02 Fracciones Y Decimales

1. Los números negativos

2

Fracciones y números decimales

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

L

as fracciones se pueden expresar con números decimales, que a su vez se clasifican en decimales exactos y periódicos. Todos los números decimales que tengan un número finito de cifras decimales o infinitas cifras decimales que se repiten se pueden escribir en forma de fracción. A estos números, junto con los números enteros, se les llama racionales. También hay números decimales con infinitas cifras decimales que no se repiten, por ejemplo, el número π = 3,141592654… A estos números se les llama irracionales. En nuestra vida cotidiana se utilizan con frecuencia las fracciones y los números decimales. Las fracciones se emplean para expresar divisiones de objetos o grupos de personas o cosas en partes iguales. Un almacén que tiene su cuarta parte ocupada con el pedido de una empresa puede servir como ejemplo. Las fracciones expresan también el porcentaje, que es una cantidad tomada sobre 100. Por ejemplo, se dice: «el 25% del alumnado de una clase ha obtenido una calificación de sobresaliente», que significa lo mismo que decir que la cuarta parte del alumnado ha obtenido sobresaliente.

ORGANIZA TUS IDEAS LOS NÚMEROS DECIMALES pueden ser

se

operan

se

racionales

irracionales

se

redondean

se expresan como

• • • •

suma resta multiplicación división

FRACCIONES que dan origen a números decimales

• exactos • periódicos puros • periódicos mixtos

31

1. Operaciones con fracciones

PIENSA Y CALCULA Realiza mentalmente las siguientes operaciones: a) 2 + 3 b) 4 – 3 7 7 5 5

c) 2 · 5 3 7

Carné calculista

1.1. Suma y resta de fracciones

215 455 : 56 Ejemplo 5 – 2 + 3 = 5–2+3 = 6 7 7 7 7 7

Fracción opuesta La fracción opuesta de una fracción es la que se obtiene al cambiarle el signo.

Ejemplo La opuesta de 2 es – 3 La opuesta de – 5 es 4

2 3 5 4

Configura la calculadora a) Para que escriba directamente las fracciones impropias: MODE (DISP) 1 (d/c) 2 b) Para que utilice la coma como notación decimal: MODE (DISP) 1 䉴 (Comma) 2

La suma y resta de fracciones con igual denominador es otra fracción que tiene por: Numerador: la suma o resta de los numeradores. Denominador: el mismo que el de las fracciones. La suma y resta de fracciones con distinto denominador es otra fracción que tiene por: Numerador: la suma o resta que se obtiene al dividir el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador y multiplicar por el numerador correspondiente. Denominador: el m.c.m. de los denominadores. En las fracciones hay que simplificar siempre que se pueda. Para ello se divide el numerador y el denominador entre su M.C.D. Esto debes Ejemplo 5 + 2 – 7 = 5 + 2 – 7 = 12 : 4 · 5 + 12 · 2 – 12 : 6 · 7 = 4 6 4 1 6 12

hacerlo mentalmente

m.c.m.(4, 6) = 12

5 ab/c 4 + 2 − 7 ab/c 6 = 25 – 12

= 15 + 24 – 14 = 39 – 14 = 25 12 12 12

⎦

1.2. Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por: Numerador: el producto de los numeradores. Denominador: el producto de los denominadores. Esto debes hacerlo

Ejemplo mentalmente 2 · 5 = 2 · 5 = 10 = 5 3 4 3 · 4 12 6 M.C.D.(10, 12) = 2

Fracciones y enteros Cuando se realizan operaciones de fracciones con números enteros, se considera que los números enteros son fracciones con denominador 1

32

2 ab/c 3 × 5 ab/c 4 = 5 – 6 ⎦

Ejemplo a) 4 · 2 = 5 b) 3 · 2 = 7

Esto debes hacerlo mentalmente

4 · 2 = 4·2 = 8 5 1 5·1 5 3 · 2 = 3·2 = 6 1 7 1·7 7

Esto debes hacerlo mentalmente

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

1.3. División de fracciones Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

Fracción inversa La fracción inversa de una fracción es la que se obtiene al cambiar el numerador por el denominador dejando el mismo signo.

Ejemplo 5 : 3 = 5 · 4 = 20 = 5 8 4 8 3 24 6 M.C.D.(20, 24) = 4

Ejemplo

Ejemplo a) 4 : 2 = 4 · 1 = 4 = 2 5 5 2 10 5

La inversa de 3 es 4 4 3 2 La inversa de – es – 5 5 2

b) 3 : 2 = 3 · 7 = 21 7 1 2 2

4 ab/c 5 ÷ 2 = 2 – 5

3 ÷ 2 ab/c 7 = 21 – 2

⎦

⎦

1.4. Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis La jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis dice que cuando se tienen distintas operaciones combinadas, se debe seguir el orden: a) Paréntesis. b) Multiplicaciones y divisiones. c) Sumas y restas. d) Si las operaciones están en el mismo nivel, se ha de comenzar por la izquierda.

( ) ·

: +

–

Ejemplo

( )

2 · 4 – 7 + 5 = 2 · 12 – 7 + 5 = 2 · 5 + 5 = 2 + 5 = 4 + 5 = 5 3 6 5 3 6 5 3 6 3 6 6 = 9 = 3 6 2

2 ab/c 5 × ( 4 − 7 ab/c 3 ) + 5 ab/c 6 = 3–2 ⎦

APLICA LA TEORÍA 1 Calcula mentalmente:

a)

1 +1 2

b) 2 –

4 Calcula:

1 3

c) 2 ·

3 5

2 Halla las fracciones opuestas y las fracciones inver-

a)

2 15 · 9 4

a) 3 –

3 Realiza las siguientes operaciones:

a)

1 5 3 – + 3 6 2

b)

7 11 5 – + 9 12 6

c)

3 5 –2+ 8 6

d)

2 8 3 – + 35 7 10

3 25

c)

7 3 : 12 4

5 Realiza las siguientes operaciones:

sas de: 2 4 1 1 ,– , ,– 3 5 2 3

b) 5 ·

c)

( (

1 5 + 4 3

2 1 4 · + 3 3 9

) )

b) 1 – d)

(

(

d)

14 : 28 5

3 7 – 2 5

)

)

1 3 3 – : 2 8 4

6 El depósito de gasolina de un coche, con capacidad

para 80 litros, tiene lleno las 2/5 partes. ¿Cuántos litros de gasolina lleva? 7 Se quieren envasar 600 litros de alcohol en botellas

de 3/4 de litro. ¿Cuántas se necesitarán?

