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Semana 1 Cálculo II 2020-2 Unidad I: Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales

Teoría

UNIDAD I. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES RESULTADOS DE APRENDIZAJE: i) Resuelve ecuaciones con matrices y con su inversa, así como sistemas de ecuaciones lineales. ii) Resuelve situaciones problemáticas, planteadas en diferentes contextos, haciendo uso de los sistemas de ecuaciones lineales. CONTENIDO: 1.1 Matrices. Definición. Notación. 1.2 Tipos de matrices. 1.3 Operaciones con matrices. 1.4 Cálculo del determinante de una matriz. 1.5 Cálculo de la inversa de una matriz, usando la matriz adjunta.

1.1 Matrices, definición y notación. Definición. Una matriz A es un ordenamiento o arreglo

rectangular de mn números reales denotado por:

 a11 a12 a 21 a22  A   am1 am2

aij es el elemento

a1n  ... a2n    ... amn  ...

que ocupa la fila i y la columna j

1.1 Matrices, definición y notación.

 a11 a12 a a 21 22  A   am1 am2

a1n   ... a2n    ... amn  ...

Columna 1

Columna n

C1

Cn

Note que hay m filas y n columnas

fila 1: f1

fila m: fm

1.1 Matrices, definición y notación.  Llamamos orden de la matriz A a la expresión mxn.  Cuando m ≠ n diremos que la matriz es rectangular.  Cuando m = n diremos que A es matriz cuadrada, en este caso también se dice que la matriz es de orden m.

 1 -2 0   4 -2 y B= Dadas las matrices: A =    3 1 3 4 6   2×2   2×3 Determinar: a11 = ? , a22 = ?, a23 = ?; b12 = ?; b21 = ? ¿ Y qué pasa con a31 , a24 , b13 ?

1.1 Matrices, definición y notación.  a11 a12 ... a1n  a  a ... a 21 22 2n  se representa por: A =  a ij  La matriz A   m×n     a a ... a  m1 m2 mn  i = 1,2, …, m; donde j = 1, 2 ,…., n

y se lee: Matriz A de elementos aij de orden mxn Ejemplos . Forme las matrices A3x3 y B3x2 , si se sabe:  i - j2 si i < j  aij = 3i - j2 si i = j  i2 - j2 si i > j 

 3i  2 j  2  bi j    2i  3 j  3

; si i  j ; si i  j

 2 3 8  Rpta: A   3 2 7    8 5 0 

1.1 Matrices, definición y notación. NOTA. Se dice que dos matrices A y B, ambas del mismo

orden, son iguales si tienen los mismos elementos.

Ejemplo. Si  1 -2  =  1 4 3   2x   

x + y  , halle x e y. 3  Rpta: x = 2, y = - 4

1.2 Tipos de matrices 1. Matriz Fila (o Vector Fila): Cuando tiene solo una fila. 2. Matriz Columna (o Vector Columna): Cuando tiene

una sola columna. 3. Matriz Nula: Cuando todos sus elementos son cero.

4. Matriz Cuadrada: Cuando m = n Es decir su numero de filas y columnas es el mismo. Este tipo de matrices presenta diagonal principal. 5. Matriz Diagonal: Ocurre cuando los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son todos iguales a cero.

8

1.2 Tipos de matrices 6. Matriz Identidad. Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a la unidad. Su notación es In. El subíndice n indica el orden de la matriz. 7. Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero. 8. Matriz triangular inferior. Matriz cuadrada cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal son iguales a cero.

9. Matriz simétrica. Matriz cuadrada donde los elementos simétricos, respecto de la diagonal, son iguales. 9

1.2 Tipos de matrices 10. Transpuesta de una matriz A: Es la matriz obtenida a partir de los propios elementos de A. Se intercambian t aquellos de la fila con los de la columna. Se denota por A (se lee matriz transpuesta de A).

10

1.3 Operaciones con matrices Suma (o resta) de matrices: Las matrices deben tener el mismo orden. La suma o resta se realiza término a término. Multiplicación. 1. Matriz por un escalar (numero real). Cada elemento de la matriz se multiplica por tal escalar. 2. Matriz fila por matriz columna.

Cada elemento de la matriz fila se multiplica por el respectivo de la matriz columna, luego se suman los resultados. Es decir, dadas A = (a1j) y B = (bj1), entonces:

A.B  a11b11  a12b21  a13b31  ...  a1nbn1 11

1.3 Operaciones con matrices 3. Multiplicación de Matrices. Sean las matrices: A = ai j 

m×p

y B = bi j  , definimos el producto de A con B, p×n

como sigue: A

mxp X B pxn =

Cmxn

tal que C = [ c i j ]

“Nº de columnas de A = Nº de filas de B”

donde cij = (fila i de A)(columna j de B)

12

-2 5   1 2 -1  4 -3  B = , Ejemplo. Determine C=AB si: A =     3 1 4    2 1 

Se cumple: Nº de columnas de A = 3 = Nº de filas de B Calculo de cij -2 4 1 2 -1   = 4 c11 = (fila 1 de A)(columna 1 de B) =

c12 = (fila 1 de A)(columna 2 de B) =1 2

 2  5 -1 3  =    1 

-2

De igual manera: c21 = 6, c22 = 16

-2 5   1 2 -1   4 -3 C Nos queda:     3 1 4   2 1   

4 6 

 2 16 

13

2. Si AB=0 no podemos afirmar que A = 0 ó B = 0 1 2   2 4   0 0   Ejemplo:      3 6   1 2   0 0 

Propiedades de las operaciones con matrices 1. Sean las matrices A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn y r R:

a) A + B = B + A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) A(rB) = r(AB) 2. Teniendo las matrices ordenes adecuados para que exista la operación respectiva, tenemos:

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a) A(BC) = (AB)C

b) (A + B)C = AC + BC

c) C(A + B) = CA + CB

d) A 2  A.A, A3  A 2.A  A.A 2 , A 4  A3.A  A.A3 ,etc. Ejemplo  1 2 3 -1 5 -2  A = y B = Dadas las matrices -1 0 2  2 2 1     

Determine : A + B, A – 2B y A(2B)

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Observaciones importantes 1. El producto de matrices no siempre es conmutativo. Ejemplo

1 2 -9 8 7  Sean A = -3 4  B =  6 5 4    5 -6   3 18 15   2 -28    AB =  51 -4 -5  , mientras que: BA =   11 8   -81 10 11

Se tiene que AB ≠ BA Nota: Pero para cualquier matriz cuadrada A se tiene AI=IA, donde I es la matriz identidad 16

Propiedades de la matriz transpuesta 1.  A + B  = A + B t

t

3. kA  = kA , t

t

t

k R

  =A

2. A

t

t

4.  AB  = Bt A t t

5. Si una matriz A es simétrica entonces es igual a su traspuesta es decir:

17

1.4 Cálculo del determinante de una matriz ¿Qué es el determinante de una matriz (cuadrada)? Es un escalar (numero real) asociado a esa matriz. Se le denota por │A│o por det(A). NOTA: Si │A│= 0, se dice que la matriz A es singular (no regular). Si ocurre lo contrario se le denomina matriz no singular (regular)

18

1.4 Cálculo del determinante de una matriz ¿Cómo calcular los determinantes? Primero, verificar que la matriz sea cuadrada. Segundo, dependiendo del orden el cálculo es el siguiente: Orden 1: A  a11 entonces A  a11 Orden 2: a11 a12  a11 a12  A=  A =  a11.a22  a21.a12  a21 a22 a21 a22 

+

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1.4 Cálculo del determinante de una matriz Orden 3: Regla de Sarrus a11 a12 a13  a11 a12 a13  A = a21 a22 a23   A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 

a11 a12 a21 a22

--

a13 + a23 + +

 A  a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a13 a22 a31  a23 a32 a11  a33 a12 a21 NOTA: Este método es valido únicamente para matrices cuadradas de orden 3. 20

1.4 Cálculo del determinante de una matriz Propiedades de los determinantes 1. |AB| = |A||B|, siendo Anxn y Bnxn 2. |At| = |A| 3.El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

4.El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 5.Si una matriz tiene una fila (o una columna) nula, su determinante es cero.

21

6. Si a una fila (o a una columna) de una matriz se le multiplica

por un escalar, su determinante queda multiplicado por dicho escalar. 7. Si A es una matriz de orden n y k es un escalar, entonces: |kA| = kn |A|.

