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Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

1. CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA 1.1. Definições 1.1.1. Corrente Eléctrica É uma passagem ordenada de partículas carregadas electricamente (electrões livres nos metais e iões nos líquidos). A passagem da corrente é causada pelo campo eléctrico estabelecido pela fonte de energia num determinado circuito eléctrico. A intensidade de corrente eléctrica em um meio condutor (sólido, líquido ou gasoso) é a quantidade de carga eléctrica que atravessa qualquer superfície desse condutor colocado normalmente à direcção da carga por unidade de tempo.

→ Corrente contínua → Corrente variável 1.1.2. Circuito Eléctrico É um conjunto de elementos ligados electricamente entre si. Um elemento eléctrico é um dispositivo no interior do qual há uma conversão de uma forma de energia em outra forma de energia, sendo uma delas energia eléctrica. A representação gráfica de um circuito eléctrico é denominada esquema do circuito eléctrico.

1.1.3. Elemento Passivo, Receptor ou Carga Se no interior do elemento eléctrico há conversão de energia eléctrica noutra forma de energia (em calor numa resistência, em energia mecânica num motor eléctrico, etc.) dizemos que se trata de um elemento passivo, receptor ou carga.

1.1.4.

Elemento Activo ou Fonte de Energia

Quando no interior do elemento há conversão de outra forma de energia (Química, mecânica, luminosa, etc.) em energia eléctrica. Qualquer fonte de energia eléctrica é caraterizada pela grandeza e sentido da força electromotriz (f.e.m) que gera e pela sua resistência interna.

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1.1.5. Corrente Contínua É uma corrente eléctrica unidirecional e invariável no tempo.

1.1.6.

Tensão Eléctrica ou Diferença de Potencial

A tensão U entre os terminais de qualquer elemento eléctrico é a razão entre a energia trocada entre o elemento e o seu exterior, W, durante um certo intervalo de tempo e a carga Q que durante esse intervalo de tempo, atravessa a sua secção recta:

A unidade da tensão no Sistema Internacional é o Volt [V]. A relação entre a corrente através duma resistência e a diferença de potencial ou tensão chama-se a sua Característica Volt-Ampere (V/A) ou característica tensão – corrente.

1.1.7.

Efeito de Joule

Num condutor metálico percorrido por uma corrente eléctrica há dissipação de energia eléctrica em calor. É o chamado Efeito de Joule. Joule confirmou que a potência dissipada num condutor (energia eléctrica transformada em calor por unidade de tempo) é proporcional ao quadrado da corrente que percorre esse condutor.

Sendo que a constante de proporcionalidade k depende apenas da geometria do condutor e do material de que é feito.

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1.1.8.

Resistência Eléctrica de Um Condutor

A resistência é uma característica de qualquer corpo, que tem esta designação, pois quantifica a maior ou menor dificuldade com que a corrente eléctrica flui através do corpo. A constante de proporcionalidade que aparece na Lei de Joule é na realidade a resistência eléctrica do condutor em causa, designada por R:

Onde, l - Comprimento do condutor S - Área da secção transversal do condutor - É uma característica do material que constitui o corpo chamada Resistividade ou Resistência Específica. Nos metais a resistividade varia com a temperatura segundo a lei:

Onde, α - é uma constante própria de cada material, designada por Coeficiente de Temperatura; θ - é temperatura em °C. Consequentemente, a resistência eléctrica de um condutor também varia com a temperatura.

1.1.9.

Condutância Eléctrica

A condutância (g) de um é o inverso da sua resistência e a condutividade é o inverso da sua resistividade.

Onde, R – é a resistência eléctrica. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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ɣ – é a condutividade ou condutância específica do material.

ρ

– é a resistividade ou resistência específica do material.

A unidade da condutância no sistema internacional (SI) é o siemens, o inverso do ohm.

1S = 1 Ω -1.

1.1.10. Circuitos Lineares Os elementos resistivos cuja característica V/A é uma recta chamam-se Lineares e os circuitos que contêm unicamente elementos lineares chamam-se circuitos lineares.

Os circuitos lineares possuem somente elementos lineares.

1.1.11. Circuitos Não Lineares Os elementos resistivos para os quais a característica V/A não é uma recta chamam-se Não-Lineares e os circuitos que os contêm chamam-se Circuitos Não-Lineares.

Um circuito Não-Linear possui pelo menos um elemento não-linear.

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1.2. Elementos Eléctricos, Tensão e Corrente 1.2.1. Elemento Passivo (Resistência)

Recebe energia eléctrica e transforma noutra forma de energia (calorífica).

1.2.2. Elemento Activo (Fonte de Energia)

Transforma outra forma de energia em energia eléctrica. A título

de exemplo, uma pilha seca.

1.2.3. Elemento Passivo (Carga)

Recebe energia eléctrica e transforma em outra forma de energia. Por exemplo, uma bateria a carregar.

1.3. Redes de Malhas Simples e Múltiplas – Leis dos Circuitos Eléctricos 1.3.1. Definições Malha - É qualquer percurso fechado de um circuito eléctrico, iniciando e terminando no mesmo ponto. Nodo ou Nó - É um ponto numa rede eléctrica onde três ou mais ramos se encontram. Ramo - É uma parte da malha limitada por dois nós ou uma parte do circuito cujos elementos estão ligados em série.

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Num circuito eléctrico, cada ramo conduz uma corrente diferente. Circuito (1)

três (3) ramos: dois (2) Nós

Circuito (2)

três (3) ramos: um (1) Nó

1.3.2. Lei de George Simon Ohm (1826) Para qualquer condutor metálico, existe uma proporcionalidade constante entre a tensão entre os seus terminais e a corrente que o percorre (Lei de Ohm).

Tensão Num Ramo de Um Circuito Exemplo 1:

Exemplo 2:

→

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Exemplo 3:

O sentido positivo da queda de tensão num ramo de um circuito coincide com o sentido positivo da corrente nas resistências.

Exercício 1: Determinar a tensão Uab nos terminais a e b do ramo representado na figura abaixo. Dados

Resolução:

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1.3.3. As Leis de Kirchhoff Todos os circuitos eléctricos obedecem às duas leis de Kirchhoff. 1.3.3.1. Primeira Lei: Lei das Correntes (ou Lei dos Nós) Tem duas formulações: 1- A soma algébrica das correntes que fluem para a derivação de um circuito é igual a zero. 2- A corrente total que entra em qualquer derivação de um circuito é igual a corrente total que deixa essa derivação.

1º Enunciado/Formulação: 2º Enunciado/Formulação: A Lei das Correntes de Kirchhoff implica que não pode haver acumulação da carga eléctrica em qualquer derivação de um circuito eléctrico. 1.3.3.2. Segunda Lei: Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) Tem duas formulações: 1- O total das quedas de tensão à volta de um circuito fechado (malha) é igual às f.e.m somadas no mesmo sentido à volta desse circuito.

Os termos entram na respectiva soma com sinal (+) se estão no sentido atribuído à circulação em volta do circuito e com sinal (-), se estão no sentido oposto. 2- A soma algébrica das tensões (não quedas de tensão) à volta de qualquer circuito fechado é zero.

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Exemplo 1:

Primeira Lei de Kirchhoff 1ª Formulação

2ª Formulação

Nó a Nó b Segunda Lei de Kirchhoff 1ª Formulação

2ª Formulação Malha I Malha II

1.4. O Circuito Em Série Dois ou mais elementos estão ligados em série quando estão em sequência e não existe nenhuma derivação em pontos intermédios.

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1.4.1. Particularidades de Uma Associação Em Série 1ª A intensidade da corrente é a mesma em todos os elementos (resistências) em série.

2ª A tensão entre os terminais dum ramo contendo resistências em série é igual à soma das tensões entre os terminais das resistências associadas.

3ª A resistência equivalente dum agrupamento em série é a soma das resistências associadas.

No caso geral: A resistência equivalente é sempre maior do que qualquer resistência associada. 4ª No circuito eléctrico em série as tensões nas resistências são proporcionais as resistências.

1.4.2. Divisor de Tensão

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Generalizando para n resistências em série:

1.5. O Circuito Em Paralelo Duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo quando estão sujeitas à mesma tensão.

1.5.1. Particularidades do Circuito Em Paralelo 1ª A tensão aplicada é a mesma em todas as resistências associadas. 2ª A corrente total é a soma das correntes das resistências associadas, de acordo com a 1ª Lei de Kirchhoff.

3ª A condutância equivalente é a soma das condutâncias associadas.

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Para Duas Resistências Em Paralelo:

A resistência equivalente de um agrupamento em paralelo é sempre menor que qualquer uma das resistências associadas. 4ª As correntes nos ramos das resistências ligadas em paralelo são inversamente proporcionais as resistências respectivas.

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1.5.2. Divisor de Corrente

Analogamente,

1.6. Classificação dos Circuitos Eléctricos

ÍNDICE DE CLASSIFICAÇÃO

CLASSIFICAÇÃO

Tipo de corrente

- Circuito de corrente contínua - Circuito de corrente alternada

Característica V/A

- Circuitos lineares - Circuitos não lineares

Presença de fontes

- Circuitos activos - Circuitos passivos

Complexidade

- Circuitos simples - Circuitos complexos

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1.7. Transformação Estrela

– Triângulo Equivalente

Para a Ligação Em Estrela (1ª Lei de Kirchhoff)

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Para a Ligação Em Triângulo

Comparando a equação 1.7.1 e com a equação 1.7.2 obtemos:

De igual modo:

Analogamente:

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1.8. Transformação Triângulo

– Estrela Equivalente

1.9. Circuito Aberto e Curto-Circuito 1.9.1. Circuito Aberto Diz-se que um bípolo esta em circuito aberto (ca) ou em marcha em vazio (mv) quando o seu exterior é uma resistência infinita (ou condutância nula), ou seja, quando a corrente nos seus terminais é nula (I mv = 0).

A tensão de circuito aberto de um bípolo (Uca), ou tensão de marcha em vazio (Umv) pode ser diferente de zero, se existirem fontes de energia no interior do bípolo (bípolo activo), mas a potência eléctrica trocada com o seu exterior em circuito aberto Pca é sempre nula.

1.9.2. Curto-Circuito Diz-se que um bípolo está em curto-circuito (cc) quando o seu exterior é uma resistência nula (condutância infinita), ou seja, quando a tensão entre os seus terminais é nula.

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A corrente de curto-circuito de um bípolo (Icc) pode ser diferente de zero, se existirem fontes no interior do bípolo (bípolo activo), mas a potência eléctrica trocada com o exterior em curto-circuito (Pcc) é sempre nula:

1.10. Representação das Fontes de Energia Uma fonte de energia eléctrica é qualquer dispositivo que transforma energia não eléctrica em energia eléctrica. Uma fonte de energia eléctrica é caracterizada por uma força electromotriz (E) e uma resistência interna Ri (resistência interna da fonte). Dependendo da relação entre a força electromotriz (E) e a resistência interna (Ri), todas as fontes eléctricas podem ser representadas como fontes de tensão ou como fontes de corrente.

1.10.1. Fonte Ideal de Tensão Uma fonte ideal de tensão fornece energia eléctrica ao circuito a tensão constante, qualquer que seja a intensidade da corrente que atravessa a fonte e, portanto, qualquer que seja o circuito a que a fonte está ligada. Para que a tensão permaneça constante, qualquer que seja a corrente I que atravessa a fonte, será necessário que ela tenha uma resistência interna nula (não tenha perdas).

A fonte ideal de tensão é uma fonte ideal de energia para a qual a tensão nos seus terminais é constante e igual à força electromotriz E e a resistência interna é zero.

