Algebra - Intelectum-5to

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Educación Secundaria

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EDUCACTóN

Securonnn: Árorene

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Coreccrór lrrerrcruu Evoruclót MóHrcl Plneoes Penez

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N.4ón¡ca

Paredes Pérez, autora,20'13

Ed¡c¡ones Lexicom S. A. C.. editor

Av San Luis 2263, San Borja, Lima, Lima Teléfono: 202-7030 RUC: 205457745'19

E-rnal: [email protected] www.ed¡c¡oneslexicom. pe Responsable de edición Y¡sela Rojas Tacur¡

Asesoría académ¡ca: Josué Dueñas Leyva, Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar, Julio Julca Vega

Óscar Díaz Huamán, Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez, Eder Gamarra Tiburc¡o Jhonatan Peceros Tinco D¡seño de carátula: Cristian Cabezudo Vicente Gráflcos e ilustrac¡ones lvan Mendoza Cruzado Retoque fotográf¡co M¡guel Bendezú Ccorahua, Luis Armestar lvliranda Composición de interiores: Mayra Vela Cuba, Lourdes Zambrano lbarra Corrección de textos: Eder Gamarra Tlburcio, Jhonatan Peceros Tlnco Mon¡ca Terrones Pacheco Pr¡mera edición: 20'13 Segunda ed¡c¡ón: julio 20'16

Tiraje: 1100 ejemplares Hecho el depós¡to legal en la B¡bl¡oteca Nac¡onal del Perú n.' 2016-09064 ISBN: 978-6'12-313-500-3 Registro de proyecto editorial n.o 3150130'1600726 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin prev¡a autorizac¡ón escrita de Ia autora y el editor. lmpreso en Perú I Printed ¡n Peru Pedidos: Av. San Luis 2261, San Borja, Lima, Lima Teléfono: 202-7035 E-mall: [email protected] www.ed ic¡oneslex¡com. pe

lmpres¡ón: Editor¡al San lviarcos. de Aníbal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas'1600, urb. l\,4angomarca, San Juan de Lurigancho, Lima, Lima RUC: 10090984344 SEPTIEMBRE 2016

La ser¡e LExrLrATrc, de la lNTELEcrui,4 EvoLUcróN

ha sido

CoLEccróN

para Secundar¡a, a partir de los

conceb¡da lineamientos pedagógicos establecidos en el Currículo Nacional de la Educac¡ón Básica, aprobados mediante la Resolución Ministerial N."

28'1 -201 6- l\,41N E D U.

se alinea a los criterios

Asimismo,

pedagógicos y estándares de calidad de textos escolares,

aprobados

en la

Resolución Ministerial

N." 0304-2012-ED. La divulgación de

¡a

CoLEccróN lNTELEcru¡,r EvoLUcróN se adecúa a lo dispuesto en la Ley N.o 29694, modif¡cada

por la Ley N." 29839, norma que protege a los consumidores de las prácticas abusivas en la adquisición de textos escolares. El docente y el padre de familia orientarán al estud¡ante en el deb¡do uso de la obra.

tA UNA eouchctÓN N

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Naturalez¿ de [a Matewática

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¿Qué es la matemática? Resulta dificil encontrar una definición que abarque totalmente el concepto de matemática, pero la podemos definir como una ciencia formal (iunto con la lógica), dado que, ut¡lizando como herramienta el razonamiento lógico, se encarga del análisis de las relaciones y de las propiedades entre números y figuras geométricas.

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Según afirma Federico Engels: "La matemática es una ciencia que tiene como objeto las formas espaciales

y las relaciones cuantitat¡vas del

mundo real". Nos permite, además, desarrollar las capacidades

matemáticas.

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lmportancia de la matemática La matemática es de suma importancia en nuestra v¡da, en nuestra cultura y en elcontexto deldesarrollo científico y tecnológico de la humanidad. Ha llegado a ocupar un ¡ugar central en la civ¡lización actual, porque es una cienc¡a capaz de ayudarnos en el desarrollo de nuestras cápacidades matemáticás fundamentales. Asi, nos perm¡te comprender nuestro entorno y el universo en muchos aspectos, por lo

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que se constituye en el paradigma de muchas ciencias y un gran apoyo auxiliar en la mayor parte de ellas, gracias a los procesos cognitivos que estimula, tales como el razonamiento simbólico con el que trata de

Prusia(1820) - Londres(1 895) Notable sabio y maestro del mundo civilizado

modelar diversas formas del mundo físico e intelectual. La matemática es, entonces, un potente modelo de

¡ntervención en las estructuras de la real¡dad de nuestro entorno, en la aplicación de modelos fidedignos al mundo físico y mental. En realidad, como afrma Miguel de Guzmán, la mayor parte de Ios logros de nuestra tecnología no son sino matemática encarnada con la colaboración de otras ciencias. Esta intensa presencia de la matemática en nuestra cultura no es algo que vaya a menos, sino todo lo conkario. A juzgar por las tendencias que Se manjf¡estan cada vez c¡n más fueza, parece claro que el predomino de

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la intelección matemát¡ca, acción y efecto de enterderla será un distintivo evidente de la c¡vilización futura.

rl.; H¡s+orid de [a watewática El mnoc¡m¡ento de la historia de la matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos hace consc¡entes del carácter profundamente histórico que posee, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, asi como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la fllosofía, la matemát¡ca, la tecnología y las diversas ciencias han ejerc¡do unas sobre olras. En ocasiones, los mismos matemáticos, enfrascados en sus quehaceres técnicos, no suelen ser muy conscientes de ello, debido a que la matemática suele ser presentada como

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sifuera inmune a los avatares de la historia. La perspectiva histórica nos acerca a la matemática como ciencia humana, nos aprox¡ma a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarla a lo largo de muchos siglos por mot¡vaciones muy distintas.

330 a.C - 275 a.C. Es el matemático griego más famoso dé la ant¡güedad.

La historia de la matemát¡ca es un recurso fundamental que debe emplearse en el aula valorando el aporte

genuino de cada autor. .,:

Sobre la utilización de la historia en la oducac¡ón matemática

Eñ la historia de la matemát¡ca

Sabemos que la matemática es una activ¡dad antigua y valiosa. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos. Los pitagóricos la consideraron un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como cam¡no de acercámiento a la divinidad. La matemática fue utilizada como un ¡mportante elemento disciplinador del pensamiento en el Medioevo; la más versátil e idónea herramienta para la explorac¡ón del universo a partir del Renacimiento; asi como una magnífca

tonemos ¡a aportación de los rñatemátcos y filósobs griegos. En esta época las matemálic¿s alcanzan la madurez como ci€ncja. Se preocupaaon por refexionar sobro la natural€za de los númoros y sobre la náturál€za de los objetos ma-

guia del pensamlento flosófico para los pensadores del racionalismo y fllósofos contemporáneos,

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temáticos

asimismo, representa un instrumento de creación de belleza artística, un campo de eiercic¡o lúdico para los matemáticos de todos los tiempos.

GUIA METODOLOGICA

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(D TeNdeNcies

ac{ua[es de [e eNseñaNzd - dprENdizaje

de [a watevática Los procesos del pensamiento matemát¡co y el desarrollo de capacidades Una de las tendencias generales más difundidas hoy mns¡sle en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática más que en la mera transferencia de contenidos, con énfasis en el desanollo de capac¡dades matemát¡cas. Son capacidades que se pueden kansferir o apl¡car a otros aprendizajes y situaciones de la vida. El logro de estas capacidades a través de cuatro competencias

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propuestas en la Educác¡ón Básica Regular resalta el desanollo de formas de resolver problemas de Cant¡dadi Regularidad, equivalenc¡a y cambio; Forma, mov¡m¡ento y locálizacion, y Gestión de datos e incertidumbre. La matemátic¿ es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones (en buena parte, colindantes con la psicología cognitiva) que se refieren a los procesos mentales de resolución

de problemas. En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los

procesos verdaderamente efic¿ces de pensamiento que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez son lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo c¡entífico e intelectual,

tan ráp¡damente cambiante, vale mucho más hacer acop¡o de procesos de pensamiento útiles que de contenidos, los cuales ráp¡damente se conv¡erten en lo que Wh¡tehead llamó ¡deas ¡nertes, es decir, Aprendizaje lúdico a través de juegos didácticos.

aquellas que forman un pesado lastre, incapaces de comb¡narse con otras para formar constelaciones dinámicas, ineficaces para abordar los problemas del presente y del futuro.

Definiciones previas Competencia: La competencia es un saber actuar en un contexto particular que nos permite resolver s¡tuaciones problemát¡cas reales o de contexto matemático. Actuar pertinentemente según las caracteristicas

de la s¡tuación y la f¡nalidad de nuestra acción, usando flexible y creativamente los conoc¡m¡entos y habilidades, información o herramientas, así como valores, emociones y actitudes. La competenc¡a es un aprendiza.¡e mmplejo, pues impl¡ca la transferenc¡a y mmbinación apropiada de capacidades muy d¡versas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propósito. Promueve el desanollo de capac¡dades en los estudiantes que se requieren para enfrentar una situación problemát¡ca en la vida cotidiana. Alude sobre todo, a una actuación efcaz en diferentes contextos reales a través de una serie de henamienlas y acc¡ones.

Lai capacldades matcmálicas

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astablecido. Se inlerglac¡onan y

complemenlan So pueden desarollar de man6ra sir¡ultánee. Están articuladas por el conocim¡ento matemático Las capac¡dades facilitan el desarollo de la competencia.

Capacidades: Las capacidades existen de manera ¡ntegrada y única en cada persona y se desanollan en el aula, la escuela, la comunidad, en la medida que dispongan de oportun¡dades y medios para hacerlo. Es a través de la resolución de situaciones problemát¡cas que se logran desarrollar las capacjdades. Las capac¡dades que pueden jntegrar una competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser consc¡entes de que si bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su comb¡nación lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el domin¡o específico de estas capacidades, pero es ind¡spensable su combinac¡ón y utilizac¡ón perlinente en contextos variados.

lndicador de desempeño: Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relación con un determ¡nado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra un objet¡vo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño es el dato o jnformación especifica que sirve para plan¡ficar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplim¡ento de una determinada expectativa. En el mntexto del desanollo curricular, los indicadores de desempeño son instrumentos de med¡ción de los principales aspectos asociados al cumplimiento de una determinada capacidad. Una capacidad puede medirse a través de más de un indicador.

Comprensión de las competenc¡as matemát¡cas Las competencias propuestas en el Curriculo Nac¡onal de la Educación Básica se organizan sobre la base de cuatro situaciones. La def¡nición de estas cuatro situaciones se sostiene en la idea de que la matemáticá se ha desarrollado como un med¡o para describir, comprender e interpretar los fenómenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD 2012).

4 I Leximátic

5."

Por ejemplo, las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmética o los números; fenómenos como la incert¡dumbre, que pueden suscitarse en muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con estrategias y henamientas matemáticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenómenos o s¡tuaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados desde el álgebra; las de formas desde la geometría. Por tanto, las cuatro competencias matemáticas, que definimos a continuación, se describen mmo actuar y pensar matemát¡camente, lo que debe entenderse como usar la matemática para describir, comprender y actuar en diversos contextos; una de las características en ellas es el plantear y resolver problemas.

Resuelve problemas de cantidad La competencia resuelve prublenas de cantidad implica desarrollar modelos de solución numérica, comprendiendo el sentido numérico y de magnitud, la construcción del signiflcádo de las operaciones, asi como la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación al resolver un problema.

y

sus diferentes Esta competencia involucra la mmprensión del significado de los números representaciones, propiedades y relaciones, así como el sign¡ficado de las operaciones y como estas se relacionan al utilizarlas en contextos diversos.

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La noc¡ón de cant¡dad puede ser el aspecto matemát¡co más esencial y extendido de relacionarse con el

funcionamiento de nuestro mundo. lncorpora la cuantif¡cación de los atributos de los objetos, las relaciones y entidades en el mundo, interpretando distintas representac¡ones de estas cuantificaciones. Partic¡par en la cuantificación supone comprender las mediciones, los cálculos, las magnitudes, las unidades, los ind¡cadores, el tamaño relativo, las tendencias y los patrones numéricos. La cuantif¡cación es el método más importante para describir y medir un vasto conjunto de atributos de los aspectos del mundo. Asi por ejemplo, medidas cuantitativas mmo el número de personas afectadas por los desastres naturales; en el ámbito profesional los sociólogos sacan conclusiones a part¡r de datos para entender el comportam¡ento

Una situación cot¡diana de esta competencia es la contabilización deldinero en cualquier actividad.

humano, etc.

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio La competencia resuelve prcblemas de regularidad, equivalencia y canbio inplica

l desanollar

progresivamente la ¡nterpretación y general¡zación de patrones, la comprensión y el uso de igualdades y desigualdades, y la comprensión y el uso de relaciones y funciones. Toda esta comprensión se logra usando el lenguaje algebraico como una herramienta de modelación de distintas s¡tuaciones de la vida real. Esta competencia involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje algebraico, emplear esquemas

de representación para reconocer las relaciones entre datos, de tal forma que se reconozcá una regla de formación, condiciones de equ¡valenc¡a o relac¡ones de dependenc¡a, emplear procedimientos algebraicos y estrategias heuristicas para resolver problemas, así como expresar formas de razonamientos que

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generalizan prop¡edades y expresiones algebra¡cas. Esta competenc¡a se evidencia en diversas situaciones que t¡enen características de cambio, como los n¡veles de empleo y las cond¡ciones emnómicas, los cambios climáticos regidos por las estaciones, el crecimiento de Ia poblac¡ón respecto altiempo, recibos de la luz, agua o teléfono en función del gasto, en

Una siiuación cotidiana

de

esla mmpetencia se da en los inventarios.

los ¡nventarios, en las mmpras, etc.

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización La competencia Resuelve problemas de forma, movin¡ento y local¡zac¡ón ¡mplica desanollar progresivamente el sentido de la ubicación en elespacio, la ¡nteracc¡ón mn los objetos, la comprens¡ón de propiedades de las formas y cómo estas se ¡nterrelacionan, así como la aplicaclón de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esta competencia involucra desanollar modelos expresando un lenguaje geométrim, emplear variadas representaciones que describan atributos de forma, medida y local¡zación de fguras ycuerposgeométricos, emplear proced¡mientos de construcción y medida para resolver problemas, asi como expresar formas y propiedades geométricas a partir de razonamientos.

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Esta competencia abarca una amplia gama de fenómenos que se encuentran en todas partes en nuestro mundo visual y físim como las propiedades de los objetos, posiciones y orientaciones, representaciones de objetos, navegac¡ón e interacción dinámica con formas reales, etc.

La geomeh¡a en el mundo visual y fis¡co.

GUiA METoDoLÓGIcA

I 5

Resuelve problemas de gesüón de datos e incert¡dumbre La competencia Resuelve problemas de gestión de datos e ¡nceñ¡dumbre implica

desanollar progresivamente las formas cada vez más especializadas de recopilar, el procesar datos, así mmo la interpretación y valorac¡ón de los datos, y el anál¡sis de situaciones de incertidumbre. Esta competencia involucra desarrollar modelos expresando un lenguaje estadístico, emplear variadas representaciones que expresen la organización de datos, usar procedimientos con med¡das de tendencia central, dispersión y posición, asicomo probabilidad en variadas condiciones; por otro lado, se promueven formas de razonamiento basados en Ia estadíst¡ca y la probab¡lidad para la toma de decisiones.

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Esta competencia se evidenc¡a en diversas situaciones cotidianas como en los resultados electorales inciertos, las predicciones meteorológicas y los modelos económicos, variac¡ón en los procesos de fabricáción, las puntuaciones de los exámenes y muchas otras manifestaciones de la incert¡dumbre de nuestro mundo.

Comprensión de las capacidades matemáticas por competencia

Una situación cotidiana de esta compelencia se da eñ los resultados electorales inciertos.

Son cuatro las cápacidades matemáticas por competenc¡a:

Traduce cantidades

a expresiones numéricas: es

transformar las

relaciones entre los datos y condiciones de un problema a una expresión numérica (modelo)que reproduzca las relaciones entre estos. Es plantear problemas a partir de una situación o una expresión numérica dada.

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También implica evaluar si el resultado obtenido o la expresión numérica formulada (modelo), cumplen las condiciones iniciales del prob¡ema.

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Compotcncla

Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones: es expresar la comprensión de los conceptos numérims, las operaciones y propiedades, las unidades de medida, las relaciones que establece entre

ellos; usando lenguaje numérico y diversas representaciones; asi como

caxTt¡ta0

leer sus representac¡ones e ¡nformac¡ón con contenido numérico.

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y

procedimientos de estimación y cálculo: es seleccionar, adaptar, combinar o crear una variedad de estrategias, procedimientos como el cálculo mental y escrito, la estimación, la

Usa estrategias

aproximacióny medición, compararcantidades;yempleardiversosrecursos.

rbtrmcrffir,fmu l!,

Argumenta afirmaciones sobre las relac¡ones numéricas y las operaciones: es elaborar afirmaciones sobre las posibles relac¡ones enlre números naturales, enteros, racionales, reales, sus operac¡ones y propiedades; asícomo explicarlas con analogías, justiflcarlas, val¡darlas o refutarlas con eiemplos y contraejemplos.

Traduce datos

y

condiciones a expresiones algebraicas: signifca

transformar los datos, valores desconocidos, variables y relaciones de un problema a una expresión gráfica o algebraica (modelo) que generalice la interacción entre estos. lmpl¡ca también evaluar el resultado con respecto a las cond¡ciones de la situación.

noTrirr{tira r,f'ñmdr:rJ i.,

Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas: significa expresar su comprensión de la noción, concepto o propiedades de |os

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patrones, funciones, ecuaciones e ¡necuaciones estableciendo relaciones entre estas; usando lenguaje algebraico y d¡versas representaciones.

Compeloncla BEGUIABIDAD, E(lUIVATEIiCIA Y

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Usa estrategias y procedim¡entos para encontrar reglas generales:es seleccionar,adaptar,combinarocrear,procedimientos,estrateg¡asyalgunas propiedades para simplificar o transformar ecuaciones, inecuaciones y

expresiones simbólicas que le permitan resolver ecuaciones, determinar dominios y rangos, representar rectas, parábolas, y diversas funciones.

Argumenta af¡rmac¡ones sobre relaciones de cambio y equivalencia: significa elaborar afrmaciones sobre variables, reglas algebraicas y propiedades algebraicas, razonando de manera inductiva para general¡zar una regla y de manera deductiva probando y comprobando propiedades

y nuevas relaciones.

6

Lexirr¡átiE 5."

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones: es constru¡r un modelo que reproduzca las caracteristicas de los objetos, su localización y movimiento, mediante formas geométricas, sus elementos y propiedades; la ubicación y transformaciones en el plano. Es también evaluar s¡ el modelo cumple con las condic¡ones dadas en el problema.

su

comprensión sobre

las formas

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y

relac¡ones geométricas: es comunicar su comprensión de las propiedades de las

Comunica

formas geométricas, sus transformaciones y la ubicac¡ón en un sistema de referenciat es también establecer relaciones entre estas formas, usando lenguaje geométrico y representaciones gráficas o simbólicas.

y

procedimientos para or¡entarse en el espacio: es seleccionar, adaptar, combinar o crear, una variedad de estrategias, procedimientos y recursos para construir formas geométricas, trazar Usa estrategias

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rutas, medir o estimar distanc¡as y superflcies, y transformar las formas bidimensionales y tridimensionales.

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Argumenta af¡rmaciones sobre relaciones geométr¡cas: es elaborar afirmaciones sobre las pos¡bles relaciones entre los elementos y las propiedades de las formas geométricas, basado en su exploración o visualización. Asimismo, lustif¡carlas, validarlas o refutarlas, basado en su experiencia, ejemplos o mntraejemplos, y conocimientos sobre

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propiedades geométricas.

Representa datos

con gráficos

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medidas estadíst¡cas

o

probabilísticas: es representar el comportamiento de un conjunto de datos, seleccionando tablas o gráficos estadísticos, med¡das de tendencia cenkal, de localización o dispersión. Reconocer variables de la población o la muestra al plantear un tema de estudio. Así también implica el análisis de situaciones aleatorias y representar la ocurrencia de sucesos mediante el valor de la probabilidad.

Comunica

la

comprensión

de los

conceptos estadísticos y

probabilísticos: es comunicar su comprens¡ón de conceptos estadisticos y probabilisticos en relación a la situación. Leer, describir e interpretar información estadistica contenida en gráflcos o tablas provenientes de diferentes fuentes. Usa estrateg¡as y procedimientos para recop¡lar y procesar datos: es seleccionar, adaptar, combinar o crear una variedad de procedimientos, estrategias y recursos para recopilar, procesar y analizar datos, así mmo el uso de técnicás de muestreo y el cálculo de las medidas estadísticas y probabilísticas.

Sustenta conclusiones

o

dec¡siones con base

en

información

obtenida: estomardecis¡ones, hacerprediccionesoelaborarconclusiones y sustentarlas con base en la información obtenida del procesamiento y

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anális¡s de datos, así como de la revisión o valoración de los procesos.

La onseñanza a través de la resolución de problemas La enseñanza a través de la resolución de problemas es, actualmente, el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprend¡zaje activo. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir, en lo posible y de manera sistemática, los procesos de pensamiento ef¡caces en la resolución de verdaderos problemas.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y desanollo de capacidades; además, toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe dejar de lado en absoluto.

Los estudiantes deben resolver constantemenle problemas y comunicar sus respectivas soluciones.

GUIA MEfODOLOGICA

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7

El enfoque en el área de matemáticá es la resolución de problemas; resolver problemas con la intención

de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos: matemático, científ¡co, social y económico, lo que desarrolla el pensamiento matemático, a su vez orienta el desarrollo de competencias y capacidades matemáticas.

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Punto de part¡da para enseñar y aprender matemálica

Los rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes: La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensam¡ento matemát¡co. Los estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocim¡ento matemático, si le encuenkan signiflcado y lo valoran, y pueden establecer relaciones de funcionalidad matemát¡ca mn s¡tuaciones de diversos contextos. La resolución de problemas sirve de escenario para desanollar competencias y capacidades matemáticas.

Es a través de la resolución de problemas que los estudiantes desarrollan competencias y capac¡dades matemát¡cas.

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La matemát¡ca se enseña y se aprende resolviendo problemas. La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre ent¡dades matemát¡cas y elaboren procedim¡entos matemátims, estableciendo relaciones entre

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La resolución de problemas sirve de escena o para desarrollar competencias y cápacidades

matemálicas

experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas. Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes; es decir, deben ser interesantes y constitu¡r desalios genuinos para los estudiantes, que los involucren realmente en la búsqueda de soluc¡ones. Problemas en d¡versos mntextos: matemático, científico, social y económim.

Un modelo para resolver problemas: el modelo de Miguel de Guzmán Ozámiz Un modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso de resolución de un problema. La final¡dad de todo modelo es adquirir una colección de hábitos mentales que nos ayuden eficazmente en el manejo de los problemas. Este modelo consta de cuatro fases, a saber:

8

I Lexim,áüc 5.o

Fase 1: Familiarizarnos con el problema.

Fase 3: Llevar adelante la estrategia.

Fase 2: Buscar de estrategias.

Fase 4: Revisar el proceso y sacar consecuencia de él

En cada una de las fases las pautas a seguir son:

Al comienzo, en la familiarizac¡ón con el problema, debemos actuar sin prisas, pausadamente y con tranqu¡lidad. Hay que conseguir tener una idea clara de los elementos que interv¡enen: datos, relaciones, incognitas, etc. En resumen, antes de hacer, tratar de entender. Una vez que hemos entendido el problema, pasamos a buscar las estrategias que nos perm¡tan resolverlo. En esta fase no iniciamos el ataque del problema, sino que vamos apuntando todas las ideas que nos surjan relacionadas con elproblema. Es conveniente pensary disponer de más de una estrategia o camino a desanollar en la fase posterior.

Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida La llevamos adelante trabajando con confianza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante Ia primera dif¡cultad que surja, ni continuar mn la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el caso de no acertar @n el camino conecto, es el momento de volver a la fase anterior y reinic¡ar el proceso. Seguimos de esta forma hasla cercioramos de haber llegado a la solución.

Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y obtenciÓn de las mnsecuencias. En esta fase, que no puede faltar, hayamos resuelto el problema o no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes del camino seguido, sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido a otras s¡tuac¡ones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados de ánimo a lo largo de todo el proceso

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Es suficiente observaren nuestro entomo que todo profesionalhace uso de sus capacidades matemát¡cas

Hoy en día no es posible concebir la acción de un comerc¡ante, un vendedor, un fabajador cualquiera de la construcción; de un ingeniero, arquitec,to, médico, economista, un químim, un fisim, un biólogo, un sociólogo, un estadístico o cualquier profesional que no haga uso de la matemática y de sus capacidades. Por ello, es ¡mportante que esta ciencia lorme parte de nuestra vida; aprenderla nos permitirá el dominio de algunos aspectos de la realidad. Veamos algunos lineamientos que deben de ser una constante en la labor educativa de los docentes El conocimiento matemátim no se da de modo inmediato en los estudiantes Esto quiere decir que es todo un pro@so cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta que la matemática funciona de acuerdo con el principio cognitivo, segÚn el cual todo mnoc¡m¡ento

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El trabajo cooperativo es importante porque promueve el intercámbio de conocimientos.

nuevo debe mnectarse mn los conoc¡mientos ya adquiridos.

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El aspecto manipulativo debe de ocupar un lugar destacado en el trabaio de aprendizaje. De esta manera, el estudiante desanolla su capacidad de abskacciÓn, pues el aprend¡zaje que pa(e de lo concreto y lo perceptible se asim¡la con mayor facil¡dad en los esquemas mentales de este Se debe alentar el trabajo moperat¡vo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve tamb¡én eldebate, la discusión y el ¡ntercambio de conocimientos. Sin duda, los estud¡antes fortalecen su capac¡dad argumentativa.

Los intercambios de ¡deas y conocimientos no deben limitarse a la institución educativa, sino extenderse al entomo fam¡liar y social. Así, los estudiantes deben estar en condiciones de partic¡par en diálogos tanto con sus padres, como con sus maestros, vec¡nos, parientes, etc. Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivos que simplemente 'esperan' la adquisic¡ón de los conocimientos en su conciencia. Por el contrario, deben ser vistos como ind¡v¡duos con grandes potencialidades, que tienen que desanollar basándose en su interés por aumentar el

caudal de sus conocimientos.

mn lo anterior también está el fomenlo de la creativ¡dad en los estudiantes, de modo que las aclividades mecánicas, repetitivas y rutinarias se dejen de lado, y se incentive la formulación de conjeturasy el reconido caminos inexplorados, alfinalde los cuales, puede aparecer un mnocimiento En relac¡ón

valioso e inédito.

GUiA METOoOLóGICA

I

9

¿Por qué aprender matemática en la Educación Secundaria? La matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas y ejecutar actividades que faciliten la existencia individual y colectiva de los seres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas se llega a abstracciones que posteriormente se ordenan y dan origen a las teorías matemáticas, la cienc¡a y la tecnología. En el caso de la enseñanza de la matemática en la Educac¡ón secundaria, esta siempre ha estado orientada hacia la f¡nalidad práctica de proporc¡onar a los estudiantes las herramientas operativas básicas que les perm¡tan enfrentarse a los retos que se les vayan presentando en la sociedad. En un mundo que está en mnstante transformación, la educación matemát¡ca en la secundaria debe dotar

al alumnado de la capacidad de adaptarse a las nuevas situaciones, especialmente a aquellas que se presentan en el ámbito laboral. Por esto, ahora más que nunca, la matemática debe tener una vocación inclusiva para que la mayor cantidad de estudiantes resulte beneflciada. Los docentes deben acercarse al alumnado de manera tal que una ciencia tan importante no sea vista como una traba, pesada e inútil, s¡no, por el contrario, una aliada para el camino hacia el éxito y el desarrollo humano.

Los avances tecnológ¡cos, al haberse extendido en todos los ámbitos de la vida diaria, hacen casi imposible que alguien pueda mantenerse ajeno a ellos. La matemática puede ayudarnos a manejarnos con seguridad ante la tecnología. Nos enseña, además, a realizar planif¡caciones, interpretar estadisticas, adm¡n¡skar nuestros ingresos y consol¡dar nuestros proyectos comerciales.

(l] OrieNtacio NEs ere {aciIitar P

desarrollo de estrat Blds wetodo[óo rcds quE PErw¡ taN trebejar por cowpet ENC rd eN aulao =[ e[

S

(Tomado del Boletín Ofic¡al del estado de España). Todo proceso de enseñanza-aprendizaje debe partir de una plan¡ficación rigurosa de lo que se pretende

conseguir, teniendo claro cuáles son los objetivos o metas, qué recursos son necesarios, qué métodos didácticos son los más adecuados y cómo se evalúa el aprendizaje y se retroalimenta el proceso. Los métodos didáct¡cos han de elegirse en función de lo que se sabe que es óptimo para alcanzar las metas propuestas y en función de los cond¡cionantes en los que tiene lugar la enseñanza.

La naturaleza de la materia, Ias cond¡ciones socioculturales, la disponibilidad de recursos

I

y

las

características de los a¡umnos y alumnas condicionan el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo que será necesario que el método seguido por el profesor se ajuste a estos condic¡onantes con el fin de propiciar un aprendizaje competencial en el alumnado.

\ Las cond¡ciones sociocullurales mndicionan el procéso de enseñanza-aprendizaje

Los métodos deben partir de la perspectiva del docente como orientador, promotor y facilitador del desanollo mmpetenc¡alen elalumnado, además, deben enfocarse a la realización de tareas o situacionesproblema, planteadas con un objetivo concreto, que el alumnado debe resolver haciendo un uso adecuado de los distintos t¡pos de conocim¡entos, destrezas, actitudes y valores; asimismo, deben tener en cuenta la atención a la divers¡dad y el respeto por los distintos ritmos y estilos de aprendizaje mediante prácticas de trabajo ¡ndividual y cooperativo. En el actual proceso de inclusión de las competenc¡as como elemento esencial de¡ curiculo, es preciso señalar que cualquiera de las metodologías seleccionadas por los docentes para favorecer el desarrollo competencial de los alumnos y alumnas debe ajustarse al nivel competencial inicial de estos. Además, es necesario secuenc¡ar la enseñanza de tal modo que se parta de aprend¡zajes más simples para avanzar gradualmente hacia okos más complejos.

uno de los elementos clave en la enseñanza por competencias es despertar y mantener la motivación hacia el aprendizaje en el alumnado, lo que implica un nuevo planteamiento de¡ papel del alumno, activo y autónomo, consciente de ser el responsable de su aprendizaje.

10 I

Lexirnáüc

5.'

Los métodos docentes deberán favorecer la mot¡vación por aprender en los alumnos y alumnas y, a tal fin, los profesores han de ser capaces de generar en ellos la curiosidad y la necesidad por adquirir los conocimientos, las destrezas y las actitudes y valores presentes en las competencias. Asimismo, con el propósito de mantener la motivación por aprender es necesar¡o que los profesores procuren todo tipo de ayudas para que los estudiantes comprendan lo que aprenden, sepan para qué lo aprenden y sean capaces de usar lo aprendido en distintos contextos dentro y fuera del aula. Para potenc¡ar la motivación por el aprendizaje de mmpetencias se requieren, además, metodologías activas y contextualizadas. Aquellas que faciliten la participación e implicación delalumnadoyla adquisición

y uso de conoc¡mientos en situaciones reales, serán las que generen aprendizajes más transferibles y duraderos. Las metodologías activas han de apoyarse en estructuras de aprend¡zaje cooperativo, de forma que, a través de la resoluc¡ón conjunta de las tareas, los miembros del grupo conozcan las estrategias utilizadas por sus compañeros y puedan aplicarlas a situaciones similares.

Para un proceso de enseñanza-aprendizaje competencial las estrategias interactivas son las más adecuadas, al permitir compartir y mnstruir el conocim¡ento y dinamizar la sesión de clase mediante el intercamb¡o verbal y colectivo de ¡deas. Las metodologías que contextualizan el aprendizaje y permiten el aprendizaje por proyectos, los centros de ¡nterés, el estudio de casos o el aprendizaje basado en problemas favorecen la participación activa, la experimentación y un aprend¡zaje funcional que va a facil¡tar el desarro¡lo de las competencias, así como la motivación de los alumnos y alumnas al contribuir decisivamente a la transferibilidad de los aprendizajes. El trabaio por proyectos, espec¡almente relevante para el aprendizaje por competenc¡as, se basa en la propuesta de un plan de acción con el que se busca conseguir un determinado resultado práctico. Esta metodología pretende ayudar al alumnado a organizar su pensam¡ento favoreciendo en ellos la reflexiÓn, la crítica, la elaboración de hipótesis y la tarea investigadora a través de un proceso en el que cada uno asume la responsab¡lidad de su aprendiza,e, aplicando sus conocimientos y habilidades a proyectos reales. Se favorece, por tanto, un aprendizaje orientado a la acción en el que se integran varias áreas o

materias: los estud¡antes ponen en juego un conjunto amplio de conoc¡mientos, habilidades o destrezas y actitudes personales, es decir, los elementos que ¡ntegran las distintas competencias. Asimismo, resulta recomendable el uso del portafolio, que aporta información extensa sobre elaprendizaje del alumnado, refueza la evaluación mntinua y perm¡te mmparlir resultados de aprend¡zaie. El portafol¡o es una herram¡enta motivadora para elalumnado que potencia su autonomía y desarrolla su pensamiento crít¡co y reflexivo.

Las estrategias interactivas permiten compartir y construir el conocimiento.

La selección y uso de materiales y recursos didácticos constituye un aspecto esenc¡al de la metodología El profesorado debe implicarse en la elaborac¡ón y diseño de d¡ferentes tipos de materiales, adaptados a los

distintos niveles y a los diferentes est¡los y ritmos de aprendizaje de los alumnos y alumnas, con el objeto de atender a la diversidad en el aula y personalizar los procesos de conskucciÓn de los aprendizajes. Se debe potenciareluso de una variedad de materiales y recursos, considerando especialmente la integración de las Tecnologías de la lnformación y la Comunicación en el proceso de enseñanza-aprendizaje que permiten el acceso a recursos virtuales.

F¡nalmente,

es

necesaria una adecuada coordinación entre los docentes sobre las estrategias

metodológicas y didácticas que se utilicen. Los equipos educativos deben plantearse una reflexiÓn mmún y mmpartida sobre la eficacia de las diferentes propuestas metodológicás mn criterios comunes y consensuados. Esta coord¡nación y la existencia de estrategias conexionadas permiten abordar con rigor el tratamiento integrado de las competencias y progresar hac¡a una construcciÓn colaborativa del mnocim¡ento.

GU¡A METODOLÓGICA

I

11

LEX$'IATIC Hecia e[ desarrollo de las cowp=teNcids \ cdpdcid€dEs

watewát¡cas

Nociones prev¡as En el ámbito de la matemát¡c¿ nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana como un medio para comprender, analizar, describ¡r, interpretar, explicar, tomardecisiones y dar respuesta a situaciones concretas haciendo uso de conceptos, procedimientos y herram¡entas matemáticas.

otsEño cuRRtcuLAR Los diseños curiculares son propuestas

de objetivos que

se pretenden lograr; no involucran solo definir el qué enseñat sino también elcómo. El céntro de gravedad del lIa-

bajo educ¿túo es s¡n duda el aprond¡zaje de los estud¡ant6s- Para ello, es imprenscindibl€ la contribución d6ldoceñte a través de lá enseñanza.

se entiende por coMPETENCIAS el saber actuar en un contexto particular en función de un objetivo o la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las caracteristicas de la situac¡ón y a la f¡nal¡dad de nueska acción; es lo que deben lograr los estudiantes en su proceso de aprendizaje. : : : : : :

comprometiéndonos con ese desafío, Leximátic para secundaria se ha concebido como un instrumento pedagógico que facilite la labor del docente y lograr ese gran reto que es el desarrollar las competencias y las capacidades del estudiante; para el¡o, se han elaborado los contenidos de acuerdo mn los requerimientos del cunículo Nacional de la Educación Básica. En las cuako áreas que componen esta colección (Aritmét¡ca, Ágebra, Geomefía y Tr¡gonometría) se han desarollado ampliamente, las cuatro competencias: Cantidad; Regularidad, equivalencia y cambio; Forma, mov¡miento y localización, y Gestión de datos e incertidumbre, que el Ministerio de Educación exige que los alumnos procesen en el sexto y sépt¡mo ciclo de la Educación Básica Regular.

En cuanto a las secciones que componen cada área, antes de explicarlas, detallaremos la interrelación existente entre ellas, en un mapa conceptual.

Ánm o¡ tR.tgt¡o pEDAGóGtco compuesta

Texto escolar

Libro de actividades nta

Lectura Binaria

Cómic

motivadora

matemático

inician e¡

desarrollo pedagógico del contenido teórico

p revia al

desarrollo pedagógico del contenido práctico verificada con reforzada Aplicamos lo aprendido

Practiquemos

con

complementada con relacionadas con Problemas resueltos Maratón matemática

Matemática para la vida cotidiana

12

I I-eximáüc

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Sudoku

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Estructura de [a coleccioñ

La colección se ha organizado en cuatro áreas, que abarcan la total¡dad de las competenc¡as establec¡das por el MINEDU, del siguiente modo:

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Área l: Aritméticá

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Área 2: ÁQebra

Lexirnátic

{ Dos competencias: cántidad y gestión de datos e incertidumbre

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Una competenc¡a: regularidad, equivalenc¡a y cambio.

Área 3: Geometría Área 4: Trigonometría

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Una competencia: forma, movimiento y localización

Cada una de estas áreas propone cuatro unidades de trabajo pedagógico, y la composición de cada unidad consta de cuatro temas, cuyo número facilitará su desanollo total, porque se han tenido en cuenta la cantidad de horas pedagógicas para el área de matemática de las que se dispone en el aula. A cada tema va anexada la sección Problenas resuelros, que facilitarán los aprend¡zajes.

Respecto a la estructura del contenido teórico por área... cada área teórica presenta las siguientes secc¡ones articuladas: 1. Binaria motivadora 2. Cómic matemático 3. Desarollo pedagógico de contenidos (mmpuesto de cuatro temas por un¡dad)

4.

3?it-.:

Problemas resueltos

5. Matemática para la vida

cotid¡ana (al final¡zar cada unidad)

Respecto a la estructura del conton¡do práctico por área... cada área práct¡ca presenta las siguientes secciones articuladas: 1 . Lecturas de eminentes matemáticos e historia de la matemática 2. Aplicamos lo aprendido 3. Practiquemos

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4.

Maratón matemát¡ca 5. Sudoku

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Deta[[e de cddd uNd de [as seccioNes del texto Escoldr

Binaria motivadora del área Cada área inicia con una binaria. En ella se ubican los contenidos que se desanollarán en cada unidad, seguidos de los ¡ndicadores de desempeño, tamb¡én de las cuatro unidades; flnalmente, una lectura acompañada de una imagen que relaciona la matemática con la vida cotid¡ana, con ello tratamos de segu¡r los objet¡vos y l¡neamientos de las rutas del aprendizaje. ¿Cuál es el ob¡et¡vo de las lecturas? Motivar al estud¡ante para aprender matemática, al constatar que puede usala y aplicarla en cualquier contexto de su vida real y cotidiana.

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GUIA METODOLOGICA

I

13

Cómic matemático Además de la binaria, tenemos el comic, también de contexto matemát¡co, desarollado a través de divertidas h¡storias que refuezan aún más la relación ex¡stente entre la matemát¡ca y la v¡da diaria. Con ello llegamos al desarrollo de conoc¡mientos con estud¡antes motivados a mnectarse con el área respectiva.

Sugerenc¡as pedagógicas . Luego de leer la lectura y el cómic matemático, ambos relac¡onados con un hecho cotidiano, podemos generar una conversación acerca de ellos, de la relación que existe entre estos y su realidad, que sirva para dar más ejemplos de lecturas de contexto matemático y su mt¡d¡an¡dad, para mentalizar en el alumno de por qué debe aprender la matemática, al comprobar que la aplicará en su vida presente y futura.

.

También, nos debe llevar a revisar los mntenidos que se desarrollarán en la unidad como un acercamiento previo a los conoc¡mientos delestudiante, asícomo las capac¡dades.

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Desarrollo pedagógico de contenidos Para el desarollo pedagógico de contenidos correspondientes al área se ha hecho uso de un lenguaje senc¡llo, el desarrollo

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de ellos es gradual según e¡ grado de estudios. Una organización de contenidos lo suflcientemente necesaria para no sobrecargar con información, que el estudiante

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perciba una dinámica que lo motive a seguir aprendiendo. El desarrollo de los contenidos se presenta acompañado

de esquemas, ilustraciones y, sobre todo, con el apoyo permanente de los mediadores cogn¡tivos (personajes de la colección). que a través de indicacrones y sugerencias facilitarán el proceso de aprendizaje. ¡t¡nú!.

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Problemas resueltos La resolución de problemas const¡tuye el aspecto fundamental

del área. En esta sección, encontraremos

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problemas resueltos de modo didáctico para que el estudiante procese la información de manera exitosa. En cada uno de los cuatro temas que componen la unidad está anexada la sección Problenas resueltos, en los que se utilizan diversas estrategias de resoluc¡ón. Son problemas que requerirán de un mayor análisis y procedimiento, con el objetivo de refozar la destreza del estud¡ante.

Sugerenc¡as pedagógicas

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El objetivo del docente es que todo lo que desarolla en el aula sea asimilado por cada uno de los estudiantes y es justamente por ser esta una labor muy compleja que requiere de mucha pacienc¡a. Por ello, se sugiere seguir el orden de los contenidos que la colección propone, para explicár cada concepto con ejemplos de aplicación que se complementarán con problemas resueltos.

En los problemas resueltos se recomienda que los estudiantes intenten resolver dichos problemas y de ser posible, según cada situac¡ón, apliquen una estrategia alternativa, que puede hacerse individualmente o en forma grupal. Esta práctica debe hacerse constantemente, para entrenar la capacidad de resolver problemas con autonomia.

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Lexinátic 5.o

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Matemática para la vida cotidiana En esta sección se han incluido problemas en contextos diversos que desanollarán el pensamiento matemático y

al desarrollo de competencias y capacidades matemáticas. Son problemas que responden a los intereses de los estudiantes. orientarán

¡l¡ñ,

Detalle de cada uNd dE [as seccioNes d=[ [¡bro de activ¡dades En cuanto al contenido práctico, tamb¡én se ha tomado en cuenta desarrollarlo por secciones para que el estudiante aplique gradualmente lo procesado en el contenido teórico y encáminarlo al objetivo pr¡ncipal: la resolución de problemas. Veamos las secciones que lo componen: Écu¿Qo^

E.

Lectura En ella presentamos biografias de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemática a lo largo de la historia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de ¡nterés del estudiante

y lo que va a procesar

Es un valor agregado. Para el docente constituye un mnocimiento muy interesante, ya que le ayudará a comprender mejor la evolución de los diversos conceptos matemáticos, y para los estudiantes, una fuente de conocim¡entos, interés y motivación.

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-¡|fÉopl¡4!!eq.úE

Aplicamos lo aprendido Esta sección propone ejercicios, problemas y s¡tuac¡ones problemáticas de nivel igual o superior a los planteados en la sección Problenas resueltos, un total de 14 problemas por tema, cada uno con alternativas de respuesta y con la clave de respuesta de c€da problema al flnal. El objetivo de esta sección

es continuar con el entrenamiento de estrategias de resolución de problemas

y

encaminar al estudiante

hacia el aprend¡zaje sign¡ficativo autónomo.

Sugerencias pedagógicas

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Al ser esta sección de problemas una primera entrada a lo que signiflca la práct¡ca del estudiante, es primordial la partic¡pac¡ón del docente para que elestudiante pase del aprendizaje sign¡flcat¡vo dirig¡do a la etapa del aprend¡zaje signif¡cativo autónomo. En esta etapa, los grupos de trabajo también resultan convenientes.

Es recomendable que algunos de estos problemas sean resueltos en clase para poder entrenar diferentes eskategias de resolución. Para ello, se debe pedir la partic¡pación de los estúdiantes, de modo que no sea solo un trabajo exposit¡vo por parte del docente. Con la participac¡ón activa de los estudiantes se puede lograr en algunos casos, resolver problemas con sus ind¡caciones.

GUiA METoDoLÓGIcA

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15

Ej".ctlc..ñ6s

Practiquemos

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Compone a esta sección un promedio de 30 problemas por tema, de un total de 16 temas por área. Están organizados en tres niveles de dif¡cultad. Cada niveldesanolla las cuatro

capacidades de cada competencia. Cada problema tiene c¡nco alternativas de respuesta y, al final de la sección, un listado de claves de respuesta de todos los problemas.

Sugerencias pedagógicas

.

Algunos de estos problemas se pueden desanollar en el aula, pero siempre buscando la mayor participación de los estud¡antes.

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Considerando el nivel de avance de los estudiantes, se les puede organ¡zar en grupos para que resuelvan problemas. La cant¡dad de estos la estimará el docente, para que expongan los problemas ante sus compañeros y así lograr el efecto multiplicador de la capacidad de resolver problemas.

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Maratón matemát¡ca I

Se incluyen problemas de todos los temas que componen la unidad de trabajo pedagogico. Esta sección se presenta encabezada con un problema resuelto, y se deja para el alumno un promedio de 10 problemas propuestos mn un nivel de dificultad mayor al de las de secciones anteriores.

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Sugerencias pedagógicas Esta sección se presenta al final de cada unidad, cuando ya todos los contenidos que la componen han s¡do expuestos. Entonces, los estud¡antes están listos para hacer frente a s¡tuaciones que involucran más de un conocimiento procesado. Se puede trabajar en clase,

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(pizarra) para ver los procesos de resolución y quizá para descubrir otros métodos.

Con estos problemas se puede estimular la creatividad de los estudiantes en s¡tuaciones problemáticas similares. Todo proceso de creación aumenta las posibilidades de desanollar capac¡dades cogn¡tivas y afectivas.

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Sudoku Esta sección perm¡te ejerc¡tar y enkenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.

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CD DE LA COLECCIÓN

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Ammpañan a los libros de la colección un CD interact¡vo por grado, en él se han desarrollado notas y observaciones (representadas por el lcono cuestionario de cada uno de los temas (representado por el icono

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0:), información importante relacionada con la historia de la matemática (representada por et ímno @), enlaces y videos informativos que complementan los mnocimientos matemáücos por área (representados por el icono G). Además se han desanollado los exámenes plSAy exámenes de admisión de las d¡versas universidades del pais.

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Presentcci n Ser docenle de Motemótico en lo octuolidod es un gron reto, pues se lrolo de uno toreo complejo que requiere multiplicidod de soberes. Poro hocer frenle o este desofío y hocerlo menos loborioso, presentomos lo colección poro Secundorio que ho sido eloborodo con bose en lo renovoción y octuolizoción de lo educoción con el ob¡etivo de desorrollor los competencios y copocidodes molemóticos de los estudiontes como medio poro comprender, onolizoq describir, ¡nterpretor, explicor, tomor decisiones y dor respueslo o situociones concretos hociendo uso de conceptos y procedimienlos. Eslo colección ho sido octuolizodo siguiendo los lineomientos

dodos por el Minislerio de Educoción, de modo tol que presenlomos por oño el texlo escolor compuesto de cuotro óreos

(Aritmélico, Álgebro, Geometrío y Trigonometrío), en ellos se desorrollon los cuotro competencios: Contidod; Reguloridod, equivolencio y combio; Formo, movimienlo y locolizoción, Gestión de dotos e incerlidumbre. Acompoñon ol lexlo escolor Ios libros de oclividodes, uno por óreo, que formon un poquele de cinco libros por oño. En los textos escolores se ho desorrollodo el contenido teórico,

es decir, los conocimientos por óreo, los cuoles superon los requerimienlos del Currículo Nocionol de lo Educoción Bósico y se complementon con lo sección Problemos resueltos, que llevoró el estudionte o un (outo)oprendizoje significolivo oulónomo; y lo sección Motemótico poro lo vido cotidiano que reforzoró lo conexión del estudionte con lo molemólico. Codo libro de octividodes estó eslructurodo en cinco secciones. de Lecturo, medionte olgunos biogrofíos de eminenles motemóticos y reseños del ovonce de lo motemólico o lo lorgo de lo historio, pretende estimulor ol estudionte o compenetrorse mós en el óreo. Lo porle

Aplicomos

lo

oprendido tiene como finol¡dod evoluor los

conocimientos procesodos o trovés de un grupo de problemos que el estudionle deberó resolver, o su vezr como entrenomiento de los diversos eslroleg¡os. Esto porte y lo sec ción Proctiquemos, conformodo por un conjunlo de problemos closificodos y ordenodosporniveles, delerminorónel grododeovonceyel logro.

lo sección A\orolón motemático, el olumno lendró

que discernir qué conocimiento oplicor, porque cont¡ene problemos de todo lo unidod con un moyor nivel de complejidod.

En

Lo porte finol, Sudoku, se propone ejercilor y entrenor el rozonomienlo motemótico y lo destrezo numérico. Cenlrodos en lo ideo de que lo motemótico sirvo o lo ciencio, y esto o lo vido reoly concreto, esperomos contribuir ol progreso de lo educoción y, por ende, ol de lo humonidod.

I

Iexto EscoLar Bi¡.¡aria votivadora En ella están los contenidos, los indicadores de desempeño y una lectura de contexto matemático.

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lndicadores de desempeño Son descripciones específicas de lo que hacen los estudiantes respecto a los niveles de desarrollo de las competencias. Además ilustran algunas actuaciones que los estudiantes demuestran cuando están en proceso de alcanzar el nivel esperado de la competencia.

Lectura Está relacionada con uno de los conocimientos desarollados en la un¡dad, para que el estudiante asoc¡e lo que está procesando con hechos reales.

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Cóvric vatex,rático En él se presentan historias divertidas, relacionadas con hechos matemátims que serán de interés del estud¡ante, para que no perciba la matemática como una ciencia ajena a su realidad, sino como una ciencia cotidiana.

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CoNociwieNtos

Constituye el desarrollo de contenidos, los cuales se han adecuado a los requerimientos delCunículo Nacionalde la Educación Básica. Se ha hecho uso de un lenguaje sencillo, mnceptos graduales clasificados de acuerdo al grado escolar y, lo principal, con criterio pedagóg¡co. Acompañan a este desanollo los mediadores cognitivos (personajes de la colección) que con sus sugerencias e indicaciones, refozarán el aprendiza¡e del estudiante.

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Problewas resueltos Conjunto de problemas en los que se han ut¡l¡zado diversas estrateg¡as para su resoluc¡ón, @n elobjetivo de refozar la deskeza y la habilidad del estudiante.

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Mater..¡ática para [e vida cotid¡aNa En esta sección se han incluido problemas en mntextos diversos que desarrollarán el pensam¡ento matemátim y orientarán el desarrollo de competencias y c¿pacidades matemát¡cas. Son problemas que responden a los intereses de los estudiantes.

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Librodeact¡v¡dades Lect ura iNicie t En ella se incluyen b¡ografías de eminentes matemáticos y reseñas del avance de la matemática a lo largo de la h¡storia. La intención es iniciar la conexión entre elementos de interés del estud¡ante y lo que va a procesar. Acompañan a la lectura un grupo de pensamientos que conducirán al estudiante a la reflexión, además, un ejercicio de razonamiento matemático mmo enkada a lo que será el desarollo de sus actividades.

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Ap[icavros [o apreNdido Esta sección tiene la finalidad de evaluar los conocimientos aprend¡dos a través de un grupo de problemas que elalumno deberá resolver; a su vez, s¡rve de entrenam¡ento de las

diferentes eskategias para resolver problemas y encaminar al estudiante hacia el aprendizaje signif¡cativo aulónomo.

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I Practiquewos Presenta gran variedad de problemas propuestos, distribuidos en kes niveles, los cuales van en orden de jerarquía: niveles simple, intermedio y avanzado. En cada nivel, desanollamos en elestudiante las cuatro capacidades de cada competenc¡a.

ffi MaratóN rvatewática Sección ubicada al final de cada unidad didáctical contiene problemas de todos los temas desanollados

y en donde el

alumno tendrá que discernir qué

conocimiento aplicar para llegara la meta: la resoluc¡ón del problema.

(D Sudoku Para ejercitar y entrenar el razonamiento, la habilidad y la destreza matemática.

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CDde[acoleccióN Ammpañan a los libros de la mlecc¡ón un CD interact¡vo por grado, en él se han desarollado notas y observaciones (representadas por el icono @), cuestionario de cada uno de los temas (representado por el íono (!)), información ¡mporlante relacionada con la h¡storia de la matemát¡ca (representada por el icono qt'), enlaces y videos informativos que complementan los conocimientos matemáticos pr área (representados por el íono Q¡. Además se han

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desanollado los exámenes PISAy exámenes de adm¡sión de las d¡versas universidades del pais.

ÁLGEBRA

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ALGEBRA

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C.,orvteNido CI¡ ÁtgEbrd Teoría de exponentes

5

Polinom¡os

8

Poterdacirn (propbdades).

Radlr.ir¡

(Fopledades). Eqracjo¡es exponen jales.

Expresiones alqebraicas. Polinomio. Grado de un monomio. Grado de ún po¡¡nomio. Poliñomios especiales. Valor numé¡lco.

UI

Produclos notables

14

Concepto. Pdncipales produclos notables.

Cocientes notables

19

Defnicjón. Foma gene.al de un cocienle notabte. Término general.

Matemática para la vida cotidiana

¿5

Factorización

25

Concepto. Métodos de factorización: facior común, ideotidades, aspa simple, aspa doble, aspa doble especral, divisores binomios, artil5cios de cálculo.

Máximo común divisor y mínimo común

31

múlt¡plo

Máx¡mo común divisor. Minimo común múhiplo. Fraccón algebra¡ca. (d6ifcación)- Operaciooes co¡ fiaccioñée atgebrdjcas. Descornp6ición de

Fracciones algebraicas

fraccionos en sumas de expres¡ofles parciales.

Análisis combinatorio

35

Factorial de un número. Cofaclorial. Relación entre un cofaclodal y factorial. Numero combinatoio (prop¡edades)- Cálculo deltér¡ino general. posición det

térnino centr¿I. Desarollo de¡ b¡nomío de Ne ton co¡ expone¡tes negaüvos. Fómula de LeibníZ.

Radicación - Racionalización

40

Rad¡cal€s doble§. Transtomac¡on

de radic¿les dobles a s¡mpl€s. Facbr

r¿ciralizante.

Números complejos

44

Concepto. Cornde,os espedales. Representación geomét¡ica de un ¡úmerc coñple¡). li.lodulo. A,gurier¡lo o amp¡itud de un complejo. Operacjones con números complelrs. Raíces cúbicás de la unidad. Foma e&one¡cial de uÍ número comple¡r.

Matemática para la vida cotidiana Ecuaciones de primer grado

54

56

Clasifcaqón de ecuadones. Raiz de una eqlación de primer grado. planteo de ecuac¡ooes.

Matrices - Determinantes

60

lgualdad de matrices. Muhiplicácioi de matrices. Matriz cuadÉda. Transpuesta de una malriz. Caracle¡ísticas parliculares de las mal0ces cuadradas. propiedades de los deleminanles Menor complementado. Adjunto de un e¡emenlo. Matdz adjunta. Matriz inversa. Determinante de Vandermonde.

U3

Sistema de ecuaciones

69

silema

Ecuaciones de segundo grado Planteo de ecuaciones

75

d6 eq.Jacjones con dc incognitas. incógnlas). Sisterna de ecuacjorles no l¡neales.

Sisl€ma de eoraclrres lineales (s§tema de de

fes eoJacires

con

tr6

Defiñic¡on. Propiedades de las raices. Fomac¡ón de ¡a ecuac¡ón cuadrát¡c€ a padir de sus €ices. Planteo de ecuaciones de segundo grado (sobre edades, oúmeros conseculivos y áreas).

Matemát¡ca para la vida cotidiana

79

lnecuaciones

80

Funciones

88

lnecuacióñ cuadÉlica. lnecuaclón de grado supenor. lneclaciones h¿ccionadas. lñecuaciones inacionales. Desigualdades e tnecuaciones exponenciales.

Defiñi*xl. Funcirt real de variable reát. Regh de corespordencja. Gráfcas de funciones. Fünoones elementales (funciófl lineal, funcion jenlidád, fuñdon constante, funcbn qladÉlica, funcion !€k[ absduto, raiz cuadrada, funcjon s¡]no, náxi.no enlero y tuñcl)n par e impa} ope¡¿cires con funci»es. Comp6hih de tuncbnes. Funcion inyecli\€, surye.tiva, biyecliva. Función invel§a.

Limites

98

Delinición. Lim¡tes later¿les. feorema tundamenlal det límite_ feorema del Sandwich. Limiles indete¡mi¡ados. Limites trigonométd@s. Func¡ón conlinua. Reg¡a de L'Hospital.

Derivadas

105

lntroduccióñ.oefnición. lnteDrctacióo geomética. Teoremas. Ecuació¡ de la lañgente a

Sucesiones - Progresiones

Matemática para la vida cotidiana

vilt I Lertrr,át¡E 5."

1'12

!¡a curya.

Regla de la cádena. Tlpos de derivadas.

Formas de detinir uná suces¡ón. Tipos de sucesiones. Sucesión convergente. Progresrol aritmétca. geométnca y amónc¿.

118

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Lexirnátic á-9ebra

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de desempeño Unidad

Unidad

ldent¡fica las propiedades sobre teoría

de exponentes en

la

potenc¡ación y la radicac¡ón. Aplica los teoremas de la teor¡a de exponentes en la potenciación y radicación.

ldentifica los e¡ementos del término algebraico

y

2

Comprende los distintos métodos de factorización. Ap¡¡ca el algoritmo de aspa simple, doble y doble espec¡al en ¡a factorización de polinomios.

Evalúa

el

procedimieñto

al determinar el MCM y el MCD en

discrimina polinom¡os considerando su naturaleza, la cant¡dad de términos e ¡denüflca términos semejantes. Determina el grado absoluto y re¡alivo en monom¡os y polinomios, además calcula su valor numérico. ldentifica Ios prlncipales productos notables. Reduc€ expresiones algebraicas ¡dentificando el producto notable a

expresiones algebraicas.

ut¡lizar

el factorial de un número, lo apl¡ca en el cálculo combinator¡o. Añaliza la representación gráfca del número complejo. Util¡za la definic¡ón de complejos especiales para Ia resoluc¡ón de problemas.

Analiza las propiedades de los números combinatorios y define e¡ b¡nomio de NeMon.

Construye

Jd¿

óóoo

ECUNCDNES TRASCENDENTES lnves¿¡gadores de los €E- UU. lograron detectqr la presenciq de elementos rad¡ac¿¡vot en lq cqrne de atún que luego del o¿cidente nuclear de Fukushima m¡graron a la costo de San Diego en Californ¡a. Los nivel¿s ¿n¿ontrados no son perjudicialcs para la salud humano, pcro es doble que por recomendaciones de los exp¿rtos se debcn es¿ud¡ar más las especies rqdiact¡vas.

Con las ¿cuqciones trascendentes se pueáe colcular lq masa de un elemento rqdiac¿¡vo lueqo de un c¡erto tiempo "t". Oracias a estas ecuaciones, podemos tener una aprox¡mac¡ón de la durabilidad de los ¿lementos en la natural¿za-

ñt

=eú

el factor

racionalizante analizando las expres¡ones

algebraicás.

Calcula

ldent¡fica los tres casos que se presentan en los cocientes notables. Realiza el desarrollo de un coc¡ente ñotab¡e y ana¡¡za su estructura.

aaa

las fracciones propias, ¡mpropias. homogéneas, heterogéneas, equivalentes, compuestas e irreductibles. Reconoce

y

Contenldo: l'-u;'dJiI

unrdad a

. .

Teoía de exponentes. Pol¡nomios. Productos notables. Cocignles rolables.

. . .

Unidad

Factor¡zac¡ón.

Mco y MCM. Fracc¡ones algebraicas. Anális¡scomb¡nator¡o. Rad¡cac¡ón Rac¡onal¡zación. Números comple¡os.

Í#,+Er . . . .

Ífr.tan

grado . ecuaciones- .

Ecuac¡ones de primer Planteo de

lnecuas¡ones.

Matr¡ces y determ¡nantes. S¡stema de ecuaciones.

L¡m¡te3.

Der¡vada3. Suces¡ones Progres¡ones.

grado .

Ecuac¡oies de segundo

Planteo de ecuac¡ones.

Unidad 4

3

Clas¡f¡ca las ecuaciones según sus coeficientes y la natúraleza de sus soluciones. Determina el valor de la variable dentro de la ecuac¡ón e interpreta la solución o ra¡ces. Realiza operac¡ones básicas entre matrices ident¡ficando lilas y columnas y aplicando los leoremas dados. Apiica los teoremas para realizar las operaciones enke matrices. Aplica el criterio de los determ¡nantes para el desarrollo de un sistema de ecuaciones. Aplica la regla de Cramer para la resolución de sastemas de ecuaciones. Anal¡za los distintos teoremas empleados para la re§olución de una ecuac¡ón de grado supefior. Ut¡liza operaciones de adición y multiplicación de raíces al resolver una ecuación d€ segundo grado.

Analiza el procedimiento de resolución de una inecuac¡óñ. Plantea matemáticamente enuñciados utilizando inecuac¡ones. Aplica la definición de las ecuaciones e inecuaciones y las representa matemát¡camente. ldent¡f¡ca el dom¡nio y rañgo eñ una función, y anal¡za su gráflca. Representa gráñcamente Ias distintas funciones estudiadas. Comprende la definic¡ón formal del limite. Oeterm¡na el límite de una función y demuestra la unicidad. Analiza las d¡st¡ntas notaciones sobre derivadas, además interpreta los teoremas estudiados.

Emplea

la defin¡cióñ de derivada para determinar lo§

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valores

máxirnos y m¡n¡mos de una func¡ón. ldent¡fica los elementos de una progresión y analiza las relaciones dadas. Apl¡ca los criterios de razón en la resoluc¡ón de sucesiones y las fórmulas respecto a series.

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Funciones.

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Unidad & TeoPÍA Oe ex?oNeNTeg Flpnendtzales

pore¡¡crncrór.¡

esperodos

Es una operación matemát¡ca en la que, dada una base real a elevada a un exponente entero n, hallaremos una expresión llamada potencia P.

@

Su representac¡ón matemática es:

propiedades sobre teoría de exponentes en la potenc¡ac¡ón y la radicación.

Exponenle

f

Base

ldentiflca las

x-x.x.-...x=P No ohrld.ñ

an=a.a.a.a.....a=P l.- potencia ¡ veces

J

s¡'+((sof) Aplica los teoremas de la teoria de exponentes en la potenciación y radicación.

Propiedades '1. lrultiplicación de potenclas con bases iguales

Paraa€lRAm;

n€Z

4. Potencia de una multiplicación Paraai belRAm;

n€Z

(ab)n

2. o¡visión de potenc¡as con bases iguales Para a € IR- (0)^ m; n € z

a'

/af

at-n

=

an

- .'

ao=1;

"

Vaets-(0)

.

7. Exponente negativo

a1

r,

1

a

va e IR-{0}

a-n =

1: va e IR an'

{0};n

€z

(ir = (*l

ldentiflca los elementos del término algebra¡co y discr¡mina pol¡nomios considerando su naturaleza, la cantidad de términos e ident¡f¡ca térm¡nos semejantes.

Determina el grado absoluto y relat¡vo en monomios y polinom¡os, además calcula su valor numérico.

6. Exponente cero

n€z (am¡n

^b+0

\El

3. Potenc¡a de una potenc¡a

.

an.bi

5. Potencia de una d¡v¡s¡ón Para al b€lR; neZ

an

Paraa€lRAm;

=

a

0

b

0

ldentif¡ca los principales productos notables.

Reduce expresiones algebraicas ¡dent¡flcando el producto notable a

RADICACIÓN

ut¡l¡zar.

La radicac¡ón @ns¡ste en encontrar un número llamado raíz, de manera que al elevarlo al índice del rad¡cal obtengamos la cant¡dad subrad¡cal.

ldent¡flca los tres casos que se presentan en los coc¡entes notables.

Su representación matemática es: Potenc¡6clón

¡lndice

n/t Subradical

=

rea=rn; netN; n>2

<-l I

R.i,

Radicación

2"17

=

h 1G7-

tal _+a

Real¡za el desarrollo de un coc¡ente notable y anal¡za su estructura.

,'J-a^ =ai c¿"!d4,--1|

ÁLGEBRA - rEoRiA uNTDAD 'l

¡

5

Propiedades 1. Radicales sucesivos € lN;

Para m; n y p

/á(a +

1)

t

^116

r... =á+1(+)

/a(a +

1)

a

(-)

n/á'.f|/6

120+420+,120+.. =5

4x5

c-

mJr¿ nJxb. p/F

,120

- t20...

6.

(an

=r

- b)p-c

Representac¡ón ¡nf¡nita x

3. índices iguales

4;5 420

.

=^,{i

Paran€lN;

,

ñJá'. mn/b-

=

(an+b)p+c

Vxb P/F

ParamAnelN;a>0

El.mplo.:

,

mne/

2. Rav de níz

S6a:a>0

.

> 0; b > 0yc> 0

mJxa

,/a"Jop/c

reI

5. Propiedades ad¡cionales

además; a

x

E

a> 0Ab>0

=

=q-!i

n/l-

rtLtq

ná6.

7. Representación f¡nlta

=4

Paran€lN,a

> 0Ab>0

{x{xillE = t"lxF=-

.E

^rE

vb

v6

4. Exponentefracc¡onario

rc¡il

-[ a

Coñsiderá también añ/b- =

nGirE

;a>0

EJemplo:

7z.s¡g

=ttfizfj =ttfl,

ñGñ _ ñkrFi

Ik

:,.]

tx={x*'/x-..-.'fi

n€lNAn > 1

Param; n

=

tG

/^n

t"nÉ# t'1,É+

si m: impar

sin:par

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son aquellas ecuac¡ones cuya característica es tener la incognita en el exponente de una polenciac¡ón. Para su resoluc¡ón se ut¡lizará la teoría de exponentes anteriormente estud¡ada.

eu,*

Bases iguales Ejemplo:

;bl0

Si:

3GZ-3.1oGEr6_3oGZó'

^

b+:t1

Exponentes iguales

vn+

Si:

0A

xt

a€lR+

Si

alb,lax=bx =

x=Q va; b€lR+-{1}

Analogías semeianza

vxta*

Si:

0

Ejemplos:

1.

,fi=ñ/ñ_x=n

Si

Resolución:

Si:

ab + a3'

x2

?

I x'=33 2

Casos d€ oxpon6nt6s igual6s

. s¡.5r=3r -¡=0 ' S¡:)¿=(l/afi/')' r - 1/8

l.

^¡l-

33'

'

,,J 5 ,r=r,=(rr]' 1

..x=3/5 2.

Halla el valor de

a2'(1 +

x2

Resolución:

6

Lexirnátic 5.o

a')

l=1a)2-x=a' .'. x{l

y3

+ a3' .-, Ay ¡ '' ab1+a'

Luego:x=y=I=1 Pe¡o: a4Y

-

a3Y

aY-1

li =all

x ^ .. x yv

a1Y

-

a3Y

a\ _1

a3Y(aY-t) aY-1

= 1ar¡3

=y=¿r

,. ',/i = a

=a

Cono:'G =YJi = a

!:

a

v-= '"

1+ax

v st

'

1+ax

x'= 3t ', halla elvalor de x:

B

Vx; n+0^{x; n}clN

1

2

Problemas l-esueltos pst'

," =3'-#, x =I+

calcula: S

Reemplazamos

t2- 5t*¿=o

f

+

x

+

x3

+...

Reponemos:

ea = t:

-

(t-a)(t-

1)

(e} - 4)(ea - t¡

=o g

-

Cada factor igualamos a cem:

Resolución: Luego piden:

Del dato tenemos:

," '=¡'-(tÉ

S= 1+x(1 +x+x2+...)

/-1

\

S=1+xS=S(1 -x)=

=

ea='1 = lne&=ln1 2x=0 = x=0

1

1 -1 -c--_L --- 1-x - .12 '33

-,=(+l+l*'-' Se observa Que: x

e2'-1=o

S

x¡-1=3-l(5)3-11

"

"u-4=o e2*=4 = lnea=ln4 2\='r,4-*=llu=o.og¡ 2

.

" S=1+x+x'rx'+...

I

{

f)

2

,n, población de bacterias mmenzó mn 700 y se sextuplica cada 4 horas. La cant¡dad de ejemplares (Z) luego de t horas es: Si

7 = 700 .6ra

-trT

EDs¡,r= ,/1'o

Determina en qué üempo habÉ 151 200 ejemplares.

5.8ñ

calcula: P

= 5/Á

Resolución: Pordalo:Z=151 200

Resolución: oel dab:

63

-13 '" A= ./2

^_

Luego piden:

o(Gti')

^ 5/5iZ

6r/4

3=f, -¡=126e65

5.1¡

ffi

P=s./Fa =5,/F =2

A=,É3'rE\3

=

Por exponentes ¡guales:

'=-w=w

-lrntñl A=,/2

200 = 700.6u¡

Divid¡mos ambos mi€mbro6 por 700:

A=O8=2a

, /6"/e-.uJ3 i

y Z=700.6ta=151

R"dr.., nn3

(no

f)

Cabula el valor aprox¡mado de:

3

zs

+\lsltlslTl

)

Resolución: Sea el numeradorA:

Resolución: Nos piden

De la expresión sea:

E

=

zs+llsl+llT

--.lsl4lsl4:

3úl;F =

E

E= J5/4E Ea

D

-52.4E

r = {n"

,

E=,lsl4ls{4:.

=

=

E¿

-514E

-

E3

=

)

-.] =3118 =

3J2s-+-m0

"/n", "Jn",

"f,F

Por inducción matemática: Para 2 rad¡cales: S

'[tm=n"f,P- ñ.ñ =

n2

Para 3 radicales

1oo nn

"Fffi

=

n."fF.n'fF

= n.n.n = n,

Para 16 rad¡cales: Determ¡na el valor de x:

e'-

5e-'+ 4e 3'=

o

"/n. "Jn", "/n",..."f,F =

n.n.n...n

= n,6

16 veces

Resolución:

Sea el denom¡nador B:

Multiplicamos ambos miembros por e3':

,="/"/"J,Gr

e3,(e,

-

5e-x + 4e-3,) = O(e3') ea'

-

5e2'

+4 =o

*

1e1¡2

-s1el¡ ++ =o

tlospioen:

-"ffi=n,

f={=n1'? ÁLGEBRA -

rEoRíl ulroro r

I

7

POLTNOIAtO9

o

.,-

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Son aquellas expresiones en las que f¡guran constantes y lekas a excepción de las sigu¡entes: F(x) t(x) B(x¡

@

* u,rn_' * d!(' ' + ... +án

+ 0: coof¡c¡ente principal (coef. de la variable con mayor exponente). ao

=

1

exponencial

=

¡*rz

:

Func¡ón

rosaritrnica

=

13¡12,

I

,, :

*

Función trigonométrica

*j*'sitaria toman el nombre II de !1 expresiones 91119:1'" trascendentes. I

+ P,,, *,,no.

=5¡1y

+!i+n

+U{ -utat

Expres¡ón algebra¡ca

*x' "F b,

RlrJ

= t¿t

A(x)

=

sg¡13r¡

*

Expresión algebraica

ar,x) +x3+3

Expresión trascendente

Por su naturaleza Expresiones algebraicas racionales. En este caso las expresiones algebraicas no lienen pane literal afeclada de un exponente fraccionario.

a) ExPresiones algebra¡cas racionales enteras.

En este t¡po de expresiones la parte literal posee exponentes

enteros y positivos (Z+).

Tém¡no ¡ndep€nd¡enle

Si: ao

Función

Ci) TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Pará un pol¡norn¡o de una sola variable:

an:

:

P(x,y¡

Las represenlaciones de las canüdades algebra¡cas son. generalmente, las s¡gu¡entes: Constantes: a. b. c ... Variables: x, y,2...

= a*n

73x

Ejemplos

Recue¡da

P1,¡

=

o

Ejemplos:

món¡co.

A(x, y)

7

=

3/5x2y +

7x3l +

B(x, y)

y1o

xny'

=

+

xy"

+

x

oy'

b) Expresiones algebraicas racionales fraccionarias. En este tipo de expresiones la parte exponentes enteros negativos (Z-) al menos en un término.

l¡teral posee

Ejemplos:

c(m,n) = 7¿¡¡¡-2

1rz*rz

D(x,y,z¡ = ¡2y-:¿

3

+rfl

+

f;

uz3

Expresiones algebraicas ¡racionales. En este caso las exp¡es¡ones algebra¡cas tienen parte l¡teral afectada de un exponente fraccionario. Ejemplos:

E(a,b,c) = 5a7

íE

1

+

c3

-

3a3b2

F(x, y, z)

= iQyi

y1072

¡I

xloyez3

+ aloxf

Por su número de térm¡nos

Af73 2 términos : P(x, y) =x+y 1

término : P(x, y) =

3términos : P(x, y,z)

=

ff t !

ntérminos:P(x) = a.xn +

¡,4onomio

Binomio

n

r'

alxn 1+arxn-z +... +an

Trinomio l\.,lultinomio

1x

+an:

pol¡nom¡o

ii,, POLINOMIO Es un mult¡nomio donde sus térm¡nos son racionales entems

Térmlno algebraico Es una expresión algebra¡ca donde las operaciones de suma y resta no están presentes.

8 ltexnnauc s."

I Ejemplo Coelicienle

-

P6.y,z1= 5a2

z- 3

P(r, y,.)

=

5a2xe

+

bi'T

Parle litera

Ateñ¿ión

Térm¡nos semejantes

elfi

Dos o más términos son semejantes si ambos poseen ¡a m¡sma parte I¡teral

-z* fi + sx2fi =(3-2+3)f vt

Ejemplos; lgual parte l¡teral x'?

tl,2x'? {13x'?

-t

Solo s€ pueden sumaa y rcstar tém¡nos a€mejant€s:

ll

x'

"L -1 - 13_"_L x'y z 100x'y2,20x12

=

ll

-(a+5-y)=-3)(-5+y

-1

En 63te caso, si el s¡gno menos pr€o€de e un s(¡no de col€cc¡¡rn (paré¡t€sis), para ño cona¡derado tenemos que camb¡ar d6 signo á loda la expr€sión qug apar€c€ dsntrc.

x12

111 * lxa ' bt/zÍ : -x" * bfzl :5x" btfzl

x'

+

qx2ly

by2zi

GRADO Es aquel número entero y positvo que actúa como exponente sobre una variable tomada como base Para su mejor estudio lo clasificaremos como grado de un monomio y grado de un polinomio:

Grado dé un monom¡o Veamos:

P(,, y) = ?.,

(+l

Es el exponente de la variable mnsiderada

=3¡15n

GR(Y)

=2¡-n

+

\"n-

n

Grado absoluto (GA) Es la suma de los exponentes de todas sus

Grado relativo (GR) GR(x)

x3m

variables. GA(P)

=

GA(P)

=

(3m

+

5n)

+(2m-n)

§¡ .' 4n

Grado de un polinomio

GA=a+b+c+5 GA=a+b+c+11 GA=a+b+c+10 r(x,¡z¡ Grado

reh¡vo

=/§¡*yi1"*r

*u"..f.-,.r"-*lF'fl* .

ñ

c

{fr_

-+

Grado absoluto (GA)

(GR)

Es el mayor exponente de la variable rBferenc¡a:

GR(x)=a+7;GR(y) =b+4;GR(z)

I]]

GA=a+

en

=c+ I

Es el mayor grado absoluto de uno de sus

Considera las propiedades:

términos;

1. Si: P(x)=

GA(F)

=¿,'6*.*,',

(1Of 1X/+2)

GA(P)=m+n 2.

POLINOMIOS ESPECIALES

S¡:

B(x) = 10xn + 6

2f+1

GA(B)=m-n

Polinom¡o homogéneo Es aquel polinomio que se caracleriza por poseer todos sus térm¡nos de ¡gual grado.

+ t3)i GA(R)=¡¡.¡

3. S¡: R(x) = (2xm

Ejemplo:

P(x, v¡

=

999 ¿;r+ ¿¡7+?_ cb,,a

9 31

¡¡

4. si:

r(x) =

n/JfllJ

cefit = 11

Luego: P(x, y) es homogéneo de noveno grado o elgrado de homogeneidad de P es 9

Polinomio ordenado Se caracteriza por los exponentes de sus variables (letra ordenatriz), los cuales están d¡spuestos ordenadamente

de manera ascendente o descendente.

ÁLceenr -TEoRíA uNTDAD r

¡I

Ejemplo:

1lx. y. z) = !v,1ay7 a 21xt

y6z2 7x4yjz5 + 9x2yzg Con respecto a x está ordenado en forma descendente Con respecto a y está desordenado. Con respecto a z está ordenado en forma ascendente.

Polinomio completo Es aquel que cuando se toma de referenc¡a a una de sus variables (letras) t¡enen todos sus exponentes desde el exponente cero (térm¡no ¡ndepend¡ente) hasta el mayor en forma consecutiva.

Ejemplos: P(x) = 21¡r

'

En todo polinomio completo y ordenado respecto a una

variable x, se cumple que:

ñ.' términos = GA(P) +

.

1

*

-

-

7rs 2xa + 2o x2 + 9x Este pol¡nom¡o P es completo respecto a x, pero está desordenado. Q(x, y¡

=

+

12xa

7x3y

-

2xf +

4y3

Este pol¡nom¡o Q es completo respecto a y, pero no respecto a x.

P es un polinom¡o en x.

Pollnom¡os idént¡cos Son aquellos polinomios reducidos cuyos meficientes que preceden a sus téminos semejantes son iguales Los polinomios:

fun

t Bxn 1 + ... + C =Mxn -

- 1 +... + P son idéntims.

Nxn

Luego se cumple que:

A=M; B=

-

N,...,

C=P

Condición aprovechable: En este t¡po de pol¡nom¡os podemos as¡gnarie un sistema de valores a la variable o variables y tendremos el m¡smo valor en ambos miembros. Ejemplo: De los polinomios idénticos: 2(x + 3) 1) =A(x Para valores adecuados de x, obtenemosAy B:

-

+

B(x

+

2), detemina:A

B= g

parax=

I +2(i

Parax=

-2 = 2(-2+3)=A{-2-1) +Bt-z+2t -A=

+ 3)

-1) + B(t +2)

=A(1

-

+B

-

á, +-(-i)(+)=-+

Polinom¡o ldénticamente nulo Un polinomio reduc¡do cumple esta condic¡ón cuando los meficientes de sus térm¡nos son iguales a cem o nulos.

Elpolinomio:fun + Bxn 1+Cxn

I

a,

...

+0=

0 es idéñticamente nulo, entonces cumple:

sea: i1x, y¡ =

1a3

-e¡x6 + (a -

se anul6 pára más

'n'valor*

b

Calcula:3a-b-c

lE------------", grado :. Siun po¡inomio de

de

de la vadable, €ntonc€8 6s idénticam€nte

nulo.

i

i j

- 3¡xf + (c -

..3a-b-c=0

VALOR NUMÉRICO El valor numér¡co de una expresión algebraica es el valor que esta toma cuando se le as¡gna determinados valores a sus variables.

:

:

Valor numérico dlrecto (sin condlciones) Dada la expresión: A(r,

y)=

+

i

=

*

J

y

Halla:

A(0, 1)=

s.'

7)xy3, 0

a3-8 = O = a=2 a-b-3 = 0 - b=-1 c-7=0rc=7

Eiemplo:

1Ol texirnatic

=D=0

Eiemolo:

Se cumple:

'n'

+

A=B=C=

a

: ; : :

2

gl1+

d1

o

+{

=-

r

I A(2,0)=lgp+r1o ¡1¡.¡1 =

=o*r=t

I 3E2n* I / * m-n - rr m-n

3{P2n

Valor numérlco ¡ndlrecto (con condlc¡ones) Caso l: Eiemplosl 1) = x3 Si: P(2x

-

Si: P(x)

-

2x

+

1, determina P(1)

1

+ o(5) = a(2x +

Resolv¡endo la ecuación tenemos:

2x 1=1-x=1

= 2x+

nQ(P(x)) =¡2 a 3

Determ¡na Q(5) 1)

5=2x+1 2=x a(5) = (2)2+3=7

e1t¡=t3-211¡a1=q

.'. o(5) = 7 Caso ll: Ejemplo: Si: F(x + 3) =

x'+

3x

-

5, calcula F(x).

1.'foma de soluc¡ón.

Tenga prea€nte los valores numóricog notjables:

En el segundo m¡embro le damos una foma adecuada, de tal manera que en la

expres¡ón ¡n¡cial se tenga todo en función de x + 3.

Sea él pol¡nom¡o P(x):

Veamos:

Suma de coۖcionlg!

F(x+3)=x(x+3)-5 Se observa que ya aparece el (x ex,res¿¡r

como:

+ 3) en el segundo miembro, pem no es el único ya que el factor

Y

Icoel(P) = P(l)

se puede

x=x+3-3

Nólese que es necesario detectar todos los x + 3 posibles: F(x + 3) = ((x + 3) 3Xx + 3)

Táfm¡no indapend¡eñte

rl(P) = P(0)

-

-

foma de solución. Realizando un camb¡o de variable: expres¡ón in¡cial ponemos todo en función de

x+3=y;

t

5

HedD esto, donde figure (x + 3) lo reemplazarnos por x: F(x + 3) = ((x + 3) - 3Xx + 3) - 5

F(x)=(x-3)x-5

..F(x)=f-3r-5 2.e

y.

de esta despejamos

x¡¡ =

y

-

3. En la

Veamos:

F(x+3)=l+3x-S F(y) = (y - 3)2 + 3(y -

3)

Una vez reduc¡da, hacemos: y

..l-(x)=x'-3x-5

- 5=

I

-

3y

-

5

M(x; y) =

-

5x13

F(y) =

=x

q) e?ecfuAe 1. Calcula el GAde

2,

Encuentra el GR (n), si N(m; n)=6m6n7

3.

Halla elgrado absoluto de:

4.

M(x; y; z) =

(- 4xfz)3

Si el GA de

(- 2xla)3 es 18,

5. ElGAde 6.

L(m; n;

:

9.

M(x;$z) = Árza*:ra-trz-sa

y)= (- 4x5f)3 GA(M)- GR (y)

Dado: M(x;

(tOx3y'z6) halla a3.

p)=-fm3n2ne.'

- 5x2 + 9x - 6 es: 7. Si P(x) =¡m.2a 2¡'*1 -x' - 1 üene -

Calcula elGAde:

Calcular:

El GAdel pol¡nomio

P(x) =

8.

2xa + 7x3

GA = 8, entonces el valor de m es:

(5xf)3,

b, si:

GA(M)= 18

- 2x2 + 5x - 2 Q(x)=2¡3*3*z-"-" Sl P(x) - a(x) se reduce a un polinomio

de GA = 2,

10.Dado: M(x;y) = y GR(y) =

I

calcula a

-

11.Dados: P(x) = ax3

halla dicha diferencia.

l2.Calcula mn, si el polinomio: P(x: y) =

4x'y1

5 - 3x6f - 5x3yn es homogéneo.

ÁLGEBRA - rEoRíA uNtDAD

r

lll

PnobLemas l.esueltos ffi p

Sea el polinomio ordenado y completo: B(x¡

(3)en (4):

= a¡lb-'""-a *-1r""'-2"-::-' ^a 7 ,.'"" _. _{¡.,

61

1-0-8

p4P=f rza*n

(pa)P

= rP

r=pa

=

(5) en (2):

+ ... + (bc)a

d"

Fa

=4p2

Calcula el térm¡no independiente.

-

"p' en (5):

Resolución:

p2

=4

x para sus cuatro

primeros términos sean iguales

-

p2

=22

r=pa=24=10

-

"P'en(3):q=4P

Como el polinomio es completo hacemos que sus grados relativos

respecto a

(5)

=

(D

(ii)

48+2=c7

(iii)

."""+

r=16

=8 = q=8

q=a(2)

La suma de coefic¡entes del pol¡nom¡o será:

mediante el siguiente artificio:

bb+a"'+21=a'"+7a+33+1=7a+

= p=2

Icoef.{z) = 2,1

61+3

1 ¡. ¡, = AP

.

,..3

I e/7 + t

(¡)

(iv)

= 82+

6

2.1T6

+

+ 1=77

De (ii)y (ii¡):

.

a"'+7a+34=7a+50 ¿^2 d =¿

D

1d=¿

De (i) y (ii):

b'+a' +21 =a' +7a+U bb=33 = b=3

-

^2

- 22'

ct =21a Nos piden: Tl(B(x)) = (bc)a

f)

Para que el polinomio sea completo respecto a u debe contener todos los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero en forma consecutiva. Veamos:

+64

(3(4))2

=

q

+ z1+

q

*9-2 +,,.

del siguiente

1+z3r+c-2

*

Z.t 1.27.2_Zr' 1*...-,,

[f[vp*or,r"**r*r'

. . La sumá de térm¡nos que faltan: Por ser un polinomio homogéneo se cumple

!)

pq=P=Jir=(pq)P

0 (i0 (iiD

:Ll

z-1

Se presenta el siguiente pol¡nom¡o idénticamente nulo: C(x) = (m7 +

(iv)

7m

ln7p7

-'10(p7 De (i¡) y (¡v): (1)

(iii):

n7p7¡7x7

11p-1m7n7

+

-

1n7

+ 9n-lm7p7

m7n7¡3x3

-

m7p7¡sx5

+ (m + n + p

-

55)

4p2

=

(i)y (ii): pq = P

l2lLexrnaac s-'

mp

m7n7

Resolución: 12)

pq

q=4p

p8

np

.ñ

tP={1,' -¡e =¡2 +lp= {¡ =,

1:

+

-

Halla el valor de:

= r=pq

4p' 2en

1

-,,1-,'-!z-1

Resolución:

(ii)y

+z+

Nos piden:

z(x, y; z; w) = qpxpq

De

l

rru:*':"';:ili""

polinomio

homogéneo:

rp=(pqP

+ z7'

+... +27' + 27' 1 + 21'-2 +... +

144

coefic¡entes

+ z3'

Van disminuyendo de uno en uno, lueqo:

L(z)= z3t*

=

1

+z3r*q

L(z) = z3r*c

*c7 =47 =c=4

la suma de

Oelermina

2

1+ze 2+...+24')

*ro

73'170

Resolu¿ión:

a'""-2 +64

7l2l+50=c7

Determina la suma de los términos que faltan para que e¡siguiente polinomio sea completo:

l(zl =

De (iii)y (iv):

7a+50=ct

Zcoeflz) =77

(3) (4)

El polinomio ya está reducido para sus variables respectivas: x7, x5 y x3, luego sus coeficienles respectivos serán ceros:

. ,r*I-E-n,0,6 -+f.r-, m n'p'

...tll

9m7p7

- 4L=n-s m'p' or*'1'lm7n7 -m7n7=0 = jL=o-rr ' m'n' P nz*

.

-m707=o

n

m+n+p-55=0 á m+n+p=55

Resolución:

(2)

P(P(x))=¿¡15 P(x) = 3¡ ,' 4

Nos piden:

(r)

(3)

'(,8)=,É(/E-)=Áil

Cambiando x por P(x): P(P(x)) = 3P(x) +4

(4)

'(+)=,(+).,=?

P(P(x)) =3(3x +4)+ 4 P(P(x)) =9¡-¡16 . 1¡¡1

Sumando miembro a miembro (1), (2)y (3):

,,"no,ffi=,t+=,

(l)y (ll):

De

a-9yb=16 z

(4)

z=55-27

f,)

ED

Z=28

h siguiente identidad:

En

f

+5x

-2

=A(x

halla el valor de:

Si et polinomio:.

P(x;y)

-

-'+ bf -oy"; (a; b > 0)es homogéneo, yla

Df = ae{

relación de los exponentes de x en sus dos términos es de 3 a Calcuh el valor de

-

1)(x

(A+

B

-

2) + B(x

+ C)2 +

-2Xx + 1)+C(x +

1)(x

-

1),

I

Resolución:

1.

I

ab.

+ 5x - 2 = A(x

-

1)(x

-

2)

+

B(x

-

2)(x

+

1)

+ C(x + 1)(x -

1)

Sea:

y=,t = ,12 ¡g-)=B(-1X2) +B=-2 x=2 =, 22 + S(2) - 2 = C(3X1) +C=4

Resolu¿ión: Por dato, el polinomio es homogéneo, entonces:

P(xi y) =

ax"*bfb- I + bx"-by11

¡ = -1 = (-1)2 + 5(-1) -

Grado Grado a+b+ab-l a-b+'ll !l-[ =f a-b

Además:

=

=

(A+B+C)2+8=(- 1-2+ 12

...(t)

a=zo

ID

Piden: ab = 42

t)si'

e1r¡=

4)2

+8=1r 8=9

lm*2 + xm* 1ym + xm- 1ym + 1 + x2\

x3y' 1+xy't2+xt*1y

como4esa3.

Resolución

..a=4

+ x'*1.y'

P(x;y)=lm+z =

-1

calcula el GR de x en Q si se sabe que el GAde P es al GA de Q

+b -6=0 =b=2(b>0)

t3

=

Q(x;y)= xm+1+

2b+2blb)=12

i><

-A=

Dados los polinom¡os: P(x; y)

...0D

Reemplazando (ll) en (l):

b2

=A(-2X-3)

Nos piden:

-Y-!.-Y-

lgualando y s¡mplificando. 2b + ab

2

16

+

GA=2m+2 GA=2m+1

ffi,.0"rr.,

,,o(r»=

x'-1.fl*1 + x2'.y

Gjr',

GA=2m+1

GA= 2m

halla G(5).

= Resolución: Despejando:

{x+ 1) Plxl = i--------:

"

(x

-

G(x)=¡-1

€lii+ F:A =

2XG(x)+ 1)= x(G(x)-

xc(x) + x

p

-2(G(x))=-¡-¡12 - 2(G(x))= -2¡ 12

(r-l)

P(G(-» =

-

2G(x)

GA(P)=2m+2 = xm+1

Q(x;Y)

-

2

Entonces:

1)

= xG(x)

G(5)

-

x

=5-

c(5) = 4

1

calcula:

+

GA=m+1 GA=m+2

x.y'n2 + xt*1.y GA=m+3 GA=m+2 !......\-

-

GA(Q)= m+3

Detdato, Sabiendo que: P(x) = 3x + 4 y P(P(x)) = ax + b,

+ \.......1x3.Yt-1

cA(P)

zn+?

= m+r=!=¡=t 3 GA(o)

Nos piden: GRi(Q):

'(.ffi)

GR,(Q)=¡11=3+'1 =4 ÁLGEBRA - rEoRiA uNtDAD

1113

?POOUCTO9 NOTABLÉ9

o

CONCEPTO Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obt¡enen en forma directa Siendoi n

€2,

se cumple:

C;] PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1. Blnomio al cuadrado (tcp: tinomio oEdrado pelecto)

(x-y)'?"=(y-x)2"

(x ty)2 -.x2 +2xy

+f

Ejemplo: [(2a + 3)

-

(6a + 5)]2 =

(4a-2)2

=12(2a

+

1112

= 4(2a

+

1}2

=

4ll2a)2

+ 2(2a) +

12) = 4(4a2

+ 4a+

1l

C0ROLARIO: ldentidades de Legendre (x + y)2

+ (x

-

y¡2

=

2¡a2

¡'f¡

(x

+

y¡a

(x+y)2-(x-y)2=4¡y

-

-

1x

y¡a = 6xy (x2

+

fl

Atenciór¡ En algunos cásos convione

hacer él procoso invé6o d6 este producto notable (as¡ como en otros):

Ejemplo:

I

S¡endo: a

[<"

-'1

., I. (;-]¡)j' - -' r I - (fr )l = ro,-. [r. \ú¡)[r.

a'¿-.]= = /á + 1Vá -1\ ar \ a/\ al t-------.V.A est6 proceso d6 solución s6 lé donomina

factorizac¡ón.

-', r

.

(;1¡ll

=oka+tÉ*--l-----l (a+1f

t

l

2. Diferencla de cuadrados En forma general lo podemos representar como:

(axm

+

byn)(axm

- b/¡

= 1ax'¡2

-

1u/¡2 =

a'l^ - bY

Ejemplos:

. .

(2x2

+

ty3(zx2

(2a + b + c)(b

-

3vJ = 1zxJ2

c) = ((a + b)

-

+

1sy)2 = 4¡a

-

9y6

+

b)

-

(a + c))((a

(a

+ c)) = (a +

b)2

-

1a

+

c¡2

artiflcio

3. ldent¡dad de Stev¡n (x + a)(x + b) =

@ I Como podrás apreciar, lá : id€ntidad de Stévin funciona i tambián cuando algunas d€ i sus constantes son nogativas

I

(muttipl¡cación de binomios con un término común):

Ejemplo

Ejemplo:

. (*.,Xt-,) = (ff .rs.«-z»(f)

.

+5-7 b+o

(a,b,c<0)

-l

z1É

Ejemplo: (x + 2Xx

5..

-

(2m -1X3m

-

acx2

+ (ad + bc)x + bd

7) = (2X3)m2 +

+

b)(x

+(-1x-7)

+ c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc

- 3 + 4) f + [2(-3) =x3+31-1ox-24

3)(x + 4) = x3 + (2

f2(- 7) + (-1)3)l m

= Em2-17m+z

brD

(x + a)(x

14 ¡ LeÚrnátic

(ax+bXcx+d) =

+ (a + b)x + ab

+ 2(4) + (-3)(4)] x + 2(-3)(a)

4. Blnomio al cubo

(xty)3=x3t3x1+3xf+y3 E

emplo:

(/l-r{Ttr=rt.lTf

-e|.n¡r(./-zl

+st36x3fz),-('Af =r-t(,/§3,/-z\+t({rl3{cl =1-33{ld+33lll

coRoLARlO: ldentidades de Cauchy (forma abrev¡ada del desanollo de un binomio al cubo)

(xty)3=x3+f+3xy(xty) Ejemplo:

(,/r.

#l

(/i), . (+f .3(,iq )(#)(

=

/r. #)

=, + { + s(vo +

ft

5. Elnomio por trlnomlo: suma o d¡ferencia de cubos Expres¡ón general

(xm

l)

+ ynxx2' + xmyn +

=

*t',

yt" Es necosaño que rocuerd€s lo siguient€:

Ejemplo:

({i -zl(lu +¡W + s) = (3/7- 3)((3ñ)2 + (3/7)(s) + (s)2) = 1a./7¡3 - 1l¡3 =7 -27 =-20

+ (x - y)3=a(* + ql) (x+yÉ-fi-y)3=zy(¡f+l) (x + y)3

6. Trlnomio al cuadrado +

lx + y

z¡2

= y2

¡'f ¡ I

+ 2gy + u. + yz\

Ejemplo:

(p-3q-5r)2=

p2

+ (-3q)2 + (-5r)2 +

2lp(-3q)+ p(-50 + (-3q)(-5r)l=

p2

+ 9q2 +25É + 2(-3pq

-

Spr+'15q0

7. ldentldades de Lagrange Con do8 Yariabhs

+

(a2 +b2llx2

)

=

lax

-

by)2

+ (ay - bx)2

Con tres var¡ables 1a2

+

b2

+

c2¡1x2

+

f +l¡ = 1ax + by + cz)2 + (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (bz - cy)2

8. ldentldad tr¡nómica de Argand

f1(x2' - x'yn + f) = x4'+x2'fn+y4n

(x2' + x'yn +

Veamos un ejemplo para la identidad trinóm¡ca de Argand

9. ldontldades do Gauss (identldades auxil¡ares) ,3 + y3 + z3

A)

-

3xyz =

1x

+y+

z)\l

+

f + I - ry - n - yzl

1ql +zre* ?yql - z\+ ?1= (2qf + (2qxr) + ln(2qF - (2qxr)+

(2qf+(2qF(rF+/= 16q'*

Ejemplo:

.

Si: a

+ b + c = 2; abc = 'l;

a3

+

b3

+

c3

= 5, Determina:

a2

+

b2

ll=

+ C y ab + ac + bc

Resoluc¡ón: Consideramos el trinomio al cuadrado y lá identidad de Gauss

x+2y=4 x-Y=1

(a + b + c)2 = a2 + b? + c2 + 2(ab + ac + bc)

zxy a3 gl-

+

b3

5

+

c3

-

3abc = (a + b + c)(a2 \......1--.1-

+

b2

+ c2 - ab

2x

-

ac

-

bc)

Donde: x = 2

v

Reponiendo las expresones: x = a2 + b2 + c2 = 2

Y=ab+ac+bc=1 ÁLGEBRA - rEoRiA uNTDAD

:

4dl. r':

r

Il5

a

(x

B)

+ y)(x + z)(y + z) + xf¿ = (x + y + zXry + )e + yz)

Ejemplo:

.

*

Considerando los datos del ejemplo anterior, determ¡na: (a + b)(a + c)(b + c)

Resolución:

Ate¡ción

Como se pudo apreciar del ejemplo anterior: ab + ac + bc

El domin¡o de los principales productos notables es indispensable para el desarrollo de los siguientes cápllulos, en especial el de

1

=

a

+b+c)(ab+ac+bc) 2

"factorización'

Obtenemos: (a + bxa +

PÉcticá varios ejercicios

x3

para que logres memorizarlos adecuadamenle.

=

Luego, de esta última identidad: (a + bxa + c)(b + c) + abc

+

y3

+ zs

cxb+c) =

3xyz=t

-

+ y + z){(x

(x

-

(2X1)

-

1

y)2

=

(a+b)(a+cxb+c) =1

1

+ (x

zl2 + (y

-

-

z)21

10. ldentidades condlcionadas A)

Si: x

+ y + z = 0, entonces:

x2

+

f +I

-

=

2(xy + xz + yz)

Ejemplo:

Si:a+ b+c=0. Calcula:

T- (a+b )2+(a+c)2+(b+c)2 ab+ac+bc

Resolución: Desanollamos los b¡nomios al cuadrado:

nl a2 +b2 +c2* -' -'\;il;c

Observactón Cons¡dera los casos especiales en IR:

Si: x2

B)

+

ab+ac+bc\

=2(-2+1)

+ b-;

¡5 +;c + b-;/

f +I

= xy + xz + yz (x,

=2(-1)=

€¡R) entonces: x =

y, z

y=

2

z

En general: Si:

Ejemplo:

?+f+?+...+rrP,=o

Si:

,yQ

+

^O +r^li

+ ...+2."Gi = o

p2

+

q2

+

I

pq

=

+ pr + qr. Determina:

¡,4

(p + q)(p + ü(q + r)

=

(q

-

p)2

+

-

(r

+ (r-

p)2

q)2

+ 122pqr + t0(p3 +

q3

+ É)

Resolución:

Donde'n'€N

Según la mndición, se concluye: p = q = ¡

Entoncesi

x=y=z=_..=m=0

'

Reemotazando en

Caso espec¡al en

.122 93 _ i3o _ M: M _ lzqll2ql(2q) 0+

13

10(q3)(3) 30

3

IR:

Si:x2+f+22=0

es pos¡ble

siy solo si:x =y =z=O

Ejemplo:

Si:a2+b2+c2=0,

simptilica:

A=

(a-3)4-b(c-

1)(a -2) +10(b_-

(a+1)(b-S)(c2-g) -(a

-

1)2

i)+

+

9

't9

Resoluc¡ón:

Porcondición: a = b

=c =0 + A=

(o

+

-o

-

5)(02

1)(o

80

l-eximáüc 5-'

9)

_

+9

r

-

(o

-

+

3yl + 6xyz

1)

+19

63

1. Desarrollo de un trinomio al cubo

(x

+ y + z)3 = ¡3 a y31

I

+l&y +lxL+3xf +3fz+3é

(x

+ y + z)3 = x3 + y' 1

z3

+ 3ry(x + y) + 3rz(x + z\ + 3yz(y + zl + 6ryz

(x

+ y + z)3 = ¡3 a

y3

a z3 + 3(x + y + z)(xy + xz + wl

(x+y+z)3= 31¡1ya z¡¡f

16

-

io(o-

_80

45+18 1

+

3)1

+f

+l¡-21x3

+f

-

3xyz

+ z3¡+6xyz

81

-10+9

(1)(5)(-e)-1+1e

J

Problemas nesueLtos p

Si: a2 (a

+

+

b)2

b2

= 7, calcuh:

+ (a

-

b)2

x6+

+ (a + b)(a

-

b)

+ 2b2

1+3/ x2+ 1\ = 183 xo\

,2)

x"+

1

Re
x6

(a

+

b)2

+ (a

-

b)2

b2)

!)

b)2

+

(a

-

b)2

+ (a + bxa

-

=

3a2

b2

+ 3b2 = 3(a2 +

-

b)

+ b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

rr M- a-c .. b-c d-b

+ 2b2

d-a

Resolución:

+2b2

Haciendo:a+b=x

b2)

Reemplazando:

Por dato tenemos:

^

c+d=y

(x+Y)2=4ry

r1a2+02¡=317¡=21

D

3(18) = 5778

Calcula:

=?(a2+b2)+a2-b2+2b2 -2a2 +2b2 +a2

-

Sabiendo que: (a

12¡

Reemplazando (1) y (2) en:

+

183

(*. +)

...(1)

Por d¡ferencia de cuadrados:

(a

=

x6

= 2(a2 +

(a-b)(a+b; =a2-62 .

1

x-+

Por identidad de Legendre:

=183-3

Í+ay+f=t*¡

i-

Simplifica:

R=(a + b +

7)2

-

(a

ot+f =o (x-Y)2=o

+ b+ 8Xa + b+6)

.rx=y

Resolu¿ión:

Setiene:a+b=c+d

b-c=d-a

a+b+7=x + a+b+8=x+'1 = a+b+6=x-1

^

a-c=d-b

Piden:

M=

Reemplazando:

q-9

d-b + !-c 0-a

Reemplazando tenemos:

R=*-(x+1)(x-1)

d-b , b-c ., M- ¡:Tf 6-c

Por diferencia de cuadrados tenemos:

n={-tt'-tl

M=1+1=2

R=xr-xrtl

pcauta: +\./3 - '/5\" + (J5 - JlY -, tJl\'/i13l - '/1 xl7 - li x{l - ll t

R=1

l)si,f -lr-r =o Halla:E=x6+x-6

Resolución:

Resolu¿ión:

Recuerda:

Del dato tenemos:

-a3+b3+c3=3abc

x2-4x-1=o

i-t=+x=x- L=q x

Del enunciado observamos que:

(1)

tl7

Elevamos (1) al cuadrado:

, (,

¡'2

-i)

Elevamos (2) al cubo:

("+4f =r*

-lil+tli -ll)+lll

-17)=o

Luego se cumple:

=#

x2-z+\ = 18 x' =to=f*4 x'

si:a+b+c=0

\2)

(Jt -,/3)" +(3 -./5f + (Js - J7f = 3(./7 -./l)«a ,./l)(G - /7) Reemplazando tenemos:

,

3(O (./7

-

lix./1 - lsxll - Ot

,t3)("t3 -,/5)(J5

-./7\

J=3 ÁLGEBRA -

rEoRir uuroro r

ll7

])etaua, (x+5)2-(x-5¡2 a-x-¿x-

Nos piden:

, 1x+3¡2-1x-3¡2

1\, M=(x'+ x,/lx,+ x-r .1-

.

(x+6)2-(x-6)2

It¡

3x

= *'*

* +x

_1*1 ! +x x x+x I

x

M=x3+1+1+x-3

Resoiución: Reemplazando Por ident¡dad de Legendre:

b)2

(a +

-

(a

o)2

-

('1)

M= x3+x-3+2 M=18+2=20

¿au

Reemplazando en S tenemos:

s =1.(!r)

I

,'

4(3x)

_4(6x)

=s.20+6.8=34 3x -'

2x

!)simpmca: t = (x - 200)3 + (x + 200)2 + (200 -

Simptifica:

(.tñ +a+b)

(Já * /6) +

z/6(/á

+

/5 )

-

(x

-

200)2

R¿solución:

Resoluciónr

Efecluamos E:

S¡mdificando:

- 2OO)3 + (x + 200)2 + (200 - x)3 - (x - 2OO)2 E = (x - 200)3 + (x + 200)2 + [-(x - 200)]3 - (x - 2OO)2 E = (x - 200)3 + (x + 2o0F - (x - 2oo)3 - (x - 2o0F E

+

F_

b2 +

2/Ñ )(/ a - '/o) + zJ¡(,/

a+

Binomio al cuadrado

(li

E=

+

a-

bX

b

+2 b(

a

+

li)

a

E=

a+b+21Ñ

b+2

Por ¡dentidad de Legendre

E=4(xX200)=800x

S)Si:xa=y' +24;f +f =o;x+

Diferencia de cuadrados

E-

'/¡)

= (x

E=(x+200)2-(x-200)2

(G+ll (G-./i)+zlo(G+li)

E=

Calcula elvalor de: x

ab +2b

Si: x4

=ya

Oato

-

+ y2\x2 61x2

(x+y)(x-y)=4

+ x-1 = 3, delermina el valor de:

+

(xifl

Dalo:

x+1 =3 x Alcubo:

,'*!+sr,(1)(, +!)=zt !+

3(3) = 2z

x3*

18 I Lexim,áüc 5.o

4=le x"

Dato-3(x-y) =4 ..lx - vt =1 3

R¿solución

+

y

Luego:l-f-4

M = [l + (x-1)' ]lx'-'

x3

g

+24-xa -ya =24 \x2

(G+li G+li Sab¡endo que: x

-

y=

Resoluciónr

Binomio al cuadrado

ED

x)3

(1)

- 'f1=24

-'f¡-24

o I'

DEFINTCTÓN

Son los resultados de las divis¡ones de la forma mnoc¡da (xn d¡recta s¡n efecluar la división conespond¡ente. :

I

I

COCÍCNTEg NOTABLEg t /)

+

(x

a y), que se pueden escribir en forma

FORMA GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE (CN) xnjyn

= 0(x;y) :

xly

n

El desarollo del cociente notablG tiene n térm¡ños.

eVl

El grado del cociente es:

n-1

Casos Se presentan los sigu¡entes casos:

xn-yn

t.

x-y

'"J

=cN

=

+ xn-2y + xn-3y2 +... + xyn-2 + yn

r"-,

1

No olv¡dos los s¡gnos d€ los

tánninosl n: par o impar

oond€ n es par o ¡mpar

:=+'+,+. .,+,+

Eiemplos: ,1

++

,

++

=

xB

+ xsy + x¡v2 +

+

x2yo

+ rys +

yo

: = x5+x1y +

x"+/

x3y2

x

+

=

v

xn-

I

-

xn-2y + xn-3y2

fen en cuonta

: ! = +, -,

- ... -

xyn-2 + yn-

+,

@d.

loB 3ignos

i los términos: : n: rmpar

+ x2f + ry' + y'

xn+yn

x+y =cN

.

x3y3

-,

...,

i : i

- ,+

!

re¡il

1

.

Cuando n es impar.

El cociente notable es un poliñom¡o homogéneo.

Ejemplos:

+

.,.

x5

.

xt+y3

)/5 *l x3y + x2f x+y = -

x+y =r'-ry

, +# xn-yn l

x+y

xy1

+

ya

El coc¡ente es un pol¡nomio homogéneo de 4." grado

*f

= ,6-xsy+x4f -x3y3**ya-xy5+y6

*+

CN

=

,,-' - rn-2y.. xn-3y2 -...

+

'"-2

-

yn-'

Los signos do los términos n: par

Cuando n es par. Ejemplos:

,

,

xo

-Yo x+y =

df=

rt-*1*rl-y3 x5-xay+xf

lV Para el caso de

xn+yn

x-y

-ff+xyr-t'

re!il Los exponentos d6 la primera variab¡e x disminuyen de uno en uno y los exponentes de la seguñda variable y van aumentañdo

este N0 es un mciente notable, sea n par o impar

ÁLGEBRA - TEoRiA UNIDAD I

I 19

I-) ^. 5r: At¿nción El signo se colocará de acuerdo al ca§o que corresponda, asl:

. .

Sielsigno deldiv¡sor es:

=tk=+(siempre)

TÉRMINO GENERAL xn+vn

-------!

es un coc¡ente notable y

tk

es el término que ocupa el lugar k en su desanollo, entonces:

t* = lsigno)xn -

Calcu¡a elquinto término de

a12

yk

1
1

b12

a-b

Resolución:

n=12 y k=5 5.b5 1=a7ba = (+)a12

Reconocemos que: Entonces:t5

+k: impar +

Lugar de un cociente notable

(=+ par+lr=-

.

Ejemplo:

Sie¡signo deldiv¡sor es:

k:

k

${ x'1y"

La expres¡ón

d, lug.r

a

,n .ocienle notable

s¡ se cumple

00 :=r=n."determtnos rS

Los exponentes de la variable (x) deben disminuir de r en r; mientras que los de la variable (y) deben aumentar

desens.

También debe notarse que tanto p/r como q/s deben ser enteros y

positivos, ya que ambas representan al

número de lérm¡nos del mciente notable conespondiente. Ejemplos: ldent¡f¡ca si las s¡guienles expresiones son cocientes notables.

F-¿ri,?,I .

Asimismo:

x"-yu

x--y

x8+y4

,,, x't + Y"

xtrf

xn

t

Resoluc¡ón:

x1- Yt

n." oe términos = $ = 1 = 4 (es un CN) ¿ x'-y = t

I

xay

Entonces los exponentes de (x) disminuirán de 2 en 2, mientras que los exponentes (y) aumentarán de

Sini impar

=

{:-f =ra-z-ra x'y

hay un único término centra¡ (tc): t^

4yl

I

en

1

- ¡8 6r,*t-rr.z

l¡:f 2

.

x8-Y'

Alaplicár la fórmula del

término general ( la divi sión debe ádaptarse a la representación general de un cociente nolable.

.

,

,1-

Yo

= ru *,.0y

x--y

Sin: par

*

r?

* y,

=existen dos téminos ceñlrales L1 y tc2:

r. 22

4+= Como el

t.

n"detérminos=

n.'de térm¡nos

," +y" ,3 -y'

u

no es un número entero, entonces no es un CN

=n."detérminos=

En este caso el

l:í

f = i = * =,

n.' de términos

t=*=, resurta ser una cantidad entera, pero hay que recordar que ra expresión

n0 se encuentra en los casos de mcEnles notables.

..18

Por lo tanto:

- -12

+x'-y'

no es un cociente notable.

@ 2Oltexrnaac s."

Pnoblemas FesuelLos

7

$

Oel,mciente notable xp

-

entre

yq

(t' -

y) uno de sus términos es

Cálculo del valor de E

x"y'.Hallap+q.

e

=

(s)t

¿(alt =

1aa¡8

= 6e.a

6l

R¿solución:

-

(x2)12

sea elcociente notabl.

E=882

yo

x'-y

EI término de lugar k será:

(

l-'

= (x'?)e2-r

!D

= xsy'

Si el coc¡ente notable de

zts

Donde: k- 1=7 k=8

Tiene 5 tém¡nos, calcula:

m9+m8+m7+...+m+1

lgualando exponentes:

p-2k=8 = P=8+2k=8+2(8)

Resoluciónr

P=24

El número de términos se expresa como

El número de términos estará dado por:

75

l=t=rl-n=t 9=

JM

12

Nos p¡den:

'''P+a=36

¡10

t=i

+5+1=

59+58+57+

p !)

-j

z3'-1

c10 ¡

¡

4

Cabula el número de término del cociente notable de

Cabula el cociente del tercer con el segundo término del desarollo

xn-1

x-1

de m n

r12s12

Si se cumple

,fiñ + 13 s3

fs

que:t,o . t¡o .t,oo =

Resolución: Resolución:

El número de términos está dado por n Un térm¡no general estará expresado por:

Dándole forma de un mciente notable

(Jmn)a

-

/nrn +

(r3s3)a r3s3

= /mn3

-

tt=xn

/ññ2(r3s3) + /ññ(r3s)2

Recordar que el divisor es de la térm¡nos son positivos.

- (Ér1' El mciente del

!)n

oirioir rt2

-

8e

enbe

-

a, luego todos los

t1o.h.tloo=136

_ r3s3 20- lnn 3o

Jmn'(r's')

lorma: x

Por cond¡ción del problema:

3.' con el 2.' término será

/nrn (r3 s)2 -----:;--:--.--

k

f - 88, se obt¡ens como coc¡ente 6l

(xn

-

10xxn

.-ln

-

10)

+ fn

-

so)(xn

- $)

- 100)= x236

+{n

- 1m)

-.236

lgualamos exponentes:

polinomio P(x).

3n-160=236

Calcula:

.--_ (98)s 4'P(o

..n=132

ED

Resolución Dándole una forma adecuada

y

realizando el desarrollo del

coc¡ente notrble:

{}s

=

(xs)3

+

(xs)2(Bs)

+ (xB¡10), + 1e)3 =

e,-,

El desanollo de un coc¡ente notable genera 37 térm¡nos, dos de los cuales (consecutivos) son: t 9y12, " 20 + X3r 6y12rn.2t ... r X3n Calcula m.

Resolución: Veamos la nueva representación

= x = 8:

P(8) = 1e)s + 1e|'z10s¡ + le8xes)'?+ (e8)3 P(s) = 4(813

.3m+5

...

+

^n+3 (x') (y")

^m+2

+ (x")

ÁLGEBRA -

3m+6 (v4)

rEoRír uHroao r I 21

relación debe ex¡stir entre a y b para que el siguiente mc¡ente mostrado sea notable, si n es un número entero?

De los térm¡nos que mntienen: x3

ED¿Oué

m+2=(n+3)-1 = m=n "t7 (v"),37 (x') ,t-yo

a(xa)h

El término cualquiera se veÉ como:

^37 k = (x')

-

Resolución:

I -k-1

Efectuamos:

(y")

ax&n Donde:

klrrf -1 1xr¡37

*31rr¡3'*

Factorizamos x4bn:

=rronIaxa""=nb"-o]

Iaxzb

37-k=m+3

m=7

k-1=3m+5

=x4bnl . 4an

xmn

alI

lr-*l

-

mciente notable, se cumple

4bn

-a--'

desanollar:

_

I

ron- b

[*r""

S¡ genera un

A

bx4h

s

= lxJn

37-k=n+3 k-1=3m+5 .. m=7

-

ax2-b

lgualamos exponentes:

p

6(¡b)ft

ax2-b

yñ

x'-y

+2an-2bn=1 - .2an

el cuarto térm¡no es de grado 39 y los grados absolutos de los

=2bn +

1

términos d¡sminuyen de 2 en 2. Calcula eltérm¡no ts.

ED

Resolución:

(x)" Expresión de un cociente notable

t¡ = to

=

-

Halla (m.n) si el coc¡onte:

- ¡3+n3+ (ry)- - fl'*n'

,m+n.rmn v"

x'-y

(r')'-oy'

1

R¿solución: = *rn{rr-l)rs

S¡ genera un CN se cumple

m+n=m.n...(l)

m(n-4)=36

(1)

k = (rt)n-uyu-' = GA= m(n -

xm{n-

Por n.o de térm¡nos:

¡3 + mn m2+n2

¡31

5)y4

5) + 4 = 37 (dism¡nuyen de 2 en 2)

33 de (1), (2): mn - 4m = 36 m(n

5) =

...(21

m3+n3=m2-mn+n2 (m

m-3

+ n)(m2

-

mn + n2¡ =

De (l):

mn=m+n=1 Lo solic¡tado: to

(fl)n-'y'-'

= xr(n-s)y7

m=3 = mn=33+5(3) mn=48

0e (3): t0

..

=

xmn

-

8V

=

x48

- e{3)yi

la = x2a17

22 I I-Exifnáüc

5."

- xz y7

(3)

mn mn

m3+n3+mn=m2+n2

mn-5m=33

S¡:

es notable:

GA= 39:

GA=m(n-4)+3=39

k=

mn

1m2

-

mn + n2)

I

4,1

/ _l ( páJ+ Lá

F

Vi{- E4{'Ér¿¡il

TEORíA DE EXPONENTES -'l

Notaaiéa ciaxtílica \

Los exponentes suelen usarse para

repfesenlar números mediante la notación científ¡ca, la cual tiene la siguiente foma general:

)

ú

a, bcd...

a; b; c; d son cifras, y d es d¡ferente de cero.

Veamos los e¡emplos:

Recuerda

x

Un átomo de h¡drógeno t¡ene, aproximadamente, un

x

E

diámeko de 0,00000000010586 m.

10-10 m

En 9uímica el valor del número de Avogadro es 602 200 000 000 000 000 000 000 En notación c¡entifica es 6,022

x

'1023

Asimismo, el uso de pref¡jos para convertir en unidades de mayor o menor valor se basa en los exponentes para su aplicación.

x

103 m.

x

'l}s bytes. GB \1 C¡gaúel seria 1 '! nm (un nanómeko) s¿ría 'l x 10-e m. 1

E

Sabemos que el radio de la Tierra es 6370 km. Se pide convelirlo a Gm (gigámetros). 6370 km

sszox

tera

t

gtqa

I

meoa

I

i¡o

t

Símbolo

F¡ctor

P

,d'

I I k

10" 10' 1oÉ

roe

------

hecto

h

1É

d"*

da

1d

deci

1

1o-'

c

10'

mili

m

10.

m¡cro

tr

10"

nan0

n

1o-'

p¡co

p

10"

T;_

Por ejemplo: 5 km (kilómetros) seria 5

P"fi¡"

fu-

109 años

En notación cientif¡ca: 1,0586

!f

t

La edad de la Tierra es, aproximadamente, 4 500 000 000 de años. En notación cientifica: 4,5

ff

1Otn

?

Pnecuxr¡s

Il

x

19m r I,q3m l(mx m 't

10e

4Gm 10v

=6370x10-6Gm

El método consiste en convertir pÍmero a metros; luego, a la un¡dad que se pide.

ff,

Otro eiemplo: El peso promedio de una persona adulta de género mascul¡no es de 75 kg. Exprésalo en mg (m¡l¡gramos) ?5

ks, " 19! ltq

, 10-,s ,1,',s = zs r. #l¡¡e = 75, 10

106 ms

"

ÁLGEBRA - TEoRiA UNTDAD I

I 23

r::

I POLTNOMTOS

-

$0oqaa qinarc0 \ _t

,

-

,-á

Se cuenta con un bloque grande de mineral, cuyo largo es 50 cm, el ancho 20 cm y la altura 30 cm, al cualse le ha extraído una pequeña muestra.

PnecuNms

¡l

Un anal¡sta intenta desarrollar un polinomio que determ¡ne el volumen que le va a quedar del mineral.

30 cm

v

x

50 cm

20 cm El volumen que ha sido extraido es x . y . z El volumen totaldel bloque iniciat es 50

x

cm3

20

x

30 = 30

000

Hallamos por diferencia el polinomio que va a depender de las distanc¡as de corte (x; y, P(x; Y; z)

ff

= 30

OO0

-

,,- V

xiz

z).

:l f__] x

'.' y

Determina el volumen que ha quedado si los cortes fueron x = 2 cm, y = 3 cm, z = I cm (valor numér¡co). En los polinomios, al reemplazar los valores de las variables se halla el valor numérico de d¡cho polinom¡o. P(x; y; z) evaluado en x =

P(2;3; 1)

!f

2,y =

=30000-2x3x'1

3, z

=

1

= 29 994 cm3

Si es extraída una segunda muestra, determina el nuevo pol¡nomio de volumen que ha quedado (la segunda muestra tiene medidas iguales a x). V(x; y; z)

= 30 000

24ltexrnatic 5."

-

4tz

d

x

n

a

I

?ACTOeÍZACÍ,ÓN Flpl-endlzaJes

{] coNcEPTO

esPerodos

Es la tranlormac¡ón de un pol¡nom¡o en una multiplicación ¡nd¡cada de sus faclores primos o sus potenc¡as.

Considera las s¡gu¡entes propiedades:

L

.

EI número máximo de factores primos que üene un polinomio está dado por su grado. Ejemplo: x3 + lox - 7: a lo más tiene 3 factores primos. ll. Los polinomios l¡neales (primer grado) necesariamente son factores primos. lll. Los factores primos podrán ser: Simples: s¡ su exponente es la unidad. Múlt¡ples: si su exponente es mayor que la

5f -

Veamos los siguientes conceptos:

Ejemplo: Elpolinomio: P(x)= ya que falta descomponer: (xa

Luego: P(x)

=

(x2

observaciones:

1 )$' + 3x + 1)(x +

x-

+'l)(x +'1)(x

x2

+

x+

7)7 aún no está factorizado,

.

1

1)(x2 + 3x

+

1)(x

+

Es aqúel

7)7

As¡: P(a; b) = a2

Son factores primos simples

x2+3x+

1

l

.

(factores):

La lnidad y la

Factor común

Facloriza: m3n5 + m7p

+

Pol¡nomio lactorizado

.

msq, se extrae: m3

-

m3(n5

+ map + m6q)

-¡r,

*rin *l.nonorio

rrto, 3. Fadoiza.

m2x

r

x2 +

,¡, -

z7n

+

l: +f -

Anal¡za las prop¡edades de los números combinator¡os y define el b¡nomio de Newlon.

y)

sí es primo:

1,x2

+f

l'-,

.

l^,*"

Elfactorcomún pol¡nomio es:

Agrupando:

..

1m2x+z7x)+(z7n+m2n) x1m2+27; + n(27 + m2)

Calcula el factorial de un número, y lo aplica en el cálculo comb¡nator¡o.

1: polinomio de grado cero

m2n + z7x

3x - 1: factor primo x + 'l: factor primo

m2 + z7

(m2+y'Xx+n)

Construye el factor racionalizante analizando las expresiones algebraicas.

,',. -,, 1(3¡ a"a ' '.1 1)G + rr Llrdlv,gFi

1l

exponenle

+

no es primo; se puede descomponer:

Factor coñpuesto Es aquel que rcsulta de la mmbinációñ de los fáctores priÍros.

Polinomio factorizado

3'- menor

m

I - f:

l-l=(x+yxx

x3

2.

"

x2

monomio

m¡sma

expresión.

f *x3(y+l+f)

se exrae:

homogéneas, heterogéneas, equivalentes, compuestas e irreduct¡bles.

polinomio que solo admite dos divisores

se elige elde menor exponente). El faclor común puede ser un monomio o un polinomio.

xY,

Factor primo

Es aquel

Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se rep¡te el mismo factor, al que se le denom¡na hctor común. Para factorizar, se elrae a cada término delpolinomio elfactor común (s¡este tuviese dfferentes exponentes,

+ x3l +

propias, impropias,

do P(a; b)

MÉTODOS DE FACTORIZACION A) Factor común (agrupación de términos)

xsy

Reconoc€ las fracc¡ones

a-b:esfactorodivisor

íJ

1. Faaoriza:

b2

a + b : es factor o divisor de P(a; b)

=

mult¡plicidad es s¡ete, es decir, se repite siete veces).

Ejemplos:

-

Evalúa el proced¡m¡ento al determinar el MCM y el MCD en expresiones algebraicas.

=(a+bxa_b)

Es un factor primo múltiple (su

x+7

pol¡nomio no

constante que d¡v¡de en foma exacta aun polinomio.

1

1

Factorod¡vl3oralgebra¡co do un pol¡nom¡o

-

x-1

Aplica el algoritmo de aspa simple, doble y doble especial en la factorizac¡ón de polinomios.

rcEiEI

un¡dad.

Comprende los distintos métodos de factorizac¡ón

(3x

Polinomio factorizado

1)(x + 1): factor compuesto

.

Analiza la representac¡ón gráf¡ca del número complejo.

B) ldentidades Consiste en ut¡lizar las identidades algebra¡cas (produc{os notables) en forma ¡nversa, es dec¡r, del producto pas¿¡r a los factores. Los que se emplean con más frecuenc¡a son:

'1. D¡ferencia de cuadrados

2.

x2'-f"=1x'-y)1x'+y)

(x' +ynxx2'

-y6 =

- x'/

+l)

=

x3'+fn

Ejemplo

Ejemplo *8

Ut¡liza la defin¡c¡ón de complejos especiales para la resoluc¡ón de problemas.

Suma de cubos

(x4)2

-(y3)'

=

(x4

+y3xx4

-

f)

6¿o

a

6s

=

1za2)3

+

103)3

=

1za2

+ u3¡6aa

-

za2u3

+ o6¡

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD 2

I 25

@ Amenos qu€

Eg

f't

lndiqus io

clntGrlo, cádo lactorlzación

i :

4.

3. Trinom¡o cuadrado perfecto (tcp) zx'yn +

debs r€alizarsg ha8ta obt6n6r factoros pr{mos sn Q, Cada

Ejemplo:

uno de 6llos con @€fd6ntes gntorcB. Esto s6 d61lne como

49x16

factorizac¡ón 6n Q.

-

Oxe)2

=

1¡'1¡f

(x' - /)(x2'

+

x|/

_

(71mx3)3

+

fn) = *" -

ytn

Ejemplo:

42xsf +

-

f"

Diferencia de cubos

gy4

=

2?xs)(a\?)

_

730oxe

+(z f

= (t*s

-

sy2)2

111ñx3

7-300y6

-

r1mr2¡¡7tmx6 +

_ (7-1ml)3_

x3f + 7-2mya¡

C) Aspa s¡mple Se emplea para factorizar trinomios que se adecúan a la siguiente forma:

F(x)=Mx2n+Nxn+P

= Mx2'

G(x; y)

t

Nx'y'

l\¡, N, P

1Py2n

+ 0; (m;

n)

e z*

Proced¡m¡ento: ordenar el trinom¡o y descomponer cada uno de los términos extremos en un producto de ,actores. Estos factores se multiplican en aspa y se debe cumplir que la suma de los productos sea igual al térm¡no

' . .

central. Al cumplirse lo anterior, los factores se toman en forma horizontal.

qf"

c(x; y) = Mx2' + Nxryn +

Mrx'

PrYn

Mzx'

PzYn

-

G(x; y)

Recuerda

iI*\ frf:

M1P2x|/ +

M2Plxmyñ

=

Nxmyn

+ P,yn)(M2x'+ P2/)

(M,xm

Ejemplo:

I

Factoriza:

K(x)

\2x2

+7)2

Resoluc¡ón: K(xJ = l2x2 + 7)2

son tlamados tarmlnos ñ,os

2x2

xl2x2

-

t7).6x2

x(2x2

-

+ 7)

+7

6x2

2xl2x2 + 7\

2x

2f +7 .

K(x) = (2x2 + 2x +

TlQf

-

3x(2x2

+7)

-

x(2x2

+ 7l

gx

-

+7)

o) Aspa doble Se emplea para faclorizar polinomios transformables de la sigu¡ente forma

E(x; y)

= 6¡zm

*

¡*myn

+

ly2n +

Jx' + Kyn +

L

;

(m;

nlez*

Proccdimiento:

. . .

R¿cqsrd8 En sstg mótodo dol aBp€ doblo. 3l hlte lbún tómlño, debomoS ctmplet¡r oon GAlog.

Se trazan dos aspas s¡mples entre los términos: Gx2t y los térm¡nos:

lfn : lfn

y L y se comprueban, respect¡vamente

Hxl/ y K/.

Se traza un aspa grande entre los extremos:

Gx2' y

L y se comprueban también

Se toman los factores en forma horizontal.

Ejemplo: Factoriza: S(x; y)

= 19x2+6xa-7y3-y6+8-xJ,3

Resoluc¡ón: Según el procedim¡ento:

--t

s(x; y) = 6x1

-

x2y3

-

\=< (1) 2i4f

f

+ tsx2

-t y3+8

---v ,r,i_,r

3x2

8

(3)

Aspa:

(1):

- 3x2y3 = -x2y3 e):f-8y3=-7y3 2x2y3

(3)r 3x2+16x2=19x2

26

Lexirnáüc 5-"

'.

S(x;

y)=

(3x2 +

f

+ S)(zf

-

y3

+ r)

mn el término: Jxm

mn

E E) Aspa doble especial Generalrnente, se aplica para la factorizacón de pol¡nom¡os de F(x) = Gx¡n + Hx3n +

lfn

4.' grado de

la forma:

+ Jxn + K

; n eV.+ R¿cu€rda

Procsd¡m¡ento: Se desmmponen Gxft y K, luego se calola la suma del prcducto en aspa.

. . .

En 6l método dol aspa dobi6 espec¡al, §¡ faltase algún téññino, 6ste s6 compl€tad con c6los,

La suma obtenida se resta de lÉn. La dlerencia que resulta se descompone en dos faclores para comprobarlos mn Hx3n y Jxn. Ejemplo:

15fl

F;doriza:

M(x) =

Resoluc¡ón:

M(x)= 15¡m

-

16x15 16x15

5x1o

-

6x10 + 9r5 6x10

+

-7xs \-,,'\2 (2) (1)

3x10,"- \

9x5

-

2

f"}

2

+2 (3)

,*.

,uA-1

Veriñcamos:

1't¡: 6x10-5x10=x10

=

falta: -7x10 = (-7x1(x5)

¡

íxl(-x1 (2): -21x15+5x15 = -16x15 (3): 2x5+7xs=9x5 M(x) = (5x10

-

7x5

+ 2)(3x10 + x5 -'1¡

.'.

-

2Xx5

M(x) = (5x5

-

-

2Xx

l

B(x)=-x3-7x2-13x-7

5xi _ --2 ,s/\_1

M(x) = (5x5

Atenclón So donominan CEROS DE UN POLINOMIO I lo8 veloros do la variablq qu€ anulan al pollnomlo. A9l, 6n €l pollnom¡ol

Siroemplazamos:

¡ =-1

B(-1) = -(-1)s - 7(-1F

1¡13x10

+ x5 -

1¡

+

f

-'l)(xa +

x3

-

13(-1)

= + 1-7+13-7=0

+ x + 1)(3x10 + x5 - 1¡

Lu€go, afrmamos: "-l" .3 un CERO

-

7

d.l

pollnomlo B(r).

F) Divisores b¡nomios (evaluación binómica) Se aplica a polinomios de cualquier grado, generahiente con una sola variable, siempre que tengan por lo menos un factor lineal (primer grado: ax Por el teorema del resto consideramos:

Si:

A(x)+(x-a)

-

t

b)

R=A(a)

=0 =

(x

-

a) es un factor o divisor de A(x)

ü"

Pos¡bles ceros racionales (PCR) Estos se determ¡narán según el caso general

=t {

PCR

Divisores del término ¡ndependle0te D¡visores del meficiente principal

Rééuerá¿

]

Reglas: R1: calcula los PCR. R2: comprueba si alguno anula al pol¡nomio, luego deduce el factor que anula a dicho polinom¡o:

+

(x A(a) = 0 Si se anula para:

=

-

l

Aquel coefc¡Gnte d6 la variablé con MAYOR EXPONENÍ E es denominado: COEFICIENTE PRINCIPAL. VoÉmos: mayot exponenle

'a'es

cero

Rtnt=

3- zf

a) es un faclor o div¡sor Cosñcieñte

x=7 +x-7=0 á - 7)es un fac{or o d¡v¡sor x=-9 =x+9=0 + (x + 9)es un factor o div¡sor r=-I I = 7x+3=0 - (7x + 3) es un factor o divisor

+a- |x'+@10 prlncipal: @

(x

\

R3: al pol¡nom¡o dado se le d¡vide entre el factor o factores binomios obten¡dos sn la R2, el coc¡enle de esta d¡vis¡ón por Ruñni es el otro factor del pol¡nom¡o.

