsto

I I

(n+1: nows,n+1: col ( n+1 : nows , n+1 : col

da I a matri

z

umns ums )

reduc i da

Yreduced:YAA-YAB*i nv ( YBB )*YBA

)

n+mn+m

Respuestas a los problemas Capítulo

2

1 .^-t rr\ ,2,: f ], . r' ^l [,4 rl)-4rr2(r:: -l:¡+-1r,'trj:-i ) | L,",= I x l0'X ----;-----;--;ltr;(rí-ríf

2

\:

t'

2.2 0.658 ohm/km 2.3

& hR rvL= 2¡r r

2.4 260.3Vkrrr

-l , AT/m2 (haciaarriba ls H,=' cl v )(x2_x,2) 'v ^12 \^t2A Y Xr+ Xr-ZXtz 3'7f

2.1 0.00067 mlVkm, 0.03 14 V/km 2.8 0.0044 L140" mH/Icm,0.553 Ll4}"Vlkm 2.10 1.48 m 2.9 0.346 ohm/km 2.II 0.I9I ohm/km/fase 2.12 0.455 mlVkm/fase 2.13 2.38 m 2.14 i) 0.551 dtlz Attl ti) 0.633 d2t3 Att6 iii) 0.746 rtl4

Capítulo j.l

AltB

3

a^= 'u

2rk lVl(ln \rl 2D)L30" -ln ( Dl2rlL- 30") -,r/m, 2ln(Dlr)ln(rl2D) -ln(2Dl r)ln( Dl2r)

Io= 2trfqoL9j" A 3.2 3.4 3.6 3.8

p,Fkm neufto 5.53 x 10-6mhos/km 8.72 x 10-3 p.Flkm

0.0204

0.0103 p,Fkma

Capítulo 4 4.1 l2kv

3.3 3.5 3.7 3.9

0.0096 ¡r,F/km 3.08 x 10-5 coulomb/km

8.54x 103 ohmslkm 7I.24kV

q€spuestas a los problemas

Capítulo

5

b) Ninguna solución posible 5.1 a)992.75kW 5.2 A' = 0.9 L|.5", B' = 239.9 L66'3", C' = 0'001 Z 102.6", D' = 0.85 L|.96" 5.3 a) 0.97 8 L0.5", 86.4 L68.6", 0.000562 90 .2", 0'97 I LO's" D L65.M kV, 0.244 L-28.3' kA, 0.808 en retraso, 56.49 MW

d) 28j57o b) r r74A

c) 70.8Vo
a)273.5ll¿{Y{

5.6 202.2kY i,z= O.l17 cos Qot + 109"), En x = 200 km, i¡=0.327 cos (art -9.3"), i,z=0.112 cos (rrrl + 96.6") 135.8L7.8" kV,0.138¿15.6'kA,0.99 en adelanto, 55.66 MW 89.8Vo,

kV

5.5 133.92

23.12 MW

5.7 En x = 0, i"1 = 0.314 cos (cot 5.8

-

313.1L 5.9

1.5o, 3 338

Z' = 128.3L7r.O,

km,

+

21.7"),

1 66 900 km/s

= 0.00051289.5'.

5.I0 7.12",fp1=0.7 en retraso,.Tpz=

5.ll

c) 467.7 I|;IYA

0.74 en retraso

47.56 MVAR en retraso

5.12 10.97 kV 0.98 en adelanto, - 0.217o,86.2Vo 5.13 51.16 kV 38.87 MVAR en adelanto,40 N/tW 5.14 238.5 kY P, +iQ,=53 -il},fp = 0.983 en adelanto 5.I5 17.39 MVAR en adelanto, 3.54 MW

Capítulo 6.1

6

Paraesta red, el árbol se muestra en la figura 6.3a); A se obtiene con la ecuación es única. Depende de la orientación de los elementos.

(6.17).Lamatriz no

ffi

6.2 v; =0.972L-8.15 6.4

a) \

bus

\

100 010 3 001 +^ 000 ; 001 o -1 00 1-1 0 l 0-1 0 8 9 -1 0 I

0

z

0

1

0 1

-1 1

I

0 1

0

V; = 1.26 L-74.66"

Nof¿.' Los elementos que unen cada bus con el nodo de tiema füman el rárbol. b)

j0.3049 j0.1694

j0.1948 j0.3134

!=

- js.6s 0.645 - j4.5r7 0.968 - j6.n6 0.r)68 - j6n6

0.807

o-$I)

- jó.ro

c) +

1

rl

2.4e3- ir7.r48 -0.968 + j6.776

rsus= 2l - 0.968 + j6.776

r.936

-0¡üt

- j13383

+ j6J60 O

-o.64s +

-

l+.srt I

0.e68 + i6.776 0.807 + is.oso

|

3l-0.880 + j6.160 0 L6&7 - J-l l-ó15 4l-0.645 + j4.517 -0.968 + j6-Tl6 4fi1+ j5.ó50 -2.420 - jl6.6301 I

I

6.5

6.6

Pt2=- 0.598 pu, Pn=0.2pu, P,,=O-796pt Qn= Qzt = 0'036 Plu, Qn= Qzt= 0.ü)4f, Qt=Qzz= a) Pn- - 0.58 Pu, Pr: =0.214 p¡L P¿ =O-TÍ2pu