22

1.5 Cálculo de la inversa de una matriz: Método de la Matriz Adjunta Inversa de una matriz Sean A y B matrices cuadradas que conmutan y sea I la

matriz identidad. Si AB=BA = I, entonces se dice que A es la inversa de B (o B es la matriz inversa de A), y se

denota como:

B=A

-1

(se lee A-1 es la inversa de A)

Además, se verifica que: A-1A = A A-1 = I

23

1.5 Cálculo de la inversa de una matriz: Método de la Matriz Adjunta NOTA: Solo las matrices cuadradas tienen inversa, pero no toda matriz cuadrada tiene inversa. ¿Cómo saber si una matriz cuadrada tiene inversa? Propiedad: La matriz cuadrada A tiene inversa si │A │≠ 0 Ejemplos a) Determine si A y B son matrices invertibles. 2 1 1 1 A= , B=   -1 -1 -1 -2    

Rpta. Ambas son invertibles.

b) Halle la inversa, si existe, de la matriz: C   1 3  2 5 

24

1.5 Cálculo de la inversa de una matriz: Método de la Matriz Adjunta Propiedades de la matriz inversa Sean A y B matrices invertibles. Luego se cumple: 1 1 a) (A )  A

1 1 1    r A  A  b) r

; r  R  {0}

c) (AB)1  B1A 1 t 1 1 t d) (A )  (A )

e) I 1  I

25

1.5 Cálculo de la inversa de una matriz: Método de la Matriz Adjunta Matriz de los cofactores: Cof ( A ) Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz. Es decir: Cof (A) = [cij]nxn ¿Qué es un cofactor? El cofactor de cada aij es el número real cij = (-1)i+j Det(M) Donde M es la matriz de menores obtenidas de cada elemento aij de A. ¿Qué es un elemento menor? El menor del elemento aij de la matriz A es el determinante de la matriz Mij de orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. 26

1.5 Cálculo de la inversa de una matriz: Método de la Matriz Adjunta Matriz Adjunta: Se define a la matriz adjunta de A como: Adj(A) = (Cof(A))T

Finalmente: La Matriz Inversa de A se obtiene a partir de:

Adj( A) A  A 1

27

Ejemplo: Halle la inversa de

Adj  A A  ; A 1

Entonces:

A=

1 2 3    0 1 2    0 0 1 

1  2 1  Adj  A  0 1  2 ; A  1 0 0 1  1  2 1    1 A  0 1  2    0 0 1  28

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA Arya, Jagdish C. & Lardner, Robin W. (2009). Matemáticas Aplicadas a la administración y a la economía, (5ta. ed.) México, DF. Pearson Educación Prentice Hall.

Semana 2 Cálculo II 2020-2 Unidad I: Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales

Teoría

UNIDAD DE APRENDIZAJE I: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES RESULTADOS DE APRENDIZAJE: i) Resuelve ecuaciones con matrices y con su inversa, así como sistemas de ecuaciones lineales. ii) Resuelve situaciones problemáticas, planteadas en diferentes contextos, haciendo uso de los sistemas de ecuaciones lineales. CONTENIDOS 1.2 Sistemas de ecuaciones lineales. 1.2.1 Métodos de solución: Inversión. Regla de Cramer. 1.2.2 Rango de una matriz. Operaciones fila. Matriz escalonada. 1.2.3 Método de Gauss. 1.2.4 Análisis del conjunto solución de un sistema. 1.2.5 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de Ecuaciones Lineales REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SEL ¿Cómo representaría el siguiente sistema en forma

2 x + 3 y − z = 20   3x − y + z = 22  x + 5 y + 2 z = 13 Solución  Observa que separamos los coeficientes de las variables: 2 3 -1  x  20  3 -1 1   y  = 22 Coeficientes de x       1 5 2   z  13  matricial?

Coeficientes de z

Matriz de coeficientes : A

Matriz de Variables: X

Matriz de términos independientes: B 3

Luego :

2 3 -1 3 -1 1     1 5 2  A 3x3

 x  20   y  = 22   A 3x3 X3x1 = B3x1      z  13  X

3x1

B

3x1

En general, cualquier sistema de n ecuaciones con m

incógnitas se puede representar como: Anxm Xmx1 = Bnx1 Los coeficientes de cada ecuación lineal representan una fila y viceversa. Cada columna representa los coeficientes de una variable.

4

Resolución de un sistema de ecuaciones lineales (SEL) Tenemos dos métodos fundamentales para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Método particular: Se aplica cuando el número de

ecuaciones es igual al número de variables, requiriéndose además que I A I ≠ 0, donde A es la matriz de los coeficientes. En este caso se aplicará la regla de Cramer. Anxn Xnx1 = Bnx1

5

Regla de Cramer Para el sistema de n ecuaciones con n incógnitas, representado matricialmente como: Anxn Xnx1 = Bnx1 La solución esta dada por

xi =

Ai A

, i= 1,2,...., n

donde Ai representa la matriz obtenida a partir de A, sustituyendo la columna i de A por la columna B de los

términos independientes.

6

Ejemplo 1 Resuelva el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer:  2x + y + z = 0  4x + 3y + 2z = 2  2x - y - 3z = 0 

Solución

2 1 1 Como A = 4 3 2 = - 8  0, podemos aplicar Cramer 2 -1 -3

Calculo de: x1 =

A1 A

, donde i = 1

7

Pero

0 1 1 A1 = 2 3 2 = 4 0 −1 −3

Calculo de: x 2 = Pero

A2 A

4

 x1 = -8 = -1/ 2

, donde i = 2

2 0 1 −16 x = =2 A 2 = 4 2 2 = −16  2 -8 2 0 −3

2 1 0 8 A3 x = = -1  3 , con A3 = 4 3 2 Calculo de: x3 = -8 A 2 −1 0

La solución es x = - ½, y = 2 , z = - 1.

8

Segundo método: Método general: Se aplica sin restricción alguna, en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

La ventaja de este método radica en que nos permite obtener todas las soluciones a la vez. Para efectuar su estudio desarrollamos los siguientes conceptos previos. 1. Sistemas equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones son

equivalentes si y solo si cada solución del primer sistema es solución del segundo y viceversa 9

Ejemplo. Los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes: 3x + y + 2z = 3 x + y + 3z = 0 2x + 3y - z = 9



x + y + 3z = 0 3x + y + 2z = 3 2x + 3y - z = 9



x + y + 3z = 0 - 2y - 7z = 3 2x + 3y - z = 9

Intercambiamos

A la ecuac. (2) le

ecuaciones (1) y (2)

agregamos la ecuac. (1) por (- 3)

x + y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 x + y + 3z = 0 y - 7z = 9 − 2y − 7z = 3  y - 7z = 9  - 2 y - 7z = 3 - 21z = 21 y − 7z = 9

x + y + 3z = 0  y - 7z = 9 z = -1



x =1 y=2 z = -1

ecuación (3) por – 1/21

10

Las operaciones empleadas para resolver este sistema de ecuaciones, conocidas desde la secundaria, son básicamente de tres tipos: 1. Intercambiamos dos ecuaciones 2. Multiplicar una ecuación por un numero distinto de cero 3. Agregar a una ecuación un múltiplo de otra ecuación Estas operaciones no son otras que las llamadas operaciones elementales por fila, las cuales enunciadas para matrices quedan:

11

1. Intercambiamos dos filas (ecuaciones)

2. Multiplicar una fila (ecuación) por un número distinto de cero 3. Agregar a una fila (ecuación) un múltiplo de otra fila (ecuación)

2. Matriz ampliada. Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma: a11 x1 + a21 x1 +

a12 x 2 + a22 x 2 +

a13 x3 + a23 x3 +

a1n xn = b1 a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x 2 + am3 x3 +

amn xn = bm

12

Matricialmente se escribe:  a11 a12 a13 a  21 a22 a23    am1 am am3

a1n  a2n     amn 

 x1   b1  b  x   2  2   =          bm   xn 

A

B

La matriz ampliada o aumentada se define como: A a =  A B

Es decir:

 a11 a12 a13 a  21 a22 a23 A a =  A B =    am1 am am3

a1n a2n

amn

b1  b2     bm  13

Ejemplo

2x + y = 4 Para el SEL:   x - 4y = -7

2 1 4  A a =  A B =   1 4 -7  

Método de Gauss para resolver un sistema de

ecuaciones lineales El método de Gauss consiste en aplicar operaciones elementales a una matriz aumentada formando una matriz escalonada: matriz con una disposición triangular inferior de elementos nulos.

