Bab 6 (berhitung Pada Zaman Kebangkitan Ilmu Pengetahuan)

Kelompok

9

Berhitung Pada Zaman Kebangkitan Ilmu Pengetahuan Anggota Kelompok :

1. 2. 3. 4.

Tiara Larasati Savira Rahmah Z. Eka Yunita Rahayu Christine Elliana V.

(3115150117) (3115150751) (3115150794) (3115150799) Pendidikan Matematika

Pada abad ke-17, merupakan awal dari zaman kebangkitan ilmu pengetahuan di Eropa. Ada perluasan penyebaran pusat-pusat pengetahuan dari Eropa Selatan ke Eropa Utara, Tengah, dan Timur. Pusat utama pengetahuan di Eropa mulai bergeser ke Perancis, Inggris, dan kemudian ke Jerman. Pengetahuan-pengetahuan yang diperoleh dengan percobaan mulai menggantikan pengetahuan yang semata-mata berdasarkan hasil pemikiran belaka.

Menurut Pendapat Beberapa Ahli Pada Abad Ke-17

Gamo w

• Dalam bidang matematika kita menemukan matematika murni dan matematika terapan.

Kepler

• Adanya jalinan hubungan antara matematika dengan ilmu pengetahuan.

Galileo

• Buku alam semesta ditulis dalam bahasa matematika dan abjadnya terdiri atas bentuk-bentuk ilmu ukur.

Descarte s

• “Harus ada ilmu pengetahuan berwujud umum—yakni matematika”, mencakup susunan dan ukuran, ditinjau secara terpisah untuk setiap penerapan ke pokokpokok tertentu

Newton

• Perlu ditemukan asas-asas dalam bentuk matematika untuk digunakan

Peristiwa Yang Terjadi Pada Abad Ke-17 Muncul paham-paham yang menumbangkan pahampaham kuno dari Aristoteles dan Ptolemaeus tentang hukum alam. Muncul cara-cara penemuan asas ilmu pengetahuan melalui percobaan-percobaan. Muncul perpaduan antara ilmu pengetahuan dengan matematika. Bersama itu ilmu pengetahuan dan matematika maju bersama-sama.

Cara Deduksi Kesimpulan diambil melalui penurunan secara masuk akal dari asas-asas umum yang memang diterima oleh akal manusia.

Cara-cara Penemuan Kesimpulan

Cara Induksi Kesimpulan ditemukan dari sejumlah data pengamatan yang diperoleh melalui pencatatan gejala atau percobaan.

Cara Deduksi Induksi Melahirkan suatu gambaran alam semesta berwujud mekanika. Pandangan mekanika adalah berbagai satuan dan hukum berbentuk matematika terapan.

Berbagai Tafsiran Orang Tentang Abad Ke-17 Dalam Sejarah Ilmu Pengetahuan a. Lancelot Law Whyte mempunyai gagasan tentang “unitary man” menamakan zaman ini (abad ketujuh belas) sebagai zaman asas heuristic umum pertama, karena ia melihat zaman itu sebagai zaman pencetusan pandangan-pandangan yang serba maju. b. Alfred North Whitehead menamakan zaman ini (abad ketujuh belas) sebagai zaman sintesis fisik pertama, karena melihat munculnya berbagai sintesi pengetahuan. c. Jean Lindsay menamakan zaman ketujuh belas sebagai zaman kulminasi dari revolusi ilmu pengetahuan.

Perkembangan Matematika Sejak Zaman Kebangkitan Ilmu Pengetahuan Secara Garis Besar

Tahap Pertama Pada abad ke-17 awal sampai abad ke-18 awal Penemuan-penemuan baru dalam bidang matematika yang memiliki kegunaan luas pada bidang pengetahuan lainnya.

Tahap Kedua Pada abad ke-18 awal Perluasan dan penggunaan matematika yang ditemukan pada tahap pertama serta berupa penyusunan dasar-dasar analisis. Pada tahap ini muncul kejanggalan-kejanggalan dalam matematika karena ketidaktelitian dalam penampilannya.

Tahap Ketiga Pada abad ke-18 akhir sampai abad ke-19 akhir Usaha pengetatan dasar matematika yang telah ditemukan sebelumnya. Pada tahap ini muncul pula matematika sintetik yang makin memisahkan berbagai cabang matematika dari berhitung.

