1 Secundaria - I_bim

TEMARIO • Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje • Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas • Ruedas, figuras y palitos de fósforo • Cuadros numéricos • Repaso I • Multiplicaciones abreviadas • Situaciones lógicas • Pensamiento lateral • Repaso II

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

1

1

ecuaciones lineales I: Resolución y despeje

.

En este capítulo aprenderemos a: • •

Aplicar los diferentes conceptos matemáticos para resolver una ecuación. Identificar una variable y despejarla.

Encontrando la incógnita Resolver una ecuación significa aplicar los conocimientos conocidos, es decir, emplear las diferentes operaciones aritméticas y algebraicas con la finalidad de hallar el valor de una incógnita. Al reemplazar el valor hallado en la ecuación se debe cumplir una igualdad. Ejemplo:

2x+5=17

Resolución: x=6 → 2(6)+5=17 123 17 ¿Cómo se halló el valor: x=6?

Central: 619-8100

Unidad I 5

5

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria 10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Resuelve las siguientes ecuaciones: 1.

x-5 = x-1 2 3

4. Despeja "t" en: a= m t-n

2. - 3(x - 2)+6 = -(5 - 2x)

123

5. Resolver: 4x+2y=22

3. Despeja "m" en: b=c - 5m

7x - 2y=11

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática I.

2. Despeja "K" en: A=K - L

Completa los espacios en blanco: 3. Despeja "Z" en: X=Y - Z

7x - 8 = 2(1 - x) 1. El primer miembro de la ecuación es

.

2. El coeficiente de la variable en el primer miembro de la ecuación es .

4. Despeja "Q" en. U=P - Q 5. Despeja "K" en: S=K.V2

3. El término independiente en el primer miembro de la ecuación es

.

II. Relaciona:

6

7. Despeja "S2" en: A=5.M.N.S2

Pregunta

Ecuación

4

A+B=C.D

B= D A.C

8. Despeja "Q" en: A=P.Q - S

5

C - D= A B

A= C.D B

9. Despeja "t2" en: L= V.t - 2K.t2

6

A.C= D B

D=A+B - C

7

D= B C A

C= A + B D

A-C=D-B

A= D B.C

8

Despeje

6. Despeja "K" en: L=A(K - S)

10. Despeja "B" en: S= A.B.C Resolución de problemas II 11. 5(x+8) = 50

9

A.B.C = D

B= A C-D

12. 2(x - 9)+4=30

10

A= B C.D

D= B A.C

13. 2(x - 5) + 3(x+5)=20

Resolución de problemas I

14. 2(x+3)=5(x - 1) - 7(x - 3)+2

1. Despeja "N" en: S=U.V - N

15. x - 3 - 2(6 - 2x)=2(2x - 5)

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Unidad I

9

Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje Compendio de Ciencias - I BIM

123 123

16.

19. 6x - 3y=48 3x - 5y=31

3 (x - 8) =21 5

17. 3x+ 2x =77 3 •

1° Año de secundaria

20. 9y - 2x=11 4x+2y=38

Resolver los siguiente sistemas: 123

18. 4x+3y=23 7x - 5y= -11

Problema en el supermercado Frida realizará unas compras en un supermercado. Lo curioso fueron los precios de estos productos.

Leche (Unidad) x-1

Arroz (kg) x

Azúcar (kg) z-1

Aceite (L) 2z

Panetón 8z

Chocolate y

Pavo (kg) 8y

Champagne 6y

Responde: •

Si gastó S/. 29 comprando tres botellas de leche y 5 kg de arroz, halla el precio de cada uno de los productos.

•

Si gastó S/. 70, comprando 2 kg de azúcar, cuatro panetones y 1 L de aceite, halla el precio de cada uno de los productos.

•

Si gastó S/. 105, comprando cinco chocolates, 2 kg de pavo y tres botellas de champagne, hallar el precio de cada uno de los productos.

•

¿Cuánto gastaría Frida si logra comprar cinco botellas de leche, 4 kg de arroz, 6 kg de azúcar, un panetón, 2 L de aceite y 4 kg de pavo?

Colegios

10

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7

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC •

Hallar "x" en cada una de las ecuaciones propuestas.

1. 30x - ( - x+6)+( -5x+4) = - (5x+6)+( - 8+3x) a) 3 4



b) 4 7

c) - 3 7

d) 1 2

e) 1 5

d) 1

e) 4

c) 1 4

d) 1 2

e) 1

c) 70

d) 120

e) 60

c) 5

d) 6

e) 7

2. 15x+(- 6x+5) - 2 - ( - x+3)= - (7x+23) - x+(3 - 2x)

a) - 1

b) 2

c) 1 2

3. 16x - [3x - (6 - 9x)]= 30x+[ - (3x+2) - (x+3)] b) 3 4



a) 2

4.

x + x + x + x = 77 2 3 4 5



a) 30

5.

x - 6 +2(x+8) - 3(x - 5)= x + 3 +24 9 7



a) 3

b) 40

b) 4

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

Calcular "x" en:

1. 5(x+8)=50 2. 2(x - 9)+4=30 3. 4(x+1) - 20=28

x - x =2 3 5

10. x + 3 + 2x - 1 = 4 2 3 11. Si: MN - P = Q; hallar "M"

4.

5x = 10 2

12. Si: abc - n = p+q; hallar "n"

5.

3 (x - 8) = 21 5

13. Si: x +a=b ; hallar "y" y

6. 2(x - 5)+3(x+5)=20 7. 4(5x+2) - 7(3x+5)=x - 31 8. 3(x+2) - 2(x - 2)=10

8

9.

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14. Si: x =mn ; hallar "n" y 15. Si: x2 + ay=z ; hallar "y"

Unidad I

11

Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas

2

.

En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar y representar simbólicamente situaciones problemáticas. Interpretar expresiones verbales como el doble, el triple, la tercera parte, etc.

Del enunciado verbal a la forma matemática Las diferentes situaciones donde hay cantidades conocidas y desconocidas, relacionadas con términos como doble, mitad, excede, etc., se expresan simbólicamente en una ecuación.

El doble de la suma de un número con cinco

Fuete:http://elpaiser.blogspot.com

2(x+5)

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9

Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Un número aumentado en 17 es 53. Halla el 4. El exceso de un número respecto a 12 es igual al exceso de 18 respecto al número. Halla el número. número. 2. La suma de dos números consecutivos es 91. 5. En un salón hay 42 alumnos. Si los hombres Halla los números. representan el doble que el número de mujeres, ¿cuántos hombres hay en el salón? 3. El doble de un número sumado con el triple del número es 65. Halla el número.

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática I.

Completa: Forma simbólica

15

x x+1

16

2x3

Forma verbal

1

La séptima parte de un número

17

6x - 10

2

La raíz cuadrada de un número

18

(x+2)(x+3)

3

Un número aumentado en su doble

19

2x+4x

4

El doble de un número aumentado en su triple

20

x2+2x

5

El producto de dos números consecutivos

Resolución de problemas

6

El cociente de número y su mitad

1. El doble de un número, aumentado en 23, es 75. Halla dicho número.

7

La diferencia del triple de un número y cinco

8

La edad de Javier hace doce años

9

El dinero que tendré si gano 20 soles

10

El producto números

Preg.

Forma simbólica

11

8-x

12

10x

13

5 (x+3)

Colegios

14

3x - 2

Preg.

de

un

dos

TRILCE



a) 32 d) 25

b) 26 e) 30

c) 28

2. El cuádruple de un número, disminuido en 36, es 88. Halla dicho número.

a) 29 d) 30

b) 28 e) 31

c) 34

3. El triple de la suma de un número con 10 es 45. Halla dicho número.

II. Completa:

10

14

Forma verbal



a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6



4. El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70. Halla dicho número.

a) 22 d) 25

b) 23 e) 26

c) 24

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Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. La cuarta parte un número, disminuido en 6, 11. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. es 17. ¿Cuál es el número? ¿Cuál es el número? a) 90 b) 91 c) 92 a) 75 b) 71 c) 69 d) 93 e) 94 d) 70 e) 73 6. La cuarta parte de la diferencia entre un 12. María reparte un dinero entre sus tres hijos: número con 6 es 24. ¿Cuál es el número? al primero le da el doble de lo que le dio al segundo, y al tercero, $ 2000 más que al a) 100 b) 102 c) 110 segundo. Si su fortuna fue de $ 22 000, ¿cuánto d) 112 e) 108 le tocó al tercero? 7. Un número excede en 24 a 38. Halla dicho número.

a) 64 d) 50

b) 66 e) 62

c) 60

8. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87?

a) 66 d) 69

b) 67 e) 70

c) 68

a) 42 d) 36

b) 38 e) 34

c) 40

a) $ 8000 d) 7000

b) 6000 e) 9000

2

c) 5000

13. El sapito de Vanesa da cuatro saltos, recorriendo en cada salto 3 cm más que en el anterior. Si el sapito recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el segundo salto?

a) 6 cm d) 14

b) 8 e) 17

c) 11

14. Blas reparte su dinero del modo siguiente: a Fernando le da la mitad, a Alfredo, la séptima 9. Halla un número, tal que su doble exceda a 60 parte y a Letty, los 2000 dólares restantes. tanto como su triple excede a 96. ¿Cuál era el dinero de Blas?

10. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18?

a) 17 d) 12

b) 14 e) 11

c) 15



a) $5600 d) 2800

b) 6000 e) 5800

c) 4200

15. Halla un número tal que, si lo elevamos al cuadrado, luego le agregamos 11 al resultado, y le sacamos la raíz cuadrada, para luego aumentar cuatro unidades al resultado, obtenemos 10.

a) 7 d) 4

b) 6 e) 8

c) 5



socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Tres cestos contienen 575 manzana. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?

a) 190

b) 188

c) 176

d) 197

e) 181

2. A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/. 5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora S/. 8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/. 380 000 más que en la primera, ¿cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro?

a) 6000

b) 2000

c) 60 000

d) 4000

e) 4500

3. Hallar el número de pelotas que tiene Mathías, tal que si se multiplican por siete y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas, aumentada en 60.

a) 10

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b) 18

c) 20

d) 25

e) 35

Unidad I 11

15

ecuaciones Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. A la cantidad de soles que tiene Edú le agregamos S/. 8 para luego al resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este último resultado se le divide entre 7 y se obtiene cinco unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha cantidad?

a) S/. 10

b) 12

c) 13

d) 18

e) 20

5. El profesor Medrano recibió S/. 4 y tuvo entonces cuatro veces de lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/. 2

b) 4

c) 6

d) 3

e) 5 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Halla la edad de Jackeline, si al duplicarla y 9. Halla un número, de cuya suma de su doble y aumentarle 36, nos da 64. su triple, resulta dicho número aumentado en 80. 2. ¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 100, nos da el mismo número aumentado en 10. Halla un número de cuya suma de su mitad, 30? tercera y cuarta parte, resulte 130. 3. El séxtuple de la diferencia de un número con 30, es tanto como el cuádruple de la suma del mismo número con 10. Halla dicho número. 4. Halla dos números consecutivos, tal que al sumarlos obtengamos 59. 5. La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuál es el número intermedio?

11. La tercera parte de un número más la mitad del número resulta 35. Halla dicho número. 12. El cubo de la suma de un número con 8 resulta 1000. Halla dicho número. 13. El cuadrado de la diferencia de un número con 12, resulta 196. Halla dicho número.

14. ¿Qué edad tiene Christian, si sabemos 6. Halla cuatro números consecutivos, sabiendo que al cuadruplicarla y agregarle 44 años, que la suma nos da 174. Indica el menor. obtendremos su séxtuplo disminuido en cuatro años? 7. ¿Cuál es el número de cuadernos que hay en un aula, si el quíntuple de ellos disminuido en 15. El doble de la suma de un número con 5 es 20. 20 resulta 80 más su triple? Halla dicho número. 8. Halla la edad de Patty, si sabemos que al restarle 12 años obtendremos el triple de dicha edad disminuido en 62 años.

Colegios

16

12

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Ruedas, figuras y palitos de fósforo Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

Ruedas, figuras y palitos de fósforo

3

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Colegios

18

TRILCE

Identificar y relacionar formas geométricas usando palitos de fósforo. Identificar y aplicar el giro horario y antihorario en ruedas con ejes. Dividir y comparar figuras geométricas.

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13

Mover

Quitar

Agregar

Horario

Antihorario

1° Año de secundaria

En partes iguales

Compendio de Ciencias - I BIM

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Quita dos palitos de fósforo para que quede dos cuadrados. Resolución

2. Agrega dos palitos para que la operación sea correcta. Resolución

Colegios

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14

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Si la rueda "D" está girando en sentido antihorario, indica en qué sentido giran "A", "B", "C", "E", "F" y "G"

A B

Responde aquí

D

C

1

E F

G

A: ...........................

E: ...........................

B: ...........................

F: ...........................

C:...........................

G: ..........................

4. En el siguiente diagrama, indica las ruedas que giran en el mismo sentido que la rueda "A". Responde aquí B

D

E

A

C

G

Mismo sentido que "A"

Sentido contrario que "A"

•

...........................

•

...........................

•

...........................

•

...........................

•

...........................

•

...........................

•

...........................

F

H

5. Divide la figura en tres partes iguales usando las líneas del dibujo. Dibuja aquí tu solución

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Unidad II 15

23

Ruedas, figuras y palitos de fósforo 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Conceptos básicos Aprende más... 1. Mueve un palito de fósforo para que la operación sea correcta.

7. Divide la figura en tres partes iguales, usando las líneas del dibujo.

2. Agrega cuatro palitos de fósforo para formar cuatro triángulos equiláteros iguales.

8. Divide la figura en cuatro partes iguales, usando las líneas del dibujo. 3. Indica las ruedas que giran en sentido antihorario. B C D

E

F

G

H

A

4.

Indica las ruedas que giran en sentido horario. D

A

B

C

E

F

9. ¿Cuántos palitos de fósforo hay que quitar como mínimo, para que no quede triángulos en la figura?

G

H

5. Divide la figura en tres partes iguales, usando las líneas del dibujo.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10. ¿Cuántos palitos de fósforo hay que quitar como mínimo, para que no quede cuadrados en la figura? 6. Divide la figura en tres partes iguales, usando las líneas del dibujo.

Colegios

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16

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a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. ¿Cuántos segmentos hay que trazar como mínimo para dividir la figura en dos partes iguales? a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

13. En el siguiente esquema:



M: Número de ruedas que giran en sentido horario.





N: Número de ruedas que giran en sentido antihorario.



Hallar: M - 2N



a) 1 d) 2

1

12. ¿Cuántos segmentos hay que trazar como mínimo para dividir la figura en dos partes iguales? a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

b) - 1 e) 0

c) - 4

Aplicación cotidiana El gráfico muestra el esquema de un motor Subaru 1,8L - 2,2L modelo 1998 - 2001 en un taller de mecánica. Los mecánicos quieren determinar el sentido de giro de cada una de las ruedas indicadas con una letra, sabiendo que la rueda de la caja de cambios (J) gira en sentido antihorario. C B

D

E A

H

I J

F G

Caja de cambios 14. ¿Qué ruedas giran en sentido horario? ..................................................................................................................................................... 15. ¿Qué ruedas giran en sentido antihorario? .....................................................................................................................................................

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Unidad II 17

25

Ruedas, figuras y palitos de fósforo 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Divide la siguiente figura en dos, tres y cuatro partes iguales.

2. La balanza tiene más peso a la derecha que a la izquierda. Mover cinco palitos para que la balanza quede en equilibrio.

3. Divide la figura en cuatro partes iguales.

4. Mueve dos palitos para que la operación sea correcta.

5. Construye una máquina con cinco ruedas, donde tres de ellas giren en sentido horario y dos giren en sentido antihorario. Puedes usar fajas o bandas de transmisión.

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC •

En el siguiente esquema: 4 1

2

3

5

6

7 8

4. ¿Cuántos engranajes giran en sentido contrario a la flecha indicada?

1. Si la rueda 3 gira en sentido horario, indicar las ruedas que giran en sentido antihorario. 2. ¿Qué ruedas giran en el mismo sentido que la rueda 6? 3. Mover cuatro palitos de fósforo para formar cinco cuadrados.

Colegios

26

18

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. Indicar las ruedas que giran en el mismo sentido que gira "D". D

B C

A

1

E F

G H

I

6. ¿Cuántas ruedas giran en sentido antihorario? •

Sistema de entintado continuo de una máquina OFFSET 2,54 cm

Tipos de rodillo A:

metal (S/.12)

B:

plástico (S/.18)

C:

caucho (S/.6)

paleta de limpieza

motor bandeja de tinta

7. En el sistema de rodillos mostrado hay "a" rodillos del tipo "A", "b" rodillos del tipo "B" y "c" rodillos del tipo "C". Calcula: a + b - c

12. Dividir la figura en tres partes iguales.

8. ¿Cuántos rodillos del tipo "A" giran en el mismo sentido que el motor? 9. Cada mes se cambian tres rodillos del tipo "A", cinco del tipo "B" y dos del tipo "C". ¿Cuánto se gasta en el cambio de estos rodillos? 10. Dividir la figura en tres partes iguales.

13. Dividir la figura anterior en cinco partes iguales. 14. ¿Cuántos segmentos como mínimo hay que trazar para dividir la figura en dos partes?

11. Divide la figura anterior en cuatro partes iguales.

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Unidad II 19

27

Cuadros numéricos 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

4

cuadros numéricos

.

En este capítulo aprenderemos a: • • • •

Reconocer las reglas de los diferentes juegos. Interpretar cada una de las reglas de juego, buscando la mejor estrategia. Organizar los elementos de un determinado juego. Realizar y verificar operaciones.

¿Sabes jugar Hidato, Sudoku, Ken Ken, Triángulos mágicos y Pirámides numéricas? Vamos a aprender jugando.

Colegios

28

20

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Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Completa el siguiente Hidato.

46

20

4

4. Colocar en el Triángulo mágico las cifras del 0 al 5 tal que la suma de todos los lados sea 9.

48

38 6

2 1

13 30

35

34

22

41 27

40

20

11 16

5. Completar los números que faltan en los casilleros en blanco, de tal manera que la suma de los números de dos casilleros adyacentes de una fila, resulte el casillero inmediato superior.

19

23

17

2. Completar el siguiente Sudoku. 5 3

1

8

6

1

3

5

5 6

9

6

1

4 1

3

2 3

1

3 4

6

1

3. Completar el siguiente Ken Ken. 12×

3

2-

2÷

2÷

1-

4+

3-

Colegios

32

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Razonamiento matemático Razonamiento matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

2

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Completa el siguiente Sudoku:

•

Con el siguiente Hidato, responda las preguntas 5; 6 y 7.

5

A

3

5 2

6

49 52

1

51

4

3

5

6

9

15

57

18

63

1 5

56

46

2

5 3

B

17

64

6

1

F

41

60

40

20

3

21

E

33

2. Completa el siguiente Ken Ken: 3-

37 C 27 D

2÷

1-

5. Hallar: A + B 24×

8+

a) 48 d) 92

b) 60 e) 86

c) 65

b) 15 e) 20

c) 4

b) 12 e) 66

c) 25

6. Hallar: C - D 1-

2÷



a) 10 d) 12

7. Hallar: F + E 3. Disponer los números del 3 al 8 (sin repetir) los a) 11 circulos del triángulo mágico, de manera que d) 80 la suma en cada lado sea 18. •

Con el siguiente Sudoku, responda las preguntas 8 y 9.

3

8 35

38

6

17

8

18

22

3

9

Central: 619-8100

12

4

6

1

4

B

2

3

5

1

4

A

5

5

8. Hallar: A + B

20

4

3

24

36

5

1

27

5

1 2

29

3

1

4. Completa el siguiente Hidato:

42

6

16

a) 11 d) 6

b) 10 e) 9

c) 8

9. Hallar el número que ocupa el casillero en blanco de la esquina superior izquierda.

a) 1 d) 5

b) 2 e) 3

c) 4

Unidad II

33

Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

•

1° Año de secundaria

Con el siguiente Ken Ken, responda las preguntas 10; 11 y 12. 24×

• Colocar las cifras del 1 al 7, una en cada círculo de tal manera que la suma en cada línea de tres círculos, sea 10. De acuerdo a ello, responde las preguntas 13; 14 y 15.

7+

9+

4÷

3÷

6×

13. ¿Cuál es el número central? 10. ¿Cuál es el producto de las cifras en la región cuya suma es 9?





14. ¿Qué números pueden ocupar los dos círculos superiores?

a) 28 d) 16

b) 20 e) 12

c) 24

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

11. ¿Cuál es la suma de las cifras en la región cuyo producto es 24?





15. ¿Qué números pueden ocupar los dos círculos inferiores?

a) 9 d) 15

b) 12 e) 11

c) 8

12. ¿Cuál es la diferencia de las cifras en la región cuyo cociente es 3?

a) 5 d) 2

b) 4 e) 3



a) 2 y 7 d) 5 y 2

b) 3 y 6 e) 4 y 1

a) 1 y 7 d) 2 y 6

b) 3 y 6 e) 6 y 1

c) 1 y 5

c) 5 y 4

c) 1

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Completa el siguiente Hidato: 51

62

54

60

21 59

8

32

34

20

25

6

27

38

28 12

39 41

1 43

Colegios

34

TRILCE

2

17

4

7

13

6

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23

Razonamiento matemático Razonamiento matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

2. Completar el siguiente Sudoku: 7

8

1 6

4. Disponer los números del 1 al 9 en los círculos del Triángulo mágico, de manera que la suma de cada lado sea 17. 5 1

4 4 7

8 3

6

5 4

1 7

3 6

9

2

5

2

7 9 4 2

4 5

8

2 6

5 1 8 9 3

9

3

2 6 7

5. Completar la siguiente Pirámide numérica:

3. Completar el siguiente Ken Ken: 12×

6+

11+ 2-

6×

1-

2÷

3+ 4-

8+

2÷

8

1-

-2

10

12

- 6

-1

-4

11

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

Completa el siguiente Hidato y responde las si-guientes preguntas: A

16

17

B

18

9

8

12

20

22

D

6

7

C

25

27

1. Hallar: A + B 2. Hallar: D - C 3. Hallar: E + F

24

Central: 619-8100

E

6

42

6 1

C

B

4

5 D

1

34 F

3

4

1

31 30

5

6

39 28

Completa el siguiente Sudoku y responde las siguientes preguntas: A

21 24

•

35

2 3

3

E

4

4

5

F 5

2

4. Hallar: C + F 5. Hallar: E - B 6. Hallar: A × D

Unidad II

35

Cuadros numéricos Compendio de Ciencias - I BIM

•

1° Año de secundaria

Completa el siguiente Ken Ken y responde las siguientes preguntas:

12. Completa el siguiente Ken Ken:

4+

10+

4×

4+

2÷

1

7+ 8×

2÷

6×

12× 1

11+ 3-

2 3+

13. Completar el siguiente Ken Ken: 7.

¿Cuánto suman los números cuyo producto es 8?

2

8. ¿Cuál es el producto de los números cuya suma es 10?

3-

9. ¿Cuál es el producto de los números cuya suma es 11?

5

6 5

2-

3

2÷

2÷

14. Completar el siguiente Hidato: 1

3

1 3

12×

4+

10. Completa el siguiente Sudoku: 2

2÷

6

41 39

1

4

2

49 46

3

6

5

50 59 57

1

4

5

89

43

54 64 63 61

94 91

2

34 33

4

21

14 15

6

66 67 71

73

1 2

6 3

6

2

1

3

5 2

6

1 3 2

5 6

3

4

74

11

2÷

6×

20×

27

11+ 72×

12+ 40× 2÷ 9+

36

9

10+

2÷

5-

Colegios

28

15. Usar los números del 1 al 6, y completa el siguiente Ken Ken:

10+

TRILCE

29

10

80

3-

4

31 23

11. Completar el siguiente Sudoku: 4

97 96

37 1

6

100

2÷

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25

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

5

3

Repaso I

• • • • •

Ecuaciones lineales Palitos de fósforo Engranajes y transmisiones División de figuras Juegos con cuadros numéricos: Hidato, Sudoku, Ken Ken, Triángulos mágicos

Fuente:http://1.bp.blogspot.com

Y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente

26

Central: 619-8100

Unidad II

37

Repaso I Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Conceptos básicos Aprende más... 2. Sudoku

• Palitos de fósforo

Mover tres palitos de fósforo para que el pez nade en dirección opuesta.

4

6

3

1

2

3

5 2

3

4

5

6

2

3

5

• Engranajes y transmisiones

1

2

4

2

3. Ken Ken C

B

E

A

F 3

D

G

3+

H

3+

2÷

1-

16×

9×

I

Indicar las ruedas que giran en sentido antihorario.

2

• División de figuras Dividir la figura en tres partes iguales

•

Triángulo mágico Colocar los números del 1 al 9, en los círculos en blanco de manera que la suma en cada lado sea 20.

• Juegos: Cuadros numéricos

1. Hidato 1 3 8

5 4

35 38 20 6

8

12 9

•

36

1. 2x+9=17 42 29 27

Colegios

38

TRILCE

2. 4x - 16= 48 3. 2x+9=49 4. 3x+18=x+42

18 16

Calcular "x" en:

24

5. 4x - 9+x=2x+8 - x+3

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27

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

6. 3(x - 6)=27 7.

2x = 18 3

8.

4x + 2 = 7 6

12. El quíntuple de la diferencia de un número con 20 es 100. Halla el mencionado número.

3

13. La suma de cinco números consecutivos es 145. ¿Cuál es el menor de ellos? 14. Halla dos números consecutivos, tales que si al doble del menor le agregamos el triple del mayor, obtendremos 58.

9. 4(2x+3)+5(3x - 6)=5

15. Se tienen dos números consecutivos. Si al triple del mayor le disminuimos el doble del menor, obtendríamos 59. Halla el número mayor.

10. 3(4x - 7) - 2(x - 9)=37 11. El cuádruple de la suma de un número con 15 es 84. Halla dicho número.

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En la vida real Se ha desmontado la pieza mostrada, de una máquina, incluyendo su pequeño motor eléctrico que va en la parte de atrás de la placa que sostiene a los engranajes. Además, el eje del engranaje mayor es dentado y hueco pues ahí se entornilla otra pieza que evita que la pieza se sacuda con las altas revoluciones del motor. motor

Responder: •

•

28

Si el motor gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira el engranaje mayor? Si se cambia la polaridad, ¿en qué sentido gira el engranaje que está en contacto con el engranaje mayor?

Central: 619-8100

2. Escribe la expresión que corresponde en: Preg.

Forma verbal

1

La suma de un número con su mitad

2

El cuadrado del triple de un número

3

Un número aumentado en 15

4

La suma de dos números consecutivos es 18

5

17 disminuido en el doble de un número

Forma simbólica

6

4x2

7

18 - x

8

5 (7 - x)

9

x-3 5

10

(x+5) (y - 3)

Unidad II

39

Repaso I Compendio de Ciencias - I BIM

3

1° Año de secundaria

Luego de resolver el siguiente Ken Ken, efectuar las operaciones indicadas: 2-

A

3+

B

C

4. Luego de resolver el siguiente Sudoku, efectúa las operaciones indicadas:

7+

D

7+

1-

E 6+

G 3-



• • •

F

F H

3

AB × DG 2 DA 99 × HGDDC



• • •

D

3

1

E

2

1 4

C

6

2

3

4

6 A

B

4

3

6

5

1

BDC × 999 C × ABDEE 2 EB

6 3

F

4

2

5. Escribe la expresión matemática que corresponde en: EXPRESIÓN VERBAL

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Un número aumentado en ocho. La tercera parte de un número, disminuido en siete. El exceso de un número sobre 15. Dos números consecutivos suman 12. El doble de un número, disminuido en ocho. El doble de un número aumentado en 11. El cuadrado de un número aumentado en cinco. El cubo de un número, disminuido en 20. 6. Hallar el valor de "x" en la siguiente ecuación: 5+3x - 2x = 37+x 5

8. Hallar la suma de dos números consecutivos, si se sabe que al triple del menor le agregamos el doble del mayor obtendremos 52.

7. El triple de un número aumentado en 12 es igual a 42. Halla dicho número elevado al cuadrado.

Colegios

40

TRILCE

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29

Razonamiento matemático Razonamiento matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

6

4

multiplicaciones abreviadas

.

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Reconocer las diferentes reglas prácticas para multiplicar en forma abreviada. Aplicar reglas prácticas para multiplicar en forma abreviada. Realizar y verificar operaciones.

A

través de la historia, las diferentes culturas han desarrollado formas propias de efectuar las operaciones aritméticas básicas. Los chinos, los romanos, los mayas, entre otros, operaban con sus propios símbolos y algoritmos. Actualmente se emplea el sistema indoarábigo, basado en el sistema decimal y es de aplicación universal. Dentro de este sistema hay reglas que permiten abreviar ciertas multiplicaciones.

Pero profe... ¿Hay otra manera más breve de hacer esa multiplicación?

30

Central: 619-8100

8437× 999 75933 75933 75933 8428563

Vamos a multiplicar 8437 por 999... observen...

Unidad II

41

Razonamiento matemático Razonamiento matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 10 x 5 50

4

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Efectúa las siguientes operaciones, aplicando las reglas prácticas estudiadas: •

466 × 5=

•

4872 × 99 =

•

3729 × 11 =

•

63 × 45 =

•

632 =

Conceptos básicos Aprende más... Resolución de problemas

5. 39 466 × 11

• Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

6. 54 837 × 99

1. 233 × 99 2. 233 × 999

7. 54 837 × 999 8. 482

3. 322

9. Si: 272 = mnp hallar: mp # np

4. 8763 × 5



Central: 619-8100

a) 2291 d) 2241

b) 2147 e) 2317

c) 2217

Unidad II 31

45

multiplicaciones abreviadas 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2

10. Si: abc × 11 = a595 hallar: a + b + c

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

13. Si: xx = 4356 hallar: x + 3 c) 8



11. Si: 622 = abcc hallar: ab # cc

a) 1432 d) 1672

a) 78 d) 79

b) 6 e) 10

c) 7

Comunicación matemática b) 1632 e) 1542

c) 1581

• Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso; según corresponda: 14. La cifra mayor del resultado de 375×11; es 5 ... ( )

12. Si: 17 × 13 = aab 19 × 31 = cde hallar: ab + cd

a) 5 d) 9

15. El producto de la suma de las cifras de los resultados de: 34×45 y 28×42; es 145 ... ( )

b) 82 e) 80

c) 89

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si: a8b6c4 # 11 = 10d6419e hallar: (a +b)2 - (c + d)2 +3e

a) 54

b) 76

c) 87

d) 99

e) 104

b) 64

c) 58

d) 47

e) 39

c) 216

d) 208

e) 222

c) 8

d) 7

e) 6

2

2. Si: a6 = 73bc hallar: 5a +4b - 2c

a) 75

3. Si se sabe que: P1 # P2 = 992 Q4 # Q7 = 3078 R9 # R3 = 2107 hallar: P4 + Q3 + R2 a) 199

b) 237

4. Si: REMA # 9999 = ...8766 hallar: R + E + M + A

a) 10

b) 9

5. Calcular la suma de las cifras del resultado de: 12 345 678 × 99 999 999

a) 70

Colegios

46

32

TRILCE

b) 71

c) 72

d) 73

e) 74

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Razonamiento matemático Razonamiento matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 18:10:45

4

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Hallar "A + B", si: A = 36 × 11 y B = 47 × 5 2. Hallar "A - B", si: A = 24 × 12 y B = 12×13

10. Calcular: M + N - P

si: M = 56 × 48



N = 682 - 362



P = 18 × 99 + 34 × 99

2

3. Hallar "S - P", si: S = 23 × 11 +35 y

P = 72 × 5

4. Hallar "P + Q", si: P =352 + 38 × 11 y

Q = 21 × 34

5. Hallar "P + S", si: P = 82 × 11 y S = 352 × 99

11. Si: 17 × 13 = aab y 19 × 31 = cde ; hallar: ab + cd 12. Calcular la suma de cifras de "N", luego de efectuar: N = 22 × 4358 •

Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso; según corresponda:

6. Hallar: Q = 3521 × 999 7. Hallar: P = 852 - 752 8. Hallar "M + N"

13. El doble de la suma de las cifras del resultado de (37 × 24) es 48 ................................. ( ) 14. El producto de las cifras del resultado de 562 es 54 ......................................................( )

si: (MN)2 + 1 = 1226 9. Calcular: M + N

si: M = 37 × 48



N = 5384 × 5

Central: 619-8100

15. Un comerciante compró 11 camisas a 34 soles cada una. ¿Cuánto gastó en total?

Unidad II 33

47

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

7

1

Situaciones lógicas

.

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Reconocer e interpretar los términos que indican las relaciones familiares. Representar y organizar los sujetos de una familia en "árboles familiares". Reconocer y representar en la recta numérica los días de la semana en situaciones especiales.

Hoy aprenderemos ese tema

http://mariacardenasmontero.blogspot.com

Si hoy es lunes, ¿qué día fue el ayer de pasado mañana?

34

Central: 619-8100

Unidad III

49

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. ¿Qué es de mí el hermano de mi padre?

4. Si hoy es jueves, ¿qué día será pasado mañana?

2. ¿Qué es de mí la esposa de mi hermano?

5. Si anteayer fue sábado, ¿qué día será dentro de cuatro días?

3. ¿Qué es de mí la hermana de mi tía que no es mi tía?

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática •

8. Si el anteayer del anteayer de mañana es viernes, ¿qué día de la semana será el pasado De acuerdo al siguiente "árbol familiar", mañana del mañana de hace tres días? contestar: a) martes b) lunes c) jueves d) miércoles e) viernes 9. Si anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día de la semana será el mañana de anteayer?

Paty

Carla

Raúl

Juan

Elena

Saúl

Celia

Jorge



a) lunes d) sábado

b) viernes e) martes

c) domingo

10. Si el anteayer del pasado mañana de anteayer fue viernes, ¿qué día es el ayer del pasado mañana de ayer?

a) domingo d) jueves

b) lunes e) sábado

c) martes

11. Si el anteayer de mañana de pasado mañana será viernes, ¿qué día fue ayer? Tino

Rosa

Pedro

1. Abuela de Pedro: ________________________



a) miércoles d) jueves

b) lunes e) martes

c) sábado

2. Cuñado de Carla: ________________________

12. ¿Qué parentesco tiene Miguel con el único nieto del abuelo del padre de Miguel?

3. Yerno de Paty: __________________________



4. Primo de Elena: _________________________

a) él mismo d) su papá

b) su nieto e) su abuelo

c) su hijo

5. Nieto de Raúl: __________________________

13. La mamá de Luisa es la hermana de mi padre. ¿Qué parentesco tengo con el abuelo materno de Luisa?

Resolución de problemas



6. El mañana de anteayer fue jueves. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hace tres días?

14. Pedro se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano. ¿Por qué?





a) lunes d) sábado

b) viernes e) domingo

c) martes

7. Si el ayer del pasado mañana es lunes, ¿qué día de la semana será el anteayer del ayer de mañana?

a) viernes d) miércoles

Central: 619-8100

b) lunes e) sábado

c) jueves

a) mi hermano b) mi sobrino c) mi tío d) mi abuelo e) mi hijo

a) es su abuela b) es su hija c) es su tía d) es su mamá e) es su hermana

15. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?

a) es mi madre c) es mi nieta e) es mi suegra

b) es mi hija d) es mi sobrina

Unidad III 35

53

Situaciones lógicas 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:

a) hija d) sobrina

b) madre e) prima

c) nieta

2. Se sabe que Jaime es sobrino de Pedro, quien a su vez es hermano de Juan, el que a su vez es padre de Víctor. Si Jaime no es hijo de Juan, ¿qué relación existe entre Jaime y Víctor?



a) Jaime es tío de Víctor b) Son hermanos c) Jaime es sobrino de Víctor d) Son primos e) Víctor es padre de Jaime

3. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? 18:10:45

a) soy su hijo c) soy su esposo e) soy su nieto

b) soy su hermano d) soy su sobrino

4. Sabiendo que el mañana de anteayer del mañana de pasado mañana será jueves, ¿qué día fue el anteayer del ayer del mañana de hace dos días?

a) viernes d) jueves

b) lunes e) martes

c) domingo

5. Hace dos días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasaron desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy?

a) sábado d) jueves

b) lunes e) domingo

c) martes

soPractica cisáb soten peccasa noC •

De acuerdo al siguiente árbol familiar, contestar:

9. ¿Quién es el nieto de mi abuela que no es mi hermano? 10. Si el ayer del anteayer de mañana del pasado mañana de ayer de hace dos días fue lunes, ¿qué día será el mañana de hace tres días? 11. Gildder estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: "¿De quién es esa fotografía?", a lo que él contestó: "Soy hijo único; pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre". ¿De quién era la fotografía que estaba mirando Gildder?

1. 2. 3. 4. 5.

Abuelo de José: _________________________ Cuñado de Rino: ________________________ Nieta de Sara: __________________________ Prima de Pedro: _________________________ Suegra de Miguel: _______________________

12. ¿Qué día será el mañana del anteayer del subsiguiente día del ayer, si el mañana del anteayer del ayer fue sábado? 13. El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, estos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Qué parentesco tiene con el señor Lazo el único hijo del sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Marco?

6. ¿Qué es respecto a mí, el abuelo materno del mellizo de Leonel, si la madre de Leonel es la 14. Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué hermana de mi hermano gemelo? parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha? 7. Luis es el único hijo del abuelo de Miguel y Ángel es el hijo de Luis. ¿Qué es Miguel de Ángel? 15. Si el mañana del pasado mañana del ayer del mañana de hace tres días es miércoles, ¿qué 8. Si hoy es jueves, ¿qué día será el mañana del día será el ayer del pasado mañana del mañana anteayer del mañana del pasado mañana de de pasado mañana? hace dos días?

Colegios

54

36

TRILCE

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Compendio de Ciencias - I BIM

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático 1° Año de secundaria

CAPÍTULO

8

2

Pensamiento lateral

.

En este capítulo aprenderemos a: • • • • •

•

Identificar características particulares de una situación. Seleccionar elementos teniendo en cuenta ciertos criterios. Analizar las diferentes partes de un problema. Sacar conclusiones a partir de cierta información. Juzgar estrategias de solución determinando si son aplicables.

El pequeño nieto no deja tejer a la abuelita. ¿Qué se podría hacer para que la abuelita pueda tejer sin que el nieto la moleste?

Central: 619-8100

Unidad III 37

55

1° Año de secundaria

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

2

Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Un hombre y su hijo tienen un accidente de auto. El padre muere instantáneamente y el hijo es llevado al hospital en graves condiciones. Una vez en el quirófano, quien debe operarlo para salvarle la vida dice: "No puedo operar a este niño, ¡es mi hijo!". ¿Cómo es posible, si el padre murió en el accidente? 2. Un hombre, vestido completamente de negro, incluyendo una máscara negra y lentes oscuros, va caminando por una calle cuyas luces están todas apagadas. Un auto negro viene de frente por la misma calle, también con las luces apagadas, pero logra esquivarlo. ¿Cómo vio al hombre? 3. En un corral hay dos patos con una pata cada uno. ¿Cuántos picos hay en el corral? 4. A un restaurante concurrieron dos padres y dos hijos. Cada uno pidió un plato de S/. 10 y sin embargo, la cuenta fue de S/. 30. ¿Cómo se explica esto? 5. Si tengo cuatro soles y compro dos soles de pan, ¿cuánto recibiré de vuelto?

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Unidad III

57

Pensamiento lateral Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Conceptos básicos Aprende más... 1. Una canasta con huevos Hay seis huevos en una canasta. Seis personas se llevan un huevo cada una. Sin embargo, queda un huevo en la canasta. ¿Por qué?

puede dejar solos a la gallina y el maíz porque la gallina se lo comería. ¿Cómo podría esa persona resolver el problema con el bote de que dispone y sin ninguna otra ayuda externa?

2. El billete perdido 7. Las etiquetas El Sr. Fernández se acordó al llegar a su oficina, Sin acertar con ninguna de las tres, un empleado que había dejado, entre las páginas del libro etiquetó erróneamente tres cajas que contenían que estaba leyendo, un billete de 200 soles. caramelos, chocolates y galletas. Cuando alPreocupado, no fuese a extraviarse, llamó a guien le comunica el error, dice: "No hay su casa y le dijo a su empleada que le diese el problema, con solo abrir una de las tres cajas libro que contenía el billete a su chofer, quien y mirar su contenido, ya podré colocar las tres iría a recogerlo. Cuando el chofer regresó a la etiquetas correctamente". ¿Cómo lo hace? oficina el billete había desaparecido. Al tomar declaración al chofer y a la empleada, esta 8. Un preso listo El alcaide de una prisión ofrece la libertad última dijo que comprobó personalmente que inmediata a uno de los diez presos que el billete estaba dentro del libro cuando se lo mantiene entre rejas. Para ello prepara una dio al chofer, precisamente entre las páginas 99 caja con diez bolas, nueve negras y una sola y 100. A su vez el chofer declaró que al recibir blanca y les dice que aquel que extraiga la bola el libro de la empleada, él miró el reloj y vio blanca será el preso que quede libre. Pero el que eran las 9:30 am, dirigiéndose a la oficina alcaide, solo hace esto para divertirse pues no del Sr. Fernández, situada a 20 cuadras a donde tiene la verdadera intención de liberar a un reo; llegó a las 9:40 am. ¿Quién miente de los dos? ha colocado, sin que nadie lo sepa, las diez 3. Salvarse del incendio bolas negras, para, de esta manera asegurarse Una pequeña isla tiene abundante vegetación que ninguno de sus diez presos vaya a quedar y está seca por el calor. Está rodeada, por un en libertad. El preso Andrés, que tiene fama de lado, con enormes acantilados y por otro lado listo, se enteró casualmente de la trampa que hay tiburones en sus aguas. En cierto momento iba a hacer el alcaide, e ideó una estratagema cae un rayo en un extremo de la isla y esta que le dio la libertad. ¿Cómo lo hizo Andrés? empieza a arder rápidamente. El viento sopla a favor del fuego y no hay donde refugiarse. Una 9. Componer la pulsera persona habita en esta isla y sin salir de ella A un experto joyero le llevan cuatro trozos de logra salvarse del fuego, ¿cómo lo hizo? cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el 4. Un gran milagro joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar El reverendo Pedro Cipriani anunció que a continuación cada eslabón cortado. Tendré cierto día, a cierta hora, realizaría un gran en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro milagro: durante veinte minutos caminaría soldaduras". Pero la persona que le encarga el sobre la superficie del lago sin hundirse en sus trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro aguas. Una gran muchedumbre se apiñó para empalmes. Puede formarse la pulsera con solo presenciar la hazaña. El reverendo Cipriani tres". ¿Cómo podría hacerse esto? realizó exactamente lo que afirmó que haría. ¿Cómo pudo lograrlo? 10. En un edificio 5. Una mujer tiene dos hijos que dio a luz al mismo tiempo. Sin embargo, no son mellizos ni gemelos, ¿qué son? 6. Pasar el río

Un hombre vive en el décimo piso de un edificio, y todas las mañanas, toma el ascensor, va hasta la planta baja y se va a trabajar. Pero cuando regresa toma el ascensor, va hasta el sétimo piso, se baja, y sube los tres pisos restantes por escalera. Él odia caminar, entonces, ¿por qué lo hace?

Una persona dispone de un bote para atravesar un río desde una orilla a la otra. Tiene que 11. Comportamiento raro pasar un lobo, una gallina y una bolsa de Un hombre entra a un bar, y le pide al maíz. El problema es que en cada viaje solo barman un vaso de agua, este saca un revólver puede pasar a uno de los tres y no puede dejar verdadero de abajo de la barra y le apunta con solos, en ninguna de las dos orillas, al lobo y a él. El hombre dice: "Gracias" y se va. ¿Qué la gallina porque el lobo la mataría, y tampoco ocurrió? Colegios

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1° Año de secundaria

Razonamiento matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

mordedura es letal. Un día un esclavo se quedó 12. Un apellido extraño solo durante unos pocos minutos en la estancia Suena el teléfono en casa y se escucha la de las joyas, y fue capaz de robar unas cuantas siguiente conversación: gemas de enorme valor sin sacar la cobra de Mi esposa: Buenos días, dígame. la caja, y sin tocar ni influir en la serpiente de Mi amigo: Buenos días. ¿Con quién tengo el ninguna forma. Tampoco tuvo que hacer nada gusto? para protegerse las manos. Empleó tan solo unos Mi esposa: Con María, la esposa de Miguel cuantos segundos en el robo. Cuando el esclavo Mi amigo: ¿Me podría comunicar con él? salió de la habitación, el joyero y la serpiente se Mi esposa: Lo siento, ha salido a comprar. encontraban exactamente en el mismo estado ¿Quién lo llama? que antes, salvo por las gemas robadas. ¿De qué Mi amigo: José Szcrych. Él tiene mi número ingenioso método se valió el esclavo? de teléfono, ¿podría decirle que me llame por favor? Mi esposa: Ok. Pero no comprendí su apellido. 14. El interruptor Hay tres interruptores afuera de un cuarto que ¿Podría deletreármelo? está cerrado con llave. Adentro del cuarto hay Mi amigo: Szcrych. S de sol, Z de zapato, C de tres lámparas. Usted puede encender y apagar cloro, R de ... los interruptores cuantas veces quiera, siempre Mi esposa: Perdón, C ¿de qué? y cuando la puerta del cuarto permanezca Mi amigo: De cloro, R de razón, Y de yunta, cerrada. Entonces, usted debe entrar una sola CH de chaleco. vez al cuarto y determinar cual interruptor le Mi esposa: Gracias, señor. corresponde a cada lámpara. Sorprendido, mi hijo Carlos que escuchó el diálogo anterior, nos hizo notar que en la conversación había ocurrido algo totalmente 15. Un libro difamador Cierto político terminó de leer un libro de 200 ilógico. ¿Puede Ud. descubrir de qué se páginas y quedó muy molesto pues en él lo trataba? difamaban. En un arranque de cólera arrancó las páginas de numeración impar que eran 13. El esclavo y los diamantes las páginas en donde lo injuriaban. ¿Cuántas Cleopatra guarda sus diamantes en un joyero páginas quedaron en el libro? de tapa corrediza. Para disuadir a los ladrones, dentro de la caja hay una cobra viva cuya

2

¡Tú puedes!básicos Conceptos 4. Una niña curiosa 1. Siguió leyendo Una niña vive en su casa con sus padres. Estos Martín tiene una increíble capacidad para siempre le dijeron que por ninguna razón abra escuchar la radio y mantener una conversación la puerta del sótano, para que no vea algo que mientras lee un libro. Una noche Martín estaba no tenía que ver. Cierto día, los padres salen y leyendo un libro cuando de repente se fue la se olvidan de asegurar la puerta del sótano con luz quedándose toda la casa en la más completa llave. La niña, no pudiendo resistir la tentación, oscuridad. Sin embargo, siguió leyendo, incluso aprovecha la circunstancia, y abre la puerta teniendo en cuenta que la habitación está a del sótano. Lo que ve, la deja estupefacta, no oscuras. ¿Cómo podría continuar leyendo? puede creer el espectáculo que se cierne ante sus ojos. Un rato más tarde la policía arresta 2. Té con menta a sus padres y ponen a la niña en un lugar Una mujer va por la calle y lee el cartel de seguro. ¿Qué vio la niña? un establecimiento: "Té con menta especial. ¡Delicioso!". La mujer pide uno y justo cuando va a acercárselo a los labios, pide otro, ya 5. Ingenio especial Un sordomudo entra en una tienda de artículos que tiene un mosquito flotando. Al probar de escritorio. Para hacer entender al empleado el nuevo té sabe que es el mismo de antes. que necesita un sacapuntas se coloca un dedo en ¿Cómo se dio cuenta que era el mismo té? la oreja izquierda y rota la otra mano alrededor de la oreja derecha. El siguiente cliente es un 3. Darse cuenta ciego, ¿cómo hace para hacer entender al Nos presentan dos esferas que tienen el mismo empleado que desea unas tijeras? volumen, pero una de ellas pesa diez veces más que la otra. Si solo puedes coger una, ¿cómo sabrías cuál es la más pesada? 40

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Unidad III

59

Pensamiento lateral Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 8. Pregunta discordante 1. El loro tartamudo Un vendedor de pájaros elogia a su loro ante Dos personas van por un camino, el de un cliente: "En un par de días aprende todo lo adelante dice: "Me sigue mi hijo", pero el que que se le dice". El cliente compra el loro. Al está atrás dice: "Yo no sigo a mi padre". ¿Quién cabo de cinco días lo devuelve porque el loro está adelante? es tartamudo. ¿Qué cree usted que le contestó el cliente cuando el vendedor le preguntó por 9. Persona caprichosa el motivo de la devolución? Una persona un tanto caprichosa, construyó una casa de base cuadrada, con una ventana 2. Cumpleaños especial en cada pared, de modo que las cuatro daban Un hombre dice: "Ayer yo tenía 33 años, y el año al sur. ¿Cómo se puede hacer esto? En otras que viene cumpliré 35". ¿Cómo es posible esto? palabras, ¿dónde se puede construir una casa de este tipo? 3. Edad del griego Un griego nació el séptimo día del año 40 a. C., y murió el séptimo día del año 40 d. C. 10. ¿Fue el mayordomo? "¿Dónde están esas valiosas monedas de la ¿Cuántos años vivió? colección que dejé esta mañana sobre la mesa, 4. ¿Pesa menos? Genaro? Las puse en formación cuadrada y ¿De qué hay hay que llenar un cilindro abierto ahora solo quedan dos. ¿No las tomó usted, para que pese menos? verdad? ¡No Señor!, respondió el mayordomo. "Poco después de que usted saliera entraron tres 5. Las tapas cambiadas ladrones. Se repartieron las monedas en partes Se tienen tres cajones, de los cuales uno iguales entre ellos, pero dejaron estas dos por contiene dos bolas blancas, otro dos bolas que no podían repartírselas equitativamente". negras y el tercero una bola blanca y otra negra. ¿Decía la verdad, o mentía el mayordomo? Las tapas están rotuladas acordemente con las letras BB, NN y BN. Cambiamos las tapas de modo que ninguno de los cajones tenga la 11. La cuerda floja Tenemos dos postes de 12 metros de altura que le corresponde. ¿Cómo determinaremos el cada uno, en cuyos extremos superiores hay color de las bolas de cada cajón, tomando atada una cuerda que mide 20 metros. Dicha solo una bola de uno de los cajones? cuerda está colgando, de modo que el punto más bajo de ella dista dos metros del suelo. Se 6. La moneda extraviada Tres amigos, luego de consumir en un trata de hallar la distancia entre los dos postes. restaurante, piden la cuenta, el mozo cobra S/. 30, sacando entonces cada uno S/. 10. 12. Mantener separadas Pero el cajero le dice al mozo que había una Hay dos jarras llenas de agua pura. ¿Cómo equivocación, pues el consumo solo ascendía podrías poner toda el agua en un barril sin usar a S/. 25; el mozo se da cuenta que devolver las jarras ni ningún otro recipiente o división, S/. 5 a tres personas en partes estrictamente pero todavía mantener separadas el agua iguales era molestoso así que decide quedarse proveniente de cada jarra? con S/. 2 y devuelve S/. 1 a cada uno, por consiguiente, cada uno de los amigos habría 13. Fiesta familiar gastado solo S/. 9. Pero al principio había S/. 30 En una fiesta familiar dos hombres se y ahora hay: 9×3=27 soles más dos soles con encuentran: "Padre", dijo el primero; "Abuelo", los que se quedó el mozo entonces son S/. 29. replicó el segundo. Ninguno de los dos ¿Qué pasó con el otro sol? hombres se equivocaba. ¿Cómo puede ser? 7. Pregunta curiosa TRILCITO intentando hacer razonar a Luchín 14. Con una lupa Un ángulo de 10º es observado con una lupa le comenta: "Luchín, ¿cómo podrías demostrar de 10 aumentos. ¿Cuánto medirá el ángulo en que la mitad del número nueve es exactamente la lupa? cuatro?". ¿Usted cómo lo haría?

