Adn-i-005-i91 - 20191127 - La Info Adicional Y La Dism De Los Niveles De Incertidumbre.pdf

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

ADN-I-005

Business School UNIVERSIDAD DE LA SABANA

LA INFORMACIÓN ADICIONAL Y LA DISMINUCIÓN DE LOS NIVELES DE INCERTIDUMBRE

Copyright ©1994, INALDE. Nota Técnica elaborada por el Área de Análisis de Decisiones de INALDE, basada en el libro "Quantitative Methods in Management" de Paul A. Vatter, Stephen P. Bradley, Sherwood C. Frey, Jr., Barbara B. Jackson, de Harvard University Graduate School of Business Administration, como base de discusión y no como ilustración de la gestión, adecuada o inadecuada, de una situación determinada. Revisado: Febrero de 2013 Prohibida la reproducción, total o parcial.

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE

AD-N-1-005

LA INFORMACIÓN ADICIONAL Y LA DISMINUCIÓN DE LOS NIVELES DE INCERTIDUMBRE

l. INTRODUCCIÓN Ya vimos cómo cuando llevamos a cabo la estructuración de las alternativas de un problema, debemos considerar la interrelación que hay entre las diferentes variables que lo componen. Vimos también que una forma conveniente de hacer eso es a través de un árbol o diagrama de decisiones, que se caracteriza por hacer esa integración teniendo en cuenta el orden en el cual las decisiones se deben tomar y el orden en que el decisor aprende o conoce acerca de los resultados o consecuencias de los estados. Pensemos que el decisor esta parado en uno de los nodos del árbol. Todo lo que ya ha sucedido está detrás de él, mientras que el resto de cosas que están adelante de él están por suceder en el futuro. La secuencia de tiempo del árbol también es aplicable a las probabilidades asociadas con cada uno de los nodos de eventos del problema. Es decir, para un particular nodo de eventos, sus probabilidades asignadas deben reflejar, además de toda la información que el decisor posee sobre el problema, el nivel de información y conocimientos adquiridos, fruto de que todas las decisiones y eventos que nos llevan a dicho nodo, ya han sucedido. En términos técnicos, esa probabilidad es una probabilidad condicional, condicionada por la información general del decisor y por toda la información que se ha adquirido anteriormente en el árbol. Dos de las situaciones que comúnmente enfrentamos en los problemas de análisis de decisiones, están relacionadas con cómo actualizar las asignaciones de probabilidad de una variable específica cuando hemos obtenido información adicional a cerca de ella, y con cómo evaluar la conveniencia económica de si debemos o no recolectar información adicional para mejorar el nivel de incertidumbre sobre dicha variable. El propósito de esta nota técnica es desarrollar técnicas que permitan, mediante su uso, dar respuesta adecuada a ambas necesidades.

2. PROBABILIDADES CONDICIONALES Y EL TEOREMA DE BAYES Para ilustrar el significado de "probabilidad condicional" consideremos como ejemplo el procedimiento que se requiere para probar componentes de algún tipo. Este proceso por naturaleza no es perfecto, ya que a veces puede indicar que un componente está correcto cuando en realidad no lo está y viceversa. Igualmente, es común que el chequeo sea

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 enteramente consistente para un componente individual. Es decir, que si se le realizan pruebas adicionales a un componente, estas producirán siempre el mismo resultado del primer chequeo. En la figura 1, se muestra en forma de árbol un proceso de este estilo. En él las probabilidades para los estados "componente bueno" y "componente defectuoso", de los nodos de eventos 1 y 2 deben ser probabilidades condicionales, ya que cuando se llega a uno de estos nodos, ya se conoce el resultado de si el chequeo fue bueno o fue malo. Por lo tanto, las probabilidades del nodo 1 deberán asignarse y señalarse como la probabilidad de que el componente sea bueno dado que el chequeo ha dicho que esta bueno y como la probabilidad de que el componente sea defectuoso después de que el chequeo ha dicho que esta bueno. Igualmente las probabilidades del nodo dos deben asignarse y señalarse como las probabilidades para el estado real del componente después de que el chequeo haya dicho que este está defectuoso.

