Calculo Solucionario
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EDITORIAL SAN MARCOS NatalioSánchez220 Ot.30S- Jesús María
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LIMITES
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I1m h+ o
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h
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1
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1
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1
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f .(+ h) -f (x) h
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2.-x2=r 2. z*Lf;'tL¡]. =1io (x*hJ r*" ¡¡
S OLU C ION :
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(2 x + i r ) = Zx + 0
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1fm h-+o
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l
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n-l'o
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E,
- f (x)
f (x + h )
1ím ¡'I+O
-h
r 1r] h+o
-ffiht
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x(x
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h
h*o
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ax Z + b x + c
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i i (x + h )
2 * b (x* i i ) + c:-?I2 -bx -c
f(x)
)?2 axt+2q
+
Lim h*o
I v fv + 1' l
2x
f (x + ¡¡
f (x)
= *3
---l-h
lim
x3* 3x2h*3xh2nh3 --x3
2ax h
+ ahZ+ bh
h
Zax
+
b+a(0)=Zax
Zax
f
b
cr* + ah + b)
il|
h*o
-f(x)
+!
sxZ
que:
=,.-L x
h
h*o
2h*3xh2*h3 = 1ím 3x =i i l h-+o h
I
f(x+h)
h
3x2+ 3x(0)
Da do f (x) = J- ¿"*ortrar
I hro
+ 31
h *o
h*o
L[nr
v i r fv
SOLUCION:
h+o I lfl
+ h)
2nbx*c
1 int h*o
f(x)
x- ( x
2
d¡:
(sx2*3xh*h2)
+ (0) 2= 3*2
t7
CAPITULOIII DERIVACIOÑ
Y+AY=
/ a (:1 + ¡Y"; -
[v * ¿v]
- v :
fe{.x + ¿-..)2]- o*2
Ay = [Ax-' * 2a:*Ax
* a(A*)21 - .*2 .) 6;i = 2axA:l * a(Ax)-
de c ada una d e 1 a s s i g u i e n t e s 1 a der iv ada Calcula r i,-tn cio n"s us ando la r egl a gener al '
l.
l'-
- rAX y- = 2¿ ¡ + aAx
Y=2-3x H aci endo
S O LUCI O N :
A \t
a y = -3 ¡x *# =
7.
I {r.
-3
-:¿-= dx
')
2l- = Zax Ax
Y = ?- 3x y + A y = 2- 3 (x + A x ) = 2 -3 x -5 Ax * lf J - Y = z - 3 x - 3 a x - 2 + 3x [y
segundo mienbro:
el
A x -+ 0en
JL ctx
= Zax
'/ S = 2t - tSOLUCION: ?
S=2t-t-
-3
Y=mx+b
S+AS,=2(t+At)
- (t
S+AS=2t+ZLt
tz
(S+aS)'-S=2t+
|Lt
I O N: S O LUC
€=2At
- [rnx + b]
-
- 2t¡t - t2-
(¿t) 2
ztlt
zt/tt
- (¡t)
Zt - At
*
AS = ZLt -
y = r nx + b y + A y = n( x + Ax )+ b + -Av'] l-v - y/ = tfrnx * m[x * b] tJ L)
+ at¡2
-(At)z-
2 dS, = / dr
AY- m x + m Ax + b- m x - b
ay = n^x *!I' ¡ Ax
n
3 t.-
I=Cx
' Sol,Ucr oH:
1i
hl
3Ldx
'{
ÉL
I
y=cx ^-_3
Y'¡lx
¿QlrulilllN: t
Y'e ¡
y + ^y
+,ax)s - c(x
- 2t
zt +
18
ay = s¡3*
scxZ^x + scx(¡*)2*
c(Ax)3-.*3
Au * 8VAV + 4(AV)2* 6V2tV + 6V(AV)Z * Z(aV)3
Ay = 3.*2Ax + 3cx(Ax)2 * ,(A*)5 *,
= tu + 6y2+ 4Av + 6v¿v + 2(Av)z
*f=3cx2*3cxax+c(ax)
A)' = icxZ. .1-x 6.
-) -gIdx
= icx2
y = 3x , x3 proceso idéntico
g= AV
8v + 6v2
y=x
4
dV
4
) r =x Y+ aY= )¡+Ay.
En el segundo miembro hacemos que Ax
0
4x (ax¡
4y= Ax
u=4 V2+zv3
3*
4x3
-'
segundo rnienbro
dY = 4x3 dx
2 0+1
SO LUCI ON:
SOLUCION: p=
:
z+zptv|s u + Au = 4v?+8vav++(tv)2+zy3+oy2ay*6y(ay) (u+Au)- (u) =4v2+Bvav+4 (^v) 2*zu3*rl2¡av+6v(av)2*ztdvl 3 -4u'
+ AoJ- o
z
url
2 o+A0+l
p+AP=
to
;---t
r
o+40+1 - 'zt t
,
(¿x) 4 - x
* (¿*)a
2 3 4x3* óx2^x + 4x (¿x) '+ (¿-.)
Haciendo Ax -; o en el
3-3x2+d)r=3-3xZ dx
u =4 V2r zVS u + Au = 4(V + aV)Z * z¡V + av)3
2*
ay= 4x3¡x * 6x2(ax)2+ 4x(¡*)3 Ay Ax
+
(x + Ax) y = (x + ¿x)4 - *4
ay= *4* 4*3¿* *i u*'(¡x)
-a v-= 3 - 3 x2 - sxa x - ( Áx) 2, Ax
'f
+ o..,2 v
8V
.$OI,U C IOÑ :
( )'= 5x - x" y+Ay=3(x+Ax) - (**¿*)3 (y + Ay) - y = 3(x. + &.r) - (x + A*)3- (jx - *3) ay = J¡+J.'lx-x3- 3x2¡x-3x (ax)'- (*)3-!***3 ay = sax - ixZax - sx (.¿x)2- (nx)S
Ax
clu -+ -=
al anterior:
.IOLUCION:
¿Y=
.+0
E n e l s e g u n d o mi ernbro
I"{aciendo Ax -+ 0 en el segundo miembro:
-
2 0+l -
ap=
( o+ 1 ) (0 + 1 + 4 0 )
cú
do
2
ie-
(o+'t) (o+1)
AE
de
segui l
(* 2 * , 2
l^) =__
t+ 4
t SOLUCION:
2
C;P
t+ at+4
S+AS=
't0.-
2)-
-
dx
A O + 0 en el haciendo d o mi e m bro.
,\g
(x-*
2l
óx
=
bg
(e+1) (0+1+¡s¡
o.(1+0)
7?
x4*4x2* 4
dv
-2A 0
? ¡ í1]
(0+1 )2*
Ax
O2+ 2el + 1 + A O(' l + (,)
0 2 + OA o + 0
ae+o + l +
6x
6x
Ay
-2A0
20-zLO-2
20+2
t+ at 3 Y =- ., xo+Z
S+aS
-$=
t+At+4
t+4
t+At
t
!üLUCION: AS=
5 vra y
t2*
t'tt + 4t
t2*
=
(x + Ax)"+ 2 AS
33
( v* ^v )-v=ffi-7;
.L
A'
* o*r*t**4xz* Av,
1' =
x2(¡*)2+4 x a ¡< '+ 2 (a : c )z +4
3 [2x - ¡xl
2+¿xa:<+2 (a:c)2+4 Ax x4*2*3Ar.*4\2r*2 (¡x) En el segundo ¡niembro hace¡no5: A:c 'r 0
-1.
4 rlt
I ¡. +
=-t?,
segundo miembro hacemos
t!'t Ac + 0
ds4
é=
.l +
t2
t-
7
1
y.¿#
-Ox¡:c - 3f¡:c)2
- 4t
t2+ t a t
AS
n o - sx,Z- 6x¡x - s (¡x )2 . 0,, =- sxZ 2* z x ? * 4 x r+ 2 (a x ) 2 + 4 * 4 * 2*3a*+ZxZ+xz (A x)
tút
; en el
Af
6
av e' =
- t? - rat
1- 2x S O L UCI O N: )'+aY
1-2(x+Ax) 1
(y+Ay) -y . -* 1-2(x+6¡¡¡
:'a' | -Zx-1+2x+7 .!\ 1 - 2x - 2 tx - 2x + 4xL + 4x t-x.
ay=
i L=
(2x - 1)- - ¿Lx + 4xAx
AX
., LiJAX
-
ADAt 2+ ( Ct +D) (Ct+n¡
Aq
(1 -Zx)z
=-
Y ^
A q^n-paásA n-B l .pv t\u
+
o
(c t + l¡ 2 r ( c t + n ) c a t
at ¿lo
_
-
At
u
.
i solucloN: -
p+aP
=
7 H
A o=
y= T 0+40
2A0 t)
(ei2¡'+
(0+2)2+ (o+2) Ae
A9
2'
ap_
r 4. '
(o+2) .,
2+ (O+2)A0
AO
(0+2) -
^
At+B
b =-
+0eneL queA0 segundo mienbro.
(Ct + n¡2
y * oy
(x+ax)S*1
(y
Ay
2 ,
(e+Z)L
ct+ D S0LUCI0N i S+aS - A(t+at)+3 -
dt
(e+2) A0
; haciendo
* 4 9ou = '
:-_
x'+1
SOLUCIONt
- e+ z
E-=-qo-
+ eA 0+20+240- t1.?! - t *
_g=
(c t + n ¡2 '
. En e1 segundo n ienb r c ' hacenos que ¿t - 'l
1
o+Ao g+40 + 2
i (p+ap)-P
CAt
AD-BC
AS-
H
1? t r'
¿,cr2+tecat+BC+ADL+ADAI+DB-ACT' -acrAr-Rt t -BCt -BCAt-BD ( c r +D ) 2 + c Ar ( c r + D )
(1 -zx)2
,*D'
dy dx
t
?
-
a_
=
n
Ct +
C t +CAt +D
* Oren; hacemos que Ax tonces:
a
23
At+B
= At+AAt+B
(S + lS¡-S
?LX ZLx =., 1 -4x-2Ax+4x'+4xAx 4xo -4x+1 - 2Ax+4xAx
c (t+at) +D
r
At+AAt+B ct+cat+D
* gxz(Ax)z*x(Ax)l - Ax l, = zxla¡c ,x2 * xa:c
SOLUCION: Ay -J-
2x5+ 3¡¡20* * x(Ax)2-
=
y +^ y =r - - - i ++
1 s 1 nacemos que Ax+0 ; en el segundo ¡niembro.
^x
(y * ¡y )
-y =
2x-
ay
1
Y+LY
(x + ax)
1
( yo a y) - y= (x*.lx¡ -2xAx -
ay= 1 - xZ - x^x
2*
Ax (x2+l ¡ [t + ¡x+ax¡
^?'
* 2*r z - *2 - z*L*-
22
2r ^2J 7*2*^21[( x+ax)
2*¿2
2 x + Ax
-:J
3l-
( * 2 * o2) [(x+ax) 2*^ 2f '
h a cenos que A x * 0 en e l segundo mi enbro.
ax
-v
(x2+ t)
('t * x2)
2x
Ax ¡x2*.2¡ ¡x2*a2¡
17.-
(*2 * 1)
/ = --; 1 - x" (1 + x-)
=*2 4 -x -
?
4-(x
(x"+ a')'
ly + Ax)Z
--T
* 2*
*?
ay) - y= +i
ay=
2] [ x 2 * 2 x A x *( a x ) ( + - * 2 ) - * 2 1 4- * 7 - 2 * L * - f * l
1- (r * ¡*)'
)
+ ax)z
(y *
[+. (x+rx¡'J U -*')
y=
(x + Lt)-
y + Ly -
2x
2x
¡ *2 , ^ 2 7 2
haciendo que Ax * C en e1 segundo miembro:
- *7 -1 (* 2 * 1 )z
ION: 2/_
2]
1-x?
=
= _v dx
(A*)Z
z*^ 2 1 ¡ x z *a z 7[(x+a x)
dx
- x
Zx'Ax - ): f¡xl-
(* 2 * 1 ) [ 1 + ( r + a * ) 2 ]
SOLUCION:
dv
x'+. . 1
Ay = , -* 2 4 * * A * - * ( a * 1 2
I
z2
A¡
--l-
1
* x + &( - x'-
[ (* * a x ) z + t ]
1
x+a
Ay=
x"&\
x=-
16.- y
7?a'?
x'*
-
+ Ax) "+
[x
*z
dy= dx
x+Axx
__----"
z*-L ;
1
( x+ax1"+
4:xt]
.4x
2'4x2 +x4+¿r5¡ur+ft 2 2+8x¡x+4 2 tax ) -x4 -2x5 Áx-x Cax)
..- r
*2 (A*)''
* a(¿t)2
.Zat+
b+ a^t
( l' * ")
haciendo At do m ienbr o.
¿r = 8xa x+4[¡x)2 -')-? 14 - ( x+nx.¡-J(a-x-)
8x + 4Ax
ul
.r_
^x
')
f4-(-x+a-r)'] (4-x") 8x
Ax Á,,
sf
* bAt
:
=
[ o- ( ¡ * * ) ' ]
* Zatlt
2a+ b
. hagemos eue'Ax -+ 0en ' segundo nie¡nbro. = __- , - j
-:.-a +
=Zat +b
u + ¿\ u = Z( V + AV) '
8x
-t[U
= 8*
i', [) t
2-zv3+¡v2
= 6v2¡ v + evl ay ;z+ 2( ¡ v ) 3- ov ¡ v - 3( av ) z I
= 6y2* 6V(aV)+ Z(AV)2- OV
?
19.-Y=3x'-4x-5 SOLUCIO]{: /
i + A), = 3(-r * A.x)'- 4(*
= cv
+ Ax)
?
=u*3*bx2+cx+d
,-4ax -5 -3x2+4x + 5 ' '-'2 ' óxAx + 3(Ax)--4¡ Ay = 3x'+
t
Ay=6x¡r*3(lrx)z-4ax =6x+3ax-;l
Ax
i
, haciendo qtre ¡\x * 0, en s e gundo nii etnbro .
dr'
iL=6x-{-+
=
óx -4
al
y
+ Ay = a( x+lx) 5*
b( x*j- r ) 2*
2+cxrax+d-"*3-b*2-t*-d (ax) 2e(^x) 3+b*2+2b*a*+b (ax)
AX
) 2 0 . - s = a t- + bt + c .? s * as = a(t + AtJ' + b (t + At)
) l ' t S + . \ : l) - S = : r t? + 2 a tAtr" (¡t ) +bt+bAt+c-at--bt-c
= 3.x2* '3ax^x + a(lx)Z+ c
. ( x+: - x. ¡ +¿
3*b (x*Ax) 2*c(x*Ax) *d- (ax3*bxZ*cx+di Ay-y=a (x+&x) 3+3 2 *3"* ( M)Z+a (¡x) 3 *b* 2' 2bxax +b ( ¿x ).2*c'* ax A* y-ax cax+
.t v
3(¡V) ; en el segundo miembro hacenos lV + 0
+ {P =ovz-6v
- ov
v + ay = 5x2* 6xax, + 3(Ax)2 - 4x - 4a,x - 5 2-+*-4ax-5) - (3x2-+*-s; y+Ay-y= (5x2+6xa:i+3(ax)
soL UCIONt
*
3 ¡v+ov( Av )2+z(¡v) -:v2 -6v^v-3( ¡v) u-u=2v3+6v2
( + - *2) 2
LY
se; un-
3V2
(4 - x-)-
( 4 - *2) (+ - *2)
->
+ o en eI
lbx + b(Ax)
+ c
+ 0 e1 segundo rnienbro hacernos que ^x .) 4Y=3axz*2bx+c =Sax'+2bx+c-,+
dx
+ Bii y + Ay = AC(x + lx12* (AD + BC) (x + Ax) 1l+ (AD+BC)(x+A"rc) (Ax+I;) (Cx+D) y+Ay-y=AC(x+Ax) "BDx -+ 0 en luego haciendo Ef ectuanclo operaciones ' e1 segunclo miembro, obtenemos 1o siguÍ'ente :
23.- p=(a-bO)Z SOLUC I ON: (g+¡0) + U2 ¡e*no; 21
p+ao=[a-b (e*¿0)]'=L^'-2ab
p + Ap = az-2abg - 2aba0 * bZez * zb?e¿re* ¡2(¡o)2 2- (a-b0) 2 p+ap -r=^2 -zab¡-zaba0 ,b202*'zbzg 0+b2 (Ao) 2 tp=^Z-2abo - 2ab¿g+b202* 2Ú grc*uz (¡o) -a2*|abe -bz gZ
9v
=2ACx+(AD+UC)
dY
=ZACx+(AD+BC)
dx g=(a+bt)'
ip = -2abA0 *
lbZOAg + b'(OU)
-:¿ = - 2ab + zb}g * bzao
haciendo A0 -r 0
'
^o
'3P- = AO
:
zb(bo - a)
d0
y=(?-x)(1 lOLUgIoNi
aS=[a+b(t+at)]3
S+AS-g=la+b(t
+ ¡t)]3
y + Ay = (2-x-Ax)
(1-2x-2Ax) (2-x) (1 -2x) 2
) - Z* 4x*x - zx}
x+Ax
y.f
.U-= 4¡ - 5 + ZAx ;SiAx+0 Ax
sowcro¡r:
- y = '--------1
^y
a + b( x
ay=
Ay=4x[x-s[x+2(¿x)
I
ytay=ffi
SOLUCION:
^,\ Ay = -4Ax + 2xAx - Ax + zxAx + Z(¿u<)z
2 5 . -y=[Ax+B)
[a+b (x+lx¡
; en el segundo miembro.
-r .4¿ =4x-5
7.
,
ay=
(Cx + D) + (AD+BC)x+BD
2]
x+^x
+ Ax) o
a+bx'
)
¡a*ux2) \
)
?
ax+bxj+4^x+bx¿Ax -ax -bx' -zbx "
ay= -_-
4I
y=AC.xZ
anterior,
, a + bx'
-2x)
2 Ly = 2 - 4x- 4 Ax - x + 2x + 2x Lx- Ax + 2x Ax + 2 (
=,4x - g I
(a + bt)3
2 = 3b(a * bt)
ds dt
AS = 3b (a + bt)Z At
y + Ay-y = (2-x-Axl (l:2x-zAx).
-lL "&c
-
siguiendo los mismos pasos que e1 ejenPlo se l1ega a:
- 2ab * zb?o = 26¡bo - a) '
b= 24.
;1";1.;egundo
SOLUCION:
-7 -xb (Ax) -
^x
?- ? .(a+bx-)
[a+b(x+Ax)'J
2 a¡* - uxZ¡x - xt (¡xl ¡a * b x z ) f a t b ( x * ¡ * ) 2 ]
a
3I Ax
- bxZ
x bAx
¡a* b x2 ) [ a+ b( x + ax ) 2]
a-b x? ^ y= ax qa * bx2) ¡ a+ bx z )
'
hac iendo A x o 0 e n e l gunc lo nien b r o '
1ydx
¡ a* bx 2¡ ' 2
se-
a - bx2 2 1a*bx2¡
P r oblamas Des arrollado
a + b xZ
28.
x?
solucro¡r:
y + Ly -
a + b( x
+ ax)2
( * * ¿x ) 2 a+b(x+A x ) Z_
n-o t---
"* bx 2
( x + Ax ) 2
*2 S im plif ic ando y o p e ra n d o d e ma n e ra s i ni l ar jem plo 27 . s e o b ti e n e : AY
dx
)
x
D e r i va n d o 1a regla
) a+bx'
2x+
^y Ax
2x
g dx
Ax
(x-+A x)--
a *b (x + A x )'
Ax
2ax ---T , (a +bx')'
A y=
^'\¡
J=
(a +u*2¡2
x = 1
(x + Ax) '
)l
a +bx2
1.,
+
haciendo Ax iem br o, . - 9r - = dx
(*2 - z)
-
+ 0 e n e l se g u n d o
zx i r eem pla za n d o e I va l o r dado de .x.
=z( 1) =2
(1)
atx - C ál cul o de 1a inclinaci6n Co¡ro: dy tag S clx . reenpl azand o ( 1 ) en ( 2)
"0"
: ( 2)
tag4-Z
E ' ángulo de inclinaci6n Z 9.arc = ú l 3o ?6t o6t l Fl nal ¡nente: | y tag
-
a p l i ca n d o
- 2
Ax ; .
a x,
co n r e sp e cto general:
- ( y) = *2 * 2xAx + ( ^x) 2 ., ^Y ) ay= . 2xAx + ( Ax) " 7
2ax
siendo :
(y+
(x + A x)2 a *b(x +A x)2
4r
- 2
5
y+
y+ Ay-y=
y = x'
SOLUCION:
'l
SOLUCI0N: v*Av=
1.-
que el e
2a
g_
i!
--2a
¿x5 .x 29.- v
l a i n .hallar l a p e n d i e - n te y Aplicando l a s d e r i va d a s d e 1 a ta n g e n te a ca d a u n a d e l a s cu r va s si ciinación Ve r i fj " guientes e n e 1 Pu n to cu ya a b sci sa se i n d i ca ' tr a za n d o l a cu r va y l a ta n g e n te ' é a r e l r e s u l ta d o ,
2
ó.
63026106rr
Graficando
1a funcidn
dada: -' D e n d i ente
- Graf i.cantlo: "
.flJo 2 6 tg 6 tt r.n'rrl
i ¡
r'rn
( : j, 1. 5)
z.
x ?. 2
2x-
,s i e n d o x = 3
SOLUCI0N: i
Para calcular la derivada regla general: ') y + ¡y = 2(x + ax) - (x + ax),'
aplicaremos
1a y = 4 x-1
z
SOLIJCICN:
2
Ly = 2x,+ zAx
siendo x = 2
'2
- Z* *
Derivando :
2 4"
(¡x)-
x+Ax - 1
')
7
Av ¿=/Ax AY
-¡r
^-Á x
Y ' el- x - Cálc uLo
haciendo
2t dy (1x
--'
ay= en el
segundo
mi.embro Sx -' 0
tag0 = y'
= -l
-)
(x -1 ) (x -1 )
Ax
:
x = 2.,
- C ál cul o
(para x = 3) de la inclinacidn tag4 = -1
de l a
tag0=yt
"{l
hacienclo Ax + 0, en el miembro .
;
segundo
aY
-E--P ara
2-x
-4
(I -lI (x +^x a x -' l )
x+ü{ -f 4x-4-4x-4&r+,1 (x-1) {x+ix-'i)
4 -= x-l
.y+Ay-y= ay=zax-xax-
Y+LY=
I 350
tagE=-4
325"
- Graficando
(x-1)z
Ax yt
= - l¡
inclinación
(x-1) +
g=arc
f 'qr t :
I tag( -4) I
I I
1a funcidn:
r=F
4
,'.'Q
=-75e57¡50¡
Cá1culo de la p0rax=1
endiente.
y'
= 3(1)2
35
inclinación
- 6(1)
yr-_3 tag¡ ll
2
0 -
q
I
I I
= -3 -71o33'54r'
Q ='t08o.26t06"
ó= 75" 57 ' 50r'
I
I I
t
punto de 1a cur va y = 5x - xZ de l'a t angent e es de 45o
I' l al l ar el i ncl i naci ón
I
I
I
4 .-
y = 3 + jx
- *3
¡ siendo
¡
= -1 SÍ la
SCLIJCI O)J:
Cálcu1o de la pendiente:
tagQ=1;
Pa r a :x= - 1
l "t
=
i ncl i .naci 6n de la = ( t bnando 4 5' 4,
I=3+3x ¡re n d i e n
Q
es 45o ent oices:
1a t angc'; r t e
a ani: os nier r br . os)
'
y'
pero:(tagg=y,)
= 1
...r.
.,...
Igualando y = x5 - 3x2,
siendo x=
SOLUCION:
(1 )
Cálculo de .la pendiente:
.. ..(2)
y (5) :
1s$-2X-r'2x= ReenpLazando el valor
y=s( 2) y=*5-3*2
..(i)
De t.a curva- dada: y = 5x - x-z llallando 1a derivada:
tag 4r = 6
5.-
t angent e
tag0=tag45"
Y' = J - 3x2
)- ' = J - 3(-1)z
en el- que i. a
-> 4 x=2 de 'fx" en (2) :
- (42
y = 7 0 -4 Y=6 L u e g o , e l p u n t o P d e l a curva buscada es: P (x , y ) = ( 2 , 6 )
En la curva y = x3+ x
los puntos en.las
hallar
a la recta
tangenEe es paralela
que
y = 4x.
e l á n g u to fo r m a d o p o r P ara c a l c u l a r tes apl icaremos 1a s iggi'ente- frmula
br) -
fnl
SOLUCION: ia petrciiente de: y = 4x -- lEllenos
tag
de la derivada
x = t 1 ........(3) Reemplaeando c a d a uno de tos valores de itxrr en curva: v =x3+ x a) Para x = 1: v
b) Para
= (1 ) " + l
tasc= -
= f
)7
1+ ( - 2 ) ( 2 )
-3
+
o07 o = 53 '4 8 "
S OLU C ION :
Punto:
=7
(1 ,2)
a)
*2
)¡.o
x-Y + z
i Y2 = x'
SOLUCIONt ")j::itando
Y = x.+ Z Igualando
Punto:
2 =x+
- I cada una de las
funciones
da -
bt)
C áf cul o" de l a p e n d i e n te : l y=y+2
tY r¡-
Yr- zx de 1 a s Cálculo t) tag6 ' 2x - Para: x r z tagfr'2 (2)
2x2=2 x2=1 bl) Pa r a la curva y = 7 - xz - Cálculo de La pend.iente: Cálculo de la inclinacidn: x ll Ji
x
(-1 , -2)
l-x2-x2-
-.Para
'4
Y=*2
x =-l:
- x-
| + mlrn
X -)'+7o0
i
Y .='z yl
- Inz
rJ
-z-2
. " g o -f
Y - (-1)3 + (-1) y = -1 - 1
8.-
ta n g e - - '
va l o r e s:
reemplazando
de: y = *3 t *
It= 5x2+7,.,...,(2) Por eI enunciado del problema (1 ) y (Z) deben ser quales: + + 4 = 3xZ + 1 3x2 ='3 x2 = 1
v
Ia s :
(i)
Y'= 4 - Cálcuto
0 = 63026'06"
t'
ta g g =Z
- P ara x =- 1
tag9*.2
.)
y' = 2x tag0 . Yt =-Zx r 116e33r54"
Iti n cl i n a ci o n e s:
| tagol-4 + ó. - 75o57 50" 'f
1
2) t agS = I - Par at x - 2' t ag0. , 'l +0t
''l5o
x = -l
- P ar a:
- Para: x = -' l taggr= 1 o 02= 45"
ta g 0z = 2 (-1) t ag,i bz )
Cálc u1o
-2 del
ángulo
fo rma d o
por
l as
-2-4 1+(4)(-2)
ta g c ¡=
q,
6
-
D e rnanera si m il. ar
tangentes:
*1 'mz .l + rnrn,
'tag
t
ángu lo
H al l ar
el
en el
punto
a
o = 40oi 6| 0S '
,1 = 1u8'26t06" hacem os par a
de las
v = x 3- - Jx 2x+y=0
a) Ordenando adecuadamente cada una de las nes (curvas) dadas: J,y = x- - 3x Y = - 2x ,, Igu a la ndo (1 )
,
funcio
dadas
y=6+8x-*3
(2)
y '=
* 3 -x = o 'D [x {x
= J.
J
....(j)
x (x + 1 ) (x -1 ) = Q
y ' = -1 9 . G) P a ra h a lla r e l que fo:nan tendrenos que usar l guy ll a ": 1 a s ig u ie n t e f d rl m
= 0 = I
-nz tago=*1 1+nrn,
Lx =-l
b) A continuaci6n mostrarenos solo los cálculos para una de las curvas dejand o el- otro para el. Lec tor' y=x3-sx - Calcule¡nos su pendiente:
(jr3) :
.' Y ' = $ -3 (3 )' = -1 9
(2) z
3x--3x=-Zx+ ) x(x' - 1) = Q
,.r2 LJJ
de cada uno:
_.2
y'-8-3*2 de(2): Ca1culenos lrara e1 punto =
yt
y = 6+Bx
son 1as siguientqs:
(1)
y,
PuliLJ>.
?
. . . . (1 ) , , . (2 ) y
9y = x'y
X , =T
dc ( 1) : y' = t
SOLUC I ON:
A^^
( 3, 3) .
Calculenos las pendientes ru.-
1os
?
cur vas
de int er sección Las cur vas
$Q!!l C i ON : 3
-6
-0
tagQ= yt= 3x-- 3par a + tag9 = -3
+ Z = l ' l 6 o 3 5r54rl
+
2=
CálcuIo de 1a inciinación:
-3x2-
(3) iy (a): tago - s l - ( - l g ) . = l *( F ) ( - 1 e )
Reenplazando
0
- utt trg (+) o
:2 7 c2 6 t 5 2 t,
?) -50
-X
y = ¡* 2 -t )5 S O L UCI O N:
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CAPITULOIV
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(1 +3x)-(1 ' 1 l' '
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(z) t2x¡-1/3.
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3(8)""
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(l +3*1:t/3
;
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48
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5 2. - y=( * 2- x) 5
s s /z l f* T
y=Gx) 1/3*C? ü2/3;
+Zx)
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z ffi
1 _L
1ó
t
1
:- +r - - 1- 3- t( 64) 48
qtÉfr72
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1
1 *
'/1 . z*
gJ
1 -+
3'¡-==. (+,(r +2x)-1/2 , G) -n;ñ,¡{1 ¡r*s*¡ -2/1o ¡riTE¡2 'r'l\ + 3x
+ ñ)
# - *, t *
- (+) g1-2/s. +) u-112,
(7T*; 3x) 2
1,-
;x.64
4 s(2)
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1 6
,
2 3
=
5, 6
55.-
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x=2 áv á . */=:l/9+4xdx dx
SOLUCI ON:
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r *. *l ( 16+ 3x-)1/ 2- ¿ 6v v x¿
f .- - - '. - A
4x
, n * 4 *2 ¡-tl z .(8x) =-:
-
3x - 2(16 + 3x) .)_zx'/16 + 3x
=
9 - 2(16 + gj
;parax=2
/g*q* z 88
E
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SOLUCION:
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* * cll ca- *2)-1/2.(-2x) x
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-2
{4
d v d .,x 2+ 2, -a?ñt_IJr)
SOLUCION:
(z - xz).oflt*z*z) - (*2* D.*Q
-1 -4 = ----T-
=--Í-5
- xz) = y {3
+ 7s.
x=5 dv dx
=ffi
=
-m.-.¿f ; t *l = Nr, ( 2-x-)-
; para
x=2 -
:= += d
I gar r L x"= a
nT:A
_,ffi.
. *,"
* * * (ffi i
* *¡}) (5 + 2x)'rl2' O =; Par ax- 5
Fr,on
rffil
+Q')
3=\ 3
64.-
y =
o - *2 .i
-, ,, . (r*
x=2
SOLUCION:
re(fiñ)
qff i y -
dyd , Ñ1 , ?;- - dx t/F, ln
x
+
L.
-5
tr-
para
;
1 o- x 2
zñ6
' ' / 0' - r ffi
+-
s6-
no -s
?6
21 =--__|-=
_ {ñT-i
z tñ1
2 ,6 ---
ó5.
para
x=2
sll
19
r
;
2 {9 9
- y =/ ro -7 SOLUCION:
"5 :t
=-l
l8
x=3 .
4 y --d - ( dx
drc
x' -- l0
s)
- *Z
1-5 2
x=3
1
=
-2,
(1)
') 3x' - 1 R eempl a zando (1 ) y(2)
....(z)
6 dy-
a{x-
ProblemaEDeearrollados
dy=
dx -lY
=, Halla rS
1.-
Y=u-
d r-
6 ,4
cru
du
dx 1
L-
, O " ra c a d a u n a d e l as funci ones si gui entes
x
u:I+2
;
SOL UCI O N:
dy
+.:
dx
Aplic ar enos
iL = 'dx -gL du
la
a-u s ig u i e n t e
fórmula:
a +u
\.'
/2u '
en la fórnula
- zu )
siguiente:
(¡*2 - 1)
b-x ; u =5...E]-
du dx
dv =$¡e-du
du
"¡
a+u
En ton c es :
d (.16).-ü(l du ilx
-!I-: dx
+ z G)
(a + u ').Cu¿r ( a - u ') - (-au - u ) . 3 - ( a Uu
+ u)
(a+u)' = órr5 . t*l lX
=
6t 5.
G,
- o(t + zfx)s G 2- - Y'l E-
w!9[:
u
z
;u
=ffi
c o nou= t+ Zñ
2a (a+u)'
.a.ararl
. . . , . , (1)
rx -x3
du
l tdu
ü (6- u2) du
*f tz,r)-r|T. (z) - zu
d*
-x. =aid.bt5q-r
la nisna que la Par' 'Comola forrna de 1a e x p r e s i ó n e s tendrá 1a misma .fot' l a s o l u c i d n te anterior entonces
du _=__
'
zb
dx
(2 ) ,
E;"
dy
dx
du
dx
7l
du
=1 v
Reemplazando (t ) y (Z) dy=i¿.du dx
du = (-
dx
n*b"
2"
^) ( a+u) ¿
=
(a*u) Cui¡fl ;
SOLUCION:
(uz-rz) (r -*2)
: En este caso derivamos a ambos miembros con respe cto a ttx tt.
u= Ñ
( 1sx) = - É.¡ t s y t 5y" + 3y") /
#=#r'Fl1
=F- 7
1
15 = 1 s
.*,',.,.¿*{;Q¡
a ).. A d Y + 1Sy¿ .-g- * lSya 3I-dx dx dx
rsA ¡r
l5
= ,nÍ
*(zu? - az)
= l5 y + 5y- + 3y-)
,4 z ab
4 .- y=u rS l z
-
+y2*
v4)
dx
* ,rÉ)Gz - uz)-t/z.(-2u)
9I-ct + y z * y 4)
1
dx
=ñ ídu
=d dx I
dx
.
,2
,rc qñt
l -x
F
= ^2- zul
Reenptazando Cl y (Z) ) en:
tqt t*) =9 ¡g * -{ dx dx
......... (z)
r.