Tahap Keempat Pada abad ke-19 akhir sampai sekarang Generalisasi dan abstraksi mendalam masalah dasar matematika termasuk filsafat matematika. Pada tahap ini lahir matematika baru berdasarkan teori gugus atau teori himpunan.

Perkembangan Matematika Tahap Ke -

1

1. Penciptaan Logaritma • Keperluan menghitung yang banyak diperlukan oleh astronomi dan kegiatan-kegiatan lain. • Ditemukan oleh John Napier (1550-1617)

• Daftar logaritma pertama yang ditemukan adalah logaritma dari fungsi sudut ilmu ukur segitiga.

2. Pengembangan Matematika • Pengembangan yang ditemukan oleh Thomas Harriot (1560-1621)

• Pengembangan yang ditemukan adalah teori persamaan, berhitung, konformalitas, pembujursangkaran, lingkaran, spiral logaritma, deret pangkat, interpolasi, segitiga bola, dan menulid Artis analyticae praxis pada tahun 1631

Berikut ini adalah nama-nama ahli yang juga menggembangkan matematika:

William Oughtred (1564-1660)

Galileo Galilei (1564-1660)

dan masih banyak lagi.

Johannes Kepler (1571-1630)

3. Pengembangan Ilmu Ukur Deskriptif

Pengembangan ilmu ukur deskriptif berwujud ilmu ukur proyeksi.

4. Ilmu Ukur Analitik • Ilmu ukur analitik merupakan penggabungan antara aljabar dan ilmu ukur. • Pengembangan ini dirintis oleh René Descartes (1596-1650)

5. Teori Kemungkinan (Probabilitas) • Penyusun teori probabilitas adalah

Blaise Pascal (1623-1662)

kemungkinan

Pierre de Fermat (1607-1665)

atau

• Probabilitas dihitung terlebih dahulu sebelum peristiwa itu terjadi atau disebut juga probabilitas a priori (probabilitas Matematika. • Dengan syarat-syarat tertentu probabilitas dapat ditetapkan melalui percobaanpercobaan atau disebut juga sebagai probabilitas a posteriori (probabilitas statistik).

6. Pengembangan Deret Tak hingga • Beberapa fungsi dapat diuraikan ke dalam deret tak hingga dan dalam hal-hal tertentu dapat membantu penentuan nilai-nilai secara pendekatan.

• William Brouncker (1620-1684) telah menggunakan deret tak hingga bagi besaran yang tidak dapat ditentukan dengan jalan lain.

• James Gregory (1638-1675) menyusun deret tak hingga untuk , , dan pada tahun 1667.

• Mercator dan Saint Vincent menguraikan fungsi logaritma naturalis ke dalam deret tak hingga. • John Wallis (1616-1703) mengembangkan deret tak hingga baik berupa penjumlahan maupun bentuk perkalian.

James Gregory

John Wallis

7. Penciptaan Differensial dan Integral • Proses diferensiasi dan proses integrasi adalah proses yang berkebalikan. • Menurut sejarah hitungan integral ditemukan terlebih dahulu. • Hitungan integral dapat digunakan untuk mencari luas permukaan yang dibatasi oleh garis lengkung dengan menggunakan “metoda menghabiskan” yang digunakan Archimedes.

• Terdapat asas Cavalieri tentang cara menghitung luas permukaan dan isi ruang dengan menggunakan hitungan intergral. • Asas Cavelieri ditemukan oleh Francesco Bonaventura Cavelieri (1598-1647).

• Hitungan diferensial dicapai melalui beberapa hal meliputi penentuan kecepatan sesaat pada pergerakan benda, mencari garis singgung, dan penentuan maksimal dan minimum.

Isaac Newton

• Pengembangan sepenuhnya hitungan diferensial dan integral ditemukan oleh Isaac Newton ( 1642-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1717). Gottfried Wilhelm Leibniz

Perkembangan Matematika Tahap Ke -

2

1. Perkembangan Probabilitas Dalam buku Jakob Bernoulli berjudul Ars Conjunctandi (1713): Menguraikan hasil pengundian dengan syarat tertentu, yang dikenal dengan penyebaran probabilitas.

Mengemukakan perhitungan pada permainan berpeluang dan juga membahas permutasi dan kombinasi.

