Calculo Iii.

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE INGENIERIA GEOGRAFICA, AMBIENTAL Y ECOTURISMO DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA

CURSO DE ANALISIS MATEMATICO. III

Profesor: Mg. Ing. Agustín Reaño Pantoja

P R A C T I C A – D I R I G I D A. C A L C U L O. III

1

PRIMERA SEMANA. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN. Una función 𝐹(𝑥) es una antiderivada de otra función f(x) continua en un intervalo 𝐼, si cumple que: F´(x) = f(x), ∀x ∈ I Ejemplo 1: La antiderivada de f(x) = 3x 2 es F(x) = x 3 porque F´(x) = 3x 2 = f(x) Ejemplo 2: La antiderivada de f(x) = sen x es F(x) = cos x porque F´ = sen x = f(x) Ejemplo 3: La antiderivada de f(x) = 12x 2 + 2x es F(x) = 4x 3 + x 2 porque F´(x) = 12x 2 + 2x = f(x) ANTIDERIVADA GENERAL: Si 𝐹(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥) sobre el intervalo 𝐼, es decir 𝐹´(𝑥)=𝑓(𝑥) entonces la función 𝐺(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥) en el intervalo 𝐼 si y solo si es de la forma: C: es una constante arbitraria.

G(x) = F(x) + C

Ejemplo 1: la antiderivada general de f(x) = 7 es G(x) = 7x + C 1

Ejemplo 2: la antiderivada general de f(x) = x es F(x) = lnx + C 1

Ejemplo 3: la antiderivada general de f(x) = e2x es F(x) = 2 e2x + C 9

Ejemplo 4: la antiderivada general de f(x) = 9x es F(x) = 2 x 2 + C INTEGRAL INDEFINIDA: Se llama integral indefinida de una función 𝑓(𝑥) a la antiderivada general de la función, es decir: dy

Si F´(x) = dx = f(x) → dy = f(x)dx El proceso de encontrar todas las soluciones ó antiderivadas de esta ecuación diferencial (antiderivada general de 𝑓(𝑥)) se llama interpretación al cual se denota por: Y = ∫ f(x)dx = F(x) + C Dónde: ∫= signo de integración

dx =sirve para identificar a x como variable de integración

f(x)= integrando

C =constante de integración

x = variable de integración Es decir, la integral indefinida es el proceso de integración que consiste en determinar una función cuya derivada se conoce y la función a obtener se llama integral o antiderivada de la función dada. Ejemplo1.- Calcular:∫ x 3 dx =

x4 4

+C

Ejemplo 2.- Calcular: ∫

x dx √1−x

1

= ∫(1 − x)−2 xdx

2

FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION: 1ra formulas básicas de integración: Integrales inmediatas. 1.- ∫ dx = x + c ,

xn+1 n+1

2.- ∫ x n dx =

3.- ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx,

+ c,

4.- ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx, 5.-∫ un du = 7.- ∫

du u

un+1 n+1

senu = f(x), una función diferenciable en 𝑥. 6.- ∫ audu = a ∫ udu

+ c,

8.-∫ au du =

= ln|u| + c

au lna

9.-∫ eu du = eu + c

+c

2da formulas básicas de integración (integrales de funciones circulares, también integrando en una raíz cuadrada) 1.- ∫ 4.- ∫

du u2 +a2

1 a

u a

2.- ∫

= arctg + c

du √a2 −u2

u

5.- ∫

= arcsen a + c

du u2 −a2

=

du

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

3.- ∫

= ln |u + √u2 + a2 | + c 6.- ∫

√u2 +a2

1 2

1 u−a ln | | + c 2a u+a

du a2 −u2

=

du √u2 −a2

1 a+u ln | | + 2a a−u

c

= ln|u + √u2 − a2 | + c

u a

7.- ∫ √a2 − u2 du = u√a2 − u2 + a2 arcsen + c 8.- ∫ √u2 − a2 du = 𝑢√𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎2 𝑙𝑛|𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2 | + c 9.- ∫ √u2 + a2 du = u√u2 + a2 + a2 ln|u + √u2 + a2 | + c 10.- ∫

du u√u2 +a2

1

= − a ln (

a+√u2 +a2 )+ u

11.- ∫

c

du u√a2 −u2

a+√a2 −u2 )+c u

1

= − 2 ln (

3era formulas básicas de integración: (integrales trigonométricas) 𝒖 = 𝒇(𝒙)diferenciable en 𝒙. 1.- ∫ sen udu = −cos u + c

2.- ∫ cos u du = sen u + c

4.- ∫ cot udu = ln|sen u| + c

5.- ∫ sec udu = ln|sec u + tg u| + c

6.-∫ cosec udu = ln|cosec u − cotg u| + c 9.-∫ sec u. tgu du = sec u + c

3.- ∫ tg udu = ln|sec u| + c

7.-∫ sec 2 udu = tg u + c

8.- ∫ cosec 2 udu = −cotg u + c

10.- ∫ cosec u. cotu du = −cosec u + c

4ta formulas básicas de integración: (donde se considera las funciones hiperbólicas) u = f(x) Diferenciable en 𝑥. 1.- ∫ senhu du = cosh u + c

2.-∫ coshu du = senhu + c

3.- ∫ tghu du = ln|sechu| + c

4.-∫ cotghu du = ln|senhu| + c

5.- ∫ sech2 udu = tghu + c

6.- ∫ cosech2 u du = − cotgu + c

7.- ∫ sechu. tghu du = − sech u + c

8.- ∫ cosecu. cotgu du = −cosech u + c PRÁCTICA DIRIGIDA

𝐱 𝟑 −𝟕𝐱𝟐 +𝟖𝐱 ) 𝐝𝐱 𝟐𝐱

Prob. 1: Calcular: ∫ (

Solución: x3 −7x2 +8x 1 x3 7 x2 8 x ) dx = 2 ∫ x dx − 2 ∫ x dx + 2 ∫ x dx 2x

∫(

1 6

1

7

= 2 ∫ x 2 dx − 2 ∫ xdx + 4 ∫ dx

7 4

= x 3 − x 2 + 4x + c 3

Prob. 2: Calcular: ∫

5x2 +7

dx

4

x3

Solución: ∫

5x2 +7 4 x3

dx = 5 ∫

𝑥2 4 𝑥3

1

+

5 3

−4

2

4

=5∫ 𝑥 2 . 𝑥 −3 𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 5∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥

4 𝑥3

5

𝑥3

=5

4

𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 7 ∫

− 7𝑥 3

5

+ 𝑐 = 3𝑥 3 -

1 − 3

21 1

+c

𝑥3

1 x

Prob. 3: Calcular: ∫ √x (x + ) dx Solución: 1

1

1

1

1

3

1

− ∫ √x (x + x) dx = ∫ x 2 (x + x) dx = ∫ x 2 xdx + ∫ x 2 . x −1 dx = ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx

=

5

1

x2

x2

5 2

+

1 2

2 5

1

+ c = 5 x 2 + 2x 2 + c

5

1

Prob. 4: Calcular: ∫ (x 2 − 5x −4 + x 2 ) dx Solución: 5 2

∫ (x − 5x

−4

1 2

5 2

+ x ) dx = ∫ x dx − 5 ∫ x 7 7 2

= x2 + Prob. 5: Calcular: ∫

(x2 +1)(x2 −2) 3

√x2

5 3x3

−4

7

1 2

dx + ∫ x dx =

x2 7 2

−

x−3 5 −3

3

+

x2 3 2

+c

2 3 3

+ x2 + c

dx

Solución: ∫

(𝑥 2 +1 )(𝑥 2 −2 ) 3

√𝑥 2

10 3

𝑑𝑥 = ∫

(𝑥 4 −𝑥 2 −2 ) 2 𝑥3

4 3

−

2

2

2

2

𝑑𝑥 = ∫(𝑥 4 − 𝑥 2 − 2 )𝑥 −3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 4 𝑥 −3 𝑑𝑥 - ∫ 𝑥 2 . 𝑥 −3 𝑑𝑥 - 2∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥

2 3

= ∫ x dx − ∫ x dx − 2 ∫ x dx = =

13

7

1

13

x3

x3

2x3

3x 3 13

13 3

−

7 3

3

3 √𝑥 12 .𝑥 13

− 3

−

1 3

3 √𝑥 6 .𝑥 7

+c = 3

3 7

1

− 7 x 3 − 6x 3 + c

− 6 √𝑥 + c =

3

3𝑥.4 √𝑥 13

3

−

3𝑥 2 √𝑥 7

3

− 6 √𝑥 + c

Nota: cuando u = 𝑓(𝑥) una función diferenciable en x. x

Prob. 6: Calcular: ∫ 4x2 −5 dx Solución: Sea: u = 4x 2 − 5 → du = 8xdx → x

∫ 4x2 −5 dx = ∫

du 8

u

1

= 8∫

du u

du 8

= xdx 1

1

= 8 ln|u| + c = 8 ln|4x 2 − 5| + c

Prob. 7: Calcular: ∫ x 2 √x 3 + 4 dx Solución: 4

Sea. u = 𝑥 2 + 4 → du = 3x 2 dx 1

1

∫ x 2 √x 3 + 4 dx = ∫(x 3 + 4)2 x 2 dx = ∫ u2 .

du 3

3

1

1

2 3 9

1 u2

= ∫ u2 du = 3 3

+ c = u2 + c

3 2

3

2

= 9 (x 3 + 4)2 + c x+1

Prob. 8: Calcular: ∫ x2 +2x dx Solución: u = x 2 + 2x → du = (2x + 2)dx → x+1

∫ x2 +2x dx = ∫ Prob. 9: Calcular: ∫

du 2

u

x2 x3 +1

1

= 2∫

du u

du = (x + 1)dx 2 1

1

= 2 ln|u| + c = 2 ln|x 2 + 2x| + c

dx Solución: du = x 2 dx 3

u = x 3 + 1 → du = 3xdx → x2

1

∫ x3 +1 dx = 3 ∫ Prob 10.- Calcular: ∫

du u

1 3

1 3

= ln|u| + c = ln|x 3 + 1| + c

𝑑𝑥 𝑥 2 −6𝑥+18

Solución. 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑢

1

𝑢

1

𝑥−3 )+ 3

∫ 𝑥 2 −6𝑥+18 = ∫ 𝑥 2 −6𝑥+9+9 = ∫ (𝑥−3 )2 +32 = ∫ 𝑢2 +𝑎2 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔 𝑎 + 𝑐 = 3 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔 (

c

Si u = x-3 → du = dx. Prob.11.- Calcular ∫

4𝑑𝑥 √−4𝑥 2 −20𝑥−9

Solución. 4𝑑𝑥

(Completando cuadrados)

𝑑𝑥

∫ √−4𝑥2 −20𝑥−9 = 4∫ √−4𝑥 2 −20𝑥−9 = ∫ -4𝑥 2 − 20𝑥 = -4(𝑥 2 + 5𝑥 + Prob.12.- Calcular.∫

4𝑑𝑥 2𝑥+5 2 4[4− ( ) ] 2

25 ) +25-9 4

=∫

𝑑𝑥

2𝑥+5 )+ 4

= arc Sen(

2 √22 −(2𝑥+5) 2

5 2

2𝑥+5 2 ) 2

= 16 -4(𝑥 + 2) = 16 - 4(

c

2𝑥+5 2 ) ] 2

= 4[4 − (

𝑥 2 +1 𝑑𝑥 𝑥−1

Solución. Ojo: cuando el exponente del numerador es mayor q el denominador entonces dividimos así: 𝑥2 +1 −𝑥 2 +x x+1 -x+1 2

x-1 x+1

5

∫

𝑥 2 +1 𝑑𝑥 𝑥−1

2

𝑑𝑥

= ∫ (𝑥 + 1 + 𝑥−1)dx = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥−1= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫

u = x-1 → du = dx

=

𝑥2 2

𝑑𝑢 𝑢

+ 𝑥 + 2𝐿𝑛|𝑥 − 1|+c

𝑥3

Prob.13.- Calcular.∫ 𝑎2 −𝑥2 𝑑𝑥 Solución. 𝑥3 -𝑥 3 𝑎2 𝑥 →

𝑑𝑢

𝑎2 -𝑥 2

u= 𝑎2 − 𝑥 2 → du = - 2xdx → −2 = xdx

-x

𝑥3 ∫ 𝑎2 −𝑥2 𝑑𝑥

= - ∫ 𝑥 𝑑𝑥 - 𝑎

Prob.14.- Calcular.∫

2

𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑎2 − 𝑥2

= - ∫ 𝑥 𝑑𝑥 - 𝑎 ∫ 2

𝑑𝑢 −2

𝑢

=-

𝑥2 2

+

𝑎2 2

Ln|𝑎2 − 𝑥 2 |+c

𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 −1

Solución. 𝑒𝑥

∫ 𝑒 𝑥 −1 𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑢 𝑢

= Ln |𝑒 𝑥 − 1|+ c

u = 𝑒 𝑥 − 1 → du = 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 Prob.15.- Calcular.∫

𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 3−4𝑒 2𝑥

Solución. u = 3 − 4𝑒 2𝑥 → du = - 8𝑒 2𝑥 dx → 𝑒 2𝑥 ∫ 3−4𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢

1

= ∫ −8 = - ∫ 𝑢 8

𝑑𝑢 𝑢

𝑑𝑢 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 −8

1 8

= - Ln |3- 4𝑒 2𝑥 | + c

2da formulas básicas de integración (integrales de funciones circulares, donde el integrando es una raíz cuadrada de una expresión cuadrática) x3

Probl. 1: Calcular: ∫ 8 dx x +5 Solución: Donde. 𝑥 8 = (x 4 )2 x3 ∫ x8 +5 dx

Prob.2: Calcular. ∫

y

si u = 𝑥 4 → du = 4x 3 dx →

a = √5

=∫

x3 2

(x4 )2 +(√5)

dx = ∫

du 4 u2 +a2

1

du

1

du 4

= x 3 dx luego. u

1

x4

= ∫ 2 2 = arctg + c = arctg + c 4 u +a 4 a 4 √5

𝑑𝑥 √6𝑎𝑥− 𝑥 2

Solución. 6𝑎𝑥 − 𝑥 2 = 9𝑎2 − (𝑥 2 − 6𝑎𝑥 + 9𝑎2 ) = 9𝑎2 - (𝑥 − 3𝑎 )2 = (3𝑎)2 − (𝑥 − 3𝑎 )2 𝑑𝑥

∫ √6𝑎𝑥− 𝑥2 = ∫ Prob.3.- Calcular. ∫

𝑑𝑥 √(3𝑎 )2 −(𝑥−3𝑎 )2

𝑥−3𝑎 )+ 3𝑎

= arc Sen(

c

𝑑𝑥 √𝑥 2 −6𝑥+7

Solución. 6

𝑥 2 − 6𝑥 + 7 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 9 + 7 = (𝑥 − 3 )2 -2; 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

u = x – 3 → du = dx

𝑑𝑢

∫ √𝑥 2 −6𝑥+7 = ∫ √𝑥 2 −6𝑥+9−9+7 = ∫ (𝑥−3 )2 −(√2 )2 = ∫ √𝑢2 −𝑎2 = Ln|u + √𝑢2 − 𝑎2 | + c = Ln|x-3 + √(𝑥 − 3 )2 − (√2 )2 | + c Prob.4.- Calcular. ∫ √𝑥 2 − 2𝑥 − 3 . dx Solución. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) − 1 − 3 = (𝑥 − 1 )2 − 22 si u = x – 1 → du = dx 1

1

∫ √𝑥 2 − 2𝑥 − 3 .dx = ∫ √(𝑥 − 1 )2 − 22 dx = ∫ √𝑢2 − 𝑎2 du = 2 u. √𝑢2 − 𝑎2 - 2 𝑎2 Ln|u+√𝑢2 − 𝑎2 |+c = Prob.5.- Calcular. ∫

𝑥−1 √(𝑥 2

4 2

− 1 )2 − 4 - Ln|x-1+√(𝑥 − 1 )2 − 4 |+c

𝑑𝑥 𝑥√2𝑥 2 +3

Solución. u= √2. 𝑥

→ du = √2.dx

𝑑𝑥

∫ 𝑥√2𝑥2 +3 = ∫

→

𝑑𝑥

𝑑𝑢 √2

= dx

=∫

𝑥√(√2𝑥 )2 +( √3)2

𝑑𝑢 √2 𝑢 √𝑢2 +𝑎 2 √2

=∫

𝑑𝑢 𝑢√𝑢2 +𝑎2

1 𝑎

𝑎+√𝑢2 +𝑎2 1 √3+√2𝑥 2 +3 )= Ln( )+c 𝑢 √3 √2𝑥

= - Ln(

dx

Probl.6: Calcular: ∫ 4x2 +9 Solución: u = 2x

a=3 →

𝑑𝑢 2

= dx

dx

dx

1

du

1 1

u

1 1

u

1

∫ 4x2 +9 = ∫ (2x)2 +(3)2 = 2 ∫ u2 +a2 = 2 (a arctg a ) + c = 2 (3 arctg a ) + c = 6 arctg Prob.7: Calcular: ∫

2x + 3

c

dx √16−9x2

Solución: dx

∫ √16−9x2 = ∫

dx √(4)2 −(3x)2

1

= 3∫

𝑑𝑢

1

√𝑎 2 −𝑢2

u = 3x → du = 3dx →

𝑢

1

= 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝑐 = 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛

𝑑𝑢 3

3𝑥 4

+𝑐

= dx

dx Prob.8: Calcular: ∫ 2 x −6x+5

Solución: dx

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑢

1

𝑢−𝑎

1

(x−3)−2

1

x−5

∫ x2 −6x+5 = ∫ 𝑥 2 −6𝑥+9−9+5 = ∫ (𝑥−3)2 −22 = ∫ 𝑢2 −𝑎2 = 2𝑎 Ln|𝑢+𝑎 |+c = 4 Ln|(x−3)+2| + c = 4 Ln|x−1|+ c Completando cuadrados. x 2 − 6x + 9 − 9 + 5 = (x − 3)2 − 22 que reemplazamos en la integral y tenemos. 𝑥 3 −21𝑥

Prob.9: Calcular: ∫ 5+4𝑥−𝑥2 dx Solución. 7

Dividimos por que el exponente del numerador es mayor q del denominador. -21x

𝑥3

5 + 4x - 𝑥 2

−𝑥 3 +4𝑥 2 +5x

𝑥 3 −21𝑥

-x–4

20

→ ∫ 5+4𝑥−𝑥 2dx = ∫ (−𝑥 − 4 + 5+4𝑥−𝑥 2 )dx 𝑑𝑥

−4𝑥 2 - 16x+20

𝑑𝑥

= - ∫ 𝑥𝑑𝑥 -4∫ 𝑑𝑥+20∫ 9−(𝑥2 −4𝑥+4 ) = -∫ 𝑥𝑑𝑥 -4∫ 𝑑𝑥+20∫ 9−(𝑥−2 )2

+20

u = x -2 → du = dx, 𝑑𝑢

= -∫ 𝑥𝑑𝑥 -4∫ 𝑑𝑥+20∫ 𝑎2 −𝑢2 = -

𝑥2 2

a = 3 Reemplazando se tiene.

– 4x +

20 3+(𝑥−2) Ln|3−(𝑥−2)|+c 6

=-

𝑥2 2

– 4x +

10 1+𝑥 Ln|5−𝑥|+c 3

3era formulas básicas de integración: (integrales trigonométricas) 𝒖 = 𝒇(𝒙)diferenciable en 𝒙. Prob.1: Calcular: ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏𝑥)𝑑𝑥 Solución: 𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑏𝑑𝑥 →

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑏

1

1

1

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑢. 𝑑𝑢 = − 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐 = − 𝑏 cos(𝑎 + 𝑏𝑥) + 𝑐

Prob.2: Calcular: ∫ 𝐶𝑜𝑠√𝑥.

𝑑𝑥 √𝑥

Solución: ∫ 𝐶𝑜𝑠√𝑥.

𝑑𝑥 √𝑥

= 1

1

1

𝑑𝑥 √𝑥

𝑢 = √𝑥 = 𝑥 2 → 𝑑𝑢 = 2 𝑥 −2 𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠√𝑥

𝑥𝑑 √𝑥

→ 2. du =

𝑑𝑥 √𝑥

= 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝑑𝑢 = 2𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝑐 = 2𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 𝑐

Prob.3: Calcular: ∫(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥)2 𝑑𝑥 Solución: ∫(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠 2 𝑎𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑎𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥)𝑑𝑥 = ∫(1 + 2𝑆𝑒𝑛𝑎𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥)𝑑𝑥 Pero. 2Senax.Cosax = Sen2ax

→ = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑆𝑒𝑛𝑎𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑆𝑒𝑛2𝑎𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑢 = 2𝑎𝑥 → 𝑑𝑢 = 2𝑎𝑑𝑥 → 2𝑎 = dx Calcular.4: ∫

1

1

= ∫ 𝑑𝑥 + 2𝑎 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 = x- 2𝑎 Cosu+c = x -

𝐶𝑜𝑠2𝑎𝑥 2𝑎

+c

𝑡𝑔(√𝑥 2 +4)𝑥𝑑𝑥 √𝑥 2 +4

Solución: ∫

𝑡𝑔(√𝑥 2 +4)𝑥𝑑𝑥 √𝑥 2 +4

= ∫ 𝑡𝑔(√𝑥 2 + 4 )

𝑥𝑑𝑥 √𝑥 2 +4

1

= ∫ 𝑡𝑔 𝑢. 𝑑𝑢 = Ln|𝑠𝑒𝑐𝑢|+c = Ln|𝑠𝑒𝑐. √𝑥 2 + 4 )|+c 1

1

u = (x 2 + 4)2 → du = 2 (x 2 + 4)−2 (2x)dx Prob.5: Calcular: ∫ sec(3𝑥 + 5)𝑑𝑥 Solución: 8

𝑑𝑢 3

∫ sec(3𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = ∫ sec 𝑢.

1

1

1

= ∫ sec 𝑢. 𝑑𝑢= Ln|sec u + tg u|+c = Ln|sec(3x+5) +tg(3x+5) |+c 3 3 3

𝑢 = 3𝑥 + 5 → 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 → 𝑡𝑔 𝑥

√ Prob.6: ∫ 𝐶𝑂𝑆 2 𝑋 dx

= 𝑑𝑥

fig: 483 - a Solución:

√𝑡𝑔 𝑥 ∫ 𝐶𝑂𝑆 2 𝑋 dx = ∫ √𝑡𝑔

Prob.7: Calcular. ∫

𝑑𝑢 3

1+𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥

u = tgx → du = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 3

1

1

𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑡𝑔𝑥 . 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑑𝑥= ∫ 𝑢2 . 𝑑𝑢 =

dx

𝑢2

3

2

3

2

+ c = 3 𝑢2 +c = 3 𝑡𝑔2 x + c

3 2

fig: 483 - b

Solución: ∫

1+𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥

1 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥

dx = ∫ (

u = 3x → du = 3dx → 1

+

𝑠𝑒𝑛3𝑥 )dx = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥

𝑑𝑢 3

1

= dx

1

1 𝑠𝑒𝑛3𝑥 )( )dx 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥

+ ∫(

1

= 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢. 𝑑𝑢 + 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑢. 𝑡𝑔𝑢. 𝑑𝑢 + 𝑐 1

= 3 tg.3x + 3sec.3x + c = 3 (tg.3x + sec.3x) + c Prob.8: Calcular. ∫ √𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑒𝑛3 . 𝑥. 𝑑𝑥 fig: 484 - 9𝑐 Solución: ∫ √𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑒𝑛3 . 𝑥. 𝑑𝑥 = - ∫ √𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 (−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥) = - ∫ √𝑐𝑜𝑠𝑥 (1- 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 )(- senxdx) 5

1

= - ∫ (√𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) (−𝑠𝑒𝑛𝑑𝑥) = - ∫(𝑢2 − 𝑢

5⁄ 2 ) du

1

= -∫ 𝑢2 𝑑𝑢+ ∫ 𝑢

u = cosx →du = - senxdx Prob.9: Calcular. ∫

𝑠𝑒𝑛7 𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 3 (1+𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ) ⁄2

5⁄ 2 du

=-∫

2 3

3⁄ 2

= - 𝑐𝑜𝑠

dx

3 𝑢 ⁄2 3 2

2 7

7

+

𝑢 ⁄2 7⁄ 2

+ 𝑐𝑜𝑠

+c

7⁄ 2+

c

fig: 484 - 9𝑏

Solución: ∫

𝑠𝑒𝑛7 𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 (1+𝑠𝑒𝑛4 𝑥

3 ) ⁄2

dx = ∫

𝑠𝑒𝑛4 𝑥(𝑠𝑒𝑛3 𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥 )𝑑𝑥 3 (1+𝑠𝑒𝑛4 𝑥 ) ⁄2

1

= 4∫

(𝑢−1) 3 𝑢 ⁄2

du∫ (𝑢−

1⁄ 2

− 𝑢−

3⁄ 2

) 𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑛7 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛4 𝑥(𝑠𝑒𝑛3 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ) → u = 1+𝑠𝑒𝑛4 𝑥 → du = 4𝑠𝑒𝑛3 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 → 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 = u - 1 1 1 𝑢 ⁄2

= 4 [ 1⁄ − 2

1

𝑢− ⁄2 1⁄ ] 2

1+𝑢 √𝑢

+c =2

+c=

2+𝑠𝑒𝑛4 𝑥 √1+𝑠𝑒𝑛4 𝑥

𝑑𝑢 4

= 𝑠𝑒𝑛3 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

+c

4ta formulas básicas de integración: (integración funciones hiperbólicas) Donde 𝐮 = 𝐟(𝐱) Diferenciable en 𝒙. Prob.1: Calcular: ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥. 𝑑𝑥 Solución: 1

∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥(𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥. 𝑑𝑥) = 3 𝑐𝑜𝑠ℎ3 𝑥 + 𝑐 9

Prob.2: Calcular: ∫ 𝑡𝑔ℎ𝑥. 𝑑𝑥 Solución: 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

∫ 𝑡𝑔ℎ𝑥. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑢 𝑢

= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 = 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥| + 𝑐

𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑑𝑥 Prob.3: Calcular: ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)4 . 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥. 𝑑𝑥 =

𝑠𝑒𝑛ℎ 5 𝑥 5

+𝑐

Prob.4: Calcular: ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 2 𝑑𝑥 Solución: 1

1

∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 2 . 2𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑡𝑔ℎ𝑥 2 + 𝑐 𝑢 = 𝑥 2 → 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 Prob.5: Calcular: ∫

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥.𝑑𝑥 1+𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

fig: 496 - a

Solución: 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥.𝑑𝑥

∫ 1+𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = ∫

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 2 𝑥

1

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

= ∫ (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 . 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥. 𝑡𝑔ℎ𝑥𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥 + 𝑐

Si: 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 Prob.6: Calcular: ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ3 𝑥. 𝑡𝑔ℎ𝑥𝑑𝑥

fig: 496 - d

Solución: 1

1

∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ3 𝑥. 𝑡𝑔ℎ𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥(𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥. 𝑡𝑔ℎ𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢2 . 𝑑𝑢 = − 3 𝑢3 + 𝑐 = - 3 𝑠𝑒𝑐ℎ3 𝑥 + c 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥 → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥. 𝑡𝑔ℎ𝑥. 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑎ℎ 2𝑥

Prob.7: Calcular: ∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ4 𝑥 dx

fig: 496 - c

Solución. De la identidad: cosh 2x = cosℎ2 𝑥 + senℎ2 𝑥 ; pero Si: 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1 → 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 → cosh 2x = 1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 + senℎ2 𝑥 = 1+ 2 senℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑎ℎ 2𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ4 𝑥 dx = ∫

1+ 2 𝑠𝑒𝑛ℎ 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 4 𝑥

1

dx = ∫ (𝑒𝑛ℎ4 𝑥 +

2 𝑠𝑒𝑛ℎ 2 𝑥 )dx = ∫(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ4 𝑥 𝑒𝑛ℎ 4 𝑥

+ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥)dx

= ∫[𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥(𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2 𝑥 − 1) + 2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥]dx = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ2 𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥dx 1

∴ = - 3 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ𝑥 + c INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Consiste en introducir una variable 𝑢 que sustituye a la expresión apropiada en función de x, de manera que la integral se transforme en otra integral de variable 𝑢 más fácil de interpretar. Si la integral: ∫ 𝐹[𝑔(𝑥)]. 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 10

Sustituimos a: 𝑔(𝑥) = 𝑢 y a 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 → ∫ 𝐹[𝑔(𝑥)]. 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢). 𝑑𝑢 + 𝑐 Prob.1: Calcular: ∫(2𝑥 + 1)2 2𝑑𝑥 Solución: 𝑢 = 2𝑥 + 1 → 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 → ∫(2𝑥 + 1)2 2𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 =

𝑢3 3

+𝑐 =

(2𝑥+1 )3 3

+c

𝑥𝑑𝑥

Prob.2: Calcular: ∫ (𝑥 2 +1)3 Solución: 𝑥𝑑𝑥

∫ (𝑥 2 +1)3 = ∫(𝑥 2 + 1)−3 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑢−3

𝑑𝑢 2

𝑢 = 𝑥 2 + 1 → 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 →

1 𝑢−2 −2

1

= 2 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 = 2 .

𝑑𝑢 2

1

1

+ 𝑐 = −4𝑢2 + 𝑐 = −4 (𝑥 2 + 1 )−2 + c

= 𝑥𝑑𝑥

Prob.3: Calcular: ∫ 𝑥 2 √𝑥 3 + 4𝑑𝑥

fig: 479 - 1

Solución: ∫𝑥

2

√𝑥 3

+ 4 𝑑𝑥 = ∫

(𝑥 3

1 2

2

+ 4) . 𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 3

𝑢 = 𝑥 3 + 4 → 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 →

1 2

𝑑𝑢 . 3

=

1 1 𝑢2 . 𝑑𝑢 ∫ 3

3

=

1 𝑢2 . 3 3

2 9

3⁄ 2

+ 𝑐 = (𝑥 3 + 4 )

2

+c

= 𝑥 2 𝑑𝑥

Prob.4: Calcular: ∫(𝑥 + 1)(√𝑥 2 + 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 Solución: ∫(𝑥 + 1 )(√𝑥 2 + 2𝑥 + 3) dx = ∫(√𝑥 2 + 2𝑥 + 3)(𝑥 + 1 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 u = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 → du = (2x+2) dx →

𝑑𝑢 2

1⁄ 𝑑𝑢 2 2

(x+1) dx 1

∫(𝑥 + 1)(√𝑥 2 + 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 = ∫(√𝑥 2 + 2𝑥 + 3)(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 3

1 𝑢 ⁄2 2 ⁄2

= .3 Prob.5: Calcular. ∫

𝑥 2 +2𝑥 √𝑥 3 +3𝑥 2 +1

𝑑𝑢 2

1

= 2∫𝑢

1⁄ 2 . 𝑑𝑢

3

1 3

+ c = (𝑥 2 + 2𝑥 + 3)2 + 𝑐

dx

fig: 481 - 3

Solución: 𝑥 2 +2𝑥

−1⁄2

∫ √𝑥 3 +3𝑥 2 +1 dx = ∫(𝑥 + 3𝑥 + 1 ) 3

2

(𝑥 + 2

u = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1 → du = (3𝑥 2 + 6𝑥 )dx →

1 𝑑𝑢 2𝑥)dx = ∫ 𝑢− ⁄2 3

𝑑𝑢 3

= (𝑥 2 + 2𝑥 )dx,

1

1 = ∫ 𝑢− 1⁄2 . 𝑑𝑢 3 2

1 𝑢2 = .1 3

+c

2

1

= 3 (𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1 )2 + c

𝑥

Prob.6: Calcular. ∫ 1−𝑥2 dx Solución: u = 1-𝑥 2 → du = - 2xdx → 𝑥

𝑑𝑢

1

= - 2∫ ∫ 1−𝑥2 dx = ∫ −2 𝑢

𝑑𝑢 𝑢

𝑑𝑢 2

= xdx 1

1

= - 2 Ln|u|+ c = - 2 Ln|1-𝑥 2 |+c 11

Prob.7: Calcular: ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2 . 𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2 . 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 . 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑢 = 𝑥 2 → 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 →

𝑑𝑢 2

𝑑𝑢 2

1

1

1

= 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑢 + 𝑐 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 2 + 𝑐

= 𝑥𝑑𝑥

𝑥2

Prob.8: Calcular. ∫ 1+𝑥6 𝑑𝑥 Solución. 𝑥2 ∫ 1+𝑥 6 𝑑𝑥

𝑥2

= ∫ 1+(𝑥3 )2 𝑑𝑥 = ∫

u = 𝑥 3 → du = 3𝑥 2 𝑑𝑥 →

𝑑𝑢 3

𝑢

𝑑𝑢 3

1

𝑑𝑢

1

1

= 3 ∫ 1+𝑢2 = 3 arc tg u + c = 3 arc tg 𝑥 3 + c

= 𝑥 2 dx

Prob.9: Calcular. ∫(𝑥 6 + 3𝑥)4 𝑑𝑥

fig: 481 - 4

Solución ∫(𝑥 6 + 3𝑥)4 𝑑𝑥= ∫[𝑥(𝑥 5 + 3)]4 . 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 5 + 3)4 𝑥 4 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢4 u = 𝑥 5 + 3 → du = 5𝑥 4 𝑑𝑥 →

𝑑𝑢 5

Prob. 10.- Calcular. ∫ 𝑥 3 √𝑥 2 + 9 dx

𝑑𝑢 5

1 𝑢5 5

1

= ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = . 5 5

=

1 (𝑥 5 25

+ 3)5 +c

= 𝑥 4 𝑑𝑥. fig: 482 - 5

Solución. 1

1

1

1

3

1

1

∫ 𝑥 3 √𝑥 2 + 9 dx = ∫ 𝑥 2 √𝑥 2 + 9 (𝑥𝑑𝑥) = 2 ∫(𝑢 − 9)√𝑢.du = 2 ∫ (𝑢𝑢2 − 9𝑢2 ).du = 2 ∫ (𝑢2 − 9𝑢2 ).du u = 𝑥 2 + 9 → du = 2xdx → 1

5

3

1

3

𝑑𝑢 2

= xdx 1

=

1 2

3

∫ 𝑢2 du -

9 2

1

∫ 𝑢2 du =

5

1 𝑢2 2 5 2

3

9 𝑢2

-2

3 2

3

= 5 𝑢2 - 3𝑢2 + c = 5 𝑢2 (𝑢 − 15)+ c = 5 (𝑥 2 − 6)(𝑥 2 + 9)2 + c

12

SEGUNDA SEMANA. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas Muchas integrales indefinidas que comprenden productos y potencias de funciones trigonométricas se pueden calcular con ayuda de las identidades trigonométricas. Se comenzará con productos de potencias de seno y coseno, y se distinguirán tres casos que dependen de que los exponentes sean números enteros positivos pares o impares. Trata de las integrales que tienen la forma: ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑡𝑔𝑛 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛 𝑥𝑑𝑥 se presenta los siguientes casos. 1er caso: Cuando n es un número entero positivo par debemos usar las identidades siguientes: sen2 𝑥 =

1−cos 2𝑥 ; 2

cos 2 𝑥 =

1+cos 2𝑥 2

2do caso: Cuando n es un número entero positivo impar. Se presenta los siguientes pasos: 1er paso: descomponemos en productos de dos factores tal que el primer factor tenga uno como exponente y el segundo factor tendrá potencia la diferencia que será par. 2do paso: El segundo factor que tiene potencia par, se expresa según el caso en función de una de las siguientes identidades: sin2 𝜇 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 ; 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 3 er paso: Después de las operaciones anteriores las integrales que resultan son fáciles de calcular por la inmediata aplicación de la formula. 2do caso: Cuando n es un número entero positivo impar, hacemos la descomposición: ∫ sin𝑛 𝑥𝑑𝑥 = ∫ sin𝑛 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 Caso 1 : ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑑𝑥

ó

∫ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos𝑛 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥𝑑𝑥, donde n es un número entero positivo impar.