Ejemplo:

Factoriza: M(n) = 2n3 +

n2

-

7n

-

6

Resolución: R1: PCR

=

I {Y#}= {tr: t}; tzr a;r};to} ÁLGEBRA - TEoRiA uNtoAo 2

27

R2:para: n =

-},r( i)= 4-il

.l|f -,(-f)

Luego, un factor es: (2n + 3) (El coc¡ente que se obtendría ser¡a de 2." grado;

Procura encontrar los ceros del poliñomio de manera que quode elmciente de 4.'grado o en el mejor de los casos de 2-'grado, que será más fácil factorizar por aspa sirhple.

o = o rce,or

mn la posib¡lidad de factorizarlo por aspa s¡mple)

R3: por Ruffinise obtiene el oko factor:

21-7

2n+3=0 ',

_

M(n) = (2n + 3)(n2

- n - 2) n..,,_2 n ,\+l

=

6

+6

2

2

-2 -4 1-2

2

M(n)-(2n+3Xn-2Xn+1)

0

Coc¡ente: 2." grado

G) Artif¡cios de cálculo

l.

Gambio de variable Si dos o más términos se rep¡ten constantemente es remmendable hacer un camb¡o de variable que perm¡t¡rá transfomar una expresión aparentemente compleja en otra más s¡mple. Ejemplol

Factoriza: L(x;y)=

6(l+y3+

1)2

-

4lx2

+

y3

+

1)

-

2

Resolución:

A@t¡¿tón

expresión:Í +

Buscando la

Est6 método d€ los

ARTIFICIOS DE CALCULO r-1x;

se aplica cuando los métodos añt€riores no son fáciles de

.

aplicar

+

l

que se repite mnstantementel

6(4Ly3 + l )' -

y) =

Hacemos elcambio de variable: t =

-4t -

LO = 6t2

.

y3

2=

2(3É

- A-

f

+

y3

qlt

._tl tl -z

+I

1)

Factorizando por aspa simple:

- 2r - 1)= 2(3t + 1Xt 3t ><,+1 \-1

L(t) = 2(312

1)

t-

.

l

Reemplazamos: x2 + y3 .

L

2.

re@

.

L(x; y)

= 213¡z

t

=

r

L(x y)

-

2t3(x'z

: f r1)*ll (l1!3 * 1 -l)

+)(f + y3¡

aa

+ 4ya

Resoluc¡ón:

Tenemos:

1a2¡2

+ 12f¡2; para transformarlo en un tcp, neces¡tamos:

2(a2)(2f), entonces quitamos y ponemos: 4a2f

B(a;y)=¿a a 4.zrz

x'tx+lsoncomponenles

.'.

de una suma o diférenc¡a de cubosl

x3t1=(xirlXx2rx+1)

3r3 +

1

Reducción a diferenc¡a de cuadrados (quita y pon) S¡aparecen exponentes pares, buscar un tcp. Ejemplo: Facloriza: B(a; y) =

El hecho de formar un trinomio cuadrado pe¡focto (tcp) trae como cons€cueñcia el de lormar una dilerencia dé cuadrados. E"s necesario recono@r que

*

+

3.

B(a;yl = la2

*

4ya

-

+a2y2

+Vf + 2ay)(a2 +2y2 -

=

1a2

+ Z'f¡2

2ay)

Ejemplo:

+x +

1

Resolución: Sumamos y restamos todas las potenc¡as de x que faltan: Z(x)

=¡5 a

=

5.'

* r: - 14 - x3 - x2 + x2 +x + 1 +x + 1) -x2(x2 + x+ 1) + (x2 +x+

¡a

x3(x2

Extraemos:

.. I lEximáüc

¡2ayy2

Sumas y restas espociales Si aparecen exponentes impares, se procura formar una suma o diferencia de cubos:

Factoriza: Z(x)=xs

28

-

x2+x+1 +x+ l)(x3 -x2 + 1)

Z(x) = (x2

1)

Fnoblernas l-esueltos ffi p

Resolución P(x) = ¡61 grz

-t

+ef

raao,iza: e1x¡=

!)

r1x¡ = (x2 + x

(x3

-

1)2

+

16x(x

1) + 23

1, dando forma:

Resoluciórr:

*41

+ 2x)2

-

4xa

+

F(x) = (x2 + x

Sumamos y restamos: 4x4

P(x)=

+

e indica Ia suma de los faclores primos.

-

P(x)=x614rz*O¡-',

P(x) =x6 +¿*¿

Factoriza:

4i -

+

= 1f

I

-

1)2

+'l) + 23

16x(x

+x+ 1)2- 16(f +x) - 16+

(x2+x+1)

-1 3

(x2+x+l)

Luego:

-

1\(x3

-

+23

= (x2 + x + 1)2 -'t6(x2 + x + l) + 39

- lzi-1)'

P(x) = (x3 + 2x2 + 2x

16

2x2

+ 2x +

1)

3

=(i+x-'12\(x2+x-2\

l)F"aono,

xx

2

3)(x + 2)(x

-

xx_:

xa+f + l -

-

(x + 4)(x

,|

1)

Resolución: Luego, la suma de los factores primos es: 4x + 2

Restamos y sumamos el térm¡no x:

xa-x+x+l+1

[)

Faaoriza'

-

5xy(x + y)2 +

F(x: y)

=r(lt:g*f*r*l

e ind¡cá el mayor factor primo.

=x(x

-

1Xx2+

x+ l)+ (f +x+

F(x; y)

a¡2 a 1 =

(¡2 +

x+

1Xx2

zxy

lxx3

-

7)-

Resolución:

*

1Xx3

- 7)-

Operando: P(x) = xs + xa

(x

A

-

i -f-

=

-

xy

1x2

+

y211x2

(x

+ y)¡ +

v)2

-(x +

v)2

-(,

+ y)2]l2xy

= (3nl

6ff

-

(x +

+

y)21

t - f - *v¡

y2)

6

-lx2

-7x

Luego, el mayor factor primo es: x2 + y2

6

f)

Factorizando por divisores b¡nómims:

2

6xf

+

^t)(bl = \xy - x2 - 'i)\-x2 - y2l

6

e ind¡ca el número de factores primos.

P(x) = ¡1¡

-

+

yl2

sry(x + y)2

X

3xy

= [3xy

*

-

6(ry)2

- x+ 1)

ractori.a, P(x) = ¡1¡

= (x + y)a - sry(x+

=

=(x2+x + 1)(l-x+1) ¡14

y¡a

R¿solució¡u

1)

=(x2+x+1)(x(x-'1)+1)

!)

= (x +

=xa-x+x2+x+1

1 1 0 -7 -7 -6 2 612 10 6

Faaori.a,

N(x)=xaa6rz*25

f1 36538

Resolución: Formamos un trinom¡o cuadrado perfedo (sumamos y reslamos

=

P(x) = (x

-

2)(xa

+ 3x3 +

6l

+ 5x

+3)

x2

2x

+3=

x2

+x

+1= ¡¿¡¿;

212

= P(x) = (x -2)(x2+ x+ 1)(x2+2x + 3) .. P(x) = (x - 2)(x2 + x + 1)(x2 + 2x + 3) Tiene 3 factores primos

N(x)

=(x2)2+52+6x2

x2

t,t1x¡

= 1f¡2 + tox2 +

4x2

N(x)

=

3x2

= 1+Zx¡1+x)

(x2

4l):

+ql -qi

52

-

1zx¡2

+ 5)2 - (2x)2 (D¡ferencia de cuadrados)

N(x)=(l+5+a)(l+5-2x) 0rdenando: N(x) = (x2 + 2x + 5)(x2

-

2x+

5)

ALGEBRA . TEORIA UNIDAD

2

I 29

Q

de factoriza( indica el número de fac{ores

t-ueOo

á

primos

lineales de: F(a; b; c)

(a

=

-

b)(a + b)2 + (b

-

+

c)(b + c)2

(c

-

a)(c + a)2

)

F(a; b; c) = (a

= (a

-

-

b)(a + b)2 + (b

+ ab +

b)(a2

b2

-

+ ab) + (b

c)(b + c)2 + (c

-

c)(b2

a3-b3

+ bc +

c2

a)(c + a)2

b3-c3

l!)

+(c-a)(C+ac+a2+ac)

=

a3

b3

+ (a

-

b)ab + b3

-

c3

+ (b

-

c)bc +

c3-

a3

-

b)ab +

a2b

p2¡

+ ll1lm2 +

+

o2¡2

(b

c)bc +

(c

=

¡4a2b2

=

1aa

+

ab2

+x+f

b2¡271$2

+ x3 +xa +

-

a)ac

coc¡ente notable:

-

¡2

/.

.-

c)

-

62

-

(r-,1 1

-

2x6 + x12

c

+ bc)

- b2 - c2 +2(a + b- c+ bc) = a2 - b2 - c2 + 2a + 2b - 2c + zbc +

é

D

-2bc

tC.P

R(a;b;c)=

..

ED

+b-c-

1-b+c+ =(a+b-c)(a-b+c+2) +

Suma de factores:

-

1Xa

+

Sea: ab = m

xY=r

,'-f=n a2-b2=p

30 ¡ l.e,xim,át¡c

5.'

-rI

-

x7

E-

(1-.x5N1 (1

-

x7)

-xI

-(H)(H) \

x2

+x3+

x4

+ xs +

x6¡

= (x +y)2 + 6x+ 6y+ 7(x+ y+ 3) + 19 ¿Qué factor obtenido posee mayor valo¡ numérico para cualquier

P(x; y)

=

(x

=

(x

+y)2 + 2. 3. (x+ y) +

32

+ 7(x +y + 3) + 10

1) T.C,P

2a+2=2(a+1)

f ) + n¡ la2 - b2l\2 + l(a2 - bl(f

Resolución:

x1+ 2x6

Al factorizar:

+y + 3)2 + 7(x+ y+

(x+y+3 (x+y+3

Factoriza:

alablf

-

-xf

Ordenamos y agrupamos convenientemente:

Por diferencia de cuadrados: '1

(-,f

Resolución:

=(a+tF-(b-c-i)2 (a

xs

valordexey?

\.--------------

T.C.P

-

t=(1 +x+f+x3+xa¡11 +x+

- 2(b - c)) + a2 2a c)2 2(b = - [(b - - - c)] = a2 + 2a + 1 - [(b - c)2 - 2(b - c) + 1] lb2

x5¡2

Desanollando por cocientes notables:

Agrupamos:

-

+f¡2

, (1-x5)-x7(1-xs) (1_;I_

R(a; b; c) = a2

+ 2a

.11

Agrupandoconvenrentemente:

Resolución:

a2

1a2

(t -x6)2-x51t

.-, ^ (r

Factorizando:

=

+ya¡=

-.6\

(1-x6F

Elec{uando:

+ 2(a + b

qlfl

-,=(fr)=,'

Suma los fac'tores primos, Iuego de faclorizar: R(a; b; s) = ¿2

+

r,6 t?

. . Entonces, hay tres factores primos l¡neales.

!)

- fl'?

Observamos que Ia expres¡ón dentro del paÉnlesis proviene del

a)ac

b2c

(a c)(a b)(b

-

p2¡

4l)

+ba + za2b2l(xa + 2x\f

E=(1

=(a-c)[ab+bc-b2-ac] = (a c)[b(a b)- (a - b)] =

1a2

16m2É

raaoriza:

- bc2 + ac2 - a2c = b(a2 - c2) - b2(a - c) - ac(a - c) = (a - c)[b(a + c) - b2 - ac] =

+

Smnrp

Resolución:

+ {c

= (a

-

Reemplazamos:

+ bc)

+

Operamos: 4m2n2 + Smrr,p + 4?p2 + n2p2

áAgrupando convenientemente: n2(4m2 + Luego: (4m2 + p2¡n2 +

Resolución:

+ rp)2 + (pn - 4mr)2

La expres¡ón quedaría: 4(mn

-,1¡

-

tatxyl2

-

P(x; y)

3) +'10

+5

<--

Por aspa simple

2

= (x+ y + 8)(x + y + 5)

Para cualquier valor de x e y, el factor que toma mayor valor númer¡co es: (x+y+8)

¡^CO Y ,IACIÍI

?eAcctoNeg ALeeeQNcAg í- ruÁxlmo co¡'rúN DvtsoR (McD) El máx¡mo mmún d¡visor de dos o más expres¡ones algebra¡cas es la expresión de mayor grado pos¡ble conten¡da como factor, un número entero de veces, en dichas expres¡ones.

(L'l MiNtMo coMÚN

¡¡tÚlrtplo (uct'¡)

El min¡mo mmún múlt¡plo de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado pos¡ble que mntiene un número entero de veces, mmo faclor a dichas expresiones.

Proced¡miento a emplear para deteminar el tlCD y

1. Factoriza

2. 3.

cil A. El MCO do dos o más polinomios primos €ntrc si 6s la unidad y su MCM el producto d6 6llos. 8. Solo para dos polinom¡os se cumpl6: AB = MCD(A; B) x MC[,|(A; B)

el C

de dos o más expresiones algebra¡cas:

las expresiones dadas.

El MCD estaÉ formado por los factores comunes

\

mn su menor exponente.

El I¡CM se formará con los factores mmunes y no @munes con su mayor exponente.

Ejemplos:

1. Hallael McDyel MCMde: MCD(6x2y7210; 9x7y!¿5)

2.

=

6x2y7210; 9x7y3z5

3ff25:

MCM(6x2y7210; 9x7Éz5l

= 18*'y'r'o

Halla eIMCD y el MCMde:

M(x) = (2x N(x) =

+ 1)3(x-

7)5(3x + 2)

(2x+ l¡21x - zflx

-

s¡

MCD(M(X);N(x))= (2x + 1)2(x-7)5; MCM(M(x); N(x))= (2x + 1)3(x

$

-

7)6(3x

+ 2Xx

-

9)

FRACCIÓN ALGEBRAICA

Una fraccún algebra¡ca es el cociente de dos expres¡ones algebra¡cas, en donde la expres¡ón que representá

ald¡visor es dilerente de cero.

EFmplos:

29m3nb2. sx7

3mny

'

3x+

-

a3+b

b2

0bn

' (x - y)3 + abcx'

!x

ñacdón:ffi,

a la oxplesióñ situada endma de la llñea, s€ le llama númorador y a le que 6stá dobajo s6 lo llama

Fracciones propias El numerador tiene menor grado que el denominador

danominador

Ejemplos:

p

x2

a1b1

+ 3P.

+7x-10 ñ*ñ' ll.

De fa

-@il

Clasificación

l.

.

2x1

+7

P+1

t'-x+1 1

NO es una

fracc¡ón algebraica. El denominador por lo menos d6be ten€r una variable.

Fracc¡ones ¡mprop¡as El numerador tiene grado mayor o igual que el denominador.

Ejemplos:

F+x+1. P+3a-1. *'+zr-I

P+x+1'&+a2-'t'P-x-t lll. Fracc¡ones homogéneas Pres€ntan ¡guales denom¡nadores. E¡emplo:

5 x7+2x+1.35)/+x2 xy 1' xy-1 ' xy-'1 ÁLGEBRA - TEoRíA uNrDAo 2

I 3l

lV Fracciones helerogéneas Presentan diferentes denom¡nadores. Ejemplo:

+

(2x

AtencLón Para toda flacción se observan 3 signos (del numerador, denominador y de la fracción propiam€ntB dicha). Sea:

-1+x. x3-2x-3-

3x2

1'

1

2x+1

Dos fracc¡ones son equ¡valentes si toman los mismos valores numérims para todos los valores admis¡bles de sus variables. Ejemplo:

x-1. , +-l'

-^é& l9Bar ,t t_2

Una fracc¡ón 6quival6nte se obüene tamb¡én alt€¡ando cualqu¡er par de sus signo§.

x2

-2x

Vl. Fracc¡ón compleja o compuesta Cuando al menos uno de sus términos es una expresión fraccionaria.

2x-3 3-2x 2t-3 x-7 x 7 7-x

o

x2

V. Fracc¡onesequ¡valenles

¡-1

.'

1)

3x 1'

Ejemplos:

(t)

.. 1 x+í ^ x-l. 2x

x2

10IE x

(l) y (ll) son €quivalentes r€specto a la fraccióñ original.

x+T-'¡;_¡ x-3

Vll.Fracción de valor constante Cuando asume el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores asignados de sus variables.

..

5r ta raccron:

AxP+Bvq+C MxP+Nyq+P

adopta un valor constante, se cumple que:

A_B_C MNP

Mll.Fracciones irreductibles Son aquellas en donde las mmponentes de la fracción expresada como factores son primos entre si Ejemplos

Recu:rda

l

a3+3b2. y-3. x-1 x+2' a2-b'2x+1'x+9

x+1.

Operaciones con fracciones 1. Para sumar o reslar fracc¡ones es necesario hacerlas homogéneas

Op€raciones con fracc¡ones:

Ejemplo:

a.b

aylbx

xy ab

xy

x+9 - 10

x

ry

2.

¡a19 x

+ 11

(x+9)(x+ 11)-(x2-100) _ 100 _ 2Ox+199 :- -lx-l0)Tlll: x2+20x+99-x2+ : (x-10)(x+11) (x 10-)T +lll-

-

Para mult¡plicar fracc¡ones, se multipl¡can denom¡nadores y numeradores entre sí

ab

Ejemplo:

xy

(#+)(#) _)x2+10x+21 x'-4x+3

a

c-!.=

xyq

i

ay bx

v

3.

Para dividir fracciones, se invierte la fracción que hace de divisor Luego multiplicamos numeradores y denominadores entre sí. Ejemplo:

¡x-

10

1-¿x-91_¡ x-10

17

x+71_ x2-3x-70 8x-9

\ x+1 / \x-7i-\ x+1 /\x-9/También la d¡visión se puede expresar de la s¡guiente manera:

.4**l t--5l.

tr-10)(x+7) x2-3x-70

= li]lm:ll 7- 8, J=

32

I Leximátic 5.o

e

Simplificación de tracc¡ones comple¡as &licamos las reglas anteriores hasta que alñnal se multipliquen los extremos para obtener un nuevo numerador y un nuevo denom¡nado¿

Eiemplo:

Simplifca: x2

+f

-f x+y

_x2

*2

7-

x2

x-y .

@ .

-f

+f

Cons¡dsra El sigu¡srú€ critgrlo para transformar una fracc¡ón ¡mpropia I una propia:

_ x-y

x+y

I +8x-'tg (r2 +8x -9)-lO --l;¡-=-I;T-

operamos en el numerador y denominador de Z, luego s¡mpliflcamos:

+f . -f x2 -f x2 +f x+y _ x-y x-y x+y x2

z=

2

4x2

x2

_(x-1)(x+9)_

x+9

xy

(x+y)2-(x-y)2 (x+y)(x-y)

4xy

x2

(x+y)(x-y)

+f

x2+8x-19 x+9

.

tO

x+9 10

x+9

Descompos¡ción de fracciones en suma de fracciones parc¡ales Esto es el proceso ¡nverso a una suma o diferenc¡a de fracciones. Lo que haremos será parlir de una fracc¡ón racional y translomarla a una suma de fracc¡ones s¡mples o parc¡ales.

Tomemos en cuenta las sigu¡entes consideraciones: l. La fracción debe ser propia, caso contrario dividirla (puede ser por Homeo, de modo que tengamos un pol¡nomio entero más una hacc¡ón prop¡a. Simplificar previamente la fracción (hacela irreductible). lll. El polinom¡o del denom¡nador debe ser lac{orizado.

ll.

Casos que se prgsentan Caso l: Cuando el denominador presenta factores de primer grado N0 repetidos de la forma: (x Se cons¡derará tantas frac¡iones parcia¡es de la forma:

-9-como

N(x)

A EEXi+ b)- x+a --

a)

B

Caso ll: El denom¡nador presenta factores de primer grado repetidos de la forma: (x En este caso

I

factores de primer grado existan

t

a)n

asumir'n' fracciones parciales de la s¡gu¡ente manera: N

ABC rta * (*r# * (, r.f

=

(xta

3.ergrado

Para la d€scompo,sición

-il

d6 traccione8 En auma de traccionos parc¡alos,

3 fracciones parciales

=

Ejemplo:

gx2-49x+54

Expresa como la suma de fracciones parc¡ales:

(x+l)(x-3)2

emdeamoc la grofi€{rad d6 pollnomioo idárfico§:

Resoluc¡ón:

.

La fracción cumple con las considerac¡ones establec¡das; presenta un factor de primer grado no repetido y otro que se rep¡te dos veces, luego:

gx2-49x+54

.

(x + 1)(x

- 3f

De donde:

gx2-49x+54 _ (x+1)(x-3)2

.

A - B - C - xlTx--E:ltz

A(x

3)2+B(x+

1)(x

3)

'Oos polinomios idénücos lienen el mismo valor numérico pala cada s¡at€ma de va¡ore8 asjgnados a sus va¡iable§".

T

+C(x+1)

(x+1)(x-3)2

Cancelandodenom¡nadores:

9f-49x+5,4 Para x = 3: Para x = -1 Para x = 0: Finalmente

-

c

-12 = 4C 112 = 164

54=94-38+C

gx2-49x+54 (x+1)(x-3)2

A(x

7

x+'l

+

3)2

+ B(x + 1)(x

-

3)+

C(x

+

1)

3

A

7

B

2

2_ x-3

3

(x_3)2

@ ÁLGEBRA - TEoR¡A uNroAD 2

33

n Pnott rI I emas nesueLtos p

D

Encuentra el MCD de los pol¡nomios:

P(x)=¡a-5,.z*O

Calcula (a

-

b), s¡:

4x-l

a +, b .--r.o = v=7 ¡l]2'^r '''

7:3,.,

Q(x)=xr*¡-O'-O R(x)=x3-2*z-**,

I

Resolución: Resolución:

Efectuamos el segundo m¡embro

- 4Xx2 - 1) = (x - 2)(x + 2Xx -

P(x) = (x2

x2

l)(x + 1)

4x-7-(a+b)x-(2a+b) De donde: a+b=4 2a+b=7 De(l)y(ll):a=3^b=1 Piden:a-b=3-1=2

Q(x)=(x+1Xx-2Xx+2) R(x)= (x

-

2Xx

-

+

1Xx

1)

McD(P(x); a(x); R(x)) = (x

-

-x2

p

+

2Xx

1)

-x-2

m

Hatta et grado absoluto del MCM de los polinomios

A(x;y) = x5 - ¡yr, g1x; y) =

(f

4\ 7 a(x-2)+b(x-1) x2-3x+2 -3x+2

,*1_6m+12 m+2

+ l)(x4 + y4)

m+5

R-

^-4*1H=12 m+7

El polinomio A puede factorizarse

- ,r; A(x;y)=x(f+l)(x2-f) A(x; y) = x(x2 + l)(x - yXx + y) A(x; y) = ¡1¡a

(Diferencia de cuadrados)

Resolución

1x2

+ f¡1xa +

m2+3m+2 6m

m+l_6m+!2 m+2

El polinom¡o B no admite otros factores

=

...(tD

Simplifica

Resolución:

B1x; y¡

.(D

m+5

R

m

ya¡

^

+ñ=---:-

4+11n-22 m-¿

m'-Om+8+'llm-22

m-2

m+7

m+7

Entonces el MCI\¡ de A y B será: It/Cl\,l(A; B) = x(x2

+ f)(x + y)(x

El grado absoluto de este

-

¡.4C1\¡

y)(xa + ya)

p-

será la suma de los grados

rI+5

m2

GA=1+2+1+1+4=9

D

-

as

-

-.*l "4,

*x5;

Q(x) = a3x

-

a2x2

-

ax3

o-

+x4

E)

Factorizamos P(x) y Q(x):

-

- x(a4 - x4) (aa P(x) = - xaxa - x) = (a2 + x2)(a2 P(x) = (a2 + x2)(a + x)(a - x)(a - x) = P(x) = (a2 + x2)(a + x)(a - x)2

.

P(x)= a(a1

a(x) = ax(a2

-

É)

-

i(a2

- i)

s¡mplifica:

x-l

= laz

-

- *Nu -

X+ ¿

x)

-

.^

---------------

"

x+'1

Resolución:

i)

x-1

^ Xt'¿--

x-'1

x'+2

x2+2

\t+x-x+2

x+2

x+1

x2+2

x+

x-l x+2- ..'.

x-1

(x2+2)tx+l) x+2-x-1

(a+x)y(a-x)2

34

m+b

._2

x2xa

Los bdores comunes mn su rnenor exponente son:

=

m-5

m+/

x4)

Q(x)=(a+x)(a-x)x(a-x) +Q(x)=x(a+xxa-xF

. . MCD(P; Q)

m-5 ITI *5

ml7

Resolució¡¡"

.

m-2

m+7

m+7

Halla el MCD de los pol¡nomios; P(x)

(m+2)(m-5) m+2

m2-3m-10 m+2 m2+5m-'14

absolutos de cada factor:

(a

+ x)(a

I Lex¡máüc 5."

-

x)2

\x'

+ 2)

'

12

m+2 m+5

1

Er

o t]]

FACTORIAL DE UN NÚMERO

Es el resultado que se obüene de multipl¡car todos los números enteros y positivos en forma consecuüva desde

la unidad hasta el número dado.

Notaciones: mn los símbolos:

Se denotarán

L, ! Tienen como s¡gnificado: 'factorial

Obr¿reáéián

de' '1.

Ejemplos:

q=6! =6.5.4.3.2.1 E=9! =9.8. 7.6. 5.4.3.2.1 g= (2x)!= (a). (2x - |.(u-2\....3.2.1

(- 50)!,(+)!,("4 ^)! 2. Por convención:

= nl = n(n

fu

0!=1 v

por defiñición: De los cuales no a€

En general:

lq

Solo e¡¡8ten lo8 factodal63 d€ lo8 números 6flt€fo8 y positivos.

-

1)(n

-

-

2)(n

3)... 3. 2.

1; donde: n

€ z+;

n

prcc€def: 0l = 'll

¿2

-

COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL

lln = n! !=

(si 'n" es par)

1.3.5...n

(s¡

1(absurdo)

3.

S¡:m,=n! - m=n vm; n € D{ -{0; 1)

4.

m! = m(m-1)!

Está defin¡do como:

2.4.6...n

0=

Ym>2,mel}¡

'n" es impa0

5 Si:x!= 1<

v Ilx=1 0

Ir=

Eiemplos:

1.

[1

O

=7!

!=1.3.5.7

2.¡§=6!!=2.a.6

3.81=11!!=1.3.5.7.s.',|1

RELACóN ENTRE UN SEMIFACTORIALY EL FACTORIAL

L Si n: lmpar

n!!= 1 .3. s.... n =

12 3'4'5 6 (n;1)n 2.a.6...(n-1)

-

nl

tr r r...r(,.r,

("*)) E

l./-!J,'--------:-'2| ln-l

II

lla - ErIn

2¿ l2

ll. Sl n: par [r = 2. a.6.

... . n

=

211)

.2(2\ .213\

l

lln =2 2 ln tr Ejemplo:

simprinc¿:

Donder n€lN(impar)

z(+l = t2 2.2..Z(1.2.3...+)

tltr"o, \¿t ---li-tr

Donde: n e lN (par)

c=dffi+

re@il P{anet,§(¡t¡f/F.. nxnl=(n+lI-nl

\-

flr

Resolución:

22n«4n)!)z= Üz?_ltu_)t(t \ == ¿tt\¿n 2n(2n _j)! \¿t - t,t = (2n)! ---7 $ 4r 1pn _

^ " = 2"\4,rr . !g.ul 2zn_

1\l

ÁLGEBRA - TEoRíA uNIDAD 2

I 35

1]

NÚMERO COMBINATORIO

Se defne como elnúmerototalde grupos que se pueden formar con'n'elementos tomados de

'k'en 'k', donde

cada grupo debe diferenc¡arse de otro por lo menos en un elemento. nC*;

Ater¡ción Resultados importantes:

Se denota por: CN; nCk Se lee: mmbinaciones de 'n" elementos tomados de

'k' en k'

Forma matemática:

1.C3=1i neN 2.Cl=1:n€n¡ 3.Cl=n;n€N

k

faqores

.n_ n(n-1Xn-2)...(n-(k-1))

"k=---------123-r

_ h_ =ñE

donde: n;

ke

IN

n>k

Propiedades de los números comb¡natorios

l.

Suma de números combinatorios

c[+c[*, =ci]l ll.

Propiedad complementaria

lll. Degradac¡ón de índices Ambos indices:

ci=+ci

fndice superior:

ul = n^n1 n kuh

1

n-k+1 ut k

lndice inferior:

1

lV lgualdad de números combinatorios Si

rc-

El aporte dé N€wton al dosanollo do (x + a)n fu6 cuando se consaderó n nggativo y/o fraccionar¡o.

,,

p

"p-"q

q

P+q=n

BINOMIO DE NEWTON

Desarollo del binomio de Nev/ton con exponente natural (n € IN). Genéricamente: (x

+

a)n

= c31

de:

(x + 4)5

+cixn a+ cl{-2a2 1

+

+ Cla'

= !C[xn k-0

kak

Ejemplo: Determ¡na eldesanollo

(x+4)5= c3x5+ cixal+¡+

c!x311¡2

= x5 + 20xa + 160x3 +

&$l

+ c3l(4)3 + cix(4)4 +

+

1280x

+

c3(4)5

1024

Calculo del térm¡no general

l.

Contado de izquiorda a derecha

ti*r

= clxn

kak

tru

36

Lexirnáüc 5.o

-

aa¡1s, halla

=tr*r

Contado de dorscha a izqu¡erda

t**r

Ejemplo: En 12x3

ll.

eltérmino duodécimo.

= cl?(2x115 -

11(-a111

=-16c1?x12aa

- clan-kl

Suma de coeflcientes Dado: P(x) = (x + a)n

kak

= »Clx" k=0

La suma de coeficientes

de P(x)es: P(1) =

(1

+a)n= C[+acf +

Cuando:a = 1: Ci

+ Ci + Ci +

a2C!

+

+ Cl =

...

...

+a'Cl

n.'términos=n+1 donde: n e N

2n

2. Asimismo, del binomiol Si

'n' es par:

ci+ ci + ci +... + cl- j = 2n-1

c[+ci+C!+...+Ci

(Tx + €a)n

Xco€f.=(y+€)n

=2n-1

Pare: (x De la m¡sma forma se cumple cuando "n' es impar

Pos¡c¡ón del térm¡no central L Cuando n: par El desanollo del binomio (x

ocuna ese término es:

(|

+

a)n

tendÉ un único término central solo cuando "n'es par; luego la pos¡ción que

+ 1).

t=\i.r¡=cLx

-[ 2

a

>c.ef. = 0

3. El desarrollo del binomio (x + a)n, n€Nseceracte ¿á por ser oompleto y ordenado respecto a sus

bases. Este dgsarrollo también es un polinomio homogéneo.

z

4. Signos de los tárminos de los desanollos: (x + a)n - 1, 1, _¡, ... * (x - a¡n = '¡, -.1, -, .

Ejemplo:

1x2-ef¡10-t" = \¿*r¡ = h = clo1x)51- oy)5

-'1)'

1l

=-215c10x10y15

lt

términos

ll. Cuando n: impar En este caso ex¡sten dos términos centrales, luego las posiciones que ocupan esos términos son

Lugar par: Lugar impar: +

(+), (5t.') \

n1 ?

n+1 n-1

+

)

L¡-lX -a' ¿ 2

n-1 n+1

U¡r1-,r=Cl+rxTa 2 "l --r-

¿

\

2

O

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTES NEGATIVOS Y/O FRACCIONARIOS (n É IN) Coeflciente binómlco Se representa

por

(nota
Se lee: coeflc¡ente binómico de 'n" sobre'k"

Puedes hallar el coefciente de un término cualquiera para (x + a)ñ en función al @efrciente ¿ñterior:

Siendo su desarrollo:

/n\

n(n

-

1)(n

-

2)...(n

\i/=-----F k

Ejemplos: ./ 10 3

_ lto tlto -

-

1)\./10

123

-

ledores

- (k -

1»

Coeficieñte de tk =

/ e,ponenre \ \ de( 1 /\dexenlk 1/

/coenciente\

\

2)

u"nr*-, J*t

ln tlto - 1)ll1o - 2) o

2

4

(-J)

-4-',| -41

=

/

.2.3

(- 4)(-,5)(- 6) _ 6

4(5)(6) 6

-7f| ÁLGEBRA - TEoRiA UNTDAD

2

I 37

rcEEÜ a)Si:n€§

-

s6obt6n6un

iñfi

ñitoa tárminos.

nrlr¡gro llmitado de tóm¡nos. Si: ñ < 0 y/o fracci,onario 6€ obt¡enon

,

(3)= ,

, (l)=

"',.

Fórmula general:

o. n"= (i),". (i)o-'..(i),"-'"'. (;)*-','.

.co lérminos

Donde: n es negativo y/o fraccionario (n € IR): exponente del binomio Eltérmino general se calcula con:

n k hdores

c) Sis6 ti6n6 (x * aI;t e N, Bo recomionda gxpreSarlo de la Sigu¡€ñ|g manera:

n.,

k^k (l) -n " "------------i.7.¡ n(n

=

1)(n

2)(n

3)...(n

-

(k

- 1)) .r-r^r ^ "

ke?7+

k hclor¿s -!-

xr(r r 3|aonoe Ejemplo:

-t
Desanolla hasta el cuarto término

d) Do t6nor: (1 1 xln y a" 6s un valor p6queñlalmo, sg cumpl6: (1

(1

x) 2=

tx)ñ:11ñx

-2 0

2

= 1+2x+ (1

-

x)-2= t

*)*

)r,r'.(-f ),.t(-

3)

,z

1.2

+2x+3f

(-Í),-r- ¡,*(-á),*,-,,,*

* F Z\l-rb t

i

(_

x3)

+ ..._

+4x3 +... co

Fórmula de Leibnlz Se emplea para desarollar un pol¡nomio de kes o más términos, elevado a un exponente natural

(A+B+C+...+X)n=

»

a;B;...;

Donde: q,, p, 1, ... ),

€

nl

. crlBl v!3!...).!

A"

Bo cY D6 ...

xr

IN siempre y cuando

o+P+I+...+¡.=n Ejemplo:

Desanolla: (A + B + C)2, usando la fórmula de Leibniz. Resolución:

\

Usando la fórmula:

»

d;p;1

rcil

Las l6tras:o, 0, y, ..-,¡, rccibkán todos los valores desde el0 hastá ñ.

@

Donde

(o: p: yi

)c

IN, talque:

Entonces:

o

+

p

r

ffio"tut'

y=2

q+P'l=2 lli 011 002 020 110 101 200

Todas las combinac¡ones posibles

En la fórmula:

En g6n6.9l:

. (a+b)l*a!+bl . (axb)lt6!xbl . (ál)l* all . l.?.tr \b/ ¡' !]bt

(A+B+C)2=

(A+B+C)2=

ffi

oonde a

ybson

A0 81

c1

*

ffi

e0a0c2

r

¡rii.¡ioor'.o *,

ji,

d60y1.

I Lertmáüc5.'

c0 +

llji ', C

B0c1

*ffir2aoco

difaront6s

(A+ B+

C)2

= 2BC +

C2

+

82

+

2AB

+

2AC + A2

Empleando este método, se obtiene el desarollo de un trinom¡o al cuadrado.

38

A1 81

Pnoblemas resueltos

7

l)

La suma de coeficientes de los cuatro primeros términos del desanollo de

------L xJ+1+3x(1 +x)

fD

es:

P(x1; ...; x,)

/n\rn-r.r

3,

*

ci .4

canu: si:s =

1n

*

f,)

1n

r] r gfJ)q + r)s = OjJ)c6 +

(n

+

(n+ 1)S=(n-1)C6-rn +

1

cl

+

+'l)S = C[+1 +

+

...

Resuelve:

n+1 (n + 1)

+

n+1

cl

(1

ci*1 +... + Ci]]

- c[*1

+

1) en el

x)1/2.

- \(+

-\(|

l)

- a) (| - « -

¡T1

(- I f

c;= (-1I l_

2

k-

1)

f,)

l_

En er desanorro

1

z2k-1

o.

($ * f,f , o"t",rin.,

'

/

,\-_b+2 b , r

2 -Z-'

)

2

Luego:

1.1.3.5.7...[2(k

- 1) - t]

1

.

1. 3.

-

-

1

2kk![2.4 .6...2(k

-

s. 7...[2(k

1)

-

][2. 4. 6...2(k 1)]

n 1t- t¡l

ci=«-rI-'21

2kk-1

22k-1 k(k c2

(k-

-1

1)

=

-

1)]

CBa

(fl |(+r"=.r(Él(+I'

nb -2elbDl-úA,Í162) t - ub/2^

b'1t2

Por dato: exponente de x es'12 exponente de y es 0

Entonces: 2a

(- 1)k '

1)

n 1¡

\D¿+ 1)

1.1.2.3 4.5...2(k-1) 2lk

t1¡72

.

2kk!

1

--

CS=(4)

Si se tiene un solo término central, entonces b es par. Porfórmula:

-1

2k k! 2k-r[1.2.3...(k -'1)]

a2 wk

'

Resoiución:

kl

k 1

1

b + c). de tal man€ra que admita un solo término central, cuya parte literal sea x12, siendo a + 1 y (a; b; c) c .

k!

cz= (- 1I

_

1x+3f +I+7FE;3ltx+4 -

x=4

(+)(-á)(-*)(-t )

1

.l¡rl

(x+3f

(a

cz=

3f

ix + 3X1-l x + 2) - ' tx+3t3 --------+ = I -x+ 3= |

Resolución:

(+)(+

-

(x + 3)"

]

el coeflc¡ente del término de lugar (k

desanollo de:(1 +

tx +

@-'

+ 1)cl

=1n+ 1¡S=2n*i- c[+1 .'. (n + 1)S=2n*1- 1

I

tx+3l3lx+1

(x+3flx+1 x+1+ +2 + lx+3

n+1

(n

+

= Ci+1 + C!+1 +... + Cif

Determ¡na

495

Resolu¿ión:

an

r

= ci+4 = = 4es = cl'z 495

lx+ 1+lx+2 +lx+3

Resolución:

(n

1

+n=8

+ t)s

c[+$+$*+*+*

1)S

-

'-

1=cl=rs Piden: cM+4

Por lo tanto: La suma de coeficientes de los 4 primems lérminos es: -6

!)

(x, + x2 + ... + x,)n es: Cf*

...

(-3)(:1.11-Qrr

(-

1)t4)rz * = 'l - 3x + 61- 10x3 + ... -

-

Enelproblema: Cl+s-1

+ x)-3 = C;3 + C¡3x + C¡3x2 + C;3x3 + 1

x5)n

El número de términos del desanollo:

elnúmero de términos es il¡mitado.

o negativo,

r-=o\k/

=

+

Resolu¿iónr

Sin es fracc¡onario

(1

xa

el desanollo de: (x1 + x2 + x3 + xa)ü.

Nota:

i

+

admite 495 términos; determina el número de términos que posee

Resolución:

rx+a)n=

Si el desarollo de: (x, + x2 + x3

-

-

1)

1)!(k

-

2(k

|)-9=

P+

b(2a-tt=24

bc

-|2=o=c-u=o-c=o De(1): b(2a - 1)= 8(3) = b=8^a=2

(1) (2)

2

1)!

En(2):c=8

Porlotanto: a + b+

c-

8+

2+

I = 18

ÁLGEBRA - TEoRíA uNtoAD 2

I 39

AOICACIÓN

Q

o

:-:

- Q ACIONALIZACIÓN

RAO|CACTÓN

Es la operac¡ón que tiene como objetivo calcular una expresión llamada raíz, talque elevada al indice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical.

zfi=y*f=a

Recuerda Leyés de signos:

iñpz¡iE Pa1EÁ

Donde

=rr:3J-:d =_ 4

z:

=+r./4s =7

N1/i=1

sns;

índ¡ce:z€lN;z rel="nofollow">2

y: raiz x: cantidad subradica¡ o radicando

fi =fi¡

i: ún¡dad ¡maginaria

7

:J

RADICALES DOBLES

Se les llama asi a aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por las operaciones de suma y resta.

,GlE.-nye

eo*

Ejemplos:

l3+./2

10

- l1o:

121

-

2./7

Transformac¡ón de radicales dobles a s¡mples irétodo de la fórmula (A; B

>

,/

IE@! ,

Rad¡cálss

A+ A2-B +

A+,/B =

B

2

2

Ejempto:

homogén€os:

311107.311ñ.31/ti t¡enen igual iñdico (31)

.

0)

Transforma a radicales s¡mples

,

4+

J4+,/12 =

4

4

+

2

42-12

4+

a

4

2

J4+,/12=./3+1 Radicales semejantes:

i,létodo práctico

"J7:- t""Q:tu""Q

(A+ B)12./AB =

tiené ¡gual índice (3) e

/Ár

/E-; n >

igual redicando (x2)

Ejemplos: Transforma a rad¡cales simples

{",6 =.lfrV n,1ññt=n/iF/t=xñVt

10

10

s

lu :./7

(7

+31

-2hx3

./a

{2^-1f,¡a A=m+2

§ft

Entonces:

^

B=m-2

z^-z/RJ 2m-2

40 I Lexi¡náüc

= ,110-2J21 =

-,/u

5."

m

=

(n+2)+ln-21-2 (m+2)(m-2)

-4 =/n+2-,/n1

B

+

4- /4 2

I

O

RACIONALIZACIÓN

Es el proceso que consiste en transformar el denominador ¡nacional de una fracción, en otro que sea racional.

Factor racional¡zante (FR) Es aquella expresión ¡nac¡onal que al multipl¡cala por una expres¡ón ¡nac¡onal dada, la transforma en racional. Para racionalizar una Iracción bastaÉ con mult¡plicar sustérminos por elfaclor racionalizanle deldenominador.

Presentamos los FR de los casos más frecuentes en el denominador de una fracción

l.

Al*:A>C:Aez*

Oenominador:

FR

ll.

a,/$

Denominador:

=

A./BA

/

rer .

-{1};

Ben*

C

(r,/Á L2^,/E\\2¡lÁ + 2\E

1'

¡a./§; ¡¿v+;

)

-"./Á-""8

e @*

ByC

Para lo8 c6sos ll y lll, consid€rar:

('/A TVBXVA'+VAl/B

+

vB')

= Aig

=2 r/d +2AlT

FR

lll. Denom¡nador:

3/Á

t

3/B

;Ay

B

e

1^^-^o

o

I o*,

FR = J./A' +J,/ AJJB + JJB"

nlT

lV Denominador:

-n/6tY nez+: n>2

FR

v

Denominador:

=,/Á"

n/T +n/B:v FR

Vl. Denom¡nador:

I

=

1

ner,*-(1):

n/Án t

+... + n/B

z+

-{1};

n

'

1^-,

1

1^.,

n:impar

-nlÁn-'nl6 +...

nlÁ +nld: v n e FR

2n/B

+n/Án

+n/B

n

n: par

/

= 1/ñ'r-1 -niÁñ-2.J8 + ... -nJEn-1

1^.,

D6c¡mo3 que dog exprcs¡on€a gon conjugadas si contienon radical€s de lnd¡c6 2 y dilieren solamsnt€ en gl 9¡9no que un€ sus téminoa. Como:

Ejemplos

'#=#(W)=#=un u n+ T+ñ\##)= "9 :-{Í, =

tá+lÉ v G-t6 3+

=

lto + at q

FR 21

3./s

1/.

-3./z

3t;

21 3

t;

,.{r,

3jE2 +3JE3A + 3JZ2

@ sin usar la3 fórmulas podrfas intentar transformar

/I:

/6-

Ji y 3-lx

\_ ;¡ut2rFR --!1I1 -,.o l- _lrrt

;¡rú

3

a ,adicales simplos buscando

lomar

un

irj

trinoñio

cuadrado p€rfec-to.

Si:

y'AtlB

'/Arl4l =,lArzJ t r Si se da ol caso eñ el que s€ cumple: A=x+y ^ t=xy ¡xz'rt =(lx¡,frf v fnalñonle te quodala (Ji +.ñ = Jlx6

=

tondrlas qus: EjEmplo:

Jll;Wo = ñ;m

=./tt

*zlñ

-./11+./ñ =./s*a+2,tr3 =./i*./a ÁLGEaRA -

reoníl uxloro z I 4',1

I

PnobLemas nesuelhos ¡D

lndica un rad¡cal simple de

Reduciendo:

,7.a--

O_2,

''-"'

Con§derando:f<2nx)1

^3/; J,rJ

23'/g.3,/i

3/; VJ 2

a=e+§-S=t

Resoluciónl

!

n---m Á+e ,rl . Á--e *v¿-^ - \,1 2 ;-i-

.(1)

2

Donde:

C=.,/A2 B (2-x2) =

!)

sean' 1

lzoos + lzooq

B=

+1

1

lzou

+ lzooz

J 2003

+ 12002

+

lzou

-

lzoos

+ lzon

- lzw

+ J 2002

-

x2

(x2

x2-

-l)2

C=

1

(2)

x

,2

--.t-

Calcula:

Reemplazamos (2) en (1)

x

+

"

1* -1 xx

._2

tT. -,/Z-

M = (./2004 + J 2003

1

A=

2,

12005 + 12004

+

-

-

12004

12005

-r-

2-x2

o-(J2005.t,M J@¡

2x

J 2004 )(

,

-

Resolución:

2

Por lo tanto:

!)

+,/20021"

xx

t7 t-7

! 2\*!

Un radicalsimole

J 2003

es:y2 A

2005

-

+Jzmt -lzoos

J2004\

A=./2oos -,/zoo4 +,/zooq -,/2oos =o

Racionaliza eldenom¡nador de: 2

1+

5J2

B=

--r,/ 2004 + J 2003

e-

---@@-: lJ 2004 - J2003\(J 2004 - ./2003

e ¡nd¡ca el denominador rac¡onalizado.

Resolución: Racional¡zamos

2

t1

-tg

, s¡12

t

2\3G

t¡+6 «-w:w\=

-3li 3

+ 1)

B

= /2004

-

t

,/ 2003

l2oos + lzool

-

,/ 20c¿

+ {zo.x )

- lzw

=

-

lzoot

o

Su denominador es 3

C=

!)

Simptifica:

a=,fi-,{$*,fi

t

./ 2002

-

J 2003

---r-

3li 2

12003 + ,/ 2002

c

:+ lzooz - lznt =('/ 2003 ---/20$=--2002 +J )(/ 2003 -./2002), 2002

Resolución: oando la forma:

a=3li

_tffi

+

Luego: 1

2r./

42

I

2 "J9

Lert¡rrátic 5."

3t;

92 3./l 2

c = /2003 -,/2002 + lzooz

- lzow

Nos piden:

112004

+

'/ 2003

- J 20021 "

M

=

M

= (/2o}a + lZOW +

lffi\o =t

=

o

f)

Reemplazamos en la expresión

Racionaliza:

A=

x-25 x+7Jx+10

2x+2,/x'-1-'/x-'l Aa= 2x+2 (x+1)(x-1) -.ñ-

lTn

:x>100

y determ¡na el denominador racionalizado

=

Transformando

Resolución:

AH =Ux+ 1)+(,t=7)-.tx-

A=;ffi|r;"too Jx'+7./x ^/i

+

1o

><

/x

=

(/x

+

^

Oa=/x+t 5X/x

2

2

(/l -2) -s) (/x-5) (Jx (/x

-21

f)

xA

X

./3+J10

+i-3+,/'10

O13+lId

2

=

Jt_/E

x-4)

Resolución:

, r/l -s)(/i -2) x-4

Podemos escfib¡r el numerador de la siguiente manera Numerador

El denominador es: x

-

3+fiO +J-3+Jl0

=

4.

= ZlTd +2 = Z(lTd + t)

(Numerador)2

= O{lTo +

Racionaliza la §gu¡ente expres¡ón:

=

E_ --

Reemplazamos y racional¡zamos:

1

t+A+,/i

Numerador

aJt+./n

t+11 -ll ---.=.64 (1+ J2) Jt (t+ Jzf -(./3f J2) +,/3 -

t+A-{l (3+2 2)-3 --t+A-l! 2/2

(/z\ t,/2)

./Tt,/t*./i)tJ ln -sl =,/l

_zTn

Entonces:

(+'/2t- ll

-- - (+ 1

1-

,/2,/,/10 +1 _J2(,1 J10+1I(J110-3t

Resolución:

E=

(pordatox>0)

Halla a y b en la s¡guiente igualdad:

(\-25)(x-sWx-2)

E)

x

J2

a a ./i-,

-! t2

H=

(x-25) (Jx +5\(,/x +2\

(x-

lt-4 y2

(x+1)

+ 2)

5

Luego:

1

./l-rñ =./i-a=G-./t

..a=5Ab=2

!)

nalh:

1a

+ t¡-1 + (b + 1f1, si a = (2 +

/5)r

yb

=

(2

- /5)-1

Resolu¿ión: Racionalizarnos

I

y b:

:.2-E 2-J3 =z-li "=2+J3 1

psabiendo

que: x2

reduce:

H=,fr;R

=x +

1; x

>0

b=

-,tq

Luego

Resolu¿iór¡: Multiplicamos por

t; ¿+r! ----!: 2-J3 2+J3 -2+Jg

(á)

a la expresión:

Aa=/z\'/x+T

-,F71

Jza:./zx+2lx - lxPorcondición:x2=x+ 1

=

x2

1

-

1

=x

1

1

1!g

a+1- 3 -,/3 3+/3

=

3+ ./5 6

1 s-lt

- 6 ¡+/5 ¡-l5 -3-li 1 1 3+li -,3-./¡ -, a+i'b+l--6 6 -'

b+1-

ÁLceenl

- TEoR¡A uNrDAo 2

I 43

Nú^AePoe col^PLe\rog

o

.,

CONCEPTO

Son todos aquellos pares ordenados de componentes reales denolado por:

z=(a; b)/

a;

b€¡B

Donde: a = Re(z) se denom¡na parte real de z. b = Im(z) se denomina parte ¡mag¡naria de z. El conjunto de todos los pares ordenados (a; b)forma el conjunto de los números complejos:

C = {(a;b)/ a; b €lR)

-_l

Recuelda

I

Las cantidados imag¡narias son aquellos números que resultan de elra€r una ¡afz d€ índice par a un númerc real nogativo.

Así:

R€presentac¡ón b¡nómica (canónica o cartesiana)

z=a+bi:i=,/a

rü

COMPLEJOS ESPECIALES Opuesto de un comple¡o De la forma canónica: z

t/-1: j/-l

6J

2^ta1;12/-

= a + bi; so define el complejo opuesto de z, denotado por z* mmo:

-10

La unidad imag¡naria es el ñúmero complejo (0; 1) que tiene la notación particular ¡= (0i 1), denotado por Euler de la sigu¡ente manera:

z'=-a-b¡ Ejemplos:

'z=-5-3i . B=5

'P=li-Ai

= z'=5+3i

-

-

.o=1,

B'= -5

e. =

-/! =

+./ii

A'--ái

Con¡ugado de un complejo En este tipo de complejos el s¡gno es contrario al de la párte imaginaria. De la forma cartesiana z = a define el complejo conjugado de z, denotado por2 como:

7=a-bi Ejemplos:

, z=10-7i ,

a-7

' ,=l*li

Z='10+7i

z

.r=tr,

-.--,

=1273

F

2

Propiedades del coniugado Si (zj, z, c c:

1. z1=21 * zr es un complejo

44

Lertmáüc 5.o

real

?

7r=z'r4É

z2

es imag¡nario puro

3. 21+4 =2Relzi

4. z2-22=2i.1¡l2rl

5. f,Tir=zr¡2,

-

L1..2

,

e)=+,v22+to,o)

8.

(41

9.

(

tv.

=(Zif ivn€N

- .1 . L2

=zt

n,/ ¡,/ z,\ = 4

; Vn

€

¡N; n

>

2

+ bi, se

C:

Er

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA O CARTESIANA DE UN COMPLEJO

Cada complejo es un punto en el plano, para ubicarlo se le representa en el llamado plano complejo, gaussiano o deArgand, elcual está formado por un eje vedical (eje imaginario) y un eje horizontal (eje real). lm(z)

z=(a;b)=a+bi

b

a

o

I)

Re(z)

Obsá¡vación El afjo de un número complojo se repres€nta por un par ordenado, formado por la parte real y el coeficiente de la pane imaginaria-

MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN COMPLEJO

El módulo o valor absolulo de z

= a + bi es un número real no negativo denotrdo por lzl, tal que:

{7 +§

lzl=

Geométricamente, el modulo nos representa la magn¡tud del rad¡o vector del complejo z de origen (0; 0) y extremo final el afijo de z.

z,= 3

(-2; 5)

+

"E "ryi z=3-5i

2. 22=3

4i

r¡." compléjo

F=-2+5i c=

Ejemplos: Determina los módulos de los s¡guientes mmplejos

1.

Afijo dél

n.'complejo

n *T

4.

9i

3 z

zn

2

(t3:'tr) (3;

-5)

=t - 4"/2i .)

Resolución

1. lz,¡=

2.

(-3)2+(-a)2 =./zs=s

3. lzd =

lz2l

-

4 l4l=

/7 .(?l = t//88 =,/22 4

( 2

3

t2 + 1-

t/i¡2 = ./u

=s

Propledades 1

lzl

>0;

lzl

=0€z=

(0;0)

Ejemplos:

. .

1-i = lz1= A>O Si z=2i = lzl =2>0 Sea:z=

Atcnción La forma binómicar

z=a+bi

se denominárá: 2.

lzl

.

=l2l =lz.l

Ejemplo: sea z

compleio roal

sa:b=0

= -3 +

Complejo imaglnar¡o

4¡, entonces:

. z=-3+4i + lzl = -3 -4¡ á lzl = z' =3- 4i ) lz'l=

puro

(-

3)

+4

(-

3)

+(-4)

32+(-41

=lN=s =lE=s = lzl = lrl= lz-l lnc

si:

'

a=0

Complelo nulo si:

a=0

^

b=0

Complslos ¡gu.les

sii a+bi =x+yi

3.

= a=x A b=y

lzl.zzl=lzl.lz2l Ejemplo:

.

l(2 + 3i) .(1

-3i)l

=111

-3¡l =

l(2+3i) .(1 -3i)l =12+3ill1

(11) +

(-3

' 3:tl=.8;7

/130

1+(-3) = ./13 /10 = /130

ÁLceena - TEoRíA uNtDAo

2

I 45

@

4.

Cons¡dera las s¡guientes oporacioñes básicas con los compleios: 21

=x+yi

^

Ejemplo

22=m+ni

l-ril

i

+22=(x+m)+(y+n)i

:

Suslracc¡ón 21

3-2i

t3-2it

. adición 21

!l=fr',,+to,ot

3-2i _ l3-2¡l

2-i

-22 =(x-m)+(y-n)i

2+i

2-i 2+i 2

32

=fn-

=

+{F;ar

=+ lEl

./1i _1 /6s

+ l-2)2

,E;t-1f - ls

Mult¡pllcación 21.

22:

(xm

- yn)+(xn+yrñ)i

D¡vi3ión xm +vn j_t vm - xn 2z ---=---j_+ m'+n' m'+¡'

5.

lznl= lzln;

7

lzl2 -- z

vn€lN

6.

In,[l=nr'Tll;ynErN;n>2

8

14+z2l
z, r=

22

+ (0;0)

I

,t'

11

(,

lz1

.1

+ z2l

lRe(z)l

>_

<

Desigualdad triangular

lzl -

lz2l

lzl

10

llzl-lz2ll
12

llm(z)l

<

lzl

ARGUMENTO O AMPLITUD DE UN COMPLEJO Z (arg(z); 0) z

@

a; b

b

€ a

tr k=0

Obeeruación

Si

=

Elargumento es elángulo 0 generado por elradio vectoralgirar en sent¡do antihorario desde eleje realpos¡üvo hacia un punto cualquiera del radio vector.

Arg(z) = 0 0 se denomina:

=

arguñenlo priñclpal de

z.

arg(z)=2k¡+0

El argumento "6" puede ser expresado en radianes o grados sexagesrmales.

!

Eje Polar

I

) 7 ,

k = 0;

1;2; 3...

Además

0S0<2¡

O

RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LA FORMA CARTESIANA Y LA FORMA POLAR ¡m(z)

z=(a;b)

t lzl

i

lzlsen0

1

0

l---

46 I Lert¡náüc

5."

lzlcoso

Re(z)

I E

lntenelac¡onando elementos del triángulo ectángulo sombreado z = (a;b) = a + bi= lzlcoso + (lzlseno)¡= lzl(coso + iseno) F¡nalmente:

z =a + bi=

lzl(cose + isene)

= rlq =

=

rcis0

Fom Ffi¡á pok oxFrÉlrial

r¡tüi'li:

reB

Los elean€nlos que parljcipon e¡ le foíña polar o LigonoffÍit ica

-@il

Fdm

sotl:

L

buqtgri&coo.dr& Es el punto donde se in¡ersécán los eres real e imaginario.

Ejemplos:

1. Expresa en todas sus formas: z =

/5

+

ll. Eje polsr

i

Es el ei€ de las equ¡s

.

Resolución:

. .

Deldato observamos:

a=

/5

r/l

0 = Arctan

=30"=

4b

rad¡o voctot (lzl)

z=2(msfr+isenf,)

veclor que genoaa el polo

Es la longitud del radb con el afjo.

rad

z=2bo =21+ lll z=

fv.Norms (lzl2) Es el cuadrado d6l rÉdulo.

;0)Ario

zcisá o

Expresa en todas sus formas: z =

. .

.

observamos:

Las formas serán:

a=-5yb=5

.a'

Su modulo:

z= -5 + 5i =5./l

(-**4 =s,/i

lzl=

Como se puede apreciar la parte reales negativa, para

el cálculo de la amplitud necesariamente tendremos que graficar:

5

z=

sá(cosf +isenf)

z=

s0ltts"

lm(z)

z=512e'

5

z=sacs(l) 135'

5

3.

-5

Expresa en todas sus formas: z =

-12

Resolución:

. . .

Según las partes: a

= -12

yb

=

lzl =

Grañcando, para el cálculo de 0:

s=217

t

I

R¿cuerda Par¿ cálcular el ángulo !0' principal de un complejo se debe tener en cuenta en qué cuadrante se encuenfa el añjo de z.

9¡

Las

fomas seÉn:

z

-

-9

El valor absoluto del complejo será: 15

-

-:'=

(ms135" + isen135')

5

Re{z)

0

Eje polar

r'!

-5 + 5i

Resolución:

longttud del

z=2(cos30"+isen30")

^,1 7 = ¿e'6

2.

o

lll.f{ódulo

¡2¡

ñ

orige¡ hacia la derechá.

y b=1

Luego:

lzl =

c.nsiderado a pañ¡r del Las formas serán:

= -12

9i

= 15(cos217" + isen217")

z=15(cos(%E)+,*.(#)) z

=

151217'

.-

-¿12¡i rF¡

2 = 15e

I

5

z=15ds(#)

ÁLGEBRA - TEoRíA UNtDAD

2

I 47

(j

@

: La multiplicáción en : diferentes ropresentaciones

OPERACIONES CON LOS COMPLEJOS EN LAS DIFERENTES FORMAS Multipl¡cación

.

:serán:

Fasorial z2 = lzillz2ll(0

zr.

Erpononclal 22= l4llzzlelo

21 .

= lzjl(coso + isene) A 22=lzr(cos\y+isenv)

Luego:

+\,)

+

Dados los complejosl z1

zr

. 22

=

(lz j

-

l(coso

isene)){lz2l(msv + isenv))

= lzrllz2l(msomsv + icososenv, r isenomsy + izsenoseny) = lzt llz2l((msomsv - senesenv) + ¡(msoseny + senomsy))

\t)i

ms(O + S¡ntética 21 . 22 = l4llz2lcls(o +

y)

sen(B +

v)

\1r')

z1 . 22

=

lz j

llz2l((cos(o

+ry) + isen(o + y))

Pata tealizat la multipl¡cación de complejos para este caso, en su forma polar, se multipl¡can primero los módulos y luego sumamos los argumentos.

@

O¡visión

División en otras representaciones

Faaorial

4 z2=l4l lz2l E:n

.

Sean los complejos:

zj = lzll(mso + iseno) A22 = lz2l(cosv + isen\r)

.

Luego 21

z1

Erpon6nclál

3r

zt

=

Et1¿ro

(mse + iseno)

22 (cos \./ + ¡sen\y)

22

_

vri

lzz

lzl l(cosO + isenO) (cosv l22l(cos\/ + isen\u) (cosy

lzj

Slntát¡ca

z, 21 f=]Jcrstc_r/) zz z2l

(cos e

ms

\+,

-

¡

cos Osen\/

lzzl

cos2y cos(o

-

lzt

-

-

isen\y)

iseny) + iseno ms y

-

\y)

sen(0

cose cos \y + senesenv + (iseno cos \y

lz2l

-

i2senOseny)

i2sen2y

- v)

-

cos0senv)

-

\y) + isen (0

cos2y + sen2y 1

4l (cos(e

z1

I

.

V))

Arr"rñ-] Si el módulo delcoñplejo z es la unidad. obténemos:

Para realizar la d¡v¡sión de dos complejos el modulo resultante estará representado por el coc¡ente entre el módulo del div¡dendo y el módulo del divisor. El argumento de este cociente viene ser la diferencia entre los argumentos del d¡videndo y divisor.

(coso + isen€)n = cosn€ + isonno

Aesta igualdad se 16 llamal lórñula do De Molvre

.

-

Sielexponente es negalivo, asum¡mos:

Potenc¡ación

. .

Delcomplejo: z=lzl(coso + isene)

Entonces:

2n

= (¡zl(cos0 + isen0))"

z-ñ= lzl n(co3(-n€)+ is€n(-ne)) zn =

(lzl(mso + isen0))(lzl(cosg + isene))... (lzl(coso + iseno)) "n' veces

.

Por analogia, según el criterio de la multipl¡cación: zn

= (zllzl.., lzl)(cos(O + e +

'n' veces

O

+... + 0) + isen(e +

"n" veces

zñ

O

+0

+... +

O))

"n'veces

= lzln(cos(ne) + ¡sen(n0))

En este caso el módulo resultante está elevado al exponente de la base inic¡al, m¡entras que el argumento resultante v¡ene a ser el producto del argumento inic¡al por el exponente que ¡nic¡almente se elevó.

48 I

Lexirnátic 5.'

E

Radicación

.

En princip¡o sabeÍns que la raiz de un complejo da obo complejo, luego

z=lzl(coso+¡seno)

.

Sacando raiz nésima, miembro a miembro:

nll

@ Potenciac¡ón en otras

rep€sentaciones:

Faso¡al:1=lzl"llq

lz l(coso + isene) = A(m$ + iseno)

=

Lo que queda ahora es expresarA y

.

i i

0 en func¡ón de lzl

Elevando miembro a miembro alexponente'n': n(cosno lzl(co$ + iseno) = (A(co$ + ¡seno))

y

0 Exponencial:

zn

= lzlneÚi

+ isenno) S¡ntátlca: zn = lzlncisno

.

0bs6rvamos por igualdad de complejos: lzl

.

nftl = A=

@

Ahora los argumentos tamb¡én tendrán que ser ¡guales o diferenciarse en un número entero de weltas (2kr), k

.

=An

ez:.

o+2kn=nó =

:

i

0=(q*e)

Veárioo olras €presenlac¡ones de le r&li{:áci5n:

Fasor¡al:

Luego:

lz l(coso + iseno) =

"J|="t;ls!P

"/l;l(..(r#b). o*(q#e)

además, k = 9; 1; 2; 3;"...; (n n valores

-

Exponencial:

1)

rJz

Cuando se extrae la raiz enésima de un complejo, el modulo resultante estará expresado por la raiz enésima del módulo, el argumento resultante será igual al argumento inicial aumentado en un número enlero de vueltas, todo dividido entle el índice de la cí2.

=ñl z

e

_-

)

S¡ntétical

""?

=

"v/ia-cis(!:-?&¡

Como ejemplos veamos algunas operac¡ones:

1. Dados los complejos: zr = 5(cos217" + isen217") Determina: zt

. 22

22

^

= 5(cos53' + isens3')

Alen¿tón Resolución:

z,

2.

.

z2

= (5)(5)(ms(217' + 53") + isen(2't7'+ 53')) = 25(ms270" + isen270")

Del ejemplo anterior, determina:

Zt

G+12i=a+bi

22

El€vañdo la cuadrado:

Resolución:

|

Para elcaso de la rafz cuadrada de un complejo en su loma cartesiana, haremos:

5+12i=a2 -b2 + 2abi

= t*«r1 a f

u3") + isen(21 7"

-

53")) = cos'164" + isen16¿'

lgualando:

5=

a2

b2

12 = 2ab

3.

Del ejemplo 1, determina:

zl

Resolviendo:

'-"\J5*12i=3*2i b=2)

Resoluc¡ón: z?

4.

= s2(e,szlZll'l + isen2(217'» = 25(os434" +

Del ejemplo

1

isen434")

3./f, , dete rmina'.

Si nos p¡den la ra,z enés¡ma, fanafomaremos la foma cartesiana a su forma

Resolución: 5 (cos 53"

+ ¡sen53") =

'6(..(oi^).,.*(!3+r!))

3/s(cos(S).

Para k = o;

3/a

para k = 1;

3/t = 3/s(cos(+).,*"(S))

Pan k =

;_ ;jr5+12t=-3-2i

=

2:3/t =3/5(cos(+).

polar, ya que en esta es más fác¡l hac€r el cálculo.

u*(T))

*.(T)) ALGEBRA. TEORIA UNIDAD

2

I 49

RAicES cÚBIcAS DE LA UNIDAD Expresando a la un¡dad en su forma polar:

rcil

z=l

T€n en cüenta que

n/;

='1 +

3/7-

tlene

'ñ'valot8s. Parak

0¡

= mso' + ¡seno'

3,[ = cos(!1t2!t). uen(Eie)

=

cos120'k + isenl2O'k; (k =

=0:3/i

para k 1: =

Pa¡ak =

3/7

2:3/7

1;2)

O;

= cosQ' + isenQ' =

1

=

1

= msj20. +isen12o" = -cos60" + ¡senoo" =

= cos240'+ isen240'=

-cos60'-

ise rao"

=

-|+ft

=

r,r

-l- Si

=

a'?

lnterpretación geométrica Eslos puntos: 'l; o¡, o2 en una circunferencia de radio unitario mresponden a los vértices de un tiángulo equilátero. ,t m(z)

-1 + J3

z

2

Re(z)

-1

-€

Propiedades de las raíces cúbicas de la un¡dad

f...----.%¡r¿r-l -i++i=a

-$-*,=-'

Soñ

comple¡oi con ug.dos.

1.

orr3k

=I

2.

to3k*e = o§

3.

o

{3k-c)=

(Dq

4. 1+
1. Calcula: ro

2 353

5s

Resolución: Al exponente

-2

353 538 le falta 1 para que se cumpla la prop¡edad, luego hacemos:

-23s3s38- 1 + 1 =-2353539+ I =_3 + I = _13 _ r¡ s3538 Donde: o¡-2 r¡-(i 1)- to1 (propiedad 3.) =

2.

Sabiendo que: or2, Determina:

H

-

co

(('100)0 + «r1153

=co

y

1

son las respeclivas raices de la unidad

,'03

&114

+

120

-

Resoluc¡ón:

Notamos que:

1153 1152+1 i+l lr) =(o- = =ao 103601 103 599 +2 i +2 2 uJ =u, =o) =ú) ¡153+1 454 i+t (r) = (r) =(D- = tr) o)31't = ú)342

50 I

l.Prtm,átic 5.o

+2

= ú)i

+2

-

ú)2

,uay +

,H¡4

Er

Reemplazando sn H:

'l+<»=--<»2

¡l=

(1

+o

-r»2)a + ('l

+
-or

1

+ro +o¡2=0

1+<» +

-

H

+ l&oa = 16o¡i

=

16o¡s

r,r2)a

(--
2

-(D

La letra '9' nos rep€senta a l8 base de los logaritmos

ola = (-eo1a + (-Zro)a

-

H = 1--r»2

@

=

+2

* 16ri

+

t

2<6<3

neperianos:

=

= 16(-'t) = -'16

16(ro2 +
Forma exponencial de un número comple¡o Se define la exponencial compleja, al númerc complejo:

cos0+iseno=eÉ

-

(e

2,71828...)

Esta relac¡ón es comúnmente conocida mn el nombre de su descubridor: fórmula de Euler Donde si: z

= lzl(cose + iseno)

=

= lzlen

7

En Ia fórmula de Euler, sisust¡tu¡mos

@

0: ángulo en radianes

0 por (-0), obtenemos

coso-issne=e-a

relEI

Ejemplos:

1. Expresa el mmplejo en su forma exponenc¡al z=30(cos15"+isen1s')

.

Oo la8 fómula3 ds Eulsr:

coso+¡8on0=gP

cosO-lsenO=e-b

Resolución: ldentifi cando térm¡nos:

Se doducen -!_

lzl=

2,

3O

y0 = 15'=

á

rad

=

z=30e

12

""*

Da la forma exponencialde:

-ao = ""

z=-zl5 -zt Resolución: Graflcamos para determ¡nar su argumento

lzl=4; e =

Luego:

.'. z =

= ""

-2

0=180'+30"=210' 0 =7¡ rad

3

30" 2

6

*2"

Eslas relaciones nos expresan las funciones k¡gonomátricas del aagum€nto r€al0 por las funciones expononciales do la ampl¡tud imagiñaria.

€':

7¡ rad

ii-"

6

.

4e*i

Teoremas adicionales

l.

S¡: cis(01) = ci8(02)

-01 :02+2kr YkeZ

I@l

ll.

Toma en cuenta el comportamiento de

in; n

€

/

5. (1+il2

y'

-¡5-ie -i¿*1=¡ ¡2-i6-y'o-i¡+2--.t i3- i7=11 - t¡+3--i ¡r =

¡s

= ¡rz=

¡,1'r =

ll. A partir de I se deducen:

1

lll. Toma en cuenta también los teorémas

L i-*=(-1fik;ke?c'

r. d=r 2. i+i2+i3+ia=0

z. 1,i+r)"=i+r¡;aeN

¡eZ

3. i¡+¡ñ+!+¡n+2+¡n+3=O Yn

e7.

3.2'=j;az2;a€ttl

4. i+i2+¡3+...+fn=o yn

(1

eZ

€o2l

+i)4=(1

-04=-4 , 1+i , 1-i 1-r l+t

6.

si eoli=

- 0i=0r+2kr;VkeZ

=2i; (1-i])2=-2i

o "í;. tir i' ,)'

4

¿

@ ÁLGEBRA - TEoRiA UNtDAD 2

I

51

Pnoblemas nesueltos §&

Efectúa:

- 3i)(i- 3)

(1

Resoluciór¡r

r= '

¡

-30(i-3)

(1

i(0

E)

i(1

i2

-3i)(¡-3)

(i

Cabula el rnódulo de z,

-

1

+3)(i-3)

s¡:

+

i)2

ll(- 3 - 3/5i)7

l++3i13=( (-4)2+3 r3 ¡3

-0t5=(sil/5

-

121

= 5lz

-

8¡l

-3(1 +/5)i17=(3

g)2¡

9(62 + u2¡ = 25162 115

-

324 + 9b2 = 2s(36 +

b2

-

16b +

324 + 9b2 = 900 + 25b2

-

400b + 1600

-

17Xb

=2

+b

-25b +

=8

v

136 = (b

12

+

li2¡7

D

Reduce:

E=(1 +

i)al + (1

(t

+ ifllo

E

=

E

= (-4)10(1 +

-i)aj

(1

+

0

+

I(1

-

i) + (-4)10(1

+i) + (410)(t E = 410 + 410i + 410 i410

04110

-

i)

z(410)

c-¡

Reemplazando:

¡24

¡21

p1=É--j-,p .2'.

E)s¡r=.22.1

7

4

Calcula:

!)

Hatla un ompte¡o que verifique: t

z-

5 l-3 .tZ:_4t-t

121-

lz-8i

'lz-81-'

R=z-z

z

R¿soh¡ció¡r: Por dato:

z= '/-!2ea Resoluciónr

I

Del2," dato:

za=-4

lz-41=lz-81 + l(a - 4)+ bil = l(a - 8)+

52

¡.

Sea:z=a+bi

@-af

+

r4

/2 e 1'/

= 4en

= 4(_1)

Piden: b¡l

(a-8f+b2

I Lertmáüc 5."

8)

..2=6+8ivz=6+17¡

|

e=

.'.lzl=58.2-11t4.3

-

b=17

E=(410X1

-a7 ol

2.3'

6l¡

E=(i+i)41 +(1 -i)41 6=i1 + Dao*1+ (1 -i)40*l

+ l-1)¿ =4./2 /..7-...-;2

l1+i(=1,/1'+1'l

=*F*-ef

Resoluciónr

lJl -il=,/,/1¿ ^

3lz

dato:

.er

-i|)5

+(-1) )t

3)

1

0 = b2

Ahora:

=(5

Del

O=16b2-400b+2176

-4+ rll(5/3 -5i)"ll/1 -il

ls(./5

-8a + 16 =a2 - 16a+64=a =6

Elevando al cuadrado y reemplazando a = 6:

-1 --10-10

Resolución:

f

a2

i.

(-4+3¡)3(s/3-sD5.¡-i (1 + i)¿ (+ - 3/3 i)/

lzl =

-4¡2+b2=1a -8¡2+b2

3{@-12'Í;e

Multiplicamos el numerador y eldenominador por

-'

1a

p=rz24-r'.z.14) - R = z-(-4) -24 .'.R=-4

Z

24

0

(1

i)

!)

Siendo: 1, E=

o, o2, las raices cúbicas de

+ or2)10 + (1

11

-.0

+12¡11

¡-2

1, calcula:

+. -.2¡, - ft,

-.tL2

lz2l

Resolu¿ión:

=fi3

Nos piden:

Luego: = 1-ro)10 +

(1 +c»2

( ¡r -

E = «r1o +

-

ro;1--
ar)(-2o2¡
lzll+141

-o2¡o - fto

z,.z^

- fto

g = (co3)3o + 2
- 5
I

+32

tqt

lzl=lz2l=

r,r3=1A'l +r,r+r,r2=0

ED

Si:

y z2 son las raices cuadradas del número complejo z entonces el valor de (zj + z2)'es:

+

21fi _ 2113 _l4l+lz2l _ -R--17

- 1zlz,

(zi;2, c c,

lm

.,

Si'

(2f

=

De (q)

Recordar que:

E

a z2=-¿tJl

--d:=ó+¿t

0l

5]1+

calcula:

22

4-3zz

-lm

3z1+ 422

321+ 422 )

Resolución: Resolución:

Por propiedad:

Por dato: z1 y 22 son las raíces cuadradas del número mmplejo

lm(ztw) =

z+0. =

[,

lcos(et/4).

fi

n*(

)]

k=0 -2,=

Para:

k=1+ rz- 6l(-ms$-isen!)

,=,^Pffib)

(cos!+een!)

3zt + 4zz = lm(1) 321+ 4?2

)21+22=0

p

.

lm$,

P=E(#;A)-t^(ffi)

qfb

Para:

.

a

En el problema:

Entonces:

,/i

lmz

'. P

=

lm(1

+0i)=0

=g

\21+2113

Dados dos compleios zr y 22 que cumplen:

-2 - -2 2,2 + 2.2 =o u a Í2

+2i z1- lz2 =3

'

cabula el número de complejos z que verifican

/¡

12=

1212

_i

Resolu¿ión: S¡: z2 + P=lzl2 Sea: z=a+bi

z.+2"

4

E)

zzl

-i

Resolución:

Reemplazamos: (a + btl2 +'12= a2 +b2

Dato:

a2 -b2 + 2abi

212+zr2=g L1_L2

-

Z,t

3+2i

lZ2

12 -* =b2 -b= 2ab=-1

- i7r2 =g lzt+izzll!-izzl=0 =0 +0

zr2

+

iz2

=0

-

21

lzl=l-iz2l=lz2l

+

'lZ2

-

lZ2

...(l)

lzi = lz2l

(..)

"

=--12t6

--1:rlAi 2J6

Lueoo:2.

=

(') Si: b =

-/6,

Lueoo: z"

=

Reemplazamos (lll) en (ll):

Ciz2f -ltr _ 3+2i

+16

(') Si: b = /6-, en (l):

= -izz ...(llll

Tomando módulos:

-i

Comparamos:

(tl)

De (l):

z1

-i

(12 -b2) +2abi=b2

(t)

-i

+ 12= a2 +b2

1-

en

(ll, ^

2J6

-

=

#

Gi

.'. Ex¡sten 2 números complejos.

ÁLGEBRA - TEoR¡A UNTDAD

2

I 53

f -

I

r

ETEI IEEEE

t

___r_

__t___l, LJ

EffiET¡E -{ -r-

rI] ANÁLIS¡S COMBINATORIO

a

r'

t-

t -

\ I l ¡L

I

f

A0igiaado sa0oiag

I

Katherina es una chica a quien le gusta

disfrutar de los helados. Ella vis¡ta toda la semana Ia heladeria 'Sabrosa', y a

v

J

veces lo hace en compañía de algún familiar o am¡go.

I

ü

¡..

tfi -

La heladería brinda a sus clientes diversos sabores cada dia y les permite elegir varios sabores a la vez, dichos sabores se pueden apreciar en la lista que se muestra a continuación. Lunes

Martes Miércoles ¡,4enta

S Piña

Chocochips

Fresa

Naranja

Lúcuma

0urazno

Cereza Tamarindo

Vainilla Maracuyá

Melón Guanábana

Granadilla Chirimoya

Sandía

Plátano

T¡ram¡sú

Tunón

Brown¡e Almendras

A B

o R E

Jueves

s

V¡emes

Kiwi Pera

Sauco

Com Mora

Limón l\¡anzana

Palta

Sábado y domingo Dulce de leche Selva negra Pastel de limón

Chomlate

Capuch¡no Chicle Yogur

Pac2,e

Uva

Vainilla francesa

Higo

Alfajor

Algarob¡na Cebada

Noni

Güisqui

Pnecurns

!f,

éDe cuántas maneras puede elegir Katherina un helado de dos sabores diferentes los días lunes? Katherina debe eleg¡r dos sabores de c¡nco posibles, entonces:

a5 5! -' 2lx3l

.'.

ff,

5x4x3l 2x1x3l

Katherina puede

éDe cuántas maneras puede elegir Kather¡na un helado de cuatro sabores d¡ferentes los días jueves? Katherina debe eleg¡r cuatro sabores de ocho posibles, entonces:

8! 8! 7\6x5,r41 ^B "¡ - 4!x4! - 4;-t;7u x 4! -'"

.'. 54 I

'/

6lsgf un helado de dos sabores de 10 maneras

Kather¡na puede eleg¡r un helado de cuatro sabores de 70 maneras.

Lex¡rnáüc 5."

--i--T

!f

aDe cuántas maneras puede elegir Katherina un helado de tres sabores diferentes los días martes? Katherina debe elegir tres sabores de s¡ete posibles, entonces:

71 7 x6,<5 ^41 ^t '" 3!x4! 3x2x\x4l .

.

!f

Kather¡na puede elegir un helado de tres sabores de 35 maneras

¿De cuántas maneras puede elegir Katherina un helado de

cinco sabores diferentes los días miércoles?

Kather¡na debe elegir cinco sábores de nueve posibles, entonces:

ae 9! =5ü7;-572\1 9x8x7x6x5!= "." r¿u 'J5= 5§4r .'.

ff

Katherina puede elegir un helado de cinco sabores de 126 maneras.

aDe cuántas maneras puede elegir Katherina un helado de tres sabores diferentes los días viernes? Katherina debe eleg¡r tres sabores de seis posibles, entonces:

-'cg= =.6t= 3lx31=A^,/5^/4x?^l 3x2x1x3! .

lf

.

-zo

Katherina puede elegir un helado de tres sabores de 20 maneras.

¿De cuántas maneras puede elegir Katherina un helado de cuatro sabores d¡ferentes los dias sábados? Kalher¡na debe elegir cuatro sabores de diez posibles, entonces:

cro

"4

.'.

I

10! _10xgx8x7x6! -zto - 4x3x2x1x6! -' -_ 4!x6!

Katherina puede elegir un helado de cuatro sabores de 210 maneras.

WenOy, hermana de Kalherina, ¿de cuántas maneras puede eleg¡r un helado de dos sabores d¡lerentes s¡ uno de ellos debe ser de melón? Como Wendy debe elegir dos sabores, pero uno de ellos es de melón, entonces solo falta elegir un sabor de se¡s pos¡bles.

-6 - 6l - 6x5! -'-1!^5! 5l -"

c6

ff,

.'. wendy

puede elegir dicho helado de 6 maneras.

Cina, mamá de Katherina, ¿de cuántas maneras puede elegir un helado de tres sabores d¡ferentes si uno de ellos debe ser de coco? Como G¡na debe elegir tres sabores, pero uno de ellos es de coco, entonces solo falta elegir dos sabores de siete posibles.

7t. 726>51 _¡ vi=T;5|=2\i1il=¿1...G¡napuedeelegirdichoheladode2lmaneras. ^7

E

Óscar, papá de Katherina, ¿de cuántas maneras puede elegir un helado de cinco sabores diferentes si uno de ellos debe

ser de cebada? Como Óscar debe elegir cinco sabores, pero uno de ellos es de cebada, entonces solo falta eleg¡r cuatro sabores de nueve posibles.

u

9! 9xBrTxGz!! -- 126 ¡s"4 - 4!x 5! '- 4 x2.t,1x'l ''

..

-*:

óscar puede elegir d¡cho helado de 126 maneras.

^3

'/

Eder, am¡go de Katherina, ¿de cuántas maneras puede elegir un helado de cuatro sabores d¡ferentes s¡ uno de ellos debe ser de Tiramisú? Como Eder debe elegir cuatro sabores, pero uno de ellos es de Tiram¡sú, entonces solo falta elegir tres sabores de ocho posibles

8! 8 v7 ¡e!! -55 "3- 3!\5! 3¡2>,'62 1x5! -"-

..

Eder puede elegir dicho helado de 56 maneras.

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD

2

I 55

Unidad ecuActoNEg 0e ?e$iee ogAoo

PLANTeO Oe eCUACtONeg Flpnendtzales esperodos

:', eCUnClÓtl Es un enunciado abierto, que se denomina así porque está constituido por varjables y constantes, además este puede ser verdadero o falso.

@

Eiementos de una ecuación:

Pnme¡

En otras palabras, una ecuación es una igualdad de dos expres¡ones Clasiflca las ecuac¡ones según sus coef¡cientes y ¡a naturaleza de sus soluc¡ones.

Determina el valor de

Ejemplo:

Donde:

, a-b+1 ' x+a-b

x+1

x: variable o incógnita a; b: constantes

r.i-: cLASrFrcACrÓn oE l. Según sus coeflclentes

us

numáricá Ejemplo:

ecuación e interpreta la solución o raices.

Ecuaclón

EcuAcroNEs

Ecuaclón l¡torel

Las Bcuac¡ones

-Et!!@I

a2-ax ba

LITERALES

de primer grado t¡enen como

EJemplo:

x-2 _x-2 _6 Realiza operaciones básicas entre matr¡ces identif¡cando f¡las y columnas y apl¡cando Ios teoremas dados.

S€gundo ñÉrhbrc

matemáticas que se verifica para algunos valores de su variable o incogn¡ta.

x+a+b ¡a variable dentro de la

ml6mbrc

+1+2

coefic¡entos lekas d¡ferentes a la de lá variabl€.

b2+bx

ll. Según sus soluciones

.

Compaüble o cons¡stonto Es aquella en la que el conjunto solución tiene por lo menos un elemento. Esta a su vez puede sgr:

Aplica los teoremas para realizar las operac¡ones entre matrices.

Compatibl6 determ¡nada

Compatible indeterminada

Es aquella en la que se puede enumerar los ele-

Es aquella en la que no se puede enumerar los elementos de¡ mnjunto solución.

mentos del conjunto solución. Ejemplo:

Ejemplo:

s-f-f+o

4(x-2)+1=4(x+7)-35 = 0x+0=0 = x€lR o CS=lR

+

Aplica el criterio de los determinantes para el desarrollo de un sistema de ecuaciones.

+o

CS=(-2) o x = -2

(solución o raíz)

lncompaübls (absurda o inconsistsnte) Es aquella en Ia que el conjunto solución (CS) no presenta n¡ngún elemento.

Ejemplo: 2x+2{llx =12+ OO 4x -

CS=o o CS=i

)

No hay algún valor de x que verifique la ecuación.

Aplica la regla de Cramer para la resoluc¡ón de sistemas de ecuac¡ones.

lll. Según su forma Freccioneries Si al menos

lnacionalos

tresenta una variable en

el denom¡nador.

Ejemplo:

-Á.-a x-r+;-l=r-x+x_3

Analiza los distintos teoremas empleados para la resoluc¡ón de una ecuación de grado superior.

,:':

./x+ t

-,/x-7 =t ",/14+./x +",/u-./x

Forma general de la ecuac¡ón lineal o de primer grado:

ax+b=0

Donde: x: incognita (asume un valor a; b: mnstantes)

ad¡c¡ón y multipl¡cac¡ón

Análisis de la raíz o solución

de raíces al resolver una ecuación de segundo grado.

i) Si:a+0Abl0,

la ecuación l¡neal:

iii) Si

Compatible determinada o consistenle b a

ii)

Si: a = 0

,t b

I

0, la ecuac¡ón l¡neal:

.+

CS=oo()

a+0^b=0,

la ecuación l¡neal:

Determinada, su raíz es nula x = ¡v)

lnmmpat¡ble o ¡ncons¡stente

l-exi¡náttc 5."

=q

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Utiliza operaciones de

56

Cuando la variable se encuentra dentrD de un radical. Ejemplo:

Si:a=0^b=0,

0

=

CS={0}

la ecuac¡ón lineal:

lndeterminada, t¡ene infnitas raíces o soluciones

-

CS=IR

I Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación:

Aplicamos la identidad de Legendre:

/x-1+1 , ./x-l -t Jx-1-1 Jx-1+1

(/Fi+t12+1/x-t -t¡2 =6 x-1-l 7(i.72 +12) _^- x-t+,1 _? x-2 x-2

Resolución: Ten en cuenta la restricción de la raiz:

., ^ t- >0 dx-1+112 ,.,,,=...=, +dx1- -'tl2 ,.^ =6.,,/Y_r x

lJ

+

-

1l'

-

Aten¿ión Ten en consideración lo siguaente:

Sdu*n

-x=3

1'

.

.

d6 um ed¡adón do

pdmor g.Edo

La eojac¡ón es consistente, su solución es: x

=3

x2'1

Es el valor que toma la incógnita, que al ser reemplazado en la ecuac¡óñ, conv¡eate a la ¡ncognita en uná ¡dentidad numéñca o literal. As¡:

Voamos algunos indicaciones impoñantos:

a)

S¡ el factor por el cual se multiplican ambos m¡embros de una ecuación contiene a la incógn¡ta, es posible que se introduzcan soluciones extrañas. Entonces hacemos elfactor diferente de cero. Así:

=x+3*0 + x*-3

x-1 _ 7 x+3 x+3

=

(Ev¡lamos que

(fiá},.r=(#)u.,

se introduzcan soluciones

extrañas).

+

.-

1

^*5

x = 4 (soluc¡ón o rafz)

Con¡unb 8oludón (CS) Es 6l conjunto de todas las solucioñes de la ecuación. Asl:

.'. x=8

= x-1=7 + x=8

'' 41 ..-"' ---'

nx+(1 + 2 +... + n)=

b) Si el div¡sor por el cual se d¡v¡den ambos m¡embros de una ecuación cont¡ene a la incogn¡ta, es pos¡ble que

n2

- cs=n-|

I

se estén eliminando soluc¡ones de d¡cha ecuación. Entonces igualamos a cero dicho factor Así:

.

+3x-1=5 + x=2

(3x-1Xx-1)=5(x-r) (3x

-

1)(x

-

1) 5(x

x-1

=x-1=0-x=1 (ev¡tamos que pierdan

- 1) x-1

se

.'. x= l

@ soluciones). (lengua,e literal,

^x=2

c) Si elevamos a los m¡embros de una ecuac¡ón a un m¡smo exponente natural (¿ 2), es posible que

se

introduzcan soluc¡ones extrañas; evilamos esto comprobando las soluciones encontradas en la ecuación original. Así:

=1{7+rzo¡2 =6+a¡2 = 12x=84 = x=7

.:

@

Comprobandoparax=7.

+w-x=a

.[7

=6=6

. . La ecuación es mmpaüble

El cuadrupls del

1

E E¡ dobl€ d€

2x

20

disminu¡do an 20

Dos ecuaciones son equ¡valonles si sus conjuntos so-

El doble d6

luciones poseen los mismos eleñentos.

dism¡nuido en 20

2f, - 20)

PLANTEO DE ECUACIONES El cuadrado del

Ejemplo:

1.

(longua¡e

Con Si. M que tengo, podría ir 5 días al cine, 3 días a los juegos mecánicos y aún tendria S/. N. La entrada al cine cuesta S/. P menos que la de los juegos mecán¡ms. Delermina lo que cuesta la entrada al cine.

Eldoble d€l

(3A)'?

-^^,

Resoluc¡ón:

2(\

1

x

)i 2x

2lx

1

)

Sea:

x

-

el precio de entrada de los juegos mecánims P : el precio de entrada al cine. :

2$a7 El 37 por 5 de uñ

Delenunciado:

(n." d¡as) (3)

precio de enkada prec¡o de jueqos + (n." días) entrada al cine mecánicos

de los (x)

La expresión quedará así:

+

(5)

(x

-

P)

.

lo que le sobra

).( de dinero +

M=8N+N

M en 100

Luego, la entrada del c¡ne cuesta:

por B en 10

3x+5(x-P)+N=M 3x+5x-5P+N=M 8x=M+5P-N

x-e=f{u+se-H) -e

El triple de un

,=1tu*sp-ttt

x-P=e(u-+r)

E

37N ^ IV=7N

D¡nem )=( dispon¡ble

N

!-=z

A=B+100 B

=A+

10

M3N

M+5P-N-8P 8

L-1

MvN

MN

ALGEBRA . TEORíA UNIDAD

3

I 57

@-, :

Edades

Para este tipo de problemas

i i

:

es necesario reconocer los ;

elementos:

siguient€s

Ejemplos: '1.

i

La suma de las edades actuales de Cristina y D¡na es 134 años, y dentro de 66 años la edad de D¡na será los 10/9 de la de Cristina. Determ¡na la edad de cada persona.

SuJotos

Es necésario idsnt¡frcar

el

número de sujetos que parli-

.

Resoluc¡ón:

Trasladamos los datos del enunc¡ado en elcuadro siguiente:

Tlompo: (verto)

ldentilicar problema

si la acción del se dosarrolla eñ

Presente

Dentro de 66 años

x

x+66

Trasladando las mndic¡ones de las

200-x

edades desde el presente hacia el

Cristina

diferentes tiempos.

134

D¡na

-

x

C+D=í34

: Condidon6s : Relac¡ón 6ntre las ed¿des d€ i los sujotos en elti6mpo.

.

I

Otra foamá de dar so¡ución

al

probléma 1 es "lleva¿ las cond¡ciones del futuro hacia el presente:

C+O=13a

-

(3x-

Dina

= 134 -

x

= 134 - 60 =

x

Hoy

Dentro de 10 años

x+11

x+21

Denho de 10 años la suma de las

x

x+10

edades de los hermanos será igual a la de la madre.

71

81

Yovera

10

o=l c

Guisella

+

(x

+

10)

= 81

Las edades de los hermanos:

66) = 134

Jhonalan

=x+

1'1

=25+

11

2x+31 =8,| ,3 2x=50

=

=

x=25

=36años

Yovera=x=25años

66=60años

=(f;x - oo)=

74 años

2. Jhonatan tiene 11 años más que su hemano Yovera, y Gu¡sella su madre t¡ene 71 años. Dentro de 10 años entIe los dos hermanos igualarán la edad de la madre. Determ¡na las edades de los hermanos.

Lq

Edad actual de cada porsona

oina

'. x=60

10x + 660

Resoluc¡ón:

x=126 Cristina =

- +C

Luego, la edad de cada persona será:

Así: (x + 21) 66) +

futuro (dentro de 66 años): D C

Veamos el cuadro siguiente:

Asl: (x

+9(200-x) =

f;(x+oo)

Jhonatan

1f,-*)¡

I

Cristina=x-60años

I

Atéñ¿lón

200-x=

|

i

10

Reemplazamos expresiones en la mndición

i

!.................'....................'...............]

D

3. S¡ Eder es 6 veces más viejo como Josué lo será cuando Lalo sea tan v¡ejo como Eder es ahora. Determina la edad de Eder.

z+ anos

Para ello mnsidera:

l. ll.

La suma de las edades de Eder y Lalo es 120 años. Cuando Josué tenga la séptima parte de la edad que t¡ene Eder, Lalo tendra 77 años.

Verifica la verdad o falsedad de las proporc¡ones: La ¡nformac¡ón I es insufic¡ente.

A)

B)

La información ll es sufic¡ente.

C) Las dos informaciones son necesarias. D) Las inlormaciones por separado son insufic¡entes.

E)

EET .

Las dos informaciones necesariamente a la vez se tienen que ut¡l¡zar.

Resoluc¡ón:

La difergñc¡a de €dad6s de dos p€rsonas on cada ti6mpo p€rmanece constante.

oel enunciado tenemos lo s¡guiente: Presente

As¡:

Eder 10 25

1o

20

45

cor"ranrj

i i

Lexi¡náüc 5."

De la información ¡, la suma de las edades de Eder y Lalo es 120 años, no permite calcular la edad de Eder, ya que no sabemos la edad actual de Lalo; luego la información les insuliciente.

Lalo

7x

De la información ll, cuando Josué tenga la sépt¡ma parte de la edad que tiene Eder, Lalo tendrá 77 años;en el futuro ya conocemos la edad de Lalo que es la m¡sma de Eder actualmente, entonces Eder tieneTT años.

Luego, la información ll es sufic¡ente =.

A)V B)V 58 I

7x

Josué

15

i -ls-to=zs-zo=ls-¡o=s

i

Futuro

C)

F

D)

F

E) F

Cr-oblemas nesueltos

7 p

Resuelve:

,oñ

*

x

,fr.+ _ J

f) 21,/ x 3

Carolina le dice a Edgard: Yo tengo el cuádruplo de la edad que tú tenhs cuando yo tenla 17 atus'. Edgard tene hoy 33 años. ¿Oué edad tierE Carolina?

Resolución: Pasado

Presente

Carol¡na

17

4x

Edgard

x

Resolución:

lÉl¡tz . 1\ 2 V x \;-5/-5

Luegol

^

6+x=2x x=6

/6+x\/6+x\4 2r \ x A-3./ =F

(6+xf

cs =

{6}

n años

Como la cantidad de años que transcuÍe es igual para ambos, entonces:

^s

n=33-x=4x-17

x"

f)

50=5x

cabula m +

3x=10+4x=40

n sabiendo que la ecuac¡ón:

-j-"i

=x+2

Por lo tanto, Carol¡na t¡ene 40 años.

resulta indeterminada

f,)

Resolución:

+

(a

b¡3

=¿3

1¡3*

3ab(a

(1)

"J14-Jx.4=4r

-6n-4=0

6n=-4

28+3

(14

+

...(21

/;)(14 - /i) (4) = 64 t213,/tt -x¡ =x

ti\4-v=e

Reemplazando (2) en (1): 2 3

5 6

)

Elevarnos al cubo:

Piden:

'142

=-g =-1 =-1,5 'n*n=-f- Ibo¿ Dewmina el valor de a + b + c, si la ecuac¡ón de primer grado en

xlx'?+(f-r)x+a =*;2b=a tiene por raiz al núrnero

b)

1t,/tt*Gf *(,/u-fr,z -3t,Ql '/i-

4m-5n=0

4m=5

+

Elevamos al cubo:

Se cumple por ser ¡ndeterm¡nada:

-?

*T ;,/ u - G- = q

Recuerda:

4mx-4-nx+2n=4nx+8n (4m-n-4n)x+2n-4-8n=0 (4m-sn)x-on-4=0

n=

u

+",114-"tx =4

"114+Jx

4mx_4_nx+2n=(x+2X4n)

+4m=5n

3,/

Resuerve:

Resolución:

mx-1 x-2 n_4_^-.

!)

33

.-___--t

f)

- x= 33

. x=142-33=169

¿Ou¿ dla del año marcará la hoja de un almanaque cuando el númem de días transorridos del año exceda en 2 a los 3/8 del número de dias que faltan poI transcurir? (El año no es bisiesto).

Resolución:

(-1).

0ías hanscuridos:x

R¿solucióru

I

Por dato: la ecuación es de primer grado.

x-1r365-xl=2 ó i-----j

+a =

(|-,),'.{;-,), -¡-

o

año: 365 días

dÍasquef¡lan

..'(1)

fanscur¡ir

8x-1095+3x=16

=b=4

1lx = 1111

Además:a=2b+a=8 Reemplazando a = I y b=4en(l):

(3-1)x+8=o Evaluando la raiz x

x=101 Enero

días: =

-l:

-9+l+8=0 3 --c=21 .. a+b+c=8+4+27=39

31

'101 dias

.'.

Mazo

Febrero 28

31

Abril 11

transcuridos

Elalmanaque marc¿rá

12

de abril.

ÁLGEBRA . TEOR¡A UNIDAD

3

I 59

¡$NTPrcCg Y OETEP $INANTEg

o

. ": MATRIZ

@

EIORDEN DE UNA MATRIZ viene dada por la representación mxn, donde: m: número de filas. n: número de columnas.

.

Es un aneglo rectangular de m por n elementos dispuestos en f¡las (m) y columnas (n). Al aneglo de esta forma se le denomina matriz de orden m x n.

Representación general:

Noiación de Kroñecker A=

(a¡).,. ie[1;r] ie[1in]

Ejerrplo: De la matriz:

25r5 2

3l

10 sens'

to

"4" j

- 10

I

at

2p

a\

2rn

22r

?22

4,4

?¡

á¡

4z

;o

a;"

3mj

?mZ

ámj

a;

Notación de

..

sl'3^1

Leibnitz

mxn

i

a22= 10, a32= n; 6", =

.,/j

lgualdad de matr¡ces oos mal¡ices del m¡smo orden son ¡guales si todos sus elementos de la m¡sma pos¡c¡ón son respec.tivamente iguales. Sean las matrices: A = (a¡)r¡n A B =

(b¡),,."

f-----nee.q.¿a------l Adlclór do matr¡ces Las matrices deben ser de

A=B

€

aij=bit

vi;j

igual orden.

Voaños:

Mult¡plicación de matrices

2 -1

Sean las matrices:A =

32 ).( (2 (3

(a¡)r¡n

n

B

= (b¡)nxp

Se defne:

- s) (- 1+2)

+2) (2+5)

)=(;;) AB =

Mult¡pl¡cación de un escala. por una matriz

(a¡).¡n. (b¡)n¡p = (ci).xp

t-----rt iguales

2 -1 3

5

5A=

5(2) s(-

5(s)

1)

5(3) )

10

25

-5 15

Mult¡plicaclón de uña matr¡z fila por una matr¡z columña El número de columnas de la ñatriz file debe ser igual al número de

flas de la

Donde: ciiresulta de multiplicar la i-ésima fila deA por la j.és¡ma columna de B. Ejemplo: examen de admisión UNI 2005-ll l[¡atemát ca] Sea Y un número real no nulo. Calcula: (E +

L)-

(T

+

U), s¡ E, L,

Ty

columña.

(5 2 -.t)1x3

(r 3)(i i)=(r t)

fl,

= 5(3) + 2(4) + (-1)2 =

U sat¡sfacen el s¡guiente producto de matrices:

matriz

Resolución:

21

.

Multiplicando las matrices:

YE=Y

(1)

Yl0 -E='1 De(2)mmo Yl0 =L=0 De(4)mmo L=0 +U=0 De(3)mmo E=1 *T=1

YL=0

(2)

Lo sol¡citado es:

0U\ /Y

YE+07

YL +

TE+UT

rr- + u'?/ =

De(1)como

0\

(e i/

Por ¡gualdad de matrices:

YE+0T=Y YL+0U=0 TE+UT=E TL+U2=L

60

I-exi¡nátic 5..

+ = + -

T(E+U)=E

..(3)

TL+U2=L

(4)

(E+L)-(I+U)=(1

+

0)-

(1

+0)=

l-

1=0

I ü

TEOREMAS

Sean A, B y C matices para las cuales se define la ad¡c¡ón y la mulüpl¡cación, además el escalar m E ts" '1.

A(B+C)=AB+AC

2. (A+B)C=AC+BC 3. ABC =

4.

I

(AB)C = A(BC)

Racuer¿ta

+ B)= mA + mB

m(A

l.

Si: AB = BA

(mahices conmutat¡vas)

5. AB = O, no implica queA = Oo 6. AB = AC, no implica que B =

B

= O.

ll. Si: AB = -BA (mahices anticonmutativas)

C

t

,

7. AB no necesar¡amente es iguala BA.

8. Si:A=B=AC=BCvCA=CB

,-@ I

Para una matriz cuadrada A:

Tipos ospoc¡alos de matricos

A3=A2A=AA2

A2=AA

í;

Aa=A3A=AA3

An

=AAn-l =Añ-1A

:

ilaldz cu¡dÉda Se dice que una matriz A es cuadrada cuando el número de filas os igual al número de

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Se obtiene al intercamb¡ar f¡las por columnas o columnas por f¡las. Se denota por:

columnas. AT

Se denota:

Ejemplos:

An,

n

Ejemplos:

.^=[ ]) .'=[l s1 -r2l oo) I

,^=[3ls)=,Ii3]

i

En uná makiz An ¡ ñ, los elementos a1lt a22; a$: ... ; aon

forman la diagonal princ¡pal

2,

Examen de adm¡sión UNI En un antiguo texto, se

^[lil]

d€ la matriz.

200$ll (Matemática)

Matr¡z nula

enoEnba la mauiz:

Es aquella en la que lodos sus 6lementos son cotos,

Se denota: 0 y del producto A2AT la últ¡ma columna, la

cuales

Ii]

Halla la matrizA.

Resolución:

Iil

Deteminamos los valores de x, y, z a partir de A2Ar

I x0

It;;:llr;

oov 002 J[o o I

]

[o

^'"

Iií]ltir:l

t

yz

Propl€dad€s:

¡AT

o z2

+x2

o g

xy

xf y2z

yr'

r'-t,

t

tii!l

-T

2.(mA)r=m¡l

v¡qP

3.(AtB)r=ArlBr 4. (AB)r =

BW

)

i:;tl

Por dato nos dicen:

xyz

-6

yz2

2

z3

1

-

xYz

= -6

vl=z

x=3 Y=2

Z=-'l

z3=-1

Con los valores determinados, Íormamos la matrizA.

f

1 x o\

f1

3

o

l

r=lo o ,l=lo o z lo o ll Io o-rJ I

ÁLGEBRA - TEoRiA UNtDAD

3

I

61

Iii

CARACTERíSTICAS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS 1. Matriz simétrica

Una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su matriz transpuesta.

Re¿uerda Ilralrices cuadradas o3pe-

l Ejemplo:

'1.

Makiz triangular supérior

(;;)tT

i illi i ;: ;]

2. Matriz tr¡angular inferior

2 0\

,

sJ'

oo) 8 0 0l l5o Izo z s olr Irs ool ¡ol r -z t] [-r e -z sJ

3. Matdz diagonal

I 0

,ilti

t2

4

(;

1

7\

t24

g/

\73 í)

el=nT=lr-r

3

2. Malriz antisimétrica Una mabiz cuadrada es anlisimétrica si es ¡gual al negaüvo de su fanspuesta.

A=-Ar Ejemplo:

:illt¡ :l]

o= f

-3

0"

3)-,=(3

0

4. Matriz escalar

20

50

02 )[ 0 0

0

,hooo

50 l.lo

05

zoo

I'lo o z

3. Matrlz nilpotente Una matriz cuadrada se dice nilpotente de índ¡ce K siAx

= O; donde O es la matriz nula; además AK-1 + O.

o K

'[oooz

o

;

O: matriz nula

5. Matriz identidád

.=(l?) .=[s:i]

donde: K: índ¡ce de nilpotencia

Ejemplo 1

f1 o o ol lo r o ol

.r.=loorol

^=Íl \-2

2

3r

r

o

{

):r'z=m=

-1

[0 0 o 1,

1

1

s

2

3\

I -'i

3, o

r

ll

0

¡

-¡i\-r

I

1

2

:)(;

1

o'=*'= / \-z

/

1

0 0r i0 0 ¡ el=lo o r -¡i \o o

3\ , 0 0

:)(:r:)

0\

ol + oi

A es una matriz n¡lpotente de indice 3.

4. Matriz involutiva Una mabü cuadrada es ¡nvolutiva si su oladrado es igual a la

matiz ident¡dad

2

Ejemplos

0\ /-1

(-l -i)=^'=^^=(-l ri( ^=

@

o

t)=(l

5. Matriz idempotente Una matriz cuadrada

Aes ¡dempotente, siverifica 2

@ I l.eñ¡náüc 5."

A

Ejemplo

1-4 00 )-,,=e 62

?)

e=(l i)(l -á)=(l -á)=^

0\

='

Er

Ejemplos:examen de adm¡sión UNI 2009-ll (¡/atemática) lnd¡ca la secuenc¡a conecta después de determ¡nar s¡ la propos¡ción es verdadera (V) o falsa (F).

l.

Si A es una matriz de orden m

x

n y B es una matriz de orden n

x

p, entonces A

+ B es de orden m x

p.

r0 1 0 0\

Dada una matiz cuadrada, se

-Eil a dela la

llama TRAZA DE UNA MATRIZ (Traz(A)) suma de los

elementos

diagonal

principal (DP). S

^=l::il1 o o o]

x

es una matriz de orden 4

4; entonces ex¡ste un número natural K, tal que AK

=0 1,.¿.11

A= I C..2'

[o

.il

16 3 "i'loe

lll. SiAes una matriz de orden n

x

n, entonces:A + AT

=

Traz(A)=5+2 +(-1)=6

0.

Propiedades Resolución:

1.Traz (AaB) = f¡á¿(A)

l.

S¡Aes una matriz de orden 3 x 2 y B una mafiz de orden 2 x 4, se tiene que la sumaA+ B no está defnida,

2.Traz(mA) = mTraz(A); vm esc¿lar (m+0).

puesto queAy B t¡enen diferente orden.

3.Traz(AB) = Traz(BA)

ll.

Falsa (F).

t

Traz(B)

Verdadera (V).

Obs€.vactón

Realizando la multiplicac¡ón de matrices:

A2

-

r0

'l

0

lo lo

0

1

Io

0 0

0 0

0lr0 1 0 0't l0 ollo o r ol_lo 1ll0 0 011 l0 olto o o ol [o

10010)10 10 A3=A2A=l:

0 o 0 o

Los ELEMENTOS HOMÓLO.

1 0)

GOS de una

matü son aque-

llos elementos que tienۖ la

o rl 0 0l o ol

misma ub¡cación, pero en dife-

tentes matic6s.

0) 10001)

: : lll: s r rl=ls

s s sl

[oooo]tooooJ [ooooJ 1) l0

10

0\ lr0000)

Aa=A3A=l::::ll:

0'1 0 0

rl=l::::l

Io o o olto

0 0

[o o o ol

r0 0 0

Observamos que Aa =

O

=

ol

k = 4; en estos casos a la matriz A se le denom¡na irATRlZ NILPOTENTE.

i : :

Sea

A una matriz

cuadrada,

su deteminante se

denota

por:

lA l, D(A), D€(A)

lll. Falsa (F). Supongamos que

Luego:AT

r

=

nue.*

,.t,

*"'o

=

(l l)=^.,'=(fr i)

(l l)

l

^tenclór¡

*,

También se d¡mplg:

.lABl=lAIBl .lA+Bl+lAl+lBl

.

DETERMINANTE

lA"l=lAP;n€N

Es una función que apl¡cada a una irATRlZ CUAoRADA nos proporciona un número real.

Propledades de los determinantes Dadas las matrices cuadradasA y B y elescalar

a) El determinante de una matriz cuadrada

k€lR.

y el determ¡nante de su transpuesta son ¡guales

lAl=leTl Ejemplo

lol=ll-ll-lol=

rr; te't=l_l l]= rr =¡n¡=lñl ÁLGEBRA - TEoRiA

u

N

tDAD

3

I 63

b)

@ ált d¡z

B

2¡e 222

l"l k+0

kail ázt

ka11ka12 dzl ázz

k

l= klA

lB

lBl= knlAl ;A

El determ¡nante de una matriz es igual a cero, si todos los elementos de una fla o mlumna son ceros. Ejemplo:

1 5 -9 000 =lAl=0 2 8-1

ka12

ázz

á¡t á¡z ázt ázz

c) Si B es la matriz que se

obtiene a partir de A, luego de multipl¡car a los elementos de una línea (fila o mlumna) por un escalar k (k + 0), entonces:

lBl=klAl

I

Ejemplo

de orden n

Iká.. ka."l

*=l*"*""1

3

6

1

0

6

1

5

I

2

dtt dt2

r*r=i[]l[;l=,¿l nzt ázz

d)

lkAl=k,lAl

3

Ejemplos:

'10

1

2

5

2

5

I

135 125 259

= 3.2

23 51

-1

6

-1 3 5 125 259

7 67 0

46

10

=0

141

e) Cuando se permutan dos lineas (filas o columnas), el determinante cambia de signo

.

7-

lm n

Si:

ObseTvación Tamb¡én se puede ap¡¡car op€raciones Blemenlales d6 tal manera que se oblonga la ñayor cant¡dad de coros en una filá o columna, es dec¡r, sumar

6

El determinante de una mátriz es ¡gual a cero, s¡ los elementos de dos líneas (filas o columnas) son ¡guales o proporcionales.

Ad6ordenn=2

@

2

0

S¡ en una matriz

p

lp n ml ,l=sar=ls r ql=-sor iAl= lo b cl b la lc al

'

cuadrada, los elementos de una cierta linea (f¡la

o

columna) son

la suma de varias

cant¡dades,

eldeterminante puede desmmponerse en la suma de tantos determinantes como términos tenga la linea. Ejemplo:

abc

a una cierta l¡la (o cok¡mm)

a b cl Ia b c o tl+ln r u j k rl lj k

m+n+p q+r+s t+u+v

una ci€rta canlidad de vec€s otra fla (o columna) para lu6go usar MENORES CON,IPLE-

m

jkt

+

I

abc psv

jkr

MENTARIOS.

g)

El determinante no varía s¡ a todos los elementos de una de sus lineas (filas o columnas) se le suma o resta

un múltiplo de oha línea.

h)

r

El determinante de una matriz triangular superior o inferior, y de una matriz d¡agonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo:

1-2 3-4 b+4 -2 3-4 f3+f -1 223 3 -5 7 -9 -ut 1

1

0 0

,1

I @

i)

0

-23 05 1-2

-4 -7 -1

t1

, *t,. lo -2 -r

2

-4 -7

o

5

-1

o

0

-4

to

3

lo lo

Eldeterm¡nante de una matr¡z antisimétrica de orden impar, es igual a cero.

0 4 -8 -4 0 7 8-7 0 Ejemplo: examen de admis¡ón UNI 2012.1 (Matemática) Dada la matriz:

t:;il

@ Determ¡na la matriz

64 I

l-eximáüc 5."

3

q tal que:

PAP

=

t;i!l

= 1(-1X5X-4)=

20

Resolución:

.

Real¡zando operac¡ones elementales de filas y columnas: lntercambiando la fila 2 y la fla 3:

Ob3érsación PAP=(PA)P=P(AP)

tll:l[:;i]t::il lntercamb¡ando la columna 2 y la columna 3

a

s d

.

b h

e

iltliiltl;rl

Se mult¡pl¡có primero por la izqu¡erda luego por la derecha

1

ff:l^[lii]

PAP

2

Até¡¡ciór¡

.

.

La matriz P será:

Una matrlz cuadrada A €s regular (no singuia¡) si:

,=[13?l Io r oJ

iA +o

.

Una matriz cuadrada A es s¡ngular 3i:

Menor complementario de un elemento

lAl=0

El menor mmplementario de la componente (elemento) ü denotado por lMijl es el determ¡nante de la matriz que resulta al el¡m¡nar la f¡la "i' y la mlumna 'j' de la matriz dada.

Para.

l3

n=ls

8

2)

s

ll

[, -,

el menor comptementario de a2r = 5 es: lM2jt

=

l-? 3l=qO-t-,lr="

Adjunto (cofactor) de un elemento El adjunto del elemento aú denotado por Oi¡ sé define

o¡j=(-1)¡*ilql

-t

Récl¡e.¿a

Elcálculo do los detorminantos

solo es pos¡ble a MATRICES

Teorema ,undamental El determinante de una matriz ssrá igual a la suma de los pmduc,tos de los elementos de una línea (fila o

CUADRADAS.

columna) por sus respect¡vos adjuntos. Para:

Erl

i+ - +i + +

+

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD

3

I 65

Considerando la

1.4

fila:

3

8

2

+

@

+

rAr=.31-?

(-1)l*i

La func¡ón:

1l-'l; ll.,l; -:

pormjte fomar el cuadrado de 8¡gnos.

+-+

- (-1)1) -

= 3(e(5)

8(5(5)

-

2(1)) +

2(5(-1)- 2(e» = -s2

+ +

+

Matriz adiunta

+

A la transpuesta de la matriz de adjuntos o cofactores se le llama adjunta de la mafiz A (Adj(A)).

§ea la matrizAanteriormente defin¡da y Oijel adjunto de ai. entonces la matriz de los adjuntos o cofactores será:

r

I

cog6r la llnea (fila o columna)

qu6 tenga la mayor cant¡dad

@rn

@21 @22

@23

@zn

o3n

(Dñ2 on1

onn

o¡1 Ejemplo:

(t 2

d6 ceros.

7

@13

o= o31 o32 o33

PaG aplicat 6l leo.6ma fundamentel se recomisnda es'

-!@I


Sea la matriz A

=

lz t Is s

Ad(A) = @r

3)

4l

halla su matriz adjunta

zJ

Resoluc¡ón:

.

re@I

Determ¡nando los respectivos adjuntos de cada elemento de la matr¡z A

o11

=(-rl+t

.,,

=

De la d6ñn¡dón d6 una matriz

trañpuesta:

oll

o21

o31

1012 O22 O?z

3

.,,=r-r¡'.'

ll ll =t

=

-rt

=

r' o" = (-1),., ll

|

o,,

= 1-rr3-'z

l]

.,, = (-iI* l; l] = r ; o,, = 1-r¡'?.' il

3|

i

|

=z

I

|

=

{

@¡z

o13 o23 o33 '' on¡ Q1¡ @2¡ @¡¡ '.

(-iI' l; ll= rc: orr= t-tl'?.z t

ll=s,

¡

., 6n,

''

ll 1l =-,t' o2i=(-1)2+' ll

@,n

Luego:

10 16 5 -13

o=

/ U¡a ñatriz qladrada t¡en6 lnverla E¡ y lolo 8¡ as una

-il

m6tdz NO SINGULAR. eñ tel cá3o r€ d¡c6 qu6 la matdz 6a invsrllble,

L

iA-i.rlAlfO

1

7

=

eOl1n;

= oT

to -

17

5

5

tJ

2

-3

Sea una matr¡z cuadrada no singular, s¡ existe una única matr¡z B cuadrada del mismo orden, tal que AB = BA = l, entonces definimos a B como Ia matriz inversa de A y la denotamos por: A 1

Teorema Sea A una matriz ¡nvertible, entonces la matriz ¡nversa está dada por:

/

Ad) (

A

Ejemplos:

1

Orden uno:A = (a)

2.Ordendos:A=

Lert¡náüc 5.o

10

Matriz lnversa

1

66

-

1= =A

(::)

1

a

a

0

1

trl

d -b ; A +0

)

I 3.

Examen de admisión UNl2011-ll (Matemática Coosidera la matiz:

@

tlir)

Una matriz cuadEda s€á invertible, s¡: lAl

I

0

dot€rminante do una mataiz triangular sup€r rr

El

está dado por ol producto de los Blementog dg la d¡agonsl princ¡pal.

oetermina el conjunto de valores de k para que A sea ¡nvertible. Resoluc¡ón:

Haciendo operaciones mn las filas de la matriz

lAl=

'l 4k 't4k 1k4 -t=-!.l 0 k-4 4-k 1kk Ir-! 0 0 k-4

4

=(r-¿)2+ o=t+¿

I

k€n-(4)

t

Delerminante de Vandermonde

l

Atznción

De la lcñna genelal, se deduce:

.

En forma general, para una matriz de orden n:

Determ¡nanlE de Vandermonde: De ord6n dos:

x1

f "' *i-'

\2

xtr.. 4-1

,Í

4,

11

ab = (-1)"

ri) (nI4 -

'

4-'

De orden tres

I I 1l="-"*"-o,-, Ilu'zc'?

I

q)e?ecruAc 4.

1. Dada la matrü J

-¿

^-

Cakula el valor de: E

2.

Si:

tl5'

0-2 -3 0 u-1

i

^=[[-1

= af-+ a?¿ +

3

4

I

Dada la matriz:

1

3v

6v

-22

-'l

Además A = B. Cahula el mlo¡ de: E = 4x + 2y

3

-

= 5x 2 Halla la suma de los elementos de P(A)

5. oadas las matices:

0 2 4); B=

z Hallá AB.

3.

)

rl

2

y el polinomio P(x)

a33

A=(1 -

-2

1

til

Si:

A_ (;

4 5

;B=

C=24+38 Halla traza de C.

3 2

2\ 1)

6.

Si:

(2 1

3)

[r 4

3)

ls ¡

zl

,

calo,lla: A2

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD

3

I 67

7

7

PnobLemas r-esue- Itos ffi

7

S

Sean las matrices:

E)

1 0-1 ) 0 o 0l f o 1l

'1+i'l

Sea la matriz

ab ^

^ '[-1J '[r]

a

Halla todos los valores de x para los cuales existe una matriz B talque:

Q = aU + pVdonde Ct, p € IR. Determina los valores de cr, p para los cuales existen los números reales p, q tales que, simultáneamente, se cumple:

'Ii] {il

bc+x

AB=BA-

Resolución: Considerando según la teoría:

Resolución:

(t z tl t t o -1 o=ol z + zl*pl '[-ro o o |

-

)

[r z rJ

Mult¡plicando ambas

or

*

mnrt*

Ahora mulliplicando amOas

*r,

="[ s

I

,rtri... .,

='{

]. {-',

J

],

=

C

lr/

a

Reduciendo obtenemos:

J

a

,r,

a

lnl

(1)

Il

]

1f ¡

]

por,

I

/bc+x\ -cb+0=bc+x-cb+0+xl0

\a/

x€lR-(0)

.Ii] "[?].,[ll *[il=, * []

t= lAl+0 b / bc+x \ -cb+0 bc + x

Como:AB = BA=

Como nos indica el enunciado

"

pSi

se sabe que los números g45 193; 525 217; 754 585; 292 201 y 356 269 son div¡sibles por 19, halla et residuo de d¡v¡dir el detem¡nante de la matriz A entre 19.

I

I

='=!;"

A_

Deducimos luego, que como p y q pueden tomar cualquier valor (aóitrario), entonces: ü, 0 € IR.

!)

'1 93459 217255 585547

2019

269563

22

838833

Determina los valores del número real x pa¡a que la matriz:

.tx+3 3

I

Resolució¡u 1

lx-s

sea invertible

En la 3.4 columna, hacemos la siguiente operac¡ón:

ca + lo5c6+ io4c4 +

Debes saber que una makiz üene lnversa Entonces:

l^l =

lo3cr+

102c, + 1oc,

Se t¡ene:

Resolución:

q-^-l

=

rfi

*

s

si:

x/,-s

IA |

+

19 21 58 20 26 83

0

r-(3)(i)

+o^x¿

5

0perando adecuadamente:

(.tx+3)(./x-5)*3^x>5 (x+3Xx-5)+9^x>5

Al=

x+6;x+-4^x>5

_4

0

Según el gráfico, establecemos: x

56 ¿

5

x

^

I Lexirnáüc 5."

945193 525 217

754 585 292 201 356 269

459 255 547 922 563

383 838

Luego

x2-2x-15-97onx>5 x2 -2x-24 +o ¡x>s (x-6)(x+4) +0Ax>5

68

/1 0\ \, , /

+

6

1e

19 21 58 20 ¿o 83

49 747 27 643 39 715 15 379

18751 20 202

= lAl -1e El residuo es cero

459 255 5 47 - 19k; k€Z 563 833

grgTEl^A Oe aCUACIONÉ9

o .,

@

DEFINICIÓN

Tamb¡én se pueden formar sislemás de ecuaciones con EXPRESIONES MATEMATICAS, eslas expresiones deben estar b¡eñ defnidas.

Es elconjunto formado por dos o más ecuaciones en donde ¡ntervienen dos o más incognitas

Ejemplos:

,

. i+y-2=0

x2+4'f-25=o \+ 2y -7 =0

x'l

xy-2x=0

Solución de un sistema

Expresaones

Es aquella solución numérica conespond¡ente a las ¡ncógn¡trs que verifica cada una de las ecuaciones en forma

matemálicas

49

=

,q-6

simultánea. Ejemplo: Las colecc¡ones numéricas que verifrcan a las ecuaciones en forma simultánea son:(2;3), (3, 2)= 2 soluciones.

xY=6

x+)/=5

.

Si: x = 2

¡

y=3

-

(2X3)

Recuerda

=6

A la agrupación de

,a1-q

.

S¡:

todas

las soluciones se denoñi-

nar CONJUNTO

x=3¡y=2=(3X2)=6 3+2=5

SOLU-

clóN (cs) del sistema. Del ejemplo rnost¡ado

su

conjunto solución sería:

Ú

CS = {(2; 3), (3; 2)}

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Sistema de dos ecuaciones con dos ¡ncógnltas

Los SISTEiTAS

De la representación general:

a1x+b1y=c1 a2x+

=

=c2

b2Y

CS = {(m; n)}

11 valor valor de

de

xy

= Determinante del sistema

ar

= az

solución.

x+y=5 x+2y=7

2x 2x

+Y=8

Los sistemas son EQUIVALENTES, ya qu6 poseon el

REGLA DE CRAMER (método de los determinantes)

ls

EQUIVA-

LENTES son aquellos sislemas que, presenlándose de diferontes fomas acep tan las mismas soluc¡ones, o t¡6nen el mismo conjunto

m¡smo conjunto solución: br bz

=

atbz

-

cS = (3;2))

azbt

F ax = Determ¡nante respeclo a la incognita x =

^y

= Determinante respecro a Ia ¡ncognita y =

|

!

lcz

!'Dzl| = ",0, - .ro,

tf,lr?rl=

".,r- "r",

Los valores de x e y están dados por las s¡guientes relaciones

x=

4¡ v= 4I AS'' AS

Ejemplo: examen de admis¡ón UNI 2002-ll (Matemática) Al resolver, en elconjunto de los números complejos, el sistema (1

+i)z-W=-1 + (1 - i)W=

2iZ

El valor de

-i

At¿nctón La solución de un sistema de ecuac¡ones también se puede resolver en el conjunto de los ñúmeros complejos

c.

i

fr

es:

ÁLGEBRA - TEoRíA UNIDAD

3

I 69

Resoluc¡ón:

.

IÍ"?r7irrü i2

Según la regla de Cramer, determinamos:

As : determinante del sistema =

I

=-1

+i -l 2i 1-

= (1 + ¡X1j)

- 2i(-1)

= 2(1 +

¡)

i: unidad imáginaria

Az : detem¡nante respecto a la incognita Z =

Aw : determinante respecto a la incognita W =

.

As

I

= 3(i-

2ii

1)

¿=[Az][^sf - Az - i-2 - i-2 l-' r] - conjugado w l^sll.Awl Aw 3(i-1) 3(i-1) (-'-i) - conjugado i+i2-2-zi -(i-1-2-21 3+i 1 i =--3(-l-1) = 6 =Z*6 - 3(i'z - 1)

A$/

Recuerda

1+i -l-i

Los valores de Z y W estarán dados por las relaciones:

-^s

El coñjugado de un complejo es aquel qu6 solo cambia do

-1-i -1 =i-2 i I -¡

Estud¡os de las rafces del sistema:

a1x+b1y=cl

signo la parte imag¡nariÉ.

a2x+b2Y=c2

¿=3+4i-z=3-4i as+0

A) El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO (solución ún¡c€).

Si

B) El sistema es CoMPATIBLE INDETERMINADo (más de una solución o infinitas soluciones).

Si:

as=0

y

^x=Ay=0 C) El sistema es INCOMPATIBLE (absurdo, imposible, ¡nmnsistente, no admite soluc¡ón, no tiene solución) Si:

As=0y

^xl0vay+0 Sistema de tres ecuac¡ones con tres ¡ncógn¡tas ¿)

De la represenhción general:

a1x+bjy+qz=d1 Emploaremos

a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+caz=d3

la r6gla de

LA PLACE (moñores comp¡emontários) para hallar 6l d€term¡nante de 3.'r orden.

l. Rocuerda

el

cuadro

d6

signos:

+-+ -++-+ ll.

o

[á;'U

'c;il

^s la3 o3

c2 ca

Ax

drbrQ

ardlI

al Id1

d2 b2

c2

c2

a2 b2 d2

d3 b3

ca

a2 d2 a3 d3

ca

a3hd3

^

v

Donde:

determ¡nante respecto a la incognita x.

cal

70 I Lexi¡náüc

a2 b2 a3 b3

As: determ¡nante respecto al sistema.

=lá;it;'¿J

^x: determinante respecto a Ia ¡nmgnita ^y: Az: determinante respeclo a la incognita

5."

n;

y.

z.

p))

111 valor valorvalor

REGLA DE CRAMER (método do los dotsrminantos)

^s

columna), osta se denominá l¡ñea fija.

= ((m;

xyz

arEg

Al elegir una lin6o (ñla

CS

La soluc¡ón del sistema está dado por:

Ax

X

AS

Ay

Lz

z

v

Er

AS

^s

Cálculo del determinante En este caso puedes emplear cualquier método de los ya estudiados

(..

., el

de la 'estrella', etc); para este caso

part¡cular empleamos elde los MENORES COMPLEMENTARIOS.

Atzrtció¡r

Por ejemplo:

Cáda €lem€nto de Ia linea

fla lo

arbrQ As= a2 b2

c2

a3 b3

ca

+a

hz

2z c3

cz

b¡ c:

b1

= ar(bzc:

-

-

= albzc¡

-

az

cz

*cl a¡

u3

multiplicamos por el

que

deteminanto

bz

corespond¡entgs al elgmento. 1.€'elemontod€

bscz)

alb:cz

-

+ cr(a2b3

br(a2ca

-

a3c2)

bta2ca

+

b1a3c2

-

+ qa2b3

Este procedimiento se empleará para el cálculo de: ax,

a3b2)

-

c2

a3 b3

ca

la

I

lFrbr9

l!'i'[l

cja3b2

llneafiia:

a1

c-r - rb. lui"il

2'elemento de la lineafija:b1

A Az

l'dFn

^y

l

la, ?, %l la3

arbr9 As= a2 b2

resulla

d€ el¡m¡nar la lila y columna

bs

= ?tbz%- átbzcz- ?zb1ca + a3b1c2 + a2b3q

-

h ql

3,'rel€m€ntod€

a3b2c1

,r.

'

le; la llñoa

c.r

;l

fiisrcl

lffil.r:rr

Olscusión de la soluclón a)

El sislema es CoMPATIBLE DETERMINADO (soluc¡Ón Única) Si

b)

as+0

El s¡stema es COMPATIBLE INDETERMINADO (infin¡tas soluc¡ones o más de una solución)

y

Si

^s=0 ax=^y=^z=0 c)

El sistema es INCOI¡PATIBLE (no tiene solución, absurdo, imposible, inmnsistente, etc.)

Si:

Ly +0; Lz+0 Lx+0, ^s=0t/

Ejemplo: examen de admisión UNI 2008-l (Matemática) La función polinomial: F(x; y; z)

= ((x - yXy - z + 3))2 + ((z

-

y)(v

- x + 3))a + (x + y + z -

E!il

3)2

Tiene N raíces (x: y; z), entonces N es ¡gual a:

ParE aplicar egtg regla, 3e recomienda lomar aquolla llnga

o columna) qu6 tenga 18

Resolución:

(ñla

,

mayor csntidad ds cero§.

para El polinomio está formado por la suma de expresiones que mntienen exponentes pares. En este caso, obtener sus ceros, igualamos cada sumando a cero. F(x; y; z) = 0

(x-yXy-z+3)=0 (z-y)(y-x+3)=0,r x+v+z-3=0 ^ (x-y=0 v y-z+3=0) (z-y=0 v y-x+3=0) Ax+y+z=3

^

\r

4 'sP..

ÁLGEBRA . TEOR¡A UNIDAD

3

I

71

Generamos de esta manera 4 sislemas de ecuac¡ones:

E@I

Los sislemas ¡l

x+Y+z=3

y lll son in-

corñpatibles. obsetua qu6 las ecuaciones (2) y (3) cuando se suman se obtienen repelidamenle:

fl x y=0 -x+y=3 0=

I

x-y =0 v -x+}, =-3

ll

-y+z=0

+

= -¡

1

1

1

0

0

1

As

(a¡sur¿o)

Luegol Se concluye:

3

1

1

ol

^

1

t.i

1

1

1

oi - -1111-

1

+

=-1 -0-(1 -(-1»= -',\-2=-3

=-,1¡ll=+-,=*=*=,

0

1

0

x+y+z=3 y-z=_3 -x+y =-3

=*l-l il=-,=,=*=J=,

0

0;

v

lv

fja

Línea

CSti=s;CS|I=o

-y+z=0 v

+ +

-3 (absurdo)

x+y+z=3 lll

+

Al analizar el sistema ten en cuenta

(+)

lll y+z=0 l,, y-z=-3t\'/ O

x+Y+z=3

x-Y =0 v

iol

1

1

3

1

1

0

1

0 q

+

CSN = ((2;

Sistema IV

CS, = {(1; 1; 1)}

1

1 -1 0 -l

+3

=-3+z=*=*='

2))

-1t

¡Compruébatol

Luego:

@

No hay un método general para resolver oste tipo de

sistemas.

CS = CSr :

+

i

Utilizando capltulos anterioros (producto notables,

CS = {(1; 1; 1)}; (2;

i

:

etc-) ségún como se presenla resolveremos el pro,

: : I

Cons¡derar tamb¡én que hay problemas que se resualvengeométr¡cáñente.

CSlll

u CSrv =

{(1 ;

1

: 1)l

o a u a u {(2i -1: Z)l

-1;

2)} üene 2 raíces (x;

y;z)

...

N

=2

i

factorización, artificios,

bloma.

u CS u

:

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Es un conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemát¡cas que interv¡enen en el sistema

pueden ser algebraicas o no algebra¡cas.

:

i i

* +'f =rc

Sistema algebraico:

x+y

=5

Sistema no algebraim

{x-y

=s x+Y =5

Ejemplo: Examen de admisión UNI 01-1 (Matomática)

Dado

e slstema

l6p: trinomio cuadrado perfecto. Sr 2y

x2

+

t'f -25

x+zy

=7

> x, enlonces el valor de

I

\a+b)2=a2+2ab+b2

...(1) 12)

.

Reemplazando (1)en (4):

25+4xy=49

.

es:

v

4ry

=zq

...(5)

Restamos la ecuación (5)de (1):

(-4ry+ayt=1 $-2vf = 1

tcp

Resoluc¡ón:

.

.

De la condición delejemplo;

2y>x

2y-x>0

(3)

. De (2) elevando al cuadrado: x2

+

4xy

+

4y2

=4!

