Automatsko Upravljanje

VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA U BJELOVARU STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE

Automatsko upravljanje Zoran Vrhovski, mag.ing.eit.

Bjelovar, ožujak 2011.

ii

Sadržaj Popis slika

v

1 Uvod

1

2 Osnovni pojmovi

5

2.1

Dinamički sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Klasifikacija sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1

Linearni i nelinearni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.2

Vremenski nepromjenjivi i vremenski promjenjivi sustavi . . . .

12

2.2.3

Kontinuirani i diskretni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.4

Deterministički, nedeterministički i stohastički sustavi . . . . . .

14

2.2.5

Sustavi s koncentriranim parametrima i sustavi s raspodjeljenim parametrima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Sustavi s jednim ulazom i jednim izlazom (SISO) i sustavi s više ulaza i više izlaza (MIMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.7

Sustavi s memorijom i sustavi bez memorije . . . . . . . . . . .

18

2.2.8

Kauzalni i nekauzalni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.6

3 Matematički modeli kontinuiranih sustava

23

3.1

Opis sustava diferencijalnim jednadžbama . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.2

Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni . . . . . . .

31

3.2.1

Laplaceova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.2

Inverzna laplaceova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Opis sustava varijablama stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3

4 Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

45

4.1

Odziv sustava s obzirom na položaj polova . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2

Proporcionalni član nultog reda (P0 član) . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.3

Proporcionalni član prvog reda (PT1 član) . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.4

Proporcionalni član drugog reda (PT2 član) . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.5

Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

iv

SADRŽAJ 4.6

Derivacijski član (D član) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.6.1

Realni derivacijski član (DT1 član) . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.7

Integralni član . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.8

Član s transportnim kašnjenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5 Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

65

5.1

Nyquistov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.2

Bodeov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.3

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana nultog reda (P0 član) . . . .

79

5.3.1

Nyquistov dijagram P0 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.3.2

Bodeov dijagram P0 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana prvog reda (PT1 član) . . . .

80

5.4.1

Nyquistov dijagram PT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.4.2

Bodeov dijagram PT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda (PT2 član) . . .

82

5.5.1

Nyquistov dijagram PT2 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.5.2

Bodeov dijagram PT2 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.6.1

Nyquistov dijagram PT2S člana . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.6.2

Bodeov dijagram PT2S člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Frekvencijski odziv derivacijskog člana (D član) . . . . . . . . . . . . .

90

5.7.1

Nyquistov dijagram D člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.7.2

Nyquistov dijagram DT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.7.3

Bodeov dijagram D člana

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.7.4

Bodeov dijagram DT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Frekvencijski odziv integralnog člana (I član) . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.8.1

Nyquistov dijagram I člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.8.2

Bodeov dijagram I člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Frekvencijski odziv člana s transportnim kašnjajnem . . . . . . . . . . .

95

5.9.1

Nyquistov dijagram člana s transportnim kašnjajnem . . . . . .

95

5.9.2

Bodeov dijagram člana s transportnim kašnjajnem . . . . . . . .

95

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6 Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja

97

6.1

Blok dijagrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2

Algebra blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.2.1

Serijsko povezivanje blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.2.2

Paralelno povezivanje blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.2.3

Povratna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.4

Provlačenje sumacijske točke kroz blok . . . . . . . . . . . . . . 101

SADRŽAJ

v

6.2.5

Provlačenje točke odvajanje kroz blok . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.6

Primjena algebre blokova na primjerima sustava automatskog upravljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 DODATAK 7.1

Laplaceova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1.1

7.2

7.3

107

Tablica Laplaceove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Z transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2.1

Tablica Z transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2.2

Tablica Laplaceove i Z transformacija (parovi) . . . . . . . . . . 114

Primjena M atlab&SIMULINK-a u analizi sustava automatskog upravljanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.3.1

Realizacija pojedinog matematičkog opisa sustava u Matlab SIMULINK - u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Bibliografija

122

Indeks

125

vi

SADRŽAJ

Popis slika 2.1

Sustav kao događaj koji izaziva promijenu stanja . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Primjer tehničkog sustava (automobilska industrija [2]) . . . . . . . . .

6

2.3

Primjer tehničkog sustava (punionica pive [3]) . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Primjer tehničkog sustava (valjaonica lima [4]) . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Primjer biološkog sustava (struktura tipičnog neurona [5]) . . . . . . .

7

2.6

Primjer informacijskog sustava [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.7

Primjer linearnog odziva sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.8

Primjer nelinearnog odziva sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.9

Sustava skladištenja tekućine

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.10 Sustav s vremenski nepromjenjivim parametrima (RLC krug) . . . . . .

12

2.11 Sustav s vremenski promjenjivim parametrima (m(t) je promjeniv . . .

12

2.12 Odziv sustava s nepromjenjivim i promjenivim parametrima . . . . . .

13

2.13 Odziv kontinuiranog i diskretnog regulatora . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.14 Generator slučajnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.15 Zavojnica s koncentriranim parametrom L (induktivitet) . . . . . . . .

16

2.16 Zavojnica s raspodijeljenim parametrima L i RL . . . . . . . . . . . . .

16

2.17 Sustav s jednim ulazom i jednim izlazom . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.18 Električni krug s idealnim operacijskim pojačalom . . . . . . . . . . . .

17

2.19 Sustav s više ulaza i više izlaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.20 Balon tipa Zeppelin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.21 Sustav miješanja dviju tekućina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.22 Odziv sustava s memorijom (sustav mijesanja tekućina) . . . . . . . . .

19

2.23 Otpornički električni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.24 Odziv sustava bez memorijom (otpornik 8 Ω)

. . . . . . . . . . . . . .

20

2.25 Kauzalni sustav - RC filtar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.26 Odziv kauzalnog sustava (RC filtar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.27 Odziv nekauzalnog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1

Vremenske pobude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

RC filtar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3

RLC krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

viii

POPIS SLIKA

3.4

Rotacijski sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.5

Torzija vratila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.6

Shematski prikaz riješenja diferencijalne jednadžbe

. . . . . . . . . . .

31

3.7

Odziv RC filtra na skokovitu pobudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.8

RC filtar: vremenska i Laplaceova domena . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.9

Odziv RLC kruga na skokovitu pobudu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.10 RLC krug: vremenska i Laplaceova domena . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.11 Opis sustava varijablama stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.12 Varijable u prostoru stanja (RLC krug) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.1

Polovi u s - ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.2

Aperiodski odziv sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.3

Oscilatorni odziv sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.4

Prigušeni i raspirujući oscilatorni odziv sustava . . . . . . . . . . . . .

47

4.5

Praktični primjeri P0 članova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.6

Prijelazna funkcija P0 člana s pojačanjem km = 2.12

. . . . . . . . . .

48

4.7

Praktični primjeri PT1 članova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.8

Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT1 člana . . .

50

4.9

Praktični primjeri PT2 članova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.10 Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT2 člana . . .

52

4.11 Praktični primjeri PT2S članova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.12 Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT2S člana . .

55

4.13 Pokazatelji kvalitete

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.14 Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT2S člana s neprigušenim oscilacijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.15 Praktični primjeri D članova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.16 Prijelazna funkcija i odziv na rampu D člana . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.17 Praktični primjeri realnih derivatora (DT1 članovi) . . . . . . . . . . .

60

4.18 Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu DT1 člana . . .

60

4.19 Praktični primjeri I članova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.20 Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu I člana . . . . .

62

4.21 Praktični primjer člana s transportnim kašnjenjem . . . . . . . . . . . .

63

4.22 Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu člana s transportnim kašnjenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.1

Izlazni signal sustava G(s) uz neprigušenu oscilatornu pobudu . . . . .

67

5.2

Odziv y(t) sustava G(s) na pobudu u(t), (izraz (5.17)) . . . . . . . . .

69

5.3

Nyquistov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4

Nyquistov dijagram sustava (5.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.5

Amplitudno frekvencijska karakteristika (stvarna i aproksimirana pravcima) 75

POPIS SLIKA

ix

5.6

Fazno frekvencijska karakteristika (stvarna i aproksimirana pravcima) .

76

5.7

Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω),ϕ1 (ω)) . . . . .

77

5.8

Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω) i A2 (ω),ϕ1 (ω) i ϕ2 (ω)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.9

Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω), A2 (ω) i A3 (ω),ϕ1 (ω), ϕ2 (ω) i ϕ2 (ω)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.10 Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω)+A2 (ω)+A3 (ω), ϕ1 (ω)+ϕ2 (ω)+ϕ2 (ω)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.11 Nyquistov dijagram P0 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.12 Bodeov dijagram P0 člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . . . .

80

5.13 Nyquistov dijagram PT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.14 Bodeov dijagram PT1 člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . . .

81

5.15 Bodeov dijagram PT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.16 Nyquistov dijagram PT2 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.17 Bodeov dijagram PT2 člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . . .

84

5.18 Bodeov dijagram PT2 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.19 Nyquistov dijagram PT2S člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.20 Bodeov dijagram PT2S člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . .

89

5.21 Bodeov dijagram PT2S člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.22 Nyquistov dijagram D člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.23 Nyquistov dijagram DT1 člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.24 Bodeov dijagram D člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . . . .

92

5.25 Bodeov dijagram DT1 člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . . .

93

5.26 Nyquistov dijagram I člana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.27 Bodeov dijagram I člana (aproksimacija pravcima) . . . . . . . . . . . .

94

5.28 Nyquistov dijagram člana s transportnim kašnjajnem . . . . . . . . . .

95

5.29 Bodeov dijagram člana s transportnim kašnjajnem . . . . . . . . . . . .

96

6.1

Osnovni simboli u blok dijagramima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.2

Serijski spoj blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.3

Paralelni spoj blokova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.4

Povratna veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5

Otvoreni krug (serijski povezane prijenosne funkcije)

6.6

Pretvorba zatvorenog sustava u sustav s jediničnom povratnom vezom . 101

6.7

Provlačenje sumacijske točke desno kroz blok . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.8

Provlačenje sumacijske točke lijevo kroz blok . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.9

Provlačenje točke odvajanje desno kroz blok . . . . . . . . . . . . . . . 102

. . . . . . . . . . 100

6.10 Provlačenje točke odvajanje lijevo kroz blok . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.11 Sustav automatskog upravljanja (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.12 Sustav automatskog upravljanja (1) - blok algebra . . . . . . . . . . . . 104

x

POPIS SLIKA 6.13 Sustav automatskog upravljanja (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.14 Sustav automatskog upravljanja (2) - blok algebra . . . . . . . . . . . . 106 7.1

Stvaranje prijenosnih funkcija: a) kontinuirani sustav, b) diskretni sustav 115

7.2

Težinska i prijelazna funkcija sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.3

Pokazatelji kvalitete prijelazne funkcije sustava . . . . . . . . . . . . . . 116

7.4

Nule i polovi sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.5

Nyquistov dijagram sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.6

Bodeov dijagram sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.7

Bodeov dijagram sustava (Amplitudno i fazno osiguranje) . . . . . . . . 118

7.8

Routhov kriterij stabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.9

Diskretizacija sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.10 Diskretne težinske i prijelazne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.11 Realizacija diferencijalne jednadžbe u Matlab SIMULINK - u . . . . . . 120 7.12 Realizacija prijenosne funkcije u Matlab SIMULINK - u

. . . . . . . . 120

7.13 Realizacij sustava u opisu varijablama stanja u Matlab SIMULINK - u

121

7.14 Pretvorba prijenosne funkcije u prostor stanja . . . . . . . . . . . . . . 121

Poglavlje 1 Uvod Automatsko upravljanje je područje znanosti koje se bavi upravljanjem suvremenih tehnoloških sustava. Ovo područje znanosti zahtijeva dobro poznavanje matematike, signala i sustava, fizike i drugih tehničkih nauka. Sustavi automatskog upravljanja su tehnički dinamički sustavi koji bez prisustva čovjeka (tehnologa) realiziraju željenu radnju (npr. dovođenje alata robota iz jedne točke u neku drugu točku, upravljanje brzinom vrtnje elektromotora, regulacije temperature prostorije i dr.). Poboljšanje kvalitete proizvoda, smanjenje utroška energije, smanjenje emisije štetnih plinova, povećanje sigurnosti i slično samo su neke od prednosti koje donosi upravljanje sustavima. Osnovni razlozi za uvođenje automatizacije općenito je gospodarske prirode, ali isto tako, mnogi procesi previše su brzi ili složeni da bi ih čovjek mogao pratiti svojim osjetilima i istovremeno upravljati s njima. Mnogi su sustavi opasni po život, stoga je automatizacija takvih postrojenja i više nego potrebna kako se ne bi narušio život i zdravlje radnika. Knjiga koju čitate na jednostavan način opisuje osnove automatskog upravljanja. Pri tome se koristi poprilično jak matematički aparat, ali do u detalje objašnjen na jednostavnim primjerima iz svijeta sustava upravljanja. U ovom prvom uvodnom poglavlju proći ćemo ukratko kroz sva poglavlja ove knjige kako bi zainteresirali čitatelje, a to su na prvom mjestu studenti Stručnog studija mehatronike u Bjelovaru. U drugom poglavlju opisani su osnovni pojmovi kao što je dinamički sustav te klasifikacija sustava. Opisane su pojedine zanimljive vrste sustava (tehničke, biološke, ekonomske, informacijske i dr.) pri ćemu se najveće težište daje dinamičkim tehničkim sustavima. Nadalje, opisna je podjela sustava s obzirom na matematički model nužan za njihov opis, svojstvo signala i parametara, broj ulaznih i izlaznih signala i drugo. Nama će od najveće zanimljivosti biti sustavi koji su linearni, vremenski nepromijenjivi, kontinuirani, deterministički, koji imaju koncentrirane parametre i koji su kauzalni. Sustavi ovakvih svojstava zanimljivi su iz razloga što za njih postoje razne metode analize i sinteze sustava upravljanja. U trećem poglavlju opisat ćemo matematičke aparate za opis sustava, a to su diferencijalne jednadžbe, prijenosna funkcija dobivena Laplaceovom transformacijom te opis sustava varijablama stanja. Sustave u opisu varijablama stanja opisat ćemo samo ukratko. Svi tehnički sustavi koji posjeduju svojstvo memorije (pohrane energije) mogu se opisati diferencijalnim jednadžbama n-tog reda gdje je red sustava jednak broju spremnika energije u sustavu. Spremnici energije su kondenzatori, zavojnice,

2

Uvod

zamašne mase, opruge, prigušnice, spremnici tekučine i slično. Opisat ćemo metode riješavanja diferencijalnih jednadžbi te lako uočiti da za veliki red sustava one postaju računski složene. Zbog toga je uvedena Laplaceova transformacija kojom se diferencijalne jednadžbe transformiraju u algebarske jednadžbe kojima je vrlo jednostavno manipulirati. Nakon algebarske manipulacije radi se inverzna Laplaceova transformacija te se dobije vremensko rješenje odziva (izlaza) sustava u ovisnosti o pubudi (ulazu) sustava. Znanja stećena u trećem poglavlju bit će dovoljna za početak vremenske i frekvencijske analize sustava upravljanja. U četvrtom poglavlju opisat ćemo vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova temeljen na znanjima stećenim iz prethodnog poglavlja. Najprije ćemo definirati osnovne vrste odziva sustava s obzirom na položaj polova (karakterisičnih vrijednost) sustava. Odziv sustava ovise o vrstama sustava (o vrstama dinamičkih članova). Opisat ćemo proporcionalne članove nultog, prvog i drugog reda te proširiti znanja na sustave n-tog reda. Najzanimljiviji član u opisu sustava automatskog upravljanja je proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilacijama (PT2S član). Razlog tome je njegova učestalost i najčešća aproksimacija sustava višeg reda PT2S članom čime se pojednostavljuje sinteza regulacijskog kruga. Bitno je samo da se opiše dominantna dinamika sustava višeg reda PT2S članom. Osim proporcionalnih članova opisat ćemo i derivacijske (idealne i realne), integralne te članove s transportnim kašnjenjem. Razumijevanje vremenskog odziva bitno je zbog parametriranja sustava automatskog upravljanja kako bi se dobila željena vremenska vladanja sustava. U petom poglavlju opisat ćemo frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova. Za frekvencijski odziv koristit ćemo dva najćešće korištena grafička aparata, a to su Nyquistov dijagram i Bodeov dijagram. Frekvencijska analiza dinamičkih sustava najčešće je korišteni aparat pri analizi i sintezi sustava automatskog upravljanja zbog jednostavnog snimanja frekvencijske karakteristike. Znanja usvojena u frekvencijskoj analizi osnovnih dinamičkih sustava lako ćemo proširiti na sustave n-tog reda. Ovo poglavlje bitno je dobro savladati i zbog stabilnosti sustava upravljanja koju ćemo opisati u sedmom poglavlju. Vremenski i frekvencijski odziv povezani su pokazateljima kavlitete u vremenskom i frekvencijskom području. U šestom poglavlju opisat ćemo blokovsku algebru sustava upravljanja. S obzirom da su sustavi upravljanja sastavljeni od pojedinih podustava, potrebno je proučiti na koji način podsustavi djeluju jedan na drugi. U ovom poglavlju dolazimo do najbitnijeg pojma u automatskom upravljanju, a to je negativna povratna veza kojom je omogućeno upravljanje sustava u zatvorenom regulaciskom krugu. Sva dosad opisana poglavlja zapravu su priprema za ono što je cilj automatskog upravljanja, a to je sinteza regulatora (regulacijskog člana) koja je opisana u osmom poglavlju. Opisani su osnovni tipovi regulatora, procesa, mjernih članova i aktuatora. Parametriranje regulatora ovisi o zahtjevima na sustav. Tako postoje i neke iskustvene metode parametriranja, ali naravno i matematičke metode parametriranja kako bi se ostavrilo željeno ponašanje sustava (željeni pokazatelji kvalitete). S obzirom da je računalna znanost danas napredovala, računalo je uobičajen podsustav automatskog sustava upravljanja. Računalo predstavlja digitalni (diskretni sustav) stoga se u devetom poglavlju obrađuje uvod u diskretne sustave upravljanja. Danas se često koriste mikroračunalni sustavi, programirljivi logički kontroleri i slično za upravljanje sustavima. Analiza i sinteza obavi se u kontinuiranom sustavu, a zatim se nekim od diskretizacija algoritam upavljanja prevede u diskretan oblik s vremenom

3 diskretizacije TD . Diskretnim sustavima upravljanja završavamo ovu knjigu u smislu teoretiziranja o sustavima automatskog upravljanja. U poglavlju DODATAK nalaze se opisi nekih važnih matematičkih aparata te korištenje simulacijskog paketa M atlab SIMULINKA u analizi i sintezi sustava automatskog upravljanja.

4

Uvod

Poglavlje 2 Osnovni pojmovi 2.1

Dinamički sustavi

U svakodnevnom razgovoru s ljudima može se čuti riječ sustav. Pojam sustav ima različit smisao u pojedinim područjima znanosti. Iz tog razloga postoji mnogo definicija sustava[1]: Websterov rječnik: „Sustav je skup objekata objedinjenih nekim oblikom međudjelovanja ili međuovisnosti.“ Vladimir Kučera: „Sustav je dio svijeta koji je povezan s okolinom preko ulazno izlaznih djelovanja. Ulazna (pobudna) djelovanja sustav preoblikuje u izlazna (odzivna) djelovanja. Izlaz sustava općenito može ovisiti o trenutku pobude i o "memoriji" sustava do trenutka pobude. Povijest, odnosno "memorija" sustava tretira se konceptom stanja sustava“ Uz navedene definicije sustava, mogu se uklopiti mnogi sustavi kao što su: • tehnički; • biološki • ekonomski • informacijski • transportni i sl. U daljnjem razmatranju sustava pod pojmom sustav podrazumijeva se dinamički tehnički sustav. Pod sustavom općenito se podrazumijeva događanje koje izaziva promjenu stanja materije, energije ili informacije. Iz toga slijedi još jedna definicija sustava: Sustav je događanje kroz koje se mijenja stanje materije, energije ili informacije. Ovu promjenu stanja može se shvatiti kao prijelaz iz početnog stanja u konačno stanje (slika 2.1).

6

Osnovni pojmovi

Slika 2.1: Sustav kao događaj koji izaziva promijenu stanja

Slika 2.2: Primjer tehničkog sustava (automobilska industrija [2])

Slika 2.3: Primjer tehničkog sustava (punionica pive [3]) Na slici 2.2 prikazan je tehnički sustav automobilske industrije koja je jedna od najrazvijenijih u svijetu. Tisuće automobila visoke kvalitete svakog dana izlazi iz tvornica koje su automatizirane. Gotovo sve radnje pri sklapanju automobila vrše upravljani robotski manipulatori. Sljedeći tehnički sustav (punionica pive) prikazan je na slici 2.3. Prilikom izrade pive razni sastojci termički se obrađuju u kotlu te se zatim pune u flaše. Nakon punjenja flaša, iste se pakuju u sanduke. Ovaj sustav obuhvaća i razne pokretne trake.

2.1 Dinamički sustavi

7

Slika 2.4: Primjer tehničkog sustava (valjaonica lima [4])

Jedan od vrlo složenih sustava za upravljanje je valjaonica lima (Slika 2.4). Lim se odmata s odmatača, isteže se (smanjuje mu se debljina) te se namata na namatač. Prilikom toga sila napetosti lima mora biti konstantna kako ne bi došlo do pucanja, odnosno gužvanja lima.

Slika 2.5: Primjer biološkog sustava (struktura tipičnog neurona [5])

Neuron ili živčana stanica (slika 2.5) se smatra osnovnom jedinicom živčanog sustava i najsloženija je u ljudskom organizmu. Živčani sustav se sastoji od oko 6 milijardi međusobno povezanih neurona. Živčana stanica (neuron) građena je od dendrita, tijela stanice i aksona. Mnogi znanstvenici bave se upravo problemom umjetnih neuronskih mreža kako bi ga iskoristili u inteligentnim sustavima upravljanja. Informacijski sustav (slika 2.6) u strogoj definiciji je sustav koji prikuplja, pohranjuje, čuva, obrađuje, i isporučuje potrebne informacije na način da su dostupne svim članovima neke organizacije koji se njima žele koristiti te imaju odgovarajuću autorizaciju.

8

Osnovni pojmovi

Slika 2.6: Primjer informacijskog sustava [6]

2.2

Klasifikacija sustava

Sustave je moguće klasificirati na razne načine, kao što su: • matematički model nužan za njihov opis; • svojstvo signala i parametara; • broj ulaznih i izlaznih signala i sl. Sustavi se mogu podjeliti s obzirom na: • Zakonitosti vladanja – Linearni sustavi – Nelinearni sustavi • Ponašanje u vremenu – Vremenski promjenjivi sustavi – Vremenskine promjenjivi sustavi • Signal u vremenu – Kontinuirani sustavi – Diskretni sustavi • Svojstva signala – Deterministički sustavi – Nedeterministički sustavi – Stohastički sustavi • Parametre

2.2 Klasifikacija sustava

9

– Sustavi s koncentriranim parametrima – Sustavi s raspodijeljenim parametrima • Broj pobuda i odziva – SISO sustavi (Single input, single output) – MIMO sustavi (Multiple input, multiple output) • Memoriju – Sustavi s memorijom – Sustavi bez memorije • Kauzalnost – Kauzalni sustavi – Nekauzalni sustavi

2.2.1

Linearni i nelinearni sustavi

Linearni sustavi Za linearne sustave neophodno je da vrijedi svojstvo linearnosti. Neka funkcija f (x) linearna je ako za nju vrijede sljedeća svojstva: 1. aditivnost: f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x1 ) za svaki x1 i x2 u domeni funkcije f (x). 2. homogenost: f (αx) = αf (x) za svaki x u domeni funkcije f (x) i za sve α = const.. Primjer 2.1 Za zadane funkcije f(x) provjeriti svojstvo aditivnosti i homogenosti te nakon toga odrediti da li je sustav linearan ili nije. Obrazložiti! 1. f (x) = 5x aditivnost: f (x1 + x2 ) = 5(x1 + x2 ) = 5x1 + 5x2 = f (x1 ) + f (x2 ) Svojstvo aditivnosti je zadovoljeno! homogenost: f (αx) = 5αx = α5x = αf (x) Svojstvo homogenosti je zadovoljeno! Sustav je linearan! 2. f (x) = sin x aditivnost: f (x1 + x2 ) = sin(x1 + x2 ) 6= sin x1 + sin x2 6= f (x1 ) + f (x2 ) Svojstvo aditivnosti nije zadovoljeno! Sustav nije linearan! Linearni se dinamički sustavi mogu opisati linearnim diferencijalnim jednadžbama koje zadovoljavaju oba navedena svojstva. Radi jednostavnosti, neki sustav je linearan ako je opisan linearnim diferencijalnim jednadžbama s konstantnim koeficijentima. U tehničkom pogledu, ne postoji savršeni linearni sustav, ali mnogi sustavi se

10

Osnovni pojmovi

mogu opisati linearnim sustavima oko neke radne točke ili se ponašaju vrlo slično linearnim sustavima. Primjer 2.2 Za zadane diferencijalne jednadžbe odrediti linearnost. Obrazložiti! 1. 3¨ y (t) + 5y(t) ˙ + 6y(t) = u(t) + 2u(t) ˙ gdje je u(t) ulaz u sustav, a y(t) izlaz iz sustava. S obzirom da su svi koeficijenti uz vremenske derivacije konstante, sustav je linearan! 2. cos(t)y(t) ˙ + y(t) = sin(t)u(t) gdje je u(t) ulaz u sustav, a y(t) izlaz iz sustava. S obzirom da uz vremensku derivaciju izlaza i uz ulaz sustava stoji vremenski promijenjivi koeficijenti, sustav nije linearan! Također se može reći da je sustav linearan ako vrijedi načelo: koliko se puta promijeni ulazna veličina sustava, toliko se puta promijeni i izlazna veličina sustava. Ovu laičku definiciju moguće je potkrijepiti sljedećim slikama. Na slici 2.7 prikazan je odziv sustava za dvije različite ulazne veličine. Sa slike se moze vidjeti da ako se ulazna veličina poveća 3 puta da će se i izlazna veličina povećati 3 puta. Ovo vrijedi i u dinamičkom djelu odziva i u statičkom djelu odziva. Za sustav sa slike 2.7 kažemo da je linearan. Često se u mnogim tehničkim sustavima nalaze pojačala snage koji su u načelu tranzistorska pojačala. Znajući karakteristiku tranzistorskog pojačala, poznato je da tranzistor za ulazne veličine veće od maksimalne, ulazi u zasičenje. Primjer odziva jednog takvog sustava dan je na slici 2.8. Za male vrijednosti ulazne veličine sustav je linearan. Ako ulaznu veličinu povećamo 3 puta, odziv sustava nije se povećao 3 puta jer nije moguće u sustav unijeti onoliko energije koliko je to ulaznom veličinom zahtjevano. Za takav sustav kažemo da je nelinearan.