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1.10.2. Fonte Real de Tensão Uma fonte de energia não pode ter resistência interna nula (pode ser muito pequena, mas nunca nula). Assim uma fonte real de tensão pode ser representada (para o exterior) como uma associação em série de uma fonte ideal de tensão com uma resistência (que representa a sua resistência interna, relacionada com a transformação de energia eléctrica em calor que ocorre no seu interior – energia de perdas). Ri ≠ 0

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Intensidade de curto-circuito ou corrente de curto-circuito

Caracteriza a rigidez da fonte.

e

Se

Se

→ Fonte ideal de tensão

1.10.3. Fonte Ideal de Corrente Uma fonte designa-se por fonte ideal de corrente quando fornece potência eléctrica sempre com corrente constante, qualquer que seja o valor da tensão entre os seus terminais e, portanto, qualquer que seja o circuito a que a fonte está ligada. O símbolo que usaremos neste manual para representar uma fonte ideal de corrente é o representado abaixo, indicando as duas setas o sentido da corrente debitada.

Para que a corrente J que atravessa a fonte permaneça constante, qualquer que seja a tensão U entre os terminais da fonte, será necessário que qualquer variação do valor da resistência equivalente do circuito não afecte o valor da corrente. Como

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Isso só poderá acontecer se a resistência interna da fonte for infinita (a condutância interna for nula): Ri = ∞

ou

Gi = 0

Mas, para que, mesmo com uma resistência interna infinita, possa continuar a circular corrente no circuito, então é preciso que a f.e.m. da fonte também seja infinita. E = ∞

∞ ∞

∞ ∞

Portanto, uma fonte ideal de corrente tem uma resistência interna infinita e uma força electromotriz também infinita, debitando uma corrente que é a razão constante entre dois valores infinitamente grandes. A corrente que atravessa a fonte é sempre constante e igual a J.

Portanto,

J = constante

∞ ∞

Uma fonte ideal de corrente só tem existência teórica. Algumas fontes existentes podem aproximar-se deste conceito de fonte ideal de corrente quando funcionam próximo do curto-circuito, mas já não podem se funcionarem longe da situação de curto-circuito.

1.10.4. Fonte Real de Corrente Uma fonte de energia não pode ter uma resistência interna e uma força electromotriz infinitas (poderão ser valores muito elevados, mas nunca infinitos). Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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A tensão nos terminais de uma fonte real de tensão é dada pela expressão:

Dividindo ambos os membros da equação pela resistência interna Ri, obtém-se:

Onde

Com base na equação:

podemos constituir um circuito que representa uma fonte real de

corrente.

Então, uma fonte real de corrente pode ser representada como uma associação em paralelo de uma fonte ideal de corrente com uma resistência que representa a sua resistência interna Ri. Agora a corrente na carga I já depende da tensão U entre os terminais da fonte de energia. Ou seja, a corrente I já não é constantemente igual a corrente de curto-circuito da fonte e é tanto maior quanto maior for a tensão nos terminais da fonte.

A corrente que atravessa a resistência da carga Rc é a mesma para ambos os circuitos de representação das fontes de energia (circuito em sério e circuito em paralelo). Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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Os circuitos de representação das fontes de energia em série e em paralelo são equivalentes quanto aos parâmetros de saída U, I, ou seja, são equivalentes quanto a energia convertida pela resistência da carga Rc. Mas não são equivalentes quanto à energia dissipada pela resistência interna Ri da fonte de energia.

Portanto, uma fonte de tensão não pode ser substituída por uma fonte de corrente e vice-versa.

1.11. Conexão de Fontes de Energia 1.11.1. Conexão de Fontes de Energia em Série

Em geral:

Soma algébrica

soma artimética

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Observação: Fontes de corrente ideal não podem ser ligadas em série.

1.11.2. Conexão de Fontes de Tensão em Paralelo

No caso geral:

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Observação: Fontes de tensão ideal não podem ser ligadas em paralelo.

∞

1.11.3. Conexão em Paralelo de Fontes de Tensão e Fontes de Corrente

No caso de não haver f.e.m. em qualquer um dos ramos do circuito, o respectivo termo desaparece no numerador da equação da f.e.m. equivalente, mas a sua condutância aparece no denominador da mesma equação.

1.12. Aparelhos de Medida Os principais aparelhos de medida de grandezas eléctricas possuem dois terminais e ligam-se ao circuito através dos seus dois terminais. As suas designações são as seguintes:

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1.12.1. Amperímetro Serve para medir o valor da intensidade de corrente que passa num determinado elemento (ou ramo) de um circuito eléctrico. A corrente deverá atravessar o aparelho que terá de ser colocado em série com o elemento cuja corrente pretendemos medir.

Introduz erro desprezável A resistência interna de um amperímetro ideal é nula (RA=0).

1.12.2. Voltímetro Serve para medir a tensão num determinado elemento (ou entre dois pontos) de um circuito eléctrico. A tensão deverá estar acessível nos terminais do aparelho, que terá de ser colocado em paralelo com o elemento cuja tensão pretendemos medir.

Introduz erro desprezável

O voltímetro ideal tem uma resistência interna infinita.

1.12.3. Ohmímetro ou Mega ohmímetro Serve para medir o valor da resistência (ou associação de resistências). O princípio de funcionamento baseia-se directa ou indirectamente na Lei de Ohm.

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O Ohmímetro possui uma fonte de energia que faz com que a resistência a medir seja atravessada por uma corrente e apresenta uma tensão entre os seus terminais. O valor da resistência é calculado com base no valor destas duas grandezas. O Ohmímetro só pode ser ligado a uma resistência ou a uma associação de resistências que não contenha qualquer fonte de energia (bipolo passivo).

1.12.4. Multímetro É um aparelho que tem, simultaneamente, as funções de mais do que um dos aparelhos descritos anteriormente, isto é, uma mesma caixa engloba um amperímetro e um voltímetro e, eventualmente, também um ohmímetro.

1.13. Cálculo de Circuitos Simples Calcular um circuito eléctrico significa determinar todas as correntes, em todos os ramos. O método da resistência equivalente é o método mais simples de calcular circuitos eléctricos, mas só é válido para circuitos simples com uma única fonte de energia. Método da Resistência Equivalente Algoritmo de Cálculo 1.

Calcular a resistência equivalente do circuito vista dos terminais da fonte;

2.

Calcular a corrente que passa pela fonte, por aplicação da lei de Ohm;

3.

Aplicando criteriosamente as leis de Kirchhoff e de Ohm, calcular as outras correntes.

1.14. Trocas de Energia nos Circuitos Eléctricos – Equação de Equilíbrio das Potências Com base na lei da conservação de energia, a quantidade de energia fornecida a um circuito eléctrico deve ser igual a quantidade de energia por este consumido.

Potência fornecida ao circuito por fontes de energia. Potência dissipada ou consumida no circuito. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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Soma algébrica Soma aritmética Quando a corrente I tem o mesmo sentido que a força electromotriz E, a fonte fornece energia ao circuito, e a quantidade de energia fornecida entra na equação que rege as trocas de energia com o sinal mais (+).

Quando o sentido da corrente I é contrário ao sentido da força electromotriz E, a fonte absorve energia do circuito (quando uma bateria esta a carregar), figurando o produto EI com sinal menos (–) na equação respectiva.

1.15. Ligação à Terra Num Circuito Eléctrico Uma ligação à terra num circuito, não vai afectar neste a distribuição das correntes. Isto porque não há qualquer derivação por onde a corrente possa circular. O mesmo não se pode dizer quando existem dois ou mais pontos a potenciais diferentes ligados a terra, porque há derivações adicionais através da terra, o que vai alterar todas as distribuições de correntes no circuito. Portanto, podemos ligar um circuito eléctrico num ponto sem alterar a distribuição das correntes e potênciais no mesmo.

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1.16. Os Métodos de Cálculo de Circuitos Complexos 1.16.1. Método das Equações de Kirchhoff Algoritmo de Cálculo 1˚. Determinar o número de nós (N) do circuito dado, número total de ramos (r), número de ramos com fontes de corrente (rc). 2˚. Marcar arbitrariamente o sentido positivo das correntes em todos os ramos. 3˚. Constituir as equações pela 1ª lei de Kirchhoff, sendo o número de equações igual N-1. Se considerarmos todos os nós, as incógnitas repetem-se.

→ 1ª Lei de Kirchhoff 4˚. Determinar o número de equações pela 2ª Lei de Kirchhoff, sendo o número de equações dado por:

→ 2ª Lei de Kirchhoff 5˚. Fixar um sentido positivo de circulação em cada malha, de modo a possibilitar a tradução algébrica da Lei das Malhas de Kirchhoff. Observação a)

Cada malha deve conter no mínimo um ramo o qual nenhuma outra contém, tais malhas chamam-se independentes.

b) Qualquer malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente. 6˚. Resolver o sistema de equações obtido, usando qualquer método. 7˚. Se a corrente num ramo é negativa, significa que na realidade o sentido da corrente neste ramo é oposto ao sentido atribuído inicialmente. 8˚. Verificar os resultados obtidos através da equação de equilíbrio das potências fornecidas e consumidas no circuito.

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Exemplo: Calcular o circuito representado. Dados: J, E2, R1, R2, R3, R4 e R5

Resolução 1) Número de Nós: N= 4 Número total de ramos: r = 6 Número de ramos com fonte de corrente: rc =1 2) Sentido positivo das correntes no circuito.

3)

São 3 equações pela primeira lei de kirchhoff

Cada equação deve ter pelo menos uma incógnita que as outras não têm, por isso não usamos o Nó 4. 4) Número de equação pela 2ª lei de kirchhoff.

Portanto, são duas equações pela 2ª lei. 5) Duas (2) Equações pela 2ª lei duas malhas

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6) Resolver o sistema de equação obtido

Portanto, 5 equações 5 Incógnitas

7) Fazer a prova, através da equação de equilíbrio das potências.

1.16.2. Método de Sobreposição O método de sobreposição baseia-se no teorema de sobreposição. Teorema de Sobreposição A corrente em qualquer ramo de uma rede eléctrica é a soma algébrica das correntes devidas a cada uma das fontes consideradas separadamente, removidas todas as outras fontes, mas deixando no circuito as residências internas respectivas. O teorema de sobreposição é válido para todos os circuitos lineares. Exemplo: Utilizando o Teorema de Sobreposição, calcular o circuito.

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Resolução 1º. Considerando unicamente a fonte J:

2º. Considerando unicamente a fonte E2:

A resistência interna da fonte de corrente é infinita. 3º. A corrente em cada ramo é a soma algébrica das correntes respectivas.

Observação O teorema de sobreposição não pode ser utilizado para determinar as potências desenvolvidas em resistências como soma das potências devidas às correntes individuais, pois que a potência é uma função quadrática da corrente.

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1.16.3. Método das Malhas Independentes Neste método, assinala-se por um símbolo a corrente em cada uma das malhas da rede, consideradas independentes umas das outras. As equações são escritas em função destes símbolos, e é a partir delas que após a resolução do sistema de equações se encontram as correntes em todos os ramos.

Algoritmo de Cálculo 1.

Determinar o número das equações necessárias (número das malhas independentes) ou o número das correntes de malha.

2.

Escolher as malhas independentes e marcar o sentido de correntes de malha.

