Collection Dcg Intéressant

UE 121

CONTRÔLE



DE GESTION Année 2013-2014

Ce fascicule comprend : La série 3 Le devoir 4 à envoyer à la correction Le devoir 5 à envoyer à la correction

Le contrÔLe de gestion, outiL de prévision

En collaboration avec le Centre National d’Enseignement à Distance Institut de Lyon

Didier LECLÈRE Marc RIQUIN Olivier VIDAL

W1211-F3/4

Contrôle de gestion • Série 3

Les auteurs : Didier LECLÈRE : Professeur des Universités au Cnam-Intec, diplômé d’Expertise Comptable. Marc RIQUIN : Agrégé d’économie et de gestion. Olivier VIDAL : Maître de conférences en sciences de gestion au Cnam-Intec.

L’ensemble des contenus (textes, images, données, dessins, graphiques, etc.) de ce fascicule est la propriété exclusive de l’INTEC-CNAM. En vertu de l’art. L. 122‑4 du Code de la propriété intellectuelle, la reproduction ou représentation intégrale ou partielle de ces contenus, sans autorisation expresse et préalable de l’INTEC-CNAM, est illicite. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorise que « les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » (art. L. 122‑5).

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OBJECTIFS

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• Comprendre la nature du processus budgétaire et l’articulation entre les différents budgets. • Faire le lien avec la notion de « centre de responsabilité ». • Savoir élaborer un budget des ventes et les budgets intermédiaires. • Savoir élaborer un budget de trésorerie. • Connaître le modèle de Wilson et ses développements pour calculer un programme optimum d’approvisionnement. • Savoir déterminer le niveau de stock optimal dans les cas de gestion des stocks en avenir incertain. • Savoir déterminer graphiquement et algébriquement par les tableaux la budgétisation des approvisionnements. • Savoir planifier les besoins en composants par calcul matriciel. • Savoir déterminer graphiquement un programme optimum de production. • Savoir interpréter les tableaux dans le cas de la résolution par l’algorithme du simplexe et connaître les principales règles de calcul. • Savoir résoudre des problèmes d’ordonnancement. • Savoir faire des estimations ponctuelles et par intervalle de confiance d’une fréquence et d’une moyenne. • Savoir poser un test d’hypothèse, savoir déterminer sa région d’acceptation et savoir interpréter le test. • Connaître la méthodologie de mise en œuvre de la méthode du coût cible. • Savoir calculer un coût cible.

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Table

des matières

Partie 3. Le contrôle de gestion, outil de prévision

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Chapitre 1. La procédure budgétaire......................................................................7 Section 1. La gestion budgétaire............................................................................8 Section 2. Fonctionnement des budgets.............................................................10 Section 3. Budget et centres de responsabilité....................................................18 Section 4. Le budget de trésorerie et les documents de synthèse prévisionnels..21 Chapitre 2. La gestion des ventes.........................................................................25 Section 1. La prévision des ventes.......................................................................25 Section 2. Les approches marketing....................................................................41 Section 3. Problèmes spécifiques liés au budget des ventes..............................44 Chapitre 3. La gestion des stocks et des approvisionnements..........................46 Section 1. Le suivi administratif des stocks.........................................................46 Section 2. Principaux modèles de gestion de stocks en avenir certain...............48 Section 3. Les modèles de gestion de stocks en avenir incertain.......................61 Section 4. Budgétisation des approvisionnements..............................................63 Section 5. Le juste à temps..................................................................................66 Document de travail réservé aux élèves de l’Intec – Toute reproduction sans autorisation est interdite

Chapitre 4. La gestion de la production................................................................67 Section 1. Le pilotage du système de production................................................68 Section 2. Les modèles mathématiques de gestion de la production.................71 Section 3. Les problèmes d’ordonnancement.....................................................83 Chapitre 5. La gestion de la qualité.......................................................................94 Section 1. Les enjeux de la qualité.......................................................................94 Section 2. Les outils de gestion de la qualité en amont.......................................98 Section 3. Les outils de gestion de la qualité en aval.........................................108

Annexes 123 Exercices autocorrigés

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Index 165 Devoir 4

169

Devoir 5

177

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partie

Le

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contrôle de gestion, outil de prévision

Le lien avec le référentiel de l’épreuve et le plan de cette partie est présenté dans le tableau suivant : 1.1. et 1.2. La gestion budgétaire 1.3. Lien avec la notion de centres de responsabilité 1.4. et 1.5. Le budget de trésorerie et les documents de synthèse prévisionnels 2.1. Le budget de trésorerie et les documents de synthèse prévisionnels 2.2. La gestion des ventes 2.3. La gestion des stocks et des approvisionnements 2.4. La gestion de la production 2.5. La gestion de la qualité 2.5. Coût cible ou target costing

Lien avec le référentiel 3.4 ; 4.2 3.3 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 2.4 ; 3.5 4.2

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Après avoir présenté les différentes méthodes de calcul et d’analyse des coûts dans les deux premières séries du cours, les deux dernières séries approfondissent le processus du contrôle de gestion qui s’appuie sur le triptyque : prévision – action – adaptation. Ainsi, la série 3 développe la dimension prévisionnelle, alors que la série 4 développera la dimension « adaptation ». Le contrôle de gestion a été défini comme l’outil qui permet d’inciter et de vérifier que les actions des acteurs de l’entreprise vont dans le sens des objectifs fixés par la direction générale. Établir des prévisions consiste avant tout à assigner aux acteurs des objectifs cohérents. Dans une entreprise de taille importante, des sous-ensembles seront identifiés (dénommés « centres »). Chaque responsable de centre se verra ainsi attribuer des objectifs qui motiveront son action. Bien entendu, les responsables déclineront eux-mêmes ces objectifs généraux pour attribuer des objectifs personnalisés à chacun de leurs subordonnés. Les objectifs sont déclinés le long de la chaîne hiérarchique. Cette étape du contrôle de gestion est dénommée « procédure budgétaire ». C’est un mode de gestion à court terme (horizon annuel). Il est décrit dans cette série 3. Comme il est intimement lié à la structure organisationnelle de l’entreprise, la notion de centre de responsabilité fera l’objet d’un développement spécifique. Par ailleurs, si les prévisions budgétaires sont généralement exprimées en valeur monétaire, la gestion prévisionnelle s’accompagne également d’un volet opérationnel qui s’exprime en quantités et en délais. Le terme mathématique utilisé est celui de « programmation ». La série 3 présente donc également des outils fondés sur des modélisations mathématiques qui permettent d’optimiser la gestion de la production et la gestion des stocks.

Chapitre 1. La procédure budgétaire Après avoir défini et présenté l’étymologie du terme « budget », cette première partie expose les objectifs de la gestion budgétaire et comment cette dernière permet de décliner la stratégie à travers l’articulation plan-programmes-budgets. La gestion budgétaire peut se faire en raisonnant sur plusieurs hypothèses d’activités, ce qui conduira à présenter la notion de budget flexible. Cette première partie aborde également la spécificité des budgets des services fonctionnels, avec la procédure budget base zéro (BBZ).

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Contrôle de gestion • Série 3

Section 1. La I.

gestion budgétaire

Définition et étymologie

A. Notion de budget La gestion budgétaire est un mode de gestion à court terme qui englobe tous les aspects de l’activité d’une organisation et comprend une période de budgétisation (ou de prévision) puis une période de contrôle budgétaire (aspect qui est développé dans la série 4). Définition Le budget est un ensemble cohérent de prévisions chiffrées : prévision des ventes, de la production, des approvisionnements, des investissements et de leur financement, du personnel… A  priori, un budget est toujours exprimé en valeur monétaire (en  euros). Les budgets s’étendent à toute l’organisation et les liens qui existent entre eux assurent la cohérence sur le court terme de l’ensemble. Le réseau des budgets permet une consolidation des actions chiffrées et la présentation de documents de synthèse prévisionnels cohérents avec le plan opérationnel. Ventes

Production

Approvisionnement

Opérations financières et divers

Trésorerie

Documents de synthèse prévisionnels

Comme le montre l’illustration ci-avant, tous les budgets découlent des prévisions de l’activité exprimées par les ventes. Le budget des ventes est donc le premier à être construit. À l’opposé, tous les budgets ont des conséquences sur les flux de trésorerie, et le budget de trésorerie est le dernier à être établi. Remarque On parle de budget au sens strict lorsque l’on évoque une prévision chiffrée en valeur monétaire (exemple : budget des ventes, budget des investissements…). Mais en contrôle de gestion, il est fréquent de parler de budget (même si c’est un abus de langage) lorsque l’on effectue des prévisions chiffrées non monétaires. Pourtant, le terme de « programme » serait alors plus approprié. Par exemple, l’expression « budget des approvisionnements » doit être réservée aux prévisions des montants des achats (éventuellement augmentés des frais y afférent comme le transport…), alors que le « programme des approvisionnements » décrit les quantités et les dates de commandes et de livraisons.

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Investissements Financements

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B. Origines historiques Le terme « budget » vient d’un vieux mot français, « bougette » ou « petite bouge ». La bouge (du latin « bulga ») désignait au Moyen-Âge le coffre ou le sac dans lequel le voyageur emportait ses effets personnels (nous utilisons aujourd’hui le mot « bagage »), ou encore la bourse dans laquelle il serrait ses écus. Un long voyage ne s’improvise pas, il faut prévoir, programmer les étapes à l’auberge et disposer de la somme nécessaire. La bougette est là pour cela. Elle représente ainsi, de la manière la plus concrète qui soit, le montant estimé des frais du voyage, c’est-à-dire la prévision des coûts. Le terme a ensuite été repris par les Anglais, à l’issue de la guerre de Cent Ans, à l’époque où naissaient les institutions parlementaires. Le « budget » devient une notion de droit public, pour désigner la somme d’argent allouée par un vote du Parlement à une entité administrative pour son fonctionnement : chaque ministre dispose ainsi d’une petite bouge abstraite (une « enveloppe budgétaire ») dans laquelle il peut puiser (on parle aussi de « portefeuille » ministériel, ce qui renvoie à la même image). Notons que ce mécanisme d’allocation budgétaire permet à l’État de résoudre un délicat problème de gestion : comment décentraliser tout en gardant le contrôle. Le vote du budget permet de régler la « relation d’agence » entre l’État et les différents ordonnateurs de dépenses, dans la mesure où une dépense ne peut être engagée que si elle a été prévue dans le cadre d’une ligne budgétaire. Définition Pour M. Jensen et W. Meckling (1976), une relation d’agence est un contrat par lequel une (ou plusieurs) personne(s), appelée « le principal » engage une autre personne, « l’agent », pour accomplir des actions en son (leur) nom. Elle implique donc la délégation de l’autorité de prise de décision de la part du principal vers l’agent.

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Ce concept de relation d’agence a donné naissance à la « théorie de l’agence ». Cette théorie étudie les problèmes liés à la divergence qui peut exister entre les intérêts personnels du principal et ceux de l’agent. Au début du xxe siècle, on assiste au développement de grandes entreprises qui, du fait de leur taille, connaissent des problèmes identiques de décentralisation, de coordination et de contrôle. Ces grandes entreprises vont tout naturellement transposer la procédure budgétaire pour leurs besoins internes de gestion. Le budget devient un instrument essentiel du contrôle de gestion naissant. En effet, comment une grande entreprise peut-elle conserver la maîtrise du fonctionnement et du développement d’un grand nombre d’établissements, de services, de filiales ? Tout simplement en centralisant la réflexion stratégique, en décentralisant la gestion opérationnelle et en contrôlant le système par une procédure d’allocation budgétaire des ressources, en particulier financières. On peut donc dire que les entreprises ont « copié » les administrations et le fonctionnement de la comptabilité publique, ce qui mérite d’être souligné et médité, à une époque où le discours dominant consiste à critiquer la « bureaucratie » et à donner l’efficacité de la gestion des entreprises privées en exemple aux administrations !

II. Objectifs de la gestion budgétaire A. Le budget : un instrument de pilotage Le budget apparaît comme l’une des pièces essentielles du mécanisme de régulation « cybernétique » évoqué dans la série 1. Les gestionnaires étant toujours en situation d’information imparfaite, il est impossible de prendre constamment les décisions optimales et il faut s’attendre à ce que les résultats effectifs s’écartent des objectifs. Il faut donc mettre en place une procédure de contrôle par rétroaction des écarts entre prévisions et réalisations, afin d’éviter les « dérapages ».

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Contrôle de gestion • Série 3

Dans ce cadre, le budget joue un rôle central puisqu’il explicite l’ensemble des prévisions et des objectifs servant de « boussole » à l’action quotidienne. Le mécanisme de contrôle budgétaire (développé dans la série 4) suppose évidemment l’établissement de prévisions budgétaires.

B. Le budget : un instrument de simulation Très souvent, avant d’arrêter le budget définitif, on « teste à blanc » plusieurs hypothèses, en mesurant l’impact qu’aurait telle ou telle décision sur le résultat prévisionnel. Le budget joue alors le rôle d’un outil d’aide à la décision. Cette fonction de simulation explique la très grande utilité des outils informatiques de type « tableur » : il suffit de changer une donnée (un niveau d’activité, ou un prix par exemple) pour obtenir immédiatement une nouvelle « mouture » des prévisions budgétaires correspondantes. Notons, pour ces exercices de projection ou de chiffrage, l’importance d’une comptabilité analytique en coûts partiels de type « direct-costing » : c’est la connaissance de la structure des charges, fixes et variables, qui permet de faire les calculs prévisionnels.

C. Le budget : un instrument de motivation et de prévention des conflits L’entreprise constitue souvent un milieu conflictuel au sein duquel se manifestent des oppositions d’intérêts entre les différents acteurs : entre la direction et les syndicats, entre les différents services, etc.

Section 2. Fonctionnement

des budgets

I. L’articulation plan – programmes – budgets La gestion budgétaire permet d’illustrer la conception du contrôle de gestion considéré comme un moyen de décliner la stratégie.

A. Les plans Les grandes orientations stratégiques sont explicitées sous la forme de plans pluriannuels (sur 3, 4 ou 5 ans) fixant des projections de chiffres d’affaires et de résultats et prévoyant les principales opérations d’investissement et de financement. Ces plans fournissent le cadre général du développement et sont annuellement opérationnalisés sous la forme de programmes et de budgets.

B. Les programmes Un programme est une prévision d’activité à plus court terme précisant dans le détail les niveaux d’activité, de production, les volumes de facteurs utilisés (heures de main-d’œuvre, tonnes de matières premières, etc.). Par exemple, pour un atelier, on établit un programme mensuel de fabrication, qui permet de prévoir le plan de charge des différentes machines. Un programme est donc généralement exprimé en unités physiques, c’est-à-dire en nombre de produits, en tonnes, en heures, etc.

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Dans cette perspective, la procédure budgétaire permet souvent d’arriver par la négociation à un compromis se présentant comme une sorte de contrat entre les diverses parties prenantes. On touche ici aux méthodes de management et à la gestion des ressources humaines. Plus les procédures budgétaires sont décentralisées et participatives, plus le budget apparaît comme le moyen d’expliciter ce compromis (l’établissement du budget, par exemple, nécessite de retenir une hypothèse sur l’augmentation du salaire horaire). Le budget fixe des objectifs.

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C. Les budgets Les budgets représentent le « chiffrage » en unités monétaires de la mise en œuvre d’un programme. Pour passer du programme au budget, il faut faire des hypothèses de nature économique sur l’évolution des prix et des coûts (cours des matières premières, coûts variables unitaires et coûts fixes fournis par la comptabilité analytique, etc.). On distingue habituellement :

1. Les budgets « fonctionnels » ou « opérationnels » Ils traduisent les programmes relevant des différents services ou départements : • budget des ventes ; • budget de production ; • budget des approvisionnements ; • budget des services administratifs ; • budget des investissements.

2. Les budgets « financiers » ou « de synthèse » Ils récapitulent l’impact de la mise en œuvre des budgets fonctionnels : le budget de trésorerie essentiellement, et, par analogie, les documents prévisionnels de synthèse : compte de résultat prévisionnel et bilan prévisionnel. Notons qu’un exercice classique en gestion budgétaire consiste à établir ces différents documents prévisionnels (programmes, budgets, comptes prévisionnels), en commençant généralement par les prévisions de ventes. En effet, de la prévision des ventes découle la prévision de la production (cas d’une entreprise industrielle) ; de la prévision de la production découle la prévision des approvisionnements et la prévision des investissements… ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 1 (Distroc) proposé en fin de série.

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II. Le cycle budgétaire Concrètement, la procédure budgétaire est une activité cyclique qui rythme annuellement la vie de l’entreprise. Le scénario classique, pour une entreprise calquant son exercice comptable et budgétaire sur l’année civile et pratiquant une décentralisation raisonnable des responsabilités, est le suivant :

A. En septembre En septembre, la direction générale publie une note d’orientation générale (appelée aussi souvent « lettre de cadrage », ou « prébudget »), adressée aux principaux responsables, fixant les objectifs, les grandes orientations pour l’année à venir, en accord avec le contenu du plan stratégique, mais en tenant compte des infléchissements nécessaires du fait de l’évolution de l’environnement (une tranche d’investissement peut être différée, par exemple).

B. En octobre En octobre, chaque « composante » (chaque département, ou chaque grande direction ou, à un autre niveau dans un groupe, chaque filiale), établit de façon décentralisée son propre budget. En effet, ce sont les opérationnels qui sont les mieux placés pour évaluer les contraintes. Ceci doit être relativisé. Par exemple, plus l’activité est intégrée verticalement, plus les unités situées en amont ont besoin des prévisions d’activité des unités situées en aval pour établir leurs propres prévisions. Dans ce cas, on peut avoir intérêt à centraliser la procédure, en utilisant par exemple des méthodes matricielles de planification. Ces différentes « esquisses budgétaires » sont réunies par le contrôleur de gestion pour être harmonisées.

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C. En novembre En novembre, cette harmonisation se réalise progressivement selon un processus itératif de « navette » budgétaire. Les projets de budgets font en effet la navette entre les unités décentralisées et la cellule de coordination animée par la direction financière ou le contrôle de gestion (l’expression « navette » est utilisée par analogie avec la navette des projets de lois parlementaires entre la Chambre des députés et le Sénat). Cette procédure permet de réduire les incohérences, de trouver des compromis, de réaliser des arbitrages, notamment compte tenu des contraintes financières. Il importe de comprendre que le budget n’explicite pas uniquement des prévisions imposées, mais, au contraire, il est fondé sur des objectifs négociés. Notons qu’à ce niveau, c’est le budget de trésorerie, établi de façon centralisé, qui permet de faire la synthèse et de voir si « ça passe ou si ça casse ».

D. En décembre En décembre, le budget définitif est décidé, les derniers arbitrages étant du ressort de la Direction générale. Dans les grandes entreprises, ce budget définitif peut être un document volumineux de plusieurs centaines de pages, mais dont la synthèse est assurée par le compte de résultat prévisionnel. Notons que les différents budgets, qui forment alors la liasse budgétaire (par analogie avec la liasse fiscale), sont bien évidemment mensualisés, pour permettre d’exercer ensuite, pendant l’exercice, le contrôle budgétaire.

Pendant l’exercice, mensuellement, les prévisions budgétaires seront rapprochées des réalisations effectives, fournies par la comptabilité, dans des états de contrôle budgétaire permettant de calculer des écarts mettant en jeu les responsabilités en cas de dérapage : c’est le « suivi » budgétaire (voir série 4).

III. La notion de budget « flexible » Un budget, en tant que chiffrage prévisionnel, est nécessairement fonction de certaines variables, et en particulier du niveau d’activité retenu comme hypothèse. Par exemple, le budget de fonctionnement B d’un atelier pour lequel l’unité d’œuvre est l’heuremachine peut se mettre sous la forme : B = vN + F Expression dans laquelle : N = nombre d’unités d’œuvre v = coût variable de l’unité d’œuvre F = frais fixes totaux

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E. Mensuellement

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La fonction B = f(N) peut se représenter graphiquement ainsi : B

v

v correspond à la pente de la droite de budget

F

N

On peut faire une infinité d’hypothèses sur la valeur prévisionnelle de N et donc établir une infinité de budgets. Généralement, en pratique, on raisonne dans le cadre d’une « fourchette » budgétaire en présentant les calculs pour au moins 3 hypothèses : • hypothèse moyenne la plus probable (Nm) ; • hypothèse « basse » ou « pessimiste » (Nb) ; • hypothèse « haute » ou « optimiste » (Nh).

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D’où le schéma suivant :

Fourchette budgétaire

Bh Bm Bb

Nb

Nm

Nh

Les calculs budgétaires peuvent être présentés dans un tableau sous la forme d’un budget « flexible », c’est-à-dire établi dans le cadre des différentes hypothèses retenues.

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Exemple applicatif 1 Le coût variable de l’unité d’œuvre est égal à 5 euros et les frais fixes sont égaux à 10 000 euros. Le niveau d’activité est de 6 000 heures mais peut se situer dans une fourchette dont les bornes sont 5 000 et 7 000 heures. Le budget flexible est alors le suivant : Niveau prévisionnel d’activité (en heures) Frais fixes prévisionnels Frais variables prévisionnels Total budget

5 000 10 000 25 000 35 000

6 000 10 000 30 000 40 000

7 000 10 000 35 000 45 000

Remarque Notons que la fonction B = f(N) peut évidemment être plus compliquée qu’une simple fonction linéaire prise ici comme exemple. Il peut notamment y avoir des effets de seuil (heures supplémentaires au-delà d’un certain volume d’activité par exemple).

IV. Les budgets des services « généraux » De nombreux services dans l’entreprise, que nous qualifions ici de services généraux, posent des problèmes de budgétisation très différents de ce qui se passe pour les services « opérationnels » dont l’activité est directement liée au cycle achat-production-vente.

En revanche, dans un service administratif, il est beaucoup plus difficile de mesurer la production, et d’apprécier le montant des charges nécessaires pour un bon fonctionnement. Les budgets des services généraux risquent donc d’être établis arbitrairement (on parle de coûts « discrétionnaires », car ils sont à la discrétion des managers), et reconduits purement et simplement d’une année à l’autre. Remarque La bibliothèque d’une université se voit allouer un budget de 100 000 euros pour l’achat de documentation durant l’année N. Si le montant alloué est dépensé avant la fin de l’année, aucun document ne pourra être acheté avant l’année suivante puisque le budget est épuisé. L’année suivante, le responsable de la bibliothèque demandera certainement la reconduction du budget augmenté d’un certain montant qu’il juge nécessaire. À l’inverse, si à la fin de l’année le budget n’est pas totalement dépensé, le responsable peut craindre de voir ses ressources diminuer l’année suivante. Des outils de rationalisation ont été développés dans le but d’optimiser les dépenses, reposant sur l’utilisation de techniques telles que l’analyse de la valeur ou la démarche BBZ (budget base zéro).

A. Les services concernés Les services concernés sont qualifiés de services « administratifs », « fonctionnels » (par opposition à opérationnels), ou encore « d’état-major ». Certains économistes parlent même de services « improductifs » dans la mesure où leur lien avec la production est très indirect.

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Dans un atelier de production par exemple, il y a une relation causale entre le volume de produits fabriqués et les quantités de matières premières ou le nombre d’heures de travail nécessaires pour la production. Il est alors possible de « modéliser » le budget en fonction de variables telles que le niveau d’activité.

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Pourtant, ce sont des services qui concourent (même indirectement) à l’activité industrielle ou commerciale, en rendant possible cette activité. D’un point de vue comptable, les charges correspondantes sont le plus souvent regroupées dans les centres ou sections analytiques « auxiliaires » étudiés dans la série 1. Dans le cadre de l’approche ABC, reprenant la terminologie de M. Porter, on parle également d’activités « de support ». Il s’agit essentiellement des services tels que : • la direction générale ; • le secrétariat général ; • le service du courrier ; • le standard téléphonique ; • les services comptables ; • les services financiers ; • le service informatique ; • la documentation ; • le service juridique et de contentieux ; • la direction du personnel ; • les services des méthodes, de planning, d’ordonnancement ; • les bureaux d’études ; • les services de recherche et développement (R&D) ; • le service de gestion des brevets ; • le contrôle de qualité ; • le service de recherche marketing ; • les services de communication et de relations publiques ; • et, bien évidemment, le service contrôle de gestion ! Cette liste n’est, bien sûr, pas exhaustive. Elle est même contestable : la R&D, par exemple peut ne pas être considérée comme une activité de support, mais comme une activité directement associée à la production d’un bien ou d’un service selon le contexte.

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B. Les problèmes de gestion posés par les coûts discrétionnaires Les charges engagées dans ces services sont en général des charges « indirectes fixes », au sens de la comptabilité analytique. Ces « frais généraux » sont difficiles à contrôler, car il est difficile d’apprécier l’activité et la production des services concernés. Les tâches à accomplir sont diverses, hétérogènes, peu répétitives : il est donc impossible de spécialiser ou de « tayloriser » le travail, de définir des normes ou des standards comme pour les tâches opérationnelles. Les charges discrétionnaires sont constituées en grande partie par les rémunérations de personnels souvent hautement qualifiés (cadres, informaticiens, spécialistes…) ou par le coût de l’emploi de matériels sophistiqués (matériel de laboratoire…). Les problèmes de prestige, de pouvoir, de recherche de statut social, poussent généralement à une dérive inflationniste des budgets concernés, phénomène particulièrement aggravés dans les grandes entreprises par les tendances à la bureaucratisation liées à la taille. Inversement, en période de difficultés financières, il est tentant pour une direction générale de « tailler » dans ces dépenses discrétionnaires, facilement qualifiées d’inutiles, afin de restaurer la rentabilité, en « dégraissant » par exemple les effectifs de sièges sociaux ou de certains services jugés alors pléthoriques (le « mammouth »). Ce sont alors des compétences précieuses qui peuvent être sacrifiées d’une façon stratégiquement suicidaire au profit d’intérêts à court terme. Souvent, l’objectif de « diminuer les effectifs de 10 % » fait penser à la saignée pratiquée par les médecins de Molière, avec l’efficacité que l’on sait, le malade se retrouvant encore plus affaibli.

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C. La technique traditionnelle de budgétisation Les procédures traditionnelles de budgétisation des frais discrétionnaires n’apportent pas de solution réellement satisfaisante aux problèmes évoqués plus haut. Le plus souvent, la direction générale calcule une enveloppe globale à ne pas dépasser pour l’ensemble de ces frais généraux, permettant, après déduction de cette enveloppe de la marge prévisionnelle, d’atteindre un résultat acceptable. Dans les périodes d’expansion et de bonne santé financière, on se contente de reconduire les dépenses de l’année précédente, éventuellement majorées d’un pourcentage d’augmentation arbitraire, tenant compte par exemple de l’inflation. En revanche, en période de difficultés, on pratique une « coupe » budgétaire. Chaque service présente ensuite ses desiderata, avec les tendances aux dérives évoquées plus haut. Il y a toujours de bonnes raisons pour justifier l’embauche de nouveaux collaborateurs, acheter un ordinateur plus puissant, etc. Il faut alors provoquer une réunion pour opérer le partage de l’enveloppe globale. En général, la somme des demandes excède l’enveloppe, et un processus de marchandage s’instaure. C’est dans ce cadre que la procédure de « navette » budgétaire étudiée dans la série 4 permet de résoudre les conflits et d’atteindre un consensus sur le « partage du gâteau ». On comprend qu’une telle procédure ne garantit pas l’optimalité, que les besoins réels ne sont pas nécessairement satisfaits, que le partage de l’enveloppe reflète surtout les relations de pouvoir entre les différents responsables et mène à ce qui est ressenti comme des injustices, que le résultat peut entretenir des rancœurs et créer des conflits entre les individus.

D. La procédure du budget base zéro (BBZ)

Dans la procédure BBZ, on ne se contente pas d’améliorations incrémentales, on adopte une attitude beaucoup plus radicale : rien n’est jamais acquis, la reconduction pure et simple d’un budget d’une année à l’autre est exclue par principe. Chaque dépense budgétaire doit être justifiée, indépendamment des pratiques antérieures, qui ne sauraient servir de justification a priori. En somme, on « recommence à zéro » chaque année, d’où le nom de la méthode. Celle-ci suppose tout d’abord le découpage de l’activité de l’entreprise en modules, qui sont des centres de décision caractérisés par l’existence d’un responsable clairement identifié (principe d’unicité), et par une certaine homogénéité des tâches (on retrouve ici certains aspects de la méthode ABC étudiés dans la série 2). Au niveau de chaque module, le responsable doit établir des propositions budgétaires, en liaison avec ses projets d’activité. Il doit expliciter ses finalités, ses objectifs, les moyens nécessaires pour les atteindre, et établir un « ensemble budgétaire ». Cet ensemble budgétaire doit contenir : • D’une part, des projets alternatifs (ou « mutuellement exclusifs »), c’est-à-dire plusieurs solutions alternatives budgétées possibles pour remplir sa mission (par exemple, pour un service informatique devant mettre en œuvre un nouveau programme, un projet supposant un développement en interne impliquant l’embauche d’une équipe de programmeurs, et un projet supposant l’acquisition externe d’un progiciel). • D’autre part, des projets complémentaires, c’est-à-dire des projets qui dans l’absolu ne sont pas indispensables (l’entreprise peut continuer à fonctionner sans), mais qui peuvent présenter un intérêt (dans le but d’améliorer la qualité ou la productivité par exemple). L’intérêt de cette distinction est notamment de bien signaler les projets qui peuvent être différés dans le temps, si les moyens financiers pour l’année prochaine sont insuffisants.

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La procédure BBZ (budget base zéro ou « Zero Base Budgeting ») a connu une très grande célébrité dans les milieux du management, notamment dans les grandes entreprises américaines (Texas Instruments, Xerox, Westinghouse…) après un article retentissant publié en 1970 dans la Harvard Business Review par Peter Pyhrr.

UE 121 • Contrôle de gestion

Les différents projets sont ensuite évalués et hiérarchisés par un comité. Cette phase de hiérarchisation pose le problème des critères utilisés pour classer, accepter ou refuser les différents projets. On peut utiliser des critères classiques de nature financière, comme la rentabilité, ou bien des méthodes de scores additifs. Ainsi, Peter Pyhrr préconise-t-il le système « 5P » (Peter Pyhrr’s Pragmatic Pointscore Procedure) : chaque membre du comité « vote » en notant les projets de 1 à 6. On fait le total des points obtenus (comme dans les compétitions de patinage artistique, par exemple) et la décision dépend du score total obtenu. On voit que la procédure BBZ, considérée comme la panacée par certains, et comme un gadget par d’autres, peut être longue et coûteuse. Une version allégée a été proposée, reposant sur un « examen tournant » des différents services. Les Américains parlent de « procédure du coucher de soleil » (sunset), en faisant allusion à l’image de la rotation de la Terre : quand le soleil se couche à un endroit, il brille encore ailleurs. Chaque année, on « audite » par le biais de la procédure BBZ une partie seulement des services. Les responsables de ces services doivent alors se plier à la procédure d’examen critique de leurs dépenses, et justifier le niveau de leur budget. Mais une fois que ce budget est accepté, ces responsables sont « tranquilles » pour par exemple 4 ou 5 ans : l’ordre de grandeur de leur budget n’est pas remis en cause pendant ce laps de temps, sauf événement extraordinaire. L’année suivante, ce sont d’autres collègues qui « passent à la moulinette ». Cette procédure est évidemment moins lourde, moins coûteuse, moins « stressante » pour les différents cadres. Notons qu’une procédure analogue existe dans les universités françaises, dont les différentes filières sont habilitées, et financées par l’État, pour des périodes de 4 ans renouvelables : la procédure peut donc aussi être utilisée en management public. Pour vous entraîner : faites la partie 1 de la session 2008 de l’examen de l’Intec disponible dans les ressources de l’UE 121 sur le site www.cnamintec.fr.

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V. Conclusion Il est nécessaire de relativiser l’intérêt et l’utilité de la gestion budgétaire. Tout d’abord, il faut considérer qu’un budget n’est un bon outil de gestion et de motivation que si le niveau des objectifs à atteindre est fixé avec intelligence : il faut « placer la barre » assez haut, mais pas trop. Des budgets pas assez ambitieux amènent les responsables à céder à la facilité : l’organisation n’est pas mise sous tension. Il faut que les équipes aient un « challenge » à remplir. Mais au-delà d’un certain seuil, on peut au contraire démobiliser les opérationnels, qui ont le sentiment qu’on leur demande trop. Comme de toute façon on ne pourra pas atteindre l’objectif, ce n’est pas la peine d’essayer ! Les choses peuvent être encore plus graves, et des auteurs comme Argyris ont mis en évidence les effets psychologiques dévastateurs d’une « pression » trop forte du budget sur les responsables. Les individus concernés peuvent avoir des sentiments de frustration, développer des pathologies psychosomatiques (eczéma…), faire preuve d’agressivité, ou bien tomber dans la dépression, voire se suicider. La pression budgétaire poussée à l’extrême et conceptualisée par certains dirigeants ou soi-disant spécialistes de la gestion des ressources humaines sous la forme d’une « gestion par le stress », peut être considérée à juste titre comme une forme de harcèlement moral ou comme la version moderne de l’exploitation. Face à cette « violence » possible du budget, les individus ne manquent pas de résister en élaborant des stratégies de défense adaptées. La plus courante de ces pratiques consiste à se ménager du « slack budgétaire », expression utilisée en référence à la théorie du slack organisationnel développée par Cyert et March.

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Contrôle de gestion • Série 3

Définition Le slack est un terme anglais qui signifie le « mou » d’une corde ou d’un câble. To slack off signifie relâcher son effort. Le slack budgétaire désigne le « matelas », la « marge de manœuvre », ou la « marge de sécurité » que l’on essaye de négocier au moment de la construction des budgets. Par exemple, on sait que l’on peut fonctionner avec 100, mais on demande 120, et on obtient 110 après arbitrage. Il est alors plus facile de tenir ce budget, et même en étant laxiste et en dépensant 109, on a encore in  fine un écart favorable ! La gestion budgétaire peut être ainsi dévoyée et aboutir au résultat inverse de celui qui était recherché : au lieu de réduire les coûts, on les augmente ! On peut aussi voir dans le budget alloué un « droit à dépenser », qu’il faut utiliser, sinon on risque d’avoir un budget moins important l’année suivante. Tout le monde a entendu ironiser sur les pratiques supposées des militaires qui feraient tourner les camions dans la cour des casernes pour utiliser le budget en essence. On reproche également souvent au budget, comme à toute procédure relevant de la planification en général, d’induire des comportements bureaucratiques et conservateurs, en inhibant les initiatives et les possibilités d’adaptation aux opportunités. C’est prévu dans le plan et dans le budget, donc on exécute, même si l’action n’est plus pertinente compte tenu de l’évolution des circonstances. Ce type de comportement n’est, bien évidemment, pas du tout adapté lorsque l’entreprise agit dans un environnement turbulent et imprévisible. Il ne faut donc pas idéaliser le budget et lui prêter toutes les vertus. Certains vont même plus loin, en préconisant purement et simplement d’abandonner la gestion budgétaire, notamment pour la remplacer par une gestion plus réactive. C’est peut-être malgré tout aller un peu vite en besogne, et jeter le bébé avec l’eau du bain.

et centres de responsabilité

La procédure budgétaire permet à la direction générale de décentraliser la gestion, de déléguer des responsabilités à des cadres intermédiaires qui jouissent donc d’une certaine autonomie, mais qui, en contrepartie, doivent rendre compte à leur hiérarchie de leur action (c’est ce que l’on appelle d’une manière générale le « reporting », de l’anglais to report, qui signifie « rapporter », « faire un rapport », « rendre compte »). L’entreprise est donc découpée en centres de responsabilité, dirigés par des personnes qui, avant tout, sont responsables du budget qui leur est alloué. En pratique, l’étude de la gestion budgétaire est très souvent indissociable de l’étude de ces centres de responsabilité.

I.

Définition des centres de responsabilité

Un centre de responsabilité est une subdivision d’une organisation regroupée autour d’un responsable qui dispose de moyens et d’une autonomie de gestion pour atteindre l’objectif qui lui a été assigné (production, coût profit, etc.). Ces centres étant conçus pour correspondre à un échelon de responsabilité, leur contrôle suppose un indicateur de performance et que le responsable ait la maîtrise du domaine de gestion concerné.

A. Intérêts de cette organisation Cette organisation présente plusieurs avantages : • Les centres de responsabilité sont un outil d’animation et de motivation des acteurs de l’organisation (DPO). • Ils permettent de retrouver la souplesse et la rapidité de réaction des petites unités. • Ils permettent une décentralisation du contrôle de gestion. • Ils permettent de généraliser des relations de type marché dans l’organisation.

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Section 3. Budget

UE 121 • Contrôle de gestion

B. Principale limite essentielle de cette organisation Ce type d’organisation nécessite de surmonter la « culture des territoires » : l’autonomie de gestion ne doit pas conduire à privilégier l’intérêt individuel au détriment de celui de l’entreprise.

II. Les différents types de centres Le découpage de l’entreprise en entités autonomes que sont les centres de responsabilité dépend beaucoup de la taille et du type d’organisation. Dans beaucoup de PME ayant une organisation hiérarchique et fonctionnelle fayolienne « classique », le découpage se fait par fonction (technique, commerciale, administrative). Dans une entreprise plus importante, on aura souvent une organisation divisionnelle par type de produits. Dans un grand groupe, on observe une structure matricielle plus complexe avec des unités opérationnelles pouvant dépendre par exemple d’une direction géographique et d’une direction technologique (la filiale vendant des téléviseurs en France dépendant à la fois du Marketing Europe et de la Direction Électronique Grand Public). On peut définir plusieurs types de centres de responsabilité, en fonction de leur degré d’autonomie et de l’ampleur des missions confiées.

A. Les centres de coûts

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Le responsable d’un centre de coût est jugé sur la qualité des prestations, le respect des délais et surtout sur le niveau de ses coûts : on attend d’un directeur d’usine ou d’un chef d’atelier qu’il limite les gaspillages, qu’il respecte (et éventuellement améliore) les standards, qu’il améliore la productivité. Son budget met donc l’accent essentiellement sur les charges, pas sur les produits. Par simplification, on peut dire que sa mission est de minimiser les coûts. Il faut plutôt dire qu’il doit les optimiser, compte tenu des objectifs de qualité par exemple. Dans un centre de coût opérationnel (une usine), les coûts budgétés dépendent généralement du niveau prévisionnel d’activité (application de la notion de budget flexible), alors que dans les fonctions support, les coûts sont beaucoup plus « discrétionnaires » (ils sont à la discrétion des dirigeants), tout du moins à court terme. Il est plus facile de supprimer un poste dans un service administratif ou de diminuer le budget des frais de réception que de rogner sur les charges directes variables. En cas de difficultés financières, quand il faut faire des économies, ce sont ces budgets discrétionnaires qui sont touchés en premier.

B. Les centres de produits ou de chiffre d’affaires À l’inverse, certains centres de responsabilités sont jugés essentiellement sur le chiffre d’affaires réalisé. Par exemple, dans un réseau commercial, le responsable d’une agence régionale s’engage sur un budget des ventes. Dans une banque ou une compagnie d’assurances, les chargés de clientèle ont des objectifs budgétaires en matière de placement de produits financiers (contrats d’assurance-vie, SICAV, etc.). Notons que le fait d’avoir un objectif exprimé en chiffre d’affaires peut avoir des effets pervers : pour « faire du chiffre », le commercial peut casser les prix en accordant des remises trop importantes, ou faire prendre un risque financier à son entreprise (risque de défaut de paiement) en négligeant de vérifier la solvabilité du client.

C. Les centres de profit Les centres de profits permettent de limiter les effets pervers évoqués plus haut : le responsable est jugé à la fois sur les charges et les produits, sur le niveau de résultat ou de marge qu’il génère. Notre agence commerciale par exemple peut être jugée sur la marge réalisée (chiffre d’affaires net diminué des coûts commerciaux). Le responsable d’un centre de profit doit donc

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Contrôle de gestion • Série 3

être non pas un technicien (uniquement un bon ingénieur maîtrisant son process, ou uniquement un bon commercial maîtrisant la relation clients), mais un « manager » plus généraliste capable de se conduire en entrepreneur et d’intégrer tous les aspects de la gestion, dans une optique de maximisation du résultat. Notons que dans le cas d’activités intégrées verticalement, la comptabilité par centres de profit pose le problème délicat des prix de cession internes : le résultat d’un centre dépend évidemment des facturations en amont et en aval.

D. Les centres d’investissement Les centres d’investissement supposent une délégation d’autorité dépassant la simple exploitation (charges et produits), et élargie au problème de l’investissement en immobilisations. En général, on ne trouve cette formule que dans les très grandes entreprises et les grands groupes, au niveau des divisions et des filiales. L’objectif est ici de maximiser la rentabilité du capital investi. Le responsable va donc devoir défendre auprès de sa hiérarchie, lors de la préparation des budgets, la rentabilité de ses projets d’investissement. C’est dans ce cadre que seront utilisés les critères et les techniques de choix des investissements étudiées en gestion financière. Par exemple, le responsable d’une filiale, pour justifier un projet d’investissement, fait des projections de chiffre d’affaires et de cash-flows pour pouvoir calculer une VAN ou un TRI acceptables selon les standards de rentabilité du groupe. On rappelle que la Valeur Actualisée Nette est la somme des cash-flows prévisionnels actualisés ; pour qu’un projet soit rentable, la VAN doit être positive. Le Taux de Rentabilité Interne est la valeur du taux d’actualisation qui annule la VAN ; pour qu’un projet soit rentable, il faut que son TRI soit supérieur au taux d’actualisation caractérisant l’environnement économique.

E. L’emboîtement « gigogne » des centres de responsabilité et des budgets associés

Par exemple, il peut y avoir plusieurs divisions, plusieurs usines par divisions, et plusieurs ateliers par usine. Chaque atelier peut constituer un centre de responsabilité, avec son responsable et son budget ; les budgets des ateliers peuvent ensuite être consolidés au niveau de l’usine, qui constitue également un centre de responsabilité, etc. On assiste donc à une sorte d’emboîtement, comme des poupées russes, des centres et des budgets. À chaque niveau, le responsable est à la fois contrôleur et contrôlé : le directeur d’usine par exemple contrôle les ateliers, mais doit lui-même rendre compte à sa hiérarchie.

III. Le contrôle des centres de responsabilité Chaque centre a des objectifs à atteindre. Les performances doivent pouvoir être mesurées (grâce, essentiellement, au système comptable, mais pas uniquement : on peut également utiliser des indicateurs physiques). L’intérêt de fixer les objectifs en termes budgétaires, c’est que l’on peut raisonner globalement, grâce à la possibilité d’agréger les valeurs d’éléments hétérogènes. Le responsable d’un centre a une obligation de résultat, et pas uniquement de moyens. Pour qu’un tel système de gestion par les résultats soit pertinent, il faut mettre en œuvre deux principes : le principe de responsabilité et le principe de contrôlabilité. • Le principe de responsabilité signifie qu’un dirigeant doit être responsable de toutes les conséquences des décisions rentrant dans son champ de délégation de pouvoir. Il ne doit pas pouvoir faire supporter à d’autres centres les coûts induits par la médiocrité de sa gestion. Par exemple, si la production est de mauvaise qualité, les surcoûts qui se révèlent au niveau du service après-vente doivent être imputés au responsable de la production, pas au responsable de la distribution.

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En fonction de l’importance de l’entreprise, on peut avoir plusieurs étages de délégation, et donc plusieurs niveaux pour définir les centres.

UE 121 • Contrôle de gestion

• De façon symétrique, le principe de contrôlabilité signifie qu’un dirigeant ne doit être responsable que des éléments qu’il contrôle, sur lesquels il a un pouvoir de décision. Il n’est pas « juste » que les résultats d’un centre de profit par exemple soient minorés par l’imputation de certaines charges imposées de façon arbitraire par la direction (cas des répartitions des frais de siège par exemple). Ceci mène soit à raisonner sur des coûts partiels et non sur des coûts complets (les responsables sont jugés sur une « contribution » par exemple), soit à neutraliser certains éléments non contrôlables, par exemple en utilisant des coûts standards. Périodiquement, les informations mesurant les performances effectives « remontent » pour informer la hiérarchie, selon le principe du reporting. On peut comparer les réalisations aux prévisions budgétaires, tirer la sonnette d’alarme en cas de dérive, et prendre des mesures correctives. Plus on est dans le bas de la hiérarchie, plus les états de reporting sont basés sur des données physiques ou sur l’analyse des coûts élémentaires : pour contrôler un atelier, on va s’intéresser aux rendements, aux coûts horaires d’utilisation des machines, etc. Plus on remonte dans la hiérarchie, plus on utilise des données comptables et financières agrégées : une filiale fait remonter à sa maison mère des agrégats financiers très globaux, sans entrer dans le détail du fonctionnement des différents services : chiffre d’affaires, masse salariale, investissements, résultats.

Section 4. Le budget de trésorerie et de synthèse prévisionnels

les documents

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Le budget de trésorerie et l’établissement des documents de synthèse prévisionnels constituent l’aboutissement du travail de budgétisation. Ils seront présentés dans ce second chapitre (section 1). Par la suite, certains budgets feront l’objet de développements spécifiques : le budget des ventes est l’occasion de mettre en œuvre des modélisations mathématiques (régressions…). Le budget des approvisionnements est l’occasion de mettre en œuvre des méthodes d’optimisation (modèle dit de Wilson…). Le budget de la production est enfin l’occasion de mettre en œuvre des calculs d’optimisation (programmation linéaire, facteur rare de production…). Ces points seront développés dans la série 3 du cours par correspondance.

I. Le budget des encaissements Le budget des encaissements présente en général les différents mois en colonne et les différentes catégories de recettes en ligne. On prévoit également une colonne supplémentaire pour traiter les créances à court terme liées en fin d’année au décalage dans le temps entre certaines opérations (ventes) et leur encaissement, du fait des délais de règlement, et qui figureront au bilan prévisionnel. Supposons par exemple que l’entreprise accorde un mois de crédit à ses clients : il y aura un décalage d’un mois entre la vente et l’encaissement. En janvier N+1, l’entreprise encaisse donc les créances clients figurant au bilan à fin N. En février, elle encaisse les ventes de janvier, en mars les ventes de février, etc. Les ventes de décembre N+1 sont donc décalées comme élément du bilan prévisionnel à fin N+1, et encaissées en janvier N+2. On distingue généralement les encaissements directement liés à l’exploitation (ventes), qui font l’objet d’une prévision en fonction des budgets commerciaux, et les autres encaissements, liés à des opérations financières spécifiques (augmentations de capital, emprunts, cessions d’actif…).

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Contrôle de gestion • Série 3

Structure d’un budget des encaissements pour N+1 Éléments Encaissements liés à l’exploitation : • Ventes au comptant • Ventes à crédit •… Autres encaissements : • Cessions d’actifs • Emprunts •… Total des encaissements :

Janvier N+1

Février N+1

VJ(1) CCDN(4)

VF(2) VACJ(5)

…

Décembre N+1

VD(3) VACN(6)

BILAN PRÉVISIONNEL à fin N+1

VACD(7)

Poste « clients »

(1) VJ : Ventes au comptant de janvier N+1. (2) VF : Ventes au comptant de février N+1. (3) VD : Ventes au comptant de décembre N+1. (4) CCDN : Créances clients correspondant aux ventes ‡ crédit de décembre N. (5) VACJ : Ventes = crédit de janvier N+1. (6) VACN : Ventes = crédit de novembre N+1. (7) VACD : Ventes = crédit de décembre N+1, portées au bilan prévisionnel.

Remarque Prise en compte de la TVA : ces ventes sont évidemment TTC (toutes taxes comprises), incluant la TVA. En effet, c’est le montant TTC des créances qui est encaissé.

Compte tenu des règles de déductibilité de la TVA, il vaut mieux, en pratique, chiffrer dans un budget annexe la TVA à décaisser mensuellement, ce poste étant ensuite repris dans le budget des décaissements. Rappelons que l’entreprise assure pour le compte du Trésor public la collecte de la TVA. Elle facture à ses clients de la TVA sur le montant de son chiffre d’affaires. Le client règle le montant de sa facture TTC et l’entreprise porte la « TVA collectée sur ventes » au crédit du compte 4457. Par ailleurs, l’entreprise paie également ses propres fournisseurs TTC, et acquitte donc, en plus de ses achats hors taxe, de la TVA. Cette TVA est déductible et représente une créance sur l’État portée au débit du compte 4456. Périodiquement (en principe chaque mois dans le régime général), l’entreprise remplit sa déclaration de chiffre d’affaires et calcule le montant de la TVA qu’elle doit reverser à l’État en retranchant la TVA déductible sur les achats de la TVA collectée sur les ventes. Cette « TVA à décaisser » (compte 4455) est versée au fisc dans le courant du mois suivant, d’où un décalage, la TVA au titre du mois m étant en fait décaissée en m+1. La TVA à décaisser au titre du mois de décembre N+1 figure donc au bilan prévisionnel à fin N+1, et est réglée en janvier N+2.

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II. Le budget de la TVA à décaisser

UE 121 • Contrôle de gestion

Éléments TVA collectée sur les ventes du mois : TVA déductible sur les achats facturés dans le mois : TVA déductible sur les services réglés dans le mois : TVA déductible sur les immobilisations acquises dans le mois : TVA à décaisser :

Janvier N+1

Février N+1

…

Décembre N+1

+

+

–

–

–

–

–

– =

En janvier, on décaissera la TVA figurant au bilan à fin N (compte 4455)

BILAN PRÉVISIONNEL

=

TVA au titre de décembre N+1 qui sera décaissée en janvier N+2

On peut également ajouter une ligne « Report de crédit de TVA », dans le cas où la TVA déductible est supérieure à la TVA collectée pour certaines périodes.

