Elementos De Máquinas: Clase N°4 – Comenzamos A Las 18:45 Aprox

Elementos de Máquinas

CLASE N°4 – COMENZAMOS A LAS 18:45 Aprox.

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ELEMENTOS DE MÁQUINAS

Ing. Raúl E. Coqui [email protected] Septiembre 21, 2020

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CALENDARIO Calendarización – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Lunes: 18:30 a 23:15 (on line) Miércoles: 18:30 a 23:15 (on line) Paralelo Clase 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

656 A Fecha 24-08 31-08 07-09 14-09 21-09 28-09 05-10 TBD 19-10 26-10 02-11 09-11 16-11 23-11 30-11 07-12 14-12 21-12 28-12 04-01 11-01 18-01

656 B Fecha 26-08 02-09 09-09 16-09 23-09 30-09 07-10 14-10 21-10 28-10 04-11 11-11 18-11 25-11 02-12 09-12 16-12 23-12 30-12 06-01 13-01 20-01

ACTIVIDADES Introducción – Tipos de esfuerzos – Esfuerzo y deflexión en vigas Esfuerzo y deflexión en vigas- Ejercicios Análisis de fallas por Fatiga - Ejercicios Suspensión de actividades Resumen Materia- Ejercicios CERTAMEN 1 Elementos de unión y sujeción – Ejercicios Ejes y árboles Parte 1 Suspensión de actividades Ejes y árboles Parte 2 Resortes Resortes 2 parte CERTAMEN 2 Suspensión de actividades Elementos Flexibles de Transmisión de Potencia y Movimiento 1 parte Elementos Flexibles de Transmisión de Potencia y Movimiento 2 parte Frenos, Descansos y Poleas 1 parte Frenos, Descansos y Poleas 2 parte Suspensión de actividades Descansos de rodamientos y deslizamientos - Ejercicios CERTAMEN 3 NOTAS FINALES

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ELEMENTOS DE MÁQUINAS

Ing. Raúl E. Coqui [email protected] Septiembre 21, 2020

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CONCEPTOS IMPORTANTES • RESISTENCIA (S) o De un material: ( Sy , Su , Se , etc.) Propiedad intrínseca que depende del proceso de obtención y tratamiento. Ejemplo: Acero SAE 1030 Tratamiento

Sy [MPa]

Su [MPa]

Templado y Revenido (205ºC)

648

848

Normalizado

345

521

Recocido

317

430

Valores estadísticos (promedios)

 De una Pieza o Elemento de Máquina: Fuerza o esfuerzo necesario para provocar la falla de la pieza o componente de máquina. Elementos de Máquinas

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CONCEPTOS IMPORTANTES • Factor de Seguridad (n)

n

S





Ss



1

o nd : Factor de Diseño o ne : Factor efectivo o real

El factor de seguridad tiene en cuenta: • tipo de carga • calidad de los materiales

• peligro de personas • aspectos económicos

Se debe tener claro respecto de que resistencia está basado, Su o Sy, ya que el factor calculado respecto a la resistencia máxima o última, es mayor. Para los valores de esta en diferentes calidades de aceros ver tabla A-20 y A-21 del texto guía.

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CONCEPTOS IMPORTANTES (adm ó  perm):

• Esfuerzo Admisible o Permisible

Valor reducido de resistencia utilizado para dimensionar piezas seguras o libres de fallas. Es utilizado para diseñar elementos cuya resistencia sea mayor a cualquier tipo de esfuerzo al que puedan ser sometidos. (   perm,   perm)

Tensión

0,45  Sy  adm  0,60  Sy

Corte

adm = 0,40  Sy

Flexión

0,60  Sy  adm  0,75  Sy

Aplastamiento

adm = 0,90  Sy

Recomendaciones para aceros del AISC (American Institute of Steel Construction) Elementos de Máquinas

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CONCEPTOS IMPORTANTES • Diagrama Esfuerzo vs Deformación Unitaria



Esfuerzos ( y ) Límite de elasticidad (Sy)

Resistencia Última (Su) Deflexión extensión de longitud ()



Constante de Proporcionalidad (E), también conocida como Modulo de Young o Elasticidad, corresponde a la pendiente de la recta.

Punto de Fluencia (Y)

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CONCEPTOS IMPORTANTES • Ley de Hooke La rigidez dentro del rango elástico se mantiene aproximadamente constante para la mayoría de los materiales metálicos utilizados en ingeniería. Está representada por la pendiente del diagrama  v/s ε, y es una característica de cada material, representada por el módulo de elasticidad.

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CONCEPTOS IMPORTANTES • Ley de Hooke Simultáneamente con la deformación unitaria axial, se produce la deformación unitaria lateral.

Módulo de Poisson () es la relación entre la deformación lateral y la deformación axial producida por el esfuerzo, dentro del límite de proporcionalidad.

εy =  y / E εx = -  εy

 = - εx / εy

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CONCEPTOS IMPORTANTES Ley de Hooke en materiales isotrópicos La Ley de Hooke puede extenderse para estados de esfuerzos bi-axiales y tri-axiales encontrados frecuentemente en aplicaciones en ingeniería. Si el material es isotrópico, el módulo de Young y el módulo de Poisson son constantes en todas las direcciones.

