Arit. (02) Razones Y Proporciones!!!

INTRODUCCIÓN: En nuestro quehacer cotidiano, podemos notar que hacemos constantemente comparaciones como por ejemplo: “Un árbol es más alto que otro, el peso de una persona es el doble que el de la otra, etc.” En este capítulo, abarcaremos el estudio de las comparaciones que podemos o que se pueden establecer en la nuestra naturaleza pero en forma cuantitativa.

CONTENIDOS: RAZÓN Por ejemplo: Carlos se encuentra en Chosica y se da cuenta que está a 200 m sobre el nivel del mar y a una temperatura promedio de 28° C. Este piensa visitar a Beto que se encuentra en la ciudad de Ticlio, la cual está a 4200 m sobre el nivel del mar y a una temperatura promedio de 4° C. Podemos observar que: 



Ticlio se encuentra a 4200 – 200 = 4000 m más sobre el nivel del mar respecto a Chosica. Notamos que para llegar a esta conclusión hemos comparado las alturas por medio de una sustracción. La temperatura de Chosica es 28/4 = 7 veces la temperatura de Ticlio. Notamos que para llegar a esta conclusión hemos comparado las temperaturas por medio de un cociente.

A toda comparación entre dos cantidades, la llamaremos RAZÓN. Si la comparación es por medio de una sustracción, la llamaremos RAZÓN ARITMÉTICA y si es por medio de una división, la llamaremos RAZÓN GEOMÉTRICA. Luego, para dos cantidades cualesquiera “a” y “b”:

Razón Aritmética

Razón Geométrica

a−b=r

a =k b

En donde llamaremos:

   

a :antecedente b :consecuente r :valor de la razón aritmética k :valor de larazón geométrica

Veamos algunas observaciones:  La razón geométrica es la que tiene más uso en el desarrollo de los problemas de admisión, es por ello que si indicamos razón y no su clase, entenderemos que es una razón geométrica, por ejemplo: ¿Cuál es la razón entre los números 21 y 28?  Las comparaciones también las podemos dar para más de 2 cantidades, como veremos, por ejemplo: ¿Cuál es la razón aritmética entre los números 6, 10 y 14? SERIE DE RAZONES EQUIVALENTES:

GEOMÉTRICAS

Observemos el siguiente conjunto de razones geométricas:

15 27 6 36 =3; =3 ; =3 ; =3 5 9 2 12 Podemos notar que todos tienen el mismo valor de razón, por lo que podemos afirmar que son equivalentes, lo que podemos indicar de la siguiente forma:

15 27 6 36 = = = =3 5 9 2 12 A lo que llamaremos geométricas equivalentes.

serie

de

razones

Generalizando, si tenemos el siguiente conjunto de razones:

a c e g =k ; =k ; =k ; =k b d f h Podemos establecer la equivalencia entre ellas, a la que llamaremos SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES:

Observamos que la cantidad de hombres y la cantidad de mujeres se diferencian en 25 – 19 = 6, así como el número de hombres que no bailan con el número de mujeres que no bailan se diferencian en 8 – 2 = 6, por lo que afirmamos que: 25 – 19 = 8 – 2. Entonces se tiene que: Proporción Aritmética

a c e g = = = =k b d f h De donde:

  

a−b=r a , c , e y g :antecedentes b , d , f y h : consecuentes k :constante de proporcionalidad

Veamos ahora las propiedades más importantes de una S.R.G.E., para ello partiremos de ejemplos para luego generalizarlos.

c−d=r

∴ a−b=c −d

 

Suma Antecedentes Constante de = SumaConsecuentes Proporcion

(

)

Producto Antecedentes Constante de = Producto Consecuentes Proporcion

(

n

)

Proporción Aritmética

# Bailan

# Hombres 17

#No Bailan

8

Discreta

# Mujeres 17

Proporción Geométrica

a c = b d

a−b=c−d

ta

d :4 diferencial

a−b=b−c En donde:

Continua

En una reunión hubo 25 hombres y 29 mujeres. En un determinado momento 17 hombres bailaban, por consiguiente 17 mujeres también bailaban en ese momento, es decir:

a c ∴ = b d

a y d :términos extremos b y c :términos medios

En donde:

Por ejemplo:

a =k b

Una proporción, aritmética o geométrica, respecto a los términos medios podemos indicar que estos pueden ser diferentes, la que llamaremos DISCRETA o pueden ser iguales, la que llamaremos CONTINUA. Entonces, veamos el siguiente cuadro:

Donde “n” es el número de razones que se multiplican en la serie.