Observação: a)

Qualquer malha escolhida não deve conter nenhuma fonte de corrente.

b) Para se ter em conta as influências das fontes de corrente sobre a distribuição das potências e correntes no circuito é necessário marcar também as correntes de malha conhecidas, tantas quantas fontes de corrente tiver a rede a calcular, de valor conhecido e igual a J e sentido coincidente com o sentido de J. c)

Uma malha com corrente de malha igual a J deve conter apenas uma fonte de corrente.

3.

Constituir as equações pela 2ª Lei de Kirchhoff para cada malha escolhida.

4.

Resolver o sistema de equações obtido, ou seja, determinar as correntes de malha. Se a corrente de malha for negativa, significa que o sentido da corrente de malha é contrário ao sentido inicialmente atribuído.

5.

Determinar as correntes nos ramos. Nos ramos independentes a corrente é igual a corrente de malha.

Ramo Independente – Ramo pelo qual passa apenas uma corrente de malha.

Ramo Comum

– Ramo pelo qual passa mais de uma corrente de malha.

Num ramo comum a corrente calcula-se como soma algébrica das correntes de malha. 6.

Verificar os resultados obtidos através da equação de equilíbrio das potências.

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Exemplo 1: Determinar as correntes no circuito representado na figura pelo método das malhas independentes. Dados:

E3=10 V R1=4 Ω

E1=10 V

R2=1 Ω

E2=8 V R2’ =2 Ω

R3=10 Ω R4=5 Ω

R2’=5 Ω

R5=2 Ω

Resolução 1) Número das equações (malhas independentes ou correntes de malhas).

;

;

Vamos substituir três (3) equações 2) Escolher três (3) malhas independentes

3) Constituir as equações:

4) Resolver o sistema de equações obtido.

5) Correntes nos ramos

6) Verificação dos resultados obtidos

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→ O que significa que os resultados obtidos estão correctos.

1.16.4. Método de Análise Nodal A corrente em qualquer ramo duma rede pode ser calculada como se se tratasse de um ramo isolado contendo uma f.e.m. Basta para isso conhecer a ddp entre os seus extremos, ou, o que é o mesmo entre os nós que limitam o ramo em questão. 1° Neste método as incógnitas são os potenciais. Temos que determinar os potenciais em cada nó.

2° Um dos nós marcamos ligando à terra, o que não vai alterar a distribuição das correntes. O nó que escolhemos para ligar à terra, fica evidentemente ao potencial ZERO. Ver o parágrafo 1.15. Seja Pela 1ᵃ lei de Kirchhoff:

Nó 1:

(1)

Nó 2:

(2)

Vamos escrever as equações das correntes nos ramos em função dos potenciais.

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Substituindo as correntes na equação (1).

Substituindo as correntes na equação (2)

Algoritmo de Cálculo 1° Ligação de um nó à terra que fica evidentemente ao potencial ZERO. 2° Determinar o número de equações necessárias

3° Construir as equações pelo método de análise nodal: - Para cada nó de potencial desconhecido escreve-se uma equação que consiste em: Membro Esquerdo Produto entre o potencial do nó em questão e a condutância própria com sinal mais (+) e a soma dos produtos entre os potenciais dos nós vizinhos e as condutâncias mútuas respectivas com sinal menos (-). Membro Direito Soma algébrica dos produtos

ligados com o nó em questão e a soma algébrica das fonte de corrente ligadas

ao mesmo nó.

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4° Resolver o sistema de equações obtido, ou seja, determinar os potenciais desconhecidos. 5° A partir dos potenciais, determinar a correntes nos ramos. 6° Verificar os resultados obtidos através da equação de equilíbrio das potências fornecidas e consumidas no circuito.

Exemplo: Usando o método de análise nodal, calcular a rede representada abaixo. Dados

E1=72 V E2=48 V R1=3 Ω R2=4 Ω R3=12 Ω Resolução

1° Ligação de um Nó à terra: seja 2° Número de equações:

3° Constituir as equações:

4° Resolver o sistema de equações obtido, determinar os potenciais:

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5° A partir das potências determinar as correntes:

6° Equação de Equilíbrio das Potências Potência fornecida:

Potência Consumida:

Conclusão:

Resultados correctos

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37

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1.16.5. Método do Par de Nós Algumas redes só têm dois nós. Nestes casos as correntes podem ser calculadas facilmente pelo Método do Par de

Nós. Número de equações: Seja:

No caso geral:

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38

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Exemplo: Calcular o circuito representado na figura abaixo e fazer a prova através da equação de equilíbrio das potências.

Dados

J1=30 mA ;

R3=100 Ω ;

R4=20 Ω ; J6=20 mA ;

; E3=45 V ;

Resolução O circuito representado têm apenas dois nós, por isso vamos usar o método do par de nós.

Equação de equilíbrio das potências Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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Potências fornecidas ao circuito:

Pf ≈ 17,470 W Potências consumidas no circuito:

Pc ≈ 17,471 W Pf ≈ Pc

→ Resultados correctos.

1.17. Redes de Dois Terminais ou Bípolos Em qualquer rede eléctrica é possível tirar um ramo e simbolizar o restante da rede por uma caixa. Essa caixa constitui uma rede de dois terminais ou bípolo. Uma rede de dois terminais é aquela que tem dois terminais acessíveis para ligação de um ramo. Uma rede de dois terminais contendo uma fonte de corrente ou fonte de tensão, ou ambas, chamam-se Activa, assinalada pela letra A. Se uma rede de dois terminais ou bípolo não contiver nenhuma fonte de tensão ou de corrente chama-se Passiva, assinalada pela letra P.

1.17.1. Teorema de Thevenin (Teorema do Gerador Equivalente) Em relação a um ramo removido, a rede de dois terminais que ficou pode ser equiparada a um gerador cuja f.e.m é igual a d.d.p. que aparece nos dois terminais quando o ramo está aberto, isto é, sem carga, e cuja resistência interna é

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40

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igual a resistência medida entre os dois terminais depois de substituídos os geradores pelas suas resistências internas. Este é o chamado Teorema de Thevenin.

Naturalmente a corrente I não muda se duas f.e.m. iguais e opostas forem colocadas no ramo ab.

Aplicando o Teorema de Sobreposição:

Onde

é devida a fonte

é devida somente a

mais todas as fontes de energia da rede de dois terminais (a).

(Bipolo passivo) (b).

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41

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Façamos

, ou seja escolhemos

tal que

equivale a um ramo aberto entre os terminais a e b. A tensão entre os terminais a e b é então a tensão do circuito aberto, ou seja, é a tensão da marcha em vazio

;

Onde: é a resistência da rede vista dos terminais ab (resistência de entrada da rede de dois terminais).

R é a resistência do ramo ab.

Passos para Aplicação do Teorema de Thevenin 1°. Determinar a tensão que aparece entre os terminais a e b quando o respectivo ramo é removido

.

2°. Determinar a resistência que o bípolo apresenta quando visto desses dois terminais depois de substituir os geradores pelas suas resistências internas. As fontes de tensão nas quais

são curto-circuitadas e as fontes de

corrente cuja resistência interna é infinita devem ser abertas. 3°. Calcular a corrente no ramo que se removeu pela equação:

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42

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Para Exemplo 1: Determinar o valor e o sentido da corrente

Dados: R1 = 10Ω

R2 = 6Ω

R3 = 4Ω

no circuito representado aplicando o Teorema de Thevenin.

R4 = 2Ω

R5 = 5Ω

E3 = 20 V

J6 = 10A

Resolução

1°. Vamos usar o método de análise nodal para determinar a tensão Seja:

;

;

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43

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Isto significa que a corrente

tem o sentido contrário ao definido inicialmente na figura.

Exemplo 2: Calcular a corrente no ramo ab, utilizando o teorema de Thevenin, na ponte representada na figura.

Dados:

E=10 V; R1=1Ω;

R2=4 Ω;

R3=2 Ω;

R4=1 Ω;

R5=2 Ω

Resolução

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44

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1.17.2. Potência Transferida de Um Bípolo Activo a Uma Carga Se a carga R está ligada a uma rede activa de dois terminais é atravessada pela corrente:

E a potência dissipada é:

Qual deve ser a relação entre a carga R e a resistência de entrada

da rede de dois terminais, de modo a que a

potência transferida desta para carga seja máxima e ainda qual é a máxima potência e o rendimento correspondente a esta máxima potência.

Sabemos que Req ≥ 0 ˄ R ≥ 0 Vamos calcular a segunda derivada para verificar se se trata de um máximo ou de um mínimo.

Para Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

45

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

são constantes, ou seja, dados da rede e não podem ser alterados.

A potência máxima será:

Esta é a potência máxima que a rede pode dissipar numa carga R.

A potência de entrada vinda do gerador equivalente é:

Rendimento

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46

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Rendimento Máximo

Exemplo 1: Considere o circuito representado:

Dados:

E1=3V

R1=4Ω

E2=6V

R2=3Ω

E3=33V

R3=2Ω

R4=8Ω a)

R5=8Ω

Determine o equivalente de Thevenin do bipolo ab, usando como método auxiliar o método das malhas independentes.

b) Qual é o valor da resistência R a colocar entre os pontos a e b para que a potência eléctrica nela dissipada seja de 50W? c)

Qual seria o novo valor da R para que a potência eléctrica nela dissipada seja máxima? E qual seria o valor dessa potência máxima?

Resolução a)

Resistência equivalente entre os terminais a e b:

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47

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Método das malhas Independentes.

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48

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b)

c) Valor de

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2. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA SINUSOIDAL MONOFÁSICA 2.1. Definições 2.1.1. Corrente Alternada É aquela que se desloca primeiro num sentido e em seguida no sentido oposto, ou seja, é alternadamente positiva e negativa.

2.1.2. Corrente Alternada Sinusoidal É aquela que varia sinusoidalmente com o tempo, de acordo com uma equação da forma: (2.1.1)

i

i(t)

Im

t 𝜳_𝒊

Na equação (2.1.1) e no gráfico:

i(t)… é a corrente instantânea no tempo t; … é o valor máximo ou amplitude da corrente alternada sinusoidal; T… é o tempo gasto por um ciclo completo de variações ou período; Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

50

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… é a velocidade angular ou pulsação da corrente alternada sinusoidal em radiano/s; … é a frequência da corrente ou número de ciclos efectuados num segundo em ciclos por segundo;

A quantidade

é o ângulo de fase da corrente alternada sinusoidal indicando um deslocamento da onda

com o tempo a partir da origem. O ângulo de fase para

, ou

, é chamado Fase Inicial.

Qualquer função sinusoidal, incluindo a tensão da corrente alternada pode ser representada pela mesma equação e especificada em função das mesmas quantidades.

A frequência da rede eléctrica da Africa Austral incluindo Moçambique é de 50 ciclo/s ou 50 Hz; nos EUA a frequência é de 60 Hz ou 60 ciclo/s. Correntes sinusoidais e tensões de frequências relativamente baixas (até vários quilociclos) são geradas por geradores síncronos.

2.2. Valores Médios e Valores Médios Quadráticos das Quantidades Sinusoidais O valor médio de uma quantidade sinusoidal ao longo de um ciclo ou um número inteiro de ciclos é obviamente zero. Uma média significa será a média dos valores que prevalecem durante um meio ciclo (positivo ou negativo).

2.2.1. Valor Médio da Corrente durante Meio Ciclo Assim o valor médio da corrente durante metade do ciclo é:

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51

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O valor médio da corrente durante um meio-ciclo positivo (ou negativo) é

vezes o valor máximo da

corrente. Analogamente,

2.2.2. Valor Eficaz da Corrente Alternada Sinusoidal ou Valor Médio Quadrático Na prática o valor médio mais usado é a raiz quadrada da média das correntes elevadas ao quadrado (que são todos positivos), denominado Valor Eficaz.

