Automatsko Upravljanje

AUTOMATSKO UPRAVLJANJE

Naser M. Prljača

Univerzitet u Tuzli, Oktobar, 2005

Uvod Definicija: Teorija automatskog upravljanja se bavi analizom i sintezom sistema upravljanja u cilju postizanja željenog dinamičkog ponašanja fizičkog sistema. Potrebe za automatskim upravljanjem su prisutne u svim sferama ljudske djelatnosti od regulacije temperature u sobi do upravljanja letom svemirskih letjelica. Teorija automatskog upravljanja se bazira na: - Teoriji signala i sistema - Komunikacionoj teoriji - Tehnikama vještačke inteligencije - Tehnikama softverskog i hardverskog inženjeringa U opštem slučaju problem automatskog upravljanja se može predstaviti kao na slici

Slika 1. i formulisati: naći ulaz u(t) takav da izlaz iz procesa y(t) bude što je moguće "bliži" ili jednak željenom izlazu yd(t). Na slici 2 su prikazani y(t) i yd(t) Izlaz je neka fizička veličina. Kada u(t) narinemo na sistem, izlaz sistema treba da bude što bliže željenom izlazu yd(t).

Slika 2. U opštem slučaju proces koji se upravlja je opisan diferencijalnom jednačinom kretanja.

Slika 3. Diferencijalne jednačine koje predstavljaju modele nekog stvarnog procesa se dijele na: - Obične diferencijalne jednačine - Parcijalne diferencijalne jednačine U opštem slučaju problem automatskog upravljanja može biti riješen na jedan od dva načina (ako je rješenje uopšte moguće): 1. upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi (Open Loop Control) 2. upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi (Closed Loop Control)

-1-

Upravljanje u otvorenoj povratnoj sprezi Problem upravljanja u otvorenoj povratnoj sprezi se svodi na nalaženje upravljačkog signala u = u (t) u funkciji vremena i samo u funkciji vremena koji osigurava da izlazni signal y(t) prati što je moguće bolje željeno yd(t).

Primjer: Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze projektile iz skladišta do aviona lovca.

Slika 4. Pri rješavanju ovog problema treba slijediti slijedeće korake: 1. definisati matematički model sistema (jednačina kretanja kolica u zavisnosti od sile) 2. postavljanje specifikacija (zahtjeva) na željeno ponašanje sistema (kako hoćemo da kolica odu do aviona. Konkretno za ovaj primjer potrebno je zadovoljiti slijedeće početne uslove: x(0)  0 pozicija dx (0)  0 brzina dt i krajnje uslove: x(T )  L pozicija dx (T ) 0 brzina dt Postoji neograničen broj načina da se ovi uslovi zadovolje kao npr na slici 5.

Slika 5.

-2-

Izaberimo rješenje koje za najmanje vrijeme pređe udaljenost L. To rješenje implicira da će kolica u prvoj polovini puta maksimalno ubrzavati, a u drugoj maksimalno usporavati.

Slika 6. ubrzanje

Slika 7. brzina

Slika 8. pozicija t

t

dx(t )  v(t )   a (t )dt   Adt  At dt 0 0

v(t ) 

T /2

t

0

T /2

 Adt    Adt  AT  At

x(t )   v(t )dt 

At 2 2

za 0  t  T / 2 za T / 2  t  T za 0  t  T / 2

-3-

x(t ) 

T /2

t

0

T /2

 v(t )dt   v(t )dt x(t ) 

za T / 2  t  T

AT 2 AT 2 At 2   ATt  4 2 2

AT 2 za t  T  x(T )  L  x(t )  4 Jednačina kretanja sistema je: d 2x m0 2  F (t ) ; dt

m0 A, F (t )    m0 A,

0  t T /2 T /2  t T

Da bi odredili F moramo znati m0 i A. Masa se kreće u određenim granicama pa se može pisati: m  m0  m gdje je | m | M Parametre sistema ne možemo tačno znati. Ubrzanje A se uzima iz kataloga (ubrzanje motora) i nije 100% tačno. Prema tome diferencijalna jednačina realnog sistema je: d 2x (m0  m) 2  F (t ) dt gdje je sa m označeno odstupanje u masi i može biti pozitivno ili negativno. Prema tome, unutar vremena 0  t  T / 2 , sistem se može opisati slijedećom diferencijalnom jednačinom: m0 d 2x A  2 m0  m dt Odstupanje m unosi odstupanja u konačnoj poziciji kolica za neko L kao na slijedećoj slici

Slika 9. odstupanja pozicije od željene Pored razmatranih promjena parametara sistema, na sistem uvijke djeluju slučajne vanjske smetnje (npr. u ovom slučaju vjetar). Jednačina koja bi opisala ovakav sistem je slijedeća: d 2x (m0  m) 2  F (t )   (t ) dt gdje je sa  (t ) označena slučajna vremenska smetnja. Očigledno je da ovakav način upravljanja u otvorenoj sprezi upravlja pozicijom kolica samo u idealnom slučaju tj. kada nema promjena parametara sistema i kada na sistem ne djeluju vanjske smetnje. Nalaženje upravljačkog signla F (t ) je bilo bazirano na poznavanju modela -4-

sistema i njegovih početnih uslova. Prema daljoj analizi se moglo zaključiti da je svaki model sistema bolja ili lošija aproksimacija stvarnog ponašanja. Na prethodnom slučaju to je dokazano na primjeru promjene ili nepoznavanja apsolutne mase kolica. Pored toga, na sistem uvijek djeluju i vanjske smetnje, pa se može zaključiti da su sistemi sa upravljanjem u otvorenoj sprezi ograničene tačnosti. Upravljanje u zatvorenoj povratnoj sprezi

Za razliku od upravljanja sa otvorenom povratnom spregom, upravljanje sa zatvorenom povratnom spregom zahtijeva nalaženje upravljanja u(t) koje je funkcija i stvarnog izlaza iz sistema y(t).

Slika 10. sistem sa zatvorenom pov. spregom U najčešćem broju slučajeva signal povratne sprege y(t) se koristi za nalaženje razlike između željenog i stvarnog stanja (izlaza) sistema. Razlika između željenogi i stvarnog stanja se naziva greška odstupanja.

Slika 11. greška odstupanja Kao što se može vidjeti sa slike 11 upravljanje u(t) je funkcija greške. Želimo postići što manje e(t) tj. omogućiti da e(t )  0 . Primjer: Potrebno je izvršiti sintezu upravljanja (sile) automatskih kolica (AGV) koja prevoze projektile iz skladišta do aviona lovca korištenjem upravljanja u zatvorenoj sprezi. Najprije se razvije odgovarajući matematički model sistema tj. postave se diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema. d 2x m0 2  F (t ) dt Izlaz sistema predstavlja poziciju kolica. Krajnji uslovi: x(T )  L

-5-

dx (T )  0 dt neka je upravljačka sila F(t) generisana na slijedeći način: dx dt Dakle, upravljačka sila F(t) je funkcija pozicije i brzine gdje su K p i K d konstante. F (t )  K p ( L  x(t ))  K d

Prema tome, dobija se slijedeća diferencijalna jednačina: dx d 2x  K p x(t )  K p L m0 2  K d dt dt odnosno m0 d 2 x K d dx   x(t )  L K p dt 2 K p dt Rješavanjem prethodne jednačine dobijamo poziciju kolica. Stacionarno stanje (svi izvodi su nule) daje x(T )  L . Prema tome na ovaj način je osigurano da kolica u trenutku T signu u poziciju L. Iz prethodnog primjera uočavaju se najvažnije prednosti povratne sprege (feedback): - promjena mase ne utiče na stacionaro stanje - stacionarno stanje ne zavisi od početnih uslova - sistem je manje osjetljiv - vanjska smetnja  (t ) se smanjuje u ovisnosti o parametru K p Prema tome, sistem sa povratnom spregom se vrlo efikasno nosi sa poremećajima tipa: - početnih uslova - promjenama parametara sistema - djelovanjem vanjskih slučajnih smetnji

Slika 12.

-6-

Historija automatskog upravljanja

1. Sistem sa centrifugalnim regulatorom vrtnje parne mašine

Slika 13. Wattov sistem aut. upravljanja 2. Elektronsko pojačalo

Slika 14. el. pojačalo Ulaz i izlaz su povezani jednačinom:

u izl  Au ul ako nema povratne sprege pojačanje A se mijenja. Bode je 1927. uveo koncept povratne sprege. U slučaju upotrebe povratne sprege, pojačanje A je u širokom opsegu konstantno. Pojačanje B u direktnoj grani se može mijenjati ali je pojačanje A konstantno. 3. Protivavionski top Upravljačka šema rada protivavionskog topa je data na slici 15.

Slika 15. Protivavionski top

-7-

Radar mjeri poziciju aviona i šalje poziciju topu na dati ugao elevacije. Potenciometar u povratnoj sprezi mjeri ugao elevacije cijevi topa. Primjeri modernih sistema automatskog upravljanja

1. Sistem upravljanja automobilom

Slika 16. 2. Robotski manipulator

Slika 17. 3. Upravljanje proizvodnjom električne energije

Slika 18. multivarijabilni sistem

-8-

4. Ekonomski sistem – model sistema nacionalnog dohotka Sistemom upravljanja u zatvorenoj sprezi se mogu modelirati i socijalni, ekonomski i politički sistemi. Jedan takav primjer je model upravljanja nacionalnim dohotkom predstavljenim na slici 19.

Slika 19. Model sistema nacionalnog dohotka Dizajn upravljačkog sistema

Na slici 20. je prikazan tipičan primjer sistema sa zatvorenom povratnom spregom.

Slika 20. Inženjerski dizajn je centralni zadatak svakog inženjeringa. Dizajniranje je kompleksan proces u kojem analiza i kreativnost igraju centralnu ulogu. Proces dizajniranja se u opštem slučaju može predstaviti pomoću dijagrama toka kao na slici 21. Svakako najveći izazov koji se postavlja pred dizajnera je pisanje specifikacija za tehnički proizvod. Specifikacije definišu svrhu i način rada sistema. Obično proces dizajniranja pretpostavlja izbor kompromisa izmjeđu različitih konfliktnih kriterija postavljenih na sistem. Problem dizajniranja sistema upravljanja se može formulisati i na slijedeći način: Dat je model sistema, senzora, aktuatora i skupa ciljeva sistema. Problem se svodi na nalaženje odgovarajućeg kontrolera koji postiže ciljeve sistema ili utvrdi da to nije moguće.

-9-

Slika 21. Procedura dizajniranja sistema upravljanja Primjeri dizajna sistema upravljanja

Dizajn sistema za pokretanje magnetnog diska u otvorenoj sprezi

Slika 22. upravljanje brzinom diska - 10 -

U ovom primjeru upravljanja u otvorenoj sprezi DC pojačavač ima ulogu regulatora. DC motor ima ulogu aktuatora, a sam proces je disk koji se vrti određenom ugaonom brzinom. Naponski izvor obezbjeđuje napon proporcionalan željenoj brzini obrtanja diska. Ovaj napon se dalje pojačava i vodi istosmjernom (DC) motoru koji okreće disk. Ovaj sistem se može predstaviti blok dijagramom kao na slici 23.

Slika 23. blok dijagram sistema upravljanja diskom Ovakav sistem ne može garantovati da će se disk okretati željenom brzinom (promjena parametara sistema, vanjska smetnja) te ovakvo rješenje ne može zadovoljiti ako se traži velika tačnost u brzini obrtanja diska. Dizajn sistema upravljanja brzinom magnetnog diska u zatvorenoj povratnoj sprezi Ovo rješenje koristi povratu informaciju o stvarnoj brzini obrtanja diska, te omogućava precizniju kontrolu brzine.

Slika 24. upravljanje brzinom diska u zatvorenoj sprezi U ovom slučaju koristimo tahogenerator koji na svom izlazu daje napon proporcionalan stvarnoj brzini obrtanja diska, pa se na taj način dobija povratna informacija o stvarnoj brzini diska. Izlaz iz tahogeneratora se vodi na komparator gdje se vrši oduzimanje signala željene i stvarne vrijednosti i na taj način formira signal greške koje se dalje vodi na pojačavač. Ovaj sistem se može predstaviti blok dijagramom kao na slici 25.

Slika 25. blok dijagram sistema upravljanja diskom u zatvorenoj sprezi

- 11 -

Matematičko modeliranje fizičkih sistema

Da bi razumjeli i upravljali složenim sistemima, prvo moramo doći do kvantitativnih matematičkih modela sistema.Oni nam služe da bi analizirali relacije (veze) između relevantnih varijabli u sistemu. Kako su sistemi koje razmatramo dinamički, njihovi modeli su u formi diferencijalnih jednačina. Rješavanjem dobijenih diferencijalnih jednačina dobijaju se veze između varijabli sistema. Matematičko modeliranje složenih sistema se bazira na primjeni relevantnih fizičkih zakona na dati sistem. Ova primjena vodi diferencijalnim jednačinama kretanja datog sistema. U opštem slučaju jednačine kojima opisujemo sisteme mogu biti u slijedećoj formi: 1. algebarske ili statičke f ( x, y )  0 2. obične diferencijalne jednačine. U ovom slučaju imamo izvode po jednoj promjenljivoj f ( x ( n ) , x ( n 1) ,..., x(t ), u (t ))  0 . Ovakve jednačine opisuju sisteme sa koncentrisanim parametrima. Varijable su funkcije vremena i nema prostornih koordinata. Obične diferencijalne jednačine se mogu podijeliti na linearne i nelinearne. Linearne diferencijalne jednačine se predstavljaju u formi: d ( n 1) x d (n) x   ...  a 0 x(t )  u (t ) a n 1 dt n 1 dt n U opštem slučaju rješenje diferencijalne jednačine se sastoji iz homogenog dijela i partikularnog dijela. Homogeni dio rješenja je posljedica početnih uslova (početno energetsko stanje). Linearne diferencijalne jednačine mogu biti sa konstantnim ili sa promjenljivim koeficijentima ( koeficijenti su funkcije vremena a = a(t)). Sistemi opisani linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima se nazivaju linearni vremenski invarijantni sistemi (tzv. LTI sistemi).  2 u u  0 , gdje je u  u ( x, y, z, t ) . Sistemi 3. parcijalne difrencijalne jednačine npr.  xy t sa distribuiranim parametrima se opisuju parcijalnim diferencijalnim jednačinam. Parametri su pored vremena ovisni i o prostornim koordinatama.

Slika 26. 12

Pored izgradnje matematičkog modela pomoću diferencijalnih jednačina, model sistema se može dobiti i tzv. eksperimentalnom identifikacijom podesnom za kompleksne sisteme. Za dati ulaz se vrši snimanje vrijednosti izlaza te na osnovu odgovarajućeg postupka formira se model sistema. Primjer: Naći diferencijalnu jednačinu kretanja sistema na slici 27.

Slika 27. Postavljanjem strujnih i napomskih jednačina dobijamo: di ei (t )  L 1  R1i1  eo (t ) dt i1 (t )  i2 (t )  i3 (t ) de (t ) e (t ) i1 (t )  o  C o dt R2 d 2 eo (t )  L  R1 R2 C  deo (t )  R1  R2      R LC dt dt 2 2  R2 LC  

 e (t ) eo (t )  i LC 

zamjenama: R1  R2 L  R1 R2 C i a1  R2 LC R2 LC prethodna jednačina prelazi u slijedeći oblik: d 2 eo (t ) de (t ) e (t )  a1 o  a o eo (t )  i 2 dt LC dt ao 

S obzirom da su koeficijenti u ovoj diferencijalnoj jednačini konstantni, može se zaključiti da se radi o linearnom vremenski invarijantnom sistemu. Primjer: Potrebno je naći matematički model mehaničkog sistema predstavljenog na slici 28. Sa oznakom B je označen tzv. prigušivač. Ovaj parametar modeluje viskozno trenje koje postoji u većini mehaničkih sistema. Ovaj koeficijent predstavlja odnos između sile viskoznog trenja i brzine kretanja: .

F  Bx Sa oznakom k je obilježena konstanta opruge. Ovaj parametar modeluje elastična svojstva sistema. Parametar k se može posmatrati i kao odnos između djelujuće sile i relativnog istezanja opruge: F  kx

13

Slika 28. Sistem na slici 28 se može opisati slijedećim diferencijalnim jednačinama: . . d 2 x1 m1 2  B1 ( x1  x 2 )  K 1 ( x1  x 2 )  F1 (t ) dt 2 d x2 dx dx dx m2  B1 ( 1  2 )  K 1 ( x1  x 2 )  B2 2  K 2 x 2  F2 (t ) 2 dt dt dt dt Prema tome, sistem sa slike 28 se može predstaviti sistemom linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Primjer: Naći jednačine kretanja sistema datih na slikama 29 i 30.

Slika 29.

Slika 30. .

Brzinu kretanja će se označiti sa v ( v  x ), pa se mehanički sistem na slici 29. može opisati slijedećom jednačinom: d 2x dx m 2  B  Kx  F (t ) dt dt odnosno t dv m  Bv  K  vdt  F (t ) dt  S druge strane, električni sistem sa slike 30. se može predstaviti slijedećom jednačinom:

14

i  i1  i2  i3 odnosno t

du u 1 C   udt  i (t ) dt R L  gdje je sa u označen napon na krajevima elemenata. Poređenjem dobijenih diferencijalnih jednačina mehaničkog i električnog sistema može se zaključiti da između njih postoji analogija. Zaista, slijedećim zamjenama: 1 1 F (t )  i (t ) , m  C , B  , v  u i K  R L jednačina kretanja mehaničkog sistema postaje jednačina kretanja električnog sistema. Prema tome, može se zapaziti da se svi dinamički sistemi sastoje od 3 tipa elemenata: 1. disipativni elementi, tj. elementi na kojima se bespovratno gubi energija u vidu toplote. 2. elementi koji predstavljaju gomilišta kinetičke energije 3. elementi koji predstavljaju gomilišta potencijalne energije Analogija između veličina omogućava generalisanje, odnosno izvođenja diferencijalnih jednačina primjenjivih na mehaničke, električne, termičke, hidrauličke i druge sisteme. Analogija između mehaničkih i električnih sistema je predstavljena u tabeli na slici 31. 1 B uv iF

R i

V2  V1 u  R R

u  V2  V1 di uL dt

u  V2  V1 du iC dt

F  B (v 2  v1 )  Bv

iF uv 1 L K

Cm iF uv

Slika 31. Analogija mehaničkih i električnih sistema

15

v  v 2  v1 1 dF v K dt

F m

dv dt

Rješavanje matematičkih modela dinamičkih sistema

Linearni vremensko invarijantni sistemi se opisuju linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantnim koeficijentima tj. d m u (t ) d n 1 y (t ) d n y (t )   ...  ( )   ...  b0 u (t ) a y t b a n 1 m 0 dt m dt n 1 dt n Gdje su: a n 1 , a n 2 ,..., a 0 , bm , bm 1 ,..., b0 konstantni koeficijenti. Ulaz u sistem se obilježava sa u(t), izlaz sa y(t), n predstavlja red sistema i za svaki fizički sistem vrijedi n  m . Svaki realni dinamički sistem se ponaša kao niskopropusni (NF) filter. Za sistem n-tog reda imamo ukupno n početnih uslova: ( n 1) y (0)  y 0 , y (0)  y 0 ,..., y ( n 1) (0)  y 0 Rješavanje linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima

Linearne diferencijalne jednačine se mogu rješavati na više načina: - Metoda varijacije konstanti - Laplace-ova transformacija Da bi se na fukciju f(t) moga primijeniti Laplace-ova transformacija moraju biti ispunjeni slijedeći uslovi: t0 0, f (t )    f (t ), t  0 

i integral  | f (t ) | e t dt   mora konvergirati za neko realno pozitivno  . 0

Prema tome, za funkciju f(t) koja zadovoljava navedene uslove Laplace-ova transformacija se definiše kao: 

F ( s )   f (t )e  st dt  L{f(t)} 0

Inverzna Laplace-ova transformacija se definiše kao:   j 1 L-1{F(s)}= F ( s )e st ds  2j   j Osnovne osobine Laplace-ove transformacije: L {a1 f (t )  a 2 g (t )}  a1 F ( s )  a 2 G ( s ) df (t ) L{ }  sF ( s )  f (0) dt d n f (t ) L{ }  s n F ( s)  s n 1 f (0)  ...  f ( n 1) (0) n dt L { f (t   )}  e  s F ( s )

16

t

L { f ( )d }  0

F (s) s

t

L { f (t   ) g ( )d }  F ( s ) * G ( s ) 0

lim f (t )  lim sF ( s ) t 

s 0

lim f (t )  lim sF ( s ) t 0

L {e

 at

s 

f (t )}  F ( s  a)

L {t n f (t )}  (1) n

d n F (s) ds n

Laplace-ove transformacije osnovnih funkcija

U slijedećoj tabeli su date Laplace-ove transformacije često upotrebljavanih funkcija Original Dirac-ov impuls:  (t )

Laplace-ova slika

t0  0, ,  (t )dt  1 t  0  , Step funkcija: u (t ) t0 0, u (t )   t0 1,

1

 (t )  

1 s 1 sa n! ( s  a) n 1 s 2 s 2

e  at t n e  at cos t



sin t

s 2 sa ( s  a) 2   2 2

e  at cos t



e  at sin t

( s  a) 2   2 s2   2 (s 2   2 ) 2 2s 2 (s   2 ) 2

t cos t t sin t

( s  a) 2   2 (( s  a) 2   2 )

te  at cos t

17

Ukoliko je Laplace-ova slika G (s ) racionalna funkcija kompleksne promjenljive u obliku: bm s m  bm 1 s m 1  ...  b0 G(s)  s n  a n 1 s n 1  ...a 0 odnosno b s m  ...  b0 G ( s)  m ( s  s1 )...( s  s n ) tada je za nalaženje inverzne Laplace-ove transformacije potrebno sliku G(s) rastaviti u parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj) i na taj način svesti funkciju na sumu tabličnih Laplace-ovih transformacija. Pri ovom postupku mogu se javiti slijedeći karakteristični slučajevi: - Svi polovi sistema (nule imenioca) su realni i jednostruki. Tada se funkcija G(s) može Q( s) Q( s)  , pri čemu je: s1  s 2  ...  s n . prikazati u obliku: G ( s )  P( s ) ( s  s1 )...( s  s n ) Razvojem ove funkcije u parcijalne razlomke dobija se slijedeći izraz: n k k k Q( s) G ( s)   1  ...  n   k s  s n k 1 s  s k ( s  s1 )...( s  s n ) s  s1 gdje su k k , k  1...n konstante koje se određuju na slijedeći način: s  sk s  sk Q( s) ( s  s k )G ( s )  ( s  s k )  k1  ...  k k  ...  kn ( s  s1 )    ( s  s k )    ( s  s n ) s  s1 s  sn odavde slijedi: Q( sk ) Q( s) k k  lim ( s  s k )  s  sk P( s ) ( s k  s1 )    ( s k  s k 1 )( s  s k 1 )    ( s  s n ) Prema tome, vrijedi: n n k L-1 { k }   k k e sk t k 1 s  s k k 1 -

