2. Funciones En Varias Variables

Ingeniería Industrial

III

Matemática

Capítulo 1 : FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES...................................................2 1.1

INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN................................................................2

1.2

CAPACIDAD A LOGRAR................................................................................2

1.3

DESARROLLO TEÓRICO – PRÁCTICO........................................................2

1.3.1

FUNCIONES DE DOS VARIABLES........................................................2

1.3.2

DOMINIO DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES..........................2

1.3.3

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES...........4

1.3.4

GRÁFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLE............................4

1.4

CURVAS DE NIVEL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES...............6

1.5

EJEMPLO DE CONTEXTO REAL...................................................................9

1.6

ACTIVIDADES. EJERCICIOS PROPUESTOS.............................................10

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1

III

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Matemática

Guia de Teoría y Práctica Matemática II Semana Nº 1

Capítulo 1 : FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES 1.1 INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN A esta altura de nuestra formación tenemos claro el concepto de funciones en una variable; sin embargo, en muchas situaciones de la vida real aparecen cantidades de dos o más variables. Por ejemplo, si se pide el nivel de rendimiento académico de cada alumno de la UCV, entonces tendríamos que considerar varios factores o variables. Por ejemplo: Estado emocional, situación económica, capacidad de concentración y muchos otros. Para estudiar tales relaciones se necesitan el concepto de función de varias variables. 1.2 CAPACIDAD A LOGRAR Analiza situaciones reales haciendo uso de las funciones de varias variables. Modela situaciones reales y cotidianas. 1.3

DESARROLLO TEÓRICO – PRÁCTICO 1.3.1 FUNCIONES DE DOS VARIABLES Una función de dos variables es del tipo f:

2   ( x, y )  z  f ( x, y )

Las variables x e y son llamadas variables independientes y z es la variable dependiente. Del mismo modo que para funciones de una variable, el número f

z  f ( x, y )

es el valor de

en el punto ( x, y ) .

1.3.2 DOMINIO DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES El dominio de una función se define como el conjunto de puntos que tiene imagen. En general, se entiende que el dominio está dado de manera implícita en la propia fórmula y queda determinado

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2

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por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la fórmula que define la función. EJEMPLOS. funciones.

y  x2

f ( x, y ) 

1.

Indique

y esboce el dominio de las siguientes

2

( x , y )∈ Dom( f )↔ y−x ≥0↔ y≥x



f ( x, y )  ar cos( x  y )

2.

. 2

.

Domf  ( x, y )  2 / y  x 2  0

( x , y ) ∈ Dom( f )↔−1≤x+ y ≤1



Es decir: Para esbozar el dominio graficamos 2 C : y=x

Es decir:



Domf  ( x, y )  2 /  1  x  y  1

 Para

esbozar el dominio graficamos las L1 : x+ y =1 ,

rectas

L2 : x+ y=−1

(fig

f ( x, y ) 

3.

ysenx

f (x , y)=Ln( y Ln(1+x+ y ))

4.

( x , y )∈ Dom( f )↔ yLn(1+ x+ y )≥0

( x, y)∈ Dom( f )↔ ysen( x )≥0↔ [ y≥0 ∧sen( x )≥0( y]  0  Ln(1  x  y )  0)  ( y  0  Ln(1  x  y )  0) ( y  0  (1  x  y )  1)  ( y  0  0  (1  x  y )  1) [ y≤0 ∧sen ( x )≤0 ] ( y  0  ( x  y )  0)  ( y  0  0  ( x  y )  0) Domf  ( x, y ) 2 / ( y  0  senx  0 )  ( y  0  senx  0 ) Domf  ( x, y )  2 / yLn(1  x  y )  0



Para esbozar el dominio graficamos la función seno

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





3

III

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1.3.3

Matemática

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES La cadena de supermercados Metro vende equipos de refrigeración ensamblados y para ensamblar. Las ecuaciones de demanda que relacionan los precios unitarios p y q con las cantidades demandadas semanalmente x e y , de los equipos ensamblados y para ensamblar respectivamente, están dadas por: p  300 

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1 1 x y 4 8

y

1 3 q  240  x  y 8 8

4

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a)

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¿Cuál es la función de ingresos totales mensuales

f ( x, y ) ?