Da Matemática sabe-se que: Portanto,

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52

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Analogamente, Pode se comparar a acção calorífica da corrente alternada com acção calorífica de uma corrente contínua que passa pela mesma resistência durante o mesmo intervalo de tempo.

Corrente Contínua Para a corrente contínua, a energia dissipada numa resistência R, no intervalo de tempo igual ao período T será: Num Período

Corrente Alternada Sinusoidal

Para a corrente alternada sinusoidal a energia dissipada na resistência R num período T será:

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53

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Comparando a energia dissipada numa resistência R para uma corrente contínua e para uma corrente alternada sinusoidal no mesmo intervalo de tempo T.

Conclusão O valor eficaz de uma corrente alternada sinusoidal é tal intensidade de uma corrente continua que tem o mesmo efeito calorífico numa dada resistência, que a corrente alternada em questão.

2.3. Representação de Quantidades Sinusoidais 2.3.1. Representação Analítica

É difícil efectuar esta soma. Se tivéssemos mais correntes com diferentes amplitudes e fases iniciais seria mais complicado ainda.

2.3.2. Representação Complexa ou Simbólica Um número complexo tem a parte real e a parte imaginária e pode ser representado por vectores num plano complexo. A convenção é marcar o eixo das quantidades reais “+1” e o eixo das quantidades imaginárias com “+j”.

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54

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ou Pela equação de Euler. (2.3.1) No plano complexo a função

é representado por um vector de comprimento unitário, fazendo um ângulo

α.

jα

com o eixo +1. A grandeza do e é a unidade.

O ângulo α é lido no sentido anti-horário a partir do eixo +1. jα

A projecção do vector e no eixo +1 é cosα e a projecção no eixo +j é senα. Pode se ver que

Num plano complexo esta função, como a função

ejα, será representada por um vector fazendo um ângulo α com o

eixo +1, mas de um comprimento Im vezes maior. O ângulo

α na equação (2.3.1) pode ter qualquer grandeza. Seja

ou seja

varia

linearmente com o tempo. Então: (2.3.2) O termo

j(ωt+ψi)

é a parte imaginária da função Im.e

, ou seja,

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55

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Portanto, a corrente sinusoidal no eixo

pode ser representada por

, ou pela projecção do vector girante

“+j”.

Por uniformidade, os vectores das quantidades sinusoidais são representados no plano complexo para um tempo

ωt = 0. Então: Em que Im é uma quantidade complexa cuja grandeza é Im. O vector Im faz um ângulo com o eixo +1 no plano complexo igual a fase inicial ψi.

A quantidade Im é a amplitude complexa da corrente

i(t) (ou a corrente máxima complexa). No plano complexo

representa a corrente i(t) no momento de referência ωt

= 0.

Em vez da corrente máxima complexa, é muitas vezes mais conveniente empregar o valor complexo eficaz da corrente ou simplesmente a corrente complexa que é:

2.3.3. Representação por meio de Vectores Seja dada a corrente alternada sinusoidal i(t).

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A projecção do vector

no eixo vertical, representa o valor instantâneo da corrente

i(t).

é a posição angular em qualquer instante t. Um diagrama vectorial é uma representação gráfica de vectores de quantidades sinusoidais num plano complexo. As quantidades são tomadas todas na mesma frequência e com as respectivas diferenças de fase. Por uniformidade os vectores das quantidades sinusoidais são representados no plano complexo para um tempo ωt = 0. Consideremos duas correntes

da mesma frequência. Combinadas produzem uma corrente i(t) da mesma

frequência.

Desejamos conhecer a grandeza de A grandeza de

e a fase inicial

da corrente i(t).

é dada pelo comprimento do vector soma e a fase inicial pelo ângulo entre o vector soma e o eixo

+1.

Se os vectores

,

e

rodassem a uma velocidade angular ω, em torno da origem das coordenadas, a sua

posição relativa não mudaria.

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57

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Exemplo 1: Expressar a corrente instantânea

, A em termos de amplitude complexa.

Em vez de corrente máxima complexa, é muitas vezes mais conveniente empregar o valor complexo da corrente, ou seja, a corrente complexa eficaz.

Exemplo 2: Determinar o valor instantâneo da corrente máxima complexa

;

2.4. Elementos Principais dos Circuitos de Corrente Alternada Sinusoidal 2.4.1. Resistência Oferece oposição à passagem da corrente. A unidade da resistência eléctrica no Sistema Internacional é o Ohm (Ω). Uma resistência diz-se Linear quando a carecterística V/A é uma recta, ou seja, quando a corrente que a atravessa é directamente proporcional à diferença de potencial entre os seus terminais. Um elemento resistivo diz-se Não-Linear quando a característica V/A não é uma recta. Todos os elementos resistivos têm uma potência nominal que é a potência máxima que pode ser dissipada sem que o aumento da temperatura danifique o elemento resistivo. Exemplo: Assim numa resistência de 100Ω e 1W pode passar no máximo uma corrente de 100mA sem danificar o resistor.

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58

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Numa resistência a energia eléctrica é transformada em calor.

2.4.2. Indutância de Uma Bobina Uma Bobina é um fio condutor enrolado de forma a constituir um conjunto de N espiras (condutores aproximadamente circulares, todos do mesmo raio, concentrados sobre o mesmo eixo e situados em planos paralelos).

A bobina representa-se pelo seguinte símbolo:

Uma bobina é um dispositivo usado para, ao ser atravessado por uma corrente eléctrica, se obter um campo magnético uniforme e intenso numa pequena região do espaço (no seu interior). Armazena energia sob a forma de um campo magnético.

pois Num circuito eléctrico ou em parte de um circuito eléctrico, em que a variação da corrente é acompanhada por variação do fluxo e consequentemente uma f.e.m. induzida é dito indutivo, ou estamos em presença de uma indutância L. Um circuito tem uma indutância de 1 Henry (1H) se uma f.e.m. de 1 Volt é induzida quando a variação da corrente é 1 Ampere por segundo.

2.4.3. Capacidade de Um Condensador (ou Capacitor) Um condensador é um dispositivo constituído por dois condutores (designados armaduras), separados por um dieléctrico. É normalmente representado pelo símbolo: Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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Para carregar um condensador deve impor-se uma dada tensão U entre as suas armaduras, por intermédio de uma fonte de energia eléctrica. Isto fará com que, através da fonte, uma quantidade de carga +Q (proporcional a U) seja retirada a armadura ligada ao terminal negativo da fonte e acrescentada à armadura ligada ao terminal positivo da fonte. Diz-se que a carga do condensador é Q (+ Q numa armadura e – Q na outra armadura). Este facto implica o aparecimento de um campo eléctrico no dieléctrico entre as armaduras, ou seja, o aparecimento de energia eléctrica armazenada nessa região, obtida à custa da fonte de energia eléctrica que carregou o condensador.

Em conclusão, um condensador é um dispositivo que armazena carga eléctrica (e, consequentemente, armazena energia correspondente ao campo eléctrico que existe entre as armaduras). A sua capacidade de armazenamento é definida pela razão constante que existe entre o módulo da carga existente em cada armadura Q e a tensão existente entre elas U: A unidade da capacidade no SI é o Farad (F).

Um condensador representa um circuito aberto em corrente contínua, por isso, não incluímos este dispositivo no estudo de circuitos de corrente contínua:

2.5. As Leis dos Circuitos Eléctricos de Corrente Alternada Sinusoidal para Valores Instantâneos 2.5.1. Lei de Ohm (Lei Empírica ou Experimental)

A lei de Ohm em valores instantâneos é válida apenas para resistências lineares. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

60

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2.5.2. As Leis de Kirchhoff Para aplicar as Leis de Kirchhoff é preciso saber os sentidos de i, os sentidos de i,

e e u, por isso para circuitos de corrente alternada,

e e u marcam-se condicionalmente por meio de setas.

2.5.2.1. Primeira Lei de Kirchhoff: Lei das Correntes (ou Lei dos Nós) 1) A soma algébrica das correntes instantâneas que fluem em qualquer nó de uma rede eléctrica é igual a zero.

2) A soma das correntes instantâneas que chegam à derivação de um circuito eléctrico é igual a soma das correntes instantâneas que deixam essa mesma derivação.

2.5.2.2. A Segunda Lei de Kirchhoff: Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) 1) A soma algébrica das tensões num contorno fechado é igual a zero.

2) A soma algébrica dos valores instantâneos das quedas de tensão em qualquer contorno fechado é igual à soma algébrica

dos

valores

instantâneos

das

f.e.m.

ao

longo

do

mesmo

contorno.

2.5.3. Potência Instantânea A potência instantânea p em um circuito é o produto da tensão instantânea através do circuito pela corrente instantânea no mesmo circuito.

ou

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61

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2.6. Processos Eléctricos nos Elementos RLC 2.6.1. Corrente Alternada numa Resistência

Lei

de Ohm:

A resistência representa-se por R na forma complexa.

Numa resistência a corrente i(t) a tensão u(t) estão em fase (os seus valores máximos são simultâneos).

Vamos determinar a potência instantânea:

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62

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

p(t) 0

i(t) u(t)

A potência instantânea tem uma componente constante e uma componente variável (

) que varia com a

frequência dupla de frequência da corrente e da tensão. Potência Média

O valor médio da potência eléctrica recebida numa resistência é igual ao produto dos valores eficazes da tensão e da corrente.

2.6.2. Corrente Alternada numa Bobina

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63

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

O produto

é designado por

e é chamado Reactância Indutiva.

Uma indutância oferece a uma corrente alternada uma oposição igual a

que é directamente proporcional à

frequência.

Assim a reactância indutiva na forma complexa representa-se por

jXL

Numa indutância a tensão está em avanço de 90º sobre a corrente, ou seja, a corrente complexa está em atraso 90º em relação à tensão. Potência Vejamos como varia com o tempo a potência eléctrica recebida pela bobina:

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64

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

i(t)

0𝜋/2

𝜋

2𝜋

3𝜋

4𝜋 5𝜋

u(t)

p(t)

A frequência da potência instantânea é o dobro da frequência da corrente ou da tensão e varia de forma alternada sinusoidal. A área definida entre a função p(t) e o eixo dos tempos é numericamente igual a energia transferida entre a fonte e a bobina. Assim uma indutância recebe e dá alternadamente energia à fonte.

Para avaliar a potência de troca entre elementos indutivos e as fontes de energia introduz-se uma grandeza que se designa Potência Reactiva.

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65

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

2.6.3. Corrente Alternada num Condensador

Seja

) )

O termo

é chamado Reactância Capacitiva simboliza-se por

XC:

A reatância capacitiva de um condensador é inversamente proporciona à frequência e é expressa em OHM

.

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A tensão sinusoidal nos bornes de um condensador tem um atraso de 90º em relação à corrente.

Vamos determinar a potência instantânea:

p(t)

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A potência instantânea num condensador tem as mesmas características que numa bobina: frequência dupla da tensão ou da corrente e valor médio nulo. A área definida entre a função p(t) e o eixo dos tempos é numericamente igual a energia transferida entre a fonte e o condensador. A área é alternadamente positiva e negativa, ou seja, o capacitor fornece e recebe alternadamente energia da fonte.