III. Le budget des décaissements

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La structure du budget des décaissements est identique à celle des budgets précédents, avec les mois en colonne et les différents types de décaissement en ligne : décaissements directement liés à l’exploitation (achats, frais de personnel, etc.), et autres décaissements (paiements de dividendes, remboursements d’emprunt, acquisitions d’immobilisations, placements financiers, etc.). Il faut là encore prévoir une colonne supplémentaire pour repérer les postes de dettes à court terme du bilan prévisionnel générés par les décalages dans le temps entre engagements et règlements (par exemple, les achats à crédit génèrent un poste « fournisseurs »). Remarques • Les dotations aux comptes d’amortissement ou de provisions n’entraînent pas de décaissement (source d’erreur très classique !). • Ne pas oublier la TVA à décaisser, ni le paiement des impôts (par exemple, pour l’IS, acomptes provisionnels et liquidation du solde). • Les décaissements, comme les encaissements, s’entendent TTC.

IV. Le budget général ou récapitulatif Le budget général de trésorerie permet de regrouper tous les encaissements et tous les décaissements, pour voir comment va évoluer le solde de trésorerie en fin de mois, ce qui permet d’avoir une simulation. On est généralement amené à établir plusieurs budgets de trésorerie successifs, afin de tendre par tâtonnement itératif vers un objectif de « trésorerie zéro ». En effet, il faut éviter les découverts importants, sources d’agios bancaires en cas de découvert, voire même de défaillance, mais aussi les excédents, qui représentent un manque à gagner, un coût d’opportunité.

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Contrôle de gestion • Série 3

À partir d’une première esquisse, on va donc étudier les possibilités de « gommer » les excédents ou les déficits prévisionnels par des mesures adéquates du type : • placer des liquidités ; • recourir à l’escompte d’effets de commerce ; • différer certaines dépenses discrétionnaires ; • etc. En pratique, on peut présenter ce budget récapitulatif de deux manières différentes, faisant apparaître ou non la variation mensuelle de trésorerie : Première méthode (on suppose une trésorerie initiale de 100) Éléments Encaissements : (–) Décaissements (=) Variation de trésorerie Trésorerie finale

Janvier N+1 1 000 800 200 300(1)

Février N+1 1 200 900 300 600

…

Décembre N+1

(X)

(1) 300 = 200 + 100

Au bilan prévisionnel

La trésorerie finale est obtenue par cumul algébrique de la trésorerie initiale et des variations mensuelles de trésorerie. Deuxième méthode

Trésorerie initiale (+) Encaissements (=) Disponibilités (–) Décaissements (=) Trésorerie finale

Janvier N+1 100 1 000 1 100 800 300

Février N+1 300 1 200 1 500 900 600

…

Décembre N+1

La trésorerie finale du mois m est reportée en trésorerie initiale du mois m+1.

V. Les comptes prévisionnels Ils permettent de « boucler » la procédure budgétaire.

A. Le compte de résultat prévisionnel Chaque poste du compte de résultat prévisionnel suppose la centralisation et la sommation des éléments correspondants, éparpillés dans les différents budgets établis au niveau des différents services ou des différentes fonctions. Par exemple, dans les budgets opérationnels (production, commercialisation…) comme dans les budgets des services généraux administratifs, se trouvent des charges de personnel prévisionnelles qu’il faut sommer pour évaluer le compte  64 du compte de résultat prévisionnel. Même chose pour les dotations aux amortissements, les services extérieurs, etc. Le solde du compte de résultat prévisionnel permet de calculer le résultat prévisionnel qui vient équilibrer le bilan prévisionnel.

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Éléments

UE 121 • Contrôle de gestion

B. Le bilan prévisionnel Son établissement est facilité par le repérage d’un certain nombre d’éléments en amont, au moment de l’établissement d’autres budgets (le poste « clients » à l’occasion de l’établissement du budget des encaissements par exemple). Les postes de « haut de bilan » reflètent essentiellement les décisions financières en matière d’investissement et de financement. En revanche, les postes de « bas de bilan », en tant qu’éléments du besoin en fonds de roulement, découlent des prévisions en matière de niveau d’activité et des caractéristiques du cycle technico-commercial (décalages dans le temps dus aux délais de règlement). ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 16 (SADA) proposé en fin de série.

Chapitre 2. La gestion des ventes La prévision des ventes est souvent le point de départ de la démarche budgétaire : tous les budgets dépendent du niveau prévisionnel de l’activité. La première partie de cette section présente les modèles mathématiques (quantitatifs) de prévision des ventes. Une seconde partie développe les méthodes marketing (qualitatives) et les problèmes spécifiques liés aux couples produit-marché et au budget des frais commerciaux.

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Section 1. La

prévision des ventes

Les méthodes mathématiques de prévision des ventes s’appuient sur l’observation des ventes passées afin d’en déduire une loi (fonction mathématique) permettant de prévoir les ventes futures. Ces calculs se fondent essentiellement sur des régressions. La régression linéaire est de loin la plus utilisée dans les exercices du DCG et doit être parfaitement maîtrisée. Les régressions exponentielle, logarithmique et puissance sont également présentées. Dans une deuxième sous-partie sont présentés des perfectionnements statistiques qui permettent de tenir compte des effets de saisonnalité.

I. Les modèles statistiques de prévision Remarque La série 1 du cours présentait les éléments essentiels de statistique, et notamment les calculs de corrélation et de régression. Pour effectuer des extrapolations, il est nécessaire de disposer d’un historique des ventes. L’objectif est d’exprimer les ventes (variable à expliquer y) en fonction du temps (variable explicative x) : y = f(x). Les fonctions d’ajustement sont nombreuses et dépendent de la forme du nuage de points, c’est-à-dire de la croissance des ventes. Si les ventes évoluent de manière régulière (à la hausse ou à la baisse), c’est-à-dire si l’écart entre deux yi successifs est à peu près constant, l’ajustement linéaire est le plus adapté. On parle aussi de progression de type arithmétique.

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Contrôle de gestion • Série 3

Fonction linéaire (croissante) : y = 2x 20 18 16

Ventes

14 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

Temps Fonction linéaire (décroissante) : y = 30 – 2x 30 25

Ventes

20 15 10 5

0

2

4

6

8

10

Temps

Lorsque la progression n’est pas arithmétique, elle peut être géométrique : chaque yi est obtenu en multipliant le précédent par un coefficient à peu près constant. Dans ce cas, la fonction n’est pas linéaire, et il peut y avoir plusieurs possibilités. Si les ventes croissent, mais que cette croissance s’accélère, l’ajustement peut se faire soit par une fonction exponentielle, soit par une fonction puissance (avec un exposant supérieur à 1). Fonction puissance (croissante rapide) : y = 3 x X2 300 250

Ventes

200 150 100 50 0

0

2

4

6 Temps

26

8

10

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0

UE 121 • Contrôle de gestion

Fonction exponentielle : y = 3 × 2x que l’on peut écrire aussi : y = 3.e 0,6931x

1 800 1 600 1 400 Ventes

1 200 1 000 800 600 400 200 0

0

2

4

6

8

10

Temps

Si les ventes croissent, mais que cette croissance ralentit, l’ajustement peut se faire soit par une fonction logarithme, soit par une fonction puissance (mais avec un exposant inférieur à 1). Fonction puissance (croissante ralentie) : y = 2 × X0,3 5

3 2 1 0

0

2

4

6

8

10

8

10

Temps Fonction logarithme : y = 2.ln (x) 5 4

Ventes

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Ventes

4

3 2 1 0

0

2

4

6 Temps

Avant de décider quelle fonction d’ajustement sélectionner, il est souvent utile de tracer graphiquement la série des ventes et/ou de calculer l’écart entre les ventes de deux périodes successives.

201211TDPA0313

27

Contrôle de gestion • Série 3

A. Ajustement linéaire 1. Ajustement L’ajustement linéaire doit être parfaitement maîtrisé. Même si ce n’est plus d’actualité, c’est un ajustement qui peut être résolu sans calculatrice. Les ajustements puissance, exponentiel et logarithme peuvent être ramenés à des ajustements linéaires en utilisant certaines propriétés des fonctions logarithmes. Si l’évolution des ventes est régulière (ce que l’on peut vérifier en constatant une progression de type arithmétique), on peut pratiquer un ajustement linéaire (on dit également une régression) des ventes y par rapport au temps x, en modélisant les ventes sous la forme d’une fonction de type y = ax + b, le problème étant de déterminer les coefficients a et b par la méthode des « moindres carrés ». Remarque Calculatrice : Les coefficients a et b seront obtenus en exploitant les fonctions statistiques d’une calculatrice. Il est impératif de savoir exploiter une calculatrice. Un guide d’utilisation de trois calculatrices est proposé sur le site. À titre indicatif, les coefficients a et b sont obtenus par la méthode des moindres carrés à l’aide des calculs suivants : cov( X, Y ) Â ( Xi - X ) ( Yi - Y )  = V( X ) Â ( X i - X )2 b  Y - aX a =

Exemple applicatif 2

Années (x) N–4 N–3 N–2 N–1 N

Quantités vendues (y) 40 42 45 43 48

Il faut définir une échelle des temps, par exemple prendre x = 1 pour N–4, x = 2 pour N–3, etc. ce qui donne le tableau suivant : Années N–4 N–3 N–2 N–1 N

x 1 2 3 4 5

y 40 42 45 43 48

Il convient alors de saisir les couples (1,40)… (5,48) pour obtenir a et b. La calculatrice fournit alors : a = 1,7 et b = 38,5 Soit : y = 1,7x + 38,5 Pour obtenir les ventes prévisionnelles en N+1, il suffit de remplacer x par 6 : Ventes prévisionnelles en N+1 = (1,7 × 6) + 38,5 = 48,7 tonnes.

28

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Supposons que les statistiques commerciales des cinq dernières années concernant les ventes en tonnes du produit P soient les suivantes :

UE 121 • Contrôle de gestion

2. Point aberrant L’observation de la série chronologique peut conduire à observer des points aberrants, c’est-àdire des niveaux de ventes inexplicables, des accidents. Ces points doivent être retirés de la série avant de construire le modèle mathématique. Cette décision est éminemment subjective et dépend de l’appréciation des décideurs. Exemple applicatif 3 La société X a été créée le 1er juin N–5. Début N+1, elle souhaite prévoir son chiffre d’affaires pour l’année à venir. Les chiffres d’affaires constatés depuis sa création sont les suivants : Années Chiffres d’affaires en milliers d’euros Croissance absolue du chiffre d’affaires

N–5

N–4 100 /

N–3 320 220

N–2 350 30

N–1 370 20

N 395 25

420 25

Chiffre d’affaires

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450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Années 0

1

2

3

4

5

6

7

Les chiffres d’affaires évoluent quasiment de façon linéaire à l’exception de la première année qui constitue un point aberrant. La solution pour résoudre le problème posé consiste à supprimer ce point pour effectuer une prévision. Les couples (1, 320) … (5, 420) sont saisis et permettent d’obtenir : a = 24,5 b = 297,5 D’où la droite d’ajustement linéaire : Y = 24,5 X + 297,5. La prévision est obtenue en remplaçant X par 6. Chiffres d’affaires prévisionnels de N+1 = (24,5 × 6) + 297,5 = 444,5 milliers d’euros.

3. Cas particuliers Dans certains cas, quand les ventes d’un produit dépendent d’une variable économique autre que le temps, on peut faire l’ajustement en fonction de cette autre variable, si l’on dispose d’un historique. Par exemple, la production d’électricité dépend de façon très globale de la croissance économique, donc de l’évolution du PIB. Les fabricants de pneumatiques, pour le marché de la « première monte », établissent leurs propres prévisions de ventes sur les prévisions de vente de voitures neuves faites par les constructeurs automobiles, etc. Il s’agira toujours de modéliser le phénomène sous la forme d’une fonction Y = f(X). Dans des cas plus complexes, on peut avoir une fonction dépendant de plusieurs variables du type Y = f(X1 ; X2) : il faut utiliser les méthodes de l’économétrie.

B. Ajustement exponentiel L’évolution de l’activité peut ne pas être régulière : elle peut par exemple s’accélérer en période de lancement, de démarrage des activités. Par exemple, quand on lance un nouveau produit, en cas de succès la croissance peut être exponentielle pendant quelque temps, ce que l’on peut diagnostiquer en constatant des accroissements en progression non pas arithmétique, mais géométrique. Il faut alors une régression non pas linéaire, mais exponentielle.

201211TDPA0313

29

Contrôle de gestion • Série 3

Le schéma suivant illustre une tendance exponentielle croissante : y y = ax × b Croissance géométrique des Yi x

Le nuage de points s’ajuste par une fonction : y = ax × b que l’on peut écrire également y = eln(a).x × b ou y = b × ec.x Pour déterminer la fonction qui ajuste le nuage de points, il faut se ramener à un ajustement linéaire en utilisant les propriétés des logarithmes. ln y = ln (ax × b) ln y = ln ax + ln b ln y = x ln a + ln b Posons Y = ln y ; A = ln a ; B = ln b Les changements de variables donnent Y = Ax + B Il est alors possible de calculer A et B par un ajustement linéaire des couples (xi, ln yi). Dans un second temps, il faudra déterminer a et b à partir de A et B : A = ln a d’où a = exp A B = ln b d’où b = exp B Remarque Calculatrice : Quand la fonction ajustement exponentiel est intégrée dans la calculatrice, il ne faut pas saisir les couples (xi, ln yi), mais les couples (xi, yi).

Les dirigeants d’une entreprise souhaitent déterminer l’évolution du nombre de produits vendus en fonction des années et prévoir les ventes de N+1. Les volumes vendus sont les suivants : Années Nombre de produits

N–8

N–7

N–6

N–5

N–4

45 000

54 000

65 000

80 000

N–3

N–2

300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 Années

0

30

1

2

3

4

5

N

100 000 125 000 155 000 195 000 255 000

Volume

0

N–1

6

7

8

9 10

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Exemple applicatif 4

UE 121 • Contrôle de gestion

Remarque : Le choix de l’échelle est important. La même série peut sembler linéaire sur le graphique ci-après. Volume 300 000 200 000 100 000 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 Années

L’étude des taux de croissance de la variable y permet de vérifier la tendance exponentielle du volume des ventes : Années Nombre de produits Taux de croissance

N–8 45 000 –

N–7 54 000 20 %

N–6 N–5 65 000 80 000 20,37 % 23,07 %

N–4 100 000 25 %

N–3 125 000 25 %

N–2 155 000 24 %

N–1 195 000 25,8 %

N 255 000 30,77 %

Le nombre de produits est en progression géométrique : les ventes d’une année sont obtenues en multipliant celles de l’année qui précède par un coefficient à peu près constant. 1. Si la calculatrice possède le mode « ajustement exponentiel », il faut saisir les couples (1 ; 45 000), (2 ; 54 000) … (9 ; 255 000). On obtient alors :

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y = 1,241x × 34 667,109 Le volume des ventes prévisionnelles de N+1 est obtenu en remplaçant x par 10 : y(10) = 1,24110 × 34 667,109 = 300 355 2. Si la calculatrice ne possède pas la fonction « ajustement exponentiel ». Il convient de passer par les logarithmes de la variable y : xi yi Yi = ln yi

1 45 000 10,714

2 54 000 10,897

3 65 000 11,082

4 80 000 11,290

5 100 000 11,513

6 125 000 11,736

7 155 000 11,951

8 195 000 12,181

9 255 000 12,449

Pour déterminer la fonction d’ajustement exponentiel, il convient dans un premier temps de saisir les couples (1 ; 10,714), (2 ; 10,897) … (9 ; 12,449). L’exploitation de la calculatrice permet alors d’obtenir : A = 0,2162 B = 10,4535 Dans un second temps, il convient de rechercher a et b : A = 0,2162 d’où a = e0,2162 = 1,241 B = 10,4535 d’où b = e10,4535 = 34 667,109

C. Ajustement logarithme Lorsque les ventes sont en croissance, mais que cette croissance ralentit rapidement, et « semble » tendre vers une asymptote, comme si la croissance allait s’arrêter (attention, la fonction logarithme n’est pas asymptotique pour autant), l’ajustement logarithme peut être le plus adapté. C’est par exemple le cas d’un produit qui entre en phase de maturité (voir le cycle de vie d’un produit plus loin). La fonction logarithme est une fonction réciproque de la fonction exponentielle : Si y = ln(x) alors x = ey

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Contrôle de gestion • Série 3

Le schéma suivant illustre une tendance logarithme : Fonction logarithme : y = 2.ln (x) 12 10

Ventes

8 6 4 2 0

0

50

100

150

200

250

300

Temps

Le nuage de points s’ajuste par une fonction : y = a × ln(x).

D. Ajustement puissance L’ajustement de type puissance peut s’appliquer quand la croissance n’est pas linéaire, aussi bien lorsque cette croissance augmente, que lorsqu’elle diminue. L’ajustement puissance entre donc « en compétition » aussi bien avec l’ajustement exponentiel qu’avec l’ajustement logarithmique. Le nuage de points peut alors s’ajuster par une fonction : y = xa × b

L’utilisation des propriétés des logarithmes permet d’écrire : ln y = ln xa × b ln y = ln xa + ln b ln y = a ln x + ln b Posons Y = ln y ; X = ln x ; B = ln b Les changements de variables donnent Y = a X + B Il est alors possible de calculer a et B par un ajustement linéaire des couples (ln xi, ln yi). Dans un second temps, il faudra déterminer b à partir de B. Remarque Calculatrice : Quand la fonction ajustement puissance est intégrée dans la calculatrice, il ne faut pas saisir les couples (ln xi, ln yi), mais les couples (xi, yi). Exemple applicatif 5 Les dirigeants d’une entreprise souhaitent déterminer l’évolution du nombre de produits vendus sur les 18 derniers mois, et prévoir les ventes des 2 prochains mois. Mois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Ventes 210 310 440 570 710 830 940 1 040 1 130 1 210 1 290 1 370 1 430 1 480 1 520 1 550 1 570 1 580 Taux de 1,48 1,42 1,30 1,25 1,17 1,13 1,11 1,09 1,07 1,07 1,06 1,04 1,03 1,03 1,02 1,01 1,01 croissance

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Si le coefficient « a » est inférieur à 1, l’allure de la fonction est une croissance qui « ralentit », Au contraire, un coefficient exposant supérieur à 1 traduit une croissance qui s’accélère.

UE 121 • Contrôle de gestion

L’étude du taux de croissance (qui diminue dans le temps) permet d’évacuer l’ajustement exponentiel (taux constant), comme l’ajustement linéaire (variation constante). L’ajustement puissance va donc être mis en œuvre. Supposons une calculatrice qui ne possède pas la fonction « ajustement puissance » : il faut calculer les valeurs ln(x) et ln(y) avec x = mois et y = ventes. ln x ln y

0,00000 5,34711

0,69315 5,73657

1,09861 6,08677

1,38629 6,34564

1,60944 6,56526

1,79176 6,72143

1,94591 6,84588

2,07944 6,94698

(…) (…)

2,8903 7,3651

Pour déterminer la fonction d’ajustement puissance, il convient dans un premier temps de saisir les couples (0 ; 5,347), (0,693 ; 5,736)… (2,8903 ; 7,3651). C’est très laborieux. L’utilisation d’un tableur est beaucoup plus aisée. L’exploitation de la calculatrice permet cependant d’obtenir : a = 0,7457 B = 5,3295 R² = 98,95 % On constate que a est inférieur à 1, ce qui traduit la diminution de la croissance, et le R² est relativement proche de 1 ce qui est rassurant. Dans un second temps, il convient de rechercher b : b = exp(5,3295) = 206,33 Donc : y = x0,7457 × 206,33 Le volume des ventes prévisionnelles de N+1 est obtenu en remplaçant x par 19 et 20 : y (19) = 1 854 y (20) = 1 926

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Il est possible de vérifier les résultats obtenus avec le mode puissance d’une calculatrice. Dans ce cas, il faut saisir les couples (1 ; 210), (2 ; 310) … (18 ; 1 580). On constate cependant que l’ajustement puissance conduit ici à prédire des ventes de l’ordre de 1 900 alors que la simple observation de la série conduit à penser qu’elle atteindra une asymptote aux alentours de 1 600. Il peut être intéressant de comparer ce résultat à un ajustement logarithmique. L’ajustement est fourni directement par un tableur après avoir saisi la série des données : y = 557,88Ln(x) – 62,454 R² = 95,26 % y(19) = 1 580 y(20) = 1 609 On observe que les prévisions sont beaucoup plus proches de ce qui était attendu. Le R² est pourtant plus faible que dans le cas de l’ajustement puissance. On pourrait penser que l’ajustement puissance est meilleur. Série des données, ajustement log et ajustument puissance 2 000

1 500

1 000

500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

– 500

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Contrôle de gestion • Série 3

La représentation graphique ci-avant illustre le problème : la série réelle est représentée par la succession des carrés. La courbe continue représente l’ajustement logarithme, et la courbe discontinue représente l’ajustement puissance. On observe que l’ajustement puissance est meilleur pour représenter la partie centrale de la série, mais pas les valeurs les plus élevées (la partie droite de la série). Or les prévisions se situent justement au niveau de ces valeurs ! L’ajustement logarithme est donc préférable dans le cas présent.

Attention Les ajustements ne fournissent pas de bons résultats si les séries sont trop petites. Par ailleurs, il peut être dangereux de ne se fier qu’à la valeur du R² pour juger de la pertinence d’un ajustement. Il y a toujours une part d’interprétation, et donc d’arbitraire dans le choix d’un ajustement. Tracer la série sur un graphe est souvent le meilleur moyen de former son jugement.

II. La prise en compte de la saisonnalité des ventes Les représentations graphiques, appelées parfois « chronographes », permettent de mettre en évidence les trois composantes d’une série chronologique : • la tendance (ou trend en anglais) : évolution générale de longue durée ; • les variations saisonnières : fluctuations qui se reproduisent régulièrement aux mêmes périodes d’années en années ; • les aléas : mouvements imprévisibles (grèves, accidents, promotions…). Les aléas sont par définition difficiles, voire impossible à prévoir. L’entreprise peut se préparer à ces aléas en construisant des scénarios catastrophe, et en imaginant des réponses à adopter en cas de crise majeure. Mais elle ne peut pas prévoir leur survenance qui n’est qu’éventuelle.

A. Les représentations graphiques Le premier type de représentation graphique consiste à tracer l’évolution des ventes (y) dans le temps (x).

Tendance

Ce type de graphe, le plus courant, permet de mettre en évidence des fluctuations autour d’une évolution (croissante dans la figure ci-avant) dénommée « tendance ». Lorsque les fluctuations ne sont pas aléatoires, mais se répètent à un rythme régulier, il est possible de faire apparaître cette régularité de manière plus évidente en représentant chaque période (par exemple l’année) par une série distincte. La figure ci-après représente ainsi les ventes sur quatre périodes (elles-mêmes divisées en quatre sous-périodes : les trimestres). Chaque période (par exemple l’année) est représentée par une courbe différente. En abscisse ne figurent que les 4 trimestres.

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En revanche, les variations saisonnières sont récurrentes. Il est donc possible d’améliorer les ajustements mathématiques afin de les prendre en compte.

UE 121 • Contrôle de gestion

Aléa

x (mesure du temps)

La figure ci-avant montre de manière évidente que les ventes augmentent toujours lors du premier trimestre, quelle que soit l’année, puis diminuent lors du second trimestre, puis augmentent au troisième trimestre, et diminuent encore au quatrième trimestre. On observe sur une seule courbe une baisse très faible lors du second trimestre. Cette situation est inhabituelle, et peut être considérée comme un aléa. Les trois composantes d’une série chronologique avec variations saisonnières permettent de distinguer deux modèles :

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Modèle additif L’amplitude des variations saisonnières est indépendante de la tendance. Autrement dit, l’amplitude des variations saisonnières reste à peu près constante. ⇒ Graphiquement, les deux droites qui encadrent la courbe sont sensiblement parallèles.

Modèle multiplicatif L’amplitude des variations saisonnières est dépendante de la tendance. Autrement dit, l’amplitude des variations saisonnières est proportionnelle à la tendance. ⇒ Graphiquement, les deux droites qui encadrent la courbe sont divergentes [convergentes] pour une tendance à la hausse [à la baisse].

Lorsque les ventes présentent des aléas, ou des fluctuations saisonnières, prévoir les ventes futures est plus délicat puisque les modèles de régression traditionnels ne sont pertinents que lorsque l’évolution des ventes suit une tendance constante. Pour effectuer des prévisions, il faut décomposer l’analyse en trois temps. Dans un premier temps, on doit retirer les fluctuations de la série observée. On parle de « désaisonnaliser » les ventes. Dans un deuxième temps, la série désaisonnalisée permet de mettre en évidence une tendance à long terme (régression « classique »). Dans un troisième temps, la tendance permet de faire des prévisions, qui doivent être ajustées pour tenir compte de l’effet de saisonnalité via un coefficient saisonnier.

B. Les moyennes mobiles La méthode des moyennes mobiles centrées est une méthode qui permet de mettre en évidence une tendance lorsque la série présente des aléas ou des variations saisonnières. Les moyennes mobiles ont pour objectif de lisser ou désaisonnaliser la série c’est-à-dire de neutraliser les variations. La méthode se fonde sur le principe que si les données sont regroupées sur une année, les écarts saisonniers se compensent. Des moyennes annuelles successives, ou « glissantes » (d’où le terme « mobiles ») sont calculées sur des observations regroupées. Chaque observation est ensuite remplacée par la moyenne centrée sur cette période (calculée sur 4 trimestres pour une périodicité trimestrielle, 12 mois pour une périodicité mensuelle…).

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35

Contrôle de gestion • Série 3

Les modalités de calcul des moyennes mobiles sont nombreuses. Seule la plus courante est présentée. Soit p, le nombre de périodes dans une année. Le regroupement le plus courant se fait sur p+1 périodes en pondérant les périodes extrêmes par ½. Ainsi, la première moyenne mobile d’une série trimestrielle (« ordre 4 ») est : 1Y  Y  Y  Y  1Y 2 3 4 2 1 2 5 4 L’intérêt d’effectuer des regroupements sur p+1 périodes est de pouvoir effectuer des comparaisons entre une moyenne mobile et une donnée observée. En effet, si le calcul était effectué sur 32, 51 26, 91 23, 96  34,10 4  périodes, la première moyenne mobile serait centrée sur le tri4 mestre 2,5 (pour lequel il n’y a pas d’observation) ; la deuxième sur 3,5 ; etc. Le regroupement sur 5 périodes avec pondération de ½ des extrêmes permet de centrer la pre1 32, 51 26, 91 23, 96  34,10  1 30, 20 2 sur 3, la deuxième sur 4, etc. mière moyenne mobile 2 4 Trimestres N–3

1

2

3

4

5

1 ¥ 1 2  3  4  1 ¥ 5 2  : 3 = 2 4

Exemple applicatif 6 Trimestres Années

1er trimestre

2e trimestre

3e trimestre

4e trimestre

Totaux

30 32 35 36

27 28 29 32

24 25 27 29

34 36 38 40

115 121 129 137

N–3 N–2 N–1 N

Évolution des ventes

Ventes

40 35 30 25 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Trimestres

36

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45

UE 121 • Contrôle de gestion

La série montre des variations qui se répètent à intervalles réguliers. Le modèle de cette série est additif car la progression des valeurs extrêmes est à peu près parallèle. La saisonnalité peut être mise en évidence de manière encore plus évidente en superposant les quatre courbes annuelles sur un même graphe : Évolution des ventes N

40

N–1

N

Ventes

35

N–2 N–3

N–1

N

N–2

30

N–2 N–3

25

N

N–1

N–3

N–1 N–2 N–3

20

1

2

3

4

Trimestres

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Calcul et représentation graphique des moyennes mobiles d’ordre 4. Trimestres Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

201211TDPA0313

Ventes Yi 30 27 24 34 32 28 25 36 35 29 27 38 36 32 29 40

Calcul des moyennes mobiles

(30/2 + 27 + 24 + 34 + 32/2) / 4 = (27/2 + 24 + 34 + 32 + 28/2) / 4 = …

(38/2 + 36 + 32 + 29 + 40/2) / 4 =

Moyennes mobiles

29 29,375 29,625 30 30,625 31,125 31,5 32 32,375 32,875 33,5 34

37

Contrôle de gestion • Série 3

Remarque La méthode élimine des informations en début et en fin de série. C’est inévitable. Évolution des ventes 45

Moyennes Mobiles (tendance)

Ventes

40 35 30 25 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

Trimestres

Conclusion La méthode permet simplement de constater une tendance. Elle permet de lisser (c’est-àdire d’éliminer les variations saisonnières) la série mais n’exprime pas la relation mathématique entre X et Y.

C. Les coefficients saisonniers La composante saisonnière d’une série chronologique peut être mesurée par des coefficients saisonniers. La méthode la plus utilisée est la méthode des rapports à la tendance. Dans un premier temps, il faut rechercher la fonction d’ajustement de la tendance, elle-même mise en évidence par la série des moyennes mobiles. Dans un second temps, il faut calculer les coefficients saisonniers à partir des rapports entre les données observées (ventes réelles) et les valeurs de la tendance (ventes théoriques si les ventes suivaient le modèle mathématique). Par exemple, si le premier trimestre les ventes sont toujours supérieures de 20 % à la moyenne, on utilisera ce coefficient de 20 % pour prévoir les ventes des premiers trimestres futurs. Remarque Dans les exercices, les saisonnalités sont souvent exprimées par trimestres sur une période d’étude annuelle (4 saisons dans l’année). Mais le modèle peut être appliqué à des variations mois par mois, semaine par semaine, ou jour pour jour. Dans un point de vente, les ventes quotidiennes connaissent des fluctuations importantes. Les ventes du samedi par exemple peuvent être 2, 3 ou 4 fois plus importantes que les ventes du lundi.

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C’est pourquoi le calcul des moyennes mobiles ne permet pas de faire des prévisions. La tendance doit être déterminée par la méthode des moindres carrés afin d’obtenir la fonction qui la représente (voir les ajustements décrits plus haut).

UE 121 • Contrôle de gestion

Exemple applicatif 7 Appliqué à la série ci-après (moyennes mobiles de l’exemple précédent), l’ajustement linéaire (réalisé sur une calculatrice) fournit l’équation : Trim. Ventes

1

2

3 4 5 6 7 8 9 29 29,375 29,625 30 30,625 31,125 31,5

10 11 12 13 32 32,375 32,875 33,5

14 34

15

16

a = 0,4589 b = 27,433 y = 0,4589.x + 27,433 Le R² = 99,52 % est un indicateur de la qualité de la régression. Très proche de 1 (100 %) il signifie que la régression traduit bien la dispersion des données (c’est une bonne régression de la tendance). Évolution des ventes 45

y = 0,4589 x + 27,433 R2 = 0,9952

Ventes

40 35 30 25 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

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Trimestres

Cette représentation permet de constater comment se situent les trimestres par rapport à la tendance : • tous les trimestres 1 sont situés au-dessus de la tendance ; • tous les trimestres 2 sont situés au-dessous de la tendance ; • tous les trimestres 3 sont situés au-dessous de la tendance ; • tous les trimestres 4 sont situés au-dessus de la tendance. Cela va se traduire par la détermination des coefficients saisonniers. Les coefficients des trimestres 1 et 4 seront supérieurs à 1 (on multiplie la tendance par un nombre supérieur à 1) et les coefficients des trimestres 2 et 3 seront inférieurs à 1. Trimestre 1 Ventes Ventes observées d’après la (Y) tendance (T) N–3 30 27.89(1) N–2 32 29.73 N–1 35 31.56 N 36 33.40 Coefficients (c)

Trimestre 2 Yi Ti 1.08 1.08 1.11 1.08 1,08

Yi

Ti

26,91 26,06 30,36 28,77

28.35 30.19 32.02 33.86

Yi Ti 0.95 0.93 0.91 0.95 0,93

Trimestre 3 Yi

Ti

23,96 25,86 27,97 24,55

28.81 30.65 32.48 34.32

Yi Ti 0.83 0.82 0.83 0.85 0,83

Trimestre 4 Yi

Ti

34,10 33,24 42,36 38,61

29.27 31.10 32.94 34.78

Yi Ti 1.16 1.16 1.15 1.15 1,16

∑ = 4

(1) Les valeurs de la tendance sont calculées avec la droite Ti = 0,4589xi + 27,433 et en posant x = 1, x = 2, … x = 16 ; par exemple, T1 = (0,4589 × 1) + 27,433 = 27,892.

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Contrôle de gestion • Série 3

Remarque Le total des coefficients saisonniers doit être égal à p (nombre de périodes d’une année). Ici, 1,08 + 0,93 + 0,83 + 1,16 = 4. Les coefficients saisonniers servent à « désaisonnaliser » une série et/ou à faire des prévisions : • Désaisonnalisation : pour étudier l’évolution de la série indépendamment des variations saisonnières, les coefficients saisonniers sont utilisés pour désaisonnaliser les observations : Valeur désaisonnalisée = observation ÷ c • Prévisions : les prévisions sont estimées en utilisant l’équation de la droite de tendance, puis saisonnalisées grâce aux coefficients saisonniers : Valeur prévue = tendance × c Exemple applicatif 7 (suite) Calcul des prévisions de chiffre d’affaires pour l’année N+1 17 35,23 1,08 38,05

Tendance(1) Coefficient (c) Prévision = tendance × c

18 35,69 0,93 33,19

19 36,15 0,83 30,01

20 36,61 1,16 42,47

(1) Les valeurs de la tendance sont calculées avec la droite Ti = 0,4589xi + 27,433 et en posant x = 17, x = 18, …

Évolution des ventes 45

35 30 25 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Trimestres

Conclusion Les modèles mathématiques de prévision des ventes permettent de prendre en compte les variations saisonnières. Cependant, il est réducteur de considérer le temps comme seul facteur explicatif. De plus, comme dans toute méthode fondée sur l’étude du passé, les structures étudiées sont supposées se reproduire dans le futur. La méthode n’est donc fiable qu’à court terme. Elle doit être complétée par des analyses plus qualitatives lorsque l’évolution des ventes n’est pas régulière, ou lorsque l’horizon de l’étude est à long terme. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 2 (Jardipro) proposé en fin de série.

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Ventes

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UE 121 • Contrôle de gestion

Section 2. Les

approches marketing

Les méthodes statistiques supposent que l’on puisse s’appuyer sur un historique et reposent sur l’hypothèse que la tendance générale va se continuer. Elles sont donc inopérantes dans le cas de nouveaux produits, ou pour prédire des changements de tendance. Elles ne sont donc pas suffisantes, et doivent être complétées par des analyses marketing plus qualitatives.

I. Le cycle de vie du produit En ce qui concerne les changements de tendance, on peut se référer à la théorie du cycle de vie des produits. Un produit passe généralement par 4 phases : lancement, développement, maturité, déclin. y (ventes) Croissance en déclin Croissance linéaire

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Croissance exponentielle

x (temps) Lancement

Développement

Maturité

Déclin

Dans la phase de lancement, on saute dans l’inconnu. Le point crucial est constitué par la décision de lancement. C’est là que les études de marché sont déterminantes. L’évaluation de la demande prévisionnelle est évidemment pleine d’aléas. Une technique très souvent employée consiste à faire un lancement test, dans une seule région par exemple, pour voir les réactions des clients. Si le lancement est un échec, tout du moins au départ, le nouveau produit génère des pertes et pose un dilemme : faut-il persévérer, éventuellement augmenter l’effort publicitaire, ou au contraire arrêter les frais ? On voit que le contrôleur de gestion est assez démuni pour pouvoir donner un conseil : c’est de la responsabilité des commerciaux et de la Direction générale de prendre la décision. Mais le système comptable doit permettre de chiffrer la progression des dépenses, afin d’éclairer le choix : on ne peut pas accumuler les pertes au-delà du raisonnable. Si le lancement est un succès, c’est là que généralement on assiste à une progression exponentielle des ventes. Puis, une fois le lancement réussi, le taux de croissance des ventes va se stabiliser, et on va entrer dans une phase d’évolution régulière. On sait que les ventes vont augmenter de x % tous les ans. Le produit va conquérir son marché potentiel, qui dépend du marché global, mais aussi de la part de marché de l’entreprise qui est le fruit de sa notoriété. L’adhésion à un panel par exemple permet à l’entreprise de se situer par rapport à ses concurrents et l’aide à anticiper l’évolution du marché. Le produit arrive ensuite en phase de maturité. C’est le cas pour des produits comme les réfrigérateurs ou les téléviseurs : quand près de 100 % des ménages sont équipés, on n’a plus qu’un

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Contrôle de gestion • Série 3

marché dit de remplacement (on rachète un appareil quand le vieux tombe en panne, le coût de la réparation n’étant guère inférieur au prix d’un neuf), et les taux de croissance deviennent nuls : on vend tous les ans la même quantité. Notons que tout l’art du marketing est justement, en liaison avec la recherche-développement, d’échapper à cette stagnation par une politique d’innovation : les réfrigérateurs classiques constituent un marché de remplacement, mais les appareils distributeurs de glaçons sont eux, en phase de développement ! Même chose pour les téléviseurs, dont les ventes sont relancées avec les écrans plats ou les appareils de « home cinéma ». Enfin, le produit connaît une phase de déclin, lié à l’obsolescence, au fait que le produit est dépassé du fait des évolutions technologiques ou sociologiques. Les ventes se mettent à décroître, ainsi que les résultats, et il faut songer à retirer le produit du catalogue avant de faire des pertes. Le produit peut totalement disparaître du marché (on ne le trouve plus que dans les brocantes…), ou se réfugier dans quelques « niches » très particulières (l’automobile a fait disparaître les chevaux de traits, et donc le métier de maréchal-ferrant et la production de fers, sauf pour les besoins des courses hippiques par exemple). Dans chaque secteur d’activité, les professionnels ont en général une bonne appréciation du cycle de vie (durée moyenne d’un modèle dans l’industrie automobile par exemple). Par ailleurs, au niveau de la conception des produits, très souvent la durée de vie est « programmée » (cas de l’électroménager par exemple). On peut donc gérer le renouvellement du catalogue. Même si sur un produit en particulier on peut se tromper sur le moment exact du changement de tendance, sur l’ensemble d’une gamme de produits, les prévisions globales peuvent être satisfaisantes. Pour ce faire, la pratique qui consiste à demander périodiquement aux commerciaux de terrain, qui sont en contact quotidien avec les clients, comment ils « sentent » l’évolution du marché (ce qui permet par exemple de calculer le pourcentage de commerciaux « optimistes »), permet de recueillir de précieuses indications. Encore faut-il compter avec le comportement actuel (dit « postmoderne ») des consommateurs, qui ont de plus en plus tendance à « zapper » entre les marques…

II. Les études qualitatives Les études qualitatives ont pour objet d’analyser les causes qui pourraient affecter la demande d’un produit. Ce sont des méthodes tournées vers le futur et largement fondées sur l’intuition des prévisionnistes. En fonction du champ temporel, il est possible de distinguer les méthodes de prévisions à court terme et les méthodes de prévisions à long terme (la « prospective »). Les principales méthodes qualitatives à court terme sont essentiellement constituées par les enquêtes d’opinion réalisées auprès des vendeurs et/ou auprès des clients. La prospective repose sur la réflexion commune de dirigeants d’entreprises et d’experts sur un sujet donné. On distingue deux méthodes : • La méthode Delphi : cette méthode est fondée sur la consultation d’experts. Elle a été développée aux États-Unis au milieu du xxe siècle, et son nom s’inspire de la ville grecque antique de Delphes où la Pythie (l’oracle) faisait ses prédictions. Les experts sont consultés dans un premier temps, via un questionnaire, sans connaître la réponse des autres experts du groupe. Les réponses sont dépouillées et utilisées pour faire un nouveau questionnaire à nouveau soumis au groupe d’experts qui peuvent modifier leur réponse originale compte tenu des résultats du groupe qui ont été communiqués. Plusieurs tours d’enquêtes sont ainsi effectués jusqu’à l’obtention d’un consensus. • La méthode des scénarios : elle consiste à dégager plusieurs hypothèses concrètes et non plus seulement la plus consensuelle.

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Les modèles statistiques de prévisions peuvent être combinés à l’analyse du cycle de vie du produit : si les ventes d’un produit sont en phase de croissance, on utilisera un ajustement de type exponentiel, alors qu’en phase de maturité, un ajustement linéaire sera sans doute plus adapté.

UE 121 • Contrôle de gestion

III. Les aspects volontaristes : les objectifs commerciaux Il faut d’autre part considérer que la détermination des ventes prévisionnelles n’est pas uniquement affaire de prévision. Nous ne sommes pas dans un univers totalement déterministe (comme dans le cas des prévisions météorologiques par exemple) dans lequel les conditions objectives de l’environnement de marché permettraient de calculer le volume d’affaires. Un budget est également un acte volontariste, un instrument de motivation permettant d’afficher des objectifs plus ou moins ambitieux. D’une certaine façon, « quand on veut, on peut ». Pour motiver les vendeurs, il existe toute une série de techniques : incitations financières (primes, commissions avantageuses), cadeaux et récompenses gratifiantes diverses (au meilleur vendeur de l’année, qui gagne un voyage aux Antilles et sa photo dans le journal interne par exemple). Par ailleurs, on peut aussi motiver le client : par la publicité, par les actions promotionnelles (couponing), par des rabais et remises, par une politique de prix attractive.

IV. Les effets d’élasticité et la politique commerciale En fait, il y a tout un ensemble de « leviers » sur lesquels une direction commerciale peut jouer. L’aspect prix est souvent déterminant, surtout quand on se trouve en situation de « concurrence monopolistique », avec des produits pouvant être différenciés par rapport à ceux des concurrents (par la marque ou la qualité du service après-vente par exemple). L’entreprise doit donc fixer son prix, et se trouve confrontée à un problème d’élasticité (revoir le paragraphe « Politique de prix optimal » de la série 2).

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Notons que cet effet d’élasticité de la demande par rapport au prix peut également jouer par rapport au prix d’un AUTRE produit, notamment en cas de substituabilité. On parle alors d’élasticité croisée. Si par exemple le prix du pétrole et donc du fuel domestique de chauffage augmente, les consommateurs vont être incités à se reporter sur d’autres sources, gaz ou énergie solaire par exemple. La variation du prix du pétrole induit une variation de la demande de gaz ou d’appareils de chauffage solaire : on aura une élasticité, cette fois en général positive. Plus généralement, la politique commerciale ne se limite pas au seul facteur prix. D’autres éléments, sur lesquels on peut jouer, sont tout aussi importants : les caractéristiques du produit (de plus ou moins bonne qualité par exemple), le mode de distribution (hypermarché ou magasins spécialisés), et le mode de communication publicitaire (annonces dans des journaux grand public ou dans des magazines de luxe). Les spécialistes du marketing expliquent que l’important est qu’il y ait une cohérence entre ces différents éléments du « plan de marchéage » (le « marketing mix ») : par exemple pour des produits cosmétiques, plusieurs politiques sont possibles : produits bas de gamme dans les magasins discount, produits de luxe dans les parfumeries. Ce problème de cohérence peut représenter un redoutable dilemme pour les producteurs. Par exemple, peut-on vendre un champagne de marque dans un supermarché, à quelques mètres des boîtes de petits pois ou des couches culottes ? Notons que ceci pousse souvent les producteurs à se diversifier dans des « sous-marques » : le même produit pour l’essentiel est décliné sous des marques et un packaging différent pour toucher différents segments de clientèle via des canaux de distribution différents. Tout ceci montre que finalement les ventes dépendent beaucoup des décisions de politique commerciale, et donc de l’intelligence et de la créativité des équipes. Même dans des secteurs historiquement en déclin, on trouve toujours des entreprises qui « tirent leur épingle du jeu » grâce à une politique pertinente. Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé « Fromages » proposé dans les ressources de l’UE 121 sur le site Internet www.cnamintec.fr.

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Contrôle de gestion • Série 3

Section 3. Problèmes I.

spécifiques liés au budget des ventes

Aspects multidimensionnels du problème

Pour établir le budget des ventes de l’entreprise, il faut tenir compte de plusieurs dimensions. Nous avons déjà identifié deux des dimensions à considérer : les produits (il n’y a aucune raison pour que les ventes des différents produits évoluent de façon homothétique) et les périodes (on ne peut pas se contenter d’une prévision annuelle globale : du fait de la saisonnalité, il faut décomposer en mois ou en trimestres). Mais il y en a d’autres. On peut avoir à tenir compte de différents marchés, définis soit de façon géographique (ventes domestiques et ventes à l’exportation par exemple), soit par types de clientèles (marchés civils, marchés militaires). Généralement, il faut également tenir compte de la structure du réseau commercial, si l’on veut ensuite contrôler les performances. Par exemple, si nous avons un réseau d’agences régionales, chaque agence aura son budget. D’autres critères peuvent s’imposer dans certains secteurs d’activité, obligeant à des regroupements encore différents. Par exemple, dans les secteurs des télécommunications ou de l’énergie, la récente évolution en matière réglementaire, qui impose aux opérateurs historiques (France Telecom, EDF et GDF) la fin du monopole sur une partie de leurs activités, oblige à distinguer entre secteur régulé et secteur dérégulé, ouvert à la concurrence (on peut s’attendre à une baisse de l’activité dans le secteur dérégulé, les nouveaux entrants prenant naturellement des parts de marché. Mais notons que les effets globaux sont ambivalents : par exemple GDF perd une partie de son monopole sur le gaz, mais peut maintenant vendre de l’électricité…). Nous sommes donc dans une logique « multidimensionnelle ». Il faut pour les besoins de la gestion pouvoir présenter les prévisions budgétaires selon différents « axes » (c’est d’ailleurs le même problème qu’en comptabilité analytique).

Le problème, c’est que pour présenter un budget, on ne dispose généralement que de tableaux à 2 dimensions, les informations étant disposées en lignes et colonnes. Par exemple, avec une organisation par marchés géographiques, chaque agence régionale peut établir son budget avec les produits en lignes et les mois en colonnes : Mois Produit 1 Produit 2 ……… Produit i ………. Totaux

J

F

M

A

Budget de l’agence 1 M J J A

S

O

N

D

Totaux

L’établissement de ce budget s’appuie sur un programme, de même format, établi en quantités. Les programmes et les budgets des différentes agences sont centralisés et consolidés pour avoir le budget global de l’entreprise.

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II. Un exemple classique : le triptyque produit-marché-période

UE 121 • Contrôle de gestion

Schéma B : Consolidation des budgets des agences …. Budget de l’agence 2

Budget global

Budget de l’agence 1

En aval, les totaux en quantités par produits peuvent être utilisés pour établir le programme de production, et les totaux en euros par mois peuvent être utilisés pour établir le budget des encaissements en trésorerie.

III. Le système d’information à mettre en place

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Si l’on fait les calculs « à la main », le problème multidimensionnel est très difficile à gérer. La solution passe par l’utilisation des systèmes de gestion de bases de données (de type ORACLE par exemple). Ceci a tendance à se généraliser avec l’utilisation des Progiciels de Gestion Intégrés ou PGI (en anglais ERP pour Entreprise Ressource Planning). Les prévisions élémentaires sont saisies de manière multidimensionnelle (par exemple telle quantité de tel produit dans telle agence) pour alimenter la base de données à partir de laquelle on peut extraire à la demande les informations voulues (notamment, en aval, pour présenter les états de contrôle budgétaire).

IV. Le budget des frais commerciaux Certains coûts fixes reflètent à un moment donné la structure, l’organisation et l’importance des services commerciaux (par exemple l’amortissement des locaux, les salaires du personnel qui administre les ventes). Certains coûts variables de nature « logistique » sont en gros proportionnels aux ventes (par exemple, les frais de livraison par la poste pour une société de vente par correspondance). Même chose pour la partie variable de la rémunération des vendeurs (commissions). Pour ces éléments, on est dans la logique du « budget flexible » étudié plus haut. Les prévisions budgétaires sont fonction de l’activité prévisionnelle, et donc peuvent être chiffrées de façon linéaire (Budget = Frais fixes + Frais variables en fonction des ventes). En revanche, pour des postes importants comme le budget de publicité, la logique s’inverse : ce n’est pas le budget de publicité qui dépend des ventes prévisionnelles, mais les ventes prévisionnelles qui dépendent de l’effort publicitaire (ou alors, c’est à douter de la pertinence de tous les enseignements du marketing !). Il faut donc commencer par décider du budget de publicité, avoir une idée de son efficacité commerciale, pour ensuite évaluer les ventes prévisionnelles (pour un niveau de prix donné). La publicité est intégrée dans les charges du budget, mais on voit qu’en fait il s’agit plutôt d’un investissement, ce qui se constate souvent sous la forme d’un « effet de rémanence », comme en physique : si par exemple on a fait régulièrement beaucoup de publicité tous les ans, ce qui a conforté la notoriété du produit, et si soudainement on supprime la publicité, la notoriété va continuer pendant un certain temps et à court terme les ventes vont très peu diminuer, les clients ayant l’habitude d’acheter le produit. Évidemment, si on continue à ne plus faire de publicité, les ventes vont décroître inexorablement. Mais l’effet est retardé. Nous sommes donc en fait devant un système d’interactions complexes, pour lequel la prédictabilité dépend beaucoup des volumes et de l’expérience. Par exemple, une PME qui décide

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Contrôle de gestion • Série 3

pour la première fois de faire une campagne de spots publicitaires à la télévision pour sortir de l’anonymat n’a aucun moyen de prévoir sérieusement les résultats et la croissance engendrée : c’est la loterie. En revanche, pour une multinationale qui exploite un portefeuille de marques connues et qui alloue annuellement un budget de publicité donné pour soutenir ses parts de marché, le problème est routinisé et la dépense publicitaire peut être considérée comme un pourcentage du chiffre d’affaires. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 2 « Jardipro » proposé en fin de série.