Svi polovi sistema su jednostruki, ali postoji i konjugovano kompleksni polovi. Neka * vrijedi, radi jednostavnosti, s 2  s1 , dok su ostali polovi prosti. Tada se funkcija G(s) može predstaviti u obliku: * k k k1 k1 Q( s) G(s)     3  ...  n * P( s ) s  s1 s  s1 s  s3 s  sn Neka je s1    j , s 2  s1    j , k1  a  jb i k1  a  jb , tada se dobija: n k a  jb a  jb G ( s)    k ( s   )  j ( s   )  j k  3 s  s k Sređivanjem prethodnog izraza dobija se: n kk 2a (  s ) 2b G ( s)     2 2 2 2 (s   )   (s   )   k 3 s  s k Prva dva člana prethodne sume se mogu pronaći u tabeli Laplace-ovih transformacija, a treći član se svodi na prethodni slučaj, pa konačno, za inverznu Laplace-ovu transformaciju se dobija: *

*

n

g(t)= L-1 {G ( s )}  2ae t cos t  2be t sin t   k k e sk t k 3

18

-

Pored jednostrukih polova sistema, postoje i višestruki polovi sistema. Neka je pol s1 višestrukosti 3, dok su ostali polovi jednostruki. Tada se funkcija G(s) može prikazati u obliku: n k13 kk k11 k12 Q( s) Q( s) G(s)        3 3 2 P ( s ) ( s  s1 ) ( s  s 4 )    ( s  s n ) ( s  s1 ) ( s  s1 ) k  4 s  s k ( s  s1 ) Konstante k11 , k12 i k13 se mogu odrediti na slijedeći način: n k ( s  s1 ) 3 G ( s )  k11  k12 ( s  s1 )  k13 ( s  s1 ) 2  ( s  s1 ) 3  k k 4 s  s k Odavde slijedi: k11  lim ( s  s1 ) 3 G ( s ) s  s1









d ( s  s1 ) 3 G ( s ) ds 1 d2 k13  lim 2 ( s  s1 ) 3 G ( s ) 2 s s1 ds k12  lim s  s1





Inverzna Laplace-ova transformacija se dobija na slijedeći način: n k g (t )  L-1 {G ( s )}  11 t 2 e s1t  k12 te s1t  k13 e s1t   k k e sk t 2 k 4 Primjena Laplace-ove transformacije na rješavanje linearnih diferencijalnih jednačina

Laplace-ova transformacija pruža elegantan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Ona prevodi problem iz vremenskog domena u kompleksni domen, tj. diferencijalne jednačine prevodi u algebarske. Opšta forma linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima je: d n y (t ) d n 1 y (t ) d m u (t ) a a y t b   ...  ( )   ...  b0 u (t ) 0 n 1 m dt n dt n 1 dt m gdje su: a n1 , ..., a 0 , bm ,..., b0 konstantni koeficijenti i vrijedi n  m . Neka su zadati početni uslovi: dy (0) d n 1 y (0) ( n 1) y (0)  y 0 ,  y 0 , ...,  y0 n 1 dt dt S obzirom da je: dny ( n 1) L { n }  s nY ( s )  s n 1 y (0)  ...  y 0 dt Primjenjujući Laplace-ovu transformaciju na cijelu jednačinu dobija se: ( n 1) Y ( s ) s n  a n 1 s n 1  ...  a 0  y 0 s n 1  a n 1 s n  2  ...  a1  ...  y 0  U ( s ) bm s m  ...  b0 Dalje se može pisati: bm s m  ...  b0 1 ( n 1) Y ( s)  U ( s) n  ...  y 0 n 1 n s  ...  a n 1 s  ...  a0 s  ...  a n 1 s n 1  ...  a 0 Ako prvi sabirak sa desne strane znaka jednakosti obilježimo sa YI , a ostale sa YII , tada se prethodna jednačine može kraće napisati u obliku: Y ( s )  YI  YII









19





YI predstavlja faktor djelovanja ulaza, a YII je faktor djelovanja početnih usolva (akumulirane energije u početnom trenutku).

Prenosne (transfer) funkcije linearnih sistema

Prenosna funkcija linearnog stacionarnog sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom (tzv. SISO – Single Input Single Output) se definiše kao odnos Laplace-ovih funkcija izlaza i ulaza sistema sa nultim početnim uslovima. To znači da prenosna funkcija opisuje dinamiku sistema koji se posmatra tj. predstavlja njegovu ulazno-izlaznu deskripciju (opis). Linearni vremensko invarijantni sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: d n y (t ) d n 1 y (t ) d m u (t ) a a y t b   ...  ( )   ...  b0 u (t ) n 1 m 0 dt n dt n 1 dt m Primjenom Laplace-ove transformacije na prethodnu jednačinu uz nulte početne uslove dobija se slijedeće: Y ( s ) s n  a n 1 s n 1  ...  a0  U ( s ) bm s m  bm 1 s m 1  ...  b0 Odavde slijedi: Y ( s ) bm s m  bm 1 s m 1  ...  b0  n U ( s) s  a n 1 s n 1  ...  a 0 Y ( s) se obilježava sa G ( s ) i naziva prenosna funkcija sistema. Odnos U ( s) Ako je poznata prenosna funkcija sistema i Laplace-ova transformacija ulaza tada se Laplaceova transformacija izlaza može dobiti na slijedeći način: Y ( s )  G ( s )U ( s ) Prenosna funkcija je racionalna funkcija promjenljive s i daje se u vidu količnika dva polinoma: Q( s ) G ( s)  P( s) Polinom P(s) se naziva karakteristični polinom sistema, a jednačina P ( s )  0 se naziva karakteristična jednačina sistema. Korijeni karakteristične jednačine se nazivaju polovi sistema. Korijeni jednačine Q( s )  0 se nazivaju nule sistema. Prenosna funkcija G ( s ) se često piše i u tzv. pol-nula formi: ( s  z1 )    ( s  z n ) G ( s)  K ( s  s1 )    ( s  s n ) Prenosna funkcija sistema G(s) može se pisati i u tzv. vremenska konstanta formi: ( s  1)    ( bm s  1) G ( s )  K b1 ( a1 s  1)    ( an s  1) Važno je napomenuti da prenosna funkcija sistema nosi kompletnu informaciju o sistemu, odnosno o njegovom impulsnom odzivu. To znači da ako se sistem pobudi ulaznim Diracovim impulsom tada vrijedi: Y ( s)  G ( s) jer je Laplace-ova transformacija Dirac-ovog impulsa 1. Ako se u ovom slučaju potraži inverzna Laplace-ova transformacija dobija se: L-1 {Y ( s )}  L-1 {G ( s )}  h(t ) i naziva se impulsni odziv sistema.







20



Proizvod Laplace-ovih transformacija u kompleksnom domenu je ekvivalentan konvoluciji funkcija u vremenskom domenu. Prema tome, Y ( s )  G ( s )U ( s )  y (t )  g (t ) * u (t ) dalje vrijedi: t

t

0

0

y (t )   g ( )u (t   )d   g (t   )u ( )d

Prenosne funkcije nekih elementarnih sistema

U narednim primjerima biće izvedene prenosne funkcije nekih karakterističnih sistema

Slika 32. realni integrator U 2 ( s) 1 1   ( RC  1) U 1 ( s ) RCs  1 RCs

Slika 33. realni diferencijator U 2 (s) RCs   RCs ( RC  1) U 1 ( s ) RCs  1

Slika 34. Invertujuće pojačalo

21

U 2 (s) R  1 U 1 ( s) R2

Slika 35. Integrator sa operacionim pojačalom U 2 ( s) 1  U 1 ( s) RCs

Slika 36. Diferencijator sa operacionim pojačalom U 2 (s)   RCs U 1 ( s)

Prenosne funkcije multivarijabilnih sistema

Prenosna funkcija multivarijabilnih sistema (MIMO – Multi Input Multi Output) dovodi u vezu Lašlace-ovu transformaciju vektora ulaza i vektora izlaza sistema uz pretpostavku svih nultih početnih uslova.

Slika 37. Multivarijabilni sistem

22

U ovom slučaju vrijedi: Y ( s )  G ( s )U ( s ) gdje je sa Y ( s ) obilježena Laplace-ova transformacija vektora izlaza dimenzija (px1), sa U ( s ) je obilježena Laplace-ova transformacija vektora ulaza dimenzija (rx1), a sa G ( s ) je označena matrica dimenzija (pxr) i predstavlja prenosnu funkciju multivarijabilnog sistema.  G11  G1r    G ( s)       G p1  G pr    Koeficijent Gij ( s ) u matrici G ( s ) predstavlja prenosnu funkciju između j-tog ulaza i i-tog

izlaza kada su svi ostali ulazi nula. Dijagram blokova

Grafički opis je vrlo pogodan način prezentacije dinamičkih sistema. Grafički opis daje jasnu sliku svih komponenata u dinamičkom sistemu, te toka signala u sistemu. Takva prezentacija sistema se naziva dijagram blokova. On može biti iskorišten za nalaženje relacija između ulazno-izlaznih varijabli, odnosno prenosnih funkcija. Najjednostavniji mogući dijagram blokova je primjer SISO sistema dat na slici 38.

Slika 38. dijagram blokova SISO sistema Strelice u dijagramu blokova se koriste za označavanje toka signala. Vidljivo je i osnovno pravilo dijagrama blokova: Y ( s )  G ( s )U ( s ) , tj. izlazni signal Y ( s ) je proizvod prenosne funkcije G ( s ) i ulaznog signala U ( s ) . Osnovna struktura sistema sa povratnom spregom

Slika 39. Osnovna struktura sistema sa pov. vezom Prenosna funkcija sistema na slici 39. se može odrediti na slijedeći način: Y ( s )  E ( s )G ( s )  U ( s )  H ( s )Y ( s )G ( s ) dalje slijedi: Y (s) G ( s) Y ( s )1  G ( s ) H ( s )  G ( s )U ( s )    M ( s) U ( s) 1  G ( s) H ( s) G ( s) Prema tome prenosna funkcija sistema ima oblik: M ( s )  1  G ( s) H ( s) 23

Opšta struktura sistema sa povratnom spregom

Na slici 40. je predstavljena opšta struktura sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom.

Slika 40. U blok dijagramu na slici 40. upotrijebljene su slijedeće oznake: G r ( s ) -prenosna funkcija regulatora (kontrolera) sistema G p ( s ) -prenosna funkcija objekta upravljanja (opisuje dinamiku sistema)

U ( s ) -referentna (zadana) vrijednost Y ( s) -izlaz sistema (upravljana varijabla) d ( s) -vanjska smetnja (slučajna i nemjerljiva) Prenosna funkcija objekta upravljanja se obično sastoji od: Ga ( s ) - prenosna funkcija aktuatora G0 ( s ) -prenosna funkcija procesa (dinamika sistema) G s ( s ) -prenosna funkcija senzora Sada se mogu formulisati osnovne uloge koje kontroler treba ostvariti: 1. Stabilizacija sistema. Sistem je stabilan ako ograničen ulaz uzrokuje ograničen izlaz 2. Poboljšanje tranzijentnog odziva sistema (ubrzavanje reakcije sistema) 3. Redukcija (ili eliminacija) greške u stacionarnom stanju 4. Redukcija (ili potpuna eliminacija) dejstva vanjske slučajne smetnje Očito da sistem dat na slici 40. ima dva ulaza: U ( s ) i d ( s) . Za izlaz sistema se može pisati: Y ( s )  M ( s )U ( s )  L( s ) prenosne funkcije M ( s ) i L( s ) se mogu odrediti na slijedeći način: - Neka je d ( s )  0 (SISO sistem) tada vrijedi: E (s)  U (s)  Y (s) Y ( s )  E ( s )Gr ( s )G p ( s )

-

Eliminacijom E ( s) iz prethodne dvije jednačine dobija se: Gr ( s )G p ( s ) Y ( s)   M ( s) U ( s ) 1  Gr ( s )G p ( s ) Neka je sada U ( s )  0 , tada se L( s ) može odrediti na slijedeći način: F ( s )  d ( s )  G r ( s )Y ( s ) Y ( s)  G p (s) F ( s)

24

Eliminacijom F ( s ) iz prethodne dvije jednačine dobija se: G p ( s) Y ( s)   L( s ) d ( s ) 1  Gr ( s )G p ( s ) Sada na osnovu Y ( s )  M ( s)U ( s )  L( s) vrijedi: Gr ( s )G p ( s ) G p ( s) Y (s)  U ( s)  d ( s) 1  Gr ( s )G p ( s ) 1  Gr ( s )G p ( s ) Prenosna funkcija objekta upravljanja je fiksna i ne može se mijenjati. Mijenjati se može transfer funkcija kontrolera G r ( s ) . Poželjno je da M ( s )  1 što znači da će izlaz bolje pratiti ulaz kad M ( s ) teži 1 a to je slučaj ako je | G r ( s ) | 1, međutim povećavanjem pojačanja kontrolera sistem se može dovesti u nestabilnost. S druge strane analizirajući uticaj smetnje može se zaključiti da | L( s) | 0 kad | G r ( s ) |  . Naravno, pojačanje kontrolera se ne može birati proizvoljno veliko. Nameću se slijedeća ograničenja: - Ekonomska isplativost - Fizikalno je teško napraviti kontroler sa vrlo velikim pojačanjem - Velika potrošnja energije Veliko pojačanje kontrolera datog prenosnom funkcijom G r ( s ) znači i da se greška e brže povećava (upravljački signal veliki) pa sistem brže reaguje. Algebra dijagrama blokova

Algebra dijagrama blokova je skup pravila koja omogućavaju modifikacije i simplifikacije dijagrama blokova. To su jednostavna pravila bazirana na principima algebre: - Kaskadna (serijska) veza blokova

Slika 41. kaskadna veza blokova

-

Prenosna funkcija ovog sistema je data slijedećim izrazom: n Y ( s) G ( s)   G1G2  Gn   Gi U ( s) i 1 Paralelna veza blokova

Slika 42. paralelna veza blokova

25

Prenosna funkcija sistema sa slike 42. je data slijedećim izrazom: n Y (s) G(s)    Gi U ( s ) i 1 -

Struktura sa povratnom vezom

Slika 43. struktura sa jediničnom povratnom spregom Prenosna funkcija ovog sistema se može odrediti prema slijedećem izrazu: G(s) Ge ( s )  1  G ( s) Ako su u povratnoj grani nalazi prenosna funkcija H ( s ) onda se ekvivalentna prenosna funkcija računa prema slijedećem izrazu: G ( s) Ge ( s )  1  G ( s) H ( s) Pored algerbarskih pravila, algebra dijagrama blokova je komplementirana sa nekoliko "geometrijskih" pravila:

Slika 44.

Slika 45. Kao primjer primjene algebre blokova, potrebno je odrediti prenosnu funkciju G ( s )  sistema predstavljenog dijagramom blokova kao na slici 46.

26

Y ( s) U ( s)

Slika 46. Primjenom pravila algebre blokova dobija se slijedeće pojednostavljenje:

Slika 47. Sada se dva sumatora mogu zamijeniti pa se dobija slijedeći dijagram blokova:

Slika 48. Sada se može uočiti kaskadna veza G1 ( s ) i G 2 ( s ) zajedno sa povratnom vezom preko H 1 ( s )

27

G3 sa jediničnom prenosnom funkcijom. Prema tome sada se dijagram G1 blokova znatno pojednostavljuje i dobija se:

i paralelna veza

Slike 49. Konačno se dobija:

Slika 50. G  G1G 2 Dakle, ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa slike 46 je G ( s )   3  1  G1  1  G1G 2 H 1

Graf toka signala

Pored algebre blokova, za nalaženje ekvivalentne prenosne funkcije sistema u upotrebi je i tzv. graf toka signala ili Mason-ovo pravilo. Postoji čista analogija između dijagrama blokova i grafa toka signala. Glavni elementi grafa toka signala su čvorovi i grane. Grane povezuju čvorove grafa. Grana je ekvivalentna bloku u dijagramu blokova i predstavlja prenosnu funkciju. Ona se sastoji od ulaznog, izlaznog čvora i strelice koja pokazuje tok signala. Sa ovakvom granom je asocirana prenosna funkcija. Čvor u grafu predstavlja signal. Osnovno pravilo za čvor je da je signal u čvoru jednak sumi signala koji dolaze u taj čvor iz vanjskih grana (važno je znati da se računaju samo signali koji dolaze u čvor, ali ne i oni koji iz njega odlaze). Signal koji ulazi u čvor A neke grane je jednak ulaznom signalu te grane pomnoženom sa prenosnom funkcijom te grane. Na primjer, ekvivalentni graf toka signala sistema sa slike 51. je predstavljen na slici 52.

Slika 51. dijagram blokova sistema sa povratnom spregom

Slika 52. graf toka signala sistema sa slike 51 28

Potrebno je uvesti još neke termine vezane za graf toka signala: 1. čvor izvor (source node) je čvor u grafu toka signala iz kojeg signali samo izviru (ulazni signali su predstavljeni čvorovima) 2. čvor ponor je čvor u grafu u kojeg signali samo poniru (izlazni signali) 3. put je serija grana u grafu od čvora izvora do čvora ponora koje imaju strelice u istom smjeru, a koje ne prolaze niti jedan čvor više od jednom. 4. petlja je zatvoren put grana sa strelicama u istom smjeru u kome se ni jedan čvor ne pojavljuje više od jednom. Čvor izvor i čvor ponor ne mogu biti dio petlje. Pojačanje petlje je proizvod svih prenosnih funkcija u petlji. 5. Nedodirujuće petlje su dvije petlje koje nemaju zajednički čvor. Primjer:

Slika 53. 1. U je čvor izvor 2. Y je čvor ponor 3. Postoje dva puta: P1: 1  G1  G2  G3  G4  G5  1  P1 P2: 1  G1  G6  G4  G5  G1  1  P2 4. Postoje četiri petlje: L1  G1 H 1 L2  G3 G4 H 2

L3  G1G2 G3 G4 G5 H 3 L4  G1G6 G4 G5 H 3 5. Postoje dvije nedodirujuće petlje: L1  G1 H 1 L2  G3 G4 H 2 Mason je otkrio elegantnu formulu za nalaženje prenosne funkcije između ulaznih i izlaznih čvorova za sisteme date grafom toka signala: N

G ( s) 

P  k 1

k

k

 gdje su: - Pk - pojačanja puteva koji vode od ulaza do izlaza - N - broj puteva između ulaznog i izlaznog čvora -  - determinanta grafa toka signala 29

-

 k - kofaktor puta k

Determinanta grafa toka signala se računa na slijedeći način:   1  Ps  Ps 2  Ps 3  ... gdje je: - Ps je proizvod svih pojačanja petlji - Ps 2 je proizvod pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih petlji koje se uzimaju po dvije - Ps 3 je proizvod pojačanja svih mogućih kombinacija nedodirujućih petlji koje se uzimaju po tri Kofaktor puta k  k je jednak  za graf toka signala koji se dobije od originalnog grafa kad se iz njega izdvoji dati put. Primjer: Odrediti prenosnu funkciju sistema predstavljenog dijagramom blokova na slici 54.

Slika 54. Ekvivalentna prenosna funkcija sistema biće izračunata korištenjem Mason-ovog pravila tj. prevođenjem dijagrama blokova u ekvivalentni graf toka signala.

Slika 55. graf toka signala sistema sa slike 54. Analizom grafa toka signala sa slike 55. dobija se slijedeće: P1  G1G2 G3G4 - Putevi: P2  G1G5 G3 G4

30

-

Petlje: L1  G1G 2 H 1 L2  G 2 G3 H 2

-

L3  G1G5 G3 H 2 G2 H 1 L4  G1G5 G3 G4 H 3 L5  G1G5 G3 G4 H 3 L5  G1G2 G3 G4 H 3 Nedodirujućih petlji nema

Prema tome vrijedi:   1  ( L1  L2  L3  L4  L5 ) 1  1 , 2  1 Za prenosnu funkciju G ( s ) čitavog sistema dobijamo: P1  P2 G ( s)  1  ( L1  L2  L3  L4  L5 ) odnosno G1G3 G 4 (G 2  G5 ) G ( s)  1  G1G 2 H 2  G 2 G3 H 2 (1  G1 H 1 )  G1G3 G 4 H 3 (G5  G 2 ) Linearizacija modela dinamičkih sistema

Kao što je poznato postoji samo opšta teorija analize i sinteze linearnih dinamičkih sistema. Nekada je moguće izvršiti dobru aproksimaciju nelinearnih sistema odgovarajućim linearnim modelom tj. moguće je izvršiti linearizaciju nelinearnih sistema oko nominalnih radnih trajektorija (radnih tačaka), te ih je moguće analizirati kao linearne sisteme. Linearizacija nelinearnog sistema I reda

U opštem slučaju sistem je opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: dx(t )  f ( x(t ), u (t )) , x(0)  x0 dt Neka sistem funkcionira oko nominalne trajektorije x n (t ) pogonjen ulazom u n (t ) . Tada se sistem opisuje jednačinom: x n (t )  f ( x n (t ), u (t )) Neka se sistem kreće oko nominalne trajektorije kao na slici 56.

Slika 56.