Qn=Qy=-

0.064 pu

0.165 pu,

Qn=0.243tr¿- Qtt=0.204pu Q¡z=-0.321pu b) Pn- -0.333 Plu, Pzz=O.664 po, Pr, = - 0.333 pu Qn= Qzt = 0.01I pu, Qn= Q3t= 0.011 pu, Qzz = Qzz= 0.044 pu 0.188 pu, Qzz=O.479rg-

-lto.tots is.0505 i5

I 6.7 a) i) is.050s -ilO is | j5 | js - j10J L |

b) i) Pr2 = 0.600 pu, Pr¡ = O.2O2

pu,

-,rio sLe3" is ,n -ir} js lsL81" js js - j10_J L

Pzs

-l

|-

I

= 0.794 pu

Qn = 0.087 ptt, Qzt = - 0.014 pu

Qn= ii)

Pn-

Qzt = 0.0O4 - 0.685 pu,

PV Qn= Qzz= 0.064

pu

n = 0.287 pv, Pzt = 0.71 1 pu Qn=0.047 ptr, Qn = 0.008 pu, Qzz=0.05I pu yl 6.3 =I.025 -j0.095 =L029 L-5.3"pa P

Capítulo

7

7.1 Rs 22.5th 7.2 a) Pct= 140.9 MW, Pcz = 159.1 MW 7.3

b) Ahono neto = Rs 218.16/día t) El Gen A toma más carga que el Gen B

i) El Gen A y el Gen B toman la carga Po cada uno iii) El Gen B toma más carga que el GenA 7.1 P6= 148 MW Pcz= 142.9 MW, Pc: = 109.1 MW 7 .5 (dcldPc) = 0.115Pc + 23 i

7.6 a) Pcr = 138.89 MW, Pcz = 150 MW, P7=269'6}i4W b) Pa = 310.8 MW Pcz = 55.4 MW c)Parala Parte a): Cr= Rs 6 465.144t Para la parfe b): Cr = Rs 7 708.I5th '1.7 B1r= 0.03387 pu o 0.03387 x 10-2 MW-t Bn=9'60'13 x 10-s pu o 9.6073 x 10-7 MW-l Bzz=0.02370 pu o 0.02370 x 10-2 MW-1 7.8 Asignación óptima económica Tiempo

Carga (MW)

0-4 4-8 8-12

20

t2-16 r6-20

I4

20-24

10

Número de unidad

t234 fl-l-i

1110 1100 1110 1000 1100

T4

6 A

Asignación óptima

y

segura de unidad Número de unidad

t234

0-4 4-8

8-12 12-16

r6-20 20-24

1111

10 00 10 00 00

1.9 Costo total de operación (ambas unidades en servicio durante 24h) = Rs 1 47 960 Costo total de operación (unidad 1 fuera en periodo de poca carga (ligera)) = Rs 1 45 840

Respuestas a los problemas

Capítulo

8

8.1 Carga en G1 = f,^

123

MW

carga en

= 511 Hz. f"n= 5lZ wzw

' JJ

Gz=277 }.{W,50.77 Hz,

Hz

8.2 Lf (t) = - 0.029 - 0.04e4'58'cos (1.254r + 137.8) 8.3 1/(50K,) s 8.4 AP"¡u"", 1 = K p¡+ K,rbr+ 1/R1)- (ll Ko,2+ K,rbr+ ll R ) a12(K¡2+I)(I/K p,r+ K^bt+ 1/Rt )+ (K,t + l\(ll Ko,2+ K,rbr+ (7/

8.5

100(0.2sr + 0-9s+

AP"oru"", 1(s) =

80s5

+

364s4

+

458s3

IlRr)

l)

+ t6ós: + l050s + 85

Se encuentra que este sistema es inestable.

Capítulo

9

9.I i,= 3.14 sen (314t -

66") +

2.87e-*.

r;

= 5O

a\ 81" b) -9" i)IA=2.386 kA,,fB= 1.75kA ii)It=4J73tAI¡= l-lJf{ 8.87 kA,4.93 kA 9.5 2ó.trtA 6.97 kA a) 0.9277 kA b) l.3lzkA c) 1.4&f3 kA dl l.mfF tV 53.03 MVA e) 0.1959 kA 9.8 8.319kA 9.9 2J9pr 9.10 132.1,47.9; 736.9,45.6 9.ll 0-6pr 9.12 If =-j8.006 pu,If tz= -j4.0O4 pr

9.2 9.3 9.4 9.6 9.7

Capítulo 10.1 ,)

I0.2

10

I.732L2l0

ii)

2L0"

iií)

l.732Ll5V iv) 7L2IU

IA = jl.I6 pu, V¿a = 1.17 LlO9.5" pt Vac = 0.953 65.4" pu, Vcr = O.995 L-113. 1' pu

t-

= 20.2 L158. 1' y, V"o = 21.6I IO.4 lor= I9.23L-30" A,Io2= 19.23L150" A,Io0- 0 A 10.5 1A1 = 27 .87 L-30" A, IA2 = 13 L- 44.93" A, 1¿o = 0 A Ioat= 16.l A, Io¡z=7.5L-75" A, Iobo=7.5L75" A 10.6 I"= 16.16 + j1.335 A, Ib = - 9.24-j10.66 A I, = - 6.93 + j9.32 A, lvNnl = lVool = 40.7 5 Y 10.7 I500.2w 10.3 Ut =