1 . i ) t . *+g
z$
dx
s{y'
dx
I
=dy(
dx 2q
1
+
)
,tF"
=il'¿"" *'"'/') . 7/6 '
zb?* * z^zy
ls-- s;f s y 7/3* z r1/ z
= 2 px
SOL UCION:
A) A - & ( y ' ) = ¿f ( zp x)
=Q
dy clx
.x Y
{x
dx = ^2/3
-tx dx
x2 * y2 = ,2
; considerando a6rJ¡cono una const a n t e .
uz y
d y=_ +
=J -
2x+zy.j¿=o
dx
k.*.*
dxy
* , . ' * r ' ) = a *( r tl
DX
A=*c6l 1ff( ¿ * n ty )
2/3+y2/3
SOLUCION ¡
dy
G*Q= 6
dy D
8.-
U
dx a
zv.* = zp ' dx --
G?- azj
,1 .,
+=
Y '/'-(tY' /6' z)
7.'yz
cu2*2 ^T v z ) = *
f
sr7/o
=1ffi
b2
^?
) /7
ov
dy OX -=
z 2y =
2*2
2/s ) 2 / s * y 2 / 3 ) = _d. La dx
qx4 /3 * 4)r",t . dv
?k=
x-l 13
,- r = -
iS = - $tt/s
dy =$ dx
,x, -113
ty
J.,
y + x#
12.-x3-3axü'+y3=0
'dv
1¿*"+
SOLUCION:
--+ = U
c*t - iax * y3) = 5f col
#
3x? - Ja + sv2.-9-= 'dx
txy
o
'., dv
É =-z
dx
ñ
dv * y 'i r .dI=o + Y * xÉ ¿x dY =. dx
(x + €y).
3a - 3x' -
sy-
dY _:
2
_a-x
+ Y1
(@
@+Y
dx
6" x
y2
, 2 * ^ @* y 2 = b 2
i.?1?
13.- x"
+ 3x-)¡ + Y" = c"
SOLUCION:
L UCI o N:
+ =r$ tcs) ¿* t*t* 3xzy rs¡
sx2* s P*v * *2. #.
rrt.
x z , zxy +1 xz . yz) d Y = 'dx
:i
t
¿
Av
.
- - 11 ? . (xy)-'t".(y
* ***)
-üL r * * a ( y + x d x) - + zyft=
o
* y2)-
d (b2)
1
Zx **
=o
-d5x|'-;¡ * 2 * 1 6
+ ZY
dy
dx
=
o
o
2r'xY
a
dv dx
xx
z 2ry
1 4.- x + 2 /.F.+ y SOLUCION:
+ Zxy _ _ x(x
+ y)
Cax t qV 6)
=a
# t* + z@ * y¡ -;$-{al
* x*rl **t + if,,,.rr-1t2.(y
+4vffi .1t=o
q x @ *u r *otY
2? x+y
o
dx
dx
= - (aY + 4x
9 dx
-xY) ¿y+4x@
dv dx
ax*4yÑ
*4 * 4I3y +'y4 = 20 d
dx
(*4 * 4x3y,* y4) -.d-(20)
4 x 3 * 4(3 yxz + x3 ..$ 1 . n y3. dI = o ctx
4x3 * lzyxz + (4x3 *
=
4y\ iL
Q
dv
=-
3
#,"* s ^ x ¿ -sb z(y**d y)
^ *2 -a T yn (cyl -
- g b ' * y * , rt )
+3cy z
=*
_6y -y dxx -
(1 )
viene dada por la : C omo l a pendient e siguient es 1os ejem plos entonces'en
dY=o dx
y'i"bgo
; ; ; -i; -á " ii " á ¿ á p u n t o d ad o .
u2*) dI- = o dx
dL-
tYZ - b2*
dx
byZ-
E"* ,$= u x SOLUC I ON:
dy = *y3 - *2 Yz = *Y2 (Y--:-¡) dx xzy(y t x) *Zyz - yx3
*3* y3
17 . - ,*3-Jb2xy*cy3=o
s oluc r o N ,
(*2y2 - yxs)-# = *rt - *2Y2
x3+ j.rrx2
dx
Q
-yx3tl=
*Tyz *-rys*yz*z
dx
^*2
la
curvas
en el
caléularernos err
de cada una de'las
pend ient e
i tal l ar
punt o
der iva<1a, evaluar e'
er
si- guient ds
dado.
*2**Y+2Y2= 29
( 2,3)
;
SoLUCION: ;]- ( * 2 * x y * Z y Z ) = $
tz a)
dx
zx+y
# , F . , F ; *cu r
= Q
**9L++y 9-
'dxdx
( 2x +Y¡
( x+ 4y ) 3I=-
I
dx
z
2x + Y evaluando para:
3¿ dx -
x+4y L+3
pendiente
b
x'
,'a 3 x y -* Y -
1
- -lañ o '¡¡' --+ z - l--{}-= --/ =
I
;
(2'
-1)
x=2 Y=3
soLUcIoN,
- 3*yz * y3) =¿SCrl =9-(r, dx
3 xz - s(yz + zxy l Y ) * ,r t. dx
dr =
dx
* 2-y 2* (y 2-z * y )-gi : dx
o
d (*2
CION:
dx
o
J.,
Y+x
x = z ; P a ra: d *'t- y'-zxy Y =- 1
J,,
ox
zx {';.-y
0
vr cx - ?t - -
zffi
dy_y2-*2
dy = 1 - 4 =_j ) dx 1+4
= o
(xy)-1/2-rr*
zx- z# cr .*$l
c
- .*:- 2 v6 .*= ( x+ 2 y /xyl - $ F =
(zx ff-y¡
o
Pendiente = -f
!J_ =4J 2y@+x dx
z l . - 6 *@= 5 ;(2 ,3 ) SOLUCION :
*
rt ' ra * q) =df -#c (s)
r z * ) - tt z . (2) *$ Gy1-1/z(3#*) = !
gy .=o
3
,E
2(3y
;
=
pendiente "
dv +á- .t| l | | l | ..:.e-
26
dx
Stl
p e n d i e n te
.r -
-
31 12
dx
para:
* ot
x o 2 y=3
I
sxz- ay - ax*
1
,, 3x--ay
(8,2)
- ax y * s ay z ) =
dx
-OaY+¿¡ -
o,
" u"r* I
: evaluandd
* ( s a3.
= Q
s x z - a ( y . *3 L ¡ . u **
iL= 22 .- xZ - 2 8-Y 2 -5 2 ;
6?, 24
x3-axy.3¿yZ-3a3 ; (ara)
t d y=_ 2 q s,ffi, dx
x=8 Y=2
lo ño - z 4/16+8
dv dx
evaluando para:
enr
x'ü .,, = a
:
dy - 3az ^2 a r
óa-
p e n d i e n te
24.-
x2 - x YxX
-
za?
strar
-Sa Z
cortan
en ángulo recto. ION: tas e.cuaciones de las parábolas
2-
-
5
') 2 y- = 6i
(4,
l).
2x - Lq * * + ( x y ) - 1 / 2 . ( y
x(y+.++)
- * fr i J - ¿y * =o
g¿ = dx
2 {xy a x6 - 2 xy- xy-*2dvdx
( 4 x fr
..'(1)
y2,= pZ - 2px
-.. {z)
jL =
a continuación
: Calcularenos da parábola: De (1) :
dx
S ñ
16 t ¡6-
n
0
zydY
dvs pendiente:
E
5 I
=
ia LP
= -9 ,: -g)'. dxY De (2 ) z d.2-
A
7
- (y-) =: Cp' - Zpx) dx dx
4¿-
dx 8
las pendientes
d (y?):3 (Zpx + p2¡ ?lx dx
r..^-J. ; evaluando para : x = 4 y= 1
,1 1+6 - L, .72 - tz o zo ló
= ¡p
(o ,p) Y (o -P') '
d x-
9y=4xffi-ixv Al----7--:.-* xtul-/xl, -
v
reernplazarrdo en ( l) :
es:
Luego e1 punto de interseccidn
Q
8y 6 c Y = 0 dx
- 3x y ) - (* 2 + s y fi )* =
y z = p2''*
yz = 2p( o) + p z
so¡t:
de a¡ qbas Far ábc
Zpx ,+ pz = pz - Zpx = 0 '+ x = 0 ; .-4px
at ,,.2- *@ - zyz)=rf,col
^ txY-, _4 y ¿x-
yz = 2px + p2
el pu nt o de int er sección I{ al l ando ( 1) Y ( 2) : i gual ani l o l as;
S O LUCI O N ;
i
,.sy2 = 2px * piy yz = p2- 2px 8l
zy+ (1x dy dx
de cg
A continuacidn vamos a deterninar eL ángulo que f man.dichas parábolas, apfiquemos 1a f6rnula sigui te: mr
tag o
-
flt
'| +mr m?
; O = ángulo 9ue forman las oarábo1as.
De (3) y (4):
4_
Zp
$)(Í) ,.F
2Z )¡ 'p 2'
P *P
taso:+- + . -nt--
v
2ov I'eemPlazando uno de los val Eag g =t¡. rryrr ante y"-p" i res ae -calculados = tP) riormente (Y
tag S=
) ¿P ar )
7
a
=
-y0
p'-p' .0 = arc ta g
(-)
-'
@ (infinito)
0 = 90o
1 q .q .ü .
26. - Demostrar que 1as circunferencia t *2*y2 -12x-6y+ 25 t en e1 pun y2* 2x+y=l0sontangentes ,^ v-L
rr 1\ \& r ¡, .
8il dadas: (previo or
Si: x = 2rreemPlazamos 2(2)+Y=5
Y=1 Luego e1 punto
(2r1)
es un punto de interseccrcn' Iq.q.d. -.,
corta lBajo qué ángulo =2$2 .¡y+/yL
1a curva
xY=Zx a la curva
s9-l.ucloN.:
de la curva' Reenplazando en la'ecuacidn 2=28 dada, asl: x z - x(2x) + Z(Zx)'
* 2 - zxZ * 8xZ
7.8
7xZ x
28 ?
1a recta
e n 1a ecuaci6n de la recta: ReenPlazando e s t e v a l o r y'L4
.-:.. t:::::
Luego tendremos 4 puntos de intersecci6n (2,4),
(2,-4J,
G?,4)
85
que son:
y (-2,-4)
E¡;'*onces habrá 4 ángutos que forrnan la curVa y te plntrr {gcta; analizare¡nos aquí solan¡ente para éi ( 2,.1), dejando el resto para el interesado. Hallemos a continuacidn las derivadas de cada uir,r de las curvas
* iy:d
* --q
(z*)
(* 2 -x y * z y z )- d (2 8 )
dx
dY z ......(r) dx -
d>l dL.
2x-y-x
4y
dx dv
de ángulo
-
dx
2x -v
o
, . r. . . . . . (2
É = : i-{ ry Cálculo
dY
que f o rma n ; e n e 1 p u n t o (2 r4 ): Dt-[r
tagO =#
| +ill r
IL
tag
0=
z _r%ti t+z 1U ¡
tag
;
lll ,
---
n ¿-
4-
4
2= ñ6
t*z*f.s)
0 É ó3o261061
ángulo de intersección.
Si f(x) y 0(y) son funciones inversas... demostrar g,rg +a gráfíca {. O(l)-puede dibujarsá consrruyen. haciendó girar ésta á tr 9o' l" gráfica de -f(x)-y izquierda 90" alrededor áel origen. I
so4ucloNr
" gráfico
gráfico,ya que uno li_:::":i9"::i_¡o1o 'tierie tendrá que suponer que (x) f co¡ro -figuri
cualquier
(arbitrariaj,
Y
x'2a-x
S OIúCI O N:
1! ¿ = 3ax2- x5. o*i YLla-x)'
S usti t uyendo x=a, Y=a t eneÍ ¡ os (a, a)
3a5de mt. =- t z2=Pendient e "5 a( ?a- aJo ia t angent e.
tag 2.
v
1
t2= -
0 =l ó = arc
¿8. -
(2 , 4 )
H al l ar las ecuaciones de la t angent e y I a nor ¡ ¡ al l as l o ngit udes de 1a subt angent er subnor m alr t angent e nor¡nal én el punt o ( a, a) de la cisoide.
0
TM
N
S usti t uyendo en ( l) se obt iene Y'2x- a, ecuaci6n de la t angent e. S suti t uyendo en ( 2) r se obt iene ZY+x'3zrecuac16n de 1a nor nar .
rsustituyendo en (5) rresulta TM '?
Fig. 12
i19 1a sübtsngente. -de La Sustituyendo en (4) ¡resulta MN o 2a - longitud subnormal.
' longi!¡rit
. Sl lr subtangente se estiptrde a la derecb. {. Tl 1" considerr-os cono posi-tiva; sl a la izquierdarnegativa. Sl la subnorial"'ic extlende a le derecha de M
I
J
Ia consideramos como positiva; tiva. Asi¡nismo.
=E *
(rrp)2
pT = /g.ty¡?,
( l u n2¡=
i*)'*
Y P N=
si
^2=* ¿
I)
a la
f
= longitud de le tangente.
= a 6=
¿la +
izquierda,n
tongitud normal.
de lc
= 2 * 3 1 1 1i
( 2 , s)
LUC
Cálculo
d _e¿ =dx dx
Hallar las ecuaciones de la tangente y de Ia normal las curvas siguientes en el punío dadó. ?
?-
y = x" - 3x
;
87
pendiente:
de la
,2x a 1r t _-/
3- x
(3 - x)2 -
(2, V)
(2x + 1)
(-1)
- 6- 2x+2x+'l
.(5 -*')
-l a
2
( 3- x ) '
SOLUCIO¡,i: Cá1culo de 1a pendiente: dy
d-3
- lx)
='=,i(*=sx2-3
= !Cal Ahora ya podemos hallar y - Y1= m(x - *l')
;
(3 -x)
p a ra i
77
x=Z
(3 -x )
3
=l la ecuaéi6n de la tangen como: (xlyl ) = (2,2)
y-2=9(x-Z)
'Ecuación de la tangente: ,
y - 2 = 9x - 18
-> 9x - y - 16 = 0 (ecuacidn de ta tangente) Ecuacidn de ra normar,
(xr,f r. )
- (Z rZ )
i donde _(xr,Ir) = (2,5)
T . Y I = m(x - *l) y -5
1 Y - Yt = --j- (x - x,)
; evaluando en el punto (2,5)
2
=l
+
(x-2)
y-5=7x-14 7x-Y
-!=
0
Ecuaci6n de La norrnaL: 1 (x
Y-Yt
- *r )
'-f
7
y - t a - -.ii (* - z) y - S=- j ,9y - 18 -
- x + Z
''
x + 9y - ZA - 0 (ecuaci6n la norrnal)
1
(x - 2)
x+.7y- 57- 0 -x I + Y Z -7 6; ( 3 , 2 )
-|
7y-35
--x+
88
SOLUCION: - C á l c u l o d e Ia p e n d i ente: , _d- (zx' dx
x y , y Z ) = rr (1 ó ) dx
4x- y- * j L*zydY -o dx dY
4x = Y dx 2y - x
'
dx ; e v a l u 4 n d o e n (3 ,2 )
Ca1culemos 1a ecuacidn de 1a tangente:
2-t2
. Hallenos l a e c u a c i d n d e 1 a ta n g e nte: v .1'
o m
lx
-
',
+
Y-
2 = -1 0 x * 3 0
y+
'-f'(x-x1) ¡
y- 2 = 10 y- x t
y'+2y-4x
.-2(x 2x=0
-> Y + 2 -
- 1)
- 2x + 2
1 ¡J Z = -Í tx - --
+
2y" * 4 = x - 1
-!
2 y -x +5 = 0
- Cálc r ¡ lo d e l a e c u a c i d n d e ü e .n o r¡¡ al : 1.
Y'Yt'
2 -
1, v- y1 =- * ( * - 1)
1 0 x * Y '- 32 = O -'
y+
Cálculo de 1a normal:
x1 )
=-10(x-3)
y- 2
Y1 =m(x-*t,)
y+
f fi=-lo v t -
v-
fr(x-l)
t,ener
+
10y -2 0 = x -3
(* l '
+ 4 . 0 ; (1 , -2 ).
*,rt
Yr)
a la elipse
dx
--4.0
^2y
+ zy, ax 1 a) Col ' 6i
elipse:
L ( o t *t * ^2 yz) =L@z uz) dx
dx
Zblx * z^zy9-
dx
, -r9* 29 dx
b2*2 +
Calculemos 1a Pendiente de la
- 17 = 0
!WN,:
las écuaciones de la tangente y de la normal 2 =a D 2 . 2
dv .L,=-
,-
0 b2x
tx ^2y
, evaluemos en (xr
, yr
culo
jv _ -4J dx
^z de la
Cálc ulo
y- - m(X - X, J Ir
yl
xl
de la
ecuaci6n
v-
tangente:
v '1
=
" Yl
+ b 2 xrx -
- o' *' ,
^ tt1
= Q
b'xry 7:-
7
- a'y1
7
= -* .,
*
¿¿-r, x. - y"l 'l
*1"
2z
=x,* Yr I¡
= r
y - y = - | t* - "r l
'
''
- a-)xrl'
--A (¡¡ -x,) r *l
yx1 -x1 )r1 = I1x -x1)r1 xrY-Y1x = 0
z ? -a')'., x., 1=r'y lx = Q
Hallar las ecuaciones de la tangente y la nornal, y las longitudes de la subtangente y la subnornal, en el punto (*l ,y1 ) de la circunferencia. *2*y2=r2.
lculo de la subtangente: de 1a recta intersección re en el Punt'o.
angente con Y
ei
I t o) tamos en algo asl:
I.2,o)
SOLUCION,TTTA?
Xl
dx
dx dv
2x+2yZ
La subtangente =
es: xl
0
dx
7
t-;
dvx
-ví t
J¿- -
dx
.
t "-
I
de 1a normal:
culo
v' -v.= 'L
*--? -z b'*1y-b'*1y
- (b'
vY- Y. 't
y1
Y -Yt =-#(x-x,)
.2
+
+
x.) t
-
TlY * *l*
t b'?** -^2b2=o l "-yly Cálculo de la normal
-xt )
(x
YtY
1
y' ^2 y-)r,.=-J-l(x b-*.,
a
t
Y1Y * xlx
) * ^ 2 y, y - u z y z r = - r 'x*b2*2 *., I
Y -Yt=-?(x -x l
-
Yl '
y - )r., = rn(x - *r) ,
^2 y{
tangent e:
de l a
T {
'-T
evaluando én: (x l )r1 ) '
(*r2* ,'r'= tt)
culg de 1a subnor¡nal ¡
-/
= Í?'2 -r2 xl xl
eje
I'xr '
de la normal (y=0) entonces i
De 1a'ecuación
x = 0 . + punto (0,0) Subnornal = (0 - *l)
a p. o.
e iisual g
=
zpx, - yi
porque:
.
e,
L
¡
Q
procederemos co.n 1a nornal .
De manera sinilar
tener 1as ecuaciones de la tangenüe y normal, y 1as subnormal de cada ltudes de la subtangent,e y la de las siguientes curvas en los puntos indicados. J
. x' i
SOLUCION: - Cálculo de la pendiente
( a,
a) .
de la paráboln 3¡ay)=g dx
.
$rrrl ox
,
,,
8.- Demostrar que 1a subtangente d e la p a rá b o la y 2 = ¿ es bisecada por el vértice, y. que la subnor¡nal ct ccons ons ta tante n te
, o) = (-x, , o)
, Tr--l-r
= -x t
93
en el Punto: 2
ocurre
Intonces
=-4-¡zpx)
(*2) dx
dx
d v^dv2x
?. __!_
t,= 2y drY zp
=
+
lx
_L
=¿
dxa
ctx
dv dx
=
,tr=t
- La ecuaci6n de 1a recta
Y -Y t=m(x-x
'?
tY
Y-yl
tangente I
es:
)
2 11)' - px = r r ' P * l
hemos evaluado en el punto (x, y, ). La intersección de la tangentb cbn el eje Itxrr será en: ':" (y-o) y.yp*.y-2-p* -1 ¡ I px'y:
¡
+
y - a=4G:
y-Zx
- Yl = Px : Px' *
o-
=rn(x-.*t)
px, -1
--- P1..:rr' -.-T-
rQ
(\,11
;
)=(a,a)
fa - a,2= z ax - z a|
a) ?
ya-?ax+a'=0
*r)
=P (* Y1'
Y 'Y t
Ecuación de 1a tangente:
-)
ra=0
2x-y=g
Ecúacidn de La nornaL:. 1.
y - y , = _ # ( *_ x,) y -a = -tG
1
+
-a)
2y-2ao-x+a
¡+ 2 y = 3 a Cálculo de la longitud para: )¡ . 0 i
lo n g itu d-
^-*
x o
á
de 1,1 subtangente: ("" la ecuacldn de l-a tangente)
=+
- Cálculo para:
de la longitud
y - 0
x = 3a
;
longitud=ia-a=2a
subnor¡nal:
(en-la mal)
ecuación de Ia
10.- x'
- 4y'=
goLUcIoN' \'
de la subnornal:
lC4lcuXo'.de la longitud
(5,
9;
95
= 19'
longitud=s - 3
.2
L:
7)
\
de la
' * l , ü . = Ó e n l a e c u a c i ó n d e 1 o n o r ¡ n a l o b t e n e r n o:s
2).
.¡f; cnl c*t _ ayz) #. s^ Lr.f,'
*=-21
Ex=50+
I
lu e g o :
'
,1 .,
2x -
g
8yJl=
lo ngi tud=4-s=+
dx dY d:r
evaluando en (s , z)
- - '( 4y
,=- 5
¡4 + 4y2 = 72; (2,
dv5 -dÍ = l-
c
qyz)=4. ¡zz¡ ¡$ cn*' *
- Cálcu1o de la ecuación de la normal:
= -f
Y 'Y t
1
(* - x,)
t8x + s y - 92.= O dx
a
y _t=-f(x _s ¡ , 5y - 10 = - 8x +49
?
5y + g¡=
59
5y*8x-50=0 - Cálculo
dv183 dx
de la ecuación de Ia tangente:
Y ' Y1 = m(x - *t) y-2
q.
=-;(x-5)
.12
Cá1cu1o de la ecuacidn de la ! '+ 8y-16-5x-25
Y - Yt = n(x
+ 9=0
Cá lcu lo de 1a longitud. subt.
qente:
Par a : y - 0 t en 1a ecuacidn Je la tangente: q 5x= 9 *=É
2y*3x
+
¿
-12,=0
tangente:
2y-6
..
La ecuación de La nor¡nal s e r á :
Y' Yt - - # ( *
-2
'*l)
'?
y-3=-*(x-2)
8 y-5x
3).
- *r )
=-3x*6
(1)
^2 J=5
y-
(x-2)
2x-3y+5
=Q
La longitud
de
3y-9+2x-4
(2>
=
longitud
y+
, =L -2
para
en
Y=0 2x-Q, =
= 3 = 1..
longitud - La longitud de Ia subnorna l v ie n e d a d a p o r: )¡= 0 en (2) z 2x+ 5 =0
5
2 o ; ( 3 , - z ),
7
xy+y-+2-
'* ,$- t*r y?* z) =f rol
SQlUelS: y+
xdY +zyj¿=o dx dx
ovaluado en (Sr-2) -g¿-= --J-; dx x+ Zy : _9. = _, ox Cálculo de La ecuaci6n de la tangente: Y -Y t . rnÍ* - *t)
y+z )¡+2x
- 3) - -2[x I -
4 it
0
.....i.r ...r...r..(l )
La ecuaci6n de la nornal s e rá :
0-lx=Z 2
en (2):
y=0
=Q
x-7
2 +í g'
I ongitu d
(1):
de la subnormal es:
La longitud para
(2)
de la subtar^gente es:
La longitud
4-2=2
x=-T
(x -3) - J = 0 ...
x-2y
en (1):
-> x =- I2 '-+ x = 4 3
3x=72
Yl
subtange,nte es:
la
0
v
*t)
= -*,*
v-
=
longitud
'> x=7
7 -3
=4 que forman el eje de cular el área del triángulo Y=:6\-xz tangente Y Ia nonnal a iá-.ti"" sxrYIa el punto (5, 5)
dY =3 (o* - xz)
CTON:
dx
!- 6
dx
= 2x
; evaluado
en (5r5)
es:
dx
9- - + dx CálcuLo de 1a recta
Y - \
tangente:
- n( x - t)
y-5=-Q(x-5) y + 4x ' 25'0
....:.
(1)
Calculemos la intersección je
tt¡tt'
de esta recta
-
0 en ('l): 2S x = --?-* el punto
con c1 g
4x-25=0
-|
es:
,¿J
(--7-,u.l
8
de que fornan el eje' vl=!-cur.¡¿ 1a a nor¡na1 la Y
la r el área del triángulo
J, CI
- La ecuaci6n de la normal es:
-Y l
=41
"ABC "
)'=
y 1a tangente punto (5,2)
1 =-f(x-x,)
y - s =* ,*
#,n - x)
¡| cr'l =
- s)
=*-5
4y- 2 O
4y-*-15 = 0 (",) I Ltallémos la intersecci6n de la normal con el Bje"¡tt
y = 0 en
- r|
-¡.
dy
= - 1; evaluandoen punt c
2y
eI ( 5, 2)
tz)z
- x - 15= 0+ X = -l S+ - G r af ic an d o
dy .-¿yJ-dxdx dv1 -=-dx4
punto (-1 5 r0) (a p ro x i m a d a n e n te )
tendremos algo asf:
j
lculemos 1a ecuación de 1a tancente: -l
Y=6x-x
2
(5 ,5)
Y -Y t = m(x -* t )
y - z = --i-t" - s) 4y + x - 13 = 0
(_15,0)
{Zf;;o)
a
De Ia figura:
''
4y-13=0
A C= bas e=+-
(- ls )
= -85 T
4y-$=-x+5
. - . . . - tl I
. .- . .
de la
interseccidn en (1):
'+
tangente con e1 ej e "Y"
l '; y =- 13
trx = 0)
punto(0, +
l'
pcuaci6n de la. normal: Calculemos el área del triángulo ABC: ' "" _ base x altura
ü A B C -T
85
-4 -x
^ oAgc=T
* + G - * r) 1
!¡=altura=S
Y -Y ly ' l= )¡-4 x +
5
-
4g25
4(x
- 5)
+
y-2o4x-20
(z)
l8 = 0 :..I
'
1:
haLLando el punto de intersecci6n con el eje "Y' (x-o). . e n ' , [ . 2 ) z . . 'punto (0,-l 8) 18 y + 1 8 . - Q 'r yt='
Graficando
AT =
(bosquejo)
de la función
dada:
base = l!+'¡ g+85 44
h = a l tu i a
siguientes 15. -
+ x - 12 =
Cx + a) ( x
x =. 1- q
3)
z
Ls t r abai
anos con
- Cá lc u lo de l á n g u L o q u e f o rman: ta g 4 = T l - t z 1 + m . tm ,
' de intersección
ángulos
de cada una de laa De (a) y (b) :
curvas.
yZ = x + l, SOLUCION:
+ Y2 = 13.
x2
I
....;.(a)
y2)=$rrsl
2x + 2y 3L:
o *
dx
1 * 5
14
.355 l- g
8
Y2'** *2*y2-
Y 2 'l s
9Y= - x ........(b)
de interseccidn: ¡
2 _ 8 =J L
14 . t ag o = &tC Eag -g-
dx Y
e1 punto
( 3 , 2 ) s e tendrá:
ipata
2v ''
t ag o =4
i¡* 2 * g:r
x
y _¿y tag o -, x t--v
dx
.>#=+,
¿y*= r
1.
-T-
=,d (x + r¡
*ux rr'l
'{allemos
(
eQ+
e n t o n c e s a l g u h o s p u n t o s d e intersec c r o; l son: (3 , 2 ) y (3 , - Z )
s¡,¡c'=iF los
z+*? x + 1 = 13 - x
Re e mp la z an d oe n ( 1 ) c o n x = 3 (solo u n v a lo r) , - | y =tz y -z= !
(0, 15, 4)
(e -t
Eallar
IOl
=l
_ b a s e x altura c "ABC----
s5 i slsc x
(1 ) y ( 2 ) :
Igualando
0 = 70"20'46tt 6
Q'
709"39t14"
Y * 6 - * ? , T x Z *Y2'32-
...o ......( l )
l3 t
' r'
:
..... . . . ( z )
SOLUCION: 7xZ
Y= 6 - xz .r...:,¡.......(l)
,yz
- 32 ., ¡...,........
(2)
r02
= ;;;6 +
(t ) en ( 2):
-t * 7 ) )
7xZ + (6 - *2)2
....,
7xZ + 36 -
12x'2
x4= 32
(*2 -l)(x2-q)
- o
x
+ x
=t1 =.1- 7
v a l o re s
x2=4 * x d e | txrt en (1):
Reem plaz an d o
los
* x = !1
*x=l
*
l0:t
-l-
3 lo
*4- sr 2
tAr a -^v
2. -l
= arctg = 8.97"
?^ = ( - ú) =
8"58 r 2lt l los
S e dej a
?
- B . 97o
dem ás cá1cu1os
el
par a
int er esacio
'a
y=6-(tl)'
- ( tz) z
y=6
,Y 2-3Y =2x.
r¡=\ l¿
y=x
2
(1)
/-L
Luego los puntos de interseccidn son: Calculemos el ángu1o de intersecci6n:. tas 0
(r1 r5)y(tZ12) ualirndo (1 ) y tersección:
m1 - rn? -T};: ''"'l
(i)
,......
"'2
*4
;
x(x -
(t,s )
para
- 3x -2)=$ 2) (x +1)2 = g
I ernos a continuación
q =-/(a) dx
=2x sra el punto
=¡| (s z ) n ¡ i C z * ' y ') 1 4 x * z y -i r=o dx dy=-7"
a¡ -- - F . , .
*
dY = - 7 \
,drf .i
,'
(0r0)
( *2 - ¡ v ) =f {z *l
¿v ^--dy - r"9Ia; &. d Y -=
y
1 . . : J . ..' ( b )
Reernplazando .(a) ¡¡ (b) en (3),:
f*= 0 ,y= o
{ *=2,y=4 L*=1,y=1(2veces) 1as p e n d i e n t e s d e ( 1 ) : ' ( 2 ) :
- *
De (2): d 2? d
el punto o puntos de
- 3xZ -2x=0
x(x5
D e f l ) ; j I = 0-2x dx
(2) para hallar
i para:
(1,5)
a;
dvz
=
2
T¡:1
a ; =- 5
/
en(o,o)
Cálcu1o de1 ángulo de inters ección: tago=*1
-
l * * r^z 2 3
ts6 ó
o *?
*2=
el ángu1o fornado ra si poclenos calcular (2,\ el en (1) y vas Punto (5 '3) . ,
2
l+0
n1-mz
. tag I =----1 +ml
-> d=rr"tgq{¡
33"4L'24"
D e m an era similar
tago=
se procede para los demás punto
^z
r +¡ - Á¡ éi 12
r8 . -
*' * or'= 6 t,
2*2-y2=4L
SOLUCION: x.
+
4Y z = 6 1 , . . . . . . . . (1 )
') ) 2x' - Y = 41 ......r.(2) R eso lviendo (1 ) v (2) obtenemos: _+
5
Flallando las pendientes De (1): 2x+8y iI= .dx
curvas: De (2):
(3 )
4y
dxy
i
Evaluanps en el punto D e ( 3 ) :l
h¿ =_ s dx Li
,....(4)
(S, :l De (a)
dvdx
dv ctx
) - 4x ;
10 3 . '. . (b)
3
d dx
horrzontacurvaS.
(5x-z*2)
de cono nos piden la intersecci6n su entonces 1a horizontal Pendien te es 0. (tag 0")
tonces :
-4 x = 0
- ' 4x = 5 + * =f,
lazando en la ecuaci6n de la r rcurva yr . e rrx[ calculado Para hallar
eso:
(a):
-:6
36 -50 36
z
É 5X -¿]K
5
j¿='*
:J5-f29-
0 = 84oo4t46" los puntos de contacto de las tangentes
dv é= dx
dY 4x-2y 0 'dx -
! , = - i . .....
,
:
o
ár¡
dx
de las
(r):
-135 = 135 tag I =lr4 ]4
y=t3
t
(r)
(a) Y (b) en _ 5 _10 3 12 -
plazando
=
por las
y=sé 25 y =-
-r(+)t
dada
el
va-
I r)i)
Luego el punto de contacto zontal. 20. -
7
3 y-
'5 Lz-
es:
25' Puntt) 'TJ
S O LUC ION :
d (syl -6y-*) dx
=*
*
+ 6xy
A
(0)
25Yz = 16,
oy9-
(rx
d.x
r = Q
-+
dy ._= dx
.,
= tag eo"
oJiliT 6y-6=0
F inalm e n te
- 6(1)
+
- x = 0
el punto es:
y =l
(-3'
I)
Y (3'
-i)
por la tangen-
origi-nados CAIculo de los puntos vertical. te a: (tag 90")
i
.,* * ,
5I
+
= ¡3g90o
3x+ZSy
ZSv
=Q
J
l ¡+ 25/
+
(-3r1)
x--!3
r-" a á " i" -á e r i v a d a
Reemplazando en la curva dada: 3(1)2
( a)
en
1
y=!
: punros buscados son
esi l
-
E nt onc e s r
r
,(;),1o't"u
+
.
6 (y-1)
lguala n d o 1 a d e ri v a d a a i n fi ni to 1a pen d i e n te d e l a v e rti c a l (tag
( a) :
r eenPlazando
= 16 , l)2 * 6 (-3 Y ) Y + ? | Y z
ctx
2-16
o jL-
.( a )
se: t iene:
cur va
1a ecuaci -ón
D e ri v a n d o :
. ..-
x=-Sy
x+3y -o 3x + ZSy
- x = 0
- 6y
(ragoo=0)
horizontal'
tangente
de la
' Calculo
x = -J
e n p la z a n d o e n :
punto yerti cal
¡ 2 + 6 x Y * z s Y Z = 16
r _ 2 5 yt Z + 6 x ( '53
25 Y ) * ? s y z = 16
2
* 6xy + 25yZ - 16 SoLUCJON: Derivando respecto
21.- x"
d
ax
dy -!--
50 y$ = =
x = t
5.
or iginados
Los puntos
(-s,á
o 7
2 5y-
x+ 3y -
de "x"
a x:
(*2 * 6xy + zsyz) =.-{ (t u) -dx
2x + 6y * ox $+
relación ; reemPlazando en la
y = .+
--J-
.3x+25y Analizando 1a derivada obtenida pode¡nosconcl.uir existe tangente horizontal y v e riic a l.