FIGURA 1 "BUENO"

"BUENO" "MALO"

USAR PRUEBA

"BUENO"

---G) "MALO"

"MALO" NO USAR PRUEBA

2

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 En muchos problemas de decisión, el decisor puede encontrar más fácil asignar unas probabilidades que pueden no corresponder a los estados que directamente definimos en el árbol de decisiones del problema. Por ejemplo, en nuestro caso se puede hacer un intento para calibrar la prueba de los componentes, a fin de conocer que tan exacta es ella. Una manera lógica de hacer esto es someter a chequeo un lote de componentes que incluya algunos que sabemos que son buenos y algunos que sabemos que están defectuosos. Los resultados obtenidos nos definen la medida de que tan frecuentemente el proceso de prueba identifica correcta o incorrectamente los componentes defectuosos o buenos. Esta medida da precisamente lugar a unas probabilidades condicionales, en donde los resultados de la prueba están condicionados a que los componentes se encuentren realmente buenos o defectuosos. Sin embargo, ya vimos como en el árbol de la figura 1 las probabilidades que requerimos son las de que los componentes sean buenos o malos condicionadas a buenos o malos resultados del chequeo. En este numeral consideremos cómo transformar un grupo de probabilidades condicionales, como las obtenidas con la calibración, en otro grupo de probabilidades condicionales como las definidas como necesarias para resolver el árbol de nuestro ejemplo. Como una ilustración adicional de la tarea a desarrollar, en la figura 2 se presentan los dos nodos de eventos en el orden en el que ocurrirán durante la calibración, en ella los componentes buenos y malos primero se identifican y luego se someten a prueba.

FIGURA2

"BUENO"

"BUENO

ESTADO DEL COMPONENTE

"MALO"

"BUENO"

"MALO

"MALO" 3

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 El proceso de cambiar el orden de los nodos y de asignarle a los que realmente necesitamos las probabilidades asociadas con ellos, se conoce usualmente con el nombre de "mutación de probabilidades" o "mutación de árboles". Comenzaremos con un ejemplo muy sencillo en el que todas las probabilidades de interés se pueden encontrar y luego procederemos a analizar el problema en forma más general. Para ello consideremos una ruleta como la que se muestra en la figura 3. Notemos que la rueda tiene 25 espacios y a cada uno le corresponde un número que está entre 1 y 25. Supongamos que la ruleta es "justa", es decir, que es igualmente probable que al girar, ella se detenga en cualquiera de los espacios.

FIGURA3

1111

rojo

D

negro

El primer tipo de pregunta que usualmente nos hacemos es ¿cuál es la probabilidad de que al girar la ruleta esta se detenga en uno de los espacios rojos? Como al hacernos esta pregunta suponemos que no tenemos conocimiento previo sobre otros resultados, estas probabilidades reciben el nombre de "probabilidades incondicionales", ya que no están 4

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

lNALDE AD-N-1-005 condicionadas a ninguna otra información inherente al problema (1). De manera semejante podemos preguntarnos por la probabilidad de que el resultado sea negro, par o impar. Por convención, dichas probabilidades incondicionales, las escribimos en la siguiente forma:

P(R)= Probabilidad de caer un espacio rojo en el siguiente giro. P(P)= Probabilidad de caer un número par en el siguiente giro. En este ejemplo podemos encontrar las probabilidades incondicionales simplemente contando. Sabemos que hay un total de 25 espacios en la rueda. De estos, podemos ver que 24,8,25,20,12,14,22,15,7 y 10 son rojos. Por lo tanto como 10 de los 25 espacios son rojos y como estamos suponiendo que la probabilidad de que la ruleta caiga en un espacio cualquiera es la misma para todos los espacios, la probabilidad de ocurrencia de un rojo es de 10 en 25, o 10/25. Igualmente, podemos ver que el 6,17,1,13,18,4,11,19,5,21,3,9,2,16 y 23 aparecen en negro, luego la probabilidad de ocurrencia de un espacio negro es 15/25. También podemos contar 12 números pares y 13 impares, luego las probabilidades de par o impar son 12/25 y 13/25 respectivamente. Por lo tanto, P(P)=12/25, P(I)=13/25, P(R)=10/25,P(N)=15/25.

2.1 Probabilidades conjuntas. Podríamos formularnos otras preguntas sobre el siguiente giro de la ruleta. Por ejemplo, podríamos estar interesados en la probabilidad de que en el siguiente giro la rueda cayera en un número par de un espacio negro. Dicho resultado (par y negro) se llama un resultado conjunto, y su probabilidad es una probabilidad conjunta. Las probabilidades conjuntas se escriben convencionalmente como: P(P,N) = probabilidad de par y negro. Notemos que el orden de P y N entre el paréntesis no importa, porque si un estado es par y negro, entonces con certeza será también negro y par. En otras palabras, P (P,N) = P(N,P). Así como encontramos las probabilidades incondicionales contando, podemos encontrar las probabilidades conjuntas de la misma manera. Por ejemplo, sabemos que hay 15 espacios negros en la rueda. De estos, contamos 5 con números pares (18,4,2,16,6) y 10 con números impares (17,1,13,11,19,5,21,3,9 y 23). Por lo tanto, de los 25 espacios de la rueda, hay exactamente 5 que son al mismo tiempo negros y pares. La probabilidad conjunta de Es obvio que esta incondicionalidad se refiere a sucesos propios de un problema, pues en general, toda probabilidad está condicionada al conocimiento que tiene el decisor sobre cada una de las variables del mismo. 1