197 .8

L-

3.3" V,

Voz

tl

0.63'

V

Respuestas a los Problemas

Capítulo

11

ll.I

- j6.56kA,lvb,l = 12.83 kV- l%¿l = 6.61kV l%,1 = 6'61 kV Il.2 a)Vob=Vor= 1.8 Pu- I'o= Ir= -2\' 3 Pu b) Vou = %. = 0.816 pu. 116l = ll,l = 5'69 pu ii r - -1.33 ,i t) 6.01 iv) - j5 pu 1 1.3 t - i6)s Por ma3nirud decreciente de corrientes de línea, las fallas se pueden ordenar

como sigue ar I

l.+

LG b)LLG

0.1936 ohm,

11.5 a) 3.51

pu

trifásica d)LL 0.581 ohm, - 4.33 pu,i5 pu c)

b) Vb=

I.l9L

-159.5'pu, % = 1'68L129.8" pu

c) 0.726 ptt

lI.6 Ib=-1,=-2'887Pu Il.7 a) Iv= - 5.79 +i5.01

kA, IB = 5.79

+

j5.01 kA, Ic

=

j10.02 kA

b)IB=*Iy=-6.lll kA,Ic - 0

11.8

Iorr= - j3.5\ pu Io*= - jl.2pu

1o, = 0

Iur= - j2.08 pu I", = j2.08 pu

Ir.9 5266A. 1 1.10 j2.0pn 11.11 Ir = - j6.732 Ib(A) =

-

Ir*= - jI.2pl

pu,

1o

(A)

lt.t2

0.42pu,- j9.256pn

11.13

-jlI.I52

pn,

l2.I

pu,

-j2.478 pu, -jI.239 Pu

II.T4 4.737 pu, I pn 1 1.15 I{= - j12.547

Capítulo

- - j4.779

j0.255 pu, 1. (A) = -70.255 pu

pu.

I{r bt = - i0.o962 pu

12

4.I9 MJA4VA, 0.0547 MJ s/grado eléctrico

r2.3 40.4MJ|I\4VA t2.2 4.3L5MJ/MVA r2.4 r40.r Mw 130.63 MW 175.67 MW 12.6 63 = J$' r2.5 7254}./4W 12.7 |21.3I[|.IW

12.8 53.. Se necesita conocer la constante de inercia M para determinar /.. 12.10 70.54',0.1725 s 12.9 El sistema es estable I2.ll El sistemaes inestable L2.12 63.36" 12'14 El sistema es estable 12.13 El sistema es estable a conmutación de tres polos y de un polo frente 12.15 El sistema es inestable

Indice Acoplamiento mutuo, 46 Administración de cargas, 33 Admitancia mutua (de transferencia), 181

rel="nofollow">:ilación momentánea en una línea de rransmisión. 320 s¡l:¡ciuin de conaci¡cuitos, 344 :

t---r:: ie seguridad.

Algoritmo para análisis de estabilidad contra oscilaciones momentáneas en sistemas grandes. -19: para cálculo de corriente de cortoci¡cuito. _t 1-: para cargas óptimas de generadores en un bus. 246 para construir la Z"ua, 355 para estimación de estado estático de sistema. eléctricos de potencia, 540 para estudios de cortocircuito, 349 para programación óptima de generación. 26i para programación óptima hidrotérmica, 280 para solución de flujo de cargas de sistemas

eléctricos de potencia, 540 para solución óptima de flujo de cargas, 273 por el método GS, 205 por el método NR, 214

potFDLF,223

Almacenaje de energÍa. 28

-

-, : " r -, --' : --onstante, 205, 209, 2lB '.. --: - :: -r:-l¿¡ )5ñ

.i.i.:^r-,

-:

i

-

I

-, :.. -:.:r;

.---il^. ,--:unoad.¡

:,- r.JS. 1,53

: - :- ::::-t: : - ::er de SegUfidad, 256 : -:-..-:=;: - r, :¡rA puesta en marCha, 258

::..,.,.. .- .r,5.-u.ion dinámica, 251 :- t*:r---ri i nodOS, 250, 252

'-tr-:--:

-1,:-il¡:t

-

t

-

p-;:::" ie unidadeS, 250

.1-.

--,:te: de seguridad, 256 1t

-¿!,__:r,lt

¿. -":_:.- -93 :: ¡::e¡a,iOr. -= Pf-r 'úi ;e P\. ^98 J¡ :eierencia,

t'us

r

198

198

Bhart

Hear'1,E1ectricals Ltd (BHEL), 14, 31 B:.rr',n. H.E.. 368

8,.i. conirolado por voltaje, 198 Bus de ¡efe¡encia, 198 Bu¡ inñnito, 112

2".r.

350

cálculo de corriente de cortocircuito por el teorema de Thevenin, 341 coftocircuito de una máquina síncrona con carga, 339 sin carga, 330

.r-:-:¡

::--:r;: Je Je.peje (liberación) y tiempo, 'Éf,: :j: - ::tf,mento de torsión (táase F-::::r- irgulo).438

B;::¡ : -::::.¡r:

baterías secundarias, 26 celdas de combustibles, 29

hidrógeno, 29 planta de almacenaje bombeado, 18 Alternador (v éas e Máquina síncrona) Amplificador de enor, 319 Amplifi cador hidr áulico, 292 Análisis de contingencia modelación para,514 por factores de distribución, 521 por modelo CD, 520 Análisis de fallas simétricas algoritmo para sistemas grandes usando

r:..:--

:: i] ::::---;.