2 5OIiucION: I
2 x -8 I -
d dx
por
1a t angent e
vertical
Y ¡+s,:'p
*81 (*2 - 8xy +
8x9+soY +dx - o dx
zsyz)=¿f;tsrI *
d)¡--x+4Y -4x + 25Y dx
son:
a).-
dy
x-4y
dx
4x-25y
Habrá tangente horizontal x-4y=0-+x=4y
9Y= dx
J., vl
Para las
4x-2Sy
horizontales:
tnngentes
x = 0
12y'
reenpl azando 1
(1zy)z
*:.0t.=-(tag9o")
o **=
+ 338y * =
d:<
y ='r'3
cuando:
Czsl
dx
Z4y '" 24x
Los puntos de contacto de las tangentes horj les son: (l Z,3) y (-12, -s) b) fiabrá tangente vertical
={ -L q*2 - z 4y x + togy z )
cuando:
sustituyendo en la curva dada: ., (4y)'8(4y)y+zsyZ=81 + Entonces: x = 4(1 $ = ! 72
I 09
Derivando:
:
-
-+ I
X = 12(!l)
')
de I a
cur va:
+ 169Y¿ = 25
(y)
la(zy)
\Syz = 2s
ecuación
en la
( l)
, reemplazando en (1):
= tl
x = ! 12
Los puntos de co.ntacto son
4x- 25y= 0 + * = ri' ,
(1?,,1)
:;::l¿i,á:ui""l" dada,
12. a---5 ; reenplazando ul t.
r=t
reenplazando
relacidn de x
C
12
= t 15
x=tfl3ll.25'
- s - '?
Los puntos
de contacto
2 5. -
i, x- -
24 x y
+ l69y¿
x = 19?Y ...,..,( z ) 12
+
(?) en 1a ecuacidn de Ia curva:
lz - z+( 9 2 v7 , + 1 6 svz= 2 5 12
y2= 144
.72
y=
l3
serán:
(ls,+ ) y (-rs,
+)
x
.
,
verticales:
t angentes
169 - r 2x = o
- sr.á.¡r,+ zsy|= $7
rfiT
Para las
y (-12,-1)
- @¡ rl2r J3- 1 13
+
, reeinplazando en (2):
r o t 13
Luegó, los puntos d9 contacto -
ZS.
(13,-l*) y
(-13,
' t)
:3) 13
son:
il 0
1A L'+
.'
169x2+1oxy fOLUCION: ,-'t
#
)
rtos x r * rox y + y 2¡ =¿ $ ir + + )
(5x + y) g =-(169x dx Para las
-+ x =- tY , 169
sY ) t to(- tY) 169 169
Yz = 169 x__
5
+
y _- i
(rl3)
t3,
= 144
reenplazando en (
¡69
, tJ)
v(s, '¡3
- l3)
b) . - Para las tangentes verticales;
de la derivad¡
5x + y + y = - 5x :......,...(2) - 0 reemplazando (Z) en la ecuacidn dada: ') 169x¿ + lo(x) (-Sx) + (-5x)Z - 144 X44x2=144 -) xErl reemplazando este valor
en (Z):
-y2=s
4x2*gy2=7
=o - zy$ ctx
dr = o 8x + 18y dx
,X
(1)
*J..r =-
4x
dx
9y
(2)
amplazando en (1 ) I (2) el punto de intersecci6n, teniendose: (1 ) : J !3 dy (3) -> In1 =T m1 =t2 dx
¡J
Obteniendo los puntos : ¡--L l3
, t2) puntos de corte.
v
\ x = t-:
-+
(r3
Lvando cada una de 1as ecüaciones Cadas:
7
(y) +
4x-+
Ias curvas
..(1)
reemplazando (l ) en .la ecuacidn de la cu¡va:
t6 s¡-
son:
)?2
tangentes horizontales:
169 n 5y = 0
= t5
y Ia elipse x''y'--5 strar que la hiférbola . 72 se cortan en ángulos rectos.
dy=-1Ó.9x + 5y dx Sx+I
+ Sy) .*
I
de contacto I Puntos (1 , -5) y (-1 '5)
Derivando:
338x + loy + lox dY + zy dY = o dx dx
a).-
-|
r - 5(tl)
ry2=144.
(2 ) :
É* = '2 = -i ,i'r,
*2
2 3
a que for¡nen 90o debe ct-unPlir 1 a r e l a c i f n
t-
n, 'm, =-l lazando
(5) y (4) en esta relaci6n:
. c¿il
I
I
siguien
rt2
m t' n z =
Ó
')-
m,.m , = - 1
+
(-+)
t 2 -2 ^ * -8 a x * x 2-x'l = 0
lq.q.cl.
Demostrar que el círculo *2*y2=8ax y Ia cisoi,lef X) Y'=xJ a)'son perpendiculares en eI origen: b) se cortan en ángulo de 45o en etros d.os purrrof
soL UC I0N: a) . - t { a l l a n d o l a d e ri v a d a da c i a s y re e n p l a z a n d o :
De :
8a Lx =
^ ^,óa. óat-sj
..2 o+a - --Zs
es l os 16a.,
- -4 a ' --'
.,r , '0
1o que nos dice vertical. De:
0'
+
@ = tag
,' ,=
que por el ori gen
(Za - x)yz
, para
(0,0 )
nti nuaci ó¡r os puntos
(90' )
punt os
de
r¡ ñ
r 9e )r V ,T,
pasa una tangon
y,-3x2*yZ 2y (2a-x)
int er sección
son:
-T/i6a. ,
1os ángulos que hallar em os P y Q 1as dos cur vas dadas:
0+0
0 (Za-0)
-'
y,
= Q = tag
Lando 1as derivadas 'de caCa una de 1as cl¡rvat tas ya han sido calcuLadas en la parte (a), enes ahora solc reemplazanos en e1 punto desea
u.-*
la circunferencia: yt =
0o
b).-
5 4
Y'=[1
esto representa una tangente horizontal en e1 o gen. Entonces las dos tangentes son perpendicula¡ en (0,0) .
1 a c is o id e : . Y r=
stffl2 * (*)t
,'Ét(z::3e)
Hallemos los puntos d.e interseccidn: De:
*2 , yZ o 8ax
+
12..
8ax - x2,.,..
(1)
De: (za - *)y2 = *3 ....r¡..,.......,,.(z) reenplaz ando (l ) en (Z): (2a - x) (8ax- *2)**3
+
x(Za-x) C8a-x) - x5 . 0
fo rna ¡':
$)t
p a r a : ( 0 r0) obtenemos: yt=
p- -a r a ob iene: '
y = r - 3. - i 6a
+
e l p u n t oP e ,
=*3
- YZ *(2a-x)zyy'=3x2
de x I 0 e n ( 2 )
plazando el valor
, -T) 4a-x
= Q
1
a cada una de 1as crl rv x - 0 e y = 0(ori g
Y,
x [z a¡ s a- s x ) l
de r r xr r . f X = 0
trandose 1os valores
*2 , yz = 8ax 2x + Zyy, =8a
'+
y,
=frz=
ángulo fornado tz-tl . EI
I + n ln z
será: ;
de (3)
v (4).
l l :i
lr5
7-+
tag 0
*t80
I * 7(+)
$ = a rc
(1 )
-+
- P a r a e l p u n to Q e
,-
ta g
0
= !
= 45o 1q.q.d.
'x
I 6a, 5 /.
En 1a circunferencia: a
ó9 4a .-r - 5 I' = 16a En '1a cisoide:
y'
=
y ' = * r,=-+ .......(s )
'
:c$ 12. c-Y l'
2( - e) ( 2a- T)
* y'
án g u l o
fo rma < l o
t-z
, sustituyendo
l + ¡n rm ,
valores
aL
,¡ '\ lL)
|.t
ti n
(1) : 1l?
x = 0
2 = u2 36
'
0
= 45o
lq,q,d.
1 ,7(h
l os
27-- Demostrar que las tangentes a ra hoja de Descartes =-5 a{y en ros puntos de intersección con T3 " ylta pará.bot, y. _ ax son paralelas al eje de las y
grafiquemos
( a x) '
u,
1 tt',L =3 3 ( a x) '
' ^3/l son:
a tf,A ^
'tY R(/a
u,
-
^3{21
(1 ) :
f cs'*rl ,, dy = aY-- x+ 'dx Yo- a'r
3ay + sax 3L
*.*
en forma aproxinada 1as e. para e1 Punto:
1 /2 .
,
36^ en (2): * = , reemPlazando
de int er sección
pun t os
€ ¡* 3 * y 3 )
sx2* tr'
SOLUCION:
y
y =
-+
(o,o) i Q(3ñ erivando
* *'t2 *
= 3^x(o*)1/2
(^*)3/?
uego
Prinefanente cuaciones
I
.
splviendo:
_l ó
tag0=
l¿. j
f0)
ñ l- f,r
de las
(1)
= S axY
stituYenoo
ES:
de int er sección
Yz=ax
y' =^z = ' 7 S *
El
Punt os
go, hal l emos- los as1: curvasr
¡
a 7as 6
,
a
3ñl
116
7-17-
a.a "/2
dy
',/ 16
- a'
-)
dx
tfñ
dv
J=
dx
. tn-t)
tangentes al circuLo: Hal,l.ar 1as ecuaciones de 1as t) a la recta 3x-7y=19' xz * yt = 58 que son paralelas
rt7
^ 2 6 -^ 7 3 6 dv
+
@
=
(tangentevertical)
4X
F inalr ne n te podemos concluir ctue 1a tangente formÉ ir n á: r g u l o d e 9 0 o c o n l a h o ri i ontal y por 10 tanto rrY rt es P ar a l e l a a1 eje ZS . -
llalLar
la
e c u a c i ó ¡r
de la
n ormal
a 1a parábola
y
a
5x + x " x.
q t.r" fo rma
un ángulo
de 45"
con el eje de
en- función de su -9¡r'd'iente La ecuaci6n cle una recta =rnx+b Y ""(1) "' ilienedadoPor: oue ser uaralela a Ia Como la tangente bíscacia tiene De 1a'misma pendiente' 'recta dada, entoncál-ii"""tt su ¡;endier enconirar í;-;;"i;-póáe*os ¿" rA;-;";;iéi te asi: l9 3 =-íx-a y -). -19 7Y=3x -' -7y='tg tx parando con (1 ) encontramos
SOLUCION
(z)
.J
Para Ia recta
nornal l.
Hallando
d)-dx
y la
mZ =
la pendiente
s + zx
+
-
I
11ando la derivada
...r.r.r..(l)
de la parábola:
. -i
¡ = 5( - 3) A hor a de la
=
l l l l , ='-=l
+
-
+ (-3 )2
=l
5+2x
e n condicidn
- xr¡) s)i
,
fecrla ei6rt'de
de (2)z ?
x3
* = - *7 y , s u s t i l g y e l d ? en 1¿ ecuacLon oer círcu
y.t
a ecuaci6n de1 círculo:
reenplazando en Ia ecua . ci6n de la parábola. yt=-6
-+
;
1o: I
,+ X = - 3,
s i e s ta m o s norn a l :
Y'Yt'm t( x I+6 =1 ( x* y- x+3 - 0
de 1a norrnal)
del problerna:
mr=tag45o 5 + 2X = -l
ao
rnr.=5t2x
(2) en (1 ) : t *Z = (pendiente É
Por condicidn
del círculo:
tA ': L( * t * yz) =;f, cssl + 2x + ?v+
sustituyendo .
rn =T.
tangente se cumple:
de hallar
la ecuaci6n
[ (xrrr) = (-3, -6) ] la normal)
- 7ht 'l' * y2 - s8 -# = 49
-| ?
,x=-|gtl¡
yz * yz = s8
y - !.7 -> x=-+3
y B(-3,7) go los puntos de tángencias. son: A(3 ''7) tiene 1a siguiente forma: ecuaci6n de'.1a tangente ',. om(x- x,) ; m=iGtG)) -lt
). -
P a ra A :
n8
y+T
.-} 7y +
--i {* -s )
7y b).-
v-
y, 'r
3x + 58 = 0
v'
8 ¡ -É
Para B:
5y+
y - z =? (* *
+ 7y
49 = 3x + 9 7y - 3x - 58 = 0 ecuaciones de las norlnales a la hipérlro
30.-
I{a11ar las ,)) ¿a = 36 paralelas 4x'-y'
3)
a Ia recta
Com o e1 p ro c e d i m i " n to s i m i l ar al probl ema e n to n c e s l o h a re m" ,o s s i n muchos' ¿eti i l ásl ' r ior , la
rec t a
f
1a hi p e rb o l a (\ 4x r ^2
"r
d , - 'rrr2)) = -[(so )
f
( . u . , e e n t e -) +
Igualando
Hallernos los
= - tr { ( n o r m a r..... ¡ (2)
??2
(4 + m')x'+
n'.
*
=Á
8
(xt,y1) a).-
+
con la eiipse: 4x2*
Zmbx + (b'-72)
ffi -Zmb t ,/ 4m'b'-
= 0;
^2*2+2¡16¡+62=72 ; resolviendo:
4(4+m") (tt"-72)
2 (4 +m'7
y2=64
Loe val ores
de ,'x " deben t.ener el
pasan por un mi sm o punto nl nante
debe ser nul o'
obo-4f4b"-
Y=18
puntos de corte
(rnx + b)Z = zz
1)', *
-lC
1as ecuaciones de las Cos taiigentes a 1¿r e1 ) 4x' + y' = 72 que pasan por e1 punto (.1,4). SOLUCION:
-- -
-)
5y+;¡!=-2x
+ 8x- 2yS= o
Susti tuyendo en la ecuación de la hipérbola: =36
-+
Hallar lipse
* =*y
5
ct-$r)' - r'
= m(x - x )
Calculemos primeramente 1as pendientes de la tangente: y = mx + b Sea: ; la ecuación de la. t angent . el
\F
_+
es;
1 a nornal : j
(l ) y (Z) :
- - :-v2 =- _ {+x
+
¡1
nornal
5y12x*50=0 anrc
242 --5-x * T* * = - 5 . . . . . ( 1 )
hallemos
y
4x2 *
=
+
-
5y - 40 = ' 2x + 10
-|
y+8=-+(x+5)
dada:
2 x+5v=4 -r+r ' -
(* - 5)
2x-50=0'
v-
2x+5y=4.
llf)
I
b). - La otra
sOlucr0ü:
De
= m(x - x.)
49 = 3x - 9
+
(t8 )
=(r8 rt s )
Una de las ecuaciones de la n o rma l s e rá :
Y ' Y t = m(x - *t )
288 +
xÉ t
n ? b ? -4 b z + 2 88
' 18n2 -
bz * 7z -
(dato l uego
del :
mj -s mo v al or probl erna);
porque
l as
entonc es
tangentes el
des c ri
Como la tangente pása por (414)rten$renos y=nx+b -| 4=4m+b' b = 4 - 4m ..:., sustituyendo
:
( xt , r 1)
112
(Z) en (1 ) :
- \'. j | :: -ir' l /Z
?
18nr¿ - (4 - 4m)2+J2=e + 'f8rn2- I ó+32m-1 6m2+l 2
*l
= -l
y
::: ::l::I :l,;,"
-|
mZ = - 14
Reernplazando (3) en (Z) z
= Q, . 4(-Z)
b¡ = 12 .....,.
+
de (1 ) tenenos:
(x - *r)
,..(z)
,.:l
llemos a ccn t inuaci6n
crl¡r t cs e
intercepciones
las
ll. ) .'
ton
el
eje
t t x":
par v
y = 0,
en (2):
= -+ r 1/2q*-*r) + - y 1=- ,l r t 6 - y, t I xr
- Para m1 = -22 bl
=m ( x - * t)
Y- 11
..o..,,(Z)
,n2* 16m + 29 = Q
es :
/?* * ¡ * ,:r ¡ ) I/2
^1
(4)
despe j anos
[xti
:
- Para *Z = -14: bZ = { - 4(-14) Finalmente
3z-'
* = *l tz G1t,', ,'r,'r,
b, = 60 ........(5)
-}
entonces:
1as ecuaciones de la normales son:
a).-
y = -Zx + 12
b).-
y = -
+
14x + 60-+
* =
y + Zx - 12 = 0 y + 14x - 60 = 0
puto *] ¡2* v7/2-a1/2,
l,-
Con el
eje t'I"
(3) xl/Z "1/2, : para x - 0r '€tr (2) ,
- {l,t rz .
Demostrar que 1a suma de ras coordenadas de ros pt¡ tos de intersección con los ejes coordenados rle l l tatlgente en un punto cualquiera a Ia parábola: 1/2 x-.1/2 + ) ¡1lZ = a''es constante e igual a a.
Y - Y'1 =
SOLUCION:
Surnando(3) y (4 ) tendremos:
De la ecuación; yl/2 Derivando con respecto
* r't".#=
-
al/2 - xl/2.......(l) ttxrr: a
- + x ' 1/ z -;
'K Hallando
y = y 1 1 / 2( * t " r l ' * y 1 t / 2 ) n y = a 1 / 2 . , t r / ' - . . . . .
- - - { - .,.,.....( 1) xl/z
la ecuacidn de 1a tangente para un punto:
(1)
Z*"*y=^7 l2 g1 l2 +y1 / 2) 2 r x+y.al l2 .xl / +a1/ .rt / x+)¡
jü
(0 - *l)
=^712,@112)
+x+
y=a
lq.q.d.
1a xz/3+yz/3=^2/3 strar que en la hipocicloide i6n de la tangente en un punto cualquiera iinita por los ejes cóordenado¡, és constande e igual a
t . )' !
* = *r t/'
So L USION: aI ejemplo anterior:
Esta d e nostración es similar Z/3
?./3 y=a
x2/
3
, , . . ,
(1 ) respecto
Derivando
a
ñ.PQ 5 / *,''".
P
(xl
a4/3
dx
D ñ ¡ \<
F
.yl,l/s Y - Yl= - FilJ a) .-
ta n g e n te
e n el
punto
(xl
, 11)
(x _ x ) I
= a
y - y 1 =-C l l
1/3
x1
X
-:;;-
(1)
A * "a
t
1
/7
1q. q. d. <1e una
de 1a t r ayect or ia * 2, siendo la unidad
I eie ¿!uuras
x horizontal
pelot e
un net r o
de dist ancia
y-el
origen
es:
el
-pr':nto tT :t ' 91 19:" dal esdó e1 cual t" '^í" " tá- - i á- pár nt" ,:i : i 1a ángul o qué i.!" t""r á' - i " pár átá: ul ¿ bon t;'c ui ' :i ,'i l " ..i .,t:'l ^Í:] elota contr a " " á- pl i q* íei pelota cae en una a¿otea 1 a S i L l iiii-¿ ! " p " ¡liJ á i
o riz o n t a l
Para x = 0, tenemos:
a4/3, Y2/3
ecuaci ón
I
xl
de la
(x
/3 ¡
2/3
ts
La ec uaci d n
^4
m
; para un punto arbitrario (xl , Y1)
d J = - ú )t
(Por Pitágoras)
* yz
De ( 3) v ( a) :
PQ .ir' 11 /3 -?ft =-r__ 1 /3 x
\4.,
^2/3
mostrada:
1a figura FQz * t2
(l )
ttxtt:
) -t/3 Z -1 /3 'Jv =--x 3 clx 5
,
d e 1 b ¡ : rd e a l t o , ¿ c o n q u é i l g : t : ^ l i : á '
; , ; ; ; ; ; ; iijiir á - p e r o t4 ' q h a ..1 a n za c:1 ' ::' ": 24t"'.de- al to , c9n qué
ls ¡o-* 1 ) * y ,*y1 xzls - v |
á." á"ié-"n- ó¿iii.io'áá sueloi e) si átá'.""-"r de una cuest a,
re
se.ha. lanzado 9:ti: abajc^en
inclinada ángu1o dar á
hacia en el
-
:t" áagulr-'r
l:-:Y:ár lgulo
suelo?
" .¿i ;,-¿.o" -qu é
UCION:
y =y1 1 /3U l rs.vl /3 1 , re lacionandocon ( 1) : . b).-
Y = ^ 2 /3 't\"
'" " " " " ""' '
( 5)
Para y = 0, tendremos:
del ra una rne jor visual í zací 6n la de Pelot a: ,--t" tt.Y éct or ia
a).-
Derivando 1a trayectoria:
dY = r-*)u x
(1)
dx
$llt. ,1"', ck)11/5 -Y1rl3 ,,=-#)1/3¡x-x.,)** r x l, .tl 1
I
pr oblem a
P a ra x * 0 {crx I . = l=
rgg
gr at r que-
t2"l
(1)
arcrg
Q=
0=
=l--
,20
dy =- J
+L
50
45"
g1 = arc tag (x,y)
5
dx
= t ag
,3,
= 30o57 t 50"
l-l
5.
= 80 (bajada);
Para x
a
en (1 ):
*-g-=-+=tasxz
9L=r-io dx50dxr dZ =
b).-
Reemplazando en (l)
el valor
-
50
de x = 75:
dx
dv
16 = x -g
-¡.
¡00
= 20
x, l-L
y
20) = Q
+
ftzo x =f L-20
120
+
.r., 7 g = - - L= .cx )
7
B =
t ag
- 54" 2? ' 44'l
6
xr
(x - 80)(x
- Pa r a l x = 20 (subide); I \
$ = 125" 32t16"
- 20) r Q
= 80
Tendremos 2 soluciones I lai otra de bajada: I
.
B = arc tag (?
1600=100 x -x 2
- l00x + 1600 = 0 *
,2
oz = 149" 02n10"
zr = t- m -
Para y - 76, reemplazando en la ecuación de la trayectoria:
*2
A
Reenpl4zándo x = 120 cn ( 1) :
{ = - 26o33f 54r' c).-
oZ = - 30 "57'50"
(x - 1 2 0 ) ( x
raso + 9=aictag e1l
#=-+=
i. (- i)
tonrando el or igen (0 ,0) en 1a azot - ea, e1 puit io se encont rará a (x, , - 24) . Sus t i. ti¡ de l l egada tra yendo estos v al or es en la ecu ación de la yectorl a 2 2 * * 2 - 1 o ox-24C0=0 * -2400=100x -x -24 = * ñ
dv_ r-jtrr¡_)* =1_ + *r'
af
tag ^rc
a
uno cuando esta subida
en (1 ):
de la Pelota será: Y = - x ; La trayectoria la ecuación de la t r a y e c t o f ] . a : en reenplázando -xax--
*2 100
+
-100x
= l00x
x
2
t2(i
x (x - 2 0 0 ) = ü
*
x2-zoox=o
1 2= p¡J{.r)
. =fo
I zoo
2
susti tuY endr-' (Z)
Sus ti tu ye ndo
x
= Z0it
en
( 1. ) : V=-
dy
1
dx I
= a rc
200
dy
50
dx
ta g
( - 3)
+
- _ l_ 7S
1Z 900
'
'
= - 3- t ag0
r
\-
?
t,
dy dx
-z7s
'* i
para
( 30, 1 2)
tago
+ ü= arc tagtT
0 = 1 0 8 " 2 6 r0ó" 3 5. - E I c able d e u n p u e n te c o l g a n te
tiene 1a for na de un a par ábola y es t á anar r ado a d o s c o l u m n a s qu e distan 60 m la una de la ot r a. E l p u n t o m á s b a . io de 1 cab le es I 2 m debajo de los p u n t o s - d e suspensién Halla r el ángulo ent r e el c able y l a s c o l u n n a l .
dY =L= f ¡o) , 5 dx 75
_g -3 dx
's \
)
6 = 3 g 0 3 9 t3 5 " ángulo
El
q u e ha ce e l
ca b l e
y la
co l u n n a
e s:
o = 90o - 0
TI 1')
c =9 0 o - 3 8 o 3 9 r 3 5 t '
].
c =9 0 o - 3 8 o 3 9 r 3 5 "
60
SOL UCI0N: Hem os t r az ado el eje de c o o r d e n a d a s p o r e l punt o m edio, c on la f ina l i d a d de tener una
(50, I 2)
+-
(i)
Cerivando:
g = . - 71033 | 5 4 r ' 6
F_
.
( l) :
en x
,
o = Str"20t25"
MáxlmosY Mfnlmos Problemas: las fuL mfninos ile cada una de Calcular los náxinos Y c.iones s igulentes:
60
-* 3
- 6tz + 9x
a
S ea la ec u a c i d n de la p a rá b o l a : y - px' ........(1) punto (3 0 r1 2 ) e ntonces reenpl a zac oF o P as a p o re l nop en ( 1) :
@9Ie.s: l er P aso:
C á lculo de la derivad,¿: f (x¡ - ¡3 -
6¡2 + 9r
|ztl
un v3 1c r ná;
) = 3xo - 12x + 9
f '(x) 2e paso:
f r(x)
Luegox=1
= 3xz - lzx + 9=0
r-)
x < l,
f '(x)
=(-)(-)
=+
= (-) (*) x ;'l , f'(x) c u a n d o x = | La función tiene
E nt onc es , x = 1 , f (1 ) Cua n d o :
E nt onc es ,
x=3
cuando
x = 3, f (3 ) Res pues t a :
10 + I2x
= [-)(+) = , f'(x) = (+) (r) r f , f'(x) 1a función tiene un mÍrillrr,r
=Q
Irtáx. l"lfn. 2.-
x<3 x>5
-3x2 -
.A
,parax=l ,parax=3
(críticos) :ol imaginarios' ni mlnimo' ^á*i*o
por
x ='2
10,
')
2.
f (x) = 7x" + 3x'
do:
= 6xZ ¡ $1 + 12
f,(x)
=6(xZ
+x+
tolviendo
=
valores s-t;;;;-no
6(? - x-xz)=Q x2+ ¡o
de "x" existe
-t,ñi 7
Sea 1a funci6n: I
f'(x)=-(-) (+ ) = + ; f'(x) - -(+ ) (+ ) É
x=
+ zxT - 1sx - 20.
x - Z - 0 -| (x - 1) (x +2 ) e Q 1 y x .-2 son lo s p u n t o s crfticos.
5 e r . pa so : a) p a r a - 2 < x1
Q
1a ecuaci6n P)'anteada:
- txEn - >
2do paso:
2)
6(xz + x + 2) = Q x2+x*?
f ' (x) - 72 - 6x - 6x 2 = 6(2 - x - xz ) =:6(x-1)(x+2)
+ 12x
f,(x)
SOI.UC ION:
zxl
x=l x =-2
Para Para
+3x2+12x'4
9 A s o:
zx3
Sea: f (x) = l0 + tzx - 3x2 I er paso:
+
ní;ri-
l"fáx. ='1 7 Mín. = -10
Paso: =Q
=
pues ra: = un mírxirnrt
= 4 I
=
l-l
un valor f(-Z)=-
5>
b) . -
(-)
x2- 4x * j = Q * (x-3)(x-ll= x = 5 son los puntos crfticos.
y
3e paso: a).- Cuando:
I
f (x)
I
paFo:
=* 3* z x Á- 15x - z o !
I
f ' cx) r sx? + dx - 15
Zs
criticos
s valores
paso: = 0 = sx? r 4x - 15
fn(x)
0 = (3x-5) (x+3)
=3 + .l * r r5
gr
paso:
).'
x =-1 Para el valor crltico = (-) Cuando: x <-1 , f'(x)
t x 2 ' -3 Los valores
crfti.cos
son:
-5 yJ
3s paso: a).- Para:
< -5
-€x
f'(x)
;
= (-)
(-)
= +
P ara
).-
valorcríticox=0 -1 < x < 0 ; 0 < x < 1 ;
el
, C uando:
- 3 < *.*;
f'(x)
J'
= (-)
(*)
= -
I-uego cuando: x =,5 la füncidn dada tiene náxirno. f (-5) = 1ó b).-
Fara:
-3 . * .l;
= t-)
t+) = -
f' (x) = (*)
(+) = +
ft(x) 3
P ara
).-
3l
i
nuego cuando: x =-Lf"
nf n i mo . f é-3) =-s+. e i s Máx = 16
;
para
Mín = 34"815 i para x
= T5 paso
SOLUCtrON: S ea: I s p a so: f '(x) f '(x)
f (x)
= ZxZ - *4
l*J
f '( xJ
= ( +)
( *)
[ *]
= +
;
f '( x)
= ( +)
( *J
( *]
= +
función
un máximo
tiene
0 =t
f(xJ=*4-4"
Sea:
zxz - *4
Zdo paso:
para x= para x
Mfn=0 Max=1 - 4x.
x =-J
(*)
==+
;
Luego, cuando x =. I la ni mlnimo. x = -t I'fáx = 'l para
un
(*i
un rnfnimo f,{0J = $
C uando:
x>l
funcidn dad.a tiene
f'(x)
(o)
e1. puntocrÍticox=1
0<xcl ¡ ¡ "
= (-l = (+)
f'{x)
en x = 0, existe
entonces
{.-) (+) = *
= (-) {'J (*) = f'(xJ = I existe un máxino
-1 < X < 0 , uego para x =-'l ; f (-1)
3
0 y 1:
-1,
son:
f'(x)
= 4x3 - 4
f'(x)
= 4(x
- 1) (*Z * x + 1)
paso: =4x-4x5 -4x(1
+x)
= 4(x f'(x) f podemos plantear:
(1 -x) =Q
f ' (x) - 4x (l +x) (1-x) =0
*1*t a - f [*'
txs
ei
(x
-
'l
)
e
Q
'+
x
- 1) =
1
(*2* * + 1) = o ; de a -
i
(*2 * x + 't) = 0 , resolviendo La ecuacil6n se en cuentra que I'x'r toma valores inaginario9. tendrenos cono único punto crlíti.co en conclusi6n
x=l
o < x ,+
3er. Paso: Cuando! -@ < X < I
f'(x)
= (-)
(")
=-
I < x < f'(x) -. , Luego, cuando x = I Ia fu¡rci6n =-5,
= (+)
(*)
= +
,
lulín=-3, 7-
*4
Cuando¡
parax=l
paso : '
Sea:
2do paso: resolvienclo:
Ios valores
x
-fz, '7
f '(x)
='-
,fz ,-T ,
f '(x)
=+
tx
f'(x)=4x3
Luego, cuando x =L
-2x
2
nr of ( x) 't
f' (x) = ?x(zx?-'t)=zx
(ñx+t)
* t=-
l_.1
E,
*z=oy xi =
f ie " o
a).-
Exa¡ninemos el valor
crftico
Llamando: "lar
I
Cuando: -€ < * .-
ñi 1 --:4X<0;
,n
=-
-
f '[x)
= t
2 ilo p a s o :
u n mf n imo f (-l ,/7,
de dondet
x = 0 , o c u rrirá : ;
paso:
f'(x)
L u e go, la funci6n en x =-+ t ie n e {2 E n el punto crftico Cuando,_ I E <x<0
(-)(-)(-)
f , (x ). 1
D afa
4' -
''----
i1
X
par aX
4ñ
4x3 -
n
\r -1
Mín =*,
represen
1 * =-
=3
un valor
tiene
función
= --
/T
l'1áx =1r 'Par ax=C
criticos.
paso:
la
Mín
(ñx-tl
f ' (x) = Zx({Tx + 1) ({Tx - 1) = Q
5er
b) .'
0 <x
= *4 - *2 * 1
f(x)
,
(0) Luego, cuando x = [ la función tiene un rnáxinic f i; l. v = J {cr í t ico valor el exanr iner r os tino c) . - Por ú1
- *2 * l.
SCLUCION: I er
tiene un nínirnt,
t:i:r
f'(x) =
lzx?
f (x) = 3x4 - 4x3 -
lzx?
ft(x)
=12x(xZ
-x
f '(x)
= l2x(x
- 2)
fr(x)
= 0 = 12x(x + 1)
*l
=
x?=
(x * 1)
o
I
Duntos críticos.
ZJ
,Ser paso: r). - Exaninando el valor x <-1 , Cu a n d o :
crftico f '(x)
<x < 0 ,
f'( T )
-1
(x - 2)
- r lI l^
x3=
-2)
x =- I É-
= +
=
-l
ní¡',i
Entonces en x =- 1 tiene
un rnínirno f (-l ) =-g
b) . - Analizando
el valor
crítico
< X
< 0
,
f '( x )
0 <x<
z
,
f'(*)
Cuando: -'t
Luego, en x = 0 tiene c). - Por ú1timo, Cuando:
ent onc es
enx=2
x
> 4
,
f t ( x)
= +
,
f'(x)
=.r
!9LUc-I_oN.:
tiene
un mfnimof(2)
It
Sea:
(x
- a)
= Q
críticos
5
f'(x)
3
Resolviendo: (2veces) X:0
4)
5e = 0 (3 veces)
x =Q
y
r).-
2) ( x'2) =Q
nnalizando
el valor
x = 0
Cuando:
- o ( x < 0
,
fr(x)
0 < x < 4
,
f, (x)
b).r +
x = '2 Examinando el valor crítico Cuando: = + f'(x) x < 'Z ,
un n,áximo f (O) II x . 4 i
funcidn
Analizando
f'(x)
,
el valor
crítico , ,
Luego en x = 0 la funci6n'tiene C).-
Por últimor Cuando:
x = Z
= -
un máxino f('2)
tiene
Cuandoz -z < x < 0 0 < x < 2
-
tiene
1os valo: es cr í t icos.
Y x=2 'son
,x=-2
paso:
Bn x = - 2Ia
Examinemos el valor'crftico
= tSxZ (x
-2<x<0
x=4
paso:
Luego, cuando x = 0 la funcidn 0.
= 15x4 - 6oxZ
-5x
I
crítico
20x3
-
paso:
A
-+ [x
son:
= 3x5
f ( x)
= 1sx2(x - 2) (x + 2)
l- x ' 4
Luego los valores
= -256
paso: f '(x)
= x
f(x)
(x)=5x4'Zox
fl
un minimo f(4)
!x5 - zox3
para x = -1 parax= 0 parax= 2
Sea:
t iene
Máx =0r par ax=0
c Q
i
5x3
b).-
= -
f'(x)
Ze. paso:
a).-
f '( x)
,
= sx3 (x
3e
,
tonces en x = 4 I a f unción ¡ó.
22
S O LUCI O N : pas o :
< 4
-?
* 5 - sx4
1s
x
]' {ín ='Z56r par ax=4
1a funcidn
ñ r].n = -5 jvfáx = 0 = -3 2 I' l i n
0
x=2
x < 2 x > 2
0
=
un máximo f(0)
para
Ando:
x = 0
= 6'1
x = 0 = = ft(x) ft(*)
mínino ni rnáxino.
x < Z
0
= -
f,(x)
,
x > 2
=- 64 ,
ll"-
X
tiene
= ¡"
c
pa s o :
Z do
ZaJ 2 x
A nal i zando
2u' =
=Zx-
valor
-. a ) (x 2 +
¿2¡ =g
ax t
; resol vi endo
se obti o lo -
go en x = -a
,,
*
<. a
x
> a ,
cu a n d o
,
x = a la
_=, z
v a l or
f,(x )
= -
f' (x )
= +
fu n c i ó n
crfti co
x = a
x
f , ( x)
= +
,
f '( x)
=i-
función
no tiene
Haciendo: f (x) = t'
un mfni mo f(rr)
I er paso:
f' ( x )
?^tl
=i-(x'-a*) x
Mín = J a o
2x - - d
,
p a ra
x= a.