Colegios

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

9

3

Repaso II . ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados durante el bimestre

• • • •

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• • • •

Palitos de fósforo. Engranajes y transmisiones. División de figuras. Juegos con cuadros numéricos: Hidato, Sudoku, Ken Ken, Triángulos mágicos y Pirámides numéricas Multiplicaciones abreviadas. Relaciones familiares. Días de la semana. Pensamiento lateral.

¿En qué sentido gira "P" ?

P

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Unidad III

61

Repaso II Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Conceptos básicos Aprende más... Palitos de fósforo

Mover un palito de fósforo de tal manera que se siga manteniendo la igualdad:

Sudoku 2

3

6

5

4

6

3

5 2

3

4

2

3

Engranajes y trasmisiones

1

1

5 2

5

6

D

A

Ken Ken B

2÷

12×

C 3-

E I

Si la rueda "D" gira en sentido horario, ¿en qué sentido giran las otras ruedas?

División de figuras

Dividir la figura en tres partes iguales.

Juegos con cuadros numéricos Hidato 2 4

34 30 23 22 35 27

38

20 41 40 13

46

16

Colegios

62

Ana

Rosa

48

Pepe Jaime

César Raúl

• 1

TRILCE

2-

Relaciones familiares

Lila

17 11

2÷

4+

Samuel

19

3

F

G

H

1-

Óscar

Jeny

Betty

¿Cómo se llaman los nietos de Samuel?

Días de la semana 1. El ayer del anteayer fue miércoles. ¿Qué día de la semana será el pasado mañana del ayer de mañana de dentro de tres días? 2. Si anteayer fue lunes, ¿qué día de la semana será el mañana del mañana del pasado mañana de hace dos días?

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Pensamiento lateral

Enunciado

• 1. Aviso a los navegantes Un barco, fondeado en el puerto, tiene desplegada una escalera para poder embarcar en los botes. La escalera que va desde cubierta al agua, tiene 22 escalones de 20 cm de altura cada uno. La marea sube a razón de 10 cm por hora. ¿Cuántos escalones cubrirá el agua al cabo de 10 horas?

3

Si el anteayer de dentro de cuatro días es miércoles, relacionar: 1.

El mañana de hace dos días

2. El anteayer del mañana de pasado mañana

Miércoles Viernes

2. Zapatero estafado 3. El ayer del anteayer de Una señora compra unos zapatos y paga con un Domingo hace dos días billete de 200 soles los 180 que valen. Como el zapatero se encuentra sin cambio, acude al 4. El ayer del pasado mañana bar de al lado a cambiar el billete de 200 soles, Lunes devuelve 20 soles a la señora y ambos quedan de dentro de tres días satisfechos. Al poco tiempo llega el dueño del bar alegando que el billete que le cambio es 5. El mañana del mañana falso y que no quiere perder dinero. El zapatero Martes de anteayer entrega otro billete de 200 soles legal al dueño del bar. ¿Cuánto perdió en total el desventurado • Mi nombre es Samuel y mis padres Luisa zapatero? y Carlos. Los padres de mi mamá son Luis y Rebeca. Además mi papá tiene un solo Multiplicaciones abreviadas hermano llamado Julio. 1. 47 326 × 5 = Responder si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F):

2. 496 832 × 11 =

1. Samuel es tío de Julio .......................... ( ) 3. 841 096 × 999 = 4. 34 × 72 = 5. 572 =

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2. Carlos es yerno de Luis........................ ( )

3. Rebeca es abuela de Samuel ............... ( ) 4. Luis es tío de Julio ............................... ( )



5. La hija de Rebeca es cuñada de Julio .... ( )

Unidad III

63

Repaso II Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

El ayer de pasado mañana es miércoles, relaciona: 1.

El mañana de hace cuatro días

miércoles

2.

El pasado mañana del ayer de mañana

viernes

3.

El anteayer de mañana

sábado

4.

El ayer del ayer de dentro de cinco días

lunes

5.

El mañana de hoy

jueves

Enunciado 12. Si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día de la semana será el ayer del ayer de dentro de • El hermano de Ana es Jaime y está casado con cinco días? Betty con quien tienen dos hijos: Raúl e Inés. Inés está casada con Rafael y tienen una niña a) jueves b) lunes c) sábado llamada Carmen, colocar "V" si es verdadero o d) miércoles e) domingo "F" si es falso; según corresponda: 13. Si el mañana de dentro de tres días será domingo, ¿qué día de la semana fue el pasado 6. Ana es cuñada de Betty ..................... ( ) mañana del pasado mañana de ayer? 7. Jaime es tío de Rafael ........................ ( ) a) lunes b) martes c) sábado 8. Carmen es abuela de Betty ................ ( ) d) domingo e) viernes 9. Ana es tía de Raúl .............................. ( ) • Relaciones familiares 10. La señorita Janeth, al mirar el retrato de un hombre le dijo a su padre (quien es hijo único) lo siguiente: "La madre de ese hombre era la suegra de mi madre". ¿Qué parentesco hay entre la señorita Janeth y el hombre del cuadro?

Susana Susana

Carlos Carlos

Fabiola Fabiola

11. Indicar cuántas ruedas giran en sentido horario. Rubén Rubén

Rafael Rafael

Alberto Alberto

Inés Inés

Susy

Responder: 14. ¿Quién es la hermana del papá del cuñado de Inés? 15. ¿Qué parentesco tiene Rafael con Alberto?

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TEMARIO • Adición de números naturales • Sustracción de números naturales • Aplicación de adición y sustracción. • Multiplicación de números naturales • Complemento • División de números naturales • Aplicación de la multiplicación y división de números naturales • Operaciones combinadas • Repaso

Adición de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Adición de números naturales

1

CAPÍTULO

1

En este capítulo aprenderemos: • •

A reconocer, identificar e interpretar los elementos y propiedades de la "Adición". A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.

¿Cómo sumaban los egipcios?

L

a suma es la primera operación cuya necesidad siente el hombre; los dedos de las manos y las piedrecillas le bastaron en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del comercio necesita fijar sus compras y sus ventas.

¿Cómo sumaban los egipcios y los caldeo–asirios? Los egipcios y los caldeo–asirios efectuaron la suma haciendo huellas en la arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de esas bolitas en la huella de la derecha representaba un objeto; cada bolita en la siguiente huella (hacia la izquierda) representaba diez objetos; en la siguiente huella representaba cien objetos; en la cuarta, mil objetos, etc. En el esquema que se da a continuación están los cuatro momentos de la suma de 647 + 285:

Primer paso

Segundo paso

El número 647

Se le añade 285

Tercer paso

Cuarto paso

Se dejan dos en la primera columna

Se dejan 3 bolitas en la segunda columna

• Si tú fueras un egipcio, ¿cómo sumarías: 378 + 482?

Saberes previos 1. ¿Cuántas unidades hay en dos decenas? 2. ¿Cuántas unidades hace una docena?

4. Entre 5 docenas y 6 decenas, ¿quién es mayor? ¿Porqué? 5. ¿Cuáles son los números naturales?

3. ¿Cuántas decenas hay en una centena? 48

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UNIDAD 1

5

Aritmética

1° Año de secundaria 10 x 5 50

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplica lo comprendido 6. Completar según corresponda cada propiedad 8. El …………………………. de la adición es el cero. de la adición: • Completar las cifras que faltan: • 23 + …. = 15 + ….. Propiedad conmutativa 4. 6 .... 7 + • 0 + ….. = 29 Propiedad del elemento 3 9 .... neutro 1 .... 2 5 • (7 + 15) + …… = ….. + (….. + 9) Propiedad asociativa • 46 + ….. = 70 Propiedad de clausura 5. 8 1 5 7 + .... 2 ....

7. La propiedad ……………………. nos dice que la "forma como ………………….. los sumandos no altera la…………………."

.... 2 .... 0

Aprende más 1. Relacionar: a) 12 + 19 = 31

( ) Elemento neutro

b) 28 + 46 = 46 + 28

( ) Propiedad conmutativa ( ) Propiedad de clausura

c) 65 + 0 = 65

2. Efectúa las siguientes sumas: • • • •

57 892 + 3 872 25 763 + 9 564 + 6 785 8 562 + 3 548 + 1 564 10 890 + 5 684 + 8 910

3. En las siguientes operaciones, halle lo indicado. •

Dar como respuesta el producto de la mayor y la menor cifra encontrada. 6 .… 4 3 8 + 3 .… 2 …. __________________ .… 3 5 …. 1

•

•

8

4. Si "A" representa a un número de tres cifras impares y "B" a un número de cuatro cifras, hallar: • El mayor valor que pueda tomar "A + B". • El mínimo valor que puede tomar "A + B". 5. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corresponda: "A"

"B"

35 + 60 + 27

...

46 + 34 + 50

9 decenas + 27 unidades

...

53 unidades + 6 decenas

15 decenas + 19 unidades

...

19 decenas + 15 unidades

La suma de los 7 primeros números impares

...

4 decenas + 9 unidades

25 decenas + 30 unidades

...

2 centenas +7 decenas + 10 unidades

Dar como respuesta la suma de la mayor y 6. Indicar las dos últimas cifras de la siguiente menor cifra encontrada. suma: …. 8 6 …. 2 + 7 + 3 9 9 …. __________________ 7 7 4 … … 9 6 7 7 7 6 sumandos Dar como respuesta la mayor cifra hallada. ... ... ... 3 …. 9 2 3 7 + … 2 …. 4 …. 2 7 7 ... ... ... 7 7 --------------------------------------- ... 1 3 4 …. 8 ….

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49

Adición de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Indicar la suma de las dos últimas cifras de la 10. Hallar la suma de cifras del resultado de sumar: siguiente suma: 333338 + 333383 + ... + 833333 1 + 11. Si: a + b = 7 1 1 calcule: a5b + 2ba + ba3 1 1 1 12 sumandos ... ... ... 12. Si: u42q + mqu3 + qe68 = aeuq4 1

1 ... ... ... 1

1

calcule: q + u + e + m + a

1

13. Daniel tiene a56 soles y desea comprar una computadora que cuesta d194 soles para lo cual necesita bab soles. Calcule "a + b + d".

8. Efectúa: 4 + 44 + 444 + ... (9 sumandos)

14. Si: CHINA + IH1H = NIN62

hallar: C + H + I + N + A (H ≠ 0) 9. Calcule la suma de las tres últimas cifras de la siguiente adición: 15. La Sra. María, nació en el año 1979 y vivió 6a años, muriendo en el año 20ab. Diga usted el 2 + 28 + 282 + 2828 + ... + 28282828282 valor de "a + b". Aplicación cotidiana En el siguiente esquema se muestra la población proyectada en forma anual en la provincia de Satipo. 16. ¿Cuál fue la población de dicha provincia en los años pares?

Prov. Satipo. Población proyectada en forma anual 1993–2005 146 832 135 612 141 085 125 580 130 451 94 250

17. Indicar la población total en los cuatro primeros años de dicho gráfico 18. Si para el año 2007, la población se incrementó en 7 458 personas a comparación del año 2005, entonces, ¿cuál es la población en el año 2007?

1993

2001

2002

2003

2004

2005

¡Tú puedes! 1. Si: VV + VV + AA = UVA, calcular: U + V + A. a) 10

b) 12

c) 18

d) 19

e) 21

2. Si: 19ab + 18ab + 17ab + ... + 1ab = mxy77, determinar "a + x + y" a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

d) 12 567

e) 2 335

d) 27

e) 26

3. Si: (a + b + c)2 = 484, hallar: abc + cab + bca + 111 a) 2 468

b) 25 553

c) 2 553

4. Hallar "a + b + c + d", si: 24abcd + 442 639 = abcd34 a) 28 50

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b) 29

c) 30

UNIDAD 1

9

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. Determinar la suma de todos los números ab que existen, tal que: a – b = 5 a) 360

b) 380

c) 320

d) 400

e) 480 18:10:45

Practica en casa 1. Completa las siguientes expresiones con algunas de las palabras del recuadro: asociativa

uno

cero

conmutativa

suma

sumandos

suma

asociemos

distributiva

resultado

sumandos

ordenemos

4. En el siguiente cuadro completa los espacios en blanco para que la suma en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. Indica el mayor de los números faltantes. 71 18

9

11 • Los términos de una adición ......................... y .........................

8

• La propiedad ........................... nos dice que la "forma como ...................... los sumandos no altera el .........................." 2. Relaciona los ejemplos de la columna superior con las propiedades de la columna inferior:

58

28

102

77 68 88 79

89

5. Indicar la menor cifra encontrada en: *

*

3 7

1 8

4 3 7 *

6 * 0 2

+

6. Calcular la suma de las dos últimas cifras del resultado en: 4 + 41 + 414 + 4141 + ... + 41414141

( ) 28 + 39 = 67 ( ) 205 + 160 = 160 + 205

7. ¿Cuál es la cifra de centenas del resultado?

( ) 0 + 38 = 38



( ) (56 + 34) + 29 = 56 + (34 + 29)

8. Hallar "a + b + c", si:

( ) 1 256 + 467 = 467 + 1 256 A. Propiedad del elemento neutro B. Propiedad conmutativa C. Propiedad de clausura D. Propiedad asociativa 3. Efectuar las siguientes adiciones: • • • •

10

106 20

15

• La propiedad .................................. nos dice que "el orden de los ....................... no altera la ............................."

( ) 17 + 0 = 17

32

son

• El elemento neutro de la adición es el ............

46

768 + 6 716 468 926 + 546 472 1 563 + 896 402 + 3 456 79 503 + 4 658 + 21 789

Colegios

TRILCE

8 + 88 + 888 + ... (12 sumandos)

ab4 + bba + 1c96 = 2 964 9. Si: a + b + c = 18

hallar: abc + bca + cab

10. Calcular "a + b"

si: aaa + 381 + bb6 = pq69

11. Carlos Rivera nació en el año 19a6 y luego de vivir 6b años muere en el año 20b7. Calcular "a + b". 12. Tengo S/. ab9 y si recibiera S/. m43 de propina tendría S/. 93m. ¿Cuánto recibí? www.trilce.edu.pe

51

Adición de números naturales

1° Año de secundaria

13. En una lista de números, cada número después del primero se obtiene sumando todos los números que le preceden. ¿Cuál es el octavo número de la lista, si el tercero es 4? 14. Teresita eligió tres dígitos distintos que sumados dan 6 y escribió todos los números de tres cifras que se pueden formar con ellos (sin repeticiones), luego sumó todos los números que obtuvo. ¿Cuál fue su resultado?

52

Central: 619-8100

Compendio de Ciencias - I BIM

15. Hallar el valor de "C + E" en:

1

1CABLE + 1CABLE + 1CABLE = CABLE1

Si a letras iguales le corresponde la misma cifra, letras diferentes representan cifras diferentes.

Links de apoyo: • http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkPop Up?pgseed=1180249174513&idContent=31510&locale =es_ES&textOnly=false (calculo mental de adición) • http://www.genmagic.net/mates4/ser3c.swf (juego de adición)

UNIDAD 1

11

2

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

sustracción de números naturales CAPÍTULO

2

En este capítulo aprenderemos: • •

A identificar e interpretar los elementos de la "Sustracción" en problemas diversos A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.

El método complementario de los hindúes

E

ste método fue usado ya por BHASKARA en su "Lilavati" (1 150 d.C.), aunque es casi seguro que su origen sea más antiguo.

El procedimiento es el siguiente: 1. Se halla el complemento aritmético del sustraendo (para lo cual se resta cada una de sus cifras de 9, excepto la última significativa, que se resta de diez).

2. Se suma el minuendo con el complemento aritmético hallado. 3. Del resultado se resta la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el sustraendo. Esta diferencia es el resultado final.

Esta es una página del manuscrito del Lilavati de Bhaskara II. Este manuscrito data de 1650, sin embargo la obra es mucho más antigua

a) 85 – 30 = (85 + 70) – 100 = 155 – 100 = 55 b) 574 – 234 = (574 + 766) – 1 000 = 1 340 – 1 000 = 340 c) 72 152 – 853 = (72 152 + 147) – 1 000 = 72 299 – 1 000 = 71 299

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

40

50

60

Sistema de numeración hindú

Lilavati.

• Con el método complementario de los hindúes, ¿cómo hallarías: 2 545 – 1 056?

12

Colegios

TRILCE

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53

sustracción de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2

Síntesis teórica lA SuSTRACCión DE númERoS nATuRAlES

Es

La operación inversa a la adición.

M – S = D Sus términos son

minuendo

Sustraendo

Diferencia

Es la cantidad mayor a quien se le realizará la resta.

Es la cantidad menor que se va a restar.

Es el resultado de la operación.

Propiedad

S + M + D = 2M

Complemento aritmético

Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior.

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Con los siguientes números: 468; 875 y 407 4. Completar: completar el siguiente esquema e indicar los • CA(489) → Lo que le falta a 489 para elementos de la sustracción: ................................ ⇒ CA(489) = .............. – → ( ) • CA(8210) → Lo que le falta a 8 210 para .............. → ( ) ................................ ⇒ CA(8 210) = __________ (

) ← ..............

2. El doble del minuendo es igual a la suma de los ......................................... de una sustracción. 3. Lo que le falta a un número para ser igual al número de orden inmediato superior se le conoce como:

5. En el siguiente ejercicio, escribir las cifras que faltan: 9 …. 5

–

4 ____ 6 ___ … ____ … 2 7

......................................................................... 54

Central: 619-8100

UNIDAD 1

15

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 5. Si: CA(tio) = 124, calcule: t + i + o

1. Efectúa: • 12 596 – 5 946 • 78 090 – 21 564

6. De 598 resta 295.

• 53 701 – 45 088 • 489 520 – 298 354

7. Resta 930 de 1 386.

• 600 864 – 428 523 2. Completa las siguientes sustracciones: •

•

7 * 5 2 –

•

9 * * 5 –

4 * 6

* 7 6 *

* 2 6 *

3 5 8 6

4 0 8 * 6 –

•

* * 5 9 –

* 5 9 *

6 4 * *

* 5 * 7 2

1 2 7 6

•

4 8 * * 6 – 3 5 9 * * 4 8 *

8. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corresponda: "A" La diferencia entre centenas consecutivas

"B" …….

120 disminuido en 19

El exceso de 6 decenas ……. sobre 18 unidades

La diferencia de 169 y 127

La diferencia entre números pares consecutivos

…….

La diferencia de dos días consecutivos

El número que falta a 8 para completar 29

……

2 decenas disminuido en 8 unidades

12 sustraído de 35

……

40 menos 2 docenas

3. En las siguientes operaciones, halle lo que se indique:

9. Completa en los espacios en blanco especificando lo que sucede con la diferencia, si • Dar como respuesta la suma de las cifras que aumenta o disminuye y en cuántas unidades: faltan de la diferencia. 2 * 2 * 7 * – 5 3 4 * 9 * 6 * 6 5 2

• Dar como respuesta la suma de las cifras que faltan del minuendo. * * 4 4 – 3 7 * 1 9 * 7 • Dar como respuesta la mayor cifra hallada del minuendo. * 2 * * * – 1 * 3 4 6 6 1 9 1 8 4. Calcule:

16

• CA (8)

• CA (6)

• CA (57)

• CA (679)

• CA (782)

• CA (6 846 824)

• CA (67 258 000)

• CA (1 000 589 472)

Colegios

TRILCE

• Si el minuendo aumenta en 24 unidades, la diferencia .................................................... ............................................................... • Si el sustraendo aumenta en 4 unidades, la diferencia .................................................... ............................................................... • Si el minuendo disminuye en 8 unidades, la diferencia .................................................... ................................................................ • Si el sustraendo disminuye en 37 unidades, la diferencia ................................................ ................................................................. • Si el minuendo disminuye en 7 unidades y el sustraendo aumenta en 9 unidades, la diferencia .................................................. • Si el minuendo aumenta en 8 unidades y el sustraendo aumenta también en 8 unidades, la diferencia .............................................. 10. En una sustracción la suma de sus términos es 1 926. Si el sustraendo es la tercera parte del minuendo, hallar el sustraendo. www.trilce.edu.pe

55

sustracción de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. La diferencia de dos números es 149. Si al ma- 13. Carmen decide ir de viaje a Cajamarca para lo cual cuenta con una bolsa de viaje de S/. abc, al yor se le disminuye 18 unidades y al menor se le aumenta en 25 unidades, ¿cuál será la nueva llegar a dicha ciudad decidió quedarse 3 días y diferencia? solo gastó S/. bc8, quedándole S/. 204. Calcule "a + b + c". 12. Hallar el complemento aritmético del mayor número de tres cifras diferentes. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

2

14. Si: CA(aa) = 9a, calcular "a". 15. Si: CA(asu) = 13, calcular "a + s + u"

Aplicación cotidiana En el 2009 se desarrolló el Campeonato de Bowling en el cual cada club quedó al final con las siguientes puntuaciones: Asociación Deportiva metropolitana de Bowling – Campeonato Clubes 2009 Club

ii Camp. individual

i Camp. Tríos

i Camp. individual

Total acumulado

1°

Bolicheros

253

137

283

673

2°

Apoquindo

193

117

163

473

3°

Pumas

221

54

166

441

4°

Pin Motion

143

114

132

389

5°

Skorpio

90

7

68

165

16. Hallar la diferencia entre el I campeonato individual y el I campeonato de tríos. 17. ¿Cuántos puntos le falta al I campeonato individual para que tenga la misma puntuación del II campeonato individual? 18. Hallar la diferencia de los clubes Bolicheros y Pin Motion en el I campeonato de tríos.

¡Tú puedes! 1. Calcular abc, si: a) 597

abc – cba = 2xy abc + cba = 1 535 b) 792

c) 854

d) 619

e) 916

2. Determinar la suma de cifras de bab, sabiendo que su complemento aritmético es: c(a + 3)(a + 2) a) 10

b) 8

3. Si: abc – cba = xyz ; calcular: E = a) 1

b) 2

c) 11 x + z y

+

d) 13

e) 15

d) 4

e) 5

y x + z

c) 3

4. Se cumple: mup – emt = pum; además: e – t = 3; CA(u) = t. Hallar la suma de las cifras de: muppet a) 27

b) 29

c) 31

d) 25

e) 23

5. La suma de los términos de una sustracción es 570. Además el sustraendo es 2/5 del minuendo. Determinar la suma de cifras de la diferencia. a) 17

56

Central: 619-8100

b) 15

c) 9

d) 8

e) 10

UNIDAD 1

17

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

18:10:45

Practica en casa 1. Hallar las cifras que debemos escribir en cada casillero e indicar lo que se pide:

• Indicar "b – a". b 5 2 1 a –

• La suma de las dos mayores cifras halladas. 3 2

a a 5 b 5 1 a c 2 2

9 –

• Hallar "a + b + c".

2

8 a 5 c 4 –

2 2 1 5

4 b c 7 5 a 4 c 4 b

• La menor cifra encontrada. 1 4

4 – 5. Si la suma de los términos de una sustracción es 460, hallar el minuendo.

2 2 1 6 • Suma de cifras halladas. 7 3 4

– 8

7. Hallar la diferencia entre el menor número impar de cinco cifras diferentes y el mayor número impar de cuatro cifras diferentes.

1 3 9 4 7 2. Efectuar: • 78 560 – 5 946

• 21 059 – 4 987

• 76 548 – 9 564

• 23 232 – 1 313

• 77 777 – 8 888

• 156 156 – 3 443

3. Calcular el complemento aritmético de los siguientes números: • 8

• 23 567 298 • 59

• 8 986 269 • 346 • 509

• 29 385 297

• 60 900 500 • 7 891

4. Cambia las letras por cifras que completen correctamente las siguientes sustracciones e indicar lo que se pide: • Suma de cifras diferentes halladas. b 5 4 6 a – 4 c 6 b 8 a c b 8 5

18

9. Al minuendo se le suma 120 y al sustraendo 40, ¿qué resultado se obtiene sabiendo que la diferencia original era 120? 10. La diferencia de dos números es 276. Si disminuimos 35 unidades al minuendo y aumentamos el sustraendo en 18 unidades, ¿cuál será la nueva diferencia? 11. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila y escribe: ">" ; "<" ; "=" o si "no se puede determinar", según corresponda: "A"

"B"

54 disminuido en 3 docenas ......

39 disminuido en una decena

El número que 5 docenas menos 4 le falta a 46 para decenas completar 59 ...... La diferencia entre 56 y 41

1 c 5 b

Complemento aritmético de 12 ......

Complemento aritmético de 999912

b 1 b 4

CA (99999157)

c 4 a 6 –

Colegios

8. La suma de los términos de una sustracción es 520. ¿Cuál es el complemento aritmético del minuendo?

73 sustraído de una centena ......

• Hallar la suma de las cifras del sustraendo.

TRILCE

6. Si el sustraendo es la quinta parte del minuendo y la suma de los tres términos de una sustracción es 780, hallar la diferencia.

......

CA (156) www.trilce.edu.pe

57

1° Año de secundaria

sustracción de números naturales

Compendio de Ciencias - I BIM

12. ¿Cuál es la diferencia entre el complemento 15. De 45mnn personas que asistieron al estadio aritmético de 3 888 y el complemento aritmétipara ver el partido de Universitario vs. Alianza co de 8 883? Lima, se retiran 1m964 personas antes que acabe el partido por medida de seguridad. Los que se quedaron hasta el final del partido fueron 13. Si "P" representa a un número de tres cifras y p7758 personas. ¿Cuántos se retiraron? "Q" representa a un número de dos cifras, ¿cuál es el máximo valor que puede tomar "P – Q"?

14. Isaac recibe S/. 67ca16 por la venta de su casa pero tuvo que pagar una deuda de S/. d5ab4 y le quedó S/. 6aa97a. Calcular "a + b + c + d".

58

Central: 619-8100

2

Links de apoyo: http://redes.agrega.indra.es/visualizar/es/ es_20080613_3_9162400/false# (Relaciones entre suma y resta) http://genmagic.net/repositorio/displayimage.php?pos=–220 (juegos con adición y sustracción)

UNIDAD 1

19

3

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

Aplicación de adición y sustracción

3

En este capítulo aprenderemos: • •

A interpretar enunciados y expresarlos mediante las operaciones de la adición y la sustracción. A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.

nuestros actuales signos operatorios los signos "+" y "–" •

Posiblemente estos dos signos fueron utilizados por los comerciantes, como simples marcas indicativas del exceso (+) o falta (–) de peso en las mercaderías que recibían.

•

También pudiera ser que, como en los países latinos las palabras MÁS y MENOS, como indicativos de la adición y de la sustracción, están dados por las palabras PLUS y MINUS (de las que generalmente solo se usaban sus iniciales P y M) los signos "+" y "–" bien podrían provenir de la deformación de dichas letras:

¡Cómo pasa el tiempo!

,

,

,

Para el signo más.

,

,

,

Para el signo menos.

•

20

En la actualidad se sigue usando las palabras "más" o "menos" para indicar "exceso" o "falta".

Colegios

TRILCE

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59

Aplicación de adición y sustracción

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3

Saberes previos 1. Resolver: 450 + 782

4. Resolver: 8 701 – 6 789

2. Resolver: 5 482 + 3 278

5. Calcular la suma de 64 con su doble.

3. Resolver: 750 – 468

Aprende más 1. Carmen compra una cocina en S/. 700 y lo quie- 8. Al sumar dos números se obtiene 60. Si el mare vender ganando S/. 150. ¿En cuánto debe yor excede al menor en 22, ¿cuál es el número vender la cocina? mayor? 2. Ana se pone a dieta, el primer mes bajo 900 g, 9. Juan y Olga tienen entre los dos S/. 106. Si Juan le diera S/. 46 a Olga, los dos tendrían igual canel segundo mes bajo 200 g menos que el mes tidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? anterior, el tercer mes subió 250 g y el cuarto mes subió 300 g más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos bajó Ana al finalizar el cuarto 10. Dos depósitos tienen juntos 76 litros de vino. mes? Si uno de ellos tiene 24 litros más que el otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan igual cantidad de 3. Julio abre una cuenta de ahorro en el banco con vino? S/. 550, deposita S/. 100, luego retira S/. 150; posteriormente retira S/. 200 por el cajero automático y finalmente hace un retiro en caja del 11. A una quinceañera acudieron 145 personas y se banco por un monto de S/. 170. ¿Cuánto le queobservó que al momento de bailar en parejas, da en el banco? se quedaron 27 mujeres sentadas. ¿Cuántos varones asistieron a la quinceañera?

4. Un automovilista se desplaza por la Panamericana a una velocidad de 70 km/h, luego au- 12. Unos amigos se reúnen para cenar. Si cada uno menta su velocidad en 40 km/h, posteriormente come 8 rosquitas sobran 7, pero si cada uno vuelve a aumentar su velocidad en 30 km/h y come 9 rosquitas faltarían 10. ¿Cuántas persoluego disminuye su velocidad en 50 km/h. ¿A nas se reunieron? qué velocidad se desplaza el automovilista? 13. 5. Javier se encuentra en la cima del Huascarán, cuya altura es de 6 746 m y desciende 429 m. Mario se encuentra a 280 m de la cima y luego asciende 115 m. ¿Cuál es la diferencia entre las alturas en las que se encuentran Javier y Mario? 14. 6. Simón mira un documental de tres capítulos. El primer capítulo duró 1 hora con 25 minutos, el segundo 1 hora con 35 minutos y el tercero 1 hora con 30 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Simón viendo el documental?

Si compro 6 polos me sobrarían S/. 4 y si compro 7 polos me faltarían S/. 4. ¿Cuánto cuesta cada polo? Cuatro amigos: Alberto, Julio, Nélida y Victoria recibieron un premio de S/.11 400. Según las labores que cada uno realizó, Nélida recibiría S/. 100 más que Victoria, Alberto S/. 100 más que Nélida y Julio S/. 100 más que Alberto. ¿Cuánto recibió Victoria?

15. Un comerciante se percata de que en la venta del día ha obtenido S/. 800 en solo billetes de 7. La suma de dos números es 35 y su diferencia es S/. 20 y S/. 10. Contó los billetes y halló 57. 7. Hallar los números. ¿Cuántos billetes hay de cada clase? 60

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UNIDAD 1

21

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación cotidiana Rommel tiene preparado pintar su casa para lo cual necesita contar con una escalera para poder realizar dicho trabajo, al llegar a la ferretería se encuentra con dos tipos de escaleras como se muestran en la figura:

A

B

El vendedor le explica que la escalera "A" es más segura al momento de trabajar pero el costo es mayor, la escalera "B" tiene una mayor altura respecto a la escalera "A" y el costo es más comodo. Al final el vendedor le dice: "la escalera "A" vale S/. 40 más que la escalera "B" pero si llevas las dos escaleras el costo será de S/. 350". 16. ¿Cuál es el precio de cada escalera? 17. Si Rommel cuenta con S/. 110, ¿cuánto le faltará para comprar la escalera "B"? 18. Si decide llevar la escalera "A", ¿cuánto de vuelto recibirá si paga con un billete de S/. 200? Aplicación cotidiana El Señor Molledo está preparando parrilla para sus familiares para lo cual él había calculado la cantidad de personas que iban a llegar a su casa pero después de unos minutos se da con la sorpresa que habían más personas de las que se había planificado. Él menciona: "Si a cada plato le ponemos 4 rodajas de papa como complemento me sobran 3 rodajas, pero si a cada uno ponemos 5 rodajas de papa como complemento me faltarían 6 rodajas". 19. ¿Cuántas personas conforman dicha familia? 20. Si al final cada integrante de la familia da S/. 1 más que el anterior, ¿cuánto recaudó el señor Molledo si se sabe que el primero dio S/. 3?

¡Tú puedes! 1. Entre polos, chompas y pantalones, una vendedora tiene en total 75 prendas. Si tuviera 12 pantalones más, 4 chompas más y 7 polos menos, tendría una cantidad igual de cada prenda. Hallar el número de polos. a) 24

b) 28

c) 32

d) 31

e) 35

2. Del 1ro "A" pasan al 1ro "B", 15 alumnos, luego del 1ro "B" pasan 20 alumnos al 1ro "A". Si al final "A" y "B" tienen 65 y 35 alumnos, ¿cuántos alumnos habían inicialmente en cada sección? a) 65 y 35

b) 55 y 45

c) 50 y 50

d) 60 y 40

e) 56 y 34

3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos, si les daba S/. 5 a cada uno le faltaría S/. 30 y si les daba S/. 3 a cada uno le sobraría S/. 70. ¿Con cuánto de dinero contaba esa persona? a) S/. 210

b) 200

c) 220

d) 230

e) 240

4. Un auto debe recorrer 10 km. Si lleva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado, ¿qué distancia recorrió cada llanta? a) 2 km

22

Colegios

TRILCE

b) 2,5

c) 8

d) 10

e) 6

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61

Aplicación de adición y sustracción

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. La suma de las edades de Patricio y Marisol es 35 años. Si Patricio tuviera 17 años menos y Marisol 8 años más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene Patricio? a) 25 años

b) 40

c) 30

d) 45

3

e) 50

18:10:45

Practica en casa 1. Sandra compra un mini gimnasio en S/. 1 750 y 10. Adolfo apertura una cuenta de ahorro en el banlo vende a S/. 1 380. ¿Cuánto perdió en la venta? co con S/. 800, deposita S/. 200, luego retira S/. 450, posteriormente retira S/. 150 por el ca2. La suma de dos números es 67 y su diferencia es jero automático y finalmente hace un retiro en 17. Hallar el mayor de los números. caja del banco por un monto de S/. 270. ¿Cuánto le queda en el banco? 3. Un depósito con agua tiene un agujero por el cual se va saliendo el agua. La primera hora salió 43 litros, la segunda hora 16 litros menos que la 11. Verónica mira una película de tres episodios. El primer episodio duró 1 hora con 45 minutos, hora anterior y la tercera hora 7 litros menos que el segundo 1 hora con 15 minutos y el tercero la hora anterior. Si aún quedan 80 litros, ¿cuán1 hora con 50 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Vetos litros habían inicialmente en el depósito? rónica viendo la película? 4. La ciudad de Arequipa tiene una altura de 3 300 m sobre el nivel del mar. Un helicóptero de noticias sobrevolará la ciudad y sube 203 m. 12. La suma de las propinas de Milagros y Fernanda es de S/. 82. Si Milagros le diera S/. 14 a FernanLuego desciende 27 m, baja 13 m y se eleva da ambas tendrían la misma cantidad de dinero. 49 m. Después de todos estos momentos, ¿qué ¿Cuánta propina tiene Milagros? altura tiene sobre el nivel del mar? 5. En un aula de 36 alumnos se observa que hay 8 varones más que mujeres. ¿Cuántos varones 13. Camila y Sebastián tienen entre los dos 98 años. Si Camila es mayor por 14 años, ¿cuál es la edad hay en el aula? de cada uno? 6. Si compro 7 millares de hojas bond me sobrarían S/.5 y si compro 8 millares de hojas bond 14. Dos depósitos tienen juntos 148 litros de alcome faltarían S/. 3. ¿Cuánto cuesta cada millar de hol. Si uno de ellos tiene 34 litros más que el hojas bond? otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor al menor para que ambos tengan igual cantidad 7. Beto compra dos televisores, el de 29" le costó de alcohol? S/. 400 más que el de 14". Si por ambos televisores pagó S/. 1 230, ¿cuánto le costó cada televisor? 15. Se tienen S/. 152 en dos grupos de monedas, en una hay monedas de S/. 2 y en el otro de S/. 1. 8. Julisa y Fabiola tienen juntas S/. 4 000. Si Julisa Si del segundo grupo se pasan al primero 16 le diera S/. 400 a Fabiola, las dos tendrían la monedas, los dos grupos tendrían igual valor, misma cantidad. ¿Cuánto tiene Fabiola? ¿cuántas monedas se tiene en total? 9. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la familia come 6 chorizos sobran 5, pero si cada uno come 7 chorizos faltarían 8. ¿Cuántos miembros componen la familia?

62

Central: 619-8100

Links de apoyo: http://genmagic.net/repositorio/displayimage.php?pos=–207 http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=dados

UNIDAD 1

23

4

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Multiplicación de números CAPÍTULO naturales

4

En este capítulo aprenderemos: • • •

A reconocer los elementos de la multiplicación. A identificar e interpretar las propiedades de la multiplicación. Organizar estrategias para la resolución de problemas.

¿Cómo multiplicaban los hindúes?

E

ntre los métodos utilizados para multiplicar había uno que se conoce con varios nombres distintos: multiplicación en gelosia o multiplicación en celdillas o en el cuadrilátero. Observa los siguientes ejemplos:

•

•

En este primer ejemplo el número 538 aparece multiplicado por 47; el multiplicando está escrito en la parte superior y el multiplicador en la parte izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera que al sumar los dígitos en diagonal se obtiene el producto 25 286 que aparece en la parte inferior y derecha del rectángulo.

En este ejemplo se indica que los datos pueden estar ubicados también de otras maneras, aquí se ve el multiplicando 356 situado de nuevo en la parte superior y el multiplicador 37 en cambio a la derecha, mientras que el producto 13 172 se lee por la izquierda y la parte inferior del rectángulo.

5 7 4

5

3

0

2

8 1

2

2

1

6

5

2

3

2

5

2

3

5

6

1 3

3

9 2

1

1

5

3

1

5 7

1

8

4

2

6 8

3 7

2

• Multiplica: 487 × 56, utilizando el método hindú

24

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63

Multiplicación de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4

Síntesis teórica mulTiPliCACión DE nú- Tiene mERoS nATuRAlES es una

Elementos: • Multiplicando (1er factor) • Multiplicador (2do factor) • Producto

Suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse varias veces. Sus Clausura

Son

Todas las multiplicaciones tienen producto

Propiedades

Ejemplo

Son

Elemento neutro Todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Ejemplo

Son

8 x 9 = 72

Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

46 x 1 = 46

Asociativa La forma cómo agrupemos los factores no altera el producto.

Ejemplo 12 × 7 = 7 × 12 = 84

Distributiva Es distributiva con la adición y la sustracción.

Ejemplo 3 × (5 × 2) = (3 × 5) × 2

Elemento absorbente Todo número multiplicado por cero es igual a cero.

Ejemplo 6×(4±2)=6×4±6×2

Ejemplo 23 × 0 = 0

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Ubicar los siguientes números:

• 7 × (10 + 6) = 7 × 10 + 7 × 6





26; 718; 2 154 y 9 334 según corresponda:

←

3 5 9 × →

→ → ← 2. Indicar la propiedad que corresponde a cada ejemplo:

64

Propiedad ……………………………………....

• 152 × 4 = 608

Propiedad ……………………………………....

• 8 × (6 × 15) = (8 × 6) × 15

Propiedad ……………………………………....

• 12 × 25 = 25 × 12

Propiedad ……………………………………....

• 378 × 0 = 0

• 286 × 1 = 286





Propiedad ……………………………………....

Central: 619-8100

Propiedad …………………………………….... UNIDAD 1

27

Aritmética 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Indicar la mayor cifra del multiplicando.

3. Efectuar: •

1 4 9 ×

4

Indicar la suma de cifras del primer producto parcial

× 7

1 7

3 4 •

Indicar la suma de cifras del producto

1

5. Indicar la mayor cifra hallada. 1

× 6 7

0

Aprende más 1. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta: •

×

•

3

6 ×

4. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios en blanco para que los productos en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. 72

9 2

4

0

•

0

× • 5

6

1

4

3

5

2

8

5

30

27 240 56

108

5. Efectuar: 16 + 16 + 16 + ... + 16 – (8 + 8 + 8 + ... + 8) 144424443 1442443 9 veces 17 veces

3 8

2. Efectúa las siguientes operaciones: • 46 × 78 • 2 057 × 28 • 186 × 3 009

42

7

× 5

288

6 ×

7

•

8

• 209 × 56 • 7 209 × 38



6. José Luis paga S/. 1 445 por la compra de mnp pelotas. Si el precio de cada pelota es S/. 5, ¿cuál es la cantidad de pelotas que compró? 7. Si: pq × a = 84

pq × b = 28 3. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en calcular: pq × ba cada fila y escribe el símbolo ">" ; "<"; "=" o si "no se puede determinar" según corresponda: 8. Si: abc × 3 = m589 "A" El producto de los tres primeros números pares 24 por el elemento neutro de la multiplicación 4+4+4+4+4+4 Una decena por 11 Primer producto parcial de 146 × 21

28

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"B" ... ... ... ... ...

4 docenas 68 por el elemento absorbente de la multiplicación 4 veces 7 1 ×2 × 3 × 4 × 5 Segundo producto parcial de 73 × 27



calcular: a + b + c

9. Si: pqr × 9 = a766

calcular: p + q + r

10. Si: M × PAPA = 12 120



A × PAPA = 9 696



hallar: PAPA × MA www.trilce.edu.pe 65

Multiplicación de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Si: a × abc = 1 044 b × abc = 1 392 c × abc = 2 784

13. a) ¿En qué cifra termina el siguiente producto:

A = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × ... × 486?

b) ¿En qué cifra termina el siguiente producto:

hallar: abc × cba



12. Si: pqr × p = 208 pqr × q =1 346 pqr × r = 154



4

B = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 52 467?

14. Calcular "a + b + c + d", sabiendo que: abcd × 9 = ... 1879

hallar: (pqr)2

15. Si: PARE × 99 = ... 1403, hallar: P + R + E

Aplicación cotidiana La siguiente figura muestra las huellas de Mariana sobre la arena de la playa. La longitud de cada paso es de 45 cm. 16. Si Mariana da 68 pasos, ¿cuál es la longitud que recorrió? 17. Si Mariana recorre 5 670 cm, ¿cuántos pasos dio Mariana en dicho recorrido? 18. El fin de semana Mariana sale a trotar por lo cual la longitud de cada paso aumentó en 55 cm. Si en total dio 854 pasos, dar como respuesta la longitud que recorrió (en metros).

¡Tú puedes! 1. Si: 3 × 1edcba = edcba1, entonces "a + b + c + d + e" es: a) 8

b) 12

c) 16

d) 20

e) 26

2. Reconstruir la siguiente multiplicación e indicar la suma de cifras desconocidas. •

a) 55

b) 56

•

7 ×

•

•

•

•

1

•

•

•

6 1

•

•

5

c) 57

•

8 d) 58

e) 59

d) 39

e) 27

3. Si: ERICA × 4 = ACIRE, hallar: E + R + I + C + A a) 24

b) 36

c) 28

4. Si la suma de los productos parciales de abcd × 42 es 19 290, calcular "a + b + c + d". a) 10 5. Si:

c) 12

d) 13

e) 14

c) 24

d) 28

e) 42

5 3 A B × 8 hallar: A × B A2BB6

a) 32 66

b) 11

Central: 619-8100

b) 56

UNIDAD 1

29

Aritmética 1° Año de secundaria

18:10:45 Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa

9 ×

6. Un club conformado por 1a7a socios recaudó S/. pqrm6 en la venta de entradas. Si cada socio pagó S/. 8 por su entrada, ¿cuál es la cantidad recaudada?

4

7. Si: ab × m = 92

1. Halla las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta: •

×

•

2

8 7

9

2

4

9

ab × n = 230 •

×

•

×

7 6

8

6

9

9

2



8. Si: pqr × 9 = m916

•

2

× 5

calcular: ab × mn

calcular: p + q + r

3

9. Si: abc × 7 = p976

9



calcular: a + b + c

10. Calcula la suma de cifras del producto en:

2. Efectúa las siguientes operaciones: • 76 × 18 • 852 × 26 • 5 008 × 37 • 1 897 × 59 • 289 × 1 052



627 × a = mnpa

11. Si: abc × 17 = p018, calcula "a × b × c".

3. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en cada fila y escribe el símbolo ">" ; "<"; "=" o 12. Si: si "no se puede determinar" según corresponda: t × tia = 254 "A"

"B"



i × tia = 1 582

9 docenas



a × tia = 3 046

El elemento neutro de la multiplicación



hallar: ati × tia

El producto de los cuatro primeros números impares El elemento neutro de la adición 7+7+7+7

3 decenas

2 docenas por 3

3 × 4 × 5

Segundo producto parcial de 465 × 12

Tercer producto parcial de 273 × 217

4. En el siguiente cuadrado deberás completar los espacios en blanco para que los productos en las filas, columnas y diagonales se verifiquen. 35 7

378

5

60

2

16

24 90 168

240

13. Si: mio × e = 862 mio × a = 476 mio × f = 1 254 (o ≠ cero)

hallar: fea × mio

14. Si: PITA × 99 = ... 1116

hallar: P + I + A

15. Si: besa × 33 = ... 4611

hallar "e + s + a"

5. Efectuar: 25 + 25 + 25 + ... + 25 – (7 + 7 + 7 + ... + 7) 144424443 1442443 18 veces 62 veces

30

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5 CAPÍTULO

Complemento

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Complemento En este capítulo aprenderemos: •

A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias para cada proceso.

5

Síntesis teórica lAS oPERACionES ARiTméTiCAS Son Es

Es

la adición

Es

la sustracción

Es decir Asociar, agrupar, añadir cantidades homogéneas.

Es decir La operación inversa a la adición.

Sus elementos son

Sus elementos son

a+b=s

la multiplicación Es decir La suma abreviada, donde los sumandos pueden repetirse varias veces. a + a + a + a + ... = a×n 144424443 "n" veces "a"

Sus elementos son

M – S = D

M × m = p

a: Sumandos b: Signo c: Suma

a: Minuendo (M) b: Sustraendo (S) c: Diferencia (D)

a: Multiplicando b: Multiplicador c: Producto

Ejem:

Ejem:

Ejem:

5 + 4 = 9

↓ ↓ ↓ ↓ a b a

c

5 – 4 = 1

↓ ↓ ↓ a

b

c

Conmutativa: 8+9=9+8 Asociativa: (8 + 9) + 1 = 8 + (9 + 1)

a

b

c

Sus propiedades

Sus propiedades Clausura: 8 + 9 = 17

5 × 4 = 20

↓ ↓ ↓

Su propiedad

M+S+D=2M

Elemento neutro: 8+0=0+8

Clausura: 8 × 9 = 72 Conmutativa: 8×9=9×8 Asociativa: (8×9)×2=8×(9×2) Elemento neutro: 8×1=8 Elemento absorbente: 8×0 =0 Distributiva: 8×(9±1)=8×9±8×1

• Complemento Aritmético: C.A CA (ab) = 100 – ab Ejem: CA(62)= 100 – 62 = 38 68

Central: 619-8100

UNIDAD 1

31

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

O

Saberes previos 1. Hallar el complemento aritmético de 479 2. Restar 45 de 78 3. Hallar la suma de los cinco primeros números naturales

4. Hallar la suma de las cifras de la diferencia: 789 – 482 5. Compré un televisor a 360 dólares y lo vendí en 650 dólares. ¿Cuánto gané?

Aprende más 1. Hallar "a + b – c" 2ab5 + b46 c292 4bab 2. Efectúa: 3 + 33 + 333 + ... (9 sumandos) 3. Hallar "a + b + c" ab04 – 5c2b 1ba8 4. La suma de los términos de una sustracción es 1 240. Si el sustraendo es 540, hallar la diferencia. 5. Si: CA(aba) = c27, hallar: a × b – c

8. Carmen y Catalina comparan la nota que obtuvieron en su examen bimestral de Aritmética y mencionan lo siguiente: Nuestras notas juntas es igual a 34 puntos, pero se sabe que Carmen obtuvo 4 puntos más que Catalina. ¿Cuál es la nota de Catalina? 9. Roxana ganó $ 12 000 en una lotería y vendió su colección de muñecas en $ 450. Si gastó $ 870 en un paseo por el Cuzco y $ 150 en comprarse unas zapatillas, ¿cuánto dinero le queda? 10. Magdalena participa en una maratón: En los primeros 30 minutos recorrió 700 metros, en los siguientes 40 minutos recorrió 150 metros más que en el tiempo anterior y en los últimos 20 minutos recorrió 400 metros menos que el tiempo anterior. ¿De cuántos metros era la maratón? 11. El complemento aritmético de un número de tres cifras que termina en 2 es otro también de tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma de cifras del primer número?

6. Tres amigos: Sergio, Antonio y Robert deciden pasar un fin de semana en la playa, para lo cual 12. Hallar "a + b + c + d" en: cada uno de ellos tiene que aportar una cierta cantidad de dinero. Al regresar de la playa saa1a + a2a + a3a + ... + a9a = bcd4 can cuentas y Sergio dice que gastó S/. 140, Antonio S/. 75 más que Sergio y Robert S/. 40 más 13. Si: CA(8ab8) = cd4e y CA(c + d + e) = 5 que Sergio y Antonio juntos. ¿Cuánto se gastó hallar "a + b + e". en ese fin de semana? 14. 7. Paúl planifica su ahorro y empieza a mencionar los gastos que tiene que realizar: S/. 400 en la cuota del banco, S/. 320 para los pasajes del mes, S/. 450 para sus alimentos, S/. 330 para el 15. pago del mini departamento y después de haber hecho todos esos cálculos menciona que le quedaría para ahorrar S/. 500. ¿Cuánto percibe Paúl cada mes?

32

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Alberto tiene 10 canicas más que Manuel. Si juntos tienen 48 canicas, ¿cuántas posee Manuel? Si: CA(ab(2c)) = de(2f), halle "a + d".

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69

Complemento

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

18:10:45

5

Practica en casa 1. Si: m + n + p = 17

8. Si: N = abb y CA(abb) = (a + 1)a(a + 1)



hallar: monp + pnom + npmo + mpn





Además: o = cero

9. A una conferencia asistieron a5b3 personas, después de un par de horas se retiran 3c8d personas y de esta manera la conferencia quedó con un público de 5 947 personas. Hallar "a + b + c + d".

2. Hallar "a + b + c + d – e", si: 3 5 a 2 b + 4c2d8 ––––––––––– e 9 0 0 3 3. Efectúa:

hallar: N

46 + 646 + 4646 + ... (8 sumandos)

10. Raúl vende un equipo de sonido en 2ab5 soles y retira del banco a9b2 soles, de esta manera Raúl tendría 6a4b soles en total. Hallar la cantidad que retiró del banco. 11. Las edades de Toño y Saúl suman 78 años y se sabe que Toño es mayor por 12 años. Indicar las edades de ambos.

