Aula22-pilares - Dimensionamento

Estruturas em Concreto Armado Pilares – Dimensionamento Prof. M.Sc. Antonio de Faria Outubro/2012

Dimensionamento de pilares

• Situações de dimensionamento: – Estruturas de nós móveis: • Em cada extremidade do pilar será necessário considerar os esforços nodais oriundos da análise global;

– Estruturas de nós fixos: • pilares isoladamente • Nas extremidades apenas os efeitos de primeira ordem.

Dimensionamento de pilares • Teoria de 1a ordem: – no estudo, admite-se que as deformações na estrutura não causam efeitos nos esforços internos; As relações entre tensões e deformações são lineares, geométrica e fisicamente;

• Teoria de 2a ordem: – o estudo leva em conta que as relações entre tensões e deformações não são lineares, ou seja, as tensões são influenciadas pelas deformações; no estágio atual, será estudada apenas a não linearidade geométrica;

Dimensionamento de pilares • Não linearidade física: – as tensões (σ) não são proporcionais às deformações (ε) devido às características físicas do material; – o concreto, por exemplo, não é um material homogêneo e sofre o fenômeno da fissuração.

• Não linearidade geométrica: – mais simples qe consequentemente as tensões, são afetados pelo estado de deformação da estrutura; não há uma relação linear entre essas duas grandezas (é o que ocorre em barras sujeitas à flambagem). – ue resolvem os casos usuais com precisão razoável;

Dimensionamento de pilares Momento fletor de segunda ordem P x e P

P

Seção transversal no meio do vão M 2= P x e 2 M2

e deformação de segunda ordem

e2

e2 M2

(a)

(b)

P

P

Dimensionamento de pilares • As variáveis em questão estão ligadas a: – esbeltez do pilar; – tipo de solicitação; – características geométricas do pilar estudado (seção transversal e condições de contorno apoios);

Dimensionamento de pilares Índice de esbeltez, raio de giração e comprimento de flambagem

le, x λx = iy

Iy iy = A

le, y λy = ix

Ix ix = A

onde: λ- índice de esbeltez; le – comprimento de flambagem nas direções x ou y depende das codições de apoio; i – raio de giração em em torno de x ou y; I – momento de inércia em torno de x ou y; A – área da seção transversal do pilar;

h.b 3 Iy = 12

b h.b 3 1 = iy = . 12 b.h 12

b.h 3 Iy = 12

b.h 3 1 h ix = . = 12 b.h 12

λx =

le, x le, x le, x. 12 = = b iy b 12

Dimensionamento de pilares • Estado limite último:

L

L

L

L

– o estado limite último de instabilidade é atingido sempre que, ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações; – há elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação;

figura 5.6 Determinação do comprimento de flambagem dependendo da vinculação da esquerda para a direita (apoios rotulados) l e = L , (apoio rotulado e engastado) l e = 0,699 × L , (apoios

engastados – sem rotação) l e = 0,5 × L , (apoio livre e engatado) l e = 2 × L ,

Dimensionamento de pilares laje viga

hl h /2

le

o=

pilar

Lp

l 0 + h le ≤   l

1

h

L p+ r + r

2

h /2

r1

r2 h viga

h /2

h /2

Dimensionamento de pilares laje h

h /2

h /2

laje

h

1

le

o=

Lp

pilar

L p+ r + r

h

l 0 + h le ≤   l r2

2

r1

h /2 h /2

Dimensionamento de pilares Resumo dos processos de cálculo para os pialres conforme esbeltez Esbeltez

Classificação

Procedimento de Cálculo

λ ≤ λ1

Curto

Não precisa ser considerada a segunda ordem e2=0;

λ1 < λ ≤ 90

Medianament Método do pilar padrão com curvatura aproximada; e Método do pilar padrão com rigidez κ (kapa) Esbelto aproximada;

90 < λ ≤ 140

Pilares Esbeltos

A consideração da fluência é obrigatória Método do pilar padrão com curvatura real acoplado a diagramas M, N, 1/r;

140 < λ ≤ 200

Muito Esbeltos

A consideração da fluência é obrigatória; Método geral é obrigatório

Os processos simplificados se aplicam para pilares de seção transversal constante e sem cargas transversais ao longo deles

Dimensionamento de pilares Resumo das fórmulas para determinação de λ1 35

αB

≤ λ1 =

(25 + 12,5.e1/h)

αb

≤ 90

Situação

Valor de αb

Para pilares biapoiados sem cargas transversais

αb = 0,60 + 0,40.

para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura Para pilares em balanço

MB ≥ 0,40 MA

αb = 1,0 αb = 0,80 + 0,20.

Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo

M1d, min = Nd.(0,015 + 0,03.h)

MC ≥ 0,85 MA

αb = 1,0

Dimensionamento de pilares • a) λ < λ1 PILARES CURTOS: – A análise dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser dispensada, lembrando que por sua vez λ1 deve ser menor ou igual a 90.