Jakob Bernoulli

Nicolaus Bernoulli (1695-1726) Mengemukakan satu soal probabilitas dari St. Petersburg yang dikenal sebagai paradoks St. Petersburg. Paradoks ini diselidiki oleh Daniel Bernoulli, yang mengemukakan gagasan harapan moral dalam probabilitas Nicolaus Bernoulli

De Moivre

De Moivre

Mengemukakan “Doktrin Peluang (Chance)” (1716)

Mengemukakan fungsi normal dan integral probabilitas (1733) De Moivre

Pierre-Rémond de Montmort (1708) dalam Essai d’analyse surles jeux de hazard

George Louis, Comte de Buffon (1707-1788) Mengemukakan probabilitas ilmu ukur melalui hasil lemparan jarum di atas alas yang mengandung garis-garis.

Pierre Simon, Marquis de Laplace (1749-1812).

2. Perkembangan Kalkulus Johann Bernoulli (1667-1748)

Mengembangkan kalkulus variasi serta menjadikan ilmu ukur segitiga sebagai suatu cabang dari analisis (1742).

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Mengembangkan persamaan diferensial parsial. Mengembangkan hidrodinamika dan daripadanya kita mengenal hukum Bernoulli (1738).

James Stirling (1692-1770)

Menggunakan cara diferensial dalam deret tak hingga (1730), sehingga ditemukan rumus Stirling berupa pendekatan hitungan factorial.

Leonhard Euler (1707-1783)

Ia menulis tentang diferensial dan integral serta teori persamaan diferensial yang tercantum dalam Institutiones calculi diferentialis (1755) dan dalam tiga jilid Institutiones calculi integralis. Dalam bidang kalkulus variasi, Euler menulis Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaundentes (1744) yang di dalamnya terdapat “persamaan Euler”.

Jean-le-Ron D’Alembert (1717-1783)

Mencoba suatu pendekatan melalui pengertian limit sehingga kalkulus atau analisis dapat berdiri di atas dasar yang kuat. D’Alembert dan Bernoulli menjadi perintis dalam persamaan diferensial.

3. Pengembangan Deret Brook Taylor (1685-1731)

Menguraikan fungsi ke dalam deret pangkat dan deret ini dikenal sebagai deret Taylor

Colin Maclaurin (1698-1746)

Mengambil fungsi nol dari deret Taylor dan dikenal sebagai deret Maclaurin Deret-deret ini kemudian dipergunakan oleh : -Euler dalam hitungan diferensial (1755) -Lagrange sebagai dasar dari teori fungsinya -Taylor untuk mengintegrasi persamaan diferensial

De Moivre

Joseph Fourier

Menulis analytica,

Miscellanea de

seriebus

qudraturis Membahas deret berulang dan ilmu ukur segitiga analitik (1730).

Mengemukakan setiap

fungsi

Gauss bahwa periodic

dapat dinyatakan sebagai jumlah dari deret fungsi ilmu ukur segitiga (1807).

Mengemukakan deret hipergeometrik masalah

serta

konvergensi

pada deret (1812).

4. Pengertian Bilangan yg Meluas • Bilangan Negatif • Penerimaan Akar Bilangan Negatif sebagai Satuan Bilangan Khayal • Bilangan Kompleks Gauss menempatkan Bilangan Kompleks sebagai titik dalam Diagram Argand

• Lagrange - Dalil bahwa Bilangan Bulat Positif tidak lebih dari jumlah 4 bilangan kuadrat - Bersama Galois menyusun Teori Himpunan

Joseph Louis Lagrange Evariste Galois

• Gauss - Memberi bukti ketat dalil dasar aljabar melalui Disquisitiones Arithmaticae, bahwa setiap persamaan aljabar yg memiliki koefisien nyata paling sedikit memiliki 1 akar. - Mengemukakan Hukum Kebalikan Kuadratik dalam Teori Bilangan Carl Friedrich Gauss

5. Ilmu Ukur Ilmu Ukur Analitik • Claude Alexis Clairaut Menyelidiki Ilmu Ukur Analitik dan Ilmu Ukur Diferensial dari Lengkungan Ruang • Gaspard Monge Menyelidiki Ilmu Ukur Diferensial

• Jean Baptiste Biot Tulisan Biot Essai de Geometrie Analytique memberikan bentuk Ilmu Ukur Analitik saat ini. • Charles Dupin Membahas Teori Permukaan Mengemukakan pengertian Asimptot dan Garis Konjugasi