4. Calcular "a – b", en: a24 – 56b ––––––– 3 6 2

12. Si Julio reparte 5 canicas a cada sobrino le sobraría 1, pero si reparte 6 canicas a cada uno de ellos le faltaría 10 canicas. ¿Cuántos sobrinos tiene Julio?

5. En una sustracción, el minuendo disminuye en 41 y el sustraendo aumenta en 73. ¿En cuántas unidades varía la diferencia? 13. En una sustracción, al minuendo se le agrega 3 unidades en las decenas y al sustraendo se le agrega 5 unidades en las centenas. ¿Qué sucede 6. Indicar la mayor cifra hallada: con la diferencia? 5 4 3 2 + 5

4

7 6

7

9

9 2 5

2

7. Diana tiene 40 años, Juana tiene 9 años menos que Diana y Luisa tiene 7 años más que Juana. ¿Cuántos años suman entre las tres?

70

Central: 619-8100

14. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que si se suma 100, resulta el cuádruplo de su complemento aritmético 15. Hallar: CA(a + b + c)

si: CA(abc) – abc = 632

UNIDAD 1

33

6

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

División de números naturales CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: • • •

A identificar los elementos de la división. A identificar divisiones exactas, inexactas e interpretar sus propiedades. Organizar estrategias para la resolución de problemas.

¿Cómo dividían los egipcios?

E

6

l método empleado para la división es realmente curioso. Se basa en la multiplicación y siempre se obtenían cantidades enteras o fracciones exactas.

1

3

2

6

4

12

Si se quiere dividir n/m entonces la idea consiste en obtener el número de "m" y de partes de "m" que suman "n". Como ya hemos comentado el sistema se basa en la multiplicación, pero ahora es el divisor el número que se duplica. Se genera una tabla de 2 columnas que tiene en la primera fila el número 1 y el denominador (m). La idea se basa en obtener en la columna de la derecha el número "n" con la construcción de sucesivas filas obtenidas por duplicación o división. El dividendo se obtiene, entonces, como la suma de los elementos duplicados de la columna del divisor, y el cociente es la suma de los números elegidos en la columna base de la duplicación. Por ejemplo, para dividir 21/3 se hacía: El siguiente número sería 8 y correspondería a 24 que es mayor que 21. Por tanto no se sigue con la tabla. Si el número 21 se puede obtener como suma de los valores de la columna de la derecha, entonces ya está. En este caso:

12 + 6 + 3 = 21 → 21/3 = 4 + 2 + 1 = 7 Este ejemplo es el más sencillo, pues la división es entera. El problema surgía cuando no se obtenían divisiones enteras y había que utilizar fracciones. Para dividir 21/6 se ejecutaba el mismo proceso anterior, pero cuando se obtiene un número mayor que el numerador, si este no se puede obtener como suma de valores de la columna de la derecha, se continúa la tabla, dividiendo por 2. 1

6

2

12

1/2 3(*) 6 + 12 + 3 = 21 → 21/6 = 1+2+1/2 = 3,5 (*) Ahora ya no tiene sentido poner 4 → 24 porque 24 > 21. Tampoco se puede obtener el valor 21 como suma de valores de la columna de la derecha; por tanto se continúa con divisiones, (1/2, 1/4, ...).

Papiro de Ahmes www.malhatlantica.pt/.../egipto/rhind/71–79.jpg

• Dividir 96 ÷ 4, utilizando el método egipcio.

Saberes previos 1. Dividir: 48 ÷ 12

4. Dividir: 483 ÷ 3

2. Dividir: 56 ÷ 6

5. Dividir: 758 ÷ 5

3. Dividir: 148 ÷ 14

34

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71

División de números naturales

1° Año de secundaria 10 x 5 50

Compendio de Ciencias - I BIM

6

Aplica lo comprendido 6. Completar la siguiente división e indicar los elementos:

→

8

58

← ←

→

8. Al dividir un número entre 19, el residuo resultó lo menor posible. ¿Cuál fue el residuo? 9. Al dividir un número entre 32, el residuo resultó el mayor posible. ¿Cuál fue el residuo? 10. Indicar el divisor

7. Efectúa la siguiente división e indica si el residuo es máximo o mínimo. 7

2 5 6 8

6 6

3

1

7

Aprende más 1. Relacionar ambas columnas, con flechas: • • • • •

Divisor = 7 Divisor = 15 Divisor = 39 Divisor = 56 Divisor = 156



RMáximo = 38 RMáximo = 55 RMáximo = 155 RMáximo = 14 RMáximo = 6

2. Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno: • 1 785 ÷ 9 • 7 650 ÷ 14 • 25 876 ÷ 137

• 1 089 ÷ 12 • 5 099 ÷ 19 • 18 565 ÷ 375

3. Escribe en el casillero el número que falta para que la operación sea correcta: • 6×

= 78

•

×5 = 95

• 11×

= 187

•

×13 = 195

• 38×

= 912

•

×59 = 2 006

4. Al dividir "T" entre 20 se obtuvo 12 de cociente y su residuo fue el máximo posible. Hallar "T". 5. Al dividir "R" entre 17 se obtuvo 11 de cociente y el residuo fue mínimo. Hallar "R". 72

Central: 619-8100

6. Dar como respuesta el dividendo. * * *

1 9

* 9

* *

9 3 * * * 7 7. Dar como respuesta el cociente. * * *

2 4

* 6

* *

3 3 * * 9 8. Dar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 1 2 4 *

8 *

* *

* *

* 5 * * * 7 * 6

UNIDAD 1

37

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Reconstruir la siguiente división e indicar la 12. Hallar la suma de las cifras encontradas, luego de reconstruir la siguiente división: suma de cifras del dividendo, sabiendo que el residuo es mínimo. * 9 * * * 9 * * * * 1 * 2 * * * * * * 4 2 * * 2 * * * * * 4 8 8 * * * 1 * * 3 * 10. ¿Cuál es la mayor cifra hallada del dividendo, 6 luego de reconstruir la siguiente división? * * * * 9 * 1 * * * * 5 1 9 * * *

*

2 3 4 * * 8

* * 1

13. Se divide "W" entre un número menor que 60 obteniéndose como cociente 125 y como residuo 58. Hallar "W". 14. Al dividir "D" entre "A" el cociente fue 13 y el residuo el más grande posible. Si "D + A" es igual a 464, hallar: D × A.

11. Reconstruir la siguiente división e indicar la 15. Al efectuar una división se notó que el divisor suma de cifras del cociente: es el cuádruplo del cociente y el residuo fue el triple del cociente. Si el dividendo es 351, ¿cuál 5 7 * 8 7 fue el residuo? * * * * * * * 7 5 * * 6 * Aplicación cotidiana La siguiente figura hace referencia a una escalera con 19 peldaños y una altura total de 304 cm:

41

16. ¿Cuál es la altura de cada peldaño? 304

17. ¿Cuál es el ancho de cada peldaño?

516

Ancho = 41 cm

18. Si se desea poner un acabado de mármol en todos los peldaños de la escalera, además el largo de cada pieza de mármol tiene la misma medida que el largo de los peldaños, ¿cuántas piezas de mármol se necesitarán?

Largo = 120 cm Aquí se muestran las dimensiones de cada pieza de mármol

38

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73

División de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

6

¡Tú puedes! 1. La suma de dos números es 341 y al dividirlos el cociente es 16 dejando como residuo al mayor número posible. Hallar el número mayor. a) 320

b) 322

c) 324

d) 325

e) 327

2. Si al dividendo de una división se le agregan 98 unidades, el cociente y el residuo aumentan en 7. Hallar el divisor. a) 10

b) 13

c) 17

d) 12

e) 19

3. ¿Cuál es el menor número de cinco cifras que multiplicado por 24, nos da un producto cuyas cifras son todas ocho? a) 37 370

b) 27 027

c) 37 017

d) 37 037

e) 47 047

4. En una división inexacta el cociente y el residuo son respectivamente 58 y 15. Si se quita 376 unidades al dividendo, el cociente es 42 y el resto se vuelve máximo. Hallar el dividendo. a) 1 307

b) 1 417

c) 1 419

d) 1 407

e) 1 411

5. Hallar la suma de cifras del cociente en la siguiente división:

a) 24

*

*

*

*

*

*

b) 26

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

c) 28

*

*

*

*

8

*

*

d) 30

e) 32

18:10:45

Practica en casa 1. Dividir 7 689 240 ÷ 15 e indicar el cociente. 2. Dividir 650 781÷ 102 e indicar la suma de cifras del cociente. 3. Dividir 350 492 ÷ 13 e indicar el residuo. 4. Efectuar 79 045 ÷ 25 e indicar el cociente.

5. Hallar la suma de cifras del divisor. 3 4 1

2

8

0 6 9 4

•

74

Reconstruya las siguientes divisiones e indica lo que se pide en cada caso:

Central: 619-8100

8 UNIDAD 1

39

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

6. Indicar la mayor cifra hallada. 5

9. Indicar la suma del cociente más el dividendo.

7

7

4

2

1

7 2

7

1 5 6 2 7. Hallar el producto de cifras del dividendo. 2 9

8

1 5

3 1

0 9 5 5

40

Colegios

TRILCE

5 2

9

2

5

10. En una división el cociente es 49 y el divisor 32. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó mínimo.

12. Se divide "K" entre un número de tres cifras obteniéndose como cociente 35 y como residuo máximo 185. Hallar "K".

8. Indicar el dividendo. 5

2

11. En una división el cociente es 64 y el divisor 41. Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo resultó máximo.

9

1

2

8

3

3

4

1

2

2

5

13. Al dividir "F" entre "U" el cociente fue 6 y el residuo el más grande posible. Si "F + U" es igual a 255, hallar: F × U. 14. Al efectuar una división se observó que el divisor es el triple del cociente y el residuo el doble del cociente. Si el dividendo es 456, ¿cuál fue el divisor? 15. La suma de dos números es 95, su cociente es 3 y el residuo también es 3. Dar el número mayor.

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75

Aplicación de la multiplicación y división de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación de la multiplicación y división de números naturales

CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: • •

A interpretar enunciados y expresarlo mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.

E

7

¿Cómo les resultó fácil, multiplicar y dividir a los hombres en la antigüedad?

7

n la antigüedad eran particularmente difíciles las operaciones de multiplicación y división: esta última en mayor escala. "La multiplicación es mi martirio, y con la división es la desgracia" decían entonces. Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado para cada operación. Por el contrario, estaba en uso simultáneamente casi una docena de diferentes métodos de multiplicación y división con tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a las posibilidades del hombre medio. Cada "maestro de la división" exaltaba su método particular al respecto. "Asunto difícil es la división"(dura cosa es la partida) decía un antiguo refrán italiano; acertado refrán si se toman en cuenta los agotadores métodos con que se realizaban entonces: no importa que estos métodos llevaran a veces nombres demasiado festivos: bajo ellos se ocultaba una larguísima serie de complicadas manipulaciones. Así, en el siglo XVI se consideraba el método más corto y cómodo el de división por "lancha o galera". El ilustre matemático italiano de esa época, Nicolás Tartaglia (siglo XVI), escribió en su extenso manual de aritmética lo siguiente respecto a dicho método:

División de números a la manera antigua, por el método de "galera".

"Este método de división en Venecia, se le llama por lancha o galera, debido a que en la división de ciertas clases de números se forma en la figura parecida a una lancha, y en la de otras, a una galera que a veces se obtiene tan bien terminada, que se muestra provista de todos sus elementos principales tales como popa y proa, mástil, velas y remos". Esto parece muy divertido, pero aunque el antiguo matemático recomienda precisamente dicho método como "elegante, fácil, exacto, usual y el más general de los existentes, útil para la división de todos los números posibles". Sin embargo, este agotador método fue, efectivamente, el mejor en esa época.

• ¿Por qué se llamaba división por lancha o galera?

Saberes previos 1. Compré un juguete en S/. 45, ¿a cómo debo 4. Si una docena de mochilas vale S/. 420, ¿cuánto es el costo por unidad? venderlo para ganar S/. 15? 2. Si al vender un reloj en S/. 70 perdí S/. 15, 5. Carlos desea comprar una bicicleta de S/.570 ¿cuánto me costó el reloj? pero se da cuenta que le faltaría S/.80. ¿Cuánto dinero tiene Carlos? 3. Si una camisa cuesta S/. 48, ¿cuánto costará tres camisas? 76

Central: 619-8100

UNIDAD 1

41

Aritmética

Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria 10 x 5 50

Aplica lo comprendido •

En la vitrina de las tiendas “SODIMAC” hay una 1. ¿Cuánto gastará, si compra 5 docenas de 3"? oferta de venta de rodillos y se muestran cuatro rodillos de diferentes medidas (3", 6", 9" y 12") 2. ¿Cuánto gastará, si compra 7 docenas de 6"? y un repuesto para el rodillo de 12" (pulgadas): Los costos de cada producto son: 3. ¿Cuánto gastará, si compra 4 docenas de 9"? • • • • •

La docena de 3": S/. 36 La docena de 6": S/. 84 La docena de 9": S/. 108 La docena de 12": S/. 144 La docena de repuesto: S/. 72

4. ¿Cuánto gastará, si compra 9 decenas de 12"? 5. ¿Cuál es el precio por unidad de los rodillos de 3"?

Aprende más 1. Sergio vende un terreno de 20 hectáreas a 10. Para rifar una cocina se hicieron cierto número de boletos. Si cada boleto se vende a S/. 8 se $ 600 la hectárea y recibe en pago otro terreno ganaría S/. 1 040 y si cada boleto se vende a de 1 900 metros cuadrados a razón de $ 5 el S/. 3 se perdería S/. 210. ¿Cuántos boletos se metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan? hicieron? 2. Se compran 8 libros de Matemáticas a S/. 10 cada uno, 5 lapiceros a S/.1 y 6 plumas a S/. 5 11. Una pareja de esposos decide ahorrar mensualcada una. ¿Cuánto gastó? mente, el esposo S/. 400 y la esposa S/. 320. ¿Después de cuántos meses de ahorrar juntos, 3. Se compran 144 metros de tela a $ 2 el metro y el esposo tendrá ahorrados S/. 720 más que la se venden a $ 80 la docena de metros. ¿Cuánto esposa? se gana? 4. Arturo gana S/. 35 por día de trabajo y trabaja 6 12. Habiéndose organizado un Bingo se ha recaudías a la semana. Si gasta S/. 110 a la semana, dado S/. 1 900. Por la entrada los hombres pa¿cuánto puede ahorrar en 22 semanas? garon S/. 15 y las mujeres S/. 10 y se ha reportado una asistencia de 150 personas. Determinar 5. Se repartió cierto número de manzanas entre 21 el número de hombres y el número de mujeres personas y después de dar 7 manzanas a cada que participaron en el Bingo. persona sobraron 18. ¿Cuántas manzanas había? 6. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calcula- 13. Cintia ha comprado 25 docenas de ganchos a S/. 15 la docena. Las primeras 15 docenas las dora, gana S/. 75; pero si decide vender cada vendió por un importe de S/. 360. Los restantes, calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas caldebido a la baja de la demanda, lo tuvo que culadoras tiene para vender? vender por decenas. ¿A qué precio vendió cada 7. Si $ 163 se reparten entre cierto número de decena, si en toda la venta obtuvo una ganancia personas, a cada una le tocaría $ 9 y sobrarían de S/. 165? $ 10. ¿Cuál es el número de personas? 8. Se organiza una proyección de una película en 14. Cada vez que Raúl visita a su tía Pamela, ella le duplica el dinero que lleva. Un día realizó tres nuestra parroquia. Si el Señor "X" paga S/. 6 por visitas al cabo de los cuales resultó con S/. 864. cada entrada, le sobrarían S/. 16 y si paga S/. 7 ¿Con cuánto dinero hizo la primera visita? por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró? 15. Un tren de 100 metros de largo demora 15 se9. Tenía S/. 2 576, compré víveres por el valor de gundos en cruzar un túnel de medio kilómetro S/. 854 y con el resto azúcar a S/. 42 el saco. de longitud. ¿Cuál es la velocidad del tren? ¿Cuántos sacos de azúcar compré?

42

Colegios

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77

Aplicación de la multiplicación y división de números naturales

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación cotidiana

7

Una tienda se dedica a la venta de computadoras y desea vender un lote que le ha quedado para lo cual decide publicar el siguiente anuncio: 16. Si Joaquín está interesado en comprar 10 de estas computadoras para abrir su negocio de internet, ¿cuánto tendrá que pagar por dichas computadoras, si se sabe que la tienda le hace una rebaja de $ 10 por computadora? 17. Si desea comprar la oferta pero quiere cambiar el microprocesador de 1.8 Ghz por uno de 3 Ghz tendría que aumentar $ 15 por computadora. ¿Cuánto pagará por 6 computadoras con el microprocesador de 3 Ghz? 18. El encargado de la tienda menciona que la pantalla LCD se podría cambiar por una pantalla normal plana y por lo cual ahorraría $80 por cada computadora. Si Joaquín acepta dicha propuesta, ¿cuánto pagará por 15 computadoras?

¡Tú puedes! 1. En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los pantalones de algodón $ 50 y las corbatas $ 12. El sábado, tenían una promoción que decía: "Si compra un pantalón de lana, le regalamos una corbata". Ese día recaudaron $ 2 540. Si habían vendido 34 pantalones y habían regalado 15 corbatas, ¿cuántas corbatas vendieron? a) 35

b) 24

c) 45

d) 30

e) 55

2. Héctor invirtió S/. 6 720 en comprar papel bond y papel de colores. Si cada millar de papel bond le costó S/. 24 y cada millar de papel de colores S/. 32, ¿cuántos millares compró, si se sabe que la cantidad de papel bond es la misma que la de colores? a) 100

b) 110

c) 170

d) 120

e) 210

3. Una máquina imprime 20 gigantografías cada hora. ¿Cuántas gigantografías producirán en 3 días, 4 máquinas con las mismas características? a) 4 310

b) 7 680

c) 3 520

d) 8 600

e) 5 760

4. Se compró 19 laptops a $ 1 200 cada una. ¿A cuánto se debe vender cada laptop para obtener una ganancia total de $ 2 850? a) $ 1 110

b) 1 350

c) 1 220

d) 1 450

e) 1 300

5. Gabriela empezó ahorrar de la siguiente manera: S/. 2 diarios durante el mes de enero, S/. 3 diarios durante febrero y S/. 4 durante marzo. ¿Cuánto ahorró en total, si se sabe que esto lo hizo en el año 2008? a) S/. 273

78

Central: 619-8100

b) 253

c) 223

d) 263

e) 293

UNIDAD 1

43

Aritmética

Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria 18:10:45

Practica en casa 1. Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su 10. Un depósito tiene 480 litros de agua. Jorge y Luis extraen agua con baldes de 8 y 5 litros resedad. ¿Cuánto suman sus edades? pectivamente; cada vez que van al depósito. ¿Cuántos litros quedarán en el depósito después 2. Cecilia se va de compras y gasta el triple de lo de 25 viajes? que gastó Paco más 10 soles. Si Paco gastó 20 soles, ¿cuánto gastó Cecilia? 11. Un empleado gana mensualmente S/. 700 y su 3. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 ayudante S/. 620. Cuando el empleado haya filas de 6 soldados cada una, pero observa que recibido S/. 16 100 en sueldos, ¿cuánto habrá le faltarían 4 soldados, entonces los forma en 4 recibido su ayudante? filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora? 12. Una pareja de novios decide ahorrar mensual4. Olinda y Liliana tienen juntas S/. 462. Si lo que mente para su matrimonio, el novio S/. 650 y tiene Olinda es 5 veces lo que tiene Liliana, la novia S/. 550. ¿Después de cuántos meses ¿cuánto tiene Liliana? de ahorrar juntos, el novio tendrá ahorrados S/. 800 más que la novia? 5. Dos hermanos tienen una cuenta de ahorros en el banco por S/. 1 920. Lo que le corresponde al 13. Habiéndose organizado un campeonato de fulhermano mayor es 6 veces lo que le corresponde bito se ha recaudado S/. 2 400. Por la entrada al hermano menor más un adicional de S/. 72. los hombres pagaron S/. 18 y las mujeres S/. 12. ¿Cuánto le corresponde al hermano mayor? Se ha reportado una asistencia de 150 personas. Determinar el número de hombres y el número 6. Se repartieron 858 soles en partes iguales entre de mujeres que participaron en el fulbito. 37 pobres y sobraban 7 soles. ¿Cuánto le correspondió a cada uno? 14. Sofía ha comprado 38 docenas de corbatas, a 7. ¿Cuánto te tardará en cortar una pieza de tela de 70 m de largo, en trozos de 10 m, si se emplea 5 s en hacer cada corte? 8. Por cada docena de manzanas que compro me obsequian una manzana. Si he recibido 780 manzanas, ¿cuántas decenas compré? 9. Un comerciante compró 1 800 vasos a S/. 2 cada uno. Después de romper algunos vende los restantes a S/. 3 cada uno, obteniéndose una ganancia total de S/. 1 620. ¿Cuántos vasos rompió?

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Colegios

TRILCE

S/. 12 la docena. Las primeras 18 docenas las vendió por un importe de S/. 360. Los restantes, debido a la baja de la demanda, tuvo que vender por decenas. ¿A qué precio vendió cada decena, si en toda la venta obtuvo una ganancia de S/. 384?

15. Cada vez que Fernando hace su tarea, su tía Pochita le duplica el dinero que lleva. Un día realizó tres veces la tarea al cabo de los cuales resultó con S/. 480. ¿Con cuánto dinero hizo la primera tarea?

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operaciones combinadas

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

operaciones combinadas CAPÍTULO

8

En este capítulo aprenderemos: •

8

A reforzar los temas tratados anteriormente perfeccionando tu habilidad de interpretación y elaborando estrategias para la resolución de problemas.

Representación numérica egipcia

En la figura se muestra la escritura numérica egipcia y la equivalencia en nuestra escritura.

En la figura se muestra como los egipcios representaban sus números.

• ¿Tú cómo representarías el número 1 347?

Saberes previos 1. Sumar: 7 840 + 5 248

4. Dividir: 496 ÷ 4, indicar el cociente.

2. Restar 946 de 1 257

5. Dividir: 7582 ÷ 14, indicar el residuo.

3. Multiplicar: 45 x 120 80

Central: 619-8100

UNIDAD 1

45

Aritmética

1° Año de secundaria 10 x 5 50

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplica lo comprendido Una tienda deportiva tiene en su catálogo 4 modelos de camiseta con su precio respectivo. Además menciona que por la compra de una docena se le hace un descuento de S/. 2 en cualquier tipo de camiseta. (Por estampado se adiciona S/. 1 por cada camiseta).

Art. 922 921 887 886

modelo Veracruz Veliz Monterrey Escudo

Costo S/. 12 S/. 15 S/. 18 S/. 20

1. Si Ronald compra una docena de la camiseta 4. Si una vendedora lleva 8 camisetas del modelo "A" pero al cabo de dos días se le acaba y "B", ¿cuánto recibirá de vuelto, si paga con un regresa a la tienda a comprar 4 camisetas más, billete de S/. 200? ¿cuánto hubiera ahorrado si llevaba al inicio una docena? 2. Si llevan 3 camisetas de cada modelo con su estampado respectivo, ¿cuánto deberán pagar? 5. Manuel va a la tienda para comprar una docena del modelo "A" pero al ver el modelo "C" cam3. Un colegio que consta de 16 aulas va a realizar bia de parecer y decide llevar dicho modelo. una tarde deportiva por su aniversario, para lo Si Manuel fue con S/. 140, ¿cuánto le falta para cual deciden comprar una docena de camisetas comprar el modelo "C"? del modelo "C" para cada aula. ¿A cuánto asciende la suma que deberá pagar?

Aprende más 1. Efectuar: 12 × 9 – (46 ÷ 2 + 108 ÷ 9) × 2 2. Efectuar: (84 ÷ 4 + 19) ÷ (189 ÷ 9 – 8 × 2 + 3)

5. Una botella de leche alcanza para 3 gatitos o 2 gatos. Si tenía 8 botellas y he alimentado 12 gatitos, ¿cuántos gatos más puedo alimentar?

3. Efectuar: {[(8)2 – 168 ÷ 7] – 144 } ÷ 14

6. Leyna y Meylin tienen que escribir 300 cartas cada una. Leyna escribe 15 cartas por hora y 4. ¿Cuánto se tardará en cortar una pieza de maMeylin 13 cartas por hora. Cuando Leyna haya dera de 70 m de largo, en trozos de 10 m, si se terminado su tarea, ¿cuántas cartas faltarán por emplea 5 s en hacer cada corte? escribir a la segunda?

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81

operaciones combinadas

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Se vendió 60 sacos de azúcar por S/. 480 ga- 12. Un comerciante compra por S/. 4 800, dos cajas de galletas conteniendo cada una de ellas nando S/. 3 en cada uno. ¿Por cuántos sacos 150 paquetes. Si la primera costó S/. 600 más estaba integrado un pedido que se hizo al que la segunda y el comerciante vende 70 y mismo precio y por el cual pagué S/. 400? 30 paquetes de la primera y segunda respectivamente, recibiendo S/. 2 000, ¿cuánto ganó 8. Un comerciante compró once trajes por en la venta? S/. 3 300. Si vendió cinco a S/. 240 cada uno, ¿a cómo tiene que vender los restantes para ganar S/. 900? 13. Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente, uno de ellos 2 soles más que el otro. 9. Carla vende en una galería en Gamarra y realiza Después de igual número de días recibieron la compra de un lote de 580 camisas, todas de la 240 y 210 soles, respectivamente. ¿Cuánto gana misma talla y calidad, por un valor de $ 9 280. diariamente cada uno de los obreros? El público se aglomera y tiene que vender una cantidad inicial a $ 24 cada una obteniendo por esta venta de apertura, $ 3 528. ¿Cuál es esa 14. Una persona compra alimento por un valor de cantidad inicial de camisas vendidas? S/. 300 y paga con un billete de S/. 1 000, el 10. El dueño de una librería compró 1 700 ejemplares de una determinada obra a $ 14 cada uno. Si en el transcurso del traslado sufre un robo en el que se pierden 358 ejemplares, ¿a qué precio deberá vender cada libro de los que le quedan para que su ganancia total sea de $ 4 382 a pesar de dicho robo que sufrió?

8

bodeguero no tiene vuelto y va a cambiar el billete donde el librero. Éste le entrega 10 billetes de S/. 100. Luego el bodeguero regresa a la bodega y le entrega al cliente 7 billetes de S/. 100 y la mercadería. Después de un rato el librero va donde el bodeguero y le exige que le devuelva los S/. 1 000 ya que el billete era falso. El bodeguero se vio en la obligación de pagarle. Entonces el bodeguero perdió:

11. Un comerciante compra 78 pantalones a $ 29 cada uno; si decide obsequiar uno a cada integrante de un equipo de fútbol, que cuenta con 15. Se necesita cercar un campo de forma triangular, de modo que en cada lado aparezcan 9 5 suplentes, ¿a cuánto debe vender cada uno de postes y uno en cada esquina. ¿Cuántos postes los pantalones restantes para que obtenga una serán necesarios? ganancia total de $ 156? Aplicación cotidiana Fernando desea comprar zapatillas para implementar con más artículos su pequeño negocio que está iniciando para lo cual buscó en internet modelos de zapatillas y encontró lo siguiente: Tallas 36 – 37 Tallas 38 – 40 Tallas 41 – 42

Los precios varían de acuerdo a la talla: •

36 – 37:

$ 160 (el par)

•

38 – 40:

$ 180 (el par)

•

41 – 42:

$ 200 (el par)

•

43 – 44:

$ 220 (el par)

Tallas 43 – 44 n Por la compra de una docena se descuenta $ 5 por cada par de zapatillas. 16. Si Fernando decide llevar 5 pares de las tallas 36 – 37, 7 pares de las tallas 41 – 42 y 9 pares de las tallas 43 – 44, ¿cuánto pagará Fernando? 17. Si Fernando lleva una docena de cada modelo, ¿cuánto paga por la compra? 18. Si Fernando va con $ 4 200, ¿cuántas docenas podrá comprar de la talla 38 – 40?

82

Central: 619-8100

UNIDAD 1

47

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes! 1. "Furioso", una combi que hace servicio de "Wilson" a la "Punta" cobra S/. 2 como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja 1 pasajero, suben 2. Si llegó a la "Punta" con 34 pasajeros y una recaudación de S/. 96, ¿cuántas personas partieron de "Wilson"? a) 20

b) 12

c) 28

d) 34

e) 48

2. Un librero adquirió 78 libros a S/. 40 cada uno, habiéndosele regalado 1 por cada docena que compró. ¿A cómo debe vender cada ejemplar para ganar S/. 1 208, si él a su vez ha regalado 5 libros? a) S/. 24

b) 56

c) 36

d) 78

e) 52

3. Un comerciante compra 40 jarrones a 70 soles cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de 20 soles por jarrón, se le rompieron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de 810 soles? a) S/. 100

b) 90

c) 110

d) 120

e) 112

4. Cecilia compra 6 docenas de globos a 70 soles cada globo, pero recibe 1 globo por cada docena y en la factura le hacen además un descuento de 1 300 soles. Si vende cada uno a 75 soles, ¿cuánto ganará vendiéndolos todos? a) S/. 1 960

b) 2 000

c) 1 320

d) 2 480

e) 2 110

5. En un examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos, ¿cuántas preguntas resolvió correctamente? a) 28

b) 32

c) 36

d) 38

e) 42

18:10:45

Practica en casa 1. Efectuar: 256 ÷64 + 12 × 5 – 900 × 2 2. Efectuar: (69 ÷ 23 – 2) × 62 – 8 × 4

7. Un comerciante compró varias camisas a 12 por 240 soles y las vende a 10 por 250 soles. ¿Cuántas debe vender para ganar 500 soles?

3. Efectuar: [(17 × 4 – 240 ÷ 6) ÷ 7] + 121

8. Recibí S/. 453 con los que compré tres camisas, sobrándome S/. 378. ¿Cuánto me costó cada camisa, si las tres son de la misma talla y calidad? 4. Compré 500 sombreros a $ 6 cada uno y vendí cierto número en $ 500, a $ 5 cada uno. ¿A cuánto tengo que vender el resto para no perder? 9. Un comerciante compró cierto número de sacos 5. Un librero compró 15 libros a 12 soles cada uno. Habiéndose deteriorado 9 de ellos, tuvo que venderlos a 8 soles cada uno. ¿A cuánto tiene que vender los restantes para no perder?

de azúcar por 600 soles y los vendió por 840 soles, ganando 2 soles en cada saco. ¿Cuántos sacos compró y cuánto pagó por cada uno?

10. Un hacendado compra cierto número de vacas por 24 000 dólares. Vende una parte por 6. Un comerciante compró 33 casacas por 3 300 $ 8 832 a $ 276 cada una, perdiendo $ 24 en soles y vendió 20 a S/. 80 cada uno. ¿A cuáncada vaca. ¿A cómo tiene que vender las restanto tiene que vender los restantes para ganar tes para ganar $ 1 392? S/. 900?

48

Colegios

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83

1° Año de secundaria

operaciones combinadas

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Paco compra cierto número de carneros por 14. Tengo 3 cajas azules; en cada caja azul hay 8 cajas verdes y en cada caja verde hay 10 cajas $ 2 120 a $ 40 cada uno y vendió 40 carnenegras. ¿Cuántas cajas hay en total? ros por $ 1 680. ¿Cuántos carneros le quedan y cuánto ganó en cada uno de los que vendió? 15. Una empresa que comercializa ropa, efectúa la compra de un lote de 580 camisas, todas de la 12. Juan compra libros por una suma de 11 500 somisma talla y calidad, por un valor de $ 9 280. les y al venderlos por 16 100 soles resulta un El público se aglomera y tienen que vender beneficio de 600 soles por docena. ¿Cuántos una cantidad inicial a $ 24 cada una obtenienlibros compró? do por esta venta de apertura, $ 4 176. ¿Cuál es esa cantidad inicial de camisas vendidas? 13. Una asociación integrada por 22 personas tienen que pagar por partes iguales S/. 88 000; como algunos no aportaron dicho dinero por problemas personales; cada uno de los restantes tienen que poner S/. 1 500 más para cancelar la deuda, ¿cuántos son insolventes?

84

Central: 619-8100

UNIDAD 1

8

49

9

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

repaso

9

En este capítulo aprenderemos: •

A reforzar los temas tratados anteriormente de una manera sencilla y práctica.

Síntesis teórica lAS CuATRo oPERACionES

Son

ADiCión

SuSTRACCión

mulTiPliCACión Sus elementos son

Sus elementos son

Sus elementos son

a) Sumandos b) Suma Ejem: 5 + 4 = 9 ↓ ↓ ↓ a a b

a) Minuendo (M) b) Sustraendo (S) c) Diferencia (D)

a) Multiplicando b) Multiplicador c) Producto

Ejem:

Ejem: 5 × 4 = 20 ↓ ↓ ↓ a b c

5 – 4 = 1 ↓ ↓ ↓ a b c

DiviSión Sus elementos son

a) b) c) d)

Dividendo Divisor Cociente Residuo

Ejem:

a ← 20 3 → b 2 6 → c

↓ d

M + S + D = 2M

Clausura: 8 + 9 = 17

Asociativa: (8+9)+1=8+ (9+1) Elemento neutro: 8+0=0+8

Clausura: 8 × 9 = 72

Conmutativa: 8+9=9+8

Sus propiedades

Sus propiedades

Sus propiedades

Conmutativa: 8 × 9 = 9 × 8

•

Complemento aritmético: CA

Asociativa:



Ejemplo:

(8 × 9) × 2 = 8 × (9 × 2)



(CA) 728: Es lo que le falta a 728 para 1000

Elemento neutro:

Sus propiedades

División exacta: "r" no existe / D= d × q División inexacta: r ≠ 0 / D = d × q + r

8 × 1 = 8 Elemento absorbente: 8 × 0 = 0 Distributiva: 8×(9±1)=8×9±8×1

50

Colegios

TRILCE

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85

repaso

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9

Saberes previos 1. La suma de los tres términos de una sustracción es 240. Hallar el minuendo. 2. Hallar la suma del mayor y menor número de dos cifras.

3. Multiplicar: 976 × 25 4. De 85 restar 67 5. Hallar el residuo en la siguiente división: 758 ÷ 13

Aprende más 1. Indicar la mayor cifra hallada:



8. Si cada * representa una cifra, hallar el dividendo en:

3 4 8 + * 2 * –––––––––––– 8 7 0

4 7 A 3 8 6



_ _ _ _ × 7





8 3 8 6

10. A una reunión bailable asistieron 120 personas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres, ¿cuántas mujeres hay en total?

4. Calcular el dividendo en: _

_

_

0

2 * *

9. 18 personas tienen que pagar en partes iguales un total de S/. 5 400, como algunos no pueden hacerlo, cada persona debe poner S/. 150 más de lo que le corresponde pagar. ¿Cuántas personas no pagaron?

3. Calcular el multiplicando en:

* *

* 8 * *

8 A B –

7

* 3 * *

2. Calcular "A – B" en:



* * * *

_

_ 2

_

3 _ 3 0 4

11. La suma de dos números es 721, el cociente es 21 y su residuo 17. Determinar el número mayor. 12. Si: abcde × 99 = ***47253

Calcular: a + b + c + d + e

5. Miguel recibe S/. 720 de gratificaciones, Pedro S/. 250 más que Miguel, José tanto como Mi- 13. Si el complemento aritmético de wac es (w + 3)(2a)(c – 2), hallar "w + a + c". guel y Pedro juntos más S/. 185 y Carlos S/. 235 más que José. ¿Cuánto recibieron los cuatro en 14. Si: 5 × edcba7 = 7edcba, calcular: ed + cba. total? 6. La suma de los tres términos de una sustracción es 280. Hallar el minuendo. 7. Si: CA(mn) = 5, calcular: m2 – 4n 86

Central: 619-8100

15. Juan tiene 8 panes y Pedro 4 panes y deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos estos entregaron 18 soles. ¿Cuánto le tocará a Juan? UNIDAD 1

51

Aritmética

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM 18:10:45

Practica en casa 1. Indicar la suma de la mayor y menor cifra hallada: * 7 6 + 1 * * –––––––––– 7 8 2

8. Junior y Joel tienen 410 canicas juntos. Si Junior tiene 4 veces lo que tiene Joel, ¿cuántas canicas tiene Junior? 9. Hallar la suma de cifras del cociente:

2. Calcular el minuendo:





10. Al dividir un número "K" entre 29 se obtuvo 16 de cociente y el residuo fue el máximo posible. Hallar el dividendo.

4. Calcular la menor cifra hallada en: _

_

3 2 _

9 * *

1

_ _ _ _ × 6 ––––––––––––– 2 3 3 4

_

* *

* * * *

3. Calcular el multiplicando en:

6

* 9 * *

* * 5 – 7 A A –––––––––– 1 2 4



* * * 1

_

_ 7

_

11. Al dividir un número entre 16 se obtiene 57 de cociente y el residuo fue el mínimo. Hallar el dividendo.

_

12. Si: abcde × 99 = ***35368

_



Calcular: a + b + c + d + e

13. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que cuando se le suma 100, se obtiene el cuádruplo 5. Jimena compra 650 ganchos, Gabriela 140 gande su C.A. chos más que Jimena, Kiara tanto como Jimena y Gabriela juntas más 230 ganchos y Brenda 110 ganchos más que Kiara. ¿Cuántos ganchos 14. Si: aabb × 77 termina en 041, hallar "a + b". compraron en total? 15. Camilo es el tesorero de curso y tiene S/. 4 580 6. La suma de los tres términos de una sustracción en caja. El director ofreció colaborar con es 720. Si el sustraendo es 280, hallar la difeS/. 2 500 para la fiesta de despedida. Si tiene rencia. que gastar S/. 450 en un regalo para la profesora, ¿le alcanzará para costear la fiesta de despedida que está calculada en S/. 6 500? 7. Si: CA(pq) = 34, calcular: p + q.

52

Colegios

TRILCE

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87

TEMARIO • Introductorio • Definiciones algebraicas I • Definiciones algebraicas II • Teoría de exponentes I • Repaso I • Teoría de exponentes II • Teoría de exponentes III • Teoría de exponentes IV • Notación de polinomios

1

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

1

IntroductorIo Lectura: orIgen deL áLgebra Es difícil establecer estrictamente el origen del álgebra, pero todo parece afirmar que la primera obra sobre álgebra nació en Grecia y fue su autor Diofanto de Alejandría, quien vivió aproximadamente por el año 250 de la era cristiana. Esa obra de Diofanto permaneció aislada en la escuela griega. Ningún otro matemático se dedicó a ella, y esa rama de la matemática desapareció con Diofanto. En verdad, la cuna del Álgebra puede situarse en la civilización hindú, donde aparecieron los rudimentos de esa ciencia y fue el pueblo árabe que tenía un intercambio comercial con la India, allá por el año 750, el que tomó esos conocimientos, los sistematizó, les aplicó el razonamiento deductivo de la matemática griega, y de esa combinación resultó el Álgebra que, a través de distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir, que puede considerarse a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal punto es así, que el vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr, que significa “reducción”, “suma”.

FUENTE: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA- Repetto Linskens Fesquet

En este capítulo aprenderemos

Colegios

4

TRILCE

.

Números enteros

.

Números positivos

.

Cero

.

Números negativos

.

Símbolos de agrupación

.

Notaciones

Central: 6198-100

91

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

NÚMEROS ENTEROS Enteros positivos

Z+ = {+1, +2, +3, ...}

Se denotan por Se

Z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

clasifican

Cero= {0}

en Enteros negativos

Z– = {...–3, –2, –1}

Para multiplicarlos se toma en cuenta

Para sumarlos se toma en cuenta que

Dos números

Dos números

enteros de mismo

enteros de distintos

signo se suman y

signos se restan y

se coloca el mismo

se coloca el signo

signo que llevan.

del mayor.

Para la división

La multiplicación de dos números del mismo signo genera producto positivo

La multiplicación de dos números de distinto signo genera producto negativo

Se aplica la misma regla que en la multiplicación

92

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Primer año de secundaria

5

1

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Completa correctamente usando los símbolos ">": (mayor que) ó "<": (menor que). •

15

6

•

17

19

•

11

2. Efectúa las siguientes operaciones: •

3+7=

•

9+5=

•

14 – 9 =

•

15 – 8 =

3. Efectúa las siguientes operaciones: •

9×7=

•

8×6=

•

64 ÷ 8 =

•

54 ÷ 6 =

3

4. Efectúa las siguientes operaciones:

=

•

65 + (35 – 18) –12

•

38 – 15 + (8 + 12 – 4) =

•

43 – 16 + 24 – 6

=

5. Efectúa las siguientes operaciones: •

3+7×5

=

•

4×6+3

=

•

(3 × 8 – 6) ÷ 3 =

Aplica lo comprendido 1. Calcular:

4. Efectuar

•

(+8) + (+4)

=

•

(–3) . (+4)

=

•

(+11) + (–6)

=

•

(+7) . (–8)

=

•

(–4) + (–5)

=

•

(–4) . (–9)

=

•

(–14) + (+7)

=

•

(+5) . (+10)

=

2. Efectuar:

5. Simplificar

•

+11 – 3

=

•

(–32) : (+8)

=

•

–7 – 5

=

•

(+55) : (–11)

=

•

+9 – 14

=

•

(–36) : (–9)

=

•

(–8) + (–12)

=

•

(–49) : (+7)

=

3. Calcular: •

(–1) – (+2)

=

=

•

–(–8) – (+5)

=

=

•

5–4+6–3 =

=

•

–8+2–1+5

=

=

Colegios

6

TRILCE

Central: 6198-100

93

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Calcular:

9. Efectuar: (15 – 5) ÷ (–7 + 5)

(+3) – (–2) + (+4) – (–3) a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

b) –19 e) 18

c) –20

a) 11 d) 14

–5 + 3 + 3 – 1 + 8 b) 6 e) 10

c) 8

4. Efectuar:

c) 10

b) 18 e) 21

c) 19

10 (6 – 12) + (3 – 5)(–2) b) –55 e) –58

c) –56

(–7)(–5 + 8) – (3 – 5)(–6) b) –31 e) –35

c) –33

(4 – 2 + 1)(–3 + 1 – 2)

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c) 50

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) –20 d) –23

b) –21 e) –24

c) –22

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

15. Efectuar:

8. Calcular:

94

b) 90 e) 60

14. Efectuar: – 5 – { (+4)(–2) – [ 4–(–1)(–3) ] }

7. Reducir:

a) –10 d) –13

a) 70 d) 80

13. Efectuar: – {7+[5–(–7–2)]}+5–{[9–(14–5)+3]–5}–8

6. Efectuar:

a) –34 d) –32

11. Si: P = (–3)(–4) + (–1)(+2) ÷ (+2)(–2) Q = 4 – [ 5 – (–3)(4 – 6)]

{ (–5+2) + [ (–9) – (–3) ] – 3} : (–2)(+2)

(–3)(–2) – (+2)(–4) + (–1)(–3)

a) –54 d) –57

c) 13

12. Efectuar:

5. Efectuar:

a) 17 d) 20

b) 12 e) 15

Hallar: P × Q

(–4)(+2) + (+3)(–1) b) 12 e) 11

B = – (–3 – 5) – (–2 – 7) Hallar: B – A

3. Calcular:

a) –10 d) –11

c) –3

A = – (–1 + 2) – (–1 – 3)

(–3) – (–4) + 8(–2) – (+3)

a) 4 d) 9

b) –5 e) –9

10. Si se sabe que:

2. Calcular:

a) –18 d) 44

a) –4 d) –8

b) –11 e) –14

c) –12

(− 16 − 4) ' (− 8 + 6) (+ 12) ' (− 4 − 2) a) –4 b) –5 d) –7 e) –8

c) –6

Primer año de secundaria

7

1

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 1. Calcular: (+9) – (–5) + (+6) – (–8) 2. Calcular: (–5) – (–9) + (–4) – (+7)

10. Si: M = (–5)(–3) + (–2)(+3) + (+5)(–4) N = 8 – {3 – (–3)(5 – 7)}

3. Efectuar: (–4)(–3) – (+5)(–3) + (–2)(–3) 4. Efectuar: 5 (3 – 8) + (2 – 4)(–3)

Hallar: M × N 11. Efectuar: (–9 + 6) + [{(–15):(–3)} –4] × (–3)

5. Reducir: (–3)(–6+9) – (2–6)(–4) 6. Calcular: (5 – 3+2) × (–4 + 1 – 3) 7. Efectuar: (–13 – 5) ÷ (–11+2)

12. Efectuar: (–5)(–2) – [(–2)(+3) + (–5)(–3)] 13. Siendo: B = (+4)(–3) + [(–12) : (–2)] Hallar: B ÷ (–3)

8. Si se sabe que: A = –4 – 3 – 2 – 5

14. Dado: A = (–4 + 5)(–3)(+2) + 1

B=2+4–8

Hallar: (–7 + 2) : (A)

Hallar: A × B

15. Efectuar:

9. Si:

(− 23 − 5) : (7 − 19 + 5) 36 : (− 6 − 3)

P = – (–2 +3) – (–4 –3) Q = – (–2 – 6) – (–4 – 8) Hallar Q – P

Tú puedes 1. Si: m=2; b=5, calcular el valor de: {m – (m – b)} (m – b) a) –14 d) –16

b) –13 e) –17

4. Calcular el valor de: (30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5)

c) –15 a) –804 d) –806

b) –803 e) –807

c) –805

2. Calcular el valor de la siguiente suma: 2002–2001+2000–1999+....+4–3+2–1 a) 101 d) 1001

b) 10001 e) 110

c) 2001

2×21; 3×22; 2×23; 3×24; 2×25; ..... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21 en ese orden?

3. Se define: a ⊗ b = ab + b a # b = 2a – 4b

a) 60 41

b) 33 41

Siendo "a" y "b" números enteros, calcular el valor de: (2 ⊗ 5) # (–2)

d) 59 41

e) 17 41

a) 36 d) 37 Colegios

8

5. Dada la sucesión:

TRILCE

b) 360 e) 44

c)

61 41

c) 38

Central: 6198-100

95

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

2

2

defInIcIones aLgebraIcas I

Lectura: eL padre deL áLgebra Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matemática que afortunadamente llegó a nosotros gracias a las traducciones al latín que de ella se hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento. Al - Jwarizmi vivió del año 780 al 835. Nació en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y está en Uzbekistán. Escribió varios textos, fundamentalmente de matemática, el más importante de todos ellos es, sin duda, "Al - jabar wa´l Muqabala, que es un tratado sobre cómo plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza así: "Este interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al - Mamún, caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene todo lo que es más fácil y útil en aritmética, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde esté implicada la agrimensura, la excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más. Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan importante que se hicieron varias traducciones al latín, que era el idioma en el que se escribía la ciencia en la Europa de esa época. Para finales del siglo XVI nadie tenía dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra. FUENTE: redescolar.ilce.edu.mx

En este capítulo aprenderemos

96

www.trilce.edu.pe

.

Álgebra: definición

.

Objetivo

.

Expresión algebraica

.

Término algebraico

.

Clasificación con respecto al número de términos

.

Ejercicios y problemas de aplicación

Primer año de secundaria

9

2

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

ÁLGEBRA

Definición

Objetivo

Expresión algebraica

Clasificación

Monomios

Término algebraico

Polinomios

• • • •

Colegios

10

TRILCE

Coeficiente Signo Parte literal Exponente

Central: 6198-100

97

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 2

1. Calcular: 5 – 3 + 7 × 2

4. Calcular: (–2) + 52 – 3

2. Calcular: 4 + 5 × 12 3

5. Calcular: (–1) + (–2) + (–3)

3

3. Calcular: 15 ÷ 5 + 12 – 1

2

3

2

6. Calcular: (–1)(–3) + (–2)(–4) + (–5)(2)

Aplica lo comprendido 1. Señale el coeficiente en el término algebraico: 4 5

–3x y

4. Señale la suma de exponentes de la parte literal del término algebraico: 5 2

4x y

2. Señale la parte literal del término algebraico: 9 4

5. Señale el coeficiente:

2x y z

2

3. Indique el coeficiente del término algebraico:

2

(–2) (3) xyz

9

(–2)(–3) xz

Aprende más 4. Indique cuáles son binomios: 2 8 • x +y

1. De las expresiones algebraicas: 2 7 • 2x y • x+y+z 3 2

• –3x y ; x–y ¿Cuántas son monomios? a) 1 b) 2 d) 4 e) 0 2. Indique cuáles son monomios: • –x+y 2 10 • 4 xy •

–3xyz

2

10

10

d) –x+y; x+y+z –1

98

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b) 1 e) 4

•

x y

2

2 11 8

2

3. Señale cuántos binomios tenemos en: 8 • 3xyz 2 • x–y+z • x+y 2 2 5 • x y +z a) 0 d) 3

x +1 2

b) x +1 2

d) x +1; x +y

2

e) 4 xy ; –3xyz

•

2

b) 4 xy –1

x+y+z

a) x +y

–1

a) –x+y c) –3xyz

c) 3

•

8

2 11

c) x y

e) x+y+z

5. Señale cuántos trinomios tenemos: 8 3 • 2x y z •

3xy+z+y

•

12xy

•

x +y +z

2

2

2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

c) 2

Primer año de secundaria

11

2

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

6. Señale el coeficiente de: 4 3 15 (6+10 ÷ 2+3) x y z a) 11 d) 12

b) 8 e) 14

c) 13

a) 5 d) –3

7. ¿Cuál es el coeficiente de: x + x + x + x.... + x 1 44444 2 44 444 3 20 veces

a) 16 d) 18

b) 7 e) 20

c) 17

3

b) 80x y 3

d) 84x y

c) 84

e) 160

9. Señale el coeficiente: 3x + 3x + 3x + ... + 3x + x + x + x + .... + x 1 44444 4 2 44444 4 3 1 4444 2 4444 3 50 veces

a) 150 d) 167

17 veces

b) 170 e) 170x

c) 150x

10. Señale la suma del coeficiente con el exponente de x, luego de reducir: 8 8 8 x + x + x + .... 180 veces a) 8 8 d) 180x

b) 180 8 e) 188x

2 9

x y + (n – 3) x y a) 0 d) 8

c) –4

13. Dado el polinomio: 2 3 n x +y +x ¿Cuál puede ser el valor de "n"? b) 2 e) –4

c) –2

14. Dada la expresión algebraica 2 3 2 x +y +z Las letras x; y, z, representan el valor de una cantidad. Señale (V) o (F). I. x puede representar una velocidad II. y puede representar el valor de una temperatura III. z puede representar el valor de un rendimiento a) VVV d) VVF

b) FFF e) FVV

c) VFV

c) 188

11. Si la siguiente expresión algebraica es un monomio. Calcular: n (n+5). 2 5

b) 4 e) –5

a) –1 d) –3

8. Señale el coeficiente de: 3 3 3 2x y + 2x y + 2x y + ... 80 veces a) 80

12. Dado el monomio: 3 8 2 9 3 8 ky z + 2y z + 4 y z Hallar: k+1

15. Señale la expresión reducida del siguiente monomio: (n − 5) x2 y2 + 2x3 yn + 2x3 yn + 2x3 yn + ..... + 2x3 yn 1 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 44 3 50 veces

3 5

b) 5 e) 24

c) 3

a) 50x y 3 5 d) 100x y

3 6

3 6

b) nx y 3 5 e) 2x y

c) 100x y

Practica en casa 5. Sumar los coeficientes de los siguientes términos algebraicos

1. Señale los monomios: 2 5

6 2

5

4x y ; –2x z ; x–y ; 4 xyzw

2

5 2

3 3

4 x y ; 5x y ; 6x y 2. Señale cuántos binomios tenemos: 3

6. Sumar los coeficientes de los siguientes términos 5 algebraicos: –3 xy ; –2 yz ; x y

2 3

xy ; x+y; y +3; x y ; 2x – 3y 3. Indique los trinomios: 2

2

2 xyw ; xyz ; x+y+z ; x – y – z 4 5

4. En el término algebraico: 4 x y z

3

2

7. Señalar el coeficiente de: (–3)(–11) x y 2

3

8. Hallar el coeficiente de: (–2) (2) zw

Señale la parte literal Colegios

12

TRILCE

Central: 6198-100

99

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Indique el coeficiente de: x + x + x + .... + x 1 4444 2 4444 3

13. De los siguientes números: 1 , –3, 4 2 ¿Cuál puede ser un valor de "n" dado el polinomio: 10 n 12 x +y +z ?

43 veces

10. Indique el coeficiente de: 2 2 2 5x + 5x + 5x + .... 99 veces

14. Hallar el coeficiente: 4x + 4x + 4x + ...... + 4x + x + x + ...... + x 144 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3 1 4 4 4 42444 3

11. Dado el monomio: 2 2 2 2 4 y z + (K – 4) x y Hallar: K+2

23 veces

45 veces

15. ¿Qué cantidades puede representar x, y, z en la expresión algebraica: • La estatura de una persona • El número de personas en un salón • El amor que siente una persona.