14

Pasos para la aplicación del método de Gauss: a) Escribir la matriz ampliada del sistema. b) Aplicar las operaciones elementales a las filas para cambiar la matriz aumentada a la forma escalonada. c) Escribir el sistema de ecuaciones siguiendo esta forma escalonada y resolver por sustitución.

15

Ejemplo. Resolver por el método de Gauss:

Solución

 4x + 8y - 4z = 4   3x + 8y + 5z = -11  - 2x + y + 12z = -17 

1  4 8 -4 4  f 1 Aa =  3 8 5 -11 4 -2 1 12 -17  f3 + 2f1

1 - f3 2

 1 2 -1 1  0 2 8 -14    0 5 10 -15 

 1 2 -1 1   3 8 5 -11   -2 1 12 -17  1 f2 2

1 f3 5

1

-1 1  8 -14  -2 1 12 -17  2

f2 - 3f1  0 2

 1 2 -1 1  0 1 4 -7  f3 - f2   0 1 2 -3 

 1 2 -1 1  0 1 4 -7    0 0 - 2 4 

 1 2 -1 1  0 1 4 -7    0 0 1 - 2 16

El sistema ahora queda en la forma: x

y

z  1 2 -1 1  0 1 4 -7    0 0 1 - 2

z =1  x + 2y   y + 4z =- 7  z = -2 

Sustituyendo consecutivamente: z = - 2, y = 1, x = - 3 Finalmente: C:S = {(- 3, 1, - 2)}

17

Clasificación de un sistema de ecuaciones por el criterio del rango. Para efectuar el estudio, necesitamos definir : Rango de una matriz A : r(A). El rango de una matriz A es

el número de filas no nulas que se obtienen luego de llevar dicha matriz a la forma escalonada. Ejemplo La matriz

 4 8 −4  A =  3 8 5   −2 1 12 

llevada a la forma escalonada es

18

 1 2 −1 EA = 0 1 4  0 0 1 

la cual tiene tres filas no nulas.

Luego el rango de la matriz A es: r(A) = 3 Ejemplo Determinar el rango de Solución      

3 6  -1 -2 A= 5 9   0 -1

3 6 3  1  1 2 1 f1   −1 −2 −1 3  −1 −2 −1 f2 + f1  5 9 6 5 9 6    0 −1 1  0 − 1 1  

     

3 -1  6  1

1 2 0 0 5 9 0 −1

1 0  6  1

19

     

1 2 0 0 5 9 0 −1

1 0  f3 - 5f1 6  1

f3 − f 2

1 0  0  0

2 0 −1 −1

2 1 1  0  f2 x f4 0 −1 0 −1 1   0 0 1

1 1 1  0

1 1 2 0 1 −1   =E A 0 0 0    0 0 0  

Observamos que hay 2 filas no nulas en la matriz escalonada, y por lo tanto: r(A) = 2

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Análisis de la clasificación de la solución de un SEL Dado el SEL en forma matricial AX = B, mediante

operaciones elementales de fila desarrollamos el siguiente esquema: Operaciones elementales de fila

AX = B  A a = [A B]  E a = [ E A E B ] Escalonada de matriz A a Escalonada de matriz A

r(A a ) r(A)

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Sistema compatible determinado. (Solución única): Ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada Aa y es igual al número de variables: r(A) = r(Aa) = Nº de variables. Sistema compatible indeterminado (Muchas soluciones) Ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes A es

igual al rango de la matriz ampliada A a y es menor que el número de variables: r(A) = r(Aa ) < Nº de variables.

22

Sistema incompatible. ( No existe solución): Ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes A es diferente del rango de la matriz ampliada Aa

: r(A) ≠

r(Aa)

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Ejemplos 1. Dado el sistema de ecuaciones, discutir su carácter por el criterio del rango y resolverlo, si es posible.  − 3x − 5y + 36z = 10  + 7z = 5  −x  x + y − 10z = −4 

Solución

 −3 Partimos de Aa = [A B] =  −1  1 1 1 -10 -4  f + f f1 x f3  2 1  5  -1 0 7 f3 + 3f1  -3 -5 36 10 

−5 36 10  0 7 5  1 −10 −4 

1 0  0

1 −10 −4  1 −3 1  −2 6 −2

24

 1 1 -10 -4   = E  r(A ) = 2 0 1 -3 1 a a   0 0 0 0 

f3 + 2f2 

E A  r(A) = 2

Ocurre que r(A) = 2 = r(A a ) < 3 = Nº de variables. Luego el sistema es compatible indeterminado. Nos queda el sistema de ecuaciones:

x + y - 10z = - 4 y -3z = 1

Por ejemplo, hacemos z = t, en cuyo caso nos queda: y = 1 + 3t, x = - 5 + 7t, donde tR El conjunto solución es: C.S. = {(-5 + 7t, 1 + 3t, t) donde tR}

25

2. Dado el sistema de ecuaciones, discutir su carácter por el criterio del rango y resolverlo, si es posible.  x - 3y + 2z = 12  2x - 5y + 5z = 14  x - 2y + 3z = 20 

Solución

 1 -3 2 12  2 -5 5 14  A = [A B] = Partimos de a    1 -2 3 20 

26

 1 -3 2 12  2 -5 5 14     1 -2 3 20 

 1 -3 f2 - 2f1  0 1  f3 - f1 0 1

2 12  f3 - f2  1 -10  1 8  r(A) = 2

1 0  0

- 3 2 12  1 1 -10  = Ea 0 0 18 

EA

r(A a ) = 3

Ocurre que r(A) = 2 ≠ r(Aa ) = 3. Luego el sistema es incompatible. No existe solución

27

Semana 3 Cálculo II 2020-2 Unidad II: Gráfica de funciones trigonométricas y repaso de derivadas

Teoría

UNIDAD DE APRENDIZAJE II: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y REPASO DE DERIVADAS RESULTADOS DE APRENDIZAJE: i)Identifica las características que definen a las funciones trigonométricas. ii)Resuelve situaciones problemáticas, haciendo uso de las funciones trigonométricas. iii)Calcula las derivadas de las funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y funciones paramétricas, haciendo uso de las reglas de derivación. CONTENIDO: 2.1 Funciones trigonométricas. 2.1.1 Gráficas de funciones trigonométricas. 2.1.2 Aplicaciones. 2.2 Repaso de álgebra de derivadas

Gráficas de Funciones Trigonométricas Introducción La trigonometría, con las razones trigonométricas, resuelve de una manera definitiva el problema de la relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

Al extender estas relaciones al dominio de los números reales se definen las funciones trigonométricas, que se prestan particularmente al modelado de situaciones de naturaleza cíclica, como es por ejemplo, el movimiento periódico. 3

Circunferencia Unitaria La circunferencia unitaria es aquella circunferencia que tiene un radio igual a la unidad (r  1) y cuya ecuación es:

x2  y2  1

1 P(x; y)

y

1

-1 x

-1

4

Ejemplo: Si el punto A(3/5; b) pertenece a la circunferencia unitaria, determinar el valor de b. Solución: Por definición: 2

3 2  b 1   5

9 b   1 25

4 b 5

Luego, habrá dos soluciones para b:

4 b 5

ó

4 b 5 5

Funciones Trigonométricas Sea t un número real asociado al arco recorrido desde el origen sobre la circunferencia unitaria en sentido antihorario y sea P(x; y) un punto de la circunferencia unitaria determinado por t. P(x; y)

y t

x

6

Definimos:

sin t  y

cos t  x

y tan t  x

( x  0)

x cot t  y

( y  0)

y sus inversas :

1 csc t  y

1 sec t  x

7

Gráficas de funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir que las imágenes se repiten indefinidamente al término de cada periodo.

8

Función Seno

Dominio: IR Recorrido: [-1, 1]

El período de la función seno es 2 π. La gráfica de y = sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = nπ. Para todo número entero n. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y = senx es 1. 9

Función Coseno

Dominio: R Recorrido: [-1, 1]

Es una función periódica, y su período es 2 π. La gráfica de y = cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = π/2 + n π , para todo número entero n. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y = cosx es 1.

10

Función Tangente Dominio: R - {π/2 + nπ/ n Z} Recorrido: R.