El ingreso semanal por la venta de x unidades ensambladas a p dólares cada uno es $ xp . Y el ingreso semanal por la venta de y unidades por ensamblar, a q dólares cada uno, es $ yq. De esto se deduce que la función ingreso semanal f ( x, y ) está dado por. f ( x, y )  xp  yq 1 1 1 3 x  y )  y (240  x  y ) 4 8 8 8 x 2 3 y 2 xy     300 x  240 y 4 8 4  x(300 

b) ¿Cuál es el dominio de tal función? Para hallar el dominio de la función , debemos de notar que las cantidades x,y,p,q deben de ser no negativas, es decir:

1 1 px≥0 ↔300− x− y≥0 ↔ y≤2400−2 x 4 8 1 1 px≥0 ↔300− x− y≥0 ↔ y≤2400−2 x 4 8

1.3.4

GRÁFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLE La gráfica de una función de dos variables es el conjunto

Dom(f )= {( x, y , z) : ( x, y )∈ Dom(f ) y z=f ( x, y) } 3

Observe que el gráfico es un subconjunto de R que tiene la forma de una superficie en el espacio. La proyección de la gráfica sobre el plano horizontal coincide con el dominio de la función

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Matemática

2 2 Ejemplo. Grafique la función f (x , y )= √9−x − y . Nos damos cuenta que el dominio de la función está conformado por aquellos 2

2

2

2

(x,y) tal que 9  x  y  0 , o equivalentemente x  y  9 .Es decir el dominio es el círcul o de radio 3 y centrado en el origen (incluido su frontera). Para esbozar el gráfico observamos que z es positivo x2  y 2  z 2  9 . y que debe verificar la igualdad Solamente graficamos los z positivos, lo cual se reduciría a la semiesfera superior.

Ejemplo. Grafique la función

f (x , y )=x 2 + y 2

Observamos que el

2

dominio es todo  , además z siempre es positivo. Esta gráfica corresponde a un paraboloide

Ejemplo. Grafique la función f ( x, y )  3 Para representar la función se pone z en lugar de f ( x, y ) con lo que tendríamos z=3, que es la ecuación de un plano horizontal de 3 0 6

1

2

3

4 2 0 Universidad César Vallejo 0

6 1

2

3

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Matemática

1.4 CURVAS DE NIVEL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES Imaginemos que deseamos representar sobre un plano horizontal la topografía de una región. Para esto disponemos de observaciones de distintos puntos del terreno relativas a su altura sobre el nivel del mar. Se conoce además la posición geográfica (latitud, longitud) de cada punto. Podemos anotar esos niveles en un plano a escala y trazar posteriormente líneas que unen puntos que tienen el mismo nivel. Estos conjuntos se llaman curvas de nivel. El trazado de una curva de nivel tiene algo de subjetivo, pues no conocemos exactamente la posición geográfica de todos los puntos que tienen esa altura sobre el nivel del mar. Las curvas de nivel define un mapa en el plano, en el que podemos identificar los puntos altos y bajos del terreno, los valles, las zonas planas y los sectores de fuerte pendiente. En otras palabras, este mapa entrega una gran cantidad de información sobre las características de la topografía del lugar.

k es el subconjunto del dominio de la función conformado por aquellos puntos ( x, y) donde

Formalmente, una curva de nivel de altura

f (x , y )=k . Esto quiere decir que cuando el ( x, y) se mueve sobre una curva de nivel la función se mantiene constante. Es decir es el conjunto

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CN K ={( x , y, z) : (x , y)∈Dom( f ) y f (x , y)=k } La proyección de esta altura de contorno sobre el plano horizontal de coordenadas se llama curva de nivel de altura k de la función f. Debemos tener cuidado al elegir el valor del z adecuado para que el mapa traslade una clara visualización de la superficie. Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la función es constante, es decir las curvas de altura constante sobre la gráfica de la función. Las curvas de nivel permiten representar superficies tridimensionales mediante un mapa de plano.

A continuación con ayuda de las curvas de nivel esbozamos el gráfico de algunas funciones Ejemplos 2

2

Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de f (x , y )= √ x + y =z Solución Nivel z  0 . La curva de nivel se reduce al punto (0,0). Nivel z  1 . La curva de nivel es la circunferencia centrada en el origen y radio 1. Nivel z  2 La curva de nivel es la circunferencia centrada en el origen y radio 2. Nivel z  4 . La curva de nivel es la circunferencia centrada en el origen y radio 4. Nivel z  1 . La curva de nivel es el conjunto vacío. O simplemente decimos que es no existe solución alguna.

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Ejemplos Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de f (x , y)=|x|+|y|=z Solución Nivel z  0 , La curva de nivel se reduce al punto (0,0). Nivel z  1 , La curva de nivel es un rombo de lado 1. Nivel z  2 , La curva de nivel es un rombo de lado 2. Nivel z  4 , La curva de nivel es un rombo de lado 4 Nivel z  1 . La curva de nivel es el conjunto vacío. O simplemente decimos que no existe solución alguna.