Prob 1.- Calcular. ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 Solución. ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢.

𝑑𝑢 2

1

1

= 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢. 𝑑𝑢 = - 2 cos2x + c

u =2x → du = 2dx →

𝑑𝑢 2

= dx

Prob 2.- Calcular. ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥. 𝑑𝑥 Solución. ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 - ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = sen x -

𝑠𝑒𝑛3 𝑥 3

1

+ c = sen x - 3 𝑠𝑒𝑛3 x + c

Prob 3.- Calcular. ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥𝑑𝑥 Solución. ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥.senxdx = ∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2 .sen xdx = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 .sen xdx 13

= ∫(1 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 - 2∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 2 3

1 5

= - cos x + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 - 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + c Caso 2.- ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏 𝒙𝒅𝒙 ó usan

donde n es un número entero positivo par. Entonces se

∫ 𝒄𝒐𝒔𝒏 𝒙𝒅𝒙,

Las identidades siguientes: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =

1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2

ó

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

Prob 4.- Calcular. ∫ 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥𝑑𝑥 Solución. Como el exponente es par usamos la identidad. 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥𝑑𝑥 = ∫

1−𝑐𝑜𝑠6𝑥 2

1

1−𝑐𝑜𝑠6𝑥 2

1

y reemplazamos

1

1

1

𝑑𝑥= 2 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠6𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 - 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥𝑑𝑥 = 2 x - 12sen6x + c

Prob 5.- Calcular. ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 2𝑥𝑑𝑥 Solución. Usamos la identidad. 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 = 1+𝑐𝑜𝑠4𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2

∫ 𝑐𝑜𝑠 4 2𝑥𝑑𝑥 = ∫ ( 1

3

= 4 ∫ (2 + 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 +

1+𝑐𝑜𝑠4𝑥 2 1

1

= 4 ∫(1 + 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥)𝑑𝑥 = 4 ∫ (1 + 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 +

𝑐𝑜𝑠8𝑥 1 3 )dx = 4 ∫ 2 𝑑𝑥 16 3

1

1+𝑐𝑜𝑠8𝑥 ) 𝑑𝑥 2

1 1

+ 4.2∫ 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥 + 4. 16 ∫ 𝑐𝑜𝑠8𝑥𝑑𝑥

1

1

= 8.x + 8 sen4x + 64sen8x + c Probl 6.- Calcular. ∫ cos4 𝑥𝑑𝑥 Solución: 1+cos 2𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2

∫ cos4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ (

1

= 4 ∫(1 + cos 2𝑥)2 𝑑𝑥

1

1

cos 2 𝑥 =

1

1+cos 2𝑥 2

1

=4 ∫(1 + 2 cos 2𝑥 + cos2 2𝑥)𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ cos 2𝑥𝑑𝑥 + 4 ∫ cos2 2𝑥𝑑𝑥 1 + cos 4𝑥 cos 2 2𝑥 = ( ) 2

𝜇 = 2𝑥 → 𝑑𝜇 = 2𝑑𝑥 𝑥

1

𝑥 4

sin 2𝑥 4

1

𝑥

1

1

𝑥 4

sin 2𝑥 4

1+cos 4𝑥 ) 𝑑𝑥 2

=4 + 4 sin 2𝑥 + 4 ∫ cos 2 2𝑥𝑑𝑥 = 4 + 4 sin 2𝑥 + 4 ∫ ( = +

1

1+cos 4𝑥 ) 𝑑𝑥 2

+ ∫( 8

= +

1

1

+ ∫ 𝑑𝑥 + ∫ cos 4𝑥𝑑𝑥 8 8

𝜇 = 4𝑥 → 𝑑𝜇 = 4𝑑𝑥 𝑥

=4 +

sin 2𝑥 4

𝑥

1

𝑥

+ 8 + 32 ∫ cos 𝜇𝑑𝜇 = 4 + 3

=8 𝑥 +

sin 2𝑥 4

sin 2𝑥 4

𝑥

1

+ 8 + 32 sin 4𝑥 + 𝐶

1

+ 32 sin 4𝑥 + 𝐶

Cuando la integral es de forma: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒏 𝒙𝒅𝒙; ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒏 𝒙𝒅𝒙 1er Caso: Si n es un número entero positivo par: Paso 1: Se descompone en dos factores: 14

∫ tan𝑛 𝑥𝑑𝑥 = ∫ tan2 𝑥 tan𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥; ∫ cot 2 𝑥 cot 𝑛−2 𝑥𝑑𝑥 Entonces se usan las identidades siguientes: tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1; cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1 2do Caso: Si n es un número entero positivo impar, se expresa así: 𝑛−1 2

∫ 𝑡𝑔𝑛 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔𝑛−1 𝑥. 𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑡𝑎𝑛2 𝑥) 𝑛−1 2

∫(𝑐𝑜𝑡 2 𝑥)

𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥; ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑛 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑛−1 𝑥. 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥=

𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥

Entonces se usan las identidades siguientes: tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1; cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1 Probl 1.- Calcular. ∫ tan2 𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ tan2 𝑥𝑑𝑥 = ∫(sec 2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ sec 2 𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = tan 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 Probl 2.- Calcular. ∫ cot 2 𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ tan2 𝑥𝑑𝑥 = ∫(csc 2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ csc 2 𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 Probl 3.- Calcular. ∫ tan4 5𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ tan4 5𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔2 5𝑥 𝑡𝑔2 5𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔2 5𝑥(𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥 − 1)dx = ∫ 𝑡𝑔2 5𝑥𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥𝑑𝑥 - ∫ 𝑡𝑔2 5𝑥𝑑𝑥 =

𝑡𝑔3 5𝑥 15

- ∫(𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥 − 1) 𝑑𝑥 =

𝑡𝑔3 5𝑥 15

- ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥

=

𝑡𝑔3 5𝑥 15

-

𝑡𝑔5𝑥 5

+x+c

Probl 4.- Calcular. ∫ tan3 4𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ tan3 4𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔4𝑥𝑡𝑔2 4𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔4𝑥(𝑠𝑒𝑐 2 4𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑔4𝑥. 𝑠𝑒𝑐 2 4𝑥𝑑𝑥 - ∫ 𝑡𝑔4𝑥𝑑𝑥 =

𝑡𝑔2 4𝑥 8

- Ln|𝑠𝑒𝑐 4𝑥| + c

Probl 5.- Calcular. ∫ tan5 2𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ tan5 2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 2𝑥 𝑡𝑎𝑛3 2𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 − 1)𝑡𝑔3 2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥𝑡𝑔3 2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑔3 2𝑥𝑑𝑥 =

𝑡𝑔4 2𝑥 8

- ∫ 𝑡𝑔2 2𝑥𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 =

𝑡𝑔4 2𝑥 8

- ∫(𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 − 1)𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 =

𝑡𝑔4 2𝑥 8

1

1

- 4 𝑡𝑔2 2𝑥 + 2 Ln|sec 2𝑥| + c

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 𝑥 𝑑𝑥 Solución. ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cot 2 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 - ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 =-

𝑐𝑜𝑡𝑔2 2𝑥 4

– Ln |𝑠𝑒𝑛 2𝑥| + c

Integral de la forma: ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒏 𝒙𝒅𝒙; ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒏 𝒙𝒅𝒙 1er caso: Si n es un número entero positivo impar, entonces se recurre a la integración por partes. 2do caso: Si n es un número entero positivo par, entonces la potencia sec 𝑛 𝜇 ó csc 𝑛 𝜇 se expresa como el producto de dos factores de tal forma que el primer factor sea sec 2 𝜇 ó csc 2 𝜇 y el segundo factor sec 𝑛−2 𝜇 ó csc 𝑛−2 𝜇 , y aplicar las identidades: 15

tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1; cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥 − 1 Probl 1.- Calcular. ∫ sec 4 𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ sec 4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑡𝑔2 𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 1 3

= ∫ 𝑡𝑔2 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 = = 𝑡𝑔2 𝑥 + tg x + c Probl 2.- Calcular. ∫ sec 6 5𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ sec 6 5𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥 𝑠𝑒𝑐 4 5𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥 (𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥(𝑡𝑔2 5𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥(𝑡𝑔4 5𝑥 + 2𝑡𝑔2 5𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥 𝑡𝑎𝑛4 5𝑥 𝑑𝑥 + 2∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥𝑡𝑔2 5𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥𝑑𝑥 =

𝑡𝑔5 5𝑥 25

2

1

+15 𝑡𝑔3 5𝑥 + 5 tg 5x + c

Probl 3.- Calcular. ∫ sec 2 2𝑥𝑑𝑥 Solución: 1

∫ sec 2 2𝑥𝑑𝑥 = 2 tg2x + c

u = 2x → du = 2dx →

𝑑𝑢 2

= dx

Probl 4.- Calcular. ∫ 𝑐𝑠𝑐 4 𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ 𝑐𝑠𝑐 4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 (𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1)dx = ∫ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥𝑑𝑥 +∫ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 =-

𝑐𝑡𝑔3 𝑥 3

– ctg x + c

Prob 5.- Calcular. ∫ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥𝑑𝑥 Solución: ∫ 𝑐𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥𝑑𝑥 = -

1 3

ctg3x + c

u = 3x → du = 3dx →

𝑑𝑢 3

= dx

INTEGRACIÓN POR PARTES Se aplica cuando en el integrando se encuentra el producto de dos funciones que puedan ser: Polinomio por arcos, por logaritmos, por sen, cos, por exponente, sen, cos, 𝑆𝑒𝑐 3 𝑥, 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐 3 𝑥. La fórmula de integración por partes es: ∫𝜇. 𝑑𝑣 = 𝜇𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝜇 a) para usar esta fórmula se debe tener presente que la función dv debe ser aquella que se pueda integrar inmediatamente b) debemos tener cuidado que un solo ejercicio a veces se integra por partes más de una vez ó puede resultar una integral circular. 1.- Integración por partes que contienen funciones trigonométricas. Prob 1.- Calcular: ∫ 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥

fig: 503-1

Solución: 𝜇 = 𝑥 → 𝑑𝜇 = 𝑑𝑥 dv=sin 𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = - cos x ∫ 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 = − 𝑥 cos 𝑥 − ∫(− cos 𝑥)𝑑𝑥 = −xcos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶 16

Prob 2.- Calcular. ∫ 𝑥. 𝑐𝑜𝑥𝑑𝑥 Solución: u= x → du = dx ,

dv = cosx.dx → v = ∫ 𝑐𝑜𝑥 𝑑𝑥 = sen x

∫ 𝑥. 𝑐𝑜𝑥𝑑𝑥 = u. v - ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 = x. senx - ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = x. senx +cosx + c Prob 3.- Calcular. ∫ 𝑥 2 . 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 Solución: 1

u = 𝑥 2 → du = 2xdx,

1

dv = sen 3xdx → v = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢. 𝑑𝑢 = - cos 3x 3 3

1

1

1

2

∫ 𝑥 2 . 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = - 3 𝑥 2 cos 3x + 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥. 2𝑥𝑑𝑥 = - 3 𝑥 2 cos 3x + 3 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥. 𝑑𝑥

1

otra vez integramos: ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥. 𝑑𝑥 u=x →

1 3

du = dx,

dv = cos 3xdx → v = ∫ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥𝑑𝑥 = sen 3x

1

1

1

1

∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥. 𝑑𝑥 = 3 xsen 3x - 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = 3 xsen 3x - 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 1

𝑑𝑢 3

1

1

= xsen 3x - ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢𝑑𝑢 3 9

1

= 3 xsen 3x + 9 cosx 1

2 1

2 en 1 . = - 3 𝑥 2 cos 3x +3 (3 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +

1 9

2 1

2

2

𝑐𝑜𝑠3𝑥 ) = - 3 𝑥 2 cos 3x +9 xsen3x +27 cos 3x + c

Prob 4.- Calcular. ∫ 𝑥. 𝑆𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥 Solución: u =x → du = dx,

dv = 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥 → v= ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑑𝑥 1

= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = - cosx + 3 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 reemplazando. 1

∫ 𝑥. 𝑆𝑒𝑛3 𝑥𝑑𝑥 =- x.cosx + 3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 - ∫ [− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1

1

1 3

𝑐𝑜𝑠 3 𝑥]dx

1

1

= - x.cosx + 3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 +∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 - 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥 = - x.cosx + 3 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 +senx - 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥

1

otra vez integramos. ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 )𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 3

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = senx 1 3

2

1 3

2 en 1. = - x.cosx + 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 +senx - (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 3

1 3

𝑠𝑒𝑛3 𝑥 3

)

1 9

1 3

2 3

1 9

= - x.cosx + 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 +senx - senx + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 +c = - x.cosx + 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + senx + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 +c Prob 5.- Calcular ∫ 𝑥 3 √1 + 𝑥 2 . 𝑑𝑥 Solución: 1

∫ 𝑥 3 √1 + 𝑥 2 . 𝑑𝑥= ∫ 𝑥 2 (1 + 𝑥 2 )2 . 𝑥𝑑𝑥 = u.v - ∫ 𝑣𝑑𝑢 = 1

u = 𝑥 2 → du = 2xdx,

∫𝑥

3

√1 + 𝑥 2 . 𝑑𝑥

dv =

1 = 3 𝑥 2 (1 +

3

𝑥

2 )2

(1+𝑥 2 )2 .2𝑥𝑑𝑥 2

-

2

3

1

(1+𝑥 2 )2 .2𝑥𝑑𝑥 2 3

3

1

𝑥 2 )2 - 3 ∫(1 + 𝑥 2 )2 2xdx =↓

1

→v=∫

5

1 (1+𝑥 2 )2 5 3

1 2 𝑥 (1 + 3

3

=

(1+𝑥 2 )2 .

2

3 2. 2

1

3

= 3 (1 + 𝑥 2 )2 5

+ c = 3 𝑥 2 (1 + 𝑥 2 )2 - 15 (1 + 𝑥 2 )2 + c 17

2.- Integrales por partes que contienen arcos. Prob 6.- Calcular: ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 Solución 1 𝜇 = 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 → 𝑑𝜇 = 𝑑𝑥 , 2

dv = dx →v = ∫ 𝑑𝑥 = x

√1−𝑥

1⁄ 2 . 𝑥𝑑𝑥

𝑥

∫ 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 − ∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 − ∫(1 − 𝑥 2 )− 𝑑𝜇

𝜇 = 1 − 𝑥 2 → 𝑑𝜇 = −2𝑥𝑑𝑥 → −2 = 𝑥𝑑𝑥 Reemplazando ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝜇 −

1⁄ 𝑑𝑢 2 −2

1

= arc senx +2 ∫ 𝑢−

1⁄ 2 𝑑𝑢

1

1 𝑢 ⁄2 1⁄ 2

= arc senx + 2

= x arc senx + (1 − 𝑥 2 ) + c

Prob 7.- Calcular: ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 Solución: 1

2𝑥

− ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥=u.v - ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 = x.arc sen2x - ∫ √1−4𝑥2 𝑑𝑥 = x.arc sen2x -∫(1 − 4𝑥 2 ) 2 .2xdx

u = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝑥 → du =

2 √1−(2𝑥)2

𝑑𝑥, dv = dx → v = ∫ 𝑑𝑥 = x 1

1

𝑑𝑢

1

1

u = 1- 4𝑥 2 → du = - 8xdx →

𝑑𝑢 = −4

1

1 𝑢 ⁄2 1⁄ 2

otra vez integramos. ∫(1 − 4𝑥 2 )−2 .2xdx = ∫ 𝑢−2 .−4 = - 4 ∫ 𝑢−2 du = - 4

1

+c = - 2 √ 1 − 4𝑥 2 + c

2

2xdx,

2𝑥

2 en 1

1

1

∫ √1−4𝑥2 𝑑𝑥 = x.arc sen2x + 2 √ 1 − 4𝑥 2 + c

Prob 8.- Calcular.∫

𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 3 (1−𝑥 2 ) ⁄2

dx

Solución: ∫

𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 3 (1−𝑥 2 ) ⁄2

dx = u.v - ∫ 𝑣𝑑𝑢 =

u =arc senx → du = dv =

𝑥𝑑𝑥 3 (1−𝑥 2 ) ⁄2

→ v=∫

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 √1−𝑥 2

𝑑𝑥 √1−𝑥 2

-∫

1

.

𝑑𝑥

√1−𝑥 2 √1−𝑥 2

=

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 √1−𝑥 2

𝑑𝑥

- ∫ 1−𝑥2 =

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 √1−𝑥 2

1

1+𝑥

- 2 Ln| 1−𝑥 | + c

,

𝑥𝑑𝑥 3 (1−𝑥 2 ) ⁄2

= ∫(1 − 𝑥

2 )−3⁄2

. 𝑥𝑑𝑥 =

1 −

3 3 1 1𝑢 2 − 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢 2 .−2 = - 2 ∫ 𝑢 2 . 𝑑𝑢= - 2 1 − 2

1

= 𝑢 −2 =

1 √1−𝑥 2

=v

𝑑𝑢

u = 1 − 𝑥 2 → du = - 2xdx → − 2 = xdx

18

TERCERA SEMANA. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. Es efectivo el método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrales irracionales cuadráticas tales como. √𝒂𝟐 − 𝒖𝟐 ,  FUNCIONES

√𝒂𝟐 + 𝒖𝟐

Integrales por sustitución trigonométrica de funciones que contienen: TRIANGULO A CONSTRUIR

HACER

𝜇 𝑎

√𝑎2 − 𝜇2

sin 𝛼 =

√𝜇2

𝜇 sec 𝛼 = 𝑎

−

,

√𝒖𝟐 − 𝒂𝟐

𝑎2

tan 𝛼 =

√𝜇2 + 𝑎2

Prob 1.- Calcular. ∫

𝜇 𝑎

SUSTITUCION

USAR LA IDENTIDAD

PARA OBTENER

𝜇 = 𝑎 sin 𝛼 𝑑𝜇 = 𝑎 cos 𝛼 𝑑𝛼

cos 2 𝛼 = 1 − sin2 𝛼

√𝑎2 − 𝜇2 = 𝑎 cos 𝛼

𝜇 = sec 𝛼

tan2 𝛼 = sec 2 𝛼 − 1

√𝜇2 − 𝑎2 = 𝑎 tan 𝛼

sec 2 𝛼 = 1 + tan2 𝛼

√𝜇2 + 𝑎2 = 𝑎 sec 𝛼

𝑑𝜇 = 𝑎 sec 𝛼 tan 𝛼 𝑑𝛼

𝜇 = 𝑎 tan 𝛼 𝑑𝜇 = 𝑎 sec 2 𝛼

𝑑𝑥 √9+𝑥 2

Sol. √𝟗 + 𝒙𝟐

tg 𝜽 =

x 3

∫

𝒅𝒙 √𝟗+𝒙

=∫ 𝟐

𝒙 𝟑

sec𝜽 = 𝟑 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽 𝟑𝒔𝒆𝒄𝜽

→ x = 3. tg 𝜽 → dx = 3 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜽d𝜽;

√𝟗+𝒙𝟐 𝟑

→ √𝟗 + 𝒙𝟐 = 3. Sec 𝜽 √𝟗+𝒙𝟐

= ∫ 𝒔𝒆𝒄𝜽𝒅𝜽 = Ln (𝒔𝒆𝒄𝜽 + 𝒕𝒈 𝜽) + c = Ln |

𝟑

𝒙

+ 𝟑| + c

√𝟗+𝒙𝟐 +𝒙

= Ln |

𝟑

| + c = Ln |√𝟗 + 𝒙𝟐 + 𝒙| - Ln 3 + c = Ln |√𝟗 + 𝒙𝟐 + 𝒙| + c 19

.

Prob 2.- Calcular. ∫

𝑑𝑥 3 (4−𝑥 2 ) ⁄2

Solución: ∫

𝑑𝑥 3 (4−𝑥 2 ) ⁄2

=∫

𝑑𝑥 √(4−𝑥 2 )3

=∫

𝑑𝑥 √(22 −𝑥 2 )3

sen𝜃 = 2

x

𝑥

; hacemos 𝑥 2 = 4𝑆𝑒𝑛2 𝜃

→ x = 2.sen𝜃 ,

2

tg𝜃 =

dx = 2.cos𝜃d𝜃 ,

𝑥 √4+𝑥 2

𝜃 √4 − 𝑥 2

.

∫

𝑑𝑥 3 (4−𝑥 2 ) ⁄2

=∫

1 4

2.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 3 (4−4𝑠𝑒𝑛2 𝜃) ⁄2

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

∫

6 𝑐𝑜𝑠 ⁄2 𝜃

Prob 3.- Calcular. ∫

1

=4∫

=∫

2.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 3 3 4 ⁄2 (1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃) ⁄2

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝑐𝑜𝑠3 𝜃

1

1

=∫

2.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 3 3 (√4) (𝑐𝑜𝑠2 𝜃) ⁄2

1

=∫

2.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 3 23 (𝑐𝑜𝑠2 𝜃) ⁄2

1

1

= 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = 4 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 = 4 tg 𝜃 + c = 4

𝑥 2 𝑑𝑥

=∫

𝑥 √4−𝑥 2

2.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 3

8(𝑐𝑜𝑠2 𝜃)2

+c

Completando cuadrados

√6𝑥−𝑥 2

Sol. 6x - 𝑥 2 = 9 - (𝑥 − 3)2 ; u = x – 3 𝑥 2 𝑑𝑥

𝑥 2 𝑑𝑥

∫ √6𝑥−𝑥2 = ∫

=∫

√9 − (𝑥−3)2

(𝑢+3)2 √9−𝑢2

𝒙−𝟑

3

𝟑

√𝟗 − (𝒙 − 𝟑)𝟐

→ du = dx du = ∫

𝒙−𝟑

sen𝜽 = cos𝜽 =

𝟑

9( 𝒔𝒆𝒏𝜽+𝟏)2 .3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝜽

= 9 ∫(𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 1) d𝜽

; pero x – 3 = u → sen𝜽 =

√𝟗−(𝒙−𝟑)𝟐 𝟑

𝒖 𝟑

→ u = 3 sen𝜽 → du = 3cos𝜽d𝜽

→ √𝟗 − (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 3 cos𝜽 1− 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ) 𝒅𝜽 2

= 9 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃𝒅𝜽 + 18 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝒅𝜽 + 9 ∫ 𝒅𝜽 = 9 ∫ ( 𝟗

𝟗

𝟗

– 18 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 9𝜽

𝟗

= 𝟐 ∫ 𝒅𝜽 - 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 d𝜽 - 18 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 9𝜽 = 𝟐 𝜽 - 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 - 18 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 9𝜽 + c 𝟐𝟕 𝟐

= =

𝟐𝟕 𝟐

arc Sen

Prob 4.- Calcular. ∫ .

3 √𝒙𝟐 −𝟗 𝒙

=∫

𝟗 𝟒

.2sen𝜃.cos𝜃 - 18 𝒄𝒐𝒔𝜽 + c =

𝒙−𝟑 (𝒙−𝟑) 𝟑 𝟐

√𝒙𝟐 −𝟗 𝒙

𝟐𝟕 𝟐

𝒖

arc Sen 𝟑 -

𝟗 𝑢 √9−𝑢2 𝟐3 3

√9−𝑢2 3

- 18

+c

√𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 - 6√𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 + c

dx

Sol.

√𝒙𝟐 − 𝟗

x

∫

𝒖

arc Sen 𝟑 -

𝒙

→ x = 3 Sec 𝜽 → dx = 3 Sec 𝜽. tg 𝜽𝒅𝜽

Sec𝜽 = 𝟑 tg 𝜽 =

𝟑 𝒕𝒈 𝜽.𝟑 𝑺𝒆𝒄 𝜽.𝒕𝒈 𝜽𝒅𝜽 =3 𝟑 𝑺𝒆𝒄 𝜽

√𝒙𝟐 −𝟗 𝟑

→ √𝒙𝟐 − 𝟗 = 3 tg 𝜽

∫ 𝐭𝐠 𝟐 𝛉𝐝𝛉 = 3∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 − 𝟏)d𝜽 = 3∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽 – 3 ∫ 𝒅𝜽

20

√𝒙𝟐 −𝟗

= 3 tg 𝜽 – 3 𝜽 + c = 3 (𝒕𝒈 𝜽 − 𝜽) + c = 3 (

𝟑

𝒙

− 𝒂𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒄 𝟑)

𝒙

= √𝒙𝟐 − 𝟗 – arc sec 𝟑 + c Prob 5.- Calcular. ∫

𝒙𝒅𝒙 √𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓

Sol.

(Completando el cuadrado y hacemos la sustitución)

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 = 0 → 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 +4 - 4 – 5 = (𝒙 + 𝟐)𝟐 - 𝟑𝟐 ∫

𝒙𝒅𝒙 √𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓

=∫

𝒙𝒅𝒙 √(𝒙+𝟐)𝟐 − 𝟑𝟐

=∫

(𝟑 𝑺𝒆𝒄 𝜽 – 𝟐)𝟑 𝑺𝒆𝒄 𝜽.𝒕𝒈 𝜽𝒅𝜽 𝟑 𝒕𝒈 𝜽

√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓

x+2

Sec 𝜽 = tg 𝜽 =

3

𝒙+𝟐

= ∫(𝟑𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽 − 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽)d𝜽

→ x = 3 Sec 𝜽 – 2 → dx = 3 Sec 𝜽. tg 𝜽𝒅𝜽

𝟑

√𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓

→ √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 = 3 tg 𝜽

𝟑

= 3 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 – 2 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = 3∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 – 2 tg 𝜽 = 3∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 – 2.

√𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓

a

𝟑

1

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 = ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝜽𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽 = u.v - ∫ 𝒗𝒅𝒖 = sec𝜽.tg𝜽 - ∫ 𝒕𝒈 𝜽𝒔𝒆𝒄𝜽. 𝒕𝒈𝜽𝒅𝜽 = sec𝜽.tg𝜽 ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝜽𝒕𝒈𝟐 𝜽𝒅𝜽 u = Sec 𝜽

dv = 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽

→ du = sec𝜽.tg𝜽d𝜽;

→ v = ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽 = tg𝜽

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 = sec𝜽.tg𝜽 - ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝜽(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 − 𝟏)d𝜽 = sec𝜽.tg𝜽 - ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 + ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽 2 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 = sec𝜽.tg𝜽 + ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝜽𝒅𝜽 = sec𝜽.tg𝜽 + Ln | Sec 𝜽 + tg 𝜽| 𝟏

𝟏

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝜽𝒅𝜽 = 𝟐 sec𝜽.tg𝜽 + 𝟐 Ln | Sec 𝜽 + tg 𝜽| + c 𝟏

𝟏 𝟐

2 en 1: = 3(𝟐 𝒔𝒆𝒄𝜽. 𝒕𝒈𝜽 + 𝟑

𝟑

𝟐

𝟐

= 𝒔𝒆𝒄𝜽. 𝒕𝒈𝜽 +

2 𝟐

𝑳𝒏 | 𝑺𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒈 𝜽| ) - 𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 𝟐

𝟑 𝒙+𝟐 √𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓

𝟑

𝟐 𝟑

𝑳𝒏 | 𝑺𝒆𝒄 𝜽 + 𝒕𝒈 𝜽| - √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 =

𝟑

𝟑

𝟐

𝟑

=

𝒙+𝟐 √𝒙𝟐 𝟔

+ 𝟒𝒙 − 𝟓 - 𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 + 𝟐 𝑳𝒏 |x+2+√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓| - 𝟐 𝑳𝒏3 + 𝟒𝒙 − 𝟓 +

𝟑 𝟐

+

√𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓 𝟑

|

𝒙+𝟐+√𝒙𝟐 +𝟒𝒙−𝟓 | 𝟑

+ 𝟒𝒙 − 𝟓 - 𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 + 𝟐 𝑳𝒏|

Prob 6.- Calcular. ∫

𝟐

𝒙−𝟐

𝒙+𝟐 √𝒙𝟐 𝟔

𝒙−𝟐 ) √𝒙𝟐 𝟔

𝟑

𝟑

=

=(

𝟐

𝟑

𝟐

- √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 + 𝑳𝒏 |

𝟑

𝑳𝒏 |x+2+√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓| + c

𝒅𝒙 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 −𝟗

Sol. 𝒙

Sec𝜽 = 𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟗

x

→ x = 3 𝒔𝒆𝒄𝜽 tg 𝜽 =

√𝒙𝟐 −𝟗 𝟑

→ dx = 3 Sec 𝜽. tg 𝜽𝒅𝜽

→ √𝒙𝟐 − 𝟗 = 3 tg 𝜽

3 ∫

𝒅𝒙 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 −𝟗

𝟑 𝑺𝒆𝒄 𝜽.𝒕𝒈 𝜽𝒅𝜽

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

= ∫ 𝟐𝟕𝑺𝒆𝒄𝟑𝜽(𝟑 𝒕𝒈 𝜽) = 𝟐𝟕 ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟐𝜽 𝒅𝜽 = 𝟐𝟕 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = 𝟐𝟕 ∫ 𝟐 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽)𝒅𝜽 21

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝟐

= 𝟓𝟒 ∫ 𝒅𝜽 + 𝟓𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 = 𝟓𝟒 𝜽 + 𝟓𝟒 = Prob 7.- Calcular. ∫

𝟏 𝟓𝟒

(𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄

𝒙𝟐 √𝟏−𝒙𝟐

√𝒙𝟐 −𝟗 𝟑 𝒙 + ) 𝟑 𝟑 𝒙

𝟏

𝟏 𝟏

𝟏

= 𝟓𝟒 𝜽 + 𝟓𝟒 𝟐 2 sen𝜽.cos𝜽 = 𝟓𝟒 (𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒔𝜽 ) =

𝟏 𝟓𝟒

(𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒄

𝒙 𝟑√𝒙𝟐 −𝟗 + ) 𝟑 𝒙𝟐

+c

dx Sol. → dx = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽;

Sen𝜽 = x 1

𝜽 = arc sen x

𝒄𝒐𝒔𝜽 = √𝟏 − 𝒙𝟐

x √𝟏 − 𝒙𝟐

∫√

𝒙𝟐

dx = ∫ 𝟐

𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜽

𝟏−𝒙

𝒄𝒐𝒔𝜽

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 = ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝜽𝒅𝜽 = ∫ (

𝟏

𝟏

𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽

= ∫ 𝒅𝜽 - ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒅𝜽 = 𝜽 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

Prob 8.- Calcular. ∫

𝟐

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟐

𝟏

) 𝒅𝜽 = ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)d𝜽 𝟐

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟐

𝟒

𝟐

𝟐

= arc sen x - 2sen𝜽.cos𝜽 = arc sen x - x. √𝟏 − 𝒙𝟐 + c

𝐝𝐱 𝐱𝟐 √𝐱𝟐 −𝟕

Sol. .

sec𝜽 =

x

𝒙

→ x = √𝟕 sec𝜽

√𝟐

dx = √𝟕 sec𝜽.tg𝜽d𝜽

√𝒙𝟐 − 𝟕 √𝟕

∫

𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 −𝟕

=∫

√𝟕 𝒔𝒆𝒄𝜽.𝒕𝒈𝜽𝒅𝜽 𝟕𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽√𝟕𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽−𝟕

√𝟕 𝟕

=

𝟏

∫

𝒕𝒈𝜽𝒅𝜽

√𝟕

(𝒔𝒆𝒄𝜽)√𝟕 √𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽−𝟏 𝟏 √𝒙𝟐 −𝟕 𝒙

𝟏

= ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 = sen𝜽 + c = 𝟕 𝟕 𝟕 Prob 9.- Calcular. ∫

(𝟐𝒙−𝟓) √𝟒𝒙−𝒙𝟐

𝒕𝒈𝜽

𝟏

𝟏

= 𝟕√𝟕 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝜽.𝒕𝒈𝜽 d𝜽 = 𝟕 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝜽 d𝜽

+c

d𝜽 Sol.

