Diseño Avanzado De Elementos De Máquinas: Dr. Jesús Gabino Puente Córdova Agosto – Diciembre 2018

DISEÑO AVANZADO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS Dr. Jesús Gabino Puente Córdova Agosto – Diciembre 2018

TEMARIO ✓Introducción a los esfuerzos de contacto ✓Unidad temática 1 - Cadena de rodillos ✓Unidad temática 2 - Bandas en V ✓Unidad temática 3 - Rodamientos ✓Unidad temática 4 Embragues y frenos ✓Unidad temática 5 Engranes rectos

Evaluación ✓Mapa conceptual de la clasificación de cadenas.

(5%)

✓Síntesis de bandas V. ✓Síntesis de rodamientos. ✓Mapa conceptual de embragues y frenos. ✓Síntesis de engranes de entalladura recta. ✓Examen Medio Curso. ✓Examen Ordinario. ✓Producto Integrador.

Fuentes de consulta Libro: Diseño de elementos de máquinas Autor: Robert L. Mott Ed: Pearson Libro: Diseño en ingeniería mecánica de Shigley Autor: Budynas, Nisbett Ed: Mc Graw Hill Libro:

Diseño de Máquinas

(5%) (5%) (5%) (5%) (25%) (25%) (25%)

Autor: Robert L. Norton Ed: Pearson Libro: Fundamentals of machine elements Autor: Schmid, Hamrock, Jacobson Ed: CRC Press

DISEÑO MECÁNICO

Diseño por resistencia CARGA

Axial

EFECTO

Diseño por rigidez DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS

EJEMPLOS

tensión

- Probetas de ensayos - Cables

compresión

- Columnas cortas

compresión eje neutro tensión

- Vigas y ejes Probetas de ensayo

viga simple

Flexionante

- Raíz de dientes de engranes y catarinas viga voladiza

tensión eje neutro compresión

- Ejes (flechas) - Resortes helicoidales

Torsional corte

Corte directo

Contacto

corte

Varía con la dirección de la fuerza y la profundidad

- Remaches - Tornillos y pernos - Rodamientos de rodillos - Dientes de engranes

Introducción a los esfuerzos de contacto

La Mecánica del contacto estudia el contacto entre cuerpos elásticos, viscoelásticos o plásticos, el cual puede ser dinámico o estático. En ingeniería mecánica es de fundamental Heinrich Hertz, es importancia analizar el contacto considerado el padre de la de las partes de máquinas, para Mecánica del contacto. obtener diseños de sistemas mecánicos seguros y eficientes.

Esfuerzos de contacto Cuando dos cuerpos con superficies curvas se tocan o presionan entre sí, el contacto puntual o lineal cambia a un área de contacto y los esfuerzos que se desarrollan en los dos cuerpos son tridimensionales. Debido a la elasticidad de los cuerpos, éstos se deforman bajo la acción de las cargas, produciéndose

áreas finitas de contacto. Dichas áreas son muy pequeñas (A  0), por lo que aparecen esfuerzos muy grandes (σ  ∞). Por lo tanto, a pesar de que los elementos sometidos a esfuerzos de contacto puedan tener suficiente resistencia mecánica de volumen, tienden a fallar en la pequeña zona de contacto, en donde los esfuerzos son mayores. Esto da origen a la fatiga superficial, por lo cual es importante abordar estos casos.

Las fallas debidas a esfuerzos de contacto (fatiga superficial), se ven como grietas (defectos

microscópicos superficiales), picaduras (fractura y remoción de pequeños trozos de material de la superficie) o descascarado (pérdida de grandes partes de la superficie del material).

Las ecuaciones para determinar los esfuerzos de contacto o esfuerzos hertzianos, son válidas para cargas normales a las superficies de contacto (en reposo). Para casos en los cuales exista deslizamiento o fuerzas tangenciales a la superficie de contacto, se

producen esfuerzos adicionales. Las siguientes son premisas bajo las cuales se plantea la solución de los problemas de contacto en la teoría de la elasticidad: 1. Los materiales de los elementos contiguos son lineales, isotrópicos y homogéneos. 2. El área de contacto es muy pequeña comparada con la superficie de los cuerpos que se tocan. 3. Los esfuerzos efectivos están en dirección normal a la superficie de contacto de ambos cuerpos. 4. Las cargas aplicadas sobre los cuerpos crean en la zona de contacto sólo deformaciones elásticas sujetas a la ley de Hooke (no se sobrepasa el límite de proporcionalidad, es decir, se ignoran posibles deformaciones plásticas).

El contorno de la superficie de contacto es en general una elipse. En casos particulares la superficie de contacto toma forma circular o rectangular.

Los casos más estudiados son: contacto esfera-esfera (huella circular) y contacto cilindro-cilindro (huella rectangular).

Contacto esférico: Cuando dos esferas sólidas con radios 𝑅1 y 𝑅2 se presionan entre sí con una fuerza 𝐹, se obtiene un área circular con un radio 𝑎. Si se designa 𝐸1 y 𝐸2 , como las constantes elásticas

respectivas de las dos esferas (valores del módulo elástico), se obtiene que la presión dentro de cada esfera posee una distribución semi-elipsoidal.

ESFUERZOS DE CONTACTO ESFÉRICO

𝑅

𝑎

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜− 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑜

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜− 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜− 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝐹

𝐹 𝑅1 𝑎 𝑅2

𝐹 𝑅1

𝑅2 𝑎

𝐹 3

1

3

𝐹𝑅

1 1 + 𝐸1 𝐸2

3 𝐹𝑅 𝑅 1 1 1 2 𝑎 = 0.88 + 𝑎 = 0.88𝑎 = 0.88 𝑅1 + 𝑅2 𝐸1 𝐸2

+

𝐹𝑅1𝑅2 1

𝑅 2 − 𝑅1 𝐸 1 𝐸2

3

𝐹 𝐸1 𝐸2 𝑅2 𝐸1 + 𝐸2

2

3

𝐹

𝑝𝑚á𝑥 = 0.616 𝑚á𝑥 = 0.616 3

= 0.616

1 1 𝐹 − 𝑅1 𝑅2

𝑝 𝑝𝑚á𝑥 2

𝐸1 𝐸2 𝐸1 + 𝐸2

2

1 1 + 𝑅1 𝑅2

2

𝐸1 𝐸2 𝐸1 + 𝐸2

2

𝓏𝜏 = 0.48𝑎 𝜏𝑚á𝑥 = 0.31𝑝𝑚á𝑥

𝓏𝜏 = 0.48𝑎

𝓏𝜏 = 0.48𝑎

𝜏𝑚á𝑥 = 0.31𝑝𝑚á𝑥

𝜏𝑚á𝑥 = 0.31𝑝𝑚á𝑥 Relación de Poisson = 0.3.

Contacto entre una esfera y un cuerpo elástico (convexo-plano)

𝐹

𝑎 ℎ𝑢𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝓏𝜏

𝜏𝑚á𝑥

El esfuerzo cortante máximo es responsable de la fatiga superficial de los elementos en contacto.

Contacto cilíndrico: En la figura se ilustra una situación en la cual los elementos en contacto son dos cilindros de longitud 𝐿 y radios 𝑅1 y 𝑅2. Como se muestra en la figura, el área de contacto es un rectángulo angosto de ancho 𝑤 y longitud 𝐿 , y la distribución de la presión es semi-elíptica.

𝐿 𝐿 𝑤 ESFUERZOS DE CONTACTO CILÍNDRICO

𝑅

𝑤

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜− 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑜

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜− 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜

𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑜− 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝐹

𝐹 𝑅1 𝑤 𝑅2

𝐹 𝑅1

𝑅2 𝑤

𝐹

1𝑅2

𝑤 = 2.15

𝐹𝑅 𝐸1 + 𝐸2 =1 𝐸 2.15𝑤 = 2.15 𝐿 𝑤𝐸 2 1+1 𝐹𝑅1𝑅2

𝐹𝑅

1+1

(𝑅1+𝑅2)𝐿 𝐸1 𝐸2 (𝑅2 − 𝑅1)𝐿 𝐸1 𝐸2 𝑝𝑚á𝑥 = 0.59𝑝𝑚á𝑥 = 0.59 1𝐸2 1 + 1 𝑝𝑚á𝑥 = 0.59 𝐹𝐸1𝐸2 1 − 1

𝐹 𝐸1 𝐸2 𝑅𝐿 𝐸1 + 𝐸2

𝐹𝐸 (𝐸1+𝐸2)𝐿

𝓏𝜏 = 0.393𝑤 𝜏𝑚á𝑥 = 0.304𝑝𝑚á𝑥

𝓏𝜏 = 0.393𝑤 𝜏𝑚á𝑥 = 0.304𝑝𝑚á𝑥

𝓏𝜏 = 0.393𝑤 𝜏𝑚á𝑥 = 0.304𝑝𝑚á𝑥 Relación de Poisson = 0.3.