12. Dado el trinomio: 2 x + ky + 3 z + 5x + 8y Hallar: K – 1

Tú puedes 1. Sumar los exponentes de los siguientes términos algebraicos. 2 3 20 3x ; 4x ; 5x ; .... 22x a) 20 d) 220

b) 200 e) 240

2. Sumar los coeficientes monomios: 2 3 10 x ; 4x ; 9x ; .... 100 x a) 110 d) 385

b) 240 e) 421

c) 210

de

los

siguientes

c) 380

3. Hallar el valor de la suma de coeficientes incrementado en "a" unidades. 2 3 9 y ; 4y ; 9y ; .... ay a) 350 d) 366

100

www.trilce.edu.pe

b) 360 e) 285

4. Hallar el coeficiente del siguiente monomio: (–1)1(–2) 2 (–3) 3 (+ 4) n x2 y2 2 2n + 2 a) 4 d) 12

b) 9 e) 81

c) 27

5. En un monomio el exponente de "x" excede en 3 al exponente de "y", y éste excede en 4 al exponente de "z" y éste excede en 5 al coeficiente cuyo valor es el menor entero positivo impar. Hallar la suma de exponentes de "x"; "y"; "z". a) 30 d) 29

b) 28 e) 27

c) 31

c) 362

Primer año de secundaria

13

3

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

defInIcIones aLgebraIcas II

3

Lectura: Joseph LouIs Joseph Louis, conde de Lagrange. Este insigne matemático propugnó, en su Mécanique Analytique, los métodos abstractos que permiten un desarrollo algorítmico, es decir con símbolos matemáticos, sin ninguna representación concreta. Respecto de ello, dijo: "En mi obra no se hallarán figuras. Los métodos que en ella se exponen no exigen construcciones ni razonamientos geométricos mecánicos; solamente se requieren operaciones algebraicas sujetas a un proceso regular y uniforme".

FUENTE: "El mundo de la matemática" Editorial Clasa–Oceano. Edición 1985

En este capítulo aprenderemos

Colegios

14

TRILCE

.

Identificar términos algebraicos semejantes.

.

Reducir términos algebraicos semejantes.

.

Realizar adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas identificando términos algebraicos semejantes.

Central: 6198-100

101

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

Definiciones algebraicas II

Términos semejantes

Reducción de términos semejantes

Términos no semejantes

Adición de expresiones algebraicas

Sustracción de expresiones algebraicas

102

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

15

3

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. A partir del siguiente término algebraico: 3 4

T (x; y) = –8 x y

Indique lo siguiente: •

3. Efectúe las siguientes operaciones: •

(+14) + (–8) =

•

(–9)+(+3) =

Variables:

•

Parte literal:

•

Coeficiente:

4. Efectúe las siguientes operaciones: •

16 – 10 =

•

13 – 20 =

2. Efectúe las siguientes operaciones: • •

(+13) + (–12) = (–9)+(–4) =

5. Efectúe las siguientes operaciones: •

7 + 8 – 16 =

•

4 + 5 – 17 =

Aplica lo comprendido 1. Reducir:

4. Reducir: 2

2

2

–2x y + x y – 4xy + 5xy

4x + 5x – 3x

2

5. Si los términos algebraicos:

2. Reducir:

m

T (x) = 4x ; S(x) = 5 x

4xy – 5xy

6

Son semejantes. Halle el valor de m. 3. Reducir: 2

2

–8x + 3x – x

Colegios

16

TRILCE

2

Central: 6198-100

103

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Reducir: – 2ab + ab – 3ab + 2 ab a) –ab d) –2ab

b) ab e) 3ab

9. Sean los términos semejantes: a–1 b A (x; y) = 3x y 4 5 B (x; y) = –7x y Hallar: a – b

c) 2ab

2. Reducir: 3 xy + 2 xy – (4 xy – 7 xy) a) 6xy d) 9xy

b) 7xy e) 10xy

a) –2 d) 1

c) 8xy

3. Reducir: 5mn – [ 3mn + (5mn – 13 mn)] a) 6mn d) 11mn

b) 8mn e) 12mn

c) 10mn

b) 2 e) 5 2

5. De: –4 xy , restar 4xy 2

3

2

b) –6xy 2 e) –12xy

c) –8xy

2

6. De: 14 mn restar –mn a) 13mn d) 16mn

b) 14mn e) 17mn

c) 15mn

B (x; y) = –xy + 3xy – 4xy

a) –4xy 3 d) –5xy

b) –6xy 3 e) 4xy

2

3

2

3

3

c) –6x y

2

2

3

3

b) 8x yz–2x y

c) 4x yz–6x y

d) 3x y–xy

2

3

2

3

2

e) 6x yz–7x y 2

2

2

2

15. Efectuar: 5a b – 2b – (7b – 4a b) 2

www.trilce.edu.pe

3

a) 3x y–8x yz

2

a) 9a b–9b 2 2 c) 4a b–3b 2 2 e) 7a b–2b

104

c) 5x–2y

E(x; y; z) = 5x yz – 8yx +x yz + 4yx –3x y

3

3

b) 5x–3y e) 5x+2y

14. Reducir la siguiente expresión:

Hallar: Q – P 3

2

b) 2x –2x+3 2 d) 2x –2x–2

a) x–2y d) 4x–y

c) –xy

8. Siendo: 3 3 3 P(x; y) = 5xy – 3xy – xy 3

12. Siendo: 2 P(x) = –x + 5x – 7 2 Q(x) = 3x – 7x + 5 Hallar: P(x) + Q(x)

13. Reducir la siguiente expresión: R (x; y) = 2x – 3y + x + 2y + 2x – y

Hallar: A – B

Q (x; y) = –xy – 4xy

b) –x–x +1 3 d) –x –x+2

2

A (x; y) = 5xy – 4xy – 2xy

b) 2xy e) 5xy

c) x+3

3

a) –x +x+2 3 c) –x –2 3 e) –x –x–2

a) 2x –2x+1 2 c) 2x –2x–3 2 e) 2x –2x+2

7. Siendo:

a) 3xy d) xy

b) x+1 e) x+2

11. Teniendo en cuenta que: 3 A (x) = –2x + 2x – 3 3 B (x) = –x + 2x – 1 Hallar: A(x) – B (x)

c) 3

2

a) –4xy 2 d) –10xy

c) 0

10. Sabiendo que: 2 T (x) = –x + 3x – 4 2 M(x) = –2x + x + 5 Hallar: T(x) + M(x) a) x d) x–1

4. Si: 6 T(x) = 3x es semejante con 2a–2 Q (x) = –8x Hallar: a a) 1 d) 4

b) –1 e) 2

2

2

b) 4a b–3b 2 2 d) 9a b+5b

Primer año de secundaria

17

3

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 1. Reducir: 2 2 2 10x + 5x – 8x

9. Sean los términos semejantes: n–2 m–3 y T (x; y) = 9 x 4 5 Q (x; y) = 13 x y Hallar: m – n

2. Reducir: 5 5 14 xy – 19 xy

10. Sabiendo que: 5 3 P(x) = –x + 8x – 9 3 5 Q(x) = –4x + x + 7 Hallar: P(x) + Q(x)

3. Reducir: 2 2 –4 ab + 2 a b – 5 ab – 3 a b

11. Teniendo en cuenta que: 2 A(m) = –4m + 5m – 11 2 B(m) = –m + 3m + 3 Hallar: A(m) – B(m)

4. Si los términos algebraicos: n

A(x) = –11x ∧ B(x) = 5x

30

Son semejantes. Halle el valor de n.

12. Reducir la siguiente expresión: R (x; y) = 4x – 5y + 2x + 3y + 3x – 2y

5. Reducir: 11 abc – (3 abc – 4 abc – 5 abc) 5

6. De –40 ab restar 30 ab

13. Reducir la siguiente expresión: 2 3 2 3 2 E(m;n;p)=5m np–9pn +4m np+4n p– 11m pn

5

14. Efectuar: 6 6 6 6 5 ab – 11ab – (3ab – 7 ab )

7. De 56 xyz restar –xyz

15. Si: 3 P(x) = 8x – 3x 3 Q (x) = –4x – 14x 5 3 R(x) = x + 2x Hallar: P(x) + Q(x) + R(x)

8. Siendo: A (a; b) = 11 ab – 8 ab – ab B (a; b) = –ab + 4 ab – 5ab Hallar: A – B

Tú puedes b

3

3

1. Si se cumple que: 5x + ax = 11 x , calcular el valor de: a + b a) 2 d) 3

b) 5 e) 4

2. Siendo: A=mx

c)

m+3 2m+n

∧ B=nx

y

7

5 5

y

a) 19 d) 4

3 8

b) 2 x y 4 3 d) 9 x y 9

9

9

9

se obtuvo 55x , indique n a) 76 d) 100 Colegios

18

TRILCE

b) 81 e) 196

2

c) 49

7

Hallar la suma de todos los valores adoptados por "a" y "b".

2n–1 3m+1

3. Al sumar los términos: x +2x +3x +.....+nx

7

4x + 12x = ab x

6

Términos semejantes. Dar su suma a) 4 x y 5 7 c) 5 x y 6 6 e) 7 x y

4. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales tales que:

9

b) 15 e) 62

c) 29

5. El largo de un rectángulo mide (3x+2y). Si su perímetro mide (10x + 6y). ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo? a) 2x+y

b) 7x+4y

d) 4x+2y

e) x+2y

c) 7 x + 4y 2

Central: 6198-100

105

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4

CAPÍTULO

4

teoría de exponentes I

Lectura: rené descartes El primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, 2

se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x , lo 2

escribía como 5 . En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual, 2

salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x lo ii

escribía como 5x . Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso; sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como 2

muchos hasta entonces, x como xx.

FUENTE: Link:www.epsilon.com

En este capítulo aprenderemos

106

www.trilce.edu.pe

.

Notación de una potencia, explicando los elementos operativos: base – exponente – potencia.

.

Definición de exponente cero y exponente unitario.

.

Operación de multiplicación y división de potencias de bases iguales.

.

Regla de signos de la potenciación.

Primer año de secundaria

19

4

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES I

Potenciación

Definiciones

Exponente Natural

Exponente Cero

•

Definición

•

Teorema

Teoremas

Exponente Unitario

Multiplicación de potencias de bases iguales

Colegios

20

TRILCE

División de potencias de bases iguales

Central: 6198-100

107

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Efectuar:

4. Efectúe las siguientes operaciones:

•

(–3)(–3) =

•

(–4)(–4)(–4) =

2. Reducir: •

x+x=

•

x+x+x=

•

x+x+x+x=

9 + 6 – 17 =

•

5 – 8 –20 =

•

–5–4–3=

5. Reducir: 8

8

8

x + 2x + x =

3. Reducir: 7

•

7

7

7

7

x +x +x +x +x =

4x

11

– 12x

11

=

Aplica lo comprendido 1. Efectuar:

4. Efectuar: 0

3

•

5

5

•

(–11)

•

–9

•

45

•

4 =

•

2 =

2. Reducir: •

x.x.x.x.x

=

•

m . m . m . m ..... m = 1 4444 2 4444 3

= 0

=

0

=

0

=

5. Efectuar:

50 veces

4

5

•

x .x

=

•

m21 m7

=

; m≠0

•

x3 . x8 x9

=

; x≠0

3. Calcular:

108

2

•

(–4) =

•

(–5) =

3

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

21

4

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Efectuar: 2 2 (–3) – (–2) a) 2 d) 5

9. Reducir: x.x.x+x.x.x+x.x.x b) 3 e) 6

c) 4

d) x

2. Efectuar: 3 2 (–5) + (–7) a) –74 d) –77

b) –75 e) –78

c) –76

3. Reducir: 12 10 40 x .x .x 61

62

a) x 64 d) x

b) x 66 e) x

4. Reducir: x 40 ; x ! 0 x50 4 a) x 10 d) x

–10

b) x 20 e) x

c) x

c) x

63

5

a) 7 d) 1

b) 0 e) –7

c) 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

7. Reducir: x6 ; x ! 0 x 4 . x5 –1 –2 b) x a) x –4 –5 d) x e) x

2

a) x 4 d) x

Colegios

22

TRILCE

4

e) x

c) 3

c) x

–3

2

c) x

3

8

c) 2x

9

a) x

8

b) 3x

d) x

6

e) x

8

15

11. Reducir: x5 + x5 + x5 ; x ! 0 x3 . x2 a) 1 b) 3 d) x e) 2

c) 4

12. Reducir: 2 5 3 4 x .y .x .y 6 9

b) x y

7 9

5 9

e) xy

9 5

c) x y

6

13. Efectuar: 6 3 (–2) – (–4) b) 32 e) 512

c) 128

14. Reducir: 40 51 21 20 (–x) . x . (–x) . (–x) a) –x

48

b) –x

10

d) –x

132

e) –x

37

15. Reducir:

2

c) –x

144

0

x9 . x − 3 . x5 ; x ! 0 x− 4

0

b) x 5 e) x

3

10. Reducir: x5 + x6 ; x ! 0 x− 3 x− 2

a) 64 d) 1024

6. Efectuar: 0 0 4x + (4x) ; x ! 0

x5 . x − 2 . x3

b) 2x

d) x y

0

8. Reducir:

3

a) x y

5. Reducir: 7(− 3)

a) 3x

c) x

3

a) x

3

b) x

5

d) x

4

e) x

7

c) x

6

Central: 6198-100

109

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 2

4

9. Reducir: m . m . m . m + m . m . m . m

3

10. Reducir: x7 + x5 ; x ! 0 x− 3 x− 5

1. Efectuar: (–10) – (–3) 5

2. Efectuar: (–2) + (–3) 3. Reducir: x

13

.x

11

.x

31

8 8 8 11. Reducir: x +3x +5 x ; x .x

30

4. Reducir: x50 ; x ! 0 x

3

5. Reducir: 11(− 8)

6

4

x!0

7

12. Reducir: a . b . a . b . a

0

4

13. Efectuar: (–4) – (–2) 0

6

3

0

6. Efectuar: 9x + (17x) ; x ! 0 2 14. Reducir: (− x)3 x4

8 6 7. Reducir: x10 . x14 ; x ! 0 x .x

8. Reducir: x6 . x

− 32

.x

8

; x≠0

3

0

8 −2 3 15. Reducir: x . x − 3 . x ; x ! 0 x

0 43

Tú puedes 1. Reducir: 230 + 227 226 a) 16 d) 6

x

4. Si: x =3, halle el valor de: xx b) 18 e) 8

c) 4

256 veces

a) 5 d) 3

b) –7 e) 6

a) 9 d) 81 n

2. Resolver: 2 . 2 . 2 .... 2 = 16 + 16 + ... + 16 1 44 2 44 3 1 4444 2 444 43 (3x − 9) veces

x+1

b) 6 e) 24

c) 27

m

5. Si: 5 = 2 y 2 = 3; calcular:

c) 7

5n + 1 + 2m + 1 5n + 1 − 2m + 1 a) 7/3 d) 2

b) 6 e) 5

c) 4

3. Hallar el valor de "x" tal que: x–2 x+2 x–3 x+3 +2 +2 +2 = 198 2 a) 3 d) 6

110

www.trilce.edu.pe

b) 4 e) 7

c) 5

Primer año de secundaria

23

5

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

5

repaso I Lectura: Leyenda sobre eL aJedrez Existen diversas leyendas sobre el origen del ajedrez, la más difundida de ella es la siguiente: Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa: ¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"

FUENTE: red escolar.ilce.edu.mx

¿Por qué no alcanzaría el trigo?, la respuesta está en el exponente, pues al efectuar la operación, el número crece considerablemente, así tenemos que solo por el casillero 64 el número de granos que corresponde 64 es 2 cuyo resultado es: 9 223 372 036 854 780 000.

En este capítulo recordaremos

Colegios

24

TRILCE

.

La reducción de términos algebraicos semejantes, así como sus características.

.

Teorías de exponentes

.

Definiciones y teoremas que abarcan: exponente cero, unitario y multiplicación y división de potencias de bases iguales.

Central: 6198-100

111

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Efectúe las siguientes operaciones: •

4 – 15 =

•

–20 – 10 =

2. Efectúe las siguientes operaciones: •

–13 – 12 + 33 =

•

4 + 5 – 18 =

4. Reducir: 2

2

2

•

8a + 5a – 15a =

•

14xy – 19xy + 2xy =

5. Efectuar: 3

(–5) =

3. Efectúe las siguientes operaciones:

2

(–9) =

(–4)(3) + (–2)(–5) = (–8)(4) – (–3)(5) =

Aplica lo comprendido 1. Reducir:

8. Desarrollar

4 5

4 5

4 5

2. Reducir: 3

3

3

3

3. Si los términos algebraicos: n

T(x) = 40x ; S(x) = 2x

4. Reducir: 5 4

5 4

5 4

–9m n + 5m n – (2m n – m n ) 5. De: 8

8abc restar 10 abc 6. Restar: 3

–xy de 5xy

3

7. Reducir: x .x . x . x . x ..... x 1 4444 2 4444 3 150 veces

112

www.trilce.edu.pe

eliminando

los

4

•

(–x) =

•

(–x) =

5

9. Efectuar:

8

son semejantes. Halle "n"

5 4

potencias,

paréntesis:

–14x y + 9x y – 4x y

–3abc + abc – 4abc + 2abc

las

0

•

x =

; x!0

•

(–x) =

0

; x!0

•

–3x =

0

; x!0

•

x8 =

0

8

10. Efectuar: • • •

4

6

b .b .b

5

x16 + x8 x12 x 4

= =

; x≠0

m5 . m6 . m7 = m9

; m≠0

Primer año de secundaria

25

5

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 3

1. Reducir: 4mnp + 5mnp – (2mnp – 9mnp) a) 9mnp d) 3mnp

b) 8mnp e) 4mnp

10. Efectuar: (–4) – (–5)

c) 16mnp

2. Reducir: 4xw2 z − 63xw2 z + (8 xw2 z − 15 xw2 z@ 2

2

a) 9xw z 2 d) 7xw z

3. Si: T(x) = 8x Hallar: a

2

b) 11xw z 2 e) 8xw z

16

c) 9xw z

, es semejante con Q(x) = 11x

a) 1 d) 3

b) 2 e) 6

c) 4

4. Sabiendo que: 2 P(x) = –4x + 6x – 8 2 Q(x) = 11x – 13x + 9 Hallar: P(x) + Q(x) 2

a) 7x –11 2 c) 7x – x 2 e) 7x –7x+1

5

a) x 4 d) x

b) x 14 e) x

3

b) 2x 3 e) 5x

4

b) 2011 e) 2014 0

3

c) 2013

b) x 3 e) x

c) x

5

6

7

40

x!0 c) 3

4

2

16. Reducir: m . n . p . m . n . p

8

9 7

b) m n

9 8 14

9 8 13

c) m n p

d) m n p

9 8 15

e) m n p

17. Reducir: (–x) 3

2

4

b) 12x–12 e) 12x+12

c) x

; x≠0

14

a) mn p

b) –8x –2y +z 3 2 4 d) –x –y +z

b) 7x e) 9x

9

0

9 9 9 9 15. Reducir: x + x 5+ x 4+ x ; 2x .x a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

5

c) x

16 18 6 12. Reducir: x13 + x15 + x3 ; x ≠ 0 x x x

a) x 18 d) x

4

4

c) 6x

a) –x d) –x

50

160

c) 10x–3

.x

41

. (–x)

b) –x

123

e) –x 2

2

21

.x

13

240

c) –x

111

125

3

4 2 −5 18. Reducir: x . x − 6 . x ; x 2 3 a) x b) x 5 6 d) x e) x

x!0 c) x

4

11 6 19. Reducir: m− 2 + m− 7 ; m ! 0 m m 13

a) m

13

d) 2m

20. Hallar "x", si: 5

9. De: (8x – 11) restar: (–4x + 1)

TRILCE

; x≠0

7

6

8. Reducir: P(x; y) = 5x – {–2x– [x – 2y]} + 2y

26

–16

2 3 4 14. Reducir: x6 . x − 3 . x5

7. Si se cumple que: 7x + ax = 13 x Calcular el valor de: m + a − 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Colegios

6

.x

c) –38

7 11

m

a) x–12 d) 11x–1

12

a) 2010 d) 2012

b) –2x +x+1 5 2 d) –2x –x +8

a) –8x +2y –z 3 4 c) –8x +y+z 3 2 4 e) –8x –2y –2z

a) x d) 8x

.x

3

2

6. Si: 3 2 4 P(x; y; z) = 5x + 2y + z 2 3 4 Q(x; y; z) = 8y – 9x + z 3 2 4 R(x; y; z) = –4x – 12y – 4z Hallar: P(x; y; z) + Q(x; y; z) + R(x; y; z) 2

13

a) 3x 3 d) 4x

b) 7x –6x+1 2 d) 7x +x+1

a) –2x +3 5 c) –2x –12x+4 3 2 e) –8x –2x –2

11. Reducir: x

b) –37 e) –32

13. Reducir: 2012(− 2011)

5. Teniendo en cuenta que: 5 A(x) = –4x – 8x – 2 5 B(x) = –2x + 4x – 6 Hallar: A(x) – B(x)

3

2a–2

a) –40 d) –89

2

a) 1 d) 0

13

12

b) 4m

c) m

8

e) m x+3

+5

b) –2 e) 3

x+2

+5

x+1

x

+5 +1=157 c) –1

Central: 6198-100

113

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 3 2 4

3 2 4

3 2 4

1. Reducir: 5x y z +2x y z – 9x y z 5

5

11. Efectuar:

5

5

2. Reducir: 4am – [8am – (7am – 11am )] 4 b–2

3. Si: 9x y

; es semejante con: –13x

a–2

y

4. Si: 8 A(x) = –4x + 23 8 B(x) = –30 + 5x Hallar: A(x) + B(x)

6

8

9

x .x .x .x

•

m20 + m14 + m9 m13 m7 m2

a+b

Hallar:

5

•

;m≠0

=

12. Reducir:

7

5. De: 9mnp resta 15mnp

x 4 . x5 . x11 ; x ! 0 x13

7

6. Restar: –5xw de 200wx 2

2

7. De: (5xy + 4xz ) restar (2xz – 2xy) 8. Reducir: 4 a . a . a + 5 a . a . a – 2 a . a . a 9. Efectuar: • •

=

n

6

13. Si se cumple que: 11x + mx = 18 x

6

Calcular el valor de: 3 m + n − 5

8

(–m) = 7 (–3) =

14. Reducir:

10. Efectuar: 0

2

•

3 +2

•

(–4) + (–2)

=

0

•

–23 . x

•

711

4m5 + m5 + m5 + m5 ; m ! 0 14 m3 . m2

2

=

0

=

0

; x!0

15. Reducir: x.x.x + x.x.x + x.x.x + ... + x.x.x 1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 30 sumandos

=

Tú puedes 1. Dados:

10 veces

2

P = (C – 1) x + 3x + 3y 2 Q = 5x – 3 (x+y) Si: P – Q se reduce a 6 (x+y). hallar el valor de C. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

2

c) 4

3

4. Si: a = 3 2

2. De a sustraer la suma de 3ab–6 y 3a –8ab+5 2

a) –a + 5 ab – 2 2

b) –3 a + 5 ab – 1 2

c) 3 a – 5 ab + 1 2

d) –3 a + 5 ab + 1 2

e) –2 a + 5 ab + 1

Hallar: a a) 1 d) 27

www.trilce.edu.pe

3a3

b) 3 e) 81

c) 9

5. Simplificar: 2n + 4 − 2 . 2n + 2 ; n ! N 2 . 2n + 3 a) 1/4 d) 1/3

114

7 veces

6 44 7 44 8 6 4 4 4 7 4 4 4 8 15 . 15 . 15 .... 15 3. Reducir: 5 . 5 ....... 5 . 15 5 . 38 a) 25/6 b) 25/3 c) 25/2 d) 15/2 e) 7/3

b) 1/2 e) 4

c) 2

Primer año de secundaria

27

6

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

teoría de exponentes II Lectura: eL áLgebra en La astronomía

6

Para los científicos que se ocupan de estudiar fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes, como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y operar con números muy grandes con cierta facilidad. La distancia que nos separa de la nebulosa de Andrómeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a: 95000000000000000000 km 18

La cual se puede escribir también como 95 × 10 , pues hay 18 ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir 20 19 17 como 0,95 × 10 o 9,5 × 10 o 950 × 10 . Así como los científicos usan números gigantescos, también utilizan números muy pequeños, como el que representa la masa de un protón, una de las partículas del átomo: 0,00000000000000000000000165 gramos como las potencias con exponente negativo representan inversos de potencias positivas, es decir, por ejemplo: 5–20 = 120 5 20

y el inverso de 5 es un número muy pequeño, son las potencias con exponente negativo precisamente las que permiten expresar números como la masa de un protón de manera más breve: 1,65 × 10

–24

gramos

El exponente –24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito). FUENTE: www.rena.edu.ve

En este capítulo aprenderemos

Colegios

28

TRILCE

.

Definir la potencia de exponente entero negativo.

.

Multiplicar potencias con exponentes iguales.

.

Identificar y desarrollar potencias de potencias.

.

Aplicar indistintamente y en forma correcta las definiciones y propiedades vistas.

Central: 6198-100

115

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES II

Definiciones

Teoremas Multiplicación de potencias

División de potencias Potencia de potencia

Exponente negativo

Bases de exponentes iguales

Bases de exponentes iguales

Consecuencia

Además recuerda que

a −n `bj = ?

n

(–a) = ?

116

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

29

6

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Calcular:

4. Reducir:

•

3+5 = 7 7

•

11 − 5 = 3 3

•

(–5)

2

=

•

(–4)

3

=

•

–2

•

− 73

2. Reducir: 4

5

•

x .x =

•

m .m .m =

6

3

2

= 0

=

5. Efectuar:

2

3. Reducir: •

x11 = x4

; x≠0

•

m6 = m8

; m≠0

•

2+3 = 3 4

•

2 − 11 = 3 2

Aplica lo comprendido

1. Efectuar: –1

•

4

•

(–3)

•

5

–1

•

–2

3. Reducir: =

–1

= =

–1

=

•

9

–2

=

•

4

–3

=

•

(–5)

Colegios

30

TRILCE

36

4. Reducir: 155 − 35 55 5. Reducir:

2. Efectuar:

–2

25

(x ) . (x )

x

x

2 .3 –6

x

=

Central: 6198-100

117

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Efectuar: 1 −1 1 −1 84B + 88B a) 11 d) 16

9. Reducir: x8 . 3x8 . 3x8 .... 3x8 ;3 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E 20 veces

b) 13 e) 12

c) 15

4

a) 33/144 d) 19/144 3. Calcular: 5 −3 83B a) 7/125 d) 27/125

b) 11/144 e) 13/144

c) 7/144

b) 11/125 e) 13/125

c) 17/125

18 19

19 20

b) x y 17 29 e) x y

18 19

c) x y

5. Calcular: 5− 4

a) 2/5 d) 1/5

b) 5 e) 1

c) –1

6. Hallar el equivalente de: –3 ; xy ! 0 (xy) 3 3

a) x y

3 –3

d) x y

7. Reducir: 1810 − 1020 910 a) 1 d) 4 8. Reducir:

b)

1 x y 3

c)

1 x y

3 3

3 3

e) x /y

16 26 4 8 4(x ) + 5x . x – 6 . x 4 ; x ! 0 x 12 12 12 b) 3x c) 15x a) 2x 12 12 d) 6x e) 4x

118

www.trilce.edu.pe

c) 19/3

c) y

b) 4/9 e) 1/3

5

c) 5/4

13. Reducir: 2 − 3 + (− 3) − 2 − 1 + (2012) 0 9 a) 3/8 b) 9/8 d) 1/2 e) 3/7

c) 2/5

14. Reducir: 205 1024 # 125 a) 5 d) 625

c) 3

b) 11/3 e) 13/3

12. Calcular: −1 −2 −1 R = ; 8 25 B + 8 5 B E 11 3

15. Reducir: b) 2 e) 5

7

c) x

11. Reducir: (x2 y5) 4 (x3 y2) 3 ; xy ≠ 0 x17 (y 4) 5 3 4 b) y a) y 6 7 d) y e) y

a) 3/5 d) 2/7

0

5

b) x 12 e) x

10. Calcular: –1 –2 –1 (4 – 4 ) a) 17/3 d) 16/3

4. Reducir: 2 52 3 25 (x y ) . (x y ) a) x y 17 20 d) x y

10 veces

a) x 10 d) x

2. Calcular: –2 –2 3 –4

; x≠0

x15 . 9x15 . 9x15 ... 9x15E ;9 144444 4244444 43

=

b) 25 e) 3125 −1

m− 1 + n− 1 G m− 1 − n− 1

a)

n−m m+n

d) m + n n–m

c) 125

; m≠n≠0 b) m n

c)

m+1 m−n

e) m + n n

Primer año de secundaria

31

6

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa −1 −1 1. Efectuar: ` 1 j + ` 1 j 3 8

2. Calcular: 2

–2

–5

x5 . 2x5 . 2x5 .... 2x5 ;2 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E

9. Reducir:

8

20 veces 8 8

x . 4x . 4x ... 4x8E ; 144 4 4 44 2 4 4 4 44 3

–2

; x≠0

10 veces

10. Calcular: (5

–1

–2 –1

–5 )

−2 3. Calcular: 8 11B 5 4

52

(x2 y5) 4 (x3 y2) 4 11. Reducir: 4 13 2 10 ; xy ≠ 0 x . x . (y )

3 24

4. Reducir: (a . b ) (a b )

−1

0 5. Calcular: 4 − 5

−1 −2 12. Calcular: R = ;` 25 j + ` 5 j E 16 3

6. Hallar el equivalente de: (xy)

–4

; xy ! 0

5 7. Reducir: 185 − 240 6

37

8. Reducir: 5(x ) + 9x

–2 13. Reducir: ^2–3 + 8 + (–5h – 1 + (2013) 0 25

14. Reducir: 10

.x

11

31 + 8 x10 x

205 1000 # 128 −1

−1 −1 15. Reducir: = a − 1 + b − 1 G a −b

; a≠b≠0

Tú puedes

1. Simplificar: a) 9 d) 27

4. Calcular:

1 1 −3 1 1 − 8 9 B8 3 B − 8 B 8 B 1 8 B 9 3

3

b) 9 e) 1/9

c) 1/3

x 2x x 2. Efectuar: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j 3 4 27

a) 2/3 d) 9/4

b) 3/2 e) 4/9

3. Si se sabe que: x 2 = 5 .......... (1) y 3 = 7 .......... (2) xy Calcular: A = x6 y 7 .5 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 Colegios

32

TRILCE

53 + 52 + 5 + 1 5 + 5− 2 + 5− 1 + 1 −3

c) 1

a) 5 d) 625

b) 25 e) 3125

c) 125

5. Si: m m n 10 = x . y n

n

10 = x . y

m

Indicar el valor de: xy a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

c) 2

Central: 6198-100

119

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7

CAPÍTULO

7

teoría de exponentes III

Lectura: chrIstoph rudoLf La operación de radicación se expresa cuando usamos el símbolo . Este símbolo pudo ser una variante de la letra r, primera de la palabra en latín radix, que significa raíz. Fue introducida por Christoph Rudolf en 1525. El mismísimo Euler conjeturó en 1775 que se trataba de una forma estilizada de la letra r, inicial del término latino radix, "radical". Otra teoría, sin embargo, dice que el signo actual evolucionó a partir de un punto (signo que en ocasiones se utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción de la raíz cuadrada) al que posteriormente se le añadió un trazo oblicuo en la dirección del radicando. FUENTE: www.epsilom.com

En este capítulo aprenderemos

120

www.trilce.edu.pe

.

Notación y definición de la operación de radicación (Radical – radicando – índice)

.

Definición de las potencias de exponente fraccionario.

.

Operaciones con radicales, tales como la multiplicación, división, potenciación y radicación.

.

Identificar y desarrollar equivalentes de una raíz de raíz.

Primer año de secundaria

33

7

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES III

Definición

n

Exponente fraccionario

Recuerda

• • • •

a =b símbolo radical índice radicando o cantidad sub-radical raíz enésima de "a"

Se complementa con los

Teoremas

Multiplicación de reales

División de reales

Raíz de reales

Consecuencia y reglas prácticas

Colegios

34

TRILCE

Central: 6198-100

121

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Desarrollar las siguientes potencias: •

(–12)

2

•

(–10)

3

4. Desarrollar las siguientes potencias: •

–3

–1

=

•

–4

–2

=

2. Desarrollar las siguientes potencias: 5. Reducir las siguientes expresiones:

–1

•

4 =

•

(–3)

•

85B

–2

=

2 −3 =

4

4

4

•

E(x) = 5x – 8x + 5x

•

M (x; y) = 9xy + 5xy – 8xy + 4xy

•

I(x; y; z) = 11x yz + z – 20 x yz

3. Efectuar las siguientes operaciones: •

2 . 15 = 3

•

− 4 # 14 = 7

•

2 33 `– 11j # `– 5 j =

2

5

2

Aplica lo comprendido 1. Calcular: •

64

3. Efectuar: =

•

4

81

=

•

3

125

=

•

5

32

=

2. Calcular:

P = 144 − 8 . 3 − 8 + 4 81 4. Efectuar las siguientes potencias: •

161/2

=

•

^− 64h1/3

=

•

− 493/2

=

5. Efectuar:

•

3

− 64

=

•

7

−1

=

•

5

− 32

=

•

•

9

− 512

=

•

•

•

122

www.trilce.edu.pe

5

7 .5 6 .5 3

=

3

81 3

=

3 7

50 3

14

=

11

Primer año de secundaria

35

7

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más 1. Efectuar: 1/2

) . (− 8)

(81

9. Calcular: − 1/2 10 . 3 64 + 4 . 8 16 B 125 121

2/3

a) 33

b) 34

d) 37

e) 38

c) 36

a) 14 d) 18

2. Calcular: 1/2 (16 × 9) a) 10 d) 15

b) 12 e) 14

c) 13

a) 0,25 d) 0,5 11. Sea:

3 5

4 6

b) x y

8 9

6 7

c) x y

e) x y

4. Efectuar: 21 ^3 ab h . ^ ab h4 b) a b

10 10

e) a b

d) a b

7 7

9 9

c) a b

125

0

a) 2 d) 7

b) 3 e) 9

2

b) 6x

d) 5x

2

e) 11x

a) 20x

2

d) 23x

2

36x6 9x 2

a) x

2

d) 2x

Colegios

36

x 48 +

2

c) 9x

TRILCE

2

b) 3 x . 3 y

c) 3 x . 15 y

d) 3 x . 4 y

x5 . x7

a) x 5/12 d) x

2

14. Efectuar: x 3 ; 5 y

2

; x!0

b) 21x

2

e) 24x

2

a) c) 22x

2

x30 2

e) 7x

2

c) 5x

2

x y

11/12

b) x 17/12 e) x

c) x

17/12

y!0 3 b) 5 x y

e)

3 c) 15 x y

x y

x: x ; x > 0 x

b) 3 x

d) 6 x

e) 4 x

a)

b) 3x

3

d) 3 3 y 15. Efectuar: 3

5 3

x.5 y

a) 3 x . 5 y

6

8. Efectuar: 3 4

12. Efectuar:

1/12

a) 4x

625 x 4 −

c) 3

13. Efectuar:

x12 + 5 x10 + 9x 4

7. Reducir:

b) 2 e) 5

− 2 −1

e) 3 x . 7 y

c) 5

6. Si "x" es un número positivo, reducir: 6

c) 0,3

− 3 −1

3

11 11

5. Calcular: 3− 2

A = 64 − 4

a) 1 d) 4

8 8

a) a b

b) 0,15 ! e) 0, 5

B = 12527 Hallar: (B+3)(A)

10 6

d) x y

c) 20

10. Efectuar: 0,5 (0,25)

3. Reducir: 5 x20 . y30 a) x y

b) 19 e) 21

c) 5 x

Central: 6198-100

123

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa 1. Calcular:

6. Efectuar: (144

9

=

•

5

1024

=

•

3

343

=

•

7

167

=

•

5

− 32

=

•

7

−1

=

•

3

− 1000 =

) . (–27)

7. Calcular: (4 × 16 × 25)

−3 9. Calcular: 8 1 B 125

4. Efectuar las siguientes potencias: •

36

•

(–125)

•

–81

10. Reducir:

400 x8 −

81 x10 ; x ! 0 9x 2

11. Efectuar:

6 4

8 5

•

4

1/3

3/2

= =

13. Efectuar:

5

64 5 2

6

•

3 4

x80

12. Efectuar: 3 a 5 b

8 . 4 3 . 4 11

•

x96 +

=

5. Efectuar: •

1/2

− 20

3. Efectuar: U = 169 − 5 . 3 − 64 + 4 16

1/2

2/3

8. Reducir: 7 x28 . y 42 . z 49

2. Calcular: •

1/2

= 14. Efectuar: 3 x : z

=

12

=

13

=

21

x. x

15. Efectuar:

x.

3

x2 . 4 x3

Tú puedes 2 1. Reducir: ;

18

a) –1 d) –x

8

b) 1 2 e) x

4. Calcular el mayor valor de n, si:

4/3

8(x 4) 642B . x164 E

; x>0 c) x

n + 1/3 2. Efectuar: 3 − 1 . 3 3 − 1 . 3 ; n∈N,n≥2 1 . n 3n2 3 a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 3

3. Simplificar: a) 1 d) n 124

www.trilce.edu.pe

n nn

n nn nn + n n

n

b) 0 e) –n

.

n + nn

1n 8nB c) –1

(n n )

1 n n

1 + 1/4 1/10

1 + 1/2 1 + 1/3E B = ;;8621 + 1/1@

a) 3 4

b) 2

d) 3 20

e) 5 3 4

E

c) 3 16

5. Luego de reducir: 3 4

a

4 3

a3

3

a 4 a3

4

a 3 a2 a a2 Dar el exponente de "a". a) 13 72 15 d) 72

b) 13 71 e) 11 70

c)

11 73

Primer año de secundaria

37

8

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

teoría de exponentes IV

CAPÍTULO

8

Lectura: eL fILamento de una Lámpara y eL áLgebra Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia. Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, – el filamento de una lámpara, por ejemplo– y su temperatura, se opera con potencias aún mayores. Así, que si calentamos un cuerpo de 2000 a 4000 grados absolutos, por ejemplo, o sea si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de 12

dicho cuerpo aumentará en 2 , es decir, en más de 4000 veces. FUENTE: tomado del libro "Álgebra recreativa. Autor: Yakov Perelman Link: http://www.sectormatematica.cl//librosmat/Perelman%20-%20Algebra%20recreativa.pdf

En este capítulo aprenderemos

.

Colegios

38

TRILCE

Desarrollar ejercicios de Teoría de exponentes que involucren todo tipo de definición y propiedad estudiados en capítulos anteriores.

Central: 6198-100

125

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

8

TEORÍA DE EXPONENTES IV Presenta criterios complementarios

Descomposición

a− b

−c

a

n

n

nK

126

www.trilce.edu.pe

2x + 3 3 4x − 1

bn

(x . y )

x

descomposición en factores

n

xnK

xn

Primer año de secundaria

39

8

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Reducir:

4. Desarrollar:

2

2

•

x +x +x

•

8xy – 10 xy

2

=

•

5

–1

=

=

•

4

–2

=

5. Efectuar:

2. Reducir: •

4

4

x .x .x

4

x5 x3 3. Reducir: •

43

35

=

•

5

=

•

(x . y )

210 # 315 3

=

42

=

=

(a ) . (a )

Aplica lo comprendido 1. Calcular el valor de: M=2

–3

+4

–2

+8

4. Calcular el valor de: –1

E = 279

− 2 −1

2. Calcular el valor de: 5. Calcular el valor de:

25 # 52 # 92 32 # 42 # 152

−2

3. Indicar el exponente final de "x" luego de reducir: x8 . (x2) 3 ; x 4 . (x3) 2

R = 82B 5

−1 +8 2 B 25

x!0

Aprende más 3. Reducir: −1 −1 −1 ;8 2 B + 8 1 B E . ` 15 j 5 5 2

1. Simplificar: x+3 + 2x + 2 E= 2 x+1 2

a) 2 d) 4

b) 3 e) 7

c) 6

2. Al reducir la expresión: a x . 2a x , se obtiene: x

3/10

. Hallar el valor de "a".

a) 2 d) 10

Colegios

40

TRILCE

b) 3 e) 6

c) 5

a) 0 d) –1

b) 1 e) 2

c) 1/5

b) 36 e) 71

c) 60

4. Reducir: 4 4 . 66 125 a) 24 d) 48

Central: 6198-100

127

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. Simplificar:

11. Al simplificar 52 . 62 − 32 . 52 , se obtiene: 152 . 2 + 152

5

64x7 5 2x 2

a) x d) 3x

b) 4x e) 6x

a) 1 d) 6

c) 2x

a8 = an b4 Calcular el valor de "n".

8` b j B . a −2

a2 (aa − 8 .aa + 9) a 2a . a 2

a) a 4 d) a

b) a 8 e) a

c) a

3

a) 1 d) 4

x

7. Si: x =2. Calcular el valor de: –2x

+x

b) 3/4 e) 3/2

c) 1/2

b) 2 e) 5

c) 3

−2

2 −2

.85B E 3

# 10

b) 2/5 e) 11/5

a) 1 d) 4

c) 4/5

b) 2 e) 5

c) 3

15. Simplificar:

5x + 3x 5− x + 3− x

16 veces

x

b) 3 x e) 8

c) 15

x

10 veces 6 44 7 44 8 6 4 4 44 7 4 4 44 8 x . x . x .... x 4 x . 4 x .... 4 x 4 x . x ... x . ^3 x6 h 1 4 44 2 4 44 3 10 veces

10. Si el exponente final de "x" es 4 en la expresión: xn , calcular "n".

a) 4 d) 10

;8 4 B 3

2 # 3 4 # 36 M = 10 3 3 # (12 # 5) 2

9. Reducir:

x

c) 3

14. Reducir:

n+4 n+3 M = 2n 3 + 2n 2 2 + +2 +

a) 2 x d) 5

3

a) 1/5 d) 8/5

8. Calcular el valor de:

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

13. Al operar:

–x

a) 2 d) –1

x

c) 3

12. En la siguiente igualdad:

6. Reducir:

x

b) 2 e) 9

b) 6 e) 12

a) x 4 d) x

2

b) x 5 e) x

c) x

3

c) 8

Practica en casa x+3 + 5x + 2 1. Simplificar: E = 5 x+1 5 2

2. Si: x =4, donde x es un número natural. 8 –4 Calcular: x + x

x

4. Sabiendo que: 2 = 6. Calcular: 2

5. Reducir: 16 4 n

3. Calcular el valor de:

128

www.trilce.edu.pe

64

2

05 8 @7

x+1

− 8 − 1/3

3n

6. Si: x =5, reducir: x –100

7. Calcular el valor de "x", en:

3

4x = 2x . 3 2

Primer año de secundaria

41

8

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2x + 1 8. Calcular el valor de: 2 x 4

3 1/n 13. Efectuar: ^n b2n h^bnh . ^b − 1h donde: n ∈ N; n ≥ 2 y b ! 0

− 1/2 9. Calcular: 8 9 B + 3− 1 25

10. Si: A = 7 x . 7 x . 7 x .... 7 x , Hallar: 1 44444 2 44444 3

A

28 factores

5 10 5 15 11. Reducir: 8 a . 8 a a16 . a24

−2

12. Reducir: A = ;` 1 j 6

= 2 14. Efectuar: '8 4 2 B

2

1

2

2

G

2

2 3 xh ^x 15. Efectuar: x a .xa . xa .... a x a + a + a + .... + a 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3

− 2 1/2

+ ` 1j E 8

"a" sumandos

Tú puedes 1. Calcule el valor de "x" en la ecuación: 2x+1 x = 4 + 64 2 a) 1/2 d) 2

b) 1 e) 3

c) 3/2

2. Calcular el valor de:

n

n

a) 1001 d) 1004

2008

b) 1002 e) 1005

c) 1003

x1 = 4 x3 b) 8 e) 48

c) 72

3. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: xx + y = y3 ) x+y y = x6 . y3 a) 6 d) 11

n

5. Sea la siguiente sucesión:

2n # 6n + 3 3n + 1 # 4n a) 9 d) 16

n

4. Si: 4 + 4 + 4 + 4 = 2 Hallar "n".

b) 12 e) 4

c) 5

x2 =

4

x3 4 x3

x3 =

4

x3

4

x3 4 x3

h Calcular x10. a) c)

46−1 6 x 4 48−1 8 x 4 410−1 410

b)

47−1 7 x 4

d)

49−1 9 x 4

e) x

Colegios

42

TRILCE

Central: 6198-100

129

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

notacIón de poLInomIos Lectura: áLgebra sImbóLIca

9

9

Una de las causas por las que la Matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda la carencia de unos símbolos que ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más simple y que permitieran su lectura con mayor facilidad. Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se relataban con el lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer para describir un problema: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (–). ¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?

En este texto sólo son legibles las letras x e y, así como la fórmula 2 y=x

A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período 2 abreviado o sincopado) Así, por ejemplo, para expresar la ecuación: 3x – 5x + 6, Regiomontano (1464) escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO, mientras que Luca Pacioli (1494) escribía: 3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0 A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico bastante parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así: Stevin (1585): 32 . 51 + 6 = 0 Vieta (1591): 3Q – 5N + 6 ae 0 Descartes (1637): 3xx – 5x + 6 = 0 Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español. FUENTE: Link: sites.google.com/site/504expresionesalgebraicas/

En este capítulo aprenderemos

130

www.trilce.edu.pe

.

Definición de un polinomio.

.

Variables constantes.

.

Valor numérico.

.

Valor numérico utilizando notación de polinomios.

.

Término independiente P(0).

.

Suma de coeficientes P(1).