Chapitre 3. La gestion des stocks et des approvisionnements La gestion des stocks et des approvisionnements a pour objectif de définir le programme d’approvisionnement qui permet de gérer les stocks au moindre coût compte tenu de deux exigences contradictoires : • Limiter le niveau des stocks. • Éviter les ruptures de stocks. Les stocks sont un « mal » nécessaire : • Ils sont de gros consommateurs de financement (« le stock, c’est de l’argent qui dort »), d’espace, de temps… • Cependant, même si l’objectif « zéro stock » est fréquemment annoncé, ils assurent une fonction de régulation en fluidifiant les relations entre les postes de travail successifs, entre les fournisseurs et les clients. Les stocks contribuent à la performance économique de l’entreprise : un excès pèse sur les coûts (donc sur la rentabilité), une insuffisance expose à l’insatisfaction du client ou, en interne, à une rupture de l’activité.

Section 1. Le

suivi administratif des stocks

L’informatisation croissante des systèmes de gestion des stocks (généralisation du code-barres et des lecteurs optiques) a permis une simplification de la gestion administrative des stocks. Dans une entreprise, la diversité des stocks est telle qu’il n’est souvent pas opportun de les suivre tous. En effet, il peut être long et coûteux de faire un suivi complet de tous les éléments. Les méthodes de suivi administratif des stocks ont pour objectif de déterminer les stocks qui feront l’objet d’un suivi précis. Cette segmentation est fondée sur le principe de la gestion par exception selon lequel un nombre petit de références stockées représente une part importante de la consommation, alors que le reste représente une part faible. L’importance est généralement appréciée par la valeur des consommations. La segmentation effectuée repose sur une loi empirique constatée par Pareto (1848‑1923) dite loi des 20‑80 : environ 20 % des références stockées représentent 80 % de la valeur de la consommation totale. Cette distinction approximative conduit à classer les références stockées en deux groupes : les références qui feront l’objet d’un suivi rigoureux et celles qui feront l’objet d’une procédure plus souple.

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Par ailleurs, l’obsolescence, les invendus et la spéculation sont d’autres facteurs à intégrer.

UE 121 • Contrôle de gestion

Une extension de cette méthode (méthode ABC, mais qui malgré le même nom n’a aucun lien avec la comptabilité à base d’activités) consiste à répartir plus finement les stocks en trois groupes : Groupe A Groupe B Groupe C

Pourcentage des références 10 % 25 % 65 %

Pourcentage des consommations en valeur 65 % 25 % 10 %

Limites de ces méthodes : • Approche quantitative : certaines références peu coûteuses peuvent être fondamentales. • La politique de réapprovisionnement dépend de la qualité de la relation avec les fournisseurs, de la capacité de réaction des fournisseurs à livrer des commandes non prévues… Exemple applicatif 8 La société A a décidé d’adopter la gestion différenciée de ses références stockées en se fondant sur la méthode 20/80. Pour cela, elle souhaite établir la courbe de concentration de la consommation des références utilisées pour déduire, d’une part les références à gérer individuellement et, d’autre part, les références qui feront l’objet de commandes trimestrielles.

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Annexe Références A B C D E F G H

Coût d’achat unitaire 57 17 13 72 27 72 95 60

Quantité consommée 1 000 2 300 1 200 2 500 750 660 8 000 530

Pour tracer la courbe de concentration, il convient de classer les consommations en fonction de leur valeur et d’en faire le cumul croissant. 1. Classement des consommations en fonction de leur valeur Références A B C D E F G H Total

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Coût d’achat unitaire 57 17 13 72 27 72 95 60

Quantité consommée 1 000 2 300 1 200 2 500 750 660 8 000 530

Valeur totale 57 000 39 100 15 600 180 000 20 250 47 520 760 000 31 800 1 151 270

3 5 8 2 7 4 1 6

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Contrôle de gestion • Série 3

2. Calcul des cumuls croissant en pourcentage des consommations et des références Références

Cumul croissant des consommations €

1G 2D 3A 4F 5B 6H 7E 8C

760 000 940 000 997 000 1 044 520 1 083 620 1 115 420 1 135 670 1 151 270

Cumul croissant des consommations en % 66,01 % 81,65 % 86,60 % 90,73 % 94,12 % 96,89 % 98,64 % 100,00 %

Cumul croissant des références en %(1) 12,50 % 25,00 % 37,50 % 50,00 % 62,50 % 75,00 % 87,50 % 100,00 %

(1) Il y a 8 références. Chaque référence représente donc 1/8 (soit 12,5 %).

3. Courbe de concentration Cumul des consommations en % 100,00 % 90,00 % 80,00 % 70,00 % 60,00 % 50,00 % 40,00 % 30,00 % 20,00 %

0,00 % 0,00 %

12,50 %

25,00 %

37,50 %

50,00 %

62,50 %

75,00 %

87,50 % 100,00 %

Cumul des références en %

Selon la loi des 20‑80, les deux références G et D, qui représentent le quart des références et 81,65 % de la valeur des consommations, doivent faire l’objet d’un suivi précis. La méthode ABC distinguerait la référence G en premier groupe, puis les références D et A en deuxième groupe, et enfin les références F, B, H, E et C pour le dernier groupe.

Section 2. Principaux modèles en avenir certain

de gestion de stocks

Les modèles de gestion des stocks au programme sont essentiellement fondés sur le modèle dit de Wilson. Ce modèle attribué à Wilson en 1934 aurait été développé dès 1913 par la société Harris. Il est issu de la recherche opérationnelle, et a pour objectif de déterminer un programme optimal d’approvisionnement (quantité optimale à commander et nombre optimal de commandes à passer) qui permet de minimiser le coût d’approvisionnement. On parle également de « Formule du lot économique ». Après avoir présenté les paramètres communs aux modèles, le modèle de Wilson puis ses adaptations (prise en compte d’un stock de sécurité, des tarifs dégressifs et des ruptures de stocks) sont exposés.

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10,00 %

UE 121 • Contrôle de gestion

I. Présentation des paramètres La détermination d’un programme d’approvisionnement se fait à partir de l’étude d’une fonction, notée CG, qui exprime le coût de gestion total du stock. Cette fonction est la somme : • du coût de lancement (ou coût de passation) des commandes qui représente l’ensemble des charges supportées pour passer une commande (recherche des fournisseurs, appels téléphoniques…) ; • du coût de stockage (ou coût de possession) qui représente l’ensemble des charges liées à l’existence de stocks (local adapté, manutention, gardiennage, obsolescence, manque à gagner du fait de l’immobilisation de capitaux en stocks…) ; • et, dans le cas du modèle avec pénurie, du coût de pénurie (ou coût de rupture) qui exprime le manque à gagner et l’insatisfaction des clients. L’objectif est de minimiser le coût total de gestion du stock pour la période de gestion. Coût global de lancement + Coût global de stockage + Coût global de la pénurie Coût total de gestion du stock

CL CS CP CG

Pour comprendre la formulation de la fonction qui exprime le coût de gestion total du stock, il est essentiel de présenter les différents paramètres d’un problème en distinguant les données qui sont connues et communiquées dans l’énoncé, et les inconnues (quantité optimale à commander, nombre optimal de commandes à passer et période d’approvisionnement). Données d’un problème (éléments connus) Demande (ou consommation)

Notation

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D

Période de gestion du stock Coût de lancement (ou coût de passation) d’une commande Coût de stockage pour une unité de produit

P cl

cs

Coût de pénurie pour une unité de produit

cp

Commentaires Besoin en unités physiques à satisfaire pendant la période de gestion. Il peut être d’origine interne (consommations nécessaires à une production) ou d’origine externe (demande des clients). Durée pour laquelle est exprimée la demande. Frais internes supportés par l’entreprise pour passer une commande. Coût de possession du stock pour une unité de produit pour une unité de temps. Il peut être exprimé directement en euros, et/ou sous forme de taux. • Valoriser cs dans le cas d’un taux de possession : cs = coût du bien × taux • Un an peut signifier : P = 1 P = 12 P = 360 selon l’unité de mesure des coûts Coût lié à la rupture de stock pour une unité de produit pour une unité de temps.

Remarque Bien noter que le coût de stockage et le coût de pénurie doivent être valorisés et qu’il devra y avoir homogénéité entre l’unité de temps retenue pour les exprimer et la période de gestion du stock.

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49

Contrôle de gestion • Série 3

INCONNUES (à déterminer) La quantité à commander à chaque réapprovisionnement Le nombre de commandes à passer pendant la période de gestion La durée de la période d’approvisionnement

Notation Q

Commentaires Ne pas confondre avec la demande qui est connue.

n T

Intervalle de temps qui sépare deux approvisionnements successifs.

Remarque Il existe une relation entre les paramètres à déterminer : D D P   Q   T Q n n Par exemple, si une demande de 10 000 est prévue pour une année : Si Q = 5 000 alors n = 2 et T = 6 mois Q = 2 000 alors n = 5 et T = 2,4 mois

n

II. Le modèle dit de WILSON Le modèle de Wilson suppose que : • la demande est régulière et connue de façon certaine ; • le réapprovisionnement est instantané. En conséquence : • les ruptures de stocks ne sont pas prises en considération ; • l’existence de stocks de sécurité est inutile.

Les ruptures étant impossibles, le stock nécessaire est égal à Q. Q

Stock moyen

Temps T T T T n périodes d’approvisionnement T pour la période de gestion

A. La fonction à étudier L’objectif est de déterminer le programme d’approvisionnement (Q, n, T) qui minimise CG, le coût total de gestion du stock pour la période de gestion. Les pénuries n’étant, par hypothèse, pas possibles : CG = CL + CS

50

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Stock

UE 121 • Contrôle de gestion

1. Étude pour une période d’approvisionnement T Le stock moyen = (stock initial + stock final)/2

Stock

Q  × cs × T 2 • Coût de lancement d’une commande : cl

Q

• Coût du stockage du stock moyen :

Temps

T

2. Pour la période de gestion P : ces coûts se répètent n fois Q CG = cl × n +   × cs × T × n 2 P Or : T = n P Q CG = cl × n +   × cs ×   × n 2 n Q CG = cl × n +   × cs × P 2 L’étude de CG peut être indifféremment effectuée en fonction de la variable Q ou de la variable n. La recherche de la valeur qui annule la dérivée permet de déterminer les valeurs optimales. Exemple applicatif 9

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La société B prévoit de vendre pour l’année à venir 7 200 articles qu’elle achète 150 euros l’un. Elle souhaite déterminer son programme d’approvisionnement optimal. Le coût de lancement d’une commande est de 180 euros. Le responsable du stockage estime que le coût du stockage se compose du taux de possession du stock qui exprime le coût de l’argent immobilisé, soit 0,5 % par mois, et du coût physique du stockage, soit 0,02 euro par article et par jour. Éléments du coût • Taux de possession • Coût

Valeur 150 × 0,5 % = 0,75 0,02

Q 2

Unité de temps de cs mois jour

Valeur de P P = 12 P = 360

Q 2

CG = 180 × n +   × 0,75 × 12 +   × 0,02 × 360 CG = 180 n + 8,1 Q Q = 7 200/n Le choix de la variable à retenir (Q ou n) pour exprimer le coût total de gestion du stock est généralement dicté dans les énoncés (ici, Q = 7 200/n). 7 200 + 8,1 Q Q 1296 000 + 8,1 Q Soit CG (Q) = Q

CG(Q) = 180

7 200 n 58 320 Soit CG (n) = 180 n +  n CG (n) = 180 n + 8,1

La recherche de la valeur qui annule la dérivée permet de déterminer les valeurs optimales (notées Q*, n* et T*). Il sera admis qu’il s’agit d’un minimum (en toute rigueur, il faudrait calculer la dérivée seconde et montrer qu’elle est positive).

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51

Contrôle de gestion • Série 3

Fonction étudiée

CG (Q) =

Intervalle d’étude

] 0 ; +∞ [

Dérivée S’annule pour D’où

1296 000 + 8,1 q Q

CG (n) = 180 n + 

58 320 n

] 0 ; +∞ [

1296 000 CG’(Q) = – + 8,1 Q2 Q2 = 160 000 Soit pour Q = 400 Q* = 400 articles n* = 7 200/400 = 18 commandes T* = 360/18 = 20 jours CG (400) = 3 240 + 3 240 = 6 480 €

CG’ (n) = 180 –

58 320 n2

n2 = 324 Soit pour n = 18 n* = 18 commandes Q* = 7 200/18 = 400 articles T* = 360/18 = 20 jours CG (18) = 3 240 + 3 240 = 6 480 €

Remarque La résolution numérique conduit théoriquement à calculer deux valeurs de Q : – 400 et + 400. Mais il est évident que les quantités ne peuvent pas être négatives. C’est pourquoi on ne retient que la valeur + 400. C’est ce qui distingue un exercice de mathématique d’un exercice de contrôle de gestion. Représentation graphique Coûts

Coûts CG (n) CL (n)

CG (Q) CS (Q) 6 480

6 480

3 240

3 240 CL (Q)

CS (n)

400

18

n

Le programme optimal de la société B consiste donc à passer 18 commandes de 400 articles chacune, soit une commande tous les 20 jours, pour un coût global de gestion du stock de 6 480 euros. L’étude graphique des fonctions permet de constater qu’à l’optimum le coût global de lancement est égal au coût global de stockage, et que l’optimum correspond à un minimum.

B. Formule de Wilson donnée à titre indicatif La formule de Wilson permet d’obtenir plus rapidement le programme optimal d’approvisionnement. Cependant, elle repose sur la mémoire et certaines épreuves peuvent imposer une résolution fondée sur la dérivation d’une fonction… À titre indicatif, cette formule est la suivante : Q* =

2 D ¥ cl c’s

Attention, dans cette formule, c’s désigne le coût de stockage pour la période de gestion P du stock. Appliquée à l’exemple 2, la formule donne : Q* =

52

2 ¥ 7 200 ¥ 180  = 16,2

2 592 000  = 160 000  = 400 commandes 16,2

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Q

UE 121 • Contrôle de gestion

Avec D = 7 200 cl = 180 c’s = (150 × 0,5 % × 12) + (0,02 × 360) = 16,2

C. Limites du modèle Le modèle de Wilson suppose que les ruptures de stocks ne sont pas possibles. Dans la pratique, les entreprises peuvent chercher à limiter ce risque en détenant un stock de sécurité ou peuvent, au contraire, intégrer ce risque pour limiter leur stock moyen. Le modèle de Wilson ne tient pas compte du fait que les quantités commandées ont souvent une incidence sur le prix d’achat. Ces insuffisances ont donné lieu à des adaptations du modèle de Wilson. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 3 « Alpha » proposé en fin de série.

III. Modèle intégrant un stock de sécurité Pour éviter les ruptures de stock, les entreprises peuvent détenir un stock de sécurité qui permet de faire face à des événements imprévus (retards de livraison, accélération de la demande, etc.). L’existence d’un stock de sécurité augmente le stock moyen : Stock Q+S

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Q

(Q  S)  S 2 Q Stock moyen = + S 2 Stock moyen =

S Stock de sécurité (S)

Temps

Exemple applicatif 9 (suite) La société B décide de conserver en permanence un stock de 50 articles pour faire face aux imprévus. ÊQ ˆ ÊQ ˆ CG = 180 n + Á  50˜  × 9 + Á  50˜  × 7,2 Ë2 Ë2 ¯ ¯ CG = 180 n + 8,1 q + 810 Fonction étudiée

CG (Q) =

Intervalle d’étude

] 0 ; +∞ [

Dérivée S’annule pour (1)

D’où

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1296 000 + 8,1 q + 810 Q

1296 000 CG’(Q) = – + 8,1 Q2 Q 2 = 160 000 Soit pour Q = 400 Q* = 400 articles n* = 7 200/400 = 18 commandes T* = 360/18 = 20 jours CG (400) = 6 480 + 810 = 7 290 €

CG (n) = 180 n + 

58 320 + 810 n

] 0 ; +∞ [ CG’ (n) = 180 –

58 320 n2

n 2 = 324 Soit pour n = 18 n* = 18 commandes Q* = 7 200/18 = 400 articles T* = 360/18 = 20 jours CG (18) = 6 480 + 810 = 7 290 €

53

Contrôle de gestion • Série 3

Le programme optimal de la société B est donc inchangé. Il consiste à passer 18 commandes de 400 articles chacune, soit une commande tous les 20 jours. En revanche le coût global de gestion du stock devient égal à 7 290 euros. Conclusion : le stock de sécurité n’a pas d’incidence sur la détermination du programme d’approvisionnement (Q*, n*, T*) car il s’agit d’une constante dont la dérivée est nulle. En revanche, le coût global de gestion du stock est plus élevé : il faut stocker et financer le stock de sécurité. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 3 « Alpha » proposé en fin de série.

IV. Stock d’alerte (ou stock critique) Le stock d’alerte ou stock critique est le niveau de stock qui déclenche une commande. Il s’agit du niveau de stock qui permet de satisfaire la demande pendant le délai de livraison et de maintenir le stock de sécurité s’il existe. Stock d’alerte = consommation pendant le délai de livraison + stock de sécurité Le stock d’alerte peut être déterminé graphiquement ou algébriquement et deux situations sont à distinguer : cas où le délai de livraison est inférieur à la période T d’approvisionnement et cas où le délai de livraison est supérieur à la période T d’approvisionnement. Si le délai de livraison est supérieur à la durée de la période d’approvisionnement, il convient d’enlever la ou les commandes en cours. Exemple applicatif 9 (suite)

Le stock au début de chaque période d’approvisionnement étant de 400 articles, et la durée de la période d’approvisionnement étant de 20 jours, la demande quotidienne de la société B est de 20 articles (20 = 400/20 ; ou 7 200/360 = 20). La demande pendant 5 jours est donc égale à 100 articles (100 = 20 × 5). • Sans stock de sécurité : Le stock de sécurité étant nul, le stock d’alerte est égal à 100 articles. Stock

Q

Une livraison L doit avoir lieu à la fin de la période T. Une commande C doit être passée 5 jours avant. Par « projection », le stock d’alerte SA est déterminé.

SA

C T

54

5 jours

L

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1. Calculer le stock d’alerte de la société B si le délai de livraison des fournisseurs est de 5 jours, sans stock de sécurité et avec stock de sécurité.

UE 121 • Contrôle de gestion

• Avec stock de sécurité : Le stock de sécurité étant de 50, le stock d’alerte est égal à 100 + 50 = 150 articles. Stock

Q SA

S

C

5 jours

L

T

2. Calculer le stock d’alerte de la société B si le délai de livraison des fournisseurs est de 25 jours, sans stock de sécurité et avec stock de sécurité. La demande pendant 25 jours est donc égale à 500 articles (500 = 20 × 25). Il conviendra d’enlever les commandes en cours puisque le délai de livraison est supérieur à 20 jours. • Sans stock de sécurité : Le stock de sécurité étant nul, le stock d’alerte est égal à 500 – 400 = 100 articles. Stock Document de travail réservé aux élèves de l’Intec – Toute reproduction sans autorisation est interdite

Cette commande sera livrée pendant le délai de livraison Q

SA

C

25 jours

L T

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Contrôle de gestion • Série 3

• Avec stock de sécurité : Le stock d’alerte est égal à 500 + 50 – 400 = 150 articles. Stock Cette commande sera livrée pendant le délai de livraison Q

SA

S

C

25 jours

L T

➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 3 « Alpha » proposé en fin de série.

V. Modèle avec tarifs dégressifs

A. Détermination du coût total d’approvisionnement L’objectif est modifié : il s’agit de minimiser le coût total d’approvisionnement, noté CA, pour tenir compte des économies engendrées par la dégressivité du prix d’achat. CA = Coût d’achat + Coût total de gestion du stock Le coût total d’approvisionnement est étudié pour chaque tranche de tarif.

B. Détermination du minimum La recherche de la solution optimale nécessite de calculer la valeur qui annule la dérivée pour chaque hypothèse de prix, et de vérifier la cohérence entre la valeur obtenue et les conditions d’approvisionnement proposées par le fournisseur. Si la valeur obtenue est compatible avec l’intervalle, la fonction est étudiée pour ce point ; si elle ne l’est pas la fonction est étudiée pour les bornes de l’intervalle. Exemple applicatif 10 La société C prévoit que sa consommation de matières premières sera de 900 litres pour l’année à venir. Le coût du stockage est évalué à 10 % par an et le coût de lancement d’une commande est de 800 euros.

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Les fournisseurs accordent un tarif dégressif en fonction des quantités commandées, remettant ainsi en cause une des hypothèses du modèle de Wilson.

UE 121 • Contrôle de gestion

Les conditions de prix de son fournisseur habituel sont les suivantes : Quantités commandées Q Q < 100 litres 100 ≤ Q < 300 litres Q ≥ 300 litres

Prix du litre p = 400 € p = 350 € p = 300 €

Détermination de la quantité optimale à commander Q CA = 900 × p + 800 n +   × (p × 10 %) × 1 2 900 Q +   × 0,1 p CA (Q) = 900 × p + 800 Q 2

CA (Q) Dérivée

Q < 100 p = 400 720 000 360 000 +  + 20 Q Q 720 000 + 20 Q2 Q* ≈ 189,73

S’annule pour Remarque Incompatible avec la tranche Étudier CA des bornes ÉTUDE CA (1) = 1 080 020 € de CA CA (99) ≈ 369 252 €

100 ≤ Q < 300 p = 350 720 000 315 000 +  + 17,5 Q Q 720 000 + 17,5 Q2 Q* ≈ 202,83

Q ≥ 300 p = 300 720 000 270 000 +   + 15 Q Q 720 000 + 15 Q2 Q* ≈ 219,09

Compatible avec la tranche Étudier CA (Q*) CA (202) ≈ 322 099 €

Incompatible avec la tranche Étudier CA des bornes CA (300) = 276 900 € CA (900) = 284 300 €

Remarque Pour le dernier intervalle, la quantité maximale à commander n’est pas l’infini (∞) mais D.

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La comparaison des coûts totaux d’approvisionnement de la société C indique que le coût total d’approvisionnement est minimal pour une commande de 300 litres. Le programme d’approvisionnement optimal consiste donc à passer trois commandes de 300 litres chacune, soit une commande tous les 4 mois, pour un coût total d’approvisionnement de 276 900 euros. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 4 « Entreprise M » proposé en fin de série.

VI. Modèle avec pénurie (ou modèle avec rupture) Le niveau du stock est volontairement limité pour diminuer le coût du stockage. Des ruptures de stock se produisent quand le stock (S) en début de période d’approvisionnement est inférieur à la quantité économique nécessaire pour satisfaire le besoin de la période (Q). La rupture de stock se traduit par un manque à gagner : le coût de pénurie. Ce modèle suppose que la demande est « captive », c’est-à-dire que les demandes non satisfaites ne sont pas perdues, mais simplement différées à la période suivante. Les clients en attente sont livrés le jour du réapprovisionnement. Pour résoudre les problèmes avec pénurie, deux approches sont possibles : une approche « mathématique » et une approche plus simple mais qui repose sur la mémorisation d’un lien avec le modèle de Wilson de base et qui ne démontre pas l’optimum.

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Contrôle de gestion • Série 3

A. Présentation du modèle Étude pour une période d’approvisionnement T :

S

Stock limité à S, inférieur au besoin Q de la période

Q

Q–S

Ts

Tp

T = Ts + Tp

S0 S Le stock moyen conservé pendant la période de stockage Ts est égal à :  2 2 S Coût de stockage =  × cs × Ts 2 La rupture de stock commence en début de période Tp pour atteindre Q – S en fin de période. 0Q - S Q - S La pénurie moyenne pendant la période Tp est égale à :  2 2 Q-S Coût de pénurie =  × cp × Tp 2 D’après les propriétés relatives aux triangles semblables (ou rapports de Thalès), et sachant que P T = , il est possible d’écrire : n Ts T S P S  d’où : Ts = T soit Ts = ¥ Q n Q S Q Tp Q-S T P Q-S  d’où : Tp = T soit Tp = ¥ et Q Q- S Q n Q Pour la période de gestion P : ces coûts se répètent n fois. CL = cl × n S  × cs × Ts × n 2 Q-S  × cp × Tp × n CP = 2 ÈS ˘ ÈQ - S ¥ c ¥ T ¥ n ˘ CG = [cl × n] + Í ¥ cs ¥ Ts ¥ n ˙ + Í p p ˙˚ Î2 ˚ Î 2 P S P Q-S ˘ ÈQ - S ˘ ÈS Soit : CG = [cl × n] + Í ¥ cs ¥ ¥ ¥ n ˙ + Í ¥ cp ¥ ¥ ¥ n˙ n Q n Q ˚ Î 2 ˚ Î2 Q-S S ˘ ÈS ˘ ÈQ - S ¥ cp ¥ ¥ P˙ D’où : CG = [cl × n] + Í ¥ cs ¥ ¥ P ˙ + Í Q Q Î2 ˚ Î 2 ˚ D Or : n = Q D S Q-S ÈS ˘ ÈQ - S ˘ ¥ cp ¥ ¥ P˙ Donc : CG (S, Q) = ÈÍc1 ¥ ˘˙ + Í ¥ cs ¥ ¥ P ˙ + Í Q˚ Î 2 Q Q Î ˚ Î 2 ˚ CS =

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Coût de lancement = cl

UE 121 • Contrôle de gestion

Il s’agit d’une fonction à deux inconnues S et Q. La recherche des valeurs qui annulent les dérivées premières permet de déterminer les valeurs optimales. Exemple applicatif 11 La société D prévoit de revendre pour l’année à venir 1 500 produits X. Elle souhaite déterminer son programme d’approvisionnement optimal. Le coût de lancement d’une commande est de 243 euros. Le responsable du stockage estime que le coût du stockage d’un produit X est de 0,75 euro par mois, et que le coût lié à la pénurie d’un produit est de 0,225 euro par jour. 1 500 S S Q-S Q-S CG (S, Q) = 243 +   × 0, 75 ×   × 12 +   × 0, 225 ×   × 360 2 Q 2 Q Q 364 500 S2 (Q - S)2 + 4,5 + 40, 5 CG (S, Q) = Q Q Q 2 2 364 500 (Q - 2 SQ  S2 ) S CG (S, Q) = + 4,5 + 40,5 Q Q Q 364 500 S2 S2 CG (S, Q) = + 4,5 + 40,5 Q – 81 S + 40,5 Q Q Q 364 500 S2 CG (S, Q) = + 45 + 40,5 Q – 81 S Q Q • Il convient de commencer par calculer la dérivée première par rapport à S (la variable Q est S considérée comme une constante) : CG’S (S, Q) = 90 – 81. Q S 81 S La dérivée s’annule pour  =  ; soit pour  = 0,9. Q 90 Q • Il faut ensuite calculer la dérivée première par rapport à Q (la variable  S est considérée comme une constante) :

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CG’Q (S, Q) = –

364 500 S2 – 45 + 40,5 Q2 Q2

S Or, d’après la dérivée par rapport à S, on sait que  = 0,9. Q 364 500 2 + 40,5 CG’Q (S, Q) = – – 45 (0,9) Q2 364 500 + 4,050 CG’Q (S, Q) = – Q2 La dérivée s’annule pour Q2 = 90 000. Soit pour Q* = 300 (nous admettrons qu’il s’agit d’un minimum). S  = 0,9 d’où S* = 0,9 × 300 = 270 produits. Q n* = 1 500/300 = 5 commandes

On en déduit que :

T* = 360/5 = 72 jours S d’où Ts = 72 × 0,9 = 64,8 ≈ 65 jours Q Q-S 300 - 270 d’où Tp = 72 ×   = 72 × 0,1 = 7,2 ≈ 7 jours Tp = T Q 300 364 500 2702 + 45 + 40,5 × 300 – 81 × 270 = 2 430 € CG (270,300) = 300 300 La société doit donc posséder un stock initial de 270 produits et passer 5 commandes par an de 300  articles soit une commande tous les 72  jours. Pendant chaque période d’approvisionnement, elle pourra satisfaire la demande pendant 65 jours (64,8 exactement) et sera en rupture pendant 7 jours (7,2 exactement). Le coût total de gestion du stock est de 2 430 euros par an. Ts = T

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Contrôle de gestion • Série 3

B. Lien avec le modèle de Wilson Le taux de pénurie, noté α, permet de faire un lien entre le modèle de Wilson (sans pénurie) et le modèle avec pénurie et de vérifier la valeur qui annule la dérivée première par rapport à S : α =

cp cp  cs

Exprimer cp et cs par rapport à la période de gestion P. À titre indicatif, cette formule est la suivante : Modèle de WILSON

Modèle avec rupture 1 a

Qw

Q* = Qw ¥

nw

n* = nw ¥ a

Tw

T* = Tw ¥

1 a

Exemple applicatif 11 (suite) 1. Vérification des résultats obtenus à partir de ceux du modèle de Wilson.

Q CG = 243 n +   × 0,75 × 12 2 1 500 + 4,5 Q CG (Q) = 2 43 Q 364 500 + 4,5 Q CG (Q) = Q 364 500 + 4,5 CG’ (Q) = – Q2 La dérivée s’annule pour Q ≈ 284,604 D’où n ≈ 5,27 et T ≈ 68,30 CG (284,604) = 2 561,44 Le taux de pénurie de la société est : α =

0, 225 ¥ 360  = 0,9 (0, 225 ¥ 360 )  0, 75 ¥ 12

S qui annule la dérivée première par rapport à S du modèle avec On retrouve ici la valeur Q pénurie. Modèle de Wilson Q ≈ 284, 604 n ≈ 5,27 T ≈ 68,30 CG = 2 561,44 €

60

Modèle avec pénurie Q* = 284,604 × 

1  = 300 produits 0,9

n* = 5,27 ×  0,9  = 5 commandes T* = 68,30 × 

1  = 72 jours 0,9

CG = 2 430 €

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Si la société D n’intègre pas le coût de pénurie (modèle de Wilson) le coût total de gestion du stock est :

UE 121 • Contrôle de gestion

2. Comparaison des résultats et conclusion Le modèle avec rupture des stocks permet de diminuer le coût total de gestion du stock puisque le stock de début de période est volontairement moins important que la quantité nécessaire Q. En revanche, l’entreprise prend le risque de ne pas satisfaire toute la demande de la période. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé  5 « Société M » proposé en fin de série.

Section 3. Les

modèles de gestion de stocks en avenir incertain

À l’opposé des modèles précédents, la demande est incertaine et, pour se protéger des variations de la demande, il convient de constituer un stock. L’objectif des modèles en avenir incertain est de déterminer le niveau de stock S* au début de chaque période d’approvisionnement T pour minimiser le coût de gestion. Les modèles sont nombreux et parfois complexes… Seul le cas de coûts non proportionnels au temps est étudié.

I. La demande est une variable aléatoire continue Il est admis que le coût aléatoire de gestion est minimum pour la valeur S du stock telle que : P(D ≤ S) =

Cp Cp  Cs

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Exemple applicatif 12 Une boucherie a constaté que la vente journalière de viande de bœuf est une variable aléatoire qui suit une loi normale N (500 kg ; 75 kg). La viande est vendue 25 €/kg et la boucherie réalise un bénéfice de 10 €/kg. La viande invendue est vendue comme viande pour animaux au prix de 7 €/kg. 1. Déterminer le stock optimal de viande que la boucherie doit présenter à la vente chaque jour. En déduire le stock de sécurité. • cp = manque à gagner du fait d’une demande supérieure au stock = 10 € • Coût d’achat = 25 – 10 = 15 € • D’où cs = coût d’un invendu = 15 – 7 = 8 € • Le coût de gestion est minimum pour : 10 10  8 P(D < S) = 0,5555 P(D < S) =

Effectuons le changement de variable pour pouvoir utiliser la loi normale centrée réduite : S - 500 S - 500 ) = 0,5555 ; posons t = 75 75 P(T < t) = 0,5555 P(T < 

S - 500  = 0,14 et S* = 510,50 kg 75 Stock de sécurité = 510,5 – 500 = 10,5 kg

t ≈ 0,14 d’où :

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Contrôle de gestion • Série 3

2. Déterminer le niveau de stock à constituer pour ne pas dépasser un taux de rupture de 10 %. P(D > S) = 0,1 S - 500 S - 500 ) = 0,9 ; posons t = 75 75 P(T < t) = 0,9 P(T < 

La lecture de la table de la loi normale centrée réduite permet d’obtenir t ≈ 1,28 S - 500 ≈ 1,28 75 S* = 596 kg Stock de sécurité = 596 – 500 = 96 kg 3. Déterminer le nombre moyen de jours de rupture pour une année (ouverture 315 jours) quand le stock quotidien est de 510,5 kg. D’après le premier élément de réponse de cet exemple, pour un jour, la probabilité d’être en rupture est 1 – 0,5555 = 0,4445. Les ventes quotidiennes sont indépendantes les unes des autres. Le risque de rupture suit une loi binomiale B (315 ; 0,4445). L’espérance mathématique de la loi binomiale (n × p) permet de déterminer le nombre moyen de jours de rupture pour une année : 315 × 0,4445 = 140. Il y a donc environ 140 jours de rupture de stock pour 315 jours d’ouverture. ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 3 « Alpha » proposé en fin de série.

Il convient de présenter une matrice des coûts de gestion des stocks (lignes) en fonction de la demande (colonnes) et de retenir la décision qui minimise l’espérance de coût. Dans certains problèmes, il peut s’agir de maximiser l’espérance de gain. Exemple applicatif 13 La loi de probabilité de la demande hebdomadaire du produit P est la suivante : D P(D)

0 0,1

10 0,4

20 0,3

30 0,2

Le coût de pénurie est de 6 euros par article manquant et le coût de stockage est de 4 euros par article invendu. Demande Stock 0 10 20 30

0

10

20

30

E (Coût)

0 40 (2) 80 120

60 (1) 0 40 80

120 60 0 40

180 120 60 0

96 (3) 46 36 56

La solution optimale est un stock de 20 produits P au début de chaque semaine pour minimiser l’espérance du coût de gestion du stock.

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II. La demande est une variable aléatoire discrète

UE 121 • Contrôle de gestion

Section 4. Budgétisation

des approvisionnements

La budgétisation fait apparaître l’échelonnement dans le temps des prévisions de consommation, de commande, de livraison et de niveau de stock. Quand la consommation est régulière, il n’y a pas de difficulté particulière pour effectuer la budgétisation. Quand la consommation est irrégulière, le gestionnaire des approvisionnements a le choix entre deux modes de budgétisation : • Commander des quantités constantes à périodicité variable : cette procédure facilite le stockage. • Commander des quantités variables à périodicité constante : cette procédure facilite le travail administratif en introduisant une régularité dans le calendrier. La budgétisation des approvisionnements peut être obtenue par une méthode graphique et/ou par une méthode « comptable ». Exemple applicatif 14 La société E prévoit de vendre pour l’année à venir 1 500 marchandises M à 119,60 euros TTC. La société E applique un taux de marge de 25 % du coût d’achat et applique le taux de TVA normal. Le coût de lancement d’une commande est de 400 euros et le coût de possession est estimé à 0,5 % par mois. Les ventes mensuelles prévues sont les suivantes : Mois Ventes Cumul

J 50 50

F 150 200

M 100 300

A 75 375

M 80 455

J 80 535

J 120 655

A 125 780

S 90 870

O 200 1 070

N 160 1 230

D 270 1 500

Le stock au premier janvier est de 300 unités de marchandise M. Le délai d’approvisionnement est d’un mois et le stock de sécurité de 15 jours. Le stock initial devra être reconstitué en fin d’année.

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Le programme d’approvisionnement optimal se détermine à partir du modèle de Wilson : Le coût de stockage nécessite le calcul préalable du coût d’achat = 100/1,25 = 80 €. 1 500 Q +   × (0,5 % × 80) × 12 CG (Q) = 400 ×  2 Q 600 000 + 2,4 CG’ (Q) = – Q2 La résolution donne : Q* = 500 ; n* = 3 ; T* = 4 mois

I. Commander des quantités constantes à périodicité variable Les étapes de la résolution graphique sont les suivantes : • Tracer les consommations cumulées. • Reporter le stock initial. • Déterminer la première date de rupture (quand le stock est égal à la consommation cumulée). • Reporter à partir de cette rupture le stock de sécurité puis délai de livraison pour obtenir la date de livraison et la date commande. • Reporter la livraison au niveau de la date de livraison.

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Contrôle de gestion • Série 3

Consommations cumulées 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Ne pas oublier de reporter L3 Q = 500 à la date L3

Livraison Q = 500 à la date L2

Livraison Q = 500 à la date L1 (et non pas R1)

1

2 C1

3

4

5

6

L1 R1

7 C2

15 jours avant la ruptur e, il doit y avoir une livraison commandée 1 mois avant

8 L2 R2

9

10

11

C3

L3 R3

12

Attention à la lecture : R2 début sept. (et non pas août) ; L2 fin août et non pas fin juillet

La méthode comptable ou méthode du tableau nécessite de présenter une ligne décembre N–1 pour le report du stock initial et une colonne stock théorique. Mois

Besoin

Déc N–1 J F M A M J J A S O N D

50 150 100 75 80 80 120 125 90 200 160 270

Stock Date théorique de rupture 300 250 100 0 31 mars 425 345 265 145 20 – 70 6 sept. 230 70 – 200 8 déc.

Livraison

Stock Date Date rectifié de commande de livraison

Quantité commandée

500

500

15 février

15 mars

500

500

520 430

21 juillet

21 août

500

500

570 300

23 octobre

23 novembre

500

La première rupture a lieu fin mars. Une livraison est faite 15 jours avant, soit le 15 mars et la commande est passée le 15 février. Le stock de mars est alors rectifié pour être porté à 500.

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0

UE 121 • Contrôle de gestion

La deuxième rupture a lieu courant septembre. Fin août, le stock (avant livraison) est égal à 20 et sachant que la consommation de septembre est de 90 pour 30 jours, une interpolation linéaire permet de préciser la date : 30 Æ 90 90 J = 30 × 20 ; J = 6,67 = 6 (par prudence, arrondir par défaut) Ì ÓJ Æ 20 La troisième rupture a lieu courant décembre. Fin novembre, le stock (avant livraison) est égal à 70 et sachant que la consommation de décembre est de 270 pour 31 jours, une interpolation linéaire permet de préciser la date : 31 Æ 270 270 J = 31 × 70 ; J = 8,03 = 8 (par prudence, arrondir par défaut) Ì ÓJ Æ 70

II. Commander des quantités variables à périodicité constante Une fois les premières dates de rupture, de livraison et de commande déterminées, il convient de se reporter 4  mois plus tard (valeur de T), puis de calculer par différence le montant à commander.

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Consommations cumulées 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Ne pas oublier de reporter L3 Par différence entre D et les livraisons précédentes Q = 1 500 – 355 – 575 = 570 1 230 fin nov.

Livraison pour arriver à 1 230, soit Q = 1 230 – 655 Q = 575 Livraison pour arriver à 655, soit Q = 655 – 300 Q = 355

0

1

2 C1

Cumul 655 fin juillet

3 L1 R1

4

5

6 C2

7 L2 R2

8

9

10 C3

11 L3 R3

12

Reporter 4 mois plus tard les dates

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Contrôle de gestion • Série 3

Méthode comptable ou méthode du tableau Mois

Besoin

Déc N–1 J F M A M J J A S O N D

50 150 100 75 80 80 120 125 90 200 160 270

Stock Date théorique de rupture 300 250 100 0 31 mars 280 200 120 0 31 juillet 450 360 160 0 30 nov. 300

Livraison

Stock Date Date rectifié de commande de livraison

Quantité commandée

355

15 février

15 mars

355

575

15 juin

15 juillet

575

570

15 octobre

15 novembre

570

La périodicité est de 4 mois. Le volume des commandes correspondra aux sorties de la période à venir : 355 = 75 + 80 + 80 + 120 575 = 125 + 90 + 200 + 160 La dernière livraison est obtenue par différence : 570 = 1 500 – 355 – 575

Section 5. Le

juste à temps

Le pilotage de la production par l’aval part de la demande pour enclencher la production et cherche à satisfaire la demande juste au moment où elle se manifeste, dans la juste quantité, dans la juste qualité. Cette démarche, lancée par Toyota dans les années 1970, cherche à réduire les coûts et les délais par la production à flux tendus, c’est-à-dire sans attente ni stock. Le JAT a été popularisé par le slogan des cinq zéros à atteindre (zéro papier, zéro stock, zéro défaut, zéro délai, zéro panne) qui symbolise la qualité totale.

I. Un enjeu essentiel : la suppression des stocks Pour les auteurs Japonais, le JAT est plus qu’un modèle de gestion de production : c’est une philosophie. Ainsi, pour les Japonais, les stocks ne sont pas un régulateur pour éviter les dysfonctionnements, mais une manifestation de leur existence (pannes, conflit social, absentéisme, rupture d’approvisionnement…).

II. Conditions organisationnelles pour la réussite du JAT • Améliorer la circulation de l’information En effet, la production se faisant en réponse à la demande, il est nécessaire que celle-ci parvienne sans erreur.

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La gestion des stocks et des approvisionnements a été profondément transformée sous la pression des nouvelles organisations de la production en « juste à temps » (JAT). Les méthodes classiques ne sont plus vraiment adaptées aux conditions actuelles de la production flexible et à stocks réduits.

UE 121 • Contrôle de gestion

• Les deux principaux outils du JAT sont : –– En interne, le système Kanban qui est un système d’information reposant sur des étiquettes pour assurer le pilotage par l’aval. Chaque stade de production produit pour la seule quantité commandée quand il reçoit l’étiquette du stade aval. La simplicité du kanban n’est qu’apparente. Pour que le système fonctionne, il faut que le processus de production ait été fiabilisé (zéro panne, coordination entre les postes sans faille, approvisionnements externes garantis…). –– En externe, l’échange de données informatisées (EDI). • Rationaliser la localisation Par exemple, les sièges des véhicules Renault sont fabriqués par un sous-traitant situé à quelques kilomètres. Toutes les 30 secondes, quand un véhicule est lancé sur la chaîne de montage, une transmission EDI déclenche automatiquement la commande chez le sous-traitant. Un camion livre toutes les 20 minutes, et environ 2 heures se sont écoulées entre l’ordre de fabrication et la livraison. • Rationaliser les ateliers –– Fiabilité des machines (importance de la maintenance), polyvalence des machines. –– Changement rapide d’outils (SMED : single minute exchange of die) . –– Minimiser les déplacements, chasser les opérations inutiles… • Développer l’autocontrôle à chaque stade (d’où motivation, formation du personnel) • Alléger les structures : réactivité.

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Les principales limites des méthodes de production à flux tendus sont les suivantes : • Incapacité du JAT à s’adapter à des fluctuations de volume importantes. D’autres moyens doivent être mis en place comme la flexibilité des emplois ou l’aménagement du temps de travail. • Difficulté à se caler uniquement sur la demande qui émane du marché. Même Toyota, à l’origine du JAT, est obligée de faire des prévisions pour orienter les volumes de production, quitte à individualiser les produits au dernier moment.

Chapitre 4. La gestion de la production Le rôle de la fonction production est de fournir les biens et services correspondant aux objectifs fixés par la direction, et permettant de satisfaire la demande exprimée sur le marché. La réalisation des biens et des services se fait en combinant des facteurs de production. La satisfaction de la demande vise à répondre au mieux aux besoins des consommateurs. La gestion de la production, comme toute problématique de gestion, vise donc à optimiser la production (produire le plus possible, dans les meilleurs délais possibles, et avec la qualité la meilleure possible) sous contrainte (les ressources de l’entreprise ne sont pas illimitées). Une première série de problèmes en gestion de la production s’intéresse aux quantités à produire sous la contrainte liée à l’utilisation des facteurs de production. Bien entendu, si l’entreprise est mono-produit, le problème se résume à produire le plus possible de ce produit. Mais si l’entreprise est multiproduit, le problème devient plus complexe puisque une multitude de combinaisons de production est possible. La gestion de la production vise donc à déterminer une combinaison productive (quantité des différents produits) optimale, c’est-à-dire maximisant les bénéfices de l’entreprise tout en minimisant la consommation de ressources. Une deuxième série de problèmes en gestion de la production s’intéresse plus spécifiquement à l’organisation dans le temps de la production : ce sont les problèmes d’ordonnancement qui seront abordés dans une deuxième partie de la section « programmation de la production ». Une première section présente les deux grands modèles théoriques d’organisation de la production que sont le pilotage par l’amont, et le pilotage par l’aval. Ensuite la section aborde les modélisations mathématiques qui permettent de déterminer la combinaison de production optimale, c’est-à-dire les quantités à produire (lorsqu’il y a plusieurs produits possibles) permettant

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Contrôle de gestion • Série 3

d’utiliser au mieux les ressources limitées de l’entreprise. Ce sont les problèmes de programmation linéaire. Dans l’objectif de l’examen, le cours développera plus spécifiquement les méthodes de résolution graphique des problèmes lorsque deux produits sont réalisés par l’entreprise. Au-delà de deux produits, le cas du facteur rare permet généralement de résoudre les exercices. Enfin, les problèmes d’ordonnancement seront présentés dans la section 3.

Section 1. Le

pilotage du système de production

Le problème clé que doit résoudre la gestion de la production est celui de la concordance entre la production et les ventes. Deux principaux systèmes de gestion de la production peuvent être distingués : • le modèle taylorien et/ou fordien : pilotage par l’amont où les flux de production sont poussés par des prévisions commerciales ; • le modèle des flux tendus : pilotage par l’aval où la production est tirée par la demande.

I. Pilotage par l’amont A. Le modèle taylorien (et/ou fordien)

B. Présentation de la méthode PBC (planification des besoins en composants) À partir des prévisions faites sur la demande finale, une planification du travail, des ressources en matières premières et en homme est établie. C’est donc en amont de la production que se prennent les décisions : que produire ? quand produire ? Demande prévue

Plan directeur

Calcul des besoins

Il est à remarquer que tous les flux physiques et informationnels sont orientés dans le même sens : des prévisions commerciales vers le produit fini. La méthode Management Ressources Planning (MRP), traduite par management des ressources de production ou planification des besoins en composants (PBC) est une technique de pilotage de la production par l’amont. La méthode part d’un produit fini et utilise les nomenclatures, les gammes opératoires, les stocks actuels et les stocks souhaités pour calculer, par calculs matriciels, les besoins dépendants. La méthode MRP est un modèle d’entreprise complet qui permet, à partir des prévisions de ventes, de planifier l’ensemble de l’activité, de coordonner l’ensemble des fonctions, de réserver des capacités, de gérer les stocks et d’assurer leur disponibilité aux moments nécessaires. À l’usage, la méthode MRP est d’autant plus performante que la demande est prévisible, que les produits font l’objet de nomenclatures stabilisées, qu’ils sont produits par lots et que des composants identiques entrent dans la fabrication de plusieurs produits différents.

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Ce modèle est présenté dans la série 2 du cours. Il se caractérise essentiellement par : • son développement au début du xxe siècle dans un contexte de développement industriel ; • l’apparition de l’Organisation Scientifique du travail (OST) ; • le développement du travail à la chaîne ; • la standardisation et la massification de la production ; • la recherche d’économies d’échelle ; • le développement d’une société de consommation, dans laquelle les ouvriers peuvent consommer les biens et les services qu’ils produisent ; etc.

UE 121 • Contrôle de gestion

C. Éléments fondamentaux du calcul matriciel Une matrice d’ordre (n × p) est un tableau de nombres appelés éléments, composé de n lignes et de p colonnes.

1. Somme et différence de deux matrices La somme et la différence de deux matrices ne sont possibles que pour des matrices de même ordre. La somme A + B de deux matrices A = (an, p) et B = (bn, p) est définie en additionnant à chaque élément de A l’élément correspondant de B. La différence se calcule selon le même principe. Ê 1 3 ˆ Ê 0 2 ˆ ˜ ˜ Á Á Soit deux matrices A = Á 0 8 ˜ et B = Á 1 5 ˜ Á 2 5 ˜ Á 4 1 ˜ ¯ ¯ Ë Ë Ê 1 0 3  2 ˆ Ê 1 5 ˆ ˜ Á ˜ Á A + B = Á 0  1 8  5 ˜  = Á 1 13 ˜ Á 2 4 51 ˜ Á 6 6 ˜ Ë ¯ Ë ¯

Ê 1- 0 3 - 2 ˆ Ê 1 1 ˆ ˜ Á ˜ Á A – B = Á 0 - 1 8 - 5 ˜  = Á -1 3 ˜ Á 2 - 4 5 - 1 ˜ Á -2 4 ˜ Ë ¯ Ë ¯

2. Produit de deux matrices Le produit M1 × M2 de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de M1 est égal au nombre de lignes de M2. La matrice obtenue est une matrice dont le nombre de lignes est celui de M1 et le nombre de colonnes celui de M2.