• b) λ1< λ ≤ 90 PILARES MEDIANAMENTE ESBELTOS: – Método do pilar padrão com curvatura aproximada. – Método do pilar padrão com rigidez κ (kapa) aproximada, inclusive para pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua.

• c) 90 < λ ≤ 140 PILARES ESBELTOS: – A consideração da fluência é obrigatória.Método do pilar padrão com curvatura real acoplado a diagramas M, N, 1/r.

• d) 140 < λ ≤ 200 PILARES MUITO ESBELTOS: – A consideração da fluência é obrigatória.Método geral é obrigatório;

• e) λ > 200: – Não pode haver pilar com índice de esbeltez superior a 200

Dimensionamento de pilares excentricidade inicial; excentricidade de forma;

excentricidade acidental;

excentricidade de segunda ordem;

excentricidade suplementar.

Dimensionamento de pilares Forma:

NÃO É NECESSÁRIO CONSIDERAR

NECESSÁRIO CONSIDERAR

Dimensionamento de pilares

ea

ea θ

1

θ

Acidental:

1

/2

l ea = θ 1.  2 1 θ1 = ≥ θmin 100. l θ1min = 1/300 para imperfeições locais; θ1máx = 1/200.

Dimensionamento de pilares Excentricidade mínima

e1d, mín = (0,015 + 0,03 × h )

Excentricidade de fluência

φ .NSg    MSg   Ne - NSg ec =  + ea  . 2,718 - 1   NSg    10.Ec . Ic Ne = le 2

Dimensionamento de pilares Excentricidade inicial PLANTA P1

P2

P3

CORTE 11 P4

1

1 P5

P6

P7

P8

LINHA ELÁSTICA

P9

P10

Pilares centrais

P11

P12

Pilares Laterais

Pilares de canto

Dimensionamento de pilares O método geral

análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real consideração da não-linearidade geométrica

Dimensionamento de pilares F

z y e1 x

u

l y x

F=

F ref

F crit

crit

Fn

F2 F1 Wy

Wx Wyn

Wy2

Wy1

Wx1 Wx2

Wxn

Figura 5.9. Cálculo exato da carga crítica para o caso da flexão oblíqua.

,F

Dimensionamento de pilares Tipos de excentricidades e aplicação Excentricidade

Símbolo

Inicial

ei

Aplicação Pilar central ei =0

Pilar Lateral eix ou eiy ≠ 0

ef = 0 quando há viga capaz de absorver momento

Pilar de Canto eix e eiy ≠ 0

ef ≠ 0 quando não há viga capaz de absorver momento

De forma

ef

Acidental

ea

Considerar sempre ou então utilizar e1d,mín

Mínima

e1d,mín

Quando maior, considerar no lugar de ea ou de e1 (primeira ordem)

Segunda Ordem

e2

Suplementar (fluência)

ec

e2 = 0 para λ ≤ λ1

e2 ≠ 0 para λ > λ1

ec = 0 para λ ≤ 90

ec ≠ 0 para λ > 90

Dimensionamento de pilares pilar padrão

Pilar engastado na base e livre na extremidade superior, solicitado por carga vertical excêntrica, equivalente a um pilar bi-rotulado com o dobro do comprimento;

Dimensionamento de pilares π y( x) = a × sen  le

 x  

1 d 2 y ( x) ≅ r dx 2

π  y( x) = a × sen x   2l 

dy ( x) π π  = × a × cos  x  dx 2l  2l 

π2 1   =− 2 × a ×1 le  r  x =l

2 l 1   a =   × e2  r  x =l π

2 1 π     = − 2 ×a le  r  x =l

2 l 1   e2 =   × e  r  x =l 10

Mt=P × (e 2 + e1 )

2

d 2 y ( x)  π  π  = − × a × sen    x 2 dx  2l   2l  engastada e livre a

e1P y

2

π y ( x) = a × sen  le

x

P

e

 x  

Dimensionamento de pilares M

Mexterno=P( e i + e2 ) M1

ei

M2

1 . . M =P e =P 10 r 2 e

2

2

1/r

e i 10 2 e

Representação do momento externo total composto pela soma de M1 e M2

Dimensionamento de pilares

M

P=constante As=constante

Múltimo Minterno ou resistente 1/r Momento interno resistente, obtido para valores de As e P fixos com variação da curvatura (1/r)

Dimensionamento de pilares

M

M externo, 3

P=constante A s=constante

M externo, 2 M

e1,3

interno ou resistente

M externo, 1

e1,2

e1,1 1 r

1

1 r

2

Situações possíveis de equilíbrio

1/r

Dimensionamento de pilares M

M

interno ou resistente

P=constante A s=constante

M externo, 1

e1 1 r

1 r

1/r

máxima

Pilar medianamente esbelto em que a solução tem valor próximo ao da curvatura máxima