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CONCEPTOS IMPORTANTES Problemas estáticamente indeterminados Hay muchos problemas, sin embargo, en donde no es posible determinar las fuerzas internas usando sólo la estática. De hecho, en la mayoría de estos problemas las reacciones mismas, que son fuerzas externas, no pueden hallarse simplemente dibujando un diagrama de cuerpo libre del elemento y escribiendo las correspondientes ecuaciones de equilibrio. Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con relaciones que involucran las deformaciones obtenidas considerando la geometría del problema. Debido a que la estática no es suficiente para determinar las reacciones o las fuerzas internas, los problemas de este tipo se conocen como estáticamente indeterminados.

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TIPOS DE CARGAS 1. SEGÚN EL TIEMPO DE ACTUACIÓN

 Carga Estática: Se aplica gradualmente desde en valor inicial cero hasta su máximo valor.  Carga de Impacto:

Se aplica súbitamente  Carga Cíclica: Varía en magnitud y dirección, y tiene período característico F

t

Forma de aplicación de carga cíclica. La pieza se flecta en cada ángulo de giro.

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TIPOS DE CARGAS 2.SEGÚN EL ÁREA SOBRE LA QUE SE APLICA:

 Concentrada: El área donde se aplica es menor que la sección del elemento  Distribuida: Se aplica a lo largo de toda el área. Ejemplo: el peso propio

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TIPOS DE CARGAS 3.SEGÚN LA FORMA DE APLICACIÓN:  Normal: Pasa por el centroide de la sección resistente Tracción +

P

P

P

Compresión −

P

 Cortante: Actúa en forma paralela a la sección resistente (+) cuando la fuerza y la normal tienen distinto signo (-) cuando la fuerza y la normal tienen igual signo

P V (+)

N (+)

P

P

P

V (-)

N (+) P

P Elementos de Máquinas

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TIPOS DE CARGAS 4.SEGÚN LA FORMA DE APLICACIÓN:

•De Flexión: Se aplica en forma transversal al eje longitudinal de la pieza P

P

+

y

M

M

M

M

x

Signos del Momento

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TIPOS DE CARGAS  De Torsión: Carga que produce un giro en la sección transversal Para determinar el signo, se debe ocupar la regla de la mano derecha

 Combinada: una combinación de 2 o más cargas P

P b a

V T

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EJEMPLO Aplicación de la Ley de Hooke: Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro ‡4 mm , y cuyos módulos de elasticidad son: E1=2.1x10^5 MPa y E2=0.7x^5 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.

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EJEMPLO Aplicación de la Ley de Hooke:

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EJEMPLO Aplicación de la Ley de Hooke: Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m de longitud, soportan un peso P=5 KN. a) Calcular el descenso G del punto C, siendo =20º. b) a) Calcular el descenso G del punto C, siendo =0º. Datos: E=2,1x10^5 MPa.

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Aplicación de la Ley de Hooke:

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EJEMPLO

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Aplicación de la Ley de Hooke:

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EJEMPLO

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ESFUERZO Esfuerzos Normales Máximos y Mínimos:

 max ,  min   1 ,  2 

 x  y 2

  x  y 

  

2

   xy 2 

2

Esfuerzos Cortantes Máximos y Mínimos

  x  y     xy 2   1 , 2     2  2

 max , min

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ESFUERZO Resumen: Para un estado plano o bidimensional de tensiones (x, y, xy) conocidos se tiene: a) Que los esfuerzos normales y cortantes se pueden determinar para cualquier plano inclinado  mediante las ecuaciones (1) y (2). b) Los esfuerzos normales y cortantes principales se pueden determinar por (5) y (6). c) Si se conocen lo esfuerzos normales principales (1 y 2) entonces los esfuerzos normales y cortantes para cualquier plano inclinado en  se determina por:

 

1   2 1   2 

2 2      1 2 sen2  2

cos2 

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ESFUERZO CIRCULO DE MOHR Recordar:

1, 2 

 x  y 2

  x  y     xy 2    2  2

   y     xy 2  1 , 2    x  2  2

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VIGAS Y COLUMNAS Deformación Elástica:

  E    G





l E  2G  1   

deformación lateral   deformación axial

Donde: l : longitud de la pieza.  : deformación.  : acortamiento o estiramiento.  : módulo de Poisson.  : deformación por cortante. E : constante de proporcionalidad entre esfuerzo y deformación. G : Modulo de rigidez por cortante.

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: Barra hecha de elastómero para ilustrar los efectos de la flexión.

 

 a) Barra en su estado natural

b) Barra deformada.

Mf y I

Mf Z

Z

I c

Z : módulo de la sección

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: l1 R1

F

l2

l

Diagrama de cuerpo libre

R2

V R1

l

Diagrama cortante

R2

M

Diagramas de momento flector

Mfmax

l

M f max  R1  l1 

F  l2  l1 l 28

EJEMPLO Para la estructura formada por 3 vigas y pasadores que se muestra en la figura, se pide determinar: a)

El diagrama de cuerpo libre de la barra CE con la magnitud y dirección de las fuerzas aplicadas.

b) El diagrama de cuerpo libre de la barra BD con la magnitud y dirección de las fuerzas aplicadas. c)

Indicar, no calcular, el procedimiento de diseño que usted emplearía para dimensionar la barra CE, considerando un perfil tubular de acero comercial.

