09 Diapos Aplicaciones De La Ecuación De Bernoulli (1)

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI APPLICATIONS OF THE BERNOULLI'S EQUATION

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LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de dinámica de fluidos utilizando el teorema de Torricelli, el efecto Venturi y el efecto Magnus, como aplicación de la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli en forma correcta.

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SABERES PREVIOS (PRE REQUISITOS)  Fluidos ideales.  Ecuación de continuidad.  Ecuación de Bernoulli.

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CONTENIDO DE LA SESIÓN  Teorema de Torricelli  Efecto Venturi  Efecto Magnus

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Efecto Magnus | Una pelota que cambia su

trayectoria «sola»

¿Qué efecto produce que la pelota ingrese curvada al arco? ¿Cómo se produce la fuerza que curva la pelota?

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1. Teorema de Torricelli: "La velocidad de salida de un líquido por un orificio de una vasija abierta, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio" 0

A1 >> A2

v1  0 y1 = h

y2 = 0

p1  12  v12   gy1  p2  12  v22   gy2

po   gh  po  12  v22

v2 NR

Proceso cuasi estático

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0

 gh  12  v22 v2  2 g h 5

COMPARACIÓN DEL TEOREMA DE TORRICELLI ENTRE VASIJAS ABIERTA Y CERRADA: VASIJA CERRADA

VASIJA ABIERTA

A1

v1

pa

A1

p0 h

v1 h A2 v2  2 g h DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

pa

v2 pa

v2

A2

v2  2

po  pa



 2g h 6

2. El efecto Venturi: El efecto Venturi (también conocido tubo de Venturi) radica en que la corriente de un fluido dentro de un conducto cerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la velocidad cuando pasa por una zona de sección menor. Si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una “aspiración” del fluido contenido en este segundo conducto. Una aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería

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Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

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VELOCIDADES EN LAS SECCIONES DEL TUBO DE VENTURI: PARA UN GAS O LÍQUIDOS INMISCIBLES: Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería:

h

L

p1 – p2 = L g h



De la ecuación de continuidad sabemos que:

h1

h2

v1 S1 = v2 S2

NR

Es decir que, en el tramo de la tubería que tiene menor sección la velocidad es mayor que en el tramo que tiene mayor sección. En la ecuación de Bernoulli:

p1  12  v12   gh1  p2  12  v22   gh2 Como: h1=h2 :

p1  12  v  p2  12  v 2 1

2 2

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Como S1 > S2, se concluye que v1 < v2, por ende p1 > p2 Entonces, el líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho 8

Podemos obtener las velocidades v1 y v2 en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión en el manómetro, p1  p2   L g h . Así: De la ecuación de Bernoulli:

p1  p2  12  v22  12  v12 Y como:

 S1  v2  v1    S2  2

1 2  S1  1 2 p1  p2   v1     v1 2  S2  2 2   1 2  S1  p1  p2   v1    1 2  S 2   1 2  S12  S 22   p1  p2   v1  2 2  S2 

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2    2 p  p S 1 2  2 2 2 v12    S1  S 2

  

Luego, las velocidades de flujo en cada sección son:

v1  S 2

S1 v2  S2 v2  S1

2  L g h   S12  S 22



 S2 



2  L g h   S12  S 22





  

2  L g h   S12  S 22



 9

PARA UN LÍQUIDO:

De las ecuaciones para la velocidad en las secciones del tubo de Venturi para un gas tenemos:

v1  S 2

2  L g h   S12  S 22

v2  S1

2  L g h   S12  S 22

 

 

En el caso del líquido, se puede apreciar que en el tubo de Venturi y en los manómetros es el mismo fluido, entonces:

  L DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Luego:

v1  S 2

2gh S12  S 22

v2  S1

2gh S12  S 22

Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor. Como v1 < v2 se concluye que p1 > p2, entonces el líquido asciende en el manómetro izquierdo y desciende en el manómetro derecho. 10

APLICACIONES DEL TUBO DE VENTURI: EL TUBO DE PITOT

EL TUBO DE PRANDTL

Es una sonda con una abertura en el extremo situado contra corriente. En dicha abertura se forma un punto de remanso donde la presión es p2 y v2 = 0. Aplicando la Ec. de Bernoulli entre este punto y un punto distante donde la presión es p y la velocidad v se tiene que la presión total es:

(También se le llama tubo de Pitot) combina los dos efectos anteriores ⇒ compara la presión del fluido en los puntos 1 y 2 (punto de remanso) Se usa en aviones para medir la velocidad del avión respecto del aire; por tanto es un indicador de la velocidad del aire; para lo cual mide la presión dinámica:

p2  p  12  v22 v

 f gh  12  v22

2f g h



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3. El efecto Magnus: • El efecto Magnus, es un fenómeno por el cual la rotación de un objeto en un fluido afecta su trayectoria. • Es el resultado de varios fenómenos, incluido el principio de Bernoulli y el proceso de formación de la capa límite en el fluido situado alrededor de los objetos en movimiento.