31

Neka je stvarno kretanje sistema označeno sa x(t ) . Tada se može pisati: x(t )  x n (t )  x(t ) dakle, stvarno kretanje se može prikazati kao suma nominalnog stanja i odstupanja označenog sa x(t ) . Analogno se može predstaviti upravljački signal u (t ) : u (t )  u n (t )  u (t ) Sada se jednačina kretanja sistema može pisati u obliku: x (t )  f ( x(t ), u (t ))  x n (t )  x (t )  f ( x n (t )  x(t ), u n (t )  u (t )) Razvojem funkcije f ( xn (t )  x(t ), un (t )  u (t )) u Taylor-ov red uz zanemarivanje članove višeg reda dobija se: f f x n (t )  x (t )  f ( x n , u n )  x  u x u odnosno f f x (t )  | x  xn x  |u un u x u Dobijena linearna diferencijalna jednačina opisuje odstupanja od nominalnih radnih tačaka. Može zapisati u obliku: x (t )  ax(t )  bu u opštem slučaju koeficijenti a i b su funkcije vremena tj. a  a(t ) i b  b(t ) . Ako sistem radi u okoline nominalnih radnih tačaka koeficijenti a i b su približno konstantni. Linearizacija sistema II reda

Sistem II reda je u opštem slučaju dat slijedećom diferencijalnom jednačinom: x(t )  f ( x(t ), x (t ), u (t ), u (t )) , x(0)  x0 , x (0)  x0 Nominalna trajektorija sistema se kao u prethodnom slučaju obilježava sa x n (t ) a nominalni upravljački signal sa u n (t ) . Kao u prethodnom slučaju sistema I reda može se pisati: x(t )  x n (t )  x(t ) u (t )  u n (t )  u (t ) gdje su sa x(t ) i u (t ) obilježene stvarne trajektorije sistema i upravljačkog signala respektivno. Sada se diferencijalna jednačina sistema II reda može napisati u obliku: xn (t )  x(t )  f ( x n  x, x n  x , u n  u n , u n  u ) Razvojem funkcije f ( xn  x, x n  x , un  un , u n  u ) u Taylor-ov red, zanemarivanjem članova višeg reda i sređivanjem dobija se slijedeći izraz: f f f f x(t )  x  x  u  u x x u u pri čemu su parcijalni izvodi računati u radnoj tački ( x n , u n , x n , u n ) . x  a1 x  a 2 x  b0 u  b1 u Dobijena jednačina opisuje odstupanje trajektorije sistema od nominalne. Ista tehnika se jednostavno proširuje na sisteme višeg reda.

32

Specifikacija performansi sistema automatskog upravljanja Tranzijentni i ustaljeni odziv

U analizi i sintezi sistema upravljanja vrlo je važno naći metod specifikacije performansi sistema automatskog upravljanja. Takva specifikacija se prirodno daje u vremenskom domenu. U opštem slučaju specifikacije sistema se odnose na specifikacije tranzijentnog i ustaljenog ponašanja sistema. Odziv svakog linearnog sistema je u opštem slučaju sastavljen iz dvije komponente: y (t )  y tr (t )  y ss (t ) gdje je: y tr (t ) - tranzijentni odziv sistema y ss (t ) - ustaljeni odziv sistema Pri čemu za stabilne sisteme vrijedi: lim y tr (t )  0 . t 

Nakon uspostavljanja specifikacija ponašanja sistema u vremenskom domenu, biće određene relacije između parametara u vremenskom domenu i pozicija nula i polova u domenu kompleksne promjenljive s. Tranzijentni odziv sistema II reda

Sistem drugog reda sa zatvorenom povratnom spregom je prikazan na slici 57.

Slika 57. sistem II reda Ekvivalentna prenosna funkcija je određena izrazom: K  2n Y (s) T   2 G ( s)  s K s  2 n s   n 2 U ( s) s2   T T pri čemu je: K prirodna učestanost sistema - n  T 1 -  faktor prigušenja sistema 2 nT Svaki sistem II reda se može svesti na ovu formu. Kao testni ulaz se najčešće koristi odskočna (step) funkcija. Za ovakav tesni signal se jednostavno mogu porediti različiti sistemi odnosno njihovi odzivi. Karakteristična jednačina ovog sistema je: s 2  2 n s   2 n  0 . Rješavanjem karakteristične jednačine dobiju se polovi sistema: s1 / 2   n  j n 1   2   n  j d

gdje je sa  d   n 1   2 označena prigušena učestanost

Položaj polova sistema u kompleksnoj ravni je prikazan na sklici 58.

Slika 58. polovi sistema II reda u kompleksnoj ravni Promjenom  i  n mijenja se položaj polova u kompleksnoj ravni i u zavisnosti od toga, odziv sistema. U zavisnosti od vrijednosti parametra  mogu se pojaviti tri karakteristična slučaja: -   1 tzv. kritično prigušen sistem -   1 tzv. nadkritično prigušen sistem -   1 tzv. podkritično prigušen sistem U slučaju kritično prigušenog sistema vrijedi:

 2n  2n  2 2 s ( s 2  2 n s   n ) s ( s   n ) n 1 1 y (t )  L-1 {Y ( s )} = L-1 {  }  s s  n (s  n ) 2 Y ( s) 

Nalaženjem inverzne Laplace-ove transformacije dobija se odziv sistema u vremenskom domenu: y (t )  1  e nt   n te nt  y ss (t )  y tr (t ) odziv u ustaljenom stanju je: y ss (t )  1 , a tranzijentni dio odziva je y tr (t )  e nt   n te nt Može se zaključiti da tranzijentni odziv iščezne tokom vremena. U slučaju nadkritično prigušenog sistema (  1) vrijedi: Y ( s) 

 2n s ( s 2  2 n s   2 n )

U ovom slučaju sistem ima dva realna pola: s1 / 2   n   n  2  1   n   d Rastavljanjem Y ( s ) na parcijalne razlomke dobija se: K1 K2 1 Y (s)    s s   n   d s   n   d Za vremenski odziv se dobija: y (t )  1  K 1e  (n d ) t  K 2 e  (n d ) t Tranzijentni dio odziva y tr (t )  K 1e  (n d )t  K 2 e  (n d )t iščezava sa vremenom brzinom koju određuje najsporiji pol sistema. Povećavanjem prirodne učestanosti  n sistem se ubrzava..

U slučaju podkritično prigušenog sistema (  1) vrijedi:

n 2 Y (s)  2 s ( s 2  2 n s   n ) U ovom slučaju polovi sistema su konjugovano kompleksni: s1 / 2   n  j n 1   2 Vremenski odziv se dobija inverznom Laplace-ovom transformacijom i iznosi: y (t )  1 

e nt

1

2

sin( n 1   2 t   )

Sada se u odzivu javljaju oscilacije. Na slici 59 su prikazani odzivi sistema za različite vrijednosti parametra prigušenja  .

Slika 59. odziv sistema u ovisnosti o prigušenju

Standardne performanse sistema se obično definišu u odnosu na dziv sistema na odskočnu (step) funkciju kao što je to prikazano na slici 60.

Slika 60. parametri odziva sistema Slijedeći parametri definišu odziv sistema: - Tr - vrijeme porasta (rise time) je vrijeme za koje odziv sistema prođe vrijednosti od 0 do 100 % vrijednosti u stacionarnom stanju. Ovakva definicija vremena porasta se upotrebljava u podkritično prigušenim sistemima - Tr1 - vrijeme porasta je vrijeme za koje odziv sistema prođe vrijednosti od 10% do 90% vrijednosti u ustaljenom stanju. Ovakva definicija se koristi za nadkritično prigušene sisteme (  1) - T p - vrijeme preskoka (peak time) je vrijeme za koje se desi maksimalni preskok stacionarne vrijednosti. - Ts - vrijeme smirenja (settling time) je vrijeme za koje odziv sistema dostigne i ostane u intervalu od -5% do 5% stacionarne vrijednosti. - Preskok u oznaci OS (overshoot) se definiše kao razlika y (t ) max  r (t ) gdje je r (t ) jedinična step funkcija Obično se za definisanje odziva koriste vrijeme smirenja i veličina preskoka. Da bi odredili vrijeme preskoka T p i veličinu preskoka potrebno je odrediti odziv sistema dat sa: y (t )  1 

gdje je:   arccos( ) i 0    1 . Nakon sređivanja dobija se:

e nt

1 

2

sin( n 1   2 t   )

dy (t )  0 gdje je dt

Tp 

 n 1   2

OS  y (T p )  1  e



 1 2

Preskok se često daje u procentima: MPOS  exp{

 exp{

 1 2

}



}  100% 1 2 gdje je sa MPOS (Maximum Percent OverShoot) označen maksimalni preskok u procentima. Iz posljednjeg izaraza se može zaključiti da je preskok samo funkcija prigušenja. Iz izraza za odziv sistema u vremenskom domenu se vidi da tranzijentni dio nestaje sa vremenskom konstantom   ( n ) 1 . Obično se uzima da je svaki prelazni proces završen za 3  5 pa sa vrijeme smirenja često definiše kao: 3 Ts 

 n

Dakle, za zadato vrijeme smirenja i maksimalni prekok, koeficijent prigušenja  i prirodna učestanost se može dobiti iz izraza za preskok i vrijeme smirenja. Na ovaj način je uspostavljena veza između parametara koji karakterišu vremenski odziv sistema i lokacija polova u kompleksnom domenu. Tranzijentni odziv sistema višeg reda

U prethodnom izlaganju je izvršena karakterizacija odziva sistema II reda. U opštem slučaju nije moguće izvesti analitičke izraze za karakterizaciju tranzijentnog odziva sistema višeg reda. Ipak, često je moguće aproksimativno odrediti parametre tranzijentnog odziva sistema višeg reda pomoću parametara odziva sistema II reda. Sistem upravljanja sa jediničnom povratnom vezom se može predstaviti u slijedećem obliku: G ( s) Q( s) Q( s) M (s)    2 2 1  G ( s ) P ( s ) ( s  2 n s   n )( s  p1 )  ( s  p n  2 ) Dinamiku sistema praktično određuju tzv. "spori" polovi tj. polovi najbliži imaginarnoj osi. Oni dalji brže iščeznu u vremenu.

Slika 61. dominantni polovi sistema višeg reda

Sistem višeg reda se može dobro aproksimirati sistemom II reda ukoliko ima par konjugovano kompleksnih polova koji su mnogo bliže imaginarnoj osi od svih ostalih polova. Ovi polovi se nazivaju dominanti polovi i predstavljeni su na slici 61. Greške ustaljenog stanja

Na slici 62. data je opšta struktura sistema upravljanja sa jediničnom povratnom vezom.

Slika 62. Najprije će se izvršiti analiza odziva sistema i grešaka ustaljenog stanja po pretpostavkom da nema djelovanja smetnje d. Kao što je ranije pokazano, vremenski odziv sistema se može predstaviti u vidu sume tranzijentnog i stacionarnog dijela: y (t )  y ss (t )  y tr (t ) pri čemu za stabilan sistem vrijedi: y ss (t )  lim y (t ) t 

lim y tr  0 t 

Na ulaz se dovodi referentni signal r (t ) koji predstavlja željeni izlaz sistema. Formira se razlika između referentnog ulaza i stvarnog izlaza i dobija signal greške e(t )  r (t )  y (t ) . Ovaj signal zajedno sa kontrolerom G r ( s ) pogoni sistem u cilju redukcije greške e(t ) . Na osnovu strukture sistema može se pisati: E ( s )  R( s )  E ( s )Gr ( s )Go ( s ) ako se označi G ( s )  Gr ( s )Go ( s ) dobija se: R( s) E ( s)  1  G(s) Sada se greška stacionarnog stanja može dobiti na slijedeći način: s  R( s) e ss (t )  lim e(t )  lim sE ( s )  lim t  s 0 s 0 1  G ( s ) Prema tome vidi se da greška zavisi od sistema, regulatora i od ulaza. Najčešće se kao referentni ulazi koriste slijedeći signali: t0 0, - step funkcija definisana kao: r (t )   t0 1, t0 0, r (t )   - rampa funkcija definisana kao: t0 t , -

parabola funkcija definisana kao:

0, r (t )   2 t ,

t0 t0

Tip sistema upravljanja sa povratnom spregom definiše broj polova sistema u koordinatnom početku prenosne funkcije otvorenog sistema (direktne grane). Prema tome, za sistem se kaže da je tipa j ako se prenosna funkcija dir. Grane može  (s  zi ) , predstaviti u obliku: G ( s )  j pi  0 s  ( s  pi ) Ako je na ulaz sistema sa slike 62. doveden step referentni ulaz (r (t )  1), t  0 tada

vrijedi: 1 s  R( s) 1 s  e ss (t )  lim  lim s 0 1  G ( s ) s 0 1  G ( s ) 1  lim G ( s ) s

s 0

Neka je K p  lim G ( s ) , tada se za grešku stacionarnog stanja dobija: e ss (t )  s 0

1 1 K p

Da bi greška stacionarnog stanja u potpunosti bila eliminisana potrebno je da K p   , a to će biti zadovoljeno u slijedećem slučaju: K  (s  zi ) K p  lim j   za j  1 s 0 s   ( s  pi ) Prema tome da bi greška stacionarnog stanja odziva sistema na step ulaz bila svedena na nulu potrebno je da postoji bar jedan pol u G ( s )  Gr ( s )Go ( s) bilo u kontroleru ili u objektu upravljanja. Ako je na ulaz sistema sa slike 62. rampa funkcija r (t )  t , tada je R( s ) 

1 , pa se s2

greška stacionarnog stanja može računati potpuno analogno prethodnom slučaju. s  R( s) 1 1 1 e ss  lim E ( s )  lim  lim   s 0 s 0 1  G ( s ) s  0 s (1  G ( s )) lim sG ( s ) K v s 0

gdje je: K v  lim sG ( s ) . Da bi se greška potpuno eliminisala potrebno je da K v   , a to će s 0

biti zadovoljeno u slijedećem slučaju: s  K  (s  zi ) K v  lim j   za j  2 s 0 s   ( s  pi ) Prema tome, u direktnoj grani mora postojati dvostruki integrator (bilo u kontroleru ili objektu upravljanja). U slučaju da je na ulaz sistema doveden parabola ulaz, analogno se može zaključiti da je potreban trostruki integrator u direktnoj grani odnosno pol s  0 višestrukosti 3. Osnove funkcije regulatora (kontrolera) su stabilizacija sistema, popravka dinamičkih karakteristika i redukcija vanjske smetnje. Vanjska smetnja je u opštem slučaju stohastička veličina i ne može se analitički opisati, mada je često moguće aproksimirati smetnju sa nekim poznatim funkcijama npr. step amplitudno skaliranim step funkcijama. Zbog toga je potrebno ispitati kako se sistem nosi sa djelovanjem konstantne smetnje d (t )  const. S tim ciljem neka je sada r (t )  0 , tj. nema ulaznog signala jer se analizira odziv sistema samo u odnosu na djelovanje smetnje. Sada se može pisati:

E ( s )  Y ( s ) i E ( s )  

d ( s )Go ( s ) 1  Gr ( s )Go ( s )

1 , dobija se: s s  d ( s )Go ( s ) Go ( s ) lim e(t )  lim sE ( s )   lim  t  s 0 s  0 1  Gr ( s )Go ( s ) 1  Go ( s )Gr ( s )

uz pretpostavku da vrijedi: d (t )  1  d ( s ) 

1 lim Gr ( s )  s 0

1 lim Go ( s ) s 0

Iz prethodnog izraza se vidi da će greška zbog djelovanja smetnje biti eliminisana ako lim Gr ( s )   tj. ako kontroler ima bar jedan pol u nuli, odnosno integrator. s 0

Slika 63. Eliminacija step smetnje.

Prema tome, da bi sistem pratio referentni step ulaz potrebno je da postoji bar jedan integrator ili u kontroleru ili u objektu upravljanja. Da bi se uz to izvršila i eliminacija step smetnje potrebno je da kontroler sadrži integrator. Dakle, kontroler sa integratorom omogućava eliminaciju greške stacionarnog stanja i eliminaciju djelovanja step smetnje. Na slici 63. je dat uporedan prikaz odziva sistema (sa integratorom u kontroleru) bez djelovanja step smetnje, vremenski izgled smetnje i odziva sistema sa djelovanjem smetnje. Vidi se da sistem potpuno potiskuje smetnju. Analogno sa prethodnim izlaganjem može se zaključiti da će sistem potisnuti smetnju u vidu rampa vremenske funkcije ako kontroler sadrži dvostruki pol u nuli, odnosno dvostruki integrator. Stabilnost dinamičkih sistema

Za sistem se kaže da je stabilan ako za svaki ograničen ulaz sistem reaguje oraničenim izlazom. Ovo je tzv. BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilnost. To se matemaički može zapisati u obliku: r (t )  M  y (t )  N Ako sistem daje neograničen izlaz, tada u samom sistemu postoje izvori energije (npr. nuklearna reakcija). Prenosna funkcija sistema, kao što je poznato, se može zapisati u obliku: Q( s ) G ( s)  P( s) Ako se sitem pobudi Dirac-ovim impulsom tada vrijedi: u (t )   (t )  L g (t )  1  Y ( s )  G ( s )U ( s )  Y ( s )  G ( s ) Prema tome može se pisati: Q( s) Y ( s)  P( s) vremenski odziv se dobija nalaženjem inverzne Laplace-ove transformacije: Q( s) y (t )  L-1 { } P( s) i mogući su slijedeći slučajevi: 1. lim y (t )  0 . Za ovakav sistem se kaže da je asimptotski stabilan t 

2.

lim y (t )  M   . Ovakav sistem konzervira ubačenu energiju. Kao primjer može t 

poslužiti oscilatorno LC kolo bez gubitaka (bez R), tada postoji oscilovanje energije konstantnim amplitudama. 3. lim y (t )   . Za ovakav sistem se kaže da je nestabilan. U sistemu se proizvodi t 

energija i sistem se ne vraća u stacionarno stanje. Fizikalno, amplituda odziva ne može rasti proizvoljno, već ide u zasićenje. Stabilnost sistema direktno zavisi od lokacije polova u kompleksnoj ravni. Prenosna funkcija sistema se može napisati u slijedećem obliku: Q( s) Q( s) G ( s)   2 q P( s ) ( s  p1 ) ( s  p 2 ) ( s  p 2 *) 2  ( s  pi ) gdje je:

-

p1   1 p 2   2  j p 2   2  j pi   i

realni pol sistema višestrukosti q kompleksni pol višestrukosti 2 konjugovano kompleksni pol višestrukosti 2 realni pol sistema višestrukosti 1

Pod pretpostavkom da je sistem pobuđen Dirac-ovim impulsom vrijedi: y (t )  L-1 {G ( s )}  L-1 {Y ( s )} q K 1i K 23 Ki K 21 K 22 K 24 -1 y (t )  L { }      2 2 i ( s  p 2 ) ( s  p 2 *) ( s  p 2 ) ( s  p 2 *) i 1 ( s  p1 ) i s  pi Odnosno, u vremenskom domenu: q

y (t )   C i t i 1e p1t  C q 1e  2t sin(  t  1 ) C q  2 te  2t sin( t   2 )   K i e pit i 1

i

Prema tome da bi sistem bio stabilan odnosno lim y (t )  0 , mora biti ispunjen slijedeći uslov: t 

Re pi   0, zai što znači da je oblast stabilnosti lijeva poluravan kompleksne ravni. Ako postoji jednostuki pol u nuli tada vrijedi: lim y (t )  M t 

pa je sistem marginalno stabilan. Ako su polovi konjugovano kompleksni i nalaze se na imaginarnoj osi tada su na izlazu sinusne oscilacije konstantne amplitude. Sistem je nestabilan ako: 1. postoji barem jedan pol za koji vrijedi: Re{ pi }  0 2. na imaginarnoj osi postoje višestruki polovi. Algebarski kriterijumi stabilnosti

Za davanje odgovora na pitanje da li je sistem stabilan ili ne, nije neophodno naći polove sistema. Dovoljno je odrediti da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni. Algebarski kriterijumi stabilnosti daju odgovor na pitanje da li su svi polovi locirani u lijevoj poluravni, ali ne i na pitanje koje su vrijednosti polova. Karakteristična jednačina sistema se može predstaviti u obliku: s n  a n  1 s n  1  ...  a 0  0 Rješavanjem prethodne jednačine dobiju se polovi p1 , p 2 ,  p n . Ako su svi polovi negativni tada se karakteristični polinom sistema može napisati u obliku: ( s  p1 )  ( s  p n )  ( s   1 )  ( s   n )  s n  a n 1 s n 1  ...  a 0 gdje je  i   pi . Tada svi koeficijenti karakterističnog polinoma: a 0 , a1 , a n 1 moraju biti pozitivni. Obrnuto ne važi. Teorema: Ako je bilo koji od koeficijenata karakterističnog polinoma nula ili manji od nule, onda dati sistem ne može biti asimptotski stabilan. Prethodna teorema daje dovoljne uslove za nestabilnost sistema i u isto vrijeme daje potrebne uslove za stabilnost sistema. Ako vrijedi ai  0 , tada je potrebno dalje ispitivanje.

