07 Optimizacion Y Graficas

Encuentre los extremos absolutos de f 1.

9 25 f ( x )= + , x ∈ [ 0 ,1 ] x 1−x mínimo global

2.

en el intervalo indicado Respuesta:

( 38 , 64)

f ( x )=x 2−4 x−1−ln ( x2−4 x +4 ) , x ∈ [ 2.25 , 5 ] Respuesta:

mínimo global ( 3 ,−4 ) y máximo global ( 5 , 1.8028 )

2

3.

f ( x )=( 2−x 2) 3−x , x ∈ [ −3 , 3 ] Respuesta:

máximo global ( 0 , 2 ) , mínimo global (−1.70594 ,−0.03721 ) , mínimo global ( 1.70594 ,−0.03721 )

( 5x ) , x ∈ [ 1 ,5 ]

4.

f ( x )=x ln

5.

f ( x )=( 3−2 x ) . e

6.

f ( x )=ln ( x 2 +1 ) +2 arctan ( 1−3 x 2 ) , x ∈ [−3 , 8 ]

2

Respuesta:

2−3 x

, x ∈[ 0 , 6 ]

mínimo absoluto (1.2686 ,−1.6715 ) , mínimo absoluto (−1.2686 ,−1.6715 )

( π2 )

y máximo absoluto 0 ,

Analice la concavidad y encuentre los puntos de inflexión de las funciones definidas por las siguientes fórmulas 7.

f ( x )=

x6 x5 x4 5 x 3 − + − −5 x 2 30 20 4 6 Respuesta:

CA en el intervalo (−∞ ,−1 ) , CAB en el intevalo (−1 ,2 ) , CA en elintervalo ( 2,+∞ )

(

puntosde inflexión : −1,−

8.

23 332 , 2,− ; 6 15

)(

)

f ( x )=7 x 4 +5 x Respuesta:

cóncava hacia arriba en todo su dominio , no tiene puntos de inflexión

9.

x √ 4 x 2−9

f ( x )= 3

Respuesta:

puntos de inflexión :

( −92 ,−1.0816 ) , ( 0 ,0 ) ,( 92 , 1.0816 )

10. 5

5

f ( x )=√ 2+ x−√ 2−x

puntosde inflexión : (−2,− √5 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , √5 4 )

Respuesta: 11.

x ∈ [ 0,2 π ]

f ( x )=x +cos x ,

Respuesta:

12.

puntosde inflexión :

( π2 , π2 ) ,( 32π , 32π )

2

( x2 )

−

f ( x )=x e Respuesta:

puntosde inflexión : (−√ 6 ,−0.5466 ) , ( 0 , 0 ) , ( √ 6 , 0.5466 )

13. Analizar la monotonía, hallar los extremos relativos, analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de la siguiente función en el intervalo dado

f ( x )=x sin ( ln x ) , x ∈ [ 0.01 , 55 ] Respuestas:

máximo relativo ( 0.0197 , 0.0139 ) ; mínimo relativo ( 0.456 ,−0.322 ) , máximorelativo ( 10.551 , 7.46 ) ; puntosde inflexión : ( 0.0948,−0.0670 ) , ( 2.1933 , 1.5509 ) , ( 50.7540 ,−35.8885 )

14. Demostrar que los puntos de inflexión de

f ( x )=

2−x 2 x +4

están situados sobre una recta y deducir su

ecuación. Respuesta: 15. ¿Qué valores de

a

y

b

x=−1 y un mínimo local en

hacen que

3

2

f ( x )=x +a x + bx

y=0.375−0.0625 x

tenga un máximo relativo en

x=3 .

(Verifique su respuesta graficando el polinomio en un CAS con los valores encontrados)

16. ¿Qué valores de

x=4

a

y

b

hacen que

y un punto de inflexión en

f ( x )=x 3 +a x 2+ bx

tenga un mínimo relativo en

x=3 .

(Verifique su respuesta graficando el polinomio en un CAS con los valores encontrados) 17. Supóngase que la derivada de la función

y=f ( x ) es

y ' =( x−1 )2 ( x−2 )( x−4 ) f

¿En qué puntos, si existen, tiene la gráfica de

mínimos locales, máximos locales o puntos de

inflexión?