Slika 2.7: Primjer linearnog odziva sustava

2.2 Klasifikacija sustava

11

Slika 2.8: Primjer nelinearnog odziva sustava Nelinearni sustavi Ako sustav ne zadovoljava svojstva aditivnosti i/ili homogenosti, sustav je nelinearan. Kažemo sustav je nelinearan ako nije linearan. U primjerima 2.1 i 2.2 sustavi koji nisu linearni predstavljaju nelinearne sustave. Odziv nelinearnog sustava prikazan je na slici 2.8. Svojstvo nelinearnosti sveprisutno je u gotovo svima tehničkim sustavima. Najčešće nelinearnosti su zasičenje (već navedeno tranzistorsko pojačalo), zračnost (javlja se kod zupčaničkog prijenosa), mrtva zona (javlja se kod automobila jer je potrebno savladati statičku silu otpora kotrljanja kotača da bi se automobil počeo gibati) i dr. Jedan od najpoznatijih nelinearnih tehničkih sustava je sustav skladištenja tekučine. Iz jednadžbe kontinuiteta proizlazi da protok ima korijensku ovisnost o visini stupca tekućine u spremniku (slika 2.9).

Slika 2.9: Sustava skladištenja tekućine

12

Osnovni pojmovi

2.2.2

Vremenski nepromjenjivi i vremenski promjenjivi sustavi

Vremenski nepromjenjivi sustavi Vremenski nepromijenjivi sustavi su sustavi čiji se parametri ne mijenjaju s vremenom, odnosno ne mijenjaju svoja svojstva.

Slika 2.10: Sustav s vremenski nepromjenjivim parametrima (RLC krug) Primjer 2.3. Na slici 2.10 prikazan je jednostavan dinamički sustav koji je svima poznat iz Osnova elektrotehnike. Ako se vrijednost otpornika R, induktiviteta L i kapaciteta C ne mijenjaju s vremenom, tada ovaj sustav predstavlja sustav s nepromjenjivim parametrima. Vremenski promjenjivi sustavi Vremenski promijenjivi sustavi su sustavi čiji se parametri mijenjaju s vremenom, odnosno mijenjaju svoja svojstva.

Slika 2.11: Sustav s vremenski promjenjivim parametrima (m(t) je promjeniv

2.2 Klasifikacija sustava

13

Primjer 2.3. Na slici 2.11 prikazan je jednostavan rotacijski sustav s 3 zamašne mase i elastičnim osovinama. Na zadnjoj osovini, gdje se proizvodi kutna brzina ω3 , krutim užetom pričvršćena je posuda za transport tekućine. S obzirom da posuda na dnu ima cijev kroz koju istjeće tekućina, efektivna masa posude se smanjuje. S obzirom da je masa posude promjenjiva, sustav sa slike 2.11 je sustav s promjenjivim parametrima. Dizalo za transport ljudi također je sustav s promjenjivim parametrima jer masa ljudi koji se prevoze dizalom nije uvijek jednaka. Na slici 2.12 prikazan je odziv sustava s nepromjenjivim parametrima (gore) i odziv sustava s promjenjivim parametrima (dolje). Kod sustava s nepromjenjivim parametrima vremenski odziv sustava uvijek je isti ako se na sustav narine ista pobuda. To nije slučaj kod sustava s vremenski promjenjivim parametrima (slika 2.12, (dolje)) kod kojeg je odziv sustava drugačiji tokom vremena ako se na ulaz narine uvijek ista pobuda. Često uzrok tome je starenje materijala, habanje ili istjecanje materijala kao u primjeru 2.4.

Slika 2.12: Odziv sustava s nepromjenjivim i promjenivim parametrima

2.2.3

Kontinuirani i diskretni sustavi

Kontinuirani sustavi Kontinuirarni sustavi su sustavi u kojima su sve varijable stanja kontinuirane (mijenjaju se s vremenom). Ovakve sustave moguće je opisati diferencijalnim jednadžbama (linearnim i nelinearnim). Većina tehničkih sustava (električnih krugova, rotacijskih sustava, sustava skladištenja, toplinskih sustava i dr.) su kontinuirani sustavi. U vrijeme kada računala nisu bila toliko moćna i popularna kao danas, algoritmi upravljanja zasnivali su se na kontinuiranim regulatorima (često operacijska pojačala s određenim elementima u povratnoj vezi). Danas je situacija bitno drugačija. Diskretni sustavi Diskretni sustavi su sustavi u kojima su sve varijable stanja diskretne (mijenjaju se u diskretnim vremenskim trenucima ). Ovakve sustave moguće je opisati jednadžbama

14

Osnovni pojmovi

diferencije (linearnim i nelinearnim). Uvođenjem mikroračunala (mikrokontroleri, PLC, ugradbena računala i dr.) direktno se uvodi diskretizacija signala u sustav. Mikroračunala rade u vremenski diskretnim intervalima te tako predstavljaju diskretan sustav. Današnji regulatori tehničkih sustava u većini slučajeva su diskretnog tipa. Ujedinjenjem rada diskretnih i kontinuiranih sustava dobivamo jednu funkcionalnu cjelinu koja se naziva hibridnim sustavima (sadrži kontinuirane i diskretne podsustave).

Slika 2.13: Odziv kontinuiranog i diskretnog regulatora Na slici 2.13 prikazan je odziv kontinuiranog i diskretnog regulatora. Sa slike se rnože uočiti da se diskretni odziv sustava poklapa sa kontinuiranim odzivom sustava u diskretnim vremenskim trenucirna koji se javljaju u jednolikom vremenskom razmaku.

2.2.4

Deterministički, nedeterministički i stohastički sustavi

Deterministički sustavi Deterministički sustavi su sustavi u kojima nema neizvjesnosti pri kreiranju budućih stanja sustava. Deterministički sustav će uvijek proizvesti isti odziv na neku pohudu u(t) ako je početno stanje sustava uvijek isto. Kažemo da kod determinističkog sustava izlaz možemo predvidjeti sa stopostotnom sigurnošću. Fizikalni zakoni reprezentirani diferencijalnim jednadžbama primjer su determinističkog sustava iako stanje sustava u nekom zadanom trenutku može biti teško opisati eksplicitno.

2.2 Klasifikacija sustava

15

Nedeterministički sustavi Nedeterministički sustavi su sustavi u kojim postoji izvjesnost u kreiranju budućih stanja sustava. Nedeterrninistički sustav neće uvijek proizvesti isti odziv na neku pobudu u(t) ako je početno stanje sustava uvijek isto. Kažemo da kod nedeterminističkog sustava ne možemo predvidjeti izlaz. U automobilskoj industriji dnevno izlazi veliki broj gotovih proizvoda (automobila). U malom postotku automobila javljaju se tzv. "tvorničke greške’ što možemo nazvati nedeterminizmom jer ne možemo predvidjeti sa stopostotnom izvjesnošću da li će svaki automobiI biti ispravan. Također i sustave sa promjenjivim parametrima možemo promatrati kao nedeterminističke sustave (slika 2.12) Stohastički sustavi Stohastički sustavi (češće stohastički ili slučajni procesi) su sustavi kod kojih postoji neodređenost u kreiranju budućih stanja sustava koji su opisani funkcijama razdiobe. To znači da, ako je poznato početno stanje sustava, postoje mnoge trajektorije kojima sustav može ići iz nekog početnog stanja u konačno pri čemu su neke trajektorije više vjerojatne, a druge manje vjerojatne. Primjer jednog stohastičkog procesa je generator slučajnih brojeva (slika 2.14). Sa slike se moze zaključiti da tri ista generatora slucajnih brojeva kao rezultat daju različite odzive.

Slika 2.14: Generator slučajnih brojeva

16

2.2.5

Osnovni pojmovi

Sustavi s koncentriranim parametrima i sustavi s raspodjeljenim parametrima

Sustavi s koncentriranim parametrima Sustavi s koncentriranim parametrima su sustavi čiji su parametri koncentrirani. To znači da se svaka fizikalna veličina (otpor, masa, moment inercije i dr.) promatra u jednoj točki i takve komponente smatramo idealnima. Ovakve sustave opisujemo diferencijalnim jednadžbama.

Slika 2.15: Zavojnica s koncentriranim parametrom L (induktivitet)

Iz osnova elektrotehnike poznat nam je primjer zavojnice (slika 2.15). Ona se promatra kao idealna komponenta s poznatim induktivitetom L. Induktivitet L je parametar koji vjerno opisuje sustav zavojnice.

Sustavi s raspodjeljenim parametrima Sustavi s raspodijeljenim parametrima su sustavi čiji parametri nisu koncentrirani. To znači da su fizikalne karakteristike komponenata raspodijeljene po cijeloj površini komponente. Ovakvi se sustavi opisuju parcijalnim diferencijalnim jednadžbama koje su osim vremenski, ovisne i prostorno.

Slika 2.16: Zavojnica s raspodijeljenim parametrima L i RL

Zavojnica u stvarnosti osim induktiviteta posjeduje i otpor koji je raspodijeljen po cijeloj duljini žice kojom je namotana zavojnica. Takvu komponentu možemo promatrat kao sustav s raspodijeljenim parametrima (slika 2.16).

2.2 Klasifikacija sustava

2.2.6

17

Sustavi s jednim ulazom i jednim izlazom (SISO) i sustavi s više ulaza i više izlaza (MIMO)

Sustavi s jednim ulazom i jednim izlazom (SISO) Ovi sustavi nazivaju se još i skalarnim sustavima. Blokovski prikaz sustava s jednim ulazim i jednim izlazom dan je na slici2.17. Električni krug s idealnim operacijskim pojačalom (slika 2.18) samo je jedan od primjera SISO sustava.

Slika 2.17: Sustav s jednim ulazom i jednim izlazom

Slika 2.18: Električni krug s idealnim operacijskim pojačalom Sustavi s više ulaza i više izlaza (MIMO) Ovi sustavi nazivaju se još i multivarijabilni sustavi. Blokovski prikaz sustava s više ulaza i više izlaza prikazan je na slici 2.19. Balon tipa Zeppelin (slika 2.21) primjer je jednog multivarijabilnog sustava. Za njegovo pokretanje koristi se tri istosmjerna motora i jedan servomotor kojim mijenjamo smjer potisne sile istosmjernih motora. Naponi svih motora predstavljaju ulazne veličine u sustavu. Izlazne veličine su komponente brzine u 3D prostoru.

Slika 2.19: Sustav s više ulaza i više izlaza

18

Osnovni pojmovi

Slika 2.20: Balon tipa Zeppelin

Slika 2.21: Sustav miješanja dviju tekućina

2.2.7

Sustavi s memorijom i sustavi bez memorije

Sustavi s memorijom Za sustave kažemo da imaju memoriju ako njihov odziv za nezavisnu varijablu t (vrijeme) ovisi i o pobudi i o početnom stanju sustava. Primjer sustava s memorijom je sustav miješanja dviju tekućina (slika 2.12). Naime, u sustavu je moguće protoke Q1 i Q2 promatrati kao ulaze sustava, a visinu stupca tekućine kao izlaz sustava. S obzirom da u početnom stanju može postojati visina stupca tekućine h0 za ovaj sustav kažemo da je sustav s memorijom (slika 2.22).

2.2 Klasifikacija sustava

19

Sustavi bez memorijom Sustavi bez memorije su oni sustavi čiji odziv za svaku nezavisnu varijablu t ovisi isključivo o pobudi sustava. Najjednostavniji primjer sustava bez memorije je električni otpornik (slika 2.23). Ako napon u(t) promatramo kao ulaz, a struju i(t) kao izlaz sustava, tada takav sustav predstavlja sustav bez memorije jer je struja i(t) direktna posljedica isključivo samo napona u(t) (slika 2.24).

Slika 2.22: Odziv sustava s memorijom (sustav mijesanja tekućina)

Slika 2.23: Otpornički električni krug

2.2.8

Kauzalni i nekauzalni sustavi

Kauzalni sustavi Kauzalni sustavi su sustavi čiji izlaz ovisi isključivo o prošlim i trenutnim vrijednostima ulaza sustava. To znači da izlaz sustava y(t0 ) u nekom početnom trenutku t0 ovisi samo o ulazu u(t) za vrijednosti t 6 t0 . Svi tehnički sustavi su kauzalni sustavi.

20

Osnovni pojmovi

Na slici 2.25 prikazan je RC filtar. Ovaj sustav je kauzalan sustav te je njegov odziv prikazan slikom 2.26. Sa sIike 2.26 se vidi da je odziv nastupio nakon pobude.

Slika 2.24: Odziv sustava bez memorijom (otpornik 8 Ω)

Slika 2.25: Kauzalni sustav - RC filtar

Slika 2.26: Odziv kauzalnog sustava (RC filtar) Nekauzalni sustavi Nekauzalni sustavi su sustavi čiji odziv izlazne veličine nastupa prije pobude što znači da sustav ima svojstvo predikcije (predviđanja). Za izlaz sustava y(t0 ) u nekom početnom trenutku t0 vrijedi da je ulaz u(t) nastupio za vrijednosti t > t0 .

2.2 Klasifikacija sustava

21

Odziv nekauzalnog sustava prikazan je slikom 2.27. Sa slike 2.27 se vidi da je odziv nastupio prije pobude što znači da je sustav predvidio pobudu.

Slika 2.27: Odziv nekauzalnog sustava

22

Osnovni pojmovi

Poglavlje 3 Matematički modeli kontinuiranih sustava Ako želimo raditi analizu dinamičkih sustava, koja je nužno potrebna pri sintezi regulacijskih članova, potrebno je matematički opisati dinamiku sustava. Opis sustava kreće od spoznaje bitnih fizikalnih načela. Električni sustavi opisuju se Kirchhoffovim zakonima, mehanički sustavi opisuju se Newtonovim zakonima, termodinamički sustavi opisuju se zakonima termodinamike itd. Također je potrepno poznavati zakone očuvanja energije (energetska bilanca), zakone o očuvanju količine gibanja itd [7]. Dinamika sustava može se opisati na nekoliko načina. Među prvim opisima dinamike sustava bio je opis sustava diferencijalnim jednadžbama. Ako promatramo SISO sustav (jedan ulaz i jedan izlaz) onda je potrebno izračunati izlaz sustava ako na njega narinemo neku proizvoljnu pobudu. Često je to mukotrpan posao, pogotovo za sustave višeg reda. Na temelju opisa sustava diferencijalnim jednadžbama sintezom regulacijskog člana (regulatora) dobije se upravljački algoritam koji je često diferencijalna jednadžba. Ovakav pristup sintezi zahtjeva mnogo računanja i poznavanje rješenja diferencijalnih jednadžbi. Postoji dvije vrste diferencijalnih jednadžbi: 1. Obične diferencijalne jednadžbe 2. Parcijalne diferencijalne jednadžbe Parcijalne diferencijalne jednadžbe imaju više nezavisnih varijabli; vrijeme i prostorne varijable. Pretpostavimo da ćemo sve, nama zanimljive, sustave moći opisati običnim diferencijalnim jednadžbama pa nećemo posebno opisivati parcijalne diferencijalne jednadžbe. Obične diferencijalne jednadžbe imaju samo jednu nezavisnu varijablu, a to je vrijeme. U opisu dinamičkih sustava uvijek tražimo vremenske odzive nekog sustava tako da će nam obične diferencijalne jednadžbe (u daljnjem tekstu samo diferencijalne jednadžbe) biti sasvim dovoljne za opis dinamičkih sustava. S obzirom da je matematički aparat rješavanja diferencijalnih jednadžbi vrlo složen (naročito za sustave višeg reda), koriste se druge metode za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Matematičar i astronom Pierre-Simon Laplace (23. ožujak 1749. – 5. ožujak 1827.) osmislio je integralnu transformaciju koja olakšava matematički račun jer se sve diferencijalne jednadžbe u području varijable integralne transformacije (područje kompleksne varijable s) računaju algebarski. Integralna transformacija nazvana je prema navedenom

24

Matematički modeli kontinuiranih sustava

matematičaru Laplaceova transformacija i danas nalazi veliku primjenu pri opisu dinamičkih sustava. Transformacija se primjenjuje na linearne diferencijalne jednadžbe tako da se uvede supstitucija s → d/dt. Algebarskim putem nađe se rješenje jednadžbe na proizvoljnu pobudu u Laplaceovoj domeni, a zatim se inverznom transformacijom izračuna vremenski odziv. Iako naočigled idemo dužim putem rješavanja diferencijalnih jednadžbi, ova metoda puno je jednostavnija od rješavanja diferencijalnih jednadžbi klasičnim metodama. Često se u diferencijalne jednadžbe n-tog reda opisuju s n diferencijalnih jednadžni prvog reda. Takav matematiči opis sustava naziva se opis sustava varijablama stanja.

3.1

Opis sustava diferencijalnim jednadžbama

Neka diferencijalna jednadžba ima oblik (7.1) [8]: an y (n) (t) + ... + a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t) = bn u(n) (t) + ... + b1 u0 (t) + b0 u(t) (3.1) gdje je y(t) rješenje diferencijalne jednadžbe1 , a f (t) proizvoljna pobuda. Ako vrijedi da je f (t) = 0 tada diferencijalnu jednadžbu nazivamo homogenom. an y (n) (t) + ... + a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = 0

(3.2)

Homogeno rješenje jednadžbe pretpostavlja se u obliku eksponencijalne funkcije i jednako je: yH = y1 + y2 + ...yn (3.3) y1 = C1 eλ1 t , y2 = C2 eλ2 t , ..., yn = Cn eλn t gdje je karakteristična vrijednost λn ∈ C2 . Uvrštavanjem u relaciju (7.5) Ceλt dobije se: an λn eλt + ... + a2 λ2 eλt + a1 λeλt + a0 eλt = 0
(3.4) an λn + ... + a2 λ2 + a1 λ + a0 eλt = 0 n 2 an λ + ... + a2 λ + a1 λ + a0 = 0 Rješavanjem jednadžbe (7.12) n-tog reda dobiju se karakteristične vrijednosti λ1 , λ2 ,...,λn . U slučaju da imamo m jednakih karakterističnih vrijednosti λ1 = λ2 =, ..., = λm , onda riješenja homogene jednadžbe mjenjaju oblik u: yH = y1 + y2 + ... + ym + ...yn y1 = C1 eλ1 t , y2 = C2 teλ1 t , ..., ym−1 = Cm−1 tm−2 eλ1 t , ym = Cm tm−1 eλ1 t , ...

(3.5)

..., yn−1 = Cn−1 eλn−1 t , yn = Cn eλn t Ako je f (t) 6= 0 tada je potrebno izračunati i partikularno rješenje diferencijalne jednaddžbe3 . Pobuda može biti raznih oblika od kojih su najbitnije prikazane slikom 3.1. S obzirom na vrstu pobude, potrebno je pretpostaviti i partikularno rješenje. Ako je pobuda konstantna (skokovita pobuda, slika 3.1 b)) partiklarno rješenje pretpostavlja se kao yP (t) = K1 µ(t). Za pobudu tipa rampe (slika 3.1 c)) partikularno rješenje pretpostavlja se u obliku yP (t) = K1 µ(t) + K2 t. Derivacija y(t) skraćeno se može pisati y 0 (t) = Skup kompleksnih brojeva 3 Odziv sustava s obzirom na pobudu

1

2

dy(t) dt

3.1 Opis sustava diferencijalnim jednadžbama

25

Slika 3.1: Vremenske pobude Pretpostavljeno partikularno rješenje uvrsti se u diferencijalnu jednadžbu (7.1) kako bi se pronašli koeficijenti K1 i K2 . Ako vrijedi da su b[ i] = 0 za i > 0 za skokovitu pobudu slijedi: an y (n) (t) + ... + a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = b0 u(t)|u(t)=Kµ(t) an yp (n) (t) + ... + a2 y 00 p (t) + a1 y 0 p (t) + a0 yp (t) = b0 K µ(t)|yp (t)=K1 µ(t),t>0 an · 0 + ... + a2 · 0 + a1 · 0 + a0 K1 = b0 K ⇒ K1 = yp (t) =

b0 K a0

(3.6)

b0 K µ(t) a0

a za pobudu tipa rampe slijedi: an y (n) (t) + ... + a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = b0 u(t)|u(t)=Kt an yp (n) (t) + ... + a2 y 00 p (t) + a1 y 0 p (t) + a0 yp (t) = b0 K t|yp (t)=K1 µ(t)+K2 t,t>0

(3.7)

an · 0 + ... + a2 · 0 + a1 K2 + a0 (K1 + K2 t) = b0 Kt a0 K2 t + a1 K2 + a0 K1 = b0 Kt Izjednačavanjem koeficijenata slobodnih članova4 i koeficijenata uz nezavisnu vremensku varijablu t dobije se: a0 K 2 = b 0 K ⇒ K 2 =

b0 K a0

a1 K2 + a0 K1 = 0 ⇒ K1 = − yp (t) =

a1 K 2 a1 b 0 K =− a0 a0 2

(3.8)

b0 K a1 b 0 K µ(t) + t a0 2 a0

Rješenje diferencijalne jednadžbe jednako je zbroju homogenog i partikularnog rješenja[9]. y(t) = yH (t) + yp (t) (3.9) y(t) = C1 eλ1 t + C2 teλ1 t + ... + Cn eλn t + yp (t) Potrebno je još samo izračunati koeficijente homogenog rješenja. Za diferencijalnu jednadžbu n-tog reda potrebno je znati n−1 početnih uvjeta (y(0), y 0 (0), y 00 (0), ..., y (n−1) (0) 4

Članovi koji uza sebe nemaju vremensku nezavisnu varijablu t

26

Matematički modeli kontinuiranih sustava

kako bi se mogli proračunati koeficijenti homogene jednadžbe. Jednadžba (7.1) derivira se n − 1 puta: y(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + ... + Cn eλn t + yp (t) y 0 (t) = C1 λ1 eλ1 t + C2 λ2 eλ2 t + ... + Cn λn eλn t + y 0 p (t) (3.10)

. . y (n−1) (t) = C1 λ1 n−1 eλ1 t + C2 λ2 n−1 eλ2 t + ... + Cn λn n−1 eλn t + y (n−1) p (t) te se u derivacije od y(t) uvrste početni uvjeti za t = 0. y(0) = C1 + C2 + ... + Cn + yp (0) y 0 (0) = C1 λ1 + C2 λ2 + ... + Cn λn + y 0 p (0) . .

(3.11)

y (n−1) (0) = C1 λ1 n−1 + C2 λ2 n−1 + ... + Cn λn n−1 + y (n−1) p (0) Rješenjem sustava (7.2) n jednadžbi i n nepoznanica dobiju se koeficijenti homogene jednadžbe. Time smo dobili potpuno rješenje diferencijalne jednadžbe. Ako sustav pobudimo dirac delta funkcijom (slika 3.1 a)), dobije se impulsni odziv odnosno težinska funkcija sustava g(t). Težinska funkcija sustava predstavlja matematički model sustava u vremenskoj domeni. Odziv sustava na bilo koju pobudu može se dobiti konvolucijskim integralom[10]: Z t y(t) = g(t) ∗ u(t) = g(τ )u(t − τ )dτ (3.12) 0

gdje je y(t) odziv sustava na pobudu u(t), a g(t) težinska funkcija sustava. Prilikom opisa sustava diferencijalnim jednadžbama koristit ćemo dva primjera sustava iz Osnova elektrotehnike i jedan primjer iz rotacijskih sustava. Prvi sustav koji ćemo opisati diferencijalnim jednadžbama biti će već spominjani RC filtar.

Slika 3.2: RC filtar Na slici 3.2 prikazan je svima poznat sustav iz elektronike – RC filtar. Sustav ima jedan spremnik energije (kondenzator - spremnik početnog napona). Broj spremnika energije određuje red matematičkog sustava, odnosno red diferencijalne jednadžbe što znači da je RC filtar sustav 1. reda. Ulazna veličina u sustav RC filtra je napon uul (t), a izlazna veličina iz sustava RC filtra je napon uiz (t). Matematički se sustav može zapisati sljedećim diferencijalnim jednadžbama (3.13): Rt uul (t) = Ri(t) + C1 0 i(τ )dτ Rt uiz (t) = C1 0 i(τ )dτ

(3.13)

3.1 Opis sustava diferencijalnim jednadžbama

27

Nadalje, s obzirom na ulaz i izlaz sustava potrebno je eliminirati struju i(t) (3.14): Rt uul (t) = Ri(t) + C1 0 i(τ )dτ ⇒ uul (t) = Ri(t) + uiz (t) R t uiz (t) = C1 0 i(τ )dτ / dtd ⇒ u0 iz (t) = C1 i(t) ⇒ i(t) = Cu0 iz (t) RCu0 iz (t) + uiz (t) = uul (t) ⇒ {T = RC} ⇒ T u0 iz (t) + uiz (t) = uul (t)

(3.14)

Krajnji izraz u (3.14) predstavlja opis sustava RC filtra diferencijalnim jednadžbama. Uz pretpostavku da je ulazni napon jedinična skokovita funkcija, potrebno je naći rješenje sustava (3.15) (nema početnog napona u kondenzator). T u0 iz (t) + uiz (t) = uul (t) uiz (t) = uizH (t) + uizP (t) uizH (t) = C1 est u0 izH (t) = sC1 est uizP (t) = K

(3.15)

Uz pretpostavku homogenog i partikularnog rješenja slijedi homogeno rješenje (3.16) T sC1 est + C1 est = 0 T s + 1 = 0 ⇒ s = − T1 t uizH (t) = C1 e− T

(3.16)

T u0 izP (t) + uizP (t) = uul (t) T ·0+K =1 K=1

(3.17)

i partikularno rješenje (3.17)

Rješenje diferencijalne jednadžbe jednako je zbroju homogenog i partikularnog rješenja. Koeficijent C1 se može izračunati iz rješenja diferencijalne jednadžbe uz t = 0(kondenzator je u t = 0 bio potpuno nenabijen). t

uiz (t) = 1 + C1 e− T {t = 0} ⇒ 0 = 1 + C1 ⇒ C1 = −1 t uiz (t) = 1 − e− T

(3.18)

Sljedeći sustav koji ćemo opisati diferencijalnim jednadžbama je RLC krug.