(2Y

-x\2 = t

Considerando Ia condición (3) resulta:

2y-x=1

...(6)

Con la ecuación (2)formamos nuestro s¡stema:

x+2Y =7 (4)

-\+2y=1

= x=3;y=2 Nos piden:

72

I Lexjrr,át¡E

5..

2! ; entonces su valor es:

x=3

y2

FrobLemas nesueltos D (x+1)(y+1)=72

!)

Resuelve: (x (y

+ 1Xz + + l)(z +

12 1) = 54 1)

(1)

x+Y+z=2

...(2)

=

-z=2 x+2y-z=-3

2x-2y

...(3)

e indica la suma de los cuadrados de los valores de x.

lndica:xyz

Resolución:

R¿solu¿ión:

oe(1)y(3)tenemos:

# =#

...tol

Dels¡stema, sumamos (1) y (2):

3x-y=4

Multipl¡camos (4) por (2):

(2)

lx + 1) ',.

(x+t)(z+t)ffi=ff (x+l)2 .

12

T-

-T=1

x:

5

t4

Reemplazando estos valores en (1), tenemos: z = 2 Nos piden: xf¿ = (1X-1X2) =

B

,",

-2

Dado e¡ s¡stema de ecuaciones:

x+4y=12 5x+3y=26 Calcula: (x + y)2

10 {x

20

(F_F )='(+)

Reemplazamos

/f

=

6

Resolución:

,ly

T

2

o

10

_5

,tx

3

14

4 3

3

0bservamos que:

(+)

^=llil=

Resuelve elsistema y halla:y

x+y +22=21 ...(11 x+2y+z=26...12r, b,+y +z=21 ...(3\

-

3

'=lliil =

*=-i} ,={r=n l\s - lt

3 en (1):

- {i =2-x=4 ..

-1?

-68;

^y

=

ll lil=

*

Luego:

I

y= ay As

cS = «4; 2))

xy=(aXg) =36

P¡den: (x

f)

o:

3(1)-y=4=y=-1

'\¿)

)=,(i)

5 _¿=3

11x =11

Reemplazamos en

+ (-5¡2 = 34

32

Resolución:

53

...(P)

x =1

..\"

-if421

2

(3):

4(o)-(p) +

=lO

e ind¡ca xl,:

Íl-z

...(a)

Luego:

Suma de cuadrados de

D\.*'r.rr:tma

-

x-4y=5

x+1=i4=x+1=4 v x+1=-4 x=-5 x=3 v .

Resuelve elsiguiente sistema:

p

+ y)2 = (4 + 2)2 = 36

si et sistema:

2x+3y=¡41 4x+5y=6 tiene soluciones positivas, indica los valores de m t

Resolución: Sumamos las ecuaciones:

4x+4y+42=68 x+Y+z=17 Reemplazamos en la segunda ecuación

x+l+z+l=2$ 17+Y=26+Y=9 Nos piden:

y-3=9-3=6

Resolu¿ión:

2x+3y=¡¡11 4x+5y=6

.(1) .\2)

La ecuación ('1) por 2:

4x+6y=2m+2ll/

r

4x+5y=6 lrU Y=2n-4

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD

3

I 73

Reemplazamos y = 2m

2¡+3(2m-4)=m+'l 2x+6m-12 =m+1

-

4 en ('l):

Sumando (1), (2) y (3) se tiene:

(x+y+z¡2=36

2x=-5m+13+x= Comox

>

0

-5m + 13

2

-5m +

13

A y > 0, entonces:

-^ 'u

x+Y+z=6 V x+y+z=-6

2m-4>0

..(x+y+z)máx =6

@

m>2

-

x)

x+Y=2\

-5m+13>0

3x(x+y¡ =

13>5m

E>, 5

216

Resolución:

..2<m<195

I

Resuelve el sistema y da como respuesta: (y

Dels¡stema:

x+Y=2t 3'(x+y¡ =

Halla x en el sistema:

y+3x=a x-32=-2a 3y+z=-a

(1)

216

\21

Reemplazamos(1) en (2):

3'

.2'--216

6' -- 216 = 63 Pormmparación:x=3

Resolución: De la primera ecuación: y = a

-

De la seounda ecuació n: z

x

=

Reemplazamos x

3x

= 3en

(1)

3+y=!3=y=5 .'.y-x=5-3=2

lza J

Reemplazamos eslos valores en la tercera ecuación

3la-3x)+ x +-2a 3

--,

9a-27x+x+2a=-3a 11a-26x=-3a

_,_7a 26 -^ 13

y_14a ''

f,)

Ha a el menor valor de x + y, luego de resolver el sistema:

E)

Juan y Pedro pueden pintar un auditorio en 5 días, Juan y Carlos lo pueden hacer en 6 días, y Pedro y Carlos lo puede hacer en 5 dias. ¿En cuánto tiempo Pedro puede pintar elauditorio?

Resolución: Se denota como

J: el número de dias en que Juan p¡nta el aud¡torio.

af+sxy-lql=o

P: el número de días en que Pedro pinta el auditodo.

'tzf -xy -72=o

C: el número de dias en que Carlos pinta el auditorio.

Resolu¿ión:

Delenunciado:

Sumamos las ecuaciones: 2x2

+

4xy

+

2f

1.1 JP5 111 -e-

=12

(x+Y)r=6r

x+y=6 v x+y=-6 ..(x+y)mín =-6

!)

J

'1

1

6

P-1C-5 1

(1)

(2)

...(3)

Resuelve: -

x(y+z\+z¿=14

y(z+x)+l=9

Sumamos las ecuaciones: (1) + (2) + (3)

z(x+y)+f=13

1.,111 17,1 JCP60P60660

lndica el máximo valor de x + y + z.

1

Resolución:

6

Utilizamos la propiedad d¡stribut¡va en cada ecuación ...(1)

Y+X

=14 yz+yx+x'=9 zt + zy + y'= 13 ry +

74 I Lexirnáüc

5.'

...(21

...(3)

_o

60 7

P

I 47

17 1

7

I

ecu^cÍoNÉg 0e geeuNoo oeAoo

PráNfEO Oe aCUACÍONe9 (D ECUACIÓN Se denomina de esta manera a aquella igualdad que se obüene al reemplazar por cero a cuadrática.

ax2+bx+c=y

Función cuadrática:

lf

ax2+bx+c=0

ax2+bx+c=0

Ecuación cuadrática:

Recu€rda

de una función

',

a+0

a. co€f ciente principal

at':

PROPIEDADES DE LAS RAíCES (TEOREMA DE VIÉTE)

flJ

I

Asum¡endo que xj y x2 son raíces de la eqJación o:adrática: ax2 + bx + c = 0; a ellas las siguientes propiedades: Suma de raices (S) = xr + xz =

Producto de raices (P)

-*

=r.,.xz=

oiferencia de raíces (D) = xr

-

xz

=

0, se puede establecer con

Raices simétricas (opuestas)

t

Raíces recíprocas

=

=

x1

término cuadrático bx: térñino l¡n6al c: térm¡no indep€nd¡ente x: incógnita

4

+ x2 = 0

x, . x, ='1

/a

Observ¿ción

a

La naturaleza de los

se

Ejemplo: De la siguiente ecuac¡ón determina el valor de k para que una ra¡z sea dos veces más que la otra:

raícos

determina análizándo el

-

discriminente

= b2 4ac de la ecuación de^segundo gGdo:

3x2-24x+8k-4=O

.

Resolución:

.

Reemplazando (2)en

De la suma de raíces obtenemos

t-24\

X1

*X2=

x1

+x2=8

.

Ra¡ces ¡mag¡narias y coñjugadas:

¿

...(1)

+

Por dato del problema:

\

('l )

3x2+xr=g

-:_________:

Raíces reales y dist¡ntas

^2xi =6

A<0

Del producto de raices:

.

,r.,2=E#

= 2x2+ x2

Ra¡ces reales e iguálos (ralz real doble):

¡=o-x.=x.=! ''ze

(2)

xr = 3xz

-

8k-4 o..=--3_

= k=5

@ ProÉ.rdado8 adidorlal68

.

Dadas las ecuaciones cuadráticas:

px2+qx+r=o

af+bx+c=0 i a+0

Por la identidad de Legendre se obtione uña relac¡ón entre las ralces:

;p+0

1x,

Si t¡enen las mismas soluc¡ones, se cumple

A) Son equivalentes, luego:

.

a_b_c pql

+ x2f

- \x1-

4f

= 4x.,x2

Del mismo modo con un biñomio al cuadrado;

xl+*2=14+x2f - u,¡2

. B) Tienen una raíz común: teorema de Bezout

El valor de la raiz común se determina asi:

(cp

-

ar)2

= (aq - bp)(br- cq)

ar-cp

También coñ un binom¡o al

cuboi

xf+ xl = (x1 + x2)¡ -3(xl + x2)x1 x2

bp-aq

ÁLGEBRA - TEoRie u¡¡roeo s

! 75

Ejemplo:

a2-b2=7(a-b) = (a+b)(a-b)=7(a-b)

Sean las ecuaciones equ¡valentes ¡a2

+

b2¡x2

¡ab

+

1)x

+7=0

De(2):

Resolución:

b condi¡ih de coñpálitililad:

- arF

= (aq

- bpxb.-

cC)

a-b

BEZOUTIANA

B vabr de b

(bbúila

ab+1

a

I

(il)

7

Nos piden: (a

1

-

4b)6

= (6

-

4(1))6

=

26

= 64

T_____ir 12)

rafz connin so

as!-:

iI

De bs &.¡ac¡m€§:

af+bx+c=ol EtriErE

pf+q+r=ol t

ap*+box+cp=O

ab+1=7

De(l)y(ll); a=6^b=l

(1)

Se le conoce coíro:

.(t)

=ab=6

Por ser ecuac¡ones equivalentes: (cp

(1):

+ a+b=7

(a-b)x2+x+1=0;a+b Determina: (a - 4b)6

At6nción A

-

De

I

FORMACóN DE I.A EcUAcóN cUADRÁncAA PARTIR DE sus RAícEs

Si: x1 y x2 son raíces de una ecuación de segundo grado, entonces esta ecuación es de la x2

o

(I) apf+aqx+ar=o RestarÍb (ll) & (l): x(bp-aq)+(cp-ar)=0

-

(suma de raices)x + producto de raíces =

foma:

O

Ejemplos:

1

Dada la ecuac¡ón cuadrát¡ca ax2 + bx + c = O: Los coeficientes a, b y cforman una progresión aritmética, s¡

11

y

12

a+b+c=3(rr+h) b+7=t{2

ar-cp bp-ac

son las raíces de la ecuación y cumplen:

Halla: abc

Resolución: Si los mef¡c¡entes forman una progresión

Reemplazando en (1):

2\-c-7\=-1 +c -2c- 14- -1 +c

aritmética, se cumpl¡rá:

qf b=

=

c

2b = a +

...(1)

1^- la

13 ^ _T ,_

Luego, por propiedad, sabemos: b

11+12

a'

\r2 =

Por dato:

si:

b--7-c

a

De (1) tenemos:

3b

""

S¡fila ds ralces = S

Produaio de rá¡cea = P Obl€i€rnoa una €cuacitn

Reemplazando en (2):

_3b

a+b+c-3(rr+rz)

l

Obrewación

c a

.^

.

a

h

7-

b

- -9J

Luego, nos piden:

Del segundo dato:

".=

dle-

&átha rrlá8 simdiñcada:

l-Sr+P=o

b=-7-c 2

lJ J

.*-

(2t

(-,(-t)(-+)

-+

Forma una ecuación cuadrática de raíces y1; y2 sabiendo que:

x1

x1 +x 2+2 +x2+xlx2 +

1

"

x.+x. xtxz

Donde: x1 y x2 son raíces de la

ecuación:

3x2 6x+'15=0

Resolución:

.

De la ecuac¡ón cuadráüca:

3x2-6x+15=0

.

Según las propiedades de las raíces: ...(1)

\+x2=l x1x2 = 5 .

Lexirnáüc 5."

xt+x2+x1x2+1

xtx2

2 5

ecuación cuadrática:

...(21

\+b+2

\+x2

Con estas nuevas raíces formamos la nueva

f-Sy+P=0 ,41 r-év+E=o

Reemplazando (1) y (2)en las condiciones:

'' 76

Y2

)+,) 4 2+5+1 I

1

2

1Oy2-gy+2=O

E; et

PLANTEO DE ECUACIONES Sobre edades E

Miriarn e§ 7 ár1c menor su hermarE

emplo:

M¡riam es 7 años

rnerü que su llennana y h $rna de sus inverso§ de sus edades da 9/8. Determina ambss edades.

qle

M = tErñána - 7

Reduciendo la ecuación obtenemos:

Resolución: Denotamos por:

.

(9x-7)(x-8)=0 x=|lnocumnle) v x=8

x: edad de su hermana x 7: edad de Miriam.

-

(/)

.

- 7- 8-

Por dato del ejemplo:

Miriam = x

'Suma de inversas edades es 9/8'

Hermana=x=8años

119 ;- *-7 - I

7

=

'1

Suma da inwrsás de dos númoros:

Las edades de las hermanas serán:

t

año

-1 |'!'Nz

Sobre números consecutivos Ejemplo: Examon d6 admisión UNI: 99-l (Matemática)

enteos positivos y consecutivos, tales que entre sus cubos hay 720 enteros. Determina el mayor entero impar mmprendido entre dichos cubos Se tienen dos

Resolución:

.

.

Según elenunciado:

N3*

(N

+

3N2+3N+1=721 N(N + 1)= 15 x N=15

1)3

720 números

t

Reducimos términos semejantes:

Obeervacíón Represontácón de dos númems enloroa positivos y cons+.

dtivos:

16

NyN+1

Luego, sabemos:

(N+1)3-N3 _1_72n

El mayor número elevado alcubo será:

1

(N+t¡3=163=4996

Desanollamos la dilerenc¡a de cubos:

(N+'1

-

+ 1)2+ N(N+ 1)+ N2) =721 N2+2N+1+N2+N+N2=72'1

NX(N

l

Aten¿lón

Por lo tanto, el mayor entero ¡mpar comprendido entre dichos cubos será: 4095

Se

muestran

las

regiones triangular y reclangular según como indicá el enunoado: Triángulo

Sobre áreas

¡¡¡r,¿ = 2¡; Uase =

Ejemplo:

un tfiángulo tiene el doble de la altura de un rectángulo. La base deltfiángulo es los 3/2 de su altura. La base del rectángulo mide el triple de la base del triángulo. El área del triángulo es 864 m2 menos que el área del

Arca

=

(2rI34

|p,¡

= Sx

rectángulo. Determ¡na el área de cada figura. Resolución:

.

Elenunciado nos adv¡erte: Área de la región triangular

Área de la región cuadrangular

Area (2x).13x)

-

864m2

3x

Rectángulo: Altura = x; bas€ = 3(3x) = 9x

Area

= 19¡¡x¡ _ eo+

T l_

3x2=gf-86¿ 6f = 86a x2

-------------l

9x

-----------l

Area = (gxxx)

= ltA

(x+12Xx-12)=0=x+12=0 v x-12=0

\

x= -12 v x=12

(No cumple) Nos piden: Área de la región triangular =

3f

= 3(144) = 432

Área de la región cuadrangular = 9x2 = 9(144)

m2

= 1296

m2

ÁLGEBRA - TEoRiA UNIDAD

3

I 77

-

7 p

P"oblemas resueltos ffi

xatla la suma de los cuadrados de las raíces de la edac¡ón, sabiendo que sus raíces son recíprocas. (2k +

2)l

+ (a

-

4k)x + k

-

2

f)

Halla n si las raices son ¡ltuates:

(n+2)t'-6nx+9=0

=0

Resolución: S¡las raires son iguales:

Resolució¡u Pordato, sabemosquelas raíces son recíprocas, esdec¡r:xjx2 = Hallamos la suma de raíces: x1+ x2

=

1

4kl

Enton@s:

k-2

(x1

k-2=2k+2-k=-4 -(4 - 4t -4\\ \+x2=)-,4ii-

+

ED =4*,3*z1r¡

m

s=xr +xz=4

x2, halla el valor de m si:

.'.

x2

¡

5i

P= (2+5i)(2_5i)

-4x+29=0

Forma la ecuac¡ón de segundo grado de raíces:

xt=

-G

+

A

Efectuando y resolviendo

-?J'J n x,x, = I

3(

l3x1+ 2)-1 + (3x2+ 2)-1

2

I

3m

,

--t

^x2=-6-iZ

Resolución:

-?).0

\

2

I

s($)+o(-f)+n

En el dato:

\

+ x2= -12

m--3

Luego:

.x2= l-6 + AN-6 = ,_6f

-(2f

A

I

=36-2=34

f)

Si,nf - 1l*

o)x + (5A+ 2)= 0, sabiendo que Ia diferencia de raices es uno, halla A.

x2-(x,+xr¡x+x,xr=O La scuac¡ón de 2." grado es

..

f

+ 12x+ 34 =0

si hs ecuaciones:

(2m+1)f-(3m-l)x+2=0 ln + 2)i - (2n + l)x - I = 0 presentan ¡as m¡smas raíces, indica 2mn.

Resolución: Sean las raices: xl y x2 Dato: xj x2 = 1

-

Reareda: x,

-

x, =

+

Electuando, tenemos:

R¿solución:

5A2-2A-16=O

(2m

(54+8XA-2)=0

(A+8F-4(AX5A+2) =A

+n--95

+ 1)f

(n + 2)x2

Por aspa simple:

En el problema:

!)

- (3m - 1)x + 2 = 0 - (2n + l)x - 1 = O

Las ecuaciones son equivalentes, se cumple:

2m+1

v n=z

3m-1

-ri-

n+2 -dí-2n+1 m

En la ecuación: (m + 1)x'+ (2 - 8m)x + 2(m 1) = 0 Las raíces son simétricás. Halla elvalor de m.

-

)

De (l) y (lll):

De

2m+1=-2n-4 m+n=:j¿

3m-1=-4n-2 (cr)

Resolución: oato: laices s¡nÉtricás; luego

Luego:

xj+x2=0

b=2-8m=0 - z-em=o=

x1

78 I

+x2=

-!

=o + b=o

Lert¡rl,átic 5..

s¡

- 22 -2si2 = 29 Reemplazando en: x2 - Sx + P=O

f,)

0e la eqiac¡ón:

p

=2+5i+x2=2

Luego:

Resolución:

_2

= {_1;2}

forma la ecuación de segundo grado con coeficientes reales una de sus raices es: xr = 2 + 5i.

Raices: x1

-f,

+x,=

CS

p

= 0 de raices xj y (3x1 + 2)-1 + (3x2+z¡-1 =

x,

...

Resolucil¡nr

ff-z= xl+x?, = rl*rl=ff

_ ro - -(20) -6 3

(n-2Xn+1)=0 -n-2=0 V- n+1=0 n=2 V n=-1

+xr)2= xl+2x1x2+xl

(ff

Luego:

a

- ¡ -2=0 n t-2 n X+1 n2

2k+ 2

Sea: 3x2 +

=0

.9= O ^=(-6n)2-4(n+2) 36n2-36(n+2)=0 n2-(n+2)=O

-(4 -fr +T:

Producto de raíces:

f)

=^

Resolviendo

m=

f

=

f

(c¿)

y (p):

m=-9^ n= Nos piden: 2mn

121

13 = 2(-g) ( = -117 2

(ll)y (lll):

3m + 4n

=

_1

...(p)

rI I

I

iIE ÍTl

-

t:-

-

7

I

la

rI vld¿r rf!

I

I

(1) ECUACIONES DE PRIMER GRADO . SISTEMA DE ECUACIONES I

Aphiaaaiéa a 0a panta odoaiaist¡ativa Un

fabricante

produce

mensualmente 60 puertas,

t

\

luego las vende y gana el 40%. Sus costos fljos son de S/.2000.

aJ

TT

üA¡os paia a0 año asco0a¡ En un centro educat¡vo. se compraron 380 libros de

I

primaria y secundaria. Estos libros son de Matemática,

y

Física

Química, con un

costo total de S/. 10 400.

-¿

t-

T

7

7

El precio de cada libro es Física

s/. 20

Química

s/.

lratemálica

T

18

s/. 35

Además, se sabe que la cantidad de libros de Fisica y Quimica son 20 menos que la de los libros de Matemát¡ca.

E

PnecuHms

ff,

puerta si sus ¿Cuál es el costo de producción de una utilidades son de S/. 5200? Sea x el costo de una puerta, sabemos que las utilidades son ganancias netas. Util¡dad = lngreso total

-

Cosrg total

=

=

140%x.60 & m flertás

60x

+ 2000

-

)

coCo poducoon

= 140%x. 60

x: cantidad de libros de Matemática y: cant¡dad de libros de Física z: cantidad de libros de Química

y+z=x-20(dato)

venlá

5200

Sean:

x + y + z = 380 (cantidad total de 35x + 20y + '182 = 10 400 (prec¡o

140%(x)

Entonces: Utilidad

¿Cuántos libros de cada curso se compraron?

Planteamos las ecuaciones, según la cantidad de libros

frPs + variables

Precio de venta: x + 40%x

!f

liio

(60x+ 2000)

+

!f

x+ y+z =380

x 20

= =

x=200

Y+z=180+Y=180-z .. (lV)

En (ll):

35x + 20y 7000 + 20(180

= 24x

-

z)

+ +

10 600

x=300

182

10 400

182

10 400

-

-

¿A cuánto vend¡ó cada Puerta? Como gana el407o

=

...(lll)

Reemplazamos (lll) en (l).

5200=84x-60x-2000 7200

libros) ... (l) totaD ... (0

= = 22 =

z=

10

400

100

En (lV):

Precioventa=300+40%(300) =

S¿ 420

+ y=180-100=80 Por lo tanto: x

= 200,

y=80, z-100

ÁLGEBRA - TEoRiA UNtDAD

3

79

n

/

Flpnendlzales esperodos

.

I J

s fNÉcuAcIoNeg

7

.

a

Anal¡za el proced¡miento de resoluc¡ón de una inecuación. Plantea matemát¡camente enunc¡ados ut¡lizando inecuaciones. Apl¡ca la definición de las ecuac¡ones e inecuaciones y las representa matemáticamente.

Oes¡gualdad Es una relación de orden que se establece entre dos números reales que l¡enen d¡ferente valor, es decir: a;

1:

-il

belB/a+b = a>b v a
'F'

INECUACIÓN

es una expresión matemática ds variable x.

Dependiendo de .F" las inecuaciones pueden s€rl

Siendo en forma general:

A(x; y;2...)

!

(x) 5x3

B(x; y;2...)

;{a; bt

15Ñ

c}clqa+0

Para dar so¡uc¡ón este tipo de inecuaciones se deberá analizar el -a discriminante A = br - 4ac. mnsiderando para ello su coef¡ciente principal

l.

Primer caso.

0

lnecuación

+7
Polinoñial

+10.0

x+7

INECUACIÓN CUADRÁTICA

al+bx +c?0

-*

2x

DondeA; B son expresiones matemát¡c¿s.

positivo.

Representa gráficamente las d¡stintas funciones estudiadas.

F(x) ¿ o

determinado conjunto de valores, y s¡ no se satisface para ningún valor se dice que la inecuación es incompat¡ble.

ü

uná

¡necuación es:

Es aquella relación de orden que se establece entre dos expresiones matemát¡cas de por lo menos una variable y que se satisface para un

Forma general

¡dentifica el dominio y rango en una func¡ón, y analiza su gráfica.

La for¡á gene.al d€

+9x > 0

Ftá@io ana lrracional

log2x+7<10

Logar¡lmica

1d-10000>o

Exponencial

tánx+1>0

Trigonor¡étrica

Si:¡=b2-4ac=0

Aquí, el polinomio

al

+ bx + c es un trinomio cuadrado perfecto (tcp).

Ejemplos:

. .

Comprende la defin¡c¡ón formal del límite.

Sea: ax2

Emplea la defn¡ción de der¡vada para determinar los valores máximos y min¡mos de una función. ldentifica los elementos de una progresión y analiza las relaciones dadas.

Aplica los criterios de razón en la resoluc¡ón de sucesiones y las fórmulas respecto a series.

80

I Lexi¡náxic 5.o

c

Factorizando: x2

. . . .

Determina el lim¡te de una función y demuestra la un¡c¡dad. Anal¡za las d¡st¡ntas notac¡ones sobre derivadas, además interpreta los teoremas estudiados.

+ bx +

ll.

-

=

f - iBx + 81, donde a = (-1SF - 4(1X81) = 0

18x + 81

= (x

-

lnte

9)2, tuego:

Si(x-9)2>0 + CS=rR S¡(x-9)2<0 = CS={9} Si (x-g)2>0 + CS=rR-(9) Si(x-9)2
conjunto de valores éntre dos límit€s, iñf€rjor y superior

Lá roluo¡ón de una ¡ngqJac¡ón es aqusl valor (o valor€s)

d6 la ¡ncógnih (o ¡r¡cógnitás) quo verificañ Ia ¡necuac!5n.

Asl,en3x+l>x+2una

Segundo caso. S¡:

= b2 - 4ac > 0 ^ Aquí, el polinomio ax2 + bx + c es factorizable

soluc¡ón en lorma part¡cular

en lR. En este caso se util¡zará el criterio de los puntos crít¡c¡s.

es x=4,pues:

3l4l+1>4+2 13 >

Ejemplos:

l.

- Ar- lix+ /6 >o

Resolución:

t = (/T + Ji)2 -t\la x2 - (11+ ll)x+ /6 , x

-'\

+

>o

2.

f-5x-6
f-sx-6.0

x-

-5

x

AJ>_o

(CS) agrupa todas las soluciones paliculaGs (si existen) de una inecuación.

Determina el conjunto so¡ución de:

^=(-5F-4(1X-6)

o

--- -'/1

-->'.-'--"-

' (x-./i)$-

6 (verdadero)

El conjunto solución

Determina el conjunto solución de: x2

alos

Es aquel subcoijunto de los números reales que defne un

,'z

>0

--6 \

+'l

(x-O)(x+'l)<0 +

Vt ^lZ CS = (-co; .,/Zl u 16; + co)

+

+

-t

b

cS = (-1r 6)

Er

a=b2-4ac<0

lll.Tercor ca6o. Si:

Aqu¡ emplearemos el teorema del hinom¡o pos¡t¡vo.

Recue¡da

.

Ejemplo:

.

3f +5x+10>0; meficjenle principal:a =3>0 discriminante¡ =52-4(3X10)
, 3l-2x+7>O . AC+x+1020 . f+x+4<0 .

2x2

+

a=3>0 A A = (-2)'z a=2>o

^

a=1>0

3l+5x+10>0 vxelR=CS=lR

[I

4(3X7) <

0 = CS=rR

<0

= cs=¡R

^=12-4(1)(4)

^

al+bx+c=

=

32

-4(2X15) <

+

sl:b2-4sc<0^ a>o ax2+bx+c>0

= cs=z

;Yx€n

O

Pero:2x2+3x+1550 = CS=o

r:

¡'?-lacl * ¿41 =u ¡'?4a, )

"[¡, l\

12-4(1X4)
^ ^= Pero:x2+x+4
3x+15s 0 a = 2 > 0A

T6or6m8 d€¡ kinomlo po8¡tivo

@

INECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR

Una inecuac¡ón pol¡nomialde grado superior en una variable presenta la sigu¡ente forma: a¡xn +

alxn-l + a2xn-2 +... + an, x+ an?0

Donde los coef¡c¡entes del polinom¡o son números reales con a0

+

O, n

€ z+.

Para determinar el mnjunto solución de estetipo de ¡necuaciones emplearemos elmétodo de los puntos clit¡cos.

Si:

x1; x2; x3; ...; xn son las raices reales del polinomio, entonces:

ao(x

-

xl)(x

-

x2xx

-

x,) ... (x

Donde a0 debe ser pos¡tivo, si es negaüvo se le mulüpl¡ca por crec¡ente, luego se obtiene elesquema gráfim:

-

xn)

!

l.

0

(-1). §e ordena en la recta numérica en lorma

xc ... \,_¿

4,

MP>MA¿MG>MH

I 4

a1

Si la desigualdad tiene los sentidos:

Mayor

>

0

igual

>

0

Mayor

Elegiremos las zonas (+)

Menor

<

0

igual

<

0

Menor

Elegiremos las zonas

(-)

MA_ MG

=

Ejemplos:

1

Determina el conjunto solución

de: -x3

+ 4x

I

"via4;;*4 a1

a2

añ

a3

x(x+2)(x-2)>0

2

seÉ

p

ad
n*

An

€

N

p

+

El mnjunto solución

!

por lo que

lll,Slr

x(f-4) rel="nofollow">o

-20

-1,

-

f-4xto

0]

n

. Si

Como el coeficiente principal del polinomio es negativo, multiplicamos a ambos miembros por camb¡a de sentido la desigualdad; luego factorizamos.

[-2;

+.,, +

+

q+s2+43+..+qr

_L+ 0

Resolución:

CS =

an €lR

Oonde: MP: media ponderada MA: media artmét¡ca MGi med¡a goométdca MHi media armóñica

+

xr Xz

@ Oados: a1t a2ta3; Ss cumpl6:

Irll¿l::l| p lVConsid6ra tambiéni 0< ab+ac+bc
b2+l

u [2; + co)

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD 4

I 81

2

(x

RecuerAa

.

Va;

b€lR^melR,secumple

va; b; c e ¡B se establece la tránsitividad:

va; bi c y d €

5)(x + 3)7(x

-

9)6


-

2)8(x

-

sxx + 3)6(x + 3)(x

-

9)o < 0

-3

lR, se verificái

La desigualdad queda mmo: (x

6 rel="nofollow">d

c;5+

-

Cancelando los factores de exponente par, tendríamos x =2:x = y x = g que son valores que anulan a sus factores respect¡vos y s¡ reemplazamos en la inecuación original obtendriamos para cada caso el absurdo (0 > 0); esto qu¡ere decir que x = 2; x = -3 y x = 9 no se tiene que considerar en el conjunto solución.

a>b á+

2)8(x

La des¡gualdad se puede escribir mmo:

(x

S¡:a>bAb>c=a>c

.

-

Resolución:

a>béam
.

Determina elconjunto solución de:

r

5)(x + 3) < 0

d-

+

+

-3

(-3; 5)

Elconjunto solución será: CS =

^

-

5

(2)

OJ INECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas ineojac¡ones donde por lo menos una ¡ncognita se encuentra en el denom¡nador Adopta la forma general

En caso que las Gíces

sean reales, se lendrá que

siñpmcár los faclores de s¡gnos conoc¡dos, para ello emplearemos teoaemás:

Teorcm.

los

s¡guiontes

l:

(x-a)2i*1

Donde: P(x) y Q(x) son polinomios no nulos. Para la solucióni al factorizarse Q(x), sus puntos crítims se cons¡derarán en sus ¡ntervalos respect¡vos'abiertos"

Ejemplos:

¿o.)(x a)>o

n€IN;x;a€¡E

Enunciado del primer examen parcial CEPREUNI (mncurso UNI 2002:l):

1.

Teorema 2: (x-a)2"*1

ás=,

ño

Determ¡na el dominio de la func¡ón r1x¡


=

/sx-?

+

I

defin¡da por:

x-4

77=

Resolución:

.

neN; x;a€n Asi: (x-3)7>O-x-3>o (x+10)11
El dominio de la func¡ón lo determ¡nan los valores admisibles de la variable x.

3x-x2>o x(3-x)>0 x(x-3)<0 .

¡ i-qro ^ ^

(x+2Xx-2) >0 (x+2Xx-2) >0

En la recta numérica real:

I

-202

.

Eldominio de la func¡ón

será:

3

Domf(x)=(2;31

/

rcil

E¡ mélodo práctico para solucionar una iñecuación fraccjonadá es el de los puntos crft¡cos.

82 I Lexim,áAE 5.o

Enunciado delexamen f¡nal CEPREUNI (concurso UNI .1999-1)

2.

Elvalor márimo de la func¡ón: f(x)

=

a2-x2 b2

+x2

en los reales, es

t @

Resolución:

.

E!il

Sumando y restando'b2'en el numeradorde la fracción: r(x)

=

a2+h2- f+b2 b2

x2>o

-

x2>o ;vx€IR

l\¡ult¡pl¡camos

por

a2

+

b2, 1a2+ b2

az¡>o-o<1<1 AD .

1

clb
b2

.

-1

4

-

a2+b2 q x2+b2

-

c
+b2

a2

<á+m

b2

a todos los términos:

Si a y b tienen el

mismo

signo:

<

a2

+b2

- s

t:L

a2

+b2

_'t _1 ".r.U-fi xa

b2

.

(1)

b€lR*ynez*,se

va;

cuñplei

Establecemos el intervalo final:

<

1

aa2 -b2

f(x)

a rel="nofollow">b-a2n>b2n

.

máx

mtn

.

bycelRAm€n+,se

va;

cumple:

. Sumando

byc€lBAmÉlP-,se

va;

cumple:

> o¡

'1

.

Si a y b son pos¡tivos

x2+b2>b2

<1 - i +¡2

0

.

b'+x'

lnvirtiendo los m¡embros de la des¡gualdad, estos también serán positivos: 0

.

-b2+a2

+x2

... (1)

.

. Formamos f(x). . Como se sabe que:x2 > 0t vx€1B. .

1

va;

b€IE yneZ';

se

cumple:

a>beah
Elvalor máximo de la función es: f(x)

a2

.

b2

Va;b E IR^ n €Z_,

§e

oJmfre:

a>béa2n+1 > b2n+1

(D INECUACIONES IRRACIONALES

a>b

.

Es aquella desigualdad en Ia que en uno de sus m¡embros destaca una expres¡ón ¡nacional

Ejemplos:

{*-r-z.a

, 3J2-x +5Jx-1 -'Jx'-g > 0

^

Si:

B>0

n2 <

.

Cr¡ter¡os de solución

-2!jli/á > 2oivb

a--,6

sA<

JB

S¡: B>0

a2>B-A<-/B vA> ,E

A) Cuando lo3 fnd¡ces de los tadicales son ¡mpaf€s En este caso no es necesario realizar resficciones a la incógnila

@

Ejemplo:

lx-ll"Jx-5

Determina elconjunto soluc¡ón de:

x+9

Resolución:

.

Elevando al cubo miembro a m¡embro. resulta:

.

Esta des¡gualdad es equivalente a escrib¡r:

(x-7)(x-5)

-

x+9

Aténción

"

Considera para el eiemplo:

. (x

7)3 = (x

-

7)2(x

l'l2 u +

57

.

.

-

7)

se o¡-re¿e

's,nidificar

{x + 9)3 = (x + 9)2(x + 9)

¿0 x+-S Los valores admisibles de la variable x son

a§ = (-$; §l u [7; +

o). ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD 4

I

83

B) Cuando los Indices de los rad¡cales son parss

reil

En este caso

síes necesario realizar las restricciones a la incogn¡ta.

Sigamos los siguientes pasos:

El conlunto dr vllorar .dmlrlbl.! (CVA) eB el conjunto de valol68 leá1o9. quo hac€n posiblB que la

d€s¡gualdsd 6Bté doñnida €n el conrunlo

n.

la existencia (CVA)de la expresión irrac¡onal.

lll.

la inecuación en otra equivalente eliminando los rad¡cales.

El conjunto solución será la intersección de los dos pasos anteriores.

Ejemplo:

El conlu¡to loluclón (CS)

d6 la lnocuaclón

lrrác¡ona¡,

egtá conten¡do 9n el conjunlo d€ valo.es admisiblss (cvA). CS

l. Garantizar

ll. Transformar

c CVA

Detem¡na el conjunlo soluc¡On ¿e:

/2x-Ji - !t'

Resolución:

.

Garantizamos elconiunto de valores

.

Cons¡derando los

adm¡sibles:

casos:

CVA: 2x+11

>O-x>-f

!t'

L"'c¿so:

- /ñ+7¡

>0

x>

-3

x+3

>

2

+

.

+

...{ft

+

Elevamos al cuadrado miembro a miembro

zx *.r.t

, (**r3f n *, -g

(x-7Xx+5)<0 A x>-3 I 7

(A):x € (-3; 7) Rceqetda CuEndo 8e pro3cnta de 68ta menera la deslgualdÉd:

.

Considerando el segundo caso

2." caso:

,añli,!á3 Se ll6n9n qus hacor

x+3

2." caso

x+3

2 2

>

o (A)

<

0

...

.

Resulta una desigualdad que es conecta:

x<-3 x<-3

... (B)

Par¿ rasoiÉllos, haz A u 8i par6 detormlhar 6l conjuñto solución (CS) tondrás qu6

r€al¡zar

la lntsBocción

A 2x+'11 >0

^

x>-1112

ds

(1) con (A u B)l

(l)ñ

11

1

(A u B)

(B): x

Dondai

('l)c!

(CVA)2x +

<0 = x<-3

Y,r"¿_ +-

las

glgul6nt6B EuporlcloneEl '1.'r caso:

xi3

11

e _11 2

>0

.

Realizamos la operación de conjuntos:

1."

Au

B

1."AuB y 2.'CVAn(AuB)

-11

1

-3

2." (1) o (A u B): T

CVA

84 I

Lexi¡náüc 5-'

-11 2

-37

cs=xe[-];z) -{-s}

-3

I Desigualdades e ¡necuaciones exponenclales En este tipo de inecuaciones la incognita se encuentra en el exponente; se presentan mmo:

l.

Si la bas6 (8) ss mayor quo la unidad: B >

>

BM(x)

1

BN(x)

=

M(x)=N(x)

t_-_t

Recqer¿á

'El sentido no cambia'

.

Exponentofraccionado

Ejemplo:

..rÍ

Determ¡na el mnjunto soluc¡ón de la siguiente inecuación:

x+

1¡@lt

. x-t¡\pl5

.

a

El teorsma del tnnomio positivo

vx€¡B y a;btc

Resoluc¡ón:

.

La desigualdad se puede escribir como:

r+3

af+bx+c>octa>o^

2t+3

4x+1 < 16x-1

.

a(}+3)

2(x+3)

observamos que B = 2; (2

>

'1),

.

4

a

(2x + 3)

x1

0perando adecuadamente, obtenemos:

>

G;rfr:T

o

+

+

-1

ll.

Oiv¡s¡ón de bases igual€s:

a^

entonces:

x+1

.

^
Produclo de bases iguahs.

at,an,aP=aGn'P

< 2 \-1

x+1

2(x + 3)

.

.

sg suman los expon6nt6s:

Expresando 4 y 16 en base 2:

2

.

eD

1

CS =

Elconjunto solución será:

Si la base (B) es menor que

18

(-o; -1)

unidad, pero mayor qus coro: 0 < B < BM(x)= Bn(,)

3

u

(1;+o)

1

M(x)= N(x)

t_t

"Cambia el sentido'

Ejemplos: '1.

Examen de adm¡sión UNI 20021 (Matemática)

Sea la inecuación

a2(x

1)a5

a5'

-

x

(aa-1I

-

^4-+2

con0
Entonces, el menor valor que satisface la ¡necuación es:

Resolución:

.

Reduc¡endo cada miembro de la desigualdad

a2x-2+5

x

5t

a3-

< aU2-\-

4x

<

a2x2-

4x-

5\

2

2

ÁLGEBRA - TEoRiA UNTDAD 4

I 85

.

Como

0
(dato), entonces:

3-4x rel="nofollow">2x2

-5x-2

2x2-x-5<0

.

tra

(--'.flx,-'-fl).0

Factorizando el trinom¡o

Los valores aproximados de

*fl t-f

I

= r,es

t-la1

-'1+J41

4

=t,ss

4 1,85

.

EI conjunto solución es

t

*,[u .t + .[u 4

.

4

1 ,[41

Luego, el menor valor entero que sat¡sface la inecuación es:

44

.{u +t

-1,35<x<1,85

At¿n¿ión

.

De acuedo a Ia teor¡a

de

2. Examen de admis¡ón UNI

radicales dobles:

Resuetve:

,13+2¿2 = ¿2 +1

l¡ 2+1 .13

1l-

2.'l

212 = 12

2+1

(Matemát¡ca)

(/IIJT)'* (/¡-E)'

< ¡¿

Resolución: 1

-1= J2+1

Expresamos

ld =24

3+2/1 I +(,/3-2J2\ <M

,nego:

2.'l

La expresktn

/m'-6Jm+1so por fóñhula g6neral:

o)'?{n= -{- 6}1 (-211) lñ -3x2{1 =Jm'-6/m+lsO !-...-----.VJ

(/ñ'-

200'll

(s +

zá»(Jm

+(r xr

)

+ 1 .u

Transformamos los radicales dobles a simples:

t{i

+

1f

Haciendo elcamb¡o de variable:

(1

+

r'i =n

Entonces la nueva desigualdad será:

,*a<34 m

Dando la forma de un cuadrado pelecto:

m+2+a<36 m

(A

+ 1)'

//, *-L\'<¡o

-

(s-zá»so

/m--6/m'+1<0

(li

Factorizamos la inecuación:

/m

Reponemos la var¡able:

ComoB>

l

mn una base mmún:

se cumple:

/7

+

'1

86

Leximáttc 5.o

El conjunto solución es:

+2./Z)) so

(12 + 1f' < (./2 +'t)Z < (/2 + 1f -2< L <2 2

-4lxl4 .

t3

g-zl7
está comprendido en el ¡ntervalo:

Los nuevos extrcmos,

-Q -zlZ)(/n -

CS

= (_a; a)

7

p

trr-oblemas nesueltos

7

Resuerve:,";;li :

§

Resolución:

ü,;'f =,

Recordando:

..., xp e IR+ A n € IN

x1; x2, x3;

Resolución:

(2x+3x5-xX3/;;5) (5,/7 - x\t[l x 4l

En el problema:

Analizando:

x;y;z e n+;

x-6>0=x>6

+4[" +ao
=va.={xi+¡4f

^

o=2Ap=3

(Sr) Se cumple:

Luego:

1

x2+

(2x+3X5-x)(x+3) rel="nofollow">0 - x) (2x+3)(x-5)(x+3)(x-7)> Puntos

-|

critios: -3;

3

x

e (-co;

Luego S1

-31 u

n

u

(7;+ó)

!)

Al cubo:

Piden:

(x3+f+23)r¡ .

= rur/?

3

Resuelve:

l6a"-

3

<

87,

+ 1.

Halla la suma de los valores enteros negaüvos que la satisfacen.

Resolución:

567

z

161x

,"x>7

D

=x3+v3+z3r$¡f!

...(S,

52:

-3

\3/ =\-----/ 3v 5

3 5 2

)'

^ l8tá-/x'+y'+z'\¡

8lT-= x3+f+23

57

z

(

)'=

--L

;5y7

+

-3

1

x"+y"+z' --------

Deldato: 0

+

-3

+zZ

-3

y'14\

Six; y; z e IB.*, además,

si:

que adquiere ¡,

x3

+

y3

+

z3

<

<

-q <

g{7I+1)

Luego:

16x-12<21x+3

1)

2q1x+

-15S5x=x2-3

Recueda:

8'1, halla el máximo valor

Si:axsayia>1

),=x+Y+z

Nos p¡den la suma de valores negativos

=x
e

x2; ...;xn

IR+ rt n

xl+xl+...+xl

/X1 t-l \pt

p En el problema: x; y; z

=

f

p

e lN

*X2+...+\

e D.* n

n

>

x3

+ y3 +

, 3-

z3

+

/IIT

<

/5i¡,

entonces el conjunto M es:

IE

x+1¿0 A x2-'l

x-1>0 x>1 ^ Al intersectar tenemos: x > 1 La inecuac¡ón dadaes:

x3+f+23

3x>0

x>0 ...(1)

/x+ I + I x-'t <./Ñ

(il)

3

De (l)

[l = {x e n / /IIT

Por ex¡stencia en

.ru

Divid¡mos entre 3:

81

u es un on¡unto definido por:

Resolución

=3

*vJ*,'.1qtr¡'

Además: 81

\n

Si

Elevando al cuadrado:

(ll):

x*z{717 .3*

^

2?.(r+t¿l x+y+z<9 +

Ql ¡'máÍ =

I

x2

-

41x2-1¡
tf <¡f

ll3x-z(ix+2)


(2)

lntersectando (1) y (2)

I

f)

en-, x"+y"+2" S¡ x; y; z

tal que

I +f

1;

+ z2 = 8, halla el mín¡mo valor de:

2

1

2

,J5

z.'ll

3

3

ÁLGEBRA - TEoRíA UNtDAD 4

I 87

FUNCfONe9

o

DEFINICIÓN Una función (f) es un conjunto de pares ordenados donde se cumple S¡: (a;

@

b)€f^(a;c)€f + b=c

Ejemplo:

Una rolaclón es un subconjunto d6 par69 ordenados d€ un doteminado producto car-

ldentifica cuáles son funciones ((7; 5)i (3;4); (2; 1))

F

Resolución:

.

-

G = {(a; 2); (6; a)r (a; 2), (3; 0} H = {(2r 1); (2; 3): (3r 0)}

to8¡ano.

I

observamos que F y G son funciones, H no lo es, ya que a la misma primera componente 2 le corresponden diferentes valores.

J

Dominio Es elconjunto que agrupa a todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función

@

Notación: Dom(0; Df

Rango Es el mnjunto que agrupa a todas las segundas componentes de los pares ordenados de la función

Notación: Ran(f); Rf

f

I

Obgervación

\&r n¡ll&o ó l,r

.t

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Una función (0 es de variable reals¡ su dom¡n¡o y rango están inclu¡dos en el mnjunto de los números reales.

finción

Dom(0slR^Ran(f) slR

Es €l valor que ücma la funci¡5n f(x) al ovaluar r € Dom(0 so sl¡

reola d€ conoEpondonc¡a.

,

.

REGLA DE CORRESPONDENCIA Es la relación que existe entre los elementos del dominio y el rango de una función.

y = f(x) se lee: y es función de

x

Donde: x es una variable independiente

y es la variable dependiente Ejemplo: Sea

f:A-

B una función definida por el diagrama:

f Se observa que:

B

(1)=1 t(21=4

1

2

.4

Notamos que

si

x

€

(3)

=e

Dom(|

3 4

=

f queda defin¡da:

=

(4)=16

f(x)*= x2

Iegla de conespondencia

.16

f=((x;y)€lBxlR/x€Dom(f)

^

y = f(x»

Ejemplo: Determ¡na eldominio y rango de f{x)

=

si x

f,

e t9: 19)

Resolución:

Eldominio está ¡ndicado: Dom(x) = [9; 19) Para hallar el rango formamos la regla de correspondencia y =

9sx<'19 27

s3x <57

25<3x-2<55

.- 3x-2 -". "=5.,, .'. 88

I lexirnáüc

5.'

Ran(0 = 15; 11)

S#

a partir del dominio:

I .J

GRÁFICAS DE FUNCIONES

Ejemplos:

1. Grafica

=i

flx)

2.

la func¡ón:

-

2x +

2;x el1:41

Graf¡ca la función:

q)=üú

Resolución:

l(x) = x2 -2x+2 fabulando se tiene:

Grálcamor{g:

Resolución: Tabulando se tiene

x

1

2

3

4

x

f(x)

1

2

5

10

r(x)

3

-1

-2 1

-1

0

1t2

1

2

3

-1

-1

-1t3

0

113

112

+ Es

v

tunción

No es tunción

Para qu€ una géfca s€a

funclón.

la

r6cta ve¡l¡cal

18

dobe cortar en un punto.

f(x) se obtiene ubicando uniendo los puntos tabulados:

De6pl6zamiento de gráñca9:

A) Horizontal

i

s6a 16 tunc.ü5nr (x) - (x a), S6 desplazá en el eje x:

-3

5

2 3x

-a)

f{x

2 1

1234

0

.- FUNCIONES ELEMENTALES

B) V6rt¡c¿l

Son aquellas funciones especiales, las cuales nos servirán de apoyo para poder resolver funciones complicadas.

Sea la tundónr

Las más importantes son:

se

(x) = (x) t dsplaza en el eje yl v

1. Función llneal (pr¡mer grado) Es la func¡ón determinada por la s¡gu¡ente

cgla de conespondencia: f(x)

=

¡¡ .. ¡

Donde: m + 0 mt belR

a,

(x)+a r(x)

+

Dom(f)= Ran(f) =

R R

m = tane: p€nd¡ente de Ia recta b: intercepto con el eje y

f(x)

-a

C) Horizontal - vertical

f(x+e)+ b Ejemplo: Grafica la función: f(x)

v

Su gráfca es

r(x)

= -2x + 4

Resolución r(x)

x

=

b

(0;

f(x)=-2x+4

l m

b

(2;0)

Se sabe que su gráfica será una recta, para ello solo se necesitan los interceptos con los ejes, evaluamos: f(0) y f(x) = 0

.

,

=-2(0)+a=a 0=-2x+4 - x=2

f(0)

X

0

2

r(x)

4

0

Dom(0=

B

Ran(0 =

R

'a

f(x

- a)-

b

y b son núméros positivos

Ten en cuenta lo s¡gu¡ente:

. .

La gráfica de toda función l¡neales una línea recta.

Para dibujar la gráfica de una función lineal basta con ub¡car dos puntos en el plano y por ahi trazar una recta.

interceptos (0; 4) y (2; 0)

ÁLGEBRA - TEoR¡A UNTDAD 4

I 89

2. Función ident¡dad

@ I

3. Función constante

Es una funckin lineal, donde:

Cr€c¡m¡onto d€ una funclón

f(x) =

¡

Es una func¡ón lineal, donde: m

o

.

La gÉf¡ca de esta función:

. . . a>90'

a<90"

Siempre pasa por el origen de coordenadas: (0; 0) Es la b¡sectriz del primer y tercer cuadrante. La pendiente es: m = tan45' = I

v

=0

b

Al graficar esta func¡ón se obt¡ene una recta paralela al eje x. Su gráfca es:

Su gráfica es:

v f(x)

v

Crecienlel

o

f(x) = b

v

i

x1 < x2

m= 1A b=0

=x x)

= f(xj) < f(x2)

=b

b

Decreciente:

x3<xa-f(x3)>f(xa)

Dom(0 = Ran(f) =

x

-

Dom(f) R Ran(f) = (b)

B

n

m=pendiente=tan45'=1

4. Funclón cuadrát¡ca Es la función determinada por la siguiente regla de correspondenc¡a

f(x)=¿¡2a5**. Completando cuadrados:

@ Ssa:y={r2-6n-g Conpbbndo (r¡€dradoc:

(x +

1)'

y+6=-3{x+1)2 Dárldob y

Donde:

h=--*^ .

Si:

k=f(h)

.

a>0

La parábola se abre hacia aniba

bÍnq:

- (-5) = -3(x -

y-k=a(x-h)2

La gráfica de la función cuadrática es una parábola de vért¡ce (h; k)

r=-sl*ra,13f -(f)l-e y=-3(x+ t)2+3-9

y=ax2+bx+c

0

Si:a<0 La parábola se abre hacia abajo

v

(-1 ))2

kah

fü)

La

k)

gÉfca liene un máxirD en k

v k

(x)-->

h

h

k

k) I€16

uñ

vab

rn¡nirio en k

Dom(f) = R Ran(0 = (-cot kl

Dom(0 = IR Ran(fl = [k; +co) El pirnlo de intelsección con ol ej6 y se ubicá evaluañdo x = 0.

Ejemplo: Grafica la función y = -2x2 + 4x

+

1

Resoluc¡ón:

Entonces:

.

ldentifi camos coefi cientes:

y=

t.-i/

+ i-¿'¡ +

lll abc

. .

ri')

a<

0

-

La parábola se abre hac¡a abajo.

Grafcamos: v

n=)=1$=t k=

Punto: (0; 1) Védice:(1;3)

3

(h) = (1) = -2(1)2 + 4(11+ I

k=3 lnterceplo con eleje y: f(O)

X

=

y = -219;z r.419¡

*

1

v La gráfica tiene un máximo en 3

90

Lexi¡rráüc 5."

> f(x) max.

.

Otro método: completando cuadrados

(h; k)

Y=-*+4x+1 y=

.

-v+ t - t¡ + t

-2qf

E

Vért¡ce

= (1; 3)

lntercepto con eleie y:

x=0

Glir-

y=-2(x-1)2+3

=y-3=-2(0-1)2

v-l=-zlx-ll2 ¡ kah

Punto (0; 1)

5. Func¡ón valor absoluto

7. Función inverso mult¡plicativo

Y=1

: :

Por ambos rÉlodos se obtiene la misma gÉfica.

y=r(x)=lxl

v

S¡ri6tlo8 o rsf,€,oo de laE grállcas AL EJE x: f(x) se cámbia por

-f(x)

v

:.=_§--

=Lx

r(x)

v f(x) = lxl

AL EJE y: f(x) se camb¡a po.

45'

x

Dom(f) = ts Ran(0 = [0; +@)

6. Func¡ón v

Ran (0: IR

ñíz cuadrada

-

=.1-

{0} {0}

YF

8. Función signo

,t¡

r(x)

Dom(f:n

y = f(x)

= sgn(x)

1;x>0 x=0 -1;x < o

AL ORIGEN:

0;

=

v

S€a

S¡

=ti

(-x) = -f(r), h gráñc8 e§ al origen (fuñc¡ón

s¡métricá impar):

Dom(0 Ran(0

= =

[0; [0;

+-) +ó)

Dom(f): IR

-1

Ran

(0:{-1; 0; 1}

CorÍinuldad

9. Func¡ón máximo entero

La

grá1lca

sa no '1;x€[1;2)

1

23

r(x)

=

Domf(x) Ranf(x)

0;x e [0; 1)

=R

-'1;xel-1;0)

Continua

-2:xel-2,-1)

Función par

Func¡ón impar

Es aquella función f(x) que se caraderiza por ser

Es aquella func¡ón

siméfica al eie y.

Se cumple:

v

f(-x) = f(x)

x;

-x e

+

=l

f(-x) = (-x'z) .'. f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)

Domf(x)

Disconlinua

(x)

siméUica al origen Función

v

x;

-x e

Domf(x)

'

f(x)= 3¡

inomiel

Ejemplos:

Ejemplos:

.f(y)

continua o

saltos

2,x€12i3>

I

2

Se cumple:

ss

pres€nta

interupciones:

2

-3 -2

f(-x)

.

f(x)

= ..

'

= lxl f(-x) = l-xl f(-x) = lxl

¡l (-x¡=(-x¡3=-t' f(x¡ = .

.f(-x) = -f(x)

f(-x)=3(-x)=-3x ..f(-x)=-f(x)

f(x)es función polinomial de 4.' grado. cuyas raíces soñ xji x2i x3 y x2 es raiz doble

v

(x)= x

k(x

- xrxx -

xr)'?(r

-

x3)

x

ÁLGEBRA - TEoR¡A UNIDAD 4

I 9'l

;

i

T

r|

oPERACTONES CON FUNCTONES

Sean F y G dos funciones tal que Dom(F)

n oom(G) + o,

se definen las sigu¡entes operaciones:

Suma de funciones: (F + G)

lguddad d€ tunc*oíoq

+ G)x

(F

E@

-

;

F(x)+ G(x)

Dom(F +

Oiterencla de funciones: (F

F(x) y G(x) son igualos s¡:

L

ll. F(x)=G(x); Y x eDomF=DomG Es doc¡r, para que dos tuncion6§ segn igualgs §us domin¡os y rogla dscon$pondencia debon sgr iguales.

- F(x)=i y G(x)=1

-

(F

DomF(x) = Domc(x)

G)x =

F(x)-

-

G(x); Dom(F

G)= Dom(F)ñ Dom(G)

G)

-

G) = Dom(F)ñ Dom(G)

Produclo de funciones: (F . G) (F. G)x = F(x) . G(x); Dom(F. G) = Dom(F). Dom(G)

Divlsión de funciones (F/G) (F/G)x = F(x)iG(x); Dom(F/G) = Dom(F)

9on ¡gualos

n Domc

-

{x / G(x)

= 0}

a

Ejemplo: Dadas las funciones: F=

{(-3;

G(x)= lx

1);

(-2;a);

Con el mismo procedimiento: (0; 6); (7; 1);

(-r;

2)}

Determina:

F+Gt F-G; F.

- c = {(-3t -1); (-2;3);(0;7); (-1;2)}

F

- 1l- 2;xe (-5; 1)

F.G=

{(-3; 2); (-2;4); (0; -o); (-1; 0)}

G; F/G

' = :*l g(x)

F/G(*)

Reso¡ución:

-

Para F + G; F G y F. G, eldomin¡o esl oom(F) n Dom(G)

(-3; -2;0;

7;

-1) n (-5;

Dom(F + G) =

-

* gcf

(l+ g) oh = (foh) + (soh)

0;

-1)

+ G = {(-3; F(-3) + c(-3)); (-2; F(-2) +c(-2)); (0: (F(0) + G(0)); (-1; F(-1) + G(-1))) F + G = (-3; I +2);(+i4+ 1);(0;6+(-1»;(-1;2+0» F + c = ((-3; 3); (-2; 5); (0; 5); (- r; 2))

DomF/G

= {_3;_2;0;_j)

DomF/G

= {_3; _2;

{x

i

qx) =

_ (_1;3}

0}

=

F/G(x)

=

F/c(x) =

=

{-,ff* -(a#3)'(,,ffi)} o¡} {(-o;});«-z;rl:
(regla de conespondencia)

FoG(x) = F(G(x»

DomFoG = {x /x € Dom(G)

1.

^

c(x) e Dom(F))

3. Sean

Si(x)=x2-7 y g(x)=xResolución; Evaluamos g(x) en f(x): f(s(x)) = (x 112

-

2.

-t =i

1;

-

2x

-

x/x € Dom(G)

6

x>0 x>0 x>0 x¿0

Resolución: !.........!-!-Y-

G(6) = 6 6 G(3) =36

pp

9¡

G(5)=6ÉDF

G(2)-46P¡ DomFoG = {6; 3; 2}

G(x)

=

/i

+ 1;x> o

Oom FoG: G(x)

^

€

Dom(F)

2
A

G+1<4

A

li.t

A

0<x<9

A

- 0lxS9 = x€[0;9]

DomFoG:x/x e Dom(c) A c(x)€ Dom(F)

.'.

<4 ¡

Resolución:

G = ((6, 8); (3; 3); (s; 6); (2; a))

2}

-2*lt-r..x

Halla: FoG

Determina eldominio de FoG, si: F = ((2;a);(3;6); (ai 7);(8;e))

{6; 3; 5;

las funciones

Fg)=f

determ¡na ¡a regla de mnespondenda del fog

-

Dom FoG = [0; 9] Hallamos la regla de conespondencia:

FoG(x)= F(G(x)) =

F(,&+

1)

=(/i+1}2-2(/x+1)-1 ¡ 1 2,( .,.1 -2,/i -2-1

FoG(x) =

.'. FoG(x)= x

Lexirrlátic 5.o

-

Composición de funciones

Ejemplos:

92 I

ñ Dornc

Dadas las funciones F y G, se define la función mmpuesta de F con G, así:

(fos)oh=fo(soh) (fs) oh = oohxsoh)

oornF

1)

F

@ Propl.d.d..i fog

(-3;-2:

Do.F/c =

- 2;x€

[0

9]

0}

t Funclón inyect¡va o univalente (uno a uno)

f:A-

Sea una función

-

Sixl;x2 € Dom(0

fes

Bi

inyecl¡va si a cada imagen le coresponde una única pre¡magen

f(x1)= f(xr)

ltrtPortáot¿

= ¡,=¡,

a una función ¡nyect¡va se la reconoce, trazando una rccta horizontal a la Oráficá. si corla a la gráfca 6n un solo punlo, será inyectiva. Gráficamente,

Ejemplos:

f

,2

v

xr2

B

x1

=

x22

x>o=

=tx2

x,1+x2

a

G

v

l4

=

l4

\=x2

b

Cualquier recta hoñzoñlal

c

función es inyectiva.

. La

'. La tunción no

f es inyectiva. f= (1a;4); (b; 5);

es inyectiva.

(c;7))

en un punto.

Función suryectiva o sobreyectiva

t

f:A

Una función

es suryecliva

B

s¡

r(x)

su rango coinc¡de con el conjunto de llegada B, es dec¡r,

La reclE

Ran(0 = B

horizontal corta á f(x) eñ 2 puntó§.

Función biyectiva Una función es biyecliva

.

dando es inyec{iva y suryecliva a la vez.

f(x) no es inyectiva

Funclón ¡nversa

s

También llamada func¡ón recíproca.

f.

Notación:f-1 o

Sif:A

-

l

B es una función inyecliva,

entonces, se defne: F1: B

-

r'{f( X ) )=x;vx€Domf (r1( X ) )=x;vx€Domf Si B

1

-

A

e Ran(f i),

€ Ran(0 -

B

e

€

Donde: SiA

Dom(0

YK,

Acomo una func¡ón inversa

es decir Dom(0 = Ran(f

#

,4s

1)

Dom(f-1), es decir Ran(0 = Dom(f1)

Ejemplos: Halla

f(x)-1

@

si existe en cada caso:

3. Sea: f(x) = 4:"§'

1. Sea:f(x):A- B

Una función inversa f

i

r(x)

&T#l:l,ossesinyedua.

B

-1

(x1) = f(x2)

-4

Como a cada elemento del domin¡o le conesponde un único valor, entonces es inyect¡va. Por lo tanto:

existe

f_

1:

2. Sea:f(x) =

B

-

2x

A

= ((3;

-

3

(f

1(x))

+);

(2;

-1); (0; -3))

-

15

= 2xjx2 +5x1

-6x2-

'- x-3 F-3Y=2x+5

Resoluc¡ón: x

f(rr(x» =

Evaluamos: 2

,=1+

-3 = x

.. rltxr ,, = rj3 2

(camb¡amosyporx)

ü:i-

=r11x¡=

Propiodades:

l. Dom F 1= Ran F ll. RanF 1=DomF lll. F 1oF = l(función

i

15 xl = x2 = es inyect¡va . (x) = y = mra hallar la regla {Jf to"wi"r*, 0e coresponoencra) .. 2x+5 2xjx2+5x2 -Ox1

lV FoF-j

=

v

i

_2xz+5 -3 xz-3

xr

idenlidad y = x i

= ¡,

¡,

2xt+5

Resolución:

.

:

1(x)

también es inyectiva y su gráfica se obt¡ene refejando f(x) respecto a la función

f'(x)

i :

i i i |

xde f(x)v¡ene yde l(x) v¡ene

a sery de a ser r de

al(x)

f1(¡)

'1

@

se da cuando lafunc¡ón es crecienté o dscreciento 6n su dominio. Función monótona

I

V. tF 1) 1=F

ident¡dad)

vt.

iFoófl

= G-1oF-1

ÁLGEBRA - TEoRíA UNtDAD 4

I 93

i :

Func¡ón exponencial Sea b un número real positivo y diferente de 1, la func¡ón exponenc¡al queda defin¡da por:

n

DomF(x): RanF(x) : (0; +co)

Y=F(x)=b'

vb>0^b+1

f.flillillt1F La fuñcón

Presenta las siguientes gráf¡cas:

exponenc¡al es

¡nyecliva. ontonces s6 cumple:

Si b

> 1; F(x)es creciente.

Si 0

< b < 1; F(x) es decreciente. v

F(

F(x) =

b'

Teorema:

Teorema

b!(bx,c-xr(xz

Si

bx,

Si

(

bx,

<- xl )

xz

Ejemplos:

'1. Determina x en cáda caso a)Si:

2. Determina xl S¡: 2\+ t =64

3¡ 1=27

24

Resoluc¡ón:

3x I =33

=x=4

De(1):2¡+Y=64

., ;3 ..

^2 -3x-2=7 =x=3

Obs¿rvaciór¡

^2

2y+x=9

o

3.

=

f(x) = er es una tunción oxpononc¡al.

Determ¡na elconjunto soluc¡ón en cada caso:

a)16x>4

b)

(+r

> 0,0625

Resoluc¡ón

$2fr4

-

4u>41

tfr,tf )'

2x>

+ x<2

,.*, 4.

1

V3'*J

c)

Resolución:

-1

T

+ x+y=6 l, 2y+x=9 l\- ) Y=31 x= .. xY=33

o (nrlm6ro de Euler) también es conoci,lo

neperiano: e 2,7'l.828

(2)

oe 12):24 * x =512-2s

^7

La conslanle

como número natulal

. 26

l+l=f

Resolución:

)

=

... (1)

512

Resolución:

b)Si:23'-2=4x8x22 ^3x-

*'

Resoluc¡ón:

x+3

3T< 32 ='á' ., ...x<3

t

Grafica:y =

< /81

5. Grafica:y =

(l)rl

2x

Resoluc¡ón: Resolución:

Como:

Observamos que es una lunción par (simétrica al ele y).

=

=

Graficamosparax20 y reltejamos:

'=

Lertmáüc 5."

1

= 2'es creciente

Grafcamos:

(+l l=2'

0

94 I

Y

b=2>

x

I Funclón logaritmlca

rclE!¡EEil e

Se define:

equ¡vale a

y=F(x)=losbx

!Y

;

F-11x¡

b>0^b+1;xe(0;+o)

y=hgr(=lnx x=€Y (x)=logrox=loo(

x (propiedad de logaritmos)

¡'

=

(la inversa de la función exponencial

es la funcrón logarítrnica) Gráficas:

logi¡

Sea F(x) =

si0
sib>1 v

logbx

logal = 0 logaá = 1

-@I -' DomF(x)

+o)

= (0;

DomF(x) = (0; RanF(x) = B

B

RanF(x) = Teorema:

+o)

rog"

< logbx2 ...+ Xl <

X2

;vb>1

§

logJ+

lo9áB

=tos3-ros"a

f(x)=log;(=lnx

Teorema:

S¡: logbxl

logba

logs(AB)=

logaritmo neporiano de x.

Si:logbxj > logbx2

.-

x1

<

;V0
x2

Ejemplos:

Encuentra el domin¡o de: f(x) = log5

3. Grafica:y =

v,-4

log2x

Resolución:

Reolución: De la defnición:

v

1-+,0

2.

fu

ncion€s

lúodelo exponencial del crecimiento poblacional

f<¿ --2<x<2 . . Domf(x)

Apl¡c€c¡ones de expononciales

Y=log2x

-_2

PO = Poeh

L

= (-2; 2)

Y

2

La figura muestra la gÉfica de una función f(x)

f

4.

Grafica: y = logr(¡2

= -log 2x

- 2¡a 1¡

Po

Resoluc¡ón:

=m+ log¡ x

Primero, por defn¡ción,

f

-

3,

*

t,

O

(x-1)2>0

= !' 2

y

4

=

Pti población en 6l instánte t

se puede escribir como:

log2 lx

-

Po: poblacaón inicial k: tasa relativa de crecimiento

112

t

y=2log2lx-11 Ca¡cula: logb2 Graficamos y = zt¡gr1¡

Resoluc¡ón: De la gráfica ftenemos: ,(2) = 0

= f(3) = 3 =

n

+ logi2 = 0 = log;2 = m + logb4 = 3 = m + Iogb22 = m

Reemplazamos (l) en (ll)

-

logb2 + 2logb2

-

a

...

-

1)y refleJamos en elejey:

y = 2 log,

(l)

liempo en años

lniaés compu€8b

(x

1)

C= f(c) = Co(1 + 4r c: capital lnal co: capital inic¡al r: tása de interés anual t: tiempo en años

Donde:x-1>0

(l¡ 2

=3

log¡2 = 3

Y=2la,lx-11

ÁLGEBRA - TEoRie u¡¡roeo

¿

I 95

Problemas resueltos p

Cabula el valor de es una func¡ón: F = ((2i 6), (1; a

-

/2a4,

s¡ el conjunto de pares ordenados

b), (1; 4), (2; a + b), (3; 5))

o

Halla el domin¡o de la función real:

F(x) =

+

x+1

Dada la función:

F

-

F = {(2;6), (1; a Se qimple:

b), (1;4), (2; a

+ b), (3; 5)}

(x)

=

(x+1f

+

x-

x+1 -49

4 .*'-9-49r0 $+lf x+1

a-b=4 a+b=6 a=5¡,b=1

4+(x-3)(x+1) >49 (x+1f

Nos piden:

Reduciendo:

lza-o =./zs-t =s

,r_,{

Resolviendo:

D F=«x;y)€d/y= Dada la función

=on

(x+lf

ñ donde:

Sacamos la ra¡z de ambos miembros:

determina su domin¡o y rango

x-1-,., x-1 - . x+1-'t 'v x+1:-r

Resolución:

z-x-!sov7+x-1
Hl

Dominio:

.. '

Rango

x+2

x+2

' x-5

x-5

=x-5#0=xl5 +xelB.-{5}

xy

5y

(v

1)x

.'. Dom(F) = IR - {5}

3x+4 < n,, 4x+3 < 0A x+ 1+0 x+1 -"" -

x+1

+

=x+2 =5y+2

"

3

+

v-1

+yets-{1}

..Ran(F)=D-(1) Realiza la gráfica de F(x) OomF(x)y RanF(x)

=

+

5v+2

+

-1

-y-1+0+y+1

4

Luego:

x=[-f;-r)u(-1r-+l

ll - 2l + 3 e indica:

-. [-f;-]l-t-tr

Resolución:

f)Determina

Parlimos de la gráfica conoc¡da

Resolución:

x

+y'

= x:

-

-2 y' =

1x2

-

f + g y f/g si:

{(-1; 3), (0; 2), (a; -3), (6;0)} 9 = {(-2; 5), (-1; 1, (a; 0), (0; 7), (9; 1)} f=

v

f + g: calculamos Dom(f + g) = Dom(0

2 (desplazamiento vertical)

21 (la parte negativa de x2

-

v

(-1;

2 se refleja en et eje x) v

=

lx2

-

2l +

3; (y'se

desplaza verticatmente 3

v

íg:

5.'

4r o; 9)

(0; f(0)

- {x € og(x)/g(x) = 0} {-1;0;4) - (4} (ya Cue S(4) = 0)

!

Doms

Domflg =

{-1;0}

úd,=#={(-1;#+)('ffi)} flg = ((-1; 3fl)t (0;2/7))

Lexirnáüc

n (-2; -1r

+ s(0)),

= {(-1; 3 + 7), (0; 2 + 7), (4; -3 + 0)) + s)x = ((-1; 10), (0; e), (4r -3))

Domf/g = pomf

+ DomF(x): ts RanF(x) = [3; +co)

2

o; 4; 6)

Dom(S)

(a;f(a) + 9(a))

(f

Finalmente, F(x) unidades):

n

= Dom(f + g) = (-1; 0; 4) +s)(x) =f(x)+s(x) = ((-1;f(-1) + s(-1)), =(f

= y"=tf-21

96

_49

Resolución:

Resolu¿ión:

!)

(x+1f

o

Sif(x)=f

yfog(x)

=l - 14x+49

Regla de corespondencia:

(x)=y=(x+2)'-6

determina g(x).

y+6=(x+2)2

{y+6=-x-Z x=-2-,[y+6 = r(x)= -2 -

Resoluciónr Del dato:

f(g(x;)

-¡2-'14r*49

g1x¡2=1x-z)2

D

*''

ilir iilrfl:.: l,f :.i".* «-r={};í ll?-? Halla M =

6

-2- /x+6 ;x>-6

.. s(x)=t(x-7)

f)erarca,

'/x r

f-z:x>o

r(x) =

=lx-71

lg(x)l

(x+2
f(x)= ¡elx-11

-2¡

Resolución:

.

Partimos de la gráfica exponenclal conocida:

1-V x- 1>0

(1) + f(-2) + f (9(-1)) + 9(f(1))

x¿1

Resolución:

(1)=

(1F - 3(1)= -2 (-2)= l-2 - 1t- (-2)

Ís(-1))

=

=s

f(2(-1)- a)= (-6)=

l-6"-11

-

(-6)

-

2

13

s(1' 3(1)) - 9t-2) = \-2)'. - 2 = 2 .. M=-2+5+ 13+2=18

s(f(1)) =

v el¡-11

ED

Detem¡na fl(x) si existe: r(x)

=

,/lll ; x> -2 i +4x-2 : x< -2

¿F-tl

-

2

F¡nalmente, porestar en valor

absoluto la parte negativa se refleja en el eje x. F(x)

-1

Resolución: Para ver

.

= ¡el¡-11-2¡ v

s¡ ex¡ste

F(x) detem¡namos

Parax¿-2; flxl=

x+220+

lx*

s¡

f(x) es inyectiva.

+f(x1)=f(x).-

x1

=x2

@= @ >0 >0

-1

Elevamos al cuadrado:

\+2=x2+2 xl =x2 = (x)v

x

Determinamos el rango de f(x)

=

Domf(x) = [0;

> -2

=

+o)

Regla de conespondenc¡a:

es inYectiva

/il7 - (x) > 0

f(x) =

y

= r4TZ

@)

crafica: y = llog 2g

2ll + 1e ¡ndica su dom¡nio y rango.

R¿solu¿ión:

.

La gráfica conocida es log2x: v log,x

f='*z ,=t

-

log, (x

-

2)

-2

v

l'(x)=¡¿-2 Y'29

.

-

PaÍax < -2.

r$)=f*4'-' f(x) =

(x+

2)'-6

Voamos si es invecliva: 1x, + 2)2 - 6 = (x2 + 2)2

=

;---

llosr(x

-

2)

I

se refleja la parte negativa

-

6

.;--

-x1-2=-x2-2 x1 = x2 + es inyectiva, posee inversa. x+2 <0 (x+2)'>0

Deteminamos Ranf(x):

(x+2)'-6>-6

Finalmente llog2 ( x - 2)l+ 1 La gráfica sube 1 un¡dad ---l

i

t\

i\/ ,.,

1

De la gÉfica: Dom

= (2; +co)

2

Ran = [1; +oo)

ÁLGEBRA - TEoRía

u¡¡loeo

¿

97

LflltITeg

o

:;

rcil Se6Ac¡f,yxo€lR.A&,se l€ llama punto do acúmulación d€l conjunto A si y solo s¡ lodo contisno por lo monos un x +

En matemát¡cas, ellimite es una tendencia que tiene una func¡ón o suces¡ón de apmx¡marse a un valor. elgÉfico podemos ver que cuando x se va aprox¡mando a 3 (tanto por la ¡zquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aprox¡mando a 9 (tanto por abajo mmo por aniba). En

Punto de acumulaclón

intélválo ablerto d6 centm

NOCIÓN INTUITIVA DE LíMITE

&

d€lconjuntoA.

Cuando x se aproxima a 3; f(x) se aproxima a 9.

rlx)

&

(5) = 25

Simbolizando: cuando x

-

3, entonces f(x)

-

9

Lo quea su vez se sinletiza con la siguiente notación

(4) =

Obeervsción xo

Gunto de acumulación)

Puode estar o no on el

límf(

16

f(3,01) = 9,2416

Luego, lim f(x) nos ind¡ca el valor limite de f(x).

I

En general:

f(2,98) = 8,8804

El lim¡te de f(x) cuando x se aproxima a x6 es L.

re)=4

doñiñio

x) = 9.

(1)=1

I

.,.

2

2,98

3

3,01

lfm

4

DEFINICIÓN FORMAL DE LíMITE [: Df c IR - ts y xo] un punto de acumulación

Dada una func¡ón

de Df (Df la func¡ón f(x)cuando x se aproxima a x¡ es el número real L, si y solo si:

¡(21= 2

f(x) =

L

5

= Dom(0); d¡remos que et tímite de

llm (x) = 4

x-2

I

V€>0;

2 É Dom(O

v

Dom(0 A 0

< lx -

xol

<6 =

lf(x)

-Ll <e

f(x

L+ r(x")

e

6>0/x

Es decir, para todo épsilon mayor que cero (tan pequeño como se quiera) debe existir un delta mayor que cero, de tal manera que los puntos (x; f(x)), v x e (xo 6; x¡ + 6), deben estar en el interior de

=

-

L

la reg¡ón rectangular comprend¡da por las rectas

y=L-e

5

x¡-6 xo xo+6

lr rÉ:

í-

e y=L+e.

¡ = ¡o- §;¡ = x¡ + 6;

x

TEOREMA DE LA UNICIDAD DEL LÍMITE

Siexiste el lim¡te de una func¡ón, este es único.

Si:límf(x)

=1, y

línif(x)=12=11 =12

Veamos ol s¡guienle gé1ico

-il

I;

DEFINICIÓN DE LíMTES LATERALES v

+3+

I L

r(x)

G(x) pos€e lfmites difeÉnt€s. ... No €x¡ste

f(x) t¡ende a L por ariba y por debajo respectivamente.

1

En el punto x = 3

Donde:

laterales

ai L € IR, y L es el valor del lím¡te en el punto a.

llqc(X) a

98

LeximátiE 5."

En la gráfic¿ se observa que cuando x tiende a valores próximos de "a', tanto por la derecha como por la ¡zqu¡erda,

x

I Lím¡te lateral por la f2quierda

Lím¡te lateral por la derecha

Si: Ll

L. r(x)

x

X-a

x toma valores cercános y mayores

$

f(x)=x
Valores por la izqu¡erda

x-a+

-

lfm

a

Valores por la derecha

,limrf(x)

xllm+f(x)-x rel="nofollow">a

Si:

alvalor de

a.

xtoma valores muy póximos y menores alvalorde a.

L1

lim f(x) =

L2

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LíMITE

El límite de f(x)existe

limf(x) =

L

€

siy

solo s¡ existsn los límites laterales y estos son ¡guales.

xlim-f(x)

=,|ím f(x) =

L

Si une función posoe límites

Ejemplo:

s¡existe: líqf(x) para f(x) =

Determ¡na

-EE¡@ f(x) +

láterales diferentes: l¡m lím r(x)

6-x;x ) 2 { x2 : x<2

-¡limr(x) Resoluc¡ón:

No existellmite en ol punto xo

Apl¡camos el silerio de los lím¡tes laterales. Tomando como punto de acumulación al 2

LImito latoral por la dorecha

Lfmits latoral por la izquiorda

,lg.(r)=,lS_(6-x) =a

x-2-

Como

lím-f(x)=

limrl(x )

lim f(x)

lím x2 = 4 = x-2

= I límrf(x ) (El límite existe cuando x tiende

a 2)

Teoremas de límites Sea la funcion f(x) y x0 un punto de acumulación del dominio de f, tal que:

,linl

f(x) =

L

Entonces:

1. x-xo lím (f(x))ñ = I lím f(x)f = (L)n;n e / \x .xo I -

llmllx)

b'-" =bt:b>0nb#

2.

lim brr') =

3.

lim '.,4(n) = donde L

Ab.bE

2

lim

0, si n es

Cue lfm f(x)= Lr

¡-\

IR si n es

impar

2

llm

x_\

@ L2

lfmf(x)- llmg(¡) llm (f¡-{ r-rq sxx)= ¡-\

TEOREMA DEL SANDWICH

Sean 3 tunc¡ones f(x), g(x)y h(x), tales que:

llm g(x)= Y r-{

(f+g)(x) = llñ f(x)+ lfm g(x) ¡_\ x-{

llm(f

í.]

!

S€an f y g dos tunc¡ona8 tal€8 1

f(x) = nlL ,n ezl,n>

pary L€

do tlmtt

\ g)(x)= llml(x)x llñg(x) r-\ ¡-¡,

llmf(x)

r¡m

¡-

.

/!Vrr g/ ' = i:l!l¡mg(x)= l!:r" L2'' ,¿ o

f(x)
x-\

f(x)

lim h(x) = L = r-\

lim g(x) = L

llm lfm (x)Il!!Lc(') ¡-\ [f(x)crx)]= /\r-4

x-xo

ÁLGEBRA - TEoRiA UN|DAD 4

I 99

-:]

LÍMITES INDETERMINADOS

Un limite indeterminado 1ím"f(x

) se da cuando no se puede calcular el límite s¡mplemente evaluando f(a).

Se presentan cuando el valor del limite es:

üil S¡

xlímaffr)

e,

- - -: 1-.

Limites de la forma 9 0

> 0, entonces:

Para calcular e¡ l¡mite de esta forma se aplican los métodos de factorización, mc¡entes notables y productos notables, con el fin de eliminar el factor que genera la indeterm¡nación. Esto en el caso de funciones racionales. Y en el caso de funciones ¡rrac¡onales se racionaliza.

llqlosf(x) = loS llmff x) llm

$:

lnf(x) =

In

llmf(x)

Ejemplos '1.

Halla: 3x2

lím x

2. Calcula:

-

¡ím r' x ==5 t-25 X- ¿5

17x+ 20

.4 4x2-25x+36

Resolución:

.

Resolución:

Obtenemos:

.

-

Evaluando en el limite: x

4

'Evaluamos:

9

lzs

Entonces factor¡zamos:

.

3x2-17x+20 3x 1x

>k 4

4x2

x-25

-25x+36

lim

-9 4x-s)(x-4)

x-25

4

x

se

observa una función mult¡plicamos por la conjugada:

Como

,,, /i ==s 4+s x-25

3x-5)(x-4)

-5

4x

.

-s 25-25=o0

{J

.

9--6

9-q

x +5

Ahora, evaluamos nuevamente:

lim -J--=a = ,-25 lx+5

Reemplazamos:

ln l3x 5tg;-4. _ ¡¡. \-a (4x - I )U"--41 i-a

t/x+5

1U

3x _

4x

7,

-

5

I

7

§

En los lfmiles indelemiñados llm¡l€s ¡nfin¡tos. s6 busca

Limites de la forma

oliminar factores que geneEn la ¡ndolgrm¡nación, que se

Se emplean los s¡gu¡entes teoremas:

conoce como 'lovantar

a) '

o

la

¡ndetermiñación'.

x

c)

lim a=0: nez+ -+- /

Sea

ellimite ,,a

-oo;

d)

lim

si n

b)I __ó lim a Xn

aoxn+a,xn 1+a2xn-2+...+an

b¡xm+b,xm-'+...+b.

-,

> m (grado del numerador > grado del denominador)

9:si 0¡-

n

0;si

n<m(gradodel numerador < grado deldenominadoo

= m lorados iouales)

a -+-

e)

¡-0'xn

Límitas de la forma

o-

Ejemplo:

Calcula: Iím (

tím

x-0

co

Se emplean los métodos usados en ¡os lim¡tes de la forma:

rcOltexrnaac s."

=O: neZ*

x2-7x+6 -x)

$

:

!9

1

xn

-F

sr n es impar

.o si n es par.

inacional

Resolución:

o-

Evaluando:

oo

Como es una función inacional mult¡plic¿mos por la conjugada

x2-7x+6+x) x_-/x+b+x,

x--/x+b-x,

(

lim

., lx2 -7x+6-x2\ Im _--= x--lxr-7x+6+x

-7

m

lx

x2-7x+6+x)/x

At¿r¡ción

I

.6 -t +-

El número e (Euler) os la bas€ do los logadtmos nop€rianos y está delinida:

-7

=tim---!,-- lt _L+! Vxx'

+,t

la{,.ir=á.,+,+.+.

2

="

Corolarlo

- 0! 1! 2l 3I "n-1.n-n2.

Limites de la forma 1Se usan las definiciones del número de Euler (e)

a)

x//' = e

1ímo(1

+

Sea z

= 1x

= li,

-

/ +

x

cuando z =1 z

-

oo

zl

b) Sean dos func¡ones f(x)yg(x), tal que tim t¡ tr x

entonces:

L=e,-,¡"

r

-

1

-

ro{ x

r

I

lím((x»(r))=L

s¡al evaluarxenx0f(xg)=1y

x-xo

g(x.)=@,

@

'

Para llm¡tes trigonomátricos,

$ 1.

§

= x-O

LíM|TES TRIGONOMÉTRICOS ¡¡¡

si

§9!! = 1 X

x-xo=h + x=h+xo

ácuandox-0

-

f(x)= L, con xo+0:

S6a:

x-0

SenX

lfm

X-XO

=

x-xo

.0

X

Demostrac¡ón:

Dividiendo entre senx:

Dada la CT:

cosx

=

- x , 2 ' 2senx'2msx

tanx

cosx

CT

0bservamos:

(x)

= lfmf(xo + h) = L

Se haca 6l cambio pafa qug

1

la variable ü6nda al valor ds coro (x - 0) que es como

6stán defnidos los

Multipl¡cando por 2:

lfm¡tes

trigonorñétricos. llm senlx +

msx<§g¡!<--L x cosx

D

lim

+)

s€nlx-*+ Í) =r llm !-o

Por el teorema delsándwich

Tomando los límites a los extremos

Área¡¡¡6 < Áreaa

66 < Área¡s66

eo$eu.|.x.I

r.unx

lim

x-0

cosx' 1

^

lím 1

x-0

COS X

='1

= xlím§9q.0 X

I

?r ۃ,

2.

lím senx

x-0

3.

=0

lím x

cosx =

-0

Atan¿ión

1

Cuándo: x

=0

-SenX=X

El

4.

6.

tim tanx =

x-0

lím cscx. x =

x

-0

5.

1

X

1

7

lim secx =

x-0

arc! x se aproxima al valor

1

.. sen(Dx) Lo llm ------i-

r-0 sen(qx)=

q

ÁLGEBRA - rEoRíA uNTDAD 4 1101

TD FUNCIÓN CONTINUA Una func¡ón f(x) es continua en x0 s¡ y solo s¡

1. f(xd exisle

2.

Gráficamente: r(&)

lím f(x) existe

3. f(x¡)

=

lim f(x)

xox

Ejemplo: Para la forma

Determ¡na s¡ la función:f(x) = 4x

0.-

lim f(x) . g(x) Donde: f(x)

-

+ 1 es continua en x =

2.

Reso¡ución:

--

0, g(x)

Se tiene f(2)

lim-f(x) =4(2)+'1 =9.además: x-2

+

Se hacen operac¡on€s para que tengan las lomas conociJás de

Luego, f(x) = 4x

¡nde¡ermiMci&

(D LA DERIVADA

3

o

s

y se apl¡que lo convonc¡onal o la regla do L'Hosp¡ta¡.

1, es continua en x

lím4x+'l -4(2).+1=9=t(21. = 1.2

= 2.

Si f es una func¡ón, entonces la derivada de f, denotada por f', en un punto x, se calcula así

t(x) = rím

f(x + hl

-

'(x)

Teoromas relaüvos el cálc lo de la dorivada

1.

Si f(x) = 6, 6

2. Si f(x) = ¡n, s¡b¡ces:f(x) = ¡¡n 1 ¡ . 3. [(x)

I

s(x)]' = f'(x)

¿

f'(x)s(x)-

f(x)

E

1 s'(x)

a. Í(x)s(x)l'= f'(x)s(x) +

t}

I' s'(x)f(x) " Its[il-----7,

6 ¡¡, sntonces: f'(x)=0

6. Íos(x)l'=s'(x)f'(g(x))

f(x)s'(x)

LA REGLA DE L'HOSPITAL

Es un rÉtodo que s¡mplifica el cálculo de lim¡tes indeterminados apl¡cando elempleo de derivadas, gara lo cual las func¡ones tienen que ser derivables.

Forma 0/0:

@ :

l0I=9- ri, r(,,) = .agfl.-L= r¡, ri, rl(rl .a g{x) U x-ag(x) (x) x .a9"(x) x

Der¡vadas notables

x

1,)=a'= f'(x) = a'lna (a de) : 1r) = ex = f'(¡) = €¡ (e base i

- co mnviene hacer la sustitución x= L = z- 0 ¡6¡¡¿ !9 @

neperiano)

§6nx - f'(x) = cos cosx - f'(x) = sonx 1x)= 1¡) =

¡,O=¡¡¡

-

1'1¡¡

=

1

'¡,

Sia

fl'l

lim g(x)= tím x.á

x 'a

f,1')

g(x)

tsimitar atcaso anterior:

!) U'

Ejemplos:

1. lím e'- 1 x-0 SenX

2. lím In x, x-1x-l Resolución:

Resoluc¡ón:

Evaluamos. se obtiene

9.

Alevaluar se obtiene

U

U

Se puede apl¡cár L'Hospital

Aplicando L'Hospital:

-

e'-l

f(x)

s(x) l,2lLgxi¡nátic 5."

e'

eo=

lím = msU oJenx= x-0gSx

lím x

9.

=

1" 1

lím lnx 2x-2

x-1

f'(x)

r(x)

s'(x)

g(x)

lím = x-1

1

x 2

fl-s 91x1

-!

2

PnobLemas nesuelLos pittta, ^ xr-_t'-x+10 \--2 '¡, x'+ 3x + 2

Resolución:

^

-r'x +5x

lim

\--

Resolución:

Para levanbr

x+2 x2-3x+5 (x+2) x+1)

-

=

lím

=

lim

2x+7

Ilimx12-3t lím x +

lim 5

=

-2+1

f)

+7 0

Resuetve: sen6x

lím

rr0

X

Resolución:

2x2+3x+2

lim

5 2

-15

,,, x3 --x2 - x + '10 --15 \--2 x'+3x+2 !)Haua:

x

0+5 2

+5

1

2+7

x- 2 \--2 limx+ lím'l x--2 x .-2 I

,)

X

+5

Por propiedad:

2

y al

(+')

,ryr# l2 -3

h indebminaciin divijiri¡s ente x al nuncrador

denorn¡nadoñ

x2-3x+5 x+1

Luego:

l,--zl

-oo

b+7,1x

lim 6 lím $nox x-0 x = x-0

3x2-2x+3

senOx 6x

=6(1)=6

Resolución:

f)

g= ¡¡¡ a(l+3x+z .--3x'-2x+3 Como el grado del d¡videndo es ¡gual 2 S

al grado del divisor:

3

Determina: 2

tím r-o

-

2qo6x 3x2

Resolución:

2-2gosx _ ? tím1-gsx.!.]jcosll

!)catcula:

tim x-0 3x¿

/l-¡\

xz

3

2 ¡¡¡

rr,(ffi1m;t

-

(1 + cos x)

c¡s2x

J r-0x¿(1 "1 +msx)

Por ident¡dades trigonométricas:

,¡, t ,_o x'

Resolu¿ión:

x-

{l

F( x2+ll I

tm

[

- 1) _ 11 l;1x-11 x(x

fi[l,

iá,ÁIflm.L1

./x-t (,rd r'x + |)-".'

=

t- tlc'r =- t

2

serlx2

2

senx

lím

I

3

r-0\

2 3

x(1

1+msx

X

f

.1

'9,¡;k 1

!)cabuta: -i lím I x-3

,-d x+2 r

I

Resolu¿ión

:

Evaluamost estamos en el caso

(1)-

!)catcuta:

If *5¿l **l2x+7lx] ,,,

=

Buscamos formar

,rim

(l

+

ff

=e

r¡. Ix - Q l'-1 = rim /1 + -5=\' x--\ x+¿l x-dx+Zl

1

ÁLGEBRA - TEoRíA UNTDAD 4 103

=

1-

+ 2)

-(x ---3--

1" -(x + 2) ---t-

= e-l'l:s x+Z =

f)

e

Determina:

x-o\

-(x+2),-5lr-l),

5 \ x+2

x!

Resolución: Evaluando, presenta ¡ ndeterminac¡ón:

=g,rc!fl \

/ tanx + senx \

5

¡¡. lx+?l x+2

lim [x

- 2l

I

x toma vatores mayores y próximos a

x+2>o

-

¡¡. cos¿x

x-o lanx+senx

lím ([xl-2) x-3 [x-21=r-3-

lím

lím

x toma

vabes memres

x-0

([rl-2)=

x-3-

tím

x-3

\x/

I

11

;J;@

x

Empleando límites trigonométrims:

(2-2)=0

lim

/ senx

x-0\

cabuta:

rm

/ senx

1.

xJ

y p{óximos a 3.

2<x<3 = [xl=2

Lueso: lím

x3

s€n4x

x+2

!)

ser2r/-I.- - r ) \ ms'x I tanx+senx -0

tm

2

(x+2)

=

/

Usamos identidades trigonométricas

Resolución:

.

tanx + senx

,,- tan2x - sen2x I - ilb tanx, + senx F

x-3-

^+

lim ll13l = r - 2' x+z

I

I

Resuelve los siguientes límites laterales:

.

\

tan x -= senx

¡¡, /

1

lím

ffi

l---i#11¡-l)

1

''

lím

lím cos2x

x-0

x-0 x

(+)(#)=+

=n)

5,4-1

I

X

l,I,(L'fl)

1

2

Resolución: Sea:x =

lo

Como:x-1 = z2o-l (z-1 z3+22+z+1) _4 -4t lim É=-=r l¡m z .12.-1 = z-1 (z- 1¡(za + z3 + z2 + z+ 1) 5

'.

@

5,4-1

rím

\-

1aJ

x

-1

@)

Cabula el valor aproximado de:

x'-

1

lnx cuando x se aproxima a

=45

Resoluciónl sea: F(x)

Cabula el valor de a + b + c, s¡:

,,g(d##-ax2+bx+c

=0

=

#

l,l, F«,¡=JE

Operamos dentro del Iimite y factorizamos lím

-

a)xs + (1 + b¡xa + cx3+ ax2

x3-1

-

bx

-

10

-

c

lím

=0

Por propiedad, el grado del denom¡nador debe ser mayor que el grado del numerador.

-2-a=0;1+b=0Ac=0

a=2:

.. a+b+c=1 104 I

b=-1

Lertrnát¡c 5.o

= J,l,

tlrl

Aplicando la regla de L' Hospital:

Resolución: (2

1.

x

-,|

If;*

x' lnx +

1 x

= (l)1 .(ln1+1)

.'. lim F(x) = 1

=

I

x-0

X

Er

oePfvAoAe

o

(l-i INTRODUCCIÓN La derivada es un poderoso ¡nstrumento del cálculo infinites¡mal y expresa el ritmo de cambio instantáneo de cualquier función. Surge de la necesidad de saber la forma en que var¡a una cant¡dad respecto de otra, considerando los problemasde la tangente, aceleración, máximosy minimos que involucran la noción de limites. Por la cual aparece una rama llamada cálculo, cuya función es la de modelar y optim¡zar valores.

P=(a;btc)

, : :

El problema histórico de la tangente a uña

hallar

curya

:

:

I C

y

1

La derivada de una función P(x; y; z)

-5!q

-

los trabaios de

NeMon

y

Fermatl

Leibtniz dioron

origen a la definición de de-

Representac¡ónl P'(x; y;z): pend¡ente de cualquier curva.

v x

rivada.

a

ai- DEFINICIÓN Sea unafunción f(x), la derivada representa la razón de la variación de la función entre la variación de la variable. Estas variaciones se hacen cada vez más pequeñas, entonces:

v'

f (x) =

f(x+ax) ,. llm

Ar-o

Observación

f(x)

lncreñentodex: ax

Ax

(x+ HacemosAx=h

+

y=f'(x)=JTo f(x+h)-f(x)

r(x)

(más usado)

h

Notec¡ón Si f es una función que depende de los valores de la variable independiente x, la derivada se denota por:

y,= r,1,1=

O

{}

=

ff=

o,t

-.s

H

Se lee: derivada de f con respecto a x

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Sea la curva oialquiera y = f(x) Lr f(xo

+

(x) Donde: f(x): función de variable x Lr: recta tangente

^x) r(e)

& &+ f-^x-

Ls: recta secante

Para del€rminar la derivada de una funcbn €n El pünto xo solo s€ rcemplaz¿ x por xo.

Ax)

f(&) también se Observamos que cuando = x x0 se hace pequeño (mncepto de limite); f(x0 + ^x se aproxima a ser una recta tangente Lr, y ü se aprox¡ma a P reduce y la recta Ls (recta secante)

-

=

tanc¿

-

f'(ro)=

fIx^+Axl-frx^l

^riTo.---Ái-

tanp

-,

hm=r(&+!.)-f(xo)-tanq

t'«*l=^l,I,rl@*& lmportants La derivada de la func¡ón f(x) en el punto x0 viene a ser la pendiente o tangente en ese punto (x0).

ÁLGEBRA -

teoníl

uNtoeo

¿

I 105

Ejemplo:

Aplica a definición de la derivada para calcular f'(x) si f(x)

= .,/i

Resolución: Sabemos que por defln¡ción:

f(x) = lim ^)(-0

=r,(*)=^x!o.ry

ffiw S¡ x = )(o +

ax, hacgmos: ax = h

= r(x) =

rrm

El+:l1x).

=f'(x)-

rím

x+hÉOomf(x)

//x+¿x +/i\

\ffilEi

qrr¡V* * *r, ) =ti-o ---4--=

:

ai:o -:l 16;-.,4

tim

rim

Ax = 0

..f'rxt=-l2'/

Pendignl6 dé la recta langonto on el punto x0.

Ax

multiplicamos por

--¡5q^x-0 Ax(.,/x+Ax +/x

Evaluando el ¡ím¡te

f(x+Ax - f(x)

x

(D TEOREMAS Conozcamos los principales teoremas que se ut¡lizan en el marco de la derivación de cierlas expresiones. Para esto, sean fy g funciones diferenciables en un intervalo y c una constante, entonces:

fa

'1.Si:f(x)=c 2.Si:f(x) 3. Si:f(x)

-

f'(x)=0

6. [f(x)

=¡ = f'(x) ='l = x" = f'(x) = n¡n

4. [f(x) +

s(x)]'= f'(x)1s'1¡¡

5 f(x)

s(x)l' =f'(x)

-

-

s(x)]'- f'(x)

.

7. {cf(x)l' 1

8

f(

)

s( X

)

.

s(x) + f(x) . g'(x)

= cf'(x)

f'(x ).s (x) [g(

- f(x).9'(x) x )]2

o[1 l' -f'(x)

lr(x)l

s'(x)

[(x)lz

Demostración del teorema 2

Si:f(x) =

=

¡

(x) = rímlElu:-Ix)

=

p,

*+:x

I= = htim -0 n

timl = -0

j

... f'{x) =

h

1

Demostración del teorema 4:

@

Para el cálculo de la dsrivada se emplean todos los métodos esludiados en límit€s.

Dxlf(x)+ g(x)l = lím lim = h_0 lím

h-0 I

'c

D,[f(x)+

h

f(x + h)+ g(x +

g(x+h

If(x+h)-f(x)

Ih

f'(x)

-s(x) h

h

0

s(x)]=

h)- f(x)- S(x) h

f(x+h - r(x)

m

h

(f+g )(x+h)-(f+g)(x)

.J,r, qll+:_9!1

+

9'(x

)

Ejemplos: '1.

Si f(x) = ¡6 - 6¡5 a

3x2

-

'1, halla f'1x¡

2. Si y =

4É x-+¿

. rratla v'

Resolución

$[*u

Br'*

3r'

1]= (x1'- (sx1,+ (3x1,-

f'(x)=§¡5 6.5r1*3.2x 0=6x5

(1),

Resolución: Aplicando la regla de la derivada de un coc¡ente:

(2x+3

40x4+6x

'(x2 + 2)

-(2x+3

x2

+ 2)'

(x2+2

»-t2x+3)t2xl -' \*\¡- =-G;;T

,,,

fialtexmatic s."

_ 2lx2 ¡

-2x2-6x+4

(1) ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA Sea y = f(x) una curva cualqu¡era, sabemos por definición de la derivada que la pend¡ente en el punto

xo de

f(x)

es la derivada en ese punto f'(xo). Y la ecuación de la recta tangente en el punto x0 es:

h

Y-f(xo)=f(xoxx-xo) Recue¡da

Y=f(x

Lr:y f(\)

= m(x

-

La denvada de orden superior también se expr€sa así:

xo)

Siendo m la pendiente de Lr. m = f'(x): pendiente de la recta tangente en el punto

xr)

(segunda derivada de r(x))

d2f(x)

df

de abscisa x¡.

(tercera derivada de

d3f(x)

Ejemplos:

.

Halla la ecuación de la tangente en xo = de la función y = 3x3 - 2x.

.

1

Encuentra la pendiente de de la cuNa y

=

Resoluc¡ón:

2x2

+

LN

(recta normal)

;F

r(x))

Dif((r))

(s€gurda derivadá d€

2en el nunto

|. olf11x¡ ¡ercera derivada

Resolución:

No es necesario graf¡car la función.

mrT =

LN

Sabemos:

(x»

y'= 4xi para x =

de

r(x))

3/2

+m¡r=6

- f(xo) = f'(xoxx - xo) = (1) - 3(1)3 - 2(1) = 1 ¡. f'(x) = 9x2 Lr = y

f'(1)

Prop¡edad:

2

rLl

=9-2=7

La ecuac¡ón de

Reemplazamos en Lr:

LN:y-f(xo)=

Liy-1=7(x-1) L¡y-7x+6=0

.'.1¡:

2x

+

12y

LN

mr* = -1 =

t\ ná

será:

frU-t -

** - -',^

f'lrrf

=(f)

=

f

81 = 0

Derivada de orden suPerior Sea f(x) = 3x7 una función diferenciable. 1.4 derivada f'(x) = 21xb

-

-

Función diferenciable

f'lx) =

f-jx)

=

::

'126x5

2.a derivada o derivada de

f'

639¡1

3.a derivada o derivada de

f'

Notación:

f

;Dnf;

d"f(x)

dx"

.

l

At¿nción

¿nf (x )

dx'

.

Dlf(x) 1s(x» = olft)1Dle(x)

'

olx- = lmlrsin = m

f---ul¡-^,.¡o llm-n)l lorsin

'


m

(D REGLADELACADENA Sean I y g func¡ones diferenciables tal que

f

Entonces g(r(x))'

-

g'(f(x))f'(x)

!lL'

gof

!ri

Forma práctica dada una función (g(x))n:

S¡f(x) = (g(x))n

á

f'(x) = n(g(x))ñ

1slx)

Ejemplo:

aata

(l*i)'

Resoluc¡ón: Sea g(x)

- 3l

+2

r(x)= ./E(D

f'(x)=

!s(xf

1 x)

1

2

f'(x) =

l's(x)'

3x2 +

2)

_

'

.6x

3x

@ ÁLGEBRA - TEoRiA UNtDAD 4 I 107

(D TIPOS DE DERIVADAS Derivada de las funciones trigonométr¡cas

D€rivadas usuales: (e')' = e'

(e-'Y = -"" -i'!!lfiñr d6

f'(x) =

¡6s¡

Si f(x) = 6s5¡

+

f'(x) =

-ss¡¡; y¡ 6 R

3

Si f(x)= tanx

+

f'(x)=

ss62¡;

4

Si f(x) =

-

f'(x) = -6562¡.

5

Si f(x) = secx

=

l'(x) = 5s6¡ . t¿¡¡; vx + (2n +

6

S¡ f(x) = cscx

=

f'(x) = -656¡.

Si

2

e: base los logaritmos nepe¡iaños.

,l

yx6p

f(x)-5¿¡¡ =

1

66¡

y¡ 712¡ 1 1¡-E y¡ 1

¡¡ 1)+

¿6¡.y¡ 7 ¡r,

Oerivada de funclones exponenciales y logarítmicas

Nota Derivada d6 lae lunciones tÍigonométlcasinv6Bas: r(x)

,(x)lna

1

y = ¿r(,)

= -{.t{xl -

2.

y = sr(x)

= -§L.t{,¡ = er(,)f,(x) ; (e

3.

y

4

y-rn(x)=*(tnf(r))=8

ar(r).f

-

2,72)

:

i

f'(x) 1

= tosrf(x) = $1ros6f(x)¡=

ffiros6e

1

arccosx ,|

arctanx

1+x2

O

REGLA DE L'HOSPITAL

Al evaluar lím

44,

siadopta ta forma ¡ndeterminada

3

o

!q

Entonces:

rí, [!]¿l= rí, If,(,,)l x-alS(x)l r-a IS'(x )l Ejemplo:

L

x-0 -Senx

Calcula lím Resolución:

Evaluamosx=0:

!^

=

$

(forma indeterminada)

Apl¡cando la regla de L'Hospital:

(x)'

¡¡¡ tím(senx)'= l¡rn r-0 --L senx= ,-0 .-b Cosx

108

I Leximáüc 5.o

1

11

msO

1

1= ¡¡¡

x-0

J-= SenX

1

T O) APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Máximos y mínimos Cons¡deremos la función y = f(x) mostrada en la figura: Máximo relativo

(b

r(r)

= (x) l,linimo

r(a)

relativo

bn

ma En eltramo [m; n]: Cuando x = a, la función

.

X

ftiene un valor mínimo.

El valor mínimo relativo es: f(a)

'

Cuando x - b, la función ftiene un valor máximo El valor máximo relativo es: f(b) Los valores de x para los que f(x) adopta un minimo valor o máximo valor relat¡vo se obtjenen resolviendo la ecuación:

r'(x)

-

(El valor de las pend¡entes en los puntos

o

Géficamonte la tuncióh f(x) posoo un m¡nimo valor.

la

La

pend¡onte d6 rscta tangonte Lr 6n 6s6 punto 6s céro lo quo just¡fica quo para 6n@ntaar ol valor máxlmo o mfnimo 3e hacg:

f'(x) = 0

máximo o minimo de una función es cero).

Critorio de la s€gunda deriveda Si al resolver f(x) = 0 se obüene x = a, entonces para comprobar que alli hay un min¡mo o máximo relativo se aplica la siguiente regla:

S¡:f(a)

>0 =

en x = a ex¡ste un mín¡mo relativo.

=

en x = a existe un máx¡mo relativo.

Si:f(a) <0

Ejemplo 1: Calcula un máximo relativo de: f(x) = x3

- 3l

+t

Resolución:

f(x)=31-ox=0 3x(x-2)=0 + x=0vx=2 r(x)=6x-o Si: x=0 - fl(0)=6(0)-6=-6<0 S¡: x=2 + f(2)=6(2)-6=6>0

Enx=0

-

(o) =

hay un máximo relativo. (o)3

-3(0)2+1=t

@

Pala maximi2ar runc¡ones dond€ no se mu€str¿r Ejemplo 3

Ejemplo 2: Encuentra el valor máx¡mo

o minimo que posee

tunciónf(x)=f+4x+8

la

Se desea maximizar el área a cercar mn 80 m de cerco, determina las d¡mensiones de los lados.

dkectamente la tunc¡ón f(x), hay que formar una ecuación que d€p€nda de la variable que nos pida max¡m¡zar en el enunc¡ado

cerco

Resoluc¡ón: No es necesario d¡bujar.

I

Apl¡cando el criterio de la segunda derivada: f(x) = ¡2

..,.

4*

*

Ejemplo: Enunciado:

D€terh¡na

6

H

f'(x) = 2¡ .' 4

f"(x)=2>0 +

la tunc¡ón posee un min¡mo.

Para determ¡nar el punto donde es mínimo.

f'(x)= 0

Resolución:

V(¡) =

= 2x+4=0

r\-21 = (-212 .

.

+

41-21

D€l datol

xy

f(-2):

Elárea es:

(-2; 4)

(2)en (1):área = x(80

+8=4

La función posee un minimo valor en

rf.x

V(r)=l(25-r)

x--2

Para determinar Ia ordenada evaluamos

g¡

radio para qus el volurneñ d€l c¡lindrc seo máximo.

(1)

Deldato2x+y=8o

=

El volumen sstá €n tunción d€l rad¡o (incógnlta)

...(2\

-2x\=}Ox-2x2

Max¡m¡zamos:

80-4x=0

.'. x=20m

^

y=40m

ÁLGEBRA - rEoR¡a uNTDAD 4

1109

Pnoblernas nesueltos D

Por definición demuestra

f'(x¡

sif(x) =

f)

xn

=¡¡"-'

al

Dado el polinomio P(x) = 1 5¡ .. Si P(-1¡ = 6, P11¡ = 17 y P"(0) = 14

C-alsia' a2 +

.

l] + i

Resolución

f(x)=

Resolución:

f(x+h)-f(x)

lím

h-

P(-1) = a(-l)2 + b(-1) + c =

Por cocientes notables:

t(/+l) I

2x

()(+h)n-1+(x+hI

h-0

P'(x)

+... +(x + h)f 2+xn-1

hI-1+{x+ hf-2x 1+...

=1-1+f

+/-1

P'(1)=2a(1)+b=17 2a+ b=

+... +(x + h¡xn 2+xn-11

= nxn-

17

(21

P"lx) = 2a

P"(0\=2a-14+a=7

1

Reemplazando a = 7 en (2):

=b=3 Reemplazando a = 7 y b = 3 en (1):

7-3+c=6+c=2

Demuestra que D*tanx = sec2x

...

Resolución:

"z

=f(x)=tanx=§9!! msx + f'(x ) =

Dr

§9¡¡

(usamos derivada de una división)

^ cos x

_ D,senl(msx) -

Dxcosx(senx)

ms

x. cos x

D

lim

ms2x *-sen2x

ms'x

+ f'(x)

oitaoorica

,

'o"ntidad

sec2x

oada ta tunción: f(x) = ¡3¡2*

1.n*.

Halla:f'(0)

-

1rn,

f(x) = 2sec12x) - sec2x f(o) = 2sec2(o) - sec2(o) = sec2(o) ... f(0) = 1

!)Si:s1x¡= fss¡*. Calcula:g'(r)

Resolución: Hallamos g'(x) = D,g D,((x2senx) = (x2)Dr(senx) + (senx)D^(x2) D,(xzsenx) = (x2)(cosx) + (senx)(2x)

g'(x)=x2msx+2xsenx Evaluamos,parax=r g'(n) = ¡1. msn + 2(¡Xsen¡) g'(n) = (-1)+ 2r(0)

¡'.

"' 't

10

9'(¡¡) =

=

17¡2

+ (3)2 +

(2)2

= 62

2x3+5x2-8x+1

x4-x3+x-1

=

1, tenemos

)

$

(caso indeterminado)

Aplic¿mos la regla de L'Hospital

.

6x1+ 10¡ - g 4-x3+x-l = "¡¡* 1 - 4x'- 3x'+

2x3+5x2-8x+1 x

¡¡,

¡-1

1

- 8x +'l xa-xl+x-'f

2x3.+ 5t2

-,

!)catcuta:

Resolución f(x) = 1¿¡2*

62

)3+5(1f-s(1)+1 (1)4-(1)3+(1)-l

lim

-

a

2(1

x-1

ms2x

!]

62

Evaluamos en x

- (- senx).senx cos2 x

-

*

Resolución:

cos2x

_

+ 6 = 17

2i.7],

ntérmimnos

f)

...(1)

=2ax+b

h

= JímJ{x +

o

a_b+c=6

-22

Leximáüc 5."

lím at'-

x-o

1

anr_1

Resolución: Evaluando en x = 0, tenemos

ao-l ao -1

o 0

Aplicamos la regla de L'Hospital:

lím at'- 1 ,,, ma"lna x-o añ,-1= ,-o nañrlna

¡¡,0 mat' -

x-

m

nanx

amx-l lím x-oan'I

n

m n

c 2

D

$) -

Calcula la derivada de:

f(x)= ln(ex +

r'/;;;zi)

Resolución:

Resolución:

= t¡(sx *

r( x ¡

Un rectángulo tiene 4 m de perim€tro: halla el que tenga la diagonal minima y da como respuesta su área,

1't

*

glx) "z'É)

=

tng(

x

) d

v

g'(x)

= f'(x)= g(x )

_e'+t(t +ez'ftQeb) e'+ (t

+ eh¡á

1+

e'

e

e

{ll7 "'* f'(x) =

D

d2

=l

+

f x2

l7ié +e' -@

+ y2

Como el perímetro mide 4 m

2x+2y=4+x+y=2 Y=2-x

= e'+@

ñ

d(x) = (x'?+

12

d'(x)=,(2x

+

d'(x) =

Resolución:

¡,4aximizamos

xf)i

2(-1)(2 -x¡¡(x'?+12 - xf

)j

(2x-2 x2+12-xf d'(x)

=

=0

x2+¡2-xf

(a;f(a))

Reemplazandox =

(l:¡\L¡) = tz:z') - e:q) ¡z

-

2x2

Hallamos el punto de tangencia

I

.'. Area mínima = ry

v

12)

Reemplazando (2) en (1):

gx

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.

f(x) =

,(1)

en (2):

= y=

1

= I m2 (El área es mínima

porque d'(x) >

O)

Lr

-..*

@

Determinala pend¡ente de la recta tangente a la función l(x) =

4

en el punlo cuya absosa es '1l4.

7E;;i;

Resolución: 2

Sabemos que la pendiente "m" es: m = f'(xo)

La ecuación de la recta tangente (LT) será:

y

+

-

yo =

y

f'(xd (x

a = r'(2) lx

xs); donde (x¡; y¡)

- 21

Como: f(x) =

f'(2\

x2 = t'(x)= Zx = 212) - ¡\2)=4

Reemplazando en (1)

..

y-a=la)(x-2)

...\1\

=

= f'(r)=;

(2; 4)

''

(sen,rx)-12.

msrx. n

[@s,Ix 2/sennx

Evaluamos en el

pendiente =

punto

xo

=

r,",=' (+) =

Lr:Y=4¡-4 wndiente=

I

i

;;

=

rt

"L y

h - n, 2 2 ',,1

12

itfi

ÁLGEBRA - TEoRiA UNTDAD 4

I 111

I

suce 3Í,o Neg - P Q o eQeg f oNe

o

O

SUCESIONES Def¡nic¡ón

Una sucesión

{aJ es una función sobre los Z+ cuyos térm¡nos prtenecen al conjunto de los números reales. a

Pa¡a que una sucasión esté dofinida debe ex¡st¡r una loy d€ formación que condicione los términos.

-ry

a2

3

4

:,

;

a¡

Definida por extensión, así:

(an]:a1;a2;a3; ...;an; ...; vn ¿

1

Ejemplos:

t'...=..=IaZ

Donde:a,

=ti'-t

'{bn}:7;8;9; l0;

...=bn=n+5

Donde: b1

=1+5=7; b2=8; b3=9

.

(cJ: 2; 5;

.

1a"):3;|;

cn = n2

O

+

I-

^r=Z;ar=t

'10; ...

FORMAS DE DEFINIR UNA SUCESIÓN

Por correspondencia

Por recurrencia

Se define an y se obüenen los térm¡nos de la suces¡ón

Cuando se tiene mmo dato ak y la relac¡ón de añ con

Evaluando: n Ejemplo:

2n1

=

1; 2; 3; ...

Ejemplo:

(aJ: a"

=n=t:a1

=

-2

Determina la sucesión si a2 = 7 y ¿n =

nli,

=f;n=Z:ar=t,

7

n=3:a¡=*= t"li/3; 1;9/S; ...

aa=a3-3 + aa=1

+ TIPOS DE SUCESIONES a) Sucesiones creeientes

conocidasr Suces¡ón de F¡boñácc¡

l; 1;2;3:

518; 13; ...

(aJ:

Sucesión Feinberg

1',1;2.,4,7,13t 24

-

(aJ: 3; 9;

8

{an}:8;8;8;

'16;

d) Sucesiones estr¡ctamente

decrecientes

án(án+1

Suc€sión @ñstante ...

b) Sucesiones decrecientes

{an}: 5; 4; 3l

1; 2; 3; 5; ...

creclentes

3

vn>3

an =

l;

c) Suces¡ones estrlctamente

1;a2=3t...

an=añ-1+an 2+an

Sir {añ}:

1; ...

an2an*1

an=an-1+an 2l n>3

a1 =

4

{aJ: l0; 7;4;

O

Nota

2n>án+1

...

la): -1i -7:

-17i...

e) Suces¡ones monótonas Una suces¡ón an es monótona

sies creciente o decreciente, en oho caso será no monótona.

Ejemplos:

'

,

(rJ,á 5/ {an}:

2,-2:2,-2:...

'4.=F+1 112I Lexim,áüc 5.o

=1a,¡,

|;f;fi;

¿n _

Deldato: a2=7 =q-3 =a,=16 a3=a2-3 + a3=4

Sucesión creciente

+

Suces¡ón oscilante

á

Suces¡ón decreciente

es monótona es no monótona

+

es monótona

,

-3

E

f) Sucesiones acotadas Sücc*h ecoHa s¡pe.irflrpnb, talque: a, < kj

d

e¡i*

m lq €

Suc66lh acobda intriomonto

R

tal que: k1

Ejemplo:

Ejemplo:

1a,¡:|;f;f,

{an}

=

an

s

IR

-EI@I inferiomente.

= }+l,sabemosque:n>1

n>1

2- 2 n..-3

z'''z

es acotada superiormente

'.

ii:

€

Si kl < an < x2, lá suces¡ón es acotada superior e

"^= tr . an

s¡ existe un k1

an

=-[

an es acotada inferiormente.

SUCESIóN CONVERGENTE

Diremos que la sucesión (aJ es convergente si:

I

@nvefgo

¡rlím

an = L, tal limite es único y finito, entonces la suces¡ón

L, si no ex¡ste el límite la sucesión d¡verge.

Eiemplo:

Aqué valor converge

ar=

.1 i+t+O+..

*

Resolución

^=,'-1./-#,#-/.

ñ-(,

*lI

.l-

1

n+1

a

1-ñ17

'"=

Tomamos limites cuando n

-.

oo

{É:

.,*."=.,1g(,-#) li, --]- nrcon + ---ó-

t

Para determinar la convergencia se tien€ qué tomár limite al ¡nfinrto:

1

lim a" =

1

.'. al1 @nverge a

-il

1

lim

Cr¡terio de la razón (D' Alambeñ)

an

el l¡mite 6x¡st€ s6rá coñveeento. S¡

Es para determinar la conveEenc¡a de algunas sucesiones

Para ello se aplicañ las propiedades conoc¡das de limites y casos de ¡ndeter-

Sea la sucesión {an}

l= r .-C ''r¡ a"

Si:

I

Si:

-

< '1 la suces¡ón converge r> 1 = la sucesión diverge. r= 1 = el criterio no decide.

Si: r

an*r

minación:

a cero.

9rs;--*;

Ejemplo: Determina si:

{;

1

$;

mnverge o diverge

27

Resolución an

=

+

+por el criterio, tomamos

¡,.el lan*r an

n

lím¡te:

I I

n+1

Í.1

-l

3n+1 n

lím

n+'1 3n

L=, 3

3n

.'.

r<

0

la sucesión converge al valor cero.

ÁLGEBRA -

TEoRíl u¡'llolo

¿

I fl3

T

- SERIES

'

Es la sumatoria de los términos de una suces¡ón, se denota con elsimbolo s¡gma

_]L ^

= li2

Elemento: S

=

12

*

+22 +32 +...

(t).

n2

Suma o ser¡es notables

IE!@il

r. ir=r+2+3+...+n=

+

n(n

En toda PA:

La surha de los térm¡ños €qu¡d¡stantes 9s consliante. 7 ; 15;

'i--i

l2i

; 79t 87

1)

(suma de los n números naturales)

2

=Z+++O+...+2n=n(n+ 1) (suma de los primeros n pares)

94 94

t2k -

t

tv.

D

I

=I+3+

5

+... +

fx2 k=1

='t2 +22 +22 +

v Ii3=13+23+33+

I

f,

1

2n

k=1

94

+n2

-

=

n2 (suma de los primeros n ¡mpares)

+

n (n

_

'1)(2n

+

1)

6

n(n + 1)

+n3=l

2

t

h=1

{ I

1

r

Propiedades de sumatorias

f,c

= nc; c: mnstante

I(a"tbn)=

x=1

i.r"=.i."

Ia"r Io.

q

lc=(q-p+1)c

x=1

x=p

C:

PROGRESIONES Progresión aritmétlca (PA)

Es una sucesión espec¡al en la que dos térm¡nos mnsecutivos están diferenc¡ados en una @nstante r llamada

¡azón aritnética.

S¡ una progGsión aritmética pos66 un nümglo lmpar d6

-@ st;

tóm¡nos: ¿z: 43, ...;

q;

Forma de una progresión aritmetica: aj;a2;a3; ...:an: ... ; donde: r: razón

:, '-r-

+r

donde n 6s

| = a2

¡mp6r

-

-

aj =

a3

-

a2=... =

3n

-

+r

án _

I

donde an: término enésimo

férmino canEal: a1+ añ .k = --a-

Tármino de lugar n o término enásimo (an) De la

progresión: 3l = ál

sr

a2= a1+ f a3 = a1+ 2r

Sumá de los téminos:

Suma de términos de una PA

(

a1

+an 2

)

n

ll

an=al+(n-1)r a1:

primertérmino.

án-3r r

+'1

n: números de términos

an: térm¡no de lugar n.

lnterpolación de m m6d¡os ariunóticos entre a1 y an

: a1;.:-:r

I an

m medios aritmét¡cos

Donde

'-

a^-4, m+1

r: razón aritmética de la progresión

114I

lEximáüc 5.o

También:

(

2a1

+(n2

1)r )

n

,@

Progresión geométrica (PG) Es una sucesón cuyos térm¡nos consecutil,/os están multipl¡cados por una razón q siendo q

geométrica

Forma de una progresión

q

t" t" =[=É=

t"

donde

I -1

::19t2¡§ xq xq

PG:

De la

tj

:: t1;

=tl

tz = t,q2

h; h;

€ E.

I

t

Progresión de orden

superior

:

Son progresiones cuya razón constante s€ prsseñta á párl¡r de la sog¡Jnda suc€sióni

fu'Qj¿lr; as;

q: razón geométricá t1: primer término

an

\trr,r, '\r r

t¡:término de lugar n

Término an

an=a,+rrCf-1

Suma ds térm¡nos de una PG

Tóm¡no do lugar n do una PG(tñ)

I E +

rCl-l

... tn Suma de los n términos Sn

s"=!$*

-'

*=arCi+rr C9+rCl

t:=trq3-1

II l=trqn-1

::t1; tlq; t,q2;

Sea la PG

át

...

SL 1

;

-q

donde q

e (0; 1)

t1 *+*+* -q=a=T

s=16+4+'1

detsrmina div¡daoñdo dos

-ián

términos consocutivos cualesquiea¿.

m medios geométricos

Donde Ejemplo:

En una PG, la razóñ q so

Y on.

:á1i t1

Rect¡¿¡¿la

lnterpolación do m madios geomátsicos ontro

Suma lfmite ds una PG do infin¡tos términos

+

n.' de términos es:

m

+2

o=^*, ' \l16at

la razón

'16 t-T

64 o=;__T= 3

Progresión armónica (PH)

l;... 1 , forman una PH si: a1,a2;a3: ár'; ár' 3n

:l;4

-1

'

;

ar fo¡man una progresión aritnét¡ca

Eiomplos do aplicac¡on:

l.

Halla el número de términos de la siguiente PA: 18: 24: 30; 36;

Dato: r = 0;

3. caloia ,

...;282

tt =

18;

1;

tÍ = 282

n=on-3'*1 r0 -

de hG 28 términos de

36;r=4;n =

28;S2s

Pioen:

4.

s"=[4aF]rrh S23

=

1

¡d7 = j¡

Calcula: S = Datos:

2(36)+ ( 28 - 1)4 2

Témino cenlral tc

q=

5+ c2

?

52

e¡rcanro: s" = q

]ze

q

+ 53+... +517 5; Sr7

(d:1¡

=?

= rrr = =

Qa = 2520

/tr xt,

dsterm¡na multiplicando los extrcmos y luego sgcando la ralz cuadGda.

= 3" = zz

= 5l ti =

=

El tármino c€ñtral se

¡r15- r! -alFl-n14 ^r -r4 "1¿

h slgdente PA

=?

Apl¡canns:

+

Si una PG tiene n.' de términos impares

x 35-1 =34 t6=1x18-1 =37

Entonces:k =

...

Dah6:a1 =

Aten4ión

...

APlicamos: tn = t, qn-l

n=282-'18 +t .'. n =45

36:40;44;

3;9;

en h s¡ouiente PG:

oabc:q=+=3;t1 =1

Apl¡cámos:

2. Calcuh h sum

t15,

15xh

{ff

)

|{s" - r)

a) ÁLGEBRA - TEoRíA UN|DAD 4 I 115

Pnoblemas r-esueltos 7

p

^ ... .".',8, 4,T,... 5. 10. 't7.

Determina

+1+ j9

t

Dada la sucesión:

llm a^

n-6 "

tim ---l--!: = n-@ a Z 5

n'

a2o.

Recuerda

tim

n"

1=

o

lq""=+

Resolución: Podemos escribir: a,

=

an

converge a 1/3

f,)R.dr..,

= "^. 2,7 10.17 4',5 El denom¡nador es n

.

.

|

zx3/7 x6/i x12G

+ 1y

el nurnerador es n2

+

1

Resolución:

^ n2+1 - dn= n+T 202 +1

zx zl1 \

z1t6

x

21112

,.'+.*.+.

401 Z

suma limite

EDs¡'., =z y a¡=2a¡-t

1

+L

Delermina la suma de: o2

*

á3

*

a4

*

r---L ',-

á5

'2

Resoluciónr

1+ 2

4=7

az-2lal

1

z3

+ 3 = 1t

a3=2(az)+3-37

a4-2(a3l+3-77 as=2(a4) +3= 157

rD

Piden. 17 +37 +71 + 157

¿La suce§ón an

=

A ato=32.

Usamos la fórmula del término enésimo:

El

as=ar+(5-1)r aro=al+(10-1)r

es amtada?

Resolución;

Deldato:

n+3 _ n+2+1 n+2 n+2 Sabemos por teorh:

ctmple:as = 17

Determina la razón.

Resolucióni

s=288

!)

En una PA se

1

niz n>1

n+2¿3

ll

a17-al+4t

(t)

32=a1 +9r

. (tD

-l:

l5=5r

" - n+2 =5

t .

D

.

¿A

_L__ t


Es acotada superior e ¡nferiormente.

q*i

valor converge la sucesión

{a.¡ I a" =

di

3n2:J o

'.

ISl

La razón de la PAes 3.

a+o;

o

+c;c +a

Resolución:

2

Los términos

Resolu¿ión:

11

a+b'¡+c

término centrales:

Para determinar la convergenc¡a, tomámos límite

¡¡r"-,,- ¡¡, n3 t 3n2 + i0 n-n-- 3nJ _ 2n + q n3+ 3n2 + 10

l'I'"=l[

3n3 2n+5 n-

l-exlrnáüc 5-"

1

_1

b+c-

Div¡dimos el numerador y denominador entre n3:

116 I

esuna progresión arnúnica y b2 + C = 18,

halh a.

2

(#.*)

2 - c+a+a+b ac+a2+bc+ab

6+c

2 _

b+c-

2a+b+c a2+ac+bc+ab

V

¡l-

forman una PA, luego el

@

Simplificando:

=b2 +

2a2

c2

=

2a2

=

18

a2

=9

ED

3

'

3n+7n-1

Resolución: Tomamos lim¡te cuando n

Calcula la suma limite:

=

lím

Resolución

=

x2.S = x4

+

2xG

11

- f¡s

f

+

=

Comox<

+ 3x8 +

xa

+

x6

+

4x1o x8

+

]

3n

+ 7.-

1

lím

.n ,¡J 7t' 7n

lím 1

-

1-0

o*l

1, entonces:

(Reemplazando x

t!

x2'Í

=

.

.

(ct)

3

*"rq+

7

La suces¡ón mnverge a 7

Sea la sucesión {aJ definida por: a,

en(o):

=

(+t -,[ an

Resolución:

4

lím I-ó

I

(,-(3fi (#)

."=,,[(+)."

tim a^

c- !q

tim (t + !f" = n-ó\ tt I r'z

a" = "rím

f)

d+l

Determina el valor de convergencia de

(31

Sise escogen

3lí

",9(+i

+...

2

co:

i-!-

1

3ñ+

(-)

-fls= -f_ 1-x'

S

_

?J =x

-S=l+2xa+3x6+4x8+...

rr

7n

(ff .z(tf .s(áf.,(ál.

Sea:

-

Luego:

(3¡,.,(3¡.',(á;'..(ál -

s=

_ 3n+ r

¿Aqué valor mnverge?

18

.'.a=t

7n

Sea la siguiente sucesión:

O0

+

+\+

\5/

"rim-l/1

términos de cada sucesión: 3: 10: 17; ...

e

2i5:8i... ¿Cuántos términos comunes se tendrán?

.

.

an converge

Resoluciórr La primera es una: PA de razón 7. La segunda es una PA de razón 3.

215:8;11; 14:@---> primer término en común. Los sigu¡entes serán: [r

= MCM(7; 3) = 21]

@)

si x. =

a

(#)"t

e12.

,0,., ., *lor

al cual converse.

Resolu¿ión: Tomamos límite:

17; 38; 59; .,.

Como s€ escogen 60 términos, entonces el último término de cada sucesión es:

. '

l'1=3+(60-1)7=416

L=2+(60-1)3=179

El total estará

-

entre 17 y 179:

n= 179=;17 +l =8.... 21

Como n esentero

.'.

= n=8

Existen 8 términos en común.

,'qo=,'q(#f" ,rg+ = 11"-(r *ilf)¿ r . 3l* r' ,rgx" = ;igJr.--+l = =, '-ñl t Converge a

1

ÁLGEBRA - TEoRír ururoao ¿ 117

I

Itr .Ii

---f

la vlda cliidiana

FUNCIONES

Vanta da qaa00as En una empresa de muebles se hace un estudio en elcual se demuestra que, por cada incremento de $5 en el precio, la cant¡dad vendida se reduce de la s¡guiente manera:

!

Nl'.a §

¡

I

lncremento

Cant¡dad vendida

en3

mensualmente

0

450

5

400

10

350

15

300

2A

250

PnecuNres

I

Encuentra la gráfica de incremento vs cantidad.

!f

A partir de la ecuación completa.

Sean: x:¡ncremento y: cantidad vendida

450 400 300

lncremento

Cant¡dad vendida

2

y=-10(2)+450=430

7

Y=-10(7)+450=380

12

y=-10(12)+450=330

17

y=-10(17)+450=280

22

Y=-10(22)+450=230

200 100

!f S l0 tS 20

¿Cuál será el máximo incremento entero para el cual se genera ut¡l¡dades?

lncremento(x)

y>0 -10x+450>0

ff

450 > lox

Halla una ecuación general. La gráfica es

lineal:

y=mx+g

45>x m: pendiente

..

inbrc€pto

El¡ncremento máximo es $44.

Primero hallamos m con dos puntos de paso P1(10; 350) y Pl15; 300).

,=Tffi=-ro

!f

¿A cuánto asciende la cant¡dad vendida para el ¡ncre. mento máx¡mo?

Luego, calculamos b cuando x = 0.

450=m(0)+b b=450

Reemplazamos

-

-10(44)+ 450 t/='10 ll =

F¡nalmente, reemplazamos en la ecuación.

Y=-1ox+450

118 I

l-exi¡náüc 5."

x=44 en y=-lox+450

..

La cantidad vendida es 10.

ll

I

L ítr

tlL

--r _I

tl

I.I

INECUACIONES

Asss

E.

I

§

l

Aoqp¡a da caúacAog

t

La empresa fotocopiadora Kanon

{

t¡ene destinado un monto no mayor a

¡

$1500 para la compra de cartuchos para sus impresoras. Obseryaron que los precios habían dism¡nuido en $1, por lo que compraron 50 cartuchos más y exced¡eron el monto

t.i

fijado inicialmente.

Pneeu¡¡ms

II

Determ¡na la máx¡ma cantidad de cartuchos adquir¡dos por la empresa fotocop¡adora.

x

e

(0; 250)

\r¿ri*

Por lo tanto, la cant¡dad máx¡ma es de 249 cartuchos.

Sean x: n.'de cartuchos y: prec¡o de cada cartucho Por dato, la empresa tiene un monto no mayor a $1500, entonces: xy < '1500

para maximizar: xY

=

ant". = 249

=

v= 'x

ff

¿Cuál es el nrec¡o mínimo de cada cartucho s¡ se sabe que es entero?

1500

1l9o

Sabemos que: Xr¿r¡ro = 249

... (1)

"n1"r9

Al bajar el precio de los cartuchos en 1$, compraron 50

Reemplazamos en (2):

cartuchos más, lo cual exced¡ó el monto fiado,

(249+50Xy-

(x

+ 50Xy

-

1)>

1500

.'(2)

15oo+

1500 x

75ooo x

> 1500

"_r,1500 ' ' 299

Reemplazamos (1) en (2).