. 2

Aplicando la sustitución del 𝟐𝒅𝒐 caso: x–2

√𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 ∫

(𝟐𝒙−𝟓) √𝟒𝒙−𝒙𝟐

d𝜽 = ∫

sen𝜽 =

𝒙−𝟐 𝟐

→ 𝜽 = arc sen (

𝒙−𝟐 ) 𝟐

x = 2sen𝜽 + 2 → dx = 2 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽; cos𝜽 =

[𝟐(𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟐−𝟓)] 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽

√𝟒𝒙−𝒙𝟐 𝟐

→ √𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 = 2 cos𝜽

2 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 = ∫(𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝟏)d𝜽 = 4 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝜽 - ∫ 𝒅𝜽

= - 4 𝒄𝒐𝒔𝜽 – 𝜽 = - 4

√𝟒𝒙−𝒙𝟐 𝟐

𝒙−𝟐 )+ 𝟐

- arc sen ( 𝒙−𝟐 )+ 𝟐

= - 2 (√𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 ) - arc sen (

c

c

22

CUARTA SEMANA. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES Una función racional es cuando el numerador y el denominador son polinomios enteros al cual se denota así: ∫

𝑃(𝑥) . 𝑑𝑥 𝑄(𝑥)

Dónde: 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) son polinomios enteros. Si el grado del numerador es mayor o igual al del denominador debemos dividir para obtener una expresión mixta. Para integrar una expresión diferencial que contenga una función racional entonces el denominador se descompone en factores lineales o factores cuadráticas irreductibles. La descomposición es la única. Se presentan los siguientes casos: 1𝑒𝑟 CASO: los factores del denominador 𝑄(𝑥) poseen factores lineales o de 1𝑒𝑟 grado y ningún factor se repite: (𝑥+1)𝑑𝑥

Probl 1: Calcular: ∫ (𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥−3) Solución: (𝑥+1)𝑑𝑥

𝐴

𝐵

𝐶

∫ (𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥−3) = ∫ ((𝑋−1) + (𝑋+2) + (𝑋−3))dx,∃ 3 factores, en el numerador se escribe una constante y ninguno se repite.

y

(1)

1.- hallamos su valor para c/fracción: =

A(x+2)(x−3)+B(x−1)(x−3)+C(x−1)(x+2) (x−1)(x+2)(x−3) →m.c.m

2.- Igualamos el nuevo numerador con el original y quito los denominadores y hallamos 𝑥=1 v.c: (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) → 𝑥 = −2 que reempl en la función. 𝑥=3 x + 1 = A(x + 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x + 2) 1

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 → 2 = A(3)(−2) → -6A =2 → A = - 3

1

Para x = -2 → -1 = B(−3)(−5) → 15B = -1 → B = -15 Para x = 3 → 4 = C(2)(5)

→ 10C = 4

2

→ C=5

−1

(𝑥+1)𝑑𝑥

3 3.- Reemplacemos estos valores en 1: ∫ (𝑥−1)(𝑥+2)(𝑥−3) = ∫ ( (𝑥−1) +

1

𝑑𝑥

1

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥

1

1

−1 15

(𝑥+2)

+

2 5

(𝑥−3)

) 𝑑𝑥

2

= - 3 ∫ (𝑥−1) − 15 ∫ (𝑥+2) + 5 ∫ (𝑥−3) = - 3 Ln(x-1) - 15 Ln(x-1) + 5 Ln(x-3) + c (2𝑥−1)

Probl 2.- Calcular: ∫ 𝑥(𝑥−2)(𝑥+3) dx Solución: ∫

(2𝑥 − 1)𝑑𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥)(𝑥 + 3) + 𝐶(𝑥)(𝑥 − 2) = + + = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 𝑥 (𝑥 − 2) (𝑥 + 3) 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 2𝑥 − 1 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥)(𝑥 + 3) + 𝐶(𝑥)(𝑥 − 2) 1

para 𝑥 = 0 → −1 = 𝐴(−2)(3) → −1 = −6𝐴 → 𝐴 = 6 23

3

para 𝑥 = 2 → 3 = 𝐵(2)(5) → 3 = 10𝐵 → 𝐵 = 10 para x = −3 → −7 = C(−3)(−5) → −7 = 15C → C =

−7 15

−1 1 3 2x − 1 1 dx 3 dx 1 dx 6 10 ∫ dx = ∫ ( + + 15 ) dx = ∫ + ∫ − ∫ x(x − 2)(x + 3) x x−2 x+3 6 x 10 (x − 2) 15 (x + 3) 1 6

= ln|x| + Prob 3.- Calcular: ∫

3𝑥−1 𝑥 2 −𝑥−6

3 ln|x 10

1 ln|x 15

− 2| −

+ 3| + C

dx Solución:

3𝑥−1

3𝑥−1

3𝑥−1 𝐴 𝐵 = + (𝑥−3) (𝑥+2)(𝑥−3) (𝑥+2)

∫ 𝑥 2 −𝑥−6 dx = ∫ (𝑥+2)(𝑥−3) dx →

v, c: (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) →

𝑥 = −2 𝑥=3

a

3x – 1 = A(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 + 2) Para x = -2 → -7 = A(-5) → A = Para x = 3 → 8 = B (5)

→ B=

7 5

8 5

3𝑥−1

𝐴

𝐵

7

𝑑𝑥

8

𝑑𝑥

Reempl en (a) se tiene: ∫ (𝑥+2)(𝑥−3) dx = ∫ ((𝑥+2) + (𝑥−3))dx = 5 ∫ (𝑥+2) + 5 ∫ (𝑥−3) 7 5

8 5

= Ln(x+2) + Ln(x-3) + c 5𝑥+3

Prob 4.- Calcular: ∫ 𝑥 3 −2𝑥 2 −3𝑥 dx Solución: 5𝑥+3

5𝑥+3

5𝑥+3

𝐴

𝐵

𝐶

∫ 𝑥 3 −2𝑥2 −3𝑥 dx = ∫ 𝑥(𝑥 2 −2𝑥−3)dx = ∫ 𝑥(𝑥+1)(𝑥−3) dx = ∫ (𝑋 + (𝑋+1) + (𝑋−3))dx 𝑥=0 5x+3 = A (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) + Bx(𝑥 − 3) +Cx(𝑥 + 1) → 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) → {𝑥 = −1 𝑥=3 para x = 0 → 3 = A (1) (-3) + B.0(-3) + C.0(1)

→ 3 =-3A

→ A = -1 1

para x = -1 → -2 = A (0) (-4) + B (-1) (-4) + C (-1) (0) → -2 = 4B para x = 3 → 18 = A (4)(0) + B (0) (-3) + C (3)(4) 5𝑥+3

∫ 𝑥 3 −2𝑥 2 −3𝑥 dx = -∫

𝑑𝑥 𝑥

1

𝑑𝑥

3

→B=-2 3

→ 18 = 12C 𝑑𝑥

→ C=2 1

Reemp. 3

- ∫ + ∫ = - Ln|x| - Ln |x+1| + Ln|x-3| + c 2 (𝑥+1) 2 𝑥−3 2 2

𝟐𝒅𝒐 CASO: los factores del denominador 𝑄(𝑥) son todos de 1𝑒𝑟 grado y alguno de ellos se repite: 3𝑥 2 +5𝑥

Prob 1: Calcular: ∫ (𝑥−1)(𝑥+1)2 dx (Hay tres factores en el denominador → hay 3 fracciones)

Solución:

El factor (𝑥 + 1) que se repite dos veces se escribe descendiendo su grado (de grado 2 hasta grado 1) como el factor (x+1) se repite es de 1𝑒𝑟 grado, escribimos una constante en cada numerador: (3𝑥 2 +5𝑥)𝑑𝑥

𝐴

𝐵

𝐶

∫ (𝑥−1)(𝑥+1)2=∫ ((𝑥−1) + (𝑥+1)2 + (𝑥+1)) 𝑑𝑥

1 24

3𝑥 2 +5𝑥 (𝑥−1)(𝑥+1)2

=

𝐴(𝑥+1)2 (𝑥−1)

𝐵(𝑥−1)

+ (𝑥+1)2 +

𝐶(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥+1)

(M. C. M) : (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2 → 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 ∶

{x = 1 y x = - 1 Igualamos el nuevo numerador con el original luego sustituimos por los valores críticos así: 3x 2 + 5x = A(x + 1)2 + B(x − 1) + C(x − 1)(x + 1) Para x =1

→8 = A(2)2 → 4A = 8

Para x = - 1 →- 2= -2 B

→ A=2

→ B=1

Como ya no hay más ptos críticos entonces para hallar el valor de C damos a x cualquier otro valor de preferencia cero así: Para x = o → 0 = A –B – C,

entonces sustituimos los valores de A y B: → 0 = 2 -1- C → C =1 2

1

1

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

Reemp en 1 se tiene: ∫ ((𝑥−1) + (𝑥+1)2 + (𝑥+1)) 𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥−1 + ∫ (𝑥+1)2 + ∫ (𝑥+1) = 2Ln(x-1) +∫(𝑥 + 1)−2dx +Ln(x +1) = 2Ln(x-1) +

(𝑥+1)−1 −1

+Ln(x+1)

1

= 2Ln(x-1)- (𝑥+1) + Ln (x+1) + C (3𝑥 2 −8𝑥+13)

Prob 2.- Calcular. ∫ (𝑥+3)(𝑥−1)2 dx Solución: (3𝑥 2 −8𝑥+13)

𝐴

𝐵

𝐶

∫ (𝑥+3)(𝑥−1)2 dx = ∫ ((𝑥+3) + (𝑥−1) + (𝑥−1)2 ) 𝑑𝑥 3𝑥 2 −8𝑥+13 (𝑥+3)(𝑥−1)2

=

𝐴(𝑥−1)2 (𝑥+3)

+

𝐵(𝑥+3)(𝑥−1) 𝐶(𝑥+3) + (𝑥−1)2 (𝑥−1)

1

los ptos críticos de (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2 → x = - 3 y x = 1

3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 = 𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥 + 3) Para x = - 3 → 64 = 16A

→A=4

Para x =1 → 8 = 4C → C = 2 Para x = 0 → 13 = A – 3B +3C → 13 = 4 -3B +6 →B = - 1 (3𝑥 2 −8𝑥+13)

𝑑𝑥

𝑑𝑥

Reemplazamos en 1 se tiene.

𝑑𝑥

2

∫ (𝑥+3)(𝑥−1)2 dx =4 ∫ 𝑥+3-∫ 𝑥−1 + 2 ∫ (𝑥−1)2 = 4 Ln(x+3) – Ln(x-1) - 𝑥−1 + C Prob 3.- Calcular: ∫

(𝑥 2 +2𝑥+3) dx (𝑥−1)3

Solución: ∫

(𝑥 2 +2𝑥+3)𝑑𝑥 (𝑥−1)3

𝑥 2 +2𝑥+3

𝐴

𝐵

𝐶

= ∫ (𝑥−1)(𝑥−1)2 (𝑥−1)3 𝑑𝑥 = ∫ ((𝑋−1) + (𝑋−1)2 + (𝑋−1)3 )dx

los V.C. x = 1

𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶 Para 𝑥 = 1 → 6 = 𝐶 → 𝐶 = 6 para hallar los valores de los otros constantes damos valores a x a partir del cero 𝑥 =0→3=𝐴−𝐵+𝐶 →𝐴−𝐵 =3−6

→ 𝐴 − 𝐵 = −3

𝑥 = 2 → 11 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 → 𝐴 + 𝐵 = 11 − 6 → 𝐴 + 𝐵 = 5 Operando se tiene:A=1 y B=4 Reemplaz.en 1.

25

∫

(𝑥 2 +2𝑥+3)𝑑𝑥 (𝑥−1)3

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

= ∫ (𝑥−1) + 4 ∫ (𝑥−1)2 + 6 ∫ (𝑥−3)3 = Ln(x-1) + 4∫(𝑥 − 1)−2dx + 6∫(𝑥 − 1)3 𝑑𝑥 4

3

= 𝑙𝑛|𝑥 − 1| − 𝑥−1 − (𝑥−1)2 + 𝐶 Prob 4.- Calcular: ∫

(5𝑥 2 +12𝑥+1) dx 𝑥 3 +3𝑥 2 −4

Solución: ∫

(5𝑥 2 +12𝑥+1) dx 𝑥 3 +3𝑥 2 −4

(5𝑥 2 +12𝑥+1)

(5𝑥 2 +12𝑥+1)

𝐴

𝐵

5𝑥 2 + 12𝑥 + 1 = A(𝑥 + 2)2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 − 1) Para x = 1

𝐵

= ∫ (𝑥−1)(𝑥2 +4𝑥+4)dx = ∫ (𝑥−1)(𝑥+2)2 dx = ∫ ((𝑥−1) + (𝑥+2) + (𝑥+2)2 ) 𝑑𝑥 v.c son x = 1, x = -2, x = 0

→ 18 = A(3)2 → A = 2

Para x = - 2 → - 3 = -3C

→ C=1

Para x = 0 → 1 = 4A - 2B –C → 1 = 8 – 2B – 1 → B = 3 ∫

(5𝑥 2 +12𝑥+1) dx 𝑥 3 +3𝑥 2 −4

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

= 2∫ 𝑥−1 + 3 ∫ 𝑥+2 + ∫ (𝑥+2)2 = 2Ln(x-1) + 3Ln(x+2) + ∫(𝑥 + 2)−2 𝑑𝑥 1

= 2LnX-1) + 3Ln(x+2) - 𝑥+2 + C 𝟑𝐞𝐫 CASO: Cuando los factores en que puede descomponerse el denominador figuran algunos de 2𝑑𝑜 Grado y ninguno se repite. 6𝑥 2 −3𝑥+1

Prob 1.- Calcular ∫ (4𝑥+1)(𝑥2 +1)dx Solución. 6𝑥 2 −3𝑥+1

𝐴

𝐵𝑥+𝐶

∫ (4𝑥+1)(𝑥2 +1)dx = ∫ ((4𝑋+1) + (𝑋 2 +1))dx

( 1)

6𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = A(𝑥 2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(4𝑥 + 1) 6𝑥 2 − 3𝑥 + 1= A𝑥 2 +A + 4B𝑥 2 +Bx +4Cx+ C 𝐴 + 4𝐵 = 6

6𝑥 2 − 3𝑥 + 1= (𝐴 + 4𝐵)𝑥 2 + (𝐵 + 4𝐶)𝑥 + (𝐴 + 𝐶), por identidades 𝐵 + 4𝐶 = −3 𝐴+𝐶 =1

En 3: A = 1 –C

(4) en (1) 1-C +4B = 6

→4B –C =5

1 2 3

(5)

5 y 2: 4𝐵 − 𝐶 = 5 (4) → 16𝐵 − 4𝐶 = 20 𝐵 + 4𝐶 = −3

𝐵 + 4𝐶 − 3

17B = 17 → B = 1, A = 2 Sustituimos en 2 el valor de B=1 → C =- 1 6𝑥 2 −3𝑥+1

2

𝑥−1

𝑑𝑥

𝑥−1

Reemp en (1): ∫ (4𝑥+1)(𝑥2 +1)dx = ∫ ((4𝑋+1) + (𝑋 2 +1))dx = 2∫ 4𝑥+1 + ∫ 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥

1

= 2Ln (4x+1) +∫ 𝑥 2 +1 − ∫ 𝑥 2 +1 u = 𝑥 2 + 1 → du = 2xdx. → Prob 2.- Calcular. ∫

= 2Ln (4x+1)+2 ∫ 𝑑𝑢 2

= xdx

𝑑𝑢 𝑢

integramos por partes.

– arc tgx 1

= 2Ln (4x+1) +2 Ln (𝑥 2 + 1) – arc tg x + C

4𝑥 3 +2𝑥 2 +1 dx 4𝑥 3 −𝑥

Solución. 1.- cuando el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador se divide así: 26

4𝑥 3 + 2𝑥 2 -4𝑥 3

+ 1 4𝑥 3 − 𝑥

+x + 2𝑥 + 𝑥 + 1

= 1+

2𝑥 2 +𝑥+1 , 4𝑥 3 −𝑥

reemplazando se tiene.

1

2

∫

4𝑥 3 +2𝑥 2 +1 4𝑥 3 −𝑥

dx = ∫ (1 +

2𝑥 2 +𝑥+1 ) 𝑑𝑥 4𝑥 3 −𝑥

= ∫ 𝑑𝑥 + ∫

2𝑥 2 +𝑥+1 dx 4𝑥 3 −𝑥

=x+∫

2𝑥 2 +𝑥+1 dx, 4𝑥 3 −𝑥

(1)

los exponentes son ≠ 2.- factorizamos el denominador: 4𝑥 3 − 𝑥 = x(4𝑥 2 − 1) = x(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) ∫

2𝑥 2 +𝑥+1 dx 4𝑥 3 −𝑥

2𝑥 2 +𝑥+1

𝐴

𝐵

𝐶

= ∫ 𝑥(2𝑥−1)(2𝑥+1)dx = ∫ (𝑥 + 2𝑥−1 + 2𝑥+1)dx,

(b)

a) tomamos solo los numeradores de ambos miembros así: 2𝑥 2 + 𝑥 + 1= A(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥)(2𝑥 + 1) + 𝐶(𝑥)(2𝑥 − 1) 𝑥=0 1 b) hallamos valor crítico de: x(2x – 1)(2x + 1) → { 𝑥 = 2 ; luego sustituimos en (a) así: 1 𝑥=− 2

Para x =0 Para x =

1 2

Para x = = -∫

𝑑𝑥 𝑥

1 2

→1=-A

→ A=-1

→2=B

→B=2

→1=C

→C=1

𝑑𝑥

→∫

𝑑𝑥

2𝑥 2 +𝑥+1 dx 𝑥(2𝑥−1)(2𝑥+1)

1

+ 2 ∫ (2𝑥−1) + ∫ (2𝑥+1) = - Lnx + 2.2 ∫ 2 en 1. se tiene: ∫

2𝑥 2 +𝑥+1 dx 4𝑥 3 −𝑥

𝑑𝑢 𝑢

1

+ 2∫

𝑑𝑢 𝑢

−1 𝑥

= ∫(

2

1

+ (2𝑥−1) + (2𝑥+1))dx

1

= - Lnx+ Ln(2x-1) +2 Ln(2x+1) + c

(2)

1 2

= x – Lnx + Ln(2x-1) + Ln(2x+1)+ c

4𝑥 3 +𝑥+1

Prob 3.- Calcular. ∫ (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 Solución. 4𝑥 3 +𝑥+1

∫ (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 = ∫

4𝑥 3 +𝑥+1 dx 𝑥 3 −1

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 𝑥 3 − 1

1.- cuando el grado del numerador es mayor ó igual al del denominador de divide así: 4𝑥 3

+𝑥+1

− 4𝑥 3

+4

𝑥 +5

𝑥3 − 1

= 4 + 𝑥 3 −1

4

𝑥 + 5 4𝑥 3 +𝑥+1

𝑥 +5

𝑥 +5

∫ (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1) 𝑑𝑥= ∫ (4 + 𝑥 3 −1 )dx = 4∫ 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥−1)(𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥

(1)

El denominador del 2𝑑𝑎 integral tiene dos factores entonces separamos en 2 fracciones parciales. 𝑥 +5

𝐴

𝐵𝑥+𝐶

∫ (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 = ∫ ((𝑥−1) + 𝑥 2 +𝑥+1)dx ojo: el denominador de la 1𝑟𝑎 fracción es de 1𝑒𝑟 grado se escribe una const . el denominador de la 2𝑑𝑎 fracción es de 2𝑑𝑜 grado entonces en el numerador se escribe un polinomio de 1𝑒𝑟 grado (Bx +C) 27

x + 5= A(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 1) = A𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 − 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 𝐶 x +5 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + (𝐴 − 𝐵 + 𝐶)𝑥 + (𝐴 − 𝐶) por identidad de polinomio se tiene el sgte sistema. Sumamos 1 y 2:

𝐴+𝐵 =0 → 2A+C = 1 𝐴−𝐵+𝐶 =1

sust en 1: 2+B = 0 → B = -2 𝑥 +5

y

2

𝐴+𝐵 =0 𝐴−𝐵+𝐶 =1 𝐴−𝐶 =5

(1) (2) (3)

𝐴−𝐶 =5 → 3A =6 → A = 2, 2𝐴 + 𝐶 = 1

(4), sumamos 3 y 4:

C = -3 −2𝑥−3

𝑑𝑥

2𝑥+3

∫ (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 = ∫ ((𝑥−1) + 𝑥 2 +𝑥+1) dx = 2∫ 𝑥−1 − ∫ 𝑥 2 +𝑥+1 dx 4𝑥 3 +𝑥+1

𝑑𝑥

(2)

2𝑥+3

2 en 1: ∫ (𝑥−1)(𝑥2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 = 4∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥−1 − ∫ 𝑥 2 +𝑥+1 dx 2𝑥+3

= 4x +2Ln(x-1) - ∫ 𝑥 2 +𝑥+1 dx (a) Integramos por partes completando cuadrado 2𝑥+3

∫ 𝑥 2 +𝑥+1 𝑑𝑥 = ∫

(2𝑥+1)+2 𝑥 2 +𝑥+1

(2𝑥+1)

𝑑𝑥

𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 +𝑥+1 dx + 2∫ 𝑥 2 +𝑥+1 = Ln(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + 2∫

1

= Ln(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + 2 √9 arc tg(

1 2 √3 2

𝑥+

2

) = Ln(𝑥 2 + 𝑥 + 1) +

4 √3

2𝑥+1 )+ √3

arc tg (

b en a se tiene: = 4x + 2Ln(x-1) - Ln(𝑥 2 + 𝑥 + 1) -

4 √3

c

dx

(b)

2𝑥+1 )+ √3

arc tg (

1 1 2 3 (𝑥+ ) + 2 4

c

(𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥

Prob 4.- Calcular. ∫ (𝑥 2

+1)(𝑥 2 +2)

Sol. (𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥

𝐴𝑥+𝐵

𝐶𝑥+𝐷

∫ (𝑥 2 +1)(𝑥2 +2) = ∫ ( 𝑥 2 +1 + 𝑥 2 +2 )dx (𝑥 2 +𝑥+1) (𝑥 2 +1)(𝑥 2 +2)

=

(1)

(𝐴𝑥+𝐵)(𝑥 2 +2)+ (𝐶𝑥+𝐷)(𝑥 2 +1)

→ 𝑥 2 + 𝑥 + 1 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 2) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 + 1)

(𝑥 2 +1)(𝑥 2 +2)

para x = 0

→ 1 = 2B + D;

para x = -1

→ 1 = -3A + 3B – 2C + 2D

para x = 1 → 3 = 3A +3B + 2C + 2D para x = 2 → 7 = 12A + 6B + 10C + 5D

resolv; se tiene: B = 0 ; D = 0 ; A = 1 ; C = -1 (𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥

∫ (𝑥 2 +1)(𝑥2 +2) = ∫ 𝑥 2 +1 + ∫ 1

=2∫

𝑑𝑢 𝑢

(−𝑥+1)𝑑𝑥

1

+2∫

𝑥 2 +2 𝑑𝑢 𝑢

+∫

=∫

𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 +1

𝑑𝑥

-∫ 1

2

𝑥 2 +(√2)

𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 +2

+∫

𝑑𝑥 𝑥 2 +2

u = 𝑥 2 + 1 → du = 2xdx → 1

= 2 Ln|𝑥 2 + 1| + 2 Ln |𝑥 2 + 2| +

√2 2

arc tg

𝑥.√2 2

𝑑𝑢 2

= xdx

+c

𝟒𝐭𝐨 CASO: cuando el denominador contiene factores de 2𝑑𝑜 grado y algunos se repiten. 𝑥 3 +1

Prob 1.- Calcular. ∫ 𝑥(𝑥2 +1)2 𝑑𝑥 Solución. 𝑥 3 +1

𝐴

𝐵𝑥+𝐶

𝐷𝑥+𝐸

∫ 𝑥(𝑥 2 +1)2 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + (𝑥 2 +1) + (𝑥 2 +1)2 )dx 28

En el numerador de la 2𝑑𝑎 𝑦3𝑟𝑎 fracción se escribe un polinomio de 1𝑒𝑟 grado de la forma ax+b, luego se procede como en casos anteriores. 𝑥 3 + 1 = A(𝑥 2 + 1)2 + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥)(𝑥 2 + 1) + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥) = A(𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1) + 𝐵𝑥 4 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 2 + 𝐸𝑥 = A𝑥 4 + 2𝐴𝑥 2 + A + 𝐵𝑥 4 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 2 + 𝐸𝑥 = (𝐴 + 𝐵) 𝑥 4 + C𝑥 3 + (2𝐴 + 𝐵 + 𝐷)𝑥 2 + (𝐶 + 𝐸)x+A

Por identidades: A+B = 0 2A +B +D = 0 C+E = 0 1

−𝑥+1

(1)

sustituimos → B = -1,

(3)

→ 2 -1 +D = 0 → D = - 1

(4)

→E=-1

−𝑥±1

𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥

= ∫ (𝑥 + (𝑥 2 +1) − (𝑥 2 +1)2 )dx = ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

(2)

A=1

𝑥+1

𝑥−1

− ∫ (𝑥 2 +1)2 𝑑𝑥 − ∫ (𝑥 2 +1) dx cambio de posición por conveniencia. 𝑑𝑥

u = 𝑥 2 + 1 → du = 2xdx →

=Ln - ∫ (𝑥2 +1)2 − ∫ (𝑥 2 +1)2 − ∫ 𝑥 2 +1 + ∫ 𝑥 2 +1 1

C= 1

𝑥

1

1

𝑑𝑢 2

= xdx

1

= Ln x - ∫ 2 − ∫ (𝑥 2 2 − ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 dx = Ln x - ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢- ∫ (𝑥 2 2 𝑑𝑥 − 2 𝑢 +1) 𝑥 +1 𝑥 +1 2 +1) 1 𝑢−1 −1

= Ln x - 2

𝑑𝑥

1

- ∫ (𝑥 2 +1)2 - 2 Ln(𝑥 2 + 1) + arc tgx 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃

𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑐 2 𝜃

1 2

∫

𝑑𝑢 𝑢

+ arc tg x

(1)

1

1

∫ (𝑥 2 +1)2 = ∫ (𝑡𝑔𝜃+1)2 𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 4 𝜃 d𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 = ∫ 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)d𝜃 √𝑥 2 + 1

𝑡𝑔𝜃 = x

x

sec 𝜃 =

1 1

→ dx = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 d𝜃

√𝑥 2 +1 1

1

→ sec 𝜃 = √𝑥 2 + 1

1

1

1

1

1

= ∫ 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)d𝜃 = 2 ∫ 𝑑𝜃 + 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃d𝜃 = 2 𝜃 +4 sen2𝜃 + c = 2 𝜃 + 4.2 sen 𝜃.cos 𝜃 1

1

= 2 arctgx + 2 .

𝑥

1

.

1

√𝑥 2 +1 √𝑥 2 +1

1

1

1

𝑥

𝑥

= 2 arctgx + 2(𝑥2 +1) + c

(2)

1

2 en 1 : = Lnx - 6 (𝑥 2 + 1)3 - 2.arctgx - 2 . 𝑥 2 +1 - 2 Ln (𝑥 2 + 1) + arc tgx 𝑥

1

𝑥

1

= Ln (𝑥 2 +1)2 + 6 (𝑥 2 + 1)3 + 2(𝑥2 +1) + 2.arctgx + c 6𝑥 2 −15𝑥+22 +2)2

Prob 2.- Calcular. ∫ (𝑥+3)(𝑥2

dx

Sol. 6𝑥 2 −15𝑥+22

𝐴

𝐵𝑥+𝐶

𝐷𝑥+𝐸

∫ (𝑥+3)(𝑥2 +2)2 dx = ∫ ((𝑥+3) + 𝑥 2 +2 + (𝑥 2 +2)2 )dx 6𝑥 2 − 15𝑥 + 22 = A(𝑥 2 + 2)2 + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 3)(𝑥 2 + 2) + (𝐷𝑥 + 𝐸)(𝑥 + 3) = A (𝑥 4 + 4𝑥 2 + 4) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 3 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + 6) + (𝐷𝑥 2 + 𝐸𝑥 + 3𝐷𝑥 + 3𝐸) = A𝑥 4 +4A𝑥 2 + 4𝐴 + B𝑥 4 + 2𝐵𝑥 2 + 3𝐵𝑥 3 + 6𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 3 + 2𝐶𝑥 + 3𝐶𝑥 3 + 6𝐶 + 𝐷𝑥 2 + 𝐸𝑥+3Dx+3E

29

= (A+B)𝑥 4 + (3B+C)𝑥 3 + (4A+2B+3C+D)𝑥 2 + (6B+2CC+3D+E)x + (4A+6C+3E) Por identidad polinómica. A + B = 0 (1) → A = -B; 3B + C = 0 (2) → C = -3B; 4A + 2B + 3C + D = 6. (3) 6B + 2C + 3D +E = -15 (4) → 6B- 6B +33B +18 +E = -15 → 33B + E = -33 → E = -33B – 33 (8) 4A +6C +3E = 22 (5) → -4B – 18B – 99B – 99 = 22 → -121B = 121 1 en 3: -4B+2B-9B+D = 6 → -11B +D = 6 (6) → D = 11B +6 (7) ∴ A = 1; B = -1; C = 3: D = -5; E = 0 6𝑥 2 −15𝑥+22

1

−𝑥+3

−5𝑥

𝑑𝑥

𝑥−3

𝑥

∫ (𝑥+3)(𝑥2 +2)2 dx = ∫ ((𝑥+3) + 𝑥 2 +2 + (𝑥 2 +2)2 )dx = ∫ 𝑥+3 − ∫ 𝑥 2 +2 𝑑𝑥 − 5 ∫ (𝑥 2 +2)2dx 𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑥

𝑥

= ∫ 𝑥+3 - ∫ (𝑥 2 +2)dx + 3∫ (𝑥2 +2) -5∫ (𝑥 2 +2)2 dx = ∫ 1

3 √2

= Ln |x+3| - 2 Ln |𝑥 2 + 2| + Prob 3.- Calcalar. ∫

arc tg

𝑑𝑢 𝑢

-2

1 ∫ 𝑑𝑢 𝑢

𝑥 √2

+ 2(𝑥2 +2) + c

+

3 √2

arc tg

𝑥 √2

5

+ 2𝑢 + c

5

(𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 (𝑥 2 +1)3

Sol. ∫

(𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 (𝑥 2 +1)3

𝐴𝑥+𝐵 𝑥 2 +1

= ∫(

𝐶𝑥+𝐷 +1)2

+ (𝑥 2

𝐸𝑥+𝐹 ) +1)3

+ (𝑥2

𝑥 2 +𝑥+1 +1)3

→ (𝑥 2

2

=

(𝐴𝑥+𝐵)(𝑥 2 +1) +(𝐶𝑥+𝐷)(𝑥 2 +1)+(𝐸𝑥+𝐹) (𝑥 2 +1)3

(1)

𝑥 2 + 𝑥 + 1 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 1)2 + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 + 1) + (𝐸𝑥 + 𝐹) Efectuando algoritmo. para x =0

→ 1 = B+ D+ F;

para x = 1 → 3 = 4A+ 4B+ 2C+ 2D+ E+ F

para x = -1 → 1 = -4A+ 4B- 2C+ 2D- E+ F

para x = 2 → 7 = 50A+ 25B+ 10C+ 5D-2E+ F

para x = -2 → 3 = -50A+ 25B- 10C+ 5D- 2E+ F

para x = 3 → 13 = 300A+ 100B+ 30C+ 10D+ 3E+ F

∫

(𝑥 2 +𝑥+1) 𝑑𝑥 (𝑥 2 +1)3 𝑑𝑥

∫ (𝑥 2 +1)2 = ∫

𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥

= ∫ (𝑥 2 +1)2 + ∫ (𝑥 2 +1)3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑐 4 𝑡

b

𝑑𝑡

1 1+cos 2𝑡 )dt 2

= ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡𝑑𝑡 = ∫ ( 1

1

1

1

= 2 ∫ 𝑑𝑡 + 2 ∫ cos 2𝑡 𝑑𝑡

1

𝑥

= 2 t + 4 sen 2t = 2 arc tgx + 2(𝑥 2 +1)

1

𝑥

1

𝑑𝑢

1

𝑥

1

𝑥

1

En 1 se tiene: = 2 arc tgx + 2(𝑥2 +1) + 2 ∫ 𝑢3 = 2 arc tgx + 2(𝑥 2 +1) + 2 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 1

𝑥

1 𝑢−2 −2

= 2 arc tgx + 2(𝑥2 +1) + 2

1

= 2 arc tgx + 2(𝑥2 +1) - 4(𝑥2 +1)2 + c

METODO DE HERMITE OSTROGRADSKICuando se nos presenta problemas de integración de funciones cuyo denominador es elevado a alguna exponente mayor o igual que dos, pensamos enseguida en desarrollarlo mediante fracciones parciales pero 30

su solución sería muy extenso y tedioso; es por eso que se presenta este método de Hermite-Ostrogradski que permite una rápida resolución. Y es de la forma: 𝑃(𝑥)

∫𝑄

(𝑥)

𝑃(𝑥)

dx = 𝑞

1 (𝑥)

𝐶𝑥+𝐷 2 (𝑥)

+∫𝑞

𝑃(𝑥)

Ax+B

Cx+D

dx ó ∫ (x2 +bx+c)n dx = (𝑥 2 +𝑏𝑥+𝐶)𝑛−1 + ∫ (x2 +bx+C)n dx

Donde 𝑥 2 +bx+c es una expresión cuadrática irreducible. donde el grado de p(x) es inferior al grado de q(x). Suele utilizarse cuando el grado de multiplicidad de los factores es alto, sobre todo el de los factores complejos, lo que en el caso del método general nos obliga a realizar integrales extremadamente largas. Al igual que en el método general, en el método de Hermite se comienza por descomponer en factores irreducibles el polinomio q(x): (2𝑥+3)

Prob 1.- Calcular. ∫ (𝑥−1)4 (𝑥−2) dx, por el método de Hermite- Ostrogradski. Solución. 1.- El denominador 𝑞(𝑥) ya aparece descompuesto en factores así: 𝑞(𝑥) = (x − 1)4 (x − 2) 2.- restando 1 al exponente de cada factor de 𝑞(𝑥) y hallamos 𝑞1 (𝑥): q1 (x) = (x − 1)3 (x − 2)o 3.- (𝑥 − 2) elevado a 0 equivale a la undad, por tanto, 𝑞1 (𝑥) es un polinomio de grado 3, lo que significa que 𝑝1 (𝑥) ha de ser un polinomio de grado 2 (inferior en 1 al grado de 𝑞1 (𝑥), como se ha dicho): 𝑝1 (𝑥) = Ax 2 + Bx + C 4.- De eta manera la fórmula de Hermite para esta integral es: (2𝑥+3)

∫ (𝑥−1)4 (𝑥−2) dx =

𝐴𝑥 2 +𝐵𝑥+𝐶 (𝑥−1)3

𝐷

𝐸

+ ∫ 𝑋−1 dx + ∫ 𝑥−2 dx

5.- Y ahora solo nos queda determinar los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E. Para ello se derivan ambos miembros, teniendo en cuenta que la derivada de una integral es la función integrando: 2𝑥+3 (𝑥−1)4 (𝑥−2)