Ejemplo 1 Una bola de acero de 10 mm de diámetro está siendo comprimida por dos pistas de acero con una fuerza de 1 kN. Determine: (a) el radio de la huella de contacto, (b) la presión máxima, (c) el esfuerzo cortante máximo y (d) la profundidad de la huella (𝓏𝜏).

𝑃

10 𝑚𝑚

𝑃

Ejemplo 2 Para transmitir la potencia que requiere un sistema mecánico, se debe aplicar una fuerza 𝐹 de 10 kN a las ruedas de fricción de 25 cm de diámetro. El material de las ruedas es acero (asuma que 𝜐=0.3). Para los cálculos no tenga en cuenta los esfuerzos producidos por la fuerza de fricción entre las ruedas. Calcular: (a) La longitud 𝐿 que debe tener cada rueda, tal que no se sobrepase un esfuerzo cortante de 100 MPa. (b) El ancho 𝑤 de la huella. (c) La profundidad 𝓏𝜏 a la cual ocurre el esfuerzo cortante máximo.

Unidad 1 Cadena de rodillos Introducción

Una cadena es un elemento de transmisión de potencia mecánica formado por una serie de eslabones unidos mediante pasadores. Este diseño permite tener flexibilidad y además, la cadena transmite grandes fuerzas de tensión.

Uso de transmisión de cadena - En la condición de operación a baja velocidad y gran par torsional (torque), la transmisión de potencia por cadena es adecuada. - El mantenimiento y reemplazo, en caso de ruptura o falla, es mas fácil en comparación con sistemas que emplean engranajes y bandas. - Se pueden utilizar para sostener cargas (limitado al 10% de capacidad máxima de la cadena). Cuando se transmite potencia entre ejes giratorios, la cadena entra en ruedas dentadas denominadas catarinas (sprockets).

El tipo de cadena mas común es la cadena de rodillos, en la que el rodillo sobre cada pasador permite tener una baja fricción entre la cadena y las catarinas.

La cadena de rodillos se caracteriza por su paso, que es la distancia entre las partes correspondientes de eslabones adyacentes.

paso

paso

Distancia entre centros

Componentes de cadena de rodillos

Pasadores

Placa interior

Bujes Rodillos Placa exterior

Placa de unión: la placa es el componente que soporta la tensión que se aplica a la cadena. Por lo general, esta es una carga repetida, a veces acompañada de impactos. La placa debe tener una gran resistencia estática a la tensión y soportar las fuerzas dinámicas. Pasador: El pasador está sujeto a fuerzas de corte y flexión transmitidas por la placa. Al mismo tiempo, forma parte del soporte de carga cuando la cadena se flexiona durante el engranaje con el sprocket. Por lo tanto, el pasador necesita una alta resistencia a la tensión, a cortantes y a la flexión. También debe tener suficiente resistencia contra impactos y al desgaste (fatiga superficial). Buje: El buje está sujeto a fuerzas complejas, especialmente de la repetición de cargas de impacto cuando la cadena se acopla al sprocket. Por lo tanto, el buje necesita una resistencia a los impactos extremadamente alta. Además, forma una parte que soporta carga junto con el pasador y, como tal, requiere una gran resistencia al desgaste. Rodillo: El rodillo está sujeto a cargas de impacto cuando se acopla con los dientes del piñón, durante el acoplamiento de la cadena con el sprocket. Después del engrane, el rodillo cambia su punto de contacto y equilibrio. Se sostiene entre los dientes del sprocket y el buje, y se mueve sobre la cara del diente mientras recibe una carga de compresión. Por lo tanto, debe ser resistente a la fatiga, al desgaste, contra impactos y a la compresión.

Sistema de numeración ANSI Las cadenas norteamericanas estándar se designan en general con el sistema de numeración de la norma ANSI B29.1.

✓El primer número es el tamaño del paso en 1/8´´. ✓El segundo número se refiere al tipo de cadena, por ejemplo: 0 = cadena de rodillos. El número 5 en reemplazo del 0 indica una cadena de bujes, y el número 1 indica una serie más estrecha. ✓El sufijo se refiere a la cantidad de hileras de la cadena, es decir 2 = cadena dúplex (doble hilera).

Ejemplo:

Cadena ANSI #40-2 ✓Paso de ½ pulgada ✓Cadena de rodillos ✓Dos hileras múltiples

Tamaños de cadenas de rodillos Se recomienda emplear solo el 10% de la resistencia promedio a la tensión que se muestra en la tabla en aplicaciones donde la cadena sostiene una carga.

Catarinas (sprockets)

Los sprockets parecen engranes, pero difieren principalmente en tres aspectos: 1)

Los sprockets tienen mayor número de dientes de engranaje, mientras que los engranes solo tienen uno o dos.

2)

El diente de un engrane toca y se desliza contra otro diente, caso contrario al contacto rodillo-diente de sprocket.

3)

La geometría del diente es diferente.

La mayoría de los fabricantes de sprockets utilizan el código ANSI (American National Standards Institute). En dicho código se indica la forma del diente Tipo II. No es necesario mostrar información detallada de los dientes en los dibujos de los sprockets, solo se requiere especificar el estándar ANSI para la forma del diente.

Los fabricantes norteamericanos de sprockets han adoptado como estándar cuatro tipos específicos de construcción de sprockets:

Capacidad de transmisión de potencia La capacidad de transmisión de potencia de las cadenas tiene en cuenta tres modos de falla:

1) Fatiga de las placas de eslabón, debido a la aplicación repetida de la tensión en el lado tenso de la cadena. 2) El impacto de los rodillos al acoplarse en los dientes de las catarinas.

3) La abrasión entre los pernos de cada eslabón y sus bujes.

A bajas velocidades, la capacidad de potencia se determina por la vida a la fatiga de los eslabones. Para este caso, se utiliza la siguiente relación empírica:

𝑃𝑚 = 𝑘1 ∙ 𝑁1.08 ∙ 𝑛0.9∙ 𝑝3−0.07𝑝

✓Pm, potencia mecánica en HP´s. ✓k1, constante de valor 0.004 para las cadenas de rodillos; para la 41 usar 0.0022. ✓N, número de dientes del sprocket menor. ✓n, velocidad de giro del sprocket menor, RPM. ✓p, paso de la cadena en pulgadas. A altas velocidades, la capacidad de potencia se determina con la vida a la fatiga de los rodillos al engranar en el sprocket (impactos). Se utiliza la siguiente relación empírica:

1000 ∙ 𝑘2 ∙ 𝑁1.5 ∙ 𝑝0.8 𝑃𝑚=

𝑛1.5

✓Pm, potencia mecánica en HP´s. ✓k2, constante igual a 17 para cadenas #40-240; 29 para cadenas #25 y #35; 3.4 para cadena #41. ✓N, número de dientes del sprocket menor. ✓n, velocidad de giro del sprocket menor, RPM. ✓p, paso de la cadena en pulgadas.

Ejemplo 3 Determine la capacidad de potencia que puede transmitir una cadena de rodillos No. 100-1, con una catarina de 17 dientes y una velocidad de giro de 900

RPM. Utilice las ecuaciones de diseño empíricas y compare el resultado con la información de catálogo. CAPACIDAD DE POTENCIA EN HP

Lineamientos de diseño para transmisiones por cadenas de rodillos ✓La cantidad mínima de dientes de una catarina debe ser 17, a menos que el impulsor trabaje a una velocidad muy pequeña, menor que 100 RPM. Se recomiendan los valores de 17, 19, 21, 23 y 25 dientes. ✓La relación de velocidades máxima debe ser de 7.0, aunque son posibles relaciones mayores. Se pueden emplear dos o más etapas de reducción para obtener relaciones mayores. ✓La distancia entre centros entre los ejes de catarinas debe ser de 30 a 50 pasos de cadena.

✓En el caso normal, la catarina mayor no debe tener más de 120 dientes. ✓La longitud de la cadena L, debe ser un múltiplo entero del paso, y se recomienda tener un número par de pasos.