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

33

2. Operaciones con números decimales

PIENSA Y CALCULA Plantea y resuelve mentalmente las siguientes situaciones: a) Se tienen 4,8 kg de patatas y se han consumido 2,5 kg. ¿Cuántos kilos quedan? b) En 100 cajas de 0,5 kg de bombones cada una, ¿cuántos kilos de bombones hay? Carné calculista 299 234 : 83

+

1 3, 1, 0, 1 5,

7 3 6 7

6 8 2 6

13.76 + 1.38 + 0.62 = 15,76

–

4, 5 0 1, 7 5 2, 7 5

4.5 − 1.75 = 2,75

2.1. Suma y resta de números decimales a) Se colocan los números unos debajo de otros, de forma que coincidan las unidades del mismo orden y la coma decimal. b) Se suman o restan como si fueran números naturales. c) En el resultado se pone la coma debajo de las comas. d) Si en el minuendo hay menos cifras que en el sustraendo, se añaden ceros a la derecha del minuendo o se restan de 10 sin poner los ceros. Ejemplo Javier ha comprado tres tarros de miel por 13,76 €, un paquete de pan de molde por 1,38 € y un litro de zumo por 0,62 €. ¿Cuánto tiene que pagar? Paga 15,76 € Ejemplo De un listón de 4,5 m se corta un trozo de 1,75 m. ¿Cuánto queda? Quedan 2,75 m

2.2. Multiplicación de números decimales Multiplicación por la unidad seguida de ceros Ejemplo 2,538 · 100 = 253,8 2,7 · 100 = 270 0,025 · 1 000 = 25

Multiplicación por la unidad decimal Ejemplo 538,2 · 0,01 = 5,382 47,5 · 0,01 = 0,475 2,7 · 0,001 = 0,0027

a) Se colocan los números uno debajo de otro. b) Se multiplican como si fueran números naturales. c) En el resultado se separa con una coma, desde la derecha, un número de cifras decimales igual a la suma de las que tienen los dos factores. d) En el caso de no haber bastantes cifras para separar los decimales, se ponen tantos ceros como sean necesarios delante de las cifras significativas. Ejemplo × 2 1 7 2 1 7 5,

8 2, 5 8 3

6, 4 0 3 9 2 9 2

86.4 × 2.03 = 175,392 34

0, 5 7 × 0, 0 6 0, 0 3 4 2

0.57 × 0.06 = 0,0342

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

2.3. División de números decimales Cuando solo tiene decimales el dividendo

División por la unidad seguida de ceros

a) Se comienza a dividir como si fueran números naturales. b) Al llegar a la coma en el dividendo, se coloca la coma en el cociente. c) Se sigue haciendo la división.

Ejemplo 343,6 : 100 = 3,436 2,5 : 1 000 = 0,0025

Ejemplo 7 4, 3 8 5 2 4 14,876 4 3 3 8 3 0 0

División por la unidad decimal Ejemplo 7,852 : 0,01 = 785,2 9,4 : 0,001 = 9 400

74.38 ÷ 5 = 14,876

Cuando tiene decimales el divisor a) Se quitan los decimales del divisor. Para ello, se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. b) Se realiza la división resultante. Ejemplo 9,752 : 2,48 9, 7 5, 2 2 3 1 2 0 8 0

84,7 : 3,54 8 4, 7 0 1 3 9 0 3 2 8 0 0 9 4

2,48 3,9

9.752 ÷ 2.48 = 3,9322

3,54 23,9

84.7 ÷ 3.54 = 23,9265

APLICA LA TEORÍA 8 Realiza las siguientes sumas:

a) 24,57 + 31,85 + 7,846 b) 4,78 + 0,57 + 18,462

b) 23,45 : 6,9

c) 57,62 : 8,51

d) 5,7 : 0,09

13 Divide mentalmente los siguientes números:

9 Haz las siguientes restas:

a) 134,58 – 30,485

a) 85,24 : 7

b) 458,7 – 95,58

10 Multiplica los siguientes números decimales:

a) 5,24 · 3,2

b) 21,42 · 5,4

c) 85,6 · 32,5

d) 4,7 · 0,02

11 Realiza mentalmente las siguientes multiplicaciones:

a) 7,45 · 100

b) 20,142 · 1 000

c) 75,6 · 0,01

d) 14,8 · 0,001

12 Haz las siguientes divisiones obteniendo dos deci-

males:

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

a) 243,5 : 100

b) 43,12 : 1 000

c) 7,516 : 0,01

d) 34,6 : 0,001

14 En un depósito que tiene 457,85 hl, se vierten

89,54 hl y se desaguan 12,3 hl. ¿Cuántos hectolitros quedan en el depósito? 15 En un almacén han comprado 254,5 kg de lengua-

do a 5,79 € el kilo. ¿Cuánto se ha pagado por el lenguado? 16 Se dispone de 450 kg de mandarinas y se quieren

envasar en bolsas de 7,5 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitarán?