Dimensionamento de pilares Vista Lateral antes de deformar

Vista Lateral após deformar

r=

As

r

Construção auxiliar c ds

d c ds

As

M

M

M

ds

d

d

d

Seção Transversal

MM s ds

d c ds

s ds

( c+ s)ds

Relação entre deformações e curvatura em uma barra de concreto armado

r d = ds ( ε c + ε s )ds Fd Fd υ= = A c × fcd b × h × f cd

1 εc + εs = r d

εc + εs ) ( 1 = r ( υ + 0,5) × h

l 2e 0,005 e2 = × 10 (υ + 0,5) × h

Resumo do emprego das excentricidades Excentricidade

Situações para uso

Acidental ea

todas

Mínima e1,mín

Segunda ordem e2

Expressões Seção Extrema θ1.L

Todas, se maior que imperfeições geométricas ou de primeira ordem

Sempre que λ ≥ λ1

Forma ef

Carga excêntrica sem vigas

Inicial ei

Pilares laterais e de canto

Suplementar Ecc

Sempre que λ > 90

Seção Intermediária θ1.(L/2)

ei, mín = 0,015 + 0,03.h λ1 < λ < 90

90 ≤ λ < 140

Le2 0,005 e2 = . 10 (ν + 0,5).h

Le2 1 e2 = . 10 r Gráficos N,1/r,M

1 L ≤ 100. L 200

θ1 =

(h em m)

140 ≤ λ < 200 Processo Geral

ef = e Pilar lateral

ei = Mi

N

Pilar de canto

eix = Mix

N

eiy = Miy

ϕ .Nsg   Msg   Ne - Nsg ec =  + ea . 2,718 − 1   Nsg   

Seções Intermediárias

e*i = αb.ei

N Ne =

10.Ec.Ic le 2

Exemplo 5.1 Dimensionamento de pilar central Calcular um pilar curto de seção transversal quadrada para resistir a um esforço P = 200 kN, com concreto de fck= 20 MPa, aço CA50, considerando ainda que o ambiente seja residencial, que o gabarito da edificação será de 2,70 m, que o revestimento inferior da laje e do piso somados sejam de 8 cm, as vigas ligadas ao pilar tenham altura de 30 cm e a laje superior tenha 12 cm de espessura.

viga

12 cm h/2

Le

pilar

15 cm Lo = L p+ r1+ r2

30 cm

Lp

r1

r2 viga

30 cm

15 cm

h/2

Exemplo de dimensionamento de pilares centrais Comprimento de flambagem do pilar:

le = lp + r1 + r2 + h = 2,70 + 0,08 + 0,30 = 3,08 m λ=

le = i min

le b × b3 12 × b × b

=

l e × 3,46 3,08 × 3,46 10,66 = = b b b

Para a condição de pilar curto, λ < λ1

≤ 90 (25 + 12,5 ⋅ e1/h)  λ1 =  35 αb ≥ α b 

Por ser pilar biapoiado com momento aplicado (zero), menor que o mínimo, (e1 = 0), αb = 1, assim, temos:

( 25 + 12,5.0 ) λ1 = = 25 e portanto λ 1 = 35 1

λ1 =

10,66 ≤ 35, resultando em b ≥ 0,304, podendo ser considerado b ≅ 0,30 m b

Cálculo de pilares Ações atuantes: Embora não exista momento de primeira ordem aplicado ao pilar, é necessário considerar a excentricidade acidental de falta de retilinearidade e falta de prumo;

l ea = θ 1 .   2

θ1 =

1 ≥ θ 1, mín 100. l

1  3,08  l ea = θ 1 .   = .  = 0,0077 m  2  200  2 

sendo : l = 3,08 m (altura de um pavimento) θ 1, min = 1300 para imperfeições locais; θ 1, máx = 1 200

Para a seção de extremidade, o desaprumo é o dobro deste valor: ea = 0,0154 m;

Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior a : e1, mín = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,30) = 0,024 m Portanto, a situação de cálculo corresponde a um esforço normal de N = 200 kN e um momento fletor de: M = 200 x 0,024 = 4,8 kN.m

Cálculo de pilares -Determinação de As; Para determinar a armadura necessária é preciso definir a distância do centro de gravidade da barra longitudinal em relação à face do pilar; barra longitudinal em relação à face do pilar.

d' detalhe 1 y

detalhe 1

x

x

c t

e 1,min Figura 5.22. Seção transversal do pilar do exemplo numérico 1 com a consideração do cobrimento do mesmo.