Ejemplos 2

2

Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de f (x , y )=x − y Solución Nivel z  0 La curva de nivel se reduce al punto (0,0) Nivel z  1 , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje y Nivel z  4 , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje y Nivel z  1 , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje x Nivel z  4 , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje x

1.5 EJEMPLO DE CONTEXTO REAL 1. La función de producción de Cobb-Douglas. Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es

f  x, y   100 x 0.6 y 0.4 . donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de unidades de capital. Comparar el nivel de producción Universidad César Vallejo

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cuando x =1000 y y = 500 con el nivel de producción cuando x=2000 y y=1000. Solución Cuando x = 1000 y y = 500, el nivel de producción es

f  1000,500   100  10000.6   5000.4   75786.

Cuando x = 2000 y y = 1000, el nivel de producción es

f  2000,1000   100  20000.6   10000.4   151572

Las curvas de nivel de z = f(x,y) se muestran en la figura siguiente. Nótese que al doblar ambas x e y, se duplica el nivel de producción.

2. Suponga que su empresa de periódicos tiene que elegir entre dos programas de tipografía alternativos, Macro Publish y Turbo Publish. Calcula usted que si compra x paquetes de Macro y y paquetes de Turbo, la productividad diaria de su editorial será: U(x,y)=6x0.8y0.2+x , donde U(x,y) se expresa en páginas diarias( a U se le llama función de utilidad). Si x=y=10, calcule el efecto de aumentar x en una unidad e interprete el resultado. Solución Se sabe que U(x,y)=6x0.8y0.2+x, luego si x aumenta en una unidad se tiene lo siguiente: U(x,y)=6(x+1)0.8y0.2+x, ahora observamos que pasa si x=y=10 para ambos casos: U(10,10)=6(10)0.8(10)0.2+10=70 U(10,10)=6(10+1)0.8(10)0.2+(10+1)=92.7137979753

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Matemática

Esto significa que su ganancia aumentó, para ver este aumento veremos las gráficas de cada una 1.6 ACTIVIDADES. EJERCICIOS PROPUESTOS A. En cada uno de los ejercicios describa y esboce el dominio de la función z=f ( x, y ) .

f ( x, y )  x  y

1.

f (x , y )= 2.

1 √ x+ y

f ( x, y )  x  y

3.

f ( x, y ) 

1

4.

x



1 y

f ( x, y )  x  y

5. 6.

2 2 11. f ( x, y)  Ln(1  2 x  4 y ) 1 f (x , y)= √ Ln(1+2x 2+4 y 2 ) 12.

13.

f (x , y)= √ Ln(1+x+ y)

14. f ( x, y )  Ln( xLn(1  x  y )) 15. f ( x, y )  arccos( x  y ) 2 16. f ( x, y)  arcsen( x  y)

f ( x, y )  arctan

f ( x, y ) 

17.

1 1  x2  y 2

f (x , y )=xLny

7. 8. 9.

1  y2

2 2 18. f ( x, y )  sen  ( x  y )

19.

f (x , y )=xLny

f (x , y )=Ln(2+x + y )

1  x2

20.

f (x , y)= √ y cos x x y x y

f ( x, y ) 

10.

f (x , y)= √1−|x|−|y| B. En cada uno de los ejercicios halle las curvas de nivel de las siguientes funciones

1. 2. 3.

f ( x, y ) 

x y

f ( x, y )  Ln

8. 9. y x

f (x , y)= √ x 2 + y 2

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f (x , y )=x−2 y

x 10. f ( x, y )  e

2  y2

2 2 11. f (x , y)= √ x + y

f ( x, y )  x 2  y 2

4. 5.

f ( x, y )  Ln( x 2  y )

12. 13.

f ( x, y ) 

2x x  y2

f (x , y)=

3 xy

2

11

III

Ingeniería Industrial 6. 7.