5

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005 INALDE negro y par es 5/25. De igual manera, podemos hallar las otras cuatro probabilidades conjuntas: P(P,N) = 5/25

P(P,R) = 7/25

P(I,N) = 10/25

P(I,R) = 3/25

2.2 Probabilidades condicionales. Preguntas condicionales sobre el resultado de un nuevo giro de la rueda, llevan a probabilidades condicionales, las cuales tienen una aplicación muy real en los árboles de decisión. Por ejemplo, podemos preguntarnos por la probabilidad de caer en un número impar, si ya sabemos que caímos en un espacio rojo. Esta probabilidad, es una probabilidad condicional. El estado "impar" está condicionado por la información que el espacio es rojo. Al considerar probabilidades condicionales, lo que en realidad estamos haciendo es limitar nuestra atención a un subgrupo de los estados que habíamos considerado como posibles. Acá, nos estamos limitando a los estados asociados con puestos rojos. Dentro de este subgrupo de estados, nos preguntamos qué fracción satisface alguna otra condición, que es, que el número sea par. Simbólicamente, las probabilidades condicionales se escriben con una línea inclinada dentro del paréntesis que simboliza la probabilidad. Los resultados que ya se conocen se escriben a la derecha y debajo de la línea, y el estado cuya probabilidad condicional se desea conocer se escribe a la izquierda y arriba de esa línea. Así, la probabilidad de un número impar, si sabemos que el espacio es rojo se escribirá P(I/R) y se lee "la probabilidad de un número impar, dado un espacio rojo." Donde "dado" significa "condicionado al saber que". Algunos ejemplos de probabilidades condicionales para la ruleta son: P(P/R) = Probabilidad de un número par, dado un espacio rojo. P(I/R) = Probabilidad de un número impar dado un espacio rojo. P(R/I) = Probabilidad de un espacio rojo dado un número impar. Notemos la diferencia entre la segunda y tercera probabilidad. En la segunda, ya sabemos que el marcador es rojo y queremos la probabilidad de que también sea impar. En la tercera, sabemos que el marcador es impar y queremos la probabilidad de que también sea rojo. Los valores de las probabilidades condicionales para la ruleta, también pueden hallarse contando. Por ejemplo, para hallar P(I/N) primero limitamos nuestra atención a los 15 6

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 espacios negros que hay en la rueda. De estos espacios, hay 10 que son números impares. Luego la fracción de espacios negros que tienen números impares es 10/15; este número es P(I/N). (Nótese que usamos 15 y no 25, en el denominador porque estamos considerando solamente el subgrupo de los espacios negros y no todos los espacios de la rueda). Podemos continuar contando para obtener otras probabilidades condicionales:

P(I/N) = 10/15 P(P/N) = 5/15 P(I/R) = 3/10 P(P/R) = 7/10

P(N/I) = 10/13 P(R/I) = 3/13 P(N/P) = 5/12 P(R/P) = 7/12

2.3 Cálculo de probabilidades a partir de otras probabilidades En la mayoría de las situaciones en las que se presentan variables inciertas y por lo tanto se utilizan las probabilidades para reflejar esa incertidumbre, el procedimiento directo de conteo para hacer su asignación no es posible. Adicionalmente, ya vimos como en muchas ocasiones las probabilidades de que el decisor encuentra factibles de asignar no corresponden a los estados que directamente se necesitan para ser usados en el árbol de decisiones del problema. Para estas situaciones, existe una metodología para calcular probabilidades a partir de otras probabilidades que ya son conocidas o que pueden ser asignadas. Para explicar dicha metodología continuaremos con nuestro ejemplo de la ruleta pero supondremos que tenemos solamente disponibles las probabilidades dadas en las tablas 1 y 2.