4.' *2
, x l o
2do paso:
*x- (**-"n) =
z
SOLUCION
*
't
^3
x
un máximo,
2
ION: SOLUC
ti ene
la
,
^4
x o +g -
E x a ¡n i n e m o s e l
'
x = - a
cr í t ico
tant d.
pas o :
c uandot
a'
x > 'a
x = .a y v a l o re s . i i n a g i n a r i os x, por t e¡ rd re mo s u n ú n i c o ú a 1 o r crÍti_de co en,x
12.-
el
x < -
0* xJ-ar* tJ
xz
=Ja
imaginari as .
C uando: ft(x )
Luego,
+ x.= -a ., +. ao ' -) .ra ices q
x-ax
a,
r er
= 0
ax + a')
ér paso:
pa s o :
(x
))
+ ¿1 (x'-
a
X
= 2x -
f '(x)
3
=Qt2 xJ* Ze J=ü
.x+ a=
,^3 a JS a
I er
x
=
f '(x)
x=2
2(x
f (x l
.->
za3
Ztlo paso:
') ^3 7 xo +'-2 -
..1Q!-U!r_QN;
zx3 *
un mínimo l(
x =- 2 para
^3 ¿¿r
=2+
f '(x)
= +
, f'(x) Entonces . enx=2lafuncidn =-64. Máx=64,para nin
i ar paso:
resolviendo
r -3 LLa¡tandoa: f (x) = Zx - a *2
x.E-a1 |
xz=
a )
Q
-l
obteneno s: |
puntos
críticos
(x+a) (x-a) q*2r^2¡
= e
x-
= 3i
'l
x4
= ai
)
J
3er a) . -
puntos críticos
NO SO n
I
l.¡¡ ¡,\,¡
paso:
el valor
p a ra
Exaninando
_ . *
'a, a
-a < x <
f'(x)
= -
f'(x)
= -
a Ia función
cuando
Luego,
,
x =- a
crftico
c u a n c o ,_
^r
^-é x =-a naqñ'
a) . - En e1 valor Cuando: - a<
x < a
,
f t ( x)
= +
a
,
f '( x)
= -
un
Luego,'
cu;r ndo x
= a, 1a f unci6n
p a ra
I
un náxi; ; r o:
f '(x)
<@,
a,
la funci6n
)
M Ín = 2a-
,
Para
.
tiene
X
= +
x > - a
un mínimo:
Mín.-i
x=a
tiene
1
,
l,ráx=;,
22 x+a
x Sea: f(x)
=-fBx-+a-
,.) (x'+ a')a -ax(2x)
w
f '(x)
=
23
-ár;37 a x +a - ¿ a x
*2> ^(^2-
q*2 +
^2¡2
para
a
f ( x) x+a
1 er paso: * = xz
lax (x +a) 7'
* 2 + z T ,= o - + ( x+a) -
=
x = - a
Zdo paso:
+a)
paso; f r(x)
para
Sea:
f t ( x)
a -a x _:T-TZ
(x
un níni'mo f (-aj
x+a
32
f'(x)
= i
z
SOLUCION: paso:
f'(x)
,
En x =- a, la función
AX
S O LU C ION :
x = ' a
crltico
En el valor Cuando:
f '(x)
a
a <x
Entonces g n x = f ( a ) =zai?
x a a.
críti co
v al or
b),-
Cuando: -a < x
2do
t iene
1 r ( a )= z
b) . - F i " n a l n te n te
ler
x = a ( exaniner nos) .
-
m áx im o .
14.
cr í t ico
a) x
no tiene
críticos
valores
I J
=Q
, x'=0
x( x
+ 2a)
= Q
=- *
1 1 L
l.lr)
x--za] x=0 J er
)
C u a n d o z -2 a
el
valor
(
Luego e n x = 0 l a F ina l m e n te
r
> 0
,
fu n c i ó n
p a ra
Cua n d o :
x
E nt onc e s p a r? f ( - 2a) = - 4 ;. i .l á x = -
< -Z a
I' l i n = x
Za,
= -
ft(x)
= -
gOLUCION: -
un nfni no
,
fr(x)
,
ft(x)
L a funci ón
= -
ti ene
4a
,
p a ra
x a-
0
,
p a ra
x=
f (0 )
x = - Za = +
críti co
0 > x > -Z a x =-
f' (x)
ti ene
yaior
el
x = 0
c ri ti co
x ( 0 x
¡6 . -
f ( 0) =
Za
=
I f' ( x)
= - 4- -^Jx -
1)? [x+a)
)
=
x = 0, la
Luego , en
paso:
(l
=
^2 ¿^;*
'=
o
.)
z a ¿ x =Q
q^ "r*212
Exami.nando para el único valor crftico ' Cuando: r < 0 I ft(x) x > 0 , + ft(x) -
s - 2(1 - x)
* f '(x)
= Q
x= 1
I
x = - z)
paso:
x -0
= (2 + x)-'
* f'(x)
x = -z
x = 0, único valor c rlt ic o .
un máxino
'x)z
SOIUCfON: Sea:f(x)
2do paso:
tiene
función f(o¡=2
(z + x)2
f '(x)
* = -
f'(x)
,
a2* xZ
f '(x)
Za?x=0
único valor cr Í t ico. ., * Exaninando en x = 0. Cuando: f'(*) x<0 ,
*2
f (x) =
Sea:
+
[
-
( x- +a - ¡
x = 0
0
2
SOLUCION:
'¿ ^z
', -2a'x
r f ' (x )
x>0
3er
un; ní nim o
X+lZ =-\^'
f (x)
Sea :
un máxi
2¡ x+a'
ler
tiene
funcidn
paso:
a) . - V e a n o s p a ra
b)
x = 0, la
(valores)
puntos
x
> 7
(2 + x)
(1 + 2x)
1 csrr¡íti c os ' uutotus v¿r u¡ sr
I f
* E xam i- nando el
- l.x< ¿ l
( 1-ü2
, ,
cr l t ico
valor
f'( x ) t t ( *)
=E +
x a 1 Cuando:
lll
Luego en x = I , la
función
tiene
un mínimo f(l )
* Examinando ahora el valor crftico Cuando: = x < -2 ft(x) ,
* Finalmente analizamos Cuando:
l
-2<xr-r, I ) x
r-l
"r
x = _ z
adquiere un mfninro;
f'(x)
2 ',.\
(1 -x l
SOLUCION;
= -
l'{in
= 0',
Itfín
= 0rparax¡-z
=- 5 (2+x )
-5(2+x)(1 -x)2( ResoIv iend oob x Xtxt
E-
7
4
T
tiene un náximo:
para
x=1 x =- 1 i
Para
f (x)
f (-st) =
II
crft.ico
x =- Z
tiene
función
un rninimo:
= +
f I lv\
,
¡
\ . r/
t iene
1a f unción
o 1, la En consecuencia pa.ra x mo ni mínino' llín=0
,
Máx = 8.40 ,
un ináxino:
función
crítico
parax=-2 Para x
1
1 17
Sea: '¡ =f c(x
f(x)=b+c(x -1 /3 - a) "l
P a ra e s t e c a s o hacemos: J-= f ' (x )
g
x E a
Punto
-+
3 2c
l*
crftico.
-
")1/3
- o
x = 1
no iiene náxi
- a)'''
f ' (x ) crfticos
+
el valor UI timo aná1is is hacenos Para Cuando: 4 = f'(x) -;(x( I , ) = f'(x) x> 1 ,
! + c(x
1(2 veces) J
Anal- icemos para ef vafor
J
SOLUCION:
Valores
=
f t( x)
,
t ¡+
( 1-x)t ( **h
x+f) = o
f t[x)
9,40
I
l
>- ?
= (Zrx) t (t -*),
tenemos: 1
< - 54
-2< x
=--l 4 Luego, cuando x
.3
Sea:
f '(x)
:
=
x =-T
Bxa:ninando ahora Para
> x
Ia funcidn
l-6-,
(2 + x)"
= Q
ndo
f '(x)
x =- Z, la
cBo, cuando
* = - 1 2
1
lvfáx = 81
-2
)
f'(x)= +
Entoncesenx='i, g1 ^,I --t1. = 1^\ z' lb
..) 19.-
+ -7)x)
t( z)
-1rx>-'2, f,(x)=+ 2', Luego para x =- 2, la funcidn f(-2) = Q
X<
ando :
-úz/3
l{-l
Exarninando para el valor Cuando: x < a , ft(x) x > a
,
x = a
crÍtico
Cuando:
= = +
ft(x)
tiene un mfni¡nr:
ItÍn.brparax=a 21 .-a-b(x-c11/S Sea:
f(x)
x < -1
I > x > -I
!g"go, cuando x = a, la función r(a) - b
:
= a - b(x -
i Por últi:no Cuando:
/S c71
I{aciendo:
x = c
= o ' =-ilx
(punto o valor
Analizando Cuando:
:
Luego no existe ?2.-
1 f a
(2 + x) "'
(1
dadr
,
f'(X)
= -
x > 1
,
ft(x)
= +
un rnáxi;nc:
f (x) = x(a * *)2(u
Z.
solviendo: ü1/3
tiene
e1 vaLor critico
=- 6(a' rx) la-x)2(**9)
f'(x)
(l
x
- x72/s
x = 'l
- *)3
so n l o s valor es cr fticos.
d
2
x éa x =-
(x - 3) = g S-
I
-a
x
= Q f'(x) ResoLviendo obtenemos: x
= -
f r ( x ) =- g( ¿ + x ) ( ? - * ) '| .}* 7) C * - * )
= -
- x'¡2 /s
rlJ I 1
f '( x)
-1 < x < I
Sea:
f ' (x) =|tr -*) 2 /3(z**)'z/s - t¡ +x71/3 ( 1- x¡ - 1l5
x ':
,
analizando
LUCION:
x = c = f'(x)
máxino ni mÍnimo en Ia funci6n
SOLUCION:Sea: f (x) = (2 t
= I
[ a + x )z (a - x)3
crítico)
x > c , ft(x)
f '( x) '
Concluímos que en x = 1 , la función tiene ur níni:¡¡o = Q f(l) '! ]v!áx = 'rT , para x =!''fin = 0 , para'x = 1
- c.)2/3 b
el valor crítico x < c ,
,
Luego, cuando x =-1 , 1a función = t/{ f(-1)
f ' ( x ) = - + G - s¡ - Z ls 1 f'(x)
x=-1
,lExaminandopara
(2 veces
Valores
criticos.
a 5
anal izare¡nos pa t a cada valor continuaci6n Para: x.= - a s f '( x) x <'a Cuando: ,
- 2,z
x)-a
,
crltico:
f t Cx) z
,i-H
146
Lrrego en x =- 3, la función
tiene
un rnáxino f ( ¡
f ' (x )
Cuando: -á ( x . -;, aa
*,
Tr
-i ,
f'(x)
= _
f'(x)
= +
= z( x *
*
Pa ra:
h a yu n m ín im otf- ? =
E a
x
Cuando:
$(x(d J x > a
lY"go, mo. *
x
i,l
,
f'(x)=-
,
f'(x)
en x = a la función
x
no tiene
rnáxirno ni ¡¡¡ i
cuando:
-
7.".;,
r a*l I I
=-A
f,(x)
= +
f '( x )
=
=- -
fson los valores I función dada.
?.
Luego
t
,
T
J-r
la funció¡
tiene
a cada vaior
crítico:
2 )
cio : a ,, .".;"r
lf.'(x)=+ f'(x)
,
_
o cuando * =
a en x =
cie la
i
*tir ¿a t > x
críticos
I
2¿
n t inua ci 6n analicenos ra :x
x =*
Para:
r esult a:
t1
x = a = -
( x - a) - 1/3 . ( z x - a7- 2/s
o = z g- !a)
f ' (x )
(* -a12/l
")1/'.
( x - a) '1/3 , ex - ¡ - z /s
",
tnando 1 a ecuación
= -i.,
E nt onc e s re n x -a '
= (2x -
f(x)
Sea:
* Para: x =- -q 2
un máxino:
la
?^,
función
tiene
un náxino :
a ) =;
rÉ) =W Máx o 0, Ilfn
Máx 2 4,- ( Zx :
a|l/s
(x
.
276
-6¡- , " 128
6
7 *^ ,
u6
p ara
x=-a
p a r,a
x = --1¿
p a ¡a
x= 4
3
x = a Ta el valor crÍtico ndo: . x < a , f (x) = 2a f'(x)=+ , nces en x = 8, la f unción -.*.. rll tino p arax *+
t iene
un m inim o: f ( a) =g
a72/s X
(-;-
d
L
'
fl(x)
'
+
1.18
2a J->x>
a
z
Luego cuando
X- - .
máxi¡no,
a
1a func.ión no tiene
2
a hláx =3
l'{f n
25,-
antonces en x =- 4 la
= +
f'(x)
¡níni¡no
f (-4)= -+
parax=a
=Q
l,¡in=-t- ,
*2*l*l f (x)
Sea:
x+ 2
=
pdrs )6 =- 4
=-
ft(x)
x2+2x+4
f (x) -x2+x'4 x+I
Sea:
SOLUCION:
S O L U C IO N :
x=0
x2*x*4 x+1
x + 2
(x-1)
(x+5)
7
(x+1 ) -
= -
f'(x)
f,(x)=(x+3)(x-1)=Q (x n1)z '
x2+2x*4 f t (x )
.
x=o 4
x(x + 4)
0 =
Resolviendo:
I valores I son los ) c r f t i c a x = -3
X¡'3
x2+2x+4
.\ x :-
Mfu= + ,para
para * =7.^
un minirno:
tiene
funcidn
X='l críticos
tvalores )
* Examinando el valor Cuando:
Examinando el valor
x = 0
crítico
Cuando:. -4<x<0 '
x>0
,
f t (x)
,
f ! (x)
Luego cuando x - 0, la funci6n f (0) = 7/2 Ahora examinemos el valo¡ Cuando,
crftico
un máxi¡no: x .-
i x < -4' o > x > -4
l, i,
fr(x) ft(x)
r I -
,
f'(x)
=
>x>-3
,
f'(x)
=
+
1a f u n c i d n t i e ne un ¡náxino: entonces en x '-3, f(-3) - -$ x = 1 * Analizando el valor crítico
=t
tiene
x<-3
criticos
4
Cüando: -3<
x <" I
r
f'(x)
I
,
f'(x)
- = +
función
tiene
x> Luego cuando x ¡ f(1) = J
7, la
un nínimo
27.
l"láx = -$
,
para
X=
-3
Mfn = J
,
para
xE
t
¿ x+x+4
ll- r l
en x = 2, ti.ene un mínino:
go 1a funci6n
f( 2) -6 Máx
x2* 2x ', 4
¿ ,parax=-z q
SOLUCION:
Sea:
f (x) E x
2+
Mín
-^*^ y4L
,
4
-
A -
f L
x + 4
x?+zx + 4 d
= (x + 2) (x - 2)
f'(x)
)
x)
ib
Y
(x2* 2x * 4)2
=(xL 2 )(x-z) (*2 * zx * 472
f '(x)
=Q
f ( x)
Sea:
I
f t(x)
=
f,G)
-
=
Res ol v i e n d o :
xl = -? I I son los valores crlticos x= 2) la función dada. t A na l i z a n d o
el valor
Cua n d o :
x<-? 2>x>*2
t
f '( x )
a
,
f'(x)
= -
entonces en x = _2, 1a función
f (-4,=+ * Exami.nando el valor Cuando:
-2< x<
2
x>
2
, ,
crftico
x = 2
f(x) = f t(x)
2ab * =iff
+
tiene
É +
* ül = o
s o lv ie n d o s e o b t i e n e :
x =-Z
crftico
zabx - xl(a
un náximo:
'
es el Puntocr ltico
aninando eI valor
crítico
ando:
, fr(x)
|al *.7afr
X
)
2ab atD
-----
t
sgo la funci6ni en x
'l(#B) .-
f t ( x)
=
(b{#)'
#,
2ab x =z-+5r+
= -
tiene un
rnáximo:
(b'a)z
l"fáx=
para
4ab 29.
2
Zab x = a+b
Cuando:
7
a+
b-
x
a-x
x< ?
SOLUCION:
Sea:
=-
f (x)
d
*bZ a-x
x
a
2
a
( x( ,
f'(x)
b2
*
- - ": *2
2
=
un máxirno.
.2
+ ---9--
-3= ¿ x
10 que nos <1ice frflx irno .
("-*) 2
(a -x) -
Frl v i
=
f '(x)
= -
2
+
a -b
a*b
f '(x)
^? x = T*:-t
crf tico
Luego ¿rnalizanos er valor
=e
Min =*ijf (^ -nb)z
Máx =
Resqlviendo obtenemos :
^L
que en x =
d
e----n
, 1a í unción
,
par a
x=
,
par a
T
arb
=+
"a - D
uZ
1
--I ^2 a+b
I
(r
I
[
I
Z ¡=-4a-b
)
son los valores
I |
* Exa¡ninando el valor
crftico
crft.icos
* =
cuando: ^?
x
,
a+b
)¡¡
a -b
a
a*b
Luego la funci6n (a + b)' a
en ,
XE
-
,
f '(x)
(qx -.a)
= (a - x\2
= Q
(a : 2*)Z
x=a al =7
1
un nfnimo: Anal izalizando Cuando: ¿ ;(x( +
x>
el valor a a
, t
J
- *)3
a -2x
(a - Lx)z
a
tiene
("
(qx - a)
= (a - x)2
*
az
=
f(x)
Llanando:
SOLUCION:
De d u c in o s q u e :
f I (x)
a=-5-
- 7x
^2 a + b
2 ,
1
x) "
f t(x)
= -
ft(x)
-
valores
críticos
l crftico f '( x) f t (x)
x =a E + E +
t iene
r5l
La
*
func ión en x r a, no t i-ene náx imo ni mÍn irno.
{ hor a a n a l i z a n o s p a ra - * = f \ uando : X< ;-
a
rt*t9 4 "'{ton ce s
,
fr(x)
= -
,
f'(x)
= +
en x =
,
?
la
'i t '""1' i1"
Sl r l ' l 1 r ¡ '
f unc idn
tiene
r (i) = 'r',"' 3 1.-
I
I :i l* ' r:' ' ,
un míni.mo:
-.,1 l ' Ü
_ tt;l
iS q - , t Í { '
ProblemagD es arrollados
* * - I
2x-x+l
so\ucroN,
Sea:
x2+ x-.,t
f(x)
x2-x+ ' ¡ f'(x)
2 x (2 - x )
=
d e l a d o a ( ve r fi g ') D e u n a p i e z a cu a d r a d a d e h o j a l a ta del por arriba, u n a ca j a , a b i e r ta s e d e s e á c o n s tr u i r co r ta n d o d e l a s e sq u i n a s cu a ¡ n a y o r v o l u m e n p o si b l e , 1 a - h o j ¿l a ta y d o b l a n d o h a ci a a r r íb a drados iguales 1a para forñar l a te r a l e s.: Ia s'ca r a s ¿C u á I d e b e se r d e l l a d o d e 1 o s cu a d r a d o s co r ta d o s? . iongitud
(* 2 - * * t)' 2 f:,¡x;
2 x (2 - x ) (x z -x + l ¡ 2
=
Res or v iend o
:
*' o 1 x .Z J *
\a¡,inando c \ ando:
E o
s o n l o s y al ores
e 1 v a l o rc rfti c o
crl ti cos.
de S e a x = l a d o d e l cu a d r a d o p e q u e ñ o = p r o fu n d i d a d l a c a j a ; e n t o n ce s. ( a - 2 x ) = l a d o d e l cu a d r a d o q u e fo r m a e l fo n d o d e l a y caja, y = ( a - 2 x) Zx e s e 1 vo l u m e n d e l a ca j a ,
x= 0
x < 0 = r fr(x ) > = + 0 2 > x , fr(x ) E nt \ nc es e n x = 0 , l a fu n c i 6 n ti ene
un nfni nof(O)
' \alizando el x o z Cuaq¿ o: ".1"f"(0¿;;Ji." ft(x ) 0 < x < 2 , ' + ft(x ) x ? Z , ' . Lueqo, la fu n c i d n e n ' x un náxi no t(z)' t 2 , ti e n e M fn .
Máx-f
-1
,
Pa ra x '
0
,
Pa ra x '
z
C
SOLUCION:
Querenos cal cular el yalor de x par a el cual est a funci 6n V es un náxino. Aplicando la r eglar t endr e¡ qos pri ner paso : - { ( a- 2x) 2- 4* ¡ "- 2*¡ - a2 - 8ax*1 zx? dx S ecundo paso . Resolvlendo la ecuaci6n a2- 8ax+12x2=0, se-obtl ei ren los valor es cr lt icos: i aa
x=
,
!e re, -en' la figura'
y x =e , gue x izu,
un mlninorpues
to que en ese caso toda la hojalata se quitarf;r quedarfa material para construir la caia" Aplicando 1a regla , se hal.la que x - + da eL vr¡ ' ')^" máxiino -j:, Luego e 1 1 a cl o deI cuadradc que sc l ¡rt 1
) 'f
ccri;Ir es un sexto del iado del cuadrado dado. En este problema y los siguier)tes, se rccornier.'l,t estudiante e1 trazado de Ia gráf ica. \ i2)' L/
lr v ig a t e n d r á r a r i i r "
lli¡
resistencia.
Irdel rectángulo de área máxi¡na que lCuál es el ancho len un segnento dado OrlAt (ver fig.) luede inscribirse lG una parábola? lgltUCION: Si bC = h,gntonces BC=h-x y PPt=2 y; por ------tanto e1 área del rectángüto PDD'Fí es,
Suponiendo que la resistencia de una viga de sct, I transuersar rectanguler gs tlirectainenre proporc i()rl a 1a ancllura y al óuadrado de Ia profun¿i¿aá. ¿Cuáles son 1as dime¡rsiones cle la^ viga de mayor ¡ F sistencia que puede aserrarse de un ironco rldo',r,1 diámetro d?
$Q!_u_croN: = l a p:"ofundidadrentonces lq 5ix=laanchuraéy ga tendra resistencii máxima cuando La-funcidn xu{ náxima. De la figura luegá . se.deciuce yZ=¿Z-¡2; benos trabajar con la runclon. :
qs, un _punto de 1a pará,bo1a y2=2 px; por ronsi fuiente , 1a función por estudiar es;
ro P
f (x) = 2 (h - x) f-,fi, Lar la altura de1 cono de volumen máximo que puede cri bi rse en una esf er a de r adio r .
Volunen del cono = 1/3r¡x?y (ver fig.)
C ION :
7
f (x) Prirner paso: '*:-'
= x(dz
- xZ) '
x = --d-= votor
corresponde a un rnáxi¡no. Por tanto, si La viga se corta I
= profunatdad
x = anchura
=
f ( y ) =ty '
f ,(x,) = -zx? + d2 - xZ = d,2 -s*2
Segundo paso: d2-3x2=0 .'.
=
1
5
2') 5
,/T
volumen = crfti'co
del t,ronco =
(Zr - y)
2 Tx-y
t) del cilindr o de volumen r¡áxi;ro que en un cono círcular recto daCo. Sea AC=r Y BC=h \rolunen de1 cil indro : UqIgI¡ rx y, to de Los triángulos sernejantes ABC y DtsG, se de.ju-
|
I del diá¡oetro del tronco =
es.
lIar la altura e inscribirse
de manera quel
del diánetro
BCx CD - y(Zr _ y); por trat.ar *)
o la función
+d
Pero
x = h /(t¡-v) tanto
,
1'
f"¡ 'i
.'. Án
r(h -y) x = DoT
h estudiar
es:
r
f (y)
¿ (h
'lT-x
Á r, -7
g=(101x)
ll
Derivando respecto
És
a
1oo - z x 7- 1ox
4X
É,1= e =
; igualando a cero para el rnáx irno áre a .
lo o - z x Z - l o x
üx
6.
ni dcn cada uno. 10 t rrr l ado para que el ár,' ,t
S i t r es l a d o s d e u n tra p e c i o ¿ Cuánt o d e b e me d i r e 1 c u a rto s ea r náxi m a ? .
Ir5 I .-10
, r esolviendo
(rechazam os, por que tud negat iva)
R oempl azando
S O LUCI O N :
e1 valor
(4)
rtx tr
no puede exist ir
de "x"
en
aproxi mada
1 a fi gura
dctl rr
cons t r uir
una valla
figura: 1 0 cm
. . . . ( 1) t cÍU
t il F4--
En e1 A ABll:
--+ ¡=r,/7Ñ-7
.....,(2)
área de1 trapecio: 'T-c Pl
t_ ¿
h
.....
r. r t r ..(3)
Reemplazando (1) y (z) en (3):
g=Clb#l
calnpo
ts I I I
lll ttl
1
(10 + 2x)
de un
al¡ ededcr
,¿\
^ Ja
(í ) :
y dividirio en dos,parcelas por otra valctangular, la ¡raralela a urro de 1os lndos I Si el írea Cr:i canpo I dada, hallar \a taz6n de los lados para que la 1on ltu¿ total de las va1las sea la mínima.
10
b.2=102-*2 Cálculo del
longi
AD = 20 cn. desea
DU
ur a
Á D=1 0 + 2 ( 5 )
i n o s tra m o s A c ont inu a c i ó n da de1 e n u n c i a d o .
Ia
obt ener os
,ññr--.l3
X
y
I
I I I
----{
lamemos "p" el costo por unidad de longitud all a ., f rcrl eI costo total, entonces: 8ea: C=3px+Zpy (1) .,... C = p(3x + Zy) enás'el área del carnpo será: (ver figura) A = xy . .r=S ¿ X
.....t.t..
....(¿,,
/r\
de la
Reemplazando (2) en (1 ) I
i
,A
C = p(Sx +f)
dc -=
; derivando
a rrxr
respecto
1
dx
- '24"7
Er= ?
(2): 'ry'r de (1) y reenplazantlo en
?¡
., p("
yL *3
-41
=Q +
J
.
t -3'o
d c o¿p^
_
; pero A 'xY - - -
3xy 3
-]
x
+
a cero,
; igualando
2x'
dc aQ ffi
E ntonces tendremos: *Z_Z[v
3PA
tr 2
.+
rrxrr' Derivando con resPecto a
xo
?a
A
Q r zpx++
xo
dc
(2)
G. 2p x ,tpy lustituyendo
p( J
C = costo total
C.2px+py +$v
23A +.x=_T_
3pA=o
2p
tendrenos:
\xZ
Renplazando datos ¡
= ?
772 x" = t
xZ yr
( 10,800)
->
x - = 81oo
I'90n.
i 8J- Una iruerta rectangular ira de proyectarse al lado rl L/ solar de un vecino, y ha de tener un área de 10ll{l metros cuadrados. Si el vecino paga Ia mitad de cerca medianera, ¿Cuá1es deben ser 1as dinensioncl d9 1" iruerta para que el. cos to de cercarla sea prlrl el dueño de la huerta el mÍnimo? SOLUCION:
i
en (1):
Sustituyendo
10,80019ov
->
'+
t=#
Las dimensiones de la huerta .
120n. será:
rectanguiar
x=90m Y = 120 n
que puede ver : dei - x aver igua de r adios fabri cant e pol' senana a p pesos cada unor slenco5x: ttrument os es ( 500 + 15x + 75:3p. E1 cóst o de la pr oducci6n la obt iene que se Dem ost r ar pesos. 5xZ)^ , r ¡ áxir na 9".
De la figura: ^
iá tuando 1a procucción
tos
por
es alrededor
:r dato ,
A = xy ,...,...;....(l) Llamando ttpt' el costo por uníclad de longitudl
é1 cost o
de 1a^Pr oducción )
C = 500 * 15x * t ent6r ncia
de 30 i¡tstru
senana.
ItGt'
:
es:
(1)
G = p x - 5 0 0 - 1 5 x -+
2
(Z)
(2)
Adenás conocemos por dato que: 5x=375-3p
+
Sustituyendo n
u _^
(J
=
rJ/5
(---J
-
l.*t 5
Derivando:
(3)
O=375_-5x 3
(3) en (2):
5 X.
= sd-Q-9--:-a¡21cx¡.L!s--:-x1 *9 dx 2a
?
x
375x - SxZ
- s0 0 - 15x - +5 / x-
)uu-¡)x-5
---_:-
Igual ando
a cer o:
=
::
O
s(!-q%#tz -jttoo - x) - rs
Der iv a n d o :
#* = ]f5-"1!-
- 1s
igualando a cero (*Q -
+; I
+
.
Y=-
325 28
I
(10000
*:
Estarnos alrededor
de los 30 instrumento
por
s el [H
I
Si.en ed problema anterior se sr¡pone que l a entre x,/ p es: . x . 100 - Z0 v E ', 5 denostrar que 1a nancia máxima es na. SOLUCION: Del G = Por dato:
rel ac
x-roo -zofi---S
-50x
Y ?t--
=f
-X
l- 5
')-. -l=u
*2.,..,(1)
; desPejando p.
432 t I
4sz"
- 4(3) 6
(8800)
x. = 1 19.4 ¡ x- = 24.6 Para nuestro caso x = 24.6 estarros,rnuy cerca a : x = 25 que corresponde a la galancia ¡náxina.
producción que corresponde a u¡ra la de unos iS isntrunlntos por i problema 9 tenenos: px - S00 - lSx - lls
200x+x')
') -
5 x 2 - 4 3 z x + 880C - 0 X=
10.-
(1):
- x r 2 - 500 - 15x G - 5x,1co 20
= px
Venta total
en
f(x)
i; = z4:-Es t"rt^"""""1
lq. q. d.
entre t en et prcblema 9 se supone que 1a relación y p es: *7 = 2500 - 2A p, Cuánto instrumentos deben producirse cada semana pa I obtener la máxi¡na ganancia? ,, x = 2500 - 20p Del dat o: LU C ION :
p=
2500 - xz
z0
Susti.tuyendo en:
tltuyendo
-'l *t
G = px - S00 - lSx ., x'1*.= ,2500--l; 500 v\20
[deducido
e1 ¡rt
- bx - c ^*2 -bx-c -^*2
G s (g - dxz)*
1s*: #
t ( i5
(4) en (3) , tenemos:
scBx-o*3
-
lvando resPecto a x: Derivando: = g -
dG-2500 -*2 ?i------l|0--*
x 20
(-2 x ) - ¡ s - É r ,soxl-Zax
2500 - 3*2 -30 0 -B x 20
99=o ox
igualando a'cero
3cr*2- 2 ax - b ;
¡olviendo -2a
t
*
-b=o aplicando
3ox2r Zax+(b
1a fdrnula
Rl
=
v
general:
(b - B)
4az - a(3q) 6q
[*, = 25.76 {' = -28.43 L*Z
3x2+8x-2200=0
positivol lotqt" onsiderando solanente e1 signo entonces: negativo; ser puede no róáucc:.On
Entonces 1o que se debe producir s emanalrnente etl x :26 inst./sem. x ]ZO ins t./sen¡ana. 12.-
El'costo
total
de produc ir
x artfculos
-za+y'4a"'12ub+12a8 6a
por sent;t¡ta
'3 +
("-I- * bx + c) pesos, y e1 precio (p"pesos) al caüa uno puede venderse es P = 8- ax' Denostrar que 1a proúucc ión total para 1a gana¡l (' 1 máxima es :
C =
V ent a
to ta l :
y
*
trG tr: G =
La ga n a n c i a De ( 1 )
"*2 V - px
Por dato:
en fur al impuesro b) lioT:::* t ,Í:ly ailEl:::3'debidos irr.ueL "i"rminar p"tu-qü3 l"iói-¿"t
(2 ):
G=p IP = g -'o*2
I q. q. d. 3c¿
gobierno i-rrponBa Bn e1 problerna 9, supdngas-e,3:: "1 El fabrícat' por pesos un impuest o de t "t"tu"eñto' de costo v dr:tet' a sus sastos ;;i;;;"ár*i*p,tésto il en 1as nuevas ñlna 1a produccián total y eÍ precio q'ue Elrcunstancias. un poco nenos f) Demostrar que el precio aumenta
S O LU C IO N : S abemo s :
una
'
bx-c .. . (4)
c ió n d e to
1a ganáncia
es m áxim a.
L. . t a¡ a ar
im nr r esur
d. Z
gx" di:":i;:":i:"::"li*31.i'n"iilá;u"'', tániliij ciento de un 33 Por
'
SOLUCION: a).-
b).-
El costo de producc i6 ne n este caso es:
+ 15x + J * 2 * 5"
f,=500
t*
6i= 3!r .1s ( t10- t)
. .. . (1)
derivando 5x = 375 - 3p 375 - 5x
, e n to n ces
A * Gi
e1 i ngreso
px = ciZ\Jll.
dc2 =r)+'* d" d( px )
o,x Igualando
(l)
+r
ser.{ :
y e)
tendre¡nos:
?
+ t = 4re^r.
15 * = 5ó
- t);
F = Pt
2S - Po = É á t
cal cul emos ahora preci os uni tari os:
unitarios
l os
es entonces:
- 0145 t l
.
t = 55 I-os ingresos son:
'tIrp <+ ta
t
debido al
irnpuesto en función
de t
?i5 . Ii op.= t* = i i ( 110t - t- )
Po
"t:
1q.q,d,
de Precios
es:
7s ( s s ) ... !. D = !- L ¡ s s ¡ ^ 3 ( s 6) s6
'. " '( a)
A h or a e l . 3 3 9 d e P o e s : 3s n 10 0 ' o
d e precios
110 - 2t = 0
2t).