Algoritmo iterativo por el método NR para estudios de flujo, 218

156

r;,:"¡¡;--¡ ¡e r¿d CD.39

Caldera de lecho fluidizado, 15 Cambiador de velocidad, 293 Cambio de fase en transformadores estrella-delta, 377 Capacidad Capacidad Capacidad Capacidad

de carga, 557 de intemrpción de los disyunto¡es, 345 de reserva estátíca,254

de transmisión, 12

Capacitancia cálculo por el método de distancias medias geométricas modificadas, 91 con espaciamiento a-rimétrico. 81 de líneas trifásica-.: con espaciamiento equilátero. 30 de línea-s trirá
el¡cto de distribución no uniforme de cargas, 79 ef-ecto de conductores trenzados, 79

efecto de tierra en, 83 Iínea a línea, 78 línea a neutro, 79 Capacitor conmutado por Thyristor (TSC),

5g Capacitores en derivación efecto en la regulación devoltaje,132 para control de voltaje, 175 para corrección de factor de potencia, 133 Carga angular (véase también Potencia, ángulo; Ángulo de par o momento de

torsión),110 administ¡ación, 33 bus, 198 caracteísticas, 122 centro, I I compensación, 557

composición, 122 conectada endelta,374

curva, 3 desequilibrada, 394 representación, 122 simétricas (equilibradas), 107 Carga base, 3

Central Electricity Authority (CEA), 29 Centro de control de energía,637

Ciclo, 191 Ci¡cuito equivalente de línea corta de transmisión, 129

Circuito equivalente para generador y bus

infinito,

113

generador síncrono, 1 19 la lÍnea larga de transmisión, 139 I¿ lnea mediana de transmisión

repre.entación nominal, Z 138 r:pre:entación norninal, T, 137 Une¿:,¡n: de transmisión, 129 Cir.-ur:¡ T l.rr;¿ de longirud media, 137

Circuito nominal ¡rdelínea mediana de transmisión, 138 Circuitos trifásicos potencia en, 107 voltaje y corriente en, 107 Co-rárbol, 190 Coeficiente de carga,

3

Coeficiente de potencia síncrona, 118, 308, 455 Coeficientes B, 261, 26'7 Coefi cientes de pérdida, 267 Cogeneración, 15 Comisión de Planeación, 41 Comparación de estabilidad angular y de voltaje, 592 Compensación en derivación (paralelo), 179, 498, 562 en serie, l'19,498,559 Compensación de línea por capacitores en derivación, l'79, 498 por capacitores en serie, 1'79,498 Compensador

combinado TCR y TSS, 564 en denvación,562 estático síncrono en serie (SSCC), 571 Componentes Componentes Componentes Componentes

de secuencia cero,371 de secuencia negativa, 370 de secuencia positiva, 370

simétricos definición, 369 de fasores asimétricos, 372 potencia en términos de,374 Computadora digital, 39, 184, 305, 310 Concepto de área de control, 303 Conductancia,45 Conductancia de dispersión, 129 Conductor compuesto capacitancia, 91 inductancia, 54 Conductores

ACSR,52 Expandidos ACSR, 52

Múltiples, 52, 68 Tipos,51 Conductores de aluminio reforzados con acero

(ACSR),52 Conductores empaquetados reactancia capacitiv a, 92 reactancia inductiva, 68 Conexiones de red secuencial para fallas asimétricas, 400, 403, 405

Conmutación de tres polos, 500 de un polo, 500 Consejos estatales de elect¡icidad, 303 Conservación de energía, 3 I Consideraciones de confiabilidad para despacho económico, 253 Constante de atenuación, 143 Constante de inercia, 436 Constante de propagación, 141 Constante de regulación (R), 294 Constante de regulación de velocidad. 29-1 Constantes ABCD,617 de redes en serie y paralelo, 620 de medición,621 en ecuaciones de flujo de potencia- 159 para varias redes sencillas, 618 Constantes de fase, 143 Constantes generalizadas de circuitos , i lcs¿ Constantes ABCD)

Contingencia análisis, 5 1 clasificación, 520 clasificación por eliminación. 520 selección,

5 15

método directo,515 método indirecto, 5l5 Control área,291,303, 306 de perfil de voltaje, 230 de WAITS y VARS a 1o largo de la línea de transmisión, 230 integral, 304 isócrono, 305 óptimo, 310 parámetros, 199,272 por transformadores, 23 I proporcional + integral, 303 sub-óptima, 318 Control automático de generación (r'lase Control de frecuencia de carga) Control automático de voltaje, 318 Control de frecuencia de carga (LFC) y control de despacho económico, 305 caso de una sola área,29I con GRC, 320 control descentralizado, 323

digital,322 dos áreas, 307

Control de frecuencia de carga de dos á¡eas, 307

C:ntrol

de frecuencia óptima de carga (dos ¿íreas), 3 10

Ct¡ntrol por computadora en tiempo real de sistemas de potencia eléctica,634 Controi proporcional + integral, 303 Cont¡ol sub-óptimo, 3 18 Cont¡oles digitales LF. 322 Controlador flujo de potencia entre líneas (IPFC), 57 I