Tabla 1 Probabilidades incondicionales para color ROJO

10/25

NEGRO

15/25

Tabla 2 Probabilidades condicionales para par o impar dado el color PAR

ROJO

IMPAR 3/10

NEGRO

10/15

5/15

7

7/10

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005 INALDE Así estamos suponiendo que contamos con un grupo de probabilidades incondicionales para el color y con un grupo de probabilidades para los estados par o impar, condicionadas al color. El problema consiste en que necesitamos el otro grupo de probabilidades condicionadas (aquellas para color condicionadas a par o impar) para ser utilizadas en un árbol de decisión.

Partiremos utilizando la información de las tablas 1 y 2 para calcular P(R/I), P(N/I), P(R/P) y P(N/P). Los siguientes dos numerales explican sendos métodos completamente equivalentes para hallar las probabilidades requeridas. En uno utilizaremos tablas y en el otro utilizaremos árboles. En ambos métodos la idea general es comenzar con un conjunto de probabilidades incondicionales y con un grupo de probabilidades condicionales conocidas o asignables (como las que aparecen en las tablas 1 y 2), calcular unas probabilidades conjuntas, luego un conjunto de probabilidades incondicionales y finalmente el segundo grupo de probabilidades condicionales, tal como las requerimos.

2.3.1 El método tabular En el método tabular primero calculamos las probabilidades conjuntas, utilizando una regla que establece que la probabilidad conjunta de dos estados, es simplemente el producto de la probabilidad incondicional de uno de los estados por la probabilidad condicional del segundo estado dado el primero. Para nuestro ejemplo, la regla establece que la probabilidad conjunta de rojo y par es el producto de la probabilidad de rojo por la probabilidad condicional de par, dado rojo: P(R,P) = P(R)*P(P/R). Intuitivamente, podemos explicar esta regla como sigue: para hallar la probabilidad del estado rojo y par, primero consideramos la fracción de todos los posibles estados que sean rojos, la cual en este ejemplo es P(R), o 10/25. Luego buscamos la fracción de ese subgrupo que es par: P(P/R), o 7/ 10. Finalmente, si 7/10 de los 10/25 son rojos y pares, entonces 7/10*10/25=7/25 es la fracción de todos los estados que son rojos y pares, o P(R,P). Usando esta regla, podemos hallar las probabilidades conjuntas de la tabla 3.

Tabla 3 Probabilidades conjuntas

ROJO

IMPAR 3/10*10/25=3/25

NEGRO

10/15*15/25=10/25 5/15*15/25=5/25

PAR 7/10*10/25=7/25

Procederemos ahora a calcular el segundo grupo de probabilidades incondicionales utilizando otra regla. Con las probabilidades conjuntas en a tabla 3, podemos identificar 8

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 dos estados que involucran el estado "número par". El estado de rojo y par y el estado de negro y par. Para hallar la probabilidad del estado par, simplemente adicionamos todas las probabilidades conjuntas que involucren el número par, o sea P(P,R) y P(P,N). Por consiguiente P(P)=12/25. Notemos que esta operación es equivalente a sumar todas las probabilidades en la columna de pares de la tabla 3. Igualmente, podemos sumar las probabilidades incondicionales del estado "número impar". Las operaciones anteriores se muestran en la tabla 4.

Tabla 4 Probabilidades conjuntas e incondicionales IMPAR

PAR

ROJO

3/25

7/25

10/25=P(R)

NEGRO

10/25

5/25

15/25=P(B)

13/25=P(I)

12/25=P(P)

En este punto de nuestros cálculos hemos encontrado las probabilidades conjuntas y un segundo juego de probabilidades incondicionales. Ahora procedemos a buscar el segundo juego de probabilidades condicionales. Para hacerlo, simplemente dividimos las probabilidades conjuntas por las probabilidades incondicionales que nos permitan calcular la probabilidad condicional de aquellos estados que estamos buscando. Por ejemplo: P(R/I)= P(I,R)/P(I) = 3/25 / 13/25 = 3/13. Lo que hemos hecho es tomar la fracción de todos los posibles estados que son impares, P(I), luego hemos tomado la porción de esa fracción que es también roja, P(I,R) y así hemos determinado la posibilidad para el estado rojo condicionado al estado impar. El resultado en general es el grupo de probabilidades condicionales mostrado en la tabla 5(2)

2

La tabla muestra los resultados de aplicar las fórmulas P (R/1) = P (I,R) / P (1) P (R/P) = P (P,R) / P (P)

P (N / 1) = P (l,N) / P (1) P (N / P) = P(P,N) / P(P)

9

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005

INALDE

Tabla 5 Probabilidades condicionales de color dado par o impar

ROJO

IMPAR 3/13

NEGRO 10/13

PAR 7/12 5/12

En este punto hemos alcanzado lo que nos habíamos propuesto. A partir de las probabilidades de las tablas 1 y 2. Calculamos las probabilidades conjuntas y luego el segundo grupo de probabilidades incondicionales en la tabla 4. Finalmente, encontramos el segundo grupo de probabilidades condicionales en la tabla 5 (notemos que las probabilidades en esta tabla son las mismas que encontramos anteriormente en el numeral 2.2). El principio involucrado en este grupo de pasos se conoce generalmente como el Teorema de Bayes(3).