Análisis de señales vibratorias

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Desarrollo

Análisis de señales vibratorias

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Desarrollo

Análisis de señales vibratorias

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas:

Revisaremso las deformaciones producidas cuando una viga prismática recta, fabricada con un material homogéneo, se somete a flexión. El análisis se limitará a las vigas que tienen un área transversal simétrica con respecto a un eje, en las que el momento flexionante se aplica alrededor de un eje perpendicular a dicho eje de simetría, como se muestra en la figura . El comportamiento de los elementos que tienen secciones transversales asimétricas, o que están fabricados con diferentes materiales no serán material de estudio de este curso.

Fig.7 Deformación de elemento recto . Mecanica de materiales –Beer Jonhson 6ta Edición .

VIGAS Y COLUMNAS Elementos simétricos sometidos a flexión pura:

Denotando por x el esfuerzo normal en un punto dado de la sección transversal y por Ƭxy y Ƭxz las componentes del esfuerzo cortante. El conjunto de fuerzas internas elementales ejercido sobre la sección es equivalente al par M, por lo tanto el esfuerzo estará relacionado proporcionalmente con el Momento y la sección del elemento.

Fig.9 Esfuerzo principales debido a la flexión . Mecanica de materiales – Beer Jonhson 6ta Edición .

VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas:

En el diseño por flexión de una viga:

 max 

M f max  c I

I   y 2 dA

El momento flector máximo (Mf max) se obtiene del diagrama de momento flector de la viga. Vista lateral que muestra las variaciones de los esfuerzos flectores. Eje neutro

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: Método de la superposición

Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la deflexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las diversas cargas.

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: Problemas estáticamente indeterminados Un sistema en el cual las leyes de la estática no bastan para determinar todas las fuerzas o momentos desconocidos

 Método 1: Se determina con ecuaciones →Equilibrio estático →Deformación del elemento  Método 2: Se determina con Momento del Área

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: Problemas estáticamente indeterminados Método 1 – Ejemplo Aplicación de la Ley de Hooke

Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro ‡4 mm , y cuyos módulos de elasticidad son: E1=2.1x10^5 MPa y E2=0.7x^5 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está sometida a una carga puntual P=500 N. Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.

VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: Problemas estáticamente indeterminados Método 2 – Ejemplo Dimensionar un perfil I para la viga de una grúa

Datos: Determinar y/o dimensionar un perfil “I” para la viga superior de la grúa con capacidad de carga de P [ton]. Indicar las propiedades de los perfiles y utilizar un factor de seguridad de n. l

h x

P

(P es carga móvil)

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Fuerzas y momentos Internos Para diseñar un elemento estructural o mecánico es necesario conocer la carga que actúa dentro de él, para asegurarnos de que el material puede resistir esta carga. Las cargas internas pueden determinarse por el método de secciones.

Fig. 5 Fuerzas y momentos internos .Estática – Hibebeler 12va edición.

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Método de las secciones El método de secciones puede usarse para determinar las cargas internas en una ubicación específica de un elemento, por el siguiente procedimiento. Reacciones en los soportes

Antes de seccionar el elemento, puede ser necesario determinar primero las reacciones en sus soportes, de manera que las ecuaciones de equilibrio se usen para resolver las cargas internas sólo después de que el elemento esté seccionado. Diagrama de cuerpo libre Mantenga todas las cargas distribuidas, momentos de par y fuerzas que actúan sobre el elemento en sus ubicaciones exactas, luego pase una sección imaginaria por el elemento, perpendicular a su eje en el punto en que debe determinarse la carga interna. Una vez hecha la sección, trace un diagrama de cuerpo libre del segmento que tenga el menor número de cargas, e indique las componentes de la fuerza y el momento de par resultantes en la sección transversal que actúan en sus direcciones positivas de acuerdo con la convención de signos establecida. Ecuaciones de equilibrio Hay que sumar los momentos en la sección. De esta manera se eliminan las fuerzas normal y cortante en la sección y se puede obtener una solución directa para el momento. Si la solución de las ecuaciones de equilibrio resulta en un escalar negativo, el sentido supuesto de la cantidad es contrario al del diagrama de cuerpo libre. Elementos de Máquinas

Fig.7Metodo de las secciones ; Staatic and dinamic ; Beer Jonhson 6ta Edición . 40

Diagramas de fuerza y momentos flectores Los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para una viga pueden construirse con el siguiente procedimiento. Reacciones en los soportes Determine todas las fuerzas y los momentos de par reactivos que actúan sobre la viga, y descomponga todas las fuerzas en componentes que actúan en forma perpendicular y paralela al eje de la viga. Funciones de fuerza cortante y de momento flexionante Especifique coordenadas por separado cuyo origen esté en el extremo izquierdo de la viga y que se extienden a regiones de la viga entre fuerzas y>o momentos de par concentrados, o donde la carga distribuida sea continua. Seccione la viga en cada distancia x y trace el diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos. Asegúrese de que V y M se muestren al actuar en sus sentidos positivos, de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 7-10. La fuerza cortante V se obtiene al sumar fuerzas perpendiculares al eje de la viga.