flujo unificado de potencia (L?FC). 571 potencia enffe fases (IPC), 572

Controlador óptimo, 3 l0 Controladores FACTS, 569 Conve¡tidores, 567 Corriente de carga,76, 180 Corriente de carga de línea (véase Capacitancia) Corriente de cortocircuito simétrico, 329, 33 | Corrientes circulantes, 3 89 Cortacircuitos. 327 . 329 capacidad nominal de intemrpción, 344 corriente momentánea nominal, 344 de reconexión automática. 460 selección, 344 Costo de combustible enla generación,243 Costo de operación del generador, 243 Costo de puesta en marcha, 250 Costo incremental de combusflble, 244 Crecimiento de la capacidad instalada en la India, 30 Crecimiento de 1os sistemas de suministro eléctrico en la India. 29 Criterio de áreas iguales, 461 Criterio de igual costo incremental de combustible. 246 Curva de ángulo de potencia, ll5,444 Curva entrada-salida de una unidad, 243 Curva de oscilaciones, 459,495 determinación paso a paso, 481 determinación usando método modificado de Euler, 495 Datos erróneos

deteccrín,547 identificación. 547 supresión, 548

tratamiento, 546 Despacho económico (véase también Programación óptima de generación). 306

Despacho óptimo de potencia real (v é as e Programación óptima de generación) Desviación de frecuencia, 309 Detección de datos erróneos, 547 Determinante de una matriz, 608 Devanado amortiguador, 438 Devanado de campo, 328 Diagrama computacional de flujo para solución

Enlaces de flujo magnético de un conductor aislado que lleva corriente. 46

flujo usando

Error de control de área (ACE), 304 Estabilidad análisis para sistema multimáquinas, 487 definición, 433 de fluctuaciones momentáneas. definición, 434 algunos factores que la afectan, 496 iángulo crítico de despeje, 467 ringulo de despeje o liberación,466 criterio de iáreas iguales, 461 método punto a punto, 481 tiempo críúco de despeje,467 tiempo de despeje,466 voltaje, 591 de régimen pemanente (estado estable), 454

de bajo

FDLF,22'7 método GS, 208 método NR, 224 Diagrama de impedancia, 98 Diagrama de reactancia, 98 Diagrama unifilar, 98

Diagramas circulares, 167

Dialóptica, 189 Distancia media geométrica (GMD) interna, 55 mutua, 55 Disyuntores (véase Cortacircuitos) Dommel. H.W..270 Ecuación de coordinación exacta. 261 Ecuación de oscilaciones, 438, 480, 494 forma de variables de estado. 495 Ecuaciones de coordinación, 246 Ecuaciones de flujo de carga estática (SLFE), 198

Ecuaciones de líneas largas de transmisión, 142 evaluación de constantes ABCD,142 forma hiperbólica de, 142

interpretación de,I43 Ecuaciones para líneas cortas de transmisión, 129 Efecto corona. 52. 68 Efecto de duplicación, 329 Efecto de proximidad, 7l

Efecto invernadero, 16 Efecto Ferranti, 150 Efecto Kelvin, 7l

Electricity Board,29l Elementos, 189

Eliminación de Gauss, 623 En línea

estimación de estado, 544 modelo periódico, 586 modelos ARMA, 586 técnicas para predicción de carga no estacionaria, 586

Energía cinética,435

externos,49

intemos,46 Equivalencia de sistemas externos, 545 Equivalente de a' para línea de longitud media, 138 para línea larga,152

dinámica,434 estudio,46l Estabilidad ante oscilaciones momentáneas caso de generadores múltiples,487 criterio de ríreas iguales, 461

deflnición,433 métodode soluciónconcomputadoradigital,

método modificado de Euler,495 solución numérica de la ecuación de oscilaciones para el caso de un solo generador,480 Estabilidad de régimen permanente, 454 Estabilidad de voltaje, 591 análisis. 592. 597 con enlaces de HVDC, 599

criterios de,596 Estimación de componentes periódicos, 581 Estimación de estado componente estocásúco, 583 de sistemas de potencia eléctrica, 548 el algoritmo único de inyección, 540 el algoritmo único de Iínea,543 equivalencia de sistema externo, 545 mediciones no lineales, 535 problemas de mal acondicionamiento, 545 Estimación de parámetros, 552 Estimación por mínimos cuadrados, 532 de la solución básica,532

610

Estimación por mínimos cuadrados ponderados, 533 Estrategia de control, 303 Estrategia óptima de operación, 242 Evaluación de contingencia (véase Contingencia,

anáiisis) Excitación de campo, 108 Expansión de serie de Taylor, 213 Expectación,532 Factor Factor Factor Facto¡

de aceleración, 207 de capacidad de planta, 4 de diversidad,4 de penalización, 260, 2'7 5 Factor de uso de planta, 4 Factores de distribución desplazamiento de generación, 520 intemrpción en línea, 520 Factores de distribución de coniente, 265 Factores de sensibilidad de cambio de generación, 520 de distribución de interrupción de línea, 520 Factores que afectan la estabilidad,496 Falia de tiena sólida, 407 Falla doble línea a tiena (LLG),404

