Algebra Lineal: Seymour Lipschutz

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January 2021
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de modo que el teorema es valido para n = 0. Aceptemos ahora que el teorema es valido para polinomios de grado menor que por ser

11.

En tal caso,

a.AA"- 1

+ (a._ 1 A"- 1 + · · · + a 1 A + a0 I) =f(A)

y queda demostrado el teorema.

10.14.

Sea V el espacio vectorial de las funciones que tiene (sen 0, cos 0) como base y sea D el operador de derivacion en V. Mostrar que D es un cero de f(t) = t 2 + 1. Aplicamos f( D) a cada vector de la base: f(D)(sen 0) = (D 2 + I)(sen 0) = D 2 (sen 8) +/(sen lJ) = -sen 8 +sen f) = 0 f(D)(cos lJ)

=

(D 2

+ I )(cos 0) =

D 2 (cos fJ)

+ I (cos fJ) =

-cos 0 + cos 0 = 0

Como cada vector de Ia base se aplica en 0, todo vector vE V seni aplicado tam bien en 0 por f(D). Asi f(D) = 0. [Este resuitado era de esperar ya que, segun el Ejemplo I 0.5 a), f(t) es el polinomio caracteristico de_D.]

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

423

CAMBIO DE BASE. MATRICES SIMILARES 10.15.

= (4x- y,

Definase F: R 2 -+ R 2 como F(x, y)

E = {e1 = (1, 0), e2

= (0,

I)}

y

2x

+ y)

y considerense las bases de R 2 :

S = {u 1 = (1, 3), u 2 = (2, 5)}

a)

Hallar Ia matriz de cambia de base P de E a S, Ia matriz de cambia de base Q de Sa E y comprobar que Q = p - 1 •

b)

Hallar Ia matriz A que representa F en Ia base E, Ia matriz B que representa F en Ia base S y comprobar que B = p- 1 AP.

c)

H allar Ia traza tr F, el determinante det (F) y el polinomio caracteristico A(t) de F.

a)

Dado que E es Ia base usual, escribimos los elementos de S como columrtas y obtenemos Ia matriz de cambio de base

e 1 = -5u 1

e2

=

2u 1

+ 3u2 -

y asi

u2

Q=

(-5 2) 3

-1

Tenemos

2) (l0 PQ =G 52)(-5 3 - 1

~) = 1

=

b)

Escribimos los coeficientes de x e y como lilas ( Problema 10.3) para llegar a

A= Como F(x , y) = (4x-

y, 2x + y)

y (a, b)= (-Sa+ 2b)u 1 + (3a - b)u 2 ,

F(u1 ) = F(1, 3) = (1, 5) = 5u 1

F(u 2 )

G-~)

= F(2, 5) = (3, 9) =

-

3u 1

2u2

B = (_~ ~)

y asi

Tenemos

~)=B c)

Usamos A (o B) obteniendo trF = trA = 4+ I =5 Ll(t) = t 2

10.16.

-

det(F)=det(A) = 4 +2 = 6

(tr A)t + det (A ) = t 2

-

5t + 6

Sea G el operador lineal en R 3 definido por G(x, y , z) = (2y c~nsiderense Ia base usual E de R 3 y las bases S de R 3 : S

= {w1 = (1,

l, 1), w2 = (1, 1, 0), w3 = (1, 0, 0)}

+ z, x -

4y, 3x) y

424

ALGE BRA LINEAL

a)

Encontrar la matriz de cambio de base P de E a S, la matriz de cambio de base Q deS a E y comprobar que Q = p - 1 .

b)

Comprobar que [GJs = p - 1 [G]EP. Hallar la traza, determinante y polinomio caracteristico de G.

c) a)

Siendo E Ia base usual, escribimos los elementos deS como columnas y conseguimos Ia matriz de cam bio de base p =

11 1) ( 1 1 0 1 0 0

Mediante el familiar proceso de inversion (vease el Problema 10.3) obtenemos

e 1 = Ow 1 + Ow2 e 2 = Ow1 + lw2 e3 = lw1 - lw2

0 1)

+ 1w3 1w3 + Ow3

-

y asi

1 -1

-1

0

Tenemos

PQ~(: b)

~)(~ -~) ~(~ 0

1 0

lk lo• Pcobkm" 10.1 y 10.3. [G],

~ (~

1

-1

0

2

-4 0

r'[GJ,•~(~ c)

.I

't

- 1 0

2 1 - 4 3 0

~)(:

~) y[GJ,~(-: 0

~)~(-:

-.~)Do""

3

-6 5

modo,

-1

3

-6 5

-~) ~ [G],

-1

Utilizamos [G)£ (Ia matriz mas simple) para llegar a tr G = 0- 4

10.17.

01 -1

~)~I

0

1

+0=

-4

det (G)= 12

e

~(t)

= t 3 + 4t2 -

5t - 12

Hallar la traza y el determinante del siguiente operador en R 3 : T(x, y, z)

= (a 1 x + a 2 y + a 3 z, b 1 x + b 2 y + b 3 z, c 1 x + c 2 y + c 3 z)

Empezamos por encontrar una representaci6n matricial A de T. Eligiendo la base usual E,

En tal caso, y

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

10.18.

Sean Vel espacio vectorial de las matrices 2 x 2 sobre R y M = operad o r lineal en V definido mediante T(A) de T.

= M A.

G!).

425

Sea T el

H allar Ia traza y el determinante

Debemos encontrar primero una representaci6n matricial de T . Escogemos Ia base usual de V para llegar (Problema 10.6) a Ia representaci6n matricial:

1 0 0 1 0 2 [T] = 3 0 4 0 ( 0 3 0 4

2 0)

Entonces tr T

10.19.

=

+ I+4 +4 =

I

I0 y det (T)

= 4.

Demostrar el Teorema 10.4. Sea v cualquier vector en V. Entonces, en virtud del Teorema 5.27, P[v]5 . = [v]5 . Por consiguiente,

r

1

[T] 5 P[v] 5 • =

r

1

[T] 5 [v]5

=r

1

[T(v)]5

= [T(v)]s·

Pero (.7ls-[v]5 • = (T(v))5 ·, luego

Como Ia aplicaci6n v~ [v) 5 • es sobre K" , tenemos P - 1 (T] 5 PX = [T]5 .X para todo X E K". De este modo, p - t [TJsP = (Tls·, como se pretendia.

DIAGONALIZACION DE OPERADORES LINEALES. VALORES PRO PIOS Y VECTORES PRO PIOS 10.20. · Halla r los valores propios y vectores propios linealmente independientes del siguiente operador lineal en R 2 y, si es diagonalizable, encontrar una representaci6n diagonal D: F(x , y) = (6x - y, 3x + 2y). Comenzamos hallando Ia matriz A que representa F en Ia base usual de R2 escribiendo los coeficientes de x e y como filas:

El polinomio caracteristico .1(t) de F es, pues, L\(t)

= t2 -

(tr A)t + I A I = t 2

-

8t

+ 15 = (t - 3)(t - 5)

Siendo asi, A- 1 = 3 y .A.2 = 5 son valores propios de F. Encontramos los correspondientes vectores propios como sigue: i)

1

-I)

3 que 3 -1 corresponde al sistema homogeneo 3x - y = 0. Aqui v1 = (I , 3) es una soluci6n no nul a y por tanto un vector propio de F perteneciente a ..1. 1 = 3. Restamos

1

=

3 a los elementos diagonales de A para obtener la matriz M = (

426

ALGEBRA LINEAL

ii) Restamos /. 2 = 5 a los elementos diagonales de A llegando a M = ( al sistema homogeneo x - y = 0. Aqui v2 vector propio de F perteneciente a /. 2 = 5.

= (l ,

1

-I)

3 -3

correspondiente

l) es una solucion no nula y por ende un

Entonces S = { v1 , v2 } es una base de R 2 que consiste en vectores propios de F . Asi F es diagonalizable y tiene la representaci6n matricial D =

10.21.

G~).

Sea L el o perador lineal en R 2 que refleja los puntos en Ia recta y Vease Ia Figura 10-2.

= (1 ,

= kx

(con k i= 0).

a)

Probar que v1 = (k, 1) y v2

b)

Pro bar que L es diagonalizable y hallar una representaci6n diagonal D.

- k) son vectores propios deL.

y

G(o, )

\

~

G(P)

'

I

y = kx

\ \ \

I

•p

- - -·- ..x

\ Figura 10-2.

a) El vector v1 = (k, I) yace en Ia recta y = kx y por consiguiente L Jo deja fijo, esto es, L(v 1 ) = v1 • De este modo, v1 es un vector propio de L perteneciente a! valor propio .1. 1 = I . El vector v2 = (1 , - k) es perpendicular a Ia recta y = kx, Juego L refleja v2 en su opuesto, es decir, L(v2 ) = - v2 • Asi v2 es un vector propio de L perteneciente al valor propio ).2 = - 1. b) Aqui S = { v1 , v2 } es una base de R 2 que consiste en vectores propios de L. Por tanto, L es 0 diagonalizable y tiene Ia representaci6n diagonal (relativa a S) D = ). 0 -1

(I

10.22.

Hallar todos los valo res propios y una base para cada espacio propio del operador T: R3 -+ R3 definido por T(x, y, z) = (2x + y, y - z , 2y + 4z). z,Es diagonalizable T? En caso afirmativo, hallar una representaci6n diagonal D. Primero encontramos Ia matriz A que representa T en Ia base usual de R 3 escribiendo los coeficientes de x, y, z como filas:

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

427

El polinomio caracteristico d(t) de T es, pues,

t-2 d(t) = I ti - A I = 0

-1

0

t- 1

-2

0

= (t - 2)l(t - 3)

t-4

Siendo asi, 2 y 3 son los valores propios de T. Hallemos una base del espacio propio £ 2 del valor propio 2. Sustituimos t = 2 en ti - A para llegar al sistema homogeneo.

0

-y =0 y+ z= 0 { -2y- 2z = 0

0

= 0 y { y+z=O

El sistema solo tiene una soluci6n independiente, por ejemplo, x = 1, y = 0, z = 0. De esta manera, u = (I, 0, 0) constituye una base del espacio propio £ 2 . Hallemos una base del espacio propio £ 3 del valor propio 3. Sustituimos t = 3 en ti - A para llegar al sistema homogeneo

0

.x-y=O 2y + z = 0 { -2y -z=0

0

x-y=O { 2y + z = 0

El sistema solo tiene una soluci6n independiente, por ejemplo, x = I, y = I, z = - 2. Asi v =(I, I, -2) forma una base del espacio propio £ 3 . Observese q ue T no es diagonalizable, porque solo tiene dos vectores propios linealmente independientes.

10.23.

Mostrar que 0 es un valor propio de T si y solo si T es singular. · Tenemos que 0 es un valor propio de T si y solo si existe un vector no nulo v tal que T(v) = Ov = 0, o sea, si y solo si T es singular.

10.24.

Sup6ngase que A. es un valor propio de un o perador invertible T. Pro bar que A.- 1 es un valo r propio de y - 1 . Como T es invertible, es tambien no singula r, luego, de acuerdo con el Problema 10.23, l ¥- 0. Por definicion de valor propio, existe un vector no nulo v para el que T(v ) = lv. Aplicando 1 r - l a ambos miembros obtenemos v = r-•().v) = A.r-• (v). De aqui r-•(v) = ..1. - v, esto es r I 1 es "un valor propio de r - •

10.25.

Sup6ngase que dim V = n. Sea T : V --. Vun operador invertible. Probar que y - t es igual a un polinomio en T cuyo grado no excede n. r

~

Sea m(t) el polinomio minimo de T. Entonces m(t) = c• + a, _ 1 t•-l + · ·· + a 1 t + a0 , donde n. Dado que T es invertible, a0 ¥- 0. Tenemos 11(T) = T' + a, _, r·-· + ... + a IT + ao I = 0

Por tanto, 1 - - (T'- 1 + a, .. IT'- 2 + ...

ao

+ a1J)T =

I

y

r-1

1

= - - (T'- 1 +a,:.. I r·- 2 +

ao

... +all)

428 10.26.

ALGEBRA LINEAL

Demostrar el Teorema 10.7. Se demuestra por inducci6n en n. Sin= I, u 1 es linealmente independiente puesto que u 1 of 0. Supongamos que n > I y que a 1u 1

+ a2 u2 + · ·· +a. u. = 0

donde los a; so n escalares. Aplicando T a Ia relaci6.n anterior llegamos, por linealidad, a

Pero, por hip6tesis, T(u;) = A.;u;. luego a 1 A. 1u 1

+ a2 A.1 u 1 + ··· + a.J..u. =

· [2]

0

Por otra parte, multiplicando [I] por J..,

[3] Restando ahora [3] a [2], a 1(J. 1

-

.)u 1

)•

+ a 1(J. 1 -

J..)u 2

+ · · · + a._ 1(A.. _ 1 -

A..)u._ 1

=

0

Por inducci6n, u 1 , u2 , .... u. _ 1 son linealmente independientes, luego cada uno de los coeficientes precedentes es 0. Como los A.; son distintos, A;- A.. of 0 para i of n. De aqui a 1 = ... =· a.-· 1 = 0. Sustituyendo esto en [I] conseguimos a.u. = 0 y por ende a.= 0. Los u; son, pues, linealmente independientes.

10.27.

Demostrar el Teorema 10.10. Supongamos que Ia multiplicidad geometrica de A. es r. En ese caso hay r vectores propios linealmentc independientes v1, . .. , v, pertenecientes a ).. Extendemos el conjunto {v;} a una base de V: {v 1, ... , v,, w1, ... , w,}. T enemos

lv 1

T(v 1 ) =

T(v 1 )

1v 2

=

T (v,) = T(w 1) = a 11 v 1 T(w 2 ) = a 11 v 1

A.v, + · ·· + a .. v. + b 11 w1 + · · · + a 2 ,v, + b 11 W 1

T(w,) = a, 1v1

+ · · · + a.,v, + b.tw 1 + · · · + b.,w,

+ · · · + bts w, + ·· · + b 1 ,w,

La matriz de T en Ia base anterior es

). 0 .. . 0 : a 11 0 A. .. . 0 : a 12

a11 a 12

• ..

• ..

a, 1 a.z

0 0 .. . A. : a 1,

a1 ,

.. .

a.,

. . . 0 : b11

b 11

.. •

b,1

0 0 .. . 0 : b 12

b 22

........... . ·:· ........ ..... .. . M=

___ ___ _ __ l ___ _ _ _ _ ____ _

=

I

0

0

...

b,z

. ........... , ................ . I

0 0 .. . 0 ~ b 11

b1 ,

. ..

b,.

(~~~-~) 0

I I

B

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

429

Siendo M una matriz triangular por bloques, el polinomio caracteristico de J..I,, que es (t- .A.)', debe ser divisor del de M y por consiguiente del de T. De este modo, Ia multiplicidad algebraica de J.. para el operador T es a! menos r, como se pedia. ••. , v,.} una base de V Sea T: v~ V un operador para el cual T(v 1 ) = 0, T(v 2 ) = a 21 v1 , T(v 3 ) = a 3 1 v1 + a 32 v2 , ••• , T(v,.) = an 1 v1 + ·· · + a•.• - 1 v. _ 1 • Probar que T" = 0.

10.28. Sea {v 1 ,

Basta probar que

para j

=

I, ... , n. La raz6n es que entonces se deriva que T"(v) = T"- l(Ti(v1)) =

r•- l(O) = 0

para j

= 1, ... , n

y al ser {v 1 , . . . , v.} una base, T" = 0. Demostramos (•) por inducci6n en j. El caso j = I es cierto por hip6tesis. El paso inductivo se sigue (para j = 2, .. . , n} de Ti(v) = T 1 - 1(T(v1)) = Tl - 1(a11 v 1 + · ·· + a 1, 1 _ 1v1_ 1) = ait Tl- •(v.) + ... + aJ, J-t Ti-t(vJ- t) = = a11 0 + ··· + a1, 1 _ 10 = 0

=

Nota: Observese que Ia representaci6n matricial de T en Ia base precedente es triangular con elementos diagonales 0: 0 0

all

a31

.•.

a..

0

a 32

•••

a,. 2

0 0

0 0

0 0

a•. n-1 0

REPRESENTACIONES MATRICIALES DE APLICACIONES LINEALES

10.29. Sea F : R 3 ~ R 2 la aplicaci6n lineal definida por F(x , y, z) = (3x + 2y- 4z, x- Sy + 3z). a)

Hallar Ia matriz de F en las siguientes bases de R 3 y R 2 : S = {w1 = (1, 1, 1), w 2 = (1, 1, 0), w3 = (1, 0, 0)}

S' = {u 1 = (1, 3), u 2 = (2, 5)}

b)

Comprobar que Ia acci6n de F es preservada por su representaci6n matricial; esto es, para todo vER 3 , [F]f[v] 5 = [F(v)] 5 •

a)

Del Problema 10.2, (a, b) = ( - Sa+ 2b)u 1

+ (3a -

b)u2 • Siendo asi,

F(w 1) = F(l, 1, 1) = (1, -1) = -7u 1 + 4u 2 F(w2 ) = F(1, 1, 0) = (5, -4) = - 33u 1 + 19u 2 F(w3 ) = F(l, 0, 0) = (3, 1) = - 13u 1 + 8u2

430

ALGEBRA LINEAL

Escribimos las coordenadas de F(w 1 ) , F(w2 ) , F(w 3 ) como columnas para conseguir S' _

[FJs -

b)

(-7 4

-33 19

-13) 8

Si v = (x, y, z), segun el Problema 1003, v = zw 1 + (y- z)w 2 F(v) = (3x

+ (x -

y)w 3 Asimismo, o

+ 2y- 4z, x - 5y + 3z) = (-13x- 20y + 26z)u 1 + (8x + lly- 15z)u2

Por tanto, [v]s = (z, y- z, x - y)T

y

_ (-13x- 20y + 26z) [F(v)]s· 8x + lly- 15z

De este modo, [F]so s [v]s =

10.30.

Sea F: K"

~

(-7 4

~ z) _(-13x - 20y + 26z) _ v 8x + lly - 15z - [F{ )]s·

-33 19

- 13) ( 8 y x -y

Km Ia aplicaci6n lineal definida par

Mostrar que Ia representaci6n matricial de F relativa a las bases usuales de Kn y K"' viene dada por

Es decir, las filas de [F) se obtienen de los coeficientes de las F(x 1 , 000 , Xn) o

xi

en las componentes de

Tenemos F(l, 0, 000, 0) = (a11 , a 21 , 00 o, a., 1 ) F(O, 1, 0) = (a 12 , a 22 , ° o, a.,. 2) 0

0

0,

0

y asi

F(O, 0, 00 0, 1) = (a 1,., a 2 . , 00., a ... )

10.31.

Encontrar Ia representaci6n matricial de cada una de las aplicaciones lineales escritas a continuaci6 n respecto a las bases usuales de los R":

F: R 2 ~ R 3 definida como F(x, y) = (3x- y, 2x + 4y, 5x - 6y) F : R4

--+

R 2 definida como F(x, y, s, t) = (3x - 4y

F: R 3 ~ R 4 definida como F(x, y, z) = (2x

+ 3y -

+ 2s - 5t, 5x + 7y - s - 2t) 8z, x

+ y + z, 4x -

5z, 6y)

431

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

De acuerdo con el Problema 10.30, solamente es necesario mirar los coeficientes de las variables en F(x, y, ... ). Asi pues,

[F]

=

-1) 3 ( 2

5

10.32.

4 -6

[F]

=G -~ -~ =D

3 0

6

-~) -5 0

Sea Ia aplicaci6n T: R 2 --+ R 2 definida como T(x, y) = (2x- 3y, x + 4y). Hallar Ia matriz de T relativa, respectivamente, a las siguientes bases de R 2 :

E = {e1

= (1, 0), e 2 =

(0, l)}

S = {u 1 = (1, 3), u2 = (2, 5)}

y

(Podemos ver T como una aplicaci6n lineal de un espacio en otro, teniendo cada uno su propia base.) Del Problema 10.2, (a, b)= ( -5a

+ 2b)u 1 + (3a -

b)u 2 • Por tanto,

T(e 1) = T(l, 0) = (2, 1) = -8u 1 + 5u2 T(e2 ) = T(O, 1) = ( -3, 4) = 23u 1 -13u2

10.33.

Sea

y asi

A=(~ -~ -~). Recuerdese que A determina una aplicacion lineal F: R

3

--+

R

2

definida mediante F(v) = Av, donde v se escribe como vector columna. Encontrar Ia representaci6n matricial de F relativa a las siguientes bases de R3 y R2 .

S = {w 1

= (1,

1, 1), w2

= (1, 1, 0), w3 = (1, 0, 0)}

Del Problema 10.2, (a, b)= ( -5a + 2b)u 1

+ (3a -

S' = {u1 = (1, 3), u2 = (2, 5)} b)u 2 • De esta manera,

Escribir como columnas los coeficientes de F(w 1 ) , F(w2 ), F(w3 ) proporciona S' _

[FJs -

(-12

8

- 41 24

-8) 5

432

ALGEBRA LINEAL

10.34. Demostrar el Teorema 10.16. Supongamos que dim V = m y dim U = n. Sea W el nucleo de F y U', su imagen. Se nos dice que rango F = r, luego Ia dimension del nucleo de F es m- r. Sea {w 1 , ••. , wm - r} una base del nucleo de F. Extendamosla a una base de V:

Tornemos Hacemos notar que {u 1 ,

.. . ,

u,} es una base de U' , Ia imagen de F. Extendernos esta a una base {utt ... , u,, ur+lt ... , u,}

de U. Observese que

= u 1 = lu1 + Ou 2 + · · · + Ou, + Ou,+1 + · · · + Ou.

F(v 1) F(v2) •

•

•

••

= u 2 = Ou1 + lu 2 + · · · + Ou, + Ou,+ 1 + · · · + Ou • •

0

••••••••

•

•

•

••

••••••

0

•••

0

••••••••

0

••

0

••••••

0

••••••

u, = Ou1 + Ou2 + · · · + lu, + Ou,+ 1 + · · · + Ou. = 0 = Ou 1 + Ou2 + · ·· + Ou, +Our+ I+···+ Ou•

F(v,) f(w 1) •

'

=

•

0

••••••••••••••••••••••••

F(w._,) = 0

= Ou 1 + Ou 2 + · · · +

•

•

0

..............

.. ..

.

Ou, + Ou,+ 1 + · · · + Ou.

Asi pues, Ia matriz de F en las bases precedentes tiene Ia forma requerida.

PROBlrEMAS SUPLEMENTARIOS

REPRESENTACIONES MATRICIALES DE OPERADORES LINEALES 10.35.

10.36.

Hallar Ia representacion rnatricial de cada uno de los siguientes operado res lineales Ten R 3 , relativa a Ia base usual: a) b)

T(x, y, z) = (x, y, 0). T(x, y, z) = (2x- 7y- 4z, 3x + y + 4z, 6x- 8y + z).

c)

T(x, y, z) = (z, y + z, x

+ y + z).

Hallar Ia matriz de cada operador T del Problema 10.35 respecto a Ia base S = {u 1

= (1, 1, 0), u2 = (1, 2, 3), u3 = (1, 3, 5)}

10.37. Sea D el operador de derivacion, o sea, D(f) = dffdt. Cada uno de los conjuntos que siguen es una base de un espacio vectorial V de funciones f: R -+ R. Encontrar Ia matriz de D en cada base: b)

10.38.

{sen t, cos t},

d)

{I, t, sen 3t, cos 3t}.

Considerese el cuerpo complejo C como espacio vectorial sobre el cuerpo real R . Sea Tel operadar de conjugaci6n en C, esto es, T(z) = z. Hallar Ia matriz de T en cada base: a) {1, i}, b) {1 + i, 1 + 2i}.

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

10.39. Sean Vel espacio vectorial de las matrices 2 x 2 sabre R y M

= (:

; ).

433

Hallar Ia matriz de cada

uno de los operadores lineales T en V escritos a continuaci6n en Ia base usual (vease el Problema 10.18): a)

T(A) = MA,

b)

T(A) = AM,

c)

T(A) = MA- AM.

10.40. Den6tense por lv y Ov los operadores identidad y cera, respectivamente, en un espacio vectorial V. Demostrar que para cualquier baseS de V: a) [Jvls = I, Ia matriz identidad; b) [Ovls = 0, Ia matriz cero.

CAMBIO DE BASE. MATRICES SIMILARES 10.41. Considerense las siguientes bases de R 2 : E = {e 1 = (I, 0), e 2 = (0, I)} y S = {u 1 = (1, 2), u 2 = (2, 3)}. a)

Encontrar las matrices de cambia de base P y Q desde E hasta S y desde Shasta £, respectivamente. Comprobar que Q = p- 1 .

b) Mostrar que [v]£ = P[v] 5 para todo vector VE R 2 • c) Comprobar que [TJs = p - I [T]£P para el operador lineal T(x, y) = (2x - 3y, x

+ y).

10.42. Hallar Ia traza y el determinante de cada una de las aplicaciones lineales en R 3 : a) F(x, y, z)

= (x + 3y, 3x- 2z, x- 4y- 3z),

b) G(x, y, z) = (x + y - z, x

+ 3y, 4y + 3z).

10.43. Sup6ngase que S = {u 1 , u2 } es una base de V y T: V-. V un operador lineal para el que T(u 1 ) = 3u 1 - 2u 2 y T(u 2 ) = u 1 + 4u 2 • Sup6ngase, asimismo, que S' = (w 1 , w2 } es una base de V en Ia que w 1 = u 1 + u 2 y w 2 = 2u 1 + 3u 2 . Hallar Ia matriz de Ten Ia base S'. 10.44. Considerense las bases {I, i} y {I + i, I + 2i} del espacio vectorial C sobre el cuerpo real R. a) Enconfrar las matrices de cambio de base P y Q desde S hasta S' y desde S' hasta S, respectivamente. Comprobar que Q = p - 1 . b) Probar que (TJs· = p- 1 [TJsP para el operador de conjugaci6n T del Problema 10.38.

DIAGONALIZACION DE OPERADORES LINEALES . VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPI OS 10.45. Sup6ngase que v es un vector provio de dos operadores S y T. Mostrar que v es tambien un vector propio del operador aS+ bT, donde a y b son escalares cualesquiera. 10.46. Sup6ngase que v es un vector propio de un operador T perteneciente a! valor propio .A.. Probar que, para n > 0, v es tambien un vector propio de T' perteneciente a /,". 10.47. Sup6ngase que A es un valor propio de un operador T y f(t) un polinomio. Pro bar que f(.A.) es un valor propio de f(T). 10.48.

Mostrar que un operador lineal T es diagonalizable si y solo si su polinomio minima es un producto de factores lineales distintos.

10.49. Sean S y T operadores lineales tales que ST = TS. Sean .A. un valor propio de T y W su espacio propio. Probar que W es invariante bajo S, es decir, S(W) s:; W

434

ALGEBRA LINEAL

REPRESENTACIONES MATRICIALES DE APLICACIONES LINEALES 10.50.

Hallar Ia representacion matricial relativa a las bases usuales de los R" de Ia aplicaci6n lineal F: R 3 -> R 2 delinida por F(x, y, z) = (2x- 4y + 9z, Sx + 3y - 2z).

10.51.

Sea F : R 3 -+ R 2 Ia aplicacion lineal delinida por f(x, y, z) = (2x Ia matriz de F e n las siguientes bases de R 3 y R 2 : S

= {w1 = (1, l, 1), w 2 = (1, 1, 0), w3

+ y- z, 3x- 2y + 4z). Encontrar ·

s· ={vi= (1 , 3), vl =

= (1, 0, 0)}

(1,. 4)}

Comprobar que, para cualquier vector vE R 3 , [F]f[v]5 = [F(v))5 •. 10.52.

Sean s y s· bases de Vy I V • Ia aplicaci6n identidad en v. Pro bar que Ia matriz de I v relativa a las bases S y S' es Ia in versa de Ia matriz de cambio de base P desde Shasta S'; esto es, [I vlf = p - 1 •

10.53.

Demostrar el Teorema 10.12.

10.54.

Demostra r el Teorema 10.13.

10.55.

Demostrar el Teorema 10.15.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

10.35. a)

10.36. a)

10.37.

a)

10.39. a)

(~

0 b)

6

0

G-: -I~).

(~

b)

2 0

b)

d 0 '

OcOd

b)

0 -:).

-8

1

1

104)• (-~~ -1~! -351 29

0

(~ ~ ~ ~) c 0

(~ -~

116

0

c '

OObd

c)

(-~

!) 0 0

5

~ ~ ~) a

0

1

0 •

(: 0 0

2

c) ( - :

208

(0 -1) 1

1

0

b

-c a-d

0

c

0

d-a

0

c

-b

~ -!)

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

10.41.

P=G ~). Q=(-~

10.42.

a)

10.43.

(

10.44.

P=G ~).

-D

-2, 13, t 3 + 2tl- 20t - 13;

8 -2

10.50.

G

10.51.

(_~

11 ) -1

-~)

- 4 3 11

-8

-~)

Q

=(

2 - 1

-~)

b) 7, 2, t3

-

7t 2

+ 14t- 2.

435

CAPITULO

11

Formas can6nicas

11.1.

INTRODUCCION

Sea T un operador lineal en un espacio vectorial de dimension finita. Como se vio en el Capitulo 10, T puede no tener una representaci6n matricial diagonal. No obstante, todavia es posible «simplificar» !a representaci6n matricial de T de numerosas formas. · Este es el tema principal del capitulo. En particular, obtendremos el teorema de descomposici6n primaria y las formas canonicas triangular, de Jordan y racional. Cabe comentar que las formas can6nicas tdangular y de Jordan para T existen si y solo si el polinomio caracteristico t.(t) de T tiene todas sus raices en el cuerpo base K. Esto siempre se verifica si K es el cuerpo complejo C, perc puede no verificarse si K es el cuerpo real R. Introducimos tambien la idea de espacio cociente. Es una herramienta muy poderosa y se empleara en Ia demostraci6n de Ia existencia de las formas can6nicas triangular y racional.

11.2.

FORMA TRIANGULAR

Sea T un operador lineal en un espacio vectorial n-dimensional V. Supongamos que T admite como representaci6n Ia matriz triangular

A=

C'

au a22

:. :::) a""

Entonces el polinomio caracteristico de T, Ll(t) = I tl -A I = (t- a 11 )(t - a 22)

436

•• •

(t- a".)

FORMAS CANONICAS

437

es producto de factores lineales. El reciproco es cierto tambien y es un importante teorema; a saber (vease Ia demostraci6n en el Problema 11 .28), Teorema 11.1: Sea T: V-+ V un operador lineal cuyo polinomio caracteristico se factoriza en polinomio lineales. Existe una base de V en Ia que T se representa por una matriz triangular. Teorema 11.1 (forma alternativa): Sea A una matriz cuadrada cuyo polinomio caracteristico se factoriza en polinomios lineales. Entonces A es similar a una matriz triangular, es decir, existe una matriz invertible P tal que p -l AP es triangular. Decimos que un operador T puede llevarse a forma triangular si se puede representar por una matriz triangular. N6tese que en este caso los valores propios de T son precisamente aquellas entradas situadas en Ia diagonal principal. Demos una aplicaci6n de esta observaci6n. EJ EM PLO 11 .1. Sea A una matriz cuadrada sobre el cuerpo complejo C. Supongamos que 1 es un valor propio de A 2 • Probemos que fi o -fi es un valor propio de A. Sabemos por el Teorema ILl que A es similar a una matriz triangular

Por tanto, A 2 es similar a Ia matriz

Dado que las matrices similares tienen los mismos valores propios, ). Jl; = o /1; = - fi; esto es, fi o - ·fi es un valor propio de A.

Ji

.11.3.

=

Jlf para algun i. Por consiguiente, .

INVARIANCIA

Sea T : V _. V lineal. Un subespacio W de V se dice invariante bajo To T-invariante si T aplica Wen si mismo, o sea, si ve W implica T(v)e W. En tal caso, T induce un operador lineal T: W-+ W definido por T(w) = T(w) para todo wE W. EJEMPLO 11.2

a) Sea T:R 3 ---+R 3 el operador lineal que gira cada vector a lrededor del eje z un angulo 8 (Fig. II-!); esto es, el definido por 7{x, y, z)

=

(x

COS

8- y sen 0,

X

sen 8 + y

COS (},

z)

Observese que cada vector w = (a, b, 0) del plano xy, W, permanece en W bajo Ia aplicaci6n T, luego W es T-invariante. Observese asimismo que el eje z, U, es invariante bajo T. Ademas, Ia restricci6n de T a W gira cada vector alrededor del origen 0, y Ia de T a U es Ia aplicaci6n identidad de U .

438

ALGEBRA LINEAL

Figura 11-1. b)

Los vectores propios no nulos de un operador lineal T: V-+ V pueden caracterizarse como generadores de subespacios 1-dimensionales T-invariantes. Supongamos T(v) = A.v, v # 0. Entonces, W = {kv, k e K}, . el subespacio !-dimensional generado por v, es invariante bajo T porque T(kv) = kT(v) = k(Av) = kAv

E

W

Reciprocamente, supongamos que dim U = I, que u-/:. 0 genera U y que U es invariante bajo T. En ese caso, T(u)E U y asi T(u) es un multiplo de u, o sea, T (u) = JlU. De aqui que u sea un vector propio de T.

El proximo teorema, demostrado en el Problema 11.3, nos da una clase importante de subespacios invariantes. Teorema 11.2: Sean T : V-+ V un operador lineal y f(t) cualquier polinomio. El nucleo de f(T) es invariante bajo T. · La noci6n de invariancia esta relacionada con las representaciones matriciales (Problema 11.5) como sigue. Teorema 11.3:

Supongamos que W es un subes\acio invariante de T: V-+ V. Entonces T tiene

una representaci6n matricial por blo ques Ia restricci6n

11.4.

T de

(~ ~) , donde A es una representaci6n matricial de

T a W.

DESCOMPOSICIONES EN SUMA DIRECTA INVARIANTE

U n espacio vectorial V es Ia suma directa de sus subespacios W1,

si to do vector

VE

... ,

V puede expresarse de forma unica como

v = w1

+ w 2 + ··· + w,

con

Es aplicable el siguiente teorema, demostrado en el Problema 11.7.

W,., escrito

FORMAS CANONICAS

Teorema 11.4:

Supongamos que W1 ,

... ,

439

W,. son subespacios de V y que

son bases de W1 , ... , W,., respectivamente. En ese caso, V es Ia sum a directa de los W; si y solo si Ia union B = {w 11 , ••• , w1 ,.,, .•. , wrl, .. . , w,,J es una base de V. Supongamos ahora que T: V ~ V es lineal y que V es Ia suma directa de subespacios T-invariantes (no nulos) W1 , ... , W,.: V=W1 $···EElW,

i

y

= 1, ... , r

Denotemos por 7i Ia restricci6n de T a W;. Entonces se dice que T es descomponible en los operadores 7i o que T es Ia suma directa de los T;, escrito T = T1 $ ·· · EB T,.. Asimismo, se dice que los subespacios W1 , ••. , W,. reducen a To que forman una descomposicion en suma directa T-invariante de V. Consideremos Ia situaci6n especial en Ia que dos subespacios U y W reducen a un operador T: V __. V; sea, por ejemplo, dim U = 2 y dim W = 3 y supongamos que {u 1 , u 2 } y {w1 , w2 , w3 } son bases de U y W, respectivamente. Si T1 y T2 denotan las restricciones de T a U y W, tendremos

T1 (u 1) = a 11u 1 T1 (u 2 ) = a 21 u 1

+ a12 u2

+ a 22 u2

T2(wl) = buwt + b12 Wz + b13 w3 Tz(w2) = b21w1 + b22 wl + b23 w3 Tz(w3) = b31W1 + b32 W2 + b33 W3

y

De aqui

son representaciones matriciales de T1 y T2 , respectivamente. Segun el Teorema 11.4,

es una base de V. Dado que T(uJ matriz diagonal por bloques (

= T 1 (u;)

~ ~).

y T(w)

= T 2 (wi) , Ia matriz de

Ten esta base es Ia

Una generalizaci6n del argumento anterior proporciona el teorema enunciado a continuaci6n. Teorema 11.5: Supongamos que T: V __. V es lineal y que V es Ia suma directa de subespacios T-invariantes, digamos W1 , . .. , W,.. Si A; es una representaci6n matricial de Ia restricci6n de T a W;, T puede representarse por Ia matriz diagonal por bloques

La matriz diagonal por bloques M con entradas diagonales A 1, ••• ,A, se denomina a veces Ia suma direct a de las matrices A 1 , •• . , A, y se denota por M = A 1 EB ·· · Ef) A,.

440

ALGEBRA LINEAL

11.5. DESCOMPOSICION PRIMARIA El siguiente teorema muestra que un operador T: V--+ V es descomponible en operadores cuyos polinomios minimos son potencias de polinomios irreducibles. Este es el primer paso hacia Ia obtenci6n de una forma can6nica de T. Teorema de descomposicion primaria 11.6: minimo

Sea T: V--+ V un operador lineal con polinomio

donde los fi(t) son polinomios irreducibles normalizados distintos. Entonces V es Ia suma directa de subespacios T-invariantes W1 , ... , W., donde W; es el nucleo de J;(T)"'. Mas aun, J;(t)"' es el polinomio minimo de Ia restricci6n de T a W;. Siendo los polinomios /;(t)"' primos entre si, el resultado fundamental precedente deriva (Problema 11.11) de los proximos dos teoremas. Teorema 11.7: Supongamos que T : V--+ V es lineal y que f(t) = g(t)h(t) son polinomios tales que f( T) = 0 y g(t) y h(t) son primos entre si. En ese caso, V es Ia suma directa de los subespacios T-invariantes U y W, con U = Ker g(T) y W = Ker h(T). Teorema 11.8:

En el Teorema 11.7, si f(t) es el polinomio minimo de T [y g(t) y h(t) estan y h(t) son los polinomios minimos de las restricciones de T a U y W, respec-

normalizad~s], g(t)

tivamente.

lo

Utilizaremos tambien el teorema de descomposicion primaria para demostrar la uti!' caracterizaci6n de los operadores diagonalizables que ahora escribimos (vease Ia demostracion en el Problema 11.12). · Teorema 11.9: Un operador lineal T: V--+ V es diagonalizable si y solo si su polinomio minimo · es un producto de polinomios lineales diferentes. Teorema 11.9 (forma alternatin): Una matriz A es similar a una matriz diagonal si y solo si su polinomio minima es un producto de polinomios lineales diferentes. EJEMPLO 11.3. Supongamos que A#- I es una rnatriz cuadrada para Ia cual A 3 = I . Deterrninemos si A es o no similar a una rnatriz diagonal, cuando A es una matriz sobre i) el cuerpo real R;, ii) el cuerpo complejo C. Puesto que A3 = I, A es un cero del polinomio f(t) = £3 - I = (r- I )(t2 + t + I). El polinomio minimo m(t) de A no puede ser t - I, ya que A #- I. Por tanto, m(t) = t 2

+t+I

0

m(t) = c2

-

I

Dado que ninguno de los polinomios es producto de polinomios lineales sobre R, A no es diagonalizable sobre R. Por el contrario, cada uno de los polinomios es producto de polinomios lineales distintos sobre C, luego A es diagonalizable sobre C.