Fig. 8 Diagramas fuerzas coerrtantes y momentos flectores .Estática – Hibebeler 12va edición.

El momento flexionante M se obtiene al sumar momentos con Elementos de Máquinas respecto al extremo seccionado del segmento.

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VIGAS Y COLUMNAS Ejercicio Flexión en Vigas: Una grúa se usa para sostener el motor que tiene un peso de 1200 lb. Esta construida de un perfil tubular de acero A-36. a) b)

Determine el esfuerzo normal máximo por flexión en la viga A-C. Determine el factor de seguridad mínimo en la viga A-C.

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EJEMPLOS Ejemplo:

La figura muestra una manivela en la que actúa una fuerza F=300[lb] que produce torsión y flexión del elemento empotrado a un soporte situado en el origen del sistema de referencia. El material del eje AB es acero AISI 1030 templado y revenido a 400ºF. Determine el factor de seguridad con base en el estado de esfuerzo del punto A. y 1ll

A z

B 5

ll

F

C

ll

3 D. 4

1 4

ll

1 D. 2

ll

1

1 4

ll

4ll

x

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EJEMPLOS Ejemplo 1:

Respuesta: El momento flexionante máximo (M) para el punto A está dado por: M=6 F = 1800 [lb·in] Por lo tanto el esfuerzo normal y cortante están dados por: M 32  M 32 1800    43.459,91[ psi] 3 3 I 3  d   ( 4) c T  r 16T 16  (4  300)  xz     14.486,64[ psi] 3 3 J  d   34 Después se escoge la teoría del esfuerzo cortante máximo como base de diseño. El esfuerzo cortante máximo se puede determinar a partir del diagrama de un círculo de Mohr y es:

x 

 

  2   x    xz  26.116,16[ psi]  2  2

 max

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EJEMPLOS Ejemplo 1:

Para el diseño de la pieza el esfuerzo cortante máximo deberá ser: Sy

 max 

2 ne

; Sy=94.000 [psi]; ver tabla A-21 del texto guía. Base de diseño el esfuerzo cortante máximo. (Cap. 5-4)

Por lo tanto el factor de seguridad obtenido es: Sy ne 

2  1,8

 max

Considerando este factor de seguridad la resistencia de esta pieza como elemento de máquina sería 300[lb].

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VIGAS Y COLUMNAS Flexión en Vigas: Ejercicio El eje de acero sólido de 1.5 pulg de diámetro que se muestra en la figura está simplemente apoyado en los extremos. Dos poleas se unen mediante cuñas al eje, donde la polea B tiene un diámetro de 4.0 pulg y la polea C de 8 pulg. Si sólo se consideran los esfuerzos en flexión y torsión, determine las ubicaciones y magnitudes de los esfuerzos máximos de tensión, compresión y cortante en el eje.

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VIGAS Y COLUMNAS Solución:

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VIGAS Y COLUMNAS Solución:

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VIGAS Y COLUMNAS Solución:

Recordar:

1, 2 

 x  y 2

  x  y 

  

  x  y 

 1 , 2    

2

2

2

   xy 2 

2

   xy 2 

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VIGAS Y COLUMNAS Columnas:  Elemento esbelto sometido a compresión.  La falla se produce por deformación lateral, denominado pandeo.

 El pandeo se determina con el valor de Pcrit.

Columna con extremos redondeados: a) conjunto, b) perfil de deformación, c) diagrama de cuerpo libre.

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VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler

Del diagrama de cuerpo libre anterior (c) se tiene que:

M  P y

Además la relación para la curvatura de una viga sometida a un momento flexionante M es: r

1



M

M



r





1

r



M EI d2y dx 2

  dy   1   dx    

2

   

3

2

d2y M   dx 2 EI

51

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler

Recordando que M=Py, se tiene que: d2y M d2y P y 0    dx 2 EI dx 2 EI

Ecuación de Movimiento Armónico Simple

Cuya solución es:  y  Asen 

  P  x   B cos EI  

 P  x EI 

Donde las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno: i) Si x=0, y=0  B=0 ii)Si x=l , y=0 

 0  Asen  

 P  l ; A  0 EI 

P  l  n   ; (n  1,2,...) EI

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VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler

P 2  si n  1   2 EI l Luego la carga crítica que provocará pandeo es:



Pcrit 

2 l

2

EI

Formula de Euler

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler

Entonces la carga por unidad de área que provocará la inestabilidad (pandeo) de la columna, será:

Pcrit 2 EI 2  2   2  E  k2 A l A l

Donde:

k

I A

l   k

(radio de giro) (relación de esbeltez)

Nota: para el diseño de una columna se tomará la relación de esbeltez más desfavorable (radio de giro mínimo)

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler La longitud de pandeo varía según la condición de los extremos. En este caso es mejor definir la longitud efectiva de pandeo:

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler Constantes de condición de extremo para columna de Euler Otro esquema para incluir la condición de los extremos es: Pcrit  2  E C  2 A l k

 

Dada la ecc. de Euler (modificada):

C (teoría)

C (AISC)

C (conservador)*

C (recomendado)*

Libre – Emp.

1/ 4

0,2267

1/ 4

1/ 4

Art. – Art.

1

1

1

1

Art. – Emp.