(x + 5o)

1)

y-1>5,02 = (Y- 1)mlnimoentero

> '1500

.'.

=6

El precio mínimo de cada cartucho es $6.

-x-50>1500

75000-x2-sox >0

El

x

¿Cuánto gasta la empresa en la compra de dichos cartuchos?

x2+50x-75000 <0 Xr¿r¡¡6s¡¡¿¡6

(x+300Xx-25o) x Puntos críticos: 0; 250;

.o

Y-1=6

Reemplazamos en (2):

(2a9+50X6) > 1500

-300

+ -300

= 249 e

0

250

.

.

299(6)

>

1500

1794

>

1500

La empresa gasta $1794.

Álceanl

- TEoRIA UNIDAD 4

I 119

a

ir E Ti -r--t--r-t--r_J---+----t---+----

-.1---t-_-f-

+

l--l

-r-_r-

I

;].. DERIVADAS

ü

Aonshayando

a^taxqaa Se está construyendo un tanque de 2,5 m de profundidad, de base rectangular, el cual debe abarcar la mayor área posible. Para ello se secciona el área de la base en tres rectángulos

de igual medida, de manera que el perímetro

F.:":ff

total (4x + 2y) mida 200 m.

2,5 m

-l----1-----1----:

v

I --r---] fl --r----r----r----r---r-Tx

Pnecu¡¡r¡s

E

2

Halla la función área

!f

Del gráflco:

A(25)

Area = xy, como 4x + 2y = 200 y = 100

ff,

-

2x

...0)

ff,

-

2(25)2

=

1250 m2

¿Cuálserá el área lateral deltanque? A¡"¡"o¡ = 2(2,5)(x + y)

A¡r","¡=5(x+y) 4¡"6,"¡=5(25+50)

Halla las med¡das que maximizan el área.

A¡"6,"¡ = 375 m2 .

Para máximos y mínimos: A(x) = 0 (primera derivada)

100-4x=0 + x=25m Reemplazamos en (1): y

=

100

-

50 = 50 m

Xatta la segunda derivada que justifique que se deter. minó la máxima área. Sabemos que A(x)

=

100

-

4x

+ AIx)=0-4 + A'(x) < 0 b(ste un máx¡mo (Cr¡ter¡o de la segunda derivada)

120

= 100(25)

Delgráf¡co:

Area=A(x) = x(100- 2x) A(x) = 100x - 2x2

A(x)=100x-2x2

!f

aCuál es la máxima área de la base?

Leximáüc 5.'

ff

.

El área lateral del tanque es 375 m2.

¿Cuántos litros podrá almacenar dicho tanque? Primero hallamos el volumen deltanque en m3.

Vanque=50x25x2'5 V"nqu" = 3125

m3

Sabemos que:

I

m3

... (2)

=

1000 L

Reemplazamos en (2): Vtanque

= 3125(1000

Vtanque

= 3 125 000 L

.'.

L)

El tanque podrá almacenar 3 125 000 L.

f-

t LexiITiát-r

-

T

ALEE R,A Actirzidades -á

* § /

!

."1

rt

-

#

t

Eontenido Temas

Pág¡nas

Teorío de exponentes Aplicomos lo oprendido

6 E

Procl¡quemos

Pol¡nom¡os

PRIMERA

UNIDAD

tl

Aplicomos lo oprend¡do Proct¡quemos

l3

Productos nofobles

l8

Apl¡comos lo oprendido Prqcliquemos

20

Cocientes nolobles

24 26

Apl¡comos lo oprend¡do Procl¡quemos

29

Aplicomos lo oprendldo

Pfoctlquemos

_

McD y MCM - Frocciones olgebroicos Apllcomos lo oprendldo

ftocllqusmos

SEGUNDA UNIDAD

Anóllsis comblnolorio Apllcorroo lo opfendldo Proctlquemos

Rodicoc¡ón - Rocionolizoción Aplicomos lo oprendido Proct¡quemos

Números compleros

46 49

5l

Morotón motemótlco Ecuoc¡ones de pr¡mer grodo - Plonleo de ecuoc¡ones

ó0

Apl¡comos lo oprendldo Proctiquemos

Sistemo de ecuociones Apl¡comos lo oprendido

ó3 ó5 ó8

to 73

Proci¡quemos

Ecuociones de segundo grodo - Plonfeo de ecuociones

78

Aplicomos lo oprendido Procl¡quemo§

80

Morotón motemótico

B3

lnecuociones Apl¡comos lo oprendido Procliquemo§

Func¡ones Aplicomos lo oprendido Proctiquemos

CUARTA UNIDAD

u

55

Motr¡ces y determ¡nontes

UNIDAD

37 39

Apl¡comos lo oprendldo Prociiquemos

Aplicomos lo oprendido Procliquemos

TERCERA

_

32 34

Límltes Apl¡comos lo oprendido Procl¡quemos

Derivodos Aplicomos lo oprend¡do Proct¡quemos

Suces¡ones - Progres¡ones Aplicomos lo oprend¡do

8ó 88

9l 93

9l 99 1c.2

104 107

Procl¡quemos

r09

Morotón motemótico

112

\ -

I

QecueeoA EátcuLo diFenenciat Reflexiona

cólculo diferenciol conservó uno estrecho reloción con el cólculo en diferencios finitos, originodo en los trobojos de Fermot, Borrow, Wollis y Newton entre olros. Así en I7l'l Newton ¡ntrodujo lo fórmulo de interpoloción en di{erencios finitos de uno función (x), fórmulo extendido por Toylor ol coso de infinitos términos bojo ciertos reshicciones, ut¡l¡zondo de formo porolelo el cólculo diferenciol y el cólculo en diferencios finitos. El

.

Si tiewlroyensión alerler [ayacimcia. yor qemyb. 6usqur un su*iruto lara [a cófrra. Neutrafkla con una *yresíón o afrnnación poshiva m( como: "nalie

puilt hacrme mfalar si qo no fo "1rmito". No l4aíl qw nalít más que

elemento fundomentol del cólculo d¡ferenciol ero el desorrollo de funciones en series de potencios, especiolmente o porlir del teoremo de Toylor, en lo que se desorrollon cosi todos los funciones conocidos por los motemóticos de lo époco. Pero pronto surgió el problemo de lo convergencio de los series, que se resolvió en porle con lo iniroducción de términos resrduoles, osí como con lo konsformoción de series en otros que fuesen El

lo

controfe mis erñociones.

bs le-

.

convergenles.

o los series de potencios se incluyeron nuevos lipos de desorrollos de funciones, como son los desorrollos en series os¡ntóticos infoducidos por Stirling y Euler. Junto

I¡s huenas lrcisiones son { resuftalo le h e*ytriencia q [a etperimcia u { rcsuf-

& [ot pá6rcs lecisiones. Tolo cto pane leÍyroteso. Ahora ga sabes e[

¡alá

r

secreto, {a c[ave

vendlo.

Lo ocumuloción de resultodos del cólculo diferenciol tronscurrió rópidomente, yo que oborco cosi todos los resultodos que coroc¡erizon su estructuro octuol. Por ejemplo, Euler demostró que en d(x; y) = Pdx + Qdy los derivodos porcioles deben sotisfocer lo condición.

Distribuye los números 2; 3;4; 5; 6; 7; 8 y 9 en las casillas de la fgura sin repetir, de manera que la suma de los números ub¡cados en cada 3 circulos colineales sea 16. Da mmo respuesta la suma de los números que se ubican en las casillas sombreadas.

C

oco C

A)

16

B)

19

C)

20

D)

24

E) 30

ttrrrrllrrrlltlrrlllrrrllrlrrt

lc{

exito es no larte ltor

7

Fl pLiCamOS TEI1AA I

ro apnendido

Teoetl oe ex?oNÉNTEg

1:

2

Efectúa [4

,.,'zl .(á)

25

4 Jf

Efectúa

1

(+t-f

|

Resolución:

Resolución:

1 4l

*=[,-(8I']-'=[,-*]-'

!

*=

li t2 =lE 5

¡E

(+I'

..R=3

A)2

B 3

A)

C 6

D) 10

3

4

Halla el resuilado flnal (a3b2c2x a4b3c2xa-6b-4c 4)

@

B) 2

1

D) 5

E) 0

Slmplifica

t------

v515.../5i5J25 Rcloluclón:

10 radicales

Resoluc¡ón:

(a3b2ó{a4b3Cxa{b{c{) =

a3+¡-6. b2+3-4. C+2-1

-

a1blc

,/ 51515...,t 5,

ab

Oueda igual que el anterior:

r:t-=5! 25

\/

5---,,/

Análogamenle siempre va a quedar:

@o

A) a/b D¡ a2b2

5

C)3ab

E) abc

6

Eiectúa 643

+

16

+

83

323

E) 25

1

c)3

Simplif ca 1

5

I

3

+

2 5

4

+

1

0.5

11

Resolución:

,=[(+I'.'(ir.(+I'l

+ (2a

(2")" + (2r) 2

@s

D)

o_

Resolución 26)3

A) r0

? 2

nl

Ze

Oo

*

5

'=[,'.(rr.+l'

t

1

P=[27+9P,5=[3612=6

P

D 4

6

l.exim,áüc 5.o

@ E)6

c)3

A) 2

B)5

D) 3

@

c)4

7

I

Calcula: 2014

-=[+ +

4 3

P = x1x2x3x4 ... x15

)'l

Rssoluclón:

7Q

Resolución 7 16

t5/

I +

A)2010

B)

D)+ sii m= n p

R=1ft10='l

P= xlm

c)

3 5

10

J2o+J2o+/20-;-

= JmJmJñ=

13J36m+n-2p

,/1 +

A=

-

Resoluc¡óni

I t-=t"l =_I t

--;-

B)

3

@

,

r ^,ry',T6aot ".rV/-i0 -d:6- r/ ^\ .wt=------T-_=---TM:5d / '*[

_^IE:A *(vEr+-)

A)2

310x39x38x ...x3-7x3Jx3-9x3-10 _.10+9+6+...

c)3

14 L

36

2

2

'

. (+l'

49

Simpl¡f¡ca:

^3¡

2'n

+ -325 +16 :ne7l

24n

Rúduclón: f- -

-T----- - -L =y' +.25 2+2.36 ,+á.a9 ,

l1 7 l1 - 15 /1 ^-v36'3v49 '-"1 31 25

3'tt v tt

c)0

D)4

Calcula:

-2- +

r

B)2

A)3

E)6

'

-8-9-10 .0

48 5

@r

D)4

o)rry

3i0.3e.38... 3-7.3 8.3-s.3-10

240

,=1p

5

@r

Simpl¡ficá:

.

5

I

c)6

E)e

7

Rcsoluclón:

Resolución

5

B)5

A) 2

@

¿

;E v;

r'={rm=ul-r=z

zqlFl6a ^, 5

E

7'

3

\

c)3

I

,n¡

-la

I 'l',8

t/3/3J3... _A¿=3AáA=3

Efectúa:

E

Calcula el valor aprox¡mado de

Pld6nrm+ñ-2p=5+5-2(2)=6

m=s

D)5

l3

E) 60x

y'my'mlm.. _ñ=r'mn

A)o

lvf

D) 120x

9= J1+3 = 9=2

m

m=/ZO+m

B)

I xh,5:.

o=J 1+

,

o,''

xs

A) ,uo

Elovamos aloJadrado:

^-J2n+J20+J2o+

11

p=xrP=x1m

t16l

16

Rosol!ción:

=

I

16

@r

calcula:

ñ

P=xr.x2.x3.x4..x15

16

[7+9Fo1o=[16Fo1o

=[+.(tfr"

I

201

16

2!10

+

Calcula:

B)2

,=/tá.,t.á 1*1. 33

E

E

Resoluqión: 7

3n

f'-¡zT+to

,1

3n

2on 23n-23n+16 c)3

21-n

¡

-{2) 5 2'n

16

R€ducimos:

+

6

2a

21

21

B)

0

E)6

a¿t I ',t,

2

n

c)

1

n

D 2

o '0t

c'8

36

at

39 a9

at IC

)'z l't

sa^e'll ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIOAD

I ]7

Pnacti UEMOS

I

NMEL I ldentiflca la alternativa incorrecta 1

(,-'f'

2

{rrr^-lffm

3

*-'(r_,1, x 'x

4.

cn = roo ooo

=24

A) 1 año D) 4 años

ll.

C) 3 años

E) 5 años

La población de cierta ciudad es:

S¡ la poblac¡ón hace '13 años era de 1500 habitantes y ahora es de 4500. Calcula cuánto será la poblac¡ón en 13 años más.

il¡B) 6

D)8

E) 2

c)5

A) 13 500 C) 13 700

habitantes hab¡tantes

B) 13 600 hab¡tantes D) 13 400 hab¡tantes

E) 13 300 habitantes

Calcula: 7n+1

NVEL 2

A) 136

B) 236

D) 436

E) 536

c)336

tz.

Si:x=(-2) 2 + l-11-1;y = .{f,!l§es c¡erto que:

Calcula:

"-t = 64e-'

B)4 E)7

D)6

13-

E) 3t2

c)9t2

'14.

Efectúa:

-

I

+ a) veces

B) x3

xa

D) x-1

B) RQP

c)

PRO

E) QRP

Reduce

cl

At+

E+

ori

E)

E) xo

15.

I Leximáüc 5."

.¡ E2¡ \ 1 -2.¿ | 13¡r-¡x I I

I .^ + 1.rc2x+1

x 'x -

D) xs

1

S¡mplifica

t¿ |

,(r'1rt¡'¡'

A) x6

B)

x'

crl

x2

Reduce

B=

.3

= 5rz'

[";.]',,,*,,

l0veces

x3.x3...x3.x3.x" x.x...x.x

a2

^,tZ

=((s,I), o =(5r)",p

A) RPQ D) POR

B\ 2t3

A)

= -3

Ordena en forma decreciente:

-

D)4

(3O

D)x2+y-6

e

A) 1/3

o_

B)x+y='1

c)x>y

,

Si:aa = 3, calcula: (a3)^ + ¿""*1

A)xY=-3 E) 4xY

c)5

"= (l)"*3-.-^z'

8

B) 2 años

P=Poh

4'+4'

.

s¡

x

-

A)3

9-

(|f

ooo

reporta una ganancia de S/.91 500.

I

t¡'f'

A)3

E

8.

- zz

Determina los años que el producto lleva en el mercado,

e.{¡tzx 4

t(]")

7.

Una compañía gana (GA) por la venta de cierto art¡culo, luego de

'x'años de ser lanzado al mercado:

'¡'f

7n+

6.

10.

Efectúa

c

5.

(1,

a

A) 5' D) 10¡

c) *8

E)r'o

I

B)5

El2

x+0

c)

10

\ )

G.

16.

t l-L,-_

+t +

l) (ilÉ) .(il('J

1\

2l

A) 16

consumió 32,81 mg.

c)

B) 17

A) 1

18

E) 20

D) 1e

'17.

RO: Razón de oxidac¡ón por minuto(mg) Sila razón de oxidación de un cuarto dejugo de limón es 9,5 mg, calcula los minutos transcuridos desde su preparación, si se

Calcula:

I

Calcula el valor de:

D) 4

23.

min min

B) 2

m¡n

C) 3 m¡n

E) 5 m¡n

En c¡erta c¡udad de 70 000 habitantes se esparce una epllemia de modo que cada hora se biplica la cantidad de personas infedadas.

Detemina el númerc de personas ¡nfecladas alcabo de

fr**)

18.

.pa,lax=2

C) 58 049

c) 5,25

A)4

B) 3,95

D) 3,80

E) 3,375

[«,,r).[,,' ,r2.1ra)o A)x

B) x2

D)

E) x5

xa

1.gn

*

l. 3'-2.33-'=3

(

)

.*=tz

(

)

t. (a'f

x3

lll. (3 +

2

3)24

E\ 128

25.

+4 +

2 x+4-i+8-x

l=(+I' xY

0,

12

B)8

o\

1t4

E) 9/2

c)3

g¡g-zt

625

psible respuesta.

I

@

i

c)4 ...xh

; ¡.F-r,;=

Reduce

(x 2) z-.(x2f

-

26.

x2

D)r"

E)

20^*1

C".T; rr"tr-

,'3

A)1 D)25

La masa de la vitamina C de un cuarto dejugo de iimón, luego de

su razón de oxidac¡ón, está dada por el modelo:

m,. = mr

(r

'\

89f

¡l

Donde:

t tiempo (en m¡nutos) mi : masa de un @arlo 1

50mg

\

Simplifica:

c) ,s

B) x7

A) x5

\l

)

E)0

Que expresión conesponde a la 2x

A)

/mr =

\

Bl2

x2 .x4 .x6

22.

\ (

=312.212

Sise cumple

A=

3'o

+

1 D)4

c)9

B)3

Determina el valor de

2'1.

324

A)

81

n

=

¿Cuántas son verdadelas?

2on+r

D) 27

,,=t

D) 57 049 personas

Señala verdadero (V) o falso (F):

lv.13.2)12

* 2n.4n

20.

c)

Reduce

A)

B) 60 049 personas

NIIEL 3

Reduce:

^ ü=-

horas.

E) 30 049 personas

24.

19.

personas personas

A) 59 049

'10

27.

B)5

crl

E) 125

Simdifica:

,-1

[1*¡"á-1-zYil' de jugo de limón

A)0

B)

D)3

E)4

1

c)2

I ALGEBRA - AC VIDADES UNtDAD

1

I

I

I ) 28.

\

r -

34.

Efectúa:

El modelo matemát¡co para calcular la masa que queda de un isótopo radiactivo (m(r)) luego de 'l" años es:

k+l'.(#.r.(áfl'

mo evt

m(t) = donde: e: número neperiano

29.

A)6

B) 5

D) 3

E) 2

Pa¡a: xy

c)4

mo: masa inicial m(t): masa final o masa luego de un tiempo t (años).

t

+0

mo; m(t): g, kg, mg, lb, onz, etc.

La 'vida med¡a'del uranio 238U emite partículas alfa (o) es de

Reduce: xY

y', y 1v , x(xY)'(y')Yy

xl¡ i/

xrrx

\

xy

A)

1

xy veces

c) xy

x'y

E)

35.

Si xa+b=ax-a, 2a

A)0

B) r

D) a2

E)

c)a

-a

f \ 4lb

4o

t¡t

A) 10 años

B) 20 años

D) 40 años

E) 50 años

1

Energía producida:

^, ', i6

E+

D)2

1

E)4

C) 30 años

Una empresa hidroeléctrica desea generar corr¡ente eléctrica para toda una poblac¡ón con el objetivo de que la cantidad de energía generada sea igual a la energía mnsumida por e¡ pueblo. Si:

a Energiaconsumida:AA

Halla ab, sise cumple:

^4.ti

de la masa inicial'

2-¡' ';Ñ

B) x2

1

calcula: x ( X

31.

Yry- 11,

veces

D)v

30.

4510 millones de años. Determina elt¡empo en que la masa restante será:

i

.lil t3

A=

(3/aE)-t

'fiffi

Determina el valor de x para cumplh mn d¡cho propósito.

A)2 D)5

B)3

C)4

E)6

32. Si:25r+9x=2(l5x) Determina el valor

33.

de:

E

=

S-7x

+1

+3

2 5

A) 10

B)

D)8

E) 15

7x+2

z(s z'-t¡ c)5

o
Actualmente ya se puede determinar la concentracjón de almhol en Ia sangre de aquellas personas mnsum¡doras. De estud¡os realizadosse proporc¡ona que

elriesgo R(expresado

como porcentaje), de tener un accidente automovilístico, puede ser expresado según Ia ecuación exponencial:

R=3.(7)k

{x

o

o t¡,1 L¡,1 L! oodl óñddid;ñ."j I

krconstante Se determina que una mncenlración de 0,0286 de alcohol en la sangre produce un riesgo de sufrir un acc¡dente del 21% . Calcula el valor de 'k' del modelam¡ento proporc¡onado.

I Leximáüc 5."

$

aa

x: la concentración de alcoho¡ en la sangre.

A)38,15 o) 37,12

=f¡o@F-ó6iO ¿. I\¡(\¡NNNñ¡¡i'

U

S¡endo:

10

t

8)30,3 E)34,97

C)20,05

9"1 19ff9q oroF=Nct!alD :

LuorDoo § =-.icir¡'idñd

<

É

t

R LiCamOS to apnendioo § TETCIA 1

2:

POLINO/v\l09

Del polinomio homogéneo, ordenado, completo y de términos respecto a 1": T(x, y) =

¡a* zr' * rz*

Halla el valor de:

6yb

+

... +

a'x',

.

Z

T =,"{F

-

l= ¡n,. *:e,.,

\=mm-n,

\,?ñ/

I

(1 )

2Br,r+

I =8x

+ 2s

B)

o)16

4

= ¿,

-

L..(1)

c) 30

6¡¡¡=r,r,,'-"ffi . nOer¿., s/ ":f

= 6x + 4y + 4

B(x) ' A(x)

z(\¡rBt,l)= 3\,r+

Dado

=

1\

B (x)

-

=,0

E) 50

D) 40

-

1, 2y

R€6oluc¡ón: De:Zl2x 1t4 1l=6x+ 4Y + 4 hacerus: Z(2x - 1i 2y 1)=3iA-1) + 2(a - 1)+ = z(mi n)= 3m + 2n +

1

B) 20

6»10

r

A(x) .

R€emplázámo€ datos en

r=

-

Z(A(x), B(x)) = 8x + 2s z(A(x), -B(x)) = 4x + 17

b

..K=10

Deldaiol n.'términos

determina:

Se establece: Z(Zx

Teniendo en cuenta que:

Nos pidenl

2/

=(2+7)+1=2t+&

3

*

2

luego:

2t-20=0 t= 10

'

20yt

8r)

Calcula:

Observamos que el polinomio está odenado descendentemente resp€cto

xa-

(a +

* = ''{/

R8olución:

.

{

c)0

1

E)1f 6

D-)

-ro

S¡

se cumple:

(q

-

A)x2012

+

(A-

p)4117 =

1p

-

q¡f012 + fl12¡,

evalúa:

(¡" - nn"a ,(S)(##)

'=(rhXr*'l')(4#-") Resolución: q

-A=

p

-q+

2q = p

+A

A*p=p-q = A+q=2p / qq \/ qc \/3qq+2qq+qq\ qq / \qq + qq /\d + rc' /\

B

@1/2 D)

5

A)

E 2

1

Sab¡endo

c)0

q+5 (xq 2axa 3+z¡2"1xs-xo*x3 r

6

determina el valor de

lf

'q' para que A(x) sea de grado 50.

Determ¡na

'q' del polinomio:

6

* 5ab1, . r¡aq-r- 6aa, C(x, y) = ba ,a2q Sab¡endo que su suma de grados absolutos tiene la forma: (al5 + 1)2 Re6oluc¡ón:

a2q 6+2a!-3 + 1=

-

1

B)2

D)4

@

A)

c)3

c)0

-1

El2

0»1

que:

^(r,-@,

B)

-2

A) 16 D) 19

2a15

+

2q-6=30 = 2q=36

-

q-3=15

a3o

-

+

q=18

B) 17 E) 20

1

q=18

c)r18

ÁLGEBRA - ACTIVIDAOES UNIDAD

1

I

11

7

Si: P(x)

5¡2

=

a 7¡

-

I

12

Sea P un pol¡nomio, tal que: P(2

-

x) =

P(-x)+ x

x)

es 2k; ademásr P(2) = 4 P(2 - x) = P( x) + P(1

x

-

k. Calcula: P(2) / k x). .(l)

-

0ato:

P(-1) = 5(-l)2 + 7(-1) (P(-f»P(1) = (-14)o - f

tcoef. P(x) = P(1)=

=P(2)=P(0)+0-P(l)

4-k 2k 4-t=k +k=2

k

r.

12

=

l.P(x) = P(0) = 2k Además:

-la

P(2)=a-k

k

De (ll):

...(l|)

Pl2l=4-2=2

De (l):

Nos piden:

P(2) 2 k - 2-

x=0 (Á»1

ú)

B

-2

cl2

-1

D)7

l0

Halla la suma de coeflcientes del s¡gu¡ente pol¡nomio ordenado

P1x¡

=

(a2

-

b2)x"3*b3

=2¡'*6r*',,

Q(x) halla:

Ra6oluc!&r:

P(1)

(a2

-

b2)-

b)[(a

+

b)

=

:co€t = (a -

-

(a

-

(x-1fax+b)+(1+x+xl =2é+&+

-r3=z+¡a¡.t-a¡=-*

B)

c)l

3

x2(a

Calorla

la

12

+

a(t'+xc)+ (xe +xc¡ + abc

ü(I)=

m+2p+5

GR(y)=p+4

5+2p+5=14

... 21a+ b+ c) +abc=2(6) +6 =

18

m+p+3-(p+4)=4

€) 18

c) 20

o 16

l¡l

expresón es de selo grado.

2n2-6¡¡+m

2n2 m

x6

-

o

B) b E) 9

12 Lexirnátic 5.o

Íf

* {.m +,{ri

-21ltl=4rf

b(a-c)=a(c-b)

A)5

tl

=

m=

@

c)

-bc -

m2)xa + (bc

0 o/ & ¿fl .0 d. db ¿n - 0

=+m=|vm=a

@;z

Siel pol¡nom¡o:

db-b. -?

-9 -8

-7m 3(m 4) =6

a'tt

E)5i 3

P(x)= 0

25r¡ +72 = o

2m2

o

B)3;2

-ac -4mn)l+ (ac -ab es idénticamente nulo, c;tlcula: Z= a-1 +-b-r ' r*, Resotuoon' C'

.+2m2-ln=1Bm-12 2n

2P=4

,. v-.

2,7

P(x)= (ab

P{x)={x'zm m-{xm

/1,._rL_-

+

A) 1t7 D)

Si m es el mayor posible, calcula su valor sabiendo que la

GA(T) = 14 ='14

GR(r)=¡1p..3 +GR(x)-GR(y)=4

,,

- sfl+p

14;

abc

,t.,

c)4

4¡+n+y-2+

Piden:{c-bt-(cral +(a-b) r

Resolución

.. c-a-b=2

GR(x)-GR(y)=a

+a+b+c=6 a.b c=6

D) 12

3c=9=c=3 Lu€gora=-1yb=2

Datos:

Como es un polinomio completo debe ser de 3.6rgrado.

A) 15

(2) {3)

Hal¡a m y p para que el polinom¡o sea de grado 14 y la diferencia de los grados relat¡vos de x e y sea 4. 1y')+1 gxm+ p+ 1f+4

T(x;y¡=

Resolución: P(x) xá(c + b) + xb(c+ a) + xc(a + b) + abc =

(1)

b-a+c--6

B)-4 E)-5

rÍs

suma de coeficiente del s¡guiente pol¡nomio

=(t' +fl

P(x)

=2¡2+6x+1 + c)+ x(b-a + c) + c- b

(Á)2

completo.

a+c=2

1

ar2+bx-ar-b+c+cx+cx2

E)3

4

=2¡2+6x+1

-

Entoncesl

1l + ab

A 2A D)

b) + ab

c- a -b

Resoluc¡ón:

6b orderEdo y comÉto E@f.=(a-b)l'l -11+S=aü Coí|o: (a + b)3 = a3 + bJ + 3ab{a + b) =ar+br=2^a+b=1 S el-polinqrl¡o

>c@f. =

E) 13

Sabiendo que los pol¡nomios son idénticos P(x)= (x-^lxax + b) + c {1+x+x2)

- 1a - b¡x"*b + ab

¡,los Íxijen:

.

c)4

B)2

(A»1

E 0

y completo:

'13

-

Resoluc¡ón

P(1)=5(l)2+7(l)-12=0

fl

P(1

Sila suma de coeficientes de Pes kysu térm¡no independiente

P(x)=5f+7x-lZ

I

-

Calcula: (P(-'f»P(1)

7

A)

-

= (m+d=o

(l)6Udaltll):

1

v0l

v'8

c9

8 !,

86

Y'¿

39

sa^ell

I

1-

naen.Z=l-1¡--= aaO = qt¡l fuarpbróM .. Z=2 c 1

c) -3

ét1t2

czt

g

( t (o d, ,1r-r , l't' d,c - o.-¡n1 (ttt, t b(a

@»2

D)-4

4n2)

o't v't

v'z

v,

\

nact¡ uemoS 4.

NMEL I

'1.

¿Oué tipo de pol¡nomio es el que se te presenta?

R

I o\-2

A)

5.

B) Polinomio racional entero.

calcula: P(1)P(o)

D) Polinom¡o inac¡onal.

A) 20 D) 25

E) Polinom¡o ¡nacional fraccionario.

6.

Pol¡nom¡os

P(x, Y) = ¡3

+ 24x3f +

a 2¡2, *

P(Y)=xf+xf+xY3

halla:

Sxay

P(y)=f+l+y+1:

A)

e(yl=f +2Í"f

8.

P(x)=¡3"6l*,U**t

9.

+*

24x3f +

'Ut*O

cya

10.

g¡ay

*

*

24x2,/3

*

SxaY

+

2aff + ct'

11.

Dado elpolinomio P(x)= P(x P(21 = 4.

-

1)

+

P(x

-

2), además: P(1)

+

3)

C)x+14

14

1,

= 3;

E) 5

Dado el polinomio:

=

(n

-4)/r

Si:P(y) =

A)2 D)5 '12.

c)3

B) 2

1

=

+

(m

+ 1)e

+I

-iu1-2

7, calcula n.

B)4

c)5

E)7

f+3 =

y'+t +

y2a+2

7, halla a.

B)3

c)4

E)7

Calcula el valor de x para que la expres¡ón sea de noveno grado:

nr(a)='/á.'.17.43 '17

Halla P(P(o)) 1

P(h +

= 5x - 4, además P(f(x)) = 5x +

donde: GR(Y)

P(x)=a2'i+bT+é

D)7

14

E)5x+1

3 D)6

P(x)=8¡a*2414*rs'

A)

8; halla:

B)6x

A)

¡' P(x' Y) =

3.

+ 'l) = 9x +

Donde: GA(P)

ry5

P(y)=f+l+y+1 P(x, y¡ = ¡3 1 2*2,

S¡: P(x)

P(x)

P(y)=xÉ+xY+xf; =

11

E)i

0) 4

P(x)=x316'r*

P(x, y¡

c)

1

Si: P(3x

A)

2rf * ,r,

P(x, y) = Sxay +

B)

tlt)+tlz)

-:-l=-=l--

halla f(3).

P(x)=ct'+24t'+7x¿ ..

c)3

A)6x D)Ox+s

+*

P(x\=a2f¡61f*¿

P(x, y) = ¡3

B)2 E)5

D)Í+

+ 24x13 + cy5;

P(yl=f +zl.'f

c) r0

¡ P(x)=cY5124's*"4

=

B) 15

Si:(x-2)=2x+1;

c1a ,

P(x)=8x4+24Y3+Y5

P(x, y)

c) -1

P(-x) = 3x + 1, halla: P(1) + P(-1)

A)

7

B)0 E)3

E)5

I D)4

Cada uno de los pol¡nomios aparece dos veces. Excepto uno que aparece tres veces, y otro que está solo. ¿Cuáles son? lnd¡que a qué t¡po de polinomio pertenece. Sxay

Si:

20)

= 3x + 2,

Si: P(x)

C) Polinomio fraccionario.

=

I 1-R(-1

A) Polinomio racional fraccionario.

P(x, y\

-

Calcula:

el,v,a=r'ñ4*fi- '@ro *x3v2l5 -fl-íJlJ lab'

2

Si: R(x)= (2x + 5)2

B) J E)

I

c)5

Al 12

B)

6

D) 17

E)

I

Álceanl - lclvtDADEs

c)

15

tjNlDAD

1

I

13

4

)

T

13.

Ca¡cula E

-

l8x3 -3x2

A)5 14.

17. SeaP(x-2)=f+3x-2.

a + b + cen la siguiente identidad:

- 4x+

1

=a(bx + axcx- a)b; a >

8)6

c)7

D)8

Halla:P(0)

O

E)e

El largo de un rectángulo m¡de 7x, + 2y + 177-. S¡ su perímetro mide 20x + 8y + 402., expresa e¡ ancho del rectángulo como un polinomio P(x, y, z).

A) P(x,Y,z)=!¡a2Y137 B) P(x,Y,zl = C) P(x,

)/,

7l.- Y ¡27

z) = 20x

+

A) 10

D)6

I

1s.

16.

r

A)

0)4

19.

Reparte los siguientes polinomios en dos grxpos, de modo que en cada grupo al reducir sus términos semejantes; el polinomio que se obtenga sea idéntico al del otro grupo.

2)(l - 2x + 4) Q(x)=(x-'l)(x2+x+1)

20,

7x+8

Para resolver este logogrifo debes sustituir los números de los recuadros por letras según la teoría de polinomios.

6

7

4

5

a

13

l

5

I

l0

6

I

1

8

2

6

10

3

9

tl

3

8

3

2

12

2

21.

3

ll.

6

t

22.

si:

ct+

E)+

3(x)- gj-(-x). +

+ (10)

A) 49

B) 53

D) 55

E) 56

Si: P(x)= x(x

-

c)

54

2)+ 3

P(a+1)-P(a-1)=4 v

Calcula: P(a)

Se tiene que reemplazar las variables por una mnstante

lV

para el cálculo de la suma de mefcientes. Es una de las partes del término algebraico que preceden al coeficiente.

constante pa¡a

Al2 D)7 23.

B) 5

c)4

E) 3

Sea la expresión:

P(x,)=

/i-xr

Evafúa

R(z +

determ¡nar el térm¡no independ¡ente.

Vl. Un binomio está mnstituido por cierto número de térm¡nos. Vll. P(x, y) 4xt r 7f + 7ry I 3 es un polinomio racional

Lexirnáüc 5."

6 '13

y además:

V Las variables toman el valor de una

14 !

B

1

Halla: f11) + f(2)

lll.

Vlll.

1

lt

Es el grado donde se suman los exponentes de las variables de un monom¡o. Grados absolutos de sus términos en un polinomio homogéneo.

entero: Sío N0 La primera.

c) -1

1

+ F(2)+ F(3)l-1

D)3

VIII

l.

E)

'' = ax+

¡Te doy una pista!

3

B)0

Halla: lF(1)

Cada número nos representa s¡empre la misma letra.

O({7)

Sea: Flx)

A)

2

= P(3/:T-) +

A\2 ol-2

3x2+3x+5

5x+3 9x+4 2x2 + 4x+3

E)2

Sean P(x) = (x +

Halla

Lengua¡e

14

c)3

2002 !€.es

10x+Y+z P(x,Y,z)-¡1Y-¡2

8x+4 x2+7x+4 5x+6 2x2 +x+4 9x+3

B)5

=l-z

P(.P(P(-2))...)

10y + z

NMEL 2 '15.

c\7

Calcula:

D) P(x,¡z) = E)

S¡: P(x)

B)8 E)4

x2)- R(" 2P

A)

1

D)7

x'?)

x2

2

c)5

B 2 E

2

24.

Si:

NVEL 3

P(x-1)=x+Z

Además: P(f(x)) = 2x + 7

32.

Halla: f(4)

A)9 o)12 25.

c)

B) 10

11

Busca en esta tabla los binomios necesar¡os para completar las operaciones con los otros binomios de abajo, de tal manera que sean ¡dénticas con los del segundo miembro.

E) 13

El grado de P(x) es 32. Halla m.

P(x) =(xm+ S)(xn *

4)(xñ +

A)8 D)4

8)6

3xxm +

2)

c)5

E) 3

2x+8

x+1

9x+8

0x+1

4x+7

x+9

6x+0

5x+5

3x+2

7x+0

6x+3

0x+9

3x+3

x+8

I x+4+ I

x+5+ 26.

Halla elgrado del pol¡nomio: P(x) = (x3

+

1)(x8

+

1)(x13

A)912 D)893 27.

+

1)...(xs3

+

1)

I I

c)e31

8)960 E)864

En el pol¡nom¡o:

I = -3¡2n-trn+ +7xb'+7Yn+2 Se tiene: GR(x) = 17, calcula: GR(y) + D)

28.

12 15

c)

B) 13

P(xiy) = 2x"-2f"

-

=

'13

-

A)-1s

33.

5x"*1f"*3

+

I

=6x+21

+x=10x+9

I

I

-8x+14 =7x+9

I +I

+x+3=9x+10

+

+7 = 4x+

+6x+9+

I

=

23 11x+ 24

Expresa el área total y el volumen de las p¡rám¡des regulares mediante un polinomio.

2\+3

GR(y) B)

15

C)

16

D)

17

E) 18 t+3

¿Cuántos térm¡nos tiene el s¡gu¡ente polinomio homogéneo de grado 25 respecto a "m'?

t-E

A(m,n,p)=,./ii*

-?l1

1/ i ;

A)90 8)201 Calcula

!j1 +7

n2 p3

v n'p"

la suma de

C)

r+) m'+.. 3!2 ljz n2 p3

3

34.

z(x) = nn(n + 1 F xJ-3á+z -7¡7{n-txn-:)

del s¡guiente polinomio

A)nn+1 D) 184o-2

B)-7

+ a6

+e:* 1nz

-

1

¡¡7+za

(

:

B)2

Si:

c)5

P(x)=2x5 n + nxn-J+n'

16 D)56

B)32 E)36

A)

1

36.

o=/l"P'\r','¡ ' \1-q/ 1

B)3 E)e

es un polinomio, calcula el valor de P(2).

Obtén el valor de:

A)

+ab

c

¿

35.

H(Y)=173+5f+4Y+1 +

2a lf

A)2 D)7

Sean los pol¡nom¡os ¡dént¡ms:

l(y) = (my + n)t(ty + p) + q; q

P(x)=¿x1[¡49; 610

Calcula

C)-30433

E)5o-3

Sea:

(B)

si:e(z)-e(r)=-|

110 D)210 E) 130

coeficientes

t!

(A)

homogéneo:

31.

=11x+8

En elpolinomio:

Calcula: a

30.

14

E) 16

Se tiene GR(x)

29.

n

I

I

+5+

3x+7

+

+2x+5+

I I I I

P(x;y¡

A)

+

3x+9

Si:f(x + 1)

=x-2a

c) 46

Y l(1t.=4,

calcula:f(a)

C)3

D)5

E)4

A\2 D) 1

B)3 E)5

c)4

ÁLGEBRA - AcflvtDADEs u N tDAD

1

¡ 15

-/

37.

Sea: P(x)= 2x

-

l,

P(1) + P(2)+ P(3)

+

.,.

Al225 D)961 38.

44.

calcula:

1.2.3

+ P(30)

Z*5* 4*

196

B)

+bf

+

n

n+1

C) 900

E) 1024

Siendo: P(x) =ax12+xs

Sise cumple que:

halla elgrado de:

-ax3+1;

a

r¡X

r\b +0,

Jx . 3/i . 4fi...n

factores

calcula el valor de: M = P(...(P(P(o

\+

2010 vec3s

39.

»)...) 'P'

A) 0

B)

1

D) 2

El

-2

c) -1

45.

A)0

B) 3m

D)m+1

E)

calcula:

-

2)

+

Donde: GA(M) = 25 y GR(y) = 7

['ur(])l

Halla su meficiente.

A)

¡O.

E+

D) 7

E)

f*b

1,

f(x+1)- *-1)

A)t

m-1

Dado el monomio: M(x; y) = 4abx2"*3b

Dado el polinomio: f(x) = x(x

C) 2m

c)+

D)

46.

1

4 16

B)48

q12

E) 14

Se muestran las expresiones:

Sea:

'*,,=(#)i.(#f.(Ú.[

F(zl=32¡14 Además: F(2F(a)) + F(3F(a)

+ 1)=286

-,,(#l(#l(#l

Halla: F(a)

A) D)

1 17

B)4

c)

13

E\ 12 B(x,

41.

Si: P(x

-

=kx-8,

2)

halla: P(x +

Luego, se determinará que el grado del monom¡o C(x, y, z) será:

A)4x+4

B)2x+1

D)3x+1

E)7x+3

C) 2x

47. Sab¡endo

es un polinomio homogéneo.

1)

Si P(x)carece de término independiente.

42.

y, z)

que'a' e T',

calcula el m¡nimo valor del grado

A)0

B)

D)3

E)4

1

c)2

Considerando la expresión polinóm¡ca homogénea de grado cero:

absoluto del siguiente pol¡nom¡o: P(x) = 2x2a

+6

a ¡a -

7

3rs

-

a

Bl24

A) 1e o) 21

43.

*

L(x, y, z, w)

c)

20

E) 22

Se le pide que calcule el grado de:

Halla el grado absoluto del polinom¡o:

S(x; }/) = 7xm

+ nyn

+ 2xm

L(x, y,

21

Dl24

't6

I laximát c 5."

z¡=

¡(bc)6r(ac)6r{al)6

+ 6yr' + a

sabiendo que es homogéneo y además: GR(x) es menor que GR(y)en dos unidades. A)

(ruf' , (",')" ,7r,2f' . r,'rt'r,' r -- .¡ f----:¡-- + ------ljy" z" x' wu

= --:¡-

B) 22 E) 25

c)

abcd = E

A)E

B) E2

D)

E)

23 E4

E5

c)

E3

) ¡l8.

a

53.

Determim el témino independiente y el grado del prcduc'to del

Si: J(t)

s¡guiente pol¡nomio:

f.$)x

L(0

(r,r".$-S)(r,r" ***#)... ... 27 (parentes¡s)

B)

ffi;zzsos

c)

D)

Zho;2zsoo

I 54.

t;o

+

c)tae

= 3ntc2+2cd

c2

+d

-

c y d son mayores que uno

(3 + d)ta3 + d2

- p*

26¡c2

Determina et valor de;

(l)ñ

A) 125

B) 120

D\ 21

E) -125

+2cd

-

cdtao

*^¡a2 +za+

(

energia en el que se encuentra de la siguiente forma (s¡endo x el nivel).

homogéneo:

=

x(í + x2) = ------:--¿

V(x)

5b2 *sa

*

rrso

-

3a + 6

+

abx2a

d2

c)251

Un estudiante muy talenloso logró determ¡nar un modelo matemático para determ¡nar la velocidad del electrón de acuerdo mn el nivel de

Determina la suma de coefic¡entes del siguiente pol¡nom¡o

Q(x, y¡

-

,

0

20hz;27eos

E) 1;1

49.

= L(t)i además:

J(t) = (9

ro = ("1'. á-*)(ro"*

n)

4

¡

T

\

-

x'

- x-

+ ,

1

+ 4ysb + 3

+ 2abbax2a+

6y9b+ 1

+

X2a

¿Cuálserá el n¡velde energia en el cual se encuentra elelectrón? Luego de resolver la s¡gu¡ente ecuación, cuando (a = 4, b = 2)

+ 5y9b + 2

,('( ('(,) )))=#ltil, n.^

Si su grado de homogeneidad es 33 y sus grados relativos con

respecto a x e yson iguales.

(2n+l)

50.

A) 542

B) 543

D)0

E)

Determina mmpleto: H(x) = (2m

51.

c) 545

1

el número de términos del

-

1

)x3m

27

+ (2m

A) 17

B) 18

D) 20

E)21

-

2)x3' -

26

+ 12m

y

nivel

B) 3.e' nivel

D)

n¡vel

E) Ninguno

'1

.er

C)2." nivel

s¡guiente pol¡nom¡o

c)

De un pol¡nomio completo, ordenado

-¿A)4.'

-

3)x3' -

25

+...

19

homogéneo en las

variables x e y, la adición de sus grados absolutos de todos sus términos es 342. lndica el número de téminos del polinomio

52.

A) 18

B) 1e

o)21

E)22

c)

20

NtvÉL

Del pol¡nomio ¡dénticamente nulo: N(x, y) = (ct +

p

- y-

e2¡x5

+

1p

Etaves

-

l. de¡x3y3

B

2.

+1p+y8-cr-d2)t'

3.8

u=$*{*ze Pe-l A)

1

D)7

B)3 E)e

c)5

D

22. e

NIVEL

13. B

23. B

32-

l,t. A

21. D

12.

3

43. B ,15. B

33.

A

46. A

35. D

47. C

3,4.

NrvÉL 2

25. A

5.D

15.

26. A

36. D

,aa. A

5.8

16.

27. A

37. C

¡19. C

7.D

17. B

28. A

38. B

l).4

8.4

18.

I

51. B

¡t. B

Determina el valor de:

1

39.

E

29.

D

c

9.D

19. E

10. A

20. B

30.

11. A

21. O

31. B

,o. o

52,

E

53. E 54. E

42- C

ALGEBRA - AcrtvlDADES

u

N

rDAD

1

I

17

R LiCamOS TÉ/Y\A 1

=:

Halla: A

A)

an

=t2st a,b+o +

Además:

8) ab

=

@a

+

b, calcula: (a

+

+

a2¡1ba

+

4

aa¡

5

B a

D)aa-ba

E b

Halla elvalor de: x3

-

3x2

+

+

12x

cuandox+3/t=i+*

A)

1

D) 2

18

Leximátic 5."

B

3t;

b8

-

@.t -

or*

6

16

c)

'/0

Halla M en:

A)1

@r

(x+ lY3

-lx_y/3

c)

64

El2

2a=b+c+d

e¡ za2

ut

Catcula e¡vatorde

Halla el equivalente de: 4(a

si:

A) a8

y=r,su+0,st'

B) 32

@e

b¡1b2

É

ab=32

A) 16

E)9

1

six= 1,5a+o,s

J¡F

1

Si: a

2

2bn

or4 ,b 3

4

aprendido

PPOOUCTO3 NOTAELÉ9

3

(f[+(]f

sr

Lo

-

b)(a

-

c)

+ (b

-

c)2

q+

@o'^

E)+

u='{ñ+@

B) 6 E)

I

+

20-

392

c)

20

7

I

7

9

Si: a2 + b2

=

1, ¡s¿¡ce; ¡rl

(a1

=

A) (a + b)2

B)ab

D) a3b3

E)

Si:

+ b4¡ -

1a6

8

b6¡

@.'u'

l0

a3+b3+c3=3abc

Al

ot

-+

12

BJ2

Dados: a;b;c;xt a

Calcula: K

=

ax2

+

^

- 9f z2)

-

x2)

+

c) -1

c¡l

B)2

@-z

2(2a

-

3)(1

- a\+2(2 -

B)1 El -2

g¡ J! .. .L .,. Z = g:xvz yzx

D)

14

-o-13*u Y=--a

I xyz

af+2by-a

@-r

D)

E) ab

v'tt c tt

a-1)

t

-1

0

c)0

B)

1

E)

xw

ola ta-of aa\b'zf (a+

-ai 8

c) 1t2

8)2 1

a

El área de un cuadrado de lado a + b es 8 veces el área de un triángulo de base a y altura b. Calcula:

^"=

2bx +a

B)

A) 0 D) a

y3z3

".,",(+)(+)(?)

ye¡R

-¡*{l-"

(ra

Reduce

E)3

-2

x2

-l

=

D)2

-+c-)-(a'+b +c ,

X

I

xa (3yz

A)0

(a+b)(a+c)(b+c)=-1 a -+o Halla elvalorde:

13

A)

y)

+

z6

-ea-3f-(a-1 -(a-z'i

@r

Sia3+b3+c3=3

D)

z-l(x +

+

y6

=

-(4a - 6X 2- a\ -

E)3

D)2

Si:

, = *d+i:-#

B)-1

2

Calcula elvalorde: S

-ab

Halla elvalor máximo que pueda aceptar:

1'l

+

v'zt

c'0t

vll

c6

38 a'L

E)

-1

o9 39

2

8't

o'z

3e

9'l

sa^ell ÁLGEBRA -ACTIVIDAOES UNIDAD

I I9

\

Fnacti guemos

/

NMEL I

Ha[a et vator numérim

0",

ffi

ltlemoria Memoriza el texto durante el tiempo que creas conveniente, luego tápalo y completa las palabras que faltan en el texto más abalo.

"Los PRoDUCToS NOTABLES son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva; todo esto es

; 6.

pos¡ble por ¡a forma en que se presentan los factores'.

son resultados de

productos notables

Los

mul¡plicaoones

dirccta

indicadas que

se oblienen en

D)1 ,b

E

forma

rcpresentan

-

8.

5

3 halla elequivalente de

-

zn¡ - n)

B)4n(m2

- 2n) - n)

D) Bn(2m2

2n)

Efectúa: M

+b-3)(a-b+3)+ b2-6b+9

=(a

A)a

Dadoqueayb>0

.)(+I'

I

S=(a+b)4-(a-b)4

E) n(m2

7.

t9

\z

Siendoa+b=m y ab=n,

C)4n (2m2

los factores.

2.

B

A)8n(m2 ciertas

sin neces¡dad de aplicarla propiedad distr butiva, todo

esto es posible por la forma en que se

A)i

a2

B)

C)

aa

D)

a6

E) a8

Calcula:

P=l(/1 +1)(8./, -1)(4/i +1¡UT +1))3

Según el gráfim, ¿qué proposiciones son verdaderas?

A)

1

4

B)

a

9.

Sean:M =

(l +x)3 + (1 -

x)3

-6f

+x)3-(i -

x)3

_

N=(1

b

C)8

O)

27

E) 64

1

E)

+B

2x3

Halla: MN

60x 8)60 c)8

A)

c

10. Halla:a+b, si:ab=3 c

b

l. El área no sombreada es igual a: 2(ab + ac + bc) ll. El área del cuadrado de lado "a" más el área del cuadrado de 'b' es igual a (a +

lado

lll.

(c

+ b)(c

-

b)2

-

11.

2ab.

(2b+c)c-(b+2c)b A) Solo

D)ly lll

3.

4.

-

y+z

E) Todas

-

w)(x + y

-

B)-f

D)x2

E) z2

Sean a y b, tal que: a2

+

Calcula el valor de: (ab

A)

5

12. S¡:f

z + wl + (y + w)(y + w

A)x3

b2

-

B)2

D)4

E)5 €

-

Lertmáüc 5.'

r

Calcula: E

..2 _ 3 = ^r+Y-

ab = a + b

Si:

Al

'14. c)

3

xa

+

,

xr

x'+f B) 1

c)3

D)4

E)5

+

b)3

-

3c(a + b + c)(a + b)

c)a3 D)2

E) b3

C)2

E)4

D)3

= 34, señala el valor posiüvo de: p = x

B)4

Sab¡endo que

a;b;c €

c)2

-

x-1

D)s

E) 10

o)2

E)0,5

IR, donde:

(a+b+c)2=3(ab+bc+ac) Calcula:

(a+b+c;8 a8+b8+c8

5x+y A)

20 I

(a

-x)(x+y)

lR, talque cumple:

1-1_4 3x-2y 2x+3y -

-

= (1

A)0 13.

1y

B)

Zz) + z2

c)#

1)2

1

Sean (x;y)

=

a3+b3=28

C) Solo lll

Efectúa: (x

6of

Reduce:

A)c3

B) Solo ll

I

B)2

G = (a + b + c)3

elgÉfico es iguat a:

b) según

I

A)

¡

D)

1

B)3

c)8

I

\

18. SiaybelR-(0)^ a+b+0

NIVEL 2 15.

1,= 3-.1 además: 1---"'--' a a+b a+b b a3j b2a=+ 3a2b carcura el valor de: g=

lndica el valor de verdad de las propos¡ciones:

l.

En lR se verifca:

ab2+3a2b+b3

(x-y)(f+xy+f¡=x3-y3,

ll.

También en IR s¡empre se verifica:

A)

({t

D)3

{,[ñ +W)=x-y

-3,/vx3{7

e

Existe algún valor de (x; y)

IR que verifica:

lx

- y- i -

w\2

= (z +w

16.

-

,|

C)VFV

4

1

2't.

6

7)

c)7

1

qr# halla: M

=

a2

b

B)48

A) 63 D) 70

Crucigrama

+

x2

B)

20. Si:a+b=6ya2+b2=30,

E)FW

1

tralla: xy

D) xv

x + y)2

B)VW

A)FFF D)FVF

/1,

A)3

IR s¡empre se verifica:

c)2

1

E) 6

19. Si:xry=3

(x+y¡2-1x-y¡2=4 lll, Para x A y €

B)

-1

+

b2

L,

2

c)

O+,/1

a

E) s4

si: 1

c

E 6

"={z+{l-

b-.ñ;6

2

1

B 2

2

A) D)

D 2

1

VERTICALES:

C. Si: x =

+ y + zX4x

/25+

E. Siendo: a (2a

-

=

bX4a2

- y-

1. De

ffi;

I

z). El meficiente de

-

2x

a raur

+ 2ab + b2) +

b3

+

'1

I

es

23.

se obt¡ene:

oe:

es:

2¡1.

HORIZONTALES A. S¡(x

+1f

= r«1, -

B. Sab¡endo que: (x

f+aes:

-

]I'

-

1)(x + 3) + (x + 7)(x

E)

-

5) =

Reduce: K = (x

+,8,/-tzts2 +

406

Luego'

25.

(1s,f12-l + -1sjqi63 + i )

i (8./df 18/11153

+

2l(x

/6

- zlli - U + 4\(f + k+4)

A)x^

B) x2

D) x"

E)x'

Reduce:

P=(1

c)

1

B)

D)

E)-1

3

cl2

nm

D)

1

E)m3

S¡mdmca:

Já + /6.)(aJá + a/['Xa/á

b5 D¡a3-b3

1

xa

Reduce la expresión:

A) a6 +

+ 1) +

+ 64.

+O+ll+/a)(-11 -{T+la)

A)0

(

¡1ta¡¡6a

10

A)m B)r2 C)2m

elvalor de x4 + x4 es:

D. Luego de reducir:

1ts¡6gz

B)o

14

5

1

22.

De (4x

1

J3+,/8

Halla: a2 + b2 2

A.

,/2+,/3

-

a/5-) (a

+ o)(aa +

b6

B¡a6

-

E)"u

- b'

a2 b2

c)a3 +

+

ba)

b3

Se obtiene:

26. 17.

Si:

a-1=!,catcuta: a+1

^)+ B)t

c)i

Si:

a3-b3=m y a - b = n, halla "ab'.

n3 D) m= n3 '3nmn

A¡m3 +

o)+

E)

1

2

B¡ m3 +

E)

n3

c)

Il#

m-n3

ÁLGEBRA - AcrtvtDADEs UNtDAD

1

21

I 27.

Si:

x-y='1,¿ds¡¿5

(x +y)(x6 + y6xx4 +

32.

ff

+

ya)

= xh

-

y'"

Six es un número, talque 10xa+10x2+ halla el valor de: (

Calcula n.

3 D)5

A)

28.

c)6

B)4 E)2

A)Í&

E1*

D)+

E)

r)81

r) 277

A) I D) It

B)

lll) 283

lyll

calcula: M =

C)lly lll

1

NIVEL 3

34.

MEMORIA

la izquierda, toma el tiempo que consideres oportuno y lee atentamente las palabras del recuadro de la derecha. Por último, tápalo y señala en los recuadros de la izqu¡erda las palabras memorizadas. Cálculo

Binomio alcuadrado

ldentidad de Aeand

Productos nolables

Productos notables

Suma de cubos

Agebra

ldenüdad de Argand

Suma de sextas

ldenl. de sterin

Diferencia de

Dilerencia de

ldent. pitagóricá

cuadrados

cuadrádos

Producto cl]blco

Biñomio al cubo

ldentidad de

Suma de cubos Binomio alcubo

Binomio a la quintá

Lagrange

¡dent. de Lagrange

Diferencia de cubos

ldentidad de Lemer

ldeni. de Slerin

ldentidad de Cardano

Bi¡omio al cladrado

ldentidad de Cauchy

Binomio a la séüma

ldent. de Cauchy Dfercncia de cubos

B)2 E)8

Calcula;

A)12 B)8 35.

A)

36.

C)4

D)

16

E)2

Evalúa:

3(22

+

+ 1)(

1

+1)+1

1

B) 2

D)4

E) 5

c)3

Simplilica

(x+a+bXx+a+c)-bc x+a+b+c

Se cumple la relación:

xYz x+y+z = xv+xz+v'z lndica la propos¡ción verdadera:

l.

lxy + yz + n)3 = 2xyz +

1x2 +

37.

f

+ z2¡

ll. (x+y+z)3=x3+)y'+23 ,,, ,'''

_,_ "1._

lY. x2

+

\r2

-

2f

+

B) 2x

D) 3x

E) 8x

-

z\2

a-b -

(a+b Gaz

= 3(x - yl2 + 2(x - z)2 + (y

38.

c)x

El área de un cuadrado de lado a + b es 8 veces elárea de un triángulo de base a y altura b. Calcula:

tl_

+f +22)2 s322

A)1

+

(4a2

b2

A)

1

B) 2

D)

-1

E)

V. x + y + z = 2ry2 + s(xy + xz + fz) Si:ab-1 + a-1b

-

b2)2

c) 1t2 1

2

3. halla el valor de:

Simpl¡fca:

(a+b+c+d)2+(a+b-c-d)2-2(a Si:ab+cd=m E

22 I

c)4

E=u@

Tapa los recuadros de

ldentidad de Facnier

xz+ xy-yz -22

I 5

A)

E)

D)

31.

^,7 -, 10

33. Si:x+y= .'4i' (x-zl2+(z+y)2=6

Es div¡s¡ble entre:

30.

)

Luego de desanollar, la expres¡ón:

z = (1662)3- (2S3)3 - (1379)3

29.

x+1x

4=13x2-6

¡2

=

A) 10m

B) 8m

D) 2m

E) 6m

l€xi¡náüc 5."

b)2

-

C) 4m

z(c

-

d)2

.=

(#.,).($.,)

A| 27

B)81

D) 243

E) 486

c)

189

i\ 39.

Si

una lamilia de ¡ngenieros el sobrino menor pregunta a sus tios por cuántos años es menor que su primo mayor, el tío le responde si qu¡eres saber la dilerenc¡a tendrá§

X

el valor

40.

44. En

4+x=-2 de:

(x

+

1)(x

-

1)(x2 + x

+

1)(x2

-

x

+ 1)es:

c)48

A)8

B)54

D) 63

., -t21+/5

que resolver el siguiente desafí0.

I

Dadas las mnd¡ciones: x

= a(a + 1)+ b(b + l)+ ab

y=

a(a

-

1)+ b(b

-

S¡:

x1-y-l=4(x-y-1)-1 y-1 - z-1 =4(y-z-1) z-1

-x

1)+ ab, a + b 3

Y'. . At reduc¡r la exoresión '1' 4(a'- b")

^

D

obti.n.

1

1=4(z-x-1)-1

(x+y)e+(y+z) +(z+x)s 33/0 (x+y)(y+z)(x+z)

Determina la diferenc¡a de edades (D) a

+

^, ^/a

b

5¡1

42.

,a

Al12 D)3

E)a-b

D) 4a

41.

a b

B)

b

r'5

---E!m'+n'

,carcuh:

A) 48

B) 50

D)e

E)s1

R=(f;f +

c)6

B)9 E)0

n m

c) 47

?

Dada la func¡ón polinomial:

P(xl = x3 + 77778x-77777Í -'15555r' calcula: P(77776)

A)- 2 D)

43.

B)

-

c)0

Suponemos que M está definida en IR;además:a, b,

c€

IR.

b(2a'?

1

¡r

at_

¡t j2á?b,

aáb{a2 + b2)

ab + b2)

l/

(a-b)'?

l;:r-;;r.7r'-_Tt

"-b f+l¡+r¡'?*¡3 b_ 2eó(a

+

a3

+

2ab(a

b)

+

b)

2a(b \ {2ab(a +

b}l'

bc 2ab(a +

I

t'2

-c2

\rzoG;jli

c)

b)

tn

2a+b+c

IU

o

2ab(a + b)

2a(b-c) \ - (r"F;jlr/ 2a+b+c

A)a-b

B) (a + b)2

D)a+b

E) (a

-

b)2

\

1

(2ab(a + b))

C) (a + b)3

c,

J rll 6<.D (,, c, c, .t 2.6¡

Reduce hasta el máximo la expres¡ón M.

3

!l

l¡.Joo
El2

I


U

(-)rúcooÉlo ct+'¡i
CI

J to o to lum rt ro a\¡ r, F = F Z-F -

(o -


z? .{ ó r ÁLGEBRA -AcrvrDADES uuDAD

'¡,

i

123

7

H LicamosLoap nendido TElv\A 4: 1

COCÍCNTES NOTABLES

Calcula el número de términos del s¡guiente cociente notable x

18n

6

2

14ñ+1

+

1+ ¡/-

t

¿Qué lugar ocupa el término independ¡ente en el desanollo delsiguiente CN?

e(g=

Resoluc¡ón: n." términos

= l@--q = lgll-

-6Ín - r)=

á.(18n

n(14n +

{--r, x--x

Resolución:

. (1)

,,r,-' (x319 - lx-'f ,3-t, ll

1

10n¿-18n-6n+6=14n¿+n 4n2-25n+6=O

q = (x3)e- k(x 1)k

*

k = x28

l8i6r 6 --

= n.' téminos

Reemplazando n = 6 en (1):

c)

B) 19

@r7

D) 15

= x0 (término independiente)

. . ocupa el séptimo lugar.

A) Quinto D) Octavo

16

E) 18

S¡ la divis¡ón

k

28-4k=0=k=7

72.

3

1-x27-3k.x1

99

5x-1

+

5x

+ 1)s

x

cual un tém¡no tiene la forma

A(25f

-

orig¡na un CN en el

4

Selo

@Séptimo

E) Noveno

Uno de los términos del coc¡ente notable de

x'- fl

t)8, catcula (A + B).

B)

entre x2

-

y es x8y'. Halla: m

+ n.

Resolución:

,I (¡x-l)s*(sr+tF II 10x

t

a -99-k=k-1

(25x2

k=50 -10(25x2 = tr =

A=-10

..A+B=39 ^

-

I

1)B

zrn

B)38

o3s

6

x6-:6I

2x I

,"

r¡J (*)

r7

lexi¡nátir

i

r,3l^

-

x9

+

x6

-

x3

al terc€l c6o de diüsión

(,3)"-

-'-

*(,¡f-(

+I

6xáctái

¿

-...-(,3)3*(,3 Por

dihcn

u-

.'. No exisle lémino indepóndiente

¡

do

(r3n +.r

or¿dr¡dc

)(rh -

r)

lEl2

5-o

(,3I 1

;6:T

@{ o existe

1

(r3fi-1_(,3F-2+(

-2t

Pára quo sea lémino independienle: = 7 2k = 0 k = 3,5(ábsudo) k üene qu6 ser enlero,

(if-*(*l-'

D)4

24

ñum€rador p€rtenece

+x9-x6+x3-1

denoñinador al cuaño caso támbién de diúsióñ €ráctai enlo¡cssi

-

A)

Simplifica:

Rosolución; Análi2ando, el

Resolución

(=

c) 55

B) 50

€,e X6n-3_X6n 6+x6n-9_ x3n 3 - x3¡-6 + x3n-9 -...

l-t:es:

Sea:

n+m=39

A)45 D)40

c) 42

M

2

2k

Piden

El térm¡no independiente del desanollo

¿

-

2m=8

B=49

D)37

,6

2

guelando

i)1e

A)40 5

!.=m x2

r¡s-\sx+r

= 10(-1f.

Luego:

-,1s *1s, * rf] - .^[1s, 't (s,-r)-(.",-,

c)3

A)x5n-1 D)1"- I

B)xn-1 E)x"-1

@*-r

y

el

7

Halla (p + q), si el

t25

Halla el número de términos del produclo:4. B s¡

8

del desanollo de:

''1s-Le.".l^l*. x'P lq -

A= lon + x1s +

x18n

+... +

xn

+'l

= Pn -x19n+

x18n

-... -

xn

+

1

21r

o

.=

¡n+r

Po. to

B

Resolución:

Resolución: Transfomedo a cocientes nolablesr

Dando lorma. ll-f

21n

l.rp)

e

Como

diYisor es de 1a loma

x

enlonces todos los lénn nos

'n-r

Y,

-' "ln

hnto, n.'támr¡nc =

sor

*

=

21

B-laD) 13

9

c)

B) 11 E) 14

A) 10

12

Sabiendo que uno de los términos del siguiente coc¡ente notable es

x"+t'

-

xaylo, calcuh:

l0

A) 21

B) 23

ol27

E) 29

S¡

c)

el número de téminos del coc¡ente notable:

ocho, ¿cuáles elquinto término? El cociente Rssoluclón:

!

;;v

Enbnce§:

L=-xá-tMf Comoarando'

Resolución:

2k

1 2

Si es un cooenle notable se c!ñplir:

-rty10 =

10-

n.delér.,nrnos=

k

¿=g= 35

De.lon(bra=24

caso

deb€

(1),

25

x'- y' x'-y"

es

notable es de la foma del

en donde lodos sus léminos

8 (detc)

b=¡10 0e este ñodo el cDcienle 6s de la ,oma:

i

clmp

L -a

c)3

B)2

A)1 D)4

11

E)5

Calcula el coeficiente del tercer térm¡no del desanollo de:

-

x12

2x3

3.8

. 5.8

(xl -tv) -l-J_

Se debe

^

F

lo

,q)rslo

B)r8y'e

o) *12f2

e)

Re3olució¡:

{ - 4 esffl.

r-r

o:.se:Lrc,\

sgno

TEnslo.maMo el denominador hgrarUlrc Msualizar un cocieñle

11y21

Can¡U (a + b), sabiendo quo el término de lugar doce del oc¡entenorabb

+4

*"f'

c) x

1,,:l;:.,T*"*_,*

nolable de la foma del cáso (lll)i ,f

;l

,J,' 1l

/-

b=3n

I

állemados

13

c)6

A)e

B)7

D)

E)2

1

14

Los s¡guientes térm¡nos consecutivos ...

-x18f7 +

x16y3o

-

A)61

B) 62

D) 64

E) 65

Calcula

a2n-1-b20

...

an-5_ba es notable.

Resolución

A)

o¡

(r'f(y1'*(r')u(y1'o-...

xr+ys

2

B)

,3 + y5t x2+y3

x2+y3

x1-

vl'?

f -y'

63

3/n si elsiguiente cociente:

son del mc¡ente notable:

...

c)

E)

,*

+

y" ^, ,nt x'+y1

B)2

D) 4

E) 5

A)

y57

x2+y3

I'rt

1'Zt

v0t

v'8

c9

3 ',01

3ll

8'6

a'¿

a9

c)3

3' ft

c'z

v't

sa^ell ÁLGEBRA -ACTIVIDAOES UNIDAD

T : 25

-1

Pnacti uemCI5 NIVEL

1.

5.

1

2x+1)s-(x+5

Subraya solo los que son mcientes notables.

3./x

2.

+76

^, ,1rr, + 35/i ^)

o, 'G '' 15/i

¡¡' x27! + o]65 xi-bJ

E)

*'fr

_35,f¡

x-

x'' ;,,;

^-5¡

c)

xn-1

F)

x1

+1

A)320 D)323

+ y3o *3+y2 6.

x"-1

x-T f-f+f-l+x-l

x8-1

a'+b' a+b

,o

Al

,tt

B¡

7. ,3

t

m2n

2

+

-0L +

2

4

c) ,oyu

E) -rny3

x(x+y)3-(x-yf'

d 8

Panx=2:y =

ocientede:

8.

Parax=3es324. Demostración:

B) 24

D) 64

E) 72

S¡ el tercer término del

desarollo del cociente notable:

c)

32

t[(x+2)l-xnl l

para x = 2, toma el valor numérico de 1024t luego calcula n2

-,e-LE x3 -33

A) 25 D) 125

Expresando en forma sim¡lar los términos del divisor en el div¡dendo para dar la forma de un coc¡ente notable:

9. x3

B) 49

c)

16

E)36

Halla el lugar que ocupa el término de grado absoluto 34 en el desarrollo del cociente notable:

x6o ,lo

I

x -y-

El tercer térm¡no se expresaÉ como:

r

A.

A) 16

Zl x+l

Efectuando los exponentes de las bases en el dividendo:

El número de términos es:

Halla el valor del cuarto término del desarrollo de:

(x+y 8_

3"

13=1x3¡E-E 13:¡E

-r'y'

ab3 . ba

Demuestra que el valornumérimdel términotercerodel

l'lt-

x2f

D) -rayu

aa-afo+a1f+

-#

'-l

La siguiente d¡visión:

genera un coc¡ente notable. Halla eltercertérmino sabiendo que k es el número de términos.

f+f-l+l

x2+1

c) 322

x'+y"

conecto

I

8)321 EJ324

xl+{:4.kr6

Desarrollo

ó

Desarrollo

notable

Sea P(x) eltérmino de lugar 3. Calcula la suma de coefc¡entes de P(x).

x45

Coloca correcto (C)o incorecto (l)según corresponda Cociente

3.

La siguiente div¡sión genera un CN:

A) 12 D) 15

= *rero

B) 13

c)

14

E) 10

Cuando x = 3:

t= 4.

"

3u=

324

'10.

lqqd

lndica cuántos términos tiene el siguiente desanollo:

x4. _ y5"

La sigu¡ente división genera un CN

x -y-

x2"-y6 x3-y "

sab¡endo que el término de qu¡nto lugar l¡ene como grado absoluto 32.

Halla el segundo término.

xy D)v3

A)

26 I

l.E'rtrnátic 5-'

B) E)

-xy -y3

c)

x3

A)7

B)

D) 10

E) 8

c)

11

NIVÉL 2 11.

ltt.

Sea la forma generalde un cociente notable:

xta

m+n

Escribe los nuevos cocientes notables y su respectivo desanollo para los valores as¡gnados de sus bases, s¡gnos y número de

18; a

+ b = 3, yposee 3btérminos.

A)r'y' D)x16

y=l¡;¿-¿, ,n-! x=m2,a=1;|;n=3

-;n

=

Halla eltérmino de lugar 2b.

términos respectivamente.

x=p,a=q3;

15.

=4

e)

c)-r2)lu

-x13

E)-r3l

En elcociente notable generado

de los cocientes notables según conesponda.

a) x4+x3+x2+x+1=

16.

A)5

B)6

D) 12

E) 25

x-

c)8

f -:- t'-l ""-"'" *a- u _ ¡- l

S¡ el cuarto térm¡no del cociente notable

x{yfl,

x

b) x7o+x68+x66+...+l+1 =

F-r x2-

(x+ 3)sx+ (x+ 3)33f

-

t-35

,ti -3Jl

Escribe en algunos casos las bases,los exponentes y los signos

(x + 3)35

1

x

-35 --'t por ''/

¿Cuántos términos son racionales enteros?

¡=15fi;¿=35[; =; ¡=5

c)

aoemas

se sabe que:

xnian

12.

fl-\¡ x" +f

--------r-:'

En la div¡sión se genera un mciente notable

hatta (a

-

2b).

B)20

10 D)-20

A)

1

ES

c)30

E)-30

-...+(x+3)x3-x35

+3

x

+

X

@

17.

Calcula el número de térm¡nos del CN x4n+

12

_ y4n

3

xn-8_yn-g d)

a-A'-r-6+ffi +(x+ 2)E É

+

x2

-

...

-(x + 2)x'

x+2

x

(x+2)

x

2

18. e¡

a6

-

a4b2

+ a2ba

-

b6 =

A) 8

B) 12

D) 10

E) 25

c)

Reconoce el quinto témino del siguiente cociente notable, si se sabe que el tercero es

xsf.

x'- /

a2

x2

13.

15

-,1

Completa los términos que faltan en los cocientes desanollados:

a

81x31-_8?;itn4

= 27x3 + 1531n + 867xn2 +

A)r3oy6 D)

6.

27m3

3m

c.

d

e

+ 512n6 + 8n'

-9rz

a6-b6

a-b

_ -7;t x12

b12

a5

10

c)r32ya

r32y6

e)xsf

24mn2 + 64n4

19.

xa-8i =x3x+3

B)r36ya

4913n3

3x2

+9x-

Si el número de términos del cociente notable de la división

27

H +a4b+ ,3 b2

a3

+

b'

a"b"

+

+ab4+bs

x6b4

xt

b6

+

x2 b8

b10

es el triple del número de términos del coc¡ente

notable de esta otra división

A) 38

B) 32

D) 30

E) 24

xm'+

2m

_

x'- /

ÁLGEBRA - AcflvtDADES

,

calcula:

m+n+p

c)8

I 27

\ )

r

¡

NI\GL 3 20.

25. (>) o

Compara si son mayores

absolutos de los términos de lugar

. x--y". ' x-y'

l

i

cA(t, ,'u

- y'*

26

x72-1. x2- 1'

1

B 5

0)e

E 3

Calcula E = a

+

b

+

+3

y"5 cl7

c si el término central del desanollo

A)591 D)391

GA(ro)

27.

x

ya

x"-y''¡ ; , €S xl''". x'-y"

(x-y)a' ,t-yo

tr xs-1

_

x"-4 A)

x-y)m

(x+y)a

GA(K) 3

X2a+1

2x-1

60

(x+

(<) los grados

¡ndicados:

8x3-1

GA(t' Ll 2

menores

'k'

Ca¡cula a si el mciente es notable:

B) 191

c)491

E)291

Halla el número de términos en el desarmllo de

xnp_f xn-y

GA(t ?) L>_l GA(ts)

si bs grados absolutos de todos

21.

106 Érm¡nos van disminupndo de 3 en 3 y siademás el tao de su desanollo tiene G. A. = 87.

Simpliflca:

x1$+x lfl+xl{+...+xa+1 x78+x76+x74

A)

D)

xm_,1 x2+1

B)

x""+1

E)

X

22.

xm-1

c)

x2-j

f

+

x2+1

v

A) 425

B) 525

D) 725

E) 82s

C) 52

E)72

trayectoria que describe un

'l¡'

-

y el tiempo en que logra remnerlo

I

por: R(x; )/) = 8xy(x2 +

+

y1

Determ¡na d¡cha velocidad en el instante que (x y)60

= 3,y =

2/r)

en (rn/s).

l)

Sab¡endo que es eltérmino centralde d¡cho coc¡snte.

3G

|

B)42

electrón está dada por la sigu¡ente función: y)1m T (x; y) = (x + y)1m - (x

Calcula el valor del cuarto término del cociente de

si:x=

2

A)3

B)2

D)0

E)-

c)

1

c) 625

Halla el térm¡no ¡dént¡m en el desarrollo de los CN x75

_

v100

,3-yo '

x102

_

,3

-f

v68

B)rouys

A) ,syas

o)*'uf'

E) x

c)*3516

12y15

Demuestra que el valor numérico del qu¡nto término en el desaÍollo de

(x+

2A

28. La

x2-1

8xy1x2

24.

xe+1

xe-1

(x+y)m- (, -

23.

Al32 D)62

l+ 3x'-1

+...+x2+

2)10

-

(x

+ l)l0cuandox = I es 7776.

Lertm,áfrc

5.'

I

Etaves 7,D

13. 14. B

2.

8.8 9.4

3.

10. E

16. E

22. C

¿.D

NIVÉL 2

17. C

23. B

5.E 6.C

11.

18. C

24.

,12.

19. A

25. C

NIVEL I 1.

15. B

NIVEL 3 20. 21. A

26. D 27. C 28. C

D

fM ilAzeT@ñüqña#omatua Evaluamoseno parax=

Halla el residuo luego de diüd¡r:

1x- t¡2+(x2- 1¡3+1x3

22

t¡l+...+(xE- t)s

x2-1

+

23

+

2a

Del teorema fundamental: D(x)

...

+

,,2(2N-1) u- *';"--¿-

O(x)=(x2-1)q(x)+ax+b

-

I a; de (g): a = -u

=b

230

= d(x)q(x) + r

0(x) = (x + 1Xx

1:

+...+2n\=2b

2(2+22 +23

E@6.

+

-

th(x) +

ax +

b=230

b...(o)

... (x)=

-

(2

-

2s)x + 20

|

-2

2

Evaluamosencparax=1:

0=0+a+b '+ a=-b

1.

(p)

Dada la ecuación:

7

Reduce: am+ I

+ 3m+4

5

3m-6 + 3m-7 + 3m-

A) 3 D) 1

,.m-9

raices. Determina:

I

B)

c\

E) 6

Del siguiente polinomio, determina el valor de a

p(x¡ =

¡tt/"F

+

4x22

-5x3 +3=O

+

S12

+

S31

S3a.

27

A) -1

B)0

-6

E)1

D)

2

-

'lzxv

Sea: S,; 32: S3; ...;Sn: la suma de raices; la suma delproducto binario de raíces; ... asi sucesivamente hasta Sn el produc{o de

8.

c)- 6 1

si:

2'+2.3r+Y =56

1; si su grado es 3.

3.2x +3x+Y*1=87 A)

./5

3.

c)3

B)3./5 E)e

3L D)

A) D)

lndica si las proposic¡ones son verdaderas (V)o falsas (F)

l.

La suma de dos números ¡nacionales es otm número

() () ()

irracional.

ll. En una d¡visión en Z, el resto es menor que el divisor' lll. vx € t§ se cumPle 1f¡1i2 = ¡.

4

A) FFF

B) FVF

D) WF

E)WV

Determina: M = a2 + b2 + c2

10.

c) T2-T-

B) 6

D)

I

E)

Si:

E=!: xy

1

^,

Determ¡na el término independiente del s¡gu¡ente pol¡nomio; si es completo y ordenado. P(x) = a2

6 D) 0

A)

6

A) 5

C) FFV

B) T3 +T+1 F) T3 -f2-1

.'

6z

*

1.

*

o¡t'b +

B) E)

1a2

4

-

b2¡f -

cl

11

2

10 15

a'

+

ab

-

bc

-

ac

c)

4./i

^,

a+b x"+y"

f b3

4+4

es¡guata

n

B)

m3+n

x3+y

y"

a3+b3

E)

x"-y"

.

m3+n3 x3 +y3

El sigu¡ente polinomio homogéneo:

P(x; y¡ = ¡rn

1

+ b = 5; calcula el máximo valor entero que toma: a(b + 1) + 3(b + 1); a y b e IR*.

B) E)

D)

m x"

x3

-

b

Si: a

A)6 D) 20

c)2

3

E) 0

Entonces:

D) T2+1

5.

B)

9. Si:a-b=b-c=/2

T5+l+2T2-1 .l{+T2+1

2y

1 -1

Factoriza e indica un factor primo de

A)

-

Calcula: 3x

c)

11

-t*

,s'

1*

...

+ ryh -

2

+

Y3n

-I

es completo y ordenado, además, la suma de los grados absolutos de sus términos es 702. Determina el grado de homogeneidad.

A)

21

D) 37

B) E)

36

c)

27

26

ÁLGEBRA - AcrtvtoADES UNIDAD

I

29

o

I

-

eecueeoA La teonla de Llmlhes

Reflexiona .

Uno de los lugores centroles del onólisis lo ocupo el concepto de límite. Sobre él se opoyo todo el oporolo de los demostrociones infinitesimoles. Los motemóticos del siglo XVlll proboron un conjunlo de procedimientos poro fundomenlor el onólisis infinitesimql, pero lo insotisfoctorio de cosi todos eslos mélodos se hizo rópidomente evidente. A finoles del siglo XVlll y principios del siglo XIX ero mós que ev¡dente lo necesidod de formqlizor lo leorío de límites como bose del onólisis motemótico y uno reconstrucción rodicol de este último.

/'ra¡rr,.r

,1ui

¡,¡,r' ¡tt¡

,il

at,t n( h,'tt u

J

iJi

inii

n tu t'i,l,r. ¡:anr r/lrt dr'j .\¡tr \itnll,rt ttt lL1

lirtecr.it tlut t$

tltt ttl¿t1 ]1t1s0 lirtciótt orrtct¡.

.

de reconstrucción se reveló cloromente en los oños veinte de este siglo. sobre todo en los trobo¡os de Agustín-Luis Couchy y en sus fomosos conferencios, los cuoles fueron publ¡codos en lres libros: Curso de onólisis (1821); Resumen de conferencíos sobre el cólculo de infinitesimoles (1823) y Conferencios sobre oplicociones del onólisis o lo geometrío (dos tomos 182ó-1828). Estos libros lienen uno importoncio especiol, porque en ellos por primero vez, el onól¡sis motemól¡co se construye sucesivomente sobre lo teorío de límites. Este proceso

1.,r, ,,r¡r¡i,¡o' ,/¡'i flil,r' hott -L¡uttlttt noárant-1tard siutytrt. EI qw nrydnyos que ronlrlr tan¡ds tlctisiones crutiak.¡, siudo tan jównts, r algo r1ue os asust{t y a[ nrisno ri t]o ,tls no(iontl. pffo att es

.

la vila.

Es $íci[, yero a veces es

fijor

no tcfler

amigot lurante un ti(mlo que ten?r amigos cquivocados

[o<

! s

¡ N

.

I

El primero de los libros estó dedicodo ol estudio de los funcio-

nes elementoles, tonto de vorioble reol como complejo, que incluye el estudio de los series ¡nfinitos. fuim¡smo, se introduce por primero vez, uno mognitud infin¡tesimol como uno vorioble cuyo límiie es iguol o cero. Se expuso lombién lo convergencio de los series, osí como sus criter¡os de convergencio.

de los libros se expone el cólculo diferenciol e integrol de funciones de vorioble reol, en el que destoco lo oporición de uno demoslroción onolítico de existenciq de lo integrol definido de uno función conlinuo. En el segundo

¿Cuántas personas como mínimo hay en 6 filas de 4 personas cada una?

A) 10

B) 12

D)16

E) 24

c)

14

,ü/rÍt tttlrf,rtt rrt rrt m

7

R LiCamOS TE/v\A ,|

Lo apnendido

1:

Fadoiza

2

P(x; y) = x5 + xya + y5 y señala un factor primo.

-

al,C-,¿y-y'

Af +xl+f

c1 É+xy+'l

qf +xt+y'

o)l+xt-f

Señala un factor primo de:

3

P(x;y;z)= xV¿(

-

l)+

n¡f+yz D) x2 +

fz2

Factoriza:(x+y+z)(xy

5

Factoriza: P(a; b) = ¿31 6r - ¿6(a + b) c2(a + b) e indica la suma de factores primos.

fzlr'1-

l¡ + ixlyz-

B)l+n

4

l¡

Cll

+yz)

-

B)

D)a-b

E)3a-b

+xy

6

ryz

y halla la suma de sus factores primos.

Factoriza: R(x) = xs + x4 +2x2 +

A) 100

B) 49

D) 64

E) 105

Si un factor primo de: K(m; n)

32

l

Blx+2y

0) xyz

E)l(x+y+z)

Lexi¡nátic 5."

1

= ¡3 a 3r2n

c)8

*

6mn2

+

tiene la forma: am + bn,

calcula:

A)x+y+z

C)a+b

3a+5b

e ¡ndica el valor numérico de un factor primo para: x = 3.

@-,l, +n

A)3a+b

C)2x + y

+z

A)

li

oll6

/áJT-.

qlz E)

1

c)2

18n3

7

Facloriza: P(a; b; c) = (a e indica un factor primo.

+

+ cxab + ac + bc)- abc

b

I

Factoriza por el método de las ident¡dades: F(x) =9(3x2 R(x)

-

4F

-

4(2x2

+2)2

(en

n;

=8x3+27

P(x;)l)=xa+14x2+49-l M(x; y) = xG - ,of - x2yn * yu

B)a-b

@*b D)3a+b 9

Halla la suma de meficientes de un factor primo de F(x; y) = 16x12 y3

@ ol

11

C)2a-b

E)4a+b

- 2oxf

+ 4xa

E)

Factoriza: F(x) = (x2 + 5)2

c) -1

13x(x2

+ 5) +

12

42f

e ¡nd¡ca la suma de coeflcientes de un factor primo

8)6

A) 5 D) 4

't3

@fiay

-

12aa

+

16

Factoriza: G(x)= (x2 + 6)2 + 3x(x2 + 6) El factor primo cuadrático es:

B)x2+2x+6

-2x+6 x2

14

Factoriza porelmétodo delaspa s¡mple:

E) 4

2

Clz dos respuestas

P(x)=(6lF-61f+25 F(x; v¡ = ¡21¡ - ,¡e - 1 4xflx -yl +24v4 R(x; y) =xa ay+ - 4rrÉ + ñ + sff A(a; b) = (a + b)4 - (a - b)4

c) -10

@o

8 D

-6

+

Factoriza: R(a) = a8

lndica el produclo de términos independientes de los factores primos.

y11

B)6

-2

10

-

10x2

C)x2+3

E)f-5x+6

+5x+5

Dados los polinomios: P(x) = x2(x2+ 3)2

-

(3x2

+ 1F

Q(x)=xa+2x2-3 Allactorizalos da como respuesta el faclor mmún cuadrátim.

Btt-2

A)x3+1 D)x2+3

ctt

v'zt

s '0t

'ct

3'tt

v6

'I Y'L

Elx'+4

c'9 3§

Et

@-r a¿ 3l

sé^ell ÁLGEBRA - ACTIVIDAOES UNIDAD 2

I

33

Pnacti UErnOS NIVÉL I

1.

2.

¿Cómo lo dirías?

Se olv¡daron de escribir las indicaciones de cada proceso. 0bserva bien las frases de la parte inferior y escr¡be la letra que mnesponda en los espacios circulares en blanco. Facto za y da como respuesta la suma de los factores pr¡mos:

f (x; y ; z) =

a2ya

¡

v27a

+

f za + f

+

xa

xa

z2

+

ya z2

MEMORIA ¡.lemoriza estas metodologías de factorización durante l minuto. A continuac¡ón tápalas y responde las preguntas ¡nd¡cadas lineas abajo.

A. ¡,4étodo del factor común B. l\.,|étodo de las identidades C. l\,,|étodo del aspa simple D. Método delaspa doble E. Método del aspa doble especial F. Método de los d¡visores binomios G. l\.,|étodo de los art¡ficios del cálculo

+ 2x\f z2

Resoluciónl

l. f

(x;y ; zJ

=

v2 ya

¡

v2.7a

+

f

za +

xa y2

+

xa

z2 +

ya

I

+

x2 y2

z2

EI método del aspa doble está repres€ntado por la

ll.

El número de métodos indicados es:

lll.

Escribe los métodos ind¡cados según:

leka:_

C:

+x2y2z2

F:

A:

T(x; y; z)

=

1x2ya

+

x2y2z2¡

+

¡x2za

+ x2fz2¡ +

1y2za

+

yaz2¡

+ 1xa'f + xaz2¡ T(x; y; z)

=

x2flf + 221 + x2z21z2 + f7

Tlx:y:z)-lf

+ l)(x2"y2 +

x2l

+

+

G:

3.

-

N(x)= (x 2Xx + 3Xx + 2)(x 1)+ 3 Da la suma de factores primos.

-

+ y2¡ + xalf + z2¡

'fz21z2

fz2 + xa\

Factoriza:

A)2x2-2x+8 O)2x

4.

B)x2^-x

C)x2+x

E)2x'-2x-B

Factoriza:

x5+x+1 lndica un factor primo.

f\x;

y; z)

= (y2 + z2¡11x2f +

xa¡

+

1x222

+ fz2¡¡

A)x2+x+1

B)x2-x+1 E1x3-x2-1

D)x2-x-1 T(x; y; z¡ =

(f

+ /¡1x21x2 +

'f¡

+

221x2

+

'f¡¡

5

Factoriza:

R(x)

t

lx: y,

f +I A)

x2

+

f

+ x2 + z2 = z(x2 +

f + l)

6.

rn+o* rn*3

-

(x4

-

xn*2

+x

-

1

7

C)xn+1

+ x2xx3 + x) + (xa + x2) + (x3 + x)

A)4 D) 1

B) Si observas toda la expres¡ón se nota que no hay factor

34

-

lndica el número de factores primos cuadráticos de J(x)

U^samos un artiflc¡o,

xn+z

A)x+1 B)x"-l D)xn+x+1 E)x-1

Nos piden calcular la suma de factores primos.

común y s¡ se quiere agrupar notamos que hay un número impar de términos, lo que impl¡ca que s¡empre sobrará un término.

-

lndica un factor primo.

4 = (f + 4lv! +'f¡1x2 + z2¡ +

C)x3+x2-

B)3

+i

c)5

Elz

Factoriza:

R(x)=xz-62*r.r*.'

el de desdoblar 2x2fz2 en x2fz2 +

x2fz2 esto facilitará la agrupación, veamos:

e ind¡c¿ el factor primo de mayor térm¡no ¡ndepend¡ente

C)

Agrupando tal mmo se indica:

D)

Extrayendo el facto r común:

A)x+a D)x-a

E)

Agrupando dentro del paréntes¡s mmo se ¡ndica:

F)

Extrayendo el factor común x2 +

G)

Extrayendo factores comunes en cada paréntesis.

e¡ número de factores primos binomios es:

H)

Extrayendo factores comunes de los dos paréntesis.

A)

l-exi¡náüc 5."

'f

(a>0; b<0).

+ z2

f

8.

B)x+b

E)x+a-b

C)x+a+b

Alfactorizar: F(x; y)

1 D)4

= xay - x13

- x3l

+ xya

BJ2 E) 5

C)3

1

't

9

16.

Halla la suma de coeficientes de un factor primo de: A(x; y) = ¡/4 + Nx2 + Py2 + Qy + Rxy + 3x si: M; N; P; Q y R son números consecutivos cuya suma es

A)4^5 D)6v3

10.

Factoriza:

B) 2

3

E) o

3

-

A)

17.

A)6

B) 10

D)-2

E)4

-

B)50

120 0)240

C)2v3

,,

I

M(xl y) = 2x2 + 7xy -'1 5f 6x + 22y Calcula el produc'to de coeficientes de los factores primos.

'15.

P(x) = x3 .' 5tz 2, e indica la suma de los térm¡nos independientes de los factores primos.

-

Factoriza:

C)80

E)60

Luego de factorizar al polinomio:

-

-

N(x) = (x 1)4 + (x 1)2- 6 se obtiene un factor primo de la forma: (axb + cx + d); d es par. Calcula:

a+b+c+d.

B)2

1 D)4

c)5

A)

'18.

c)3

E) 5

Calcula el producto de los térm¡nos de un factor primo de:

NÍVEL 2

P(a; b) = (a2 + b2xa2 + b2 + 6ab)+ 5a2b2

'11,

A) 5a3b3

Respecto a los factores de la expresión:

x5+x+1 El enunciado ¡nmnecto es:

A) Tiene dos factores primos. B) liene un factor de segundo

19. grado.

C). Tiene un faclor de tercer grado.

12.

D)

La suma de coeficientes del factor de mayor grado es 2.

E)

La suma de coeficientes del fa6{oI de menor grado es 3.

Se establece: a

+b+c+d=

31 ; {a, b, c,

d)

c z+

y se presenta

211 + 22x+ 5

D)

13.

-4(x +

1)

1

C)

-3(x +

determina los posibles valores de M y B respectivamente:

5} {7;5) 0){1; 1} l2;2|

+ l)(x

-

3)(x + 4)(x

C)x3+x2+1

E)x3-l+1

A)2 D)5

-

22.

6)+ 38

B)-5 E)

c)3

1

c){5; 7)

E)

{-10;

{9; 12)

-4

{-3;5}

Relaciona cada polinomio con su expres¡ón faclorizada:

L

A(p; q; r) = p2q2l

ll.

A(p; q; r) =

-

-

lq3 +

q3p

-

q2p3

-

p2r3

+ p3r

fq2 a q3É + p3q2- p3l -q3p2

*

-

pqr + Éq

Ép2

lll. A(p;q;r) = p3r3 + p3q3+ 1p3 + q3 + É¡pqr + 2p2q2? +q3r3

Factoriza:

x3+4x2-17x-60.

(p2+qr)(l+pq)(q2+pr)

lndica un factor primo.

A)x+4 D)x+6

-1} {2; 10}

B){i;

A){2r

B)x2+1

Halla eltérmino independiente de uno de los faclores de: (x

del polinom¡o.

3f -- ---o( -r --5 arl --x--ox -><-- b

Factoriza:

A)x3+2 D)x2-x+'1

C)2x+1

3xa+irfi3+13x2+Px+10

1

e indica un factor primo.

15.

B)3x-4 E)2x+6

1)

T(x)=¡s1r*1

14.

Factoriza:

NTVEL 3 21. En la lactorización

lndica la diferenc¡a de los faclores primos.

-2(x + E) -5(x +

c)4

a

---bx ---- c

B)

1

E)-2

A)3x-2 D)x-B

Es faclorizable por aspa simple, tal que:

A) -(x + 1)

B)

lndica la suma de sus factores primos.

llxl=21x'+22x+5

---

la suma de coeficientes del factor primo mónico cuadrátim que se obtiene al factorizar: P(x)= ¡515r4 * 10*3 t 1f,x2+7x+2

x3-4x2-7x+'10

el siguiente polinomio:

7x

3a3b3

Calcula

A)5 D)3 20.

c;

zalol E)4arb' a1

D¡ 6a3b3

B)x-3 E)x+3

C)x-5

(p2-qXq2-r)(f-p) (q

-

r)(p

-

qxp

-

rXpC

+ qr + p0

ALGEBRA . AcrtvtDADES u NTDAD

?

I 35

)

IC 23-

t1.

Fadloiza. E(x) = (x2

-

9x + 20Xx2 + 5x +6)

-

24.

e indica la suma de meficientes de uno de los factores primos.

B)x-l

C)x2+1

I

Factoiza:

(x+4Xx+3Xx+2Xx+5) -24

32.

B)x+l

-

E)x2+7x-

-

16

Ur3

B)0

2rl

-

u*3

*

8x2

+ 5x - 6

cJ2

B)

C)

11

t-\

Un grupo de 20 turistas matemáticos Peru

se

encuentran

con

un

Aquelque logre factorizar dicho polinomio:

P(x)=xa+2x2+9

P(x) = ¡7 - 6rs * 2''rs - 15x1- 15x3 + 21x2 - 8x + 1 y diga el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las s¡guientes

lnd¡ca la suma de meflc¡entes de un factor primo de P(x)

proposiciones obtendrá entradas grat¡s para visitar

1 D)4

Picchu.

B)2

C)3

ll. lll.

Luego de factorizar el polinomio: ¿a

1 D)4

x2

-

2x

+

1

3x

+

1 es un facto¡ primo.

es uno de sus factores.

entradas y por cada propos¡ción verdadera se otorgarán 5 entradas. Determ¡na el número de turistas que obtienen entradas gratu¡tas.

c)3

B)2

E)5

A) D)

Luego de factorizar: P(x) = (x + y)(x + y + 2)(x + y

x3

Se sabe que por cada proposición falsa se otorgarán 3

1 6a ',' ¿262,

A)

+

1)(x + y

I 11

B)e

A)y3+8y+9 B)y+s D)y3+5 E\f +a

+ 3)- 8

C)f +3y+4

+8t'

+6ya +6y3

A)4 D)5 I Lexirr,áüc 5.o

B)2 E)6

+Bf

I

Ctaves I

VEL

1.

1

8.8

15. E

22.

30.

9.D

16. D

23. D

3't. A

c

2.

10.

c

17. E

24.8

32. B

3.E

NtvÉL 2

r8. A

25. B

33. C

i

4.4

ll.

D

't9. D

26. D

34. D

12.O

C)3

5.E 6.E

20. B

27. B

13. E

NÜEL 3

28. B

7.E

14. B

21.

c

29. C

Halla el número de factores primos de:

=y7 +5y6

C) 10

E\ 12

da mmo respuesta el término independiente de un factor primo cuadrát¡m.

R1y¡

el Machu

l. Tiene 4 factores primos.

E)5

¡ndica el número de factores primos.

36

10

E)4

letrero a Ia entrada del Cusco con el siguiente enunciado:

Sea elpolinomio:

P(a; b) =

30.

y8n

entusiasmados por mnocer nuestra gran ma¡avilla del mundo (Machu

B)3 E)6

A)

29.

Factoriza:

Picchu),

A)5 D)4

28.

C)x-3

E)x+23

que v¡enen de paseo al

e ¡nd¡ca el número de factores primos.

27.

1)

E)3a

34.

-

1)(2x-

B)2x+1

A)6 D) 8

C)x+2a

Factoriza: B(x) = x5

-

24x(x

e indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos.

sus factores primos.

26.

-9x+1)2 +

E(x; y) = 49x4' + 5x2'y4n +

y da como respuesta la suma de los términos ¡ndependientes de

A)3x D)a+a2

(2x2

A)3x-1 D)x-1

C)x-1

33. 7*.2

C)7

E)8

indica un factor primo.

Faclotiza H(x) = x3

8)6

Luego de factorizar:

7=

e indica un factor primo.

25.

14 11

A) D)

E)x+3

A)x-O D)x2+16

Fad,onza:

E=x6+21x4+'119x2-1

60

e indica un factor primo.

A)x+2 D)x-3

4

¡h-

I

\

+ 5y +

H LiCamOS TÉttrA 2t 1

I,¡\CO Y

I

Lo

/Y\C/v\' TQACCIONBS ALO9BQAJCAS 2

Efeclua:

1

1

3

c)2

B)3

ol' 2If -4

E)4

4

Efectúa

. x-1 ,-f -r+T-;- *tr*7 2

1

4,5

qir

E)

+

!L or,c

Ei 0

Reduce: ..2

ry+r

D) 55

y'

xy+x2-*Y

L x

A)0

glr ,y

D\2

@-r

-

9x2

+n

y

F(x). cuyo

6

clr ,x

Si el MCD de:

P(x)

n).

=¿¡2a2r-o y R(x)= ax2 -

calcula:

A) 30

C)ab+bc+ac

1

Sean los polinomios: P(x) - xa + mx MCD(P; F) = x' - 5x + 6. Calcula (m

B)

-------t +

-2; 6) -(x+1f

'U+lf --L-

er

a+b+c

A) abc

2

1

5

Efectúa:

'(b-axb-c)'(c-axc-b) (a-bXa-c) -1-1

,2 - 5x r" 6 . I + 6x - 27 25-x2 - --f-:----;, - 2x+1 --;r_ I -7_rr+r0 x-4 E=

A)0

a

aprendido

€)',40 E) 45

c)

50

A)

3

D) 6

M=

[

a

4x

+

b es (x

-

1),

+a2

B)7 E)5

@+

ÁLGEBRA - AcrtvtDADES UNIDAD 2

t-

37

7

-

El MCt4 de A(x) y B(x) es x3

x2+x-2.

t'

I

.4x r4yelMCDes

Halla A; B y C, si:

x2+x*1

Halla el número de factores primos de:A(x) . B(x)

3,-, -

I

A

I

e)\-

§r;f; -r @ D)4 I

c)5

B) 4

'l + -L

x - ----L x+l

Efeclúa

r T-

- it +l

x' xx

x

A) D)

11

-5 -2

B)

io -

1

B)a+b

D) 3ab

E)a-b

Reduce:

M=G;d_¡,

Efecrúa:

12

.1 2 x2\ -trt;r-ñr/

Simplifica: P =

A)

@,b

@ 3

14

x2' j '(x+1X2-x)

D)+

6»-l--"1-x'

---l- I '* 1+1

* ' ;-

3a-'1

,|

B) E)

1

Calcula el valor de m

+

3a+2

l "*'

a

C) 3a

2a+l

n, si al simpl¡f¡car la fracción:

-13n + 5¡x +

x+ro se obtiene: lsn ------ - x+9

c).L l-x B) -1 E) 6

@2

E)x

D) 4

c)

1

v'9t

o 'zt

v0l

e 'ct

c'8

c'lt

c9

ai

3'Z

36

v'¿

89

c0

al

sé^ell 38 | Leximáüc 5."

)

C) 3x+'1

x1+t2m-5)x-1om x2

x+2

B) x E) 2x+3

a

a-

A)

6r;f;{

I R = (r.+ - -)("-i-)-(#--

1

Reduce

A)

z

fl l;z;

-1;-2;-3

@x+2 D) x-

@-1

a'

l:-

1)

c) -3

-4

6=/111--Li1¿¡6¡r¡ \a b abl

'13

D)

E) 5

C

(r-7' (,-1)'(,-,)

Pnacti UEMOS NVEL I

I.

MEMORIA:

Memoriza el sigu¡ente mncepto durante 53 segundos; luego sin mirarla compara y verifica cuál de las alternativas coincide

,'\

c

c*llcula: x2

Elmín¡mo mmún múltiplo (MCM) de dos o más polinomios es el polinomio de menot grado y menor coeficiente (prescindiendo

A)3 D)e

de los signos) del cual es factor (diviso0 de cada uno de los polinomios dados. MCM de varios Para determinar

5

el

exactamente con la memorizada.

polinom¡os se procede como sigue: El mín¡mo común múltiplo (MCM)de dos o

más polinomios es el pol¡nomio de menor grado y menor coefrciente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (d¡visofl

a. Descomponer

de cada uno de los polinomios dados. Para determ¡nar MCM de varios

b.

cada polinomio en

N¡CN¡

a)Desmmponer cada polinomio en el

polinomios.

producto de sus factores primos.

2.

b)El MC[4 es el producto obten¡do de los factores comunes y no comunes

x3+6x2+'t1x+6 (x-1)(x+3)

A)

7x3+15x2+3x+2

7x2

El min¡mo común múltiplo (MCM)de dos o

,*1 f /, 1\'

más polinomios es el polinomio de mayor grado y menor meficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (múltiplo)

el

polinom¡os se procede como sigue:

'= #*y{}-

Desmmponer cada polinomio en el

6

+x-|

3.

+Yz+d.=3ry2=1:

+

b2

-

1

B) 2x

E) 1/9

7.

c)3

Si se cumple que: a

a+1*

+ c2 = s(ab + bc + ac);

b

b+1

+

C

c+1

a+b+c K

simplif¡ca la expres¡ón:

,, ab+e+K +-;;1 . bc+b+K r. ac+c+K n=-b+.t -;Jl--

'

t¿

El mínimo mmún múlt¡plo (l\,lCM)de dos o A)

a b

c)

B) ab

D)4

A) 4K

B) 2K

D)8K

E) 6K

c) 3K

12

8.

E) r

S¡

alevaluar la íracción:

x3+bx2-abx-a3 rlX,=-_:--;x'+ 3ax'- 4a'x + b

el

4.

x(+22\ (1-zx)(1-r¿)

2n)

49(aa + ba + ca)- 23(a + b + cf -''= -------4gabc(a+b+c)

más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coefic¡ente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (divisoo

z(+fl

+x2)

D) xyz

A)

3p(m+3p)+2n(m-2n)

Si: a2

v(t

(1-xyx1-xz)' (1-yz)(l-xy)

1

calcula

B

Si

a)Desmmponer cada polinomio en el

los pol¡nomios.

Si:

+

- 2n+3p

los polinomios.

entran a formar parte en cada uno de

E) 15

ry

de

elevados a la mayor potencia con la que

B)6

D) 12

m+2

producto de sus factores primos.

b)El MCM es el producto obtenido de los factores comunes y no @munes

c)e

A)4

4x

m(m + 3p)+ 2n(3p

c)

producto de sus factores primos.

*\ + y(l + x2¡ + z1x2 + f¡

x" + -rx

x

de cada uno de los polinomios dados. l\,lCM de varios Para determinar

de cada uno de los polinomios dados. MCI\,| de varios Para determinar polinomios se procede como sigue:

x1f +

. "-

/,lr\ x/

A

y no comunes elevados a la mayorpotenc¡a con Ia que entran a formar parte en cada uno de

-

- \x+y+zf t6x2fz2

'('.11

los factores comunes

x3+y3+23=4xyz

halla:

los polinomios.

El ¡,lCM es el producto obtenido

C\7

E\12

calcula

enkan a formar parte en cada uno de

b.

B)5

ldentiflca la altemativa que no es mnecta

elevados a la mayor potencta con la que

a.

z2

= zxyz

es el producto obten¡do de

pol¡nomios se procede mmo sigue:

el

+

.

el

los factores no comunes elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los

y2

Sabiendo que:

producto de sus factores primos.

El

+

"^-

-b2.,, a2+b2',

a2

-

-

c2.,

-1,2 +c2'' b2

c2

-

para a2

c2+a2

x

-

at se obtiene la forma 0/0. de simplificarla, se

Entonces, después

obtendrá como verdadero valor:

y además:

a4+b4 b4+ca ,

a4+co

li.ñ'to';A'ra2+c4

A)

-,'

2

D)3

B)

1

c)3

E)á

ÁLGEBRA - AcnvtDAoEs UNIDAD

2

I 39

I

I

¡ 9

siendo:

algebra¡cas.

Bl2

1

E)

c)3

Una pista:

-3

Cada número nos representa siempre ¡a m¡sma letra

I

Halla el MCD de los polinomios e(x;

Y)=x3-xl+fy-f

A(x;

Y)=x3-rf-*zr*r:

B(x;yl =xa

-

2

7

2

-

B)x-y y)

c\

*2

t-

-f

E) 2xy

I

t

2

3

1

Si: Py Q son dos polinomios factorizables defin¡dos por:

P(x)=x3141*.r*O Q(x)=¡3*t'*O tal que, el MCD(P;

0) =

(x

I

-

1)(x

+

3), enbnces la suma de

A)e D)4

B)8

C)6

L-l--l''

E)0

La fracción

1

7

coefc¡entes del polinom¡o [MCM(P; Q)] es:

'12.

3

!

2

3

1'1.

2

1

2x2\f +ya

A)x+y D) 2(x

Lenguaje: Para resolver este logogrifo debes sustituir los númems de los recuadros por letras según la leoria de l\¡CD, MCM y ftacciones

a+ b+c=0

ol -2

10.

'14.

a+b a+b b+c b+c a+c a+c ¡+c - a+c -á+T- a+c ra+b ? b+c

A)

..\

I

Encuentra el valor de:

ax2+29x+12 x(x + 2\2

l.

L_1" Es aquella fracción algebraica donde elgrado del

numerador es mayor o igualque el grado deldenom¡nador. se descompone en 3 fracciones parc¡ales. Determina el producto

ll.

de los numeradores.

A)

100

B)

103

C)

105

D)

110

E) 120

lll.

NVEL 2 13.

lv

De las pmpos¡ciones:

l.

Es aquella fracción algebra¡ca donde el grado del numerador es menor que el grado del denom¡nador

si: Zfx: v)

MCI\,1(P(x);

un ... constante de Z.

=x- 3 a(x); R(x)) = (x - 3)(x + 2)(x + 3)(x + 7)2

- 36x2 - 4'1x + 105 Q(x) = x4 + x3 - 43x2 + 23x + 2'10 R(x) = x5 + 2xa - 34x3 + gl - $x - ¡s McD(P(x); a(x); R(¡)) = (x - 7Xx + 5) P(x) = ¡a

1 3¡3

MCM(P(x); a(x); R(¡)) =

tu-3 + Bry + cY5 = A,xr+B,xy+C1y5

es independiente de sus variables, entonces se cumple

R(x)=x3+11x2+7x-'147

ll.

Está formado por los factores comunes mn su menor exponente. Es el máx¡mo común...

P(x)=x2-x-6

o(x)=f-e McD(P(x); a(x); R(x))

(x-7Xx+sxx-3Xx+2)(*+x-3) (x2+x-1)

V.

Una fracción algebra¡ca es el coc¡ente de dos expresiones algebraicas, en donde la expresión que representa al d¡v¡sor es diferente de...

Vl.

Se factorizan las expres¡ones, se toman los factores

mmunes y no comunes con su mayor exponente. Vll. El MCD(x3 + 3x;x3 + 9x2 + 3x + 27)es f+3(¿SíoNO?) Vlll.La p¡imera letra.

15.

MEMORIA Memoriza eltexto durante 1 minuto; luego tapa las descripc¡ones

A) Solo I es conecta.

y responde

B) Solo ll es conecta.

.

C) ¡ y ll son conectas.

mn SÍo NO las preguntas planteadas:

Para dos pol¡nom¡os E y F, su MCD por su MCM es ¡gual al producto de los pol¡nom¡os ind¡cados.

D) Ninguna es mnecta,

E) No se puede afirmar nada.

40 I

Lexi¡nátic 5."

\

[¡CD(E; F) . MC[¡(E; F) = E.

F

\

.

Para más de dos expresiones algebraicas que son primos

20.

entre sí, el MCD es la unidad y el MCM es el producto de ellas.

.

expres¡ones, el

- x3+7x2-17x+g '= x\2x2-7x+4

está dado Luego de serfactorizadas las por el producto de sus factores comunes afectados de sus ¡¿lCD

para: x

menores exponentes.

.

Halla elverdadero valor de

A)

Luego de ser factorizadas las expresiones, el MCM está dado por el produclo de sus factores mmunes y no comunes

D)

=

1

1 -1

c)3

B)0 E)2

afectados de sus mayores exponentes.

1.

¿El MCD de un polinomio por el MCD de otro polinomio es igual al producto de los polinomios?

21. Si:xa=a2-bc yb=b2-ca zc=c2-ab

2.

Halla el equivalente de:

¿El MCD (luego de factorizar las expresiones) estará dado por el producto de los factores no comunes elevados a su

a2x

mayor exponente?

3.

+

b2

+

c2z

ax+by+cz

¿El MClt/ (luego de factorizar las expresiones) estará dado por el producto de los factores comunes y no comunes

A) abc

B)a+b+c

D)

Ela2+b2+c2

1

C)ab+bc+ac

afectados de sus mayores exponentes.

22.

Si:

;

16. S¡:a+b+c=1 as+b3+c3=4

Bx+C A *;Gl5+ 1

halla: (A

+ B)c

halla:

1, +, 1 + 1, M=a+Dc D+ac c+aD

I 17.

c)3

23.

E)-8

'"

rB.

-

A)3x2 + 2x

-

D)f -x+

I

9*z

'1

-

U

B)zf -2x+g E)f +x+ 3

C) 2x2

-

x

+

3

24.

' Pata

A)

B)2x

D)2x-3

E)

+

B)0 E) abc

C)2x+21

Cons¡derando los pol¡nom¡os:

+ c2)

a3b3+b3c3+a3c3

+é

1

5x+1

De las proposic¡ones, marca solo la altemativa inmnecta

A(x) = ¡a

1

D¡ a2 +b2

A)2x+1

NVEL 3 25.

+c-l-0,

3a2b2c21a+b+c)(a

c)0

- 6x2 -x+21 x3-8x2+5x+ t4

s¡mpl¡fica:

E=3

Bl6a2G E)-a

x4 -7x3

S=-L+ly-z z-x+:x-y-ix+yiy +zix+z clz B) 16 A)8 E)6 D)4 +b-1

x=a'es

lndica como respuesta la suma entre el numerador y el doble del denominador de una de las fracciones s¡mples de la fracción:

Jr. si:--l-'¡l-rf +- --le-xf ¡' G-yf -- "

Si se sabe que: a-1

c) 27

El verdadero valor de la expresión:

A)2a2 D)-

calcufa:

19,

E) 16

"t

A(x)=2xa-x3-3f+3x-g B(x) = 19¡a

B) 64

fi i;"3

Halla el MCo de los sigu¡entes pol¡nomios:

n ',,*

1

D)e

A)

Bl-2

)1 D )4

2\2x2 t 11x)*13 (x + slli(x +-sFn

+T

.' lgrr *

,Ux2

+

50x

+ 24

B(x)=!¡3a7,2*,,-, C(x)=xa+4x3+5x2+8x+6

C)a+b+c

D(x)=xa.'rs-7*z-r*U

ÁLceent - AcflvlDADEs

uNtDAo

2

I 41

\ )

I 27.-

Entonces, afirmamos que:

l.

EIMcD(A(x); B(x); C(x); D(x))

-

(x

+ 1)(x +

3)

Completa en los recuadros en blanm lo que falta para llegar a la solución: De los sigu¡entes polinomios:

ll.

EIMCM(A(X); B(x)i C(x); D(x))=

(x+

lll.

1Xx

lV

La suma de coeficientes det MCD(A(x); B(x);C(x);

V

N¡CD(B(X); D(x)) . MCM(B(X);D(x))

(x

+

-

96

D(x))=8

i

+ 3X2x

-

1)(x2

-

* *x2 *

15ro g*a

x5.'

*

mx

5*:

-

9x2

Su I¡CD es: (x + 7Xx

+

1)

B(x) =

Determ¡na la suma polinomios.

+

*

n

+

Px

q

de ¡os factores primos del MCM de los

Veamos la soluc¡ón:

.

1)2(x

.'

A(x) = ¡a

1Xx2+2Xx2-3x+2)

Eltérm¡no ¡ndependiente (Tl) del MCM(A(x); B(x); c(x); D(x)) =

=

26.

-

+ 3Xx + 2Xx + 4)12x

3x + 2)

Cada polinomio puede ser expresado mnsiderando el MCD c0m0: A(x) = (x + 7)(x

FRACCIOGRAfTIA

+ 1 )(Pd. 2.' grado) =

xa

+

t

5f + 64f

+ mx +

n

2." grado

Fijate b¡en en las fracciones y luego escribe el nombre de acuerdo a la clasiflcación de cada una de ellas junto al número

Pafax=-7:0=l

la+t5fl3+64[--12 +m = i--lm+n=-392 ... (1)

que corresponde.

Parax=-1:0= '+ 15 '+ m+n=-50 De

tu

641

+n

+m

+n

\2)

(1)y (2): m =

As¡mismo: B(x)=

(x

+7)(x+ I )(Pol.3ergrado) = t' a6¡415x3-9x2+ px+q

2'grado Parax=

-

7:o=

Parax=-1:o= tl

.

De(3)y(4):

r. si:F(x;y)-##++&

+ = ,t

x3-7x+1

150x2

x+2

lv

x2+2

p-

+

15x3 + 64x2

+

x+

E tl E A(x)=(x+7Xx+1X

B(x) = x5 + 8xa + 5x3

-

I 5

-7

5x

. T* 1l

' 't0

+q

+q

y q=

x2+ x+

150

3x+1_6x 2x-1 x ,x x+3 ' x-7 x-¿

leÚ¡nátíc 5.o

g '*p

4x1

x

9x2

+

5

E

1

x+ -9

tl

)

E tl E tl

-1 x

x+3.x2-4x-21 2x-1'2f-15r¡7 v x€tR- {r,-, +} 42 I

3,

5+8 a+5 3-9 ,*p

_,1

x+9' x+9 'x+9

,*-+ x+r

+5

c1

+x-3'

3x+2. x3-2x+1.

a

-7

c

=

8

Con los valores (m, n, p y q) determinados: factorizamos los polinomios: A(x) = xa

Se cumple:

s+

B(x)

=(x+7)(x+1)(

x3* x+

)

\

.

y

EIMCM de A(x) MCM(A; B)

=

(x

B(x)estará dado por:

+

7Xx

+

lXIf

mlcula:

+

flx+flXllf +Ix+[]) .

K

Nos p¡den la suma de los fac{ores primos del MCM ¡FP(MCM):

!FP(¡rCM) = (x +

+ (x + 1) +

[J

33.

-

A) ac

B) ab

D) abc

E) 2ac

tFP(McM)=[]f

-1m + 9¡x2 +(m + 16)x

-(m + 1)

-

(m + 7)

adm¡te simplif¡cación. ¿Cuál

C) bc

es

el

denom¡nador que se obtiene si se efectúa d¡cha simplificación?

A)2x+1 D)2x-3

B)2x-1 E)2x+5

C)2x+3

38. Un empresario exporta dos tipos de

a +D +c +1

+flf +[x +fl

-(m

+ 7)x2+(m + 8)x

S¡mplif¡ca:

espánagos que están dados por los

a3+b3+c3+abc

+I-+nx+(7+1+Il+[-) .'.

mx3

Conociendo que:

Reduc¡endo téminos semsjantes:

XFP(MCM)=flf+trf+(1

^

La fracc¡ón mx3

(aof+(uc)3-2(acf 3ab(a+b+c)

¿2a62a¡2=(a+b+c)2

-lx+ )+(-lx3+*-lx+--)

+

.

7)

37.

32. Si:ab+bc+ac=0

A)a+b+c

D)b+c

34.

B)a+2b

polinom¡os Q(x)

C)a-2b

E)c+a

P(x); se sabe que

(x'-

í(r) *Q(r)

Siel MCD de:

y

el producto del máximo común y el x') minimo común múltiplo es v además la suma total de ambos

=13*l - l.

P(x)=x3+ax2+(a+b)x+b

28.

+ z)-1+ (x + z)-1

Si: (y

0(x)=x3+#+(c+d)x+d es un cuadrado perfecto,

+(x+y¡-1=g

halla;

_ (A +

\

E

29.

y

+z\lx

+ 2y +

z\f x +y+22

Y+z /\ x+z i\

A)

1

B)

D)

-1

E)

I

x+Y

\

A)a+b=c+d B)a+c=b+d C)a+d=b+c 0)a+b+c+d=0

/

c)8

,27

+y2

x+y

l+22 ,2',2 =+:=tr{z y+z z+x

35.

c)

B)2

D) xyz

30.

Halla la canlidad que resulta de d¡vidir el minimo mmún múltiplo entre (x'+ 2). (cuando x = 2)

a,bycen

x(x+3)(x-2)

x=--!-+--J-+--f)a(x + y) xy(y + z) yzlz + x) 2

Halla

5x2+19x-18

halla:

A)

,5

E)a+2b=c+2d

§i: x2

-ax .bc x+J x-t B)a=3

A)a='l

b=-2

<
-

b=5

o
ó

E)a=2

b=

u = --l- +, I + 1, a+Dc D+ac c+aD B)

-2

E)

-8

Sisesabeque:a-1 +b-1

C)3

36.

+c 1=0

as*6s*.s-raro3a'

;6;T;;d-lñ?

1

determ¡na el valor de M que hace que la fracción:

a(b-cf

+ b(a -cf + c(a

-bf

D¡a2+b2+C E)abc

C)a+b+c

6,5 B)7,2 E)8,4 D) 1,33

A)

m

(t J ü<

.

J

.!oo

Z,F-?-FF

OOulol.uO ñaido;.'¡

'

:

tome el valor de 11.

B)0

ctr.¡.¡or¡.¡oo§J óro-N.,r{=

U

+ b2(a + c) + c2(a + b) = Mabc

a(b+cf + b(a +cf + c(a +bf 3abc

m

o

A padir de la relac¡ón: a2(b + c)

simplifica:

1

12

?

c=3

halla:

A)

c)

11

D)a=4

a3+b3+c3=4

3

E) 22

c=4

El4

si:

1 D)4

B)

D) 19

b=-2

b=-2 Cla=2

A)

A) 10

1

a+b+c=1

31.

entonces

podemos afimar que:

C) 0,3

9q1q1rq zFN.rr¡o'o

ALGEBRA - Ac vtDADES UNIDAD 2

I 43

7

#,

R LiCamOS Lo apnendido 1

ANALISI9 COMEÍNATOPIO

3

TEIY\A

¿Para qué valor de n se verifica

2

h igualdad:

P0=(x?+rif

nc!-rz

sCl =

Rsrolución:

!n^n-1 -^n "5"0-llv3 ncl-1 = nc! ^n-1

RÉolución: 1

Hallámos el lémino d6 luger (k + 1):

1

nr, = .1,

ulo

@s

71

llY l-' + ---)-\' 4 -J4 I \

4

determina x para que el tercer término sea 240

Rslolución:

cr2\5

-.,6 -

15

.16

1

...(")

x¡-L=a-Lzz nt=L 33

-

-

122

k)21 = k

-

22f21) =

nk

21=k B) 16 E) 10

r

-,5n+4

($ \ D+ $at)

conlenga a a con exponente 6.

1

5.

fórmlla, c¿lcLrlamos el té¡mino general:

Por

, ,.5n+4-14. ,14

#

ts=t,¡+,

=c?i-'(+)

|95-w14+ 4^2{5n - 10)- 1{(28 - 5n + 10 0 ^5n 6

1

Dalor

€Ilooente de ¡ es 6.

Enloncos:2(5n

Cumple:parax=2

- 10)- 14 = 6

10n=6+14+20

n=4

@z

B)

D) 5

c)

1

@ 5x

+

s'f x

i

existe un término

que mntiene a xaya, e indica el número de términos.

^) ¡ ll¡n

Por dato:

I

E)

1

c)7

Halla (n + k) sise sabe que elcuarto término del desanollo de (x + 2)n es 80xk.

I Lexi¡nátic 5.'

|

derecha és:

L,,

= Clxn

kak

En el elercicio

t¡= Clxn-3.8=8oxk

-

=:3^=

1)(n

:1

=

10

- 2)= 60 = 3

=xk-k=n-3=5-3

Por lo tanto:

n.'términos=4+1=5

B) 6 E)

''":r n(n

3n=4+4f.2)

= q.5n-i.9k. x3n-4k.lk 5

,Zr

+ 3n-4k=4

qfk

D)4

ri.

Si tenemos (x + a) el lérm¡no general contado de izquierda a

k=2

cl fsr'l'--.(*i

=cl.í-k.x3(n-k)

= ,:n 2k=4

x4r1

+

Seaellérmino:k+1

=

6

B)

Rssolución:

Rs!olución:

44

A) 6 4

3

E)6

Si en el desarrollo del b¡nom¡o

'-..,

(+)

. ,5n-10. ,.14 ,,,=cI.,(+) (+)

1

0

¡5¡3

@22

Halla el valor de n para que el término décimoquinto del

Declmoqlinto es e lérmino

l_ _l_ , l- _l_ = 16r.16r-4= r É 16r.16¡

5

Por lo t¡nb, 6l táfiino indep€nd¡ento es22-

Resoluc¡ón: 4

'1

tz2.

desanotto oe

2

zro=rn!7¡:o,,fñ =

,rz-t)r-!

.21 6= cll (t ( TF )="

A) 40 D) r

E)5

D 2

240

(#l

Reemptezandoen (o

r,

= n=8

b,1=2ao=

I

Pera que sea independiento Éspecto a su €xponenle debs ser cero,

Donde se cumple que:

En eldesarrollo de:

r,i"-,

r*., = gf2

^ñ-1

4+3=n-1

3

Calcula eltérm¡no independiente de la expansión de

I

c)7

5

B) 6

D 8

E) 9

@z

7

[^.+l

Siel coeficiente de xas en el desanollo de:

El

r.-, = cf r,;r'g t¡rl:f \i

término independient€ se

Rlaoluc¡ón:

x 9-k i

x en (1) 6s 0.

/

18-3k_0+k_6

78-3k=45-t=11

cJ6=clE-a=i

Sea:

t**, = cl8

4

x¡E

-

r(x-2)k Nos piden eico€fciente der . . coefcjente es

18-3k

^ . U;X

=

Al74

B)78

84

E) 88

c)

82

Detem¡na el tercer término en la expansión de P(x) = (x + 3)", se sabe que su cuarto término es 270x4.

l0

P(x)= (r + 3)¡

:------...:-

Deto: l¿ = 270xr

L!_:_.1 L¿

-

E_lxrxrxr n(n - 1)(n - 2)= 5 x4 x3 -

c',j x

cl8

B) cl8

D)

cl'

@clf

ñ=5

12

(x3 061

+ y3) es igual a 7(12)a. Determina el valor de:" -

116 +b

r*.,

c*3*

.

=r

.12.123

=u.f

=

1

B 3

D)s

E)6

ll 50 31 12

+

P (a; x) =

c)

11

14

1, si se cumple que en el desarrollo de

(l

+

|xf

ros termmos (n

-

A) 807

B) 918

D) 15 362

E) 1254

=

i1 +

2') cl

n(n

-q 2

E)

D )1 2

t=

n=10

15

D)

11

vlt

)zt

v ct

8'

lt

-

1

1)l

=

7t\t/4)lt/40)

(t-11)r=7!

- 1) _ 9i 22 c)

B)5

0

lt-4ú)

t4)tt4)

^ng

2'

,|

l4J Wtt l4t

^n.9.n-2= q^n,9.n-1 E,

"z\1)

9.ñ-2

_ 5040(É-18t+80)

Rg3oluc¡ón:

Pcrd*

orl,

- 8)!(t - 9)! - 8)!- (t e)!

(t (t

coeficiente P(ar x)

@rszza

Delermina el valor de t:

1) y n adm¡ten isual

R.3oluclónl

* cfc§f + c]cf ¡3

Co€fc¡ente:

= 5103 + 11 340 + 2835 -. Cooiciéñt€ = 19 278

p+2k=5

L!ego

Calcula n

i

DElo: 2p + 4k = 10

-2b+.=&+b-3=b

'13

= c[c!05

(-, = {cl- ksr-!',-'"

.3t

a+a+b

A)

Coefcienle

d1r * af)'-'tsl)'

(.,=c[c[ - k6)'*+ts*)Poal

úh+e3b+.-t{=r .ty'

,

r3x2+3xa)7

R$oluclón:

Ademfui

o¡unoado 3a deduc6:

2b+3-k k a a+b 2D+a-k+k

E) 6

Determina el coeficiente del término en x10 del desarrollo de (1

que contiene a

03

B) 2

12

D) 5

x2-xy+y2 )

(ll):

... 3 Umino6 sn ol d€§aíollo son naturales.

Ai

\2b+a

(l)

^ k= 0;6;12

C) '120x3

Si el coefciente del término en el desanollo de

(3Vx + y +2."+

-k=3 ...0t)

De

E) 9x3

D) 90xa

son

2 = 7,* =k=2

Sabemos qus:

= c, x5-2.32

B) 30x3

@sor'

l1

1

/7Í2

k

a--5-3=2 Nos piden:13 = 12+

(3/5+

I3 = t'

\'

Clf

c) cl8

¿cuántos términos del desanollo de

(13 + l2

10

(n-rX"-¿)1.-¡

Sabemosqus:

§

números naturales? Rosolución:

Enl¡ncas:

Resoluclón:

27

§

x$

LuogoiTS-3t=36-k=14

L*r = CIE x78-*

Reemplazando k = 6 en (1):

xi

Dalo:

. . .18 P(x)=fx++l

obtiene cuando el exponente de

=Cx? 1 =ctx-z--¡ tl-r

s

P(x) = (x + +)78 es C]8, halla el meficiente de: xa"

Resoluc¡ón:

9

I

Halla el término independiente de x en la expansión de

c 0r v'6

38 o'L

18

18

B) 19

21

E)22

c) 20

c'9

o't

)z

v9

V'C

Bt

sa^ell ÁLGEBRA. AcflvrDADEs UN|DAD

2

45

Pnacti uemoS NMEL

'1.

3

1

Sean n y k enteros positivos que

nl

lndicá verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

l.

El desanollo de (a + términos.

ll.

b117

tiene 18

En el desanollo de (a

-

b)7 el cuarto

término tiene signo negativo.

lV

(x + y)20

VFFF D) WFV

A)

2

-

tro

B)

=

4.

C)

A)2

B) 27

D)4

E) 16

c) 256

or4

A)37;

Cf§x52

B)30; ci§x3o

c)37;

c?8xs

D)37; cf§xs

exactamente con la memorizada.

E) 37;

cffxm

número combinatorio (C[) es el número de maneras en que se pueden agrupar los 'm' elementos tomados de 'p" en'p" elementos. donde cada grupo debe diferenciarse por lo menos de oko, sin

El

5

-r^a+1

- te4

A)5 D)4 es

e¡ número de maneras en que

se

6.

+

= nla

agrupar los 'm' elementos tomados de 'p" en 'p" elementos, donde cada grupo debe igualarse con olrc, sin ¡mportar elorden de sus elementos.

8.

En

+ l2)12

c

(C[)

es el

número de maneras en que se pueden

agrupar los "m' elementos tomados de 'p' en 'p" elementos, donde cada grupo debe d¡ferenciarse por lo menos de otm, sin importar el orden de sus elementos.

l-eximáüc 5."

9.

hasta el

aumentado en

d.

del desarollo

El

tota

de

'k'en 'k',

debe diferenciarse en

!n

elemenlo

térm

.

nos

del

bnomo Lrn

aád

coelcientes deldesarollo de un

de la suma de dos

peienecen al mnjunto tN?

B)4

del

la

kiá¡gu o de Pascal s¡rve para Obtener

de

¡la

C)6

donde té

inos

de una

genera un térm¡no para la

I

siqLr¡e¡te

a

E)9

x/

Bl2

>

0. Halla a.

c)3

12.

De las proposiciones, ¡nd¡ca verdadero (V) o falso lF):

'

91¡ L ll§_=2,1* IL Si

G: par (G

b/t - ba/l)2a

B)4 E) 7

(

)

(

)

€ z+)

l¡

il. llq - ------r¿ .-t§ - |

E)5

lz

es 4096

¿Qué lugar ocupa eltérm¡no en elcual los exponenles de x e y son iguales a 4?

A)2 D)8

núme¡o

de

expo¡enle

La suma de coeflcientes de

(ax

el

grupo

cada

número

los

\

1 D)4

El

al

eldesarrollo de fax r 1\8 eltérm¡no

A)

en fofma mnsecutiva

de OtrO por o r¡enos

D)x=6vx=5

de lugar siete es 252xr; a

46 ¡

donde

-2

cl12

¿Cuántos térm¡nos

A)3 D)7

(C[) es el

números

desarrollo del binomio (x + a)n es igual

E)x-3vx=6

número de maneras en que se pueden

de

grupos que se pueden

E) 16

C)x-5vx=7

(s{l

todos los

es desde la natura

con 'n'elementos tomados de

B) 19

orden de sus elementos.

B

Es el resultado que se obtiene multiplicar

n), si se cumple

a!

por lo menos de otro, sin ¡mportar el

El número comb¡natorio

a.

A)x=4vx=6 B)x=4vx=5

7.

C) 16

Completa según la teoría.

¿v4= ¿v3-\r2

donde cada grupo debe diferenciarse

El número mmb¡natorio

11.

Resuelvel

pueden desagrupar los "m' elementos

fomados de "p' en 'p'elementos,

ls

NMEL 2

c.

(C[)

18

E)

b. Se define como

Calcula el valor de (a que:

/'a+3 w4

importar elorden de sus elementos.

B)

Efectúa

Memoriza el siguiente concepto durante 30 segundos, ¡uego s¡n mirarlo compara y veriflca cuál de las alternativas coincide

El

A)20 D) 14

Halla el número de términos deldesarollo y además eltérmino central.

E) FFVF

A número combinatorio

halla la suma de todos los exponentes de la variable x en su desarrollo.

nk.

[(/x- - 1I(/x +1)"(x'+x+'1)"1

VFW

Si en el desarrollo de (axa + bxb)¡, los términos de lugares (a + 3) y (b 1) equidistan de los extremos; además, la suma de todos los coeficientes es 27,

-

+ 2)!

t

'167 960x11ye

WFF

(n

10.

(n+1)! -nl =k!

Calcula el mayor valor de

En el desarrollo de 1x + y¡10 todos sus términos son negativos.

lll.

+(n + 1)l+

(n+2)l

cumplen:

c)6

Si G: ¡mpar (G € Z+)

lll. llc . llc -

7 = lG : v G €

720t v «(5D0!)!+ 5!!!! tv 3I!-

I

I

z+

f ( (

)

) )

\

A

*

I

I 13. Sin.

nl + (n + lxn halla m . n; m>n.

14.

+ 1)!+

...

A) 100

B) 105

D) 103

E) 98

20.

+ m. m! = 151- 7!

c)

102

Sabiendo que al desanollar: [(a

+ bf]2(a

-

b)2"[a4

+

azb2

cl6(ab)12 D) cl6(ab)36

+ba]2"

B)

c¿6(abF

q

cl6 (ab)o

c) cl6(a¡)48

A)5

B) 70

D) 210

E) 460

NIVEL 3 21. 'El desanollo

consideramos que

C¡2n-t

B)n.2n

A)No-(1 -x)-dos

E)n.2n-1

-. B)No (1 x)'-1 - variable D) También E) Tamb¡én -

C) También

Resuelve;

(;).(t).(;).(t)=

x(x2 + 6) 6

22. A) (6)

'){}} 17.

(1 + x)

*

el mismo

- ¡nfinito (1 - mx) - el triple (1

+ mx)

S¡túa conectamente los titulos de los enunciados en forma cruzada junto al número que corresponde:

{3}

{+}

Halla eltérmino independiente del desarollo de:

(rx

18.

q

0 {?} u

x es un

-

S=cl+2c!+3ci+...+ncl

16.