Slika 3.3: RLC krug Na slici 3.3 prikazan je svima poznat sustav iz elektronike – RLC krug. Sustav ima dva spremnika energije (zavojnica - spremnik početne struje i kondenzator - spremnik početnog napona) što znači da je RLC krug sustav 2. reda. Ulazna veličina u sustav RLC kruga je napon uul (t), a izlazna veličina iz sustava RLC kruga je napon uiz (t).

28

Matematički modeli kontinuiranih sustava

Matematički se sustav RLC kruga može zapisati sljedećim diferencijalnim jednadžbama (3.19): uul (t) = Ri(t) + L di(t) + dt Rt 1 uiz (t) = C 0 i(τ )dτ

1 C

Rt 0

i(τ )dτ

(3.19)

Nadalje, s obzirom na ulaz i izlaz sustava potrebno je eliminirati struju i(t) (3.20): Rt uul (t) = Ri(t) + L di(t) + C1 0 i(τ )dτ ⇒ uul (t) = Ri(t) + L di(t) + uiz (t) dt dt Rt 1 d 1 d 0 0 uiz (t) = C 0 i(τ )dτ / dt ⇒ uiz (t) = C i(t) ⇒ i(t) = Cuiz (t)/ dt ⇒ i0 (t) = Cu00iz (t) uul (t) = RCu0iz (t) + LCu00iz (t) + uiz (t) LCu00iz (t) + RCu0iz (t) + uiz (t) = uul (t) (3.20) Krajnji izraz u (3.20) predstavlja opis sustava RLC kruga diferencijalnim jednadžbama. Radi jednostavnosti neka su vrijednosti električnih komponenata R = 1Ω, L = 1H i C = 1F . Jednadžba (3.20) se sada može napisati kao: u00iz (t) + u0iz (t) + uiz (t) = uul (t)

(3.21)

Izraz (3.21) predstavlja opis sustava diferencijalnom jednadžbom. Sljedeći tehnički sustav koji ćemo opisati diferencijalnim jednadžbama je rotacijski sustav sa slike 3.4.

Slika 3.4: Rotacijski sustav Koeficijenti sa slike 3.4 redom su: • cf 1 – koeficijent torzije vratila (osovine), [N m/rad]; • D1 – prigušenje vratila (osovine), [N ms/rad]; • J1 – moment inercije zamašne mase (zupčanik), [kgm]; • r1 – polumjer zamašne mase (zupčanika),[kg]. Varijable sa slike 3.4 redom su: • ωu – ulazna brzina vrtnje, [rad/s]; • ω1 – brzina vrtnje zamašne mase, [rad/s];

3.1 Opis sustava diferencijalnim jednadžbama

29

• m1 – moment torzije na vratilu, [N m]; Ulazna veličina rotacijskog sustava je brzina vrtnje ωu (t), a izlazna veličina rotacijskog sustava je brzina vrtnje ω1 (t). Matematički se rotacijski sustav može zapisati sljedećim diferencijalnim jednadžbama (3.22): Rt m1 (t) = cf1 ϕ1 (t) = cf1 0 (ωu (t) − ω1 (t)) dt (3.22) m1 (t) = D1 ω1 (t) + J1 dωdt1 (t)

Slika 3.5: Torzija vratila Kut torzije vratila ϕ1 prikazan je na slici 3.5. S obzirom da je kutni pomak integral brzine vrtnje, kut torzije vratila dobiven je integracijom razlike ulazne i izlazne kutne brzine na vratilu. Eliminacijom momenta torzije na vratilu dobije se: Rt m1 (t) = cf1 0 (ωu (t) − ω1 (t)) dt/ dtd ⇒ m01 (t) = cf1 (ωu (t) − ω1 (t)) (3.23) m1 (t) = D1 ω1 (t) + J1 dωdt1 (t) / dtd ⇒ m01 (t) = D1 ω 01 (t) + J1 ω 001 (t) 00 0 J1 ω 1 (t) + D1 ω 1 (t) + cf1 ω1 (t) = cf1 ωu (t) Krajnji izraz u (3.23) predstavlja opis rotacijskog sustava diferencijalnim jednadžbama. Radi jednostavnosti neka su vrijednosti koeficijenata cf 1 = 1N m/rad, D1 = 1N ms/rad i J1 = 1kgm. Jednadžba (3.23) se sada može napisati kao: ω 001 (t) + ω 01 (t) + ω1 (t) = ωu (t)

(3.24)

Opisali smo dva tehnička sustava diferencijalnim jednadžbama. Jedan je električni, a drugi mehanički. Kada bi se u relaciju (3.24) uvela supstitucija ω1 (t) = uiz (t) i ωu (t) = uul (t) dobili bi se ekvivalentni sustavi. Mnogi tehnički sustavi, s obzirom na model sustava s diferencijalnim jednadžbama, su ekvivalentni sustavi. Nekada, kada nije bilo simulacijskih paketa za modeliranje i simuliranje sustava, modeli tehničkih sustava modelirali su se s operacijskim pojačalima. To znači da svaki tehnički sustav ima svoj električki ekvivalent opisan električkim sustavom (krugom). S obzirom da su i RLC krug i rotacijski sustav opisani istom diferencijalnom jednadžbom, u daljnjem razmatranju promatrat ćemo samo diferencijalnu jednadžbu RLC kruga(3.21). Uz pretpostavku da je ulazni napon jedinična skokovita funkcija, potrebno je naći rješenje sustava (3.21) (nema početnog napona u kondenzator i nema početne struje u zavojnici). u00iz (t) + u0iz (t) + uiz (t) = uul (t) uiz (t) = uizH (t) + uizP (t) uizH (t) = C1 est (3.25) u0 izH (t) = sC1 est u00 izH (t) = s2 C1 est uizP (t) = K

30

Matematički modeli kontinuiranih sustava Uz pretpostavku homogenog i partikularnog rješenja slijedi homogeno rješenje (3.26) √ √ 3 −1± 12 −4 1 = − ± j 2 2 √ 2 √ √ 1 3 3 1 − 1 +j 3 t − 1 −j 3 t t 2 C1 e  2 2 + C2 e 2 2  = C1 e− 2 t ej 2 t + C2 e− 2 t e−j  √ √ √ √ 1 e− 2 t C1 cos 23 t + j sin 23 t + C2 cos 23 t − j sin 23 t  √ √  1 e− 2 t (C1 + C2 ) cos 23 t + (C1 − C2 ) j sin 23 t A=C1 +C2 B=(C1 −C2 )j  √ √  3 3 − 21 t e A cos 2 t + B sin 2 t

s2 + s + 1 = 0 ⇒ s1,2 = √  uizH (t) = uizH (t) = uizH (t) = uizH (t) =

(3.26)

i partikularno rješenje (3.27) u00 izP (t) + u0 izP (t) + uizP (t) = uul (t) 0+0+K =1 K=1

(3.27)

Rješenje diferencijalne jednadžbe jednako je zbroju homogenog i partikularnog rješenja. Koeficijenti C1 i C1 mogu se izračunati iz rješenja diferencijalne jednadžbe uz t = 0 (kondenzator u t = 0 ima početni napon jednak nula, a zavojnica u t = 0 ima početnu struju jednaku nuli). Iz uvjeta da kondenzator u t = 0 ima početni napon 0, dobije se uiz (0) = 0. S obzirom da je sustav opisan diferencijalnom jednadžbom 2. reda, potrebna su dva početna uvjeta. Drugi početni direktno je vezan za početnu struju zavojnice: 1 1 u0iz (t) = i(t) ⇒ u0iz (0) = i(0) = 0 (3.28) C C Korištenjem početnih uvjeta moguće je dobiti koeficijente C1 i C2 : − 21 t

uiz (t) = 1 + e



√

A cos

√

+ B sin



3 t 2

 √ √  √ 1 u0iz (t) = − 12 e A cos 23 t + B sin 23 t + e− 2 t − 23 A sin 23 t + uiz (0− ) = 1 + A =√0 ⇒ A = −1 √ u0iz (0− ) = − 21 A + 23 B = 0 ⇒ B = − 33 − 12 t



√

3 t 2

√

3 B 2

√

cos



3 t 2

(3.29) Konačno rješenje diferencijalne jednadžbe (3.21) je: √

− 21 t

uiz (t) = 1 − e

√ √ ! 3 3 3 cos t+ sin t 2 3 2

(3.30)

S obzirom da smo zaključili da RLC krug (slika 3.3) i rotacijski sustav (slika 3.4) imaju ekvivalentne diferencijalne jednadžbe, uz pretpostavku da je ulazna brzina vrtnje jedinična stepenica te da su svi početni uvijeti jednaki nuli slijedi: √

− 12 t

ω1 (t) = 1 − e

√ √ ! 3 3 3 cos t+ sin t 2 3 2

(3.31)

3.2 Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni

3.2 3.2.1

31

Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni Laplaceova transformacija

Probleme koje rješavamo u automatskom upravljanju (dinamika sustava) uključuju operacije deriviranja i integriranja. Tim operacijama pridjelit ćemo neke operatore kojima ćemo diferencijalne jednadžbe moći opisati algebarskim jednadžbama. Jedna od transformacija, kojom se diferencijalne jednadžbe mogu transformirati u neku jednostavniju, algebarsku formu, naziva se Laplaceova transformacija. Ova transforamcija pogodana je za sustave višeg reda jer omogučuje rješavanje diferencijalnih jednadžbi na jednostavan način.

Slika 3.6: Shematski prikaz riješenja diferencijalne jednadžbe Na slici 3.6 prikazan je shematski prikaz rješavanja diferencijalne jednadžbe. Diferencijalne jednadžbetransformiraju se u algebarski oblik. Rješava se algebarska jednadžba te se inverznom transformacijom dobije rješenje diferencijalne jednadžbe. Definicija laplaceove transformacije je[10]: Z ∞ F (s) = f (t)e−st , s = σ + jω

(3.32)

0−

gdje je s kompleksna varijabla. Funkcija f (t) naziva se original ili gornja funkcija, a funkcija F(s) naziva se slika ili donja funkcija. Da bismo olakšali zapisivanje, mala slova neka predstavljaju originale (gornje funkcije), a velika slova neka predstavljaju slike (donje funkcije). Laplaceovu transformaciju skraćeno ćemo pisati na jedan od dva načina: f (t) d

t F (s)

ili F (s) = L (f (t))

gdje je orginalu f (t) pridružena slika F (s). Inverznu laplaceovu transformaciju skraćeno ćemo pisati također na jedan od dva načina F (s) t

d f (t)

ili f (t) = L −1 (F (s))

gdje je slici F (s) pridružen original f (t). Pokušajmo sada izvesti laplaceov transformat

32

Matematički modeli kontinuiranih sustava

za eksponencijalnu funkciju f (t) = e−at (najčešća funkcija): Z

∞

F (s) =

f (t)e

−st

∞

Z dt =

0−

e

−at −st

e 

0−

d

t

e−(s+a)t dt

dt = −

∞ 1 1 F (s) = − e−(s+a)t 0 = 0 − − s+a s+a e−at

∞

Z 0

=

1 s+a

(3.33)

1 s+a

Kod sustava koji imaju oscilatorno u odzivu posjeduju kombinacije sinus i kosinus funkcije. Iz Eulerove formule eiωt = cos ωt + i sin ωt i relacije (3.33) slijede transformati za sinus i kosinus funkcije: eiωt = cos ωt + i sin ωt, e−at = eiωt ⇒ a = −iω

 1 s + iω s ω 1 = = 2 +i 2 2 s+a s − iω s + iω s +ω s + ω2 s ω cos ωt + i sin ωt d t s2 +ω 2 + i s2 +ω 2 d

cos ωt

t

s , s2 +ω 2

sin ωt

d

t

(3.34)

ω s2 +ω 2

Odziv nepobuđenog sustava s početnim uvjetima često sadrži jedan od navedenih 3 originala (eksponencijalna funkcija, sinus i kosinus). Na slici 3.1 prikazane su neke najčešće korištene pobude (dirac delta, skokovita pobuda i rampa). Izvod njihovih transformata prikazan je izrazima (3.35): delta f (t) = δ(t) Z Z ∞ −st f (t)e dt = F (s) =

∞ −st

δ(t)e

Z

δ(t)dt = 1 0−.

0−

0−

∞

dt =

step f (t) = µ(t) Z ∞ Z ∞ Z ∞ −st −st e−st dt µ(t)e dt = F (s) = f (t)e dt = − − −. 0 0 0  1 −st ∞ 1 1 F (s) = − e =0− − = 0 s s s rampa f (t) = t Z ∞ Z ∞ Z ∞ u=t dv = e−st F (s) = f (t)e−st dt = te−st dt = e−st dt du = 1 v = − 1s e−st 0− 0− 0−.    Z 1 1 1 1 −st ∞ 1 ∞ −st e dt = 0 + 0− − = 2 F (s) = − te + 0 s s 0−. s s s δ(t)

d

t

1 , µ(t)

d

t 1 s

, t

d

t

(3.35)

1 s2

Izveli smo slike najbitnijih originala pobudnih signala koji se pojavljuju u automatskom upravljanju. Odziv sustava na pobudu funkcije dirac delta zove se težinska funkcija i označava se s g(t), a odziv sustava na skokovitu pobudu zove se prijelazna funkcija i označava se s h(t). Odziv sustava na rampu označavat ćemo s r(t). Sada ćemo pokazati nekoliko svojstava laplaceove transformacije[10]:

3.2 Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni

33

Prigušenje originala f (t) Prigušenje originala odgovara pomakom slike ulijevo: e−at f (t) d Na primjeru kosinus funkcije dobivamo: e−3t cos ωt

t

d

F (s + a) t

s+3 (s+3)2 +ω 2

(3.36)

(3.37)

Deriviranje originala f (t) Za deriviranje originala f (t) vrijedi: f 0 (t)

d

t

sF (s) − f (0)

f 00 (t)

d

t

s2 F (s) − sf (0) − f 0 (0) (3.38)

. . f (n) (t)

d

t

sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − ... − f (n−1) (0)

Pokažimo deriviranje signala na primjeru jednostavne diferencijalne jedanadžbe 1. reda: 2y 0 (t) + 3y(t) = u(t)

d

t

2 (sY (s) − y(0)) + 3Y (s) = U (s) (2s + 3)Y (s) = U (s) + 2y(0)

(3.39)

Integriranje originala Ako se original integrira, slika se djeli s kompleksnom varijablom s. Rt (3.40) f (t)dt d t F (s) s 0− Pokažimo ovo pravilo na skokovitoj funkciji: Rt (3.41) µ(t)dt d t 1s 1s = s12 t d t 0− Integriranjem skokovite funkcije dobije se rampa što je i prikazano izrazom (3.41). Teorem o konačnoj vrijednosti Konačna vrijednost ili stacionarno stanje (ustaljena vrijednost) odziva može se dobiti sljedećim izrazom: f (∞) = lim sF (s) s→0

(3.42)

Izraz (3.42) biti će primjenjen u zadnjem poglavlju kod proračuna regulacijskog odstupanja . Tablica osnovnih Laplaceovih transformata nalazi se u poglavlju 7 DODATAK. Teorem o konvoluciji Konvolucija dvaju originala odgovara umnošku slika: Rt (3.43) y(t) = g(t) ∗ u(t) = 0 g(τ )u(t − τ )dτ d t Y (s) = G(s)U (s) gdje je y(t) odziv sustava na pobudu u(t), a g(t) težinska funkcija sustava. Na temelju relacije (3.43) definirajmo sada prijenosnu funkciju sustava kao omjer izlaza i ulaza sustava u laplaceovoj domeni: Y (s) G(s) = (3.44) U (s) Relacija (3.44) predstavlja matematički model sustava u laplaceovoj domeni. Izlaz sustava (3.43) u lalacovoj domeni potrebno je transformirati u vremensku domenu. Potrebno je napraviti inverznu laplaceovu transformaciju.

34

Matematički modeli kontinuiranih sustava

3.2.2

Inverzna laplaceova transformacija

Da bi dobili rješenje diferencijalne jednadžbe potrebno je algebarski izraz dobiven laplaceovom transformacijom transformirati u pogodan oblik za inverznu laplaceovu transformaciju. Ako je F (s) slika originala f (t) tada je i f (t) original slike F (s). Već na temelju predhodne definicije možemo zaključiti da je algebarski izraz potrebno razlomiti na takve slike čije originale poznamo ili ih možemo pronaći u tablicama. Problem inverzne laplaceove transformacije znatno je složeniji od problema laplaceove transformacije. Za sada bi znali napraviti inverznu laplaceovu transformaciju za neke jednostavne primjere: s+4 s2 +25

=

s s2 +52

+

4 s2 +52

=

s 1 = s+1−1 = 1 − s+1 s+1 s+1 1 = (s+1)1 2 +1 t s2 +2s+2

s s2 +52

t d

d

+

4 55 2 s +52

t

d

cos 5t + 45 sin 5t

δ(t) − e−t

(3.45)

e−t sin t

Prvi izraz u (3.45) predstavlja zbroj i sinusa i kosinusa. Potrebno je samo odrediti frekvenciju signala ω i prema prema relaciji (3.34) napraviti inverznu laplaceovu transformaciju. U drugom izrazu u (3.45) potrebno je dodati i oduzeti 1 kako ne bi narušili algebarsku jednadžbu. Koristeći relacije (3.33) i (3.35) mogu se odrediti originali. Treći izraz u (3.45) je nešto složeniji. Ako nazivnik ima kompleksne korijene (nultočke), tada je potrebno nazivnik svesti na potpuni kvadrat. Koristeći svojstvo prigušenja originala (3.36), može se zaključiti da je slika trećeg izraza zapravo prigušena sinus funkcija. U slučaju da je potrebno naći inverz slike: 1 (3.46) G(s) = s(s + 1)(s + 2)(s + 3) više ne možemo pristupiti problemu kao kod relacije (3.45). Neka je težinska funkcija (odziv sustava na dirac delta funkciju) sustava u laplaceovoj domeni predstavljen kao racionalna funkcija: G(s) =

P (s) bm sm + bm−1 sm−1 + ... + b1 s + b0 = ,n > m Q(s) an sn + an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0

(3.47)

Racionalnu funkciju (3.47) potrebno je rastaviti na proste razlomke. Ovaj problem je posebno jednostavan ukoliko su sve nultočke polinoma nazivnika Q(s) realne i jednostruke. Ako je sustav pobuđen dirac delta funkcijom tada se u laplaceovoj domeni kao odziv dobije prijenosna funkcija. Nultočke polinoma nazivnika Q(s) prijenosne funkcije predstavljaju polove 5 sustava (označavat ćemo ih s pi ), a nultočke polinoma brojnika P (s) prijenosne funkcije predstavljaju nule sustava (označavat ćemo ih s ni ). U nastavku teksta koristit ćemo samo termine nula i polova sustava. Ako su polovi prijenosne funkcije (3.47) jednostruki i realni tada se racionalna prijenosna funkcija G(s) = P (s)/Q(s) može napisati u obliku (broj polova jednak je redu prijenosne funkcije; red prijenosne funkcije određen je redom polinoma Q(s) uz pretpostavku kauzalnog sustava6 ): G(s) = 5

P (s) K1 K2 Kn = + + ... Q(s) s − p1 s − p2 s − pn

(3.48)

Položaj polova bitan je kod stabilnosti sustava, vidjeti poglavlje o stabilnosti Sustav će biti kauzalan ako je red brojnika prijenosne funkcije manji ili jednak redu nazivnika prijenosne funkcije 6

3.2 Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni

35

Inverzne transformacije razlomljene racionalne funkcije G(s) su eksponencijalne funkcije:

g(t) = K1 ep1 t + K2 ep2 t + ... + Kn epn t

(3.49)

Koeficijenti K1 , K2 , ..., Kn mogu se dobiti prema sljedećoj relaciji:

Kk = lim

s→pk

P (s)(s − pk ) , k = 1...n Q(s)

(3.50)

Ovakav razvoj racionalne funkcije na proste razlomke u literaturi se naziva Heavisideov razvoj[10]. To je samo jedan od načina kako se mogu odrediti koeficijenti K1 , K2 , ..., Kn . Sljedeći način temelji se na izjednačavanju koeficijenata uz potencije kompleksne varijable s:

bm sm + bm−1 sm−1 + ... + b1 s + b0 P (s) K1 K2 Kn = = + + ... + Q(s) an sn + an−1 sn−1 + ... + a1 s + a0 s − p1 s − p2 s − pn m m−1 K1 Kn bm s + bm−1 s + ... + b1 s + b0 = + ... + / (s − p1 ) · · · (s − pn ) (s − p1 ) (s − p2 ) · · · (s − pn ) s − p1 s − pn bm sm + ... + b1 s + b0 = K1 (s − p2 ) · · · (s − pn ) + ... + Kn (s − p1 ) · · · (s − pn−1 ) (3.51) Ako G(s) ima kompleksne polove tada se racionalna funkcija rastavlja kao (p1,2 = −σ ∓ jω):

P (s) bm sm + bm−1 sm−1 + ... + b1 s + b0 K1 + K2 s Kn = = + ... + n n−1 Q(s) an s + an−1 s + ... + a1 s + a0 (s + σ + jω)(s + σ − jω) s − pn (3.52) Ako G(s) ima dvostruke polove tada se racionalna funkcija rastavlja kao (Za proračun koeficijenata u ovom slučaju preporuča se drugi način):

P (s) bm sm + bm−1 sm−1 + ... + b1 s + b0 K1 K2 Kn = = + (3.53) 2 + ... + n n−1 Q(s) an s + an−1 s + ... + a1 s + a0 s − p1 (s − p1 ) s − pn

Istom analogijom može se napraviti rastav funkcije za trostruke, četverostruke i višestruke polove. Pokušajmo sada problem (3.45) rješiti na oba načina. Polovi sustava su redom p1 = 0, p2 = 1, p3 = 2, p4 = 3.

36

Matematički modeli kontinuiranih sustava Prvi način 1 A B C D = + + + s(s + 1)(s + 2)(s + 3) s s+1 s+2 s+3 1 1 s = lim = A = lim s→0 (s + 1)(s + 2)(s + 3) s→0 s(s + 1)(s + 2)(s + 3) 6 s+1 1 −1 B = lim = lim = s→−1 s(s + 1)(s + 2)(s + 3) s→−1 s(s + 2)(s + 3) 2 s+2 1 1 C = lim = lim = s→−2 s(s + 1)(s + 2)(s + 3) s→−2 s(s + 1)(s + 3) 2 1 −1 s+3 = lim = D = lim s→−3 s(s + 1)(s + 2) s→−3 s(s + 1)(s + 2)(s + 3) 6 1/2 1/2 1/6 1/6 − + − G(s) = s s+1 s+2 s+3 G(s) =

(3.54)



g(t) =

1 1 −t 1 −2t 1 −3t − e + e + e 6 2 2 6

Drugi način 1 A B C D = + + + /s(s + 1)(s + 2)(s + 3) s(s + 1)(s + 2)(s + 3) s s+1 s+2 s+3 1 = A(s + 1)(s + 2)(s + 3) + Bs(s + 2)(s + 3) + Cs(s + 1)(s + 3)+ +Ds(s + 1)(s + 2) 1 = A(s3 + 6s2 + 11s + 6) + B(s3 + 5s2 + 6s) + C(s3 + 4s2 + 3s)+ D(s3 + 2s2 + 2s) 1 = 6A 0 = 11A + 6B + 3C + 2D 0 = 6A + 5B + 4C + 2D 0=A+B+C +D 1 −1 1 −1 A = ,B = ,C = ,D = 6 2 2 6 1/6 1/2 1/2 1/6 G(s) = − + − s s+1 s+2 s+3 G(s) =



g(t) =

1 1 −t 1 −2t 1 −3t − e + e + e 6 2 2 6

(3.55)

Ovime je završen opis Laplaceove transformacije. S obzirom da nam je glavni cilj bio pojednostavljenje rješavanja diferencijalnih jednadžbi i jednostavniji proračun odziva sustava, Laplaceovu transformaciju moguće je primjeniti na sustave RC i RLC kruga. Najprije ćemo transformaciju primjeniti na RC filtru. Relaciju (3.14) moguće je sada

3.2 Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni

37

zapisati u Laplaceovoj domeni:

Z 1 t uul (t) = Ri(t) + i(τ )dτ C 0 Z 1 t d t i(τ )dτ uiz (t) = C 0

1 UU L (s) = RI(s) + I(s) = sC 1 UIZ (s) = I(s) sC d

t



1 R+ sC

 I(s)

(3.56) Prijenosna funkcija sustava definirana je kao omjer izlaza i ulaza sustava u Laplaceovoj domeni:

G(s) =

1 I(s) Uiz (s) 1 1 sC
= = = 1 Uul (s) RCs + 1 Ts + 1 R + sC I(s)

(3.57)

Isto bi se rješenje dobilo ako bi se Laplaceova transformacija primijenila na diferencijalnu jednadžbu sustava (3.14).

RCu0 iz (t) + uiz (t) = uul (t) G(s) =

d

t

(RCs + 1) UIZ (s) = UU L (s)/UU L (s)/ (RCs + 1)

UIZ (s) 1 1 = = UU L (s) RCs + 1 Ts + 1 (3.58)

S obzirom da je ulazni napon jednak jediničnoj stepenici (1/s u Laplaceovoj domeni), odziv sustava moguće je riješiti uz pomoć tablice Laplaceovih transformacija u poglavlju 7 DODATAK na sljedeći način:

1 1 Ts + 1 s 1 1 A B UIZ (s) = = + /(T s + 1)s Ts + 1 s Ts + 1 s As + B(T s + 1) = 1 B = 1, A + BT = 0 ⇒ A = −T 1 −T / : T 1 1 t d UIZ (s) = + = − s T s + 1/ : T s s + T1 UIZ (s) = G(s)UU L (s) =

(3.59)

t

uiz (t) = 1 − e− T

Prijenosna funkcija dobivena relacijom (3.57) naziva se PT1 član, odnosno proporcionalni član s jednom vremenskom konstantom. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je T = RC = 1s.