FORMAS CANONICAS

11.6.

441

OPERADORES NILPOTENTES

Se dice que un operador lineal T: V---+ V es nilpotente si T" = 0 para algun entero positivo n; llamamos a k el indice de r1ilpotencia de T si Tk = 0 pero T k- t # 0. Amilogamente, una matriz cuadrada A se dice nilpotente si A" = 0 para algun entero positivo n, y de indice k si Ak = 0 pero Ak- 1 # 0. Claramente, el polinomio minimo de un. operador (matriz) nilpotente de indice k es m(t) = t\ por lo que 0 es su unico valor propio. El resultado funda mental sobre operadores nilpotentes es el siguiente. Teorema 11.10: Sea T: V-+ V un operador nilpotente de indice k. En tal caso, T tiene una representaci6n matricial diagonal por bloques cuyas entradas diagonales son de Ia forma

0 l

0

0

0 0

l

0

N= 0

(es decir, todas .las entradas de N son 0 excepto aquellas situadas justo sobre Ia diagonal principal, que son 1). Hay al menos una N de orden k , siendo todas las demas de orden ~k. El numero de las N de cada orden posible esta univocamente determinado por T. Mas aun, el numero total de las N de todos los 6rdenes coincide con Ia nulidad de T. Eo Ia demostraci6n del teorema anterior (Problema 11.16) probaremos que el numero de las N de orden i es igual a 2m; - m; + 1 - m; _ 1 , donde m; es Ia nulidad de T;. Seiialamos que Ia matriz N precedeote es a su vez nilpotente y que su indice de nilpotencia es igual a su orden (Problema 11.13). N6tese qne Ia matriz N de orden l es justameote Ia matriz cero (0) 1 x t.

11.7.

FORMA CANONICA DE JORDAN

.Un operador T puede ponerse en forma can6nica de Jordan si sus polinomios caracteristico y minimo se factorizan en polinomios lineales. Esto siempre se cumple si K es el cuerpo complejo C. En cualquier caso, siempre podemos extender el cuerpo base K a un cuerpo en el que los polinomios caracteristico y minimo se factoricen en polinomios lineales; de modo que, en un sentido amplio, todo operador tiene una forma can6nica de Jordan. Analoga mente, toda matriz A es similar a una matriz en forma canonica de Jordan. Teorema 11.11: Sea T : V-+ V un operador lineal cuyos polinomios minimo y caracteristico son, respecti va mente,

y

m
=
A.,)""

•

442

ALGEBRA LINEAL

donde los A.i son escalares distintos. Entonces T tiene una representaci6n matricial diagonal por bloques J, con entradas diagonales

Jij

A.j

1

0

A.j

).i,

0 0

0 0

= ....................... 0 0

Por cada

0 1

0 0

0 0

A.t

...

0

1 A.i

los bloques correspondientes Jii tienen las siguientes propiedades:

i) Existe al menos un Jii de orden mi; todos los demas Jii son de orden :;;;,m;. ii) La suma de los 6rdenes de los Jii es ni. iii) El numero de los Jii coincide con Ia multiplicidad geometrica de A.;. iv) El numero de los J,i de cada orden posible esta univocamente determinado por T. La matriz J del teorema anterior recibe el nombre de forma canonica de Jordan del operador T. Cada bloque diagonal Jii se llama bloque de Jordan perteneciente al valor propio 2i. Observese que 0 0

0

A.j

0

0

1 0 A.j 1

0

0

0 0

0 0

A.j

1

A.,

A.j

0 0

0 0

0 0

0 0

0 ... 0

0

Jii

=

0 1 0 0 0 1

0 0

0 0

0

+ 0 0

0

Esto es,

A.J

0

1

+N

donde N es el bloque nilpotente que aparecia en el Teorema 11.10. De hecho, demostraremos el Teorema 11.11 (Problema I I .18) probando que T puede descomponerse en operadores suma, cada uno de ellos, de un operador escalar y un operador nilpotente. EJ EM PLO 11.4. Supongamos que los polinomios caracteristico y minimo de un operador T son, respectivarnen te,

W

A(t) = (t - 2t(t -

y

La forma canonica de Jordan de T es, pues, una de las matrices:

2 1: 0 2:

---- r--., 2 1 I I

I I

10 21

0

- - - --1 - ---.

3 1I I 1 0 1_ _ _31 _ tI I

13

Sera Ia primera si T tiene dos vectores propios independientes pertenecientes a su valor propio 2; y seni Ia segunda si T tiene tres vectores propios independientes correspondientes a 2.

FORMAS CANONICAS

443

11.8. SUBESPACIOS CICLICOS Sea T un ope radar lineal en un espacio V de dimension finita sabre K. Supongamos v E V y v -=1= 0. El conjunto de todos los vectores de Ia forma f(T)(v), donde f(t) recorre todos los polinomios sabre K, es un subespacio T-invariante de V denominado el subespacio T-ciclico de V generado por v. Lo denotaremos par Z(v, T) , y denotaremos Ia restricci6n de T a Z(v, T) por T,. Podriamos definir equivalentemente Z(v, T) como la intersecci6n· de todos l~s subespacios T-invariantes de V que contengan v. Consideremos abora Ia sucesi6n v, T(v), T 2 (v), T 3 (v), ...

de potencias de T actuando sabre v. Sea k el menor entero tal que P(v) es una combinaci6n lineal de los vectores que lo preceden en la sucesi6n, digamos Tk(v)

= - a k - l yk- 1(v)- · · · -

a 1 T(v)-

a0 v

. En tal caso, es el unico polinomio normalizado de grado minima para el que m.(T)(v) = 0. Llamamos a m.(t) el T-aniquilador de v y Z(v, T). Es aplica~le el siguiente teorema (demostrado en el Problema 11.29). Teorema 11.12:

Definamos Z(v, T), T. y m.(t) como antes. Se cumple:

i) ii)

El conjunto {v, T(v), ... , rc - 1 (v)} es una base de Z(v, T), Iuego dim Z(v, T) = k. El polinomio minima de T, es m.,(t).

iii)

La representaci6n matricial de Tv en Ia base anterior es justamente Ia matriz acompanante (Ejemplo 8.12) de m.,(t):

0 0 0 1 0 0 0 1 0

C=

••

•

•••••

0

0 0 0 0

•

••

•••••••

-ao -a~

-a2 •

0

•••••

0 0 0 0 - ak - 2 0 0 0 ... 1 -ak - 1

11.9. . FORMA CANONICA RACIONAL En esta secci6n presentamos Ia forma can6nica racional para un operador lineal T: V --. V. Subrayamos que esta forma existe incluso cuando el polinomio minima no puede factorizarse en polinomios lineales. (Recordemos que no es este el caso para Ia forma can6nica de Jordan.) Lema 11.13: Sea T: V --+ V un operador lineal cuyo polinomio minima es f(tt, donde f(t) es un polinomio irreducible normalizado. Entonces V es Ia suma directa.

V = Z(v 1 , T) Ef) • • • E9 Z(v,, T)

444

ALGEBRA LINEAL

de subespacio T-ciclicos Z(v;, T) con correspondientes T-aniquiladores

Cualquier otra descomposi6n de V en subespacios T-ciclicos tiene el mismo numero de componentes y el mismo conjunto de T-aniquiladores. Seiialamos que el lema precedente, demostrado en el Problema 11.31, no dice que los vectores v; o los subespacios T-ciclicos Z(v;, T) esten univocamente determinados por T, sino que el conjunto de T-aniquiladores lo esta. Asi T tiene una (mica representaci6n matricial

c J c, ...

en Ia que las C; son matrices acompaiiantes. De hecho, las C1 son las matrices acompafiantes de los polinomios f(t)"'. Utilizando el teorema de descomposici6n primaria y el Lema 11.13 obtenemos el resultado fundamental que sigue. Teorema 11.14:

Sea T: V-+ V un operador lineal con polinomio minimo m(t) = / 1 (t)"''fz(t)"'2

• • •

f.(t)"'•

donde los /;(t) son polinomios irreducibles normalizados distintos. En ese caso, T tiene una (mica representaci6n matricial diagonal por bloques

Cu

en Ia que las Cii son matrices acompafiantes. En concreto, las Cii son las matrices acompailantes de los polinomios f;(t)"'i, con

La anterior representaci6n matricial de T se llama su forma canonica racional. Los polinomios J;(t)"'i se conocen como divisores elementales de T. EJ EM PLO 11.5. Sea V un espacio vectorial de dimension 6 sobre R y T un operador lineal cuyo polinomio minima es m(t) = (t 2 - t + 3)(t- 2?. La forma can6nica racional de T es una de las sumas directas de matrices acompanantes: i)

C(t2

ii) C(t

2

iii) C(t 2

+ 3) EB C(t2 - t + 3) EB C({t - 2)2 ) 2 2 -_ t + 3) $ C((t - 2) ) EB C((t - 2) ) 2 - t + 3) EB C((t - 2) ) EB C(t - 2) EB C(t - 2) -

t

1 FORMAS CANONICAS

445

donde C(f(t)) es Ia matriz acompanante de f(t); esto es,

0

0

-3: I

0 J

-3 J

--- - --r - - - --1

------.------1

I

I

I

I I

I I --- -- - ~----1 I

0

0 1

-4 4

I

1

I

I

I

I

L-- -- - IL-0 - --4

-4

0 1

-4 4

ii)

I I

2

I I ~--1.-

'2

:1

i)

I

- -- - --~ --,

I

:1

11.10.

0 -3 : 1 1:

1:

1 1: --- -,- - - --1 I

-3:

I

iii)

ESPACIOS COCIENTE

Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y W un subespacio de V. Si v es cualquier vector en V, escribimos v + W para representar el conjunto de sumas v + w con we W: v+ W

= {v + w: wE W}

Estos conjuntos se denominan variedades afines de W en V. Probaremos (Problema 11.22) que dichas variedades afines constituyen una partici6n de V en subconjuntos mutuamente disjuntos. EJ EM PLO 11.6.

Sea W el subespacio de R1 definido como W= {(a, b) :a

=

b}

Es decir, W es Ia recta dada por Ia ecuaci6n x- y = 0. Podemos ver v + W como una traslaci6n de Ia recta, oblenida sumando v a cada punto de W. Como se muestra en Ia Figura 11-2, v + W es tambien una recta y es paralela a W. De este modo, las variables a fines de Wen R 1 son precisamente todas las rectas paralelas a W.

Figura 11-2.

En el teorema enunciado a continuaci6n hacemos uso de las variedades afines de un subespacio W de un espacio vectorial V para definir un nuevo espacio vectorial; se llama el espacio cociente de V por W y se denota por V f W.

446

ALGEBRA LINEAL

Teorema 11.15: Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Las variedades afines de Wen V forman un espacio vectorial sabre K con las siguientes operaciones de suma y producto par un escalar:

i) ii)

(u + W) + (v k(u

+ W) =

+ W) = (u + v) + W. + W, donde keK.

ku

Hacemos notar que en Ia demostraci6n del Teorema 11.15 (Problema 11.24) es necesario probar primero que las operaciones estan bien definidas; o sea, que siempre que u + W = u' + W y v + W = v' + W se cum pie: i)

(u

+ v) + W =

(u'

+ v') + W

y

ii)

ku

+W=

ku'

+W

para cualquier k E K

En el caso de un subespacio invariante, disponemos del uti! resultad o, demostrado en el Problema 11.27, que enseguida escribimos. Teorema 11.16: Supongamos que W es un subespacio invariante bajo un operador lineal T: V-+ V. Entonces T induce un operador lineal 'ten Vf W definido par 't(v + W) = T(v) + W. Mas aun, si T es un cero de algun polinomio, tambien to es T. El polinomio minima de 't es divisor, pues, del de T.

PROBLEMAS RESUELTOS

SUBESPACIOS INVARIANTES 11.1.

Sup6ngase que T: V-+ V es lineal. Probar que cada uno de los siguientes subespacios es invariante bajo T: a) {0}, b) V, c) nucleo de T , d) imagen de T. a) Tenemos T(O) = Oe:{O}, luego {0} es invariante bajo T. b) Para todo vE V, T(v)E V, luego V es invariante bajo T. c) Sea uEKer T. Entonces T(u) = OEKer T porque el nucleo de T es un subespacio de V. Siendo asi, Ker T es invariante bajo T. d)

11.2.

Dado que T(v)Eim T para todo liE V, es claramente cierto cuando liE lm T. Por tanto, la imagen de T es invariante bajo T.

Sup6ngase que { ltj} es una colecci6n de subespacios T-invariantes de un espacio vectorial V. Pro bar que Ia intersecci6n W = n; ltj es tambien T-invariante. Supongamos liE W; en tal caso, VE w; para todo i. Puesto que w; es T-invariante, T(v) E It; para todo i. De este modo, T(li)E W = ''!; U<; y W es, pues, T-invariante

l1.3.

Demostrar el Teorema 11.2.

FORMAS CANONICAS

447

Supongamos veKer f(T), es decir, f(T)(v) = 0. Debemos probar que T(v) tambien pertenece al nucleo de f(T), o sea, f(T)(T(v)) = 0. Dado que f(t)t = tf(t), tenemos f(T)T= Tf(T). Asi pues, f(T)T(v) = .Tf(T)(v) = T(O) = 0

como se pedia.

11.4.

Hallar todos los subespacios invariantes de A =

-5)

(~

-2

vista como un operador en R 2 .

Por el Problema 11.1, R 2 y {0} son invariantes bajo A. Ahora bien, si A tiene cualquier otro subespacio invariante, este debe ser !-dimensional. Sin embargo, e1 polinomio caracteristico de A es ..

6.(t) = I tl - A I =

5

t _ 2

I

-1

t

+2

I

= (l

+J

Por esta raz6n, A no tiene valores propios (en R) ni por tanto vectores propios. Pero los subespacios invariantes 1-dimensionales corresponden a los vectores propios; asi R 2 y {0} son los unicos subespacios invariantes bajo A.

11.5.

Demostrar el Teorema 11.3. Escogemos una base {w 1, Tenemos

... ,

w,} de W y Ia extendemos a una {w 1 ,

... ,

w,, v1 ,

... ,

v,} de V.

+ · · · + a 1 ,w, = a 21 w1 + · · · + a2r w,

f(w 1) = T(w 1) = a 11 w1 f(w 2) = T(wJ

+ · · · + a,.,. w, + .. · + b 1,w, + c11 v1 + ... + C~oV, b21 w 1 + ··· + b 2 ,w, + c 21 v 1 + · .. + c 1 ,v,

f(w,) = T(w,) = a,1 w1

T(v 1) = b11 w 1 T(v 2 ) =

-

Pero Ia matriz de T en esta base es Ia traspuesta de Ia matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones anterior. (Vease Ia pagina 407.) Por consiguiente, es de Ia forma (

~ ~), donde

A

es Ia traspuesta de Ia matriz de coeficientes del subsistema obvio. Por el mismo argumento, A es Ia matriz de T relativa a Ia base {w;} de W.

11.6.

Denotemos por Tla restriccion de un operador T a un subespacio invariante W, es decir, T(w) = T(w) para todo we W. Demostrar: i) ii)

Para cualquier polinomio f(t), f(T)(w) = f(T)(w). El polinomio minimo de T es divisor del polinomio minimo de T.

i) Si f(t) es de grado 0 o de grado I, el resultado claramente se cumple. Supongamos que grado f menor que n. Sea

=

n > I y que el resultado se cumple para polinomios de grado

448

ALGEBRA LINEAL

En ese caso, f(T)(w) =(a. t• + a._ 1 t•- 1 + · · · + a 0 I)(w) = =(a. f'•- 1 )(T(w)) + (a._ 1 t • - l + ·· · + a 0 l)(w) = =(a. r-- 1)(T(w)) + (a._ 1 T"- 1 + · · · + a 0 l)(w) = = f(T)(w) ii)

Sea m(t) el polinomio minimo de T. Pori), m(T)(w) = m(T)(w) = O(w) = 0 para todo we W; esto es, T es un cero del polinomio m(t). De aqui que el polinomio minimo de T sea divisor de m(t).

DESCOMPOSICIONES EN SUMA DIRECTA INVARIANTE

11.7.

Demostrar el Teorema 11.4. Supongamos que B es una base de V. Entonces, para todo ve V,

don de w1 = ail wil pongamos

+ · .. + a;., w1., E W,.

A continuacion demostramos que tal suma es {mica. Su-

w;ew; Como {wn, ... , w;.J es una base de 1¥;, w; = bnwn + ... + b,.,w;., y por tanto v = b11 w11 + · ·· + ht.,wt., + · ·· + b, 1 w,1 + · · · + b,,., w,., v=

w'1

+ w~ + ·.. + w~

con

AI ser B una base de V, a,i = bu para cada i y cada j. Por esta raz6n, w; = w; y Ia suma para v es, pues, (mica. En consecuencia, V es Ia suma directa de los 1¥;. Reciprocamente, supongamos que V es Ia suma directa de los 1¥;. En ese caso, para todo ve V, v = w 1 + ·.. + w, donde w1 E 1¥;. Siendo {wii} una base de 1¥;, cada w; es combinaci6n lineal de los W;i' de modo que v es combinaci6n lineal de los elementos de B. Probemos ahora que B es linealmente independiente. Supongamos

N6tese que a; 1 wil + .. · + a;., w;., E 1¥;. Tenemos, asimismo, que 0 Dado que tal suma para 0 es (mica,

=

0

+ 0 + ·.. + 0

con 0 E 1¥;.

para i = 1, ... , r La independencia de las bases {W;i} implica que todas las a son 0. Asi B es linealmente independiente y por ende una base de V.

11.8. Supongase que T: V _. V es lineal y que T = T1 $ T 2 con respecto a una descomposici6n en suma directa T-invariante V = U EB W. Mostrar que: · a)

b)

m(t) es el minimo comun multiple de m 1 (t) y m2 (t), donde m(t), m1 (t) y m 2 (t) son los polinomios minimos de T, T1 y T2 , respectivamente. ~(t) = Ll 1 (t)Ll 2 (t), donde ~(t), ~ 1 (t) y ~it) son los polinomios caracteristicos de T, T1 y T2 , respectivamente.

FORMAS CANONICAS

a)

449

De acuerdo con el Problema 11.6, m 1 (t) y m 2 (t) son divisores de m(t). Supongamos ahora que f(t) es multiplo de m 1 (t) y m 2 (t) simultaneamente; en tal caso, f(T1 )(U) = 0 y f(T2 )(W) = 0. Sea VE V; e nt onces v = u + w con u E U y WE W. Ahora, f(T)v

= f(T)u +f(T)w = f(T1 )u + f(T2 )w = 0 + 0

= 0

Es decir, T es un cero de f(t). Por ello, m(t) es divisor de f(t) y asi m(t) es el minimo comun multiplo de m l (t) y m ~ (t). b)

En virtud del Teorema 11.5, T tiene una representaci6n matricial M = ( :

~) , siendo A y B

las representaciones matriciales de T1 y T2 , respectivamente. Entonces

A(t) = ltf- Ml = tl -A l 0

I

0 =It/- A lltltl-B

Bl = A1(t) A2(t)

como se pedia.

11.9.

Demostrar el Teorema 11.7. Notese primero que U y W son T-invariantes, segun el Teorema 11.2. AI ser g(t) y h(t) primos entre si, existen polinomios r(t) y s(t) tales que r(t) g(t)

+ s(t)h(t ) =

I

Por consiguiente, para el operador T,

+ s(T)h(T) = I r(T)g (T) v + s(T)h(T) v

r(T)g(T)

Sea vEV; por (*),

v=

Pero el primer terrnino en esta suma pertenece a W = Ker h(T). De hecho, puesto que Ia composicion de polinomios en T es conmutativa, h(T)r(ng(T)v = r(T)g(T)h(T)v = r(T)f(nv = r(T)Ov = 0

Similarmente, el segundo termino pertenece a U. Por tanto, V es Ia suma de U y W. Para demostrar que V= U EE> W debemos proba r que Ia suma v = u + w con uE U, WE W, esta univocamente determinada por v. Aplicando el operador r( T)g(T) a v = u + w y utilizando g(T)u = 0 obtenemos

Asimismo, aplicando (*)a w solo y usando h(T)w = 0, w = r(T)g(T)w

+ s(T)h(T)w =

r(T)g(T)w

Las dos ultimas ecuaciones dan, conjuntamente, w = r(T)g(T)v, de modo que w esta univocamente determinado por v. Analogamente, u esta univocamente determinado por v. De aqui V = U E9 W, como se pedia.

11.10.

Demostrar el Teorema 11.8: En el Teorema 11.7 (Problema 11.9), si f(t) es el polinomio minimo de T [y g(t) y h(t) estan normalizados], g(t) es el polinomio minimo de Ia restricci6n T1 de T a U y h(t) el de Ia restricci6n T2 de T a W. Sean m 1 (t) y m2 (t) los polinomios minimos de T1 y 1'2 , respectivamente. N6tesc que = 0 porque U = Ker g(T) y W = K er h(T). De este modo,

g(T1 )

=

0

y h(1'2 )

m 1 (t) divide g(t)

y

m2 (t) divide h(t)

[I]

450

ALGEBRA LINEAL

Segun el Problema 11.9, f(t) es el minimo comun multiplo de m1 (r) y m2 (t). Pero m1 (t) y m2 (t ) son primos ente si, por serlo g(t) y h(t). En consecuencia, f(t) = m 1 (t)m 2 (t). Tenemos tambien que f(t) = g(t)h(t). Estas dos ecuaciones, junto con [I] y el hecho de que todos los polinomios estan normalizados, implican que g(t) = m1 (t) y h (t) = m2 (t), como se deseaba probar.

11.11. Demostrar el Teorema de Descomposici6n Primaria 11.6. Se demuestra por induccion en r. El caso r = I es trivial. Supongamos que se ha demostrado el teorema para r - I. De acuerdo con el Teorema 11.7, podemos escribir V como Ia suma directa de subespacios T-invariantes y v!, donde WI es el nucleo de !I (T)"· y VI el de f2(T)"' ... f,.(T)"'. Por el Teorema 11.8, los polinornios minimos de las restricciones de T a W1 y V1 son, respectivamente, / 1 (t)"· Y f2(t)"• ··· f,(t)"'. Denotemos Ia restricci6n de T a V1 por T1 . Por Ia hipotesis de induccion, V1 es Ia sum a directa de subespacios W2 , ••• , tales que w; es et nucleo de J;(T1 )"' y /;(t)"' el polinomio minimo de Ia restriccion de "t1 a w;. Pero el nucleo de /;(T)"' para i = 2, ... , r esta necesariamente contenido en V1 porque J;(t)"' es divisor ·de f 2 (r)"' ·· · fr(t)"'. El nucleo de .{;(T)"' coincide, pues, con el de J;(T1)"', que es ~· Asimismo, Ia restriccion de T a W; es Ia misma que Ia de t 1 a W; (para i = 2, ... , r), luego J;(t)"' es tam bien el polinomio minimo de Ia restricci6n de T a 14-{. De esta manera, V = W1 Efl W2 Ef:) •• • EB W, es Ia descomposici6n de T deseada.

w.

w,

ll.l2.

Demostrar el Teorema 11.9. Supongamos que m(t) es un producto de polinomios lineales distintos; por ejemplo,

donde los .A.i son escalares diferentes. En virtud del Teorema 11.6, V es Ia suma directa de subespacios W1 , •.• , W,, con w; = Ker (T- ).J ). Asi pues, si ve ~. entonces (T - .A.J)v = 0 o T(v) = A.;v. En otras palabras, todo vector en ~ es un vector propio perteneciente al valor propia A;. Segun el Teorema 11.4, la union de bases de W1 , .. . , W, es una base de V. Esta base esta constituida por vectores propios, por lo que T es diagonalizable. Reciprocamente, supongamos que Tes diagonalizable, es decir, que V tiene una base consistente en vectores propios de T. Sean .A. 1 , . • . , 1.. los valores propios distintos de T. El operador

aplica, pues, cada vector de Ia base en 0. De este modo, f(T) = 0 y por tanto el polinomio minimo m(t) de T es divisor del polinomio

En consecuencia, m(t) es un producto de polinomios lineales distintos.

OPERADORES NILPOTENTES. FORMA CANONICA DE JORDAN

11.13. Sea T: V--+ V lineal. Sup6ngase, para

vE 1

V, T' (v)

=0

pero

yk -

1

(v)

=1=

0. Demostrar:

El conjunto S = {v, T(v), ... , yk- (v)J es Iinealmente independiente. b) El subespacio W generado por S es T-invariante. c) La restricci6n 't de T a W es nilpotente de indice k.

a)

FORMAS CANONICAS

d)

451

Respecto ala base {T"- 1 (v), ... , T(v), v} deW, Ia matriz de Tes de Ia forma

0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 ... 00

Por consiguiente, Ia matriz k-cuadrada a nterior es nilpotente de indice k. a)

Supongamos

r-

r-

1 1 Aplicando a (•) y usa ndo T"(v) = 0 obtenemos aT' - 1 (v) = 0; como (v) :f. 0, a= 0. 2 1 a (•) y usando Tk(v) = 0 y a= 0, encontramos que a 1 (v) = 0, Ahora, aplicando 3 a (•) y usando T"(v) = 0 y a= a 1 = 0 obtenemos luego a 1 = 0. Aplicando a continuacion 1 a2 (v) = 0, luego a 2 = 0. Continuando este proceso encontramos que todos los a son 0; por tanto, S es independiente.

r-

r-

r-

b)

Sea

vE

W. Entonces v = bv + b 1 T(v)

Empleando T'(v)

=

..

+ b 2 T 2 (v) + · · · + b1 _ 1 r

r-

- (v) 1

0 tenemos que T(v) = bT(v)

+ b 1 T 2 (v) + ·· · + b~- 2 r•- 1(v) e W

Asi W es T-invariante. c) Por hip6tesis, Tk(v) = 0. Por eso, para i = 0, ... , k- I, 'T*(T'(v)) = yt +i(v) = 0

Esto es, aplicando 7* a cada generador de W, obtenemos 0; por este motivo, 1* = 0, de manera que T es nilpotente de indice k a lo sumo. Por otra parte, 1* - 1 (v) = T' - 1 (v) :f. 0; de aqui que T sea nilpotente de indice k exactamente. 2 d) Para Ia base {T'- 1 (v), (v), ... , T(v), v} deW,

r-

T(T1 - 1(v}) = T 1(v) = 0 1{yt-l(v))

yt - l(v)

rt- 2 (v)

f(T1 - 3 (v))

··· ················ ······ ························ ········· T(T(v))

f(v)

T(v)

La matriz de Ten esta base es, pues, 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 ... 00

452 11.14.

ALGEBRA LINEAL

Sea T: V-+ V lineal. Sean U = Ker Ti y W = Ker Ti + 1 . Mostrar que: a) U £ W, b) T(W) £ U. a)

b)

11.15.

Supongamos u E u = Ker r. En tal caso, T(u) = 0, por lo que r+ 1 (u) = T(T'(u)) = T(O) = 0. De este modo, u E Ker T 1+ 1 = W. Pero esto es cierto para todo u E U, luego U s; W. De form a similar, si we W = -K er Ti+ 1, T 1+ 1 (w) = 0. Siendo asi, T 1+ 1 (w) = T 1(T(w)) = T 1(0) = 0, por lo que T(W) s; U. ·

SeaT : V-+ V lineal. Sean X = Ker Ti-l, Y = Ker ma 11.14, X£ Y£ Z. Sup6ngase que

{ut> ... , u,}

{u 1,

u., vh ... , v.}

••• ,

yi -t

y Z

= Ker Ti. Por el Proble-

{u 11 .•• , u., v1 ,

... ,

v. w1,

••. ,

w,}

son bases de X, Y y Z, respectivamente. Mostrar que S = {u 1,

... ,

u,, T(w 1), ••• , T(w,)}

esta contenido en Y y es linealmente independiente. Por el Problema 11.4, T(Z) s; Y y por tanto S s; Y. Supongamos ahora que S es linealmente dependiente. Existe entonces una relaci6n a1u 1 +

· · · + a,u, + b 1T(w 1 ) + · · · + b, T(w,) = 0

donde al menos uno de los coeficientes no es cero. Ademas, dado que {uJ es independiente, al menos uno de los bt debe ser no nulo. Trasponiendo hallamos b 1 T(w 1) Por consiguiente, Asi T 1- 1(blwl

+ · ·· + b, T(w,) = T

1

-

2

-a 1 u 1

(bl T(w1 )

+ ... + b,w,) = 0

-

· ··-

a,u, eX= Ker T 1- 1

+ · · · + b, T(w.)) = 0

luego

blwl

+ ... + b,w, E y

= Ker Ti-l

Puesto que {u1, vi} genera Y, obtenemos una relaci6n entre los u;, vi y wk en Ia que uno de los coeficientes, o sea, uno de los bk, no es cero. Esto contradice el hecho de que {u1, vi' wk} es independiente. Por ello, S debe ser tambien independiente.

11.16.

Demostrar el Teorema 11.10. Supongamos dim v = n. Sean WI = Ker T, w2 = Ker T 2 ' ... ' ~ = Ker T'. Tomemos m; =dim H-i para i = I, ... , k . Por ser Tde indice k, Wk = Vy Wk - t #- V, de modo que m k - t < mk = n. Por el Problema 11.14,

Asi, por inducci6n, podemos elegir una base {u1 , ••• , u.} de V tal que {u1 , ••• , umJ es una base dew;. Escogemos ahora una nueva base de V con respecto a Ia cual T tenga Ia forma deseada. Resulta ra conveniente designar los miembros de esta base mediante pares de indices. Comenzamos tomando v(l, k) = u.. _,+ 1 , v(2, k) = u.,._, +l•

... ,

v(mt- mt-t, k) = u,.

y

v(l, k- 1) = Tv(I, k), v(2, k- 1) = Tv(2, k), ... , v(mt- mt-t• k - 1) = Tv(mt- mt - t• k)

FORMAS CANONICAS

453

Por el Problema 11.15, S1

= {u 1 ,

••. ,

u... _,, t(l, k-

1~

... , t(m1

-

m1 _ 1 , k- l)}

es un subconjunto linealmente independiente de J¥,._ 1 • Extendemos S 1 a una base de ai'iadiendo nuevas elemeutos (si fuera necesario) que denotamos por t(m1

-

m1 _

1

+ l, k- 1), t(m1 -

'"•-•

+ 2, k-

1), ... , t(m1 -

m1 -

1 -

2,

Wk - t

k- 1)

A continuacion tomamos v( l, k-2) =Tv(1, k-1), v(2, k-2)=Tv(2, k - 1), ... , v(mt _ 1 - mt _ 2 , k -2)= Tv(mk_ 1 - mk_ 2 , k-1)

De nuevo por el Problema 11.15,

S2

{u 1,

=

... ,

u,.._,, t(l, k- 2), ... , t(m1 _ 1 -

m1 _ 2 , k- 2)}

es un subconjunto linealmente independiente de W,. _2 que podemos extender a una base de J¥,. _ 2 ai'iadiendo elementos t(m1 _ 1

-

m1 _

1

+ 1, k -

2), t(m1 _

1-

m1 _ 2

+ 2, k- 2), ... , t(m1 _ 2 -

m1 _ 3 , k- 2)

Continuando de esta manera conseguimos una nueva base de V que por conveniencia ordenamos como sigue: t(l, k),

... , t(m1

-

m1 _ 1 , k)

t(l, k- 1), . .. , t(m1

-

m1 _

t(1, 2), t(l, 1),

1,

k - 1), ... ,

t(m.~:- 1

-

'"•-z, k -

1)

... , t(m1 - m1 _ 1, 2),

... , t(m1 _ 1

-

m1 _ 2 , 2), ... , t(m2

-

m., 2)

... , t(m1

... , t(m1 _ 1

-

m1 _ 2 , 1), ... , t(m 2

-

'"~>

-

m1 _

1,

1),

1), ... , t(m 1 , 1)

La fila inferior forma una base de W1 , las dos inferiores forman una de W2 , etc. Pero lo que es realmente importante para nosotros es que T aplica cada vector en el situ ado inmediatamente bajo el en Ia tabla, o en 0 si el vector esta en la ultima fila. Esto es,

Tv(i, j) = {

v(i ,. - 1) '

0

paraj > 1 paraj = I

Ahora queda claro [vease el Problema 11.13 a)] que T tendra Ia forma deseada si los v(i, j) estan ordenados lexicograficamente: empezando por v(1, 1) y subiendo por Ia primera columna hasta v( l , k), sa1tando despues a v(2, I) y subiendo porIa segunda columna tanto como sea posible, etc. Mas aim, habra exactamente

(mk-t- m1 _ 2 ) - (m.- m1 -

1)

mk- mk- t 1 - mk- mk - 2

= 2m1 _

entradas diagonales de orden k entradas diagonales de orden k - 1 entradas diagonales de arden 2 entradas diagonales de orden I

como puede leerse directamente de Ia tabla. En particular, al estar los numeros m 1 , ... , ' " • univocamente determinados por T, el numero de entradas diagonales de cada o rden tambien lo esta. Finalmente, Ia identidad

'"• = (mt- '"t-1) + (2mt-t- mk- '"•-z) + ... + (2mz- mt- m3) + (2mt- mz) muestra que Ia nulidad m1 de T es el numero total de entradas diagonales de T.

454

ALGEBRA LINEAL

0 0 11.17. Sea A = 0 0 0 nilpotente de a A.

1

1 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 indice

0 0 0 3.

1 1 0 0 0 0 0 0 0 y A 3 = 0; luego A es . Entonces A 2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0 0 Hallar Ia ·matriz nilpotente en forma can6nica M que es similar 1

Siendo A nilpotente de indice 3, M contendra un bloque diagonal de orden 3 y ninguno de orden mayor. N6tese que rango A = 2; por tanto, nulidad A = 5 - 2 = 3. Asi pues, M contiene tres bloques diagonales. En consecuencia, M debe contener un bloque diagonal de orden 3 y dos de orden I; esto es,

0 1 0 0 0 0

M=

o:o

0 l :0 0 o:o 0

------~--

o o Oao:o 0 0 0

11.18.

'-o~o

Demostrar el Teorema 11.11. De acuerdo con el teorema de descomposicion primaria, T es descomponible en operadores T1 , ••• , T,., es decir, T= T1 Ef> ... Ef> R,, donde (t- A.;)'"' es el polinomio minimo de 7;. De este modo, en particular,

(T1 -1 11)"'' = 0, ... , (1; -A., I),..= 0 Tomemos N 1 = 7;-

A.J.

Entonces, para i

=

1, ... , r, donde N'(''

=

0

A.J y un operador nilpotente N,, que es de indice m 1 porque (t - A.;)m' es el polinomio minimo de 7;. Ahora, segun el Teorema II. I0 referente a operadores nilpotentes, podemos escoger una base de manera que N 1 este en forma can6nica. En esta base, 7i = N 1 + 2J se representa por una matriz diagonal por bloques M 1 cuyas entradas diagonales son las matrices J 1,. La suma directa J de las matrices M 1 esta en forma can6nica de Jordan y, por el Teorema 11.5, es una representaci6n matricial de T. Por ultimo, debemos probar que los bloques JiJ satisfacen las propiedades requeridas. La propiedad i) deriva del hecho de que N 1 es de indice m1• La propiedad ii) es cierta, puesto que T y J tienen el mismo polinomio caracteristico. La propiedad iii) es cierta, ya que Ia nulidad de N 1 = 7i- J..J es igual a Ia multiplicidad geometrica del valor propio 21. La propiedad iv) se desprende del hecho de que los 7; y por ende los N 1 estan univocamente determinados por T.

0 sea, 7; es Ia suma del operador escalar

11.19.

Determinar todas las formas can6nicas de Jordan posibles para un operador lineal T: V- V cuyo polinomio caracteristico sea ~(t) = (t - 2) 3 (t - 5) 2 . Dado que r - 2 tiene exponente 3 en li(t), 2 debe aparecer tres veces en Ia diagonal principal. De forma similar. 5 debe aparecer dos veces. Siendo asi. las formas can6nicas de Jordan posibles son

FORMAS CANONICAS

2

2

I

I

2

1I I 2 1

21

1: 21

_ j _ -1

:2

__ .!I __ _ _

5 1

' 5

,__5 ,__ I

1

I

·iv)

I

- -~ -..,

I

5:

'--r,5

5

I

I

_ j - -1

L--i - -

"1- - I

t

2' :2

2: -- - - ... -, 2

1

iii)

2 1: I

2:

1 5

ii)

2 1 1 2 1: I 2t

11.20.

1

~-r -- - -

:5

i)

----- -

:- -2 -,-I

1_ - "'

- -----~---1 I I

455

v)

2

I

,__5::s

'- -~- -

1

iv)

Determinar todas las formas can6nicas de Jordan posibles para una matriz de orden 5 cuyo polinomio minimo sea m(t) = (t- 2)2 . 1 debe tener un bloque de Jordan de orden 2 y los otros deben ser de orden 2 6 1. De este modo, hay solamente dos posibilidades:

2 1:

2:

1=

----r--- ..., I

2 1

I

0

1=

N6tese que todas las entradas diagonales deben ser 2 porque 2 es el unico valor propio.

ESPACIO COCIENTE Y FORMA TRIANGULAR

11.21. Sea W un subespacio de un espacio vectorial V. Probar que son equivalentes: i) u e v + W, ii) U - VE W, iii) VEU + W. Supongamos u e v + W. Entonces existe w0 e W tal que u = v + w0 . P or tanto, u - v = w0 e W. Reciprocamente, supongamos u- ve W. En tal caso, u - v = w 0 , donde w0 e W. P o r tanto, u = v + w 0 E W. Asi pues, i) y ii) son equivalentes. Asimismo tenemos: u - VE w si y solo si - (11 - v) = v- UE w si y solo si V E u + w. De esta manera, ii) y iii) son tambien equivalentes.