2.7. Análise dos Circuitos de Corrente Alternada pelo Método dos Números Complexos A razão deste método consiste em que para uma corrente variando sinusoidalmente com o tempo, as equações nos valores instantâneos, que são de facto equações diferenciais, podem ser substituídas por equações algébricas em correntes e tensões complexas. Mas especificamente, em qualquer equação de Kirchhoff escrita para um regime permanente, a corrente instantânea i é substituída pela corrente complexa eficaz , a tensão instantânea aplicada a uma resistência

Pela queda de tensão complexa

que está em fase com a corrente

A tensão instantânea aplicada a uma indutância

substitui-se pela quantidade complexa

que tem um avanço de 90º sobre a corrente

A tensão instantânea aplicada a um capacitor

com um atraso de 90º sobre a corrente A tensão instantânea

.

. substitui-se pela quantidade complexa

.

u ou f.e.m. instantânea e substitui-se pela tensão complexa

ou f.e.m complexa

.

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68

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

2.7.1. O Circuito RLC Série

(2ª Lei de Kirchhoff)

;

;

Define-se Impedância do ramo como sendo o complexo:

A impedância tem como parte real a resistência do ramo e como parte imaginária a chamada reactância do ramo, definida como a diferença entre a reactância indutiva e a reactância capacitiva.

com

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69

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

A expressão: é designada por Lei de Ohm em Corrente Alternada.

(para um dado

)

Exemplo 1: Um ramo de um circuito eléctrico é constituído por uma resistência de

e uma bobina com 50mH de coeficiente

de auto-indução. Calcular a tensão em cada elemento, a tensão total no ramo e a energia eléctrica dissipada em 10 minutos, quando a variação da corrente for:

a) b) Resolução

a)

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70

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A tensão total

está adiantada de

em relação à corrente.

b)

A tensão na resistência mantem-se não obstante a variação da frequência. Na bobina: Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

71

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

A tensão total está adiantada de 89º-30º = 59º em relação à corrente. A energia dissipada mantém o valor da alínea anterior.

Exercício 1: Repita o exercício exemplo anterior, mas colocando em série com a resistência e a bobina, um condensador com de capacidade.

Exercício 2: Aplicando o conceito de impedância, determine a tensão total do ramo no exercício do exemplo anterior.

2.7.2. Impedância A impedância de um ramo passivo é a razão entre a tensão complexa entre os seus terminais e a corrente que o atravessa.

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72

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Onde, R- resistência do ramo passivo (parte real); X- reactância do ramo passivo (parte imaginária);

; ; , mas como =

Então,

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73

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

O ângulo

representa o desfasamento entre a tensão e a corrente.

O ângulo

entre os vectores corrente e tensão mede-se a partir do vector corrente para o vector tensão.

Ângulos positivos medem-se no sentido anti-horário e ângulos negativos no sentido horário. O módulo da impedância representa a razão entre os valores eficazes da tensão e da corrente.

2.7.3. Admitância Simbólica ou Admitância Complexa A admitância de um ramo passivo é o inverso da sua impedância.

A unidade da admitância é

ou [Ω -1].

A parte real da admitância designa-se por condutância

e a sua parte imaginária por susceptância (b).

;

Observação: A condutância e a susceptância de um ramo passivo não são o inverso da resistência e sua reactância respetivamente.

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74

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

O ângulo

é negativo.

2.7.4. Tensão Activa e Tensão Reactiva

;

Tensão activa Tensão reactiva

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75

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

2.7.5. Corrente Activa e Corrente Reactiva

onde

;

→ Corrente Activa → Corrente Reactiva

2.7.6. Lei de Ohm em Notação Complexa

2.7.7. As Leis de Kirchhoff em Representação Simbólica 2.7.7.1. Primeira Lei de Kirchhoff: Lei das Correntes (ou Lei dos Nós) A soma (vectorial) das representações complexas das correntes num nó é nula. Substituindo

por

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76

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

2.7.7.2. Segunda Lei de Kirchhoff: Lei das Tensões (ou Lei das Malhas) 1) Ao longo de qualquer malha, a soma (vectorial) das representações simbólicas das f.e.m. é igual à soma (vectorial) das representações simbólicas das tensões nas impedâncias:

2) Ao longo de qualquer malha, a soma (vectorial) das representações simbólicas das tensões em todos elementos é nula:

2.8. Aplicação dos Métodos de Cálculo dos Circuitos de Corrente Contínua em Circuitos de Corrente Alternada Sinusoidal Uma vez que as Leis de Kirchhoff das Correntes e das Tensões se mantêm para circuitos de corrente alternada sinusoidal, podemos escrever todas as equações do capítulo dos circuitos lineares de corrente contínua na forma complexa para circuitos de corrente alternada sinusoidal. Para tal bastará substituir corrente impedância simbólica

I pelo complexo , a condutância

e a f.e.m. da corrente contínua

pela admitância

, a resistência R pela

E pela f.e.m. complexa .

Equações com variações e coeficientes complexos.

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77

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Corrente contínua (CC)

Corrente Alternada (CA)

U I R G

Todos os métodos de cálculo dos circuitos de corrente contínua são também válidos para os circuitos de corrente alternada sinusoidal, bastando para tal utilizar o método dos números complexos. - Transformação ∆-Y e vice-versa - Método da impedância equivalente - Divisor de tensão - Divisor de corrente - Teorema de Thevenin - Associação de resistências em série/paralelo - Etc.

2.9. Potência em Circuitos de Corrente Alternada Sinusoidal 2.9.1. Potência Activa e Potência Reactiva Vamos determinar a potência instantânea consumida pelo circuito representado.

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78

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Esta equação pode ser transformada em:

(2.9.1)

P1 A componente

P2

oscila em torno do valor médio

, com frequência angular

nunca mudando de

sinal. A componente

oscila com idêntica frequência ou seja

, possui um valor médio nulo e um valor máximo

2.9.1.1. Potência Activa ou Potência Média (P) É o valor médio da potência instantânea e corresponde por conseguinte à potência que é efectivamente transferida da fonte para a carga.

A unidade da potência activa é o Watt.

A grandeza

designa-se por Factor de Potência.

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79

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

O ângulo do factor de potência φ varia entre

à .

2.9.1.2. Potência Reactiva (Q) É o valor máximo da componente da potência instantânea que oscila entre o gerador e a carga, cujo valor médio é nulo, resultante da variação de energia magnética ou eléctrica armazenada nos elementos indutivos ou capacitivos respectivamente da impedância da carga.

A unidade da Potência Reactiva é o por convecção Volt Ampere Reactivo [Var].

Usando os conceitos Potência Activa e Potência Reactiva, podemos reescrever a equação (2.9.1)

(2.9.2)

P1(t)

P2(t)

Onde,

p(t)

p1(t)

P 0

Q

𝝎𝒕

p2(t) Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

80

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2.9.2. Potência Complexa e Potência Aparente 2.9.2.1. Potência Complexa S É definida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente.

A potência complexa

é assim, uma grandeza cuja parte real é a potência activa P e cuja parte imaginária é a

potência reactiva Q.

2.9.2.2. Potência Aparente S É o módulo da potência complexa, ou seja, é o produto dos módulos da tensão e da corrente.

A potência aparente se mede em Volt-Ampere (VA), com o intuito de a distinguir das Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

81

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

anteriores potências.

2.10. Carácter da Carga 2.10.1. Carga com Caracter Indutivo ou Impedância Indutiva

A tensão está em avanço em relação à corrente.

Carga com Caracter Indutivo

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82

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2.10.2. Carga Puramente Indutiva

;

;

2.10.3. Carga com Carácter Capacitivo ou Impedância Capacitiva

A corrente tem avanço em relação à tensão.

e

2.10.4. Carga Puramente Capacitiva

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; Na prática dos sistemas de energia eléctrica diz-se, convencionalmente, que uma carga indutiva absorve potência reactiva, e uma carga capacitiva gera potência reactiva.

2.10.5. Carga Puramente Resistiva ou Carga Ohmica

(tensão e corrente em fase)

2.11. Equilíbrio de Potências nos Circuitos de Corrente Alternada Sinusoidal Num circuito de corrente alternada sinusoidal a potência activa fornecida pelas fontes de energia é igual a potência activa neste consumida e a potência reactiva fornecida pelas fontes de energia é igual a potência reactiva neste consumida.

Potências consumidas no circuito:

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84

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e Para

e

para

2.12. Ressonância em Circuitos Eléctricos Quando uma fonte de corrente alternada é ligada a um circuito eléctrico contendo uma ou várias indutâncias, e uma várias capacidades e adicionar a uma ou várias resistências, surgem fenômenos em determinadas condições, conhecidos como Ressonância. Em condições de ressonância, tal rede torna-se puramente Ohmíca e a tensão e corrente na rede ficam em fase. Distinguem-se dois tipos de ressonância: 2.12.1. Ressonância em Série ou Ressonância de Tensão 2.12.2. Ressonância em Paralelo ou Ressonância de Corrente

2.12.1. Ressonância em Série (Ressonância de Tensão)

Onde:

Condição de ressonância: Quaisquer que sejam os valores de L e de C haverá sempre uma frequência para a qual surge o fenómeno de ressonância, designada por Frequência de Ressonância (

.

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85

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Reactância Característica

Q é chamado Factor de Qualidade de um circuito ressonante. Mostra quantas vezes a tensão no componente reactivo excede a tensão aplicada, em ressonância.

Particularidades do Regime de Ressonância em Série 1.ª A impedância do circuito é mínima e puramente Ohmica, em regime de ressonância de tensão.

No regime de ressonância

2.ª A corrente no regime de ressonância é máxima e está em fase com a tensão aplicada no circuito.

Esta particularidade permite detectar o regime de ressonância de tensão, na variação da frequência. 3.ª A tensão na resistência é igual à tensão aplicada no circuito: a)

A tensão na resistência é igual à tensão aplicada no circuito (módulo, fase).

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86

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b) A tensão na indutância é igual em módulo (valor) à tensão aplicada na capacidade. c)

A tensão nos elementos reactivos (indutância e capacitor) pode ser menor que a tensão na entrada do circuito.

4.ª A potência activa é máxima.

como 5.ª As potências reactivas na indutância e na capacidade são iguais.

Parâmetros R, L e C constantes.

f.e.m. constante.

6.ª As potências instantâneas não são iguais. Caso Ideal:

ou

∞

→ Curto-circuito

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87

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2.12.2. Ressonância em Paralelo (Ressonância de Corrente)

Por definição em Ressonância está em fase com . Isto só pode acontecer se:

Em ressonância

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88

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Chama-se Frequência Angular de Ressonância.

, ou seja, circuito ideal, a impedância de entrada da rede torna-se Infinita

Se

Em ressonância

∞

Se

A análise da equação (2.12.2) a ressonância pode se obter variando

e C ou

e

.

A análise da equação (2.12.2) permite concluir que: 1.

Uma vez que a frequência é real e positiva, a ressonância só é possível quando:

a) Ou

b)

2. Isto é, a frequência da ressonância é indeterminada. Isto fisicamente significa que a ressonância é possível em qualquer frequência e que um circuito nestas condições é puramente Ohmíco.

3. Com Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

89

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4.

Particularidades da Ressonância em Paralelo 1.ª A admitância total do circuito é activa e é mínima.

Admitância mínima

Admitância Activa

∞

Para um circuito ideal, isto é, 2.ª A corrente total é activa e mínima.

Permite detectar o regime de ressonância no laboratório 3.ª O módulo das correntes reactivas é o mesmo. Como

No regime de ressonância, sob certas condições, as correntes nos ramos podem superar a corrente total . Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

90

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ou/e 4.ª As potências reactivas dos elementos reactivos no regime de ressonância são iguais.

Parâmetros R, L e C constantes.

f.e.m. constante

2.13. Corrente Alternada Através de Uma Rede de Dois Terminais – Determinação da Impedância de Entrada Consideremos a rede passiva de dois terminais ligada a uma fonte de alimentação. Vamos determinar a impedância de entrada no bipolo.