La función tangente es una función periódica, y su período es π. La gráfica de y = tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = n π , para todo número entero n. 11

Funciones Seno, Coseno y Tangente y 





x 































12

Observando las gráficas mostradas, determinar: a) Los dominios y rangos de las funciones seno, coseno y tangente. b) Los valores de x en donde: i) el Seno es igual a la Tangente ii) el Seno es igual al Coseno iii) el Seno es mayor que el Coseno iv) el Coseno es mayor que el Seno v) el Seno es mayor que la Tangente vi) la Tangente es mayor que el Coseno

13

Funciones Periódicas asociadas a las Funciones Trigonométricas

Las funciones seno y coseno son las formas básicas de las funciones periódicas asociadas:

f ( x)  a sin k x  b

g ( x)  a cos k x  b

k 0

14

Sean las funciones: f  x   Asen  B  x  C    D

o

f  x   A cos  B  x  C    D

La amplitud es A , y es el promedio de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función. 2 . ii) El período es p  B iii) El desplazamiento horizontal es C , hacia la derecha si este valor es negativo y hacia la izquierda si es positivo. iv) El desplazamiento vertical es D , Hacia arriba si este valor es positivo y hacia abajo si es negativo. i)

15

Ejemplos: 

f(x)



f ( x)  2 sin4 x  1







x 

































f(x) 









x 



























g ( x)  4 cos2x 









16

Ejercicios: Grafique las siguientes funciones

a) g ( x)  3 sin2 x   / 3

b)

f ( x)  8 cos6 x   / 4

c)

f ( x)  2 cos3x   / 4  1

17

Repaso de Derivadas Definición de la derivada dy f x  h   f x   f x   lim h 0 dx h La derivada de una función es:

La pendiente de la recta tangente a la curva representada por la función.

La razón de cambio instantánea de la función.

18

Reglas de derivación Monomio

d ( x n )  n x n 1 dx

c = Constante

d (c)  0 dx

Producto de constante por una función Suma de funciones

Producto de funciones Cociente de funciones

d  c f ( x)   c d  f ( x) dx dx d  f ( x)  g ( x)  h( x)  d  f ( x)  d g ( x)  d h( x) dx dx dx dx

d  f ( x) . g ( x)    d f ( x)  . g ( x)  f ( x) .  d g ( x)  dx  dx   dx  d  d  f ( x)  . g ( x)  f ( x) .  g ( x)   d  f ( x)  dx   dx      2 g ( x) dx  g ( x) 

19

Función logarítmica

Función exponencial

d 1 ( ln x )  dx x

d 1 ( log a x )  dx  ln a  x

d 1 ln ux   ux  dx u x  d x d x x x a  a ln a e e   dx dx

 

 

d ux e  eu  x ux  dx Funciones trigonométricas

d d  sen x   cos x dx cos x   sen x dx d 2 tan x  sec x   dx 20 20

Funciones trigonométricas

Regla de la potencia

d sen ux   ux cos ux  dx d cos ux   ux sen ux  dx d n n 1 ux   nux  ux  dx

21

Recta Tangente Sea la función y  f  x  . La ecuación de la recta tangente a la curva de

f en el punto P  x0 ; y0  está dada por :

y  y0  mt  x  x0  Donde la pendiente de la recta tangente es:

mt  f   x0 

22

Semana 4 Cálculo II 2020-2 Unidad II: Derivadas de funciones

Teoría

UNIDAD DE APRENDIZAJE II: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y REPASO DE DERIVADAS RESULTADOS DE APRENDIZAJE: i)Identifica las características que definen a las funciones trigonométricas. ii)Resuelve situaciones problemáticas, haciendo uso de las funciones trigonométricas. iii)Calcula las derivadas de las funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y funciones paramétricas, haciendo uso de las reglas de derivación. CONTENIDO: 2.3 Derivadas 2.3.1 Funciones trigonométricas. 2.3.2 Funciones trigonométricas inversas. 2.3.3 Función paramétricas.

Derivadas de Funciones Trigonométricas d  senx   cos x dx

d  cot x  2   csc x dx

d  cos x    senx dx

d  sec x   sec x tan x dx

d  tan x   sec2 x dx

d  csc x    csc x cot x dx

3

Sea la función u  x  : d  senu  x   dx d  cos u  x   dx d  tan u  x   dx

 u  x  cos u  x   u  x  senu  x  2   u  x  sec u  x 

4

Ejemplos: Halle las derivadas de las siguientes funciones: 2 f x  sen 3 x   1.   2. f  x   tan  a x  3. f  x   x cos

  x3

4. f  x   4 sen3  5x3 

5

Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa de la función seno. El arcoseno de un número es el ángulo cuyo seno es dicho número. El arcoseno de x se denota: arcsen  x  o sen1  x 

De manera análoga se definen el arcocoseno, el arcotangente y las demás funciones trigonométricas inversas. 6

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son: d  arcsen x  1  dx 1  x2 d  arccos x  1  dx 1  x2

d  arc tan x  1  2 dx 1 x

7

Sea la función u  x  : d  arcsenu  x   dx d  arccos u  x   dx d  arctan u  x   dx





u  x  1 u2  x u  x  1 u2  x

u  x   1 u2  x

8

Ejemplos: Halle las derivadas de las siguientes funciones: 1. f  x   arcsen x

 

2 f x  x arctan 2.  

3. f  x   ln



 x

arcsen x



arccos  2x  4. f  x   x 9

Ecuaciones paramétricas A menudo las coordenadas x e y de un punto pertenecientes una curva se expresan como funciones de una tercera variable t, llamada parámetro, en la forma:

 x  f (t ) C   y  g (t )

t0  t  t1

 x  t 2  2t C   y  t 1

Ejemplo 1:

2t  4 t=4

y 

t=3 

t=2





t=1



t=0 

x 

















t = -1 t = -2

 x  t 2  2t C   y  t 1

2t  4

t  y 1

Efectivamente, de la segunda ecuación:

Reemplazando esta relación en la primera ecuación:

x  t  2t   y  1  2 y  1  y  4 y  3 2

2

2

que corresponde a la ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje x. Obviamente: 2t  4

1  t 1  5 1  y  5

 x  cos t C   y  sen t

Ejemplo 2:

0  t  2

y 

x 





 x  cos t C   y  sen t

0  t  2

Es posible encontrar en forma directa la relación entre las variables x e y:

cos 2 t  sen 2t  1

x2  y 2  1

que corresponde a la ecuación del círculo unitario.

Ejemplo 3:

 x  sen t C  2 y  sen t 

Se puede observar que la relación entre las dos variables es (x; x2); es decir: y = x2 y



x 



Pero el valor de y se encuentra acotado en el intervalo [0; 1]

Derivación de ecuaciones paramétricas Para derivar las ecuaciones paramétricas hacemos uso de la regla de la cadena: dy dy dt  y  dx dt dx |

El segundo término del segundo miembro lo podemos escribir: dy d g( t ) dy g| ( t ) dt dt | y    | d x d dx f (t) f ( t ) dt dt

Ejemplo 1 Para la curva:

 x  t2  t  3 C  3 2 y  t  2 t  3t  1 

a) Hallar dy/dx b) Determinar la ecuación de la tangente en el punto para el cual t = 1

Rptas:

dy 3t 2  4t  3 a) y   dx 2t  1 |

b) y 

10 29 x 3 3

Derivada paramétrica de segundo orden 2 d y d  dy  || y     2 dx  dx  dx  dy      2 dy d  dt  d  y||    2 dx  dx  dt  dx  dt     

dy dt dx dt

  d  d y  d x d y       2   d t  d t  d t dt dy || y    2 2 dx  dx       dt  

   dt  dx  

 d  dx   d t  d t

     d t   dx  

  2  dy || y    2 dx       d2 y || y  2   dx   

2 d y y||  2  dx

 d  dy   dt  dt

 d x d y   dt  d t 2  dx     dt 

 d  dx   d t  dt

     d t   dx  

d x d2 y d y d2 x   2 dt dt d t d t2  1  dx 2  dx      dt d t   

d x d2 y d y d2 x  2 dt dt d t d t2  dx     dt 

3



f | ( t ) g| |( t )  g| ( t ) f | |( t )

 f ( t ) |

3

Afortunadamente no necesitamos aprendernos ninguna fórmula, que no entendamos. Bastará con aplicar la regla de la cadena: y| 

dy dy dt  dx dt dx

Ejemplo: Hallar y||| si:

x  t 3 C  3 y  t 1  2

d3y 3 Rpta :  3 3 dx 8t

Semana 5 Cálculo II 2020-2 Unidad III: Derivadas Parciales para funciones de varias variables

Teoría

UNIDAD DE APRENDIZAJE III: DERIVADAS PARCIALES PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES RESULTADOS DE APRENDIZAJE: i. Calcula las derivadas parciales de funciones de varias variables, usando las reglas de derivación, la regla de la cadena y la derivación parcial implícita. ii. Identifica el concepto de diferencial de una función de varias variables y lo aplica para estimar cambios de funciones en problemas de aplicación. iii. Identifica una función homogénea y lo aplica en el Teorema de Euler. iv. Resuelve problemas de optimización, en contextos vinculados a la administración, ingeniería y economía; aplicando las derivadas parciales. v. Modela funciones usando el método de los mínimos cuadrados. CONTENIDO: 3.1 Funciones de varias variables. Notación. 3.2 Cálculo de derivadas parciales. 3.3 El diferencial total. Incrementos y diferenciales. 3.4 Regla de la cadena. 3.5 Aplicaciones.