11.22. Demostrar Ia siguiente afirmaci6n: Las variedades afines de W en V constituyen una partici6n de V en conjuntos mutuamente disjuntos. Esto es: Dos variedades afines cualesquiera u + W y v + W son identicas o disjuntas. ii) Cada v e V pertenece a una varied ad afin; de hecho, v e v + W. i)

Ademas, u w e W.

+W= v+

W si y s6Io si u- ve W, y asi (v

+ w) + W = v + W

para todo

456

ALGEBRA LINEAL

Sea ve V. Dado que Oe W, tenemos v = v + Oev + W, lo que demuestra ii). Supongamos ahora que las variedades afines u + W y v + W no son disjuntas; digamos que el vector x pertenece simultaneamente a u + W y v + W. En tal caso, u - x e W y x - v e W. La demostraci6n de i) quedara completa si probamos que u + W = v + W. Sea u + w0 un elemento arbitrario en Ia variedad afin u + W. Como u - x, x - v y w0 pertenecen a W, (u

+ w0 ) -

v

= (u -

x)

+ (x -

v)

+ w0

e W

De este modo, u + w0 e v + W y por consiguiente Ia variedad afin u + W esta contenida en Ia variedad alin v + W. Simiiarmente, v + W esta contenida en u + W y asi u + W = v + W. La ultima alirmaci6n se sigue del hecho de que u + w = v + w si y solo si u E v + w, y, de acuerdo con el Problema 11 .21, esto es equivalente a u - v e W.

11.23. Sea W el espacio soluci6n de Ia ecuaci6n homogenea 2x variedades afines de Wen R3 .

+ 3y + 4z = 0.

Describir las

W es un plano por el origen 0 = (0, 0, 0), y sus variedades alines son los pianos paralelos como se muestra en Ia Figura 11-3. Equivalentemente, las variedades alines de W_son los conjuntos soluci6n de Ia familia de ecuaciones 2x

+ 3y + 4z = k

keR

En particular, Ia variedad afin v + W, donde v =(a, b, c), es el conjun~o ..- -~ I .meaI 2x + 3y + 4z = 2a

+ 3b + 4c

o

2(x - a)

+ 3(y -

b)

~oluci6n de Ia ecuaci6n .: /

+ 4(z -

c) = 0

z Figura 11-3.

11.24.

Sup6ngase que W es un subespacio de un espacio vectorial V. Mostrar que las operaciones del Teorema 11.15 estan bien definidas; a saber, mostrar que si u + W = u' + W y v + W = v' + W, se cumple: a) a)

(u + v) + W = (u' + v' ) + W y b)

Dado que u + W = u' entonces (u + v)- (u'

ku + W = ku' + W para cualquier keK.

+ W y v + W = v' + W, tanto tt - u' como v - v' pertenecen a W. Pero + v') = (u- u') + (v - v')e W. Por tanto, (u + v) + W = (u' + v') + W.

FORMAS CANONICAS

b)

11.25.

Asimismo, como u - u' E W implica k(u- u') E W, ku- ku' ku + W = ku' + W.

=

457

k(u - u') E W; en consecuencia,

Sea V un espacio vectorial y W un subespacio de V. Probar que la aplicacion natural '1: V ..... Vf W, definida por 1'/(v) = v + W, es lineal. P ara todo par u, v E V y todo k e K tenemos l](u+ v)=u +v+ W = u + W+v+ W =l](u) +l](v) rJ(kv) = kv + W = k(v

y

+ W) =

k17(v)

En consecuencia, '1 es lineal.

11.26. Sea W un subespacio de un espacio vectorial V. Sup6ngase que {w1 , ... , w,} es una base deWy que el conjunto de variedades afines {i\ , .. . , ii,}, donde vi = vi + W, es una base del espacio cociente. Probar que B es una base de V, siendo B = {v 1 , ... , v,, w1 , . .. , w,}. De esta manera, dim V =dim W +dim (V/ W). Supongamos u E V. D ado que ~vi} es una base de VJW, ii

Por co nsiguiente, u = a 1 v1

=

u + W = a 1ii 1 + a 2 ii2

+ · · · + a,ii,

+ ... + a,o, + w, donde wE W. Dado que {w;} es u = a1 v1 + ··· + a,v,+ b 1 w 1 + ... + b,w,

una base de W,

De acuerdo con ello, B genera V. Mostremos ahora que B es Iinealmente independiente. Supongamos C1 V 1

+ ··· + C, V, + d 1 W 1 + .. · + d,w, =

0

[1]

En ese caso, Puesto que {vi} es independiente, todas las c son 0. Sustituyendo en [1] encontramos que d 1 w1 + ... + d,w, = 0. Como {w;} es independiente, todas las d son 0. Asi B es linealmente independiente y por tanto una ·base de V.

11.27.

Demostrar el Teorema 11.1 6. Probemos primero que Testa bien delinido, es decir, si u + W=v + W, entonoes T(u+ W)=T'(v+ W). Si 11 + W = v + W, necesariamente u - v e W y, siendo W T-invariante, T (u- v) = T(u)- T(v)E W. En consecuencia, T(u + W) = T(u)

+W

=

T(v)

+

W

=

f( v + W)

como se pedia. Probemos a continuaci6n que T es lineal. Tenemos f((u

+

W)

f(u + v + W) = T(u + v) + W = T(u) + T(v) + W = T(u) + W + T(v) + W = f(u + W) + f(v + W)

+ (v + W}) =

=

y

T(k(u

+

W)) = T(ku

De este modo, f es lineal.

+ W) = T(ku) + W = kT(u) + W = k(T(u) + W) = kf(u + W)

458

ALGEBRA LINEAL

Ahora, para toda variedad afin u Tl(u

+ W) = T 2(u) + W

+

Wen Vf W,

= T(T(u)) + W = T(T(u) + W) = T(T(u + W)) = T

2

(u

+

W)

De aqui T 2 = T 2 . Similarmente, 1" = 't" pa ra todo n. Asi para todo polinomio

+ · · · + a 0 =I a1t1 f(TY..u + W) =f(TY..u) + W = I a1 T 1(u) + W =I a~T'(u) + W) = = I a 1 yi{u + W) =I a1 f'(u + W) =
y por tanto f( T) = f(T). En consecuencia, si Tes una raiz de f (t), entonces f( T) = 0 = W = f(T) , o sea, T es ta mbien una raiz de f (t). Queda, pues, demostrado el teorema.

11.28. Demostrar el Teorema ll.l. Se demuestra por induccion en Ia dimension de V. Si dim V = I, toda representacion matricial de T es una matriz I x I , que es triangular. Supongamos ahora dim V = n > I y que el teorema se cumple para polinomios caracteristicos de dimension menor que n. D ado que el polinomio caracteristico de T se factoriza en polinomios lineales, T tiene al menos un valor pro pio y por t<mto a t menos un vector propio no nu lo v, digamos T(v) = a 11 v. Sea W el subespacio !-d imensional generado por v. Hacemos V = V f W. E ntonces (Problema 11 .26) dim li = dim V - dim W = n - I. N6tese ademas que W es invariante bajo T. En virtud del Teorema 11 .16, T induce un operador lineal 'ten V cuyo polinomio minimo es divisor del de T. Como el polinomio caracteristico de T es un producto de polinomio lineales, tambien lo es su polinomio minimo; luego de igual modo to seran los p olinomios caracteristico y minimo de T. Asi pues, V y 't satisfacen las hipotesis del teorema. Por inducci6n existe una base {vz, ... , v.} de tal que

v

T(v 2 )

=

a 12 ii2

T(ii 3) = a32 v2

+ a 33 ii3

Sean a hora v2 , ... , v. elementos de V que pertenecen a las variedades afines ii2 , • . . , v., respectivamente. En ese caso, {v, v2 , ... , v.} es una base de V (Problema 11.26). P uesto que f (ii2 ) = a22 ii2 , tenemos y por tanto

Pero W esta gene rado por v, por lo que T(v2 )

-

a22 v2 es un multiplo de v, digamos

y asi

De forma similar, para i = 3, ... , n,

y asi De este modo,

T(v) = a 11v T(v2 ) = a 2 1 v + a22 v2 T(v.) = a. 1v

+ a.2 v2 + · · · + a_v.

y por consigu ie nte Ia matriz de T en esta base es triangular.

FORMAS CANONICAS

459

SUBESPACIOS CICLICOS. FORMA CANONICA RACIONAL 11.29.

Demostrar el Teorema 11.12. i)

2

Por definicion de mv(t), T"(v) es el primer vector en Ia sucesion v, T(v), T (v), ... que es combinacion lineal de los vectores que le preceden; luego el conjunto B = {v, T (v), ... , r-•(v)} es linealmente independiente. Ahora solo tenemos que probar que Z(v, T) = L(B), Ia envoivente lineal de B . Por lo anterior, T"(v) E L (B). Demostramos, por induccion, que T"(v) E L (B) para todo n. Supongamos n > k y T" - 1 (v)e L(B), esto es, que T" - 1 (v) es combinacion lineal 1 (v). En ese caso, T"(v) = T(T'- 1 (v)) es combinacion lineal de T(v), ... , T"(v). de v, ... , Pero T"(v) e L(B), lucgo T"(v) E L (B) para todo n. En consecuencia, f( T )(v)e L(B) para todo polinomio f(r). Siendo asi, Z(v. T) = L(B) y por tanto B es una base como se pretendia.

r-

ii)

Supongamos que m(r) = t• + b,_ 1 f- 1 veZ(v, T) ,

+ ··· + b0

0 = m(T.,Xv) = m(TXv) = T'(v)

es el polinomio minimo de T •. D ado que

+ b,. 1 T'- 1(v) + · · · + b0 v

De este modo, T(v) es combinacion lineal de v, T (v), .. . , rs- 1 (v) y por consiguiente k ~ s. Sin embargo, m.(T) = 0 y asi m. (T.,) = 0. E ntonces m(t) es divisor de m.(r) y por esta razon s ~ k. De acuerdo con ello, k = s y por tanto m.,(t) = m(t). iii)

T{v)

T.,(v) T.,(T(v))

yt - l(v)

T.,(T• - 2(v)) = 1

T.,(r• - (v))

= 1"'(v) =

1

- a0 v- a 1 T(v) - a1 T (v)- ···- at - 1 yt - t(v)

Por definicion, Ia matriz de T.. en esta base es Ia traspuesta de Ia matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones precedente, luego es C , como se pedia.

11.30.

Sea T: V - t V lineal. Sea W un subespacio T-invariante de V y T, el operador inducido en V/W. Demostrar: a) El T-aniquilador de vE V es divisor del polinomio minimo de T. b) El f-a niquilador de iie V/ W es divisor del polinomio minimo de T. a)

El T-aniquilador de ve Vesel polinomio minimo de Ia restriccion de T a Z(v, T ), y, por tanto, segun el Problema 11.6 es divisor del polinomio minimo de T.

b)

El f-aniq uilador de iie Vf W es divisor del polinomio minimo de del polinomio minima de T de acuerdo con el Teorema 11 . 16.

't que a su vez es divisor

Nota: En caso de que el polinomio minimo de T sea f(t)", dondef(t) es un polinomio minimo irreducible normalizado, el T-aniquilado r de ve V y el f-aniquiJador de iie VJW son de Ia forma f(t)'" con m ~ n.

11.31.

Demostrar el Lema 11.13. Se demuestra por inducci6n en Ia dimension de V. Si dim V = 1, el propio V es T-ciclico y el lema es v:ilido. Supongamos ahora que dim V > I y que el lema cs valido para aquellos espacios vectoriales de dimension menor que Ia de V. Dado que el polinomio minimo de T es f(t)", existe v1 E V tal que f(T)"- 1 (v 1 ) 'I 0; por este motivo, el T-aniquilador de v 1 es f(t)". Sea Z 1 = Z(v 1 , T) y recordemos q ue Z 1 es T-in variante. Sean V = V /Z 1 y 't el operador lineal en V inducido por T. En virtud del Teorema 11.6, el

460

ALGEBRA LINEAL

polinomio minima de T es divisor de f(t)", luego Ia hip6tesis se cumple para V y T. Consecuentemente, por inducci6n, V es Ia suma directa de subespacios 'f-ciclicos; por ejemplo,

V = Z(v 2 , f') E9 .. · E9 Z(ii, f) donde los correspondientes 'f-aniquiladores son f(t)"', ... , f(t)"' , n ;:::>: 11 2 ;:::>: .. • ;:::>: n,. Afirmamos que existe un vector v2 en Ia variedad .afin ii2 cuyo T-aniquilador es f(r)"', el T-aniquilador de v2 . Sea w cualquier vector en v2 . Entonces f(T)"'(w) E Z 1. Por consiguiente, existe un polinomio g(t) para el que [I)

f(T)" •(w) = g(T)(vd

Siendo f(t)" el polinomio minima de T tenemos por [I],

Pero f(t)" es el T-aniquilador de v1 , luego f(t)" es divisor de f(ty-"•g(t) y asi g(t) = f(t)"•h(t) para algun polinomio h(t). Hacemos v 2 = w - !J(T) (v 1 ) Como w- v2 = h(T) (vdeZ 1 , v2 tambien pertenece a Ia variedad alin ii2 • Asi el T-aniquilador de Vz es multiple del T-aniquilador de Vz. Por otra parte, por [1],

En consecuencia, el T-aniquilador de v2 es f(r)"', como se pretendia. De forma similar, existen vectores v3 , ... , v,E V tales que V;E v, y el T-aniquilador de vies f(t)"', el T-aniquilador de ii;. Hacemos

Z2

= Z(v1 ,

T), ... , Z,

= Z(v,,

T)

Denotemos por del grado def(t), de modo quef(t)"' tiene grado dn1• AI ser f(t)"' el T-aniquilador de VI y eJ T-aniquiJador de Vi SabemOS que y

son bases de Z(v,, D y Z(v, T), respectivamente, para i = 2, ... , r. Pero V = Z(v 2 , T)EB ··· EB Z(V,:, T); por consiguiente, - .. . , ""'"•-1(-V,, ... , fd• - 1(-V,)} I V2 ) {V2, t

••• ,

r

es una base de V. Por tanto, segun el Problema 11.26 y Ia re1aci6n Problema 11 .27),

i 1(v) =

T(v) (vease el

es una base de V. Por el Teorema 11.4, V = Z(v 1, T) ffi · .. ffi Z(v., T), como se pedia. Queda por pro bar que los exponentes n 1 , ... , n, estan univocamente determinados por T. Puesto que d denota el grado de f(r), dim V

=

d(n 1

+ · · · + n,)

y

i = 1, ... , r

Ademas, si s es cualquier entero positive, tendremos que (Problema 11.59) f(T)'(Z1) es un subespacio ciclico generado por f(T)'(v;) y tiene dimension d(n 1 - s) si ni > s y dimension 0 si n1 ~ s. Ahora todo vector v E v puede escribirse de forma unica como v = WI + ... + w,, donde W; E Z;. De aqui que cualquier vector en f(T)'(V) pueda expresarse de forma unica como

FORMAS CANONICAS

461

don de f(T)'(w;) ef{T)'(Z;). Sea t e l entero, dependiente de s, pa ra el cual

n 1 > s, ... , n, > s, n,+ 1 :2:. s f(T)'(V) = f(T)'(Z tl EB · · · EBJ(T)'(Z,)

En tal caso,

dim (f(n"(V))

y asi

= d[(n

1 -

s)

+ · · · + (n, -

s)]

Los numeros a Ia izquierda de (•) estan univocamente determinados por T. Toma mos s = n - 1 y (•) determina el numero de los n; iguales an. A continuacion tomamos s = n- 2 y (•) determina el numero de los n; (si hay alguno) iguales a n- I. Repetimos el proceso hasta que tomemos s = 0 y determinemos el numero de los n; iguales a I. Los n; estan, pues, univocamente determ inados por T y V y queda demostrado el lema.

11.32.

Sean V un espacio vectorial de dimension 7 sobre R y T: V-. V un operador lineal con polinomio minimo m(t) = (t 2 + 2)(t + 3) 3 . Encontrar todas las formas can6nicas racionales posibles para T. La suma de los grados de las matrices acompaiiantes debe dar 7. Ademas, una matriz acompafiante debe salir de t 2 + 2 y otra de (t + 3) 3 . De este modo, Ia forma can6nica raciona l de T es exactamente una de las siguientes sumas directas de matrices acompaiiantes: i)

C(t2 + 2) ED C(t2 + 2) ED C((t

ii) C(t2

iii) C(tl

+ 3)3) .

+ 2) ED C((t + 3)3) ED C((t + Wl. + 2) ED C((t + Wl ED C(t + 3) EB C(t + 3) .

Esto es,

0 - 2: 1 0 :

0 -2 :

o:

-- - --, ---------~

--- --~o---=-2~ I

'1

0 0 -27 I I 1 0 -27 I I I IL 0____1_ __ -9 __ J I _

I

I

I

0•

I

L----~- ------ ---

0

0

-27

: 1 : 0

0 1

- 27 - 9

1 I

ii)

i)

0 1

- 2: 0 :

-----, ---- - --- -~ I I

I

0

1

0

I I

- 27 -27 1 - 9

0

0

I I

I I I

'- --- -- -- --.1.1 ---,

-3_ ...I __ _ l __ ~

iii)

__ _ _

: 0 -9 : 1 -6

- 3

462

ALGEBRA LINEAL

PROYECCIONES 11.33.

Sup6ngase V = W1 EB ·· · EB W,.. La proyeccion de V en su subespacio J+k es la aplicaci6n E: V ~ V definida por E(v) = wk> donde v = w1 + ··· + w., wie W;. Mostrar que: a) E es lineal, b) E 2 =E. · a)

Puesto que !a suma v = w 1 + ··· + w., W;E W esta univocamente determinada por v, Ia aplicacion E esta bien definida. Supongamos, para uE V, u = w'1 + ··· + w~, w;e W;. En tal caso, 11 + u = (w 1

+ w'1) + ·· · + (w, + w~)

k11 = kw 1

y

+ · · · + kw,

son las {micas sumas correspondientes a 11 + u y a kv. De aqui E(11

+ u) = wk + w~ =

E(v) + E(u)

y

E(kv) = kwk

+ kE(v)

y por consiguiente E es lineal.

b)

Tenemos que

wk

= 0

+ ··· + 0 + wk + 0 + ··· + 0

es Ia tmica sum a correspondiente a wk E Wk, luego E( wk) = wk. Entonces, para todo v E V,

Siendo asi, E 2 = E, como se pedia.

11.34.

Sup6ngase que E: V ~ V es lineal y que E 2 =E. Probar que: a) E(u) = u para todo uelm E , es decir, la restricci6n deE a su imagen es la aplicaci6n identidad; b) Ves Ia suma directa de la imagen y el nucleo de E: esto es, V = Im E EB Ker E; c) E es Ia proyecci6n de V en Im E , su imagen. Asi, por el Problema 11.33, una aplicaci6n lineal T: V ~ V es una proyecci6n si y solo si T 2 = T; comparese con el Problema 9.45. a)

Si u E Im E , existe 11E V para el que E(v)

=

u, !uego

E(u) = E(£(11)) = £ 2 (11) = E(v)

=u

como se pedia. b)

Sea vE V. Podemos escribir v de la forma v = E(v) E(v - E(v))

+v-

E(v). Ahora E(v) e lm E y, como

= E(v) - £ 2 (11) = E(v) - E(11) = 0

11- E(v)eKer E. En consecuencia, V= Im E + Ker E. Supongamos ahora welm En Ker E. Pori), E(w) = w debido a que welm E. Por otra parte, E(w)=O porque weKerE. De este modo, w=O y por tanto lmEnKerE= {O}. Estas dos condiciones implican que V sea !a suma directa de Ia imagen y el nucleo de E. c)

Sea vE V y supongamos 11 = u + w con uelm E y w e Ker E. Notese que E(u) que E(w) = 0 porque weKer E. Por tanto, E(11) = E(u

+ w) =

E(u)

+ E(w) =

=

u, pori), y

u+0 = u

0 sea, E es Ia proyeccion de V en su imagen.

11.35.

Sup6ngase V = U EB W y que T: V ~ V es lineal. Pro bar que U y W son ambos T-invariantes si y solo si TE = ET, donde E es la proyecci6n de V en U. Observemos que E(v)EU para todo VEV y que: i) E(v) = v si y solo si vEU, ii) E(v) y solo si VE W.

=

0 si

FORMAS CANONICAS

Supongamos ET = TE. Sea ue U. Puesto que E(u)

463

= u,

T(u) = T(E(u)) = (TE)(u) = (ET)(u) = E(T(u))

E

U

De aqui U es T-invariante. Sea ahora we W. Dado que E(w) = 0, E(T(w))

=

(ET)(w)

= (TE)(w) =

T(E(w))

= T(O} =

0

de modo que

T(w)E W

Por consiguiente, W es tam bien T-invariante. Reciprocamente, supongamos que U y W son ambos T-invariantes. Sea vE V y supongamos v = u + w con u E U y we W. En esc caso, T(u) E U y T(w) E W, luego E(T(u)) = T(u) y E(T(w)) = 0. Asi (ET)(v) = (ET),u

+ w) =

(ET)(u)

(TE)(v) = (TE)(u

y

+ (ET)(w) =

+ w) =

T(E(u

E(T(u))

+ E(T(w)) =

T(u)

+ w)) = T(u)

Esto es, (ET)(v) = (TE)(v) para todo ve V ; por esta raz6n, ET= TE, como se pedia.

PROBLEMAS SU PLEM ENTARIOS

SUBESPACIOS INVARIANTES 11.36.

Sup6ngase que W es invariante bajo T: V ---+ V. Mostrar que W es invariante bajo f(T) para todo polinomio f(t) .

11.37.

Probar que todo subespacio es invariante bajo I y bajo 0, los operadores identidad y cero.

11.38.

Sup6ngase que W es invariante bajo T1 : V-+ V y T 2 : V-+ V. M ostrar que W es tam bien invariante bajo T1 + T2 y T1 T2 .

11.39. Sea T: V-+ V lineal y sea W el espacio propio perteneciente a un valor propio A. de T . Probar que W es T-invariante. 11.40. Sea V un espacio vectorial de dimension impar (mayor que I) sobre el cuerpo real R. Pro bar que todo operador lineal en V tiene un subespacio invariante distinto de V o {0}. l1.41.

Determinar los subespacios invariantes de A =

(2 -4) 5

- 2

vista como operador lineal en i) R 2 ,

11.42. Sup6ngase dim V = n. Mostrar que T: V---+ V tiene una representaci6n matricial triangular si y solo si existen subespacios T-invariantes W1 c W2 c ... c W, = Vpara los que dim Wk = k, k = 1, ... , n.

SUMAS DIRECTAS INVARIANTES 11.43. Se dice que los subespacios W1, ... , W. son independientes si w1 + ... + w, = 0, W;E w;, implica que cada W; = 0. Pro bar que lin (W;) = WI EB ... EB si y solo si los W; son independientes. [Aqui lin (W;) denota Ia envolvente linea de »-;.]

w.

.

464

ALGEBRA LINEAL

l 1.44.

Mostrar que V = W1 EB ··· ® W,. si y solo si: i) V =lin (W;), ii) W, n lin ( W1 , = {0}, k =I, ... , r.

11.45.

Mostrar que lin (W.) =

w1 Ef> ... EB w. si y solo si dim lin (W.) =dim

... ,

w,_1 ,

W, + 1,

WI + ... + dim

•.. ,

W,.) =

w,..

11.46. Supongase que el polinomio· caracteristico de T: V ..... V es t.(t) = f 1 (t)"· f 2 (t )"' ··· f,(t)"·, donde los J;(t) son polinomios irreducibles normali.zados distintos. Sea V = W 1 EB · · · EB W,. Ia descomposicion primaria de V en subespacios T-invariantes. Probar que };(t)"' es el polinomio caracteristico de Ia restricci6n de T a W;.

OPERADORES NILPOTENTES 11.47. Supongase que T 1 y T 2 son operadores nilpotentes que conmutan, es decir, T 1 T2 = que T1 + T2 y T1 T2 son tambien nilpotentes.

~ T1 .

Probar

11.48. Sup6ngase que A es una matriz supertriangular, o sea, que todas sus entradas en y bajo Ia diagonal principal son 0. Mostrar que A es nilpotente. · 11.49. Sea Vel espacio vectorial de los polinomios de grado ::;. n. Pro bar que el operador de derivaci6n en V es nilpotente de indice n + I. l 1.50.

Probar que las siguientes matrices nilpotentes de orden n son similares: 1 0 0 0 0

0

0

0 y

0 0 0 0 0 0

...

0 l 0 0

0

0 0

0

11.51. Probar que dos matrices nilpotentes de orden 3 son similares si y solo si tienen el mismo indice de nilpotencia. Mostrar con un ejemplo que Ia afirmaci6n no es cierta para ma trices nilpotentes de orden 4.

FORMA CANONICA DE JORDAN I 1.52. Hallar todas las form as can6nicas de Jordan posibles para aquellas matrices cuyos polino mios caracteristico t.(t) y minimo m(t) son:

W.

a)

t.(t) = (t- 2)4 (t - 3)2 , m(t) = (t - 2)2 (t-

b)

t.(t) = (t- 7)~. m(t) = (t -1)2 •

c)

t.(t) = (t - 2)7 , m(t) = (t - 2)3 .

d)

t.(t) = (t - 3)4 (t - 5)4 , m(t) = (t - 3)2 (t - 5)2 •

11.53.

Probar que toda matriz compleja es similar a su traspuesta. (Indicaci6n: Utilicense su forma can6nica de Jordan y el Pro blema 11 .50.)

11.54.

Mostrar que todas las matrices complejas n x n A para las que A" = I pero Ak #- I para k < n son similares.

FORMAS CANONICAS

11.55.

465

Supongase que A es una matriz compleja que tiene solo valores propios reales. Mostrar que A es similar a una matriz que tiene unicamente entradas reales.

SUBESPACIOS CICLICOS 11.56.

Supongase que T: V-+ Ves lineal. Demostrar que Z(v, T) es Ia interseccion de todos los subespacios T-invariantes que contienen v.

11.57.

Sean f(t) y g(t) los T-aniquiladores de u y v, respectivamente. M ostrar que si f(t) y g(t) son primos entre si, f(t)g(t) es el T-aniquilador de u + v

11.58.

Demostrar que Z(u , T) primos entre si.

11.59.

Sea W = Z(v, T) y supongase que el T-aniquilador de v es f(tY. donde f(t) es un polinomio irreducible normalizado de grado d. Probar que f(T)"(W) es un subespacio ciclico generado por f(T)'(v) y tiene dimension d(n - s) si n > s y 0 si n :=:; s.

= Z(v,

T) si y solo si g(T)(u)

= v,

donde g(t) y el T-aniquilador de u son

FORMA CANONICA RACIONAL 11.60.

Encontra r todas las formas can6nicas racionales posibles para:

+ 3)(t + 1)2 • (t + 1)3 • (t 2 + 2)2 (t + 3) 2 •

a)

matrices 6 x 6 con polinomio minimo m(t) = (t 2

b)

matrices 6 x 6 con polinomio minimo m(t) =

c)

matrices 8 x 8 con polinomio minimo m(t) =

11.61.

Sea A una matriz 4 x 4 con polinomio minima m(t) = (t 2 + l )(t2 - 3). H allar Ia form a canonica racional de A si A es una matriz sobre a) el cuerpo racional Q, b) el cuerpo real R, c) el cuerpo complejo C.

11.62.

Hallar Ia forma canonica racional para el bloque de Jordan

11.63.

Demostrar que el polinomio caracteristico de un operador T : V-+ V es un producto de sus divisores elementales.

11.64.

Demostrar que dos matrices 3 x 3 con los mismos polinomios minimo y caracteristico son similares.

11.65.

Denotemos por C(f(t)) Ia matriz acompaiiante de un polinomio arbitrario f(t). Mostrar que f(t) es el polinomio caracteristico de C(f(t)).

(~ ~ )· " 1o.to :ol

PROYECCIONES 11.66. Supongase V = W1 Et) ··• Et) W,. Denotemos por E1 Ia proyeccion de V en W;. Demostrar: i) E;E1 = 0, i "# j; ii) I = £ 1 + ··· + E,.

466

ALG EBRA LINEAL

11.67. Sean E1, •.. , E, operadores lineales en V tales que: i) Ef = E;, o sea, los Ei son proyecciones; ii) EiE1 = 0, i # j; iii) I = £ 1 + ... + E,. Pro bar que V = Im £ 1 EB ... EB Im E,. 11.68. Sup6ngase que E : V-+ V es una proyecci6n, esto es, E2 =E. Demostrar que E tiene una representa. , matncta . . I de 1a 10rma r cton

(I' 0

0) , donde r es el rango de E e I , !a matriz identidad r-cuadrada. 0

11.69. Demostrar que dos proyecciones cualesquiera del mismo rango son similares. (lndicaciim: Hagase uso del Problema 11 .68.) 11.70.

Sup6 ngase que E: V-+ V es una proyecci6n. D emostrar: i) I - E es una proyecci6n y V = Im E Efl Im (I - E), ii) I+ E es invertible (si I + 1 =F 0).

ESPACIOS COCIENTE 11.71.

Sea Wun subespacio de V. Sup6ngase que el conjunto de variedades afines {v1 + W, v2 + W, ... , v. + W} en Vj W es linealmente independiente. M ostrar que el conjunto de vectores {v1 , v2 , ... , v.} en V es tambiim linealmente independiente.

11.72. Sea W un subespacio de V. Sup6ngase que el conjunto de vectores {u 1, u 2 , ... , u.} en V es linealmente independiente y que lin (uj) n W = {0}. Probar que el conjunto de variedades afines {u 1 + W, ... , u. + W} en Vj W es tambien linealmente independiente. 11.73.

Sup6ngase V = U EB W y que {u 1 , ... , u.} es una base de U. M ostrar que {u 1 + W, ... , u. + W} es una base del espacio cociente V/ W. (O bservese que no se ha impuesto condici6n alguna a las dimensio nes de V y W)

11.74.

Sea W el espacio soluci6n de Ia ecuaci6n lineal

a 1x 1

+ a1 x 1 + · · · + a,.x. = 0

y sea v = (b 1 , b 2 , ... , b.) e K". Demostrar que Ia variedad afin v + W de Wen K" es el conjunto soluci6n de Ia ecuaci6n lineal donde 11.75.

Sean Vel espacio vectoria l de los polinomios sobre R y W el subespacio de los polinomios divisibles port\ esto es, de Ia forma a0 t 4 + a1 t 5 + ··· + a. _4 t". Probar que el espacio cociente V/ W es de dimension 4.

11.76.

Sean U y W subespacios de V tales que W £ U ~ V. N6tese que cualquier variedad afin u + W de W en U puede verse tam bien como variedad afin de W en V, puesto que u E U implica u E V. Demostrar que: i) U/ W es un subespacio de VjW, ii) dim (V/ W) - dim (U/ W) =dim Vf U).

11.77.

Sean U y W subespacios de V. Probar que las variedades alines de U n Wen V pueden obtenerse intersectando cada una de las variedades afines de U en V con cada una de las de Wen V: Vj(U n W) = {(u + U) n (v'

11.78.

+

W): v, v' €

V}

Sea T: V-. V' lineal con nucleo W e imagen U. Mostrar que el espacio cociente V/ W es isomorfo aU bajo Ia aplicaci6n 8 : V/ W-+ U definida por 8(v + W) = T(v). Probar ademas que T= i •8 • 1],

FORMA$ CANONICAS

467

donde '7 : V-+ V/ W es Ia aplicaci6 n natural de V en V/ W, es decir, rt(v} = v + W, e i: U-+ V' es Ia aplicaci6n de inclusio n, es decir, i(u} = u. (Vease Ia Figura 11-4.}

,r~

v;w -

u -i - v·

8

Figura 11-4.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 11.41. a}

11.51. a)

R2 y

{0},

C 2 , {0}, W1 = L((2, I - 2i}}, W2

b)

2 l :

2

2:

- - -- r-- - .., 2

I

l

2

I

1: 21I

- - --r - 1

2 --r -,

I

I

I

l 3

: 3

1 I

3

1

3

I

7 l : 7:

7 1:

7:

--- -r - --, I

I

t.f--:- - --

I

L.- - - -'----

b)

= L((2, I + 2i}}.

- --- ~--·

--7 -.--. 7

JI

7

I

I

I

L.I ___7 ,lI __

I

1

I

L - l.. -

'7 I c)

2 1

2

1

2

2

2 :

---- - --r -- -- - -. I 2 1 I I 2 J II 21 I

I

2: -- - - - - , -· - - - , 2

I I

1 2

I

~ - ..:-

I I I

-'--1

I

I

,- -- ---~-i

I

2 2

2

I

I

2 1

1:

2

2:

2 1

I

2:

- - - - - -

- -- - - - - r - -- -~

I

2 1

I

- ~- -

2

I

I

I

I

- - ~ - ,

2 1 12:

1,..----t--

,_ -,-12

I I

2I

L- - - - 1

2I

L _ !.. _ -

:2

468

ALGEBRA LINEAL

3

l : 3 :

3 1:

3:

-- --,-- - - ..,

- - --,-- --' 3 1 3

I I I I IL ___ .JI

I

3 1 3

-

-

I

__ _ _ 1

:5 1 I 1 5

-

I I

I

- -I - - - -

I

I

-- -- -1-- - -1

I

- -

5 1 5

I

-

I I

-- - , - -1

-a

....3 -3-· I

I

5 1

I

3

1

I

I I

_ _

I

- 3

0 1

I

-3 0

-3

0

0

-3

1

0

-1

0

- 2 0 1

- 1 -2

0

- 1 - 1

0 -1

0

0 -1 0 -3

0

1

1

0 -1 0 - 3

0

- 3

0

-3

1 0

0 0

0

1

0

0

0 - 1 0 - 3

0 - 1

- 1

- 2

- 3

- 1

- 1

-1

2

0

0

0

2

0 -4 1 0

1

0

0 0

0 0

0 - 4

0

0 0 0

0

.1 - 2

-1 -2

0 - 3 1 - 3 0

1

5

~ 5

0

0

I

I

·- - t- -

0

c)

I

1- - - - -.- - ,

:5 1 5

0 1 0

5 1 5

I

1

51 ~ -- - .J __

0

I

- -+-, 3 I L- • - - - - ,

I

I

b)

5

3 1 I

L - ~ - - - -,

0

- I- - I I I

:5

3 1

I

11.60. a)

- -

~ - ~-

3 1:

3: - - - I-

,

5 1 I .I : 5 I I

I I

-2

1

0

0

0 0

- 9 - 6

- 9 -6 0

- 9 - 6

FORMAS CANON ICAS

0

0

0

2

1 0 0

0

0 0

0

-4 0

0

0 1

-9 -6

-3 -3

_J

11.61.

0

0

0 1

0

0

1

0

X')

4A? -6A? 4..1.

<)

(

_,

fi

)

-./3

.;59

CAPITULO

12

Funcionales lineales y espacio dual

12.1.

INTRODUCCION

En este capitulo estudiaremos las aplicaciones lineales de un espacio vectorial V en su cuerpo de escalares K. (A menos que se establezca o sobrentienda lo contrario, veremos K como un espacio vectorial sobre si rnismo.) Naturalmente, todos los teoremas y resultados para aplicaciones lineales arbitrarias en V rigen en este caso especial. No obstante, trataremos estas aplicaciones por separado debido a su importancia fundamental y a que Ia particular relaci6n entre V y K da Iugar a nuevas nociones y resultados, no aplicables en el caso general.

12.2. FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIO DUAL Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Una aplicaci6n
+ bv) =

a
+ bt/J(v)

En otras palabras, un funcional lineal en V es una aplicaci6n lineal de V en K. EJEMPlO 12.1 a)

Sea n 1 : K"-+ K Ia proyeccion i-esima, es decir, n:1 (a 1 , a 2 , es un funcional lineal en K".

b)

Sean V el espacio vectorial de los polinomios en t sobre R y J : V ..... R el operador de integracion definido por J (p(t)) = fJp(t)dt. Recordemos que J es lineal; por consiguiente, es un funcional lineal en V.

470

••. ,a.)=

a1• Entonces n 1 es lineal y por tanto

471

FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIO DUAL c)

Sean V el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas sobre K y T: V-> K Ia aplicaci6n traza T(A) = a11

+ a 22 + · · · + a.,.

donde A = (aiJ)

Esto es, T asigna a cada matriz A Ia suma de sus elementos diagonales. Esta aplicaci6n es lineal (Problema 12.24), de modo que define un funcional lineal en V.

En virtud del Teorema 9.10, el conjunto de los funcionales lineales en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es asimismo un espacio vectorial sobre K con suma y producto por un escalar definidos segun

(t/J + a)(v) = t/J(v) + a(v)

y

(kt/J)(v) = ktjJ(v)

donde ¢ y a son funcionales lineales en V y k E K. Este espacio se llama el espacio dual de V y se denota por V*. EJEMPLO 12.2. Sea V= K" el espacio vectorial de n-plas que escribimos como vectores columna. El espacio dual V* puede identificarse con el espacio de vectores fila. En concreto, cualquier funcional lineal cf> de V * tiene Ia representaci6n

~x,,

... , xJ -(a,, a,, ... ,

~::)

o simplemente

Hist6ricamente Ia ex presion anterior recibia el nombre de forma lineal.

12.3.

BASE DUAL

Supongamos que V es un espacio vectorial de dimension n sobre K. De acuerdo con el ~eo~ema 9.11, Ia dimension del espacio dual V* es tam bien n (ya que K es dimension 1 sobre s1 m1smo). De hecho, cada base de V determina una de V* como sigue (vease ]a demostracion en el Problema 12.3): Teorema 12.1: Supongamos que {v1 , ... , v"} es una base de V sobre K. Sean ¢ 1 , ·los funcionales lineales definidos mediante

En tal caso, {¢1 ,

... ,

tPn} es una base de V*.