2.3.2 El método del árbol En el método alternativo para manipular probabilidades se emplean los árboles de decisiones. Con este método, podemos representar la información de las tablas 1 y 2 en un árbol de probabilidad, como el que se muestra en la figura 4. Notemos que en este árbol, las probabilidades del primer nodo de eventos son incondicionales con respecto al resto de estados del problema, ya que al encontrar este primer nodo no tenemos ninguna información previa sobre los resultados de los otros estados que lo condicionen. En cambio, cuando llegamos al nodo A del árbol, ya sabemos que el espacio es rojo 3

Para el desarrollo del Teorema de Bayes en su forma usual, se deben dar los siguientes pasos: l. P(R/l)=P(I,R)/P(I), como se mostró arriba. 2. A P(I,R) lo sustituimos por P(I/R)P(R) 3. A P(I) lo substituimos por P(l,R) + P (I,N), que pueden reemplazarse por P (I/R)P(R) + P(I/N)P(N). 4. Llegamos a: P(l/R) P(R) P(R/I) = ---------­ P(I/R) P(R) + P(I/N) P(N)

Pasos enteramente similares pueden seguirse para .hallar P(R/P), P(N/1) , y P(N/P). Por ejemplo, P(P/N) P(N) P(N/P) - ------------------------------------­ P(P/N) P(N) + P(P/R) P(R)

10

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 (recordemos que está detrás de él ya ha sucedido), por lo tanto los estados que salen de dicho nodo, deben señalar esta condicionalidad y así deben expresarse las probabilidades condicionales para los estados par e impar.

FIGURA4 IMPAR

G)

P(I/R)=3/10

ROJO P(R)=l0/25 P P/R =7/10 PAR

0

IMPAR P(I/N)=lü/15 P(N)=15/25 NEGRO P(P/N)=S/15 PAR

Como en el método tabular, en el método del árbol seguimos una secuencia para calcular primero las probabilidades conjuntas, luego el segundo grupo de probabilidades incondicionales, y finalmente las probabilidades condicionales restantes. Primero, para hallar las probabilidades conjuntas, notemos que cada punto final denota un estado conjunto. Por ejemplo, el punto final marcado B en la figura 4 representa el resultado conjunto de rojo y par. Marcaremos cada punto final con la probabilidad conjunta del estado conjunto que representa. Para hacer esto, simplemente multiplicamos todas las probabilidades sobre el camino, desde la raíz del árbol hasta ese punto final. Para el punto final B, multiplicamos 10/25 y 7/10 para obtener 7/25. Las demás probabilidades conjuntas se encuentran de manera análoga, tal como se muestra en la figura 5.

11

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005

INALDE

FIGURAS IMPAR P(I/R)=3/10

3/25= P(R,I)

ROJO P(R)=lü/25 P(P/R)=7/10 PAR IMPAR P(I/N)=lü/15

7/25= P(R,P)

10/25= P(N,I)

P(N)=15/25 NEGRO P(P/N)=S/15 PAR

5/25= P(N,P)

Ahora para hallar la probabilidad incondicional del estado impar, o P(I), simplemente sumamos las probabilidades de todos los puntos finales que representan resultados conjuntos involucrando números impares. Así encontraremos también la probabilidad incondicional de par. Luego, P(1)=3/25 + 10/25 == 13/25 y P(P)= 12/25. Finalmente debemos obtener el segundo grupo de probabilidades condicionales; P(R/1), y así sucesivamente. Nótese que para representar estas probabilidades en un árbol de decisiones, debemos dibujar el árbol con el nodo de par o impar primero, tal como se muestra en la figura 6. Sobre este árbol las probabilidades conjuntas y el segundo grupo de incondicionales, que calculamos previamente, también han sido incluidas.