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Ê 1 4 ˆ Ê x ˆ Ê 0 7 2 ˆ ˜ Á Á y ˜. Soit trois matrices C = Á 2 5 ˜ , D = Á et X = ˜ ˜ Á 9 8 4 Ë ¯ Á 3 6 ˜ Ë z ¯ ¯ Ë C × X = X × C = X × D = • D × X =

Impossible Impossible Impossible

(C = 2 colonnes et X = 3 lignes) (X = 1 colonne et C = 3 lignes) (X = 1 colonne et D = 2 lignes)

Ê 0 7 2 ˆ Ê x ˆ ˜  × Á y ˜˜ Á ÁË 9 8 4 ¯˜ ÁÁ Ë z ˜¯

Ê 0x  7y  2z ˆ =Á ˜ Ë 9x  8y  4z ¯

Ê 1 4 ˆ • D × C = Ê 0 7 2 ˆ Á ˜ 2 5 ˜ × Á ˜ ÁË 9 8 4 ˜¯ Á Á 3 6 ˜ ¯ Ë

Ê (0 ¥ 1)  (7 ¥ 2)  ( 2 ¥ 3) (0 ¥ 4 )  (7 ¥ 5)  ( 2 ¥ 6 ) ˆ =Á ˜ Ë (9 ¥ 1)  (8 ¥ 2)  ( 4 ¥ 3) (9 ¥ 4 )  (8 ¥ 5)  ( 4 ¥ 6 ) ¯

Ê 1 4 ˆ ˜ Ê 0 7 2 ˆ Á • C × D = Á 2 5 ˜ × Á ˜ Á 9 8 4 ˜¯ Á 3 6 ˜ Ë Ë ¯

Ê (1¥ 0 )  ( 4 ¥ 9) (1¥ 7)  ( 4 ¥ 8 ) (1¥ 2)  ( 4 ¥ 4 ) Á = Á ( 2 ¥ 0 )  ( 5 ¥ 9) ( 2 ¥ 7)  (5 ¥ 8 ) ( 2 ¥ 2)  (5 ¥ 4 ) ÁË ( 3 ¥ 0 )  ( 6 ¥ 9) ( 3 ¥ 7)  ( 6 ¥ 8 ) ( 3 ¥ 2)  (6 ¥ 4 )

Ê 20 47 ˆ =Á Ë 37 100 ˜¯ ˆ ˜ ˜ ¯˜

Ê 36 39 18 ˆ = Á 45 54 24 ˜ Á ˜ Ë 54 69 30 ¯

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Contrôle de gestion • Série 3

Exemple applicatif 15 Les commandes prévisionnelles du premier trimestre N de trois produits sont les suivantes : J 1 2 0

A B C

F 2 1 1

M 1 1 2

Planifier les besoins en composants, sachant qu’il n’y a pas de goulet d’étranglement et que les nomenclatures sont les suivantes : 1. Ensembles nécessaires par produit (matrice M1) A 1 2 1

E1 E2 E3

B 1 0 1

C 2 1 2

Délai d’assemblage : 3 mois.

2. Sous-ensembles nécessaires par ensemble (matrice M2) E1 1 1 0

SE1 SE2 SE3

E2 2 1 1

E3 1 1 2

Délai d’usinage : 2 mois

3. Pièces nécessaires par sous-ensemble (matrice M3) SE1 1 1 0

P1 P2 P3

SE2 1 1 1

SE3 1 2 1

Délai d’usinage : 1 mois

P1 2 1 1

MP1 MP2 MP3

P2 0 1 1

P3 2 1 0

Délai d’approvisionnement : 1 mois

Pour planifier les besoins en composants, il faut partir des commandes prévisionnelles pour remonter par calculs matriciels successifs, aux approvisionnements en matières premières. 1. Calcul des besoins en ensembles : M1 × Matrice des commandes prévisionnelles E1 E2 E3

A 1 2 1

B 1 0 1

C 2 1 2

×

A B C

J 1 2 0

F 2 1 1

M 1 1 2

=

E1 E2 E3

O 3 2 3

N 5 5 5

D 6 4 6

Remarque L’ordre des matrices est fondamental. Interprétation de la matrice obtenue : Pour livrer 1 A, 2 B et 0 C début janvier, il est nécessaire de prévoir 3 E1, 2 E2 et 3 E3 début octobre.

70

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4. Matières premières (poids en kg) nécessaires par pièce (matrice M4)

UE 121 • Contrôle de gestion

2. Calcul des besoins en sous-ensembles : M2 × Matrice obtenue précédemment SE1 SE2 SE3

E1 1 1 0

E2 2 1 1

E3 1 1 2

×

E1 E2 E3

O 3 2 3

N 5 5 5

D 6 4 6

=

SE1 SE2 SE3

A 10 8 8

S 20 15 15

O 20 16 16

Interprétation de la matrice obtenue : Pour avoir 3 E1, 2 E2 et 3 E3 début octobre, il est nécessaire de prévoir 10 SE1, 8 SE2 et 8 SE3 début août. 3. Calcul des besoins en pièces : M3 × Matrice obtenue précédemment P1 P2 P3

SE1 1 1 0

SE2 1 1 1

SE3 1 2 1

×

SE1 SE2 SE3

A 10 8 8

S 20 15 15

O 20 16 16

=

P1 P2 P3

J 26 34 16

A 50 65 30

S 52 68 32

Interprétation de la matrice obtenue : Pour avoir 10 SE1, 8 SE2 et 8 SE3 début août, il est nécessaire de prévoir 26 P1, 34 P2 et 16 P3 début juillet. 4. Calcul des besoins en matières premières : M4 × Matrice obtenue précédemment MP1 MP2 MP3

P1 2 1 1

P2 0 1 1

P3 2 1 0

×

P1 P2 P3

J 26 34 16

A 50 65 30

S 52 68 32

=

MP1 MP2 MP3

J 84 76 60

J 160 145 115

A 168 152 120

Interprétation de la matrice obtenue : Pour avoir 26 P1, 34 P2 et 16 P3 début juillet, il est nécessaire de prévoir 84 MP1, 76 MP2 et 60 MP3 début juin.

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II. Le pilotage par l’aval (ou modèle Toyota) Ce modèle est présenté dans la série 2 du cours. Il se caractérise essentiellement par : • Son développement dans la seconde moitié du xxe siècle au Japon (on parle également de modèle japonais) dans un contexte économique de relative abondance. • La mise en œuvre du « juste à temps » qui permet de diminuer les stocks de produits dont les gammes tendent à s’étendre pour répondre aux besoins de plus en plus exigeants des consommateurs. • La mise en œuvre d’une démarche de qualité totale qui vise à satisfaire tous les partenaires de l’entreprise. • Les cinq zéros (zéro défaut, zéro délai, zéro papier, zéro panne, zéro stock), etc.

Section 2. Les modèles mathématiques de la production

de gestion

Le modèle présenté dans le cadre de ce cours est celui de la programmation linéaire. On distinguera le cas où l’entreprise fabrique (I) un seul produit, (II) deux produits, et (III) trois produits ou plus.

I. Monoproduction Dans le cas d’une entreprise monoproduit, il n’y a pas d’outil mathématique particulier à connaître. Un peu de bon sens et une lecture attentive des contraintes de l’énoncé suffisent à résoudre les exercices.

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71

Contrôle de gestion • Série 3

La principale contrainte porte en général sur les ventes, et sur l’organisation de la production. Les ventes sont généralement irrégulières, alors qu’il est préférable d’utiliser l’outil de production de manière plus régulière pour diminuer les coûts de production. L’entreprise peut être amenée à constituer des stocks ponctuellement. L’astuce est en général de partir du programme des ventes, et de remonter le temps en partant de la fin du tableau. Cela permet d’anticiper les éventuelles futures contraintes de production. Exemple applicatif 16 La société E prévoit les ventes pour l’année à venir : Mois Ventes

J 50

F 50

M 100

A 75

M 80

J 80

J 120

L’entreprise considère qu’il est indispensable de posséder au début de chaque mois le nombre de produits suffisant pour faire face aux ventes du mois. Par ailleurs, l’entreprise ne peut fabriquer plus de 100 unités par mois, et elle prévoit de fermer son atelier en juin. Enfin, le stock initial est de 100 unités. Pour établir son programme de production du premier trimestre, l’entreprise va donc partir de la fin de la période : à la fin juin, l’entreprise doit posséder un nombre de produits égal aux ventes de juillet, soit 120 produits. Pour cela, elle devrait prévoir de produire 120 en juin. Or nous avons vu que l’entreprise avait deux contraintes : elle ne peut produire plus de 100 unités par mois, et l’atelier est fermé en juin. C’est une double contrainte qu’il faut anticiper. Si l’entreprise ne constitue pas des stocks, elle se retrouvera en rupture en juillet. On peut donc construire le tableau (programme de production) suivant : J 100

F

M

A

M

50

50

100

75

80

J 200 0 80 120

J 120 120

Ainsi, comme la production est nulle en juin, mais que les ventes de juin sont de 80, il faut que le stock début juin soit au moins de 200 unités pour assurer les ventes de juin et de juillet. On remonte ensuite mois par mois pour élaborer le programme semestriel : Mois Stock au début du mois Production Ventes Stock fin de mois

J 100

F

M

A

50

50

100

75 180

M 180 100 80 200

J 200 0 80 120

J 120 120

Ainsi en mai, l’entreprise produira le maximum, soit 100 unités, etc. Au final, le programme de production est le suivant : Mois Stock au début du mois Production Ventes Stock fin de mois

J 100 55 50 105

F 105 100 50 155

M 155 100 100 155

A 155 100 75 180

M 180 100 80 200

J 200 0 80 120

J 120 120

Dans le cas d’une entreprise monoproduit, la gestion de la production est donc essentiellement limitée à l’organisation de la production dans le temps. Mais si l’entreprise fabrique plusieurs produits, un autre problème se pose ; celui de la composition de la production.

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Mois Stock au début du mois Production Ventes Stock fin de mois

UE 121 • Contrôle de gestion

II. Multiproduction : cas de deux produits Dans le cas d’une entreprise multiproduits, le problème de la gestion de production se complexifie puisqu’en plus des problèmes de gestion de la production dans le temps se pose le problème de la combinaison optimale des produits à fabriquer. Plus précisément, le problème ne se pose que si les facteurs de production ne sont pas illimités, et qu’il faut donc faire un choix entre produire par exemple plus de produits A et moins de B, ou plus de B et moins de A… Quelle est la combinaison optimale ? Pour répondre à cette question, s’il est possible de modéliser sous forme mathématique les contraintes et les objectifs, le problème revient comme généralement en gestion à optimiser une fonction objectif sous contraintes. Dans le cadre du programme du DGC, seul le modèle mathématique de programmation linéaire sera abordé.

A. La programmation linéaire La programmation linéaire a pour objet de résoudre un problème économique : • Optimiser (recherche d’un maximum ou d’un minimum) une fonction économique de forme linéaire (c’est-à-dire qu’elle s’exprime uniquement sous forme d’équations du premier degré). • Compte tenu de contraintes (qui s’expriment également sous forme d’équations et/ou inéquations linéaires). Les problèmes peuvent être résolus graphiquement (méthode à privilégier) quand il y a deux variables. Au-delà de deux variables, la méthode du simplexe est nécessaire.

B. La forme canonique

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Il s’agit de l’étape la plus importante de la résolution. Elle consiste à exprimer sous une forme mathématique un problème énoncé de façon littéraire. Pour cela, il faut : • Définir de façon précise les variables. • Exprimer les contraintes. • Exprimer la fonction économique.

1. Les contraintes Les contraintes sont liées au contexte. Elles s’expriment en général sous forme d’inéquations. Par exemple, s’il n’y a que 10 ouvriers et que chacun peut travailler 35 heures durant la semaine, le nombre d’heures de production est limité à 350 par semaine. Si fabriquer une table (T) nécessite 5 heures de travail, et fabriquer une chaise (C) nécessite 2 heures, on peut écrire : (5 × T) + (2 × C) ≤ 350 Avec T = nombre de tables à produire dans la semaine, et C = nombre de chaises à produire dans la semaine. Autrement dit, on peut fabriquer 70 tables et zéro chaises, ou 175 chaises et zéro tables en une semaine. Ce sont des combinaisons possibles de tables et de chaises qui peuvent être produites en une semaine dans cette entreprise compte tenu des contraintes spécifiques de production.

2. L’objectif L’objectif s’exprime sous forme d’une équation à maximiser. Par exemple, si la marge sur coût variable réalisée sur la vente d’une table est de 10 euros, et que la marge sur coût variable réalisée sur la vente d’une chaise est de 5 euros, la fonction objectif s’écrira : Max (10.T + 5.C)

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73

Contrôle de gestion • Série 3

Elle signifie que parmi toutes les combinaisons de T et de C possibles, on cherche celle(s) qui fournissent le résultat le plus grand. Normalement, l’entreprise cherche à maximiser son bénéfice (ou à minimiser son coût de production). Mais dans la plupart des cas, la modélisation mathématique simplifie la réalité en distinguant les coûts fixes (indirects) et les coûts variables (directs). En effet, dans un contexte de gestion de la production, on se situe dans une logique opérationnelle d’analyse des coûts à court terme. Il n’est pas question ici d’analyser les charges de structure et de les répartir sur les produits (voir le cours de la série 1). Dans une logique de coûts partiels, on ignore les coûts fixes sur lesquels on considère que l’on ne peut pas agir. Seuls les coûts variables sont pris en compte, et maximiser le résultat se réduit à maximiser la marge sur coûts variables. Si cela est vrai dans la plupart des exercices de gestion de la production, on fera tout de même attention au contexte particulier dans lequel se trouve l’entreprise. La maximisation de la marge sur coût variable est une simplification bien pratique, mais s’il est possible d’identifier des coûts spécifiques, il se peut que cette simplification ne soit plus pertinente. Par ailleurs, une erreur courante consiste à maximiser le chiffre d’affaires à la place de la marge sur coût variable (ou le résultat). Exemple applicatif 17 La société Alpha fabrique, entre autres, deux produits : le Bet et le Num. La fabrication de ces produits nécessite un passage dans un atelier pour lequel on dispose des renseignements suivants pour un mois d’activité : Nombre d’unités d’œuvre pour un produit Bet 6 6

Nombre d’unités d’œuvre pour un produit Num 5 3

Coût variable d’une unité d’œuvre 40 € 45 €

Pour rentabiliser cette activité, la société doit produire au moins 80 produits. La demande mensuelle maximum est de 100 produits Bet et de 150 produits Num. Les prix de vente unitaires sont de 770 euros pour le produit Bet et de 535 euros pour le produit Num. Forme canonique : Soit : x : le nombre de produits Bet à produire chaque mois, y : le nombre de produits Num à produire chaque mois. x 0 Ô Ôy 0 Ô6 x  5 y £ 900 Ô Ì6 x  3 y £ 720 Ô x  y 80 Ô £ 100 Ô x Ô y £ 150 Ó

Calcul des marges unitaires sur coûts variables Bet Num Atelier 240 200 MOD 270 135 1. Charges variables 510 335 2. Prix de vente 770 535 2.1 Marge sur coûts variables 260 200

MAX F = 260 x + 200 y

L’accolade signifie que toutes les contraintes doivent être respectées. Ce programme est dit linéaire car les contraintes et la fonction économique sont du premier degré.

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Atelier MOD

Capacité exprimée en unités d’œuvre 900 720

UE 121 • Contrôle de gestion

C. La résolution graphique La résolution graphique est à privilégier pour les programmes linéaires à deux variables. Elle nécessite de commencer par déterminer le domaine des solutions acceptables et par tracer la fonction objectif. Pour définir le domaine des solutions acceptables (DSA), il faut tracer les contraintes, puis remarquer que chaque contrainte partage le plan en deux parties. L’étude du point (0, 0) permet de définir : • Le demi-plan qui respecte la contrainte. Si l’inéquation est vérifiée pour (0, 0), le demi-plan fait partie du domaine des solutions acceptables. Quand l’inégalité est au sens large, les points de la droite font partie du DSA y 240

0 6 x + 3 y ≤ 720

0

x

120

• Le demi-plan qui respecte la contrainte. Si l’inéquation est vérifiée pour (0, 0), le demi-plan fait partie du domaine des solutions acceptables. Quand l’inégalité est au sens large, les points de la droite font partie du DSA y 200 150 100 50 x 0 0

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6 x + 5 y ≤ 900

50

100

150

200

• Le demi-plan qui ne respecte pas la contrainte. Si l’inéquation n’est pas vérifiée pour (0, 0), on hachure cette partie qui ne fait pas partie du domaine des solutions acceptables. y 100 50 0 x + y ≥ 80

0

50

x 100

Le domaine des solutions acceptables (DSA) est l’ensemble des combinaisons (x, y) qui respectent les contraintes du programme linéaire à résoudre. Pour tracer une fonction économique (a x + b y), il faut étudier a x + b y = k, en donnant une valeur à k (généralement 0). a Il s’agit d’une famille de droites parallèles de coefficient directeur – x. b Étude de la fonction 260 x + 200 y : Fonction Passe par et par Valeur de F

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k = 0 260 x + 200 y = 0 (0 ; 0) (100 ; – 130) F = 0

k = 26 000 260 x + 200 y = 26 000 (0 ; 130) (100 ; 0) F = 26 000

k = 39 000 260 x + 200 y = 39 000 (0 ; 195) (150 ; 0) F = 39 000

75

Contrôle de gestion • Série 3

Il convient de remarquer que plus la valeur k augmente (diminue), plus la parallèle de F est éloignée (proche) de l’origine et plus la valeur de l’objectif augmente (diminue).

y 400 300 200 k = 39 000

100 – 150

– 100

0 – 50 0 – 100

50

k = 26 000

x

k=0

– 200

Pour rechercher l’optimum, le résultat suivant est admis : s’il existe au moins une solution optimale, il y a un sommet du DSA qui correspond à une solution optimale. Deux méthodes de recherche sont possibles : Méthode analytique Maximisation Plus la valeur k est grande, meilleur est le résultat. La solution maximale est donc le sommet par lequel passe la parallèle de F la plus éloignée du point d’origine (0 ; 0).

Minimisation Plus la valeur k est petite, meilleur est le résultat. La solution minimale est donc le sommet par lequel passe la parallèle de F la plus proche du point d’origine (0 ; 0).

La méthode analytique consiste donc à tracer les contraintes, définir le DSA, tracer l’objectif puis faire une translation (en déplaçant une règle par exemple) de la fonction objectif. Méthode énumérative

Exemple applicatif 17 (suite)

Détermination analytique du programme optimal de production 300

y

250 200 150 100 F

B

C

A D

50 0

– 50

0 – 50 – 100

76

G 50

E

F 100

x 150

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La méthode énumérative consiste à calculer la valeur de F en chacun des sommets du domaine des solutions acceptables et à retenir la solution optimale. Cette méthode est plutôt à utiliser en complément de la précédente, quand la translation de la fonction économique laisse un doute entre des sommets proches.

UE 121 • Contrôle de gestion

La solution optimale (point D) est telle que : 6 x  5y  900 x = 75 y = 90 Ì Ó6 x  3y  720 F = (75 × 260) + (90 × 200) = 37 500 Le programme optimal est donc la production mensuelle de 75 produits Bet et de 90 produits Num pour une marge sur coûts variables maximale égale à 37 500 euros. À titre indicatif, la méthode énumérative des sommets donne les résultats suivants : Coordonnées Valeur de F

A (0 ; 80) 16 000

B (0 ; 150) 30 000

C (25 ; 150) 36 500

D (75 ; 90) 37 500

E (100 ; 40) 34 000

F (100 ; 0) 26 000

G (80 ; 0) 20 800

Remarque La contrainte x + y ≥ 80 est superflue c’est-à-dire qu’elle peut être supprimée sans changer la solution de ce problème. ➠➠Pour vous entraîner : faites les exercices autocorrigés 6 « X&Y », et 7 « Société V » disponibles en fin de série. Faites également l’exercice « Fromages » disponible dans les ressources de l’UE 121 du site www.cnamintec.fr.

III. Multiproduction : Autres cas

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A. La méthode du simplexe La résolution graphique est inapplicable au-delà de deux variables. Aussi est-il nécessaire de recourir à une autre méthode : la méthode du simplexe, dite également méthode des tableaux ou méthode de Dantzig. Cette méthode, applicable quel que soit le nombre de variables, n’est présentée dans ce cours que pour des problèmes de maximisation dont les contraintes (autres que celles de positivité) sont de type ≤. Exemple applicatif 18

Problème de maximisation comportant trois variables. La société BETA fabrique trois modèles de meubles : classique, rustique, moderne. Les standards unitaires de production sont résumés dans le tableau suivant :

Bois Main-d’œuvre Centre finition Marges sur coûts variables

Modèle classique 5 1 2 1 000

Modèle rustique 8 2 2 960

Modèle moderne 5 3 0 1 200

Capacités maximales 900 516 200

La société BETA souhaite déterminer les quantités à produire pour maximiser son résultat.

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77

Contrôle de gestion • Série 3

Forme canonique de ce programme : Soit : x, nombre de modèles classiques à produire, y, nombre de modèles rustiques à produire, z, nombre de modèles modernes à produire. x 0; y 0; z 0 Ô 5x  8y  5 z £ 900 ÔÔ 1 x  2 y  3 z £ 516 Ì Ô 2x  2y  0 z £ 200 Ô ÔÓF  1 000 x  960 y  1 200 z (MAX )

1. Mise sous forme standard La méthode du simplexe nécessite de poser dans un premier temps la forme standard du problème à résoudre : les inégalités sont transformées en égalités grâce à l’introduction de variables d’écarts positives ou nulles, notées ei. Il y a une variable d’écart pour chaque contrainte autre que contrainte de positivité. Étude de la contrainte relative au facteur bois : Emploi du facteur bois pour des niveaux de production x, y, z

Capacité du facteur 5x + 8y + 5z + e1 = 900

Écart entre la capacité et la consommation du facteur bois pour une production de x, y, z. Cet écart permet l’égalité entre les deux membres.

Exemple applicatif 18 (suite)

Forme canonique x 0 ; y 0 ; z 0 Ô 5x  8 y  5z £ 900 ÔÔ 1 x  2 y  3 z £ 516 Ì Ô 2x  2y  0z £ 200 Ô ÔÓF  1 000 x  960y  1 200z (MAX)

Forme standard x 0 ; y 0 ; z 0 e1 0 ; e2 0 ; e3 0 Ô 5x  8 y  5z  e1  900 Ô Ô 1x  2y  3z  e 2  516 Ì Ô  200 2x  2y  0z  e3 Ô ÔF  1 000 x  960 y  1 200z (MAX) Ó

Remarque Sous la forme standard, la fonction objectif est inchangée et pourrait être notée Max (1 000 x + 960 y + 1 200 z + 0 e1 + 0 e2 + 0 e3) et mais surtout pas Max (1 000 x + 960 y + 1 200 z + e1 + e2 + e3).

2. Interprétation d’un tableau Pour rechercher la solution optimale, les calculs sont présentés dans des tableaux en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Quel que soit le tableau : Les variables hors-base sont égales à zéro. La valeur des variables dans la base est lue dans la colonne B. L’optimum est atteint si tous les coefficients de la dernière ligne sont négatifs ou nuls.

78

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Mise sous forme standard

UE 121 • Contrôle de gestion

Exemple applicatif 18 (suite)

Solution de départ : premier tableau Le premier tableau reprend les coefficients de la forme standard. Hors Base En Base e1 e2 e3 F

x

y

z

.

.

.

B

5 1 2 1 000

8 2 2 960

5 3 0 1 200

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

900 516 200 0

Lecture du tableau : Variables Variables hors base dans la base x=0 e1 = 900 y=0 e2 = 516 z=0 e3 = 200 F=0

Interprétation du tableau : • Il s’agit de la solution admissible de départ qui respecte toutes les contraintes : ne rien produire. • La production est donc nulle (x = 0 ; y = 0 ; z = 0) et la valeur de la fonction objectif est égale à 0. • Les capacités disponibles des facteurs sont intactes (ainsi e1 = 900 signifie qu’il reste 900 unités de bois). • Cette solution peut être améliorée puisque les coefficients de la ligne F ne sont pas négatifs ou nuls.

3. Détermination du pivot 1. La variable qui entre dans la base est celle dont le coefficient positif de la dernière ligne est le plus grand.

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2. La variable qui sort de la base est celle dont la résultante (R) positive est la plus petite. La résultante est la production maximale sous contrainte de chaque facteur de production. 3. Le pivot est situé à l’intersection de la variable entrante et de la variable sortante. Exemple applicatif 18 (suite)

Détermination du pivot • Pour améliorer la solution de base, il faut commencer à produire. L’étude des marges sur coûts variables indique qu’il est préférable de commencer par les produits z (marge égale à 1 200, contre 1 000 pour x et 960 pour y). • Compte tenu des contraintes à respecter simultanément, la production maximale de produits z est contrainte à 172 : Contraintes à respecter : 5x + 8y + 5 z ≤ 900 1x + 2y + 3 z ≤ 516 2x + 2y + 0 z ≤ 200

Production maximale de z 900 / 5 = 180 516 / 3 = 172 200 / c = ∞

La division par 0 étant impossible, posons c qui tend vers 0.

Pour respecter les contraintes, il n’est donc possible de produire que 172 z. • Pour déterminer le pivot, une colonne résultante (R) est ajoutée au tableau précédent pour déterminer le pivot. Cette colonne est à présenter après avoir constaté que l’optimum n’est pas atteint et exprime le raisonnement qui vient d’être présenté.

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79

Contrôle de gestion • Série 3

Détermination du pivot du premier tableau Hors Base En Base e1 e2 e3 F

L1 L2 L3 L4

x

y

z

.

.

.

B

R

5 1 2 1 000

8 2 2 960

5 3 0 1 200

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

900 516 200 0

900 / 5 = 180 516 / 3 = 172 200 / ε = ∞

e2 sort de la base

z entre dans la base

4. Progression jusqu’à la solution optimale Pour élaborer un nouveau tableau, les étapes suivantes sont à respecter : • La variable qui entre en base prend la place de celle qui sort. • Il convient de diviser la ligne du pivot du tableau qui précède par le pivot. Cette ligne est alors désignée par L’p dans le deuxième tableau, L’’p dans le troisième… • Les autres lignes peuvent alors être déterminées à l’aide des coefficients de la colonne de la variable qui entre dans la base du tableau qui précède et de la ligne du pivot du tableau en cours. Exemple applicatif 18 (suite) 1. Structure du deuxième tableau et détermination de la ligne L’p

L’2

Hors Base En Base Z

x

y

.

.

e2

.

B

1/3

2/3

1

0

1/3

0

172

e2

.

B

2. Les autres lignes peuvent alors être déterminées : L’1 = L1 – 5 L’p L’3 = L3 – 0 L’p L’4 = L4 – 1 200 L’p x

y

L’1 L’2 L’3

Hors Base En Base e1 z e3

10/3 1/3 2

14/3 2/3 2

0 1 0

1 0 0

– 5/3 1/3 0

0 0 1

40 172 200

L’4

F

600

160

0

0

– 400

0

– 206 400

.

.

La valeur de F est lue au signe près dans la dernière cellule La valeur de F est lue au signe près dans la dernière cellule

80

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La variable entrée en base a pris la place de celle qui est sortie. Il convient de diviser la ligne du pivot du tableau qui précède par le pivot : L’2 = L’p = L1/3

UE 121 • Contrôle de gestion

Détail de L’1 et de L’4 : 10/3 = 5 – (5 × 1/3) 14/3 = 8 – (5 × 2/3) 0 = 5 – (5 × 1) 1 = 1 – (5 × 0) – 5/3 = 0 – (5 × 1/3) 0 = 0 – (5 × 0) 40 = 900 – (5 × 172)

600 = 1 000 – (1 200 × 1/3) 160= 960 – (1 200 × 2/3) 0 = 1 200 – (1 200 × 1) 0 = 0 – (1 200 × 0) – 400 = 0 – (1 200 × 1/3) 0 = 0 – (1 200 × 0) – 206 400 = 0 – (1 200 × 172)

3. Interprétation du deuxième tableau Les variables hors base sont nulles : x = y = e2 = 0. Les variables en base sont : e1 = 40, z = 172 et e3 = 200. • La production est donc égale à 172 produits z. • La deuxième contrainte est saturée (e2 = 0), la capacité disponible de la contrainte 1 est de 40 unités (e1 = 40) et la capacité disponible de la contrainte 3 est de 200 unités (e3 = 200). • L’objectif est égal à 206 400 euros. • Cette solution peut être améliorée puisque les coefficients de la ligne F ne sont pas négatifs ou nuls. • Il est possible de vérifier cette solution : (5 ¥ 0  8¥0 5 ¥ 172)  40 900 Ô516 2¥0  3 ¥ 172)  0 (1¥ 0  Ô Ì ( 2 ¥ 0  2 ¥ 0  0 ¥ 172)  200 200 Ô ÔÓF  1 000 ¥ 0  960 ¥ 0  1 200 ¥ 172  206 400

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4. Détermination du pivot x

y

.

.

e2

.

B

L’1 L’2 L’3

Hors Base En Base e1 z e3

10/3 1/3 2

14/3 2/3 2

0 1 0

1 0 0

– 5/3 1/3 0

0 0 1

40 172 200

L’4

F

600

160

0

0

– 400

0

– 206 400

R 12 516 100

e1 sort de la base

x entre dans la base

Tant que la solution optimale (tous les coefficients de la dernière ligne négatifs ou nuls) n’est pas atteinte, la progression suit les mêmes étapes. 5. Structure du troisième tableau et détermination de la ligne L’’p La variable qui entre en base prend la place de celle qui est sortie. Il convient de diviser la ligne du pivot du tableau qui précède par le pivot : L’’1 = L’’p = L’1/(10/3) Hors Base L’’1

En Base x

201211TDPA0313

.

y

.

e1

e2

.

B

1

1,4

0

0,3

– 0,5

0

12

81

Contrôle de gestion • Série 3

6. Les autres lignes peuvent alors être déterminées L’’2 = L’2 – (1/3) L’’p L’’3 = L’3 – 2 L’’p L’’4 = L’4 – 600 L’’p Hors Base L’’1 L’’2 L’’3 L’’4

En Base x z e3 F

.

y

.

e1

e2

.

B

1 0 0 0

1,4 0,2 – 0,8 – 680

0 1 0 0

0,3 – 0,1 – 0,6 – 180

– 0,5 0,5 1 – 100

0 0 1 0

12 168 176 – 213 600

7. Interprétation du troisième (et dernier) tableau Les variables hors base sont nulles : y = e1 = e2 = 0. Les variables en base sont : x = 12, z = 168 et e3 = 176. • Il s’agit de la solution optimale puisque tous coefficients de la dernière ligne (ou taux marginaux de substitution) sont négatifs ou nuls. • La solution optimale est la production de 12  modèles classiques, 0  modèle rustique et 168 modèles modernes pour une marge sur coûts variables maximale de 213 600 euros. • Les contraintes relatives à la main-d’œuvre et au bois sont saturées, et il reste une capacité de 176 unités pour le centre finition. • Il est possible de vérifier cette solution : (5 ¥ 12  8 ¥ 0  5 ¥ 168 )  0 900 Ô516 3 ¥ 168 )  0 (1¥ 12  2 ¥ 0  Ô Ì ( 2 ¥ 12  2 ¥ 0  0 ¥ 168 )  176 200 Ô ÔÓF  1 000 ¥ 12  960 ¥ 0  1 200 ¥ 168  213 600

En conclusion, la méthode du simplexe est au programme de l’examen. Cependant, elle présente l’inconvénient d’exiger de longs calculs et, en ce sens, elle n’est pas dans l’esprit du DCG qui se veut plus analytique et axé sur la réflexion. Il faut donc être capable de savoir interpréter des tableaux de calculs et être capable d’expliquer comment une ligne est obtenue.

B. Le cas du facteur rare de production Il existe un cas particulier : le facteur rare de production. Une forme canonique présente un cas de facteur rare quand une seule des contraintes est commune à toutes les variables. La résolution se fait avec un raisonnement presque intuitif : en privilégiant d’abord les produits dont la marge sur coût variable par unité de facteur rare consommée est la plus importante. Exemple applicatif 19 La société Braque fabrique trois produits A, B, C dont les caractéristiques sont les suivantes : A Marge sur coûts variables Atelier (Capacité 8 500 uo) Ventes maximales

100 2 uo 1 000

Remarque : uo = unité d’œuvre.

Elle souhaite déterminer son programme optimal de production

82

B 300 4 uo 1 000

C 360 6 uo 500

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➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 8 « Entreprise D » proposé en fin de série.

UE 121 • Contrôle de gestion

1. Forme canonique A ≥ 0 ; B ≥ 0 ; C ≥ 0 A £ 1000 ÔB £ 1000 Ô Forme canonique : Ì ÔC £ 500 ÔÓ2 A  4 B  6 C £ 8 500 MAX (100 A + 300 B + 360 C) Il s’agit d’un problème de « facteur rare » : l’atelier est la seule ressource commune qui contraint la production. 2. Résolution Le problème peut être résolu par l’algorithme du simplexe. Cependant, il est plus rapide, dans ce cas particulier, de classer les produits en fonction de la marge générée par unité d’œuvre consommée : A Marge sur coûts variables (1) Atelier (2) Marges par unité d’œuvre (1)/(2) Classement des produits

B 100 2 uo 50 3

C 300 4 uo 75 1

360 6 uo 60 2

Dans un premier temps, il faut produire le maximum de produits B, soit B = 1 000. La consommation du facteur rare est égale à : 4 × 1 000 = 4 000 unités d’œuvre. La capacité disponible du facteur rare devient égale à : 8 500 – 4 000 = 4 500 unités d’œuvre.

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Dans un deuxième temps, il faut produire le maximum de produits C, compte tenu de la capacité disponible, soit C = 500. La consommation du facteur rare est égale à : 6 × 500 = 3 000 unités d’œuvre. La capacité disponible du facteur rare devient égale à : 4 500 – 3 000 = 1 500 unités d’œuvre. Enfin, il faut produire le maximum de produits A, compte tenu de la capacité disponible, soit A = 1 500/2 = 750. La consommation du facteur rare est égale à : 2 × 750 = 1 500 unités d’œuvre. Le facteur rare est alors saturé. La combinaison optimale est donc : A = 750, B = 1 000 et C = 500. La marge sur coûts variables correspondante est égale à : 75 000 + 300 000 + 180 000 = 555 000 € Il est possible de vérifier la solution par l’algorithme du simplexe. Pour vous entraîner : faites le sujet 2008 du DCG téléchargeable sur le site www.cnamintec.fr (examen de l’État).

Section 3. Les

problèmes d’ordonnancement

L’ordonnancement a pour but d’organiser dans le temps (« ordonner ») de manière optimale un ensemble de tâches, soumises à des contraintes, qui concourent à la réalisation d’un objectif ; Autrement dit, elle permet : • de déterminer le meilleur temps de réalisation de l’objectif ; • d’indiquer les tâches qui ne peuvent souffrir de retard sans remettre en cause la durée totale du projet.

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83

Contrôle de gestion • Série 3

Remarque Les problèmes d’ordonnancement sont des problèmes d’optimisation dans lesquels on ne cherche pas à maximiser (un résultat) mais à minimiser (un délai).

I. Les graphes A. Principales représentations d’un graphe 1. Représentation sagittale (du latin sagitta, « flèche ») C

E

B

D

A

Un chemin est une suite d’arcs dont chaque extrémité terminale (sauf pour le dernier) est l’extrémité initiale du suivant. Ainsi A, B, D est un chemin alors que A, B, C n’en est pas un. Un circuit est un chemin qui se ferme sur lui-même : l’extrémité terminale du dernier arc est l’origine du premier. Ainsi C, B, D est un circuit.

2. Représentation sous forme de matrice booléenne (c’est-à-dire composée de 1 et de 0) La présentation matricielle permet d’exploiter des progiciels d’ordonnancement et de transport. Le chiffre 1 signifie l’existence d’une relation. La matrice se lit dans les deux sens : • En ligne : le sommet C est suivi des sommets B et E. • En colonne : le sommet E est précédé des sommets C et D.

3. Représentation sous forme de dictionnaires Dictionnaire des précédents : Sommets Précédents X P(X) A / B A ; C C D D B E D ; C

Dictionnaire des suivants : Sommets Suivants X S(X) A B B D C B ; E D E ; C E /

B. Recherche des niveaux d’un graphe sans circuit Cette étape a pour objectif de rendre la représentation sagittale du graphe plus claire. Elle consiste à classer par ordre croissant de niveau les sommets de gauche à droite. Le niveau d’un sommet est le nombre d’arcs qui le sépare de l’origine par le chemin le plus long.

A

B

D Niveau 0 : A, D Niveau 1 : B Niveau 2 : C

84

C

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Sommets origines

Sommets d’arrivée A B C D E A 0 1 0 0 0 B 0 0 0 1 0 C 0 1 0 0 1 D 0 0 1 0 1 E 0 0 0 0 0

UE 121 • Contrôle de gestion

La démarche de recherche des niveaux est itérative : • 1. Première étape : sont de niveau 0 les sommets sans précédent • 2. Deuxième étape : les sommets classés en niveau 0 sont barrés dans les deux colonnes. • 3. Troisième étape : la procédure de l’étape 2 est répétée pour obtenir les niveaux suivants. Exemple applicatif 20 La réalisation d’un projet nécessite la réalisation de 10 tâches dont les conditions d’antériorité et la durée sont précisées dans le tableau suivant : Tâches (X) A B C D E F G H I J

Tâches antérieures P(X) Aucune A A Aucune A, C A, C, E A, B, C, J D A, B, C, E, F, G, J A, C

Durée en semaines 6 10 6 3 14 5 9 15 7 7

1. Niveau 0 : sommets sans précédent Niveau 0 = A, D

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Ces sommets sont barrés dans les deux colonnes. Tâches (X)

Tâches antérieures P(X)

A B

A

C

A

D E

A,C

F

A , C, E

G

A , B, C, J

H

D

I

A , B, C, E, F, G, J

J

A,C

2. Niveau 1 Sont de niveau 1 les sommets dont la colonne P(X) est entièrement barrée : Niveau 1 = B, C, H Ces sommets sont barrés dans les deux colonnes.

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85

Contrôle de gestion • Série 3

3. Niveau 2 Tâches (X)

Tâches antérieures P(X)

A B

A

C

A

D E

A, C

F

A , C, E

G

A , B , C, J

H I

D A , B , C, E, F, G, J

J

A, C

Niveau 2 = E, J

4. Niveau 3 Tâches (X)

Tâches antérieures P(X)

A B

A

C

A Niveau 3 = F, G

D A , C, E

A, C

G

A , B , C, J

H I

D A A , B , C, E , F, G, J

J

A, C

5. Niveau 4 Tâches (X)

Tâches antérieures P(X)

A B

A

C

A Niveau 4 = I

D E

A, C

F

A , C, E

G

A , B , C, J

H I

A , B , C, E , F , G , J

J

A, C

D

C. Suppression des redondances La suppression des redondances n’est à effectuer que si le dictionnaire et/ou la matrice des sommets « immédiatement antérieurs » (c’est-à-dire adjacents) ne sont pas communiqués. Le terme « antérieur » (ou précédent) signifie avant (c’est-à-dire pas nécessairement adjacent).

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E F

UE 121 • Contrôle de gestion

Un extrait du dictionnaire des précédents de l’exemple 20 permet d’illustrer cette notion : Tâches C E

Tâches antérieures A A, C

A

C

E

L’arc A, E est redondant et ne doit pas figurer sur la représentation sagittale.

La représentation sagittale du graphe nécessite donc la suppression des contraintes redondantes pour obtenir le dictionnaire (ou la matrice) des sommets « immédiatement antérieurs » (c’est-à-dire adjacents). Exemple applicatif 20 (suite) La démarche consiste à rechercher les antécédents des tâches antérieures : Tâches A B C D E F G H I J

Tâches antérieures / A A / A, C A, C, E A, B, C, J D A, B, C, E, F, G, J A, C

Antécédents / (1) / A (2) A, C (3) A, C (4) / (5) A, C, E, B, J (6) A (7)

Tâches immédiatement antérieures (8) / A Tâche commune à A ne pas retenir / C E B, J D F, G C

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(1) La tâche B a pour tâche antérieure : • la tâche A qui n’a pas de tâche antérieure donc/ (2) La tâche E a pour tâche antérieure : • la tâche A qui n’a pas de tâche antérieure donc/ • la tâche C qui a pour antécédent A (3) La tâche F a pour tâche antérieure : • la tâche A qui n’a pas de tâche antérieure donc/ • la tâche C qui a pour antécédent A • la tâche E qui a pour antécédent A et C (4) La tâche G a pour tâche antérieure : • la tâche A qui n’a pas de tâche antérieure donc/ • la tâche B qui a pour antécédent A • la tâche E qui a pour antécédent A • la tâche J qui a pour antécédent A et C (5) La tâche H a pour tâche antérieure : • la tâche D qui n’a pas de tâche antérieure donc/ (6) La tâche I a pour tâche antérieure : • la tâche A qui n’a pas de tâche antérieure donc/ • la tâche B qui a pour antécédent A • la tâche C qui a pour antécédent A • la tâche E qui a pour antécédent A et C • la tâche F qui a pour antécédent A, C et E • la tâche G qui a pour antécédent A, B, C et J • la tâche J qui a pour antécédent A et C

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Contrôle de gestion • Série 3

(7) La tâche E a pour tâche antérieure : • la tâche A qui n’a pas de tâche antérieure donc/ • la tâche C qui a pour antécédent A (8) La colonne des tâches immédiatement antérieures (ou adjacentes) est obtenue en supprimant les tâches communes de la colonne tâches antérieures et de la colonne des antécédents. Remarque Il est également possible de déterminer les niveaux après avoir supprimé les redondances. Présentation sagittale du graphe sans les redondances D

H

A

C

E

F

I

J

B

G Niveau 0

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Niveau 4

Les principales méthodes d’ordonnancement sont : • La méthode PERT (Program Evaluation Research Task) développée à la fin des années cinquante aux États-Unis par la NASA pour la réalisation des fusées Polaris. Il s’agit de la méthode la plus connue en raison de son origine. • La méthode des potentiels Métra (MPM) développée en France en 1958 par l’équipe de B. Roy au sein de la société de conseil « Séma-Métra » dans le cadre de la construction du paquebot France (et/ou pour l’implantation d’une centrale nucléaire ?). Seule la méthode MPM est développée car les deux méthodes sont extrêmements similaires. Les différences sont essentiellement de l’ordre de la présentation graphique. Dans les deux cas, il faut tracer un graphe des tâches. Dans les deux cas, on cherche à déterminer les dates de début au plus tôt et les dates de début au plus tard. Dans l’un, les tâches sont représentées par des carrés, dans l’autre par des ronds…

A. Conventions de représentation de la méthode MPM Les sommets du graphe représentent les tâches à Les arcs représentent les contraintes de réaliser et sont symbolisés par des carrés. succession. Ils sont valués et correspondent au délai à partir duquel peut commencer la tâche suivante. Début au plus tôt

Début au plus tard t

T X

Durée de X

t

T

Durée de Y

Y

Interprétation : la tâche X précède la tâche Y et doit être achevée avant le commencement de Y.

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II. Méthode des potentiels Métra (MPM)

UE 121 • Contrôle de gestion

B. Tracement du graphe Les sommets sont placés par niveaux et de façon à limiter les croisements entre les arcs, et la durée des tâches est reportée sur les arcs. Un sommet FIN, aboutissement des tâches sans suivant termine le graphe. 3 D

15 H

6 A

6 C

5

14 E

7

F

I

FIN

6 6 J 10

B a

7

9 G

b Légende a = début au plus tôt X b = début au plus tard

Remarque Ne pas oublier de relier la tâche H à la tâche finale.

C. Détermination du chemin critique

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La recherche du chemin critique nécessite le calcul préalable des dates au plus tôt et des dates au plus tard de chaque tâche.

1. Calcul des dates de début au plus tôt 0 X

6 6 Z

0 Y

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4

La date de début au plus tôt est la date à laquelle une tâche peut débuter. Une tâche ne peut commencer tant que les tâches antérieures ne sont pas toutes terminées. En conséquence, quand il y a convergence vers une tâche, il est nécessaire de retenir le chemin le plus long. Les dates au plus tôt se calculent en marquant les sommets de la gauche vers la droite.

89

Contrôle de gestion • Série 3

Exemple applicatif 20 (suite)

Calcul des dates de début au plus tôt 0

3

3

D

15 H

0

6

6

A

6 C

12 E

14

26

31

5 F

7 I

38 FIN

6 6

12 J

19

6 B a

b X

9

7

10

G

Légende a = début au plus tôt b = début au plus tard

Remarque Les tâches A et D peuvent commencer immédiatement, d’où une date au plus tôt égale à 0. Le projet peut donc être terminé au mieux 38 semaines après le commencement des travaux.

15

20

5

U

V 3

20 – 5 = 15 19 – 3 = 16

19 W

La date de début au plus tard est la date limite à laquelle une tâche peut commencer sans retarder le projet. La date limite de commencement d’une tâche ne doit pas remettre en cause la durée totale du projet. En conséquence, quand il y a convergence vers une tâche, il est nécessaire de retenir le chemin le plus court. Les dates de début au plus tard se calculent en partant de la fin du projet après avoir reporté la date de fin au plus tôt calculée précédemment.

3. Chemin critique Le chemin critique est le chemin le plus long entre le niveau 0 et la fin du projet. Il est constitué de l’ensemble des tâches critiques, c’est-à-dire des tâches dont la réalisation ne souffre aucun retard. Une tâche est critique quand sa date de début au plus tôt est égale à sa date de début au plus tard. La longueur du chemin critique est donc égale à la somme des durées des tâches critiques.

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2. Calcul des dates de début au plus tard

UE 121 • Contrôle de gestion

Exemple applicatif 20 (suite)

Calcul des dates de début au plus tard et détermination du chemin critique 0 20

3

D

0

La date de fin au plus tôt du projet est reportée.

15

3 23 H

0

6

6

A

6

6

12 12

14

26 26

E

C

31 31

5

F

38 38

7

I

FIN

6 6

12 15 J

7

9 19 22

6 12

G

10

B Chemin critique : Soit : A-C-E-F-I Vérification : 6 + 6 + 14 + 15 + 7 = 38 a

b X

Légende a = début au plus tôt

D. Calcul et interprétation des marges

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Pour chaque tâche, deux marges peuvent être calculées : la marge totale et la marge libre. MARGE TOTALE

MARGE LIBRE

La marge totale est le retard maximum que peut prendre la réalisation d’une tâche sans retarder la durée totale du projet.

La marge libre est le retard maximum que peut prendre la réalisation d’une tâche sans remettre en cause les dates au plus tôt des tâches suivantes, et donc sans retarder la marge totale des autres tâches.

Tx

tx X

Marge totale de X = Tx – tx

tx

dx X

ty Y

Marge totale de X = ty – dx – tx

Remarques Les marges d’une tâche critique sont donc nulles puisqu’elle ne peut prendre de retard. La marge libre d’une tâche est toujours inférieure ou égale à sa marge totale. Calcul de la marge libre d’une tâche en cas de convergence vers la tâche.

201211TDPA0313

91

Contrôle de gestion • Série 3

18

Marge libre de la tâche R :

22

2 R

S

Date au plus tôt de R

2

18 25

Date au plus tôt de S

Date au plus tôt de T

22

25

Durée de R

M. L. = 22 – 2 – 18 = 2

T

M. L. = 25 – 2 – 18 = 5 Retenir le minimum : marge libre de R = 2

Exemple applicatif 20 (suite)

Calcul des marges totales et des marges libres : Tâches A B C D E F G H I J

Dates au plus tôt 0 6 6 0 12 26 19 3 31 12

Dates au plus tard 0 12 6 20 12 26 22 23 31 15

Marges totales 0 6 0 20 0 0 3 20 0 3

Marges libres 0 3 0 0 0 0 3 20 0 0

Détail du calcul des marges libres : 6 – 6 – 0 = 0 ; 6 – 6 – 0 = 0 19 – 10 – 6 = 3 12 – 6 – 6 = 0 3 – 3 – 0 = 0 26 – 14 – 12 = 0 31 – 5 – 26 = 0 31 – 9 – 19 = 3 38 – 15 – 3 = 20 38 – 7 – 31 = 0 19 – 7 – 12 = 0

Il est possible de prendre un retard de 3 semaines (marge totale = 3) sans changer la durée du projet. En revanche, si on désire ne pas remettre en cause la date de commencement au plus tôt des tâches suivantes, un retard est impossible (marge libre = 0). ➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 9 « Produit P » proposé en fin de série.

III. Diagramme de Gantt Le diagramme de Gantt est un outil très utilisé par les opérationnels pour visualiser le suivi des tâches d’un projet. Il se présente sous la forme d’un planning qui comporte en colonnes un calendrier dont le découpage peut être journalier, hebdomadaire ou mensuel en fonction du projet suivi, et en lignes les tâches, en distinguant l’aspect prévisionnel et l’aspect réel. Par rapport au graphe MPM, il ne fait pas apparaître les dates de début au plus tard et ne permet pas de faire apparaître le chemin critique. En revanche, il a l’avantage d’être assez simple à construire et à lire. Il a surtout l’avantage de pouvoir être utilisé pour ré-estimer le coût d’un projet en cours d’avancement, en prévoyant au moins deux lignes par tâche de manière à faire figurer sur une ligne la prévision, et sur une autre ligne la réalisation.