Primer año de secundaria

43

9

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Síntesis teórica

NOTACIÓN DE POLINOMIOS

Definición

• •

Variables Constantes o parámetros

Valor numérico

En un polinomio: P(x) Suma de coeficientes Término independiente

Colegios

44

TRILCE

Central: 6198-100

131

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Saberes previos 1. Indicar la relación de orden en: (>, <) según corresponda: • •

–5

M = (–4 + 3)(–2) + (+5)(–1)

–10

4. Efectuar:

8

4

3. Reducir:

N = (5 – 4)(6 – 6) + 7 (3 – 2) •

3

–3

5. Efectuar:

2. Efectuar:

2

•

(–2)(–4) + (–5)(–1) =

•

(–1) (3) + (2) (–1) =

4

2

2

P=4 –3 +2 –1

2

2

5

Aplica lo comprendido 1. Si: P(x+4) = x+5

4. Si: P( x + 3 ) = 2x – 1 2 2

Calcular: P(7)

Calcular: P(3)

2. Si: P(2x–3) = 3x – 2

5

6

5. Sea: P(x) = (x+3) + (x–4) – 3

Calcular: P(3)

6

Calcular la suma de coeficientes 3. Sean P(x) = 5x + 3 Calcular: P(–3) + P(–2) + 15

Aprende más 2

1. Sean: P(x; y) = 3x + 2y Calcular: E = P(2; 3) a) 14 d) 12

b) 10 e) 18

2. Si: P(x) = 2x – 1 Calcular: M = P (0) + P (8) P (4) a) 7 b) 2 d) 1 e) 3

132

www.trilce.edu.pe

c) 16

3. Calcular "P(5a)" Si: P(x) = − x +3a 5 a) a+4 b) a d) –5a e) –3a

c) 2a

4. Sabiendo que: P(x) = 3x+5a, toma el valor de 17 para x=4. Calcular "a" c) 5

a) 0 d) 2

b) 1 e) 3

c) 7

Primer año de secundaria

45

9

Capítulo

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. Si: P(x+3) =2x – 5 Calcular P(6). a) 8 d) –6

b) 4 e) 1

c) –3

a) 0 d) 3

2

6. Si: P(2x–3) = x + 1 Calcular: P(1) + P(5) a) 5 d) 30

b) 42 e) 22

b) 14 e) 20

c) 16

c) 18

8. Sabiendo que el polinomio: 2 P(x) = (4x+3) (x–5)+9+a Presenta como suma de coeficientes –180. Calcular "a". a) 10 d) –9

b) 6 e) –6

c) 7

b) 44 e) 43

c) 81

2

10. Sea: P(x+3) = x – 3x + 6, presenta: P(7)=m+1 Calcular: P(m) a) 30 d) 20

b) 24 e) 16

c) 2

12. Si: P( 2 ; 2 ) = xy Calcular: P(5; 3) a) 36 d) 83

b) 49 e) 63

c) 36

c) 47 5

2

13. Sea el polinomio: P(x) = 2x + x – x + 3 + a Si P(1) = 14 + 2 P(0) Calcular: a+15 a) –15 d) 8

b) 0 e) –8

c) 15

14. Si: P( x − 3 ) = 5( x + 1 ) 2

Calcular: P(1) + 5

9. Hallar el término independiente de: 4 5 P(x) = (2x+3) (x+1) +6 a) 87 d) –42

b) 1 e) 4 x+1 y−1

7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 4 5 P(x) = (x+1) + (x–1) a) 16 d) 22

11. Sea: P(x–4) = ax + 30 4 Donde: P(–9)=5. Calcular "a".

a) 13 d) 16

3

b) 14 e) 18

c) 15

15. Sea el polinomio: 4 6 2 P(2x–1) = (3x+1) (5x–1) –1024 Calcular: P(1) a) 0 d) –1

b) 1024 e) 1

c) –1024

Practica en casa 1. Sea P(x; y) = 7x – 2y. Calcular P(1; 2) 2. Si: P(x) = 3x+2. Calcular M = P (1)P (0) 3. Calcular: P(2a). Si: P(x) = x + a 2 4. Si: P(x) = x+a. Calcular: P (2a) P (4a)

Colegios

46

TRILCE

5. Sabiendo que: P(x) = 3x+2a, toma el valor de 17 para x=5. Calcular "a". 6. Si: P(3x+2)=x+6, calcular: P(8) + P(0,5) 7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 10 6 P(x) = (2x–1) (x+1)

8. Hallar el término independiente de: 30 4 P(x) = (5x–1) (x+2) –10

Central: 6198-100

133

Álgebra

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

9. Si: P(x) = 3mx+9, hallar "m", si para x=3. P(x) vale 0 2

10. Sea: P(x+1) = x + 2x + 4, presenta: P(2) = m–2, calcular: "m+2" 11. Sea: P(x–2) = mx + 4 4 Donde: P(0) = 12 , calcular: m + 1 2 12. Si: P( x – 3 3

;

y+4 ) 4

13. Sea el polinomio: 4 3 5 P(x) = x – 3x + 2x + m Si: P(1) = 12. Calcular "m"

14. Si: P( 7x2− 3 ) = 7x Calcular: P(5)

2

15. Sea: P(x) = x – 3x + 1 Calcular: P(m–3) + P(m+3)

= x+y

Calcular: P(3; 1)

Tú puedes 1. Se sabe que el polinomio: 7 6 P(x) = (5x–4) + 2(3–4x) +2–n Tiene como suma de coeficientes a 2. Calcular "n". a) 1 d) 5

b) 4 e) 3

c) 2

2. ¿Para qué valor de "a" se cumple que: P(x) = ax+2, si se sabe que P(5) = a+10? a) 4 d) 5

b) 6 e) 1

c) 2

4. Calcular: E=P(3) + P(10), sabiendo que: P(x) = )2x − 3; si x > 5 x − 2 ; si x # 5 a) 18 d) 20

b) 19 e) 17

c) 16

5. Sea el polinomio: 2 3 4 5 P(x; y) = x + y + x + y Calcular: P (− 1; 0) + P (0; − 1) M= P (− 2; 2) a) –4 d) 1/5

b) 2/3 e) 0

c) –1/2

3. Sabiendo que: P(x; y) = P(2; 3) en P(x; y) = 2x + 3y – 1 P (x; y) Reducir: 4 a) 2 d) 5

134

www.trilce.edu.pe

b) 3 e) 6

c) 4

Primer año de secundaria

47

TEMARIO • Introductorio • Posiciones relativas entre rectas • Distancias entre puntos y rectas • Recordando lo aprendido • Longitud del segemento de la recta • Identificación de ángulos • Ángulos consecutivos • Plano cartesiano • Repaso bimestral

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Introducción

CAPÍTULO

1

En este capítulo aprenderemos: •

A relacionar los diferentes objetos que tienes a tu alrededor con elementos y figuras geométricas.

•

A representar a los elementos geométricos.

•

A diferenciar entre elementos y figuras geométricas.

http://www.worldisround.com

Saberes previos • Figuras planas

Central: 619-8100

CAPITULO

Según nuestra perspectiva podemos encontrar elementos y figuras geométricas en todas partes. En la imagen mostrada, señala elementos y figuras geométricas.

1

• Figuras espaciales

Unidad 137 I

5

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Recuerda que



1

Posiciones representativas de la recta Vertical: n

Horizontal:

Oblicua: L

a Recta horizontal a Recta oblicua L Recta vertical n





Elementos contenidos en otros elementos geométricos

L

.B

F

A.

R

Punto "F" contenido en la recta L

Puntos "A" y "B" contenidos en el plano R

Recta n contenida en el plano W

n W

10 x 5 50

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica la recta horizontal a y a los puntos "E" 5. Grafica a los puntos "M"; "N" y "T" contenidos en un plano P. y "F" contenidos en ella. 2. Grafica el punto "A" contenido en un plano H.

6. Graficar una recta L contenida en el plano R.

3. Grafica una recta horizontal m y una recta vertical n que contengan a un punto "D". 4. Grafica tres rectas cualesquiera que pasen por un punto "C".

138

Central: 619-8100

R

Unidad I

7

Introducción Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

7. Graficar a la recta m contenida en el plano E y 9. Graficar cuatro rectas cualesquiera que pasen por un punto "T". al punto "B" contenido en la recta m. 10. Graficar a los puntos "P"; "Q" y "R" contenidos en la recta L y a los puntos "A" y "B" exterior (no contenidos) a L . E





8. Graficar la recta o rectas que pueden pasar por dos puntos "A" y "B" a la vez.

L

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Marcar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en las siguientes proposiciones:

• • •

Por un punto pueden pasar infinitas rectas ..................................................................... ( Por dos puntos puede pasar solamente una recta a la vez .............................................. ( Toda recta tiene una longitud determinada .................................................................... (

) ) )

2. Relacionar correctamente: I

a

II

III

B

B Q A

Triángulo

C

IV

Recta

C

A

Cuadrilátero

D Plano

3. Completar las siguientes proposiciones, utilizando las palabras del recuadro.

• • •

La línea recta es ................................ en sentidos opuestos. En la cultura ................................ la Geometría se desarrolló como ciencia. El padre de la ................................ elemental es ................................

infinita - egipcia - ilimitada - griega Platón - Pitágoras - Euclides - Geometría - Matemática

Colegios

8

TRILCE

www.trilce.edu.pe 139

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Dar el nombre de las siguientes figuras geométricas espaciales

1

5. Dar el nombre de las siguientes figuras geométricas planas

Resolución de problemas 6. ¿Cuántos puntos están contenidos según el 11. ¿Cuántas rectas pasan por los puntos "A"; "B"; "C" y "D"? gráfico, en la recta L ?

A

M

E

L

C

B

7. ¿Cuántos puntos como máximo pueden estar contenidos en una recta?

A

D

8. ¿Qué forma tiene un ladrillo?

12. ¿Cuántas rectas pasan por los puntos "A", "C", "D", "Y" y "W"? 9. Graficar el plano R, la recta n y el punto "B". Si "B" y n pertenecen a "R", entonces ¿el punto A "B" pertenece a n ? 10. ¿Cuántas rectas pasan por los puntos "R"; "G" y "C"? G R

C

W Y

D

C

Aplicación cotidiana 13. ¿ Qué figuras geométricas espaciales forman el siguiente objeto? ................................ y ................................ Lápiz 14. ¿ Qué figuras geométricas espaciales forman el siguiente objeto? ................................ y ................................ Perno 140

Central: 619-8100

Unidad I

9

Introducción Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

15. ¿Qué figuras geométricas planas y cuántas forman el prisma mostrado? ................................ y ................................

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Graficar los puntos "A"; "B"; "C"; "D"; "E" y "F" no colineales (no pertenecen a una recta) y contar todas las rectas que pasen por dichos puntos. 2. ¿Qué figuras planas y cuántas forman la pirámide mostrada?

3. Graficar siete puntos no colineales y contar todas las rectas que pasen por dichos puntos. 4. Calcular la cantidad de rectas que pasen por ocho puntos no colineales contenidas en un plano. 5. Calcular la cantidad de rectas que pasen por nueve puntos no colineales contenidas en un plano. 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar un punto "E" y tres rectas que contengan 9. Graficar un plano Q y los puntos "A"; "D" y "F" contenidos en dicho plano. a dicho punto. 2. Graficar un punto "M" y cinco rectas que pasen 10. Graficar un plano T, luego la recta L y los por dicho punto. puntos "M" y "N" contenidos en dicho plano . 3. Graficar dos puntos "C" y "D" y la recta o las 11. Graficar el plano R y la recta m contenida rectas que pasen por dichos puntos a la vez. en ella, luego a los puntos "A" y "B" que pertenecen a m. 4. Graficar la recta a horizontal y los puntos "A"; "B" y "C" contenidos en ella. 12. ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos no colineales? (Graficar) 5. Graficar la recta c horizontal y los puntos "M"; "N" y "K" exterior a ella . 13. ¿Cuántas rectas pasan por cuatro puntos no colineales? (Graficar) 6. Graficar la recta vertical m y los puntos "D"; "E" y "F" contenidos en ella. 14. ¿Cuántas rectas pasan por cinco puntos no colineales? (Graficar). 7. Graficar la recta n y los puntos "A" y "B" exterior a ella. 15. Graficar una recta vertical a y a los puntos "M"; "N" y "P" contenidos en a . 8. Graficar un plano R y una recta a contenida en él. Colegios

10

TRILCE

www.trilce.edu.pe 141

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Posiciones relativas entre CAPÍTULO rectas En este capítulo aprenderemos:

2

•

A reconocer las posiciones entre dos o más rectas en el plano.

•

A usar las escuadras para trazar rectas paralelas.

•

A identificar el número mínimo y máximo de puntos de corte entre rectas en el



plano.

CAPITULO

Las escuadras

1

Te has preguntado: ¿por qué hay dos tipos de escuadras? ¿Tienen la forma de cualquier triángulo? ¿Por qué tienen la forma de esos triángulos en particular? Las figuras geométricas más usadas en la construcción y elaboración de viviendas, herramientas, etc; en la antigüedad fueron el cuadrado y el triángulo equilátero (lados iguales).

Que al ser divididos en la mitad, se obtienen la forma de los triángulos usados en las escuadras.

142

Central: 619-8100

11

Posiciones relativas entre rectas Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Ten en cuenta



•

Máximo número de puntos de corte entre rectas paralelas y secantes. Entre 2 paralelas y 1 secante

2 puntos de corte

Entre 3 paralelas y 2 secantes

7 puntos de corte

Entre 2 paralelas y 2 secantes

5 puntos de corte

Entre 2 paralelas y 3 secantes

9 puntos de corte

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar dos rectas paralelas y verticales. 2. Graficar dos rectas paralelas y horizontales.

6. Graficar cinco rectas paralelas oblicuas y una recta secante a las anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay?

3. Graficar dos rectas secantes: una horizontal y la 7. Graficar cuatro rectas paralelas y verticales otra vertical. y además una recta secante a las anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay? 4. Graficar tres rectas paralelas y una recta secante a las rectas anteriores. ¿Cuántos puntos de corte 8. Graficar cuatro rectas secantes, obteniendo el menor número de puntos de corte. hay? 5. Graficar tres rectas concurrentes y una recta 9. Graficar cuatro rectas secantes, obteniendo el secante a las rectas anteriores. ¿Cuántos puntos mayor número de puntos de corte. de corte hay? 10. Graficar las rectas a ; b ; c y d , tal que: a // b y c // d . Calcular cuántos puntos de corte hay al intersectarse.

Colegios

14

TRILCE

www.trilce.edu.pe 143

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

2

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. En el gráfico, las rectas son: a) Paralelas b) Secantes c) Ninguna de las anteriores

2. 3.

Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •

Dos rectas paralelas tienen un punto en común ............................................................. ( Si dos rectas tienen un punto en común, entonces son secantes .................................... (

) )

Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: paralelas - triángulo - reglas - secantes escuadras - cuadrado - rectas - punto - obtienen



• •

Si dos ....................... que pertenecen a un plano no tienen un ....................... en común, entonces son ....................... . Las ....................... que se utilizan son dos, porque se ....................... de la mitad de un ....................... y un ....................... equilátero.

4. Relacionar correctamente las siguientes figuras y términos geométricos. II

III

I

Rectas secantes

Dos rectas paralelas y una secante

Rectas concurrentes

5. Grafica dos rectas paralelas y una secante (gráfico 1); luego dos rectas secantes y una tercera recta que sea paralela a una de ellas y secante a la otra recta (gráfico 2) Gráfico 1

144

Gráfico 2





De los gráficos 1 y 2, indicar si es verdadero (V) o falso (F):



• •

¿El gráfico 1 es igual al gráfico 2? .................................................................................. ( ¿El número de puntos de corte en ambos es el mismo? .................................................. (

Central: 619-8100

) )

Unidad I

15

Posiciones relativas entre rectas Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Resolución de problemas 6. Calcular el máximo número de puntos de corte 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes. entre dos rectas paralelas y dos rectas secantes. 7. Calcular el máximo número de puntos de corte 11. Calcular el máximo número de puntos de entre cuatro rectas secantes. corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes. 8. Calcular el mínimo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas 9. Calcular el mínimo número de puntos de corte secantes. entre dos rectas paralelas y dos rectas secantes. Aplicación cotidiana •

En un tablero de ajedrez, las líneas que forman los cuadrados están contenidas en rectas paralelas tal como se muestra en el gráfico:

Responder: 13. ¿Cuántas rectas paralelas verticales hay? 14. ¿Cuántas rectas paralelas horizontales hay? 15. Calcular el número total de puntos de corte.

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y tres rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y cuatro rectas secantes. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes. Colegios

16

TRILCE

www.trilce.edu.pe 145

1° Año de secundaria 18:10:45

Compendio de Ciencias - I BIM

2

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular el máximo número de puntos de corte 9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. (Graficar) entre cinco rectas paralelas y una recta secante. (Graficar) 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y tres rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte (Graficar) entre seis rectas paralelas y una recta secante. (Graficar)

11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas 3. Calcular el máximo número de puntos de corte secantes. (Graficar) entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. (Graficar) 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de (Graficar) corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes. (Graficar) 13. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas 5. Calcular el mínimo número de puntos de corte secantes. (Graficar) entre seis rectas secantes. (Graficar) 6. Calcular el número de puntos de corte entre cinco rectas concurrentes y una recta secante a las anteriores. (Graficar) 7. Calcular el número de puntos de corte entre seis rectas concurrentes y una recta secante a las rectas anteriores. (Graficar)

14. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas concurrentes y tres rectas paralelas. (Graficar) 15. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas concurrentes y cuatro rectas paralelas. (Graficar)

8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. (Graficar)

146

Central: 619-8100

Unidad I

17

3

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Distancias entre puntos y rectas

CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: •

A medir distancias entre puntos y rectas con el uso de una regla calibrada.

•

A representar gráficamente la distancia entre un punto y una recta exterior.

•

A usar las escuadras para trazar perpendiculares.

•

A usar el compás para encontrar distancias.

CAPITULO

Instrumentos de precisión ¿Qué es longitud?

Saberes previos

O

El ángulo recto mide ................

Colegios

18

TR ILCE

3

Dos rectas que forman 90º se llaman rectas ...............................

r

r: radio

Todos los puntos que pertenecen a una misma circunferencia tienen la misma distancia con respecto a un punto que se llama ............................... www.trilce.edu.pe 147

Distancias puntos y rectas 1° Añoentre de secundaria

Compendio de Ciencias 10 x - I BIM 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Mide la distancia entre los puntos "M" y 5. Grafica una circunferencia de centro "B" y de 3 cm "N". de radio. Luego ubica a los puntos "E" y "F" que pertenezcan a la circunferencia. También compara la distancia entre "B" y "E" con la M distancia entre "B" y "F". N 2. Mide la distancia entre el punto "A" y la recta 6. Graficar un punto "C" que diste 4 cm de una recta vertical m. "L". 7. Graficar dos rectas a y b paralelas y verticales que disten 6 cm.

A L



8. Graficar el punto "R" y la recta L1 horizontal que disten 3,5 cm



3. Calcular la distancia entre las rectas paralelas m 9. Graficar a las rectas L1 y L2 paralelas y y n . horizontales que disten 4,3 cm. m 10. Graficar la circunferencia de centro "A" de 2 cm de radio, luego marca los puntos de intersección n entre L y la circunferencia L 4. Grafica una circunferencia de centro "A" y de 2 cm de radio.

1 cm

A

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. 2.

Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •

Las distancias solamente se miden en centímetros ......................................................... ( La circunferencia es igual al círculo ............................................................................... (

) )

Completar correctamente los elementos de una circunferencia

r 0

3. Usando los términos geométricos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:

•

Todos los ....................... que pertenecen a una circunferencia tienen la misma ........................... con respecto a su centro.

Colegios

22

148

TRILCE

www.trilce.edu.pe

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM



•

Dos ....................... son perpendiculares si ....................... un ángulo de 90º (ángulo recto).

3

rectas - triángulos - puntos - distancia - forman - tienen - cuadrados 4. Completar el enunciado que corresponde al gráfico adjunto. A m

1,5 cm

a

1 cm n

El ......................... "A" ......................... de la recta a 1,5 cm.

Las ....................... paralelas y horizontales tienen una ........................... de 1 cm.

5. En el gráfico mostrado, "P" es el centro de la circunferencia de 2 cm de radio. Responde las siguientes preguntas: A

B

L

¿Cuánto mide la distancia de "P" a "A"? Rpta: .............................. ¿Cuánto mide la distancia de "P" a "B"? Rpta: ..............................

P

¿Cuánto mide la distancia de "P" a L ? Rpta: .............................. Resolución de problemas 6. Graficar el punto "C" que se encuentra a una 9. Ubicar a un punto "B" que diste de "A" 3 cm y distancia de 1,8 cm de la recta oblicua n . además pertenezca a la recta L . L

7. Ubicar el punto "P" que se encuentra a 2 cm de la recta a y a 3 cm de la recta b . A

b

2 cm

a

8. Ubicar al punto "P" que se encuentra a 1 cm de la recta m y a 2 cm de la recta n .

11. Graficar un punto "B" y las rectas L1; L2 y L3 que distan de "B" 1,2 cm; 1,8 cm y 2 cm respectivamente, tal que: L1 // L2 // L3.

m

n

Central: 619-8100

10. Graficar un punto "P" que diste 1,5 cm de la recta horizontal L , luego ubique a un punto "Q" en la recta L que diste 2,5 cm del punto "P".

12. Graficar un punto "A" y las rectas L1 y L2 que disten de "A" 2,6 cm y 3,2 cm respectivamente tal que: L1 // L2.

Unidad 149 I

23

Distancias puntos y rectas 1° Añoentre de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación cotidiana •

En el gráfico, se muestra un parque de forma circular, donde se encuentran cuatro amiguitos ubicados en los puntos "A", "B", "C" y "D". Si los amiguitos caminan a la misma velocidad para encontrarse en el centro del parque:

A

B

Responder: 13. ¿Los cuatro amiguitos llegan juntos? 14. ¿Qué amiguitos llegan primero? 15. ¿Qué amiguitos llegan al último?

C



D

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Ubicar al punto o los puntos que disten 1 cm de dos rectas perpendiculares. 2. Ubicar al punto o los puntos que disten 0,5 cm de la recta a y 1 cm de la recta b . b

a

3. Grafica una circunferencia de 4 cm de radio y a una recta que dista 3 cm del centro. ¿Cuántos puntos de intersección hay entre la recta y la circunferencia? 4. Graficar una circunferencia de 3 cm de radio y a las rectas L1 y L2 que distan 2 cm del centro, luego calcular la distancia entre las rectas paralelas L1 y L2. 5. Graficar una circunferencia de 5 cm de radio, a la recta L1 que dista 1cm del centro y a la recta L2 que dista 3 cm del centro. Calcular la menor y mayor distancia entre las rectas paralelas L1 y L2.

Colegios

24

150

TRILCE

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1° Año de secundaria

Compendio 18:10:45 de Ciencias - I BIM

soPractica cisáb soten peccasa noC

3

1. Trazar la distancia entre "P" y "Q"; "Q" y "R" y 8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a "P" y "R". Luego medirlos. la recta L . Dar las medidas. Q

B A

C

R

P

L

2. Trazar la distancia entre "A" y m, luego calcular 9. Graficar las distancias entre L1; L2; L3 y L4. esta medida. Luego medirlas. A L1

L2

L3

L4

m 3. Ubicar un punto "P" a una distancia de 2 cm de L L 10. Graficar las distancias de "P" a las rectas L1; L2 y L3 . L1

4. Ubicar los puntos "A" y "B" a una distancia de 3 cm de n . n

P

L2

L3

5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que disten 1,5 cm.

11. Trazar una circunferencia de 1,6 cm de radio. 12. Trazar una circunferencia de 1,8 cm de radio.

6. Ubicar los puntos "A" y "C" que pertenezcan a 13. Trazar una circunferencia de 1,2 cm de radio y L y disten 5 cm. luego una recta que dista 1 cm del centro. L

14. Trazar una circunferencia de 2 cm de radio y luego una recta que dista 1,3 cm del centro.

15. Trazar una circunferencia de 2,5 cm de radio y luego una recta que dista 2 cm del centro. 7. Graficar las distancias de "A" a las rectas a y b . Luego medirlas. a A b Central: 619-8100

Unidad 151 I

25

4

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

Recordando lo aprendido Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática

4

1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:

• • •

El padre de la Geometría elemental es Pitágoras ........................................................... ( Dos rectas contenidas en un plano pueden ser paralelas o secantes ............................... ( Los elementos geométricos son cuatro ........................................................................... (

) ) )

2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:

• • •

Por un ....................... pueden pasar ........................... rectas. Por dos puntos ....................... puede pasar una ...................... . Todo punto que ....................... a una circunferencia tiene la misma ....................... con respecto al centro. pertenece - recta - punto - distancia - infinitas - únicamente - plano - concurrentes - solo

3. Relacionar correctamente las siguientes figuras y términos geométricos.

A

Rectas perpendiculares

B Rectas concurrentes

C Rectas secantes A

D Circunferencia de centro "A"

Colegios

26

152

TR ILCE

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Geometría

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución de problemas 4. Calcular el máximo número de puntos de 9. ¿Cuántas rectas pasan por seis puntos no corte entre tres rectas, siendo una vertical, otra colineales? horizontal y la tercera oblicua. (Graficar) 10. Calcular el máximo número de puntos de corte 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. entre tres rectas concurrentes y cuatro rectas paralelas. 11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas 6. Trazar una recta paralela a m y a 1,6 cm de secantes. distancia. 12. Ubicar un solo punto en la recta L1 que diste m 2,8 cm de la recta L2. L1

7. Trazar una recta paralela a L y a 2,3 cm de distancia. L

8. Ubicar a los puntos de la recta a que disten 2,4 cm del punto "P".

L2

13. ¿Cuántas rectas pasan por ocho puntos no colineales?

P 1,8 cm

a

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar la recta "a" horizontal y una recta "b" 10. Graficar una recta vertical y los puntos "P"; "Q" y "R" respectivamente contenidos en ella, tal que perpendicular a ella. "P" y "Q" disten 5 cm y "Q" y "R" disten 6 cm. 2. Graficar la recta "m" vertical y una recta "n" 11. Graficar siete rectas concurrentes. perpendicular a ella. 3. Graficar ocho rectas paralelas y una recta 12. Graficar un punto "P" y una recta vertical "L" que disten 3 cm. secante a ellas. Contar los puntos de corte. 4. Graficar cinco rectas secantes que no sean 13. Graficar un punto "A" y una recta horizontal "a" que disten 4 cm. concurrentes y contar los puntos de corte. 5. Graficar cinco rectas concurrentes y una recta 14. Graficar siete rectas paralelas y dos rectas secantes. Contar los puntos de corte. secante a ellas. Contar los puntos de corte. 6. Graficar seis rectas paralelas y dos rectas 15. Graficar las distancias de "E" a las rectas "m" y "n", luego medirlas. secantes. Contar los puntos de corte. 7. Graficar una recta oblicua y dos puntos "A" y "B" contenidos en ella que disten 5,5 cm.

E m

n

8. Graficar el punto "P" y la recta "a" horizontal que disten 3,5 cm. 9. Graficar las rectas "m" y "n" oblicuas y paralelas que disten 4 cm. Central: 619-8100

Unidad I 153

27

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1

Longitud del segmento de recta En este capítulo aprenderemos: •

A representar y medir a los segmentos de recta.

•

A identificar a los puntos colineales.

•

A contar segmentos contenidos en una misma recta.

•

A ubicar al punto medio de un segmento con el uso del compás.

CAPÍTULO

5

¿Cuánto mide? ¿Cuáles son las longitudes de tu aula? ¿Cuáles son las dimensiones de un campo de fútbol? Estas preguntas son sencillas de responder y se les representan por segmentos de recta.

70 m 1,30 m 110 m

¿Estarán representados por segmentos de recta, las distancias entre departamentos, países de un mismo continente o de diferentes continentes?

Cuando las distancias son muy grandes no están representadas por segmentos de recta, sino por parte de una circunferencia (arcos de circunferencia).

154

29

1° Año de secundaria 10 x 5 50

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar una recta horizontal y a los segmentos 6. consecutivos PQ y QR contenidos en ella y que midan 3 y 7 cm respectivamente. 7. 2. Graficar a los segmentos consecutivos AB y BC no colineales que miden 4 y 9 cm respectivamente. 8. 3. Graficar un segmento MN que mide 8 cm y ubicar a su punto medio "E". 9.

Graficar al segmento de recta TI. Luego, ubicar a su punto medio "R", sabiendo que: mTI = 5,8 cm. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que mide 7 cm, haciendo uso del compás. Graficar a los puntos colineales "A"; "B"; "C" y "D". ¿Cuántos segmentos de recta se determinan? Graficar a los puntos "M"; "N"; "P"; "Q" y "R" contenidos en una recta. ¿Cuántos segmentos de recta se forman?

4. Graficar a los puntos colineales "A"; "B" y "C", tal que: mAB = 3 cm y mBC = 5 cm. Luego, ubicar el punto medio "M" de AC. 10. Graficar un segmento de recta AN cualquiera en posición vertical y ubicar a su punto medio, 5. Graficar al segmento EL que mide 4,6 cm. usando el compás. Luego, ubicar a su punto medio "M".

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • Los puntos colineales no pertenecen a una misma recta ................................................ ( • Un segmento de recta puede tener más de un punto medio .......................................... ( 2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:

• •

) )

La longitud de un ....................... de recta es igual a la distancia entre sus ....................... . El punto ....................... de un segmento de ....................... tiene igual distancia con ....................... a los extremos de dicho segmento. punto - plano - segmento - recta - extremos - vértices - medio - respecto

Colegios

32

TRILCE

www.trilce.edu.pe

155

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relacionar correctamente las siguientes figuras, de acuerdo al número de segmentos. B

A

cinco

tres

1

C

cuatro

4. Si el siguiente enunciado es falso, decir ¿porqué? y cómo sería lo correcto. "El punto medio de un segmento de recta es el único que tiene igual distancia de los extremos del segmento" Resolución de problemas 5. Ubicar el punto medio de un segmento 10. En una recta se ubican los puntos consecutivos horizontal que mide 3,1 cm. "M"; "N" y "P" tal que: MP = 9 cm y MN=5 cm. Ubicar el punto medio de NP y calcular: mNP. 6. Ubicar el punto medio de un segmento vertical que mide 2,9 cm. 11. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AB = 6 cm y BC = 4 cm. 7. Graficar a los segmentos consecutivos y Luego, ubicar a los puntos medios "M" de AB y colineales AB y BC que miden 2 y 3,3 cm. "N" de BC y además, calcular: mMN. Luego, ubicar al punto medio de AC. 12. En una recta se ubican los puntos consecutivos 8. Graficar a los segmentos consecutivos y "P"; "Q" y "R" tal que: PQ=5 cm y PR=9 cm. colineales PQ y QR que miden 3,5 y 4 cm. Luego, ubicar el punto medio "M" de QR y Luego, ubicar al punto medio de PR. además, calcular: mQM. 9. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AC = 7 cm y BC = 4 cm. Ubicar al punto medio de AB. Aplicación cotidiana •

Las dimensiones oficiales de un campo de fútbol, es decir, para partidos internacionales es de 100 a 110 metros de largo y de 65 a 75 metros de ancho. Se pide graficar el contorno de un campo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. (Considerar para graficar en el cuaderno a: 1 cm = 10 metros.).

http://www.colchonero.com

Luego:

156

Central: 619-8100

13. Ubicar a los puntos medios de los lados menores. 14. Ubicar a los puntos medios de los lados mayores. 15. Ubicar el centro del campo de fútbol.

Unidad II

33

Longitud del segmento de la- Irecta Compendio de Ciencias BIM

1° Año de secundaria

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar una recta oblicua "L" y los segmentos consecutivos AB y BC contenidos en L , de tal manera que: AB = 4 cm y BC = 5 cm, luego ubicar el punto medio de AB y BC usando el compás. Calcular la distancia entre dichos puntos medios. 2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC de tal manera que AC = 7 cm. Luego, ubicar con el uso del compás los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de MN. 3. Graficar los segmentos consecutivos AB; BC y CD de tal manera que: BC = 2 cm y AD = 10 cm. Luego, ubicar con el uso del compás, los puntos medios "R" y "S" de AB y CD respectivamente. Calcular la medida de RS. 4. Graficar los segmentos consecutivos PQ y QR de 3 y 4 cm. Luego, ubicar con el uso del compás, el punto medio de PR y calcular la distancia de dicho punto medio a "Q". 5. Graficar los segmentos consecutivos PQ; QR; RS y ST que midan 1; 2; 3 y 4 cm respectivamente. Haciendo uso del compás, ubicar el punto medio "M" de PT y calcular la distancia de "M" a "S".

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En la recta L , graficar el segmento AB de 5,5 cm de longitud. L

8. Graficar un segmento de 8,5 cm y ubicar su punto medio. 9. Graficar un segmento de 9 cm y ubicar su punto medio.

2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC 10. Graficar un segmento de 9,5 cm y ubicar su que están contenidos en L , de tal manera que: punto medio. AB= 3,5 cm y BC = 4,5 cm. L

11. En una recta se ubican los puntos consecutivos "E"; "F" y "N" tal que: EF= 1 cm y EN = 4 cm. Luego, ubicar el punto medio de FN

3. Graficar un segmento PQ de 6 cm de longitud y luego, ubicar su punto medio "M". 12. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "T" tal que: AB = 3 cm y AT = 5 cm. 4. En la recta L , graficar los segmentos AB; BC y Luego, ubicar el punto medio de BT. CD que midan 2; 3,5 y 2,5 cm respectivamente. L

13. Graficar a los segmentos AB y BC consecutivos pero no colineales que miden 6 y 5 cm respectivamente.

5. Graficar un segmento MA de 10 cm y ubicar su punto medio "P". 14. Graficar a los segmentos consecutivos y no colineales MN y NQ que miden 3,7 y 2,8 cm 6. Graficar un segmento AC de 6,5 cm y ubicar su respectivamente. Luego, ubicar el punto medio punto medio "M". de MN. 7. Graficar un segmento de 7,5 cm y ubicar su 15. Graficar a los segmentos consecutivos y colineales punto medio. "A"; "C" y "F" tal que: mAC = 5,2 cm y mCF=4,1 cm. Luego, ubicar el punto medio de AF. Colegios

34

TRILCE

www.trilce.edu.pe 157

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Identificación de ángulos

1

CAPÍTULO

En este capítulo aprenderemos: •

A diferenciar entre ángulo, medida del ángulo y región angular.

•

A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida.

•

A medir ángulos con el uso del transportador.

•

A relacionar ángulos formados por rectas secantes y paralelas.

Teodolito

CAPITULO

Para medir ángulos en construcciones de puentes y edificaciones se utiliza un instrumento llamado "teodolito".

6

Para medir ángulos de elevación se toma como referencia la línea horizontal.

Conceptos básicos Definición de ángulo Es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen y la medida del ángulo es la abertura entre los rayos. A O

aº B

158

Región interior del ángulo AOB

Elementos: Vértice: Lados: Medida:

O OA y O B mB AOB = aº mBO = aº m AÔB= mBÔA = aº

35

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM



•

Graficar un ángulo alterno interno al ángulo AOC Procedimiento: Se traza la paralela m a uno de los lados del ángulo AOC.

A

A

m

El ángulo OEF es el ángulo alterno interno al ángulo AOC.

C

Mídelos y comprueba que son de medidas iguales.

E

C F

O

O



2

•

Graficar un ángulo alterno externo al ángulo DOF Procedimiento: Se traza la paralela L a uno de los lados y que intersecta a la prolongación del otro lado.

F

F D

O

D O

El ángulo PMQ es el ángulo alterno externo al ángulo DOF.

L M

Q

Mídelos y comprueba que son de medidas iguales.

P

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos.

6. Graficar un ángulo correspondiente al ángulo mostrado.

2. Graficar un ángulo de 45º y clasificarlo. 3. Graficar un ángulo de 75º y clasificarlo.

7. Graficar un ángulo correspondiente al ángulo mostrado.

4. Graficar un ángulo de 90º y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 110º y clasificarlo.

Central: 619-8100

Unidad II 159

39

Identificación ángulos 1° Año de de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Graficar un ángulo alterno interno al ángulo 10. Graficar un ángulo alterno externo al ángulo mostrado mostrado.

9. Graficar un ángulo alterno interno al ángulo mostrado.

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 2.

• • •



• • •

Un ángulo que mide 180º se llama ángulo recto ........................................................... ( Un ángulo que mide 35º se llama ángulo obtuso .......................................................... ( Un ángulo que mide 75º se llama ángulo agudo ........................................................... (

) ) )

Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: Los ángulos ....................... por el vértice tienen ....................... medida. Al trazar dos ....................... secantes se ....................... cuatro ángulos. Dos ....................... en sentidos opuestos y con el mismo ....................... forman una recta. rayos - segmentos - opuestos - igual determinan - forman - rectas - vértice - origen

3. Si: m // n , los ángulos mostrados se llaman:

m

n

Colegios

40

160

TRILCE

a) Alternos internos b) Correspondientes c) Conjugados

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1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Si: a // b , los ángulos mostrados se llaman:

a) Alternos internos b) Correspondientes c) Conjugados

b

a

2

5. Si: L1 // L2, los ángulos mostrados se llaman: L1

a) Alternos internos b) Correspondientes c) Conjugados internos

L2

Resolución de problemas 6. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos.

11. Graficar un ángulo de 148º y clasificarlo. 12. Graficar un ángulo correspondiente al ángulo RMN mostrado. R

M

N

7. Graficar un ángulo de 85º y clasificarlo.

13. Graficar un ángulo alterno interno al ángulo AOB mostrado.

8. Graficar un ángulo de 64º y clasificarlo.

O

9. Graficar un ángulo de 135º y clasificarlo. 10. Graficar un ángulo de 72º y clasificarlo.

A

B

Aplicación cotidiana •

En un centro comercial se construyeron dos rampas de acceso para personas discapacitadas como se muestra en la figura. Si el ángulo que forman las rampas con el suelo mide 40º, graficar: 14. Un ángulo de igual medida que el de la rampa con el suelo y clasificarlo.

B

Suelo Central: 619-8100

Rampa

A

15. El ángulo que forma el recorrido de la persona del punto "A" hasta el punto "B" y clasificar dicho ángulo. Unidad II 161

41

Identificación ángulos 1° Año de de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un ángulo alterno externo al ángulo mostrado

2. Graficar un ángulo conjugado interno al ángulo mostrado.

3. Graficar un ángulo conjugado externo al ángulo mostrado.

4. En el gráfico: a // b . Si: mB EDF = 45º, ¿cuánto mide el ángulo MON? E D

a F b

O N M 5. En el gráfico: L1// L2. Si: mBAOB = 155º, calcular la mB PEF. A

P

B O

L1

E F

Colegios

42

162

TRILCE

L2

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1° Año de secundaria

18:10:45

2

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Graficar un ángulo de 60º y clasificarlo.

10. Graficar un ángulo de 35º y clasificarlo.

2. Graficar un ángulo de 130º y clasificarlo.

11. Graficar un ángulo de 30º y además a su ángulo opuesto por el vértice.

3. Graficar un ángulo de 72º y clasificarlo. 4. Graficar un ángulo de 135º y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 45º y clasificarlo. 6. Graficar un ángulo de 75º y clasificarlo. 7. Graficar un ángulo de 95º y clasificarlo. 8. Graficar un ángulo de 165º y clasificarlo. 9. Graficar un ángulo de 140º y clasificarlo.

Central: 619-8100

12. Graficar un ángulo de 100º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 13. Graficar un ángulo de 110º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 14. Graficar un ángulo de 115º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 15. Graficar un ángulo de 150º y además a su ángulo opuesto por el vértice.

Unidad II 163

43

3

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Ángulos consecutivos CAPÍTULO

7

En este capítulo aprenderemos: •

A reconocer los ángulos consecutivos.

•

A identificar la bisectriz de un ángulo.

•

A usar el compás para trazar la bisectriz de un ángulo.

¿Te gusta el fútbol?

•

¿Te gusta ser arquero o hacer un gol?

•

¿Qué posición debe ocupar el arquero y en qué dirección debe seguir para cubrir lo mejor posible su arco?

aº

aº

CAPITULO

•

Chicos, la bisectriz del ángulo formado por los extremos del arco y la posición de la pelota ya que de esa manera se cubre el mayor espacio que comprende el arco. "En el fútbol se usa también Geometría ya que es un deporte de ángulos y distancias"

Conceptos básicos Ángulos consecutivos Son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. B

A

C

Colegios

44

164

TR ILCE

AÔB y BÔC son dos ángulos consecutivos.

O www.trilce.edu.pe

Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, 7. Graficar un ángulo de 120º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con tal que: mBAOB = 40º y mBBOC = 70º. el transportador. 2. Graficar los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: mBPOQ = 50º y mBQOR = 100º. 8. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. 3. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOP, tal que: mBMON = 30º y mBNOP = 60º. 9. Graficar un ángulo agudo cualquiera y trazar su 4. Graficar los ángulos consecutivos AEB y BEC, bisectriz con el uso del compás. tal que: mBAEB = 110º y mBBEC = 70º. 10. Graficar un ángulo obtuso cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás. 5. Graficar los ángulos consecutivos APC y CPD, tal que: mBAPC = 80º y mBCPD = 100º. 6. Graficar un ángulo de 100º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador.

Colegios

46

TRILCE

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165

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 2.

• Solo dos ángulos pueden ser consecutivos .................................................................... ( • Los ángulos consecutivos no tienen el mismo vértice .................................................... ( Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:



• •

) )

La bisectriz ....................... a un ángulo en ....................... iguales. Dos ....................... son consecutivos si tienen el ....................... vértice y un .......................en común. ángulos - divide - forma - partes - mismo medidas - recta - lado - rayo

3. ¿Cuántos ángulos hay en el gráfico? B

A

C

O 4. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, entonces, ¿ON será bisectriz del ángulo COD? A recta

D N

O

M B

C

5. En el gráfico, trazar las bisectrices de los ángulos AOE y EOB. Luego, medir el ángulo formado por dichas bisectrices. E Recta A

O

B

Resolución de problemas 6. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, 8. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOR, tal que: mBAOB = 25º y mBBOC = 45º. tal que: mBMON = 84º y mBNOR=96º. ¿Cuánto mide el ángulo AOC y de qué tipo es? ¿Cuánto mide el ángulo MOR y de qué tipo es? 7. Graficar los ángulos consecutivos POQ y QOR, 9. Graficar un ángulo de 86º y trazar su bisectriz tal que: mBPOQ = 72º y mBQOR = 58º. con el uso del compás. Luego, comprobar con ¿Cuánto mide el ángulo POR y de qué tipo es? el transportador. 166

Central: 619-8100

Unidad II

47

Ángulos consecutivos Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

10. Graficar un ángulo de 172º y trazar su bisectriz 12. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, con el uso del compás. Luego, comprobar con tal que: mBAOB = 60º y mBBOC = 80º. el transportador. Luego, trazar la bisectriz del ángulo AOC con el uso del compás. 11. Graficar un ángulo de 116º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con 13. Graficar los ángulos consecutivos POQ y QOR, el transportador. tal que: mBPOQ=30º y mBQOR=70º. Luego trazar la bisectriz del ángulo POR con el uso del compás. Aplicación cotidiana •

Cuando un rayo de luz incide y se refleja sobre una superficie (espejo) "el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflejo"

Rayo de luz

Rayo reflejado

B de incidencia

B de reflejo Espejo

Teniendo en cuenta lo mencionado, graficar un rayo de luz con un ángulo de incidencia de 40º. Luego: 14. Medir el ángulo formado por los rayos de luz. 15. Trazar con el uso del compás, la bisectriz del ángulo formado por los rayos de luz.

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En el siguiente gráfico, ¿cuántos ángulos agudos hay?

50º 20º 10º 2. Graficar un ángulo de 170º y trazar su bisectriz con el uso del compás, luego traza las bisectrices de los ángulos parciales formados. 3. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: mBAOB=40º y mBBOC=70º. Haciendo uso del compás, trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC y calcular la medida del ángulo entre dichas bisectrices.

Colegios

48

TRILCE

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1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. En el gráfico, trazar la bisectriz de los ángulos AOB y BOC, haciendo uso del compás. ¿Cuánto medirá el ángulo formado por dichas bisectrices?

3

A B

O

C

5. Graficar los ángulos AOB y AOM, tal que: mBAOB = 140º y mBAOM = 30º. Haciendo uso del compás, trazar la bisectriz del ángulo MOB.

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Graficar un ángulo de 75º y clasificarlo. 2. Graficar un ángulo de 95º y clasificarlo. 3. Graficar un ángulo de 165º y clasificarlo. 4. Graficar un ángulo de 140º y clasificarlo.

10. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz usando el compás. 11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 50º y 70º respectivamente. 12. Graficar los ángulos consecutivos COD y DOE que miden 60º y 90º respectivamente.

5. Graficar un ángulo de 30º y clasificarlo.

13. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOP que miden 75º y 105º respectivamente. 6. Graficar un ángulo de 40º y trazar su bisectriz usando el compás. 14. Graficar los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD tal que: mBAOB=30º; mBBOC=40º y 7. Graficar un ángulo de 110º y trazar su bisectriz mBCOD=80º usando el compás. 8. Graficar un ángulo de 160º y trazar su bisectriz 15. Graficar los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD que miden 50º; 70º y 100º usando el compás. respectivamente. 9. Graficar un ángulo de 145º y trazar su bisectriz usando el compás.

168

Central: 619-8100

Unidad II

49

4

Compendio de Ciencias - I BIM

Plano cartesiano En este capítulo aprenderemos: •

A reconocer los componentes de un punto.

•

A ubicar los puntos en el plano cartesiano.

•

A identificar el cuadrante al que pertenece un punto.

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

8

¿Por qué se llama plano cartesiano?

René Descartes Filósofo y matemático francés (1596 - 1650) también conocido por su nombre latinizado Renato Cartesio. De ahí que lleva su nombre el plano de su creación. Es considerado también como el padre de la filosofía moderna.

Colegios

50

TR ILCE

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Plano 1°cartesiano Año de secundaria

Eje Y

Compendio de Ciencias - I BIM

5 4 3

•

B

De acuerdo al gráfico, completar: Punto

2 1

A

Eje X

C -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 E -3 D -4 -5 F

A B C D E F

Abscisa Ordenada Pertenece al 1

IC

0 – 4

Eje X

3

6

IVC

Luego, la representación de los puntos son: A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ), D ( ; ), E ( ; ), F ( ; ).

Ojo: El punto (0;0) es el origen de coordenadas. •

Sin necesidad de graficar, reconocer a que cuadrante pertenece cada punto.



P (–1; 3) pertenece al IIC







T (26;19) pertenece al ____



Q (-16; –1) pertenece al IIIC







U (–23; 17) pertenece al ____



R (4; –20) pertenece al IVC







V (13; –34) pertenece al ____



S (18; –2) pertenece al ____

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos •

Graficar un plano cartesiano y además lo pedido 6. Ubicar a los puntos: A(–4; 2) , B(3; –5) y C(8; –9). Luego unirlos. en cada ejercicio:

1. Ubicar el segmento EF, tal que: E(–1;3) y 7. Ubicar a los puntos P(–5;1) , Q(3;4) y R(0;0). Luego unirlos. F(2; –2) 2. Ubicar el segmento AB, tal que: A(2; –1) y 8. Ubicar a los puntos: E(1; 0) , F(–2; 5) y M(0; –3). Luego unirlos. B(–3;–2) 3. Ubicar el segmento CD, tal que: C(4; –3) y 9. Ubicar a los puntos: A(–7; 0) , L(0; –8) y E(6; 6). Luego unirlos. D(–5; 5) 4. Ubicar el segmento MQ, tal que: M(–8;6) y 10. Ubicar a los puntos: E(–2; 0) , L(3; 3) y Q(0;1) M(0; –3). Luego unirlos. 5. Ubicar el segmento RG, tal que: R(0;6) y G(–4;0).

Colegios

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170

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1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 2.

• El eje X horizontal del plano cartesiano se llama eje de ordenadas ................................ ( • Los ejes de coordenadas cartesianas son perpendiculares .............................................. ( Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:



• •

) )

En todo plano ...................... se determinan ..................... regiones que se llaman ...................... Si un ...................... en el plano cartesiano no pertenece a uno de los cuadrantes ......................., pertenece a uno de los ....................... cartesianos. tres - punto - rectas - cartesiano - ejes entonces - cuatro - paralelas - cuadrantes

3. Completar los términos geométricos, indicados en los recuadros respectivos. Y

2

A(4;2)

4

X

4. Indicar a que cuadrantes pertenecen cada uno de los puntos siguientes:

• • • •

(–9; 6) ............................................................................................................. ( (–11; –13) ....................................................................................................... ( (8; –5) ............................................................................................................. ( (15; –4) ........................................................................................................... (

) ) ) )

5. ¿A qué ejes pertenecen cada uno de los siguientes puntos?

• • • •

(0; –30) ............................................................................................................( (–25; 0) ............................................................................................................( (18; 0) ..............................................................................................................( (0; 36) ..............................................................................................................(

Central: 619-8100

) ) ) )

Unidad II 171

53

Plano 1°cartesiano Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Resolución de problemas 6. Ubicar a los puntos: A(6; 8), B(0; 7) y C(5; 2). 10. Ubicar a los puntos: A(11; –10), B(10; –2) y C(3; 0).Luego unirlos. Luego unirlos. 7. Ubicar a los puntos: D(–2; 7), E(–6; 5) y F(–3; 0). 11. Ubicar a los puntos: A(3; 4), B(0; 5) y C(–4; 6). Luego unirlos. Luego unirlos. 8. Ubicar a los puntos: M(–5; –2), N(–7; –10) y P(0; –9). Luego unirlos.

12. Ubicar a los puntos P(5;–2), Q(6;1) y R(–2;4). Luego unirlos.

9. Ubicar a los puntos: R(–9; –1), S(–3; –8) y T(– 2; –11). Luego unirlos. Aplicación cotidiana •

En el gráfico, se muestran las ubicaciones de tres alumnos: Ronaldo, Carlos y Anelita y además del colegio donde estudian. Si las líneas representan calles por donde se desplazan los chicos: Y 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Metros

Ronaldo

Carlos Anelita

X 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Metros

13. Señalar las coordenadas de los puntos de ubicación de cada alumno y del colegio. 14. Calculando el recorrido de cada alumno al colegio, señalar quien se encuentra más cerca y quien más lejos. 15. Si Ronaldo quiere buscar a Anelita, ¿cuánto debe caminar Ronaldo para llegar donde Anelita?

Colegios

54

172

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1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Ubicar los puntos: E(0; 7), D(–7; 0) y L(3; –4). Luego unirlos y trazar la bisectriz del ángulo de vértice "D" con el uso del compás. 2. Ubicar los puntos: A(–3; 1), B(2; 5) y C(4; –3). Luego unirlos y ubicar los puntos medios de AC y BC haciendo uso del compás. 3. Ubicar los puntos: M(–3;0), N(0;4) y C(24;0). Luego unirlos y calcular la medida del ángulo de vértice "N" del triángulo MNC. 4. Un alumno de un colegio está ubicado en las coordenadas (–1; 0), luego se traslada a las coordenadas (–1; 6), pero como es algo inquieto, se traslada a las coordenadas (4; 6) y luego a las coordenadas (4; 12), para luego quedarse allí. Calcular la distancia total recorrida por dicho alumno. (Se desplaza por las líneas de coordenadas) 5. Del problema anterior, si él desea llegar lo más pronto posible a la coordenada (4;12), ¿cuál será la distancia mínima que dicho alumno tendrá que recorrer?

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

Graficar un plano cartesiano para cada ejercicio y ubicar los puntos indicados, para luego unirlos.

1. A= (3; 3) y B= (5; 4).

9. T= (9; 3), R= (–7; 4) y I=(–1; 8).

2. C= (–3; 4) y D= (–5; 3).

10. A= (0; 7), L= (–6; 0) y E=(5; –8).

3. E= (–2; –4) y F= (–1; –8).

11. A= (5; 5) y B= (2; 4).

4. G= (2; –3) y H= (5;–1).

12. P= (–1; 5) y Q= (–4; 1).

5. I= (–4; 3) y J= (3; 5).

13. D= (–5; –1) y E= (–2; –6).

6. A= (1; 5), B= (–2; 4) y C=(–3; –4).

14. M= (1; –2) y N= (7; –5).

7. P= (–2; 5), Q= (–3; 5) y R=(4; 3).

15. C= (–1; 1) y F= (4; 2).

8. M= (6; –2), N= (–5; –4) y T=(–2; 6).

Central: 619-8100

Unidad II 173

55

5 CAPÍTULO

1° Año de secundaria

9

Compendio de Ciencias - I BIM

Repaso bimestral sociAprende sáb sotpemás... cnoC

Comunicación matemática

1.

Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • • • •

El segmento de recta está compuesto por dos puntos ..................................................... ( El ángulo que mide más de 90º y menos que 180º se llama obtuso ............................... ( Al trazar dos rectas secantes, se determinan dos pares de ángulos opuestos por el vértice................................................................................................... ( La menor distancia de un punto a una recta exterior es el segmento de recta perpendicular trazado del punto a la recta ..................................................................... (

) ) ) )

2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:

• •

El ....................... cartesiano está formado por dos rectas ....................... perpendiculares y al punto de ....................... se le conoce como ....................... de coordenadas. Al trazar dos rectas ......................... y una secante, se ....................... ocho ángulos los cuales se ...................... en pares, como ángulos ............................; alternos y conjugados. intersección - plano - correspondientes - numéricas origen - bisectriz - segmento - paralelas - relacionan - determinan

3. Completar los cuadros correctamente. A

O

//

M // B

Q

M

P

"O" es

"P" y "Q" son

OA y OB son

"M" es el

OM es una

PM y MQ son

Resolución de problemas 4. Calcular el máximo número de puntos de corte 6. En el plano cartesiano, ubicar a los puntos entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. A(–2; 3) y B(4; 5). Luego ubicar el punto medio del segmento de recta AB, con el uso del 5. Calcular el máximo número de puntos de corte compás. de tres rectas secantes. Luego medir los ángulos formados por las rectas en la región interior. 7. Ubicar a los puntos P(–5; 2) y Q(3; –3). Luego con el uso del compás, marcar el punto medio de PQ. Colegios

56

174

TR ILCE

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Geometría

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. En el plano cartesiano, ubicar a los puntos 10. Ubicar a los puntos A(–4; 5), B(5; 5) y C(5; –4). A(–4; 5), B(2; 2) y C(4; –6). Luego trazar el Luego medir los segmentos AB; BC y AC. segmento que representa la distancia del punto "A" a la recta que pasa por los puntos "B" y "C". 11. Trazar dos rectas que formen 60º y que se ¿Cuánto mide dicha distancia? corten en "A". Luego, ubicar a un punto "B" en una de las rectas y trazar la distancia de "B" a la 9. Ubicar a los puntos P(0;3), Q(–4;0) y R(5;1). otra recta. Luego trazar la bisectriz del ángulo PQR con el uso del compás. 12. Trazar dos rectas paralelas L1 y L2 que distan 4 cm. Luego ubicar un punto "A" en L1 y "B" en L2 , tal que: mAB = 6 cm. Aplicación cotidiana •

Waldy (W) es un habilidoso jugador de fútbol y goleador que en el encuentro final de un campeonato se enfrenta al equipo de su primo Ronaldo (R) que es un destacado arquero y hasta ese partido es el arquero menos batido del campeonato. Durante el encuentro "W" está en posesión del balón y a 30 m del extremo "A" del arco y a 50 m del otro extremo "B". El arco mide 10 m de largo (considerar: 1m = 1 cm) 13. Medir el ángulo AWB formado 14. Trazar la bisectriz del ángulo AWB. http://blogs.chron.com

15. Ronaldo (R) como buen arquero sale a evitar el gol de Waldy (W) que cuando patea; "R" se encuentra a 20 m de "W". Ubicar la posición de "R"

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC, de tal manera que: AC= 9 cm. Luego ubicar con el uso del compás los puntos medios "E" y "D" de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de ED. 2. Graficar un plano cartesiano y ubicar los puntos F(8; 2), D(–2; 5) y H(–4; –7). Luego unirlos y haciendo uso del compás, trazar las bisectrices de los ángulos de vértices "F"; "D" y "H". 3. En el gráfico, ¿cuántos ángulos agudos y rectos hay?

70º 20º 10º



4. En el triángulo mostrado, ubicar los puntos medios de PQ y QR haciendo uso del compás. Luego, por dichos puntos traza el segmento que los une. ¿Qué puedes observar con respecto a dicho segmento y PR? Q

P

Central: 619-8100

R Unidad II 175

57

Repaso bimestral 1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

5. En el triángulo mostrado, ubicar haciendo uso del compás, el punto medio "R" de AC. ¿Qué puedes observar entre AR; RC y BR? B

C

A



18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En un plano cartesiano, ubicar a los puntos 9. En el triángulo, trazar las bisectrices de los P=(5; 6) y Q=(–4; –5), luego trazar la recta que ángulos de vértices "A" y "C". contiene a dichos puntos. A 2. Graficar una recta y sobre ella marcar los puntos "A"; "B" y "C" tal que: AB=2 cm y BC=4 cm. 3. Graficar un segmento horizontal de 12 cm y ubicar a su punto medio con el uso del compás. 4. Graficar un ángulo de 105º y trazar su bisectriz con el uso del compás.

B

10. En el triángulo mostrado, ubicar los puntos medios de AB y AC, luego por dichos puntos trazar las rectas perpendiculares a AC y AB.

5. Graficar en un plano cartesiano, los puntos A=(4;0) y B=(–5;6). Luego ubicar el punto medio de AB con el uso del compás. 6. En el plano cartesiano, ubicar los puntos T=(4; 3) y R=(–6; –2). Luego ubicar el punto medio de TR con el uso del compás.

C

C

A

B

7. En el plano cartesiano, ubicar los puntos A=(0; 5), 11. Graficar los segmentos consecutivos AB; BC y CD que no estén contenidos en una recta, tal B=(–3; 2) y C=(4; –5), luego unir AB y BC para que: AB=2 cm; BC= 4 cm y CD= 5 cm. trazar la bisectriz del ángulo de vértice "B" con el uso del compás. 12. Graficar los puntos consecutivos "A"; "B"; "C" y "D" contenidos en una recta tal que: AB= 1 cm; 8. Graficar un plano cartesiano, ubicando a los BC= 3 cm y CD= 4 cm. puntos M=(7; 3), N=(–6; 2) y T=(0; –5), luego trazar la bisectriz del ángulo de vértice "M" y de 13. Graficar un ángulo de 115º y trazar su bisectriz lados MN y MT. con el uso del compás. 14. Graficar un ángulo de 75º y trazar su bisectriz con el uso del compás. 15. Graficar el segmento DE oblicuo de 6,5 cm y ubicar su punto medio, usando el compás.

Colegios

58

176

TRILCE

www.trilce.edu.pe

TEMARIO • Sistema de Medición Angular I • Sistema de Medición Angular II • Longitud de Arco • Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo I • Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo II • Razones Trigonométricas de Ángulos Notables I

Central: 619-8100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES I

1

Aprendizajes esperados • Reconocer un ángulo trigonométrico y sus características. • Reconocer el sistema sexagesimal. • Aplicar la regla de conversión en problemas diversos.

Estrategias motivadoras

Ángulo trigonométrico A través de la historia los avances que se producen en todos los campos de la ciencia son el producto de satisfacer las necesidades. La trigonometría no es ajena a este proceso y establece una definición clásica planteada en geometría “intersección de dos rayos con un vértice común”. Con el objetivo de introducir en nuestro campo de estudio a los ángulos mayores a una vuelta, así como tambén, luego de establecer alguna conversión ángulos en el plano generados en un sentido u otro (diferencias en el signo). Se tienen desniveles en el terreno, y con la ayuda de la topografía se encuentran ángulos que luego se consiguen, tenemos planos horizontales para la construcción civil. Asimismo, en lo que respecta a la recreación, se tiene deportes como el windsurfing en el que se hace uso del ángulo óptimo de estabilidad en la tabla para resistir no solo a las olas sino inclusive a la fuerza del viento que arrecia sobre la vela. Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo de salida para llegar al destino, los ingenieros hacen los cálculos necesarios patra encontrar el ángulo adecuado.

Los ángulos pueden ser medidos con una regla graduada llamada transportador.

179

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, en un mismo plano, que gira alrededor de un punto (vértice: O), desde una posición inicial ( final (OB).

) hasta una posición

a º b ' c '' = a º + b ' + c '' Por ejemplo: 5º30'37''=5º+30'+37''

B α O

A

2. ELEMENTOS DE UN ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO B

α O

A

1. Efectúe:

Además:

K= 50º6'+10º55' Resolución: Ordenando grado con grado y minuto con minuto se obtiene: K= 60º61' Pero: Luego sumando 60º+1' se obtiene: K= 61º1'

Luego:

Como numerador y denominador tienen la misma unidad, entonces se cancelan las unidades:

Rpta.: 61º1'

Rpta.: 33

2. Calcular:

Resolución: Se sabe que: 5º30' <> 5º+30'

M=

180

300 '+ 30 ' ⇒ 10 '

NO PUEDES CANCELAR ASÍ

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3.

Sabiendo que a+b+c= 63.

x º y ' z '' = 63º 64 ' 3 ''

Además xºy'z''= aºb'c''+bºc'a''+cºa'b''.

60 '+ 4 '

Calcule: x º y ' z '' = 64 º 4 ' 3 ''

H= z +1 x y

Resolución: Ordenando grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos:

Reemplazando en H: H=

x º y ' z '' = 63º 63 ' 63 ''

3 +1

64 4

H= 4 16 = 2

60 '+ 3 '

Luego:

Rpta.: 2

1. Convertir los siguientes ángulos a minutos sexagesimales:

5. Convertir 2º26' a minutos sexagesimales.

A) 5º = B) 12º = C) 10º =

Rpta.: 146'

Rpta.: 300', 720', 600' 2. Convertir los siguientes ángulos a segundos sexagesimales:

6. Efectúa A+B.

A= 35º16' B= 21º22'

A) 6º = B) 9º = C) 10º =

Rpta.: 56º38'

Rpta.: 21 600'', 32 400'', 36 000'' 3. Conver tir los minutos sexagesimales a grados sexagesimales: A) 600' = B) 480' = C) 1200' =

7. Efectúa M–N.

M= 48º27' N= 35º12' Rpta.: 13º15'

8. Efectua P+Q. Rpta.: 10º, 8º, 20º

4. Relaciona las columnas, con su equivalente correspondiente: I. 10 800'' II. 14 400'' III. 18 000''

P= 7º15'37'' Q= 9º29'18'' Rpta.: 16º44'55'' 9. Convertir 6'12'' a segundos sexagesimales.

a. 4º b. 5º c. 3º

Rpta.: Ic-IIa-IIb

Rpta.: 372''

10. Convertir 1º10'20'' a segundos sexagesimales. Rpta.: 4220''

181

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Efectuar M+N.

15. Si:

M= 20º38'



N= 12º45' Rpta.: 33º23'

xºy'z''= 3º 42' 48'' + 5º 29' 43'' Calcular:

Y=

z – y –1 x Rpta.: 1

12. Si a+b= 64.

Calcular L=aºb'+bºa'.

Rpta.: 61º3'

13. ¿Cuántos segundos hay en

16. Calcular:

A=

1º 2' 1º 3 ' 1º 4 ' + + 2' 3' 4' Rpta.: 68

= 2º4'5''? Rpta.: 7445''

14. Simplificar:

P=

2º 2' 2' Rpta.: 61

¿Sabías que este lunes es el día más deprimente para los europeos? ¿Cuál es la razón? Tan solo algunas razones es que las fiestas navideñas quedaron atrás, las deudas y el frío apenas empieza. Esa es la conclusión a la que han llegado los científicos británicos de la Universidad de Cardiff. Para llegar a esta conclusión han utilizado la ‘fórmula de la felicidad’ que ha realizado el psicólogo Cliff Arnall.

182

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Convertir los siguientes ángulos a minutos sexagesimales.

7. Simplificar:

S=

A) 8º = B) 6º =

5º5 ' 5'

A) 41 B) 62 C) 61 D) 5 E) 12

C) 15º = 2. Convertir los siguientes ángulos a segundos sexagesimales: A) 5º =

8. Si:

xºy'z''= 35º16'45'' + 12º55'19''

B) 12º =

Calcular:

C) 10º =

A= 3. Conver tir los minutos sexagesimales a grados sexagesimales:

x + y +4 z

A) 12 B) 16 C) 48 D) 24 E) 32

A) 180' = B) 7200' =

9. Calcular:

C) 1800' =

M= 4. Relaciona las columnas, con su equivalente

1º1' 1º5' 1º6' + + 1' 5' 6'

A) 45 B) 19 C) 93 D) 74 E) 85

correspondiente: I. 7º

a. 900'

II. 15º

b. 540'

III. 9º

c. 420'

A) Ia-IIb-IIIc

B) Ic-IIa-IIIb

C) Ib-IIc-IIIa

D) Ic-IIb-IIIa

E) Ia-IIc-IIIb

10. Cuántos segundos hay en:

= 3º8'2'' A) 11 312'' D) 11 282''

B) 10 282'' E) 11 272''

C) 11 280''

11. Calcular el número de minutos sexagesimales de un ángulo postivo, si se sabe que el producto de su número de grados y segundos sexagesimales es 32 400.

5. Convertir 3º18' a minutos sexagesimales. A) 148' B) 178' C) 198' D) 118'

A) 260' B) 210' C) 120' D) 150' E) 180'

E) 218' 12. Determinar:

6. Efectúa A+L.

A=

A= 35º29' L= 12º45' A) 57º74' B) 57º14' C) 57º12' D) 58º14'

x ' x '' 2 x ''

A) 61/2 B) 51/2 C) 41/2 D) 31/3 E) 15/2

E) 48º14'

183

1° Año de secundaria

•

Alumno(a) :

• Curso

Compendio de Ciencias - I BIM

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1. Convertir los siguientes ángulos a minutos sexagesimales:

A) 3º =



B) 20º = C) 13º =

7. Relaciona las columnas: I. 360' II. 480' III. 540'

2. Convertir 3º45' a minutos sexagesimales.

A) Ia-IIc-IIIb B) Ib-IIc-IIIa C) Ic-IIb-IIIa

A) 233' B) 115' C) 225'





D) 245'

E) 125'

D) Ia-IIb-IIIc

E) Ic-IIa-IIIb

8. Simplificar:

B=

3º 3 ' 3'

3. Efectúa S+A.





A) 37 B) 62 C) 45

S= 20º35' A= 35º20'

A) 56º54' B) 55º15' C) 55º54'

D) 55º55'

E) 56º54'

4. Efectúa P – Q.

P= 59º27'



Q= 32º15'

A) 32º12' B) 27º13' C) 27º12'

D) 28º12'

E) 26º12'



D) 21

E) 61

9. Cuántos segundos hay en: φ =3º4'5''

A) 11 105''

B) 11 145''



D) 11 245''

E) 11 340''

10. Si:



S=

Calcular K=aºb'+bºa'.

A) 70º10' B) 71º10' C) 72º10'

D) 73º10'

E) 70º15'

6. Convertir los siguientes ángulos a segundos sexagesimales:

A) 7º



B) 14º



C) 30º

C) 11 045''

aºb'c''= 32º45'23'' + 5º22'51''

Calcular: 5. Si a+b= 70.

184

a. 8º b. 9º c. 6º

a–c b

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5

E) 6

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES II

2

Aprendizajes esperados • Reconocer el sistema radial. • Aplicar conversiones de un sistema a otro.

Un viaje a través de la historia ¿Sabías que la historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia? Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica se desarrolló la trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7yº y yendo hasta 180º con incrementos de 7yº, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seño. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r= 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

ACTIVIDAD A lo largo de esta actividad vas a reconstruir, a través de una línea del tiempo, la historia de la trigonometría, relacionándola con los principales acontecimientos científicos. Para cumplir con este propósito deberás contestar las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál fue la importancia de los primeros descubrimientos de la trigonometría? 2. ¿Cuál fue la trascendencia de los descubrimientos de la trigonometría en el desarrollo del conocimiento científico? ¿En qué otras ciencias impactó? 3. ¿Cuáles fueron los personajes más representativos? 4. ¿Cómo influyeron los descubrimientos en la vida de la época?

185

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Calcule: 3.

π rad + 9º E= 5 π rad 12



y . ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

Resolución: Se pasa todo a un solo sistema: π 180º rad ⋅ = 36º 5 π rad

Resolución: Graficando, se nota que sólo debemos sumar los ángulos e igualar dicha suma a 180º. Pero primero convertiremos todo el sistema sexagesimal. B

π 180º rad ⋅ = 15º 12 π rad Reemplazando:

E=

En un triángulo, dos de sus ángulos miden

x

36º+ 9º 45º 45 = = = 3 15º 15 15 º Rpta.: 3

2. Calcule m/n si: π m + n = rad 2 • • m – n = 30º

A

A=

π 180º rad ⋅ = 90º 2 π rad

C=

π 180º rad ⋅ = 60º 3 π rad

Resolución:

π 180º rad ⋅ = 90º 2 π rad Convertimos: Ahora: m + n = 90º m n = 30º 2m = 120º ⇒ m = 60º y n = 30º

Nos piden:

π rad 3

C

⇒ 90º +60º =x =180º ⇒ x = 30º

m 60º ⇒ = 2 n 30º

Rpta.: 30º Rpta.: 2

186

π rad 2

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Convertir los siguientes ángulos a radianes:

7. Relacionar las columnas, buscando cantidades equivalentes.

A) 40º = B) 60º = C) 120º =

2π π 2π rad rad rad 9 3 Rpta.: , , 3

2. Convertir los siguientes ángulos a grados sexagesimales:

π rad A) 2 = B)

=

C)

=

I.



a. 18º

II.



b. 120º

III.



c. 20º

Rpta.: Ic-IIa-IIIb

Rpta.: 90º, 36º, 45º

8. Si

, calcular n. Rpta.: 11

3. Conver tir los minutos sexagesimales a grados sexagesimales:

A=

9. Calcular

π π rad + rad 6 3

en grados sexagesimales.

Rpta.: 90º 4. Simplificar la expresión:

5π rad 18

300º L= π rad 18

2φ

Rpta.: 20º

Rpta.: 30 5. Reducir la expresión.

E=

10. Calcular la expresión:

5π rad 6 Rpta.: 3

3π rad 180º A= 2 + π rad 9º 18 Rpta.: 48

6. Calcular

en radianes: 11. Calcular x en radianes. 75º

60º

α π rad Rpta.: 4

35º 45º

x

4π rad Rpta.: 9

187

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

12. Calcular x en:

Sugerencia: Convertir los ángulos a grados sexagesimales. 2π rad 5

Luego se cumple:

(10x+2)º

Rpta.: 7

I) AB III) A=2B IV) A2=B V) A=B2

13. Calcular:

S=

x+y 5 , si:

Rpta.: II, V

π π rad= (x –10)º ∧ rad= (2y –8)º 12 15

16. Calcular

en grados sexagesimales.

Rpta.: 7

14. Convertir 22,5º a radianes.

π rad Rpta.: 8

150º

π rad 4

5π rad 9

α

15. Comparación cuantitativa:

Columna A Calcular φ φ=

188

4π rad 5

Columna B Calcular α α=



π rad 15

Rpta.: 65º

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Convertir los siguientes ángulos a radianes:

6. Calcular x en grados sexagesimales.

A) 90º =

3π rad 4

B) 100º = C) 180º = 2. Convertir los siguientes ángulos a grados sexagesimales. = π rad B) 18 = 3π rad C) 5 =

x

π rad 10

A)

A) 117º B) 118º C) 116º D) 115º

E) 119º

7. Calcular x en: 3. Simplificar la expresión:

A=

400º π rad 9

5π rad 9

(4x+60)º

A) 18 B) 16 C) 20 D) 25

E) 15

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

4. Reducir la expresión:

8. Convertir 67,5º a radianes. 7π 5π 3π rad rad rad 18 4 A) 10 B) C)

7 π rad M= 18 7º A) 9 B) 7 C) 13 D) 15

E) 10

3π 4π rad rad 15 D) 8 E)

9. Comparación cuantitativa:

5. Calcular α en radianes.

Columna A Calcular β

100º

β= 50º

4π rad 9

α

π π π rad rad rad 5 9 A) 10 B) C) π π rad rad 6 12 D) E)



Columna B Calcular φ π φ= rad 36

Sugerencia: Convertir los ángulos a grados sexagesimales. Luego se cumple: I) AB IV) A=16B V) B=16A A) I-V D) I-II

B) III-I E) III-IV

C) II-III

189

1° Año de secundaria

10. Calcular

Compendio de Ciencias - I BIM

12. Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión

en radianes. φ

80º

aritmético de razón 12º. 140º

π rad 9



Calcular la medida del menor de dichos ángulos expresada en radianes. π π π rad rad rad 20 15 A) 25 B) C) 2π 4π rad rad 7 15 D) E)

4π 3π 3π rad rad rad 4 2 A) 5 B) C) 2π π rad rad 7 D) 3 E) π rad < > aº b ' c '' 11. Si 64

Calcular

A=

a +b c

3 9 10 5 10 A) B) C) 9 5 6 7 D) 3 E)

El francés Alexis Lemaire, de 27 años, volvió a derrotar a las calculadoras más avanzadas y quebró el martes en Londres su propio récord, al resolver la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos en sólo 70 segundos. En una prueba desarrollada en el Museo de Ciencias de Londres, el atleta matemático calculó la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos con sólo el poder de su cerebro en apenas 70,2 segundos, quebrando su récord anterior de 72,4 segundos.

190

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Alumno(a) :

• Curso

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1. Convertir los siguientes ángulos a radianes:

A) 20º =



B) 210º = C) 40º =

7. Calcular α en grados sexagesimales.

3π rad 10

α

2. Convertir los siguientes ángulos a grados sexagesimales:

A) 30º B) 50º C) 40º D) 36º E) 45º

π rad 20 A) = 2π rad B) 9 = 5π rad C) 18 =

8. Calcular x en: (6x+15)º

3π rad 4

3. Convertir a grados sexagesimales.

L=



π π rad – rad 5 9

A) 76º B) 36º C) 46º

D) 26º

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 9. Calcular φ en grados sexagesimales.

E) 16º

4. Simplifica la expresión:

E=

7π rad 6

50º

72º π rad 10

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. Reducir la expresión:

5 π rad M= 18 25º

π rad 3

A) 40º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º 10. Convertir x en grados sexagesimales.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2π rad=(6n+18)º 6. Si 5 Calcular n.

φ

4π rad 9 x

π rad 6

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 40º B) 70º C) 65º D) 50º E) 20º

191

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

APLICACIONES DE SISTEMAS ANGULARES

3

Aprendizajes esperados • Aplicar la regla de conversión de un sistema a otro en problemas diversos.

Nuestros antepasados llevaban miles de años utilizando las circunferencias. Uno de los primeros en estudiar la circunferencia fue el científico y matemático griego Arquímedes de Siracusa (287 - 212 a.n.e.), quien al interesarse por medir la longitud de la circunferencia, el borde del círculo, descubriendo así que la longitud de la circunferencia depende de su radio (distancia desde su centro a la circunferencia). Si alguna vez montaste una bicicleta con una rueda pinchada, sabrás lo incómodo que resulta, debido a que en lugar de desplazarte suavemente, lo harás dando botes. Esto obedece a que una rueda pinchada no forma una circunferencia perfecta, ya que se aplastará en el punto en que toca la superficie de la tierra. También podemos mencionar el uso de los engranajes (que tiene forma circunferencial) y podemos citar como ejemplo una forma primitiva de reloj mecánico diseñada por Galileo. Dicho reloj fue construido por su hijo en 1649. El movimiento del péndulo actuaba sobre un sistema de engranajes que hacían girar las manecilla.

192

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

SISTEMA RADIAL (R)

cuya

Unidad:

cuya

grado sexagesimal

Unidad: radián

donde

donde

m

m 1 vuelta = 360º

1 vuelta = 2π rad

S R = 180 π rad

mediante

Conversión entre sistemas con el método práctico

Factor de conversión

×

π rad 180º R

S ×

180º π rad

193

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM



CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Sabemos que: • En el sistema sexagesimal: m

Regla de conversión

1 vuelta = 360º

×

• En el sistema radial: m

π rad 180º

S

1 vuelta = 2π rad

R ×

180º π rad

De aquí se establece la siguiente relación:

S = R 180 π

• Para convertir de un sistema a otro aplicamos el método práctico.

2.

1. Calcular a en la igualdad:

Siendo 18º32'41''+21º14'22''+3º26'12''=aºb'c''. W= a – b c Calcular

π rad + (36a)º = 38º 9



Resolución: Ordenando grado con grado, minuto con minuto y segundo con segundo:

Resolución: Todo lo pasamos al sistema sexagesimal:

aº b ' c '' = 42º 72 ' 85 ''

π rad ⋅ 180º = 20º 9 π rad

60 '' + 25 ''

Reemplazando:

Para efectuar las operaciones es conveniente convertir todos los miembros a un mismo sistema.

aº b ' c '' = 42º 73 ' 25 ''

20º +(36a)º = 38º

60 '+ 13 '

⇒ (36a)º = 18 º



a = 18 36



a= 1 2

Rpta.: 1/2

aº b ' c '' = 43º 13 ' 25 ''

6 30 º 43º –13º W= = = 6 Luego: 25º 5 25 º 5 Rpta.: 6/5

194

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

 Del gráfico, calcular x, si OC es bisectriz. C

3.

Luego: (5x+8)º = (6x–9)º 5x+8 = 6x–9 17 = x

B

A (5 x+

8) º

+ (9

)º 6x

Rpta.: 17

O

Resolución: Colocando los ángulos en sentido antihorario; como  OC es bisectriz, entonces: C ojo B

A (5 x+

x– (6

8) º

º 9)

O



¿PORQUÉ NO HAY PREMIO NOBEL EN MATEMÁTICAS?

Se cuentan varias historias: La más conocida dice que la esposa de Nobel tenía amoríos con Mittag-Leffler un matemático de la época por lo que en venganza no incluyó dicha asignatura en los premios. Otra dice que se llevaba mal con Mittag-Leffler quien tendría posibilidades de ganar el premio. Parece que ninguna de ellas es cierta pues Nobel no era casado y apenas conocía a dicho personaje. Se cree que la verdadera razón es que Nobel consideraba las matemáticas poco útiles en la vida práctica.

195

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Calcular la expresión:

7. Indicar (V) o (F).

π rad +12º 10 A= 6º

A) B) Rpta.: 5

2. Calcular el resultado de:

C) D)



.....................................

( )

.....................................

( )

.....................................

( )

.....................................

( )

Rpta.: VFVV

π rad +18º 15 L= π rad 6

8. Calcular Rpta.: 1

en grados sexagesimales.

α

3. Calcular el valor de x que verifica la igualdad:

π rad 3

π rad 5

2π rad 40º + x º = 5

Rpta.: 84º Rpta.: 32

9. Calcular la expresión:

4. Calcular el valor de y que verifica la igualdad:

A=

7 π rad – yº = 5 π rad 18 18

Rpta.: 9 Rpta.: 20

5. Calcular

63º – π rad 10 π rad – 40º 4

10. Calcular

en grados sexagesimales. β

en grados sexagesimales. π rad 6

φ

Rpta.: 150º

π rad 9

Rpta.: 70º

11. Si:

7 π rad =(mnp)º 9

6. Si:

Calcular N= (m+p)n.

2π rad =(ab)º 5

Rpta.: 1 12. Si:

Calcular E= a + b

5 π rad =(ab)º 18 Rpta.: 3

Calcular M= (a+b)2. Rpta.: 25

196

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

13. Calcular

π rad 15. En un triángulo, dos de sus ángulos miden 3 y π rad 5 . ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

en grados sexagesimales.

θ

π rad 18

Rpta.: 84º

Rpta.: 80º 14. Calcular

16. Si:

72º = aπ rad b

en grados sexagesimales.

Calcular K= (a + b)

2

Rpta.: 49

π rad 5 φ

Rpta.: 54º

¿Sabías que los bebés que viven con mascotas desarrollan menos alergias? Un nuevo estudio sugiere que los niños que viven con perros y gatos son menos propensos a desarrollar alergias a dichos animales más adelante en la vida, pero sólo si el animal está bajo el mismo techo mientras el niño aún es un bebé. En comparación con los bebés que nacen en hogares libres de gatos, los que crecieron con éstos tenían aproximadamente la mitad de probabilidades de ser alérgicos a ellos en su adolescencia. Fortalece el sistema inmunológico La exposición a las mascotas en cualquier momento después del primer año de vida pareció no tener ningún efecto sobre el riesgo de alergia, sin embargo, eso indica que el tiempo puede ser esencial en lo que se refiere a la prevención de alergias. Pese a que no es posible saberlo con seguridad, los investigadores sospechan que la exposición temprana a alérgenos de mascotas y bacterias relacionadas con éstas fortalece el sistema inmunológico, acostumbra el cuerpo a los alérgenos y ayuda al niño a desarrollar una inmunidad natural.

197

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Indica (V) o (F).

1. Calcular la expresión:

A)



.....................................

( )

B)



.....................................

( )

C)

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

............................

D)

2. Calcular la expresión:



.....................................

( ) ( )

8. En un triángulo, dos de sus ángulos miden y

. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer

ángulo? A) 50 B) 15 C) 40 D) 30 E) 25

A) 9 B) 5 C) 7 D) 3 E) 2 3. Calcular x en la siguiente igualdad:

9. Si Calcular

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 18º B) 14º C) 12º D) 10º E) 15º 4. Calcular el valor de y que verifica la igualdad:

10. Si Calcular

.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 11. En un triángulo sus ángulos están en progresión aritmética de razon 20º. Calcular la diferencia del mayor y menor ángulo en radianes.

A) 30 B) 40 C) 10 D) 50 E) 60 5. Calcular

en grados sexagesimales.

A)

B) C)

D)

E)

12. Expresar

en radianes.



A) 30 B) 10 C) 20 D) 50 E) 40

6. Calcular

, si

.

A) 5 B) 7 C) 16 D) 8 E) 9

198

A)

B) C)

D)

E)

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

•

Alumno(a) :

• Curso

______________________________________________________________ :

____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________

1. Calcular la expresión: 6. Calcular

A) 23 B) 20 C) 50

D) 21

E) 19

; si:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4

E) 5

2. Calcular el valor de la expresión: 7. En un triángulo, dos de sus lados miden y respectivamente. Calcula la medida sexagesimal del tercer ángulo. A) 5 B) 6 C) 7

A) 120º B) 150º C) 190º





D) 8

E) 9

3. Calcular E=m n, si:



A) 9

B) 12



D) 16

E) 18

D) 100º

E) 140º

8. Si Calcular K= (b – a)2. C) 20

4. Calcular el valor de x que verifica la igualdad:

A) 16 B) 25 C) 36

D) 49

E) 69

9. Si . Calcular L= (m+n)p. A) 0 B) 1 C) 2



A) 211

B) 45



D) 37

E) 82

5. Calcular

C) 71



D) 3

10. Calcular

E) 4 en grado sexagesimales.

en grados sexagesimales.

A) 20º B) 30º C) 40º

A) 60º B) 10º C) 20º





D) 50º

E) 60º

D) 30º

E) 650º



199

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

TEOREMA DE PITÁGORAS

4 Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconocer las características del triángulo rectángulo. • Aplicar el teorema de Pitágoras para el cálculo de los lados del triángulo rectángulo.

Estrategias motivadoras PITÁGORAS Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las matemáticas y a la música. Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejo morir de hambre. Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas. A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el pons asinorum, el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

200

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Organizador visual Triángulo rectángulo es aquel triángulo que tiene un ángulo recto (90º).

Elementos

Teorema de Pitágoras

son

para

a y b: catetos c: hipotenusa

c

b

el cálculo de los valores numéricos de los catetos y/o la hipotenusa.

a (ángulo recto=90º)

y se define c2= a2+b2

además son c > a, b “La hipotenusa es mayor _________ catetos”.

I. Triángulo rectángulo Es aquel que tiene un ángulo recto (90º) y los lados que forman el triángulo rectángulo se les conoce como catetos e hipotenusa.



El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. c2= a2+b2

Observa la figura: Sea el ∆ABC (C=90º)

B b C

Elementos: c: hipotenusa a ycb: catetos Además: Vértices: A, B y C A y AC a Lados: AB, BC

La hipotenusa está opuesta al ángulo (90º). m

m

m m: hipotenusa

II. Teorema de Pitágoras

201

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Calcular M= 3ctgα .

θ 7

4

α

Calculamos x por el teorema de Pitágoras. x2 = 42 + 22 x2 = 16 + 4

3



2

Resolución: Tenemos:

x = 20 2

  Luego: csc 2= θ  20 = 20 = 5 y

7

 2 

4

2

2  = θ  4 = c tg 4   2

α 3

Reemplazando en M:

Calculemos x por el teorema de Pitágoras. 2

( 7 )=

2

x +

(

3

)

M= 5 – 4 = 1

2

Rpta.: 1

7 = x2+3 4 = x2 2=x

3= 3 3. Calcule W= M=secα 3 ⋅ ctgβ. β

1 2

2

3

Luego: ctg= α CA = CO

3 2

5 α

Reemplazando en M: M=

3 3⋅ 3 = 2 2

Rpta.: 3/2

Resolución: Se observa que hay 2 triángulos rectángulos uno respecto del ángulo α y el otro respecto del ángulo β.

2. Calcular A= csc 2θ – ctg 2θ .

A

β

B

1

4

202

D

2

θ

Resolución: Se tiene:

3

C

2 α

2

5

E



1. Hallamos un cateto del ABC. 52 = x2+32 25 = x2+9 16 = x2

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Escribe los elementos de cada (catetos e hipotenusa).

4. Calcular el valor de y.

r a

c

p

n

t

q b

y

12

m

a: ..................... b: ..................... c: ......................

n: ..................... m: ..................... p: ......................

q: ..................... r: ..................... t: ......................

Rpta.: hipotenusa (a, p, t), cateto (b, c, n, m, r, q)

5

Rpta.: 13

5. Calcular el valor de b3.

2. El teorema de Pitágoras en cada caso es: 2 z

y

x 5

y

Rpta.: 27 e

6. Calcular d.

d

f

2 3

d m 2

Rpta.: 4 k

n

7. Calcular m. Rpta.: z2= x2+y2, d2= f2+e2, k2= m2+n2 3 2

3. Calcular el valor de x. m

x

3

7

Rpta.: 5

4

Rpta.: 5

203

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Calcular n.

x

2 3

n

1 5

2

Rpta.: 2 7 9. Calcular c.

Rpta.:

6

14. Calcular m. 2c

17

2 3

1

10

1

m

Rpta.: 1

Rpta.: 7

10. Calcular x. 15. Calcular a+c.

17

15

c 8

6

7

x

Rpta.: 35

Rpta.: 8

16. Calcular el perímetro del rectángulo ABCD.

11. Calcular el valor de x.

B 5

A

Rpta.: 2 12. Calcular el valor de y. 3 3 2 5

y

Rpta.:

204

C 29

3

2x

13. Calcular el valor de x.

24

a

7

21

D

Rpta.: 82u

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Completa los recuadros, aplicando el teorema de Pitágoras.

b

4. Calcular el valor de n.

d

2

n

c

4 2

m

a

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5. Calcular el valor de y.

n 41

y

e 40 k

p

A) 7 B) 8 C) 9 D) 5 E) 6 6. Calcular el valor de a.

2. Calcular el valor de x.

9

y

6

x

8

12

A) 12 B) 18 C) 30 D) 15 E) 16

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Calcular el valor de n.

3. Calcular m.

7

m

3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) 5

26

4n

10

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

205

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Calcular el valor de y.

11. Del gráfico, calcula la siguiente expresión: A=

y

x 2 + 9y 2 4z2

2 3 2z

2 5

5 2 A) 3 5 2 D) 6

5 2 B) 4 5 2 E) 7

5 2 C) 5

13

3y

A) 1 D) 2

9. Calcular el valor de m.

B) 1/2 E) 3

m

10 a

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 10. Calcular el perímetro del rectángulo MNPQ. M

N 20

Q

A) 45 u D) 38 u

206

16

B) 72 u E) 56 u

C) 1/3

12. Calcular el valor de a.

53

2

x

A) 2 7

8

6

2 5 B) 3

C) 83 2

2 3 E) D) 4 3 7

P

C) 24 u

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso

: __________________________________________________ Aula : __________

Profesor : ____________________________________________________________________

1. Completa la tabla con los datos de los gráficos presentados. Elementos del

7 41

40

26

24

13

5

24

25

Medidas

x

12

9

A) 12 B) 8 D) 9 E) 14 4. Calcular el valor de n.

Cateto Cateto Hipontenusa

2. Completa los recuadros, aplicando el teorema de Pitágoras en cada caso.

z

C) 10

n

4

2 5

n

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 m

5. Calcular el valor de m. y 10

x

6

a 4m

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Calcular el valor de y.

n

4 2

d

2 7

c y

3. Calcular el valor de x. A) 1

B) 3 5

D) 2

E) 2

C) 2 2

207

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

7. Calcular el valor de x.

9. Del gráfico, calcular m.

10

x

34

3

1 m

2

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 8. Calcular el perímetro del rectángulo MNPQ. M 15

N 25

Q

A) 60 u D) 90 u

208

P

B) 70 u E) 100 u

C) 80 u

A) 8 B) 9 C) 7 D) 5 E) 6 10. Calcular el valor de x.

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I

5 Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Define las razones trigonométricas (sen, cos, tg). • Aplica las definiciones de las RT en la resolución de problemas diversos.

Estrategias motivadoras DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS En la figura siguiente se demuestra el teorema de Pitágoras. Aparecen en ella dos cuadrados iguales cuyo lado mide b+c. En ambos cuadrados hemos colocado, pero de manera diferente, cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa mide a y sus catetos, b y c. En el cuadrado de la izquierda, el hueco que queda después de haber colocado los cuatro triángulos es un cuadrado de lado a, la hipotenusa del triángulo. El área de ese cuadrado mide por tanto a2. En el cuadrado de la derecha, quedan dos huecos cuadrados de lados b y c. Sus áreas miden por tanto b2 y c2 respectivamente. Como los cuadrados originales son iguales, los huecos que quedan en ambos tiene la misma superficie. En el de la izquierda, a2, y en el de la derecha, b2+c2. Luego a2= b2+c2

b

a

c b

c

b b

c

c

c

209

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Organizador visual RAZONES TRIGONOMÉTRICAS se definen como el cociente entre los lados del triángulo rectángulo, con respecto a un ángulo agudo.

éstas son

s

eramo

consid

senα = CO H

Elementos donde

b CO

a: cateto adyacente (CA)

cosα = CA H

c

b: cateto opuesto (CO)

tgα = CO CA

α

CA a

c: hipotenusa (H)

I. Concepto La razón trigonométrica de un ángulo agudo se define como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, con respecto a un ángulo agudo.



Definiremos las siguientes razones trigonométricas: • Seno de α: senα =

cateto opuesto al � α hipotenusa

• Coseno de α: cosα = La razón trigonométrica es la comparación entre las longitudes de dos lados.



Además, para definir las razones trigonométricas debemos considerar los siguientes elementos:

cateto adyacente al � α hipotenusa

• Tangente de α: tgα =

cateto opuesto al � α cateto adyacente al � α

A b

c

CO CA

α

B a a: cateto adyacente al ángulo α (CA) b: cateto opuesto al ángulo α (CO) c: hipotenusa (H) II. Razones trigonométricas C

210

Para calcular el valor numérico de los lados del aplicamos el teorema de Pitágoras.

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Calcule sen2θ. x 3 4

α 7

θ 1





Resolución: Tenemos:

  Sabemos que: E= 7 ⋅  7  ...........(*)  x 

Calculemos x aplicando el teorema de Pitágoras: 2 x= 32 +

2

x 2= 9 + 7

x

4

( 7)

x = 16 x=4 θ

Reemplazando x= 4 en (*):

1



2

  E= 7 ⋅  7   4  E= 7 4

Además sabemos que: sen2θ = 4  ............. (I) x

Calculemos x aplicando el teorema de Pitágoras:

Rpta.: 7/4

x2= 42 + 12 x2= 16 + 1

3. Calcular K= senφ . cosφ

x = 17

Reemplazando x = 17 en (I):

φ

2

= = sen θ  4  ⇒ senθ 16 17  17  2

13

5

Rpta.: 16/17 Resolución: Tenemos:

2. Hallar E= 7 cos α .

7

φ 3

13

5

α

Resolución: Tenemos:

x

Calculemos x por el teorema de Pitágoras: 132 = 52+x2 169 = 25+x2 144 = x2 12 = x

211

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

1. Identifica los elementos del donde:

senα

según corresponda,

cosα

CA: cateto adyacente

tgα



CO: cateto opuesto H: hipotenusa

Rpta.: senα=8/17, cosα= 15/17, tgα= 8/15

3. Calcular senα del gráfico mostrado.

I.

II. 10

α 37

β 12

29

21

α 8

Rpta.: 3/5 35

20

CA (α): ...................... CO (α): ...................... H: ................................

CA (β): ...................... CO (β): ...................... H: ................................

III.

IV.

4. Calcular cosφ del gráfico mostrado. 13 5

11

φ

θ 77

Rpta.: 12/13

36 60

φ

61

5. Calcular tgβ del gráfico mostrado.

85 β CA (φ): ...................... CO (φ): ...................... H: ................................

CA (β): ...................... CO (β): ...................... H: ................................

25

24

Rpta.: (I) CA (α): 12, CO (β): 35, H: 37

Rpta.: 7/24

(II) CA (β): 21, CO (β): 20, H: 29 (III) CA (φ): 77, CO (φ): 36, H: 85

6. Calcular M=12tgβ del gráfico.

(IV) CA (θ): 11, CO (θ): 60, H: 61 β

2. De acuerdo al gráfico, completa la siguiente tabla: 4

5

3

Rpta.: 9 7. Calcular S= 7 cos α del gráfico. RT

212

VN

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Calcular la siguiente expresión: R= senα+cosα 3 12

α 7

13

Rpta.: 7/4

α

8. Calcular del gráfico:

Rpta.: 17/13 M= 41s enφ

12. Calcular la siguiente expresión: M=senα – cosα

41 6

α

φ 40

10

Rpta.: 9 9. Calcular del gráfico: Rpta.: 1/5

A= s en 2α

13. Calcular la siguiente expresión: T= s enα ⋅ cos α 2

6 2 5 5

α 4

α

Rpta.: 5/9 Rpta.: 10/29

10. Calcular del gráfico: M= cos 2 φ

14. Calcular la siguiente expresión: M= cos θ tgθ

7 φ

θ

3 2

5

5

2

Rpta.: 7/25

Rpta.: 5/6

213

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

15. Calcular la siguiente expresión: N= (cosφ+senφ)2

16. Calcular la siguiente expresión: M=

senφ ⋅ cos φ tgφ 1 φ

13

4

φ 2

Rpta.: 25/13

1. De acuerdo al gráfico, completa la siguiente tabla:

4. Del gráfico mostrado, calcular tgφ. φ 41

RT

VN 9

senφ cosφ

A) 9/41 B) 9/40 C) 40/9 D) 40/41 E) 41/9

tgφ

5. Del gráfico, determinar A= cos2φ. 2. Calcular del gráfico mostrado senα. 5

2 2

13

φ α 12

A) 13/5 B) 5/12 C) 5/13 D) 13/12 E) 12/5

A) 7/24 D) 17/25

B) 18/25 E) 25/18

C) 25/24

6. Del gráfico, calcular A= tg2φ.

3. Del gráfico, calcular cosβ. 8

17

2 7

2 3 φ

β

A) 17/8 D) 8/17

214

B) 17/15 E) 15/17

C) 15/8

A) 3/4 B) 7/3 C) 1/4 D) 4/3 7. Calcular la expresión:

E) 3/7

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

L= senα+cosα

M=

(senα + cos α)2 tgα

8

2 15

α

1 α

A) 24/19 D) 17/25

B) 19/3 E) 23/17

C) 25/17

A) 2/25 B) 36/5 C) 2/5 D) 4/25 E) 7/25 11. En un triángulo rectángulo la tangente de uno de sus ángulos agudos es igual a 2,4. Calcular el perímetro de dicho triángulo si la hipotenusa mide 39 cm. A) 150 cm B) 90 cm C) 120 cm D) 60 cm E) 30 cm

8. Del gráfico, determinar: E= senβ ⋅ cos β 4

2

12. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo.

β

5 5 C) A) 2 5 B) 5

A) 8/17 D) 5/2

B) 3/8 E) 5/3

C) 2/5

7

5

7 5 D) 2 5 E) 7

2

9. Del gráfico, determinar: 2 2 T= sen α + cos α tgφ

10

3

φ

A) 2 D) 1

B) 1/2 E) 1/3

C) 3

10. Del gráfico, calcular:

215

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso

: __________________________________________________ Aula : __________

Profesor : ____________________________________________________________________

1. Observa el gráfico completa la tabla.

5. Del gráfico, determinar: P= 3 cos φ

41

9

β 40 RT

1 VN

φ

senα

3

cosα

A) 3/2 B) 2/5 C) 1 D) 1/5 E) 1/3

tgα

2. Del gráfico, calcular senβ.

6. Del gráfico, determinar: R=

26

26 s enθ 1

β

β 24

A) 26/12 D) 2/13

B) 24/9 E) 5/12

C) 5/13 5

3. Del gráfico, calcular cosα.

25

15

A) 7 D) 3

B) 14 E) 5

C) 12

α

7. Del gráfico, calcular: A) 4/3 B) 5/4 C) 3/5 D) 5/3 E) 4/5

M= sen2β

4. Calcular M= 24tgφ.

11 5

3 7

φ

A) 12 B) 16 C) 18 D) 14 E) 15

A) 11/4 B) 4/11 C) 4/9 D) 11/7 E) 7/4 8. Del gráfico, determinar:

216

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

B= cos2φ

R=

7

5 2

3

φ

A) 49 B) 50 C) 1/49 D) 1/7 E) 1/50 9. Calcular: tgφ  E=    senφ 

sen 2β ⋅ tg 2β cos 2 β

7

β

A) 13/4 D) 21/19

B) 49/81 E) 17/35

C) 35/12

2

φ

2 5 3 2

A) 2/5 B) 9/4 C) 7/8 D) 3/11 E) 10/9 10. Del gráfico, calcular:

217

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II

6 Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • Reconoce las razones trigonométricas (ctg, sec, csc). • Aplica las definiciones de las RT en la resolución de problemas.

Estrategias motivadoras Dentro del cuadro se encuentran escondidas las respuestas de las siguientes expresiones. ¡Encuéntralas! P

I

T

A

G

U

C

O

R

S

M

A

R

L

G

U

B

C

A

R

H

L

K

E

C

B

C

S

E

R

O

E

O

B

I

R

T

N

D

O

A

E

O

I

A

R

K

S

R

N

A

O

E

R

B

N

M M

L

O

T

K

E

P

I

M

O

R

A

U

H O

P

N

E

G

I

C

M

G

U

L

P

R

I

N

R

T

N

H

B

K

A

O

M

D

I

K

P

E

I

A

L

M

E

T

L

N

E

A

H

L

A

S

T

H

S

E

I

N

E

O

T

R

B

O

R

O

C

A

T

P

L

O

D

N

R

E

M

P

C

C

O

S

E

C

A

R

P

T

I

N

D

A

O

S

L

S

E

T

N

E

G

N

A

T

C

B

S

A

B

R

C

O

L

B

U

H

I

P

A

N

A

E

M

T

I

E

T

N

A

C

E

S

O

E

1. Etimología de la palabra trigonometría: a. TRES=............................................................................. b. ÁNGULO= ...................................................................... c. MEDIDA= ....................................................................... 2. Padre de la trigonometría, natural de Nicea: ............................................................................................................................................................................... ........... 3. Representante de un teorema en el triángulo rectángulo: ............................................................................................................................................................................... ...........

218

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Definición de las RT respecto a un ángulo agudo: a. CO = .................................................................. H

b. CA = ................................................................. H

c. CO = ................................................................. CA

d. CA = ................................................................... CO

e. H = ................................................................... CA

f.

H = .................................................................. CO

Organizador visual RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II

s

os su

ram side

con Elementos son a: cateto adyacente (CA) al ángulo α

ctgα= CA CO A b

CO

c CA

C

secα= H CA

a

α

cscα= H CO B

b: cateto opuesto (CO) al ángulo α c: hipotenusa (H) además recuerda que la medida de la hipotenusa es mayor que la medida de los catetos.

219

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

I. Razones trigonométricas Sabemos que:



a: cateto opuesto

α b: cateto adyacente

cscα =

C

En este capítulo estudiaremos las razones trigonométricas cotangente, secante y cosecante, y lo definimos así: • Cotangente de α: ctgα =

hipotenusa cateto adyacente al � α

• Cosecante de α:

hipotenusa: c

A

secα =

B

hipotenusa cateto opuesto al � α

Un ángulo agudo es aquel ángulo que es menor a 90º. 0º< α <90º

cateto adyacente al � α cateto opuesto al � α

• Secante de α:

1. Calcule x si:

Rpta.: 2 34 2. Calcule m. x 6

5 2

61 5 10



Resolución: Por el teorema de Pitágoras: x: hipotenusa

m

Resolución: Se observa que m es igual a la suma de 2 catetos de los triángulos rectángulos del gráfico, entonces:

6 y 10 son los catetos. x2= 62+102 x2= 36+100

5

x = 136



a

4 ⋅ 34 ⇒ x = 2 34

b m

Se observa que no tiene raíz exacta, entonces se descompone de la siguiente manera: x=

5 2

61

m= a+b

1.º Hallando el cateto a por el teorema de Pitágoras:

(

)

2

61 = 5 2 + a 2 61 = 25 + a 2

220

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

36 = a2 6=a 2.º Hallando el cateto b por el teorema de Pitágoras.

(5

2

2 )= 5 + b 2

2



1.º x12 = 32+ 12 x12 = 9+1 x12 = 10 x1 = 10

50 = 25 + b 2

2.º x2222== ( 10 ) x22 = 11

25= b2 5= b Luego: m= 6 + 5= 11 Rpta.: 11

x2 =

2

+ 12

11

Luego:

3. Calcular x en:

1

1 1

x

11

1

x

10

1

1 3 3

Resolución: Se observa que hay 3 triángulos rectángulos consecutivos lo cual empezaremos por el triángulo inferior. Por el teorema de Pitágoras:

1. Completa la tabla:

x2 =

(

11

) 2 + 12

x2=12 x = 12

Como no tiene raíz exacta, se descompone:

2. Del gráfico, calcular ctgβ. β 10n 6n

41

40 8n

β

Rpta.: 3/5

9 RT

VN

ctgβ secβ

3. Del gráfico, calcular secθ. 17

cscβ



Rpta.: ctgβ=9/40, secβ= 41/9, cscβ= 41/40

15

Rpta.: 17/8 4. Del gráfico, calcular cscα.

221

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

n

5

α

21

3

Rpta.: 5/4 Rpta.: 15

5. Del gráfico, calcular P= 5ctgα . 9. Del gráfico, calcular: K= secθ+cscθ

3 3

       α

θ

4

Rpta.: 35/12

2

Rpta.: 2 6. Del gráfico, calcular M= 11secβ .

10. Del gráfico, determinar la expresión M= cscφ – ctgφ. 8

11 15

β 2

φ

7

Rpta.: 1/4

Rpta.: 11/2

11. Calcular del gráfico, la siguiente expresión:

7. Del gráfico, calcular S= 13cscφ .

S= sec α ⋅ csc α 2

13

2

φ 3

2

α

Rpta.: 13/3 8. Si ctgα =7 , calcular n. 5

222

     Rpta.: 13/6 12. Calcular la expresión:

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

A=

P= 2secα+3cscα

ctgφ csc φ

7 13 φ 5

2

α

Rpta.: 13. Calcule la expresión: A= csc2α – ctg2α

7 5

15. Del gráfico, determinar A= ctgα ⋅ ctgφ .

α

4

Rpta.: 2 13

φ

1 α

Rpta.: 1

Rpta.: 2

14. Determinar del gráfico:

1. Del gráfico, completa la tabla. 13 5

3

θ

12 4

RT

A) 13/14 B) 12/13 C) 13/5 D) 13/12 E) 12/5

VN

ctgφ

4. Del gráfico, calcular cscα.

secφ cscφ

2. Del gráfico, calcular ctgα. 17

α 25n 15n α

8 20n

A) 5/4 B) 2/5 C) 7/2 D) 4/5 E) 3/4 3. Del gráfico, calcular secθ.