A impedância de entrada do bipolo ou impedância do bipolo pode ser determinada analiticamente ou experimentalmente (no laboratório ou através de aparelhos de medida). Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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2.13.1. Determinação Analítica Para a determinação analítica da impedância da rede, o conhecimento das suas ligações internas e os valores das resistências e reactâncias em jogo é essencial.

2.13.2. Determinação Experimental Para determinação experimental da impedância de entrada da rede pode ser usado o Amperímetro para medir a intensidade da corrente I, o Voltímetro para medir a tensão

e o Wattímetro para medir a potência activa

consumida pela rede.

O Wattímetro é um aparelho de medição que serve para medir a potência activa no circuito eléctrico. O Wattímetro dá o produto:

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92

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O asterisco

(*) indica o início do enrolamento. (2.13.1)

Esta fórmula permite-nos determinar o factor de potência (

).

Os aparelhos de medida instalados no circuito permitem obter a potência activa P, a tensão U e a intensidade de corrente I. Os aparelhos de medida (voltímetros e amperímetros) dão-nos valores eficazes.

O módulo da impedância Z pode ser facilmente determinado, a partir da equação:

O factor de potência (cos Depois de determinar o

φ) pode ser calculado a partir da equação (2.13.1). , determinamos o ângulo φ e o

.

Mas uma vez que: Temos que determinar o sinal do ângulo

.

2.13.2.1. Determinação do Sinal do Ângulo φ 1.º Método Artificial O sinal do ângulo

φ determinamos introduzindo uma pequena capacidade C no circuito.

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a)

Impedância Indutiva

→ O amperímetro dá uma leitura decrescente com interruptor k fechado.

b) Impedância Capacitiva

Impedância Capacitiva

Com o fecho do interruptor k o amperímetro dá uma leitura crescente

se a impedância for capacitiva.

é a corrente através do amperímetro quando o interruptor k está fechado. Repare que a corrente através do condensador

O sinal de

está avançada em

em relação à tensão complexa .

pode também ser determinado usando:

- Um Fasímetro (instrumento que mede o ângulo entre a tensão e a corrente) - Um osciloscópio de dois raios.

Actualmente há aparelhos de medição muitíssimo sofisticados que mostram a forma de onda da tensão alternada sinusoidal, forma de onda da corrente e conteúdo harmónico.

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2.14. Transferência de Potência dum Bipolo Activo à Carga Seja uma carga de impedância complexa

ligada a uma rede activa de dois terminais ab.

Vamos pesquisar as condições de máxima transferência de potência do bipolo à carga. Pelo Teorema de Thevenin

e

Seja:

Portanto,

e

são específicos da rede e não podem ser alterados.

Escolhemos X de modo que uma corrente máxima passa circular no circuito. Isto acontece quando.

Então esta rede está em ressonância com a carga

O ângulo entre a tensão e a corrente

Z e a corrente da carga está em fase com a tensão

.

é igual a zero.

Como vimos no capítulo dos circuitos de corrente contínua quando

A potência transferida para carga será

máxima e dada por:

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95

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Portanto para obter potência máxima é necessário:

Quando

é indutivo, temos que escolher

X capacitivo ou vice-versa.

Portanto, para que a potência transferida do bipolo activo à carga seja máxima é necessário que:

Utilização do Transformador de Adaptação para Concordância de Impedâncias Pode acontecer que a carga

de uma rede de dois terminais já esteja fixada e não pode ser alterada.

Então a carga e a rede podem ser ligadas através de um transformador de adaptação e não directamente pelos terminais

a e b.

k é a razão de transformação do transformador.

Um transformador de adaptação muda a impedância da carga

vezes.

Para obter potência máxima transferida do bípolo à carga é necessário que:

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96

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2.15. Indutância Mútua (M) 2.15.1. Introdução Se um circuito eléctrico contém uma indutância mútua (isto é, enrolamentos magneticamente acoplados), o fluxo originado por um, abraça o outro, e há uma f.e.m. da indução mútua em cada enrolamento que deve ser levada em conta. Ao escrever as equações para um circuito com indução mútua, deve-se saber os sentidos relativos das f.e.m. de auto e mútua indução.

Estas bobinas estão acopladas de modo que os seus fluxos somam-se.

M

determina o valor do fluxo da indução da 2ª bobina criado pela corrente da 1ª bobina, isto é,

A unidade da Indução Mútua [M] no SI é a unidade da Indução [L] que é o Henry [H].

2.15.2. Reactância Mútua Vamos supor que temos uma fonte de alimentação ligada a 1ª bobina ( i1 encontram abertos (

≠ 0) e os terminais da 2ª bobina se

).

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Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Na 1ª bobina teremos o fluxo de autoindução

Na 2ª bobina a corrente é zero (

criado pela corrente i1.

) → Circuito Aberto →

Se

Ao produto

denomina-se Reactância Mútua e representa-se por

.

A unidade da reactância mutua no SI é o Ohm [1Ω].

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98

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→ Quantidades sinusoidais são representadas no plano complexo para um tempo ωt = 0. →

2.15.3. Marcação de Enrolamentos Magneticamente Acoplados A conversão é assinalar terminais idênticos (início das bobinas) com um asterisco ou um ponto.

2.15.4. Acoplamento de Bobinas Na realidade a corrente pode passar em ambos as bobinas. Nestas condições podem existir dois casos:

2.15.4.1. Ligação das Bobinas em Conjunção Se o fluxo da indução mútua aumenta o fluxo da indução própria duma bobina tem-se a Ligação das Bobinas em Conjunção. As correntes dirigem-se para (ou distanciam-se) dos terminais homólogos, marcados com asterisco.

1.ª Bobina

2.ª Bobina

2.15.4.2. Ligação das Bobinas em Oposição Se o fluxo da indução mútua diminui o fluxo da indução própria de uma bobina tem-se a Ligação das Bobinas em Oposição. Numa bobina a corrente corre para o terminal marcado com asterisco enquanto na outra bobina corre distanciando-se do terminal com asterisco. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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1.ª Bobina

2.ª Bobina

2.15.5. Cálculo dos Circuitos Eléctricos com Indução Mútua Os circuitos eléctricos possuindo induções mútuas são calculados pelo método dos números complexos. Exemplo:

M indica ligação magnética entre as bobinas. Vamos calcular o circuito usando o Método das Equações de Kirchhoff. 1.ª Lei:

2.ª Lei:

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100

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2.15.6. Indutâncias Mútuas em Série 2.15.6.1. Ligação em Conjunção

→ Lei de Ohm

2.15.6.2. Ligação em Oposição

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101

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2.15.7. Indutâncias Mútuas em Paralelo 2.15.7.1. Ligação em Conjunção

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102

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;

Para bobinas ideais (

):

2.15.7.2. Ligação em Oposição

2.16. Determinação Experimental da Indutância Mútua 2.16.1. Primeiro Método

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103

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1ª Experiência Ligação dos terminais b e c e ligação do terminal d ao terminal e.

;

2ª Experiência Ligação dos terminais b e d e ligação do terminal c ao terminal e.

Se Se

Significa que na 1ª experiência as bobinas estão ligadas em Conjunção. Significa que na 2ª experiência as bobinas estão ligadas em Conjunção.

2.16.2. Segundo Método

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104

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

é tensão induzida na 2ª bobina.

2.17. Problema de Aplicação Um transformador de 500 kVA funciona à plena carga (à potência aparente nominal) para alimentar uma única carga com um factor de potência de 0,6 indutivo. A tensão na carga é de 5 kV, a frequência do regime é de 50 Hz e a impedância da linha, assim como a impedância interna da fonte, são desprezáveis. a)

Qual a capacidade da bateria de condensadores a colocar em paralelo com a carga para corrigir o factor de potência para 0,9 indutivo? Qual é o valor da corrente na linha antes e depois da correcção do factor de potência? Qual é a potência activa, reactiva e aparente antes e depois da correcção do fator de potência?

b) Qual a capacidade da bateria de condensadores colocar em paralelo com a carga para eliminar completamente a potência reactiva. Resolução

a) Seja: Dados: 1º Antes da ligação do banco de condensadores:

(indutivo)

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105

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A corrente na linha antes da correcção do factor de potência é de

100 A.

2.º Depois da ligação do banco de condensadores:

(A potência activa da carga /resistência não altera com a introdução de condensadores em paralelo, a potência reactiva altera).

Com a ligação da bateria de condensadores a corrente baixa de 100 A para 66,67A o que significa menos aquecimento para o transformador e possibilidade de ligação de mais cargas.

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Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Isto significa que há possibilidade de ligação de mais cargas pois o transformador já não está a funcionar em plena carga. A corrente que passa pelo condensador a colocar em paralelo com a carga em será:

Podemos ver que a corrente

tem um avanço de

em relação à tensão aplicada.

b) Capacidade C para eliminar completamente a potência reactiva: Aplicaremos o mesmo procedimento. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

107

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

2.º Depois da ligação do banco de condensadores: Com a ligação do banco de condensadores não alteramos a potência activa.

A tensão e a corrente estão em fase.

Possibilidade de ligação de mais cargas no transformador, ou seja, possibilidade de ligação de uma carga de 200 kVA.

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e

em fase

Podemos chegar aos mesmos resultados a partir do triângulo das potências.

;

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109

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

2.18. Diagramas Circulares 2.18.1. Construção de uma Circunferência a Partir de uma Corda e de um Ângulo Inscrito Ângulo Inscrito É aquele que tem vértice num círculo e os seus lados são cordas desse círculo. O ângulo inscrito num círculo é medido pela metade do arco correspondente (limitado pelas cordas).

Observando a figura abaixo, podemos ver que:

Qualquer que seja a posição do ponto D, no intervalo de A à C, o ângulo entre o prolongamento da corda AD (isto é, DE) e a corda DC permanece imutável e igual a

.

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110

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Construção de uma circunferência, sendo dados uma corda e um ângulo inscrito

:

1º Desenhar a perpendicular bissectora da corda; 2º Desenhar uma linha fazendo um ângulo

com o prolongamento da corda; a linha será tangente ao círculo

procurado; 3º Levantar uma perpendicular a linha tangente no ponto de tangência; 4º Prolongar a bissectora e a perpendicular no ponto de tangência. O ponto de interceptação é o centro da circunferência o pretendido; 5º Construir a circuferência.

2.18.2. Equação de um Arco de Circunferência Sob Forma Complexa No plano complexo, fixemos a corda AC na direção de eixo +1. Se o ângulo

é positivo, deve ser desenvolvido a

partir do prolongamento da corda no sentido anti-horário, se for negativo, no sentido horário.

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111

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Dados:

Corda

Ângulo

, ou seja,

A equação (2.18.1) é a equação de um arco na forma complexa. Quando K varia de zero (0) a infinito, os dois vectores

e

também variam, mas de modo que o ângulo

eles permanece constante, sendo a soma dos vectores igual ao vector Quando K varia de zero a infinito, a extremidade do vector Portanto, pode-se dizer que o arco

entre

.

traça um arco de círculo cuja a corda é o vector

é o lugar geométrico do vector

.

.

Grandezas sinusoidais podem ser representadas por vectores num plano complexo. Se uma determinada grandeza (U ou I) num circuito eléctrico pode ser representada por uma equação idêntica a equação (2.18.1), o lugar geométrico do vector corrente ou tensão similar a

na equação (2.18.1), será um arco de círculo. Pressupõe-se que a

frequência é constante.