38

Matematički modeli kontinuiranih sustava

Slika 3.7: Odziv RC filtra na skokovitu pobudu Odziv sustava RC filtra na skokovitu pobudu za zadanu vremensku konstantu T prikazan je na slici 3.7. Odziv je eksponencijalan što odgovara dosadašnjim rješenjima. Sa slike 3.7 moguće je očitati da se radi o sustavu s vremenskom konstantom T = 1s jer odziv u prvoj sekundi dostigne 63% svoje konačne vrijednosti. Promatrajući relaciju (3.56) može se vidjeti da električne komponente R i C poprimaju u Laplaceovoj domeni nove izraze za impedanciju. Transformacija je prikazana na slici 3.8.

Slika 3.8: RC filtar: vremenska i Laplaceova domena Kada se električna shema prebaci iz vremenske u Laplaceovu domenu, naponi i struje računaju se algebarski. Račun u Laplaceovoj domeni iz tog razloga pojednostavljuje račun. Prijenosna funkcija G(s) za sustav RC filtra poprima oblik iz relacije (3.57). Kada se prijenosna funkcija prebaci u vremensku domenu uz pomoć tablica Laplaceove transformacije (7 DODATAK) dobije se impulsni odziv odnosno težinska funkcija7 : G(s) =

1 RCs + 1

t

d

g(t) =

1 − t e RC RC

(3.60)

Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalne jednadžbe (3.19) dobije se: 7

Impulsni odziv ili težinska funkcija je odziv sustava na dirac delta funkciju, ono što je u vremenskoj domeni impulsni odziv to je u Laplaceovoj domeni prijenosna funkcija

3.2 Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni

Z di(t) 1 t d t uul (t) = Ri(t) + L + i(τ )dτ dt C 0 Z 1 t 1 d t UIZ (s) uiz (t) = I(s) i(τ )dτ C 0 sC

39

  1 I(s) UU L (s) = R + sL + sC

(3.61) Prijenosna funkcija definirana je kao omjer izlaza i ulaza sustava u Laplaceovoj domeni: 1 I(s) UIZ (s) 1 sC = (3.62) G(s) = 1 = 2 UU L (s) LCs + RCs + 1 R + sL + sC Isto bi se rješenje dobilo ako bi se Laplaceova transformacija primijenila na diferencijalnu jednadžbu (3.21): d

LCu00iz (t) + RCu0iz (t) + uiz (t) = uul (t) G(s) =

t


LCs2 + RCs + 1 UIZ (s) = UU L (s)

UIZ (s) 1 = 2 UU L (s) LCs + RCs + 1

(3.63) S obzirom da je ulazni napon jednak jediničnoj stepenici (1/s u Laplaceovoj domeni), odziv sustava moguće je riješiti uz pomoć tablice Laplaceovih transformacija u poglavlju 7 DODATAK na sljedeći način ( radi jednostavnosti neka su vrijednosti električnih komponenata R = 1Ω, L = 1H i C = 1F ): 1 1 1 1 = 2 1 3 +s+1s s +s+ 4 + 4 s A + Bs 1 C 1 = UIZ (s) = +

3 s 3 1 2 1 2 s s+ 2 + 4 s+ 2 + 4
As + Bs2 + C s2 + s + 1 = 1 C=1 A + C = 0 ⇒ A = −1 B + C = 0 ⇒ B = −1
1 1 + s + 1+s 1 1 UIZ (s) = − = − 2

23 1 2 3 1 2 s s s+ + s+ + UIZ (s) = G(s)UU L (s) =

s2

2

UIZ (s) =

s 1 − s s+

 uiz (t) = 1 − e

4

+ 12
1 2 + 34 2

− s

2 √ 1 3 √2 2 2 3
1 2 + 2 + 34

(3.64)

4

√

− 12 t

√ √ ! 3 3 3 cos t+ sin t 2 3 2

Prijenosna funkcija dobivena relacijeom (3.63) naziva se PT2S član. To je proporcionalni član 2. reda s nadvišenjem8 . 8

Prebačaj preko vrijednosti u stacionarnom stanju

40

Matematički modeli kontinuiranih sustava

Slika 3.9: Odziv RLC kruga na skokovitu pobudu Odziv RLC kruga na skokovitu pobudu prikazan je na slici 3.9. Promatrajući relaciju (3.61) može se vidjeti da električne komponente R, L i C poprimaju u Laplaceovoj domeni nove izraze za impedanciju. Transformacija je prikazana na slici 3.10.

Slika 3.10: RLC krug: vremenska i Laplaceova domena Kada se električna shema prebaci iz vremenske u Laplaceovu domenu, naponi i struje računaju se algebarski. Račun u Laplaceovoj domeni iz tog razloga pojednostavljuje račun. Rotacijski sustav sa slike 3.4 ima istu prijenosnu funkciju kao i RLC krug sa slike 3.3. Na jednostavan način opisali smo dva tehnička sustava. cf 1 1 Ω1 (s) = = 2 G(s) = 2 Ωu (s) J1 s + D1 s + cf 1 J1 =1,D1 =1,cf 1 =1 s + s + 1

(3.65)

3.3 Opis sustava varijablama stanja

3.3

41

Opis sustava varijablama stanja

Varijable stanja definiramo kao minimalni broj unutrašnjih varijabli sustava kojima možemo u potpunosti opisati ponašanje sustava. Kod opisa sustava diferencijalnim jednadžbama i prijenosnom funkcijom rečeno je da je red sustava jednak redu diferencijalne jednadžbe ili redu prijenosne funkcije. Prema tome, broj varijabli stanja jednak je redu diferencijalne jednadžbe ili redu prijenosne funkcije što odgovara broju spremnika energije u sustavu . Opis sustava jednadžbama varijabli stanja sastoji se u tome da se ponašanje dinamičkog sustava umjesto diferencijalnom jednadžbom n-tog reda, prikaže sustavom od n diferencijalnih jednadžbi prvog reda[11]. Linearni i vremenski nepromjenjivi sustavi mogu se opisati matričnim oblikom: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

(3.66)

gdje su: • A - matrica sustava (dimenzije n x n) • B - ulazna matrica (dimenzije n x p) • C - izlazna matrica (dimenzije r x n) • D - matrica direktnog preslikavanja ulaza na izlaz (dimenzije r x p) gdje je n red sustava, p broj ulaza, a r broj izlaza sustava. Na ovaj način opisuju se i SISO9 i MIMO10 sustavi.

Slika 3.11: Opis sustava varijablama stanja Opis sustava varijablama stanja prikazan je slikom 3.11. Slika je direktno dobivena iz relacije (3.66) i nacrtana je u matričnom obliku. Primjenom laplaceove transformacije na relaciju (3.66) dobije se opis sustava varijablama stanja u laplaceovoj domeni: sX(s) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s) + DU(s) 9 10

Single Input and Single Output Multiple Input and Multiple Output

(3.67)

42

Matematički modeli kontinuiranih sustava

Prijenosna funkcija definirana je kao omjer izlaza i ulaza sustava pa iz relacije (3.67) slijedi: (Is − A)−1 \(Is − A)X(s) = BU(s) ⇒ X(s) = (Is − A)−1 BU(s) (3.68) Y(s) = C(Is − A)−1 BU(s) + DU(s) Y(s) = C(Is − A)−1 B + D G(s) = U(s) U prvoj iteraciji izvoda prijenosne funkcije prvi izraz iz (3.67) množili smo s lijeva (matrično množenje). Dalje se izvod svodi na uvrštavanje varijabli. Pokušajmo sada jedan jednostavan sustav opisati varijablama stanja. Sustav je opisan diferencijalnom jednadžbom: y 000 (t) + 2y 00 (t) + 3y 0 (t) + 4y(t) = u(t) (3.69) Odaberimo sljedeće varijable stanja (s obzirom da je diferencijalna jednadžba trećeg reda, broj varijabli stanja biti će tri): x1 (t) = y(t) x2 (t) = y 0 (t) x3 (t) = y 00 (t)

(3.70)

Prema relaciji 3.66 potrebne su nam i derivacije varijebli stanja: x1 0 (t) = y 0 (t) x2 0 (t) = y 00 (t) x3 0 (t) = y 000 (t)

(3.71)

Potrebno je odrediti sadržaj matrica A,B,C i D. y 000 (t) = u(t) − 2y 00 (t) − 3y 0 (t) − 4y(t) x1 0 (t) = y 0 (t) = x2 (t) x2 0 (t) = y 00 (t) = x3 (t) y 000 (t) = u(t) − 2y 00 (t) − 3y 0 (t) − 4y(t) y 000 (t) = u(t) − 2x3 (t) − 3x2 (t) − 4x1 (t) x3 0 (t) = y 000 (t) = u(t) − 2x3 (t) − 3x2 (t) − 4x1 (t)

(3.72)

Koristeći relacije (3.70) i (3.71) i njihovom supstitucijom u diferencijalnu jednadžbu (3.69) dobiven je sustav opisan varijablama stanja (3.72). Potrebno ga je samo opisati u obliku matrica:  0       x1 (t) 0 1 0 x1 (t) 0  x2 0 (t)  =  0 0 1   x2 (t)  +  0  u(t) x3 0 (t) −4 −3 −2 x3 (t) 1     x1 (t) y(t) = 1 0 0  x2 (t)  + 0u(t) (3.73) x3 (t)     0 1 0 0      0 0 1 A= , B = 0  , C = 1 0 0 .D = 0 −4 −3 −2 1

3.3 Opis sustava varijablama stanja

43

Pokušajmo sada sustav RLC kruga zapisati u obliku varijabli stanja. RLC krug opisan je diferencijalnom jednadžbom (3.20):

LCu00iz (t) + RCu0iz (t) + uiz (t) = uul (t)

(3.74)

Kao varijable stanja uzmimo sada fizikalne veličine; struju i(t) i napon uC :

uc (t) = uiz (t) i(t) = Cu0 iz (t) u0 c (t) = u0 iz (t) =

1 i(t) C

i0 (t) = Cu00 iz (t) LCu00 iz (t) + RCu0 iz (t) + uiz (t) = uul (t)/L RC 0 1 1 Cu00 iz (t) + u iz (t) + uiz (t) = uul (t) L L L R 1 1 Cu00 iz (t) = uul (t) − i(t) − uc (t) L L L 1 R 1 i0 (t) = uul (t) − i(t) − uc (t) L  0 L   L   1 0 u c (t) u (t) 0 c C + 1 uul (t) = i0 (t) i(t) − L1 − R L L     uc (t) uiz (t) = 1 0 i(t)     1   0 0 C A= , B = 1 , C = 1 0 .D = 0 1 R −L −L L

(3.75)

Relacijom (3.76) prikazan je sustav RLC kruga varijablama stanja. Prijenosna funkcija RLC kruga može se dobiti laplasovom transformacijom relacije (3.74).

LCu00 iz (t) + RCu0 iz (t) + uiz (t) = uul (t)


LCs2 + RCs + 1 UIZ (s) = UU L (s) ⇒ 1 UIZ (s) = G(s) = 2 UU L (s) LCs + RCs + 1

(3.76)

44

Matematički modeli kontinuiranih sustava Pokušajmo istu prijenosnu funkciju dobiti korištenjem relacije (3.68): UIZ (s) = C(Is − A)−1 B UUL (s) −1      1   UIZ (s) 0 0 s 0 C G(s) = = 1 0 − 1 0 s − L1 − R UUL (s) L L −1      UIZ (s) s − C1 0 G(s) = = 1 0 1 1 s+ R UUL (s) L L L −1    1 1 s − C1 s+ R L C = 1 1 s+ R s − L1 s(s + R ) + LC L L L    1   UIZ (s) 1 0 s+ R L C G(s) = = 1 0 1 1 1 − s UUL (s) s2 + R s + L L L LC  1    UIZ (s) 1 LC G(s) = = 1 0 s 1 UUL (s) s + s2 + R L L LC G(s) =

G(s) =

1 UIZ (s) = 2 RLC UUL (s) s + Ls +

1 LC

=

LCs2

(3.77)

1 + RCs + 1

Relacijom (3.77) pokazali smo da se dobije ista prijenosna funkcija sustava. To znači da možemo koristiti bilo koji opis sustava prilikom analize sustava automatskog upravljanja. Varijable stanja možemo crtati u prostoru varijabli stanja11 . Varijable stanja RLC kruga prikazane su na slici 3.12 u prostoru stanja.

Slika 3.12: Varijable u prostoru stanja (RLC krug) Ovime završavamo matematički opis sustava.

11

Graf koji daje međuovisnost dviju varijabli stanja

Poglavlje 4 Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova Složeniji tehnički sustavi koji sadrže mjerne članove, aktuatore (pojačala snage) i razne sustavne cjeline, u opisu sustava, često se razlažu na podsustave. Svaki podsustav može se opisati s nekim dinamičkim članom. Dinamičke članove opisat ćemo u nastavku. Osnovni dinamički članovi su: • Proporcionalni član nultog reda (P0 član) • Proporcionalni član prvog reda (PT1 član) • Proporcionalni član drugog reda (PT2 član) • Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) • Derivacijski član (D član) • Integralni član (I član) • Član s transportnim kašnjenjem Kombinacijom osnovnih dinamičkih članova moguće je opisati sve linearne sustave. U daljnjim izlaganjima ulaz u sustav označavat ćemo s u(t), a izlaz sustava s y(t).

4.1

Odziv sustava s obzirom na položaj polova

Kod inverzne Laplaceove transformacije spomenuli smo polove i nule sustava. Polovi sustava su nultočke nazivnika prijenosne funkcije. Kompleksna varijabla s definirana je kao s = σ + jω. Položaj polova može se nacrtati u s - ravnini gdje se na os apscisu crta realni dio kompleksne varijable s (σ), a na osi ordinata imaginarni dio kompleksne varijable s (ω). S ravnina prikazana je na slici 4.1. Polovi se označavaju s križićem x. Ako su svi polovi sustava u lijevoj poluravnini s-ravnine (sivo oznaćeno na slici 4.1) odziv sustava biti će stabilan. Ako je samo jedan pol u desnom djelu s-ravnine, odziv sustava će se raspirivati (težiti u beskonačno) (slika 4.2 dolje). Ako polovi imaju i realnu i imaginarnu komponentu tada će sustav imati prigušeni oscilatoran odziv (slika

46

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

4.4 gore), odnosno raspirujući oscilatorni odziv (slika 4.4 dolje), a ako se polovi nalaze na jω osi sustav će imati čisti oscilatorni odziv bez prigušenja (slika 4.3). Kompleksni polovi uvijek se pojavljuju u konjugirano kompleksnim parovima. Ako polovi imaju samo realnu komponentu, odziv sustava naziva se aperiodski (slika 4.2).

Slika 4.1: Polovi u s - ravnini

Slika 4.2: Aperiodski odziv sustava

4.2 Proporcionalni član nultog reda (P0 član)

47

Slika 4.3: Oscilatorni odziv sustava

Slika 4.4: Prigušeni i raspirujući oscilatorni odziv sustava

4.2

Proporcionalni član nultog reda (P0 član)

Proporcionalni član nultog reda (u daljnjem tekstu samo P0 član) je član koji nema dinamiku. Ulazna veličina se trenutno preslikava na izlaz s određenim pojačanjem. Diferencijalna jednadžba P0 člana je: y(t) = Ku(t)

(4.1)

Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (4.1) dobije se prijenosna funkcija P0 člana: Y (s) Y (s) = KU (s) ⇒ G(s) = =K (4.2) U (s)

48

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 4.5: Praktični primjeri P0 članova

Slika 4.6: Prijelazna funkcija P0 člana s pojačanjem km = 2.12 Ako se zanemare nelinearnosti, u praksi se može naći veliki broj P0 članova. Na slici 4.5 prikazani su samo neki od P0 članova kao što su otpornik, reduktor, enkoder i neki podsustavi DC motora. Za svaki član napisana je njegova diferencijalna jednadžba i prijenosna funkcija. Napon na otporniku proporcionalan je struji koja teče kroz njega.

4.3 Proporcionalni član prvog reda (PT1 član)

49

Za reduktor vrijedi; osovina koja je spojena na zupčanik s manjim brojem zubi z1 , brže se vrti od osovine koja je spojena na zupčanik s većim brojem zubi z2 . Kod enkodera je broj impulsa generiranih fototranzistorom proporcionalna s brzinom vrtnje osovine na koju je spojen enkode. Kod istosmjernog motora protuelektromotorna sila e(t) proporcionalna je brzini vrtnje osovine motora, a moment motora mm (t) proporcionalan je struji armature motora. Na slici 4.6 prikazana je prijelazna funkcija momenta motora mm (t). Prijelazna funkcija 4.6 može se poistovijetiti na svaki P0 član.

4.3

Proporcionalni član prvog reda (PT1 član)

Proporcionalni član prvog reda (u daljnjem tekstu samo PT1 član) ima vremensko usporenje prvog reda što znači da posjeduje samo jednu vremensku konstantu T . Koeficijent pojačanja sustava je K. PT1 član je aperiodski član1 . Diferencijalna jednadžba PT1 člana je: T y 0 (t) + y(t) = Ku(t) (4.3) Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (4.3) dobije se prijenosna funkcija PT1 člana: K Y (s) = (4.4) G(s) = U (s) Ts + 1

Slika 4.7: Praktični primjeri PT1 članova 1

To znači da u prijelaznoj funkciji nema oscilatornog ponašanja

50

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

Mnogi dinamički sustavi opisani su PT1 članovima. Najčešće su to mjerni senzori. Nekoliko primjera PT1 člana prikazano je na slici 4.7. RC filtar smo već spomenuli u prethodnom poglavlju. Rotacijski sustav je također opisan u prethodnom poglavlju. Često se u sustavima mora održavati referentna brzina vrtnje nekog mehanizma. Mjerenje brzine moguće je pomoću tahogeneratora. Njegova prijenosna funkcija također je PT1 član. Armaturni krug istosmjernog motora isto ima prijenosnu funkciju PT1 člana. Izlazna veličina ove prijenosne funkcije je armaturna struja koja pomnožena konstantom (P0 član) generira moment motora. Za općeniti PT1 odredit ćemo težinsku i prijelaznu funkciju te odziv na jediničnu rampu. Težinsku funkciju označavat ćemo s g(t), prijelaznu funkciju s h(t), a odziv sustava na jediničnu rampu s r(t). Svi odzivi prikazani su na slici 4.8.

Slika 4.8: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT1 člana

Vremenska konstanta T može se odrediti i direktno iz grafova sa slike 4.8. Iz težinske funkcije vremenska konstanta T određuje se tako da se povuće tangenta na težinsku funkciju iz točke g(0). Vrijeme u kojem tangenta siječe vremensku os predstavlja vremensku konstantu T . Iz prijelazne funkcije može se odrediti vremenska konstanta T na način da se povuče tangenta u točki h(0) na prijelaznu funkciju. Vrijeme u kojem tangenta siječe stacionarnu vrijednost y(T ) = K predstavlja vremensku konstantu T . Težinska funkcija PT1 člana g(t) prikazana je relacijom (4.5), (slika 4.8):

G(s) =

K K = T Ts + 1 s+

 g(t) =

1 T

(4.5) K −t e T T

Prijelazna funkcija PT1 člana h(t) prikazana je relacijom (4.6), (slika 4.8): 1 K 1 K K H(s) = G(s) = = − s Ts + 1 s s s + T1



(4.6) 

 t

h(t) = K 1 − e− T

4.4 Proporcionalni član drugog reda (PT2 član)

51

Odziv na jediničnu rampu PT1 člana r(t) prikazan je relacijom (4.7), (slika 4.8): 1 K 1 K R(s) = G(s) 2 = = 2 − KT 2 s Ts + 1 s s



1 1 − s s+



 1 T

(4.7)

  t r(t) = Kt − KT 1 − e− T

Za provjeru ispravnosti prethodnih izraza moguće je napraviti provjeru. Naime, težinska funkcija PT1 člana derivacija je prijelazne funkcije PT1 člana, a prijelazna funkcija PT1 člana derivacija je odziva PT1 člana na jediničnu rampu, odnosno:

G(s) =

1 K , H(s) = G(s) ⇒ G(s) = sH(s) Ts + 1 s

t

d

g(t) = h0 (t)

(4.8)

Relacija (4.8) dobivena je prema pravilu o derivaciji originala koje odgovara množenjem slike sa s. Ovo pravilo može se primjeniti na bilo koji sustav. Pokušajte sami pokazat da je prijelazna funkcija sustava derivacija je odziva sustava na jediničnu rampu.

4.4

Proporcionalni član drugog reda (PT2 član)

Proporcionalni član drugog reda (u daljnjem tekstu samo PT2 član) ima vremensko usporenje drugog reda što znači da posjeduje dvije vremenske konstante T1 i T2 . Koeficijent pojačanja sustava je K. PT2 član je aperiodski član2 . Diferencijalna jednadžba PT2 člana je: T1 T2 y 00 (t) + (T1 + T2 )y 0 (t) + y(t) = Ku(t)

(4.9)

Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (4.9) dobije se prijenosna funkcija PT2 člana: G(s) =

Y (s) K K = = U (s) T1 T2 s2 + (T1 + T2 )s + 1 (T1 s + 1)(T2 s + 1)

(4.10)

Iz izraza (4.10) vidi se da je PT2 član ništa drugo već umnožak dvaju PT1 članova. Ovom analogijom možemo zaključiti da će PTn članovi (proporcionalni članovi n-tog reda) biti umnožak n PT1 članova. PTn članovi izlaze izvan opsega osnovnih dinamičkih članova pa ih ovdje nećemo opisivati. Na slici 4.9 prikazana su dva primjera PT2 člana. Prvi primjer je kaskada dvaju RV filtra. Drugi primjer prikazuje strujno ovisan strujni izvor o struji induktiviteta i1 (t) RL kruga. Drugi dio sheme predstavlja strujno djelilo. Struja induktiviteta i1 (t) pojačana je β puta. 2

To znači da u prijelaznoj funkciji nema oscilatornog ponašanja

52

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 4.9: Praktični primjeri PT2 članova

Slika 4.10: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT2 člana

Težinska funkcija PT2 člana g(t) prikazana je relacijom (4.11), (slika 4.10): K K = G(s) = (T1 s + 1)(T2 s + 1) T1 − T2

1 1 1 − s + T1 s + T12

!



(4.11)

g(t) =

 K  − Tt − t e 1 − e T2 T1 − T2

Prijelazna funkcija PT2 člana h(t) prikazana je relacijom (4.12), (slika 4.10): 1 K 1 K H(s) = G(s) = = − s (T1 s + 1)(T2 s + 1) s s



KT1 T1 −T2 s + T11

−

KT2 T1 −T2 s + T12

!

(4.12) 

 1 − t − t h(t) = K 1 − T1 e T1 − T2 e T2 T1 − T2



4.5 Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) 53 Odziv na jediničnu rampu PT2 člana r(t) prikazan je relacijom (7.23), (slika 4.10): ! KT1 2 KT2 2 1 1 K K K(T1 + T2 ) + T1 −T12 − T1 −T12 R(s) = G(s) 2 = = 2− s (T1 s + 1)(T2 s + 1) s2 s s s + T1 s + T2

 

  t t 1 2 − T2 2 − T1 r(t) = K t − (T1 + T2 ) + − T2 e T1 e T1 − T2 (4.13) Ako je T1 = T2 = T težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv sustava na jediničnu rampu bitno se mijenja. Težinska funkcija PT2 člana g(t) uz T1 = T2 = T prikazana je relacijom (4.14): K K G(s) =
2 2 = (T s + 1) T s + T12



(4.14)

K −t te T T2 Prijelazna funkcija PT2 člana g(t) uz T1 = T2 = T prikazana je relacijom (4.15): g(t) =

1 1 K K K K H(s) = G(s) = = − −
2 2 s s s + T1 (T s + 1) s T s + T1



(4.15)

  t 1 −t − h(t) = K 1 − te T − e T T Odziv na jediničnu rampu PT2 člana r(t) uz T1 = T2 = T prikazan je relacijom (4.16): R(s) = G(s)



K 1 K 2KT K 2KT 1 = − +
2 2 = 2 − 2 2 s s s s + T1 (T s + 1) s s + T1 (4.16)

  t t r(t) = K t − 2T + te− T + 2T e− T

4.5

Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član)

Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (u daljenjem tekstu PT2S član) nema aperiodski odziv, već odziv s prigušenim oscilatornim ponašanjem. To znači da oscilaciju traju jedno određeno vrijeme, a zatim se ugase. Diferencijalna jednadžba PT2S člana je: y 00 (t) + 2ζωn y 0 (t) + ωn 2 y(t) = Kωn 2 u(t) gdje je: • ζ – faktor prigušenja;

(4.17)

54

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova • ωn – prirodna frekvencija sustava3 , [rad/s]; • K – koeficijent pojačanja sustava.

Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (4.17) dobije se prijenosna funkcija PT2S člana: Kωn 2 Y (s) = 2 G(s) = (4.18) U (s) s + 2ζωn s + ωn 2 Polovi sustava su nultočke nazivnika. Položaj polova u s-ravnini definira odziv sustava. Pokušajmo sada na temelju nazivnika prijenosne funkcije (4.18) izračunat polove PT2S člana: p −2ζωn ± 4ζ 2 ωn 2 − 4ωn 2 2 2 s + 2ζωn s + ωn = 0 ⇒ s1,2 = (4.19) 2 p 2 s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ = −ζωn ± jωd gdje je ωd frekvencija prigušenih oscilacija. Iz relacije (4.19) može se vidjeti da će sustav imati prigušene ocilacije za 0 < ζ < 1. Za ζ = 0 sustav ima neprigušene oscilacije. Ako je ζ > 1 prijenosna funkcija (4.18) PT2S člana prelazi u PT2 član s vremenskim konstantama: Y (s) Kωn 2 K = 2 = U (s) s + 2ζωn s + ωn 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1) p 2 2 s + 2ζωn s + ωn = 0 ⇒ s1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1 1 1 (T1 s + 1)(T2 s + 1) = 0 ⇒ T1 = − , T2 = − s1 s2 1 1   , T2 =   T1 = p p 2 2 ωn ζ + ζ − 1 ωn ζ − ζ − 1 G(s) =

Slika 4.11: Praktični primjeri PT2S članova 3

U nekim literaturama pojam poznat kao frekvencija neprigušenih oscilacija

(4.20)

4.5 Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) 55

Slika 4.12: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT2S člana Na slici 4.11 prikazana su dva, već poznata primjera PT2S člana. Oba sustava, i RLC krug i rotacijski sustav ovisno o koeficijentima prijenosne funkcije, može biti i PT2 i PT2S član. Ako je faktor prigušenja unutar vrijednosti 0 < ζ < 1.(faktor prigušenja ovisi o koeficijentima sustava sa slike 4.11) tada će sustavi sa slike 4.11 biti PT2S članovi. Težinska funkcija PT2S člana g(t) prikazana je relacijom (4.21), (slika 4.12): Kωn 2 ωωdd Kωn 2 Kωn 2 = G(s) = 2 = s + 2ζωn s + ωn 2 (s + ζωn )2 + ωn 2 (1 − ζ 2 ) (s + ζωn )2 + ωd 2



(4.21)

g(t) = K

p ωn 2 −ζωn t e sin ωd t, ωd = ωn 1 − ζ 2 ωd

Prijelazna funkcija PT2S člana h(t) prikazana je relacijom (4.22), (slika 4.12): 1 Kωn 2 1 Kωn 2 1 H(s) = G(s) = 2 = 2 s s + 2ζωn s + ωn 2 s (s + ζωn ) + ωd 2 s Kζωn ωωdd K K(s + ζωn ) H(s) = − − s (s + ζωn )2 + ωd 2 (s + ζωn )2 + ωd 2

(4.22)

    p ζωn −ζωn t cos ωd t + h(t) = K 1 − e sin ωd t , ωd = ωn 1 − ζ 2 ωd Odziv na jediničnu rampu PT2S člana r(t) prikazan je relacijom (4.23), (slika 4.12): 1 Kωn 2 1 Kωn 2 1 = = 2 s2 s2 + 2ζωn s + ωn 2 s2 (s + ζωn ) + ωd 2 s2   2 −1 K2ζ 2ζ √ ωd K2ζ K2ζ ωn (s + ζωn ) 2ζ 1−ζ 2 K ωn ωn R(s) = 2 − + + s s (s + ζωn )2 + ωd 2 (s + ζωn )2 + ωd 2

R(s) = G(s)

 r(t) = K

!! p 2ζ 2ζ −ζωn t 2ζ 2 − 1 t− + e cos ωd t − p sin ωd t , ωd = ωn 1 − ζ 2 ωn ωn 2ζ 1 − ζ 2 (4.23)

56

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova Za PT2S definiraju se pokazatelji kvalitete .

Slika 4.13: Pokazatelji kvalitete Pokazatelji kvalitete su prikazani na slici 4.13, a oni su redom: • σm – nadvišenje prijelazne funkcije; • tm – vrijeme prvog maksimuma, [s]; • tr – vrijeme porasta [s]; • t – vrijeme ustaljivanja, [s]. Maksimum prijelazne funkcije je hm , a ustaljena vrijednost prijelazne funkcije (stacionarna vrijednost) h(∞). Nadvišenje prijelazne funkcije definira se kao: σm [%] =

hm − h(∞) 100% h(∞)

(4.24)

Maksimum prijelazne funkcije dobije se izjednačavanjem prve derivacije iste s nulom. S obzirom da je prva derivacija prijelazne funkcije težinska funkcija, dobije se: p ωn 2 −ζωn t e sin ωn 1 − ζ 2 t = 0 ⇒ ωd p kπ ωn 1 − ζ 2 t = kπ ⇒ tm (k) = p ωn 1 − ζ 2 h0 (t) = 0 ⇒ g(t) = K

(4.25)

Prijelazna funkcija PT2S člana je prigušeno oscilatorna. Iz izjednačavanja prve derivacije prijelazne funkcije s nulom dobili smo vrijeme svih ekstrema (tm (k)) prijelazne funkcije.

4.5 Proporcionalni član drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) 57 S obzirom da nas zanima samo prvi maksimum (jer je on i globalnu maksimum) vrijeme prvom maksimuma biti će za k = 1. Sada se može izračunati i maksimum funkcije te zatim nadvišenje: kπ π p tm (k) = ⇒ tm = p ωn 1 − ζ 2 k=1 ωn 1 − ζ 2   − √ ζπ 2 −ζωn tm hm = h(tm ) = Ke = K 1 + e 1−ζ   − √ ζπ 2 K 1 + e 1−ζ − K − √ ζπ hm − h(∞) σm [%] = 100% = 100% = e 1−ζ2 100% h(∞) K

(4.26)

Vrijeme porasta tr je vrijeme koje je prijelaznoj funkciji potrebno da dođe od 10% svoje konačne vrijednosti do 90% svoje konačne vrijednosti (konačna vrijednost je h(∞)). Vrijeme ustaljivanja t je vrijeme kod kojeg prijelazna funkcija uđe u 1% odstupanja od konačne vrijednosti prijelazne funkcije h(∞). Ova dva vremena često se određuju grafički. Postoje i približne relacije za vrijeme porasta i vrijeme ustaljivanja[12]: tr ≈

4.6 1.8 , tε ≈ ωn ζωn

(4.27)

U slučaju kada je ζ = 0 sustav nema prigušenja, odziv je čisti oscilatoran (odziv s neprigušenim oscilacijama).

Slika 4.14: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu PT2S člana s neprigušenim oscilacijama Težinska funkcija PT2S člana bez prigušenja g(t) za ζ = 0 prikazana je relacijom (4.28): Kωn 2 G(s) = 2 s + ωn 2 (4.28)



g(t) = Kωn sin ωn t Prijelazna funkcija PT2S člana bez prigušenja h(t) za ζ = 0 prikazana je relacijom (4.29):

58

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

Kωn 2 1 K Ks 1 = − 2 H(s) = G(s) = 2 2 s s + ωn s s s + ωn 2



(4.29)

h(t) = K(1 − cos ωn t) Odziv na jediničnu rampu PT2S člana bez prigušenja r(t) za ζ = 0 prikazan je relacijom (4.30): K ω 1 Kωn 2 1 K ωn n R(s) = G(s) 2 = 2 = 2− 2 2 2 s s + ωn s s s + ωn 2 (4.30)  r(t) = K(t −

1 sin ωn t) ωn

Na slici 4.14 prikazan je period neprigušenih oscilacija Tn .

4.6

Derivacijski član (D član)

Članovi kod kojih je izlazna veličina proporcionalna ulaznoj veličini nazivamo derivacijskim članovima (u daljnjem tekstu D članovi). Diferencijalna jednadžba D člana je: du(t) = Kd u0 (t) (4.31) dt Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (4.31) dobije se prijenosna funkcija D člana: Y (s) G(s) = = Kd s (4.32) U (s) y(t) = Kd

Slika 4.15: Praktični primjeri D članova Na slici 4.15 prikazani su poznati primjeri D članova. Poznato je da je struja kroz kondenzator proporcionalna derivaciji napona na kondenzatoru te da je napon na zavojnici proporcionalan derivaciji struje kroz zavojnicu. U mehanici, brzina je derivacija puta, odnosno u slučaju rotacijskog sustava, kutna brzina je derivacija kutnog pomaka.

4.6 Derivacijski član (D član)

59

Slika 4.16: Prijelazna funkcija i odziv na rampu D člana

Prijelazna funkcija D člana h(t) prikazana je relacijom (4.33), (slika 4.16): 1 H(s) = G(s)U (s) = Kd s = Kd s



(4.33)

h(t) = Kd δ(t) Odziv na jediničnu rampu D člana r(t) prikazana je relacijom (4.35), (slika 4.16): R(s) = G(s)U (s) = Kd s



Kd 1 = 2 s s

(4.34)

r(t) = Kd µ(t)

4.6.1

Realni derivacijski član (DT1 član)

Ako je red brojnika prijenosne funkcije sustava G(s) veći od reda nazivnika tada je sustav nekauzalan. Svi tehnički sustavi su kauzalni. Ako želimo da D član bude kauzalan potrebno mu je dodati parazitnu vremensku konstantu (mala vremenska konstanta). To je ekvivalentno kaskadi (umnošku) prijenosne funkcije D člana i PT1 člana s jediničnim pojačanjem. Na taj način dobili smo realni derivacijski član (u daljnjem tekstu DT1 član) Prijenosna funkcija DT1 člana je stoga:

G(s) =

Kd Y (s) = s U (s) Td + 1

(4.35)

Inverznom Laplaceovom transformacijom moguće je dobiti diferencijalnu jednadžbu DT1 člana: Td y 0 (t) + y(t) = Kd u0 (t)

(4.36)

60

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 4.17: Praktični primjeri realnih derivatora (DT1 članovi) Na slici 4.17 prikazani su praktični primjeri DT1 člana. Prvi primjer je CR filtar. S obzirom da napon na kondenzaotru eksponencijalno raste, napon na otporniku eksponencijalno pada što se poklapa sa prijelaznom funkcijom h(t) na slici 4.18. Drugi primjer je realizacija realnog derivatora s operacijskim pojačalom. Kod CR filta nije moguće nezavisno mijenjati pojačanje Kd . Kod izvedbe realnog derivatora s operacijskim pojačalom to je izvedivo.

Slika 4.18: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu DT1 člana Težinska funkcija DT1 člana prikazana je relacijom 4.37, (slika 4.18): Kd

Kd Kd s T 2 = − d 1 G(s) = Td s + 1 Td s + Td



(4.37)

  Kd 1 − Tt g(t) = δ(t) − e d Td Td Prijelazna funkcija DT1 člana prikazana je relacijom 4.38, (slika 4.18): 1 Kd s 1 Kd H(s) = G(s) = = s Td s + 1 s Td s + 1



h(t) =

(4.38) Kd − Tt e d Td

4.7 Integralni član

61

Odziv DT1 člana na jediničnu rampu prikazan je relacijom 4.39, (slika 4.18): R(s) = G(s)



1 Kd Kd Td Kd s 1 Kd 1 = − = = 2 2 s Td s + 1 s Td s + 1 s s Td s + 1 (4.39) − Tt

r(t) = Kd (1 − e

4.7

d

)

Integralni član

Članovi kod kojih je izlazna veličina proporcionalna integralu ulazne veličini nazivaju se integralnim članovima (u daljnjem tekstu I članovi). Integralni članovi u opisu sustava javlaju se uvijek kod pohrane energije. Diferencijalna jednadžba I člana je: Z t y(t) = Ki u(t)dt (4.40) 0

Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (4.41) dobije se prijenosna funkcija I člana: Y (s) Kd G(s) = = (4.41) U (s) s

Slika 4.19: Praktični primjeri I članova Na slici 4.19 prikazani su praktični primjeri I članova. Struja zavojnice proporcionalna je integralu napona na zavojnici. Napon na kondenzatoru proporcionalan

62

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

je integralu struje kroz kondenzator. U mehanici, put je integral brzine, a u slučaju rotacijskog sustava, kutni pomak integral je brzine vrtnje. Kod istosmjernog motora przina vrtnje proporcionalna je integralu dinamičkog momenta4 . Volumen tekučine u nekom spremniku integral je razlike svih ulaznih volumnih protoka i svih izlaznih volumnih protoka.

Slika 4.20: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu I člana Težinska funkcija I člana prikazana je relacijom 4.42, (slika 4.20): G(s) =



Ki s

(4.42)

g(t) = Ki µ(t) Prijelazna funkcija I člana prikazana je relacijom 4.43, (slika 4.20): 1 Ki 1 Ki H(s) = G(s) = = 2 s s s s



(4.43)

h(t) = Ki t Odziv I člana na jediničnu rampu prikazan je relacijom 4.44, (slika 4.20): R(s) = G(s)



Ki 1 Ki 1 = = 3 2 2 s s s s

(4.44)

r(t) = Ki t2

4.8

Član s transportnim kašnjenjem

Do sada su svi dinamički članovi bili opisivi diferencijalnim jednadžbama. Često se u industrijskim postrojenjima pojavljuje tzv. članovi s transportnim kašnjenjem5 koji se ne može opisati diferencijalnom jednadžbom. Ovaj član naziva se član s mrtvim 4 5

Dinamički moment razlika je momenta motora mm (t) i momenta tereta mt (t) U nekim literaturama se naziva član s mrtvim vremenom

4.8 Član s transportnim kašnjenjem

63

vremenom iz razloga jer se najčešće pojavljuje kod transportnih sustava. Kašnjenje sustava opisuje se sljedećom jednadžbom: y(t) = u(t − τ )

(4.45)

Prije primjene Laplaceove transformacije na izraz (4.45) potrebno je definirati teorem o pomaku originala. Teorem o pomaku originala Pomak originala udesno odgovara prigušenju slike[7]: f (t − τ )µ(t − τ )

d

t

e−τ s F (s)

(4.46)

Primjenom teorema o pomaku originala na izraz (4.45) dobije se prijenosna funkcija člana s transportnim kašnjenjem: G(s) =

Y (s) = e−τ s U (s)

(4.47)

Slika 4.21: Praktični primjer člana s transportnim kašnjenjem Na slici 4.21 prikazan je transportni sustav krutog materijala. Zbog opterečenja sustav je raspodijeljen na dvije pokretne trake. Prva traka duljine L1 , giba se konstantnom linearnom brzinom v1 . Druga traka duljine L2 , giba se konstantnom linearnom brzinom v2 . Zbog duljina pojedinih traka, kruti materijal kasni do prve trake za vrijeme od τ1 = L1 /v1 . Vrijeme koje je potrebno da kruti materijal dođe od kraja prve do kraja druge trake je τ2 = L2 /v2 . Ukupno kašnjenje krutog materijala od ulaza Q1 do izlaza Q3 zbroj je pojedinih kašnjenja τ1 + τ2 .

64

Vremenski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 4.22: Težinska funkcija, prijelazna funkcija i odziv na rampu člana s transportnim kašnjenjem Težinska funkcija člana s transportnim kašnjenjem prikazana je relacijom 4.48, (slika 4.22): G(s) = e−τ s



(4.48)

g(t) = δ(t − τ ) Prijelazna funkcijačlana s transportnim kašnjenjem prikazana je relacijom 4.49, (slika 4.22): 1 1 H(s) = G(s) = e−τ s s s (4.49)



h(t) = µ(t − τ ) Odziv člana s transportnim kašnjenjem na jediničnu rampu prikazan je relacijom 4.50, (slika 4.22): R(s) = G(s)



1 1 = e−τ s 2 2 s s

r(t) = (t − τ ) µ(t − τ )

(4.50)

Poglavlje 5 Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova Ako na ulaz linearnih vremenski nepromjenjivih sustava dovedemo neprigušenu oscilatornu komponentu1 tada će nakon prijelaznih pojava sustav poprimiti isto neprigušeno oscilatorno ponašanje s frekvencijom ulaznog signala, ali s pomakom u fazi. Na ulaz sustava dovedimo pobudu oblika: u(t) = A sin ωt

(5.1)

Primjenom Laplaceove transformacije na pobudu (5.1) dobijemo: U (s) =

s2

Aω + ω2

(5.2)

Neka je linearni sustav opisan prijenosnom funkcijom G(s) i neka za sve polove vrijedi Re {pi } < 02 [1]. Odziv sustava može se dobiti kao: Y (s) = G(s)U (s) = G(s)

s2

Aω + ω2

(5.3)

Ako želimo napraviti inverznu Laplaceovu transformaciju izraza (5.3) potrebno je na Y (s) primjeniti Heavisideov razvoj3 : Y (s) =

K1 K2 Kn Ks1 Ks2 + + ... + + + s − p1 s − p2 s − pn s − jω s + jω

(5.4)

Pokušajmo sada nači koeficijente Ks1 i Ks2 koristeći formulu : G(s)Aω s→jω s→jω (s − jω) (s + jω) G(s)Aω = lim (s + jω) Y (s) = lim (s + jω) s→−jω s→jω (s − jω) (s + jω)

Ks1 = lim (s − jω) Y (s) = lim (s − jω) Ks2 1

(5.5)

Sinusna ili kosinusna pobuda s frekvencijom ω Ako su relani djelovi svih polova manji od nule tada sustav neće imati raspirujuć odziv, odnosno vremenski odziv eksponencijalnih članova iščezava 3 Pogledati potpoglavlje Matematički modeli kontinuiranih sustava - Opis sustava prijenosnom funkcijom u Laplaceovoj domeni 2

66

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Sređivanjem izraza (5.5) dobije se: G(jω)Aω G(jω)A = (jω + jω) 2j G(−jω)Aω G(−jω)A = = (−jω − jω) −2j

Ks1 = Ks2

(5.6)

S obzirom da se svaki kompleksni proj može zapisati kao umnožak njegovog modula i argumenta4 slijedi: |G(jω)| ej arg(G(jω)) A Ks1 = 2j (5.7) |G(−jω)| ej arg(G(−jω)) A Ks2 = −2j Brojevi G(jω) i G(−jω) su konjugirano kompleksni brojevi za koje vrijedi da je |G(−jω)| = |G(jω)| i arg(G(−jω)) = − arg(G(jω))[13] Sada se izraz (5.7) može napisati na sljedeći način: |G(jω)| ej arg(G(jω)) A 2j |G(jω)| e−j arg(G(jω)) A = −2j

Ks1 = Ks2

(5.8)

Primjenom inverzne Laplaceove transformacije na izraz (5.3) dobije se: y(t) = K1 e−p1 t + K1 e−p2 t + ... + Kn e−pn t + Ks1 ejωt + Ks2 e−jωt {z } | {z } | homogeno rješenje

(5.9)

partikularno rješenje

Ako za polove vrijedi da je Re {pi } < 0 tada homogeni dio rješenja iščezava s vremenom, a ostaje samo partikularno rješenje5 od y(t). Nakon što homogeno rješenje iščezne ostaje samo partiularno rješenje: y(t) = Ks1 ejωt + Ks2 e−jωt | {z }

(5.10)

partikularno rješenje

Uvrstimo sada izračunate konstante Ks1 i Ks2 u izraz (5.10): |G(jω)| ej arg(G(jω)) A jωt |G(jω)| e−j arg(G(jω)) A −jωt e + e 2j −2j ej arg(G(jω)) ejωt − e−j arg(G(jω)) e−jωt y(t) = |G(jω)| A 2j j(ωt+arg(G(jω))) e − e−j(ωt+arg(G(jω))) y(t) = |G(jω)| A 2j (5.11) 6 Primjenom Eulerove formule za sinus funkciju: y(t) = Ks1 ejωt + Ks2 e−jωt =

sin ϕ =

ejϕ − e−jϕ 2j

√ b a + jb = |a + jb| ej arg(a+jb) = a2 + b2 ej arctan( a ) 5 rješenje uzrokovano neprigušenom oscilatornom pobudom 6 jϕ e = cos ϕ + j sin ϕ

4

(5.12)

67 na izraz (5.11) dobije se konačno rješenje sustava nakon prijelaznih pojava (nakon što homogeno rješenje iščezne): y(t) = |G(jω)| A sin (ωt + arg(G(jω)))

(5.13)

Amplituda izlaznog signala je |G(jω)| A, a fazni pomak izlaznog signala naspram ulaznog signala je arg(G(jω)). Može se zaključiti da je ulazni signal, narinut na sustav G(s), na frekvenciji ω pojačan za |G(jω)| i fazno pomaknut za arg(G(jω)) (slika 5.1).

Slika 5.1: Izlazni signal sustava G(s) uz neprigušenu oscilatornu pobudu Pokazli smo ono što smo tvrdili na početku poglavlja. Ako bi izračunali pojačanja i fazne pomake izlaznog signala u ovisnosti o ulaznom signalu za sve frekvencije 0 6 ω < ∞ dobili bi amplitudno frekvencijsku i fazno frekvencijsku karakteristiku. Pojedinačno crtanje amplitudne i fazno frekvencijske karakteristike7 sustava nazivamo Bodeovim dijagramima. Iz dosadašnjih razmatranja može se zaključiti da se pojačanje i fazni pomak ulaznog neprigušeno oscilatornog signala na izlazu sustava može izračunati tako da se uvede supstitucija s = jω. Opišimo sada aparat za prezentaciju vremenskog signala u frekvencijskoj domeni. Transformacija koja povezuje vremensku domenu i frekvencijsku domenu naziva se Fourierova transformacija. Ova transformacija nalazi veliku primjenu u obradi signala, teoriji vjerojatnosti, analizi sustava automatskog uravljanja i drugim područjima [10]. Primjenom Fourierove transformacije na sustav automatskog upravljanja (prijenosnu funkciju) dobiju se pojačanja i pomak u fazi sustava na pojedinim frekvencijama. Stoga ćemo na temelju Fourierove transformacije moći promatrati amplitudno frekvencijsku i fazno frekvencijsku karakteristiku. Definicija Fourierove transformacije dana je 7

O amplitudno frekvencijskoj i fazno frekvencijskoj karakteristici nešto više u nastavku poglavlja.

68

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

sljedećim izrazom [14]: Z

∞

Y (ω) =

y(t)e−jωt dt

(5.14)

−∞

Za pobudne signale u(t) koji se koriste u automatskom upravljanju vrijedi da je u(t) = 0 za t < 0. Uz pretpostavku da su početna stanja sustava jednaka nuli8 , za odziv sustava y(t) također vrijedi da je y(t) = 0 za t < 0. Primjenom ovog zaključka na izraz (5.14) možemo pisati: Z ∞ Z 0 −jωt y(t)e−jωt dt y(t)e dt + Y (ω) = 0 −∞ Z ∞ Z 0 (5.15) y(t)e−jωt dt 0 · e−jωt dt + Y (ω) = 0 −∞ Z ∞ y(t)e−jωt dt Y (ω) = 0

U izrazu (5.15) inegral za negativna vremena jednak je nuli. Ako u izrazu (5.15) napravimo supstituciju s = jω dolazimo do definicije Laplaceove transformacije signala y(t). Z ∞ Z ∞ −st y(t)e−jωt dt (5.16) ⇒ Y (ω) = y(t)e dt Y (s) = 0

s=jω

0

Ako sada izraz (5.3) želimo promatrati u frekvencijskoj domeni, potrebno je samo napraviti supstituciju s = jω 9 . Pokušajmo sada na temelju dosadašnjih saznanja izračunati izlaz y(t) sustava G(s) nakon prijelaznih pojava. Zadan je ulazni signal u(t) i prijenosna funkcija sustava G(s): u(t) = 5 sin 3t G(s) =

1 1 = 2 (s + 1)(s + 2) s + 3s + 2

(5.17)

Uvođenjem supstitucije s = jω u prijenosnu funkciju G(s) dobije se: 1 P (jω) 1 G(s) = 2 ⇒ G(jω) = = s + 3s + 2 s=jω Q(jω) −ω 2 + 3jω + 2 |P (jω)| ej arg(P (jω)) 1 =q j arg(Q(jω)) |Q(jω)| e j arctan( 3ω 2 ) 2−ω (2 − ω 2 )2 + 9ω 2 e √ √ 9 1 −j arctan( −7 130 −j2.2318 130 ) G(jω) = √ e = e , |G(jω)| = , arg(G(jω)) = −2.2318 130 130 130 (5.18) Kod računanja arctan funkcije vrlo je bitno u kojem se kvadrantu nalazi točka za koju računamo arcus tanges. Brojnik arctan funkcije predstavlja imaginarnu komponentu točke u kompleksnoj ravnini, a nazivnik predstavlja realnu komponentu točke u kompleksnoj ravnini. S obzirom da kalkulatori vraćaju vrijednosti arctan funkcije samo za kuteve iz I. i IV. kvadranta potrebno je za točke iz II. i III. kvadranta dodati još π na G(jω) = |G(jω)| ej arg(G(jω)) =

8 9

Ovo vrijedi za prijenosnu funkciju koja se računa za početna stanja jednaka nuli Pokazali smo da vrijedi veza između Laplaceove i Fourierove transformacije, s = jω

69 izračunatu vrijednost kuta kalkulatora. Iz izraza (5.17) slijedi da je ω = 3 rad s−1 te vrijednost frekvencije potrebno je samo uvrstiti u (5.18): √ √ 1 1 10 −j2.2318 10 −j arctan( −3 ) G(jω) = √ e = e , |G(jω)| = , arg(G(jω)) = −2.2318 30 30 3 32 + 1 (5.19) Korištenjem izraza (5.13) i dobivenog pojačanja i faznog pomaka u (5.19) dobije se izlazni signal: √ y(t) = |G(jω)| A sin (ωt + arg(G(jω)))|A=5,ω=3 =

130 sin (3t − 2.2318) 130

(5.20)

Odziv sustava G(s) na pobudu u(t) dani izrazom (5.17) prikazan je na slici 5.2

Slika 5.2: Odziv y(t) sustava G(s) na pobudu u(t), (izraz (5.17)) Osnovna je prednost frekvencijske analize sustava mogućnost grafičkog prikaza koji se može na jednostavan način primijeniti u analizi i sintezi automatskog sustava upravljanja. Grafički prikaz temelji se na prikazu kompleksne prijenosne funkcije G(jω) u ovisnosti o frekvenciji ω. U praksi se pojavljuju sljdeći drafički postupci [7]: • Nyquistov dijagram • Bodeov dijagram • Nicholsov dijagram S obzirom da se u inženjerskoj praksi danas više koristi Nyquistov i Bodeov dijagram, njih ćemo podrobnije opisati.

70

5.1

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Nyquistov dijagram

Nyquistov dijagram je prikaz kompleksne prijenosne funkcije G(jω) u kompleksnoj (Gaussovoj ravnini 10 ). Kompleksnu prijenosnu funkciju G(jω) potrebno je rastaviti na realni i imaginarni dio: G(jω) = Re {G(jω)} + j Im {G(jω)} = X(jω) + jY (jω)

(5.21)

ili u polarnom obliku: G(jω) = |G(jω)| ej arg(G(jω))

(5.22)

Nyquistov dijagram moguće je sada crtati za sve frekvencije 0 6 ω < ∞. Uvrštavajući frekvencije ω u izraze (5.21) i (5.22) crtaju se kompleksne točke u Gaussovoj ravnini. Spajajući pojedine točke dobijemo Nyquistov dijagram. Često Nyquistov dijagram završava u ishodištu (ω → ∞) Gaussove ravnine pa se prema (5.22) može odrediti pod kojim kutem Nyquistova krivulja ulazi u ishodište Gaussove ravnine. Također se može odrediti i pod kojim kutem Nyquistova krivulja izlazi iz početne točke gdje je ω = 0. Primjer Nyquistovog dijagrama prikazan je na slici 5.3.