L 2C (N2 2N1)  N422NC12 ✓La distancia entre centros real Cr, para determinar la longitud de la cadena, también en pasos, es:



Cr  14

(N2 2N1)L (N2 N1) 8(N422N1)  L  2

2



2





✓El diámetro de paso de una catarina con N dientes, para una cadena de paso p, es: p 

Dp  sen 180 N ✓El arco de contacto de la cadena en la catarina menor debe ser mayor a 120°.

1 1802sen1D22CrD1 ✓Como referencia, el arco de contacto de la cadena en la catarina mayor debe ser mayor a 180°.

2 1802sen1D22CrD1

Lubricación de cadenas de rodillos Las cadenas necesitan de lubricación por las siguientes razones:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Ayuda a prevenir el desgaste de la articulación pernocasquillo. Ayuda a soportar cargas por impacto. Disipa el calor generado por fricción. Sirve para arrastrar partículas metálicas de desgaste. Evita corrosión y herrumbre (oxidación). El lubricante utilizado para la mayoría de las cadenas debe tener las siguientes características:

✓Baja viscosidad, adecuada para penetrar entre cojinetes y uniones (bujes, pernos, etc.). ✓Aditivos adecuados con la viscosidad específica para mantener uniforme la película lubricante ante diferentes presiones y temperaturas. ✓Limpia y elimina sustancias corrosivas, así como capacidad para mantener cualidades lubricantes en condiciones imperantes de trabajo.

LUBRICACIÓN TIPO C: Con chorro de aceite

LUBRICACIÓN TIPO A: Manual o por goteo

LUBRICACIÓN TIPO B: De baño o con disco

Ejemplo 4 Diseñe una transmisión por cadenas, para un transportador de carga variable, movido por un motor de gasolina y una transmisión mecánica. La velocidad de entrada será de 900 RPM, y la velocidad de salida se desea que se encuentre en el rango 230240 RPM. El transportador requiere 15 HP para su operación.

Ejemplo 5 Elabore un diseño alterno para las condiciones del problema anterior, y obtenga una transmisión de menor tamaño. Maneje tres hileras para la cadena de rodillos. 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑥 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠

Ejemplo 6 Diseñe una transmisión por cadena de rodillos, para las siguientes condiciones de trabajo: Tipo de impulsor

Máquina conducida

Velocidad de entrada (RPM)

Potencia de entrada (HP)

Velocidad nominal de salida (RPM)

Motor CA

Agitador de líquidos

1160

5

325

Unidad 2 Bandas en V Introducción  Una banda es un elemento de transmisión de potencia flexible que se asienta firmemente en un conjunto de poleas. Cuando se utiliza la banda para reducir la velocidad, en el caso típico, la polea más pequeña se monta en el eje de alta velocidad, como el eje de un motor eléctrico. La polea más grande está montada en la máquina accionada. La banda está diseñada para circular alrededor de las dos poleas sin deslizarse.

 La banda se instala colocándola alrededor de las dos poleas mientras se reduce la distancia entre ellas. Entonces las poleas se separan, colocando la banda en una tensión inicial bastante alta. Cuando la banda está transmitiendo potencia, la fricción hace que la banda agarre la polea motriz, aumentando la tensión en un lado, llamado "lado tenso”.  La fuerza de tensión en la banda ejerce una fuerza tangencial sobre la polea accionada y, por lo tanto, se aplica

un par de torsión al eje accionado. El lado opuesto de la banda está todavía bajo tensión, pero a un valor menor. Por lo tanto, se llama el "lado flojo”.

D1= diámetro de polea de entrada D2= diámetro de polea de salida C= distancia entre centros

Tipos de bandas

Bandas en V  Una banda en V se hace con tela y cuerda, a menudo con algodón, rayón o nylon e impregnada con caucho. En contraste con las bandas planas, las bandas en V se emplean con poleas similares y con distancias mas cortas entre centros.  Las bandas en V son un poco menos eficientes que las bandas planas, pero se emplean varias en una sola polea para formar un sistema múltiple. Las bandas en V solo se fabrican para cubrir ciertas longitudes y no tienen juntas.

Bandas en V de uso industrial La base de las clasificaciones de potencia de las bandas en V depende en cierto grado de los fabricantes. Algunas bases son un número de horas, por ejemplo 25000, o una vida de 108 o 109 pasadas de la banda.

Banda convencional (por ejemplo A, B, 3V)

Banda dentada (por ejemplo AX, BX, 3VX)

Lineamientos de diseño para transmisiones por bandas en V ✓Se debe efectuar el ajuste por distancia entre centros, en ambas direcciones, a partir del valor nominal. La distancia entre centros debe acortarse en el momento de la instalación, para permitir que la banda entre en las ranuras de las poleas sin forzarse. Se debe tomar en cuenta el aumento de la distancia entre centros, para permitir el tensado inicial de las bandas y adaptarse a su estiramiento. ✓La mayor parte de las poleas comerciales son fabricadas de hierro gris, por lo cual deben evitarse velocidades de la banda mayores a 6000 ft/min (30 m/s). El valor mínimo recomendable para diseño es de 2000 ft/min (10 m/s).

✓Se debe considerar un tipo alterno de transmisión, como los engranes o cadenas de rodillos, si la velocidad de banda es menor a 1000 ft/min (5 m/s). ✓La distancia nominal entre centros debe ser

D2 C3D2 D1 ✓La longitud de la banda L, se determina como:

L 2C

D2 D1 D2 D12 2

4C

✓La distancia entre centros real Cr, para determinar la longitud de la banda es:

Cr  B B2 32(D2 D1)2 16 B 4L2(D2 D1) ✓El ángulo de contacto en la polea menor debe ser mayor que 120°.

1 1802sen1D22CrD1 ✓Evitar temperaturas elevadas alrededor de las bandas, así como evitar agentes contaminantes como polvo, grasas, sustancias corrosivas, etc.

Ejemplo Diseñe una transmisión mecánica por bandas V, que tendrá la polea de entrada en el eje de un motor eléctrico AC de par torsional normal, de 50 HP y a 1160 RPM. Se requiere que la velocidad de la polea de salida sea 675 RPM.

La transmisión es para un elevador de cangilones de una planta de potasa, que se va a utilizar 12 horas por día.

Esquema de la máquina ✓Datos del motor: eléctrico de AC, par normal, 50 HP, 1160 RPM. ✓Datos de la máquina a impulsar: elevador de cangilones, 12 hr/día, 675 RPM.

Metodología de diseño (a) Seleccionar el factor de servicio de acuerdo a la tabla 1 y los datos de operación de la máquina.

𝐹𝑠 = 1.3

(b) Calcular la potencia de diseño (Pd), tomando en cuenta el Fs y la potencia del motor impulsor (Pm).

𝑃𝑑 = 𝑃𝑚 𝐹𝑠 𝑃𝑑 = (50𝐻𝑃)(1.3) = 65 𝐻𝑃 (c) Con la velocidad de giro de la polea de entrada y la P d, de las tablas 2 y 3, se selecciona la sección de banda (tipo de banda) a utilizar para el diseño de la transmisión. Sección: 5V, 5VX (elección arbitraria)

(d) Selección de tamaño de poleas (entrada y salida) Polea menor (D1) Diámetro estimado (D1*)

𝐷𝑛

𝑉=

12

𝑛𝑉 CRITERIO DE DISEÑO 2000 ft/min < V < 6000 ft/min Se recomienda utilizar V = 4000 ft/min

Interpolar entre los dos valores para determinar el factor de corrección por arco de contacto

Ejemplo Diseñe una transmisión por bandas V, donde la unidad motriz es un motor eléctrico AC de alto torque, cuya potencia es de 15 HP y la velocidad es de 1750 RPM. La unidad impulsada es un reductor de velocidad para un

transportador helicoidal que debe tener 800 RPM en el eje de alta velocidad. El transportador operará de 18 a 20 horas al día.

Interpolar entre los dos valores para determinar el factor de corrección por arco de contacto

Método clásico de diseño de bandas V

𝑷𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂

𝑃1

𝑃2

𝐹𝑏1

𝐹𝑏2

∆𝐹/2 ∆𝐹/2

𝐹𝑖

𝐹1 𝐹2

𝐹𝑐 𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝐸

𝐹

𝐴

𝐷

𝐹𝑖 = tensión inicial. 𝐹𝑐 = tensión circunferencial debida a la fuerza centrífuga. ∆𝐹/2 = tensión debida al par de torsión transmitido 𝑇. 𝐷 = diámetro de la polea.