A) 17/15 D) 17/8

B) 8/15 E) 17/20

C) 15/8

5. Del gráfico, calcular M= 7cscα .

223

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

β 4

α

φ

3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Del gráfico, calcular W= cscφ – ctgφ.

A) 1

B) 1/2

D) 2

E) 3

C) 1/3

10. Del gráfico, calcular: P= 12secφ+12ctgφ

8

10

6 15

A) 5/4 B) 4/5 C) 3/5 D) 4/9

E) 3/7

8

A) 19 B) 35 C) 27

7. Calcular la expresión: M=

D) 48

ctgα csc α

E) 36

11. Siendo θ ángulo agudo y se sabe que:

α

determinar ctgθ. 5

sec θ = 41 9

21

A) 13/40 B) 11/40 C) 9/40 D) 7/40

E) 1/8

12. Del gráfico, calcular ctgα. A) 21/5 D) 3/8

B) 2/5 E) 21/2

C) 5/2

α

8. Del gráfico, calcular B= csc2φ – ctg2φ. α

3

2

A) 8 B) 3 C) 1 D) 2 E) 5 9. Del gráfico, determinar: M= ctgφ ⋅ ctgβ

224

A) 1

B) 3

D) 2

E) 3

C) 2

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso

: __________________________________________________ Aula : __________

Profesor : ____________________________________________________________________

1. Observa el gráfico y completa la tabla.

4. Del gráfico, calcular cscθ. θ

φ 5 29

2

21

20 RT

VN

ctgφ

A) 1

5 B) 5 /2 C)

D) 2

E) 1/ 5

5. Del gráfico, calcular:

secφ cscφ

B= 15 csc α

2. Del gráfico, calcular senβ.

3 6

β 35n

21n

28n

φ

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

A) 7/5 B) 2/7 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/3

6. Del gráfico, determinar: ctgφ  M=  csc φ  

3. Del gráfico, calcular secθ.

2

2

13

2 3 φ

θ

A) 1

B) 1/2

D) 3 /2

E) 2

C) 3 A) 4/9

B) 13/5

C) 12/7

225

1° Año de secundaria

D) 7/9 7. Calcular:

Compendio de Ciencias - I BIM

E) 9/13 9. Del gráfico, determinar: P= 24cscβ – 24ctgβ

L= csc2β+ctg2β 1

10

6 3

A) 16 B) 14 C) 10 D) 12 E) 18

β

10. Del gráfico, determinar: R= ctg 2φ + 2 3

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 8. Calcular del gráfico: S= sec2α+2

3 α

10

7

5 φ

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

226

A) 1 B) 2 C) 3

TEMARIO • Física y fenómenos físicos • La materia • Propiedades de la materia • Fases de una sustancia • Actividades complementarias • Magnitudes físicas y medición • Sistema Internacional de Unidades • Actividades complementarias: Mediciones • Repaso

Compendio de Ciencias - I BIM

Unidad I

1° Año de secundaria

Física y Fenómenos Físicos

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CAPÍTULO

1

1

Primer año de secundaria 229

5

1° Año de secundaria

Física

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es un fenómeno químico.

• La condensación del agua de una nube es un fenómeno químico.

• La propagación del sonido es un fenómeno físico.

• La oxidación de un metal es un fenómeno físico.

2. Completa adecuadamente. y

• La física es una ciencia

que

estudia las leyes que gobiernan los

físicos que ocurren en la

naturaleza. • Un fenómeno es todo cambio o

que sufre la

.

proviene del término griego physis que significa

• El nombre .

la sustancia original y además es un fenómeno

• En un fenómeno físico se .

mientras que la combustión de

• La solidificación del agua es un fenómeno una vela es un fenómeno • En un fenómeno químico no se . fenómeno • A nivel

. la sustancia original y además es un

se producen cambios en los núcleos de los

de las sustancias que intervienen en el fenómeno físico. • A nivel subatómico se producen cambios entre los componen las sustancias que intervienen en los fenómenos 230

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de los átomos que . Primer año de secundaria

9

1

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. a) b) I) Fenómeno por el que se genera una nueva sustancia. c) II) Transformación o cambio que sufre la materia. III) Fenómeno por el que la sustancia puede cambiar su forma física, sin d) transformación de materia. e) f) I)

II)

físico biológico fenómeno químico eléctrico método

III)

4. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e) f)

I) El Padre de la física II) Significado de physis III) La ciencia básica

I)

II)

química Arquímedes movimiento física Aristóteles naturaleza

III)

Aplicación de la información 1. Cuando un imán atrae un clavo, ocurre un fenómeno a) químico. d) geológico.

b) físico. e) ecológico.

c) biológico.

2. Cuando un clavo se pone rojo como resultado de la oxidación ocurre un fenómeno a) ecológico. d) geológico.

b) físico. e) químico.

c) biológico.

3. Mediante un fenómeno físico a) se genera una nueva sustancia. b) no se genera una nueva sustancia. c) la sustancia cambia su estructura interna. d) cambian las propiedades químicas de la sustancia. e) cambia la naturaleza de la sustancia. 4. Indica cuál no es un fenómeno químico. I. combustión de la madera II. agriado de la leche III. fusión del hielo a) solo I d) I y II

b) solo II e) I, II y III

c) solo III

5. Es una rama de la física que estudia los fenómenos que experimenta la luz. a) acústica d) óptica

b) electricidad e) mecánica

c) magnetismo

6. Es una rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. a) acústica d) óptica

Colegios

10

TRILCE

b) electricidad e) mecánica

c) magnetismo

Central: 6198 100

231

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• El término griego physis significa física.

• Arquímedes es considerado el padre de la física.

• Un cuerpo que cae desde lo alto de un edificio experimenta un fenómeno físico.

• La respiración de los seres vivos es un fenómeno químico.

2. Completar adecuadamente. • La física es llamada ciencia

porque es la base de otras ciencias como la

y • A todo cambio o

. que sufre la materia se le denomina es llamado

• Todo evento en el que se genera una nueva

la sustancia original, es llamado

• Todo evento en el cual se

. .

• La

es una rama de la física que estudia los ondas sonoras y sus propiedades.

• La

es una rama de la física que estudia las desintegraciones nucleares en

el interior del

. , pues los pedazos del florero

• Al romper un florero ocurre un fenómeno mantienen sus propiedades • La oxidación del bronce es un fenómeno sustancia cuya estructura

232

.

www.trilce.edu.pe

. , pues el óxido de bronce es una es diferente al bronce. Primer año de secundaria

11

1

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. a) ciencias de la naturaleza. I) La biología, la zoología y la botánica son denominadas b) ciencias físicas. II) El fenómeno por el que la sustancia puede retornar a su estado c) reversible. original se llama d) ciencias de la vida. III) La química, la geología y la física son denominadas e) irreversible. II)

I)

III)

4. Relaciona correctamente. I) Cambio producido entre los electrones de los átomos que componen la sustancia. II) Fenómeno por el que la sustancia no puede retornar a su estado original. III) Cambio producido en los núcleos de los átomos que componen la sustancia. II)

I)

a) b) c) d) e)

fenómeno físico reversible fenómeno irreversible fenómeno químico

III)

Aplicación de la información 1. La luz solar al atravesar las gotas de agua dispersas en el aire forma un arco iris, que es una dispersión de la luz. Este es un fenómeno a) químico.

b) ecológico.

c) biológico.

d) geológico.

e) físico.

2. Es una rama de la física que estudia las interacciones entre cuerpos electrizados en reposo o en movimiento. a) acústica

b) electricidad

c) magnetismo

d) óptica

e) mecánica

3. Es una rama de la física que estudia las interacciones entre los cuerpos que tienen la capacidad de atraer limaduras de hierro (imanes). a) acústica

b) electricidad

c) mecánica

d) óptica

e) magnetismo

4. Al calentarse un pedazo de cobre hasta volverse líquido, ocurre un fenómeno a) geológico.

b) ecológico.

c) biológico.

d) físico.

e) químico.

5. Completa el siguiente cuadro señalando las diferencias entre fenómeno físico y fenómeno químico.

Fenómeno físico

Fenómeno químico

Capacidad: indagación y experimentación 1. Describe qué estudian las siguientes áreas de la física: mecánica, calor, acústica, óptica, electricidad, magnetismo, física nuclear, física moderna. Colegios

12

TRILCE

Central: 6198 100

233

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

La materia

234

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

2

13

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

2

Física

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• Se puede considerar que una botella de plástico es un cuerpo.

• Con respecto a la pregunta anterior, el plástico es la sustancia.

• La materia condensada se caracteriza por poseer masa y volumen.

• La mota es un ejemplo de materia condensada.

• El peso y la densidad son dos fases que puede presentar la materia.

2. Completa adecuadamente: • Todo aquello que existe en el sentidos se denomina

y que puede ser percibido por nuestros . y la clase particular de materia

• Un cuerpo no es más que una porción de que conforma cada cuerpo se llama

.

también es otra forma de

• La

.

• La materia condensada es toda aquella sustancia o cuerpo material que se caracteriza por tener y

.

• Algunos ejemplos de materia condensada son: y

,



.

• La materia puede presentarse en las siguientes fases:

,

,

y plasma. www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 235

17

2

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. I) Todo aquello que ocupa un lugar en el espacio. II) Características de la materia en forma condensada. III) Porción de materia.

I)

II)

a) b) c) d) e) f)

cuerpo sustancia energía masa materia masa y volumen

III)

4. Relaciona correctamente. I) La masa y el volumen son características de materia en su forma II) Peso,inercia y densidad III) Presentada solo en forma de energía

I)

II)

a) b) c) d) e) f)

propiedades particulares dispersada sustancia propiedades generales condensada cuerpo

III)

Aplicación de la información 1. La materia es todo aquello que existe en el a) universo. d) planeta.

b) mundo. e) colegio.

c) espacio.

b) materia. e) a y b

c) sustancia.

b) materia condensada. e) a, b y c

c) materia.

b) materia. e) a y b

c) sustancia.

2. El libro es un ejemplo de a) cuerpo. d) a, b y c 3. La energía térmica es una forma de a) cuerpo. d) b y c 4. El aire es un ejemplo de a) cuerpo. d) b y c

5. La mesa es un ejemplo de cuerpo y la madera representa la (el) a) sustancia. d) a y c

b) energía. e) a y b

c) cuerpo.

b) sólida. e) dispersada.

c) gaseosa.

6. La sal de mesa es materia en fase a) líquida. d) condensada.

7. La señal que emite un celular cuando nos comunicamos es materia en forma a) líquida. d) dispersada.

Colegios

18

236TRILCE

b) condensada. e) sólida.

c) gaseosa.

Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: Comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• El aire y el agua son ejemplos de materia en forma condensada.

• El pantalón y la camisa son ejemplos de materia en forma condensada.

• La materia condensada se caracteriza solo por poseer masa.

• A una porción de materia se le denomina cuerpo.

2. Completa adecuadamente. y puede ser percibido por

• La materia es todo aquello que existe en el nuestros • El

. es una porción de

y está constituido por una sustancia que

• Un desarmador es un ejemplo de es llamada

.

.

• Una forma en que se presenta la

es la forma

. .

• El agua, la Tierra y la Luna son ejemplos de materia • Hacer un dibujo de un cuerpo constituido por la sustancia que se indica:

Cuerpo

Sustancia

cartón

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Primer año de secundaria 237

19

2

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

plástico

• Dibuja dos ejemplos de materia condensada.

3. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e)

I) La forma mas común en que se presenta la materia es la forma II) Un ejemplo de cuerpo es una caja de cartón y este está constituido por la sustancia que se llama III) La energía es otra forma de

II)

I)

cuerpo. materia. condensada. madera. cartón.

III)

Aplicación de la información 1. La energía eléctrica es otra forma de a) cuerpo. d) cuerpo y materia.

b) materia. e) cuerpo y sustancia.

c) sustancia.

2. Todo lo que nuestros sentidos pueden percibir y existe en el universo se denomina a) materia.

b) sustancia.

c) energía.

d) cuerpo.

e) a y c

3. El agua y el alcohol son ejemplos de a) cuerpo. d) b y c

b) materia condensada. e) a y c

c) sustancia.

Capacidad: indagación y experimentación 1. ¿Cuáles son las propiedades de la materia y cómo se clasifican? ¿Para qué se utilizan?

Colegios

20

238TRILCE

Central: 6198 100

Compendio de Ciencias - I BIM

Unidad I

1° Año de secundaria

ProPiedades de La materia

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CAPÍTULO

3

3

Primer año de secundaria 239

21

3

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La maleabilidad es una propiedad general.

• La maleabilidad es una propiedad por la que podemos obtener láminas metálicas.

• La impenetrabilidad es la propiedad por la que todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio.

• Los metales son dúctiles y maleables.

• La indestructibilidad es una propiedad de la materia. 2. Completa adecuadamente. • Toda sustancia material que constituye el

se denomina

.

y

• Algunos ejemplos de materia condensada son

. y

• Algunos ejemplos de las propiedades de la materia condensa son: .

y

• Las propiedades particulares de la materia condensada son: .

que posee un cuerpo se llama

• La propiedad que representa la cantidad de .

es atraída por la tierra o por cualquier

• La fuerza con que la masa de un cuerpo celeste se llama

.

• El

que ocupa un cuerpo se llama

.

• El

que se obtiene al dividir la masa de cuerpo y su volumen se llama .

Colegios

26

240TRILCE

Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

3. Relaciona correctamente. I) Propiedad general de la materia II) Propiedad particular de la materia III) La porosidad es una propiedad

de la materia.

II)

I)

a) b) c) d) e) f)

particular materia condensada masa materia dureza general

III)

4. Relaciona correctamente. I) Propiedades exclusivas de los metales II) Propiedad opuesta a la fragilidad III) Propiedad por la que algunos metales pueden reducirse a hilos

II)

I)

a) b) c) d) e) f)

maleabilidad tenacidad ductibilidad elasticidad fragilidad a y c

III)

Aplicación de la información 1. Es una propiedad particular de la materia. a) masa d) divisibilidad

b) inercia e) tenacidad

c) impenetrabilidad

2. El diamante es el material que tiene mayor a) masa. d) divisibilidad. 3. Por

b) dureza. e) tenacidad.

c) fragilidad.

todo cuerpo siempre trata de mantener su estado de reposo o de movimiento.

a) la masa d) la divisibilidad 4. El vidrio es un material muy a) tenaz – frágil d) duro – tenaz

b) el peso e) el volumen y

a) tenacidad – fragilidad. d) fragilidad – maleabilidad.

www.trilce.edu.pe

a la vez.

b) frágil – maleable e) frágil – tenaz

5. La madera es un material que no tiene

c) la inercia

c) dúctil – maleable

pero sí

b) dureza – tenacidad. e) ductibilidad – maleabilidad.

c) tenacidad – dureza.

Primer año de secundaria 241

27

3

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• El acero tiene mayor dureza que el vidrio. • El aire tiene menor densidad que el agua. • La madera es menos tenaz que el vidrio. • Un resorte puede ser considerado un material elástico. 2. Completa adecuadamente. • La materia condensada es toda aquella

material que constituye el

. • Son ejemplos de materia condensada

,

• La madera tiene menor

y

y mayor

. que el vidrio.

• Un cuerpo no permite ser rayado por otro, es debido a su

.

• El diamante es más duro que cualquier otro

.

• Un florero cerámico tiene la propiedad de ser

y a su vez

.

• Un ladrillo al ser sumergido en agua produce un burbujeo, esto es producido por la del ladrillo . • El cobre tiene la propiedad de ser

y

a la vez.

3. Relaciona correctamente. I) Fuerza con la que cualquier objeto es atraído por la Tierra. II) Los cuerpos que se rompen con facilidad se denominan III) Propiedad por la que algunos materiales permiten ser estirados. II)

I)

a) duros b) tenacidad c) frágiles d) masa e) elasticidad f) peso III)

Aplicación de la información 1. ¿Cual es el material más duro? a) acero

b) diamante

c) madera

d) vidrio

e) plástico

c) el vidrio.

d) el nitrógeno.

e) el mármol.

2. Un material dúctil es, por ejemplo, a) el cobre.

b) la madera.

Capacidad: indagación y experimentación 1. Señala qué propiedades pertenecen exclusivamente a los sólidos y cuál(es) a los líquidos. Además define cada una. • tensión Colegios

28

242TRILCE

• tensión superficial

• compresión

• capilaridad Central: 6198 100

Compendio de Ciencias - I BIM

Unidad I

1° Año de secundaria

Fases de una sustancia

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CAPÍTULO

4

4

Primer año de secundaria 243

29

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• En la fase líquida la fuerza de cohesión entre moléculas es muy débil.

• El helio es un ejemplo de fase gaseosa.

• El cuarzo es un ejemplo de fase líquida.

• Un ejemplo de fusión es el hielo cuando se convierte en líquido.

• Los líquidos, por lo general, tienen mayor densidad que los sólidos.

2. Completa adecuadamente. • Los tres estados fundamentales de una sustancia se llaman • La fase

se caracteriza por poseer forma y

• La fase

posee volumen

definido. pero forma variable.

• En la fase

de una sustancia su volumen se puede comprimir.

• En la fase

de una sustancia, la fuerza de cohesión es menor que en la fase sólida.

• Las tres fases de una sustancia son • Los

244

.

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,

y gases son llamados también

y

.

.

Primer año de secundaria

33

4

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. I) Fase de una sustancia en la que se cumple que la fuerza de cohesión es mucho menor que en los sólidos. II) Cambio de fase de una sustancia de sólido a gaseoso. III) Fase de la sustancia que adopta la forma del recipiente que lo contiene. I)

II)

a) b) c) d) e) f)

vaporización sólido líquido sublimación gaseoso descongelamiento

III)

4. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e) f)

I) Cambio de fase de una sustancia de sólido a líquido. II) Fase de una sustancia en la cual la fuerza de cohesión es mucho mayor que en los gases. III) Cambio de fase de una sustancia de líquido a gaseoso.

I)

II)

sublimación líquido sólido fusión vaporización descongelación

III)

Aplicación de la información 1. El agua y el alcohol son ejemplos de fase a) sólida. d) fusión.

b) líquida. e) gaseosa.

c) solidificación.

2. ¿Qué fluido tiene volumen definido? a) sólido d) fusión

b) líquido e) gaseoso

c) sublimación

3. El proceso por el que una sustancia en fase gaseosa pasa a la fase líquida se llama a) condensación. d) solidificación.

b) fusión. e) vaporización.

c) sublimación.

4. El oxígeno y el argón son sustancias que a temperatura ambiente se encuentra en fase de a) fusión. d) solidificación.

b) gaseoso. e) sublimación.

c) vaporización.

5. La plata y el cobre son sustancias que a temperatura ambiente se encuentran en fase de a) fusión. d) solidificación.

b) gaseoso. e) sublimación.

c) vaporización.

6. En los líquidos las fuerzas de cohesión entre moléculas son menores que en los a) fusión. d) líquidos.

Colegios

34

TRILCE

b) gases. e) sublimación.

c) sólidos.

Central: 6198 100

245

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Tarea domiciliaria Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• Los elementos helio y argón son ejemplos de sustancias en fase gaseosa.

• En la Tierra abundan sustancias en la fase sólida.

• En la fase sólida, las moléculas se mueven a gran velocidad.

• El aire puede comprimirse más que un líquido.

2. Completa adecuadamente. • La fase

se caracteriza por poseer forma y definido pero

• La fase líquida posee • En la fase

variables.

de una

indefinida.

, las fuerzas de cohesión son muy grandes. .

• En el cielo abunda la fase • Algunos ejemplos de fase gaseosa son

y

. .

• ¿En qué fase se encuentra la sustancia contenida en un balón de gas de cocina? .

• ¿En qué fase de una sustancia las moléculas sólo vibran? 3. Relaciona correctamente. I) Fase correspondiente al helio, xenón, radón. II) Fase del mercurio a temperatura ambiente. III) Cambio de fase de una sustancia de gaseosa a líquida.

I) 246

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II)

a) b) c) d) e)

fusión sólido gaseoso líquida condensación

III) Primer año de secundaria

35

4

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aplicación de la información 1. Las nubes son un ejemplo de fase a) gaseosa. d) fluidos.

b) sólida. e) plasmática.

c) líquida.

2. Las sustancias que pueden comprimirse mucho a) son los gases. d) son los fluidos.

b) son los sólidos. e) es la energía.

c) son los líquidos.

3. ¿Qué fase de la sustancia abunda en la tierra? a) gaseosa. d) fluidos.

b) sólida. e) plasmática.

c) líquida.

Capacidad: indagación y experimentación 1. Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno. • ¿Qué es el estado plasmático? • ¿Qué tipo de utilidad puede tener?

Colegios

36

TRILCE

Central: 6198 100

247

5

Unidad I

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

actividades comPLementarias ProPiedades de La materia y Fases de una sustancia

CAPÍTULO

5

Experiencia 1 Materiales • Un recipiente (vaso) • Una barrita de plastilina

Procedimiento 1. Toma un recipiente y llénalo parcialmente con agua. Toma una barrita de plastilina y arma una pelotita. Coloca la pelotita en el agua y observa lo que ocurre. Anota tus observaciones.

2. Saca la pelotita y, sin agregar ni sacar la plastilina, dale la forma de un bote o barquito. Coloca el barquito de plastilina en el agua y observa lo que ocurre. Anota tus observaciones.



Cuestionario 1. ¿Cambió el peso de la plastilina? 2. ¿Qué cambió al modificar la forma de la plastilina? 3. ¿Qué ocupa más espacio, la pelotita o el barquito? 4. ¿Debido a qué propiedad un cuerpo flota en el agua y otro se hunde?

248

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Primer año de secundaria

37

5

Unidad I

Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Experiencia 2 Materiales • • • •

Un botella plástica de gaseosa de 500 ml Un embudo pequeño Un barrita de plastilina Un vaso con agua

Procedimiento 1. Coloca el embudo en el pico de la botella plástica como se ve en la figura. 2. Luego, con la plastilina sella el borde del pico de la botella con el embudo. Asegúrate de que esté bien sellado. 3. Llena el vaso con agua y échalo en el embudo. Observa lo que ocurre. Anota tus observaciones.



Cuestionario 1. ¿Por qué el agua no ingresa en la botella? 2. ¿Qué contiene la botella que no permite el ingreso del agua? 3. ¿Debido a qué propiedad el agua no ingresa en la botella?

Colegios

38

TRILCE

Central: 6198 100

249

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Experiencia 3 Materiales • una vela • cerillos (caja de fósforos) • regla de metal y otro objeto de metal

Procedimiento 1. Enciende la vela con cuidado para evitar quemaduras. ¿Qué ocurre? Anota tus observaciones.



2. Haz chorrear la vela sobre una superficie fría (en la regla de metal). ¿Qué ocurre? Anota sus observaciones.



Cuestionario 1. ¿En qué fase se encontraba la vela antes de ser encendida? 2. ¿Qué ocurre con la vela cuando se enciende? ¿En qué fase se encuentra ahora la vela? 3. ¿Cómo se llama el proceso cuando el sólido gana calor y se transforma en líquido? 4. ¿Qué ocurre al chorrear la vela sobre la regla de metal? 5. ¿Cómo se llama el proceso cuando el líquido pierde calor y se transforma en sólido?

250

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Primer año de secundaria

39

5

Unidad I

Compendio de Ciencias - I BIM

1° Año de secundaria

Experiencia 4 Materiales • un hornillo eléctrico • un recipiente de pírex • media luna de reloj o algún envase transparente

Procedimiento 1. Llena el recipiente de pírex con agua y luego prende el hornillo eléctrico. 2. Calienta el agua del recipiente en el hornillo hasta que comience a hervir. ¿Qué ocurre? Anota tus observaciones.



3. Con ayuda del profesor acerca la media luna del reloj a la zona donde está el vapor de agua y captúralo. Luego, deja que se enfríe. ¿Qué ocurre? Anota tus observaciones.



Cuestionario 1. ¿En qué fase se encuentra el agua antes de hervir? ¿Qué sucede con el agua cuando comienza a hervir? 2. ¿Cómo se llama el proceso en el que un líquido, luego de ganar calor, se transforma en gas? 3. ¿Se puede capturar el vapor de agua con la media luna del reloj? 4. ¿Qué sucede cuando el vapor de agua capturado se deja enfriar? 5. ¿Cómo se llama el proceso en el que el gas (vapor de agua), debido a la pérdida de calor, se transforma en líquido?

Colegios

40

TRILCE

Central: 6198 100

251

1

Unidad II

1° Año de secundaria

cantidades Físicas y medición

Colegios

42

Compendio de Ciencias - I BIM

252TRILCE

Central: 6198 100

CAPÍTU

6

ULO

1

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más...

CAPÍTULOCapacidad: comprensión de la información

6

Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La tristeza o la felicidad son cantidades físicas.

• El área, la densidad y el volumen son cantidades físicas vectoriales.

• Medir es comparar una cantidad física con otra de diferente tipo.

• El ser invariante es una condición de toda cantidad física.

2. Completa adecuadamente: y expresar mediante un valor

• Cantidad física es todo lo que se puede y su respectiva

de medida. y

• Según su origen las cantidades físicas se clasifican en:

y

.

y a la vez

.

• Según su naturaleza las cantidades físicas se clasifican en: • La temperatura y la masa son cantidades físicas • La velocidad y la fuerza son cantidades físicas

y a la vez

.

deben cumplir con la propiedad de ser

• Las unidades • El

.

, la unidad de medida y

una cantidad física

.

son características de

.

3. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e)

I) Son solo siete cantidades físicas. II) Se expresan utilizando las cantidades físicas fundamentales. III) Se caracterizan por tener dirección.

I) Colegios

46

TRILCE

II)

escalares vectoriales derivadas fundamentales físicas

III)

Central: 6198 100

253

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

4. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e)

I) La intensidad de la corriente eléctrica y la energía son cantidades físicas. II) La velocidad y la aceleración son cantidades físicas. III) El tiempo y la cantidad de sustancia son cantidades físicas. I)

II)

físicas químicas vectoriales escalares fundamentales

III)

Aplicación de la información 1. Al medir 80 kg, ¿qué cantidad física estamos utilizando? a) energía d) masa

b) volumen e) longitud

c) área

b) densidad e) desplazamiento

c) velocidad

b) volumen e) fuerza

c) densidad

2. No es una cantidad vectorial. a) fuerza d) aceleración 3. No es una cantidad escalar. a) área d) longitud

4. Al medir 400 m, ¿qué cantidad física estamos utilizando? a) área d) longitud

b) volumen e) fuerza

c) densidad

5. Al medir 3600 s, ¿qué cantidad física estamos utilizando? a) velocidad d) energía

b) tiempo e) presión

c) aceleración

6. Toda cantidad física escalar debe ser expresada mediante a) solo un número. b) un ángulo. c) otra unidad de medida. d) solo una unidad de medida. e) un número y su unidad de medida. 7. Es una cantidad fija de la misma naturaleza de la cantidad que se desea medir. a) cantidad d) cantidad derivada

254

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b) cantidad física e) unidad de medida

c) número

Primer año de secundaria

47

1

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La unidad patrón es aquella que se caracteriza por ser invariable. • El desplazamiento es una cantidad física escalar. • Las cantidades físicas se clasifican por su naturaleza en fundamentales y derivadas. • La energía es una cantidad derivada y a su vez vectorial. • Las cantidades físicas se clasifican por su origen en vectoriales y escalares. 2. Completa adecuadamente. es una operación que consiste en comparar una

•

otra cantidad del mismo tipo llamada

con

.

• Todo aquello que se puede medir es una

.

• Toda cantidad física es representada por dos elementos su correspondiente

y su

.

• Las cantidades físicas se clasifican en

y vectoriales según su

• Según su origen las cantidades físicas pueden ser: • La fuerza es una cantidad física

.

y y a su vez

.

3. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e)

I) No es una cantidad física. II) La densidad y la velocidad son cantidades físicas. III) La temperatura y la masa son cantidades físicas

I)

II)

derivadas vectoriales químicas físicas fundamental

III)

4. Coloca (F) si la cantidad física es fundamental y si es derivada una (D). • La velocidad de un auto ........................................................................................................ (

)

• La temperatura de un líquido................................................................................................. (

)

• El área de una cancha de fútbol ............................................................................................. (

)

• La masa de una persona ........................................................................................................ (

)

Colegios

48

TRILCE

Central: 6198 100

255

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

5. Coloca (E) si la cantidad física es escalar y una (V) si es vectorial. • La densidad del agua ............................................................................................................. (

)

• La fuerza aplicada para mover una mesa ............................................................................... (

)

• El volumen de una canica ..................................................................................................... (

)

• La aceleración de la gravedad de la Tierra ............................................................................. (

)

Aspectos aplicativos y procedimentales 1. Señala las cantidades físicas escalares. I. masa II. velocidad III. energía IV. densidad a) I y II

b) Solo II

c) Solo IV

d) I, III y IV

e) III y IV

c) Solo IV

d) II y IV

e) III y IV

c) I y II

d) I y IV

e) I, II y IV

c) I y II

d) II, IV y V

e) I y III

d) Solo IV

e) II y IV

2. Indica cuales son cantidades físicas vectoriales. I. volumen II. velocidad III. área IV. desplazamiento a) I y III

b) Solo II

3. No son cantidades físicas derivadas. I. volumen II. velocidad III. temperatura IV. energía a) Solo I

b) Solo III

4. No son cantidades fundamentales. I. energía II. longitud III. potencia IV. intensidad de corriente V. cantidad de sustancia a) Solo I

b) II y III

5. Toda cantidad física escalar debe ser expresada mediante I. un ángulo. II. un número. III. una dirección. IV. una unidad de medida. a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

Capacidad: indagación y experimentación 1. ¿Qué instrumentos se utilizan para medir la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, la intensidad de corriente eléctrica y la intensidad luminosa?

256

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Primer año de secundaria

49

2

Unidad II

Compendio de Ciencias - I BIM

sistema internacionaL de unidades

Colegios

50

1° Año de secundaria

TRILCE

CAPÍTULO

Central: 6198 100

7

257

2

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Aprende más... Capacidad: comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• Las siglas del sistema cgs provienen de centígrado – grado – segundo. • La unidad del tiempo, según el SI, es la hora. • Las siglas del sistema mks provienen de metro – kilogramo – segundo. • La unidad de la temperatura según el SI es el grado Celsius. 2. Completa adecuadamente. • El Sistema Internacional toma como base el

el cual se divide en el sistema

y el sistema

. y su símbolo es

• Según el SI, la unidad de longitud es el

. ,

• El Sistema Internacional se caracteriza por ser un sistema



y coherente de unidades de medida. • La unidad de la intensidad de corriente en el SI es el

y su símbolo es

y su símbolo es

• El kelvin es unidad de la

. .

es el segundo y su símbolo es

• Según el SI la unidad del

. y su símbolo es

• La unidad de la cantidad de sustancia en el SI es el . • Un

es equivalente a 1000

y 100

equivale a un metro.

3. Relaciona correctamente. a) b) I) La clase de física dura 55 segundos. c) II) La estatura de un alumno es 1,20 metros. III) La intensidad de corriente que circula por un conductor es 0,8 d) ampere. e) f) I) Colegios

54

258TRILCE

II)

0,8 A 1,20 mts. 0,8 a 55 seg. 1,20 m 55 s

III) Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

4. Relaciona correctamente los datos sobre el sistema internacional de unidades. a) Celsius b) Kelvin I) temperatura c) ampere II) intensidad de corriente eléctrica d) gramo III) masa e) kilogramo f) kelvin I)

II)

III)

Aplicación de la información 1. La temperatura del aula en el verano es 300 kelvin, ¿cuál es la representación correcta del símbolo de la unidad de medida? a) 300 k d) 300 K

b) 300 kel e) 300 Kelvin

c) 300 K.

2. La masa de un estudiante es 40 kilogramos, ¿cuál es la representación correcta del símbolo de la unidad de medida? a) 40 kgs d) 40 kg

b) 40 kilo e) 40 kgr

c) 40 Kg.

3. Indica qué unidad(es) no corresponden al SI. I. gramo II. ampere III. pulgada IV. kilogramo V. libra a) Solo I d) I, III y V

b) II y IV e) III y V

c) Solo IV

4. Indica qué relación(es) son correctas en el Sistema Internacional. I. kilogramo – kgs II. candela – cd III. ampere – A IV. metro – mt V. mol – moles a) Solo II d) II y III

b) Solo III e) I y IV

c) III y IV

5. Indica qué grupo(s) de unidades no corresponden al Sistema Internacional. I. ampere, candela, metro II. celsius, libra, pulgada III. segundo, mol, kelvin a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) II y III

c) Solo III

6. ¿Cómo se escriben correctamente 2 moles de una cierta sustancia? a) 2 m d) 2 mol

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b) 2 Mol e) 2 moles

c) 2 mols

Primer año de secundaria 259

55

2

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practica en casa Capacidad: Comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La unidad de la velocidad según el SI es el metro por segundo y su símbolo es mxs.

• El Sistema Internacional toma como base al sistema cgs.

• La unidad del volumen según el SI es el metro cúbico y su símbolo es m3.

• El Sistema Inglés es usado por los científicos en todo el mundo.

2. Completa adecuadamente. • Ser universal,

y

son características del

• La unidad de la masa, según el SI, es • El sistema

y su símbolo es

es tomado como base del

• El joule es la unidad según el SI de

. . .

y el símbolo es

.

• Las siglas del sistema mks provienen de • La unidad de la resistencia eléctricam, según el SI, es el

. y su símbolo es

. 3. Coloca el nombre de la magnitud física correspondiente en cada caso. • metro cúbico • metro por segundo cuadrado • kilogramo por metro cúbico • metro por segundo • joule Colegios

56

260TRILCE

Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

4. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e) f)

I) La unidad de carga eléctrica según el SI. II) La unidad de la intensidad de corriente según el SI. según el SI. III) El pascal es la unidad de la

I)

II)

presión coulomb ampere potencia joule kilogramo

III)

5. Relaciona correctamente. a) b) c) d) e) f)

I) El joule es la unidad de según el SI. II) La unidad de trabajo mecánico según el SI. III) Característica del SI

I)

II)

joule universal energía invariante newton potencia

III)

Aplicación de la información 1. Indica cuál(es) de las siguientes relaciones no son correctas según el SI: I. presión – pascal – Pa II. temperatura – celsius – C III. longitud – metro – mts. IV. potencia – coulomb – C V. intensidad de corriente – ampere – A a) solo II d) II, III y IV

b) solo III e) I, III y V

c) solo V

2. Indica qué relaciones están correctamente escritas en el SI. I. 20 segundos – 20 s II. 150 newton – 150 N III. 5 moles – 5 mol IV. 15 joule – 15 J a) I y II d) I, II y IV

b) II y III e) todas

c) III y IV

3. ¿Cuál de las siguientes unidades no corresponden al SI? I. minuto II. ohm III. milímetro IV. watt V. volt a) solo I d) II y IV

www.trilce.edu.pe

b) solo III e) II, IV y V

c) I y III

Primer año de secundaria 261

57

2

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. ¿Cuál de las siguientes relaciones son verdaderas o falsas según el SI? • energía – joule ...................................................................................................................... (

)

• longitud – kilómetro .............................................................................................................. (

)

• potencia – watt...................................................................................................................... (

)

• intensidad de corriente – ampere .......................................................................................... (

)

• intensidad luminosa – candela .............................................................................................. (

)

a) b) c) d) e)

VFVFV VFVVV FVVVF VVVFF VFVFF

5. Indica V o F respecto a las magnitudes correctamente escritas, según el Sistema Internacional. • kelvin .................................................................................................................................... (

)

• ampere .................................................................................................................................. (

)

• wats ...................................................................................................................................... (

)

• volt ........................................................................................................................................ (

)

a) b) c) d)

VVFF VVFV FVVF VFFF

e) VFVF

Colegios

58

262TRILCE

Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Capacidad: indagación y experimentación 1. El cuadro muestra algunas magnitudes físicas derivadas. Busca la información correspondiente al nombre de la unidad según el SI y su respectivo símbolo, y completa el cuadro. Ten en cuenta que algunas magnitudes derivadas son combinaciones de las fundamentales y otras reciben un nombre propio. Magnitud física derivada

Unidad según el SI

Símbolo de la unidad

• área • volumen • densidad • velocidad • aceleración • fuerza • trabajo mecánico • energía • potencia • presión • calor • carga eléctrica • potencial eléctrico • resistencia eléctrica • período • frecuencia 2. ¿Qué instrumentos se utilizan para medir la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura y la intensidad de corriente eléctrica? www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 263

59

3

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

actividades comPLementarias mediciones

CAPÍTULO

Experiencia 1:

8

Cálculo de la constante Pi ( r ) Materiales • Un disco CD (puede ser en mal estado) • Un cinta métrica (centímetro) • Un regla de 20 cm • Una Calculadora

Procedimiento 1. Envuelve el contorno del disco CD con la cinta métrica lo más tenso y ajustado posible, con ello tendremos la longitud de la circunferencia. Que cada integrante del grupo realice al menos una medición. Anoten las medidas en la tabla 1 y luego calculen su promedio: Longitud de la circunferencia (cm) Medición 1 Medición 2 Medición 3 Promedio

Tabla 1 2. Ahora procede a medir el diámetro del disco con la regla graduada lo más exactamente posible. Anota las medidas en la tabla 2 y luego calcula su promedio. Diámetro de la circunferencia (cm) Medición 1 Medición 2 Medición 3 Promedio

Tabla 2 Colegios

60

264TRILCE

Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

3. Con los datos obtenidos en las tablas en los pasos 1 y 2, estás en condición de calcular el valor de la constante Pi ( ≠ ) aplicando la siguiente fórmula:

4. Compara el valor obtenido experimentalmente con el valor teórico conocido en matemática ≠= 3.1416 . Anota tus observaciones.



Cuestionario 1. ¿El valor experimental de la constante coincide con el valor teórico? 2. Señala las posibles fuentes de error al efectuar las mediciones.

Experiencia 2. Cálculo del volumen de una canica Materiales • Cinco canicas de vidrio o metal del mismo tamaño (pequeñas) • Una probeta graduada • Una calculadora

Procedimiento 1. Vierta en la probeta graduada un volumen de 50 ml de agua. Con cuidado, deje caer cada una de las 5 canicas, inclinando ligeramente la probeta. 2. Hacer la lectura del volumen final que dan las 5 canicas y anotarlo en la tabla 1. Para tener mayor exactitud, puede realizar esta medición dos o tres veces y trabajar con el valor promedio. 3. Repita la operación ahora con 4, 3 y 2 canicas y anótelo en la tabla 1. Volumen final (ml) 5 canicas 4 canicas 3 canicas

Tabla 1 www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 265

61

3

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Ahora el volumen de las canicas se determina mediante la diferencia del volumen final (tabla 1) con el volumen inicial de 50 ml de agua. Anota los resultados en la tabla 2. Volumen de las canicas (Vf – 50) ml V5 V4 V3

Tabla 2 5. Para calcular el volumen de una sola canica, divide el volumen del montón de canicas entre el número de monedas de dicho monto. Anota los resultados en la tabla 3. Volumen de cada canica (ml) V5 5 V4 4 V3 3 Promedio

Tabla 3 Cuestionario 1. Señale las posibles fuentes de error en las mediciones efectuadas para calcular el volumen de la canica. 2. ¿De qué otra manera se puede calcular el volumen de una canica? 3. ¿Qué es un vernier? ¿Para qué sirve? 4. ¿Qué es un micrómetro? ¿Para qué sirve?

Colegios

62

266TRILCE

Central: 6198 100

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CAPÍTULO

rePaso

Aspectos conceptuales

4

9

1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• En los gases las fuerzas de cohesión entre moléculas son muy pequeñas.

• La tenacidad y la dureza son propiedades exclusivas de los sólidos.

• La propagación del sonido es un fenómeno físico.

• Un sólido y un líquido tienen forma definida.

2. Completa adecuadamente. • La

es una propiedad de la materia por la cual dos cuerpos



ocupar el mismo espacio simultáneamente. • Un

físico es aquel proceso en el cual la sustancia



su estructura interna. • La fase sólida se caracteriza por tener

y

y las fuerzas de cohesión son muy

definido

. la sustancia original y además es un fenómeno

• En un fenómeno físico se .

es la unidad de la fuerza según el sistema

• El

.

, las magnitudes físicas se clasifican en

• Según su

y

. mientras que la combustión de

• La solidificación del agua es un fenómeno una vela es un fenómeno • Cuando el hielo

www.trilce.edu.pe

. calor se funde y se transforma en agua en fase

.

Primer año de secundaria 267

63

4

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

3. Relaciona correctamente. a) b) I) Fenómeno por el que se genera una nueva sustancia. II) Estudio de los fenómenos relacionados con las ondas sonoras y c) sus propiedades. d) III) Tiene la condición de ser invariable. e) f) I)

II)

físico acústica magnitud químico calor unidad patrón

III)

4. Relaciona correctamente.

I) Cambio de fase de gaseoso a líquido. II) Propiedad que se manifiesta como la resistencia a ser rayado. III) Divisible en partes tan pequeñas sin alterar sus propiedades.

I)

II)

a) b) c) d) e) f) g)

tenacidad Arquímedes movimiento fusión dureza condensación divisibilidad

III)

Aplicación de la información 1. Cuando un imán atrae un clavo, ocurre un fenómeno a) químico. d) geológico.

b) físico. e) ecológico.

c) biológico.

2. La unidad de la intensidad de corriente en SI es el a) ampere. d) pascal.

b) joule. e) newton.

c) watt.

3. Cuando un metal se calienta a altas temperaturas se derrite y se obtiene metal en fase líquida. A este proceso se le denomina a) solidificación. d) evaporación.

b) fusión. e) sublimación.

4. El Sistema Internacional se caracteriza por ser I. universal II. incoherente III. unificado IV. coherente a) I y II d) I y II

c) condensación. .

b) I, II y III e) I, III y IV

c) III y IV

5. Rama de la física que estudia los fenómenos que experimenta la luz. a) acústica d) óptica

b) electricidad e) mecánica

c) magnetismo

6. A la propiedad por la cual un metal puede convertirse en hilos muy delgados se le llama a) acústica. d) óptica.

Colegios

64

268TRILCE

b) electricidad. e) ductibilidad.

c) magnetismo.

Central: 6198 100

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Física

Practica en casa Capacidad: Comprensión de la información Manejo de la información 1. Justifica la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

Proposición

Justificación

• La combustión de la gasolina en el motor de un vehículo es un fenómeno físico. • La madera, el vidrio, el metal, el plástico, el agua, la gasolina, etc. son ejemplos de cuerpos. • Aun cuando una vela se derrite por efecto del calor se transforma de sólido a gas. • La fuerza con la que la tierra atrae los cuerpos que se encuentran en su cercanía se denomina masa. 2. Completa adecuadamente. • La

es la propiedad de la materia que nos indica la cantidad de



por unidad de volumen que ocupa. • A todo cambio o • La masa y el

que sufre la materia se le denomina

.

son dos características que tiene la materia

.

• La maleabilidad es una

particular y la inercia una propiedad



de la materia. • La

estudia las interacciones entre las cargas

.

• La propiedad de la materia por la cual todo cuerpo tiende a permanecer en o movimiento se denomina



.

• Según su naturaleza la fuerza es una magnitud física

y su unidad es el

. • Una silla es una porción de materia a la que llamamos de

o de

hecha y a la que llamamos

y puede estar hecha que es el tipo de materia de la que está

.

3. Relaciona correctamente. I) Forma de materia condensada. II) Fenómeno por el que la sustancia puede retornar a su estado original. III) Fase de una sustancia que tiene volumen definido y forma indefinida. I) www.trilce.edu.pe

II)

a) b) c) d) e)

líquido gaseosa reversible aire irreversible

III) Primer año de secundaria 269

65

4

Unidad II

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Relaciona correctamente. I) Mide la oposición de un cuerpo al ponerse en movimiento o en reposo. II) El papel de aluminio es un caso en el que un metal puede convertirse en láminas muy delgadas. A esa propiedad se le denomina. III) Un espejo se caracteriza por quebrarse rápidamente, a dicha propiedad le llamamos II)

I)

a) b) c) d) e)

ductibilidad fragilidad masa maleabilidad inercia

III)

Aspectos aplicativos y procedimentales 1. La luz solar pasa a través de las gotas de agua dispersas en el aire y forman un arco iris: dispersión de la luz. Esto es un fenómeno a) químico.

b) ecológico.

c) físico.

d) geológico.

e) biológico.

c) solo IV

d) I, III y IV

e) III y IV

d) todas

e) II y IV

2. Indica qué magnitudes no son escalares. I. masa II. velocidad III. energía IV. densidad a) I y II

b) solo II

3. Toda magnitud física vectorial debe ser expresada mediante I. un ángulo. II. un número. III. una dirección IV. una unidad de medida. a) solo I

b) II, III y IV

c) solo III

4. ¿Qué relaciones son verdaderas o falsas según el SI? • Energía – joule ...................................................................................................................... ( • Longitud – kilómetro ............................................................................................................. ( • Potencia – watt...................................................................................................................... ( • Intensidad de corriente – ampere .......................................................................................... ( • Intensidad luminosa – candela .............................................................................................. ( a) VFVFV

b) VFVVV

c) FVVVF

e) VFVFF

pero sí

5. La madera es un material que no tiene a) tenacidad – frágil. d) fragilidad – maleabilidad.

d) VVVFF

b) dureza – tenacidad. e) ductibilidad – maleabilidad.

c) tenacidad – duro.

6. ¿Qué la fase de una sustancia abunda más sobre la Tierra? a) gaseoso

b) sólido

c) plasmático

d) líquido

e) ninguna

Capacidad: indagación y experimentación 1. Investiga sobre las formas de medir magnitudes: medición directa e indirecta. 2. Investiga sobre el estado plasmático.

Colegios

66

270TRILCE

Central: 6198 100

) ) ) ) )

TEMARIO • Ciencia. • Universo y hombre • Ciencia y universo • Estados de agregación de la materia • Experimento Nº 1 • Cambios de estado • Estados de la materia - Cambios de estados • División de la materia

CienCia

CAPÍTULO

1 weblogs.madrimasd.org/.../2008/22/89798

"La química es la ciencia que estudia la materia, su estructura o composición, sus características o propiedades y las transformaciones o reacciones que sufre. La Química como todas Ciencias Naturales es una ciencia experimental".

Historia - Evolución de la Ciencia Química Las principales culturas antiguas del mundo nos han dejado evidencias de su dominio práctico de técnicas químicas muy avanzadas. Los descubrimientos arqueológicos, así como los escritos bíblicos y otros de igual antigüedad nos muestran que el hombre aprendió hace miles de años a extraer los metales de la Tierra, principalmente el oro, la plata y el cobre, convirtiéndolos en instrumentos de utilidad.

www.portaleureca.com/accesible/pensamiento/63

Experimentación en la antigüedad

Ciencia: es un conjunto de métodos y técnicas para la organización de conocimientos. Este conocimiento ha sido adquirido en el tiempo por hombres y mujeres que han hecho uso de la observación y el razonamiento. Características del Método Científico a.

El método científico es racional.

b. El método científico es analítico. c.

El método científico es claro y preciso.

d. El método científico es verificable. e.

www.invenia.es/ppqf

1

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

El método científico es explicativo. Objetivo del Método Científico Busca alcanzar la verdad fáctica utilizando la observación y la experimentación. Experimentación en la actualidad

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 273

5

Descomponedores: son los organismos encargados de desintegrar los animales 1° Año de secundaria muertos. Son los hongos y bacterias.

Compendio de Ciencias - I BIM

www. tiburo

c.

Ser biótico es ser clasificado como animal consumidor secundario.

Practiquemos 1. Completa: La ____________ es un conjunto de ____________ y técnicas para la organización de _____________. 2. Completa: La __________________ hace uso de la observación y el _____________________________________. 3. Completa: El avance _________________ a desplazado a la ____________________ a tal punto que afecta al _______________________. 4. Completa: La ___________________ es la ciencia que estudia las relaciones de los ___________________ y el medio ambiente.. 5. Completa: La ___________________ es el conjunto de poblaciones de distintas _____________ que viven en un mismo espacio. 6. Relaciona: I. Autótrofos

a.

II. Heterótrofos

9. Marca verdadero corresponda:

Árbol

b. Conejo c.

a)

Tigre

7. Relaciona: Biótico

a.

II. Abiótico

(F) según

El individuo conserva características de sus antecesores. ( )

b) La población es el conjunto de diferentes especies. ( )

Rpta: ___________________

I.

(V) o falso

c)

Pez

b. Luz c.

La comunidad es el conjunto de poblaciones de una misma especie. ( )

10. Marca verdadero corresponda:

Bacteria

(V) o falso

(F) según

Rpta: ___________________ a) 8. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(F) según

El conejo es un consumidor secundario.( )

b) El agua es un componente biótico. c)

( )

Una pecera es un ecosistema artificial.(

)

b) Un bosque tropical es un ecosistema artificial. ( ) c)

El pelo de un puma es un ecosistema natural pequeño. ( )

Las plantas se denominan productores. ( )

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria

7

274

1

Unidad i

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(F) según

14. Clasifica según la cadena alimenticia: I.

El conejo es un autótrofo.

León

II. Algas

(

)

III. Ratón

b) El árbol es un consumidor.

(

)

Diga. ¿Cuántos son consumidores?

c)

(

)

El león es un hervívoro.

12. Los coyotes son considerados como: a) c) e)

Autótrofos Primarios Herbívoros

b) Heterótrofos d) Vegetarianos

13. Al morir un ser orgánico, este sirve de alimento a los: a) c)

Productores Descomponedores

e)

Heterótrofos

b) Consumidores d) Autótrofos

a) Solo I d) I y III

IV. Árbol

b) Solo II e) Todas

c)

Solo II y IV

15. Diga cuáles son ecosistemas naturales: I.

La cuenca del río Amazonas

II. Un acuario III. El pelo de un puma a)

Solo I

d) I, II

b) Solo II e)

c)

Solo III

I, III

Tarea domiciliaria Comprensión de la información

5. Completa:

1. Completa: La ciencia es un conjunto de ______________ y _______________.

6. Completa:

2. Completa: La ______________ y el razonamiento son procedimientos fundamentales en la ciencia. 3. Relaciona: I.

Derrame del petróleo en el mar.

a.

Contaminante del medio ambiente

II. Una pulga

La cuenca del río Amazonas es un ____________ natural.

b. Autótrofos c. Componente Biótico

Una pecera es un _________________ artificial. 7. Completa: Las sustancias ______________ afectan al medio ambiente. 8. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

Un león es un consumidor primario. (

)

b) El petróleo es un componente biótico.(

)

c)

Rpta: ______________ 4. Relaciona:

7

I.