35

3. Fracciones y números decimales

PIENSA Y CALCULA Haz la división decimal y di cuántas cifras decimales significativas puedes sacar en el cociente. a) 12 : 3 b) 14 : 10 c) 17 : 3 d) 13 : 6 Carné calculista 304 491 : 79

3.1. Paso de fracción a decimal Toda fracción se puede expresar como un número decimal. Para pasar de fracción a decimal, se realiza la división decimal del numerador entre el denominador. Al realizar la división, el cociente puede ser:

Ejemplo Número entero: 6 =3 2

a) Un número entero: no tiene cifras decimales.

Decimal exacto: 7 = 1,4 5 7 ÷ 5 = 1,4 Decimal periódico puro:

b) Decimal exacto: tiene un número finito de cifras decimales. c) Decimal periódico puro: tiene un conjunto de cifras decimales que se repiten indefinidamente después de la coma. Se llama período al conjunto de cifras que se repite, y se representa con un arco encima de las cifras.

→ ) 58 = 5, 2727 … = 5, 27 11 58 ÷ 11 = 5,272727

d) Decimal periódico mixto: el período comienza después de algunas cifras decimales que no se repiten. Se llama anteperíodo al conjunto de cifras que no se repiten y que están entre la coma y el período.

Decimal periódico mixto:

3.2. Fracción decimal y ordinaria

período

→

período

⎯→ 55 = 4, 58 333… = 4, 58 3) 12 ⎯→ anteperíodo ⎯→

⎯→

55 ÷ 12 = 4,583333

Una fracción es decimal si el denominador es la unidad seguida de ceros, o una equivalente. Las fracciones decimales dan origen a los números decimales exactos. Una fracción es decimal si es una fracción irreducible tal que su denominador solo tiene como factores primos a 2 y/o a 5 Ejemplo

Fracciones ordinarias Un número periódico puro proviene de una fracción irreducible en la que el denominador no tiene como factores primos ni a 2 ni a 5 Un número periódico mixto proviene de una fracción irreducible en la que el denominador tiene, además, algún otro factor primo distinto del 2 y del 5

36

a) 3 = 3 · 5 = 15 = 1,5 2 2 · 5 10

2 b) 3 = 32 = 32 · 5 2 = 75 = 0,75 4 2 100 2 ·5

Una fracción es ordinaria si no es decimal, es decir, si el denominador no se puede poner como la unidad seguida de ceros. Las fracciones ordinarias dan origen a los números decimales periódicos. Ejemplo

7 = 2, 3) Decimal periódico puro 3

7 = 0,4 6) Decimal periódico mixto 15 BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

3.3. Aproximaciones y estimaciones Aproximar un número decimal es sustituirlo por otro muy cercano pero con menos cifras significativas. La aproximación puede ser: a) Por defecto: si el número que se toma es menor que el número inicial. b) Por exceso: si el número que se toma es mayor que el número inicial.

Redondeo con la calculadora Para redondear con la calculadora, se elige: MODE (Fix) 1 y luego se escribe el número de decimales a los que se quiere redondear. Por ejemplo, a dos decimales:

Ejemplo a) 3,4567 = 3,45 es una aproximación por defecto, ya que 3,45 < 3,4567 b) 3,4567 = 3,46 es una aproximación por exceso, ya que 3,46 > 3,4567 Redondear un número es aproximarlo, de forma que si la primera cifra que se suprime es: a) 0, 1, 2, 3 o 4, la cifra redondeada no varía. b) 5, 6, 7, 8 o 9, la cifra redondeada aumenta en uno.

(Fix 0 ⵒ 9?) 2

Ejemplo Redondea a dos decimales el cociente 17/3 17 ÷ 3 = 5,67

Ejemplo Redondea a dos decimales los siguientes números: a) 5,0471 = 5,05 b) 3,4851 = 3,49 c) 0,6728 = 0,67 d) 2,7962 = 2,80

Eliminar el redondeo de la calculadora Se elige: MODE (Norm) 3

Para estimar el resultado de una operación con decimales, se redondean los números a las unidades y se opera.

(Norm 1 ⵒ 2?) 1

Ejemplo Valor exacto: 2,4 · 3,6 = 8,64 Valor estimado: 2,4 · 3, 6 ⯝ 2 · 4 = 8

APLICA LA TEORÍA 17 Calcula mentalmente la expresión decimal de las

siguientes fracciones: 3 a) 2 1 c) 4

1 b) 5 3 d) 4

18 Clasifica en fracciones ordinarias o decimales las

20 Redondea a dos cifras decimales los siguientes

números y di si la aproximación es por defecto o por exceso: a) 3,4272 b) 0,3629 c) 1,2071 d) 2,0982

siguientes fracciones: 12 5 11 c) 9 a)

7 20 5 d) 6 b)

19 Halla las expresiones decimales de las siguientes

fracciones y clasifica el cociente obtenido: 10 a) 3 12 c) 4

86 b) 15 47 d) 20

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

21 Haz una estimación de las siguientes operaciones:

a) 32,8 · 10,2 b) 240,3 : 1,9 22 Las dimensiones de un rectángulo son 12,42 cm

de largo y 8,35 cm de ancho. a) Haz una estimación del área del rectángulo. b) Calcula el área del rectángulo redondeando a dos decimales el resultado.

37

4. Fracción generatriz

PIENSA Y CALCULA Expresa mentalmente en forma de fracción los siguientes números decimales: a) 0,5 b) 0,75 c) 0,2 Carné calculista 265 443 : 38

4.1. Números racionales Los números racionales son los que se pueden expresar en forma de fracción. Se representan por la letra ⺡

Racionales: ⺡ 0,8 –1

–2

1

2

0

3

–3 –4

–5 –

2 3

Naturales: ⺞

4 5

9 2

Ejemplo a) 3 = 3 1

b) 3 = 0,75 4

) c) 2 = 0, 6 3

) d) – 5 = – 0,83 6

4.2. Fracción generatriz La fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico es una fracción irreducible en la que al realizar la división del numerador entre el denominador, se obtiene como cociente el número decimal dado.

a) Fracción generatriz de un número decimal exacto Enteros: ⺪

4.25 = ab/c 17 – 4 ⎦

La fracción generatriz tiene por: Numerador: el número decimal sin la coma. Denominador: la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplo Escribe la fracción generatriz del número 4,25 4,25 = 425 = 17 100 4 M.C.D.(425, 100) = 25

b) Fracción generatriz de un número decimal periódico puro La fracción generatriz tiene por: Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma menos la parte entera. Denominador: tantos nueves como cifras tenga el período.