18. Halle un polinomio cúbico con un máximo en inflexión en

(3 , 3) , un mínimo en (5 , 1) , y un punto de

(4 ,2) . Respuesta:

1 3 2 45 p ( x )= x −6 x + x −24 2 2

19. Encuentre dos números cuya suma es 23 y cuyo producto es un máximo. Respuesta:

11.5 y 11.5

20. Halle dos números no negativos cuya suma sea 12 tales que la suma de sus cuadrados sea lo más pequeña posible. Respuesta:

6 y6

21. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm 3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. Respuesta:

lado de labase 50.4 cm; altura de la caja12.6 cm

22. Un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de 288 pulg 3, y cuya base de forma rectangular tiene el largo igual al triple de su ancho. Estime las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material. Respuesta:

12 pulg; 4 pulg ; 6 pulg

23. Se va a cercar un terreno rectangular de 2700 m 2 de área y se utilizará una valla adicional para dividir el terreno a la mitad. El costo de la cerca empleado para dividir el terreno a la mitad es de 24 USD por metro colocado, y el costo de la cerca para los lados es de 36 USD por metro colocado. Calcule las dimensiones del terreno de modo que el costo total del material para la cerca sea mínimo. ¿Cuál es este costo mínimo? 23.29.1 Respuesta:

60 m X 45 m; 8640 USD

24. Se va a construir una cisterna de base cuadrada para retener 12000 pies cúbicos de agua. La tapa metálica cuesta 4 USD por metro cuadrado. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la base de concreto, ¿cuáles son las dimensiones más económicas de la cisterna? 25. Respuesta:

base 20 X 20 pie; altura30 pie

26. Una ventana tipo Norman consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de una ventana Norman es de 32 pie, determine cuánto debe medir el radio del semicírculo y la altura del rectángulo de modo que la ventana admita la mayor cantidad de luz.

radio de la sermicircunferencia ≃4.48 pie;

Respuesta:

altura del rectángulo≃ 4.48 pie .

27. Se necesita construir un tanque rectangular abierto de 1125 pie 3 con una base cuadrada de pies por lado y

x

y pies de altura. Si el costo estimado para la construcción está dado por

C=5 ( x 2+ 4 xy ) +10 xy ¿qué valores de

x y

y minimizarán el costo? Respuesta:

28. En una fábrica se elaboran dos productos,

x=15 pie ; y=5 pie A

y

B . Si C

es el costo total de producción

2

C=3 x + 42 y , donde x es el número de máquinas utilizadas en la elaboración del producto A , y y es el número de máquinas empleadas en de una jornada de 8 horas, entonces

B , y durante la jornada de 8 horas trabajan 15 máquinas. Determine cuántas de estas máquinas deben utilizarse para elaborar el producto A y cuántas la elaboración del producto

para elaborar el producto

B

de modo que el costo total sea mínimo. Respuesta:

7 produce A y 8 produce B

29. La sección transversal de un bebedero de longitud L, tiene la forma de un triángulo isósceles invertido. Si las longitudes de los lados iguales son 15 pulgadas, halle el tamaño del ángulo formado por estos lados que proporcione al bebedero su máxima capacidad. 30. Respuesta:

π θ= rad 2

31. Se desea construir un biodigestor con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para generar gas en una comunidad campesina alejada de la ciudad. El costo por m 2 de

los extremos es el doble del de la parte cilíndrica. Si el costo de la parte cilíndrica es de 4 USD por m2, ¿qué dimensiones minimizarán el costo de fabricación si la capacidad deseada es 5 π m3? ¿Cuál es el costo mínimo? Respuesta: Las dimensiones que minimizan el costo de fabricación son:

r=0.9787 m, h=3.9149m . El costo mínimo es 192.59 USD.