+ x)m € z , además, de ser fraccionario. Si

valor pequeñísimo, se cumple: que el número de términos es también Se cumple

Calcula:

A)n.2"*1 D)n.2n-2

c) 17s

del binomio de Newton: (1

se cumple cuando m

15.

I

En

de maneras en que la habitación puede quedar iluminada es

obtenemos 17 térm¡nosi determina eltérmino central.

A)

Una hab¡tación t¡ene 4 portabombillas

mnectadas a un m¡smo interruPtor. Si de un conjunlo de 12 bombillas (5 buenas y 7 defectuosas) se esmgen 4 al azar parc colocarlas en las portabombillas, entonces el número

I

+*

cl242

225

A)252

BJ

D) 520

E) s22

'ñ

CIm

Determ¡na n, sabiendo que en el desarollo de (n + y)n se tienen tres térm¡nos mnsecltivos cuyos @efcientes son proporcionales

a1;3y5. A)5

B)7

D)6

E) 14

19. En una reun¡ón

c)8

hay 40 damas

20 varones. Se desea elegir

Y

un

presidente, vicepresidente, tesorero

y un secretario.

La condición

es

que el tesorero sea una dama Y el secretario un varón, y nad¡e Puede ocupar más de un cargo. Entonces, el número de maneras en

I

que puede elegirse ese grupo directivo es ¡gual a:

8oo D) 3 088 400

A) 2 644

B) 2 844

600

E) 3 244 800

c)

2 866 400

ll.

Nos sirve para obtener los coeflcientes del desarrollo de un b¡nomio de exponente natural, donde la suma de dos términos de una frla genera un término para la fila siguiente. Nos permite desarrollar el binomio suma o diterencia elevado a un exponente negativo y/o fraccionario.

ÁLGEBRA - AcrtvtDADEs u N rDAD

2

I 47

lll.

Es el número total de grupos que se puede formar con "n" elementos tomados de "k'en'k', de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento.

26.

Calcula x en:

cl+ci 1+ c)-2 = 136 B)7 C) 12

A)

lV

Es elresultado que se obtiene de multiplicartodos los números

D) 3

E)

11

en forma mnsecutiva desde la unidad hasta el número dado: de un número.

27.

V

Halla el número de términos irracionales en la expansión de:

(./,

Se utiliza para obtener un término cualqu¡era del desanollo en función del lugar que ocupa.

23.

A) 32 o) 42

EL PERSONAJE MISTERIOSO El nombre de un personaje famoso se encuentra escondido en elsigu¡ente código. Resuelve cada uno de los problemas que se plantean a mntinuación, y cambia el número que obtuviste por

28.

er-,r =

P

B

c

t7

15

-2-2t90 1113 91 10419723

o

R

S

11 1t2 2t3

D

E

G

F

T

H

U

9 6 -1

U

21

Problemas

J

I

K

L

N

o

[i($.

es de la forma:

s).á(#.,)],

C[

Calcula: m/n.

1 D)4

z

16 21

18

Lefa

Resultado

B)2

29.

Calcula eltérmino ¡ndependiente en el desarrollo de:

x+1+1x

4oc:8 = 5rc:6 D) 1107

B) '1118 E) 1020

lndica el coef¡ciente de

x16

Al 1218

Detemina 'x', si el tercer y

(".iI

30.

suman cero.

(1

Halla el término independiente

de x en:

1l -

A) 1230

lxf -

-

1)l= 6! +

5!

31.

lndica el número de soluc¡ones en la ecuación: Cl9

= Cio

8

c)

1208

en la expansión de

-3x+5x2+xa+x5)5 c)

B) 1225 E) 1125

D) 1115

Calcula n, en: 2n! - (n 1)(n

c)3

E) 5

Halla a, si:

sexto término de:

35

E) 30

A)

x

c)

B) 40

El término ¡ndependiente del desanollo:

la letra que te indica el mdigo.

100

+'{7)o'

1200

¿Cuántas pa¡abras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales incluyendo la e y seis consonantes inc¡uyendo la s, de manera que empiecen con e y contengan a s?

Calcula:

\/

83!

81!+

24.

821

40! + 4'l!

/\

A) 216 000 D) 10 800

\

4z¡--l

E) 9600

Simpl¡fica:

CLaves

R=Cl+4Cl*1+c3*2

A)n D)ns 25.

En el binomio (añ

c)

B)n2

na

E)n3

+ bn-8)p

A)66 D) 5

lErt¡náüc 5."

B)

1s,

10

E)4

NrveL

elt'rm

no centralocupa el lugar

+n+p C)8

r

7.D

-----!

13. E

20.E

26. E

c

8.C

14.C

NIVEL 3

27. C

2.C 3.D 4,D 5.E

9.8

15.

21.O

2a.B

't.

13 y su parte var¡able es a48b132. Calcula: m

48 ¡

c) 7200

B) 3600

6.8

E

't0. B

16. A

22.

29. D

NIVÉL 2

17. A

23.

30. D

11.

18. B

24. E

31. B

12.

't9. A

25.A

4 fl I

(

E Lic amOS TE/v\A 4:

to aprendido

-

P AOÍCACTÓN

PACIONALTZACTÓN

6

Arsimpl¡ficar:

1

2

ñifr_E

se obtiene:

1 3 ^ 19 ,/5 J5 '15 ^

: f,z_ : =4=! -212 9,/2

6J2 +512

19

Y

nrl

o+

orá

-,'18 t'

2

c)

I

gg

4

Simplifica:

,=(h.*)

A)

/5

o)

4./i

3

zVls -!Jl 1+J3 +J5 +,17

Jls

,=(*.*l-i=1$.,af

-,

calcula: m

+

27 +1

J3

t- j

zt,/l -|

\ñ +¡17l

c)

J-

14

6

=

tE + z{1f

-1

-ir7,

=

s. D

-ll

s+11 15 +11

t

-G -'t

+

28

+

2l1l

Resoluclón:

7\2,O+it Tr7,

s2-Zlli

- t\

M

= J52 -2J147 +

tll + l6f

128 + 2J75

49+3 49.3 25+3 25.3

lr*rG = li -t +zJl +t

*iilf

fi ll +ll -

Calcula

-^

n+2li=tt+2'E

-

¡){l+ll+O-t clt +./7 +./l - ,/l @/l +./l -O -t

Resolviendo:

tJi

-,f - 1) + tf

2(

Re6olución:

vm + ¿vn

+1)

0€6arcilándo y Éduci€ñdol

2,/2 -1

n

h +1 )-(

+

- n\,5 + J5 t,5 + Jif -t,1

-

,/ts

B) 18 E) 20

2/n

+1)

_ 2(,/1s

r=$"4f-3=s(2)-3=ls

Si: y'm +

-./1

)+(

+

t(

'=(á.#l-(*l

D) 17

-

Racionariza: Resolución:

)

(D15

ct 2/5

@g/5 f¿ 19 Er,5

2

Resoluc¡ón:

5

2

./5

Resoluclón

Resoluq¡ón:

3

Efectúa:

l\¡

ám=11 n=24 ^ '.m+n=35 A) 36

B) 25

D) 45

@35

c)

38

A)5

@12

B)9

c) 1s

E) 18

ÁLGEBRA -AcrtvtDADES UNIDAD

2

49

7

Reduce la expresión:

e= ,/ lS

- lt - ./n - 1rG

Efectúa:

./2

B)3 E)6

5i,/5-ffi ¡,ft¡2fi

I

J * li -,ti - z,/t o_(G+Ji-Jl)+GE G+ll) 2"6 Al2 B)4 D)6 E)5

=t

)2

c)4

10

x+2fi

=

Calcula: 3x + 2y Resoluciónl

.,G-;G

..3x+2y=18

t+2Ji, x+26

_, -'

@r

rtt,/n-.fi ,G-Tt lt¡-lt

-J¡+Jt

./;-T

*llF -,G *t,/it="6i-ns -,fi*tl*1fi H=,tG;t);r7ñ -(fi+tt)

t

t)2

."' - 2/3 z./i

t= ln

,/a J, - J, * 11 =,[;*rG *

t='/t

H=13+J7

-¡l;r¡- =.fr;r,

Resolviendo:

(li

Efectúa

t

Resoluclór:

*.ñ;;¡i =,fi.rG

,/tt * zt - zJt- z -,frr

G + Ja

, _'1tG 2J3J2 =.[!.,Q

6-2'/5

JG-:;ñ {G-úr¡

E=¡,G

12

-,ñl -"G +li f"G Q5 - ,\ll"G -Qa -"8)) "4 J¡= -Jx -lil "5 -{s -li "- '/iIG zJz z (/i _ Jif

e=l G - Jt- Jzs-ta Ji G_ 3! 29 21180 r'-a,/, - (m+s)-zl20.s e=,lls Jt -(la - lsl =,/G ..¡=Jt

lz-lt lt

P=:Q :* J5-lt+J2 Kesolt cron:

8

Resoluc¡ón:

p,=(G

+,rl)-(ll

+t)

-,2 A) 16

11

c)

@ra

D) 24

20

E\ 26

Simplif¡ca: E

=

Resolución:

t 2+$ \li-Jt-Ja

2-,'t/5

/, -.ñ;.ñ

i

't2

- I

z+Ji z-"8 \,6 - lt -2"5 "5 -y'3+ 2"4

z+/i

,-l

_

l3

*z-Jif =¿2

A) 14

B)25

D) 28

@ro

Reduce: B

=

c)

li

-,/z

I

H

= ,/11 + Jd.28 +116 -,/4.63

=,/(7 +4)+217.4 + t/Q +7) -

-H = (r1 ..H=5

18

+

tq) +Qs -

@s

+ñ¡

14

-'txl+f,6+,6t1+6 +

¡ll

2lt7

c)7

B) 6 E) 8

Reduce:

= '/5 + 123 .,/11

- ttn -./23

Rosoluclón: J

= ,/5+ J23 .\/ 11-./23 -./23

r=",,F+ñWt-6-,tn

1t;lF

Multipl¡cando ss tiene: J

'.8='l

= 142 + 5,

Dando forma

/5

B)ls+A Et 2/i - li

@r 3

t,

v¿t f4

o'ct

c)li-2

A)

Lexrlrnát¡r

5..

lB

B) /11

D)

3 '01

c'8

a6

sÉ^ell

50

n=liiñ +{tal@

J

a=Ji-(,6+Ji)+('4+JT) A)

Calcula:

D) 13

li - A<,/a;6

c)6

¡= +l@ +,G -i7:as "4t

t2

...E=16

- JB +r¡1s- + {l+i6 B = /5 - vft + 3tllE'+ ,(s a=

04

H

z-,4

Rosolución:

B=rE

B)5

D)8

R€soluclón:

\J2 -\JQ-t)-zlz tl Jz -JQ,tt*zlz t e=l z+Ji l2 - (12 -1) ,5 -t,5 +tll

e=(z*,/i

A)7

c)

/5

E) 3

o9

3t

f'9

v'e

a'z 8'

4

Pnacti UEMOS 6.

NIVÉL I

1.

Transforma mrrecto:

a

J11

-

n+7 49

v. 2.

4J2B

+

E, ff =rl1*'lZ

() ()

=2J3-'/5

J120

I 7.

o)l'l*

,)

()

ot'{7

E)x

+

2/7i

S¡mplifica

,/ 11

()

=

49-x4 =x2+ ,/4s-7

2x2

+21192 = '/2 +

( )

1

-

al16+ll

o)./1

E)15+li

8.

3

simplr¡ca

q+

A) 3

o\+

La racionalizac¡ón es un proceso que nos permite transformar

E)

c) s+

li 2

8+3/7

el denominador iracional de una fracción, en otro que sea

9.

Si la expresión:

Los radicales homogéneos son aquellos que además de tener el mismo ind¡ce poseen la misma cantidad subradic¿|.

R='40

expres¡ón ¡rrac¡onal que es equ¡valente a: cl A 0

3

-,/2

+

4

,/7

-

*

./3

* _2 -:l: ,/2 -,/7 J3 J5 10.

c\ 2./6

A)0

B)

1

Dl3./2

E)

/6

e

/lf+3+ ,/,/10 3 +./7 '/,/10 - ./7

J J1o

u.{e +e.¡S,donde

¡N, calcula el valor de:

A)8 D) 12

Efectúa:

,/5

+{t-iñ*

z-2ll + {lrz6

D)6

E)

-

1

fr+O c)2

B)5

0

E) 3

c)5

NrvÉL 2

/35+1

lndica qué mndic¡ón para cada caso debe cumpl¡r'n', si se establec€n:

obtén el valor de

(FR: lac{or racionalizante)

A='/10-4./6

z* /6

A)

B)2

D) 1,5

20

como respuesta mult¡pl¡ca el término ¡ndePndiente del

numeradorpor:

11.

1

c)

E) 16

6

Bl ,/37

0

+

36 términos

{i

.

8)6

Efectúa

g-2ln

o

Simplifica:

y

5.

-g

z- h2;¡i6

expres¡ón rac¡onal.

A)

cl 17

J32-4./63

multiplicada porel denominador racional lo mnv¡erte en una

¿.

2130

¡)"4+'6

Los rad¡cales semejantes se caracterizan por poseer solo la misma expres¡ón subradical.

( ) El factor racional¡zante es la

3

+,{t

")

1

rac¡onal.

()

4x

+,/7

Verifica la verdad (V)o falsedad (F) de los enunciados

()

-aG

E

-

radicales simples cada caso; luego indica lo

l. J4+J7 l.

Racionaliza;

c)0,5

l.

f/i+"/y)rn=x+y

FR

=

nr(ñ:i

-

ny'tñ:Z

^fi

+

...

+,{f-

E)2,5

ÁLGEBRA - AcIvtDADES

u

N

IDAD

2

I 5l

I

17.

tt. f/i-".,/-y)rn=x-v =

FR

Calcula:

{1

+'6+ñ Jz-,/2-,/3

A) 0

lll. fl/;+n/-y)FR=x-y

B)2 E)6

D) 3

- n/7= - n/¡-(i * ... - "fi-

FR

18.

y

_,

racionalización de denom¡nadores si el denominador es de la forma; el factor rac¡onalizante

_

".'/F5. En estos casos el factor mmo el

_ -

".,{Ff

B) polinomios

-

n/Tñ

C) monomios

-

ñ.,/(if

+2

x-2 y-1+ y2 y1 1+

rac¡onalizante es conocido también

- mnjugado

A)x-y

qE

qE ,lv

Etl,lv

1

-

19. - recíprom

Si

]'

tiene un exceso respecto a racionaliza:

Jx-7

3 un¡dades,

+

5

+

1)

2

y da como respuesta el denominador racional¡zado.

_L[ ,/31

A)72 D)75

1-./i

li

J3

1 ./i ^,_z_ 2

B)

^)

o¡t*#

20. +

2

v)z^,'l li2

^/i 2

A+ 5-3tta-li+

ll

B)

oli

8+2

c)

/1

A)t+7

B)2t+'1

D)t-+

E) 5r

Razonamiento: Todos los radicales de¡ mismo t¡po tienen una

./5 A) 0

B)4

D) 2

E)

Calcula E

-

a2

=o

4./l

B)

-2 c)6

1

2./i

El2^/6

cita por completar,

este número sale del número de radicales que faltan para llegar a 9. Averigua qué relacón t¡ene dicho número mn el número g.

"*/7t _u-17-t u-/7-t ^+l?-t

A) 4./ 6

C)t+5

NrvÉL 3 21.

Efectúa:

D)

6llñ

Se sabe que el radical OoOU es descompuesto como la suma de dos radicales simples. Da mmo respuesta el cuadrado de uno de ellos, sabiendo que:

12

E)oa

Dl ,/ 2./ 2

para', a4

cl74

E)76

84m+21n=84t2+672t-84

E)/5+1

Calcula:

A)

B)73

61

t

16.

I'de

(x + 3Xx + 2)(¡

Efectúa:

M=

15.

c)

- recíprom

'/[f - mnjugado E) monomios - '/FT - mnjrg"do

14.

1

-

D) monomios

13.

1

Donde:x>2;y<2

del denominador'.

A) polinomios

c)

Simpl¡fica 2

12. 'En la

3-/5

3+15

n/¡= + ¡vl¡-n,/l + ... + n{f-

c)

3/,

.[:;T r:¡ñ c-G 7_ ,/i .,7

"'l

12

,/B lE

Jt...i+,/12

7

r'. '- /8

'r:¡n .Í ,-=ñ 'r:iñ .r:i6 - l'.'.-.,+O

,/"- .,+ ,/ t2

,-

'/t

I

lexim,áüc5."

+ '/

l¡F [=;76'/i...:-lg -

52 I

-.t

7

\

Enmntradas las cifras, transforma los radicales dobles a simples o racionaliza según sea el caso e indica las respuestas.

*

t;s{;./l

N

,lTz

B)

lz +I3is+./7;t

-z;17

EL PERSONAJE IIIISTERIOSO Elnombre de un matemático famoso se encuentra esmndido en el siguiente código. Resuelve cáda ejercic¡o propuesto y cambia el número que obtuv¡ste por la letra que ¡nd¡ca el número.

-t:t

-lTluf

c)

ll

o)

G.,tE:+:{l-t;{t+t

-1:l1o

23.

Ejerc¡c¡o

el

lndica

+z;guf;a -t

racionalizar:

E) No tiene solución

II I

L

5

II I L ll.

tt

_

u

q

_------------:-

'''-/5+J5+/6

6

S

6

S

se obt¡ene como denominador: Si:

H=J3+J7(J13-J7

-15

t7

)

halla: H + 2

Código:

II II

211 +1

II 24.

B

C

15t

7

L

I

J

K

I

-1

/5-5

l\¡

/5 2

N

0

18

14

F

G

H

6 -tT

12

10

E

D

P

o 1

R

4

S

T

6

1

U

5-o O-l

Racionaliza:

R=

8+

18

+

Es la operación mediante la cualse transforma una expresión

e ¡ndica el denominador racionalizado.

cuyo denominador es iracional en otra equivalente, pero con denominador racional.

A)

2 D)9

c)6

B)3 E) 18

Son aquellos rad¡cales que tienen igual índice. rad¡cales que, además de tener índice, poseen la m¡sma cantidad subradical.

lll. Son aquellos

lV Es la

el

m¡smo

expresión inacional que multiplicada por el lo @nvierte en una expresión

25.

Si;x =

,/3+,/8,

calcula:

denom¡nador inac¡onal

4x2

racional. Es el factor...

V

./z

Alracionalizar:

t II IIIII Ir

II II IIII LIIIIIII¡

G

zJl+t

+ 412

Racionaliza:

Lee con cuidado los enunciados, luego de entenderlos escribe lo que corresponda a cada número ind¡cado es el esquema.

12

+$ -O

fs

127 + 2.150

22.

Letra

denominador obtenido al 5

Transfoma a radicales simples:

l9

Resultado

Es la operac¡ón que tiene como objet¡vo calcular

Vl. Se les llama así a aquellos radicales en cuyo

x

una

expres¡ón llamada raiz, tal que elevada al indice resulte otra expresión llamada rad¡cando o cantidad subradical.

A)

28 5

D)

E

¡nterjor

aparecen otros radicales l¡gados entre sípor lasoperaciones de suma y resta.

ct

t)(x6-t

x2-1

-1 B)

E)

¿ó

3T

c)

5 28

1

8

ÁLGEBRA - AcrtvtoADES UNIDAD

2

53

\ ) 26.

ffi

Proporciona el equivalente de

ra

s/l

2

c)

li

Deter¡ina

H-/7l7lmnp +'t7;7-,"p

r

I

A D

8)

otE

32.

uno de ellos

li

c)

4

x+22+10

Al27

s) 12

D) 103

E) 147

x-3 c)

=27

"./25 + 2"'/ 5

B)4

=,/pt+q+/rt+s

33.

p+q+r+s:

B)30

o)

E) 22

21

+

192t + 26

{p;qi r,

s}€['l c)

18

Se tiene el siguiente radical

20dx2+2c-2f+xy

(ab

-

9c-

cuadráticos. Racionaliza la siguiente fracción

d

y

luego como

respuesta brinda el cuádruple del denominador.

I - 'l

-3

6

C)3

A) 46 D) 49

Abc'

abc2

1)

B) 47

c) 48

E) 50

E)6

?

Según las mndiciones:

y ml=ns2=ot2 ''tsl

B(r)

que se descompone en una suma de radicales simples y

el denominador racional¡zado que se obtiene es:

Al2 D)5

5 q

A) 20

67

Al racionalizar la expresión:

"u

E

c)gq

De la s¡guiente transformación del radical doble

determina

2

+

q

2 q

A(t) + B(t) = 25212

Resuelve

x+1+4 x-3

I

B

además

x+1

E)

1

q

A(t) +

a

^)

30.

l'

Transforma en rad¡cales simples

t;

29.

2

14

li -a

,*+ 2x-f e indica

28.

20

s./, E)./i s)

Qlw +lT 27.

3

+ 56/5

97

A)li+li

+

La diferencia de las raíces déc¡mosexta de Ay B es n. La suma de las raíces octavas de A y B es p y la suma de las raíces cuartas deAy B es q.

1a1a1=4

6uJ(J - .i ..j

Determina:

q¡ O l0 O
R_ mr+ns+pt

¡') §¡

A)

m/ñ + nli + p./p

B)

ln + {l +.ll

c) 0,5(/m + /n + /p ol0,7(,/n + !6 E)

rJl

)

+.ñl

m+n+p

o o

U

.¡l N

¡N

.o (!

dro NT'

J < üo o r\¡

=F z. §¡

ur

N N

e, N

!l N

<EO<<()t¡¡ ..ilddñaioi

alt

3'1.

Sean

A=x2+l+mnp

B=xr+l-mnp De los enunciados: La suma de las raíces décimosexta de A y B es m

54

Lert¡nátlc 5.o

J 6r¡¡ou¡ rl¡ o t'- @ ót O

J

=F


N

7

t

R LiCamOS

2

Calcula: S

= i+

Donde:

+ 3i3+... +2ki2k

2i2

k

Reduce: ,21+4!+6!+... +m! El

'-

es par

@«t-¡l

B)0

A) k(2¡ + 1) D) k(k + 1)i

3

fl

aprendido

Ntl^AÉPOg CO\¡\PLaOO9

TÉlv\A 5: 1

Lo

E) ki

;n¡

@-i

c)

B

D)0

4

Efectúa

T[3E¡E

E

1

ir-n

Efectúa

,¡ 1-i 1- 1-¡ 1-i '1

^=[#.fÉl'

1

1

A

5

40

6

-z=3 +i

lndica:z

e) z(o -

c) -1

1

E) 2i

Sib>a;además: (a + ot'¡2 -1-2"/§i

1

Halh:

A) 2(7 + 12i)

c)z(o

B)

@-i

@o

Si:z€C,resuelve lzl

A)i

eJ4

B) 240

1

D 3

r-1-i ' 'f +i

1

+i)-1 zgD-1

e¡ o1z

- z+i¡l

@-s{+

+ si) '

A)2

fl

o+

B)

./t

E)

2 l-

cl

-la

ÁLGEBRA , ACTIVIDADES UNIDAD 2

55

7

Teniendo presente la ¡gualdad de complejos:

8

(l + i)2 + ('l +i)a+(1 +i)6r{1 +i)8=¡ay¡ Determina: Ffx: v)

=

2cos2q

ll-L x-y

A)+

1 c) E

1

B

D)+

I

Halla el modulo de:

z=1+cos74"+isen74' Sabiendo que: 1+ cos2c¡. =

4 1

@a

10

lndica el módulo de

A)

7

B)

1

5

@

6

E)

1

8

c)

1,1

lndica el módulo de z, si

(1 + 3i)(2 + 2¡)

(T + l7t( -i)

t+t+ r

li

A)

(ñ./1

B)2

lta

11

/7

E)

B)

@ 0 D)1 ,5

12

14

D)

B)i

1+i

E)

C)

1+i

1

ctt

1¿t

301

ver

o8

vll

v6

1L

sé^ell

56

Lexirnátic 5.o

Calcula

A)

-i

D)

1

c)

B)l

@r +i

r-¡

lndica el argumento del mmplejo:

,,=(*.#'l'

ir5o1

'- ¡l¡F';¡l¡so-i

@-i

@*/z

c)2

1

Calcula

+

"',+

4

96¡,

E)0

t1-rl$2+/'1

/t B)

2

o)+

Halla:x

3',/zt-z +2,,/i +,./t +t =

l3

c)3

-i+fr

A)

d6

B)

D)

-n

E) r,l4

o9 o9

rl2

o,

vz

3t

3]

\

Practi uerno5 NfvÉL

1.

=_12 +

)3+ai=se¡(ih)

A) ¡35r\

)

10(1

)

1

)

( (

21a,

)

Luego de desanollar

)

Elargumento del núrnem complejo:

i30

f,{3senx

obtenemos

- i es 210'.

10.

A)

c) I

B)0

D)i Si:

E)i

Simplifica:

--l;l;7-

E)

3/II7=a+bi,

c)i

B)2

A)

1

D)

-1

E)0

Oeterm¡na el número complejo que debe restarse a: (5 + 3i)a para que el resultado sea un complejo cuyo modulo sea 10 y su

-600 + D)-652 +

A)

+0 +6)es

-l

cl2

B)-1

argumento 217".

p, 6 son las raíces del polinom¡o complejo _3J +z-1=0 (c¿

2

.

Si: q,

Entonces:

./5

1

'=

+ sen3x)

-1:i = Ja

-/5

11

.

-i

2¡ 954i

B)

-1 + 954i

E)

-650 +

P

+ 3i

10i

= (M; N) + (0; 0), donde se cumple:

= F. Expresa 'P'en su forma polar,

sáb¡endo que el (llC). pertenece cuadrante alsegundo argumento de P

(P.)2

a y b€IR

A)cos110' +

M=q-? 2A-O

isen110"

B)ms'120'+ ¡sen120'

C)cos'110" - isen'120"

c)

B)-2

C) 2

Se da el siguiente número complejo:

Calcula:

A)-4 D)2

rls

- 1+i+i2+i3+...+i1s

La representación en foma de un pol¡nom¡o de primer grado que considera funciones trigonométr¡cas de los ángulos múltiplos en "x' de sen3x es:

4

9.

=2s'(É)co5(a)

lndica lo conecto (C)o inonecto (l) según conesponda:

(

+ w3 +... +

D)0

-D=l0r'2e'r-¡rr

+cos30" + ise¡la"

#

Donde:

)a+3i=sei(i#)

( (

3

Calcula: S = w +

8

1

Determina la verdad (V)o falsedad (F) según coÍesponda:

( (

2.

.<S\

E) cos'|75"

D)cos'120"

-

isen120"

+ ¡sen175"

1

E) 4

N'VEL 2 5

Halla el módulo de:

,='*t{74 A)1 D) eVe 6

B)

3./;

E)

eV e'

c)

tF

Marca lo que mnesponda según la teoría: l. Según la potenciación de los complejos, se establece

(lzl(coso + ¡senc¿)ñ = Inzl(msna + isenno)

V

¡

5^;i

+ 2i

=a+bi

nrtv#

sráv*

D)1y-3

E)

c)-t

1y3

Las raices

lll.

La raíz cuadrada de un número negativo no t¡ene solución

'-

f

rcos3o" + isen30" ta

|

2tms20'+

13.

son

tes

y tienen modulo 27.

ME fvr

fF-l

Según las proposiciones indicadas, verifica su ve¡acidad (V) o falsedad (F) según corresponda:

( ) El opuesto de un número real (parte imaginaria cero) es

Calcula el módulo de z. 7-l

I

v 10

3/7

''F

ll. Hallaayb,en:

3+?i

7

12.

el prop¡o número real.

12

' I ¡sen2o')6 ]

( ) La multiplicación de un número complejo por su opuesto es otro número complejo.

A)Í

B)+

D)2

E)4

c)

1

( ) La soluc¡ón de la ecuación: z6 + 7 = 0 son seis, y todas ellas t¡enen modulo 7.

ÁLGEBRA -

Ac

VtDADES

I 57

4J

) '14.

20.

Calcula g20

V

15.

lzl2 ziz+2n11+ i) =0?

.13141516* .t2181

= ,stolt12 *

B)

D) 3i

E)-3i

c)

1

3

Sea a, b e IR y z un número complejo tal que cumple:

z+ z+0= ¿=! Ademása+ a5

-

b5

5a2 b2 I a

-

B)

8 3

Si:

3/a + bi

además: i

=

-

m

1

c)

2/i

eñcta\+)

3/10

e'A¡Erán(t)

3

+ ni; (a; b; mi n) c IR

rGB'eiA,c'e(+)

./145 e^"''nlá)

-ituclánl0

165eiArc'an(+)

/6ZeArc'án(+)

0+6i

0+7i

)

Jl

calcula: m

a

b

+n1

m n3

'17.

A) 3i

B)

D)

E)3

-3i

c) -3

1

Calcula n si

Sñ

eiñctan,1)

/Betuo"(*)

3JE

et),rctan(2)

ge¡Arc lán (0 )

|Z

eir{cl€,n\1 )

/65 e'A'"r¿"(t)

[1t+¡7+1r-07]"=40e6 A)8

B)4 E)3

D)2

r8. si:z=

c)

1

3

/u6

-tl #t

ervc'án(+)

+

./i7 eA"bn(i) +

+f--l

=8+11i

+

=21 +6i

Calcula: z-3 + z3

+ A) 2e^' D)

19.

-1 +

2r

/5i

E)

3i3

+

4ia

+

e3

+nin=64-64i

A)M

B) 128

D) 16

E) 256

Lert¡náüc 5,o

+t

=9+10i

c) 11e2"¡

Determina aquel número n entero posit¡vo múltiplo de cuatro que verifica la igualdad:

i+2i2 +

58 !

B) 2e2"i

./, -2

Busca en la sigu¡ente tabla los números complejos necesarios para mmpletar las operaciones indicadas de tal manera que se cumpla la igualdad.

I

C

1

E)-+

D)

+

b )

3aab A) 0

I

-ll

q+

ol-a-1

21.

b, reduce:

-

B)

N'VEL 3

z+-b.)+a

z_a

16.

-A2 +t

A)

A)0

-

/n 0) ral que extsla Lr único

valor debe asJTrr n

¿Qué - mmplejo z, que ve rifique:

c)

+ /29 e*.bn(á) +

=14+8i

+

=9+7i

SeiArcten(o)

+

+

+ /to

+

+ TeiArctáñ(o) =23 +

e'Arcran(i)

=10+9i 4i

32

+ 3 /13 e'kbn(Í) +

=24+11i

4

p I 22.

24.

El manuscrito misterioso.

Calcula n

Acontinuación se tiene un mncepto en clave. Descifralo. Ten en cuenta que cada casilla que t¡ene un número representa a una letra del alfabeto: 1 = A; 2 = B, etc, no cons¡deres (Ñ, LL. CH).

z=a+bi

15

16

14 14

518 15

25

21 25

19

20 15

13

15

12

tr;tI ,F i9

z

c)4

A)6

B) 1t4

c)

Dl2

E)3

ñn

5

(1

26.

rciso

E=

12,

-0,25

z2f -121- z2f

+

Re(21 .22) + Re(21

27.

(#.il

14

='' B)e

A)8 D) 11

19

15

13

28. 14

912

Sea els¡guiente polinom¡o:

* a,rn-t * arzn 2 +... + an; a¡l(0;0) + 1, ¡' I Donde: (ao; aj; a2; ...; a) cG y a* = ik P(z)=

¿o2n

sise cumple que P(i) = mi; m Halla:

P(¡m

B)i

-i D)-i'z

514 eE = cisO

29. Se

18

a

13 I

c)i'z

E)i1-1

t¡enen

= Re(q)

e/

+2)

A)

15

10

14

ul

197

c)

E)12

19

12

c)2

¿Cuántos valores de dos c¡has adopta n, para que se verifique la ¡gualdad:

fffT-T-t-n-fn 16 18 13 13

. 22)

B) 1t2 E) 1/3

D)3 13

1

e G. Reduce:

Sean:21;22

12

14

+D(r-') -

A) I

3

I

Calcula n en:

15

5

14

-

25.

= -016.

B)3 E)6

A\2

19

18

s1+¡#f'

- + i)*+ z{-z + zi}* + [{r

I

14

16 12 18

15

12

914

12

618

12

135

185 2A

6

24 18 19

112 19

4

12 10

8

s¡:

D)5

19

cr y 9, dos números ¡mag¡narios donde

;b

= Re(9) (a +

b); s¡ se cumple que

y crp es ¡maginario pum, halla el máximo vale¡

18 19

tTT

19

15 13 23.

4

12

i*,* ¡*, * ¡*ri1')'

A)0

B)

i

D)

E)

1

-1

c) -i

-

1

4

Etaves 20. D

26. C

1.

8.8

'14. D

NrveL 3

27. A

2.

9.E

15. D

28. B

3.C

10. D

16. E

21. 22.

4.8

11. B

17.E

23.8

5.C

NIVÉL 2

18. B

24. C

6.A

12.

19. B

25.D

NIVEL

*,r0, *

c)

-d=-OL. a¿b ab'

E)4

18

Reduce

(¡f*

B)0

A)3 D) -1

14

o + P es real

69;

ets=cose+¡seno

151

#^

't

1

3.

29. D

ÁLGEBRA - AcrtvtDADES UNIDAD

2

59

D

T@Nffia#oaa*rea lndica el número de factores pr¡mos de: y5

-

3y4

PC=t1;12; 13;t Se anula para

-

2gy3

+ 51f

-

Í><: ><_Í'

120

= (y-11(f-y-2oxl-y-o) r -.",,-5 y .uz-3 y - \ 4 y /\ 2

1:

51

26

-120

¡20I

-

0

..

Determina el número de términos en el desarrollo de: si uno de sus términos

es x1of.

7 D) 5

B) E)

Al

2

+ 94y

4; ...

1 -3 -23 I 1 -2 -2s

1

= (y - 1)ly4 - 2y3 - 25f + 26y + 120\

I

C)

xn-y'

7

(y

-

-

r)(y

5)(y + aXy

-

3Xy

+

2)

Posee 5 factores primos,

a: lz +

Determina la gráfca que le mrresponde (lzl módulo de z).

x2-y

|
a

10

13

A)

B)

.tZ

-a

1

x

P(x)=tu2-3x+B-1

I

M(x)=d¡214r-g-,

v

Dados dos polinomios:

Si el MCD de P(x) y M(x) es (x + 2), determina AB.

2 o\ 1t2

Al

3.

1/3

B)

c)

1/8

8. _ _

,",

M(x).N (x) MCM_EJ,¡)

B) x2+x

D) x3+x

E)

9.

C) x+1

-1 o) ./10 -,/i

B) E)

Encuentra el valorde:

1z¡8k

c)

+

I

Sea et mmptejo z

c)

Leximátic 5.o

212(,t

+

,l5) i)

c)

D)

x

x3

+

x2

x+1 x'-1

- x; sx3 -sx2 +2x-z y

212(1

+ilt)

13.

x2

E)

5x2

10x2

c)

x-1

E)

B)

x2-x+1 x'-2x-1

B)

E)

+2x2

2x3

5lr2

B)

ln,

C)

-2x+2

(l-t)(sf

+2)

\G +3li )5

7x

D) 5x2+1E)

-

2x2-2x-1

4x3 + gx

x-1 +3

C) x2-Sx+1

x¿-2x-3

x-y x+y- x-y D) x-1 E) y-1

Encuentra el denominador luego de raciona¡izar:

i

A)

B) 211(i-

E)

2.

c)

Encuentra el factor primo cuadrático de: xa

A) D)

tnOica a qué es igual zr2.

{!;

-i./3) Dl 212

.

*a 1

=

1

,n-'

B)

l

Encuentra eltérmino rac¡onalde:

A)

1+/5

+1

B) -1 E) -¡

A) 212(1

60

li

+/l

lO.

k€21 A z€C

A)r o) 2i 6.

/7

1¡(xn 1 + xn-2 + xn-3 +... + x )+x

Halla el MCD de: x4

x+a

Simplifica

Si:z=cis45";

xñ-

A)

A) O)

tti

(x-

xn-1

/t-'/zt*,/n

5.

Simplifica la sigu¡ente expresión

H=

=x3a1¿.. 1)x2+ax; N(x)=x3+x2

A) x

A)

D)

2

-1

Determina:

Si: M(x)

-2

E\ -1t2

D/_\ ,

4.

C)

S¡

2x

el residuo de

determina a

A)

B)

1

-

2y (x+

C) 1

x-y

5-2x+3 +2x+2

es de la forma ax

b.

B)

-1

C)

_5

D)

3

El _2

+

b;

-

eecueeoA René Eescantes En ló35 el molemótico y filósofo froncés René Descortes publicó un libro sobre lo teorío de ecuociones, incluyendo su reglo de los signos poro sober el número de roíces positivos y negotivqs de uno ecuqción. Unos cuontos décodos mós torde, el físico y motemót¡co inglés lsooc Newton descubrió un método iterotivo poro encontror los roíces de ecuociones. Hoy se denomino méiodo Newton - Rophson. Tuvo lo inspirociói poro sus estudios de Motemóticos en tres sueños, en lo noche del lO de noviembre de ló19. Creó uno nuevo romo de los Motemóticqs, lo geomehío onqlít¡co. lnkodujo el sistemo de referencio que ocluolmente conocemos como coordenodos cortesionos. Este nombre derivo de lo formo lotino de su qpellido: Cortesius. Fue el pensodor mós copoz de su époco, pero en el fondo no ero reolmente un motemótico.

Reflexiona '

NaliL'_¡tw:í¡ fincott

urftlar o nnos

qut tli lo]ltn,¡itn!

il\lalti,t

ctt

úla,{ 4 r[[o

t¡,h nou¡t¡to [a nuquildrá úrilnlos lt yaz

t

i¡tttrior!

.

rrorlor, { aca[oronliento tína úsauión, qrc fraten t'a[ta los yara reñir. A [o mgor te sirvt le algo Es

áfítif

le

recordar

qut

nadie yuede estar ot

letarurlo

contigo mifltras ru 6rcs atu¿río ron í

.

Debes

tner cuidalo,

li«s,

sino

no so[o con {o que

¡amhién ton fo que «uclas.

Debtría ser razón suficient(

a tola

hah{alurías a ltrcstamos ateuión.

De acuerdo a la figura que se muestra:

¿Cuál de las siguientes altemativas es igua¡, pero en distinta posición?

c)

B)

rI

II D)

E)

f

rr

para itar

mfumnia y [o qut, en ocasiones,

costd {os cñismel

iRazona...!

lt

7

t

fl

R LiCamC)S Lo apnendido ecuActoNeg oe

TÉAAA I; 1

?et¡..vllee

éeAoo

PLANTÉO OC CCUACTONEg 2

Resuelve:

3/i;T +3lx:¡ 3jq+1 3/x 3

Resuelve (x

+

1)2

+

(x + 2)2

= (x + 3)2 + (x + 4)2

1

3

A)

4 65

D)

3 4

.,

Resuelve (x +'1)2 + (x + z¡2 =

A D

5

erf

1x

o

-

2 3

63 b5

+

3)2

Bl

5

E

D)

f

4

5 b

+

3)(x

crá

3

6

-

1)

+

(x

+

1)2

, 7

1

B

z

@

cri

2

Resuelve

(x+4)2+5=(x-2)2+30

+6

Resuelve (x

or*

65 63

= (2x+ 1)(x -2)

@i+

B

ol,o 1

E

12 13

crl

1

5

Los cap¡tales de dos individuos son x e y soles. El primero ahona diariamente a soles, y el segundo, b soles. ¿Cuánto tiempo ha de transcunir para que el cap¡tal del primero sea n veces eldel segundo?

4¡v# AJ2

@o

B)3 E)4

c) -3

n*+l

Dl'na+b

rE))

nY-l

va-nb

c)

nx+y a+nb

E\ n(y + x)

'

na+b

ÁLGEBRA - AcflvrDADEs uNtoAo 3

t 63

7

ó

Resuelve

Antonio le dijo a Carios: 'Cuando tenías mi edad yo tenía la edad que tiene Luis, quien tiene dos años; además, nuestras edades están en la relac¡ón de 7 a 13'. Halla la edad de Antonio.

A) 10 D)

9

B) 21

11

c)

4

B)

I

IJ

E)

7

25

@nr

En un campeonato de t¡ro, un asp¡rante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el

10

Calcula

Si a, b,

B) 78 E) 70

11

c)

72

Una liebre perseguida por un galgo se encuentra a 80 saltos delante del galgo, la l¡ebre da 4 saltos mienkas que elgalgo da 3. Si 5 saltos delgalgo equivalen a 7 saltos de la liebre. Ha¡la el número de saltos que da la liebre antes de ser alcanzada

12

13

IR, tal que: a

c)

B)

D) ab

!lc

Luego de resolver:

B)3,5 É)2

D)2,5

14

a(a-x) _ b(b+x)

ac

^2

@r-¡ E) ab

c)a

v'zt

f

vlt

v6

0t

v'8 3'L

ts^e'll

64 Lexirnátic 5."

3

Halla el valor de x en:

ab

I 'tt I 't,

c)

x-a x-b x-c

ba

D)b

/ITII

@4

E) 2000

A)a+b

C) bc

1

lx+1-2,/x

1800

Resuelve:

=b=c

A) abc

lndica el ,alor de,

B) 1700

0) 1900

cc

/x+ t + zli

por el galgo.

@i600

en la ecuación:

c

x-a x-b x-c b+c a+c a+b

número de tiros acertados fue:

6)76 út74

(a+b-x

c) 1s

bc

b2

'a+b-c

B)

a+b-c

'c+a-b ., abc 'a+b+c

D)

b+c-a

s'9 o'9

b2

vt at

1'Z

c't

Pnacti uemoS

I

NfveL I 1. Responde según mrresponda:

Resuelve la ecuación:

8

x+1 .. a-b+1 .!.hr,! r'ut x+a+b x+a-b I

A) ¿6mo evitar que s€ ¡ntroduzcan soluciones extrañas cuando a ambos m¡embros de una ecuación se elevan a un mismo exponente?

B) ¿Cómo evitar que se pierdan soluc¡ones cuando de ambos miembros de una ecuación se simpl¡fican factores que contengan a la incógn¡ta?

9.

C) ¿Cómo evitar que se introduzcan soluc¡ones extrañas cuando a ambos miembros de una ecuac¡ón se multiplican por una expresión que mntenga a la inmgnita?

nl,b9

E#r

D)+

-,,ba-1

Al mmprar un pantalón, una camisa y un par de zapatos he pagado por todo 3/.400. Si el pantalón cuesta el triple de lo que cuesta la camisa y los zapatos cuestan S/ 50 más que el pantalón, calcula el precio de los zapatos. A) Si.50

B) 5/.200

D) S/.150

E) 5/.250

De la siguiente ecuación:

5x+10+n=0,

( ( (

verifica la verdad o falsedad

) Su raiz es nula, si n

'lO.

= -10.

) Su solución no es ún¡ca, si n =

-10.

) Iiene una ún¡ca solución, si n

0.

A)VFF

B FVF

D)WF

E

+

I,

A)2

a) La ecuación es determ¡nada y la raíz es nula. b) La ecuac¡ón es ¡ndeterm¡nada. c) La ecuación es ¡ncompatible o absurda.

llla D) lb lla lllc

^, a2+1 ul 2

B) 3a

12.

E) 1-a2

x-1 . x-2. x-3 x-4, x-5 --r--3-4---5---6

^t-2 Bt2 c)li

"'

D)#

E)

17 43

D)

o+o

lndica la forma del número

nrt"

consecutivos. B)

A)

rra -'

D)

16

17

13.

.q qx px qb pa *t=pb-q.' $;

$,

(x +

a)(x-

ab(1+ b) b)

-

-

a3

+i3

(x+ b)(x-

ll lyv

B)llly

ly

E)

2a) = b(a

-

2) + 3a

lV

C) llY lV

lllyv

Resuelve

,zspx+p+/-qpl_

/spx+p-l6px

lmpar

ab3 + a2b2

;zr;ilF--7;3--"

¿Qué ecuaciones t¡enen las mismas soluciones?

Resuelve la ecuación en x

px_qx

I a+b

- ab)x

(a2

lv (a-b)2+

1

ct+

B)-+

C) la llc lllb

E) lb llc llla

,x x '' a a+b

V

6*--f=3-5

lllc

Determina las soluciones de las ecuaciones:

,,,

ResuGlve:

A) Par D) Fracc¡onario

B) la llb

r i(+).*(+)=1

Resuelve:

A)-1*

Relaciona adecuadamente:

A) lc llb

2\-1 . 2x+1 x- 1 . x+

7

E)8

r/x_;

»+ -"r-x

6.

D)6

c)4

lx+a+lx-a +a_

10)

ll. 10200x+0=0 lll. 0x - 30 001 = 0

Resuelve:

Al2

5.

1

B)3

-

l.0x+0=0

x 4 x+2- x-3 -10

z

c) 2(x

NIVEL 2

ll.

4

B)2x-5 E)2x+5

D)x-5

Resuelve:

s'

c) s/.100

Juanito tendrá x años de edad de aqui a 5 años. ¿Cuál fue el doble de su edad hac€ 5 años? A) 2x

C) FFF

^,4 tl bJ

"

-4

y b valores naturales A)

1

D)

+

C) Negativo

E) Cuadrado perfecto

B)

5

tJ ^,635

,JC

ÁLGEBRA - AcrlvlDADES UNIDAD

3

65

t *\

I '14.

Resuelve: a2

+x

2l a2

b2-x

b2

-

x

+; -

4abx

+ 2a2 b4-x2

.

2b2

B)

7

mandó inmediatamente que traigan tantos regalos como regalos habían quedado y dos regalos más para

-e _!¿ 'a+b

'15.

¡r a+b 'a-b

b a

Dl

la

de repártición se perdieron algunos regalos. El profesor pero antes

Sabiendoquea+b

nt ^',1

En un salón de clases hay 20 alumnos

y cada uno iba a recibir dos regalos,

reponer lo perdido. ¿Cuántos regalos se perdieron?

E)a+b

A) 18

o)

B) 19 E) 22

21

c) 20

Determ¡na el valor de x:

./x+t -,/ x- I =l c) *2

A) lncompatible

B)

D) lndeterminada

E) si4

-1

NTVEL 3 22. Analiza la siguiente solución Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libuna

de Bohem¡a, el¡g¡ó a su consorte entre tres

'16.

Resuelve

a+x . b+x x-a 1+a+ab - T+E;6 = 1 -a+ab

4# D)r* 17.

B)

-

1+ab

¿Cuántas manzanas contenia un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y un manzano más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de Io que quedó y un manzano más y para el tercero la m¡tad de lo que entonces quedaba y tres manzanos más, sicon esto el canasto se vació.

x-b 1

-b+.¿b C)

1-ab

Determina el valor de verdad de las s¡guientes afirmaciones: E) ab

L

A) {33} D) (25)

La ecuación que representa la situación es:

l\¡+2 M+22 ., -- M+2 2-- 4 t 2

Resuelve la s¡gu¡ente ecuación

x-33 x = -f6rt49+33x -¿ilt 1o8e

M: el número de manzanas que contenia el canasto ¡1. Elcanasto contenía 30 manzanas. lll. El primer y tercer pretendienle tienen en total 40

c) {-7)

B) {7}

manzanas.

E){40}

En la s¡gu¡ente ecuación:

23.

(x+1)+(x+2)+(x+3) +... +(x+n) donde: n

€ Z / n ¿ 2000, el valorde

N@;! D

n

2

B)

E)

=n2

x es:

(n+1) 2

(

I x-1 l4x-9 I 2x+3 5x+7 I 2 JX+b X-9

(n-l)

5x |

2

x-4+2lili=B-x+Jñl4x A)6 B) -6 D)

lndeterminada

3x+

1

x+5+L_l+| C)6^-o

E) lnmmpatible

Si al doble de la edad de Juan hace 10 años, le aumento el kiple de la edad que tendrá dentro de 15 años, resulta 1lO años. ¿Cuál es la edad de Juan?

A) 1 0 D)1

I

66 I

B) 13

El23

Lexirnátic 5..

c)

17

4x-5

10x-1

6 |

2x+3

l=t0;=x=l

x+4+l-l+ fl=ts;="x=¡

x =51;+x=7 E*[l* fl__l++ + s+[--l = + = s +l-l=lt;=x=g ]*f]* x+3='12:=x=1 2x

20.

le mnesponde 8 manzanas.

x+5

c)+

Resuelve:

() (

Busque en esta tabla los b¡narios necesarios para mmpletar las operaciones con los otros binarios de abajo de tal manera que se forme una ecuación y que tenga mmo soluc¡ón o raiz las indicadas a su derecha.

T

19.

()

Donde:

lV Al segundo pretendiente

18.

pretendientes,

planteándolas el s¡guiente problema.

]*f]* __l + ox +

81;

x

1o

7

=22;+x=l

9+l--l

= 54; = x = 3

5x

|

x+9

! 24.

30.

Resuelve:

x-17-B

25.

En una bolsa hay n bolitas, Mónica retira un tercio de ellas, Pedro agrega m yAntonella frnalmente, saca la mitad. ¿Cuántas

=4

bolitas quedan?

A)lncompatible

B)0

D)3

E) lndeterm¡nada

c) -3

^,2n+3m ^/6

B)2n+3m

D) (3m + 2n)6

6¡ -,33n+m

Resuelve la ecuación en x.

mx-ar mx-bi b+c

c+a

mx-c

a+b -r

3l

.

3n+2m .\ ",6

La señora ¡,llilagros tiene 36 años y su hija t¡ene 8 años, ¿Dentro

de cuántos años la señora ¡,4ilagros será exactamente 2 veces S¡: m

a+,,1, ,1, ;a rel="nofollow">0,b>0,c>0 ab bc+ ac

=

mayor que su hija?

A)4 años A){1}

B

D) {2)

E)

c) {a,

){a+b+c)

b, c}

{2abc}

32. 26.

Si la s¡guiente ecuac¡ón:

mx

+

(3

-

n)x

= 5x + 2m

-

10

+

27.

Halla elconjunto solución de la ecuación

ra+b+cr1. rb+c+dr-1 . ic+d+ar-1 (-=-o/ '( ,-, / '( x-b i

,ld+a+br1 =', *( x-c / c E+

A)a+b+c+d o)

C)a+b-c-d

B)a+b+c-d

33.

A)6

B)7

D)e

E) 10

É

una

cantidad diferente;

Maria

(##á6)pedro(ffi) carmen

6.ü -¡;

c)8

Cuatro alumnos tienen cada uno

I 1t

f , b,+x , \ v Julio con

\1+b+ab/'

(1ffi¡

qa+b-c+d

c-!f+

¡l

entrar todos y aún le sobra 3 soles. ¿Cuántos hijos t¡ene el padre?

C) 10

E\12

Además: {a, b, c)

i

entradas de 1,50 soles, logrando

B)9

I D) 11

Un padre va con sus hijos al cine al pretender comprar entradas de

soles observa que le falta de d¡nero para tres de ellos y dec¡de mmprar

n, tiene infrnitas soluc¡ones.

Halla el valor de (m . n)

A)

C)6 años

B) 10 años E) 15 años

D) 5 años

u nr.t

sor les pide a los hombres y a las mujeres

que junten sus cant¡dades y las igualen. Si a y b son números

28.

Resuelve:

enteros consecutivos, entonces el valor de x necesariamente es

(a+xXa-b), (a-xXa+b) 1x-a¡a2-6ab+b2)

a+b -

a-b

- -----?-br-

A) Un número par.

B) Un cuadrado pelecto

C) Un número impar

D) Un cubo perlecto.

E) Un número primo

29.

A)2a

B) 3a

D) 5a

E) 6a

C) 4a

Resuelve:

n/x+a

+n/lÁ ñ--'{x-a-á=

4

a+1 't5. E

A)

x=

¿¡, r =

-a(++ a(an

-'l

)

an _,1

a(an + 'l) -. e¡x=-;_1

^., ó¡X= ¡1r= '

a( an

+ 1)

an_1 (an

+ 1)

an_l

;i*'ii: I

ffi fl 't6. B 17. E 18. E 19. E

20.c 21.

O

ALGEBRA - AcnvtDADEs L!r!rDAD

3

67

.i

F LicamosLoap rendido TÉA^A 2

Y OETCE MINANTE9 ^^ATSCES

1

2

Calcula: Traz(AB)

't2 45 )'=(13)

3

A) 36

B) 38

ol24

E)25

^[i 41

Halla la matriz inversa de:

f1 e

4

7)

lz s r

t0 -34 75

8

1t8

5126

u

5

['í

1t2

113

Calcula: (A + B)(A

Gi)

D)

1

-2 D

si: 42

68 t

1t5

,|

0

-3 -2

0\

Sea:

5t26

3\

t)

2

],[

2

-

-

-7t1M

174

A)

6

B)

2\

E)

5.'

z)

-2

44 -2

1

2C

3

9/104

B)

?)*=(i ')

-

1

18

@(11

17

47

D)

t)

Lexim,áüc

115

4fi

2

?)

3

29t52

6f05

3 2

2

112

29152

1t7

-91104

7t5

71104

1t9

5i8

6/13

-

c)70

1t1U

3i5

1t4

1t26

-9t144

(1

E) 98

Halla: C3

B)

/8

@

B) 80

D) 75

C=

I

31 42

@gs

I

[r z rj

A)

Halla eldeterminante de

15

il)

c)

15 27

11

10

,(ll1')

I

Halla la matriz adjunta de A.

2

A BA=

1

c)

/-1 (r

t)

0\

r/

41

A)

0

ü

,(

2

I

o(3 -:

G) (;:)

3)

4

,

(l

-3)

Halla la matriz de cofactores y da como respuesta la suma de

7

8

Hallaeldeterminante:

(t z a b lo 3 4 5 lo o 5 2

su diagonalprincipal.

'[líi] D)

I

c 6 a

lo o o 3 l.toooa

'18

B) 22

-17

E) 18

SeaA= [aii]3x3/ lxl-Al =

x3

c)

A) 4s

36

6x2

10

+ 3x + 2

Calcula el término lineal del polinomio

Si a d

e1l,¡=¡l,r-n-1¡

s

c)0

@s" E) 15

D) 15a

-

b

bc

.ll=8 h

rl

Ca cula b

R=6

e h

B)»-

A)+ 7, D) -r. 11

E)

o 12

4

5

3

2

ot

D)

-

t5

0\

\o

t)

@(31:)

o(i

Dada la mairiz:

30 12

a)

/1 0\ tt\¡ r/

A¡2.3n D)

l¡l

18 24

1

€.lr -5

2n

SiA

=

(a,j)n

,

n

es una matriz deflnida por:

a b 0 0 ... ... 0

9?f 9::9

5 251 l1 1343749 125

0000 b000 B) 160 E) 264

@¿o I 'tt o e!

c) 5.2" J

entonces el valor del Det(A)es:

127 39

A) 120

100

2\

_.

Halla elvalor de:

-

c) -

-150

Calcula la suma de los elementos de Xn

121

o/

E)

120

X=

5\

l^'

sl -24

Al24

-3¡.

Siendo:

Halla: 3A

13

@ri

adg df - slu . hl gi l. r il ac

a'zt 8!t

c)

A)an+bn

180

o 0t 3'6

Sl

D) 2an

a8

ab 0a

a'9

vs

*t-tf.'u"

c)an+bn-l

a, cc

vz Jt

sa^ell a ÁLGEBRA -AcrtvtDADEs UNIDAD

3 169

Pnacti UEMOS NIVÉL I

1.

sea la makizA = (af3,2 definida de la siguiente forma:

i- j; ¡x j;

aij

i+

1;

il

^[)[4

¡<j i=j

|

13

(

,[-

i>j

-t 2 31

B)

I

0

3

2

|.3

-l

2\

1

E)

l2 .l I _,

1

JJ

2

Determina la haza dé (AAl).

-3 o\24

A)

2.

B)0

c)

12

5

Sea la matriz A =

E)68

I

D

0

E

N

U

T

T

N

I

P

x

S

I

C

I

R

U

c

T

P

T

E

T

L

P

R

E

X

H

N

E

s

t\4

R

E

T

S

o

E

D

E

E

N

T

U

Y

R

Y

U

J

0

T

D

z

L

R

S

P

H

M

Z

D

R

s

G

L

N

E

o

E

K

I

D

S N

J

G

I

K

x

Y

L

R

I

N

t4

E

T

E

f

P

o

Y

J

T

N

t\¡

X

N

0

I

T

P

N

R

L

o

Z

K

N

L

x

N

N

U

H

T

N

R t!1

E

F

I

D

I

^,

I

I

T

q

7.

U

b2

ab

NILPOTENTE

A)a3+b3

srMÉrRrcA

o¡

8.

la3-03

ab

b2

a2 b2

ab

B) (ab)3 E) (a

|

lx2

B) 2C

E)4r

c) 2l

9.

-2

¡)

I Lexim,átiE 5.o

-1

c)0

E)2

Sean ¡as matrices: a

b\

c

¿)

Tales que:

f 3-11

'.'=[i ;l'--'=[ ', halla: X

I xl lx 1 x2l

, rl=lr * r I rl lr r ,l B)

^=(l l)"=(

S¡

b)2

I

l,

6C

D)1

D)3r

-

C) (a

Resuelve:

Al

A)C

8t7

a2

ll

-

c)

10n

Calcula:

INVOLUTIVA

Dada la malriz C, calcula: C3

iil

B) 6/?

TRANSPUESTA

MATRIZ

{i: i *l

- cl - clt

IDEMPOTENTE

IDENTIDAD

,

B

D) 9t7

.=(i3)

70

=A.

ANTtstMÉTRtcA

INVERSA

=

4n

A¡

R

R

c:2

cn

s=

ADJUNTA

(.. ,

Determ¡na: E

G

siendo:C

I

I

o z 0 L o c

si:n=ta,¡. rra,

r=r0,r,,,0,=iill'¡

S

C)n2+2n

E)2n

F

6.

€ IN)es:

B)2x3"

A) 3n +2n D) 5' +'1

K

T

S

N

I

T

T

S

D

E

f

o z

N

I

U

D

IV

B

o

L

E

l\¡

H

P

o

D

E

c z

D

T

S

J

J

B

F

c

P N

IV

Z

4.

entonces la suma de los

elementos de la matrizAn (n Encuentra las siguientes palabras en el recuadro:

X

3.

li'l

AB=

',)

10 01

Entonces elvalor de

a+b+c+des:

A)-l

B) 0

D)1

E) 2

c) -2

+

b)2

il

A

10.

fr:;l Io o

Sea la matriz A =

14.

que:

111 121 113

s]

Entonces Ia suma de los elementos de la

diagonalde A1o es:

230 D) 60 074

A)40

E) 106

= h¡l

de orden

3x

3,

f(i

Ii+ Halla

el

j)x;si:i+ i<

D) 99!

E)

xj; si: i+

A)

j>4

-1 D) -9/4

B)

16.

1

C)9/4

A)

0

D)

20.

c)

A)

ql

I 243

calcula: Det(P-1AP + 2l)

c)

1-2-6 J

2

V

P

0 -3

A)8 D)o

simétrica.

D) VFF

E)

C) FVF

18.

WF

=[:1] o [o

siguiente ecuac¡ón matric¡al:

fa 0l- 12 1 0l

D) 10

E) 6

b.".

1

a'é

-;r

-1 0

t)

0

tls!l tll:l il, _rl B)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

,H

-,1

ll

15

E) 18

NryEL 3

Halla el valor de a en la ecuación:

2'l

.

lndica el valor de verdad en las siguientes proposiciones, respecto

deA=

ladn

3375

n

"

l. SiAes nilpotente entonces An = 0.

ll. SiAs = AentoncesA2 = L

sl A)

B) 5

I

1

Determ¡na la suma de los elementos de la matriz X, si: a2 + b2 + 2 = 2(a + b)

A)3

c)

B)28

1aa2a3 a3 1aa2 xa3 1a y za3

matriz que satisface la

-r

a

si:

1

s1

ambas simétricas, entonces AB es

lo ol"=lr

1

a

^[i

ert

1

son matric€s del mismo orden,

B) FFV

1

O:

ell;o:4;l aa'd

12

Si:A= -J

13. Si X es una

b a2

c)0

es

17.

A) FFF

1

ol*;o;-*;*

+ II

E)n

n

B y B son simétricas, entonces

B

0

(;

calcula:S=Aa2+Am

A es simétrica.

lll. SiAy

1._

a'

c)

r rl Izqsl

simétrica.

+

n/a¿= I

nolnr=lz

E)3/2

Si A2 es simétrica, entonces A

S¡ A

)(

er*'*'q

1021

f1 231

(V) o falsas (F):

ll.

Halh: lA-1

a

x3

c)98!

B\2

1

x1

Si:

lndica la secuenc¡a mrrecta después de determinar sr las proposiciones relacionadas a matr¡ces son verdaderas

L

1

D)2n +

producto de las raíces de la

A)

[a¡,]n"

Calcula: lAl . lA 4

ecuación lAl = 0.

12.

B) 97!

Siademás:A2 + A=

donde:

ai

A)921

X2

0

Son (en ese orden)

97 1 198

A)

15. SeaA=

+

b

c) 60 014

B) 66

Dada la matriz: A

a

111 111

NTVÉL 2 11.

Entonces los valores x1; x2i x3; x4 tales

Halla el valor de:

c)8

D)

19.

I

sl2

-2

E)BVD

Sea la matriz

a

0

b

a

c) -3

lll. SiAes ¡dempotente e inversible, entonces Traz(A)

=

n.

B)FW

dondea+0,beIBD) VFV

C) FVF

E) FFF

ÁLGEBRA - Ac vtDADES UNIDAD

3

71

22.

Según las caracteristicas notables de algunas matrices, escribe lo que corresponda de cada uno junto a su número respectivo.

27.

Calcula la invesa de la matriz A y da mmo respuesta la suma de sus elementos.

t1 23 n= ls ¿ s t^_lJ 5 b

Sea la matriz x

10 t

l.

Dada una matriz cuadrada no singularA, si existe una única matr¡z B cuadrada del mismo orden, tal que: AB = BA = I (matriz identidad), entonces, deflnimos B como matriz:

ll.

o

SiA es una matriz n¡lpotente, ver¡fica: Se denomina a

lll.

;

;

matü idenüdad. entonces A'se denom¡na

29.

mafiz:

lV

Cuando

V

Cuando

,

entonces'A" se denom¡na matriz:

Vl. Es aquella matriz que se conslruye

a

partir de otra intercambiando sus flas por sus respeclivas columnas y conservando todos sus elementos, matriz:

23.

7

x

't1

3z+xr

B)5

C)6

D)7

Sea:

Encuentra el valor de:

0r

0

v 0

z

v

+f

0

1024

I

A)6

zl ol

c)6ro

lss o¿s

o

rsg o+s]

o1o

1000

I

,[j]

l:l'

,

u son:

,[il,

-8 E)

3

0

5

-2

B)

11

c)

11

D)e

E) _10

C

D)6"

NMEL I 1. E

E)6

B)e D)7

c

7.D

r3.

E.D

14. B

9.D

20. B

26. A

NIVEL 3

27. A

c

21.

10. D

16. B

22.

29. E

NIVEL 2 'f1.A

17. C

23. D

30. B

5.8

18. E

24. D

6.4

12.C

19. D

25. C

2.

A)8 c) 10

Iaves

8)6'r

Obtener la matriz adjunta y da como respuesta la suma de sus elementos.

5.o

59 049 r

ü tales que: P u = 0

t'o.

E)612

214

0

rrl

0

primera fila por 3 y la tercera por 2 obten¡endo la matrizAl. sabe que Det(Al)= 66, calcula Det(A).

0

Dada la matriz: Y calcula la suma de los elementos de

Lexinátic

1024

1000

100

049

t59

I

1000

C)xy+yz+u

+22

Blx2

E)x+y+z

lo o l¡ o

I

0

0

010

c)

En una matriz'A'de orden 3 Maria ¡ntercambia la primera y la tercera f¡la para obtener una matriz A0, luego multiplica la

A)

D)

=

o)

Det(A) Det(B)

111

72

B=

A) xyz

v

1024

l-51

E)8

0

t0 I Ol 26.

x

v

^=11ll) \w a, xyl

25.

0

f 8t orl-sl,-r

I

1

1024

1000

100

010

100

t8l

30. 24.

10

0

Examen de admisión UNl2006-ll (Matemática) Sean las matrices:

A)

:l zol ¿y+tz z

A)4

es:

100

10 0

número

Calcula la traza de la siguiente matriz simétrica:

x+2y

x11

2 7 -1 O= 111 P = 0101, saurenoo o- .[_:] = 14-4 ]; ^[,ij Donde I es un c¡erto número real, entonces, el vector u y el

entonces '4" se denom¡na matriz:

.

-r

r ol h o rl

B)

010

D) 3

1t

10

'p', en este caso, como

Cuando

0

010

D)

matriz nula

0

c) -2

1

lo

=

Entonces la matriz

A)

B)

E)

tl 28.

A)0

3.E 4.C

r5.

O

28. D

S¡

se

4a I

R LiCamOS Lo aprend,oo i TElv\A 3r 1

SrsTÉtu\A Oe aCUACIONE9 2

Resuelve:

x+2y=7 x-2y=3

2x+3y=5

x-Y=5

{}{+; -t¡ D) {( 4; 1)} 3

Resuelve el siguiente s¡stema

B)((2; 1))

c) ((a; 2))

A){(5; -1))

E){(-2; -1)}

0(s; 4

Resuelve:

B) {(5;

t»

c) {(-1; 5)}

-2)}

E) {(1; 5)}

Resuelve:

x, Y, a+b+a-b =a+b xY

x=5+3y 7x-39=9y e¡nd¡cax+y

ab

e ¡ndica el valor de x.

5

A) 19

B)

D)-+

-/3

19

a»

19 3

A)a2+b

lo

6

Resuelve:

xY3 -E

Halla x en el sistema

xY

4a-4b

C)a2-ab

@2+ab E)a-b

D)b-a

bx

+ ay

bc

yz

zx

AC

b+c'cy+bz-c+a az+cx

ab

a+b

xY14 6a-5b-l5 Halla y.

2a

B) 3a

D 2b

E) 6a

8))16b

A)a

B)b

or9 ,b

''

Q)Fb

¡^2-

;6;5c -

ac

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIOAD 3

I 73

7

8

Resuelve el s¡stema

Halla el valor de k para que en el sistema

1.3 5 ;- y+1 =T 't1 4.8 ;T';T=T

3x+7y+22-1 2x+3y+72=1

k+2y+32=0 el valor de y sea igual a z.

lndica:ry

9

A)6

B) 12

D)4

E) 24

OB

10

Resuelve elsistema

A) 3

B)4

D) 6

E)7

Resuelve el sistema:

xy(x+)/)=4

x+y=6 y+z+4=6

x2+f=14,a;',

z+x-8=6 lndica elvalor de:

'11

lndica un valor de:

A) 15

B) 16

@17

E) 20

c)

(A»_4

18

12

1,1

v

soluciones (xo; yo; zo).

1

x

B)8 E)

@-7

c)9

+

2y)

,1 'z ,1 -r-

1

1

20 1

1s

A) 10 D) 15

-8

Dado el sistema de ecuac¡ones, halla: (2x

'14

E)

Resuelve:

Aaalrrtor¿"'

Bl22

¡

74

c)

A)

16

D)

@24

ctt er

Lexirnátic 5.o

1

G-O=z

x3+y3=466

D) 18

c)5

@20

x+y+2,,@=36

y) =420

A) 12

cJ30

Dado el sistema de ecuac¡ones, calcula x

1

A)6

tE

E 3

i- y-li

Da como respuesta la suma de las componentes de una de las

+

y

B 2

o) 213

Resuelve:

xy(x

-x -

x-y+z

x(x+2y+32)=50 y(x+2y+32)=10 zlx+2y+32)=10

13

@-5

ezt o rt

v 0t

c8

o6

)¿ sa^ell

{l {l

E=.fr4

tz t6

B) E)

c'9

c9

{stz

(ú¡,ll

tq

/5/5

8t ce

oz

vt

Practi

UEMOS

NfveL 1 1. ¿Para qué valores de m el sistema tiene soluciones pos¡tivas?

re Resuelve

6

11 !' xy 6 7511

J2x+tY=¡

xy6

l3x+sY=13

o)?.r.T t)?<m<15 clt<m<ar I ?.r. rz ff<m< et

o)

2

e ¡nd¡ca ry.

A)2

B)3

D)6

E) 12

41

Psrcepción / Espacio

7.

'1

Í+f=zg x+y=3 x2

+f

+'f

lndica el valor de z

nrl x+4]r=12 5x+3y=26

=29

x+Y=3

8

x+Y=3 Resuelve

9

A)21,8

B) 25

D) 36

E) 67,6

B) 24 dias

C) 26 días

E) 28 días

Al resolver el s¡stema siguiente:

Se obtene que el valor de (x

A\

!

D)

v

B)a-b

C

a b

E)r

-2 1

+ y) es:

B)-1

c)0

El2

NryEL 2 11.

Dado els¡stema, podemos afirmar que:

[2x-3v+42=o t'

Resuelve elsistema:

5x , 0,3

¡7-T-" 10x , 9 -,. -T-i-"'

15x

[

+ 2y

19x

+

+32=7

'172

= 33

A) Tiene solución única.

e ¡ndica el valor de y.

D 0 64

Los trabajadores A y B pueden term¡nar un cierto trabajo en 12 d¡as al laborar conjuntamente, S¡ A trabEa solo durante 20

- ,l6t- 3t I =-3 23tv¡y ¡2 +31¡=3-7 = 14

1 1 _^ x-y x+y 1'.| x-y x+y

A)0,362

E)36

3.li+y +2

Resuelve:

v da mmo resouesta el valor de:

5.

c) 25

B)s

1

A) 21 dias D) 27 dias

c) 54

10.

or! 'a

er,b

días, y después B completa el trabajo en seis días más, ¿cuánto t¡empo demora Aen hacer solo el trabajo?

Da como respuesta xy

A)a+b

I

D)+

e indica el valor de y

xy

4.

1

4

25x-gY=27

D) 16

34 xy

c

3

Resuelve:

A)

3.

B)

5/x-3./y =3

x+4y=12 x+4y=12 5x+3)/=26 5x+3y=26

=29

,1

I+f=6 xz

x+4Y=12 5x+3y=26

ax+y=0 x+ay=0 x2

15

xy 't ,1 yz

en la misma cantidad.

x2+'f=29 x+Y=3

c)

Resuelve el sistema

Atrévete a dividir el cuadrado en dos partes ¡guales a través de las l¡neas marcadas mmo se muestran, de manera que cada una de las partes tenga los mismos sistemas de ecuaciones y

ax+y=0 x+ay=0

.\

B)0,298 E)0,75

c)0,1r

B) Tiene infin¡tas soluc¡ones. C) T¡ene 2 soluciones. D) Tiene 3 soluciones.

E) No t¡ene solución.

ÁLGEBRA . AcrtvtDADEs UNIDAD

3

I 75

12.

Descubre la palabra. Pon los grupos de letras en los espacios vacios para formar palabras en horizontaly una más, la cualencontrarás al ordenar

17.

lin+GJi+sy=,8+2s ./ñTi-/5/x+y = 5/5-5

las letras de ¡as casillas que están en el centro.

COMP CRA

Resuelve:

TIBLE

Calcula el valor de xy.

L¡NEA SUSTI IGUAL

ES ER UCIÓN CIÓN

A) 249 D) 432

RA

MINADO NANTE

DETERM

INDETE

REDUC

c) ,285

B) -750 E) 125

IÓN

'18.

Resuelve:

3

2

_17

x-y-l + 3x+y+3 24 3 _ 1 x y 1 3x+y+3--18

CES C t\¡

T Halla x.

L

A)

I

B)2 E)5

1

D) 4 R

19.

c)3

Resuelve el sigu¡ente sistema de ecuaciones: 2x2

+Sxy

-

18y2

=o

xy+'f-tz=o 13.

Al resolver el sistema:

I+

+

l4 Ix

A)

35

y+1

y+1

E) (4; -2).,

1

20.

A)x='1;y=2 D)x = 3; y=2

C)x=1;y-3

B)x=2;y=1 E)x=2;y=3

,lv

A)6

a¡

F4: -2)

El conjunto solución del sistema

CS

x2+'f=1

A){(1; 1), (2; -1), (1;0)) B)((1;2), (2; 1),

2

I

B)0

C)3

o)2

E)4

E){(-1;1),

Para qué valores de m els¡stema:

x+y+z=5 l2x+v-z=3 I x-y+z=m

21.

tiene soluciones no negat¡vas

-7<m<0 B)0<m<5 D)-3<m<5 E)5<m<9

A)

C)0<m<9

-1)}

=

Dado elsistema:

2x+3y+42-0 5x+6y+72=0

x2+f+22=24

lndica elvalor de x al resolver:

y

(1;

NÍVEL 3

I

x+2ti+yii

(1;-l))

c){(1;o), (-1; -1)} D)((1; 0), (0; r))

1

I

I

n

Acerca de su conjunto solución podemos af¡rmar que

+Zlx+y +z =5

A) Tiene un elemento.

z+2fiTli

B) No t¡ene elementos.

Si:

C) Tiene dos elementos.

=n m+b+n=16

A)m-10 D) m-8 76

1/

Señala el número de soluc¡ones que se obtiene al resolver en

lx l+lv

16.

-2J;

x2-2x-y=-1

IR el s¡stema:

15.

la',

D¡ 9,2),l-2:a)

4

se obtiene:

14.

Bl

a)

q la; i l-a, -2)

4

7

(4;21; (-2,

B)m+16 E)

Lexl¡nátic 5.o

m+12

C)m-4

D) Tlene tres e¡ementos. E) Tiene cuatro elementos.

\ » 22.

*\ 25.

Lenguaje En cada enunciado sobra una palabra que

A)6 D)7

ecuaciones. Se ecuaciones de algunos para as¡gnados sistema lineales denomina valores incognitas sus a más

inmgnitas o mn dos pueden cuales los de verif¡carse colección

26.

B

ningún elemento un elemento expresiones. Resolver solución que puede tener conjunto en determ¡nar el elementos o s¡stema un consiste

el mayor el se

A)2650 B) 3000 D) 4000 E) 4250

lndica la suma de valores de y.

1 D)8

8)6

A)3

B)2

D) 16

E) 6

y

A)2500i

n! 29.

B

Sean a, b, d números positivos tales que

Determina

c)

36

E) 144

Siendo (x0; y0) la ún¡ca solución al resolver

a)2,25 d)2,55 30. El minimo

x2+y2+2x<1

x

x-)/+a=0

x2

Halla el valor de: xo

-1 -4


dz3 c2

+

B)-2 E)

-5

+v

+

f

c)

3

A)s o)72

0

e)2,65

valor de

o

z que satisface

B) 18

El144

el

rJ.Joo()coO() t'

!t

rar ro ¡-

U

ao

(,,

at

o
2

CS

yo

ul

c) 2,45

b) 2,85

sistema de ecuaciones.

els¡stema:

A) D)

2a2

D) 3000;0

?

8

-

B)0;2000

ct+

3

5

E -q

2b2

0 1000

C) 1500; E) 0; 2500

a c .. a3+16 c3 b 3/d ' br+54 d

B) 60

la

unidades del modelo Sonny y Galaxy (en ese orden) deben fabricarse al mes para maximizar las ganancias mensuales?

/Jx+l

y'x+5y =

Calcula:x+y+z

y

ha asignado no más de $600 000 por mes

(x+v)

D)+

A)48 D) 1r

18

s¡stema

xv^ 5x+4y --

Galaxy;

del Galaxy $300; las ganancias son $25 por cada modelo Sonny y $40 por cada modelo Galaxy. Si el número total de celulares solicitados mensualmente no puede exceder de $2500 y la compañía

ecuaciones. Según

denomina el

y

producción de cada modelo Sonny cuesta $200

Resuelve el s¡stema y da como respuesta:

Sab¡endo que:

-"

la

y da un valor de: xy

c)

compañía

para gastos de producc¡ón. ¿Cuántas

28.

incognita ecuac¡ones una

3y+52

Xperia

[,la+l=¡ss

si los conjunto. Se denomina independientes no son coefic¡entes de misma

--

C)+

Una

c)3850

fabrica dos modelos de celulares, Sonny

lxf+y=2r

¡ncompatible, o independientes.

3x+22

32.

El-z

27. Resuelve el sistema

número de incognitas ¡mposible, absurdo

que número de

Resuelve elsistema

A)

{l ,'r''

y

cada lata de B a 800 soles. En el almacén de la farmacia "Juanito" hay 80 kg de ¡/ y 25 kg de N. Determina en soles el ingreso máx¡mo de la farmac¡a "Juanito".

(z+xxz+Y)=18

¡nmnsistente ecuaciones o más en el cual pueden ser algebraicas no lineales. El de ecuac¡ones un conjunto es dos de s¡stema o no algebraicas intervienen en el que matemáticas las cuando el número de ecuaciones es proporcionales número de inmgnitas

c)4

I

(y+zXY+x)=15

aquella soluciones es

A

mezclando dos

I

B) s E)

nutrientes

!

productos M y N. Cada lata de A mntiene kg de M y 2 kg de N, y cada lata de B contiene '10 kg de M y 5 kg de N, además cada lata de A se vende a 300 soles y

(x+y)(x+z)=30

mrrespondiente simultánea ecuaciones numérica verifica inmgnitas que. Las infinitos en forma un sistema de de ecuaciones a las de las una cada

y¿.

de

+ 9z = 155

e indica el valor de x.

al

24.

12y

?'e

se preparan dos clases

x+2y+42=47

concepto.

23.

+

5x

pertenec€ al concepto s¡guiente, excepto en el último, que pertenece al primer

laboratorio

farmacéutico

x+y+92=83

Dale sentido a los conceptos ordenándolos.

.

En un

31

Resuelve:

c)

36

I ül
ÁLGEBRA - AcIvtDADES UNtDAD

-

3

I 77

7 ¡

j

H LiCamOS I

ecuActoNÉS 0e 9eéuNoo éeNoo

4

TÉA/1A

Lo apnendido

Resuelve

2

Delermina m. de manera que en la ecuación:

2x'-x+4m=0

3(x2-4x+'1)+7x=5+4x

las raices sean reciprocas.

zn9+ú05

a¡t

o

c¡ e¡

3

sr/rs

sttli

stz6

A)

-

3)2

(-8;

D) (8;

4

-

B){

1)

8}

@tz;f)

k+1 k-l

-(m2

-

5)x

-

8m

B)6 17l9

Halla a en: a2x2

@Hay

+3=

0

c) 7/3 2 mnectas

-(a + 2)x + 1=

O

Sabiendo que sus dos raíces son iguales.

2,

1

5

78

6

-

I

indica Ia otra raíz.

A)7 D)

Halla k para que la ecuac¡ón presente raices simétricas

D

Si una de las raíces de:

-3,

c)4

E)8

4

es

26

e¡1-z;-ft

-1)

3x+2 x2

1

D

= (x + 5)2 - i1x

6)+

2

Resueh/e: (2x

5

o¡

t.tl

2 5

Lexi¡r,áüc 5-"

E+ E)á

c

5 2

A)2 D) 1/3

B) -213

@ve

cl -2

8

Si una raiz es la opuesta de la otra. Halla 2m + 1 en

7

En la ecuación: 2x2

-

-(m

1)x t (m

+

1)

=

0

¿Qué valor positivo debe darse a m para que las raices

(m-1)x2+(5m+15)x+2=0

dif¡eran en uno?

0)

9

c)

B) 4

@-s

-4

E) 5

3

t0

Foma la ecuación de raices: x, = 3, x, = 4

Al* -7x +7 = O c\?-7x-12=o E\ x2 +7x-12=0

11

@l-zx+t2=o

't

3

r

C){a; 3)

14

c)

1t2

E) 5/3

@an

att o'et

Dada la ecuación cuadrática:

=x2+a2x+a=0,

azt s'll

@

3'0,

8'8

o6

c) -1

E)3

Calcula el valor de (m

-

5(m + n +'18)x2 + 4(m

tenga solo una raiz.

B) 3/4

A)3

14x2-1=0 D)14x2+9x-1=0 B)

A)1 D)2

E) {8; 2}

O

I vI

x2 son raices de la ecuación donde: xr ^ Halla: x1 + x2 + (x, . x2)'

@g;l¡

(2m + 3)x + m =

*n

14f +9x+ 1=0

P(x)

Calcula el valor de m para que la ecuac¡ón:

6x2

c)5

Forma la ecuación de segundo grado cuyas raice.

E)

12

1)

E) 17

- 9x -1 =0 @14x2 - 9x + 1= o

(x-3¡2+(x-+)2=1x-z¡2

D)o;

@rr

D)e

A) 14x2

B)x2+7x+10=0

Resuelve:

A) (3; 4)

A)7

2n), s¡ la ecuación:

-

n)x + 3mn = 0 es incompatible

A)9

B)

D) 18

E)

l'9 v§

-18 -13

@s

3't ce

a'z

vl

sa^elJ ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD

3

79

actiquemos

á

NTVEL I

l.

-,.

8.

Sea la ecuación:

/2x+

Se tiene la ecuación

x2-14x-f +49-o; aeR

A)

Verifica la verdad o falsedad de las proposiciones: Si y < 0, la ecuación no tiene raíces reales.

l.

ll.

Si y

lll. Si y

-

I

D)

2.

9.

Q; l¿ s6u¿6¡on

liene una única solución. 0; la ecuación tiene dos raíces distinlas y reales B) VFV

WF

C) FFV

E)FFF

Si:xi =

-l

yx2=

3 son raíces de:ax2

Elvalor de a + b es

ll.

l_

Si: a2

-_l2

-a

1.

-

I

'10.

+

b es

4.

B)

-

6x + 8 = 0, halla el

13 Ol12

C)

12.

x, A x2, que sat¡sface

'13.

B)x2+2x+6=0 D)x2+2x 6=0

B)3

c)4

D)5

E)6

Altura=gm D)

Base=6m Altura=Sm

Base-9m

I

m

b€E- {0} A) Son reales y distintas.

B)

C) Son

D) Son imaginarias puras.

complejas.

Son reales e iguales.

No se puede aflrmar nada.

Relaciona adecuadamente:

A) la, llb, D) lb, llc,

Calcula la suma de las raices de:

ax+b/i+c=0

14.

Bt I

,a-!

A)

E¡

vx €

IR:

b2

a'

D)x2-4=0

B) lc, lla, lllb E) lc, ttb, ttta

Verifica la verdad (V) o fatsedad (F)det enunciado:

-|

15=o

I

s

B) La raiz cuadrada de la edad de

Ftorencio. :

C) La diferencia de las edades de F¡orencio y

E) Elqu¡nluplo de la edad de

I Lexlrnátic 5.o

C) lb, lla, lllc

años la edad de Florencio será el doble de la edad de Ramón, entonces x es:

-.2ac

B)2x2-7x

lllc llla

La edad actualde Ramón es un cuadrado perfecto. La edad de Florencio es el séxtuplo de la edad de Ramón. Si dentro de 4x2

c) l

Forma una ecuación cuadrática cuyas raíces sean:

A)x2+x-4=0 C)x2-3x+6=O E)x'+x+'1 =0 80

B)Base=6m

a. La ecuación t¡ene una solución doble b. La ecuac¡ón tiene dos soluciones. c. La ecuación no tiene solución.

(2m-1)f+6x+9=0

7

C) 30 años

E)32 años

lll. 100'1x2+0=0

Halla m si las raíces de la ecuación son reciprocas.

-ac a'

B) 29 años

1.4x2-121=o ll.3x2+9=0

-'llx+72-O

D¡ b2

E)4

¿Qué se puede aflrmar acerca de las raíces de la ecuac¡ón?

E)

A)x2-6x-2=o c)x2-4x-12=o

6

D)3

Donde: a;

11

x,-xr=6 ¡ \=Z x"

Al2

r

ax2-bx-a=o E)

lo s¡guiente:

5

c)

NIVEL 2

Forma la ecuación cuadrát¡ca de raíces

E) x2

E)7

La altura de un h¡ángulo es 1 m menos que la longitud de su base. El área es 28 m2. Determ¡na su base y altura.

C) FVF

x2 son raíces de 2x2

14

_2

= 1. lndica cuántas soluciones reales tiene

B)2

Altura =

E) VFV

15

D)

Hace 20 años el cuadrado de la edad de Betsabé era iguala g1 Determina su edad actual.

E)

(

B)FW

valor de: ('l + x2)(1 + x,) + 3 A)

2x

_e

Base=7m Altura=8m C) Base=8m Altura=7m

(

al+bx-10=0 El valor de a + b es 5 - a.

xj y

-

C)

A)

-a-1.

ll¡. Si 100 y 2 son raíces de la ecuación:

Si se t¡ene que

_7

(

x2+2+b=0

3.

B)

A) 28 años D) 31 años

bx +'1 = 0

'11.

A)FFV D) WF

-14

A)o

*

es una de las raíces de la ecuación:

Entonces, el número a

'Q+3 +.G+6

Dada la ecuac¡ón:x2

Marca (V) verdadero o (F)falso, según conesponda:

L

13 =

La suma de sus soluciones es:

Ramón.

Ramón.

.

:-

) 15.

4

I 23.

Dada la ecuación:

(2k+

1)x2

-

+ 3(k - 1)x + 1

k= 0

Halla k, si la suma de las raíc€s es 0,75.

A)0,75 B)0,3 C)0,8 '16.

1

D)

1

=

O: sr

Si m y n son raices

de:

el d¡scriminante es

25.

É

24.

3x2-2x+1=0,

B)l

D)

E)

,i ,3J -1

Delenunciado:

A) La ecuaoón que representa la situación es:

li 24*g/t2rz-3.,¡5 B) El lado del cuadrado es 2 m.

-

;

-?

+

kx

c,

base=2myaltura=/5m. 16

=

0

25.

115 x't xz I 19.

D)8

TrG =o c\x2-14x+ J7 =o +

B)x2

O

La suma de elementos de su mniunto soluciÓn es

ll.

La suma de elementos de su conjunto soluc¡ón

+ 14x+

D)l-

7

=

0

/6x + 17 =0

26.

Cálcu¡o

variable que están fuera del recuadro. Determina la otra soluc¡ón para cada variable

(3-;f--0.;r - ' c)3

s\2 E) -4

o,l xr = 0,6

10,6

reciprocas(m;n€IB.*).

12,5

xt=05

15,4

xl = 0,4

1024f-(mn-8¡x+n1o=o

+1\

qE{ 22.

\=2

5

Halla (m + n), si la ecuac¡ón cuadráticá tiene raices simétricas y

a(1

B\ 11

+2

c)2(A

+\

E\t({T+il

La base de un reclángulo es 38 m menos que el quintuple de su altura, elárea es 63 m'. Detem¡na sus dimensiones

1m B) Base-2m C) Base=6m Altura=2m Altura=12m Altura=10m

A)Base=

D)Base=7m

Altura=9m

f-l f] E t]

Acada variable de la columna de la izquierda se le ha realizado la misma operación aritmética, que ha dado mmo resultado los números de la columna de la derecha dentro del recuadro Ten en mnsideración que una de las dos soluc¡ones para cada

(3-x)3+(4+x)3

A\

-2. es -1.

-24. lV Presenta ra¡ces reciprocas.

Resuelve y da como respuesta la mayor soluc¡ón

A) I D) -3

l.

lll. El producto de sus raíces es

E)i-14x+7=o

21.

+2x+12 = -24

Luego, mmprueba si las siguientes afirmac¡ones son verdaderas

,tt

20.

x2

o falsas:

E)-8

Forma la ecuac¡ón cuadrática cuyas raíces sean

A)l -/7x

Anal¡za la s¡guiente ecuación

5f+10x-24

B)-10 c)5

10

J t-l

C) La dimens¡ones deltriángulo equilátero son

Determina k para que se cumPla:

A)

C) 1 año

x2

o)

En la ecuación: x2

E) 30 años

La diagonalde un cuadrado es tres multiplicado porla raiz cuarla de doce veces el lado de un triángulo equilátero. La suma de sus áreas es 37/5 m2; determina sison conectas las afrmaciones:

E) 1/3

halla: R = ll+a nm

18.

años

B) 18

NflEL 3

Bl1t2 Cl5t2 DJ3l2

A)3 17.

- m-

1)x

años años

D)4 E)0,5

Calcula la mayol solución de la ecuación:

1m-2¡x2- (2m-

i*\

Dentro de 4 años, el cuadrado de la edad de Javier será 4 veces la suma de su edad con 8. Determina la edad de Javier'

A) 15

E)Base=5m Altura=10m

27.

Dada la

CS

=

-

ecuación,i

2x

-I-

o

{m; n}; forma una ecuación de segundo grado si

el

conjunto solución es:

CS=

a+ l:1+ mn

1

A)6x2-3x+1=0

B)2x2-5x+5=0

c)8x2+14x-5=o

D)8x2-14x+5=O

E)8x2-14x 5=0 ÁLGEBRA -

AcrlvloADEs UNIDAD 3

\

a

l 8l

28.

S¡ m y n son raíces de la ecuac¡ón

34.

El lado de un cuadrado es tres veces mayor que el de otro cuadrado, además, la suma de sus áreas es 833 m2. ¿Cuánto miden los lados de los cuadrados?

3/4x2-x+'1 \ (\-2 5\ xt-x+1 i x2+x-1 Halla el valor de:A

A)2 29.

+

mn

=

B)4

B)

m

D)6my20m

D)8

c)6

E) 16

35.

Si las raíces de la ecuac¡ón:

f

my28

A) 7 nm

Cuatro veces el pmducto de la edad de Amelia disminuido en dos con su edad y aumentado en seis es ¡gual a 36. Determina

{=o

A)

año

1

B) 2 años

D) 4 años

A)

30.

1

t'

B)2

C)3

D)4

E)5

36.

Calcula la otra raíz, sabiendo que k

31.

B)-7

C)

5

<

tiene que pagar S/.1 más. ¿Cuántas personas había in¡cialmente?

0.

D)7

Los gastos para excursión a Chosica

son S/. 90. Si dec¡den retirarse kes personas, cada una de las restanles

f-(k-3)x+k2+k-'16=o

-2

E)

-9

37.

Resuelve:

A) 12

B) 14

D) 16

E) 17

sea mayor que

C)5n-8m

E)3n-8m

Las raíces de la ecuación: x2

+

bx

c)

18

Juan determina valores para 'm'

TI

+ c = 0, son ambas reales y mayores que L Sea

S=b+c+l,entoncesS

-1 y la oka raiz

menor que 2, si Paty dice que (a; b) es el menor intervalo abierto que mntiene a todos los valores que asume,m', enton@s (b

32.

"fr=. 7

segundo grado x2+2mx+ (m2- 1¡= g

0a una solución.

B)3m+n

(

para que una raiz de la ecuación de

(#:;.#m),'x+3n+4m)=| A)5m+2n D)8m+3n

u) J anos

E) 5 años

resulta

S¡2 es una de las raices de la ecuac¡ón en x

Al

C)3mygm

E) 31

d¡cha edad.

-b+ +)x2+a(1+b)x+b(b-r)+

son iguales, entonces

10my15m my5m

^

-

a) es iguala:

1 D)4

B)2

A)

c)3

E) 5

A) Puede ser menor que cero B) Puede ser igual a cero.

C) Debe ser mayor que cero. D) Debe ser menor que cero. E) Debe estar

33.

entre

1

y

1.

Sea la ecuación cuadrát¡cal

ax2-bx+4=0 S¡ t¡ene por

p'5

+

2

p'" +

mnjunto solución

+2

p15

1

+q2 +2 q2+1

C

Halla el valor de b

A)p-q D)

82 I

1

E)4

Lexirrrát¡c 5."

c)gq

.l

veg

8.D

15. E

23. D

30. B

1. A

9.8

16. A

NrveL 3

31. E

2.8

10. B

17. E

24.

32. C

3.E 4.E

11. C

18. A

25.

33. E

NVEL 2

19. E

5.D

12.

6.E

7.8

NIVEL I B)p

Ia

A

26.

34.

c

27.O

35. C

13. D

21.C

28. D

36. C

11.

22. O

29. D

37. A

A

20.

D

N¡l lrezeT@ñü Real¡za la gráfica

Si: A={(x;

y)

deAn

¡

B.

B=«x;y)€R2/y>(x-1)2)

elR2/y<x<4y)

()

@. Para determinar los elementos de A graficámos y =

x; x = 4y

y=(x-'l)2

Y)t='=oY

6.

- 3x+2 x'+3x-4 A)

2.

B

Halla el mayor valor entero de x en:

x'

1

B)

4

c)

.

mZ+X=m A)

E) -3 7

q+Pn 'm-n

s¡

B)

c) -3

D)

5

E) I

Determ¡na el CS de:

m+n+q qffi

8.

C) I-2;

B) f1;2) E\ l-2i21

D) ( -1;21

-rl

Al resolver la ¡necuación logarítmica:

lQl4x+2)-2>logl2-8x) Se obtiene como conjunto solución el inteNalo [a; b] lndica 17a 4b.

-

=2s 2t+1

Yx 1 =

A)

125

A)5

B)

D,etermina 2a

I

+ 3b + c

C\

D)3

-2

E)

-1

9.

A)0

B)

-1

Cl2

D)

1

(x;

y)

B)

Sea la matr¡z:A

AT

El7

Grafica la región definida Por: M =

4

C)2

3 =

3

-1

5

2

D)

1

E) o

Además

§i a: b y c son las raíces de la ecuac¡ón:

x3-bx2+cx+2a=0i abc+o

5.

-2

A) R

!]4 m+n

Englenta elvalor enbro de x que gtishga elsistema:

f

4.

B)

nl3trFniEF.5="

¿Cuántos tiros dio al blanco?

3.

-1

,[z=¡11t-il

p tiros totalizó q

D)

+y=0

adm¡te inf¡nitas soluciones?

En una competenc¡a de tiro al blanco, Lu¡s por cada tiro acertado gana m, y p¡ede n por cada que falle, después de

A) '-, mP+q p_n

¿Para qué valor de m el sistema: mx

mY+z=8

D)0

3

intersecamos las gráf¡cas:

yz(x-1)'?

v=t

I

Finalmente,

Para los elementos de B:

Graficamos

e E.x IR/ lyl >

x2

¡

lyl

Al12

< lxll

,H€ ,¡4,+{*

,Y,ffi

x

A2=

10.

-'l

w-8 B)

y

-2 2

z-'l

determinax+y+w+z

2

11

D)

C) 13

15

E) 14

Encuentra el ¡ntervalo soluc¡ón: 1

-2

0

I

2

1

x

0

0

0

x

0

0

0 x

0

A)

[1; 2]

D) (0;

+-)

0

0

-1

x

0

0

0

1

B) (1;31 E) (--;2)

<0

c) [-2; 1)

ALGEBRA . AcfIvIDADES UNIDAD 3

I

83

aa

-

eecueeoA Ecatóstenes [c.2BL{ - c,]9P a. C.] Motemótico, ostrónomo, geógrofo, filósofo y Poeto griego. Fue el primero que midió con bueno exoctitud el mer¡diono terrestre. Poro ello ideó un sistemo o portir de lo semejonzo de kióngulos. Erotóstenes midió en primer lugor lo distoncio entre dos ciudodes egipcios que se encuenlron en el mismo meridiono: Siene (Assuón) y Alejondrío. Esto lo hizo o portir del tiempo que tordobon los comellos en ir de uno ciudod o otro.

Reflexiona . .\4rr,'lii' 4trr ,:orrr, tttt Ll ¡txito tt¡

lLt

ri,ltt

(1i r¡rt ¡,,. ,/tii lnu ,tt'rir¡lilo o _tlil'tt ld.lo r¡r! .,,¡lrai.r¡¡i\ tl Ltlryf'udü Lla lot

Después se dro cuenlo que el dío del solst¡cio de verono o los l2 del mediodio el Sol olumbrobo el fondo de un pozo muy profundo en lo ciudod de Siene y que o eso mismo horo el sol proyectobo uno sombro en Alejondrío. A roÍz de esto c¡rcunstoncio determinó, colculondo el rod¡o de lo Tierro, que lo longitud del meridiono debío ser 5O veces moyor que lo distoncio entre los ciudodes. El resultodo que obtuvo Erotóstenes Poro el meridiono, en medidos modernos, v¡ene o ser 46 25O kn, cifro oue excede o lo medido reol solo en un ló%. Erotóslenes

,ú¡¡rri¡ ir¡¡lir¡¡ ¡¡¡,ri¡,li,

¡1.

,,r.,¡nii,

¡

,ir:oqr,r,1tfrlt.

.

L,i, l,r.r\,,,¡.ri

rl i\¡¡.'\,tf¡,r./lir

r..ilJ.

1t'rin,,, onratitlr¡,or y l¡¡. .\) ,'r¡ d( lncer qe rtouiuar u$¡ru -formo [ot r,:'u,,¡ oy[ictr atiotrc, err ;tivqt ynrn trititinr. Salwr qur [n ¡lvt,il0l nu¡td es lentlouüúe.

tombién midió lo obhcuidod de lo eclíptico (lo inclinoción del eje terrestre) con un error de solo 7' de orco, y creó un cotólogo (octuolmente perdido) de ó75 estrellos fiios. Su obro mós importonte fue un trolodo de geogrofío generol. Tros quedorse ciego, murió en Alejondrío por inonición voluntorio.

.

t? qr( t( rctv(nirar fi lo qm liurts rcnsratrttmente. He añí { ritsgo le yermitir

Ttr

J)t$

aquello

u

Jtenslmientos equírocos y erralos cncuettren cabila n u ment¿. que

iRazona...! ¿Qué figura sigue?

A A)

B)

D)

E)

c)

a

R LiCamOS TEA¡\A

'1

TNCCUACIONÉ9

1

Resuelve:

Lo apnendido

x2-5x-1
2

Re*ctre:

(x

+ s¡'?¡

- ef(a - 1Ff - 4e(s -

x)

>

o.

,'ls-/2§. ---2-l s+/ls I q4--z-,

,l+'+l 'l+'ofl ql+,+1

c) t+; 3t, t5; +3t , {-3)

q]+,§rg[ -

E)1+; 3t

¡

Si: P(x) = ¡2 ¡61.. 4 0; V x € IR calcula la suma de valores enteros que toma k

3

A) 13

D)8

5

B) 7

4

c)

@o

86

I]

Lexi¡náüc 5.o

Resuelve la inecuación,

3/IJ.*-

t

"

B) (0; 3) E) \-2;2)

@(-1;2) 6

+3[

,15; +31, {3}

A) (1; 2)

15

c)

Resuelve:

x3+x2>4x+4

x'+x-<x'+x-

D)(-1;1)

D) [5;

¡ndica el conjunto solución.

Resuelve:

A) (0; 2)

s)tl;sl

@l+;31 ,t5;+3t,(-3)

€»(o; 1) É)

<-1,2>

c) (-1;0)

A) [3; +"o)

G)[-2; -i] u t2; r--) Ef Íi; 2l u [3;

+-)

B)

[-3; -1]

D)

[-2; -1]u [2; 3)

\-2:2)

7

8

Resuelve:

-. -

x2+7x+8 --r---=---=

x-+5x+b

|

Resuelve:

.fi-
Señala un intervalo delconjunto solución.

A) D)

I

(- o; 3) (- -; 3l

sir.

B)

sean, elmenor valorv

<¡l+<

m

B) (4; 5l E) (6; +"o)

@l+'s1

@[-t;+-)

[f; ]]v

s¿1¡s¡¿6s:

c) (-2; -11

[-3; -2]

0) t-4; 6)

M

elmavorvalorque

10

c) [4; 6]

Resuelve:

2-x-x2 >-2010

M.

Calcula: m . M

A)24

ol27

11

A)

02s

B) 20

E) 15

Resuelve

/5-x >5(3-x)+ ./s-x -l

2(x-5)+

1¡l

Resuelve x2

[-

D)

¿)xeo

l3

e

Si: x

'l;

21,

entonce.

[-1;

2)

c) [1; 2)

(-*; -2) u (1; +co)

(H) . o

1

Bl-2

7

e+

@ -z

D)xe(3;+co)

5l

@ l-zt

1l

Encuentra A y da mmo respuesta el producto de su máximo y mínimo valor

B)x e (3; 5)

A)x € [3; 5)

(e)x e (3;

't2

B) E)

[-2;2010)

-5x+4 <7 -x

c)4

Luego de resolver la inecuación

2x+3>

4

-5x+1

Da como respuesta el número de soluciones enteras menores

que s¡ete.

( c) (

2l

(

1l

A)

3l

+-)

u [3; u [0; 7l u 14; 5)

B)

0)

(-o; 1l u [0; +co) (-o; 4lu [1; 4)

'tt

v'zt

o '0t

3 el

c'll

c6

o

v'8 3¿

A)5

B) 6

@s

E) 7

c'9 a9

c)4

o't 3't

v'z

vl

sa^ell ÁLGEBRA - AclvrDADEs uNTDAD 4

I 87

a

Pnacti UEMOS NIVEL

1.

6.

1

a2

+

b2

A)

A)

\ (-o";t/

D)

B)(

c)

/l; * ->

D)(4; +co)

,1

B) Reales negativas

C) Reales pos¡tivas D) Reales d¡ferentes

7.

Con respecto al conjunto:

f ={x-1l

no es menor que el cuádruple del m¡smo aumentado en 77; tamb¡én el triple del

A)T = (1; 2l

D)

8.

número disminu¡do en 22 no es mayorque

9.

Resuelve:

10.

'11.

x2-5x+6 > x2-3x+2

1,

indicá un

intervalo

(--; 1) c) (--; 2)

{l}

E) (2; +co)

{3}

-

B) (2;

+-)

D) [2;

+o) 12.

CS=[-4; -3]. Calculaa+b+c

si: a, b y c son valores enteros posit¡vos mínimos.

88

A) 15

B) 19

D) 10

El20

I Lexirnátic 5.o

c)8

Clz

15.

tenía. Luego vende 200 mds

n

c) (-1;1)

A)701 8)601 0)702 E) 800

2; 3) la

x

16.

1

C)2

-1

Lenguaje Las letras mostradas están desordenadas: ordena las palabras, en cada grupo sobra

una letra, anótala en la columna de la derecha.

c)

(-

1;

0)

E)

(--;

1)

A) (-co;

C)700

NIVÉL 2

r*'t B) (0; 1)

xVx+b

le quedan

Estela.

x+1>1

>

>b>

y

menos de 152. Determ¡na la cantidad de calculadoras HP50G+ que tenía

Resuelve:

Si a

Estela vende 350 calculadoras HP50G+

y le quedan más de la mitad de las que

E)[-

B) E)

3/ñ17

Dada la inecuación en x: ax2 + bx + c S 0 cuyo:

E) 20 soluciones

)-4 B)

A)R

A)

D) 1 solución

la

*ZX .3?

Halla la menor solución entera de

t/I7

soluc¡ón.

5.

a;51

A)0 D)3

Resuelve:

C) 7 soluciones

B)3

inecuación:

xe? ln;121)

B) 5 soluciones

15

1

E)0

o)@

DlxF-o

3'1

Halla elconjunto solución de:

A)f-

"t,.1*,§t\l 4.

E)

3x2-6x+8

- lA:-s+ li¡

B)xelR

e)

30

c)

¿Cuántas soluciones enteras tiene

x2-5x+1<0 A)x e (-5

que cumplan lo establecido anteriormente.

A) 3 soluciones

B)#

A)4 D) 1

E) T es un conjunto unitario.

3.

89. Determina el número de soluciones

d

inecuación: x2

D)Tnd=(2)

siguientes

condiciones:

Al resolver:

At2

C) T posee dos elementos enteros.

C)3

Seis veces este número aumentado en 15

Se puede afirmar que:

B)Ind={1}

-3

El2

E)R

Halla:a+b+

> o)

B)

14. Un número cumple las

se obtiene CS = (a; b)

l4x1 - /2-x

-4 -1

"or4)

15x2-29x-14<0 2

- I > x4 es Ia; bl u Ic; dl

Calcula:a-b+c-di a
valor real de x.

a,b,c€lR^a+b+c A) lmaginarias

Si el conjunto solución de la inecuación:

l0x2

no sea mayor o ¡gualque 5, para cualquier

+ c2 = 0

E) Reales e iguales

3.

P(x)=-¡2*4**On

ecuación:

+ 2(a + b + c)x +

I

manera que el trinomio:

lndica la naturaleza de las raices de la 3x2

Halla los va¡ores que debe tomar n de

D)

1

,

-

(-o;0)u(1; +o)

resuelve:

"

b)

c)

(--; b)

e)

(--;

-u) u

B)

a

l-1 ;+co D)

l;

[-*;o )

Palabras

Letras

conectas

sobrantes

JCNUNCTOO

CONJUNTO

C

OREIVLVAS

VALORES

M

BSXITID A SEL

ADM SIELES

X

SEZUGISLADDDEA

D€SGI.UT¡ADES

z

SEJNOIUCEN CA

INECUAC]ONES

J

LANSECARIQO

RAC ONALES

0

SEL CARNOIART

IRRACIONALES

z

ERWTNiOLAVS

]NTERVALOS

tz.

sea

1< 1< ab

- 1:donde a v b son números

22.

(a+1)2>(b+1)2

ll.

a2

>

i

,[2x

reales, entonces dadas las proposiciones:

l.

o

b3

28.

Resuelve:

>

(|'

./14

s)

c) (1; 2)

lll.a3-b3>o

er[]

E

B)

está ubicado en la ribera de un río usando 1000 m de rnaterial. ¿Cuál es el área más grande que puede cercar, cons¡derando que

2

3',

( 3;

D

Un agdcultor quiere levantar una cerca alrededor de un teneno reclangular que

no va a poner una cerca a lo largo del río?

4

.-¿.--.-,--,,.+

z]

Río

Son ciertas:

18.

23.

A) ly ll

B) ll y lll

C)ly

D) l; ll y lll

lll

adquirir la expresión:

**Ltnl*L zSxyz

Dada la desigualdad:

Si:x>0;xy>0;xyz>0

+

9f + 161 + 50 < 4(3x + 6Y + 1Oz)

Six; y; z € n, calcula el valor de:

T= xy+z

24.

A)2,2s D) 3,5

c) 3,25

B)2,5

A) 12

B)4

D)2

E)

c)

+

-

(a

A) (a; b)

B)

(a-b; a+

C)(b;a+b)

D)

(a;a + b)

b)

25.

el

A)4

Bl2

D)3

E)0

B)

2x-1>

C)(a;a+b) E)(a-b; a+b)

D) (0r b)

3;0)

ar(|;

s)

+3)

D) (3;

+3)

26.

E)

(3;5)

Resuelve:

o

x 3 -" x 2- x+2'" Al

(-

2;2)

B)

(- e; -

c)

(-

D)

(-

2) u l2; +oo)

(|'.-)

*;11 -1. '

3)

B)(s;s)

(o;f]

"o;

-

2l

u [2; +co)

,

Sea S la región limitada por las siguientes inecuaciones:

.y*i<6 |-v=o

'-x-y=-2 1y

g¡tonces se tienen 2

(--'+) B) Si f(x; y) = y

-

x, entonces

(á+)

es solución. C) Si f(x; y)

=

á

+

y, entonces (2; O) es

=

|

-

y, entonces se tienen

solución.

(x-1)2(x+1Xx-3)3
D) Si f(x;

{c)

V)

infinitas soluciones

Detemina el valor de: ab + 2c 4

E)R-{-2;2}

C) 58 años

soluciones.

Luego de resolver la inecuación

-

años

E) 60 años

A)Sil(x; y) = ¡

3'31

(a; b)

B) 57

Al minimizar f(x; y), sobre S se afirma

Su conjunto soluc¡ón es: 2;

años D) 59 años

'

r,[-1.1] -'I 27.

Cuando naci mi tio tenia más de 25 años; hace 5 años el doble de mi edad era

. y-xl4 (b;a + b)

S¡ x es un número superior a la un¡dad,

o

125 000 m2

A)56

30.

s¡6a¿ag.

halla la variación de: C) [3;

número de

Determ¡na el mnjunto solución de

A) (a; b)

(-

100 000 m2

NIVEL 3

Determina elintervalo soluciÓn de:

-x+1

D)

m2

c)5

E) (0; b)

3x

C) 67 500

5OO m2

mayor que la de él; s¡ tengo menos de 33 años, determina la edad de mi tío.

elementos del conjunto solución.

l--LaA x-a b

A)

21.

l<0

+ b)x +

donde:a<0
o
B) 62

E)

29.

b2)x2

A) 50 000 m2

1

lnd¡ca como respuesta

si

13

Resuelve: (a2

E)4,5

Determina el mnjunto solución de:

F*.i'

20.

min¡mo valor que puede

el

E) Solo ll

4x2

19.

Encuentra

D

,1

B)3

E)-1

c)0

E) Sif(x; y) = y

-|

,

entonces (6; 3) es

solución

ÁLGEBRA - AcrlvlDADES UNIDAD 4

I 89

t

-a

\

) 3'1.

§"

38.

Lenguaje Encuentra palabras que contengan la letra encajen en la cuadrÍcula.

o

R

E

s

B

L

E

S

N

E

C

N

E

0

P

E

R

N

T

E

R

I

N

T

E

R

S

D

F

E

R

E

N

C

c o

t\¡

P

L

E

L

[¡

D

S

I

L

32.

1_1,1_

E de tal manera que

EEE A)7

ó

C

U

N

39.

L

c E

E

N

L

0 o

C

C

I

T

N

E

s

ó

N

S

I

o

A)

33.

8)0

c)

o)2

-1

c

¡ll.

E) 3

(-

D)

(1;7) u (15; 3)

3r

-

2) u

(-

42. 1;3)

Si:

(-o;

AJ2

6",

+2 2Il1 'T1i ' x+ t

B)

-2

C)

1

D)

E)0

-1

E)

1

^

B)[-2;0)

c)

(--;

E)(--;-51

-21

es

B) (3; 81) E) (0;a)

(1: a)

c) (0; 3)

La suma de los hijos de Javier y César es menor que 6, y César

u

o\a

(0]

43.

B)4

[-3; 0)

E)

R.

A)

g671 *<1

1
c)

[-3r

/5:1

Determina los valores de m, para que el mnjunto solución de la

]-

ooi +oo[

B)(D)

"o:

-

1l

(0;+oo)

E) (- -; - l) u (0; +co)

Alresolver:

7m2

3x rel="nofollow"> x2

,a o¡1¡"¡s Q§ = (-7; 4); encuentra B)

1

Lexlmát¡c 5.o

C)3

E)7

{l -t 2

c)


,B-t
1

2

E

Dada la inecuación cuadrática en x:

A) (1;+-) C) (- -; - 1)

E)

2)

mf+2m+1<2mx inecuac¡ón Sea:

D)6

Examen de admisión (UNl95-l)

D)o
B)

C)5

Las medidas de los lados de un triángulo están en progres¡ón geométrica de razón r, luego lo verdadero es:

lndica su conjunto solución.

90 ¡

0)0

-1

"

A)3

Luego de resolver la inecuación:

A)5

C)

Eduardo. ¿Cuál es el número total

x2-6x-,tl >3/x-10 8x

37.

-2

de h¡os?

Calcula el valor de: ab

36.

B)

IR.

tiene más hijos que Eduardo (todos

a) u (b; +co)

'

A) [7r 8)

c

tienen hijos). Si Javier tuviera un hijo menos, tendría aun más hijos que

es el con¡unto solución

35,

E)5

La solución de la ¡neqrac¡ón:

D)

B)

D)6

2k > 1 secumpla para x

3x+4(3x-4-1)<3x-81

E)(0; 1)

34.

-

)(1;81)

/gl7tr* t l,\n ' x+2 (1:5) u (7;3) c)(- 3; 0) u (1;3)

c)e

lnd¡ca las soluciones negat¡vas de la ¡necuación:

Determina el mnjunto solución de

A)

5040

- 2x- 35)(x+2)(x3 - 1) T2 * 2x;l)¡;;;;lt-

x+1

1

4x

A)[-5;-2] D) (--;-2)

e (a; blu (c; +co). Halla:a + b +

Ex

(x2

x+1 > x-'1

Se obtiene que x

50 39

1

B)8

A)-3 40.

+

el mayor núnem entero k que hace que la ineoacón

lndlca

2t' -

Luego de resolver:

x-1

Señala el máximo valor de n que verifica

un valor de m.

D)2

E)o

\\

9.8

17.D

l. A 2.8

10. B

18. C

28.E

36. C

11. C

19. D

29.C

37. D

3.C

12.E

20.

o

4.4

13. A

2'1.

A

5.E 6.A

14.C

7. A

E.D

NVEL

1

27. O

35. A

NfveL 3

38. D

30. E

39. B

23. B

31.

40. A

24.E

32. B

4t.

NIVÉL 2

25. C

33. B

42. O

16.

26. C

34.C

43. E

15. A

22.

g

E

( l¡

R LlCamOS FUNCIONES

ÍE¡1AA 2: 1

Lo apr-enoroo

2

Dada la func¡ón: f = ((1; 5)t ('l; b a2); (3; a + 4))

=

-

- 1)/ x € IR} F{x*hi-F(x) *F{2) Ha a: E-

-

Si: r21a¡

Dada la tunción: F

61

{(x; 2x

Halla el máximo valor de b.

3

A)6

B)5

D) 36

E)274

Sea la función: F(x¡ su dominio y rango

=

A)

@r74

.,[-11

0516n la ¡ntersección entre

4

F:lN

c)3

B)2

1

D)4

@s

-

IN

u

(0); es una función,

F(a+b)=F(a) +

talque:

F(b)

F(1) = 2 Calcula: F(n + 2)

A) [0; a] D) [0r 8]

5

6)to;zl

C) [0;

+m)

A)2

Éto,z/21

-3 A y=-3

B)

6

y el eje de las ordenadas.

c)4

-2

E)0

@-4

Determina el área de la intersección de:

y=lx-21

-F(n+4),vn€lN.

Dadas las funciones:

f(x)=¡ 1;xe[-2;

8]

9(x)=x'z+1:xel-3;61 Determ¡na la regla de conespondencia y el domino del

A) x

3 u2 D 4 u2

B)6u2 E) gl2

@2,' u2

+

1;

(-2; 6)

G)i;t-11: llt

Éx2,<-17: J7)

B) x2;

[-2;

fog

6]

qx \-J1; J7)

ÁLGEBRA . AcTIvIDADES UNIDAD 4

91

7

Determ¡na la cantidad máxima de artículos electrodomésticos

Determ¡na la gráflca

8

que se debe vender semanalmente en una empresa para max¡mizar sus gananc¡as que están en función a la cantidad de produclos x que vende en una semana. G(x¡ = +gg,

- ,' -

,U

de y =

lx2

n

q"'' 1l t+-'Ui '

*O

Y^

9

A) 100

B) 150

@zoo

E)250

Halla la inversa de f(x) =

¡2..4,

c)

-

1; x

+ 6x + 7l

180

10

e (-2; 7)

Si:f(x) = x2 - '1

Ya

.t

g(x) =

¡

¡-

determ¡na m; además fog(4) = gof(m)

A)fl(x)=(x+2)2-s

@r'(r) = ,/x+ s -2

I

C)

r1(x) = ,/x

D)

rl(x) = (x -

5)2

+2

E) no existe

11

'12

Dada la función suryectiva:

Ia Determina -a/b. F:l-4; 5j

b; b

-

2al / F(x) = 6x + 4

A) 16

B) 15

@roa

E) 8t7

Resuelve las siguientes ecuaciones e indica la ecuación donde = 0,3)

l.2'-B

log2x = 4

il. /5'=

37 t7

13

c) 9/37

B) 7/30

@ 7137

v

B)

lV

logax

V

x=log4

A)

E) 10/37

34

=3

14

c) Ir

B)

|

E)V

@rv

Grafica: y = 2¡¡¡ + sgn(lxl +'1);sgn (func¡ón signo).

A)

15,7

x es mayor. Dato (log2

ll.

A)

c)

Elnúmero de habitantes de un pueblo crece exponenc¡almente, según P(t) = Poekt k: tasa relativa de crecimiento

v

t:

t¡empo en años

Po: población inicial

Determina la tasa relat¡va de crecimiento si en población aumentó en un 20%.

2

o

I

años la

D)

A) 3%

B)

(»2,28%

otl c'ct

ozt o'tt

o 0t

38

39

a6

ot

O'L

c'9

8e

sa^ell 92 i Leximátic 5."

2o/o

c)

25o/o

El3,45ok

3¿

ct

\

Pnacti UEMOS 7.

NÍVÉL I

l.

Dada F una función de proporcionalidad y determ¡na F(-5), si

F(2)+F(3)=10

0e la gráfica:

A)5

v

FE)

8. 2

A)7 9.

n-

RanF(x)

ts-{2}-t -t;11 IR

n

RF)

(DF

n

RF)c

-

(0;

{2;

-a)

-

-4}

l-1;

i2)u [-1;

DF_RF

1]

-

(0 :

E)-10

¡

n), (4; 11); (3; m))

GoF=F-G

D)3

C)5

8)6

El-2

Determina el rango de:

/i-7+x A)f0;21 D) (-1;21 F(x)=

1l

(-1; 1) u {2; -a)

=

(-2;

oetermina m + n, s¡:

DomF(x)

(DF

= ((-2; a); (3; -2); (4; 16))

G = «6; m)i

-1

C)-5 D)6

10

Dadas las funciones: F

4

B)

10. -4J

Grafica: f(x)

=

.[il

B)

[-1;

1l

c)[-1;2]

E)(-1;1) +

1

A)

B)

c)

D)

Determina el valor de verdad de las siguientes propos¡ciones:

A) A una función, toda recla vertical la intercepta en un punto.

(

)

( monótona. C) Sean F(x) = .t7- r. c(x) = /x+3./xL 1 ; B)

La función y

=

= 3x es

)

F(x) = G(x)

( cont¡nua. ( E) Una función par es inyect¡va. F) F: (-2; 3l . [0; 5) i F(x) = -x + 3 es biyectiva. (

O) Una func¡ón inyectiva es

3

-

= {(2; 5), (*1; -3), (2; 2a

A)

10

B)

+

S¡: F(x

11.

Si h(x)

1)

6

C)

b),

(-1;

8

b

-

a), (a + b2; a)}

=

/x]l

+ 4, determina:

h-1(x) (inversa de la func¡ón h(x)) )

A)(x-

B)

(x-4)2+4

D\

E)

/1+x-4

12.

1)2+4 "4--4

Determ¡na la gráfica de

C)(x-4)2+1

t(x)

si la gráfica de f(x) es:

O)2

E)4

D)l

E),

= F(x) + x; F(2) = 5

Ff4t

ffi

6alcula:

A)l Eá c)* 5.

)

Calcula la suma de elernentos deldom¡n¡o en la siguiente función: F

¡1.

)

l(x)

A)

B)

c)

D)

Sea F una función defnida por:

f}; x e [0; 8]

F(x))/ F(x) = 6x -

F = {(xt

Halla el rango de F(x). A) [-161 D)

(-o;

6.

9l +-)

B)

(

Encuentra el rango de F(x) A)

[-1;

2]

D) [2; a]

-,-;

e]

C) [16;

+o)

E)[-16;25) = +(x-l)'z-1; v x €

B) [0; a] E) [-1; 0]

[0; 4]

C)[-1;4]

ÁLGEBRA - AcrtvtDADES UNIDAD 4

-

93

,+

) 13.

Se tiene una función lineal f(x)

Si

(2; 9)

e

Además f(1) Determ¡na:

=

Hal a el rango

de

a función:

x3+2x2+2x+4 lx+21

7

bm

(-co; -6) u (2;+co) C) (-oo; 6l u [2; +oo) E) (-oo; -2lu (6; +oo)

A)

16 D)49

A)

14.

18.

= mx + b

f(x)

c)

B) 25

36

E)4

Determina el área máxima del rectángulo que se puede ¡nscribir dentro de la flgura que forma la ecuación y = 2x + f0 y los ejes coordenados.

-

ot+u,

B)+,

orf

q*u

,

'15. Si gof(x)=

x

-

2;f(x) =

x3

-

I

19.

6x2

+

12x

-

I,

es: x

determina la regla

(-co;-6) u [2; +oo)

D)

(--t

-2) u [6;+c")

Halla a + b, si el dominio de la función

x2-1 3x-7-8x2

4x2-1+

F(x) =

c)+,

B)

€ I-a; -bl u

[b; a]

A)+

B)

D)á

E)+

c)*

1

de mnespondenda de g(x).

3/; B)g(x)=¡3-6 D)g(x¡ =¡3-2 E)S(x)= 3/;

A)g(x)=¡-

C)g(x)=

3/;

zo. r = {(x: v) € E2/ y = I - 6+x-x2 ] Calcula: D(F) A)

[-2;

n R(F)

3]

D)R

NryEL 2 16.

21

.

Sea la gráfica de f(x)

B)

Í-3t2i2l

E)

[-2;

c) [-3l2;

1]

6]

Determina un punto de intersecc¡ón de F(x)

=¡2-2r*3

G\x)=x12+2

v

2) D)(a;a)

2

B) (1t2:9ta)

A) (3;

22.

(x) =

Sean las tunciones G = ((7; 1);

C) (6; 5)

E) (3;7 tz]r

/7-

2y

(-2; 3);(2;6); (a;7))

Determ¡na: FoGt(6)

A.

Dibuja la gráfica de

f(lxl)

v

v 2

2

1

1

-1

Alln B\n c)ñ

B. Dibuja la gráfca de: lf(x)l

23.

= {(x;y)e n2ry

G=f(x:v)e

x

t

1

A)

(-oo;3) +-)

Determina: la func¡ón inversa de:

f(r) =

:-¡ o+x-,

f(x) =

¡g)=

lV -z

n¡r11x¡=-s-

tg)=a(-2r*,

-

+3x-10;x c (-oo;-5]

-2-li4s c) r1(x) = - -i - ,'** r1(x) =

-

E) No existe.

94 I

Leximátic 5."

rFif,

B)r18)=

D)

f(x)= lsen(x)l -msx

G).

E)(-co; -3)

ldentifica s¡ la función es par (P) ; impar (l) o ninguna (N) de ellas

t(r)=f-trt

-

-!l lx2-sl B)(-@;91

D)[3,

24.

lu

=.,/a-x}

n2/v =

Determina: Dom(F

17.

E)

Sean las funciones F

x

D)3

'10-3x-x2

C)

(--;

-el

\

25.

31.

Determina el dominio de F(x), si:

rt-r= A)

l.

|r"u1r:+¡

(-1:

D) IR

-

B)R

1)

[-1;

C)

E)lR- (-1;1)

1]

Completa según conesponda:

[

ll. Si

1; 1]

función exponenciales crec¡ente

[.Jna

bx es una función exponencial decrec¡ente, entonces

be (-;-)

lll. (-3)r

26.

no es una función exponenc¡al ya que:

Resuelve la siguiente inecuación:

-

losl/3(2x

3)

>

109l/3(6

3l

(-o;

A)

D)B

lV

-x)

B) (3/2;31 E) (0;01

C) 3/2;

La función logaritmica es Ia inversa de:

+c") V. Para que exista una función F1(x) f(x) tiene que ser:

27.

Resuelve e indica el mnjunto soluc¡ón de x:

4T


B) (3; 6) E) [-a;al

C)

[-2;

F(32) = log2

A) 12 000

B) 18 000

D) 16 500

E) 13 742

32.

/7

-ta -t ;x)4 F$l =l J x-2 :2<x<4 :-13x<2 llxl -s l^2 -z ;x<-1 Responde verdadero (V) o falso (F):

c\ 12702

t. F(3)=

ll.

-2x=0

1 D)4

Dada la func¡ón:

|

lnd¡cá el número de raices reales de la ecuación:

B)2

A)

c)3

E)5

F(-/5)

F(x) es inyectiva

vx e

lV

F(x)es decreciente vx e [-1; 2)

V

F(x) posee ¡nversa Vx

B)

D) FVFW

(

B)

Su ecuación es de la forma y

=

b es:

bx

+ l,

; 1(x)

E) G(x)

donde el ¡ntervalo de

34. f(-3) =

y determina su reg a de correspondencia

v

=

+

2, determina

1

B)G(x)=

3/f 12

D) G(x) =

¡a2

3',/¡

Determina el dominio de la s¡gu¡ente función:

ft,,t=lE " 1x'-g A)

5

C)WVFV

*,

1

C)G(x)= 3.,/¡ ..

;f_]).


c) (0) = D) Grafca F

'-]

VFWF

Si las tunciones F y G son tales que G(F(x)) = x G(x), sabisndo que:

A)G(x)=¡3a La gráfica es decrec¡ente en

< -1

E) FFWV

F(x)=f ..61* 1r,

A)

+co)

F(x)es creciente Vx € [2;4)

Completa según la gráf¡ca.

33.

[4;

lll.

NIVEL 3 30.

ogr!

F(32)

6]

El número de habitantes en una población de una región era de 6000 habitantes en elaño 1990. Sila tasa relativa de crecimiento es de 3% al añ0, indica el número de habitantes que tendrá la población en elaño 2015.

llogrxll

+

F(32)

\-2;3t21 D) [-3;4]

29.

Vl. Si F(x) = logrx

v

.

A)

28.

s¡:

(-co; -21 u [2; +co)

B\@

c)D

+-) E) (--; -5) u (s; +-) D)

F11x¡=

(-3;

0l

u (3;

ALGEBRA - AcnvlDADEs LiNIDAD 4 ¡ 95

) 35.

Dibuja la gráfica aprox¡mada de: F(x)

I

= lx + 2l + lx -'11+ 2lxl

42.

c(t) = coe-k

Donde:

B)

A)

La cantidad de sustancia en el instante t es dada por

t: tiempo transcurrido k: cte.

C0: cantidad inicial de la sustanc¡a

Determina el tiempo que debe transcunir para que la cant¡dad inicial se reduzca a la tercera parte.

c)

I

D)

.,

ln3

B)

,)(#I' 43,

E)

-k

rrk-ln3 ^,

ln3 lnk 3

Una población de bacterias se duplica cada 30 minutos.

S¡

inicialmente había 20 000 bacterias, representa mmo función el crecimiento respecto al tiempo en minutos.

36.

Grafica: y

-

x2

1

§

-

4¡¡¡

A)

B)

c)

D)

x10a D)20000xt

A)2v30

B)(2)'x 20 0oo c)2130+lx10a E)20000xt2

¿14. En un salón de clases de 40 alumnos las notas van de 0 a 20 y son números enteros.

37.

Sea F: IR si

-

M una función suryect¡va. Determina M,

F(x)=lx-11-x.

A)B D) [-1;+co) 38-

B)lR- 1 E)(-1;+co)

C)lR- (-1;1)

L Se dan las siguientes relac¡ones:

Deierm¡na una solución de:

R, = {nombre del alumnot nota delalumno) R2 = (nota delalumno; nombre delalumno)

xln' = e2x

A)e D)0 39.

B)e-l E)e-'

loqx

116-l-x)

A) (1;+-) D) (1;2) S¡ el domin¡o de f(x)

A) 13 D) 16

+-)

B)

(-3;

E)

(-1: 2)

tog,

=

valordea+b+c.

41.

Luego se cumple:

1

Determ¡na el dom¡n¡o de:

F(x)=

40.

c)

-

¡, -

D) (3; e)

R1 y R2

E)

R1

"s

(a; b)

-

96lLexir:,áttc s-"

son funciones

I

28. C

36. C

10. B

19. C

29. C

37. D

2.

11. C

20.c

12.8

21. A

13. B

22. C

14. B

23. E

15. E

21. C

32. C

42. A

NIVÉL 2

25. D

33. E

I

43. C

34. D

44. A

27.D

35. D

14

6.4 (3;4)

(-3; 2)

R1 y R2 no

1.

5,4

E)

D)

no es función

{c}, indica el

3.E 4.C

-

son funciones

9.C

N IVÉL

c)

B) 10 E) 10

B) IR

B) R, es función

es función

fLaves ,,

- ,(+#)

A)R

R1

C)

c) (-3; 2)

Determina el dominio de f(x) r(x)

A)

C) IR

-

[-3;

2]

7.E 8.E

't

6.

1?.

18.

26.

NIVEL 3

38. B

30.

39. D 40. c

31.

4't.c

F Licamos TE¡1AA 1

3:

I

LIAAITÉ5 2

Halla

¡¡r 3x1+ 17x + 4 ,-2 5x'- 3x + 10

4

orl

B) 2

@i

5x1+ 2x +

1

I

A)s

crf

B

ott

@2

6

(x2-x 6) .. Imt- z x'-4

1

Calcula:

¡¡r

Calcula:

A)

7

E)5

x-+ñ2xr+x+1

9

1

c)

@o

D)8

._3 x ^. lim -- ¿'

A)

3x+4

- x-2

A)4

27 t15

Calcula:

¡-3 x'-

5

c)

E) 8/35

D) 17119

Calcula lim

B) 7/19

@zsrtz

3

J

Lo ap nendido

E

2 5

a)á

1

5

Calcula

x'- {i - "t / x'z- /_¡

\

f\i:ñ/ ,-o \ ¡-lx / ,¡,

B E

2 3 1

2

^,4 B)0

A)3 D)

+o

c) -1

@r

ÁLcEBRA - AcÍvtDADES uNtoAD 4

97

7

I

Calcula:

lim 1- co!6x

x- 0

,-by'x

-1 D)2

c)

@o

l0

@.* rím

(/;7*3r'*6

12

-/Rtr*s¡

@+

B)0

o)2

E)-1

(

x+G

B)+ D

4

98

Calcula

rx-brx

\r-b/

e

I

c'e I

v'll

o'6

0,

f8 a'L

sa^ell

tl-5 ^,7

E)0

7

B) e-2

D eb

EZt

Lexrlrnát¡c 5.o

@+

@+

ctt ta

5-1

_L

lim

E)+

1

Calcula:

D)

-G

c)7t8

@i/1s

A)¿ ,5

14 x+

qln

1

Calcula:

tim

lt+u-t

,/l+tzx-l

t¡n

c)

c)3./b5

G)6/b5

A) 3/5 D) -1

Proporc¡ona el valor de:

k=

13

c)e

E) e-3

b

Calcula lim

B) s-3/z

B)

/t

D)

Calcu a:

A) Zea

-/b

A)0

1

E)3

t,s(ii+I.'l

11

j--¿

rím

SenOX

A)

9

Calcula:

E) 2eb

39 o'9

a't l0

@'o a'z

v1

Practi uernos NfvÉL

1.

4.

r

ldentifica sies mneclo (C)o inmrecto (l)de acuerdo a la gráf¡ca es IR - (4: -3).

Calcula:

/7*-z x-

lim

de f(x) cuyo dominio

nrl ori 5,

erI

Halla:

¡¡.

El

,lím

rf(x)

ll. El

lím

l(x)

es

lll. El

lim

f(x)

es +"o.

lV

El lím f(

x

+o.

6.

D

es cero.

a

el

lim

f(x)

lím

l-a

=

lím"S(x)

=

;

Teorema del

lim

sándwich

X-a

8.

foma

oo .

L

trigonométricos

0..-

;'o''

Limites

9.

laterales

¡¡¡§9!I=1:tim9=1: ¡-0X

Limites

x-0 X

3.

=

10.

B) 0

e'

E) e

l¡r'/ET*' B-x r-9

11.