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Motor Flettner:

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RESUMEN: Teorema de Torricelli en una vasija abierta Teorema de Torricelli en una vasija cerrada

v2  2 g h v2  2

po  pa



 2g h

Velocidad en la sección ancha del tubo de Venturi (Gas o líquidos inmiscibles)

v1  S 2

2  L g h   S12  S 22

Velocidad en la sección estrecha del tubo de Venturi (Gas o líquidos inmiscibles)

v2  S1

2  L g h   S12  S 22





Velocidad en la sección ancha del tubo de Venturi (Líquido)

v1  S 2

2gh S12  S 22

Velocidad en la sección estrecha del tubo de Venturi (Líquido)

v2  S1

2gh S12  S 22

Tubo de Pitot Tubo de Prandtl DEPARTAMENTO DE CIENCIAS





p2  p  12  v22

 f gh  12  v22 13

EJEMPLOS

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1. Calcule la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 4,9 cm de la superficie libre del líquido. v = v2 =? h1 = h = 4,9 cm = 4,910–2 m Realizamos un gráfico ilustrativo de la situación indicada: Po

De la ecuación de Bernoulli:

p1  12  v12   gh 1 p2  12  v22   gh2

po   gh 1 po  12  v22

 gh 1 12  v22

1

h 2

Po

gh  12 v 2

v Asumiendo como nivel de referencia la línea horizontal que pasa por el agujero:

v  2gh v

h2 = 0 v  0,98

Como el área de la superficie libre del líquido es mucho más grande que el área de la sección recta del orificio v1  0 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS



2 9,8 4,9  10 2



m s

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2. En el tubo de Venturi mostrado los radios de las secciones ancha y delgada son 1 cm y 0,5 cm respectivamente, si en él circula aire (r = 1,3 kg/m3) y en el manómetro hay mercurio (rHg = 13,6 g/cm3) con un desnivel entre las superficies libres de ambos brazos del manómetro de 1,65 cm. Determine la velocidad del aire en cada sección del tubo. Para la sección de radio r1:

Ahora, calculemos la velocidad del aire en cada sección: Para la sección de radio r1:



S1   1×10



-2 2

v1  S 2

S1   10- 4 m 2

2  L g h   S12  S 22





v1 

 4

10

4

v1  15,02 m / s

S2   r



2 13600  9,8 1,65 10 2  1,3   10 4 





2



2   4    10   4  

2 2

Para la sección de radio r2:



S 2   0,5 ×10  S 2  10 - 4 m 2 4



-2 2

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Para la sección de radio r2: v2  S1

2  L g h   S12  S 22



v2  60,07 m / s



v2   10

4



2 13600  9,8 1,65 10 2  1,3   10 4 





2



    10 4  4 

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2

  

ME PONGO A PRUEBA 3. Una cubeta cilíndrica, abierta por arriba tiene 25 cm de altura y 10 cm de diámetro. Se hace un agujero circular de 1,5 cm2 de área en el fondo de la cubeta. Se está vertiendo agua a la cubeta mediante un tubo que está arriba a razón de 2,4×10–4 m3/s. ¿A qué altura subirá el agua en la cubeta?

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4. El radio de un cilindro circular recto 3,06 m y su altura 6,12 m. El cilindro que se llena con agua tiene en su base un pequeño orificio circular de 25,5 mm de diámetro. ¿Cuánto tardará en salir toda el agua?

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CONCLUSIONES  El teorema de Torricelli es una aplicación directa de la ecuación de Bernoulli junto con la ecuación de continuidad.  Se ha construido vehículos marítimos legítimos usando el efecto Magnus.  En un tubo de Venturi, a medida que se acorta la sección, la velocidad aumenta y la presión disminuye. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Francis W. Sears, Hugh D. Young, Roger A. Freedman, & Mark W. Zemansky. (2009). Física Universitaria (12va ed., Vol. 1). México, México: Pearson.  Serway, R. A., & John W. Jewett, Jr. (2008). Física para ciencias e ingeniería (7ma ed., Vol. 1). México DF, México: Cengage Learning.  Tipler, P. A. (2012). Física para la Ciencia y la Tecnología (5ta ed., Vol. 1). Barcelona, España: Reverté.

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