Falla línea aLínea (LL),402 Falla simple línea a tierra (LG), 339 Fallas

cálculo usando Zsu5, 351,417 conductor abierto,414 desequilibradas

tipo derivación, 397 tipo serie, 397 equilibradas (vlase Aniílisis de fallas simétricas) Fallas asimétricas, 416 análisis de componentes simétricos, 398 Fallas trifásicas (váase Fallas) Flujo de cargas de desacople rápido,223

Fórmula de pérdida de transmisión, 261 derivación de,264 Formulación de bus paso a paso adición de una rama, 357 adición de un vínculo, 359 matriz de impedancia, 192 Fortescue, C.L.,396 Fuentes de energía

biocombustibles, 28 biomasa, 28

convencionales, 13

generación hidroeléctrica, plantas nucleares, l9 plantas térmicas, 13

I7

energía de oleaje.27 plantas eléctricas eólicas, 25 plantas de enersía geotétmica,24 generación magnetohidrodiniámica (MHD).

:i

OTEC,27 ¡enovable. 25 turbinas de gas. 16 Fuerza magnetomotriz al¡ededor de trayectoria cerrada. J7 Función de costo. 251.2i0 Función de costo aumentado. ll9 Función depenalización, 270. ll,s Función lagrangiana, 27 9, 632 Funciones escala¡es y vectoriales. 611 derivadas de,614 Funciones hiperbólicas, 142, 143 Funciones objetivas, 2'70,27 l, 27 5 Fusión, 23

Generación fotov oltaica, 27 Generación hidroeléctrica, 17 Generación magnetohidrodinámica (MHD), 23 Generador (véase Generador síncrono de polos salientes) Generador estático de VAR. I'75.565 Generador rotativo VAR, 176 Generador síncrono de polos salientes, 1 17 Gobernado¡ centrífugo de velocidad, 292

Gráfica conectada, 189

lineal, l89 orientada, 189 teoría, 189 Gráfica de desempeño de máquina síncrona, 119 Gráfica bneal (véase Gráfica) Grupo coherente, 29 1, 303

HVDC,572 Impedancia autoadmitancia, 187 de transferencia, 1887 Impedancia característica (de sobretensión), de líneas y conductores, 145 Impedancias de secuencia para máquinas síncronas, 385 de elementos oasivos. 383

l4l

Límite suave, 275

Impedancias de líneas de transmisión, 385 de transformadores, 386 tabla de valores típicos de, 354 Impedancia de secuencia cero de elementos de circuito, 384 de líneas de transmisión, 385 de máqurnas síncronas, 384

Límites rígidos, 275 Línea infinita, 145 Línea mediana de transmisión, 137 Líneas sintonizadas, 151 Longitud de onda, 145 Liur,ia ácida, 16

tabla. 33.1 de ¡ranstbrmadores, 3 87 Impedancia de secuencia negativa, 383 de elementos pasivos, 383 de líneas de transmisión, 390 de máquinas síncronas, 386

tabla,334 de t¡ansformadores, 390

Malcondicionamiento, 229, 5 45 Mantenimiento, 32

\fáquina síncrona ángulo de despeje, 110 eircuito equivalente. I I I constantes de inercia, 435 construcción, 108 dia,gramas de fasores, 112

Impedancia de secuencia positiva

dinámica de, 435

de elementos pasivos, 381

ercitación,113

de líneas de transmisión, 389 de máquinas síncronas, 383

gráfica de operación (desempeño), 1 19 orden de valores de impedancias secuenciales,

tabla,334 de transformadores, 390

Impedancia de sobretensión (.véase rantbié¡t Impedancia caracteística ). 1-15 Impedancias secuenciales y redes de secuencia de máquinas síncronas, 385 de sistema de suministro eléctrico. de transformadores, 390 Índice de desempeño (PI), 316

debida a flujo magnético interno. J6 definición, 45 de línea trifásica de doble circuito. 66 de línea monofásica de dos cables. 50 de Iíneas conductoras comnuestas. 5J de líneas trifásicas, 59

mutua,46 Interferencia con la comunicación de circuitos,

6r-63 Inversa de matrtz,673

Kimba¡k, E.W., 508 Kirchhoff, Ley de corriente de, 186 Kirmayer, Leon K., 325 Kron. G., 265 Kuhn-Tucker, Teorema (teoría) de, 632 Limitadores de corriente en coftocircuito, 499 Límite de estabilidad métodos para aumentarlos, 459

Máquina superconductora, 14

MATLAB -j8-<

Inductancia

régimen permanente, 456

385 reacción de armadura, 108 reactancia de dispersión, 331 reactancia por unidad, tabla, 334

ejemplos,651 introducción a, 640 programas, 652 programación, 640

Matrices igualdad de, 610 ley asociativa, 61 1 1ey conmutativa, 611

multiplicación de, 611 ley asociativa, 61 I ley distributiva, 61 1 singular y no singular (.véase tambiénMatiz), 610 suma de, 610

Matriz' cero (véase tambíén Matriz de admitancia de bus; Matriz de impedancia de bus; Matrices), 608 definición, 607 diagonal, 608

elemento de,607 identidad, 608 nula, 608 simétrica. 609

transpuesta de, 609

unidad,608 Matriz de admitancia (véase M:lriz&, admitancia de hs) Matnz de admitancia de bus" 188 for¡nulación de, 187. 189 Matriz de covarianzr. 535 Matriz de incidencia (véase Martz de incidencia de bus)

de carga de generador, 42,296 de sistema de regulación de velocidad, 293 de turbina, 295