Cálculo de pilares - Considerando que o pilar estará no interior da residência e que receberá cobrimento de argamassa, a classe de agressividade ambiental pode ser considerada a Classe I (agressividade fraca); -Considerando ainda que na confecção dos pilares usar-se-ão espaçadores de plástico, de forma a garantir o cobrimento (com inspeção rigorosa), pode-se usar uma tolerância ∆c = 5,0 mm, portanto, com cobrimento igual a 2,0 cm. -Tomando esbribos de φt = 5,0 mm e armadura longitudinal φ = 10,0 mm, chega-se a uma relação d’/h = (2+0,5+1,0/2)/30 = 0,1. - Assim, tem-se:

Nd 1,4 . 200 υ= = = 0,22 20000 b.b.fcd 0,30 . 0,30 . 1,4 υ . e 0,22 . 0,024 Nd . e µ= = = = 0,017 2 b . b . fcd b 0,30

Com os valores de υ e µ, resulta ω = 0, Dessa forma deve-se empregar a armadura mínima, dada pela expressão abaixo:

fcd .ν ≥ 0,40% fyd 20.1,15 ρmín = 0,15. . 0,22 = 0,0011 = 0,11% 1,4.500

ρmín = 0,15.

Assim, ρmín = 0,4% e As = 0,004.30.30 = 3,6 cm2, ou seja: 4 φ 10,0 mm (As – 3,2 cm2)

Cálculo de pilares centrais medianamente esbeltos Quando o índice de esbeltez λ está contido no intervalo de λ1 e 90 diz-se que o pilar é medianamente esbelto. Não havendo variação de seção transversal e nem de armadura o pilar pode ter sua armadura calculada com o método do pilar padrão Com curvatura máxima. Assim, na direção da menor inércia atuarão as excentricidades e2 e ea ou e2 e e1,min; y

y

Fd

y

e 2,y

Fd

Fd

x

situação de projeto

x

emin,y ou ea,y

x

emin,x ou ea,x e 2,x

a)

situações de cálculo

b)

Figura 5.23. Seção transversal de um pilar central medianamente esbelto. Posição esquemática das excentricidades a considerar em projeto e cálculo.

Exemplo 5.2 Dimensionamento de pilar central Calcular o pilar do exemplo anterior, considerando-o meidanamente esbelto. Utilizar os mesmos dados do problema anterior. Resolução: Para resolver o problema, levando em conta que a seção transversal é quadrada, considera-se o valor do comprimento de flambagem ou equivalente do pilar como já visto anteriormente e apenas em uma direção (na outra direção seria o mesmo valor). Dessa forma o valor do comprimento de flambagem será dado por: Le = 3,08m

consequentemente chamando o lado do pilar de b, tem - se :

λ=

le 10,66 = imín b

le 10,66 = ≤ 90, resulta em b ≥ 0,118 m imín b Como a menor dimensão do pilar, sem nenhuma consideração especial, é de 0,19 m, arredonda - se para b = 0,20 m

λ=

le = lp + r1 + r2 + h = 2,70 + 0,08 + 0,20 = 2,98 m λ=

le = i min

le b × b3 12 × b × b

=

l e × 3,46 2,98 × 3,46 = = 52 b 0,20

l 0 + h le ≤   l

Cálculo de pilares centrais medianamente esbeltos A excentricidade acidental, para a altura real do pavimento de 3,08 m, será, como no exemplo anterior, igual a: ea = 0,0077 m (seção intermediária)

ea = 0,0154 m (seção de extremidade)

Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior a : e1, mín = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,20) = 0,021 m Como o pilar é medianamente esbelto é necessário considerar o efeito de segunda ordem que é dado pela expressão abaixo:

ν=

Nd 1,4.200 = = 0,49 20000 Ac.fcd 0,20.0,20. 1,4

le 2 0,005 2,982 0,005 e2 = . = . = 0,022 m 10 (υ + 0,5).h 10 (0,49 + 0,5).0,20

Cálculo de pilares Com as mesmas considerações do exemplo anterior, tem-se: d’/h = (2+0,5+1,0/2)/20 = 0,15, logo:

Nd 1,4.200 = = 0,49 20000 Ac.fcd 0,20.0,20. 1,4 ν .e 0,49.(0,021 + 0,022) = = 0,105 µ= h 0,20

ν=

Com os valores de υ e µ, resulta ω = 0, Dessa forma deve-se empregar a armadura mínima, dada pela expressão abaixo:

fcd .ν ≥ 0,40% fyd 20.1,15 ρmín = 0,15. . 0,49 = 0,0024 = 0,24% 1,4.500

ρmín = 0,15.

Assim, ρmín = 0,4% e As = 0,004.30.30 = 3,6 cm2, ou seja: 4 φ 10,0 mm (As – 3,2 cm2)

Exemplo 5.3 Dimensionamento de pilar central Calcular o pilar do exemplo 5.1, considerando uma de suas dimensões com valor Mínimo, ou seja, 12 cm. Com uma das dimensões igual a 12,0 cm, o valor do comprimento de flambagem na direção x, será de:

lex = lp + h = 2,78 + 0,12 = 2,90 m λx = l e = i min , y

le b × b3 12 × b × b

=

l e × 3,46 2,90 × 3,46 = = 83,6 b 0,12

Trata-se pois, de um pilar medianamente esbelto, e a outra dimensão terá que ser pelo menos 30 cm, de modo que a área mínima de 360 cm2 da seção transversal do pilar seja respeitada. Assim, tem-se: b = 30,0 cm e h = 12,0 cm

ley = lp + h = 2,78 + 0,30 = 3,08 m λy =

le i min , x

=

le b × b3 12 × b × b

=

l e × 3,46 3,08 × 3,46 = = 35,5 < 90 b 0,30

Cálculo de pilares As excentricidades acidentais, em cada direção são iguais a:

1  2,90  l ea, x = θ 1 .   = .  = 0,00725 m  2  200  2  Para a seção de extremidade, o desaprumo é o dobro deste valor: ea,x = 0,0145 m;

Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior a : e1, mín = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,12) = 0,018 m 1  3,08  l ea, y = θ 1 .   = .  = 0,0077 m  2  200  2  Para a seção de extremidade, o desaprumo é o dobro deste valor: ea,x = 0,0154 m;

Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior a : e1, mín = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,30) = 0,024 m Assim, os valores a serem considerados serão: e1x,mín = 0,018 m e1y,mín = 0,024 m

Cálculo de pilares Como o pilar é medianamente esbelto nas duas direções, é necessário considerar o efeito de segunda ordem que é dado pela expressão abaixo:

le 2 0,005 e2 = . 10 (υ + 0,5).h

ν=

Nd 1,35.1,4.200 = = 0,735 Ac.fcd 0,12.0,3. 20000 1,4

0,005 2,9 2 0,005 le 2 e2, x = . = . = 0,028 m 10 (υ + 0,5).h 10 (0,735 + 0,5).0,12 le 2 0,005 3,082 0,005 e2, y = . = . = 0,013 m 10 (υ + 0,5).h 10 (0,735 + 0,5).0,30 Determinação de As y

y

Fd

Fd

x

2,8 cm 1,8 cm

situação de projeto

a)

x

Direção x Nessa direção, tem-se: d’/h = (2+0,5+1,0/2)/12 = 0,25, logo: y

Fd

x

2,8 cm 1,8 cm

a)

Nd 1,35.1,4.200 = = 0,735 20000 Ac.fcd 0,12.0,30. 1,4 ν .e 0,735.(0,018 + 0,028) µ= = = 0,28 h 0,12

ν=

Com os valores de υ e µ, resulta ω = 1,17

Direção y Nessa direção, tem-se: d’/h = (2+0,5+1,0/2)/30 = 0,10, logo:

Nd 1,35.1,4.200 ν= = = 0,735 Ac.fcd 0,12.0,30. 20000 1,4 ν .e 0,735.(0,013 + 0,024) = = 0,091 µ= h 0,30 Com os valores de υ e µ, resulta ω = 0,25 Prevalece assim, a situação anterior, como esperado, podendo-se empregar a armadura correspondente à 12 # 12,5 mm (As = 15,0 cm2), que atende a taxa de armadura mínima;

fcd .ν ≥ 0,40% fyd 20.1,15 ρmín = 0,15. . 0,735 = 0,0036 = 0,36% < 0,4% 1,4.500

ρmín = 0,15.

Assim, ρmín = 0,4% e As,min = 0,004.12.30 = 1,44 cm2

Cálculo de pilares centrais esbeltos

M

interno ou resistente

P=constante A s=constante L

M externo

1

(e1 /h)

2

10 . e1 2

1 r

1/r

e

Neste caso não é mais possível considerar que a curvatura seja máxima

Cálculo de pilares esbeltos Constroi-se para a seção um conjunto de Mx1/R com o N conhecido.

Constroi-se a reta do pilar padrão com a inclinação conhecida 2

1

=constante

=constante =0,5 =0,4

d' =constante h

=0,3 =0,2 =0,1

2 e

tag

d'

h

. 10

a

h

1

1/r

1/r

e i 10 2 e

Colocando as duas construções em um único Gráfico pode-se obter a taxa solução

=constante

A taxa é solução pois neste caso o momento resistente é igual ao ext.

=constante

4

=0,5 =0,4

3

=0,3

=0,3 =0,2 =0,1 1 2

1

1

e i 10 2

1 r

2

1/r e i 10 2

1 r

1/r

Cálculo de pilares centrais esbeltos Conhecendo as curvas, para um certo υ, de M x 1/r, de diversas taxas de armadura ω, conforme figura abaixo, calcula-se a inclinação da reta através da expressão: 1

=constante

=0,5 =0,4 =0,3 =0,2 =0,1

d' =constante h d' h

M

le 2  1  µ 2 = ν . .  - (expressão básica do pilar padrão) 10  r 

1/r

Que pode ser transformada em :

2

=constante

ν le  1  µ 2 = . .  2

h 10  r  E finalmnente a expressão da tangente (coeficiente angular) do segmento de reta;

ν  le 

tag M

h

a

1

1/r

2

tg α = .  e traçado a partir do ponto a, h  10  conforme mostra a figura ao lado;