Funciones de varias variables Hasta ahora hemos trabajado con funciones que tenían una sola variable independiente; sin embargo, la descripción de muchos fenómenos exige considerar varias variables independientes. Ejemplos:

• El costo de producir un artículo depende del precio del material, la mano de obra, la maquinaria, el costo de mantenimiento. 3

• La oferta y demanda de un producto depende de su precio y puede estar influenciada por el precio de productos competidores; así como también, del ingreso de los consumidores potenciales. •La producción de una empresa depende del capital invertido y del tamaño de la fuerza laboral. • El pago mensual de un préstamo bancario depende de la

tasa de interés, del tiempo pactado y del número de cuotas fijadas.

4

Definición Una función f de variables independientes x e y es una regla que asigna a cada par ordenado (x ; y) de números reales, en algún conjunto dado D, uno y sólo un número real representado por f (x; y).

El dominio de la función f es el conjunto de todos los pares ordenados (x; y) de números reales para los que puede calcularse f (x; y).

5

Las funciones reales de variable real(una sola variable): [ f:R  R] tiene por notación y = f (x) Las funciones de la forma f : R2  R , son funciones con dos variables independientes z = f (x, y) Las funciones de la forma f : R3  R , son funciones

con tres variables independientes w = f (x, y, z)

6

En general una función f de la forma

f : Rn  Rm ,

nos

indica una función de n variables, cuya imagen tiene m variables (función vectorial de variable vectorial): f(x1,x2 ,x3 ,.....,xn )  (y1,y2,y3 ,....,ym )

7

Ejemplo 1 Para cada una de las funciones:

f ( x; y )  g ( x; y ) 

x 1  2

y

x2  y2  4

 9  x2  y2

a. Halle el dominio

 Domg   x; y   R



Rpta : Dom f   x; y   R 2 / x  1  y  0 2

b. Calcule f (5; 4) y g (3; 0)

Rpta : f 5;4  4



/ 4  x2  y 2  9

g 3;0 

2 5

Ejemplo 2 Sea: f x; y   2 x  x 2 y 3

Obtenga los valores de f 1;0, f 0;1, f  2;3, f a  1; b Rpta : f 1;0  2, f 0;1  0, f  2;3  104 f a  1; b   2a  1  a  1 b3 2

Ejemplo 3

Una empresa está dedicada a la fabricación de dos modelos de zapatillas: el clásico y el moderno. Las demandas son respectivamente: q1 = 300  20p1 + 30p2 q2 = 200 + 40p1  10p2 donde p1 y p2 representan los precios unitarios de venta de los modelos clásico y moderno. En la actualidad, el costo del modelo clásico es 50 dólares por unidad y del moderno es 75 dólares por unidad.

10

a) Hallar una expresión que defina el ingreso total por la venta de estos dos modelos de zapatillas, en términos de los precios p1 y p2. b) Determine una expresión que permita la obtención de la utilidad total. Respuesta: a) I(p1, p2) = – 20p12 + 300p1 + 70p1p2 – 10p22 + 200p2 b) U(p1, p2) = – 20p12 – 1700p1 + 70p1p2 – 10p22 – 550p2 – 30 000

11

Derivadas Parciales Sea la función z = f (x; y).

i) La derivada parcial de f respecto de x, se denota mediante:

z x

o

f x ( x, y )

y es la función obtenida mediante derivación de f respecto de x, considerando a y como si se tratara de una constante.

12

ii) La derivada parcial de f respecto de y, se denota mediante:

z y

o

f y ( x, y )

y es la función obtenida mediante derivación de f respecto de y, si x se mantiene constante.

13

Ejemplo 1 Sea la función:

f (x, y) = 3x5  x2y4 + 2y8

Hallar las derivadas parciales fx y fy

Rpta : f x x, y   15x 4  2 xy 4

f y x, y   4 x 2 y 3  16 y 7

14

Ejemplo 2 Hallar las derivadas parciales de la función:

3x 2 2 y 3 f ( x, y )   4 y x 6 x 8 y3 Rpta: f x  x, y    5 y x

3x 2 6 y 2 f y  x, y    2  4 y x

15

Análisis Marginal En economía el término “análisis marginal” se refiere a usar la derivada para estimar el cambio de valor de una función, como resultado de aumentar en una unidad una de sus variables. Extenderemos este concepto, usado en derivadas con una sola variable, a funciones de dos variables independientes.

16

Productividad marginal La producción total (P) de un artículo en una empresa depende de un gran número de factores, siendo los más importantes: 1. La cantidad de mano de obra empleada por la empresa (L)

2. El monto del capital invertido en maquinaria, edificios (K) Entonces la producción total es función de L y K: P = f (L, K) 17

La productividad marginal de la mano de obra es P L mide, aproximadamente, el cambio en la producción si la inversión de capital se mantiene fija y la mano de obra aumenta en una unidad.

La productividad marginal del capital es

P K mide, aproximadamente, el cambio en la producción si el tamaño de la fuerza laboral se mantiene fijo y la mano de obra aumenta en una unidad

18

Ejemplo 1 La función de productividad de una empresa está dada por: P = 5L+ 2L2 + 3LK + 8K + 3K2 Donde: P producción semanal en miles de unidades L es la mano de obra (medida en miles de horashombre/semana) K monto del capital invertido (medido en miles de $/semana) Determinar las productividades marginales cuando la mano de obra es 5 000 horas-hombre/semana y el capital invertido alcanza $12 000/semana. Interprete sus resultados 19

El diferencial total Recordemos el diferencial para y = f (x)

Si y = f (x) es una función diferenciable, entonces se define el diferencial de y como:

dy  f ' ( x)dx Así mismo, para un pequeño cambio x, consideramos que el cambio y producido es:

y  f ' ( x)x

Si z = f (x; y) es una función diferenciable tanto en x como en y, entonces se define el diferencial total de z como:

z z dz  dx  dy x y Así mismo, pequeños cambios en x y en y originan un cambio en z que se aproxima mediante la siguiente fórmula:

z z z  x  y x y

Ejemplo 1 Hallar los diferenciales de las siguientes funciones: a)

z = ax3 + bxy5 – cy4 dz  (3ax2  by5 ) dx  (5bxy 4  4cy3 ) dy

b)

z

ax2  by2

dz 

ax ax  by 2

2

dx 

by ax  by 2

2

dy

Ejemplo 2 Calcular la variación real y la aproximada para: z = 2x2 + 3y3 Al pasar de (10, 8) a (10.2, 7.7)

Rpta : z  158,32 z  dz  164,8

Regla de la cadena Para funciones de una variable Sean las funciones: y = f(u) , u = g(x), Donde también existen las derivadas de y y de u; debiendo recordar que cada función sólo se puede derivar respecto a su propia variable independiente; entonces tendremos: dy du y du dx La función compuesta está definida por: y  (f  g)( x)  f (g( x))

la derivada de y con respecto a x es: d y d y du  . d x du d x 24

Caso 1: Una sola variable independiente Supongamos que z = f(x, y) es una función diferenciable de x y de y, donde x = Φ(t) e y = Ψ(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable en t y se cumple que:

dz  z dx  z dy (DerivadaTotal)   dt  x dt  y dt Veamos como podemos deducir esta fórmula con la ayuda del “Diagrama del árbol” (mapa de variables)

25

Caso 1

 x

x

z

 y

dz  z dx  z dy  + dt  x dt  y dt

y

d dt

d dt

t

t

26

Caso 1 ( General) Suponga que z es una función derivable en n variables: x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:

dz  z dx 1  z dx 2  z dx 3  z dx n     ...  dt  x 1 dt  x 2 dt  x 3 dt  x n dt

27

Caso 2: Varias variables independientes Supongamos que z = f(u,v) es una función derivable en variables x e y, donde u = φ (x, y) y v = ψ (x, y) las derivadas parciales de φ y ψ existen . Entonces:

las y

z z u z v   x u x v x

z z u z v   y u y v y 28

Caso 2 (Diagrama del árbol)

z

 u

 x

x

 v

u

 x

y

z z u  + x u x

v

x

y z v v x 29

Caso 2

z

 u

u

x

 v

v

 y

y

x

 y

y

z z u z v  + y u y v y 30

Ejemplo 1 Si u = xyzw, x = r2 + s, y = r – s, z = rs, w = r2/s.