Modelo de r,para transformador con relación de espiras no nomina|234 Modelo de turbina de vapor recalentado, 295 Modelo de variables de estado. 312

Modificación de Z"us para cambios en red,

Matriz de incidencia de hrs. 192 Matriz de impedancia de bus algorimo de .-nstroccion, 355 para ználid( de fatlas asimétricas,416 para dfub de frlles 5i¡f¡is¿5, lJl Matriz de imfErl-¡rie fimitir? (admitancia), 192

Matriz de rrni¿l¡¡l

Modelo

360 Motores de inducción, 122,344 Multiplicador de Lagr¿ngp, 27 9, 632 National Tbermal

Crpcaio fiTrc¡al

Nivel de u-ansmisi¡in- 13 Nodos, 190

fffi

jacotiar- 211. 27 2 elementos de. ll4. ó29 Matriz ponder-ada 531

Ondas de Ondas, incidmcsyrtfciih. Ondas reflejadea l.l4

Matriz reducida- 188 Matriz simétrir:a ó(D Matriz transp.sra- 609 Megavoltampers de cutocircuito, 345

Operación Opim

Matriz

ircilcir l4l

& gr*ts cdecr243 Operador c,3il Ordenación qtinr lStt- 627

l,||-

146

c¡

re

bara

Método de Euler modifrcado para anáüsis de estabiürlad, 495

Método de filrrado de Kalman. 583 aplicación para predicción de cargas a corto plazo, 583 Método de imágenes. 83 Método del graüenre- 272 Métododel rlcsrerfo, @(véase Método del gndiente¡ Metodología de predicciones, 577 Métodos de control de voltaje, 173 Métodos de estimación mínimos cuadrados, 532 mínimos cuadrados ponderados, 533 Métodos de flujo de carga óesacoplada,Z22 Métodos para flujo de cargas comparación de,228 continuación, 599 desacopladas, 222,223

FDLF,223 Gauss, 205 Gauss-Seidel, 204 Newton Raphson, 213 versión r ectangular, 221

Microplantas hidroeléctricas, I 8 Miniplantas hidroeléctricas, 1 8

líle c¡rr¡das,45 peruüacién- 271,272 Panon,A.D-. 25É,.2fi Pariámetros de

Parámetros de

Pérdida en transmisión (véasePérdidas como ñución de la generación en planta) Pérdida incremental de transmision. 260 Pérüdas como función de

ecuación para,267 generación de Ia planta, 260 suposiciones de ciílculo, 266,268

Potencia

angno,437 aparente, 106

compleja, 105 de aceIeración,462 en circuitos trifásicos, I 12 factor de, 105, 112, 115 flujo a través de línea de transmisión, 158 máxima transmitida, 159 por componentes simétricos, 374 real y activa (véase también Potencia reactiva; Potencia real), 106 Potencia compleja, 105

Potencia de acelerrciúu 462 Potencia de rclrctancia-

l18

inductiva, 67 dispersión, de transformadores, 101 eje de cuadratura, 117 eje directo, 118,121 momentánea,332 síncrona, 111, 332

Potencia en línea de interconexión,307 Potencia reactiva, 106 conffol de flujo: por excitación demáquina, 113, 114

inyección de,775 de máquinas síncronas con sobreexcit ación, I 14 con subexcitacíón, relación con nivel de voltaie, 173

submomentánea. 332 Reactancia de dispersión, 33 1 Reactancia de dispersión de armadura, 33 Reactancia de eje directo, 119

ll4

signo de, 106

Reactancia síncrona, 33 1 Reactancia síncrona de eje de cuadratura, I 17 Reactor avanzado de gas (AGR), 19

Potencia real, 106 en máquinas síncronas, 115, 119 fórmulas para, 159, 160 Predicción de cargas a largo plazo, 587 técnicas en línea, 586 modelo de tiempo variable, 586

Reactor de agua hirviente, 19 Reactor de regeneración rápida,22 Reactor saturado, 573 Reactores limitadores de corriente, 346

modelo no dinámico, 586 modelos ARMA, 586 usando modelos econométricos, 587 Predicción de cargas a corto Plazo estimación de componentes estocásticos, 583 uso de la aproximación del filtrado de Kalman, 583 uso del modelo de cargas periódica, 581 vía de los modelos de innovación, 588 Predicción de carga reactiva, 587 Problema de flujo de cargas, 196 Problema de flujo óptimo de potencia reactiva, 272

Problema de programación no lineal, 632 Producto escalar, 607 Producto inerte, 607 Programación dinámica aplicada a asignación de unidades,251 Programación óptima de genetación, 259 Programación óptima de sistem ahidtotérmico, Radio medio geométrico (GMR), 55 Rama, 190 Redes de secuencia cero de cargas conectadas en delta, 389 de cargas conectadas enY 387 de generadores sin carga, 384 de transformadores. 387 en estudios de fallas. 399 Reacción de armadura, 109, 110,330 Reactancia, 332 de conductores en conjunto

caoactttva.92

I

27 6

Reactores nucleares, 21

Reconexión,474 Red

formulación de modelo para SLFE, 185 nodo, 90 observabilidad. 545. 549

primitiva, 191 rama, 190 Red de secuencia negativa de elementos de Zrut, 417 de generadores sin carga, 388 de sistemas eléctricos de potencia, 386

ejemplos,409 en análisis de fallas, 399 Red primitiva (véase Red), Redes de secuencia positiva en elementos de Zuut, 417 en estudios de fallas, 398 de generadores sin carga, 383

l9l

Redes secuenciales construcción de redes secuenciales de un sistema de suministro eléctrico, 389 Reducción (poca densidad), 188, 189, 623