La raíz de una planta

II. Un conejo

Rpta: ______________ Colegios

Trilce 8

a. Productor b. Consumidor c. Descomponedor

Las plantas productores.

acuáticas

se

denominan ( )

9. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

El conjunto comunidad.

de

cerdos hace una ( )

b) La comunidad es el conjunto de poblaciones de diferentes especies. ( ) c)

La población es el conjunto de individuos de diferentes especies. ( ) Central 6198 - 100 275

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

10. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

Un ecosistema solo esta formado por componentes abióticos. ( )

b) Un bosque tropical es un ecosistema natural. ( ) c)

El conejo es un heterótrofo.

b) El árbol es un autótrofo. c)

)

(

)

El león es un consumidor de primer grado. ( )

Productores

b) Consumidores

c)

Descomponedores

d)

e)

Heterótrofos

I.

Autótrofos

Gato II. Árbol

III. Ratón

¿Cuántos son productores?

(F) según (

a)

14. Clasifica según la cadena alimenticia.

La piel del ser humano es un ecosistema. ( )

11. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

13. Al morir un ratón, éste sirve de alimento a los:

a) Solo I

b) Solo II

d) I, II

e) I, III

c) Solo III

15. Diga ¿cuál(es) son ecosistemas artificiales? I.

Una isla

II. Un acuario

III. El pelo de un gato

12. Las algas marinas son consideradas como: a)

Autótrofos

b) Heterótrofos

a) Solo I

b) Solo II

c)

Primarios

d) Herbívoro

d) I, II

e) I, III

e)

Vegetariano

c) Solo III

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Siguiendo las etapas del método científico; redacta en tu cuaderno la experiencia de colocar 5 cubos de hielo en un vaso de vidrio. ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? (realice dibujos o pegue láminas).

- Plantas

Agua

- Animales - Hombre

Aire

- Bacterias

Luz Clima Suelo

276

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 9

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Universo y hombre

weblogs.madrimasd.org/.../2008/22/89798

2

Unidad i

CAPÍTULO

2

"Cualquier cuerpo, estrella, planeta o satélite que puebla nuestro univeso, posee una fuerza de atracción proporcional a su tamaño. Cuando nos encontramos alejados de estos astros, nuestro organismo registra la ingravidez o falta de peso".

La Luna: satélite de la Tierra Nuestro satélite natural, la Luna, al carecer de atmósfera, imposibilita la difusión de la luz que proviene del Sol, la Tierra o ciertas estrellas. Por el contrario, los astros poseedores de atmósfera, al salir el Sol iluminan su "bóveda" atmosférica de manera singular. Al ser más pequeña que la Tierra, la Luna no tiene tanta fuerza de atracción como nuestro planeta. Tampoco tiene atmósfera que la frene. Los cuerpos pesan menos y pueden apartarse de la superficie con suma facilidad.

Universo: es aquel espacio donde gravitan las galaxias, los astros. El universo mantiene su densidad y su energía en el proceso de formación de las galaxias y las estrellas. Origen Existen diversas teorías, las más relevantes son: Teoría del Universo Estable "Existe una formación espontánea y permanente de materia y energía manteniendose en equilibrio". (científico Fredy Hoyle) Teoría del Universo Oscilante "Existe un universo pulsante, pasando por fases de expansión y contracción". (Científico Friedman)

Colegios

Trilce 10

Central 6198 - 100 277

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: El ___________________ es aquel espacio donde ___________________ las galaxias, los astros. 2. Completa: El ___________________ mantiene su ___________________ y su energía. 3. Completa: El ___________________ y el ___________________ están formados por elementos químicos. 4. Completa: A la corteza _____________ lugar donde nos encontramos se le conoce como manto _____________. 5. Completa: La ___________________ está formada por los ríos, lagos, mares. 6. Relaciona: I.

Litósfera

a.

II. Atmósfera

Agua

b. Aire c.

a.

II. Silicio

a)

O

b. Si c.

S

a)

(V) o falso

c) (F) según

El calcio es el elemento más abundante en el cuerpo humano. ( )

b) El carbono es el elemento más abundante en el universo. ( ) c)

El hidrógeno es el primer elemento químico formado. ( )

9. Marca verdadero corresponda: a)

278

(V) o falso

(F) según

La hidrósfera está formada por la parte sólida. ( )

www.trilce.edu.pe

(V) o falso

(F) según

La Teoría de la Evolución explica la existencia del universo. ( )

b) La Teoría de la Gran Explosión explica la existencia del hombre. ( )

Rpta: ___________________ 8. Marca verdadero corresponda:

La atmósfera está formada por la parte gaseosa (aire). ( )

10. Marca verdadero corresponda:

7. Relaciona: Oxígeno

c)

Suelo

Rpta: ___________________

I.

b) La litósfera está formada por la parte líquida. ( )

A la Teoría de la Gran Explosión se le denomina Teoría del Big Bang. ( )

11. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(F) según

Las nubes representan la Litósfera.

(

)

b) Las lluvias representan la Litósfera.

(

)

c)

(

)

Los ríos representan la Atmósfera.

12. Indica, ¿cuál es el primer elemento químico que se formó? a)

Carbono

b) Hidrógeno

c)

Oxígeno

d) Nitrógeno

e)

Azufre Primer año de secundaria 13

2

Unidad i

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

13. Indica, ¿cuál es el tercer planeta del sistema solar? a)

Mercurio

b) Venus

c)

Tierra

d)

e)

Jupiter

a) c) e)

Atmósfera Litósfera Sistema Solar

b) Hidrósfera d) Vía Láctea

15. ¿Cómo se le conoce a la parte central del planeta Tierra?

Marte

14. ¿Qué parte de la estructura del planeta Tierra representa el suelo?

a)

Sial

b) Sima

c)

Manto intermedio

d) Núcleo

e)

Nube

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: El universo es aquel __________________ donde gravitan las __________________, los astros. 2. Completa: El universo mantiene su _________________ y su _________________. 3. Completa: El ______________ Tierra y el hombre están formados por ___________________________. 4. Completa: A la _____________________ lugar donde nos encontramos se le conoce como _____________ Sial. 5. Completa: A la parte líquida del planeta Tierra se le denomina ___________________. 6. Relaciona: I.

Hidrósfera

II. Litósfera

c) a.

Agua

b. Aire c.

9. Marca verdadero corresponda:

Suelo

Rpta: ______________

a)

7. Relaciona: I.

Calcio

II. Hierro

a.

c)

Ca

8. Marca con (V) verdadero y con (F) falso: La fórmula química del agua es H2O. (

a) )

b) El símbolo químico del hidrógeno es H.( ) Colegios

Unidad i Trilce 14

(F) según

La hidrósfera representa la capa líquida. ( ) )

La atmósfera representa la capa gaseosa. ( )

10. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Rpta: ______________

a)

(V) o falso

b) La litósfera representa la capa sólida. (

H

b. Fe c.

El Ca es el elemento más abundante en el universo. ( )

La Teoría de la Evolución explica la existencia del hombre. ( )

b) La Teoría de la Gran Explosión explica el origen del universo. ( ) Central 6198 - 100 279

Química

1° Año de secundaria

c)

Compendio de Ciencias - I BIM

El planeta Tierra es el tercer planeta del Sistema Solar. ( )

11. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

El universo está formado por elementos químicos. ( )

13. Indica, ¿cuál es el primer planeta del Sistema Solar? a) Mercurio d) Marte

b) Venus e) Jupiter

c) Tierra

14. ¿Qué parte de la estructura del planeta Tierra representa a los mares, lagos, ríos?

b) El hombre está formado por elementos químicos. ( )

a)

Atmósfera

b) Hidrósfera

c)

Litósfera

d) Vía Láctea

c)

e)

Núcleo

El núcleo es la parte gaseosa del planeta Tierra. ( )

12. Indica la alternativa incorrecta: a) b) c) d) e)

Aluminio Azufre Plomo Fósforo Flúor

(Al) (S) (Po) (P) (F)

15. ¿Qué elemento químico es el más abundante en el cuerpo humano? a) Carbono d) Nitrógeno

b) Hidrógeno e) Agua

c) Oxígeno

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Tomando las bases teóricas de la Expansión del Universo; redacta en tu cuaderno el siguiente experimento (Grafique o pegue láminas) Materiales • Una regla de 15 cm o 30 cm. Procedimiento

• Un globo de fiesta.

• Un lapicero.

En el globo sin inflar coloca dos puntos con el lapicero, distanciados medio centímetro cada punto. Luego inflar el globo lentamente y observe qué sucede con los puntos.(explique).

280

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 15

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

CienCia y Universo http://gestionsostenibledelagua.files.wordpress.com/2009/01/nino-y-mundo.jpg

31

Unidad i

Ciencia y Universo

CAPÍTULO

3

La ciencia era un misterio, ahora ha avanzado mucho. La ignorancia del hombre, le ha permitido descubrir, inventar y explicar luego lo que está ocurriendo. En el univero se ha encontrado los mismos elementos químicos presentes en la Tierra.

La nucleosíntesis es el proceso mediante el cual se forman nuevos elementos químicos a partir de reacciones atómicas. Se lleva a cabo en el interior de las estrellas y durante las explosiones de supernovas. Lentamente el hidrógeno y el helio se convierte en átomos más pesados.

"Un trozo de materia solar incandescente se desprendió y por haber sido fluída tomó la forma esférica; al enfriarse y girar sobre su eje adoptó la forma ovalada ligeramente achatada en los polos".

Todo lo que vemos en el Universo, incluídos nuestros cuerpos están formados por átomos cuyos núcleos contienen el llamado material bariónico: protones y neutrones; partículas primordiales producidas en el Big Bang que dió origen al universo.

Ciencia y Universo: Ciencia es el conocimiento preciso, cierto y definido de las cosas por sus principios y causas. La ciencia surge del pensamiento para lograr explicar muchos eventos. Universo: es el sistema que presenta características definidas. Lo conforman las estrellas, planetas, satélites y el mismo hombre.

El Sistema Solar donde se ubica nuestro planeta Tierra (tercer planeta, llamado planeta azul) pertenece a la galaxia llamada Vía Láctea. La Tierra presenta un satélite natural llamado Luna. El hombre ha enviado una serie de satélites para una mejor comunicación. El origen del universo se basa en una partícula subatómica fundamental llamada protón y con ello la formación del primer elemento químico llamado hidrógeno. A partir de ello se obtienen los demás elementos químicos. -

La capa sólida de la Tierra se denomina Litósfera.

-

La capa líquida de la Tierra se denomina Hidrósfera.

-

La capa gaseosa de la Tierra se denomina Atmósfera. El aire es una mezcla de gases formada por nitrógeno (N2) y oxígeno (O2) principalmente, que forman parte de la atmósfera.

Colegios

Trilce 16

Sabías que:

Los cosmonautas se ponen escafandra para

protegerse de las radiaciones siderales y también para respirar oxígeno que en algunos lugares no existe aire ni gas parecido.

Central 6198 - 100 281

3

Unidad i

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: El Universo está formado por ____________________________________________________________. 2. Completa: La _______________________ es una _________________________ que estudia las relaciones de los ___________________ con su ambiente. 3. Completa: La ___________________ es el conocimiento preciso, cierto y definido de las cosas. 4. Completa: El planeta Tierra es el tercer planeta del _____________________________________________.

5. Completa: El satélite natural del planeta Tierra es la _________________________. 6. Relaciona: I.

Biótico

II. Abiótico

a.

Hombre

b. Oxígeno gaseoso c.

Corteza terrestre

a.

Bacteria

Rpta: ___________________

7. Relaciona:

I.

Biótico

II. Abiótico

b. Aire c.

Agua

Rpta: ___________________

Colegios

18

Trilce 282

Central 6198 - 100

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(F) según

Las bacterias son componentes de un ecosistema. ( )

11. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

Las rocas son componentes bióticos. ( )

b) Un ecosistema es una comunidad de seres diferentes. ( )

b) La Luna tiene atmósfera.

c)

c)

El protón dió origen al universo. (

9. Marca verdadero (V) o falso

)

(F) según

corresponda: a)

El hombre es un componente abiótico. ( )

b) La hormiga es un componente biótico. ( ) c)

El árbol genera su propio alimento. (

10. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

)

(F) según

Las plantas se denominan heterótrofos. ( )

b) Los ríos son componentes abióticos. ( ) c)

El símbolo del hidrógeno es H. (

)

(

)

El Sol es el centro del Sistema Solar. ( )

12. Indica, ¿cuál es el símbolo del potasio? a) P d) Pb

b) Po e) Kr

c) K

13. ¿Qué elemento es el más abundante en el Universo? a) Helio d) Oxígeno

b) Hidrógeno e) Neón

c) Carbono

14. ¿Qué elemento es el más abundante en el cuerpo humano? a) Carbono d) Nitrógeno

b) Hidrógeno e) Agua

c) Oxígeno

15. Indica lo correcto a componentes bióticos del Ecosistema. I. La pulga a) Sólo I d) I, III

www.trilce.edu.pe

(F) según

II. Ratón b) Sólo II e) Todas

III. Bacteria c) Sólo III

Primer año de secundaria 283

19

3

Unidad i

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: En el sistema solar se encuentra el planeta ______________________________ llamado planeta azul. 2. Completa: La Ecología es una ______________, estudia las ______________ de los seres vivos con su medio ambiente. 3. Completa: El _____________________ es un sistema ecológico. 4. Completa: El planeta ___________________ es el cuarto planeta del Sistema _____________ conocido como planeta rojo. 5. Completa: El ______________________ del planeta Tierra es la Luna. 6. Relaciona: I.

Calcio

II. Carbono

b) El aire forma la atmósfera. a)

C

c)

b) Co c)

9. Marca verdadero (V) o falso corresponda:

7. Relaciona: Ecosistema Natural

II. Ecosistema Artificial

a)

)

(

)

Ca

Rpta: ______________

I.

El Big - Bang explica el origen del Universo.

(

La cuenca Amazónica

b) El pelo de un

(F) según

a) El hombre es un componente biótico.( ) b) La hormiga es un componente abiótico. ( ) c)

El árbol es un autótrofo.

(

)

gato c)

Un acuario

10. Marca verdadero (V) o falso

(F) según

corresponda: Rpta: ______________ a) 8. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a) Colegios

20

Unidad i Trilce 284

(F) según

Las plantas se denominan autótrofos. (

)

b) Los ríos forman parte de la hidrósfera.(

)

c)

)

El símbolo del potasio es K.

(

Las bacterias son componentes abióticos. ( ) Central 6198 - 100

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

Las rocas forman parte de la Litósfera. ( ) b) La Luna es el satélite artificial de la Tierra. ( ) c)

a) Oxígeno

b) Aluminio

d) Sodio

e) Potasio

c) Hierro

14. Indica, ¿cuántos son componentes abióticos? I.

La Luna es el centro del Sistema Solar. ( )

Luz

II. Agua

III. Nubes

a) Solo I

b) I, II

c)

d) Solo III

e) Todas

I, III

12. Indica el símbolo del carbono: 15. Indica, ¿cuántos son autótrofos? a)

Ca

d) Ce

b) Co e)

c)

Cd

I.

Árbol

II. Conejo

III. Zanahoria

a)

Solo I

b) Solo III

c)

C

13. ¿Qué elemento es el más abundante en la corteza terrestre?

d) I y II

e)

I, III

I, II, III

Actividades complementarias

Investiga un poco más: En base al método científico realiza en tu cuaderno un cuadro donde pueda anotar: La textura, el color, la forma, la dureza, la porosidad de los siguientes cuerpos: Materiales: •

Un ladrillo

•

Un trozo de tripley

•

Una esponja

•

Aceite de cocina

explica

utiliza

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Primer año de secundaria 285

21

1

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

estados de agregaCión de la materia

CAPÍTULO

4 ¡El agua sólida es buena para hacer muñecos de nieve!

Agua líquida es la que tomamos

El agua que usamos para beber o para lavarnos se encuentra en estado líquido.

http://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?TemaClave=1046&est=1

La humedad del aire se debe al vapor de agua, que es agua en estado gaseoso.

"El agua es el ejemplo más práctico para observar en el medio donde vivimos los estados en que se presenta, la materia: agua sólida (hielo) agua líquida (agua que tomamos), agua vapor (nubes)".

Las nubes y los rayos El agua que se evapora de los ríos y el océano, queda flotando en el aire. Las nubes son masas de vapor, que toman formas diversas, según la altura a que están los vientos que se soplan a la temperatura de la atmósfera. Si las nubes encuentran aire frío, el vapor de agua se condensa y cae a Tierra en forma de gotas de agua. Si la nubes encuentran diferencias de temperatura muy rápidas y acusadas, el agua no cae en gotas de agua líquida, sino como bolas de hielo. Cuando el frío no es súbito como en una tormenta, sino constante, el agua helada toma la forma de copas de nieve. Las nubes están cargadas de electricidad y también la Tierra. Por ello a veces salta una chispa eléctrica formándose un rayo entre nube a nube o de la Tierra a la nube.

286

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Primer año de secundaria 23

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: El estado de una sustancia depende de _______________________________________________. 2. Completa: El azúcar se encuentra en estado _____________________. 3. Completa: El _____________ es un metal líquido a temperatura ambiente. 4. Completa: La cantidad de materia en un cuerpo se denomina __________________________________________. 5. Completa: La fuerza de atracción gravitatoria que experimentan los cuerpos se denomina __________________. c)

6. Relaciona: I.

Calor

II. Árbol

a. Materia concentrada b. Materia disgregada

10. Marca verdadero

c. Antimateria

a)

7. Relaciona: Mercurio

II. Argón

b. Sólido

c)

c. Gaseoso Rpta: ____________

Los sólidos definidos.

a) no

poseen

volúmenes ( )

b) Los sólidos tienen forma variable. c)

(

)

Los sólidos son menos densos que los gases. ( )

9. Marca verdadero

El bromo es un no metal en estado líquido. ( )

(V) o falso

(V) o falso

(F) según

corresponda:

Los sólidos son muy fluidos.

(

)

b) Los líquidos poseen forma definida. (

)

c)

)

Los gases poseen forma definida.

I.

Árbol

II. Agua de río

III. Corteza terrestre a)

Sólido - Líquido - Gaseoso

b) Sólido - Sólido - Sólido )

c)

b) La energía tiene como unidad al kg. (

)

d) Sólido - Líquido - Sólido

La energía es materia concentrada.

e) www.trilce.edu.pe

(

12. Indica su estado respectivamente:

(

a)

(F) según

(F) según

corresponda: a)

La electricidad es una forma de energía.( )

11. Marca verdadero corresponda: (V) o falso

(F) según

b) La materia de una sustancia se mide por su masa. ( )

a. Líquido

8. Marca verdadero

(V) o falso

corresponda:

Rpta: ____________

I.

La energía es la capacidad de realizar trabajo. ( )

Sólido - Líquido - Líquido Líquido - Líquido - Líquido Primer año de secundaria 287

25

1

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

13. ¿Cuál será la masa que se transformó en energía si se libera 9.1021 ergios de energía? a) 0,01 g

b) 0,1 g

d) 10 g

e) 100 g

c) 1 g

14. ¿Cuál será la energía que se libera al transformarse en energía 10 g de material de uranio?

a) 3.1021 erg b) 9.1021 erg

c) 3.1020 erg

d) 9.1020 erg e) 9.1020 erg 15. ¿Cuál será la energía que se libera en una explosión nuclear de 100 kg de Uranio? a)

3.1018 J

d) 9.1022 J

b) 9.1018 J e)

c)

3.1022 J

9.1021 J

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: El _________________ se encuentra en estado sólido a condiciones ambientales. (alcohol etílico / azúcar) 2. Completa: El ______________ es un no metal en estado líquido a condiciones ambientales. (mercurio / bromo) 3. Completa: La cantidad de _______________________ se denomina masa. 4. Completa: El ____________________ es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre un cuerpo. 5. Completa: La velocidad de 300 000 km le corresponde a la __________. s 8. Marca verdadero (V) o falso (F) según

6. Relaciona:

corresponda: I.

Joule

II. Ergio

Kg m2 s 2 m b. Kg 2 s2 c. g cm2 s a.

Rpta: ______________

a)

Los sólidos poseen volumen definido.(

)

b) Los líquidos poseen volumen definido.(

)

c)

)

El gases poseen volumen variable.

(

9. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

7. Relaciona: I.

Vapor de agua

II. Hielo

Rpta: ______________ Colegios

26

Trilce 288

a.

Gaseoso

a)

La energía es materia disgregada.

(

)

b. Sólido

b) La masa tiene como unidad al kilogramo. ( )

c.

c)

Líquido

La energía eólica es producida por los vientos. ( )

Central 6198 - 100

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

b) Gaseoso - Líquido - Sólido

10. Marca verdadero (V) o falso (F) según

c)

corresponda: a)

La electricidad no es energía.

(

)

(

)

(

)

d) Líquido - Sólido - Líquido e)

b) La materia de un cuerpo se mide con el metro. c)

El boro es un no metal líquido en estado ambiental.

11. Marca verdadero (V) o falso

(F) según

Los sólidos poseen forma definida.

(

)

b) Los líquidos son más fluidos que los sólidos. ( ) c)

Los gases poseen forma variable.

(

Gaseoso - Sólido - Gaseoso

13. ¿Cuál es la energía liberada por 1 000 g de uranio en una explosión nuclear?

corresponda: a)

Líquido - Líquido - Líquido

a)

3 . 1021 erg

b) 9 . 1021 erg

c)

3 . 1023 erg

d) 9 . 1023 erg

e)

9 . 1022 erg

14. ¿Cuál será la masa que se transforma en energía si se libera 18.1021 ergios de energía? a)

)

0,02 g

b) 0,2 g

d) 20 g

e)

c)

2g

200 g

12. Indica su estado físico respectivamente. I.

15. ¿Cuál será la masa en kilogramos que se ha transformado en energía, si se liberó 9.1018 Joule?

Oxígeno molecular

II. Plomo III. Cloro molecular a)

a)

1 kg

b) 10 kg

d) 1 000 kg e)

Gaseoso - Sólido - Líquido

c)

100 kg

0,1 kg

Actividades complementarias

Investiga un poco más: De lo expuesto en el tema de Materia - Estados de la materia realice en su cuaderno un cuadro que contenga las siguientes características: • Estado

• Color

• Forma

• Volumen

• Textura

Para las siguientes sustancias: •

Clavo de acero

•

El aceite de cocina

•

Las nubes

•

Las rocas

ión

So

lid

ific

ac

Fu s

cta ire nd ció n ma ció bli ma a Su bli ers inv Su

ión

Sólido

Vaporización

Gaseoso

Líquido Licuación www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 289

27

2

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

experimento nº 1

CAP

5

Materiales • Una botella de plástico (gaseosa) de 500 mL •

Dos globos de fiesta infantil

•

Hilo - un tubino

•

Servilletas (4 servilletas)

Insumos • Un sobre de bicarbonato de sodio (NaHCO3) de 100 g. •

200 mL de vinagre (rojo) ácido acético CH3COOH

Procedimiento 1. Se coloca la mitad de bicarbonato en un par de servilletas. 2. Se enrolla formando una especie de envoltura de caramelo. Asegurándolo con el hilo. 3. Se introduce este paquete en la botella de plástico la cual contiene el vinagre vertido. 4. Se jala el hilo dejando libre el bicarbonato. 5. Enseguida colocar el globo de fiesta como se indica. 6. El globo se ha llenado con un gas, este gas es el dióxido de carbono (CO2). 7. Seguidamente infle el otro globo de fiesta con aire, amárrelo bien y compare con el globo que está en el CO2 (Anote sus datos).

Practiquemos 1. Completa: El bicarbonato de sodio es ____________________________________________________________. 2. Completa: El ___________________ se encuentra en estado líquido . 3. Completa: El ___________________ tiene por fórmula CH3COOH. 4. Completa: El bicarbonato de sodio tiene por fórmula ______________________________. 5. Completa: Lo que ingresó en el globo unido a la botella fue un ___________________.

Colegios

28

Trilce 290

Central 6198 - 100

PÍTULO

5

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Marca verdadero corresponda:

6. Relaciona: I.

Vinagre

a.

II. Dióxido de carbono

NaHCO3

b. CO2

a)

c.

b) El vinagre es volátil.

CH3COOH

c)

Rpta: ___________________ 7. Relaciona: I.

Vinagre

a.

II. Dióxido de carbono

Sólido

8. Marca verdadero (V) o falso corresponda:

(F) según

)

b) El bicarbonato de sodio es una sal. (

)

c)

)

El vinagre es un ácido.

El dióxido de carbono es un óxido. (

a)

(V) o falso

(F) según

El bicarbonato de sodio es un gas.

)

a)

c)

(V) o falso

Solo I

(

)

Solo I

d) Solo IV

e)

N.A.

II. Más caliente IV. Igual b) Solo II e)

c)

Solo III

Entre III y II

I. Inodoro III. Volátil Solo I

II. Olor fuerte

b) Solo II e)

c)

Solo III

I y III

15. ¿Qué puede afirmar respecto al bicarbonato de sodio? I. Sólido III. Volátil

b) El dióxido de carbono tiene por fórmula química al CO. ( )

a)

c)

d) I, II

)

Solo III

14. Al abrir la botella de vinagre ¿qué sensación experimenta con respecto a su olor?

d) II y III

(F) según

El dióxido de carbono es de color rojo.(

b) Solo II

13. Cuando se retira el globo de la botella. ¿Qué sensación experimenta con respecto a su temperatura?

a)

El dióxido de carbono recogido es muy caliente. ( )

www.trilce.edu.pe

(

II. Más pesado

a)

El gas dentro del globo es mas liviano que el aire dentro de otro globo. ( )

10. Marca verdadero corresponda:

)

I. Mas liviano III. Igual

I. Más frio III. Tibio

b) El bicarbonato de sodio es de color rojo. ( ) c)

(

El vinagre rojo es de mayor acidez que el vinagre blanco. ( )

d) I, II

(

a)

El vinagre tiene aroma agradable.

Gaseoso

Rpta: ___________________

9. Marca verdadero corresponda:

(F) según

12. Cuando se retira el globo de la botella. ¿Qué sensación experimenta con respecto a su peso?

b. Líquido c.

a)

(V) o falso

Solo I

II. Color Blanco

b) Solo II e)

c)

Solo III

Todas

Primer año de secundaria 291

29

2

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Tarea domiciliaria Comprensión de la información

9. Marca verdadero (V) o falso corresponda:

(F) según

1. Completa: a)

El sólido blanco es el __________________. 2. Completa: El vinagre se encuentra en estado __________.

El CO2 gaseoso es más pesado que el aire. ( )

b) El bicarbonato de sodio es un líquido. ( c)

El bicarbonato de sodio es un sólido.

3. Completa: El ácido acético tiene por fórmula química al ______________. 4. Completa:

10. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

El _____________________ tiene por fórmula química al NaHCO3.

(

) )

(F) según

El CO2 gaseoso es de temperatura fria.(

)

b) El ácido acético posee fórmula química CO2. ( ) c)

El CO2 gaseoso es de color blanco.

(

)

5. Completa: El dióxido de carbono es una sustancia en estado ______________.

a)

6. Relaciona: I.

CO2

II. CH3COOH

a.

c)

Líquido

I.

7. Relaciona: II. Bicarbonato de sodio

a.

Color blanco

b. Incoloro c.

8. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: (

)

b) El bicarbonato de sodio es de color rojo. ( ) c)

Colegios

30

Trilce 292

El dióxido de carbono es un gas.

)

El vinagre rojo no es de mayor acidez que el vinagre blanco. ( )

(

A mayor cantidad de bicarbonato de sodio mayor será el CO2 recogido.

II. La cantidad de vinagre y bicarbonato de sodio debe ser proporcional para recoger el CO2 en forma considerable.

a)

El vinagre no es un ácido.

(

)

III. El gas CO2 es de temperatura baja y más liviano que el aire.

Color rojo

Rpta: ______________

a)

El vinagre tiene aroma desagradable. (

12. Indica lo correcto:

Rpta: ______________

Vinagre

(F) según

b) El vinagre no es volátil.

Gas

b. Sólido c.

I.

11. Marca verdadero (V) o falso corresponda:

)

Solo I

d) I, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

I, II, III

13. Menciona lo correcto: I.

El vinagre y el bicarbonato de sodio sufren cambio químico.

II. El CO2 gaseoso es intensamente caliente. III. En este experimento se desarrolló una reacción química. Central 6198 - 100

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

a)

Solo I

d) I, II

b) Solo II e)

c)

Solo III

a)

I, III

d) I, II

14. ¿Cuántas proposiciones son incorrectas? I.

Solo I

El CO2 recogido era de mayor peso que el aire.

b) Solo II e)

c)

Solo III

II, III

15. Indica lo incorrecto respecto a la sustancia bicarbonato de sodio. I.

Tiene por fórmula al CH3COOH.

II. El CO2 recogido poseía temperatura menor que la del aire.

II. Es una sustancia muy volátil por lo que se consigue el gas.

III. El CO2 es conocido como monóxido de carbono.

III. Es un sólido blanco. a)

Solo I

d) I, II

Actividades complementarias

b) Solo II e)

c)

Solo III

I, III

Investiga un poco más: Realice en su cuaderno con sus anotaciones de observación y conclusión del siguiente experimento (realice dibujo o pegue láminas). Materiales • Un vaso traslúcido • Una cucharita

• Una tijerita punto roma

Insumo • Agua potable • 1 sobre (sal de Andrews) o bicarbonato de sodio (2 cucharaditas) Procedimiento En un vaso con agua eche el sobre de la sal de Andrews o las 2 cucharadas de bicarbonato de sodio. Observe y explique lo que sucede.

equivalencia como

como

Carbón

Campo calorífico

Aire

Campo eléctrico

Agua

Campo magnético

Planetas

Campo gravitatorio

Hombre

Átomo www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 293

31

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Cambios de estado

CAP

6

Mi Hogar/El comerio/dom27 dessetiemnre 2009

3

Unidad ii

"La variación de temperatura o de la presión a una determinada sustancia, hace que ésta pase de un estado de agregación a otro".

¿Qué ocurriría se fundiera el hielo depolos? los polos? ¿Qué ocurriría si sesifundiera el hielo de los Las masas de hielo la Tierra tan grandes si repentinamente, se fundieran hielos Las masas de hielo sobresobre la Tierra son son tan grandes queque si repentinamente, se fundieran los los hielos de los de loscasquetes inmensospolares casquetes y de loselglaciares, de subiría los mares m a el inmensos y depolares los glaciares, nivel de el losnivel mares de subiría 45 m a de 60 45 m sobre m sobre el nivel actual. nivel60 actual.

Cambio de estado -

Si se calienta un sólido, llega un momento en que se transforma en un líquido. Este proceso recibe el nombre de fusión. *

-

Si se calienta un líquido, se transforma en gas. Este proceso recibe el nombre de vaporización. *

-

Cada sustancia posee un punto de fusión característico. Cada sustancia posee un punto de ebullición característico.

Si se calienta un sólido y pasa directamente al estado gaseoso. Este proceso recibe el nombre de sublimación directa.

Colegios

32

Trilce 294

Central 6198 - 100

3

PÍTULO

6

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: La naftalina (nombre comercial del naftaleno, C10H8) expuesta al medio _____________________ sufre el proceso de _____________________. 2. Completa: Antiguamente se preparaban los adornos de oro, para esto el hombre __________________ al metal. 3. Completa: El mercurio usado para disolver el oro, se encuentra en estado __________________________. 4. Completa: La acetona es un líquido muy ______________________________. 5. Completa: El hielo seco expuesto al medio ambiente sufre el proceso de _______________________________. 9. Marca verdadero (V) o falso

6. Relaciona: I.

Bencina

II. Hielo seco

a. Volatilización

corresponda:

b. Sublimación

a)

c. Licuación Rpta: ___________________ 7. Relaciona: I.

Agua líquida -

a. Fusión sólida

agua sólida II. Agua líquida -

b. Solidificación

vapor de agua

c. Vaporización

Rpta: ___________________

Solidificación es el cambio de estado sólido a líquido. ( )

b) Sublimación es el cambio de estado sólido a líquido. ( ) c) Colegios

Trilce 34

Evaporación es el cambio de estado gaseoso a líquido. ( )

El hielo seco se encuentra en estado sólido. ( )

b) El hielo seco es muy volátil.

(

)

c)

(

)

El hielo seco es el CO2 gaseoso.

10. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(F) según

El cambio de estado de una sustancia se produce por el cambio de temperatura. ( )

b) El cambio de estado se produce por el cambio de peso de la sustancia. ( ) c)

8. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

(F) según

El cambio de estado de una sustancia se produce por el cambio de masa. ( )

11. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(F) según

El proceso de fusión es endotérmico. (

b) El proceso endotérmico.

de

solidificación

(

) es )

Central 6198 - 100 295

Química

1° Año de secundaria

c)

Compendio de Ciencias - I BIM

El proceso de solidificación es exotérmico. ( )

14. Indica lo correcto: I.

12. Indica lo incorrecto:

El gas CO2 a temperatura ambiente se congela.

II. La bencina es un líquido inflamable. I.

La gasolina es muy volátil.

III. La gasolina es sólida a temperatura ambiente.

II. El agua es muy volátil. III. La acetona es muy volátil

a) a)

Solo I

d) I, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

Solo I

d) I, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

I, II

Todas 15. Indica lo correcto:

13. Indica lo correcto: I. I.

El alcohol etílico hierve a 78 ºC.

La ebullición es un proceso exotérmico.

II. El agua hierve a 100 ºC a nivel del mar. III. El agua hierve a 100 ºC en Huancayo.

II. El agua se congela a 0 ºC. III. El agua hierve a 100º C.

a) a)

Solo I

d) I, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

Solo I

d) I, II

b) Solo II e)

c)

Solo III

I, III

Todas

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: La naftalina se _____________________. 2. Completa: Los metales se _______________________ a temperaturas elevadas. 3. Completa: El agua hierve a 100 ºC transformándose en _________________________. 4. Completa: La gasolina es muy _____________________. 5. Completa: El alcohol etílico es menos _______________________ que la acetona.

296

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Primer año de secundaria 35

3

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

6. Relaciona: I.

a)

Endotérmico

a.

II. Exotérmico

b) El proceso endotérmico.

Fusión

b. Solidificación c.

c)

Vaporización

Rpta: ______________

I. a. H2O(l) → H2O(g)

Solidificación

b. H2O(l) → H2O(s)

II. Licuación

c. O2(g) → O2(l)

8. Marca verdadero (V) o falso corresponda:

(F) según

b) Licuación es el cambio de estado de gas a sólido. ( )

a)

La evaporación es una vaporización lenta. ( ) (V) o falso

El agua es muy volátil.

Solo II

(

)

c)

(

)

El mercurio es un metal líquido. (V) o falso

(F) según

El cobre sólido se funde a bajas temperaturas. ( )

b) El aceite de cocina es muy volátil.

(

)

c)

(

)

Trilce 36

Todas

El alcohol etílico hierve a 120 ºC.

II. El agua se congela a 10 ºC. III. El agua hierve a 100 ºC. a)

Solo I

d) I, II

I.

b) Solo II e)

c)

Solo III

I, III

La naftalina y el hielo seco se subliman.

II. La gasolina y la acetona son líquidos volátiles. III. El gas propano se licua para encerrarlo en los balones de gas. a)

Solo I

El agua de mar se evapora. (V) o falso

(F) según

b) Solo II e)

c)

I, II

Todas

15. Indica lo correcto: I.

La ebullición es un proceso endotérmico.

II. El agua hierve a 100 ºC a nivel del mar. III. El agua hierve a 100 ºC en Huancayo. a)

Solo I

d) I, III Colegios

I, II

13. Indica lo correcto:

d) I, III

11. Marca verdadero corresponda:

e)

c)

14. Indica lo correcto:

b) La naftalina se sublima.

a)

b) Solo III

(F) según

La humedad del ambiente se debe a la evaporación del agua del mar. ( )

10. Marca verdadero corresponda:

es )

El proceso de solidificación es exotérmico. ( )

d) II, III

Solidificación es el cambio de estado de líquido a sólido. ( )

9. Marca verdadero corresponda:

(

III. La acetona es muy volátil.

I.

c)

solidificación

II. La gasolina es muy volátil.

a)

Rpta: ______________

a)

de

)

12. Indica lo correcto:

7. Relaciona: I.

El proceso de fusión es exotérmico. (

b) Solo II e)

c)

I, II

Todas Central 6198 - 100 297

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/94_iniciacion_interactiva_materia/curso/mate..

Actividades complementarias

Pulsa el botón para encender el mechero y observa los cambios. Realiza en tu cuaderno el experimento explicando cada cambio de proceso.

se

cuando

298

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subdividen

cuando

Primer año de secundaria 37

4

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

estados de la materia

CAPÍTULO

7

Cambios de estados

Fusión Fusión

Vaporización Vaporización

Sólido

Líquido

Solidificación

Gaseoso Gaseoso

Licuación

Sublimación Inversa Sublimación Inversa

http://cristiansaez.wordpress.com

Fusión

Sublimación Progresiva Sublimación Sublimación Directa Vaporización

"Los cambios de estado de agregación de la materia en los fenómenos físicos se genera al aumentar o disminuir la temperatura de la sustancia, sin generar cambios de la estructura interna de la sustancia".

r lagos hela ¿Por qué los lagos se congelan desde la superficie hacia el fondo? El hecho de que el hielo sea menos denso que el agua tiene un significado ecológico profundo. Considérese por ejemplo, los cambios de temperatura en el agua de un lago en un clima frío. A medida que la temperatura del agua que está en la superficie disminuye, aumenta su densidad. Así el agua mas fría se sumerge hacia el fondo mientras que el agua caliente, que es menos densa sube hacia la parte superior. Este movimiento normal de convexión continúa hasta que la temperatura, global del agua llega a 4 ºC. Debajo de esta temperatura la densidad del agua empieza a disminuir, al disminuir la temperatura de tal forma que ya no se asienta. Con un enfriamiento mayor, el agua comienza a congelarse en la superficie. La capa de hielo formada no se sumerge porque es menos densa que el líquido, mas aún actúa como un aislante térmico para el agua que queda debajo. Si el hielo fuera más pesado, se iría al fondo del lago cada vez que el agua se congela en la superficie. La mayoría de los organismos vivos que existen en el cuerpo del agua no sobrevivirían. Afortunadamente, esto no ocurre, y es esta propiedad excepcional del agua la que hace posible la pesca en los lagos helados.

Colegios

Trilce 38

Central 6198 - 100 299

4

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Practiquemos 1. Completa: El alcohol etílico, el mercurio y el aceite vegetal se encuentran en estado _____________________. 2. Completa: Cuando la presión atmosférica disminuye, el punto de ebullición de un líquido __________________. 3. Completa: El acero, el bronce y el hierro se encuentran en estado __________________________. 4. Completa: El aire es una mezcla de varios ______________________________.

5. Completa: La solidificación se presenta de ________________________ a ________________________. 9. Marca verdadero corresponda:

6. Relaciona: I.

Sólido

II. Líquido

a.

Oxígeno

a)

b. Cobre c.

Mercurio

(V) o falso

(F) según

El estado sólido se encuentra a elevadas temperaturas. ( )

b) La ebullición es un proceso exotérmico. ( )

Rpta: ___________________

c)

El bromo es un no metal en estado líquido. ( )

7. Relaciona: I.

Sólido

II. Líquido

a.

10. Marca verdadero corresponda:

Bromo

b. Carbono c.

a)

Cloro

Rpta: ___________________ 8. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

(F) según

El agua sufre el proceso de licuación. (

)

b) El gas propano sufre el proceso de licuación. ( ) c)

Colegios

40

Trilce 300

El hierro se encuentra en estado sólido al medio ambiente. ( )

(V) o falso

(F) según

El estado líquido es el mas abundante en el universo. ( )

b) La sublimación directa es un proceso exotérmico. ( ) c)

Un sólido no tiene forma definida.

11. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

El azufre es un sólido.

(

)

(F) según

(

)

b) El cloro es un gas.

(

)

c)

(

)

El carbono es un sólido.

Central 6198 - 100

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

12. Indique los procesos exotérmicos: I.

Fusión

14. Indique lo correcto: I.

El cobre es un metal sólido.

II. Ebullición

II. El sodio es un metal líquido

III. Solidificación

III. El oxígeno es un gas.

a) Solo I

b) Solo II

d) I, II

e) II, III

c ) Solo III

Solo I

d) I, III

13. Indique lo correcto: I.

a)

b) Solo III e)

II. La congelación del agua es un proceso esotérmico.

Todas

I.

La solidificación es un proceso exotérmico.

II. La sublimación se dá para el agua.

III. La fusión es un proceso exotérmico.

III. El agua es muy volátil.

a)

a)

d) I, II

b) Solo II e)

Todas

I, II

15. Indicar lo correcto:

El agua se congela a 0 ºC.

Solo I

c)

c)

I, III

Sólo I

d) I, III

b) Sólo II e)

c)

I, II

Todas

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: El ozono se encuentra en estado __________________. 2. Completa: A mayor presión atmósferica mayor será el punto de ___________________ de un líquido. 3. Completa: El vinagre y el aguardiente se encuentran en estado _________________________. 4. Completa: El aire se encuentra en estado ____________________. 5. Completa: La fusión se presenta de ______________________ a _________________________.

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Primer año de secundaria 301

41

4

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

11. Marca verdadero corresponda:

6. Relaciona: I.

Sólido

II. Líquido

a. Nitrógeno

a)

b. Carbono c. Bromo

Rpta: ______________

Sólido

II. Líquido

(

)

b) El cloro es una sustancia líquida.

(

)

c)

(

)

I.

a. Bicarbonato de Sodio

El azufre es una sustancia líquida. El carbono es un sólido.

Fusión

II. Ebullición

b. Vinagre

III. Solidificación

c. Dióxido de carbono Rpta: ______________

a)

Solo I

d) I, II 8. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

El agua se sublima.

b) El gas propano se condensa. c)

(

)

(

)

El hierro se encuentra en estado líquido al medio ambiente. ( )

9. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a)

El estado físico depende sólo de la temperatura. ( )

b) La ebullición es un proceso endotérmico. ( ) c)

El mercurio es un metal sólido.

(

El estado sólido es el más abundante en la Tierra. ( )

b) La sublimación directa es un proceso endotérmico. ( ) Un sólido no tiene volumen definido. (

I.

42

II, III

El agua se congela a 10 ºC.

III. La fusión es un proceso endotérmico. a)

Solo I

d) I, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

II, III

14. Indique lo correcto: I.

El oro es un metal líquido.

II. El bromo es un metal líquido. III. El helio es un gas. Solo I

d) II, III

b) Solo III e)

c)

Sólo II

I, III

15. Indicar lo correcto: I.

La cristalización es un proceso endotérmico.

II. La sublimación se da para el hielo seco. III. El alcohol es volátil.

) Sólo I

d) I, III Colegios

Solo III

II. La congelación es un proceso exotérmico.

a)

Trilce 302

e)

c)

)

10. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

c)

b) Solo II

13. Indique lo correcto:

a)

a)

(F) según

12. Indique los procesos endotérmicos:

7. Relaciona: I.

(V) o falso

b) Sólo II e)

c)

Sólo III

II, III Central 6198 - 100

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Actividades complementarias

Investiga un poco más: En casa observe cuando y en qué casos se puede observar los siguientes cambios de estado del agua. Redacte y explique su observación en su cuaderno.

Solidificación

Fusión Sublimación Directa

Licuación

www.trilce.edu.pe

Sublimación Inversa

Vaporización

Primer año de secundaria 303

43

1° Año de secundaria

CAPÍTULO

8

Compendio de Ciencias - I BIM

división de la materia http://pe.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titu lo=Divisi%F3n+de+la+materia&url=/kalipediamedia/cienciasnaturales/ media / 2 0 0 7 0 9 / 2 4 / fisicayq uimica/ 2 0 0 7 0 9 2 4 kl p cn afyq _ 2 5 . G es. LCO. png&popw=749&poph=426

5

Unidad ii

"La materia se divide en compuestos, que están formados por elementos simples; éstos se agrupan en moléculas, que están formadas por átomos".

De la Física Clásica a la Teoría Cuántica Los intentos de los físicos del siglo XIX para enterder a los átomos y moléculas se encontraron con éxitos muy limitados. Considerando que las moléculas se comportan como pequeñas pelotas botadoras. Los primeros físicos fueron capaces de predecir y explicar algunos, fenómenos macroscópicos, tales como la presión ejercida por un gas. Sin embargo, el mismo modelo no fue capaz de descifrar la estabilidad de las moléculas. Tomó mucho tiempo para darse cuenta (y aún más aceptarlo) que las propiedades de los átomos y moléculas no están gobernadas por las mismas leyes que funcionan tan bien para objetos grandes. Fue un joven físico alemán llamado Max Planck que en los años 1900. descubrió que los átomos y moléculas emiten energía únicamente en números enteros múltiplos de ciertas cantidades bien definidas. La Teoría cuántica permite predecir y entender el papel crucial que los electrones desempeñan en la química.

Colegios

44

Trilce 304

Central 6198 - 100

O

C

O

H

CompendioCO de Ciencias - I BIM 2

H

H

H 2O

C HCN

N 1° Año de secundaria

Practiquemos 1. Completa: Cuando disolvemos azúcar en agua obtenemos ________________________________ de azúcar. 2. Completa: Una roca sería ___________________ y la arena podría considerarse como _____________________. 3. Completa: La molécula del agua (H2O) es____________________. 4. Completa: Las partículas de un cuerpo se obtiene por medios ______________________________. 5. Completa: Un cuerpo se puede fraccionar por medios ________________________. 6. Relaciona: I.

H2

II. CO2

7. Relaciona: a.

b. Diatómico c.

Rpta: ___________________ Colegios

Trilce

Monoatómico Triatómico

I.

Polvo

II. Electrón

a. Medio mecánico b. Medio nuclear c. Medio físico

Rpta: ___________________ Central 6198 - 100

46

305

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

8. Marca verdadero (V) o falso (F) según 12. Las moléculas se obtienen al dividir la materia corresponda: por medios: a)

El cuerpo es la porción limitada de materia. ( )

b) La partícula se obtiene por trituración.(

)

c)

)

El polvo se obtiene por disolución.

9. Marca verdadero corresponda: a)

(V) o falso

(

a) Químicos d) Atómicos

b) Nucleares c) Físicos e) Electrónicos

13. Indica lo correcto; respecto al medio de obtención de: ?

(F) según

a) Mecánico b) Físico

La molécula siempre es monoatómica.(

)

d) Nuclear

c) Químico

e) Energía Cósmica

b) La molécula se forma por la unión de 14. Indica lo correcto: partículas. ( ) c)

La molécula se obtiene por medios físicos. ( )

10. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

(F) según

La molécula del gas O2 es diatómica.(

b) El amoniaco (NH3) es diatómica. c)

(

)

El gas propano (C3H8) es triatómica. (

)

11. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

)

(F) según

El CH4 es una molécula triatómica. (

)

b) El O3 es una molécula triatómica.

(

)

c)

(

)

El Br2 es una molécula diatómica.

I.

Un clavo es un cuerpo.

II. El Fe es un elemento químico. III. El agua está formada por moléculas de H2O. a) Solo I

b) Solo II

d) I, III

e) Todas

c) Solo III

15. Indica lo correcto: I.

Los elementos químicos están formados por moléculas.

II. El gas propano (C3H8) está formado por moléculas. III. El elemento Hidrógeno está formado por átomos. a)

Solo I

d) II, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

Todas

Tarea domiciliaria Comprensión de la información 1. Completa: Cuando __________________ azúcar en agua obtenemos moléculas de azúcar. 2. Completa: Un árbol sería el ___________________ y el aserrín podría considerarse como ___________________. 3. Completa: La molécula del metano (CH4) es _________________________.

306

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Primer año de secundaria 47

5

Unidad ii

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

4. Completa:

11. Marca verdadero corresponda:

(V) o falso

(F) según

Las moléculas de un cuerpo se obtienen por a)

medios ____________________.

b) Los quark son la última porción de materia. ( )

5. Completa: ______________________ es la materia que se

c)

obtiene por medios químicos.

HI

II. HClO

Los átomos son la mínima unidad del elemento químico. ( )

12. Los átomos se obtienen por medios:

6. Relaciona: I.

La materia se divide en porciones mas pequeñas. ( )

a. Monoatómico b. Diatómico

a) Químicos

b) Nucleares

c. Triatómico

d) Mecánicos

e) Cósmicos

c) Físicos

Rpta: ______________ 13. Indica el proceso utilizado: 7. Relaciona: I.

Partículas

II. Protón

? a. Medio mecánico b. Medio nuclear

a)

c. Medio químico

d) Nuclear

Mecánico b) Físico

c)

Químico

e) Energía cósmica

Rpta: ______________ 14. Indica lo incorrecto: 8. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

(F) según I.

El cuerpo es la porción de materia que se obtiene por reacción nuclear. ( )

b) La partícula se obtiene por disolución.( c)

El polvo se obtiene por reacción química. ( )

9. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

)

(F) según

La molécula es llamada cuerpo.

(

)

b) La molécula se forma por la unión de átomos. ( ) c)

Las moléculas se obtienen por medios químicos. ( )

Un clavo es una partícula.

II. El Fe es un elemento químico. III. El agua está formada por moléculas de H2O. a)

Solo I

d) I, III

b) Solo II e)

c)

Solo III

Todas

15. Indica lo correcto: I.

Los elementos químicos están formados por átomos.

II. El gas CO2 está formado por moléculas. 10. Marca verdadero (V) o falso corresponda: a)

(F) según

La molécula del HI es diatómica.

(

)

(

)

Las moléculas del NH3 es tetratómica.(

)

b) La molécula del CH4 es diatómica. c) Colegios

Trilce 48

III. El líquido mercurio está formado por átomos. a)

Solo I

d) I, II

b) Solo II e)

c)

Sólo III

Todas

Central 6198 - 100 307

Química

1° Año de secundaria

Compendio de Ciencias - I BIM

Actividades complementarias

Investiga un poco más: Conociendo los medios a utilizar para la división de la materia, explique en su cuaderno el desarrollo de la siguiente experiencia. Material:

Insumos:

•

2 vasos de vidrio del mismo tamaño

•

Una cucharita

•

100 mL de agua potable

•

100 mL de alcohol etílico (alcohol medicinal)

•

20 g de sal de cocina

•

Un cronómetro

Procedimiento •

En uno de los vasos echar los 100 mL de agua y agregar los 20 g de sal de cocina, remover lentamente en sentido horario con la cucharita (controle el tiempo). (Anote todas sus observaciones e indique que medio de división de la materia a utilizado en esta experiencia). Realiza lo mismo para el alcohol con la sal.

formado por

formado por

formado por formado por: FUENTES DE INFORMACIÓN a.

Carl Sagan - El Cosmo - Gran divulgador de la ciencia Youtube.com

b. http://www.astrofacil.com/articulos/materia_oscura/Bing-Bang c.

concurso.cnice.mec.es/.../estados/cambios.htm

d. Química. Segunda edición. CEPREUNI

308

e.

Química. Cuarta edición. CEPREUNI

f.

http://es.wikipedia.org/wiki/archivo:tama%c3%b1a_relativo_materia.png

www.trilce.edu.pe

Primer año de secundaria 49