2.18.3. Diagrama Circular da Corrente para Duas Impedâncias em Série

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112

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Equação idêntica à equação (2.18.2) é semelhante à equação (2.18.1). Comparando estas duas equações:

Portanto, quando

varia, a extremidade do vector

traça um arco de circunferência cuja corda é

.

2.18.4. Passos para a Construção do Diagrama 1º Traçar o vector do dado apresentado, tomando este como referência, neste caso 2º Traçar o vector da corda, neste caso,

.

3º Desenhar uma linha (tangente à circunferência) fazendo um ângulo ).

.

sentido anti-horário

4º Desenhar a perpendicular bissectora da corda

com prolongamento da corda (neste caso

sentido horário.

.

5º Levantar uma perpendicular à recta tangente no ponto de tangência. A intersepção entre a perpendicular à recta tangente e a perpendicular bissectora é o centro da circunferência. 6º Desenhar a circunferência.

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113

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I



O lugar geométrico da corrente



, ou arco de trabalho, é o arco de continuação da tangente.

traça-se arbitrariamente, visto que varia de zero

7º Traçar o segmento da impedância

, coincidente com

à

. , numa determinada escala para impedância.

e

estão em fase. 8º Traçar a linha de variação da impedância

, marcar o ângulo –

da impedância

9º Prolongar o vector da corrente O segmento

a partir da extremidade de

. Para tal, da extremidade do segmento

com o prolongamento do segmento da impedância

até a intersecção com o segmento

.

EF no ponto F.

EF correspondente ao módulo da impedância variável Z na mesma escala de

para a corrente

.

Exemplo 1 Dados:

Escala:

;

;

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114

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2.18.5. Diagrama Circular de Tensão para Duas Impedâncias em Série

Multiplicando ambos os membros da equação por

Parâmetro variável A linha traçada pela extremidade da tensão complexa

:

Corda é um arco cuja corda é

.

2.18.6. Diagrama Circular para Um Bipolo Activo

variável mas

constante

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115

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116

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3. CORRENTES E TENSÕES PERIÓDICAS NÃO SINUSOIDAIS EM CIRCUITOS ELÉCTRICOS 3.1.Definição Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais são aquelas que variam com o tempo periodicamente, mas cuja forma de onda é diferente da forma sinusoidal.

3.2.Causas Principais de Surgimento de Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais 1º Uma fonte de tensão ou corrente gera uma f.e.m ou corrente não sinusoidal, enquanto os outros elementos do circuito (resistências, indutâncias e capacitâncias) são lineares. 2º Uma fonte de tensão ou corrente gera uma f.e.m ou corrente sinusoidal num circuito com um ou vários elementos não lineares. 3º Fontes geram uma fonte f.e.m ou corrente não sinusoidal e o circuito contém elementos não lineares. 4º Fontes geram uma corrente contínua ou f.e.m sinusoidal enquanto um ou vários elementos do circuito variam periodicamente.

3.3. Série de Fourier ou Série Harmónica

Qualquer função em cosseno

ou

que é periódica (com período

) pode ser representada por uma série de parcelas

e seno, chamada Série de Fourier ou Série Harmónica.

1ª Harmónica sinusoidal

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117

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

∞

Uma segunda forma da série de Fourier possuindo só parcelas em seno ou cosseno pode ser usada.

3.4. Valor Eficaz das Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais

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118

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

3.5. Valor Médio de Uma Corrente Periódica Não Sinusoidal

3.6. Valor Médio Pelo Módulo

3.7. Factores que Caracterizam o Desvio da Forma de Onda da Corrente Periódica Não Sinusoidal da Forma Sinusoidal 1º Coeficiente de Forma

:

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119

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Para tensão puramente sinusoidal:

2º Coeficiente de Amplitude

Para tensão puramente sinusoidal:

3º Factor de Distorção:

Para tensão puramente sinusoidal:

3.8. Potência no Caso de Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais 3.8.1. Potência Activa

∞

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120

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

3.8.2. Potência Reactiva ∞

∞

A diferença entre a potência activa e potência reactiva é que a potência reactiva não tem a componente constante.

3.8.3. Potência Aparente

Observação:

3.9. Cálculo dos Circuitos Eléctricos Lineares Com Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais Passos Principais 1º Decompor

, j(t) e u(t) periódicas não sinusoidais em série de Fourier;

2º Substituir a fonte de tensão por agrupamento em série de fontes de tensão de acordo com a série de Fourier. Substituir a fonte de corrente não sinusoidal por agrupamento em paralelo das fontes de corrente segundo série de Fourier;

3º Calcular o circuito usando o Método de Sobreposição; 4º Fazer a prova usando as equações de equilíbrio das potências. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

121

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Exemplo: Calcular o circuito.

Dados:

L, R, R1, C2 Resolução

Vamos aplicar o Método de Sobreposição no cálculo do circuito. a)

Presença Unicamente de

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122

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

A queda de tensão através de uma indutância L devida a uma corrente contínua é zero (0). A corrente contínua não se pode estabelecer através de um condensador.

b) Presença de Unicamente

c)

Presença de Unicamente

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123

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

As correntes no circuito serão:

No caso geral:

A reactância indutiva

aumenta com a frequência.

A reactância capacitiva diminui com o incremento da frequência.

3.10. Substituição de Configurações de Ondas Periódicas Não Sinusoidais por Ondas Sinusoidais Pretende-se substituir a corrente e tensão periódicas não sinusoidais representadas abaixo, por corrente e tensão periódicas puramente sinusoidais, mais ou menos equivalentes.

Tensão periódica não sinusoidal Corrente periódica não sinusoidal Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

124

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Passos Principais 1º Calcular ou medir os valores eficazes das tensões e correntes não sinusoidais, isto é, obter U e I eficazes; 2º Calcular ou medir o valor da potência activa, isto é, obter P; 3º Calcular ou medir o ângulo

;

4º Determinar os parâmetros da tensão e da corrente sinusoidal.

Observação Uma corrente (ou tensão) periódica não sinusoidal, na prática não pode ser substituída por uma corrente (ou tensão) periódica sinusoidal equivalente, pois possui harmónicas. A substituição é possível para determinadas análises mais simples de circuitos eléctricos.

3.11. Ressonância nos Circuitos com Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais Em circuitos com tensões e correntes periódicas não sinusoidais, o regime de ressonância deve ser analisado para cada harmónica separadamente.

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125

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

Por Ressonância na Harmónica de Ordem k entende-se que a harmónica de ordem k de corrente à entrada do circuito está em fase com a harmónica de ordem k da tensão aplicada (outras correntes harmónicas estando desfasadas das respectivas tensões harmónicas). Para Ressonância de Tensão Para Ressonância de Corrente

3.12. Exemplos de Correntes e Tensões Periódicas Não Sinusoidais

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126

Aulas Teóricas de Electrotecnia Teórica I

4. CIRCUITOS NÃO LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA 4.1. Introdução Os Circuitos Não Lineares são aqueles que contêm um ou mais elementos não lineares. Os elementos Não Lineares podem ser resistivos (resistências não lineares), indutivos (indutâncias não lineares) ou capacitivos (capacidades não lineares). As Resistências Não-Lineares distinguem-se das Lineares por terem uma característica Volt-Ampere não linear. Não Linear (Não é uma recta) Uma resistência não-linear representa-se pelo símbolo abaixo.

Um elemento resistivo não linear tem uma resistência variável. O seu valor depende do chamado Ponto de Funcionamento, ou seja, do ponto da sua curva característica que representa os valores de U e I existentes actualmente no elemento.

4.2.Resistência Estática e Incremental (ou Diferencial) Uma descrição completa de um elemento ou circuito resistivo não linear tanto pode ser dado pela forma da curva V/A como pelas suas resistências estática e diferencial em função da corrente ou tensão.

4.2.1. Resistência Estática Descreve o comportamento de um elemento resistivo não linear sob as condições de uma corrente em estado estacionário. É a razão entre a tensão e a corrente, no seu ponto de funcionamento.

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Geometricamente Caminhando de um ponto para outro na curva V/A de um elemento resistivo não linear, a resistência estática varia.

4.2.2. Resistência Diferencial É a razão (teoricamente infinitesimal) entre um pequeno aumento da tensão em um elemento resistivo não linear e o aumento correspondente na corrente que percorre o elemento.

Onde

é o incremento da tensão e

é o incremento da corrente.

4.3. Análise dos Circuitos Não Lineares Simples As partes lineares de uma rede não linear complexa e múltipla podem ser tratadas por qualquer dos métodos de cálculo de circuitos complexos estudados. A análise dos circuitos não lineares envolve o conhecimento das respectivas características V/A.

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4.3.1. Elementos Não Lineares Ligados em Série 4.3.1.1. Ligação de Dois Elementos Não-Lineares em Série 4.3.1.1.1. Método da Curva Característica do Circuito Neste método é traçada a curva característica

para todo circuito, partindo do princípio que a corrente

que atravessa os elementos ligadas em série é a mesma. A corrente que atravessa as resistências mesma.

éa

A corrente é a mesma para todos os elementos ligados em série, e a soma das respectivas tensões deverá ser igual a E.

A curva característica do circuito é obtida, partindo do princípio que para cada valor de I, a tensão nos terminais da associação série e é a soma da tensão nos terminais de com a tensão nos terminais de .

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A corrente que percorre o circuito (

terá o valor correspondente à

, na curva característica do circuito.

4.3.1.1.2. Método da Intersecção das Características Neste método a curva característica do circuito (curva da resistência equivalente) não é construída. Vamos dividir o circuito em dois bipolos, AB e CD.

É a curva característica de

.

A curva característica do bípolo ab:

É a curva característica de

.

Ao ligarmos os dois bipolos:

Pelo que o ponto de funcionamento:

Ou seja a intersecção da curva

𝑰=𝒇_𝟐

𝑼)

com a curva

I

𝑰=𝒇_𝟐 (𝑬 𝑼)

RNa RNb

𝑰_𝟎

Ua

Ub E

U

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Graficamente horizontalmente para

é a curva simétrica à curva

relativamente à recta

e arrastada

.

4.3.1.2. Ligação de Dois Elementos Em Série, Um dos Quais Linear e o Outro Não-Linear

4.3.1.2.1. Método da Curva Característica do Circuito É traçada a curva característica do circuito atravessa e é a mesma.

para todo o circuito, partindo de principio que a corrente que

4.3.1.2.2. Método da Intersecção das Características Neste método o circuito pode ser encarado como dois bípolos representados na figura.

Bipolo CD É a curva característica de

Bipolo AB É a recta de carga do bípolo AB. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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Ao ligarmos os dois bipolos:

I=0 O ponto de funcionamento do circuito é o ponto da intersecção da curva

e a recta

4.3.2. Elementos Não Lineares Ligados em Paralelo

=E Então, para um dado valor de U, as tensões:

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A tensão aplicada ao circuito é E.

4.3.3. Associação em Série e em Paralelo de Elementos Não Lineares

Para calcular as correntes e tensões do circuito: 1º Determinar a curva característica do paralelo 2º Considerar a associação série

e

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4.4. Análise de Circuitos Não Lineares Complexos O facto da Lei de Ohm não ser válida para todos os elementos do circuito faz com que a sua resolução seja mais complicada, pois não pode ser feita de forma analítica, mas sim graficamente. Vamos analisar os circuitos não lineares complexos pelo Método do Par de Nós e pelo Teorema de Thevenin, que quando aplicados a estes circuitos tornam a sua resolução mais simples:

4.4.1. Método do Par de Nós

Como o circuito só tem dois nós podemos calculá-lo pelo Método do Par de Nós:

Para o nó a:

(4.4.1) A resolução gráfica da equação (4.4.1) permite obter o valor As funções , simétricos às funções horizontalmente para

e ,

e

e a partir deste, as correntes no ramos.

são, num sistema em que o eixo das abcissas é , os , respectivamente, em relação a recta e arrastadas respectivamente.