•.• ,

tPnE V*

472

ALGEBRA LINEAL

La base {¢;} precedente se denomina Ia base dual a {v;} o Ia base dual. La formula anterior, que utiliza Ia delta de Kronecker b;j, es una forma abreviada de escribir ¢,(v 1) = 1, ¢ 1(v 2) = 0, ¢ 1(v3) = 0, ... , ¢ 1(v.) = 0 2(v1) = 0, ¢ 2(v 2) = 1, ¢ 2(v 3) = 0, ... , ¢ 2(vJ = 0

.......................................................... Por el Teorema 9.2, estas aplicaciones lineales ¢i son {micas y estitn bien definidas. EJEMPLO 12.3. Consideremos Ia base de R 2 : {v 1 = (2, 1), v2 = (3, I)}. Hallemos Ia base dual {¢ 1 , ¢ 2 }. Buscamos funcionales lineales ¢ 1 (x, y) =ax+ by y ¢ 2 (x, y) =ex+ dy tales que

Asi

¢ 1(v 1) = ¢ 1(2, I)= 2a + b = l} ¢ 1(vl) = ¢ 1(3, l) = 3a + b = 0 2c + d = 0} = ¢l(3, 1) = 3c + d = 1

1/>ivt) = ¢ 2(2, l) = ¢,{v2)

0

a= -1, b = 3

0

c = l, d = -2

Por tanto, Ia base dua l es {¢ 1 (x, y) = -x + 3y, ¢ 2 (x, y) = x - 2y}.

Los pr6ximos teoremas proporcionan relaciones entre las bases y sus duales. Teorema 12.2: vector

Sean {v1 ,

... ,

v.} una base de V y {¢ 1 ,

... ,

¢.} Ia base dual de V*. Para todo (12.1]

y para todo funcionaJ JineaJ

CT E

V*,

u = o(v 1)¢ 1 + u(v2)¢2 + · · · + u(v.J
[12.2]

Teorema 12.3: Sean {v 1 , ... , v.} y {w 1 , ... , w.} bases de V y { 1 , .. . , ¢.} y {a 1 , ... , a.} las bases de V* duales a {v;} y {w;}, respectivamente. Supongamos que Pes Ia matriz de cambio de base de {v;} a {wJ Entonces (P- 1 )r es la matriz de cambio de base de{¢;} a {uJ

12.4.

ESPACIO SEGUNDO DUAL

Repetimos que todo espacio vectorial V tiene un espacio dual V* constituido po r los funcionales lineales en V. Asi pues, V* tiene a su vez un espacio dual V**, llamado el segundo dual de V , que consiste en todos los funcionales lineales en V*. Mostramos ahora que cada VE V determina un elemento especifico iiE V**. En primer Iugar, para todo

= (v)

FUNCIONALES LINEA LES Y ESPACIO DUAL

4 73

Queda pro bar que Ia aplicacion v: V* ...... K es lineal. Para todo par de escalares a, be K y todo par de funcionales lineales cf>, rr e V* tenemos V(acf> + ba)

= (acf> + ba)(v) =:= acf>(v) + ba(v) = aV(cf>) + bV(a)

0 sea, i3 es lineal y por tanto VE V**. Es valido el teorema que ahora enunciamos, demostrado en el Problema 12.7. Teorema 12.4: Si V tiene dimension fmita, Ia aplicacion

v ~--+

ves un isomorfismo de V sobre V**.

La aplicacion v~--+v precedente se conoce como Ia aplicacion natural de V en V**. Hacemos enfasis en que esta aplicacion nunca es suprayectiva si V no es de dimension finita. No obstante, siempre es lineal y, mas aun, siempre es inyectiva. Supongamos ahora que V tiene dimension finita. Segun el Teorema 12.4, Ia aplicaci6n natural determina un isomorfismo entre V y V**. A menos que se especifique lo contrado, identificaremos V con V** mediante esta aplicaci6n. En consecuencia, veremos V como el espacio de funcionales lineales en V* y escribiremos V** = V. Hacemos notar que si {c/>;} es Ia base de V* dual a Ia base {v;} de V, {v;} es Ia base de V = V** que es dual a {cf>J

12.5. ANIQUILADORES Sea Wun subconjunto (no necesariamente un subespacio) de un espacio vectorial V Un funcional lineal cf>e V* se llama un aniquilador de Wsi cf>(w) = 0 para todo we W, es decir, si cf>(W) = {0}. Probemos que el conjunto de todas las aplicaciones tales, denotado por WO y denominado el aniquilador de W, es un subespacio de V*. Claramente, Oe W 0 . Supongamos ahora cf>, rre WO. En ese caso, para todo par de escalares a, be K y todo we W, (acf> + ba)(w) = acf>(w) + bo{w) = aO + bO = 0

De este modo, acf> + ba e WO y W 0 es un subespacio de V*. En caso de ser W un subespacio de V, disponemos de Ia siguiente relaci6n entre W y su aniquilador W 0 . (Vease Ia demostraci6n en el Problema 12.11.) Teorema 12.5: Supongamos que V tiene dimension finita y que W es un subespacio de V. Entonces: i) dim W+ dim W 0 =dim V

y

ii)

J-0> 0 = W

Aqui W 00 = {ve V; cf>(v) = 0 para todo cf>e J-0>} o, equivalentemente, W0° = (W0 ) 0 , donde W se ve como subespacio de V bajo la identificaci6n de V y V**. El concepto de aniquilador nos permite dar otra interpretacion a un sistema homogeneo de ecuaciones lineales 00

+ a 12 x 2 + ·· · + a 1 .x. = 0 a 21x 1 + a22 x 2 + ·· · + a 2 .x. = 0 ························ ··············· a11 x 1

474

ALGEBRA LINEAL

Aqui cada fila (a; 1 , a;2 , ... , a;n) de Ia matriz de coeficientes A = (aii) se ve como un elemento de K", y cada vector soluci6n rjJ = (x 1 , x 2 , .•• , x.) como un elemento del espacio dual. En este contexto, el espacio soluci6n S de (*) es el aniquilador de las filas de A y por tanto del espacio lila de A. En consecuencia, hacienda uso del Teorema 12.5, obtenemos otra vez el resultado fundamental que enseguida escribimos sobre la dimension del espacio soluci6n de un sistema homogeneo de ecuaciones lineales: dim S =dim K" - dim (espacio fila de A)= n- rango A

12.6. TRASPUESTA DE UNA APLICACION LINEAL Sea T: V ~ U una aplicaci6n lineal arbitraria de un espacio vectorial V en otro U. Para todo funcional lineal ¢ E U* , Ia composici6n ¢ o T es una aplicaci6n lineal de V en K:

v

u

T

.;

K

~ Esto es, 4> o T

E

V*. Siendo asi, Ia correspond en cia

es una aplicaci6n de U* en V*; Ia denotaremos por T y la llamaremos la traspuesta de T. Dicho de otro modo, T: U* ~ V* se define segun Tr(¢) = ¢

Asi (T(¢))(v) = ¢(T(v)) para todo

vE

o

T

V.

r

Teorema 12.6:

La aplicaci6n traspuesta

Demostracion.

Para todo par de escalares a, bE K y todo par de funcionales lineales ¢, T'(a¢

0 sea,

r

+ ba) =(a¢ + ba) o

T

anteriormente definida es lineal.

= a{¢

o

T)

+ b(a o

T) =aT'(¢)

CJ E

U* ,

+ bTt(a)

es lineal como se pretendia.

Subrayamos que si T es una aplicaci6n lineal de V en U, en V*: T

es una aplicaci6n lineal de U*

T' v•.__-u•

v----u El nombre «traspuesta» dado a Ia aplicaci6n trado en el Problema 12.16.

r

r

deriva sin duda del siguiente teorema, demos-

, Teorema 12.7: Sea T: V--+ U lineal y sea A Ia representaci6n matricial de T relativa a las bases {v;} de V y {u;} de U. La matriz traspuesta Ar es la representaci6n matricial de T: U*-+ V* respecto a las bases duales a {u;} y {vJ .

475

FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIO DUAL

PROBLEMAS RESUELTOS

ESPACIOS DUALES Y BASES 12.1.

Considerese Ia base de R 3 : {v1 =(I , - 1, 3), v2 = (0, 1, -1), v3 base dual {¢ 1, ¢ 2 , ¢ 3 }.

= (0, 3,

-2)}. Hallar la

Buscamos funcionales lineales

tales que

l/! 1(v 1)

4>t(Vz) = 0 l/!1(v 1) = 1 l/!3 (v2 ) = 0

= 1

I/Jiv1) = 0

I/J3 (v 1) Hallamos

1/! 1

= 0

tPt(vJ) = 0 l/!2(v3 ) = 0 l/! 3(v3) = 1

como sigue:

I/J 1 (v1 ) = 1/! 1(1, -1, 3) = a 1 - a 2 4>t(V1) = 1/! 1 (0, 1, -1) = a1 I/J1 (v3) = 1/! 1(0, 3, - 2) = 3a2 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos a 1 A continuaci6 n hallamos 1/!2 :

1/Jz(vt) = 1/Jz(l, -1, 3) = b1 - b1 b1 3b2 =

7, b2

=

a3 = 0 2a3 = 0

-

= 1, a2 = 0, a 3 = 0. De este modo, 1/! 1 (x, y, z) = x.

l/!2(vl) = 1/! 2(0, 1, - 1) = l/!2(v3) = 1/!2(0, 3, - 2) = Resolviendo el sistema obtenemos b 1 Finalmente h allamos 1/! 3 :

+ 3a3 = 1

- 2, b3

=

+ 3b3 = 0 -

b3 2b 3

= =

l 0

- 3. Por tanto,

l/! 2 (x,

y, z)

= 7x -

2y- 3z.

l/! 3(v 1) = 1/!3(1, -1, 3) = C 1 - c1 + 3c3 = 0 l/!3(v2 ) = 1/!3(0, 1, -1) = c 1 - c3 = 0 l/!3(v3) = 1/!3(0, 3, -2) = 3c2 - 2c3 = 1 Resolviendo el sistema obtenemos c 1 = - 2, c 2 = l, c 3 = 1. Asi

12.2.

l/! 3 (x,

y, z ) = -2x

+ Y + z.

Sea Vel espacio vectorial de los polinomios sobre R de grado ~ 1, es decir,

V= {a+ bt:a, bER} D efinanse 4> 1 : V--. R y ¢ 2 : V

~

R segun y

(Hacemos notar que 4> 1 y ¢ 2 son lineales, por lo que pertenecen a! espacio dual V*.) Encontra r Ia base {v 1 , v2 } de V que es dual a {¢ 1 , ¢ 2 } .

476

ALGEBRA LINEAL

Sean v1 = a + bt y v2 = c + dt. Poe definicion de Ia base dual, y

Asi t(vl) = ¢z(v 1)

=

1(v 2) =

cfJz(v:J =

r:(a +

l

a+ !b =

(a+ bt) dt = 2a + 2b

f(c

r(c

1} 0

a= 2, b = -2

0

c = -1/2, d = 1

=0

+ dt) dt = c + !d = + dt) dt = 2c + 2d =

0} 1

t + t} es la base de V que es dual a {¢ 1 ,

En ot ras palabras, {2- 2t, -

12.3.

bt) dt =

¢ 2 }.

Demostrar el Teorema 12.1. Empezamos probando que {¢ 1 , supongamos

Tomemos CJ = k 1 ¢ 1 +

... + k.cfJ•.

... ,

¢.} genera V*. Sea cfJ un elemento arbitrario de V* y

Entonces

· · · + k. cfJ,:Xv 1) = k 1¢ 1{v1) + k 2 cfJ2(v1) + · · · + k. cfJ.(v 1) = k,. 1 + kl. 0 + ... + k •• 0 = kl

a{v 1) = {k 1¢ 1 + =

De forma similar, para i = 2, ... , n,

De este modo, cfJ(v;) = CJ(vi) para i = I, ... , n. Dado que 4> y CJ coinciden sobre los vectores de Ia base, cfJ = u = k 1 ¢ 1 + ... + k.¢•. De acuerdo con ello, {¢ 1 , ... , ¢.} genera V*. Falla probar que {¢ 1 , ... , ¢.} es linealmente independiente. Supongamos

Aplicando ambos miembros a u1 ,

= a 1 • 1 + a2

•

0 +···+a,.· 0

=a1

Similarmente, para i = 2, ... , n,

Esto es, a 1 = 0, ... , a.= 0. Por tanto, {¢ 1 , una base de V*.

... ,

¢.} es linealmente independiente, de modo que es

FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIO DUAL

12.4.

477

Demostrar el Teorema 12.2. Supongamos

f1] En tal caso,

De forma similar, para i = 2, .. . , n,

Esto es, (J>t(u) = a 1, ¢ 2 (u) = a 2 , •.• , ¢.(u) = a•. Sustituyendo estos resultados en [I] llegamos a (1 2. 1]. A continuaci6n demostrarnos [1 2.2]. Aplicando el funcional lineal a a ambos miembros de [12.1], a(u)

= rfl 1(u)a(v 1) + r/1 2 (u)a(v 2) + · · · + rfl.(u)a(v,.) = + a(v2)r/1 2(u) + · ·· + a(v,.)rfl.(u) = = (a(v1 )r/1 1 + a(v2 )r/1 2 + · · · + a(v.>rP.Xu)

= a(v 1)r/1 1(u)

Puesto que lo anterior se cumple para todo u eV, a = a(v 1 )¢ 1 pretendia.

12.5.

+ u(v2 )r/> 2 + ··· + a(v.)rf>, como se

Demostrar el Teorema 12.3. Supongamos w 1 = a 11 v1 w2 = a 21 v 1

+ a 12 v2 + ··· + a~ov. + a22 v2 + ·· · + a 2 .v.

w. = ao1v 1

+ a.2 v2 + · · · + a .. v.

+ bur/12 + ··· + b~orfl.

ul

= burflt

u2

= b21rPt + bur/12 + ·· · + b2.rP.

donde P = (ail) y Q = (bu}- Intentamos demostrar que Q = (P - 1 )r. Denotemos por R 1 Ia fila i-esima de Q y por C1 Ia columna j-esirna de pr_ Entonces y

Por definicion de Ia base dual,

aJ..w1) = (b11 r/1 1 + b12 r/1 2

= b11 a11

+ · · · + b,. rfl.Xa11 v1 + a12 v2 + ·· · + a1• v,.) = + b12 a12 + · · · + b1.a1• = R 1C1 = h11

donde bil es Ia delta de Kronecker. Asi pues,

478 12.6.

ALGEBRA LINEAL

Sup6ngase que V tiene dimension lin ita. Mostrar que si v E V, v # 0, existe

K tal que 4J(v) = I y 4J(v;) = 0, i = 2, ... , n. Por consiguiente, 4J tiene Ia propiedad deseada.

12.7.

Demostrar el Teorema 12.4. Demostramos prirnero que Ia aplicacion v 1---> iJ es lineal, esto es, que para todo par de vectores v, we V y todo par de escalares a, beK, av + bw. Para todo funcionallineal 4Je V*,

av+bw=

~t/1) = ¢(av + bw) = a,P(v) + b¢(w) = aV(,P) + bW(¢) = (av + bw'l,¢)

-----

------

Como av + bw(4J) = (av + bw)(4J) para todo 4Je V*, tenemos av + bw = av + bV:'. De esta manera, Ia aplicaci6n v 1-> v es lineal. Supongamos ahora ve V, v #- 0. Entonces, por el Problema 12.6, existe 4Je V* para el cual ¢(v) #- 0. De aqui 6(¢) = ,P(v) #- 0, luego v #- 0. Como v #- 0 implica v #- 0, Ia aplicaci6n v~---+6 es no singular, luego es un isomorlismo (Teorema 9.9). Ahora dim V =dim V* =dim V** porque V tiene dimension finita. En consecuencia, Ia aplicaci6n v ~---> v es un isomorfismo de V sobre V**.

ANIQUlLADORES

12.8.

Pro bar que si ¢ E V* aniquila un subconjunto S de V,

,P(v) = a 1 ¢(w 1 )

... ,

w,eS para los cuales v=a 1 w1 + a2 w 2 + ... +a,w,.

+ a 2 ¢(w2) + · · · + a,¢(w,) =

a 1 0 + a2 0

+ · · · + a,O =

0

Siendo v un elemento arbitrario de lin (S), ¢ aniquila lin (S), como se pretendia demostrar.

12.9.

Sea W el subespacio de R4 generado por v 1 = (1, 2, -3, 4) y v 2 = (0, 1, 4, -1). Encontrar una base del aniquilador de W De acuerdo con el Problema 12.8, es suficiente hallar una base del conjunto de funcionales lineales de Ia forma ¢(x, y, z, w) =ax+ by+ cz + dw para los que ¢(vJ = 0 y ,P(v1 ) = 0:

¢(1, 2, -3, 4) =a ¢(0, I, 4, -1) =

+ 2b - 3c + 4d = 0 b + 4c - d = 0

El sistema de ecuaciones con incognitas a, b, c, d esta en forma escalonada con variables libres c yd. Tomamos c = I, d = 0 para obtener Ia soluci6n a= II, b = -4, c = 1, d = 0 y por tanto el funcionallineal ¢ 1(x, y, z, w) = llx -:- 4y + z. Tomamos c = 0, d = -1 para obtener Ia soluci6n a= 6, b = -I, c = 0, d = -I y por ende el funcional lineal ¢ 2 (x, y, z, w) = 6x- y - w. El conjunto de funcionales lineales {¢ 1 , ,P 2 } es una base de W 0 , el aniquilador de W

12.10.

Probar que: a) para todo subconjunto S de V, S s;: S 00 ; b) si S 1 s;: S2 , entonces S~ s;: S?.

FUN CIONALES LINEALES Y ESPACIO D UAL

12.11.

479

a)

Sea veS. Pa ra todo funcio nal lineal ¢eS0 , v(¢) = ¢(v) = 0. De aqui ve(S0 ) 0 . Por tanto, bajo Ia identificacion de V y vu , veS00 . En consecuencia, S £; S00 .

b)

Sea ¢e S~. Ento nces ¢(v) = 0 para todo veS 2 . Pero S1 de S 1 , o sea, ¢eS 1 • P or consiguiente, S~ £; S?.

£;

S2 , luego ¢ aniquila todo elemento

Demostra r el Teorema 12.5. i)

Supongamos dim V = n y dim W = r :::;; n. Queremos pro bar que dim W 0 = n - r. Escogemos una base {w 1, ... , w,} deWy Ia extendemos a Ia siguiente base de V: {w 1 , ... , w,, v1 , ... , v._,}. Consideremos Ia base dual

Por defi nicion de Ia base dual, cada una de las a precedentes aniquila cada w;, luego 0 ... , a. _,e WO. Afirmamos q ue {a1} es una base de W . AI ser {a 1} parte de una base de V*, es linealmente independiente Pro bamos a conti nuacio n que {a1} genera WO. Sea ae W 0 • Segun el Teorema 12.2,

a 1,

+ ... + a(w,)¢ , + a(v.)al + ... + a(v.- ,)a._, = · · · + Ocf>, + a(v1)o 1 + · · · + a(v,. _,)a,._, ~ .. · . a(vl)a • + ... + a(v. - ,)a. _,

a= a(w•)
=

En consecuencia, {a 1 , ello, como sc pedia,

{}4J 1 +

... ,

f>4"

a. _,} genera WO y por tanto es una base de W0 • D e acuerdo con dim W 0

ii)

12.12.

=n-

r

= dim V -

dim W .

Supongamos dim V = n y dim W = r . En tal caso, dim v• = 11 y por i) dim WO = 11 - r. Asi, po r i), dim W 00 = 11 - (n - r ) = r; por consiguiente. dim W = dim W 00• Segun el Problema 12.10, W £; W00 . En consecuencia, W= W 0 0 .

Sean U y W subespacios de V. Demostrar: (U

+ W)0

= U0

n W0 .

Sea ¢ e (U + W) 0 . Entonces ¢ a niquila U + W: po r lo que, en particular, aniquila U y W. Esto es, cpe U 0 y cp e WO , luego cfJe U 0 n WO. Siendo asi, (U + W)0 £; U 0 f"'' WO. Po r otra parte, supongamos a e U 0 f"'' WO. En ese caso, a an iquila U y tam bien W. Si ve U + W: v = u + w con ue U y we W. Po r tanto, a(v) = a(u) + a(w) = 0 + 0 = 0. De este modo, a aniquila U + W, es decir, a e(U + W) 0 . En consecuencia, U 0 + W0 £; (U + W)0 . Ambas relaciones de inclusion nos conducen a Ia igualdad deseada. Nota: Observese que no se ha empleado ningun argumento de dimension en Ia demostracion, luego el resultado es valido para espacios de dimension fi nita o infinita.

TRASPUESTA DE UNA APLICAOON LINEAL 12.13.

Sea 4> el fu ncional lineal en R 2 definido por c/J(x, y ) = x- 2y. Para cada uno de los siguientes operad ores lineales Ten R \ haUar (T' (c/>))(x, y):

a)

T(x, y) = (x, 0),

b)

T(x, y) = (y, x

+ y),

Por definicio n de Ia aplicacio n traspuesta, T'(cfJ) todo vector v. De donde: a)

(T'(¢))(x, y) = cfJ(T(x, y)) = ¢ (x, 0) = x .

=

c)

T(x, y) = (2x - 3y, 5x + 2y).

cfJ·T, esto es, (T '(cfJ))(v) = cfJ(T(v)) para

480

ALGEBRA LINEAL

b) (T'(¢)Xx, y) = q,(T(x, y)) = ,P(y, x + y) = y - 2(x + y) = - 2x - y. c) (T'(¢)Xx, y) = q,(T(x, y)) = q,(2x- 3y, 5x + 2y) = (2x- 3y)- 2(5x + 2y) = - 8x- 1y.

12.14.

Sea T : V-+ U lineal ysea r: U* -+ V* su traspuesta. Mostrar que el nucleo de aniquilador de Ia imagen de T , o sea, Ker r = (lm T)0 . Supongamos tj>eKer T'; esto es, T'(¢) = ¢•T = 0. Si uEim T, necesariamente algun ve V, luego q,(u)

tl

r

es el

= T(v) para

= tj>(T(v)) = (4> o TXv) = O(v) = 0

Tenemos que ¢(u) = 0 para todo uEim T, luego ¢E(Im T)0 • Asi pues, Ker T' s; (lm T)0 Por otra parte, supongamos uE(Im T)0 ; es decir, a (Im T) = {0}. Entonces, para todo vE V, {T'(a)Xv) =(a

TXv) = a(T(v)) = 0 = O(v)

o

Tenemos que (T'(a))(v) = O(v) para todo vE V, de modo que T'(a) = 0. Por tanto, cr e Ker T', de modo que (lm T)0 s; Ker T'. Ambas relaciones de inclusion nos proporcionan Ia igualdad requerida.

12.15.

Sup6ngase que V y U tienen dimension fin ita y que T : V-+ U es lineal. Demostrar: rango T = rango T 1 • Supongamos dim V = n y dim U = m. Supongamos, asimismo, que rango T = r. Segun el Teorema 12.5, dim (Im T) 0 = dim U - dim (lm T) Por el Problema 12.14, Ker T' entonces que, como se pretendia,

=

0

(Im T)

.

=

m - rango T = m - r

Por consiguiente, nulidad T' = m - r. Se deduce

rango T' =dim U*- nulidad T' = m- (m - r)

12.16.

=

r = rango T

Demostrar el Teorema 12.7. Supongamos T(v 1) = a 11 u 1 + a 12 u 2 + · · · + a 1 ~u• T(v1 ) = a 21 u1 + a22 u 2 + ·· · + a 1 ~u"

[l 1

Queremos demostrar que T'(a tl =au ¢, + all tl>z + . .. +a..,, 4>,.

T'(al) =all t/>1 + azz ¢z + · · · + a.,z ¢,.. T'(a .) = a 1 • ¢ 1 + ala 1/11 + · · · + a...,.¢,.

donde {a;} y {¢)son las bases duales a {u;} y {v1} , respectivamente. Sea VE V y supongamos v = k 1 v1 + k 2 v2 + ... + km vm. En tal caso, por [1), T(v) = k 1 T(v 1) + k2 T{v 2) + · · · + k.., T(v,.) =

= k 1(a 11 u1 + ... + a~ou.) + kia 21 u 1 + .. · + a 2.u.) + · · · + k.,(a,. 1 u 1 + · · · + a_u.) = k2 a 21 + · .. + k,.a,.t)u 1 + · .. + (k 1 a~o + k 2 a2 • + · · · + k,.a,..)u. =

= (k 1a 11 + =

L" (k ali + k 1

1• 1

2

a 21 + · · · + k,.a.,Ju;

[2)

l FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIO DUAL

Por tanto, para j

=

481

1, ... , n, (T'(a/l,v)) =aJ T(v)) = u {

f (k a

\,~ 1

= k 1 a 1J+ k 2 a 21 +

1

11

+ k 2 a 21 + · · · + k,..a.,Ju1)

=

··· + k,.a,.1

[3]

Por otra parte, para j = 1, ... , n,

(a11 ¢ 1

+ a 21 rp 2 + .. · + a,1 ¢,.Xv) = (a1lr/J 1 + a 1Jr/J 2 + ... + a,.,Jrp,.Xk 1v 1 + k 2 v2 + ... + k.,v..) = = k 1 a 11 + k2 a21 + · · · + k,.. a,.,1 [4]

Como v E V era arbitrario, [3] y [4] implican que

T'(a1) = a 11 rp 1 + a21 r/J 2 + · · · + a,1 ¢,..

1=

1, ... ,

n

que es [2]. Queda, pues, demostrado e1 teorema.

12.17.

Sea A una matriz m x n sobre un cuerpo K arbitraria. Demostrar que el rango por filas y el rango por columnas de A son iguales. Sea T: K"-+ Km Ia aplicacio n lineal delinida por T(v) = Av, donde los elementos de K" y Km se escriben como vectores columna. Entonces A es Ia representacio n matricial de T relativa a las bases us uales de K" y Km y Ia imagen de Tel espacio columna de A. Por consiguiente, rango T = rango por columnas de A En virtud del Teorema 12.7, AT es Ia representaci6n matricial de T respecto a las bases duales, luego rango T'

=

rango por columnas de AT = rango por filas de A

Pero por el Problema 12.15, rango T = rango T', por lo que el rango por filas y el rango por columnas de A son iguales. (Este resultado se estableci6 anteriormente como Teorema 5. 18 y se demostr6 de forma directa en el Problema 5.53.)

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

ESPACIOS DUALES Y BASES DlJALES 2x - 3y + z y

12.18.

Sean rp: R 3 -> R y a: R 3 -+ R los funcionales lineales delinidos por rp(x, y, z) a(x, y, z) = 4x - 2y + 3z. Ha llar: a) rp +a, b) 3rp, c) 2¢ - Sa.

12.19.

Sea Vel espacio vectorial de los polinomios sobre R de grado ~2. Sean ¢ 1 , ¢ 2 y rp 3 los funcionales lineales en V definidos por

r/Jt
=

¢if(t)) = f'(l)

Aqui f(t) =a+ bt + ct 2 E V y f' (t) denota la derivada de f(t). Hallar Ia base {/1 (t), f 2 (t), / 3 (t)} de V q ue es dual a {¢ 1 , r/J2, ¢ 3 } .

482

ALGEBRA LINEAL

12.20.

Sup6ngase que u, VE Vy que c/J(u) = 0 implica c/J(v) = 0 para todos los para algun escalar k.

12.21.

Sup6ngase que¢, UE v• y que c/J(v) = 0 implica a(v) para algun escalar k.

12.22.

Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre . K. Para a E K, definase ¢.: V-+ K segun ¢. (f(t)) = f(a). Pro bar que: a) cPa es lineal; b) si a i:. b, necesariamente ¢. i:. cPb·

12.23.

Sea Vel espacio vectorial de los polinornios de grado ~ 2. Sean a, b, c E K escalares distintos y ¢ •• cPb• cPc los funcionales lineales definidos por cfJ.(f(t)) = f(a), c/Jb(f(t)) = f(b), cPc
= 0 para

cPE

todos los

v•. M ostrar que v = ku

VE

v. Mostrar que = k¢ (J

su dual. 12.24.

Sea V el espacio vectorial de las rna trices cuadradas de arden n. Sea T: V -> K Ia aplicaci6n traza: esto es, T(A) = a 11 + a22 + ... +a•• , donde A= (alJ). Probar que T es lineal.

12.25.

Sea W un subespacio de V. Pa ra todo funcional lineal c/J en W, mostrar q ue existe uno a en V tal que a(w) = c/J(w) para todo wE W, es decir, cfJ es Ia restricci6n de a a W

12.26.

Sea {e 1 , ... , e.} Ia base usual de K". Probar que Ia base du al es {n: 1 , proyecci6n i-esima: esto es, ni(a 1 , ... , a.)= a,.

12.27.

Sea V un espacio vectorial sobre R. Sean ¢ 1 , ¢ 2 E V* y supongase que a: V-+ R definida por a(v) = c/J 1(v)c/J 2 (v) tambien pertenece a v•. M ostrar que ¢ 1 = 0 o c/J 2 = 0.

... ,

n.}. donde n:i es Ia

ANIQUTLADORES 12.28.

Sea Wei subespacio de R4 generado por (1, 2, -3, 4), (1, 3, - 2, 6) y (1 , 4, -I, 8). Hallar una base del aniquilador de W

12.29.

Sea Wei subespacio de R 3 generado por (1 , l, 0) y (0, l, 1). Hallar una base del aniquilador de W

12.30.

M ostrar que, para todo subconjunto S de V, Lin (S) = S00 , siendo lin (S) Ia envolvente lineal deS.

12.31.

Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V de dimension fin ita. Dem~strar: (U f'l W) 0 = U 0

12.32.

Sup6ngase

v = U E33 W

Demostrar que

+ W0

v• = U 0 E33 WO.

TRASPUESTA DE UNA APLTCACION LINEAL 12.33.

Sea ¢ el funcional lineal en R 2 definido por c/J(x, y) = 3x- 2y. Para cada una de las siguientes 3 a~licaciones line~les T; R -+ [email protected]~\ T'\~))(K 1 y, r.).

R.\

a)

T(x, y, z) = (x

+ y, y + z);

b) T(x, y, z) = (x + y

+ z, 2x- y).

V y T 2 : V-> W son lineales. Demostrar que (T 2 • T S = T{ • T~.

12.34.

Supongase que T1 : U

12.35.

Supongase que T: V-> U es lineal y que V tiene dimension finita. Demostrar que lm T' = (Ker T)

->

0 .

FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIO DUAL

v-+ u es lineal y u E U.

Demostrar queUE Im T

483

existe ¢ E v• tal que T'(¢)

12.36.

Supongase que T: y ¢(u) = 1.

12.37.

Sea V de dimension tinita. Probar que Ia aplicacion T~-+ T' es un isomorfismo de Hom (V, V) sobre Hom (P, V*). (Aqui T es cualquier operador lineal en V.)

0

=

0

PROBLEMAS VARIOS 12.38.

Sean V un espacio vectorial sobre R y ¢

w+

= {vE V: ¢(v)

Demostrar que 12.39.

> 0}

w+ , Wy w-

E

v•.

Se delinen:

w- =

W= {veV:ljl(v) = O}

{vE V: ljl(v) < 0}

son convexos (veanse los Problemas 9.90 y 9.91 ).

Sea V un espacio vectorial de dimension linita. Un hiperplano H de V puede delinirse como el nucleo de un funcional lineal no nulo ¢ en V. [Con esta definicion, un hiperplano «pasa por el origem> necesariamente, esto es, contiene el vector cero.] Mostrar que todo subespacio de V es Ia intersecci6n de un numero finito de hiperplanos.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

12.18. a) 6x- 5y + 4z, 12.22. 12.23.

b) 6x - 9y + 3z,

c)

-16x + 4y -13z.

b)· Sea f(t) = t . Entonces lPaU{t)) =a ¥- b = ¢b(f(t)) y por tanto lPa i= ¢b·

{! _ l(t)-

t

2

(b + c)t + be ' (a- bXa -c) -

f 2(t) -_ t 2

-

(a

+ c)t + ac • f 3(t) -_ _t 2 -_..;._......;.. (a + b)t + ab} __

(b - aXb- c)

12.28.

{1/1 1(x, y, z, t) = 5x- y + z, ¢ 2(x, y, z, t) = 2y- t}.

12.29.

{¢(x, y, z) = x- y

(c- aXe- b)

+ z}.

12.33. a) (T'(¢)Xx, y, z) = 3x + y - 2z,

b)

(T'(I/I)Xx, y, z) = -x + 5y

+ 3z.

CAPITULO

13

Formas bilineales, cuadraticas y hermiticas

13.1. INTRODUCCION En el presente capitulo se generalizan las nociones de aplicaciones lineales y funcionales lineales. Especificamente, introduciremos el concepto de forma bilineal. (En realidad, las aplicaciones multilineales generales ya aparecian en Ia Secci6n 7.13.) Estas aplicaciones bilineales dan Iugar a su vez a las formas cuadn!ticas y hermiticas. Aunque las formas cuadraticas surgieron previamente en el contexto de las matrices, este capitulo se trata con independencia de los resultados precedentes. (Asi que puede haber cierto solapamiento en Ia discusi6n y en algunos ejemplos y problemas.)

13.2. FORMAS BILINEALES Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre un cuerpo K. Una forma bilineal en V es una aplicaci6n f: V x V ~ K que satisface:

+ bu2 , v) = af(u 1 , v) + bf(u2 , v) av1 + bv2 ) = af(u, v 1 ) + bf(u, v 2 )

i) f(au 1 ii) f(u,

para todos los a, be K y todos los ui> vie V. Expresamos Ia condici6n i) diciendo que f es lineal en Ia primera variable y Ia ii) diciendo que f es lineal en Ia segundo variable. EJEMPLO 13.1 a)

Sean ¢ y u funcionales lineales arbitrarios en V. Definamos f: V x V--> K por f( u, v) = cj.>(u)u(v). En tal caso, f es bilineal porque ¢ y a son lineales. (Tal forma bilineal f resulta ser el «producto tensorial» de ¢ y u y por eso se escribe a veces f = ¢ ® u.)

484

FORMAS BILINEALES. CUADRATI CAS Y HtRMITICAS

b) Sea

f

485

el producto escalar en R"; esto es,

+ a2 b2 + · .. + a. b.

f(u, v) = u · v =a 1 b 1

don de u = (aJ y v = (b;). En tal caso, f es una forma bilineal en R". c) Sea A = (a ii) cualquier matriz n x n sobre K . La matriz A puede ser identificada con una forma bilineal f en K" , donde

f(X , Y)=X T AY=(x 1,x 1 ,

:::)(~:)

' : : : : : : • •. . • . ,x ..........................

a.t

•

L

a;JXtYi = au XtYt

a.l

...

a.

=

Y•

+ allXtYl + · · · + a•• x.y.

l.j= l

La expresion formal anterior en las variables x 1, y 1 se denomina el po/inomio bi/ineal correspondiente a Ia matriz A. La ecuaci6n [13.1] escrita mas adelante muestra que, en cierto sentido, toda forma bilineal es de este tipo.

Denotaremos por B(V) el conjunto de las formas bilineales en V. Se dota a B(V) de una estructura de espacio vectorial definiendo f + g y kf como sigue: (f + g)(u, v) = f(u., v) + g(u., v) (kf)(u, v)

= kf(u,

v)

para todos los f, g E B( V) y k E K. De hecho, Teorema 13.1: Sea V un espacio vectorial de dimension n sabre K. Sea { 1 , .• • , n} una base del ·espacio dual V*. Entonces {/;( i, j = 1, . .. , n} es una base de B(V), donde k se define segun J;1(u, v) = i(u)j(v). De este modo, en particular, dim B (V) = n2 • (Vease la demostracion en el Problema 13.4.)

13.3. FORMAS BILINEALES Y MATRICES Sean f una forma bilineal en Vy S

=

{u. 1 , u 2 ,

... ,

u.} una base de V Supongamos

y

En tal caso,

+ ... + a,.u,., b1 u 1 + ··· + b,.u,.) = a1h1 f(u.t, ul) + alb2f(u1 , u2 ) + · · · + a,.b.f(u., u.) = •

f(u, v) =f(a1 u 1 = =

L

i,jcJ

a1 bJi(u~o u.j)

Asi pues, f esta completamente determinada por los n 2 valores f (u1, u1).

u, v e Vy

486

ALGEBRA LINEAL

La matriz A = (a;i), donde aii = f(u;, u) se llama la representacion matricial de f relativa a Ia base S o, simplemente, Ia matriz de fen S. La matriz «representa» a fen el sentido de que

[13.1]

para todos los u, vE V. [Como de costumbre, [u]s denota el vector (columna) coordenado de VenIa baseS.] A continuacion nos preguntamos como se transforma una matriz que representa a una forma bilineal cuando se selecciona una nueva base. La respuesta se da en el siguiente teorema, demostrade en el Problema 13.6. (Recuerdese que el Teorema 10.4 decia que Ia matriz de cambio de base P desde una base S basta otra S' tiene Ia propiedad de que [u]s = P[u]s· para todo u E V.)

uE

Teorema 13.2: Sea P la matriz de cambia de base desde una base S basta otra S'. Si A es Ia matriz de fen Ia base original S, B = pr AP

es Ia matriz de fen Ia nueva base S' . El teorema anterior motiva Ia definicion que ahora escribimos.

Definicion: Se dice que una matriz B es congruente a una matriz A si existe una matriz invertible (o no singular) P tal que B = pr AP. En virtud del Teorema 13.2, las matrices que representan Ia misma forma bilineal son, pues, congruentes. Hacemos notar que las matrices congruentes tienen el mismo rango porque P y pr son no singulares, luego tiene sentido Ia siguiente definicion.

Definicion: El rango de una forma bilineal fen V, escrito rango f, se define como el rango de cualquiera de sus representaciones matriciales. Decimos que f es degenerada o no degenerada segun sea rango f < dim V o rango f = dim V.

13.4. FORMAS BILINEALES ALTERNADAS Se dice que una forma bilineal en V es alternada si i) f( v, v) = 0

para todo v E V. Si f es alternada, 0 =f(u + v, u + v) =f(u, u) + f(u, v) + fv, u) + f(v, v)

y asi

ii) f(u, v) = -f(v, u)

FORMAS BILINEALES, CUAD RATICAS Y HERMITICAS

487

para todos los u, v E V. Una forma bilineal que satisface Ia condici6n ii) se dice antisimetrica (o hemisimetrica). Si 1 + 1 =I= 0 en K , Ia condici6n ii) implica f(v, v) = - f(v, v), lo que a su vez implica Ia condici6n i). En otras palabras, las expresiones alternada y antisimetrica son equivalentes cuando 1 + 1 =I= 0. El principal teorema de estructura de formas bilineales alternadas, demostrado en el Problema 13.19, es el que se enuncia a continuaci6n. Teorema 13.3: Sea f una forma bilineal alternada en V. Existe una base de V en Ia que representa por una matriz de Ia forma 0 -1

f se

1:

0: ---, -- ---,--'

0

1 '

''-1 0'' I_-- - - - _I

:--o--1-: ': -1 0 :'

- - - - - - - :- -0- -:

--- -·--- .,

'\... -0- - I'

Mas aun, el numero de las ( _ igual a

t

~ ~) esta univocamente determinado por f

(debido a que es

rango f).