PROPORCIÓN

a =k b

En donde llamaremos:

Por ejemplo, sea la S.R.G.E:

15 27 6 36 = = = =3 5 9 2 12

Proporción Geométrica

b :medios ra c :3 diferencial

2

TRANSFERENCIAS:

En donde: ta

d : 4 proporcional

a b = b c En donde:

b :medios c :3 ra proporcional

había 2 asientos vacíos. Si el costo de la entrada era de $.60, hallar la suma de las cifras de la recaudación obtenida en dicha zona.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. En una proporción aritmética la suma de sus cuatro términos es 40. Si la diferencia de sus extremos es 10, hallar el menor extremo. a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

e) 10

a) 7

b) 58

c) 68

d) 70

2.

b) 16

5. Si se tiene que:

c) 24

d) 12

√ b+√ d=15

y

√ b− √ d =3

b) 8

b) 60

E) 5

C) 3

A) 7

B) 3

C) 15

D) 63

E) 91

En una proporción geométrica continua la razón de la proporción es igual a la media proporcional y la suma de los cuatro términos de la proporción es 169. Determinar la diferencia entre los extremos. a) 139

b) 141

c) 143

d) 145

e) 147

d) 4

e) 5

Hallar el valor de “c” en:

32 a b 4 = = = a b 4 c

c) 350

a) 1 d) 280

e) 120

c) 16

d) 6

e) 24

7. En una industria minera laboran 3 cuadrillas: A, B y C, cuyos personales respectivos están en la relación de los números 3, 4 y 8. Se desea que todos los grupos tengan la misma cantidad de personal, por lo que de la tercera cuadrilla se sacan 120 hombres para distribuirlos entre las otras dos. ¿Cuántos hombres se pasan al grupo que tenía menos personal? a) 90

9.

a+ √a+ c+ √ c b) 180

B) 2

D) 4

Calcular: y  n  z

10.

6. Se tiene una proporción aritmética continua donde la suma de sus cuatro términos es 128. Hallar el valor de la razón aritmética sabiendo que los extremos son entre si como 5 es a 3. a) 4

5.

,

a c 25 = = b d 9

a) 130

A) 1

x m p 1    y x  m  p  21 Si: y n z 3

e) 26

además:

Hallar:

e) 11

a Calcular: c

b) 3,5 c) 4,75 d) 4,5 e) 375

4. En una proporción geométrica continua el primer término es 1/9 del cuarto término. Hallar la suma de los consecuentes, si el producto de los términos medios es 144. a) 48

d) 10

e) 82

3. Una calle de una ciudad tiene 1,5 km de largo. ¿Qué longitud tiene esa calle en un plano de la ciudad de escala 1/40000? a) 3,75 cm

c) 9

a b c   y a  8d Si: b c d

2. Las edades de los hermanos: Hugo, Paco, Tito y Luis son proporcionales a 2, 3, 5 y 7. Si la edad del segundo hermano excede a la edad del cuarto hermano en 12 años, calcular la suma de las edades de los dos mayores dentro de 10 años. a) 48 años

b) 8

c) 72

d) 80

e) 100

8. En un concierto musical de “RBD” en la zona VIP, cuya capacidad era para 620 personas, se observa lo siguiente: por cada 2 varones había 5 damas y por cada 3 damas

11.

b) 2

c) 3

Calcular el valor de “b” si se tiene que: −4

−4

−4

a b a +b +c 1 = , = b c a 4 +b 4 +c 4 256 a) 4 12.

c) 8

d) 16

e) 32

En un conjunto de razones geométricas equivalentes, los consecuentes son: 1, 2, 3, 4…… y el producto de sus antecedentes es 645120, luego el número de razones como mínimo que se puede obtener, si su constante de proporcionalidad es un número entero positivo es: a) 6

13.

b) 2

b) 7

c) 8

Si se tiene que:

a b c d e = = = = b c d e f

d) 9

e) 10

Además

√3 abf =216

8. Hallar el valor de: a) 7/8 14.

b) 9/8

e) 1/8

b) 840

c) 960

d) 1200 e) 1280

b) 1625 e) 1375

c) 1250

b) 108

c) 72

d) 96

e) 48

En una carrera de 200 m, “A” le da a “B” una ventaja de 40 m. Mientras que en una carrera de 240 m, “B” le da a “C” una ventaja de 80 m. ¿Qué ventaja le da “A” a “C” en una carrera de 300 m? a) 120 m

3.

d) 11/8

Tres recipientes cilíndricos de volúmenes diferentes y geométricamente semejantes, cuyas alturas son entre sí como los números 1, 2 y 4, y contienen agua en cantidad proporcional a su altura. Se trasiega el agua de modo que el nivel sea el mismo en los tres recipientes. Se hace ahora pasar 14 litros de agua del 3 er al 1er recipiente y se encuentra que el 1 er recipiente contiene el doble del líquido que el 3 ero. Hallar el volumen de agua que tenía inicialmente el segundo recipiente. a) 36 lts

17.

c) 3/8

En una fábrica de helados funcionan las máquinas A, B y C. Si lo que produce A y B están en la relación de 2 a 3, la relación de B y C es de 5 a 3. Si en un determinado día entre los tres producen 4250 helados. ¿Cuál fue la producción de uno de ellos ese día? a) 1750 d) 1500

16.

a /de

Melisa le dice a Carolina que prepare sangría mezclando ron y gaseosa en la relación de 1 a 12. Carolina por error mezcla en la proporción de 1 a 4, hasta obtener 800 mililitros. ¿Cuántos mililitros de gaseosa tendría que agregar para obtener la proporción inicial? a) 800

15.

y el último consecuente es

b) 160

c) 190

d) 140 e) 100

a b c a2b  b2c  c2d   y 9 b3  c3  d3 Si: b c d a b c Calcular: b  c  d A) 1

B) 3

D) 18

E) 27

C) 9