Vibraciones Forzadas Amortiguadas

VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS      

Solución del estado estacionario Fuerza transmitida, Transmisibilidad Fuerza en rotación no equilibrada Transmisibilidad en el desbalance rotacional Movimiento de la base: vehículos, aviones, barcos FUERZA TRANSMITIDA En el caso de la fuerza transportada por la base  Movimiento relativo (z)

ECUACION DE MOVIMIENTO

SUSTITUYENDO EN LA ECUACION DEL MOVIMIENTO

SOLUCION DEL ESTADO ESTACIONARIO

Ecuaciones Algebraicas

VELOCIDAD Dividiendo cada una por k

ACELERACION

Solución de las ecuaciones algebraicas utilizando la regla de Cramer

Sustituyendo en la ecuación de estado estacionario

VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS

Angulo de fase de la función forzante

Factor de magnificación para vibraciones forzadas no amortiguadas

Si r=1

Este factor de magnificación se reduce respecto al que vimos en las vibraciones forzadas no amortiguadas

los sistemas amortiguados no alcanzan el desplazamiento infinito en la resonancia, aunque:

FURZA TRASNSMITIDA Es evidente que si se incrementa k y c, la amplitud de la fuerza transmitida debe decrecer, sinembargo sobre la fuerza transmitida tiene un efecto adverso. Por lo cual el coeficiente de elasticidad y el de amortiguamiento deben ser seleccionados

Angulo de fase de la fuerza transmitida

FURZA TRASNSMITIDA DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

ANALISIS

Es la relación de amplitudes de la fuerza transmitida y la fuerza aplicada

Transmisibilidad

𝛽𝑡 >1 𝑟< 2

𝛽𝑡 <1 𝑟> 2

En esta región La amplitud de la fuerza transmitida es mayor que la amplitud de la fuerza aplicada. 𝑟 < 2 la fuerza transmitida a la base puede ser reducida incrementando 𝛇

En esta región La amplitud de la fuerza transmitida es menor que la amplitud de la fuerza aplicada. 𝑟 > 2 la amplitud de la fuerza transmitida a la base aumenta incrementando 𝛇

Frecuencia de la vibración amortiguada (damped)

FUERZAS EN ROTACION NO EQUILIBRADAS

En muchas maquinas y mecanismos rotatorios , tales como engranajes, ruedas ejes, discos que no presentan perfecta uniformidad aparecen fuerzas de desbalance que causan vibraciones peligrosa que acarrean afectación del funcionamiento del sistema

El desequilibrio giratorio, puede ocurrir en máquinas tales como rotores, volantes, sopladores y ventiladores

La figura representa una maquina con un grado de libertad amortiguado , que es apoyado elásticamente por un resorte y el amortiguador que tienen respectivamente, un coeficiente de rigidéz k y constante de amortiguamiento c . La máquina , que tiene masa total M ,tiene un rotor que está montado en un cojinete cuyo centro se define por el punto O. El rotor , que gira en sentido antihorario con una velocidad angular Wf rad / s, no tiene una distribución uniforme de masa lo que trae como consecuencia un desbalance rotatorio.

Desbalance rotatorio: Es equivalente a una masa excéntrica situada a un radio e del centro de rotación. La fuerza provocada por el peso es equilibrada con la deflexión estática del resorte. x: desplazamiento vertical de la máquina. xm: Proyección del desplazamiento vertical de la masa excéntrica.

aceleración:

Si definimos M como la masa de la maquina y m la masa excéntrica, la fuerza de inercia total del sistema

El total de las fuerzas de inercia es igual al total de las fuerza aplicadas

Depende de la frecuencia del rotor

Diagrama de cuerpo libre

Ecuación de estado estacionario

Ecuación de X0 para este caso

Factor de magnificación o relación de amplitudes para el desbalance rotatorio

Factor de magnificación para el estado estacionario

SOLUTION

La frecuencia de la fuerza La frecuencia natural La relación de frecuencia r Si

La amplitud

TRANSMISIBILIDAD EN EL DESBALANCE ROTACIONAL

Según se muestra en el diagrama de cuerpo libre la ecuación de estado estacionario es:

Derivando

Sustituyendo en la ecuación de estado estacionario

respecto al tiempo

MOVIMIENTO DE LA BASE La vibración forzada de los sistemas mecánicos puede ser causada por el movimiento del apoyo , como en el caso de los vehículos , aviones y barcos MOVIMIENTO DEL SOPORTE

Se asume el movimiento de la base como un movimiento harmónico

Ecuación del movimiento de la masa m

Esta ecuación puede escribirse así

ANGULO DE FASE

ECUACION DEL ESTADO ESTACIONARIO PARA LA VIBRACION DE LA BASE

FUERZA TRANSMITIDA En el caso de la fuerza transportada por la base, puede ser obtenida por:

LA SEGUNDA DERIVADA DE

MOVIMIENTO RELATIVO EN OCACIONES ES PRECISO ESTUDIAR EL MOVIMIENTO RELATIVO DE LA MASA RESPECTO AL SOPORTE. EL CUAL ES DENOTADO POR LA LETRA Z

Derivando una y dos veces Ecuación del movimiento

Realizando la operación indicada y reordenando términos:

La solución particular de esta ecuación diferencial es:

Solution

La amplitud de oscilación de la masa se calcula

Si: Despejando

El coeficiente critico de amortiguación Cc

El coeficiente de amortiguación c

La amplitud del desplazamiento relativo de la masa respecto al soporte

La amplitud de la fuerza transmitida es:

Para r=1 En la resonancia, para r=1

Observación

Debido al desfase entre y

Péndulo con soporte

Diagrama de Cuerpo libre

Solution

Ecuación de estado estacionario