En particular, el teorema precedente muestra que una forma bilineal alternada debe tener rango par.

13.5.

FORMAS BILINEALES SIMETRICAS. FORMAS CUADRATICAS

Se dice que una forma bilineal fen V es simetrica si f(u., v) = f(v, u)

para todos los u, v E V. Si A es una· representaci6n matricial de f, podemos escribir

(Usamos el hecho de que xrAY es un escalar y por tanto es igual a su traspuesta.) Asi pues, si f es simetrica, yrATX = f(X, Y) = f(Y, X)= yr AX

488

ALGEBRA LINEAL

y como esto es cierto para todos los vectores X, Y, se desprende que A= Ar, o sea, que A es simetrica. Reciprocamente, si A es simetrica, f es simetrica. EI principal resultado referente a formas bilineales simetricas, demostrado en el Problema 13.11, se enuncia en el

Teorema 13.4: Sea f una forma bilineal simetrica en V sobre K (en el cual 1 + 1 #- 0). Entonces V tiene una base {v 1, •.. , v"} en la que f se representa por una matriz diagonal, es decir, f(v,, v) = 0 para i #- j. Teorema 13.4 (forma alternativa): · Sea A una matriz simetrica sobre K (en el cual 1 + 1 -=1= 0). Entonces existe una matriz invertible (o no singular) P tal que pr APes diagonal. Esto es, A es congruente a una matriz diagonal. Dado que una matriz invertible Pes producto de matrices elementales (Teorema 4.10), una manera de obtener Ia forma diagonal pr AP es mediante una sucesi6n de operaciones elementales entre filas y !a misma sucesion de operaciones elementales entre columnas. Estas ultimas proporcionan'm Pr. Definicion: Una aplicacion q: V-+ K se denomina una forma cuadratica si q(v) = f(v, v) para alguna forma bilineal simetrica f en V. Ahora bien, si f se representa por una matriz simetrica A

=

La

11

= (ail), q

x 1 x 1 = a 11 xf + a 22 xi + ·· · + a~nx; + 2

i,j

L I<]

se representa como

a,1 x 1 x 1

La expresion formal precedente en las variables x, se denomina el polinomio cuadratico correspondiente a Ia matriz simetrica A. Observemos que si Ia matriz A es diagonal, q tendril Ia representaci6n diagonal q(X)

= xr AX = a 11 xi + a 22 x~ + ... + a""x;

o sea, el polinomio cuadratico que representa a q no contendra terminos con «productos cruzados». Mas aun, segun el Teorema 13.4, toda forma cuadratica tiene una representacion de esa forma (cuando l + I #- 0). Si I + I #- 0 en K , !a anterior definicion puede invertirse, dando f(u , v) = t(q(u + v) - q(u)- q(v)], que se conoce como forma polar de f .

13.6. FORMAS BILINEALES SIMETRJCAS REALES. LEY DE JNERCJA En esta seccion trataremos formas bilineales simetricas y formas cuadniticas en espacios vectoriales sobre el cuerpo real R. Estas formas aparecen en muchas ramas de las matematicas

FORMAS BILINEALES, CUADRATICAS Y HERMITICAS

489

y Ia fisica. La naturaleza especial de R permite una teoria independiente. El resultado principal, demostrado en el Problema 13 .13, es el que sigue.

Teorema 13.5: Sea f una forma bilineal simetrica en V sabre R. Existe una base de VenIa que se representa par una matriz diagonal; cualquier otra representacion diagonal tiene el mismo numero p de entradas positivas y el mismo numero n de entradas negativas. La diferencia s = p - n se llama Ia signatura de f.

f

Una forma bilineal simetrica se dice semidefinida no negativa si q(v) = f(v, v)

~

0

para todo vector v; se dice definida positiva si q(v)

= f(v,

v) > 0

para todo vector v # 0. Por el Teorema 13.5,

f es semidefinida no negativa si y solo si s = rango ii) f es defmida positiva si y solo si s = dim v,

U"),

i)

siendo s Ia signatura de f. EJ EM PLO 13.2.

Sea f el producto escalar en R"; esto es,

f(u, v) = u • v = a 1 b 1

+ a1 b1 + · · · + a. b.

donde u = ·(aJ y v = (b;). N6tese que f es simetrica puesto que f(u, v) = u · v

= v · u = f(v, u)

Ademas, f es definida positiva ya que

f(u, u) = ai + ai

+ · · · + a; > 0

cuando u #- 0.

En el Capitulo 14 veremos como se transforma una forma cuadnl.tica cuando Ia matriz de transicion Pes o rtogonal. Si Pes tan solo no singular, q puede representarse en forma diagonal con unicamente I y - 1 como coeficientes no nulos. Concretamente, Corolario 13.6: Cualquier fo rma cuadnitica real tiene una unica representacion de Ia forma

q(x

1 , ... ,

x.)

= xi + ··· + x; -

x; +

1 -

• •• -

x;

donde r = p + n es el rango de Ia forma. A veces se llama ley de inercia o teorema de Sylvester al resultado anterior para formas cuadraticas reales.

490

ALGEBRA LINEAL

13.7.

FORMAS HERMITICAS

Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre el cuerpo complejo C. Sea tal que i) f(au 1 + bu2 , v) = af(u 1 , v) ii) f(u, v) = f(v. u)

+ bf(u 2 ,

f: V x

V--+ C

v)

donde a, b E C y ui, v E V. Entonces f se denomina una forma hermitica en V. (Como de costumbre, k denota el complejo conjugado de kE C.) Por i) y ii), f(u, av 1

+ bv 2 ) = f(av 1 + bv2 , u) = af(v 1 , u) + bf(v 2 , u) = = iif(v 1, u) + bf(v2 , u) = aj(u, v1) + bf(u, v2 )

Esto es, iii) f(u, avl

+ bvz) = af(u, V1) + bf(u, Vz)

Como antes, expresamos la condicioP i) diciendo que f es lineal en Ia primera variable. Por otra parte, expresamos la condicion iii) diciendo que f es antilineal en la segunda variable. Notese que segun ii) tenemos f(v , v) = f(v , v) y asi f (v, v) es real para todo ve V. Los resultados de las Secciones 13.5 y 13.6 para formas simetricas tienen sus analogos para formas hermiticas. Asi Ia aplicacion q: V--+ R, definida por q(v) = f(v , v), se conoce como Ia forma cuadriuica hermitica o f orma cuadratica compleja asociada a Ia forma hermitica f. Podemos obtener f a partir de q en Ia forma polar: f(u, v) = ![q(u + v) - q(u - v)]

+ ![q(u + iv) -

q(u - iv)]

Supongamos ahara que S = {u1 , ... , u.} es una base de V. La matriz H = (h;) con h;i = f(u ;. u) se denomina Ia representacion matricial de fen Ia base S. Por ii), f (ui, u) = f(ui , u;), Juego H es hermitica y en particular sus entradas diagonales son reales. De este modo, toda representacion diagonal de f contiene solo entradas reales. El proximo teorema, que se demostrani en el Problema 13.33, es el amilogo complejo del Teorema 13.5 referente a formas bilineales reales simetricas. Teorema 13.7: Sea f una forma hermitica en V. Existe una baseS = {u 1 , ... , u.} de VenIa que f se representa por una matriz diagonal , es decir, f(u;, u) = 0 para i '# j. Mas aun, toda representacion diagonal de f tiene el mismo numero p de entradas positivas y el mismo numero n de entradas negativas. La diferencia s = p - n se Uama Ia signatura de f. Amilogamente, una forma hermitica f se dice semidefinida no negativa si q(v)

= f(v, v) 2. 0

para todo v E V, y se dice definida positiva si q(v)

· para todo v =F 0.

= f(v , v) > 0

FORMAS BILIN EALES, CUA DRATICAS Y HERMITICAS

491

EJEMPLO 13.3 . Sea f el producto escalar en C"; esto es, f(u, v) = u . v = z I Wt

donde u = (z;) y v = (w;). Entonces para todo v t= 0,

+ zl wl + ... +z. WA

f es una forma hermitica en C". Ademas, f es delinida positiva porque,

PROBLEMAS RESUELTOS

FORMAS BILINEALES

13.1. Sean u = (x 1 , x 2 , x 3 ) y v = (y 1 , y 2 , YJ), y sea f(u, v) = 3XtYt- 2xtY2 + 5XzYt + 7XzY2 - 8xzY3

+ 4x3Yz- xly'~

Expresar f en notaci6n matricial. Sea A Ia matriz 3 x 3 cuya entrada ij es el coeficiente de X;Yi · En ese caso,

3

f(u, v) = XT AY = (x 1,x1 , x 3 5

{

13.2.

0

o)(Y1) y

- 2 7 4

- 8 - 1

2

YJ

Sea A una matriz n x n sobre K. Mostrar que la aplicaci6n f definida por f(X , Y) =xrAY

es una forma bilineal en K". Para todos los a, be K y todos los X;, Y; E K", f(aX 1

+ bX2 ,

Y)=(aX 1

+ bX2 )TAY =(aXf + bXDAY=

= aXfA Y + bXI A Y = af(X 1 , Y) + bf(X 2 , Y) Por tanto, f es lineal en Ia primera variable. Asimismo,

Por tanto.

13.3.

f es lineal en Ia segunda variable yes pues una forma bilineal en K".

Sea f la forma bilineal en R 2 definida por f((x 1 , X2~ (yl, Y2)) = 2XtYt - 3XtYz a)

Hallar la matriz A de fen Ia base {u 1 = (l , 0), u2

+ Xz Y2

= (1, l)}.

492

ALGEBRA LINEAL

c)

Hallar la matriz B de fen Ia base {v 1 = (2, 1), v2 = (1 , -1)}. Encontrar Ia matriz de cambio de base P desde Ia base {u;} hasta Ia base {v;} y veriGear que B = pr AP.

a)

Tomamos A = (aii), donde aii = f(u;, u):

b)

a 11 = f(u 1 , a 11 =f(u 1 , a11 = f(ul, a22 = f(u 2 ,

AsiA = b)

G -~)

u 1 ) = f((l, 0), (1, 0)) = 2-0 + 0

= u1 ) =/((1, 0), (1, 1)) = 2-3 + 0 = u 1) = /((1, 1), (1, 0)) = 2- 0 + 0 = u2) = /((1, 1), (1, 1)) = 2- 3 + 1 =

2 -1 2

0

es Ia matriz de fen Ia base {u 1 , u 2 }.

T omamos B = (bii), donde bii = f(v;, v1 ): = .8- 6 + 1 = 3

b 11 =f(v 1 , v1) =/((2, 1), (2, 1)) bll =f(v 1 , v 2 ) =/((2, 1), (1 , -1)) bll = f(v 2 , v1) = /((1, - 1), (2, 1))

= 4 + 6- 1 ~ 9 = 4- 3 -

1=0

b 12 =f(v2 , v2 ) =/((1, -1), (1, -1)) = 2 + 3 + 1 = 6

Asi B c)

=

(~

:)

es Ia matriz de f en Ia base {vi> v2 }.

Debemos escribir v1 y v 2 en terminos de los u;: v 1 = (2, 1)

=

(1, 0)

+ (1,

1)

=

u1

v1 = (1, -1) = 2(1, 0)- (1, 1) = 2u 1

Entonces P = ( :

13.4.

1 2 ), por lo que pr = (

- 1

2

+ u2 -

u2

1 ) . De este modo

-1

Demostrar el Teorema 13.1. Sea {u" ... , u"} Ia base de V dual a

{4>J

Mostremos primero que {J;j} genera B(V). Sea I a;if ii· Basta pro bar que

f E B ( V) y supongamos f(u,, u) = ail. Afirmamos que f = f(u,, u,) =

para

s, t

= I , ... ,

n

Tenemos

como se pedia. Por consiguiente, {.1;1} genera B(V). A continuaci6n supongamos ese caso, paras, t = I , ... , n,

I

a;ihJ = 0. En

El ultimo paso se obtiene como antes. Asi pues, {.t;j} es independiente y por ende es una base . deB( V).

FORMAS BILINEALES, CUADRATICAS Y HERMITICAS

13.5.

493

Denotese por Ulla representacion matricial de una forma bilineal f en V relativa a una base {u 1 , ... , un}· Mostrar que Ia aplicacionf~-+Ul es un isomorfismo de B(V) sobre el espacio vectorial las matrices n-cuadradas Dado que f esta completamente determinada po r los escalares f(u. , u1) , Ia aplicaci6n fH [j] es inyectiva y suprayectiva. Basta pro bar que Ia aplicaci6 n ! ~---+ [j] es un homomorfismo; esto es, q ue

[cif + bg] = a[J]

+ b[g]

No o bstante, para i, j =I , . .. , n,

(af + bg'A_u1 , u1)

=

af(u., u)

+ bg(u;, u1)

que es otra forma de escribir (*). Queda asi demostrado el resultado.

13.6.

Demostrar el Teorema 13.2. Sean u, ve V. Siendo P Ia matriz de cambio de base de S a S' tenemos P[u]s· = [u] 5 y tambien P[v] 5 • = [v]5 , luego [uJI = [u]r, PT. De este modo, ·

f(u, u) = [u]f A[v]5 = [u]f. pT AP[v]s· Como u y v son elementos arbitrarios en V, pT AP es Ia matriz de fen Ia base S' .

FORMAS BILINEALES SlMETRICAS. FORMAS CUADRATICAS 13.7.

Hallar Ia matriz simetrica correspondiente a cada uno de los siguientes polinomios cuadraticos: a) q(x, y, z) = 3x 2

+ 4xy- y2 + 8xz - 6yz + z 2

q(x, y, z) = x 2

b)

-

2yz

+ xz.

L a matriz simetrica A = (aii) que representa a q(x 1 , .. . , x.) tiene Ia entrada diagonal aii igual a l coeficiente de x?, y las entradas aii y a1; iguales cada una a Ia mitad del coeficiente de x; xi" Asi pues,

a)

13.8.

b)

Para Ia matriz real simetrica A escrita a continuacion, encontra r una matriz no singular P tal que pT AP sea diagonal y hallar su signatura.

A~H ~!

-:)

Comenzamos por construir Ia matriz por bloques (A , I):

<•.n~(-:

2

-3 7

-5

0

l

- 5

8

0

0

I

1

0

~)

494

ALGEBRA LINEAL

Efectuamos las operaciones entre filas 3R 1 + R 1 -+ R 2 y -2R 1 + R 3 -+ R 3 sobre (A, I) y despues las correspondientes operaciones entre columnas 3C1 + C 2 -+ C 2 y -2C 1 + C 3 -+ C 3 sobre A obteniendo

1 -3 0 -2 ( 0 1

2

I

1

0

:

3

1

4: -2

0

~)

y luego

(i

0

-2

0

1

0

1 : 3 4: -2

0

I

I

~)

Acto seguido, efectuamos Ia operacion entre filas R 2 + 2R3 -+ R 3 y despues Ia correspondiente operacioo entre columnas C 2 + 2C 3 -+ C 3 para llegar a

(i

0

01

1

0

-2

1:

3

1

9: -1

1

0

I

Se ha diagonaH,.do A. Tomomo• P La signatura de A es s

13.9.

=

~) ~ (i -1)

y luego a

3 1 0

0

(:

-2 0

0 1I

1

0'

3

I

~)

0 1

18 : -1

('

~ ; entonces pT AP = ~

0

-2 0

~)

18

2 - 1 = l.

Sup6ngase 1 + 1 ¥= 0 en K. Dar un algoritmo formal para diagonalizar (bajo congruencia) una matriz simetrica A = (a;) sabre K. a 1 1 =f 0. Efectuamos las operaciones entre filas - ail R 1 + a 11 R;-+ R;, i = 2, ... , n, seguidas de las correspond(:~ tes o)peraciones entre columnas - a; 1 C 1 + a 11 C; ..... C; 0 para reducir A a Ia forma B .

Caso i):

1

0

Caso ii):

Caso iii):

a 11 = 0 pero a;; =f 0 para algun i > 1. Efectuamos Ia operacion entre filas R 1 ...... R; y despues Ia correspondiente entre columnas C 1 ._.. C; para llevar a;; a Ia primera posicion diagonal. Esto reduce Ia matriz a Ia de i). Todas las entradas diagonales a;;= 0. Elegimos i, j tales que aij =f 0 y efectuamos Ia operacion entre filas Ri + R; -+ R; seguida de Ia correspondiente operacion entre columnas Ci + C; -+ C; para llevar 2aii =f 0 a Ia i-esima posicion diagonal. Esto reduce Ia matriz a Ia de ii).

0)

En cada uno de los casos podemos reducir finalmente A a Ia forma a 11 B , donde B es una ( 0 matriz simetrica de ord en menor que el de A . Por inducci6n podremos acaba r llevando A a forma diagonal.

Nota:

13.10.

La hip6tesis de que I

+ 1 =f 0

en K se ha usado en iii), donde afirmamos que 2aij ¥= 0.

Sea q la forma cuadratica asociada a la forma bilineal simetrica f. Comprobar Ia identidad polar f(u, v) = ±(q(u + v)- q(u) - q(v)]. (Sup6ngase que 1 + 1 ¥= 0.) Tenemos

q(u + v) - q(u) - q(v) = f(u + v, u + v) - f(u, u) - f(v, v) = = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v, v) - f(u, u) - f(v, v) = = 2j(u, v)

'· Si 1

+I

=f 0, podemos dividir por 2 para conseguir Ia identidad requerida.

FORMAS BILINEALES, CUADRATICAS Y HERMITICAS

13.11.

495

Demostrar el Teorema 13.4. Metodo 1. Si f = 0 o si dim V = 1, el teorema se cumple claramente. Por tanto, podemos suponer f # 0 y dim V = n > I. Si q(v) = f(v, v) = 0 para todo v E V, Ia forma polar de f (vease el Problema 13. I O) implica f = 0. Por esta raz6n, podemos suponer que existe un vector v1 E V tal que f(v 1 , v1) t= 0. Sean U el subespacio. generado por v 1 y We! conjunto de aquellos vectores v E V para los que f(v 1 , v) = 0. Afirmamos que V = U EB W. Demostraci6n de que U n W = {0}: Supongamos uE U n W. Como uE U, u = kv 1 para algun escalar kE K. Como u E W, 0 = f(u, u) = f(kv 1 , kv 1 ) = k 2f(vl> v1 ). Pero f( v 1 , v1 ) # 0, luego k = 0 y por consiguiente u = kv 1 = 0. De este modo, U n W = {0}. ii) Demostraci6n de que V = U + W: sea vE V. Tomamos i)

W

=

f(vt , v) V -

(I]

VI

f(vl , vl)

Entonccs

Siendo asi, wE W. Por [!], v es Ia suma de un elemento de U y uno de W, de manera que + W. Por i) y ii), V = U EB W. Ahora f restringida a W es una forma bilineal simetrica en W. Pero dim W = n - I, luego, por inducci6n, existe una base {v2 , ••. , v"} de W tal que f(v;, vi)= 0 para i # j y 2 .$; i, j::::;; n. Por Ia propia definicion deW, f(v 1, vi)= 0 para}= 2, ... , n. Por tanto, Ia base {v 1 , ... , v.} de V tiene Ia propiedad requerida de que f(v; , v) = 0 para i # j. V= U

Metodo 2. El algoritmo del Problema 13.9 muestra que toda matriz simetrica sobre K es congruente a una matriz diagonal. Esto es equivalente a Ia afirmaci6n de que f tiene una representaci6n diagonal.

13.12. Sea

A~("'

a,

. ) una matriz diagonal

sobre

K. Probar qu"

a)

Para escalares no nulos cualesquiera k 1 , diagonal con entradas diagonales aikf.

b)

Si K es el cuerpo complejo C, A es congruente a una matriz diagonal con solo y 0 en las entradas diagonales.

... ,

k" E K, A es congruente a una matriz

c) Si K es el cuerpo real R, A es congruente a una matriz diagonal con solo 1, - 1 y 0 en las entradas diagonales. a)

Sea P Ia matriz diagonal con entradas diagonales k;. Entonces

pTAP

= (''

k, ...

)(al k.

2

a

1 )(k a.

1 k

2

)

k,.

= ('•'

o,kj ... ,) a.k.

496

ALGEBRA LINEAL

b) Sea P Ia matriz diagonal con entradas diagonales b; =

ff 1

si a;#- 0 . . En tal caso, pr AP s1 a; = 0

{JIM 1

si a;#- 0 . . En tal caso, pT AP SJ a;= 0

tiene Ia forma pedida. . d'1agona1 con entrad as d'1agonaIes b; = . c) Sea P Ia matnz tiene Ia forma pedida. Not<~: Subrayamos el hecho de que b) deja de ser cierto si se reemplaza congruencia por congruencia hermitica (veanse los Problemas 13.32 y 13.33).

13.13.

Demostrar el Teo rema 13.5. En virtud del Teorema 13.4, existe una base {u 1, ... , u.} de V en Ia que f se representa por una matriz diagonal con, digamos, p entradas positivas y n negativas. Supongamos abora que {wt, ... , w.} es otra base de V en Ia que f se representa por una matriz diagonal con, digamos, p' entradas positivas y n' negativas. Podemos suponer, sin pi:rdida de generalidad, que en cada matriz aparecen primero las entradas positivas. Puesto que rango f = p + n = p' + n', basta probar que p = p' Sean U Ia envolvente lineal de u 1 , .. . , up y W Ia de wp'+l• ... , w•. Entonces f(v, v) > 0 para todo ve U no nulo y f(v , v):::; 0 para todo vE W no nulo. De aqui U n W = {0}. N6tese que dim U = p y dim W = 11- p'. Siendo asi, dim (U

+ W) =

dim U

+ dim

W- dim (U n W) = p + (n - p') - 0 = p - p'

Pero dim (U + W) :::; dim V = n, luego p - p' consiguiente p = p', como se pedia.

+ 11 :::; n

+n

o p :::; p'. De forma similar, p':::; p y por

Nota: El teorema y Ia demostraci6n precedentes solo dependen del concepto de positividad. El teorema sera cierto, pues, para cualquier subcuerpo K del cuerpo real R, como es el cuerpo racional Q.

13.14.

Se dice que una matriz real simetrica n. x n es definida positiva si xr AX> 0 para todo vector (columna) no nulo X ERn, es decir, si A es definida positiva vista como forma bilineal. Sea B cualquier matriz real no singular. Mostrar que: a) BT B es simetrica, b) Br B es definida positiva. a)

(BT Bl = BTBrr = Br B, luego Br B es simi:trica.

b)

Dado que B es no singular, BX #- 0 para todo X E R" no nulo. Por tanto, e1 producto escalar de BX consigo mismo, BX · BX = (BX)r (BX), es positivo. De este m odo, xr(BT B) X = (Xr Br) = (BX)r (BX) > 0, como se pedia.

FORMAS HERMITICAS 13.15.

Determinar cuales de las siguientes matrices son hermiticas:

Si)

(2~ li 4+

2 + 3i 4 5 6 + 2i -7 Si 6- 2i a)

(2~i

2-i 6

4+i b)

·n

HJ -3 2

1

c)

FORMAS BILINEALES, CUADRATICAS Y HERM ITICAS

497

Una matriz A= (aii) es hermitica si y solo si A = A*, o sea, si y solo si a,i = ai•·

13.16.

a)

La matriz es hermitica, ya que es igual a su traspuesta conjugada.

b)

La matriz no es hermitica, incluso a pesar de ser simetrica.

c)

La matriz es hermitica. De hecho, una matriz real es hermitica si y solo si es sirnetrica.

Sea A una matriz hermitica. Probar que j es una forma hermitica en C", donde j se define por f(X, Y) =xrAY. Para todos los a, beC y todos los X 1 , X 2 , YeC", f(aX 1

+ bX2 ,

Y) = (aX 1

+ bX 2 )rA Y = (aXf + bXDA Y

=

=aXfAY+bX~AY=af(X 1 , Y)+bf(X 2

,

Y)

Por consiguiente, f es lineal en Ia primera variable. Asimismo,

De aqui que f sea una forma hermitica en C". (Nota: Usamos el hecho de que xr A Yes un escalar, por lo que es igual a su traspuesta.)

13.17. Sea f una forma hermitica en V. Sea H Ia matriz de fen una base S = { u1 ,

... ,

u.} de

V.

Probar que:

a) f(u, v) = [u]f H[v] 8 para todos los u, VE V. b) Si P es Ia matriz de cambio de base desde S hasta una nueva base S' de V, B = PTHJ5 (o B = Q* HQ, donde Q = P) es la matriz de fen la nueva baseS'. N6tese que b) es el analogo complejo del Teorema 13.2. a)

Sean u, ve Vy supongamos u = a 1 u 1 tal caso,

+ a2 u 2 + ... + a. u.

y v = b1 u 1

+ b2 u2 + ... + b.u•. En

como se pedia. b)

AI ser P Ia matriz de cambio de base desde S hasta S', tenemos P[uls· = [u)s y P[v]s· = [v]s; por tanto, [u]f = [u]f. pr y [v)5 = P[v] 5 .. Asi, por a), f(u, v)

i'::r T T - -= [u] 5T HLVJs = [u]s.P HP[v]s•

Pero u y v son elementos arbitrarios de V, Iuego pr HP es Ia matriz de fen Ia base S'.

13.18, Sea H

=(I~ i -2i

1 ; i 2 :_; 3i) una matriz hermitica. Hallar una matriz no singular 2 + 3i 7

P tal que pT HP sea diagonal.

498

ALGEBRA LINEAL

Primero construimos Ia matriz por bloques (H, I):

(

1+i 4

1 1- i

1

1 00) 2- 3i: 0 1 0 7 0 0 1 2 + 31

-2i

2i

Efectuamos las operaciones entre lilas ( - I + i)R 1 + R2 -+ R 2 y 2iR 1 + R 3 ---> R 3 sobre (H, I) seguidas de las correspondientes «operaciones entre columnas conjugadas» ( - I - i)C 1 + C 2 -+ C 2 y -2iC 1 + C 3 -+ C 3 sobre H obteniendo

(~

1

+i

~)

0

-1+i

2

5i

1

0

2i

(~

y luego

0 2

0

I

-5i : -1

5i

~)

0

I

3 :

+i

1

2i

0

A continuaci6n efectuamos Ia operaci6n entre lilas R3 ---> -5iR2 + 2R 3 y Ia conjugada C 3 ---> 5iC2 + 2C3 obteniendo

(~

0 2

0

0

- Si -19

~)

0 I

-1+i 5 + 9i

-5i

y luego

(~

0

0

2 0

0 -38

1

~)

0

I

-1+1 5 + 9i

-5i

Se ha diagonalizado H . Tomemos

P~(~

-1+1 1 0

5+ .') -5i 2

Adviertase que Ia signatura s de H es s

=2-

y entonces

I

prHP-(~

0

2 0

=L

J

PROBLEMAS VARIOS

13.19.

Demostrar el Teorema 13.3. Si f y asi

f

= 0, el teorema es obviamente cierto. Ademas, si dim = 0. En consecuencia, podemos suponer que dim V

V = t ,f(k 1 u, k 2 u)

> I y f ¥- 0.

= k 1 kzf(u,

u)

=0

Puesto que f ¥-0, existen u 1 , u2 E V (no nulos) tales que f(u 1 , u 2 ) ¥-0. De hecho, multiplicando u 1 por un factor apropiado, podemos suponer quef{u 1 , u 2 ) =I, luego f(u 2 , u 1 ) = - I. Ahora bien, u 1 y u 2 son linealmente independientes, porque si, digamos, u2 =ku 1 ,f(u1 , u 2 )=f(u1 , ku 1 )=kf(u 1 , u 1) = 0. Sea U el subespacio generado por u1 y u2 . N6tese que: i)

La representaci6n matricial de Ia restricci6n de fa U en Ia base {u1 , u 2 } es ( _

ii)

Si u e U, digamos u

=

au 1

~ ~).

+ bu 2 ,

= f(au 1 + bu2 , u 1) = -b f(u, u 2 ) = f(au 1 + bu2 , u2 ) = a

f(u, u1)

Sea W el conjunto formado por aquellos vectores wE W tales que f(w , u 1) = 0 y f(w , u2 ) = 0 Equivalentemente, W ={wE V:f(w, u) = 0 para todo u E U}

FORMAS BILIN EALES, CUAD RATICAS Y HERMITICAS

499

Alirmamos que V = U EB W. Es claro que U 11 W = {0}, por lo que solamente resta probar que V = U + W. Sea ve V. Tomemos y

w=v-u

Dado que u es combinaci6n lineal de u 1 y u 2 , u e U. Probemos que we W. P or [I) y ii), f(u , u 1 ) = f(v, u 1 ), luego

Similarmente, f(u, u 2 ) = f(v, u 2 ), de modo que

Entonces w e W, y asi, por [I], v = u + w con u e U y we W. Esto muestra que V= U + W y por tanto V = U $ W. Ahora Ia restricci6n de f a W es una forma bilineal alternada en W. P or inducci6n, existe una base u 3 , ... , u" de Wen Ia que Ia matriz que representa a f restringida a W tiene Ia forma deseada. De acuerdo con esto, u 1 , u 2 , uJ., ... , u. es una base de V en Ia que Ia matriz que representa a f tiene Ia forma deseada.

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

FORMAS BILINEALES 13.20. Sea Vel espacio vectorial de las matrices 2 x 2 so bre R. Sean M = donde A , B e Vy «tn> denota Ia traza. a) Mostrar que matriz de

f

en Ia base {

G~). G~). G~). (~

G~)

y f(A , B )= tr ArMB,

f es una forma bilineal en

V. b) H allar Ia

~)}.

13.21. Sea B(V) el conjunto de las formas bilineales en V sobre K . Demostrar: a)

Sif, geB(V),f + g y kf, con keK, tambien pertenecen a B(V). Asi que B(V) es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones de V x V en K.

b)

Si ¢ y

(J

son funcionales lineales en V, f(u , v) = ¢(u)(J(v) pertenece a B(V).

13.22. Sea f una forma bilineal en V. Para cualquier subconjunto S de V escribimos S 1 = {ve V:f(u, v) = 0 para todo ueS}

sr

= {ve V:f(v,

u)

= 0 para todo

ueS}

Probar que: a) S1 y sr son subespacios de V; b) S 1 s;;; S2 implica Sis;;; Sf y Sis;;; Si; c) {0} 1 = {Of= V. 13.23. Demostra r Ia siguiente aserci6n: si f es una forma bilineal en V, rango f =dim V- dim V.L = = dim v - dim vr y por tanto dim y.L = dim vr.

500

ALGEBRA LINEAL

13.24. Sea f una forma bilineal en V. Para cada y !1(x) = j(u, x). Demostrar: a)

13.25.

LI E

V, definanse a: v-+ K y a: v-+ K segun u(x) = f(x, u)

u y ii son lineales, es decir, u, iiE V*.

b)

u ~--> t1 y u 1-+ ii son aplicaciones lineales de V en V*.

c)

rango f= rango

(u~-+ti) =

rango

(u~--+u).

Mostrar que Ia congruencia de matrices es una relaci6n de equivalencia, o sea: i) A es congruente a A; ii) si A es congruente a B, B es congruente a A; iii) si A es congruente a B y B es congruente a C, A es congruente a C.

FORMAS BILINEALES SIMETRICAS. FORMAS CUADRATICAS 13.26.

Hallar Ia matriz simetrica asociada a cada uno de los polinomios cuadraticos: a)

q(x, y, z) = 2x

b) q(x, y, z)

13.27.

=x

2

2 -

-

8xy xz

+ y2 -

16xz

+ 14yz + 5z2

+ y2

= xy + y 2 + 4xz + z 2

c)

q(x, y, z)

d)

q(x, y, z) = xy

+ yz

Para cada una de las siguientes matrices A, encontrar una matriz no singular P tal que pr A P sea diagonal:

a)

A=G !).

b)

A~H

-2 6

-9

-:).

c)

A~( :

-3)

-2 2 -5 -1 9 6 -2 -5 -3 -1 9 11 1

En cada caso, hallar el rango y Ia signatura. 13.28. Sea S( V) el conjunto de las formas bilineales simetricas en V. Pro bar que: i)

S(V) es un subespacio de B(V);

ii)

si dim V = n, dim S(V)

= tn(n +

I).

13.29. Sup6ngase que A es una matriz real simetrica definida positiva. Mostrar que existe una ma triz no singular P tal que A = pr P. 13.30.

Considerese un polinomio real cuadratico q(x 1 ,

... ,

x.) =

L"

a;jxixi,

donde

a il= aji·

i.j = I

i) Si all #- 0, probar que Ia sustituci6n

conduce a Ia ecuaci6n q(x 1 , ••• , x.) = a 11 yi + q' (y2 , ... , Y.), donde q' es tambien un polinomio cuadratico. ii) Si all = 0 pero, por ejemplo, a 12 #- 0, probar que Ia sustituci6n conduce a Ia ecuaci6n q(x 1, ... , x.) = L biiYiY1, donde b11 #- 0, esto es, reduce este caso a! i). Este metodo de diagonalizaci6n de q se conoce como «completar el cuadrado».

FORMAS BILINEA LES, CUADRATICAS Y HERMITICAS

501

FORMAS HERMITICAS 13.31.

Sea A cualquie r matriz compleja no singular. M ostrar que H =A* A es hermitica y definida positiva.

13.32.

D ecimos que B es congruente hermitica a A si existe una matriz no singular Q tal que B = Q* AQ. Probar que Ia congruencia hermitica es una relaci6n de equivalencia.

13.33.

Demostrar el Teorema 13.7. [N6tese que Ia segunda parte del teorema no se cumple p ara formas bilineales simetricas complejas, como muestra el Problema 13.12 ii). No obstante, Ia demostraci6n del Teorema 13.5 en el Problema 13.13 puede trasladarse at caso hermitico.]

PROBLEMAS VARIOS 13.34.

Sean V y W espacios vecto riales sobre K. U na aplicaci6 n f: V x W-> K se llama una forma bilinea/ en Vy W si:

+ bv2 , w) = f(v, aw 1 + bw2 ) =

i) f(av 1 ii)

af(v 1 , w) + bf(v2 , w) af(v, w1)

+ bf(v, w,)

para todos los a, beK, v;e V, wjeW. Demostra r lo siguiente: a)

El conjunto B (V, W) de las formas bilineales en V y W es un su bespacio del espacio vectorial de las funciones de V x Wen K.

b)

Si {¢ 1, ••• ,
Nota:

Observese que si V

=

W, obtenemos el espacio B(V) estudia do en este capitulo.

m veces ~

13.35. Sea V un espacio vectorial sobre K . U na aplicaci6n f: V x V x ··· x V ~ K se denomina una forma multilineal (o m-lineal) en V si f es lineal en cada variable, es decir, si para i = 1, ... , m ,

/(... ' a;+bv, ...) =

af(.. .• u, ...) + bf(. ..• ii, ...)

do nde • denota Ia variable i-esima, manteniendose fijas el resto de las variables. Se dice que una forma m-lineal f es a/ternada si siempre que Demostra r: a)

El conjunto B,.(V) de las formas m-lineales' e n V es un subespacio del espacio vectorial de las funciones de V x V x ··· x V en K.

b)

El conjunto A,.(V) de las formas m-lineales a lternadas en V es un subespacio de B,.( V) .

Nota 1:

Si m = 2, obtenemos el espacio B(V) estudiado en este capitulo.

Nota 2:

Si V = K"', Ia funci6n determina nte es una forma m-lineal alternada particular en V.

502

ALGEBRA LINEAL

13.20. b)

(~

0

(-~

- 4

13.26. a)

1

0 3

-8

13.27. a)

b)

')

P= G

P ~(~ p

~ (~

~)

2 0 4 0

-·)

1

7 ' 5

7

-

-3) 2 ' pT»(2 0 2 0

~)·

-1

-1

l 0 0

3 l 0

( 10

b)

0 1 ! 0

0) ; -2

P'AP

r

-t)

l 0

')

!

4

(i i)

= 2, s = 0.

~ (i 0 0)

0 ; r -38

2 0

0

13 0 PTAP = (' 26) 9 , 0 7

(~ ~)· !

0 ' 0

0

0 0

= 3, s =

0 0 -7 0

1.

j); ' ~4, •~2

0

t

CAPITULO

14

Operadores lineales en espacios con producto interne

14.1.

INTRODUCCION

Este capitulo investiga el espacio A(V) de operadores lineales T en un espacio con producto interno V. (Vease el Capitulo 6.) Asi el cuerpo base K sera bien el cuerpo real R o bien el cuerpo complejo C. De hecho, se usani una terminologia diferente para el caso real y para el caso complejo. Utilizaremos tambien el hecho de que el producto interno en el espacio euclideo Rn puede definirse segun ( U, v) =

UTV

y el producto interno en el espacio euclideo complejo (u, V)

en, segun

=UTV

donde u y v son vectores columna. El lector debe revisar el material del Capitulo 6. En particular, debe familiarizarse con las nociones de norma (longitud), ortogonalidad y bases ortonormales. Por ultimo, debemos mencionar que el Capitulo 6 trataba principalmente de espacios reales con producto interno. Sin embargo, aqui supondremos que V es un espacio complejo con producto interno, a me.nos que se establezca o sobrentienda lo contrario.

14.2.

OPERADORES ADJUNTOS

Comenzamos con Ia siguiente definicion basica.

Definicion: Se dice que un operador lineal T en un espacio con producto interno V tiene un operador adjunto T* en V si ( T(u), v) = ( u, T*(v)) para todos los u, v e V.

503

504

ALGEBRA LINEAL

EI proximo ejemplo muestra que ei operador adjunto admite una descripci6n sencilla dentro del contexto de las aplicaciones matriciales. EJEMPLO 14.1

a)

Sea A una matriz n-cuad rad a real vista como operador lineal en R". Para todo los u, ve R",

(Au, v)

= (Aulv = u7 A 7 v =

( u, Arv)

De este modo, Ia matriz traspuesta AT es el adjunto de A. b)

Sea B una matriz n-cuadrada compleja vista como opera dor lineal en C". Para todos los u, vEC", ( Bu, v)

=

(Bu)Tii

La matriz traspuesta conjugada B•

=

=

u 7 BTii

=

UT jjTfj

= UT .B•v = ( u,

n• v)

[JT es, pues, el adjunto de B.