=

(2𝐴𝑥+𝐵)(𝑥−1)−3(𝐴𝑥 2 +𝐵𝑥+𝐶) (𝑥−1)4

𝐷

𝐸

+ 𝑥−1 + 𝑥−2

6.- A continuación, ponemos el denominador común en el miembro de la derecha, ese denominador debe coincidir siempre con el del miembro de la izquierda. Estos denominadores se cancelan: 2x + 3 = (2Ax + B)(x − 1)(x − 2) − 3(Ax 2 + Bx + C)(x − 2) + D(x − 1)3 (x − 2) + E(x − 1)4

7.- En esta expresión podemos ir dando distintos valores a x, por ejemplo, si x=2 obtenemos inmediatamente E= 7. Sucesivamente consideramos los valores x= 0. x= 1, x= -1, x= 3, nos resultan las ecuaciones: 2𝐵 + 6𝐶 + 2𝐷 + 𝐸 = 3 3(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = 5 { −3𝐴 − 3𝐵 + 9𝐶 + 24𝐷 + 16𝐸 = 1 −15𝐴 − 7𝐵 − 3𝐶 + 8𝐷 + 16𝐸 = 9

Junto a E= 7, forman un sistema cuya solución es:

A=7

B=-

21 2

C=

31 6

D = 7,

E=7

Por lo tanto, la integral buscada es: 31

(2𝑥+3)

∫ (𝑥−1)4 (𝑥−2) dx =

21 2

7𝑥 2 − 𝑥+

31 6

(𝑥−1)3

+ 7ln|x − 1| + 7ln|x − 2| + C

3𝑥+5

Prob 2.- Calcular ∫ (𝑥 2 +2𝑥+2)2dx Sol. El polinomio 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 no tiene raíces reales. Apliquemos la fórmula de Hermite Ostrogradski: 𝑃

𝑃 (𝑥)

𝑃 (𝑥)

∫ 𝑄 𝑥 dx = 𝑄1 (𝑥) + ∫ 𝑄2 (𝑥) dx (𝑥)

1

a

2

En este caso 𝑄(𝑥) = (𝑥 2 + 2𝑥 + 2)2 entonces restamos 1 al exponente y hallamos 𝑄1 (𝑥)= (𝑥 2 + 2𝑥 + 2) 𝑄1 (𝑥) = MCD ⦃(𝑥 2 + 2𝑥 + 2)2 , 2(𝑥 2 + 1)(2𝑥 + 2)} = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 2

𝑄2 (𝑥) =

(𝑥 2 +2𝑥+2) 𝑥 2 +2𝑥+2

= 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 3𝑥+5

𝐴𝑥+𝐵

𝐶𝑥+𝐷

Igualando (a) se transforma en: ∫ (𝑥 2 +2𝑥+2)2 = 𝑥 2 +2𝑥+2 + ∫ 𝑥 2 +2𝑥+2 dx Derivando obtenemos: (𝑥 2 =

3𝑥+5 +2𝑥+2)2

=

𝐴(𝑥 2 +2𝑥+2)−(2𝑥+2)(𝐴𝑥+𝐵) (𝑥 2 +2𝑥+2)2

+

𝐶𝑥+𝐷 𝑥 2 +2𝑥+2

𝐴(𝑥 2 +2𝑥+2)−(2𝑥+2)(𝐴𝑥+𝐵)+ (𝐶𝑥+𝐷)(𝑥 2 +2𝑥+2) (𝑥 2 +2𝑥+2)2

Igualando numeradores, identificando coeficientes y resolviendo el correspondiente sistema obtenemos: A 1

= 1, B = - 2, C = 0, y D = 1, con lo cual se tiene: 3𝑥+5 ∫ (𝑥 2 +2𝑥+2)2

=

𝑥−

1 2

2(𝑥 2 +2𝑥+2)

+∫

𝑑𝑥 𝑥 2 +2𝑥+2

=

2𝑥−1 4(𝑥 2 +2𝑥+2)

𝑑𝑥

+ ∫ (𝑥+1)2

+1

2𝑥−1

= 4(𝑥2 +2𝑥+2) + arc tg (x + 1) + c

𝑑𝑥

Prob 3.- Calcular. - ∫ (𝑥−1)2 (𝑥2 +𝑥+1)2 Sol. El polinomio: 𝑥 2 + 𝑥 + 1 no tiene raíces reales. Además (x – 1) (𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 𝑥 3 − 1 𝑑𝑥

→ ∫ (𝑥−1)2 (𝑥2 𝑃(𝑥)

∫𝑄

(𝑥)

+𝑥+1)2

𝑃 (𝑥)

𝑑𝑥 −1)2

= ∫ (𝑥3

. Aplicando la fórmula de Hermite Ostrogradski se tiene:

𝑃 (𝑥)

dx = 𝑄1 (𝑥) + ∫ 𝑄2 (𝑥) dx 1

1

2

Donde 𝑄(𝑥) = (𝑥 3 − 1)2 entonces: 𝑄1 (𝑥)= mcd {(𝑥 3 − 1)2 , 6𝑥 2 (𝑥 3 − 1)} = 𝑥 3 − 1 2

𝑄2 (𝑥) = 𝑑𝑥

Igualando (1) se tiene: ∫ (𝑥 3 −1)2 =

𝐴𝑥 2 +𝐵𝑥+𝐶 𝑥 3 −1

(𝑥 3 −1) 𝑥 3 −1

+∫

= 𝑥3 − 1

𝐷𝑥 2 +𝐸𝑥+𝐹 𝑥 3 −1

dx

Lurgo derivando, identificando coeficientes y resolviendo el sistema obtenemos: 32

1

2

A = 0; B = - 3 , C = 0, D = 0, E = 0, F = - 3 , reemplaz se tiene: 𝑑𝑥 ∫ (𝑥 3 −1)2 𝑑𝑥

−

𝑥

−

2

𝑥

2

𝑑𝑥

3 3 = 𝑥 3 −1 + ∫ 𝑥 3 −1 dx = - 3(𝑥3 −¡) - 3 ∫ 𝑥 3 −1

1

1

∫ 𝑥 3 −1 = 3 Ln |x-1|- 6 Ln |𝑥 2 + 𝑥 + 1| 𝑥

2 1

= - 3(𝑥 3 −¡) - 3 [3 𝐿𝑛 |𝑥 − 1| − 𝑑𝑥

𝑥

1 6

1 √3

arc tg

b 2𝑥+1 √3

+ c , que sustituimos en b y tenemos:

𝐿𝑛 |𝑥 2 + 𝑥 + 1| −

2

1 √3

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

2𝑥+1 ]+ √3

2 √3

𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

1

∴ ∫ (𝑥 3 −1)2 = - 3(𝑥3 −¡) - 9 𝐿𝑛 |𝑥 − 1| + 9 𝐿𝑛 |𝑥 2 + 𝑥 + 1| + 3

c 2𝑥+1 √3

+c

𝑑𝑥

Prob 4.- Calcular. ∫ 𝑥(𝑥2 +1)2 Sol. 𝑑𝑥

∫ 𝑥(𝑥 2 +1)2 =

𝐴𝑥+𝐵 𝑥 2 +1

1

→ 𝑥(𝑥 2 +1)2 = 1

=

+∫

𝐶𝑥 2 +𝐷𝑥+𝐸 𝑥(𝑥 2 +1)

𝐴(𝑥 2 +1)− (𝐴𝑥+𝐵).2𝑥 (𝑥 2 +1)2

dx +

1;

luego derivamos y tenemos:

𝐶𝑥 2 +𝐷𝑥+𝐸 𝑥(𝑥 2 +1)

(𝐴𝑥 2 +𝐴−2𝐴𝑥 2 −2𝐵𝑥).𝑥+ (𝐶𝑥 2 +𝐷𝑥+𝐸)(𝑥 2 +1) 𝑥(𝑥 2 +1)2

, trabajamos sólo con el numerador así:

1 = - A𝑥 3 − 2𝐵𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝐶𝑥 4 + 𝐶𝑥 2 + 𝐷𝑥 3 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑥 2 + 𝐸 1

= 𝐶𝑥 4 + (D-A)𝑥 3 + (C + E – 2B)𝑥 2 + (A+D)x + E

C = 0,

1

∴ C = 0, E = 1; A = 0; D = 0; B = 2, sustituimos en 1 así:

D–A=0 C + E – 2B = 0 A+D=0 E=1

𝑑𝑥

, ∫ 2 2= 𝑥(𝑥 +1)

1 2 𝑥 2 +1

1

+∫

∫ 𝑥(𝑥 2 +1)dx = ∫ =∫

𝑑𝑥 𝑥

𝑥

1

𝑑𝑥

1+𝑥 2 −𝑥 2 𝑥(𝑥 2 +1)

− ∫ 𝑥 2 +1 dx

= Ln |x| - 2 ∫

𝑑𝑢 𝑢

1

1 dx 𝑥(𝑥 2 +1)

=

1 2(𝑥 2 ∗1)

+∫

1 dx 𝑥(𝑥 2 +1)

1+𝑥 2

a

𝑥2

dx = ∫ 𝑥(𝑥 2 +1) dx - ∫ 𝑥(𝑥 2 +1) dx

u = 𝑥 2 + 1 → du = 2xdx → 1

= Ln |x| - 2 Ln |𝑥 2 + 1|

𝑑𝑢 2

= xdx

(2))

1

∴ 2 en a se tiene: ∫ 𝑥(𝑥 2 +1)2 = 2(𝑥 2 ∗1) + Ln |x| - 2 Ln |𝑥 2 + 1| + c

33

QUINTA SEMANA. INTEGRAL DE FUNCIONES RACIONALES DE Senu Cosu. Consideremos las integrales del tipo ∫ 𝑅(𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑐𝑜𝑠 𝑥)dx, donde R es una función racional que contiene solo sen u y cos u puede transformarse en otra expresión racional más sencilla mediante la sustitución. tg𝑢⁄2 = t 𝑥 2

t

√1 + 𝑡 2

→ 𝑢⁄2 = arc tg t

sen =

𝑥 2

senx = 2

𝑡 √1+𝑡 2

𝑡

.

√1+𝑡 2

𝑥 2

1

𝑥 2

1−𝑐𝑜𝑠 𝑢

𝑡 2 = 1+𝑐𝑜𝑛 𝑢 Prob 1.- Calcular ∫

𝑢 2

→ 𝑡𝑔2 =

1−𝑐𝑜𝑠 𝑢 1+𝑐𝑜𝑛 𝑢

2

𝑡

) −( 2

√1+𝑡

) = 2

1 √1+𝑡

reempl se tiene: 1−𝑡 2

∴ senx = 1+𝑡 2 y

2

1

𝑥

√1+𝑡

1−𝑐𝑜𝑠 𝑢 tg𝑢⁄2= √ 1+𝑐𝑜𝑠 𝑢

𝑥 2

2𝑡

→ senx = 1+𝑡 2 ;

cosx = 𝑐𝑜𝑠 2 2 − 𝑠𝑒𝑛2 2 → cosx = (

1

→ du = 1+𝑡 2 dt

; como: senx = 2sen .cos

√1+𝑡 2

2𝑡

√1+𝑡 2

𝑥

1

; cos =

2

→ u = 2 arctg t

cos u = 1+𝑡 2

− 2

𝑡2 √1+𝑡

1−𝑡 2

= 1+𝑡 2 2

,si tg𝑢⁄2= t , entonces sustituimos en (a) se tiene

(a)

→ 1-cos u = 𝑡 2 (1+ cos u) → 𝑡 2 +𝑡 2 cos u + cos u = 1 → cos u (1+𝑡 2 ) = 1-𝑡 2

dθ 1+sen θ+cos θ

Solución. 1−𝑡 2

2𝑡

sen u = 1+𝑡 2 1+𝑡

2

cos u = 1+𝑡 2

𝑑𝜃 ∫ 1+𝑠𝑒𝑛 𝜃+𝑐𝑜𝑠 𝜃

2t

= ∫

2 𝑑𝑡 1+𝑡2 2𝑡 1−𝑡2 1+ 2 + 2 1+𝑡 1+𝑡

2

,

du = 1+𝑡 2 dt 2

= ∫ 1+𝑡 2 +2𝑡+1−𝑡 2 𝑑𝑡

1 - 𝑡2 2

2

𝑑𝑡

=Ln|1+t|+c = Ln|1+𝜃⁄2| + c

= ∫ 2+2𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 2(1+𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 1+𝑡 𝑑𝑥

Prob 2.- Calcular. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑡𝑔 𝑥 Solución: 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑡𝑔 𝑥

=∫

𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

=∫

2𝑑𝑡 (1− 𝑡 2 )

2𝑑𝑡 1+𝑡2 2𝑡 2𝑡 1+𝑡2 + 1+𝑡2 1−𝑡2 1+𝑡2 𝑑𝑡 (1− 𝑡 2 )

=∫

2𝑑𝑡 1+𝑡2 2𝑡 2𝑡 + 1+ 𝑡2 1−𝑡2

= ∫ 2𝑡 (1− 𝑡 2 )+ 2𝑡 (1+𝑡 2 ) = ∫ 𝑡 (1− 𝑡 2 )+ 𝑡 (1+ 𝑡 2 ) = ∫ 1

=∫

1−𝑡 2 𝑑𝑡 2𝑡

1

2𝑑𝑡 1+𝑡2 2𝑡 (1−𝑡2 )+ 2𝑡 (1+ 𝑡2 ) (1+ 𝑡2 )(1− 𝑡2 )

1

=-2∫

𝑡 2 −1 dt 𝑡

1

1

= − 2 ∫ (𝑡 − 𝑡 ) 𝑑𝑡 = − 2 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 − 2 ∫ 1 𝑡2

𝑑𝑡 𝑡

dividimos. 1 𝑡2 2

= −2 ∙

1

− 2 𝐿𝑛 |𝑡|

𝑥

= − 2 ( 2 − 𝐿𝑛 |𝑡𝑔 2| + ) 𝐶 𝐝𝐱

Prob 3.- Calcular. ∫ 𝟏+𝐬𝐞𝐧 𝐱−𝐜𝐨𝐬 𝐬 Sol. 𝟐𝒛

𝟏−𝒛𝟐

Haciendo el cambio: sen u = 𝟏+𝒛𝟐 ; cos u =𝟏+𝒛𝟐 ; 𝒅𝒙 ∫ 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙

=∫

𝟐𝒅𝒛 𝟏+𝒛𝟐 𝟐𝒛 𝟏−𝒛𝟐 𝟏+ 𝟐 − 𝟐 𝟏+𝒛 𝟏+𝒛

=∫

𝟐𝒅𝒛 𝟏+𝒛𝟐 𝟏+𝒛𝟐 +𝟐𝒛−𝟏+𝒛𝟐 𝟏+𝒛𝟐

𝟐𝒅𝒛

dx = 𝟏+𝒛𝟐 → 𝟐𝒅𝒛

𝟐𝒅𝒛

𝒅𝒛

= ∫ 𝟐𝒛𝟐+𝟐𝒛 = ∫ 𝟐𝒛(𝒛+𝟏) = ∫ 𝒛(𝒛+𝟏)

= a fracciones 34

𝑨

𝑩

= ∫ ( 𝒛 + 𝒛+𝟏)dz 𝟏 𝒛(𝒛+𝟏)

=

𝑨 𝒛

→ 1 = A(z+1) + Bz → 1 = (A + B) + A → {𝑨 + 𝑩 = 𝟎 , B = - 1 sustitu. en 1

𝑩

+ 𝒛+𝟏 𝟏

1

𝑨=𝟏

−𝟏

𝒅𝒛 𝒛

= ∫ ( 𝒛 + 𝒛+𝟏)dz = ∫

𝒅𝒛

𝒛

− ∫ 𝒛+𝟏 = Ln |z| - Ln |z+1| + c = Ln |𝒛+𝟏| + c = Ln|

𝟏 𝟐

𝒕𝒈 𝒙 𝟏 𝟐

|+c

𝒕𝒈 𝒙+𝟏

𝑑𝑥

Prob 4.- Calcular: ∫ 1+𝑠𝑒𝑛2 𝑥 (ident.1= 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) y sustituimos así.

Solución: 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫ 1+𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥+cos2 𝑥+𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = ∫ 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥+cos2 𝑥

dividimos el numerador y deno por 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥.

𝑑𝑥 2

1 2

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥

𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ∫ 2 𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = ∫ 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

+1

𝑐𝑜𝑠2 𝑥

=∫

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 ∙

𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑡𝑔2 𝑥+1 = ∫

𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 √2

𝑢2 +1

1

1

𝑑𝑢 √2 𝑢2 +1

=∫

𝑢

=∫

1

1 √2

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 2

(√2𝑡𝑔𝑥) + 1

u = √2𝑡𝑔𝑥 → du = √𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙

𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢2 +1 √2 𝑢2 +12

∙

= √2 ∙ 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + c = √2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (√2 𝑡𝑔𝑥) + 𝑐 𝑑𝑥

Prob 5.- Calcular: ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥+2 𝑠𝑒𝑛 𝑥+3 Solución: 2𝑑𝑡 1+ 𝑡2

𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥+2 𝑠𝑒𝑛 𝑥+3 = ∫ =∫

2𝑑𝑡 1+𝑡2 1−𝑡2 +4𝑡+3+3𝑡2 1+𝑡2

1− 𝑡2 2𝑡 ( )+ 2 ( )+3 1+ 𝑡2 1+ 𝑡2

2𝑑𝑡 1+𝑡2 2 1− 𝑡 4𝑡 ( )+ ( )+3 1+ 𝑡2 1+ 𝑡2

=∫

2𝑑𝑡

2𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑡

= ∫ 2𝑡 2 + 4𝑡+4 = ∫ 2(𝑡 2 +2𝑡+2) = ∫ (𝑡 𝑡+2𝑡+1)−1+2 = ∫ (𝑡+1)2 +1 𝑑𝑢

𝑢

𝑥

= ∫ 𝑢2 +12 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 + 𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡 + 1 + 𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 2 + 1) + 𝑐 u = t+1 ⟶ du = dt dx

Prob 6.- Calcular. ∫ 4senx+3cosx+5 Solución: dx ∫ 4senx+3cosx+5

=∫

2𝑑𝑡 1+𝑡2 2𝑡 1−𝑡2 4( 2 )+3( 2 )+5 1+𝑡 1+𝑡

𝑑𝑡

=∫

2𝑑𝑡 1+𝑡2 8𝑡+3−3𝑡2 +5+5𝑡2 1+𝑡2

2𝑑𝑡

2𝑑𝑡

= ∫ 2𝑡 2 +8𝑡+8 = ∫ 2(𝑡 2 +4𝑡+4)

𝑑𝑡

= ∫ 𝑡 2 +4𝑡+4 = ∫ (𝑡+2)2 = ∫(𝑡 + 2)−2 𝑑𝑡 = -

1 𝑢

1

= - 𝑡+2 + c = -

1 𝑥 2

𝑡𝑔( )+2

+c

u = t + 2 ⟶ du = dt 𝑠𝑒𝑐 𝑥

Prob 7.- Calcular. ∫ 2𝑡𝑔 𝑥+𝑠𝑒𝑐 𝑥−1 𝑑𝑥 Solución. sec x ∫ 2tg x+sec x−1 𝑑𝑥

=∫

==∫

1 cosx senx 1 2 + −1 cosx cosx

2𝑑𝑡 1+𝑡2 2𝑡 1−𝑡2 2( 2)−( 2 )+1 1+𝑡 1+𝑡

=∫

dt = (t2 +2t+1)−1

dx = ∫

2𝑑𝑡 2

1 cosx 2senx−cosx+1 cosx

2𝑑𝑡

dx = ∫

dx 2senx−cosx+1

2𝑑𝑡

𝑑𝑡

1+𝑡 = ∫ 4𝑡−1+𝑡 = ∫ 2(𝑡 2 +2𝑡 = ∫ 𝑡 2 +2𝑡 2 +1+𝑡2 = ∫ 2𝑡 2 +4𝑡

compl. De cuadrados

1+𝑡2

𝑑𝑡

1

𝑡+1−1

∫ (𝑡+1)2 −1 = 2 Ln|𝑡+1+1| + c → reempl.

1

𝑥 2 𝑥 𝑡𝑔( )+2 2

= 2 Ln|

𝑡𝑔( )

| +c

35

𝑑𝑥

Prob 8.- Calcular. ∫ 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠2 𝑥 . multipl.numerador y denom por 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 así.

Sol. 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫ 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥(3𝑠𝑒𝑛2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠2 𝑥) = ∫ =∫

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 3

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥

= ∫ 3𝑡𝑔2 𝑥+5 = ∫ 𝑐0𝑠2 𝑥

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 +5 2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 2

2 =∫

(√3𝑡𝑔𝑥) +(√5) 𝑑𝑢

u = √3𝑡𝑔𝑥 → du = √3𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 →

√3

invertimos 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

1 (3𝑠𝑒𝑛2 𝑥+5𝑐𝑜𝑠2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 =

𝑑𝑢 √3

𝑢2 +(√5) 1

√15

2

arc tg

=

1 𝑑𝑢 ∫ 2 √3 𝑢2 +(√5)

√3𝑡𝑔𝑥 √5

=

1 1 arc √3 √5

𝑢

tg 𝑎

+c

𝑑𝑥

Prob 9.- Calcular. ∫ (2+𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 Sol. 1 𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥

Se tiene: R(sen x, cos x) = (2+𝑐𝑜𝑠

1

1

Donde R(- sen x, cos x) = (2+𝑐𝑜𝑠 𝑥)(− 𝑠𝑒𝑛 𝑥) = - (2+𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 = - R (sen x, cos x), La cual indica que R es impar respecto de sen x. Sustitución: si t = cos x → dt = - sen x dx → dx = −

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = - ∫ (2+𝑡)𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = - ∫ (2+𝑡)(1−𝑐𝑜𝑠2 𝑡) = - ∫ (2+𝑡)(1−𝑡 2 ) ∫ (2+𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 = ∫ (2+𝑡)𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑𝑡

1

= ∫ (𝑡+2)(𝑡−1)(𝑡+1) = 6Ln⌈

(𝑡+1)2 (𝑡−1) ⌉+ (𝑡+1)3

c

INTEGRALES DE FUNCIONES IRRACIONALES. Las integrales de las funciones elementales que no son racionales representan gran dificultad en calcular las funciones racionales poseen integrales que se expresan como combinaciones lineales finitas de funciones elementales, esto no sucede con las funciones irracionales. Estudiaremos algunos tipos de funciones irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas como una suma finita de funciones elementales. Para lo cual es necesario un adecuado cambio de variable de manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional. Prob 1.- Calcular. ∫

𝑥 𝑑𝑥 √𝑥+1

Sol. √𝑥 + 1 = t → x + 1 = 𝑡 2 → x = 𝑡 2 - 1 → dx = 2tdt 𝑥 𝑑𝑥

∫ √𝑥+1 = ∫

(𝑡 2 − 1)(2𝑡𝑑𝑡) 𝑡

= 2∫ =

Prb 2.- Calcular. ∫ 3+

(𝑡 2 − 1)(𝑡𝑑𝑡) 𝑡

2√(𝑥+1)3 3

= 2∫(𝑡 2 − 1) 𝑑𝑡 = 2∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 - 2∫ 𝑑𝑡 =

2𝑡 3 3

– 2t +c

- 2√𝑥 + 1 + c

𝑑𝑥 √𝑥+2

Solución. √𝑥 + 2 = t → x + 2 = 𝑡 2 → x = 𝑡 2 – 2

→ dx = 2tdt 36

𝑑𝑥

∫ 3+ √𝑥+2 = ∫ t

2 𝑡 𝑑𝑡 3+𝑡

𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑡

= 2∫ 𝑑𝑡 - 6∫ 𝑡+3 = 2t – 6 Ln |𝑡 + 3|+c

dividimos.

= 2√𝑥 + 2 – 6 Ln |√𝑥 + 2 + 3| + c

t+3

-t – 3

3 ) 𝑑𝑡 𝑡+3

= 2 ∫ 𝑡+3 = 2∫ (1 −

1 √2𝑥−3 .dx √2𝑥−3+1

Prob 3.- Calcular. ∫ 3

Solución. 1.- como la expresión. 2x-3 aparece en el numerador como en el denominador con radicales diferente entonces buscamos un cambio de variable que contenga a ambos índices lo cual conseguimos con el m.c.m de los índices así: 6

6

1.- 2x – 3 = 𝑡 6 → 2dx = 6𝑡 5 𝑑𝑡 → dx = 2 𝑡 5 𝑑𝑡 → dx = 3𝑡 5 𝑑𝑡; √2𝑥−3 .dx √2𝑥−3

∫3

=∫

√𝑡 6 .3𝑡 5 𝑑𝑡 3

√𝑡 6 +1

=∫

6 𝑡 ⁄2 .(3𝑡 5 .𝑑𝑡)

=∫

6 𝑡 ⁄3 +1

𝑡8

𝑡 3 .3𝑡 5 .𝑑𝑡 = 𝑡 2 +1

2.- 𝑡 6 = 2x – 3 → t = √2𝑥 − 3

𝑡 8 .𝑑𝑡

→ dividimos x que el expo del numerador es >

3∫ 2 𝑡 +1

𝑡2 + 1

-𝑡 8 - 𝑡 6

Que el exponente del denominador.

𝑡6 - 𝑡4 + 𝑡2 − 1

+𝑡 6 +𝑡 4 -𝑡 4 -𝑡 2 +𝑡 2 +1 1

𝑑𝑡

= 3 ∫ (𝑡 6 − 𝑡 4 + 𝑡 2 − 1 + 𝑡 2 +1) 𝑑𝑡 = 3∫ 𝑡 6 𝑑𝑡 - 3∫ 𝑡 4 𝑑𝑡+ 3∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 - 3∫ 𝑑𝑡 + 3∫ 𝑡 2 +1 𝑡7

= 37 – 3

𝑡5 5

𝑡3

3

3

3

+3 3 - 3t + 3 arctg t + c = 7 𝑡 7 − 5 𝑡 5 + 3 𝑡 3 − 3𝑡 +3arctg t + c

Sustituimos paso 2: 3 6

3 6

3 6

6

6

= √(2𝑥 − 3)7 - √(2𝑥 − 3)5 + √(2𝑥 − 3)3 – 3 √2𝑥 − 3 + 3 arctg √2𝑥 − 3 + c 7 5 3 Prob 4.- Calcular. ∫

𝑑𝑥 √𝑥+1+√(𝑥+1)3

Solución. √𝑥 + 1 = t → x +1 = 𝑡 2 → dx = 2tdt ∫

𝑑𝑥

2𝑡𝑑𝑡

√𝑥+1+√(𝑥+1)3

𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑡

= ∫ 𝑡+ 𝑡 3 = 2∫ 𝑡(1+ 𝑡 2 ) = 2∫ 1+ 𝑡 2 = 2 arc tg t +c = 2 arctg √𝑥 + 1 + c

1− √3𝑥+2 dx √3𝑥+2

Prob 5.- Calcular. ∫ 1+

Solución. 2

√3𝑥 + 2 = t → 3x + 2 = 𝑡 2 → 3dx = 2 tdt →dx = 3 tdt 1− √3𝑥+2 √3𝑥+2

∫ 1+

dx = ∫

t - 𝑡2

1+t

t +𝑡 2

1−𝑡 2 . 1+𝑡 3

2

tdt = ∫ 3

(𝑡− 𝑡 2 ) 1+𝑡 2 𝑡2 2

=-3 1

dividimos.

2

2 ) 𝑑𝑡 𝑡+1

4

1

dt = ∫ (− 𝑡 + 2 − 3 4

2

4

4

𝑑𝑡

= ∫ 𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 - ∫ 3 3 3 𝑡+1 4

4

+ 3 t - 3 Ln |𝑡 + 1| + c = - 3 𝑡 2 + 3 𝑡 − 3 Ln|𝑡 + 1| +c 4

4

= - 3 √(3𝑥 + 2)2 + 3 √3𝑥 + 2 - 3 Ln |√3𝑥 + 2 + 1| + c

-t +2 1

4

4

4

4

2t

= - 3 (3x + 2) + 3 √3x + 2 - 3 Ln |√3x + 2 + 1| + c

-2t -2

= - 3.3x - - 3.2 + 3 √3𝑥 + 2 - 3 Ln |√3𝑥 + 2 + 1| + c

1

1

37

2

4

4

= - x -3 + 3 √3𝑥 + 2 - 3 Ln |√3𝑥 + 2 + 1| + c Prob 6.- Calcular. ∫

𝑑𝑥 4

√𝑥+1+ √𝑥+1

Solución. 4

m.c.m: de 2 y 4 es 4 → x + 1 = 𝑡 4 → dx = 4 𝑡 3 𝑑𝑡; ∫

𝑑𝑥 4

√𝑥+1+ √𝑥+1

𝑡2

=∫

4 𝑡 3 𝑑𝑡

𝑡 3 𝑑𝑡

4 √𝑡 4 + √𝑡 4

𝑡 3 𝑑𝑡

= 4∫ 𝑡 2 +𝑡 = 4∫ 𝑡 (𝑡+1) = 4∫

𝑡 2 𝑑𝑡 𝑡+1

= 4∫ (𝑡 − 1 +

1 ) 𝑑𝑡 𝑡+1

𝑡2

𝑑𝑡

= 4∫ 𝑡𝑑𝑡 - 4∫ 𝑑𝑡 + 4 ∫ 𝑡+1 = 4 2 – 4t + 4 Ln |𝑡 + 1| + c

t+1

- 𝑡2 - t

t = √𝑥 + 1

4

4

4

= 2𝑡 2 - 4t + 4 Ln |𝑡 + 1|+c = 2 √(𝑥 + 1)2 – 4 √𝑥 + 1 + 4 Ln |√𝑥 + 1 + 1| + c

t-1

1

4

4

= 2 (𝑥 + 1)2 – 4 √𝑥 + 1 + 4 Ln |√𝑥 + 1 + 1| + c Prob 7.- Calcula. ∫

𝑥+3

dx

𝑥 2 √3𝑥 2 +2𝑥+1

Solución. Sea x =

1 𝑡

→ dx = -

𝑑𝑡 ; 𝑡2

t=

1

𝑥+3

∫ 𝑥 2 √3𝑥2 +2𝑥+1 𝑑𝑡 = ∫

1 𝑥

−1

( +3)( 2 ) 𝑡 𝑡 1 3 2 √ + +1 𝑡2 𝑡2 𝑡

𝑑𝑡 = - ∫

3𝑡+1 𝑡3 1 3+2𝑡+𝑡2 √ 𝑡2 𝑡2

3𝑡+1

𝑑𝑡 = - ∫

√𝑡 2 +2𝑡+3

𝑑

u = 𝑡 2 + 2𝑡 + 3 → du = (2𝑡 + 2)𝑑𝑡 =-∫

3 (2𝑡+2)−2 2 √𝑡 2 +2𝑡+3

3

2𝑡+2

dt = - 2 ∫

√𝑡 2 +2𝑡+3

𝑑𝑡 + 2∫

𝑑𝑡

𝑑𝑡

√𝑡 2 +2𝑡+3

= 2∫ (𝑡+1)2 +2

= - 3√𝑡 2 + 2𝑡 + 3 + Ln |𝑡 + 1 + √(𝑡 + 1)2 + 2| + c 1 2

reemplazando se tiene.