La diferencia
p o = l z s - Z! 6tro¡ d i fe re n c i a
a cer o
3 7 s - + ? ( 11o ) = --162 s( r l o ) =--lPo
p t=1z s -S C tro-t)
ta
igualando
/\
10 - -3 -X
(1 1 0
Zü: -
-
dt
c) . - El Precio
(3) y (4):
T-x
a "t":
JlJo
,
.....(4)
\ respecto
= ( 110
(110 -
(3)
l0 J-x
= 1?(
total
( ?\
Derivando simultáneanente
+
56
56
adernás:
l)
167
es:
debido aI inpuesto
La utilidad
(75) (só-'1) .....(b) = 25(lfOl =:J- = 10 0 (s6) (3) s6
a u ¡ n e n t oe s a De (a ) y ( b ) p o á e n o s- c o n c l u i r q u e e l ce Po ñ io iiia á " o i e ñ t é e t 3 3 t por se¡ng c o s t o to t a l d e p r o d u c c i ó n d e x a r t í c u l o s '(^*2 * bx + c) Pesos. de t pesos por artl' I 1o cual se agrega un impuestg v 6t-precio (p p e Eülo, decretado pór-el-gobiernoax. es B pueae úeidersé áíiróür6 tos) a que "^ou
Denostrar que e1 ¡náxino retorno del impuesto sc sigue cuando t = 1/Z (p - b) y que el aumento precio de venta sobre'el costo es siempre menor el impuesto.
rle r¡il€
C=¿rxZtbx+c+tx La dernanda viene P = B - qx E l ingr es o
cos to
to ta1
(u) será:
rux s t: l ' á i
.....[l ) 2(a + cr)
dada por:
i vando
(?\
to ta l ttI"
s e rá :
"
r=p x
De ( 2) :
f = (S - ox)x = Bx - o*2 ... (J) Derivando (r) y (j); obtenenos el costo marg inal tngreso marginal. ..,.
r ......
J 4 (a+ c)'
a
..] -
, [ o- b
8-b-2t +(a + o)z
dG
af =Q
t t rS t = [ J +
(a)
+cf
2( a
respe ct o
iendo :
)a lau
-=¿ax+bft dx ,¡T s¡
en función
uti ti dad eI
t_ 2a+e de esta diferencia
P 1-Po=t =
SOLUCION: Por el enunciado del problena,
l(if I
(s) y (6):
( {l
B-b-2t=
0
B -b
+t=
+E
=
B-b
+a)
- ¿o.x
dx
,i platrta productora de acero puede producir ?9t 1i por iiia, de x im de al"to de- segunda c1ase, é Y Em, ró-de prinera clas e , s iendo .
Igualando (a) y Zax+b+t=g
49 - s* si el precio corrientc
__B-t-b ^-2(a+u) El precio
unitario
es:
ION:
Pt = B icLoi;-l)
...
....(s)
Sin tomar en cuenta el irnpuesto (t o g *(8,irb) '.,) - a+b 4 ,a diferencia
entre
- 0)
p = preci o
: {
= l t" .i o
gananci a
...
t!.......
del
acer o
de pr iiner a
calidad,
del
acer o
de segunda
cali
di ar ia
es:
........(6)
Los precios
unitarios
6= D I+
pv .
(1)
lT l l
i'or dato
se
I a s iguiente
c onoc e
relación :
0.01a r l0 = 0
0.01a
4 U- 5x
y'
. r . i.
i0 Sustituyendo
0 .02a = 25
(2)
. . r
l-------
I
(2) en (1): *
.- =++ DX (; 2
¡ i
- x
. 10 p (+-_-l l0-x
(w
, derivando respecto
a x
.l---r
-----'-_T
ahonar ir r sl *""'-^:..:J la = 125n L:----:-: " " es i) pesos, y ar t í cu1o cier t o costo de fabri ca r inver sat ne¡ it e rtúl nero cue pued en vender se var í a de venia. Caicu n Ia cnéS i tna potencr a del pr ecio e1 preci -o de vent a que dar á la nayor ganancia
quida. dG - _=
n - I_
-
d xz crb --._ = du
u
5p(10 - xl + p(40 - lt rL (10 (to - x )2 i2 ') + (I0-x)"-10(10-x)+ (a 0 -s x ) (2 ) = 0
UCION: Snlemos:p= costouni tar io x = núrn er o de ar t í culos " C tt es : c= p x
cos to to tal
(10 - *)2 - 20 = o x = 10 - ?/ s * =
5 ,5
tn/día tm/dÍa
=
*
16.- Una c onr pañ ía -d e nanc ia t iene nados , v e un ner o. qu ida?
te 1 é fo n o s halla que obti ene unr¡ E d e 1 5 p e s o s p o r aparato 1í qu i d a si l a ccrrt 1000 a b o n a d o s o me n o s . Si hay más < l e 1000 É dic h a g a n a n c i a p o r ' a p a ra to i nstal ado di r;rrrt c ent a v o p o r c a d a a b o n a d o que sobrepasa e:;(r ¿ Cuá n to s a b o n a d o s d a ría n i a máxi ma gananci É .
go,
\
v
gananci a
Ia
1a sigt r ient e
i donde y es e1 pr ecio
r eia
de vgnt a
"G r t es :
p x = x (y - p )
. xI . +
se deduce
de1 probl ena
dato
r
I
v-'
(y - p ) , de r i v a n d o r e s p e c t o a y , t e n e n o s
S O LUCI O N:
; S ea: t ' a" e 1 n ú me ro d e a b o n a d o s La, gananc i a b ru ta s e rá : 15a . . (1 ) núm er o de a b o n a d o s q u e s o b re p a s a l as mi l : fá-l ot¡O E nt onc es , 1a disminüción u n i ta ri a es: (0.0i ) (a-1i l La dis ¡ ninuc i ó n to ta l e s : (0 " 0 1 a ) (a-1000) ..,..(Z) De ( 1) y (2 ) o b te n e n o s Ia g a n a nci a Iíqui da: G = l5a Der iv ando
-
(0 .0 1 a ) r e s p e c to
'
kyn - k(y
v -
, n-1
v a cero.
'ny
n-1
; igualando
*
Q
+
kyt
?¡
ty .p)
v
=
DP n-l
a cero#=O,
2n
nKv
(a
- 1000) tta tt a e i g u a l ando
- p) nyn-1
+' pesosl
y, =ny- np
- nkn- l( y- p)
vf
= O
17? ts.-
Hallar e1 diánetro de un bote cilfndrico de hoJ . ta' de. un l"itro de capacidad, para que en su co trucc i6n entre la menor cantidad de hojalata, a) si el bote es abierto por arrlba; b) si e1 bote está tapado. SOLUCION: a).-
f I l '!.
De la f igura:, 2 * A=nx znxh......(t)
v = rx2 h =l(¿ " to ) d e d o n d e : h = +.. Ifx'
.u\
+A=Tx
dA^2 trix.- j ,il= x =O Znx-2 x
a cero
.2
El diámetro diámetro
É 2 (t,a d i o ) =
z.
7
,dA
t?r * 0 ) =Q
xz
sll
( dat o)
(1)
A
tlx
o n *2 Cj ' t
3r{'1./n= radio
del
cilintl
(Volu"nen es f era
,
t
";
iIT
"'t
n*t derivando
{=?rx
- **t
;
'#'ttt
-ztx?
; igualando
oZx
y'-r- dm 1¡
'
resPecto á x.
zrx t 4l
= zt¡x2*
) r.
? 2J x-
igualando
11
x"
tn -:L
a qero.
x=
w
a cero
2t¡ ' Z.rxz =Q-+x2=1 xn
.i
lm
Reenrplazando e1 valor I
4n x3 - z
h = 4n
ant er ior .
3 laa
nx-
= nn* **
f igur a
(1) :
De (2): ?
¿5
- t-J
?Íxfl
b ) . - A = zr,xz+ Znxh A - Znx'
Ia
'^x
x
x =
.+
?rx3-2=o
C i ON :
olumenttVtt:
Znx" - 2
?
'J, átea lateral rec'Lo es 4r circuiar de un cilindro un heni"sf e corta se in¡Iro cil Ilel , cuá,ira¿os etiái io cuyo diánetro es igual a1 diánetro de1 cil-indro. j.ones del clrlndro ef.vo para que e1 dimensi.onés las dimens ai."i!r . vu Calcular -del cilindro íü*án que queda sea un rnáxirno o un nínimo. DeternÍ nar si es máximo o mínimo.
' 7'
a rfxrr.
t igualando
dn, ,n.
rnando como referencia e¿ lateral: A=2t¡x
2 Z+- x
lTX
Derivando respecto
diám etr o = z . {}
lL
(2) en (l):
Sustituyendo A=nx2
I
.. (z)
-ft diám etr o = zx = 2, V+
fi r
(radio) de x en (1 ) :
2m (altur¿)
¡ rnáx{mo
lL a r el área del mayor r'ectángulo Éo.n l.as Co.sFarlt L o s a los eies coordenadps, 9u€ puede lnscrlDlrse 1a ii[ura
y=
12-*2y
por ltai dos parábol.ás. 12. 6y-x2-4
iinitrde
SOLUCION:
TB=.4
Para una rmej oT , yisual iza.i.ón ,de1 problerna, trazal n()g las curvas así. El rectángu1o ABCD tendrá área máxina sl.
B -C= . 4 . rle a : A = l6
I
á r e a = ÁF ,Ee A - ló
!:.
.. | c. lc est án sob: e el- eje oe un r ec't ángulo s vertl ces est án sobr e 1as r ect as clos vér t ices as x. Los ot r os son: y = 2x Y 3x"+ y'= 30 de ¿ ser á m áxim a el . ár ea del r ect án-
gulo? $OLUCION:
De 1a f igur a: ,¡ = ? y
AB = 2 x BC=y1 * yz
(1 )
x+y=30
Q)
Cálcul:o de ttyl " y "y2." en función
de rrxtt, solo bas-
tará
con reemplazar en 1a ecuaci6n de las curvas. 12 - xZ I \, - t1 = 3|
(x }-tz ) v z =-_lSustituyendo 5F-12-xz o' = T-
-Y
J_ 2
=y del
r t Ar t :
rec t ángulo C
es: A - AB.B'C, de (1) y (4)
5 dA = 10 -*VJ' oy
- \xZ = x Z + 1 Z )= x (1 z -r. Z )
5^ 10 --ly.
7
;
+ i, 4 - *2 - g.. x = ! Z ,.. .,.i Li ,:::..,,,.., .,,.;1 ,:i.,._ :,r ..t..,i .,¿ .j,"I .l ReernpLaz{ndo'éü v¿Ior.,¿s,tt¡"' én' (l ¡ ; y . (4), *se,:,,t,iete. '
": , ,
,
.,,¡
c,
'),
o/
d e riv a n d o res p e c t o a Y :
(4)
á += (4 : x¿ )3 ; i g u a landoa cer o ( #=ol
. i, i
y ='lOY
A = ÁB.fD = (10 -iV)
(3) en (Z): *2-12 .......
t=2 x(4
i:
30 = ----f
A rea
El área del rectángulo obtenemos:
áA
(3)
'
i )
¡;
Ab
.,
''. ,
,.r'
= u
, igualando
a cero
x=6
dt Una base de.,un traDecio isósceles es un. dián¡etro gtra be 1a de y extrenos 1os a. radib ile -iaün clrculo Ha11ar 1a Iongi' ciici¡nferencia. ,ée están sobr.e sea náxina. área el que para baso lud' áe la o,tia
t1 (i
177
ON:
7[B , 1T
.' 2x (a - x").'.,.(1) lvando resPecto a x:
AIf-Za*Zz+x Area del
trapecio
{ + ( El, ffi l -n n z
J
. Za -
.vt
A* ( L 1 I1 ? z)y*(x+z)y. . . .. . . ( t )
yz * (x + &-=-l)
z$o -fl =Erf;t
( 2)
rminare¡nos a continuación aból i co
; derivandorespecto
I
->
xsa
zu?- ^*- x2.0 y
x*-2a
E ntonces la bas e me n o r n id e : F . al 23.-
(3) entre
(3) el
área de1 segl:¡ento
ti'n'i)(ov) J; {a' -.
. . . ( 4)
{4):
ut =, *
qu? - 24x - Zxz 4 4aZ x2 + Q
e
" (a) = t4a Qfa) t -
; igualando a cero
* a)
A1 =f
a
idiendo
dx ( x + 2a ) (x
(2)
plazando (Z) en (1):
Susti ruyendo (Z) en (t): .,
d s. dx
6xZi igualando a cero:
nsiderando solamente el sitivo) =€ .*
(?ej-_[)
y -+ f4e"-V I = ?,qi-+ , {;V-:7
i "E,o )
2=0* *= tF
Aplicando la sigui.ánte propiedad en e1 triángulo to ABD: , y- * (x * z)z ,. poniendo en funcién de x:
- d A =0-
'
nostrada:
figura
SOLUCION: De la figura:
Un.rectángul9 eqtá inscrito en un segmento de, p aré bola y un lado del rectánguro está en la base dol segr¡le.nto. Denostrar que lá' razó¡ Jei"eila'aer 16c tángulo máxino ar árüa-¿ii ,"gr"nto es! Ll 3
de una viga rectangular es proporclo resistencia áncl¡ó por el.óuadrado de,su esx';i^;;;;ilio-á"í1as dinensiones de la visa ¡rás ieb;icutar ;";: sr:c gtente que puede cortarse de un tTonco crla a {rta','ct'. de semiejes ón transversar;r-;;;-;iipse b (rnenor)' CION: r condición '
k yzx .
de1 Problena:
Sabemos nornResi stencia dc nateriales"
= h = Zy * (b) en ( a) : tituyendo .2 = 1!U [m" -X ")
distribuci de la
E altura
fu e r z a r+
? ? ht =4yt
-,
?. hz y"='t '. . . . .
l7! i t.....
( b)
....(s)
m
r{y o =l -;
Iv t = momento flector
donde:
,y = distancia
al centro
Además: ¡ w'
f
r
donde:
w
v
Entonces: .T
., bh3
2r.
W==
'-E
-=h
v Por dato: Igualando
h w
(1 )
E
kbh 2
v
(2) :
M U
,
de la capa exterl de graveáad.
r =#
( r ectángule
=- h 2
(1)
6...i ...1..
4nz -r^? - sx?) igualando Lru
-----
a cero
.+ x = n,/t fT
enplazando el valor
(henros consicierado positivo) de x halladc en (a) : I
ln,
(2)
ecuacidn de una elipse
luepo 1as dinensiones /-L V3 (4) y (5) respecrivamente :
del
rectánguio
s eran :
= base rrbtr = ,"G
en (Z) ,...,....
--
l:i:'u"'uo
ivando :
- 3x2= o
) =_ bh-
k = l/6
queIa
óó¡
JM
') -- .., _ bh6 ta
f-
--
a
bh- = .. .2 KDn
e mp l. a z a n d o(4) Y ( 5 ) e n ( 3 ) : 4 n z (^2 - * 2 ) zx
(3) viene
- altura
trhrt = ,"G
anchüra= ,o rE I
da
22 \ mn
+
\
=l
^7 y t - n l ( ,n 2 -*2 ,) . ..
eda cortarse
De la
I enunciado:
AD o
figura,
en el rectángulo:
base - b = 2x ...;.:....,(4)
de una troza
= kxys ...,..(1) i6n de la circunferencia)
cíLindrica
de radio
a'
Y 2 = 4^ 2
* 2'*
L4"- -V
x=!
w =.k
(soroconsiderando en( 1)
rG].rs
derivando,
,
el positivo
z=1 -> 0 o (i -m2 ¡= 6 +m Sustituyendo (b) en (a) : 2 0 0r1 ) +' x = 100 X ='+ 1t' l
'
x = 75 ,
b) . - P ara:
dw
st
F=
I
3kvZ
-
y=alT
kv4
k¿=
skyz¡ + az- yz) - ky4
0
6J_-7
i
ac 1eualando
ffii
x=a Las dimensiones de la viga
son:
2 6 .- La ecuación de 1a trayectoria
de una pelota
'1't
es:
derivando
respecto
i F -l
r-+l ) "
m = I
la forma de un rectángu1o corona'
ü"¿ó- üti--;;ffi;t;oiii ángur o r ec táns ul o i s ós c el es : i l :T ::11i I
s ñ"t'os'
.1111I?I-:.11:1d" . , r a n d"'o 1 6 ' l r a q q s d e l r e c t á n g u l o s e a n
é " t i" r a
álét
" LUCION:
los catetos
triángulo
del
l:
'
A
1a figura: 2Y*?z=
p......(l) en AAEB:
r Pitágoras
E-;7 - V {T .. ....
v
, r.. ,,(Z)
z) en (1): *
t * zE+
a m;
(nz..ll:-zooU@) 9x = - 200 -----T---rd¡" :]
ha ventana tiene
á -r" t
(¡n'-l- 1)x' 200
cero
o=ffi=+4
-'56.25m = 0
I"*lr""r
,
d
b ).*- = +
y = m x- @2:- J) - xz .r .,...( r )
0 = nx -
5625 (2m) ; igualando 200
75 -
"rB
tomáhdose el origen én el punto desde e1 cual lanza la pe.lota, .y siendo m la pendiente de la va en el origen: a) ¿Para qué-valor de m caerá la pelotar'en el m no nivel horizontal, a la mayoi di.stancia? b) ¿Para qué valor de m dará a'la rnayor altura a la distancia de 75 ¡netro urra pared vertical
a).-Para:y=0
= -g¿ d¡n
a).-
(*2 t_J)x-z y = mx ----Z¡¡-
s r qe l g + '
Y = 75rn
7s
X=
en (i )
?y = p
t2'-
D-2v
rnayor área ¡nayo" il.uminacidn ; igu'tando
a cero
A
,2 -.L
2
..(3)
ITT-T * r)¡
; de la figura:
Reemplazando (Z) y (3) en esta ú1tina
= * ^ +<m)z vtr cffil dA
I f{;l
relaci6n:
, derivando a
lT
4 --qrx2rs/z , * T n*3 ,s
l= ; u" /z-
-...-: 2+/z
rp-zv)]= Q,
[cn-+rl -,#
resol,viendo:
r-jfrx)
.s - 4 n x 2 r 1 / z t--6-_,
- 4nx2-2nx é--:4'trttz 2 -
sustituyendo
de r ivando
,+
.4tx?
I g u a l a n d oa ce ro ,-$ f;= o ,
(3) en (Z):
tituyendo
igualando a cero
4ix2, 1/2 - o z rx rs . -
en (3) obtenemos:
-rm en (2):
l ando
segunda deri'¡ada: ., 8nxo - nS
la
=8nx+ luego: Iy = z l 1 q . q . 4 . D ad a l a sumade las áreas de u n a e s f e ra y u n c u b o , de n o str ar que 1a suma de sus v o r¡rá " é i-rá rá ' iin : . ru cua n d o e1 diámetro de 1a esfera e s ig u a l a I a a rig ta d e 1 9ubo. iCuándo será ,nax irn at a i" rá a u , -io , u9 l r i m en e s?
os esto para saber si imo.
rp!u!_IoN:
go para ese valor
Sean:
S = suna de las áreas V = surna de los vólunenes
ax=
.:
r
Y
el valor
de V es m áxinó d2t I
se cunple que:
z4*4n
dx2 de x V es mlnimo
t-
/-{-x s - V U. ;
=?
se tiene
.?, d'v -
que:
dx?
a este valor V es un:máxino. tituyendo en (3):
I
, 2x = piametro de la " esferla. y ' llado del cubo.
I f{.; It.,
r84
2 x o y - t\E
t z*2"
4b-,
r q.q,d.
a
¡
^2
-)rB
t Hi
2x2=g I
frf= reemplazando en Q)
* - * 8,
I I
o Q
I I
t '+/T
Yt
29.
H al1ar las di¡nensionesd e l ma y o r d a inscribirse en ri ér ip s e ' . ' -' - rectángulo
que
Final¡nente tendremos:
= a,E ÁÍ = 2x
EZ = 7y =bE
' 7' ) x-
+
az
y:
=
ut:" ",lt"::i*:i l?,ol ':: : "::i ngtt"si cuya ecuaíi";á-a"
l.
bz
SOLUCION: De la figura, el área d,el del rec tángulo es : A = AB.BC=(2x) (2y)
^3
v=+.a x"+Ja
CION:
A=4xy .,.(1) De la ecuacidn de la elipse:
a
e la figura
mostrada:
=2x = | + despejamos y: |
',
Va'
;
A = 4x+[77 4b ;
7 'at ea del rectángulo
BCD es:
't-
(Z) en
11)
- Zxy
(r) :
=4b* a
# tt \,
=6.
(z)
- *o
Sustituyendo
dA ??'
=y
la
- x-
, derivando:
dada t enenos:
ecuaci6n y
= -"'-,-
^3 óa
x z + 4^2 " 4b x 2
FP
, igualando
a cero: stituYendo
(2) en (1 ) :
(z)
t"'
{ = zx (
)
x2* 4^2
, derivando x:
TB =r
r e S p c ( =l f ]
óu=n rh
ecuacl6n en el punto
af'-
'¡t.
dA dx
_
I6 a ' 7 4 a ' (x -
- x t) a j ,i g u a l a n doacero + 4 a ' )'
))
( r /'¡ \u r¡ \^r
+
(h / ? \ " \'_::!_:_2_
ac.
" t z ' z ' --i:l -1
2.2 mn
4az - *2 Reer n p l a z a n d o
x Z = 4a2
= Q+
el
valor
x =t ? : t
nr d e x en
i"=a
var iables onodando a nuest r as es: l a el i pse r rmn (da t o: A = r ab) .
4a2
Sustituyendo los yolores A - Z(Za)a
de x é y en (1):
z^ vn ' ilallar L a ra z ó n d e 1 área de la menor elipse quc de c ir c u n s c ri b i rs e a un rectángulo al área del r t ángulo . E l á re a d e u n a e l i p se es nab, si endo a y los s e rn i e j e s .
T 1f
SOLUCION: -
IJ e l a
f i g u ra
?
mos trada:
*2
yz
^=
;#.Fr=1 J
nr
I l-
IL
(a)
4
igualando
nrh2
n= O
=Q
h,fT n =--Z-
r=t
A- r*i
a cer o
T
n=-
"2
en
( b) :
t r nr t eñ
(1) :
m =t.5 |t m f ' y
S usti tuyendo ....'....r.
n
2h" -^ )
, al
con r esPect o
; der ivando
.,
.
/:-
rY, - +
el
ár ea
. . . ( 1)
13,
Para:
*.t
usadas, así
2 .lInr
r-7 /)
31 " .
fh)
(2):
' n z- h z / 4
S1 3
4az *
-+
h,fT
a n:
El área rectángulo Al
z
será:
= rh
(3)
. i. ' r . . . . . . . . . . . ' r . r . r '
Dividiendo A
E
(2) entre l a[-r ¡ = -¡-Lll rh 2
') 3X-, dA = - 3x + 9 dx4
(3):
¡l
-2
AT
7
*- 1 ¿y = 36. Ha1lar el área del mayor trapecio puede trazarse de esta manera. Del gfáfico
:
' )r
-
.' l
v- L
, igualando a cero:
+9+0
Resolviendo se'obtiene
l,os dos vértices inferiores de un trapecio is6sc les son los puntos cuyas coordenadas t-6r0) y (é Los dos vértices s'upeliores están en ia curva:
-SOLU CION:
- 3x
- ! +4
q=z 52.-
x 1 derivando: ) \¡5o 4; --' '
d=(x+6)
'6
tz=
(1ado negativo)
e n (2 ): 36__3_ = g
Y=-r+
deducinos: Luego eL ár ea del traPecio [ = (2 + 6)8
es:
A=64 s radios de dos esferas son a Y b v 1 a tre los centros es c. iDesde qué p ú n to ecta
A (6 , o )
B(-6,0)
cenf , r osAB
de l os
ñii =.y
Ia
esférica? - (Ef- área de una ,zona esiéri üe superficie altura h es 2 rrh, sienCd ca o tasquete esférlco_{e el radio de la esfera). Del gfáfico
:
ffi = 2x
es visible
cl i si ¡ n cr . ia P en_ IIIa yOt a Te a
deducimos:
AB = 12
El ár ea del trapecio:
[ = ,2 r24l
y .,;... . , ( 1 )
De 1a curva dada: ?
x-+4y=36
y"
-3-or-. x2
.Su sti tuyendo (2) en (1):
a-h,
(2 )
I
;
Ñ
= a
A OHM -4, A OMP:
F
=f
; Of="J x o¡ = xrf
*xr='.
190
'En la figura t-
Sil* J=f! W-=
x a
r^ "¡
mostrada se cumPle:
--F-^ * -^ 2
I
El A O1NP ¡,
NHIOI ^
o-1T- qp ol Ht
b b -hz
olN
El área total es:
d e fo s
=
bx., -b2 -> n2
casquetes esféricos z¡b2
(t '
visto
do
)7?
^
dA ox --=
¿Ta -7
^.3
-J n4n. , G-tZi
1 v o 1 ú me nd e 1 p a r a l e l e p l p e d o e s :
---!-) c-x'
igua la n d o a c e ro :
X
Z
y
mas :
.,,.r.
l Con e1 v a l o r d e f' x rr (3) náx inr a; l u e g o : * --
_
v4 ^^3/ Z
(-3 /2 \é
a
J
1 3 /2 \
=
-u
'J -D
l
SE
* = .^t - r ^t/' .bt/' 3.3 a -o
.,,gs
* - .^3*.^3/z b3/2. .,. (q 3.3 a
encuentra
-D
que el
en
/ 2 / 2) /2 /2 -b3 ) 7a3 *63 G3 c a 3 /2
r...
..
..
(a)
o,l .. .... (2)
d-
=4r2-*2-yz
(b)
(a):
v= x y = x yz
área o
,^3/2¡^3/Z_b3/Z)
r.
r.t
(1) e n (z ): )
r...
¿
T
t
...(1)
y " = a rí
'*
=
3
t= r r ,
rxr trv
"-...(t ^l
(1-+) +
A = 2na2
x1 -É
com o I a base da: x=2.
z2 ¿+T .+ x ¿ = ---^ - V ; adernás: x2+y2*a2" 452
ego e1 vo1ú¡nen en funci.ón de ^3 Lt¿y - J-
^2 ¿T
es :
5¿
:
a cer o
igualando
-Y
I I
a 3 /2 + b 3 /2
I
3 4 . - Ha11ar la s d i m e n s i o n e s d e 1 nayor paralelepípedo re t angular c o n b a s e c u a d ra d a que puede cortarse de u na es f er a sdlida d e ra d i o r.
tty tt
z
dV oy
cuadr a
=u ^2s ¿T - zY 2^
2r/T * y =3. --J-
I
2r lT
Yt =--'3
{
L
Yc
^
-¿T
,Ei
{5
tfrz
3rZ
l \¡
d 'v
uv 1_-
=
oy
-3y
JO 1I
I $it
a cero
; igualando
+
dy-
trnEonces Entonces pata y1 Ia segunda derivada derj.vada es negativo esto nos indica que el yolúnen es máximo: ,úV_ t'^ Finatnente: '';l ,
¿T
y=n--.
36¡
3n2 --; v
y=x4iT', : r. f J
I V t.
{5
total
- La superficie
3 Dada una esfera de 6 c¡n. de radio, calcular la alt ra de cada uno de los sólidos sigúientes: a) cilindro circular recto inscrito de volúmen náx mo ;
bl cilindro circular recto to tal máxima; c) cono recto circunscrito
inscrito
de superficie
de volúnen nfnino.
=
q ¡l J
es:
S-=}tt x-+Z";txy (3) ,
, v' S- = 2n(3ó - a-)
+
"r'c[o
t
l T ¡. . r ^ + =- 5 - ( r .++ D
?'
-
-7''
+ fry (
y')
LA
S0LUCI0N: a) de Ia figura:
ds. -= dy
ity
r Y* ¡
- r y l++- - /
^2 3ó = X¿ * Y
.
tl +
144-y /1 44 -y'
+ 144n 2ny2 = 6
sy4 - 7 z oy 2+1442=o
Po r P itágoras: ó-T2= *2 * (r)'
solviendo , r . .
, . (1)
1a ecuaci6n obteneinos: Y = 6'51
.- Volúmen de1 cono V: El volúnen de un cilindro ., V=nx
viene dado por:
De (1): x
- 36 '{
.r.r.rrr.
(3) en (2): '!,f r
rr)¡ (16
{,
Ca)
z , igual ando
Los tri á n g u l o s
ACHB y
m-
Ló
ACTO son semej antes
/h '
c6= o?
+ x' n -r
**2
z-T
S=nx
nX
:
'rA )
= x
) - Luu !J!---L---z
dS .-.._= ox
r
)/
o\/"
)
des p e j a n d o
x: h 2 t2
.* 2 =
gv z
6
+xá - - -
z n z x 6 -9 V2 = o
Sustituyendo (II) v=Jn . J
(l):
de
en (I):
t'ht h2-zrrr
=
*'
elevando al cubo
#
Igualando (3) Y (a): orr2 , rr,3
=* nn' Lft..,,i
A¡'.
igualando
;
:z ¿lt
a cero:
'+ h3 = !"Y-
= -*
rr n
:
h-4r=0
h=4r
hr =i-f}
36.- Denostrar que una. tienda de canr¡taña de forrna c6ni 'de . capacidad dada,exigirá la l nenor canti dad de l o - cuando la altura es /Tveces el radi o de 1a base. De¡nostrar tanbién que si se extiende la lona en u p1ano, se obtiene urr sector circular de 207"SV. ¿Cuánta lona se necesitaría para una tienda de 3 de alto?. S0LUCION: Tonando como referencia rior "
figura
= xlT
h
La generatríz
U
ante
1 't
E
es igual:
"g"
2nx
o ¡ro i .. ...(t)
Zrx g
--:-
(Por Pitásoras)
= . __+ _
. . .'(z) I
|¡r + lfx
Q e
Para
I
e n { 2) : I
¡1
z
x{5
2t
,tT
1
lT
de lona:
s - nx 6-t77 de (1) :
1one i tud gener at r ] "
Zrx . ==- =- Ztrx '2x2*x
Cant ida d
(x = radio)
lq. q. d .
R-;7 ^
la
h = x/-T
-'
x'tr)
1T -)
V = f nx ' h
(3)
znz
hz -zrh
dV
a cer o.
igualando
1A
x'/9Y'+r-'x"
S=x
207"51
h = 5m.
3 x -lT ; reenplazando
valores:
(360 " )
1
o
s - *(" , /a-
* 9 )"112
IL
2Y=* 37 ,-
??do'un.punto clel ej,- de la parábol a y2 = Zpx g del vértice, distancia caltular la ábscisá punto de la curvamáscercano al punto dado.
(x,y)
Q (x ,l ' .)
FQ=
)(4 - x ) ' +
áúñ
-( 4 - x ) - f t - *) -
(t - Élt 'L
p(a,o)
c rx TrQ =
De e l 1 a :
de : ( z)
. . . . (1)
y' = 1px en (l):
..,.(2)
P Q=
dp0 dx
t*-r)2* zp*
i*-")
2+zpx
; igualando
SOLUCION:
Calculando
1a
FQ''
distancia
( tz) en (t):
X
J
z
=0
.)
(2) .,.......
l-+
X
= 2
-| y = 2
.'. .a(x,y) = Q(2,2)
Si PQ es el segmento de recta ¡nás l argo que se Due e trazar de P (arb) a la curva y=f(x), o el ¡ nás corto, demostrar que PQ es perpendicular a la t angente a 1a curva en Q. La distancia
PQ es: ;como:y=f(x)
(l )
*? Y'+
x-=g
reenplazando en (Z): = t4
PQ:
De l a ecuaci6n de la curva: 2y=
-4*x-x+-*
a cero:
38. - Hallar el punto d.e la curva Z y = x2 más cercano punto (4,1 )
a cer o:
V g - x) ' + ( l - + ) '
y
x + P-a =
igualando
f f ii
Tq=m; dFD --cLx
(x - a) + (flx)-b)
derivando f'lx)
Igualando
a cero,
tendrenos:
h2*2htagg-1=Q
( x - a ) * ff (x) -b ]r, (x) = 0
f ,(x) =ff
tl )
de (1 ) y recordando que f[x) l(*l-b
a-x
= -' l
s iendo 0 el- ángulo de rc ¡zamignlo y h el paso tornillo. Hallar h para rendimientolnáxiino. Sa b e rn o s que:
I
tase tl - h2 - 2h tage]t . s
-ab = -; ,
,,
del
Derivando con resPecto a x: -+
¿a x3
a cero,
¿o (f -x) r 1a derivada:
2b
- 2^=o 3 *5 (r-x)
ffii'= , igualando
a cero
I Ce1 calor
(L-x)'
x"
gual ando
g¡ = (h + (l ; zirtagol:(tr - trzta.es) -ragg-) (h + ta g s ) 2
ta e s - h 2 ta ro - tt.r* zt (h * ta g e )Z
':---:--J-¿-- - -" I
ISOLUCION: La intensidaci
h (l
-h ta g e) h + ta g o
oo---|-.--i
siendo x ti distancia entre P y A, LPara qué tándrá P la temperatura rnás baja? l;i¿;
dI = -dx
D er iyando:
$ (ln$ -
+'l
t ago
(e--x)z
L
X
Lo cual nos dice que FQ es perpendicular a la tan. gente a la curva en Q jrendirniento 40. - una f6r¡nura para er de un tornirlo es: -htgo) p=hll h+tg0
f,e
-
b
.L -'l =-1
SOLUCION:
= sec0
|
f---r-
/ t ag- '}
A Y B cuyas focos caloríficcs ent r e'dos La di stancia I'a intens i ' l ntens i dades r esPect iv as son a Y b, es i' B, se dá A P. enirc punto un Y en de calor dad total fórmu la. por
= y
x - a '-Txl:b
h= -tgO* ,' .
f' ( x) = - l
= - t ag0t
solam en te e1 pos itivo: ? = sec0 - tge t g- O +l
C onsi der ando
Recordando que si dos rectas son perpendiculares tonces su producto de pendientes es -'l ; luego:
#
'aú
¡='2tae0!/!t
a b
t ^r/? x = ptT .qrs
posi-
está daCa por:
20(l 42.-
La base inferior de un trapecio isósceles es el e mayor de una elipse; Ios extrerrycs de la base sup0r son puntos de la elipse. Demos'trar que en el cio de este tipo de irea máxima 1a iongitud de la se superior es la mitad de la inferior, SOLUCION: De 1a figura tra se halla 22
XY
que a continuación la ecuación:
I
B
bz
^z
C X
7x
A
b /T-- _ --T X
De l a
b
E1 área del trapecio
es:
{ = Gz}Av
A_
x
- *
z
a-
-a t
J,
figura:
Á¡
=2x
L¡í
=b
área del
z
1_
igualandoacero
(r)
= j.AB
+
y=
t l r. ,
4
triángul-o
ABC es :
CH
(I I ):
ax-2x=0
x=
**l*
(a
a-x
De la
=+F-3
\
v rl
a
-;"4
De rivando,$*
se nuu¡
ra
/9a-
i
fi g u ra :
*1=+ *z=-9 =
= *(b -2a
=b*b
**
der ivando
r espect o
a r r r 't t
bx2 a
B C =2 x-2 (7=a zxZ
BC = a LB = 2a
1 .q.q.d.
un ," ha de inscribir En la elipse b2*2* ^2b2 ^2y2= sea el punto (0,t)) cüyo vértice triángulo-isdsceles al Hall ar Ia ecuación de la base correspondiente de área máÍi¡na triángulo / SOLUCION: 7 2 x| *J] La ecuación de la elipse: ' t .,, .,., .,.) a. bttyrt queda asf: ó boxo+aoyo=aub"; despej'ando
t? a
= zxZ
^2;
elevando al cuadrado y resol viendo:
en (II):
ñ-=7 {a -a r-!