12

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE

AD-N-1-005

FIGURA6 ROJO

3/25

P(R/I) IMPAR P(I)=l3/25 P(N/1)

NEGRO

10/25

ROJO 7/25 P(R/P) P(P)=12/25 PAR P(N/P)

NEGRO

5/25

Nuestro trabajo final es encontrar los valores para las probabilidades que hemos llamado el segundo grupo de probabilidades condicionales. Esto se hace directamente. Por ejemplo, sabemos la probabilidad conjunta en el punto final C (rojo y par). Adicionalmente, conocemos P(P). Finalmente, sabemos que la probabilidad en el punto final debe ser el producto de las probabilidades de los estados que se encuentren a lo largo del camino que lleva a ese punto. Luego, P(P), ó 12/25, y P(R/P) deben multiplicarse para dar P(R,P), ó 7/25. Entonces, P(R/P) es simplemente P(R,P) dividido por P(P). P(R/P)= (7/25)/(12/25)=7/12. Igualmente, podemos dividir los otros puntos finales por las probabilidades incondicionales para obtener las probabilidades condicionales mostradas en la figura 7. Nótese que estas probabilidades son iguales a las obtenidas con el método tabular ya que de hecho, la matemática utilizada fue realmente la misma en ambos casos. Como manifestamos previamente, el proceso de cambiar el orden de los nodos en el árbol de decisiones, tal como lo hicimos para ir de la figura 4 a la 7 se conoce con el nombre de "mutación del árbol".

13

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005

INALDE

FIGURA 7

ROJO P(R/I)=3/13

3/25

IMPAR P(I)=l3/25 P(N/I)= 10/13 NEGRO ROJO P(R/P)=7/12

10/25

7/25

P(P)=12/25 PAR P(N/P)=5/12 NEGRO

5/25

2.3.3 Otro ejemplo Como un segundo ejemplo para aplicar la metodología presentada anteriormente, regresaremos a la prueba de componentes buenos y defectuosos que se describió al comienzo de esta nota técnica. Recordemos que un componente podía estar bueno o defectuoso y que la prueba podría decir que estaba "bueno o dañado". Vamos a suponer que sabemos que una tercera parte de los componentes están defectuosos y que dos terceras partes están buenas. Además que la prueba identifica correctamente tres cuartas partes de los componentes buenos, pero dice que una cuarta parte de ellos están malos. Por consiguiente, P(prueba diga bueno/componente bueno)=3/4. Igualmente, supongamos que la prueba identifica correctamente cuatro quintos de los componentes malos, pero dice que un quinto de ellos están buenos. Luego, P(prueba diga bueno/componente malo)=l/5. Utilizaremos la siguiente notación: TB significa que la prueba dice que el componente está bueno, TM significa que la prueba dice que está malo, CB significa que el componente está bueno, y CM significa que el componente está malo.

14

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE

AD-N-1-005

Tabla 6 Probabilidades incondicionales CB

2/3 Si usamos el "método del árbol", partiremos del árbol de decisiones de la figura 8. Posteriormente podríamos calcular las probabilidades conjuntas como se muestra en los puntos finales de la figura 9. Finalmente, podríamos hallar el segundo grupo de probabilidades incondicionales, llenar los puntos finales del "árbol mutado", y encontrar el segundo grupo de probabilidades condicionales, como se muestra en la figura 10.