Slika 5.3: Nyquistov dijagram Nedostatak Nyquistovog dijagrama je u tome što je potrebno zbati vrijednosti kompleksne prijenosne funkcije G(jω) u svim frekvencijama ω. Također, kod visokih frekvencija krivulja zauzima malo područje što postaje nepregledno. Prednost Nyquistovog dijagrama je u tome što brzo možemo napraviti neku osnovnu ocjenu ponašanja sustava na svim frekvencijama. Pokušajmo sada nacrtati nyquistov dijagram za neki jednostavni sustav G(s): 1 G(s) = (5.23) s(s + 1) Da bi radili frekvencijsku analizu najprije je potrebno uvrstiti supstituciju s = jω, a zatim proračunati pojedine realne i imaginarne djelove od kompleksne prijenosne 10

Ravnina u kojoj se prezentiraju kompleksni brojevi; realni dio na osi apscisa, imaginarni dio na osi ordinati

5.1 Nyquistov dijagram

71

funkcije G(jω): 1 1 1 ⇒ G(jω) = G(s) = = 2 s(s + 1) jω jω(jω + 1) −ω + jω 1 1 1 G(jω) = √ = √ e−j arctan( −ω ) 1 ω ω2 + 1 ω ω 2 + 1ej arctan( −ω )

(5.24)

Racionalizacijom kompleksne prijenosne funkcije G(jω) dobije se: G(jω) = Re {G(jω)} + j Im {G(jω)} = X(jω) + jY (jω) 1 −ω 2 − jω −ω 2 − jω −1 −1 G(jω) = = +j 3 = 2 2 2 4 2 −ω + jω −ω − jω ω +ω ω +1 ω +ω −1 X(jω) = 2 ω +1 −1 Y (jω) = 3 ω +ω

(5.25)

Realni dio X(jω) kompleksne prijenosne funkcije G(jω) uvijek je negativan bez obzira na predznak frekvencije ω, dok je imaginarni dio Y (jω) kompleksne prijenosne funkcije G(jω) pozitivan za negativne frekvencije ω, a negativan za pozitivne frekvencije ω. S obzirom da u tehničkim sustavima ne poznajemo negativnu frekvenciju, crtanje Nyquistovog dijagrama bit će samo za pozitivne frekvencije 0 6 ω < ∞ što smo već i naveli. Ako je tako, tada će i imaginarni dio Y (jω) kompleksne prijenosne funkcije G(jω) biti uvijek negativan. Za sada smo zaključili da će Nyquistov dijagram sustava (5.23) egzistirati u III kvadrantu kompleksne ravnine. Pogledajmo što se događa u točkama kad ω → 0 i kad ω → ∞. −1 −1 = −1, lim Y (jω) = 3 = −∞ ω→0 +1 ω +ω −1 −1 lim X(jω) = 2 = 0, lim Y (jω) = 3 =0 ω→∞ ω→∞ ω +1 ω +ω lim X(jω) =

ω→0

ω2

(5.26)

Uzmimo još jednu frekvenciju za koju ćemo odrediti točku u kompleksnoj ravnini (npr. ω = 1): −1 1 −1 1 X(j1) = 2 = − , Y (j1) = 3 =− (5.27) 1 +1 2 1 +1 2 Prije crtanja Nyquistovog dijagrama poželjno je da se izračuna vrijednost kuta pod kojim se izlazi iz početne točke (ω → 0) i kuta pod kojim se ulazi u krajnju točku (ω → ∞). U slučaju sustava definiranog izrazom (5.23) to je lako odrediti i bez matematičkog aparata, ali postoje sustavi kod kojih je Nyquistova krivulja vrlo specifična. Potrebno je odrediti arg(G(jω)) za navedene dvije frekvencije: 



 π  1 π lim arg(G(jω)) = lim − arctan =− =− ω→0 ω→0 −ω 2 2    1 lim arg(G(jω)) = lim − arctan = − (π) = −π ω→∞ ω→∞ −ω

(5.28)

Nakon svih izračuna moguće je nacrtati Nyquistov dijagram sustava (5.24), (slika 5.4).

72

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.4: Nyquistov dijagram sustava (5.24)

5.2

Bodeov dijagram

Bodeovi dijagrami su dijagrami koji prikazuju posebno ovisnost amplitude o frekvenciji, a posebno ovisnost faze o frekvenciji nekog sustava. Pojedine dijagrame ćemo zvati amplitudno frekvencijska karakteristika i fazno frekvencijska karakteristika. Ove karakteristike crtaju se u lin - log 11 skali. S obzirom da ćemo amplitudu crtati u decibelima, a modul12 kompleksne prijenosne funkcije |G(jω)| predstavlja pojačanje sustava, koristit ćemo poznati izraz iz elektronike za omjer izlazne i ulazne snage signale, odnosno omjer izlaznog i ulaznog napona: A [dB] = 10 log

Ui Ui 2 Pi = 10 log 2 = 20 log Pu Uu Uu

(5.29)

odnosno primjenjujući to na modul kompleksne prijenosne funkcije |G(jω)|: |G(jω)| [dB] = 20 log |G(jω)|

(5.30)

Prijenosna funkcija sustava općenito se može napisati kao umnožak pojačanja sustava K, nula u brojniku i polova u nazivniku: G(s) = K

(s − n1 )(s − n2 ) · · · (s − nm ) (s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pn )

(5.31)

Supstitucijom s = jω u izrazu (5.31) dobije se: G(jω) = K 11 12

(jω − n1 )(jω − n2 ) · · · (jω − nm ) (jω − p1 )(jω − p2 ) · · · (jω − pn )

Amplituda se crta linearno u decibelima (dB ), a frekvencija logaritamski u rad/s Apsolutna vrijednost broja

(5.32)

5.2 Bodeov dijagram

73

Ako je sustav kauzalan broj nula je općenito manji ili jednak broju polova (m 6 n). Neka je broj nula jednak broju polova (m = n, najopćenitiji slučaj). Sada izraz (5.32) možemo napisati na sljedeći način: G(jω) = K

(jω − nm ) (jω − n1 ) (jω − n2 ) ··· (jω − p1 ) (jω − p2 ) (jω − pn )

(5.33)

Izraz (5.33) može se poopćiti i na slučajeve kada je broj nula manji od broja polova (m < n). Tada bi kompleksna funkcija bila: G(jω) = K

(jω − n1 ) (jω − n2 ) (jω − nm ) 1 ··· ··· (jω − p1 ) (jω − p2 ) (jω − pm ) (jω − pn )

(5.34)

Pojedine faktore možemo zapisati iz izraza (5.33) i (5.34) možemo zapisati kao zasebne kompleksne prijenosne funkcije: K · Gn1 (jω) · · · Gnm (jω) Gp1 (jω)Gp2 (jω) · · · Gpn (jω) Gn1 (jω) = (jω − n1 ), , , Gnm (jω) = (jω − nm ) Gp1 (jω) = (jω − p1 ), , , Gpn (jω) = (jω − pn ) G(jω) =

(5.35)

U izrazu (5.35) Gni (jω) su nule sustava (1 6 i 6 m), Gpj (jω) su polovi sustava (1 6 j 6 n). Ako primijenimo izraz (5.22) na izraz (5.35) dobije se: G(jω) =

|K| earg(K) |Gn1 (jω)| earg(Gn1 (jω)) |Gn2 (jω)| earg(Gn2 (jω)) · · |Gnm (jω)| earg(Gnm (jω)) |Gp1 (jω)| earg(Gp1 (jω)) |Gp2 (jω)| earg(Gp2 (jω)) · · · |Gpn (jω)| earg(Gpn (jω)) (5.36)

odnosno: |G(jω)| =

|K| |Gn1 (jω)| |Gn2 (jω)| · · · |Gnm (jω)| |Gp1 (jω)| |Gp2 (jω)| · · · |Gpn (jω)|

(5.37)

i: arg(G(jω)) = arg(K) + arg(Gn1 (jω)) + arg(Gn2 (jω)) + ... + arg(Gnm (jω)) − arg(Gp1 (jω)) − arg(Gp2 (jω)) − ... − arg(Gpn (jω))

(5.38)

Netko bi se zapitao zašto tražimo argument konstante pojačanja K. Naime, ako sustav ima negativno pojačanje tada je arg(K) = π. Na izraz (5.37) potrebno je djelovati logaritamskom funkcijom:   |K| |Gn1 (jω)| |Gn2 (jω)| · · · |Gnm (jω)| (5.39) 20 log |G(jω)| = 20 log |Gp1 (jω)| |Gp2 (jω)| · · · |Gpn (jω)| Korištenjem izraza (5.30) i pravila logaritmiranja dobije se: |G(jω)| [dB] = 20 log |K| + 20 log |Gn1 (jω)| + 20 log |Gn2 (jω)| + ... + 20 log |Gnm (jω)| + −20 log |Gp1 (jω)| − 20 log |Gp2 (jω)| − ... − 20 log |Gpn (jω)| (5.40) Izraz (5.40) predstavlja amplitudno frekvencijsku karakteristiku, a izraz (5.38) predstavlja fazno frekvencijsku karakteristiku. Ako se izrazi (5.40) i (5.38) prezentiraju na

74

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

grafu u lin - log skali, tada oni predstavljaju Bodeov dijagram. Radi jednostavnosti izraz (5.31) zapisat ćemo kao: 

s ωLn1

G(s) = K 

s ωLp1

+1



+1

   s + 1 · · · ωLnm +1    s + 1 · · · ωLpn +1

s ωLn2



s ωLp2

(5.41)

gdje su ωLni lomne frekvencije nula sustava (1 6 i 6 m), a ωLpj lomne frekvencije polova sustava (1 6 j 6 n). Pogleadjmo zašto je prijenosnu funkciju sustava pogodno napiasti baš u obliku (5.41). Ako pokušamo napraviti amplituno frekvencijsku karakteristiku samo od Gn1 (jω):   jω Gn1 (jω) = +1 (5.42) ωLn1 u logaritamskom obliku dobije se: s 20 log |Gn1 (jω)| = 20 log

ω ωLn1

2 +1

(5.43)

Za frekvencije ω  ωLn1 vrijedi sljedeće: s 20 log |Gn1 (jω)| = 20 log

2

ω ωLn1

+ 1 ≈ 20 log

√

1=0

(5.44)

Za frekvencije ω  ωLn1 vrijedi sljedeće: s 20 log |Gn1 (jω)| = 20 log

ω ωLn1

2 + 1 ≈ 20 log

ω ωLn1

(5.45)

Za frekvencije ω = ωLn1 vrijedi sljedeće: s 20 log |Gn1 (jω)| = 20 log

ω ωLn1

2 + 1 = 20 log

√

2 = 3dB

(5.46)

Pri frekvenciji jednakoj lomnoj frekvenciji dolazi do pojačanja od 3 dB. Za frekvencije manje od lomne frekvencije pojačanje je 0 dB, a za frekvencije veće od lomne frekvencije pojačanje raste 20 dB po dekadi13 . Iz ove analize zaključujemo da ćemo amplitudno frekvencijsku karakteristiku aproksimirati pravcima do lomne frekvencije i nakon lomne frekvencije. Razlika između stvarne i aproksimirane amplitudno frekvencijske karakteristike prikazana je na slici 5.5 . 13

Kada se frekvencija poveća 10 puta, pojačanje se poveća za 20 dB

5.2 Bodeov dijagram

75

Slika 5.5: Amplitudno frekvencijska karakteristika (stvarna i aproksimirana pravcima) Pokušajmo napraviti aproksimaciju pravcima fazno frekvencijske karakteristike na primjeru Gn1 (jω):  arg(Gn1 (jω)) = arctan

Im {Gn1 (jω)} Re {Gn1 (jω)}

 (5.47)

Sređivanjem izraza (5.47) dobije se:  arg(Gn1 (jω)) = arctan

jω ωLn

 (5.48)

Za frekvencije ω  0.1ωLn1 vrijedi sljedeće:  arg(Gn1 (jω)) = arctan

jω ωLn



≈ 0◦

(5.49)

≈ 90◦

(5.50)

= 45◦

(5.51)

Za frekvencije ω  10ωLn1 vrijedi sljedeće:  arg(Gn1 (jω)) = arctan

jω ωLn



jω ωLn



Za frekvencije ω = ωLn1 vrijedi sljedeće:  arg(Gn1 (jω)) = arctan

Za fazu vrijedi da je na lomnoj frekvenciji jednaka 45◦ , za niže frekvencije jednaka je 0◦ , a za više frekvencije jednaka je 90◦ . Prilikom aproksimacije fazno frekvencijske karakteristike pravcima, faza će dekadu prije lomne frekvencije14 početi rasti za 45◦ po dekadi, a završit će rasti dekadu nakon lomne frekvencije15 . Razlika između stvarne i aproksimirane fazno frekvencijske karakteristike prikazana je na slici 5.6 . 14 15

Na frekvenciji 10 puta manjoj od lomne frekvencije Na frekvenciji 10 puta većoj od lomne frekvencije

76

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.6: Fazno frekvencijska karakteristika (stvarna i aproksimirana pravcima) Pokušajmo sada nacrtati Bodeov dijagram za jednostavan sustav G(s): G(s) =

s + 100 s + 10

(5.52)

Izraz (5.52) najprije je potrebno zapisati u obliku u kojem se prepoznaju prijelomne frekvencije i pojačanje sustava:

s s 100 100 +1 + 1 s + 100
= 10 100
(5.53) G(s) = = s s s + 10 +1 + 1 10 10 10 Uvođenjem supstitucije s = jω u prijenosnu funkciju (5.53) dobije se:
jω + 1
G(jω) = 10 100 jω +1 10

(5.54)

Ako izraz (5.54) zapišemo u obliku: G(jω) = K

Gn1 (jω) Gp1 (jω)

(5.55)

tada je apsolutna vrijednost od G(jω) jednaka: |G(jω)| = |K|

|Gn1 (jω)| |Gp1 (jω)|

(5.56)

a faza od G(jω) jednaka: arg(G(jω)) = arg(K) + arg(Gn1 (jω)) − arg(Gp1 (jω))

(5.57)

Iz izraza (5.54) mogu se očitati pojedine komponente izraza (5.55): K = 10 jω +1 100 jω Gp1 (jω) = +1 10 Gn1 (jω) =

(5.58)

5.2 Bodeov dijagram

77

Proračunajmo sada amplitudno frekvencijsku i fazno frekvencijsku karakteristiku: q jω +1 |Gn1 (jω)| = 10 q = 10 100 |G(jω)| = |K| jω + 1 |Gp1 (jω)| 10


ω 2 100

+1


ω 2 10

+1

(5.59)

arg(G(jω)) = arg(K) + arg(Gn1 (jω)) − arg(Gp1 (jω)) =  ω  ω = 0 + arctan − arctan 100 10 Primjenom logaritmiranja dobije se: 

q

20 log |G(jω)| = 20 log 10 q r  ω 2

−20 log {z 10 | A3 (ω)


ω 2 100

+1


ω 2 10

+1



r ω 2  = 20 log 10 + 20 log +1 | {z } 100 {z } | A1 (ω)

A2 (ω)

+1 }

(5.60)

 ω  ω arg(G(jω)) = |{z} 0 + arctan − arctan | {z 100 } | {z 10 } ϕ1 (ω)

ϕ2 (ω)

ϕ3 (ω)

Nacrtajmo najprije pojedinačno segmente izraza (5.60) A1 (ω), A2 (ω) i A3 (ω) za amplitudno frekvencijsku i ϕ1 (ω), ϕ2 (ω) i ϕ3 (ω) za fazno frekvencijsku karakteristiku, a zatim ih grafički zbrojimo. Segment A1 (ω) je konstanta (A1 (ω) = 20 log 10 = 20) u amplitudno frekvencijskoj karakteristici dok je ϕ1 (ω) = 0 u fazno frekvencijskoj karakteristici (slika 5.7).

Slika 5.7: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω),ϕ1 (ω))

Segment amplitudno frekvencijske karakteristike A2 (ω) je konstanta do lomne frekvencije ωLn1 , a nakon lomne frekvencije raste s 20 dB po dekadi. Faza ϕ2 (ω) konstantna je i jednaka 0◦ do0.1 ωLn1 . Nakon toga faza raste s 45◦ po dekadi do 10ωLn1 . Na frekvencijama jednakim i višim od 10ωLn1 faza ima vrijednost 90◦ (slika 5.8).

78

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.8: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω) i A2 (ω),ϕ1 (ω) i ϕ2 (ω)) Segment amplitudno frekvencijske karakteristike A3 (ω) je konstanta do lomne frekvencije ωLp1 , a nakon lomne frekvencije pada s 20 dB po dekadi. Faza ϕ3 (ω) konstantna je i jednaka 0◦ do 0.1ωLp1 . Nakon toga faza pada s 45◦ po dekadi do 10ωLp1 . Na frekvencijama jednakim i višim od 10ωLp1 faza ima vrijednost −90◦ (slika 5.9).

Slika 5.9: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω), A2 (ω) i A3 (ω),ϕ1 (ω), ϕ2 (ω) i ϕ2 (ω))

Slika 5.10: Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika (A1 (ω)+A2 (ω)+A3 (ω), ϕ1 (ω)+ϕ2 (ω)+ϕ2 (ω))

5.3 Frekvencijski odziv proporcionalnog člana nultog reda (P0 član)

79

Nakon što smo nacrtali pojedini segment potrebno je samo grafički pozbrajati pojedine segmente amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike te se dobije Bodeov dijagram sustava (5.52) (slika 5.10).

5.3

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana nultog reda (P0 član)

Prijenosna funkcija P0 člana je: G(s) = K

(5.61)

U izraz (5.61) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) = K

5.3.1

(5.62)

Nyquistov dijagram P0 člana

Ovaj slučaj je jako jednostavan i ima samo realnu komponentu iznosa pojačanja sustava K uz imaginarnu vrijednost 0. Nyquistov dijagram P0 člana prikazan je na slici 5.11.

Slika 5.11: Nyquistov dijagram P0 člana

5.3.2

Bodeov dijagram P0 člana

Amplitudno-frekvencijska karakteristika P0 člana je: 20 log |G(jω)| = 20 log |K|

(5.63)

Faznofrekvencijska karakteristika P0 člana je:  arg (G(jω)) =

0 za K > 0 −π za K < 0

(5.64)

80

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.12: Bodeov dijagram P0 člana (aproksimacija pravcima) Na slici 5.12 prikazan je Bodeov dijagram P0 člana.

5.4

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana prvog reda (PT1 član)

Prijenosna funkcija PT1 člana je: G(s) =

K Ts + 1

(5.65)

U izraz (5.65) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) =

5.4.1

K jT ω + 1

(5.66)

Nyquistov dijagram PT1 člana

Prijenosnu funkciju PT1 člana G(jω) potrebno je najprije zapisati u obliku Re {G(jω)}+ j Im {G(jω)}: K −jT ω + 1 jT ω + 1 −jT ω + 1 K KT ω G(jω) = 2 2 −j 2 2 T ω +1 T ω +1

G(jω) =

(5.67)

Realni dio Nyquistove krivulje uvijek će biti pozitivan, a imaginarni dio uvijek negativan (s obzirom da promatramo samo pozitivne frekvencije). Nyquistova krivulja egzistirat će u IV. kvadrantu. Pogledajmo što se događa u točkama kad ω → 0 i kad ω → ∞: K

Tω =0 ω→0 ω→0 ω→0 +1 +1 K Tω lim Re {G(jω)} = lim 2 2 = 0, lim Im {G(jω)} = lim − 2 2 =0 ω→∞ ω→∞ T ω + 1 ω→∞ ω→∞ T ω +1 (5.68) lim Re {G(jω)} = lim

ω→0 T 2 ω 2

= K, lim Im {G(jω)} = lim −

T 2ω2

5.4 Frekvencijski odziv proporcionalnog člana prvog reda (PT1 član)

81

Nyquistov dijagram P1 člana prikazan je na slici5.13.

Slika 5.13: Nyquistov dijagram PT1 člana

5.4.2

Bodeov dijagram PT1 člana

Amplitudno-frekvencijska karakteristika PT1 člana je: √ K = 20 log K − 20 log T 2 ω 2 + 1 20 log |G(jω)| = 20 log jT ω + 1 s ω2 1 20 log |G(jω)| = 20 log K − 20 log 1 + 1, ωlp1 = T T2

(5.69)

gdje je ωlp1 lomna frekvencija. Fazno-frekvencijska karakteristika PT1 člana je:     Im {G(jω)} ω 1 arg (G(jω)) = − arctan = − arctan (T ω) = − arctan 1 , ωlp1 = Re {G(jω)} T T (5.70)

Slika 5.14: Bodeov dijagram PT1 člana (aproksimacija pravcima) Na slici 5.14 prikazan je Bodeov dijagram PT1 člana aproksimacijom pravaca. Na lomnoj frekvenciji ωlp1 , amplitudno fazna karakteristika počinje opadati s 20 dB po

82

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

dekadi. Dekadu prije lomne frekvencije ωlp1 fazno frekvencijska karakteristika počinje padati s 45◦ po dekadi, a dekadu nakon lomne frekvencije ωlp1 poprima konstantnu vrijednost od -90◦ . Bodeov dijagram PT1 člana bez aproksimacija prikazan je na slici 5.15.

Slika 5.15: Bodeov dijagram PT1 člana

5.5

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda (PT2 član)

Prijenosna funkcija PT2 člana je: G(s) =

T1 T2

s2

K + (T1 + T2 )s + 1

(5.71)

U izraz (5.71) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) =

5.5.1

K 1 − T1 T2 ω 2 + j(T1 + T2 )ω

(5.72)

Nyquistov dijagram PT2 člana

Prijenosnu funkciju PT2 člana G(jω) potrebno je najprije zapisati u obliku Re {G(jω)}+ j Im {G(jω)}:

K 1 − T1 T2 ω 2 − j(T1 + T2 )ω 1 − T1 T2 ω 2 + j(T1 + T2 )ω 1 − T1 T2 ω 2 − j(T1 + T2 )ω K(1 − T1 T2 ω 2 ) K(T1 + T2 )ω G(jω) = 2 2 −j 2 (1 − T1 T2 ω ) + ((T1 + T2 )ω) (1 − T1 T2 ω 2 )2 + ((T1 + T2 )ω)2

G(jω) =

(5.73)

Imaginarni dio Nyquistove krivulje uvijek e biti negativan (s obzirom da promatramo samo pozitivne frekvencije). Realni dio može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti što znači da će Nyquistova krivulja egzistirati u III. i IV. kvadrantu.

5.5 Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda (PT2 član)

83

Pogledajmo što se događa u točkama kad ω → 0 i kad ω → ∞:

K(1 − T1 T2 ω 2 ) =K ω→0 ω→0 (1 − T T ω 2 )2 + ((T + T )ω)2 1 2 1 2 K(T1 + T2 )ω =0 lim Im {G(jω)} = lim − ω→0 ω→0 (1 − T1 T2 ω 2 )2 + ((T1 + T2 )ω)2 K(1 − T1 T2 ω 2 ) lim Re {G(jω)} = lim =0 ω→∞ ω→∞ (1 − T T ω 2 )2 + ((T + T )ω)2 1 2 1 2 K(T1 + T2 )ω =0 lim Im {G(jω)} = lim − ω→∞ ω→∞ (1 − T1 T2 ω 2 )2 + ((T1 + T2 )ω)2 lim Re {G(jω)} = lim

(5.74)

Frekvencija na kojoj Nyquistova krivulja siječe imaginarnu os je ona frekvencija za koju vrijedi da je Re {G(jω)} = 0:

K(1 − T1 T2 ω 2 ) =0 (1 − T1 T2 ω 2 )2 + ((T1 + T2 )ω)2 1 K(1 − T1 T2 ω 2 ) = 0 ⇒ ω = √ T1 T2 √ 1 K T1 T2 G(j √ ) = −j T1 + T2 T1 T2 Re {G(jω)} = 0 ⇒

Nyquistov dijagram PT2 člana prikazan je na slici 5.16.

Slika 5.16: Nyquistov dijagram PT2 člana

5.5.2

Bodeov dijagram PT2 člana

(5.75)

84

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Amplitudno-frekvencijska karakteristika PT2 člana je: K K = 1 − T1 T2 + j(T1 + T2 )ω (jT1 ω + 1)(jT2 ω + 1) K K = 20 log 20 log |G(jω)| = 20 log (jT1 ω + 1)(jT2 ω + 1) |(jT1 ω + 1)| |(jT2 ω + 1)| q q 2 20 log |G(jω)| = 20 log K − 20 log (T1 ω) + 1 − 20 log (T2 ω)2 + 1 v v ! ! u u u ω 2 u ω 2 20 log |G(jω)| = 20 log K − 20 log t + 1 − 20 log t +1

G(jω) =

ω2

1 T1

ωlp1 =

1 T2

1 1 , ωlp2 = T1 T2 (5.76)

Fazno-frekvencijska karakteristika PT2 člana je: K K = 1 − T1 T2 ω 2 + j(T1 + T2 )ω (jT1 ω + 1)(jT2 ω + 1) 1 1 arg(G(jω)) = − arctan (T1 ω) − arctan (T1 ω) , ωlp1 = , ωlp2 = T1 T2 G(jω) =

(5.77)

Slika 5.17: Bodeov dijagram PT2 člana (aproksimacija pravcima) Na slici 5.17 prikazan je Bodeov dijagram PT2 člana. S obzirom da je PT2 član zapravo kaskada (serija) dvaju PT1 članova, Bodeovi dijagrami dvaju PT1 članova samo se zbroje (slika 5.17: zelenom bojom prikazan je PT1 član s lomnom frekvencijom ωlp1 , a plavom bojom PT1 član s lomnom frekvencijom ωlp2 ) i dobije se Bodeov dijagram PT2 člana. Na lomnoj frekvenciji ωlp1 , amplitudno fazna karakteristika počinje opadati s 20 dB po dekadi. Nakon lomne frekvencije ωlp2 amplituda opada za još 20 dB po dekadi, odnosno ukupno s 40 dB po dekadi. Dekadu prije lomne frekvencije ωlp1 fazno frekvencijska karakteristika počinje padati s 45◦ po dekadi, a dekadu nakon lomne frekvencije ωlp1 ponovno postaje konstantna. Isto vrijedi i za lomnu frekvenciju ωlp2 . Fazno-frekvencijska karakteristika poprima konstantnu vrijednost od -180◦ dekadu nakon lomne frekvencije ωlp2 . Bodeov dijagram PT2 člana bez aproksimacija prikazan je na slici 5.18.