2

2 1 1 = - 3√(𝑥) + 𝑥 + + Ln| + 1 + √( + 1) + 2| + c 𝑥 𝑥 3

Prob 8.- Calcular. ∫

𝑑𝑥 𝑥 2 √4𝑥 2 +𝑥+4

Solución. Sea x = =∫

1 𝑡

→ dx = -

𝑑𝑡 𝑡2 1 4 1 √ + +4 𝑡2 𝑡2 𝑡

=-∫

𝑑𝑡 𝑡2 𝑑𝑡

2 √4𝑡 +𝑡+4 𝑡2

u = 4𝑡 2 + 𝑡 + 4 =-∫

𝑡

1

√𝑡+4+4𝑡 2

𝑑𝑡= - 8 ∫

→ du = (8t+1)dt 8𝑡+1

1

dt + 8 ∫

√4𝑡 2 +𝑡+4

𝑑𝑡 2

√(2𝑡+1) +63 4

16

Desarrollando el primer factor. 8𝑡+1

1

1

2 √63 ) 4

1 2

1

∫ √4𝑡 2 +𝑡+4dt = - 4 √4𝑡 2 + 𝑡 + 4 + 8 Ln |2𝑡 +| 4 + √(2𝑡 + 4) + (

+c

u = 4𝑡 2 + 𝑡 + 4 → du = 8t+1 .dt 1 4

4 𝑥2

Reemplazando. = - √ Prob 9.- Calcular. ∫

1 𝑥

1 8

2 𝑥

1 4

2 𝑥

1 2 4

+ + 4 + Ln | + + √( + ) +

63 | 16

+c

𝑑𝑥 √𝑥 (1+ √𝑥)

Solución. 38

La única fracción irracional es √𝑥, por tanto: √x = t → x = t 2 → dx = 2t.dt ∫

dx √x (1 + √x)

= ∫

2t. dt 2. dt = ∫ = 2 ln|t + 1| + c t(1 + t) (1 + t)

Dado que t = √x , se tiene: 2 ln|√x + 1| + c Prob 10.- Calcular. ∫

√𝑥 𝑑𝑥 1+𝑥

Solución: La única fracción irracional es √𝑥, por tanto: √𝑥 = t → x = 𝑡 2 → dx = 2t.dt

∫

t(2t. dt) t 2 . dt 1 dt √x dx = ∫ = 2 ∫ = ∫ (1 − ) dt = 2 ∫ dt − 2 ∫ 2 2 2 1+x 1+t 1+t 1−t 1 − t2 = 2t − 2 arc tg. t + c Dado que t = √𝑥 , se tiene: 2 √x − 2 arc tg√x + c 𝑑𝑥

Prob 11.- Calcular. ∫ (𝑥−2)√𝑥 2 +3𝑥−9 Solución: x−2= ∫

−dt t2 2 1 √(1+2) +3(1+2)−9 t t t

=-∫

𝑑𝑡 √𝑡 2 +7𝑡+1

= −∫

=-∫

1 t

dx = − dt

1 4 3 t√ 2 + +4+ +6−9 t t t

𝑑𝑡 2 √(𝑡+7) −45 2 4

=-∫

𝑑𝑡 1 7 𝑡√ 2 + +1 𝑡 𝑡

7 2 2

7 2

= - Ln |𝑡 + + (𝑡 + ) − 1

7

dt t2

=-∫

45 |+ 4

1

t=

1 x−2

𝑑𝑡 𝑡2 +7𝑡+1 𝑡√ 𝑡2

c 7

2

Reemplazando. = - 𝐿𝑛 |𝑥−2 + 2 + ((𝑥−2) + 2) −

45 | 4

+c

39

SEXTA SEMANA. Integral de Función Exponencial y Logarítmica. FUNCIÓN EXPONENCIAL. -Se presente dos casos. CASO 1: Sea la función y = 𝒂𝒙 para definir esta integral de este tipo de función, podemos partir de esta derivada y retroceder a obtener la integral, veamos: 𝒅𝒚

y = 𝒂𝒙 . Entonces: 𝒅𝒙 = 𝒂𝒙 para 𝐚 ≠ 𝟏 . para resolver la integral, hacer una transformación de la siguiente 𝒙

manera: 𝒂𝒙 = 𝒆𝐥𝐧(𝒂) = 𝒆𝐱𝐥𝐧(𝒂) aplicando la integral ∫ 𝒂𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝐱𝐥𝐧(𝒂) 𝒅𝒙 Multiplicamos y dividimos por 𝐥𝐧(𝒂) tenemos: 𝟏 ∫ 𝒆𝐱𝐥𝐧(𝒂) 𝐥𝐧(𝒂) 𝒅𝒙 𝐥𝐧(𝒂)

Hacemos cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝐥𝐧(𝒂) 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒖 = 𝐥𝐧(𝒂) 𝒅𝒙 𝟏 ∫ 𝒆𝐮 𝒅𝒖 𝐥𝐧(𝒂)

𝟏

𝟏

= 𝐥𝐧(𝒂) 𝒆𝐮 = 𝐥𝐧(𝒂) 𝒆𝐱𝐥𝐧(𝐚) + 𝑪

Pero 𝒆𝐱𝐥𝐧(𝐚) = 𝒂𝒙 ,

Luego hacemos el reemplazo para obtener: 𝟏

∫ 𝒂𝒙 = 𝒍𝒏(𝒂) 𝒂𝒙 + c CASO 2: Sea la función 𝒚 = 𝒆𝒙 la función exponencial natural tiene como base al numerador de Euler, para determinar su integral, realizamos el mismo procedimiento que el caso anterior. 𝒚 = 𝒆𝒙

𝒅𝒚 𝒅𝒙

= 𝒆𝒙

∫ 𝒅𝒚 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒚 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Aplicamos integrales a ambos lados: 𝒚 = 𝒆𝒙 + 𝑪 Por consiguiente:

∴ ∫ 𝒆𝒙 dx = 𝒆𝒙 + c INTEGRAL DE LA FUNCION EXPONENCIAL: si u es una función derivable de x. ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + c,

∫ 𝒆𝒇(𝒙) .𝒇´(𝒙)dx = 𝒆𝒇(𝒙) + c

pues (𝒆𝒙 )´= 𝒆𝒙 .

Prob 1.- Calcular. ∫ 𝒆𝟓𝒙 dx Sol. ∫ 𝒆𝟓𝒙 dx = ∫ 𝒆𝒖

𝒅𝒖 𝟓

𝟏

𝟏

= 𝟓 ∫ 𝒆𝒖du = 𝟓 𝒆𝒖 + c

u = 5x → du = 5dx → 𝟐 −𝟒𝒙

Prob 2.- Calcular. ∫(𝒙 − 𝟏)𝒆𝟐𝒙

𝒅𝒖 𝟓

= dx; luego sustituimos así.

dx

Sol. 40

∫(𝒙 − 𝟏)𝒆𝟐𝒙

𝟐 −𝟒𝒙

dx = ∫ 𝒆𝟐𝒙

𝟐 −𝟒𝒙

(𝒙 − 𝟏)dx = ∫ 𝒆𝒖 .

u = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 → du = (4x – 4) dx →

𝒅𝒖 𝟒

𝒅𝒖 𝟒

𝟏

𝟏

𝟏

= 𝟒 ∫ 𝒆𝒖.du = 𝟒 𝒆𝒖 +c = 𝟒 𝒆𝟐𝒙

𝟐 −𝟒𝒙

+c

= (𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙

𝟑

Prob 3.- Calcular. ∫ 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Sol. 𝟑

∫ 𝟐𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐𝒖

𝒅𝒖 𝟑

𝟑

𝟏 𝟐𝒖

𝟏

𝟐𝒙

= ∫ 𝟐𝒖 𝒅𝒖 = ón. +c= +c 𝟑 𝟑 𝑳𝒏 𝟐 𝟑𝑳𝒏 𝟐 𝒅𝒖

u = 𝒙𝟑 → du = 3𝒙𝟐 dx → = 𝒙𝟐 dx 𝟑 Prob 4.- Calcular. ∫(𝟏 + 𝑳𝒏𝒙)𝒆𝒙 𝑳𝒏 𝒙dx Sol. 𝒙 𝑳𝒏 𝒙 dx = ∫ 𝒆𝒙 𝑳𝒏 𝒙 (𝟏 + 𝑳𝒏𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒖 . 𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 + c = 𝒆𝒙 𝑳𝒏 𝒙 +c ∫(𝟏 + 𝑳𝒏𝒙)𝒆 𝟏

𝒆𝑳𝒏𝒙= x

u = x Lnx → du = [𝒙. (𝒙) + 𝑳𝒏𝒙]dx = (𝟏 + 𝑳𝒏𝒙)dx

∴ = 𝒙𝒙 + c

Prob 5.- Calcular: ∫ 𝟑𝒙 𝒆𝒙dx. Sol. u= 𝟑𝒙 𝒆𝒙 → du = (𝟑𝒙 𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 𝟑𝒙 𝑳𝒏𝟑)dx → du = 𝟑𝒙 𝒆𝒙 (𝟏 + 𝑳𝒏𝟑)dx= u(𝟏 + 𝑳𝒏𝟑)dx → dx =

𝒅𝒖 𝒖(𝟏+𝑳𝒏𝟑)

∴∫

𝒅𝒖 𝒖 = +c 𝟏+𝒍𝒏𝟑 𝟏+𝒍𝒏𝟑

=

𝟑𝒙 𝒆𝒙 + 𝟏+𝒍𝒏𝟑

c

𝟐

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝒙. 𝟐𝟑−𝟐𝒙 𝒅𝒙 Sol. 𝟏

u = 3 - 2𝒙𝟐

→ du = - 4xdx → xdx = - 𝟒 du

𝟐

𝟏

𝟏

𝟐𝒖

𝟐

∫ 𝒙. 𝟐𝟑−𝟐𝒙 𝒅𝒙 = - 𝟒 ∫ 𝟐𝒖 𝒅𝒖 = - 𝟒 (𝑳𝒏𝟐) + c = -

𝟐𝟑−𝟐𝒙 𝑳𝒏𝟏𝟔

+c

INTEGRAL POR PARTES DEL PRODUCTO DE POLINOMIO POR EXPONENCIAL En este caso elegir como “u” la función del polinomio. Prob 1.- Calcular:

I = ∫ 𝒙𝟐 . 𝒆−𝒙 . 𝒅𝒙 Sol:

𝒖 = 𝒙𝟐

du = 2xdx;

𝒅𝒗 = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → v = −𝒆−𝒙

∫ 𝒙𝟐 . 𝒆−𝒙 . 𝒅𝒙 = −𝒙𝟐 . 𝒆−𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙. 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙. 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = - x𝒆−𝒙 + ∫ 𝒆−𝒙dx 𝒖=𝒙

𝒅𝒗 = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒖 = 𝒅𝒙

𝒗 = −𝒆−𝒙

(1)

(2)

reemplazando .

2 en 1. Se tiene: ∫ 𝒙𝟐 . 𝒆−𝒙 . 𝒅𝒙 = −𝒙𝟐 . 𝒆−𝒙 - 2 𝒙. 𝒆−𝒙 + 2∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙𝟐 . 𝒆−𝒙 − 𝟐𝒙𝒆−𝒙 − 𝟐𝒆−𝒙 + 𝑪 = −𝒆−𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐) + 𝑪 41

Prob 2.- Calcular. ∫ 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 Sol. dv = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 → v = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙

u = x → du = dx;

∫ 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 = u.v - ∫ 𝒗. 𝒅𝒖 = x. 𝒆𝒙 - ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = x. 𝒆𝒙 - 𝒆𝒙 + c = 𝒆𝒙 (x – 1) + c

INTEGRALES POR PARTES CIRCULARES Son aquellas que al integrar por partes, la integral original se repite. Esto nos permite despejar la integral deseada. Prob 1.-Calcular: ∫ 𝒆𝒙.senx.dx Sol: ∫ 𝒆𝒙 .senx.dx = u.v - ∫ 𝒗du = - 𝒆𝒙 cos x + ∫ 𝒆𝒙 cos x dx u = 𝒆𝒙

1

dv = sen x dx

du = 𝒆𝒙 dx

v = - cos x

∫ 𝒆𝒙 cos x dx = 𝒆𝒙 sen x - ∫ 𝒆𝒙 sen x dx u = 𝒆𝒙

2

dv = cos x dx

du = 𝒆𝒙 dx

v = sen x

2 en 1. ∫ 𝒆𝒙 .senx.dx = - 𝒆𝒙 cos x + 𝒆𝒙 sen x - ∫ 𝒆𝒙sen x dx 𝟏

→ 2∫ 𝒆𝒙 sen x dx = - 𝒆𝒙 cos x + 𝒆𝒙 sen x = - 𝒆𝒙 (cos x – sen x) + c 𝟐 Prob 2.- Calcular. ∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2x dx Sol. 𝟏

𝟑

∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2x dx = - 𝟐 𝒆𝟑𝒙cos2x + 𝟐 ∫ 𝒆𝟑𝒙 cos2xdx u = 𝒆𝟑𝒙

1

dv = sen 2x dx 𝟏

du = 𝟑𝒆𝟑𝒙dx

v = - 𝟐cos 2x 𝟏

𝟑

∫ 𝒆𝟑𝒙 cos2xdx = 𝟐 𝒆𝟑𝒙 sen2x - 𝟐 ∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2xdx u = 𝒆𝟑𝒙

→

du = 3𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 ;

2 𝟏

dv = cos2xdx → v = 𝟐 sen2x

42

𝟏

𝟑 𝟏

2 en 1: ∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2x dx = - 𝟐 𝒆𝟑𝒙cos2x + 𝟐 (𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 − 𝟏

∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2x dx

𝟑

𝟑 ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ) 𝟐

𝟗

= - 𝟐 𝒆𝟑𝒙cos2x + 𝟒 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 - 𝟒 ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟗

𝟏

𝟑

∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2x dx + 𝟒 ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 = - 𝟐 𝒆𝟑𝒙cos2x + 𝟒 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝟏𝟑 ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟒

𝟏

= 𝟒 𝒆𝟑𝒙 (cos2x + sen2x)

𝟏

∴ ∫ 𝒆𝟑𝒙 sen2x dx = 𝟏𝟑 𝒆𝟑𝒙 (cos2x + sen2x) + c

Prob 3.- Calcular.∫ 𝒙𝟐 cos x dx Sol. u = 𝒙𝟐

→ du = 2x. dx ;

dv = cos x dx → v = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 = sen x

∫ 𝒙𝟐 cos x dx = 𝒙𝟐 sen x - ∫ 𝟐𝒙.sen x dx = 𝒙𝟐 sen x - 2∫ 𝒙senx dx ∫ 𝒙sen x dx = - xcos x + ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙dx = - x cos x + sen x u = x → du = dx ;

1

a

2

dv = sen x dx → v = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙dx = - cos x

2 en 1: ∫ 𝒙𝟐 cos x dx = 𝒙𝟐 sen x - 2(− 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙)= 𝒙𝟐 sen x + 2xcos x – 2sen x = sen x (𝒙𝟐 − 𝟐) + 2x cos x + c Prob 4.- Calcular.∫

𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙

dx Solución.

u = 1+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙

→ du = 2senx(𝒔𝒆𝒏𝒙)´ → du = 2sen x. cos x dx

∫ 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 dx = ∫

𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 dx 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙

=∫

𝒅𝒖 𝒖

= Ln |1+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙|+ c

𝟐

Prob 5.- Calcular. ∫ 𝒆𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙𝒅𝒙 Solución. 𝟐

𝟐

𝟐𝒙

∫ 𝒆𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 dx = 𝒆𝒔𝒆𝒏

+c

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙𝒆𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙 dx Solución. 𝟏

𝟏

∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙𝒆𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙dx = 𝟓 ∫ 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙𝒆𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙dx = 𝟓 𝒆𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙 + c Prob 7.- Calcular. ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙𝒆𝒍𝒏𝒔𝒆𝒏𝒙 dx Solución. 43

𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙𝒆𝒍𝒏𝒔𝒆𝒏𝒙dx = ∫ 𝒙𝟐+𝟐 𝟕𝒍𝒏(𝒙

𝟐 +𝟐)

𝟏

𝟐𝒙

dx = 𝟐 ∫ 𝒙𝟐+𝟐 𝟕𝒍𝒏(𝒙

𝟐 +𝟐)

𝟏

𝒅𝒙 = 𝟐𝒍𝒏𝟕 𝟕𝒍𝒏(𝒙

𝟐 +𝟐)

+c

Prob 8.- Calcular. ∫ 𝒆𝟐𝒙+𝟐 dx Solución. 𝟏

∫ 𝒆𝟐𝒙+𝟐 dx = 𝟐 𝒆𝟐𝒙+𝟐 + c Prob 9.- Calcular. ∫

𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒙

dx. Solución.

∫

𝒆𝑳𝒏 𝒙 𝒙

𝟏

dx = ∫ 𝒙 𝒆𝑳𝒏 𝒙dx = 𝒆𝑳𝒏 𝒙 + c

Prob 10.- Calcular. ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 dx Solución. 𝐜𝐨𝐬 𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 dx = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 dx = Ln sen x + c Prob 11.- Calcular. ∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución. ∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 𝒅𝒙 = u.v - ∫ 𝒗𝒅𝒖 u = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 → du = 2sen x.cos x dx → du = sen2x dx ∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 𝒅𝒙 = - 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 + ∫ 𝒆−𝒙sen2x.dx

dv = 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → v = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → v = - 𝒆−𝒙 (a)

a.- ∫ 𝒆−𝒙 Sen2x.dx = - 𝒆−𝒙sen2x + 2 ∫ 𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 u = sen2x → du = 2cos2xdx;

(1) (b)

dv = ∫ 𝒆−𝒙dx → v = - 𝒆−𝒙

b.- ∫ 𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 = - 𝒆−𝒙cos2x - 2∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 u = cos2x → du = - 2sen2xdx;

dv =𝒆−𝒙 dx → v = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 → v = - 𝒆−𝒙

b en a.- se tiene: = - 𝒆−𝒙sen2x +2(−𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙) = - 𝒆−𝒙sen2x - 2𝒆−𝒙 cos2x - 4∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 5∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 = -𝒆−𝒙 (𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) → ∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 = 2 en 1 se tiene: ∫ 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 𝒅𝒙 = - 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 -

𝒆−𝒙 𝟓

𝒆−𝒙 𝟓

(𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)

2

(𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)

𝟏

= - 𝒆−𝒙 [𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝟓 (𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)] + c FUNCIÓN LOGARÍTMICA Al igual que la función exponencial las funciones logarítmicas tienen su derivada. Es pertinente recordar las propiedades de este tipo de funciones 44

Si a y b son números positivos y r es cualquier número racional, entonces (i)

Ln1= 0

(ii)

Ln(a*b)= Lna + Lnb

(iii)

Ln(𝐛)= Lna - Lnb

(iv)

Ln𝒂𝒓 = rLna

𝐚

Función y = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎(𝒙) para resolver este tipo de integral aplicamos la conversión de cualquier logaritmo en logaritmo natural, lo cual se hace de la siguiente manera: 𝑳𝒏(𝒙)

𝟏

𝐋𝐨𝐠 𝟏𝟎 (𝒙) = 𝑳𝒏(𝟏𝟎) 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏(𝟏𝟎) ∫ 𝐋𝐧(𝐱)𝒅𝒙 𝟏

La ultima integral, ya se desarrolló por partes luego: → ∫ 𝐋𝐨𝐠 𝟏𝟎 (𝐱)dx = 𝒍𝒐𝒈 [𝒙. 𝑳𝒏𝒙 − 𝒙] + c 𝟏𝟎

Una forma alternativa para esta integral es: ∫ 𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎 (𝒙)dx = x.𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎 (𝒙) – x.𝑳𝒐𝒈𝟏𝟎 e + c Si la base del logaritmo es cualquier a > 0 y a≠1, la integral es de la misma manera, solo cambia la base.

Integración Logarítmica: 1.- ∫

𝒅𝒙 𝒙

= Ln x + c

2.- ∫

𝒅𝒖 𝒖

= Ln u + c

Prob 1.- Calcular. ∫ 𝑳𝒏 𝒙𝒅𝒙 Solución. ∫ 𝑳𝒏 𝒙𝒅𝒙 = x Lnx - ∫ 𝒙. → du =

u = Ln x Prob 2.- Calcular. ∫

𝑳𝒏 (𝒙−𝟏) √𝒙+𝟏

𝒅𝒙 𝒙

= x.Lnx - ∫ 𝒅𝒙 = x.Lnx – x + c = x (𝑳𝒏𝒙 − 𝟏)+ c

𝒅𝒙 𝒙

dv = dx

→ v = ∫ 𝒅𝒙 → v = x

𝟐 𝑳𝒏(𝒕) . 𝟐𝒕 𝒕

. 𝒅𝒕 = 𝟒 ∫ 𝑳𝒏 (𝒕) 𝒅𝒕 = 4 [𝒕(𝑳𝒏𝒕 − 𝟏)] + 𝒄

𝒅𝒙

Solución ∫

𝑳𝒏 (𝒙−𝟏) √𝒙+𝟏

𝒅𝒙 = ∫

𝑳𝒏 (𝒕𝟐 ) 𝒕

.2tdt = ∫

√𝒙 + 𝟏 = t→ x + 1 = 𝒕𝟐 → x = 𝒕𝟐 - 1 → dx = 2t dt

= 𝟒[√𝒙 + 𝟏 (𝑳𝒏√𝒙 + 𝟏 − 𝟏)]+c

𝟐

Prob 3.- Calcular. ∫ 𝐲 𝟑 𝐋𝐧(𝟑𝐲)𝐝𝐲 Solución. 𝟐

𝟑

𝟓

𝟑

𝟑

𝟑

𝟓

𝟓

𝟗

∫ 𝒚𝟑 𝑳𝒏(𝟑𝒚) 𝒅𝒚 = 𝟓 . 𝒚𝟑 Ln (𝟑𝒚) - 𝟓 ∫ 𝒚𝟑 dy = 𝟓 . 𝒚𝟑 Ln (𝟑𝒚) - 𝟐𝟓 . 𝒚𝟑 + c 𝒖 = 𝑳𝒏(𝟑𝒚) → 𝒅𝒖 =

𝟑𝒅𝒚 𝟑𝒚

→ du =

𝒅𝒚 𝒚

𝟐

;

𝟐

dv = 𝒚𝟑 dy → v = ∫ 𝒚𝟑 𝒅𝒚

45

𝒚𝟐/𝟑+𝟏

𝟑

= 𝟐/𝟑+𝟏 = 𝟓 𝒚𝟓/𝟑 + c 𝒙−𝟏

Prob 4.- Calcular. ∫ 𝟑𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟖dx Solución. u = 3𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 → du = (6x – 6)dx → 𝒙−𝟏

∫ 𝟑𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟖dx= ∫ Prob 5.- Calcular. ∫

𝒅𝒖 𝟔

𝒖

𝟏 𝟕 𝟏 𝟐𝒙𝟕 + 𝒙𝟒 −𝟕𝒙𝟐 𝟐

𝒙𝟔 + 𝒙𝟑 −𝒙

𝟏

=𝟔∫

𝒅𝒖 𝒖

=

𝟏 𝟔

𝒅𝒖 𝟔

= (𝒙 − 𝟏)dx

Ln |𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 |+ c

dx Solución.

∫

𝟏 𝟕 𝟏 𝟐𝒙𝟕 + 𝒙𝟒 −𝟕𝒙𝟐 𝟐

𝒙𝟔 + 𝒙𝟑 −𝒙

𝟏

dx= 𝟏𝟒 ∫

𝒅𝒖 𝒖

𝟏

𝟏

= 𝟏𝟒 Ln |𝟐𝒙𝟕 + 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 | + c

𝟏

1

𝟒

u = 𝟐𝒙𝟕 + 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 → du = 14𝒙𝟔 + 𝟐 𝒙𝟑 − 𝟏𝟒x = 14𝒙𝟔 + 2𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙 𝟐

𝟏𝟒

dividiendo

𝟏

du = 14(𝒙𝟔 +𝟏𝟒 𝒙𝟑 − 𝟏𝟒 𝒙)dx = 14 (𝒙𝟔 +𝟕 𝒙𝟑 − 𝒙)dx 𝒅𝒖 𝟏𝟒

𝟏 𝟕

= (𝒙𝟔 + 𝒙𝟑 − 𝒙)dx ; sustituimos en 1

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝑳𝒏 (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 )dx Solución. u = Ln (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 ) → du =

𝟏+

[(𝒙+√𝟏+𝒙𝟐 )]´ (𝒙+√𝟏+𝒙𝟐 )

.dx → du =

𝒙

√𝟏+𝒙𝟐 √ 𝒙+ 𝟏+𝒙𝟐

dx =

(√𝟏+𝒙𝟐 +𝒙) (√𝟏+𝒙𝟐 +𝒙)√𝟏+𝒙𝟐

=

𝒅𝒙 √𝟏+𝒙𝟐

dv = dx → v = x ∫ 𝑳𝒏 (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 )dx = x. Ln (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 ) - ∫ 𝒙. u = 1+𝒙𝟐 → du = 2xdx ∫ 𝒙.

𝒅𝒙 √𝟏+𝒙

=∫ 𝟐

𝟏 𝒅𝒖 𝟏 𝒖 ⁄𝟐 𝟐

𝟏

𝒅𝒖 𝟐

𝒅𝒙 √𝟏+𝒙𝟐

(a)

1

= x.dx 𝟏

𝟏

𝟏 𝒖𝟐

= 𝟐 ∫ 𝒖−𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐

𝟏 𝟐

𝟏

+ c = 𝒖𝟐 + c = √𝟏 + 𝒙𝟐 + c

2

2 en 1: ∫ 𝑳𝒏 (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 )dx = x. Ln (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 ) - √𝟏 + 𝒙𝟐 + c

46

SEPTIMA SEMANA. Integración de Funciones Trigonométricas: Integrales de la forma: ∫ 𝐬𝐞𝐧𝒎 𝝁 . 𝐜𝐨𝐬 𝒏 𝝁𝒅𝝁 1er Caso: Cuando m y n son números enteros positivos impar, no importa lo que sea el otro exponente, puede ocurrir cualquiera de las siguientes alternativas:  m=impar ∈ Z+ ^ n ∈ 𝜽  n=impar ∈ Z+ ^ m ∈ 𝜽  m, n ∈ Z+ Pasos a seguir: 1er paso: El de potencia impar, se descompone como el producto de 2 factores, tal que el primer factor sea potencia 1 y el segundo factor potencia la diferencia que será par. 2do paso: El segundo que tiene potencia par se expresa según el caso en función de una de las siguientes identidades: 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝁 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝁; 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝁 = 𝟏 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝁 3er paso: Después de las operaciones anteriores, las integrales que se obtienen son fáciles de calcular porque son de inmediata aplicación de la formula. 𝛍𝐧+𝟏 ∫ 𝛍𝐧 𝐝𝛍 = + 𝐂, 𝐧≠𝟏 𝐧+𝟏 En la alternativa C se tiene q si m ^ n son enteros positivos → se prefiere trabajar con el factor que tenga la menor potencia impar: Veamos la formula general en que debemos proceder. a.- Si m=impar, entonces m=2k+1, k ∈ Z+, la integral I=∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒌+𝟏 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏 𝒙 𝒅𝒙, se descompone en; 𝟐

𝒌

∫ 𝐬𝐢𝐧 𝝁 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒌 𝝁 𝐜𝐨𝐬 𝒏 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝝁 (𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝁) 𝐜𝐨𝐬 𝝁 𝒅𝝁 donde (𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝁) se desarrolla y multiplicamos por 𝐜𝐨𝐬 𝒏 𝝁𝒅𝝁, obtenemos integrales inmediatas que serán potencias de 𝐜𝐨𝐬 𝝁. b.- Si n=impar, entonces n=2k+1, ∀ k∈ Z+, la integral I=∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝝁 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒌+𝟏 𝝁 𝒅𝝁, se descompone en; 𝒌

𝒌

∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝝁 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒌 𝝁 𝐜𝐨𝐬 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝝁 (𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝁) 𝐜𝐨𝐬 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝝁 (𝟏 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝁) 𝐜𝐨𝐬 𝝁 𝒅𝝁 𝒌

desarrollamos (𝟏 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝝁) y multiplicando por 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝝁, obtenemos integrales que serán potencias de 𝐬𝐢𝐧 𝝁. Probl 1.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝟑 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟑 𝟐 ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟏

= ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙𝒅𝒙 - ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙𝒅𝒙 = - 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 + 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 + c Probl 2.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝟑 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟓 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟑 𝟓 ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟐𝒙 𝒅𝒙 - ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟕 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = -

𝐜𝐨𝐬 𝟔 𝟐𝒙 𝟏𝟐

+

𝐜𝐨𝐬 𝟖 𝟐𝒙 𝟏𝟔

+c

𝐬𝐞𝐧𝟓 𝟐𝒙

Probl 3.- Calcular. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝐬𝐞𝐧𝟓 𝟐𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐

∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 (𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔−𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐

= ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔−𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 (𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔−𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 - 2∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = -

𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝟐𝒙 −𝟐

+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 −

𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟐𝒙 𝟔

+c 47

𝟏

𝟏

= 𝟐 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝟐𝒙 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 − 𝟔 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟐𝒙 + 𝒄 Probl 4.- Calcuar. ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐧𝟕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟑 𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟑𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟏

= ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟑𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟗 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝟒 𝐬𝐞𝐧𝟖 𝟑𝒙 − 𝟑𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟏𝟎 𝟑𝒙 + 𝑪 2do Caso: Lee I=∫ 𝐬𝐞𝐧𝒎 𝝁 𝐜𝐨𝐬 𝒏 𝝁 𝒅𝝁 Si m y n son números enteros positivos pares, entonces se hace una transformación usando las identidades o formulas siguientes: 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝝁 =

𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝝁 ; 𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝁 =

𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝝁 𝟐

𝟏

𝐬𝐞𝐧 𝝁 𝐜𝐨𝐬 𝝁 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝝁

Probl 5.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 )( 𝟐 ) 𝟐

𝟐

∫ 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 (𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

= 𝟖 ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙)(𝟏 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒅𝒙 − 𝟖 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + 𝟖 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝒅𝒙 − 𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙 (1) a 𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐

En la integral (a). ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ (

𝟏

b 𝟏

𝟏

= ∫(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟐

En la integral (b) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟐𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙𝒅𝒙 − ∫ 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝒅𝒙 reemplazando. En 1 se tiene. 𝟏

𝟏 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

= 𝟖 ∫ 𝒅𝒙 - 𝟖 [𝟐 ∫ 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙] + 𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 - 𝟖 [∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙𝒅𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙] 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

= ∫ 𝒅𝒙 - ∫ 𝒅𝒙 - ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 - ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟖 𝟖 𝟖 𝟏

𝟏

𝟏

= ∫ 𝒅𝒙 - ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟖 𝟏𝟔 𝟖 𝟏

𝟏

= 𝟖 x - 𝟔𝟒 sen4x + 𝟐

𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟐𝒙 + 𝟒𝟖

𝒄

𝟐

Probl 6.- ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟏 𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟐 ) ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝟒 ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙)𝒅𝒙 = 𝟒 ∫(𝟏 − 𝟏 𝟏 𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝟒 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ ( 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝟖 ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒅𝒙 - 𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 = 𝟖 𝒙 - 𝟑𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟒𝒙 + 𝑪 𝒎 𝒏 𝒎 𝒏

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙)𝒅𝒙

Integrales de la forma: ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝝁 𝒅𝝁; ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝝁 𝐜𝐬𝐜 𝝁 𝒅𝝁 1er Caso: Cuando n es un número entero positivo par se procede en el caso de las integrales de la forma anterior así: 𝒌−𝟏

∫ 𝐭𝐚𝐧𝒎 𝝁 𝒔𝒆𝒄 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒎 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒌−𝟐 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝁 𝐭𝐚𝐧𝒎 𝝁 (𝐭𝐚𝐧𝟐 𝝁 + 𝟏)

𝒅𝝁

Todas las integrales resultan potencias de 𝐭𝐚𝐧 𝝁 2do Caso: Cuando m es impar y n es par o impar se descompone en factores tal que a parezca necesariamente junto los factores 𝐬𝐞𝐜 𝝁 𝐭𝐚𝐧 𝝁 ó 𝐜𝐬𝐜 𝝁 𝐜𝐨𝐭 𝝁 para poder integrar como potencias de 𝐬𝐞𝐜 𝝁 ó 𝐜𝐬𝐜 𝝁 según la forma. a. ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐𝒌+𝟏 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒍+𝟏 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝝁 𝐭𝐚𝐧𝟐𝒌 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒍 𝝁 𝒅𝝁 𝒌

= ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝝁 (𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝁 − 𝟏) 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒍 𝝁 𝒅𝝁 Integrales de potencia 𝐬𝐞𝐜 𝝁 b. ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐𝒌+𝟏 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒍 𝝁 𝒅𝝁 = ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝝁 𝐭𝐚𝐧𝟐𝒌 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒍−𝟏 𝝁 𝒅𝝁 48

𝒌

= ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝝁 𝐬𝐞𝐜 𝝁 (𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝁 − 𝟏) 𝐬𝐞𝐜 𝟐𝒍−𝟏 𝝁 𝒅𝝁 Integrales de potencia de 𝐬𝐞𝐜 𝝁 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 − 𝟏; 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒙 − 𝟏 Probl 1.- Calcular. ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 (𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 + 𝟏) 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟓 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =

𝟏 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝟔 𝒙 + 𝐭𝐚𝐧𝟒 𝒙 + 𝑪 𝟔 𝟒

Probl 2.- Calcular. ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟓𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟒 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟓𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟓𝒙 − 𝟏) 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 𝟑

𝟒

𝟏

𝟏

= ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓 𝟓𝒙 𝒅𝒙 - ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = − 𝟑𝟎 𝐜𝐬𝐜 𝟔 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎 𝐜𝐬𝐜 𝟒 𝟓𝒙 + 𝑪 Probl 3.- Calcular. ∫ 𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟑 𝟓 𝟐 ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈𝒙. 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒈 𝒙𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟏) 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟏

= ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙𝒅𝒙 − ∫ 𝒕𝒈 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟕 𝐬𝐞𝐜 𝟕 𝒙 − 𝟓 𝐬𝐞𝐜 𝟓 𝒙 + 𝑪 Probl 4.- Calcular. ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟓 𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟐

∫ 𝐭𝐚𝐧𝟓 𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈𝟐𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒕𝒈𝟒 𝟐𝒙. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 (𝒕𝒈𝟐 𝟐𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝟐

= ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 (𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 (𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 - 2 ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒕𝒈 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝟕 𝟐𝒙 − 𝐬𝐞𝐜 𝟓 𝟐𝒙 + 𝐬𝐞𝐜 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏𝟒 𝟓 𝟔 𝟑 𝟒

=

𝑪

Probl 5.- Calcular. ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟓𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟓𝒙 𝒅𝒙

Solución: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟓𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 (𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟓𝒙 − 𝟏) 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓 𝟓𝒙 𝒅𝒙 - ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 𝟑

𝟒

𝟏

𝟏

= − 𝟑𝟎 𝐜𝐬𝐜 𝟔 𝟓𝒙 + 𝟐𝟎 𝐜𝐬𝐜 𝟒 𝟓𝒙 + 𝑪 Integración de la forma: ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝑨𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑩𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝑨𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝑩𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝑨𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑩𝒙 𝒅𝒙; para estos casios se usa las transformaciones siguientes: 𝟏 𝟐 𝟏 2; 𝐬𝐢𝐧 𝑨𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝑩𝒙 = [𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) 𝒙] 𝟐 𝟏 3; 𝐜𝐨𝐬 𝑨𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑩𝒙 = 𝟐 [𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) 𝒙]

Para 1; 𝐬𝐢𝐧 𝑨𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑩𝒙 = [𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩)𝒙 + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩)𝒙] Para Para

Probl 1.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟏

𝟏

𝟏

∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 [𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 + 𝟒𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 − 𝟒𝒙)]𝒅𝒙 =𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏(−𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏

= 𝟐 (−

𝐜𝐨𝐬 𝟔𝒙 𝟏 𝟏 ) + 𝟐 . −𝟐 − 𝟔

𝟏

𝟏

𝐜𝐨𝐬(−𝟐𝒙) + 𝑪 = - 𝟏𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝒙 + 𝟒 𝐜𝐨𝐬(−𝟐𝒙) + 𝑪

Probl 2.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟏

𝟏

𝟏

∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 [𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙 − 𝟐𝒙) − 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙 + 𝟐𝒙)] 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 - 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙𝒅𝒙 49

=

𝟏 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝟐

𝟏

− 𝟏𝟎 𝐬𝐞𝐧 𝟓𝒙 + 𝑪

Probl 3.- Calcular. ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución: 𝟏 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 [𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙 + 𝟑𝒙) + 𝟏 𝐬𝐞𝐧 𝟕𝒙 𝟏 = 𝟐 𝟕 + 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝑪

𝟏

𝟏

𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙 − 𝟑𝒙)]𝒅 = 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟏

= 𝟏𝟒 𝐬𝐞𝐧 𝟕𝒙 + 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝐶

INTEGRAL DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. La derivada de las seis funciones trigonométricas inversas aparece en tres pares. en cada par la derivada de una función es la negativa de la otra. Así las derivadas, arc cos x, arc cotg x y arc cosec x difieren solo en el signo de la de sus derivadas respectivas con funciones razón por la cual las funciones arc sen, arc tg y arc sec son necesarias para la integración y son de uso común. 1.- ∫

𝒅𝒖 √𝒂𝟐 −𝒖𝟐

𝒖 𝒂

𝒅𝒖

= arc sen + c

Prob 1.- Calcular. ∫

𝒙 √𝟏−𝒙𝟒

𝟏

𝒖

2.- ∫ 𝟐 𝟐 = arc tg + c 𝒂 +𝒖 𝒂 𝒂

3.- ∫

𝒅𝒖 𝒖√𝒖𝟐 −𝒂𝟐

𝟏 𝒂

𝒖 𝒂

= arc sec + c

dx Solución.

