Vibraciones Forzadas

VIBRACIONES FORZADAS.  VIBRACIÓN: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación. Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la vibración mecánica. Vibración mecánica: es el movimiento de vaivén de las moléculas de un cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales. En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía.

 VIBRACIÓN FORZADA: Es cuando un sistema vibra debido a una excitación constante. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente solo y solo si existen condiciones iníciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte. Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en el caso de la vibración forzada esta descompensada por la excitación constante.

TIPOS DE VIBRACIONES:  VIBRACIÓN AMORTIGUADA: es cuando la vibración de un sistema es disipada.  VIBRACIÓN NO AMORTIGUADA: es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio.  EL AMORTIGUAMIENTO: es un sinónimo de la pérdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.  VIBRACIÓN LINEAL: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.

RESPUESTA DE VIBRACIONES FORZADAS: La respuesta forzada, ocurre cuando dicho sistema oscila debido a la acción de fuerzas externas que lo excitan. Cuando la excitación es de tipo oscilatorio, el sistema tiende a vibrar de la misma manera y con la misma frecuencia, es decir, que la respuesta del sistema estar en función de la frecuencia de excitación. Una característica fundamental de los sistemas excitados por fuerzas externas es que su respuesta está conformada por un estado transitorio y un estado permanente. El transitorio se debe a la acción conjunta de la respuesta libre y la respuesta forzada, pero debido a que la respuesta libre es decreciente en el tiempo, después de alcanzado un cierto tiempo la respuesta del sistema estará únicamente da en función de la respuesta forzada.

MODELO DINAMICO VIBRATORIO. Una vez que un problema físico ha sido identificado, se comienza por desarrollar el modelo mecánico del mismo. Mediante la ayuda de las leyes de Newton o las ecuaciones de LaGrange, se obtiene el modelo matemático que corresponde al modelo mecánico. Con las herramientas mecánicas apropiadas, se halla la solución matemática al problema planteado y por ende se consigue la respuesta del sistema propuesto en el modelo mecánico, que corresponde a la ley de movimiento. Sobre la partícula de masa m actúa la fuerza perturbadora exterior armónica:

F(x) = -K.x

F(t)=F(0).sen w.t

Donde F es la frecuencia circular de la fuerza perturbadora (Es frecuentemente producida por desbalances en maquinarias rotatorias).

En ausencia de amortiguación, la ecuación del movimiento resulta:

Llamando

y

dimensiones de aceleraion.

Cuando queremos explicar científicamente el movimiento o desplazamiento de una edificación usamos un modelo Físico-Matemático considerado como el más simple existente:

-Un péndulo -Un resorte conectado a una masa. Tanto el péndulo como el resorte están conectados a una masa. El resorte representa la posibilidad de desplazamiento en una dirección y la masa representa a la correspondiente a un entrepiso de una edificación. Se supone que tanto el desplazamiento como la masa se verificaran en el lugar de la losa de entrepiso que es lo que llamamos como Diafragma Rígido.

Sabemos por la física que F = k.x esto nos dice que una fuerza es igual a la constante elástica del resorte multiplicado por el desplazamiento. Como es posible que el péndulo o el resorte tengan diferentes trayectorias damos por válido, que la fuerza es variable en el tiempo dado que k, es constante. Si lo extrapolamos a la edificación la constante de resorte será la del entrepiso que es lo mismo que la oposición al desplazamiento del entrepiso. Podemos plantear: M.a + K.x = 0 (1)

Esta es la Segunda Ley de Newton expresada en términos de equilibrio. Como queremos saber el cambio de los desplazamientos, velocidades o aceleraciones, que es lo que denominamos como “Respuesta en, el tiempo para una excitación dada” debemos convertir esta ecuación a una que esta expresada en función del tiempo. Recordemos que a = d2x/dt2 –> M.d2x/dt2 + K.x =0 (2) Esta es una ecuación diferencial de segundo orden y su solución es una de las siguientes (da igual):

x = Acos(wt) (3) x = Asin(wt) (4)

Francisco

FUERZA EXITADORA La fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras. Las fuerzas excitadoras pueden ser de diversas naturalezas influyendo esta característica en el comportamiento del sistema sobre el cual actúa. Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes, más allá de los límites tolerables. Con respecto a la excitación, los sistemas desbalanceados representan una excitación de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance (me) y dela frecuencia de la excitación (Ω).Además de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitación externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variables para el análisis de los mismos: La relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r, es adimensional y se expresa según la ecuación:

AMPLITUD DEL MOVIMIENTO Y ANGULO DE FASE DEL MOVIMIENTO



LA AMPLITUD(A). El movimiento de un

cuerpo respecto al punto de equilibrio se conoce como

desplazamiento. El desplazamiento máximo “A” a partir de la posición de equilibrio se define como la amplitud del movimiento Oscilatorio.



EL PERIODO (T). Es el tiempo que tarda un ciclo y siempre es positivo. Su unidad en el SI es el segundo, pero a veces se expresa como segundos por ciclo.



LA FRECUENCIA (F). Es el número de ciclos en la unidad de tiempo y siempre es positiva. Su unidad en el SI es el Hertz :



-1

1hertz = 1Hz = 1ciclo/s = 1s-1

LA FRECUENCIA ANGULAR (): Es 2 veces la frecuencia: 

=2f . Representa la rapidez de cambio de una cantidad angular que siempre se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad/seg. Dado que f está en ciclos/seg. , podemos considerar que el numero 2 tiene unidades de rad/ciclo.