-)
.Tb
2y +b +b
= Q (écuaci6n de la base FB') aQ
lar ta a^tz Jy 1a altura
del triángulo
isósceles
de área nínima
circunscrito
a la elinse
base es paralela
-^ Zt1ycuya S O L Ij C ION :
Hallando --e Y lipse
bZ*2*uZu
=Y+b
A rt
nn
al eje de las x
l a ecuaci ón de 1a tangente p(xl ,yl ) e n un punto genéri co
D TFI =
Y1
a
( 2)
En 1a ecuación )
A
-b -Y. '
u "*2 'r-*
" ^1" - - - '>
|
. -L--
uY1
ya
.a
Y -
par a
la ecuación de la elipse *l
=
. . ( 3)
...
.. rf-----T ' ,í /r' t
,
se obt ic¡ ie:
- b,
.2
hvY
(x, y)
* b
-)
..a 1 )
^=i +,:It par:a el punto
yl)
(*l'
reenirl:rz¿t'rcloerr (1) :
a (Yr *b)
Y= n = f r'b _y1
De 1a ecuación de la e1 ipse : 22 = ab 2.2 ,22 DX
+ ay
área del
AABC
)
)
b -*'r
dt'
-2-*
ox
rl \ L¡,'
^Yl
Le ecuaci6n d e l a ES:
v
-Y 1
Y -.'Y l =
b 2*., a-yt
)2 D -
ot*? =
- t-
' a-v1
,1 =
altura
, Z
n
t-
a igualanCo cer o se obt ie
. . . . , . (z ) AI { = 3b
ait ur a
= 3b
base=Zx- Zar / T
o"',
"'ri-4= ' -q
de1 triángulo
, der ivanc
2? O - Y'
Y?ro'-rb'F]' (x - x r)
:-
.2 y, =9Y1 La
+ b )( yl + b )
' ,'tt-o". _ "o9_f!!?r.,a 'üL ,
para x = 0, se obtiene:
I
"u { vl Y,II
v. .L ?-
= n(x - x 1 )
(1 ) :
de
tang e n t e q u e p a s a p o r e 1 p u n t o
^ t 1nurc[.:l
ABC :
ozb1 E bz Y1
S ea P tar b)
un punt o
ié " u d u' " j e s
en e1 pr iner
cuadr ant e
cie
UN
SlS
r ' e c t a n g u l a r e s . T r á c e s e p o r . f - " ^ 1 1 rec ta
_
,1
c) cuando la sr¡rnade 0A y OB es ¡nínina; d) cuando la distancia (perpendicular) de 0 a AB máxi¡na.
I
SOL_UC ION: a).-
De 1a figura:
Y
A APQ '! A AOB
A
y -b
a
b
xy
a
x =ti¡,......(1) av
E1 área del f\UD es: ^y
{=
*+ qY
av
triángulo
r
Q
¡
. + a 2/3 .1/s D D
fa+aD +
+
obt enem os:
en
( r J:
. 1/s .2/3 x = a + a -D
1/3 .2/s
. 7/ 1 y=b+a''"b"
. 1/ 3
S=x
:
(1 ):
?
d e ri v a n d o
= 4av (v-bl
a ttytt:
respecto
--2av2
-b
aay(y - b) -2ay2- ¡ I = 0
é
7eh.
x =J:=
y = Zb,
*
( av+v'- b
-
a cero:
, igualando
(y -b)z
z a y lz (y -U)-y ] = 0
Zby ' ab
* b2 = o
tab
t om ando
t
sust it u y e n d o e s t e ú lt imo e n (l):
2a
Entonces :
a+2y- b)
igualando a cero : ^óee^s¡'s!
4 ( y- b ) z
, en ( l)
posí t ivo
el
:
x = a
at
( 1) :
en
) x=2a
b).-
Del gráfico
(l )
* F-"-7 ^E en (2):
AF .
E,- (-, jJ
e (i )
de
,
p (a, b)
z i ?1- "1 / a'y' I
i ?CFpasa por el punto P(arb)
é
tt; ent onces
y=2b
y = ¡nx + c .,.,.Q asa por P(arb), se tendrá:
por Pitágoras:
....,.....
(2 )
+c
+
c=b-ma;
respecto
a rry'f:
tancia
(5)
........
de1 origen derivando t,
\
( D-ura/
1(.rn--+ l.).
)
en(4)
+ b - ma , derivando
y de p endi ente
:
a la recta respecto
es:
a rrmrt'
m
12*
I
igualando
a cero
:
a
-E--x yb +
ax
p ara
X-
p ara
y :
* b *+2 .2 D
a2.
)^ = -ffi x i 500mpor hora
"t
=-6 kn por hora. )
o
punto se mueve sobr e l a p a r á b o 1 a 6 y- y",d e m a n e r a cuando x= 6 la abcisa a u r n e n ta co n u n a r a p i d e z d e r segundo. ¿Con qué r a p i d e z a u n e n t.a Ia 'o r d e n a d a ose i nstante ?
a2 r h ? r = --;--
c:
¡.,
7)
x = x : 1b,:
:
P ri m er paso. C o n str u í¡ n o s
la
a
ndo paso.
La Derlyadacomo rapldez de Varlaclon t.
Un ho ¡nb r e c am ina 7 1/ ZI at por hc r a h a c j . a l a b a s e de una torre que t iene lgn de alt o. ¿con qué rapiáéz se acerca a la c in¡ a de la t or r e c ua n d o s ü d i s t á n c i a la b ase es 24 m ? SOL UCIO N: Prine r
p as o.
Aplic ando
la, r egla,
Cons t r uy anos c ia ent r e el
tendrenos I
,
la f igu r a . Sea x la distan_ ho¡ r br é y l a b a s E d ¿ i ; - i ; - - _
rte , y s u d i stanci a de ta ci ma,en u n i n s ta n te gual qui era. S e g u n d o p a s o. E n' e1 tri ángul o rec tá n g u l o d e Ia fi gura se vóri fi cal 'ra
x ' + 324 Y" T e rc e r p a s o . D eri vando robtenenosl .
zy*fr
z x*f
, o sea,
-gJ_=xdx ctt y dt E s t o s ign i fi c a q u e e n u n i n s ta n te se veri fi ca la igualdad: r apidez d e y a ri a c i 6 n d e y v eces (rapi dez de va -f) r iac idn d e x ). dr Cuar t opa s o : x -2 1 ' 7 1/Zl @ , por hora dt -7 500 n por hora. dy dt -2
Qlll-üto paso:
S u s ti tu y c n d o e n (l ).
parábola
1
Según el
probl ena,
ó y=x- .
er paso.
ldvxdx
p (ó,6 )
| ñlA I
l'rvtv)
A)
, ¡+
?
.
dt
I I
ef i un punt o cualquier a to-si gni fi ca-q ue ool a se verl t r , ca: api dez de var iación vari aci 6n rto pasg.
de la pa-
de 1a or denada) =( á{r apidez
, 3. r - ,: de la, abcisa) -' Ax = 6 por segundo ** ct. - 2¡¡ ) ro
)¡.? - 6 to paso. Sustituyendo
{l
=* *
'l.r
fr-
?
en (2),
tendremos:
z = 4m por s egundo.
ún este resultador -en el punto p(6r6)la ordenada fa dos veces nás iápidameirte que lá áUscisa. en lugar de ese punto consideramos el punto pr (' ), el resultado es: I -4n por segundo; el signo menos indica que la ordenada disminuye cuando la abscisa aunen ta.
3. - Una placa circular de ¡netal se dilata por manera que su radio aulnenta con una r.iriá"2 el calo d;-ó; por segundo. ¿Con qué rapidez arxnenta el área cr¡c el radio es de Zcni SOLUCION:
Sea x=el rad ro y y*el
v= dt' dt
=z
área.
Entonces,
n*2
lánpara ce arco cuelga a la -altura de ¡netros di y horizontal . Sf tanente sobre ,rtp*uo"rectilíneo este paseo un muihacho de 1,50 n de alto anda a1e á;;; á;- iá iatpot a a razón áe 5s ¡netros por-ninu; por ninuto se alarga | ¿a razqn de cüántos metros sombra? de1 rnuchacho Ce '-¡n punto Sea x=distancia de la 1ámpara L, t sÉa debajo directanente ongi tud de 1a sombra de1-nuchacho' De 1a figura deduce.
"*#
= 1150 Y i Y + x o sea, t-
3
3- x
D eri vando, dy áf
=T3dx AT ;
^ D
decir, 1a sombra se alatga con una rapidez igual de la rapidez con que se nueve el nucna os 3/5 os€á r a raz6n de 33 metros por rninuto. Es decir, en un instante cualquiera, el área de placa expresada en centlnetros cuadrados, aumenta veces nát rápidamentq que 1o que el radió aumenta centfmetros 1 ineales .
x =2r#=0101 S uat it u y e n d o
gy'= dr
en :
dy
dr
2n (2) (0,01) = 0,04
se nueve sobre 1a paráboLa yz=12x,de mane[3 Dunto '1a abscisa aumenta uniformenlente 2cn Por segundo qué punto aumentan la abscisa y la ordenada a la a taz6n?
, #=t ^ d TI){ x ¿ -=dt
2 cm por segundo.
a ecuaci6n lyando
dada:
a anbos miembros
., yo = 12x ....,'. 3\
(I)
2(lll
2l0
dy ^ 2y #
-
dx
,. r...
. r,.,.,
c.
(II)
de1 problema:
P or c ond i c i ó n
E
2ll
.- d x 1Z É...
= 7dv ? ; e n (II):
2y = lZ
-)
36 = 12x
en (I):
y'6 -'
x=5
dz dt
Lu e g o et punto p tiene como co o rd e n a d a s r F (i, 6 il 6
d e x p a ra l o s I { al1ar los v a l o re s d e l a fu n c i d n v ar iac ión e s c e ro .
que l a
rapi dez
dg
Llarnemos: f (x) = * 3 - ' t z x 2 + 4 s x - rJ f t(x)
7.-
= 3x? -24 x + 4 5
del problena:
Por condicidn 3x2-Z4x+
45=0
(x-5)(x-s)
= Q
-|
*2-8*+15=0
[*r
= J
{ = t [*' Un lanchón se acerca al nuelle rnediante un cable am el cable rrado a un anillo en el suelo del nuelle; dcl se enrólla con un torno situado en la cubierta La cubierta est lanchón, a raz6n de 2r4n por ninuto. 4 r Srndebajo del nivel del muelle. ¿Con qué rapidez r rnueve el lanchdn hacia el muelle cuando dista de él netros? SOLUC ION:
Deseanos hallar+
(¡E
. cuando
dz = 7.4 n/nin; x = 6n dt De la figura Por Pitágoras: 2 . *2 * (4. )' x=
;2 - (4.
; derivando
A-
*i = L;L rz.ü
* 3 - r z x2 + 45x - rJ, SOLUCION:
a a¡nbos ¡¡iembros:
r eem pl azando valor es
-|
:r
dados:
= 3rnlnin
Un bote está atado a una cuerda que está arrolla<1a :ii"a"aot de un torno situado 7n ¡nás alto qu': el ¡ii'elEL está a¡-narrada a1 bot'e' del punto en que 'con la cuerda por segun
De la f igura "2=*2+49 rr,/y"
+ 49
D eri vando dzx = dt
resP e ct o
a r t t ":
B
7
dx ' * 2+ 49
dr
dz dr
1o ( 3) , 100+ 49
dz-
30
dr
L49
*
9 2 = 2 , 4 6 m /s
Unq de los extrerhos de una escalera levantada contra una pared,.vertical
de 1 5n :q apoya en un piso horr-
) 1 .)
zontal. que se empuje el pie de la escal -Supóngase ra alejándo1a de 1a pared a raz6n dé 0.9n por nlnu a) ¿Con qué velocidad baja ta exrremj.dad süperior d la escalera cuando su pie dista 4m de la-pared? b) ¿Cuándo se moverán con- 1a misma velocidad'1as do extremidades de la escalera?. c) ¿Cuándo baja Ia extremidad superior de Ia escal ra a raz6n de 1r2rn por minuto? SOLUCION: a).. - Por Pitágoraq: 'r'>
=
12 m
n buque navegaba hacia e1 Sur a una velocidad de 6 111as' por hoia; otro navegaba hacia el Este a una la áfoci¿á¿ de 8 ñi1las por hora. A las cuatro de pun en ei primero del ruta Ia cruz6 begundo arde. el g poi e1 que éste habí? Pa:ado dos horas antes. entre 1os buques a 1as ) iC6mo variaba Ia distancia tres oe la tarde? ) ¿Cóno a las cinco de 1a tarde? entre e11os? i ¿Cuen¿o no variaba La distancia LUC
x'* y'= ZZs
x
encontranos:
lviendo
a) . -
:
t om ando com o r ef er enc. ia- el gr áf ico. deduci del Pr oblena, y e1 enunciado
os que:
v J..
dx
X '
gL
= -8ni11/h.
/r \ ""' \' .if
d tr
= 6mi11/h
Reenplazando datos: oy df
b).-
gr
. (0 .e ) Por condicidn dx
dv
- =dt +
dt
Sustituyendo
del
-0,¿5 m/min
dr
, (z)
-64 + 3ó
l6rc
; elevando al. cuadrado
xZ = 1 1 2 . 5 'x = 7 .5ñn
#=
dx v ?r"
t -ffi -l .Z¡nlurin
0 . 9 ¡n ln in
; reemnl azando r¡alores =--ñ. 28
mi1 1as/hora
l hor a - 2.8m i 11a
sobernos que el buque B-pasa por POr hipdtesis 0 a l¿i 2pm., luego hasta f as- fn.¡n. lleva 3 hobuque es decir y=18 ní1las.Como.el as de recorriao, x=8 recorrido habrá 4ú.¡n, entoncés las 0 a oasa I ilas hasta las'Sp,.m. Del gráfico: ).-
c) . - P ara este caso: - t.Znlnin
'?
+ y-
*'*t.)'*r
p ro b l ema:
2 2 s - *2 -**2
(t ) :
._--__---)P
l) = rx-
(Z) en (1):
¡=-.+:
dv dt
liquemos Pitágoras el AAB0:
7-
213
214
dv x Edx * v /dtÉ
dz
T
dt
dz dt^
x-+
T
Cono el triángulo
, reenplazando valo
ABC es equilátero
8.73 mill as /hora.
c
. ^'f D e Ia
(1)
dato:
figura
anterior:
da = v. q/v ¡lh A
lT--
(1 ) :
ivando
,x dx dt
- d^ a T -= -^6 2
FG
4-d t
en que no varfa
qA = 4
la distancia
"^2/h
dtz
dz
3r=0
+|=+
Susti tu¡'endo (b) en (a):
''
adenás: espacio = velocidad
+6[6(r+2)]
64t + 36t + 72 = 0
tI.-
x
L
t
=O :
la distancia
.2/h
ar is tas de un tetraedo regular rniden 10 cn; entan 0r1 cm por minuto, calcular 1a raPidez ento del volúmen.
o = x 4c{rE * . ,. r 4 ) r dt
Luego no varla
r
(2 ) z
Para el instante los buques:
8x + 6y = 0
( 2)
.....
E-
=vx-*yo
8[8rl
'
U
'área es:
c ) .-
2li'r
área? t,fmetros cuadrados Por hora aunenta el
Grafiquenos vo1únen viene
t = 0.72 horas: entre
ellos
dado
al' tetraedro.
Por:
t23 =5* -T
a las:
E1 l ado de un triángulo .equilátero nide a cfi ; s i nenta a raz6n de I( cm por hora , i,a taz6n de cuántot
. a lt u ra: ), e n (1) :
.x/l n'T
x .1 7 /\
"..
/\ '\
x
*
s1 áa
216
*2 ,lT . "xJl v *+ .=T- r = T*3 deriv.ando respecto t
dV -=dt
x'
'
4
dv = dr4
ir-
al tiempo:
para x=.10 y dx = 0. I , tendremos I Et
dt
100
El volúnien del ParalelePÍPedo
3y. _
(0, 1)
dt-
2.5 cm5/¡nin
13 . - Si en un cierto
instante las dos dirnensiones de rectángulo son a y b y-su rapiáez de variacidn so¡l y tr, respectivarnente, dem-ostiar que 1a rapidez de riación de1 área es án + bm.
SOLUCION:
x
= xyz .V derivando
a1 tiempo t:
respecto
tv
* f= * v #* vzff*
"^
:L
dt
SustituYendo Yalores:
y
$f
= c ol ( 8 ) ( o , + r ) ( 8 ) ( 1 o )( 0 , 2 )
{+
= 4.8 + 16 + 18 = 38.8
+ ( Io) (6) (0 ' 3)
a
gL = J8.8 m'lseg
dr
T enemo s c o n o d a to
x = a,
I = b,
El área del dA
?i
dt -=
=
dv
X -'.#
É*
p a ra
*i,
tr¡,r,
n,, { f = n
#=
rectángulo
y
u n i ¡5¿¿¡¡g
es:
A = xy,
derivando:
reemplazando valores
.r^
uñ
-Fuu
an + bm
dA ?E=
an + qm
1q.q. d.
14 .- En u n cierto instante ras t re s d in e n s io n e s -Crn'-i-ib;; d e u n p a raletepipedo. rectangula*or, é,n, y aumen tl nl_ respectivamenter0rZ m : 0 1 1 ' n l b rln segundr io i icu á l es la rapidez áe'varia c í o n ¿flr-io rc io " n r
Ll
con¡r1eta EI periorio (P sqgundos) -de.una ,oscilación dado cmviene I tongitud-es de un pénduto ."i" -lor la rapide z de variación f6rmula p = O-,'ZI,Uuilar 1a ^p"ii"áo cua'do_ 1 = .oi-resp-ecto a ta loirgitud, á!f e1 auresuliado calcular iZrs' .^. Por medio de 1 de Zz "tu de aumento a1 rnento de P corré-po"áiu"te '5 a 2218 cm. SOIUCION:
La solución
,Por f6rmula
(dato) : dP =
0.2
dr
2lT
dP
0.2
T=
ffi
es directa: '¡ derivando: P = 0.2'ÍT (para L = 22,5)
2l tt
* Para la variación:
219
AL = L_ - Lo ¡ (l) en LL = 22,8 - 22,5 = 0,3 ,
dP:.
9.021)(0"3)
,
dP = 0"06J seg
t6.- E l d i á n e tro
y l a a l tu ra de un ci l i ndro ci rcul ar. t o s o n , e n u n c i e rto i n s tant.e r l 0cm y Z0cm, TesT)c(.t m e¡ r te " S i e l d i á n e tro a u menta a raz6n de j cm oo¡. nut o. d e l a al tura a l te ra c i ó n i Qu é rnantendrá ton: te el volumen? S O LU C ION :
V-fx"y
El
v o l ú m e n d e 1 ci l i ndro
dado nrl
7
, donde;
2
Sustituyendo
t iem Po:
I
A t
I
.il
dl,
'
Av u^
^dx Llt^
=l
it
UL
--mln
-4cn/min que la
altura
estará
dis¡ni
+É = -4cm/min
17.- El radio de la lrase de cierto .cono ar¡nenta a taz6n de 3 cm por hora y- La altura disminuye a raz6n de cm por hora. Calcular cdno varla eL á;tea total cono cuando el radio 7cm y la altura 24cm, SgLUCION: . x
-
7on"
L
.{h -=j:\
- " dr-)
(7(3) + 24(-4)
l2+ ztrZ un¡ua = 96c¡n2/h
¡Iv
El s igno- tnenos indica yendo
7tt
( 3) +
= tor'(3)+ri *t
r C f,
-
,
valores:
stituyendo
vaLores:
o = i uro z.# .f rzolt r ol| É
+ -,x
A = i"ix
I
E-t _r f , z r *. *+ 'r*
dh = -4crn/h dt
= 24 cm¿
I área total será: elivando respecto aI
T
x = diámetro y = altura Derivando: dv
vi ene
Del enunciado del probl.ena, .extraenos ' los siguientes valbres: dx-, '3cn/h ü'
de radio cflindro 5n cada uno de los extremos d9 un r'. si ra
V derivando
49= dt
El volúnen total 4a2=+nr "+
rr-h
resPecto
+ n' 2*dt+
R eempl azando
es:
aL tiemPo:
Z nr h{f * n'2 * } dat os:
ffir
ui
0 - 4n (l 00) (s0) + 2r (1 0 ) (2 0 ) (s 0 ) * n ( 100) dL 0 . r(20000) + "r(20000 ) * n (1 0 0 ) -d¡, dr
dv_-dr
dh =- 400 cm/¡¡ri.n dt
á1/
-$+ =- 4m/min 19.-
-=-!)+
Desde 1a boca dg un pozo profundo se deia caer u piedra, y después de't i*!rnáo;-;"";";;r1"", o,,. piedra. Demostrar que 1" ái;;;;.i; ;;í;""1r, piu aurflenta a raz6n de tg cn por segundo. SOLUCION: piedra Por una de las fórmulas de caÍda libre, se dernuestra que 1a distancia "e'r entre las dos piedras en un instante "trt viene dado por: 1?
e -i gt-; donde: g = á."l"ración de 1a grabedad Derivando:
A
,e
= di s tanc ia
La ley adiabática
senia¿*i"-lei'e;-ño;üi"ii
al tienpo:
v*f * p **- o
Para la
expansión del aire
es:
que el v'¡1ú PVl'4=C. Si en-un tiemPo dado se cbserva centime50kg de es Por i6n 1a rns 10 de es -áiteraci6n nen Y Pres 1a dé Presión tro cuadrado, áCuál es la el vo1úmen disminuYé ,rn m3 por segundo? si
De la 1 e y : P v l ' 4 = c , d e r i v a n d o respecto al tienPo
?r
dP
piedr a !
E= - - - r f Sustituyendo
I'.¡
dP dt
dV
?T= o
dV
1 .4P
A+
valores
*l =
De la ley de Boyle:
respecto
= r om 3/¡
vl '4 ¿p + 1.4 pvo.4
2A.- U n gas6metra coTtiene l00 Q m3 d e . g a s 30 09 por cnZ. S i la fres iá n " ' a iimrn u y e a la p re s i6 n a ra z ó n d e r p o r ^ .*z-por hora: gcqn q u é -ra p id " , . rrru n a " -" i vol men?, (désepor
derivando
107 c*3 ln = 1on3/h
€*
IT { f-
PV=c
(-3)
#
9OLUCION:
1q .q .d.
SOLUCION:
=
r e e n Pl a za nddaoto s'
+ #;
#=
'l +
obtendfenos :
_ r.4150) (_t) lkg/ cmz-seg
'2. a raz6n de 1 13¿u Si y=4*-*- y x aumenta unifornente ta rapidez de variaci6n unidad pot ,"g,r,ie;:";óuá1--éi que de La pindienie de La gráfica en e1 instante en
xo2?
sOLUCr9N: De¡Ívando 1a relaci6n 1
Y'4x-x-
dada:
*F= 4 - sx,; entonces: Íl = 4 - ix2 derivando 1a pendiente dm
-6*É
l|"
b). - En el rnomento en que r = h, suceCe que:
comoCr = ff¡ (¡n) respecto
16
dh dt
¿Tr
sustituyendo
J5.
,(r
)J
1I r
- Tr
al tiernpo:
A-
'
=- 16
17?
valores
o'017
**= ;#ú=
# = -6 (2)c* )
cn/ seg I
dn E = -4unid,/seg
he¡nisférico de j5cnr diá:nertro a raz6n de- l6cln3 por segundo. ¿Con quó r¿
á"ñliallp,o Í,::,:Xl: f u n d id a d.;"*,,iI":, b ) é n é r "lro :y1ld5-h,-ii;;Iáá ru n i ó- de*r eboiar r iei- vo- r ,- "' o
d e u n ré g n á tti o e sfé ri co de ;r ;";;;;^"r ' iiz:;i:l' ;l s i e n do h Ia a l tu ra d e i -i " gr *niJ. t - De la figura
en que el r a I 000 cm" por tninuto. En el inst ant e dÍo es 25 cn) a) ¿con qué r apidez dism inuye "f de radio? b) iCon qué rapidez disminuye el área la superficie? ) globo como una esfera al Considerando a. &j.ll!].ON., cuvo volumen E S :
y =f n*s ,
n ,3
Tn
dxldV =
É
= z n rh {}
- ,,n ,*
*+=" .+ a).-
(x = radio)
# * + n *2 S
mostrada:
dx -= c lt
dv
Á+
de
derivando:
SOLUC ION:
{{
escaDa a r azjn
gas ce u n gr oDo ?
2 3 .- Se_echa agua en un reciplente
V = nrh2-
22ll
. . , . . (t )
- -
ti
*,.7; '--T
'
t
sustituYendo vaLores:
(-'r000)
ar ( 2s )-
2nrh -nh Para:
qh
h
-+ , j*' t6
dt - zn$) - n(fr, {+ - **
clx -ffi = - Q.1273 cnlnin
?
I 6cn"/seg; 64 '3¡ 3r¡r -
en (1)
('=9
:aT"'0 , 4 2 2
área del globo es : A=4nx2
,derivando
datos y +|- a'xff, i:"t31:zando
cnlseg .dh
-El
# c rn / s e g .
- 8r(2s) (-#
o -80
i
de 1a par-
I
224
dA = - 80 cmzlnin dt 25. - Si r r€presenta el radio de una esfera, S la cie y V el volu¡nen demuéstrese 1a retaéi8n: 4V=rdS dt zdt para una esfera
SOIUCION:
se cumple:
S = 4 rrf2 Der iv a n d o
(1 )
y
d V Z= dr
+nr
.
?T
(2 )
re s p e cto
al
tienpo
:
ds Dividiendo dV dt
= j-
8rr .ii
cl5
:5;
(a) entre
r á It- d S +
.
... (b)
25lan/h
. - Suponiendo que el cruce sea de 1a nanera ncs tráda a continuación: licando la ley de los co
ri vando: .3
zd rzd t
Aplicando ürada: .ü:
y s inpl if j- canclo :
$=
= - l-
. ,dv* ,-d!d , -+.# .+.*
.'dt
1q. q.d .
'r'* ,'- ,,
Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo rnr gulo de 60". Una locomotora dista 160 n de crúce.., se aleja de é1 a la velocidad.de 100 km por hora. autonóvil dista del crucero 160 ur, y se acerca a é1 la velocfdad de 50 kn por hora. ¿A-qué raz6n ot ". ra la dÍstancia entre los dos? SOLUCION:
'e
valor es
dS -= 'dt
(b):
dVrdS -=drzdt
a).-
ti tuyendo
. . . (a ) "T
dt -=
6r;7-;
. . (2 )
la
emplazando valores,
se oltiene:
$f; = zs,lT'xr,t/n
es de 2,5 rt i longitud de una artesa horizontal rectángulo i es un iriángulo secéión transversal dA a razíit artesa la en agua echa Si.se ¡láiás, 8m3 por minuto. ¿con qué rapidez sube la superfic del agua cuando el dgua tiene 1/2m de profundi-
ley-de
los cosenos a la figura 'z' S_Z- )n- + - Zyz cos60o 2 ,t
Jy'*
zo- lz
,
derivando:
:
Sea 1a artesa como se Inuestra en la gura del agua en Ia artesa es:
fi-
'¿2ti V=2.5y2rderivando: dV-dv
? T=:Y 'É dv ldV E =Sr' 3T;
Y
reenplazando datos: r.,
$,J-
dt
7
1
= J-
fi-l
.9,
5
7S mlnin
En el problema 27, ¿con qué rapidez clebe echarse agua en Ia artesa para que el nivel suba de 4 cn minuto, cuando el bgua diene una profundidad de 7 SOLUCION:
Sabemos:
d V -d=v
?t
a i l trr
^-
(1, + y -32 )y = y
( 3)
l ti pl i cando
:
5y ?-t- , reem p la z a n d o :
t, .*
dV dt -=
4#"
= s0 0 (7 s) (4 ) = 150,000
it dr ¡ dt
por la longi. t ud
V=4
dv ,l \/
') y ,.,.,....( z )
(
* ty
....( 3)
y obt enem os
e1 . / o1t :
tl .
V = Z,SyZ , derivando res to
Zx+
lt
e5:
se ccl 0 n
[= (1) en (2):
dy = 5 cm/nl n É
28.-
e1 Area de la
De la figura
dy dt
+
I I
dv dt
= 15 x 104 cm3/min.
y2) ,
A -,
der ivando:
- dv oy u?
i
r. 4 +O Jr y'
*
. ii
reen¡rl azanCo datos :
,i, =Tfrl-gm/min 1
,¡., = 5'2895 cmlmin 7.t
29 "
En e1 problema 29,;con qué rapidez se.saca agua de 1a artésa s i e1 nivel baia 3 cm por minuto cuando el agua tiene un metro de profundidad? SOLUCION:
SOLUC.IQ¡{.:De La figura:
S l: sene .* tag0 .{
.)
c o s O -f Á,t
+. Y' ? *
dV
1
ttj
. , . . 1 . . . ( l)
Et la relaci6n:
(4 + 6y)iátv
,{., S e s u s t it u y e : ¡ r = l0 O c m ,t t = - S . t / n i n ; o b t e n i e n d o s e Alr
tt=
1
C4, + 600) ( - 3) c n" /ni n
:
á\/
tf 31 . -
?
- -1812 cm-/nin
segmento que la tarrgente a la ra:na positiva -E. hipérbola xy=4 deterrniña sobre el eie ie.las x ta 3 unidades por segundo. Sea la oidenada en el gen Oli. Iial1ar 1a velocidad de B después de S 50 dos del instante en que la tangente pasaba por 6 ri gen SOLüCION:
La ecuación de la recta
AB es:
de mane r a que su abscisa aum ent a de una m aner a uni forme k unidades por segundo. La pr oyección de P so bre el eje de las x es M . ¿Con qué r apidez au¡ nent a el áre a del t r iángulo O M Pcuando P est á en e1 punto de a bscisa x = a?
S OLU C I O N: De 1a f igur a: P M= ñ 0M= x vJx A rea de l AO M P: f deri vando:
,+.
ñ, dx 4) dt
dA
P(x,y)
AI
y'n(x
- 15) .o... .,...... De la ecuacidn de la hipérbola: 4 = v -
X.......r .r
Igualando
(1) y (U):
+
n( x - l s ) - +
v=-fft* +-
- ¡5)
4
.
l t\ \Ll
ProblemasAdlclonales
(interseccidn)
, n - - *g
n e ( t)
; derivando:
4Y-. -t|$ rsl * #= dt
-**unid/seg
sgn l,9s Considérenselos paralelepfpedos guyas bases por la pa.liinitada br'área ett ;;;ilili;t-i"t.tiiói y tu-iá¿o recto (cuerdq lrazada por'el ;;;;l;ttz: io* de maiülál-pátpendltulan¡á"ie tr e¡e de.slnetrfa)'eI ladoestéisobre dói-ióét¿"guio que un raoo nera 'Jliio-áá r-i p"iáuói"; i"t de.ilos paralelepf "Itut"s del-lado pa o"¿ot son siénpre i'gúales a la longt'tud del navor volumen el Hallar x. óió-áó-ti3 i;i;í"-;i paral el ep f pedo .
De la ecueci6n'de la par ábola: ., 4px l6xYt '4Px+ p - 4; el f oco ser t i: F( 4r 0)
9$@ !!:
dv 32.-
"t
l6 75
unid/s.eg.
Un puntd P se nueve a 1o largo
dx
(1)
, para:*l= 5 unid/seg.
-#,#
sñ
cl t
"t reempl a zando dat os:
A(1 5,0)
I
dA
de la parábola y2.¡
2:¿ll
De la figura:
pasa por
elipse V.
PH !l
FI
t:_¡-
|
'v
/t
_to
PN
=
-
de"rivando
L6)
¿\ ' +
-
lo
2
(4
2 |' 4 I r-Y l r)v (4 -Y \Y t6 l \-g/
L
-
)
I
-Td
:
; i gual ando
a cero
3g= r ' r ir n(r ,2 - z t2) dn u¡¡
=u
resol vi endo
obtene¡nos :
,
)
/3 -
6z _X¿)/n¿ -y.2
Lr.
l¡
v:
-
16/l 5
vol umen
que obtendremos
eH
64
(o-i-b'- o??e, .c
2h2
Sea la ecuación de la elipse:
"2 ;F ' ?'
I
n ..."...,......r.r...
G
=
h/2
(z)
(1 ) y (2) en (a) :
x+Y=1
Una elipse, simétrica con respecto a los ejes coord€ nadcs¿ pasa por el punto fijo (hrk).Hallar-La ecua f ci6n de Ia elipse dé área mini¡na.
*2
L¡ I
lzuz-rz
Sustituyendo
Y = 73.2715 u3
SOLUCION:
a n:
a cero
.
m = ;4s
R5 5
igualando
r espect a
(1) en (c) :
5
el
'
der ivando
)') n"-2k¿=0+¡¡=kn
w
_+ Luego p a ra
( c)
(c) en (b): ,
dV -;-oy
se tendrá en ( a) :
nh
+
-l
a--ft. 4y\+
--
(h,k)
?.'
área de PI{MNes: volunen V es: 2t rt v
(b )
Bl área de el ips e
(a)
2k2
11
curva x "-$xY+Y'=o tiene en el Prim er cuadrante rrn bucle simétrico con respecto a la rec ta Y=¡. Un trien el bucLe tiene su base ángulo is6sc{1es inscrito 'en Ia recta * t y y su vértice en el origen. Haa t 1 ar el valof de a correspondiente al triánguLo de á
: ': ll
2:t2
r ea ¡ ná x i n a .
AB S O LUC ION : '3xy +y
r 4^ = a ñ 1 1 - íI_TI111/z- .'.'..r..' ....,.f2)
E1 área rJel A AOB es:
o=$1-E;de(1)ye): [=
*
+
-¡r"*li|t'''
f
1as int er c epc iones ,
t
x'+
Y
= ^ 6 ,A
;
$ f=" r t"-ri -r("lf = '
ob t e n e n o s :
a a L
* 2-
c alc ulam os
!