2

1,5625

1

1,2

Emp. – Emp.

4

2,367

1

1,2

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler Criterios Ecc. Euler – Ecc. Johnson Basándose en la curva de Euler, se desprende que:

l  l  i) si       se utilizarán las fórmulas de compresión simple  k   k A

Esfuerzo   normal  

Sy



A

2

 l   l   se utilizará la fórmula de Euler    k   k A

ii) si 

Euler

B

Sy

l k  l k  A

B

Pero! en una columna las condiciones de los extremos son muy difíciles de lograr. Además se ha podido comprobar que ocurren numerosas fallas con columnas cuyo (l/k)  (l/k)A.

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Ecuación de Euler - Criterios Ecc. Euler – Ecc. Johnson Entonces, se ocupará el siguiente criterio:

i) si

ii)si

l  l        se utilizará la fórmula de Euler:  k   k B l  l        se utilizará la fórmula de Johnson:  k   k B 2

 Sy l  Pcrit 1   Sy     2  k  C  E A  

, con

l       k B

2C  E Sy

Pcrit  2  E C  2 A l k

 

VIGAS Y COLUMNAS Columnas: Método  para Determinación del Pandeo

 Método  (omega): Considera el pandeo como una compresión especial.

 crit l   k

P l        adm A k ; en función de l/k. (Tabulada en el Prontuario) En donde se define la relación de esbeltez como:

l     k

Teoría de Fallas Material Dúctil: Capitulo 5 - Shigley 

Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo



Teoría de Von Mises.

Material Frágil: (No son parte del estudio en este ramo) 

Teoría del Esfuerzo Normal Máximo



Teoría de Mohr-Coulomb

Teoría de Fallas: Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo La falla ocurre cuando : (max)pieza  ( max)ensayo tracción En un estado de esfuerzo cortante puro:  max =  fluencia = Ssy = 0,5 * Sy yx

y

en particular cuando en un elemento de máquina:

xy x x

xy yx y

Estado de esfuerzo biaxial.

y = 0  (x , xy)



2 Sy x  2        xy máx., mín. 2  2 

Estado de esfuerzo combinado,  y , utilizando la Teoría de Esfuerzo Cortante Máximo  Para el diseño seguro de la pieza: 2 Sy x  2     xy  2 n  2 

, n: factor de seguridad

Teoría de Fallas: Teoría de Von Mises Utilizando la teoría de falla de Von Mises para un estado de esfuerzo biaxial, los esfuerzos normales principales son esta vez:



máx., mín.







 x  y 2

máx., mín.



x 2



 x  y   2 



x  2     xy  2 

2

 2     xy 

Luego, con: y = 0

2

(Ec. 2)

Reemplazando la Ec. 2 en 1 y recordando que :

 oct 

2  Sy 3

  x  3  xy  S y 2



 x 2  3  xy 2 

Sy n

Utilizado en el diseño según la teoría de Von Mises



 x 2  4  xy 2 

Sy n

Utilizado en el diseño según la teoría del Esfuerzo Cortante Máximo

2

EJEMPLO Un tubo de 920 mm de longitud hecho de una aleación de aluminio 2014 con modulo de elasticidad E=72,3 GPa, Sy= 96,4 MPa, tiene un diámetro exterior de 76 mm y un espesor de pared de 1 mm con ambos extremos articulados. Se pide obtener: a)

La carga crítica de pandeo considerando un factor de seguridad estático de 2.5.

b) La carga crítica de pandeo considerando un factor de seguridad estático de 2.0 cuando un extremo está fijo y el otro libre.

Análisis de señales vibratorias

63

Análisis de señales vibratorias

64

Análisis de señales vibratorias

65

EJEMPLO El marco fabricado en acero ASTM A36 (Sy =210 MPa, Su = 380 MPa, E = 210 GPa, ν = 0,3) debe diseñarse para resistir una carga de impacto debido a la caída de un masa M = 6 kg desde una altura de 110 cm. Se pide: a) Determinar la carga de impacto sobre las columnas de sección transversal cuadrada 150x150 mm2. Considere la barra superior AB infinitamente rígida (no se deforma durante el impacto).

b) Verificar si las columnas resisten la carga axial (use ED). c) Determinar el factor de seguridad de pandeo.

Análisis de señales vibratorias

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Análisis de señales vibratorias

67

Análisis de señales vibratorias

68

EJEMPLO Para la estructura fabricada en acero SAE 1030-HR que soporta los semáforos, cuya sección transversal es tubular (D = 250 mm) en el segmento AB, se pide:

a)

Seleccione el criterio de falla más adecuado para este problema y justifique su respuesta.

b)

Determine el diámetro interno d para resistir el peso P = 1,2 kN de los semáforos considerando un factor de seguridad N = 2 y despreciando el esfuerzo axial.

c)

Con el espesor diseñado en (a) determine los esfuerzos exactos considerando el esfuerzo axial y verifique su diseño.

d)

Considere ahora que producto del viento, el apoyo debe resistir además de las cargas de peso propio de los semáforos un momento torsor T = 10 kN·m aplicado en B (considere que esta carga se aplica de forma estática).