5.6 Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) 85

Slika 5.18: Bodeov dijagram PT2 člana

5.6

Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član)

Prijenosna funkcija PT2S člana je: Kωn 2 = G(s) = 2 s + 2ζωn s + ωn 2

K s ωn

2

+

(5.78) 2ζ s ωn

+1

za 0 < ζ < 1. U izraz (5.78) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) = 1−

5.6.1



ω ωn

K 2

(5.79) + j ω2ζn ω

Nyquistov dijagram PT2S člana

Prijenosnu funkciju PT2S člana G(jω) potrebno je najprije zapisati u obliku Re {G(jω)}+ j Im {G(jω)}:

G(jω) =

K 2

1−



ω ωn

2

− j ω2ζn ω

 2 + j ω2ζn ω 1 − ωωn − j ω2ζn ω   2  b K 1 − ωωn K ω2ζn ω G(jω) =  − j   2 2  2  2  2  2 2ζ 2ζ ω ω 1 − ωn + ωn ω 1 − ωn + ωn ω 1−



ω ωn

(5.80)

Imaginarni dio Nyquistove krivulje uvijek e biti negativan (s obzirom da promatramo samo pozitivne frekvencije). Realni dio može poprimiti i pozitivne i nega-

86

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

tivne vrijednosti što znači da će Nyquistova krivulja egzistirati u III. i IV. kvadrantu. Pogledajmo što se događa u točkama kad ω → 0 i kad ω → ∞:   2  K 1 − ωωn lim Re {G(jω)} = lim   2 2  2 = K ω→0 ω→0 2ζ ω 1 − ωn + ωn ω K ω2ζn ω lim Im {G(jω)} = lim −   2  2  2 = 0 ω→0 ω→0 2ζ ω 1 − ωn + ωn ω   2  K 1 − ωωn lim Re {G(jω)} = lim   2 2  2 = 0 ω→∞ ω→∞ 2ζ ω 1 − ωn + ωn ω

(5.81)

K ω2ζn ω lim Im {G(jω)} = lim −   2 2  2 = 0 ω→∞ ω→∞ 1 − ωωn + ω2ζn ω Frekvencija na kojoj Nyquistova krivulja siječe imaginarnu os je ona frekvencija za koju vrijedi da je Re {G(jω)} = 0:   2  K 1 − ωωn Re {G(jω)} =  2 = 0  2 2  2ζ ω + ωn ω 1 − ωn  2 ! ω K 1− = 0 ⇒ ω = ωn ωn K 2ζ Nyquistov dijagram PT2S člana prikazan je na slici 5.19. G(jωn ) = −j

Slika 5.19: Nyquistov dijagram PT2S člana

(5.82)

5.6 Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) 87

5.6.2

Bodeov dijagram PT2S člana

Amplitudno-frekvencijska karakteristika PT2S člana je: K 20 log |G(jω)| = 20 log  2 2ζ ω 1 − ωn + j ωn ω v u 2  2 !2  u 2ζ ω t ω 20 log |G(jω)| = 20 log K − 20 log + 1− ωn ωn

(5.83)

Kod PT2S članova pristup crtanja Bodeovih dijagram je nešto drugačiji od pristupa gdje se prijenosna funkcija može opisati kaskadom (serijom) PT1 članova. Imat ćemo ponovno dva slučaja, jedan kada frekvencije puno manje od lomne frekvencije (ω  ωl ), i jedan kada su frekvencije puno veće od lomne frekvencije (ω  ωl ). Za frekvencije ω  ωl vrijedi: v u 2  2 !2  u ω 2ζ t 20 log K − 20 log ω ≈ 20 log K 1− + ωn ωn

(5.84)

Za frekvencije ω  ωl vrijedi: v u  2 !2  2  2 u ω ω 2ζ t 1− 20 log K − 20 log + ω ≈ 20 log K − 20 log = ωn ωn ωn (5.85) ω = 20 log K − 40 log ωn Iz izraza (5.85) vidi se da amplituda pada za 40 dB po dekadi nakon lomne frekvencije. Ako izjednačimo izraze (5.84) i (5.85) dobit ćemo izraz za lomnu frekvenciju, odnosno frekvenciju gdje se sijeku dva pravca:

20 log K = 20 log K − 40 log ⇒ log

ω ω ⇒ 40 log =0⇒ ωn ωn

ω ω =0⇒ = 1 ⇒ ω = ωn ωn ωn

(5.86)

Iz izraza (5.86) lomna frekvencija jednaka je prirodnoj frekvenciji ωn . U okolišu lomne frekvencije ωn pojavljuje se tzv. rezonantno izdizanje Mr koje ovisi o stupnju prigušenja ζ. Frekvencija na kojoj se javlja rezonantno izdizanje nazvat ćemo rezonantnom frekvencijom. Izraz za rezonantnu frekvenciju dobit ćemo traženjem maksimuma

88

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

amplitudno-fazne karakteristike. Deriviranjem izraza (5.83) dobije se: 

 v !2  u    2 2 u d  2ζ  t 1− ω ω =0 + 20 log K − 20 log dω ωn ωn     2   2  ω 1 −4 1 − ωωn + 2 ω2ζn ω 2 2 ω n 20 − =0   2 2  2 ln 10 2ζ ω 1 − ωn + ωn ω !  2 !  2  2 ω ω 2ζ ω 2 −4 1− + 2 ω = 0 ⇒ 1 − = 2ζ ⇒ ωn ωn 2 ωn ωn ω=ωr p 2 ωr = ωn 1 − 2ζ

(5.87)

Ako od izraza (5.83) oduzmemo komponentu pojačanja 20 log K, dobit ćemo rezonantno izdizanje Mr : v !2  u    2 2 u ω 2ζ ω Mr [dB] = −20 log t 1 − + ωn ωn

= −20 log(2ζ

p 1 − ζ 2 ) (5.88)

ω=ωr

Iz izraza (5.88) možemo zaključiti da rezonantno izdizanje ovisi samo o faktoru prigušenja ζ. Sada možemo odrediti i za koje ζ će postojati rezonantno izdizanje, odnosno kad je ono veće od 0: √ p p p 2 −20 log(2ζ 1 − ζ 2 ) > 0 ⇒ log(2ζ 1 − ζ 2 ) 6 0 ⇒ (2ζ 1 − ζ 2 ) 6 1 ⇒ ζ 6 2 (5.89) S obzirom da je za stabilne sustave16 vrijedi da je ζ ≥ 0 vrijedi da će se rezonantno izdizanje pojavljivati za 0 6 ζ 6 0.707. Kod crtanja Bodeovih dijagrama PT2S članova potrebno je odrediti rezonantnu frekvenciju i rezonantno izdizanje te ih nacrtati u obliku okomitog pravca s kružićem na vrhu, a visina tog pravca na rezonantnoj frekvenciji biti će jednaka iznosu rezonantnog izdizanja (detaljnije kod crtanja Bodeovog dijagrama PT2S člana). Fazno-frekvencijska karakteristika PT2S člana je:   arg(G(jω)) = − arctan 

2ζ ω ωn

1−



ω ωn

  2 

(5.90)

Za frekvencije ω  ωl vrijedi:   arg(G(jω)) = − arctan  16

O stabilnosti sustava nešto kasnije

2ζ ω ωn

1−



ω ωn

  ◦ 2  ≈ 0

(5.91)

5.6 Frekvencijski odziv proporcionalnog člana drugog reda s prigušenim oscilatornim ponašanjem (PT2S član) 89 Za frekvencije ω  ωl vrijedi:   arg(G(jω)) = − arctan 

2ζ ω ωn

1−



ω ωn

  ◦ 2  ≈ −180

(5.92)

Na prijelomnoj frekvenciji ω = ωn vrijedi:  arg(G(jωn )) = − arctan

2ζ 0



= −90◦

(5.93)

Način na koji se crta fazno-frekvencijska karakteristika oko lomne frekvencije ωn nije jednostavan kao kod PT1 članova. Često se koristi literatura kao pomoć kod crtanja fazno-frekvencijske karakteristike u kojoj su već nacrtani grafovi za različite faktore prigušenja ζ. Nagib fazno-frekvencijske karakteristike na lomnoj frekvenciji ωn ovisi samo o faktoru prigušenja. Drugi način za crtanje fazno-frekvencijske karakteristike [15] oko lomne frekvencije ωn je da se napravi pravac koji siječe niskofrekvencijsku asimptotu od 0◦ na frekvenciji: log ω1 = ωn

  2 ζ

2

(5.94)

prolazi kroz lomnu frekvenciju ωn i siječe visokofrevencijsku asimptotu od −180◦ na frekvenciji: 2   ω2 = ωn (5.95) log ζ2 Za faktore prigušenja ζ ≤ 0.02 kroz lomnu frekvenciju provuće se vertikalna linija koja spaja niskofrekvencijsku i visokofrekvencijsku asimptotu. Bodeov dijagram PT2S člana prikazan je na slici 5.20.

Slika 5.20: Bodeov dijagram PT2S člana (aproksimacija pravcima) Bodeovi dijagrami PT2S članova bez aproksimacija za različite faktore prigušenja ζ prikazani su na slici 5.21.

90

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.21: Bodeov dijagram PT2S člana

5.7

Frekvencijski odziv derivacijskog člana (D član)

Prijenosna funkcija D člana je: G(s) = Kd s

(5.96)

U izraz (5.96) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) = Kd jω

(5.97)

Unutar ovog poglavlja obradit ćemo i realni derivacijski član (DT1) čija je prijenosna funkcija dana sljedećim izrazom: G(s) =

Kd s Td s + 1

(5.98)

5.7 Frekvencijski odziv derivacijskog člana (D član)

91

U izraz (5.98) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) =

5.7.1

Kd jω Td jω + 1

(5.99)

Nyquistov dijagram D člana

Prijenosna funkciju D člana G(jω) ima samo imaginarnu komonentu j Im {G(jω)}. Nyquistova krivulja D člana pozitivni je dio imaginarne osi. Nyquistov dijagram D člana prikazan je na slici 5.22.

Slika 5.22: Nyquistov dijagram D člana

5.7.2

Nyquistov dijagram DT1 člana

Prijenosnu funkciju DT1 člana G(jω) potrebno je najprije zapisati u obliku Re {G(jω)}+ j Im {G(jω)}: Kd jω −Td jω + 1 G(jω) = Td jω + 1 −Td jω + 1 (5.100) Kd Td ω 2 Kd ω + j G(jω) = (Td ω)2 + 1 (Td ω)2 + 1 I realni i imaginarni dio Nyquistove krivulje uvijek će biti pozitivan. Nyquistova krivulja egzistirat će u I. kvadrantu. Pogledajmo što se događa u točkama kad ω → 0 i kad ω → ∞: Kd Td ω 2 lim Re {G(jω)} = lim =0 ω→0 ω→0 (T ω)2 + 1 d Kd ω lim Im {G(jω)} = lim =0 ω→0 ω→0 (T ω)2 + 1 d (5.101) Kd Td ω 2 lim Re {G(jω)} = lim =K ω→∞ ω→∞ (T ω)2 + 1 d Kd ω lim Im {G(jω)} = lim =0 ω→∞ ω→∞ (T ω)2 + 1 d Nyquistov dijagram DT1 člana prikazan je na slici 5.23.

92

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.23: Nyquistov dijagram DT1 člana

5.7.3

Bodeov dijagram D člana

Amplitudno-frekvencijska karakteristika D člana je: 20 log |G(jω)| = 20 log |Kd jω| = 20 log Kd + 20 log ω

(5.102)

Fazno-frekvencijska karakteristika D člana je: arg(G(jω)) = arctan

ω  0

= 90◦

(5.103)

Bodeov dijagram D člana prikazan je na slici 5.24.

Slika 5.24: Bodeov dijagram D člana (aproksimacija pravcima) Pravac s nagibom +20 dB po dekadi podignut je za iznos pojačanja 20 log Kd (slika 5.24).

5.7.4

Bodeov dijagram DT1 člana

Amplitudno-frekvencijska karakteristika DT1 člana je: q Kd jω 20 log |G(jω)| = 20 log = 20 log Kd + 20 log ω − 20 log (Td ω)2 + 1 Td jω + 1 q 1 20 log |G(jω)| = 20 log Kd + 20 log ω − 20 log (Td ω)2 + 1, ωlp1 = Td (5.104)

5.8 Frekvencijski odziv integralnog člana (I član)

93

Fazno-frekvencijska karakteristika DT1 člana je: arg(G(jω)) = 90◦ − arctan (Td ω)

(5.105)

Bodeov dijagram DT1 člana prikazan je na slici 5.25.

Slika 5.25: Bodeov dijagram DT1 člana (aproksimacija pravcima)

S obzirom da je DT1 član zapravo kaskada (serija) D člana i PT1 člana s pojačanjem 1, Bodeov dijagram DT1 člana je zbroj Bodeovih dijagrama D člana (slika 5.25, zeleno isprekidano) i PT1 člana (slika 5.25, plavo isprekidano).

5.8

Frekvencijski odziv integralnog člana (I član)

Prijenosna funkcija I člana je:

G(s) =

Ki s

(5.106)

U izraz (5.96) uvrsti se supstitucija s = jω:

G(jω) =

5.8.1

Ki jω

(5.107)

Nyquistov dijagram I člana

Prijenosna funkciju I člana G(jω) ima samo imaginarnu komonentu j Im {G(jω)}. Nyquistova krivulja I člana negativni je dio imaginarne osi. Nyquistov dijagram I člana prikazan je na slici 5.26.

94

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.26: Nyquistov dijagram I člana

5.8.2

Bodeov dijagram I člana

Amplitudno-frekvencijska karakteristika I člana je: Ki 20 log |G(jω)| = 20 log = 20 log Ki − 20 log ω jω

(5.108)

Fazno-frekvencijska karakteristika I člana je: arg(G(jω)) = − arctan

ω  0

= −90◦

(5.109)

Bodeov dijagram I člana prikazan je na slici 5.27.

Slika 5.27: Bodeov dijagram I člana (aproksimacija pravcima)

Pravac s nagibom -20 dB po dekadi podignut je za iznos pojačanja 20 log Ki (slika 5.27).

5.9 Frekvencijski odziv člana s transportnim kašnjajnem

5.9

95

Frekvencijski odziv člana s transportnim kašnjajnem

Prijenosna funkcija člana s transportnim kašnjajnem je: G(s) = e−τ s

(5.110)

U izraz (5.96) uvrsti se supstitucija s = jω: G(jω) = e−jτ ω

5.9.1

(5.111)

Nyquistov dijagram člana s transportnim kašnjajnem

Prijenosnu funkciju člana s transportnim kašnjajnem G(jω) potrebno je najprije zapisati u obliku Re {G(jω)} + j Im {G(jω)}: G(jω) = e−jτ ω = cos(τ ω) − j sin(τ ω)

(5.112)

Iz izraza 5.112 vidi se da će Nyquistova krivulja biti jedinična kružnica. Faza se mijenja u smjeru kazaljke na satu, a ovisi o argumentu τ ω (slika 5.28). Nyquistov dijagram člana s transportnim kašnjajnem prikazan je na slici 5.28.

Slika 5.28: Nyquistov dijagram člana s transportnim kašnjajnem

5.9.2

Bodeov dijagram člana s transportnim kašnjajnem

Amplitudno-frekvencijska karakteristika člana s transportnim kašnjajnem je: 20 log |G(jω)| = 20 log e−jτ ω = 20 log 1 = 0 (5.113) Fazno-frekvencijska karakteristika člana s transportnim kašnjajnem je: arg(G(jω)) = −τ ω

(5.114)

Bodeov dijagram člana s transportnim kašnjajnem prikazan je na slici 5.29.

96

Frekvencijski odziv osnovnih dinamičkih članova

Slika 5.29: Bodeov dijagram člana s transportnim kašnjajnem Pri crtanju fazno-frekvencijske karakteristike potrebno je uzeti u obzir da je frekvencijska os u logaritamskom mjerilu te u skladu s tim nacrtati karakteristiku. Ovim članom završili smo priču o frekvencijskim ozdivima osnovnih dinamičkih članova.

Poglavlje 6 Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja 6.1

Blok dijagrami

Blok dijagrami [16] su grafički reprezentanti sustava automatskog upravljanja. Oni opisuju veze između pojedinih komponenata sustava na jednosatavan način. U analizi i sintezi sustava automatskog upravljanja često je prvi korak opisivanje matematičkih modela sustava bolokovima koji imaju funkcionalnu vezu između ulaza i izlaza tog bloka. Blok dijagramima prikazuje se tijek signala od jednok bloka prema drugom bloku. Osnovni simboli koji se koriste u opisu sustava blok dijagramima su [1]: • Blok - predstavlja vezu između ulazne i izlazne veličine. Njime se opisuju osnovi dinamički članovi. • Signalne linije - to su linije sa strijelicama kojima se prikazuje tok signala. Njima se povezuju ostale komponente blok dijagrama. • Sumacijske točke - krug koji služi za zbrajanje i oduzimanje dvaju i više signala. • Točke odvajanja - točka na signalnoj liniji koja označava odvajanje signala prema nekom bloku ili sumacijskoj točki. Osnovni simboli blok dijagrama prikazani su na slici 6.1

Slika 6.1: Osnovni simboli u blok dijagramima

98

Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja

6.2

Algebra blokova

U nastavku ćemo obraditi algebru među blokovima i pravila prema kojima se računaju prijenosne funkcije sustava. Navest ćemo samo osnovna pravila, a ostala će biti navedena u tablici u poglavlju 7 DODATAK.

6.2.1

Serijsko povezivanje blokova

Serijsko povezivanje blokova često se u literaturama naziva i kaskadno povezivanje. Kada imamo sustav s n serijski povezanih blokova tada je moguće pronaći prijenosnu funkciju kojom se opisuje cijeli sustav. Serijski povezani blokovi prikazani su na slici 6.2.

Slika 6.2: Serijski spoj blokova Prijenosne funkcije G1 (s), G2 (s), ..., Gn (s) definirane su kao: G1 (s) =

Y2 (s) Yn (s) Y1 (s) , G2 (s) = , ..., Gn (s) = U1 (s) U2 (s) Un (s)

(6.1)

Sa slike 6.2 mogu se pročitati sljedeće jednakosti: Y1 (s) = U2 (s), Y2 (s) = U2 (s), ..., Yn−1 (s) = Un (s) U1 (s) = U (s), Yn (s) = Y (s)

(6.2)

Izraz (6.1) možemo napisati i us ljedećem obliku: Y1 (s) = G1 (s)U1 (s), Y2 (s) = G2 (s)U2 (s), ...Yn (s) = Gn (s)Un (s)

(6.3)

Ako napravimo supstituciju u izrazu (6.3) s izrazima u (6.2) dobit ćemo: Y1 (s) = G1 (s)U1 (s) = G1 (s)U (s) Y2 (s) = G2 (s)U2 (s) = G2 (s)Y1 (s) = G2 (s)G1 (s)U (s) Y3 (s) = G3 (s)U3 (s) = G3 (s)Y2 (s) = G3 (s)G2 (s)G1 (s)U (s) . . Y (s) = Yn (s) = Gn (s)Un (s) = Gn (s)Yn−1 (s) = Gn (s)Gn−1 (s) · · · G1 (s)U (s)

(6.4)

6.2 Algebra blokova

99

Prijenosna funkcije serijskog spoja blokova sa slike 6.2 na temelju izraza (6.4) je: G(s) =

Y (s) = Gn (s)Gn−1 (s) · · · G1 (s) U (s)

(6.5)

Prijenosna funkcija serijskog spoja blokova odgovara umnošku pojedinih blokova tog spoja.

6.2.2

Paralelno povezivanje blokova

Kada imamo sustav s n paralelno povezanih blokova tada je moguće pronaći prijenosnu funkciju kojom se opisuje cijeli sustav. Serijski povezani blokovi prikazani su na slici 6.3.

Slika 6.3: Paralelni spoj blokova Prijenosne funkcije G1 (s), G2 (s), ..., Gn (s) definirane su kao: G1 (s) =

Y1 (s) Y2 (s) Yn (s) , G2 (s) = , ..., Gn (s) = U (s) U (s) U (s)

(6.6)

Izlaz is sustava sa slike 6.3 je: Y (s) = Y1 (s) + Y2 (s) + Y3 (s) + · · · + Yn (s)

(6.7)

Izraz (6.6) se može napisati kao: Y1 (s) = G1 (s)U (s), Y2 (s) = G2 (s)U (s), .., Yn (s) = Gn (s)U (s)

(6.8)

Uvrštavanjem izraza iz (6.8) u izraz (6.7) dobije se: Y (s) = G1 (s)U (s) + G2 (s)U (s) + G3 (s)U (s) + · · · + Gn (s)U (s) Y (s) = (G1 (s) + G2 (s) + G3 (s) + · · · + Gn (s)) U (s)

(6.9)

Prijenosna funkcije paralelnog spoja blokova sa slike 6.3 na temelju izraza (6.9) je: G(s) =

Y (s) = G1 (s) + G2 (s) + G3 (s) + · · · + Gn (s) U (s)

(6.10)

Prijenosna funkcija paralelnog spoja blokova odgovara zbroju pojedinih blokova tog spoja.

100

6.2.3

Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja

Povratna veza

Povratna veza je neophodna u sustavima automatskog upravljanja. Povratni signal može djelovati na ulazni signal negativno (s negativnim predznakom) ili pozitivno (s pozitivnim predznakom). Prema tome ćemo razlikovati negativnu i pozitivnu povratnu vezu. Negativna povratna veza koristi se u sustavima automatske regulacije, a pozitivna povratna veza u oscilatorima. Povratna veza prikazana je na slici 6.4.

Slika 6.4: Povratna veza Kao i u prethodna dva slučaja, i ovdje je moguće napraviti reprezentaciju povratne veze jednom prijenosnom funkcijom. Prijenosna funkcija sustava s povratnom vezom često će se koristiti prilikom ispitivanja stabilnosti sustava automatskog upravljanja 1 . Sustav s povratnom vezom sa slike 6.4 u automatskom upravljanju naziva se i zatvoreni krug automatskog upravljanja. Sačinjen je od dva bloka: • Go (s) - prijenosna funkcija otvorenog sustava automatskog upravljanja; • Gpv (s) - prijenosna funkcija povratne veze (član povratne veze). U slučaju da u otvorenom krugu postoji serijski spoj više prijenosnih funkcija, tada Go(s) prema relaciji (6.5) je umnožak svih prijenosnih funkcija u otvorenom krugu (slika 6.5).

Slika 6.5: Otvoreni krug (serijski povezane prijenosne funkcije) Izlazni signal povratne veze sa slike 6.4 moguće je zapisati kao: Y (s) = Go (s)E(s)

(6.11)

Signal pogreške slijeđenja E(s) dobije se kao razlika ulaznog signala U (s) i signala povratne veze YP V (s): E(s) = U (s) ∓ YP V (s) (6.12) 1

Nešto više o stabilnosti u poglavlju o stabilnosti sustava upravljanja

6.2 Algebra blokova

101

Signal povratne veze YP V (s) je rezultat prolaska izlaznog signala kroz član povratne veze GP V (s): YP V (s) = GP V (s)Y (s) (6.13) Matematičkim manipulacijama koristeći prethodna tri izraza može se dobiti ovisnost izlaza sustava Y (s) od ulaza u sustav U (s): Y (s) = Go (s)E(s) = Go (s) (U (s) ∓ YP V (s)) = Go (s) (U (s) ∓ GP V (s)Y (s)) Y (s) = Go (s)U (s) ∓ Go (s)GP V (s)Y (s) ⇒ Y (s) ± Go (s)GP V (s)Y (s) = Go (s)U (s) Y (s) (1 ± Go (s)GP V (s)) = Go (s)U (s) (6.14) Na temelju izraza (6.14) može se dobiti prijenosna funkcija negativne povratne veze: G(s) =

Go (s) Y (s) = U (s) 1 + Go (s)GP V (s)

(6.15)

G(s) =

Y (s) Go (s) = U (s) 1 − Go (s)GP V (s)

(6.16)

i pozitivne povratne veze:

U slučaju da je povratna veza jedinična (GP V = 1) dobije se sljedeći izraz za prijenosnu funkciju sustava s negativnom povratnom vezom (u nastavku teksta i u sljedećim poglavljim pod pojmom povratna veza podrazumijeva se negativna povratna veza): G(s) =

Go (s) Y (s) = U (s) 1 + Go (s)

(6.17)

Sustav sa slike 6.4 može se pretvoriti u sustav s jediničnom povratnom vezom (slika 6.6). Da bi se ostvarila ta transformacija potrebno je blok povratne veze GP V (s) provući kroz sumator. S obzirom da smo u tom slučaju signal u(t) pomnožili s blokom povratne veze GP V (s) sada ga je potrebno podijeliti s tim blokom.

Slika 6.6: Pretvorba zatvorenog sustava u sustav s jediničnom povratnom vezom Povratna veza u sustavu automatskog upravljanja omogučuje praćenje izlazne veličine sustava. Na taj način omogućeno je upravljačkim algoritmima održavati izlaznu veličinu u željenim granicama (upravljati izlaznom veličinom).

6.2.4

Provlačenje sumacijske točke kroz blok

102

Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja

Slika 6.7: Provlačenje sumacijske točke desno kroz blok

Slika 6.8: Provlačenje sumacijske točke lijevo kroz blok Sumacijska točka može se provući desno (slika 6.7) ili lijevo (slika 6.8) kroz blok. Za sliku 6.7 (lijevo) vrijedi: Y (s) = (U1 (s) + U2 (s))G(s)

(6.18)

Izraz (6.18) može se napisati kao: Y (s) = U1 (s)G(s) + U2 (s)G(s)

(6.19)

što je prikazano na slici 6.7 (desno). Za sliku 6.8 (lijevo) vrijedi: Y (s) = U1 (s)G(s) + U2 (s)

(6.20)

Izraz (6.20) može se napisati kao: G(s) Y (s) = U1 (s)G(s) + U2 (s) = G(s)

  1 U1 (s) + U2 (s) G(s) G(s)

što je prikazano na slici 6.8 (desno).

6.2.5

Provlačenje točke odvajanje kroz blok

Slika 6.9: Provlačenje točke odvajanje desno kroz blok

(6.21)

6.2 Algebra blokova

103

Slika 6.10: Provlačenje točke odvajanje lijevo kroz blok

Točka odvajanja može se provući desno (slika 6.9) ili lijevo (slika 6.10) kroz blok. Za sliku 6.9 (lijevo) vrijedi: Y (s) = U1 (s)G(s)

(6.22)

1 G(s)

(6.23)

Izraz (6.18) može se napisati kao: Y (s) = U1 (s)

što je prikazano na slici 6.9 (desno). Za sliku 6.10 (lijevo) vrijedi: Y (s) = U1 (s)G(s)

(6.24)

Ako provućemo točku odvajanja lijevo kroz blok dobije se dvostruki izlaz što je prikazano na slici 6.10 (desno).