Nota: La notaci6n B* se ha empleado para designar el adjunto de By previamente para designar Ia traspuesta conjugada de B. El Ejemplo 14.1 muestra lo afortunado de tal coincidencia. El teorema enunciado a continuaci6n, demostrado en el Problema 14.4, es el resultado principal de Ia secci6n. Teorema 14.1: Sea T un operador lineal en un espacio con producto interno de dimension finita V sobre K. Entonces: i)

Existe un (mico operador lineal T* en V tal que ( T(u}, v) = ( u, T*(v)) para todos los u, vE V. (Esto es, T tiene un adj unto T* .) ii) Si A es Ia representaci6n matricial de T con respecto a cualquier base ortonormal S = { u;} de V, Ia representaci6n matricial de T* en Ia base S es la traspuesta conjugada A* de A ( o la traspuesta AT si K es real). Subrayamos que no existe una relaci6n sencilla semejante entre las matrices q ue representan T y T * si Ia base no es ortonormal. Vemos asi una propiedad util de las bases o rtonormales. Hacemos enfasis tambien en que este teorema no es valido si V tiene dimension infinita

(Problema 14.3 1). EJEMPLO 14.2.

Sea Tel operador lineal en C 3 definido mediante T(x, y, z) = (2x

+ iy, y -

5iz, x

+ (1 -

i)y + 3z)

Hallemos una formula similar para e1 adjunto T* de T. Notese (Problema 10.1) que Ia matriz de Ten Ia base usual de C 3 es

[T]

=

(~ l

1 l- i

-~i) 3

Recordemos que Ia base usual es ortonorma l. De esta manera, segun el Teorema 14.1, Ia matriz de T * en esta base es Ia traspuesta conjugada de [T):

[~-( -~

0 1 Si

1 ) 1+i 3

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

505

En consecuencia, T*(x, y, z) = (2x

+ z,

-ix

+ y + (1 + i)z, Siy + 3z)

El siguiente teorema, demostrado en el Problema 14.5, resume algunas de las propiedades del adjunto. Teorema 14.2:

i) (T1

Sean T, T 1 , T 2 operadores lineales en Vy kEK. Entonces:

+ T2)* =

Tf

+

T~

ii) (kT)• = kT*

iii)

( T1 T2 )*

iv) (T*)*

= T! Tf

=T

Observese Ia similitud entre el teorema precedente y el Teorema 3.3 relativo a las propiedades de Ia operaci6n de trasposici6n sobre las matrices.

FUNCIONALES LINEALES Y ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Recordemos (Capitulo 12) que un funcional lineal ¢ en un espacio vectorial V es una aplicacion lineal de V en el cuerpo base K. Esta subsecci6n contiene un importante resultado (Teorema 14.3) que se emplea en la demostracion del Teorema 14.1. Sea V un espacio con producto interno. Cada u E V determina una aplicacion u: V-... K definida por U(v) = (v, u)

Ahora, para dos escalares cualesquiera a, U(av 1

+ bv2 ) =

(av 1

bE K

+ bv2 , u) =

y dos veeto res cualesq uiera v1 , v2 E V,

a(vu u)

+ b(v2 , u) = aU(vt) + bU(vz)

u

Es decir, es un funcionallineal en V. El reciproco tambien es cierto para espacios de dimension finita y es un importante teorema (demostrado en el Problema 14.3). A saber, Teorema 14.3: Sea ¢ un funcional lineal en un espacio con producto interne de dimension finita V. Existe un (mico vector uEV tal que ¢(v) = (v, u) para todo vEV. Seiialamos que e1 teorema precedente no es valido para espacios de dimension infinita (Problema 14.24), aunque se conocen algunos resultados generales que apuntan en esta direccion. (Uno de tales resultados es el famoso teorema de representacion de Riesz.)

14.3. ANALOGIA ENTRE A( Jl) Y C. OPERADORES ESPECIALES Denotemos por A(V) el algebra de los operadores lineales en un espacio con producto interno de dimension finita V. La aplicacion adjunta TH T* en A(V) presenta bastantes analogias con la aplicacion de conjugacion z 1-+ z en el cuerpo complejo C. Para ilustrar esta analogia identificamos en la Tabla 14.1 ciertas clases de operadores TEA(V) cuyo comportamiento bajo la aplicacion adjunta imita el comportamiento bajo conjugacion de clases familiares de numeros complejos.

506

ALGEBRA LINEAL

Tabla 14-1 Clase de numeros complejos

Comportamiento bajo conjugacion

Clase de operadores en A(V)

Comportamiento bajo Ia aplicacion adjunta

Circulo unidad (lzl =I)

i = 1/z

Operadores ortogonales (caso real) Operadores unitarios (caso complejo)

T* = y-L

Eje real

Operadores autoadjuntos Tambien llamados: simetricos (caso real) hermiticos (caso complejo)

Z=Z

Eje imaginario

Operadores anti-autoadjuntos Tambien llamados: antisimetricos (caso real) antihermiticos (caso complejo)

z= -z

Semieje real positivo (0, oo)

z = WW,

T* = T

w i=

0

T* = -T

T= S*S con S no singular

Operadores definidos positives

La analogia entre estas clases de operadores T y de numeros complejos z se refleja en el teorema que ahora enunciamos. Sea A. un valor propio de un operador lineal Ten V.

Teorema 14.4:

i) Si T* = T- 1 (es decir, si T es ortogonal o unitario), IJ.I = I. ii) Si T* = T (es decir, si T es autoadjunto), A. es real. iii) Si T* = - T (es decir, si T es anti-autoadjunto), A. es imaginario puro. iv) Si T = S* S con S no singular (es decir, si T es definido positivo), }. es real y positivo. Demostracion. En cada caso, v sera un vector propio no nulo de T perteneciente a 2, o sea, T(v) = J.v con v =1: 0; por tanto, (v, v) sera positivo. Dernostracion de i):

Probamos que A.J:(v, v)

.AJ(v, v) = (A.v, .A.v)

= (v,

= (T(v), T(v)) =

v):

(v, T*T(v)) = (v, /(v))

=

(v, v)

Pero (v, v) =/: 0, luego A.A = 1 y asi IA.I = 1. Dernostracion de ii):

Probamos que .A.(v, v)

= X(v,

A.(v, v) = (..tv, v) = (T{v), v) = (v, T*{v))

v):

= (v,

T(v))

= (v, A.v) =

l(v, v)

Pero (v, v) =1: 0, luego A= X y asi A es real. Demostracibn de iii):

= (A.v, v) = (T{v), v) = (v, T*(v)) = (v, - T{v)) = (v, -A.v) = -l(v, v) 0, luego A.= -1 oX= -A. y asiA. es imaginario puro.

A.(v, v)

Pero (v, v) =1:

Probamos que A.(v, v) = -X(v, v):

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

507

Demostracion de iv): Notese primero que S(v) # 0 porque S es no singular, luego ( S(v), S(v)) es positive. Problemas que A.(v, v) = ( S(v), S(v)):

A.(v, v) = (A.v, v) = ( T(v), v) = (S•S(v), v) = (S(v), S(v))

Pero (v, v) y (S(v), S(v)) son positives; por consiguiente, }, es positivo. Nota: Cada uno de los operadores T anteriores conmuta con su adjunto, es decir, TT* Tales operadores se denominan operadores normales.

= T* T

14.4. OPERADORES AUTOADJUNTOS Sea T un operador autoadjunto en un espacio con producto interno V, esto es, supongamos

r• = T (En caso de que T se defina mediante una matriz A, A sera simetrica o hermitica, segun sea real o compleja.) En virtud del Teorema 14.4, los valores propios de T son reales. Otra importante propiedad de T es la que sigue. Teorema 14.5: Sea T un operador autoadjunto en V. Supongamos que u y v son vectores propios de T pertenecientes a valo res propios distintos. Entonces u y v son ortogonales, o sea, ( u, v) = 0. Demostracion. = A. 2 ( u, v):

Supongamos T (u) =A. 1 u y T(v)= A.2 v, donde A. 1 # .A2 . Probamos que .A 1( u, v) = A. 1 (u, v) = (A. 1u, v) = ( T(u), v) = ( u, T•(v)) = ( u, T(v)) = = (u, A. 2 v) =

Az(u, v)

=A.2 ( u,

v)

(La cuarta igualdad utiliza que T* = T y la ultima que el valor propio )..2 es real.) Dado que # A. 2 , conseguimos (u, v) = 0. Queda, pues, demostrado el teorema.

}. 1

14.5. OPERADORES ORTOGONALES Y UNITARIOS Sea U un operador lineal en un espacio con producto interno de dimension finita V. Recordemos que si U* =

u -• . o equivalentemente

UU* = U*U = I

se dice que U es ortogonal o unitario, segun sea real o complejo el cuerpo subyacente. El proximo teorema, demostrado en el Problema 14.10, proporciona caracterizaciones alternativas de estos operadores. Teorema 14.6: i)

U*

Las siguientes condiciones sobre un operador U son equivalentes:

= u-•, esto es,

UU* = U* U = I.

508 ii)

ALGEBRA LINEAL

U preserva los productos internos, es decir, para todos los v,

wE

V,

(U(v), U(w)) = (v, w)

iii)

U preserva las longitudes, es decir, para todo vEV, IIU(v) ll

=

llvll .

EJEMPLO 14.3 a) Sea T: R 3 ---+ R 3 el operador lineal que gira cada vector alrededor del eje z un angulo (J fijo como se muestra en Ia Figura 14-l, esto es, el definido por

T(x, y, z) = (x cos 0- y sen 8, x sen 0

+y

cos 0, z)

Notese que las longitudes (distancias desde el origen) se preservan bajo T. Siendo asi, T es un operador ortogonal.

y

Figura 14-1. b)

Sea Vel espacio 12 del Ejemplo 6.3 b). Sea T: V-+ Vel operador lineal definido por T(a 1 , a 1 ,

...) =

(0, a 1, a 1 ,

...)

Claramente, T preserva los productos internes y las longitudes. No obstante, T no es suprayectivo ya que, por ejemplo, (1, 0, 0, ...) no pertenece a Ia imagen de T; por tanto, T noes invertible. Vemos, pues, que e1 Teorema 14.6 no es valido para espacios de dimension infinita.

Un isomorfismo de un espacio con producto interno en otro es una aplicaci6n biyectiva que preserva las tres operaciones basicas de un espacio con producto interno: suma de vectores, producto por un escalar y producto interno. De este modo, las aplicaciones precedentes (ortogonales y unitarias) pueden caracterizarse tambien como los isomorfismos de V en si mismo. N6tese que una aplicaci6n lineal tal, U, preserva asimismo las distancias, puesto que IIU(v)- U(w)ll

=

IIU(v- w)l\

=

1\v -- wll

Por esa raz6n U se llama una isometria.

14.6.

MATRICES ORTOGONALES Y UNITARIAS

Sea U un operador lineal en un espacio con producto interno V. De acuerdo con el Teorema 14.1, obtenemos el result ado que ahora enunciamos cuando el cuerpo base K es complejo.

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

509

Teorema 14.7A: U na matriz A con entradas complejas representa un operador unitario U (respecto a una base ortonormal) si y solo si A * = A- 1 .

Por otra parte, si el cuerpo base K es real, A* = Ar, luego tenemos el teorema correspondiente a espacios reales con producto interno siguiente. Teorema 14.7B: Una matriz A con entradas reales representa un operador ortogonal U (respecto a una base ortonormal) si y solo si AT = A - l.

Los teoremas anteriores motivan las definiciones escritas a continuaci6n.

Definicion: Una matriz compleja A para Ia que A* = A-1, o equivalentemente AA"' =A* A= I, recibe el nombre de matriz unitaria. Definicion: Una matriz real A para Ia que AT= A - 1 , o equivalentemente AAT =ATA= I, recibe el nombre de matriz ortogonal. Observese que una matriz unitaria con entradas reales es ortogonal. EJEMPLO 14.4 . Supongamos que A = (a

1

bl

a2 ) es una matriz unitaria. En tal caso, AA* =I y por b2

tanto

De esta manera, y

En consecuencia, las filas de A forman un conjunto ortonormal. De forma similar, A* A= I obliga a las columnas de A a formar un conjunto ortonormal.

El resultado del ejemplo precedente es cierto en general; a saber, Teorema 14.8:

i) ii) iii)

14.7.

Las siguientes condiciones sobre una matriz A son equivalentes:

A es unitaria (ortogonal).

Las filas de A forman un conjunto ortonormal. Las columnas de A forman un conjunto ortonormal.

CAMBIO DE BASE ORTONORMAL

En vista del papel especial de las bases ortonormales en Ia teoria de los espacios con producto interno, estamos interesados, naturalmente, en las propiedades de Ia matriz de cambio de base desde una de estas bases basta otra. Disponemos del siguiente teorema, demostrado en el Problema 14.12.

510

ALGEBRA LINEAL

Teorema 14.9: Sea {u1 , ... , un} una base ortonormal de un espacio con producto interno V. La matriz de cambio de base desde {u;} basta o tra base ortonormal es unitaria ( ortogonal). Redprocamente, siP= (aij) es una matriz unitaria (ortogonal), Ia que sigue es una base ortonormal: {u~ =

aliu 1 + a 2 ;u2

+ ··· + a.,;u.,: i =I, . .. , n}

Recordemos '"'Ue dos matrices A y B que representan el mismo operador lineal T son similares, o sea, B = p - t AP, donde P es Ia matriz de cambio de base (no singular). Por otra parte, si V es un espacio con producto interno, suele interesarnos el caso en que P es unitaria (u ortogonal) como sugiere el Teorema 14.9. (Recuerdese que Pes unitaria si P* = p - t, y ortogonal si pr = p- 1 .) Esto nos conduce a Ia definicion que enseguida escribimos.

Definicion: Dos matrices complejas A y B son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria P para Ia cual B = P* AP. Analogamente, dos matrices reales A y B son ortogonalmente equivalentes si existe una matriz ortogonal P para Ia cual B = pr AP. Notese que las matrices ortogonalmente equivalentes son necesariamente congruentes.

14.8.

OPERADORES POSITIVOS

Sea P un operador lineal en un espacio con producto interno V. Se dice que P es positivo (o semidefinido) si

P = S* S

para algun operador S

y se dice que es definido positivo si, ademas, S es no singular. Los proxtmos teoremas dan caracterizaciones alternativas de estos operadores. (El Teo rem a 14.1OA se demuestra en e1 Problema 14.21.) Teorema 14.10A: i) ii) iii)

Las siguientes condiciones sobre un operador P son equivalentes:

2

P = T para algun operador autoadjunto T.

P es positivo. P es autoadjunto y ( P(u), u) ;;::: 0 para todo u E V.

El teorema correspondiente para operadores definidos positivos es Teorema 14.10B:

Las siguientes condiciones sobre un operador P son equivalentes:

2

i) ii)

p a ra a lgun operador autoadjunto no singular T. P es definido positivo.

iii)

P es a utoadjunto y (P(u), u) > 0 para todo u ~ 0 en V.

14.9.

P= T

DIAGONALIZACION Y FORMAS CANONICAS EN ESPACIOS EUCLIDEOS

Sea T un operador linea l en un espacio con producto interno de dimension finita V sobre K. La representacion de T mediante una matriz diagonal depende de los vectores propios y valores

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

511

propios de T y por tanto de las raices del polinomio caracteristico il(t) de T. Ahara bien, Ll(t) siempre se factoriza en polinomios lineales sabre el cuerpo complejo C, pero puede no tener polinomios lineales sabre el cuerpo real R como factores. La situaci6n para espacios euclideos (donde K = R) es inherentemente distinta de Ia situaci6n para espacios unitarios (donde K = C); de ahi que los tratemos por separado. Investigamos los espacios euclideos abajo (vease Ia demostracion del Teorema 14.11 en el Problema 14.14) y los espacios unitarios en la siguiente secci6n. Teorema 14.ll: Sea T un operador simetrico (autoadjunto) en un espacio real con producto interno de dimension finita V. Existe una base ortonormal de V constituida por vectores propios de T; esto es, T puede representarse por una matriz diagonal respecto a una base ortonormal. Demos el enunciado correspondiente a matrices. Teorema 14.11 (forma alternativa): Sea A una matriz real simetrica. Existe una matriz ortogonal P tal que B = p - l AP = pTAPes diagonal. Podemos elegir las columnas de la matriz ortogonal anterior P como vectores propios ortogonales normalizados de A; entonces las entradas diagonales de B son los correspondientes valores propios.

FORMA CANONICA PARA OPERADORES ORTOGONALES

Un operador ortogonal T no es necesariamente simetrico, por lo que puede no admitir una matriz simetrica como representaci6n relativa a una base ortonormal. Sin embargo, tal operador T tiene una representaci6n can6nica simple, como se describe en el siguiente teorema, demostrado en el Problema 14.16. Teorema 14.12: Sea T un operador octagonal en un espacio real con producto interno V. Existe una base ortonormal con respecto a la cual T tiene la forma: 1 1 I

- - - -- - ---- - ~ -- -------------; I I

-1

-1

'I

-1

I

~ -- ---------- - --~- -- - - - - -- - - -,

el ~s~~ _8_1__ __c5'~ _e.:_:

1 COS I

el

- sen

I 1

.- -- e,

- Sen

: seu fJ,

cos

-- - ---- - - -

I

1

COS

f}

r

e,

512

ALGEBRA LINEAL

El lector podra reconocer cada uno de los bloques diagonales 2 x 2 precedentes como una rotacion en el subespacio bidimensional correspondiente, y cada entrada diagonal - l como una reflexion en el subespacio unidimensional correspondiente. ·

14.10. DIAGONALIZACION Y FORMAS CANONICAS EN ESPACIOS UNITARIOS Presentamos ahara el teorema de diagonalizacion fundamental para espacios complejos con producto interne. es decir. para espacios unitarios. Recordemos que un operador T se dice normal si conmuta con su adjunto. o sea, si TT* = T* T. Analogamente, una matriz complejn A se dice normal si conmuta con su traspuesta conjugada, o sea, si AA • = A • A. EJEMPLO 14.5. Sea A= (I

i

3

(1 1x1 x1 = (1

AA•-

A•A

I )· Entonces

+ 2i i

3+2i

3- 3i) -i ) ( 2 1 3 - 2i = 3 + 3i 14

-i

1 3- 2i

i

1 )

3

+ 2i

( =

2

3

+ 3i

314

3i)

De este modo , A es una matriz normal.

Es aplicable el teorema enunciado a continuaci6n. Teorema 14.13: Sea T un operador normal en un espacio complejo con producto interne de dimension finita V. Existe una base ortonorrnal de V constituida por vectores propios de T; esto es, T puede representarse por una matriz diagonal respecto a una base ortonormal. Demos el enunciado correspondiente para matrices. Teorema 14.13 (forma alternativa): Sea A una rnatriz normal. Existe una matriz unitaria P tal que B = p - t AP = P* AP es diagonal. El siguiente teorema rnuestra que incluso los operadores no normales en espacios unitarios tienen una forma relativarnente sencilla. Teorema 14.14: Sea T un operador arbitrario en un espacio complejo con producto interno de dimension finita V. Entonces T puede representarse por una matriz triangular respecto a una base ortonorrnal de V. Teorema 14.14 (forma alternativa): Sea A una matriz compleja arbitraria. Existe una rnatriz unitaria P tal que B = p- 1 AP = P* AP es triangular.

14.11. TEOREMA ESPECTRAL El teorema espectral es una reforrnulaci6n de los Teoremas 14.11 y 14.13 de diagonalizaci6n.

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

513

Teorema 14.15 (teorema espectral): Sea T un operador normal (simetrico) en un espacio complejo (real) con producto internode dimension finita V. Existen operadores lineales E 1 , .. . , Er en V y escalares /. 1 , ... , .?.r tales que i)

T = A. 1 E 1

+ A.2 E 2 + ·· · + I.,E,

ii) E 1 +E1 +···+E,=l

iii) E~ = £ 1 ,

•• • ,

E; = E,

E1 E1 =0Parai=;tj

iv)

Los operadores lineales anteriores £ 1 , ••. , Er son proyecciones (o proyectores), en el sentido de que E~ = Ei. Mas aim, son proyecciones ortogonales porque tienen Ia propiedad adicional de que EiEi = 0 para i =I= j. El proximo ejemplo muestra la relacion entre una representacion matricial diagonal y las· proyecciones ortogonales correspondientes. 2 3 l ) Se'" EJEMPlO 14.6. Con•ide"mo• un• di•gon•l, dig•mo• (

mot<~

A~

£,-(' OOO) £,{

I .)

0 E,-( OO

J

El lector puede comprobar que: iii)

E~ = E 1 ,

iv) E 1 E1 = 0 para it= j_

PROBLEMAS RESUELTOS

ADJUNTOS

3 -7i 14.1.

Hallar el adjunto de la matriz B =

.

La traspuesta conjugada es B*

14.2.

(

-1i 8

+i

(3 + 71 =

18 4- i

i)

18 4+ 6- i 2- 3i . 7 + 9i 6 + 3i

i)

7i 86 + i 7- 9i . 2 + 3i 6-31

Hallar el adjunto de cada operador lineal: a)

F: R 3 -+ R 3 definido por F(x, y, z) = (3x

+ 4y- 5z, 2x - 6y + 7z, 5x- 9y + z).

514

ALGEBRA LINEAL

G : C3

b)

-+

C 3 definido por G(x, y, z) = (2x + (l - 1)y, (3

+ 2Qx -

4iz, 2ix

+ (4 -

3i)y - 3z)

a ) Primero hallamos Ia matriz A que representa Fen Ia base usual de R 3 . (Recuerdese que las fil as de A son los coeficientes de x. y, z.)

3

A= 2

(

5

4 -6 - 9

-5) 7 1

Siendo R el cuerpo base, el adjunto F* esta representado por Ia traspuesta Ar de A . Construimos, pues. AT=

3 2 5) (-54 -67 -91

Entonces F*(x, y , z) = (3x + ly + 5z. 4x - 6y- 9z, - 5x + 7y + z). Primero hallamos Ia matriz B que representa a G en Ia base usual de C 3 :

b)

B=

(

2 1-i 0)

3 + 2i 0 2i 4- 3i

-4i -3

Construimos Ia traspuesta conjugada B* de B:

2 3- 2i -2i) 4 + 3i 0

B*= l+i 0

(

4i

-3

De es te modo, G*(x, y, z) = (2x + (3- 2i)y- liz, ( I+ i)x + (4 + 3i)z, 4iy- 3z).

14.3. Demostrar el Teorema 14.3. Sea {w1 ,

••. ,

w.} una base ortonormal de V. Tomemos u = (w 1)w 1 + (w2)w2 + · · · +

Sea

u e[ funcional

lineal en U(wJ =

v definido (w~o

(wJw~

por u(v) = (v, u) para todo

+ · · · + cl>(wJw.) base, u = q,.

u) = ( w1 , (w 1)w1

VE

v.

Para i = I, ... , n,

= 4J(w;)

Como u y q, coinciden sobre cada vector de Ia Supongamos ahora que u' es otro vector en V para el cual l/J(v) = (v, u') para todo ve V. En ese caso, (v, u) = ( v, u'), o sea, (v, u - u') = 0. En particular, esto es c:ierto para v = u - u' y asi ( u - u', u - u') = 0. Esto nos conduce a u - u' = 0 y u = u'. Tal vector u es, pues, unico, como se pretendia probar.

14.4.

Demostrar el Teorema 14.1. Demostracion de i): Comenzamos definiendo Ia aplicaci6n r•. Sea v un elemento arbitrario pero fijo en V. La aplicaci6n 11~--> ( T(u), v) es un funcional lineal en V. Por tanto, segun el Teorema 14.3, existe un

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

515

unico elemento v'E V tal que ( T(u), v) = ( u, v') para todo UEV. Definimos T*:V -> V por T*(v) = v'. Entonces ( T(u), v) = ( u, T*(v) ) para todo par de vectores u, vE V. Probamos a continuacion que T* es lineal. Para cualesquiera u, V;E V y a, bEK, (u, T*(av 1

+ bv:J> =

+ bv2 ) = T*(v 1)) + b(u,

+ b(T(u), v2 ) = T*(v2 )) = ( u, aP(v 1 ) + bT*(v2 )) luego T* (av1 + bv2 ) = aT* (v1 ) + bT* (v2 ). De este modo,

( T(u), av 1

= a(u,

Pero esto se cumple para todo u E V, T* es lineal.

a(T(u), v1 )

Demostraciim de ii): Las matrices A = (ali) y B = (b;) que representan T y P, respectivamente, en Ia base S = { u1} vienen dadas por aij = (T(u), ui) y bij = (T*(u), u;) (vease el Problema 6.23). Por consiguiente,

Asi pues, B = A*, como queriamos demostrar.

14.5.

Demostrar el Teorema 14.2. i) Pa ra vectores cualesquiera u, v e V, ((T1

+ T 2)(u), v) =

('I;(u) + T2(u), v) = ( T1(u), v) + (T2(u), v) = + (u, Tf(v)) = ( u, Tf(v) + Tf(v)) =

= ( u, T~(v))

+ T~)(v)) implica (T1 + T 2 )* = Tt + Tt. = (u, (T1

La unicidad del adjunto ii) Para vectores cualesq uiera u, v E V,

((kT)(u), v) = (kT(u), v) = k(T(u), v) = k(u, T*(v)) = (u, kT*(v))

La unicidad del adjunto implica (kT)* iii)

=

= (u, (kT•)(v))

k T*.

Para vectores cualesquiera u, v E V, ((T1 T;)(u), v) = ( T1 (T2 (u) ), v) = ( T2(u), TT(v)) = =

(u,

T~(Tj(v)))

La unicidad del adjunto implica (T1 T2 )* =

= ( u, (T!Tf)(v))

Ti Tt

iv) Para vectores cualesquiera u, v e V, (T*(u), v) = (v, T*(u)) = ( T(v), u) = ( u, T(v))

La unicidad del adjunto implica (T*)* = T.

14.6.

Probar que: a) I* =I,

y b) o• =

0.

a) Para todos los u, VE V, (l(u), v> = ( u, v) = ( u, I(v)), luego r• = I. b) Para todos los u, vE V, ( O(u), v ) = ( 0, v ) = 0 = ( u, 0) = ( u, O(v)), luego 0*

14.7. Sup6ngase que T es invertible. Mostra r que (T- 1 )* = (T*) - 1 . I = 1* = (IT- 1 )* = (T- 1 )*T*, luego (T- 1 )* =

r• - 1 .

= 0.

516 14.8.

ALGEBRA LINEAL

Sean T un operador lineal en V y W un subespacio T-inva riante de V Probar que WJ. es invariante bajo T*. Sea uE W .l. Si wE W, T(w)E W y asi (w, T*(u)) = ( T(w), u) = 0. De esta manera, T*(u)E W.l ya que es ortogonal a todo wE W. Por tanto, W.l es invariante bajo T"'.

14.9.

Sea T un operador lineal en V. Mostrar que cada una de las siguientes condiciones implica T = 0: i)

(T( u), v)

= 0 para todos los

u, vE V.

ii)

V es un espacio complejo y ( T(u), u) = 0 para todo

iii)

T es autoadjunto y (T(u), u) = 0 para todo u E V.

uE

V.

Dar un ejemplo de un operador Ten un espacio real V para el que ( T(u ), u) = 0 para todo u E V pero T =1= 0. [Asi pues, ii) no se cumple necesariamente para un espacio real V.] i)

Tomemos v = T(u). En tal caso, ( T(u), T(u)) consecuencia, T = 0.

ii)

Por hipotesis, ( T(v + w), v + w) = 0 para cualesquiera v, wE V. Desarrollando y tomando ( T(v), v) = 0 y ( T(w), w) = 0, (T(v), w)

= 0,

+ (T(w), v)

luego T(u) = 0 para todo IIE·V. En

= 0

[I]

Notese que w es arbitrario en[\]. Sustituyendo w por iw y usando (T(v), iw) = i (T(v), w) = = -i(T(v), w) y ( T(iw), v) = (iT(w), v) = i(T(w), v), -i(T(v), w)

+ i(T(w).

v) = 0

Dividiendo por i y sumando el resulado a ·[1] obtenemos ( T(w), v) = 0 para cualesquiera v, wE V. Por i), T = 0. iii)

Por ii) el resultado se cumple en el caso complejo; de ahi que solo necesitemos considerar el caso real. Desarrollando ( T(v + w), v + w) = 0 llegamos nuevamente a (1]. Puesto que T es autoadjunto y el espacio es real, tenemos (T(w), v) = (w:· T(v)) = (T(v), w). Sustituyendolo en [I] obtenemos (T{v), w) = 0 para cualesquiera v, we V. De acuerdo coni), T = 0.

Para nuestro ejemplo, consideremos el operador lineal Ten R 2 definido por T(x, y) = (y, - x). Entonces ( T(u), u) = 0 para todo u E V, pero T 0.

"*

OPERADORES Y MATRICES ORTOGONALES Y UNIT ARIOS 14.10.

Demostrar el Teorema 14.6. Supongamos que se cumple i). Para todo par de vectores v, wE V, ( U(v), U(w)) = ( v, V"'V(w)) = (v, /(w)) = (v, w) De este modo, i) implica ii). Ahora bien, si se verifica ii),

IIV(v)ll = .j(U(v), U(v)) = ~ = llvll Por consiguiente, ii) implica iii). Queda probar que iii) implica i).

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

517

Supongamos que se cumple iii). En ese ca.so, para todo ve V, (U•U(v), v) = (U(v), U(v)) = (v, v) = (J(v), v)

Por tanto, ( (U*U -l)(v), v) = 0 para todo VE v. Pero u•u - 1 es autoadjunto (demuestrese); entonces, por el Problema 14.9, tenemos U* U- I= 0, por lo que U* U =I. Asi que U* = u - •, como se habia anunciado.

14.11.

Sean U un operador unitario (ortogonal) en V y W un subespacio invariante bajo U. Mostrar que W.l tambien es invariante bajo U. Como U es no singular, U(W) = W; esto es, para cualquier we W existe w' e W tal que U(w') = w. Sea ahora veWJ.. Para cualquier weW, ( U(v), w)

=

(U(v), U(w'))

=

(v, w') = 0

De esta manera, U(v) pertenece a W .i. Por tanto, WJ. es invariante bajo U.

14.12.

Demostrar el Teorema 14.9. Supongamos que {v;} es otra base ortonormal y que II;=

b 01 u1

+ b12 u2 + ·· · + b 1.u.

i = 1, .. . , n

[1]

Dado que {v;} es ortonormal, {)ii = ( v;, vi)=

bilb11

+ b;2 b12 + ·· · + b;.bJ•

[2]

Sea B = (b;) Ia matriz de coeficientes en [1]. (Entonces ~ es Ia_!!!atriz de cambia de base desde {u;} basta {v;}.) En tal caso, BB* = (cij), donde cfJ = b; 1 bi1 + b;2 bi2 + ··· + b;•bJ•· Por [2], c;J = {)ii y por consiguiente BB* =I. De acuerdo con esto, B y por tanto BT son unitarias. Resta probar que {u;} es ortonormal. Segim el Problema 6.23,

donde C; denota Ia columna ;-esima de Ia matriz unitaria (ortogonal) P = (a;j). Siendo P unitaria (ortogonal), sus columnas forman un conjunto ortonormal, luego (u;, uj) = (C;, C1) = b;J· Asi pues, {u;} es una base ortonormal.

OPERADORES SIMETRICOS Y FORMAS CANONICAS EN ESPACIOS EUCLIDEOS 14.13.

Sea T un operador simetrico. Probar que: a) el polinomio caracteristico .1.(t) de T es producto de polinomios lineales (sabre R); b) T tiene un vector propio no nulo. a)

Sea A Ia matriz que representa a T respecto a una base ortonormal de V; entonces A = AT. Sea Ll(t) el polinomio caracteristico de A. Viendo A como un operador autoadjunto complejo, A solo tiene valores propios reales en virtud del Teorema 14.4. Siendo asi,

donde los i.; son todos reales. En otras palabras, Ll(t) es producto de polinomios lineales sobre R. b)

Por a), T tiene al menos un valor propio (real). De aqui que T tenga un vector propio no nulo.

518 14.14.

ALGEBRA LINEAL

Demostrar el Teorema 14.11. Se demuestra por inducci6 n en la dimension de V. Si dim V = 1, el teorema se cumple trivialmente. Supongamos ahora dim V = n > I. Segun el Problema 14.1 3, existe un vector propio no nulo v 1 de T. Sean W el espacio generado por v1 y u 1 un vector unitario en W, por ejemplo,

ut

=

vt/ll vtll.

Como v1 es un vector propio de T, el subespacio W de V es invariante bajo T. Por el Problema 14.8, W .L es invariante bajo T"' = T. D e este modo, Ia restricci6n t de T a Wj_ es un operador simetrico. De acuerdo con el Teorema 6.4, V = W E9 W.L. Por tanto, dim W.L = n - I porque dim W = 1. Por inducci6n, existe una base o rtonormal {u 2 , ••• , u.} de W.L que co nsiste en vectores propios de Ty por ende de T. Pero ( u1 , u;) = 0 para i = 2, ... , n puesto que u; E W.L. En consecuencia, {u 1, u 2 , • •. , u.} es un conjunto ortonormal constituido por vectores propios de T. Queda, pues, demostrado el teorema.

14.15.

Encontrar un cambio de coordenadas ortogonal que diagonalice Ia forma cuadratica real definida como q(x, y) = 2x 2 + 2xy + 2y2 . Empezamos hallando la matriz simetrica A que representa a q y despues su po linomio caracteristico ll(t ): it-

(-t2 1) 2

~(t)

y

l -·I

=I t1- A I= t - 2 -1

t- 2

= (t - 1Xt- 3)

Los va1ores propios de A son I y 3, luego Ia forma d iagonal de q es q(x', y') = x' 2

+ 3y'2

Hallamos Ia transformaci6n de coordenadas asociada obteniendo un conj unto ortonormal de vectores propios de A correspo ndientes. Hacemos t = I en la matriz t i - A para llegar al sistema homogeneo.

y= 0

-X-

-x-y = O

Una soluci6n no nula es v 1 = (1, - 1). Ahora hacemos t = 3 en Ia matriz tl - A para encontrar el sistema homogeneo

x -y= O

-x

+y=

0

Una soluci6n no nula es v2 = (1 , 1). Como cabia esperar del Teorema 14.5, v 1 y v2 son ortogonales. Normalizamos v 1 y v2 para obtener la base ortonormal.

{ut

=

(1/.fi, - 1/.ji), U 2

=

(1 /.ji, lf.fi)}

La matriz de transici6n P y Ia transformaci6n de coordenadas requerida son las siguientes:

p

1/.fi t;.fi) = ( -1/.fi 1/.fi

x = (x'

y

0

+ y')j.ji

y = ( -x + y')/.fi

N6tese que las columnas de P son u 1 y u 2 . T ambien podemos expresar x' e y' en terminos de x e y utilizando p- 1 = Pr; esto es, x' = (x-

14.16.

y)fJZ

y' = (x

+ y)/.ji

Demostrar el Teorema 14.12. SeaS = T + T - 1 = T + T*. E ntonces, S* = (T+ T*)"' = P + T = S. Asi que S es un operador simetrico en V Po r el Teorema 14. 11, existe una base ortonormal de V formada por vectores

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODU CTO INTERNO

519

propios de S. Si i. 1• •••• i.., denotan los valores propios distintos de S. V puede descomponerse en Ia sum a direct a V = V1 EEl V2 EE> · · · EE> Vm, don de V; consiste en los vectores propios de S pertenecientes a i.;. Afirmamos que cada V; es invariante bajo T. En efecto. supongamos ce V;: en ese caso. S(r) = i.;!' y S(T(v))

= (T + T - 1)T(v) = T(T + T- 1)(v)

= = TS(v)

T(A.; v)

=

A.1 T(v)

Esto es. T(r)e V;. Por consiguiente. V; es invariante bajo T. Puesto que los V; son ortogonales entre si. podemos limitarnos a investigar como actua T sobre cada V1 individual. En un V1 dado. (T + T - 1 )t• = S(P) = i.1t•. Multiplicand o por T. (T2

-

A.; T

+ /)(v) =

0

Consideramos los cases i.1 = ± 2 y i.; # ± 2 por separado. Si i.; = ± 2. ( T ± 1)2 (t•) = 0. lo que conduce a (T± /)(!') = 0 o T(!') = ± t'. De este modo. T restringido a cste V1 es I o -1. Si i.1 # ± 2. T no tiene vectores propios en V; ya que. segun el Teorema 14.4. los unicos valo res propios de T son I o - I. En consecuencia. para !' # 0 los vectores t• y T(r) son linealmente independientes. Sea W el subespacio generado por l' y T(P}. Entonces W es invariante bajo T porque T(T(v)) = T 2(v) =A.; T(v) - v

En virtud del Teorema 6.4. V1 =WEE! W1 . Ademas. por cl Pro blema 14.8. W1 es tambien invariante bajo T. Siendo asi, podemos descomponer V1 en Ia suma directa de subespacios bidimensionales H') ortogonales entre si e invariantes bajo T. Podemos. pues. limitarnos a investigar como actua T sobre cada H') individual. Dado que T 2 - i.1 T + I = 0. el polinomio caracteristico 6(t) de T actuando sobre H') es 6(t) = t 2 - i.1t + I. Por tanto, el determinante de T es I . el termino constante en 6(t}. De acuerdo con el Teorema 4.6. Ia matriz A que representa a T actuando sobre Hj respecto a una base ortonormal de ~ debe ser de Ia forma

0)

cos 0 ( sen 8

- sen cos 8

La union de las bases de los Hj proporciona una base ortonormal de V;. y Ia de las bases de los V1 una base ortononnal de V en Ia cual Ia matriz que representa a T tiene Ia forma dese.ada.

OPERADORES NORMALES Y FORMAS CANONICAS EN ESPACIOS UNIT ARIOS 14.17.

.

' .

= ( 01

l

Determmar que matnz es normal: a) A

a)

AA*

jx

j)

1 0) = ( 2 1 -i 1 •

-i

=

(1

0

:} b) B =

. (. 1 0)(1 j) ( l j)

A*A =

-i

Como AA* # A* A. la ·matriz A noes normal.

b)

BB* =

c 2: ix -~ 2~)

=

(2 ~ 2i

B*B =( _~ 2~i)C 2:i) =(2~2i Como 88* = 8* B. Ia matriz B es normal.

c

+

2i).

2+

2i) .

2

6

6

1

0

l =

-i

2 .

520 14.18.