U upotrebi su najčešće dva kriterijuma stabilnosti: - Routh-ov - Hourwitz-ov Routh-ov kriterij Za karakterističnu jednačinu sistema: s n  a n  1 s n  1  ...  a 0  0 , Routh-ov kriterij se svodi na formiranje slijedeće tabele: an a n  2 a n  4 ... sn n 1 a n 1 a n 3 a n 5 ... s A1 A2 A3 ... s n2

s n 3

B1

B2

B3

...

n4

C1

C2

C3

...

 s0

 H1





...

s

Koeficijenti Ai , Bi , C i - se računaju na slijedeći način: a a  a n a n 3 a a  a n a n 5 A1  n 1 n  2 A2  n 1 n  4 a n 1 a n 1 A a  a n 1 A2 A a  a n 1 A3 B1  1 n 3 B2  1 n 5 A1 A1 B A  A1 B3 B A  A1 B2 C1  1 2 C2  1 3 B1 B1 Da bi karakteristična funkcija imala sve polove u lijevoj s-poluravni (asimptotski stabilan sistem) potrebno je i dovoljno da su svi koeficijenti u prvoj koloni koeficijenata Routhove tablice pozitivni. Primjer: Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom: 1 G ( s)  4 3 s  6 s  13s 2  12s  4 Odgovarajuća Routh-ova tablica je:

s4 s3 s2 s1 s0

1 6 11 9.8 4

13 12 4 0

4 0

Prema tome, sistem je asimptotski stabilan. Primjer: Ispitati stabilnost sistema datog sa slijedećom prenosnom funkcijom: 2s  1 G ( s)  6 5 4 s  s  3s  2s 3  s 2  2 s  1

Odgovarajuća Routh-ova tablica je: 1 s6 5 1 s 4 1 s 3 3 s 2 -1.33 s 1 3.25 s 0 1 s

3 2 -1 1 1 0

1 2 1 0

1 0

Prema tome, može se zaključiti da je sistem nestabilan. Teorema: Broj promjena znaka u prvoj koloni koeficijenata Routh-ove tablice određuje broj nestabilnih polova. Prednost kriterija stabilnosti je, u opštem slučaju, mogućnost analize stabilnosti sistema u funkciji nepoznatog parametra. Primjer: Odrediti parametar K tako da sistem dat prenosnom funkcijom: s 1 G(s)  4 3 s  2s  Ks 2  s  3 bude asimptotski stabilan. Za dati sistem se formira slijedeća Routh-ova tablica:

s4 s3 s2 s1 s0

1 2 2K  1 2 2 K  13 2K  1 3

K 1

4 0

3 0

Da bi sistem bio stabilan potrebno je da budu ispunjeni slijedeći uslovi: 2K  1 2 K  13 0 i 0 2 2K  1 Odavde slijedi K  6.5 . Prema tome sistem je stabilan za vrijednosti parametra K  6.5 . Prilikom primjene Roth-ovog kriterija je moguća pojava nultih elemenata u prvoj koloni koeficijenata. Pored ovoga, moguće je da se pojavi i kompletan nulti red. U oba slučaja sistem nije asimptotski stabilan, ali je interesantno razmatrati ove slučajeve u cilju otkrivanja da li je sistem možda marginalno stabilan ili nestabilan. U slučaju da se pojavi nulti element u prvoj koloni koeficijenata, tada se umjesto nula zamijeni sa nekim malim pozitivnim brojem  i procedura se dalje nastavi. Na kraju se potraži lim i izvrši klasična naliza prve kolone koeficijenata.  0

Primjer

Ispitati stabilnost sistema datog slijedećom prenosnom funkcijom: 6s  1 G ( s)  5 4 s  2 s  3s 3  4s 2  5s  6 Za dati sistem formira se Routh-ova tabela:

s5 s4 s3 s2

1 2 1

3 4 2 6

 2  6

s1

0 0

0



s0

5 6 0

1

U trećem redu Routh-ove kolone se pojavila nula koja se zamjenjuje sa  (gdje je   0 ). Routh-ova tablica kada se pusti lim dobija slijedeći oblik:  0 

5

1 2 1 0

s s4 s3 s2 s1 s0

3 4 2 6 0

 1

5 6 0

0

Prema tome, uočavaju se dvije promjene predznaka pa se može zaključiti da je sistem nestabilan i da ima dva nestabilna pola (u desnoj s poluravni). U slučaju kada se pojavi kompletan nulti red sistem nije asimptotski stabilan, ostaje da se ispita da li je evantualno marginalno stabilan. Procedura je slijedeća: 1. Kada se pojavi nulti red formira se pomoćni parni (neparni) polinom d (s) od koeficijenata reda iznad nultog reda. d (d ( s )) , a zatim koriste koeficijenti ovog polinoma umjesto dobijenih 2. Nađe se ds nultih koeficijenata. 3. Nastavi se standardno formiranje tabele

P ( s)  P ( s)d ( s) Primjer: Ispitati stabilnost slijedećeg sistema: G ( s) 

1 s  s  2s  2s 2  s  1 5

4

3

Prva tri reda Routh-ova tablica: s5 s4 s3

1 1 0

2 2 0

1 1 0

0 0

U ovom slučaju u trećem redu se pojavljuje nulti red, pa se formira pomoćni polinom d ( s)  s 4  2s 2  1 Dalje je: d (d ( s ))  4s 3  4s ds sada Routh-ova tablica poprima slijedeći oblik: s5 s4 s3 s2 s

1 1 4 1 0

2 2 4 1 0

1 1 0

0 0

Sada se ponovo pojavljuje nulti red, sada u petom redu tablice. Ponovo se formira pomoćni polinom: d1 ( s )  s 2  1 diferenciranjem se dobija: d1 ( s )  2 s Konačno tablica ima slijedeći izgled: s5 s4 s3 s2 s1 s0

1 1 4 1 2 1

2 2 4 1 0

1 1 0

0 0

S obzirom da je: d1 ( s )  s 2  1  0  s1 / 2   j d ( s )  (d1 ( s )) 2  0  s1 / 2   j , s 3 / 4   j sistem je nestabilan jer na imaginarnoj osi postoje polovi  j višestrukosti 2. Hurwitz-ov kriterijum

Za datu karakterističnu jednačinu formira se matrica oblika: a n 1 a  n  0  h   0     0  

a n 3

a n 5

a n2

an4

a n 1

a n 3

an

an2

 0

 0

0  0   0   0  0  a1 0  a 2 a 0  

Potreban i dovoljan uslov da je sistem sa karakterističnom jednačinom: s n  a n  1 s n  1  ...  a 0  0 asimptotski stabilan (ima sve polove u lijevoj s poluravni) je da su svi dijagonalni minori matrice i koeficijent a n pozitivni. To se može zapisati na slijedeći način: an  0  1  a n 1  0 a n 1 an

a n 3 0 a n2

a n 1

a n 3

a n 5

 3  an

a n2

a n  4  0, 

0

a n 1

a n 3

2 

Posljednji dijagonalni minor  n je sama Hurwitz-ova determinanta. Pošto su svi elementi osim posljednjeg, zadnje kolone jednaki nuli, zuadnji minor se može predstaviti u slijedećem obliku:  n  a 0  n 1 Prema tome, ako su svi prethodni minori pozitivni, onda se uslov da posljednji minor bude takođe veći od nule svodi na to da slobodni član karakteristične jednačine a0 bude pozitivan. Sistem će biti granično stabilan akao je posljednji dijagonalni minor jednak nuli, a svi prethodni veći od nule. Posljednji dijagonalni minor  n će biti nula ako je a 0  0 ,  n 1  0 i a 0   n 1  0 . Ako je a 0  0 , tada sistem ima pol u koordinatnom početku, a ako je  n 1  0 sistem ima par konjugovano kompleksnih polova na imaginarnoj osi. Primjer: Ispitati stabilnost sistema: G(s) 

1

s  s  s 1 Na osnovu karakteristične jednačine ovog sistema: s 3  s 2  s  1  0 , formira se Hurwitz-ova matrica:   1  1 0  1 1 0   0  1  1 3

2

vrijedi: a n  a3  1  0 ,  1  1  0 ,  2  0 i  3  0 Sistem je nestabilan jer je minor  1  0 .

Geometrijsko mjesto korijena – GMK (Root Locus)

Na slici je dat tipičan primjer sistema upravljanja u zatvorenoj povratnoj sprezi.

Slika 64. Neka je prenosna funkcija kontrolera: Gr  K , dakle samo pojačanje. Prenosna funkcija cjelokupnog sistema je: Q( s ) K KGo ( s ) Y ( s) P( s)   Q( s) R( s ) 1  KGo ( s ) 1 K P( s) Karakteristična jednačina sistema je: Q( s) 1 K 0 P( s) pri čemu se pojačanje K mijenja u granicama 0  K   . Pomoću metode GMK analizira se položaj polova u kompleksnoj ravni sistema sa zatvorenom spregom kada se statičko pojačanje K mijenja u granicama od 0 do  . Prema tome, GMK daje geometrijsko mjesto korijena u zatvorenoj sprezi u funkciji statičkog pojačanja K direktne grane. Geometrijsko mjesto korijena (GMK) se može definisati na više načina. Dvije moguće definicije su: 1. GMK sačinjavaju krive u s-ravni po kojima se kreću polovi funkcije zatvorenog sistema tj. korijeni karakteristične jednačine kada se faktor pojačanja K kreće u granicama 0  K   . Q( s) 2. GMK se satoji od tačaka u s-ravni za koje vrijedi: K 1 i P( s) Q( s) }   (2k  1) gdje je k  0,  1,  2, arg{ P( s) Druga definicija GMK je direktna posljedica karakteristične jednačine sistema upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom. Na slici 66. prikazano je geometrijsko mjesto korijena za slučaj sistema datog na slici 65: Q( s) K  Go ( s )  K P( s ) s ( s  2)

Slika 65.

Slika 66. GMK sistema sa slike 65. U opštem slučaju može se pisati: Q ( s )  ( s  z1 )  ( s  z m ) P ( s )  ( s  p1 )  ( s  p n ) sa pi su označeni polovi sistema, a sa z i nule sistema i vrijedi n  m . Konstrukcija GMK

Konstrukcija GMK se zasniva na slijedećim pravilima: 1. GMK počinje za K=0 iz polova sistaema sa otvorenom povratnom spregom. Polovi sistema se dobijaju rješavanjem jednačine P ( s )  0 . K Za sistem G ( s )  položaj polova je prikazan na slici 67. ( s  1)( s  2)( s  3)

Slika 67. položaj polova u kompleksnoj ravni 2. GMK završava za K   u m konačnih nula sistema sa otvorenom povratnom spregom, dok ostalih n  m grana ide u beskonačnost. 3. GMK se sastoji od ukupno m grana.

4. GMK je simetričan u odnosu na realnu osu. Iz same definicije GMK slijedi: m

 i 1

n

( s  zi )   ( s  pi )   (2k  1) i 1

5. Tačka na realnoj osi pripada GMK ako je ukupan broj nula i polova sistema sa otvorenom povratnom spregom udesno od te tačke neparan. 6. Uglovi asimptota koje odgovaraju n  m grana koje završavaju u beskonačnosti su dati sa:

 l  (2k  1) a tačka presjeka asimptota je data sa:

a 



nm

 p z i

i

i

i

nm 7. Tačke odvajanja grana od realne ose date su rješavanjem jednačine po  0 : m 1 1  0   i 1  0  p i i 1  0  z i 8. Kritično pojačanje K za koje neke od grana GMK presjecaju imaginarnu osu se određuje na osnovu Routh-ovog kriterija primijenjenog na jednačinu: P ( s)  KQ( s)  0 n

Na osnovu prethodnih pravila moguće je nacrtat GMK. Primjer izgleda GMK za sistem zadat prenosnom funkcijom G ( s) je predstavljen na slici 68.

Slika 68. GMK

Sinteza kontrolera u kompleksnom domenu

Za sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom na slici 69. problem sinteze se svodi na slijedeće korake: 1. Izbor strukture regulatora (broj nula i broj polova) 2. Određivanje parametara (pojačanje, nule i polovi)

Slika 69. opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom U opštem slučaju prenosna funkcija kontrolera se može predstaviti u obliku: m

Gr ( s) 

K  (s  zi ) i 1 n

 (s  p ) i

i 1

Analiza uticaja dodavanja nula i polova kontrolera na karakteristike sistema biće sprovedena na jednostavnom primjeru sistema: 1 Go ( s )  s ( s  2) Najjednostavniji regulator predstavlja samo statičko pojačanje tj. Gr ( s )  K . GMK ovakvog sistema je prikazan na slici 70.

Slika 70. GMK sistema sa kontrolerom Gr ( s )  K Promjena pojačanja K uzrokuje kratanje polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom (na slici prikazani kvadratićima) po granama GMK. Promjenom pojačanja oblik GMK se ne mijenja.

U slučaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika: K Gr ( s)  ( s  a) tj. pored statičkog pojačanja uvodi se pol s   a, (a  0) . GMK ovakvog sistema za slučaj a  4 ima slijedeći oblik:

K s4 Analizirajući sliku 71. može se zaključiti da dodavanje pola zakreće grane GMK udesno. Sistem postaje "manje stabilan". Promjena pojačanja K uzrokuje pomicanje polova sistema po granama GMK i sada postoji određeno kritično pojačanje za koje sistem postaje nestabilan. U slučaju da je kontroler dat prenosnom funkcijom oblika: G r ( s )  K ( s  b) GMK ovakvog sistema za slučaj b  4 je prikazn na slici 72. Slika 71. GMK sistema sa kontrolerom Gr ( s ) 

Slika 72. GMK sistema sa kontrolerom Gr ( s )  K ( s  4) U slučaju dodavanja nule, grane GMK se zakreću ulijevo. Sistem postaje "stabilniji" i brži. Interesantno je primijetiti da sistem dat prenosnom funkcijom Gr ( s )  K ( s  b) predstavlja idealni diferencijator, što praktično nije moguće ostvariti jer je takav sistem nekauzalan. Ovakav sistem diferencira grešku i može imati nepovoljan efekat naročito u slučaju prisustva

šuma mjerenja koji je inherentno visokofrekventni, pa moži doći do znatnog izobličenja signala. Na primjer neka se neki signal y (t ) može prikazati u obliku: y (t )  y t (t )  s (t ) gdje s (t ) predstavlja šum mjerenja i neka se s (t ) može aproksimirati izrazom s (t )  a sin t . Diferenciranjem signala y (t ) dobija se: dy (t ) dy t (t )   a cos t dt dt dakle, došlo je do značajnog pojačavanja šuma za faktor  . Opšta struktura kontrolera je data prenosnom funkcijom: m

Gr ( s) 

K  (s  zi ) i 1 n

 (s  p ) i

i 1

Teorijski gledano nule kontrolera se mogu izabrati tako da skrate neželjene polove sistema, a polovi regulatora se onda mogu izabrati tako da se u potpunosti zadovolje postavljene specifikacije. Međutim ovakav pristup ima dva važna nedostatka: 1. Kontroler je veoma kompleksan i skup 2. Prenosna funkcija objekta nikada nije 100% poznata pa nije moguće izvršiti idealno kraćenje neželjenih polova objekta i nula kontrolera. Cilj je imati što bolje performanse uz što je moguće jednostavniju strukturu kontrolera. Dinamički regulatori (P,PI,PD,PID)

Osnovni elementi dinamičkih regulatora su proporcionalni, derivativni i integralni član. Proporcionalni element vrši pojačanje ulaznog signala tj. izlazni signal je proporcionalan ulaznom signalu. Proporcionalni član regulatora se opisuje jednačinom: y (t )  Ku (t ) proporcionalni član je prikazan na slici 73.

Slika 73. Proporcionalni element Integralni član vrši integraciju ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom: t

y (t )   u (t )dt 

Slika 74. integralni element Y ( s) 1  U (s) s Integralni član se fizički realizira pomoću operaciong pojačala. Prenosna funkcija integralnog elementa je daata izrazom:

Slika 75. fizička realizacija integratora. Integrator prikazan na slici 75 se može opisati izrazom: t 1 u 2 (t )   u1 (t )dt RC  Derivativni član vrši diferenciranje ulaznog signala i opisuje se slijedećim izrazom: du (t ) y (t )  dt

Slika 76. derivativni element Y ( s)  s . S obzirom da je čisti diferencijator U ( s) nekauzalan sistem, realni diferencijator se opisuje slijedećom prenosnom funkcijom: Y (s) s  U ( s ) s  1 Derivativni element se fizički realizira pomoću operacionog pojačala.

Prenosna funkcija derivativnog elementa je:

Slika 77. fizička realizacija diferencijatora U praksi su najčešće u upotrebi dinamički regulatori sastavljeni od proporcionalnog, integralnog i derivativnog člana tzv. PID regulatori.

Ako se sa e(t ) obilježi ulazni signal, a sa u (t ) izlazni signal, PID regulator se opisuje slijedećim izrazom: t de(t ) u (t )  K p e(t )  K d  K i  e(t )dt dt  a prenosna funkcija regulatora je: K U (s) G PID   K p  Kd s  i E (s) s Prema tome, projektovanje PID regulatora predstavlja određivanje konstanti K p , K d , K i tako da performanse sistema što bolje ispunjavaju postavljene specifikacije. PID regulator je jednostavan regulator koji se može koristiti da popravi tranzijentna ponašanja sistema i karakteristike usteljenog stanja sistema. Opšta struktura sistema sa zatvorenom povratnom spregom i PID regulatorom je data na slijedećoj slici.

Slika 78. Sistem upravljanja sa PID regulatorom Ponekad i jednostavni P regulator može riješiti upravljački problem. U oštem slučaju pri sintezi bilo kakvog regulatora treba krenuti od P regulatora. U opštem slučaju specifikacije se postavljaju na tranzijentni i ustaljeni dio odziva. Spefikacije na tranzijentni dio odziva se obično daju u obliku željenog maksimalnog preskoka i željenog vremena smirenja. S druge strane, specifikacije na ustaljeni dio odziva obično se odnose na grešku u ustaljenom stanju (najčešće se zahtjeva njena potpuna eliminacija). S obzirom da se maksimalni preskok računa po izrazu: MPOS  exp{



}  100 1  2 to se za zadani preskok (OverShoot) može izračunati koeficijent prigušenja  po izrazu: MPOS ) 100  MPOS  2  ln 2 ( 100 Prirodna učestanost  n se može izračunati na osnovu zadatog vremena smirenja i izračunatog koeficijenat prigušenja po formuli: 3 n  Ts  ln 2 (

Na osnovu izračunatih parametara  i  n par konjugovano-kompleksnih polova koji uzrokuju željeno ponašanje je određen izrazom: s1 / 2   n  j n 1   2 . Primjer: 1 dizajnirati kontroler tako da performanse s ( s  1) sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedeće: - Tranzijenti dio odziva: MPOS  20% i Ts  6s - Ustaljeni dio odziva: lim e(t )  ess (t )  0 za step ulaz

Za sistem dat prenosnom funkcijom G ( s ) 

t 

Na osnovu zadatog maksimalnog preskoka i vremena sirenja izračunaju se koeficijent prigušenja i prirodna učestanost: MPOS ln 2 ( ) 100  0.45  2 2 MPOS   ln ( 100 3 rad n   1.11 Ts  s odavde slijedi: s1 / 2   n  j n 1   2  0.5  j 0.99 Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je dato na slici 79.

Slika 79. Kao što se vidi sa slike grane GMK pročaze kroz željene polove, pa je samo potrebno naći pojačanje za koje je su polovi sistema s1 / 2  0.5  j 0.99 . Pojačanje sistema se računa na slijedeći način:  | s  z i |  1.25 K  | s  pi |

S obzirom da objekat upravljanja sadrži integrator to se, na osnovu prethodnih izlaganja, može zaključiti da će greška u stacionarnom stanju biti nula. Prema tome jednostavan P regulator je dovoljan da riješi zadati upravljački problem. Primjer: 1 dizajnirati kontroler tako da budu ( s  1)( s  2) performanse sistema sa zatvorenom povratnom spregom zadovoljavaju slijedeće: - Tranzijentni dio: MPOS  20% - Ustaljeni dio: e ss (t )  0 za step ulaz Za sistem dat prenosnom funkcijom G ( s ) 

Odmah se može vidjeti da prenosna funkcija procesa ne sadrži integrator, pa uslov nulte stacionarne greške ne može biti ispunjen korištenjem P regulatora. Minimalno je potrebno upotrijebiti PI regulator (integralni dio za eliminaciju greške ess (t ) ). Prema tome, zadati upravljački problem nije moguće riješiti upotrebom P regulatora. Algoritam dizajna P regulatora

Algoritam dizajna P regulatora se sastoji u slijedećem: 1. Prevesti vrijednosti specifikacija u lokaciju dominantnih polova sistema 2. Konstrukcijom GMK utvrditi da li grane GMK prolaze dovoljno blizu željene lokacije dominantnih polova. Ako je to slučaj, onda se potrebno pojačanje K određuje po formuli: m

K

| s  z

i

|

i 1 n

| s  p

i

|

i 1

3. Provjeriti da li su zadovoljene specifikacije ustaljenog stanja 4. Ukoliko bilo koji od 1-3 nije zadovoljen, P regulatorom nije moguće riješiti zadani upravljački problem Dizajn PI regulatora

PI regulator je dat prenosnom funkcijom: Gr ( s )  G PI ( s )  K p 

Ki s

PI regulator se može zapisati i u nešto drugačijoj formi: K p s  Ki K s  zc G PI  K p  i   Kp s s s Ki gdje je: z c  Kp PI regulator se koristi da popravi tranzijenta stanja sistema (koliko je to moguće) i da eliminiše grešku ustaljenog stanja pri konstantnim referentnim vrijednostima i konstantnim smetnjama. Na osnovu same prenosne funkcije PI regulatora vidi se da ukoliko je z c dovoljno blizu nule, onda se efekat člana ( s  z c ) / s može skoro zanemariti jer se taj član ponaša kao dipol i ne dolazi do znatnog pomjeranja grana GMK.

Algoritam dizajna PI kontrolera

Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Iz tranzijentnih specifikacija sistema odrediti da li je moguće postići te specifikacije sa P regulatorom i sračunati odgovarajuće K p . Jasno je da će ustaljeni režim zahtjevati pol u nuli u regulatoru. 2. Izabrati nulu regulatora z c dovoljno malu odnosno dovoljno blizu polu u nuli (npr. 0.01  z c  0.1) . Na osnovu vrijednosti z c izračunati konstantu K i po formuli: K i  zc K p 3. Provjeriti ponašanje sistema analizom GMK i simulacijom Primjer: Izvršiti sintezu regulatora sistema datog prenosnom funkcijom G ( s ) 

s6 ( s  10)( s 2  2 s  2)

tako da su zadovoljene slijedeće specifikacije: - MPOS  20% - e ss (t )  0 pri r (t )  const. i d (t )  const. Za zadati maksimalni preskok dobije se koeficijent prigušenja:   0.45 S obzirom da je cos    , gdje je  ugao koji prava povučena iz koordinatnog početka u kompleksnoj ravni zatvara sa negativnim dijelom realne ose. Izraz cos    je korišten ranije kod nalaženja vremenskog odziva sustema II reda, sada ugao  dobija jasno geometrijsko značenje. GMK ovog sistema je dat na slici 80.