Ilmu Ukur Projektif • Gerard Desargues

• Gaspard Monge

• Jean Victor Poncelet

Perkembangan Matematika Tahap Ke -

3

1. Kalkulus, Deret, dan Fungsi • Meliputi Limit, Konvergensi, Divergensi, Keserbaterusan, Terdiferensiasi, dan Fungsi Eliptik • Gagasan Limit D’Alembert, Cauchy menggunakan bilangan variabel yang mempunyai limit nol atau ia sebut dengan Variable Infiniment Petit • Cauchy mengemukakan Turunan Fungsi Augustin Louis Cauchy

• Carl Gustav Jacob Jacobi Mengembangkan bidang Diferensial Parsial, Fungsi Eliptik, dan Determinan • William Rowan Hamilton Mengembangkan bidang Kalkulus Variasi dan Persamaan Diferensial

• Bernhard Riemann Mengembangkan bidang Fungsi Kompleks dan Deret

• Karl Weierstrass & Leopold Kronecker Mengembangkan bidang Fungsi Eliptik

Karl Weierstrass

Leopold Kronecker

2. Ilmu Ukur pada Beberapa Cabang • Jakob Steiner Merintis Ilmu Ukur Tanpa Bilangan atau Ilmu Ukur Sintetik/Murni • August Ferdinand Möbius • Julius Plücker • Michel Chasles • Herman Schubert • Hieronymus Georg Zeuthen • Arthur Cayley Membahas Ilmu Ukur Aljabar

August F. Möbius

Julius Plücker

Michel Chasles

Arthur Cayley Herman Schubert Hieronymus G. Zeuthen

3. Perkembangan Aljabar dan Teori Group • Mencakup aljabar nonasosiatif.

Hamilton, penemu hukum aljabar nonkomutatif

nonkomutatif

dan

Sophus Lie, penemu hukum aljabar nonasosiatif

• Henrik Abel (1802-1829) : membuktikan bahwa persamaan tingkat lima tidak dapat dipecahkan dengan cara aljabar. • Teori group dikemukakan oleh Galois, Abel dll. Dalam tahap ini teori group kemudian mengalami penerapan luas dalam bidang matematika ataupun diluarnya

4. Teori Bilangan • Berkembang bersama pengetatan dasar matematika atau pemberhitungan matematika. • Sebagai lanjutan dari usaha pengetatan dasar matematika, pengetatan itu dijadikan pokok dalam matematika oleh Weierstrass.

5. Pengertian Bilangan dari Teori Group diterapkan sebagai Cabang Matematika • Pernyataan David Hilbert (1862-1943) pada Kongres Matematika Internasional di Paris pada tahun 1900 sekaligus menutup perkembangan matematika pada tahap ke-3. • Ia mengemukakan dua puluh tiga proyek penelitian matematika sebagai akibat hasil penelitian matematika beberapa puluh tahun sebelumnya. Proyek itu mencakup berbagai hal itu dari teori bilangan sampai topologi.

Perkembangan Matematika Tahap Ke -

4

“Dimulai pada abad kesembilan belas yang merupakan awal matematika baru dan mencakup pendalaman cabang matematika serta penelitian dalam filsafat matematika. Serta ditemukan dasar aksioma matematika.”

1. Gottlob Frege (1848-1925)

Memberikan logika pada teori bilangan transfinite.

2. Giuseppe Peano (1858-1932)

Memberikan dasar logika pada asas ilmu ukur serta menyusun suatu sistem aksioma pada matematika.

3. Bertrand Russel (1872-1970) dan Alfred North Whitehead (1861-1947)

Bertrand Russel

Alfred North Whitehead

Memperbaiki gagasan Frege serta menyusun dasar logika dalam matematika dan menuangkannya dalam Principia Mathematica (1910-1913).

4. Henry Poincaré (1854-1912)

Membahas hampir seluruh cabang matematika.

5. Norbert Wiener (1894-1964)

Menyusun matematika dalam cabang komunikasi yang berarah ke sibernetika.

6. John von Neumann (1903-1957)

Menggunakan matematika untuk menyusun “game theory”.

7. Claud Shannon (1916-2001)

Menyusun teori matematika informasi.