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Interprétation des marges de la tâche J :

UE 121 • Contrôle de gestion

Exemple applicatif 21 Une entreprise a décidé la construction d’un entrepôt. Il est en cours d’aménagement. L’annexe 1 présente la liste des tâches et coûts prévus, le planning et l’état des réalisations établi 20  semaines après le démarrage du projet. Liste des tâches et coûts prévus Tâches A B C D

Destruction agencement existant Mise en place d’un nouvel agencement Mise en place d’un nouvel agencement Mise en place des dispositifs de stockage des ouvrages Création de quais d’expédition Installation du matériel de bureau Installation du matériel de bureau

E F G

Tâches immédiatement antérieures / A B C

Durées prévues (semaines) 2 8 4 7

C D D

2 1 4

Coûts prévus 60 000 € 180 000 € 32 000 € 105 000 € 58 000 € 83 000 € 120 000 €

État des réalisations après 20 semaines Durée réelle des tâches réalisées ou débutées 03 semaines 10 semaines 5 semaines 2 semaines 2 semaines 0 0

Tâches

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A B C D E F G

Réalisé à 20 semaines 100 % 100 % 100 % 25 % 100 % 0 0

Coûts réels 68 000 € 192 000 € 36 000 € 50 000 € 58 000 € 0 0

1. Établir le planning prévisionnel des travaux sur un diagramme de Gantt. En déduire la date prévisionnelle de fin des travaux. Diagramme de Gantt (l’analyse se situe à la fin de la semaine 20) Semaines 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A B C D E

P R P R P R P R P R

P R P G R P = prévu F

R = réel

Fin prévue : 25 semaines après le commencement.

201211TDPA0313

93

Contrôle de gestion • Série 3

2. Analyser l’état d’avancement réel du projet et en déduire la date de fin probable des travaux dans l’hypothèse où les tâches non débutées respecteront les durées prévues et que les tâches en cours suivront le même rythme. Reporter le résultat de cette analyse sur le diagramme de Gantt. L’avancement réel a été reporté sur le schéma précédent. La tâche A a pris une semaine de retard dans son exécution, ce qui retarde le début de B. La tâche B a pris deux semaines de retard dans son exécution, ce qui retarde le début de C. La tâche C débute avec 3 semaines de retard (cumul du retard de A et B) et a pris une semaine de retard dans son exécution, ce qui retarde le début de D. La tâche D est débutée pour 25 % et devrait durer 8 semaines à ce rythme, soit une semaine de plus que prévu. Les tâches F et G débuteront à ce rythme avec un retard cumulé de 5 semaines. Si la durée prévue des tâches F et G est respectée, le projet sera terminé au mieux 30 semaines après son commencement. La tâche E a débuté avec 4 semaines de retard et a été exécutée dans le temps prévu. Le projet sera terminé au mieux 30 semaines après son commencement. 3. En supposant que la tâche D sera poursuivie au même rythme (durée et coûts) que durant ses deux premières semaines de réalisation, indiquer quelle devrait être la durée totale du projet et ré-estimer son budget total. Budget réestimé Réalisé à 20 semaines Coûts réels Coûts réels Coûts réels (50 000/2) × 8 Coûts réels Coûts prévus Coûts prévus Budget réestimé

Coûts réels 68 000 192 000 36 000 200 000 58 000 83 000 120 000 757 000

➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé 9 « Produit P » proposé en fin de série.

Chapitre 5. La gestion de la qualité Les outils liés à la gestion de la qualité qui seront présentés sont l’estimation, les tests d’hypothèse, le diagramme de Pareto, le diagramme d’Ishikawa, les cercles de qualité et le coût cible. Mais avant de présenter les outils qui feront l’objet d’exercices le jour de l’examen, les enjeux liés à la qualité sont présentés.

Section 1. Les

enjeux de la qualité

I. Qualité, certification, et qualité totale A. Définition de la qualité Définition D’après la définition de l’ISO (l’Organisation Internationale de Normalisation ou International Standard Organisation), la qualité d’un produit ou d’un service est définie comme l’aptitude d’un ensemble de caractéristiques à satisfaire des besoins ou des attentes qui peuvent être exprimés ou implicites.

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Document de travail réservé aux élèves de l’Intec – Toute reproduction sans autorisation est interdite

Tâches A B C D E F G

UE 121 • Contrôle de gestion

Ce qui est intéressant dans cette définition, c’est que la qualité n’est pas définie de manière objective : un produit n’est pas par nature de qualité. La qualité ne se comprend que relativement à l’usage qui est fait du produit. Dans une entreprise ou une organisation, la qualité est définie en fonction des besoins et des attentes des clients. La qualité concerne tous les secteurs de l’entreprise tels que les produits, les services, la stratégie, les processus, les ressources, les indicateurs de performance organisationnelle, la gestion, ainsi que l’information sur les clients et l’environnement organisationnel. La gestion de la qualité est la mise en place dans un « organisme », quel qu’il soit, d’un ensemble d’activités orientées vers la satisfaction d’une entité, généralement appelée « client », qui est le bénéficiaire final de l’activité de cet organisme. Plus largement, c’est aussi un moyen que se donnent certaines organisations, dans des buts tels que la mise en conformité par rapport aux standards du marché, la recherche de l’efficience, ou encore pour assurer leur pérennité en s’assurant de la satisfaction de leurs partenaires, des fournisseurs aux clients en passant par les actionnaires, les employés et l’État. On parle alors de qualité totale.

B. La Certification

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La certification est une procédure par laquelle un organisme externe indépendant atteste qu’un produit, un service ou un processus est conforme aux exigences d’une norme. L’Organisation internationale de normalisation (ISO) a pour but de produire des normes internationales dans les domaines industriels et commerciaux appelées normes ISO. Ces normes sont utiles aux organisations industrielles et économiques de tout type, aux gouvernements, aux instances de réglementation, aux dirigeants de l’économie, aux professionnels de l’évaluation de la conformité, aux fournisseurs et acheteurs de produits et de services, dans les secteurs tant public que privé et, en fin de compte, elles servent les intérêts du public en général lorsque celui-ci agit en qualité de consommateur et utilisateur. L’ISO est une organisation non gouvernementale représentant un réseau d’instituts nationaux de 158 pays, selon le principe d’un membre par pays. La famille des normes ISO 9000 désigne un ensemble de normes relatives à la qualité : • ISO 9000 : norme qui définit les principes essentiels de la gestion de la qualité et le vocabulaire relatif à la qualité. • ISO 9001 : norme qui décrit les exigences d’un système de management de la qualité, c’està-dire les obligations à respecter. • ISO 9004 : norme pour la mise en place et l’amélioration permanente du système de management de la qualité. En France, ces normes sont répertoriées par l’AFNOR (Agence Française de Normalisation), et la procédure de certification est confiée à des organismes accrédités par le COFRAC (Comité Français d’Accréditation), mis en place par le gouvernement français et chargé de définir des règles à suivre en matière d’audit et de certification pour les entreprises françaises.

C. La qualité totale La première approche du contrôle de la qualité est une action en fin du processus de production pour vérifier a posteriori le résultat d’un travail. Il s’agit de tests de conformité destinés à rejeter les productions non conformes à une norme. Cette procédure fondée sur des méthodes statistiques ne fait que constater les effets et non pas les causes. C’est le contrôle dans son acception restrictive du terme (vérification). Le contrôle s’est peu à peu déplacé vers l’amont des processus de production, et l’objectif n’est plus le niveau acceptable de qualité mais un objectif d’amélioration continue pour tendre vers le « zéro défaut » avec la qualité totale (le contrôle dans son acception étendue de « maîtrise »). La gestion de la qualité est donc une démarche globale de qualité totale qui, non seulement, est source d’économies tout au long de la chaîne de valeur (amélioration de la qualité des produits

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et des processus, réduction des coûts, suppression de dysfonctionnements, qualité optimale et non pas qualité maximale…) et de rentabilité (justification d’un prix élevé, élément de différenciation…), mais également un élément fédérateur (culture qualité, démarche participative source d’adhésion, de motivation et de satisfaction du personnel…).

II. Nature des coûts liés à la qualité A. Typologie des coûts liés à la qualité Les coûts liés à la qualité peuvent être classés en quatre catégories.

1. Les coûts de prévention Ce sont les coûts pour éviter préventivement les anomalies de production : formation du personnel, maintenance préventive, étude et conception du produit, étude des méthodes de production, enquêtes chez les fournisseurs…

2. Les coûts de détection Ce sont les coûts liés à la détection des produits non conformes : coûts (équipements, personnel) liés aux contrôles (sondages, tests) de la qualité des approvisionnements, des produits finis…

3. Les coûts internes de non-qualité Ce sont les coûts de défaillance interne (ou malfaçon) détectés avant livraison aux clients : coûts (matières perdues, temps passé…) des rebuts, des retouches, inactivité des installations…

Ce sont les coûts détectés après livraison aux clients : coûts liés aux échanges, réparations, indemnités, procès, à la détérioration de l’image de marque, au manque à gagner sur produits défectueux…

B. Coûts liés à la qualité et coûts cachés La notion de coût caché a été développée par H. Savall et l’ISÉOR (Institut de socio-économie des entreprises et des organisations) à Lyon. Définition Les coûts cachés désignent les coûts non repérés par les systèmes d’information classiques dont dispose l’entreprise (budgets, comptabilité générale ou analytique, tableaux de bord financiers…) par opposition aux coûts visibles qui possèdent une dénomination comptable telle que charges de personnel ou achats de matières premières. Les coûts cachés sont des coûts qui existent, mais qui ne sont pas identifiés correctement ; ils sont confondus avec d’autres coûts et ne sont pas pris en considération lors de la prise de décision de management. L’origine des coûts cachés réside dans des dysfonctionnements mesurés par cinq indicateurs : • l’absentéisme ; • les accidents du travail ; • la rotation du personnel ; • la non-qualité des produits ; • la sous-productivité directe est liée au surcroît de travail pour le contrôle.

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4. Les coûts externes de non-qualité

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Ces dysfonctionnements engendrent des coûts qui peuvent se classer en cinq rubriques : • les sursalaires : salaires liés au remplacement la personne absente ; • les surtemps passés à la régulation du dysfonctionnement ; • les surconsommations ; • les non-productions ; • la non-création de performance stratégique. Le schéma suivant (source : www.iseor.com) synthétise ces informations : Ces dysfonctionnements engendrent des coûts cachés qui affectent la performance de l’entreprise

Absentéisme Accidents du travail Rotation du personnel Non-qualité Sous-productivité directe

INDICATEURS

Coûts cachés

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Surcharges SURSALAIRE : temps passé par une personne titulaire d’un poste mieux rémunéré à une activité qui ne lui est pas attribuée. SURTEMPS : temps passé à la régulation d’un dysfonctionnement. SURCONSOMMATION : quantité de produits consommés en plus pour réguler le dysfonctionnement.

COMPOSANTS

Non produits

NON-PRODUCTION : perte de production ou d’activité engendrée par le dysfonctionnement. NON-CRÉATION DE POTENTIEL STRATÉGIQUE : performances retardées à cause de dysfonctionnement actuels. RISQUES

Les coûts liés à la non-qualité sont donc généralement des coûts cachés. Par exemple, si le directeur de production réduit le temps d’usinage des pièces produites, il va sans doute diminuer le coût de production. Mais si cette diminution génère des défauts plus fréquents sur les pièces produites, cela se traduira par des mécontentements de la part des clients, des retours de produits non conformes, des pertes de parts de marché, des rabais accordés… qui diminuent le résultat de l’entreprise et augmente les charges du service commercial. Ainsi, les conséquences d’une décision liée à la production ne seront pas identifiées comme imputables au directeur de production. Pire, elles risquent au contraire de pénaliser le directeur commercial qui n’y est pour rien, alors que le directeur de la production pourrait être félicité d’avoir diminué les coûts de production ! Le système de coûts n’identifie généralement pas les coûts de la qualité en tant que tels. Ce sont des coûts qui sont transversaux et qui se répartissent à différents niveaux. Ce sont donc des coûts cachés.

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Section 2. Les

outils de gestion de la qualité en amont

Les outils de la gestion de la qualité « en amont » forment un ensemble de techniques, pas nécessairement très formalisées, pas nécessairement quantitatives (il y a peu de formules mathématiques), permettant de s’interroger sur la pertinence du processus de production afin de l’améliorer en continu. Seront décrits le diagramme de Pareto, le diagramme d’Ishikawa, les cercles de qualité et la méthode du coût cible.

I.

Identifier les priorités

La gestion des priorités a déjà été présentée dans le chapitre sur la gestion des stocks. Elle se base sur des outils assuez intuitifs dont la loi dite du « 20/80 » (ou diagramme de Pareto). Définition Le diagramme de Pareto est un outil qui se fonde sur le principe qu’un petit nombre de causes a de grands effets et que le grand nombre des autres causes n’a que de faibles conséquences (loi des « 20‑80 »). La construction du diagramme de Pareto consiste dans un premier temps à identifier les problèmes rencontrés, à en faire un relevé statistique, à les classer par ordre de fréquence décroissante pour définir les priorités d’action, et à les représenter graphiquement. Dans un deuxième temps, une analyse qui doit aboutir à des actions pour améliorer la situation future est effectuée. Exemple applicatif 22

Défauts Nombre d’observations Fréquence Classement

D1 2

D2 5

D3 3

5,71 % 5

14,29 % 3

8,57 % 4

D4 13

D5 7

40,00 % 20,00 % 1 2

D6 3

D7 1

Total 34

8,57 % 4

2,86 % 6

100 %

D1 = absentéisme D2 = pannes D3 = mauvais réglage D4 = approvisionnement insuffisant D5 = erreurs de manipulation du personnel D6 = séries défectueuses D7 = autre

Fréquence d’apparition 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Défauts

0 D4

98

D5

D2

D3

D6

D1

D2

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Dans un atelier, le relevé problèmes rencontrés pendant le mois est le suivant :

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Il est à remarquer que deux défauts (soit 2/7 = 28,8 % des défauts) expliquent 60 % des problèmes rencontrés. Le diagramme facilite la visualisation des causes des problèmes selon l’ampleur de leurs effets. Le diagramme permet d’identifier le petit nombre de problèmes qui est à la source du plus grand nombre de défauts. C’est un outil simple et intéressant pour identifier les priorités d’action. Pour remédier aux problèmes identifiés, il n’y a pas de solution toute faite : tout dépend du contexte. Par exemple, pour résoudre des problèmes d’approvisionnement, il faudra peut-être chercher à mettre en place une meilleure programmation des achats, ou changer de fournisseurs, ou augmenter le stock de sécurité, ou mieux former le personnel, ou rendre plus claires les nomenclatures et les consignes, ou donner plus de temps, etc. Pour vous entraîner : faites le sujet 2008 du DCG (examen de l’État) téléchargeable sur le site www.cnamintec.fr.

II.

Améliorer la qualité en continu

Apparus au début des années 1960 au Japon sous l’influence d’Ishikawa, les cercles de qualité se sont diffusés dans le reste du monde à la fin de la décennie 1970. Définition Les cercles de qualité sont des groupes de salariés constitués pour identifier et résoudre des problèmes.

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Un groupe de travail de 4 à 15 personnes (de niveaux et de services différents dans l’entreprise), se réunit régulièrement pour définir, analyser, choisir, proposer et résoudre les problèmes concernant la qualité dans le travail. De tous les problèmes, le groupe se focalise sur le plus important et apporte sa réflexion après un remue-méninges (brainstorming). La philosophie de cette méthode de management participatif est de réunir les salariés directement concernés par un problème donné afin d’en débattre. Connaissant leur travail mieux que quiconque, ils sont les mieux placés pour trouver les solutions et stopper les gaspillages. Les cercles de qualité n’ont pas de pouvoir de décision et les solutions envisagées sont transmises à la hiérarchie qui les accepte ou non. Les cercles de qualité remplissent plusieurs fonctions : • fonction technique : amélioration de la qualité ; • fonction économique : réduction des coûts ; • fonction sociale : outil de management participatif et consultatif (avec la « dynamique des groupes », Lewin a montré que les participants d’un groupe s’impliquent davantage). Les principales règles de bon fonctionnement des cercles de qualité sont : • le volontariat des participants au groupe ; • l’engagement des membres à participer aux réunions ; • un animateur ; • une communication directe et égalitaire ; • une délimitation des problèmes à résoudre. Définition Le diagramme d’Ishikawa (ou diagramme des relations causales, ou diagramme en arêtes de poisson) est une méthode d’animation des cercles de qualité et d’analyse des problèmes rencontrés. C’est un diagramme destiné à examiner les causes profondes d’un problème à résoudre. En posant continuellement la question « pourquoi ? » (comme un enfant de 2 ans qui répète continuellement « pourquoi ? »), en cherchant le pourquoi du pourquoi du pourquoi…, la réflexion au sein du cercle de qualité doit permettre de découvrir la véritable cause des problèmes.

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La particularité du diagramme, c’est de classer ces causes sur un axe horizontal en cinq catégories principales, les « 5 M » : méthode, main-d’œuvre, matériel, milieu, matières. Milieu

Matières

Main-d’œuvre

Effets sur le problème à résoudre

Méthode

Matériel

Des flèches sont rajoutées au fur et à mesure de la réflexion. Milieu

Main-d’œuvre Oubli Fatigue

Matières

Lisibilité des étiquettes

Compétence Éclairage insuffisant

Manque de temps Motivation

Qualité insuffisante

Temps d’exécution prévu insuffisant Méthode

D5 Erreurs de manipulation du personnel Machine mal réglée

Matériel

Il faut bien comprendre que ce diagramme n’a rien de mathématique. C’est un support de réflexion pour animer des groupes de travail destinés à résoudre les causes des problèmes. Le diagramme sert à regrouper des idées, des opinions se rattachant à des problématiques diverses et à créer des liens entre elles. Cet outil graphique issu d’un brainstorming recense les causes aboutissant à un effet. Son analyse permet une aide à la décision soit pour corriger un fait existant, soit pour mettre en place d’un projet. Le diagramme d’Ishikawa est simultanément : • un outil d’animation et de dialogue ; • un outil de formation du personnel ; • un outil de collecte des données sur un problème à résoudre ; • un outil de diagnostic qui permet une vision globale des interdépendances des causes. Après un effet de mode important, les cercles de qualité ont actuellement quasiment disparu en Europe et aux États-Unis en raison du manque d’engagement des directions et du manque d’implication des salariés. Pour vous entraîner : faites le sujet 2008 du DCG (examen de l’État) téléchargeable sur le site www.cnamintec.fr.

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Absentéisme

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III. Analyser et optimiser les caractéristiques du produit La méthode du coût cible (ou coût objectif, ou « target costing » ) permet d’analyser et d’optimiser la production en tenant compte de l’importance relative accordée par le client aux différentes fonctions d’un produit.  Le coût-cible est-il un coût complet ou un coût partiel ? Dans de nombreux manuels, la méthode du coût cible est présentée à la suite du cours sur les coûts complets et les coûts partiels. Bien qu’elle ne puisse en aucun cas être considérée comme une alternative à la méthode des centres d’analyse ou à la méthode ABC, on peut penser que la méthode du coût cible est une méthode de coût complet dans la mesure où elle analyse l’ensemble des charges (directes et indirectes) liées à un produit. La méthode du coût cible n’est a priori pas une méthode de coût partiel… bien que la démarche puisse parfaitement être mise en œuvre sur une partie seulement des coûts. La méthode du coût cible ne peut être rattachée sans équivoque, ni aux coûts complets, ni aux coûts partiels. Par nature, cette méthode est une approche prospective utilisée uniquement à l’occasion du développement de nouveaux produits et/ou services. Elle ne peut en aucun cas servir, par exemple, à évaluer des stocks.

A. Les fondements de la méthode La méthode du coût cible a été développée dans l’industrie automobile au Japon pendant la période 1970‑1980. Elle s’inscrit dans une démarche d’analyse du coût global (ou life cycle cost) qui consiste à analyser la rentabilité sur l’ensemble du cycle de vie, depuis le coût de conception jusqu’au coût de destruction.

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Définition Le coût cible est un ensemble de méthodes et d’outils de gestion visant à adapter le coût complet prévisionnel des produits aux objectifs de profitabilité fixés pour l’ensemble du cycle de vie, sous la contrainte du marché. Son objectif est de définir ex ante le coût maximum de revient que l’entreprise peut supporter compte tenu de ses objectifs de profit et du prix de vente imposé par le marché. Ce coût maximum devient la cible à atteindre.

1. Une approche marketing Définition Le marketing (ou mercatique) est la discipline en sciences de gestion qui s’intéresse aux besoins du consommateur : analyse des besoins (étude de marché), adaptation des produits aux besoins, information et création du besoin chez le consommateur. En économie, le marché (market en anglais) est le lieu où se rencontrent offre et demande. En sciences de gestion, on se situe du point de vue de l’entreprise (l’offreur), et l’étude du marché devient essentiellement l’étude de la demande. La méthode du coût cible se fonde sur le principe que le prix est imposé par le marché. Le prix ne dépend donc pas du coût, et c’est au contraire le coût qui doit être adapté au prix du marché. Le coût apparaît alors comme une variable d’action qui est limitée par deux contraintes : • le prix imposé par le marché ; • la marge choisie par l’entreprise. L’équation traditionnelle issue de la vision « ingénieur » de l’entreprise : Prix de vente = Coût de revient imposé par le processus industriel + Marge devient, dans une vision « marketing » de l’entreprise : Coût cible = Prix de vente imposé par le marché – Profit cible.

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Remarque Méthode de coût et conception de la gestion : si la méthode des centres d’analyse peut être considérée comme issue de la conception de l’entreprise qu’ont les ingénieurs (ou les mathématiciens), et que la méthode ABC peut être considérée comme issue de la conception de l’entreprise qu’ont les stratèges (et les chercheurs en gestion), la méthode du coût cible doit être rattachée à la conception qu’en ont les hommes et les femmes du marketing, pour qui le client et la satisfaction de ses besoins commandent à toutes les décisions.

2. La phase amont de conception La comptabilité de gestion ne s’intéresse trop souvent qu’à la phase de production. Or, actuellement, 70 % à 90 % des coûts sont des coûts de conception (en amont de la production) et des coûts de maintenance et de services liés au produit (en aval de la production). En conséquence, c’est dès la phase de conception que se joue la profitabilité future des produits et/ou services nouveaux, et la méthode du coût cible est un ensemble de méthodes et d’outils de gestion des coûts qui s’appuient sur la prédominance de la phase amont du cycle de vie. Par ailleurs, les modèles traditionnels sont adaptés à des produits parvenus à maturité dont la durée du cycle de vie est assez longue. Définition Le cycle de vie d’un produit est un outil de gestion qui consiste à considérer que la commercialisation d’un produit traverse des étapes chronologiques, similaires aux étapes qui rythment la vie d’un individu : lancement, croissance, maturité, déclin. Chacune de ces étapes se caractérise par des facteurs clefs de succès et un environnement concurrentiel différents.

Traditionnellement, les efforts de réduction des coûts portent sur la recherche de gains de productivité lors de la fabrication. Le point de départ de la méthode du coût cible repose sur le constat qu’environ 80 % des coûts du cycle de vie d’un produit sont pré-engagés lorsque la première unité du produit est lancée en fabrication alors même que 80 % de ces coûts ne seront effectivement dépensés qu’après cette date. Ainsi, la majorité des coûts qui seront supportés durant les phases de production et de distribution des produits dépend de choix réalisés lors des phases de conception et de développement. En conséquence, il est plus facile de réduire les coûts au moment de la conception. Il est donc logique de se tourner vers l’amont en se préoccupant des coûts lors même de la conception des produits. Le raccourcissement de la durée du cycle de vie des produits conjugué au fait que lorsque la production commence, environ 80 % des coûts de l’ensemble du cycle sont engagés même s’ils ne seront dépensés qu’ultérieurement, met en évidence l’importance de la phase initiale de conception. Par exemple, un fabricant automobile peut se poser la question de savoir s’il équipe son nouveau modèle d’un moteur tout électrique ou hybride. Ce choix est effectué très tôt dans le cycle de vie du produit, bien avant que la production ne soit lancée. Le coût de production est donc encore nul. Pourtant, lorsque les premiers modèles seront assemblés, le choix du type de motorisation ne pourra plus être remis en cause. Une grande partie des coûts sera donc conditionnée par ce choix. S’il s’avère que la technologie tout électrique est 20 % plus chère que ce que les prévisions estimaient, il ne sera plus possible pour autant de revenir à une motorisation hybride. C’est cette idée qui est exprimée lorsque l’on dit que 80 % des coûts sont pré-engagés (ou décidés) avant que la production ne soit lancée. La gestion de la production pourra au mieux tenter d’optimiser les 20 % de coûts opérationnels restant.

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La méthode du coût cible part d’un constat simple : ce sont les produits qui génèrent le profit de l’entreprise, et cette profitabilité (résultat/chiffre d’affaires) se joue essentiellement dans la phase de conception.

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Coûts totaux provoqués par le produit au long de son cycle de vie Coûts engagés

80 %

Coûts dépensés

Conception

Début de production

Fin du cycle

Phases du cycle de vie

Les coûts décidés sont maîtrisables : choix de sous-traitance, de technologie, analyse de la valeur, etc. Les coûts dépensés sont suivis par le contrôle de gestion comptable classique.

B. Mise en œuvre de la méthode du coût cible 1. Détermination du coût cible Le coût cible se déduit du prix de vente imposé par le marché et du profit cible.

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a. La fixation du prix de vente Les techniques d’étude de marché conduisent à déterminer le prix prévisionnel. Définition Une étude de marché est une technique d’analyse des besoins du client. Elle peut se faire sous forme d’entretiens semi-directifs, d’enquêtes par questionnaire, de suivi de panel, etc. Elle peut également se faire par consultation de documentation (statistiques des chambres de commerce, mairies, presse spécialisée, etc.). Dans le cadre des études du coût cible, puisque la démarche vise à prendre en compte l’ensemble du cycle de vie du produit, l’étude de marché ne se contentera pas de déterminer le prix de vente acceptable par les consommateurs à une date donnée. Elle déterminera l’évolution du prix de vente, et des volumes des ventes prévus sur l’ensemble du cycle de vie du produit. Exemple applicatif 23 Après avoir établi un questionnaire, l’équipe marketing de l’entreprise Big-W a effectué un sondage auprès de 1  200  utilisateurs pour étudier les attentes du marché concernant le produit Small-W. Le Small-W serait lancé début N+1. Pour ce premier exercice le prix de vente pourrait être fixé à 9 €. En N+2, l’effet nouveauté s’estompant, le prix de vente devrait être ramené à 8 € puis à 7 € en N+3 et 6 € en N+4. Les types de produits auxquels appartient la gamme Small-W ont généralement un cycle de vie de 4 ans. Au-delà, la société Big-W devra proposer un produit de substitution. Les prévisions de vente portent sur 1 000 articles en N+1, 2 000 articles en N+2, 2 000 articles en N+3 et 1 000 en N+4. On déduit de ces informations un CA prévisionnel la première année de 9 000 €, 16 et 14 000 € les années 2 et 3, et 6 000 € l’année 4, soit un CA total de 45 000 € sur les quatre années correspondant à un volume de ventes de 6 000 unités. On en déduit un prix de vente cible moyen de 7,5 €.

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Une manière de déterminer un prix cible consiste à poser deux questions aux personnes interrogées par sondage : 1. Au-dessus de quel prix n’achèteriez-vous pas le produit parce que trop cher ? 2. En dessous de quel prix n’achèteriez-vous pas le produit parce que de qualité insuffisante ? En posant ces deux questions, les personnes interrogées établissent une fourchette de prix qui leur semble raisonnable pour acquérir un produit. Le prix cible est alors le prix tel qu’il maximise le volume des ventes. Exemple applicatif 24

Prix 100 150 200 250 300 350 400 Total

Réponses au questionnaire Prix Prix trop trop élevé bas 0 2 2 4 4 10 5 2 6 2 2 0 1 0 20 20

% prix trop élevé 0 % 10 % 20 % 25 % 30 % 10 % 5 %

% cumulé croissant 0 % 10 % 30 % 55 % 85 % 95 % 100 %

% prix % cumulé % de non Taux trop décroissant acheteurs d’acceptabilité bas 10 % 90 % 90 % 10 % 20 % 70 % 80 % 20 % 50 % 20 % 50 % 50 % 10 % 10 % 65 % 35 % 10 % 0 % 85 % 15 % 0 % 0 % 95 % 5 % 0 % 0 % 100 % 0 %

Le prix qui maximise les ventes est 200 €. À ce prix là, 20 % de la population n’achètera pas le produit car pas assez cher, et 50 % n’achètera pas car trop cher. Au final, 50 % de la population pourrait acquérir le produit.

Un objectif de rentabilité de l’ensemble du portefeuille de produits est fixé sur un horizon temporel en fonction des options stratégiques, du mode de financement, de la stratégie commerciale, de la croissance attendue, etc. Une quote-part du profit global planifié est alors attribuée à chaque produit et constitue son profit cible. Le coût cible se déduit de l’équation précédemment présentée : Coût cible = Prix de vente imposé – Profit cible Exemple applicatif 23 (suite) L’entreprise Big-W a un objectif de marge de 40 % en N+1, 30 % en N+2, puis 20 % en N+3 et N+4. En reprenant les données de l’exemple précédent, calculer le coût cible. Le coût cible de l’année 1 est de 60 % × 9 = 5,4 €. Le coût cible de l’année 2 est de 70 % × 8 = 5,6 €. Le coût cible de l’année 3 est de 80 % × 7 = 5,6 €. Le coût cible de l’année 4 est de 80 % × 6 = 4,8 €. Le coût cible moyen (pondéré par le volume des ventes) sur les quatre années est donc de (5,4 × 1 000) + (5,6 × 2 000) + (5,6 × 2 000) + (4,8 × 1 000)]/6 000 = 5,43 €.

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b. La fixation du profit cible

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c. Décomposition du coût cible À ce stade, le coût cible n’est pas opératoire car trop global. Aussi doit-il être décomposé en fonction des composantes en coûts cibles partiels. Cette décomposition nécessite : • l’identification des différentes fonctions que le produit est censé remplir ; • l’évaluation de l’importance relative que le consommateur attribue à chacune des fonctions ; • l’analyse des relations entre les composants et les fonctions ; • la définition d’un coût cible par composant : la part du coût du composant dans le coût total doit être cohérente avec sa part relative de contribution à la valeur créée pour le client. Le coût cible global représente ainsi une mesure de la valeur perçue par le consommateur, ce qu’il est prêt à payer pour l’ensemble des fonctions attachées au produit, et chaque composant du produit doit engendrer un coût (coût cible par composant) correspondant à la valeur que lui attribue le consommateur. Remarque Cette étape est essentielle dans la méthode du coût cible. Dans la méthode des centres d’analyse, les coûts sont répartis en centres d’analyse selon une vision fonctionnelle de l’entreprise. Dans la méthode ABC, ils sont répartis en activités selon une vision stratégique. Dans la méthode du coût cible, les coûts sont répartis en fonction de l’importance relative accordée par le client aux composants d’un produit. C’est cette décomposition du coût qui permet ensuite des recommandations. Le seul coût cible global ne permet aucune application concrète en contrôle de gestion.

2. Détermination du coût estimé

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Dans un deuxième temps, compte tenu de son pôle de compétences (hommes, technologie, organisation du travail, communication), l’entreprise estime le coût qu’elle est capable de réaliser. Comme le coût cible, le coût estimé doit couvrir l’ensemble du cycle de vie. Compte tenu de son aspect stratégique, la connaissance de ce coût futur suppose précision et justesse. L’estimation fait appel à trois types de méthodes. a. Les méthodes paramétriques Fondées sur la corrélation entre les coûts et les paramètres physiques du produit (poids, volume, dimension, puissance, etc.), elles débouchent sur une relation Y = aX + b. Ces méthodes sont simples et rapides mais trop approximatives. Aussi ne sont-elles à utiliser que comme première approximation. b. Les méthodes analogiques Elles prennent comme point de départ le coût d’un produit existant analogue au produit nouveau. Le coût estimé est dérivé des modifications apportées au produit nouveau. Ces méthodes supposent des conditions techniques stables et un concept de produit non innovant. c. Les méthodes analytiques Elles consistent en une analyse technique détaillée du produit nouveau. La pertinence du modèle d’allocation des charges aux coûts est fondamentale pour obtenir un coût estimé fiable. La prise en compte dans le coût des produits de leur complexité (nombre de composants, niveau de standardisation, etc.), de leur mode de fabrication (nombre d’opérations, taille des lots, etc.) doit être correctement évaluée pour percevoir les phénomènes de subventionnement croisé. C’est pourquoi les méthodes de coûts à base d’activités (ABC) sont fréquemment utilisées dans la démarche du coût cible.

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Contrôle de gestion • Série 3

3. Optimisation du coût L’objectif de la méthode du coût cible (et de sa décomposition par fonction) est de comparer le coût cible (importance accordée par le consommateur à chaque fonction) et son coût prévu (contraintes techniques) afin d’en tirer des conséquences en terme d’optimisation. Lorsque le coût estimé est peu différent du coût cible, il n’y aura pas de recommandation particulière à effectuer. Mais lorsque le coût estimé d’un composant est sensiblement différent du coût cible du composant, l’objectif est alors, sinon de résorber l’écart, tout du moins de s’interroger sur sa cause. Deux cas de figure sont à envisager : • Le coût estimé du composant est inférieur à son coût cible : cette situation est a priori favorable puisqu’il n’est pas indispensable de chercher à diminuer le coût du composant. Cependant, l’entreprise doit se demander si, au contraire, il ne conviendrait pas de développer et d’améliorer le composant pour satisfaire encore mieux le client ! • Le coût estimé du composant est supérieur à son coût cible : dans cette situation, l’entreprise doit chercher à diminuer le coût du composant car il n’est pas en adéquation avec l’importance relative accordée par le client à la fonction qu’il remplit. Des techniques d’optimisation sont à mettre en œuvre. Les améliorations doivent toujours être effectuées dans une perspective valeur-coût : il ne s’agit pas de réduire le coût si cela devait affecter la valeur perçue, mais d’optimiser le rapport entre ces deux dimensions. Ce processus d’amélioration peut être mis en œuvre à toutes les étapes du cycle de vie. a. Pendant la conception L’analyse de la valeur (voir la définition ci-avant) est la technique utilisée pour rapprocher le coût estimé du coût cible sans affecter la valeur perçue par le client (c’est-à-dire ce qui est nécessaire à sa satisfaction).

L’analyse fonctionnelle consiste à : • rechercher les fonctions ; • classer les fonctions entre fonctions principales et fonctions contraintes ainsi qu’entre fonctions d’usage et fonctions d’estime ; • différencier les fonctions de service répondant aux besoins des utilisateurs des fonctions techniques choisies par le concepteur-réalisateur pour assurer des fonctions de service ; • hiérarchiser les fonctions ; • valoriser les fonctions. L’analyse fonctionnelle permet souvent d’éliminer une multitude de « petites tâches » inutiles et d’adapter le bien en fonction des besoins du consommateur pour obtenir non pas la qualité maximale, mais la qualité optimale. Par ailleurs, la conception modulaire des produits, et plus généralement la différenciation retardée des produits, permet de valoriser les interactions entre produits et processus de production. b. Pendant la phase de production L’optimisation doit se poursuivre par l’effet d’apprentissage et par une dynamique permanente de progrès (« kaizen »). Pendant la phase de production, la « maintenance des coûts » consiste à contrôler les coûts réels pour les maintenir proches des coûts cibles et pour éliminer les causes d’écarts.

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L’analyse de la valeur passe par une analyse fonctionnelle pour recenser, caractériser, hiérarchiser et valoriser les fonctions du produit. Chacune des fonctions identifiées doit être valorisée pour le producteur (coût) et pour le client (prix que le client est prêt à payer pour cette fonction).

UE 121 • Contrôle de gestion

Le modèle de MAKIDO résume la maîtrise des coûts recherchée par l’optimisation du coût : Coût cible

Coût estimé Conception et réduction du coût

Coût réel Maintenance du coût

Exemple applicatif 23 (suite) L’entreprise Big-W a déterminé que le coût objectif des fonctions répondant aux besoins de confort est de 1,50 € (par produit) et que le coût objectif des fonctions répondant aux besoins esthétiques est de 0,80 €. Les ingénieurs de l’entreprise considèrent que les caractéristiques du produit répondant aux fonctions de confort généreront un coût prévisionnel de 1,05 €, alors que les caractéristiques du produit répondant aux fonctions esthétiques généreront un coût prévisionnel de 1,25 €. On constate que le coût estimé de la fonction confort est de 0,45 € inférieur au coût cible de la fonction (soit 30 %) et que le coût estimé de la fonction esthétique est de 0,45 € supérieur au coût cible (soit 56 %). Ces deux écarts sont significatifs. Le premier écart peut être interprété favorablement : le coût de la fonction confort n’est pas exagéré. Mais on peut penser qu’il serait intéressant d’investir dans cette fonction pour améliorer encore davantage le confort du produit qui est un critère important au regard du client alors qu’il n’est pas une source de coût importante.

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Le second écart suscite quant à lui des interrogations sur les choix de production : le coût de la fonction est disproportionné par rapport à l’importance accordée par le client à cette fonction. Est-il utile de dépenser autant d’argent pour améliorer l’esthétique du produit (couleur, choix, finitions, etc.) alors même que l’esthétique n’est pas un critère important pour le client ? Il faut que les ingénieurs de Big-W cherchent des moyens pour diminuer les coûts liés à cette fonction (réduire les options, réduire les décorations, réduire les gammes de production, etc.). Conclusion La méthode des coûts cibles est une vision tournée vers le marché qui s’inscrit parfaitement avec les démarches de qualité totale et de benchmarking. Elle implique une vision transversale des organisations : le marketing pour les études de marché, les études et méthodes pour la conception et les choix de processus, le contrôle de gestion pour la valorisation des coûts et des performances, les approvisionnements dans le choix des composants, etc. Cependant, elle se heurte à des difficultés d’évaluation : • Si l’entreprise dispose d’une certaine marge de manœuvre dans la fixation du prix de lancement en fonction de sa stratégie (écrémage ou pénétration), elle doit anticiper les réactions des concurrents. • Une autre difficulté concerne la répartition du profit global sur une longue période entre les différents produits du portefeuille. • Les éléments à retenir dans le calcul du coût estimé sont en partie arbitraires, et il est difficile d’appréhender les phénomènes d’apprentissage. • La méthode nécessite une implication forte pour surmonter la culture budgétaire des territoires et aboutir à une coopération transversale et non hiérarchique entre les différentes fonctions. La conception du coût cible reste bien souvent le fait des professionnels de la conception et ignore la vision transversale. ➠➠Pour vous entraîner, faites l’exercice autocorrigé n° 8 proposé en fin de série et le sujet autocorrigé « Montres » disponible dans les ressources de l’UE 121, sur le site Internet de l’Intec : http://www.cnamintec.fr.

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Contrôle de gestion • Série 3

Section 3. Les

outils de gestion de la qualité en aval

 Remarque préliminaire sur les exercices d’échantillonnage L’estimation et les tests d’hypothèse sont généralement considérés comme difficiles par les étudiants. Pourtant, sans prétendre que ce type d’exercices tombe souvent, ils tombent régulièrement. Aussi, convient-il de ne pas se décourager et de s’entraîner régulièrement sur ces parties. Le diagramme de Pareto, les cercles de qualité ou l’analyse du coût cible visent à améliorer la qualité dans une démarche d’analyse ex ante, ou continue. Les techniques d’échantillonnage sont des outils mathématiques de contrôle de la qualité dans une logique ex post : la production a déjà été lancée, et on veut vérifier que les biens ou les services produits et destinés à la vente sont conformes aux exigences demandées (au cahier des charges). Pour effectuer ces vérifications, il y a deux possibilités. La première consiste à contrôler tous les produits de manière systématique. Un tel contrôle exhaustif risque de générer des coûts très élevés. Il peut se justifier dans le cas de produits de très haute technologie, ou liés à la sécurité ou la santé. Lorsque l’on produit un satellite ou une centrale nucléaire, on peut espérer que le moindre détail de la production est sérieusement contrôlé, et le coût de ces contrôles mérite d’être engagé. En revanche, lorsque l’entreprise produit des biens ou services de consommation courante, dont les conséquences d’un défaut sont peu ou pas graves, il devient inutile de générer des coûts de contrôle de qualité trop importants. Si dans une boîte d’allumettes, un certain nombre d’allumettes sont mal calibrées, ou défectueuses, on peut penser que cela aura un impact quasiment nul sur la satisfaction du client. L’entreprise peut s’accorder une marge de liberté, et un contrôle exhaustif n’est plus indispensable : l’entreprise aura recours à des techniques d’échantillonnage et à des calculs statistiques.

Échantillonnage

A. Description Lorsqu’elle pratique un échantillonnage, l’entreprise prélève dans la production de manière plus ou moins aléatoire un certain nombre de produits : l’échantillon. Elle vérifie les caractéristiques des produits prélevés. La question est alors de savoir dans quelle mesure ce qui est observé dans l’échantillon est généralisable à l’ensemble de la production (la population totale en langage mathématique). Il y a alors deux manières de poser le problème, qui donnent lieu à deux types d’exercices différents (même s’ils ont des points communs) : les estimations et les tests. Dans les estimations, l’objectif est de chercher à connaître (estimer) dans la population totale un caractère mesuré dans un échantillon. On ne connaîtra jamais la mesure exacte, mais l’utilisation des statistiques permet de quantifier (de « probabiliser ») la chance que la mesure exacte soit égale ou proche de la valeur mesurée dans l’échantillon. Dans les tests statistiques, le raisonnement est légèrement différent : on se fixe un objectif ou une norme pour la production réelle, et après avoir mesuré la caractéristique dans un échantillon, on veut savoir si oui ou non on peut considérer (avec une certaine probabilité de se tromper) que la norme est respectée dans la population totale. C’est donc une réponse binaire à une hypothèse qui est attendue. Dans tous les cas, l’intérêt des statistiques est de pouvoir quantifier la probabilité de se tromper. Par exemple, si une entreprise fabrique 1 000 vis d’une longueur de 5 cm par jour, et que, mesurant la longueur de 100 vis prises au hasard elle observe que la longueur moyenne des 50 vis est de 4  cm, il ne semble pas utile de faire des calculs compliqués pour en déduire qu’il y a un

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I.

UE 121 • Contrôle de gestion

problème dans le processus de production. L’écart est tel que, intuitivement, on se doute que la taille des vis dans la population totale n’est pas de 5 cm. En revanche, si on mesure une taille de 4,8 cm, on ne sait pas nécessairement comment interpréter ce résultat. Il y a une chance que l’ensemble des vis produites soient un peu plus petites que la taille attendue, mais en même temps, l’écart est relativement réduit et il n’est pas certain que ce soit le cas. L’intérêt des statistiques est de pouvoir quantifier cette probabilité. Au final, les exercices d’échantillonnage sont de quatre types : Estimation ponctuelle Estimations Estimation par intervalle de confiance

Echantilonnage

Test bilatéral Tests Test unilatéral

Après avoir rappelé les propriétés des échantillons, les quatre types d’exercices seront décrits.

B. Distribution d’échantillonnage Soit une population mère Ω de taille N et une variable aléatoire X. De cette population sont issus p échantillons E1, E2, …, Ep de taille n qui auront des moyennes et des écarts types différents.

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La notion de distribution d’échantillonnage peut être résumée et schématisée : Population mère : Ω Taille : N Moyenne : m Proportion : p Écart type : σ

Échantillon 1

Échantillon 2

Échantillon p

Taille : n Espérance : x1 Proportion : f1

Taille : n Espérance : x 2 Proportion : f2

Taille : n Espérance : xp Proportion : fp

Écart type : s’1

Écart type : s’2

Écart type : s’p

1. Distribution d’échantillonnage des moyennes Les moyennes xi de chaque échantillon varient d’un échantillon à l’autre et représentent la distribution des moyennes de la variable aléatoire X n qui associe à tout échantillon de taille n la moyenne de cet échantillon. La variable aléatoire X n prend donc les valeurs : x1, x 2 , … , xp Quelle que soit la taille de l’échantillon, si la variable aléatoire X suit une loi normale, la variable aléatoire X n suit une loi normale. De même, d’après le théorème de la limite centrale, quelle que soit la loi suivie par la variable aléatoire X, si n ≥ 30, la variable aléatoire X n suit une loi normale. Il est impératif de connaître les paramètres de la loi normale suivie par X n pour les estimations de moyenne et les tests de moyenne.

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Contrôle de gestion • Série 3

Si n ≥ 30 ou si X suit une loi N(m, σ)X n suit une loi N(m,

s ) n

Quand les conditions sont réunies (si n ≥ 30 ou si X suit une loi normale), la variable aléatoire X n s X -m suit une loi normale N(m, ) et T = suit N(0,1). s n n

2. Distribution d’échantillonnage des fréquences De la population mère Ω sont issus des échantillons de taille  n qui auront des fréquences différentes. Les fréquences fi de chaque échantillon varient d’un échantillon à l’autre et représentent la distribution des fréquences de la variable aléatoire Fn qui associe à tout échantillon de taille n la fréquence de cet échantillon. La variable aléatoire Fn prend donc les valeurs : f1, f2, …, fp D’après le théorème de la limite centrale, si n ≥ 30, la variable aléatoire Fn suit approximativement une loi normale. Il est impératif de connaître les paramètres de la loi normale suivie par Fn pour les estimations de proportion et les tests de proportion. Si n ≥ 30Fn suit une loi N(p, Rappel : q = 1 – p

pq ) n

L’étude des caractéristiques de tous éléments d’une population est souvent impossible à réaliser en raison de contraintes de coûts et de temps. Cette impossibilité conduit à étudier un sousensemble issu de la population mère : l’échantillon. Les méthodes probabilistes de constitution des échantillons consistent à prélever au hasard des éléments de la population et sont les seules à respecter les lois statistiques1. Le prélèvement des éléments de l’échantillon peut être effectué : • Avec remise : l’élément prélevé est immédiatement remis dans la population mère avant de prélever le suivant. Un élément pouvant être éventuellement prélevé plusieurs fois, les tirages sont indépendants et l’échantillon est dit non exhaustif. • Sans remise : l’échantillon est exhaustif, mais les tirages ne sont pas indépendants puisque la composition de la population mère est modifiée à chaque tirage. Dans la suite, pour pouvoir appliquer les règles du calcul des probabilités, les échantillons seront supposés être constitués avec remise, ou être des échantillons sans remise dont la taille est négligeable par rapport à celle de la population qui est de grande taille ou infinie (le tirage est alors assimilable à un tirage avec remise). Soit une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l’espérance mathématique m, la proportion p et l’écart type σ sont inconnus. Il s’agit d’estimer, à partir des caractéristiques calculées sur un échantillon, la valeur des caractéristiques de la population mère.

1. Dans la pratique les méthodes probabilistes sont très souvent délaissées au profit des méthodes empiriques (méthode des quotas, méthode des itinéraires, etc.) moins coûteuses et moins difficiles à appliquer.

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II. Estimation

UE 121 • Contrôle de gestion

Population mère : Ω Échantillon représentatif Taille : n

Taille : N Moyenne : m (inconnue)

Espérance : x (connue) Proportion : f (connue) Écart type : σ’ (connu)

Proportion : p (inconnue) Écart type : σ (inconnu)

Induire les caractéristiques de la population mère de la connaissance des caractéristiques d’un échantillon.

Remarques • Plus l’échantillon est grand, meilleure est l’estimation. • Il est important de ne pas confondre x et m, f et p, σ’ et σ. Par ailleurs, pour diminuer le risque de se tromper, plutôt que de donner un nombre appelé estimation ponctuelle, il est possible de donner une « fourchette » appelée intervalle de confiance, dans laquelle se trouve le paramètre à estimer.

a. Estimations ponctuelles 1. Estimation ponctuelle d’une moyenne Soit m la moyenne inconnue de la variable X définie sur la population mère, et x la moyenne calculée sur un échantillon de taille n. La moyenne x variant d’un échantillon à l’autre est une estimation ponctuelle de m : Le nombre x est une estimation ponctuelle de m.

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2. Estimation ponctuelle d’une proportion Soit p la proportion inconnue de la variable X définie sur la population mère, et f la proportion calculée sur un échantillon de taille n. La proportion f variant d’un échantillon à l’autre est une estimation ponctuelle de p : Le nombre f est une estimation ponctuelle de p.