Análisis de señales vibratorias

69

Análisis de señales vibratorias

70

Análisis de señales vibratorias

71

Análisis de Fallas por Fatiga Fatiga Falla producida por esfuerzos repetidos o fluctuantes, esfuerzos que varían en el tiempo y cuyas magnitudes son inferiores a la resistencia última del material o incluso menores que la resistencia de fluencia En general:

a: amplitud de esfuerzo

s

 max   min a  2

smax sa

sa smin

sm Tiempo o ciclos

 m: esfuerzo medio

m 

 max   min 2

Elementos de Máquinas

72

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades Para ciclo bajo, o sea, N < 103 ciclos, se pueden utilizar los conceptos de carga estática, es decir, factores de seguridad. Para el ciclo alto se presentan dos rangos de trabajo

Comportamiento de vida infinita, con: N > 107 Comportamiento de vida finita, con: 103 < N < 106

73

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Luego de múltiples análisis de variados aceros, se han logrado las siguientes relaciones para Se’:

 0,504  Sut Se'     700 [MPa] (100 kpsi)

Sut  1400 [MPa] (200 kpsi) Sut  1400 [MPa] (200 kpsi)

Nota: Para límites de resistencia a la fatiga de diversos hierros colados, pulidos o maquinados. (Ver tabla E-24).

74

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga Basado en lo anterior, se obtiene la siguiente relación:

Se  k a  k b  k c  k d  k e  S

' e

Donde:

Se : límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico Se’: límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria ka : factor de superficie kb : factor de tamaño o forma kc : factor de carga kd : factor de temperatura ke : factor de efectos diversos 75

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de superficie ka Este factor depende de la calidad del acabado superficial y de la resistencia a la tensión.

 ka  a S

b ut

Factores de acabado superficial.

(Diseño en Ingeniería Mecánica, J. Shigley, Sexta edición) 76

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de superficie ka

Gráfico de factor de acabado superficial como función de Sut y el proceso de manufactura

(Elementos de máquinas, J. Hamrock, 2000) 77

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de tamaño kb 





Los resultados de evaluaciones para casos de flexión y torsión dan como resultado:

Para tamaños mayores, kb: 0,60  0,75 (en flexión y torsión) En el caso de que se aplique carga axial no existe factor de tamaño kb = 1

78

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de tamaño kb Para un elemento que no es cilíndrico o que no es rotatorio, entonces se definió una dimensión equivalente de, es igual a la de un anillo de diámetro exterior de e interior 0,95de. Para vigas redondas macizas o huecas rotatorias:

A0,95 = 0,0766  de2 Para el caso de vigas redondas macizas o huecas no rotatorias



2 A0,95 = 0,0105  D2 , D: diámetro exterior  0.0105 D  0.0766  de

2



 de = 0,37  D 79

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de tamaño kb

80

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de carga kc Este factor viene dado por las siguientes fórmulas:

0,923  1  kc    1 0,577

Carga axial

Sut  1520 [MPa] (220 kpsi)

Carga axial

Sut > 1520 [MPa] (220 kpsi)

Flexión Torsión y cortante

81

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de temperatura kd Los elementos de máquinas se ven afectados con los cambios de temperatura. ►A ↓ Tº son más frágiles ►A ↑ Tº provocan un rápido descenso del esfuerzo de fluencia, pudiendo llegar a niveles de deformación plástica con casi nulas solicitaciones El límite de fatiga tiende a desaparecer a condiciones de muy alta temperatura de trabajos. Si se conoce la resistencia a la fatiga de la viga rotatoria a la temperatura ambiente, úsese:

S kd  T SRT

ST SRT

: Resistencia a la tensión a temperatura de trabajo. : Resistencia a la tensión a temperatura ambiente.

82

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de temperatura kd Si se desconoce este dato entonces calcúlese Se’ con la resistencia última corregida desde la figura o de la tabla, usándose luego kd = 1.

(Diseño en Ingeniería Mecánica, J. Shigley, Quinta edición) 83

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke Se usa este factor para tomar en cuenta la reducción en el límite de resistencia a la fatiga debida a otros efectos. Hay operaciones que originan esfuerzos de compresión en la superficie de una pieza y ayudan a mejorar el límite de resistencia a la fatiga como graneado, martillado o laminado en frío. Aquellas piezas que se forman a partir de barras o láminas, sufren del efecto de las características direccionales de la operación. Esto significa que es más factible que ocurra una falla en la pieza si se le tensiona en el sentido transversal que en el longitudinal. Se ha observado que en elementos laminados o estirados la resistencia en el sentido transversal es entre un 10% y un 20% menor que en el longitudinal.

Las piezas con templado superficial pueden fallar en la superficie o en el núcleo, pendiendo del gradiente de esfuerzo. 84

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke •

Se produce por agentes que provocan picaduras en la superficie del material, y lo van debilitando.

•

Es casi imposible cuantificarla, ya que a medida que se deteriora el material aumentan las solicitaciones.