2 e

ei 10 2 e

=constante

. 10

Cálculo de pilares centrais esbeltos 2

=constante

e

=constante

4

=0,5 =0,4 =0,3 =0,2 =0,1

3

=0,3 1

1 e i 10 2

1 r 2

1/r

1

2 e i 10 2

1 r

1/r

Conhecido o ponto de passagem da reta de esforços externos, por exemplo, µ = µ1d e 1/r = 0, e a inclinação da mesma, é possível traçar o gráfico da figura a seguir, obtendo-se o valor de ω, solução que corresponde a curva que tangencia esta reta. Para obter a solução da armadura, basta na curva em questão (a que é tangenciada Pela curva, e agora destacada na figura, com uma paralela passando pela origem o valor de M1 (µ1) máximo resistivo pela seção corrrespondente à taxa de armadura;

Fusco sistematizou o procedimento e construiu através de valores tirados de publicação do CEB o ábaco

Com entradas de: Le/h, d’/h, ν, µ1

Cálculo de pilares centrais esbeltos Quando o índice de esbeltez λ está contido no intervalo de 90 a 130, diz-se que o pilar é esbelto. Não havendo variação de seção transversal e nem de armadura o pilar pode ter sua armadura calculada com o método do pilar padrão, porém agora com a curvatura real. Assim, na direção da menor inércia, atuarão as excentricidades e2 e ea ou e2 e e1,min. Além destas excentricidades será necessário também considerar a excentricidade devido à fluência. Nesta caso, parece lógico considerar como mais desfavorável a situação segundo o índice de exbeltez máximo e aqui será feita apenas esta consideração . Exemplo 5.5 Calcular a armadura de um pilar de seção quadrada de lado 20 cm, comprimento equivalente de 6,0 m (pé-direito duplo) e força normal de 200 kN. Admite-se que a qualidade do concreto a ser utilizado e o tipo de impermeabilização da superfície, além de um controle rigoroso de execução e classe ambiental I, permitem um cobrimento de 10 mm. Adota-se fck = 30 MPa e aço CA-50. Considerar como 120 kN o valor da força normal permanente;

Cálculo de pilares centrais esbeltos Tratando-se pois de um pilar esbelto e o método a ser empregado é o da curvatura com diagramas acoplados. O fato da tabela só ter sido feita para d’/h = 0,10, obriga a um cobrimento bem menor, daí a necessidade de utilização de um concreto mais resistente (menos poroso) e que receba um tratamento de impermeabilização. Resolução: A esbeltez do pilar é dada por: λx =

le i min , y

=

le b × b3 12 × b × b

=

l e × 3,46 6,0 × 3,46 = = 103,0 > 90 b 0,20

Embora não exista momento de primeira ordem aplicado ao pilar, é preciso considerar a excentricidade acidental de falta de retilinearidade e falta de prumo.

l ea = θ 1 .   2

1 θ1 = ≥ θ 1, mín 100. l

sendo : l = (altura de um pavimento) θ 1, min = 1300 para imperfeições locais; θ 1, máx = 1 200

Ações Atuantes:

1 6 l ea = θ 1 .   = .   = 0,015 m  2  200  2  obs : - para a seção de extremidade, o desaprumo é o dobro deste valor : ea = 0,03m Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior a : e1, mín = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,20) = 0,021 m Como se trata de pilar esbelto, é necessário considerar também o efeito da fluência cuja excentricidade é dada pela expressão: φ .NSg   M Sg    Ne - NSg ec =  + ea  . 2,718 - 1   NSg   

Cabe lembrar que como se trata de pilar central, não há momento de carga permanente, então MSg = 0 e considerando para o valor de φ = 2.

Ec = 0,85.5600. fck = 0,85.5600. 30 = 26071 MPa

Determinação da excentricidade devido à FLUÊNCIA do concreto 10.Ec.Ic 10.26071.1,33.10-4 Ne = = = 963 kN 2 2 le 6 φ .NSg   M Sg    Ne - NSg ec =  + ea  . 2,718 - 1   NSg   

O efeito de segunda ordem já está incluído no ábaco a ser utilizado para determinação de As;

Cálculo de pilares Com as mesmas considerações que do exemplo anterior e pilar com 20 cm de lado, tem-se d’/h = (1 + 0,5 + 1,0/2)/20 = 0,10.