La potencia que se transmite por banda se basa en ∆𝑭 = 𝑭𝟏 − 𝑭𝟐. La potencia transmitida (de diseño) en HP´s se calcula a partir de 𝑷𝒅 = ∆𝑭 ∙ 𝑽/𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎, donde las tensiones de la banda están en lbf y la velocidad en ft/min. Se asume que la fuerza de fricción o rozamiento sobre la banda es uniforme sobre todo el arco de contacto (𝜃), y al tomar en cuenta el efecto de la fuerza centrífuga, se obtiene una relación para las tensiones:

𝑭𝟏 −𝑭𝒄 = 𝒆(𝝁𝜽) 𝑭𝟐 − 𝑭𝒄 Donde 𝜇 se denomina coeficiente de fricción efectivo, cuyo valor es 𝜇 = 0.5123 para ranuras de poleas V. La tensión centrífuga está dada por: 𝑽

𝟐

𝑭𝒄 = 𝑲 𝒄 𝟏𝟎𝟎𝟎 Entonces, la tensión mayor 𝐹1 se obtiene con la expresión: ∆𝑭 ∙ 𝒆(𝝁𝜽) 𝑭𝟏 Las correlaciones de durabilidad (vida útil) se complican por el hecho de que la flexión induce esfuerzos de flexión en la banda; la tensión correspondiente en la banda que induce el mismo esfuerzo de tensión máximo es 𝐹𝑏1 en la polea impulsora y 𝐹𝑏2 en la polea impulsada. Tales tensiones equivalentes se suman a 𝐹1 como:

𝑲𝒃 𝑷𝟏 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝒃𝟏 = 𝑭𝟏 + 𝑫𝟏 𝑲𝒃 𝑷𝟐 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝒃𝟐 = 𝑭𝟏 + 𝑫𝟐

La ecuación de la relación tensión-pasada (fatiga), según la emplea la Gates Rubber Company, es de la forma 𝒙

𝑸 𝑵𝒑 = 𝑷 donde 𝑁𝑝 es el número de pasadas y 𝑥 es aproximadamente 11 (para bandas convencionales). La regla de Miner (daño acumulativo lineal) se emplea para sumar el daño ocasionado por los dos picos de tensión: 𝟏

𝟏

𝟏

𝑸 −𝒙

𝑸 −𝒙

= 𝑵𝒑

+ = 𝑵𝟏 𝑵𝟐 𝑷𝟏

La vida en horas 𝑡 está dada por 𝑵𝒑𝑳 𝒕= 𝟕𝟐𝟎𝑽

+ 𝑷𝟐

Ejemplo Una banda 5V de alta capacidad opera en poleas con diámetros de paso de 10.2 in. La longitud efectiva de la banda es de 125 in, y su velocidad es de 1160 RPM. La potencia de diseño es de 20 HP. Determine la vida útil de la banda en número de pasadas y en horas.

Ejemplo Un motor eléctrico de 10 HP de fase dividida que funciona a 1750 RPM, se utiliza para impulsar una bomba rotatoria que trabaja las 24 horas del día. Un ingeniero especificó una polea menor de 7.4 in, una polea mayor de 11 in y tres bandas B112.

Calcule la vida de la banda en pasadas y en horas.

Ejercicio Una banda V de sección C posee una longitud efectiva de 132.2 in, y opera en poleas de diámetros de 8 y 24 in. La velocidad de la polea menor es de 1750 RPM. La vida esperada de la banda es de

10,000 horas. Determine la potencia transmitida por la banda.

Unidad 3 Rodamientos de bolas

Introducción Un cojinete, rodamiento o balero, se usa para soportar una carga y al mismo tiempo permitir el movimiento relativo entre dos elementos de una máquina.

Partes principales:  Elementos rodantes  Separadores (jaula)  Anillos exterior e interior

 Los cojinetes o rodamientos soportan un eje rotatorio estacionario

radiales o solamente cargas axiales o de empuje o una combinación

 La trayectoria de la carga es: del eje, a la pista interior, a las bolas, a

caja.

Tipos de carga en rodamientos R

R T

T

CARGAS RADIALES Actúan hacia el centro del rodamiento, a lo

largo de un radio, causadas por los elementos de transmisión de

potencia en ejes, como los engranes rectos, las

poleas para bandas V y los sprockets para cadenas. CARGAS AXIALES O DE EMPUJE Son las que actúan paralelas a la línea central del eje. Las

causan las componentes axiales de las fuerzas sobre engranes helicoidales, sinfines, coronas y engranes cónicos.

Rodillos cónicos

CARGAS COMBINADAS Son una combinación de cargas radiales y axiales o de empuje.

EXCELENTE

EXCELENTE

MALA

Tipos de rodamientos TIPO DE RODAMIENTO

CAPACIDAD DE CARGA RADIAL

CAPACIDAD DE CARGA DE EMPUJE

Una hilera de bolas, con

BUENA

REGULAR

CAPACIDAD DE DESALINEAMIEN REGULAR

ranura profunda EXCELENTE

BUENA

REGULAR

BUENA

EXCELENTE

MALA

Rodillos cilíndricos

EXCELENTE

MALA

REGULAR

Agujas Rodillos esféricos EXCELENTE

EXCELENTE EXCELENTE

MALA REGULAR A BUENA

MALA

Doble hilera de bolas, con ranura profunda Contacto angular

La ABMA (American Bearing Manufacturers Association) ha establecido dimensiones límite estándar para rodamientos, que definen el diámetro del rodamiento, el diámetro exterior, el ancho y los radios de entalles en los hombros del eje y del

alojamiento. El plan básico comprende todos los rodamientos de bolas y de rodillos rectos en tamaños métricos. El plan básico de la ABMA dicta que los rodamientos se identifican mediante un número de dos dígitos, llamado código de serie de dimensiones. El primer número del código proviene de la serie de anchos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El segundo, de la serie de diámetros exteriores: 8, 9, 0, 1, 2, 3 y 4.

Rodamiento de bolas – una hilera

Rodamiento de bolas de Rodamiento dúplex

Rodamiento de bolas de contacto angular - una hilera

Rodamiento de bolas de contacto angular - doble hilera

Rodamiento de bolas de cuatro puntos de contacto

Rodamiento de bolas autoalineantes

Rodamiento de bolas de

Rodamientos de rodillos cilíndricos

Rodamientos de agujas

Rodamientos de rodillos esféricos

Rodamientos de rodillos cónicos

Rodamientos de bolas de apoyo axial

Materiales de rodamientos La carga en un rodamiento se ejerce sobre un área reducida. Los esfuerzos de contacto que se producen son considerables, independientemente del tipo de rodamiento (hasta 300,000 psi). Para soportar estos altos esfuerzos, las bolas, los anillos y las jaulas se fabrican de acero muy duro y resistente o de cerámica que presente las mismas características.  El material que más se utiliza para fabricar rodamientos es el acero AISI 52100 que tiene alto contenido de C, entre 0.95% y 1.10%, junto

con Cr, de 1.30% a 1.60%, 0.25% a 0.45% de Mn, 0.15% a 0.30% de Si y otros elementos de aleación en cantidades mínimas pero controladas (por ejemplo S). Las impurezas se reducen al mínimo con cuidado para obtener un acero en extremo limpio. El material se endurece en la superficie en un rango de 60 a 67 en la escala Rockwell C para darle la capacidad de resistir un alto esfuerzo debido al contacto.  El acero de herramientas se utiliza algunas veces para rodamientos, en particular M1 y M50, ya que puede permitir que aumente su temperatura hasta alrededor de 320°C sin que pierda demasiada dureza.  El endurecimiento en la superficie mediante carburizado se emplea con aceros como AISI 3310, 4620 y 8620 para obtener la alta dureza superficial que se necesita en tanto se mantiene el núcleo duro y resistente.  Los metales no ferrosos (Cu, Al, y sus aleaciones) se utilizan para rodamientos por alguna determinada razón; también se fabrican rodamientos de bolas en polímeros fenólicos y de otros plásticos, como nylon, teflón, etc.

 En algunos rodamientos que se someten a cargas más ligeras o en un entorno corrosivo se utilizan piezas de acero inoxidable AISI 440C y otros componentes pueden fabricarse de materiales cerámicos como nitruro de silicio (Si3N4).  En tanto que su costo es mayor que el del acero, las cerámicas ofrecen ventajas importantes, tales como peso ligero, alta resistencia y alta capacidad térmica, que se prefieren usarlos en motores aeroespaciales, la industria militar y otras aplicaciones muy rigurosas.