Slika 80. GMK sistema Lokacija željenog pola se nalazi u presjeku pravaca koji predstavljaju ograničenje za koeficijent prigušenja   0.45 i grana GMK. Željeni polovi se mogu dobiti geometrijskim putem ili nekim pogodnim numeričkim potupkom. Pokazuje se da su za pojačanje K  10 polovi sistema sa zatvorenom povratnom spregom dovoljno blizu željenim. Time je zadovoljen uslova da preskok nije preko dozvoljenog. S druge strane postoji zahtjev za

eliminacijom greške ustaljenog stanja. To implicira da kontroler mora sadržavati integrator, pa se kao prirodno rješenje nameće upotreba PI kontrolera. Za nulu se bira  z c  0.1 tako da sa polom u ishodištu obrazuje dipol, kako ne bi došlo do značajnijeg pomjeranja grana GMK. Prema tome za prenosnu funkciju kontrolera se konačno dobija: 10( s  0.1) 1  10  Gr ( s )  G PI ( s )  s s Simulacijom u MATLAB-u za odziv sistema se dobija:

Slika 81. Odziv sistema G ( s) na step ulaz Dizajn PD regulatora

PD regulator je dat prenosnom funkcijom: Gr ( s )  G PD ( s )  K p  K d s Prenosna funkcija PD regulatora se može zapisati i u slijedećem obliku: Gr ( s )  G PD ( s )  K p  K d s  K d ( s  z c ) gdje je z c 

Kp

. Kd Kao što se može vidjeti iz prenosne funkcije PD regulator dodaje nulu u sistem upravljanja što za posljedicu ima zakretanje grana GMK ulijevo. U opštem slučaju PD se koristi za popravak tranzijentnog odziva sistema, i minimizaciju uticaja vanjskih smetnji. Jedan od efekata PD regulatora je prigušivanje oscilacija odziva sistema. Upotrebljava se u slučajevima kada je potrebno da se zadrži brzina odziva, a smanji amplituda oscilacija. Karakteristična jednačina sistema sa zatvorenom povratnom spregom kada se koristi PD regulator je data slijedećim izrazom: 1  K ( s  z c )G ( s )  0 Odavde slijedi arg{( s  z c )G ( s )}   ili u drugačijem obliku:

m

n

i 1

i 1

( s  zc )   ( s  zi )   ( s  pi )   Posljednji izraz, zapravo, predstavlja uslov da tačka s   zc pripada GMK. Taj uslov se može iskoristiti za određivanje vrijednosti zc .

Slika 82. određivanje ugla  c Određivanje vrijednosti zc je moguće preko određivanja ugla  c koji se određuje iz uslova da željena tačka pripada GMK. Prema tome, vrijedi: m

n

i 1

i 1

 c  ( s  zc )     ( s  zi )   ( s  pi ) Na osnovu poznatog ugla  c izračunatog pod uslovom da željeni pol sd  n  jn 1   2 pripada GMK slijedi: zc 

n ( tg c  1   2 ) tg c

Dalje se pojačanje K računa kao: m

Kd 

| s i 1

d

 pi |

n

| sd  zc |  | sd  zi | i 1

Algoritam dizajna PD kontrolera

1. 2. 3. 4. 5.

Algoritam dizajna PD regulatora (kontrolera) se sastoji od slijedećih koraka: Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova sd Pokušati riješiti problem sa P regulatorom Ako se problem ne može riješiti sa P regulatorom onda odrediti nulu  zc korištenjem izvedene formule Odrediti pojačanje K d preko izvedene formule Provjeriti analizom GMK i simulacijom da li sistem postiže željene performanse.

Primjer: Za sistem dat prenosnom funkcijom otvorene grane G ( s ) 

s  10 izvršiti ( s  1)( s  2)( s  12)

sintezu kontrolera tako da su postignute slijedeće performanse: - MPOS  20% i vrijeme smirenja Ts  1.5s Za zadate specifikacije izračunaju se koeficijent prigušenja  i n i na osnovu njih par rad dominantnih polova:   0.45 , n  4.348  sd  2  j 3.86 s

Slika 83. GMK sistema G ( s) Na slici su pored GMK ucrtana i ogranničenja vezana za koeficijent prigušenja   0.45 (prave) i prirodna učestanost n  4.348 (elipsa). Kao što se vidi grane GMK ne prolaze blizu željenih polova, pa se problem ne može riješiti P regulatorom. Grane GMK je potrebno zakrenuti ulijevo, a to se postiže dodavanjem nule, odnosno PD regulatorom. Na osnovu prethodno izvedenih formula za  c , zc i K d dobija se: zc  24.18 i K d  0.825 Prema tome prenosna funkcija kontrolera je: Gr ( s )  GPD ( s )  0.825( s  24.18) .

Slika 84. odziv sistema G ( s ) sa regulatorom GPD ( s )

Kao što se vidi sa like 84. postoji greška u ustaljenom stanju, ali to se moglo i očekivati s obzirom da ni proces ni kontroler ne sadrže integrator, no to specifikacijama nije ni traženo. Da bi se izvršila eliminacija greške ustaljenog stanja potrebno je koristiti i integralni dio tj. PID regulator. Dizajn PID regulatora

PID kontroler je najuniverzalnija kombinacija i koristi se kako za poboljšanje tranzijentnog odziva tako i za eliminaciju grešaka ustaljenog stanja. PID kontroler je dat slijedećom prenosnom funkcijom: K Gr ( s )  GPID ( s )  K p  i  K d s s Prenosna funkcija se može zapisati i u slijedećoj formi: K K K 1 GPID ( s )  d ( s 2  p s  i )  K d ( s  zc1 ) ( s  zc 2 )  GPD ( s )GPI ( s ) s Kd Kd s Algoritam dizajna PID regulatora

1. 2. 3. 4.

Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji od slijedećih koraka: Prevesti tranzijentne specifikacije sistema u lokacije dominantnih polova sd i analizirati zahtjeve na ustaljenim stanjem Izvršiti sintezu PD regulatora tj. odrediti K d i zc1 prema prethodno razvijenom algoritmu sinteze PD regulatora Izabrati nulu kontrolera zc 2 dovoljno blizu nuli ( 0.01  zc 2  0.1 ) Analizom GMK i simulacijom provjeriti da sistem zadovoljava željene performanse

Primjer:

s  10 izvršiti ( s  1)( s  2)( s  12) sintezu regulatora tako da budu zadovoljene slijedeće performanse: - MPOS  20% , Ts  1.5s - ess (t )  0 pri r (t )  const. i d (t )  const. Za sistem dat prenosnom funkcijom direktne grane: G ( s ) 

S obzirom da se u ovom slučaju zahtjeva potpuna eliminacija greške u ustaljenom stanju jasno je da će kontroler sadržavati integrator. Da bi se omogućilo da grane GMK prođu dovoljno blizu željenim polovima potrebno je izvršiti sintezu PD kontrolera (prethodni primjer). U prethodnom primjeru su izračunate konstante PD regulatora: zc1  24.18 K d  0.825 Da bi se izvršila eliminacija greške mora se dodati integrator tj. pol u koordinatnom početku. Parametar zc 2 se bira da bude vrlo blisko nuli kako bi sa polom u ishodištu obrazovao dipol sa ciljem da ne dođe do značajnog pomjeranja grana GMK. Prema tome, prenosna funkcija PID regulatora dobija oblik: 0.825( s  24.18)( s  0.1) GPID ( s )  s

Odziv sistema sa dizajniranim regulatorom je predstavljena na slici 85.

Slika 85. Odziv sistema sa PID regulatorom U slijedećoj tabeli je prikazan kako promjene pojedinih parametara PID regulatora utiču na odziv sistema: Parametar Brzina odziva Stabilnost Tačnost Kp Ki Kd

(neznatno)

bez značajnog uticaja

Eksperimentalno podešavanje PID regulatora

U praksi se susreću i sistemi sa tzv. mrtvim vremenom tj. sistemi koji se odazvu na pobudu na ulazu tek nakon određenog vremena. Ovakvi sistemi se mogu predstaviti na e  s slijedeći način: G ( s )  (Ts  1) Step odziv ovakvog sistema za slučaj T  0.5s i   1s je prikazan na slici 86.

Slika 86. odziv sistema sa mrtvim vremenom

Sistemi sa kašnjenjem su teški za analizu pa se često vrši aproksimacija rastavljajući eksponencijalni član u potencijalni red: e  s 1   G ( s)  ( s ) n (Ts  1) (Ts  1)  n! n 0 Često se sistemi sa nepoznatim prenosnim funkcijama mogu aproksimirati sistemom sa prenosnom funkcijom: e  s e  s ili G ( s )  K ob G ( s )  K ob Ts  1 s Nepoznate koeficijente K ob , i T je moguće odrediti eksperimentalnim putem.

Slika 87. Određivanje K ob , i T Izvrši se snimanje odziva sistema , a zatim nepoznati parametri odrede na način prikazan na slici 87. Preostali parametar K ob se određuje na slijedeći način: y K ob  u Na ovaj način se aproksimativno može odrediti model nepoznatog sistema. Za dizajn PID ovakvog sistema upotrebljavaju se eksperimentalne metode kao npr. Zigler-Nichols-ova metoda.

Metoda podešavanja parametara PID regulatora prema Ziegler-Nichols-u

U slijedećoj tabeli su date preporuke za izbor parametara PID regulatora u formi: 1 GPID ( s )  K (1   Td s ) Ti s Z. N. Preporuke P PI PID Gdje je a 

K 1/ a 0.9 / a 1.2 / a

Ti -

3 2

Td  /2



K ob T S obzirom da PID često može biti prikazan i u formi: K GPID ( s )  K p  i  K d s s to se veza između parametara u različitim formama može uspostaviti na slijedeći način: K  Kp K d  KTd K Ki  Ti Z-N preporuke predstavaljaju optimalno podešavanje regulatora za regulacioni problem i u većini slučajeva daju zadovoljavajuće performanse. Ziegler-Nichols pravila za podešavanje PID regulatora su izvedena za problem regulacije, a ne za problem praćenja. Ova pravila su optimalna sa aspekta potiskivanja smetnji.

Slika 88. Potiskivanje smetnje Obično je potiskivanje takvo da vrijedi: A2 

A1 . 4

Z-N metoda za podešenje PID regulatora korištenjem eksperimenta sa upravljanjem u zatvorenoj povratnoj sprezi

Za razliku od prethodne metoda kod ove varijante se ne vrše nikakve pretpostavke za oblik modela procesa.

Slika 89. Z-N podešavanje PID sa eksperimentalnim modelom Način podešavanja parametara PID regulatora korištenjem eksperimentalnog modela sa zatvorenom povratnom spregom se sastoji iz slijedećih koraka: 1. izbace se integralno i derivativno dejstvo u regulatoru, pa se onda postepeno povećava K p (pojačanje regulatora) sve dok izlaz u ustaljenom stanju ne dođe do stabilnih oscilacija (slika 90). Ova vrijednost pojačanja se naziva kritično pojačanje.

Slika 91. 2. Za kritičnu vrijednost pojačanja K p  K kr se odredi period Tu stabilnih oscilacija izlaza sistema. 3. Na osnovu Z-N tabele parametara se odaberu vrijednosti za K p , Ti i Td parametre regulatora. Tip regulatora Kp Ti Td P

0.5 K kr

-

-

PI

0.45 K kr

0.83Tu

-

PID

0.6 K kr

0.5Tu

0.125Tu

Ova pravila su uvijek dobra kao inicijalno podešavanje parametara. Cohen-Coon preporuke za podešavanje PID regulatora

Cohen-Coon (CC) procedura koristi parametre koji se dobiju iz prethodne procedure eksperimentalnog modela sa otvorenom povratnom spregom ali pretpostavlja da je model procesa: Ke  s G(s)  Ts  1

Parametri PID regulatora se biraju iz slijedeće tabele: Kp Ti Tip regulatora 1 1 (0.35  )  K 1 0.9 (0.083  )  K 1 1.35 (0.25  )  K

P PI PID

gdje je:  

Td

-

-

3.3  0.3  1  2.2 2.5  0.46   1  0.61

0.37  1  0.19 



. T CC procedura takođe podešava parametre regulatora u odnosu na problem regulacije i sa A istim kriterijima ( A2  1 ) . 4 Za male vrijednosti  



. Z-N i CC će dati slične rezulatate. CC je superioran u odnosu T na Z-N u slučaju da je   .

Podešavanje parametara PID regulatora prema Chien-Hroues-Reswick (CHR)

CHR preporuke su takođe bazirane na eksperimentalnom modelu u otvorenoj povratnoj sprezi. Pretpostavlja se slijedeći model: Ke  s G(s)  Ts  1 CHR podešavanje parametara je optimalno podešavanje sa aspekta praćenja referentne vrijednosti. CHR preporuke postoje za dva tipa željenog ponašanja: a) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti aperiodička b) Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom treba biti oscilatorna sa 20% preskoka Za slučaj pod a) CHR preporuke su date u slijedećoj tabeli: Tip regulatora Kp Ti P PI PID

gdje je: R 

0.3R / K 0.35 R / K 0.6 R / K

1.2T T

Td 0.5

T



Za slučaj b) CHR preporuke su date u slijedećoj tabeli: Tip regulatora Kp Ti P PI PID

0.7 R / K 0.6 R / K 0.95R / K

Ova metoda daje loše rezultate za slučaj  

 T

.

T 1.35T

Td 0.47

Schmitt-ov prediktor

U sistemima koji imaju vrlo veliko  



prethodno navedene procedure podešavanja T vjerovatno neće dati dobar odziv sistema. Za dobar odziv bilo bi potrebno izvršiti kompenzaciju e s sa inverznom funkcijom e s . Međutim e s nije moguće fizički relaizirati (trebalo bi znati signal u budućnosti). Upotrebljava se Schmitt-ova shema:

Slika 4. Optimalni PID sa Scmittovim prediktorom.

DRUGI DIO Frekventne metode analize i sinteze sistema automatskog upravljanja

Kao što se moglo vidjeti iz prethodnog izlaganja, jedan od načina predstavljanja sistema je pomoću Laplace-ove transformacije. Sistemi se predstavljaju prenosnim funkcijama u domenu kompleksne promjenljive s. Međutim, nedostatak Laplace-ova transformacije je taj da nema jasan fizikalni smisao, pa su razvijene i tzv. frekvente metode analize i sinteze sistema koristeći Fourier-ovu transformaciju. Fourier-ova transformacija funkcije g(t) se definiše kao: F {g (t )}  G ( j ) 



 g (t )e

 jt

dt



Frekventni odziv sistema se definiše kao ustaljeni odziv sistema na sinusoidalni ulazni signal. S obzirom na definiciju Fourier-ove transformacije vidi se da su djelovanja nestaju u vremenu od  do 0 tako da ostaje samo ustaljeno stanje. Na sistem predstavljen prenosnom funkcijom G ( s) kao na slici 1. dovodi se ulazni sinusoidalni signal oblika u (t )  A1 sin(t  1 )

Slika 1. Prenosna funkcija sistema se može predstaviti u obliku: b s m  bm 1s m 1    b0 G ( s)  m n s  an 1s n 1    a0 Odziv sistema se može predstaviti u formi: Y ( s )  G ( s)U ( s) gdje je U ( s ) Laplace-ova transformacija ulaza i za sinusoidalni signal je:   cos 1  s  sin 1 U ( s )  A1 s2   2 Odavde slijedi: n2 K Y ( s)   i i 1 s  si dakle Laplace-ova transformacija izlaza je predstavljena razvojem u parcijalne razlomke, pri čemu se koeficijenti: K i ( i  1, 2,..., n ), uz pretpostavku jednostrukih polova, određuju na slijedeći način: K i  lim( s  si )Y ( s ) s  si

Koeficijenti K n 1 i K n  2 se određuju na slijedeći način: K n 1  lim ( s  j )Y ( s )  lim ( s  j ) A1G ( s ) s  j

s  j

  cos 1  s  sin 1 ( s  j )( s  j )

dalje je: K n 1  Koeficijent K n  2 je:

1 1 A1G ( j )e j (1  / 2)  A1 | G ( j ) | e j (arg G ( j ) 1  / 2) 2 2

1 A1 | G ( j ) | e  j (arg G ( j ) 1  / 2) 2 Odziv sistema se nalazi kao inverzna Laplace-ova transformacija od Y ( s ) : n2 n K y (t )  L-1 { i }   K i e sit  K n 1e jt  K n  2 e  jt i 1 s  si i 1 odziv sistema u ustaljenom stanju je: yss (t )  lim y (t )  K n 1e jt  K n  2 e  jt  A1 G ( j ) sin(t  arg G ( j )  1 ) K n  2  K n*1 

t 

Odavde slijedi važan zaključak: Ukoliko je ulaz su linearni sistem prostoperiodična funkcija onda je izlaz iz sistema u ustaljenom stanju takođe prostoperiodična funkcija iste učestanosti  , a izmijenjene amplitude i faze. Prema tome, vrijedi: A A2  A1 G ( j )  2  G ( j )  ( )  arg G ( j ) A1 gdje je G ( j )  lim G ( s ) . s  j

Odavde se može zakljukčiti da G ( j ) definiše odnos amplituda i faznu razliku ulaza i izlaza sistema. Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala za slučaj linearnog sistema su prikazani na sl. 2.

Slika 2. Vremenski oblici ulaznog i izlaznog signala Kao što se vidi sa slike 2 razlika je samo u amplitudi i fazi signala. G ( j ) - amplitudno fazna karakteristika sisttema i u potpunosti opisuje linearni sistem. Postoje različiti načini grafičkog predstavljanja funkcije G ( j ) koja je kompleksna funkcija kompleksnog argumenta j : a) Polarni plot funkcije G ( j ) tzv. Nyquist-ov dijagram: G ( j )  Re{G ( j )}  j Im{G ( j )}  u ( )  jv( )  G ( j ) e j arg G ( j )

Slika 3. Polarni plot b) Bode-ovi dijagrami generišu dvije karakteristike: - Amplitudsko-frekventna karakteristika - Fazno-frekventna karakteristika Amplitudsko-frekventna karakteristika daje dijagram amplitude u ovisnosti o frekvenciji. Amplituda se obično daje u decibelima  dB  ( 20 log G ( j ) ), faza u stepenima, a frekventna osa je u logaritmskoj razmjeri radi prikaza širokog opsega frekvencija. Na slici 4 dat je primjer Bode-ovog dijagrama.

Slika 4. Bode-ovi amplitudski i fazni dijagram U praksi se obično ne crtaju stvarni amplitudski Bode-ovi dijagrami ( 20 log G ( j ) ) već aproksimativni dijagrami (krive se aproksimiraju pravcima). Konstrukcija Bode-ovih dijagrama

Neka je prenosna funkcija sistema data u obliku: m

G ( s) 

K   (  i s  1) i 1 n

s

k

 ( s  1) i 1

i

ovo je vremska konstanta – forma prenosne funkcije. Na osnovu prenosne funkcije G ( s ) dobija se G ( j ) u obilku: m

G ( s) 

K   ( i j  1) ( j )

i 1 n k

 ( i 1

i

j  1)

Odavde slijedi: m

n

20 log G ( j )  20 log K   20 log  i j  1  20k log    20 log  i j  1 i 1

i 1

m



i 1

2

arg G ( j )   arg( i j  1)  k

n

  arg( i j  1) i 1

Primjer 1: Konstruisati Bode-ove dijagrame za slučaj sistema G ( s)  K Zamjenom s sa j dobija se: G ( j )  K  u ( )  jv( )  K  j  0 

20 log G ( j )  20 log K 0, K  0  arg G ( j )    180, K  0 Bode-ovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 5.

Slika 5. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j )  K Primjer 2:

Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem dat prenosnom funkcijom: 1 G ( s)  s Zamjenom s sa j dobija se: 1 G ( j )  j odavde slijedi: 1 20 log G ( j )  20 log  20 log  arg G ( j )  





2 Bodeovi dijagrami za dati sistem su prikazani na slici 6.

1 j Vidi se da sistem unosi slabljenje s približno 20 dB po dekadi (dekada je povećanje frekvencije 10 puta). Slika 6. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j ) 

Primjer 3: Konstruisati Bode-ove dijagram za sistem: G ( s )  s U ovom slučaju vrijedi: G ( j )  j  20 log G ( j )  20 log G arg G ( j )  Bodeovi dijagrami su prikazani na slici 7.

 2

Slika 7. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j )  j Kao što se može vidjeti sa slike 7. sistem G ( j )  j (diferencijator) vrši pojačavanje signala i unosi pozitivno fazno kašnjenje. Primjer 4: Konstruisati Bodeove dijagrame za aperiodski sistem I reda dat prenosnom funkcijom 1 G ( s)  Ts  1 Odavde je: 1 1 T G ( j )   j  2 T  j  1 (T  )  1 (T  ) 2  1 1 G ( j )   20 log G ( j )  20 log 1  (T  ) 2 2 1  (T  ) arg G ( j )  artctg (T  ) Bode-ovi dijagrami su prikazani na slici 8.

1 jT  1 Amplitudsko-frekventni dijagram predstavlja asimptotsku karakteristiku za dati sistem jer vrijedi: Slika 8. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j ) 

20 log (T  ) 2  1  0

za   T

20 log (T  ) 2  1  20 log(T  )

za   T

Primjer 5: Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem: G ( s )  Ts  1 Analogno prethodnom primjeru, može se pisati: G ( j )  Tj  1  G ( j )  (T  ) 2  1  20 log G ( j )  20 log (T  ) 2  1 arg G ( j )  arctg (T ) Asimptotske karakteristike Bode-ovih dijagrama su date na slici 9.

