1-5...21-25

1. En un estudio de la perniciosa manzanilla cimarrona gigante, una de las especies herbáceas más altas en Europa, Jan Pergl y asociados compararon la den- sidad de estas plantas en lugares controlados y no controlados de la región del Cáucaso en Rusia. En su zona nativa, la densidad promedio se encontró que era de cinco plantas por metro cuadrado. En la zona in- vadida en la República Checa, una muestra de n = 50 planta produjo una densidad promedio de 6, 17 plan- tas por metro cuadrado con una desviación estándar de 2, 9 plantas por metro cuadrado. (a) ¿La zona invadida en la república checa tiene una densidad promedio de manzanilla cimarrona gigante que es diferente de m = 5 al nivel de ƒ significancia a α = 0, 05? (b) ¿Cuál es el valor p asociado con la prueba del inciso a)? ¿Puede usted rechazar H0 al nivel de significancia de 5% usando el valor p? μ=5 x=6,17 n=50 σ=2.9 H 0 : χ=5 H 0: χ≠5 σ =0.05 Z=

X−μ 6.17−5 = ≈ 2.85 σ 2.9 √n √ 50

∞

Valor −P= ∫

2.85

1 e √2 π

−x 2

2

dx=0.01

No Puede rechazar H0 porque tenga probabilidad de 1 de equivocarme.

una

2. El artículo “Wear in Boundary Lubrication” (S. Hsu, R. Munro y M. Shen, en Journal of Engineering Tri- bology, 2002:427-441) analiza algunos experimentos que implican diferentes lubricantes. En un experimento, 45 bolas de acero, lubricadas con parafina purificada, estaban sujetas a una carga de 40 kg a 600 rpm durante 60 minutos. El promedio de des- gaste, medido por la reducción en el diámetro, era de 673, 2 mm, y la desviación estándar era de 14, 9 mm. Suponga que la especificación para un lubricante es que la media del desgaste sea menor de 675 mm. Considere α = 0, 05. Siendo las hipótesis:

H 0 :μ ≥ 675 H 1: μ ≤ 675 (a) Calcule el estadístico de prueba. (b) Encuentre el estadístico de contraste (valor crítico). (c) Tome la decisión de no rechazar H0 o rechazar. (d) Encuentre el Pvalor. μ=675 x=673.2 n=45 σ =14.9 H 0 :μ ≥ 675 H 1: μ ≤ 675 σ =0.05 X−μ 673.2−675 Z= = ≈−0.81 σ 14.9 √n √ 45 No tengo la evidencia necesaria para rechazar H1 −0.81

Valor −P=

∫ −∞

x

2

1 e 2 dx=0.209 √2 π

3. Recientemente muchas compañías han experimentado con las “telecomunicaciones”, al permitir que sus empleados trabajen en su casa en sus computadoras. Entre otros factores, se supone que la telecomunicación reduce las faltas por enfermedad. Se conoce que en años pasados los empleados de una compañía faltaron una media de 5, 4 días por enfermedad. Este año la compañía introduce las telecomunicaciones. La dirección elige una muestra aleatoria simple de 80 empleados para estudiarlos en detalle, y, al final del año ´estos promedian 4, 5 días de faltas por enfermedad con desviación estándar de 2, 7 días. Sea µ la media del número de días de faltas por enfermedad para todos los empleados de la compañía. Considere α = 0, 01. Realice una prueba de gipótesis con el propósito de verificar si las faltas de ´este añohan disminuido. (a) Establezca las hipótesis. (b) Calcule el estadístico prueba. (c) Encuentre el estadístico de contraste (valor crítico). (d) Tome la decisión de no rechazar H0 o rechazar. (e) Encuentre el Pvalor.

μ=5.4 x=4.5 n=80 σ =2.7 H 0 : X ≥ 4.5 H 1: X ≤ 4.5 σ =0.01 X−μ 4.5−5.4 Z= = ≈−2.98 σ 2.7 √n √ 80 −2.98

Valor −P=

∫ −∞

x

2

1 e 2 dx=1.441∗10−3 √2 π

4. Una muestra aleatoria simple consta de 65 longitudes de alambre de piano que se probaron para la medir la elongación sujeta a una carga de 30 N. La elongación o alargamiento promedio para los 65 alambres fue de 1,102 mm, y la desviación estándar, de 0,020 mm. Sea µ la media del alargamiento para todas las unidades de alambre de piano. Realice una prueba de hipótesis donde verifique que la media es mayor o igual al valor especificado de 1, 100. Considere α = 0, 02: (a) Establezca las hipótesis. (b) Calcule el estadístico de prueba. (c) Encuentre el estadístico de contraste (valor crítico). (d) Tome la decisión de no rechazar H0 o rechazar. (e) Encuentre el Pvalor μ=1.000 x=1.102 n=65 σ=0.020 H 0 : X ≤1.102 H 1: X ≥ 1.102 σ =0.0 2 X−μ 1.102−1.000 Z= = ≈ 41.12 σ 0.020 √n √ 65 90

x

2

1 Valor −P= ∫ e 2 dx=0 2 π 41.12 √

5. Un inspector midió el volumen de llenado de una muestra aleatoria simple de 100 latas de jugo cuya etiqueta afirmaba que contenía 12 oz. La muestra tenía una media de volumen de 11,98 oz y decisión estándar de 0,19 oz. Sea µ la media del volumen de llenado para todas las latas de jugo recientemente llenadas con esta máquina. Realice una prueba de hipótesis que garantice lo que afirma la etiqueta. (a) Establezca las hipótesis. (b) Calcule el estadístico de prueba. (c) Encuentre el estadístico de contraste (valor crítico). (d) Tome la decisión de no rechazar H0 o rechazar. (e) Encuentre el Pvalor μ=12 x=11.98 n=100 σ=0.19 H 0 :µ=12 H 1: µ ≠12 σ =0.02 Z=