Halle ur en (r; s) = (2; 1) Rpta: ur(2; 1) = 132 Ejemplo 2 Si:z  (u) (v ) donde Halle: x z  y z x y Rpta : x  y ψuδv 

u x  y  vy/x

Ejemplo 3 Un almacén de pinturas vende dos marcas de pintura látex. Las cifras de venta indican que si la primera marca se vende en x dólares el galón y la segunda marca, en y dólares el galón, la demanda mensual de la primera marca será Q(x,y) = 200 – 10x2 + 20y galones. Se calcula que dentro de t meses, el precio de la primera marca será x = 5 + 0,02t dólares el galón y el precio de la segunda marca será y  6  0,4 t dólares el galón. ¿Con qué razón cambiará la demanda de la primera marca con respecto al tiempo dentro de 25 meses? Rpta: la demanda de la primera marca de pintura se reducirá a razón de 1,4 galones por mes. 32

Semana 7 CÁLCULO II

2020-2 Unidad III: Derivadas Parciales para funciones de varias variables (Teoría)

UNIDAD DE APRENDIZAJE III: DERIVADAS PARCIALES PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES RESULTADOS DE APRENDIZAJE: i. Calcula las derivadas parciales de funciones de varias variables, usando las reglas de derivación, la regla de la cadena y la derivación parcial implícita. ii. Identifica el concepto de diferencial de una función de varias variables y lo aplica para estimar cambios de funciones en aplicaciones. iii. Identifica una función homogénea y lo aplica en el Teorema de Euler. iv. Resuelve problemas de optimización, en contextos vinculados a la administración, ingeniería y economía; aplicando las derivadas parciales. v. Modela funciones usando el método de los mínimos cuadrados. CONTENIDO: 3.9 Valores extremos de una función de varias variables. 3.10 Aplicaciones. 3.11 Curva de mínimos cuadrados. 3.12 Aplicaciones. 3.13 Valores extremos de una función de dos variables con una restricción de igualdad. El Hessianno Orlado. 3.14 Aplicaciones.

Optimización de funciones de varias variables Extremos Relativos • La función z = f(x,y) tiene un máximo relativo en el punto P(x0,y0) que pertenece al dominio, si f(x0,y0) ≥ f(x,y) para todos los puntos (x, y) que estén suficientemente cercanos a P. • La función z = f(x,y) tiene un mínimo relativo en el punto P(x0,y0) que pertenece al dominio, si f(x0,y0) ≤ f(x,y) para todos los puntos (x, y) que estén suficientemente cercanos a P.

Condición necesaria de extremo relativo Si la función z = f(x,y) tiene un extremo relativo en el punto P(x0,y0), entonces es necesario que:

 f x (x0 , y0 ) = 0   f y (x0 , y0 ) = 0

Punto crítico Sea z = f(x,y) una función. El punto P(x0,y0), se llama punto crítico de f si:

f x (x0 , y0 ) = 0  f y (x0 , y0 ) = 0 Nota: Si (x0,y0) es un punto crítico de la función, no implica necesariamente que la imagen f(x0,y0) sea un extremo relativo.

Ejemplo 1: Halle los puntos críticos de: z = x2y – 4x – 4y Rpta: (2; 1), (-2;-1)

Criterio para hallar un extremo relativo Definición: Sea z = f(x,y)

f xx H = f yx a)

b)

f xy   f yy 

Se denomina matriz Hessiana de la función f.

f xx H 2 (x, y ) = f yx H1 (x, y ) = f xx

f xy f yy

Se denomina determinante Hessiano de orden 2. Se denomina determinante Hessiano de orden 1.

Condición suficiente de segundo orden: Sea z = f(x,y) una función que verifica la condición necesaria de primer orden en el punto (x0, y0); entonces: 1) Si H 1 ( x 0 , y 0 )  0  H 2 ( x 0 , y 0 )  0  f ( x 0 , y 0 ) es un máximo relativo.

2 ) Si H 1 ( x 0 , y 0 )  0  H 2 ( x 0 , y 0 )  0  f ( x 0 , y 0 ) es un mínimo relativo.

3) H 2 (x 0 , y 0 )  0

 ( x 0 , y 0 ) es un punto de silla (no existe extremo relativo)

Ejemplo 1: Encuentre los extremos relativos de la función:

f (x, y ) = 2 x + y − 4 x − 2 y 4

4

Rpta: Máximo relativo: f(0,0) = 0 Mínimos relativos: f(1,1) = -3; f(1,-1) = -3; f(-1,1) = -3; f(-1,-1) = -3 Puntos de silla: (1,0); (0,-1); (-1,0); (0,1)

2

2

Curva de Mínimos Cuadrados En nuestra vida profesional lo que se nos a presentar, con frecuencia, es como partiendo de un conjunto de datos, consistente en un conjunto de n puntos que muestran los valores de las variables a estudiar: (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4)……(xn,yn) podamos determinar una función y = f(x) que se “ajuste” razonablemente bien a los datos. Lo primero que tenemos que hacer es graficar estos puntos: (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4)……(xn,yn), en un sistema de coordenadas cartesianas. A este gráfico se le llama diagrama de dispersión.

Aproximadamente lineal

Aproximadamente exponencial

Con el diagrama de dispersión ya es posible trazar una curva que se aproxime a los datos graficados. A dicha curva se le llama “curva de aproximación”.

El problema que realmente se presenta es el de buscar la ecuación de la curva de aproximación que mejor se ajuste al conjunto de datos, a esto se le llama curva de ajuste.

El método de los mínimos cuadrados nos permitirá obtener la curva que se ajusta, con el menor error posible, al conjunto de datos (x,y). Utilizaremos el cálculo diferencial en dos variables para minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los datos a la curva. Una vez encontrada la ecuación de la recta es importante recalcar el carácter predictivo del método.

Sean: (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4) …… (xn,yn), el conjunto de datos. Digamos que: yrecta =mxi+ b es la ecuación de esa recta Y

(x4,y4) d4 (x1,y1)

d3

d1 d2

(x3,y3)

(x2,y2) X

Definimos la desviación o error (di) a la diferencia vertical entre el valor real (dato) y el valor ajustado di = (mxi + b) − yi (sobre la recta):

La suma de los cuadrados de los errores será: S(m, b) = d12 + d22 + d32 + d42 + ... + dn2

S(m, b) = (mx1+b−y1)² + (mx2+b−y2)² + (mx3+b−y3)2 + …+ (mxn+b−yn)² Que es una función en las variables m y b; luego, S será mínima resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las primeras derivadas parciales respecto a m y b.

S =0 m

S =0 b

Derivando S con respecto a “m”: S = 0 =2(mx +b−y )x + 2(mx +b−y )x + 2(mx +b−y )x + ... + 2(mx +b−y )x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n m 0 = (mx1+b−y1)x1 + (mx2+b−y2)x2 + (mx3+b−y3)x3 +... + (mxn+b−yn)xn

Derivando S con respecto a “b”: S = 0 = 2(mx1+b−y1) + 2(mx2+b−y2) + 2(mx3+b−y3)+...+ + 2(mxn+b−yn) b 0 = (mx1+b−y1) + (mx2+b−y2) + (mx3+b−y3) +...+ (mxn+b−yn)

Ejemplo 1 a) Para los puntos: (1,1), (2,3) y (4,3) halle la ecuación de la recta de mínimos cuadrados. b) Proyecte que valor tomará y cuando x valga 5. xi yi yrecta= mx + b

d = y − yi

1

2

4

1

3

3

m(1) + b = m +b

m(2) + b = 2m + b

m(4) + b = 4m + b

m +b − 1

2m + b − 3

4m + b − 3

Función suma de cuadrados de las diferencias verticales: S(m, b) = (m +b − 1)2 + (2m + b − 3)2 + (4m + b − 3)2

1)  S = 0 = 2(m +b − 1)(1) + 2(2m + b − 3)(2) + 2(4m + b − 3)(4) m 0 = (m +b − 1) + (2m + b − 3)(2) + (4m + b − 3)(4) 0 = 21m + 7b −19 2)

S = 0 = 2(m +b − 1)(1) + 2(2m + b − 3)(1) + 2(4m + b − 3)(1) b 0 = 7m +3b − 7 Luego, el sistema será: 0 = 21m + 7b −19 0 = 7m +3b − 7

m = 4/7 b=1

a) Por lo tanto la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos será:

y= b) Para x = 5

4 x +1 7

 y(5) = 3,86

Optimización de una función con una restricción de igualdad En muchas aplicaciones reales la función a optimizar, sea costo, ingreso o utilidad, se encuentra sujeta a una restricción o condición de sus variables. Sea:  (x, y ) = b

la curva de restricción.