Slika 9. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j )  Tj  1 Primjer 6: Konstruisati Bode-ove dijagrame za sistem II reda dat prenosnom funkcijom: G ( s)  Zamjenom s sa j dobija se: G ( j )  G ( j )  G ( j ) 

n2

n2 s 2  2n s  n2

n2   2  2 jn



n2 (n2   2 ) 2n3   j (n2   2 ) 2  (2n ) 2 (n2   2 ) 2  (2n ) 2 n2 (n2   2 ) 2  (2n ) 2

 jarctg

e

2n n2  2

Odavde slijedi: 20 log G ( j )  20 log n2  20 log (n2   2 ) 2  (2n ) 2

Na slici 10. su prikazani Bode-ovi dijagrami za sistema II reda

Slika 10. Bode-ovi dijagrami sistema G ( j ) 

n2

n2   2  2 jn

Za frekvencije   n amplituda opada asimptotski sa 40dB / dec . Stvarni dijagram može odstupati više ili manje od asimptotskog u zavisnosti od koeficijenta prigušenja  . Frekvencija maksimalne vrijednosti se dobija na slijedeći način: d G ( j ) 0 d

r  n 1  2 2 Za maksimalnu vrijednost amplitude se dobija: 1

Mp 

2 1   2 Prema tome do pojave maksimuma će doći za vrijednosti prigušenja   0.707 Izobličenje signala n

Neka se signal ograničenog spektra y (t )   Ai sin(i t  i ) prenosi kroz komunikacioni i 1

kanal prenosne funkcije G ( s )  e  S odnosno: G ( j )  1 arg G ( j )   Cilj je da amplituda bude dovoljno blizu 1 i da postoji linearno kašnjenje:

n

n

i 1

i 1

z   Ai sin(i t  i  i )   Ai sin i (t   )  i   y (t   ) Dobija se signal iste amplitude, ali zakašnjen za neko vrijeme  . Prema tome, uslov da ne bude izobličenja: G ( s )  e  s Analiza stabilnosti u frekventnom domenu Nyquist-ov kriterij stabilnosti

Nyquist-ov kriterij stabilnosti je baziran na Cauchy-evom principu argumenta: Neka je kompleksna funkcija F ( s) analitička izuzev u konačnom broju tačaka i neka je data neka kontura C po kojoj putuje argument s, tada će fazor funkcije F ( s ) takođe putovati po zatvorenoj konturi u ravni F ( s) . Dalje, ako funkcija F ( s) ima z nula i p polova, onda za jedan obrtaj varijable s po zatvorenoj konturi C, funkcija F ( s) će da napravi n  z  p obrtaja oko koordinatnog početka (slika 11).

Slika 11. Cauchy-ev princip argumenta Ako se funkcija F ( s ) može predstaviti u obliku: m

F (s) 

K  ( s  zi ) i 1 n

 (s  p ) i 1

i

Tada se može pisati: arg F ( s ) 

m

 ( s  zi )  i 1

n

 (s  p ) i 1

i

Ako zatvorena kontura u s ravni obuhvata m nula i p polova tada je ukupni ugao konture u ravni F ( s ) : 2  N  2  m  2 n Odavde slijedi da je broj obilazaka koordinatnog početka koje načini kriva u F ( s ) ravni:

N  m p Nyquist-ov dijagram daje odgovor o stabilnosti sistema sa zatvorenom povratnom spregom na bazi analize sistema sa otvorenom povratnom spregom. Posmatra se sistem sa otvorenom povratnom spregom prenosne funkcije G ( s) . Neka je funkcija D( s ) definisana na slijedeći način: D( s)  1  G ( s ) i sa slijedećim osobinama: - Nule funkcije D( s ) su polovi sistema sa zatvorenom povranom spregom - Polovi D( s ) su polovi funkcije sa otvorenom povratnom spregom Nyquist-ov dijagram je polarni dijagram funkcije D( s ) kada kompleksna varijabla s putuje po konturi datoj na slici 12.

Slika 12. Ova kontura obuhvata kompletnu desnu (nestabilnu) polovinu s ravni tj. R   . Takođe, D( s ) mora biti analitička i na konturi, te su polovi D( s ) na imaginarnoj osi izbjegnuti polukrugovima beskonačno malog poluprečnika r   . Nyquist-ov kriterij glasi: Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak zbiru broja nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja koordinatnog početka Nyquist-ovog dijagrama funkcije D( s ) . Dakle vrijedi: Z NP gdje je: Z - broj polova sistema s zatvorenom povratnom spregom P - broj polova sistema s otvorenom povratnom spregom u desnoj poluravni. Ako je P  0 kao što je to obično slučaj, tada mora biti N  0 , tj. Nyquist-ov dijagram ne smije ni jednom obuhvatiti koordinatni početak.

Za detaljniju analizu preslikavanja konture u s domenu u Nyquist-ov dijagram potrebno je razmotriti kako se preslikavaju pojedini dijelovi konture: a) Dio konture s  Re j (polukrug poluprečnika R) R   i 



2





2

se preslikava

na slijedeći način: Q( s ) s m    b0 G(s)   P( s ) s n    a0 S obzirom da je n  m slijedi nm 0, G (Re j )   nm C  const , zaključuje se da krug preslikava u jednu tačku i to obično koordinatni početak. b) Dio konture koji predstavlja imaginarnu osu: s  j D( s )  D( j )  1  G ( j ) G ( j ) predstavlja frekventnu karakteristiku sistema i preslikava se u konturu u zavisnosti od oblika prenosne funkcije. c) Dio konture koji isključuje polove na imaginarnoj osi s  re j ( r  0 , 

D( s )  1  G ( s )  G ( s) 



2



 2

)

bm s m    b0  s n    a0

1 G (re j )  e  j ( n  m ) r Odavde se može zaključiti da kada r  0 dio konture se preslikava u polukrug beskonačnog poluprečnika. Nyquist-ov kriterij se može uprostiti ako se umjesto polarnog dijagrama D ( s )  1  G ( s ) nacrta polarni dijagram samo G ( s ) i onda se posmatra obuhvatanje tačke ( 1  j 0 ). Prema tome, modificirani Nyquist-ov dijagram glasi: Broj nestabilnih polova sistema sa zatvorenom povratnom spregom je jednak sumi broja nestabilnih polova sistema sa otvorenom povratnom spregom i broja obuhvatanja tačke ( 1  j 0 ) Nyquist-ovim dijagramom funkcije G ( s ) . Ako Nyquist-ov dijagram prolazi kroz tačku ( 1  j 0 ) sistem je marginalno stabilan. Sistemi sa čistim transportnim kašnjenjem

Sistem s čistim transportnim kašnjnjem se može jednostavno prikazati i analizirati u frekventnom domenu. Sistem sa čistim transportnim kašnjenjem se predstavlja prenosnom funkcijom: Q( s ) G ( s )  Ke  s P( s) Ili u frekventnom domenu: Q( j ) G ( j )  Ke  j  P( j ) G ( j )  K

Q( j ) P( j )

arg{G ( j )}  arg{

Q( j ) }   P( j )

Margina (rezerva/pretek) stabilnosti sistema po fazi i po pojačanju

Za sistem sa prenosnom funkcijom G ( s ) (slika 13) predstavljen polarnim plotom na slici 14. definišu se slijedeće margine stabilnosti: - Margina stabilnosti po pojačanju - Margina stabilnosti po fazi

Slika 13. Sistem sa zatorenom povranom spregom

Slika 14. Polarni plot sistema G ( s ) Frekvencija pri kojoj kriva G ( j ) presjeca realnu osu je označena sa c . Margina stabilnosti se definiše kao kritično pojačanje sistema pri kojem polarni plot prolazi tačkom (1, j 0) : 1 G ( jc )  K r  1  K r  G ( jc ) Frekvencija c je frekvencija pri kojoj je arg G ( j )  180 . Ako sistem posjeduje transportno kašnjenje, tada faktor e  s utiče na faznu marginu odnosno uzrokuje rotiranje dijagrama i vodi sistem prema nestabilnosti.

Rezerva stabilnosti sistema je proporcionalan udaljenosti krive G ( j ) od tačke (1, j 0) i rezerva stabilnosti po fazi se često definiše kao:  ( )  180  arg{G ( j f )} gdje je sa  f presječna učestanost za koju vrijedi: G ( j f )  1 . U zaključku do sada izloženog se može reći: Frekventne metode analize i sinteze sistema automatskog upravljanja na slici 15. imaju niz prednosti: - G ( j ) se može lako odrediti eksperimentalnim putem - omogućeno je korištenje teorije filtera za analizu i sintezu sistema - omogućena je analiza sistema sa čistim transportnim kašnjenjem

Slika 15. Sistem automatskog upravljanja Grafičko predstavljanje funkcije G ( j )  G ( j ) e j arg G ( j )  Re{G ( j )}  j Im{G ( j )} je omogućeno na više načina, a najčešće se koriste: 1. Polarni plot (Nyquist) 2. Bode-ovi dijagrami Primjer: Ispitati stabilnost sistema datog na slici 16. korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti.

Slika 16. Najprije se prekine povratna sprega, tj. analizira sistem sa otvorenom povratnom spregom: 1 G ( s)  s ( s  3)( s  5) Zatim se u s ravni narcta kontura koja s  Re j pri čemu je: R   i 







, dakle 2 2 kontura koja zatvara desnu (nestabilnu) stranu kompleksne ravni, pri čemu se isključuju polovi na imaginarnoj osi (u ovom slučaju pol s  0 ). Zatim se kontra podijeli na segmente i posmatra kako se pojedni segmenti preslikavaju funkcijom G ( s ) odnosno G ( j ) : a) Izvrši se smjena s  j i posmatra dio konture od 0     (dio     0 ) je simetričan u odnosu realnu osu. Prema tome dobija se:

8 2 (15   3 ) j  64 4   2 (15   2 ) 2 64 4   2 (15   2 ) 2 Skicira se polarni se polarni plot od G ( j ) ispitivanjem kako se funkcija ponaša za   0 i    te u kojoj tački se presjeca realna osa. Tačke presjecanja imaginarne i realne ose se dobiju rješavanjem: Im{G ( j )}  0 Re{G ( j )}  0 po  čime se dobiju frekvencije za koje funkcija presjeca realnu, odnosno imaginarnu osu, a zatim uvrštavanjem tih frekvencija u G ( j ) dobiju se stvarne presječne tačke. Na osnovu izloženog slijedi: lim G ( j )  0.0356  j

G ( j ) 

 0

G ( j ) 

K K  j 2 ( n m ) e   ( j ) n  m  n m 

lim G ( j )  0  e

e

 j ( nm ) 2

 

Može se zaključiti da će G ( j ) završiti u trećem kvadrantu. Za tačke presjeka se dobija: (15   2 ) Im{G ( j )}  0  0 64 3   (15   2 ) 2 Odavde slijedi da je frekvencija za koju G ( j ) siječe realnu osu   15 , a za tačku presjeka se dobija: G ( j 15)  0.083  j  0 Presjek sa realnom osom je bitan podatak jer govori o stabilnosti sistema. Na osnovu: Re{G ( j )}  0 se može zaključiti da za dati sistem presjeka sa imaginarnom osom nema. b) Dio konture s  re  j pri čemu je r  0 i 

 2

 

 2

se preslikava na slijedeći

način: G (re j )  lim r 0

K  j e  r

K  j e  e  j r

c) Dio konture s  Re j pri čemu je R   

 2



 2

se preslikava na slijedeći

način: G ( j Re j ) 

K  j 3 e  R

K  j 3 e  0  e  j 3 R Na osnovu dobijenih podataka može se skicirati Nyquist-ov dijagram funkcije G ( j ) . Na slici 17. prikazano je preslikavanje konture koja obuhvata desnu stranu kompleksne s ravni u krivu u Nyquist-ov dijagram. lim

R 

Slika 17. Polarni plot sistema G ( s ) Primjer: Naći oblast pojačanja K za koje je sistem dat na slici 18. asimptotski stabilan: K G ( s)  s ( s  3)( s  5)

Slika 18. Na osnovu prethodne analize dobija se tačka presjeka krive G ( j ) sa realnom osom: G ( j 15)  0.083  j  0 Na osnovu izraza za kritično pojačanje sistema: G ( jc )  K r  1  Kr 

1 1 1   G ( jc ) G 15 0.0083

 

Prema tome oblast stabilnosti je K  K r ¸ odnsono: 1 K 0.0083 Opšta procedura određivanja kritičnog pojačanja (opsega pojačanja za koje je sistem stabilan) je slijedeća: - Nacrta se Nyquist-ova kriva za K  1

-

Nađe se kritično pojačanje iz K r G ( jc )  1 gdje se c dobije rješavanjem

Im{G ( j )}  0 . Sada je oblast pojačanja za koje je sistem stabilan: 0  K  K r . Prethodni posao se može uraditi ako se umjesto obuhvatanja tačke (1, j 0) posmatra 1 obuhvatanje tačke ( , j 0) . K Primjer: Ispitati stabilnost sistema sa slike 19. korištenjem Nyquist-ovog kriterija stabilnosti.

Slika 19. Preslikavanje konture koja okružuje desnu stranu kompleksne s ravni u Nyquist-ovu krivu je predstavljeno na slici 20.

Slika 20. Nyquist-ova kriva sistema. S obzirom da sistem u otvorenoj sprezi posjeduje dva nestabilna pola s  2 i s  4 iz Z  NP slijedi da Nyquist-ova kriva mora 2 puta obuhvatiti tačku (1, j 0) u kontra smjeru (smjeru suprotnom od smjera kazaljeke na satu) kako bi vrijedilo: Z NP0 Područje stabilnosti ovog sistema je: K  0.75 U ovom slučaju da bi sistem bio stabilan, Nyquist-ova kriva moraju obuhvatiti tačku (1, j 0) 2 puta u kontra smjeru pa zbog toga pojačanje mor abiti veće od 0.75 jer za manje vrijednosti pojačanja Nyquist-ova kriva ne obuhvata tačku (1, j 0) pa je u tom slučaju N  0 odnosno: Z NP2

U tom slučaju sistem sa zatvorenom spregom će imati dva nestabilna pola. Geometrijsko mjesto korijena ovog sistema je prikazano na slici 21.

Slika 21. GMK sistema sa slike 19. Sistemi koji imaju nestabilan pol ili nulu (sistemi neminimalne faze)

Primjer: Ispitati stabilnost sistema sa slike 22. korištenjem Nyquist-ovog kriterija

Slika 22. Prenosna funkcija sistema sa otvorenom spregom je G ( s)  Ke  s odnosno u domenu frekvencije G ( j )  e  j

Slika 23. Nyquist-ov dijagram

Sa slike se vidi da je sistem marginalno stabilan za K  1 , ta da je područje stabilnosti određeno sa: 0  K 1 Ako se na ulaz sistema priključi generator pravougaonih impulsa tada se dobiju slijedeći odzivi:

Slika 24. Odzivi sistema na pravougaone impulse za K  1 i K  1 Primjer: Ispitati stabilnost sistema sa slike 25 korištenjem Nyquist-ovog kriterija.

Slika 25. Prenosna funkcija sistema sa otvorenom povratnom spregom je

G ( s) 

frekventnom domenu: G ( j ) 

Dalje slijedi:

Ke j cos    sin   cos   sin   j 2 1  1  1 2 lim G ( j )  1  j 0

 0

   j    2 

za    može se pisati: G ( j )  0  e odavde vrijedi     arg{G ( j )}  

Ke  s odnosno u 1 s

Tačka presjeka sa realnom osom se dobija rješavanjem jednačine Im{G ( j )}  0   cos   sin   0 po  . Za stabilnost se dobija slijedeće: K kr  a  1  K kr 

1 a

sistem je stabilan za vrijednosti pojačanja: 0  K  K kr Nyquist-ov plot je dat na slici 26.

Slika 26. Prema tome, može se zaključiti da je sistem sa čistim transportnim kašnjenjem uvijek moguće destabilizirati sa dovoljno velikim pojačanjem K. Analiza stabilnosti korištenjem Bode-ovih dijagrama

Za sistem automatskog upravljanja na slici 27. analiza stabilnosti se može izvršiti preko Nyquist-ovog plota kako je to već pokazano u prethodnim primjerima ili korištenjem Bodeovih dijagrama.

Slika 27. sistem upravljanja sa zatvorenom povratnom spregom. Pored analize apsolutne stabilnosti razmatra se i relativna stabilnost, kao mjera udaljenosti sistema od granice nestabilnosti. Moe se razmatrati rezerva stabilnosti po pojačanju ondosno amplitudi i rezerva stabilnosti po fazi. Na slici 28. prikazano je određivanje margina stabilonosti korištenjem Nyquist-ovog dijagrama.

Slika 28. Određivanje margina stabilnosti Nyquist-ovim dijagramima Margine stabilnosti se mogu odrediti korištenjem Bode-ovih dijagrama na slijedeći način:

Slika 29. Određivanje margina stabilnosti Bode-ovim dijagramima Margina stabilnosti po pojačanju se određuje na slijedeći način: K kr  G ( jcp )  1

gdje je cp - kritična učestanost faze za koju vrijedi

arg G ( jcp )  180

Najveće pojačanje koje dovodi sistema na granicu stabilnosti je: 20 log K r  GM  20 log G ( jcp )  dB  a opseg pojačanja unutar granica stabilnosti se kreće u granicama: 0  K  K r Margina stabilnosti po fazi se se određuje na slijedeći način:  m  180  arg G ( jcg ) G ( jcg )  1

gdje je cg - presječna učestanost pojačanja i pokazuje koliko se može tolerisati fazno kašnjenje u originalnom sistemu G ( j ) , a da sistem ostane stabilan. G ( j )  Gn ( j )  G ( j ) Relacije između tranzijentnog i frekventnog odziva sistema

Za sistem II reda prikazan na slici 30. je moguće uspostaviti vezu između tranzijentnog i frekventnog odziva.

Slika 30. Sistem II reda Prenosna funkcija sistema sa zatvorenom povratnom spregom je data izrazom: n2 G(s) M (s)   M (s)  2 1  G(s) s  2n  s  n2 Obično se specifikacije sistema daju u vremenskom domenu u obliku preskoka i vremena smirenja OS i Ts : 

MPOS%  e

1 2

100%  f ( )

Ts 

3

n

Frekventna karakteristika ovog sistema je data sa:

n2 M ( j )  ( j ) 2  2n  j  n2 odavde slijedi: M ( j ) 

n2 (n2   2 ) 2  4 2n2 2

Maksimalna vrijednost frekventnog odziva se dobija na slijedeći način: dM ( j )  0   p  n  1   2  d

M ( j p )  M p 

1

2 1   2 Frekventni odziv sistema II reda je predstavljen na slici 31.

Slika 31. Frekventni odziv sistema II reda Na osnovu dobijenog izraza vidi se da M ( j p ) zavisi samo od koeficijenta prigušenja  baš kao i izraz za preskok sistema II reda u vremenskom domenu. Ova veza se može predstaviti i grafički kao na slici 32.

Slika 32. Funkcionalna zavisnost M p  f ( MPOS% ) Preskok u vremenskom domenu je direktno povezan sa rezonantnim vrhom amplitudskofrekventne karakteristike. Rezonantni vrh u frekventnoj karakteristici se javlja samo ako je   0.707 . Ako je   0.707 ne postoji lokalni maksimum u frekventnom domenu, ali postoji preskok u vremenskom domenu 0.707    1 .

Relacija između brzine odziva sistema i njegovog frekventnog odziva

Sistem automatskog upravljanja se može posmatrati kao niskopropusni (NF) filter. Propusni opseg (bandwidth) sistema (NF filtera) tj. frekvencija BW se definiše kao frekvencija gdje je: M ( jBW ) M ( j  0)



1 2

1 odnosno: 2 20 log M ( jBW )  20 log 2  3 dB

ili ako se pretpostavi da je M ( j  0)  1 slijedi M ( jBW ) 

Kad BW raste, bolje se reprodukuje ulazni signal jer se tada visokofrekventne komponente manje prigušuju. Što je vrijeme smirenja Ts manje to je sistem brži. 3 Ts  BW  n  (1  2 2 )  4 4  4 2  2

n

Prema tome, može se zaključiti da je BW Ts odnosno: 3 BW   (1  2 2 )  4 4  4 2  2  Ts Prema tome, veza tranzijentnog odziva sa frekventnim karakteristikama se može prikazati na slijedeći način: G ( j )  M ( j )  ( MPOS , Ts ) Relacija između frekventnih karakeristika otvorenog karakteristika zatvorenog sistema, konstantni M i N krugovi

sistema

i

frekventnih

Za sistem sa otvorenom povratnom spregom G ( s) ekvivalentna prenosna funkcija sistema koji se dobija zatvarnjem jedinične povratne sprege je: G ( s) G ( j ) M (s)   M ( j )  1  G(s) 1  G ( j ) S obzirom da se G ( j ) može napisati u obliku: G ( j )  P ( j )  jQ( j ) Dalje je: P( )  jQ( ) P 2 ( )  Q 2 ( ) 2 M ( j )   M ( j )   (1  P( ))  jQ( ) (1  P( )) 2  Q 2 ( ) 2

 M2  M2 2 P   Q    ( M 2  1) 2 M 2 1  

Posljednja jednačina predstavlja jednačinu kruga sa koordinatama centra i poluprečnikom:   M M2 R 2 C   2 ,0 M 1  M 1  Za različite M dobije se familija tzv. konstantnih M krugova.

Slika 33. Konstantni M krugovi Ukoliko bi preko M krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema G ( j ) , u svim tačkama presjeka G ( j ) i odgovarajućeg M kruga je tačka koja predstavlja amplitudu frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema. Slično se može analizirati i fazna karakteristika:   arg{M ( j )} Q( ) Q ( )   tg 1  tg 1  P ( ) P ( )  1 Q( ) Q ( )  P( ) P ( )  1   tg 1  Q( ) Q( )  1 P( ) P ( )  1 Q tg   2 P  P  Q2 Ako se tg označi sa N dobija se: Q N 2  P  P  Q2 2

2

1  1  N 2 1      P Q     2  2N  4N 2  Zadnja jednačina takođe predstavlja jednačinu kruga sa parametrima: N 2 1  1 1  2 R C ,   4N 2  2 2N 

Geometrisko mjesto svih mogućih faza sistema sa zatvorenom povratnom spregom predstavlja familiju N-krugova s različitim  . Konstantni N krugovi su dati na slici 34.