FIGURAS TB P(TB/CB)=3/4 CB P(CB)=2/3 P(TM/CB)=l/4 TM TB P(TB/CM)=l/5 P(CM)=l/3 CM P(TM/CM)=4/5 TM

15

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005

INALDE

FIGURA9

TB

6/12

3/4

CB 2/3

TM

2/12

1/4

TB

1/15

1/5

CM 1/3

TM

4/15

4/5 FIGURA 10

c P(CB!TB)=30/34

T P(TB)=34/60

P(CM!TB)=4/34 CM

c

P(CB!TM)=10/26

TM P(TM)=26/60

P(CM!TM)=16/26 16

CM

6/12

1/15 2/12

4/15

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE

AD-N-1-005

3. Cálculo de la ganancia económica debida a información adicional. La pregunta final que responderemos en esta nota técnica es ¿cómo evaluar la conveniencia económica de si debemos o no recolectar información adicional para mejorar el nivel de incertidumbre sobre alguna o algunas de las variables aleatorias de nuestro problema. Cinco consideraciones iniciales debemos hacer antes de dar respuesta a nuestra última inquietud. La 1) es la conveniencia de determinar a través del "análisis de sensibilidad" las variables aleatorias del problema que son "criticas" para el. Es principalmente sobre ellas en donde debe recaer nuestra atención sobre la recolección de información adicional. La 2) es que toda la información adicional que deseemos obtener debe contribuir a mejorar nuestro nivel de incertidumbre sobre alguna o algunas de las variables aleatorias de nuestro problema. La 3) es que toda información adicional debe requerirnos recursos adicionales para poderla conseguir. La 4) es que las bases de la teoría sobre el valor de la información, las que han sido objeto especial de esta nota técnica y particularmente de la respuesta a la pregunta que nos hemos formulado en este numeral, no tendrían ninguna solidez si no estuvieran montadas sobre un modelo de manejo de la incertidumbre a través de la teoría de las probabilidades. La 5) consideración es que los análisis que tenemos que desarrollar pueden ser mucho más fácilmente llevados a cabo a través de la estructura de los árboles de decisión. Hechas las consideraciones anteriores podemos comenzar a dar respuesta a nuestra inquietud diciendo que es necesario y conveniente hacerlo a través de dos etapas. En la (1) nos preguntaremos ¿cuál es el valor para nosotros de obtener una información "perfecta" sobre la incertidumbre objeto de análisis? En la (11) ¿cuál es el valor real para nosotros de obtener la información "Imperfecta" que estamos considerando? y ¿cómo comparamos ese valor con el costo que tendríamos que sufragar para adquirirla? 3.1 El valor de la información perfecta Aunque en el mundo real, es muy poco factible obtener información perfecta, haremos uso de esta ficción para determinar fuentes potencialmente viables de información real. Básicamente, la idea es primero realizar el trabajo, menos difícil, de hallar el valor esperado de la información perfecta, con el argumento de que la información imperfecta, nunca podrá valer más de lo que valdría la información perfecta correspondiente. Para llevar a cabo el proceso anterior, regresamos a nuestro ejemplo sobre la prueba de componentes. Supongamos que somos los dueños del negocio que produce los citados 17

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005

INALDE

elementos y que nos pagan $60 por cada unidad despachada. Sin embargo, debemos pagar una multa de $90 a nuestro cliente por cada componente defectuoso que le hayamos despachado. El cliente en caso de que esto suceda reparará y utilizará el componente, por lo cual no habrá un aumento en el número total de componentes despachados. Si llegamos a descubrir un componente dañado antes de ser despachado, lo podemos reparar directamente a un costo de $35. Por las características del equipo de reparación sabemos con certeza que el componente queda bueno después de reparado. Finalmente, supongamos que el costo de chequeo a cada componente es de $10. Si no tuviéramos la oportunidad de hacer la prueba, el problema de decisión que enfrentaríamos para cada componente estaría estructurado en el árbol que se muestra en la figura 11. FIGURA 11

"BUENO"

+ 60

2/3

SI

SI

HACER EL NEGOCIO

ESTADO DEL COMPETENTE

DESPACHAR "SIN REPARAR"

"MALO"

60-90=-30

1/3 60-35=25

NO

o NO

18

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

AD-N-1-005 INALDE Si somos indiferentes al riesgo, es válido aplicar el criterio del valor esperado para resolver el anterior árbol de decisiones. En este caso lo más atractivo es hacer el negocio despachando los componentes sin pasarlos por el proceso de reparación.

Para conocer el valor de la información perfecta, iniciaremos nuestro análisis llamando al "clarividente"4 quien por sus características innatas nos informará con certeza si el componente está bueno o defectuoso (prueba perfecta). Supondremos que tal información nos la dará sin costo alguno. Al poder obtener información perfecta sobre cada uno de los componente, el árbol de decisión se verá como el de la figura 12. Para asignar las probabilidades a este árbol procederemos de la siguiente manera: el clarividente dirá que el componente está bueno. Luego, a nuestro mejor juicio, la probabilidad de que el clarividente diga que el componente está bueno es 2/3. Igualmente, el Clarividente dirá qué componente está dañado con una probabilidad de 1/3. Asignando estos valores a los estados respectivos y continuando con nuestro supuesto de indiferencia al riesgo, obtenemos un valor esperado de $48 1/3 tal como se muestra en el figura 13. Recordemos que el valor esperado del problema original, (ver figura 11) en el cual no existía la alternativa de la prueba, era de $30. Así la diferencia entre 48 1/3 y 30, o sea 18 1/3 se conoce con el nombre de valor esperado de perfecta información y ese sería el valor máximo que estaríamos dispuestos a pagarle a nuestro amigo el "clarividente" por proporcionarnos dicha información totalmente cierta. En general, en árboles de decisión más grandes y complicados, podemos calcular para cada una de las variables aleatorias del problema, el valor o utilidad esperada de la perfecta información. El procedimiento a seguir debe ser similar al empleado en el ejemplo anterior, es decir, el valor o utilidad esperada de perfecta información será la diferencia entre los valores esperados del problema con y sin clarividente.