Matemática 2

f ( x, y )  xy

14.

f (x , y)=

x y

f ( x, y )  1  x  y

C. ACTIVIDADES: APLICACIONES 1. Publicidad. La agencia de viajes PERU TRAVEL Tiene un presupuesto mensual para publicidad de $20 000. Estiman que si gastan x dólares en publicidad en el periódico e y dólares en publicidad en televisión, los ingresos mensuales serán f ( x, y )  30 x1/ 4 y 3/ 4 dólares ¿Cuáles serán los ingresos

mensuales si PERU TRAVEL gasta al mes $5000 en anuncios en el periódico y $15000en anuncios por televisión? 2. Coeficiente Intelectual –El coeficiente intelectual de una persona cuya edad mental es de m años y cuya edad cronológica es de c f ( x, y ) 

100m c

años se define como . ¿Cuál es el coeficiente intelectual de un niño de 9 años con una edad mental de 13.5? 3. Masa Corporal – El índice de masa corporal (IMC) se utiliza para identificar, evaluar y dar tratamiento a los adultos sobre obesidad. El valor del IMC para adulto de peso w (en Kilogramos) y estatura h (en M  f ( w, h) 

w h2

metros) se define como . Según los criterios médicos, un adulto tiene sobrepeso si tiene un IMC entre 25 y 29.9 y es obeso si ese índice es mayor o igual a 30 ¿Cuál es el IMC de un adulto que pesa 80kg y mide 1.8m de estatura? ¿Cuál es el peso máximo que debe tener un adulto de 1.8m de estatura para no ser clasificado como sobrepeso u obesidad? 4. Funciones De Ingresos Country Workshop fabrica muebles acabados y sin acabar para el hogar. Las cantidades estimadas demandadas cada semana de sus escritorios en las versiones acabada y sin acabar son x y y unidades cuando los precios unitarios correspondientes son (en dólares) respectivamente

1 1 x− y 10 4 Indique usted la función de ingresos totales R ( x , y ) . p = 200 −

1 1 x− y 5 10

q = 160 −

5. Funciones De Ingresos La compañía editorial publica una encuadernación de lujo y una económica de su diccionario de lengua

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inglesa. La gerencia estima que el número de copias de lujo demandadas es de x ejemplares por día, y el número de copias económicas demandadas es de y ejemplares por día cuando los precios unitarios son (dólares) respectivamente.

p= 20 − 0.005 x − 0.001 y

q= 15 − 0 .001 x − 0 .003 y

Indique usted la función de ingresos totales

R (x,y)

6. Área De La Superficie De Un Cuerpo Humano Una fórmula empírica de E. F. Dubois relaciona el área de la superficie S de un cuerpo humano (en metros cuadrados) con su peso W (en kilos) y H su estatura (centímetros).La fórmula, dada por

S = 0 .007184 W

0 . 425

H

0 .725

es utilizada por los fisiólogos para estudiar el metabolismo del ser humano. Determine el dominio de la función S ¿Cuál es el área de la superficie de una persona de 70 Kg. Y cuya estatura es 178 cm?. 7. Incendios Intencionales Un grupo de expertos civiles y detectives de la policía realizó un estudio de los posibles incendios intencionales en una ciudad estadounidense. Se encontró que el número de los posibles incendios intencionales durante 1992 estaba muy relacionado con la concentración de beneficiarios del sistema público de habitación y el nivel de reinversión en el área, con hipotecas convencionales otorgadas por los diez bancos principales; de hecho la cantidad de incendios se podía aproximar con bastante precisión mediante la fórmula 100(1000 + 0.03x 2 y )1 /2 (0≤ x ≤ 150 ; 5 ≤ y ≤ 35) (5 + 0.2)2 y el nivel de la x denota las personas censadas y N (x,y)=

donde reinversión en el área, en centavos por dólar depositado. Con esta fórmula, estime la cantidad total de posibles incendios intencionales en los distritos de la ciudad, donde la concentración de vivienda pública era de 100 por censo y el nivel de reinversión era de 20 centavos por dólar depositado.

8. Interés Compuesto En Forma Continua Si se deposita un capital de P dólares en una cuenta que genera intereses a razón de r por año compuesta en forma continua, la cantidad acumulada al cabo rt

de t años está dada por A = f (P , r , t ) = Pe dólares ¿Cuál es la cantidad acumulada al cabo de tres años si se deposita una suma de $10000 en una cuenta que genera intereses a razón de 10% por año?

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9. Hipotecas El pago mensual que amortiza un préstamo A dólares en t años cuando la tasa de interés es r por año está dado por P = f ( A, r, t) =

Ar r 12

−12 t

[ ( ) ]

12 1 − 1 +

¿Cuál es el pago mensual por una hipoteca de $100000 amortizada durante 30 años a una tasa de interés de 8% anual? ¿Y con una tasa de interés de 10% por año? Indique el pago mensual por una hipoteca de $100000 amortizada durante 20 años a una tasa de interés de 8% anual.

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