( 23 − 2 ) ab/c 9 = 7–3 ⎦

38

Ejemplo ) Escribe la fracción generatriz del número 2, 3 ) 2, 3 = 23 – 2 = 21 = 7 9 9 3 M.C.D.(21, 9) = 3

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

c) Fracción generatriz de un número decimal periódico mixto La fracción generatriz tiene por: Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma menos la parte entera seguida del anteperíodo. Denominador: tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo ) Escribe la fracción generatriz del número 2,6 81 ) 2,6 81 = 2 681 – 26 = 2 655 = 59 990 990 22

( 2681 − 26 ) ab/c 990 = 59 – 22 ⎦

M.C.D.(2655, 990) = 45

4.3. Números irracionales Se ha visto que los números decimales exactos y periódicos se pueden expresar como fracción y, por lo tanto, son racionales. Los números irracionales son aquellos que tienen infinitas cifras decimales que no son periódicas. No se pueden expresar como fracción. Ejemplo El número π = 3,141592653… tiene infinitas cifras que no son periódicas.

π = 3,141592654 –

√

2 = 1,414213562

Clasificación de los números decimales ⎧ Enteros: 7 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Racionales ⎨ Decimales exactos: 6,25 ) ⎪ ⎪ ⎪ Decimales periódicos ⎧ Puros: 7, 3 ) Números ⎪⎨ ⎨ ⎩ ⎩ Mixtos: 5,8 47 decimales ⎪⎪ ⎪ ⎧ Decimales con infinitas cifras ⎪ ⎪ Irracionales ⎨ decimales no periódicas: √— 2 = 1,414213… ⎩ ⎩

APLICA LA TEORÍA 23 Expresa en forma de fracción los siguientes núme-

ros decimales: a) 7,4

números decimales: b) 0,52

c) 1,324

24 Escribe las fracciones generatrices de los siguientes

números decimales:

)

a) 0,6

)

)

b) 2,7

números decimales:

)

)

b) 4,16

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

)

)

)

a) 0,36

b) 1,27

c) 8,6

d) 0,23

e) 2,46

f) 1,318

)

)

)

27 Expresa en forma de fracción y calcula:

c) 1,42

a) 0,2 + 3,5 · 0,4

25 Escribe las fracciones generatrices de los siguientes

a) 0,46

26 Escribe las fracciones generatrices de los siguientes

)

c) 4,583

)

)

b) 1,5 + 3,6

28 Calcula el área de un círculo de 7,5 m de radio

tomando como valor de π = 3,14

39

Ejercicios y problemas 1. Operaciones con fracciones

38 Calcula:

29 Calcula mentalmente:

a)

2 3 1 + + 7 7 7

b)

3 4 5 + + 13 13 13

30 Calcula mentalmente:

3 7 : 5 10 1 5 c) : 9 8

2 :6 5 6 c) 3 : 7

1 3 b) – + 2 5 4 d) +1– 15

3 c) 2 – 5

2 :4 : 3 1 c) 5 : : 4 a)

7 d) 1 – 10

34 Calcula mentalmente:

4 a) +1 7 12 c) –1 5

a)

a)

2 9 · 3 5 7 3 d) · 2 14

c)

b)

40

b)

2 · 30 3

1 9

d) 60 ·

4 3 –2 · 3 10

d) 2 –

7 7 · 4– 6 3

5 1 3 7 : + · 6 3 5 2 2 3 1 3 d) · + : 9 5 4 8 b)

( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 3 –1 : 5 5

b)

4 5 –2 : 3 3

d) 2 –

7 7 5 1 : – : 5 10 6 4 2 5 4 14 c) : – · 7 21 7 3 a)

c) 54 ·

4 7 5 –2 · – 5 4 6

4 4 –2 : 3– 5 5

7 2 : 1+ 6 3

45 Calcula:

37 Calcula mentalmente:

3 · 21 7

b)

44 Calcula:

36 Multiplica:

a)

( )( ) ( )( )

2 5 –1 · 5 3

2 1 3 5 · – : 5 4 8 4 3 6 3 5 c) : – · 4 5 2 4

5 2 +2– 8 3 5 1 7 d) + – 3 2 12

4 9 · 9 7 8 3 c) · 11 4

( ) ( )

a)

b)

a)

3 5 : :6 2 2 3 5 d) :6 : 8 2 b)

43 Calcula:

35 Realiza las siguientes operaciones:

1 4 5 – + 2 3 6 1 7 c) 2 – + 4 9

1 3 10 7

42 Calcula:

c)

2 b) +3 9 3 d) –2 11

a)

b)

41 Calcula:

7 10 2 5

33 Realiza mentalmente las siguientes operaciones:

3 b) 2 + 7

6 :3 7 5 d) 2 : 18

a)

32 Calcula:

3 a) 1 + 4

2 5 : 3 6 8 4 d) : 9 3 b)

40 Efectúa:

4 3 + 5 10 7 2 d) – 10 15 b)

2 1 a) +4– 3 2 1 11 7 c) + – 8 16 4

3 5 · ·3 2 6 3 4 d) ·2· 8 5

b)

a)

31 Calcula:

2 5 + 3 6 7 3 c) – 6 8

1 3 2 7

39 Calcula:

18 32 1 16 a) + – – 53 53 53 53 4 3 2 7 b) – + – 11 11 11 11

a)

2 ·4· 5 1 c) 5 · · 4 a)