6.2.6

Primjena algebre blokova na primjerima sustava automatskog upravljanja

Znanja koja smo naučili iz algebre blokova pokušajmo sada primijeniti na dva primjera sustava automatskog upravljanja. Potrebno je naći prijenosnu funkciju sustava sa slike 6.11.

Slika 6.11: Sustav automatskog upravljanja (1)

104

Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja

Slika 6.12: Sustav automatskog upravljanja (1) - blok algebra

6.2 Algebra blokova

105

Postupak rješavanja blokovske algebre sustava automatskog upravljanja sa slike 6.11 prikazan je na slici 6.12. Na slici 6.12 b) prikazana je rezultat primjene pravila za paralelno povezivanje blokova G4(s) i G5(s), a na slici 6.12 c) rezultat primjene pravila za serijski povezane blokove G2(s) i G3(s). Nakon toga primjenjena su pravila za povratnu vezu (slika 6.12 d)) te ponovno pravila za paralelni spoj blokova (slika 6.12 e)). Kod prethodnog paralelnog povezivanja blokova može se zaključiti da je jedan od blokova jedinični te ga nije potrebno navoditi kao blok, već samo kao signalna linija. Slika 6.12 f) prikazuje konačnu prijenosnu funkciju početnog sustava, dobivenu pravilima za paralelno povezivanje blokova. Prijenosna funkcija sustava sa slike 6.11 je:

 G(s) = G1 (s) 1 +

G2 (s)G3 (s) 1 + G2 (s)G3 (s) (G4 (s) + G5 (s))

 (6.25)

Drugi primjer složenog sustava automatskog upravljanja prikazan je na slici 6.13. Postupak rješavanja blokovske algebre sustava automatskog upravljanja sa slike 6.13 prikazan je na slici 6.14. Na slici 6.14 b) prikazan je rezultat provlačenja spojne točke kroz blokove G2 (s) i G3 (s). Zatim je kroz sumacijsku točku provućen blok G1 (s) (slika 6.14 c)). Na slici 6.14 d) prikazan je rezultat primjene pravila za serijsko i paralelno povezivanje blokova, a na slici 6.14 e) prikazana je konačna prijenosna funkcija početnog sustava dobivena pravilima za povratnu vezu. Prijenosna funkcija sustava sa slike 6.13 je:

G(s) =

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1 + G1 (s)G5 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)

Slika 6.13: Sustav automatskog upravljanja (2)

(6.26)

106

Algebra blokova u sustavu automatskog upravljanja

Slika 6.14: Sustav automatskog upravljanja (2) - blok algebra

Poglavlje 7 DODATAK 7.1

Laplaceova transformacija

Definicija laplaceove transformacije je[10]: Z

∞

f (t)e−st , s = σ + jω

F (s) =

(7.1)

0−

gdje je s kompleksna varijabla. Navedimo svojstva Laplaceove transformacije: Linearnost Laplaceove transformacije Ako je: f (t)

d

t

F (s) , g(t)

d

t

G(s)

(7.2)

αF (s) + βG(s)

(7.3)

tada vrijedi: d

αf (t) + βg(t)

t

Množenje varijable s konstantom f (at)

d

t 1F(s)

F (bs)

d

t 1f(t)

a

b

a

(7.4)

b

Prigušenje originala f (t) Prigušenje originala odgovara pomakom slike ulijevo: e−at

d

t

F (s + a)

(7.5)

Teorem o pomaku originala Neka je f (t) d t F (s) i a > 0. Pomak originalu udesno odgovara prigušenje u donjem području: f (t − a)µ(t − a)

e−as F (s)

(7.6)

108

DODATAK

Deriviranje originala f (t) Za deriviranje originala f (t) vrijedi: f 0 (t)

d

t

sF (s) − f (0)

f 00 (t)

d

t

s2 F (s) − sf (0) − f 0 (0) (7.7)

. . f (n) (t)

d

t

sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − ... − f (n−1) (0)

Deriviranje slike f (t) Deriviranje u frekvencijskoj domeni (s domeni) odgovara množenju s −t u vremenskoj domeni: d

t

F 0 (s) . . d t F (n) (s)

(−t)f (t) . n (−t) f (t)

(7.8)

Integriranje originala Rt 0

f (t)dt

d

t F (s)

(7.9)

F (s)ds

(7.10)

s

Integriranje slike f (t) t

d

t

R∞ 0

Slika periodične funkcije Slika periodične funkcije f (t) s periodom T računa se: 1 F (s) = 1 − e−T s

Z

T

e−st f (t)dt

(7.11)

0

Teorem o konačnoj vrijednosti Konačna vrijednost ili stacionarno stanje (ustaljena vrijednost) odziva može se dobiti sljedećim izrazom: f (∞) = lim sF (s)

(7.12)

s→∞

Teorem o početnoj vrijednosti lim f (t) = lim sF (s) t→0

(7.13)

s→∞

Teorem o konvoluciji Konvolucija dvaju originala odgovara umnošku slika: y(t) = g(t) ∗ u(t) =

Rt 0

g(τ )u(t − τ )dτ

d

t

Y (s) = G(s)U (s)

(7.14)

7.1 Laplaceova transformacija

7.1.1

Tablica Laplaceove transformacije

109

110

7.2

DODATAK

Z transformacija

Definicija Z transformacije je [20]:

F (z) =

∞ X

f (kTD )z −k

(7.15)

k=0

gdje je z = esTD . Navedimo svojstva Z transformacije.

Teorem linearnosti Ako vrijedi: Z

f (kTD ) − → F (z) Z

(7.16)

g(kTD ) − → G(z) onda je: Z α f (kTD ) + βg(kTD ) − → αF (z) + βG(z)

(7.17)

Teorem pomaka Z

f ((k − µ)TD ) − → z −µ F (z)

(7.18)

Prigušenje eksponencijalnom funkcijom Z

e−akTD f (kTD ) − → F (zeaTD )

(7.19)

Teorem o početnoj vrijednosti Z

lim f (kTD ) − →

k→0

lim F (z)

z→∞

(7.20)

Teorem o konačnoj vrijednosti Z

lim f (kTD ) − → lim ((1 − z −1 ) F (z)) z→1

k→∞

(7.21)

Pokušajmo sada na temelju definicije i svojstava Z transformacije napraviti Z transformaciju prijelazne funkcije sustava: G(s) =

s2

1 +s+1

(7.22)

7.2 Z transformacija

111

Rastavom na parcijalne razlomke dobije se: 1 1 1 1 = 3 1 s2 + s + 1 s s2 + s + 4 + 4 s 1 A + Bs 1 C UIZ (s) = = +

1 2 1 2 3 s 3 s s+ 2 + 4 s+ 2 + 4
As + Bs2 + C s2 + s + 1 = 1 C=1 A + C = 0 ⇒ A = −1 B + C = 0 ⇒ B = −1
1 1 + s + 1 1+s 1 UIZ (s) = − = − 2

23 3 1 2 1 2 s s + + s+ s+ UIZ (s) = G(s)UU L (s) =

2

UIZ (s) =

s 1 − s s+ 1

uiz (t) = 1 − e− 2 t

4

+ 12
1 2 + 34 2

−

2 √ 1 3 √2 2 2 3
1 2 + 2 + 34

(7.23)

4

s √ √ ! 3 3 3 cos t+ sin t 2 3 2 √

Primjenom Z transformacije po definiciji dobije se: √ √ ! 3 3 3 t+ sin t cos 2 3 2 √

uiz (t) = 1 − e

− 21 t

!! √ √ √ 1 3 3 3 1 − e− 2 kTD cos( uiz (kTD )z −k = UIZ (z) = kTD ) + sin( kTD ) z −k 2 3 2 k=0 k=0 ! ! √ √ √ ∞ ∞ ∞ X X 3 3 X − 1 kTD 3 − 12 kTD −k −k e UIZ (z) = z − cos( kTD ) z − e 2 sin( kTD ) z −k 2 3 k=0 2 k=0 k=0 ∞ X

∞ X

ejϕ − e−jϕ ejϕ + e−jϕ , sin ϕ = 2 j2 √ √ ∞ ∞ j 23 kTD −j 23 kTD X X 1 e + e UIZ (z) = z −k − e− 2 kTD z −k 2 k=0 k=0 √ √ √ ∞ 3 3 3 X − 1 kTD ej 2 kTD − e−j 2 kTD −k e 2 z − 3 k=0 j2      k  k √ √ ∞ ∞ ∞ − 12 TD +j 23 TD − 12 TD −j 23 TD X X X 1 e  −1 e  UIZ (z) = z −k − 2 z 2 z k=0 k=0 k=0      k  k √ √ √ ∞ √ ∞ − 21 TD +j 23 TD − 12 TD −j 23 TD X X 3 e  + 3 e  − j6 k=0 z j6 k=0 z cos ϕ =

(7.24)

112

DODATAK

 UIZ (z) =

1 1 −  1 − z −1 2

 1 

1−

e

 √ 3 −1 2 TD +j 2 TD

z



√ 3 −  j6

1 

1−

e

1−

z

1− e 

1

−

 √ 1 T +j 3 T −2 D 2 D

1

+

e

  √ 1 T −j 3 T −2 D 2 D

  √ 3 −1 2 TD −j 2 TD

 

z

 

z

1 z z z    +  √ √ − UIZ (z) = 1 1 3 − 2 TD +j 2 TD − 2 TD −j 23 TD z−1 2 z−e z − e! √ z 3 z    −  √ √ − 3 1 1 − 2 TD +j 2 TD − 2 TD −j 23 TD j6 z−e z−e   1 z z z √ √ − + UIZ (z) = − 12 TD −j 23 TD z − 1 2 z − e− 21 TD ej 23 TD z − e e √   3 z z √ √ − − 3 1 j6 z − e− 12 TD ej 23 TD z − e− 2 TD e−j 2 TD z UIZ (z) = z−1 

!



1 z z   +  −  √ √ √ √ 1 1 3 3 − 2 TD 2 z − e− 2 TD cos 3 T + j sin 3 T z − e cos T − j sin T 2 D 2 D 2 D 2 D   √ 3 z z     − − √ √ √ √ 3 3 − 12 TD j6 z − e− 12 TD cos 3 T + j sin 3 T cos T − j sin T z−e D

2

2

D

2

D

2

D

z UIZ (z) = z−1        √ √ √ √ 3 3 3 3 − 12 TD − 21 TD z z − e cos T − j sin T + z − e cos T + j sin T 2 D 2 D 2 D 2 D 1       −  √ √ √ √ 3 3 3 3 − 21 TD − 12 TD 2 z−e z−e cos 2 TD + j sin 2 TD cos 2 TD − j sin 2 TD        √ √ √ √ √ 3 3 3 3 − 12 TD − 21 TD − z + e z z − e cos T − j sin T cos T + j sin T 2 D 2 D 2 D 2 D 3        − √ √ √ √ 1 1 j6 z − e− 2 TD cos 23 TD + j sin 23 TD z − e− 2 TD cos 23 TD − j sin 23 TD     √ 3 − 21 TD z 2z − 2e cos T D 2 z 1  −  UIZ (z) = √ 1 3 − 2 TD − 22 TD z−1 2 2 z − 2ze cos 2 TD − e     √ √ 3 − 12 TD z 2e j sin T 2 D 3   − √ 1 2 j6 z 2 − 2ze− 2 TD cos 3 T − e− 2 TD 2

D

1

√

z 2 − 2ze− 2 TD cos 23 TD z √ UIZ (z) = − z − 1 z 2 − 2ze− 21 TD cos 3 TD − e− 22 TD 2 ! √ √ 3 − 12 TD ze sin T 3 2 D √ − 1 2 3 − T 2 D 2 z − 2ze 2 cos TD − e− 2 TD 2

(7.25)

7.2 Z transformacija

7.2.1

Tablica Z transformacija

113

114

7.2.2

DODATAK

Tablica Laplaceove i Z transformacija (parovi)

Napomena: Z transformacije računaju se za t = kTD , gdje je TD vrijeme diskretizacije.

7.3 Primjena M atlab&SIMULINK-a u analizi sustava automatskog upravljanja

7.3

115

Primjena M atlab&SIMULINK-a u analizi sustava automatskog upravljanja

M atlab je matrični kalkulator koji se u počecima svog postojanja koristio u svrhu obrade laboratorijskih podataka. Prednost mu je što je otvoren prema korisnicima te je tako stvoreno mnogo alata za većinu djelatnosti iz tehničkih znanosti. U svrhu analize i sinteze sustava automatskog upravljanja razvijen je Control System T oolbox. Ovdje ćemo obraditi osnovne funkcije koje se koriste u svrhu analize i sinteze sustava automatskog upravljanja. Počnimo s kreiranjem prijenosne funkcije kontinuiranog i diskretnog sustava. Funkcija tf (engl. Transfer Function) služi za kreiranje prijenosne funkcije (kontinuirane i diskretne).

Slika 7.1: Stvaranje prijenosnih funkcija: a) kontinuirani sustav, b) diskretni sustav

Slika 7.2: Težinska i prijelazna funkcija sustava Na slici 7.1 prikazan je način na koji se stvaraju prijenosne funkcije kontinuiranih i

116

DODATAK

diskretnih sustava. Za sada ćemo se zadržati samo na kontinuiranim sustavima. Težinsku funkciju g(t) sustava G(s) možemo nacrtati funkcijom impulse, prijelaznu funkciju h(t) funkcijom step (slika 7.2). Ako želimo saznati pokazatelje kvalitete (nadvišenje, vrijeme porasta, vrijeme prvog maksimuma, ...) potrebno je koristiti funkciju stepinfo (slika 7.3).

Slika 7.3: Pokazatelji kvalitete prijelazne funkcije sustava

Položaj polova i nula (njihov grafički prikaz) može se dobiti koristeći funkcije zero, pole i pzmap (slika 7.4). Na temelju položaja polova možemo zaključiti o stabilnosti sustava.

Slika 7.4: Nule i polovi sustava

7.3 Primjena M atlab&SIMULINK-a u analizi sustava automatskog upravljanja

117

Slika 7.5: Nyquistov dijagram sustava Do sada smo koristili funkcije koje su opisivale sustave u vremenskom području. Nadalje, prikažimo i frekvencijski odziv sustava. Nyquistov dijagram sustava dobit ćemo koristeći naredbu nyquist (slika 7.5) Bodeov dijagram sustava dobit ćemo koristeći naredbu bode (slika 7.6)

Slika 7.6: Bodeov dijagram sustava

118

DODATAK

Ako želimo da nam na Bodeovom dijagramu budu označeno i amplitudno i fazno osiguranje koristi ćemo funkciju margin.

Slika 7.7: Bodeov dijagram sustava (Amplitudno i fazno osiguranje) Stabilnost sustava može se odrediti na temelju Bodeovog i Nyquistovog dijagrama, kao i pomoću razmještaja polova u s ravnini. Na stranici M atlaba možete skinuti i funkcije za algebarske kriterije; Routhov kriterij stabilnosti. Funkcija se naziva routh.m, a koristi se za sustave višeg reda. Kao argument funkcije daju se koeficijenti karakteristične jednadžbe.

Slika 7.8: Routhov kriterij stabilnosti Na temelju rezultata sa slike 7.8 sustav je nestabilan jer u prvom stupcu Routhove tablice imamo promijenu predznaka. Do sada smo promatrali samo kontinuirane sustave. Pokušajmo napraviti diskretizaciju prijenosne funkcije G(s) definirane na početku. Funkcija za diskretizaciju sustava naziva se c2d. Rezultati poziva funkcije za metodu diskretizacije s očuvanjem težinske i prijelazne funkcije te diskretizaciju Tustinovom transformacijom dani su na slici 7.9.

7.3 Primjena M atlab&SIMULINK-a u analizi sustava automatskog upravljanja

119

Slika 7.9: Diskretizacija sustava

Diskretne težinske i prijelazne funkcije triju diskretizacija prikazane su na slici 7.10.

Slika 7.10: Diskretne težinske i prijelazne funkcije

7.3.1

Realizacija pojedinog matematičkog opisa sustava u Matlab SIMULINK - u

Opis sustava diferencijalnim jednadžbama u Matlab SIMULINK - u Korištenjem Matlab SIMULINK - a moguće je realizirati diferencijalne jednadžbe pomoću blokova. Ako koristimo pravilo da je svaka varijabla stanja integral njene derivacje 1 tada se svaka diferencijalna jednadžba može opisati kaskadom integratora. Pokušajmo ovo pravilo primjeniti na sustavu RLC kruga. Diferencijalna jednadžba (3.74) može se 1

Što je matematički ispravno jer vrijedi da je xn (t) =

Rt 0

x0 n (t)dt

120

DODATAK

zapisati u obliku: LCu00 iz (t) + RCu0 iz (t) + uiz (t) = uul (t) 1 R uiz (t) u00 iz (t) = uul (t) − u0 iz (t) − L LC

(7.26)

Relacija (7.26) direktno se može zapisati u blokovskom obliku koristeći blokove integratora, sumatora i konstanti (slika 7.11).

Slika 7.11: Realizacija diferencijalne jednadžbe u Matlab SIMULINK - u

Opis sustava prijenosnom funkcijom u laplaceovoj domeni u Matlab SIMULINK - u Kada se u opisu sustava koristi prijenosna funkcija u laplaceovoj domeni tada je u Matlab SIMULINK - u potrebno koristiti blok Transfer Fcn. U blok se upisuju koeficijenti brojnika i nazivnika (koristiti relaciju (3.47)). Za RLC krug prijenosna funkcija u Matlab SIMULINK - u dana je slikom 7.12.

Slika 7.12: Realizacija prijenosne funkcije u Matlab SIMULINK - u

Opis sustava varijablama stanja u Matlab SIMULINK - u Za opis sustava varijablama stanja koristi se blok State-Space. Unutar bloka potrebno je zadati matrice A,B,C i D. RLC krug u opisu varijablama stanja u Matlab SIMULINK - u prikazan je na slici 7.13. Matrice A,B,C i D, za RLC krug, definirane su relacijom (3.76).

7.3 Primjena M atlab&SIMULINK-a u analizi sustava automatskog upravljanja

121

Slika 7.13: Realizacij sustava u opisu varijablama stanja u Matlab SIMULINK - u Matrice A,B,C i D mogu se dobiti iz prijenosne funkcije sustava naredbom ss (slika 7.14).

Slika 7.14: Pretvorba prijenosne funkcije u prostor stanja

122

DODATAK

Bibliografija [1] Z. Vukić and L. Kuljača, Automatsko upravljanje - analiza linearnih sustava. KIGEN, Zagreb, 2005. [2] www.caradvice.com.au/28162/expert-believes-australian-car-industry-wontsurvive/. [3] www.tuzla-x.ba/Vijesti/novi-brend-pivare-tuzla-erster.html. [4] jastrebarsko.uhrvatskoj.com/pavusin. [5] hr.wikipedia.org/wiki/Neuron. [6] www.poslovni-software.com/proizvod/gosoft-2000-integralni-poslovniinformacijski-sustav/40/32/. [7] T. Šurina, Automatska regulacija. Školska knjiga, Zagreb, 1991. [8] H. Babić, SIGNALI I SUSTAVI. FER - Zavod za elektroničke sustave i obradbu informacija, Zagreb, 1996. [9] M. Pašić, Matematička analiza 2. FER - Zavod za primjenjenu matematiku, Zagreb, 2002. [10] N. Elezović, MATEMATIKA 3 - Fourierov red i integral, Laplaceova transformacija. ELEMENT, Zagreb, 2006. [11] D. Stipaničev and J. Marasović, Digitalno vođenje. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split, 2008. [12] N. Perić, Automatsko upravljanje. FER - Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo, Zagreb, 2009. [13] N. Elezović, Funkcija kompleksne varijable. ELEMENT, Zagreb, 2008. [14] T. Petković, Fourierova transformacija i spektri - predavanja. FER - Zavod za elektroničke sustave i obradbu informacija, Zagreb, 2005. [15] E. Cheever, Linear Physical Systems Analysis - Bode Plots. http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/Bode/Bode.html: Department of Engineering, Swarthmore College. [16] J. J. DiStefano, A. R. Stubberud, and I. J. Williams, Theory and Problems of Feedback and Control System. Schaum’s Outline, 1995.

124

BIBLIOGRAFIJA

[17] E. J. Routh, Treatise on the Stability of a Given State of Motion. MacMillan, London, 1877. [18] K. Warwick, An Introduction to Control Systems. World Scientific, Singapore, 1996. [19] D. Matika, Sustavi digitalnog upravljanja. Graphis, Zagreb, 2005. [20] A. V. Oppenheim, R. w. Schafer, and J. R. Buck, Discrete - Time Signal Processing. Prentice Hall, New Jersey, 1998.

Indeks Član s transportnim kašnjenjem, 62

Proporcionalni član drugog reda, 45 Proporcionalni član nultog reda, 45 Proporcionalni član drugog reda, 51 Proporcionalni član prvog reda, 45 Proporcionalni član drugog reda s prigušenim Derivacijski član, 45 oscilatornim ponašanjem, 53 Integralni član, 45 Proporcionalni član nultog reda, 47 Proporcionalni član drugog reda s prigušenim Proporcionalni član prvog reda, 49 oscilatornim ponašanjem, 45 Dinamički sustav, 5 Algebra blokova Diskretni sustavi, 13 paralelno povezivanje blokova, 99 povratna veza, 100 Eksponencijalna funkcija, 32 provlačenje sumacijske točke kroz blok, Eulerova formula, 32 101 provlačenje točke odvajanje kroz blok, Faktor prigušenja, 53 Fazno frekvencijska karakteristika, 67 102 Amplitudno frekvencijska karakteristika, 67 Fazno osiguranje, 117 Fourierova transformacija, 67 Amplitudno osiguranje, 117 Frekvencija prigušenih oscilacija, 54 Biološki sustav, 7 Heavisideov razvoj, 35, 65 Blok dijagrami Homogeno rješenje diferencijalne jednadžbe, blok, 97 24 signalne linije, 97 sumacijske točke, 97 Impulsni odziv sustava, 26 točke odvajanja, 97 Informacijski sustav, 7 Bodeov dijagram, 67, 72 Integralni član, 61 Bodeov dijagrami Integriranje originala, 108 član s transportnim kašnjajnem, 95 Integriranje slike, 108 I član, 94 Inverzna laplaceova transformacija, 34 P0 član, 79 Istosmjerni motor, 50 PT1 član, 81 PT2 član, 83 Kauzalni sustavi, 19 PT2S član, 87 Koeficijent pojačanja sustava, 54 D član, 92 Kontinuirani sustavi, 13 DT1 član, 92 Konvolucijski integral, 26 Derivacijski član, 58 Deterministički sustavi, 14 Diferencijalne jednadžbe Obične, 23 Parcijalne, 23 Dinamički članovi Član s transportnim kašnjenjem, 45

Laplaceova transformacija, 31, 37, 107 Teorem o pomaku originala, 63 Linearni sustavi, 9 Nedeterministički sustavi, 15 Nekauzalni sustavi, 20 Nelinearni sustavi, 11

126

INDEKS

Nelinearni sustav, 8 SISO sustavi, 9 Stohastički sustavi, 8 Sustavi bez memorije, 9 Sustavi s koncentriranim parametrima, 9 Sustavi s memorijom, 9 Sustavi s raspodijeljenim parametrima, 9 Vremenski promjenjivi sustavi, 8 Vremenskine promjenjivi sustavi, 8 Sustavi bez memorijom, 19 Sustavi s jednim ulazom i jednim izlazom Partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe, (SISO), 17 25 Sustavi s koncentriranim parametrima, 16 Pokazatelji kvalitete, 56 Sustavi s memorijom, 18 Nadvišenje, 56 Sustavi s raspodjeljenim parametrima, 16 Vrijeme porasta, 56 Sustavi s više ulaza i više izlaza (MIMO), Vrijeme prvog maksimuma, 56 17 Vrijeme ustaljivanja, 56 Svojstva laplaceove transformacije, 32 Pokazatelji kvalitete sustava, 116 Deriviranje originala, 33, 108 Polovi sustava, 34, 116 Deriviranje slike, 108 Dvostruki, 35 Integriranje originala, 33, 108 Kompleksni, 35 Integriranje slike, 108 Višestruki, 35 Linearnost Laplaceove transformacije, Prigušene oscilacije, 54 107 Prijelazna funkcija, 115 Množenje varijable s konstantom, 107 Prijenosna funkcija, 115 Prigušenje originala, 32, 107 Prirodna frekvencija sustava, 54 Teorem o konačnoj vrijednosti, 33, 108 Teorem o konvoluciji, 33, 108 Racionalna funkcija, 35 Teorem o početnoj vrijednosti, 108 RC filtar, 50 Teorem o pomaku originala, 107 Realni derivacijski član, 59 Regulacijsko odstupanje, 33 Tahogenerator, 50 RLC krug, 55 Težinska funkcija, 26, 115 Rotacijski sustav, 50, 55 Tehnički sustav, 5 Teorem o konačnoj vrijednosti, 33, 108 Slika periodične funkcije, 108 Teorem o konvoluciji, 33, 108 Spremnik energije, 41 Teorem o početnoj vrijednosti, 108 Stohastički sustavi, 15 Teorem o pomaku originala, 63 Sustav, 5 Deterministički sustavi, 8 Varijable stanja, 41 Diskretni sustavi, 8 Vremenski nepromjenjivi sustavi, 12 Kauzalni sustavi, 9 Vremenski promjenjivi sustavi, 12 Kontinuirani sustavi, 8 Linearni sustav, 8 Z transformacija MIMO sustavi, 9 Prigušenje eksponencijalnom funkcijom, 110 Nedeterministički sustavi, 8 Nekauzalni sustavi, 9 Teorem linearnosti, 110 Neprigušene oscilacije, 54 Nule sustava, 34, 116 Nyquistov dijagram, 70 Nyquistov dijagrami član s transportnim kašnjajnem, 95 D član, 91 DT1 član, 91 I član, 93 P0 član, 79 PT1 član, 80 PT2 član, 82 PT2S član, 85

INDEKS Teorem o konačnoj vrijednosti, 110 Teorem o početnoj vrijednosti, 110 Teorem pomaka, 110

127