Em seguida, calcula-se a soma destas curvas (para a mesma tensão somam-se as correntes):

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A intersecção da curva equação.

,

Os valores de

e ;

Os valores de

,

com o eixo das abcissas

e

dá-nos o valor de

que é a solução da

são depois obtidos pelas relações:

e são os valores das funções

,

e

para os valores de

,

e

respectivamente.

0 Para tornar o problema mais completo, vamos supor

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Pelo ponto , ou seja, , levanta-se uma perpendicular ao eixo das abcissas. As ordenadas das intersecções desta perpendicular com as curvas (1, 2 e 3) dão os valores das correntes , e e ainda o seu sentido.

4.4.2. Teorema de Thevenin Este método aplica-se muitas vezes no caso de presença numa rede eléctrica de apenas um elemento não linear.

Para

(circuito aberto)

Para

Uma vez conhecidas a corrente e a tensão no elemento não linear, já podemos calcular todas correntes nos outros ramos do circuito, pelo método que acharmos mais conveniente. Qualquer que seja o método escolhido, temos uma incógnita à menos.

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5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS 5.1. Substâncias Ferromagnéticas e Não-Ferromagnéticas Pelas suas propriedades magnéticas todas as substâncias podem dividir-se em Diamagnéticas, Paramagnéticas e Ferromagnéticas. Substâncias Diamagnéticas são aquelas cuja permeabilidade relativa (μ) é ligeiramente inferior à unidade.

(Exemplo: Bismuto

)

Substâncias Paramagnéticas são aquelas cuja permeabilidade relativa (μ) é ligeiramente superior à unidade.

(Exemplo: Platina

)

Substâncias Ferromagnéticas são aquelas cuja permeabilidade relativa (μ) é muitas vezes superior à unidade.

(Exemplo: Ferro, Níquel, ferrites

ou

)

Geralmente em Engenharia Electrotécnica classificamos as substâncias, segundo as suas propriedades magnéticas em dois grupos: 1º Substâncias Ferromagnéticas são aquelas cuja permeabilidade relativa (μ) é muitas vezes superior à unidade. 2º Substâncias Não-Ferromagnéticas são aquelas cuja permeabilidade relativa (μ) é aproximadamente igual a unidade. Não-Ferromagnéticas

5.2. Parâmetros do Campo Magnético 5.2.1. Intensidade do Campo Magnético A Intensidade Magnética ou Grandeza do Campo Magnético num ponto é definida pela força que produz, ou com a qual está associada a indução magnética nesse ponto. A unidade da Intensidade do Campo Magnético é o Ampere-Espira/Metro. [ Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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5.2.2. Indução Magnética A Indução Magnética

em qualquer ponto de um campo magnético é a quantidade vectorial que determina a f.e.m.

induzida num condutor elementar que se move através do campo nesse ponto. A unidade da Indução Magnética no SI é o Tesla que é igual a um Weber por metro quadrado.

[

5.2.3. Magnetização A magnetização

em qualquer ponto de um campo magnético é definida como o momento magnético por unidade

de volume. A unidade da magnetização no SI é o Weber por metro quadrado.

As três grandezas do campo magnético estão assim relacionadas:

é a Permeabilidade Magnética do Vácuo.

A magnetização

em qualquer ponto de um campo magnético é um vector que tem a mesma direcção de

nesse

ponto e é directamente proporcional a intensidade magnética (no interior da substância). Assim, é a Susceptibilidade Magnética da Substância.

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é a Permeabilidade Relativa

é a Permeabilidade Absoluta

5.3. Fluxo Magnético O Fluxo Magnético através de uma área S é o integral da componente normal do vector Indução Magnética ao longo da área, em que

é um elemento da área S.

Para

:

ɸ=B.S

A unidade do fluxo magnético no SI é o Webber.

5.4. Fonte do Campo Magnético Como fonte do campo magnético é a carga eléctrica em movimento, ou seja, a corrente eléctrica. A carga pode ser positiva ou negativa. A capacidade de uma bobina excitar e desexcitar um campo magnético caracteriza-se pela Força Magnetomotriz (FMM).

A força magnetomotriz (f.m.m), F, de uma bobina percorrida por uma corrente eléctrica é dada pelo produto do número de espiras, N, da bobina, pela corrente I que circula nas espiras da bobina. Portanto, a unidade de f.m.m é o Ampere-Espira.

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A força magnetomotriz F dá origem a um fluxo magnético num circuito magnético, do mesmo modo que uma f.e.m dá origem a uma corrente eléctrica num circuito eléctrico.

5.5. As Leis dos Circuitos Magnéticos 5.5.1. Lei de Ampere (Lei da Corrente Total) A circulação do valor intensidade magnética

ao longo de qualquer percurso fechado é igual a soma algébrica das

correntes que atravessam o contorno limitado por este percurso.

O sentido positivo de integração

e o sentido positivo da corrente I estão relacionados pela regra do saca-rolhas.

5.5.2. Diferença de Potencial Magnético A diferença de potencial magnético (d.p.m.) entre dois pontos a e b de um campo magnético é o integral escalar da intensidade magnética entre esses pontos.

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Se

é constante e tem a mesma direcção que

Em que

é o percurso entre os pontos a e b do campo magnético.

A unidade da tensão magnética no SI é o Ampére.

5.5.3. Lei de Ohm Para Circuitos Magnéticos

Em módulo

S é a área da secção atravessada pelo fluxo magnético. A diferença de potencial magnético:

(5.5.1) Multiplicando a equação (5.5.1) por S. Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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A quantidade no denominador da equação (5.5.2) denomina-se Resistência Magnética (RM) de preferência Relutância.

A equação (5.5.2) pode ser escrita da forma seguinte:

(5.5.3) A equação (5.5.3) traduz a Lei de Ohm para circuitos magnéticos. Como as características fluxo-d.p.m. dos circuitos magnéticos são, no caso geral, não-lineares, a relutância é uma função do fluxo magnético.

Unidade da Resistência Magnética

Comparando a Lei de Ohm para circuitos magnéticos e a Lei de Ohm para circuitos eléctricos, pode se concluir que:

PARÂMETROS MAGNÉTICOS

PARÂMETROS ELÉCTRICOS

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5.5.4. As Leis de Kirchhoff Para os Circuitos Magnéticos Como para as redes eléctricas, também os circuitos magnéticos podem ser facilmente calculados aplicando as Leis de Kirchhoff.

5.5.4.1. Primeira Lei de Kirchhoff A soma algébrica dos fluxos magnéticos em qualquer nodo de um circuito magnético é zero.

5.5.4.2. Segunda Lei de Kirchhoff A soma algébrica das quedas de tensão magnética ao longo de qualquer percurso fechado é igual a soma algébrica das forças magnetomotrizes ao longo do mesmo percurso.

Esta equação é outra forma da lei de Ampere. Antes de se escreverem as equações para um circuito magnético aplicando as leis de Kirchhoff, deve-se escolher arbitrariamente o sentido positivo dos fluxos nos vários ramos e o sentido positivo de circulação ao longo de um contorno fechado ou malha. O sentido positivo da força magnetomotriz determina-se pela regra da mão direita: Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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- O polegar indica o sentido da FMM e os restantes dedos o sentido da corrente.

Vamos escrever as duas equações que traduzem a 2ª Lei de Kirchhoff para as duas malhas marcadas no circuito magnético acima. 1ª Equação

2ª Equação

5.6. Cálculo dos Circuitos Magnéticos Para os cálculos devem ser dados: 1º A configuração do circuito magnético 2º As dimensões 3º Tipos de núcleos ferromagnéticos Eng.º Leonel Fanequiço Eng.º Nivaldo Garcia

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Podem existir dois tipos de problemas: a) Problema Directo Os fluxos

ou indução magnética B do circuito são dados. Neste caso determina-se a FMM ou I.

b) Problema Inverso As FMM do circuito são dadas, determina-se o fluxo magnético no circuito ou B. Suposições Gerais 1ª Os fluxos magnéticos fora do núcleo são iguais a zero, isto é, todas as linhas magnéticas fecham-se através do núcleo ferromagnético. 2ª Todas as linhas magnéticas passam pela secção transversal.

5.6.1.Cálculo de Problemas Directos Nos problemas directos são dados: - O fluxo ou a indução magnética

;

- A configuração do circuito magnético e as dimensões; - O tipo de núcleo ferromagnético.

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Passos Principais 1º No circuito magnético dado, dividir em partes de secção constantes e determinar o comprimento de cada uma das partes. 2º Determinar a indução magnética de cada parte do núcleo sabendo que

é constante e comum.

3º Da curva de magnetização determinar H em cada parte do núcleo.

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4º Escrever as equações pela 2ª Lei de Kirchhoff. Para tal marcamos arbitrariamente o sentido positivo do contorno e o sentido do fluxo magnético.

5.6.2.Cálculo dos Problemas Inversos Nos problemas Inversos são dados: - A f.m.m. ou a corrente e o número de espiras; - A configuração do circuito magnético e as dimensões; - O tipo de núcleo ferromagnético, ou seja,

.

Passos Principais 1º Atribui-se arbitrariamente alguns valores do fluxo magnético (5 à 8), em algumas partes do circuito magnético. Para tal determina-se o fluxo máximo

.

Supõe-se que toda a queda de tensão magnética aplica-se a um entreferro. 2º Para cada valor do fluxo magnético

, onde i varia de 5 à 8, resolve-se o problema directo, ou seja, para cada

,

determina-se a 3º Constrói-se a característica

.

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5.6.3. Cálculo dos Circuitos Magnéticos Ramificados e Simétricos

Passos Principais 1º Procurar o eixo de simetria do circuito. 2º Calcular uma das metades do circuito.

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5.7. Circuitos Magnéticos Nas Condições de Corrente Alternada

Bobina sem núcleo ferromagnético.

Bobina com núcleo ferromagnético.

5.7.1. Particularidades 1ª A indutância da bobina com o núcleo ferromagnético não é constante e tem caracter não linear. porque

é variável

variável

L não é constante

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2ª Perdas adicionais devido ao fenómeno de Histerese no núcleo ferromagnético.

– Indução magnética residual ou remanescente

– Força Coerciva

3ª Perdas adicionais devidas às correntes Foucault.

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Método para Diminuição das Perdas Devidas às Correntes de Foucalt 1º Utilização de núcleos ferromagnéticos laminados com lâminas finas electricamente isoladas entre si. 2º Misturar o silício ao aço fundido. Como regra o aço electrotécnico tem 0,4 à 5 % de silício. Ao misturar silício ao aço fundido aumenta-se a resistência eléctrica, reduzindo deste modo as Correntes Foucault.

5.7.2. O Fluxo Magnético no Núcleo Duma Bobina Alimentada Pela Tensão Alternada Sinusoidal

Seja:

(bobina ideal)

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Observação: A experiência mostra que não surge fluxo magnético constante durante a alimentação da bobina, por isso C = 0.

Em que

Conclusões 1ª O fluxo magnético no núcleo também varia sinusoidalmente com o tempo. 2ª O fluxo magnético no núcleo tem atraso em relação à tensão em

radianos.

3ª O fluxo magnético não depende das dimensões do núcleo. 4ª O fluxo magnético coincide pela fase com a corrente reactiva da bobina.

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