X−μ 11.98−12 = ≈−1.05 σ 0.19 √n √ 100 −1.05

Valor −P=

∫ −∞

x

2

1 e 2 dx=0.29 2 π √

Dado que el valor-p es mayor que α, no rechazo H0

21. El índice Rockwell de dureza para acero se determina al presionar una punta de diamante en el acero y medir la profundidad de la penetración. Para 50 especímenes de una aleación de acero, el índice Rockwell de dureza promedió 62 con desviación estándar de 8. El fabricante dice que esta aleación tiene un índice de dureza promedio de al menos 64. ¿Hay suficiente evidencia para refutar lo dicho por el fabricante con un nivel de significancia de 1%? I : Ho :μ >64 H 1: μ<64 II :∝=0,05 X−μ 62−64 −5 √2 = = σ 8 4 √n √ 50 Z ≈−1,7677 III :Z =

22. Mediciones de resistencia al corte, obtenidas de pruebas de compresión no confió nada para dos tipos de suelos, proporcionaron los resultados que se muestran en la siguiente tabla (medidas en toneladas por pie cuadrado). ¿Parecen diferir los suelos con respecto al promedio de resistencia al corte con un nivel de significancia de 1%? n x s2

TIPO DE SUELO I 30 1,65 0,26

TIPO DE SUELO II 35 1,43 0,22

TIPO DE SUELO I: n=30 ; x=1,65; s=0,44 TIPO DE SUELO II :n=35 ; x=1,43; s=0,47 I: Ho: μ 1=μ 2H 1: μ 1≠ μ 2 II : α =0,05 8 III : Z=

X 1+ X 2

(√ sn121 + sn232 )

=

1,65−1,43 =1,94 0,44 0,47 + 230 235

√

IV : No hay evidencia suficiente para rechazar Ho y aceptar H 1. 23. Se han encontrado bifeniles policlorados (PCB) en cantidades peligrosamente altas en algunas aves de caza halladas en pantanos de la costa sudeste de Estados Unidos. La Administración de Alimentos y Drogas (FDA) considera que una concentración de los PCB de más de 5 partes por millón (ppm) en estas aves de caza es peligrosa para consumo humano. Una muestra de 38 aves de caza produjo un promedio de 7.2 ppm con una desviación estándar de 6.2 ppm. ¿Hay suficiente evidencia para indicar que la ppm media de los PCB en la población de aves de caza excede del límite recomendado de la FDA de 5 ppm? Use a α = 0, 01. I: Ho: μ ≤ 5H 1: μ>5 II : ∝=0,01 III : Z=2,187

Z=

X−μ 7,2−5 = =2,187 σ 6,2 √n √38

IV : Zc=1,282 V: Rechazo Ho y Acepto H 1. 24. Los desechos industriales y residuales descargados en nuestros ríos y arroyos absorben oxígeno y, por tanto, reducen la cantidad de oxígeno disuelto disponible para peces y otras formas de fauna acuática. Una agencia estatal requiere un mínimo de 5 partes por millón (ppm) de oxígeno disuelto para que el contenido de oxígeno sea suficiente para sostener vida acuática. Seis especímenes de agua tomados de un río en un lugar específico durante la estación de aguas bajas (julio) dio lecturas de 4.9, 5.1, 4.9, 5.0, 5.0 y 4.7 de oxígeno disuelto. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que el contenido de oxígeno disuelto es menor a 5 ppm? Pruebe usando a α = 0, 05. I: Ho: μ ≥ 5H 1: μ<5 II : ∝=0,05 III : t=

X−μ 4,93−5 = =−1,2607 s 0,136 √n √5

IV : tc=2,015 V: No puedo Rechazar Ho.

25. Considerando el ejercicio anterior, en el que medimos el contenido de oxígeno disuelto en agua de río para determinar si un arroyo tenía suficiente oxígeno para soportar vida acuática. Un inspector de control de contaminación sospechaba que la comunidad de un río estaba vertiendo cantidades de aguas negras poco tratadas al río. Para comprobar su teoría, sacó cinco especímenes de agua de río escogidos al azar en un lugar aguas arriba del pueblo, y otros cinco de aguas abajo. Las lecturas de oxígeno disuelto (en partes por millón) son como sigue:

Aguas arriba 4.8 5.2 5.0 4.9 5.1 Aguas abajo 5.0 4.7 4.9 4.8 4.9 (a) ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que el contenido medio de oxígeno aguas abajo del pueblo es menor que el contenido medio de oxígeno aguas arriba? Pruebe usando α = 0, 01. (b) Supongamos que usted prefiere la estimación como método de inferencia. Estime la diferencia en los contenidos medios de oxígeno disuelto para lugares aguas arriba y abajo del pueblo. Use un intervalo de confianza de 95%. I: Ho: μ 1 ≤ μ 2 II : ∝=0,01 III : s p 2=

( n 1−1 ) S 12 + ( n 2−1 ) S 22 n1+n 2−2

s p 2=0,1368 sp=0,368 IV : t=

X 1−X 2 1 1 Sp + n1 n 2

√

=

5−4,86 1 1 0,368 + n1 n2

V: tc=2,896 VI : No puedo Rechazar Ho.

√

=1,902