3.2 El valor de la información real Estudiaremos ahora los criterios que debemos seguir para determinar si debemos o no obtener una información especifica, basados en razones puramente económicas. El primer es que dado que toda información obtenida del mundo real es por naturaleza imperfecta, no puede costamos más del valor máximo que estaríamos dispuestos a pagarle a nuestro prueba perfecta. El segundo es que la ganancia esperada que recibimos por obtener esa información no puede ser inferior al costo que tenemos que pagar para conseguirla.

Decimos "clarividente" a una persona (imaginaria) que conoce con anterioridad y certeza los valores que van a tomar las diferentes variables de estado del problema.

4

19

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE AD-N-1-005 Teniendo en mente los dos criterios anteriores veremos su aplicación a través de nuestro ejemplo de la prueba de componentes. Primero utilizaremos el valor o utilidad esperada de la perfecta información para considerar si llevamos a cabo la prueba real. En el ejemplo, el chequeo propuesto pasa el filtro inicial, ya que $10 es menor que $18 1/3. Ahora únicamente nos resta analizar si nos es ventajoso económicamente hacer la prueba. Para ello debemos involucrar al problema esa alternativa, redibujar el árbol para considerar el problema total y utilizar el teorema de Bayes para obtener algunas de las probabilidades que nos falta por asignar. La figura 14 muestra el correspondiente árbol.

FIGURA 12 DESPACHAR "BUENO"

REPARAR NO HACER

"BUENO" "BUENO" "BUENO"

NEGOCIO

60 25

o

INFORMACIÓN PERFECTA DESPACHAR

"MALO"

- 30

REPARAR

"MALO"

25

NO HACER

"MALO"

o

"MALO"

NEGOCIO

20

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE

AD-N-1-005

FIGURA 13

DESPACHAR

"BUENO"

60

2/3

48 1/3

INFORMACIÓN PERFECTA

,----.o--REPARAR

1/3

25

Al calcular el valor esperado correspondiente, llegamos a una cifra de 28 5/6, inferior a la obtenida si no efectuáramos la prueba. Esto quiere decir que el costo de la prueba real es superior a la ganancia obtenida por la información adicional que nos entrega, razón por la cual tal prueba no es económicamente aconsejable. Concluyamos este numeral reiterando el hecho de que el valor de la información radica en su capacidad para permitir la toma de mejores decisiones de las que se hubieran tomado sin dicha información. Hemos utilizado el concepto de "la prueba perfecta" como un filtro para calcular cuánto sería el máximo valor que estaríamos, dispuestos a pagar para obtener la información perfecta sobre una variable aleatoria en particular en un momento específico. Si las fuentes potenciales de información real o de muestreo cuestan menos que ese máximo valor, entonces procederemos a evaluar la información del mundo real. Si el incremento de la utilidad o valor esperado del problema es superior al costo que tenemos que pagar por esa información, es económicamente atractiva. Generalmente, es conveniente dibujar nuevamente el árbol de decisiones para reflejar la nueva situación que enfrentaríamos con la información adicional (perfecta o imperfecta), para así evaluar el árbol, y comparar el valor esperado resultante con el valor esperado del árbol original, con el fin de encontrar la conveniencia o inconveniencia de pagar por esa información adicional. 21

PRUEBA DICE

26/60

"MALO"

34/60

"BUENO"

-, .---, /

$1.340 / 34

REPARAR

DESPACHAR

REPARAR

:¡;

30/34

"BUENO"

4/34

"MALO"

16/26

"MALO"

ESTADO DEL COMPONENTE

10/26

"BUENO"

16/26

"MALO"

/ ESTADO DEL COMPONENTE

"BUENO" 10/26

4/34

"MALO"

COMPONENTE

;;s�u_¿_�o /

_....

30/34

"BUENO"

COMPONENTE

/

,;¡>;; 1 U/.:J't /

DESPACHAR

FIGURA 14

60-10= 50

60-10= 50

25-1 O =15

25 -1 O=15

$

$

25-10=15

25-10=15

$-30- 1 O=- 40

$

$

$

$-30-1O=- 40

$

AD-1-005

Para uso exclusivo en el Programa MBA Intensivo 2019 - 2021 en INALDE * 31 de octubre - 27 de noviembre de 2019

INALDE