3. Estimation ponctuelle d’une variance et d’un écart type Soit σ2 la variance et σ l’écart type inconnus de la variable X définie sur la population mère, et σ’2 la variance calculée sur un échantillon de taille n. Contrairement aux estimations précédentes, σ’2 n’est pas une bonne estimation de la variance de la population mère car σ’2 mesure la dispersion autour de la moyenne x de l’échantillon et non pas autour de la moyenne m de la population mère. Prendre σ’2 sous-estimerait la variance de la population mère, et ce d’autant plus que la taille n de l’échantillon est petite. En revanche, le nombre s2 est une estimation ponctuelle de la variance : Le nombre s2 =

n σ’2 est une estimation ponctuelle de σ2 n–1

Le nombre s = s2  =

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n σ’ est une estimation ponctuelle de σ. n–1

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Contrôle de gestion • Série 3

Remarque La touche [σN–1] d’une calculatrice donne directement l’estimation ponctuelle de σ. Exemple applicatif 25 Afin de mieux gérer les demandes de crédit de ses clients, le directeur d’une agence bancaire réalise une étude relative à la durée de traitement des dossiers. Un échantillon aléatoire non exhaustif de 30 dossiers traités a donné : Durée en minutes Nombre

[0, 10[ 3

[10, 20[ 6

[20, 30[ 10

[30, 40[ 7

[40, 50[ 3

[50, 60[ 1

1. Calculer la moyenne et l’écart type des durées de traitement de cet échantillon. L’utilisation d’une calculatrice donne (prendre le centre des classes pour les calculs) : x = 26,33 minutes. σ’ = 12,31 minutes. 2. En déduire des estimations ponctuelles de la moyenne m et de l’écart type σ de la population totale des dossiers traités. Une estimation ponctuelle de la moyenne m de la population est 26,33 minutes. Une estimation 30 ponctuelle de l’écart type σ de la population est s = 12,31  = 12,52 minutes. 30 - 1 3. Donner une estimation ponctuelle de la proportion des demandes de la population totale dont la durée de traitement est de plus de 40 minutes.

b. Estimations par intervalles de confiance L’objectif est de déterminer un intervalle symétrique [a, b] qui contiendra le paramètre θ (lire thêta) à estimer avec une probabilité α appelée seuil ou coefficient de confiance (le nombre 1 – α étant appelé seuil ou coefficient de risque) : P{θ ∈ [a, b]} = α Remarque L’estimation d’une variance et l’estimation d’un écart type ne seront pas étudiées.

1. Estimation par intervalle de confiance d’une moyenne Soit m la moyenne inconnue de la variable X définie sur la population mère, et X n la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de taille n la moyenne de cet échantillon. Deux cas sont à envisager, suivant que l’écart type σ de la variable aléatoire X est connu ou non. 1er cas : L’écart type σ de la population mère est connu Avant d’avoir prélevé un échantillon de taille n, la valeur x que prendra la variable aléatoire X n n’est pas connue, mais il est possible de l’encadrer dans un intervalle symétrique centré autour de m, au seuil de confiance α : P(m – k < X n  < m + k) = α

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Une estimation ponctuelle de la proportion p des demandes de la population totale dont la durée de traitement est de plus de 40 minutes est 4/30 = 0,1333.

UE 121 • Contrôle de gestion

s ). Le calcul de l’intervalle de confiance est alors effectué n X-m avec la loi normale centrée réduite en posant T = . s n Des intervalles d’acceptation centrés sur la moyenne d’un échantillon de taille n peuvent alors être calculés au seuil de confiance α (compris entre 0 et 1) : P(m – k < X n  < m + k) = α (m - k) - m (m  k) - m P(  < T <  ) = α s s n n -k k  < T <  ) = α P( s s n n k Posons t = s n P(– t < T < t) = α π(t) – π(-t) = α π(t) – [1 – π(t)] = α 2π(t) – 1 = α 1 a π(t) = 2 La lecture d’une table N(0,1) donne : t = 1,96 pour α = 0,95 t = 2,575 pour α = 0,99 k Sachant que t = a s k = t n n L’intervalle de confiance est donc : Document de travail réservé aux élèves de l’Intec – Toute reproduction sans autorisation est interdite

Il est rappelé que X n suit une loi N(m,

s s < X n < m + t ) = α n n Après avoir prélevé un échantillon de taille n, une des réalisations de l’intervalle de confiance I est :

P(m – t

s s ˘ È I  Í x - ta ; x  ta n n ˙˚ Î

Avec : tα = 1,96 pour α = 0,95 tα = 2,575 pour α = 0,99

Remarques • En résumé, les valeurs tα sont obtenues en posant t tel que : p(– t < T < t) = α, soit 2π(t) – 1 = α Ainsi, pour α = 0,95, on pose 2π(t) – 1 = 0,95 et on recherche t tel que π(t) = 1,95/2 = 0,975. La lecture de la table de la loi normale centrée réduite (cf. annexe de la série 2 du cours par correspondance) permet d’obtenir t = 1,96. • La moyenne m de la population appartient à l’intervalle calculé dans α % des cas, ce qui signifie également qu’elle peut ne pas appartenir à l’intervalle de confiance dans 100 – α % des cas. • Si elle appartient à l’intervalle, la moyenne m peut être située n’importe où dans l’intervalle et n’a pas plus de raisons d’être près du centre. • Plus le coefficient de confiance α augmente, plus l’amplitude de l’intervalle augmente : ce qui est gagné en certitude est perdu en précision.

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Contrôle de gestion • Série 3

2e cas : L’écart type σ de la population mère est inconnu2 Il s’agit du cas le plus fréquent. Si la taille de l’échantillon est suffisamment grande3 (supérieure à 30), d’après le théorème de la limite centrale, il est possible de prendre s comme estimation de σ pour calculer l’intervalle de confiance : s s ˘ È Si n ≥ 30, I  Í x - ta  m  x  ta n n ˙˚ Î

2. Estimation par intervalle de confiance d’une proportion Les principes de calcul de l’intervalle de confiance sont les mêmes que pour une moyenne. Soit p la moyenne inconnue de la variable X définie sur la population mère, et Fn la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de taille n la fréquence de cet échantillon. Avant d’avoir prélevé un échantillon de taille n, la valeur p que prendra la variable aléatoire Fn n’est pas connue, mais il est possible de l’encadrer dans un intervalle symétrique centré autour de p, au seuil de confiance α : P(p – k < Fn < p + k) = α pq ). Le calcul de l’intervalle de confiance est n F -p . alors effectué avec la loi normale centrée réduite en posant T = n pq n Des intervalles d’acceptation centrés sur la proportion d’un échantillon de taille n peuvent alors être calculés au seuil de confiance α (compris entre 0 et 1) : P(p – k < X n < p + k) = α (p - k ) - p (p  k ) - p
pq pq < X n < p + t ) = α. n n

2. Seul le cas d’échantillons suffisamment grands (n ≥ 30) sera présenté. 3. La condition n ≥ 30 est primordiale. En effet, si n < 30, même si X suit une loi normale, la variable ne suit pas une loi normale, mais une loi de Student.

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Si n ≥ 30, il est rappelé que Fn suit une loi N(p,

UE 121 • Contrôle de gestion

Il est admis qu’après avoir prélevé un échantillon de taille n, la valeur f peut servir d’estimation ponctuelle de p (et de q = 1 – f), et qu’une des réalisations de l’intervalle de confiance I est : I = [f – tα

f (1- f )  ; f + tα n

Avec : tα = 1,96 pour α = 0,95 tα = 2,575 pour α = 0,99

f (1- f ) ] n

Exemple applicatif 25 (suite) 1. Sachant que l’écart type de la durée de traitement des demandes de la population totale est de 13 minutes, donner un intervalle de confiance à 95 % et à 99 % de la moyenne. Dans ce cas, X n suit une loi N(m,

s 13 ), soit une loi N(m, ) et une estimation de m est 26,33. n 30

Explication du calcul de l’intervalle à 95 % P(26,33 – k < X n < 26,33 + k) = 0,95 (26,33 - k) - 26,33 (26,33  k) - 26,33 < T <  ) = 0,95 13 13 30 30 -k k < T <  ) = 0,95 P( 13 13 30 30 k k  = Posons t = 13 2,3734 30 P(– t < T < t) = 0,95 2π(t) – 1 = 0,95 P(

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π(t) = 0,975 La lecture d’une table N(0,1) donne t = 1,96 k 2,3734 k = 4,6519 L’intervalle de confiance est donc :

1,96 =

P(26,33 – 4,65 < X n  < 26,33 + 4,65) = 0,95 La moyenne m de la population totale appartient dans 95 % des cas à l’intervalle : 13 13 ˘ È ÍÎ 26, 33 - 1, 96 ¥ 30 ; 26, 33  1, 96 ¥ 30 ˙˚  = [21,68 ; 30,98] La moyenne m de la population totale appartient dans 99 % des cas à l’intervalle : [26,33 – 2,575 × 2,373 ; 26,33 + 2,575 × 2,373] = [20,22 ; 32,44] 2. L’écart type de la durée de traitement des demandes de la population totale étant inconnu, donner un intervalle de confiance à 95 % et à 99 % de la moyenne. La taille de l’échantillon est suffisamment grande. L’estimation de l’écart type s = 12,52 peut être retenue. La moyenne m de la population totale appartient dans 95 % des cas à l’intervalle : 12, 52 12, 52 ˘ È ÍÎ 26, 33 - 1, 96 ¥ 30 ; 26, 33  1, 96 ¥ 30 ˙˚  = [21,85 ; 30,81] La moyenne m de la population totale appartient dans 99 % des cas à l’intervalle : 12, 52 12, 52 ˘ È ÍÎ 26, 33 - 2, 575 ¥ 30 ; 26, 33  2, 575 ¥ 30 ˙˚ = [20,44 ; 32,22]

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Contrôle de gestion • Série 3

3. Donner un intervalle de confiance à 95 % de la proportion des demandes de la population totale dont la durée de traitement est de plus de 40 minutes. Une estimation ponctuelle de la proportion est 4/30 = 0,1333. Comme n ≥  30, il est rappelé que Fn suit une loi N(0,1333, N(0,1333, 0,06206).

0,1333 ¥ 0, 8667 ), soit une loi 30

P(0,1333 – k < Fn < 0,1333 + k) = 0,95 (0,1333 - k) - 0,1333 (0,1333  k) - 0,1333 < T <  ) = 0,95 0,062 0,062 k k < T <  ) = 0,95 P(– 0,062 0,062 k Posons t = 0,062 P(– t < T < t) = 0,95 2π(t) – 1 = 0,95 π(t) = 0,975 P(

La lecture d’une table N(0,1) donne t = 1,96 D’où k = 0,1216 L’intervalle de confiance est donc : P(0,1333 – 0,1215 < Fn < 0,1333 + 0,1215) = 0,95 La proportion p des demandes de la population totale dont la durée de traitement est de plus de 40 minutes appartient dans 95 % des cas à l’intervalle : [0,0117 ; 0,2549]

Faites également l’exercice autocorrigé « Estimation d’une moyenne et d’un écart type » disponible dans les ressources de l’UE 121 du site www.cnamintec.fr.

III. Les tests d’hypothèses Les tests d’hypothèses sont un outil de contrôle statistique a posteriori. À partir des observations faites sur un échantillon, un test a pour objectif de vérifier si une hypothèse de départ est acceptable ou non. Les tests d’hypothèses paramétriques permettent la comparaison d’une estimation à une norme. Un test consiste à choisir entre deux hypothèses : • L’hypothèse nulle H0 qui porte sur une valeur θ de la variable aléatoire X. Contre : • L’hypothèse alternative H1 qui porte sur d’autres valeurs de la variable aléatoire X, compte tenu d’un niveau de risque α. Si l’hypothèse nulle est supposée vraie, la décision D0 est prise, et inversement, si l’hypothèse alternative est supposée vraie, la décision D1 est prise. Il y a donc quatre situations possibles qui peuvent se résumer dans le tableau suivant : Décisions Hypothèses H0 vraie H1 vraie

116

D0 : Accepter H0 Pas d’erreur Erreur de deuxième espèce

D1 : Accepter H1 Erreur de première espèce Pas d’erreur

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➠➠Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé  13 « Estimation d’une proportion » proposé en fin de série.

UE 121 • Contrôle de gestion

Le risque de première espèce, noté α, est la probabilité de refuser H0 (ou d’accepter H1) à tort, soit probabilité conditionnelle de prendre la décision D1 alors que H0 est vraie : α = P(D1/H0) Le risque de seconde espèce, noté β, est la probabilité d’accepter H0 (ou de refuser H1) à tort, soit probabilité conditionnelle de prendre la décision D0 alors que H1 est vraie : β = P(D0/H1) Tout test comporte ainsi un risque d’erreur, et une décision ne peut donc être prise qu’avec un certain risque.

A. compArAIson D’une moyenne à une norme Soit une population mère Ω sur laquelle est définie une variable aléatoire X de moyenne m inconnue et d’écart type σ. Le test a pour objectif de déterminer, à partir d’une estimation x calculée sur un échantillon, si la moyenne m de la population mère peut être considérée égale ou non à une norme m0. La qualification du test est fonction de l’hypothèse alternative H1 : Test bilatéral Tests unilatéraux H0 : m = m0 H0 : m = m0 H0 : m = m0 Contre : H1 : m ≠ m0 Contre : H1 : m < m0 Contre : H1 : m > m0 Au seuil de risque α (ou de confiance 1 – α)

L’hypothèse H0 étant supposée vraie, si la variable X suit une loi normale ou si la taille de l’échantillon est supérieure à 30, la variable aléatoire X n, qui associe à tout échantillon de taille n la s ) si l’écart type σ est connu. moyenne de cet échantillon, suit une loi normale N(m0 ; n

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1. Détermination de la région d’acceptation et de la région critique De façon intuitive, si l’estimation x est très voisine de m0, le test est inutile : la décision D0 est prise et l’hypothèse H0 est supposée vraie. Dans le cas contraire, il est possible de calculer une région d’acceptation qui conduit à accepter l’hypothèse H0 et une région critique de rejet de l’hypothèse H0. La région d’acceptation est l’intervalle au seuil (1 – α) qui contient une réalisation de X n, la région critique étant la région complémentaire. Test bilatéral : H1 : m ≠ m0

Test unilatéral : H1 : m < m0

mo

D1

D1 Région d'acceptation

D1

Test unilatéral : H1 : m > m0

mo

mo

Région d'acceptation

Région d'acceptation

D1

La région d’acceptation est telle que : La région d’acceptation est telle que : La région d’acceptation est telle que : P(m0 – k < X n < m0 + k) = 1 – α

P(X n > m0 – k) = 1 – α

P(X n < m0 + k) = 1 – α

Soit une région d’acceptation : s s [mo – t1–α ; mo + t1–α ] n n

Soit une région d’acceptation : s [mo – t1–α ; + ∞[ n

Soit une région d’acceptation : s ]– ∞ ; mo + t1–α ] n

t1–α = 1,96 si α = 5 % t1–α = 2,575 si α = 1 %

t1–α = 1,645 si α = 5 % t1–α = 2,326 si α = 1 %

La région critique est symétrique et est telle que :

La région critique est telle que : P(X n < m0 – k) = α

t1–α = 1,645 si α = 5 % t1–α = 2,326 si α = 1 % X La région critique est telle que : P(X n > m0 + k) = α

PX n > m0 + k) = α / 2 P(X n < m0 – k) = α / 2

201211TDPA0313

117

Contrôle de gestion • Série 3

Si l’écart type σ est inconnu, il est possible de prendre l’estimation ponctuelle s si et seulement si n est supérieur à 30 (nota : cette règle n’est pas applicable aux échantillons de taille inférieure à 30 même si la variable X suit une loi normale).

2. Règle de décision Si l’estimation x calculée sur un échantillon appartient à la région d’acceptation l’hypothèse H0 est acceptée. Dans le cas contraire, l’hypothèse H0 est rejetée. Exemple applicatif 26 Avant d’engager une campagne publicitaire, la direction d’un hypermarché vous demande de construire un test qui, au vu des chiffres d’affaires journaliers des 30  jours ouvrables suivant cette campagne publicitaire, permettra de décider si, au seuil de signification de 5 %, la moyenne des chiffres d’affaires a augmenté, c’est-à-dire dépassé 150 000 euros. Les chiffres d’affaires journaliers obtenus pendant les 30 jours ouvrables suivant la campagne publicitaire ont été les suivants : Chiffres d’affaires journaliers en centaines de milliers d’euros Nombre de jours

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

2,2

2,3

1

2

2

8

8

2

2

1

2

1

0

1

1. Mise en place du test Il s’agit d’un test unilatéral : H0 : m ≥ 1,5 Contre H1 : m < 1,5 Au seuil de risque α = 5 %

Région critique : CA n’a pas augmenté

Région d’acceptation

• Soit X la variable aléatoire qui mesure le chiffre d’affaires journalier de l’hypermarché considéré. L’hypothèse H0 étant supposée vraie et la taille de l’échantillon étant ≥ 30, la variable aléatoire X 30, qui à tout échantillon de taille 30 associe la moyenne observée sur cet échantillon, suit une loi s ). normale N(1,5 ;  30 • La région d’acceptation de l’hypothèse H0 est obtenue par le calcul de la probabilité suivante : P(X n > 1,5 – k) = 0,95 (1,5 - k) - 1, 5 ) = 0,95 s 30 k P(T > –  s ) = 0,95 30 k Posons t = s 30 P(T > - t) = 0,95 P(T < t) = 0,95 π(t) = 0,95 La lecture d’une table N(0,1) donne t = 1,645 P(T > 

118

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1,5

UE 121 • Contrôle de gestion

k D’où : 1,645 = s 30 s k = 1,645 ×  30 La région d’acceptation est donc : P[X n > 1,5 – (1,645 × 

s )] = 0,95 30

s  ; + ∞[ 30 Comme l’écart type de la population mère n’est pas connu, il faudra retenir son estimation calculée à partir de l’échantillon. • Si la moyenne calculée sur un échantillon de taille  30 appartient à la région d’acceptation, l’hypothèse H0 est acceptée, et inversement.

Elle correspond à l’intervalle [1,5 – 1,645 × 

2. Peut-on conclure, au seuil de signification de 5 %, qu’à la suite de la campagne publicitaire la moyenne des chiffres d’affaires journaliers a dépassé 150 000 euros ? La moyenne calculée sur l’échantillon est égale à 1,623 centaine de milliers d’euros. L’écart type de l’échantillon est égal à 0,24039 centaine de milliers d’euros et l’estimation ponc30 tuelle de l’écart type de la population est le nombre s = 0,24039 = 0,2445 30 - 1 0, 2445  ; + ∞[ = [1,42657 ; + ∞[ La région d’acceptation est donc [1,5 – 1,645 ×  30 La moyenne calculée sur l’échantillon appartient à la région d’acceptation.

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En conclusion, au seuil de risque de 5 %, on rejette l’hypothèse H1 pour accepter l’hypothèse H0 : la moyenne des chiffres d’affaires a augmenté, c’est-à-dire a dépassé 150 000 euros.

b. Comparaison d’une proportion à une norme Soit une population mère  Ω sur laquelle est définie une variable aléatoire  X de proportion  p inconnue. Le test a pour objectif de déterminer, à partir d’une estimation f calculée sur un échantillon, si la proportion p de la population mère peut être considérée égale ou non à une norme p0 : Test bilatéral Tests unilatéraux H0 : p = p0. H0 : p = p0. H0 : p = p0. Contre : H1 : p ≠ p0. Contre : H1 : p < p0. Contre : H1 : p > p0. Au seuil de risque α (ou de confiance 1 – α).

• L’hypothèse H0 étant supposée vraie, si la taille de l’échantillon est supérieure à 30, la variable aléatoire Fn, qui associe à tout échantillon de taille n la fréquence de cet échantillon, suit une p0 (1- p0 ) loi binomiale qui peut être approchée par la loi normale N(p0 ; ). n

1. Détermination de la région d’acceptation et de la région critique La région d’acceptation est l’intervalle au seuil 1 – α qui contient une réalisation de Fn. Par un raisonnement analogue à celui présenté dans le paragraphe précédent, les régions d’acceptation sont les suivantes :

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119

Contrôle de gestion • Série 3

Test Au seuil de risque a

Région d’acceptation

H0 : p = p0 Contre : H1 : p ≠ p0

[p0 – t1 –α

p 0 (1 - p 0 ) p 0 (1 – p 0 )  ; p0 + t1 –α ] n n

H0 : p = p0 Contre : H1 : p < p0

[p0 – t1 –α

p 0 (1 - p 0 )  ; + ∞[ n

H0 : p = p0 Contre : H1 : p > p0

]– ∞ ; p0 + t1 –α

p 0 (1– p 0 ) ] n

La région critique est la région complémentaire de la région d’acceptation.

2. Règle de décision Si l’estimation f calculée sur un échantillon appartient à la région d’acceptation l’hypothèse H0 est acceptée. Dans le cas contraire, l’hypothèse H0 est rejetée. Exemple applicatif 27 Une entreprise fabrique industriellement des pains de margarine. Leurs emballages portent notamment l’indication suivante : poids net = 500 grammes. On estime que le poids en grammes d’un pain produit est une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne 520 et d’écart type  20. On suppose que les poids des différents pains produits sont indépendants les uns des autres. À l’emballage, un pain est refusé si son poids est inférieur ou égal à 490 grammes. 1. Un pain arrive à l’emballage. Calculer la probabilité qu’il soit refusé.

P(X < 490) = P(T <

490 - 520 ) = P(T < – 1,5) = π(– 1,5) = 1 – π(1,5) ≈ 0,0668 20

2. L’entreprise produit, avant emballage, 10  000  pains par semaine. On note Y la variable aléatoire mesurant le nombre de pains refusés. a. Déterminer la loi de Y. Chaque pain est refusé avec la probabilité p = 0,0668 et admis avec la probabilité q = 1 – 0,0668 = 0,9932. Y est la répétition de 10 000 épreuves de Bernoulli indépendantes et suit donc une loi binomiale B (10 000 ; 0,0668). E(Y) = 10 000 × 0,0668 = 668 σ(Y) = 10 000 ¥ 0, 0668 ¥ (1- 0, 0668 ) ≈ 25 Les conditions sont réunies pour approcher la loi binomiale par une loi normale N(668 ; 25). b. Calculer, en utilisant une approximation (dont les paramètres seront arrondis aux entiers les plus proches), la probabilité de l’événement « 650 ≤ Y ≤ 700 ». En toute rigueur, une correction de continuité devrait être effectuée. Par souci de simplification, le calcul suivant est admis : P(650 ≤ Y ≤ 700) = P(

120

650 - 668 700 - 668 ≤ T ≤  ) = π(1,28) – π(– 0,72) ≈ 0,663 25 25

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Le pain est refusé si X < 490.

UE 121 • Contrôle de gestion

3. Les emballages des pains de margarine portent aussi l’indication suivante : teneur en matières grasses = 82 %. L’entreprise affirme qu’au moins 90 % des pains produits respectent la teneur indiquée. a. Mettre en place un test au seuil de risque de 5 %. Il s’agit d’effectuer le test d’hypothèse bilatéral : H0 : p = 0,90 Contre : H1 : p ≠ 0,90 Au seuil de risque α = 0,05 • L’hypothèse H0 étant supposée vraie et la taille de l’échantillon étant supérieure à 30, la variable aléatoire Fn, qui associe à tout échantillon de taille 200 la fréquence de cet échantillon, suit une 0, 9 ¥ (1- 0, 9) loi binomiale qui peut être approchée par la loi normale  N(0,90  ; ), soit 200 N(0,9 ; 0,02121). • La région d’acceptation de l’hypothèse  H0 est obtenue par le calcul de la probabilité suivante : P(0,9 – k < F200 < 0,9 + k) = 0,95 (0,9 - k) - 0, 9 (0,9  k) - 0, 9 < T <  ) = 0,95 0,02121 0,02121 k k < T <  ) = 0,95 P(– 0,02121 0,02121 k Posons t = 0,02121 P(– t < T < t) = 0,95 2π(t) – 1 = 0,95

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P(

π(t) = 0,975 La lecture d’une table N(0,1) donne t = 1,96 k 1,96 = 0,02121 k = 0,04157 La région d’acceptation est donc : P(0,9 – 1,96 × 0,02121 < F200 < 0,9 + 1,96 × 0,02121) = 0,95 P(0,9 – 0,04157< F200 < 0,9 + 0,04157) = 0,95 Elle correspond à l’intervalle [0,8584 ; 0,9416] • Si la fréquence calculée sur un échantillon de taille 200, appartient à la région d’acceptation, l’hypothèse H0 est acceptée, et inversement. b. Un échantillon aléatoire de 200 pains est constitué : 172 respectent la teneur indiquée. Conclure. La fréquence calculée sur l’échantillon = 172/200 = 0,86. Elle appartient à la région d’acceptation et, au seuil de risque de 5 %, l’hypothèse H0 est acceptée : la proportion de pains qui respectent la teneur en matières grasses est de 90 %. ➠➠Pour vous entraîner : faites les exercices autocorrigés 14 « Test d’hypothèses » et 15 « Test d’hypothèses » proposés en fin de série. Pour vous entraîner : faites l’exercice autocorrigé « Test d’hypothèses » disponible dans les ressources de l’UE 121 du site www.cnamintec.fr.

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121

UE 121 • Contrôle de gestion

Annexes Annexe 1 Résumé des estimations et tests 1. Distributions d’échantillonnage : caractéristiques de la population mère connues Soit dans une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l’espérance mathématique m, la proportion p et l’écart type σ sont connus. Échantillonnage des moyennes Variable aléatoire Espérance mathématique Écart type Loi de probabilité

Xn E(X n ) = m s σ(X n ) = n Si n ≥ 30 ou si X suit une loi normale, X n suit une loi normale s X n suit N(m, ) n

Échantillonnage des proportions Fn E(Fn) = p pq σ(Fn) = n Si n ≥ 30, Fn suit une loi binomiale : pq ) Fn suit N(p, n

2. Estimations : caractéristiques de la population mère inconnues

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Soit une population mère Ω de taille N, une variable aléatoire X pour laquelle l’espérance mathématique m, la proportion p et l’écart type σ sont inconnus. Paramètre à estimer Moyenne m (inconnue)

Proportion p (inconnue)

Écart type σ (inconnu)

Estimation ponctuelle

Intervalle de confiance au seuil α • σ connu  : si n ≥ 30 ou si X suit une loi Une réalisation x de X n sur un normale : échantillon est une estimation s s  ; x + tα ] [x – tα de m. n n • σ inconnu : si n ≥ 30 remplacer σ par son estimation s. Une réalisation f de Fn sur un f (1- f ) f (1- f )  ; f + tα ] échantillon est une estimation [f – tα n n de p : Non étudié Soit σ’ l’écart type d’un échantillon de taille n : n s = σ’ n-1

3. Comparaison d’une moyenne à une norme Ne pas hésiter à faire un schéma pour étudier la région critique et la région d’acceptation. s ). Le Si H0 est vraie et si X suit une loi normale ou si n ≥ 30, X n suit une loi normale N(m0 ; n calcul des probabilités permet d’obtenir la région d’acceptation.

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123

Contrôle de gestion • Série 3

Test Au seuil de risque α H0 : m = m0 Contre H1 : m ≠ m0 H0 : m = m0 Contre H1 : m < m0 H0 : m = m0 Contre H1 : m > m0

Région d’acceptation [mo – t1-α ; mo + t1-α

s ] n

s  ; + ∞[ n s ]– ∞ ; mo + t1-α ] n [mo – t1-α

Quand σ est inconnu, prendre son estimation s si n ≥ 30. Si l’estimation x appartient à la région d’acceptation, l’hypothèse  H0 est acceptée, et inversement. 4. Comparaison d’une proportion à une norme Ne pas hésiter à faire un schéma pour étudier la région critique et la région d’acceptation. Si H0 est vraie et si n ≥ 30, Fn suit une loi normale N(p0 ; permet d’obtenir la région d’acceptation. Test Au seuil de risque α H0 : p = p0 Contre H1 : p ≠ p0 H0 : p = p0 Contre H1 : p < p0 H0 : p = p0 Contre H1 : p > p0

p0 (1- p0 ) ). Le calcul des probabilités n

Région d’acceptation [po – t1-α

p0 (1- p0 ) p0 (1- p0 )  ; po + t1-α ] n n [po – t1-α ; + ∞[

]– ∞ ; po + t1-α

p0 (1- p0 ) ] n

Annexe 2 Les formules que l’on peut apprendre par cœur Modèle de Wilson sans pénurie : Qw =

2 D ¥ cl c’s

Modèle de Wilson sans pénurie : Modèle de Wilson

124

Modèle avec rupture 1 a

Qw

Q* = Qw ¥

nw

n* = nw ¥ a

Tw

T* = Tw ¥

1 a

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Si l’estimation  f appartient à la région d’acceptation, l’hypothèse  H0 est acceptée, et inversement.

UE 121 • Contrôle de gestion

Annexe 3 Les auteurs à connaître Il est bien vu de pouvoir citer le nom de quelques auteurs fondamentaux de contrôle de gestion dans le cadre d’une question rédactionnelle à l’examen. Il n’y a bien évidemment pas de liste officielle des auteurs à connaître, mais les noms de Pareto ou Jensen et Meckling doivent évoquer quelque chose aux candidats à l’examen de DGC/DCG. Chris Argyris Né en 1923, il fut professeur à l’université d’Harvard à Boston. Ses principaux travaux portent sur les relations entre individus et organisations et sur la gestion du changement. Richard M. Cyert Né en 1921, Richard Cyert fut professeur et président de l’université Carnegie Mellon à Pittsburgh. Il est célèbre pour l’ouvrage, rédigé en collaboration avec James March, A Behavioral Theory of the Firm édité en 1963 dans lequel ils analysent l’entreprise comme une coalition de groupes d’individus aux intérêts conflictuels. Le problème de l’organisation est de maintenir un minimum de stabilité et la prise de décision n’est donc pas purement rationnelle ; elle résulte souvent des rapports de force entre les acteurs de l’entreprise. Kaoru Ishikawa Né en 1915 à Tokyo, Kaoru Ishikawa a d’abord travaillé chez Nissan avant d’occuper un poste de professeur à l’Université de Tokyo en 1947. Il développe la notion de cercles de qualité en 1962, et propose le diagramme qui porte son nom en 1980.

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Michael C. Jensen Michael Jensen a été professeur de finance à l’université de Rochester entre 1967 et 1988 et à la Harvard Business School de 1985 à 2000. Il a travaillé sur des modèles d’évaluation des actifs financiers, sur les politiques de stockoptions, sur la gouvernance d’entreprise, et a créé un indicateur de performance des gestionnaires d’actifs. Son travail le plus connu est son article de 1976 avec William H. Meckling, « Theory of the firm : Managerial behaviour, agency costs and ownership structure » un des articles d’économie les plus cités, donnant naissance à la « théorie de l’agence ». James G. March Né en 1928, James March fut professeur à l’université de Stanford près de San Francisco. Il est célèbre pour l’ouvrage A Behavioral Theory of the Firm édité en 1963 avec Richard Cyert. William H. Meckling William Meckling a été professeur à l’université de Rochester. Il est célèbre pour avoir écrit avec M.  Jensen l’article « Theory of the firm : Managerial behaviour, agency costs and ownership structure » qui théorise notamment le concept de relation d’agence et a donné naissance à la « théorie de l’agence ». Vilfredo Pareto Vilfredo Pareto est un économiste italien, né à Paris en 1848, qui fait des études d’ingénieur à Turin, mais qui s’illustre en tant que professeur et chercheur en économie et en sociologie à Turin, Florence et Lausanne.

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125

Contrôle de gestion • Série 3

Peter A. Pyhrr Peter Pyhrr fut contrôleur dans de nombreuses sociétés, et notamment chez Texas Instrument dans les années 1970. C’est à cette époque qu’il publie un article dans la Harvard Business Review décrivant la procédure BBZ (budget base zéro). Le gouverneur de Géorgie, Jimmy Carter, favorisa l’adoption de cette procédure pour l’élaboration du budget de l’État en 1973, et pour l’élaboration du budget fédéral américain en 1979. Henri Savall Henri Savall est un économiste et professeur de sciences de gestion. Il a crée en 1976 avec Véronique Zardet l’ISEOR, Institut de Socio-Économie des Entreprises et des Organisations. Il est rattaché à une équipe de recherche de l’université Lyon III. Il a théorisé et diffusé la notion de coût caché, notamment grâce à son ouvrage Maîtriser les coûts et les performances cachées.

C’est l’article que R.H. Wilson a écrit en 1934 dans la Harvard Business Review (« A scientific Routine for Stock Control ») qui l’a rendu célèbre et qui a conduit à donner son nom au modèle de gestion des stocks enseigné dans le cadre de l’examen. Le modèle permet de détermine un « EOQ », ou Economic Order Quantity. L’auteur précise dans son article que cette méthode était utilisée dans la compagnie Western Electric, sans en préciser l’origine. C’est Ford Whitman Harris, ingénieur, qui en est à l’origine. Il a écrit deux articles nettement moins académiques sur le sujet, publiés dans Factory : The Magazine of management en 1911. Mais il est possible que F. W. Harris se soit lui-même inspiré des travaux de William Thomson Lord Kelvin qui en 1881 publie « On the Economy of Metal Conductors of Electricity » dans le rapport n° 51 de la « British Association for the Advancement of Sciences ». Dans cet article, l’auteur s’intéresse au coût de transmission de l’électricité : une partie de celui-ci augmente lorsque la section des fils augmente, mais une autre partie diminue. Il y a donc un optimum à déterminer. C’est exactement la même logique qui est suivie pour déterminer la quantité optimale des commandes (EOQ).

126

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R. H. Wilson

UE 121 • Contrôle de gestion

Exercices

autocorrigés Ne pas envoyer à la correction

L’auteur des exercices 2 à 15 est Marc RIQUIN.

Exercice 1 : Cas Distroc – Budget des ventes

Énoncé

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La société Distroc commercialise 3 produits, P1, P2 et P3, dans 3 zones géographiques A, B et C. Chaque directeur de zone établit ses prévisions des ventes, en précisant les bases retenues pour les calculs. Ces prévisions sont ensuite centralisées par le directeur commercial qui présente un budget trimestriel consolidé à la direction générale. La société prépare actuellement ses prévisions budgétaires pour le 1er trimestre N+1. TRAVAIL À FAIRE 1. Pour la zone C, les ventes du 1er trimestre N ont été les suivantes : – 300 000 produits P1 ; – 270 000 produits P2 ; – 420 000 produits P3. Établissez le programme trimestriel des ventes pour la zone C, en nombre de produits (vous utiliserez le même type de tableau que pour les autres zones). 2. Sur la base des informations fournies par les directeurs de zones, établissez le budget mensualisé des ventes pour le 1er trimestre N+1 de la société. 3. Ce budget est-il nécessairement celui qui sera définitivement retenu pour établir la liasse budgétaire ? Pourquoi ? 4. Pour la suite du cas, et indépendamment des résultats numériques des questions précédentes, on suppose que le programme des ventes présenté à la direction générale retient les hypothèses suivantes comme étant les plus probables, pour le 1er trimestre N+1 (en unités de produits) : Mois

Janvier

Février

Mars

Produits P1 P2 P3

Par ailleurs, pour l’établissement de l’ensemble des prévisions budgétaires, on raisonne dans une « fourchette » de plus ou moins 10 % : – hypothèse basse ou « pessimiste » : – 10 % ; – hypothèse haute ou « optimiste » : + 10 %. Dans ces conditions, faites une évaluation « flexible » des dépenses prévisionnelles d’intérim trimestrielles. 5. Établissez le budget flexible trimestriel des charges de distribution (la mensualisation n’est pas demandée). 6. Distroc opère sur des marchés soumis à de fortes variations conjoncturelles, aussi bien sur les volumes que sur les prix.

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127

Contrôle de gestion • Série 3

Une analyse statistique de l’historique des ventes montre que le chiffre d’affaires trimestriel suit une loi normale ayant : – pour espérance mathématique : 12 millions d’euros ; – pour écart type : 2 millions d’euros. a. Calculez la probabilité d’atteindre l’hypothèse haute de la fourchette budgétaire. b. Calculez la probabilité de se situer dans la fourchette budgétaire (on utilisera la table fournie dans la série 2 du cours). c. Commentez.

Annexe 1 Programme des ventes transmis par le directeur de la zone A (en unités de produits vendus) pour le 1er trimestre N+1 : Mois Produits P1 P2 P3

Janvier

Février

Mars

157 000 140 000 225 000

141 000 128 000 205 000

170 000 156 000 249 000

Janvier

Février

Mars

212 000 201 000 302 000

180 000 171 000 270 000

230 000 207 000 332 000

Mois Produits P1 P2 P3

Annexe 2 Hypothèses retenues pour établir les prévisions du 1er trimestre N+1 a. L’activité est saisonnière et on retient les coefficients saisonniers suivants : • janvier : 1 • février : 0,9 • mars : 1,1 b. Par rapport aux prix actuels (fin décembre N) qui sont respectivement 2, 4 et 3 euros l’unité pour P1, P2, P3, et compte tenu de la concurrence, les décisions suivantes ont été prises au niveau de la politique de prix : • produit P1 : hausse de 3 % début février • produit P2 : baisse de 10 % dès début janvier • produit P3 : hausse de 5 % début février. c. Les ventes devraient croître en volume de 5 % pour P1 et P2 et de 8 % pour P3 par rapport à la période correspondante en N.

128

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Idem pour la zone B :

UE 121 • Contrôle de gestion

Annexe 3 Structure des charges de distribution a. Les charges variables, de nature essentiellement logistique, sont estimées à 0,10 euro par produit vendu. b. Par ailleurs, les représentants touchent une commission de 5 % sur le chiffre d’affaires. c. Les charges fixes mensuelles s’élèvent à 210 000 euros, tant que le volume d’activité mensuel ne dépasse pas 1 600 000 produits (tous produits confondus). d. Au-delà du seuil de 1 600 000 produits, il faut recourir à du personnel intérimaire pour faire face aux problèmes de manutention lors de l’expédition des produits. Les charges fixes augmentent alors par paliers de 15 000 euros supplémentaires par « tranche » de 100 000 produits. Les intérimaires ont des contrats d’un mois minimum, renouvelables.

Corrigé 1. Programme de la zone C Produit P1 (1,05) P2 (1,05) P3 (1,08)

Moyenne mensuelle N 300 000  100 000 3 270 000  90 000 3 420 000  140 000 3

Janvier (1)

Février (0,9)

Mars (1,1)

Total trimestriel

105 000(a)

94 500

115 500

315 000

94 500

85 050

103 950

283 500

151 200

136 080

166 320

453 600

(a) Pour chaque case : moyenne mensuelle × indice de volume × coefficient saisonnier. 300 000 ¥ 1, 05 ¥ 1. 3

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Par exemple, pour les ventes de P1 en janvier : 105 000 =

2. Budget consolidé des ventes Mois Produits P1 P2 P3 Total

Janvier

Février

Mars

Total

948 000 1 567 800 2 034 600 4 550 400

855 930(1) 1 382 580 1 924 909 4 163 412

1 061 930 1 681 020 2 354 058 5 097 008

2 865 860 4 631 400 6 313 560 13 810 820

(1) Pour chaque case : (∑ prévisions par zone) × prix × indice de variation de prix. Par exemple pour P2 en février : (141 000 + 180 000 + 94 500) = 415 500 415 500 × 2 × 1,03 = 855 930

Attention Pour P1 et P3, la hausse de prix n’intervient qu’en février. 3. Budget définitif ? Non. Le budget de la question 2 représente la consolidation, l’agrégation mécanique des prévisions établies de manière décentralisée. Or, généralement, un processus de navette s’instaure entre la direction et les unités périphériques, dans la mesure où le budget ne représente pas uniquement une prévision déterminée par un certain nombre de facteurs, mais aussi un objectif négocié.

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129

Contrôle de gestion • Série 3

4. Prévision flexible des dépenses d’intérim a. Nombres totaux de produits mensuels pour l’hypothèse moyenne : • janvier : 480 000 + 440 000 + 690 000 = 1 610 000 • février : 1 440 000 • mars : 1 750 000 b. Détermination des « tranches » excédentaires Mois Hypothèse

Janvier ×

Basse

→0 Moyenne Haute

Mars

×

×

→0

→1 × →2

Février

Total trimestriel 0

→0 →2

→0 ×

×

→0

3

→4

6

c. Dépenses prévisionnelles d’intérim Hypothèse

Nombre de tranches 0 3 6

Basse Moyenne Haute

Coût prévisionnel 0 3 × 15 000 = 45 000 6 × 15 000 = 90 000

5. Budget flexible des charges de distribution a. Calcul des commissions pour l’hypothèse moyenne P1 : 3 % début février :

[(440 000 + 390 000 + 480 000) × 4 × 0,9] × 0,05 = 235 800 P3 : 5 % début février. Même calcul que pour P1, soit 320 850 Soit en tout : 144 820 + 235 800 + 320 850 = 701 470 b. Budget flexible trimestriel Élément Logistique Commissions Charges fixes Intérim (4c) Total

Hypothèse basse (– 10 %) 4 800 000 × 0,9 × 0,1 = 432 000 701 470 × 0,9 = 631 323 210 000 × 3 = 630 000 0 1 693 323

Hypothèse moyenne 4 800 000 × 0,1 = 480 000

Hypothèse haute (+ 10 %) 4 800 000 × 1,1 × 0,1 = 528 000

(5b) 701 470

701 470 × 1,1 = 771 617

630 000 45 000 1 856 470

630 000 90 000 2 019 617

Volume global : 1 610 000 + 1 440 000 + 1 750 000 = 4 800 000.

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[(480 000 × 2) + [(420 000 + 520 000) × 2 × 1,03]] × 0,05 = 144 820 P2 : moins 10 % dès janvier

UE 121 • Contrôle de gestion

6. Évaluation des probabilités a. Probabilité d’atteindre le haut de la fourchette Par rapport aux résultats numériques de la question 5, le haut de la fourchette correspond à 701470  × 1,1 = 15 432 340 euros. 0, 05 Nous avons

Prob  v 15 432 340  Ê 15 432 340 - 12 000 000 ˆ  Prob Á T ˜¯ 2 000 000 Ë  Prob ( T 1, 72)  1- prob ( T  1, 72)  1- 0, 957  0, 04 43

Il n’y a que 4 chances sur 100 d’atteindre le haut de la fourchette, ce qui est très peu : cette hypothèse est irréaliste. b. Probabilité de se situer dans la fourchette

15 432 340 ¥ 0, 9  12 626 460 . Le bas de la fourchette correspond à un chiffre d’affaires de , 11 La probabilité recherchée est égale à : Prob (12 626 460 £ v £ 15 432 340 )  Prob ( v £ 15 432 340 ) - Prob ( v £ 12 626 460 ) Prob (T ≤ 1,72) – Prob (T ≤ 0,31) = 0,957 – 0,621 = 0,336 Il n’y a que 33 chances sur 100 d’être dans la fourchette, ce qui est, là encore, très peu. c. Appréciation Les calculs précédents montrent que les prévisions budgétaires sont beaucoup trop optimistes : on risque fort de ne même pas atteindre le bas de la fourchette !

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Exercice 2 : Cas Jardipro – budget des ventes

Énoncé La société Jardipro fabrique et commercialise essentiellement par le canal des grandes surfaces spécialisées du petit outillage à main utilisé par les particuliers pour les travaux de jardinage. Les ventes, très saisonnières, sont concentrées sur les mois de printemps. Les statistiques commerciales mensuelles fournissent sur les deux dernières années (N–1 et N) les montants suivants des ventes hors taxes, en milliers d’euros : MOIS Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre Total

201211TDPA0313

N–1 20 21 33 49 80 103 68 62 74 59 42 22 633

N 23 24 35 53 87 112 73 66 80 64 45 25 687

131

Contrôle de gestion • Série 3

Les coefficients a et b seront calculés avec une précision d’au moins 4 décimales. Représentez graphiquement la droite de régression sur le graphique précédent. 3. Pour chaque mois xi, le montant observé des ventes, yi peut être rapporté à la valeur de la fonction de régression yi* pour calculer un coefficient de saisonnalité. Calculez ces coefficients pour les 24 mois de l’historique, puis en faisant la moyenne arithmétique des résultats concernant N–1 et N, les 12 coefficients caractérisant la saisonnalité mensuelle (par exemple, le coefficient caractérisant le mois de janvier sera obtenu en faisant la moyenne des résultats obtenus pour janvier N–1 et janvier N). Ces coefficients seront calculés avec 4 décimales. 4. En combinant l’effet de tendance et la saisonnalité mensuelle, établissez les prévisions de ventes hors taxes mensualisées pour N+1, en arrondissant au millier d’euros le plus proche. Calculez le chiffre d’affaires prévisionnel hors taxes annuel. 5. Dans tout ce qui suit, quels que soient les résultats de la question précédente, on suppose que le chiffre d’affaires prévisionnel annuel retenu pour N+1 est de 800 milliers d’euros, hypothèse la plus probable. La vente des produits laisse à Jardipro une marge sur coût variable de 40 % par rapport au chiffre d’affaires, et les charges fixes annuelles s’élèvent à 300 milliers d’euros. Les responsables de la société raisonnent dans le cadre de la « fourchette » budgétaire suivante : le chiffre d’affaires prévisionnel peut se situer entre une hypothèse « basse » ou « pessimiste » à moins 5 %, et une hypothèse « haute » ou « optimiste » à plus de 5 %, en fonction de la conjoncture. Dans ce cadre, établissez le budget des ventes et le compte de résultat prévisionnel annuels « flexibles » de la société. 6. 20 % des ventes de Jardipro sont facturées en dollars en dehors de la zone euro. Tous les coûts sont en euros, sauf 10 % des coûts variables et 25 % des coûts fixes, qui sont facturés en dollars. Actuellement, un dollar vaut un euro. En N+1, le dollar peut gagner ou perdre d % de sa valeur par rapport à l’euro. Par exemple, si le dollar gagne 10 % de sa valeur, un dollar s’échangera contre 1,10 euro. Calculez la valeur du résultat prévisionnel annuel de Jardipro, dans l’hypothèse centrale la plus probable de la fourchette budgétaire, en fonction de d. La société doit-elle redouter une hausse du dollar ? 7. À partir de quel pourcentage p des ventes facturées en dollars la société est-elle insensible aux fluctuations de la valeur de l’euro par rapport au dollar (avec, toujours un chiffre d’affaires total prévisionnel de 800 milliers d’euros) ?

132

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TRAVAIL À FAIRE 1. Représentez graphiquement l’évolution des ventes. 2. L’évolution des ventes laisse apparaître une légère croissance, qui se confirme depuis plusieurs années. Afin de quantifier de façon plus formalisée cette tendance, établissez l’équation de la droite de tendance, sous la forme d’une fonction R du type y* = ax + b, avec : y* = ventes mensuelles en milliers d’euros x = variable temps (on prendra x = 1 pour janvier N–1) a et b = constantes déterminées par « ajustement » (ou « régression ») linéaire selon la méthode des moindres carrés. Il est précisé que la droite de régression passe par le point de coordonnées (x, y).

UE 121 • Contrôle de gestion

Corrigé 1. Représentation graphique 112

y = ventes en k€ 103

80

74

(R)

y = 55 46,7174

20

22

x = 12,5

25

x = mois

2. Droite de tendance La calculatrice doit permettre d’obtenir :

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R = 0,66261x + 46,7174. La droite a été reportée sur le graphique précédent et il est possible de vérifier qu’elle passe par (12,5 ; 55). 3. Coefficients de saisonnalité Il faut disposer les calculs en pensant que l’on va devoir faire une moyenne arithmétique des valeurs obtenues pour N–1 et N, pour chaque mois. Il vaut donc mieux prendre les mois dans l’ordre suivant : 1 (janvier N–1), 13 (janvier N), 2 (février N–1), etc.