Nd 1,4.200 = = 0,33 Ac.fcd 0,20.0,20. 30000 1,4 ν .e 0,33.(0,021 + 0,005) = = 0,04 µ= h 0,20 le 6 = = 30 h 0,2

ν=

Com os valores de υ, µ e Le/h resulta ω = 0,20

Cálculo de pilares As = b.h.

fcd 30.1,15 .ϖ = 20.20. . 0,20 = 3,94 cm 2 fyd 500.1,4 As 3,94 ρ= = = 1,0% Ac 20.20

fcd ρmín = 0,15. .ν ≥ 0,40% fyd 30.1,15 ρmín = 0,15. . 0,33 = 0,0024 = 0,24% < 0,4% 1,4.500 Dessa maneira, pode-se usar 4 # 12,5 mm (5,0 cm2 ) ou 6 # 10,0 mm (4,8 cm2)

Pré-Dimensionamento de pilares - De uma maneira geral os pilares mais empregados nas obras usuais têm seção transversal retangular. Exceção é feita quando se deseja mantê-los aparente ou que facilitem a visibilidade. Nestas situações os pilares circulares ou com seção quadrada são mais indicados. -No caso de seções retangulares, geralmente um dos lados da seção tem a mesma dimensão da parede, de forma que fique embutido, não sendo visível. Como as dimensões dos tijolos tem diminuído, em alguns casos são feitos um pouco mais espesso que as paredes. É oportuno destacar que com as recomendações para cobrimentos previstos pela NBR 6118:2003, as espessuras utilizadas até então perdem bastante sua eficiência. Como estimativa inicial, recomenda-se que sejam utilizados para a menor dimensão (b), os seguintes valores:

• b ≥ 12 a 20 cm
até 02 pavimentos; • b ≥ 15 a 20 cm
até 04 pavimentos; • b ≥ 20 a 30 cm
até 12 pavimentos;

1,0 ≤ ν =

Nd ≤ 1,2 Ac.fcd

Obviamente que este procedimento é simples e aproximado, servindo apenas para pré-dimensionamento, devendo em seguida serem efetuadas todas as verificações pertinentes;

Cálculo de pilares Exemplo 5.13 Calcular a armadura de um pilar central de um edifício de 12 andares, admitindo: a) Pilar com seção transversal e área de armadura constante em todo o edifício; b) Pilar com seção transversal constante e área da armadura diferente a partir do sexto andar; c) Pilar com seção transversal e armadura reduzidos a partir do sexto andar;

Dados : le = 3,0 m - Aço CA - 50 N = 1500 kN - d' = 4,0 cm

-

fck = 20,0 MPa

Pré-dimensionamento: Como se trata de prédio de 12 pavimentos, é razoável adotar b = 20 cm, e para υ o valor 1,0, resultando:

ν=

Nd 1,4.1,4.1500 = = 1,0 → h = 0,735 m Ac.fcd 0,2.h.20000

Adota-se h = 75 cm, que é menor que cinco vezes o lado menor (5.b = 5.20 = 100 cm), não se tratando, portanto, de pilar parede.

Cálculo de pilares Índice de esbeltez segundo x : λx =

le = iy

le

b × b3 12 × b × b Assim, e2, x ≠ 0

=

l e × 3,46 3,0 × 3,46 = = 52,0 > λ 1 = 35 (αb = 1,0) b 0,20

Índice de esbeltez segundo y : λx =

le = ix

l ey

b × b3 12 × b × b Assim, e2, x = 0

=

l e × 3,46 3,0 × 3,46 = = 14,0 < λ 1 = 35 (αb = 1,0) b 0,75

Cálculo de pilares Excentricidades acidentais (nas direções x e y)

1 3 l ea = θ 1 .   = .   = 0,075 m  2  200  2  obs : - para a seção de extremidade, o desaprumo

Situações de cálculo: situação de projeto

é o dobro deste valor : ea = 0,015 m Excentricidades mínimas nas direções x e y : emín, x = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,20) = 0,0210 m emín, y = (0,015 + 0,03.b ) = (0,015 + 0,03.0,75) = 0,0375 m Excentricidade de segunda ordem na direção x : e2, x ≠ 0 pois λy > λ1y 0,005 3,0 2 0,005 le 2 e2, x = . = . = 0,0152 m 10 (υ + 0,5).h 10 (0,98 + 0,5).0,20

ν=

Nd 1,4.1500 = = 0,98 20000 Ac.fcd 0,2.0,75. 1,4

y

P1

Nd

V101 x

Figura 5.51. Seção do pi

Cálculo de pilares seção intermediária situação de cálculo

y

1 P1

3,75>ea,y =1,5cm

V101

Nd

x

Considerando os valores de eax e e2x, tem-se: ex,total = 2,1 + 1,5 = 3,6 cm > ex,min = 2,1 cm

1,5+0,75=2,25>ex,min =2,1 cm

seção de extremidade situação de cálculo y

Nd 3,75>ea,y =1,5cm

+0,75=2,25>ex,min =2,1 cm

2 V101 x

P1

Seção de extremidade (a direção y é a crítica) ey,total = 1,5 cm < emín,y = 3,75 cm Assim: ey = 3,75 cm

Cálculo de pilares Situação 1: O ábaco é o de número 4 para flexão reta (d’/h = 4/20 = 0,20), com os parâmetros de entrada;

Nd 1,4.1500 = = 0,98 Ac.fcd 0,20.0,75. 20000 1,4 ν .e 0,98.(0,036) = = 0,176 µ= h 0,20

ν=

Com os valores de υ e µ resulta ω = 0,60 As = b.h.

fcd 20.1,15 .ϖ = 20.75. . 0,60 = 32,0 cm 2 fyd 500.1,4

fcd .ν ≥ 0,40% fyd 20.1,15 ρmín = 0,15. . 0,98 = 0,00483 = 0,483% > 0,4% 1,4.500

ρmín = 0,15.