2 5

7 6 3 · + : 12 5 4 11 5 1 d) · + 7 21 2 b)

5 8 :

3 4

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

Ejercicios y problemas 46 Realiza las siguientes operaciones:

a)

(

5 1 2 – – 6 2 3

c) 3 –

(

)

2 2 5 – – 3 9 3

b) 2 –

)

d)

3 2 + 7 5

2 5 4 – + +2 3 2 15

47 Realiza las siguientes operaciones:

a) 5 – c)

( (

4 6 3 · – 3 7 2

48 Calcula:

a) c)

7 3 + 6 2

(

)

) )

(

1 5 2 : – 3 7 3

1 5 2 – : 2 6 3

d)

b)

)

d)

( )

2 4 – +1 3 5

b)

1 2 2 + : 3 5 15

52 Calcula:

(

2 4 3 · + 3 5 2

(

)

2 2 3 2 6 + – · + 3 7 4 3 5

b)

7 5 5 7 + 2+ : – 2 3 6 4

c)

7 2 4 –2: + 5 3 9

53 Calcula:

)

3 5 2 – : 2 6 3

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

d)

c)

3 1 5 – : 1– 4 2 8

c)

50 Realiza las siguientes operaciones:

c)

1 2 3 – : 2 5 10

(

)

)

b) 3 – d) 3 –

( ) ( )

5 2 –2 + 6 3

( )( ) ( )( ) ( )

7 5 3 8 a) +3 · + : 3 4 2 3 2 5 : –2 3 6

2 1 4 5 c) – : – 5 2 3 6 d)

7 1 6 3 5 – · + : 5 3 5 4 8

( )( ) ( )( ) ( ) 1 5 7 5 · – : 4 2 3 4

5 7 3 – : 2 4 2

3 7 8 3 – – : 2– 4 6 5 2

3 8 7 5 · + : –3 4 9 2 4

d) 2 –

7 5 8 4 · + : 5 4 15 3

55 Calcula:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

a)

3 5 13 3 +2 · – : 8 4 6 2

b)

2 4 7 5 + 2– : – 9 3 2 4

c)

2 9 7 3 +8– : – 5 2 6 4

d)

4 2 7 5 · – : 5 3 8 6

51 Calcula:

b) 4 + 5 +

7 5 7 3 : 14 + : – 5 8 4 2

a) 2 – b)

(

5 7 3 5 – + – –2 2 6 4 3

b) 3 :

2 5 5 2 – : – 3 6 12 3

1 5 3 +5– + 4 8 2

3 5 7 9 : – + 4 6 2 8

54 Calcula:

2 2 2 +1 · – 3 5 3

a)

( )( ) ( ) ( ) ( )

a) 2 +

d)

7 5 3 + · +1 a) 4 8 5

c)

1 10 3 7 · – : 5 7 4 8

d) 2 +

49 Efectúa:

b)

( )( ) ( )( ) ( )

a)

7 1 3 5 · – : 5 3 8 4

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

41

Ejercicios y problemas 56 Calcula:

( )( ( )(

65 Se han comprado 1,7 kg de pollo que

) )

a) 2 – 5 – 2 : 3 – 7 + 3 5 4 4 6 2 b) 2 – 4 – 8 : 7 – 3 9 3 6 2

han costado 3,57 €. ¿Cuánto cuesta el kilo?

3. Fracciones y números decimales 66 Clasifica en fracciones ordinarias o decimales

c) 3 – 5 : 7 + 4 · 6 2 4 8 3 7

las siguientes fracciones: a) 47 50

d) 3 · 20 – 7 : 14 5 9 6 9

b) 2 7

c) 2 15

d) 3 10

67 Halla las expresiones decimales de las siguien-

2. Operaciones con números decimales 57 Realiza las siguientes sumas:

a) 14,75 + 61,57 + 9,467

a) 13 6

b) 72 9

c) 41 9

números y di si la aproximación es por defecto o por exceso:

c) 2,89 + 123,5 + 0,03 d) 21,54 + 100,78 + 2,123 58 Haz las siguientes restas:

a) 234,18 – 40,325

b) 245,8 – 75,54

c) 358,56 – 69,302

d) 125,4 – 75,125

59 Multiplica los siguientes números decimales:

a) 8,24 · 6,5

b) 72,45 · 9,6

c) 49,6 · 68,5

d) 9,7 · 0,09

60 Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) 8,45 · 100

b) 0,125 · 1 000

c) 7,5 · 0,01

d) 43,7 · 0,001

61 Haz las siguientes divisiones obteniendo dos

decimales:

a) 0,4752

b) 5,7236

c) 72,995

d) 3,0274

e) 8,4062

f ) 5,2997

69 Haz una estimación de las siguientes operacio-

nes: a) 139,8 · 9,5

b) 360,4 : 89,7

70 El área de un rectángulo mide 14,45 m 2 y su

altura mide 4,52 m. Calcula la longitud de la base y redondea el resultado a centímetros.

4. Fracción generatriz 71 Expresa en forma de fracción los siguientes

a) 95,87 : 8

b) 78,59 : 9

números decimales:

c) 826,24 : 62

d) 872,38 : 96

a) 5,8

62 Haz las siguientes divisiones obteniendo dos

decimales:

b) 0,05

c) 3,125

72 Escribe las fracciones generatrices de los

siguientes números decimales:

a) 78,95 : 6,8

b) 79,65 : 6,4

c) 587,62 : 6,57

d) 857,8 : 0,06

63 Divide los siguientes números:

a) 143,7 : 100

b) 34,18 : 1 000

c) 8,276 : 0,01

d) 4,9 : 0,001

64 Un tablero rectangular mide 2,6 m por 1,4 m.

Calcula su área.

d) 56 45

68 Redondea a dos cifras decimales los siguientes

b) 3,18 + 0,56 + 28,365

42

tes fracciones y clasifica el cociente obtenido:

)