Slika 34. Konstantni N krugovi Ukoliko bi preko N krugova nacrtali polarni dijagram funkcije otvorenog sistema G ( j ) , u svim tačkama presjeka G ( j ) i odgovarajućeg N kruga je tačka koja predstavlja fazu frekventne karakteristike prenosne funkcije zatvorenog sistema. Ukoliko bi na jednom dijagramu nacrtali M i N krugove pa preko njih polarni plot G ( j ) , tada bi presjek G ( j ) i odgovarajućih M i N krugova potpuno definisao i odredio frekventnu prenosnu funkciju zatvorenog sistema M ( j ) . Međutim, u praksi je obično potrebno odrediti samo frekvencije  p i BW . Frekvencija  p predstavlja frekvenciju rezonantnog vrha frekventne karakteristike, a BW je granična frekvencija sistema.. Postupak određivanja ovih frekvencija je slijedeći: - Frekvencija BW se određuje pomoću tačke presjeka kruga M  0.707 i polarnog plota G ( j ) . - Frekvencija  p se određuje tako da se nacrta najveći M krug koji tangira krivu G ( j ) . Na osnovu vrijednosti M izračuna  p

Ovaj postupak je predstavljen na slici 35.

Slika 35. Određivanje  p i BW Primjer: Za sistem sa slike 36. procijeniti veličini preskoka i vrijeme smirenja korištenjem M krugova.

Slika 36. Provodeći prethodno opisan postupak dobija se polarni plot kao na slici 37.

Slika 37. Polarni plot sistema G ( j ) Iz tačke presjeka G ( j ) sa krugom M  0.707 dobija se frekvencija BW  3.5  rad / s  . Takođe, konstruiše se najveći krug M  1.8 koji tangira polarni plot.

Odavde slijedi:

  0.29

Ts  4.5  s 

Na osnovu poznatog koeficijenta prigušenja  se može izračunati maksimalni preskok vremenskog odziva sistema: 

MPOS%  e

1 2

100%  38.6%

Relacije između tranzijentnog odziva zatvorenog sistema i frekvencijskog odziva otvorenog sistema pomoću Bode-ovih dijagrama Relacije između koeficijenta prigušenja i margine faze

Sistem II reda je dat prenosnom funkcijom u otvorenoj sprezi: G(s) 

n2 s ( s  2n )

odnosno u zatvorenoj sprezi:

n2 M ( s)  2 s  2n  s  n2 S obzirom da je: G ( jcg )  1

gdje je cg - učestanost pojačanja koja pokazuje koliko se može tolerisati fazno kašnjenje u originalnom sistemu G ( j ) , a da sistem ostane stabilan Moduo G ( j ) je određen izrazom:

n2 G ( j )   2  j 2  n odavde je:

n2 G ( jcg )   cg 2  j 2cg  n cg  n  2 2  1  4 4 Fazna margina se definiše kao:

 m  180  arg G ( jcg )

i dobija se:  m  90  arctg

2 2  1  4 4

2

 arctg

2

2 2  1  4 4 prema tome može se zaključiti da je fazna margina funkcija od koeficijenta prigušenja  .  m  f ( ) Ovisnost fazne margine od prigušenja sistema je grafički predstavljena na slici 38.

Slika 38. Funkcionalna ovisnost  m  f ( ) Relacija između vremena smirenja i amplituds frekventne karakteristike sistema sa otvorenom povratnom spregom

M krug za M  0.707 kome odgovara 3dB se u zavisnosti od faznog ugla može predstaviti kao što je to prikazano na slici 39.

Slika 39. Sa slike se može uočiti da se u opsegu od -6 dB do -7.5 dB amplituda G ( j ) vrlo malo mijenja pa se u ovom opsegu može aproksimirati konstantom. Dakle, kriva se može aproksimirati tako da frekvencija BW pri kojoj je amplituda zatvorenog sistema -3 dB, odgovara frekvenciji za koju je amplituda sistema sa otvorenom povratnom spregom između 6 dB i -7.5 dB, a faza između 135 i 225 . Prethodna analiza omogućava uspostavljanje veze između propusnog opsega sistema sa zatvorenom povratnom spregom BW odnosno vremena smirenja sistema Ts i karakteristika sistema sa otvorenom povratnom spregom. Na osnovu provedene analize može se zaključiti slijedeće: Propusni opseg sistema sa zatvorenom povratnom spregom BW se određuje na onom mjestu gdje je slabljenje sistema sa otvorenom povratnom spregom između 6 dB i -7.5 dB, a fazno kašnjenje između 135 i 225 .

Dizajn P, PD i PID kontrolera u frekventnom domenu

Neka je dat sistem automatskog upravljanja kao na slici 40.

Slika 40. Opšta struktura sistema automatskog upravljanja Problem sinteze kontrolera se svodi na određivanje strukture i parametara kako bi se postigle zadovoljavajuće performanse sistema. Algoritam dizajna P kontrolera

Algoritam dizajna P regulatora se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Nacrtati Bode-ove dijagrame sistema za pogodno izabrano K (npr. K  1 ). 2. Iz specifikacija procenta preskoka ( MPOS )odrediti porebnu rezervu stabilnosti po fazi  m korištenjem sljedećih formula:  MPOS  ln 2    100%  MPOS  e 1 100%     MPOS   2  ln 2    100%  2  m  arctg 2 2  1  4 4 

2

3. Naći frekvenciju m na Bodeovim dijagramima koja određuje željenu vrijednost rezerve stabilnosti po fazi. 4. Promijeniti pojačanje za iznos AB (podići karakteristiku) tako da Bodeova amplitudna karakteristika prolazi kroz 0 dB u m . Iznos AB (promjena pojačanja) je dodatno potrebno pojačanje koje osigurava željenu rezervu stabilnosti po fazi. Pojačanje se obično može prikazati u obliku: K  Ks  Kn gdje je K s - startno pojačanje, a K n nova vrijednost. Pojačanje u dB je: AB  20 log K . Pri sintezi P regulatora je moguće fiksirati BW , a vrijeme smirenja Ts je onda određeno izborom BW i obrnuto. Takođe, moguće je postići željeni preskok, ali je i time određena margina  m . Primjer: Za pozicioni servo sistem upravljanja uglom radarske antene dat na slici 41. potrebno je izvršiti sintezu P regulatora tako da pri referentnom step ulazu maksimalni preskok bude 9.48% .

Slika 41. Pozicioni servo sistem radarske antene Na osnovu zadatih specifikacija slijedi:  MPOS  ln 2   100%     0.6  2 2  MPOS    ln    100%  2  m  arctg  59.19 2 2  1  4 4 Bode-ov dijagram sistema za izabrano K  3.6 je dat na slici 42.

Slika 42. Bode-ovi dijagrami za sistem sa slike 41. Sa Bode-ovih dijagrama se očita da je frekvencija m za koju je fazna margina  m  59.19 i iznosi: m  14.8  rad / s  Pojačanje AB potrebno da amplitudni Bode-ov dijagram prođe kroz nulu na frekvenciji 14.8 rad / s se takođe očita na dijagramu i iznosi AB  44.2  dB  .

Ukupno pojačanje kontrolera je: 44.2

K  K o  K AB  K 0 10 20  582 Simulacijom se provjeri da li dizajnirani kontroler zadovoljava tražene specifikacije. Simulacijom odziva sistema na step ulaz dobija se slijedeći rezultat:

Slika 43. Odziv sistema na step ulaz Algoritam dizajna PD regulatora

Opšti oblik prenosne funkcije PD regulatora je: GPD ( s )  K  K d s odnosno u drugačijoj formi: K  GPD ( s )  K   d s  1  K  Td s  1  K  Sada se sistem upravljanja može prikazati u obliku kao na slici 44.

Slika 44. Sistem upravljanja sa PD regulatorom Bode-ovi dijagrami W ( s )  Td s  1 su već ranije konstruisani i prikazani na slici 9. Kao što je poznato, derivativni član unosi pozitivan fazni pomjeraj, prigušujući sistem i čineći ga na taj način stabilnijim.

Analiza uticaja derivativnog člana W ( j )  Td j  1 se može izvršiti konstruisanjem Bodeovih dijagrama procesa G p ( j ) i W ( j ) . Uporedni prikaz dijagrama je dat na slici 45.

Slika 45. Bode-ovi dijagrami G p ( j ) i W ( j ) Može se zaključiti da ako je d  karakteristiku

G p ( j ) W ( j )

1 >> BW procesa tada će uticaj W ( j ) na amplitudsku Td biti zanemariv, odnosno amplitudska karakteristika

G p ( j ) W ( j ) je približno jednaka amplitudskoj karakteristici procesa. Algoritam dizajna PD regulatora u frekventnom domenu se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Iz specifikacija sistema (MPOS i Ts ) odrediti potrebno  m i potrebni propusni opseg sistema BW korištenjem slijedećih formula:

 MPOS  ln 2   2  100%     arctg  m  MPOS  2 2  1  4 4  2  ln 2    100% 

BW 

3  Ts  

1  2   2

4 4  4 2  2

1

, odnosno d  10  BW učestanost za dekadu 10  BW veća od BW , te nacrtati Bodeov dijagram funkcije G1 ( s )  K  (Td s  1)  G ( s ) za proizvoljno (pogodno) izabrano K. 3. Promijeniti pojačanje K za potrebno AB tako da Bode-ov amplitudni dijagram prođe kroz -7 dB u tački   BW . Pojačanje AB se određuje na slijedeći način: AB AB  20  log K  K  log 1 20 4. Odrediti  ms nalaženjem m pri kojoj novodobijena amplitudna karakteristika postiže 0 dB, te je uporediti s potrebnom rezervom  m dobijenom iz specifikacija sistema. 5. Formirati razliku:    m   ms  arctg ( m  Tds ) 2. Izabrati Td takvo da je Td 

Dalje slijedi:

  arctg (m  Tds )   m   ms

Izračunati novo Td : Td 

tg    arctg (m  Td ) 

m

6. Sa određenim K i Td provjeriti analizom Bode-ovih dijagrama da li su specifikacije zadovoljene. Algoritam dizajna PI regulatora

Opšti oblik prenosne funkcije PI regulatora je: GPI ( s )  K p 

Ki s

Obično se koristi slijedeća forma regulatora:

Ki T s 1 K i s s Sada se sistem upravljanja sa PI regulatorom se može prikazati u obliku kao na slici 46. GPI ( s )  K p 

Slika 46. Sistem upravljanja sa PI regulatorom.

U cilju analize uticaja PI regulatora konstruisane su Bode-ove karakteristike člana T j  1 W ( j )  i . j

Slika 47. Bode-ove karakteristike W ( j ) 

Ti j  1 j

Kao što se vidi sa slike 47. postoje NF domen (   i ) i VF domen (   i ). U VF domenu faza je praktično jednaka nuli, a amplituda je konstantna i iznosi 20 log Ti . Cilj je postići što veće pojačanje na niskim frekvencijama. Algoritam dizajna PI regulatora se sastoji od slijedećih koraka: 1. Odrediti pojačanje K (bez člana W ( j ) ) prema algoritmu sinteze P regulatora u cilju postizanja željenog preskoka (koeficijenta prigušenja). 2. Izabrati proizvoljno Ti , obično u granicama 0.5  Ti  2 , (kako bi se obrazovao dipol u s domenu). 3. Korigovati vrijednost K i koja je nađena u koraku 1 za iznos od 20 log Ti jer je dodavanjem člana W ( j ) došlo do podizanja karakteristike. Potrebno je izvršiti korekciju na slijedeći način: 20 log K in  20 log K is  20 log Ti  K is Ti 4. Provjeriti validnost dizajna konstruisanjem Bode-ovih dijagrama datog sistema. K in 

Algoritam dizajna PID regulatora

Opšti oblik prenosne funkcije PID regulatora je: Ki s Za dizajn ovog tipa regulatora se obično koristi slijedeća forma: (T s  1)(Ti s  1) GPID ( s )  K d s Veze između ovih formi su date na slijedeći način: K  Ki GPID ( s )  K P  K d s 

K  (Td  K i )  K p K  Td  Ti  K d Ako se obilježi:

GPD ( s )  K (Td s  1)

Ti s  1 s može se zaključiti da ovaj kontroler predstavlja kaskadno povezane PI i PD kontrolere. Dakle opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom se može predstaviti kao na slijedećoj slici. GPI ( s ) 

Slika 48. Opšta struktura sistema upravljanja sa PID regulatorom Algoritam dizajna PID regulatora se sastoji iz slijedećih koraka: 1. Dizajnirati se PD dio regulator tj. odrediti parametri K i Td prema algoritmu za dizajniranje PD regulatora. 2. Dizajnirati se PI dio regulatora, tj. proizvoljno izabrati parametar Ti ( 0.5  Ti  2 ) i izvršiti korekciju pojačanja prema izrazu: K K in  is Ti 3. Formirati strukturu regulatora u obliku: K (Ti s  1)(Td s  1) GPID ( s )  s 4. Konstruiati se Bode-ovi dijagrami dobijenog sistema i provjeriti da li su zadovoljene tranzijentne specifikacije.

TRAĆI DIO Analiza i sinteza sistema u vremenskom domenu

U opštem slučaju sistem se može predstaviti na neki od slijedećih načina: - U domenu kompleksne promjenljive s pomoću Laplace-ove transformacije - U frekvencijskom domenu ( s  j ) pomoću Fourier-ove transformacije - U vremnskom domenu, pomoću koncepta prostora stanja Koncept prostora stanja

Diferencijalne jenačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema se mogu zapisati na više načina. Standardni način zapisa diferencijalne jednačine je u slijedećoj formi: d n y (t ) f( ,..., y (t ), u (t ), t )  0 dt n Kao što je poznato linearni sistem se može opisati slijdedećom diferencijalnom jednačinom: d n y (t ) d n 1 y (t ) d mu (t )        b0u (t ) an a a y ( t ) b n 1 m 0 dt n dt n 1 dt m Prethodna diferencijalna jednačina se može zapisati i slijedećoj (tzv. normalnoj) formi: dx1  f1 ( x1 ,..., xn , u, t ) dt dx2  f 2 ( x1 ,..., xn , u, t ) dt  dxn  f n ( x1 ,..., xn , u, t ) dt y (t )  g ( x1 ,..., xn , u , t ) gdje su: u (t ) - ulaz sistema y (t ) - izlaz sistema x   x1  xn 

T

- vektor stanja sistema tj. minimalni skup međusobno nezavisnih

koordinata xi (i  1, 2,...n) koje jednoznačno opisuju stanje sistema. Dakle prethodni sistem jednačina se može zapisati u vektorskoj formi: x  f ( x , u, t ) gdje su: x - vektor stanja sistema f   f1 ,..., f n  - vektor funkcija T

Ovakav zapis sistema omogućava slijedeće koristi: 1. Rješavanje sistema je daleko jednostavnije (lakše je riješiti n jednačina prvog reda nego jednu jednačinu n-tog reda) 2. Model u prostoru stanja jednostavno opisuje kako linearne tako i nelinearne sistema i multivarijabilne sisteme 3. Teorija optimalnog upravljanja sistema zahtijeva matematički model sistema u prostoru stanja

Matrični modeli linearnih vremenski stacionarnih sistema

Linearni sistem se može opisati slijedećim sistemom jednačina: dx1  a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1u dt dx2  a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2u dt  dxn  an1 x1  an 2 x2    ann xn  bnu dt y  c1 x1   cn xn  D  u Prethodni sistem se može zapisati u slijedećoj matričnoj formi:  x1   a11 a12  a1n   x1   b1   x   a       2    21 a22  a2 n    x2   b2   u                    xn   an1 an 2  ann   xn  bn   x1  x  y   c1 c2  cn   2    d   u     xn  ili u kraćoj formi: x  Ax  B  u y  Cx  D  u uz početne uslove: x (0)  x (0) gdje su:  An x n - matrica sistema

 B n x1 - vektor ulaza sistema C 1x n - vektor izlaza sistema  D 1x1 - vektor ulaz-izlaz sistema Svali linearni sistem je jednoznačno određen s matricama A, B, C i d . Rješavanje diferencijalnih jednačina u prostoru stanja

Diferencijalne jednačine se u opštem slučaju mogu riješavati klasičnim putem ili primjenom neke pogodne transformacije kao što je Laplace-ova transformacija. Difrencijalnu jednačinu: x  ax je moguće riješiti razdvajanjem promjenljivih: dx dx  ax   adt dt x

Rješnje jednačine se dobija jednostavnom integracijom: x  Ce at pri čemu se konstanta C određuje iz početnog uslova: x(0)  x0 , pa se konačno dobija: x(t )  x0 e at Analogno se može riješiti slijedeća diferencijalna jednačina: x  Ax uz početne uslove x (0)  x0 . Sa  (t ) je obilježena matrica e At . Matrica  (t ) se definiše na slijedeći način: 

( At ) n ( At ) 2  (t )  e    I  At   2! n! n 0 gdje je sa I označena jedinična matrica. Prema tome rješenje diferencijalne jednačine x  Ax se dobija u slijedećem obliku: x(t )   (t ) x(0) Matrica  (t ) se naziva matrica prelaza stanja. At

Sistem linearnih diferencijalnih jednačina: x  Ax  B  u y  Cx  d  u u opštem slučaju može biti riješen na dva načina: 1. Direktno rješavanje metodom varijacije konstanti 2. Rješavanje Laplace-ovom transformacijom. Primjenom metode varijacije konstanti dobija se slijedeće: x  Ax , x(0)  x0 odavde slijedi rješenje homogenog dijela: x(t )  x(0)e At   (t ) x(0) Konačno rješenje se može dobiti kao zbir homogenog i partikularnog rješenja: t

x(t )   (t ) x0    (t   ) Bu ( )d 0

t

homogeni dio  (t ) x0 predstavlja uticaj početnih uslova, a partikularni dio   (t   ) Bu ( )d 0

predstavlja prinudni režim. x(t ) predstavlja vektor varijabli stanja. Primjenom Laplace-ove transformacije na sistem: x  Ax  B  u y  Cx  d  u dobija se slijedeće:

sX ( s )  x0  AX ( s )  BU ( s ) 

( sI  A) X ( s )  x0  BU ( s )  X ( s )  ( sI  A) 1 x0  ( sI  A) 1 BU ( s )

gdje je: ( sI  A) 1 

1 adj ( sI  A)   ( s ) det( sI  A)

Prema tome, dalje se može pisati: X ( s )   ( s) x0  ( s) BU ( s ) gdje  ( s )  ( sI  A) 1 predstavlja Laplace-ovu sliku matrice prelaza stanja. Vektor varijabli stanja u vremenskom domenu se dobija nalaženjem inverzne Laplace-ove transformacije od X ( s ) : x(t )  L-1 { X ( s )} Odziv sistema se određuje iz izraza: y (t )  Cx(t )  Du (t ) primjenom Laplace-ove transformacije dobija se : Y ( s)  CX ( s)  DU ( s) S obzirom da je: X ( s )   ( s) x0  ( s) BU ( s ) Y ( s) : za nulte početne uslove: x0  0 može se odrediti prenosna funkcija sistema U ( s) Y ( s) CX ( s)  DU ( s )   C( s) B  D G ( s)  U ( s) U ( s) Primjer: Naći matricu prelaza stanja datog u prostoru stanja sa:  x1  0 3  x1   x    1 2    x    2  2  uz početne uslove: 1 x0    1 Matrica prelaza stanje se dobija na slijedeći način:  (t )  L-1 { ( s )} gdje se  ( s ) računa kao: 2  s3  2 2  s  3s  2 s  3s  2   ( s )  ( sI  A) 1    s 1    s 2  3s  2 s 2  3s  2  Odavde je:  2e t  e 2t 2e t  2e 2t   (t )   t 2t  e t  2e 2t   e e Vektor stanja sistema nije jednoznačan, što je posljedica činjenice da postoji beskonačno mnogo načina na koje se sistem može predstaviti. Neka je sistem dat predstavom u prostoru stanja: x  Ax  Bu y  Cx  Du uz vektor počentnih uslova: x(0)  x0 Smjenom x  Txˆ , gdje je T neka regularna matrica dobija se:

Txˆ  ATxˆ  Bu y  CTxˆ  Du

S obzirom da vrijedi: x  Txˆ  xˆ  T 1 x prethodni sistem se možezapisati u slijedećem obliku: xˆ  T 1 ATxˆ  T 1 Bu , xˆ (0)  T 1 x(0) y  CTxˆ  Du odnosno: ˆ ˆ  Bu ˆ xˆ  Ax ˆ ˆ  Du ˆ y  Cx gdje se transformacije: Aˆ  T 1 AT Bˆ  T 1 B Cˆ  CT Dˆ  D nazivaju transformacije sličnosti. Ove transformacije mogu poslužiti za dovođnje sistema u prostiju formu za svrhe analize. Jedna od mogućih je dijagonalna forma:  1  0  Aˆ       0  n  n x n Homogeni dio tada prelazi u slijedeći oblik:  xˆ1  1 0  0   xˆ1         xˆ2   0 2  0   xˆ2                   xˆ   0 0  n   xˆn   n odnosno u sistem jednačina: xˆ1  1 xˆ1

 xˆn  n xˆn Na osnovu prethodne analize može se zaključiti da se pomoću dijaginalne matrice sistem reda n transformiše u n diferencijalnih jednačina prvog reda. Matrica A se može prevesti u dijagonalnu formu transformacijom sličnosti ako ima jednostruke realne svojstvene vrijednosti ili ako je simetrična. Načini dobijanja modela u prostoru stanja

a) Dobijanje modela u prostoru stanja direktno iz obične diferencijalne jednačine sistema i) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: y ( n ) (t )  an 1 y ( n 1) (t )    a0 y (t )  u (t )

predstava u prostoru stanja se dobija uvođenjem slijedećih smjena: x1 (t )  y (t ) x2 (t ) 

dy (t )  x1 (t ) dt

 d n 1 y (t )  xn 1 dt n 1 d n y (t )   a0 x1 (t )  a1 x2 (t )    an 1 xn (t )  u (t ) xn (t )  dt n Ovaj sistem se može predstaviti u slijedećoj matričnoj formi: 1 0  0   x1  0   x1   0  x   0 0 1  0   x2  0   2       u                       xn    a0  a1 a2   an 1   xn  1  xn (t ) 

 x1  x  y  1 0  0  2    0  u     xn 

Odgovarajuće matrice su: 1 0  0  0 0 1 A        a0  a1 a2 C  1 0  0 ,

0 0   ,      an 1 



0 0 B      1  D   0

Primjer: Za datu diferencijalnu jednačinu naći model u prostoru stanja. d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t )  4  2 y (t )  u (t ) 3 3 2 dt dt dt Slijedećim smjenama: x1  y x2  x1  y x3  x2   y x3   y dobija se matrični model sistema u prostoru stanja: 1 0   x1  0   x1   0  x    0 0 1   x2   0   u  2   x3   2 4 3  x3  1   x1  y  1 0 0   x2   x3 

ii) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: y ( n ) (t )  an 1 y ( n 1) (t )    a0 y (t )  u (t )  b1u(t )    bm u ( m ) (t ) ( n  m ) predstava u prostoru stanja se dobija na korištenjem principa superpozicije svojsvenog linearnim sistemima. Posmatra se diferencijalna jednačina:  ( n ) (t )  an 1 ( n 1) (t )    a0 (t )  u (t ) Na osnovu prethodnih razmatranja (slučaj i)) dobija se slijedeća matrična predstava u prostoru stanja: 1 0  0   x1  0   x1   0  x   0 0 1  0   x2  0   2       u                       xn    a0  a1 a2   an 1   xn  1  pri čemu su varijable stanja izabrane na uobičajen način: x1 (t )   (t ) x2 (t )  x1 (t )   (t )  xm (t )  xm 1 (t )   ( m 1) (t ) xm 1 (t )  xm (t )   ( m ) (t )  xn (t )  xn 1 (t )   ( n 1) (t ) Za linearni sistem vrijedi princip superpozicije: L(a  u1 (t )  b  u2 (t ))  a  L(u1 (t ))  b  L(u2 (t )) Prema tome, izlaz sistema se može pisati u obliku: y (t )  b0 (t )  b1 (t )    bm ( m ) (t ) zamjenom derivacija w(t ) sa izabranim varijablama stanja dobija se: y (t )  b0 x1 (t )  b1 x2 (t )   bm xm 1 (t ) odnosno u matričnoj formi:  x1       xm 1  y (t )  b0  bm 0  0    xm  2       xn  Primjer: Za datu diferencijalnu jednačinu napisati model u prostoru stanja:  y (t )   y (t )  y (t )  6 y (t )  3u (t )  4u (t ) Zadata diferencijalna jednačina se može, prema prethodnom razmatranju, zamijeniti slijedećim jednačinama: (t )  (t )  (t )  6 (t )  u (t ) 4(t )  3 (t )  y (t )