Comparativa de materiales para rodamientos Material Acero 52100

Dureza a 25°C, HRC

62

Acero M50

Acero inoxidable 440C

Nitruro de silicio

64

60

78

Módulo de elasticidad a 25°C

30 Mpsi 207 GPa

28 Mpsi 193 GPa

29 Mpsi 200 GPa

45 Mpsi 310 GPa

Temperatura máxima de operación

360°F 180°C

600°°F 320°C

500°F 260°c

2200°F 1200°C

Densidad, kg/m3

7800

7600

7800

3200

Lubricación

Ecuación de Stribeck La ecuación de Stribeck nos permite estimar la capacidad estática de un rodamiento radial de una hilera de bolas y surcos profundos, suponiendo que los anillos son rígidos y las bolas están igualmente espaciadas.

𝐶𝑜 = 𝐾 2

𝑍𝐷 5

La capacidad es proporcional a 𝑍 (número de bolas por hilera), y al cuadrado de 𝐷 (diámetro de las bolas), y 𝐾 como constante de diseño.

Capacidad de carga estática básica Expresa la carga necesaria (𝐶𝑜) para causar una deformación permanente (deformación plástica) en las bolas y en la pista de rodadura, de una diezmilésima (0.0001) del diámetro del elemento rodante en el punto de presión máxima. No es la carga de rotura (𝐶𝑟𝑜𝑡𝑢𝑟𝑎 ~ 8𝐶𝑜), pero a partir de esta carga pueden quedar deformaciones permanentes.

𝐶𝑜 = 𝑓𝑐 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑍 𝐷2 Donde:

𝑖 = número de hileras de bolas en el rodamiento. 𝛼 = ángulo nominal de contacto (ángulo entre la línea de acción de la carga sobre la bola y un plano perpendicular al eje del rodamiento). 𝑍 = número de bolas por hilera. 𝐷 = diámetro de las bolas. 𝑓𝑐 = constante igual a 1780 para rodamientos de bolas, para obtener libras-fuerza.

Capacidad de carga dinámica básica Es la carga máxima que puede soportar un rodamiento en movimiento, sin que aparezcan signos de fatiga en ninguno de sus elementos (aros o elementos rodantes), durante un millón de revoluciones del mismo.

La determinación de la capacidad de carga dinámica (𝐶) para una vida útil de un millón de revoluciones, para rodamientos de bolas y de contacto angular, se determina mediante la ecuación siguiente (diámetros de bolas menores a 1 in):

𝐶 = 𝑓𝑐 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼

0.7 𝑍2ൗ3 𝐷1.8

Donde:

𝑖 = número de hileras de bolas en el rodamiento. 𝛼 = ángulo nominal de contacto (ángulo entre la línea de acción de la carga sobre la bola y un plano perpendicular al eje del rodamiento).

𝑍 = número de bolas por hilera.

𝐷 = diámetro de bola. 𝑓𝑐 = constante de tabla, determinada por la relación: 𝑑𝑚 = diámetro de paso de las bolas.

Carga dinámica equivalente Será una carga dinámica hipotética radial y constante (𝑃), resultado de la combinación de la carga axial (𝑇) y carga radial (𝑅) que actúan sobre el rodamiento, y que produciría la misma duración nominal del rodamiento que la carga combinada. Esta carga dinámica hipotética será radial pura (en rodamientos radiales) o axial centrada (en rodamientos axiales).

𝑃 = 𝑉𝑋𝑅 + 𝑌𝑇 Donde: 𝑃 = carga dinámica equivalente.

𝑉 = factor por rotación (si la pista interna del rodamiento gira 𝑉 = 1, si la pista externa gira 𝑉 = 1.2; el factor de 1.2 de la rotación del anillo exterior significa simplemente el reconocimiento de que la vida a la fatiga se reduce ante estas condiciones). 𝑋 = factor radial. 𝑅 = carga radial. 𝑌 = factor axial. 𝑇 = carga axial o de empuje. Los valores de 𝑋 e 𝑌 varían con el diseño especifico del rodamiento, y con la magnitud de la carga de empuje en relación con la carga radial. Para cargas de empuje relativamente pequeñas, 𝑋 = 1 y 𝑌 = 0. Factores de carga radial equivalente para rodamientos de bolas

Para indicar la carga límite de empuje, los fabricantes utilizan un factor denominado 𝑒. Si la relación 𝑇/𝑅 < 𝑒 , se utiliza 𝑃 = 𝑉𝑅 . En la tabla se enumeran los valores de 𝑒, y 𝑌 como una función de 𝑇/𝐶𝑜, donde 𝐶𝑜 es la capacidad de carga estática del rodamiento (clasificación de catálogo).

Nota: 𝑋 = 0.56 para todos los valores de 𝑌. Utilice 𝑇/𝐶𝑜 <

𝑻/𝑪𝒐

𝒆

𝒀

0.014

0.19

2.3

0.021

0.21

2.15

0.028

0.22

1.99

0.042

0.24

1.85

0.056

0.26

1.71

0.070

0.27

1.63

0.084

0.28

1.55

0.110

0.30

1.45

0.17

0.34

1.31

0.28

0.38

1.15

0.42

0.42

1.04

0.56

0.44

1.00

0.014 si 0.014.

Duración de diseño A partir de la capacidad dinámica de carga y de la carga dinámica equivalente de un rodamiento puede hacerse una estimación de la duración o vida nominal del rodamiento: 𝒌

𝑳𝒅 =

𝑪

∙ 𝟏𝟎 𝑷 𝐿𝑑 = duración de diseño en revoluciones. 𝐶 = capacidad dinámica de carga. 𝑃 = carga dinámica equivalente.

𝟔

𝒓𝒆𝒗

𝑘 = constante, igual a 3 para rodamiento de bolas, y 10/3 para rodamiento de rodillos.

Para una determinada duración de diseño en horas (𝑡𝑑), y una velocidad de giro conocida en RPM (𝑛), el número de revoluciones de diseño para el rodamiento será:

𝑳𝒅 = 𝟔𝟎 ∙ 𝒕𝒅 ∙ 𝒏

Ejemplo Un rodamiento de bolas de ranura profunda 6210 se somete a una carga axial de 400 lbf y a una carga radial de 500 lbf aplicada en el anillo exterior estacionario. Calcule la vida en horas si el rodamiento opera a una velocidad de 720 RPM.

Ejemplo Un rodamiento de bolas de una sola hilera debe soportar una carga radial de 3.8 kN, sin la presencia de carga de empuje. Especifique un

rodamiento adecuado, si el eje gira a 3600 RPM y la duración esperada de diseño es de 15,000 horas.

Ejemplo Especifique los rodamientos adecuados, si el eje de la figura gira a 1800 RPM y la duración esperada de diseño es de 10,000 horas.

Carga variable en rodamientos Si las cargas varían con el tiempo en un rodamiento, se debe modificar el procedimiento utilizado anteriormente. Un

procedimiento que recomiendan los fabricantes es utilizar la regla de Palmgren-Miner o ecuación de Miner. La base de la regla de Palmgren-Miner es que si determinado rodamiento se somete a una serie de cargas de distintas magnitudes, durante tiempos conocidos, cada carga contribuye a la eventual falla del rodamiento, en proporción a la relación de la carga entre la duración esperada que tendría el rodamiento bajo esa carga. Entonces, el efecto acumulado de la serie de cargas debe considerar todas esas contribuciones a la falla. Un procedimiento similar, es abordar el concepto de carga efectiva media, el cual se define mediante: σ𝑖(𝑁𝑖 𝑃𝑖𝑘) 1ൗ𝑘

𝑃𝑚 = 𝑁 Donde: 𝑃𝑖 = carga individual de una serie de 𝑖 cargas, 𝑁𝑖 = número de revoluciones a las cuales opera 𝑃𝑖, 𝑁 = número total de revoluciones en un ciclo completo de trabajo, 𝑘 = constante, igual a 3 para rodamiento de bolas, y 10/3 para rodamiento de rodillos. En forma alterna, si un rodamiento de bolas gira a una velocidad constante, y como el número de revoluciones es proporcional al tiempo de funcionamiento, 𝑁𝑖 puede ser el número de minutos de operación con 𝑃𝑖, y 𝑁 es la suma del número de minutos en el ciclo total; esto es:

𝑁 = 𝑁1 + 𝑁 2 + ⋯ + 𝑁 𝑖 Entonces, la duración total esperada, en millones de revoluciones del rodamiento será: 𝑘

𝐿𝑚 =

∙ 106 𝑟𝑒𝑣

𝐶 𝑃𝑚

Ejemplo Un rodamiento de una hilera de bolas con ranura profunda, #6308, se somete al siguiente conjunto de cargas y durante los tiempos indicados: Condición

𝑃𝑖

Tiempo

1

650 lbf

30 min

2

750 lbf

10 min

3

250 lbf

20 min

Este ciclo de 60 minutos se repite en forma continua en la duración del rodamiento. El eje que sostiene al rodamiento gira a 600 RPM. Estime la duración total del rodamiento en horas.