)

a) 0,5

)

b) 3,7

c) 6,81

73 Escribe las fracciones generatrices de los

siguientes números decimales:

)

a) 0,64

)

)

b) 1,76

c) 2,0681

74 Expresa en forma de fracción y calcula:

a) 2,5 – 0,2 · 0,4

)

)

b) 4,7 – 0,5

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

Ejercicios y problemas Para ampliar 75 Calcula:

83 Sabiendo que la fracción generatriz del número

)

a) 1 – 3 + 1 5 2

b) 4 – 1 + 2 2 3

76 Realiza las siguientes operaciones:

(

a) 7 – 1 + 2 6 2 3

(

)

c) 5 – 4 – 7 + 5 3 9 3

)

b) 3 – 5 + 4 2 5 d) 7 + 3 – 4 – 3 3 2 15

b) 2 · 1 · 2 4 3 d) 15 : 5 : 2 4 3

78 Realiza las siguientes operaciones:

(

a) 5 + 2 – 3 + 5 4 8 2

(

c) 1 : 3 – 7 2 5 10

)

)

)

)

a) 2,3

b) 0,03

)

c) 4,03

84 Expresa en forma de fracción y calcula:

a) 7,4 – 1,2 : 3,4

)

)

b) 1,46 – 0,23

85 Utilizando el valor de π = 3,14, calcula la longi-

77 Calcula:

a) 4 · 5 · 1 3 6 2 c) 3 : 1 : 2 4 8

decimal 0,3 es 1/3, calcula las fracciones generatrices de los siguientes números decimales:

( ) ( )

b) 2 + 2 – 4 – 1 3 5

d) 2 + 5 – 3 : 3 2 4 2

79 Calcula:

( )( ) ( )( ) ( )

a) 2 + 1 · 3 + 3 3 4 2

b) 9 + 2 : 11 – 3 4 3 6 c) 3 + 3 : 2 – 1 5 2 3 6 d) 5 · 1 – 3 : 9 2 3 4 2

80 Un edificio tiene 8 pisos más una planta baja de

local comercial. Estima la altura total del edificio si la de cada piso es de 3,2 m y la del local comercial es de 3,7 m 81 Hemos comprado acciones de una empresa a

10,45 € cada acción. Si la compra ha sido por valor de 9 927,5 €, ¿cuántas acciones hemos comprado? 82 Una parcela mide 45 m por 235 m. Si el metro

cuadrado cuesta 0,75 €, ¿cuánto se pagará por la parcela?

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

tud de una circunferencia de 4,7 m de radio y redondea el resultado a centímetros. 86 Se quiere solar con losetas una habitación de

4,62 m de largo por 3,45 m de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de losetas harán falta? Redondea el resultado a metros cuadrados. 87 Se han comprado 2 bolígrafos a 0,6 € cada

uno, 4 cuadernos a 1,3 € cada uno y un archivador a 5,8 €. Haz una estimación del dinero pagado.

Con calculadora 88 Calcula:

a) 7 – 3 + 4 6 15

b) 25 + 14 – 2 36 9

c) 18 · 14 35 27

d) 75 : 21 16 8

89 Calcula:

a) 3 + 25 · 4 16 32 15

b) 95 : 4 – 5 36 3 6

c) 4 : – 2 + 7 5 25

d) 5 – 5 : 13 8 16

(

90 Calcula:

( (

)

( )

)( ) )( )

a) 1 – 16 · 2 – 20 7 9

b) 13 – 11 : 1 – 6 50 25 25

43

Ejercicios y problemas Problemas 91 Rubén y Marta tienen el mismo dinero ahorra-

102 En una clase, 8/25 del alumnado han obtenido

do. Rubén se ha gastado dos tercios, y Marta, cinco séptimos. Ordena de menor a mayor el dinero que les queda ahorrado.

una calificación superior a suficiente, y 1/2 ha obtenido suficiente. ¿Qué fracción del total del alumnado de la clase ha suspendido?

92 Una grúa está elevando 5/7 de los 224 kg que

103 De una garrafa de agua se han sacado 3/7; y una

puede elevar como máximo. ¿Cuántos kilos está elevando?

hora después, la mitad de lo que quedaba. ¿Qué fracción del total de agua se ha consumido?

93 Un rectángulo tiene de altura 3/5 de la longitud

104 De un trozo de cuerda se han cortado 2/5 del

de la base. Si ésta mide 25 cm, ¿cuál es el área del rectángulo?

total, y ha quedado un trozo de 21 cm. ¿Cuál era la longitud de la cuerda?

94 En un centro escolar hay 657 estudiantes. Si el

105 Entre Ernesto y su padre están organizando su

número de chicos es 4/9 del total, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en el centro?

biblioteca. Ernesto ha colocado 3/10 de los libros, y su padre, 3/5 del total. Si aún les quedan 64 libros sin colocar, ¿cuántos libros tienen en la biblioteca?

95 Si he leído los 6/7 de las 252 páginas de un

libro, y después leo los 2/3 de las páginas que me quedan, ¿cuántas páginas me faltan para acabar el libro?

106 ¿Cuántas botellas de 3/2 de litro se pueden lle-

96 Una segadora siega los 3/5 de una finca en una

107 Marta se ha comprado una chaqueta que cuesta

jornada, y otra segadora, los 2/7 en el mismo tiempo. ¿Qué fracción de la finca habrán segado en una jornada si trabajan las dos a la vez? 97 De una botella de agua de un litro y medio se

han gastado 3/4 de litro. ¿Cuánta agua queda? 98 Si un metro de cable cuesta 3 €, ¿cuánto costa-

rán 3/4 de metro de cable?

68,25 € y una camisa que cuesta 18,72 €. Si ha entregado 100 €, ¿cuánto le devolverán?

Para profundizar 108 Un jardinero siega la mitad de un jardín por la

mañana. Por la tarde siega la tercera parte de lo que queda, y aún quedan 30 m 2 sin segar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el jardín?