Promjenljive stanja se biraju na slijedeći način:

x1 (t )   (t ) x2 (t )  x1 (t )  (t ) x (t )  x (t )  (t ) 3

2

Odavde je: x3 (t )  (t )  u (t )  x3  x2  6 x1 Matrični model sistema u prostoru stanja je:  x1   0 1 0   x1  0   x    0 0 1  x   0  u  2   2    x3   6 1 1  x3   1  x1  y  3 4 0  x2   x3 

iii) Za sistem opisan slijedećom diferencijalnom jednačinom: y ( n ) (t )  an 1 y ( n 1) (t )    a0 y (t )  u (t )  b1u(t )    bnu ( n ) (t ) analogno, kao u prethodnom slučaju data diferencijalna jednačina se može zamijeniti slijedećim jednačinama:  ( n ) (t )  an 1 ( n 1) (t )    a0 (t )  u (t ) bn ( n ) (t )  bn 1 ( n 1) (t )   b0 (t )  y (t ) Uvođenjem promjenljivih stanja: x1 (t )   (t ) x (t )  x (t )  (t ) 2

1

 xn (t )  xn 1 (t )   ( n 1) (t ) odavde može se pisati: xn (t )  u (t )  a0 x1 (t )    an 1 xn (t )

y  b0 x1    bn 1 xn  bn xn  b0 x1    bn 1 xn  bn u (t )  a0 x1    an 1 xn 

sređivanjem, za odziv sistema se dobija: y (t )  (b0  bn a0 ) x1 (t )    (bn 1  bn an 1 ) xn (t )  bnu (t ) Sada se sistem može zapisati u matričnoj formi: 1 0  0   x1  0   x1   0  x   0 0 1  0   x2  0   2       u                      xn    a0  a1 a2   an 1   xn   1  x1  x  y   (b0  bn a0 ) (b1  bn a1 )  (bn 1  bn an 1 )   2   bn   u      xn  U opštem slučaju nelinearna diferencijalna jednačina oblika: f ( y ( n ) ,..., y, u, t )  0

može biti prevedena u prostor stanja ako se može eksplicitno riješiti po najvišem izvodu tj. ako se može prevesti u slijedeći oblik: y ( n )  g ( y ( n 1) ,..., u , t ) Odavde trivijalne smjene: x1 (t )  y (t ) x2 (t )  x1 (t )  y (t )  xn (t )  xn 1 (t )  y n 1 (t ) prevode sistem u prostor stanja. b) Dobijanje modela sistema u prostoru stanja iz simulacionih dijagrama Simulacijom dinamičkih sistema dobija se rješenje sistema diferencijalnih jednačina korištenjem računarskih mašina koje mogu biti analogne ili digitalne. Osnovni simulacioni elementi su: - Integrator - Sumator - Pojačavač - Nelinearni element (histereza i sl.) U simulacionim dijagramima se koriste slijedeći grafički simboli: Simbol

Jednačina

Naziv

y (t )   x(t )dt

Integrator

n

y   xi

Sumator

y  Kx

Pojačalo

i 1

Dobijanje modela iz simulacionih dijagrama može biti izvršeno na više načina: - Serijsko programiranje funkcije prenosa - Paralelno programiranje funkcije prenosa - Direktno programiranje funkcije prenosa Neka je prenosna funkcija sistema u s domenu data na slijedeći način: Y ( s) Q(s) G ( s)   U ( s) P( s) Različiti načini programiranja funkcije prenosa koriste različite forme predstavljanja prenosne funkcije.

Serijsko programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: Q( s) K G ( s)   P( s ) ( s  s1 ) ( s  si ) ( s  sn ) pri čemu se pretpostavlju realni polovi. Prenosna funkcija sistema se može zapisati u obliku: K 1 1 G ( s)    ( s  s1 ) ( s  si ) ( s  sn ) X ( s) 1  se može prikazati simulacionim dijagramom na slijedeći način: Element U ( s ) s  si X ( s) 1   ( s  si ) x( s )  U ( s )  x (t )  si x(t )  u (t ) U ( s ) s  si odavde se dobija: x (t )  si x(t )  u (t ) Koristeći standardne grafičke simbole posljednji izraz se može grafički predstaviti:

1 s  si Kompletan simulacioni dijagram predstavlja kaskadnu vezu ovakvih elemenata: Slika 1. Grafička predstava elementa

K ( s  s1 ) ( s  sn ) Ako se kao koordinate stanja izaberu izlazi integratora iz simulacionog dijagrama dolazi se do modela sistema u prostoru stanja:  x1   s1 1 0  0   x1   0   x   0 s 1  0   x   0  2  2    2   K                         xn   0 0 0  sn   xn   K  Slika 2. Kompletan simulacioni dijagram sistema G ( s ) 

 x1  x  y  1 0  0   2    0  u     xn 

Paralelno programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: n K Q( s) Q( s) G(s)    i P( s ) ( s  s1 ) ( s  sn ) i 1 s  si Paralelna forma koristi Heaviside-ov razvoj prenosne funkcije u parcijalne razlomke. Kompletan simulacioni dijagram se dobija paralelnim vezivanjem pojedinih simulacionih elementa.

n

Slika 3. Kompletan simulacioni dijagram sistema G ( s )   i 1

Izborom koordinata stanja kao izlaza integratora dobija se: x1  s1 x1  u  xn  sn xn  u ili u matričnoj formi:

y  K1 x1  K 2 x2    K n xn  x1   s1 0  0   x1  1  x   0 s  0   x  1 2  2      2     u                      xn   0 0  sn   xn  1

Ki s  si

 x1  x  y   K1 K 2  K n    2      xn  ovakva forma modela u prostoru stanja (matrica A dijagonalna) naziva se modalna kanonska forma sistema i najjednostavnija je moguća za analizu sistema. Dijagonalna matrica se može dobiti jedino ako prenosna funkcija sistema G ( s) ima sve jednostruke realne polove.

Direktno programiranje funkcije prenosa koristi slijedeću formu: Y ( s ) bm s m  bm 1s m 1    b0 G ( s)   n U ( s) s  an 1s n 1    a0 Prenosna funkcija se može transformisati na slijedeći način: 1 Y ( s ) Y ( s ) V ( s) Y ( s ) V ( s ) bm s m    b0 G ( s)        n 1 U ( s) U ( s) V ( s) V ( s) U ( s) s    a0 Odavde je: ( s n  an 1s n 1    a0 )V ( s )  U ( s ) (bm s m  bm 1s m 1    b0 )V ( s )  Y ( s )

ili u vremenskom domenu: v ( n ) (t )  an 1v ( n 1) (t )    a0 v(t )  u (t )

bm v ( m ) (t )  bm 1v ( m 1) (t )    b0 v(t )  y (t ) Kompletan simulacioni dijagram sistema G ( s ) direktnog programiranja funkcije prenosa za najopštiji slučaj (n  m) je dat na slici 4.

Slika 4. Simulacioni dijagram direktnog programiranja prenosne funkcije Ako se kao promjenljive stanja izaberu izlazi integratora dobije se slijedeći model:

1 0  x1   0  x   0 0 1  2            xn    a0  a1 a2

0   x1  0  0   x2  0       u                an   xn  1   x1  x  y   (b0  bn a0 ) (b1  bn a1 )  (bn 1  bn an 1 )   2   bn   u     xn  Ovakva forma matrice A se naziva kontrolabilna kanonska forma. 

Analiza stabilnosti dinamičkih sistema u prostoru stanja

Analiza stabilnosti sistema u prostoru stanja se provodi za sistem bez ulaznog pobudnog signala, tj. samo uz dejstvo početnih slova Već ranije je pokazano da je rješenje diferencijalne jednačine: x  Ax uz početne uslove: x(0)  x0 dato preko matrice prelaza stanja: x(t )   (t )  x0  e At  x0 Za linearni vremensko invarijantni (LVI) sistem se uvode slijedeće definicije: a) LVI sistem dat u prostoru stanja jednačinom x  Ax uz početne uslove x(0)  x0 se kaže da je asimptotski stabilan ako za moduo vektora stanja vrijedi: lim x(t )  0 t 

Ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 5.

Slika 5. Asimptotski stabilan sistem

b) Za sistem se kaže da je marginalno stabilan ako je: lim x(t )  M   t 

ovaj slučaj je grafički predstavljen na slici 6.

Slika 6. Marginalno stabilan sistem c) Sistem je nestabilan ako je: lim x(t )  M   t 

Slika 7. Nestabilan sistem S obzirom da je x(t )   (t )  x0 to se može zaključiti da stabilnost određuje matrica prelaza stanja  (t )  e At  L-1 {( sI  A) 1} .

Laplace-ova transformacija matrice prelaza stanja je: 1 adj ( sI  A)  ( s )  ( sI  A) 1  det( sI  A) odnosno u opštem obliku:  G11 ( s )  G1n ( s )  1   ( s)     det( sI  A)  Gn1 ( s )  Gnn ( s )  Analizirajući ( s ) može se pisati: X ( s )   ( s ) x0  G11 ( s )  G1n ( s )   X 10  1         X (s)   det( sI  A) Gn1 ( s )  Gnn ( s )   X n 0  n 1 X i ( s )   Gij ( s ) X i 0 det( sI  A) j 1

xi (t )  L-1

 X i ( s)

Jednačina:

Ax   x definiše sopstvene vektore i sopstvene vrijednosti matrice A. Dalje se može pisati: Ax   x  0

x( A  I  )  0 det( A   I )  0 Izraz det( sI  A) predstavlja polinom n-tog reda. Sada se dobija: n

X i ( s) 

 G ( s) X j 1

ij

i0

( s  1 )( s  2 ) ( s  i ) gdje su sa i ( i  1, 2,...n ) obilježene sopstvene vrijednosti matrice A. Na osnovu prethodnog izlaganja prenosna funkcija sistema se može dobiti u obliku: Q( s) Q( s) G(s)   P( s ) ( s  s1 )( s  s2 ) ( s  sn ) Prema tome, polovi prenosne funkcije predstavljaju sopstvene vrijednosti matrice A. Za sistem zadat u prostoru stanja: x  Ax  Bu y  Cx prenosna funkcija se može odrediti na slijedeći način: Y ( s)  C  ( sI  A) 1  B  U ( s) C  adj ( sI  A)  B G ( s)  det( sI  A) Za koordinate stanje se može pisati: xi (t )   Ci  ei t

Odavde se može zaključiti slijedeće: lim x(t )  lim t 

t 

x

lim x(t )   ; t 

lim x(t )  M ; t 

i

2

 0;

za svako i  0 ako je bilo koji i >0

ako je neki k  0 , a svi ostali manji od 0

Na osnovu ovoga vrijedi: a) Sistem dat u prostoru stanja sa x  Ax je asimptotski stabilan ako sve sopstvene vrijednosti matrice A imaju negativne realne dijelove (lijeva poluravan s ravni). b) Sistem je marginalno stabilan ako matrica A ima jednostruke sopstvene vrijednosti s nultim realnim dijelom, a sve ostale imaju negativan realni dio. c) Sistem je nestabilan ako ima bar jednu pozitivnu sopstvenu vrijednost ili višestruke sopstvene vrijednosti sa nultim realnim dijelom. Kontrolabilnost i opservabilnost sistema

Neka je sistem dat u prostoru stanja: x  Ax  Bu x(0)  x0 y  Cx Kontrolabilnost govori da li je uopšte moguće upravljati nekim sistemom. Za svaki sistem dat u prostoru stanja se kaže da je kontrolabilan ako ga je iz bilo kojeg početnog stanja x(0)  x0 mogućeo prevesti u bilo koje drugo krajnje stanje x f (t0 ) za konačno t0 .

Slika 8. Kontrolabilnost sistema Linearni vremensko invarijantni sistem (SISO) je kotrolabilan ako matrica kontrolabilnosti C: C   B AB A2 B  An 1 B  ima rang n. Za kvadaratnu matricu uslov rangC  n je ekvivalentan uslovu det C  0 (regularna matrica).

Opservabilnost sistema pokušava odgovoriti na pitanje da li je moguće na bazi mjerenja izlaza sistema y (t ) rekonstruisati kompletan vektor stanja x . Za sistem dat u prostoru stanja može se pisati: y (0)  C  x(0) dy (0)  C  x '(0)  C  A  x(0) dt d 2 y (0) d 2 ( x(0)) C   CA2 x(0) 2 2 dt dt 

Ili u matričnoj formi:

d n 1 y (0) d n 1 ( x(0))   CAn 1 x(0) n 1 n 1 dt dt

 y (0)   dy (0)     C   x1 (0)   dt   CA   x (0)   d 2 y (0)     2  2       x3 (0)   CA 2   dt               n 1  CAn 1   xn (0)   d y (0)   dt n 1  T

Matrica O  C CA CA2  CAn 1  se naziva matrica opservabilnosti. Sistem je opservabilan ako matrica O ima rang n. Za SISO sistem ovaj uslov je ekvivalentan uslovu det O  0 . Stabilnost Lyapunov-a

Prema teoremi Lyapunov-a moguće je ispitati stabilnost sistema ako se može naći funkcija V(x) takva da je V(x)>0 i V(0)=0 i ako je moguće pokazati da je: dV ( x) V dx  0 x dt dt tada je sistem asimptotski stabilan. Na slici 9. je prikazano kretanje sistema u prostoru stanja u slučaju stabilnog sistema:

Slika 9. Asimptotski stabilan sistem

Vidi se da je nakon nekog vremena vektor stanja sigurno u koordinatnom početku. Ako se za sistem x  Ax formira funkcija V ( x)  x T  p  x (u nastavku vektor x se obilježava sa x ) tada je: dV V dx   x T px  xT px  AT xT px  xT pAx  xT ( AT px  pAx)  xT ( AT p  pA) x dt x dt gdje je p  pT  0 simetrična i pozitivno definitna matrica. Prema tome, da bi bio ispunjen uslov stabilnosti: dV ( x) 0 dt slijedi da matrica: AT p  pA  Q mora biti negativno definitna, odnosno matrica Q mora biti pozitivno definitna. Teorem stabilnosti se može formulisati i na slijedeći način: LVI sistem x  Ax je asimptotski stabilan ako za bilo koju simetričnu i pozitivno definitnu matricu Q (Q  QT  0) postoji jedinstveno rješenje jednačine AT p  pA  Q po p , tako da je p  pT  0 Sinteza upravljanja u prostoru stanja

Općenito problem sinteze upravljanja u prostoru stanja se klasificira u dva problema. a) tzv. problem regulatora, b) servo-problem / problem praćenja Problem regulatora Za sistem dat u prostoru stanja: x  Ax  Bu x(0)  x0 y  Cx Problem regulatora se formuliše kao: Potrebno je naći upravljanje u  f ( x) odnosno upravljanje u funkciji vektora stanja koje na željeni način karakteriše poremećaj tipa početnih uslova.

Izabere se najjednostavnije moguće upravljanje u formi linearne kombinacije vektora stanja: u  k  x odnosno u razvijenoj formi:  x1  T U   k1 x1  k2 x2    kn xn    k1  kn        k  x  xn  gdje je: T

k - vektor pojačanja dimenzija 1xn x - vektor koordinata stanja dimenzija nx1 Sada se može pisati:

x  Ax  Bu u   kx x  Ax  Bkx  x  ( A  Bk ) x

Dinamika sistema je sada određena matricom . Ovo je regulator sa postavljanjem polova, jer se pomoću vektora k može postaviti svaki pol sistema. Neka je sistem dat u kontrolabilnoj formi: 1 0  0   x1   0   x1   0  x   0 0 1  0   x2   0   2     u                     x    a0 a1  a2   an 1   xn  1  y  Cx Prenosna funkcija sistema je: Q( s ) G ( s)  n s  an 1s n 1  a0 a karakteristični polinom sistema:  ( s )  s n  an 1s n 1  a0 Upravljanje u   k  x u stvari predstavlja povratnu spregu pomoću koje se svi polovi smještaju na željene lokacije: Pd ( s )  ( s  1 )( s  2 ) ( s  i )  s n  an 1s n 1   a0 gdje su i (i  1, 2,...n) željeni polovi. Dalje je:  x1   0  x   0  2          x    a0

1

0

0

1

  a1

  a2

0   x1  0   x1   0   x2  0       k1  kn     (1)              xn    an 1   xn  1  

0 1 0 0    x1   x1    x   x    0 0 1 0  2  2                  x   (a0  k1 ) (a1  k2 ) (a2  k3 )  (an 1  kn )   xn 

Karakteristična polinom ovog sistema je: Pf ( s )  s n  (an 1  kn ) s n 1   (a0  k1 ) a željeni karakteristični polinom je: Pd ( s )  ( s  1 )( s  2 ) ( s  i )  s n  and1s n 1   a0d Izjednačavanjem koeficijenata se dobija: and1  an 1  kn

 a0d  a0  k1 Konačno se dobija:

kn  and1  an 1  k1  a0d  a0

Ovo je tzv. pole placement regulator i prikazan je na slici 10.

Slika 10. Pole placement regulator Vektor pojačanja k se može odrediti pomoću tzv. Ackermann-ove formule: k   0 0  1  pc1  q ( A) gdje je:

pc   B AB  An 1 B  - matrica kontrolabilnosti q ( A)  An  and1 An 1    a0d I - matrični polinom Problem praćenja

Za sistem dat u prostoru stanja: x  Ax  Bu x(0)  x0 y  Cx Problem praćenja se formuliše kao: Izvršiti sintezu regulatora u prostoru stanja tako da sistem prati referentnu ulaznu vrijednost sa nultom greškom u stacionarnom stanju i željenim tranzijentnim odzivom. Ako se želi da sistem prati referentni signal r (t )  const. tada se uvode pomoćne jednačine: ery e  0  y   y  Cx Sada se jednačine sistema u prostoru stanja mogu pisati kao:  x  Ax  Bu e  Cx uvođenjem novih promjenljivih z i w kao: z  x w  u sistem jednačina dobija novi oblik: z  Az  Bw e  Cz ili u matričnoj formi:  e   0 C   e   0   z    0 A   z    B  w        Ako je sistem kontrolabilan, tada se prema prethodnom postupku može odrediti upravljanje: w   k1  e  k T  z koje će obezbijediti asimptotsko praćenje referentnog ulaza sa nultom greškom u ustaljenom stanju.

Observeri (estimatori) stanja

Iz prethodnog izlaganja se vidi da je za sintezu regulatora potrebno poznavati koordinate stanja. Međutim, u praksi nisu sve varijable stanja uvijek dostupne ili se ne mogu mjeriti, pa ih je potrebno na neki način odrediti. Koordinate stanja je moguće odrediti (približno) ako je sistem opservabilan. Neka je sistem dat u prostoru stanja: x (t )  Ax(t )  Bu (t ) x(0)  x0 y (t )  Cx(t ) Ako se procjena koordinata stanja označi sa xˆ , jednačina estimatora stanja je: xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu (t )  k ( y (t )  yˆ (t )) yˆ (t )  Cxˆ (t ) Ako se greška procjene definiše kao: e(t )  x(t )  xˆ (t ) odavde je: e(t )  x (t )  xˆ (t ) zamjenama: x (t )  Ax(t )  Bu (t ) i xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu (t )  k ( y (t )  yˆ (t )) u prethodnoj jednačini i sređivanjem dobija se:

e(t )  x (t )  xˆ (t )  Ae(t )  kCe(t )  e(t )  ( A  k  C )  e(t ) Problem sinteze observatora je u određivanju takvog vektora k da greška što brže konvergira nuli. Ako se uzme: D  A  kC  DT  AT  C T k T problem se svodi na problem sinteze regulatora, pa se može primijeniti Ackermann-ova formula za određivanje vektora k T k T   0 0  1 pc1q ( A) gdje je:

pc  C T AT C T  ( AT ) n 1 C T  - matrica opservabilnosti q( A)  ( AT ) n  an 1 ( AT ) n 1  a0 I - matrični polinom ai ( i  1,..., n  1 ) – koeficijenti karakterističnog polinoma za željene lokacije polova