Selección de rodamientos

Unidad 4 Embragues y frenos Introducción Los embragues y frenos por lo regular se asocian con el movimiento rotatorio, y tienen en común la función de transferir energía cinética de rotación. Debido a la similitud de su función, los embragues y frenos, se analizan al mismo tiempo, así como un solo componente puede llevar a cabo las dos funciones.

Un embrague es un dispositivo para conectar o desconectar un componente impulsado con el impulsor del sistema.

Un freno es un dispositivo para detener un sistema en movimiento, o para disminuir su velocidad o

controlarla en cierto valor, bajo condiciones variables.

Los embragues y frenos que usan superficies de fricción, como medio para transmitir el par torsional para arrancar o para un mecanismo, se

pueden clasificar según la geometría general de las superficies de fricción, y según el método empleado para accionarlos. Embrague o freno de placa: Cada superficie de fricción tiene la forma de un anillo sobre un plato plano. Una o mas placas de fricción se mueven en dirección axial para tocar una placa correspondiente, lisa, fabricada comúnmente de acero, a la que se transmite el par torsional de fricción.

Freno de disco calibrador: Se fija un rotor en forma de disco a la máquina que se va a controlar. Las balatas de fricción, que solo cubren una pequeña porción del disco, están contenidas en un conjunto fijo llamado calibrador, y son oprimidas contra el disco mediante presión neumática o hidráulica.

Embrague o freno de cono: Un embrague o freno de cono es similar a uno de placa, pero con la diferencia de que las superficies acopladas están en una parte de un cono.

Freno de banda: Solo se usa como freno. El material de fricción está sobre una banda flexible, que casi rodea a un tambor cilíndrico fijo a la máquina que se va a controlar. Cuando se desea frenar, la banda se aprieta sobre el tambor y ejerce una fuerza tangencial que detiene la carga.

Freno de bloque o zapata: Las balatas curvas o rígidas del material de fricción son oprimidas contra la superficie de un tambor, desde su exterior o su interior, y ejercen una fuerza tangencial que detiene la carga.

Al analizar el desempeño de estos dispositivos el interés radica en: ➢La fuerza de accionamiento. ➢El par de torsión que se transmite. ➢La pérdida de energía. ➢El aumento de temperatura.

Se pueden analizar muchos tipos de embragues y frenos conforme un procedimiento general, el cual comprende las siguientes tareas: ➢Se calcula, se modela o se mide la distribución de la presión en las superficies de fricción. ➢Se determina una relación entre la máxima presión y la presión en cualquier punto. ➢Se emplean las condiciones del equilibrio estático para obtener la fuerza de frenado o el par de torsión y las reacciones de los apoyos.

Materiales para embragues y frenos

Las superficies de fricción están recubiertas con un material que tiene un buen coeficiente de fricción, así como suficiente resistencia a la compresión y a la temperatura de operación.

Embrague de placas El embrague de placa más sencillo consiste en dos placas, uno forrado con un material de alta fricción, presionados axialmente por una fuerza normal para generar la fuerza de fricción necesaria que transmita un par de torsión.

La presión entre las superficies del embrague se aproxima a una distribución uniforme si las placas son lo suficientemente flexibles. En tales casos, el desgaste será mayor en los diámetros más grandes, porque el desgaste es proporcional al producto de la presión por la velocidad (𝑃𝑣), en tanto que la velocidad aumenta linealmente con el radio. Sin embargo, como las placas se desgastan sobre todo hacia el exterior, la pérdida de material cambiará la distribución de la presión a un modo no uniforme y el embrague se aproximará a una condición de desgaste uniforme de 𝑃𝑣 constante. Por consiguiente, las dos condiciones extremas son: presión uniforme y desgaste uniforme.

➢Presión uniforme:

Sobre la cara del embrague, considere un anillo de área diferencial, de ancho igual a 𝑑𝑟. La fuerza diferencial que actúa sobre este anillo es:

𝑑𝐹 = 𝑃𝜃𝑟𝑑𝑟 donde 𝑟 es el radio, 𝜃 es el ángulo del anillo en radianes y 𝑃 es la presión uniforme sobre la cara del embrague. Para un embrague de circunferencia completa, 𝜃 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. La fuerza axial 𝐹 total sobre el embrague se obtiene integrando esta expresión, entre los límites 𝑟𝑖 y 𝑟𝑜.

𝐹 = න𝑟𝑜 𝑃𝜃𝑟𝑑𝑟 = 𝑃𝜃2

(𝑟2 − 𝑟𝑖2) 𝑜

𝑟𝑖

El torque de fricción sobre el anillo del elemento diferencial es:

𝑑𝑇 = 𝑃𝜃𝜇𝑟2𝑑𝑟 donde 𝜇 es el coeficiente de fricción. El torque total para un embrague de una placa se obtiene a partir de la siguiente expresión

𝑇 = න𝑟𝑜 𝑃𝜃𝜇𝑟2𝑑𝑟 = 𝑃𝜃𝜇3

(𝑟3 − 𝑟𝑖3) 𝑜 𝑟𝑖

Para un embrague de múltiples placas con 𝑁 caras de fricción:

𝑇 = 𝑃𝜃𝜇3 𝑟𝑜3 − 𝑟𝑖3 𝑁 Finalmente, se obtiene una expresión del torque como función de la fuerza axial 𝐹.

2 𝑟𝑜3 − 𝑟𝑖3 𝑇 = 𝑁𝜇𝐹 3 𝑟2 − 𝑟𝑖2 𝑜

➢Desgaste uniforme: Se supone que la tasa 𝑊 de desgaste constante es proporcional al producto de la presión 𝑃 por la velocidad 𝑣.

𝑊 = 𝑃𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Y la velocidad en cualquier punto sobre la cara del embrague es:

𝑣 = 𝜔𝑟 Al combinar estas ecuaciones, y suponer una velocidad angular constante 𝜔,

𝑃𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐾 La presión más grande 𝑃𝑚á𝑥 debe ocurrir en el radio 𝑟𝑖 más pequeño.

𝐾 = 𝑃𝑚á𝑥𝑟𝑖 Combinando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene una expresión para la presión en función del radio 𝑟:

𝑟𝑖 𝑃 = 𝑃𝑚á𝑥 𝑟 donde la presión máxima permisible 𝑃𝑚á𝑥 variará con el uso del material de recubrimiento. En tablas o catálogos se muestran valores recomendados de 𝑃𝑚á𝑥 y los coeficientes de fricción para forros de embragues y frenos. La fuerza axial F se determina integrando la siguiente ecuación:

𝑟𝑜

𝑟𝑜

𝐹 = න 𝑃𝜃𝑟𝑑𝑟 = න 𝜃 𝑟 𝑟𝑖

𝑖

𝑃𝑚á𝑥 𝑟 𝑟𝑑𝑟 = 𝑟𝑖𝜃𝑃𝑚á𝑥(𝑟𝑜 −𝑟𝑖)

𝑟𝑖

El torque se obtiene con: 𝑟𝑜

𝑇=න 𝑟

𝜃 𝑃𝜃𝜇𝑟2𝑑𝑟 = 𝜇𝑟𝑖𝑃𝑚á𝑥(𝑟𝑜2 − 𝑟𝑖2) 2

𝑖

Se combinan las dos ecuaciones anteriores para una expresión que relaciona el torque con la fuerza axial para el caso de desgaste uniforme:

𝑇 = 𝑁𝜇𝐹 donde 𝑁 es el número de superficies de fricción en el embrague.

Es fácil demostrar que el torque máximo para cualquier radio exterior 𝑟𝑜 se obtiene cuando el radio interior es:

𝑑𝑇 =0 𝑟𝑜 = 0.577𝑟𝑜 𝑑(𝑟𝑖)

𝑟𝑖 =

1 3

*La suposición de desgaste uniforme ofrece una menor capacidad de torque para el embrague, en comparación con la suposición de presión uniforme.