32. Se va a fabricar un envase cilíndrico que contendrá un volumen de 750 cm 3. El costo del material utilizado para las partes superior e inferior del envase cuesta 3 centavos por cm 2, y el costo del material para la parte lateral es 2 centavos por cm 2. Utilice el cálculo para determinar las dimensiones del envase menos costoso de fabricar. ¿Cuál es el costo del envase más barato? Respuesta:

r=4.30 cm ,h=12.90 cm, 10.46 USD

33. Una tolva (dispositivo similar a un embudo de gran talla, muy utilizado en agronomía, destinado al depósito y canalización de granos) de volumen

3 π m3

tiene la forma de un cono circular

recto invertido. Determine una relación entre la altura y el radio de la tolva más económica de fabricar. Respuesta:

h =√ 2 r

34. Un trozo de alambre de 36 metros de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra para formar un rectángulo cuya longitud es el doble de su anchura. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas sea mínima? Respuesta: Se debe cortar el alambre de la siguiente manera para que el área sea mínima: 34.29

m para formar un triángulo equilátero de 6.43 m de lado: y ,

16.71m para formar u n rectángulo de 2.79 X 5.57 m

35. Un pozo petrolero marino se encuentra a 12 millas mar adentro de la costa. La refinería está a 20 millas del pozo medidas sobre la costa (figura). La instalación de la tubería en el océano cuesta 50 000 USD por milla y la instalación terrestre 30 000 USD por milla. ¿Qué trayectoria debe seguir la tubería para abaratar costos?

Respuesta: Para abaratar costos se deben instalar 15 millas de tubería por mar y 11 millas de tubería por tierra. 36. Se tiene suficiente pintura para cubrir un área de 1m 2. Se planea cubrir una esfera y un cubo. ¿Qué dimensiones deberán tener si el volumen total de los sólidos debe ser mínimo? máximo? Nota: Considere la posibilidad de usar toda la pintura para solo cubrir uno de los dos volúmenes Respuesta:

a ¿ esfera de radio

√

√

1 1 m y un cubo cuya arista es m; 24 +4 π 6+ π

b ¿ Use todala pintura para cubrir un cubo de arista 37. Dada una esfera de radio

r=5 cm

R

(constante), calcular el radio

y la altura

√

1 m 6

h

del

cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en la esfera. Respuesta: R=

10 √ 2 20 cm ,h= cm 3 3

38. Calcule las dimensiones del cilindro circular recto de mayor área lateral que se pueda inscribir en una esfera cuyo radio mide 6 cm. 39. Respuesta: h=6 √ 2 , r=3 √ 2 40. Un cono circular recto se circunscribe a una esfera de radio

r . Obtenga una relación entre la

altura y el radio de la base del cono de volumen mínimo que pueda circunscribirse a la esfera.

h

41. Respuesta: R =2 √ 2

42. Se quiere construir un cono de altura

h y radio r

a partir de un disco circular con un radio

de 4 centímetros eliminando un sector AOC con un arco que mide OA y OC (cómo se muestra en la figura). ¿Cuál es la longitud

x

x

cm, y uniendo las aristas que producirá el cono de

mayor volumen? ¿Cuál es ese volumen?

NO ESTÁ A ESCALA Respuesta:

x=4.6119 cm, V =25.7963cm3

43. Halle las dimensiones del rectángulo que tenga área máxima y que se pueda inscribir en un triángulo equilátero con lado de longitud

L , si un lado del rectángulo está en la base del

triángulo.

1

√3

Respuesta: largo : 2 L , ancho : 4 L

44. ¿Qué punto sobre la gráfica distancia mínima?

f ( x )=( x +1 )2

es más cercano al punto

( 5 ,3 ) ? ¿Cuál es la

Respuesta:

El punto ( 1 , 4 ) . La distanciamínima es √ 17

45. El estado va a construir una autopista para unir un puente con un intercambiador situado 8 km al este y 8 km al sur del puente. Hay que atravesar un terreno pantanoso de 5 km de anchura adyacente al puente (figura). La construcción de 1 km de autopista cuesta 10 millones de euros sobre terreno pantanoso y 7 millones sobre terreno seco. ¿Cuál es el diseño óptimo (el más económico) de la autopista? ¿Cuál es el costo mínimo de construcción?

Respuesta:

El costo mínimo de construcción es de 98.8 millones de USD cuando x=3.56 km

46. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que se encuentra a 10 km de distancia por el bosque y también a 2 km de la carretera (figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así, decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera, y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo

θ

minimizará el tiempo total necesario para que el

excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

Respuesta:

¿ 67.98 ° , se ahorra 0.8473h

47. Un triángulo rectángulo se forma en el primer cuadrante de un eje cartesiano mediante los ejes

x y

y y una recta que pasa por el punto (1 ,2) . Determine los vértices del triángulo de

manera tal que su área sea mínima. Respuesta: ( 2 ,0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 4 )