' fl a = * _1 _ a _
x + )¡
con l a curva x3* gxy *
y 5= o ; o b te n e mo s ,
y )y
ffi ,' ,=t l---
AB
/(vz - ylz*
t*r 1
Considerando solo
L"z
el signo
=L:#
= 2.3028
-#ir]*"'['-#]
(1)
cal cul ando
' i: : : lra z a n d o
?
positiv 'o:
+ F - .- -
(xz- x¡ , t
1- r m
= 7 - x2 , en el Pr im er cua P es un punto de la curva Y Y sean a la cur va' P or P se t r aza ia t angent e drante. a los ejes coor denados' A y B l os P unt os en que cor t a que AB sea m í nim o. de P Par a l a P osición U " i f.t de 1a r ect a AB que pasa Por S OLU C ION : L? ecuación el punt o P( xp , . Yn) es:
=G -rT, . ^t=7 - Z r ' = a - * U
0bteniendo l o s p u n to s A(x 1 )r.¡¡ y Y (x2y), AB:
obt en e fn o
a = 2.3028
+ y5= o ;
r es olv ien d o l a e c u a c i 6 n obt ene¡ n o s :
Y z' t* i
r esolviendo
+ 12. -
^
, (a - y )' -i ("
,-
3 = 0,
It
(1)
Ahora interceptanos
Yt '* -t
¿ -
ahor a
6n= +
igualanco
z
4a
Halla nd o
::l:"u"uo"
va
P(x,Y)
Cá1culo de la pendiente m: De la ecuaci6n de la parábola: dv #=r=
-Zx
-renel
)¡ =
.
-* ?
puntoP*rn
-r* O ¡ e ñ (l)
- *n)
-)
o b t e n e mo s :
pero
n v$ = 7 - xn ; obrenemos :
y *zxz * = A,"¿,
para y=0,
.dA=
.
""i
(* f [zcso,ooo) ..
-n7 obteniendose: (3)
=;
-? -? -? Luego: AB-=OA'+OB' ,
de (Z) y (3) encontramos:
renta
AB-=
I
L
m. ?
8y-p ,p
cos to
[ r c rolt ,
total
_
l
C-x L
9xt
1nn r
*p =
T=
|
"t^e
100 I -t
. ( 3)
1 250 x-+
; der ivando
48750 x + 350000
r esoect o
A X:
2+4 8750x+350000]500000- 5 00000x (250 0x+4 87s0) . frzso* (1 250x2+48750x+350000) 2
I
L u e g o el puhto P (xn,
p a r a t = 1 ano
?.=#:i-;
I 00(s0OOx)
7i
)¡p)'es:
de
(1) y (2) en (5) :
tituyendo
reemplazando en la ecuaci6n de la p bola se encuentra:
aritrnética
ti
fórrnula:
.?
;
m ás alt o
I = R, = 51000 x .:.....(2)
anual será:
t
8 ( eliminada)
Y. =+
el
[too,ooo + 25oox- 2 5 0 0 1 + 3 5 0 , 0 0 0 . . . . . . ( 1 )
derivando e igual do a cero;obtenen
1 1 3fr+392*0
a
t iCat ' es :
100
( l¿ - yp)z
dest inado
1) 2 s o o ]
cordando 1a siguiente sinplificando
Car án
: E1 costo esta en progresidn raz6n S/ .2,500.00. r r x r r el número de pisos. ga: cos to de lo-s x oisos es:
para: x = 0 en [1): = ln - yo + I oB=y-tO-Yo
z.
de un edif icio
ra cada pi so. ¿Cuánt os pisos de i nterés de 1a inver sión?
14-yp ,p
2;i:
49r
ficinas es de pesos 50,000 para e1 primer piso. y asi 52500para el segurido,$ SS000 para el tercero, cesivamente. 0tros gastos (terreno, planos,cinenci6n,etc. ) son de $350rJ00. La renta es $ SOOO
n Y
_?
de const r ucción
costo
= -Zx'(x
Y 'Yp
.7
( * o,Ip) =P( i ,* EJ
ando a cero:
7r250xz - Ssorooo = o
x = *. ffi
= t 16.7332
6.-
m-
x = 17 pisos
Aproximando:
Para cierto artfculo, el aunento en el nú¡nero tl rr los consumidos es proporcional a 1a disninuci6n 1a contribuci6n sobre cada kilogramo. Si e1 conr¡ es rn kg cuando no hay contribucien y n kg cuantlrr contribución es c-pesos por kilogramo, há1lese que debe imponerse sob're cada ki1or,; contribuci6n para obtener dl máximo iñgreso. SOLUCION:
Llanemos:
dx - aumento en el núnero de kilos consu¡nidos y dC = disninuci6n de 1a contribuci6n Por condici6n dx = -k dC
2 (I-:
i)c
'¿il7
^m"c L 7Tñ:ñT
=Q
^ mc L - tGlr-n) cuerda BC de Ia paráboLa y=yt7 y lqs tangentes: v AC en los dos cxtrernos de la cuerda r torman u'1 hnrzulo ABC, Si BC se rnantiene perpendicul ar al e con una raáá"r" pará6ora y se acerca a1 vértice éi ¿" 2 unidadei por segundo, icon qué rapi'dez va cuando la cuerda BC dista el área del triángulo 4 unidades? I vértice :
del problema:
BC = 2x Y Al{ = h De 1a figura: ABC: triángulo de1 área El
.....(t) Integrando esta relación bajo las condicionés:x. C=0y x=n, C=c Integrando (1): x = -kC + Q ,.,., ,.(Z) Para: x = m ,
C=0;
en(2)
; '
n=Q;en(2)
x =-kC+m
c
P ar a: x -D r
=c
n = -k C + m +
;
(3) en(3) k=[-
c
en (3) :
C+m
xa
El ingreso se obtiene multipl logranos poY 1a contribuci6n: Ingreso:
I=xC
( 4 ) en (s):
N= J
m
r o:
r-iA
+ m
x=EE
=
;
a r¡l E pendiente
I - mC - ¡4-:-8¡cz
$É -,
A AHB ^, A CMN
, derivando rospecto a C:
- 218-.:-JI¡6 ; igualando a cero:
Y ,
MN
m
:...
MN.
ttge
r ...,.
(2)
(3)
=- dv = 2kx , €D (3): clx
Z k "" Q)z - 27<xZ.. . ,
,,.
plazando (2) Y ( 4 ) e n
3;ltr
A o 2 kx5 =zkxz,x= zk{ ¡ ) s/z= r t,, , der ivando: rt
p ared? S 0LUCI O IN
¡i
Il,¿ r ) l dt F IK
\2 J
dA
1?
,lr sr
-
-......: /, fK
,' /' ,
reenptazando cl atos:
#,
u n i d 2 /s e g .
= +uz/r"g. .# uL /r 8.
A p l i ca n d o
Un. t anque c ilf ndr ic o. y er t ica l tiene en su base un a_ gujer o de J c m de r ádio. El radiá-d-ót t"nquu es de 30 El agy u def tanque-ion fa velocidad ! T. , : g es c ur r e dada por la f ór ¡ nula siendo h la profundidad - y r =Z q \ , I g la ¡ceteracidi a" i"-giave¿i¿. 9"r
"cyl ta rapidez de variación de Ii v"roEi¿u¿r
EI
se m e j a n za s:
1 77\ - v 3 'Y
A ABC a A D EC
l0 - x ¡u 3x - 12. 25 -x-
, d e r i va n d o :
¿Cüái-", Av
17..25 dy, t* ái - ( 3x - 12'2s#) - ---Tat= ----_;7' x R e e n p l a za n d o
SOL U C ION : V 2 - Z g h ( vel oci dad de sal i da) 2V o l u m' e n : n R 2 ,d h -n r"" { fi T t dh = u#¡" " " " ' (l ) cono: 1 t)
= v ' (zgh)ttt + **
6
* áu -á
Ét -
ufut!.
dy *.
6n dV =
9 900
.
r' l @ t
CAPITULOVI
9. -
reemplazando dajtos : ;R
-¡-'
dh
Av
t-
I ov =mo
=
100c¡n/sec €t ' 25 c¡n/ses
I
¡2'
6
I
d h . . . . (z )
R e e n p l a z a n d o (1 ) e n (2 ) : 8
va l o r e s
dx AT
I IVV ¡O
DERIVADAS UCES]VASDE ÜÑN R.|NqON
S. }f
q¡rLa r q l/cr ¿ t0n ¡ v& qe y eS te cotgada de.una-parcd, - .* unt p¡rcq. col sade a ^¡,-"{tC a Y* }!gfla."d.i,¡ta s¡¿ rr'uura ¿e = r€specto
al-eje áe'un lsenderi pJr_ -t p pendtcutar endlcular a a lta pared. a re d . U a p un n houbró tóuuié-¿á-r,izii-;-¡;-"í;;¿e r.l zi i -;-¡;-" ía;rr a n d a p o r e l s e n d e ro haci e l ¡ pared-al l .paso de un l¡c c tro tro p o r s e g u n d o . C u a ndo di sta pdród :¿ 4 n.r:oüé ta-de üe l a pdri p{ red n" i qué n.¿:oué cau r6pidanente sube l¡ sc¡brr ile su ciüeza por" por' 'la
rientes derivaciones' : las slguientes cailS una de lis
Denostrar t+
Y = 3x- - 2 x
3 + 6x,
.22 q+
dx¿
=
36xo'L2x
210
q O LUCIoN:
D e ri v a n d o
'?
2. -
clx =
s
a *
bt
os _-;
,
8 (a +br)5 / 2
# =+ ( a + 6¡ ¡ - l/ 2.(u) .? dt -
¡
dt J
2d'J '
a -bx
?
(aff-
¡
-
3b"
-iÁ-
(a * 5 ¡¡-5 / 2
o
?
_ ab-b2x 1-g\:_ú_2ab(a-bx)-l
v 2 7 - 7 / z+ u . h Í # " 7a2 *
( ^ 2, u 2 )- s/Z, e v)
6 2 + u 2 7 'l l 2 - .r2 1 " 2 * v2 ¡' 3./zl,
'-T'-z3Tr
( a+ v ,
: D eri va ndo
7
+2)
-(t
r esPect o
a t
12
i
l'za't= =áfi;m -F:l':t 1.,r1 _,Tn ff;ffi, ( z t + lf t z - W
-
( zt*t ) 1/ 2 l zt*t - st - sJ ( 2t +1 ) '
.T. z3n
;
2
2r +l
-=
(a-+u-)-'-
2 )-1 / 2 + v T)-tl r,(ru) - y (a 2 + v
a
(a + x)r
r d2"
d o lu cro N : Derivandorespectoav: -'
=
(a +x)
n 44ab' aD
-
z o, '+ 4a b 2 . = - 4ab (a-bx) -3 (-b) (a_b x )" d x, ,2 2 22 ctu a = u= a+v du-
'
z^2
*bx) -
'
^ [a + x)' ..-.."-.-;i
soLUCroN:o.ri.r".l¿X-,."0!".;0."',* : (a-bx)b+(a+bx)b
*2 -|at: -zlu?*zux:*xz
?(a+x)[("2* 2ax*:i2)- (*z*iT]l
G + A ¡1 -3 / 2
4
d"s
y=t+,b*
É-- D
??
-----
-
(a + x)'
JD
clt
)) os
$ + - *t" '
?
2x (a +xJ-X
12x
Der iv andore s p e c to a t:
dx
D eri van do
ox ,r;" respecto a x : * 2ax) =-t f:tZ
(a + x )z
SOLUCION:
5!¿ -
a
x
a* ION :
- s6x2-
z^3
ov
${ = tr*t - 6x2+ o
.'
{a
re s p .e c ti -va
t+2 (. 2 t + l)' ' ' 3 x -¿ x^ 2 r (x) = 1-=;--
T\ ¡
f^'(x)
=
-4 --(1 -x)
. f'(x)
(1 -x) f ,,(x)-
,¡
t 5x2:4x - -2x3 (1 - x)z?
(-6xz+10x -'{) *2 (-2x3+5x2 -4x)
--6
(1 - x)5(o*2-12x f ' r r (x )=
+ 6)+3(2x3-6¡2+6x
4) (l
r = - :3
oxy Derivando respecto
a x:
-
(1 -x)
-*
,
f.
+) t
22 d-v
¿yE'. = u
^dy A
2x ,{., 9Le dx
(1 - *)6 (1) 6xz -l2x+6 -6x3+ 12'x2'óx* 6x3 - 1 8x2+18x - 1 2 (1 - x)4 -6
=
(1 - x)' ^=
- 6(1 - x)-4
.r z
=- 3
| !1
-24(1 - x)-5= --] 4 --T -(t -x ) -, gyl = 2 (-1 )n n i 2 t -
rIV (*) 8.-
- Y-=
*+l
,
dZY _ -
*U
* n+ 1
& -dx4
r esPect o
a x
- > adyl =_Za -l
áw Yf,f =4a
:
(1)
z(2)
(..1F
-(F
i)
en (2):
zaL?) ú-tlxZ
z(z)(s)_t4)
-
(* + t )5
2(-1)n - (x+1)n+ drcn
e
vz
4aZ -_
y'
4aZ
v
Ve¡nos que va fornando una 1eY de formaci6n, 1o nos conduce a deci.r que: dnv
4a
,
U C IQN i Der ivando -
.3 d-y=-2(z)(3¿
;F-
¡--,
^ yt= 4ax -dx-v
soLU:roN: -'k = l:#r
v
)Z
l t - 'i :
[tr! = bl
*2* ION:
="*,fi = ^'o' ^ 2y2 A ,,¿
x : Derivando respecEo-a
.sa I
d*3
3b6x
-'--'í--7 4)
ay
zbzx+zrzyfr=s dv clx .
-a1
-
=
,z ou* a'y
)
(1 )
en
.....
(l )
.,...
.....,
que: iendo en cuenta , luego:
(2 ):
* +F+4::lw4 b2, = - 4 -bz ,^2 , ^2
^2
ytt
^ 2y 3
7 r", a "y
ff=
E _ú
'12.- ax? + 2 hxy * Or' - .f.
^4yS .2 ov t
'
dv +dx
;7
--
---+
=
dx'
(hx +by)
3
ax+hy hx+Dy
?
A¿- = ^2,, dxz
v
2* Y2- t- tt
(z)
*I
Y' (1) en Q)z
(?) z*Y|' z*zv -. 3.
Y3..
2x ( r ) = - Est {x - t - =- T Y
(1)
. (ax+h¡r) (t * b * (hx + by) 2 rel nsl$¡¡
(1)
x-
dx
h2- ab
= S + zuy* 0
Reernplazando (1) en estt
v
SustituYendo
SO LUCION:Derivando respecto a x: i^ **Zhy+2hx
2x -----= )
gr. * 3yZ
r- 2y = 'dx2
abr
¡h-:<+b;r )
dx2
2*
(1 ) en t3):
d3y = _ - ' ,0 1 , ,*,
h2-
-
dzy- =
LUCIOi{:
" i 't""¡""'(3|
*t? 'frl
Sustituyendo
"*z*2hx y +by z ='l
5*y3=
t
d-y = dx5
rLv
-( h-
*= St=+4 Reem p l a z a n d o
2'lft
(*3+ y 3 = 1 '
=-3 z'x v x
-*4*
z xzyz- ^ 4
, *
2. Z 4 -x
-r. x
Y
246
SOLUCION: ? ,4
Derivando respecto
4x" + 4y"x
* 4*2yff = o
reenplazando
(l ) en {2) :
a x:
-gr dx
.:-- 3-Í'1
¡fi
.i
'yt, =-
ION:
-'x y
ql
lf
= zy4 - *2 u 2 - u 4
- ffi.
y y,,
x=a.
SOLUCiON:
9
'
=
- 4 .ñ
lx = 4.
4 x¡ suues iYanente S O L UCI O I j : D e r i v a n d o r e s P e c t o ,2 x=4
,Para
y,r=,/x¿+n. ffi
a x:
, __ña -fi1srz ^7
rrf-
v
z*F; -& -
v"=F=' /*"*9
2/ xo+9
x-
+ 9
?
y' =# (ft| " {u*r"'"
,,parax = a
Zxr+27x v". =G6W
Yt=Q
a, gi *2 - 4y¿ -
¡
; paba x rI
,;
parax=4
Y"t t #
y,'r '7*[c"-lt"-.c.-'¡ É, t /"-J I L: ("x)s
,".á'[*;ri
, para x=3
9 = -z16
=/8.+,/zs = + yr '.
Derivando respecto
at,,
4(16)"t "
= *FÁ;
x2y3
En los problemas 15 a ZS, obtener los ra 1os valores dados de ias rrariabiés de y' r 15.-y
9 - -
4(25-3x)'''
L
¿*2
i para x = 3
ffi41t2
a
ur r= [r - ' - r ' - ( y .* *- 3),#l
dx '
2.17
5
x3
Y" t' #
x - 5t Y = 2'
SOLUCIOI{: derivando 2x-8YYlr$
respecto
a x3
248
=+;para*-5r
yl
Y= 2
=né=+
yl
14
x-)
. (3 -
DerivandoresPecEoax:
ION:
yr
y"
/-
19,-
-
- iet-frl
y,=
= # r r- f r = # -
Y,,
.?
rrtl
# t' Pa r a - x= S
lzsq
= 1 Para x
4(3 . *2)'(-t*)' 4(3 - l)3(-z)
= -g(3
- xz)3*
= -64 +8x2(5 - *')2,par"
- 1)5 + 48[5
-8[3
I,,=
T' -i-28 = -i7i-
-
x=r
;
x=1
'1)Z
= 128
I't
., . 4:' ., , yZ * J * 0i
x'
SOLUCION:
g
- *'
.r'l
y ' - - #I,, =,-(2x+v)
,,, = lt
*'*'
'
-
el valot
ftl*
(2x+y7'
5[x2*
+ Zyy, -$
o
.,r , =-
9r--l 14-.t)5
fi--E
a x:
p a r a x= 4
=1r
i
parax=4
1
de y,:
¡
I
v" = -{li-¡ttz=
= 3 x2+ 3 v2+ 1 2 xn , (Zx+y75----9 7
(2x+y1'
LI
x =z
-'mi; SOLUCION: Yf
3
1
v" 'v;|vn
'
y"t
,
y;=#
) par a x - 2; y = - 1.
v2)+ lz*r, . 3 (-3-4xy) +l 2xy (2x+Y¡ " (Zx+y¡2
paraxo2ry=-1
Derivando respecto
LUCION:
l1+2y') -lx+Zvl fZ+¡¡rt = -3-xv,_:_Il (Zx+y¡" (zx + y\z
Sustituyendo
x=4
* vÍT-T-Z-V;
-1 .
Derivando respecto ax
2x + 4)' + 4xyf Y,
x = 2t y =
Derivando: 2x
=
(x"+4) -'3-----aTl
para x - Z '
r1
t" Ñ f5
;i L
yt, , . f u =+ ,., -l z - x ? i ;Parax=Z '' ,,= 3[ 3L'r*'*d¡s/s1
x ( - "I.,- Y)
," =*f--rz.==l= -
i,=---:---=-
1 9 a.+'1-/sl-
(x
" Y)-
L¡t
/ = xr'sx
vt, = i:-JI+
x E 2"
'12
4 + v' : - - T l -=zl
y' = | i s * - z 7-1/z, (3) + / 5 x : 2 \'
/2 n' \ ' 1 '.-, =T - Z ,t4)
, Para xñ
¿
(3x
z 7 - 1/ z1
a -L
*f{:*
-.l. -----tPa r ax=2 '- ( r * - z1/zJ; t
y,, - s l- sx - +=, r = - L;$-qTfz | t ts Y" ' i.3 L*. ij 11 = it + 2 xY - l6;
SOLUCION:
3 -x y
z
.,-1/?
* Y3 =. 8;
. = -- -t é 7-sxz ' 3y"' ZxY
x = 2,
Y = 2.
= 2, ; para x
Y = Z
v' ==l; ff-=-2 ,Derivando nuevamente para encontrar
Derivando respecto
Sustituyendo a x: vll
a
yt y reempLazando x'2'
- m {ü - ( - 8) ( '20
Zyy' +zxy'+2y=A I
Y, '
16
y"
:
-Sxz)(6vy'-2y -lxi' ) (svz 'zxv)(zvÍ -ol)-:-!vz = ,,, (3y" -2*Y)"
x = 5, y - 2
v -x+-y
=
Y
L UCI O N :Der ivando r e s p e c t o a x : = sxZ yz ' Zxyy' * S Y Z Y ¡ 0
[3) +lT
Y' =i
24.Y-
para x = 3, \&
[x+yJ
-7;
!9!9cl-9I:
r,f
de yr:
el valor
stituyendo
)r t t , .
; Para'x.5
,
y = 2
- 15
240
Y - 2'
se tie
2i'ill
252
7
d-X eh cada uno de los ejercicios dx¿
Hallar zo.-
dv
ffi-
.2 clY
-
-6 OX
-Z r*
3 .;2*
.
)= raz--;z) = -q* i,tÍt'z* #ifr ( a t - x') "' z? ?x- Ja x = - '- . a {Tf
'-
xt
-
7^" -x')''
_2
f
.
- -r - - -^- - a x-+a-
- 4 xY = 16
SOLUCION:
4y - 4xY'=
TYY'
LUCIONz
Q
(1)
(2) : Reemplazando (1 ) en
(y - zx)W
y " =ffi
-________i_
28.-v-'y'Z-3x
, o r u .to *, .2
**
= -Q - 3x7- 2/s
+=-z(z-3x)-sls- - (2 d x-
-s x ¡
(v-2x)
\
=- 4u2- l6*v (v -2*)J
5/3 *3-3axy*y3=b3 sotucloN:
SOLUCION:
. ñ
.2v
+y - 4x rV-*t v= "
?
r-L -x Y'xYa $
' 2.l J
- t /' ( r * ) - ) G' - x ') - - ' ' ( z * ) /2 =_x( laz - *r ) - a - G2- * ')
SOTUCION:
'r'1 pt.-
_ *2(u2_*2)-Ll2 Z
53 y = ¡ -T
--t dx'
^ z _* ?
siguicn
* !@2- *t)-t 1.2. q-z:x1
3x2 '
v," #
Say '
a S 3'ddxy' * 3Y2Yt
.i .. . .. . ( 1)
I'
Y tt
zxl (-? ¿ r--' ), s u s t i rrrre ¡ ;{ayail
=
ax ) "
.
t( 'z ¡ = ¿ e s
Luego:
/yt
= - ? r p a ta
l,lln
Mtu=
2 (b J * a 3 i x v _-=;---+ (v " - a x )' *3
SegrmdoMetodo para Determh Mdxlrnosy lUh|mos
2irñ
¡ n á xi m o
u n va l o r
x=0
2 r p a r a r =- 2
3 x- t 4, 3 t[x- 1 = ¡
L l a r ¡ e n o s:
S O L U CI O N :
. 3 = J[x
f r ( x)
= ixZ
f '( x)
= 3( x r l ) tx
1l
+ l)(x
- l)
- l)
-n
cr íti co s
va l o r e s
I
Jx++
"
1)
f " [x ) = 6x NO T A : A p a rti r d e e s te c a p ítu l o s ol o resol veremos l os cl c? c ic i o s -y 1 o s p ro b l e m a s s e dej an aI l ector, porqu" ' .i i s olu c i ó n e s ¡u )¡ s l n i l a ¡ _ ¿ los resuel tos en ól ca¡rf t g I o V , d o n d e S e re s o l v i ó e n forma detal l ada.
-P ara:
-x = -l f , , ( _. 1) =
-Luego:
f ( - 1)
Calc ul a r l o s má x i mo s y rn ín i rn os de cada una de l as c iones s i g u i e n te s : '\, , 1. x' 1'3x' - 2 S O LU C ION : S e a : f(x ) , S xZ - z - x3
-P ara:
x = I
fun.
f?' [.] )
= Ó , es un m áxim o
=
:
+
= 2' -Luegol: f ( 11 "t
un rnlnimo M á :¡ =6
r Pa ta
M fn =2 r p a r a
fr (x ) - 3 x 2 + 6 x . , lgu al ando a cero: Sx (x + 2 ) ¿ O +
f"(x) -.Frra:
{:
= 6x + 6
x
6ax = óx (x, - a)
x - 0 fft (0 ).
+
Luggo: f C0). r .-'2 es < P ¡ra !
-¡
= ?x 3-s^tT*^3
= g¡ 2
fr(¡)
--Z
E
La > 0)
|xJ-3axL*a-
S OLU C ION:Sf : f ( x)
rQ
X
r fn
- -Z [-Z ) .-
Igual ando un
¡fnino
a
cer o : .
*
6x( x - a) = 0 f"t x)
= 12x '
x-01 x = aJ
óa
-P ara: x - 0
f" c0) ¡-
entonces; f ( 0)
'
45, e5 un nax1no
fvalores cr f t ico s
x
- P a ra :
=+
fttC x ) - E n to n c e s :
t
+.-
e s un valor paT? x =
Mfn=0
P S TA
X
= 1/Z - Para : x gt,(.t/ ?) =5 f (1/2) =6 , es un nr áxí ¡ no
nínimo
Máx=a
=
n d
M í n=
- zx5 sxz - zx3
= 72 +6x
f'(x)
4* A
6xZ
a cero:
-l2 + 6x - 6x2 = 0 f"(x) -Para:x=-l f"(-l)
-'l
{x- = |' x
->
= $
z
. son los val or€ crfti
t?x
= +
náx -22 J-*
f t(x)
e
a
cero:
Ig u a la ndo
J
+
3- 4 x- 4 x2=o
Para:
f"(x)e-Q,-8 x a -3/2
.
f't(-3/2)
r+
,*'
-4x
-
-
par a , par a
x ",'3/Z -\
-
. tl
ta -.
- 4x3 - 12x2+ z
12x2- 24x, igualando (
= -l x *f x = i \
= 0 1zx3- 12xz - 24x ') = 36x'- 24x -24 f"(x)
a cero
son los valores crfticos '
x = -l es un mfnimo
x = 0 ft'(0)
= = I
, es un náxino. Lue.go: f(0) Para: x = 2 f"(2) = + f(Z) = -30 , es un r,rínirno Entonces,
oát
Mfn = -3, Para x - -l = Q Máx=TrparaX z Mln =-30, Para x -
4xZ
x . _J/2| son los valores x - 1/2J x
= 1Zx3-
A
=JX
f(x)
I
P a ra i
3
f (x) .5x-
SOLUCION:
z.
*3'12x2+ Sea:
¡rr(-1) = + = -3, f(-1) tonces:
2
rpafaX=
f '(x)
ara:
= -$ , es un mf irimo. - Paraa x = 2 f"(2) =f (2) = 22, es un máxirnt¡. Iffn = - $ ,parax= f(-1)
S.- J x - ? x2 -
- 9/ 7,
M áx=5/ 6
f (x) =2+f?x
SOLUCION:
Igualando
= 0,
f(a )
Z +'12 x + 3 x2
! , i?
f( - s /2) = -g/2. es un nf'nino
= x
crftl cot
-4xZ
+4 f(x)
f!(x) x'0r
. 4 x3 - 8 x x-ft
= *4
-4x2+4
obtenenos: ; igualando a cero, y x ¡ -,/2 , son los va1'oPes críticos
'
2i¡t -
r -3 (2 veces) r que es el va.lor crftico. (x) = $¡ + 18 Para: x = '3
= lzx2 - I
f "(x) para: x
c$
f" (0)
¡tt (-3)
E-
/V )-,
(t
f
Máx - 4, pata x=0 lrlln
ax
* 0,
para
., 6(2x".-
X =t
3;-;z
(x'
^o)2=
f ,,(x)
-
- P ar a:
- Para:
;'igualando
(*2
a cerol
= tÍl
^ z - *2 = o +
Entonces,
*3*9*2
f ' t x)
a
= 28, es u;r maxlmo
f(2)
-13/4rParax= l"láx=28 , parax=
fr' (a )
=_
f (a )
= l /2,
es un máxirno
x =-a
*2(*
- ü2
SOLUCION:
Sea:
f' (x) =2x (x-4)
es un ¡ninimo.
+27xt9
I II + + 3 x2 l 8 x 2V a cero r'ígualando bbten€l I / n o r,
soLUcIqN: Si:
mlnino,
Mín=
Máx - 11 2 , p a ra x - a llín ''ll2r p a ra x = -a 9.-
= - 13/ 4 r 9s ull valor
¡*
f'r-(-a)=+ f(-a) - -l/2,
z
i
Luego: f( -1 l2) Para: x = 2 f" ( 2 )
za xl - -0 4 5 x l*"¿¡ 3 x=a
L*
¡,t 7_1/ Z) =. +
a
-+% -
* fx = - t/Z =
x-'1/2
-Para: 7? f '[ x ) = * l
1?x2rigualandoacero:
z) = $
3x '
'4x3
= 18 - 24x
f"(x)
f(x) =*7f7
Sea:
= 12 + 18x
ft(x)
=72xrgx?
f(x)
Llarnando:
f (x) = x3*g x Z + z z x + g
la
- 8x* [2x" Obtenenos: (x -4 )
f(x)
¡) = x"(x
-112 2
- 4)"
z * z x z 7x '4) rigualando a cero
z*l=s*
4x(x-4) (x-2)
*'= o l
= Q
x =71 son los Puntos crfticos x - 4J
a) (sx - 8) f , ' (x ) = 4 x 2 - 8x+(x4gy- + 32. - 12xZ
-
ES
73
/21 o 0, es un ¡nfnirno.
SOLUCION:
ntt
2x+ 9xo-4x
LUCION:
8.
[
¡ -3 la funci6n no tiene to indica que Para -x = o, éntonces = -3) . si f"[x) mó nl máximo (x inflexión. de Dunto
f (0) = 4, es un náxino * para: x = tLT fr'(t
=
'
26(',1
i. t¿.-
- Para: x o 0 f't(-0) = + Luego, f(0) = 16, es un mínino. - Para, x = 2: f"(2) =f(?).16, es un náximo Para x = 4: f"(4) = +
t(¡)
= Zx * xZ - *3,
f'(x)
ftt(¡)
'
= 9l
x =-1 I x=21 f"(x)
son los
+
yal ores
tf0 ,
=
2
i
2a'
x
-3
J
! a ( 2 ve ce sJ
.4 oa
- ---T x
=-
f"(!a)
= o' es un m áxim o ( 2 veces)
i (i- ; j
caja r ect angular de base 0ui ere const r uir una Calcular - eI volum eg drada, abier t o pot "lt iiút ' obt ener de 1200 cnt ! 'p"á¿á que caJa l a rnayor rnateri al . el ár ea to ta l ; I0N : D e la f igur a m ost r ada
a cero:
- z)(x
+ l)
.0
abier t o
crfticos.
= +
=[re s
un mínimo.
x = -l: frr(-1) =
f(-l) - Para x . 2:
-d
; es un n á x imo (1)
----1;-l umen de la caja es:
f" (2)
f(z ) ' T8 ¡ , e s Mfn . 0rparax. 0 Máx - Sl12¡ para x -1 Ifáx - 813 ' para x 2 l s . - . x Z ' '- ^ 4 I I
xo
x(x
,.4 *L&- =2x+
4 x
-^
+ 2x -,3x2 - 2
-Paraxo0 f"(0)
- Para
= Q
+ x - x2)
x(2
= ¡2
P ara:x=i a:
+ igualando
= lx
f ( x)
trgual ando a ce r o l r X= 2¡q + Za' =0
f (4J = 0,es un minirno. Por 1o tanto : mín = 16, para x = 0 máx=16,parax=2 mín= o'Parax=4 2 *T .j x4 x --T-
SO L.U C IOSNl : f(x )=* t* $
Sea:
:
un máxi¡no
,*2y tuyendo ( l ) en ( 2) :
23
*ztl-?%:b
= 3oox-+
, derlvando
dv
.i-..E
(LK
300 -3 xz , igualando a cero: 4
3 0 0 -f;*z=O De ri v a n d o
a 2v ¿* 2
J 7
cuancl o eI
- | xÉ !20
construir
x , ahora como el volumen debe ser rnfxl entonces.
t er r eno
del
sea dos vecr : s
una artes1,1"
t"u
larga
cl
aI - : z( i: l
Pieze
dos bor des i r a =1:^1os dangutarde i 'oi i i " i ál lróúi j"" r r r i ha ¿ " * " n" i l - q" é a s ec c i ón tt1l tY:t:?t cni :o ¿" i;';i;;.--ui .iq par a que :.::;:1i,1"'T"'Jili"lil; ar tes a ¡ 111u11 1i ,,1i uál clcb es er r a o;;¡ tantidad de agua? ouiere
n u e v a me n te :
lar go
nduzca 1a maYor CION:
9 cn.
.l &\,'
¿*2
, parg que ocurra e1lo x debe tonar ¡rosi tivo "
x=20 Reernplazandcr(J) en (l ) : ,y=1200-400 - l0 -+ y = l0 80 Finalmente (3) y (4) en (Z):
el vl
(3)
...,.(4)
16.-
cc
LU C I0N :
debe t ener el r ect ángulo. y 74 cm de alt o'
1, "1 7 m de ancho
kC. ¿Cuá1 es ,el Pu::--^'l:: s61ida Pesa p na 'r"éto - esfera que Puede cortarse oe circular áuot .ilindro a'esfera? CION:
*nt
V = 400 (10) = 4000 V = 4000 cm3 15.-
luz'
d ¡náxi na
{5
Se desea construir un cuadradarabierto por ciclad. Si"el costó de sos por n.. y e1 del iCuáies de6en ser las sea mÍnimo? SOLUCION: Un cubo de 5 n de lad.o. Un praCo rectangular tle un jardín ha de tener 72 d-e área. Debe ródearsé-d;-'"i-;;seo de un metro de cho en 1os tados y z m áé ;;.ñ; en las extrenida Si el área toral,áel prado y paseo ¿Cuáles son las dinenliones'del-det prado? "; ;i;;;.. SOLUCION: | 2 me t ro s
p o r 6 me t ro s
17"- Sc desea cercar-un terreno rectangular de área dadt uno de cuyos lados coinciáe con La orilla de un rfo Si no se necesita cerca del lado á"i-ii"l¿enuéstrc. 'se se que necesitará 1á ñi"ir.-c""iiaiá"á! materi¡.
circular recto " - " - c o r ¡l ao a l t u r a c o r r e s I la d o ( a l t u r a o b l i c u a ) 4 C 1 1 t : 1 3 t s una constante á;e;-"" máximo' á " á lá " ié- á 1 c o n o d e v o l u m e n SOLUCION:
d
t:r t5
coronado la forma 9".tn cilindro DeUna aceitera tiene diánetro' del igual .a.z/t de un cono con ;i;";; 1a necesita se dada' ncstrar q.r" p",i^;;-";;;¿idad der cilinaÍtura ta :i mfnirna c an'uidad a!"*"i"i'itl
liil';;
iÁüar a ra
aLtura del cono'
el punto l - ( 9:9) ." " - " 1 para:¿ ?' 1os puntos de 1a
ábol ay L=Bx - y Dada la par t*i;;-looi¿ena¿hs-áe^ cal cu1 ar bola más cercanos a P. 4)
(2, r SOLUCI.ON: y is6sceles-dado mide 20 cn La base de u n t r t i á n g u l o 1 l : ..- *it""ntiones su altura m i d e 8 r c n . ¿ u " " i é t - i i " ito con un-ángulo- arc del naYor n a r a l e [ o g r a m o r n i á ru"t" deL uiángulo? iá tag4/8, Y ';;;;"j-i;áo qn ut cn 5 110 Por ' SOLUCION:
.t{i ;i
25. - U n ¡n i n e ro d e s e a .a b ri r un túnel desde un punto A l ral r ta u n p u n to B s i tu a d o g0 ¡n ¡nás baJo que A y 240 nr l t E s te d e é 1 . D e b a i o d e l ni vel áe A -es.roca; arri br¡ d€ e s re n i v e l e s ti é rra b l andi . si er.osi ;-á" -i ;^;;;,,., ' tru c c i d n dul SO pei oi -po, ," tro l i neal Fñ ti e rra , y 7 g p e:Íls:1 o s,"e, n ro cal háfl Lse el costo del tfl , nel SO LUCI O N: I 2 960 pesos.
do paso.