Se define la llamada función de Lagrange:

 (x, y,  ) = f (x, y ) +  ( b −  (x, y )) Donde  es una constante indeterminada llamada “multiplicador de Lagrange”

Las condiciones necesarias para que exista un extremo relativo se reducen a resolver el sistema:

  f   x = x −  x = 0     f − =0  = y  y y    = b −  ( x, y ) = 0  

Criterio de las Segundas Derivadas Parciales (2das D.P.) para la comprobación de la existencia de los valores extremos de la función: el Hessiano Orlado

El Hessiano Orlado:

~ H

0

x

y

y

 xx  xy

 xy  yy

~ H = x

Criterio a evaluar:

Si:

~ i) H

( a ,b )

 0   Vmáx restringido = f (a, b)

~ ii ) H

( a ,b )

 0   Vmín restringido = f (a, b)

Ejemplo 1 Hallar los valores máximos y mínimos de la función: f(x,y)= 2x2 + y2 sujeta a la restricción:

x+y=1

Ejemplo 1 Hallar los valores máximos y mínimos de la función: f(x,y)= 2x2 + y2 sujeta a la restricción:

x+y=1

Ejemplo 2 La función utilidad de una empresa de confecciones es: U(x, y) = 200x + 400y – 2x2 – 2.5y2 donde x e y son respectivamente la cantidad de polos y pantalones que produce. Suponiendo que la empresa dispone de $4200 para la producción diaria y que los precios de costo de x e y son 40 y 50 dólares respectivamente. Determinar las cantidades de x e y que maximicen la función utilidad. Compruebe y ¿cuál será la utilidad máxima?

(x, y) = (30, 60) Umáx = $19 200 27

Semana 6 CÁLCULO II

2020-2 Unidad III: Derivadas Parciales para funciones de varias variables (Teoría)

UNIDAD DE APRENDIZAJE III: DERIVADAS PARCIALES PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES RESULTADOS DE APRENDIZAJE:

i. Calcula las derivadas parciales de funciones de varias variables, usando las reglas de derivación, la regla de la cadena y la derivación parcial implícita. ii. Identifica el concepto de diferencial de una función de varias variables y lo aplica para estimar cambios de funciones en problemas de aplicación. iii. Identifica una función homogénea y lo aplica en el Teorema de Euler. iv. Resuelve problemas de optimización, en contextos vinculados a la administración, ingeniería y economía; aplicando las derivadas parciales. v. Modela funciones usando el método de los mínimos cuadrados. CONTENIDO:

3.6 Derivación parcial implícita. 3.7 Funciones Homogéneas. Teorema de Euler. 3.8 Derivadas parciales de orden superior.

Derivación Parcial Implícita Caso I: Una variable independiente w = F (x, y) = 0

/ y = f(x)

x W y

x

3

Aplicando la regla de la cadena: dw  w  w dy = + dx  x  y dx w w 0= + x y

 dy     dx 

w dy x  =− w dx y

4

Ejemplo 1

Hallar yl en:

y4 +3y – 4x3 = 5x + 1 dy − 12 x 2 − 5 =− dx 4 y3 + 3

5

Caso II: Varias variables independientes F(x,y,z) = 0 / z = f(x,y) F z x = − = zx F x z

F z y = − = zy F y z

6

Demostración: Con z = f (x, y): F(x, y, f (x, y)) Derivando con respecto a x: 0 F x F y F z + + =0 x x y x z x

y es una variable independiente F F z + =0 x z x

F z = − x F x z

7

Demostración: Derivando con respecto a y: 0 F x F y F z + + =0 x y y y z y

x es una variable independiente F F z + =0 y z y

F z y =− F y z

8

Ejemplo 2

x2y2 + x3z5 +yz3 = x4 – y6 Halle zx , zy 2 x y + 3x z − 4 x zx = − 5x3 z 4 + 3 y z 2 2

2 5

3

2x2 y + z3 + 6 y5 zy = − 3 4 2 5x z + 3 y z 9

Ejemplo 3 Una función de costos está definida en forma implícita por la ecuación: 2 c + c = 12 + q A 9 + qB en donde c denota el costo total (en dólares) de producir qA unidades del producto A y qB unidades del producto B. Determina los costos marginales con respecto a qA y qB, cuando qA = 6 y qB = 4.

Funciones Homogéneas La función z = f(x, y) es homogénea de grado n, si para cualquier valor real k se verifica:

f (kx, ky) = kn f(x, y)

11

Ejemplo 1 ¿Es la función f(x, y) = x3 – 2xy2 – 5y3 homogénea?

f(kx, ky) = (kx)3 – 2(kx)(ky)2 – 5(ky)3 f(kx, ky) = k3x3 – 2kxk2y2 – 5k3y3 f(kx, ky) = k3 (x3 – 2xy2 – 5y3) f(kx, ky) = k3 f(x, y) Grado de homogeneidad:

n=3

12

Teorema de Euler Para toda función homogénea diferenciable de grado n se verifica:

z z x + y = n f ( x, y ) x y

13

Ejemplo 1 Comprobar el teorema de Euler si: f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 z = 2Ax + 2By x

 x

z = 2Bx + 2Cy y

z  y = 2Bxy + 2Cy2 y x

z = 2Ax2 + 2Bxy x

+

z z +y = 2Ax2 + 4Bxy + 2Cy2 x x

z z x +y = 2 f ( x, y ) x x 14

Derivadas Parciales de Orden Superior Sea: z = f(x,y) Las primeras derivadas parciales son: f = fx x

f = fy y

Las segundas derivadas parciales son:

  f   2 f   = 2 = f x x xx x 2  f    f = = fx y    y  x  y x

  f   2 f   = = fyx  x   y   x y

  f   2 f   = 2 = f y y  y y  y

Las D.P. cruzadas o mixtas son iguales

Las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores se definen de manera semejante. Por ejemplo: 3 f   2 f   2  = f x x x = 3 x xx  3 f   2 f    = f x x y = y x x  y  x x 

Ejemplo 1 Obtener las segundas derivadas parciales para: z = x3y2 – 3x2y4 + 3y5  z 2 4 = 6 xy − 6 y x 2

 2z 3 2 2 3 = 2 x − 36 x y + 60 y  y2

 2z = 6x 2 y − 24xy 3 yx

 2z = 6x 2 y − 24xy 3 xy

2

Ejemplo 2 Hallar

 2z  2z  2z E= −2 + 2 x  x y  y 2

z=c

 E = abc   

x2 y2 + 2 2 a b

  2 2 2 2 3  b x +a y 

(

(x + y )2

)

si :

Cálculo II 2019-1

EXAMEN PARCIAL CÁLCULO II Instrucciones:     

El uso de útiles es personal. No se permite el uso de ningún tipo de apuntes. Si desea puede usar lápiz y borrador líquido, pero no se aceptarán reclamos en ninguna respuesta en que se hayan usado estos. Las soluciones que no estén debidamente justificadas, se les asignará puntaje cero. Duración: 120 minutos Fecha: 13/05/2019

1. Una empresa elabora vinos de tres calidades, siendo sus costos de producción por litro de S/20, S/32 y S/45 respectivamente y sus precios de venta por litro son S/30, S/45 y S/60. El último mes al transportar los productos ocurre un accidente, por lo cual se pierde el 30% de la producción del primer tipo de vino, el 20% del segundo tipo y el 10% del tercer tipo. El costo total de producción dicho mes fue S/116 400 y su ingreso, de ese mes, fue de tan solo S/127 800. Si la producción del primer tipo de vino debe ser siempre superior a 3800 litros, determine cuántos litros de cada tipo se han producido el último mes, muestre todas las soluciones posibles. (3,5 ptos.)

w

2. Dada la función: calcule el valor de

w w w xy , halle y en su forma simplificada y luego , z z x  z x y

Ex

w w w y z . x y z

(3,0 ptos.)