𝑟𝑖

3

𝑇 2 1− ൗ 𝑟𝑜 = 𝜇𝐹𝑟𝑜 3 1 − 𝑟𝑖ൗ 2 𝑟𝑜

Presión uniforme vs Desgaste uniforme

(1 + 𝑖ൗ 𝑇 𝑟𝑜 ) = 𝜇𝐹𝑟𝑜 2 𝑟

Ejemplo 1 Un embrague de placas con una sola superficie de fricción, tiene ro=10 in, ri=4 in y μ =0.2. Determine: (a) La fuerza normal requerida para una Pmáx= 100 psi. Y el par torsional para el embrague. Utilice el modelo de desgaste uniforme.

Ejemplo 2 (b) El par torsional que tomara el embrague para una F= 5000 lbf. Y el valor de la Pmáx. Utilice el modelo de desgaste uniforme. Determine un tamaño adecuado y la fuerza requerida para un embrague axial de disco. El embrague debe transmitir 7.5 HP a 1725 RPM, con un factor de servicio de 2. Utilice el modelo de

Ejemplo 3 desgaste uniforme para obtener un torque máximo. Suponga un solo disco seco con recubrimiento moldeado. Un embrague de placas cuyo diámetro exterior es de 18 in, tiene una pmáx=75 psi. Se debe suministrar 150 HP a 600 RPM para su correcto funcionamiento.

Ejemplo 4 Considere que μ=0.3. Determine el diámetro interior y la fuerza requerida para su accionamiento.

Frenos de disco Las ecuaciones de los embragues de disco también se aplican para los frenos de disco. Sin embargo, los frenos de disco rara vez se fabrican con los recubrimientos cubriendo la totalidad de la circunferencia de la cara, porque se sobrecalentarían. Se debe utilizar el valor adecuado de 𝜃 para el ángulo de inclusión de las almohadillas del freno, con la finalidad de calcular la fuerza y el torque en un freno de disco. El valor de 𝑁 será de 2, por lo menos, para el freno de disco, ya que tiene las almohadillas colocadas por pares en lugares opuestos.

Algunas ventajas de los frenos de disco sobre los de tambor son su facilidad para controlarse y su linealidad.

Freno de disco de automóvil

Embragues y frenos cónicos El embrague cónico se compone de una copa montada con cuña o por una unión ranurada a uno de los ejes, un cono que debe deslizarse en forma axial sobre ranuras o cuñas en el eje de acoplamiento y un resorte helicoidal para mantener el embrague activado. El embrague se desactiva por medio de una

horquilla que se ajusta en la ranura de cambios sobre el cono de fricción. El ángulo α y el diámetro y ancho de cara del cono son los parámetros geométricos más importantes de diseño. Si el ángulo del cono es muy pequeño, menor que 8° aproximadamente, la fuerza que se requiere para desactivar el embrague puede ser muy grande. Además, el efecto de cuña disminuye rápidamente cuando se emplean ángulos mayores del cono. Por lo general, de acuerdo con las características de los materiales de fricción, se encuentra un término medio empleando ángulos del cono entre 10 y 15°.

Para determinar una relación entre la fuerza de operación 𝐹 y el par de torsión transmitido, se designan las dimensiones del cono de fricción. Como en el caso del embrague axial, se obtiene un conjunto de relaciones para los modelos de presión uniforme y desgaste uniforme.

➢Presión uniforme:

Si la presión es uniforme, la fuerza de accionamiento se determina por medio de la siguiente integral:

𝐹 = න 𝑃𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼 = න𝐷/2 𝑃 2

2𝜋𝑟𝑑𝑟𝜋𝑃 − 𝑑2 𝑠𝑒𝑛𝛼=𝐷

𝑠𝑒𝑛𝛼4

𝑑/2

El par de torsión se calcula a través de:

𝑇 = න 𝑟𝜇𝑃𝑑𝐴 = න𝐷/2 𝑟𝜇𝑃 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝜋𝜇𝑃 =𝐷 𝑑/2

3−

𝑑3

𝑠𝑒𝑛𝛼

o, si se utilizan las ecuaciones anteriores,

12𝑠𝑒𝑛𝛼

𝜇𝐹

𝐷3 − 𝑑3

𝑇=

2 −𝑑2

3𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐷

➢Desgaste uniforme: La relación de la presión es la misma que en el caso del embrague axial, ya que la presión máxima se da cuando 𝑟=𝑑/2:

𝑑 𝑃 = 𝑃𝑚á𝑥 2𝑟 Enseguida, se observa que hay un elemento de área 𝑑𝐴 de radio 𝑟 y ancho 𝑑𝑟/𝑠𝑒𝑛𝛼. La fuerza de operación será la integral de la componente axial de la fuerza diferencial 𝑃𝑑𝐴. De este modo,

𝐷/2

𝑑

2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝐹 = න 𝑃𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼 = න

𝑃𝑚á𝑥

𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑑/2

2𝑟

𝑠𝑒𝑛𝛼 𝜋𝑑𝑃𝑚á𝑥 𝐹= 2

𝐷−𝑑

La fuerza diferencial de fricción es 𝜇𝑃𝑑𝐴 y el par de torsión es la integral del producto de esta fuerza por el radio. Así,

𝐷/2𝑑

2𝜋𝑟𝑑𝑟 2 −𝑑2

𝜋𝜇𝑑𝑃𝑚á𝑥

𝑇 = න𝑟𝜇𝑃𝑑𝐴 = න

𝑟𝜇𝑃𝑚á𝑥 𝑑/22𝑟

=

𝑠𝑒𝑛𝛼

El par de torsión también se puede expresar en la forma:

𝜇𝐹 𝑇= 𝐷

+𝑑 4 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝐷

8𝑠𝑒𝑛𝛼

Ejemplo 1 Un embrague de cono tiene 10° de inclinación y debe transmitir 40 HP a 600 RPM. El ancho del cono es de 2 in, Pmáx=50 psi y μ=0.2. Determine los valores de los radios que debe tener el cono.

Ejemplo 2 Un embrague cónico tiene un radio medio de 200 mm y un ángulo de inclinación de 8°. La Pmáx=0.7 MPa y el coeficiente de fricción es de 0.2. (a) Determine el par torsional que el embrague puede ejercer y la fuerza requerida para su operación. (b) Si el ancho del cono es de 75 mm, ¿Cuál es la potencia para una velocidad de 600 RPM?

Frenos de banda Los frenos de bandas flexibles se emplean en excavadoras de potencia y en malacates y otros tipos de maquinaria.

Debido a la fricción y rotación del tambor, la fuerza de accionamiento 𝐹2 es menor que la reacción del pasador 𝐹1. Cualquier elemento de la banda, de longitud angular 𝑑𝜃, estará en equilibrio ante la acción de las fuerzas que se muestran en la figura.

Al sumar estas fuerzas en la dirección vertical, se obtiene:

𝑑𝜃 𝐹 + 𝑑𝐹 𝑠𝑒𝑛

𝑑𝜃 + 𝐹𝑠𝑒𝑛

− 𝑑𝑃 = 0

2

2

Como 𝑑𝐹 ≪ 𝐹, y en el caso de ángulos pequeños, 𝑠𝑒𝑛(𝑑𝜃/2) = 𝑑𝜃/2.

𝑑𝑃 = 𝐹 𝑑𝜃 Al sumar las fuerzas en dirección horizontal (tangencial), y considerando que para ángulos pequeños cos(𝑑𝜃/2) = 1.