•

Luego más que establecer un criterio de cálculo, se deben tratar de minimizar los factores que producen corrosión. Algunos son:

Elementos de Máquinas 85

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke

Recubrimiento Electrolítico:

Como los procesos de niquelado, cromado o cadmizado, los que pueden reducir el límite de resistencia a la fatiga hasta en un 50%. El galvanizado (o revestimiento con Zinc) no afecta la resistencia. La oxidación anódica de aleaciones ligeras reduce los límites de fatiga a la flexión hasta en un 39%, pero no influye en el límite a la torsión Frecuencia: Este factor debe considerarse si existe corrosión y/o altas temperaturas. A menor frecuencia y mayor temperatura, mayor será la propagación de grietas y menor la duración de la pieza. La corrosión por apriete (frettage) o agripaje

Es el resultado de movimientos microscópicos en la superficie de piezas que se encuentran estrechamente ajustadas, como es el caso de juntas atornilladas, cojinetes, cubos de ruedas, válvulas, entre muchos otros. Este proceso implica un cambio de color, corrosión y, eventualmente, fatiga. El factor ke dependerá del material de las piezas, variando desde 0,24 hasta 0,90.

86

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Concentración de esfuerzos a la fatiga Kf Es un efecto cuantificado, principalmente en cuanto a sensibilidad a muescas se refiere. Se calcula:

q : Sensibilidad de la muesca.

K f  1 q  (Kt 1)

Kt : Factor teórico de concentración de esfuerzos.

;donde

Kt 

esfuerzo máximo en probeta con muesca esfuerzo en probeta libre de muesca

 q y Kt : Se obtienen a través de gráficos o tablas, ver siguientes diapositivas.  Para más diagramas, ver texto guía, anexo, tablas E-15-15 y E-16. Debido a la dispersión de los valores experimentales de q, si surge duda sobre el valor real, ocupar Kf = Kt Elementos de Máquinas 87

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Obtención de “q”  Diagramas de sensibilidad a la muesca para aceros y aleaciones de aluminio forjado UNS A92024-T sometidas a carga de flexión y cargas axiales, con inversión ambas. Para radios mayores, use tres valores de q correspondientes a r=4[mm].  La sensibilidad a la muesca del hierro colado es muy baja y varía: 0  0,20. según la resistencia a la tensión. Se recomienda que el valor de q=0,20 se aplique a todos los grados o clases de hierro colado.

Elementos de Máquinas 88

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Obtención de “q”

 Curvas de sensibilidad a la muesca para materiales en torsión con inversión. Para radios mayores, use los valores de q correspondientes a r = 4 [mm].

Elementos de Máquinas 89

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Obtención de “kt” • Diagrama de factor de concentración de esfuerzo Kt. • Barra circular con entalle circunferencial sometida a tensión. .

F d2 o  , donde : A    A 4

(Elementos de máquinas, J. Hamrock, 2000) Elementos de Máquinas 90

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Obtención de “kt” •

•

Diagrama de factor de concentración de esfuerzo Kt. Barra circular con entalle circunferencial sometida a flexión.

.

o 

M c I

d donde : c  2

e

d4 I   64

(Elementos de máquinas, J. Hamrock, 2000) Elementos de Máquinas 91

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Obtención de “kt” •

•

Diagrama de factor de concentración de esfuerzo Kt. Barra circular con entalle circunferencial sometida a torsión.

.

o 

T c J

d donde : c  2

d4 y J   32

(Elementos de máquinas, J. Hamrock, 2000) Elementos de Máquinas 92

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Concentración de esfuerzos a la fatiga kf Cuando el material es dúctil o se comporta como tal, interesa conocer la resistencia a la fatiga para una duración finita. En este caso, Kf no necesita utilizarse con materiales dúctiles cuando estos soporten sólo cargas estáticas, puesto que la fluencia mitigará la concentración de esfuerzo. Esto significa que en N = 103 ciclos, la carga es prácticamente estática y, por consiguiente, no necesita emplearse el factor. . Pero, ¿Cómo se debe utilizar Kf en 107 ciclos, o entre 103 y 107 ciclos?

Elementos de Máquinas 93

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Concentración de esfuerzos a la fatiga kf Se puede utilizar Kf como factor de reducción de la resistencia a la fatiga, por lo tanto (para N  107 ciclos)

1 ke  Kf

Factor de Reducción de la Resistencia a la Fatiga

Elementos de Máquinas 94

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga para vida infinita Factor de efectos varios ke – Concentración de esfuerzos a la fatiga kf Se puede utilizar Kf como factor de reducción de la resistencia a la fatiga, por lo tanto (para N  107 ciclos)

1 ke  Kf

Factor de Reducción de la Resistencia a la Fatiga

Elementos de Máquinas 95

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes

Vida Infinita (N >107) En muchos casos los esfuerzos a los que están sometidos las piezas fluctúan (con m ≠ 0), esto implica que los resultados de los ensayos para obtener la resistencia a la fatiga mediante inversión completa no son aplicables directamente.  max

a 

a

min

a m

max

m

min

 max   min 2

 max   min  2

Tiempo o ciclos

Esfuerzo fluctuante senoidal Elementos de Máquinas

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Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes •

Luego, para el estudio de fatiga en caso de esfuerzos fluctuantes, se realizan ensayos variando las magnitudes de a y  m, para investigar la resistencia a la fatiga.  Influencia de  m 0 en la resistencia a la fatiga, para carga de tracción. Los valores sobre la línea indican falla.