Regulación de voltaje, I30 Regulación ñpid4499 Regulación rápida de turbinas, 499 Reguladores de velocidad, 298 banda muerta, 321 modelo con restricciones de tasa generación

(GRC),321 operación libre, 301 Relación de cortocircuito (SCR), 498

Relación de espiras (toma) no nominal o toma no

nominal,234 Representación nominal T de línea mediana de

t¡ansmisión, 137 Resen'a. 254 Resen'a de generación, 245,254 Resistencia de líneas, 70

Resislor disyuntor controlado por Thyristor, 572 Resistores de intemrpción para mejorar la estabilidad, 499 Restricción de igualdad, 259, 272, 632 Res¡ricciones de igualdad,272,632 de desigualdad, 632 en las variables de control, 274 en las variables dependientes, 274 para problemas de programación hidrotérmica, 2'77

Restricciones de desigualdad en va¡iables de control, 27 4 en variables dependientes, 274 fu,sidez de máquina síncrona, 455

SC.\DA.634 Seguimiento de la estimación de estado de sistemas de potencia eléctica,544 Señal de error, 319 Simulink, 640

ejemplo,648 1o básico, 648 Sistema de administración de energía (EMS), 634 Sistema de almacenaje compacto, 189,628 Sistema de almacenaje por bombeo, l8 Sistema de distribución y control (DAC), 634 Sistema de regulación de velocidad, 293 Sistema de regulación de velocidad de turbina, 292 Si:lema eléctrico de potencia compensación, 556 ingeniero, 39 estimación de estado, 538

estructura, 10 esrudios, 39 Sistema estático de VAR, 562, 565 Sistema por unidad cambio de base, 101 definición de, 99 selección de base, 100 Sistemas de adquisición de datos (DAS), 636 Sistemas de suministro eléctrico interconectados, 10

Sistemas flexibles de transmisión AC (FACTS).

566 Solución punto a punto de ecuación de oscilación,481 Solución de flujo óptimo de cargas,270

STATCOM,562 Subestación de distribución, 13 de energía al mayoreo. 1 3 SVC (Compensador estático de

lar), 562,565

TCTIL (Cambio de tomas con carga) (réase Transformadores) Tabla de c¡ilculo CA, 184 Tasa de fal1as. 255 Tasa de reparación,255

Técnica de eliminación de nodos para estudio de

estabilidad, 444 Técnica de programación no Iineal, 27 9 Técnica de rechazo a plena carga para mejorar la estabilidad del sistema, 500 Técnicas de predicción de cargas estimación de componentes periódicos, 581 estimación de términos promedio y tendencia, 577 incorporación de variables climáticas, 583 método de series periódicas, 582 modelos autorregresivos, 582 modelos autorregresivos con promedio móvil, 582 Transformada de Laplace, 29 4 Transformador ideal. 99 Teorema de Thevenin en el cálculo de corrientes de fallas asimétricas.

416 en el cálculo de corrientes de fallas trifásicas.

34r,350 Teoría de dos reacciones, I 17 Tolerancia, 206 Transformador con cambio de fase

controlado por Thyristor (TCPST), 572 Transformadores cambio defase,232 cambio de fase en Y-A, 377 contol (véase regulación, adelante), 231 disposición de tomas, 234 marcas de polaridad, 377 regulación,232 circuito equivalente, 234 impedancias de secuencia, 385

Transformadores, regulación

para control de magnitud,232 para control de ángulo de fase, 233

estado (váase Vector de estado)

TCUL,177,232

nulo, 605 ortogonal, 607 pertwbación,211

representación por unidad. 101 Transformadores A-1. 3 89 Transformadores ):1. 96 cambio de fa-'e en. 377 equivalente monofiísico de, 96 ¡edes de secuencia cero de, 387 Transposición de líneas de transmisión, 60 para equilibrar capacitancia, 81 para equilibrar inductancia, 6l Triangularización y reemplazo, 623

Uso de computadoras y microprocesadores en sistemas eléctricos de potencia, 39 Valor porcentual, 99 Válvula piloto, 292 YAR (véase también Potencia reactiva) Variables de control, 199,632 Variables de estado, 199,312,494 Variables duales, 27 9,632

fir^,607

suma, 606

unidad, 606 Vector de control, 199 Vector de estado, 198

Velocidad de propagación, 146

Víncuio, 190 Voltaje

colapso,528,592 protección contra, 526, 293, 600 control por inyección de VAR, 175 control por transformadores, 177 ecuaciones: para línea larga,142 para líneas cortas de transmisión, 129 para líneas medianas de transmisión, 137-139 efecto de capacitores en,732,175 estabilidad, 524,592 métodos para mejorar la, 528 seguridad, 525

Yaianza,582 Vector columna, 607 control (véaseYector de control) de parámetros

eouacróq271

fijos, 199

Watts (véase también Potencia real), 106

Ysus (véase Matriz de admitancia de bus)

Z''J'

(véase Matriz de impedancia de bus)