∫

𝒙

dx = ∫ 𝟒

√𝟏−𝒙

𝒙 √𝟏−(𝒙𝟐 )

dx = ∫ 𝟐

𝒅𝒖 𝟐

𝟏

√𝟏−𝒖𝟐

= ∫ 𝟐 𝒅𝒖 𝟐

u =𝒙𝟐 → du = 2x.dx → Prob 2.- Calcular. ∫

𝒔𝒆𝒏 𝒙.𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒅𝒖 √𝟏−𝒖𝟐

𝟏 𝟐

𝟏 𝟐

= arc sen u + c = arc sen 𝒙𝟐 +c

= x.dx

dx

√𝟐−𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙

Solución. ∫

𝒔𝒆𝒏 𝒙.𝒄𝒐𝒔 𝒙 √𝟐−𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙

dx = ∫

𝒔𝒆𝒏 𝒙.𝒄𝒐𝒔 𝒙 √𝟐−(𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙)

u = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 → Prob 3.- Calcular. ∫

𝟏

dx = 𝟐 ∫ 𝟐

𝒙𝟐 +𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 𝟏+𝒙𝟐

𝒅𝒖 𝟐

√(√𝟐) −𝒖𝟐

𝟏

𝒖

𝟏

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙

= 𝟐 arc sen (𝒂)+ c = 𝟐 arc sen(

du =2.senx.cos x dx

→

𝒅𝒖 𝟐

√𝟐

)+c

= sen xdx

dx Solución.

No se ajusta a ninguna de las fórmulas de integración sin embargo con artificio se hace. sumar y restar la unidad en el numerador. Integramos por partes así. ∫

𝒙𝟐 +𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 𝟏+𝒙𝟐

dx = ∫

(𝟏+𝒙𝟐 )−𝟏+𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 𝟏+𝒙𝟐

(𝟏+𝒙𝟐 )

𝒅𝒙

dx = ∫ (𝟏+𝒙𝟐) 𝒅𝒙 − ∫ 𝟏+𝒙𝟐 + ∫

𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 dx 𝟏+𝒙𝟐

se calcula con u = arc tgx

mediante la regla de la potencia. = ∫ 𝒅𝒙 - ∫

𝒅𝒙 𝟏+𝒙𝟐

Prob 4.- Calcular. ∫

+∫

𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 dx 𝟏+𝒙𝟐

= x – arc tg x + ∫

𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 dx 𝟏+𝒙𝟐

𝟏 𝟐

= x – arc tg x+ (𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈𝒙)𝟐 + c

𝒅𝒙 √𝒆𝟐𝒙 −𝟏

50

Solución. ∫

𝒅𝒙 √𝒆𝟐𝒙 −𝟏

=∫

𝒅𝒙

=∫

√(𝒆𝒙 )𝟐 −𝟏

𝒅𝒖 𝒖 √𝒖𝟐 −𝟏

𝒅𝒖

=∫

𝒖√𝒖𝟐 −𝟏

= arc sec |𝒖| + c = arc sec |𝒆𝒙 | + c

u = 𝒆𝒙 → du =𝒆𝒙 dx → du = u.dx Prob 5.- Calcular. ∫

𝒆𝒙 𝟖+𝒆𝟐𝒙

→

𝒅𝒖 𝒖

= dx

dx Solución.

𝒆𝒙

∫ 𝟖+𝒆𝟐𝒙 dx = ∫

𝒆𝒙

𝒅𝒖

𝟏

𝒖

𝒆𝒙

𝟏

dx = ∫ 𝒂𝟐+𝒖𝟐 = 𝒂 arc tg 𝒂 + c = 𝟐√𝟐 arc tg (𝟐√𝟐) + c

𝟐

(𝟐√𝟐) +(𝒆𝒙 )𝟐

u = 𝒆𝒙 → du = 𝒆𝒙 dx 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝟗+𝒔𝒆𝒏𝟒𝟒𝒙 dx Solución. 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙

𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙.𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙

𝒅𝒖

𝟏

𝒖

𝟏

∫ 𝟗+𝒔𝒆𝒏𝟒𝟒𝒙 dx = ∫ (𝟑)𝟐+(𝒔𝒆𝒏𝟐𝟒𝒙)𝟐 dx = ∫ 𝒂𝟐+𝒖𝟐 = 𝒂 arc tg 𝒂 + c = 𝟑 arc tg

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙 𝟑

+c

u = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟒𝒙 → du = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙 Prob 7.- Calcular. ∫

𝒅𝒙 𝒙√𝟒− 𝟗𝑳𝒏𝟐 𝒙

Solución. ∫

𝒅𝒙 𝒙√𝟒− 𝟗𝑳𝒏𝟐 𝒙

=∫

𝟏 √𝟒−𝟗𝑳𝒏𝟐 𝒙

.

𝒅𝒙 𝒙

u = 3Lnx → du = 3 Prob 8.- Calcular. ∫

𝒅𝒙 𝒙

=∫

→

𝒅𝒖 𝟑

𝟏 √(𝟐)𝟐 −(𝟑𝑳𝒏 𝒙)𝟐

=

𝒅𝒙 𝒙

𝟐𝒙𝟑 −𝟖𝒙𝟐 +𝟏𝟏𝒙−𝟔𝟒 𝒙𝟐 +𝟒

.

𝒅𝒙 𝒙

a=2

𝟏

=𝟑∫

𝒅𝒖

𝟏

√𝒂𝟐 −𝒖𝟐

𝟏 𝟑

𝟑𝑳𝒏𝒙 𝟐

= arc sen

𝒖

= 𝟑 arc sen 𝒂 + c 𝟏 𝟑

+ c = arc sen (𝑳𝒏𝒙

𝟑⁄ 𝟐) +

c

𝒅𝒙

Solución. El integrando es una función racional impropia (grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador) entonces dividimos. ∫

𝟐𝒙𝟑 +𝟑𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 +𝟒

∫

𝟐𝒙𝟑 −𝟖𝒙𝟐 +𝟏𝟏𝒙−𝟔𝟒 𝒙𝟐 +𝟒

𝒅𝒙 = ∫ (𝟐𝒙 − 𝟖 +

𝟑𝒙−𝟑𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒙𝟐 +𝟒

𝒙𝒅𝒙

𝒅𝒙

= 2∫ 𝒙𝒅𝒙 - 8∫ 𝒅𝒙+3∫ 𝒙𝟐 +𝟒 - 32∫ 𝒙𝟐+𝟒 𝟑

𝟏

𝒖

𝟐𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔𝟒

𝒙𝟐 + 𝟒

= 𝒙𝟐 - 8x + 𝟐 Ln |𝒙𝟐 + 𝟒| – 32 𝒂 arc tg 𝒂 + c

-𝟐𝒙𝟑

2x - 8

= 𝒙𝟐 - 8x + 𝟐 Ln |𝒙𝟐 + 𝟒|- 16 arc tg 𝟐 + c

- 8x

𝟑

𝒙

- 𝟖𝒙𝟐 +3x - 64 + 𝟖𝒙𝟐

+32 + 3x - 32 51

*Completando Cuadrados. -Muchos integrales que contengan expresiones cuadráticas en sus denominadores se pueden reducir a una de las fórmulas básicas dadas por la técnica versátil de completar el cuadrado en la expresión cuadrática. 𝟐𝒙−𝟓

Prob 9.- Calcular. ∫ 𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟓 𝒅𝒙 Solución. u = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 → du = (𝟐𝒙 + 𝟐)dx → en el numerador escribimos. 2x-5 = (2x+2) – 7, y en el denominador 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 = ( ) – 1 + 5 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟐𝟐 , entonces el integrando lo separamos en dos partes. 𝟐𝒙−𝟓

∫ 𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟓 𝒅𝒙 = ∫

(𝟐𝒙+𝟐) – 𝟕 𝒅𝒙 𝒙𝟐 +𝟐𝒙+𝟓

𝟐𝒙+𝟐

𝒅𝒙

= ∫ 𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟓 𝒅𝒙 – 7 ∫ (𝒙+𝟏)𝟐+𝟐𝟐 = ∫

𝒅𝒖 𝒖

𝟏

𝒖

- 7.𝒂 arc tg 𝒂 + c 𝟕

u = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 → du = (2x+2)dx

𝒙+𝟏 )+ 𝟐

= Ln|𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓|- 𝟐 arc tg (

c

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓) – 1 + 5 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟐𝟐 𝟕

Prob 10.- Calcular. ∫ 𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟐𝟓 𝒅𝒙 Solución. 𝟕

𝟕

𝟏

𝟏

𝒖

𝟕

𝒙−𝟑 )+ 𝟒

c

𝒙−𝟐 )+ 𝟐

c

∫ 𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟐𝟓 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟗+𝟏𝟔 𝒅𝒙 = 7∫ (𝒙−𝟑)𝟐+(𝟒)𝟐 𝒅𝒙 = 7.𝒂 arc tg 𝒂 + c = 𝟒 arc tg ( Prob 11.- Calcular. ∫

𝟐𝒙−𝟑 √𝟒𝒙− 𝒙𝟐

dx Solución.

∫

𝟐𝒙−𝟑 √𝟒𝒙− 𝒙𝟐

dx = - ∫

𝟒−𝟐𝒙 √𝟒𝒙− 𝒙𝟐

dx + ∫

𝒅𝒙 √𝟒− (𝒙−𝟐)𝟐

=-∫

𝒅𝒖 𝟏 𝒖 ⁄𝟐

+∫

𝒅𝒙 √𝒂𝟐 − 𝒖𝟐

= - 2√𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 + arc sen (

u = 4x - 𝒙𝟐 → du = (4 – 2x)dx → en el numerador se escribe: 2x-3 = - (4 – 2x) + 1, y en el denominador: 4x - 𝒙𝟐 = - (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒) + 4 = 4 - (𝒙 − 𝟐)𝟐 Prob 12.- Calcular. ∫

𝒅𝒙 (𝒙−𝟏)√𝟗𝒙𝟐 −𝟏𝟖𝒙+𝟏𝟓

Solución. ∫

𝒅𝒙 (𝒙−𝟏)√𝟗𝒙𝟐 −𝟏𝟖𝒙+𝟏𝟓

=∫

𝒅𝒙

=∫𝒖 𝟐

(𝒙−𝟏)√[𝟑(𝒙−𝟏)]𝟐 −𝟐

Completando Cuadrados.

𝟏

𝟑

𝒅𝒖 𝟑 √𝒖𝟐 −𝒂𝟐

=∫

𝟑(𝒙−𝟏) )+ 𝟐

= 𝟐 arc sec (

𝒅𝒖 𝒖√𝒖𝟐 −𝒂𝟐 𝟏

𝟏

𝒖

= 𝒂 arc sec 𝒂 + c 𝟑

c = 𝟐 arc sec 𝟐 |𝒙 − 𝟏| + c

𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 = 9 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) + 5 – 9 = 9 (𝒙 − 𝟏)𝟐 - 4 u = 3(x -1) → du = 3.dx →

𝒅𝒖 𝟑

= dx 52

OCTAVA SEMANA. FUNCIONES HIPERBÓLICAS. En muchas aplicaciones de la Matemática se encuentran combinaciones de las funciones exponenciales 𝒆𝒙 y 𝒆−𝒙 que reciben nombres especiales tales como funciones hiperbólicas donde sus valores están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola de manera similar a los valores de las funciones trigonométricas que están relacionadas a los puntos de una circunferencia. Las funciones seno y coseno hiperbólico están definidos por las expresiones: Sen hx = Cos hx = Tg hx =

𝒆𝒙 +𝒆−𝒙 𝟐

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

𝒆𝒙 −𝒆−𝒙 𝟐

,

al igual que en las funciones trigonométricas se tendrá:

;

Cotghx =

𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

;

Sechx =

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

;

Cosechx =

𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

; cotghx =

𝟏 𝒕𝒈𝒉𝒙

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS. cos𝒉𝟐 𝒙 - sen𝒉𝟐 𝒙 = 1 1 - tg𝒉𝟐 𝒙 = sec𝒉𝟐 𝒙

→ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙 = 1+ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙; → tg𝒉𝟐 𝒙= 1 - sec𝒉𝟐 𝒙 ;

𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙= 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙 – 1; sec𝒉𝟐 𝒙 + tg𝒉𝟐 𝒙 = 1

cos𝒉𝟐 𝒙 = sen𝒉𝟐 𝒙 =

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙+𝟏 𝟐

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙−𝟏 𝟐

1 - ctg𝒉𝟐 𝒙 = - cosec𝒉𝟐 x → 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙= 1 + 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 x; 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 x = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 – 1 senh2x = 2senhx. Coshx

cosh2x = cos𝒉𝟐 𝒙 + sen𝒉𝟐 𝒙 → cosh2x = 1 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙 + sen𝒉𝟐 𝒙

y

pero: cos𝒉𝟐 𝒙= 1 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙

∴ cosh2x = 1 + 2𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙

DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 1.- y = senhx → y´= coshx dx

2.- y = coshx → y´= senhxdx

4.- y = ctghx → y´=- cosec𝒉𝟐 𝒙dx

3.- y = tghx → y´= sec𝒉𝟐 𝒙dx

5.- y = sechx → y´=-sechx.tghx dx

6.- y = cosechx → y´= - cosechx. Cotghx

Prob 1.- Dada la función. y = tgh (senx), hallar su derivada. Solución. y = tgh (senx) → y´=sec𝒉𝟐 (𝒔𝒆𝒏𝒙).(senx )´ = cosx. sec𝒉𝟐 (𝒔𝒆𝒏𝒙) Prob 2.- Calcular la derivada de la función. y = sen h (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) Solución. y = sen h (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) → y´= cosh (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏).2(x+1) → y´= 2(x+1).cosh (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

Prob 3.- Calcular la derivada de la función. y = Ln(√𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) 53

Solución. 𝟏

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 𝟐

𝟏

𝟏

𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

y = Ln(√𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) = Ln(𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) = 𝟐 Ln (1+coshx) - 𝟐 Ln (1 – coshx 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

y´= 𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 - 𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 = 𝟐 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 + =

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 ((𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)(𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)) 𝟐

=

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝟐 (𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙) 𝟐

=

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝟏 𝟏 (𝟏+𝒄𝒐𝒏𝒉𝒙 + 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

𝟏

= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 = - cosechx

Prob 4.- Calcular la derivar de la función. y = (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏).senh(x) Solución. y = (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏).senh(x) → y´= (𝟐𝒙 − 𝟑).senhx + (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏).coshx. Prob 5.- Calcular la derivar de la función. y = 𝒆𝟑𝒙sechx Solución. y´ = 𝟑𝒆𝟑𝒙.sechx + 𝒆𝟑𝒙.- sechx.tg hx = 𝒆𝟑𝒙.sechx ( 3 – tghx) 𝟏

Prob 6.- Hallar la derivada de la función. y = Ln (coshx) - 𝟐 𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 Solución. y´=

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

𝟏 𝟐

- .2 tghx.𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 =

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

– tghx.𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 = tghx – tghx.𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 = tghx (1 - 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙)

= tghx. 𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 = 𝒕𝒈𝒉𝟑 𝒙 𝟏

Prob 7.- Hallar la derivada de la función. y = x – cotghx - 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟑 𝒙 1 - 𝒄𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 = - 𝒄𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 → 1+𝒄𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 = 𝒄𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙

Solución. 𝟏

y´= 1 – (- 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 - 𝟑. 3 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙. (- 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙) = 1 + 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙(𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 – 1) = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟒 𝒙 - 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟒 𝒙 𝟏

𝟐

Prob 8.- Hallar la derivada de la función. y = - 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟓 𝒙 + 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑 𝒙 – sechx. Solución. 𝟏

𝟐

y´= - 𝟓 𝟓𝒔𝒆𝒄𝒉𝟒 𝒙 ( - sechx.tghx) + 𝟑 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙.(- sechx.tghx) – (- sechx.tghx) = 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟓 𝒙.tghx – 2 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑 𝒙.tghx + sechx.tghx = sechx.tghx (𝒔𝒆𝒄𝒉𝟒 𝒙 – 2𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 + 1) 𝟐

𝟐

𝟐

= sechx.tghx (𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 − 𝟏) = sechx.tghx (𝟏 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙) = sechx.tghx (𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙) = sechx. 𝒕𝒈𝒉𝟓 𝒙 Prob 9.- Hallar la derivada de la función. y =

𝟏 √𝟐

Ln(√𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 + √𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙) 54

Solución. y´ =

𝟏

𝟏

(

√𝟐 √𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+ √𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

= =

𝟏

(

) (√𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 +

𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙 𝟐√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

(

𝟏

𝟏

(

𝟏

√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

)=

𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙

)

√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

)

√𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙.√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙+√𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

)(

√𝟐 √𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+ √𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

) (√𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 +

√𝟐 √𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+ √𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

√𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙.√𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙+𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙.𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙

)(

√𝟐 √𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+ √𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙 𝟏

)=

𝟓𝒙+𝟒 ) 𝒙𝟐 +𝒙+𝟑

Prob 10.- Hallar la derivada de la función. y = tg𝒉 ( Solución. y´=

𝟓(𝒙𝟐 +𝒙+𝟑)−(𝟓𝒙+𝟒)(𝟐𝒙+𝟏) 𝟓𝒙𝟐 +𝟓𝒙+𝟏𝟓−(𝟏𝟎𝒙𝟐 +𝟓𝒙+𝟖𝒙+𝟒) 𝟓𝒙+𝟒 𝟓𝒙+𝟒 𝟐 .sec𝒉 ( ) = sec𝒉𝟐 (𝒙𝟐+𝒙+𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐 (𝒙 +𝒙+𝟑) (𝒙𝟐 +𝒙+𝟑)𝟐 𝒙 +𝒙+𝟑

=

𝟓𝒙𝟐 +𝟓𝒙+𝟏𝟓−𝟏𝟎𝒙𝟐 −𝟓𝒙−𝟖𝒙−𝟒 𝟓𝒙+𝟒 sec𝒉𝟐 (𝒙𝟐+𝒙+𝟑) (𝒙𝟐 +𝒙+𝟑)𝟐

=

−𝟓𝒙𝟐 −𝟖𝒙+𝟏𝟏 𝟓𝒙+𝟒 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 (𝒙𝟐+𝒙+𝟑) (𝒙𝟐 +𝒙+𝟑)𝟐

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS. Consideremos el lugar geométrico de x = senh representado en la fig. como la función Es monótona creciente y por lo tanto uno a uno deducimos que la función inversa existe Definimos sen 𝒉−𝟏 𝒙 (seno hiperbólico inverso de x como el número real único y tal que x = senh) Las más importantes son el seno hiperbólico o arco seno hiperbólico, el coseno hiperbólico o arco coseno hiperbólico la tangente hiperbólica o arco tg hiperbólica y secante hiperbólica. Si

y = arcsenhx

↔ x = senhy

o

y = sen 𝒉−𝟏 𝒙

→

x = senhy

y = arc coshx

↔ x = coshy

o

y = cos 𝒉−𝟏 𝒙

→

x = coshy

y = arctghx

↔ x = stghy

o

y = tg 𝒉−𝟏 𝒙

→

x = tghy

y = arccotghx

↔ x = cotghy

o

y = cotg𝒉−𝟏 𝒙

→

x = cotghy

y = arcsechx

↔ x = sechy

o

y = sec 𝒉−𝟏 𝒙

→

x = sechy

o

y = cosec𝒉−𝟏 𝒙 →

y = arccosechx

↔ x = cosechy

x = cosechy

DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS. 1. y = sen 𝒉−𝟏 𝒙 = sen 𝒉−𝟏 𝒖 → y´ = 3.- y = tg 𝒉−𝟏 𝒙 = tg 𝒉−𝟏 u

→ y´ =

5.- y = sec 𝒉−𝟏 𝒙 = sec 𝒉−𝟏 𝒖 → y´ =

𝒅𝒖 √𝟏+𝒖𝟐 𝒅𝒖 𝟏−𝒖𝟐 −𝒅𝒖 𝒖√𝟏−𝒖𝟐

2.- y = cos 𝒉−𝟏 x = cos 𝒉−𝟏 u →

y´ =

4.- y = cotg𝒉−𝟏 𝒙 = cotg𝒉−𝟏 𝒖 →

y´ =

6.- y = cosec𝒉−𝟏 𝒙= cosec𝒉−𝟏 𝒖 → y´ =

𝒅𝒖 √𝒖𝟐 −𝟏

𝒅𝒖 𝟏−𝒖𝟐 −𝒅𝒖

𝒖√𝟏+𝒖𝟐

; u≠ 𝟎

Como las funciones hiperbólicas se expresan en términos de funciones exponenciales las inversas pueden expresarse en términos de logaritmos así. 55

1.- sen 𝒉−𝟏 𝒙 = Ln (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏) , x ∈ ℝ 𝟏

2.- cos 𝒉−𝟏 𝒙 = Ln (𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟏) , x ∈ [1, +∞>

𝟏+𝒙

𝟏

3.- tg 𝒉−𝟏 𝒙 = 𝟐 Ln (𝟏−𝒙) , |x| < 1 𝟏+√𝟏−𝒙 ) 𝒙

5.- sec 𝒉−𝟏 𝒙 = Ln (

𝟏+𝒙

4.- cotg𝒉−𝟏 x = 𝟐 Ln (𝟏−𝒙) , |x| > 1 𝟏+√𝟏+𝒙𝟐 ), |𝒙|

6.- cosec 𝒉−𝟏 𝒙 = Ln (

, x ∈ <1, +∞]

Prob 1.- Calcular sí. y = tg𝒉−𝟏 (cos 2x)

|x| > 0

[esto es como decir que. y = arctg (cos2x) → y´=

[𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙]´ 𝟏−(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)𝟐

]

Sol. 𝟏

y´= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 (−𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙) =

−𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 −𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙

= - 2cosec2x

Prob 2.- Calcular la derivada de y = sen𝒉−𝟏 (2x+1) Sol. y´ =

𝟐 √𝟏+(𝟐𝒙+𝟏)𝟐

=

𝟐 √𝟏+𝟒𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟏

=

𝟐 √𝟒𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟐

Prob 3.- Calcular la derivada de y = cos𝒉−𝟏 (2√𝒙 + 𝟏) Sol. y´ =

(𝟐√𝒙+𝟏)´ 𝟏 𝟐 √[𝟐(𝒙+𝟏)𝟐 ] −𝟏

=

𝟏

𝟏 𝟐

− 𝟐. (𝒙+𝟏) 𝟐

√𝟒(𝒙+𝟏)−𝟏

=

𝟏 √𝒙+𝟏

√𝟒𝒙+𝟑

=

𝟏 (√𝟒𝒙+𝟑)(√𝒙+𝟏)

=

𝟏 √𝟒𝒙𝟐 +𝟕𝒙+𝟑

𝟏

Prob 4.- Calcular la derivada de la función. y = tg𝒉−𝟏 (cos𝒙 ) Sol. 𝟏

y´ =

𝟏

(−𝒔𝒆𝒏 )(− 𝟐 ) 𝒙 𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐

𝟏 𝒙

𝟏 𝟏

=

𝒔𝒆𝒏 . 𝟐 𝒙𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐

=

𝟏 𝒙

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒙𝟐

. 𝒙𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒙𝟐 =

𝟏 𝒙

𝒔𝒆𝒏

Prob 5.- Calcular la derivada de la función. y = 𝒔𝒆𝒏𝒉−𝟏 (𝒕𝒈𝒙) Sol. y´ =

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 √𝟏+𝒕𝒈𝟐 𝒙

=

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 √𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

=

𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙,

sec x

Prob 6.- Calcular la derivada de la función. y = sec𝒉−𝟏 (𝒆

𝟏

𝟐𝑳𝒏𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙

Sol. y = sec𝒉−𝟏 (𝒆

𝟏

𝟐𝑳𝒏𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙

𝟏 𝒙

) = sec𝒉−𝟏 (𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐) ⟶ y´ =

−𝟏 𝟏

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐 𝒙

𝟏

y´ =

𝟏

𝟏 𝟏 𝟐 . 𝒄𝒐𝒔 𝟐 (− 𝟑) 𝒙𝟐 𝒙 𝒙

𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒏

𝟏

𝒙𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟐 √(𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐 )(𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐 ) 𝒙 𝒙 𝒙

=

𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏

𝟏

𝟏

𝒙𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 √𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐 𝒙 𝒙 𝒙

=

𝟒𝒄𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏

𝒙𝟑 √𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐 𝒙

56

𝟑+𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙 ) 𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙

Prob 7.- Calcular la derivada de la función. y = 𝒕𝒈𝒉−𝟏 ( Sol. y´ =

𝟏 𝟑+𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟐 𝟏−( ) 𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙

𝟕𝒄𝒐𝒔𝒙

[

(𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙)−(𝟑+𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙) (𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 𝟕𝒄𝒐𝒔𝒙 = ] [ ] 𝟐 (𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙) (𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 −(𝟑+𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 (𝟒+𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟏

= 𝟕(𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒙)(𝟏−𝒔𝒆𝒏𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 = sec x

57

NOVENA SEMANA. INTEGRAL DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS. -La resolución de integrales de potencias hiperbólicas sigue la misma técnica que para potencia de funciones trigonométricas en general. 1.- ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒅𝒙 = coshx +c

2.- ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙𝒅𝒙 = senhx +c

3.- ∫ 𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = Ln|coshx |+c

4.- ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = Ln|senhx |+c

5.- ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒅𝒙 = 𝒕𝒈−𝟏 |senhx |+c

6.- ∫ 𝒄𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒅𝒙 = Ln|tgh𝟐 |+c

7.- ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙. 𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = - sechx +c

8.- ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙𝒅𝒙 = senh2x - +c

𝟏 𝟒

10.- ∫ 𝒄𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒅𝒙 = - cotghx +c

𝒙

𝒙 𝟐

9.- ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒅𝒙 = tghx +c

11.- ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙. 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = - csechx +c

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS QUE SE USAN. 1.- sen𝒉𝟐 𝒙 = cos𝒉𝟐 𝒙 − 𝟏

2.- cos𝒉𝟐 𝒙 = sen𝒉𝟐 𝒙 +1

5.- tg𝒉𝟐 𝒙 = 1-sec𝒉𝟐 𝒙

6.- sec𝒉𝟐 𝒙 = 1- tg𝒉𝟐 𝒙

8.- cotg𝒉𝟐 𝒙 − cosec𝒉𝟐 𝒙 = 1

3.- sen𝒉𝟐 𝒙 =

𝟏

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙+𝟏 𝟐

10.- cosec𝒉𝟐 𝒙 =

cotg𝒉𝟐 𝒙 – 1

𝟏

cosechx = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 ;

senh2x = 2senhx. Coshx y

4.- cos𝒉𝟐 𝒙 =

7.- tg𝒉𝟐 𝒙 + sec𝒉𝟐 𝒙 = 1

9.- cotg𝒉𝟐 𝒙 = 1+cosec𝒉𝟐 𝒙

Sechx = 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 ;

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙−𝟏 𝟐

cotghx = 𝒕𝒈𝒉𝒙

cosh2x = cos𝒉𝟐 𝒙 + sen𝒉𝟐 𝒙

pero cos𝒉𝟐 𝒙= 1 + 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙

→ cosh2x = 1 + 2𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙. Al efectuar las operaciones, se obtienen términos que contienen potencias pares e impares de cosh2x. Los términos que tienen las potencias impares se integran teniendo en cuenta el caso 1. Los términos que contienen las potencias pares se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas. 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙

Prob 1.- Calcular. ∫ 𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙dx Solución. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱

𝟏

𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱

∫ 𝟏+𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐𝐱dx = ∫ (𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱) ( 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱 )dx = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙. 𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = - sechx + c Prob 2.- Calcular. ∫

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙 dx 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟒 𝒙

Solución. Por identidad. Cosh2x = cos𝒉𝟐 𝒙 + sen𝒉𝟐 𝒙; pero cos𝒉𝟐 𝒙 = 1 + sen𝒉𝟐 𝒙 → cosh2x = 1 + 2𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐𝐱

∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟒𝐱dx = ∫

𝟏+𝟐𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐 𝐱 dx 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟒 𝐱

𝟏

= ∫ (𝒔𝒆𝒏𝒉𝟒𝒙 +

𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙 )dx 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟒 𝒙

= ∫(𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟒 𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙)𝒅𝒙

= ∫[𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙(𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 − 𝟏) + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙]dx = ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒅𝒙 - ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒅𝒙 + 2∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒅𝒙 = -

𝒄𝒐𝒕𝒈𝟑 𝒙 𝟑

𝟏

– cotghx + c = - 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒉𝟑 𝒙 - cotghx + c

Prob 3.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝐱𝐝𝐱 58

Solución. 𝟏

𝟏

𝟏

Senhx.coshx = senh2x y sen𝒉𝟐 𝒙 = ∫ (𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙 − 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏

𝟏

𝟏

∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝐱𝒅𝒙 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝒉𝟒𝒙 − 𝟏)dx 𝟏 𝟏

= 𝟖 (𝟒 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟒𝒙 − 𝒙)+c =

𝒔𝒆𝒏𝒉𝟒𝒙 𝟑𝟐

𝒙

-𝟖+c

Prob 4.- Calcular. ∫ 𝐭𝐠𝐡𝟑 𝐱𝐝𝐱 Solución ∫ 𝐭𝐠𝐡𝟑 𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒕𝒈𝒉𝟑 𝒙. 𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = ∫(𝟏 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙)tghxdx = ∫ 𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙 = Ln (coshx) -

𝒕𝒈𝒉𝟐 𝒙 𝟐

+c

𝒙𝟐 𝟐

Prob 5.- Calcular. ∫ 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 ( )dx

(Por sustitución)

Solución. 𝐱𝟐

𝐱𝟐

𝒙𝟐

∫ 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 ( 𝟐 )dx = ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 ( 𝟐 ) 𝐱𝐝𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒖𝒅𝒖 = - cotghu + c = - cotgh( 𝟐 ) + c u=

𝒙𝟐 𝟐

→ du = xdx

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝟒𝐜𝐨𝐬𝐡(𝟑𝐱 − 𝐋𝐧𝟐)dx Solución. 𝟒

𝟒

𝟒

∫ 𝟒𝐜𝐨𝐬𝐡(𝟑𝐱 − 𝐋𝐧𝟐)dx = 𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒖𝒅𝒖 = 𝟑 senhu + c = 𝟑 senh(3x-Ln2) +c u = 3x-Ln2

→

du = 3dx

→

𝒅𝒖 𝟑

= dx

Prob 7.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟑 𝐱 𝐭𝐠𝐡𝐱dx Solución. 𝟏

𝟏

∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟑 𝐱 𝐭𝐠𝐡𝐱dx = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙. 𝒕𝒈𝒉𝒙𝒅𝒙) = - ∫ 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = - 𝟑 𝒖𝟑 + c = - 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑 𝒙 + c u = sechx

→ du = - sechx.tghx dx

Prob 8.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟑 𝐱𝐝𝐱 Solución. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟑 𝐱𝐝𝐱 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙. 𝒅𝒙 = ∫(𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙 − 𝟏).senhx.dx = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒅𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒅𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒖𝟐 𝒅𝒖 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒅𝒙 = u = coshx

𝒖𝟑 𝒙 𝟑

– coshx =

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑 𝒙 – 𝟑

coshx + c

→ du = senhxdx 59

Prob 9.- Calcular. ∫ 𝐭𝐠𝐡𝟐 𝟑𝐱𝐝𝐱 Solución. 𝟏

𝟏

∫ 𝐭𝐠𝐡𝟐 𝟑𝐱𝐝𝐱 = ∫(𝟏 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝟑𝒙)dx = ∫ 𝒅𝒙 - ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝟑𝒙dx = x - 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒖𝒅𝒖 = x - 𝟑 tgh3x + c → du = 3du →

u = 3x

𝒅𝒖 𝟑

= dx

Prob 10.- Calcular. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟑 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱𝐝𝐱 Solución. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟑 𝐱𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱𝐝𝒙 = ∫ 𝒕𝟑 𝒅𝒕 =

𝒕𝟒 𝟒

+c=

𝐬𝐞𝐧𝐡𝟒 𝐱 + 𝟒

c

t = senhx → dt = coshxdx Prob 11.- Calcular. ∫ 𝐭𝐠𝐡𝟐 𝟑𝐱. 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 𝟑𝐱𝒅𝒙 Solución. 𝒖𝟑 𝟗

+c=

→ du = 3sec𝒉𝟐 𝟑𝒙𝒅𝒙

→

𝟏

∫ 𝐭𝐠𝐡𝟐 𝟑𝐱. 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 𝟑𝒙𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = u = tgh3x

𝒕𝒈𝒉𝟑 𝟑𝒙 𝟗 𝒅𝒖 𝟑

+c

= sec𝒉𝟐 𝟑𝒙𝒅𝒙.