ALGEBRA LINEAL

Sea T un operador normal. Demostrar: a)

T(v) = 0 si y solo si T*(v) = 0.

b)

T - A./ es normal. Si T(v) = A.v, necesariamente T*(v) = Xv, luego todo vector propio de T lo es tambien de T* . Si T(v) = A. 1 v y T(w) = A. 2 w con A. 1 =I= A. 2 , necesariamente ( v, w) = 0; o sea, vectores propios de T correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.

c)

d) a)

Probemos que ( T(v), ]1v)) = ( P(v), T*(v)): (T(v), T(v))

b)

=

(v, T*T(v))

= (v, TT*(v)) =

(T*(v), T*(v))

Por consiguiente. de acuerdo con (I 3 ). T(v) = 0 si y solo si P(v) Probemos que T- }.J conmuta con su adju nto:

=

0.

(T- A.IXT -AI)*= (T- J.IXT* -ll) = TT*- A.T* -lT + A.ll = = T*T - i T - J.T*

+ lU =

(T* -lJXT- A.I) =

= (T - J.I)*(T - ).J)

Asi pues, T - A.l es normal. c)

Si T(v) = },v, (T - U)(v) = 0. Ahara bien. T- }.J es normal segun b); por tanto. por a), (T- U)*(v) = 0. Esto es. (T* - XI)(v) = 0. luego P(v) = I v.

d)

Probamos que l 1 ( v, w) = ).2 (v, w):

l 1 (v, w)

= (J. 1 v, w) = (T(v), w) = ( v, T*(w)) = (v, 12 w) = l 2 (v, w)

Pero .J. 1 # ). 2 , luego (v, w) = 0.

14.19. Demostrar el Teorema 14.13. Se demuestra por induccion en Ia dimension de V. Si dim V = I, el teorema se cumple trivialmente. Supongamos ahora dim V = n > I. Como V es un espacio vectorial complejo, T tiene at menos un valor propio y por tanto un vector propio no nulo v. Sean W el subespacio generado por v y u 1 un vector unitario en W. Puesto que v es un vector propio de T, el subespacio W es invariante bajo T. No obstante, v es asimismo un vector propio de T* por el Problema 14.18; de aqui que W sea tam bien invariante bajo P. De acuerdo con el Problema 14.8, w.1. es invariante bajo T** = T. El resto de Ia demostracion es identico a Ia ultima parte de Ia del Teorema 14.11 (Problema 14.14).

14.20.

Demostrar el Teorema 14.14. Se demuestra po r induccion en Ia dimension de V. Si dim V = I, el teorema se cumple trivialmente. Supongamos ahora dim V = n > I. Como V es un espacio vectorial complejo, T tiene al menos un valor propio y por ende un vector propio no nulo v. Sean W el subespacio generado por v y U 1 un vector unitario en W. Entonces u 1 es un vector propio de Ty, digamos, T(uJ = a 11 u 1 . Segun el Teorema 6.4, V = WEB w.1.. Denotemos por E Ia proyecci6n ortogonal de V en w.1.. Claramente w.1. es invariante bajo el operador ET. Por inducci6n, existe una base ortonormal {u2, ... , un} de w.l. tal que para i = 2, ...• n,

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

521

(N6tese que {u 1, u2 , •• • , un} es una base ortonormal de V.) Pero E es Ia proyecci6n ortogonal de V sobre W \ luego debe c umplirse T(uJ

=

a11u 1

+ a 12 u 2 + ·· · + a 11 u 1

para i = 2, ... , n. Esto, con T(u 1 ) = a 11 u 1, nos da el resultado deseado.

PROBLEMAS VARIOS 14.21.

Demostrar el Teorema 14.10A. Supongamos que se cumple i), esto es, que P = T 2 , don de T = T*. En ese caso, P = TT = T* T y asi i) implica ii). Supongamos ahora que se verifica ii). Entonces P* = (S* S)* = S* S** = S* S = P y asi P es autoadjunto. Ademas,

(P(u), u) = (S•S(u), u)

= (S(u), S(u)) ~ 0

De este modo, ii) implica iii), por lo que solo queda probar que iii) implica i). Supongamos que se cumple iii). Dado que P es autoadjunto, existe una base ortonormal {u 1, .• . , un} de V consistente en vectores propios de P; sea, p or ejemplo, P(u1) = A.1 u1. De acuerdo con el Teorema 14.4, los A.1 son reales. Usan
0

~

(P(uJ, u1)

= (~1 u" u1) = ).1(u1, u1)

Asi pues, ( u1, u1) ~ 0 hace forzoso A;~ 0, como se pretendia. En consecuencia, real. Sea Tel operador lineal definido segun

A

es un numero

para i = 1, .. . , n Como Testa representado por una matriz real diagonal respecto a Ia base ortonormal (u1}, T es autoadjunto. Mas aun, para cada i,

Puesto que T 2 y P coinciden sobre una base de V, P = T 2 . Queda, pues, demostrado el teorema. Nota: El operador T precedente es el unico operador positivo tal que P ~ T 2 ; se llama Ia raiz cuadrada positiva de P.

14.22.

Mostrar que cualquier operador T es suma de un operador autoadjunto y uno antiautoadjunto. Tomemos S = t
s• = y

=

i(T - T*). Entonces T = S

(!(T + T*))* = }(T*

+ T) = S -}(T- T*) = - U

+ T*•) =

if• = (!(T- T*))• = }(T*- T) =

+ U, donde

}(T*

es decir, S es autoadjunto y U anti-autoadjunto.

14.23.

Demostrar Ia siguiente afirrnaci6n : Sea Tun operador lineal arbitrario en un espacio con producto internode dimension finita V. Entonces T es producto de un operador unitario (ortogonal) U y un unico operador positivo P, esto es, T = UP. Ademas, si T es invertible, U tambien esta univocamente determinado.

522

ALGEBRA LINEAL

Por el Teorema 14. 10, T*T es un operador positive y por tanto existe un (unico) operador positive P tal que P 2 = T* T (Problema 14.43). Observese que JIP(vW = (P(v), P(v)) = (P2 (v), v)

= (PT(v), v) = ( T(v), T(v)) =

JI T(v) ll 2

[I]

Consideramos ahora por separado las situaciones en que T es invertible y no invertible. Si T es invertible, tomamos 0 = PT- 1 . Probemos que 0 es unitario: y

De este modo, 0 es unitario. A continuacion tomamos U = 0 - ! . En tal caso, U es a su vez unitario y T= UP, como se pedia. Para demostrar Ia unicidad suponemos T= U 0 P 0 con U 0 unitario y P 0 positive. Entonces PT = P~ U~ U 0 P 0

= P 0 IP0

= P~

Pero Ia raiz cuadrada de T* T es (mica (Problema 14.43), luego P 0 = P. (Notese que Ia invertibilidad de T no se ha utilizado para demostrar Ia unicidad de P.) Ahora, si T es invertible, necesariamente lo es P por [1]. Multiplicar por Ia derecha U 0 P =UP por p -t proporciona U 0 = U. Asi U es tam bien unico cuando T es invertible. Supongamos ahora que T no es invertible. Sea W Ia imagen de P, o sea, W = Im P. Definimos U 1 : W--. V seg\m donde

[2]

P(v) = w

Debemos probar que U 1 esta bien delinido, esto es, que P(v) = P(v') implica T(v) = 7(v'). Esto deriva del hecho de que P(v- v' ) = 0 es equivalente a JI P(v- v')ll = 0 que hace forzoso II T(v - v')ll = 0 por [1]. Siendo asi, U 1 esta bien definido. A continuacion definimos U 2 : W .!. --. V. Notese que por [1] P y T tienen el mismo nucleo. Por consiguiente, las imagenes de P y T tienen Ia misma En consecuencia, w.1. e (Im T ).!. tambien dimension, es decir, dim (Im P) = dim W = dim (Im tienen Ia misma dimension. Sea U 2 cualquier isomorfismo entre w.1. e (1m T).J.. Tomamos ahora U = U 1 Ef) U 2 . [Aqui U se define como sigue: si v E V y v = w + w', donde WE W, w' E w.1., U(v) = U 1 (w) + U 2 (w' ).] Ahora bien, U es lineal (Problem~ 14.68) y, si vE V y P(v) = w, por [2],

n.

T(v) = U 1(w) = U(w) = U P(v)

De esta manera, T = UP como se pedia. Falta probar que U es unitario. Todo vector x E V puede escribirse como x = P(v) + w' con w'E W .1.. Entonces U(x) = UP(v) + U 2 (w') = T(v) + U2 (w'), donde (T(v), U 2 (w') ) = 0 por definicion de U 2 . Asimismo, ( T(v), T (v)) = ( P(v), P(v)) por (1]. Tenemos, pues, (U(x), U(x)) = ( T(v) + U 2(w'), T(v) + U 2 (w')) = = (T(v), T(v)) + (U 2(w'), U 2(w')) = = (P(v), P(v)) + (w', w' ) = (P(v) + w', P(v)

+ w') =

= (x, x) [Hemos usado tambien el hecho de que ( P(v), w' ) trade el teorema.

14.24.

=

0.) Por tanto, U es unitario y queda demos-

Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R con producto interno definido mediante

(f, g) =

r

f(t)g(t) dt.

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

523

Dar un ejemplo de funcionaJ lineal ¢ en V para el que no se cumpla el Teorema 14.3, o sea, tal que no exista un poJinomio h(t) para el cual cf>(j) = : V-+ R por (j) = f(O), es decir, evalua f(t) en 0 y por tanto aplica f(r) en su termino constante. Supongamos que existe un polinomio h(t) para el cual {[) = f(O)

=

(I]

rf(t)h(t) dt

r

para todo polinornio f(t) . Observemos que aplica el polinomio tf(t) en 0; de aqui, por (1], tf(t)h(t) dt = 0

[2]

para todo polinornio f(t). En particular, [2] debe verificarse para f(t) = th(t), esto es,

r

t~h~(t) dt = 0

Esta integral hace que h(t) sea el polinomio cero, luego (j) = ( /, h) = ( /, 0) = 0 para todo polinomio f(t). Esto contradice el hecho de que no es el funcional cero; por consiguiente, no existe el polinomio h(t).

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

OPERADORES ADJUNTOS 14.25.

Hallar Ia adjunta de cada una de las siguientes matrices:

3+ 7i)

5- 2i a) A= ( 4- 6i

8

+ 3i

'

b) B =

14.26.

Delinase T : R 3

-+

R 3 por T(x, y, z)

14.27.

Definase T : C 3

-+

C 3 por

=

(x

(3 i

5i)

-2i '

+ 2y, 3x -

c)

C=G ~)

4z, y). Hallar T*(x, y, z).

T(x, y, z) = (ix + (2 + 3i)y, 3x + (3 - i)z, (2 - 5i)y + iz)

Hallar T*(x, y, z). 14.28.

Para cada uno de los siguientes runcionales lineales en V, encontrar un vector u E V tal que (v) = (v, u) para todo ve V: 3

+ 2y -

a)

: R -+ R definido por (x , y, z) = x

b)

: C

c)

: V-+ R definido por (j) = f(l ), donde V es el espacio vectorial del Problema 14.24.

3

--+

3z.

C delinido por (x, y, z) = ix + (2 + 3i)y +(I - 2i)z.

524

ALGEBRA LINEAL

14.29. Sup6ngase que V tiene dimension finita. Demostrar que Ia imagen de T* es el complemento ortogonal del nucleo de T, o sea, Im T* = (Ker T)j_. Por tanto, rango T = rango T*. 14.30.

Mostrar que T*T = 0 implica T = 0.

14.31. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre R con producto interno definido segun
OPERADORES Y MATRICES UNITARIOS Y ORTOGONALES 14.32.

Hallar una matriz unitaria (ortogonal) cuya primera fila sea: a)

14.33.

(2/fo, 3Jji3),

b)

un multiplo de (1, I - i),

Demostrar Ia siguiente alirmaci6n: Los productos y las inversas de las matrices ortogonales son ortogonales. (Las matrices ortogonales forman, pues, un grupo bajo el producto, llamado el grupo ortogonal.)

14.34.

Demostrar Ia siguiente afirmaci6n: Los productos y las inversas de las matrices unitarias son unitarias. (Las matrices unitarias forman, pues, un grupo bajo el producto, llamado el grupo unitario.)

14.35.

Mostrar que si una matriz ortogonal (unitaria) es triangular, es necesariamente diagonal.

14.36.

Recuerdese que dos matrices complejas A y B son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria P tal que B = P* AP. Probar que esta es una relaci6n de equivalencia.

14.37.

Recuerdese que dos matrices reales A y B son ortogonalmente equivalentes si existe una matriz ortogonal P tal que B = pT AP. Probar que esta es una relacion de equivalencia.

14.38. Sea W un subespacio de V. Para cualquier v E V, sea v = w + w' con wE W, w' E Wj_. (Tal suma es unica porque V = W$ Wj_.) Definase T: V--+ V por T(v) = w- w'. Mostrar que T es un operador autoadjunto unitario en V. 14.39. Sea V un espacio con producto interno y sup6ngase que U: V--+ V (no necesariamente lineal) es suprayectivo y preserva los productos internos, o sea, (U(v), U(w)) = (v, w) para todo par de vectores v, WE V. Demostrar que U es lineal y por tanto unitario.

OPERADORES POSITIVOS Y DEFINIDOS POSITIVOS 14.40.

Pro bar que Ia suma de dos operadores positivos (definidos positivos) es positiva (definida positiva).

14.41. Sea Tun operador lineal en Vy definase f: V x V--+ K por f(u, v) = (T(u ), v). Probar que f es a su vez un producto interno en V si y solo si T es definido positivo. 14.42. Sup6ngase que E es una proyecci6n ortogonal sobre algun subespacio W de V. Demostrar que kl + E es positivo (delinido positivo) si k ~ 0 (k > 0).

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

525

14.43. Considerese el operador T definido por T(u;) = fl;u;, i = I, ... , n, en Ia demostracion del Teorema 14.10A. Mostrar que T es positivo y que es el unico operador positivo para el cual T 2 = P. 14.44. Sup6ngase que P es positivo y unitario. Demostrar que P = I. 14.45. Determinar cuales de las siguientes

c~)

son positivas (definidas positivas):

( 00i) (-10 01)

G~)

-i

i)

14.46.

matri~es

ii)

Demostrar que una matriz compleja 2 x 2

iii)

iv)

A=(: :)

es positiva si y solo si: i) A= A*, ii) a, d

v)

vi)

y ad - be son numeros reales no negativos.

14.47. Demostrar que una matriz diagonal A es positiva (definida positiva) si y solo si toda entrada diagonal es un numero real no negativo (positivo).

OPERADORES AUTOADJUNTOS Y SIMETRICOS 14.48. Mostrar que para cualquier operador T, T

+ T*

es autoadjunto y T - T* es anti-autoadjunto.

14.49. Sup6ngase que Tes autoadjunto. Probar que T 2 (v) = 0 implica T(v) = 0. Utilizar esto para demostrar que T'(v) = 0 tambien implica T(v) = 0 para n > 0. 14.50. Sea V un espacio complejo con producto interno. Sup6ngase que ( T(v) , v) es real para todo Probar que T es autoadjunto.

VE

V.

14.51. Sup6ngase que S y T son autoadjuntos. Mostrar queST es autoadjunto si y solo si S y T conmutan, es decir, ST = TS. 14.52.

Para cada una de las siguientes matrices simetricas A , encontrar una matriz ortogonal P para Ia que pr AP sea diagonal:

14.53. Hallar una tra nsformacion ortogonal de coordenadas que diagonalice cada una de las siguientes formas cuadraticas: a) q(x, y) = 2x2 - 6xy + l 0y 2 , b) q(x, y) = x 2 + 8xy - 5y 2 • 14.54. Hallar una transformaci6n ortogonal de coordenadas que diagonalice Ia forma cuadnitica q(x, y, z) = 2xy

+ 2xz + 2yz.

OPERADORES Y MATRICES NORMALES 14.55. Comprobar que

A=(~ ~)

diagonal y halla r P* AP.

es normal. Encontrar una matriz unitaria P tal que P* AP sea

526

ALGEBRA LINEAL

14.56.

Probar que una matriz triangular es normal si y solo si es diagonal.

14.57.

Demostrar que siTes normal en V, II T(v)ll = IIT*(v) ll para todo ve V. Demostrar que el reciproco se cumple en espacios complejos con producto interno.

1458.

Mostrar que los operadores autoadjuntos, anti-autoadju ntos y unitarios (ortogonales) son normales.

14.59. Supongase que T es normal. Demostrar que: a)

T es autoadjunto si y solo si sus valores propios son rea les.

b)

T es unitario si y solo si sus valores propios tienen valor absoluto 1.

c)

T es positivo si y solo si sus valores propios son numeros reales no negativos.

14.60. Pro bar que si T es normal, T y T* tienen el mismo nucleo y Ia misma imagen. 14.61. Supongase que S y T son normales y conmutan. Mostrar que S

+T

y ST tam bien son normales.

14.62. Supongase que T es normal y conmuta con S. Mostrar que T conmuta tam bien con

s•.

PROBLEMAS SOBRE ISOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 14.63. Sea S = {u1 , ... , u.} una base ortonormal de un espacio con producto interno V sobre K . Probar que Ia aplicacion VM[v]s es un isomorfismo (entre espacios con producto intemo) entre V y K". (Aqui [v]s denota el vector coordenado de v en Ia base S.) 14.64.

Mostrar que dos espacios con producto interno V y W sobre K son isomorfos si y solo si V y W tienen Ia misma dimension.

14.65.

Sup6ngase que {u 1 , .•. , u.} y {u'1 , ... , u~} son bases ortonormales de V y W, respectivamente. Sea T: V -+ W Ia aplicaci6n lineal definida segun T(u;) = u; para cada i . Mostrar que T es un isormorfismo.

14.66. Sea V un espacio con producto interno. Recuerdese (pag. 505) que cada u E V determina un funcional lineal u en el espacio dual V* mediante Ia definicion u(v) = ( v, u) para todo ve V. Mostrar que Ia aplicaci6n u M ues linea l y no singular y por ende un isomorfismo de V sabre v•.

PROBLEMAS VARIOS 14.67.

Probar que existe una base ortonormal {u 1 ,

••. ,

y solo si existen proyecciones ortogonales E 1 ,

i) T = J. 1 £ 1

+ .. · + l,E,;

ii) £ 1

u.} de V que consiste en vectores propios de T si

. • •,

E, y escalares ). 1 ,

+ ·· · + E, =I;

••. , ).,

tales que:

iii) E;EJ = 0 para i ""j

14.68. Sup6ngase que V = U Ef1 W y que T 1 : U--. V y T2 : W--+ V son lineales. Probar que T = T1 EfJ T2 es tam bien lineal. Aqui T se define como sigue: Si v e V y v = u + w, donde u e U, we W, T(v) = T 1(u)

+ T 2 (w)

14.69. Sup6ngase que U es un operador ortogonal en R 3 con determinante positivo. Probar que U es bien una rotaci6n o bien una reflexi6n en un plano.

527

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

5 + 2i 4 + 6i} 14..15. a) ( 3- 7i 8- 3i

c)

14.26.

T*(x, y, z) = (x + 3y, 2x + z, -4y).

14.27.

T*(x, y, z) = (- ix + 3y, (2 - 3i)x + (2 + 5i)z, (3

14.28. a) u = (1, 2, - 3),

14.32. a)

14.45.

/JO (23/JO

+ i)y- iz).

·b) u = (- i, 2 - 3i, 1 + 2i),

3/JO)

b) (

-2/fo '

c) u = (18t1

1/J3 (l - •11J3\ (l + •11.fi - 1/J3 !

c)

8t + 13)/15.

-

t i/.fit ( 2

t- ti)

fi -1/./i

-!i

0

- t+ti

Solo i) y v) son positivas. Mas aun, v) es definida positiva.

14.52. a)

P

14.53. a) x

= (

=

21./5 -1/jS

- 1!./5\

b)

p = (

2/JS!

(3x'- y')/.jiO,

P·=(1ll./i /.fi - 1/.fi), 1/.fi

2/JS - t/JS

y = (x' + 3y')/Ji0,

14.54. x = x'l.fi + .YI./i + z'/J6, 14.55.

G ~)

y

- l!JS\

0

p

O)

2-

i

= (

3/ JlO

-t;JiO

b) x = (2x' - y')/ j5,

= x'l.fi- y'f.fi + z'/J6,

P*AP=(Z+i

c)

2/}5!

- 1/.jiO) 3/.jiO

y = (x' + 2y')/ j5.

z = x'f.fi - 2z'/J6.

APENDICE

Conjuntos y relaciones

CONJUNTOS, ELEMENTOS Cualquier coleccion o Iista de objetos bien definidos se llama un conjunto; los objetos que forman el conjunto se Haman sus elementos o miembros. Escribimos pEA

si p es un elemento del conjunto A

Si todo elemento de A pertenece tambien a un conjunto B, es decir, si xeA implica xEB, entonces llamamos a A un subconjunto deB o se dice que A esta contenido en B; esto se denota por AcB

o

B=>A

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos; esto es, A = B

si y solo si

A c B

y

Bc A

Las negaciones de pEA, A c B y A = B se escriben p ~A, A ¢ B y A #- B,. respectivamente. Especificamos un conjunto particular escribiendo todos sus elementos o estableciendo las propiedades que caracterizan los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, A= {1, 3, 5, 7, 9}

significa que A es el conjunto forma do por los numeros I, 3, 5, 7 y 9; y B

528

= {x: x es un numero primo, x < 15}

APENDICE

529

significa que B es el conjunto de los numeros primos menores que 15. Tambien empleamos simbolos especiales para representar los conjuntos que aparecen muy frecuentemente en el texto. A menos que especificamente se establezca lo contrario: N = el Z = el Q = el R = el C = el

conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto

de de de de de

los los los los los

enteros positives: 1, 2, 3, ... ; enteros: ... , -2, - 1, 0, I, 2, ... ; numeros racionales; numeros reales; numeros complejos.

Tambien usamos el simbolo (/) para denotar el conjunto vacio o nulo, esto es, el conjunto que no contiene elementos; suponemos que este conjunto es un subconjunto de cualquier conjunto. Frecuentemente los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Por ejemplo, cada recta en un conjunto de rectas es un conjunto de puntos. Para ayudar a clarificar estas situaciones usamos las palabras Close, coleccion y familia como sin6nimos con conjunto. Las palabras subclase, subcoleccion y subfamilia tienen significado analogo al de subconjunto. EJ EM PLO 1.

Los conjuntos A y B anteriores tam bien se pueden escribir asi A = {xeN: x es impar,

x < 10}

y

B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

Observese que 9eA , pero 9~B, y 11 eB, pero ll ~A; mientras que 3EA y 3eB, y 6¢A y 6if=B. EJ EM PLO 2.

Los conjuntos de numeros se relacionan de Ia siguiente manera: N c Z c Q c R c C.

EJEMf>LO 3 .

Sea C = {x: x 2 = 4, xes impar}. Entonces C = (/), esto es, C es el conjunto vacio.

EJEMPLO 4.

Los elementos de Ia clase {{2, 3}, {2}, {5, 6}} son los conjuntos {2, 3}, {2} y {5, 6}.

Tenemos ahora el Teorema 1: Sean A, B y C conjuntos arbitrarios. Entonces: i) A c A; ii) si A c B y B c A , entonces A = B , iii) si A c B y B c C, entonces A c C. Recalcamos que A c B no excluye Ia posibilidad de que A= B. Sin embargo, si A c B y A -# B , decimos eritonces que A es un subconjunto propio de B. (Algunos autores usan el simbolo s;;; para un subconjunto y el simbolo c unicamente para un subconjunto propio.) Cuando hablamos de un conjunto indizodo {a1 :ieJ}, o simplemente {a;}, significamos que existe una aplicaci6n 4J del conjunto I en un conjunto A y que Ia imagen 4J(i) de i E I se representa por o;. El conjunto I se llama el conjunto de indices y se dice que los elementos o; (el recorrido de 4J) estan indizados por 1. Un conjunto {a1 , a 2 , ... } indizado por los enteros positives N se llama una sucesion. Una clase indizada de conjuntos {A;:iel}, o simplemente {A;}, tiene un significado analogo, salvo que ahora Ia aplicaci6n 4J asigna a cad a i E I un conjunto A; en Iugar de un elemento a;.

530

ALGEBRA LINEAL

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos arbitrarios. La union de A y B, escrita A v B, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B ; Ia interseccion de A y B , escrita A n B, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y B simultaneamente: A uB = {x :xEA

o

xE B}

y

AnB = {x :xE A y

xEB}

Si An B = (/), esto es, si A y B no tienen elementos en comun, se dice entonces que A y B son disjuntos. Suponemos que todos nuestros conjuntos son subconjuntos de un conjunto universal fijo (denotado aqui por U). El complemento de A , escrito Ac, es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A: Ac

= {xE U :x ¢A}

EJEM PLO 5. Los diagramas siguientes, llamados diagramas de Venn, ilustran las operaciones anteriores entre conjuntos. Los conj untos se representan por areas planas simples y U, el conjunto universal, por el area total del rectangulo. .

A u B esta sombreado

A n B esta sombreado

Ac esta sombreado

Los conjuntos con las operaciones anteriores satisfacen varias !eyes o identidades que estan escritas en Ia tabla siguiente. En efecto, tenemos el Teorema 2:

Los conjuntos satisfacen las !eyes enunciadas en Ia Tabla I.

APENDICE

531

Tabla 1 LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS Leyes de idempotencia

Ia.

lb.

AvA=A

A nA=A

Leyes asociativas

2a.

3a.

2b.

(A v B ) v C = Au (B v C)

(An B) n C =An (B n C)

Leyes conmutativas 3b. A n B=B n A

AvB = BuA

Leyes distributivas

4a.

A u ( B n C) = (Au B) n (Au C)

Sa. 6a.

AvQ) = A AvU= U

4b.

An (B u C) = (An B) u (An C)

Leyes de identidad

5b. AnU=A 6b. An
7a. A u A'= U 8a. (A'Y = A

7b. 8b.

A nAc =
Leyes de De Morgan

9a.

Observacion:

(Au B)<= A' n 8'

9b.

(A n B)' = A' v 8'

Cada una de las !eyes anteriores se deduce de una ley 16gica analoga. Por ejemplo,

AnB={x:xeA

y

xe B} ={x:x e B y xeA }= B n A

(Aqui aprovechamos el hecho que Ia proposici6n compuesta «p y q», escrita p equivalente a Ia proposici6n compuesta «q y p>>, esto es, q 1\ p.)

1\

q, es 16gicamente

La siguiente es la relaci6n entre Ia inclusion de conjuntos y las operaciones anteriores. Teorema 3:

Cada una de las condiciones siguientes es equivalente a A c B:

i) A n B = A. ii) AuB =B. iii) Be c A'. iv) An B' = ([>. v) BuA'=U. Generalizamos las operaciones anteriores entre conjuntos de Ia siguiente manera. Sea {A;:ie l } una familia arbitraria de conjuntos. La union de los A;, escrita U;e 1 A; (o simple-

532

ALGEBRA LINEAL

mente U;A;), es el conjunto de los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los A,; y Ia interseccion de los A;, escrita n;e 1 A; (o simplemente n;A;), es el conjunto de los elementos que pertenecen a todos los A; simultaneamente.

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de los conjuntos A y B, denotado por A x B, esta formado por todos los pares ordenados (a, b), donde aeA y beB: Ax B ={(a, b):aeA, beB}

El producto cartesiano de un conjunto par si mismo, por ejemplo A x A , se denota por A 2 . El lector esta familiarizado con el plano cartesiano R 2 = R x R, como se muestra a continuaci6n. Cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de numeros reales y viceversa. EJEMPLO 6.

2 bt-- ----, p

- 3 -2 - 1

I

2 a

3

- 1

-2 EJEMPLO 7.

Sea A= {1 , 2, 3} y B ={a, b}. Entonces A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Nota: La pareja ordenada (a, b) se define rigurosamente par (a, b)= {{a}, {a, b}}. De esta definicion puede probarse Ia propiedad de «arden», esto es, (a, b) = (c, d) si y solo si a= c y b =d. El concepto de producto cartesiano de conjuntos puede extenderse a cualquier numero finito de conjuntos en una forma natural. El conjunto producto cartesiano de los conjuntos A 1 , • .. , A,, escrito A 1 x A 2 x · · · x Am, es el conjunto formado por todas las m-uplas (a 1 , a 2 , . • • , am), donde a, e A, para cad a i.

RELACIONES Una relacion binaria, o simplemente una relacion R de un conjunto A a un conjunto B, asigna a cada pareja ordenada (a, b) E A x B exactamente una de las siguientes proposiciones: i) «a esta relacionada con b», escrita aRb. ii) «a no esta relacionada con b», escrita a ]/l.. b . . Una relacion de un conjunto A al mismo conjunto A se llama una relaci6n en A.

APENDICE

533

EJEMPLO 8. La inclusion de conjuntos es una relacion en cualquier clase de conjuntos. Puesto que dado cualquier par de conjuntos A y B, o bien A c B o A ¢B.

Observamos que cualquier relaci6n R de A a B define un subconjunto tmico de Ia siguiente manera:

R de

A x B

R ={(a, b): aRb} Reciprocamente, cualquier subconjunto manera: aRb

R de A

x B define una relaci6n de A a B de la siguiente

si y solo si

(a, b)eR

En virtud de Ia correspondencia anterior entre las relaciones de A a B y los subconjuntos de A x B , volvemos a definir umi relaci6n en Ia siguiente forma: Definicion:

Una relaci6n R de A a B es un subconjunto de A x B.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una relaci6n en un conjunto A se llama una relacibn de equivalencia si satisface los siguientes axwmas:

IE t1 Cualquier a e A esta relacionado consigo mismo. IE 2 1 Si a esta relacionado· con b, entonces b esta relacionado con a. IE3 I Si a esta relacionado con by b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado con c. En general se dice que una relaci6n es rejlexiva si satisface IE 1 1, simetrica si satisface IE2 1 y transitiva si satisface IE3 I. En otras palabras, una relaci6n es una relaci6n de equivalencias si es reflexiva, simetrica y transitiva. EJEMPLO 9. Consideremos la relacion c de inclusion de conjuntos. Por el Teorema l, A c A para todo conjunto A; y si A c B y B c C, entonces A c C, esto es, c es refiexiva y transitiva. Por otra parte, c noes simetrica, ya que A c By A'# B implica B¢ A. EJEM PLO 10. En geometria euclidiana, Ia similaridad de triangulos es una relacion de equivalencia. Pues si ct., {3 y y son triangulos arbitrarios, entonces: i) ct. es similar a si mismo; ii) si ct. es similar a {3, entonces {3 es similar a a:; iii) si !l es similar a f3 y f3 similar a y, entonces ct. es similar a y.

Si R es una relaci6n de equivalencia en A, entonces Ia clase de equivalencia de cualquier elemento a E A, denotada por [a], es el conjunto de los elementos con los cuales a esta relacionado: [a]= {x:aRx}

La colecci6n de las clases de equivalencia, denotada por AfR, se llama el cociente de A por R: AfR = {[a]: aeA}

534

ALGEBRA LINEAL

La siguiente es Ia propiedad fundamental de las relaciones de equivalencia: Teorema 4: Sea R una relaci6n de equivalencia en A. Entonces el conjunto cociente A/R es una particion de A, esto es, cada aEA pertenece a un miembro de A /R y los miembros de A/R son disjuntos dos a dos. EJ EM PLO 11 . Sea R 5 Ia relaci6n en Z, el conjunto de los enteros definido por

x

=y (mod 5)

que se lee «xes congruente a y modulo 5» y lo cual significa que «x- y es divisible por 5». Entonces R 5 es una relacion de equivalencia en Z. Hay exactamente cinco clases diferentes de equivalencia en ZfR 5 :

A0 = { ... , -10, -5, 0, 5, 10} A1 = { ... , -9, -4, 1, 6, 11} A 2 = { ... , -8, -3, 2, 7, 12} A3 = { ... , -7, -2, 3, 8, 13} A 4 = { ... , -6, -1, 4, 9, 14}

Como cada entero x se puede expresar en forma \mica, x = 5q + r, donde 0 ~ r < 5; observamos que xEA,, donde r es el residuo. Se puede ver que las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos y que Z = A0 u A 1 u A2 u A 3 u A4.

Estructuras algebraicas

INTRODUCCION Definimos aqui las estructuras algebraicas que aparecen en casi todas las ramas de la matematica. En particular, definimos lo que es un cuerpo (o campo), concepto que aparece en Ia definicion de un espacio vectorial. Empezamos definiendo grupo, que es una estructura algebraica relativamente simple con unicamente una operaci6n y que se usa como una base para muchos otros sistemas algebraicos.

GRUPOS Sea G un conjunto no vacio con una operaci6n binaria, esto es, a cada par de elementos a, bEG se le asigna un elemento abE G. Entonces G se llama un grupo si se cumplen los siguientes axiom as: IG 1 1 Para todo a, b, cEG, tenemos (ab)c = a(bc) (Ia ley asociativa). IG2 I Existe un elemento e E G, llamado el elemento identidad, tal que ae = ea = a para IG 3 1

todo aE G. Para cada aEG existe un elemento a- 1 EG, llamado el inverso de a, tal que aa- 1 = a- 1 a =e.

Se dice que un grupo G es abeliano (o tambien conmutativo) si cumple Ia ley conmutativa, esto es, si ab = ba para todo a, bEG. Cuando Ia operaci6n binaria se representa por yuxtaposici6n como antes, se dice que el grupo G esta escrito multiplicativamente. Algunas veces, cuando G es abeliano, Ia operaci6n binaria se representa por + y se dice que G esta escrito aditivamente. En tal caso, el elemento identidad

535

536

ALGEBRA LINEAL

se denota por 0 y se llama el elemento cero; y el inverso se denota por - a y se llama el negativo de a. Si A y B son subconjuntos de un grupo G, entonces escribimos

AB = {ab:aeA, beB}

0

A+ B ={a+ b:aeA, beB}

Tambien escribimos a por {a}. Un subconjunto H de un grupo G se llama un subgrupo de G si el mismo es un grupo para la operaci6n de G. Si H es un subgrupo de G y ae G, entonces el conjunto Ha se llama un cogrupo a derecha de H y el conjunto aH se llama un cogrupo a izquierda de H.

Definicion: Un subgrupo H de G se llama un subgrupo normal si a- 1 Hac: H para todo aEG. En forma equivalente, H es normal si aH = Ha para todo a e G, esto es, silos cogrupos a derecha y a izquierda de H coinciden. Observamos que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. Teorema 1: Sea H un subgrupo normal de G. Entonces los cogrupos de H en G forman un grupo para la multiplicaci6n de cogrupos. Este grupo se llama el grupo cociente y se denota por Gf H. EJ EMPLO 1. El conjunto Z de los enteros forma un grupo abeliano para Ia adici6n. (Observamos que los enteros pares forman un subgrupo de Z pero to enteros impares no.) Sea H el conjunto de los multiplos de 5, esto es, H = { ... , -10, -5, 0, 5, 10, ...}. Entonces H es un subgrupo (necesariamente normal) de Z. Los cogrupos de H en Z son

0=0+H = H={ ... , - 10, -5, 0,5, 10, ...}

I = I + H = {... , 2 = 2 + H = {... , 3 = 3 + H = { ... , 4 = 4 + H = { ... ,

- 9, - 8, -7, -6,

-4, - 3, -2, - 1,

I, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9,

11, 12, 13, 14,

...} ...} ...} ...}

Para cualquier otro entero n E Z, ii = 11 + H coincide con uno de los cogrupos anteriores. Luego, por el teorema anterior, Z/H = {0, i, 2, 3, 4} forma un grupo para la adici6n de cogrupos; Ia siguiente es Ia tabla de adici6n:

I

2

0

1

I 2

2 3 4 6

2 3 4 6 1

+

0

0 I

2 3 4

3 4

3

4

3

4

4

0

0 i

I

2

2 3

Este grupo cociente Z /H se conoce como el de los enteros modulo 5 y se representa frecuentemente por Z 5 . Amilogamente, para todo entero positivo 11 ex.iste el grupo cociente z., llamado los enteros modulo tl.

APENDICE

537

EJEMPLO 2. Las permutaciones de n simbolos forman un grupo para la composici6n de aplicaciones; se llama el grupo simetrico de grado n y se denota por s•. lnvestigamos S 3 ; sus elementos son

e=C U

C !) 2

Aqui

j

1

2 2

~)

02

=G ~)

a3

=G D

2

2 3

cf>t =

2

2

=C D

cf>t =

c c

2 23 31)

3 2I 3) 2

es Ia permutaci6n que a plica l Hi, 2 H j , 3 H k. La tabla de multiplicaci6n de s3 es

e

at

Uz

a3

cf>t

¢2

e

e

a,

Oz

a3

¢,

¢z

at

a,

e

cf>t

cf>2

02

03

Oz

Uz

cf>z

e

¢,

(73

a,

(J 3

03

cf>t

¢2

e

al

02

cf>t

cf>t

(J3

a,

az at

cf>2

e

e

cf>t

¢2

¢2

a2

a3

(El elemento en Ia fila a-esima y columna b-esima es ab.) El conjunto H sus cogrupos a derecha y a izquierda son

=

{e, a 1 } es un subgrupo de S 3 ;

Cogrupos a derecha

Cogrupos a izquierda

H = {e, at}

H={e,at} cf> 1 H = {¢ 1 , a 3 }

Hcf>t

=

H¢2

=

{cf>t, a2} {cf>z, a3}

cf>z H = {¢2, az}

Observamos que los cogrupos a derecha y a izquierda son diferentes; por tanto, H no es un subgrupo normal de s3.

Una aplicaci6n f de un grupo G en un grupo G' se llama un homomor[ISmo si f(ab) = f(a) f(b) para todo a, bE G. (Si f es tam bien biyectiva, esto es, uno-a-uno y sobre, entonces f se llama un isomorfismo y G y G' se dice que son isomorfos. Si f : G -+ G' es un homomorfismo, entonces el nucleo de f es el conjunto de elementos de G que se aplican en el elemento identidad e' E G': nucleo de f = {aE G :f(a) = e'} (Como es corriente, f(G) se llama Ia imagen de Ia aplicaci6n

f: G-+ G'.) Tenemos

ahora el

Teorema 2: Seaj : G-+ G' un homomorfismo con nucleo K . Entonces K es un subgrupo normal de G y el grupo cociente G/ K es isomorfo a Ia imagen de f.