La amplitud de oscilación del sistema resonador R depende de la magnitud de la fuerza periódica que le aplique el generador G, pero también de la relación existente entre ƒg y ƒr. Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia del generador y la frecuencia del resonador, menor será la amplitud de oscilación del sistema resonador (si se mantiene invariable la magnitud de la fuerza periódica que aplica el generador). O, lo que es lo mismo, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador, mayor cantidad de energía se requerirá para generar una determinada amplitud en la oscilación forzada (en el resonador). Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes, más allá de los límites tolerables. El ángulo de fase viene determinado por:

ó

Una gráfica del ángulo de fase como función de la relación de amortiguamiento, , y de la relación de la frecuencia de la excitación a la frecuencia natural del sistema vibratorio, ROGER

RELACIONES DE FRECUENCIA Cuando ð = p, la amplitud de la vibración forzada se vuelve infinita. La fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte se dice que está en resonancia con el sistema dado. La resonancia se define como un fenómeno que presenta un sistema físico influido por una fuerza de excitación periódica externa, en la que la amplitud resultante de la oscilación del sistema resulta grande cuando la frecuencia de la fuerza de excitación se aproxima a una frecuencia de oscilación libre natural de un sistema. En realidad, la amplitud de vibración permanece finita a causa de las fuerzas de amortiguamiento; sin embargo tal situación debe evitarse si la frecuencia forzada no debe escogerse muy cercana a la frecuencia natural del sistema. En el caso de ð < p, la vibración forzada está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte, mientras que para ð > p, la vibración forzada se encuentra 180º fuera de fase. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren situaciones realmente graves. La falla de estructuras mayores como puentes, edificios o alas de aviones, es una horrible posibilidad, bajo resonancia. Así el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones. El movimiento oscilatorio puede repetirse a sí mismo regularmente, como en el caso de un balancín de reloj o, desplegar considerable irregularidad, como en el caso de los movimientos sísmicos. Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo ð, se le llama periódica. El tiempo de repetición ð es el período de la oscilación y su recíproco, f = 1/ð es la frecuencia. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación: x(t) = x(t + ð) La relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitación.

GRAFICA DE RESPUESTA DE VIBRACIONES FORZADAS

X(t) m Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplaza varias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenía inicialmente. Vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Una forma simple de definir vibración

DESBALANCE ROTATORIO El desbalance de masas en máquinas rotatorias es el origen de fuerzas excitadoras. Se considera a continuación un sistema masa-resorte, restringido a moverse en el sentido vertical y sometido a una fuerza forzadora originada por el desbalance de una máquina rotatoria.

La condición de desequilibrio estático se da cuando el eje principal de inercia del rotor se encuentra desplazado paralelamente al eje del árbol:

Un par desbalanceado se presenta cuando el eje principal de inercia del rotor y el eje del árbol intersecan en el centro de gravedad del rotor pero no son paralelos.

El caso más común de desequilibrio es el dinámico. Esto ocurre cuando el eje principal no es paralelo ni interseca en el centro de gravedad de la pieza al eje del árbol. Este tipo de desequilibrio es una combinación de los anteriores:

JAVIER

AMPLITUD “X” Y EL ÁNGULO DE FASE “Φ” VERSUS LA FRECUENCIA “Ω”, UTILIZÁNDOSE EL FACTOR

DE

AMORTIGUACIÓN

COMO

PARÁMETRO.

 AMPLITUD DEL MOVIMIENTO La frecuencia de vibración se manifiesta a 1x las rpm de la pieza desbalanceada. La amplitud es proporcional a la cantidad de desbalance. La amplitud de la vibración es normalmente mayor en el sentido de medición radial, horizontal o vertical (en las maquinas con ejes horizontales).

El análisis de fase indica lecturas de fase estables. La fase se desplazará 90º si se desplaza el captador 90º.

 GRAFICA DE RALACION DE LA AMPLITUD VS RELACION DE FRECUENCIA En el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los

gráficos

de

factor

de

amplificación

dinámico y retraso de

fase

Relación

vs.

frecuencias.

Para

sistemas que desbalance, es útil graficar r^2*K

el

de caso

de

presentan vs. r debido a

que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema.

Factor de amplificación vs. relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación.

Retraso de fase vs. Relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación.

FUERZA TRANSMITIDA: La fuerza transmitida a la bancada del sistema es:

FT = cx' + kx

 TRANSMISIBILIDAD (Tr): Puede definirse como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida por un sistema y la de la fuerza de excitación que se introduce en el mismo. Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de un sistema mecánico a su base o soporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre el módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora f0

La transmisibilidad (Tr) puede definirse como el coeficiente entre la amplitud de la fuerza transmitida y la de la fuerza de excitación Si la excitación es una fuerza aplicada a la masa del sistema, el resultado puede expresarse en términos de a) la amplitud del movimiento resultante de la masa o b) la fracción de la amplitud de la fuerza aplicada y que se transmite a través del sistema a la bancada del

mismo.

El primero se transmite a través

del

movimiento y la última se denomina transmisibilidad de la fuerza TF.

TF = Ft / F = fuerza transmitida / fuerza aplicada

Si la excitación es el movimiento de la bancada, la respuesta resultante se expresa normalmente en términos de la amplitud del movimiento de la masa respecto del movimiento de la bancada. Esta se denomina transmisibilidad del movimiento TM del sistema. La transmisibilidad es la porción del efecto vibratorio transmitido a través del aislador. La eficacia del aislador es el porcentaje del efecto vibratorio que no se transmite, esto es T = (1 - T) 100 %.

OMAR.