201211TDPA0313

133

Contrôle de gestion • Série 3

Tableau de calculs

Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre

N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N N–1 N

xi

yi

y*i

yi y i*

1 13 2 14 3 15 4 16 5 17 6 18 7 19 8 20 9 21 10 22 11 23 12 24

20 23 21 24 33 35 49 53 80 87 103 112 68 73 62 66 74 80 59 64 42 45 22 25

47,3800(1) 55,3313 48,0426 55,9939 48,7052 56,6566 49,3678 57,3192 50,0305 57,9818 50,6931 58,6444 51,3557 59,3070 52,0183 59,9696 52,6809 60,6322 53,3435 61,2948 54,0061 61,9574 54,6687 62,6200

0,4221 0,4157 0,4371 0,4286 0,6775 0,6178 0,9925 0,9246 1,5990 1,5005 2,0318 1,9098 1,3241 1,2309 1,1919 1,1006 1,4047 1,3194 1,1060 1,0441 0,7777 0,7263 0,4024 0,3992

Moyenne

(1) calcul des y*i, sur la droite de tendance : pour x = 1, on a y* = (0,66261 × 1) + 46,7174 = 47,3800 ; puis, pour x = 13 : y* = (0,66261 × 13) + 46,7174 = 55,3313 etc. 0, 4221 0, 4157 (2) 0, 4189  2 0, 4371 0, 4286 0, 4329  et ainsi de suite. 2

4. Prévision des ventes Par exemple, pour janvier N+1, qui est le 25e mois sur l’échelle des temps : y*25 = (0,66261 × 25) + 46,7174 = 63,2826 y*25 = 63,2826 × 0,4189 ≈ 27 milliers d’euros Tableau de calcul Mois Janvier N+1 Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre

134

x 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

y* 63,2826 63,9453 64,6079 65,2705 65,9331 66,5957 67,2583 67,9209 68,5835 69,2461 69,9088 70,5714

Coefficient 0,4189 0,4329 0,6477 0,9586 1,5498 1,9708 1,2775 1,1463 1,3621 1,0751 0,7520 0,4008 Total

Prévision (en kt) 27 28 42 63 102 131 86 78 93 74 53 28 805

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Périodes

UE 121 • Contrôle de gestion

5. Budget des ventes et compte de résultat « flexibles » La « flexibilité » signifie ici que l’on effectue des calculs pour des niveaux d’activité différents. Calculs en milliers d’euros Éléments Chiffre d’affaires Charges variables (CA × 0,6) Marge sur coûts variables (CA × 0,4) Charges fixes Résultat prévisionnel

Hypothèse basse (¥ 0,95) 760 456 304 300 +4

Hypothèse centrale 800 480 320 300 + 20

Hypothèse haute (¥ 1,05) 840 504 336 300 + 36

6. Résultat prévisionnel en fonction du pourcentage d’appréciation du dollar Nous avons : Résultat prévisionnel = Ventes – (Charges variables – Charges fixes) 800

80 % en euros

–

20 % en dollars

(480

90 % en euros

+

10 % en dollars

300)

75 % en euros

25 % en dollars

Soit : 800

640 en euros

–

160 en dollars

(480

432 en euros

+

48 en dollars

300)

225 en euros

75 en dollars

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Résultat prévisionnel : d d d ) - 432 - 48 (1  ) - 225 - 75 (1  ) 100 100 100 d RP  640  160 - ( 432  48  225  75)  (160 - 48 - 75) 100 Rp = 20 + 0,37d RP  640  160 (1 

Ce résultat est logique : pour d = 0 (stabilité du dollar), on retrouve, Rp = 20, comme dans la question précédente. S’il y a baisse du dollar (si le dollar perd d % de sa valeur par rapport à l’euro) alors Rp devient Rp = 20 – 0,37d. La société n’a pas à redouter la hausse du dollar, tout au contraire : ses hausses de coûts seraient plus que compensées par la hausse de ses facturations. 7. Pourcentage des ventes facturées en dollars Soit p ce pourcentage ; par exemple, si p = 20, 20 % des ventes sont facturées en dollars. Jardipro est insensible à l’effet dollar si la hausse des coûts est compensée par la hausse des ventes, donc si : 800 × 

p d d d  × (1 +  ) = 48 × (1 +  ) + 75 × (1 +  ) 100 100 100 100

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135

Contrôle de gestion • Série 3

On peut « simplifier » par : d 1 soit : 100 8 p  48  75 48  75 123   15, 375 8 8 Il faut donc que la société facture un peu plus de 15 % de ses ventes en dollars.

p

Exercice 3 : Modèle de Wilson, variables aléatoires continues – Cas Alpha

Énoncé

TRAVAIL À FAIRE 1. Calculez le programme optimal d’approvisionnement. En déduire le coût total annuel de gestion de ce stock. 2. La société souhaiterait, par ailleurs, connaître l’incidence de la fixation d’un stock de sécurité de 3 000 kg sur l’ensemble des paramètres précédents. 3. Si le délai d’approvisionnement était fixé à 30 jours, quel serait le stock d’alerte ? Il est possible d’admettre que les ventes annuelles de produits X, Y et Z sont des variables indépendantes qui suivent une loi normale dont les paramètres sont les suivants : – X suit la loi N(3 000 ; 200) – Y suit la loi N(9 000 ; 100) – Z suit la loi N(2 000 ; 50) 4. . Déterminez la loi et les paramètres de la consommation totale. 5. À quel taux de service correspondrait un stock de sécurité de 3 000 kg ? 6. À quel niveau fixer le stock de sécurité afin de limiter le taux de rupture de stock à 5 % ?

Annexe Consommation de matières premières par produit Consommation unitaire de MP

X 10 kg

Y 15 kg

Le coût d’achat d’un kilogramme de matière première est égal à 1,50 euro.

Corrigé Question 1 La consommation annuelle = 10 × 2 800 + 15 × 9 000 + 15 × 2 150 = 195 250 kg D = 195 250

136

Z 15 kg

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La société Alpha désirerait s’approvisionner régulièrement en matières premières pour éviter toute rupture de stock et de trop amples variations de prix. Pour l’année à venir (année de 360 jours, pour simplifier), la production prévisionnelle serait de 2 800 produits  X, 9 000 produits Y et 2 150 produits Z. Le coût de lancement a été évalué à 45 euros par commande et le taux de possession du stock à 10 %.

UE 121 • Contrôle de gestion

cl = 45 cs = 1,5 × 10 % = 0,15 € par an (donc P = 1) Q CG = 45 n +   × 0,15 × 1 2 195 250 + 0,075 q CG(Q) = 45 ×  Q CG’(Q) = –

8 786 250 + 0,075 Q2

S’annule pour Q* = 10 823,58 kg n* = 195 250/10 823,58 = 18,04 commandes T* = 360/18,04 = 20 jours CG (10 823,58) = 811,77 + 811,77 = 1 623,54 € Remarque Il est possible d’arrondir n* à 18 commandes, d’où Q* = 195 250/18 = 10 847,22 Il y aurait 17 commandes de 10 847 et une dernière de 10 851. Question 2 La fonction serait ÊQ ˆ CG = 45 n + Á  3 000˜  × 0,15 × 1 Ë2 ¯ 195 250 + 0,075 q + 450 CG(Q) = 45 ×  Q Il n’y aurait pas d’incidence sur le programme optimal d’approvisionnement car il s’agit d’une constante dont la dérivée est nulle.

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En revanche, le coût de gestion du stock augmenterait de 450 pour passer à 2 073,54 euros. Question 3 Comme le délai d’approvisionnement (30 jours) est supérieur à la période d’approvisionnement (20 jours), il y a une commande en cours qui sera livrée. 195 250 SA =  × 30 + 3 000 – 10 823,58 = 8 447,24 kg 360 Question 4 La consommation totale (QT = 10 X + 15 Y + 15 Z) suit une loi normale puisqu’elle est la somme de variables aléatoires normales. E(QT) = E(10X) + E(15Y) + E(15Z) E(QT) = 10 E(X) + 15 E(Y) + 15 E(Z) E(QT) = 10 × 3 000 + 15 × 9 000 + 15 × 2 000 = 195 000 Comme les variables aléatoires sont indépendantes : V(QT) = V(10X) + V(15Y) + V(15Z) V(QT) = 102 V(X) + 152 V(Y) + 152 V(Z) V(QT) = 102 × 2002 + 152 × 1002 + 152 × 502 = 6 812 500 σ = 6 812 500 ≈ 2 610 QT suit la loi N(195 000 ; 2 610).

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137

Contrôle de gestion • Série 3

Question 5 Le taux de service TS est la probabilité que la consommation soit satisfaite compte tenu du stock de sécurité de 3 000 kg : TS = p(QT < 195 000 + 3 000) = p(QT < 198 000) Ê 198 000 - 195 000 ˆ TS = pÁ T  ˜¯  = p(T < 1,15) = 0,8749 ; soit 87, 49 %. 2 610 Ë Question 6 Le stock de sécurité S est tel que : p(QT > 195 000 + S) = 0,05 1 – p(QT < 195 000 + S) = 0,05 p(QT < 195 000 + S) = 0,95 Ê (195 000  S ) - 195 000 ˆ pÁ T  ˜¯  0, 95 2 610 Ë Ê S ˆ p ÁT   0, 95 2 610 ˜¯ Ë S posons t = 2 610 π(t) = 0,95 t = 1,645 d’où

S  = 1,645 et S = 4 293,45 kg 2 610

Exercice 4 : Modèle de gestion des stocks avec tarifs dégressifs

L’entreprise M vous demande d’analyser le problème de gestion du stock d’une nouvelle matière première M1 nécessaire pour sa fabrication. Hypothèses de travail : • La production du produit nouveau est régulière et effectuée tous les jours. • La consommation de la matière première M1 est régulière et il est prévu une quantité nécessaire de 5 760 unités pour une période de référence de 360 jours. • La livraison du fournisseur doit être effectuée au moment où le stock disponible devient nul, aucun stock de sécurité n’étant nécessaire. • Le coût du lancement de chaque commande est égal à 224 euros, ce montant étant indépendant de la quantité commandée et du prix d’achat total. • Le coût du stockage est directement proportionnel au prix d’achat de la matière et il représente 0,525 euro par unité stockée et par mois de stockage lorsque le prix d’achat unitaire est de 75 euros. • Le volume commandé au fournisseur doit être constant. • Aucun retard n’est possible dans la livraison du fournisseur. • Aucune rupture de stock ne peut être admise. Conditions du fournisseur : Le prix de vente brut est de 75 euros l’unité. Une remise est accordée ou non en fonction du volume x commandé : Volume commandé x ≤ 1 200 1 200 < x ≤ 2 400 2 400 < x ≤ 4 800 x > 4 800

138

Prix p à l’unité pas de remise remise 2 % remise 2,5 % remise 4 %

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Énoncé

UE 121 • Contrôle de gestion

Remarque Le fournisseur s’est engagé à livrer à la date prévue, en garantissant qu’il n’y aurait ni avance ni retard dans la livraison. TRAVAIL À FAIRE 1. Exprimez le coût total d’approvisionnement de la matière première M1, pour la période de 360 jours et dans le cas où le fournisseur n’accorde pas de remise, en fonction du volume constant de chaque commande. 2. Déterminez le volume optimal de chaque commande et en déduire le coût d’achat total minimal de la matière M1 dans le cas où le fournisseur n’accorde pas de remise. 3. Afin d’étudier l’intérêt des propositions commerciales du fournisseur concernant les tarifs dégressifs : a. Déterminez les nombres (entiers) de commandes pour lesquels les conditions de tarif sont distinctes du tarif sans remise. b. Déduisez-en le nombre optimal de commandes.

Corrigé Question 1 Coût total d’approvisionnement : CA

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Q CA = 5 760 × 75 + 224 n +   × 0,525 × 12 2 5 760 1290 240 + 3,15 Q = 432 000 +   + 3,15 Q CA (Q) = 432 000 + 224 Q Q Question 2 1290 240 CA’ (Q) = – + 3,15 Q2 S’annule pour Q* = 640 n* = 5 760/640 = 9 commandes T* = 360/9 = 40 jours CA (640) = 432 000 + 2 016 + 2 016 = 436 032 € Question 3 Le tarif dégressif ne s’applique qu’à partir de 1 200 unités. Donc si n est supérieur à 5 commandes, il n’y a pas de remise et dans ce cas Q* = 640 et n* = 9 commandes. Il est donc possible de limiter l’étude de la fonction à n = 1, 2, 3 et 4. Le coût de stockage est proportionnel au prix. Pour 75 euros, il est égal à 0,525 euro. Il est tel que : 0,525 = ts × 75 Q Il représente donc 0,7 % du prix p et CA = 5 760 × p + 224 n +   × (0,7 % p) × 12 2 n 1 2 3 4 9(1)

Q = 5 760/n 5 760 2 880 1 920 1 440 640

Prix achat 5 760 p 5 760 × 72 5 760 × 73,125 5 760 × 73,5 5 760 × 73,5 5 760 × 75

Coût de lancement 224 448 448 896 2 106

Coût de stockage 17 418,24 8 845,20 5 927,04 4 445,28 2 016

CA 432 362,24 430 493,20 429 735,04 428 701,28 436 032,00

(1) Dernière ligne inutile mais présentée pour mémoire.

La solution optimale consiste donc à passer 4 commandes de 1 440 unités chacune, soit une commande tous les 90 jours.

201211TDPA0313

139

Contrôle de gestion • Série 3

Exercice 5 : Modèle de gestion des stocks avec rupture

Énoncé La société M prévoit de vendre 1 600 produits X pour l’année à venir. Le coût de lancement d’une commande est de 78 euros. Le coût de stockage d’un article est de 0,65 euro par mois. Le coût de pénurie est estimé à 2,60 euros par mois et par article. TRAVAIL À FAIRE 1. Calculez le programme d’approvisionnement et le niveau de stockage optimaux. 2. Vérifiez la solution à partir du modèle de Wilson sans pénurie.

1. Étude de la fonction Q-S 1 600 S S Q-S +   × 0,65 ×   × 12 +   × 2,6 ×   × 12 CG (S, Q) = 78 ×  Q Q 2 2 Q ( Q - S )2 124 800 S2 + 3,9 + 15,6 CG (S, Q) = Q Q Q 2 2 ( Q - 2 SQ  S2 ) 124 800 S CG (S, Q) = + 3,9 + 15,6 Q Q Q 2 124 800 S S2 CG (S, Q) = + 3,9 + 15,6 Q – 31,2 S + 15,6 Q Q Q 124 800 S2 CG (S, Q) = + 19,5 + 15,6 Q – 31,2 S Q Q S • CG’S (S, Q) = 39 – 31,2 Q S La dérivée s’annule pour  = 31,2/39 = 0,8 Q 124 800 S2 – 19,5 2 + 15,6 • CG’Q (S, Q) = – 2 Q Q 124 800 124 800 CG’Q (S, Q) = – – 19,5 (0,8)2 + 15,6 = –  + 3,12 Q2 Q2 La dérivée s’annule pour Q2 = 40 000 soit pour Q* = 200 S* = 0,8 × 200 = 160 n* = 1 600/200 = 8 commandes T* = 360/8 = 45 jours Ts = 45 × 0,8 = 36 Tp = 45 × 0,2 = 9 jours CG (160, 200) = 1 248 € 2. Modèle de Wilson sans pénurie 1 600 Q 124 800 +   × 0,65 × 12 = + 3,9 Q CG (Q) = 78 ×  Q 2 Q 124 800 + 3,9 CG’ (Q) = – Q La dérivée s’annule pour Q2 = 32 000 soit pour Q* = 178,88 Taux de pénurie = 2,6/3,25 = 0,8

140

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Corrigé

UE 121 • Contrôle de gestion

Modèle de Wilson Q ≈ 178,88

Modèle avec pénurie Q* = 178,88 × 

n ≈ 8,94

1  = 200 0,8

n* = 8,94 ×  0,8  = 8 commandes

T ≈ 40,25

T* = 40,25 × 

CG = 1 395,30 €

1  = 45 jours 0,8

CG = 1 248 €

Exercice 6 : Résolution graphique d’un problème de maximisation – X&Y

Énoncé Une entreprise fabrique et commercialise, entre autres, les produits X et Y. Les éléments variables de coût sont les suivants : Produit X

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Poids unitaire Matières premières : MP A MP B Main-d’œuvre directe Centres de production : Centre 1 Centre 2 Centre de distribution

Produit Y

11,8 kg

2,5 kg

12 kg à 1 € = 12 € 0,5 kg à 2 € = 1 € 0,5 heure à 60 € = 30 €

3 kg à 1 € = 3 € 0,1 kg à 2 F = 0,20 € 5 minutes à 60 €/h = 5 €

3 uo à 1 € = 3 € 8 uo à 2 € = 16 € 13 €

0,5 uo à 1 € = 0,50 € 1 uo à 2 € = 2 € 2,30 €

• Compte tenu des difficultés d’approvisionnement, l’entreprise ne pourra se procurer plus de 24 000 tonnes de MP A. En revanche, la MP B se trouve en quantité illimitée. • Compte tenu du personnel employé dans l’entreprise, le nombre d’heures total de maind’œuvre directe ne pourra être supérieur à 700 000 heures. • Le centre  1 ne pourra fournir que 4  000  000  d’unités d’œuvre (uo) et le centre  2 que 10 000 000 d’unités d’œuvre. • Compte tenu du marché, l’entreprise envisage de produire au moins 3 540 tonnes de produit X et au moins 12 800 tonnes de produit Y. • L’entreprise peut vendre au prix de 105 euros HT le produit X et 23 euros HT le produit Y. TRAVAIL À FAIRE Vous devez aider l’équipe de travail à prendre une décision concernant les quantités à fabriquer de chacun de ces deux produits pour maximiser le résultat. 1. Présentez le programme linéaire correspondant sous la forme canonique (le raisonnement se fera dans l’unité retenue pour définir la contrainte : tonne et heure). 2. Donnez une solution graphique.

Corrigé Question 1 Définition des variables : x = nombre de produits x à fabriquer, y = nombre de produits y à fabriquer. • Contrainte de la MP A exprimée en tonnes : 0,012 x + 0,003 y ≤ 24 000 Soit : 4 x + y ≤ 8 000 000

201211TDPA0313

141

Contrôle de gestion • Série 3

• Contrainte de main-d’œuvre : 0,5 x + 1/12 y ≤ 700 000 Soit : 6 x + y ≤ 8 400 000 • Contrainte du centre 1 : 3 x + 0,5 y ≤ 4 000 000 Soit : 6 x + y ≤ 8 000 000 • Contrainte du centre 2 : 8 x + 1 y ≤ 10 000 000 • Contraintes commerciales en tonnes : 0,0118 x ≥ 3 540 et 0,0025 y ≥ 12 820 Soit : x ≥ 300 000 et y ≥ 5 120 000 • Calcul des marges sur coûts variables unitaires (MCV) : x 105 75 30

Prix de vente Charges variables MCV

y 23 13 10

Fonction économique : MAX F = 30 x + 10 y

x ≥ 0 ; y ≥ 0

x  300 000 Forme canonique : Ì Ó6 x  y  8 000 000 MAX F = 30 x + 10 y

y 10 000 000 8 000 000 6 000 000

A

4 000 000 D. S. A 2 000 000 0 – 500 000

0

La marge sur coûts variables est maximale au sommet A dont les coordonnées sont telles que : x  300 000 Ì Ó6 x  y  8 000 000 Soit x = 300 000 et y = 6 200 000 Il faut donc produire 300 000 produits x et 6 200 000 produits y pour une marge sur coûts variables maximale égale à : F = 300 000 × 30 + 6 200 000 × 10 F = 71 000 000

x 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000

– 20 000 000

Exercice  7  : Résolution graphique d’un problème de minimisation – société V

Énoncé La société V a pour objet l’extraction et la distribution de matériaux de carrière. Elle doit assurer, pour des travaux routiers, la fourniture aux Ponts & Chaussées de graviers en divers calibres. Un marché portant sur les quantités suivantes : • graviers calibre 1 : 13 500 tonnes ; • graviers calibre 2 : 11 200 tonnes ; • graviers calibre 3 : 5 000 tonnes. a été adjugé pour un prix global de facturation.

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2. Résolution graphique

UE 121 • Contrôle de gestion

La Ssociété exploite deux carrières P1 et P2 louées à une société civile qui perçoit une redevance par tonne de pierre extraite. Celle-ci est la suivante : • pour P1 : 19,40 € par tonne ; • pour P2 : 20 € par tonne. Après extraction, la pierre est concassée. Les graviers ainsi obtenus sont triés selon leur calibre. Chaque tonne de pierre fournit les quantités suivantes de graviers (exprimées en tonnes) : • Pierre de P1 : –– graviers calibre 1 : 0,36 tonne, –– graviers calibre 2 : 0,40 tonne, –– graviers calibre 3 : 0,16 tonne. • Pierre de P2 : –– graviers calibre 1 : 0,45 tonne, –– graviers calibre 2 : 0,20 tonne, –– graviers calibre 3 : 0,10 tonne. (Le complément à une tonne représente du sable, actuellement considéré comme déchet sans valeur marchande.) La direction souhaite définir son programme d’extraction de pierre de P1 et de P2 de façon à minimiser le coût des redevances à la société civile. TRAVAIL À FAIRE 1. Présentez le programme linéaire correspondant sous la forme canonique. 2. Donnez une solution graphique. 3. L’optimisation de programme conduit-elle à produire des graviers en excédent par rapport aux tonnages adjugés ? Justifiez la réponse.

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Corrigé Question 1 Définition des variables : x = nombre de tonnes de pierre P1, y = nombre de tonnes de pierre P2. Forme canonique : x ≥ 0 ; y ≥ 0 0,36x  0,45y 13 500 Ô Ì0,40x  0,20y 11200 Ô0,16x  0,10y 5 000 Ó MIN F = 19,4x + 20y Soit après simplification : x ≥ 0 ; y ≥ 0 4x  5y 150 000 Ô Ì2x  1y 56 000 Ô8x  5y 250 000 Ó MIN F = 19,4x + 20y

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143

Contrôle de gestion • Série 3

2. Résolution graphique La redevance est minimale au point C dont les coordonnées sont telles que : 4 x  5y  150 000 Ì Ó8 x  5y  250 000

y 60 000

A

50 000 D.S.A

Soit x = 25 000 et y = 10 000 Il faut donc produire 25 000 tonnes de pierre P1 et 10 000 tonnes de pierres P2 pour une redevance minimale égale à : F = 25 000 × 19,4 + 10 000 × 20 = 685 000 €

40 000 30 000

B

20 000 C

10 000

D

0 – 10 000 0 – 10 000

10 000

20 000

30 000

x 40 000

Question 3 Remplacer x par 25 000 et y par 10 000 dans chaque inéquation du premier système permet d’étudier s’il y a ou non excédent de production : Contrainte 1 : 0,36 × 25 000 + 0,45 × 10 000 = 13 500 donc pas d’excédent. Contrainte 2 : 0,40 × 25 000 + 0,20 × 10 000 = 12 000 excédent = 12 000 – 11 200 = 800 t Contrainte 3 : 0,16 × 25 000 + 0,10 × 10 000 = 5 000 donc pas d’excédent.

Énoncé L’entreprise D fabrique pour des entreprises de quincaillerie des pièces en inox. Ces pièces sont de trois types : A, B, C. Elles sont fabriquées par lots de 50 dans un atelier où sont rassemblées deux machines pour la découpe de l’inox, une machine pour l’emboutissage, deux machines pour le polissage et la finition. Chaque machine fonctionne 120 heures par mois. Les charges variables de fabrication sont rassemblées dans le tableau suivant : Découpe Emboutissage Polissage et finition Inox Prix de vente (HT)

Coût de l’heure 20 € 30 € 40 €

Lot A 1 h 0,5 h 2 h 50 € 200 €

Lot B 1,5 h 1 h 85 € 200 €

TRAVAIL À FAIRE Déterminez le programme de production mensuel qui maximise le résultat.

Corrigé Définition des variables : x = nombre de lots de 50 pièces A, y = nombre de lots de 50 pièces B, z = nombre de lots de 50 pièces C.

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Lot C 1,5 h 1 h 1 h 68 € 210 €

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Exercice 8 : Méthode du simplexe – Entreprise D

UE 121 • Contrôle de gestion

Forme canonique : Positivité Découpe Emboutissage Polissage et finition

x≥0;y≥0;z≥0 1 x + 1,5 y + 1,5 z ≤ 240 (2 machines) 0,5 x + 1 z ≤ 120 (1 machine) 2 x + 1 y + 1 z ≤ 240 (2 machines) MAX F = 35 x + 45 y + 42 z

Calcul des coefficients de la fonction économique : Lot A Découpe Emboutissage Polissage et finition Inox 1- Total des charges variables 2- Prix de vente 2 – 1 = Marge sur coûts variables

Lot B 020 15 80 50 165 200 35

Lot C 30

30 30 40 68 168 210 42

40 85 155 200 45

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 ; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0 ; e3 ≥ 0  240 1x  1,5y  1,5z  e1 Ô Forme standard : Ì0,5x  1z  e2  120 Ô 2x  1y  1z  e3  240 Ó MAX F = 35 x + 45 y + 42 z + 0 e1 + 0 e2 + 0 e3 Première tableau :

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Hors Base

L1 L2 L3 L4

En Base e1 e2 e3 F

x

y

z

.

.

.

B

R

1 0,5 2 35

1,5 0 1 45

1,5 1 1 42

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

240 120 240 0

160 ∞ 240

x

y

z

.

.

.

B

R

2/3 0,5 4/3 5

1 0 0 0

1 1 0 –3

2/3 0 – 2/3 – 30

0 1 0 0

0 0 1 0

.

.

z

e1

.

e3

0 0 1 0

1 0 0 0

1 1 0 –3

1 0,25 – 0,5 – 27,5

0 1 0 0

Deuxième tableau : Hors Base

L’p = L1/1,5 L’2 = L2 – 0 L’p L’3 = L3 – 1 L’p L’4 = L4 – 35 L’p

En Base y e2 e3 F

160 240 120 240 80 60 – 7 200

Troisème tableau : Hors Base En Base y L’’1 = L’1 – 2/3 L’’p e L’’2 = L2 – 0 L’’p 2 L’’3 = L’’p = L’3/4/3 x L’’4 = L4 – 35 L’’p F

B

120 – 0,5 – 0,375 90 0,75 60 – 3,75 – 7 500

L’optimum est atteint puisque tous les taux marginaux de substitution (ou coefficients de la dernière ligne) sont négatifs ou nuls.

201211TDPA0313

145

Contrôle de gestion • Série 3

La variable z est hors base, donc z = 0. La valeur de variables x et y qui sont en base est lue dans la colonne B : x = 60 ; y = 120 et F = 7 500. La contrainte 2 dispose d’une capacité non utilisée égale à 90 unités d’œuvre. Il faut donc produire 60 lots de pièces A, 120 lots de pièces B et aucun lot de pièces C pour une marge sur coûts variables maximale égale à 7 500 euros.

Exercice 9 : Ordonnancement, loi normale – Produit P

Énoncé Le responsable de la production d’un produit  P a étudié l’ordonnancement des tâches de la commande d’un client jusqu’à la livraison. Le processus nécessite la réalisation de 10 tâches dont les conditions d’antériorité et la durée sont précisées dans le tableau suivant : Sommets d’arrivée A

Sommets origines

A B C D E F G H I J

Durée en jours 02 7 5 21 14 5 4 1 2 1

B

C

D

E

F

1

1 1 1

1

G

H

I

1

1

J

1 1 1 1 1

TRAVAIL À FAIRE 1. Présentez le dictionnaire des tâches immédiatement antérieures. 2. Déterminez les niveaux du graphe. 3. Tracez le graphe en précisant sur la représentation sagittale : les dates de début au plus tôt et de début au plus tard et le chemin critique. 4. Vérifiez le chemin critique. 5. Calculez la marge totale et la marge libre des tâches. 6. La durée des tâches est fixe, à l’exception de celle de la tâche E qui représente une durée moyenne. La durée de la tâche  E est une variable aléatoire XE qui suit une loi normale. L’expérience du responsable de la production permet de remarquer que : • La durée moyenne de la tâche E est de 14 jours. • Il y a 47 % de chances que cette tâche soit comprise entre 7 et 21 jours. Soit Z la durée totale du chemin le plus long contenant E. a. Quelle relation simple peut-on écrire entre Z et XE ? b. Calculez l’écart type de XE. c. Calculez la probabilité de livrer le produit P plus de 45 jours après sa commande.

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Exemple d’interprétation : la tâche A, de durée égale à 2 jours, précède les tâches D, E et F.

UE 121 • Contrôle de gestion

Corrigé Question 1 La lecture de la matrice colonne par colonne donne le dictionnaire des tâches immédiatement antérieures : Tâches A B C D E F G H I J

Tâches immédiatement antérieures / / / A A, B, C A, C E, F G G H, I

Question 2 TAI (1) / / / A A, B, C A, C E, F G G H, I

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Tâches A B C D E F G H I J

Niveau 0 A B C

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Niveau 4

D E F G H I J

(1) TAI = Tâches immédiatement antérieures.

Question 3 Représentation sagittale du graphe selon la méthode MPM 0

5

2

2

A

7 D

21

2 0

0

7

B

7

7 E

5

25 26

14 4

28 28 FIN

1

H

1

21 21 G

2 0

2 C

5

5 16 F

5

27 27 J

4 2 25 25 I a

Chemin critique : B-E-G-I-J

201211TDPA0313

b X

Légende a = début au plus tôt b = début au plus tard

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Contrôle de gestion • Série 3

Question 4 Vérification du chemin critique : 7 + 14 + 4 + 2 + 1 = 28. Question 5 Les tâches critiques ont une marge nulle. Leur calcul est toutefois rappelé. Tâches A B C D E F G H I J

Marges totales 05 0 2 5 0 11 0 1 0 0

Marges libres Minimum = 2 – 2 – 0 = 0 7 – 7 – 0 = 0 Minimum = 5 – 5 – 0 = 0 28 – 21 – 2 = 5 21 – 14 – 7 = 0 21 – 5 – 5 = 11 Minimum = 25 – 4 – 21 = 0 27 – 1 – 25 = 1 27 – 2 – 25 = 0 28 – 1 – 27 = 0

Question 6 Z = 14 + XE XE suit une loi normale N (14, σ). D’après le texte : P(7 < XE < 21) = 0,47 P(– 7/σ < T < 7/σ) = 0,47 avec T = P(– t < T < t) = 0,47 avec t = 7/σ

X E - 14 suivant la loi normale N(0, 1) s

2 π(t) – 1 = 0,47 La lecture de la table de la loi normale N(0, 1) donne t = 0,63. D’où 0,63 = 7/σ et σ = 11,11 Il s’agit de calculer P(Z > 45) soit P(XE + 14 > 45) 31- 14 ˆ Ê P(XE > 31) = P Á T
 = P(T > 1,53) = 1 – P(T < 1,53) = 1 – 0,937 = 0,063 Ë 1111 , ˜¯

Exercice 10 : Diagramme de Gantt

Énoncé Une entreprise désire implanter une nouvelle ligne de production. Des retards demandent l’intervention de personnel d’encadrement payé à un taux horaire supérieur à la normale. Les prévisions relatives à l’implantation de la nouvelle ligne de production étaient les suivantes :

148

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π(t) = 0,735

UE 121 • Contrôle de gestion

Tâches A B C D E F G

Tâches antérieures

Description des opérations Démontage de l’ancienne ligne Préparation du bâtiment, fondations Installation des infrastructures électriques Installation des infrastructures pneumatiques Installation de la machine Installation des équipements Mise en place du matériel de manutention

A B B C, D C, D E, F

Nombre de semaines prévues 3 2 2,5 1,5 2,5 2 3,5

Nombre d’heures prévues(1) 750 490 560 190 560 450 750

(1) Il s’agit d’heures relatives à du personnel ouvrier qualifié (coût horaire 120 euros, charges patronales incluses).

Les réalisations à l’issue des huit premières semaines d’activité sont les suivantes : Tâches

Nombre réel de semaines

Nombre réel d’heures(1)

A B C D E F G

4 3 1 1 / / /

950 725 250 125 / / /

Pourcentage réel d’avancement 100 % 100 % 33,33 % 50 % / / /

Coût réel constaté 114 000 87 000 33 000 16 500 / / /

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(1) Il s’agit d’heures relatives à du personnel ouvrier qualifié (taux horaire 120 euros) mais également d’heures relatives à des techniciens et agents de maîtrise (taux horaire 180 euros).

Les agents de maîtrise sont intervenus pour la tâche C (50 heures) et pour la tâche D (25 heures). Ils devraient continuer leur mission d’encadrement pour le reste du projet. Après entretien avec eux, les hypothèses suivantes sont retenues : • Le taux d’encadrement va rester constant pour le reste du projet (soit 1 heure d’encadrement pour 4 heures ouvriers). • Le rythme de progression des tâches C et D ne devrait pas connaître d’amélioration par rapport à ce qui a été constaté ; en revanche, les délais relatifs aux tâches E, F et G devraient être maintenus. • Le rythme de consommation des ressources constaté sur les tâches C et D devrait se maintenir. Pour E, F et G, le budget d’heures ouvriers devrait être respecté, mais il faudra maintenir la présence de l’encadrement. • La consommation des charges se fait régulièrement pendant la durée d’une tâche.

Annexe Semaines A Prévisions Réalisations B Prévisions Réalisations C Prévisions Réalisations D Prévisions Réalisations E Prévisions Réalisations F Prévisions Réalisations G Prévisions Réalisations

201211TDPA0313

à compléter 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

149

Contrôle de gestion • Série 3

TRAVAIL À FAIRE 1. Déterminez la date prévisionnelle de fin des travaux selon un diagramme de Gantt (annexe à compléter) au démarrage du projet. 2. Analysez l’état d’avancement du projet à l’issue des huit premières semaines et en déduire la date de fin probable des travaux. Reporter le résultat de l’analyse sur l’annexe. 3. Calculez le coût prévisionnel des travaux à l’issue des huit premières semaines (ou budget réestimé).

corrigÉ Question 1 Au démarrage du projet, l’implantation aurait dû être terminée 13 semaines après le début des travaux. 1

B C D E F G

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

P R P R P R P R P R P R P R

Question 2 À l’issue de 8 semaines, un retard a été pris : 1 semaine pour A et 1 semaine pour B. Cela se répercute sur C et D qui ne sont que commencées, alors qu’elles devraient être terminées. Si le rythme se maintient, la tâche C sera réalisée en 3 semaines au lieu des 2,5 prévues et la tâche D en 2 semaines au lieu de 1,5. Si les tâches E, F et G se déroulent au rythme prévu, le projet sera terminé après 16 semaines au lieu de 13,5. Question 3 Le budget réestimé est égal au total du coût constaté et du coût du travail qui reste à faire. a. Le coût réel à l’issue des huit premières semaines est le suivant : Tâches A B C D Total

Coût réel constaté 114 000 87 000 33 000 16 500 250 500

b. Il convient d’évaluer le coût des travaux qui restent à faire. Pour la tâche C, l’avancement est de 33,33 % avec 250 heures consommées (dont encadrement). La durée totale de cette tâche devrait être de 750 heures. Il reste donc 500 heures à effectuer. Comme il y aura une heure d’encadrement à 180 euros pour 4 heures à 120 euros, 20 % de l’horaire restant à faire (soit 100 heures) sera facturé à 180 euros et 80 % (soit 400 heures) à 120.

150

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A

UE 121 • Contrôle de gestion

En résumé, les données relatives à la tâche C sont les suivantes : Travail réalisé (1/3) 200 50 250

Heures ouvrier Heures encadrement Total

Durée totale 600 150 750

Reste à faire 400 100 500

Pour la tâche D, l’avancement est de 50 % avec 125 heures consommées. La durée totale de cette tâche devrait être de 250 heures. Il reste donc 125 heures à effectuer. Comme il y aura 1 heure d’encadrement à 180 euros pour 4 heures à 120 euros, 20 % de l’horaire restant à faire (soit 25 heures) sera facturé à 180 euros et 80 % (soit 100 heures) à 120. En résumé, les données relatives à la tâche D sont les suivantes : Travail réalisé (1/2) 100 25 125

Heures ouvrier Heures encadrement Total

Durée totale 200 50 250

Reste à faire 100 25 125

Pour les tâches E, F et G l’intégralité de l’horaire prévu sera payée à 120 euros avec, en sus, la présence de l’encadrement (les prévisions sont des heures ouvrier). Les heures d’encadrement, à ajouter, représentent 25 % des heures ouvriers (4  heures ouvriers entraînent 1  heure d’encadrement). En résumé, les données relatives aux tâches E, F et G sont les suivantes : E 560 140

Heures ouvrier Heures encadrement

F 450,00 112,50

G 750,00 187,50

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Coût des travaux qui restent à faire : Tâches C D E F G Total

Heures à 120 €

Heures à 180 €

400 100 560 450 750 2 260

100 25 140 112,5 187,5 565

Coût total 66 000 16 500 92 400 74 250 123 750 372 900

c. Budget réestimé = 250 500 + 372 900 = 623 400 €.

Exercice 11 : Coût cible

Énoncé La société Waterwoman produit des stylos. Elle produit environ une centaine de modèles différents dans une gamme de prix de 2 à 50 €. Chaque année, elle renouvelle environ un quart de ses produits. En effet, chaque modèle créé a une durée de vie prévue de 4 ans car la concurrence et les désirs des clients obligent à inventer de nouveaux modèles et à innover. En janvier N, une « équipe projet » ou « task force » est réunie afin de travailler sur la conception d’un nouveau stylo marqueur : le ST 14. Dans un premier temps, ce groupe a défini les principales fonctions et qualités attendues par les clients.

201211TDPA0313

151

Contrôle de gestion • Série 3

Deux grands groupes de fonctions sont distinguées : les fonctions mécaniques, directement liées aux performances techniques du stylo et les fonctions de confort liées aux demandes plus subjectives des futurs utilisateurs. Fonctions de confort • Sensation à l’écriture : ––Douceur de la pointe ––Bruit de la pointe • Commodité d’utilisation ––Souillure des mains ––Facilité de prise en main

Fonctions mécaniques • Marquer • Conserver l’encre • Contenir l’encre

Après avoir établi un questionnaire, l’équipe a effectué un sondage auprès de 1 200 utilisateurs permettant de déterminer l’importance de chacune des fonctions dans la valeur totale du produit. Le bureau d’études, qui connaît la contribution objective de chaque composant pour satisfaire ces fonctions, a pu ainsi déterminer le poids des composants dans les deux grands groupes « mécanique » et « confort ». Encre

Pointe

Mécanique Confort

16 % 22 %

16 % 17 %

Anneau de pointe 10 % 4 %

Réserve Barre d’encre rigide 9 % 2 %

6 % 3 %

Corps

Opercule

31 % 28 %

3 % 3 %

Orifice Capuchon d’aération 3 % 2 %

6 % 19 %

Total en % 100 % 100 %

Le bureau d’études établit le coût cible de chaque composant en effectuant la somme pondérée de leur contribution aux fonctions : respectivement 2/5 de la valeur totale du produit pour la fonction « mécanique » et 3/5 pour la fonction « confort ». Ce stylo serait lancé début N+1. L’étude de marché a montré que pour ce premier exercice le prix de vente pourrait être fixé à 19 €. En N+2, l’effet nouveauté s’estompant, le prix de vente devrait être ramené à 16 € puis à 15 € en N+3 et N+4. Les prévisions de vente portent sur 800  000 articles en N+1, 1  250  000 articles en N+2, 1 400 000 articles en N+3 et 900 000 en N+4. L’entreprise a un objectif de marge de 40 % en N+1, 25 % en N+2, puis 20 % en N+3 et N+4. Ce stylo présente quelques innovations par rapport à la gamme existante. Néanmoins, le bureau d’études a pu déterminer un coût estimé pour chacune des composantes de ce nouveau stylo. Ces coûts, comme les coûts cibles, doivent couvrir toute la durée du cycle de vie du produit. Coûts estimés de chaque composant du stylo : Fonction

Encre

Pointe

Anneau de pointe

Coût estimé

1,90 €

2,40 €

0,5 €

Réserve Barre Orifice Corps Opercule Capuchon d’encre rigide d’aération 0,9 €

0,7 €

3,6 €

0,35 €

0,3 €

2,3 €

Total 12,95 €

TRAVAIL À FAIRE 1. Après avoir expliqué les modalités pour déterminer le coût cible, calculez le coût cible. Actuellement, l’entreprise produit un stylo marqueur ST 13. Celui-ci propose un capuchon satisfaisant pour les clients à condition de baisser le prix de vente de 0,30 €. Le coût estimé de ce capuchon qui pourrait très bien équiper les ST 14 se monte à 1,70 €. 2. Calculez le coût cible (arrondi à deux décimales) par composant. 3. Comparez le coût cible par composant avec le coût estimé. Concluez. 4. Quelle serait l’incidence de la modification envisagée sur le coût cible ? 5. Par quels autres moyens l’entreprise peut-elle rapprocher le coût estimé du coût cible ?

152

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Fonction

UE 121 • Contrôle de gestion

Corrigé Question 1 Il convient de calculer le prix de vente moyen et le profit cible sur l’ensemble du cycle de vie du produit, puis de calculer le coût cible. Prix de vente Quantité Chiffre d’affaires Taux de profit Profit cible

N+1 19 800 000 15 200 000 40 6 080 000

N+2 16 1 250 000 20 000 000 25 5 000 000

N+3 15 1 400 000 21 000 000 20 4 200 000

N+4 15 900 000 13 500 000 20 2 700 000

Totaux / 4 350 000 69 700 000 / 17 980 000

Prix de vente moyen = Chiffre d’affaires total/Quantités totales = 69 700 000/4 350 000 Prix de vente moyen = 16,023 Profit cible moyen = profit cible total/Quantités totales = 17 980 000/4 350 000 = 4,133 Coût cible = 16,023 – 4,133 = 11,89 Question 2 Le coût cible de chaque composant sera obtenu après avoir calculé le poids moyen de chaque composant dans le coût cible total selon la méthode suivante : Poids moyen : [(2/5) × (pourcentage dans la fonction mécanique)] + [(3/5) × (pourcentage dans la fonction confort)].

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Fonction Mécanique Confort Poids moyen

Anneau Réserve Barre Orifice de Corps Opercule Capuchon d’encre rigide d’aération pointe 6,40 % 6,40 % 4,00 % 3,60 % 2,40 % 12,40 % 1,20 % 1,20 % 2,40 % 13,20 % 10,20 % 2,40 % 1,20 % 1,80 % 16,80 % 1,80 % 1,20 % 11,40 % Encre

Pointe

19,60 % 16,60 %

6,40 %

4,80 %

4,20 % 29,20 %

3,00 %

2,40 %

13,80 %

Total en % / / 100,00 %

Le coût cible de chaque composant est obtenu en multipliant les poids moyens par le coût cible total de 11,89 €. Fonction Poids moyen Coût cible

Encre

Pointe

19,60 % 16,60 %

Anneau Réserve de d’encre pointe

Barre rigide

6,40 %

4,80 %

4,20 % 29,20 %

0,76

0,57

2,33

1,97

Encre

Pointe

1,9

2,4

0,5

2,33

1,97

0,76

Corps

Opercule

Orifice Capuchon d’aération

Total

3,00 %

2,40 %

13,80 %

100,00 %

0,29

1,64

11,89 €

0,50

3,47

0,36

Barre rigide

Corps

Opercule

0,9

0,7

3,6

0,35

0,3

2,3

12,95 €

0,57

0,50

3,47

0,36

0,29

1,64

11,89 €

Question 3 Fonction Coût estimé Coût cible

201211TDPA0313

Anneau Réserve de d’encre pointe

Orifice Capuchon d’aération

Total

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Contrôle de gestion • Série 3

L’écart entre le coût estimé et le coût cible s’élève à 1,06 € avec des différences contrastées entre les composants puisque les écarts sont favorables pour l’encre, l’anneau de pointe et l’opercule. En revanche, les écarts sont très nettement défavorables pour les autres composants et notamment pour le capuchon. Le coût estimé doit donc être réduit afin de tendre vers le coût cible. Question 4 Si le capuchon du stylo ST 13 est adopté pour le modèle ST 14, le prix de vente baissera de 0,30 €, et, compte tenu du profit cible, le coût cible sera modifié. Les chiffres d’affaires et les profits totaux sont alors les suivants : Chiffre d’affaires Taux de profit Profit cible

N+1 14 960 000 40 5 984 000

N+2 19 625 000 25 4 906 250

N+3 20 580 000 20 4 116 000

N+4 13 230 000 20 2 646 000

Totaux 68 395 000 / 17 652 250

Prix de vente moyen = Chiffre d’affaires total/Quantités totales = 15,72 Profit cible moyen = profit cible total/Quantités totales = 17 652 250/4 350 000 = 4,06 Coût cible = 15,72 – 4,06 = 11,66 Le coût estimé baisserait de 0,60 € puisque le coût du capuchon passerait de 2,30 € à 1,70 €. Le tableau suivant résume la situation : Avant modification 16,02 4,13 11,89 12,95 1,06

Avec modification 15,72 4,06 11,66 12,35 0,69

Le coût estimé doit encore être réduit afin de tendre vers le coût cible. Il convient de baisser le coût de 0,69 € ce qui est plus faible que dans l’hypothèse précédente. Question 5 Pour réduire les coûts, les pistes suivantes peuvent être étudiées : • L’analyse de la valeur doit pouvoir permettre de progresser. • Une renégociation des prix, l’appel à de nouveaux fournisseurs, le regroupement des achats avec des partenaires, la réduction des coûts d’approvisionnement par une meilleure organisation, etc. • Étude de la sous-traitance. • Différenciation retardée. • Ne pas oublier qu’il y aura des phénomènes d’apprentissage, le kaizen. • Etc.

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Prix de vente moyen Profit cible Coût cible Coût estimé Écart

UE 121 • Contrôle de gestion

Exercice 12 : Estimations ponctuelles d’une moyenne et d’un écart type

Énoncé L’entreprise D produit de nouvelles pièces en inox dont la demande suit une loi normale. Pour l’ensemble du marché on dispose de l’observation de la demande, par semaine, pendant 2 ans : Nombre de lots demandés [0 – 10[ [10 – 20[ [20 – 30[ [30 – 40[ [40 – 50[ [50 – 60[ [60 – 70[ [70 – 80[ [80 – 90[ [90 – 100[

Nombre de semaines 1 2 3 8 25 27 20 12 5 1

TRAVAIL À FAIRE 1. Donnez une estimation ponctuelle des paramètres de la loi normale de la demande. L’entreprise décide, pour évaluer la rentabilité de ce projet, de se baser sur une demande globale annuelle qui ait 60 % de chances d’être dépassée. Elle estime qu’elle peut, la première année, prendre 1/4 du marché puis 1/3 les années suivantes. On admettra l’estimation précédente et l’indépendance des demandes de chacune des semaines. 2. Déterminez, en nombre de lots, le marché potentiel total et les ventes que l’entreprise peut espérer réaliser.

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Corrigé Question 1 Calcul de la moyenne et de l’écart type de l’échantillon de taille 104 (en prenant le centre des classes) : x = 5 720/104 = 55 σ’ = 16,1125 Une estimation ponctuelle de m est x soit 55 lots par semaine. 104 16,1125 = 16,19 lots par semaine. Une estimation ponctuelle de σ est s = 104 - 1 La demande hebdomadaire suit donc une loi normale N (55 ; 16,19). Question 2 La demande annuelle D est la somme des 52 demandes hebdomadaires indépendantes et suit





une loi normale N 55 ¥ 52 ; 52 ¥ 16,192  = N (2 860 ; 116,75). La demande annuelle Q qui a 60 % de chances d’être dépassée est telle que : Q - 2 860 ˆ Ê  = 0,6 P(D > Q) = 1 – P Á T  Ë 116, 75 ˜¯ Q - 2 860 ˆ Ê PÁ T   = π(t) = 0,4 Ë 116, 75 ˜¯ (t < 0 car 0,4 < 0,5) La valeur t sera trouvée en utilisant la propriété : π(– t) = 1 – π(t). Le problème à résoudre devient π(– t) = 1 – 0,4 soit : π(– t) = 0,6.

201211TDPA0313

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Contrôle de gestion • Série 3

La lecture de la table donne : – t = 0, 253 et donc t = – 0, 253. La demande annuelle qui a 60 % de chances d’être dépassée est donc telle que : Q - 2 860  = – 0,253 ; soit Q = 2 830, 4 2 831 lots 116,75 Les ventes espérées de la première année sont 2 831/4 ≈ 707 lots. Les ventes espérées les années suivantes sont 2 831/3 ≈ 943 lots.

Exercice 13 : Estimation d’une proportion

Énoncé Pour apprécier la qualité de la production, un contrôleur cherche à évaluer le pourcentage p d’articles non commercialisables. Pour cela, il prélève au hasard et avec remise des échantillons de taille n. TRAVAIL À FAIRE 1. Le contrôleur prélève un échantillon de 125  articles et constate que 10 ne sont pas commercialisables. Déterminez une estimation de p, par intervalle de confiance centré, avec le coefficient de confiance de 95 %. 2. Quelle doit être la taille minimale n (n est un nombre entier) de l’échantillon prélevé pour que, avec le coefficient de confiance 95 %, le pourcentage p soit de 8 % à 2 % près ?

Corrigé

È 0,08 ¥ 0,92 0,08 ¥ 0,92 ˘ I = Í0,08 - 1,96 ; 0,08  1,96 ˙  = [0,0324 ; 0,1275] 125 125 ˚ Î Question 2 En supposant que f vaut toujours 8 %, l’intervalle recherché au seuil de confiance de 95 ù est [0,08 – 0,02 ; 0,08 + 0,02] 0,08 ¥ 0,92 La taille n de l’échantillon est donc telle que : 1,96  0,02 n 0,08 ¥ 0,92 Soit 1,96 2  0,022 n D’où n = 706,85 ≈ 707 articles.

Exercice 14 : Test d’hypothèse

Énoncé Le diamètre des pièces produites par une machine est régulièrement contrôlé pour vérifier le réglage de la machine. Le diamètre des pièces produites par une machine bien réglée est une distribution normale de 4 mm de moyenne et d’écart type de 0,35 mm.

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Question 1 Une estimation ponctuelle de la proportion p est f = 10/125 = 0,08.

UE 121 • Contrôle de gestion

TRAVAIL À FAIRE 1. Construisez un test au seuil de risque de première espèce de 5 %. 2. Un échantillon de 25 pièces donne un diamètre moyen de 4,10 mm. La machine est-elle bien réglée ? 3. Définissez concrètement le risque de première espèce et le risque de deuxième espèce. 4. Calculez le risque de deuxième espèce, sachant que le diamètre moyen est de 4,05 mm pour un écart type toujours égal à 0,35 mm.