(Elementos de máquinas, J. Hamrock, 2000) 97

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes •

Para establecer la formulación de las relaciones lineales de la figura anterior se usa la ecuación de la recta en su forma:

x y  1 a b



;donde a y b son las intercepciones x e y, respectivamente.

a m 1   Se Sy n

; Soderberg

a m 1   Se Su n

; Goodman modificada

98

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes •

Para la ecuación de la curva de Gerber, se utiliza una parábola invertida de vértice : (sm , sa) = (0 , Se)

 n  m n  a   S Se u  •

2

   1 

; Gerber

La presencia del factor de seguridad n es una mera transformación algebraica, que no tiene efecto sobre concepto estudiado. Esta transformación viene del hecho que la formulación original utiliza Sa y Sm en vez de n∙sa y n∙sm.

99

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes •

Otro enfoque es el de la línea de carga. Esta se obtiene al hacer pasar una línea paralela a la estudiada, por el punto de intersección de sm y sa dados. •

sa

Línea de Goodman

Se

•

Sa

sa

A Área de esfuerzo seguro

sm

Sm

Su

Gráfico de la línea de esfuerzo seguro o de carga para Goodman. Nótese que la línea de carga es el lugar geométrico de todos los conjuntos de esfuerzos sa-sm que tienen un factor de seguridad n, donde: • Sm = n ∙ sm y Sa = n ∙ sa

sm

100

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes ¿Cómo se debe proceder cuando la carga es una combinación de flexión, torsión y/o tracción?

1. En el caso de la resistencia, utilícese el límite de fatiga completamente corregido en el caso de flexión. 2. Aplíquense los factores de concentración de esfuerzo adecuados a las componentes alternas del esfuerzo torsional, el esfuerzo por flexión y las componentes del esfuerzo axial. 3. Multiplíquese cualquier componente de esfuerzo axial alterna por el factor:

1 k c,ax



1  1,083 0,923

101

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes ¿Cómo se debe proceder cuando la carga es una combinación de flexión, torsión y/o tracción?

4. Inclúyanse los esfuerzos resultantes en un análisis por círculo de Mohr y determínense los esfuerzos principales. 5. Utilizando los resultados del paso 4, determínese el esfuerzo alternante de von Mises sa’. 6. Compárese sa’ con Se a fin de obtener el factor de seguridad.

Si también existen esfuerzos medios, entonces pueden repetirse los pasos 4 y 5 para ellos, y usarse el esfuerzo medio de von Mises sm’ resultante con sa’ para obtener una solución de Goodman modificada.

102

Análisis de Falla por Fatiga Fatiga Propiedades – Resistencia a la fatiga bajo a esfuerzos fluctuantes Nótese que los esfuerzos medios no son aumentados por el factor de concentración de esfuerzo en fatiga Kf o Ksf, a menos que se comporten como materiales frágiles. Asimismo, el factor 1/kc,ax no debe aplicarse a esfuerzos medios axiales, ya que esto se consideran como estáticos. Cabe observar que el análisis descrito anteriormente supone un factor de tamaño en el caso de carga axial que es igual en el caso de flexión y torsión. Cuando hay flexión, la existencia de una componente axial suele ser relativamente insignificante; así que en la mayoría de los casos esta pérdida de exactitud es mínima y siempre conservadora.

103

EJEMPLO Una placa cuadrada de acero cuyas dimensiones se dan mm, se conecta mediante 4 remaches. Las propiedades del acero de los remaches son de Su=900 MPa y Sy=600 MPa. Si se aplica una carga de 20.000 N y considerando un factor de seguridad de 3, se pide obtener:

250 mm

20

60

P

a) El diámetro de los remaches para un falla estática b) El diámetro de los remaches para una falla por fatiga considerando un factor de seguridad de 1,8 para vida infinita y una variación cíclica de la carga entre 0 – 20.000 N.

60

20

60

Análisis de señales vibratorias

60

104

Análisis de señales vibratorias

105

Análisis de señales vibratorias

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EJEMPLO En la figura se muestra un eje rotatorio fabricado en acero SAE1045- HR que soporta un momento torsor constante T = 250 Nm y dos cargas verticales F1 = F2 que varían entre 5 -8 kN. El eje posee una ranura en A de r = 3 mm y un rebaje en B de r = 3 mm. Se pide: a)

Obtenga los diagramas de fuerzas y momentos para las componentes medias y alternantes.

b)

Calcule el límite de resistencia a la fatiga para el eje. Considere que está mecanizado, es rotatorio y su funcionamiento es a temperatura T = 20°C.

c)

Calcule los esfuerzos máximos teniendo en cuenta los factores de concentración de esfuerzos

Análisis de señales vibratorias

107

EJEMPLO

Análisis de señales vibratorias

108

EJEMPLO

Análisis de señales vibratorias

109

Análisis de señales vibratorias

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Análisis de señales vibratorias

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Coeficiente de Pandeo del Acero (Tabla 17-6)

(Máquinas y herramientas prontuario : descripción y clasificación)

Coeficiente de Pandeo del Acero (Tabla 17-6)

(Máquinas y herramientas prontuario : descripción y clasificación)

VIGAS Y COLUMNAS

Elementos de Máquinas

114

TABLAS

Elementos de Máquinas

115

TABLAS

Elementos de Máquinas

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