Prob 12.- Calcular.∫ 𝐱 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱 𝟑 𝐝𝒙 Solución. 𝟏

𝟏

𝟏

∫ 𝐱 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱𝟑 𝐝𝐱 = ∫ 𝐱 𝟑 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒖𝒅𝒖 = 𝟑 coshu+c = 𝟑 cosh𝒙𝟑 + c u = 𝒙𝟑

→ du = 3𝒙𝟐 dx

𝒅𝒖 𝟑𝒙𝟐

→

= dx

Prob 13.- Calcular.∫ 𝒔𝐞𝐧𝐡𝐱√𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱𝐝𝐱 Solución. 𝟑

∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱√𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱𝐝𝐱 = ∫ 𝒖

𝟏⁄ 𝒖 ⁄𝟐 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟑 𝟐

u = coshx

→

𝟐

𝟑

= 𝟑 𝒖𝟐 + c =

𝟑 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉 ⁄𝟐 𝒙 𝟑

+c

du = senhxdx

Prob 14.- Calcular.∫ 𝐭𝐠𝐡𝐱𝐝𝐱 Solución. 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐱

𝒅𝒖 𝒖

→

du = senhxdx

∫ 𝐭𝐠𝐡𝐱𝐝𝐱 = ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱 dx = ∫ u = coshx

= Ln |u |+c = Ln |coshx |+c

60

DECIMA SEMANA. PROBLEMAS DE REFORSAMIENTO DE LAS FORMAS DE INTEGRACIÓN. 𝐭𝐠𝟐𝐱

Prob 1.- Calcular la antiderivada de la función. 𝒇(𝒙) = 𝟏+𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱 Solución. 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝟏 𝟏+ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱

𝐭𝐠𝟐𝐱

𝒇(𝒙) = 𝟏+𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱 =

𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱

= 𝟏+𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 =

𝟐𝐬𝐞𝐧𝐱.𝐜𝐨𝐬𝐱 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝐱

tgx

Si 𝒇(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝒇(𝒙) = ∫ 𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙 = Ln |secx |+c Prob 2.- Calcular la antiderivada de la función. 𝒇(𝒙) =

𝟐+𝟑𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱

Solución. 𝒇(𝒙) =

𝟐+𝟑𝐜𝐨𝐬𝐱 𝟐 = 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 + 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱

𝐜𝐨𝐬𝐱

𝟏

𝟑 (𝐬𝐞𝐧𝐱) (𝐬𝐞𝐧𝐱) = 2𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 + 3cotgx.cosecx

Si 𝒇(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 → 𝒇(𝒙) = 2∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 3 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒅𝒙 → 𝒇(𝒙) = - 2cotgx – 3cosecx + c = 𝟏

Prob 3.- Calcular. ∫ 𝟒 .

𝟑+𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙

c

𝐱𝐝𝐱 √𝐱 𝟐 +𝟖

Solución. 𝟏

∫𝟒.

𝒙𝒅𝒙 √𝒙𝟐 +𝟖

𝒅𝒖 𝟐

𝟏

= ∫ 𝟒

√𝒖

𝟏

= ∫ 𝒖− 𝟖

𝟏

𝟏⁄ 𝟏 𝒖 ⁄𝟐 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟖 𝟏⁄𝟐

u = 𝒙𝟐 + 𝟖 → du = 2xdx. →

𝟏 𝟒

𝟏⁄ 𝟐

= 𝒖

𝒅𝒖 𝟐

+c=

√𝒙𝟐 +𝟖 𝟒

+c

= dx

𝐱𝟐

Prob 4.- Calcular. ∫ 𝟏+𝐱 𝟔 dx Solución. 𝒙𝟐

𝒙𝟐

𝒙𝟐

𝒅𝒖

𝟏

𝒅𝒖

𝟏

𝟏

∫ 𝟏+𝒙𝟔 dx = ∫ 𝟏+(𝒙𝟑)𝟐 dx = ∫ 𝟏+𝒖𝟐 𝟑𝒙𝟐 = 𝟑 ∫ 𝟏+𝒖𝟐 = 𝟑.arctgu + c = 𝟑 arctg 𝒙𝟑 + c u = 𝒙𝟑 → du = 3𝒙𝟐 dx →

𝒅𝒖 𝟑𝒙𝟐

= dx

Prob 5.- Calcular. ∫ 𝐱 𝟐 𝐋𝐧𝟐 𝐱𝐝𝐱 Solución. u = 𝑳𝒏𝟐 𝒙

𝒅𝒙

→ du = 2Ln( 𝒙 ),

dv = 𝒙𝟐 dx → v =

∫ 𝐱 𝟐 𝐋𝐧𝟐 𝐱𝐝𝐱 = u.v - ∫ 𝒗𝒅𝒖 → ∫ 𝐱 𝟐 𝐋𝐧𝟐 𝐱𝐝𝐱 = u = Lnx

→ du =

𝒅𝒙 , 𝒙

𝒙𝟑 𝟐 𝑳𝒏𝟐 𝒙 - 𝟑 𝟑

𝒙𝟑 𝟑

∫ 𝒙𝟐 𝑳𝒏𝒙𝒅𝒙

dv = 𝒙𝟐 dx → v = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

(a)

1

𝒙𝟑 𝟑

61

a.- ∫ 𝒙𝟐 𝑳𝒏𝒙𝒅𝒙 = uv - ∫ 𝒗𝒅𝒖 = ∫ 𝐱 𝟐 𝐋𝐧𝟐 𝐱𝐝𝐱 =

2 en 1:

=

𝒙𝟑 𝟑

Lnx - ∫

𝒙𝟑 𝒅𝒙 𝟑 𝒙

𝒙𝟑 𝟐 𝒙𝟑 𝟐 𝑳𝒏 𝒙 ( 𝟑 𝟑 𝟑

𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝑳𝒏𝟐 𝒙 − 𝟐𝟕 (𝟔𝑳𝒏𝒙 − 𝟑

=

𝒙𝟑 𝟑

𝑳𝒏𝒙 −

𝟏

Lnx - 𝟑 ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

𝒙𝟑 𝟑

Lnx -

𝒙𝟑 𝟗

2

𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝟐 𝟑𝒙𝟑 𝑳𝒏𝒙−𝒙𝟑 𝟐 ) = 𝑳𝒏 𝒙 − ( ) 𝟗 𝟑 𝟑 𝟗

𝒙𝟑

𝟐) = 𝟐𝟕 (𝟗𝑳𝒏𝟐 𝒙 − 𝟔𝑳𝒏𝒙 + 𝟐) + c

Prob 6.- Calcular. ∫ 𝐱(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 𝒅𝒙 Solución. 𝒅𝒙

u = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐

→ du = 2(arctgx)𝟏+𝒙𝟐

dv = xdx → v =

𝒙𝟐

𝟏

𝒙𝟐 𝟐

𝟏

𝟏

∫ 𝐱(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒙𝟐 (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 - ∫ (𝟏+𝒙𝟐) 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙 = 𝟐 𝒙𝟐 (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 − ∫ (𝟏 − 𝟏+𝒙𝟐) 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙 𝟏

= 𝟐 𝒙𝟐 (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 + ∫

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 𝒅𝒙 − 𝟏+𝒙𝟐

𝒅𝒙

→

En (a). u = arctgx

𝟏

𝟏

∫ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙 = = 𝟐 𝒙𝟐 (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 + 𝟐 (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 − ∫ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙

du = 𝟏+𝒙𝟐

→ v=x

dv = dx

𝒙

1

a

𝟏

∫ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙𝒅𝒙 = x.arctgx - ∫ 𝟏+𝒙𝟐 𝒅𝒙 = x.arctgx - 𝟐 Ln(𝟏 + 𝒙𝟐 )

2

𝟏

𝟏

2 en 1 se tiene: ∫ 𝐱(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐 (𝟏 + 𝒙𝟐 )(𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐 − x arctgx + 𝟐 𝑳𝒏 (𝟏 + 𝒙𝟐 ) + c Prob 7.- Calcular. ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 Solución. Elegimos arbitrariamente. u = 𝒆𝟐𝒙 → du = 2𝒆𝟐𝒙dx ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 = - 𝒆𝟐𝒙cosx + 2 ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 En a: u = 𝒆𝟐𝒙 → du = 2𝒆𝟐𝒙dx

a

1

dv = cosxdx

a.- ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙 senx - 2∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙

dv = senxdx → v = - cosx

→ v = senx

2

2 en 1 se tiene: ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 = - 𝒆𝟐𝒙cosx + 2(𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙) ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 = - 𝒆𝟐𝒙cos x + 2𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 - 4∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 → 5∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝟐𝒙 (𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙) ∫ 𝒆𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 = Prob 8.- Calcular. ∫

𝒆𝟐𝒙 𝟓

(𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙) + c

𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝟐𝟓−𝒙𝟐

Solución. 5

x

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐

𝒙

Sen𝜽 = 𝟓 → x = 5sen𝜽 → dx = 5cos𝜽d𝜽, ∫

𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝟐𝟓−𝒙𝟐

=∫

𝟓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝟏 𝒅𝜽 = ∫ 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽.𝟓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽

=

cos𝜽 =

√𝟐𝟓−𝒙𝟐 𝟓

𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝜽 = ∫ 𝟐𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝟐𝟓

→ 5cos𝜽 = √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐

∫ 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽

62

𝟏 √𝟐𝟓−𝒙𝟐 𝒙

𝟏

= - 𝟐𝟓 cotg𝜽 + 𝒄 = - 𝟐𝟓 Prob 9.- Calcular. ∫

+ c.

𝒅𝒙 √𝟗+𝒙𝟐

Solución. √𝟗 + 𝒙𝟐

x

tg𝜽 =

3

= Ln|

∫√

𝐝𝛉

𝟗+𝐱

√𝟗+𝒙𝟐 𝟑

𝒙 𝟑

=∫ 𝟐

𝒙

+ 𝟑| + c = Ln |

Prob 10.- Calcular. ∫

√𝒙𝟐 −𝟗 𝒙

→ x = 3tg𝜽 → dx = 3𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽 ; 𝟑𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 𝟑𝒔𝒆𝒄𝜽

sec𝜽 =

√𝟗+𝒙𝟐

→ 3sec𝜽= √𝟗 + 𝒙𝟐

𝟑

𝒅𝜽 = ∫ 𝒔𝒆𝒄𝜽𝒅𝜽 = Ln|sec𝜽 + 𝒕𝒈𝜽 | + c

√𝟗+𝒙𝟐 +𝒙 𝟑

|+c = Ln |9+𝒙𝟐 + 𝒙 | - Ln3 + c = Ln|√𝟗 + 𝒙𝟐 + 𝒙 |+c

dx

Solución. √𝒙𝟐 − 𝟗

x

sec𝜽 =

3

∫

𝒙 𝟑

√𝒙𝟐 −𝟗 𝒙

→ x = 3sec𝜽 → dx = 3sec𝜽. 𝒕𝒈𝜽𝒅𝜽; dx = ∫

𝟑𝒕𝒈𝜽.𝟑𝒔𝒆𝒄𝜽.𝒕𝒈𝜽𝒅𝜽 𝟑𝒔𝒆𝒄𝜽

tg𝜽 =

√𝒙𝟐 −𝟗

→ 3tg𝜽 = √𝒙𝟐 − 𝟗

𝟑

= 3∫ 𝒕𝒈𝟐 𝜽𝒅𝜽 = 3∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽 − 𝟏)𝒅𝜽 √𝒙𝟐 −𝟗

= 3∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝜽𝒅𝜽 − 𝟑 ∫ 𝒅𝜽 = 3tg𝜽 − 𝟑𝜽 + c = 3(𝒕𝒈𝜽 − 𝜽)+ c = 3(

𝟑

𝒙

− 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝟑)

𝒙

= √𝐱 𝟐 − 𝟗 - 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝟑 + c Prob 11.- Calcular. ∫

𝟓𝒙+𝟑 𝒅𝒙 𝒙𝟑 −𝟐𝒙𝟐 −𝟑𝒙

Solución. 𝟓𝒙+𝟑

𝟓𝒙+𝟑

𝟓𝒙+𝟑

𝑨

𝑩

𝑪

∫ 𝒙𝟑−𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙(𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟑) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟑) 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒙 + (𝒙+𝟏) + (𝒙−𝟑))dx

𝒙=𝟎 v.c. de : 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑) → 𝒙 = −𝟏 𝒙=𝟑

5x+3 = A(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟑) + 𝑩𝒙(𝒙 − 𝟑) + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏) Para x = 0

→ 3 = A(𝟏)(−𝟑) + 𝑩. 𝟎(−𝟑) + 𝑪. 𝟎(𝟏)

Para x = - 1

→ - 2 = A(𝟎)(−𝟒) + 𝑩(−𝟏)(−𝟒) + 𝑪(−𝟏)(𝟎) → -2 = 4B

Para x = 3

→ 3 = - 3A → A = - 1

𝟓𝒙+𝟑

𝒅𝒙 𝒙

𝟏

𝒅𝒙

𝟑

𝟏

→ B=-𝟐 𝟑

→ 18 = A(𝟒)(𝟎) + 𝑩(𝟎)(−𝟑) + 𝑪(𝟑)(𝟒) ∫ 𝒙𝟑𝟑−𝟐𝒙𝟐−𝟑𝒙 𝒅𝒙 = - ∫

1

→ 18 = 12C → C = 𝟐 𝒅𝒙

𝟏

reemp en 1 𝟑

− ∫ + ∫ = - Ln|x | - Ln|x+1 |+ Ln |x-3 | + c 𝟐 𝒙+𝟏 𝟐 𝒙−𝟑 𝟐 𝟐

𝟔𝒙𝟐 −𝟏𝟓𝒙+𝟐𝟐

Prob 12.- Calcular. ∫ (𝒙+𝟑)(𝒙𝟐+𝟐)𝟐 𝒅𝒙 Solución.

63

𝟔𝒙𝟐 −𝟏𝟓𝒙+𝟐𝟐

𝑨

𝑩𝒙+𝑪

𝑫𝒙+𝑬

∫ (𝒙+𝟑)(𝒙𝟐+𝟐)𝟐 𝒅𝒙 = ∫ ((𝒙+𝟑) + (𝒙𝟐+𝟐) + (𝒙𝟐+𝟐)𝟐)dx

1

𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟐 = A(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 + (𝑩𝒙 + 𝑪)(𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟐) + (𝑫𝒙 + 𝑬)(𝒙 + 𝟑)

= A(𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒) + (𝑩𝒙 + 𝑪)(𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔) + (𝑫𝒙𝟐 + 𝑬𝒙 + 𝟑𝑫𝒙 + 𝟑𝑬) = (𝑨 + 𝑩)𝒙𝟒 + (𝟑𝑩 + 𝑪)𝒙𝟑 + (𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝟑𝑪 + 𝑫)𝒙𝟐 + (𝟔𝑩 + 𝟐𝑪 + 𝟑𝑫 + 𝑬)𝑿 + (𝟒𝑨 + 𝟔𝑪 + 𝟑𝑬)

Por identidades polinómicas: A+B = 0

(1) → A = - B en 3: - 4B+2B – 9B +D = 6 → - 11B+D = 6

(2) → C = - 3B

3B+C = 0

4A+2B+3C+D = 6

en (4): 6B-6B+33B+18+E = - 15 → 33B+E = -33 → E = -33B-33 (7)

(3)

en (5): - 4B-18B-99B – 99 = 22 → - 121B = 121 → B = - 1, A = 1

6B+2C+3D+E =- 15 (4) 4A+6C+3E = 22

→ D = 11B+6 (6)

(5)

C = 3,

𝟔𝒙𝟐 −𝟏𝟓𝒙+𝟐𝟐

𝟏

sustituimos en 1.se tiene:

D = - 5, E = 0

−𝒙+𝟑

−𝟓𝒙

𝒅𝒙

𝒙−𝟑

𝒙

∫ (𝒙+𝟑)(𝒙𝟐+𝟐)𝟐 𝒅𝒙 = ∫ ((𝒙+𝟑) + (𝒙𝟐+𝟐) + (𝒙𝟐+𝟐)𝟐)dx = ∫ (𝒙+𝟑) − ∫ (𝒙𝟐+𝟐) − 𝟓 ∫ (𝒙𝟐+𝟐)𝟐 dx 𝒅𝒙

𝒙

𝒅𝒙

𝒙

𝒅𝒖 𝟏 𝒅𝒖 𝟑 𝒙 𝟓 − ∫ + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 + = 𝒖 𝟐 𝒖 𝟐𝒖 √𝟐 √𝟐

𝒅𝒖 𝟐

u = 𝒙𝟐 + 𝟐 → du =2xdx →

= ∫ (𝒙+𝟑) - ∫ (𝒙𝟐 dx + 3∫ 𝟐 - 5∫ (𝒙𝟐 𝟐dx +𝟐) (𝒙 +𝟐) +𝟐) =∫

por partes.

𝟏 𝟐

Ln|x+3 |- Ln|𝒙𝟐 + 𝟐| +

𝟑 √𝟐

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈

𝒙 √𝟐

+

= xdx

𝟓 𝟐(𝒙𝟐 +𝟐)

+c

𝒄𝒐𝒔𝒙

Prob 13.- Calcular. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙−𝟔𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟓 dx Solución. 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙

u = senx- 3 → du = cosxdx.

∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙−𝟔𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟓 dx = ∫ (𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙−𝟔𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟗)−𝟗+𝟓 dx = ∫ (𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟑)𝟐−𝟒 dx 𝒅𝒖

𝟏

𝒖−𝒂

𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟑−𝟐

𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟓

= ∫ 𝒖𝟐−𝟐𝟐 = 𝟐𝒂 Ln|𝒖+𝒂| = 𝟒 Ln|𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟑+𝟐| = 𝟒 Ln|𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟏| + c 𝒅𝜽

Prob 14.- Calcular.∫ 𝟓+𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽 Solución. 𝜽

𝟐𝒅𝒕

𝒕𝒈 𝟐 = t → d𝜽 = 𝟏+𝒕𝟐 ;

𝒅𝜽

∫ 𝟓+𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽 = ∫ 𝒅𝒕

𝟐𝒅𝒕 𝟏+𝒕𝟐 𝟏−𝒕𝟐 𝟓+𝟒( 𝟐 ) 𝟏+𝒕

𝟏

𝟐𝒅𝒕 𝟐

𝒅𝒕

= ∫ 𝟓(𝟏+𝒕𝟐𝟏+𝒕 = 2∫ 𝟓+𝟓𝒕𝟐+𝟒−𝟒𝒕𝟐 )+𝟒(𝟏−𝒕𝟐 ) 𝟏+𝒕𝟐

𝒕

𝟐

𝟏

𝜽

= 2∫ 𝒕𝟐 +𝟗 = 2. 𝟑 arctg 𝟑 + c = 𝟑 arctg(𝟑 𝒕𝒈 𝟐) + c

64

DECIMA PRIMERA SEMANA. SUMATORIA. PROPIEDADES Sumatoria o Notación Sigma es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. Al cual se expresa con la letra griega sigma mayúscula 𝚺, y se representa así: ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊 =1+2+3+4+5+

+n → Asi: ∑𝟓𝒊=𝟏 𝒊=

𝒏(𝒏+𝟏) 𝟓(𝟓+𝟏) = = 𝟐 𝟐

∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 + 𝟓𝟐 → ∑𝟓𝒊=𝟏 𝒊𝟐 =

𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏) 𝟔

∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟑 + 𝟒𝟑 + 𝟓𝟑 + 𝟔𝟑 → ∑𝟔𝒊=𝟏 𝒊𝟑 = [ 𝟏 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

15 =

𝟓(𝟓+𝟏)(𝟐.𝟓+𝟏) 𝟔

𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐 ] 𝟐

=

𝟑𝟑𝟎 𝟔

= 55

𝟔(𝟔+𝟏) 𝟐 𝟑𝟔.𝟒𝟗 ) = 𝟒 = 𝟐

=(

441

𝟏

∑𝒏𝒊=𝟑 = + + + + 𝒊 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 En general si m y n son dos números enteros de tal manera que m ≤ 𝒏 , y 𝒇𝒙 una función definida para cada i ∈ Z, donde m ≤ i ≤ n entonces la notación: ∑𝒏𝒊=𝒎 𝒇(𝒊) representa la suma de los términos: 𝒇(𝒎) , 𝒇(𝒎+𝟏) , 𝒇(𝒎+𝟐),………𝒇(𝒏) es decir: ∑𝒏𝒊=𝒎 𝒇(𝒊) = 𝒇(𝒎) + 𝒇(𝒎+𝟏) + 𝒇(𝒎+𝟐)+ ,………+𝒇(𝒏) Donde i es el índice ó variable, m es el límite inferior y n es el límite superior. 𝒊𝟐

𝒊

𝟑𝟐

𝟒𝟐

𝟓𝟐

𝟔𝟐

𝟕𝟐

Ejem1. Si 𝒇(𝒊) = 𝒊−𝟏 , entonces se tiene: ∑𝟕𝒊=𝟑 𝒊−𝟏 = 𝟑−𝟏 + 𝟒−𝟏 + 𝟓−𝟏 + 𝟔−𝟏 + 𝟕−𝟏 = 31.45 Ejm 2. Si 𝒇(𝒊) = sen2ix, entonces se tiene: ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒊) = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒊𝒙 = sen2x+sen4x+sen6x +……….+ sen2nx PROPIEDADES 1.- ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒌 = k. n

2.- ∑𝒏𝒊=𝒎 𝒌 = 𝒌(𝒏 − 𝒎 + 𝟏)

4.- ∑𝒏𝒊=𝟏( 𝒇(𝒊) ± g(i) ) = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒊) ± ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒈(𝒊) 6.- ∑𝒃𝒊=𝒂 𝒇(𝒊) = ∑𝒃−𝒄 𝒊=𝒂−𝒄 𝒇(𝒊+𝒄)

3.- ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒌𝒇(𝒊) = 𝒌 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒊) 5.- ∑𝒏𝒊=𝒎 𝒇(𝒊) = ∑𝒏+𝒂 𝒊=𝒎+𝒂 𝒇(𝒊 − 𝒂)

7.- ∑𝒏𝒊=𝟏[𝒇(𝒊) − 𝒇(𝒊−𝟏) ] = 𝒇(𝒏) − 𝒇(𝟎) primera regla telescópica

8.- ∑𝒏𝒊=𝟏[𝒇(𝒊) − 𝒇(𝒊−𝟏) ] = 𝒇(𝒏) − 𝒇(𝒎−𝟏); primera regla telescópica generalizada. 9.- ∑𝒏𝒊=𝟏[𝒇(𝒊 + 𝟏) − 𝒇(𝒊−𝟏) ] = 𝒇(𝒏+𝟏) + 𝒇(𝒏) − 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟎), segunda regla telescópica 10.- ∑𝒏𝒊=𝟏[𝒇(𝒊 + 𝟏) − 𝒇(𝒊−𝟏) ] = 𝒇(𝒏+𝟏) + 𝒇(𝒏) − 𝒇(𝒎) − 𝒇(𝒎−𝟏), segunda regla generalizada. 65

Prob 1.- Calcular la suma ∑𝒏𝒊=𝟏(𝟐𝒊 − 𝟑), cuando n = 100 Solución. 1.- hallamos la fórmula para la suma dada así: ∑𝒏𝒊=𝟏(𝟐𝒊 − 𝟑) = 2 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊 - ∑𝒏𝒊=𝟏 𝟑 𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐

= 2.

- 3n = 𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝟑𝒏 = 𝒏𝟐 – 2n = n(n – 2)

2.- reemplazamos para n = 100, → ∑𝒏𝒊=𝟏(𝟐𝒊 − 𝟑) = 100(100 – 2) = 9,800 Prob 2.- Hallar la sumatoria de la expresión. ∑𝟓𝒊=−𝟐(𝒊 + 𝟏) Solución. ∑𝟓𝒊=−𝟐(𝒊 + 𝟏)= ∑𝟓𝒊=−𝟐 𝒊 + ∑𝟓𝒊=−𝟐 𝟏 =

𝒏(𝒏+𝟏) + 𝟐

𝟓=

𝟓(𝟓+𝟏) +5 𝟐

= 20

𝟐 Prob 3.- Hallar la sumatoria de la expresión. ∑𝟏𝟎 𝒊=𝟏 𝒊(𝒊 + 𝟏)

Solución. 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟐 ∑𝟏𝟎 𝒊=𝟏 𝒊(𝒊 + 𝟏) = ∑𝒊=𝟏 𝒊 + ∑𝒊=𝟏 𝒊 =

=

𝟏𝟎𝟐 (𝟏𝟎+𝟏)𝟐 𝟒

+

𝟏𝟎(𝟏𝟎+𝟏) 𝟐

𝒏𝟐 (𝒏+𝟏)𝟐 𝟒

+

𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐

= 3025+55 = 3080

Prob 4.- Hallar la sumatoria de la expresión. ∑𝟗𝟎 𝒊=𝟖 𝒇(𝒊)

(Propiedad telescópica primero > y <)

Solución. ∑𝟗𝟎 𝒊=𝟖 𝒇(𝒊) = (𝒏 − 𝒂) + 𝟏= (𝟗𝟎 − 𝟖) + 𝟏 = 83

Prob 5.- Calcular el valor de ∑𝟒𝟎𝟎 𝒊=𝟓 (√𝒊 − √𝒊 − 𝟏 + 𝟒) Solución. 𝟒𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎 ∑𝟒𝟎𝟎 𝒊=𝟓 (√𝒊 − √𝒊 − 𝟏 + 𝟒)= ∑𝒊=𝟓 (√𝒊 − √𝒊 − 𝟏) + ∑𝒊=𝟓 𝟒

b

a

a.- aplicamos la propiedad 8, para 𝒇(𝒊) = √𝒊, m = 5, n= 400 y se tiene. ∑𝟒𝟎𝟎 𝒊=𝟓 (√𝒊 − √𝒊 − 𝟏)= 𝒇(𝟒𝟎𝟎) − 𝒇(𝟓−𝟏) = √𝟒𝟎𝟎 − √𝟒 = 20- 2 = 18 b.- aplicamos propiedad 2: ∑𝟒𝟎𝟎 𝒊=𝟓 𝟒= (𝟒𝟎𝟎 − 𝟓 + 𝟏)4 = 1584 por lo tanto: ∑𝟒𝟎𝟎 𝒊=𝟓 (√𝒊 − √𝒊 − 𝟏 + 𝟒)= 18+1584 = 1602 Prob 6.- Calcular la suma. ∑𝟐𝒌=𝟏

𝒌 𝒌+𝟏

Solución. ∑𝟐𝒌=𝟏

𝒌 𝟏 𝟐 = + 𝒌+𝟏 𝟏+𝟏 𝟐+𝟏

𝟏 𝟐

𝟐 𝟑

= + +=

𝟕 𝟔

66

Prob 7.- Calcular la suma. ∑𝟏𝟏 𝒊=𝟐(𝒊 + 𝟏)(𝒊 − 𝟏) Solución. 1.- cambio de los limites superior e inferior con m= 2 y n = 1 se tiene. Límite superior: n – m+1 = 11 – 2 + 1 = 10; argumento: i + m – 1 = i + 2 – 1= i + 1 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐 2.- aplicamos: ∑𝟏𝟏 𝒊=𝟐(𝒊 + 𝟏)(𝒊 − 𝟏) = ∑𝒊=𝟏[(𝒊 + 𝟏) + 𝟐][(𝒊 + 𝟏) − 𝟏]= ∑𝒊=𝟏(𝒊 + 𝟑𝒊), esta suma es 𝒏 𝒏 𝟐 𝟐 para n ésimo término. ∑𝟏𝟎 𝒊=𝟏(𝒊 + 𝟑𝒊) = ∑𝒊=𝟏 𝒊 + 𝟑 ∑𝒊=𝟏 𝒊 =

𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏) 𝟔

𝒏(𝒏+𝟏) 𝟐

+3

→ para

n = 10 se tiene. 𝟏𝟎(𝟏𝟎+𝟏)(𝟐.𝟏𝟎+𝟏) 𝟏𝟎(𝟏𝟎+𝟏) +3 𝟔 𝟐

𝟐 ∑𝟏𝟎 𝒊=𝟏(𝒊 + 𝟑𝒊) =

=

𝟏𝟎.𝟏𝟏.𝟐𝟏 𝟑𝟎.𝟏𝟏 + = 𝟔 𝟐

550

𝒌+𝟏

Prob 8.- Calcular la suma: ∑𝟒𝒌=𝟏 𝟐𝒌+𝟏 Solución. ∑𝟒𝒌=𝟏

𝒌+𝟏 𝟐 = 𝟐𝒌+𝟏 𝟑

𝟑 𝟒 𝟒 𝟓

+ +

Prob 9.- Calcular la suma. ∑𝟐𝟓 𝒊=𝟏 𝟐𝒊(𝒊 − 𝟏) Solución. 𝟐𝟓(𝟐𝟓+𝟏)(𝟐.𝟐𝟓+𝟏) − 𝟔

𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 ∑𝟐𝟓 𝒊=𝟏 𝟐𝒊(𝒊 − 𝟏) = ∑𝒊=𝟏(𝟐𝒊 − 𝟐𝒊)= 2∑𝒊=𝟏 𝒊 − 𝟐 ∑𝒊=𝟏 𝒊 = 2

𝟐

𝟐𝟓(𝟐𝟓+𝟏) 𝟐

= 10400

𝟐 Prob 10.- Calcular la suma. ∑𝟐𝟎 𝒌=𝟏 𝟑𝒌(𝒌 + 𝟐)

Solución. 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐 𝟑 𝟑 ∑𝟐𝟎 𝒌=𝟏 𝟑𝒌(𝒌 + 𝟐) = ∑𝒌=𝟏(𝟑𝒌 + 𝟔𝒌) = 3∑𝒌=𝟏 𝒌 + 𝟔 ∑𝒌=𝟏 𝒌 𝟐𝟎𝟐 (𝟐𝟎+𝟏)𝟐 𝟒

=3

+𝟔

𝟐𝟎(𝟐𝟎+𝟏) 𝟐

= 133560

67

DECIMA SEGUNDA SEMANA. LA INTEGRAL DEFINIDA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE EN UN INTERVALO. Suma de Riemann e integrales definidas.- Considere una función y = 𝒇(𝒙) definida en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃], puede haber valores tanto positivos como negativos en el intervalo ; incluso no necesita ser continua Hagamos una partición en este intervalo cerrado [𝒂, 𝒃] dividimos este intervalo en n subintervalos y al elegir n-1 puntos intermedios entre a y b sean a = 𝒙𝟎 y b = 𝒙𝒏 y seam: 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 … … 𝒙𝒏−𝟏 puntos intermedios que denotaremos por P = { a = 𝒙𝟎 < 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 < 𝒙𝟑 < ⋯ < 𝒙𝒏−𝟏 < 𝒙𝒏 = 𝒃} al cual se conoce como partición P.y se define como partición del intervalo [𝒂, 𝒃] PARTICIÓN.- Es el conjunto de todos los subconjuntos del intervalo [𝒂, 𝒃]es decir. [𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ], [𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ],……,[𝒙𝒏−𝟏 , 𝒙𝒏 ] 𝚫𝒙𝟏 a = 𝒙𝟎

.

𝚫𝒙𝟐 𝒙𝟏

∆𝒙𝒊 𝒙𝟐 ………….

𝒙𝒊−𝟏

𝚫𝒙𝒏

. 𝒙𝒊

𝒙𝒏−𝟏

𝒙𝒏 = b

Donde la longitud del primer subintervalo es: 𝚫𝒙𝟏 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 ; del segundo. 𝚫𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 OBSERVACIONES: 1.- El subintervalo genérico de la partición P es: [𝒙𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊 ], i = 1,2,3,………,n 2.- La longitud de cada subintervalo está dado por. 𝚫𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 , i = 1,2,3,……,n Por lo que si usamos sigma debemos verificar que: ∑𝒏𝒊=𝟏 𝚫𝒙𝒊 = [𝒂, 𝒃] 𝚫𝒙𝟏 a = 𝒙𝟎

𝚫𝒙𝟐 𝒙𝟏

𝚫𝒙𝟑 𝒙𝟐

𝚫𝒙𝒊

. 𝒙𝟑

𝒙𝒊−𝟏

𝚫𝒙𝒏 𝒙𝒊

3.- cuando los subintervalos ∆𝒙𝒊 tienen la misma longitud, esto es. ∆𝒙𝒊 =

𝒙𝒏−𝟐 𝒃−𝒂 , 𝒏

𝒙𝒏−𝟏

𝒙𝒏 = b

i = 1,2,3,…., n llamamos a

esta división una partición regular. 4.- Los extremos derechos de los subintervalos de una partición regular son: ∆𝒙𝟏 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 = ∆𝒙𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 =

𝒃−𝒂 𝒏

𝒃−𝒂 𝒏

𝟏

→ 𝒙𝟏 = a + 𝒏 (b – a); 𝟏

∆𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 =

𝒃−𝒂 𝒏

𝟏

𝟐

→ 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 + 𝒏 (b – a) = a + 𝒏 (b – a);

𝟑

→ 𝒙𝟑 = 𝒙𝟐 + 𝒏 (b – a) = a + 𝒏 (b – a); 68

Por lo tanto el punto terminal derecho de cada subintervalo. [𝒙𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊 ] es . 𝒊

𝒙𝒊 = a + 𝒏 (b – a), i = 1,2, 3,…….., n NORMA DE UNA PARTICIÓN.- La norma de una partición P es el máximo de las longitudes. ∆𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 ; de los subintervalos de P y se denota por ||𝑷||, y esto es. ||𝑷|| = máx. { ∆𝒙𝒊 / i = 1,2, 3,…………, n} Prob1.- en una partición P del intervalo [1, 5] se tiene: P = {1,

1.5,

2.2,

𝒙𝟎

𝒙𝟏

𝒙𝟐

3,

3.7,

𝒙𝟑

4.3,

𝒙𝟒

5}

𝒙𝟓

𝒙𝟔

Entonces tenemos: ∆𝒙𝟏 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 = 0.5

∆𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 0.7

∆𝒙𝟒 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 = 0.7

∆𝒙𝟓 = 𝒙𝟓 − 𝒙𝟒 = 0.6

∆𝒙𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 = 0.8 ∆𝒙𝟔 = 𝒙𝟔 − 𝒙𝟓 = 0.7

Por lo tanto la norma es: ||𝑷|| = ∆𝒙𝟑 = 0.8 = máx. { ∆𝒙𝒊 / i = 1, 2, 3, 4, 5, 6,} NOTA: en una partición regular: ||𝑷|| = ||∆|| =

𝒃−𝒂 . 𝒏

Para una partición general (no regular), la norma está relacionada con el número de subintervalos de [a, b] en la forma siguiente.

𝒃−𝒂 ≤ ||𝑷||

n

Observación: cuando ||𝑷|| → 0, implica que n → ∞ , se debe advertir que el inverso de este enunciado no es cierto. Por ejemplo la norma de la partición dada por. 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

0 < 𝟐𝒏 < 𝟐𝒏−𝟏 . … … . . < 𝟖 < 𝟒 < 𝟐 < 𝟏 𝟏

Es ||𝑷|| = 1 - 𝟐 =

𝟏 𝟐

= máx. { ∆𝒙𝒊 / i = 1,2, 3,…………, n} 𝒃

Por lo tanto el hacer tender n a infinito no implica que ||𝑷|| tienda a cero. ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 𝟏

Prob 1.- Calcular. ∫𝟎 (𝒙𝟑 + 𝟏)dx Sol.