D) -11

E) I

11

c)1

Calcula:

c)

1o

x

A)5

B)4

D)1

E)e

¡¿¡3 ¡¡¡

c)7

{tZ

x-2* x, _ 4 B)

C)

1

+-

E)2

-3

Calcula:

ti^@ ,-t J1 + 12x

Calcula:

B)

qi

A)0

indeterminados

'1

A)s

cl,J?

erá

A)3^

D)

lim cos x

I

lim senTx

son:

x-0

-r

Calcula:

x-0

L

Los límites de la

Calcula:

D)

Lim¡tes

h(x) =

e¡?

crt

,rl-(*#).'

es d¡ferente

< g(x) < h(x)

f(x) = L

olá

arl ort

Sean f(x), g(x)y h(x) tres funciones

Si:

el,51

x-3\"/x+1-2l

7.

lim f(x); no existe limite.

tales que f(x)

1

nrÍ

, t-------; ^\

Relaciona correctamente las def¡n¡ciones:

Si

2x1+ 3x + ¿

x3-+

4xr + 3xz + 2x +

límlvx+b

tr tr

) no existe

V El lím f(x)

2.

tr tr

es2

1

e¡t

x-+l.

c)

A) 3/5

B)fi

D)

E) 3i7

-1

Oeterm¡na

siexiste lim

ffi),si:(x)

c) 7/8

6x-x2 six<1 { 3 +5x six>1

A)5

B)8

D) No existe

E) Faltan datos

c)7

ALGEBRA - AcrtvlDADES UNIDAD

4

99

'12.

3.

Halla elvalor de n para que:

(x+3f(4x+7f

ím

2

- 4f (9x2+x+3)n1zx-s¡ t

'-*-

(3x

Reemplazamos

*1

,-¡

I D)

13.

c)6

B)3 E)4

I

(X X

4+

B)+

D)#

E)+

Determina

16.

los pasos para hallar

s)t

o)tr

E)

.. [m+

xl x--1x¿

Completa los pasos para determinar el

B) h

D)

E) 3

1

19.

lendríamos que mulliol¡car Dor la

conjugada 2 veces, lo que se haría

2.

Realizamos el camb¡o de var¡able:

X=26 I

MCMt2i3)

/i =tl

'/;

=fl

fiOl Lexirnátic 5.'

23

c)2

Calcula

(

x+2

x-2 )

20.

A) e2

B) ea

D)

E)0

""

B) 1/3 E) 3t4

-1t4

rim

c)2

24.

:6-1

A)3

B)s

D)

qt

1

B)*

»Za

E)i 'a

)

+ ;x>3 "-E-;x-¡ Jx¿+16

a+0 c)

Cuando x se aproxima a 3. 1

3a

25.

Si: r

tím/ax+bsenbx\_1

-

o\ bx + asenax

donde a

+

entre a y b.

F(x)=l= rim I z ,-r[1-xJl

A)a-b-1 B)a+b-l Cla-b=2

'-1[1-x'zI

/

b; halla la relación que ex¡ste

Sabemos que:

li, I G(')= ] =- ¡

10

5

\

;:;-- --.i

A)a

1

c)

Determina si existe el límite de:

l(x

Calcula:

/ x2 +2ax

c)e

Calcula:

x3t2x2+3

D)

-a

laborioso.

c) 4,9

2\

A) 1t2

lim

Estamos en el caso de indeterminación

*; U

E)4,8

lím

Calcula:

siguiente limite.

li

22.

x-+ó 3xJ-x+4

P

X

3

3x + 2,

A) 3h

¡¡,

1

¿,/ m

., Im'senox

D)s

1

..m+flh-2\-ft h-o h

18.

ñ -G

B)4,7

/2

c)

calcula:

/-

ti^ x-m X-m

A)4,6

los

Ix + z¡

x-0

!-2-

A)+

sen4x

,( xx

,*5

x-BJx -212

'17. Sif(x)=

-x

-

'1.

Calcula el valor de:

-=-=1

Calcula:

tin

5 16

c)

lim-g r 4,/7

x-ü

2l.

tm

sigu¡entes Iimites

lím

E) 1/abc

-L-t

lím / 1+23+33+ 43 +... + n3

NÍVEL 2

15.

D);

)

= z lim

Halla:

,lT

c)3

B)-1

1

Dierencia de cuadrados

1+2n2+3n3+4na

14.

A)

D ferencia de cubos

(

1

L

lr,[ffi]

lim f-_l-23

8

_t-,_l)f1_22

lím

243 A)

Calcula:

D)a+b=2 E)a=b

-1

NTVEL 3 26. Determina los lim¡tes e

29.

3

(

)

x

B) lím

A)3/5

(cosxl/*'=

(

1

)

! x-0

c) ¡¡¡

L=g

(

25

lim [(x)

3l; 90

E)

125

30. (

-s(x)]=-1

s(x) I - If(x)--l .1il .

,

-i6t

A) Calcula: 1

lim / ---Lx-2 ,-2\x'

=,r'r,(+.*P)=, =ariq( )+ uim (-)=z

x'-3x+2 )

A)+

E3

D)+

E)2

c)

36.

Calcula: R

1

A)

31.

.¡ ,x d -" € = xlím .0 x ;a

Zt'1

+

37.

1

\3¡+l lim / x3+2x+1 x3-x2+1 )

L

A)e

B) e3"

D) ez3

E) e3

c)

e2

Calcula:

donde m; n

lím

+n

+

lím

6n3

b=

tím

33. +

n'

¡- 2- - --L-y .2\3x-b Zx'¿-5x+21

D)?

A)e

B) ln3

D) 3e

E)

c)

E)

n

E) mn

e2

ocooo
1

Determina:

I

.)+

() o

r¡l ó zNarNaro

A)0

B)

D)2

E)-1

1

c)

lz l,r

o Calcula:

A) 0

B)

D) 2

E) 4

1

co L! d) t¡J ci-..¡rird

cÉ

co

o

U

sen3x l lim x-0 l;(*.a-. *., - 1)l

1i^

B)+

^,m

x

f

Calcula

A)l

2

!--=-!

6

34.

i

> 2;>

B)0

1

lim--'!9L' ,-i /1 - senx

n

Evaluando:

28.

m

-..i.,i+d(!;ñ rt ct c, rv, lr, !t .t

Dividimos entre nr

l--]n! --'-'---i

€z+i

D)[ ,m

32.oetermina:

x-0

b=

E)h(á)

x-rVx-1

+22 +31+...+n2) n"

c)rn(á)

B)2

1

rn I:: . L= lím r^-l

,+0( t=¿

= tim

IR+

Calcula:

A)

b

3

E) 5

D)rn(i)

lt.

c)

B) 2

1

D) 4

)

g,('f+'!")=,

112

Y

)

Completa los pasos y determina el valor de b en cada caso:

= a(

funciones

Calcula el valor de:

X

,r,,ll€-=27.

c)

36

t7 D)

./t

B)

-3

lím [f(x)+ s{x)] =

x-

n) /1,I, [3xl+

g(x) dos

polinomiales, talque:

ltT-r1T

verdadero (V) o falso (F).

y

35. Sean f(x)

Calcula:

indica s¡ es

d J Ü

oulaoo i+¿,¡;";; .¿-?--F-

c)

112

LJOOL!OC)O Éddci-ñ(.;

Júl

I

or!
=-(l.vr!tr¡t@

J

ÁLGEBRA -

AcrvrDADEs

uNTDAD 4

l't01

H LicamosLoap rendido TElvlA 4; ,|

OCPÍVAOA3 2

Sif(x)=51-7r*6 Halh:f(3)

B) 19

o) 21

5

c)

17

E) 15

Calcula

]í1,

4

ff;

l11+x-3h+\\ ,|\ffi-1ñ/

nri

al

4

orÍ

E)

1

Sif(x)

-

O)+ .vJ

x,/¡ll, ,r¡.r,. t',r,

no, r. r..sla de L' Hosp¡tal

A)1

B) 3

@6

E) 7

Dete¡m¡na f(1)

si

f(x)

s2 D

Calcula lím

@23

3

{

83.94

1D2lLextmáac 5..

:

(x3

c)5

+ 6x2 + 3x)a

a¡s6-s E¡93.86

@+ D)+ 6

@lru'

B

Determina

3 13

c)+

El 17

la

ecuac¡ón

._3 ^ f(x)= t+2xz-O

A)x2+y-10=0 C) 10x-y+15=0 @y - 10x + 50/3 = 0

de la recta tangente a la

enel punlo(2: 10/3).

B)y+5x-30=0 D)y-10x+30=0

curva

s¡f(x)= I

7

mss

I

5x

Si f(x)

Halla:f'(x)

B) 5sen5x

@-9sen5x C) E)

I

D) -gcossx

fsensx

I senx

Calcula el área máxima del rectángulo que tiene su ba^se inferior en el eje x y con dos vértices en la cuway . 12 x'

B) 16

10

o) 12

@6a'?l;

c)0

c) 48

i--*

A\2a2 D)3

12

Calcula:

Calcula:

r¡m

Halla lím

\

x-1

- z\,/ +x +'t -3 ) ',r/x-lx+z

x

13

C) 7x

atl E)

ú¿,'

E)2n'

I 't!

o'zt

v e!

vll

Vx -1

'14

E 8/5

Calcula:

sennx

lím

x-0 ,,(

D)

E'01

'l

v8

v6

li

-

cos 7rx

tan,rx

)

@-+

Al 12

C) 1m2

c) 3/5

B 5i3

@

d¡agonal mínima y da como respuesta su área.

112 n2

-a

\li-t

A) 1/3 5/8

Un rectángulo tiene 2 m de p€r¡metro, halla el que tenga la

B\

E)

tl-g ^,3

1

(A))1/4 m2

7)

r-á ,,/ \ -la

El24

ori

-

D) 5/(x

5

@*

-

B) 1/(x 5) E) 7/(x + 7)

@1/(x+7)

@¡z

'11

= ln(x + 7)

Halla:f'(x)

+1

E)

c) 2./z

1

3'9

V''

c's

oE

cz vt

sa^ell ÁLGEBRA -AcrtvtDADEs UNIDAD

4

103

Pnacti UEMc]S 2.

N'VEL I

1.

Un móvil se mueve de acuerdo a la siguiente ecuación:

x-7f

Completa según conesponda la resolución:

A)

+ 3t+

4

l:ensegundos

Demuestra la s¡gu¡ente derivada empleando la definición f(x) = 6x3 f'(x)= 18x2 Demoskación:

=

f (x) =

olj!

tím

Contesta a las siguientes pregunlas:

Ax

o

f -o'3

,'-,,r6( f' =

t=0

f(x+Ax )-f(x)

Sabiendo que:

Ax

)

6(

Ax

6x3

l. Reduc¡mos y organ¡zamos términos:

f' =

'18

+ 18

rim

ll.

!#*

r'(r)=

..

!P* ^{r,

^{ro

f--_- ] +

?

lll.

_

..H(x)= ll.

H(x) = 6654¡ H'(x) =

-(

=

lll. H1x¡= H'(

x) =

¿Cuáles la acelerac¡ón delauto?

Sif(x) = 5x2 - 7x + 8 Calcula f'(x).

xñ

= Ll-

=

Er

E^

I

)(4x)'=

A) f'(x)

= 1[¡

C)f'(x)

=10x-7

E) f'(x)

=

L-"1

4.

-[

sen3x)'x

dx

- (x

sen3x)

E 1

3x

I

5.

f]-

E

1

-

B) f'(x)

= sx

D) f'(x)

= §f-7¡*6

z

7¡

Halla la derivada de f(x) =

3

5/7.

B)6/(5x)

C)

6/(5/;)

6/(55/-x1

E)

Sif(x) = 5x8 - 3x2

dx

Dada la función: f(x) = tan2x

A)0 7.

''' dx =mt(x)

A)

1

l}4lLeximátic 5..

tanx

Cl2

D)3

E)_1

+

B)

\ I

-+ c)+ »-2

E)-1

.3

8.

(

1

-44 -x

1.1 ,

sec2

B)

rim /1 r-o\ 2x

H(x)= tan(ln3x)

H'(x ) =

-

E)25

Calcula:

dH(x)

¡.

2O1O

Halla:f'(0)

df_l

5ssl 5s6l

-

A)42 B)2e C)31 D)34

dx

dx

..

*

Calcula:f'(1)

6.

d

dH(x) _

= H'(x)=

¡2

7¡:

sen-(3x)

dH(x)

H'(x)

-

A)6/x 5/F D) 6/

sen4x

lV H(x)- l¡56¡¡

V

m/s

T_',]

Vx = H(x) (x)

Transcunidos 2 segundos qué distancia habrá recorrido y

m/s2

3.

H

En t = 0 a qué distanc¡a delorigen se encuentra: Rpta.: m

+

B) Deriva H(x) usando teoremas: H(x) =

aceleración del móvil

m

f'(x) = 18x2

l.

=

cuál será su velocidad en ese instante.

Apl¡cando teorema de lím¡tes

^{To

= velocidad del móvil

)+ 6(

¡'X

t' =

# 4dl'

)

Dado y = P(x) = x2 + ax + b, de modo que y de P(x) en x = '1, calcula a . b. A)

-2

B)

-1

C)4

-

3 sea un mín¡mo

D)_4

E)_8

J\

f\

L

14.

Un número y e cuadrado de otro suman 162 determ na dlchos números s el producto de e los es max mo.

9

A)9y D)8

lO.

y

/38 83

f(x) = 3¡25"n*

c)25 y 1122

B)6y111

B)Sxsenx

A)3cosx D) 6xmsx

E)7 y 98

Un teréno t¡ene la siguiente forma y dimensiones

Determ¡na la derivada de:

x+y='100

E

v

15.

E) 3x(2senx

C)6xsenx

+ xcosx)

Siv =Asen3x + Bms3x. talque

)/"+4Y'+3Y=10cos3x halla:A

-

B.

A)0 D)3

B)

c)2

1

E)4

Determina y si el área debe ser máxima

20 15

A) D)

B)

c)

80

16.

60

E) 40

NTVÉL 2 11. Encuentra las ecuac¡ones

de las rectas Lr (recta tangente) y LN(recta normal) a la curva (x) = x3 - ¡ - 3 sn la abscisa x = 2 r(x)

L,!

17.

Lr

Un agricultor quiere mnstruir forma de un sector circular. Si de 200 m de longitud, calcula para que el campo sea lo más

y cercar un campo que tenga la para cercarlo se tiene un alambre el radio que debe tener el sector grande posible.

A) lom

B) 30m

D)50m

E) 100 m

C)40m

Halla la altura h de un cilindro recto que tenga la superficie lateral máxima, inscrito en una esfera de radio R.

A)

h=Rv5

B)

D)h=+

h=R/Z

c)h=t

E)h-3R

2

NfveL 3

Lr:

18. IL^,

12.

A) Determina x para que el área sea máxima, si el perimetro del sector circular mide 60 cm (usa derivadas).

Completa elsiguiente cuadro: 4xa+3x

F(x)

05,/l

3cos4 X

e-, ---]

ln3x

dF(x)

L-

I

Sugerencia: Area del sector

f

dx

I o2r(rt

tt

I

t41 o3r(x)

B) De la siguiente lámina se cortan 4 cuadrados de manera que formamos una caja. Determina x para que el volumen de la caja sea máxima.

dx3 X

T

13.

x

8cm Calcula:

i -a-x -b(

l'l(T) ab D)b-a

A)

I f-

\

B) E)

a- b

C)

ab

1

caja sin hpa

x

15 cm

__-----l

de volumen máximo

Suge16ncla:

a

a b

ALosanr - ncrrvrDADEs

uNTDAD 4

ll05

\ ) 19.

23.

Encuentra los valores que hacen que las funciones adquieran su valor máx¡mo y m¡nimo. Según el criterio de la segunda derivada.

flr=o T I zx+l=o I x=-tn

f(x)

f"(x)

r-

E

2

I

x3-3x+8

I

xe l-2;2)

- A) 9/T m2

l¿B máx. o mín.?

I

(x+3)2+x

Dl2{d

mn

24.

lxr= I

Encuentra la mayor área pos¡ble de un triángulo isósceles cuyo perimetro es 18 m.

I

I

un

es:2x+y=100 ¿Cuál es la máxima área del rectángulo?

D)

25.

l7-xl2+7

20.

C) 12 n2

Un rectángulo con lados hor¡zontales y verticales tiene

A)

-x'+x

n2

E) 4,5 m2

vértice en el or¡gen, oko en el eje de las x (rama pos¡tiva), uno más en el eje pos¡tivo de y, y el último en la recta cuya ecuac¡ón

x2-4 |

8)6A

m2

81225

C) 1200

E) 1300

Determina un polinomio P(x)de cuarto grado, que verifique las siguientes condic¡ones:

. . .

De la siguiente figura

1000 1250

P(2)= P'(2)- 0; P"(2)+ 0

P(-r)= 0; P'(-1)* P(1)= 16; P(0)=

0

12

Calcula: P(3)

y-7=-(x+2)2

4

A)

24

B)

27

C)36 D)72

E)80

3

-

26. si:

t_

4-3-2-1

f(n,(x)

23 4

x

A)6

¿En qué puntos (x0; y0) la parábola presenta un máximo o un mínimo? (usa derivadas).

Rpta

3) D)(-1;3)

28.

lll. Detemina h e(rleón

de

h r€da tarEente en h ahcisa

x

=

P(x)

=

180

-

1,2x;

A)e

B e2

D) ea

E e

c)

B) 70i 95 E) 10; 20

C NIVÉL I

,(----F-l

msnx \

B)

El

I Leximátlc 5."

m2-

n2

+fi, -

nl

C) 40; 25

I

c¡z¡n2

-

n2)

Lave s

12.

NVEL 3

23. A

l.

8.E

13. B

18.

24.D

2.

9.E

14. E

19.

25. D

10. A

15. B

20.

26. D

NIVEL 2

16. D

21.

l't.

17. B

22. D

3.C

- rn2)

ñ

0<x<100

e3

Calcula

m2

;

¿Cuántas unidades deberá rentar y a qué precio para max¡mizar sus ingresos? A) 75; 90 D) 80; 60

-

c) (2:2)

a la fórmula:

Calcula: f'(1)

cos mx lím /

5)

E)(4;2)

Un anendador ha adquirido un nuevo ed¡ficio con 100 depalamentos para

2x

21. sif(x)=ft

B) (1r

y encuentra que enke más unidades x que quiera rentar, menor deberá sersu prec¡o P(x), de acuerdo

¿Cuál es el área máxima del triángulo A?

Área.¿, =

't06

C)

rentar

1

LT:

o)+02

B)8

A) (3;

criterio de la segunda derivada, ¿dicho punto es

máximo o minimo?

A) n2-

1);f(n)(x) enésima derivada.

punto (1;4).

ll. Por el

22.

+

10 D) 11 E)9 27. Halla el punto en la paÉboh f = 2x que esté más próximo al

Rpta

lV

= 729

donde: f(x) = In(x calcula: x + n

Responde:

l.

(n,, 1)!

4.8 5.D 6.B

O

27. C 24.

A

) ,(

H Licamc]s 5UCe5tONeg

TEAAA 5; 1

na

t1 D1 1n + t¡n Determina la suma de los

@2ss

D) 240

5

?QOéee9lONEg 2

oetemina el término general de la sucesión 2:32:43;...

A)

3

-

Determina

B

n+1

a,=7 y an=an-l-10

A) 43

@(n+1)"

primeros térm¡nos de an = n + 9

B) 305

Determ¡na a6.

Si

@-¿¡ E)

D) 23

E n

'15

a

Lo apnendido

4

E) 250

6

la sucesión

3

.

(aJ:

4

.

2' 5' 10' 17',

( ( (

Al2

B) 3

E)3,5

O1

c) 250

E)2M

lnd¡ca elvalorde verdad de las s¡guientes propos¡c¡ones, dada

1.2.

D) 2,5

-13

B) 240

@2BB

I37aproximado: si: an ?!1n l 2n + n-'

33

Determina eltérmino de lugar'12 de la sucesión: {2: 8; 18; ...}

A) 144

c) 24

c)

) La sucesión (an) es crec¡ente

) Eltérmino

a26

es 2,5.

) La sucesión converge a cero

A FVF D

'

B) FFF

c) FW

@FFV

ÁLGEBRA - AcnvTDADES

u¡¡roro ¿ ll07

7

Marca mn un chec* ? las sucesiones acotadas y mn un aspa @ las que no lo son.

n

1+2n

3n2

+n

n2

(n

n2

n+1

+ 1)! nl

En la siguiente PA: x

Determina z

-

-

21x

+ 5;y;

10

z;

y.

A)6

B)5

D)

E)4

1

B) 40

D) 38

@oz

c) 46

En una PG de razón entera, la suma de sus tres primeros

A) 1340 D) 1352

@z

't2

Determina la razón de una PG; si el térm¡no 20 es 400 y el término 16 es 25.

8) 4

o\ 1t4

E) 1t2

En una progresión geométrica existe un término que es ¡gual

a la nzon. Halla el lugar que ocupa esle término en dicha

14

I

y 5832, elqu¡nto

c) 729

@ 648 E) 1456

Determ¡na a qué valor mnverge

''

loga=7

1390

E) 1330

S¡ se interpolan 5 medios geométrims entre término de la progresión total es:

-

progresión, si:

110.

c)

@rsm

A) 1944 D)2916

E) 5

logr=-'1 y

A) 36

términos es 21 y su producto 216; determina el

@z

13

+

Determina el término 7.

(-1t

1-4n

11

La suma de los n términos de una PAes: 3n

2n '1

2n

9

8

-, ^ /n-+.1n+¡) 2n'-2n+

1

Sean r y a la razón y el primer térm¡no, respectivamente.

A) 6

c)8

B)7

@I

A)7

E) 10

a'tt

a¿L

tt

I

v lt

c'6

o

0t

3'8 '¿

sa^ell

$$llewnáurs-"

c)4

@trz

o)2

E) 3t2

l'9

ot

a'z

c9

v'c

3'

\

Practi uemc]S 5.

NWEL I

l.

¿Entre qué valores varia la suces¡ón? a

Relaciona cada sucesión mn su térm¡no general

n_nn+3

n)tl; rl

B) [0; 2]

{1;4; 9; 16; ...}

[-2; 1)

D)

6.

{0, 1; 2; 3; ..J

E)

C) (2; 3l

(-1;1)

Determina 28

f1.1.1

1568

)t1x+t¡

2n+1

]

n

1.1.'l

8'27'64

f^ 5 7

9 4

1''z'5

7

n1

]

A) 46 000

B) 47 000

D)8120

E) 47 780

Determina a qué valor converge

.

.72-]R ll. Si

ar = 10 y an =

.

IN. G

z* -R

En una sucesión creciente an ....... an +

lV

Una suces¡ón monótona es.

Lasumade

.

4.

E) 1t2

Dada la siguiente suces¡ón; determina la suma de los primeros

...

300 000'

B)

A) 204 D) 35

I

l

.

decreciente

104275

C) 265 300

E) 144 320

Halla el primer término y la razón de una PA sab¡endo que la suma de los n primeros términos de esta progresión es n(3n + 1). Da como respuesta la d¡ferenc¡a entre la razón y el

1

+3

+ 5 +....... + 2n

n(n+1)

-'l

es

10.

.

n2

an

=

n2

-

A)9

B)6

D)

E)8

1

c)

3

Halla el número de térm¡nos de una progresión aritmética,

A) 61

B) 33

D) 96

E) 14

e;}

¡c12

nlm

c) 2e

NflEL 2 l . Responde verdadero (V) o falso (F). 1

L Sian =

Detem¡na el término 24 de la sucesión

{aJ:

c)2

E)4

sabiendo que la suma de los térm¡nos no varía al aumentar en I la razón al m¡smo tiempo de dism¡nuir en 30 su primer término.

n(n +'1)(n + 2)

.,/ál

7, determina

B)0

-3 D)3

A) oscilante

3

Si

c)3

B)2

1

primer término.

creciente

3

¿

(a"): 3;8; 18; 33;

.

lll.

+n-

50 tém¡nos.

t 3. entonces a4 = ... .98 101

2an

.49

V

8.

En una sucesión (an); n toma valores ....... y an

^1 tn-

D)4

Encierra la alternat¡va que corresponda a cada definic¡ón.

l.

n"+n'+5

-n A)

2.

c) 45 300

ll.

64

Sian = z +

3

oc24

B)fr_

q#

7, (anles una suces¡ón mnstante.

1-2¡,

- Z*.,

(

1¿r1es una sucesión monótona.

lll.

Si bn

lv.

a"'\ l1 r 1)" mnverge nt

{bn} es una suces¡ón creciente.

()

a e (base de logaritrno

neperiano).

otjj'¿c ^,12

E)

2410

V

25

Para que exista una sucesión esta tiene que estar def¡nida con una idea establecida.

ALGEBRA . AcflvtDADES UN|DAD 4 109

T I

) 12.

4.J

E 20.

Según el gráfico, responde: (cada radlo se reduce 10% de anterior)

De la siguiente progres¡ón aritmélica determina cuántos términos son múltiplos de 2 y 3. pero no de 5.

2;4t6:8t...,220

.

(4)

El área delcírculo

n.'

10 es:

(3)

12)

.

(1)

La suma de las áreas de todos los ckculos es

i

21

.

A) 32

B) 30

o) 29

E) 39

c) 40

En un cuadrado cuyo lado mide a se unen los puntos med¡os de los cuatro lados y se forma otro nuevo cuadrado, cuyos puntos medios se unen también para formar un tercer cuadrado, y así suces¡vamente. Halla el límite de la suma de las áreas de todas las reg¡ones cuadradas asi formadas.

13.

Sea la sucesión:

,^., Jp'-2. p3. p3*2. I r""/I 3'4' 5 ',,,J

22.

Determ¡na as.

A)PH q+ o3+ 12 ^. --l0--

14.

coh inferior de

A)

1

_!^2 -

B)0

.)

,o;

16.

-

A)2 D)8 E)4t3

23. A)

'17.

0

B)

n(n' + n) +n Sería equivalente a:

C)

366

D)

79

E)400

l[n(n'+

an=,frT{]: nz2 y a,=,/i

1

C)2

D)

In[3 + n'+ n]

E)diverge

Calcula el valor límite de:

. Por prop¡edad de sumatorias:

o)

E)2

=

j.'*¡ .¡

=

(_)+

(_)+

(_)

Determ¡na aproximadamente la s¡gu¡ente suma:

.+

'=#.i.+.

A)8

B)9

C)

B)

S-0,1 +0,01 +0,001 + '

10

D)

11

c--L-

Determina:

'1011

+ 540

D)rd+Íq

'1021

B)

E)

Lexl¡nátic 5.o

+ 260

10 1031

+ 250 11

. c)

1'l10

l---L-

loE ro!

201érminos

A)

Esto es equivalente a:

c111

E) 12

E = 11 + 101 + 1001 + 10 001 +... + 1000...001

110 I

nJ

n

3

o), ,) + c)+ ,

19.

n)+

.operando:

c_1.3.7-15- 2832 128 '

'18.

Completa los pasos para resolver:

. La suma de los n @mponentes (Sn) de:

oetermina a qué valor converge an. A)

C)5

E)6

NÍVEL 3

b13.

Oada la sucesión:

B)3

es:

Cl1t2 D)3

350 8)488

3

Encuentra una progresión aritmética y una progresión geomébica (ambas crecientes), si se sabe que los primeros téminos son

= (17t 23;29; 35; ...)

Determ¡na as

A)

E) 4a2

4a2

progres¡ones.

15. Sea:an=n3+n2+1 {bn)

o)+

c)

a 2, t¡enen el m¡smo tercer término, y el onceavo tér mino de la progresión aritmét¡ca es ¡gual al quinto término de la progresión geoméfica. Da la suma de las razones de ambas

10

La

B) 3a2

¡guales

-. E)o6+2

')

A) 2a2

10tr

Es una suma límite de razón q

+ 540

I

= S-

=

4 #\ /

24.

Determina en as sigu entes sucesiones el térr¡ino enés mo

Sucesión

{tn )

30.

ln

?--P-,

{V:x2:

A)l D) 3/2

x-r 31

13-2n

n+2;m;7;5;3;

.

27

./7-t:./s

72-n

25.

¿Aqué valor mnverge:

A)D)

,/n+1-'ñ

-A;z-./i: an=( I

32.

+gn

e2a

b suma de sus arbos es

c)"''

A) 20

B) 26

D) 32

E) 40

E)e6

D

I

B

5.

E

4

I

,n

c)+

c) 30

*(r .+)." - (, .#fl }

Converge a

A)

c)e

B)0 E)2e

1

D) 3e

7

8

34.

S¡ depositamos S/. 36 000 en una entidad bancaria a unatasa dernterés de 5%. ¿mmo varía la cantidad en 5 años si fuera a depositarse a interés

Determina a qué valor converge:

on-

*}f

r,.r = {(r

c)4 ,5

2

Halla la razón.

La siguiente sucesión:

x21y*z¡+f p+ x¡ + z21x + y¡ (x+Y+zf 2

ufr.

geométrica. ¿Cuál es la suma de los números originales?

Si x, y, z están en progres¡ón aritmética, calcula

.,

27.

y

núrEro inñnito de Érm¡nos ds um PG &crecienb

Se tienen 3 números enteros en PG, se agrega 4 al térm¡no centr¿l

33. 26.

E) Di'rerge

y los números se encuentran en PA; a esta última progres¡ón se agrega 32 al término fnal, y la progresón es nuevamente

,)

B)0

I

Clz

B)+ N, D)+ ert

3

49;7;./7 :.-

B)8

La $Jma de un

es

1.1

3'9

r$

S=$-L -

5 10. " l3 x:

Detsmina si la *luienb sumatoria conwrge o diverga; conwge, señala a quá valor

Ean

d1&0,'J

i

simple o a interés compuesto?

A)1

B) 1t2

D)0

E) Diverge

A)45 800;45 947,15

c)2

B) 44 000; 45 735,28

C)45 300; 45 945,19 D)45 000; 45 946,136

28.

Analiza la mnvergencia de .,1'

E) 45 700; 45 800

+2

.l

"n- O+l)! A) Converge a D) D¡verge

29.

1

B)Converge

a|

C)Converge a 0 NIV'eL

E) No se puede determ¡nar

Si 4mc; 4nG; 47; 52 es una PA, determina el valor de m

A)6 o)12

B)i E) 10

fLaweq

c)8

+

n.

8.8

15. B

NMEL 3

30. D

1.

9.C

16. C

31. E

2.

10. A

17. B

23. 24.

3.C

NrvÉL 2

't8. A

25. D

33. C

4.B

11.

19. D

26. A

34. D

5.4

12.

20. D

27.O

6.D

13.

A

2A.C

7. E

l¿1. C

22.C

29. B

1

o

2'.t.

32. B

ALGEBRA - AcnvtDADEs uNtD.aD 4 I 111

D

T@Nffiatuma#ra EEE@L.

Dada la gráfica de f(x): v

g(x)=3-f(x-3)

v

4

3

-6

.;'¡t,-rl

3

3 x

-3

1

-- -,',- - -- - -- - --,^i-- - -f(x

Determ¡na la gráfica de: g(x)

1.

Si: f(x)

A)

7.

D)

-2]

B)

lR- [-3;

E)

R-[-2;3)

= 3x + b, determina el valor de

-3

B)

c)

1

1/3

c) (-3;2¡

8.

f(

1)

r'(3) D)

-1l3

E)

2

9

-x))>0

or(|;r)

ar(|;rl

cr(-r;|)

I

A)

0

c)

B)

1

c) 23/36

I

2

D)

112

E)

1t4

Encuentra el límite:

ñ,m

,n

1

E) (0; 1)

10.

1

C)

3/5

D)

5/3

E) -3/5

n

Elmáximo valor que puede tomar la función:

ss¡¡ *

N+ B)

mna'*

m

...r .t

t;

11.

C)

E\ n ^m-n

D)+.

1-.54

0

f'(-l)

E) 15t17

t|. 7 . 37.'175. 15')5'125'625'

f(x) =

A)

lnd¡ca el valor de

B) -23t13

23136

'.

A)

Resuelve:

lim

5x-1

lím -d ,-" ^xn-an

nr(-|;r]

4

de f(x) = 3x+4

Encuentra a qué valor mnverge la sigu¡ente sucesión:

^.

Resuelve: ln(logx(1

Calcula la derivada A) 1 3/9

E-{3;-2} D) ts - (-2;31

3)

3)

ffi

A)

3

- (x -

Determina el rango de f.1(x), si:

tlr¡=Z*

2.

=3

-

B)

1

ct/1 otz

EJI

Encuentra la mínima distancia delorigen hacia la gráflca v

=

I

lsuoerencia: usa derivadasl. v

5

La suma de los dos primeros térm¡nos de una progresión

A) 3

a¡itmética es igual a la suma de las raíces de la ecuación:

B)

I

11

-

!9 = o y el séptimo término es 23. Detemina

D)

o)4y7 6

B)3y4 E)3yo

mtn

E) 4

pr¡mer térm¡no y la razón.

A)2y5

,=}

c) ./6

el

c)5y3

Calcula el número de térm¡nos de una progresión geométrica de razón 2, 189 es la suma de ellos; y la suma de sus cuadrados, 12 285.

12.

Determina la medida de la basex delrectángulo de área máxima que se puede inscribir en el cuarto de elipse cuyo centro es O. 1

A)a

Bl2./,

A) 8

B) 7

D) 6

E) 4

112 Lexirnátic 5."

c)

10

"Z

¡

de elipse

c)3

D\2"5 E)1+

li

x4

l--1 f:l

l-

Luclonarl L

ra

e o 5

HL q

a

]Er.-

I

L

g ebr:B

¿

Un d ad1

r¡onÍn ll.

PRACfIOUEMOS

I (póglno 8) Unldod

Nlvel

I

3.

4.

x3- x3

v

,4i =s

C=

P=4500

4".5

E= 64s

12.

,=

E=4

Í-,

y=,/4/16-

't9. s =

2ñ. 4n

x331

+ 1.gn +

S= 2r .Q7f

(,)

Reduciendo: S

20. xv

-3

=+

26n

=

-

=5zz''tr

50"Q

,Y'

... A

= 9/2 Clave C

1

4.

X30+a-1

*'

=

*Yl.v'

1

lz^.23

\J-3'-

¡e+a-r3o+a)

0

15.

I

2 3

A=x8.x7

)r=3

2x.52r

-

5'(23 + 1)

.-.8 = r8

1

I

1)

272 000

(ál

)

t=l

6)

c

mg /

1 persona ¡nfectada

hora=Hl(1) =31

t=2horas=Hl(2)=32 t=3horas=Hl(3)=33

(+IF,)

8500

2+22 +

5ÍJ

(o,sll

23. En: t = 0 horas: Hl(o)=

,r,.5,¡, =(12.5I), =10

I.(áI'',' -(il

9,5 mg L

Cláve B

!1

t!

7" \

... t_-2min

\i

Clave

t=lhoras=Hl

+4

(r)

-r

Luego:

2+4+27 + 256 = r%9

x=5años ClaYe E

l-exi¡nátic 5.'

,.+.+

22. De los dalos y el modelo:

(o,srF =

S/ 91 500

(+t = (+l

2 ¡

D

. Q2f .x7

c

1

\2

..

Cl.vé

Clave C

Clave

+ 5r

2x.52x(2.5

\z)-

erf

1

2x+1.52\+1 23.5x

Clave C

272 000

=

xy,2

1

l2a\21 +1)

-

128

11 2,t. A= (x-2)4

*r"$-\-La-/ +2"É \-F-/ ,r"*t

=

Factorizando 2á del n!meradorl

-F+a

100 000

=21 =

u'.'= (+l = + Clave

x-

=

+8

,."

^ r =(+f' =,

R>P>O

B= x(x2.x-3f2

91 500

+2

1

Clave E

o=(s,y'1 =(s3f=s6

Clave

=

x5

x331

2

.Q3f

+

32,81 mg = 50 mg

10. Dalo: GA =

x336

S= 2¡ 22¡t+2.23¡'+6

¡=5'&"=5/zs-5zo-5to

B=x.f.x5

-

Luego:

r?+! Jao

10

_

...(|D

r¡.p=(tstf)"

(a'f + (a"f" - (a'f

45

+1

2611

Cláve

Reemplazamos el dato:

9.

x120.x216

Z6n+1

=,/'l¡ =,ñ6

Damos lorma:

32 ''o- 33+3J ú-2,1 -33

.x214

Clave E

*

p=4.'=

x121

-

=-t

De (l) y (ll):xy =

(r3)'o.f

x23.4.s.x216

_

I

Nos piden:

P= --F+a '

,," _

,rr2 1rz¡to

I

!=4

la"f

(l)'If

'16.

\= e2f2 +e¡1

1 ",= t-2f '

= *1¡1i

a2" """*' G2)" +l+a'

8.

l¡3

= ISOO(¡-") P= 13 500 habitantes

Dato: aa = 3

-

^

Nlvel 2 (póglno 8) Unidod t

ClaYé B

("3)"

Clave E

ClaveA

Clave C

=:,szs

p

..

.48

7

E=64j=3,/o¿

7.

=(!f

4s0O = poek(13)

Denlro de 13 años más:

'= *n i

'

+

= 15oo(3r13)

P«l

7r

6.

Po=1500

Susituimos en la expresión general:

2

.48

7t1 .7

r

4500=1500.e13k

tF¡

$ry|

c_

1500 = Poek(o)

t. (z*$f-' =(i),'=(/TI

Para t = 13 años (actual)

Clave E

5.

+

-k

s.43 S

P=1500

(inconeclo,la respuesta es x2)

(4+1)

4

S=

De la expresión general: P(r)= Poeh Para I = 0 (hac€ 13 años):

't, x-9.x-6.x15 = xo (conecto) 2.2.3.4=24 (coreclo)

/

DE ExPoNENTES

lfr =¡

Hl(lo) = 310 = 59 049 personas . Clav€ B

.

H1116¡

= 59 049 Personas ClaveA

N¡vel 3 (póg¡no 9) Unidod I

29.

2

xY.y' x'.yY

l. 3r-2.33-r -

t. (A3f .* =

13.2112

238 se desintegrará en 4510 . 10" años:

xx..xyy...yy

4510 .

M

3

=23

.t

M

=25 =s2

lll. 13+3121=(2.3121=t1 lY.

34. Lá mitad de cuaquier canlidad dada de uranio

x(xYl.(y'/.y

(+l '

.

xv-¡

o

321

yv

yy-x 30. Dato:

2 1

ev

+?

+

4¿ .4

xb(x"1r¡ xb.xl'

+

=2

(ii)

oslort6-

(i¡) en (i):

Nos pideni

4a+

(D

(451 0. o6)

m0 .e

-¿

xr*b.f=a=x2"*b=a

26.M=a

= m¡evr

m0

xa+b_ ar-a + xa+b 4

m0

Del modelo matemático:

m(t)

c lave c

\

2

xy-x ClaYe C

Hay 3 verdaderas.

años

mo

x

(v)

312 .212

106

m(t)

,,b

(iiD

= mo2

as10'106

I

4a+

t"¡;@7

1.54 +

4^ .42

+

2

Reemplazamos la condición

1

112,75.\oo

mo

4510rF

mo2

=

xb.f"=x2"*b=a

4" .4

.

Clave

t=40años

Factonzamos 4a .4 en eldenominador: 4

Clave D

31.

5

44.4 (4

+

1) Cláve B

,.!

1

{ (-

31" - (- 7)t

3)'uz 1

{ (3)

(-

\42)2

7)

(23)

Observación:

{(-

3)a

Noh:

Entonces:

+)"

b./i = Jgi 3J5="53=\"5t3

=lhfr

'n'"

- (- z)2}5

(-a)h = ah

{

r5

y

;

¡

= (3'fg./a

J3

t = (,[tTf tT Clave

c

1

=A =

/58

... (r)

lgualamos la expresión incjala una variable

1

1er-49;5=:23=(25)5=z

Clave

c

32. (s')'? + (3)'?= 2(3

.

^./. -¡!/Y =y

5f

(s)'?- 2(5'X3') + (3)'? - o

* k+I'.(#rli.(áff

Asimismo:

-


7.s'-'

1

[".('H[.?l

.'.

=

I

y

={xy

xv=l -y='-Vi

= 3.7h

-,-1,/i =,/i Dedonder x=3 Clave B

R=21 Reemphzando: 21 = 3.

+ sl2

,

1!

g6z = (02),

la ecuación exponencial: R

-

v

Pordato:x=0,0286

-1

127

=y

14.5

E=10

33. Según

=[r'.+],

=

5+9 7.5 '

Cl.Y.

=1".u++f

=

PorcomparaqonY=rJ

+5x-3x=0á5x=3ráx=0 Luego:

lu.('#r.(;fl'=

l".\.?f

!

+ A=yY

1

'"

1

r1

+AY=y

)'.

De r)

(5'-3)2=o

lnvertimos las bases con exponente negativo

lT

3

=A=(3/16)

"=fr-r.u=fr

O)2¡5 =

x.'e-l/t-. =

1

2"J b

L

=4

J3

1t:

Luego:

t 34

35.

'n'" =l(#y* l'

I

simplifcamos:

=t,¡vf_J_ AJb ^."tr

=

..

o Clave

/@e

1.0286t

k=34,97 Clave E

ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD

1

I

3

POLINOMIOS 9.

PRACTIOUEMOS

I (pógino

Nlvel

1.

16.

P(r(x))

fransformando la expres¡ó¡;

Plx,y,zl=¿a6 a3 y3 72

(x)= 5x-4

= sf(x)-4 5x+1= 5f(x)-4 5x+5= 5f(x)

13) Unicrod I

¡7vt -'rl z¡i r' x"u'zu / ,-3 . ¡ 3_. ¡7r

=f(x)=

'' (3)=

I, ABSOLUTO II. IGUALES III. UNIDAD

x1l a

se deduce que es un

polinomio

lo.

P(x) = (n

-4)xn-a + (m +

1)x2nt

1

-

Clave A

veces:

P{x,

y)=

Sxay

+ 24x13 +

cy5

vez:

P(x, y) = x3 + (pol¡nomio homogéneo)

2xl

1

+

12.M=ai.a

y3

Z!

3.

Seax=2 -P121=P¡)rP1s¡ 4=3+pto)

t

a------i-

-

2=8

x2

-

2

Sea:

x= 2=Pl-2) =22 -2=2 ¡=2-p12¡=22 -2=2

x(r+1)

a

=

zx

Nos piden:

P(..P(P(- 2))...)

+ x+1 =9= x+1=18

= P(1)= 3

P(P(o))

Entoncۤ:x-2=0+x=2

18. P(x) =

!

Itl=alf=ae

-P1e1=1

+

=

-2

ClaveA

,a

1+2+3+

M

P(x-2)=x2 +3x

Clave B

=2a+3=7 -a=2

(poli¡omio homogéneo) 1

CERO

Por lo tanlo: P(0) = (2)2 + 3(2)

11. Si GR(y) = 7 3

SIGNO

V

Pidenr P(0)

Clave B

2.

17-

x2n-2

GA(P)=2n+1=¡=n=¡

racional entero.

IV

vt. Dos

Clave 0

J ab'

Observando

v[. si vt¡t. A

P(... P(2)..)

=

2002 vec¿s

=Pl2)=2

Clave D

Clave B

ClaYe E

4.

13. 18x3-

R(-1)= {2(-1)r 5F

-S R(-i)=(-2+5F-8=3r-B R(-1)=

18x3

1

.1-R(-l)

- Rrm-

j_ j = Rizol

-

a)b

- 3l -

4x + 1 = a(bx + axcx

-

a)b...{1)

18x3

Sea:

Si:x = 0

- 3l -

4x

r

1

0e

= a(2x + a)(cr

-

a)2

..|i2)

18x3-3x2

4x +

-

2],+

+1

-4=21.1-c)

=2

..a+b+c=6

+

f

+ 2Plx, y,4 = Plx,y, z) =3x + 2y + 3z

-l,r

8)

=(3/-8)3+8 = o

De (ll):

217x

2y

+

172)

r

20. F(x)

=-2-

x=z_re)=

rl

x=:=r(:)=

t'a _1

-52 2

Nos piden:

nx

+ 8y + 402

tr(r)+ r(2)t r(s)l-1 = _113

Cl.y. A

[r

lr

lEl

-

+

f + +t

6

l5

Nlvel 2 (póglno l¿t) Unidoc, I Cláve 0

15. Primer grupo: (5x + 6) + (5x + 3) + (3x2 + 3x + 51 +

P1r,*r1=(3x+1)3+5

(9x+4) +

=P(a+3)=(2x+3)3+5

(l+7x+4)= 4l +Nxt22

Segundo grupo:

14 Clave B

I Lex¡m,áüc 5."

= 20x + 8y + 402

7x+2y+172=latgo

. fi,l+fizl=-¡r=¡¡ 7+9 16

4

2P

P(x, y, z) = ancho

le=2(3)+5=11

. 31 = 6x +

Cláv. B

11.

5

\z¡=2(2)+5=s

P1z,

-P(3/

x=1-F\1J=z=1

-2=1-c+c=3

11)=2(1)+5=7

8.

3fu

t)2

Clave B

4=2lx

...(tt)

Clave E

1=(2x+ 1)(cx-

18x3-3x2-4x+1=2c43+ ,21c2 4c¡*

P(-1)=-3(-l)+1=4

7. l0

...(t)

(l):

p(3,/-e)+ o(3,f) = o + r =

+P(1)=-3(1)+1=-2

-

2x + 22)

x=3A-Q0)=(,4)3 t=t

Reemplazando en (2):

1

4

-

Nos piden:

C¡ave D

P$+ Pát= -2+

(x2

P(x)=x3+23=x3+8 Q(x)=(x-1)(x2+x+1)=¡3 1 x=

-1=a(aX-a)2=aa

Nos Piden: P11¡P(o) = 5z = 25

-3(-x)t

I

De (1), se observa que b = 2 Luego:

P(x)= 3x + 2

P1-,¡=

19. P(x) = (t + 2)

='

x=1+P(1)=3(1)+2=5 x=0+P(0)=3(0)+2=2

6.

4x + 1 = a(bx + a)(cx

a>0 Clave B

5.

-

3x2

Enlonces:

(21 + x +4) + (9x + 3) + (7r + 8) + l1x+4)+12x2+4x, q= 4l t 2gx+22

Clave B

2l . 6f(x) = 5x + f(x)

5(x)=5x+f(x)=x + f(1) + f(2) +

...

+ f(10) =

10(10

+

1)

2

f(1) +f(2) +... +f(10) = ss Clave

D

2?. P(x; y)=

- 2) + 3 P8)=* -2x+1+2

22. P(x) = x(x

-

P(x)= (x

1)-

Dato: P(a +

-

Nlvsl 3 (póglno l5) Unldod I

+7x2^+71ñ+2

32. Resolucirn:

GR(y)=n+2=5+2=7

(|)

P(a

1yn+1

GR{x)=2n+7=17án=5

+2

1)2

-3ln

5=

Nos p¡den: GR{y) + n = 7 +

(r)

1)= 4

12 Clave

De(l):x=a+'1

P(a+1)=(a+1-1)2+2

!zo.

Pla+11=a?+2

pt,;n=

Y -s*-'ro"

zr

7x+0

3x+9

2x+8

0x+1

9x+8

6x+0

0x+9 x+1

e*(,)="*,=,s-"=,,

Pla-1J=\a-1-112+2

I¡

6x+3

GR(y)=2a+3=2('12)+3=27

3x+2

5x+5

P(a-1)=la-2)2 +2

I

llos plten: a

3x+7

x+9

4x+7

x+8

De(l):x=a-1

-

en \:rl = 12

-

27

= -'ts Clav€ A

Reemplazando en (r): fa2

+ 21-

fla

-

2J2

+2)=

4

29. Sea t el número

de términos, luego:

33. Sean: área total=& volumen = V

a2-(a-2)2=4 a2

-

\a2

(A),\ = átea

-4.

-4a+4) =4

4a-4=4ra=2

p)=

A(m, n,

m6

nTpT

n2 p3

= (2(x +

2

Pl2l

Clave

,/

(+)

- P(n

x2)

7

,r(i') 2

z

Luego:

2xz

7

V

30.

25 {dato)

(r r)

De

ly lllia =

De

ly ll

=

1)(n-3)+a6+65=a7+2a -

-

(I)

Para Clave

Para

nn(n

-

7

+

n2-

=4m -4m =32=

n=1: :coel. = 3 n=3: tcoef. =433

3l'

m--18éa

c

P(2)-

1)'?(2y

4v + 1 +

+ 1)+

Q

P(1)=

+

...(l)

x=1rP(1)=a+b+c Reemplazamos en (l):

(a'?+2b+!)-(a+b+c)=

"Sumar o Iestal 1 en H(y)':

H(y)=2yr+51+

¡¡ a

Sea:x=2=P(2)=a2+2b+3

Empleamos el siguiente artifcio de:

H(y)= (y +

I-

-|

c =_1 a2-a+b- 24

1

0

26. GradoP(x) =3 +8 + 13 +... + 93

4a2-4a+4b- 2c=-1

:í )í

Como son idénticos con l(y), tendremos:

+1= 93:3

an+41

-¡ 1 =

19

\z

0+

1)2(2v

+

t)+

0

= (mv+ n)t(tv +

19

- =( 1 j) p

ClaveA

- 4a+4b+1=2c

Nos piden

m=1;n=1,1=2;p=1,q=0

= 912

4a2

p)+q

ldentificando términos:

n." térninos

2

/93+3 Grado P(x) = 912

I

¿x

1

clave

es:

4x2 3

0ir)

2)

Dato: P(x) es de grado 32

=

-t + 34. P(x)=

1)2

2

v=|tzxf(|+t)

3

2

+

2(x)(2x + 3)

l,r=12x2+12x

t=210términos

Además:

tcoel=

Al desarollar P(x), el mayor grado de x

Suma términos

(2(x+3))'?(x+5)

\=l2x)2+4

Por definición de polinomio homogéneo:

(D

+ sxxm + 4[xm + 3Xx'+

an:41

(área basexaltula)

+

2x3

f(x)=2¡t4 x=4 -l(4)=2(41+4=12

n."téñninos=

)

2

(D

=25

7

a/-3a+7=a7(n

P((x))=f(x)+3=2x+7

+m

=

=+

Clave D

Reemplazando: P((x)) = f(x) + 3 Luego: (lll) = (ll)

m+ m+ m

a+( 1) b+(-1)

n2p3

Clave B

De(l):P(*-r)=(x-1)+3

(xm

2(x+3)(x+7)

v=ff+fx2+52x+60

(*)

P(x-1)=x+2 ...(l) P(f(x)) =2(+7.(ll)

25. P(x)=

+7

'

(B)

¡+x'? (I-x'?) _

4

¿u\

Como es homogéneo, se cumple

Nos piden:

_

e+2 6+2

,7pT

=\2

Cambiando x2 por x:

x2¡

r

m\6,

E

+7

P(n +

3))2

Ar=8x2t64x+120

^ = ,2- 1)'+2=3

23.Ptx\={aÍ

base + área lateral (4lriángulo§)

7

Nos Piden: P(a) = P(2) = ? De (l):x =

24.

3x+3

(1' 2'j=ÍJt2)=2

(2a 1f + 4b

4a2-4a+1+4b

c

c

2c" Clave B

c

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD

Clave A

1

I

5

.l

/ 3s.:L 5-n e z ¡

Haciendoix-x-1

n-3>0 n>3

=n={1;3;4}

t-

Reemplazamos:

.-.

2x¡-+ 14*

4. xa

3

+ 42

Ir

*

,U

x1

36.f(x+1)=x-2a

44. Piden: l!!=

x-1

D

l2x 2)(2)

2.2(x

-

1)

4

2

... (l)

Camb¡ando z por 2F(a)en (l):

(t)

F(2F(a))= 3(2F(a» +

+

Cambiando z por 3F(a)

-

(r

14

14

F(2F(a))= 6F(a)+

F(3F(a)t

1) = 3(3F(a)+ F(3F(a)+ 1)= gF(a)+

f(x+1)=x+4...(l|) =?

6F(a)+

14

+gF(a)f

1)

+

14 ...

17

41. Pl2) =212)

G)

-

1

=3

F(a)

=

.

17

P(30) = 2{30)

- I = 59

bxs

+

bxo

-

ax3

+

Sea:x=0rP(0)=1 = 1 + P(1)=a-b+b-a

Sea: x

=

+

3a+4b

(t)

= a+b=7 De

(l)

(l)y (ll):

a=3^b=4

Reemplazando en (l):

..

coeficiente=4ab=48 Cláve 8

Cambiando:xporx+3 1

P(x+3-2)=4(x+3)-8 P(x+1)=4xt4

=1

42.

2010 veces

46.

a-7>0 a>7

= P(...(P(P(l)...)

6y =

9-a>0

..

1

2¡t *

'¡

1p2

-

mJp +

n2

v

P(x) = 2(2(7)+6 + x7-7 +

P(x)=

1n2-p2)y+

¡) , p' mt _ p2 *m2 -

9>a

Probando los valores se obserya que para a = 7 elGA es mínimo.

1

El grado del monomio estará expresado como:

*,¡

1m2

-

n2¡ I

1i1

Asimismo el polinomio B(x, y, z) por ser homogéneo se cumple:

P+a=ü;8;9)

1

_ m'__I1:-ú = I

Donde:

,

3xs-7

z'1+c!-n'z,0-l+t llr"-

r'-d-l

...(D

(ii) en (¡): GM = (ñ,

GA(P(X))= 20

-

Clave C

l(n'z+ej-m'?)+(e,-#(¿+:4)

1

Clave B

- 2) t ¡$l=f -u+1=l\-112

39. f(x) = x(x

1

1

,l:i.

S(x; y) =

7x'*'.

Sies homogéneo

/ t2x'*6. /ta se cumple:

n=10

-

GR(x) =

Se observa que:

f=+

f{x+1)=(x+1-1)'?=l

I l-exirnáüc

= ¡ 14 GR(x)= m +'10 GRIY¡

5.'

Operando: GM = 0 CLya A

2

...(D

47.

S€gún la homogeneidad delpolinomio, estable{emosl

fl =,,

x2l =

Reemplazando en (l):

Haciendo:x-x+1

r(nl'?-n1(m'?+d-P'?)

m+2n=m+n+10 Daloi GR(y)

2

- (+)= t1 \2

6

=25

GR(y)=7

P(x-2)=4x-8

1

= P(...(P(P(o»)...)

=

{2)

2a+3b+a+b

2k-8=0-k=4

Nos piden:

Para: x

1

n+1-

Elgrado de M es 0.

¡15. GA(M)

Clave A

= P(1)=

.

luego:

Clave C

-

P(x-2)=kI-8 . (|)

Dado que P(x) no tiene término independiente,

=1+3+5+...f59=3d=900

M

+

Cl.veA

P(x+2-2)=k(x+2) 8 P(x)=¡¡'"2¡-'

P(1)+ P(2) + P(3) + ... + P(30)

M

n+1

Reemplazando (2) en (1):

Reemplazando:

Sumando:

[,ll

1 1

- 1.1.1 234 - *-1:=n-. n+l

Camb¡ando:x por x + 2

x=3=P(3)=2(3)-1=5

ax12

I ).

Clave D

x=1=P(1)=2(1)-'1 =1

38. P(x) =

1

"-É.+.Í.

1

Sea:

=

2 )r( ,-*)r(,

=2m

15F(a)=255=

30

+--!-=m n+l

15F(a)+31 = 286

Clave D

x=

+

.(

Reemplazando (ct) y (p) en (ll):

rl-2)=-3+4=1

-

3

F(2F(a))+ F(3F(a)+ 1)= 286... (ll)

De(ll):x = -3

=2

,3

2

+

1 en (¡):

Dato: Nos p¡den:

(1)

... (c.)

17

Luego:

x

B

Como: 1

14

40. F(z)=32+

En (l): x

37. P(x) = 2x -

2x8 . y1a

1*.!*r..--! x2tt

1

Clave B

f(1) = 4

= ¡(-2)

+

Cláv.

x-l

)+r

-$-2)2 c

r@)

y1o

Nos piden: GA(S)= 22

=2 .1 + 4 2+16=sa

Pl2)

(1)=

s(x; y) = 7x12.

,,1,12

Reemplazando

I

P(x) = 2¡a

contrados:

2)'z

*jffin

r'rorpdrn,

P(x)=

Reemplazando en el polinomio los valores en-

=f1x 1)=(x-1-1)2=(¡

(n+4)-(m+10)=2

n=2

ff

b3

(D

x4z4

=

b6

="'

x4+y4+24=d3

(v)

de 1i;: xayrza = a3b3c3

(i0

(¡iD

Dividiendo (ii)entre cada igualdad de {iii)

x

Y

z

e"b'c-

14 x

-6

Y'z

b3

x

-77-= b" - / a'b"c', c6-

+

(ac)6

' c2+2cd+d2=(crd)2=49 + c+d=7 d=3 'c2+2cd+d =43(i) .¿*26=40 (ii) c=4

deducimos que el exponente del pímer término

a3c3

es cero: (iv)

b3

a'b'

En el polinomio:

H(x)= (2(9)-

-z

1)x3(s)

+ 1al¡6 = labcd¡3 = e3

H(x)= (2(9)- 1)f7 -

¡18. (¡) Sabemos que cuando x = 0 Tl(r(x)) = T(0)

+

+

'?b

-p=sz

-

l2(9)

2¡17

'127

-

2\

-

11x27

- \27 to

.

+ (2(9)H(x)=

'17x0

+

+

(-#)

19)x27 -(27 -1E)

+ 1sf +

16x1

x16

+

...

ox17

ñ,

_1 -

Y

16¡rzz - {zz

-

1219¡

x18

-

2x19

- tr)

a

Recuerda:

'

n "

(ii) Elgrado delprcducto

de

f

Efectuando:

"". "r-"t--o"ne

téminos = grado polinomio

t

+

...

r 51. xof + xry" + xT

aa

+i

+

...

+2f¡

+ ¡;t +7

n(n+1)(2n+1)

* x]0

27 sumándos

t 27127 + 1)2127 + 1\ \ +

\------ 6

/

+

1

=

18

+

1

x-'l

Clare

52.o+P-1-e2=0 P-de=0 P+1-a-d2=0

= 2a +9b = 26 5a+1=9b+3 + 5a-9b=2

Luego: V(V(x))

=

-¡=]r-1-'

I

...(1) ...\2J

...(3)

y mmo (2n

= 33

L.4

=

r]+

Recuerda;

q=.q

bd

'x-1 ax-b+1 -x+1-ax+b+1

c+d

a+b c-d á:t-

Aplícamos proporciones:

(1) + (3)i 2P = d2 + e2

x+1+x-1-

2de=d2 +e2

(1) (2)

(2):

(4)en (2):P = e2 =

...(5)

¿2

x+'l

-x+'l

2x

2ax+2 T

2

bx=ax+1

(5)en(1):a+e2-y-e2=0

1+axax+b+

-ar+b-1

= x(b-a)=1 1

tcoe(O)= O(1, 1)=

2l

=

+ 1)es ¡mpar

V(v...(v(x))...) = v(x)

a=4 y b=2 O(1,1)=

x+1+x-1 =T

,*l*t

VlVlx))=4=x 2

='19

...(4)

(1)y

x-1

v(x)= x+1

a

Clave A

De

x+/ -f *t

21 (7)

G(r{x)) = 27 90s

7

v(x)=

a(a+1)=342=18(18+1) a

1)

x+x3-1x3-1¡

aa

*7 + ...+

6

22

+x" ! tx"-1y

...

a

n.' términos=

Agrupandoi

+*

+

(tl27f +3)

+

27 s!mandos

+--1-

2

+ x+

x-1

1

+23+43+71 +...

(x2

x+x3-(x-1)(x2+x+1) v(x) =

Clave A

-T -; l- -;

¡t9. 2a + 9b+

¡(lÉ.-

en los sucesivos, Ya foma Parte de un

n."téminos=16+1=17

= G0)

- li + 7¡+ 142 | 7)+ (62 + 7) + (82 + 7)r '. =tú.i+n+É.1+n+ d .i*n*d .t'? +tl

=

x3-1=(x-1Xx2+x+1)

+...

1

c(T(x))

54.

Pol¡nomio completo.

= 21952

e¡r1=t1t2

Cláve E

15)

no

(28f

G(T) = 11

(*lu=14¡+=-'*

a

+ 3x1r + h15

-

=25+ P=-25

t27-1t

15lrÍ7

(2t\g)

a¿2 =42 ¡32

Nos pk en:

- 2l{

l2lg)

...\2\gl-

ru=(-+)(iqr)(-#)(ff) zt"***

rlo, '*'

2)x3(s)

-(n -M)+ (2(9)- 16)17-(27

+

(+l)(il( (ii)(+l (-(#l)

t

27

Cláve C

=(-+)(+)(-#)(#)

+ (2(9)-

E1 + (2(9)- 3)¡3(e)-

GM=y3

=(

m=9-c =9-4 = 5+ m=5 3n=-(3+d) =-(3+3) =-6= n=-2 20 = - cd = -4(3)= -12 = 0 =-6

m=9

;r

21

lgualamos coef c¡entes:

3n-27 =0

dt' 1 a39r 1 a3P3 = ¡: 1iv¡ en 1v¡: a' b" c' (bc)o

De (1), (2)y (3)igualamos exponentes:

condición del problema elpolinomio es completo,

a3

a'b-c"

,oyo ro

c3

Nolamos que van aumentando de uno en uno.

con esto, el polinomio es ordenado y que poI

bb'?

+

ab

+ 2abb" +

+ 42 + 2(42)12)4 +

b-a

,,,(6)

1

p_

1

p

Finalmente reemplazamos (a = 4 ; b = 2)

+ !_ 17I=1¡1a7=9 ,| p

tco€f(O(x, y)) = 545

ClaYe E

-,=*=-+

Clave C

50. Obser,,/amos la formación de los exponentes de las variables:

3n-27 3m-26 3m-25 ... (3m-27) (3m-27) +1 \3n-27)+2... ------.' '------,

Clave E

53. Como son idénticos: J(t) / L(t)

= mf'?*2d'd'

19

-

-

(3 + d¡t43

-

.al0 I zgf"zú

c¡tae

=cnf'?*2d*d

...(1)

.

(2)

...t¡)

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo u N IDAD

1

I

7

/ PRODUCTOS NOTABLES 3.

APLICAMOS LO APRENDIDO

(pógino l8) Unldod . an , 4bn ,".

bn

Datoi

M

1 . (a

=

(a-

M= Sumamos 4anbn: (2bn)2

725anbn

=

+

4anbn

1an;2 + zan12bnl+

an a^

+

+ +

an

zbn 2b^

b)(b'?

bxa

+

a'zXb4

=

¡1.

+2bn)2

Ir¡

=

+

(ao

-

b1)

(a13 + {a2

(b,)31

-

+ bz)far

a4)

a2b2

+

b1l

1

M=(ar-b1(ar+brxa1+b1)

M=aa+ba [aa-a,b,+ba]

[,]=(a4-b4xa4+b4)

... [.il=

N

a2b2

Clave C

- b)(a c)+ (b -

=41a

N =4(a2 N

=

-

(2a)2

(b

-

+ c)a +

bc)

2?

8.

c)2

+

Dato: z-1(x + y) =

=x+y+z=0

-1

Se cumple:

-

b2

2bc + c2

x3

4(b + c)a + b2 + 2bc + c2 !----.v-

+

y3

+

z3

3xyz

=

...0

Elevando al cuadradol (b + c)'? N = (2a)'?- 2(2a)(b +

'qb^

rf: , plE =r¡¡ V /anbn

xo

c)+ (b + c),

N=(2a-(b+c))2

2bn ^.

sacamos

+

+b)(br+arxb1ra4)

= ,fizunbn

a'b

,/

+

Clave C

lztn¡2 = T2ganbn

,f,

Sacamos

+b2

.. M=a3-b3

Dando forma:

(an

Dato: a2

+ b1

Luegol

añ

+ 4anbn+

7

a=1+b =a-b='1

'l

(an)2+4(bn)2=725anbn

(an)2

/

x6

y6 + z6 + +yo +26

2(x3y3

+

-9xff

...(1)

+ x3f¡ =sx2,fl = -2(x3y3 + y3z3 + ¡31) y3z3

...{a)

Del dato:

=,

+

Nos piden:

2a=b+c+d

=d=2a-(b+c)

"

...l.2]l

o

yo + z6

.

x6 + y6 + z6

x2lxo

+

9y222¡

,I3)"-;ar;-

Reemplazando (2) en (1): Clave C

z. r=1"r1.É ¿ ¿a

v=|r.|

..N=d2 Clave B

(t)

t'

5.

..«r

Dato:

3a2

+

b2

3 (x-1)3= ( 3Ji

(")

2abx=3a2btb3

=:¡2

+

=

a3

1 3"62

'/5i

x3_3x2+3x_1=

...*,

,

o

+

_3

x-1 x3-3x2+3x- 1 =9-3-9(xx3-3x2+3x- 1=6-9x+9 x3-3x2+12x-16=o

ta+bÉ

+x+y--j----------:

-

2ab(x

-

b3

+ 3¿26- ¿o- 3r5z - 3a2b + 3ab2 - b3¡

e.

+x-y=-fa-bÉ r--' 3.,/ri;if

¿,-,J

3

)\tt

41br

=

Vr,al -

3"6

y3

=

+

z3

...1b1

2{x2yJ + y3z3 + x3zl.¡

-

+z"l+yrzj

2(¡3y3 +

v3z3

+ xlz3)

lSiylrlx+

=-z Clave E

Por idenüdad de Gauss:

V 2' .25 -l2e

-

23

=

(a + b + cxa2 + b'?+

C-

Lexirnátic 5..

Sia+b+c=0 20

-

J392 )M

-@

6)

=4.

-2(ab+ac+bc)

Luego:

1-2

10

=4.

(42

-6) =

M

aD+DC+áC

_

Sia2+b2+c2=ab+ac+bc

M3 6M=40

-

=M=

éa=b=c(propiedad)

)rr,r

M3= 40 + 6M

lVl(M2

bc)

-ac - bc) +a+ b+c=0 v a2+b2+C=ab+ac+bc

M3=40+3(3,6).M

I

-

a3+b3+c3=3abc

+0=

-J:tsz

i@fr0

Clave 0

8

x3

zr

Dalo:

M' = 40 + 3(V 202 /392').M r,rr = ro I (e:yfto

l-ra bl t 2ab

4labf

-r$

+

M3=20+J392+20-,@ ¡3("1 20 . 1392 ).(t

t 2ab _ (a+bF (a-bf - a+bf- a-b 3{4(ñ 3!t4(ü=

3,,6iJÑ

y"

Elevamos alcubo yevaluamosen su forma corla:

itG_ff

[1a+bf

3

u=

x') +

a3+b3+c3-3abc = 1a + b+ c)(a'? + b2+ C-ab -ac Cláve E

y) = -(a3

Nos p¡den:

9.

1)

(P):

2ab(x- y) =

^

,r5)

#,/.(+

2ab(x + y) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3

-

Reemplazando a y b en (ll):

Desanollando:

(d) + (9):

(o)

-

x" (y"

a2

Multiplic¿ndo por ai 2abY

De (l): 3xyz

Elevando alcubo:

Multiplicando por b:

De (ll):2by

x' ( 3xyz

3.t5

x-i=*

(l):2ax =

9x2y2z2

^ x6 + v6 + z6 9x2lz2 )=-+...lll)

x+3,6= 1+ 3,h-

ab=32 Oe

"-;{,¡"-;lti

=4 Clava

0

2

ab

(4a-6)(2-a) 2(2a 3¡(1 -a) +2(2 - a)(a -ea-3f - G- 1f -G-2f

10. M=

-2(2a -3)(2- a\-2(2a - 3)(l -a)-2(2 -a)(1 -[(2a 3f +(1 -af +Q-afl 2a

-

3\(2

-

-[(2a

a\ + (2a

-

-

3)(1

-

a) + (2

-

-

a)(1

+(-af+(2-afl

3

'13. Dalos:

1\

.. -o+/b2-ac a

-a)

b2

ax+b=

a {D

ac

Elevamos al cuadradoi

Elevamos al cuadrado:

a2x2+2abx+b2=b2-ac

all+2aby+b2=*+ac

if

Sumamos a2:

Luego , sea:

Reemp aza¡do en (l)

2a-3=x x+Y+z=0

2Ixz+xy+zyl

NI

2-a=z

x2

*f

+22

2Lxz+ + zyl ,, - -4ñ¡lo¡y4-

a2x2+2abx+a2=a2-ac

Reslamos a2:

a{ax2+2bx+a)=a(a-c)

azf +2aby -a2 =ac-a2

ax2+2bx+a=a-c

a(af+2by-a)=a(c-a)

-b-

xy

-f+f+l=-zfxy+v¿+w)

+2aby = ac

v

af+2by-a=c-a

b2+ac

Nos piden:

a

ay+b=-

- g-c, =_1 at'+2bY-a -\a-c,

K_ 4+2bx+a

b2+ac

Clave C

l'1.

Dato:

Clave C

14. Nos piden

a3tb3+c3=3 (a + bxb + c)(a +

(a+b)4 (a-b)4

^

c)= -1

Sabemos que:

3

(a + b)a

1

(4a2

(a+b+c)3=0-a+b+c=0

+

-

(a

b2)2

-

-

8ab(a2 +

a-2+b 8+c-2

S=

+

c-

(abft(bcf+(acf

f S=

c+ry

^

o=

(ab

(abf

+

+ bc

(bcÉ +

(acf

+

Gcf

= G;f +(bctlJ;7

I

= 4x4a2b2

b2)

+ b2 =a2zat

a2

+

2ab

a2

-

2ab

...t,1

+b2 = 4ab +b2 =o

(a-b)2=0

= a-b=o a=b

Reemplazamos en (l):

-2 . -2 -- 2a.a -

L+L+ z=o

yz

b2)2

la+bl2=8.lab

ClaveA

12.

-

b2)

Área delcuadrado = 8 (área del triángulo)

(bcf + (acf + 2abc(a + b + c)

(abf +

= 8ab(a2+

0ato;

ab+bc+acf

1*1.1 a' b' c'

b)a

l4a2

t'^ = --6¡

Reducimos:

(a-'+ b-'

b'],'

Sabemos que:

(a+

+bxb+

{a+b+c)3=a3+b3+c3+

Piden

l4a'

b')' -

l4a' +

x

.^2 2"2

-

ClaveA

Sea:

x -l

vl y _r

zl z xl=c

I

a+b+c=0

I

También: abc

=

1

li****20)unidod 3.

I

Nos piden: S

=

(+)(i#)(?)

Sea la expresión:

y+z-wxxry- z+w) + (y+wxy r w - 22) + I M=lx-(y-z+w)llx+(y-z+w)l + (y + w)2 - 2(y +$z+l M= (x-

Dando formai

a=

l"tYtI/

5_1x*zi/Y

y2

+xz

z2

yz

)t

+xy

z)2

xz

M=x2 (y

z.y\ .i)( 7,,)

4.

Reemplazando:

=

1

s=iab-iF=(abF-2ab+1

r

c)(a

a+b S={a+b)2-2ab+1 S=a2+b2+2ab-2ab+1

+ c)+ abc =(a+b+cxab+bc+ac) 1

0

(a+b)(b+cxa+c)=-1 S

Datos: a2 + b2

Clave 0

Nos oiden:

Recuerda:

Luegoi

z+w)2+(y +w -z)2 =a2

ab=a+b

S=(a+c)(b+a)(c+b) (a + b)(b

Clave E

l\,1

= -1

1

ClaveA

S=1+1=2

ÁLcEenl - soLUcroNARto

Clave B

UNtDAD

I ! 9

5.

ll.

a=3x-2yAb=2x+3y +a+b=5x+y Sea:

G

=

(arb+c)3-(a+ b)3

3c(a +

Sea:a+b=x

1 .1 4 a+b 4 a b a+b a.b a+b

-

-

3xc1x

x+2y _ 5y+2y _ 2\.- y - 2(5y\ -y x+2y _

:L 9vg 7y

-

S = [(a + b)2]'?

§ = {(a + b),

t

-

[(a

-

(a

-

-

b)rl[(a + b),

(a

-

.

b)l

n

13-

...(1)

a+b=m

-

a2

*v' - Ix"+y'

o

aJ

,

Deldato:x+y=3/,

Sumamos 2:

Elevamos alcuadrado:

,f: I

x2

+ x-2 = 6

x2

+Y2 =7aY

+f

, x

2

+x

Sacamos

-2'¡u.-1

,o.

r-l baab * b2 -

ar+b3

30+2ab=36

ab=3

i)(,/, - 1)\aA +t\A +il p =I(n2 - f)(1ñ + r)({l + t)f P =IQT'- L(A + i)3

+

+ C + 2(ab +

+ ac) = 3(ab + bc + ac) + a2 + b2 + C = ab + bc + ...(l) La ecuación (1)s€ cumple, entonces: b2

, /r3a)s - 3o"o V a3+b3+c8 V 3a8 V 3."8

+B

..A=3

-sx+#-f - #+a

Ctavo

N=f+x)3-(t-x)3-A3

N¡vel 2 (póg¡no

Desanollando:

15.

3x2

tx3

-

(1

-

3x

+

3x2

-

x3)-

(a + b)3 = a3+ b3 + 3ab(a

Claye A

i.

b)

=4. 7 =4(42-

9) Clave D

t0 I Lexim,átiE 5..

= 2(30

-

6(a2

-

+

b2

-

ab)

3)= 54 Clave E

I

b

¡.a !=1 a2

=|E +!E-

(lD:f

{D

,E-JI ,,T;ld-13 +1,/B J3 ,/B

0:* =4-2

-".*)=l-z=*

1 '/1-Ji- ...i..........-,...i..........: J2+ l3 l2-J3

2+'4 - t5 h-

b-

(.-*l=(;l -^'-2"!*!=I

x3-gx=28 9) = 28

M

2+,/3

I

Elevando al cuadradoi

x3=28+3.3.x

-

...

Cleve B

2x3

10. Sea:x=a+b

x(x'z

2l) Unidod

l6

Nos piden: MN = 60x

=

3

2'1. Dalo

a-, ,!;-bJ;f

Desanollando:

='l + 3x t

M= (a+b)(a2-ab+b2)

Porpropiedad:a=b=c

-x)3-6f

N=6x

bc

ac

CtaveA

N

Reemplazando (2) en (1):

(a+b+c)'?=3(ab+bc+ac) a'?

P=Iurf (f =r=1

+t

.(2)

14. Como:

+

#+f

.t)

(a+b)=6=a2+2ab+b'?=36

f,:x - x-1 = 2 Clave C

Clavé B

M=,l0

N=7 Clave C

=6- 2=4

M=a2

M= 1 + &+

v

ryyx

Del dato:

M=a2 (b-3)2+b2 6b+9 M=a2-b2+6b-9+b2 6b+9

M=('t +x)3+(l

(1)

Restamos 2:

= (a + b - 3)(a - b + 3) + b2 - 6b + 9 M = Ia + (b - 3)lla - (b - 3)l + b2- 6b + s M

oilerencia de cuadrados

9.

5a'

x'z+2\y+'f=gry x2

Sacando

5a3

\x' r )=

x4+x-4=34

Clave A

E. P =I&1

bJ

+

3a¿b

*y(\+\ \Yxi*t

19. Piden:N=

x- t 1='l?

Reemplazando (2) en (1):

7.

3a2b

+

b2a

Cleve B Clave B

...(2)

..S=8n(m'?-2n)

+

ab'+

,1

-2n

2ab +b2 = o

(a-b)'z=o+a=b

xa+xa+2x?f=34¡2=36

+2ab=n2

+a2 +b2 =mz

a2+2ab+b2=4ab y)

x3+f =¡21Yr

b)2],

S=8(a'?+b2).n +b2

A D A+D

x3-y3=x2-y2

s=2(a'z+b2).4ab

a2

1*1=--1-=(a+b)2=4ab

yxx'?+ry + F) = (x +y)(x

Clave B

b

Resolviendo:

l+ry+f=(x+y)

(+)

2x-y

Del dato:

Resolviendo:

(x

2

1_1=3_1 a a+b a+b

+ l=x+y-x2-ry

Piden:

Como:

18.

l=(1 -x)(x+y)

3x-2y=2x+3y -x=5y

a

Clave B

12, Del dato

b)'?

'./

c¡ ClaY. A

a2-2ab+b'=0+a=b

6.

+

25 4

=17 4

a

Sacando x3

,2

? +2+ ( a+1a ) a+1= L

a2+2aL+

Desarrollando: G = x3 + c3 + 3xc(x + c)

a2+2ab+b2=4ab

-

Sumamos 2:

G=(x+c¡3-x3-3c(x+c)x

Luego, reemplazando en el dato:

(a

b+cxa +b)

12+

"5-ñ 3) 1z

=6-2 (3+

8

)(3

...(tt)

-7! -

a2=t-z=z

- 8)- É=a-z=t

1

Nos piden:

a2+ b2=

2+4=6 Clave B

212.

K= \x + (x +

K=

2)(x

- 2l\l -

b=283

2I+4) (x 2)(x2 de qrbos Oloronda

2)(f

Suma

28. Seani a=1662

2\ + 1)(* + 2x+ 4l + tA +

a-b=1379

2x + 4) + 64

de orbos

Enz:Z=a3-b3-{a-b)3

K=(x3+23)(x3-23)+64

0e la identdad de Cauchy:

Z=3ab(a-b)

DferencradecuadÉdos

z = 3(1662X283X1379)

K=x6-(23)2+64

z = 3(6X277X283)(1379) Clave D

Es divisible por: 277 y 283 Clave C

z¡.

P

= Í1+ li

+,6

Dando forma:

+

Desarollando:

1216+6) P=7 -5=2 -

24.

m3n3

+

+

+

1m"

+ n'r(m

+ n6XmG

n

m"n" +

x

-n )+n

=

-

Xm

-

30. Por la identidad auxiliar: (x + y + z)3 =¡3 1y3 1

+ 3(x + y+ zXxy + xz+r¿)

+

m3

+

)+n

3xyz = 3(x

r!6i¡:;i¡l;r¡

r yr

z)(ry + xz + f¿)

En (cr): (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3

s

31.

E

=

E

=

(a

+

+ 2(a + bxc +

b)2

d)

+

= 2[(a + b)2- (a

-

b)2

J¡)1a + u¡(a4 + a2b2 + 14)

1":¡

-

=

-

ao

16

10xa

+

10x2

+

lox2 + jo ...(l)

b)

=

2(a + b)(c 2la

-

r

d) + (c + d)2

b\2

-

2lc

-

d)2

- (c-d)2]

S= n-

13

33.

(1) {x + yxx6 + yo)(xl +

lj

+

y4)

+ ylxxo +

x2+1+2 ClaveA

Clavé D

\-Y=1 =

-

x3n

yl

=

+'/)(16 + yol = *3"

y3n

x3n

-

-

x+y=/10 =l+2ry+f =to - x2 +'f =to-2vy ,11¡ (x-z)2+(z+y)2=6

-x2-2Y+¿+;+2zy+f=6

v3n

x2

f

+

f

-

2\z + 2zy +

222

=

6

...(2)

Reemplazando (1) en (2):

10-2xy-2,a+24+2i=6 -2n-2ry+42+2¿=-4

1x6-y6¡x6+y)=x$-fl X3.4_y34-X3n_y3n Se observa que: n = 4

+ 19 =

-"-,-1-2.3, ' ' 10 - 10

ab=m;n3 JN

xf

f:

s=/r*t\2 x x, \ x/ =x2 +zxL+l

n3

m-3abn=n3 3abn=m-

#

t (c - d)2]

Nos piden;

(a-b¡3=¡3

+

b)2

to/x2+1\=¡-x'?+1=* \ rzi x' ru

Elevamos alcubo (l):

- f)$1

-

-

10 ='13x2

ClaYe B

a3-b3=m

lx'?

b)2

2[(a

10xa+10x2+4=13x2-6 162¡3

26. Datos:

y)(x + y)(x¡ +

+

-

32. Dato:

D¡videndo entre

-

{a

d)12

Clavé B

Es diferenc¡a de cubos:

(x

+

E=8m

a2 b2 = 1a2 - b2¡1aa t a2b2 + ba¡

-

(c

m

. -2 -2.l (ra to

3ab(a

-

(c + d)2

+ (c + dF

(G + l¡)(G

-

(ll) es verdadera.

E=2[4ab+4cd]=8(ab+d)

b3

=

[(a + b) + (c + d)]2 + [(a + b)

E

a3

- (a)

xyz=(x+y+zXry+xz+)r¿)

Xm6

Luego:

a-b=n

3xyz

(x, y+z¡3+3xyz=x3+y3 rz3+3(x , y +z)1ry .tz+YJ

(G + ,6)(Já +nl¡)(0,6 - n{i\G + ¡¡(aa + a2b2 + ba)

-

-

De la relación dada:

Cláve

27.

73

Se ouede escñbir:

)+n

m2

2s.

29.

Clave C

Xm

(m

+

+ 2./61

(2 + 3

(1

=

Nlvel 3 (póg¡no 22) Un¡dod l

+"tr¡-(A + "4)) "61)f(t de cuadrados: P = (1 + lef - FO + '5\'? +/a)+1"8

P=[(1

Aplicamos diferencia

P

-A

'/61\1

"6 +'/6\

+u+ry-Yz-/=2

M=2 Clave B

Clave B

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD I

I

11

/ /

3¡1.

E=

22+t)(za+1

1+ 1+

22

28+1

216

+

Elevando (1)al cubo:

t)

(*)'. (|f .' 1;¡iuXfi . *) = "

-1 22+t)(za+t X 28+t)(216+t

3

Q4JJ

1;¡3 + (u)3+ s

-1) (2'6

e=3'llTT

=

1)

+l)

+1)

3

lza

+1) +1

+1)

1)

+

39. Dato:

4

+

= 486

x= -2ax2 +2x + 4 =O

Mult¡pl¡cando por

(x

2):

g_lt"li=0s-a

+1) +1

1)

.(3)

Clave E Cláve E

35.

(ff .(![=,,

Reemplazando (3) en (2).... E = 27 . 18

e321)

li =rlP -z

=z

x3-23 =o= x3=g

t)

(l-i)

Nos piden:

216

1

S=(x + 1)(x- 1Xx2+x+ 1)(x2-x+

:\@-1*1=t¡2ta

-rz

-o

Multiplicando convenientemente: Clave D

36.

(x+a+b)(x+a+ c)-bc

=

+b

a+c)

bc

{')

-a

bc - bc x+a+b+c x2+l2a+b+ c)x + a2 + (b + c)a - ax a2x+a+b+c x2+(a+9+c)x x(x+a+b+c) _x _

a(x

+a+b+c)

(.)

Area del triángulo de base

'a'

V

Dalo del enunciador (a + O)' =

+2ab +b2

=

4ab

-

c=

(a

altura

+

xo

-

1

=

(x3)2

-j

'b' =

f

- 1)+ b(b - 1)+ ab r b2- a - b + ab...(ll)

piden: x?.-Y2

4(ar - b3)

(x{ Y)lx-Y) 4(ál - h3)

4(a+b )(a2+b2+ab) _ a+b

4(a-b)(a2+ab+b2)

- a-b ClaveA

41. Deldalo: .

j6aa

a2

Reemplazando

t(+)

-i{}-E;!f (4a'+b')'-(a'-b')'

-ot

+ 1)+ b(b + 1)+ ab

y = a(a

b)2

ICP

\sa¿l¿ Qa,)¿ $a4

.(.,)

mn ---t-_--t m_+n'

{t 5

...(B)

Al invertir la expresión tenemos: ./5-

1,"s",

...G=1 ClaveA

=

m2-'- n2

=

./5:

- m,n nm

(+ * *)'? = (/5f = (+f - (,*), = ,

Elevando nuevamente al cuadrado:

n lmf+z/m12/ \n/ \n/\m/ \r*/n \m/\. =s

36. Dato:

ab

/!rf +/rf

.(1)

DA a2+b2=3ab

($.,i.($.,) = (+ol*(Yi

.(*i

=z

((+1.(*li =r

Piden:

.=(#f

=

(l)-(ll):x-y=2(a+b) Clave C

(ct)en (P):

.=

1)

(l) + (ll): x + y = 2(a2+ b2+ ab)

a2-2ab+b2=o

+{a-b)2=0ra=b

l2a)4

-

a(b + c)

Nos

37. Área del cuadrado de lado "a + b' =

x = a(a

y=

x+a+btc -

x+a+b+c

^

1)(x3

x=a2+b2+a+b+ab...(l)

x2+(2a+b+ c)x+a2+{b+ c)a +

t,tos piaen:

+

40. Datol

+b+ x+

r+a+b+c

-a2

(x3

Clave D

Itluitiplicando:

x2+

S

Luego:S=82-1=63

-a

x+a+b+c

1)

="¡r;f .(*lJ

(+i-',(+l(*)..(*f =* .(2)

. /I[ f

+taf

=¿z Clave C

12lte>
Reemplazamos las expresion€sA, B y C

42. Haciendo

=

77777 77778 P(a

a

= a-1 = a+1

77776

l(a-b)tar. a2b-ab¿+brl)i 3(2a¿t-2ab21 3 t----a- o

- 1)= ?

P(a

2a2h

- 1)= {a-1)3+(a

+ 1)la -

1¡

-

ala

-

1)2

-

= -2

2a

(a 3+ a2b

ClaveA

+

b( 2a2

-

(a

a-b

=

-ab+b2) b)2

=

+a b+abz+b3

a

+

a3 a3

+

a2b 3a2b

+

ab2

+

+

b3

+

3ab2

' +

+

2a2b

2ab2

2ab2

+ ab2 + b3¡12a2b + 2ab2¡ 2a2b

3[

+

1

+

2a2b

+

2ab2

2ab2

+

+ 2ab2

2a2b

b3

M=(a+b)3 Clave C

ab+

b

A=3

a3+azb+ab +b3-

ab

44. Analizamos por partes.

Recuerda:

1a-b11a3+a2b+ab2+b3)

Si:a+b+c=0 entonces: a3 + b3 + c3 = 3abc

b1?;-r6fñ (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)

A=+

1-----!x1-v-1 =4lx-v-1¡t = 1x y x-y

b1rÉ-a61í

^

(a

-

b)(al + a2b + ab2 +

^ Ó=

a3

+

b3

al

B=

(a3

b3)(a

+ b)

1 , -(y-x)(x y- j) =4xy =Y-,= ry x-y-1

bJ)

-(Y-x)2-(Y-x) =4ry

- b3

--áft'7-e-

a-b

1

4ab az

i2a2b2

+ b2¡

+ x-Y=4xY+(Y-x)2

a2b

x-Y=4xr-+f-zx|rl +

-

(a3

- b3)(a bJ + (a-b)(a+b)

12a2b2

+

4ab(a2

+

x-y=f+uy+l

b2) (x +

^ 6aJb + 6ab3 + l2a2b2 o=---G:-6iG*b)

+

(z

c 2ab( a+b)

b

2ab(a

+

b2 u¡)2

-i =l -l

g +z¡3=f

2ab2)

+

b)

c2

bc)

2a

+

+

xJ3

2a+b+c

2ab2)/ \2a

+ b + c)(b

**-t5l r¡ 4 2a2b a2

^

+

+

2ab2¡12a

+2ab+b

\2a2b

lza2 ¡

-

*

+b + (a2

+

zao

1z+x¡3=l-x2

+

(a +

(. r tr

r"

za¡21

-

c)

(x

y)s

z)3

+ (y +

+ (z+ z)e

x)3

+ (z +

=0 x)s

= 3(x +

y)3 (y

+

z)3 (z

+

x)3

Finalmente reemplazamos en (D):

D=

c2)

c))({a r

.

+

(y+

t+l

lr

zaq

c b 2ac

t 2ab1((a I b) r

+

-

-

...01D

tr*vl3=l-l L tv*zl3=l-l ll (x + y)3+

l2a2b

...00

Suítan'os (l), (ll)y (lll).

+ b)f

(2ab(a

^u=

...(l)

Análogamente para las dos condiciones siguienles:

a-D

(zau1a

+y)

= 1x+y;3=f-l

(6a2b

3l2a2b

(x + y)2(x

x2-f=1x+y¡3

+ 6ab2)GLr6, ^a=__6_9ffi

^

y){x-y) =

.,-

!9:¡¡+L-l¡Í-cfl

\blb|-lá{cñ

b)-

(a

+ c))

D=

(x+y)'+{y+z)'+

-_lx +rlt 3(x

=

+

+ y)3(y + z)3(z +

(x+y)(y+z)(z+x) (x+y)(y+z){z+x)

3/5 . 33'6 =

33.ir2t

33/§

x)

(x+y)(y+z)(z+x)

D=3/t D

+2Xz +

3

3/5

33/§

=3 3=9

c=2a2b+2ab2 Clave B

Veamos como está confomado M por AB y C:

rvr=

f

+c ÁLGEBRA - soLUctoNARto uNloAD

1

t3

I

COCIENTES NOTABLES PRACTIAUEMOS

Nlvél

I (póglno

Nivel 2 (pógino 27) Unidod I

Luego, en (1);

2ó) Unldod I

3k=5;m=10

^

1.

3"8 A)

., Yl +t5

+tfr

x''

l

13m

¡¡

x2?5

7.

+1

'oY'

E) xJ

= [(x + y¡16 -

tn

al(x

-

y)2f -

q = 11x+ y)(x

-

m'+l

x=p,a=q3

1

y)16=

p4

(l-

Desarollo

Desarollo

x6-1

f-t'+f-

x8-1

¡P+f-f+t

mrecto

+1

l)o

m¡

-+

^-+

-

ab3

6

I

4

.3

I

b4

4

= (4

12

-r

8

x+2f +l

- 2f

+

.1

2

I -xn

C

= 64

t3.. = (2 +

,l3.

(x+2)+x

'14.

2)ñ 3 x3

1

Reemplazando los datos:

=f =u-r=z

^10

Además:

-a

a+b=3(dato)

Nos piden:

2a2=18-a2=9

n2=72=49

- 21y-{-r)¡z = (x]2 '=

9.

(xa/5

-

( iu

'.tr=f Clave D

Luego:

P1x1=t = (2x + 1)5 - 3(x + P(x)= (2x + 1)'?(x + 5)2 +

15

Clave C

t1f¡t-t 15.

1)2(1

+

5)2

=

32 . 62

;4sk<6

...(1)

Como el CN tiene la forma:

x'+/ -l---:T = n.' lermlnos: Lexirnát¡c

- (t7;fu

2k=24

..k=12

¡

k es lmpar

5.'

103-k=6

(6+1)-k=6

1-k=6

,.4+=Sl#

rk-1=6 t=6+l

tu=(rn)"'.(ff-,

6.0.l

611

.,l

tu=,n"-".fl

t6 términos

6 5l Grado absoluto = 4n

-

20 + 20 = 32

..n=8

Por lo lanlo: Hay 6 téminos racionales enteros. Clave E

¡

)'u

r*=

ClaveA

CI¡ve E

'14

(/,

-1 1* f5-k(srx f ; 6. sq 35-k k-l 1m k ,t-x ¿ .x r =x b

5)3 -1

''' P(1)= 324

,_mñ 23

n.'términos =

2k=58-34

5

P¡den: P(1)= (2(1)

'' ta=-'1' =

3¿=60-4k+2k-2=58-2k

(2x+1)-(x+5) n.' lérminos =

tt=(xa¡15

to=-(x16 4(/F-1=-(x1F(l)3

GA=4(15-k)+2(k-1)

(2x+1f-(x+5f

5.

Pideni

Clave B

(r1o(f)'

=a=l

2

a=-3án= --j-=z -(-J) t2

a+b

i10

Luego:2n-4=10+n=7

_6

x'- / x"+/ mn,r ab m+n

2)n 3.22=1024 ^2n 'l

3

"Gf6f ,§r4

_ (x+2I-x"

3.

=

f6f

12.

i.z\n-3, l¿,

2a

luJ,f

Dato: V. N.

)

154135f

l

2x+

3 .. -P -pq +N69 q

r5/

en (1):

xn

x+

Sabemos que: t3 = (x +

,d ,8

Sea n: n." térninos

!a

,r*,

3r tr :

Clave D

.3r ,2n + 2 ,r2

A2\a

=

+f+x+1

a"+b" aa-Á+l*+

a+b

e2

...11=

x5+x4+x3

xT l+x-1

x2

Reemplazandox = 2 ey

q12

;;n=l ..(1)

y=15fi;a=35,/i Cociente

-

p+q3

03"3

w2 +23

dl-L =,0

+ -;n=3

t4=(x+y)6(x-y)6

2.

6.

x=m2,a=1;

n.'rérm¡nos=+=6 =

.r'r+Y$

-.4 -

bc-z

+b2c2z +

=

+ b16

x"-b"

b4.4

4

n

Clav€ C

+1

x3

4.

x=bc; a=z;

=t3=(x15 1y13-1=(x11y1, '''

c)

lf.

n=15

Clave B

b 16. S€a n

a+f

=

...(1)

a-b

(n: n." téminos)

)"-1f

ro=tf

+(a-b)(n-4)=40

+a-b=20

= 40

-4)

Además: 20(n

^

2m+12=3m+6=m=6

Nos Piden: tu = xa5.

=6

i

t

Nlvor 3 (póglno 28) Unldod

ii.

...(4)

2a+1 a+3

Cláve

.(3)

*,*

*

De (2) y (4):

+a=70 b=50 ^ ..a-2b=70-2(50)=-30

1xa

-

¡ y

araiv*u,

lx2l37 + ...

(x') -lr_l-

+

,2.

lig= T:03 + 12)(n

(4n

9)= (4n

-

-

3)(n

.

(1)

-

8)

*f - mnr ltr - 1c8 =¡rf -3ñ -$ 4ñ2 - 24n - 108 =4n2 - 35n + 24 11n

(r')*-l -7-j, -7t

=

Reemplazamos n

12 en (1):

a(1?Jr12

=

.'. n." téÍn¡nos

= ts

=n

Luego:

=

un C. N., se cumple

x'- / -/ (,2)-v x2 -y

v.

yf -

(x

-

v)a

= exY(f +

,:- f _ rl-,1, x'-y' x'-y" -

l)

-

,.

1

6= 36+n=

21

o. ((, =11x+ y)a)15

N.

14

-5.

^

x-},=

Clave

x1o2

3v5

5'P = 7

x3

16ñ+S6

¡g.

-y2

=

''

=120-o=49

6=p-'1 +c=49- 1=48 Sabemosque: a=2p=2(49)=98 b=5P=5(49)=245 Nos piden: a + b + c = 98 + 245 + 48 = 391

Cl¡Y'

*.(y')'-'

- ys

27

xne_/ _

1-y

(,3f

-(lf

)-(l)

Calculamos:

xo+Yn

=n."té-inor=

16m6+s

=+

n." términos = 2m + 12 = p...(1)

x'- / m2+2m = n.' términos = m

n2

n."térmrnos=m+2=n

.12)

n

D

(ff _/ (f)-v

Sabemos que; tao

=

(xlP

ao

G.A.t¡¡ = n(P

..o'z

!------=-

'

2

=sa =szs

U=x75-3l(.y4k-1

y'

-

lgualamos:

*+=1#f# k=(r')'u

x32.

f

(

(x'?)-(

o+l o+1 t*=tp*r =(xzf - z .(ys)-f 2 - 5(p- l) tp+1=xP .Y---- = x'.Y''"

- yfln-'

(Jslz

= (1)4 .

Calculamos:

Nos piden:

t'-' k= (ff q =1f¡,r-5. y'=

(ff

Sea el témino central tk:

(x

v)m

Clave C

t¡=F-6.1=xs.l lgualamos: 2n

l,

Luego:

VN.t¡cuandox+y=1 (x2)l

v3-

c

9=!=o=a=20^b=50 25

y )60

tn=1x+y¡4.(x-y)12

"=zn

3.

chve

Si genera un C N se cumplel

Nos piden: 1o

(fln-

a2-&*7=o

x'-f

Sabemos que: t3

12

a=7

26. ^=*

- y)60 (x+y)a-(x-yf

(x +

/

SigerEra

- 5 = a2 + 3a - 4a' 2a2-ga-5=a2- a-12

loa + a

Luego:

x-y

t

(x+vP-( x 8xy(x2 + f ) Recuerda: (x +

Clav. c

rs. xi

"

r*_r x2+1

rrr

Elúnico valor de a que satisfac€ (1)e§ 7, puesel n." de términos es positjvo.

Clave A

22.

Clave B

a=7 v a=1

-

r-i

+24

= 132

Ys

->k^ -7

1

_

-

.

+I+I

x2

2a2

I

¡38+1xa¡37+...+xa+1

(xzlr +

(r2r'9 + Clave E

aroiv*nao

"r*.*r*

1xa¡s +

^

25. Debe cumplirs€:

...(2)

+n

^ p=19

u.

n=8

^ ..m+n+P=38

Reemplazando (2)y (3) en (1):

-a+b=120

k=10

3p=24

(a-b).3=60

(ll).

Resolvemos

2n+12=3ln+2) Reemplazando m = 6 en {1) Y (2)

5'=*{ys

(l)

Del enunciado:

Sea:

h=(x1g-e (l)e q=x1a2 3P.fP

1

k=(/P

-

Yao

1

40)+ 39 = 87

n(P-40)=48

.(r)

k.l-'

ti+1=(x)e

2

.

[-].1

G.A.ti=n(P-k)+k-1 Dato: tk

=

tp

G.A.(+1=n(p-k-1)+k

Se cumplel

Dato:

75-3k=102-3p

n(p

p-k=9 4k-4=2p-2 2k-p=1

-k)+k - 1 -n(p-k- 1)-k=3

n=4

.(l)

Reemplazamos en (l):

4(p-40)=48=P=52 (t»

Clave C

ÁLGEBRA - soLUcloNARlo uNloAD

1

I

15

3.

28.

L

li

s+

. d=vr- 4=v I . + y¡{ - (x - y¡a = axy1x2 + f1 . Término central

8.2'+2.3x+Y=56

Sean los inacionales:

Recuerda:

3- \/z

Mn + Nn T+N

=

6

(F)

3.

. sEq

+

Si

!;t 4.

"n'es par

=

L

= (signo)M

.

t'tz

!_¿ 2

-r .N2

LLrego se lendrá r00

+

8xy Haciendo

y¡1m

+

(x

(x

-

que:

(x + y¡a =

(x

la-b)2=22

[(x

-

\2)2

_

m25

1

= ¡12

Reponiendo los téminos 'x" e

-

6.

elluga||3.

. ¡12

=

(mn)12

'y'.

...(t) M

+

10. De dalo

> /nrn - mln 2

.

Clave C

MARATÓN MAÍEMÁTICA (póg¡no 29) Un¡dod I

.

3h-s+3m-

33#

=

Clave E

+ 1)< 20,25

-12 a

= 130,¡3a =

31t3

32

=9

-ap

-

exponenles de x exponentes de y

1+2+3+...+3n-1 "

(3n

- 1)(3n) .^^

¿_

26\27

-

CP

mef.(xY o - ,t-,r .,r ----e

"r

13r¡30

315

^

coef.lx$

[¡

3n

El grado

-

=27

12) ¿

cP -12

mef.lx!

-

1

3

31t

CP

I Lexi¡nátic 5.o

es: 3n

-

1

= 26 C¡ave E

^

12

coef. (xo) 3 o - --¡p =12 "ra Pden 153 Clave E

't6

1+2+3+...+3n-1 1.r2+3+...+3n-l

. ,

coef.(xy l)

^

e

-

La suma de sus grados es:

n=9 =

^1

=!\12 =

clef 1xI-1)

ll,

coef.lxy-21

^'J

Gt'l'=hr"l' 1"rr¡"

,,.er. _

kt($.,)

,]*nJ=C=e

Máximo valoren los Z: 20

^

Factorizamos 310 en el numeradori

Deldato

m.l n3 k3x3 kly3

;r-;r=;-.;-

Del dalo

coefciente pñncipal (CP)= 12

Clave B

2.

ky

(a+3)(b+1)

2

Clave 0

5/F

kx

n

sea P lo que piden:P =

2

=[9-8]48=1

Simplifcamos:

m

Entoncesl

(a+3)+(b+1) > (a+3)(b+1)

(a + 3)(b

l

EnM:M=2+2+8,6

-q:, (a+3)(b+1)

- 12/r)1l4

J2

Clave B

Simyn€n*i

t,,=¡x2-f¡a8

3

a-b= /z Il+ -

1)

Sea:a+3=m;b+1=n

a+b+4

c'¡

a-c=2,/2

cr.r"l

L

2bc +

2

p(o)=rr*br=6

...

ao

- b)'+ (a c)'+ (b c)'

(a

D

- bc - ac)l - 2an +ri + a2 2ac + c2 + b2 -

b_c=

Piden elmáximo valor enlero de: (a + 3){b

=[(x+y)(x y)]s= {xr-y148 Finalmente evaluamos en (x=3 : y=2,/i)

1.

_

=a2 -2lab) +t2

r13

=tn=f32

2 .33 = 56

Reemplazando:

t13=l(x+y;a1x-y¡af2

v

*62

n25

m-n

en donde eltémino c€ntralocupa

* lt¡ = m25 13 . nl3

2¿6

Deldato:

T

... (3)

34

(¡2+ ¡21s2-

M=

En (l):

Y)a=n

y)a]'?s

2'+

u= tla2

a-b=2

az_b2=6 -

Bi =

ab=1

¡

(x+y)a-(x-y)a

(2):

1)

Como el polinomio es completo y ordenado:

tendremosl

[(x + y)a]'?s

9.

+

T

-

*Y+ 1=

168

Clav.

Cl¿ve B

Sabemos

y¡1m

+

t

2x=2-x=1 y=2 ^ ..3x-2]y=-1

Los factores son;

(x+y)a-(x-y)a

y2)

1

1

1)(T3

2.3x tY+1 =

2x

En (1)r

1

f2

-

\¿'

(F)

T3

(T2+f

5.

_

100

(x+

3x

T5+f+f3tT2-T3tT2-

L ^2 (signo)l\,2

l,

(F)

Operamos por aspa doble (usamos artificio):

lémirps cenhales

liene dos

(3)

1-2 1>d lL r?=lxl

r. = (signo)(MN) r

,,,

Mult¡plicando (1) por 3:

1x

Si'n" es impar

... (1)

t ,r,1,+y+1_07

Unidad 2

FACTORIZACIÓN

API ICAMOS LO APRENDIDO

(póg¡no 32) Un¡dod

l.

P(x; Y) = x5 + ¡¡a 1 Y5 , P(x; y) = x' x'y" + xy- +

-

x.f

P(x; y) = x1x3 y1 + y3(ry p(x: y) = (x - y) + xy +

{l

r

P(x;y)=(x2

xy +

K(m;

x2

f¡

+

f)(x3

P(a;

+

y31x2

xy +

- x1+ y3)

b3

-

ab(a + b)

(a + bXaz

-

ab

b)=

P(arb)=

a3

+

-

+

c2(a

f¡

= xaw

-

-f(f

=

x3f + yaa

-

+ z ) + x¡z1f

A

c)

fz3 + * 1¡

y1x3

+

.

l

-l)

R(x)=

x5

+

xa

+

2x2 +

- fx3

ryza

+ yaa

wl\

+ c) + a(b +

c)2

+

=

+ c) + a(b +

c)2

+ bc(b + c)

P(ai

+

b2c

abc

1

1)

9.

1)

-

F(x)

=

4ei¿ +

-

=gl3x2 -4)2

+

F(x; y)

3X4x2

-

14x2 + 49

-

2ox8y7

4l -212f +

-

r(r; y) = ¿x4t'(¿r4 =

qxaflzf

=

6x + 9)

t

-

yo)(xl

7)

= (z + yxx{x + z) + y(x + z))

Y'

Clavo E

-

-¡+ztva

14xf\x

-

v)

+Ñ

+

4gv4

-Ñ -

25v1

-xy

-

b)1

b)'?+

r

b2)

v4)

+f)\* fxi +y?x* -y¿l y2xx¿

l,l.

Factodzamos cada polinom¡o: P{x) = x2(x2

1

=

=

1x3

=

(x3

r

- (31 + 1F - (3f + 1)2

3)2

+:x)2 + 3x+ 3x2+

P(x) = (x + 1)3(x

-

1)(x3

+ 3x

-

3l-

1)

1)3

Q(x)=xa+2x2-3

lo.

R(a)=

a8

-

12a4

+

,'1p-

16

s l' --t

a8

- 6,r*,U -

=

'"0

Rla) = @4

-4f

R(a) = (a4

+2a'2-4)(a4

Qa2)2

-

de los factores primos es:

+ z)

ll

= 8a¡(a2

-yo

2a2

-4)

-4 . -4 =

Q(x) = (x2 +

3Xf

1)

Q(x)=(x2+3Xx-1Xx+1)

Luego, el producto de téminos independ¡entes

=(z+yxx+z)(x+y)

r¿xl4x

y)2

1)

(a- uflla + bf - (a- bfl = 2laz + ú\l4ab)

Clave A

R(a)=

=(z+yxx2+xy+zx+ry)

-

= 16+

Dando foína:

z)

x2lx

-

=[x2+f-xy][x2+f-3xy]

+ ryz +

=ry(x +y) +xz(x+z) +4(y +z) +ryz +xYz =xy(x + y + z) + xz(x + z + Y) + 40 + zl

6.

-7f +5f)\x2 - xy -7f - sf) = tÍ - xv - zÍtt* - xy - ttf¡ R(x;y)= xa 1y' - 4o1rz * f¡ rsf^f tf-f -lf = ro + ya -¿ry(f + l) + axzf - ff =lli +f) -zxylz -# = lx2 + f - 2xy + rylll + f - zry - xyl =

+

4x4y11

-

*

=1x1x-y¡-t'|1'?-1sf¡'?

l)(f + llx + v){x - v) coefcientes de un factor es: 2 - 1 =

F(\;y) = Axylb¿ +

f8 - yf -

r(x 9 =

5x4y¡ + yB)

'-l-,A

2x

-l---25

= (36x2 - 25Xx2 - 1) = (6x + 5)(6x - 5Xx + 1Xx

2)1

f

+

-

+ 25

A(a;b)= (a + bF -(a

4x'

r$:

Y

361

8][5x2

= 16x1!3

'i

I

- 61f

13. P(x) = (61)2

- 16] (/i3x+/5')(Ji3x-/8) = (/5x+r)(/5x-a) -

- 10f

l/\-l

13

[13x2

;<

6)

Elfactor primo cuadrático es: x2

2]l2

ppl - 4)+ 2(2¿ + 2) $l -

=

3x(f +

+

ClaveA

Clave A

,,0

ré +y/ -^y. =f, +*f +x2z*r! +fz+yl *ry+ xyz

= 2(x +

6)2

I><

+ c)(a + b)(a + c)

(b

F(x:y) = 4r4y3(4x8

+ l)

Clavo B

de hctores primos

t

i$i;i

Factor común:

(3)3+2(3)2+3+1=49

= x(x +y + zxy + z) +zy(y+

G(x) = (x2

G(x)=(f+5x+6Xf-2x+6)

=f$4 -y\+f(y4 -x\ = (ro - yo)(r, - l) = 1l + l¡x + y¡21x - y)'?

evaluamos áquíx = 3

(x+y+z)(ry+xz+f¿)-xyz =x2y + lz + xyz + rf + vy * fz

lz.

bc2

=tÍ +tf -f =É +v+tÉ -y M(x;Y)= x6 - xY - xY + Y6

+f-x+1

.. t

-

"X.

b;c)=

P(x; Y) = xa

x+ 1)(x2(x+'l) + x(x + +2x2+x+1 =(x2-x+1

Clave E

=(x+2)(x+3Xx2-2x+6)

R(x)= 8x3 + 27 = (2x +

=x2(x3+1)+xa+x+l-x+1 = x2(x3 + '!) + x(x3 + 1)+ x2 - x + 1 = f(x+ lXl- x + 1) +x(x+1)(l-x+

5.

bc)

a2{b

=x5+x4+l+1+l-x*,

..

t

taco]'ñmo

- ry

(l-

coef. F.p = (6; 2; 13)

Hay dos respuestas.

a2(b

x?+l

=

= lT =2

=

..

Clave E

4.

5)

=(x+5)(xrlxl+7x+5)

,

z3¡1u

Un factor primo es:

7x

F(x)=(f +6x+5Xx2+7x+

a.b

z3r3

= \xz - f) lxy (f - 4 - ?É =@-fitf -4$v -ll =-(f - xzl(q - x\li - xY) .

6x

l>k:

P(ai b; c) = (a + b + cxab + ac

E

- f¡ + ulya - A2) +A\p =vlx3 -f"t +alf + 4lf -a,l 8. = 1u - 'f¡1yf + yz3 - u1f + a)l +iy -uf -i/) = lxz - f)fyx3 -T--.J-:--_T =

+ 5) + 42x2

13x(x2

Sl -><-

t,3 *

=(b+cxa2+a(b+c)+bc) fxttz

+

+

5)2

Operando y agrupando:

chv. + fzlxy -

+

C(a + b)

(a

y;4=fy(a- l)

laTi

PideÍ

7.

- b)2 b)2 - c2] =(a+b)(a-b+c)(a-b . . Suma de factores primos: 3a - b

(x'?

(x2+51 - + -

Pordalo:am+bn=m+3n

P(a; b) = (a + b)[(a

P8;

11. F(x)=

18n3

Clave C

=(a+bxa2-2ab+b2-c2) !.--1-

3.

t

+ 6mn2

3m2n

b)

b)-

+ b2)- ab(a +

+

factor primo en cuesüón

chvqc

2.

m3

|-----|!

f)

+

n)=

&rupando: K(m; n) = m2(m + 3n).r 6n2(m + 3n) = (m + 3nxm2 + 6n2)

+ y"

t

-

I

6

2

16

.

.

Elfaclor común cuadrático es:

(x+1)(x-1)=l-1 Clave C

Clave B

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD

2

I

17

¿

I

f

9.

PRACTIQUEMOS

Nlvel

I (póg¡no

Dato:

34) Unidod 2

¡.ll;

M=a-3 N=a-2

r.8-c-G-D-E-H-F-A 2. t. D [.7

P=a-1

3

Nx; yl = 1 +

2x2

=a2_&+1s=(a_s)(a_3)

A(x; y) = (2x +

N(x)=(l+x-5)(f+x-3)

I 10. P(x) =

+

x3

.

.

t

1

+x2) +

11

(x3

x5+ x4-x4+x3- x3+x2- x2+x+

+ x) +

t

=f -2=

D)rmef.(x3-x2+ t)= I

(l+x+

12.

^

de rnayor

21x2

7x 3x

érm¡m independienb

es(x+a-b).

+

2u +

16. M1x:y¡ -

22x

=

3x+ I

s.

- xl - x1+ f) = ry(x3 + y3 - ry(y + x)) = xy(x + y)f -xy+fl -xy(x+y)l =xy1x+y)(l-xy+l-xy)

F(x;y)= xy(x3

't7. N(x)=

= xy(x + y)(x

1 (t) 1=3 (C)

I + 1=

-

D

Fácrores

I LEximátic 5."

(x

-

1)a

+

(x

-

1)2

-

6 3

N(x) = f(x - 1)2 + 3l[(x - 1)2 - 2] N(x)=(f 2x+4Xf-a-1)

(axb+ cx + d)es un factor primo de N(x);

CJoD¡e con la condicbn:

+

a+b+c+d=31

-7x-5=-4x-4=-4(x+

d es par.

Comparamos:

(axb+cx+d)=x2-2x+4 1)

a= ltb=2tc= -2: d = 4 Nospiden:a+b+c+d=5

13.f(x)=x5+¡¿1

=

T(x) =

(x2+x

r

0

Dato:

ClaY€ E

(x2+xtt¡¡x21x-t¡+11 =2

240

e=5,b=3ic=lid=22

18. P(a; b) =

(a2

+ b2xa2 +

=

(a2

+

1a2

+ b2¡

1a2

+ b2¡

f(r3-1)+(l+x+1) x21x - t)11 + x + t¡ + 1l+ x+ t¡

Clave B

18

-

Factorizamos:

y)2

I

22y

6x +

l.;(;g¡(_,,

(x-1)'-'l-\-2

T(x)=x5-12*rz*r*',

-E_:rprÍl16

- 15f

^l (x-1)'\L/-

Esta expresión también se puede expresar como:

=xy(x+y¡f-2ry+l)

+ 7ry

2x-3xzx1xSx-4=

Cl.y.0 Ctav. E

2x2

=(2x-3y+2Xx+Sy_4)

5

\ -, 515x ..¡'.- I zx

3

--4

Ctavo

Clev.

=(x+arbxx+a-b) Como:a > 0 b <0

''1--

x-

Nos piden el producto de coeficientes de los

(C)

Agrupamos:

R(x)=(xra)2-b2

12)

faclores primos:

grado: -

0

x

(C)

(C)

1)= 1+ 1+

-12

Ctavo E

x"-)(.+1 E)Ecoef.

60

5

x'+x+1 C)Trene un factor de tercer

5

1

grado:

B)Trene un factor de segundo

N.' F.P @adráticos = 2

-60

+¿f - lzx-m=(x-(-s)Xl-x

(l+x+l)(x3-l+t)

1)

17

=(x+5)(x+3Xx_4)

pñmos. ll+x+'lllx3-l+lt 1.. 2."

1

15;20:30i60}

6: 10; 12;

. . Un factor primo es: x + 3

A) Tiene dos factores

+ (x3+ x + t)

1)(l + x+ 1)(x2-x

bdor priffp

-5:

2;3;4;5i

't -l

rxa +x3¡ - 1x4 +x3 + f¡ + 1l + x+ t) x31l + x+ t¡ - x21f +x + 1) + (f +x+ 1)

7. R(x)=l-6212¿¡¡¿z

El

{1i

=

-5

1x5

Cl.ve E

.'.

t

Tomamos

14

Nivel 2 (póglno 35) Untdod 2

ll.

B

el criterio a evaluar:

-24

-

=(x3+x+1)(xa+l+i) +x

15. Aplicamos PCR

24

Luego: P(x) = (x + 4Xx + 3Xx 2) Nos piden t.T. L hclores pñmos = 4 + 3

Clave E

(x3

Cl.v. somá d€ coef, 3

>
f+7- f*6+ f+ 3 - 1*2+x- 1 = 1t6(r - l)+ 1*2(x - t) + (x - 't) =(x-l)(xn*6+xn'2+1)

=

Térnino

¡ndepeñd¡ente

y + 1)

-6

R(x)=

+

1

l5-2

Agrupamosconvenientemente:

tl¡1x3+x

+4y+

+ 3x

r

Cláve A

1xa

3l

5l - 2¡ -

1

=

- 22)(a _ 5l =\f - 2x - 22llx2 -2x-sl I

Por divisores binómicos: PCR. = {1; 2; 3i 4; 6; 8; 12; 24}

(x4

27ai- 110

A= la

@ef,6

f1x3-1;+x2+x+i t'1x-1¡1x2tr+1;+l+x+1 (l + x + 1)(x3 - x2 t 't) . . Un factor primo es: x2 + x +

fxx3 +x) +

-

a \t /-22 a -><- -5

Clava D Cláve E

(x4+

a2

+4y + sxy + 3x

3yr l)(x+

suma d6

,1. x5+x+1 x5tx2+x+ 1-x2

6.

(a-3)(a-24)+38

!.---.1-\+

.'. » faclores primos = 12 + 2x -

-

24)+38

a

R=a+1

'i*'i *i

=a2-Ba+12+3

pimo es:x

lf

Agrupamos: A(x; y) =21 + 5xy +

=(a_6)(a-2)+3

Un factor

+

3Xx2-2x

5.

Q=a

Reemplazamos:

aa

5.

'l

M+ N+P+Q+ R=5a-5= 15=a=4

3. N(x)={l+x-6)lf +x-2)+

-2x

14. A=lx2

N; P; Q y R son cons€culivos cuya suma es

t)(x3-

=

f

+

1)

+

6ab)

+

><

b2)2

+

(a2

+

b2)6ab

5a2b2

+

sa2b2

5ab ab

P(a; b) = (a2 + b2 + 5ab)(a2 + b2 + ab) prcduclo

!........i/+

b2

de

produc.to de

términos:5a3b3 té¡minos:a3b3

faclor pñmo Clavo E

Clavo A

'---

19. P(x)=

x5

+

+

5xa

+'l1i +7x+2

10x3

zz. \0.

o.

¡=

-

lpzq2l

?q1 +

(p3r

+

-

Por div¡sorEs binómicos:

(q3p

PCR=t{1;2}

1'.| 7 15't0 -1 -4 -6 -5 14 6 5 2

4r,0,, =

2

0

6f

-.¡-

xz tcoef.

F.

x

+

1)

\, 23. E(x) =

1)

P mónicocuadrático=

1

+I+

D

10

-x3- 4l -

(02+cr[l+

-

4)(x

-

10

=

(x-

7x+'10 = (x

- ax

a

M(x)=(x+a)(x-3aX¡r2a)

6apq + p3d¡

.. a-3a+2a=0 Clave B

ncXO2

+

Or)

26. B(x) = x5-

-6x3 t8x2 + 5x- 6

2xa

Factorizamos por Rumni:

;>k;

-o .r8 +5 -6 -1 -7 1

1

-

s)(x + 3Xx + 2)

60

-1 1

3

3

...(1)

-

-2

1

= (x-1Xx+1Xx-3Xl+x-2)

I>k1?

-20

>< -3

1Xx

-

+ 1Xx

B(x) = (x

-

3)(x+ 2)(x

1)2(x

-

1)

+ 1Xx- 3)(x+2)

4 factores primos Clave D

3)

>
5)(x

-

..

(x2-2x-2oxl-2x -

factores Primo§ . Suma de factores primos es: 3x

(x-

Reemplazamos el valor de 8:

I>k;:+2)

1Xx-

6

-7 'l 6 2 5-6 -56 36

-1 -1

1

=(a-20Xa-3)

txl - ¡x - lO)

6a2)

rx-i:

p3q3¡

a2-23a+60

0 = división exacta

0

-6a2

á(a-8Xa-15)-60

a

+

M(x)= (x + a[x2

6a3

a2

1 -a

É)

4(N + qr+ p0

r\i -2x-g[i -u- 15)- 60 Sea;l-2x=a

_10

Luego: 7x

- 0 - plqt -

-

-6a3

-a

P)

En (1)

1 4-7 't -3 1 3 -10

-4x2-

=

la ecuación.

= -a; hace cero a

Agrupando:

{1;2;5; 10}. Utilizamos ele§quema Rufini.

x3

o 4

5¿3

107a2

a evaluar

Como el polinomio es mónico, se babaja con los divisores del término independiente:

1

x

¿)

(l - 9x + 20)(x2 + 5x + 6) - 60

E(x) = (x

i

-

;i
=3

1

CIw' 20. Aplicamos criterio

-

qXp

-

t

2

2Xl r

+ qzÉ(q

r)(p

q2p

lro,o,n = lpaqr + q3l + 2p2q2l¡+ lqapr +

-'!

P(x) = (x + 1)2(x+

{q

- l¡

p2É)

-

7¡¡2

Luego:

- 0(l -

qXq2

-

-

+ 5x + 2)

1Xf + 3x+ 2)(l +x + x

p31q2

\r,o,O=

jxtp<;

P(x) = (x +

0,, =

4,

-

(P2

25. M(x) = ¡3

q2p1 + (Éq

pr-

q)(q2É +

\p'o,o =

Por aspa doble espec¡al: P(x) = (x + 1)(xa + 4x3 +

-

1p2

pq|

-

... E(x)= 4

{f -

2x

-

20Xx

27.

P(x)=¡a¡¡2¡9 P(x)=xa+0x3+2ÉtOx+9

-

3)(x

+

Í :**i

1)

raaiilrimo

Clave B

3x2 3x2

#

Clave D

N¡vel 3 (pógino 35) Unidod 2 z't.

3xa

+

Mx3

+

13f

+ Px

+

Falla

- 24 (i +7x+ 12llx2 +7x+10[-24

24. [(x + 4)(x + 3)] I(x + 2)(x + 5)l

10

-

4i

P(x) = (x2 + 2x + 3Xx2 g_rJ\----..4-

suma

Seaa=l+7x: (a + 12Xa 5x2 6x2

4x

-a-i 5x'

xl

12x

+ !a 16262

Sumando y restando: a2b2

+

Plal b) = aa +

(a+16Xa.t6)

__l-6 xz\1

= px

,

'F - M=7 ¡r P=12

-

=M={5;7} P

¿a

a/\6

(x2+7x+16)(x2+7x+6)

2x

Mx3

28. P(a; b) =

ba

+

2a2b2

!----------!-

10x

6x"

cft"l.:2 Clave B

a2+22a+96 a .--L-- 16

=y¡3 9x =P¡ 2l =M=5 .r P=9

11x2

suma de

coef.:6

+ 10)- 24

2x + 3)

a2+22a+120-24

5x

2x3 3x3

de

-

.

= (9; 12) Clave

c

.

(l+7x+16Xx+6Xx+1) Un faclor primo es: x

I

1

-

=

1a2

+b2¡2

-

a2b2

=

1¿2

+ t2¡2

-

1ab¡2

a2b2

-

P(a; b) = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2

..

Número de factores primos: 2

-

ab)

Clave B

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD 2

Clave B

I t9

d

1 29. P(x) =

+ y)(x + y+ 2)(x + y + 1)(x +

(x

+3)

y

-

33. E(x;y)=

8

Sea:x+y=¿

-8 P(r) = aa + 6a3 + l1a2 +6a - 8

Í >k

+

)<:,

3:

-

(x +

+ 3(x + y) +

y)2

. . P(x) = {x2 + x(2y + 3) +

P1y)

=

+

y7

+

5y6

+

8y5

Clave C

34. 4¡ [(x

f

r

+ 3(x +

y)2

+ 3y + 4)lx2

+

8t' +

+ 5y6+

ya

6ya

6y3

5ya

+8f

+

y)

Recuerda: 2]

Polinomio reciproco de qrado impar.

xl2y + 3) +

I

P(y) = (y3

+ i) + 5t'{y3 +

+

+

1)(ya

5f

+

1)

+

+

Sy

+ 3y

-

P(x) = axs ..

2)

P(-1)--

+ 5y +

1

+

y3

8f

5ya

+ 5y+

1

+

y3

+

+

1)

r

sf(f

+

1)

Sy(y3

P(x)=

(y3

+

P(y) =

+

1Xy2

.

-

x7

*

3¡6

-8

21

-1

9

1-9 =

P(x) = (x + 1) (x6

-

y

+ 1)(f + 3y + 1)(y+ t)2

(l - y + 1Xl + 3y + 1)

=

Q(x) = x6

22x4

+

i21x2

-

(xa

+

2x2

gx5

-

o(x) = x3

-

+

30xa

Hacemos que: x

E=(x3+11x)2-(x2+1)2 + 'l1x +

(x3

8x

15

+

1

21

-8

45

-30

-30

I

-1

1

0

+

-45x3 +

30x4

-9

30x2

-

+

9x

1

1)

,coel.:

x2

+

1)(x3

14

x2

-

45x3

+

+

as

30x2

*

-

9x

r

I

$-4*|

r(,'.1). ao(,.r)

!

ls}

z

lr*! ) =.';(r*][=r'

Enloñces:

+ 11x

E = (x3+x2 + t1x + 1Xx3 - x2 + llx =

9x5

- 9¡ *,0, -

{(x'++)-

+ l)

Factorizamos:

E

-

x'se lÉne

La expresión se puede escribircomo:

+

21x2

Q(x)es un polrnomio reciproco de grado par, faclorizando

C^omo se obs€rva.

Número de factores primos: 3

xo

+

30-4530

Clave C

E

15x3

1)

Q(x) = x31rr

3'1.

- 1sx4

21rs

o(x)

(y+ 1Xl

P(y) = (y + 1)3

.

+ 3y + 1\ly2 +2y +

a

1)

Í=<ír
+ bx +

0

8f + 5y+ 1)

+

cx2

Luego por div¡sores binómicos:

8y2

+

¡rl * ,r: *

P(x)polinomio rec¡pmco de grado impar

1

+ 5y3+

P(y) = y7+ ya + 5yo +5y3 + 8y5+ P(y) = y4(y3

gr:"yrn

-

2)

Clave C

30. P(y) =y7+

y8n

9x2'y4n

ff t yan + 3f¡A¡zl. + ye - aflfi) ¡coef = 11 tco€f = 5

E(x; y) =

Reemplazamos el valor de a: P(x) =

r

-

E(x;y) = (7x,. + y4n)2 (3xmfn)2

-ii:

Falla. gaz P(x) = (a2 + 3a + 4)(a2 + 3a

y8n

+ 14x2'yan

E(x; y) = 49xam

2a2

+

+

5x2my4n

E(x; y) = 49x4* + 5x2'y4n + y8n + 9x2'y4n

P(x)= a(a + 2Xa + 1Xa + 3)

=

+

49x4m

1;

x')+!=2')2 x'

1)

xr +

x\ + -!x/i+

3xl/x

Scoef.: 10

1-¡

x3+{=/-3¿ ClaveA Reemplazando tenemos:

32. Efectuamos: E= (2i - gx+

1)z

+ 24x(2x2

-

3x + 1)

Seai2x2+1=a

-

=

1

-

912'?- 2¡ + 3oz

-

4s}

+272-27\ = x31z

3¡1

-¡3(z - 313=,,:1, '\xl\x

*1-3¡' -

rr¡

r'/' 1 - 3x

I

Finalmenlei

+

3xJ2

=

(2x2 2x

+ 3x +

P(x)=(x+1).O(x)

1)2

P(x)= (x + 'l)

>J<-+1 -+1

x_ -E=(2x+ 1)2(x. + i)2 - . Un factor primo es: 2x +

Lexim,áüc 5.o

. (x2

,

3x

+

1)3

Entonces las proposiciones dadas son:

r)F 1

. C¡ave B

20 I

922

Q(x)=(x2-3x+'l)3

E=(¿+3x)2 = l2x2 +

32

Q{x)

E=a2+6ax+9x2 E

-

-

Reponemos z:

(a 9x)2 + 24r(a 3x) E = a2 - 18ax + 81* + 24ax - 72x2 E

x3{23 x3 {23

.

)F

lngresan

0V

11 turistas de manera

graluita. Clave 0

MCD Y MCM. FRACCIONES ALGEBRAICAS Si:x=3

APLICAMOS LO APRENDIDO (póglno 37) Unldod 2

-34+3m-9.32+n=0 3m+n=0

- - (x- 2)(x 3) (x+s)(x-3)- (x-5)(x+5).2,,1 ' "= (rJ;(r-3)'CI r 3¡1--3) (r-4Ix-5)' T:T . = ------x-3+ x+9- x+5r 2x+1 l;T I:7 1;:1-

De (1)y (2):

m=-20

x-4 r+3 - x-4 =2+1=3

Clave B

2x+6

Clave B

6.

' - c) (a . b)(b c) _ 1 [ 1 _ 1 l* b)(a

(a

lc

-

a)(c

-

b.)

-

+ 2x

b

q1x¡= ax2 + zx

-

b

+0=a+2-b

1

1.(b

ax2

Si;x=1

(a-b)la-c b-cl (c-axc-b)

_

P(x)=

1It¡

a

2.

n=60

^ ..m+n=40

E

c '

...(2)

=-2=a-b

{1)

Tambiénr

- a)

I + (a-bXa-cxb-c) (c-axc-b)

R(x)=

ax2

4x + b

(x-1).s(x)=af-¿x+¡

I

1 =o' -- (a - c)(b c)* (a-cxb-c)

Si:x =

1

0=a-4+b

Clave E

.(2)

3.

x+1-2x+2

2

(x t)(x+t) x'-1 3-x-2

x1

+

Sumando (1)y (2):

(x+1)

..y=!1a2=f+12=4

x-1

- x2-1 ' G;T 1-x x-1 =

Clave C

7.

G-1)(x+D*(x+f -1 x-l

=11+x-2)(x3-f-4x+4) =(x-1Xx+2Xx3-f-4x+4)

x+1*G;B

-(x+1)+x-1_ -2

(x+1f

Factorizando

(x+1F

= (x

y' lr'*y' *' vfrrvl-¡v+rl--\ ry x3+y3 _ - ¡y(x + y)

-

.

8.

xy

y'?l

*Yg4)

.

x2

-

4x + 4, tenemos:

- 1Xx + 2)t8 1)(l-4)l - 1)(x + 2Xx - 1)(x - 2)(x + 2)

A(x) . B(x) tiene 3 factores primo§. CláveA

(x'?+y'?)

_ \r¡,-f)(x'?-xy +

x3

A(x) . B(x)= (x

Clave C

4.

Sabemos:

A(x). B(x)= McD(A(x); B(x)) . McM(A{x)i B(x))

_(x2+yz\ xY

x2-xy+y2-x2-y2 xy

xrrxrt _ A(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1F x3-3x+2 x3-3x+2 l+ x + 1 = x2(B + C) + x(A+ B - 2c) + 2A-28 +c ...(l) = B+C=1 A+B 2C=1 ...(lD ...(lll) 2A- 28 + C= I

Clave E

De

s.

F)=

MCD(P;

i

P(x) xa

+

(x

-

3)(x

-

2)

9x2

r

n

=

(x-

B

+ C= A+

De (l) y (lll): B + C =

= [¡cD(P; F) . g(x)

mx-

(l)y (ll):

3)(x

-

2). g(x)

-

B

2A-

- 2C+A= 28

3C

+C

38 = 2A = 2(3C)

B=2C

Si:x=2

-2a +2m-9.22 +n=0

Reemplazamos A = 3C y B = 2C en {l), y obtenemos:

l=l: B=? v C=]

16+2m-36+n=0

2m+n=20

...(1)

Clave C

ÁLGEBRA - soLUctoNAR|o UNTDAD 2

I 21

/ a

1_ 9.

I

x+1

x

'=l'.t#l#

+1

x2

'^ 2a+1+a+1 2a+1

x+'l -x+x x+1 x+1

2e+1 3e+2

p=bt2.4!-p-t 2á+1 3a+2

Cláve D

x2+x+1

- (x3-t)(x+t) (,

x+t)

+x+1

1

(x-1)(x-2)- -=3----1.x2- j

13. M = x2

x+1

(x+1)(x-t)

+

(x

1)(x

1)(x

¡+1-3x+6 ., - - -lx

=1-r2 (x-1)(x+t) (x+t)(x-t)

illx

+

.,

(x

2)

3

(x+1X2-x)

3(x

_

-

*

+ 1)(x

_

2)

1)(x

-

(x

2)

3(x-1) +

1)(x

1)(r

-

2)

3x+3

-lxx

7)

5x+10

"'- (xTn(¡=ni:a=

(x +

x-2) 1)(x x-2 =51x2 1

ChY. B

Clave E

14. Simplilicando:

10. Dando [,,lol\,la cada factor: R

=

('. 3;lf

-

1

)

)(a+l-i), s$

*=('.'o=i'.'X:d+f,-É)(

_ x+zm ,_(x-sXx+2m) -

(x-5)(x-3n)

Pero por dato:

x-1

x+10=x-3n x+2mx+9

2x-x2+x

3n=9=n--3 ClaveA

x(x+2) x_1 -(x-3)(x+1) -l .i = -----i:T+¡_ r(_3)=,-;

RACTIOUEMOS ClaveA

ib¿ I a¿!?ab-x2i

arb,

\

2m=10=m=5

.-m+n=2

. -(x2 -zx 3) x2+u x I ^- x-l-- x+T 3;-

rlta, 6,r, rr.E=lb \aDti

x-3n

N¡vel

I (póg¡no

39) Unidod 2

,l

I Cláve B

E=/b+q-x\ta+b+x)

a2b2

\aDl" I-

. -;tpl 'b;;n, (a +

x)1a

+

b

(a+b

2.

x2

.. #inoesCOITeCüI lx + 1)fx + 3) fu 7x'+x+1

+ x)(a2u2) +

b

-,¡

Simplific€ndo: E = ab

B)

2ies conecta

C)

Il4 ; es conecta ¿n+Jp

Clave C

12.P= 1+

,*#

2a+1 3a+2

1

I

1 l "1, '-l'-e+1+ál

t

22 I

Dato:

(a

I '-;hl a+l

3.

a2+b2+c2=S(ab+bc+ac)

a

p=[r* 1

ClaveA

2a+1

3a+2

t

b

+

c)2

= 321 62a ¡2

3a+2

I

Leximáüc 5."