As 32,0 = = 2,13% < ρmáx = 8,0% Ac 20.75 Assim :

ρ=

As = 32,0 cm 2

Detalhamento da Armadura • O detalhamento da armadura de um pilar deve contemplar a quantidade e o posicionamento correto da armadura longitudinal e da transversal; • Deve-se indicar claramente as distâncias entre as barras, os traspasses e as barras de espera; • Detalhar um pilar consiste em apresentar um desenho em que fique claro a disposição das armaduras longitudinais e transversais do mesmo indicando bitolas, formatos, comprimentos e quantidades; • Na questão do comprimento é preciso levar em conta o processo de “fabricação” dos pilares em que cada andar é produzido por vez e, desta forma, barras precisarão ser emendadas sendo assim necessário calcular o traspasse entre as barras de um andar e outro; • Finalmente a armadura transversal, cuja função principal é evitar a flambagem das barras longitudinais terá sua quantidade na seção transversal e ao longo do comprimento do pilar definida a partir desta função;

Emendas por transpasse de barras comprimidas Comercialmente não existem barras de aço de comprimento maior que 12,0 m, dessa maneira, as barras da armadura longitudinal dos pilares necessitam ser emendadas, além do que é difícil manipular barras de grande comprimento; O usual são emendas por transpasse, ou seja, na região da emenda o esforço de uma barra longitudinal passa para outra, através do concreto; Também é comum considerar que as barras são emendadas em uma região em que todas elas estão comprimidas; Em barras comprimidas, o comprimento do trecho de transpasse é igual ao comprimento de ancoragem loc = lb,nec, com o mínimo de 20 cm ou 15.φ, ou ainda 0,6.lb, e todas podem ser emendadas na mesma seção; O valor de lb,nec é dado pela expressão:

As, neces lb, nec = α 1.lb. As, efetivo

Emendas por transpasse de barras comprimidas O valor de α1 é igual a 1 para barras sem gancho e As,ef é a área da armadura utilizada efetivamente no detalhe, enquanto As,nec é a área de armadura necessária; O comprimento de ancoragem é dado por:

lb =

φ fyd .

, sendo :

4 fbd fbd = η 1.η 2.η 3.fctd

η1 igual a 2,25 (CA-50), o valor de η2 para região de boa aderência é igual a 1 e η3 também é igual a 1 para barras com diâmetro inferior a 32,0 mm;

fctd =

0,21.3 fck 2

γc

Recomenda-se que as emendas sejam feitas no terço inferior ou superior da altura do pilar, pois em caso de ocorrência do efeito de segunda ordem, o momento máximo, na região central da altura do pilar, não romperá a emenda; O melhor é que as emendas sejam feitas no nível do pavimento, e dessa forma o tamanho final de uma barra será igual a distância de piso a piso, mais o comprimento da emenda;

Detalhamento É conveniente também que na região da emenda a distância entre os estribos, respeitados os espaçamentos dados a seguir, não seja maior que 4.φt . Não é permitido emenda por transpasse em barras com diâmetro maior que 25,0 mm;

FIGURA 5.54. Emendas de barras na transição de pavimentos [FIORIN (1998)]

Emendas por transpasse de barras comprimidas Na transição entre pavimentos, quando não houver mudança na seção transversal do pilar, as barras do tramo inferior posicionadas nos cantos devem ser dobradas ligeiramente para dentro de modo a se efetuar a emenda, conforme figura abaixo. Quando houver diminuição da seção do pilar, deve-se prolongar apenas as barras possíveis e necessárias na emenda; Quando a diminuição da seção for tal que não permita o prolongamento, devem ser usadas barras complementares, que servirão de arranque para a parte superior do pilar. O ACI 318 (1992) determina que a máxima inclinação das barras para se efetuar a emenda deve estar na proporção 1:6;

Proteção das barras longitudinais contra flambagem Segundo a NBR 6118:2003, admite-se que os estribos poligonais garantem contra a flambagem, as barras longitudinais posicionadas em suas quinas e as por eles abrangidas e situadas no máximo à distância 20.φ, se nesse trecho não houver mais de duas barras, não contando a da quina. Quando houver mais de duas barras nesse trecho, ou barras fora dele, deverá haver estribos suplementares (estribos ou fateixas); A eles se aplica a mesma regra;

Proteção das barras longitudinais contra flambagem

Proteção das barras longitudinais contra flambagem

FIGURA 5.60. Arranjos de estribos para pilares quadrados [ACI 318 (1992)]