𝑑𝜃 𝐹 + 𝑑𝐹 𝑐𝑜𝑠

𝑑𝜃 − 𝐹𝑐𝑜𝑠

2

− 𝜇𝑑𝑃 = 0 2

𝑑𝐹 − 𝜇 𝑑𝑃 = 0 Al sustituir el valor de 𝑑𝑃 en la ecuación anterior, y efectuando la integración se obtiene:

𝑑𝐹 − 𝜇𝐹 𝑑𝜃 = 0 𝐹1 𝑑𝐹 න

𝐹2

𝜙𝐹1

= 𝜇න 𝑑𝜃

𝑙𝑛

𝐹

= 𝜇𝜙

0𝐹 2

Aplicando leyes de los logaritmos, se obtiene una expresión que relaciona las tensiones en la banda en función del coeficiente de fricción y el ángulo de cobertura o contacto:

𝐹1 = 𝑒𝜇𝜙 𝐹2

El par de torsión de frenado puede obtenerse de la siguiente ecuación,

𝐷 𝑇 = (𝐹1 −𝐹2) 2 La fuerza normal 𝑑𝑃 que actúa sobre un elemento de área de anchura 𝑏 y longitud 𝑟𝑑𝜃 es,

𝑑𝑃 = 𝑝𝑐𝑏𝑟 𝑑𝜃 Donde 𝑝𝑐 es la presión de contacto. La sustitución del valor de 𝑑𝑃 da como resultado:

𝐹 𝑑𝜃 = 𝑝𝑐𝑏𝑟 𝑑𝜃 𝐹

Por consiguiente,

𝑝𝑐 =

2𝐹 =

𝑏𝑟

𝑏𝐷

Por lo tanto, la presión de contacto es proporcional a la tensión en la banda. La presión máxima se presenta cerca de la fuerza de reacción del perno y tiene el siguiente valor:

2𝐹1 𝑝𝑚á𝑥 = 𝑏𝐷

Ejemplo 1 El freno de la figura tiene un coeficiente de fricción de 0.30 y funcionará con una fuerza máxima F de 400 N. Si el ancho de la banda es de 50 mm, calcule las tensiones en la banda y el par de torsión de frenado.

Dimensiones en mm.

Ejemplo 2 La presión máxima en la interfaz de la banda del freno de la figura es de 90 psi. Utilice un tambor de 14 in de diámetro, un ancho de banda de 4 in, un coeficiente de fricción de 0.25 y un ángulo de cobertura de 270°.

Encuentre las tensiones de la banda y la capacidad del par de torsión.

Unidad 5 Engranes rectos

Introducción Los engranes sirven para transmitir torque y velocidad angular en diversas aplicaciones. Existen diversos tipos de engranes: los engranes rectos, diseñados para operar con ejes paralelos; y los helicoidales, los cónicos y los sinfín, que funcionan con ejes no paralelos.

En la actualidad, los engranes están muy estandarizados por la forma y el tamaño del diente. La Asociación Estadounidense de Fabricantes de Engranes (AGMA) financia investigaciones para el diseño, los materiales y la manufactura de engranes, en tanto que publica los estándares para su diseño, manufactura y ensamble.

El diseño de una transmisión de potencia mediante engranes involucra

principalmente tres aspectos:

➢Geometría ➢Cinemática ➢Resistencia

Nomenclatura de los dientes de engranes rectos

Geometría

Ángulo de presión Es el que forma la tangente a los círculos de paso y la línea trazada normal (línea de acción o presión) a la superficie del diente del engrane.

El diámetro del círculo base se puede calcular como Db = D

cos(𝝓), importante en el diseño ya que la curva de involuta se genera a partir de él.

Relación de contacto

Valor recomendado mf= 1.5-2 El valor mínimo admisible es 1.2

Relación de velocidades La relación de velocidades (𝑉𝑅) se define como la relación de la velocidad angular del engrane de entrada a la del engrane de salida, para un solo par de engranes.

𝜔𝑃

𝑛𝑃

𝑉𝑅 ===== 𝜔𝐺 𝑛𝐺 𝑅𝑃

𝑉𝑅 < 1

𝑽𝑹 = 𝟏

𝑅𝐺

𝐷𝑃

𝐷𝐺

𝑁𝑃

𝑉𝑅 > 1

𝑁𝐺

SISTEMA AMPLIFICADOR DE VELOCIDAD

SISTEMA SEGUIDOR DE VELOCIDAD

SISTEMA REDUCTOR DE VELOCIDAD

Fuerzas en engranes rectos Las fuerzas transmitidas entre engranes acoplados suministran pares torsionales (T) a los ejes para la transmisión de movimiento y potencia, además de crear fuerzas y momentos (M) que afectan al eje y a sus rodamientos.

Resistencia

Círculo de paso

Wt= fuerza tangencial

Fuerzas sobre un diente de engrane

Wr= fuerza radial W= fuerza normal

W  (Wt )2 (Wr )2

(126000)Pm

Wt  nD (33000)P Wt 

m

Vt

(63000)P T

m

Pm , potencia de motor, HP n , velocidad de giro, RPM D , diámetro de paso de engrane, in Vt , velocidad de línea de paso, ft/min T , par torsor, lb-in Wt , fuerza tangencial, lb Wr , fuerza radial, lb f, ángulo de presión, grados

n Wr Wt tanf Ejemplo: Un par de engranes rectos con dientes de involuta de 20° a profundidad completa, transmite 15

HP. El piñón esta montado en el eje de un motor eléctrico que trabaja a 1150 RPM, tiene 22 dientes y un paso diametral 10. El engrane tiene 68 dientes. Determine: (a) la velocidad de giro del engrane, (b) la relación de velocidades, y (c) el diámetro de paso del piñón y del engrane, (d) la distancia entre centros, (e) las fuerzas radial y tangencial sobre los dientes de cada engrane, y (f) el par torsional sobre el eje del piñón y sobre el eje del engrane.

Ecuación de Lewis Wilfred Lewis introdujo una ecuación para estimar el esfuerzo de flexión en dientes de engranes en la que interviene la forma de los mismos. La ecuación, que fue dada a conocer en 1892, es la base del diseño de engranes rectos.

esfuerzo máximo

𝜎𝑡 =

𝑀𝑐

=

6𝑊𝑡 𝑙 2

esfuerzo flexionante

𝑊𝑡𝑃𝑑 𝜎 Como regla general, los engranes rectos de la cara F de tres

𝑡=

deben tener el ancho

𝐹𝑌 a cinco veces el paso circular p. Ecuación de Lewis σ , esfuerzo flexionante, psi P, paso diametral del engrane Wt , fuerza tangencial, lb F , ancho de la cara, in Y , factor de forma de Lewis

Para la ecuación de Lewis: ➢Sólo se considera la flexión del diente. ➢Se ignora la compresión debida a la componente radial de la fuerza. ➢Los dientes no comparten la carga. ➢La fuerza mayor se ejerce en la punta de ellos. ➢Se desprecian las fuerzas de fricción y la concentración de esfuerzos.

Valores del factor de forma de Lewis Y (estos valores son para un ángulo normal de presión de 20°, dientes de altura completa y paso diametral igual a la unidad, en el plano de rotación).

Cuando un par de engranes se impulsa a velocidad moderada o alta y se genera ruido, se presentan efectos dinámicos. Estos efectos son considerados en los factores dinámicos, los cuales se emplean para tomar en cuenta imprecisiones en la fabricación y acoplamiento de dientes de engranes en movimiento.

Ecuación de Barth

Kmayor a la unidadv , factor dinámico, Vt , velocidad de línea

𝜎𝑡 = 𝐹𝑌

𝐾𝑣𝑊𝑡𝑃𝑑 Esfuerzo flexionante con factor de velocidad de paso, ft/min

Ecuación de esfuerzo flexionante de la AGMA Es válida tan sólo para ciertos supuestos acerca de la geometría del diente y el engranaje: ➢La razón de contacto se encuentra entre 1 y 2. ➢No hay interferencia entre las puntas y los filetes de la raíz de los dientes acoplados ni rebaja del diente arriba del inicio teórico del perfil activo. ➢Ningún diente es puntiagudo. ➢Existe holgura distinta de cero. ➢Los filetes de la raíz son estándares, se suponen lisos y están fabricados mediante un proceso de generación. ➢Las fuerzas de fricción son despreciables.

Ejemplo: Un par de engranes con dientes de involuta de 20°, a profundidad completa, transmite 40 HP, con un piñón que gira a 1150 RPM. El paso diametral es 6, y el número de calidad es 5. El piñón tiene 20 dientes y el engrane tiene 48 dientes. El ancho de cara es de 2.25 in. La potencia de entrada proviene de un motor eléctrico, y el accionamiento es para un horno de cemento. Ese accionamiento es una unidad engranada comercial cerrada. Determine el esfuerzo flexionante (AGMA) para el piñón y el engrane.

Modos de falla en dientes de engranes rectos Hay dos modos de falla que afectan los dientes de los engranes: fractura por fatiga, debida a la variación de los esfuerzos de flexión en la raíz del diente, y fatiga

superficial (picado) en la superficie del diente.

Resistencia

Referencias ➢Diseño de elementos de máquinas. Robert Mott. ➢Diseño en ingeniería mecánica de Shigley. Budynas & Nisbett. ➢Diseño de máquinas. Robert Norton. ➢Fundamentals of machine elements. Schmid, Hamrock & Jacobson. ➢Catálogo industrial de Martin. ➢Normas de la AGMA.