(1)

2(ab + bc + ca)

(a+b+c)2=7(ab+bc+ac)

=(a+b +c)a=49(ab+ 2a+1

t

.

bc+ac)2

.(2)

Elevando alcuadrado en (1)l a4

+b

+ ca

aa

+

ba

+

=

aa

+

ca

ba

+

+

t

2la2b2 +b2c2

2[(ab

ca

+

+

bc + ca)2

= 23(ab +

bc

+

a2c2¡

-

=251a6

¡

6¿

¡

u1z

2abc(a + b + c)j = 25(ab + bc + ca)2

ac)2

+ 4abc(a +

b

r

c)

...(3)

Analizamos el primer témino

Piden

49(aa+ba+ca) 23(a+b+cf ^ = --4%bcG + b;;)

(1

.(4)

"

(l

+ x2)

xyxl -

xz

=

y{ry+r¿ r a tx2) y(y(x+z)+x(z+x» = 4y + ,»,(x + z) $z t ;\\x\ -,t2,

_ y(x+z)(y+x) _

Reemplazando (3)y {2)en (4):

z(x + y)y(x +

49[23(ab+bc+acl +4abc(a-b-c)l-23[ls1ao+oc+aci] 4gabc(a*b+c)

^

z)

1

z

Procedemos de manera sim¡lar para los demás términos

-¡

R=4

=

..1 1 zxyxw ...

-1

xY

+

Yz

+

'¿

-

1

3

Clave D

Clave

C

4.

7. (a2

+

+

(a2

a2

b2

+

G2

+úf

+

bz

+

(b'+ c')r

+

c2

G2 +

.,- 1 r'-l;-l . 1 *,-. 1 a+b+c a+ 1 c+T=----K'l \ a+b+c t 1 1 "'-\a+f K 'b+I-c+1/-

ex-x(j1+fr+

c2f (¡2

í+(a'-b',_+1+ Gz

(¡2+c2f+( b2-éf

Deldato:

c2f

-

$' + c'l

+b2f

*, * (a2 -.'t \a2 +

c2f

=

'(th.#.

a

z+x2+f+/=a .'.1+f +/ =s Deldato:

xlf

+

*l +y(t +l)+21x2 +f¡=xyz

xy(y

t

¡ + z).t

xz(z

+ 1)+

a(b

-Clave B

=

1

+a+b+c=3K

1

c+1

..(1)

Piden:

Resolviendoi

5.

c+1 =a+b+c

i

K

b+1

=x=a+Uf1+b+$*t*-I-

(#.#.

=H=G+b+c)+

x + y) + f¿(z + y + x) = 5xf¿

c(a+1)+K * b(c+1)+K c*1-t a+f

1

.(2J

c+1

De (1)y (2): (1)

{x + y + zxxy + )a + f¿) = sxY¿

..H=3K Clave C

Sabemos:

(x

+y+

z)3

= ¡3 1

y3

1

23

+ 3(x + y + zXxy + xz +

yz)

\---------------

-

+ bx1 ab{ - a3 6. ¡1r¡ 13 '' = x,+3ax,_4a.x+ b

3xyz

Sxyz

4xyz

Six=a-F(a)=?

+(x+y+z)3=1§¡Y¿

.(2)

Entonces el numerador (N) y denom¡nador (D) tienen como factor a (x

-

a)

Por Ruffni: Piden:

1

.= F-'r;r

qx+y+zf -16x2fzz

- tlx+y+zff

I

$\2,f22

lr x=al

Reemplazamos (2) en (3);

tllxuzf

-

$x2iz2

256

16

o

Luego: Cláve E

qr(x)=x2+4ax F(x) =

Piden

(t + (1

b

+b=0

..E=15

6.

3e -4a2 a 4a2

T1 ¿ o lo

16

16x2fz2

(a+b)

=9r(x)=f+(a+b)xta2

(3)

(lx1zY

-

b -ab -a3 a a2+ab a3

-xy

x2)

tz

r

z(l + (1

y2) r

-y4(1 -xy)

x('! +22) (1

-¿(l(

rz)

F(x)

=

x2

xa

x2+(a+0)x+a2)

(x-aX ax

a2

+ 4ax) ...(1)

+ 4ax

ÁLGEBRA - soLUctoNARto UNtDAD

2

23

I Reemplazando x . .F1a¡

=

a en (1):

=

Por Homer (para Q(x))

I a2 +^a2 = 1c a'+4a'

a2

9.

0

1

-2

Clave C

c

2

3

oato:

brc=-a a+b+c=0 = a+c=-b a+b= c

d

3

4

-6

0

0

Luegoi

Q(x)=

Sea S la expresión que nos piden:

=A=

e-a+b- atb 'ab-c brc - arc arc "-b r c a-c r b'a+c a+¡ 't, c_ alb Ia-c, a I b-b-c b+cra-c b.c arc a-b c_ ?:b c+a atb+c+b a+brc-c bic a+c a+b cabc

-

(x

- 2) - jxx + 3)(x + 2Xx 2)

1)(x + 3)(x

MCM(P;O) =

(x

. . rcoefc¡enles de:

c-

A=

(1

-

+2)(1-2)=0

lX1 +3)(1

Clave E

2. 8x2 + 29¡

12

357 r-; +7-[llF

-

x(x + 2) Nos pideni 3(5)(7)

=

105

Reemplazando:

Clave C

cabc "._a._b. c ..s=-1 1-1=-3

Nlvel 2 (póglno 40) Unidod 2 Clave

13.

l. MCD=r-3

- xf r x2y - y3 = x(i - fl + ylx2 - y2)

ll.

=(x2-fxx+y)

lll. MCD=(x+7)(x-5)

-

MCM = (x + 7Xx

10. P(xi y) =

=

E

x3

P(¡: y) = {x

y)(x + y)2

- rf - ,1*

A(x; y¡ = ¡3

MCM = ix

= x$2

-f)

=$2

-fllx-y)

-

-y$2

+A(x;y)=

(x

+ y)(x

Blx: y) = xa

-

2?\? +

-

lV

,s

+

3)(x + 2)(x + 3)(x + 7)2

Correcta.

-

5)(x

-

3)(x +

2)(l+ x -

3)(x3+ x

+

1)

lnclnecta

y2)

ClaveA

't4.

y)2

t.

ya

.

t.

-fJ2

=$2

-

I[IPROPIA DIVISOR PROPIA VALOR CERO

B(x; y) = (x + y)'(x

- y)2 = MCD(P;A; B) = (x - yxx + y) . . MCD(P;A; B)= x2 - f

MCM

v v l.

.

SI

Clave C

15.

P(x) ,,,-f ,1,

Y

O(x

r

¡:fr

, 3,'t'"ntn

x2+2x-3 Por Horner: (para P(x))

2

2

2

=

P(x) = (x

-

1Xx

16.

Del enunciado, tenemos:

r, -

'l

aJ + bc

- bl +11ac t cl + ab D{a + b

+

c)+ac

c(a + b +

c)+

ab

b

3

-4

6

0

0

+ 3)(x +

3. Si

residuo R(x)= 0

a(a+b+c +bc

1 4la 3

2NO

1. NO

11. Delenunciado, se cumple

2)

24 I Lexim,átjc 5.o

a2+ab+ac+bc a(a +

b)

+__J_+ ab +

b'+

bc +

ac

1

c(a + b)

(a+cXa+b

.

ca + cb + c2 + ab

(a+c)(b+c)

t (b+c)+(a+c)+(a+b) ., - = ta +tñ +ixtTc)

Pr,¿

19. Dato:

Clave E

.io)

-ab+bc+ac=0 Por pmductos notables:

2

.(1)

(a+bxa+c)(b+c)

(ab)3

+

1

b + c)3 = ¿3

53

1

63

21. Sabemos que:

+

(ac)3

= 3(ab)(bc)(ac)

+

a3c3

=

b3c3

1=4+3(a+b)(b+c)(a+c)

xa2=a3-abc

(a+b+c

E=3

(2)

a2

+hz +

(-) yb=b2-ca

c2)

Multiplicamos por b:

\2)

a3b3+b3c3+a3c3

..u=+=-,

yb2=b3-abc

-

x3

-

3x2

+ 3x

-31

Se debe

tener:

Multiplicamos por c:

bl;X;;;,;.5

=,r{, *

+ c)3 = ¿3 a 63.' + ac + bc) - 3abc

0

x2

E

(3)

(a

+

b

a3

+

b3

3x2

+

c3

-

63

+ 3{a + b+ cxab

3abc = (a + b + c)(a2

t

b2

tiene:

-A(x)=(2x2-x+3Xx2-3)

(a + b

B(x)=10x3-gx2+17x-6 17

-6

(a + b

5 15

a3

+

b3

+

c3

-

+c)3=(a + b+cxa2+b2

MCD(A(x)i B(x))

+c2)

abc + c3

M(x) = x3 +

c

18. Tenemosi

111^

M(x)=

Sea:y-z=a;z-x=b A x-y=c +a+b+c=0

1,1 ++=4 a2 b2 c'

(x

-

a3

t

b3

+

c3

-

3abc = (a + b + cXa2 +

7x2

1Xx2

a+b+c a2+b2+c2-ab-bc-ac) a2+ + -ab-bc-ac F=a+b+c

I

Clave B

-9

A-+ Br1,c, 22.x+5 x(x+c)+

0

-

r

+ 11x)+

2

= (x+5 x(x +

+-rln

Factorizamos:

AIx(x + 5) + 1l + Bx(x + 5) + C(x + 5) =

4x2

+22x+

Sea:

4

x

= -5

-4

,

0

,__,.

52=4+2 ( a+b+c abc

N(x)= (x

-

1)2(x

4(-5)2 + 22(-5)+

13

x=0+A+5C='13

3+5C=13=C=2

4

x

r / \-1

0

-A=

A=3

N(x)=(x-1Xf+3x-4)

De (1):

4f

+2U+13

12-7 113 13-4

ac

13

(x + s)[x(x + 5) + 1]

N(x)=x3+2f-7x+4

1

13

r1l

A[x(x+ 5)+ 1]+ Bx(x + 5) + C(x + 5)

9)

x- - 9 x/ \-l

--Gl-)lic-

c-1-1,1 a0c

c2

Luego:

c

17x + 9

+ 8x

b2r

M(x)=(x-1)2(x+9)

Luego:

1 1 ^2 1 1 1."t \aD 0c a¿ h¿ c,

abc

-ab-bc-ac)

17-17 tl8 18-9

=2x2-x+3

¡;='\,-;¡- \,-iV-'

-

Sabemos por Gauss que:

...(4)

20. Factorizamos

Cláve

Además:

. a3 - abc + b3 '=-;T;;';;;=b

15)

B(x)=(5x-2X2x2-x+3) ..

Reemplazando:

(+)

(a+b+c =a+b+c

E=

0

- á)(1ol - 5xr

a2x+b2v+c2z :L - ax+Dx+cz

=

a3+b3+c3-3abc '=7;3;? ú-'"-ac

3abc

Clave

(x

..

Reemplazando (4) en (3):

6

10 -5

'

Nos orden:

+c)3=

a3+b3+c3-3abc=(a+b +c)(i +bz +é)

Z

=

+

Reemplazando (ct)en las fómulas anteriores se

Falta:0x2

B(x)

zé=c3-ahc

c2-ab-ac-bc)

10 -9

zc=c2-ab

Sabemos

-I

2x2

Se tiene:

(')

Reemplazando (1) en (2)i Clave B

2xa

xa = bc [.,lultiplicamos por a

(1)

3a2b2c2

Reemplazando (2) en (1):

17. A(x) =

a2

1'¡

Piden:

+ 3ia + bXb +c)(a + c)

+(a+bxb+c)(a+c)=-l

(bc)3

+

a3b3

Sabemos (a

r

1:

. c- ]l-9-'t ''--1+4--

1*l*1=o

á0c

2 a+b+c) (a+bXa+c + c)

¡=

+ 4)

=

= 7A+ 68 + 6C = 4 + 22 + 7(3)+68+6(2)=39

1

21 + 68

+'!2 =

13

39

68=6=B='l

Luego:

S=2 Clave

c

- M(x)= (x - 1f(x + 9) '= N(r) (, i(r + 4)

x+9 x+4

Nos piden:

(A+ B)c = (3 +

ÁLGEBRA - soLUctoNARto

1)2

=

16 Cláve E

u

N

toAD

2

I 25

I -.3 =i;-h -3

23. s

(/i

"

x-a

=

x-

G)\"Q - G

+

26.

(x2+ax+a2) a

)\x2 + ax

,/x-!á

+

a2)

E

o

S=(,/i+"6Xx2rax+a2)

U

Si:x=a

1vl

S=(G+'6\la2+a2+a2) H

s = (2,G\ea'?) =

6a2

I

c o

0

M

"G

G

É

E

N

S

lvl

L

Cláve B P

24. No olvidar que

la fracción tiene que ser propia, luego

L

3x2+2ox-7 ^- ;-17;.14

+20x-

3x2

3l

+ 20x -

+

1)(x

-

7 = A(x

7

- 7)(x ll(x

-

2)

N

E

P

T

J

o

E

0

L

I

Eldenominador presenla tres factores de pñmergrado dist¡ntos, enlonces:

(x

E I

-

2) + C(x

r

1)(x

-

S

N

T

T

N

E

P

ABC - \+1r x 7+ x-2

2) + B(x + 1)(x

c 0

R

[,1

7)

x=2: 12+40-7=C(3X-5)

+ C=-3

27

x=7:3(49)+ 140-7=

Cada polinomio puede ser expresado considerando el MCD como:

B(8X5)

A(x) = (x + 7Xx

+ B=7 x=- lr3-20-7=A(-8)(-3)

,,, _

.3x2+_20x 7 _rn1_¡_=L¡_L* -3 \x+1 x_7 x-2 xr_gxr.Sx+14 ) 1 7,3 x+1 x 7 x

-7 + 2lx 3 + 2lx

-

1

7l =

+2x+2=N+

-l

+U

-2)=3 +2x-

-

4

14

=2x

-7

m+n = -392

Parax= 1:0= -1 2

3

= 2x

-

4l) Unidod

-1

-

t.

a

+

15

-1

t§Z, y n=

7

3+64

2

+ l)(x + 3)(x + 2Xx + 4X2x

- 1Xl

+ 2l

.

lf - 3x + 2)

V

A(x) = xa

-96

= 26 !

I

Viincorecto

Lertrnáüc 5.o

+ S)21»

-

9x2

+ px +

q

- l\f -

lx + 2)(x +

2)(x + 4)

,rp

-7 +q

'*p

-1 +q

49

.. 15rr

t *r2 *

x.+

57

15

&

88

7

57

1

-1 i)2 (x

+n

...(3)

= 42 y q=

1

lV: conecto

+

n

-1 +n

-7

"+8 -1 at5 -1 3-9 -1 ...(4) -1 p+q =7

1

MCD . MCM = (x

+ mx +

Con los valores (mi n; p y q)deteminados, factonzamos los polinomios:

lll:corecto l\rCD =

7

2+m

-'1: 0 = -1

De (3)y (4): p

llicoreclo

tcoet

r

1

3-9

7

lV

64x2

...(2)

Patax=-7,0= -7 5+8 -7 4+5

-7 P+q =-245

l:correcto

TtMCM =

+

+

2.'grado

IMCD=(x+1Xx+3)

+

15x3

8(x) = {x + 7)(x + 1)(Pot. 3"' grado) = x5 + 8xa + 5x3

1

25.

¡1. MCM = (x

+

...(t)

m+n =-50

Para x =

+

xa

Asimismo: 21

Clave B

N¡vel 3 (pógino

2.' grado) =

Parax=7:0= -7 a+15 -7 3+64 -7 2+m

De (1)y (2): m =

+ 2(x + 1l=

1) (Pol.

2." grado

Nos piden 1

+

1

A(x) = (x + 7Xx

7

+ 1)(1f +

1

7x

r

i)

7

B(x)=

x5

r

+

8xa

5x3

- 9f +

,'+y2 +y2 x+y

49

-9

5

B

42

11-25 102

-1

(x

7

+ 7)(x + 1)(

1

7

x3

0

I *l *22 -l +-+ y+z

x2

u'?

x+y

22

+x2 +x2

z+\

-22

- xyz

zx2

z+x =ryZ

y+z

Nos piden:

-7

0

1

zf

49

-49

-7

-1

B(x)=

x+

42

--=I-

+

K= xz( x + y)

0

+ -2x+ 7 )

y2

K

+

xf¿(x + y)

+

xyz(y + z

x2

xf¿(z + x)

El lt¡C[/ de A(x)y B(x)estará dado por:

MCM(A;B)=(x+7)(x+1)( 1 x2+

7

+

x

-ix+

7

)

Nos piden la suma de los factores primos del MCM ,FP(MCM):

-

:FP(MCM)

(x . 7) + {x

*

+

1)

{

1

x2- i x+

1 )+

( 1 x3+ -2 x+ 7 )

Multjpl¡cando por 2:

tlzl *u2 ,*= ryzu+y y+z*u'l z+xl 2K

xy¿

= xY

-K=+ ClaveA

Reduciendo términos semeiantes:

XFP(l\¡Cl!l)=

1x3+ 1 x2+[1+1+ 7 + -2]x+17+1+

1

+ 7I

30. Datos:

a3+b3+c3=4 EFP(MCM)= 1

l+

x3+ 1

7 x+

a=1-b-c

16

a+b+c=1= b=1-a-c c=1-a-b 28. Dato:

Nos pidenl

+ z)-1 +

(y

(x

+ z)-1

+(x+y)-1=0

z=

Sea: y + z = a; x +

b;

x+ y=

'''-

q

Reemplazando:

'

b+ac 'crab

Reemplazando;

f+!+I=0 abc

'l 1 *.'"-1-b-c+bc , 'l-a-c-ac - 1 a

=bc+ac+ab=0

ablac=-bc

l,t,l

a+bc

1

b+ab

f)

ab+bc=-ac ac+bc=-ab

1 1 ,.'"-(1 -bxf -c) -' (1 -aX1 -c) ,' ('l -axl -b) 1

Nos piden:

E= (

x+y+22 2x+y+z y+z )(++#X x+y )

Homogeneizando

1-a+1-b+1-c

Reemplazando:

(1

a+b E_/b+cv .el_q b )( c )

-b)(1 - axl -c)

3-(a+b+c)

- (1 - blr--)(l - c)

\a/\

a

+

b

+c)+(ab +

bc

+ac)-abc

Dando forma:

E

_ / ab + ac\/ab +

'-l\

,'? /\

Reemplazando

(')en

bc V

¡2 /\

ac+

bc

2 ,'_ "'-áb+bc+ac-abc

\

c2 /

E:

Sabemos que:

=.=(-*)(-p)(-3)=-, Clave D

x2+f *f +22 *22 +x2 _*a x+y y+z z+x

x+y

=

al1o!3

+ 3(a +

b

+ cXab +

bc

+ ac)

-

3abc

-1 =ab+bc+ac-abc Reemplazando en (o):

.

Dando fomal

*l

q{jg' 14

-3=3(ab+bc+ac)-3abc

29. Dato:

,2

...(a)

y2

+.2

M=

-L =-2 -l

y+z

Clávs B

-+v_x+ ÁLGEBRA - soLUctoNARto UNIDAD 2

I 27

I

I

I 31. Dalo:

Sabemos que:

*6-t-6 - 1*1*1=o abc-

a-' + b-

ab+bc+ac=0 b(a+c)=-¿6

= ab+bc+ac=0 Se cumple:

r

(ab)3

Sumamos b2 en ambos miembros:

b2+b(a+c)=b2-ac b(b+a+c)=b2-ac

(bc)3+ (ac¡3= alam¡2

Recuerda: x3

+

y3

+

z3

-

3xyz =

1x

+

y+

z)lf

+

f

+

?-

xy

-u-

yz)

...(t)

--! - c) b(a+b+c) = u.

a:g(a

-

'

Reemptazando en It: K

§s¿;¡=¿3;y=63;¿=e3

ClaveA

33. Dato:

Reemplazando en (l): ae

+

be

+

cs

-

3a3b3c3

=

1a3

+

b3

t

c3¡a6 + b6 + co

-

1a3b3

+

b3c3

+

a3c3)¡

3(abc)2 ae

+

be

+

cs

_

3a3b3c3

(a3

=

r

b3

+ c1[a6 +

b6

+

c6

_

3a2b2c1

-

+b6+c6-

3abc

...(lD

.(llr)

Sabemos que: (a + b + c)3 = ¡3 + 63

+

(a

b

+

c)3

=

¿3

+

1 63+ 3(a + 1

53

)[a6

+

+

Í+t6l;d=;%-

3abc

S=

(a+b+c)(

(ll)en (l): (a + b + c)a =

aa

S=

(a+b+c

Nos p¡den: M

=

(a+b+c)(a2+

S=

+

-ab-bc

ac)

+

+

+ 2ab + 2bc + zac)

-

3abc

...(")

1

21a2b2

+Úc2 +

a2é1

...(l)

a2b2

+b2é +

a2c2

1

6a

=

c)

...(

-2abc(a + b +

6a

a

4abc(a+b+c)

)

...(lll)

ba+c1

a3+b3+c3+abc

Reemplazando (ct) y (lll)en M:

(a+b+cxa+b+c

S=

- 3.6.

Si:ab+bc+ác=0

-

+

+ c) (ab + bc + ac)

Luegoi

a3+b3+c3-3abc +

b

Elevamos alcuadrado: (a + b + c)a = ¿1 1 ¡1 1 6a

3

q3

De:(a+b+c)2=a2+b2+c2

Reemplazando (ll) en (lll)l

S=

ac)

=ab+bc+ac=0

Nos p¡den: S

72a62¡s2=1a+b+c)2 +Ú + é = i +¡2 + é+2(ab+ h+

i

(a+b+c/+4abc(arb+c) ., -- (r-b;;T-3"b.--b.

..S=3u(a+¡+cf =a*b+c Clave C

32. Dato:

M=(a+b+c [(a+b+c)3+4abcl '[(a+b+cf+4a¡cl ..M=a+b+c

ab+bc+ac=0

CláveA

S€ cumple: (ab)3

+

(bc)3

(ab)3

+

(uc¡3

34. P(x) = MCD(P; O) . h(x) +

(ac)3

=

31¿6q)2

= ¡(a¡c)2

-

1¿s)3

(,r)

-ffitienen{x)=o

Nos piden:

,

(abÉ +

(bcf

2(ac,

"--ábAET+c) d

Reemplazando

,_ "-

en

.(p)

,'-

ltacllo'¿

-

cuadrado perfecto

Luego, el numerador también tiene que ser un cuadrado perfecto. Analizando el discriminante:

-

+

3{acf

(a + b

-

(c + d))2

-

4{a

-

cxb

-

d) =

O

f(a-c) +(b-d)12 4(a-c)(b-d) =o

3abc(a+b+c)

(a

látc(a

a+b-c-d +(b-d L-

slamf - lacf -z1acf +T+ c)

3(abcf

x21a-c +x

9:

J-á64;

.. ''

o(x) = MoD(P O). s(x) + P(x)- o(x) = [¡cD{P; o)(h(x)- sE))

-

c)2

-

2(a

-

cxb

-

d) + {b

-d)2 = O

acJ

[(a-c)-(b-d)]'?=o

+¡Tc,

aclbz acl '' tGlb+c)

,

.(

)

=(a-c)-(b-d)=0 ..a+d=c+b Clave C

ZAltexirnatic S.'

5x2* 19x- 18 _a, -". x(r+3)(x-2) x

x

b _ c r3 t-2

a(x + 3Xx

5x2r19x-18

2)+

-

x(x+3)(x-2)

-

Restando (2) de (1): 2a Reemplazando a

bx(x

-

2)+

6

= 0+a = 3

3 en (1):

=

m.32-7(3)+m+1=O

cx(x + 3)

10m-20=0=m=2

Luego:

Luego:

5x2+ 19x-

18

= a(x

+3)(x 2)+ bx(x-2)+cx(x+3)

tl(,

S€a:

x=2 +

¡¡

20 + 38

-'18 =

(,

)

2x2 7x+3

)

2x2-gx+9

(zx-t)(x-¡) l)(x - s)

- (zx

10c

tl(* ) 2x l =M(,¡=ii_s Seai

x=0 + -18=-6a Por lo tanto, el denominador es:

2x

3 Clave D

Sea:

x=-3 = 45-57

'18=15b

= b=-2

ch,"

e

38. Sean los polinomios P(x) y Q(x). Por propiedad: P(x) . O(x) = MCD{P; Q) mcm (Pi O)

a(b+cf +b(a+cf -36.ffi=rr

lf

+c1a+

=

acz

+ba2 +bc2 +

+

c¿2

cb2

-

6abc

-

a

mcm(P:Q)=x3(x2-l)

(a+c)+c2(a+b)-6abc

c)+

Hallamos el resto de; mcm(P; Q)

t

+

)

Como P(x)y Q(x) son primos, enton@s:

Reemplazando la siguienle relac¡ón en la ecuac¡ón anterior: a21b

.(

1

- x3 = x3(f - t) P(x)= x3; Q1¡¡= ¡2 - 1

+ c¡+ b21a + c) + c2(a + b)+ 6abc

(b +

-

P(x) . Q(x)= x5

,,

Faclorizando: a21b

.(r)

x3

De (l) y (ll)i

a¡l + acJ+ bal + bci + cai + coi+ 6abc

+

-

Datos: P(x) + Q(x)= x3 + x2

Desarollando

ab2

P(x) . Q(x)= x5

Por teorema

c) + b21a + c¡ + c2(a + b) = Mabc

Mábc + 6abc Mabc - 6abc

=

=

x2

+2

delÍe§o:

x2

+2=0 =

x2

= -2

Reemplazando tenemos

-2x(-2

R{x) = R{x) = 6x

rr

M+6=11M-66 72

:

Finalmente:

1)

6(2)=

12

10lt¡l

Clave C

.'.M =7,2 Clave B

37. Sea: N(x) =

m¡3- 1, * 7¡¡ *(m + 8)x-

t{x)= md-(m+9É+(m+

1)

-

1)

(m+7)

-

168

+

(m

Feciorizando convenientemente:

N(x)=ml8- 1)

= =

7x(x

l)(ml

-

1)+

(m

+

1)(x

N(x)=

(x-

M(x)=

nD¿E- 1)- gx(x 1)+(m+7Ix-1)

M(x)

Txrm+1)

= (x- l)imf -9x+ m+

7)

N(x) mx2-7x+m+1 M(,.)=;7 r-+,+z

siD=[,,tcD(N;[r)

SeaD=(x_a)

+ma2-7a+m+1=O ma2-9a+m+7=0

...(1) . (2)

ÁLGEBRA . soLUctoNARto uNrDAo 2

I 29

,.

a

ANÁLISIS COMBINATORIO PRACTIOUEMOS

I (póglno 4ó) Unldod

Nlvel 1.

+ 1Xa Xa

7(a

_

2

-

1Xa

- 2)G:rl)

a2

la-s

-a2

n. 'téminos

=

17

+

.

(x + y)10= +: +. +: lll. (a

-b)7=+,-;+;

1

=

(a + 3Xa +

(v)

18

.. +

2)=

7(a

- 1Xa

cl

= za

- a2=9¡a)o

= zsz

..a=3

2)

Multiplicando:

(v)

3a2-13a+4=0

I

e.

:">k-lI ,=;"

=!s*r¡= Cflx11f = 167966rttrs (v)

(a

(ax o'0

-¡qtÑf

¡)2" = ¿oso

+(a-bf=64 , -L¿a k, ! 1.k q., = q¿(axy-b l (-¡x,y")

?

a!=nb

Sea:

Six=y=l,entonces:

Tambiénl

CleveC

2.

=zsz a

(F)

4." lérmino

lV tro

c8,

a2 \za)

Simplifcando:

l.

C! xa = 252x4

La altemativa C coincide exactamente.

Reemplazando:

t*

4!=nl¿

Clave C

4.38=nV-n=12

t+f :tr+|.1-1¡

-kbkx2"

1= cÍua2"

...(1)

Delenunciado: 3.

nl

+ n+'l !+(n+2)!

2a-k +!=¿ 2a-k+f= a a

Nos pideni

n+a=12+4=16

(n+2)!-(n+1)l-n! +

nl + (n

1)nl

+

(n

+ 2)(n + l)nl

=

6. ^

2cl =

- ci

2c5

Reenplazando b =

2E - 2[ lflr-¡-Ulx s

-Ll -'''

n+2_¡r 12lx

-

n=2 kl=1+Zn k=2

-r;-rx,

Nos piden:

3(x

12 Clave D

Clave B 1

5@

>< -5 Sea:

l{x-1)e(x2rx+1)T =¡(x-t)(f+x+1)136

-

ti.r

Número de términos es: 36

k=

+ I = 37

= t.@+1 = tls = trs+

t,a*, = ci3(x3)* '8(-1)'o=

Clave

5.

Ci+

3

0

2

+ 1)al(a

lei

30 I

...(1)

12

(l)^

k=

0;2;4;6;8; 10;12

27

..(2)

. .Iexoonentes ,2

...00

1a

+

b¡.!1lf-.1)

= 3.!1 =

16

(ll):

Clave B

Nlvel 2 (póglno 4ó) Unldod 2

naturales son 7. Cláve 0

hil - 7lG!. l(á - 1) lc l(. ¡l

(a + 3)(a + 2Xa

2

= lexponentes =

Pordefnición:

14

z\6¡u¡u - z

Reemplazando (1)en (2):

...(t)

De

7Ca+1

(t

2

nn=27=n=3

se deb€ cumplir:

. . Los térm¡nos que pertenecen a los

=

= ub

(a + b)n =

L+ 1 € N

-k>0 -k<

cffrr

* z\bxbf *

Además:

"e)12

Además: 12

r

(a

+a+b=n

k(/z)k = cl'?(:,6)1'?

Para que

1)s

P¡den: tc

+

= cg_ 2(ax1"

u¿+2 Clave B

7. F/5

_ 1

+, (ax1'

Del enunc¡ado:

4

Entonces:

(x3

rb

x2-9x+20=0

1)e(,{+ 1)s(x2+x+ t¡la

la expresión:

t*3= q

1

- 3) 2(x 2Xx - 3)

diferencia de cuadrados

=

10. De

Reduciendo se tiene:

De la expresión:

f(,[

_1_

1

nk=t=4

,t.

Reemplazandoa=3en(2)

o-rr+§=+ k=3 = k+1=4

3(,_¡t¡j-

4

en (1):

+a=3

h lelx-z

1

n

-1

(a+1f=64=43=(3+1)3

Por defnic¡ón:

Reduciendo:

nl(n+2)2 n!(n+2)n

Resolüendo:

Clave E

Degradando:

. 6Inil r)n'-(nllnlil

.(2)

-b

l-eximáüc 5."

8.

- l)

(

ar*1x I

Por dato: i7

= b+1 = cB G4'?{+)6 = 252x4

11. 2.

l.

verdadera. va oue: ll2m = 2m lm

ll.

Falsa. s¡milar al caso anterior.

lll. Falsa, si

G

= 7,

no verifica ¡a igualdad

lV Falsa, 3!ll. no está deñn¡da en las mabmáücas, pensaf que es factofial de lactorial y, asi

-

(x + 1)x (x

1x2x3l(x-2)

x+1+

suces¡vamente, no tiene sentido en el álgebra.

1)l(x

2)

x3+6x

-

zo. cfxcl + c!xc! + c!xc{ + c!xcfi

6

..

'175-t210+70+5=460 Clave E

2.' miembro considerando

luego del

-

1)

66 -

x3+6x

Nlvel 3 (pógino 47) Unidod 2

Reduciendo:

5x+6=6x=x=6

21. Según leoría

c.s. = {6}

esqito en lV

lo

x(x2

x+1+

V. Verdadera, en este caso lo que se aprecia en el 1.4 miembro es la separaci5n de los facloriales po{ los paéotesis, eslo si le da senlido para lograr desar¡dlarto (ernpezar de adenfo hacia afi¡er¿),

ClaYe D.

conduimos que esta propos¡ción es verdadera.

ClaveA

rz. 13. n.n!+

+

(n

1Xn

Sabemos: ¿!= (3 +

¡.

+ 1)!+... + m. m!= 1$

-

7!

+

eltérmino independiente.

r*-, = c[ofzxalo-

Luao:

l)!-

- (n r

1

n!+ (n+ 2)!-

2) + (n+ 4)

-

(n

(n

i

+ 1)l+ (n+ 3)! 3)!+... + (m +'l)

-

m!

Reduciendo: l* * , =

-l(l_71

Luego: t*

Donde:

*,

Binomio de Newton

lV Factorial

. x4o

-

Término general

Er

23.

k=5

= ZoClo = Clo

tu

=

=

Tiángulo de Pascal

ll.

V

(-J-f

210 2t Clo

Pordato:40-8k=0

(m+1)!-n!=15!-7!

k

l.

lll. Número combinatorio

al

Luego: (n

(zx'+frfo Sea tr+

1)!-

22.

2

N

219

E

84

m+l=15 + m=14

Pordefinición:

h=

;S

= 252 Clave A

Nos piden: mn = 98 Clave E

18. Sean:

U; !, *1t tr * 2 los términos consecutivos.

b)n]2(a

-

b)2n[aa

+

= [a6 - ¡14

=

1a2

b2¡h1aa

+ a?Ú

a2b2

+b\2'

n." términos = grado +

¡ios piden:

+

^= ñ

2

N

+

-

3)!

-

1)(n

6(n

4(n

1

\17-+

)

=

le

3k!(n

-

k)!

-

-

k)!=

=? 3k(k

1)l{n

=(k(k-

1)l (n

3k=n-k+1 1)!(n

-

7)T

- 2)(n - 3)!

3)!

te=ts.1 = c¡6(a116 1-b18 ton*r = ls = cl6 (a¡)4

3kl(n-k)!

n! _n!

Clave C

5(k+

1)kl (n

15. S = c? + 2ci +3ci +... + nCi

5(k+

1)!(n-k-

8k=3n_5

+2(l)cl I +3(+)ci-1 + ... + n.!cl n

De

(o)y (P):

n

=

s = n(c6-1 + ci-1+... +

cl-

. + 2)(n + l)(n)(n ______61ñ¡r

l)!

...(ct)

n(n - 1)(n - 2) 4(n +'l)n(n - 1) ^^=6--------5-

6(n

-

1)(n 2)!

(n

,

(n + 2)(n

+ l)(n)

1)! R

1)!

...(9)

-

= tl(n

R=

1Xn

R Clave B

-

2)

+4(n + 1)(n

-

1)

+ (n + 2)(n + 1)l

+lrf -30r2+úf -4+#+3n+21

= *(6n1 =

n3 chYe

1)

19.

=S=n(l +1)n-1=n(2)n-1 .'.S=n.2n1

x(x2 + 6

Eleg¡r tesorero y

25, Saber¡o§:

seselario:

Sii

cloxcfl = Clave E

+ (r)=

+ 1)n(n

k)!

-

7

1

+ 2)!

(n

k + 1)!

- k- 1)l = 3k(n - kxn - k5k+5=3n 3k

s=+c3-1

(n + 2)!

5iiñlf -

k+ lxn

4k=nt1 De ([):

+'l)!-

3(ñ

4.

Reemplazando datos:

2)

(n

n!

q,=(-1 = cl'(a6F"-\-blk

,. (;). (i). (

0

n! 3(n

_n! (k- l)!(n-k+ 1)! - 3k!(n-k)!

1

n=8

lgúd =

uk+1 s

n

De (l):

Sabemos que:

17=2n+1

Uk

Uk

1 T-T-

+ ba¡a

f

3

z¿. R = C! + 4C! *r + C3*2

Pordato:

14. [(a +

6

6)

soo

Elegirun presidente y un vicepresidente entre lo§

en (x

+

y)ñ n es par

+t= \!+ r )/!:Éminoceffd

58 reshntesl

Del enunc¡ado:

zcf

tú=

L

3¡6

1

r

p=43

ÁLceenl - soLUctoNARto uNtoAo

2

I

...f ) En (1) el factor 2 qu¡ere que los dos =

(+-r) -

13

=

-.q

+

seleccionados puedan ocupar cualqu¡era

x+1

x3+6x

3

6

('i '). ( l¡:1 - x3+6x ,-,^"'lil'-z

Luego:

de los dos cargos.

r,r= c?á(r'12.(u"-1"

..800.3306=26,14800 Clave A

|113

-

\420 ^21^12rn

r12n

-§

o

31

E

/ / Por dato: a12ñ

.b12tt-

a18

.

pr,,.r =

b132

48 + m=4 12n 96=132= n=19 12m

=

Pidenr m + n + p

=4 +

19

*

[(?

ci+cá 1+c)

Del dato y delenunciado:

I

«1 +C.2 +(13 + «2 +

Ptx:al=/4+-{f8 \x at

-(ál

(., = cl,(+l'

+ 43 = 66 ClaveA

26.

])(i * ]f

-^

-18

^18 ,-k

Por deiinición

7

2k

2[

a 18-

t;l

=

+

18-2k=0

"n

x(x-1)lx-2

x-1Xx-2)lx-3

lx-2

lx-¡

_t¡

+

^

^m un

.(1)

k=9

lx-4

(x-

(x-

1)+

1Xx

-

2)+

(x

- 2\x- 3)=272

Reduciendo:

oz=

0;

=0;ota =3i o(3=

oz =

0;

2;o1= 1;c.3 = 0

cr5

2;

=

(¡1=

0; ct3

=0 = 3;c.z = 0;c¿t = 0

0;C(3

3; c(4

=

0;

oz=

2;ú4= 1-,(r3=

l

ez=0;crt=1

el

=

coefciente

1t

a¡ =

1

de x16 se obtiene

al

5!(- 3 f {5f ,5l(-3)o(5)'? '---- vi6. -r¡mr " 1t0!0!4!0! 0t0r2r3!0! 5!(- 3)l (5)1 str-

0!Mt2t1t

-t*.,= c¡(,*|f-*rrI

,X

=0

z=2iat

ú5 =

,8

¡8¡8 kxSkp

tk

(r

05=

(x+r+t)

x2-3r-88=o ¡- 1--11 ¡ x=11 s l"=u-" -x=11

ol = 1 al = 0

reemplazar los valores obtenidos en (1):

n

29.

2;

(r5 =

Luego

n=k=9 Clave B

rx-2xx-3ll¡=ll _,"^ , ---¿^

= 5 ...(2)

cr5= 1;04 = 2;c(3 = 1ict2= 1;ot1

Entonces, de (1):

m=18

(-¿5

05 = 0; oa =4;c(3 = 0; cr5

Luego:

lx lx-1 lx-2 lx-2l? lx 311 x-412 = lJb

r_-s-+r---+i:-

+

cfa

+ 4{.4 + 5q5= 16 ...(3)

Resolviendo (2) y (3):

=.r

"r :i¡:2r. -

2=136

2c¿3

5l(

f

3f(5, srr-¡irsf* slt-¡fs1 ' 1t1t0!0!3! 1toliiii2!

olot¡lolzt

(+l ..

.tr+t=ukup ^8^8 t I 8-l

¡frs

0!2tot1t2!

2¡

lcoel. de

x16

es: 1115

,(lJ

Clave 0

Clave E

Como ellérmino es independiente de x:

27. (.fi

¡\i

t

¡a2

S

tl 04 23 42 61 80

r*.,=cl'(,[f'*.(tFI Reduciendo: 126 5t

(*r=Cí'.x---6-

(Hay 5 pos¡bjlidades)

..

Reemplazando estos valores en (1):

Se observa que el binomio tiene 43 térmioos,

f.

¡ndependiente:

=

clc! + c!c!

5k

entonces k toma 43 valores.

Para que la expresión sea racional se debe cumplir que:

=

.

0; 6; 12; 18; 24; 30; 36;42

.I

c!c! + cflcf + c!c!

+

independiente = 1107

Hay 8 término6 racionales. Sabemos quei

Clave 0

n." de téminos = n." términos racionales + n." de téminos inacionales.

43 = 8 +

=

n.' tém¡nos ¡racionales

n.' téminos inacionales =43

30. Fómula de Leibniz:

-I

= 35 Clav6 C

(x1

+x2+x3+ ..+4)n =

I#f;#

Donde:

2s P(ra) =

[e(4+,)-*(É.,)l

cr1 + c¡,2

+

cr3

+

...

+o.k =

n

En el problema:

ax.r=

[4.$.s1;.i¡f

P(,,)=[(i*á)( ^2,r2

).'r*.flf

P({.)=[(+':)($.'.$)], 32

Leximátic 5.o

)ffi(', f, s-

5!( I )o,

(-

3x

(5x2 )ar { x4

Ellérmino general es: 5t

c? c3 sr

= ¡ooo Clave B

,- ^(*r=Ci'.x'-e

k

e

3k+2p=8

Sea:

,^

3'l

8-k-2p=0

50¡xa,

+ 2a, + aa.+ 5a.

!o3loa!cr5

|

f4

{ x5

F5

RADICACIÓN Y RACIONALIZACIÓN Pasando a radicales simples:

PRACfIQUEMOS

Nlvel 'l (póglno

5l)

6O -1)+QE

Unldod 2

-A)+lJ¡

J¡) + ... + '5) 1,tr ...+G6-"4)+lh7 - lsl) = "E -t=

1

l.

5. A=r'10 4J6.li+r6

lncorecto

tT,* ,/, IT ,/, ll.

$ 2!qx6

3x2

2

5

lncorreclo

11

5+6-2

J120 =

5.6

^ t"6 ,/¡ \,5 + ,4) ^=_______J1_/;

:tG-li

lll. lnconecto

A=

m+7+2

7m

--lÁ+Ji

49

+

2x2

aa

49-x

- J2\ll3 + l2\

4xjR lx 3(li) - 3(li\}G -

49-xa

¡,/4gJ

=¡2

f,l-Lt,/3

=

1

ClaveA

lV Conecto

V

Cleve B

_

4xe,F)

=+oR) Clave B

lnconecto 1

28 +

2J192 =

{16

+

'12)

,t 11

+ 2 16.12

=,5+1+rJl =li+1 Luego, lo correcto es

-

2J30

_1

1

(6+5)

:t : 6*6 t/b + r'5

'/6 r'5

lV

2

r'b

-vc

=./6

+,6

6x5

2

Clave B

+ 4'fJ 324 63

32

Falso (F): Los radicales semeiantes tienen la misma expres¡ón subBdical y el mismo índice, y no como especiñca elenunciado que solo posee Ia mi§ma expresión

Simplifcando

§ubradical. 63

Verdadero (V): La racionalización p€mite tansformar

el denom¡nador iracional a

16-2

uno

racional, luego el enunciado es verdadero.

z= \s+7|¡+2'6i

,fir+il-rñ

Falso (F): Los radicales homogéneos tienen el mismo índ¡ce, pero no necesariamenle el mismo radicando.

-

,tE +,,/7

,

,^ ^I; r0 1-Ol/

-.P+n) Jg \/7 (3 + /7)

Falso (F):

El factor racionalizante y el denominador de la fracción son expre§iones inacionales que, al multiplicarlas, se convierten en una expresión racional.

o,1/1

Si el denom¡nador fuese una expÍesión ¡ac¡onal, no haríamos uso del factol racionalizante. Esta proposición es falsa.

Clave E

e. R="40

o- ]|rt +Jh : , tl'1+"4) - -' ". '- tls-J2)t,s t ' l¿t -,tt\lJt -,51 "Q)

s\,q

21,6

+

"Ol - tG-6\tE¡fl I @-ti@¡14 'l

^=3(l{"Ot ¡=

li

+

+J2+J7

4l'1+,5)

+li -"i

s&Í +,O) + 5

-'e

n'?

=

Ru

=ro

fO[

+,tr)

Ji+'5\

,to +3

10-3

't0

10

7-

+

-J7

2,/10 + 2 2J10 - 2.3

("40+t)(/10+3) 10-3x 10 +3)

R2=10(13+4"40)

,6- li=o

R=/10 13+4

10

= tñto(

13

+ 2r'40 )

ClaveA

t. "6-ill+

R

5-2J6 *"4-zJi*"6-iJñ+

,aa( (8+5)+2

8.5

= t_ ¡ R=/ro(/8+/5)=/80+/50

ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2

I 33

'4ai +,61

a=

t,6 + s./i

=

l5+2 ¡.. -""r¿- úi-zlE*2t-""

1

15.

R:als+5J|=dJe +8lt

-

+o =4 A 0=5 ..ct.0=20

ll .^ !i:f

Clave C

+2

'"E

\/rv"6

-Js =J5 +2-Js =2

10. Racionalizando: xs

Clave D

+1+7x23ll

3J$+z)3 +3"r7

-

.^ '*'. --ta+,8 -txa t,E -tt

(+;

+ 1+7x?3,fi I ',GllF+3,f \ x9

_

1xs+

(x+2)

+

+

(x+2J

+

\"*"Ei)' .'-;-;;1l,

1+7x23,f¡FR

Como respuesta nos piden:

3f

á

6

(v8 ;v7 )to,* 8+7

r + ott3"E

-3"87 t lV

Clave A

t

3+/3 ,2+.72+.t-t

15 5

5

,/z

Cláve E

Nivel 2 (póglno

5l) Unidod

n

e z+;n

3 ,/3 -.D- /t-

$

nQ+,5)

Ja)l1

(n ,lr-¡lttA "D(,2 +fz+"5¡

2

11.

l.

"Eif

-e=q'/aa a2=c'6

rr 1n,r"."oo.) =

)

\a-

ta

\", u;, ,)1 e=h+"/3i)2 -(" "E - t\'. e=ta,E t=t/7(J-tl

(x+2)3+7

(t6

/? ttta-yE

-

-t) t t;,;7 --¡)t, - uZ-

r;ll

es impar

+,/a) G-,5)A

J2rc

"

z+J

ll. nez,':n>2

lll.ncz+inespar

t

+

2"5 2 - ,/ 4 - 2,5

B ,5)"e G ñ

t2 3+/3)

2-(J3 -1)

2+ 3+1 '.H=0

,12.

Clave D

B.

M

18.

f,sl' = J3l| ¡; -.8: l'I = J:ft= J3l ./3 1

?

t,.

-M

=

'/3 -3:Tl

lll\ 2_l -Z-:

t

ClaveA

-r l

x+2 x-1)(1)+ x-2 x-1 y+2 (y-1X1)+ y-2 (v - 1)(1 )

f=

1

I

Pasando a radical simplel

x>2

y<2

^ ,E-1+1

l=/ 1 :V1-4\

'/3\,-/3 I \1 -/3 lt1+J3 I 1 t5 ,, t+r5 '---2-r-T

1+

y

.,./i--

1+1

v-'1

r-2./e 1 =.,qClave C

ClaveA

14. E=

"O+

5-316 "4+

rs. cl =

(6+2)+2

._

E=la;G-iG-d;ñ-T E=

Jz +

E=

,1

+

+21

e=yQllJi -Ji

2

32

-¿=e15

+ 3)(x

1

6,h2s Clave B

34 I Lexirnát¡c 5.o

(x

t

2)(x

_

+

1)

1

tti zti 6" ":,4d * 'E +\ t Vl2s t ¿9 _ ó./i2s 1 6J ¡6Jlzs -6,fns \ 6, 125 6, 49 + 49 \6./i25 -6J49 I \t2s -3,/49

6

(3

cl+3

r,/i2s

-oJ 4s I

-r,/49\

3/tzí

+

49)

+

+

3"/1251491

+

3/

qg2

7 7 l3J*2\ "y'x Vx\Vx'l

6, 6, _ f, lzs - ¿grrn _ f, rzs - ¿slrn 76 125 49 0enominador raciofl alizado: 76

20.

,h -

.tE-

=

lV.,/q+fi

:

tu. Clave E

Jl - zJT

I.

.7 ./@ +b) +

IV RACIONALIZANTE

Í ./ ./

V, RAOICACIÓN VI. OOBLES

ab =

fi( +alt- {

1z%

t2

Ejercic¡o

4

lndica

8

a+b+ab=t2+8t-l

denominador oblenido 5

el

racionalizar:

.15

...(21

Asumiendo:

+.15

(3)

l9

(2):

+crxt+P) =t2 + 8t-

Donde:

G

2{l

23

1

(o + P +cP1 =12 ¡61

5

+'l

-,D

U

Al racionaliza( 5

-I

/5+/5+/s

6

S

6

S

se obtiene como denom¡nador:

(r+P=6

o.+P+2=8

12

12

127 + 2150

Operando el pimer m¡embro: (c. + p + 2)t +

Letra

+ 412

Racionaliza: (t

-

Resultado al

Translorma a radicales simples:

a=t-td b=t+9 +B+

RACIONALIZACION

III. SEI\.,IEJANTES

4y

t

=Js+t

II, HOI'OGÉNEOS

...(1)

84mr21n=84É+672t-84 84(a+b)r21(4ab)= '

12

3.1

22

^

2t+o

=,/z-t

2.1

Clavé D

Reemplazando (1)en:

(3)en

12+1],-2

="6 +"6

m+r/ñ=a+b+/4ab + m=a+b n=4ab

í

=

4+2J5 = (3+1)+2

Por condición delproblema

iiTi

73J x2

a+P+c.P=-1 = 6+CtP=-1 00=-7

Si:

H=J3+J7(J13-J7 - l5-

17 )

halla: H + 2 "o. y P" en (3):

a=l+7 b=t-1

24. De

Nos piden:

G

=

Jt+7

-

l/a)2

=t+7

2

2 +3 2 +4

2

1-pr6¡2

=1-1

1..J' n ^ 9,/2 J2 ',rü

Clave E

CláveA

Nivel 3 (pógino 52) Unldod 2 2l .

iracción R =

Reduciendoi

o

"16=,t¡

a

que faltan i'4 1para llegar a

L

/,i

!l

^'=-(,t;lx7-i,l

Es fácil determinar las cilras que faltan para llegar a 9.

Por ejemplo, hay 5 tpos de radrcales de la forma

25.P= 4x'?(x'?-1X!4 lX¡L (x8+1Xxa+'l)(xa-t) 4x2(x2 'txx6- t)

+ ,/12

4(

esto s'gnrfica Por eso se determina que debe haber un 4 .

1

x

1 ( x4 + --T

como cifra a completar.

x

,'-+\ (r* ?

.

(1)

Por loexpuestoiesa es la relación que tienen dichos números con elnúmero 9.

Como: Hay 4 tipos de radicales:

t rt+,4

rr.

+

13;.6

tv

,Ít+ñ

ilr.

Reduciendo los radicales: 4

16-7 2

| l-a t1 -\ Ja ,t¡6 2 -!2-12

x=

Jl +,/6 ="D+t

- x 1=z=l+1=o

*'-1

,o+{=al

qa=o

=13-{=rl ÁLGEBRA - soLUctoNARro uNroAo

2

I 35

,l

/ Por lo tanto, reemplazando en (1):

Raconalizando:

28 o_4.2.14 '- 63 -5I

ux13'82 -13,5

(3"5+3)(3,5

1)

5

(,4

+ ,5)3 = J13 +

-(A

+,4)3 =

tJi2 ,6

11"D

+

gA ."62 +

+slT

e¡sl

+¡g7

* ¡rJ! =,R16;7ñ

*

(4+3)+2

55rg- =

97+56

4.3

K=

43Ji á2¡1r,62+r,6+ti 1(V5)"+3"){(V5)"_1'}

u1r,E2

-s3,6 + 3')(V5'+V5 +1)

6t13,E2

32x4

...t2)

., -t3"62 -33"8 $2tt3/i2 2^=

49.48

ClaveA

"1ill:n =lt+Jl

30. Escribimos de olra manera

n? rs

..(3)

2

Q-a

+

3

+

Pero, segúo la condición;

2

n? ( +

l'

3

2x

Asimismo:

x+2

4

.

.L

R

8

2s

Resolviendo:

ns2

ns2

s

(I +

s

+

)

=

2sll

.(2)

Se puede afmarlambiéni

x+2

8x1 (

I *{)*z

64

+

I

F

I

B-/;

)(

(1)+ (2) + {3):

V8

RRR

z =.6+16+,,F

T*E* R/1

1 2\r - s-

4 Clave B

G+l+¡¡i-

.(3)

2t-1f

8

J2

2a.

pl2

...(1)

I

,*+

= ¡52 =

!="6 2t

.

Cláve C

27

¡f

+

rS

2

t,/2+J3+2-J2\1 \ 2+/3 )

la expresión pedida

ns2

Reemplazando en (1); (2) y (3) en lo que piden

J2 +

+3"6 +1t

=

=2+'5

3

+3/5+1)

...(j)

\2-{2f =ú.3.22J2 + 32n2 -,Q3 -Q-,Of =zo-u"D e¡sl * 6fi= 97 +2 2352 = (49+48)+2 -

,

J53

5

-33/5+32)

Clave B

zs.

+3"6 +1

5

+ x+22+10

x

1

t)

:"G+,G+"5

4

'.K=U,5(Jm+r'n+y'p)

3 =27

Dando forma

Clave C

x+1+2 4(x-3)+ ,Q¡22*2@§ =27

3t.

,Qi +Jq +"Q-¡

+.tt2s =27 = 20

+

z,q'/x1

=

=x=

\ft +fi

i03

64

s¡52

*

2t¡5

*

= 16112+y2-mnp=n +mnp-

t/71 y'+ ,rp + t/iz* y- ,rp

10

Clave D

29. K=

Delenunciado:

",/717 * ,,,np *'url7l7lnp

Pasando a radicales simples:

+

+

+

t¡2

...(3)

mnp=q

...(4)

+

t/717 - n.np = ,n

mnp

"=

36

e s;rC"

5--1)

+

-

...(s)

(3) x (5)

-22

,,uM

...\2)

p

64

1x"6

...(1)

(1) x (2):

+

1a

nnp

=

,

+mnp-

x2+

-

mnp

mnp

...(6)

mnpq

...(7)

=

(a) x (6):

t,, ;;V3\l

I Leximátic 5."

5

-,,

1)

{7;7

+tnne

-

+

-

mnp

=

(18q

(7) por lo solicitadoi 1x2

+

f

+ mnp)

1l

+

l¡

+ mnp

69)(q

- (x2 + f - mnp) = mnpqH - 1l + l) + mnp = 6¡pq¡

-

1)=

0 (5)

;(q€IN)

2mnp = mnpqH

(5) en (3):

...H= z q

s=

9f1) =r =

---44

s=5

Clave B

Nos piden:

p+q+r+s=7+1+9+5=22

32. Asum¡mos:

A(t)=pt+q+rt+s

Clave E

..{1)

33. Dando

$={0,*oxn*o B(t) = l1P1*

o,n *

.(2)

',

2odx2

(1)+ (2):

pr

+2c

2y2

+2

(

ab -e-'? )x,

n+ s+4(pt+qxrt+

s) =

(r:d),,. if (ab

^ 16 + 4(7)s + 4q(9) 192 = = 63

-

9c')x2 +

= zoti + 2c-2f

df

=

40 dx2

+ 4c-2y2

ldenüficando téminos:

9=7

ab

4+7s+9q=48

P=9

44 7

9q

...(3)

=,1&l d=4c-2

...(1)

9c-2

-

...12l.

9c-2 = 40(,h-2) = 1mc-2

*

..(4)

(3) en (4):

-

(2) en (1): ab

4qs+q +s=26

abc2

= 169 ...{3)

Reemplazando (3)en la facción a racionalizar

r(37q).0.$&=m &(44

2

Se sabei

25d + 19a+26 (p (4qs + q + s) = 25d r 194 + 26 + r + 4ps + 4qr)t + 4prÉ + p+r+4ps+4qr=192 4pt =252 pt + q +

una forma adecuada al radical.

-

gq) + 7q + 44

-

9q

= 182

176q-36q2-2q-13s=0 -3,6q2+174q-138=O 36q2-174q+138=o

18q2-87q+69=0

E><-ul

-6E

-l

-18q -87q

q

6

- 1)

6

169

-'l)

,4i_t -----

-ld 6@-r) - 6(,45 "1 1)

1 ./r_ l2 _ -6tOA12

Nos piden: 4(12) = 48 Clave C

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo uNlDAo

2

I

37

¿

NÚMERoS coMPLEJoS 5.

APLICAMOS LO APRENDIDO (póg¡no 55) Unidod 2

l.

grupos exactos de 4 sumandos.

r 4)

'(5r-6-

S= .2-2i¡+12-2i)+...+ 2k

s=2(1

D

( 4

)='=«'

(

2k\

,1

3!

,2

i6.¡ E

I

..

6.

10.

='l - 2vf

(a + bi)2

(ab)2

1

+i)

1

-2'6 -ab=-J6

=6

(

a4-a2=6

A= [i+ (-i)]10 =

0

7.

(1 + i)r = -2¡11 -¡ ¡¡=

(1

f

'V

(1

+(1+ i)a+(1+ i)6+(1+ ¡6= ¡ 1¡

+ i)2+(1 + i)212t(1 +

goi

2¡-

2

Reemplazando: Clave D

+ i)"

+'zxy' (1

+ i)¿ +'"/1 + i = 96i

'l*¡ +'lt

ifi3+(1 + i)f = x +

3V1

yi

"\/

+t +'Jt +t = sat

+i=96i='¿ +i=32i

\1 +

l'

= 2"i =

2'i' =

Ql)112*

(215

= eiJs

- 2x-' ', '10

2i + \2i)2 + (2i)3 + \2i)a = x + yi

2i-4-Bi+16=x+y¡ x+yi=12-6i

1

ClaveA

= x =.t2; y=_6

f-i 1,i

Nos p¡den:

-i

F(x;y)=

#

-

F(12;

-s)=

;+

=

'rz. u

+

Cl.vo

8.

t-1

ix1 +i

2 ri ^ ti2 ^= 2i = z= ,.i=-t Clave D

Lexi¡náüc 5."

(1+

=

Reemplazando:

2i

38 I

tlz

+i)'=2i

Sabemos que: (1 + i)2 = 2¡

, (1 -i)(1 +i) '2i 1i 1-i . (1 i)i ,

=

Sabemos que:

b ./2 J2 =_./E2 "=_'E'r¿

,

rll ' , l-i ,-1*,

'

I

't

,t1.3'"d-2 +2\/Z +,,4 ¡ (1

1-i 1-i 1-i 1-

't

.'(tr

!,

,,

Cláve E

-16 - (-,6Xb) = -/6 b=./z

ab =

,

Clave E

1-

3

a2(a2-1J=3x2= a = -,,,5 = --E___:__I

Nos piden:

(1 i)(1-i) t_2r+12 2i (1 +r)(1 -l) j-l 2

4+4i

3(1 r) 3,. '- l(t+i1¡ ¡ =6t'

a4-a2b2=a2

-¡

(1

l¡+ü+1

1+r+1Jl 3

Mullipl¡c€ndo por a2:

+i) 1+2i+i2 2i (1 -i) (1 +i) j-i2 2

(1

1-¡a-L 1+r

+ -¡

Pero:

1-

1+i+

i

a2-b2=1

,3

l1-i

1

z=

1

z-1 = -3(4 + 3i)

2ab =

1-ifo "^ t1+i 'r+il (1

-'l

ClaveA

a2-b2+2abi=1-2./6i

y'1=¡8.¡o=¡r=-,

_

l1 + 3ill2 + 2il

Donde:

i7=ia.i3=i3=-i

= ¡o=

2i)

,5 + .fi tllt

Clave D

¡3

+ 3i)(2 +

(1

l(/3 +/7i)(1 -D

ú_ t¿,/¿ t;

2=-!..1-11,=-(4*3i) J3

[#.jjÉf' ils = ¡16.

|

,-,2 "40 J a '' J10,7

i

i15 r12 13

-D

Luego:

ClaveA

3.

=

l?i=t*" =r=-á

¿_ i8- T

E=

7 D(1

Ef _

a2+1=9+6a+a2

r:

3+

-bi=i+b=-1

l7+P -a=t

_D

.. i4

I

lzl2

Enlonces:

4) sumandos

Z=

Nos pident IZI

,6t+¡z-a-¡i=g+i

7i r 8) r...

Clave C

2. E=r-'r''l

9.

lzl-z=3+i =rGt+u'-1a+Ui)=l+i

' - existen t/2t\ \4 /

Como: k es oa¡

S-(i-2-3i

Pordato:z€G+z=afbi Además:

lzl =

(1 + cos

lzl =

1

2(1 + cos74') =

lzl

=

=

tzt

.

lzl = 1'6

=

2c¡$r

=

Sabemos que: i = is;

2

74'f +

+2cos74' +

E

=i'f -2'f -210,/i"fr -72t1Í-

74"

74' +

2

74'

2cos 37'

,1

-21

I

-i

=

1

i11; i2

= ilo

./2

Teniendo en cuenta: 2¡ = (1

+

¡)2,

r,/-2,/-z,oJlg;

se tiene:

-i

2(+) = _c. 5

",1

-zt/ -z''y'l1ll1 =¡l _21

210Jla

i2i Clave D

",/

-2J -2i =3,/-2,/(t

-t,

2 =',111 + i)'

-

'J2i

sen3x=

-

]13senx

I

sen3x)

I

fc)

..r,¡=:{i+lf=r*i

'

i?A21a

-f

-ir+2

tl

-

(c)

i)11+ (t + i)1]

(1 + i)rur + (1

ol*

1-

0 = 210"

125

1+

(t + ¡)2+ [(t

[(r*Do

-

{-4)125.t't(_ 4)125

-

CláveA

8,

D

D

(i+i)

Delenunciado:

s = (w +

l-l+z-t=o

(z-1Xl+1)=0^

- 1)= 0^v l+1=0 z=1y X=-1 = z=iv z= -i -Y+Ct.rp+6=1+¡-i ..o+P+6=1 +

*=p*_/t¡f-'=r"+t'-' 2Lt-" " 4-¡ W=e3 "=e'e3

(z

4,

9.

= PRACTIQUEMOS

Nlvel

1

4

-

(póglno 57) Unldod

2

a3

-

lV\

4+3i=

(F) 3+4i=

ú.h"ill 1lZ!\ r4/=5er13or

1

-

3ab1 + (3a2b

4

=

aa

-

-

/rl?e*'(i)= ¡

-iP

eÑct'nt

-

1

-

= -2

b3

Donde: i + i2 +

1t

-

-

3a2b2

3a?b2

-

=

b1

4a

1997

E=

...1i)

= -2b ...(2)

..E=0

10. Según elenunc¡ado:

... M=-2

5.

)-

=ei

,2 t,,2+1,

= el2-12

!5

l:-li

Q '?

1-d,12

'l-e,. ' = ei:,-.,

z-r=

cos(rx)

-

isen(rx)

...( l )

rr=

s€n

sen3x

=

= 1O(c217' + ben217')...(1)

-B

-

6¡

...(2)

= -644 (3)en (1):

r

960i

...(3)

t bi - (-94 + 960i) = -8 -6i Clave D

rr. (n2=F Clave C

-

(-M-Ni)2=M-Ni

M2-N2r2MNi=M-Ni M=M2-N2

De(l)y(ll): s€ntrx)=

304

eT

"l'l=u"G

...(ll)

+

.. a+bi=-652+954i

lzl=let

= @sx + isenx

(2) y a

e

Piden:

2. (l)

(5

10(cos217" + isen217') =

(5 + 3i)r = ((5 + 3i)2)2 = (16 + 30i)2

Por dato:

z

-

a +U Clava B

+ 2isen15'cos15'

os(n) + isen(n)

i+(-

Clave E

= ze

=

+

,=1+i+i2+i3-o-g ll

,-2(2a-b\ '"M-bt-aa 2a-b (2a-b)

r+r =10tr2e

=zcns\ft) "'á a,¿cos(ü) ,-.

/

1

Piden:

= 2cos15"(cos15' + isen15')

S€a:z

i3+... + i1s= 0

Entonces:

=4a-2b=212a-bl

aa -ba

5e(*)

+ cos30' + isen?,o'

= I + 2cos215'

=

6.

-l-lt¿ ¡

cos(n)=

*

(21_z.t)-3'z_zrl

(:t'-l \3---/ z1_ z-'

(+)

_si

"\l1-:-11 2i / T

8i

z

ff+ff+zi (3*

2-

1m

b3)i

Sumando (1)y (2):

\/4'+3'e

(F) 10(1-¡)= ro,4 (V)

2i = (a3

3ab2

kez

I + i+ i2 + i3+..., - = -j _ *l-

Luegol

3a2b

1.

ik+ikt1 + ik*2+ik'3=o;v En elPrODEma: E

4-2i=a3+3a2bi -3ab2-b3i

Clave C

vf trd) +... + (wE

Por propiedad:

Elevando al cubo el dato del enunciado, tenemos:

4-2i=(a+bi)3

+

+ vf) + &a +

ClaY. B

Clave C

)

vl

+w6*#7)trlu+wa s=rl8+w8=(dfwt(vf)V + S = (1)w+ (1É =rv+ (-w - 1) ..S=-1

l1z-t¡..1z-t¡=g

14. Delenunciado:

..A,s(")=

O

En el problema:

3.

i}

e"(cosf +isenf

Por propiedad:

u/ +wn *1 +uI*2 =0; v n €z; w+

CláveA

w=

..tzt=1

+

Dal25(t

,, (- 4)125. (- 2i) + (- 4)r25.0 + "= (_4fs,12D..(--0q(i-0 .. ..

-.=+-,=+

+ e=270'-60"

+[

[,,+]

l,("tf]

t5

- i)!'

Dando forma: 1

]'?

,(."0' . b".roT]

-.=lr"*l[-l¿r

Clave E

,r. ,

lcos 30' + isen30' ¡a

2+i )(2 + i)

4r7i

=a+ui (2)en

5i+1 +2i=a+bi + -----

N=t

? € llo

= M<0 y N>0

I 10

..t2)

f;

De dato: Arg(P)

5i+1 +2i a+bi =

-3 1U

(1):

..(1)

1 -N--2MN = M=- 1

e Clave A

=

-l+ $t

= cos120'+ isenl2o'

Áloegne - soLUctoNARlo

Clav.

UNtDAD

2

I 39

B

/ / Nlvel 2 (póglno 57) Unldod 2 12.

r.

Piden:

r = Á/ --------------ii-

(F)

En la potenc¡ación se cumple: (lzl(coscr + iseno)n = lzl¡(cosno)+ isen(n..)

L

Reemplazando (1)y (2) en (3):

. /3,;5T

,G;tt V mrn3 V mlns

(F) Las raíces s0¡

3,ñ

p€ro no lienen modulo 27 sino 3

F=3

(co'(.#b).,*.(.#@))

+ ai

Clave E

17. (1 +

3(

[.

J-1,

=t,rit

c

sítiene solución.

(1

n =z=a+0i -

za

=

irlmáó6--mpte¡0.

.12

12

21

^an

^12

Luego:4n=12=n=3

6r'7lcos/

k

4096

2

[16,.,,fof

z=6J1

- '

I

16

ll-*1jl

= b'.a'-2abi

f)

¡)/ln

+i)8=(1 -D8=16

t 16

a

(V) Sea el número complejo: z = a + bi z. z'= (a^+ bi)(-a - bi) = -(a + bi)2 Otro

-

Sabemos que:

Existen dos soluciones.

13.(F) Sea:ae

+ (1

D7

l(1 +if (1-if I 1+i 'l-i I

(F) En elcampo de los números complejo

.(3)

'\*-\

= 0; l; 2;

'I

}lkjr

isenl¡-:2rr \ \ 6 /l- -'"\ 6-))

Clave E

18. Por dato:

3; 4; 5: liene seis soluciones,

6/7

pero el módulo de todas ellas es

z= -

y no 7.

¡li

i + fr

= c¡s120' + isenj2o.

2n

e3 14. Delenunciado: P¡den:

V

=

f

,i+ r)r01112

r

¡,i*r)r11516

1 ¡ / !-E\- / !4r\' Z-+z-=\e3 / +\e3'/

*,{,i*r)rt1e20

=y= ¡i+r. ¡i+r * ¡i+r - ¡*,*

3 . --3 - 2¡

'

-2¡t

3

.'.V=3i Clave D

23+z = cos(-27¡)+ isen(-2n)+ cos(2r)+ isen(2¡) .'.23+23=2=2e2"i Clave B

lS. z+a _ Z-b z+h Z-a Seaz=m+n¡+t=m-n¡

19.Sea:n=4k i

Luego:a+b=0+a=-b

Restando 1:

zla z+b

Nos piden:

2-a a-b _ a-b z+b z-a

+

2i2

+

3i3

+4ia +... +

14k)¡4k)

= 64

(i- 2 - 3i+ 4)+ (5i- 6 7i+ 8)+ (2 - 2i) + (2 - 2i) + ... = €A - U¡

..

64i

=

JAD

E=

(-b -b5

-bfb'?(-b-b

3( b - -2b5 + tob5 8bt I 3 3b" 3b5

-2ni=a+b=Númsroreal

Enlonces:

(2-2lk=32(2-21 +k=32 .'.n=4k=4132)=128 Clave

20. Searz=a+bi Clave 0

Pordato:

al cubo, eldato delenunciadol

lzl2

¿a¡¡={m+ni)3

(,q;Éf

a + bi = m3 + 3m2. ni + 3m(ni)2 + (ni)3

e

a + b¡ = (m3

-

3mn2) + 13m2n

-

a2

+

b2

-

-2iz +2n(1 +i)=o

2i(a + 2ai

a=m3-3mn2-m3-a=3mn2 b=3m2n - n3-b+n3=3m2n

5."

bi)+ 2n(1

+ Zb + 2n +

+i)=o 2ni

=

O

a2+b2+2b+2n+ 2(n-a)i=0

-il

n3¡i

Luego:

40 I Lexirnáüc

64i

---1tei;*,

- a5 b5 - 5a2b21a - b¡

z+b=i-a z-z=alb

16. Elevando

64

..(1) ..(2)

Luego:

a2+b2+2b+2n=0

I

+b2 +2b + 2n

=0 b2+2b+n2+2n=o n2

r

{ 6(1 valot

Para que z sea único, b debe tomar un solo

1

i)ñ

28, Sabemos:ak =

f'

= 6r\--r¡

P(z)= ao1+

^ 4=4(n'+2n)

p(z)

{rr,*ot}"={ut,*ulf'

+¡2+2n-1=0

-2r84()á -n=-2tñ Como: n

<

25'

=-¡+"4

0

c

=

0

r

i)+

(3

+

3i)r

(0

0i)+

h=( rif¡

=+=

Entooces: (1

-¡I" =-4=(1 n::

(1

(1

+¡)

(2r3i)r(5+5Dr(3+ü {7+3i)+(9+i)+(7+0i) (7+4i)+(9+6¡)+(8+i)

f

='l0

¡,los

gi

+

=24

11t

E=

z»(4 + z) -

Re(l 21z,tzz +

de cero y cuya representac¡ón en foma polar es: z = rciso. A la expresión: z = rep se le conoce como forma exponencial de z; si compaÍamos la forma polat cln ta forma exponencial de un número complejo

-

s€ obt¡ene la siguiente relacón: eo c¡so o tambén: eo = coso + iseno a esta explesión se le

Re(l zi

t)

=a+bi

zz\)

.{1)

E=

zj., =

21¿e

¡ 6¡

.12)

4(ac +

+

¡

i

p=b-ni

(bn

an)i

ab+n2=0=ab=-n2 ab es negativo

a2b

'ál=-'1zr."'i)+isen(z

i,*f)

n

= 3(4k

r

r

0,5

-

616

4

-

ab2

+b2

a2

-

ab

al¡ a2 +b2 . . tr¡=-*'

sabe[ro6 que:(a + b)2 > o

a2

+b2 ab

<

-

a2

+b2

>

-2ab

0).

- .

Sumamc'l: a21b2

1)

eb

< k< 8+ k€{'!;

Po{ lo tanto, n adopla

(a-bXa2+ab+b2)

=--=bG:T)

Divlliendo enfe ab (ab

a"

I

+1<-2+1

b"

7;-^¡

9<

¿

i

^ Sumando:c.+P=a+b€lR

a3-b3

= 9(n199 3(4k + 1)< 99

*¡3]**r¡ *i¡¡*

{o(r*DlI'=-o'u

0

P(-i) =

Del enunciado:

Pordato:n = ab

Reemplazamos:

{tr rit**zftr

+... +i

i

Clave 8

(ac + bd)+ (ac + bd)

(eáI="1a,*i¡i

-

+i)3=-2a2¡

-

Nos piden:

bd

-*=("'l),

-L.

| 3(-4)?ñl¿ - - 6'6.4

Sabemos que:

+iF=-4

i

00 P(i'.1=

+

Vk€Z;luego: Clave B

(1

+

¡

Se cumple por dato:

Clave C

I

(1

-

o.p = (ab + n2) +

27. Del enunciado

'l ii -t

-L -2t3i

i

oF=(a+nixb-n¡)

22=c+di

^

zt1 =actbd +(da-cb)i

(f

I

i31-rf 2 +... +fl*1

Luego:

+ im3Í]P)P

1-¡)-1

24. f(l r 1t t2\ 2

+

Reemplazando (2) en (1):

'=+

r r-1

-t

+ 1)Éminos

c.=a+n¡

E=2

(-')

P(-i) =

29.

1i3+1+i+i2+i3)P

+i-

(rf

(\ - :2\(z1- z2\

z2)+ Re(21

á2112=ac+M+{bc-ad)i

gii*r * ii * ii* 1 * i¡*z * ¡i+s¡r¡l¡i3 (-i

+'l)téminos

Número impar

z2)+ Re(21 z2)

Luego: z.,ir+

+ 'l

+in+1

p(-i) = r = e(ii*3) = e1i3l=

(n

Sea:

c¡noce como la fórmula de Eulet

im

*,nt' t'nt'.

pllen:

Zt-22

(21+22)G1+¡2)-( 21 - z2)G1- z2) Re({ z2)+ Re(21 i2) (21+

...(D

En(l):z=-¡

.Re(21 22)+ Re(21 z2)

22. Sea. z = a + b¡ un número complejo diferenle

23. ([irm + im + iml +

*t

e1r.)

+ 4i

=23

in

e11= 1-if +

E=

in*1

m=i+1

Cla!e 0

=9+7i

+

n=i

l

lz1 + zz

...

Se observa que:

-i)1

+ 7i)

26.E=

-.*4

P(i)= (n + 1)i"+1 = mi(dato)

.'-n=2

=8+11i (4ri)+(9+3i)+(8+2i) =21+6i (1 + 0i)+ (8 + 9i)+ i =9+10i (0+6i)+(5+2i)+(9+0i) =14+8i (3 + 6¡) + (5 +

P(i)=

-6,ru

(t +i11-rr¡

Comparando:

ar1-1 + arl-'*

-2 + =izr +i+r-1 +i3l

(n

-i/n

Nivel 3 (póglno 58) Un¡dod 2 2'1. (5

c

Luego:

n=-"D -l

.'.

if

(1 +

>0

S€az=i: Clavo

2

+1;k

Lu€go:

{otr * u* f'?=5ro¡*¡r

-¿=l-¿(n2+znxr)=o

ik

2;

3;... ; 8)

Luego, el máximo valor selá

/

valores de 2 cihas. Clave A

a3-b3

\

t;4;r/--'

ÁLGEBRA - soLUcroNARto UNTDAD 2

Clave D

I

4',1

MARATÓN MATEMÁTICA (pógino @) Unidod 2

l.

(!f*.'=

=

i, =

r

r

11.

rr= _r

8x+3

1

n.'términos de

=

ElcN es

un CN:

"! (x'12

!

m

=

Clave

Y"'

r'- y ^-t, y* xuy' tr = (x'lz = = i=a ,r | -a=

^

212

ro

^

or?

(x2-2x-3Xx2-2x-1)

x

= 212lcis12

I><

Cláve D

= 21211 + oi) -12 ^12 Clava D

7. z=x+yi lz + il =

.,1

x' + ly +

a,rcIil-*" Como no toma

I

<

1)¿

2

=

."nuo

/7.

-t)

(o;

y radio

M(x)= (x +

"n punteamos la circu nferencia.

Por elleorema del resto: En eldivisor:

-a

0

0

0

Cláve D

+ ax)

8.

(xn 2+xn-3+xn 1+... + 1 )+x H=(x_1)x Usamos:

(x- ,)r( x"x

+MCM=(x+1Xx+a)f _ D,-\ _ (r +'l)(x + a)x.xz(x + x2

+x

-l-

xñClave B

9.

1

Clave C

Factorizamos las expresiones:

,/t lz *zln

x4

+

x3

-

x2

-

x =x3(x

= x(x

+1

5x3

-

sx2 + 2x

- 2

=

=17-120-1=./6-,/20 =,/6-2,/s =,/s -1

2x3

+

2x2

- 2x-z=

+ i)

+

(x

-

2xlx

1X5x2

MCo:x-1

10.

I +i ./2

+

-

1)

2) 1)

=2(x+1Xx-1)

t**1=

cf(/;f k(3/;f

Para eliminar los radicale§, k = 3; k no puede ser

6porque5-k>0.

Entonces:

¡l+i\81+1

\T)

Leximátic 5.'

1)

Clave E

z=cos45'+isen4s"

42 I

-

+ 2(x

+ 1)- 2(x +

Piden: (z)8k*a

[,t+i,2fk*2 =l\T)l

1)

x(x + 1)

=(x+1X2x_2) ClaveA

-

-

1)2{x

-

sx2(x

= Recuerda:

{1+i)2=2i

t3_1=

o1x¡= (1x + t f/071x + 1)

-

2x + 3

D(x)=-x-1-2x+3 D(x)=-3x+2

+a=-3 y ..a-b=-5

b=2

Clave C

xn-x+x

+x

lñ

1- I

1)

(r+1)(x+a)x'

=

=-1

En eld¡v¡dendo: 0

N(x)=11¡*1¡

5.

13.

x2+2x+1+1=0

=(x+1Xx+a)x

P(x)

2y

Denominadoi 2y

(x+1)2 a

a 1Xx2

+

Clave B

Faclorizamos los polinomiosl

1

*'['t

,/x+y +,/x-y

/2.

Clave 0

-1

{'*v

x+y-x+y

2

a+1 -1

,/x-y

.[fi*,_y

-x'+(y+1)'<./2'

4A+4(-2)-B-1=0 l lgualando 28=-2 B=-1 .. AB =1 -A=2

4.

,r. ,lx+y :E-

z+i=x+{y+1)i

M(-2)= 0

4A+3(-2)+B-1=0

1

I

+ (x-3Xx+1Xx2-2x-1)

150")

z1?

Evaluamos:

3.

,2

212=211cis(5.360'))

Si: (x + 2) es [,tCD, enlonces es faclor de ambos pol¡nomios.

=

I

+ lzl= 2; arg(z)= 150' - 212 = 12cistso"¡12

Clavé E

P(-2)= 0

x2

,--,/5+t - -ll -1, 2 2'2'

!=m=ro 2.

gf

c:(.Áf (3/;)3

t¡ = 10x2 Clavc B

/

7 Unidad 3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

APLICAMOS LO APRENDIDO (pógho ó3) Unldod 3

a-nb El tiempo es: D

33{x+1+33ll 7 = 5t"t'1-1-5t/v-1

I

*la-1 +

ny-x

1-

x-15 x-10.x-6

7

Elevando al cubo:

64(x-1)=¡a1 64x-64=x+1-63x=65

''. -,=

15(x - 15) . ---16-'

65 63

15x

-

225

+

- 10)

10(x

10x

+8x+

-

+

100

6x

8x =

-20

2x=

-5

+

Calos

v

Lui§

2

15

x_2=y-x=cte Y

+13x=14x-14

#=i

(x+4)2+5=(x-2)2+30

..

x2+8x+16r5=l-4x+4+30

x=14

La edad deAntonio es 14 años.

ClaveA

=?,4-4x

8x+4x=u-21 =

9.

13

- 12 ''. Y--L

1

= 2i -

2* +4x-2=2x2

4x + x

-

Gana: 2 punto§

Desacierta:y

Pierde:

x+y=120

|

runtos

...0)

1-¿=130 Z

(x+3Xx- 1)r(xt1)2=(2x+ 1Xx-2) + 2x +

Acierta:x

Del enunciado:

ClaveA

*

-2

y ¿ lJ

Reemplazando:

ClaYe B

3+

=2x

Daro. -¡. =

.. x=*t

+2x

Presente

2

Sabemos que:

12x = 10

x2

+x=31

cte

1+l+4x+4=x2-6x+9 +x2+6

2x2 + 6x t5=2x2-6x 2C-2r2+6x+6x=15-5

5.

361 = 600

Pasado

Antonio

Clave E

12x

E

36 = 600

8.

'x=-9 2

8x + 2'l

Cl.ve

6) _ r^

16

6xt5=14x+25

4.

-

31x = 961

l+2x+ 1 +l+4x+4=l+6x+9+f

+2x+

6(x

30

Desanollandotenemos:

x2

I

.^

31x

3,

Clave

Homogeneizando:

Clave C

2.

días

anb

=231x+1-

-7 =3lx+

43.fi

=

2

4x-y=260

-3x-2

...(l|)

Sumando (l)y (ll):

4x+3x=2-2

5x = 380

7x=0

..

.. x=0

x=76 ClaveA

Clave 0

6.

1

Sea: D el n." de dias. 1.4 persona

Cap¡tal:

2." persona

x

v

a

b

Ahoro por

día:

¡.

I-! b+c -I-! a+c1 a+0 = 3

-l--?. ..

Dato:a=b=c=n Reemplazando:

Total de capitales:

x+aD=n(y+bD) x+aD=ny+nbD

aD-nbD=ny-x D(a-nb)=nY-¡

x-n x-n x-n I n+n ntn n+n .,x-n\/ . \2n x_n=2n=x=3n

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD

3

¡ 43

/

I Nos p¡den:

PRACIIOUEMOS

(atb-x)2

(n

+

n

c

l-

5(11x 13) = 12(x - 4) 55x-65=12x-48

Nivel 'l (pógino ó5) Unldod 3

3n)2

n

43x

=

17

'l

n)2

17

43

A) Para evitar que se ¡ntroduzcan soluciones e(rañas, a las soluciones encontradas c

deben comprobarce en la ecuación original y

E

tomar como soluciones conectas a aquellos que verifquen la ecuación. Para evitar que se pierdan soluciones, el

1'1.

B)

Galgo

Clave E

l¡ebre

Resolv¡endo

10+30x+15=20x

|x

saltos de ta

= 1200 saltos

y

= 1600 saltos

-

1)

+

18x =

(ll)i

x-4 . x+2 *-A-= -x ---' 4 3

3.

.. -

1

10

,(+."t2."t')= 19x-36= 19x

+zli =llx+t -a,/l

-n+1

lx+á+lx-a

Nos piden:

, vx-a _,2

-13 13 18

-,

1a2

(a+1

...x=a-b

(a

-a'Q-á

c

x-1 x+a-b Aplicando propo¡ciones:

x+1-

1

x

x-1

2

++++ x-345_ x

c-b-á a+b-c

qx-1)-4{r 2).3{¡ 3)-2(x S1-{1, +1 ,5

-,u

I2'3'4Clave

I

'l) x+a+b-(x+a-b) x+a-b

22b xl - t+a:5' x+a b=xb-b

, x-5 -6 i x-1 . x-2. x-3 x-5\,^ ,x-4.,-

5.

.2

b

x+1 _ x+a+b

a=x(b-t)

Clave C

x(c-b-a)=-b2

5.'

x-1

x+1

xc-ac-bx+b2=xa-ca

44 I Leximáüc

Delenunciado:

x+a+b x+a

a+1

2.

^=

=a+b=n+n+1=2n+1

x+1 . a b+l x+á+b x+á-h x+1 _ x+a-b a+b-1 x+a+b x+a-b

- 1\,/x+a

.'4ea\2a2 +2)

B

a-x-b\_ x-c l¿_'llx a\ b c I bc ¡X=

8.

I

-(a-

I

ab

- a(a + 1)2 = xla - 112 + ala - t)2 x[(a + 1)z - (a - 1)2] = alla - 1¡2 + la + 1)2) a[(a 1f + a+1

b2)x

Clave

a

Luego

x(a + 1)2

+ab +

A

1

^

x+a

¿3_63=1¿2+ab+b2)x

Ctavo

x(a + b)

- !-1\'z a+11 a-l x-a

\ci /

Clave

a3-a2x-b3-b2x=abx

1)

impar

= a/x+a

Q+ 1)lx-- a =

,/xt+1=115+1=J16=4

=

2

= 38 ab

,Q+a+lx:á Jx+ a lx-a

q¡

pb

\b

Clave A

4.

r

+12

.px qx p_! qa pa qp x/p q\.x/p q /p q\ 6\E-t/';\q -F \t t/ px

qb

,/1*

1

16x=x+1-x=a t5

u2¡

)zo

x= 2

14,/i¡'?=(x+1t2

,,,. a2=ax-b2tbx

0

- 4)+ 5(x + 2)+ 10(x - 3)= 2 4x-16+5xrl0+10x-30= 2 4r+5x+10x-16+'10-30= 2

12. Delenunciado:

8'/i =21q+ 4'/i =,/x+l

(

7

4(x

Clava A

'12(x

50x+5=32x-8

2.

. . El número de saltos de la liebre es de 1600.

+ ao +

= 20(x

(ll)

(l)^

x

b)(a2

-

1)

Clave E

á,-Y=eo

-

+ 1q2x +

50x-32x=-8-5

Por dálor

(a

20¡

1)

hace diferente de cero.

(r)

x saltos del galgo equrvale a

/x+ t

10(2x

C) Para evitar que se introduzcan soluciones efrañas, la expresión que se mulliplica se

x=3

r+1

*(a#.4#)=*("il.+)

factor s¡mplifcado se iguala a cero.

y4

2}.-l 2\+1 x 1 --il*4=-*s

6

''

4

b-1 Clave C

6-)''-\ s-)"

6x-6+4¡ 8+3x g-2x+fi- + \\-4) 5 11x-6-8 9+10-+(x-4) 5

s.

Pantalón Cam¡sa Zapatos

Precio:

3x

Gaslototal: 3x

r

x

x

3x + 50 + 3x + 50 =400 7x = 350

x=50

/ / '. Los zapalos cuestan:

f

3x+50=3(50) + 50=

3.

5/.200 Clave B

10. Pasado Presente

.

.

años

5,/OPx = 3.,l5Ex +

16. Restando

1't.

+a

x-1-ab=0 .. x=ab+

3 3

x Clave

Cláve B

Clave 0

1

14.

a+b

x-33. x ---ñ-] T

17.

72+33x

a2

*x -F;=-b¡:7a2 -x 4abx + 2a2 -2b2

a+b

(a2+xXb2+x))

bx

a2b2

+

xa2

+

-x)(Ú -xJ=!r¡bx+2l -2Ú + - a2ú + a2x + xb2 - x2

(a2

=

=fr

2xa2 (2a2

fi(:f)+!(f)=, a21x

a2x

-

-

+

2b2

+

-

=

4abx + 2a2

4ab)x

=

2a2

+

'=

b2x

b3

72x

=

(72

x(332

+

72)

=

73

+

33

33. 7 +

72)

=

73

+

333

-

33.

b)\a:-afrñ

1u

(.

18.

m+

(1

(a2

-

ab)x

b2

(a2

-

ab)x

x*

-b

;-il;t-^=

(..b)Gt;;?)

t

,

3!.8a0 x

V

=

¿z

-

¿6

I

6z

-

(a2

a2

Clave E

...(1)

19.

(3)

x+l

-2lr\

/5: x +5-x>0 5 >x zx + 2J5

-x =12+ ,/ñ=a

-2x

2x-1=217-1

+b2

-

-

+ 2ab

b2

2ab)

12

=2\/i- 2J5-

2x=12 x

Elevando al cuadrado:

4f-4x

...0)

Delenunciado:

+x-1=l

(atb)(a2-a¡+b2) a+b

-

..r=+

Elevando al cuadrado (1):

!3

-22n-n-1

2

(2)

1

x-1>0+x>1

al 6 - l¡21 9!(a1!I =

x

=1

=n

n+1 _

De (1):

-a

ab(a + b)

1

x+1>0=x>

-b\ a*

u

-./x

nil

Entonces:

Clave C

1s../x+1-

332)

nfn+l\

;r;;F--;r;bj--^

ab2(b + a)

+

¡x+ )-------L =n

ab

ab3+a2b2 -

7

+2+3+...+n)=n2

a+b t

+ 3:¡122

Clave E

a-b)(a+b

a}>{-*

7x + 333

b2)

(.-¡f

1a2+b2-ab)x=a3+b3 la +

-

+

=x=7+33 ..x=40

,\"\o'-rü a2

= abx

-

+ 33x)7

333

7r 1 333 =

2b2

2b2

z(a2

b¡ . -' abx

a3

-

-

-

Pero, sab€mos que:

+2a2 -2b2

4abx

2xb2

-

a¡ + b21x

x(332

I

xbz

a

rr

$2x

¡'?--x

_1

-,

1

0

't2.

a(a + b)

1-5;;t

Enlonces:

50

1

=0

1

i-+ab -

T

6x

+

1+b+ab

1+a+ab

(x-1-

-6-

5x+1 5x

,|

1

p(5x + 1)

Nlvel 2 (póglno ó5) Unidod 3

ax+b)(-ax

x-b

1-b+ab

1*

\-F/-\5/ -2

luego de 5 años

6px

a+b

-1

Luego, agrupando términos:

Clave C

a

léÍ¡ino de enunciado:

P

\ /5f

//5Px+P

10)

I____L=

uno a cada

a+¡ . b+x l+a.ab-'*1-b+ab x-a 1 a+ab

x

El doble de su edad hace 5 años fue:

2(x

+-

Fuluro

x-10 x-5 *'.-----'\--." hace 5

p+

"/6px , + p .,/6px "/5p¡ ,/ñ* +./ñ = t./5px* -q,/@

,z5px

=

6

...12)

De (1) y (2), se deduce que la ecuación es

+ 1=4(x2-1)

incompatible.

-4x+1=--4

Cl.vo

5=4x

E

..5 (x

+ a)(x

f

+ (a

- b)-

-

¡)x

(x

+ b)(x

-ab -

I

-

2a)=

- (b-

(a-b-b+2a)x=3a-2b

b(a

- 2)t

3a

2a)x + 2ab

=ba-2b+3a

x=

=

5/4 cumple con las rcstricciones (2)

v (3). Por lo tanto, la ecuacón es compatible determi

(3a-2b)x=3a-2b

=

20. Lu€go, x

nada.

1

Clave C

CleY. E

Pasado Presenle

r-io x *.-------- \-_----, hace dentfo de l0 años 15 años

Futulo

x+15

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD

3

I 45

1 Del enunciado:

-

2(x

10)+

3 (x

+ 15)=

x

2a.

110

2x-20+3x+45=110

8

x-4>0-x>4

.t2)

x2-8>o-x2>8

-x=17

.

/7

De (1):

5x+25=110 5x=85 .

4=

.(3)

Elevando al cuadÉdo (1):

Juan liene 17 años.

x2 8x+16=l-B

Clave C

21. Alumnos = 20

24=8x

Cantidad de regalos = 20 x 2 = 40 Sea: x la cantidad de regalos perdidos.

x=

.

.

3

...(4)

Luego, se obserya de (2) y (4) que la ecuación es incompatible.

Delenunciado:

quedó 40-x

Clave A

perdió

-! m(-a mx-b mx c ^ D+C C+a a+b mx-a. mx b. mx-c, D+C C+a a+b

x

Luego:

x=(40-x)+2 x=42-x 2x=42-x=21 .

-

^

Efectuandoy lactorizando en cada lérmino:

rmx-a-u-o(fr+*.J;¡=o

se perdieron 21 regalos Clave D

Nlvel 3 (póglno óó) Unidod

Pordato:a>0;b>0yc>0

1 1, = --l--* D+C C+a* a+b +o

3

¡mx-a-b c-0 ? x- a-b+c m

22. Según el enunciado: Pretendiente

Ademási m

Prelendiente

Queda

M+2

E --T1/M-2\.,_M+2 2\ 2 l E 1/l!!-6\ , z\ E 4 /-"-

t\.1

+2

M-2

4

I ác

a+b+c

M-2

abc'abc*abc a+b+c

a+b*c -'*

M+2 _ M-6

44

2

a*1* ab bc

cab

2

2

=

abc

lll+18 s

14=

5¿

Resolviendo:

[¡+2

26. mx+(3- n)x- 5x+2m

+ [¡+18

4

8

M=30=

[ (v)

- 2m+n-10 ^rr-ñ-2 Dato: inlinitas solucionesi

." .^ | = M+2=to

+2m+n-10=0+2m+n=10 +

^

22=

lll(F)

8

.(2)

Sumando (1)y (2):

3m=12=m=4

4-n=2-n=2

ti

2'pretendiente =

.(1)

m-n-2=0+m-n=2

M+18 .

".

10+n

| (F)

Prelendiente

2 ^. M+2 4

-

mx+(3-n)r-5x=2m+n-10 x(m-n-2)=2m+n-10

rv (v)

=

Nos p¡deni mn =

4(2)=

I ClaveA

23. x+5+ 2x+3 x+4+ Fx-, 2

+ 5x+7 +

5x

+

3x+1

2x+5

5x

r

+5+

6

4x-5 + x+3

2\+3

x-g +7

+

= 81;x =

10

x-1

10x-1 +

3x+6 + 6x+9

46

f

+ x+5 =18;x=3

+

=22:x=7

x+9 =54;x=3

I Lexi¡nátic 5.o

(

a+b+c

x-d

I

+

b+c+d

x-a

+ ( c+d+a

xb

)

I

+(

d+a+b

xc

I

Dando fo¡ma:

x-d i x-a , x b a+Dic b-c-d c-d-a x a-b-c d x a-b c d a+b+c-----b*d*c +

x-a

d+a+b

-

-c-d . x-a b-c d ='^ ' d*a+b

c+d+a

Faclorizando:

(x-a

[

-b- c-d) x

1

--)--

Ia+b+c

EiE@

r

1 l"

I

* ¡f¡;t"*¡;'¡-;;Tl-' +0

FN

Fr¡tt!

8

8+x [,¡

=

3H

36+x=3(8+x) 36+x=24+3x

=x-a-b-c-d=0

..

@@

31

x=a+b+c+d

..

12=2x

x=6 Clave C

ClaveA

28.

(a+x)(a-b) a+b

(a-x)(a+b)

'--:b

a)(a2

-----(x

32. Número de hiios:

6ab + b2)

Multiplicando: (x

+ a)(a

-

b)2+ a2

a(a

-

b)2

-a

-

a2-6ab+

-

t

-

b)2

b)2]

+ a(a + b)2- x(a +

-

x[(a

+

b)2

+

(a

b)2

+ b)2]

=

(x

-

=(x

a¡1a2

b2)

-

4abx = x(a2

..

-

6ab +

n,/yTl ^.,q + a

+ ^,/x

a

-^./x-

a

x+1=8 Clave B

33. Porcondición las mujeres iuntas

x=3a

x-b e+r b+x x-a 1+a+ab'1+b+ab 1-a.ab 1-b+ab

a+x _t- b+x -1= x-a -i* x,-b, -1 1-b+ab 1-a+ab l+a+ab lrb+ab r-1-áh x-1-ab x-1-ab. x-1-ab 1+arab ltbrab 1 a-ab 'l-b+ab ab x-1-ab x-1-ab x-1-ab-i=rab 1b 1r¿*ab'1+Ñab

2^/77á -2a 2

2n/-x_a './x + a

^l44

Factorizamos (x

Elevamos a la

n

tx '

an

Aplicamos proporciones:

- 1-

ab):

1 I -abtf + '\l+a+¿b 1+b+ab

--l-

lgualamos cada miembro

2x-an+1-x-a(an+1)

2a an-1

y los hombresjuntos:

Réstamos una unidad a cada uno;

_a+1 a-1

Aplicamos proporciones:

x+a

2(x+1)-6=(x+1)+2

6ab + b2¡

Cleve B

29

6(x+1)-18=3(x+1)-t6

b21

axa2-6ab+b2)

- 6ab + b2¡ - a1a2 al2a2 + 2b2 + a2 6ab + b2) = x(a2 - 6ab + b2 r 4ab) 3a1a2 - 2ab + b2¡ = x1a2 - 2ab + b2¡ 2a(a2

3(¡+1)-9=+(x+1)+3

Se cumple:

-b2

-b2

+ x(a

a[(a + b)2 + (a

x)(a+ b)2

-

(a

x

1.' 3(x + 1)- I = Dinero del Padre 2." |{r + t)t e = oinero del Padre

1

-a

a cero (0), como a

ab

1-b+ab

)

b son números enteros

consecutivos ab es un númelo Par.

an-1 Cláve B

=x-1-ab=0 x

=

1

+ ab

-

es un nÚmero impar

condic¡ón del problema. ClaY6 C

30. Retira

Queda

.[

2n

T

3

Luegol Queda 2n +m

Agrega m

3

Finalmente: Retira

Q!eda

l(+.,)

+(+.,)

Quedan:

2n+3m 6

ClaveA

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD

3

I 47

/ ¡

MATRICES Y DETERMINANTES .... .. .1 t 1

APLICAMOS LO APRENDIDO (póglno ó8) Unldod 3

l.

I,'!¡+i.'§ [i 2 6l{.1.\ +++

Primero hallamosAB:

AB

=

AB=

lt 2\17 B\ (r s/\r o/ +2

7

7

pt = 17..5..{.f.?'6.

lJl = 15 +

I

Fl= 1n -

8+0

+ 98 22a

-

Para hallar la matriz de cofaclores aplicamos el mismo procedimiento utilizado en el problema 1;

[(35) + 2 + 189]

sin embargo, como piden la suma de su diagonal princjpal, entonces solo c€lculamost 811; 822; q3.

Ul = -104

28+5 32r0

*= (;, ¿)

89 13 a»=et),,,1 79 12 ar = (-r),., I 45

13

"'l -:m-

lraz(AB)=9 +32=41

2.

448

_20

1

Clave C

I

7

-58

,1/8 1i8 114 5t26 1t26 -6t13

r1

-91104

Hallamos el determinante aplicando la reqla de Sanus.

-7t1M

4.

;5

3,

3

{r

:l

+

.B| +822+B$=

.

c

IAI = 24

''.

+ 15 +24 +'18

-

J

'=

1,, = 1-r;1

Jr, =

'1

|

=c3

Adi(J)

I2

3

-, I

7

5

1

7

1

1

= (-1),t,

I1

lr=l-\"'l J,, =

=

2c=

(13Íl)-,(l 117

.'.c3

5.

LuegoiA3

(-1),., I

3

1

7

1

3

1

7

7

1

=

(-1)t.'

J,, =

(-1),..

ir,

1

2

1

I

I1

2

1

I

I

=

cofac(J)

+ Adf¡ =

48 I

=

7 5

-(21

0

-6

1l

15-2

3

2

-5

1

0

-2c= (u rz/

I

(e+ e)(¡-

a)

AB

+

BA

-

82

Nos p¡den eltémino linea¡ de:

P(),)=

lr.r

P().)=

lr,r3

A-11 r3l

=

(x

l), 1 0

1)t3l

0

o )r-1 o I o o r-rl

e1r.¡=l P(l) = (I

1) = _20

..

I I

- 1)3=t3-

Eltémino lineales:

3t2+ 3t

-

Clave C

Cláve A

= -(1

-

49)= 48

=14-5=9 = -12

-

=(5

63)=

e)

=7

_13 _26

-4

7

48

-58

13

l,l

26

-20

-4

o8l

Leximáüc 5."

abc de f

1-tf *11r¡= I 1 t¡1 ,2111= -l

A¡=(

1)2*1(5)=-5

arr=1

t;¡2*211¡=z

Pi¿en:

i

lb a cl R=6le d f l- enl

l¡ s il

Por propiedad: lAl

_26

7

58

10. Por dato:

sh

^=(ti) n,, = 1,,r=

58

1

1

=B= Adt(A)

I

31"

'=(;-l)

13

I

+ 3A+ 2l =

6A2

l

-'=(ti)(i1).(Í;)

35=-26

6. 7 5

,t,,=1-f¡1-31

-

21\

=t2 N=A2 82-AB+BA =

3x + 2

3\

Piden: H

=

- 61+

Al = x3

Polinomio característico de A

Clave

13

=I

De la ecuación: Dato:

1

7

(-1F.'

J,, = (-i),

¡,,

2 3

lAI = 45a

lxl-

Hallando la mafiz adjunta de J:

51

'''

9.

lAl = 95

Sabemos que:

8. lAl=lx3x5x3xa Clave B

/19 27\ ,=(t')( z1 3\ r/=(ra rsi

16+30

C¡¡v. A

3.

.=(l i)

. (;l)g i¡=11,,

(4X1)(4)_{ 2N3X_5)

18

ClaveA

Luego:

W = (arc)(a + (-5X1X-3)+ (2rcXa)- (-3X3Xa

I

29t52

Clave

I

-' 56

8,, = (-11

Luego:

Piden:

'[líi]

1 -4

=

lArl

abc =R=-o def - 9lAl = -15¡4¡ gh

)

i

(t:) Clave B

R=-r5(8)=-120 ClaYe

0

7 11

PRACTIOUEMOS

Por dato:

N¡vél 'l (pógino 70) Un¡dod 3

^=[:;]

l.

P¡den:

sr-rz=a[l

;l-,,[lll

,o-,r=['j 34-121=

5

12

0

6

0

2

0

Como:

- j ; i< j .,={i xj ; i=j

Además:A = (a¡)¡, z Entonces:

15

12. Por dato

X

1-2

+ +

2x2

34 45 ^ ^ ^l

elementos de X

-=[il][l:l=[:tl =

!

elementosdeX2 = 18 = 2. 32

- [: tllltl [il:l =

!

3+2

1 -1

-=li! I

j ; i> i

+

Clave B

=

7

1

1

3

4

4

It 2 -1 5

-1 -1 .

elementosde X3 =54 = 2. 33

25 32

url -1 32 41

traz(AAr) = 68 Clave E

En general:

.'. telementosdexn =2.3n

2.

D

Clave B

0

X

13

.li

8

2

4

27

3

I

c

125 5 343 7 49

E=-

27

T

5 7

525 749

125

E

343

125 25 343 49

= (-1f(3

E

x

H

N

J

E

s

t\¡

R

E

F

K

N

M

X

c

I

R

T

E

M

T

N

D

o

z

S

T

S

o

Y

o

I

T

E

I

D

E

E

N

T

I

P

N

R

N

U

J

D

U

Y

R

L

f

D

z

t

R

s

P

H

IV

z

D

R

G

L

N

K

X

o z

N

o

L

c I

U

P

o

B

S

S

8 P

T F

IV

s

c

N

D

K

71273

c

Z

J

P

- 2[/ -

f

T

S

o

3)t/

I

X

I

-

T

P

IV

2)(5

Y

U

L

H

-

E

L

N

D

I

I

2)(s

D

o

J

U

22223 33233

-

P

N

3)t/

-

E

J

G

T

D

Y

L

R

S

I

[¡

E

T

N

I

T

B

Por ser una delerminante de Vandermonde: E

T

T

R

24 39

N

T

I

2 84 327 9

E

5) E

I

-E=1.3.2.s.4.2

o

I

E

o

z

K

s

N

L

X

N

E

N

U

H

T

G

R

T

R

o

I

P

M

E

D

N

R I

F

f

U

..E=240 Cláve 0

14.

i=..=[?31[í3

Analizando la '1." columna, por menores complementarios:

ab0 0ab

0 0

+ (-1)"*1b

lAl=a

-lAl=¿.¿n

a

1+(

1)n*1b.bn

c2

0 0

[:;l

Luego:

0 0 0 ...

b

000

b00 ab0

.'=.' .= l][i í] [

b

,=lf

1

..lAl=an+(-1)n+1b" Clave

I

Tl ÁLGEBRA - soLUctoNAR|o uNlDAo

3

I 49

7

¿

Piden:

C3 6c=

..c3 4.

.,

,[?Í] lf Íl

-

crr

_ 32-36

azz clt

[át]=,[;?]=,

Cláve E

4

(1

3)

[o -, I 3 -il

I

-]

[-i

=

ll.

s=

(2)

+

-

(a3b3 + a3b3 + a

...S=la3

-

(a3

I

b3l

0

8.

xl lx i

lx2 1

It , rl=lr ,

x3+x+x

^+ll : :ll

at

412

413

r

421

an

a23

ay

zzz

?:t:¡

I

1x3+

I

1+x2

2x-1-x2=1+x2. 2x 0=2x2-4x+2

2x 3x

2+2x 2+3x 3+x 3+2x 3+3x

9.

-=r;l[Í;]=[:;]

lB

112

lz z

t

2

8=

zl"^o

I36

I

a

312; b

= 32i c11 = 36 c22=32;cal =39

Lexim,áüc

(:

-

3x)+ 1[4] +

x

-

6] =

O

c

=

-96 = -

1

Cl.vo A

d

12. Recordar que si A es una matriz s¡métrica, se cumple que:

= _'U2t d =

1

12

I

A=AT Fals^o (F)

SA'es Veamos:

simétrica, entonces A es simétrica:

3

4

2

ro.

h 5 rlt, s 1l

^=[i-ll-^,=^^=[i :][i :]

[ooe][oorl

o: [s o]el

12=n.n=lo

z,

ztllottl

[0

391

Se nota que 12

esl

seo62¡=1a2zr3z

=

(12)r, pero

A no

es

simétrica.

3,1

Suma elemento diag. (A2)= SED(A2)

5.,

- x2] - x[3x2 - x(x + 3)] +1pl-(2-xxx+3)l=0

b

Nos piden:

[o o

Entoncest

x x

xl2x2

Produclo de raices

a+b+c+d=1

a'= lo

ca2

Ct:

Nos piden:

1t2

= _1t2t

f1 15

l* "l

50 I

ol

=

5 7

I

-

Reduciendo s€ lienel

De la igualdad de matrices:

281

C=A.8= l¡z :z

- 2l) -

C2

6x3-l1f-x+6=o 1

Delenunciado:

;

2xl2x

1

.= +( 3 -1 -1 3t2 1t2 8=

=2x3x3n-1 =2x3n

,32221 e=lz t z zl

x)x

y

Donde:

Clave

6.

-

I

=A-1

B=A

La suma de los elementos deAn es

3n-1

=

Multiplic¿ndo por la inversa de A:

=14+13+13+14=54=6-32 x

lAl = 2x[(2

De la matriz identidad:AB

AlAB=A1l

=5+4+4+5=18=6-31

C2

3x 2-x

Clav6 D

' ^=[Í]]=2+1+1+2=6x30

-

2xx1 x+3 x

=x-1=0

Clave C

1+3x

3x

Restamos Ca

0=2(x-1)2

6

.(t)

|

Luego de (l):

+ x2)= x3 +

-(x3+x+x)

14

< 4l

lAl=0

Luegoi

( 2 1\ -=t;ll

.

[a¡[,:

x2l

Lrrl lrr,

It ¿ tt]

13

3

Datos:

li+

Desarrollando:

13

7l) Unldod

Sabemos quei

tJ]

14

+210+310=60074

'+j 'i" _ f(i+j)¡; x1; si:i+¡>+

6: ¡2

ClaYe

[¡ ¡r t ¡ -rr] -=+[l;

ll.l

1

=

s¡

v/Fl;6:2a5'=

0e (1)y (2)se deduce:

-[:t][íl]

SED(A1o)

A=

a6*

S=

l

Nlvel 2 (póglno

Por la regla de Sarrus:

J

2231

Clave D

lE-"bÁ

{1)

3s

lo z3 rss [o o e'l

.1=

SED(A1=1+23+33

z. s= /l¡'?"'¿"¡l V la¡ ¡'¿ "':]

**y=lz rl

¡'

13 =

ClaveA

6c=

'-'=

c¡z

.r,--4

Por dalo

.

Ii

Piden:

ll.

Verdadero (V) Si:

A+

B y B son simétricas, enloncesAes

simética.

7

Sabemos:

Por propiedad:

A+B=(A+B)TyB=BT

+A=

Luego:

1. 1.2.3.4....96.97

-2 -6r

. Á-o7t

A+B=Ar+BT

A+B=Arti

/ I

I 5. lAl.lA+ll

lll.

Falso (F)

Si A y B son matrices del mismo orden, ambas simétricas, entoncesAB es simétrica.

\2 0 -li

= A+ 0 ([ratiz nula) A+ l; (Matriz idenüdad)

.. lA+2ll= -15-36+60+6=

Dato:

Clave C

Luego;

Sisuponemos queAB = (AB)r sea verdadero:

tA(A+ l)l =

0r 1

Entoncesl

(A+l)r.At=0

AB = (AB)T

fomamos deteminanle:

AB = BTC

De(Ar + DDetAt = 0

AB=BA Esto no s¡empre se cumple, ya que el producto de matrices no siempre cumple la propiedad

+

C¡ =

Det(C + l)Det(A) = 0

Clave C

Luego, lo supuesto es falso. Clave C

-=[l l:1

=

210

hbrbs

Det(A)-1

5

210 1 -1

am an ap

. (1)

=

C:

-

aCzl

1000 'l -a4 o x a3-ax 1-al y z-ay a3 -az

a3

o o

1-aa

Luego:

(aa-t¡3=-3375 1aa

-

1¡3= t53

-

3a='16=

¡¿¡

fi¡o"tlm¡n¡

Clave E

...(1)

19. Podemos establecer que:

f1 231

+2=2(a+b)

AdfA)

.(2)

f.nol Iz I ol =lo,!l=[r ,5]

2

1

1

3

1

,t

97

00 00

/ü=l

Calqlamos A:1

^-,=+[

960 097

:

i:]-^,=l_lfl,,ll

-=lxt x:l=[-H,,ll

*

I

Donde:x1 = 1/a;x2 =

0 xr= -,llx2 x^=1lg Clave

1

00 00

(1)

En (1):

Clave

11

X=A-l

...l.2)

o,r=(fri=Ér rl'l'=

Restando a lodas las flas la pnmera

10 02

=s

Pideñ:

0

17. Nos pidenl

198 11

lAdj(A)t

-¡ ;-r=

(6+ 12+4)

lAl2=L..(3) Clave C

1

-

o.*

Reemplazando (2) en (1):

elementos de X es;8

I

[;:l[lll:l=[l ?].*on

=[;ltl

lAdj(A)l=(3+4+24)

=

Reemplazando (2) en (1):

1

=2

.'. a=2 v a=-2

Como:

(a-1)2+(b-1)2=0

:

aC¡i C¡

Es una matriz triangular

De(Adi(A))

lAl2 =

5

a2 2a+1+h2-2b+1=o

.-.

=

C¡

fr=fi¡oo'*¡o¡

Del dato:

+*

Adl(A) _TÁT_

=rr1o'r=or(Sf)

Delenunciado:

a2

16. Sabemos que:

"^ 1=

13. Sea:

3375

Cz=Cz-aCl

''.lAl.nr+ll=0

conmutatiYa.

8.

1aaza3 'l aa2 "3 xa3 1 a = y za3 l

Por operaciones elementales:

= DetA

Como; Det(At)

I :l=[ 1 -1

15

A2+A=0=A(A+l)=0

Debes venficar que:AB = !AB)T (1')S€gún elenunciado:A = Ar y B=Bl

t; lltT

O,

-l

A+21=l-3 5 9l

A=[af"""/a¡=1

A es simétrica

s gl o -:i

2

Clave B

De(P1.AP+20= flai

De(P 1.AP+2P-1P)= I

DetlP =

1{A+

rl i olr -1-1-1 lf

2DPl

{DetP)-1 . De(A

= Det(A + 2l)

-. [-i i i][i i il ti ti)

+

2D . DetP

1 1 1i

n'-lo o o ll o o o l-l o o o lo o r l[ o o r I I o o r ÁLceenl - soLUctoNARto

UNtDAD

3

I

5'l

I J

111

En general:

21. A=

A; n es impar

[rrol

lo o ol [o o ,l Luego: S =Aa2 tA$ ,

t¡t=

[ ;o r]. [-; o rl=. [o lo 3l

[o

M,, =

00 02

xz(x

lAt=(x-z)[y(y-x) -

z(y

-

M,, =

x)]

a=l o-v Zt.

Sea A

l.

= {aiil",

Io o

n

Sea A una matriz cuadrada:

o

+

A es una matriz nilpotente

Nos piden:

+

Es verdadero.

Det(A)

oer(E =

Si:A3 = A

(x

-

I

z-xJ

z)(y

-

x)(y

.

A-1

-

A2

+

lll.

'

v-- lo o

Clave D

[oso]l¡ool

Antisiméfica

16

franspuesta

v3= lo e ol [o o ol

x+2Y=7 +32=N 32+x=11

2y

...(1)

18

1v3¡13

...(3)

4

2

=

t

v

-/o=o,3.lo

. Clave D

.

AdilA\ lAt 5r

1-t¡l*'15 6l=

-r

o zl

x

elementos de Éo = 613(1

I

elemenlos de

6l= -3

r3

4r

r1

3r

rr=1-r¡'?*'?13 6l= -3 t1 2t ar.,=1-r¡2*313 5l=

l,=1

[¡oo]

-

.

l,r=1-t¡1*313 5l=e t2 3t ar,=1-t¡2*115 6l=e

l0 1 0t

+ry=7=y=4 Enl3l:32-1=11-z=4

t 23l ¡ ¿ sl

r3 5r

/o=613.Y

x+y+z=-1+4+4=7

-3 2 2 2 -4 -7 12

n,r = 1-t1'* 213

1ot¡13

v3s. v = 1613. t¡.

Nos piden:

Ad(M) = Br=

r4

= 6r3(tr3)= 613.

(1):-í

I Leximáüc 5.o

2

n,, =

lrultiplicando porY en ambos miembros:

...(4)

2x+20=18

52

7 1

0 0l

Elevando al exponente (13):

Reemplazamos (2) en (4):

En

2

2

'

...12)

Y3e

2y + 32 =

't3

-3

3 5 6l

=Y3=6t

Sumamos (1) y (3)i

r

27

ldempotente

se qrmple:

I

CláYeA

,,=f:3Íl[3]:l

lnvolul¡va

(-l),., 35 t=,

'. ¡elementos Adj(M) esr 8

o

Calculando Y3t

índ¡ce de nilpotencia

o

lo¡o

es Verdadero

lnversa

l=

13

-

f002 v'?=lo o

n veces

2x

B=

-tll;ltss;l

\...........\i-

23. Como es una mafiz simélrica

11

Luego, la matriz de cofactores es:

z

Calculando Y2:

Luego:

¡[

r).*21 37

11

[soo

Traz(A)=1+1+...+'1 =n

I

ur=( i¡,, =

f0 10

Es falso.

ComoA es inveEible: 1 = A2A-r = AA

22.

11 r),*,1 57 t=,

z)

fi-yxy-;x-t=

25. Por dato:

=l

SiA.es idempotente se cumple:

+

ur=( Clavé D

. . Solo cumple siA tiene ¡nversa.

t=,

11

1

=AA

21

I

ur,=(-l),*,1 21 t=,

Multipl¡camos porA-1 A3

(-lI

11 Mrr=l-1),*,1 24 t=,

lBl=(x-y)(y-z)(z-x)

Si:Añ = 0

Il.

,

t=,,

rur,=1,t¡'*'l 14 t= -,

lAl=(x-z)(y-x)(y-z) fx-v 0 0 I

7l) Un¡dod 3

I

11

Clave B

N¡v6l 3 (pógino

*' 57 14

(-11

37 M1'=(-1)1*'I 24 t=, .. 35

- zl - y\xz - /) ¡n¡=1x-z¡1f+¡z-fr yi) z)+

t]

y?zJ

yj-&-fr+Q+4-t

lAl=f(x

0-1 = t3

+1\u'z

llx'1y -yz2)

1 1l

r,r=l¡ s zl [z

26.

lAl= 1(ry?-z'?x)

-; -;]

=

fi

yzzxry

+2+

l2

t¡3*1la

r1

3)

Y{ = 613 6=6la

I

3r

5l=-z 3r

r,,=1-r¡3*'?l3 5l=a t1 2l n,,=1-r¡3*r13 al= -z

t Donde:

Luego:

B=

-r -3 e

-z

3l

-¡a

01=a(ax)=o

rl

e3x=e'z(ex)=o

-zl

e'o1x=e1m(ex)=o

l-1

3 -21

¡

Adj(A)=Br=l-s

I

r

.i

r

3 3

DeteÍm¡nando el vector no nulo u:

¿l

Pu

-zl

Hacemos:

= cru

= kx; k € ts P(kx)= C[u u

Luego;

¡

.1r

2 't]|.1 2 t 4 513 4 s 613

...\2)

-

i0); u + O

De (2)i

el@1ok¡ = ou Q'ook(Qx)= cru

5

Qlmk o =

'{;1+1+

su

O=qu lAl

=24 +

30

+ 45

-

+ 25 +

(36

36)

Luego,sik=-1

lAl=99 97=lAl=2

I

-113 Z

I 3-2 3 -3 4 ;[- 31-2

33^ 2 2' 11, 22

8l

l-rl Clave E

30.

'.:elementosdeAlesr0

all aP afi 421 422 423

ClaYeA

431 432 433

hollhotl12o2l

28.x2=x.x=lo r ollo r ol=lo r ol lr o rllr o [z o z]

Por condición:

rl

.-' .

[a.,, a.., a3, Ao=1a2, a22 a23

Iarr

[í::lln r] t?¡:]

+

a,z au

Det(,\) = -Det(A)

Por condic¡ón: Establecemos en forma general:

[2"-r

xn=xn 1.x=l

¡

2"-r]

o r o

lz"-'

[3(a",) 3(a.,) 3 (a..,)] e, =

o z"

'l

^;; 2(ar, 2(alrl

zlol

De(A1)=3.2larl a»

a.j3l laJl al2 aBl arl-6lat a, arrl

la,, a,,

la,1 a,, a,rl

z'ol

o

DeliAl) = 6{Det(&)}

I

66 = 6(Det(fu))

[roz+ o rozl] Clave 0

t1 = Det(&) Como Det(Ad =

29. Se establece:

a,,l

Ahora podemos observar quel

hoz¿ o toz¿]

r

I

Por propiedad:

la3r a32

,"=lo r ol=l o lz'o o

.r, ,;;

l2(a11)

I

VN€D¡

[:10 o

|

Det(A) =

-De(A) -Det(fu)

De(A) = -11

,= [-:l^

l-ul"=[:]

Clave B

[o]

Mulliplicando matrices:

I2 7 -1il 81 *-[-il;][-:][:]' I0l

= Qx=0

t) ÁLGEBRA - soLUcroNARto UNtDAD

3

I

53

SISTEMA DE ECUACIONES APLICAMOS LO APRENDIDO (pógino 73) Unldod 3

l. 2x+3y=5 x-y=5

xbx.2ah a+D a(a-b) ..1a2 2a¡-bzl

...(1)

x

Despejando x de (2):

x=5+y

a2

l=

^t-;GrrB

...(2)

Reemplazando en (l):

-b2 -2ab

Nos piden:xy =

5.

5Y=-5=Y=-l

It ultiplicando

t7

Ay

Restamos

13 ax As4 Ay

20

kx+2y+32=0 .(D

ax=5

3x+9}/=1 2x+10y=1 kx+5Y=0

1

{ll) por

á:

\"''

x=

(lll)y (l):

bx+ay

b+c

xy

bc

bx+ay b+c x=5+3y

...\2)

De (2):

z

9v+39

.b 1 yac

zx

1

ab

az+cx a+b ac11 xzab

Entonces:

9v+39 5+3y=L

cx zx

1

Nospiden:

f0.

...(lll)

-

y

=

12

...(lV)

xf

z

y

=

14

-

(-3) =

17

Delsistema:

xy(x+Y)=4

a+b

0

x2+y2=14x,t

ab

.([l)

,,(D

Elevamos al cuadrado (l):

14 .(...)

{xv)2f7+xvl=8 üijr'+ zlx¡'?=

a11111

a+b a-b

L+!=z^ ab

(2)

-v= /2a-¡\b

1(x+y)=4=x+y=4

Delsistema:

1 3 s ;*y+1=4 4 I 11 ;*y+r =T Itlultiplicando

a {l) por 4 y

Clave A

.,

"'lrl 'f

,,,.

"'(rr)

restándote (tt) se

1. Delsistema:

x(x+2y+32)=50

,.,(D

y(x + 2y + 32) ='10

.. (rD

z(x+2y+32)=10

obtiene: Reemplazando elvalor de y en i1):

= ¿ ..

Leximátic 5.o

6

(ü)es:

Reemplazando en (l): Clave C

7. . (1)

. tcl

xy(x+y)=4

Clave C

xy

s

Un valor que sal sface

;*;*;=á*8"; 4=l-¡=¿¡ XD

)

19 3

54 I

...(0

Clave D

Reemplazando (ll) en (cr): En (1):

-L ¡-L --L a+0* 12. ' - a,a-D

...(1)

(ll)y (lll)i

áb ,c ,1-1 xy za b'c

,'1 -,.5

4.

x+y=6 y + z=2 z+x=14

De(l)y(lv)r2y= 6+y=-3

,(|)

az+

Clave C

Delsistema:

(xy)2{x2+F+2xy)=16 Surnando (l),

35+21Y=9Y+39

x=5+3 ( 1_3

11 a A Y= t2

De (lll) y (ll): x

ball (r) yxbc Yz _ ac _cy+bz_c+a cy+bz c+a yz ac

...(1)

39=9y

9.

Datos: bc

)

..(flr)

f,.s(f)=o=r=-s Clave C

xY

..(

Reemplazando en (lll):

46,

..(D

Resolviendo (l)y (ll):

/r¡r

#=á-,=," Clave D

^7

Reemplazando:

3y y _ Z__q 10b4b55

4

AS

7x

Dato: y = 7

(rD

x,3y 7 4a 10b-5

-2

En el sistema:

2x+3y+72=1

6a-5b=15

12 =-2-2=-4 72 = -14 6= 20

^x

8

3x+7y +22=1

Resolviendo:

x-Y 3 4a 4b- 5 xY14

en {2): ClaveA

3

8. Clave B

10+2y+3y=5

As=

4(2)=

Clave C

x=a2+ab

Reemplazando (3) en (1):

-1

1

+x=4

a-b

1

2(5ty)+3y=5

2.

'1

a(a b)(a+b) a-b

...(3)

Reemplazando y =

.. 5 1 x4x4

a-b

4 .11 4 y+1='-T=5 y

+1=3+y=2

Dividiendo

...(lll)

(l)y (ll):

xt=c-x=!}/

.(")

Reemplazando (4)en (1):

Dividiendo (ll) y (lll):

!

=1

-y =z

...{p)

+2,lfr

=36

2'li

= t6

(l)y (ll):

Reemplazando (p)en

50

r

20

áxy=64

...{0)

x(x 5y) = y(x + 5y) = 10

Piden:

tl 1 rr¡T leo) - Yx y V xy V(M)

Reemplazando (o) en (0):

5y(10y)=50-f=1

, =!=+1

' '-

En(d):x=t5

r-

/É

-

V i6

4 Clave C

Nos piden: x

+y +z = -5

- 1-

1

=

-7 Cláve D

Nlvel

12. Delenunciado:

1*1=

1

xy

...(1)

'12

1.1

PRACTIAUEMOS

1

yz n 11 xz

l,

I (póglno

75) Un¡dod 3

oels¡stema:

2x+7Y=¡

,,,12)

3x+5Y='13

#

..pr

a'=ll!l=ro-z=-t

Sumando (1); (2) y (3):

a,=

,/1.1+1\_1*1+1 -\x y z,l 12 20 15 1\ 5+3+4 "11 .1 \x y z/ bu 5 - 1,1_1_ x y' z- 10

12

1

.

5m-91

'= -rr "

10

+5m-91 <

Luegor

1 _1 != =2-1 _ x10202020

0

=r. 4

1

26-3m<0

Clave B

-4<m 3',

13. Por dato:

v(x + y¡= 426...¡¡ = 466

trl

26-3m .. " 't------77-2e

..x=20

y3

-

Como las soluciones son positivas, entonces:

1=1 !+ x 20

+

mt --

^Y= 13 t3l=26-rm

1

x3

lil ll=s,-sr

...{2)

De (1) y (2):

''. 26._. 3- -

...12¡

Sabemos:

91

5 ClaveA

(x+y)3=x3+y'+3xy(x+y) (x+y¡3=46613.42¡ 2.

1x+y¡3=1729-vay=12

x2

..2x+2Y=24

+y2 =29

x+}/=3

x+4]y=12

5x+3y=26

Cláve E

ax+y=0 x+ay=0

14. Delsistemai

x+Y+2rE=36 Ji - ly =2

ax+y=0 x+ay=0

.. (1)

...(2)

x2+'f=29 x+y=3

+,f = 29 x+y=3

x+4y=12

x2

5x+3y=26

Elevando al cuadrado (2):

x+Y -2lxY =4

...(3)

x2+'f-29 x+Y=3

x+4y=12

x+4y=12

5x+3y=26

5x+3y=26

Sumando (1) y (3)i

=x+y=20

...(4)

ÁLGEBRA - soLUcroNARto UNtDAD

3

I 55

¿

J 1i¡.1;¡=

6.

r

lztl!\*zt!\=z

1,1_5 ;-t-6

L_t =11 Multiplicando (1) por 5

ss i*t

14

t 22 z-a ;=r3 4r=6-84 lz zl 1

_ -6 _

6-84

y3

5

26

v

'''

5

13:26 _ 67,6

11 x-y 11 x-y

..(

x+y

)

2

(l)y (ll):

_--2- = a

x-y

- x-y-:?¡ a+b

+b

11 xy 5 L1 yz 7 L1 xz 6 111 = 18 xyz )

...(o)

=

(o) : 2y

=

0) -

*b-2-

"4-L

[2x-3y+42=0 [19x+0y+172=33 t2

h -, = *

-

h

y

-

-31Í =3 25x-gy=27 25¡

;+

-

9y

=

(5

'vb I=4

- sli +3ll =e

¡66 ¡¡¿¿¡

CleY. C

20

sz

+30)

Reemplazando

50x , 0,3 . -T-T -' 7

0,3

.

=

6

....(3)

0

I

LZ

le

-3ll

5/t=

As=0 =6

o

0

33l

solución).

Cl.v.

=3 12. ClaveA

vvv

9.

1y1

el trab4o que realizanAy B en un

dia respectiúamente, entonces del enunciado.

Y=0,298

I l-exirnáüc 5."

Sean

I

Ax+0; Ly+0iAz+0

6 en (1):

(*)

_ 45__150= -44,7 __150

^

Por lo tanlo, el sistema es incompalible (no tiene

-rss

Clave

56

al= 168

$ 171 2 -3 0 s 2 7l= 228

Entonces:

In, 10Ji=12+sJi

-u(9ri=") - 1!

4t

1e

Sumando (1)y (3):

7y

_ 50x

68

f

50x.0,3_<

5.

17

33 0 171

.l.2)

/x )- - (3 /y

3

0

7

...(1)

2t = (st1-3o\(s./7 2t = 3(5/1 + 3./y )

2

- 171 +0-(152-255+0) 103) = 0 ^s=-103-( 0 -3 4l Ax 231= -244 0 As=

Clave C

"'

*

-

lrs

...(Bl

4

3

tls =15

z

5/T

Dado elsistema:

l5x+2y+32=7

z ^1

8.

B

Por la regla de Cramer:

a+b+ 1 _r -

(o) + (P): 2x

ll.

z

Luego:

1

Nlv6l 2 (póglno 7ó) Unldod 3

(+)

10t?=18

2 x+y 1 =.;b=r*r= 2, x+y 2 ', a b

=

Cl¡v.

5

Reemplazando en (l):

...(2)

x+y+2=1 '" x+y=-1

7

(r)

x+y

Sumando

- 3lx+yi

xY=6 Cláve 0

Resolviendo:

...(1)

(l)x3:33/x+y+2 3r/2x- 3y-7 =-9...(3) (lll)+(ll): 53.,/xty+2 =5

1=1 +Y=3

Clave E

¡1.

28 días

=

$.31q+y+2-tT-3y-7 =-3 útq+ y +1+ 3.lU;1* 7 =14

y6

2

2

26

_

x

C¡áYo E

1_ 1=5

621

v

ry

..

Reemplazando x = 2en (1):

_ 15

L

(+)

L=a-^=z

13

34 21

=

xyo

31 v

Entonces, en un dia A hace1/28 deltrabajo. Por lo tanto, para realizar todo eltrabajoA demorará 28 días.

25

-6--

7511

1

x -78 1=

206. xy De l'll v (21: 1=a .,,.,x 2a

.l.2)

6

Se t ene:

Además;

.(1)

111... x y-12

CRA

M

ER

IGUAL

A

crÓN

SUSTI

T

UCIÓN

INDETE

R

MINADO

I

NANTE

DETERM

REDUC

RAI

C

rÓN

CES

COMP

A

TIBLE

LINEA

L

ES

E

7 13. Delsislema:

Sumando

(l)y (ll):

18, Resolviendo:

3x+2y=8

1+

y+1 7 y+'l

x 4

4

2-3 x-y-'l '3x+y+3

Reemplazando (lV):

,2

S€a: ,|

h-

" '^

x

..(1)

y+1

Sumando

Entoncesi

a+3b=i

.(2)

ea-n=t

.(3)

I4 1

4

AA

a

<

m

5

(l)y (lll):

7

Deo,0y0setiene:

2

6

Clave

-,=

+=+- :=; -,=

24

3

17

Reemplazando a

=J

en (2):

..x=2ty=3 Cláve E

l¿1. Dels¡stema:

lxl+lyl=2 xlyl= -1 lyl; x < Luego de (l) se tiene:

-li

=

'x

=2

+

l]yl

x_i

...(Ct)

x+ 2./4

-1

-

+f -'rz=o - f

-7ft2=12:yer, =t;y

2 + x=4; Y=-2 ' x=-4

=

¡2

Luego:y = C

(4;21;(4; -2), Clwo

C

(t)

.(

)

20. Se pidel Conjunto solución de:

I -x-y { l*f=t

=

-1

.(flr)

Elsistema es equivalenle a

x=-1 Restamos

(l)y (lll):

(x-1)2=Y

*+f=1

or{Ty =o/5

x+y=5

Hay dos pares de soluciones para el sistema-

Clev.

D

... (c.)

Graficando ambas ecuaciones

Reemplazando en (l):

.B

+

{1.[xlsy

=

{l

+zs

/**sv=49=s,6 ' J5 r'5

Del sistema:

x+Y+z=5

-z=3

...(r) ...(rD

x-Y+z=m

...(lll)

(tv)

5Y

=

125

v

... (P)

Restando (P)y (c.):

(1;0)y (0; 1)veñf¡can ambas ecuaciones, por lo tanto, son soluciones Se observa que los puntos

x= -25 Nos Piden:xY =

6

m>-3

x+

4y=120-y=30

(ll)y (lll)

3¡=3+m 3

zf

=m-x=n - 4

+Ji.lx+sv ='tl +25 Jx+5Y-r'5y'x+Y=515-c (ll)x'6: y'5/x+5y-5y'x+Y=25-515

'lv=-1,¡=-1

3i.tr-,

-s'lf2.rf -12=o

Los pares ordenados son:.

Reemplazando lyl = 1 en (ll):x =

,=

h segunda ecuación:

17. Resolviendo:

(lyl-l)'?=o=lYl=t

Sumando

-1.

Reemplazando en

Cláv.

Dando foína:

^

ecuaciln:

la primeG

(2x+gyxx-2y)=0 x= -9v v x=4

+z=4

.lx+ y

x=-1 ^ lY--+1,x=-1

19. Faclorizando

Reemplazando en (l):

0

J-*lvl=z tvt

2x+y

Clave C

x+y+z+6lV+y+z=m+b+n x+y+z + 6./x+y+z-16=0 x+y+z .ñ+y+z x.tytz =-8V lx+y+z=2 x+Y

...(ll)

Reemplazando (o) en (lll):

't5.