3. Una firma ensambla y vende un determinado producto. La firma utiliza como insumos A y B en cantidades x e y , respectivamente. Sus funciones producción y costo semanal vienen dadas, respectivamente, por Q( x; y)  7 x 2 +7y2 +6xy y por C ( x; y)  4 x3 +4y3 . Si cada unidad producida se vende a 3 soles, determine cuánto se debe utilizar de A y B para maximizar la utilidad. Indique también la cantidad de unidades que se venderá en este caso. Compruebe. (3,5 ptos.) 4. Cuando una empresa emplea x unidades de mano de obra e y unidades de capital, puede elaborar Q unidades de su producto, de acuerdo a la función

Q( x, y)  50 x 3 y 2

1 3

. A la empresa le cuesta $ 100 cada unidad de mano de obra y $ 300 cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $ 45 000 para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar para optimizar su producción. Compruebe que se trata de un valor máximo. (3.5 ptos.) 2 2 5. Dada la función de producción Q  K , L   L  KL  K  L determine el grado de

homogeneidad y compruebe el teorema de Euler.

(3,0 ptos.)

Continúa…

Cálculo II 2019-1

6. Dadas las funciones z  f  x, y  , x  au 2  bv 2 , y  au 2  bv 2 :





a) Determine el valor de la constante k , si uzu  vzv  k xz x  yz y .

(1,5 ptos.)

b) Halle zuu y zvv en términos de las derivadas parciales de primer y segundo orden de z con respecto a las variables x e y. (2,0 ptos.)

Cálculo II 2019-2

EXAMEN PARCIAL CÁLCULO II Instrucciones:     

El uso de útiles es personal. No se permite el uso de ningún tipo de apuntes. Si desea puede usar lápiz y borrador líquido, pero no se aceptarán reclamos en ninguna respuesta en que se hayan usado estos. Las soluciones que no estén debidamente justificadas, se les asignará puntaje cero. Duración: 120 minutos Fecha: 07/10/2019

1. Experimentos han demostrado que los autos, camiones y buses emiten principalmente dos contaminantes: dióxido de carbono (CO2) y monóxido de Nitrógeno (NO). Un auto emite 0,4 libras de CO2 y 1,5 gramos de NO por km recorrido; un camión emite 1,5 libras de CO2 y 0,4 gramos de NO por km recorrido; un bus emite 1,1 libras de CO2y 0,8 gramos de NO por km recorrido. Una empresa cuenta con 20 vehículos, entre autos, camiones y buses. Todos estos vehículos emiten en conjunto 21 libras de CO2 y 17 gramos de NO por km recorrido. ¿Cuántos vehículos de cada tipo tiene la empresa? (3,5 ptos.) 2. En Japón viene jugándose el mundial de rugby (RWC 2019), evento que se realiza cada cuatro años. Con ocasión del evento, un fabricante de pelotas ha desarrollado un modelo de beneficios B , en miles de dólares, que depende del número x de pelotas de rugby vendidas por mes (medido en miles), y el número de horas por mes y invertidas en publicidad. Según este modelo:

B( x; y)  48x  96 y  x 2  2 xy  9 y 2 , siendo el costo de producción de cada millar de pelotas de 20 mil dólares, y de 4 mil dólares el costo de cada hora de publicidad. Encuentre el máximo beneficio que puede obtener el fabricante, si dispone de 216 mil dólares para invertir en la producción y publicidad. Compruebe. (3,5 ptos.)

 x  r cos   y  r sen 

3. Sea z  f  x ; y  donde 

es decir tanto x como y son funciones de r y .

1  z   z  E     2  r     r  2

Determine el valor de:

2

(3,5 ptos.)

4. El dinamismo que el sector minero mostró en las últimas dos décadas se ha visto frenado en los últimos tiempos, en parte por la impericia del gobierno para afrontar los conflictos del sector, pero también por una coyuntura mundial de disminución de los precios de los minerales. El caso del cobre es particularmente influyente para la economía peruana. Su precio internacional (en centavos de dólar por libra) este año ha sido de 292 en abril, 275 en mayo, 270 en junio y julio, y 258 en agosto. a) Mediante un ajuste lineal, encuentre una expresión para el precio internacional del cobre. (2,0 ptos.) b) Si la tendencia se mantiene, ¿cuándo se alcanzará un precio menor o igual a los 200 centavos de dólar? (1,0 pto.) Continúa…

Cálculo II 2019-2

2  u  f (ax )  g (by) 5. a) Sea z  f  u ; v  tal que  . Determine: z x 2 v  f ( bx ). g ( ay )  

(2.0 ptos.)

b) En una empresa la cantidad de artículos producidos P depende de la cantidad de mano de obra L y de la inversión de capital K , mediante una función de productividad de grado de homogeneidad 1,5. Se emplean semanalmente 720 horas-hombre de mano de obra y se invierte un capital de 12 000 dólares. Si las productividades marginales de mano de obra y de capital son, respectivamente 15 unidades por hora hombre y 6 unidades por dólar, determine la producción semanal. (2,0 ptos.) c) Sea: f ( x, y)  x  y  x y , determine: x

y

y

x

f f y x y

(2,5 ptos.)

Cálculo II 2020-0

EXAMEN PARCIAL CÁLCULO II Instrucciones:     

El uso de útiles es personal. No se permite el uso de ningún tipo de apuntes. Si desea puede usar lápiz y borrador líquido, pero no se aceptarán reclamos en ninguna respuesta en que se hayan usado estos. Las soluciones que no estén debidamente justificadas, se les asignará puntaje cero. Duración: 120 minutos Fecha: 31/01/2020

1. Una empresa de transportes, por motivo de renovación de flota, debe adquirir 70 autobuses de tres tipos: el primero con capacidad de 35 personas, el segundo de 25 personas y el tercero de 15 personas; siendo los costos por unidad son $45 000, $30 000 y $15 000 respectivamente. Al trabajar a su máxima capacidad, la empresa debe transportar 1 450 pasajeros, asumir una inversión total de $1 650 000 y adquirir, como mínimo, 10 autobuses de cada tipo. a) Determine las cantidades de autobuses de cada tipo que debe adquirir la empresa. De todas las posibles soluciones. (2.5 ptos.) b) Si cada autobús se alquila diariamente a $ 200, $ 150 y $ 120 respectivamente, ¿cuántos autobuses de cada tipo debe adquirir para que su ingreso sea el mayor posible? (1.0 pto.) 2. La función de costos conjuntos para producir q A unidades del producto A y qB unidades

q A 2 qB 3  q A del producto B está dado por: C  q A , qB    q A 3 qB  800 , en dólares. Evalúe 15 el costo marginal respecto a q A y respecto a qB cuando qA  16 y qB  10 . (3,5 ptos.) 3. Dada la función f  x, y    x  y  ln  x  y  , halle el valor de M  f xx  2 f xy  f yy . (3.5 ptos.) 4. El volumen de ventas de un artículo depende de su precio p (en dólares) y de la cantidad y que el fabricante gasta en publicidad (en dólares). Las ventas mensuales están dadas



por x  1000 5  p e

0.001 y

 . Actualmente el precio es 5 dólares y el gasto en publicidad

100 dólares; determine la variación porcentual aproximada de las ventas si el precio aumenta aproximadamente en 3% y el gasto en publicidad disminuye aproximadamente en 2%. (3.0 ptos.) 5. a) Si una función f  x, y  es homogénea de grado n, entonces se puede expresar de la 3 8 x 4  xy 3 n  y f x , y  x  . f x , y  , forma      Halle el grado de la función homogénea  x2  y2 x  y exprésela de la forma indicada anteriormente y halle la función    . (2,0 ptos.) x  y n  x n b) Determine si la función f  x, y   x g    y h   es homogénea. Justifique su x  y

respuesta.

(1,5 ptos.) Continua…

Cálculo II 2020-0

6. Sea:

z  f (v, w)

donde:

 v   ( x, y )   w   ( x, y )

2 z Determine: y 2

(3,0 ptos.)