Corrigé Question 1 Il s’agit d’effectuer le test d’hypothèse bilatéral : H0 : m = 4 Contre H1 : m ≠ 4 Au seuil de risque α = 0,05 Le diamètre exprimé en mm d’une pièce est une variable aléatoire X qui suit une loi normale dont les paramètres sont connus : N(4 ; 0,35). X suivant une loi normale, le contrôle de diamètre moyen effectué sur des échantillons est une 0, 35 réalisation de la variable X n qui suit une loi normale N(4 ;  ). n Au seuil de 5 %, la région d’acceptation de l’hypothèse H0 correspond à l’intervalle :

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[4 – 1,96 

0,35 0,35  ; 4 + 1,96  ] n n

Question 2 Au seuil de 5 %, la région d’acceptation de l’hypothèse H0 d’un échantillon de taille 25 correspond à l’intervalle : 0,35 0,35 [4 – 1,96  ; 4 + 1,96  ] = [4 – 1,96 × 0,07 ; 4 + 1,96 × 0,07] = [3,86 ; 4,14] 5 5 Le diamètre moyen de l’échantillon est de 4,10 mm et appartient à la région d’acceptation : au seuil de 5 %, la machine est bien réglée. Question 3 Le risque de première espèce est α = 5 %. Il s’agit de la probabilité de procéder au réglage de la machine alors qu’elle est bien réglée. Le risque de deuxième espèce est β. Il s’agit de la probabilité d’accepter l’hypothèse H0 à tort, c’est-à-dire la probabilité de continuer la production alors que la machine est mal réglée. Question 4 Pour calculer β, il faut supposer que l’hypothèse H0 est acceptée à tort. Cette hypothèse est acceptée à tort si la moyenne de l’échantillon est comprise dans la région d’acceptation, alors que l’hypothèse H1 est vraie, c’est-à-dire que la moyenne est égale à 4,05 mm et l’écart type à 0,35 mm : P(3,86 < X 25 < 4,14) = β P(

3,86 - 4,05 4,14 - 4,05  < T <  ) = P(– 2,71 < T < 1,29) = p(1,29) – p – 2,71) ≈ 0,89 0,07 0,07

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157

Contrôle de gestion • Série 3

Exercice 15 : Test d’hypothèse

Énoncé Un constructeur garantit ses produits pendant 2 ans et affirme que, pendant ce délai, 5 % de ses produits ont eu à utiliser cette garantie. Sur un échantillon de 50 produits vendus il y a 2 ans, 4 ont dû faire jouer cette garantie. TRAVAIL À FAIRE 1. Construisez et mettez en œuvre le test permettant de décider, au risque de 10 %, si le pourcentage de voitures ayant utilisé la garantie est supérieur à 5 %. 2. Concluez.

Corrigé Question 1 Il s’agit d’effectuer le test d’hypothèse unilatéral : H0 : p = 0,05 Contre H1 : p > 0,05 Au seuil de risque α = 10 % 5%

Région critique : + de 5 % de retours

L’hypothèse H0 étant supposée vraie, la taille de l’échantillon étant supérieure à 30, la variable aléatoire Fn, qui associe à tout échantillon de taille 50 la fréquence observée sur cet échantillon, 0, 05 ¥ (1- 0, 05) suit une loi binomiale qui peut être approchée par la loi normale N(0,05 ;  ), soit 50 N(0,05 ; 0,03082). La région d’acceptation est obtenue par le calcul de la probabilité suivante : P(F50 < 0,05 + k) = 0,90 (0, 05  k) - 0, 05 ) = 0,90 0, 03082 k ) = 0,90 P(T <  0,03082 k  = 1,28 0,03082 k = 0,03945

P(T < 

P(F50 < 0,05 + 0,03945) = 0,90 La région d’acceptation est donc ]0 ; 0,08945] Si la fréquence calculée sur un échantillon de taille  50, appartient à la région d’acceptation, l’hypothèse H0 est acceptée, et inversement. 2. Conclusion La fréquence calculée sur l’échantillon = 4/50 = 0,08. Elle appartient à la région d’acceptation et, au seuil de risque de 10 %, l’hypothèse  H0 est acceptée, c’est-à-dire que la proportion de produits ayant utilisé la garantie n’est pas supérieure à 5 %.

158

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Région d’acceptation : affirmation vraie

UE 121 • Contrôle de gestion

Exercice 16 : Cas SADA – Budget de trésorerie

Énoncé La Société aquitaine de distribution alimentaire (SADA) exploite dans une ville balnéaire du sudouest un supermarché dont l’activité est fortement saisonnière. En effet, le chiffre d’affaires hors taxes moyen, qui est de 400 000 euros pendant les mois d’hiver, passe à 700 000 euros pendant les mois d’été. On vous demande de participer à l’élaboration du budget pour le premier semestre de l’année N+1. Pour ce premier semestre, les prévisions des ventes (HT) sont les suivantes : Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin

Prévisions (en euros) 400 000 400 000 450 000 550 000 700 000 700 000

Les ventes de décembre  N ont été de 400  000 et les ventes de juillet  N+1 devraient être de 700 000. Pour ce premier semestre, les prévisions d’achats (HT) et de consommations sont les suivantes :

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Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin

Prévisions d’achats (en euros) 320 000 345 000 410 000 515 000 560 000 560 000

Prévisions de consommations (en euros) 320 000 320 000 360 000 440 000 560 000 560 000

Le bilan de la SADA après répartition à fin décembre N se présente ainsi (en euros) : ACTIF Immobilisations brutes (–) Amortissements Immobilisations nettes Stock de marchandises Clients Trésorerie TOTAL DE L’ACTIF : PASSIF Capital Réserves Impôt sur les sociétés à payer (solde N après liquidation) TVA à payer Charges sociales à payer Fournisseurs TOTAL DU PASSIF :

1 200 000 240 000 960 000 200 000 48 000 12 000 1 220 000 600 000 220 000 5 000 5 000 6 000 384 000 1 220 000

Vous disposez, de plus, des renseignements suivants : a. Le solde d’IS sera payé en avril N+1. Deux acomptes d’IS de 14 000 seront payés en mars et en juin N+1. Le taux de l’IS est de 50 %. b. Les fournisseurs sont payés à 30 jours (les achats du mois sont donc réglés le mois suivant). c. Diverses charges variables, dont le montant HT représente 10 % des ventes HT, sont réglées chaque mois, sans décalage par rapport à leur engagement.

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Contrôle de gestion • Série 3

d. Les amortissements mensuels s’élèvent à 10 000 euros. e. Les charges fixes décaissables s’élèvent mensuellement à 33 000 euros. Cette somme inclut les salaires et les charges sociales, ainsi que la TVA pour la partie assujettie. Les charges sociales sont décaissées le mois suivant. f. Les ventes, les achats, les charges variables et 50 % des charges fixes décaissables supportent une TVA de 20 % sur le montant HT. La TVA à payer au titre d’un mois est décaissée le mois suivant. Les éventuels crédits de TVA ne sont pas remboursés par l’Administration fiscale, mais reportés comme étant déductibles le mois suivant. g. Les ventes TTC sont encaissées au comptant à 90 %. Les 10 % restant sont des ventes à crédit encaissées le mois suivant. h. Il est prévu de réaliser courant juin  N+1 un investissement de 60  000  euros, amortissable linéairement en 5 ans, destiné à rationaliser les opérations internes de manutention et de stockage. Cet investissement ne sera mis en service et exploité que début juillet N+1. En revanche, il sera entièrement autofinancé et réglé en juin.

Corrigé Remarque Les sommes sont en milliers d’euros, sauf indication contraire. 1. Montant des charges fixes Soit M ce montant. Comme la TVA ne porte que sur la moitié, nous avons : M M  (1, 2) = 33 000 2 2 M  1, 2 M = 33 000 2 2,2 M = 66 000 66 000 = 30 000 euros M= 2, 2

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TRAVAIL À FAIRE Chaque fois que cela sera possible, on présentera de préférence les calculs dans des tableaux avec les mois en colonnes. 1. Calculez le montant HT des charges fixes mensuelles (incluant salaires et charges sociales). 2. Calculez les résultats prévisionnels mensuels. 3. Calculez le seuil de rentabilité mensuel actuel (en chiffre d’affaires en euros hors taxes). 4. Établissez le budget mensualisé de la TVA à payer. 5. Établissez le budget mensualisé des décaissements. 6. Établissez le budget mensualisé des encaissements. 7. Établissez le budget général de trésorerie, faisant apparaître la variation mensuelle de trésorerie en fin de mois. 8. Établissez le bilan prévisionnel à fin juin N+1.

UE 121 • Contrôle de gestion

2. Comptes de résultat Mois

Janvier

Ventes (HT) Achats (HT) + Variation des stocks(1) Autres charges variables Marge sur coûts variables Charges fixes décaissables Amortissements Résultats

Février

400 320 0 40 40 30 10 0

400 345 – 25 40 40 30 10 0

Mars

Avril

450 410 – 50 45 45 30 10 +5

Mai

550 515 – 75 55 55 30 10 + 15

700 560 0 70 70 30 10 + 30

Juin 700 560 0 70 70 30 10 + 30

Total semestriel 3 200 2 710 – 150 320 320 180 60 + 80

(1) Variations des stocks d’approvisionnement = stock initial – stock final. Les stocks sont obtenus à l’aide du tableau suivant :

Mois Stock début + Achats – Achats consommés = Stock final Variation de stocks

Janvier 200(2) 320 320 200 0

Février 200(3) 345 320 225 – 25

Mars 225(3) 410 360 275 – 50

Avril 275(3) 515 440 350 – 75

Mai 350(3) 560 560 350 0

Juin 350(3) 560 560 350 0

(2) cf. bilan d’ouverture. (3) cf. stock final du mois précédent.

3. Seuil de rentabilité mensuel Le taux de marge sur coûts variables est de : 20 – 10 = 10 % des ventes. Soit SR le seuil recherché : 0,1 SR – (10 + 30) = 0

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SR =

40  = 400 soit 400 000 euros 0,1

Le seuil de rentabilité de 400 000 euros correspond bien aux résultats pour janvier et février de la question précédente. 4. Budget de TVA Mois TVA collectée TVA déductible : – sur achats – sur charges variables – sur charges fixes TVA à payer au titre du mois Crédit de TVA TVA à décaisser :

Janvier 80

Février 80

Mars 90

64 8 3

69 8 3

5 – 5

0 – 5

BILAN INITIAL

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Avril 110

Mai 140

Juin 140

82 9 3

103 11 3

112 14 3

112 14 3

_ 4 0

– 11 0

0 – 0

11 – 0

BILAN PRÉVISIONNEL

161

Contrôle de gestion • Série 3

5. Budget des décaissements Mois Fournisseurs (Bilan initial) Achats (TTC)

Janvier

Février

384 –

– 384

– 414

– 492

– 618

– 672

48

48

54

66

84

84

6 27

33(1)

33

33

33

33

TVA à payer (question 4)

5

5

–

–

–

–

IS : – Solde N – Acomptes

– –

– –

– 14

5 –

– –

– 14

Investissement

–

–

–

–

–

60

470

470

515

596

735

863

Charges variables Charges sociales (Bilan initial) Charges fixes

TOTAUX

Mars

Avril

Mai

Juin

672 (fournisseurs)

6 (charges sociales) 11 (TVA)

28 (état, is) ∆ immobilisations

(1) Incluant les charges sociales. Comme ces charges sont fixes on peut ne pas les distinguer.

Mois Ventes TTC Clients (Bilan initial)

Janvier 480 48

Février 480

Mars 540

Avril 660

Mai 840

Juin 840

432

432

486

594

756

756

48

48

54

66

84

480

534

648

822

840

480 470

534 515

Avril 648 596

Mai 822 735

Juin 840 863

10

10

19

52

87

(– 23)

10 + 12 = 22

22 + 10 = 32

32 + 19 = 51

103

190

167

Ventes au comptant : (90 %) Ventes à crédit : (10 %) TOTAL DES ENCAISSEMENTS

480

84 (clients)

7. Budget général de trésorerie Mois Encaissements Décaissements Variation mensuelle de trésorerie Trésorerie en fin de mois

162

Janvier 480 470

Février

Mars

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6. Budget des encaissements

UE 121 • Contrôle de gestion

8. Bilan prévisionnel ACTIF Immobilisations brutes : 1 200 + 60 = (–) Amortissements : 240 + (6 × 10) = Immobilisations nettes Stocks (question 2) Clients (question 6) État, acomptes versés sur IS Trésorerie (question 7) Total de l’actif :

1 260 300 960 350 84 28 167 1 589

Total du passif :

600 220 80 672 11 6 1 589

PASSIF Capital Réserves Résultat semestriel (question 2) Fournisseurs (question 5) État, TVA à payer (question 4) Charges sociales à payer

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Retrouvez d’autres exercices et tests pour l’UE 121 sur le site Internet de l’Intec : www.cnamintec.fr, rubrique « Ressources pédagogiques ».

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UE 121 • Contrôle de gestion

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Index 5 M 100 ABC 47 AFNOR 95 Ajustement Ajustement exponentiel 26, 29 Ajustement linéaire 25, 28 Ajustement logarithme 31 Ajustement puissance 32 Aléa 34 Analyse Analyse de la valeur 106 Analyse du coût global (life cycle cost) 101 Analyse fonctionnelle 106 Argyris 17, 125 BBZ (Budget Base Zéro) 16, 126 Bilan prévisionnel 25 Budget 9, 11 Budget de la TVA à décaisser 22 Budget des décaissements 23 Budget des encaissements 21 Budget des ventes 44 Budget de synthèse 11 Budget financier 11 Budget flexible 12 Budget fonctionnel 11 Budget général de trésorerie 23 Budget opérationnel 11 Bureaucratisation 15 Canonique 73 Centre Centre de chiffre d’affaires 19 Centre de coût 19 Centre de produits 19 Centre de profit 19 Centre de responsabilité 18, 19 Centre d’investissement 20 Cercle de qualité 94, 99 Chemin critique 89, 90 Cinq zéros 66 Coefficient saisonnier 38 COFRAC 95 Compte Compte de résultat prévisionnel 24 Compte prévisionnel 24 Conception modulaire 106 Contrôlabilité 21 Coût Coût caché 96 Coût cible 94, 101 Coût cible par composant 105

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Coût décidé 103 Coût de détection 96 Coût de gestion du stock 49 Coût de lancement 49 Coût de passation 49 Coût dépensé 103 Coût de pénurie 49 Coût de possession 49 Coût de prévention 96 Coût de stockage 49 Coût discrétionnaire 14 Coût d’opportunité 23 Coût estimé 105 Coût externe de non-qualité 96 Coût interne de non-qualité 96 Coût objectif 101 Coût visible 96 Cybernétique 9 Cycle budgétaire 11 Cycle de vie 101, 102 Cycle de vie d’un produit 41 Cyert 17, 125 Delphi 42 Diagramme Diagramme de Gantt 92 Diagramme de Pareto 94, 98 Diagramme d’Ishikawa 94, 99 Différenciation retardée 106 Distribution d’échantillonnage 109 Domaine des solutions acceptables (DSA) 75 Échange de données informatisées (EDI) 67 Échantillon 110 Échantillonage 108 Élasticité  43 Élasticité Élasticité croisée 43 Enveloppe budgétaire 9 ERP 45 Estimation 94 Estimation par intervalle de confiance d’une moyenne 112 Estimation ponctuelle 111 Estimation ponctuelle d’un écart type 111 Estimation ponctuelle d’une moyenne 111 Estimation ponctuelle d’une proportion 111 Estimation ponctuelle d’une variance 111 Étude de marché 103 Examen tournant 17

165

Facteur rare 82 Flux tendus 68 Fonction économique 75 Forme Forme canonique 73, 83 Forme standard 78 Formule du lot économique 48 Gantt 92 Gestion Gestion de la production 67 Gestion de la qualité 95 Gestion par le stress 17 Ingénieur 101 Intervalle de confiance 111 ISÉOR 96 Ishikawa 99, 125 ISO 94 Jensen 9, 125 Juste à temps (JAT) 66 Just in time 66 Kaizen 106 Kanban 67 Lettre de cadrage 11 Makido 107 Malfaçon 96 Management Ressources Planning (MRP) 68 March 17, 125 Marché 101 Marge Marge libre 91 Marge totale 91 Marketing 101, 102 Marketing mix 43 Matrice 69 Maximisation 73 Maximum 73 Meckling 9, 125 Mercatique 101 Méthode Méthode 20‑80 46 Méthode ABC 47 Méthode analogique 105 Méthode analytique 105 Méthode Delphi 42 Méthode des Potentiels Métra (MPM) 88 Méthode des scénarios 42 Méthode paramétrique 105 Métra 88 Minimum 73 Modèle Modèle avec pénurie (ou modèle avec rupture) 57 Modèle avec tarifs dégressifs 56 Modèle de Makido 107 Modèle de Wilson 48, 50

166

Moyennes mobiles 35 MPM 88 Navette budgétaire 12 Normes ISO 95 Optimisation 73 Ordonnancement 83 Pareto 46, 98, 125 PERT 88 PGI 45 Pilotage Pilotage par l’amont 68 Pilotage par l’aval 68 Plan 10 Plan de marchéage 43 Plan pluriannuel 10 Planification des Besoins en Composants 68 Point aberrant 29 Politique commerciale 43 Portefeuille 9 Potentiels Métra 88 Prébudget 11 Procédure du coucher de soleil 17 Profitabilité 102 Profit cible 104 Progiciel de Gestion Intégré 45 Programmation linéaire 73 Programme  8, 10 Progression arithmétique 25, 28 Prospective 42 Pyhrr 16, 17, 126 Qualité 94 Qualité totale 66, 95 Région Région critique 117 Région d’acceptation 117 Relation d’agence 9 Reporting 18, 21 Responsabilité 20 Risque Risque de première espèce 117 Risque de seconde espèce 117 Roy 88 Savall 96, 126 Service Service administratif 14 Service fonctionnel 14 Service opérationnel 14 Services généraux 14 Slack Slack 18 Slack budgétaire 17 Slack organisationnel 17 SMED 67 Stock Stock critique 54

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Contrôle de gestion • Série 3

UE 121 • Contrôle de gestion

TVA TVA à décaisser 22 TVA collectée 22 TVA déductible 22 Variation saisonnière 34 Wilson 126 Zéro Zéro défaut 66 Zéro délai 66 Zéro panne 66 Zéro papier 66 Zéro stock 66 ZZB (Zero Base Budgeting) 16

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Stock d’alerte 54 Stock moyen 51, 53 Stratège 102 Target costing 101 Taux Taux de croissance 31 Taux de pénurie 60 Taylorisme 68 Tendance 34 Test 94 Test d’hypothèse 116 Théorie de l’agence 9, 125 Toyota 66 Trésorerie finale 24

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UE 121 Contrôle de gestion Année 2013-2014

Devoir 4 À envoyer à la correction

Auteur : Catherine ZERARA  Remarques préliminaires Ce sujet a été conçu pour être réalisé sans calculatrice. Les exercices sont indépendants. Le devoir est noté sur 40 points. Après correction, la note sera ramenée sur 20 points.

Exercice : Le cas Parchemin

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L’entreprise Parchemin est une entreprise de taille moyenne spécialisée dans la fabrication de papiers divers et de produits de papeterie, notamment recyclés ; elle a su s’adapter aux évolutions d’un marché en constante évolution. Jusqu’à présent elle a toujours mis en place les nouvelles technologies nécessaires et répondu aux souhaits des consommateurs. Cette entreprise réalise actuellement une étude sur certains de ses produits et souhaiterait vous intégrer à l’équipe du contrôle de gestion pour répondre à certaines questions. Dossier 1 : Analyse des ventes de papier (10 points) La forte concurrence sur le marché du papier exige une prévision des ventes très pointue. Le contrôleur de gestion vous remet des données sur l’évolution des ventes de papier de N–5 à N, sur les coefficients saisonniers mensuels, ainsi que des éléments concernant les évolutions prévisionnelles du marché du papier pour N+1 (annexes 1 et 2) pour la région d’implantation de l’entreprise. Dans l’entreprise, les prévisions des ventes sont réalisées en deux temps. Dans un premier temps, les prévisions annuelles sont réalisées à partir des statistiques des années précédentes. Dans un second temps, le volume annuel est divisé par 12, puis ajusté par des coefficients saisonniers pour obtenir les prévisions mensuelles. TRAVAIL À FAIRE 1. Commentez l’allure de la courbe des ventes en tonnes de papier (graphique de l’annexe 1). À partir de l’observation visuelle de ce graphique, peut-on en déduire des pistes permettant de prévoir les ventes futures ? Que penser du nombre d’observations ? (3 points) 2. Commentez les informations du tableau 2 (annexe 1). Choisissez la méthode d’ajustement la plus pertinente mathématiquement. Que penser de ce choix ? Est-il nécessairement le plus pertinent pour estimer les ventes futures ? Pourquoi ? (3 points) 3. Indépendamment des réponses aux questions précédentes, l’entreprise a décidé de retenir une régression linéaire pour effectuer ses prévisions de ventes. Calculez les quantités vendues prévisionnelles pour N+1 à partir de l’équation retenue (indiquez seulement les calculs à réaliser sans résolution numérique). (1 point) 4. Finalement, indépendamment des résultats aux questions précédentes, les ventes prévues pour N+1 sont fixées à 570  000. Retrouvez le coefficient saisonnier du mois de septembre (annexe  2, tableau 1). Puis complétez le tableau 2 de l’annexe 2 (prévisions des ventes de février, mars, avril, septembre N+1). Précisez clairement les formules de calcul à utiliser (l’application numérique n’est pas nécessaire). (3 points)

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Contrôle de gestion • Devoir 4

Dossier 2 : Analyse de produit (10 points) Les annexes 3 et 4 permettent d’analyser les produits papier Copy et papier Laser. Le produit Copy est un papier spécialement destiné aux photocopieurs. Le produit Laser est un papier plus spécifiquement destiné aux imprimantes laser. Ces dernières années (depuis 2011) ont été marquées par l’apparition et la concurrence forte d’imprimantes laser multifonctions (photocopieur, scanner, imprimante).

Dossier 3 : Étude sur le niveau de production (12 points) Quelques années plus tard, l’entreprise Parchemin s’est diversifiée dans différents produits de papeterie, dont les cartes de vœux, par l’intermédiaire de sous-traitants. Vous devez aider l’équipe à décider de la quantité à fabriquer pour chacune des deux gammes de produits (les cartes de vœux Prestige et Basic) après avoir pris connaissance des coûts et des contraintes de production et de marché (annexes 5 et 6). Au cours de l’année N–1, la production de cartes de vœux de la gamme Prestige a été transférée au sous-traitant Papyrus, racheté et devenu une filiale. Papyrus ne fabriquait jusque-là que des cartes de la gamme Basic. Le volume de production quotidien était de 9 000 cartes Basic. De son coté, Parchemin fabriquait quotidiennement 3 000 cartes Prestige. La société Papyrus a pu augmenter ses capacités de production car le matériel racheté à la société mère Parchemin en N–1 permet, comme le matériel existant, de fabriquer indifféremment les deux types de cartes. Cette réorganisation a permis de réduire les coûts fixes pour un montant de 1 000 € par jour. La marge sur coût variable est inchangée. Malgré l’enthousiasme, les résultats s’avèrent décevants pour les deux premiers mois. Si l’entreprise fabrique autant de cartes de la gamme Basic qu’auparavant, elle n’arrive pas à fabriquer autant de cartes de la gamme Prestige que Parchemin avant le transfert de l’activité. La marge globale attendue sur les ventes de ces deux gammes de produits n’est pas à la hauteur des espérances. Le responsable de la production n’avait jamais géré les productions de deux gammes de produits différents sur une même ligne de production et s’aperçoit qu’il est nécessaire d’en repenser l’organisation. Il fait appel à vos services pour l’aider à optimiser le processus de production. « C’est un problème d’optimisation sous contrainte, comme toujours en gestion » vous déclare-t-il. 9. Expliquez ce que le responsable de la production a voulu dire en parlant d’optimisation sous contrainte. (1 point) 10. Présentez le problème sous sa forme canonique. (2 points) 11. Sur le graphique de l’annexe 6, à quoi correspondent les droites A, B, C, D ? À quoi correspondent les axes E et F ? (2 points) 12. Expliquez (écrire les formules sans résoudre les calculs) comment ont été calculées les coordonnées du point d’intersection entre les droites A et B, ainsi qu’entre les droites B et D. (1 point) 13. Combien de cartes Prestige la société Papyrus peut-elle produire au maximum si elle produit le même nombre de cartes Basic que précédemment (9 000) ? Donnez une valeur (même approximative) par lecture du graphique, puis expliquez comment calculer cette valeur (sans résoudre les calculs). (1 point)

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5. Expliquez ce qu’est le cycle de vie commercial d’un produit, et appliquez cette grille d’analyse aux deux produits cités (maximum 20 lignes). (2,5 points) 6. Analysez les corrélations entre la production de papier (Laser puis Copy) et le parc d’imprimantes laser. Que peut-on en conclure ? (Évoquez notamment les notions de corrélation et de causalité). (2,5 points) 7. Serait-il plus judicieux d’exploiter la corrélation linéaire entre les années et les quantités pour prévoir les ventes de chacun des deux types de papier ? Pourquoi ? (2 points) 8. On s’intéresse désormais aux seules prévisions des ventes de papier Copy. À partir de l’annexe 4, quelle fonction est la mieux ajustée à la série chronologique des ventes passées ? Pourquoi ? Faut-il en déduire que cette fonction est pertinente pour établir des prévisions ? Pourquoi ? (3 points)

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170

UE 121 • Contrôle de gestion

14. Sur le graphique de l’annexe 6, où se situent les combinaisons optimales possibles ? La production actuelle est-elle optimale ? Pourquoi ? (1,5 point) 15. Calculez la marge sur coût variable pour les combinaisons optimales. Commentez. (1 point) 16. Quelle était la marge sur coût variable quotidienne réalisée avant la réorganisation ? La réorganisation a-t-elle été bénéfique ? (2 points) 17. Proposez une recommandation : quelle contrainte faudrait-il chercher à assouplir en priorité ? (0,5 point) Dossier 4 : Production optimale et facteur rare (8 points) L’entreprise Parchemin fabrique du papier à lettre à partir de papier recyclé, de qualité supérieure Luxe et de qualité médiocre Industrie. La production se fait par lots de plusieurs centaines de blocs. Les quantités produites par lot sont plus faibles pour le modèle Luxe. Il faut 20 kg de papier recyclé et 15 minutes de temps d’impression pour un lot de papier à lettre Luxe et 80 kg de papier recyclé et 30 minutes d’impression pour un lot de papier à lettre Industrie. La marge sur coût variable est de 40 € par lot pour le modèle Luxe et de 100 € par lot pour le modèle Industrie. La production est limitée à 250 lots par mois de Luxe et 160 lots Industrie car le marché ne peut pas absorber davantage de produits.

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18. Si l’entreprise limite sa production à 350 lots de papier à lettre (sans aucune autre contrainte de production), quel sera le programme de production optimum ? Calculez la marge correspondante. (2 points) 19. Si le fournisseur limite l’approvisionnement en papier recyclé à 15 000 kg par mois (indépendamment de toute autre contrainte), quel sera le programme de production optimum ? Quelle sera la marge ? (2 points) 20. Si l’atelier d’impression a son fonctionnement limité à 115 heures par mois (indépendamment de toute autre contrainte), quel sera le programme de production optimum ? Quelle sera la marge ? (2 points) 21. Si toutes les contraintes jouent simultanément, quel problème faut-il résoudre ? Posez le problème sous sa forme canonique (sans le résoudre). (2 points)

Annexe 1 Ventes annuelles de papier en tonnes Tableau 1 : Ventes annuelles en tonnes de papier Années Rang années Ventes en tonnes de papier

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201211TDPA0313

N–5 1 330 000

N–4 2 370 000

N–3 3 390 000

N–2 4 425 000

N–1 5 485 000

N 6 520 000

171

Contrôle de gestion • Devoir 4

Représentation graphique de l’évolution des ventes de papier Ventes en tonnes de papier 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0

1

2

3

4

5

Année (rang)

6

Régression linéaire Équation y = 38000x + 287000 R2

Régression exponentielle

Régression puissance

Régression logarithmique

y = 302167e0,0906x

y = 316671x0,2465

y = 101620Ln(x) + 308569

0,989

0,918

0,8805

0,9814

Annexe 2 Prévisions des ventes de papier Tableau 1 : Coefficients saisonniers mensuels Mois Coef.

1 0,8

2 0,7

3 1,2

4 1,1

5 1

6 1

7 0,9

8 0,8

9  ?

10 1,2

11 1

10 57 000

11 47 500

12 1,3

Tableau 2 : Prévision des ventes mensuelles pour N+1 Mois Ventes

1 38 000

2 A

3 B

4 C

5 47 500

6 47 500

7 42 750

8 38 000

9 D

12 61 750

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Tableau 2 : Ajustement mathématique de la série chronologique des ventes de papier

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172

UE 121 • Contrôle de gestion

Annexe 3 Évolution de la production de Copy et Laser Tableau 1 : Évolution comparée de la production de papier Copy et Laser Années

Rang

1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014 2017

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Parc d’imprimantes laser en quantités 2500 4500 5500 7200 7300 7900 8000 8500 9000 10000

Production en tonnes papier Laser 500 1100 1600 3300 4200 5000 6000 9000 13500 16000

Production en tonnes papier Copy 500 1000 1300 1600 1800 1950 2050 2000 1900 1700

Représentation graphique 180 000 160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 Document de travail réservé aux élèves de l’Intec – Toute reproduction sans autorisation est interdite

0

1993

1996

Parc imprimantes

1999

2002

2005

Productin papier LASER

2008

2011

2014

2017

Productin papier COPY

Tableau 2 : Coefficients de corrélation Corrélation entre les variables Parc imprimantes laser et papier Laser Parc imprimantes laser et papier Copy Année et papier Laser Année et papier Copy

201211TDPA0313

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1990

Coefficient de corrélation 0,8497 0,9021 0,9469 0,8055

173

Contrôle de gestion • Devoir 4

Annexe 4 Évolution des ventes de papier Copy 2 500 2 000 1 500 y = 133,94x + 843,33 R2 = 0,6489

1 000 500

20 17

20 14

20 11

20 08

20 05

20 02

19 99

19 96

19 93

19 90

0

3 000 2 500 2 000 1 500 y = 795,87e0,112x R2 = 0,5927

1 000 500

17 20

14 20

11 20

08 20

05 20

02 20

99 19

96 19

93 19

19

90

0

2 500 2 000

y = 641,55Ln(x) + 610,98 R2 = 0,8726

1 000 500

17 20

14 20

11 20

08 20

05 20

02 20

99 19

96 19

93 19

19

90

0

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1 500

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174

UE 121 • Contrôle de gestion

Annexe 5 pRocessus de pRoduction quotidien des cARtes tableau 1 : description des processus Étapes du processus

Description / contrainte

Transformation de la pâte à papier

Confection des cartes

Prestige

Basic

La pâte à papier est transformée dans des Une seule carte sortie de cette étape contient 50 % machines spéciales qui traitent au de plus de pâte à papier maximum 200 kg. Il y a systématiquement 4 % de perte entre transformée qu’une carte Basic. la pâte initiale et la pâte transformée. Cette étape nécessite une main-d’œuvre très spécifique. L’entreprise dispose de 2 Une seule carte nécessite salariés compétents qui travaillent 5 heures 7,5 secondes de MOD. par jour chacun dans cette étape.

Une seule carte sortie de cette étape nécessite 16g de pâte à papier transformée. En une heure, un salarié peut confectionner 1 800 cartes.

tableau 2 : données relatives à la commercialisation quotidienne des cartes Types de cartes Contraintes de marché Marge sur coût variable unitaire

Prestige 4 000 cartes 1 €

Basic 13 000 cartes 0,5 €

Annexe 6 RepRésentAtion gRAphique Le graphique ci-après est fourni volontairement avec une légende incomplète. F (axe) 20 000 D

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18 000

14 000 C

12 000 10 000 8 000 6 000 A

4 000 2 000 0

0

2 000 y = – 1,5x + 12 000

4 000

6 000

y = – 3,75x + 18 000

8 000

10 000

E (axe)

Marché

Coordonnées du point d’intersection entre A et B : (2 667 ; 8 000) Coordonnées du point d’intersection entre A et D : (? ; 6 000) Coordonnées du point d’intersection entre B et D : (? ; 3 000) Coordonnées du point d’intersection entre B et C : (1 333 ; ?)

201211TDPA0313

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B

16 000

175

UE 121 • Contrôle de gestion

Devoir 5 À envoyer à la correction

Auteur : Hélène KREMER  Remarques préliminaires Le devoir est noté sur 40 points. Après correction, la note sera ramenée à 20 points.

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Exercice : Cas Lagon Le Domaine du Lagon est un complexe hôtelier spécialisé dans l’accueil de séminaires de formation pour cadres supérieurs, situé dans une île des Antilles françaises, appartenant au groupe international Dolphin Hotels and Resorts Limited (DHRL). Le groupe exploite de par le monde une quinzaine d’établissements hôteliers de standing. DHRL expérimente avec cet établissement un nouveau concept hôtelier, dédié non pas au tourisme classique, mais à la formation haut de gamme. Ouvert depuis un peu plus d’un an, au tout début de l’année N–1, Le Domaine du Lagon s’adresse à une clientèle d’entreprises européennes et nord-américaines. Il doit permettre au groupe DHRL de tester la formule, dans le but d’ouvrir dans les 10 ans à venir, en cas de succès, 4 ou 5 établissements du même type. À cet effet, une étude d’analyse de la valeur et de « target-costing » a été demandée au cabinet de consulting Strategius dans le but de tirer la leçon d’éventuelles erreurs de conception et d’affiner le concept. Le Domaine du Lagon a été construit au bord de l’océan dans un cadre privilégié, sous la forme d’un ensemble de bungalows se fondant dans la végétation tropicale. En plus des équipements hôteliers classiques (chambres, bars et restaurants), il comporte des salles de séminaires et un business center où il est possible pour les clients de continuer leur activité professionnelle (connexion Internet, réception et envoi de fax, impression de rapports, de projets de contrats, etc.). Il comporte également des équipements dédiés au sport et à la détente : salle de fitness et de musculation, terrains de tennis, piscines et spas, et surtout un superbe golf de 18 trous. Tout a été conçu pour que les clients puissent à la fois travailler efficacement et profiter pleinement de leur séjour. La communication commerciale privilégie Internet : un grand soin a été accordé au site de présentation du domaine. L’originalité de la formule est de proposer à la clientèle une formule « tout compris », pour un prix de 200  euros hors-taxes par personne et par jour, sur le mode de certains clubs de vacances (incluant même l’open bar). Une seule prestation complémentaire fait l’objet d’une facturation supplémentaire éventuelle : la location de voiture sans chauffeur, pour les stagiaires désireux de s’échapper pendant quelques heures de l’ambiance studieuse du campus pour visiter l’île. Un partenariat a été conclu avec un loueur local qui rétrocède à l’hôtel une commission sur le prix de la location. Une affichette sur le comptoir d’accueil informe les clients à leur arrivée de cette possibilité. Vous disposez en annexe d’un certain nombre d’informations : • Informations sur l’activité de l’année N–1. • Informations sur l’activité de l’année N et les prévisions pour N+1. • Répartition du coût total de l’investissement et des amortissements. • Analyse des charges annuelles d’exploitation (N–1). • Décomposition du coût unitaire rationnel par journée facturable. • Statistiques de la fréquentation des équipements. • Résultats d’une enquête de satisfaction. • Rapport du cabinet Strategius (extraits). • Table de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite.

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Contrôle de gestion • Devoir 5

TRAVAIL À FAIRE 1. (5 points) a) À partir des données concernant l’exploitation de N–1 (annexe 1), calculez le montant de la marge sur coûts variables et le taux de marge sur coûts variables par rapport au chiffre d’affaires hors taxes. b) Calculez la recette moyenne par nuit et par client en distinguant (1) la recette moyenne par jour sur les séjours et (2) la recette moyenne par jour et par client sur les locations de voitures. c) Calculez le nombre de nuitées vendues en N–1, et le taux d’occupation de l’établissement. d) Calculez le montant du seuil de rentabilité en euros. Exprimez ce seuil de rentabilité également en taux d’occupation de l’établissement. e) Commentez la situation. Que pensez-vous de l’optimisme de la direction (dont il est fait état en annexe 2) ? 2. (6 points) a) Calculez le coefficient et le coût de la sous-activité pour l’année N–1. b) Calculez le coût variable moyen d’un séjour par nuitée, et le coût fixe rationnel moyen d’un séjour par nuit en N–1. c) Calculez les résultats analytiques réalisés sur l’activité principale et l’activité accessoire (location de voitures). d) Retrouvez à partir de ces éléments le résultat de l’année N–1 de la comptabilité financière. e) Faites un rapide commentaire sur la structure des coûts, le lien entre cette structure et l’impact des écarts d’activité sur le résultat, et les conséquences de cette structure sur le risque d’exploitation. 3. Commentez et expliquez ce que veut dire le directeur lorsqu’il dit que le domaine est structurellement bénéficiaire en N–1, et pourquoi il pense que l’année N sera l’année des premiers bénéfices. (1 point)

4.. En analysant l’activité location comme un « service joint » (sur le modèle des produits joints du PCG), proposez trois différents modes de traitement comptables alternatifs pour mesurer la rentabilité de cette activité (aucun calcul n’est demandé) et leurs conséquences. Ces différentes modalités auront-elles un impact sur le résultat financier ? (3 points) 5. (3 points) a) D’après l’annexe 2, et compte tenu de l’hypothèse d’une croissance de la fréquentation de 10 % en N par rapport à N–1 (que l’on considère comme assurée par simplification), déterminez les paramètres de loi suivie par le nombre de locations annuelle en N. b) En déduire la probabilité de se situer effectivement dans la fourchette prévue par le responsable pour l’activité « location de voitures ». c) Commentez les résultats et dites quels sont les enseignements que peut en tirer la direction sur le plan de sa politique de communication concernant son offre de prestation. 6. (2 points) a) Admettons (pour cette seule et unique question) qu’en réalité, en N, le nombre de nuitées s’établisse effectivement à 48 180, mais que le nombre de locations s’établisse à 3 900. Que pensez-vous de ces performances ? b) Pensez-vous que la loi des ventes proposée dans l’annexe 2 soit fiable ? En décembre N, une étude de satisfaction est menée auprès de la clientèle. Le directeur s’est fixé un taux de satisfaction minimum de 90 %. 100 clients (on considèrera qu’ils ont été tirés aléatoirement sur l’ensemble de la clientèle) ont répondu à un questionnaire. Le pourcentage de clients satisfaits dans cet échantillon est de 92 %. Le directeur est très satisfait.

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Jusque là, les coûts spécifiques à l’activité location de voitures ont été négligés. Le comptable a considéré que ces coûts étaient difficilement identifiables.

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UE 121 • Contrôle de gestion

7. Pensez-vous que le directeur ait raison d’être satisfait avec moins de 5 % de chances de se tromper ? Pour répondre à cette question, on construira un test d’hypothèses en choisissant comme hypothèse H0 : le taux de satisfaction est en réalité inférieur ou égal à 90 %. (4 points) 8. (3 points) a) En comparant le taux d’occupation de N–1, le taux d’occupation du seuil de rentabilité, et le taux d’occupation prévu en N, peut-on, sans faire de calcul, prévoir quel sera le résultat prévisionnel pour N ? b) Vérifiez la valeur de ce résultat prévisionnel de deux façons différentes : – par la comptabilité financière (différences entre produits et charges) ; – par la comptabilité de gestion (somme algébrique des résultats analytiques et du coût de la sousactivité). (3 points) 9. Qu’est-ce que le target-costing (méthode des coûts cibles) ? Peut-on considérer cette approche comme une méthode de comptabilité de gestion ? (1 point) 10. Un coût cible global de 180 euros par journée a été retenu par DHRL. À partir de l’annexe 8, calculez le coût cible de la composante « business center » et de la composante « golf » du coût de revient unitaire d’une journée. (3 points) 11. Analysez l’écart entre le coût cible et le coût réalisé (en vous aidant des annexes 5 et 8). Proposez des améliorations. (4 points) 12. Analysez la situation paradoxale du golf. Pensez-vous qu’il faille maintenir l’existence d’un golf dans les futures unités que le groupe envisage d’ouvrir dans les prochaines années ? (3 points) 13. Dans le cadre de la procédure budgétaire, quelle place accorde-t-on habituellement au budget des ventes ? La procédure budgétaire s’oppose-t-elle à l’approche du target-costing ? (2 points)

Annexe 1 Informations sur l’activité de l’année N–1 Document de travail réservé aux élèves de l’Intec – Toute reproduction sans autorisation est interdite

Compte de résultat de l’année N–1 (très simplifié) : Débit Salaires et charges sociales Dotations aux amortissements Autres charges fixes diverses Charges variables Total

Crédit Séjours Locations de voiture Résultat (perte) Total

8 760 000 43 800 220 095 9 023 895

Autres informations Le Domaine du Lagon peut accueillir au quotidien 200 clients, ce qui fait, sur une année de 365 jours, un potentiel théorique de 73 000 journées facturables. En ce qui concerne les locations de voiture, activité qui est en vérité très marginale en termes de chiffre d’affaires, une loi statistique semble se vérifier : en moyenne, le séjour d’un client est de 5 jours dont 4 jours de séminaires et 1 jour de liberté. Le quart des clients profitent de ce loisir pour louer une voiture. Le prix moyen journalier de location est de 80 euros, et la commission rétrocédée par le loueur est de 25 % soit 20 euros.

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2 312 000 1 300 000 1 009 995 4 401 900 9 023 895

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Contrôle de gestion • Devoir 5

Annexe 2 Informations sur l’activité de l’année N en cours et les prévisions pour N+1 Activité séjours On estime qu’un taux moyen annuel de remplissage de 70 % peut être considéré comme normal (au sens notamment de l’imputation rationnelle des charges fixes) compte tenu de certains phénomènes de saisonnalité. En N–1, année d’ouverture, le groupe anticipait une fréquentation de 50 %, avec une montée en puissance sur 3 ou 4 ans. En fait, dès la première année d’exploitation le taux d’activité a été supérieur aux prévisions, et la direction de l’établissement est particulièrement optimiste. Pour l’année N en cours, compte tenu des réservations pour les premiers mois, on anticipe une hausse de la fréquentation de 10 % par rapport à N–1. Pour N+1, on s’attend à une hausse (par rapport à N) qui pourrait se situer aux alentours de 8 %, mais ce genre de prévision est évidemment très aléatoire. Le directeur est très satisfait de cette situation et il pense que « l’activité du domaine est structurellement bénéficiaire en N–1. L’année N sera l’année des bénéfices ». Activité locations En ce qui concerne les locations de voitures sans chauffeur, en moyenne le nombre de voitures louées est égal à 5 % des nuitées. Une analyse statistique plus précise, à partir de l’historique des prestations mensuelles sur la première année d’exploitation, montre que ce pourcentage est une variable aléatoire se comportant d’une façon gaussienne et caractérisée par une espérance mathématique de 5 % (ce qui correspond bien à la constatation empirique de la moyenne) et un écart-type de 1 %. Pour l’année N en cours, les responsables du Domaine ont établi des prévisions budgétaires dans une fourchette comprise entre 2 300 et 2 500 locations.

La construction du complexe hôtelier du Lagon a nécessité un investissement total de 13 millions d’euros. Par simplification, les différents éléments sont amortis sur une durée uniforme de 10 années. En considérant comme activité normale un taux d’occupation de 70 %, on peut calculer un coût fixe unitaire rationnel d’amortissement par journée facturable en divisant l’amortissement annuel par  : 365 × 200 × 0,7 = 51 100. Éléments Bâtiments d’hébergement Restaurants et bars Salles de séminaire Business center Salles fitness et musculation Cours de tennis Piscines et spas Terrain de golf Total (1) : en divisant par 51 100.

Investissement 4 900 000 2 000 000 1 900 000 200 000 800 000 1 000 000 1 000 000 1 200 000 13 000 000

Amortissement annuel 490 000 200 000 190 000 20 000 80 000 100 000 100 000 120 000 1 300 000

Amortissement Unitaire (1) 9,589 3,914 3,718 0,391 1,566 1,957 1,957 2,348 25,440

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Annexe 3 Investissements et amortissements

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UE 121 • Contrôle de gestion

Annexe 4 Charges annuelles d’exploitation pour N–1 Les charges variables ont été de 4 401 900 euros. Elles concernent l’hébergement (blanchiment, nettoyage des chambres, etc.), la restauration (matières premières alimentaires, boissons, etc.) et les séminaires (reprographie de documents, fournitures, etc.). Elles sont supposées, par simplification, proportionnelles aux journées facturées (43 800 en N–1). Leur analyse donne le tableau suivant : Charges variables

Charges totales 1 051 200 2 452 800 897 900 4 401 900

Hébergement Restaurants et bars Tenue des séminaires Total

Charges par journée facturée 24 56 20,5 100,5

Les dotations aux amortissements sont considérées comme des charges fixes, tout comme les salaires et les autres charges diverses. Pour ces deux dernières catégories, on dispose de la répartition analytique du montant annuel, et du coût unitaire rationnel par journée facturable calculé sur la base du taux normal de fréquentation de 70 % : Activités

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Hébergement Restauration Tenue des séminaires Business center Fitness Tennis Piscines et spas Golf Total

Autres charges fixes diverses Pour l’année Par journée 210 000 4,110 159 850 3,128 100 000 1,957 50 000 0,978 40 000 0,783 80 000 1,566 120 000 2,348 250 145 4,895 1 009 995 19,765

Annexe 5 Décomposition du coût unitaire rationnel par journée facturable Activités Hébergement Restauration Tenue des séminaires Business center Fitness Tennis Piscines et spas Golf Total

201211TDPA0313

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Salaires et charges sociales Pour l’année Par journée 792 000 15,499 520 000 10,176 145 000 2,838 143 000 2,798 144 000 2,818 108 000 2,114 180 000 3,523 280 000 5,479 2 312 000 45,245

Amortissement 9,589 3,914 3,718 0,391 1,566 1,957 1,957 2,348 25,440

Salaires 15,499 10,176 2,838 2,798 2,818 2,114 3,523 5,479 45,245

Autres charges fixes 4,110 3,128 1,957 0,978 0,783 1,566 2,348 4,895 19,765

Charges variables 24 56 20,5

100,5

Total 53,198 73,218 29,013 4,167 5,167 5,637 7,828 12,722 190,950

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Contrôle de gestion • Devoir 5

Annexe 6 Statistiques pour l’année N–1 de la fréquentation des équipements Les statistiques ont été établies sur la fréquentation des équipements sportifs et de détente. Prestations Fitness Tennis Piscines et spas Golf

Pourcentage de fréquentation par les clients 31 % 18 % 76 % 6 %

Annexe 7 Résultats d’une enquête de satisfaction L’enquête a été menée auprès de la clientèle qui a fréquenté les équipements sportifs et de détente. Prestations Fitness Tennis Piscine et spas Golf

Très insatisfait 0 % 0 % 8 % 10 %

Insatisfait 5 % 4 % 32 % 53 %

Satisfait 65 % 36 % 44 % 23 %

Très satisfait 30 % 60 % 16 % 14 %

À ceux qui répondaient « Très insatisfait » ou « Insatisfait », il a été demandé pourquoi. Le tableau ci-dessous synthétise les réponses. Piscines et spas Golf

Dimension trop petite, absence de hammam, plusieurs bassins à prévoir. Parcours trop long, distance trop élevée à parcourir.

Il est possible d’identifier quatre fonctionnalités reconnues par les clients du complexe hôtelier du Lagon comme étant créatrices de valeur : • Une fonctionnalité liée à la qualité des services hôteliers proprement dits. Les clients sont des cadres ou des dirigeants habitués à un certain standing quand ils sont en déplacement, tout en appréciant une certaine sobriété. Par exemple, ils sont là avant tout pour travailler, pas pour abuser de buffets pantagruéliques. • Une fonctionnalité liée à la qualité des conditions de travail en séminaire. Les clients sont très attachés à ce que ces quelques jours soient utilisés de la manière la plus efficace possible. Ils sont notamment très sensibles au bon fonctionnement des moyens technologiques employés (projections informatisées par exemple). • Une fonctionnalité liée à la qualité des équipements de sport et de loisirs (piscine, tennis, etc.) Ils veulent joindre l’utile à l’agréable, et profiter pleinement du temps laissé libre entre les séances de travail. • Une fonctionnalité liée à la qualité de la gratification sociale attachée au fait de séjourner dans un cadre prestigieux géré par un groupe hôtelier à forte notoriété internationale. Une enquête par questionnaire proposant des questions évaluées sur une échelle de Likert a permis de mesurer l’importance relative accordée par les clients à ces quatre fonctionnalités : • hôtellerie : 40 % ; • travail : 30 % ; • loisirs : 20 % ; • gratification : 10 %.

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Annexe 8 Extraits du rapport du cabinet Strategius

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UE 121 • Contrôle de gestion

Cette enquête a également permis d’évaluer la contribution des différentes prestations proposées par le Domaine à la satisfaction des attentes liées aux différentes fonctionnalités. Par exemple, pour la composante « hôtellerie », le confort des bungalows entre pour 60 % et la qualité des repas pour 40 %. On peut dresser la matrice fonctionnalités-prestations suivante : Hébergement Restauration Tenue des séminaires Business center Fitness Tennis Piscines et spas Golf Total

Hôtellerie 60 % 40 %

Travail 40 %

Loisirs 10 %

Gratification 50 % 30 %

20 % 20 % 40 % 10 % 100 %

20 % 100 %

40 % 20 %

100 %

100 %

Pour un coût cible unitaire de 180 euros, la décomposition par prestation donne : 73,8 37,8 21,6 (donnée non communiquée) 7,2 7,2 14,4 (donnée non communiquée)

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Hébergement Restauration Tenue des séminaires Business center Fitness Tennis Piscines et spas Golf

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201211TDPA0313

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Contrôle de gestion • Devoir 5

Annexe 9 Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0,1) Table de la loi normale centrée réduite N(0, 1) : P(T £ t) = π(t) t

Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : P(T ≤ t) = π(t) =

Ú f( x ) dx

t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

Table pour les grandes valeurs de t t π(t)

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,8 4,0 4,5 0,99865 0,99904 0,99931 0,99952 0,99966 0,99976 0,99984 0,99992 0,99997 0,99999

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