𝑨(𝒙) = 𝑷(𝟏) − 𝑷(𝟎)

𝟏 𝟏 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏 ∫𝟎 (𝒙𝟑 + 𝟏)dx = (𝟒 𝒙𝟒 + 𝒙) | = [𝟒 (𝟏)𝟒 + (𝟏)] - [𝟒 (𝟎)𝟒 + (𝟎)] = 𝟒 𝟎 𝟐

Prob 2.- Calcular. ∫−𝟏(𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐 )dx Sol. 69

𝟐

∫−𝟏(𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐 )dx = [𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 ] |

𝟐 [𝟐(𝟐)𝟐 = − 𝟐(𝟐)𝟑 ] − [𝟐(−𝟏)𝟐 − 𝟐(−𝟏)𝟑 ] = - 8 – 4 = - 12 −𝟏

𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙+𝟐

Prob 3.- Calcular. ∫−𝟏

Sol. dividimos 𝒙𝟐 𝒙+𝟐

→ 𝒙𝟐

𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙+𝟐

→ ∫−𝟏

x+2

-𝒙𝟐 -2x

x–2

𝟏

𝟏

𝟒

𝒙𝟐

𝟏 −𝟏

𝟏𝟐

𝟏𝟐

= [ 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝑳𝒏|𝒙 + 𝟐|] |

2x +4

𝟏

𝟏

𝒅𝒙

= ∫−𝟏 (𝒙 − 𝟐 + 𝒙+𝟐)dx = ∫−𝟏 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫−𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫−𝟏 𝒙+𝟐

= ( 𝟐 − 𝟐(𝟏) + 𝟒𝑳𝒏|𝟑|) − ( 𝟐 + 𝟐(𝟏) + 𝟒𝑳𝒏|𝟏|)

𝟏

𝟏

= 𝟐 − 𝟐 + 𝟒𝑳𝒏 𝟑 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟒𝑳𝒏 𝟏 = - 4 + 4Ln 3 = 4Ln 3 – 4 = 4(𝑳𝒏 𝟑 − 𝟏) 0 𝟒 𝟏+√𝒙

Prob 4.- Calcular. ∫𝟏

𝒙𝟐

dx Sol.

𝟒 𝟏+√𝒙 𝒙𝟐

∫𝟏

𝟒 𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟐

+∫𝟏

𝟏 𝟒

𝟐 𝟒

dx = ∫𝟏

𝟒 √𝒙 𝒙𝟐

𝟒

𝟏⁄ 𝟐

𝟒

dx = ∫𝟏 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 +∫𝟏 𝒙−𝟐 𝒙 𝟏 𝟏

𝟐 𝟏

𝟑 𝟒

−𝟑+𝟏𝟐 𝟗 = 𝟒 𝟒

𝟏⁄ 𝟐 (𝟐 +

𝒙)dx = ∫𝟏 (𝟐𝒙

= (− − ) − (− − ) = - + 3 =

𝟏

𝒙− ⁄𝟐 𝟒 )| −𝟏⁄𝟐 𝟏

𝒙−𝟏

dx = ( −𝟏 +

𝟏 𝟐 𝟒 = (− 𝒙 − 𝒙) | 𝟏

𝟒

Prob 5.- Calcular. ∫𝟏 √𝒙(𝟐 + 𝒙) dx Sol. 𝟒

𝟒

∫𝟏 √𝒙(𝟐 + 𝒙) dx = ∫𝟏 𝒙 =(

𝟑 𝟒(𝟒) ⁄𝟐 𝟑

−

𝟑𝟐 𝟔𝟒 + ) 𝟑 𝟓

=(

𝟒 𝟑

−( 𝟐 𝟓

−( + )=

𝒚𝟐 +𝟐𝒚

𝟏

Prob 6.- calcular:∫𝟎

𝟓 𝟐(𝟒) ⁄𝟐 ) 𝟓

√𝒚𝟑 +𝟑𝒚𝟐 +𝟒

𝟑 𝟒(𝟏) ⁄𝟐 𝟑

𝟏⁄ 𝟐

𝟒

−

𝟑𝟓𝟐 𝟐𝟔 − 𝟏𝟓 𝟏𝟓

𝟓 𝟐(𝟏) ⁄𝟐 ) 𝟓

=

𝟒(𝟐)𝟑 𝟑

=(

𝟑⁄ 𝟐 )dx

+𝒙

−

𝟑

=(

𝟒𝒙 ⁄𝟐 𝟑

𝟐(𝟐)𝟓 𝟒(𝟏)𝟑 )−( 𝟓 𝟑

𝟓

−

−

𝟐𝒙 ⁄𝟐 𝟒 )| 𝟓 𝟏

𝟐(𝟏)𝟓 ) 𝟓

𝟑𝟐𝟔 𝟏𝟓

𝒅𝒙 Sol:

𝟏

∫𝟎

𝒚𝟐 +𝟐𝒚 √𝒚𝟑 +𝟑𝒚𝟐 +𝟒

𝟏

𝒅𝒙 = ∫𝟎

𝒚𝟐 +𝟐𝒚 𝟏 (𝒚𝟑 +𝟑𝒚𝟐 +𝟒) ⁄𝟐

𝒅𝒙 𝟏

𝒖 = 𝒚𝟑 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒 → 𝒅𝒖 = (𝟑𝒚𝟐 + 𝟔𝒚)𝒅𝒚 = 𝟑 𝒅𝒖 = (𝒚𝟐 + 𝟐𝒚)𝒅𝒚 𝒚 = 𝟎; 𝒖 = 𝟒 ; 𝒚 = 𝟏; 𝒖 = 𝟖 70

𝟖 𝟏⁄𝟑

∫𝟒

𝟏

𝟏 𝒖 ⁄𝟑

𝟖

𝒅𝒖 = 𝟑 ∫𝟒 𝒖

−𝟏⁄ 𝟑 𝒅𝒖

𝒅 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 𝒅𝒙 𝒙

Prob 7.- Calcular:

𝟏

= 𝟐 (𝒖

𝟖 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐−√𝟐 ) = 𝟐 (𝟖 ⁄𝟑 − 𝟒 ⁄𝟑 ) = 𝟑 𝟐− √𝟐 𝟒

𝟐⁄ 𝟑|

+ 𝟏) 𝒅𝒕 Sol:

𝒅 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒅

𝒐

𝒅

𝒙

𝒅

+ 𝟏) 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 ∫−𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒕 + 𝒅𝒙 ∫𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒕

𝟑

𝒅

𝒅

𝟑

= 𝒅𝒙 ∫𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒕 = 𝒅𝒙 (𝒕𝟐 + 𝟏) = 𝒅𝒙 ∫𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒕 + 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒖

𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝒖 = −𝒙 → 𝒅𝒙 = −𝟏 ; 𝒙

𝒅

=

= 𝒅𝒙 ∫𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒕 =

𝒅𝒖 𝒅𝒖 . 𝒅𝒖 𝒅𝒙

−𝒅 𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒕𝟐 𝒅𝒙 𝟎

𝒅𝒖

+ 𝟏) 𝒅𝒕. 𝒅𝒙 + 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 + 𝟏)

= 𝐜𝐨𝐬(𝒖𝟐 + 𝟏) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟐 + 𝟏) 𝟏

Prob 8.- Calcular. ∫𝟎 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙

(draper)

Solución 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

∫ (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝟐 ∫ 𝒙𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟎 𝟏𝟑

𝟎

𝟎

𝟎

𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟏 − 𝟐 + 𝟑𝑿| 𝟑 𝟐 𝟎

𝟏

𝟓

F(1) – F(0) = ( 𝟑 − (𝟏𝟐 ) + 𝟑(𝟏)) − (𝟑 − 𝟎𝟐 + 𝟑(𝟎)) = (𝟑 + 𝟐) − (𝟎) = 𝟑 𝟏

Prob 9.- Calcular.∫−𝟏(𝒗 + 𝟏)𝟐 𝒅𝒗

(draper)

Solución 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

∫ (𝒗 + 𝟏)𝟐 𝒅𝒗 = ∫ (𝒗𝟐 + 𝟐𝒗 + 𝟏)𝒅𝒗 = ∫ 𝒗𝟐 𝒅𝒗 + 𝟐 ∫ 𝒗𝒅𝒗 + ∫ 𝒅𝒗 = −𝟏

−𝟏

F(1) – F(-1) = ((

(𝟏)𝟑

𝟏

𝟑

−𝟏

+ (𝟏)𝟐 + (𝟏))) − ( −𝟏

𝟕

(−𝟏)𝟑 𝟑 −𝟏

−𝟏

−𝟏

𝒗𝟑 𝒗𝟐 𝟏 + 𝟐 + 𝒗| 𝟑 𝟐 −𝟏

+ (−𝟏)𝟐 + (−𝟏)) 𝟕

𝟏

𝟖

= (𝟑 + 𝟏 + 𝟏) − ( 𝟑 + 𝟏 − 𝟏)= (𝟑) − ( 𝟑 ) = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑

𝟏⁄ 𝟐 𝒅𝒙

𝟐

Prob 10.- Calcular. ∫𝟎 (𝟒𝒙 + 𝟏)

(draper)

Solución u= 4x+1 → du = 4dx → 𝟐

= dx

𝟏⁄ 𝟐 𝒅𝒙

∫ (𝟒𝒙 + 𝟏) 𝟎

𝒅𝒖 𝟒

𝟐

= ∫ (𝒖)𝟏⁄𝟐 𝟎

𝒅𝒖 𝟏 𝟐 𝟏⁄𝟐 𝟏 𝒖𝟑⁄𝟐 𝟏 𝟑⁄𝟐 𝟏 𝟐 = ∫ [𝒖] 𝒅𝒖 = = 𝒖 = √𝒖𝟑 | 𝟑 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 ⁄ 𝟔 𝟔 𝟎 𝟐 71

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

F(2) – F(0) = (𝟔 √(𝟒(𝟐) + 𝟏)𝟑 ) − (𝟔 √(𝟒(𝟎) + 𝟏)𝟑 ) = (𝟔 𝟑𝟑 ) − (𝟔 𝟏𝟑 ) = (𝟔 𝟐𝟕) − (𝟔) = 𝟏

Prob 11.- Calcular. ∫𝟎

𝟗 𝟏 𝟐𝟔 𝟏𝟑 − = = 𝟐 𝟔 𝟔 𝟑

𝒅𝒙 (𝟐𝒙+𝟏)𝟑

(draper)

Solución u= 2x+1 → du = 2dx → du/2= dx 𝟏 𝒅𝒙 ∫𝟎 (𝟐𝒙+𝟏)𝟑

𝒅𝒙

𝟏 𝟐 𝒖𝟑

𝟏

𝟏 𝒅𝒖

𝟏

= ∫𝟎

= 𝟐 ∫𝟎

𝒖𝟑

𝟏 𝟏 −𝟑 𝟏 𝟏 𝒖−𝟐 𝒖 𝒅𝒖 = ∫ ∫ 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 −𝟐

=

𝟏

𝟏

𝟏 𝟏

𝟏

𝟏 𝟏 𝒖𝟐

𝟑

𝟏

= - 𝟒 (𝟐𝒙+𝟏)𝟐 | 𝟏𝟎

𝟏 𝟏−𝟗 )= 𝟗

-

= - [((𝟐.𝟏+𝟏)𝟐) − ((𝟐.𝟎+𝟏)𝟐)] = - ( − 𝟏) = - ( 𝟒 𝟒 𝟗 𝟒 Prob 12.- Calcular. ∫𝟏 (𝟐𝜽 + 𝟏)(𝟑 − 𝜽) 𝒅𝜽

𝟏

= - 𝟒 ∫𝟎

𝟏 −𝟖 𝟖 = 𝟒 𝟗 𝟑𝟔

=

𝟐 𝟗

(draper)

Sol. 𝟑

𝟑

𝟑

∫𝟏 (𝟐𝜽 + 𝟏)(𝟑 − 𝜽)𝒅𝜽 = ∫𝟏 (𝟔𝜽 − 𝟐𝜽𝟐 + 𝟑 − 𝜽)𝒅𝜽 = ∫𝟏 (𝟓𝜽 − 𝟐𝜽𝟐 + 𝟑)𝒅𝜽 = 𝟓(𝟑)𝟐 𝟐

=(

=

𝟐(𝟑)𝟑 𝟑

−

𝟓(𝟏)𝟐 𝟐

+ 𝟑(𝟑)) − (

𝟖𝟏−𝟐𝟗 𝟓𝟐 = 𝟔 𝟔

=

𝟐(𝟏)𝟑 𝟑

−

𝟒𝟓

𝟓

𝟓𝜽𝟐 𝟐

𝟐

+ 𝟑(𝟏)) = ( 𝟐 − 𝟏𝟖 + 𝟗) − (𝟐 − 𝟑 + 𝟑)=

−

𝟐𝜽𝟑 𝟑

𝟐𝟕 𝟐

-

+ 𝟑𝜽| 𝟑𝟏

𝟐𝟗 𝟔

𝟐𝟔 𝟑

𝟐 𝒙𝟐 −𝟏

Prob 13.- Calcular. ∫𝟏

𝒙𝟒

dx

(draper)

Sol. 𝟐 𝒙𝟐 −𝟏

∫𝟏

𝒙𝟒

𝟐 𝒙𝟐

𝟐

𝟏

𝟏

𝟏

𝒅𝒙 = ∫𝟏 (𝒙𝟒 − 𝒙𝟒) 𝒅𝒙 = ∫𝟏 (𝒙𝟐 − 𝒙𝟒)dx = (𝒙−𝟐 − 𝒙−𝟒 )𝒅𝒙 = 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

= (− 𝟐 + 𝟑(𝟐)𝟐) − (− 𝟏 + 𝟑(𝟏)𝟐) = 𝟖

𝟏⁄ 𝟑

Prob 14.- Calcular. ∫𝟏 (𝒖

𝒙−𝟏 −𝟏

−

𝒙−𝟑 𝟐 | −𝟑 𝟏

−𝟏𝟏 𝟐 −𝟏𝟏+𝟏𝟔 𝟓 + 𝟑 = 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 𝟐𝟒

𝟏⁄ 𝟑 ) 𝒅𝒖

−𝒖

(draper)

Sol. 𝟖

𝟏⁄ 𝟑

∫𝟏 (𝒖 𝟑

𝟏⁄ 𝟖 𝟏 𝟖 𝟏 𝟑 𝟑 ) 𝒅𝒖=∫ 𝒖 ⁄𝟑 𝒅𝒖 − ∫ 𝒖 ⁄𝟑 𝒅𝒖= 𝟏 𝟏 𝟒

−𝒖

𝟒⁄ 𝟐 𝟑 𝟑− (𝟖) ⁄𝟑 ) 𝟐

=(𝟒 (𝟖)

𝟑

𝟒⁄ 𝟐 𝟑 𝟑− (𝟏) ⁄𝟑 )=(𝟏𝟐 𝟐

− (𝟒 (𝟏)

𝟒⁄ 𝟑 𝟐 𝟑− 𝒖 ⁄𝟑 | 𝟖 𝟏 𝟐

𝒖

𝟑

𝟑

𝟑

− 𝟔) − (𝟒 − 𝟐) = 6 + 𝟒 =

𝟐𝟕 𝟒

72

DECIMA TERCERA SEMANA. PARTICIÓN DE UN INTERVALO DEFINICIÒN: El área de una región se va a obtener como una suma (posiblemente infinita) de áreas de rectángulos. Para facilitar la escritura y compresión de tal proceso, vamos a introducir una notación La suma de n términos 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ,..., 𝒂𝒏 se denota por 𝒏

∑ 𝒂𝒊 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . . . . +𝒂𝒏 𝒊=𝟏

Donde i se llama índice de la suma, 𝒂𝒊 el i-esimo término de la suma y los lımites inferior y superior de la suma son 1 y n, respectivamente. Estos lımites deben ser constantes con respecto al índice de la suma y la única Restricción es que el lımite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al lımite inferior.

ÁREA DE REGIONES LIMITADAS POR LOS EJES; POR DOS CURVAS. LONGITUD DE ARCO. 1.- Calcular el área del recinto determinado por las funciones 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐, el eje x y las rectas x=o y x=3. Solución: 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝑨=

𝟏 ∫𝟎 (𝒙𝟐 𝟑

𝒙=

𝟑±√𝟗−𝟒×𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 ∫𝟏 (𝒙 𝟑

=

𝟑+𝟏 ; 𝟐

𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟏 , x = 0, x = 3 𝟑 ∫𝟐 (𝒙𝟐 𝟑

− 𝟑𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 − − 𝟑𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 + − 𝟑𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝟑𝒙 𝒙 𝟑𝒙 𝒙 𝟑𝒙𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝑨=( − + 𝟐𝒙) | − ( − + 𝟐𝒙) | + ( − + 𝟐𝒙) | 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟖 𝟒 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 − 𝟑𝟐 𝑨 = − + 𝟐 − 𝟎 − ( − 𝟑 − + 𝟐 − 𝟐 − + − 𝟐) + − 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 +𝟔 𝟖

𝟒

𝑨 = −𝟑 + 𝟑 × 𝟐 + 𝟐 × 𝟐 =

𝟓𝟗 𝟐 𝒖 𝟔 𝟏

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva 𝒚 = (𝒙+𝟏)(𝒙+𝟑) 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟏 Solución: 𝟏 𝐲= ; 𝐱 = 𝟎 ,𝐱 = 𝟏 (𝐱 + 𝟏)(𝐱 + 𝟑) 𝟏 𝒅𝒙 𝑨 𝑩 𝐀=∫ = + 𝒙+𝟏 𝒙+𝟑 𝟎 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) 𝑨(𝒙 + 𝟑) + 𝑩(𝒙 + 𝟏) 𝑨= → 𝟏 = 𝑨(𝒙 + 𝟑) + 𝑩(𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) 𝒙 = −𝟏 → 𝟏 = 𝟐𝑨; 𝑨 = 𝟏⁄𝟐 { 𝒙 = −𝟑 → 𝟏 = −𝟐𝑩; 𝑩 = − 𝟏⁄𝟐 73

𝟏

𝟏 𝟐

𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐×𝟑 𝟏 𝟑 𝑨 = 𝑳𝒏𝟐 − 𝑳𝒏𝟒 − 𝑳𝒏𝟏 + 𝑳𝒏𝟑 = (𝑳𝒏𝟐 − 𝑳𝒏𝟒 + 𝑳𝒏𝟑) = 𝑳𝒏 ( ) = 𝑳𝒏 ( ) 𝟏

𝟐 𝑨 = ∫𝟎 ( 𝑿+𝟏 −

𝟐

𝑿+𝟑

𝟏

𝟏

)𝒅𝒙 = (𝟐 𝑳𝒏|𝒙 + 𝟏| − 𝟐 𝑳𝒏|𝒙 + 𝟑|) |

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

∴𝑨=

𝟐 √𝟑 𝑳𝒏 ( 𝟐 ) 𝒖𝟐 𝟑 𝟐

𝟒

𝟐

𝟐

3. Calcular el área comprendida entre la función 𝑭(𝒙) = 𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟑𝒙 y el eje x. Solución: 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 → 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎 → 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑) = 𝟎 𝒙=𝟎 𝒙=𝟏 𝒙=𝟑 𝟏

𝟑

𝑨 = ∫ (𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 − ∫ (𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 𝟎

𝟏

𝒙𝟒 𝟒𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟒 𝟒𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝟑 𝑨=( + + + )| − ( + )| 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟖𝟏 𝟒 × 𝟐𝟕 𝟑 × 𝟗 𝟏 𝟒 𝑨= − + −𝟎−( − + − + 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟑 − ) 𝟐 𝑨 = 𝟑. 𝟎𝟖𝟑 𝒖𝟐 𝟗

4. Calcular el valor de “m” para que el área limitada por la curva 𝒚 = 𝒙𝟐 y la recta 𝒚 = 𝒎𝒙 sea 𝟐 𝒖𝟐 . Solución: 𝒚 = 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒎𝒙, 𝑨 =

𝟗 𝟐

𝒙𝟐 = 𝒎𝒙 → 𝒙(𝒙 − 𝒎) = 𝟎 𝒙 = 𝟎

𝒎=𝒙

𝒎

𝒙𝟑 𝒎𝒙𝟐 𝒎 𝑨 = ∫ (𝒙 − 𝒎𝒙) 𝒅𝒙 = ( − )| 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐

𝑨=

𝒎𝟑 𝟑

→

𝒎𝟐 𝒎𝟑 − 𝟔) = 𝟐 𝟑 𝟗×𝟔 𝒎𝟑 = = 𝟐𝟕 𝟐

− 𝒎.

−

𝒎𝟑 𝟐

=

𝒎𝟑 𝟔

𝟗

=𝟐

∴m=3

5. Calcular el área del recinto limitado por las curvas 𝒚 = 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟑|; el eje x, entre x=0 y x=1. Solución: 𝒚 = 𝑳𝒏|𝒙 + 𝟑| , x = 0, x = 1 𝟏

𝐀 = ∫ 𝐋𝐧(𝐱 + 𝟑) 𝐝𝐱 = ∫ 𝐋𝐧(𝐱 + 𝟑) 𝐝𝐱 𝟎

𝑨 = 𝒙𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑) − ∫ 𝒖 = 𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙

𝒅𝒖 = 𝒙+𝟑

𝒙 𝟑 𝒅𝒙 = 𝒙𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑) − ∫ (𝟏 − ) 𝒅𝒙 𝒙+𝟑 𝒙+𝟑 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝒗=𝒙

𝟏 𝑨 = [𝒙𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑) − 𝒙 + 𝟑𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑)] | 𝟎 𝟏 𝑨 = [(𝒙 + 𝟑)𝑳𝒏(𝒙 + 𝟑) − 𝒙] | 𝟎 𝑨 = 𝟒𝒍𝒏𝟒 − 𝟏 − 𝟑𝑳𝒏𝟑 + 𝟎 = (𝟒𝑳𝒏𝟒 − 𝟑𝑳𝒏𝟑 − 𝟏)𝒖𝟐

6. Calcular el área del recinto limitado por las funciones 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙.

74

Solución: 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙 , 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙. → 𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 → 2𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝟎 𝒙(𝒙 − 𝟏) = 𝟎; 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟏 𝟐

𝟏

𝑨 = ∫ [𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 − (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟎 𝟏

𝑨 = ∫ (𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟎

𝟐𝒙𝟑 𝟏 | 𝟑 𝟎 𝟐 𝟏 𝑨 = 𝟏 − − 𝟎 = 𝒖𝟐 𝟑 𝟑 𝑨 = 𝒙𝟐 −

7. Hallar la longitud de la curva de la función, en el intervalo [0,3]. Solución: 𝟑

𝟏

𝒂

𝒚 = 𝟔 (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐

𝟑

𝑳 = ∫𝒃 √𝟏 + [𝑭(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙 = ∫𝟎 √𝟏 + 𝟑

𝟏 𝟑

′

𝟏

𝒚′ = 𝟔 . 𝟐 . (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 . (𝒙𝟐 + 𝟒)

𝟏

𝟏 𝟑 = 𝟐 ∫𝟎 √𝟒 + 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟑

𝟑

= 𝟐 ∫𝟎 √(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 𝒅𝒙 =𝟐 ∫𝟎 (𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒅𝒙 = 𝟐 ( 𝟑 + 𝟐𝒙) |

𝟏

𝟏

𝟑

𝒙𝟐 (𝒙𝟐 +𝟒) 𝒅𝒙 𝟒

𝟏 𝟎𝟑

𝟏

𝒚′ = 𝟒 . (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 .2x

= 𝟐 [𝟑𝟑 + 𝟐(𝟑)] − 𝟐 [ 𝟑 + 𝟐(𝟎)]

𝟑 𝟎

= 𝟕, 𝟓 𝒖

𝟏

𝟏

𝒚′ = 𝟐 𝒙. (𝒙𝟐 + 𝟒)𝟐 𝟏

(𝒚′ )𝟐 = 𝒙𝟐 . (𝒙𝟐 + 𝟒) 𝟒 8. Hallar la longitud de arco, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑/𝟐 para x=2 y Solución: 𝟑

𝐚

𝟑 𝟐

𝐲 ′ = 𝟐. 𝐱 𝟏/𝟐 𝐲 = 𝟑𝐱

𝟒

𝐋 = ∫𝐛 √𝟏 + [𝐅(𝐱)]𝟐 𝐝𝐱 = ∫𝟐 √𝟏 + 𝟗𝐱 𝐝𝐱

𝐲 = 𝟐𝐱 𝟐

′

y=4.

𝐮 = 𝟏 + 𝟗𝐱, du = 9dx →

𝟏 𝟐

𝐋= 𝟏 𝟐

𝟒 𝐝𝐮 ∫𝟐 𝐮𝟏/𝟐 𝟗

𝟐

(𝐲 ′ )𝟐 = (𝟑𝐱 )

𝐋=

=

𝒅𝒖 𝟗

𝟏 𝟒 𝟏/𝟐 ∫ 𝐮 𝟗 𝟐

𝟐 [𝟏 + 𝟐𝟕

= dx 𝟏 +𝟏

=

𝟑 𝟐

𝟗(𝟒)] −

𝟏 𝐮𝟐 𝟒 [ ]| 𝟗 𝟏+𝟏 𝟐 𝟐

𝟐 [𝟏 + 𝟐𝟕

𝟑 𝟏𝐱𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 = 𝟗𝐱𝟑 𝐮𝟐 | = 𝟐𝟕 (𝟏 + 𝟗𝐱)𝟐 | 𝟐 𝟐

𝟗(𝟐)]𝟑/𝟐 = 𝟏𝟔, 𝟔𝟕 − 𝟔, 𝟏𝟑 = 𝟏𝟎, 𝟓𝟒 𝐮

(𝐲 ′ )𝟐 = 𝟗𝐱

9. Calcular el área limitada por las curvas 𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 y la recta 𝒚 = 𝟑. Solución: 𝟐

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑

𝑨 = ∫𝟎 [𝟑 − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)] 𝒅𝒙

𝒚=𝟑

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟎

𝑨 = ∫𝟎 (−𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝒙𝟑 𝟐 𝑨 = − 𝟑 + 𝒙𝟐 | 𝟎 𝟖 𝑨 = −𝟑 + 𝟒 − 𝟎

𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎

𝑨 = 𝟑 𝒖𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟑

𝟐

𝟒

𝒙=𝟎 𝒙=𝟐

75

10. Hallar el área comprendida entre los gráficos 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 y el eje x. Solución: 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 → 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 = 𝟎 ; 𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏) = 𝟎 , x = 0, x = 1 𝟏 𝒙𝟒 𝒙𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 Eje x. 𝑨 = − ∫𝟎 (𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙= -[ 𝟒 − 𝟑 ] | = - 𝟒 + 𝟑 = 𝟏𝟐 𝒖𝟐 𝟎

11. Calcular la longitud de arco 𝒚 = 𝟐𝒙𝟏/𝟐 para 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟏. Solución: 𝟏

𝟏 𝟐

𝟏

𝐲 = 𝟐𝐱 𝟐 = . 𝟐. 𝐱 𝟐−𝟏 = 𝐱 𝟏/𝟒

𝟏

→

𝟐

𝟏

(𝐲 ′ )𝟐 = (𝐱 𝟒 ) = 𝐱 𝟐

𝒂 𝟏 𝐱 𝟏 𝟏 L = ∫𝒃 √𝟏 + [𝒇(𝒙)]𝟐 dx = ∫𝟎 √𝟏 + 𝒙𝟐 = [𝟐 √𝐱 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝐋𝐧|𝟏 + √𝐱 𝟐 + 𝟏] | 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 = 𝟐 √𝟏 + 𝟏 + 𝟐 𝐋𝐧 |√𝟏 + 𝟏| = 𝟐 √𝟐 + 𝟐 𝐋𝐧|𝟏 + √𝟐|

∴ 𝐋 = 𝟏, 𝟏𝟓 𝐮 12. Calcular el área dela figura limitada por la parábola 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 , y el eje de las abscisas. Solución: 𝟐 Como 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙 ⇒ 𝒚 − 𝟒 = −(𝒙 − 𝟐)𝟐 , es una parábola de vértice en el punto V(2,4) . 𝟒 𝟒 𝒙𝟑 𝟒 𝟒𝟑 𝟑𝟐 𝑨 = ∫𝟎 𝒚 𝒅𝒙 = ∫𝟎 (𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 = (𝟐𝒙𝟐 − ) | = 2.𝟒𝟐 − − 𝟎 = 𝒖𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟎

13. Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola 𝒙𝒚 = 𝒎𝟐 las rectas verticales 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝟑𝒂 (𝒂 > 𝟎) y el eje x. Solución: xy = 𝒎𝟐 → y = 𝟑𝒂

A = ∫𝒂 𝒚𝒅𝒙 =

𝒎𝟐 𝒙 𝟑𝒂 𝒎𝟐 ∫𝒂 𝒙

𝟑𝒂 dx = 𝒎𝟐 Ln| = 𝒎𝟐 Ln3a - 𝒎𝟐 Lna 𝒂 ∴ 𝑨 = 𝒎𝟐 𝑳𝒏𝟑 𝒖𝟐

14. Calcular el área de la figura limitada por las parábolas 𝒚 = 𝒙𝟐 , 𝒚 =

𝒙𝟑 𝟑

Solución: 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚=

𝒙𝟑 𝟑

𝒙𝟑 𝟑

= 𝒙𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟎 𝒙=𝟑

𝟑

𝑨 = ∫ (𝒙𝟐 − 𝟎

𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟑 𝟑𝟑 𝟑𝟒 ) 𝒅𝒙 = ( − ) | = ( − ) − 𝟎 𝟑 𝟑 𝟏𝟐 𝟎 𝟑 𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟗 𝟐 𝑨=𝟗− = 𝒖 ⇒ 𝑨 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝒖𝟐 𝟒 𝟒

Prob 15.- Trazar la curva y determinar el área comprendida entre la curva, el eje x y las ordenadas que se indican. y = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙, x = - 1, x = 4 (draper) Sol. 76

𝟒

𝟎

S = ∫𝟎 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 = ∫−𝟏(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 + 𝟑

𝟒

|∫𝒐 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙)𝒅𝒙| + ∫𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙)𝒅𝒙 𝟎

𝟑

𝟒

𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐 𝑺=[ − ] + |[ − ] |+[ − ] 𝟑 𝟐 −𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑 𝑺=

𝟏𝟏 𝟔

𝟗

+ |− 𝟐| +

𝟏𝟏 𝟔

=

𝟒𝟗 𝟔

𝒖𝟐

Prob 16.- Determinar el área entre la curva 𝒚 = 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 , el eje X, y las ordenadas mínimas. (draper) Sol: Criterio de la primera derivada: 𝒚′ = 𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟎 = (𝟒𝒙𝟐 − 𝟏)𝒙 = 0 → x = 0 , x = ±

𝟏 𝟐

Criterio de la segunda derivada: y´´= 24𝒙𝟐 − 𝟐 → y´´(0) = - 2 < 𝟎, ∃ máximo 𝟏 𝟏 𝒚′′ (± ) = 𝟒 > 𝟎 ∃ 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒆𝒏 𝒙 = ± 𝟐 𝟐 Graficando:

𝟐𝑺 =

𝟎 |∫−𝟏(𝟐𝒙𝟒 𝟐

𝟏 𝟐

𝟐

𝟒

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏

𝟒

𝟐

− 𝒙 )𝒅𝒙| + |∫𝟎 (𝟐𝒙 − 𝒙 )𝒅𝒙| = 𝟐 |∫𝟎 (𝟐𝒙 − 𝒙 )𝒅𝒙| =

𝟐𝒙𝟓 𝟐 |( 𝟓

−

𝒙𝟑 𝟐 ) | 𝟑 𝟎

𝟏

=

𝟐𝒙𝟓 𝟐 |( 𝟓

−

𝒙𝟑 𝟐 ) | 𝟑 𝟎

𝟕

𝟕

= 𝟐 |− 𝟐𝟒𝟎| = 𝟏𝟐𝟎 𝒖𝟐

Prob 17.- Trazar una gráfica y hallar el área limitada por las siguientes curvas. 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙, y=x–4 Sol.

𝒚𝟐 , 𝟐 𝟒 𝒚𝟑 ) 𝟔 −𝟐

x= 𝟒

S = ∫−𝟐 [(𝒚 + 𝟒) −

𝒚𝟐 ]dy 𝟐

𝒚𝟐

= ( 𝟐 + 𝟒𝒚 −

x=y+4

(draper)

→ y = - 2, y = 4

𝟒

= (𝟖 + 𝟏𝟔 − 𝟑𝟐) − (𝟐 − 𝟖 + 𝟑)= 18𝒖𝟐 Prob 18.- Trazar una gráfica y hallar el área limitada por las siguientes curvas. y = x - 𝒙𝟐 , y = - x

(draper)

77

Sol. 𝟐

S = ∫𝟎 [𝒙 − 𝒙𝟐 − (−𝒙)]dx = (𝒙𝟐 − 𝟖

𝟐 𝒙𝟑 ) 𝟑 𝟎

𝟒

= 4 - 𝟑 = 𝟑 𝒖𝟐

Prob 19.- Trazar la curva y determinar el área comprendida entre la curva, el eje x y las ordenadas que se indican. 𝒙𝟐 , 𝒙≤𝟐 𝒇(𝒙) = { , 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟑 −𝒙 + 𝟔, 𝒙>𝟐 Sol: 𝟐

𝒙𝟑

𝟑

𝟐

𝒔 = ∫𝟎 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + ∫𝟐 (−𝒙 + 𝟔) 𝒅𝒙 = ( 𝟑 ) + (− 𝟎

∴ 𝒔=

𝟑𝟕 𝟔

𝒙𝟐 𝟔

𝟑

𝟖

𝟗

+ 𝟔𝒙) = 𝟑 + (− 𝟐 + 𝟏𝟖) − (−𝟐 + 𝟏𝟐) 𝟐

𝒖𝟐

Prob 20.- Calcular el área limitada por la curva. y = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 8x, y el eje x Sol. Calculamos los puntos de corte de la curva con el eje x :

x 3  6x 2  8x  0

x  0 ( x 2  6 x  8) x  0   2  x  6 x  8  0  x  2; x  4 Los puntos de corte obtenidos son 0, 2 y 4 , por tanto el área pedida se halla resolviendo las integrales:

78

2

(x I1= 

3

 6 x 2  8x)dx

3

 6 x 2  8x)dx

0

4

(x I2=  2

2

 x4 3 2  4  2x  4x   4 0 I1=  ; 4

 x4 3 2  4  2 x  4 x   4 2 I2=  ; Area=4+-4=8 u2

79