99 Se han destinado 2/3 de la superficie de una finca

109 Una rueda avanza 3/5 de metro al dar una vuel-

para sembrar cereal. Por un problema en la tierra se ha dejado sin cultivar 1/6 de la superficie que se iba a utilizar. ¿Qué fracción de la finca se ha utilizado para sembrar el cereal?

ta. ¿Cuántas vueltas debe dar para avanzar 15 m?

100 Marta ha utilizado 3/5 del dinero que tiene en

comprar unos discos, y 1/2 de lo que le quedaba, en un regalo para su hermana. a) ¿Qué fracción de dinero ha gastado?

44

nar con 72 litros de agua?

110 En una tienda de informática montan 2/5 de los

ordenadores de un pedido. Al día siguiente montan 5/6 de los ordenadores que quedaban, y el tercer día, los 4/5 del resto. Si el pedido era de 50 ordenadores, ¿cuántos les quedan para terminar? 111 En una inversión de 4 000 € hemos obtenido

b) Si le quedan 6 €, ¿qué dinero tenía al principio?

una rentabilidad de 1/20. Si debemos pagar 9/50 de los beneficios a Hacienda, ¿cuánto dinero ganaremos?

101 Elvira y José han consumido los 2/3 de una

112 Se tiene un depósito para trigo lleno con 3/8

botella de refresco, y después se han bebido 1/6 del total. ¿Qué fracción del total queda en la botella?

de su capacidad. Se le añaden 132 kg y se llena hasta 5/6 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

Aplica tus competencias Fracciones en la vida cotidiana 113

Calcula mentalmente cuántos minutos son: a) Un cuarto de hora. b) Media hora. c) Tres cuartos de hora.

114

El porcentaje es una cantidad de cada 100 unidades. Expresa los siguientes porcentajes en forma de fracción irreducible y de número decimal: a) 10% b) 25% c) 50% d) 75%

115

En 250 g de mezcla de café, 50 g son de café torrefacto, y el resto, de café natural. Expresa la fracción de café torrefacto y natural en 100 g. ¿A qué porcentaje corresponde cada fracción?

116

El 40% del alumnado de un centro escolar practica atletismo. Si el centro tiene 600 alumnos, calcula el número de ellos que practica atletismo.

Comprueba lo que sabes 1

Define qué es aproximar un número decimal y pon un ejemplo.

2

Calcula: a) 2 – 5 + 1 6 4

3

Calcula a) 4 – 2 · 7 – 5 5 4 6

( )(

(

b) 2 – 1 + 3 3 2 4

)

)

b) 7 : 7 – 5 : 1 5 10 6 4

4

Calcula: a) La siguiente división obteniendo dos decimales en el cociente: 42,7 : 7,08 b) (45,14 – 13,205) · 9,6

5

El perímetro de un triángulo equilátero mide 24,8 m. Calcula el lado del triángulo y redondea el resultado a centímetros.

6

Halla la fracción generatriz de: ) a) 1,25 b) 8,3

)

c) 2,681

7

Un coche ha consumido 31,32 litros de gasolina en 540 km. ¿Cuánto consume cada 100 km?

8

Marta ha utilizado 3/5 del dinero que tiene en comprar unos discos, y 1/2 de lo que le quedaba, en un regalo para su hermana. a) ¿Qué fracción de dinero ha gastado? b) Si le quedan 6 €, ¿qué dinero tenía al principio?

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

45

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES Paso a paso 117

Calcula: 5 + 2 – 7 4 6 Solución: a) En la barra de menús elige b) Para escribir cada línea de comentario, elige Comentar. Escribe en un solo bloque el número y el título del tema, el nombre de los dos alumnos y Paso a paso. Para pasar de una línea a la siguiente sin cambiar de bloque, pulsa [Intro]

c) Haz clic en Calcular para crear nuevo bloque. d) Elige Comentar y escribe: Ejercicio 117 e) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro del mismo bloque. f ) En elige Fracción y escribe: 5 + 2 – 7 4 6 g) Haz clic en

46

Calcula: 13,76 + 1,38 + 0,62 Solución:

120

Calcula: 86,4 · 2,03 Solución: Hay que introducir la función precisión(15) para que opere con 15 dígitos.

121

Halla la expresión decimal con 15 dígitos de la siguiente fracción y clasifica el resultado como decimal exacto, periódico puro o periódico mixto: 58 11 Solución: Para pasar una fracción a decimal basta con añadir un punto de decimal en el numerador o en el denominador.

Calcular

El resto de los ejercicios hazlos de igual forma. Escribe el título de la actividad, ejercicio o problema, y su número. Después, resuélvelo. 118

119

( )

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris: 122

El depósito de gasolina de un coche, con capacidad para 80 litros, tiene lleno las 2/5 partes. ¿Cuántos litros de gasolina lleva? Solución:

123

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

Calcula: 2 · 4 – 7 + 5 5 3 6 Solución: Para elegir un tamaño de paréntesis, que se ajuste a su contenido en , elige Paréntesis

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

Linux/Windows Así funciona Introducir fracciones Para introducir una fracción, en la barra de menús se elige Fracción y se escriben el numerador y el denominador. Tamaño grande de paréntesis Para elegir un tamaño de paréntesis que se ajuste a su contenido en sis. Es más cómodo elegir primero paréntesis y luego escribir el contenido.