4x=12=x=3

..(ll|)

áy=il

Sumamos (a) y (B)

Luegoi

...0

Luego, tenemos:lyl= 1

.. (p)

Sumando (l), (ll) y (lll):

#=l=,='

De (ll): x

l)

Además:m+b+n=16

(i)."=i=o=i

3x+y+3='18

3x+Y=5

.(I)

.(

1

I

il

3xfy+3

.(r)

m

y+2 x-tY+z =b z+2 x+Y+Z =n

2x4 6x4

d

3x+y+3

0

3

x+2 x+ +z 2

(l)y (lll)

-.317 3x+!,+3

16. si: 38

...(Ít)

Reemplazando en (l):

...(0)

7

4

I 3 3x+y+3 I

(rD

(")

-3<m<5

1,12

.

11 _ 1'l x-y-1 6

m

4-4

r;fi

Sumamos

»+22=m+5 ¿lm+3)+22=m+5

3

AS

¡¡x

...(9)

-.- trl9.n > -9

... (r)

24

3_1 x-y-i 3x+y+3 =3I

3+m+4=8=2y=5-m

4

17

'(")

del sistema. es decir. cS = {(1:0), (0; 1)}

-750 Clave B

ÁLceene - soLUctoNARto UNIDAD

Clave D

3

57

I Nivel 3 (pógino 77) Un¡dod 3

^

yz

3y+52

2'1. Delsistema:

3v+52

x2

+,f

+22

0

=zl

zy6

_Z= y\24

5

3x+3y+32=0=z=-(x+y)

-x2 +f

+xy =

...(p)

2xt3y+4[-(x+y)]=0

-2x

l+l=1-z=eo zbub

f

Nospiden:x+y+z=144

l-2x)2 + xl-2xJ = 3x2

En(c.):z=t

..

CS

12

=12-x=!

En(0):Y=+

...(0)

-

'11

^v_91 ',14 72-4x _ 91-5x

11

Clave E

2

24. CS = {xo;

Se denomina sistema de ecuaciones

al

conjunto de ecuaciones lineales con dos o más incognitas,las cuales pueden veriricarse

para algunos valores asignados

a

sus

son aquellas colecciones numéricas correspondienies a las incógnitas que verifica cada una de las ecuaciones en forma simullánea. Resolver un sistema consiste en deteminar el conjunto soluc¡ón que puede lener un elemenlo, infinilos elemenlos o ningún elemenlo.

-5x

14

x2+f+2x<1 x-Y+a=0

Clave 0

26.

Como tiene CS único los gráficos de las ecuaciones se mrtan en un solo punto.

x2

+f

+2x=1

..(t)

Y=x+a

+2¡x+a2 -

1=O

(x+212=36

...{")

x+z=6

Reemplazando este valor en (1)i

-\

a=3va=-1

en el sistema pueden ser algebraicas o no

.. (4)

x+y=s

= 4ac

Qa+2)2 = 4Q)@2 (a + 1;2 = Z1¿ .. 1¡,

-

18

z)(x + z)2= 540

-;-

Como tiene solución únic¿, se cumple: b2

r

+ y)(y

(x

Reduciendo: l2a

.(3)

(x+y)(x+z)2{y+z)=30

x2+(x+a)2+2x 1=0 +

.(1)

.(2)

Multiplicando (1) por (3):

..(tD

(ll)en (l):

2x2

r z)= 30

+ y)(x

(x

(y+z)(y+x)=15 (z+x)(z+y)=18

Entonces resolvemos:

El sistema de ecuaciones no lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expÍesiones matemáticas que intervienen

..(5)

1008-56x=1001 -55x

yo} es único

incogflitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones

4x

v_72

2

Clave C

22.

5x+14}/=91

Despejando y de la ecuación (4) y (5)

4

= fl2t -412],, l-2; 4: -2)l

47-x-2y

- 4x 4y=423-9x-18y

332

Reemplazando en (lll);

Reemplazando (0) en (p):

+

83 x y -9=4

A + 1= 1-,=¿s buxti

Reemplazando Ct en (l): y=

I

z= -x-2v 447

Reemplazando en (l):

t2

...(4)

83-x-v

(rv)

(l)+2(rg:.1§={=y=oo

(f en {lll): +1x+y¡2 =24

=72

Despejando z de (1)y (3):

1

...((r)

Reemplazando

+f

4x + l1y

Restando (lll) y {ll):

...11t1

(-)

x+y+92=83

...tlln

...(ll)

Reslando (l)y (ll):

x2

5x+12y+92=155

3*5=1

2x+3y+42=0...(l) 5x + 6y + 72 =

Restando (2)y (1):

=16

yz

1¡

...(5)

Reemplazando en (2):

z+y=3

.(6)

algebraicas. Según el número de ecuaciones y el núme¡o

Reemplazando en (c¡,);

de incognilas, se denomina sislema incompalible, impos¡ble, absurdo o ¡nconsislenle cuando el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incog¡i-

Pata a =31

tas. Se denominan ecuaciones independientes si los coel¡cientes de una misma incognita no son proporcionales.

Sumando (4); (5)y (6):

2x+2y + 22=

2x2+8x+8=0

x+Y

x2+4x+4=0

6+Y=7

lx+2)2=O-xo=-2 En (ll)ryo =

-2 + 3=

1

ClaveA

Nos piden:

xo+yo= 2+1=-1 23.

xY

5x+4y=a-

5x+4y

__

xy6 541.,. yxb

xz

i+22 =g-3x+22 /¿

32 zx 58

27. Delenunciado

Parca= -11

S

I Lexirnáüc

+

1)

se liene:

= 21-ry =

l{r7*r¡

Enll: yo=0-1=-1

..

25,

6',

.rru

x+y+92=83

...(1)

5x+12y+92=155

. .12)

x+2y + 4z =47

,,,(3)

De

(

(

v

l2ll .,2

21

)=

v

2't-y v

,2

)=

+ -,

=333=1rr'=

xo+Yo=-1 ClaveA

1

5.'

ylxy

2x2=0+xo=0

1

f

14

+z=l

333-l y2

ff

...(1)

-,

.t2)

-

441

f

-

42y

+f

x +y=12

=$3 -\?

+54=o

21y

z> 0,x2

-18

v v

1

=(y-18Xy-3)=0 +Y= 18 v Y=3 Siy =

Para hallar

30. Del sistema:

Resolviendo tenemos:

+f

=7

...12)

0e(1):Y=12-x

...(3)

x2

f

18, entonces reemplazando en (1):

.(1)

+

144

+

112

-x)2

=2

i

=z

-24x +

siy =

2(x2- 12x+ 36 -36) + 1,t4-z = 0

,u=

'

4-t (3)

-24x+

144

2 ((x

32. x: unidades de Sonny y: unldades de Galaxy

-6)2-

zlx-6J2

28. Delsrstemal

36)

+ 144-z = 0

=.ñ;l

Condición:

-72+ 144-z=o 2lx -6)2

.lx¡q

Clavs D

tcp Clave E

x+y

+72=z z= 2lx-6)2 +72

Donde, para que z sea mínimo

x+y=3x-4+2x-y

=4

x+5y=3x+2á5y-2x=2

...(1)

200x + 300y

L(x; Y) = 25x + 40Y

<

6000

...(1)

...Í2)

y>0 I Por ser casos reales deben Resolvemos g.áfcamente

y en ('l):

Reemplazando elvalorde

zx-(|)=t-2,=

< 600 000

x>0 =72

!

ry=o*y=

^

La func¡ón objetivo es:

2x + 3y

...(2)

7

2500

x+y<2500

Z^¡.=2\x-6)2 +72

Sumando (1) y (2)i

I

El conjunlo de restricciones es:

x-6=0

Se deduce:

l(0;5)= 4000

.'. El lmár = 4000

!--------\¿J

=o

l(xi y) = 300x + 800y

r(i;2)=385o

-z=o 2\i -12x) + 144 -z=o

3, entonces reemplazando en (1):

ingreso máximo debemos tes puntos.

l(10i0)= 3000

L r-L , 6 ^,- (18) "r-

2x2

el

reemplazar en los

z=2tt-6)2+72

ser positivos.

de acuerdo a

las

condiciones.

\ 11

Clave D

4

v)

,.t=+,1=+

31. n.'de latas Cl.ve

C

800Y

Hallamos las coordenadas delpunto P(x;y).

2x+3Y=6000 ...(1)

lmax = ?

x+y=2500

Cond¡ciones: despejamos'y' c3

-

b3+54

12\

d

oettt: 4=4=a3u =03c3 'br0 oe

= 300x +

ingreso

1---L-r b - 3/a -" a3+16

=x

n.'delatasB=y I {x; y)

29. Establecemos:

A

12¡: a3d

+ 16d =

b3c3

t

54c3

N=

Grafr camos las

27c3

-

c

8

y=1000

L(x; Y) = 25¡ a

46,

L(0;2000) = 80 000 L(1500: 1000)= 77 500 L(2500t 0) = 62 500

nciones: .

d _27_d1/3_3 'c3

^

objet¡va.

lcasosreales fu

= 1500

Ahora evaluamos cada vé¡tice en la función

J Para valores enteros positivos

^1u i ,1v

x

P (1500; 1000)

8x+fov<80-v<8 +x 5 2x+5v<25-v<5-+x 5

16d = 54c3

l

.

0 un¡dades de Sonny y 2000 un¡dades de Galaxy.

.(3)

2 Ctave B

-u-2 =t¿-

^2 naír'¿L-

v)

2a2 c2 2b2 dz3

3n

c2 d?t3

1

k2

,,,(4) Hallamos el punto P(x; y):

2

De (3): __q_

Nos piden:

- k2

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones:

_4 -9 _- k2

8x+10Y=80 2x + 5Y =25

I 4

ClaveA

- *=f

n v=z

ÁLceenr - soLUctoNARto

UNtDAD

3

59

4

I

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO APLICAMOS TO APRENDIDO (pógino 78) Unidod 3

k+1

3x+2 x2

1.3(x2-4x+1)r7x=5r4x 3l-l2x+3+7x=5+4x 3f-12x+3+7x-5-4x=O

3l-9x-2=o

2x

2(k

+

1)x

=

3(k- l)x + 2(k-

(5k

-

1)x

-

2(k

=

x2

-!

0

=

-

1)

2x2

ro.

o=b=o

x2=

'

l-(x1+x2¡x+x1x2=o

-

12x +

-

1'lx

=x2 +

1Ox

-

I

+ 25

-

l1x

-

rx-;v

26

7.

-

(m

x2 (m2-5)x-8m+3=o

-

-

-

)(-3)

8.

8m + 3 = o

-

4x + q

=0

-7 -3

la ecuación:

x1i- x2= -a2 x1X2

=

a

5m+15=0-m=-3

Nos piden:

Nos piden:

x1

+

x2

+

{x1x2)2

= -a2 +

a2

=0 Clave B

-

Del enunciado, se deduce:

- 1)x + (m + 1) = 0 Dato: x, - x, = 2x2

13.6x2+(2m+3)x+m=0

(m

A=(2m+3)2-4(6)(m)=0 (2n + 3)2 -24rI,=o 4m2+12m+9-24m=0 4m2-12m+9=O (2m-3F=O

Sabemos que:

,,

Luego:sim=3 x2

12. De

1

>k-llil=;"'"

m

>k

i

2m+1=2(-3)+1=-5

9+3m2-15-8m+3=0 3m2-8m-3=0 3m

10x +21

16 =

Sabemos que:

ClaveA 5

+l-8x+

x2+a2x+a=o

-x,

= -3 (m2

9

Clave B

Reemplazando:

(-3)2

2)2

a=2

+xr= !=g=¡=g

x1

-

(r-7Xx-3)=0

1)x2+(5m + 15)x+2=O

Dato: x1 =

x,=2 A x,=g

Dalo: x

x

Clave E

11L1

(x

cS = {3; 7}

+a= _,

i

- rr t,[-i!7I113¡¡6¡ "---.-------6-

+ (x -4)2 = +

6x

x2-

Í-(a+z¡¡2=4s21¡ a2+4a+4=4a2 3az - 4a - 4=o

26

3)2

oesanollamos cada binomioi

l-

Reemplazando:

3x2-'l1x+10=0

,1.

-

cumple:

b' = 4ac

= (x + 5)2

=o

Cláve C

11. (x

Desanollando:

4f -

r- fi'+f

...141-gxr1=0

En la ecuación:

S^e

Clave B

3)2

L

Dato: x1 = x,

1

^=, (2x

=0

a2x2-(at2)x+1=0

4ñ.

3.

12

r,*rr=|*|=fi ,1.,r=

Clave A

Por dato, sl las raíces son recíprocas, entonces:

\

7x+

Clave 0

(cíces s¡métric¿s)

6

6.

.x2=12

x1

^

=0

-1si-r1=o=r=f

- x+4n=Q

-

.'.x2

1)

ClaveA

2.

x1+x2=7

=¡2-(xt+xz)x+ xr.xz=0

Entonces:

e+/id5

^=

+

+xr=

x1

2(3 )

..

1)x2

Dato: x1

-(-e)*/44-(3X¿

,_

+

(k + 1)f (k

9.

_ k-'l

-r.= a-6 e

. '/P

4*

=2m-3=0

a

-4x-21=o

..r=

+/P-G;=a

i<-ilx:'-,

i

Cl.ve

Elevando alcuadrado: Luego:

b2

sim = -1l3

,'-({-s),.$.

a

=

o

,<'l

=

14. 5(m + n + 18)x2 +4(m

a2

Reemplazando:

f-(n

9x2+44x+17.3=0

:,.

4ac

-

1))2

-

..x=7 v x=

I= _1" "

m2m m

17

412)(n

+

1)

m

=22

,<

11

5.'

+¡

+

18=0=

m

+n=-18

m-n=O+m=n 0e(1)y(2):

=o

-11

=0

...(1) ...l.2)

m=n=-9

Piden:

1

m-2n=-9-2(-9)=9 .. m-2n=9

+m=11 V m=-1 Clave E

60 I Lexirnáüc

iom

n)x + 3mn

Si es incompalible, entonces:

Desarrollando:

I

-

D

Clave B

Clave C

5.

PRACTIQUEMOS

I (pógino 80) Unidod

N¡vel

1.

9(x)

l(r) Luegoi

f-14x+(49-l)=o

--.9-= t =g=zm-r

^=196-4(49-l) t. (F)

..

=

49-f

Clave D

< 1s6

> 0 (tiene2 soluciones)

[.M y

2. r.

l0

+^=

=

0 (única solucióndoble)

0 (tiene 2 raices reales y

dilintas)

^+

Clave B

,/\

+,/t'2

li

l\=Z

=-Y

..(D

10.

ClaveA

-

(x-2oF=81

..

a+b=-1

1 :.! f=a-2+a x=a'-a, -x2+2+b=a-2+a1t2+b=0 a+b=-a'

Clave B

x,+x.=

L2 .^ +-L

X1 -l_ x2

b2 2ac _------

=

a¿a

11.

-

Clave E

(v) a(2)2 +

b(2)-

10

7.

=0

a+b=5-a

Dato:x1

=+vx2=5

xlx:1) _28n2

s=x1+x2= t+s De la ecuación:

Dé_6x+8=0;

CS =

e=x,,xr=

(xr;x,

f-3xr4=0 +x.=

L

x2-x-56=0

|.s=-f

-]--:¿ =

3

Base=x=8m

Altura=x-1=8-1=7m Clave C

=o

"-l'-f zl -tx -

x.x.=9=1=¡

ts =o

1

Nivel 2 (póg¡no 80) Un¡ctod 3 ClaYe B

Nos piden: (1 + x1X1 + x2) + 3

12. sea

s.

Multiplicando:

1+x1 +x2+xjxz+3

1+3 +

./ñ +T =./i;1+

4+3=11

2x

+ t3 =

x

Reemplazandol

xr=$

I

Por dato: a; b

+ 2.,/ix+ 3Xx+6)

rgr *

-

bx

-

a=0

t=*-4la)(-a)=¡2+la2

+^>0

€

¡B

-

{0)

Por lo tanto, las nices soo reales y distintas.

18

>k

= x = -7

\=12

(no cumple la ecuacioo (l))

v

x

=

-2

Clavo

=

CláYe

A

ClaYo

0

13.

7 2

=(x+7Xx+2)=0

xz=6

Suma de laices:x1 + x2

+

a¿

4=x2+9x+18 0=x2+9x+14

x¡=2b

-

2x

2=.R

h=2 -x.=6 'x¡ ¡

2x2

/iTT

la ecuación:

Entonces:

...1t¡

Elevando al cuadrado {1)i

ClaYe E

x.

x=8m

I>{J

x2-Sx+P=0

/?\

-.1¿ =

=U

Nos piden:

Sabemos que:

x----------l

f-

Luego:

Clave B

¿.

x=29años

Reemplazando (ll):

(v)

x=2 =

x.

Según elenunciado: hace 20 años

.2

a(-l)2-b(-1)+ 1 =0

x-20

Betsabé

Elevando alcuadrado en (l)i

Actual

Hace 20 años

(rD

\+x2+ 21/i 1/4=?

x=-1

r.

ecuación original.

Sabemos:

(F)

[.

Por lo tanlo, el número de cortes de los gráfico§ (2), es el número de Eíces reales que üene la

6- a/x'+b/x +c=0

(V) ^

y= 0

m=5

<49

4(49f) > o

-

=

L

- l)

4(4e

196

>o =

Graficandoi

3

De la ecuación:

y
3.

Como xl y x2 son recíprocas:

l,l.

Trasladamos los datos als¡guiente recuadro:

0

Presente

Dentro de 4x2 años

Florencio

6R2

6R2 + 4x2

Ramó¡

R2

18

9.

Produclo de raicesi x1 . x2 = 72 Luego:

De la ecuacón:

-/=1 -l -1=t S€a:f(x)= I - I x2

l-18x+72=o Clave E

^

g(x)=l

F=6R2

ÁLoeenl - soLUcroNARlo

R2 F

+ 4¡2

= 2R ...(1)

UNtDAD

3

I 6'l

/ a

De (1): 6R2

+

Nos piden:

41= 2(R2 R=x

+

¿x2)

-!!"+I=

nm

21. 1024f

-2

I _-2

m2+n2

1

mn

x1

18. De

x1 y x2 las raíces de la ecuación

3(k-

(2k + 1)x2+

1)x

+

1

- k=

la ecuacióni

¿|=r

11 5 Xr Xz 8 *,*rr=§

xt+x2=0,75 1)

2k+1

x1x2

1-k=0,25(2k+1)

. ,.

x1

IR+ 1

+x2=0

-n=Z

=m=2O

Sab€mos que:

2k+1

. xr+x2=;=--h

{-

!=f=

to

'

4-4k=2k+1 3=6k

x,xr=

.x2=1

x1

^

e=o #=o=,n' m2=8

...(t)

8

8)x + n1o = 0

=n,o=2,,

Condicióni

Por dato:

-3lk

+x2=0

Luego: x, - x, =

x2 kr+16=0

0

-

Además:m;n€

Clave E

15. Sean

(m"

Del enunc¡adol

3

3

VFFFF

-

..n+n=2112 + 1)

k)

Clave C

22. Reemplazando en (l):

..k=*=0,5

=f * r=ro

f

Clave E

ClaveA

16. Sea

19. Dato:

la ecuación:

(m 2)x2-(2m-1)x+m 1=0

..

...(1)

17

' /7 + 16

38)

/7

'

,/7

(5x-38)x=63

-,/6

5x'

Del enunciado:

1)2

Racional¡zando:

- 2Xm - 1)= 25 ^=(2n 4m2 - 4m + 1 - 4(n2 - 3n + 2) = 25 4{m

8n-7=25

8m=32 Re€mplazando

r¡ = 4 en

la ecuación (1), tene-

. '

./7 t{7+/dt _ ^ U7 - 16) l,/7 +,/6)

1

5x

=

x=9

5(9)-

38 =

38 = 7 m

Altura=x=9m

Nos piden:

=0 V x-3=0 ,=1 u x=3

Denlro de 4 años

x+4

(x+4)2=4«x+4)+8)

.'.x2-14x+7=0

l+4x-32=01

2

Clave E

Por lo tanto, la mayor solución esi 3

20.

Aclual x

Dentro de 4 años

l-Sx+P=0

+2x-'1

la edad de Javier

Javier

P= 49-42=7

3

(2x 1Xx-3)=0

17. De

Base =

23. Sea x

p=x.x2=Í+./O)17-lñ)

ClaveA

{5x+7)(x 9)=0

Clave D

S=xt+x2=14

2x2 7x+3=0

>k

Jl t/7 16¡ 1 /.i; l,/7 +,/6\117 - 16)

Luego:

mo5:

2x

-

38x-63=0

5x.\ -.+7 x ..-'-g

/3-x13+14+r\l

' '; ' '; =7 (3-xf+(l+xf

..{1)

x>
f'=+

La edad de Javier es de 4 años. Clave D

la ecuación;

Seal

3x2-2x+1=0;

n=3-x A m=4+x

CS = (mi n)

Nlvel 3 (póg¡no

...(2)

8l) Unidod

3

24. Área de una región triangular equilátera (S^ Sabemos que:

l-

m2

2)

2

.(t)

5

3

,n= + (ll2'.

Reemplazando (2) en {1):

.(rD

n3*ml n2

-

+m2

s^

Entonc€s:

+

2mn

+

n2

=

4

§

1

(n

+ mxn2 (7)(n2

-

3

De (2)en (3):

n'?+

l

+n'?=

f, m2*n2=!_z=_2

939

nm

+

= 7{n2 +

m2)

nm

+ m2)=7(n2 +

m2)

m2)

=nm=0

(3 xX4+x) =0 =x=3 v x=

.

I Leximátic

5.'

Area de una región cuadrada

...(3)

"d2 '42

4

Por lo tanto, la mayoÍ soluc¡ón es: 3 Clave C

62

x2 li --v-

(Sr)

)

A)

Único valorq = 6, en

(¡) Del enunciado: d

i

x: lado deltriángulo equilátero

+2x-24=O (x-4)(x+6)=0

S^+Sr=376m2

lT f, --'i;t34 l1I)

2

=

4

gJi

x2 J5 --T-

B)

37

(x-2)a=0 - x=2 +m=n=2 ...A= mn + n'= 22+ I

=a x2+2x+12=36

si:

\2

Entonces:

lT rzr*n

= 3al12x

t.

./5

=

15

37

ClaYe D

2e.

(v)

4+(-6)=-2

..(1)

¡r. Ir.

t

(1

-2, ^

?,)f

+a(1

-2

+b)x+b(b- 1)-

?=0

Del enunciado, se deduce:

(v)

rv

es: 4(-6)

=

24

^

=

¡5

= 3,

x2

m

_

2x

+

B=0;CS={m;n}

mn=

-

lr\

4b

-9=-8

30. Como

2 es una raíz de:

2+1+1 mn

(2)2

16

=0

...(1)

(k

3X2)+É+k-16=o

4-2k+6+k2+k-16=0

q

k2 k-

Reemplazando:

k

c-.>', _8 L-L -_. -4 p=r.r.=

ecuación

Entooces:

mn

k

+k=3

/a* r\/1* r\

'' \m i\n

Base=2m

la

4

x2-(k-3)x+k2+k-

m+n

e-r!

tnu,a= xf =2f =lin

+a21=g

Clave D

S=x, +¡.=

¿2

1J2

0

a2 a2 b

x,=1+1 ,m ,.= 1*1

(c)

-

Entonces:

Luego;

a=34J48 n

a1(b

Pero, estos valores hacen que

1

=aal71

)=0

2

original no sea cuadrática.

-- !--:¿ = 2

=

n

,z

aO

a2

Si:(b-'1)2+a2=0

§abemos que:

=37¡1 x=2n

1)

+

(4b

*1§15 ,,

-2\ (b(b b++l ¿t

+b)lr-411 \

Desanollando y factorizando:

26.

27.

Ia(1

(F) Las raíces no son recíprocas.

c)

b'

(F) El producto de las raices

Desarrollando ('1):

376

I

La suma de eslos elementos es: x?

(t)

5,,

=

I

v

6=0 +2

k= -2

Pordato:k<0

p=aa11J-11

+k= -2

x2 ( 2-3)x+( 2)2+(-2)-'16=o

Como:

1 ^ m+n mn mn

x2+2x+12=i+2x+1-1+12

Re€mplazando: P

mnmn

25. La ecuación se puede escrib¡rcomo; 5x2

+

1Ox

+ 24 = 24/x2

= (x.r't)2 + Ya que

+2x+12 11

...f)

>0

els€gundo miembro es positivo, hacemos

J7 *zx* n =qro = x2 +2x+12=q2

=¿++

1

+ 10x + 24 = =

5(x2 5q2

t -

x'zfx+|=o

Por lo tanto, la otra raíz es:

Clave 0

2x+12]l

36

36

..12)

,/ axl-x+t -,\* !x-2f \s(xz-x+1) I x'+x-1 3/ -x1+

-6

(Nocumpleq>0)

31. De

la ecuacióni

+x

-

¿

-o

(x-2f -o \* xr+x-1

Seá:á=x+3ñ

¡ ---:-3-- ¡-=-l\ o ' - '\5(x'-x+1) x'+x-'ll =

¡a

q-6=0 q=o

(a+bf _ e

ab2

212

-2a2 2a

2tx - 2l U-2f ¡F:;1)()¿+r-1)

=u

^

|

b=x+4m

- (*.*¡'.0¡=;

\5(xz-x+1)/

5qr -+6 q

q=-5A^ u

-7

(#m.#a)t"-3n+am)=

28. Delenunclado:

5q2-24q-36=o

5q+6=0 v

2

Clave

5q2-36=24q

(sq+6)(q-6)=0

+7

..8x2-14x+5=o

Reemplazando (2) en {1);

-><.

en (1):

i< +x=2 y x=-7 x x

De (1): 5x2

= -2

+x2+5x-14=0

=t

Nospiden:x2-Sx+P=0 lueoo:

la sigu¡ente sustituc¡ón:

Reemplazando k

,

a

-

*

1ab

+

2bz

=o

b

-2b

- (2a b)(a

2b)=

0

ÁLoeena - soLUctoNARlo UNtDAD

3

I

63

I

/ a

35.

Luego:

2a-b=0 2(x+3n)-(x+4m)=0

a-2b=0

(A-

áx=3n-8m

6n; 3n

-

.,.

3)(A +

6-6x (x+4)(x-

La edad de Amel¡a es de 3 años.

8m}

36. Número de personasi 'x" x1 y xz las raíces de la

ec{ación:

l+bx+c=o

.

Cada persona paga:

> 1A

9[

so=1x-3) 1>0

x+1

Xl+x2=-b

^

X1

(-9S

*

*J._--_.* + x<-4

1¡

(2)

90x=(x-3)(90+x)

Además, de (1):

Máximo valor entero de x

90x=90x+l-270-3x 0=x2-3x-270

.x2=C

Por dato:

S=b+c+1 S=-xr-xz+xr.xz+1 S=xi(x2-1) - (x2- 1)

.. x=

2.

Recibe q = tiros acertados q punlos

Siendo

Clave

c

l+2mx+(m2-1¡=o

q=xm-(p-x)n

._

liros fallados

- (p x)n

q+pn m+n

Aspa simple

CIáve C

ax2-bx+4=O;CS={x1;x,

l+2mx+(m+1)(m-1)=O

Por dato

"t

;xi;.;í

p15+q2+2

+2

-

r

x2+2mx+(m+1)(m-1)=O

33. Seai

3. f

=0

1 I (p15+1)+(q2+1) = r,*t=--;jE*;ft-

=0

- ZtZt3t-t x\ x-1 /--

+ 1)= 0

4x+6=3x2-3x

x2=-(m+1)

Luego:

3x2 7x-6=o

Por condicbn el pmblema:

(- b)

l:

44 a ClaYe E

(2):

5;\ ,-i l-5l

ñtz

x2 +(m

\2)

2t2\+1\

x,=-(m-'l) 2."

(1)

Y=Sb 13

(1)en

aiz x1 +(m- 1)=0

-lil¿-, xtxz

-

+3

.,ll-i

0

1.^

I 1 xt+ xz =1

=52 2x

[x+(m-1)] [x+(m+1)]=

q2+1

p15+1

3

el número de lims acertados Resolvemos:

37

De (2) y (3), se deduce que: S > 0

x.m

18§olución pos¡tiva Clave C

.(3)

es:

Cláve E

0=(x-18Xx+15)

S=(x2-1xxr-1)

+q2

¡

Por condición del problema:

x2>1

=xl 1>0/\ x2

p15

o

-l-< x+4

(1)

oelenunciado: x1

>0

1)

x 1 .n (x+4Xx-l) --

Clave C Clave E

32. Sean

xl-3x+2 _,,O x¿+3x-4

7)= 0 A=3 v A= -7

(x+3n)-2(x+4m) =0

-

36

A- - -3 AA+z

=x=4m-6n

.'. CS = {4m

MARATÓN MA]EMÁTICA (póglno 83) Un¡dod 3

Sea A la edad de tu¡el¡a.

4iA- 2)(A + 6)= A2+4A-21=0

-'l A -(m -1 m-1<1 ^ ^ m<2 A > 1)>

x1

x- --3

x212 -(m+1) <2

¡x

m+1>-2 m>-3

-\

z

=x=3vx=-43 Clave D

= 3<m<2 - m se encuentra enlre -3 y 2 4. Por Cardano: ll: xt<2 xz) -1 a+b+c=b abc = -2a ^ r -(m-1)<2 ^ -(m 1) >-1 bc= -2 m-1>-2 A m+1<1 ab + bc+ca=c m>-1 A m<0 +-1 <m(0 t m se encuentft¡ entre -1 y0 Z -2*c.-c=c

34.

F¡nalmenle, reconocemos que el menor intervalo s€ encuentra en elcaso ll. Como

l+(4x)2=833 Los lados miden: x = 7 m y

4x=

417)

=28 n Clave

64 I

Leximáüc 5."

m

".

c

-é=c

€ (-,l,0)

+ b=2

(a,

a

ll

b)

.. b-a=0-(-1)=

='l

- 2a+3b+c=2+6-1=7

1

ClaveA

Clave E

5.

Gralicamos: lyl

<

8.

lxl

Rest¡icciones:

4x+2>0

-lxl< y < lxl

^

2

8x>0

-t.r.f, r 2) > logl4x + 2) >

log5(4¡

.{(r)

-

log5(2

8x)+

-

1A525(2

log552

8x)

4x+2>50-200x lyl >

x2

204x > 48

,r#

y>f v y<-f

lntersecamos:

(p)

{([)y (p)

#.,.1=,,(1?)-,(i)=, b

a

Clave B

lntersecamos

35

9. Ar=

-1

-1 -26

ClaYe C

6.

Ordenamos:

)x=0t y =D;w .. x+Y+W+z=

mx+y+02=0 0x+my+z=8 x+0y+mz=m

1

0

m

m(m2

10.

f2,

fz

+

-2 2

z-1

rY-8

2

= -18t2=7 11

0

; l='

lill

o

.'. m=-1 Clave A

7. 2-lxl>0 = e [-2; 2]; cancelamos elfacto¡ (t _ x2) x

/-fx

|

>

()

x

0

0

-1

x

0

0

0

-1

x

x-2

0

-1

2

-1

x

0

0

0

-1

0

0

...(1)

-1

<0

x

x-2)x3+(-x+2)10 (x-2Xx3-1)
x2-j

(2x+2)(-x-2) s0

*+>-o;x+-1 e (-o; 2) u [1; + co) -C\tA

0

<0

o ol lo 2l ---r,l; t, ll-'-,1í -r i,91.,

¡x+ltrx-lxllIE-" 0)

-1 -1

2

0

0

-l

m3+'l =o

€ [-2;

3

x-2

- o)- 1(-1)=

Para x

y

x-1

10

l1

ol

0

-:l

Clave B

Para que admita ininitas soluciooes: m

4 A2

2

(x-2)(x-l)(l+x+1)s0 (x - 2Xx - 1)< 0

x

\2)

Parax€10;21

(3)

+x€[1;21 Clale A

,2 -1 Ex+I¡¡-4 -"

¡_1


xe[1;2)

=

.(4)

CS2: [0; 1] CS2 = CS: CS1

u

[1;2) Clave B

ÁLGEBRA - soLUcroNARto uNroAD 3

I 65

I

,|

Unidad

\

, INECUACIONES

APLICAMOS LO APRENDIDO (póglno 8ó) Unldod 4

l. l-sx-i
2x

/-.

5

5

2

\'?

29

\^-zl T

1)-

xs(x +

I2

+

x-+x-<x'+xx"+x"-x--x"<0

5.

I-?-''o

+

x3(x

x3(x

"

7

s {rd

28- 7 -,

l

s

{x

+'lxx2

- 4)>

3

o

Clave C

/-;\ 1.-- _ :- _,-/-z f__-)Z iá

'to.

,/z-r-*-, .

2-x-x2>o +x- 210 =(x+2Xx 1)<0

... cS = l_2;_1lu [2;+6)

- s)> o

1¿3

ox2

x2+7x+8_r.'¡

7.

x2+5x+6 -"

Se mantiene el signo por tener el factor (x + 3) exponente par.

x2+7x+8-x2-5x

>0

'.

x+1) (x+3)(x+2

avtx+

óA

\+-¿"

De la inecuación:

- +1r¡n¡s

o (r)

3-2

= k € {-4;-3; -2i -1i0; 1;2; 3;4}

CS =

Piden ¡a suma de estos valores enteros

.

.

De la inecuac¡ón:

(-3; -2) u [-1;

+oo)

[-l;

+@) .x

<

JE-i

.

(1)

5

...(l)

4

>3

(tl)

(ll):

e

5

(3;51

p. !--! 6 ¡ x+2

Analizando las raíces:

.

x-4>0+x>4 .6-x>0+x<6

x3-7<1x-'t¡3

x3-7< x3-3x2+3¡3x2-3x-6<0 x2 x 2<0

I

.(2)

'- *7'^ x

.(3)

De (1):

Como:

x-4<6-x

x

x<5 De (2),

...

+

(4)

(3)y

(a):

CS = [a;5] ClaveA

2

9.

e (-1;2) Clave D

5.'

La expresión a formar es:

x+5

x-2

,

'x

I 2

€ [-1;2]

- -1<xsz 1<x+2_4 1. 4' --L. x+2 - '

2x<10

(x-2)(x+1) <0

Lexjrr,áüE

n

rx

3

Un inlervalo es

s. ./i-:7

Elevando al cubo:

66 I

<

CIáve C

'lVi
x

../5-r-a

Clave Clave E

..

x)

x

.--7-.

1

tvaloresk=0

1

5(3

Analizandoi5-x>0

7x>21

k2<16

¿.

11.Ztr \tJ5-x 2x-10>15 5x

_4
..

1l

Reduciendo:

O*.*

Por propiedad delfinomio positivo:

f-i¡'?

[-2;

Clave D

2

Clave

P(x)=x2-¡r*4tO

CS =

Luego:

2m+1=2(-3)+1=-5

3.

6

(x2+5x+6)

[+;3luts;+-tu{-3}

zoto

Analizando dentro de la raíz:

Cláve C

cs=

{-3) = 25

(x+1)(x-2Xx+2)>0

(x+3F(¡-3f (a- i¡2.-r1zx- r¡s. r1x slzo

-3

"

i, 25

f(x+1)-4(x+1)>O

Clave

1)11(x

obtenemos:

m

x3+x2>41x+1)

* rIiE

l¿¿l

-

I

-b..'--L. 3 x 2-

Clave B

15 - /29 5+ J29l ..cs= l-----,-l

3)12x

Sumando

cS = (0; 1)

2

-

4

-2.,-r.--1 -- 4 4 L.-L<-! 3- x-2

lxl - 1)< o

6.

(x + 3)2(x

4-

0

x3(x+1)2(x-1)<0

l-Z,f -(,*f " (,-i-*)(,-*.4) .,

2.

+ 1)<

Por condrción tenemos:

-!.r-=.L' 4'x+2- " Irr--_L' 4- x+2-' , ',+]

3

mrn. =

_1

-z

=

max.

^

PRACfIOUEMOS

t

Por lo tanto: el producto de su máximo y mínimo valor es

-1. 2 Cl¿va

tz.

/* sr*l <

4.

N¡vel I (póg¡no 88) Unidod 4

1,

x' 5x+b -1>0 --i---::x_ Jx+t^

Dada la ecuación: 3x2

A

+ 2(a +

b

+ c)x +

a2

+

b2

+c2

x'-cx+o >1

71r-,

=0

Reduciendo:

Donde:a;b;c€lRAa+b+c

4

2x+4

L

)0+ (x (x-z)(x-t)

Analizando el discriminante:

[2(a+b+c)12-4(3)(a2rb2 +C)

Analizando:

f - 5x+4>O 7-x>0 ^ -.,-- - 4 'x/\ -1 (x-4)(x-1)>0

-8[a2+b2+C-ab-bc-ac]

4

-

>0

I

<0^x+{1i2}

Puntos c¡iticos: {1; 2i 4}

Se cumple:

x<7

^

x-

(x-z)(x-t)

Desanollando se obtiene:

2)(x

+

a2+b2+c2>ab+bc+ac

?

PuntoscriÍco§:1y4 Entonc€si

x

-8[a2+b2+C-ab-bc-ac]

..

e (-o.; 1)

-

(2:4)

Un intervalo solución

es:(-@;1) ClaveA

positivo Luego de intersectar:

7) Resolviendo: lTllt¿

x

€ (-o";

1l

u [4;

.'.


14x + x2

9x<45 x<

5

Seconcluyeque las raícesson imag¡narias.

..(Sz)

(x+ 4)(x + 3)< x'+ 7x+ 12

1tlú=i -./Í- > oj ...(1) Jd=1> ./7-

ecuación obten¡da es iguala la ¡nicial. ... a= 1:b=7 y c= 12

...\21

Piden:

a+b+c=1+7+12=20

. 2-xZ0-22x . lx-3>0-x> f,

Clave E

14.2x +

Cleve E

...(3)

oato:

-x2+4xt4n<5;vxets

f-4x-4n+5>0:vxets

(0; 1l

. (Sr)

Clave B

3. x2-5xr1=0

4l-5x+1>o^2xr3>0 (4x-l)(x-1)>0^x>-32

Sumamos

f

16<4(s-4n)

n.+

en ambos miembros:

*-z(l),.t.1
(s,

7.

(,;

,a( 2'

U

Puntos de corte:

f=+

'- ls3l

o. =J-2.7\

JT-..5-lT _2-^_z-2

4

4

Resolviendo:

(5x+2X3x-7) <0

Sacamos raiz cuadrada:

1

1

ClaveA

15x2-29x-14<0

,,_r(t),.(; f=+

ns2

2

)

1

"f* +1'[''.-l _3

*,1

.n€

Dando lorma:

3.

Se cumple:

(-4F-4(1)(-4n+5)
Restrinq¡mos:

s1

De la ecuac¡ón:

P(x)= -x2 +4x + 4n

De (2); (3)y (a):

...r=

-5x+1

Parax<7

-- -3n

6.

...(4)

-xc-(\21

lÑ

3>

0

=0

Además de (1):

... cs = (-co; 1lu [4;5)

[-4; -3]

Como a, b y c son mínimos entero§; entonces la

4x-3>2-x

5x>5-x>1

xE

Construimos la inecuación:

I = \x-

Luego 51 n 52:

Dada la inecuación:

ax2+bx+cS0;

Clavo A

Elevando al cuadradol

x2-5x+4<49-

5.

<0

-Stpositivol

...(S,)

2t5

7) Sumamos

5

x€

2

s-lZi -- s+lT 2 ---=^'--

Piden soluc¡ones enteras menores que 7

e {-1;0; 1;2; 3;4i 5;6} n.'de soluciones = 8

x

-ls-l-¡.5+./Tl

a+b+

Clave D

lt¿l

2.7\

5'5i =G;¡)

Piden:

.-.^El-,-l

113

1 2 7.1 15_-5-5-15_.

Gláve C

ÁLGEBRA . SOLUCIONARIO UNIDAD 4

ClaveA

I 67

/ 8.

ll.

Dada la inecuac¡ón:

,2

tZ.3

Resolúendo:

3f3+1rx+l

X

El€vando alcubo:

x3+2 o -n

x3+1>x3+3x2+3x+1

x

3l+3x<0

x3-3x+2.6

3x(x+1)<0+x(x+1)<0

x Factorizando:

Punlos criticos:

(x-tf(x+z)

,

x x(x +

+ (0;

1) 1

x+2 +

0;x

<

x

y0

-1

^

CS =

(-1;0) Clave C

2)< 0; x + (0;1) 12. De la inecuación: /-.--a--a vá¡+r -^.

3

-2 CS

= (-2;0)

Luego en

-- L-

xvx+b

(-2; 0)

¡

Nota: Como los índices de los radicales son impares, para la resolución de esle tipo de inecuaciones no se requiere hacer resticciofles a la incognita. se tiene una solución entera, esta es:

-1 Entonces, todo a la 15 para eliminar radicales: ClaYe D

s. /:x75lT , -¿

(ax+1)5

-^

x'"(x + b)"

. (r)

(ax+1)afax+1) Analizando:

x1a. x1x +

3x2-6x+8>0 3(¡2-2x+1).r5>O

e

-

b)

S€ el¡minan todos los términos positivos:

3(x-'l)2+520 Se observa que x

b)2(r +

.

(rD

.g -:9i+f xlx+o) 0: a -b 1,1.¡r-6a:1 a a

IR.

Redefiniendo de (l)i

Puntos de corte:

/¡rz-orra>o -3x2-6x+8>0 lguala(ll):x€ts

..xen

Clave B Cláve E

10. Resolviendo:

,*1>1 x .2 .

¿fl-l'o ..2

,

-a-:_al_l_

>0

I 3, 0e acuerdo con el mélodo de los puntos de corte procedemos de la siguiente manera:

n

^

'+o

xa

¡+0

x2-t--9

1ox2

t

121

Analizamos el d¡scriminante de x2

= ¿ = 52 -

-

-

4¿q= (-t)2 -4(tX1) =

x

+I

-3 <

g

<0

-

1x2

- gxf -

1)

< 0...(1)

-r

De {1) §e tiene: 0

(x

-l-x+1>0,VxeIB

-

3)(x + 3)(x

+ lxx

-

Los puntos críticos son:

1)= 0

-3i -1; 1;3

Luego:

x2-x+1 x

+

>0=1>0*x>0

Luego: CS

= cs =

= (0;+ó)

.-. La menot solución entera es:

I Lexim,áüc

5.'

[_3;

1

_

j]u

[1;3]

=a=-3,b=-1,c=1y d=3 .. a-b+c-d=-4

1

Clave B

68

+ 3

Clave A

lit.

...(1)

I--[41 : Ix+a\ x-a 0

...(2)

Resolviendo:

Delenunciado;

2

6x +'15

4x +

77

1e.

= x23'l

3x-22189 = xl37


De (1):

15. Sea:

x(b

C el número de calculadora HP50G+ que tenía

- a)(x

Estela.

(b Según la lecturai

-

-

a)b

-. x-b-a (x-a)l

Luego:C-350>C/2

Lueoo. de

(1)

l1):

<0

<

ClaveA

22. ,/2x=1 > ,/2 - x

0

...(1) Analizando:

2x-3>0

,, !

x-b-a a g x-a

-,

e

(!;

(c

-

-

350)

200

<

Resolviendo:

152

c <702

.(2)

..

De (1)y (2): 700 < C < 702

Cet -

C

^

2-x>0 x<2

n

zl

Luego vende 200 calculadoras

=

2

(-2; 2)

CS =

a)(b + a)

(b

Como:00

Quedan=C-350

c>700

.n

2

Estela vende 350 calculadoras

=

1

(x-2)(x+2)--

xt¡-at-(b2-a2) . , <0 (x - a)b

Clave C

.

=l-¡+6>0

xb-b2-ax+a2.6 (x - a)b

Los valorcs que puede adoptar x:

31;32, 33;3¿;35; 36; 37

^=(-1F-4fX6)=-23<0

x-b a -" ,-a-b'"

Luego de (1)y (2) 31

Analizando:x2-x+6

(Sr)

.lu-1

2\-3>2-x

*J

3x>5=x> - 1> J*-r*1 Secumple:3x2-x+1>0

20. 2x

Clav€

.lT-

Elevando alcuadr¿do

xe(a;a+b)

=701

Luego, Estela tenia 701 calculadoras HP50G*

>

...(s,

n 52

Luego 51

Analizando el discriminante:

4ac= l-112 -4\3X1)= -11 <0

Nlvel 2 (póglno 88) Unldod 4

L=b2

16.

+x€lR 2x-1>0=x> | Resolviendo:2r - 1 > l*

L.!.-t-0>a>b>-1 ab

ll.

1)2

> (b

-

z¡.

o, 4S

= a3-b3>o

(v)

(2x

-

-\=, -3 '2

3

f

+ 161+ 50 < 4(3x + 6y +

tzx +9f 3)2

-

+ (3y

zty + 161

-

4)2

+

-

(42

-

trÉrÉ- rL r!,! r! 25x y y zzzz

402 + 5o 5)2

= z+

8

2

...(s,

§-> <0

Clave D

<0 2

t,ts

x_3 x-2 x+2

CleveC

,tv

2022

2az2

25x

v

v

ñ

8{1§

!Lt.l zzzz

=2

s>4 Clave B

<0

x2+2x-3x+6.6. x+2 (x-2)(x+2)

=3.25

4x

2- \25

CS=tsn(3;+-)=(3;+o.)

>MG

8

S

(o) n (P): x e (3; +co)

1Oz)

v=!;z=l t+f;

4

yz

.(p) Clave D

t* -

t

4oz2

8

a3>b3

4l + 9f

zl

n=*+§

lll. a>b

18.

(f;

2

toz2 + 1 =S x+É+ 25xyz

(v)

a2>b3

3

-rr1

Puntos criticos:0 y 3

a2>o;b3
.§.

2

Clave B

4Í-4x+1>3x2-x+1 x2-3x>0=x(x-3)>o

+'1)2 M

3

cs =

...t"t

Elevando al cuadrado:

l. a+'l >b+1>0 +

..(Sr)

Además:

17. Delenunc¡ado:

(a

-

x2-x+6 .¡ (x-2Xx+2) - -

2,1. De la inecuación:

A

x+-2 .(1)

1a2+b2¡l- (a+b)x+ t <

o; a

Analizamos el discriminanle:

a = b2-4ac

<0<

b

l-(a+b)12-4{a2rb2) a2 +b2 + Zab - 4la2 +b2l

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo UNIDAD 4

I 69

¿ 2ab-3(a2+b2);a<0
(-) +

Dato: x

(+)

€

Graf¡cando la región S

(a; b)

- {c}

...(ll)

(l)= {ll), entonces:

^<0

No tiene soluciones reales: x

.?!_v=0

a=-'l;b=3 c=1

eu

Por lo lanto. el número de elementos del CS es 0

2

Y+¡=0

Nos piden:

2

¿bals=(-1)312(1)=1

Cláve E

25, De la inecuac¡ón:

-I--!.4

Cleve D

¡¡¿16

-€-

x-a

D

Luego de intesecar las reclas, obtenemos los

28. Del gráfco:

Resolviendo:

puntos:

x-b a -^ x-a-5'1u

r=(f;f)e=r

bx -b2 -ax+a2 - ^ ---IE:iI'

c= (f;f),0=ro:sr

u Luego:

(b a)x-(b+a )(b - a) <0 b(x a)

A(x) = ¡11¡66

-

+ (x-b-a)(x-a) <0 p6.=(¿;a+b)

^ ^

-

r,

Para minimizar f(x;y), delinidas en las alternalivas, evaluamos f en los puntosA, B, C y D.

A(x)=1000x-2x2

Veamos:

{b-a)(x-b-a) <0;b-a>0 b(x -a)

x' b ,"
A)

Derivando e ¡gualando a cero:

A(x)= 1000 4x = x=250

x-a*o

Sif(x;y)= ¡ 1y

0

(A)=

x+a

A(250)=

125 000 m'?

fA) =

S la edad del sobrino

S>25

2(S-5)>T 25-T>5

26. Sabemos que:

Sumando las des¡gualdades (1) y (2)

I

"-

-

x+

1

x-1

ue{o;{] cl

(x

- 1)2(x + l)(x - 3)3 < 0 , 'l)2 (x + 1) (x 3)2 (x - 3)< 0

n-i1) Puntos de corle

, r1 x

&'

------

32 >

€ (-1;3)

-

(1) ...(l)

I LexirnátiE 5.o

..^

(B) =

erounto,r=

en et punto

25

* [Íl,f]

,,

(c)= 6 y f(D)= 6

[f;f]vno

en (z;o).

2

v

=

|, tct= -o v rtot= o

c=

[f;f

];

oor ro

or" t"

t""

dría una solución y no inlinitas. Luego, D)es falsa.

e) sit(x;y)=y-

Por lo tanto. la edad del tio es de 58 áños ClavoC

'

:13 \d---t"r

n.

T=58

30. "Al

{-1; 3}

y{D) = -3

Entonces. elmínimo valorde fse encuenká

57
c

+,

(A) =0,f( B)

Nlvel 3 (pógtno 89) Untdod 4

(x+1)(x 3)<0^xl1 --\

-

4. f(c) = 4

+y

|

Sif(xiy)=

D)

= T>57 En(2):2(32)-T>5 = f<59 (1):T

s

Luego, C)es falsa.

S¡S = 32: En

rlot=

31

No hay algún valor entero para T.

¡,4

27. (x

en

>25 i T>56 En(2):2(31)-T>5 + 57>T 56
'

I

Entonces, el mínimo valor de f se encuenta

30<S<33

sis = 31: En(1):T

.! -3

Sit(x;y)=

(A)=

S=31 032

'" 1

c)

,,,(4)

De (3)y (4):

lnvirtiendo:

0<

.{3)

s>30

1)

-

Luego, B)es falsa.

.t2J

{x-1F-2(¡-t)+1>0 -

f(B)

t'.

en et punto D = (6, 3) y

.(1)

10>T-5

Dato: S < 33

" '-r--L', x-1_'

70

5=25

[(x-1)-1]2¿0

(x-1)2+1>2(x-l)

f

Entonces el mínimo valor de f se encuentra

Según el enunciado

T

(c)=

2,

B) Sif(x;y)=y-x

T la edad del tío y

c

(B) =

Luego, A)es falsa.

Cláve E

x€(a;a+b)

2,

Como f(A) = f(B) = 2, enlonces el minimo valor de f se encuentra en todos los punlos deAB, se tendrían infnitas soluciones.

Entonce§:

29. Asumimos:

Dividimos entre (x

r;sr,

2x+y=1966

m

inimizar f(x; y) sobre S se afirma que"

S es la región limitada por:

(A) = o, (B) =

| á,

(c) =

+

yf(D) =

o

Como (A) = f(D) = 0, enlonces el minimo valor de I se encuenlra en todos los punlos

de AD; por lo que se tendrían infnitas

y-x<4 y*á<6

soluciones, pero (6i 3)es soluc¡ón.

| -v
-

.

E)es verdadera. Clave E

36.

34. Dato:

31

CS =

€

(a; bl u (c; +@)

- AI-rl3-, x+1 x-2-

Resolviendo:

x-1-

n -

3r'

0

G=1h-lJ>o;x* x(x

-

1Xx +

1)> 0

Puntos críticos:

-1;

¡

(x

Puntos críticos:

-1

0 y

cS = De

(-6;-1) u

1

4m2<4m(2m+1)

x+ l-1;21 x+ {-1t2],

4m(m 2m-1)<0

m{-m-l)<0 m(m+1)>0

y2

1

*

(2;+co) ...(ll)

.. (-'l)2 =

m

r/!ip¿'7;:¡

...(1)

Clave B

...(3)

e

(--i-1)

37. De

la inecuación:

-

3x>

x2

x2+3x-7m2
(t)

-7 <x<4

. /x -x)0

.

-

-1) u (0i +"c)

Dato:

De (1)se t¡ene:

Nospiden:a+b+c=-1 +0 + 1=0

(--;

Clave C

7n2

ls.

€

1

...(ll)

(l)y(ll)l

.12)

-t+|<x+l
/7lii-,(,-o)>o

3

-

-11

Elevamos alcuadrado: (3)

-x€(-co;0lu16;+ó)

Analizando:

x+2+0

x2>o

-3<x<3

x

I

-2

...(S1)

,T= x+1

>0

x+

Luego, Á4 , o

,,0

+(x+1Xxt2)>0;x +-2

n

-2; -1

x€(-o.; -2) u (-1; +-)

...(S,

Luego: S1 n 52

.

S>o

(4)

-2) u (-1;

{CS5

Clave B

ETE'

__L< 5039 5040

ln+1

1

.(r)

1

E=-tr=tr-tr-l

tr

a1l1111 -:- -ja----_ - -:- ---! = r-

:

E EE¿E 3_1_1 IEI

___!_ =

't_

1

h{ h l¡{

u CS6}

Sumando:

1

=CS=[7;8)u{0}

3)

+

1 2-1 2 I

De (2), (3), (5)y (6):

n

Un valor de m es 2.

TTansformando cada fracc ón:

..(6)

CS3

1

L

=CS=a n

.

Clave D

...(5)

CS2

)

n=!2

. /;--1>o 8-x>o 8>x x>7 ^ = x € f; 8) u {0} . /x:6-t
=

(

7n¿=28-m¿=4

De (4) se tiene dos casos: Puntos críticls:

17,'

(l) = {ll), entonc€s:

,F-r"-a >0;xl8 8-x /ir,[:6-l - ^ ----¡:;''

Resolviendo:

1 ó x'+3x+Í
x2+3x-28(0

l,lx'-6x-.lx ----¡ - x V

x+ -2

cS = (-3;

m

-1 yb =2

Clave C

(1;+co)

a=-1ib=0yc=1

g

- 4(-m). -(2m + 1) < O

De (2) y (3):

Nos piden: ab =

6Jtr*tl 33. #>U

A = (2m)2

=

(l)y(ll):

ldentificando a =

De

+ (-1;2)

-1 1

(Tener en cuenta que x sí puede tomar el valor

e (-1;0lu

x

x+ {-1;1}

de 0).

x

^ ^ ^

2)> 0

-

+ 1)(x

1^ x+ -1

-1:

>0

3f(x+1Xx-2)>0

$iffi=':x+1^x+-1

...(2)

De (1) multiplicando por

,n

(x+1Xx-2)

...(1)

(-m)l+2mx-(2m+1)>0

Efectuando se tiene:

-,t:-L - l:-l- >o x-t+O^x+1+ x-1 x+'l

1
--(r=m<0

x+1> x-1 xr1

+

m(x-1)2+m+1<0 m[(x-'l)¿+1!+1<0

- x+2 x+l '2-x

...(r)

ml-2mx+m+m

...(l)

U+1

32. Dato: x

(--:a) u (b:+ó)

ClaveA

-2 -3 EtlI

- --__!__ r _l_ hl-l hl1

ÁLGEBRA - soLUctoNARto UNtDAD 4

I

71

4 ,l'1. Resolución:

Luego en (l):

.

1 - 5039

'-E=¡uo

32x-3'.34-3x+81

r---l-..t--L

b{-

32'- 82.3x +

E

81


6=1¡;!=¡qy¿=¡q2


q es razón geométrica. Por geomefía:

.>< vr-81

n<6

't Clave D

-l

+(y-81Xy-1)<0

=\r-r\r-- .

Los puntos críücos son: 1 y 81

39.2x2-4x-2k>1;vx€lR 2\2 -4t (2k+11 >Oi vx€IR

.

31

Recordar:

;¡

=a¡21¡¡a6

-

r.q

Y

l. Cl¡ve

2k+1<-2

k'?

-3

-2 Clave B

ll.

m-mq2<mq<mq2+m

Factorizando se tiene:

(r)

+x+1 >0 +2)(x-1)(x2+x+1)

Como: m > 0; se tiene:

Según elenunciado:

q2-q-1<0 r' q2-q+1>0

De (l):

...f)

h-+l"t ^ [o-]l'.]'o

...f2) ...(3)

-5.0-'l.f

Sumamos (2) y (3):

+ x> 2z+

1

Multiplicando por

-1

(-1)a

-x-y>-6

2

la inecuac¡ón (1):

...(5)

comoq>

Sumamos (4) y (5): z<

2,5

Puntos críticos:

{-5; -2; 4;

x

+

S¡z=

En la recta real:

En

@ x

-5

-2

(q+

1

(1):

x

+y<

.

e [-5; -2ln f/; +6)

Piden soluciones negativas:

.'.x€[-5;-2] Cláve A

+

1=6

...(7)

Siz=2: En(2)iy>z - y>2 + y=3t4;5 En(3):x- 1>z = x>3 + x=4;5

En ('l): x + y < 6, no cumple con esla desigualdad ...(8)

5.'

ff

> 5t4

^

...1r1

(q-tt2)2+3t4>o

q>0=q+i>:.^qeIR

"- /5-1 Como:q < 1, se tiene:

tl¡

?.q.1 (1)u

...(2J

(2):

.B +'t 8-t -- - --f---z'e'

Observando (7) y (8) se concluye:

Cambiamos q pot r: razón geométric€.

x=3ty=2 2=1

{l-t ,-,,E+t --T'' ' -- 2Clas€ D

I Lexi¡r¡áüc


2

x+y+z=6hüos

72

1t212

al-

6, solo cumple cuando:

Y=2^x=3 Luego:x + y+z= 3 +2

17

I

+ 1-q2.q0,1 q2-q+1>0

En(2)y>1+ y =2:3t4:5 En(3)x-1>1 = x>2 + ¡ = 3;4;5

1

seüene:

Siq<1

...(6)

De(6):z=1o2

.

1

De (ll)l

Enloncesl

(x-7)(x+sxx+2)>0;xl1

n c.n

1-,8 .^. {l+1

...(4)

0>22-5

(+)

= 0
q2-1
y

(+)

(si:a>c + q>1)

Javierjtiene x hijos César tiene y hijos Eduardo: tiene z hijos

x+y<6 y >z x-1> z

+

E

42. Asumimos que:

16+8(2k+1)<0

,O.

mqz-m<mq<mq2+m

si:a
(-4F-4(2)l-(2k+1)l<0

"o¡-

la-cJ
y=3'e(1;81)*1<3x<81

En el problema:

=

c

.

30<3x<34=x€(0;4)

=a rel="nofollow">0^b2-4ac<0

l$,,u'

et

enunc¡ádo:

= f -eZ7+et.O

lq1!<7=n+l<7

Si P(x)

¡Í1. Sean los lados de¡ triánguto a; b y c según

3t+4+x 4_3x+1<3x_81

Cl¡ve E

FUNCIONES Nos p¡den:

APLICAMOS LO APRENDIDO (póg¡no 9l) Unidod 4

1.

= ((1i 5)i(1;

f

b

Dato: É(3)=81 Sif

a2)i (3;a + 4)l

-

á

f(3) =

=4-8 = F(2)

l9

b-a2=5

II f*;rtr'))

F(a)

Vértice

=4

es función, se cumple:

...(l)

Además:(3)=a+4

Clave

'

Si:(3)=9-a+4=9

'

En(l):b-52=5=b=30 Si: f(3) = -g + a + 4 = -g a=-13

a=5

En (r):b

-

'"

= 174

(-13)2 =

n=-*=*= ,

Vértic€(h:k)

(n+a-(n +4=(n)+m-Kn)+(4))

(-3;f(-

h=(_3)=-2

3)) = (-3: -2)

lntercepto con el eje y: y(0) = 7

+

0

v

5.

lx+21

+21-3 -3

5

b=174 bnrár

Clave

2.

F

-

= {(x;2x

(-2:-3)

y=¡l+6x+71

1)/ x e IB}

h=

F(x)=2¡-1 á F(2) = Séá:x=x+h Sea: x = 2

2(2)

-

1

t-31- t-1t=

El valor absoluto hace que la gráfica se refleje en el eie x.

2

b=l-21-0=2

=3

h.h 2.2

^

F(x+h)=2(x+h)-1

"

..2 Clave C

F(xth)=2x+2h-1 tlos pioen: e

=L(fl:M+r1z¡

6.

FoG(x) = f(g(x)); evaluamos (g(x)) = g8)

Reemplazando

(g(x)) =

) \

€

Domg(x)

^

€

g(x)

Analizando se tiene:

=fog(x)=f;xe t-'/7:

Elevamos alcuadrado:

7

8>S-Z¿>O zO > Js.* >o 2lr>F(xl>o [o;2/Z]

cI

Completamos o¡adradc en h tunclón G(x) (ga-

riarrh);

c(x)=

n Ran(F) = I0;

- (t' -

2m

.

a

+ 2m2

-

4mo)

PGee inwrsa)

Datos:

c(x)es mtuimo oEndo (x

= (x-200)2=0..

b)= F(a)+ F(b)^ F(1)= 2

-

200)2 es mínimo.

chve D

Fl)

Fl2) = 2Fl1l = 2l2l = 4

(') Sia=b=2 F(2 + 2l = Fl2\ + F(2)

F{4)=2F(2)=2(4)=8

8.

Primero graficamos

y=f+6x+7

umparábola) ldeotifcamos a='l tb=6

(s.áfica

rc(4» = (4

-

m) = (4

s(f(m)) = s(m2

-

1)

=

m2

-1 - -m

I I

m

I

= 16i7 Clave D

S¡ F es suryediva, la

-

bi b

+

2al es el rango de F.

I I

A partir del dom¡nio hallamos Ranf:

I

b+2a=34

d" I I

,,, (2)

1

+ (4-m)' f =m'-1-m 16-8m+m2-1=m2-1-m $ - an +¡( -/=y( -7(-n

|

I

,,, (1)

mF

Dato (1) = f2):

11.

x=2oo

(.) Sia=b=1

/x+s -z

|

c{,)=-fi;Énom-

21

Clave B

1)= F(1)+

x2 (es ¡nyectiva Y

Clave B

I r0. I

c(x)=-{l-4mxr36yl 2od-4ooo

Luego:

F(1 +

r1(x)=

crave

o>-*<-g

F(a +

=

(+)

lll

0<x2<4por(-2):

4.

x1

-3<x<6n t1 =x<J1 xel-|7 ; J|l

...(l)

[-2; 2]

Dom(F)

(+)

v=ft+212-5

o
Por teorema:

.

+ 2)2 -l

-3<x2<7

I-2*>o-*<4

.

\x2

+2=x2+2

Domf(x))

-3<xs6 ^ f +1e [-2;8] + 138 2 =x2

z. rgl=,/s-*

probamos si es inyectiva

=

-l=

(-2i7)

como x e

x2

5

-

f(x) = (x + 2)2 (xr + 2)2

Dominio de log(x):

(x

Clave

Ran(F)=

9.

Defnic¡ón

.e=fl+r=s

Dom(F) = De (l):

I

x2+1-1

- 2x+2h-1-(2x-1) " h-

-2<x<2

-

igualando:

-4 < x <

5

-20 < 6x + 4 :< 34

a-b=20

(+)

3a=14 a = 1413 +b =74/3

*=+'+=+

I

CláYe D

I

ÁLGEBRA . soLUctoNARlo uNtDAo 4

I 73

I

I 12.

Resolviendo:a=2^b=-1

l=8

r)

l=f -

ll)

x=3

=4 xloS2 = 4 log2x

0,3

Nos piden:

4

,

,^

^=¡;r=''''^ fl)

(,6)',=

34

lV)

x = loga64

.

.

=

a.

loga¡ = 3

Si x

sSn(lxl+

Como lxl ¿ lxl

x=

Si

5.

sgn(lxl+1)=1

F

=

F(4) = F(3) + 3

Y

3

= {(x; F(x)/ F(x) = 6x

2=

F(3) = 7

=

F(4)

=

10

Clave C

f}

-

3: 3<x-3<5

Restamos

de y =

+

Datoi0<x<8

- =2lx *, Partimos

F(3) = F(2) + 2

F(4) ro 10 5 rfol=rfll-=?=Z

1)

0

+1>1=

=

=2

5

lV Clave D

2'l+

13. y =

Dom(F)=2 1+3=4

Six=0+F(1) = F(0) +0=F(0) Si x= 1 * F(2) = F(1) + 1 = F(1) = 4

x=log¡43

x es mayor en

elementos

Clave E

xl2=4 ¿ x=8

V)

(-1; -3). (3i2))

Reemplazando: F = ((2i 5),

<

Elevamos al cuadrado: 0

y = 2l'l función por simétrica al eje y.

-

x2

6x + g < 25

Restamo§ 9l

-9<x2

Y=2'

tN',

6x<16

< 6x-x2< -16 < F(x)< I

9(por-1)

-16

..

Ran(F)= [-16;

9]

ClaveA Clave C

14. P(t)= P"ek';[ =

6.

0<x<4 -1 <x-1 <3 O=(x 1)2<9 , n< {x-t,''2 <1

!

Reemplazando valores: 'l2O%Po

= Po

ek(8)

J

12 --Bt l0

(x

-

1)2

-

1

s2

. . Ran F(x)=

Tomando logaritmo neperianot

2]

ClaveA

|n1,2 = 8k k

[-1i

7.

= 0,0227

kx

=

F(x) =

!¡

F(x) =

del dato 2k + 3k

=

10

k=2

%k = 2,270/0

+

Clave 0

Piden:

F(-5)= -10

PRACTIQUEMOS

Nivel

I

Clave E

(p6glno 93) Unidod 4

8,

Hallamos DomGoF:

¡e

Dom(F)

1.

A) B) (V) es creciente C) (F) DFIOG D) (F) E) (F), ya que una recta F) (V) (V)

3.

+ DomGoF = {-2; 3;4} G(F(-2) = G(4) ) G(F(3))

F

= {(2i 5),

(-1;

3), (2; 2a

-

Se cumplel

b-a=-3 74 I

-

G

G(16),

= {(-2; 4

-

Porcomparación

Dada la lunción: F

- G(-2)l GoF = (-2:

G(F(4» =

horizonlal la corta en más de 1 punto.

Leximáüc 5.'

b),

(-1i

b

-

a), (a + b2; a)}

+m=5 i

n); (3;

=

(-2:

-2 -

GoF=F

F(x)

€

Dom(G)

Fl 2)=4

{3:2:4)

2.

^

Fl3) =

-2 €

F(4)

16

=

oom(G)

G(a)), (3: G(. 2))(a: c{16))} 11). {3: n). {4: m)}

m); (4; 5)} G:

G(4)=4-n 11

=4-n

n =-7

.. m+n=-2 Clave E

(Ar):

Area del rectángulo

9.

osx2<

1-x2¿o x2<j -1 <x<

1>x>-1

A¡=10x-2f Completando cuadrados:

...\z)

A¡=-2(x2-sx)

...(1)

Jl]

(2)+(1)i-1< lo.

1

0<1-l<1 o<.'11- <1

1

xy=(x)(10-q)

Sabemos que f(x)

=

r.=-2[,2

+x
,

c

,;,.(;f -(rf]

E'2 nt

^.=-2\\ i)+7

./;

seÉ máximo cuandor (r

-

if

=

o

-x=512 .

.

Area máxima = 2512 u2 Clave B

15. (x) =

=

(lxD

=

I

'4xpar, (simética al eie y) Es una funcion

f(x)=v4xl+1 Se desplaza verícalmente

x3

-

6x2

I

1

t, I

I

2-8

8

144

0

= f(x)(x-2Xf-4xla (x - 2)2 = f(x) = (x - 2)3

I I

.lI

Dato:

Se observa que h(x)es inyecliva.

+

12

6

2

¡

c

12x 8 (z)=0

1

I

ll.

+

Para\=2

g(f(x))=r-2

s{(x-2)')=x-2

tl.1¡4 y - 4= \4

I

x-l=(y-4)2

I f

Y=

Í

-l

p=(x-2)3

x=(y_4)2+l

3.[i+2=x

-

I

h1(x)=(x-4)2+1 Cláve

.l

sG)=

3/¡,

.. s(x)=3/t

I

't2.

s(¡!=3fi +2-2

Clave E

I N¡vel 2 (pógino ¡ I 6.

r(,)

I Cláve

13. Como (2i9)€ f(x)+

f(1)=7 =

b

(1)

7=m(1)+b

(:2)

9

= m(2)+

A)

94) Unidod 4

Dibuja la gráfica

de f(lxl)

"l

{1)-(2):2=m En (2):

B) Dibuja

b=5 .. b'=25

la gráfica de: lf(x)l

Clave B 2

14.

1

(xr10

-

2x)

\r(x)

=

2x+10

7

ÁLGEBRA - soLUctoNARlo uNloAD 4

I 75

/ / 18.

- Ftx) -v= xr + 2t'aaa4 x+¿

x2

6

x3 x2

Factorizandot

0

(x-3)(x+2)<0

,=\x+2t\r1]),*2¿¡ x+¿l

-:',/'--- /:

Seax+2>0=x>-2

...(l)

'v=!!!¡2*2,=u \x+¿)

*z*,

23

-( -x-6)

-(x-fif+

-2<x<0vx>0 Elevamos alcuadrado:

v

2<x2

Ran(F1)= {2;

Formamos y a partir del dominio:

x2>o

+2<6 v

-2< x<3

+222

x2

-i<x-tt2
+e)

.Sea:x+2<0+x<-2 y

.-

o
(I)

-+<-lx-it2)2
= -lx2 +2)

De (l):

o
x2>4-f+2>6 -(f+2)<-6 Ran(F, =

(-@;-6)

! <_ 2-

Ran(F) = Ran(F1)* Ran(F2)

(

ó; -6)

e

Dato;x

3x

a]

2

2x2

-5x+2=o

2x x-2

>0

(2x

a

o

-

l)(x

-

-1 2)= 0

x=112v x=2

=

puntos de ¡ntersección: l1t2;9t4) y (2:31 ClaYe B

t r, ,2
22. Hallamos G' = {(1i 7); (3; -2); (6; 2); 0; a))

Porteorema:

cs=

3/2; 1]

x'-ix+1=0

^-'->0

x2>f ,r 1x+t¡1x-t¡< x2,

[-

x2-2x+3= L +2

-

...(t)

3x-7-8x' (x+l)(x-1) >n (gx2_jx+l -"

^

-

1t2f <1

F(x) = G(x)

7-8x2

Analizando:

y2>1 '-4

o

21. Puntos de inters€cción:

1

e [-a;-b]u lbi

^

s

Clave C

,,/Ql ¡

^2, 4x'-1>0

1t2'l

[

Ran(F)= 3/2; 1] Dom(F)n Ran(F)=

[2; +co) Clave B

1s. F(x¡ =

(x-

4

. l-E-i<1-lli-tx

6

Ran(F)=

u,<-}}n1-r s,< {x>+

Piden F(G'(6))

..

r1

Fl2)=

G.(6) = 2 = ti^

./2 Cláve C

Graficando:

23. 1 1

[]"]

1

2

0e (l)^ (ll):a = Nospiden:a+b

1

b=+

Dominio de una diferencia de funciones es la intersección de los dominios de cada función.

=

2

cs=

...(rl)

D(F-G)=0FoDG Dom(F)=3-x>0

x<

3

Dom(G)=¡2-9¡9 (x+3Xx-3)>0

-

..a+o=t+t=l 20. Hallamos Dom(F):

+ 6+¡-l>0por(-i) 76

€ f-2; 3l

Hallamos el ranoo de F:

De (l):

o<x2<4

x

I Leximátic 5.'

Clave C

+ x<-3 u x>3 lnteresecamos dominios:

28. Sabemos que el n.' de habitantes crece según

3

+

Dom(F)n Dom(G)=

x

si admite inversa

-

=t=2015+3x2-10

-10=

Vl.

1990 = 25 años

P(25) = 6000 (e)3%

i

25

reSlñnqie¡do

Í

-

ro

Fl32) = log225

chve c

=(,,.|f -f

ro

-

-*'-+=-"-l

f(x) y=

De

+

existe f-1

f

-

2r = 0

I.

n.' raices seÉ donde géfcas (x)y g(x).

Dibujamos

{V)

t=rtr

§e intersecün las

Como x > 4:

(x):

lll.

loe,lxl

(V) Gráficamente es creciente de

l

-f;

IL4

+ 4911=(x+3A\2

lV Sacamos

(F)grafcamos x

r(x)=lxl-3

2'

,f:

, ,f; --,-ttz

Existen 2 raíces negativas y 1 positiva. .

c

.

€ [-1;2)

De

-1 a 2la

3

gráfca decrece y crece

V. M grdfcamos para

La ecuación Fosee 3 Ía¡ces reales.

x<-1

(x)=l-2

Cláve C

25. Por definición de funciones logalitmicas:

= b>0 Ab+1; x>0

Nlvel 3 (póglno 95) UNIDAD 4

=ff'o

30

A) (-@; +có) B) 0
c)

críticos:{ 1; 1) € (-c"i '1) u ('1; +-)

Puntos

ax€lR- [

la base está entre

(0)=

2

o IR

(-3)=

Observamos que l(x)es inyectiva Posee inversa.

'

5

Cláve C

D) v=¡'+'l 33. Datos: 1; 1] Clave 0

26. Como

+

0bseNación:

Clave

Equivalenle

.t¡-z

3

,=-tr-ff;q - r'ut=-l-ul?-f

x

4)

3 puntos de corte

jw,3--^

logbx

12,

I ( i, l"

-f;

= 1x+trzf

-t

,R+16 -1=,[r7*ta

El

x2+3x-10

6+wf

f

llog2lxll

Eg!!J¿ r(x) s(x)

< -5:

xt = xz

32

t. (v) 29.

(".t)'

(".*)'= Como x

-

F(32) = logr32

Pl25)=12702

Completando cuadrados:

(o,if

1)

Tlene base negativa.

lV La función exponencial. V SuryectiYa e inyectiva.

: población inicial k : tasa relatva de crecimiento Po

f(x)debe ser inyec-

tiva:

+3x1

lll.

t : n." de años

Clave E

24. Veamos

ll. be(0;

Donde:

€ (-@; -3)

base es mayol que 1.

L Sisu

P0 = Poek 3

Tomamos logaritmos en base b

= 2x-3<6-x 3x<9

x<3^6-x>0^2¡-3>0

F(x)=

logb(y

F(x) = (x + 1)

+ 12x +

...(D 8

2)3

...(ll)

G((x+2)3)=x+2

§eay=(x+2)3-x= 3/y

lntersectando los dominios parcialesi x e (3/2;31

=

x3

6l

Reemplazando (ll) en (l):

Su gráfca:

x=3^6>x^x>3/2

+

logly

- 1)= xlogbb - 1)= x + l-1(x)= logb(x -

(0; 1):

G(F(x))=x+2

= o(v)=

Clave B

Vi

e\i= 3,/l

-z

-z+z=3./y

27.4,'1p<4r!r*6-+
-

4Xx + 3)

Por puntos críticos: x

<

Camb¡ando y por x, se tiene: 0 (x)

€ [-3;4]

G(x)

=

3'li Clave E

Cláve D

ÁLceenl - soLUctoNAR|o

UNIDAD 4

I 77

1

f,E

34.Ftxt=¿

37. Como es función suryectiva,

Analizandol

=

jl>o -

9)>

o

Puntos críticos: 0;

^

-3

xlr

¿r. = ln1.3l:! \> \ x+3 /

F(x)=1-x-x F(x) = 'l - 2, = to-r.os

3x+ tn1 {n> \ x+J,rI 3x-1 - . ¡+3

F(x) a patir del

D{F)

3x-'l ,-

\<1 -2x > -2 1-2x> -

3

y3

2x-4 x+J

e (-3; 0lu (3; +co)

Dom(F)= (-3;

0lu

F(x)e (-1;

.

(3; +@)

+o) ' x=-1

F(x)=x-1

Clave D

Ran(F):

35. Tenemos que eliminar los valores absolutos + Punlos criticosx = -2; x = 1i x =0

...

¡.t

(l)u ( )= [-1; +oo)

3-

= [_1;+co) Clave D

=

38. Sab€mos quex >

3-2x;vx€-2<x<0

F(x):

'rn

Tomando logañtmo en base e:

h

1/3 =ñ;rh ln1/3=-h

0 (función)

Tomamos logaritmos en base e:

3+2x;Vx€0<x<1 4x+1tvx>1

K

Co t ¡ - ^^ "0" 1 -h

...(lD

Restringimos:

-4x 1;v¡<-2

2] Clave C

... 1t,

42. C(t) = Qos

vx>1

^

€ ts- [-3,

x

-rtrB

1r'"1 = rn1"'r¡

=r=r=+=t ClaveA

Propiedad de logaritmos:

GBfcarnos c€da función y secc¡onamos por ttamos:

lnx.lnx=lne2+lnx ln2x=2+lnx

43. observamos que cada 30':se duplica 60': s€ cuadruplica

ln2x-lnx-2=0

90':esSvecesbinicial

=

Completando cuadrados: llnx

-

1n)2

-

\3 Clave D

36.

y

lnx

-

=

1121= 312

112=312

lnx=2 + x=82

1

v

v v

lnx

-

112=

C(t)=2u30+1x104

lnx=-1

Clave C

x=e_1 Clave B

39.

y=(lxl-2)2+2

+

y es una tunción par (siméfica al eie y)

x3 x

(l)

en el e¡e

2A

¡ e ("_3;

+

n(

(r)

lt

de B,

único (puede

con la misma nota).

.

IR1 es función.

I

Notamos que para cada elemenlo de "8" le pueden

0 20

1;

t9 18

0

corresponder

vaaios

de "A', (una misma nota le puede

elementos

conesponderadosomás alumnos).

.

(rD

. n2

no es función.

IRt es función ClaveA

I c

.. a+b+c=3+7+4=14

I Leximátic 5..

le

un

):

ab

78

para

Ahora hallamos un posible gráfico de IE2.

(tD

x€(3;7)-{4}

Clave C

elemento

(l)n ([):x € (1;2)

x>0

(r)

18

.

= x-3>0 ^ x-3+l^ 7-x>0 x>3Ax+4 A x<7

^ 2)'+2

corresponde

2)

40. En una función logarílmica togbx: b > 0 b

y:

que

cada elemento de 'A"

t9

0

Clave

refleja

IR1

haber2omásalumnos

_32

(punto de corte con la ordenada)

Ios alumnos}

Notamos

-2

Pero la grálic¿ posee valor absolulo:

- y=(xl

= {Nota de

--\@r

Parábola de vénice (2:2)

y=llxl-2)'+2 + No consideÉ a x < 0; solox > 0yse

B

x-1>O x-1+1¡ 6-f -x>0 ^ 2 A f +x-6<0 A x+

crafcamos:y=(x-2)2+2

2

,14. A = {Nombre de los 40 alumnos} Ahora hallamos un posible gráico de

Por func¡ónes logaritrnicas sabemos que:

x>l

c(r) = 20 000(2)!80

-312

= lxl2- 4lxl+ 6

Completando cuadrados:

Crece exponencialmente.

C(t) = Co(2)u3o

-1t4-2=O

lltú 3+

t ) base mayor a uno.

^

x+J

1

3

x

o

h¿

,r x2-9+0

- 3)> 0

x(x + 3Xx

es el rango de

Para eliminar el valor absoluto restingimos:

x'-9

x(x2

l\,1

F y x€lR.

V x,_9

Clave C

lÍvrrrs APLICAMOS LO APRENDIDO (pÓg¡no 97) Unldod 4

Reemplazando: 2sen23x

,,, 2sen13x - ,,, i- 0 Senox x-

3x2 +17x+4 lím 1. t-2 5x2-3x+'10

+ 17121+4 2s .. llm-=._

,,-

312\2

'-2

-

5(2)r

10

3(2)+

rim -3u-1=

I

t-+*X

senOx

a"n23x

J-b 3x. - tim lsel3x ,,,- Senbx r-0 \ JX

t¿

¡-0

Clave A

2

6x

-¡a

0

sen3x

bx

=(r,,^$)irr,^*,3,1=o

s

Clave B

Luego:

8.

"4 x 3, lím -T " - *lt -Z

Sea:

x

tx bfx2+bx+b2) ' - J'l'b (Á- /6) Gq-./6 ,[+,5)(x2+bx+b2) P = lím -/b)

Clave B

.,4+=,!flffi4

3.

.. lx2+3x+9) 32+3.3+9

l'I" ,r3-=-T-Z

lim.

2/6(3b'?) =

9

2x

b2)

6/bt Clave E

x1

lím

9.

g- ¡¡r 5x1+ + ¡-+! 2xr+x+1

+ ,6){x2 + bx + b1

(./E +./b )(b2 + b'?+

Clave E

4.

(,[

i

( x+3

+2

1

Recuerda

rii ¡1*¡oi'l

Como el qrado del dividendo es igual al grado del divisor:

^5 o=z

=

En el problema:

x-1

im

( x+5

Clave C

1E(*)

eg('r'r Lm

i

i!:J

Llm

=e'--

,q,$iq=,I1,F&H+

I^+2)

rr+2) f 4).--= l'+Jl

4 ir¡

ri. x-1=-9=9 =*..-2)\-l -4

r

lt?\

e

¿t

Clave D Clave

6.

lim

/

I

0

trt,';\ l-;r--=l

1

0.

1+2x

lím

Para levanlar la indeteminación, multiplicamos por la conjugada al n umeradol y denominador:

'i"/ir"/it-¡11

/x (/x- = rr,{ x( x-1) 1

{d

lx" -n-t

-ñtr-r)

_ ,,^

I

.^

"

'¡4'-u

1

(1 +

)I

1

-

cos6x

sen6x

_ _s. 0

Para levantar la indeterminación, emplearemos las identidades trigonométricas.

Sabemos: 1

-

12x

49X

1+2x+3)

- t¡(11+ 12x +7) 12(x-aX 1+2x+3)

lím 1

lim

+2x-\(J1+ax+7)

lím

Clave E

x-0

lr,TtA' llll:!4,J, ',[-t,2, ¡u 7)\./1 - 12x 7 l1+2x |3\

t,/t

2 x

= (1)3(1)-

7.

-3 \0

1+12x-7 /=o

cos6x

t.. 12

tJ*l2x+7) ¡2¡ ¡3¡

i'-+ I'ty

_2 (+7)- 114 12 (3+3) 7 B

Clar/e E

= 2sen23x

ÁLceenl - soLUcloNARlo

UNIDAD 4

I 79

.fip ú^.6

'l'1. Sea:f(x)= f(x)

-

4x2+3x+6+

4x2+3x+6 +

,/lr'*r+l¡

Recuerda: L

+x+3)

2x+3

+3x+6 +

=

,.iJ.l

=e,-r¡+br

+x+3

:&!

e-1 r*!

Dividiendo enlre x al numerador y denominador:

fE)= 4+ lim

x

,6

z+!x

t

4+

+

x2

f(x)=;?-=1 ¿+ ¿ ¿ Clave C

PRACTIOUEMOS lave

7-4

1

Nivel 'l (pógino 99) Unidod 4

¡c

I

Nota:

(",Git-b)

+VF(x)

- +... + bl =

Vr(x)"

¡"

Factor racionalizante En el problema

lím

2b

e

,3 -7

.k=+ 12. tirrl

1)'gr'¡

elltri')

lim/x-!\- =eg(.i+,¡

Por d ferenca de cuadrados lenemos

(x)=

1-

'11. Evaluando

4x2+x+3

(R;3,*6 /¡F;i =

x1 7"Q t¡('G +UÍ +...+Ui +

x_1 fv/i_1)

+

x3

ll.

I

lll.

C

lV

I

x4+ 5/x3

1

+ 1)(

+5/7 + ... + I x"+'y'x'+..+1)

=

*lim

,

(x)

=z

xlím.l(x)=-@ lim f(x) = +oo

I

ya que

xl¡m.f(x)

VC

+5li

+

,[m rrf(x)

*tím-f(x)

cuando x es muygrande la func¡ón tiende a cero

2.

x1 3. 5 veces

,.-5/7 +5/l

'

+ ... + t

'Ux6 +Ux5 + -

1+1 +1 + 1+..- +

+t

Por la foma práctica se evalúa

,, = ¡-c

=r7

3'4,

l+'

3JB

+9

89

8 I

11

11

1

7 veces Clave D

c lave

B

4.

x+lx

x+

13. Sea f(x) =

ltm

,Q

-1 'QÁ (x-1)( lm

,q;R;ll- *./i) f(x) = GAtGii-a x+

x+/x

t2 +J-z ^ ^ vr xl

*G)

x2

z

/7Á

+2)

+3+2)

+3

4

x-1(x-1)1/r2+3+2) +

r(x)

r(x)

=

,lx+./x+Jx

+ Jx)

=

X+ li t+L

= (

X

(x

f(x)

=

,q

lím f(x) =

1r/ x2

lím

t

-

1)(

1

+3 +2)

t¡m-ilf-=

= \-

+li

Factodzando

t\

+1

lím

*4:

+3

+2

2 4

"G*-z x-1 - 4 2

z Clavé E

1+

R

,¡

l1 +t

1+

t7

+1

,,, fi-

1

x3+2x2+3x+4 4x3+ 3xr+ 2x + r x

2 Ím Clave

c

(

l+2+a+4\

(r.'*.É.Í)

=1_ 4 ClaveA

80

I Lexirr,áüE 5."

7 6.

tim//x+6-3\

13.

x-t\Jx+1 -2 | ,.- (,4 +6 - 3)(/x

+6

-ITJ*++)

n'-'- \ I

=

-rJ'.z?)+.+ I

1+Z+

Clave E

1

rc*E+\+!

Clave D

-

¡¡¡ §9dl x-0 X

0, entonce§ 7x

=

tim

7

-

Nivel 2 (pógino l0O) Un¡dod 4

0

§gl.Z!

11.

1

¡¡¡ §9Úl = X

x-0

7

lím

ñ

Clave C

x+2

= x-2+ Ix:TllilA lím

lim

-l: =+xlím

Clave 0

10.

16

l,I,*F=l,I,r(scl,,rr) Como x

9.

I

i

*¿nl

n

1

r

1n3

na+213*n1 16na+12nr+8nr+4

¡¡, - n--

1

"IT-('-r?)- ,lT_(,.,ri)'

a 2nz*

\

n2(n+11 .. =llm n-- -----------: 4(1 + 2n¿ + 3n'+ 4n')

Clave C

2t+

1

7 ¡ntn+111'? I 2 I _,r_l -

(x ¡) (,{*l +2t Zt2 4 2 l"liu 3) 'tf,x.r,s) 3'3-6-5 ,,_

7

I [r7;'t4;,

Por fórmuia:

+3)llx+1+2)

,-r(/x+ 1 - 2)(/x + 1 + 2)(r' x +6 +3)

.'

/1+23+33+41+...+n3\

lím

'r1*u

lím

7

Clave E

.

.

Límile por la izquierda:

[x + 2[

+

im

.. ItmsenDx ' x-0 x

lim 3+5x=8

3_

= '-ri, I..[l = li. I x2 ¡- I x

x-.m x-m

limite por la derecha

lrm bx-x-=J

lím Ix+21=4

x-

ti^fi-ñ

'11. Por elteorema de límites laterales:

=,,15

x<3 x+2<5

,, lx lrm x--1x¿ -

J9

¡d =t

,.4;1u

33 .,q- - /3

3

1

tli-ln)("tr*"6)

ir r)(,[' /r)

I

=

2ln

.. senox = r-llmo'D ' =0 Px

Los límiles laterales son diferentes.

..7

lím

fix) Clave D

15.

2. (x+3I .(4x+71 2.( 3x-4¡+t

=

(gx'?+x+3)n.(2x-51

x

1

Factorizando:

xn xn-2, l( x)

3

I

M.C,M

12. Sea: r(x)

li

x=26

(,rii('.tl

xn+1

=

/s +

x2n

( t+1

f(x) = Luegol

i(q+Li

x

2

(,.+.+l (, ,n 2

-

2n

9lfz

.n+

/3-11

5 X

i

-f/)z-2

z-2 z¿

3.

-3

^n- 1

.;

lim 4 = z-2 z¿

lim 3-_-!¿

I

.;

¡z -2)(22 +22 + 4) = lim 2)(z+2)

(z ,,- z2 +22+4 22 +4+4-". -;':\ 4 z+2 -2¿

1

(s - x)

x-8

:l'

't

6.

lím

x-8

13,/i

-z¡

.13,/12

lt -212)

+23,/l * a)1,fr

t!4)

\'/x .2,/2)\!x' .2Vx

+4)

x8

^n+1

9n2n 1

rl-"'

+

,

-2,

=23

-.. J

243

2)

,-8

^5

lx rJ

x2

+2J7 4A

+23/x

+4

t¿

Jz r

.. n=6 Clave C

Clave C

ÁLGEBRA -

soLucloNARlo UNIDAD 4

I 81

't7.1(x)=3x+2

...(D

21.

sen4x

lím

xt

La expresión:

z*1

,- f(h-2)-f(-2)=t0

il-b h

,,--

En (l):

(h

-4)-t 4l -,]'Ir---¡-=' l3h

¡¡¡ !9!41

=65 4

2)= 3(h 2)+2=3h-4 rl-2) = 3( 2)+2=-4

-

..

6 . sen4x

24 5

-

4,8 Clave E Clave E

18.

lím

zz..tn(t:f,f21

x3+2x2+3

-

3x3-x+4 1+

Como el grado del dividendo es igual al grado del divisor:

,,- xJ+2x2+3 t 'l'i-l;-x+4

4

I

x2

1

Propiedadi Clave B

=",'T-(t.*')'

19. Sea: N

N=

Í

;5_;t x2

x-a ) a+0 1

+2ax

1

Clave B

\

(,-;r;t;l;r-,-,/ 1 I +2ax .l\ ,-al7;;7l/

lím

tim r-á x'+ ax + a' a'+

-L=

a.a +

-1

Hacemos x = y15.

x-1=y15-1=y-1

a'

=

..N=a

Clave C

20. Dalos;

J,.,[f9]='

:f

23. rim

x2

tm

N

N=

x2+ 2ax

m

lim

,,3 ]-l

,

.. lv-1llv2+v+1) =llrTl------# ,-r (y- 1)(ya+yr+y¿+y+

1)

=.1 5

,,(D

Clave E

,fD

r,r,lfl]l=-, Dividiendo

lím

1x3

El límite existe si existen los límiles latemles y son iguales

,lt^x'-4=s-4=tr J J r-3+

_2

-3

lim

1-

.. (1

ili

(l)y (ll):

F(x)

lím

x-1

24. Por def¡nición de limites laterales.

(t

(x2

)Frx

)

-*3lo(r)

-

7

J

--J+ (x

3

x-3

x-3

###5lr, [cti]=-á

16 + 5)

sX x2+16+5)

+

16

g--{1x +3¡

to+J _10_5

x-3-

x+3

OJ

Como:

F,[#]=-, Clave B

I LeÚrnátic 5."

I",denominador ) multiplicamos

d7*n+s)

(3) ;'r,[#i]=-á

82

3¡(r/x'+

(/7+ro

i'r"-LS ¡r,lá3]=+ ,ry,

(rorÍa

r vx-+tb_5,

,9.(,)=,q

(x)=

*= r

rímrE)

por la conjugada del

+ bsenbx

ax

25.

ax

L2 t

t/f*t *, * x+1

D)

im x,0 ( bx + asenax )

im

bsenbx

\

bzx J . bx rsenax, =' ^r-, d Áf __- i_____-

]-l

\

á'x

az,-oJ

_sen(ax)

[",' a*

z

(F)

J

27

I

a m(¡)+ ¡,r15.Sel!11= 2 ¡,0 r-0\ Dx / a(0)+b(1)=2 b=2

b2

^2

+b2

2

|

b2bb2 a

X

1

a2

/4*r\ \a_ |

+1

X

+ 1)

b2

1

l+!

x+'l

I

la -sen(bx)l b, I=j Ib'' b

b: rí.

a

3

|

á'x

1+

ra---:t+x vx-+

\b'zx

ll.

=b+a2

=

tim

b=

lim

b

(nXn+1)(2n+1) 6n3

(a-b)+b2-a2=0

(a-b)-(a-b)(a+b)=0 (a - b)[1 - b-a]= 0

2n3+3n2+n 6n3

+0

1-b-a=0

lím

b

z*!*\ nn_ 6

2+0+0

63

Clave B

_1

Nlvel 3 (pógino 100) Un¡dod 4 28. Al elevar se obtiene

26.

e

o,

en este caso se efectúa la operación para

levanlar la indeterminacióñ.

A)

Usamos límites laterales

..

ll3xf + 3

x-1+

x

!=J- - ---2-\ ¡-2\Jx-O 2x'-5x+21 ti¡¡

f=o

,,- 4x2-10x+4 6x+12 ¡-2 (2r 5x+2)(3x-O)

3x>3 Comoxtiendeal:

+ [3xl=

..

i-z

3

.. f3xl+ 3 r,r r-1 x

4Ix-2\2

..

¡

¡

3r.2¡-111,¡-212 '-23{2x-

1) I

-

1

x<1 zs.

2<3x<3 [3xl=

2

Como los límites laterales son diferentes, el limte X

B) lím ' r-0

{

s*r=,rq,{¡l;16

cos x

ieü,

evaluamos lim(cosx)l/sen'=

r-0

(v)

(3J N

lím

t-25

1x

1N

Por prcpiedad:

lím

x'25

r'." [1os'- rlse*l .r/semL e''L =

..

Ji -z -

(/t-

("q -2

zs)(

sX,{+

',/ (J x

3

- 2)' +'l J x 2¡13 +¡19 ) *3lJi - z'li +'ls)

r'x 5 x2) r^lQl

s)(

-z¡s

rts)

lim^(c¡sx)""'"" =

N

=e(1-1)o=eo-1 c)

1. e1-1 ;aplicamos

x-0

x

(v)

N1-1 ' 10(r./9 +3,6+3,5)

L' Hospita I leniendo en cuenta

g(x)=xág'(x)=1

li. X = x-O

¡¡¡¡ e1=-1

i-O

r/a

,,

f(x)=ex-1=f(x)=ex Por L'Hospital:

..ts ¡¡, _5,ltu/1fi 42 t3,/rJx _2t3+3"6)

30

(.*

,

X

1)'

r¡, 4 = t = r-O 1

(F)

"/9

,,=+

10.

33,5

rtl Ju J

"/3 Clave C

ÁLGEBRA - soLUcroNAR|o UNTDAD 4

I 83

I z

30.

31 x2x2x23x+2

lim

x-2 (

lím = x-0

)

senx(cosx-lXcosx+1)

-

x.cosx(cosx

1)

senx(cosx + 1)

r-

3x2-gx+6-x2+x+2

,,, _ \-2 (x¿

2x2

-

.0

x

lT! (x¿-x-2xl-3x+2)

x.cosx

=1,1,

8x_+ 8

x 2)(t'

, l,l,_** =tt).Q)=2 Clave D

3x+2) 35. Propiedad de limites

.. ;-i

2tx-2f

lím l(x)+ ím =- 3 x-xo x-xo lím f(x) lím g(x)= x-xo x-xo

g(x)

(x-2Xx+1Xx-2Xx-1)

...(1)

...fz)

1

Clave B

(1)-

(2)i

2

31. Recuerda: ,lim

l(xf{x)

,iímog(x)=

t)s(x)

q,ri(t(x)

=

-

lím s(x)=

(x).

lim

s(x)l

212

2

I

rim

^

(-2)(-

f(x)=

1)

2

, ClaveA

En el ejercicioi Zt'1+

^

,=,'qf?#)".'

1

36. Sea: f(x¡ =

.. / J+2'+1 -V2'2+r\ 3,+r = e¡-ó\ tJ rz+r /!

Escnbimos:

/

32. lin 3,_1 x

Six (3- - 1)' (x)'

lím 3xln3 =

ln

cosx / ./T- senx

,.7

+ 1=

ax

((t + 1) lna

'0+cr '

0, entonces:

o

(1

lna

= lna.lim

"-o

ln3 Cláve B

lim

- 1 =o

-" .o h(l .0) ib x ú :o ln(l a) -rnatím itimdl-tím

Por L'Hospilal:

33.

$ 4x1

xlna=ln(o+1)

. "-

=

r{x) =

Aplicando logaritmos: Clave D

¡¡¡

- lq

l(x)= a*1

Luego: Seao. = ax

,,. a1*¿,1*,2*z' = e¡-É ltc-rr+3¡+1

1¡¡311=

31:-{

+se.nx

=

-

Añálooamente:

,.4 + serlx

lna

-L lne

- f+o¡a tn

1t

= lna

¡¡. -41=1= ¡n4 r-o x

Nos piden:

-ffi cosx/

-2

+ se¡ x

l'r,

41=1 (')l x-0 ¡¡¡ -a1=1, X x-0 ¡¡¡.,

X

h(?)

lna

lím

cosx/

¡

+ se¡ x

(x<|=cosx>o)

cos x

ln4

2

lím

,'+

/

+ senx =

Clave D

,o

37. Sea: Clave C

34.

lím

I

sen3x ]

Ixlsen2,<+cosx-1)| Para levantar

la

l\rultiplicando al numerador y denominador poÍ:

Nlñ-1 +nlln-2+...+l)(',4 1+n/l

o 0

indeterminación,

trigonomét cas:

n ¡-a . f{x)=-l-¡-:-I rJx-1

hacemos uso

de las

senx(1

identidades

,!^,= -

cos2

c.,sr)

senx(cos2x

84 I

cosx(cosx

(Vx"-'+Vx" '+

e/;,1,,/r,rI

+

l)

rI)

Luego

x)

x(cos2x cosx) x.

+...+1)

y reduciendo se obtiene:

senx . sen2x

l-b -x(i-;;'?x

2

- 1) - 1)

Leximátic 5."

lim frxr=-t-1l--la=a r-r l+1+...+1 m C¡ave D

I

DERIVADAS E.

APLICAMOS tO APRENDIDO (póglno 102) Unldod 4

r.

f(x)=

5f -

I

7x +

7

f(x) = In(x + 7)

(x+7)',

"

-f(x)=lox-7

x+ I

..ttxl=-f= x+/

.'. f(3)= 10(3)- 7 = 23 ClaveA

2.

ClaveA Se p¡de calcular:

fE=]E\ '-o\V1 -v1 +x/

r=,i.

9.

v

y=12-/

+x

Como tiene la lorma L' Hospital:

$

. aplicamos

+x¡+-]1t +r¡+

]1r A=lim+ '-o ]tt +x)i-|tt +xti

11

o=1 '11 1 = 45

1 6 1

i*ea: A=2x .y =

ñ

Nxl

10 3

3

tim

x2

Clave C

-=9

r-3X-J Luego:

=

- *\

=24x-2\3

...(1)

A(x)=24-6f=0

l=t +x=2

g U

tim,1lJ-19:-1l

2x112

...12)

N2l=2412)-2e)3=48-16

=o

\2) =32 Clave D

= 32 es elmáximo

Para asegurarqueA(2)

.1. f(x)= =

f

!

tr(x) = -12(

x(x + 1F

'( x )

N(2)=-24¡¡

= 1(x + 1 P + x

-r'(x)=

.

x

i(

+

1

),

. . Árca máxima = 32

lii --L

ClaveA

+

lo. Iim (¡3 - al¿ : *-a1ta-,/a]

=r(8)=/t+#=3r* .

r(8)=+ CláveA

5.

-

Empleamos Dfx)ñ = nf(x)n

=

4(10)3(18)=

I

=

a)(x2 + ax

r

u

3)

Jl+

+

(x

tm

3x)3(31+ 12x

9.

.. tx-allx2 , n lá't -r'-+ "**a2\lli tJx-lalltx+la)

1

D,(x3 + 6x2 + 3x)a = 4(x3 + 6x2 +

(1)=

ene la forma

a

a)

tín(3a1eñ)=6a2G

.23.53.2.32

26 .92 .53 Clave B

Clave C

6.

Por la definición: La

eoacion Lr;

Y

- (&)=

f(xd(x

- &)

.. (r)

f'(x)=

tt*

x-2 (#.)

11. A = lim

10

rt r"rma

f,'

levantando la indeterminactón:

^2

++ax

f'(2)=2+8=10 En (l):

Lr;

Resolviendo:

. .. "- il)

y-$=lo1r-21 v-10x+$=o ClaYe E

7.

r(x)

o,,.

lx2

'-2

= $cos(sx

-x-2\tJ4x+1+31

(¿r-s)(r*/r+2) (x- 2)(¡+ 1)(f,x +-llql

lrxl= ', 9 (5) . l-sen(sx)l

t-2

5

lx+2) lax+1+3)

4lx-2)l\x +

x+1

4(x +

x+2)

. 3("6+3) s

-gsen(5x)

c

4/.2+J4)

ó

ÁLGEBRA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4

I 85

/

I 8Jx-t

12. lin

i (ffiff1r¡t"ne

"!x-1 =q0

Luego:

lím

( -;.7* /

x1 1f"Q (x

1

-t¡flxa

,-+

+8{i6 *

+

...

x+

+

1

+1

x

+ 1l(li7

+E{f

,r cos ]I)(

+...+11

t

11s/i7 +

s/i6

+

...

+

aplicando L'Hospital:

8,

\

l

+

¡(

- t)(s,[a + 5/i3 +... + 1)

l1x

+ rrsennr

la lorma

o

t;

-n.2

"4

--/22

5 veces

Clav6I

_1+1+...r1_5

1r1+...+1 I

PRACTIOUEMOS

8 veces

I (póglno

Nlvel

Otra forma:

Aplicando L' Hospital

rim lE-1 rim t- I 'J\ -1 = ¡-1

r.

II xBr r l'

t,t

txR

A) r(x) =

104) Unidod 4

atím o

..

I

=Im' ^x-o

1J

á,' x-1 , :.{

=

5 8

IIjAII:I! 6{x

+^

xP

-

6x3

^x 6(x3 + 3x2

lim

^x

+ 3x^x2 +ax3 )-6x3

^x

Aplicando límites: Clave

ax) ',-o18(x2. - a'l'l ¿x '

18

lim

ax2.

Ax

,,--

6(axJ)

^" -o

^x

0+0

13.

= d

1Bx2

. f'(x) =

v

18x2

B)

r. d2

r1x¡=x+-n1¡¡=f¡l

=x2 +y2

H'(x) =

=d=,R;7

|x

ll.

Y=1-\

H'(x)=

lll tttrr=

"'\2)

Reemplazando (2) en (1):

(sen4x)(4x)'=

H'(x) =

(sen3x)'x

-

+@+2( l2x 1\ + (1 xf

=

^

d" {x) > 0

=

-r¡¡(x,+1r

xf

)-*

H'(x)=

lV

; para maximizar:

|

sen3x

H(x)= lnsenx

_ 1 dsenx dx senx dx dH(x)_ i msxdx 0¡ senr dr

la diagonal es mínima

...

V

en (2):

dHlx) ---:: 0x

= sec2(ln3x).(ln3x)'

H'(x)= seclln3x).

=o=l^'

Reduc¡endo: Clave

I Lexjrr,áüE 5.o

= colx

H(x)= tan(ln3x) H',(x)

-v=+ Área

3x

dH(x)

1

=

3xcos

x2

----2t-1 =u-x=; ^ ¿ y'x'+11-xf

Reemplazando x

4sen4x

(x)'(sen3x)

x2

r)(r

-

Porelteorema de división de derivadas:

o(x)=(x2+rr-xfP

d'(x)=0

44t/?

sen(3x)

I

d'(x)=

-.1

H(x) = cos4x

i

2x+2y=2+x+y=1

d'$=

I

..(1)

Como:

86

¡

H,¡¡= §c'?1!19x)

1

3

2.

9.

x(t)=7É+3t+4

$=ut*r #=,n L x(0)=

Sean los números n y m.

n+m2=147

...(1)

máx.

...(2)

nm =

(1)en (2):(147

4m

ll. x(2)=38m n

S{z)

m'z)m = máx

Para maximizar derivamos e igualamos a cero:

=rl.rt

=

(147m

-

m3)'= 0

147-3m2=0 m2 =49

lll. a=14m/s2

é

3.

-

5x2 7x + 8 i{x)= 10x 7

m=7 A n=98 Cláve E

Si:f(x)=

i

10. v

Clave C

4.

Sii

f(x)=

3

Vx'=

3xT

DedYando:

r(x)

=

3.3xá-1

3x 6

f(x)=ü.x-r=m Area: xv Clave E

5.

f(x)=

5x8

-

3x2

-

-x Arca=(roo-x)+

2010

r(t) = ¿o(t)7 - o(l) =

f{x) = tanz(

-

tanx

-

l,If

ClaveA

Nlvel 2 (póglno 105) Unidod 4

Lfi)tiene

tl.

ta torma

$

; entoncss

apticanc L Hospital:

3 donde elpunto de paso es:

((2;f(2))= (2;3)

- f(x)=3r-1 En xo = Z ¡12¡=

m=

f(xo)

11

Punto de Paso: (2; 3)

=A= x-límo ---]....8(1 -xF

Y

m=

1

1

+ LT:y-3=11(x-2)

.

s Clave C

Y-

l1x + 19

mLr .

t'

P'(x)=2x+a=0

LN:y-3=

mLn

=

nomdrecodar:

mh = -1

=

r

=0

Para LN recta

P(x)=x2+ax+b

,"- a2-

- x-

La curva es f(x)=x3

Nos falta la pendiente m para deteminat la ecuación, por teor¡a:

. i_1r_lxj-xti\ o=,i,J'-(1,'F)=gJ#l

8.

3+

s€c2{o) = sec2{o)

Cláve B

o=

x'?+

=x=80 ^ y=20

..f(0)=1

.

=100x

100-2x+3=0 4 5¡ ,"n

f(x)=2sec2(2x)-sec2x f(o) = 2seC(o)

rf

l\y'aximizamos derivando;

sa Clave D

6.

et'

Deldato:y = 100

+ f(x) = 40x7 - 6x ...

*

paso: (2; 3) V nunto oe

-+

(r-2)

Desarollamo§: 11y + x

-

35 = 0

12

Como: P(1)=

3

F(x)=4xa+3x

-1+a+b=3

F'(x)=

1+(-2)+b=3 -1 +b=3

16x3

F (x) = 48x F '(x) = 48

.'.a.b=-8

+

3

F(x)= 105/i

F(x) = 3cos4x

5J " = -4 xa F {x)= - ,85V x'

F'{x)=

F'{x)

F^lx) Clave E

=

-12t"n4,

F"(x) = -46qs54,

F"'(x)= 192sen4x

-J225V x'

ÁLGEBRA - soLUctoNARto UNtDAD 4

I 87

',1

I ln3x 3 3x

F(x)

F(x)

F(x)=e

I

..-1

F

A(R)=100-2R=0

-ej

R=50

F(x)=e !

-+

F"(x)=

(x)=

Derivando y maximizandol

x

F"'(x)

=

et

ClaYe D

17.

F(,,)=É

r

3.

br,

= rím. (!___=_e )

A

tiene ta forma

ü,

Aplicando L'Hospitall

-l= ..

lim (ae"':

A=

aeo

-

A¡ear:{=2¡r.h oeu

DelgÉfcol

¡

=a

beo

-

*,=r- (+r

b Clave B

¿

14. f(x)=3(x2)(senx) usamos teorema:

4 \2)

Reemp¡azamos (2)en (1)

f(x)=3 [2xsenx + x2cosx] f(x)=3x(2senx+xcosx)

{or=z^(n'?-f[r, Cláve E

0erivando:

1.(-' - +Il "[](-]X*' +) A'L(h)=2rl-++ nt-E\ ,) n¡nr =

15. Dato: y = As€n3x + Bcos3r Derivamos: y' = Acos3x(3) + B(-sen3x)(3) y'= 3Acos3x

-

3Bsen3x

\o/*,-T

...(l)

AL(h) = 0

Derivamos:

Luego:

y' = 3A(-s€n3x)(3) -gAsen3x

-

-

3B(cos3x){3)

gBcos3x

-r,'*+(n'-f)

...(ll)

..n

Dalo:

f

_h2

R2

=,=(*,-+l

(r(x) G(x))' = f(x) c(x) + c'(x) f(x)

y'=

..(1)

+ 4y' +

3y

=

10cos3x

Cláve B

...(o)

(l) y (ll) en (o): -gÁsen3x -gBcos3x

=o

= J2a

r4(3463x -3Bseo3x) + qAsen3x+

Bcos3x)

= 10cos3x

Nlvel 3 (póglno 105) Un¡dod 4

Reducimosi

'lE.

-(128 + 6A)sen3x + (124- 6B)co§3x = 10cos3r ldentifcamosi 12B + 6A = 0

12A

68 = 10

?.s J

l

Nospiden:A-B= -3

=

A)

60-2x

1

3

Encontramos la función área:

(+)

A(x)

=+

A(x) =

Cláve B

16. Delenunciado:

(x)(60

-

2x

A(x)=x(30-x) A{x)=30x-x2

Y.r¡r¡."ror'$-G)=6 L

=

Dato:2R+L=200

=L=200_2R

+

B2x

A(R)= ¡!!!:2!). A(R)=

88 I

1OoR

=,0-r,=o

+x=15cm

Sabemos que:

A{R)=

oTÍ')

-

R2

LPximátic 5."

B)

15

2x

¡

L=30cm

Deteminamos la función volumen

Como:A'(x)=

V(r)= x(15 - 2x) (8 - 2x) V(r)=4x3-46x2+'120x

= (-2;

Maxim¡zamos:

3x x-6

x=ávx=6 Evaluamos en

19. . f(x) = ¡3

-

3¡

-á

se obtEne volumen maxlmo.

21. f(x) = "rt

16 = f(x)=31-3=0

f(x) = 6x con +1 >

I

0

f(x)

min.

f(x) = 6x con -1 < 0

-

3 máx.

f(x)=-x2-4 + f{x)=-2x=0

+,

11

11

=

f(1)

gx3l =

2-.3x'?

,.

x=112

f(x)=2x- 14=0

u = r,I" Iiene

fl(x)=-2-lmáx

Y=-l-4x+3 = -2x-4=0

Iierc

Y'=0

la fonna

lll.

adicando

$,

-senmx

M=

7

TEne un máx. o min. en (-2; 7)

la lorma

$

L1=

6

r

r-0 ( lím

-m2

á

n(-sennx

cos mx + n2 cos nx 2

L Hospital

)

+n2 1) 2

es un máximo

...u=]ln,-,1

y-(x¡)

xo=1

Hospital

; aplicando nuevamente

ñ? q

-

!

)

x= -2

ll. y'= -2

1lea

u=¡lr(=*!ff*)

y-7=-(x2+4x+4)

-

=

'

(su-7r§!t)

, = I'IJ m

20

y(-2) =

* ¡¿ *

i i-l)e1*2+1

It

x=7

Luego:

+iDel

Clave D

f(x)=-2lmáx'

i

(7)

2

..f(1)=e1

f(x)=-2lmáx (x)=7-x2 +x + f(x)=-2x+ 1 =O

f(x)=(7-x)2+7

./1 +2)

(xa+2C+x)'-,.*zé*,

f(x) =

x=]:l

0

- JlL-z 2

+ zé A

v(x) é x

2)<

=A(-2)=

¡

-5

+

7)es un máximo

PideniAñár

V(x)=12f-92x+120=O =3x¿-23x+30=0

-(/7

= f'(¡)(x -xo) y - (-2)= (-2(1)

-

4Xx

-

Clave 0

1)

y+2=-6x+6

23. Del enunciado:

Lr:y=-6¡14

Piden área máximai

3

de un tiángulo es:

3 2

base

1

f=xy

...11¡

x altura 2

Del gráfico:

2

3

'7

Área:n=

Se sabe que el área(A)

5

'f+l=1s-x1'? -Y='/Ot-tAx

2

Sean:b base; yr altura

(2)

Donde:

b=o- (-fi -2\= fi +2 y=7-(x+2\2=-f4x+3 17 +2)(-x2 4x+t) A(x)

-

A(x) =

x/81 -í8x = /81xr -'18xr

= A',(x)

Luego:

+2)x-2{7 -a +2)x-2{7 -a =o -({7

xlx¡ =

Reemplazando (2)en (1) y derivamos:

-({f

x

=

-2 (eúemo)

''

= á(162x (81¡

^ ^_1 - saxrx8lx'- 18x) 2

- 27x2)

./91x2

.(3)

-

x)

- 18x3 3\19

2r,

27r(3

ÁLGEBRA - soLUcloNARlo uNlDAo 4

I 89

é

I lgualamos a cero (max¡mizamos):

-

Atxl=H=o ' 19-2x

fr(x)

n1

-1

+1 ..(1)

(x+1I

(n 1)l f(r)

Ad".ásr

=x=3

=

= 729 (dato)

(2)

Reemplazandox = 3en (3): A(3)

=

3

81

''' 4,¿, =l(¡)

-

=

18(3)

Reemplazando (1)i

=3Ji

(n

gv¿5,z

1)!

= 729

- 1)!( 1I+1 (x+ 1I +ix+1f

(n CláveA

24.

= /29

(-r¡+'

E 27

(1i4)

Además:

2x + y = 100 (recta en

un védice)

Y=100-2x

...(2J

Re€mplazando (2) en (1):

-

A(x) =x(100

100

2x)

=

1O0x

12 -

2x2

.(3)

4x = 0

d2=(y-4)2+lx-1)2

=x=25 =A(25)= 25(100 2(25» A(25)=25(50)= 1250 0

d(v)

(y-4F*(

=

2

2

d(v)

P(0)=-2(c)=12+c=-0

P(1)=-2(a+b-6)

16

=a+b=_2

y2-8yt16+

d(v)= 2)(2ax + b)

Luego:

=

...(1)

=

(+

d'(v) =

2a+b=3

0 4

...\2)

Pero:

De (1)y (2):

+1

-8y+17

4

P'(2)=3(4a+2b-6)=0

-8y+17

-8y+'1710

t

=l-a=o

=a=5^ b=-7 +

f -1

+ 1)(x

- 2){ax2 + bx + c) P(x)=(l-x -2)(af tbx+c) P'(x) = (2r - 1xax2 + bx + c) + (x + 1)(x P(x) = (x

...12)

Reemp¡azando (2) en (1)i ClaYe

2s.

...(1)

Cono,f =2, - x= f

Reemplazando x = 25 en (3)i

..

n=3 Cláve 0

.(1)

A(x) =

¡

(x+1)¡=93+x=8 ..x+n=11

n es lmnar

(x+ l)(x - 2X5l - 7x P(3)=4. 1.(5. 32-7. 3-6) P(x) =

Y

6)

=2

Reemplazandoy

x=2

..P(3)=72

=2en

(2):

Por ¡o tanto: el punto es (2; 2). Clave D Clave C

26.

Si

(x) = ln(x + l)

28.

1

=ftxl= " (x+'l) f'(x)

1.

= +1f l,

f"fx)=

"

P(x)

l(x)=

(180

1,2x)x

-x=75

1l_!L-1_l

(x+lf

Comol

P(x)=180-1,2x P(75)

l")(x) =

x

l(x)=166r-1,rrz l'(x)=180-2,4x=0

-l(x+1/

la)rxr=

I(x) =

- 1 X-l¡*r (x+1I

1.2.3...(n

=

180

... P(75)=

1,2(75)

e0 Clave A

90

I Lertmáüc 5."

SUCESIONES

. PROGRESIONES

APLICAMOS LO APRENDIDO (pógino 107) Unidod 4 l. a1=n+1

n2 .1.4.9. n+1 2'3'4'

a2=(n+1)2

,n*irf

(n+ 1)! _

a,=(n+1)3

n!

an=(n+1)' Clave C

E.

a1

= 3{1) +

3(1)2

=

=

at a2

De

03

= az-

Z4

=a¡-10=-23

a5

= a¡ -'10 = -33

a6

=as-10=-43

10

{aJ = 10;

= -13

11; 12;

$4)u

I

9.

Iaán

I

donde n

=24 i1o

+t

=

z-y=y-x-5 y-x-5=x+5-(x-2)

10. Sea

a =

la sucesión

...(l) ...(ll)

a;ar;af

a+at +a¿ =21 a3

.. {D

É = 2'16

ar=

6

En(l):a+al=15

= 2O2

..

(

..

([D

)

(ll)en (lll):

= 2el2

§+or=ls I

2?-5r+2=o

2(n)2

t-2 2t t

Clave D

5.

42

Clave C

a12=2\122 = 288

-

12

= ts

a3=18=2p]l2

an

... (tD

Como es PA:

Determinamos eltémino enésimo:

a2=

= ts

En(l):z-y=12-5=7

1:

ClaveA

a1= 2

acorada ¡nrerhnenre

De(ll):y-x=12

S=17x15=255

4.

=

@

Clave E

...;24

Suma de una PA de

s=

a2

3(2)2

r= a2- a1 =6 .. t7=al + 6(r)= 6 + 6(6)=

Clave

3.

(l)y (ll):

+

=ar-10=-3

acotada iñieriomente

. (r)

6

n=2:at+az=3(2)+

2.

n* ',,r,r,0;s;...

/

. *,,1 126 5126 ._5,5+5','"'5"t- 2^5*5-' ,n-1 - !1 51 '- 5 5 r<-1 246 - ""'i 7 =-5t '7=.,

=2;

-1 t=112 @mot e7,:

t=2;a=3

r) 3(210 1)=1536 Piden: t,o = a, (y'o= Clave B

ll.

usamos: c =

.-

"ff

= a-,o/fOU=

9=2 ClaveA

.

?S

_,

12. 8; 8q;

a7 Clave C

6. (F)

n2

(F)

es decreciente

..t5=sq4=8.f=64S

+1

Clave B

4ü

líman=g

'13. SiloSr = Cláve E

7

n.1. 1. ¡. 2'

1.

es acotada superiormente

I' 4'

es acotada infeñormente

1+n

"52'5" 1-4n. ,|, 7. 7' +2n'

(- 1 )¡.

n -

1;

-1

=r= f

loga=7+a=107

.q='1 .ll-

|

107(jO-1f-1=10-1

2n .. 4. 3. 8.

1

= 5832

846

-20 =

azo

(v)

=

q6=729=36-q=3

n

án=

8q2; 8q3; 8qa; 8q5; 58ez

1.

11

.

1,

es acotada §upeñormenle

1.

ño acotada

4'- 9' 16',

107-r+1

10-l

=8-k=-1 ... k=9

Clave D

ÁLGEBRA - soLUctoNAR|o UNIDAD 4

I

91

1 8.

14. fomamos límiles 7n1

tim a^= tím ,-\-r2nr

*

6

3

n 2

sJqJ5

6

+

n2

recuerd a

lim

1=0

Es una progresión de segundo grado

+

n

-

n2

tima"=1

=

Obseryamos que an

3J8J8.L93;...

I ¿iri¿iro. = n,

2n+11

7+ lím

*

3n

s*

= 3c!o +

scf

+

5cf

, .^ , 5.50.49 . _-*-2-6

5.50.49.48

= 1U 275 Clav€ B Clave B

PRACTIQUEMOS

Nlvel 'l (póglno IO9) Unlclod 4

9.

Dato: Sn = n(3n + 1) Si:

1

n= 1+51 =4+a1 =4

2

n=2=Su=14 Luego:

3.

ao=42

-7 =s

- {i

32=a1+a2=14

=./s =3

4+ar=14 Clave

4.

a2=

"r.32.43.

an

an

c

10

Luego:r=ar-a,=6 Nos piden:

_ (n+ 1I

r-a1=6-4=2

n

_ (25f4

Clave C

24 Clave B

5.

-n t"= n*3

=

10. Sabemos:

S" =ta1+(n-1)r1+

.3 ' n+3

n+3-3 n+3

Luego:

Sabemos:

n>1

n+3>4

o. -l-=1=

o.;5

S; =t2(t1

-

S; =

+(n

I(2t1

30)+ (n

-

1Xr

+ 1)1,

- 1!+n-611+

3

4

Dato: Sn

. n--L., 3 <1 --1.-=l 4-n+3 ---4 ;+T

= S;

2j+(n-1)r=211 +(n

..

Clave

- 1¡+n -6'l

n=61 CláveA

6.

Por propiedad de sumatorias

28 2A t(k'?+k) = lt<'?+

k=1

k=]

Nlvel 2 (póglno l09) Unldod 4

2A

ltr

k=1

1

(sumas notables)

=

.12

+

22

+

..282

(28){2eX57)

62

¡

1

+

+

2

+

3

+...28

.F

(28)(29)

¡[. v

Es oscilante. Es creciente y converge a 5.

812A

,rim

a"

= ,rim (r + 1f = e

Clave D

7

Tomamos lím¡tes

tím atím "dj-úÉ¡6¡y¡6¡¡65 ¡-¡ " = r-r2nJ+n 2

I

12. Área delcirculo n."

= ¡r1

Deldato: R1 = R; R2

r1*1

¡r, = r-&. I ¿ ¿ --l--+=1 n' n"

Leximáüc 5."

=

ffi^, ^,=ffiffi*

u=f$ ffi ffin: C¡ave E

92 I

10

.Rr=R: Rz=*R: n3=-É¡, p.={*

Es una PG de razón C

gs

=

fr

V

g. = ¡p2; g,=

o{¡z:

s, =

i

9

10¿"10..10o

,rRz

rSL=q+52+S3+Sa+

3 4 10 2 210 -7.7'* -7 2 3 4 =s- s 2-2e - - -

R2

1018

n4R2; ^2

'¡F

S. =

-

¡4n2;

M.

l_= n+l

f

s111

100rER2

14I

p3

8+2

I

+ + '=-(, z

+12

)

27

+1028

-1 7*' +10-

S

=

1

28

2

1-28 +10=8+ -7--7 1

bn=6nt11 =89

+

.

C

Luego, veamos tém¡no general de bn

11

22

1102 -7-T-ñ

2

15.as=83r82r1=577

= 6(13)+

10

8

2s

ClavoD S=_ (+l -, +lo-1 1_ 2ó

10

n2 -1 r+1-'2

lz'5'l I-

2

r--F-F-V" s, 2\ 1.1. f;.u--t"

l0

Clavo

br3

210

1

p3-2rql¡2

10

28'27

'13. Elnumerador es

p3-2+(n-l)2 r, +2

't0

7-7'--T

2r

R 10s

4+ 3 4

ra. s=

R, entonces

gs

R-Sto=¡

ñr

t] =

=

-

a¡

br¡ = 577

-

=8

28

89 = ¡188

ClaveA Clave B

16. Tomamos lím¡tes lim

an

=

.t9.

a an:

E

=

lim

10

+

I

+

100

+

1

11000 +

1

+ 10000 +

1

1¡i ;r; ;{' 't{;

+... + 1020 +

1

+

1

1020

Propiedad de límites:

lim

an

=

+

2

,liLan

I

=E=

101

+

102

+'103+ 10a+... + 1o2o+20

PG q=10

Suponemos que ellimite sea L.

!=10

L=

- 1) ^^ ^ Dm=---16:l-+¿u

'D+L L2 =2+L L2-L-2=o l-,)

\/ I -

t0(1020

1

s,=

Se obseNa que an > 0

-L>0

!!!É-J)*zo=.,=+-+ +20

t¡o ^rm= to21 q + q + -r20 = ---T-

'tor'+í7o

Cl¿ve C Cleve D

rz.

s=]+f +$+ffi+.. zo.iyi-6

-1 . 23 -1 . 21-1 23 2' 2t 1_1 1_1_1 s = 1-1+ 2 z 21 22 25 23 21 22

2y3

1

=

Agrupandoi

s=(1

+++++*+

)-(+.á.;'.

pero no de

5

-

+

30

Delerminamos los 6

6; 12i '18; ...i 216 PA de razón 6.

)

n." términos

Aplicamos suma llmite

3b:

1

=

216=-6*1=35 11=36 ti

30; 60; 90; ...210

2

n"tém¡nos=2l9il0+1=7

,2 !1 '4 .'''-c-,¡ Z-- 4 3 5

..6-3b=36-z=29números

^1

-"_l

30

,|

Clave D Clavc B

ÁLcegnl - soLUctoNARlo

uNtoAD

4

I 93

I -/ 21

2s.

T

q

*i

" = (,ttm (1 + n6

,¡tl6

,,q(,

"

se puede escribir

an

=

2

.

=

Sabemos que

, ¡ .=(('.T) ,

,116,21

) Nos piden:

s=a, +

(tr.,ef

+(|f -Gñf

=

.

,lim

an

)

'2¿

)

e

^^2^2^2 Clave D

trt*f, .+.

s=

)

26.

1

Si xi y; z están en PAi

-x+z=2y

rL '2

Luego:

-= ,,

S=2a2 ClaveA

6I-/x +/y

xzy +x2z+41__+

u_

22. PA:

+z¡+y2 zy+221x+y¡

xz 1y

11=11¡=¡¿7sn

2y3+u(x+z ¡ + y(x2 +22)

PG:

ti =!;q=¡¿7i¡

' '

27y3

,,

h= l; (dato) 2+2t=2q2-q2=t+1 t11

=

-2u¡

M=4 27v"

t¡ (dato) ,,,(lD

(l)en (ll): 10t

4y2

27v'

. (r)

2+10r=2.q4

2+

2y) + 2xyz + yt

.-.M=

= 2lt + 1)'

z

ResolYiendo:

r=3

ClaveA

Reemplazando en (l):q = 2

3n-1i3+5x3r 27.a"=-... 6" ,(1+B)

Nos pideni

q+r=5

a-=ll1

2

C¡ave C

Tomamos

N¡vel 3 (póglno I'10) Unidod 4

limites: lím a-

I1\" - zx-¡¡m-\2 I

1

Sabemos:

lim

23.

t n

A)

n3+

n=1

3 (

e¡

=I1""=0

tl+ tn

Clave D

Por sumas ñotables:

n(n + 1) 2

\2 /*

S=f+

l-

28. Usamos cdterio de la razón

(n)(n + 1X2n + 1)

6

+ -.1- +

PG infnita de razón

bn=0; sio
q= I 10

* n(n 2+

'1)

r¡,1.t1 =, an

"-d

-

r¡,

..

;-:

7n+3 (n *

1)!

clrl

7{n+1)l (n+ 2)!

1

_ a_ l0

=tI t1 ' 10

7

n +

\tÉ,tÍ. 2\9,+Af

7^ n+2

La sucesión converge a cerc (r

< l).

24. Clave C

94 I Lexim,áüE 5.o

29. Como es una

t1(q2-2q+'1)=8

PA razón:

r=52-47=5 = +nU,-lmp,=S = 36+n-(36tm)=5 + n-m=5 + 47 - 4n1e¡ =5 - 47-(36+n)=5 +11 -n=5

...((¿)

De (lll): (t2 + 4)2 = t1(t3 + 32) Reduciendo:

l1(4-c)=2

n=6

(F)

Dividiendo (c.) entre (P):

-

t1(q2

.. m+n=7 Clave B

2q +

l;l¡-q)

1) , ='

Efectuando:

(q-3Xq+5)=0

30. Lo podemos escribir asii

n. l s:§/, -

+q=3 v q=-5

-L\-L

.L^\k-1

^1 [r 1_1 1,1 1_ -1 3)n=i 4'3 5' 'n-'t l'3'2

|.

+

n+'l

-5 * t1 É z, luego: q=3 En(P):t1(4-3)=2+t1=2 En (l):2;6; 18

.,*,-L1

Nos piden:

Siq =

k+112

t

I... . #)- \l * f * { *

,.+-*

1

tr+tz +t¡

..t1 +12f lz= 2 +6+18=26 CaveB

1

n+1

33. Tomando limite de

Tomamos limites a Sni

lim

añ

xrímsn=xrím(1.;-*-#)

q

t1

't

-q

D

=z7

1-q3

(D

Por propiedad de límites:

líman=e+e-e=e (

511

Clave C

)

34. lnterés simple: monto fnal

.3 ll L- rrrr 343 '"'' (1 -q, 1 qt =511 (1 -q¡3 313 (1 -c q2+q+1) (1 q)3 q2+q+1 _

1

=13 49

73

49

ci

lnlerés

q

c

lnterés

cr

1

36 000

1800

37 800

36 000

1800

37 800

2

37 800

1800

39 600

37 800

1890

39 690

3

39 600

1800

41400

39 690

1984,5

41674,5

I

41400

1800

43 200

41 674,5

2083,75

43758,225

5

43 200

1800

45 000

43 758,225

2187,91125

45 946,13625

Donde Ci: Capital inicial

Observamos que

8q2-65q+8=0

..-

lnterés compueslo

simple

Reduc¡endo se t¡ene:

8q

al quinto año

lnterés compuesto: monto fnalalquinto año

Dividiendo (lll) entre (l):

-2q +

y

Cr: Capital final

a interés simple, nos enconbamos ante una

añtmélicá, cuya razón es 1 800, equivalente

-1

-z q,,\-a 9=8 v o=fto.r) .^ .v-8

razón es 1,05 equivalente a Clave E

t1

;t2;13

(l)

11

;t2+4;t3

(rl)

t1

;t2+4it3+32

De

.

(lll)

=

t2

qq*4=1+

.

(t tr¡ga

=

t1 q;13

=

)

Las fórmulas para los d¡stintos intereses, suponiendo que tenemos un capital inicial (C) al P/o en t años, es

t1 q2

lnterés

simple:

Cr

=

C

(,.#&)

Reemplazamos: cr =

36 000(1 +

Í#)

lnterés compuesto

c, =

c,(t *1oo

l

Reemplazamos:

cr

(ll)y (l):

tr+4=+

progresión

a 9al 100'

En el caso de interés compuesto, tenemos una progresión geométrica cuya

1

32.

1

Reemplazando:

Elevando alcubo en (l):

q2

(r +llnl + f .+r-(,-#r ] (, , *l. ,'s('.#1"-*'s( + 3[ fl

rím/1+1f=e

<1

tia-

lim

,|

-'q'^=9 31. Dato:

=

an

= rs ooo(r + tfu

i

= s/.45 000

= S/.45 946.13625 Clave 0

ÁLGEBRA . soLUcroNARto UNTDAD 4

I 95

Este liho se leminó de imprimir eñ los talleres gráfcos de Edilorial San Marcos, deAníbalJesús Paredes Galván, situados en la

av

Las Lomas 1600,

uó. Mangomarca, RUC: 1009$843¿4

Sañ Juan de Lurigancho, Lima, Lrma.

Lexit,,-át*:j: 1

HACIA UNA EDUCACIÓN MODERNA... LA MATEMÁTICAY EL DESARROLLO DE CAPACIDADES

t

I 'tl

!il \.-"

Matemática permite que

los estudiantes se problemáticas vinculadas o no enfrenten a situaciones a un contexto real con una actitud crítica. Por ello se debe propiciar un interés permanente por desarrollar sus capacidades, para que les sea de utilidad en su vida presente y futura.

La

Yendo de la mano con este objetivo es que nuestros libros plantean la Matemática ligada al desarrollo de capacidades, conocimientos y actitudes matemáticas, presentando las situac¡ones problemátlcas dentro de un contexto diversificado, a través de una variedad de actividades que perm¡ten el desarrollo de estas capacidades, y apoyada con una ser¡e de recursos pedagógicos entre los que destacan los mediadores cognitivos (personajes que facilitan el proceso de aprendizaje); lecturas previas al contenido como fuente de conocimiento, interés y motivación; actividades de aplicación de la matemática para la vida cotidiana, y un adecuado desarrollo de contenidos en las diversas áreas.

Centrados en la idea de que la Matemát¡ca sirva a la ciencia y esta a la vida real y concreta, esperamos contribuir al progreso de la Educación y por ende al de la humanidad.

ISBN: 978-612-313-500-3

Td¡G¡OnGs lGT¡GOm Ofic¡na principal: av. San Luis 2263, San Borja, Lima. Teléfono: 202-7030 L¡brería: av. San Luis 2261, Sañ Borja, Lima. Teléfono: 202-7035 E-mair: veñtas escolar@edicioneslexicom pe

www.edicioneslexicom.pe 9