538

ALG EBRA LINEAL

EJEMPLO 3 . Sea Gel grupo de los mimeros reales pa ra Ia adici6n y sea G' el grupo de numeros reales positivos para Ia multiplicaci6n. La aplicaci6n f: G -+ G' definida por f(a) = 2" es un homomorfismo ya que

f(a +b) = 2•+b = 2"2b = f(a)f(tJ) En particular, f es biyectiva; Juego G y G' son isomorfos. EJEMPLO 4 . Sea Gel grupo de los numeros complejos diferentes de cero para Ia multiplicaci6n y sea G' el grupo de los numeros reales diferentes de cero para Ia multiplicaci6n. La aplicaci6n f: G -+ G' definida por f(z) = lzl es un homomorfismo ya que

El nucleo K de f esta formado por los numeros complejos z sobre el circulo unitario, esto es, tales que lzl = I. Luego G/K es isomorfo a Ia imagen de f, es decir, al grupo de los numeros reales positives para Ia multiplicacion.

ANILLOS, DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y CUERPOS Sea R un conjunto no vacio con dos operaciones binarias, una operaci6n de adici6n (denotada por +) y una operaci6n de multiplicaci6n (denotada por yuxtaposici6n). Entones R se llama un anillo si cumple los siguientes axiomas: [Rd

[R 2 ] [R 3]

[R4 )

[R 5 ] [R 6 ]

Para todo a, b, cER tenemos (a+ b)+ c =a+ (b +c). Existe un elemento 0 E R, llamado el elemento cero, tal que a + 0 = 0 + a = a para todo aER. Para cada a E R existe un elemento -a E R, llarnado el negativo de a, tal que a+ ( - a) = (-a)+ a= 0. Para todo a, bE R tenemos a + b = b + a. Para todo a, b, cE R tenemos (ab)c = a(bc). Para todo a, b, c E R tenemos i) a(b +c)= ab + ac, ii) (b + c)a = ba +ca.

Observamos que los axiomas [Rd basta [R4 ) pueden resumirse diciendo que R es un grupo abeliano para Ia adici6n. La sustracci6n se define en R par a - b a + (- b }. Se puede demostrar que (vease el Problema 25) a· 0 = 0 ·a = 0 para todo a E R . R se llama un anillo conmutativo si ab = ba para todo a, bE R. Decimos tam bien que R es un anillo con elemento identidad si existe un elemento diferente de cero 1 E R tal que a·!= !·a= a para todo aER. Un subconjunto no vacio S de R se llama un subanillo de R siS mismo forma un anillo para las operaciones de R. Observamos que S es un subanillo de R si y solo si a, bES implica a- bES y abES. Un subconjunto no vacio I de R se llama un ideal a izquierda en R si: i) a - b E I siempre que a, bEl, ii) ra E! para rER , aEI. Se observa que un ideal a izquierda I en R es tambien un subanillo de R. Similarmente podemos delinir un ideal a derecha y un ideal bilatero.

=

APENDICE

539

Claramente, todos los ideales en un anillo conmutativo son bilateros. Empleamos Ia palabra ideal para hablar de los ideales bilateros a menos que especificamente se diga lo contrario. Teorema 3: Sea I un ideal (bilatero) en un anillo R. Entonces los cogrupos {a+ I :ae R } forman un anillo para la adici6n y multiplicaci6n de cogrupos. Este anillo se denota por R /1 y se llama el anil/o cociente. Ahora sea R un anillo conmutativo con elemento identidad. Para todo a E R , e1 conjunto (a)= {ra:reR} es un ideal; se llama el ideal principal generado por a. Si todo ideal en Res un ideal principal, entonces R se llama un anillo de ideates principales. Definicion: Un anillo conmutativo R con elemento identidad se llama un dominio de integridad si R no tiene divisores de cero, esto es, si ab = 0 implica a = 0 o b = 0. Definicion: Un anillo conmutativo R con elemento identidad se llama un cuerpo (o tambien un campo) si todo a E R diferente de cero tiene un inver so multiplicativo, esto es, existe un elemento a - 1 E R tal que aa- 1 = a- 1 a = l. Un cuerpo es necesariamente un dominio de integridad, pues si ab = 0 y a

t= 0,

entonces

Hacemos notar que un cuerpo puede considerarse como un anillo conmutativo en el cual los elementos diferentes de cero forman un grupo para la multiplicaci6n. EJ EM PLO 5. El conjunto Z de los enteros con las operaciones usuales de adici6n y multiplicaci6n es el ejemplo chisico de un dominio de integridad con elemento identidad. Todo ideal I en Z es un ideal principal, esto es, I= (n) para algun entero n. El anillo cociente z. = Z / (n) se llama el anillo de los enteros modulo n. Sines primo, entonces z. es un cuerpo. De otra parte, si n noes primo, entonces z. tiene divisores de cero. Por ejemplo, en el anillo Z 6 , 23 = 0 y 2 ;e. 0 y 3 ;e. 0. EJEMPLO 6. Los mimeros racionales Q y los numeros reales R, cada uno de ellos, forman un cuerpo para las operaciones corrientes de adici6n y multiplicaci6n. EJ EM PLO 7. Sea C el conjunto de las parejas ordenadas de nllrneros reales con Ia adicion y Ia multiplicacion definidas por

(a, b)+ (c, d) = (a+ c, b +d) (a, b)· (c, d) = (ac- bd, ad+ be) Entonces C satisface todas las propiedades requeridas de un cuerpo. En efecto, C es precisamente el cuerpo de los numeros complejos. EJ EM PLO 8. El conjunto M de todas las matrices 2 x 2 con componentes reales forma un anillo no conmutativo con divisores de cero para las operaciones de adici6n y multiplicacion de matrices. EJEMPLO 9. Sea R un anillo cualquiera. Entonces el conj unto R[x] de todos los polinomios sobre R forma un anillo con respecto a las operaciones corrientes de adicion y multiplicaci6n de polinomios. Ademas, si R es un dominio de integridad, entonces R [xJ tam bien es un dominio de integridad.

540

ALGEBRA LINEAL

Sea Dun dominio de integridad. Decimos que b divide a a enD si a= be para algun cE D. Un elemento u ED se llama una unidad si u divide a I, esto es, si u tiene un inverso multiplicativo. Un elemento b ED se llama un asociado de a ED si b = ua para alguna unidad u ED. U n elemento no unidad p ED se dice irreducible si p = ab implica que a o b son unidades. Un dominio de integridad D se llama un dominio de f actorizacion unica si cualquier elemento no unidad a ED puede escribirse en forma unica (salvo asociados y el orden de los elementos) como un producto de elementos irred ucibles. EJEMPLO 10. El anillo Z de los enteros es el ejemplo clasico de un dominic de factorizacion unica. Las unidades de Z son I y - I . Los imicos asociadas de n e Z son 11 y - n. Los elementos irreducibles de Z son los numeros primos. EJEMPLO 11.

El conjunto D ={a + bjl3:a, b enteros} es un dominic de integridad. Las unidades

de D son ± 1, 18 ±5Ji3 y -18 ± 5Ji3. Los elementos 2, 3 Observemos que 4 = 2 · 2 = (3 (Vease el Problema 40.)

fo

y

- 3-

Jl3 son irreducibles en D.

ji3) (- 3 - .jlJ). P or tanto , D no es un dominio de factorizaci6n unica.

MODULOS Sea M un conjunto no vacio y sea R un anillo con elemento identidad. Se dice que M es un R-mOdulo (a izquierda) si M es un grupo aditivo abeliano y existe una aplicaci6n R x M--+ M que satisface los siguientes axiomas: [M d r(m1 + m2 ) = rm 1 + rm 2 [M 2 ] (r + s)m = rm + sm [M:d (rs)m = r(sm ) [M4 ] l·m = m para todo r, SE R y todo mi E M. Recalcamos que un R-modulo es una generalizaci6n de un espacio vectorial donde unicamente pedimos a los escalares que formen un anillo en Iugar de un cuerpo. EJ EM PLO 12. Sea G un grupo aditivo abeliano arbitrario. Hacemos de G un modulo sobre el anillo Z de los enteros definiendo

n veces

,--""-..,

ng = g + g + ... + g,

Og

=

0,

( -n)g = - ng

donde n es cualquier entero positivo. EJ EM PLO 13. Sea R un anillo y sea I un ideal en R . Entonces 1 puede considerarse como un modulo sobre R. EJEMPLO 14. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea T : V -+ V una aplicaci6n lineal. H acemos de V un mOdulo sobre el anillo K lxl de los polinornios sobre K definiendo f (x)v = f(T)(v). El lector comprobani que Ia multiplicaci6n por escalar queda bien definida.

APENDICE

541

Sea M un modulo sobre R. Un subgrupo aditivo N de M se llama un submodulo de M si ueN y keR implican kueN. (Notamos que N es entonces un modulo sobre R.) Sean M y M' dos R-m6dulos. Una aplicaci6n T: M--+ M' se llama un homomorfismo (o tambien R-homomorfismo o R-lineal) si i) T(u

+ v) =

T(u)

+ T(v)

y

ii) T(ku) = kT(u)

para todo u, veM y todo keR.

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

GRUPOS l.

Determinar cuales de los siguientes sistemas forman un grupo G: i)

G

= conjunto de

los enteros, operacion sustraccion.

= {1, - 1}, operaci6n multiplicacion. iii) G = conjunto de los numeros racionales diferentes de cero, operacion division. iv) G = conjunto de las matrices no singulares n x n, operacion multiplicacion de matrices. v) G = {a + bi: a, bE Z}, operacion adicion. ii)

2.

G

Mostrar que en un grupo G i)

el elemento identidad de G es unico;

ii)

cada a E G tiene un invers"o unico a- 1 E G;

iii)

(a-

1 )- 1

=a y (ab)- 1 = b- 1 a- 1 ;

iv) ab = ac implica b = c y ba = ca implica b = c.

3.

En un grupo G, las potencias de a E G se definen por

Mostrar que las formulas siguientes se cumplen para enteros arbitrarios r, s, tEZ: i) a' a• = ar+', ii) (a')' = ars, iii) (ar+s)' = ci'r+sr. 4.

Mostrar que si G es un grupo abeliano, entonces (ab )" = a• b" para todo a, bEG y cualquier entero nEZ.

5.

Supongamos que G es un grupo tal que (ab) 2

6.

Supongamos que H es un subconjunto de un grupo G. Mostrar que H es un subgrupo de G si y solo si: i) H es no vacio, ii) a, bEH implica ab- 1 EH.

7.

Demostrar que Ia intersecci6n de cualquier numero de subgrupo de G tambien es un subgrupo de G.

2

= a b

2

para todo a, bEG. Mostrar que G es abeliano .

542 8.

ALGEBRA LINEAL

Mostrar que el conjunto de todas las potencias de aeG es un subgrupo de G; este se llama el grupo ciclico generado por a.

9.

Se dice que un grupo G es ciclico si G es generado por algun aeG, esto es, G = {a": neZ} . Mostrar que cualquier subgrupo de un grupo ciclico es ciclico.

10.

Supongamos ue G es un grupo ciclico. Mostrar que G es isomorfo al conjunto Z de los enteros para Ia adici6n o a! conjunto Z" (de los enteros modulo n) para Ia adici6n.

11.

Sea H un subgrupo de G. Mostrar que los cogrupos a derecha (a izquierda) de H particionan a G en subconjuntos disjuntos dos a dos.

12.

El arden de nn grupo G denotado por IGI es el numero de elementos de G. Demostrar el teorema de Lagrange: Si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces IHI divide a IGI.

13.

Supongamos que

IGI =

p, donde p es primo. Mostrar que

G es ciclico.

14. Supongamos que H y N son dos subgrupos de G con N normal. Mostrar que: i) HN es un subgrupo de G, ii) H n N es un subgrupo normal de G. 15.

Sea H un subgrupo de G con dos cogrupos unicamente a derecha (a izquierda). Mostrar que H es un subgrupo normal de G.

16.

Demostrar el Teorema 1: Sea Hun subgrupo normal de G. Entonces los cogrupos de Hen G forman un grupo Gf H para Ia multiplicaci6n de cogrupos.

17.

Supongamos que G es un grupo abeliano. M ostrar que cualquier grupo factor G(H tambien es a beliario.

18.

Sea f: G i) ii)

-+ G'

un homomorfismo de grupos. Mostrar que

f(e) = e', donde e y e' son los elementos identicos de G y G' respectivamente; f(a- 1 )=f(a)- 1 para todo a e G.

19.

Demostrar el Teorema 2: Sea f: G--. G' un homomorfismo de grupos con nucleo K. Entonces K es un subgrupo normal de G y el grupo cociente Gf K es isomorfo a Ia imagen de f.

20.

Sea G el grupo multiplicativo de los numeros complejos z tales que de los numeros reales. Probar que G es isomorfo a R/Z.

21.

Para un elemento fijo ge G sea g: G -+ G definida por g(a) = g- 1 ag. Mostrar que g es un isomorfismo de G sobre G.

22.

Sea G el grupo multiplicativo de las matrices n x n no singulares sobre R. Mostrar que Ia aplicaci6n A.....,.IAI es un homomorfismo de Gen el grupo multiplicativo de los numeros reales diferentes de cero.

23.

Sea G un grupo abeliano. Para un elemento fijo nEZ, mostrar que Ia aplicaci6n homomorfismo de G en G.

24.

Supongamos que H y N son dos subgrupos de G con N normal. Probar que H n N es normal en H y H j (H n N) es isomorfo a H N/N.

lzl = I

y sea R el grupo aditivo

a~-->a"

es un

APENDICE

543

ANILLOS 25.

M ostrar que en un anillo R : i) a· 0 = 0 ·a= 0, ii) a( -b) = ( -a)b = -ab, iii) (-a) ( - b) = ab.

26.

Mostrar que en un anillo R con un elemento identidad: i) ( -l)a = - a, ii) ( - 1)( - I) = l.

27.

Supongamos que a 2 =a para todo aER. Probar que Res un anillo conmutativo. (Un anillo con esta propiedad se llama un ani/lo booleano.)

28. Sea R un anillo con elemento identidad. Formamos con R otro anillo ft. definiendo a 67 b = a+ b + 1 y a· b = ab + a+ b. i) Verificar que R es un anillo. ii) Determinar los elementos 0 y 1 de R. 29. Sea Gun grupo (aditivo) abeliano cualquiera. Definimos una multiplicaci6n en G por a· b = 0. M ostrar que esta multiplicaci6n hace de G un anillo. 30.

Probar el Teorema 3: Sea I un ideal (bilatero) en un anillo R . E ntonces los cogrupos {a + l :aER} forman un anillo para la adici6n y Ia multiplicaci6n de cogrupos.

31.

Sean ! 1 e I 2 dos ideates en R. Probar que 1 1

+ I2

e / 1 ni2 son tambien ideales en R.

32. Sean R y R' dos anillos. Una aplicaci6n f: R-> R' se llama un homomorfismo (o tambien un homomorfismo de anillos) si i) f(a+b)=f(a)+f(b)

y

ii) j(ab)=f(a)f(b)

para todo a, bER. Probar que sif: R-> R' es un homomorfismo, entonces el conjunto K = {rER :f(r) = 0} es un ideal en R. (El conjunto K se llama el nlkleo de f.)

DOMINIOS DE INTEGRIDAD Y CUERPOS 33.

Probar que en un dominic de integridad D si ab = ac, a oF 0, entonces b = c.

34.

Probar que F = {a+ bj2:a, b racionales} es un cuerpo.

35.

Probar que D = {a

36.

Probar que un dominio de integridad finito D es un cuerpo.

37.

Mostrar que los unicos ideates en un cuerpo K son {0} y K.

38.

Un numero complejo a + bi, donde a, b son enteros, se llama un entero gaussiano. Mostrar que el conjunto G de los enteros gaussianos es un dominio de integridad. Tambien mostrar q ue las unidades en G son ± I y ± i.

39.

Sea D un dominic de integridad y sea I un ideal en D. Probar que el anillo factor Dfl es un dominic de integridad si y solo si I es un ideal primo. (Un ideal I es prima si abEl implica aEI o b El.)

+ bj2: a, b enteros} es

un dorninio de integridad pero no un cuerpo.

40. Consideremos el dorninio integridad D ={a+ bji3:a, b enteros} (vease el Ejemplo ll). Si a= a+ bfo, definimos N(a) = a 2 - 13V Probar: i) N(afJ) = N(a)N(fJ); ii) a es una unidad si y solo si N(a) = ± 1; iii) las unidades de D son ± 1, 18 ± s.jl3 y -18 ± 5JT3; iv) los numeros 2, 3- ji3 y -3 - ji3 son irreducibles.

544

ALGEBRA LINEAL

MODULOS 41. Sea M un R-m6dulo y sean A y B dos subm6dulos de M. Mostrar que A

+B

y An B son tambien

subm6dulos de M. 42.

SeaM un R-m6dulo con un subm6dulo N. Mostrar que los cogrupos {u+N:ueM} forman un R-m6dulo para Ia adici6n de cogrupos y Ia multiplicaci6n por escalar definida por r(u + N) = ru + N. (Este modulo se denota por M fN y se llama el modulo cociente.)

43.

Sean M y M' dos R-m6dulos y sea f: M--+ M' un R-homomorlismo. Mostrar que el conjunto K = {u EM :f(u) = 0} es un subm6dulo de f. (El conjunto K se llama el nucleo de f.)

44.

SeaM un R-m6dulo y sea E(M) el conjunto de todos los R-homomorlismo de Men si mismo. Delinir las operaciones apropiadas de adici6n y multiplicaci6n en E(M) para que sea un anillo.

Polinomios sobre un cuerpo

INTRODUCCION El anillo K [r] de los polinomios sabre un cuerpo K tiene muchas propiedades ana.Iogas a propiedades de los enteros. Estas juegan un papel importante en Ia obtencion de formas canonicas para un operador lineal Ten un espacio vectorial V sobre K. Cualquier polinomio en K [t] puede escribirse de Ia forma f(t) = a11 t"

+ ··· + a 1 t + a 0

La entrada ak se denomina el k-esimo coeficience de f . Si n es el mayor entero para el que a. i= 0, decimos que el grado de f es n, escrito grado

f

= n

Asimismo, llamamos a an el coeficiente dominante de J, y si a. = 1, decimos que f es un polinomio normalizado. Por otra parte, si todo coeficiente de f es 0, f se llama el polinomio cera, escrito f = 0. El grado del polinomio cero no esta definido.

DIVISIBILIDAD. MAXIMO COMUN DIVISOR El siguiente teorema formaliza el proceso conocido como «division larga». Teorema 1 (Aigoritmo de Euclides): polinomios q y r tales que

Sean f y q polinomios sabre un cuerpo K con g i= 0. Existen f= qg

donde r

= 0 o grado r < grado

+r

·

g.

545

546

ALGEBRA LINEAL

Demostracion:

Si f = 0 o si grado f < grado g, tenemos Ia representaci6n requerida

f= Og + f Supongamos ahora grado

f

~

grado g, digamos

donde a., bm # 0 y n ~ m. Construimos el polinomio a

Jl = J- bn

t•-mg

[I]

m

Entonces grado /

1

< grado f. Por inducci6n existen polinomios q 1 y r tales que

donde r = 0 o grado r < grado g. Sustituyendo esto en [1] y despejando f,

que es Ia representaci6n deseada. Teorema 2: El anillo K [t] de los polinomios sobre un cuerpo K es un anillo de ideates principales. Si I es un ideal en K [t], existe un unico polinomio normalizado d que genera I, esto es, tal que d es divisor de todo polinomio f E I. Demostracion: Sea d un polinomio de grado minimo en I. Dado que podemos multiplicar d por un escalar no nulo y permanecer todavia en I , podemos suponer sin perdida de generalidad que des un polinomio normalizado. Supongamos ahora /EI. En virtud del Teorema 1, existen polinomios q y r tales que

f = qd + r,

donde r = 0 o grado r < grado d

Ahora f , d E I implica qd E I y por tanto r = f - qd E I. Pero d es un polinomio de grado minimo en I. En consecuencia, r = 0 y f = qd, es decir, d es divisor de f. Resta probar que d es unico. Si d' es otro polinomio normalizado que genera I, entonces d es divisor de d' y d' es divisor de d. Esto implica d = d', porque d y d' est<'tn normalizados. Queda asi demostrado el teorema. Teorema 3: Sean f y g polinomios no nulos en K [t). Existe un unico polinomio normalizado d tal que: i) d es divisor defy g, ii) si d' es divisor de f y g, necesariamente lo es de d. Definicion: El polinomio d precedente se denomina el maximo comun divisor defy g. Sid se dice que f y g son primos entre si.

= 1,

APENDICE

547

Demostracibn del Teorema 3: El conjunto I = { mf + ng: m, n E K [tl} es un ideal. Sea d el polinomio normalizado que genera I. N6tese que f, g E / , luego des divisor defy g. Supongamos ahora que d' es divisor de f y g. Sea J el ideal generado por d'. En ese caso, f , g E J y por consiguiente I c J. De acuerdo con esto, del, de modo que d' es divisor de d como se pretendia. Falta probar que des unico. Si d 1 es otro maximo comun divisor defy g (normalizado), d es divisor de d 1 y d 1 lo es de d. Esto implica d = d 1 , ya que d y d 1 estan normalizados. Queda asi demostrado el teorema. Corolario 4: Sea d e! maximo comun divisor de los polinomios f y g. Existen polinomios m y n tales que d = mf + ng. En particular, si f y g son primos entre si, existen polinomios m y n tales que mf + ng = 1. · El corolario deriva directamente del heche de que d genera el ideal I = {nif + ng : m, neK[t)}

FACTORIZACION Se dice que un polinomio peK[t] de grado positivo es irreducible sip =fg implica que fog es un escalar. Lema 5: Supongamos que p E K [t ] es irreducible. Si p es divisor del producto fg de polinomios gE K [t], p es divisor de f o de g. Con mayor generalidad, si p es divisor del producto de n polinomios fJ 1 ... f., entonces es divisor de uno de ellos.

f,

Demostracibn: Supongamos que p es divisor de fg pero no de f. Como p es irreducible, los polinomios f y p deben ser primos entre si. Existen, pues, polinomios m, n E K [t] tales que mf + np = l. Multiplicando esta ecuaci6n por g obtenemos nifg + npg =g. Pero p es divisor de fq y por tanto de mfg y de npg; por esta raz6n, p es divisor de la suma g = nifg + npg. Supongamos ahora que p es divisor de fJ 2 ..• f •. Si p es divisor de / 1 , el lema esta demostrado. Si no, por el resultado anterior, p es divisor del producto f 1 .•• f •. Por inducci6n en n, p es divisor de uno de los polinomios f 1 , ... ,f •. Queda asi demostrado ellema. Teorema 6 (Teorema de factorizacion (mica): Sea fun polinomio no nuJo en K [t]. Entonces f puede escribirse de forma unica (salvo orden) como un producto

donde keK y los P; son polinomios irreducibles normalizados en K[t].

Demostracion: Probamos primero Ia existencia de tal producto. Si f es irreducible o si f E K , claramente existe un producto semejante. Por otra parte, supongamos f = gh, donde g y h no son escalares. En tal caso, g y h tienen grados menores que el de f. Por inducci6n podemos suponer

548

ALGEBRA LINEAL

donde k 1 , k 2 E K y los 9; y hi son polinomios irreducibles normalizados. En consecuencia,

es nuestra representacion deseada. A continuacion demostramos Ia unicidad (salvo orden) de tal producto para f. Supongamos

donde k, k'EK y los p 1, ... , Pm q 1 , ••• , q'" son polinomios irreducibles normalizados. Ahara p 1 es divisor de k' q 1 •.• q'". Como p 1 es irreducible, debe ser divisor de uno de los q;, segun el Lema 5. Sea p 1 divisor de, por ejemplo, q 1 . Dado que p 1 y q 1 son irreducibles y estan normalizados, p 1 = q 1 • De acuerdo con ella,

Par inducci6n tenemos que n = m y p2 = q 2 , ••. , Pn = q'" para alguna reordenaci6n de los q;. Tambien tenemos que k = k' . Queda, pues, demostrado el teorema. Si el cuerpo K es el cuerpo complejo C, disponemos del siguiente Teorema 7 (Teorema fundamental del algebra): Sea f(t) un polinomio no nulo sabre el cuerpo complejo C. Entonces f(t) puede escribirse de forma unica (salvo arden) como un producto

donde k,

r;E C,

es decir, como un producto de polinomios lineales.

En el caso del cuerpo real R, disponemos del siguiente resultado. Teorema 8: Sea f(t) un polinomio no nulo sabre el cuerpo real R. Entonces f(t) puede escribirse de forma (mica (salvo arden) como un prod_ucto

donde k E R y los P; (t) son polinomios irreducibles normalizados de grado uno o dos.

lndice

A(V), 381 Absoluto, valor, 61 Acompaiiante, m atriz, 444 Adjunto clasico, 299 Adjunto, operador, 503, 513 representaci6n matricial, 504 Algebra de operadores lineales, 381 Algebraica, rnultiplicidad, 334 Algoritmo: de Euclides, 545 de Gauss-Jordan, determinante, 298 diagonalizaci6n bajo: congruencia, 121 similaridad, 121, 338 diagonalizaci6n ortogonal, 342 eliminaci6n, 13 matriz inversa, 118 para hallar bases, 183 Alternada, forma bilineal, 486 Ampliada, matriz, 93 Angulo, 52, 244 Anillo de polinornios, 545 Aniquiladores, 473, 478 Anti-a utoadjunto, operador, 506 Antihermitica, 11 5 Antisimetrica, 112 Aplicaciones, 369, 384 composici6n de, 371 lineales, 372, 386 ma trices, 373 Autoadjunto, operador, 506

B(V), 485 Base: dual, 471, 475 espacio vectorial 178, 200 ortogonal, 247 ortonormal, 247 segunda dual, 4 72 solucion general, 23 usual, 178 Base, algoritmo para hallar una, 183 Bessel, desigualdad de, 251 Bilineal, forma , 4 84, 491 alternada, 486 forma polar, 488 rango, 486 real simetrica , 488 representacion matricial, 486 simetrica, 487 Biyectiva, aplicacion, 371 Bloques, matriz por, 94, 101 cuadrada, 116, 145 determinante, 303 diago nal, 116, 344 Jordan, 442 triangular, 116

C", 62 Cambio de base, 190, 222 Cambio de base, matriz de, 190, 411, 423 Cambio de variable, m atriz d_e, 125 Cancelaci6n, ley de, 168

549

550

A LGEBRA LINEAL

Canonica, forma, 17, 416 Jordan, 441, 450 por filas, 17. 19, 32 racional, 443, 459 Caracteristico, polinomio, 332, 412 Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 52, 68, 242, 258 Cayley-Hamilton, teorema de, 333 Celdas, 94 Cero (nulo): aplicacion, 373 matriz, 90, 92, 101 polinomio, 546 vector, 46 Ciclicos, subespacios, 443, 459 Chisico, adjunto, 299 Cociente, espacio, 445, 455 Codominio, 369 Coeficientes, 2 de Fourier, 249 Coeficientes, matriz de los, 20, 92 Cofactor, 297 Columna(s), 16, 88 espacio, 173 operaciones, 119 rango poe, 180 vector, 47, 88 Compatibles, sistemas, 15 Complejo(a): conjugado, 60 matriz, 114, 144 n-espacio, 62 numeros, 60 producto interno, 256 Complemento ortogonal , 245, 268 Componente, 46, 250 Composicion de a plicaciones, 371 Congruente(s): diagonalizacion, 122 matrices, 121 , 486 matrices simetricas, 121 , 147 Conjugada, matriz, 114 Conjugado, complejo, 60 Conjuntos generadores, 172 Conmutan, matrices que, 107 Convencional, forma, 8 Coordenadas, 46, 186 Coordenado, vector, 186, 221 Cramer, regia de, 301 , 310 Cuadrada, matriz, 105, 132 por bloques, 116, 145 Cuadraticas, fo rmas cuadraticas, 121, 147, 341 , 349, 488 diagonalizacion, 122 hermiticas, 490 representacion matricia1, 121 Cuerpo, 87 Curvas, 56

Degeneradas, ecuaciones lineales, 3 Dependencia lineal, 174, 198 Determinante, 290 ccilculo del, 298, 307 de orden tres, 292 de orden n, 295 ecuaciones lineales, 300 matriz por bloques, 303 multilineal, 304 operadores lineales, 413 propiedades, 296 volumen, 303 Diagonal (de una matriz), 107 Diagonal, matriz, Ill por bloques, 116 Diagonalizables, matrices, 330, 353 Diagonalizacion, 413, 425 algoritmo, 122, 338 Dimension de espacios vectoriales, 178 subespacios, 180, 203 Dimension del espacio de soluciones, 23 Directa, suma, 185, 215 descomposicion en, 438, 448 Dirigido, segmento, 54 Distancia, 52 Dominio, 369 2-norma, 260 Dual: base, 471 espacio, 471

Ecuaciones (vease Lineales, ecuaciones) Elemental, matriz, 117, 120, 138 Elementales, divisores, 444 Elementales, operaciones, 8 columnas, I 19 filas, 17, 116 Eliminacion, algoritmo de, 7 Eliminacion gaussiana, 10, 28, 118, 308 Entrada principal no nula, 16 Envolvente, 172 Equivalencia: de matrices, 119, 121 por filas, 17 Equivalentes, sistemas, 8 Escalar, 46, 167 matriz, 107 producto, 50 Escalar, producto, 50, 62, 67 Escalonada: forma, 12. 16, 27 matriz, 16 Espaciales, vectores, 45, 57 Espacio de matrices, 169 Espacio propio, 335, 413 Espectral, teorema, 512

1ND1CE

Euclideo: algoritmo, 545 espacio, 239 Eva]uacicin, aplicacicin, 108 Externo, producto, 58 F(X) , 169

Factorizacicin: de polinomios, 547 LU, 129 Fila(s), 16, 88 equivalencia, I 7, I 17 forma canci nica, 17, 19, 32 operaciones, 17, 116 rango, 180 reduccicin, 17, 31 vectores, 88 Finita, dimension, 178 Fourier, coeficientes de. 249 Funcional lineal, 470 Funciones, espacios de, 169 Gauss-Jordan, algoritmo de, 34 · Gaussiana, eliminacion, 10, 28, 11 8, 308 General, solucion, 2, 8 G eometrica, multiplicidad , 336 Grado de un polinomio, 545 Gnifico, 5 G ram-Schmidt, ortogonalizacion, 252 Hermitica: forma; 490 forma cuadnllica, 490 matriz, 115 Hilbert, espacio de, 242 Hiperplano, 54 Homogeneos, sistemas, 21, 37, 473 ldentidad: aplicacion, 372 matriz, 107 lguales: matrices, 88 vectores, 47 ijk, notaci6n, 57 lm F, 374 Im z, 60 Imagen de una aplicaci6n lineal, 374, 388 Imaginaria, parte, 60 Incompatibles, sistemas, 15 lndependencia lineal, 174 Infinita, dimension, 178 lnterno, producto, 239, 262 complejo, 256 usual, 239, 258

551 ·

lnvariancia, 437 Invariantes, subespacios, 438, 446 lnversa, matriz, 109 algoritmo de calculo, 118 lnvertibles, matrices, 109, 136 operadores, 382 sustituciones lineales, 125 lnyectiva, aplicacicin, 37 1 lsomorfismo, 188. 374, 379 lsomorfos, espacios vectoriales, 374 Jorda n, bloque de, 442 Jordan , forma canonica de, 441 K", 169 Ker F (nticleo de F), 375 Kronecker, delta de, 107

Laplace, desarrollo de, 298 Ley de inercia, 121 , 489 Libre, variable, 4, 12 Lineal: combinacion, 23, 48, 172, 177, 196 dependencia, 49, 174, 198 envolvenle, 172 funcional, 470, 505 independencia, 50, 174 Lineal, aplicacion, 372, 378, 386 imagen, 374, 388 nucleo. 374, 388 nulidad, 376 representacion matricial, 415 traspuesta, 474 Lineal, ecuacion, I degenerada, 3 en una incognita, 2 Lineal, operador, 38 1 adjunto, 503 determinante, 412 espacios con producto interno, 503 invertible, 382 nilpotente, 441 polinomio caracteristico, 412 representacion matricial, 407 Lineales, ecuaciones (sistemas), 24, 181, 378, 383, 473 compatibles, I 5 con dos incognitas, 4 forma escalonada, 27 forma triangular, 10, 27 Longitud, 51, 241 LU, factorizacion, 129, 154 Matricial, representacion: de aplicaciones lineales, 406, 415, 429 forma bilinea1, 485

552

ALGEBRA LINEAL

forma cuadratica, 121 operador adjunto, 504 Matriz (matrices), 15, 87 acompafiante, 443 ampliada, 93 compleja, 114 cuadrada, 105 de cambio de base, 190, 411, 509 de cambio de variable, 125 de coeficientes, 20, 93 diagonal, Ill diagonalizable, 330, 353 equivalente, 119 escalonada, 16 invertibte, 109 no singular, 109 normal, 115 por bloques, 94, 101 similar, 423 triangular, 111 Maximo comun divisor, 447 Menor, 297, 301 principal, 302 Minimo, polinomio, 342, 356, 414 Minkowski, desigualdad de, 52 Multilinealidad, 304 Multiplicidad, 336 n-espacio, 46 Nilpotente, 441 No degeneradas, ecuaciones lineales, 3 No negativa, semidefinida, 489 No singular: aplicaci6n lineal, 3 79 matriz, 109 Norma, 51, 62, 241 , 259 Norma uniforme (o del supremo), 260 Normados, espacios vectoriales, 259 Normal: matriz, 115 operador, 507, 512 Normal, vector, 55 Norrnalizaci6n, 52 Normalizado, polinornio, 545 Nucleo de una aplicaci6n lineal, 374, 388 N ulidad, 376 Operaciones con aplicaciones lineales, 379 Operadores (vease Lineal, operador) Ortogonal(es): base, 247 cornplemento, 245, 268 conj untos, 247 matriz, 112, 255, 508 operador, 505, 51I proyectores, 513

Ortogonalidad, 51, 331 Ortogonalizaci6n (Gram-Schmidt), 252 Ortonormal, base, 247 P(c), 169

Paralelogramo, ley del, 45 Parametros, 4, 12, 55 Paridad de las permutaciones, 294 Permutaciones, 293, 3 18 Perpendicular, 51 Pitagoras, teorema de, 247 Pivotar (reducci6n por filas), 3 1 Pivote, entradas, 19 Pianos, 71 Polar. forma, 488 Polinomio(s), 545 caracteristico, 332 de Legendre, 254 grado de un, 545 minimo, 414 normalizado, 545 Positiva(o) delinida(o): rnatriz, 128, 150, 254 operador, 490, 505 Positivo, operador, 506 Potencias de matrices, 108 Primaria, descomposici6n, 440 Prirnera incognita, 3 Principal, rnenor, 302 Producto: escalar, 50, 62 interno, 239, 262 vectorial, 58 Producto de matrices, 90 Producto interno, espacio con, 239 operadores lineales en, 504 Proyecciones, 52, 250, 373, 400, 470, 513 ortogonales, 513 Punto, 46, 62

R", 46, 63 Racional, forma can6nica, 443 Rango, 121 , 126 Re z, 60 Real, parte, 60 Real simetrica, forma bilineal, 488 Recta, 55 Reducci6n, algoritmo de: determinantes, 298 ecuaciones lineales, 13 Schwarz (vease Cauchy-Schwarz), desigua ldad de, 52, 68 Segundo dual, espacio, 472 Signatura, 121 , 126

INDICE

Simetrica, forma bilineal, 487, 493 Simetricas, matrices, 112 congruentes, 12 1, 147 Similaridad: matrices: 129, 151, 423 operadores, 412 Singular, 379, 393 Sistemas de ecuaciones lineales, (vease Lineales, ecuaciones) Soluciones, l , 24 general, I, 8 simultaneas, 6 Sumas de espacios vectoriales, 184 Suprayectiva, aplicacion, 371 Sustitucion bacia atras, II Sylvester, teorema de, 489 Tamai'io de una matriz, 16, 88 Tangente, vector, 57 Transici6n, matriz de, 190, 411 T raspuesta: aplicacion lineal, 474 matriz, 92, I 00 Traza, 107, 412 Triangular, desigualdad, 243 Triangular, forma: ecuaciones lineales, 10, 27 operadores lineales, 436, 455 Triangular, matriz, Ill por bloques, 116 Unitaria(o): matriz; 115, 509 operador, 506 Unitario, vector, 52, 243

Uno-a-uno: aplicacion, 371 correspondencia, 371 !-norma, 260 Usual: base, 178 producto interno, 239, 258

v•. 471 V .., 472 Valores propios (autovalores), 335, 346, 414 caJculo de, 338 Variable libre, 4 Variedades afines, 445 Vector, 45, 46 cero, 47 columna, 88 coordenado, 186, 221 espacial, 46, 47 fila, 88 localizado, 54 normal, 55 producto escalar, 47, 62 suma, 47, 62 tangente, 57 unitario, 52, 243 Vectores localizados, 54 Vectores propios (autovectores), 335, 346, 413 calculo de, 338 Vectorial, espacio, 167, 192 base, 178, 200 dimeusi6n, 178, 200 normado, 259 suma, 184 Vectorial, producto, 58, 77

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OTRAS OBRAS DE INTERES P'UBLICADAS POR McGRAW-HILL/INTERAM ERICANA

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ABELLANAS/ GALINDO. Metodos de Calculo (Schaum) . AMILLO/ ARRIAGA. An;i/isis matematico con aplicacio'(les a Ia computaci6n. AYRES. Algebra moderna ( Schaum) . · AYRES. Ca/cu/o diferen'cia/ e integral (3.a ed.) (Schaum) . AYRES. Ecuaciones diferenciales (Schaum). CHURCHILL. Variable compleja y ap/icaciones (5.a ed.). · GRAFE. Matematicas para economistas (2.a ed.). GRANERO. Algebra y geometria analftica. GRANERO. Calculo. KITCHEN . Calculo . LARSON . Ca/culo y geometrfa analftica (3.3 ed.) . Ll PSCH UTZ. Probabilidad. MARCELLA NI CASAS US/ ZA RZO. Ecuaciones diferenciales. RUDIN. Ana/isis real y complejo. RUDIN. Principios de ana/isis matematico (3.8 ed.} . SIMMONS. Ecuaciones diferenciales. \ SPIEGEL. Estadfstica (2.a ed.) (Schaum) . SPIEGEL/ ABELLANAS. Formulas y tab/as de matemcitica aplicada (Schaum) . STEIN . Calculo y geometria analftica (3.3 ed.} . 1 TORREGROSA/ JORDAN . Algebra lineal y sus aplicaciones. WYLIE. Matematicas superiores para ingenieros (2 .a ed.).

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ltn~ ISBN: 84-7615-758-4

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