, se selecciona la opción

, se elige

Parénte-

Notación decimal en Wiris El Wiris utiliza como notación decimal el punto (.), en vez de la coma (,) Resultados con decimales y número de decimales En Wiris, para obtener un resultado con decimales, es suficiente con añadir a uno de los números de la operación un punto de decimal al final. Wiris utiliza la función precisión(n) para indicar el número de cifras significativas con las que deseamos trabajar. El mayor valor que puede tomar n es 15. Esta función solo tiene efecto dentro del bloque en la que está definida. Por ello devuelve el número de cifras significativas que había anteriormente, que por defecto son 5

Practica 124

125

126

127

128

como número entero, decimal exacto, periódico puro, periódico mixto o irracional: a) 23 b) 15 c) 1 579 d) √2 7 4 88

Calcula: a) 3 – 2 + 5 8 6

b) 2 + 8 – 3 35 7 10

Calcula: a) 2 · 15 9 4

b) 5 · 3 25

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris:

c) 7 : 3 12 4

d) 14 : 28 5

131

Una grúa está elevando 5/7 de los 224 kg que puede elevar como máximo. ¿Cuántos kilos está elevando?

132

Se quieren envasar 600 litros de alcohol en botellas de 3/4 de litro. ¿Cuántas se necesitarán?

133

En un depósito que tiene 457,85 hl, se vierten 89,54 hl y se desaguan 12,3 hl. ¿Cuántos hectolitros quedan en el depósito?

134

En un almacén han comprado 254,5 kg de lenguado a 5,79 €/kg. ¿Cuánto se ha pagado por el lenguado?

135

Se dispone de 450 kg de mandarinas y se quieren envasar en bolsas de 7,5 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitarán?

Calcula: a) 3 – 1 + 5 4 3

(

)

Haz las operaciones: a) 2 · 1 + 4 3 3 9

(

)

(

b) 1 – 3 – 7 2 5

(

)

)

b) 1 – 3 : 3 2 8 4

Realiza las siguientes operaciones: a) 24,57 + 31,85 + 7,846 b) 134,58 – 30,485

129

Haz las siguientes operaciones: a) 5,24 · 3,2 b) 85,6 · 32,5

130

Halla la expresión decimal con 15 dígitos de los siguientes números y clasifica el resultado

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

47

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES Paso a paso Ajusta la configuración: en la barra de menús elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer 117

Calcula:

121

5 +2– 7 4 6 Solución: En la barra de Entrada de Expresiones escribe: 5/4 + 2 – 7/6 Elige

118

Calcula:

Introducir y Simplificar 25 12

( )

2 · 4– 7 + 5 5 3 6

Elige

Introducir y Aproximar 5.27272727272727… El número es periódico puro.

Solución: En la barra de Entrada de Expresiones escribe: 2/5 * (4 – 7/3) + 5/6 Elige

119

13,76 + 1,38 + 0,62 Solución: En la barra de Entrada de Expresiones escribe: 13.76 + 1.38 + 0.62 Elige

120

)

5, 27 Para ajustar la configuración en la barra de menús elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

Introducir y Simplificar 3 2

Calcula:

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE: 122

Introducir y Aproximar 15.76

Calcula: 86,4 · 2,03 Solución: En la barra de Entrada de Expresiones escribe: 86.4 * 2.03 Elige

48

Introducir y Aproximar 175.392

Halla la expresión decimal con 15 dígitos de la siguiente fracción y clasifica el resultado como decimal exacto, periódico puro o periódico mixto: 58 11 Solución: En la barra de menús elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Presentación Escoge Dígitos: 15 En la Entrada de Expresiones escribe: 58/11

El depósito de gasolina de un coche, con capacidad para 80 litros, tiene lleno las 2/5 partes. ¿Cuántos litros de gasolina lleva? Solución: Planteamiento: 2 · 80 5 En la Entrada de Expresiones escribe: 2/5 * 80 Elige

Introducir y Aproximar 32 Lleva 32 litros. 123

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

Windows Derive Así funciona Introducir y Simplificar: escribe en la Ventana Álgebra la expresión, simplifica el resultado y lo da como fracción. Introducir y Aproximar: escribe en la Ventana Álgebra la expresión, aproxima el resultado y lo da como número decimal. Multiplicación y división de fracciones Para multiplicar y dividir fracciones se deben poner éstas entre paréntesis, y comprobar siempre en la Ventana Álgebra que se han introducido bien los datos. Notación decimal en DERIVE DERIVE utiliza como notación decimal el punto (.) en vez de la coma (,) Elección del número de dígitos con los que se quieren los resultados En la barra de menús se elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Presentación En la ventana Presentación escoge en Dígitos el número deseado. Para volver a modo normal elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

Practica 124

125

126

127

128

como número entero, decimal exacto, periódico puro, periódico mixto o irracional: a) 23 b) 15 c) 1 579 d) √2 7 4 88

Calcula: a) 3 – 2 + 5 8 6

b) 2 + 8 – 3 35 7 10

Calcula: a) 2 · 15 9 4

b) 5 · 3 25

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE:

c) 7 : 3 12 4

d) 14 : 28 5

131

)

Una grúa está elevando 5/7 de los 224 kg que puede elevar como máximo. ¿Cuántos kilos está elevando?

132

Se quieren envasar 600 litros de alcohol en botellas de 3/4 de litro. ¿Cuántas se necesitarán?

b) 1 – 3 : 3 2 8 4

133

En un depósito que tiene 457,85 hl, se vierten 89,54 hl y se desaguan 12,3 hl. ¿Cuántos hectolitros quedan en el depósito?

134

En un almacén han comprado 254,5 kg de lenguado a 5,79 €/kg. ¿Cuánto se ha pagado por el lenguado?

135

Se dispone de 450 kg de mandarinas y se quieren envasar en bolsas de 7,5 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitarán?

Calcula: a) 3 – 1 + 5 4 3

(

)

Haz las operaciones: a) 2 · 1 + 4 3 3 9

(

)

(

b) 1 – 3 – 7 2 5

(

)

Realiza las siguientes operaciones: a) 24,57 + 31,85 + 7,846 b) 134,58 – 30,485

129

Haz las siguientes operaciones: a) 5,24 · 3,2 b) 85,6 · 32,5

130

Halla la expresión decimal con 15 dígitos de los siguientes números y clasifica el resultado

2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

49