)^
36 x2 .'. x
z /3
f!'(x)
r paso.
¡,,^hJ^
u u é ¡t u v LU4¡rgV
Lt
¿
-0 y x = 0 son l"as
;a i cr ) s
36 x [x - 7/3) f"(x) = + x < 0. >x>0 f"(x) = -
16. " S e g ú n u n a o rd e n a n z a , e l área del papel de un cartd¡ n o d e b e s e r ma y o r d é z ,zs;2.-i u de¡ea_que l as márge n e s s e a n d e l S c n .a rri b a y abaj o y de l d-.r-u" r" -,l o re c h a y a L a i z q u i e rá á .- aQuá' üí^" nsi ones J ua¡d¡t darán rd l a nrl xin a área in p r e sa ? SOL U C ION : 7'l
1 ,8 3 7 m por 1,225 m
U n a c o rri e n te e l é c tri c a fl uye por una bobi na d e r ü . c rl .o r y e j e rc e u n a fu e r za ¡' soti e trn puqu" n" i m á n . l i l e j e d e l i má n e s tá e n u na ffná" -i ue* pur" po. e 1 c e n , tro d e l a b o b i n a v p e rpendi cul ai de é s t a . l , e , fu e rz a v i e n e d a d a ' p ó r i " fO.^uI" ,* -al ' p1ano
' -47;\in D- X
; s i e n do x l a di stanci a
desde el c e t t tro d e l a b o b i n a h a sta el i ¡nán. D e¡nos trar que F cg - /2 r. máxi¡¡a ptrd x = 1
lg{oo l. -
Hallar los .concavidad y - J x4 - 4
sotucloN:\ pri¡nerpaio.
de hflextén
u:;tr,g:,itil:::ot,;1, de "un,ido
so 1a cur va es c6¡ r cava llacia ar r i-it a a ia i; r . ; u ier ) Y cóncava necla ; icai r i áe x= 0 ( A cn I a f igur a a derec ha de ese Punt o.
f " (x) = Cuando 0 < x < 2/3, =+' f" ( x) Cuando x > 2/3. go 1a curva es cóncava hacia a b :r j o a 1 a i .zq u ícr de . ) y cdncava hacia x = + (B en la figura ba a la"dereclra de ese Punto ta¡rto, 1os Puntos A(0 ,1 ) Y B ( Z/ 3, 11 / 27 ) scn puL Evidentemente I a cur va es cóncava de inftexión. v cí ncava A(0,1 entre ia abajo ) Y B(Z/ , 11/ 27) , a la í z ia arriba en todos sus Punto S sit uados D de derecha y la a erda de A lar
los
avi dad
punt os de inf lexión (y áe la cur va:
f(x ).J x 4 -4xJ* ¡ f" (x )
- 56 x2 - 24 x.
r paso.
s \l*' + ' ¡ -z/
=
'$c*
- ü's/3
y eI senr - ido 2) r = ( x - 4) .
de
zr;(i
Segundo paso, Cuando x = 4, tanto 1a prinera rl da como la segunda se vuel ven,. i l ¡f tas. Tercer paso. ? =+ Cuando x < 4 ! ' \ dx,) dv ()u"ndo x < 4 ,2 OX
x = 0 [es 1a tafz) f" (x) Cuando: x < 0, f"(x) x > 0,
un Punt o de inf 1e 1a tanto, e1 Puntc ( 0 , 0. ) es hacia ar r iba Par a óón. ava ; en consecuencla "i
-L
_?
Lltego, concluir que 1a tangente en (4,.11 -podenosa1 eje rerpendicular de fas x; que-a la i zqui cl d (.1,2)_ la curva es cóncava hacia'arriba, y que 11
ie recha de ( 4r 2) es un punt o \4,¿)
J.
es c ónc av a hacia de inr r eii6 n - ¡ 4
d. hu...Ji Á U'
P or
---1
--
1
zx3
L
3x2 - 36x + ?5 f (x) = 2*3 ^= 6x¿ - 6x - 36 f'(x) f,,(xj = 12x - 6 = 6(2x - 1),
e s p o s i ti v o ,
dx2 la curva es cóncava hacia arriba para todos los
puntoS
I
-2x-x2
S CI , UCi I]i :
ando :
j {=-z -2x
jl 6(2x x < 1/2,
,z
es negativo,
haciadx"
abalo para todos ros puntos.
f"(x)
f"(x)
1v
-24x2-*4 CION:
Llarnenos: f (x) ft(x)
--g:v *f
f'(x)
=t
entonces la curva es c6nca
y'x3 SOLUCIOJ:, r
a cg
abajo Para \z eso Ia cul ' V a es c6ncava hacia sitr:a'Jos Puirtos átiiu" ñ;;I;' Pata" y c6ncava i érda = 1/2 l a derecha de x
dx o
Como $
igualando ro'
= o + * =|' =f"(x)
x > 1/2,
oY r=-'z
5.-
-3x2- 36x+25
ION :
Cono dZy
y= 5
f [x) = x'^ f '(x) = 4xr ? f" ( x) = \ 2+- " ; igual¿ndo a cero obtenerlcs; = U L ¿ veccs l X = + f"(x) X < 0, : = * f"(x) x > 0, Y además corno: '. no haY Punto de inflexi6n, hacia arriba' éoh"va ) > 0 en'ronces i; ;;;;;-ái Sea:
CI0N:
Év
dxo
. l .-
n
Ll ¡n
y=x
cer o '
del
derecha
I = x'' SOLUC ION : dv = /\ ox q,2 Y
=+
f'r(x)
.
- SxZ * 2 - u* ; igualando a cero,
obtenemos:
x=
-Z
y
xoZ
= 24xz - *4
= 48x - 4xS = 48 - T2x2rigualando a cero'
2( ; f )
P a: ' a; x < - 2r ft' (x )= ' 2< x < 2 ,
ft' (x )= +
Luego a 1 a i z q u i e rd a d e 1 p u n to (-2r80) 1a cu¡vé c av a h. ac ia a b a j o y a 1 a d e re c i r a cóncava i raci ;r af = + P ar a: -2 < x < 2 , f" (x ) = x > 2 , f" (x ) q u e 1 a c u rva es c6ncar¡a l r,rr I diciendo Conc lulm os r r iba par a p u n to s a 1 a i z q u i e rda del punto (Z,tl {l c dnc av a h a c i a a b a j o p a ra p u n to a 1a derecha tl t: g
e.-y =* . + Sea: f (x) f '(x)
S O LUCI O N:
f t'(x) I
=
z 3-
\^ ,,
Para:
=x < 0 , f"(x) x > 0 , f"(x) =+ Luego para puntos a 1a iz q u i e r da dex= 0, l act¡ cóncava hacia abajo y 1a d e re c ha concava haci a a 10.-y=¡'+;
CAPITULOVII
x -1 x--)
0, entonces x = 0
Haciendo¡¡ir= r
x+ 1
bgnvActoN DE FUNcIoNES Y EXPONENCNLE 'OOAN]TMICA Derivar
c a d a un a d e l a s
Sea: ft(x)
f"(x)
a I
*L *t
- *2 * *-l = 2x - x -?,
f (x)
S.LUCI.N' , = **
1 f ¿ ' l#c* . ul1 =-.+
x < -1 x ) -l
soLUCIoN: ¡1r = -+-dx
ax¿+b
oil [*C"*t. Lo^ J
" 7;2ax
xJ
ft'(x) =, ftt(x) E+ , Luego la curva es c6ncava hacia abajo para puntot la izquierda de x=-1 y cdncava hacia arriba para tos a"la derecha de 6ste, Cuando:
t
-.#
y j l n ( a x z +b )
* 2 (x3 1 1 ) ; igualando a cero.
x = -1
fu n ci o n e s'
y =É n ( a x +b )
)1
SOLUCION:
si g u i e n te s
y = ln
(ax + b) z Y = z 1n( ax+b)
S OLU C I0N :
-1
.-i6-Ldc** b)l a
dv dx
f,7
2a
E;6-n I-¡nax S OLU C ION : 4 J -
dx
t "*tr
[-g Lox
(o")l
'J'.'¡|
n-1 _ _anx -nx axn =- n x 5.
y = 1n x3 SOLUC ION:
I - x2* x2.
---.-r x(1
y=3lnx dv3 dxx
"
f r-U L
-( '1) + x;' )
,:r-t)]
q u i : d ,r ,rinprif icando
Z + x")
r- --:--1',
y='ln/9-Zx-
A
6.
Y = 1rr3 *=[ SOLUC I ON:
SOLUCION:
(1n x)"J
4v dx
=J
l .r2 *.9ox (1nx)
_3
rn zx
X
.,
y ='ln(2x3
+4)
-3xZ
1 = 7:===f ,/g -2x' =--2
4Y dx
,/ g -zx"
lro 2 '_-
zxz)-1/2.l-4x),
SOLUCION: ét dx
= u{t-u}
=
- 3x'+ 4
6xlx
---=*.----.:4
1r
} x r - 3 x¿+ 4
dy_lose
e - -X-' x
dv
1
C¡'x
x-
F
d ,---¿1 ', dx .l **2 '
_-1/ú ^ - ,L\2 . ¡ rt *^ + x., J
o^
loe e x
a+x
=*r*#
J
2a+ 3x ------!'
2x [a+x.¡
f(x)=xlnx. SOLUCION:
:- r
z/
ax/l*i.L
d* tir
xo
1
3 rr" lr;;-) dx
fzaC a* x)'-¡¡l
drl..'
- 4 toe e. q-\1 --¿ )¡ - ln --:---: 1+xo SOLUCION:
u*/lG lay'a + x
r--1 axy'a+xL
=
9. -
r educiencio:
i
- 1)
')
SOLUCION:
-*-;I
2x
y = 1n @x {-T-T-}.)
y = rogT
(/ g - 2x,)
9 -2x-
SOLUC ION:
2x'
a;
f
-l
(x) = l n x * x d ( r n x ) ='l n 1 ,
f ( x ) - 1 n ( x * ¡ r 1 Vl
+Áo
x
lnx
+
1
272 SO LUCI O N:
I
- . , ,LxJ =;m
' a ;d- (x + t / I + x -)
''
--1
= ;;7h, ,[l
Tx +V l+x'
re nx
t¿¡)l [, . +,' * *2)-122. x
-+-
I
x + y'l tx
-
r-7' ,/ I+*'
r2
Y I +x
* 10M
14 .-
=
1 * x"
s = . Q , n- , , t \{a
+"bc^.
) r r r afa\l \f. LU U IVT I
SoLUcIoN: ds-
1
b 2
,t.; l L=
¡
e
dx
[¿/F-¡til
r a - bt
ra_E
la-t\ir-:-6ii i =-
z x e
-dr dx
)A
LV
=-.T-
' =g
f ' (x )
* tnxZ.(2x) + ¡2
-+
(-x)
2 x
r;r
YL
LUCION:
=GrEt+G-rü "z--t?
ctx
x e
=
S OL U C ION :I
(t ¡--Lt ) f:;-L^ u^
. 1 L
(a+bt)-L / 2+/r;+bl . I f "-o.l
f (* ) - x ? l n x 2
Lra
x
¿xe
LUCION:
ls . -
= n10*'
¡ t O H)
.
¡ r ln1 0
Ég
bt
-
l n 1 0 . ¿ $ t' u l
4dxI= r o ü
LU C ION :
=-=:! /
¿ (.nx) dx
nx
A ^,
UCION:
yELA
4é.=o dt
I =-1.
u
'u T e
yL
e) x
: ud'zl --
2 x(1+ tnx2¡ - 2x (1 + 2 l nx)
r
-Vt/f
-
2x Lttx2+ 2x
(/E)
bor
zazY,
e
YL
zli
rnb .fi tzv't 1nb.
osg
* r?* €t - *t
( "t)
lt t l C
= g+
J-v
s
'I
ou
v =:-u
23.-
SOLUCION:
J1'
clu
,ra ${ "")- "uf
uo
'= 4
(u -
.l)
xrf; trnx) - tnx.¡$ C*l
dx
x *.1x
(*2"*)
SOLUCION;
lnx
l-lnx
.l
gr = -=1-. r*2."*) dx dx -{ \' *2"*
dx
(ex+l)\t7 u*- {exrl ) -- w-(e
Gr;¡q-
a
r { (e x-l ) - ( exü
ex
-
--\
#(*l
I )
., I =
;[u""+. " L
-"/"]
SOLUCiON:
#
( ex+l)
(ex + l¡2
E.zex
- * 1" 1
zx*
-2x +¿ee,r-(' ^ x -x' +e
ex+l
(e x+l).#
-x)
^x - o-x -ex*"-*
S O L U C ION :
*
u$ t"-"1
*2
x
---.-.---=A
Q
x
F
*7
J #r*r-" *:+l á. u/ dx ¿ L
2 la t-
y = €- l
'
/
'
.. x - YZ- X e
-a,
l- " la a [e '+e
Z
*2
26,
-e
LUCION: J -ur
Zxe
x\=xe-x
uo
y = -r--
y = ln
=
lx ..t; á\-
t* 'l
$L= e- x *
.d xt- s
t u)
ln x
SO LUCION:
25.
K
I!.I.9N:
u = -!,u t --"t
24.
= xe
+s¡
ses:es(l
, g * = (e x + l -e x + l)
5
= -----tL
SOLUCION:
.- "l t
u-2\_ zexe
,X -X
4e
.e
(e*+ e-x)'
4r dx
. 2 # ( r n t 2 )- r n t z - ¿f tt¿ )
Js
G= €
2-4 1nt
;r-
dv
- *
su c({t¡l, reenplazairdo Y Por valente "
= xx (1nx + 1)
t'f
/7;n*
:
S UG E ST ION : S O LU CION : = ln
G;-.jl
--?-
(xz + 1)
= z rn ¡,fj-.i
,)
=1n(
xi
natural
Tomando logaritmo bros.
lny
= 1n (x"^)
lny
= ñ,7 lnx
-t
gY =
e=ln
1
dy = y (1nx + 1)
f (x) = 1n {"\;
f(x)
+
ai Av
31.
= t1¡q
i
;
tornando 1a derivada:
.dtnx
'7-
-
t/r
rI dy - ., 1r '* * r n* l - /
É
l-x
tJ? l L{x)
L'
- *7
Derivando: ", = #y' x'+l -x
f'(x)
') CN:
Tom ando logar it m o
1ns=tlntTJ
naLur al
,4.
*.* ='"e .;.,*€ t
s2 .-
y=x
{dt i =,
x
SOLUCION: Tomando logaritno bros: .
"
ln)r * lrx4 ln)t o xlnx
;
natural
derivando:
a ambos rni
a ambos miern-
t'?l a -\l1 l r r ,c*l - á\7)) L ' f
t) *i - t t l ' . ( r n f -
27tl J5.
,._x/3Tra r ' 2 x + [.
nnb =-Í-x a+DX
1dy y'dx
SO LUCIOry:Tr'rmando logaritm o natural : ln y = Inx * f in (3x + ¿1-l l n(2x + tr)
1., uy
1
9= *t
,t
dy_l=
y ' ai
,{,,
=
OX
,.t., (.1,\
I
l 3Fá -zx-iT-
F' Y
ll
t+l
s * -t
É + _-_---i. - X ¡ JX /2x+b
A
f,
t'
L*
L"
-l
bx)
;reemprazando
J
equl va]-ence:
.*-*h]
36.- v S O LUCI O N : P ro c e d e rn o s d e ma n era ma a n te ri o r,
s i¡nilar
't
dv dx
't
gyvr = Y t-: - '+ d;' x 4+x' " g= dx 37.-
y o xt(a
4+x2 r x x 4-x2 ';;r
_t1
lny=lnx"+ln(a+bx)n
---Íxo +Z
, para-x
-A
tendrenos:
*T
* x
4-x-
y '=Ex - 3); Y ', 1og(4 ION: SOLUC
x ,-
4-X
y, = ffit
. (4), parax = Z
v' = \l f
c*i =*tot
2J
_ _l x r -r_ _-____-;iJ
x
x = 2
Derivando:
/
4-x'
r Yt
+ bx)n
SOLUC ION: -
.2x=
¿" 9Y p"r" Cx
= 8 vr = -1. tó ' 16+2
que e1 pro
t u^,o-*2).-
.cnx -
x1 4*x-
mul b. arsrJ r
a
I
-
m
e1 valor n los Problenas 38 a 47 hallar 1 valor dado de x. = 4 y = tn(xz + 7); x Der ivando respecto A X: SOLUCI QN.: y' '
= l,nv -¿ * 9.n (4 **2)
mbI a+E-xJ
dx
I
[¡t
ñ
clx
:I=x
= 0'3474
lnlx+3;
x=ó
e = 0.8(0-4343)
S 0LUCr iJ l i ;
D e ri y a n d o
re s p e c tü
Y' = ln6-iF.
a x:
-, t' )
I
e
. t-
'-(x+l).u*/2
e
xl2
,x*l \- 2-
(x+t) -
.+f-f_\
_ r)
/x +3 \ Z/x"s ) valuandoParax=1 y'=
X
tn 4_IJ'+-
2(x + 3)
; par.a x = r)
. 1/2 (1-1) -+ '
+
Y'
T
y'=
1n3.
1.098ó + 0.j33S
+=
4l--
v
-J
=
qtll
uv!vv^v¡ t
vo
,rf y'
. r
y, = y' y'= y'
-/ 42.- v _ In x,\
Derivando:
LU C IO]II:
x = 1/Z
;
f r1-r^\r
x =5
=togEG;
Y' = 1.4319
" -2 x
= "-
"-1. = Q
.y, ., = -
(l-l)
los e f - fr f 21ose o
= -
Derivando re s p e c to
a x:
O^t
L- ¿ITI.) {
;
;
?. - 2(1 .5863) = -]3--
Para
x '. ,i
l nno
,2 43.-
Pa r a
?.JOg,
yt
7- f fi
yt
= -0. 1 7 3 7
. y = l u^/l
;
x =. 5, obtenernos:
S OLU C ION :
v'
-0.0483
=--- 0.8686
x =4 d e ri v a n d o r e s P e c t o a x: I
Y'=
, 1 o ' ^. 1 ñ 1 0 . ( ñ )
=
.^ E
ffiln
x v = € 'x+-l
-;
Gú
25-4x
;x=4
/
'1/2
I
yt
Z .., _ - - T 6 - Z Ln4
(25-ax)
L -\Z/
f fi
?
SOLUC ION:
.a¡-:-¡; \ .a;--d-( \ v ¿ ) - " n /
/2 57
* *" -2 1 Gz)
2x (1 -2x) i para ¡ = 1/Z robterrr,tr
e
loq
= -
x = |
SOLUCION.: Derivando como un cociente:
evaluando Para x
y' = +
,n2
ln
Y' - 57'5646
4, s e tiene:
1 0 € 2 S lnl 0
to
282
1x
46.
Y= Q
;
SOL U C ION :
165'6
Y'= P r i m e ra rn e n te to me ¡n o s l ogari trnos
l n y = x rn ($ ) ldv
v a i=
l n rl ' x -i
.3 .X Y, -- \i/
. J- - l - 0 4 ¡ .s [l - * 4 . a l ' sl z l _ 4 zs 8 J
4 t r y1 . Lfs4 T' u y'. 6==f
x=3
a ambos ni embr(r:,
HaLLar dZY
, deri vando:
c lx-
¡\ * ¡2 l3 \ * 2 -/
L..f*l
-1]
Para cacla una de las
I' =
cx'
ln
A\"
S OLU CION :
; evaluando par
r
X-
A 2,,
+=
1
---j' xu
dx' f
= é'r3 \3 /
. frn t- t] = - ' l
ax
= -'f 47.-
Y
I
=: =- - : Il dxcxx
vdx
SOLUCION:
; x=4
=
a2. _ sy
(a) "u* =^2"*
d x-
SOLUC ION: Procediendo de manera sinilar rior:
tn y =:rn -x.*|
que el problema anr e
I=xInx' SOLUCION:
),, CIX
tn ( *2*9) .- lr "( 20- 3x)
7t ctx
=-
1
x
'*2 y=e dv dx
SOLUCION:
Y,
+1
.,
A L,. s/
f t'=** *.zok
lnx
evaluando para x = 4.
,2
ov --tdx'
+=
4
2ex
z*"*2 4*2 .*2
siguient es
f uncio¡, rq
z .* 2 [r * zxzf
F=
= rn --*T-
y
S ea:
x-a
52.-y=rnffi
-*r)-1/ z. l-2x)- E --=| l*t zr^z
SOLUCION: dv c tx .
-aE-.
dv dx clv
') dx-
x+a x -
tl
E-a
17)
r'a -x a
')
(x+ a)
Ld
; d e ri vando
7:J
nuevanente:
-za (*2 -^ 2)-' (r* ) 4ax --'---a-T (x'- a -) -
x 53.-
V
2
=--
,z
x
xta
, x ^x gy_e SOL UCION: _¿e dx *2 *3
z,
-x )
_ 1nr'a- - xl
# =45 5. S
#'"*.t*:,.ft] Derivar
cada una de las
siguientes
-x
funciones: y' s
'É
s4 .
a
')
ao -x-
^,F7
)
1
- xt - ( ao- x') ln{a- 'x-
a- -x -
r
/)
?
Y'=.¿LW1
a;
-t
loge
-
2( x+a) ix''- a")
ll
=#--T-*--T-
I ^ ' - " ' *2 **I
ñr
LUCION:
Llam ando
:
d/
r
.-,
l+ *'
S OL U C ION :
Sea:
/ 2t +3
\
v6;;T
I I
I
'/
I
1la
l/zt+3-t/2 ----------, |
()\l . r-Li
i \-rl t "l
+
L
I
J
l-s:rd
/ 2t - +3
v'
f-
\
.,f t't
t-
y'.=- - -/z { -L" s
y =
Y =
ftr.*t)lzt"s )
t +3 y t = ¡pfT3f e
'R
r:
Inl /x.
SOLUCION: I =e
,G1
+a
v, - fF. { xo*a"
los
"@l
Lr,o"'j.R.,G.|
vr=4-+ ,¿x
.,f
y'-
2(x+¿¡(*"*JT ['rt- 2 a x - * t - " t ]
Y
1
' Z
/X
r
l ,o q "
Si
e
/Í--
-1 /' )
.
l nl i x
+ 1nv5f.
f*)-ttL
rl,_i
or / x
l-
; r'x
e-
'ñ
- -7|f'.-' "G
=
I n l /X
2/7.
it
+'&
t"d
10t 1og.t. SOLUCION:
Haciendo
:
y=10t
logt
1, l- - \ - 1/ 21 \- ' ' '
z
I
'¿H$
logt .
+ 10' . I loeel Itl
-i
L to '.l nl0J
¡ ambo:
t o n a r r d o tn
_/
l ny./l_/ = /x,/In /x
1ot
Y, = | -v-
(rogr) +*-j -
["to
r v *v . y ' " r ' ( i )
+1og ."6.
tot ¡tni o(togt)
\
\a /
_-,/
I
I
. v, =
t
f
tz l . /V
r
| t 7 t t * \_t I |-
, t nr |; ¿
2/x
("")'o SOLUCION:
.,r t
nxd €-' , c¡x
t'
("*) *.t*
-
# ("*) y'
Y' = *t*.
a t* .
(n)
1na
Yt = n(ae 61 .-
/^\/^ ra '
¡fT-r
l -rn/--. rl
\a/
/t
ortvadas de Funcloneq 'l TrlgonoméHcas
)* [rn" * r l
J,,
S OLUCI O N:
Si:
if
t = 2s. ,2
Derivando respecto
a s:
r
.l
LJ
Gs)
t'
= 28 (2s) +
t'
= 2s¡"21rrz + 2sl = s2s[s 1n2 +2]
=2
y - qlT=n
. (2" . ln2)
S OLUCI O N:
ax cos ax
2
# = ,u.' 'r["=-]
r* rfi \5'l SOLUCION:
= cos ax?d (ax z,J AF
lv = ¿x"l
t, * zs#(sz) *,r# "2
fu n ci o n e s:
D eri var las si g u i e n te s 2 y= senax
z s sZ SO LUCION:
F
[,* ''^'i '.É]
l¡)n
.nxnx
t rn* * ,,.] LJ
= (ae)
I
fa.e
i
y,
*""2gl Llamando:
\a '
nx
y=(u")u-*M
Si:
aAr ' x
,
)* -'(* -
3 Y B co sx'
¡ I
,""2 G 2r'l -x
# tt - x¡r/z -L/2 r| cr-*> ¡D )
SOLUCION: Esra funcidn
puede escribirse
en ll¡ f
f iI/.
y =. (cos x) 3 l.r
1
.r
= 3(co s x )' ¿ }
#
(c o s x )
y = sec 4x.
fv = cos x y n = 3 " J = 3 co s 2 x (-s e n x ¡ = -isen * 4. -
" o r2
y = sen ,rx s"nn x.
5sni
xictx
x)
sec 4x t ag4x
IIl .. T l l \l
.
^
= *[-coscbo.cotbo.#
v ^l
=- ab
t
+ senn x cos nx
-1
(be)J
-á.
f s l
nx y v = s e n n x ] (sen
;*
" l n -t
r ag4x . 7$ C a* l
P = acscb0 'C nr
r LusSen
= sec4x.
y'
Yr =4
*
d-sP!_{!l-oN.:_$;. = sen *x (t " rx )" + ai
= s en n x . n (s e n
S0LUCI0N:
r/l
cosccb0 . cct b0
') sen x
,"r,*.;$ (senx)
i Y' SOLUCI0N
senx. cosx
-
=
s.-
y = sen o.=
-soLUc.I^oN: 6.-y*3cosZx. OLUCION: ,r.-
s = tg J t SOLUCION:
¡l
¡'l
sen nx.s"r,t-l * ao, x + n senn* co¡ ,."nn'1 x(s en nx cosx + cos nx sen r
t ,urrt-t
u . ZctB *.
1la
S0LUCIONs.:| =+ (cosZt)- " ". ( -sen2t) (2)
+ l)x.
*:en(n
sen2t
= -
s'
/cosZt
y, = cos u* ¡f; {"*)
p=ltg30
Y'=acosax
SOLUCION:
T,r'1 y, - 3 L sen2x ¿f( zx) l
.) rs, = sec- 3t
s' = 3
) sec"3d
r-
/ tag"39 ¿ .d (5t)
4 y'secx -
soLUCIoN:
"""2 :/.
( t a g 3 e) - 2 / 3 . ( s e c 2 s e )( s )
p'=*
v^-
)¡r. = -6sen 2x
,d r
8 .-
s = llñll.
y'
= -+
(secx)-3/2.(secx
3a
.
2 secx tasx "-
secxy'secx
Ztagx /secx
tagx)
yt
ION: y=xcos
Y, = c os x + x ( : s e n x )
f(t-r,¡ = ¿ rg S O L UlC Q N:
-e
0c os b
,
cos x.
solucIÓu:
y'
::
SO LUCI O N:
r' =;J:-_
= - e -t (cos2t
,,,1 /x
1
t.a9 7
* 2e " (-senZtl + Zsen2t)
f ¿ x ,1..i Ls ec z W J
crx
-$(s".,u*)
I -senx, l +s e n x
=
yt
Y ,-
=
( co sx) +- r +'"""
= acot¿rx
y = Ln/co7i
Y" e
)
coszt
s enZx + zcosx.cos2x
a c os ax s enax
v'
21 .
+ bcosbx)
r' 1 = cosx * senZx(-senx) l c o s2x(2)l
Y- lns en
SO LUCI O N:
C OS D X
2x 1 x sec Z Y' =-7'cotZ
s en¿Lx
20.
bC
- seno
= -t" " .
I
= - e -t
a un coc ienre.
ú
Y= s e n 2 x
. ax
t sj i
S OLU CION : der i v a d a
ea* ( a senbx
SI ^l
sen 0 P = o-
,=
19.
I + ¡¡g29= 5s vr.-¿ = l n
S O L U C ION : Apl ic ando
18:
recordancio:
,
+
cosZt
S OLU C ION:
f ' (0 ) = ," .2 0 -l f ' (0 ) = ta g 2{ j 17. -
t s = e
= c oSx - x s e n x
y' 16 .
(4::
X.
S O L U C ION :
= ae\,{enbx
,l
ffi s en2x --=c o s zx
f]=enx
l=-
Y I +S e n X
;ffi( - se n zx) ( ? ) ¿
-E as ¿x
li:'seffi r-
V i + senx
cosx 2(1- s enx)
t
sen bx.
cosx
l -senx+1 +senx /l -t.n¿*
+' r/re*x 1-senx
1
J
I I I
)I
l
294 ¿¿- f (0)=sen(0+a)cos(0-a) S O LU CIO N : . [-sen(0
-a)]
f ' (i l )
= c o s (0 -a )c o s (0 + a)+ sen(g* u)
f '(o)
= c o s (0 + a ) . c o s (0 -a) -sen (0+ a)sen (0 -a)
f '(0)
= c o s (0 + a + g -a )
f '(0)
= cos 20
'llli't
- a'
-.x y = (coSXJ
S OLU C i ON: Pr ocecienbs cle m aner a Plo ant cr r or : l nv
= x
I
rlr¡
+/. f #
= cos (20 )
*'-
.$
sinlilar
que el
e j ct t t '
I ncosx
= tn co sx"*t;. X
( - se n x)
= (cosx)x. [tn.or*
- xtagxl
1
= sen-(n-x)
25-i(x)
.SOr,L;CIOÑ::
2?-
.cos (¡-x)
f '(x)
2 s e n(n-x)
f '(x)
-2 s en(n-.x)cos
p = 1/3 tgSO-tg0+0
(n-x)
.,(-1 )
lar la segunda der ivada funciones: sen kx.
dy = lccoskx c.x
SOLUCION:
i'1
SOLUCION: Derivando resPecto a 0' : p'
=
]
'^gzo' '"t2u
-'""28t1
p'= sec2e (tag2o -1 )*1
d'2y = -kzsenkx dx2 p = 1/4cos20 I ON: SOLUC
-cos20 dgo
L¡ =
s enx
ION: SOLUC
#
senze
.2
P' = tag49
¿8- y=x
# = -f
(1+tag2g ) (atg2o - 1 ) *l =tog40 -1*'t
p'=
de cada una de 1 as s i-guien
Tomando logaritrnos:
tgv.
= ," .2u 4t clV
JOLUCION:
1ny = senx lr¡x
-
ldvr+ ydx
, cosx -Inx
senx + -:i-
d2, = Zsecv. [sucv. tagv] dvZ zsec2v. tagv
dy dx
- *"u*
. (cbsx lnx + #)
= x cosx
S O L Uj I O ¡ ¡ :4 L = dx
cosx + x(-serx)
= cosx - xsenx
-tL ¿*Z
Z
-senx-xc05x-senx
y = e¿rx sen bx
soLUCTOS : d v
¡cosx - senx = x2
clx
,tzy _ -xsenx-cosx
F
C OS X X
s enx 7
x"cosx_Zxsen_x.-
xo
SOLIJCIONt_$+ = u"u* senbx * L,eax cosbx
,?.,, 9-L-=
?
ar
a " e - .' ' s e l l b x uabe
"u*
bx+ab eax ccr sbx - b
[ozsenbx - b2senbx
2abcosbxl
"t* [i uz - u2) Iar
{zrurr*- 2xcos x-x z s e n x ¡
#
"^
senbx + ZabcosbxJ
ca
y = cos (x-y) J ) . - s = e- c o s t.
f
9 9 u s9 '
SOLUCION: Derivando respecto = ut.ort
*
o
+ et(-sent)
=b dt'
*
= etcost
- et sent
+ = etcost-et ,ant-"t senü -e tcost
= -sen(x-v)+sen(x-Y)'#
*
[t -sen(x-y)J*
= -sen(x-Y)
¡., (tx
= -z ets ent
eY=sen(x+y) SOLUCION:
3 6 .-
= -sen(x-y).[t-*i ]
a t:
?
d t'
,- u-tsenzt
goj,ucroN, . _"-r se nZt + #
2e uX="r , . 1, *
-1
dx2
=i
axqo
u
*4
¿ = _-x senx-xcosx-xcosx+Zsenx
dx2
2t-4e-tsenZ r
= -e t(r.rtZt+3sen2t)
34 ._ v _ senx
9\
- ze-t coszt-2e-ttou
"-trerr2t
dr -2senx - xcosx
dL
2tr7 =
,l
ze- tcosJt
'
" Y.# =
Derivando:
i l-
.l .t'I
cos(x*y).Lt.i i j
(x*r).tF cos(x*y)*cos "t.-$| -
siguientes:
f
1
'¡r
dr¡
,=sená* f.or f
= c o s (x + Y )
(**Y U [et -cos #
c o s (x + y ) (x * y ) " r_ c o s
dI = dx
Y' = 1.3818
*
x+y
1 x +y
x = 0.5
y = ln c o s x ;
r. . ctvl -seny . Trdv = I x+y Ll ?;j
-seny.-$L , c lx
,0tl
par a x =z
r = sen 1 + cosl = 0'8415 + 0'5405
4 0 .- cosy = In(x + y¡ sol'ucroN
;
SOLUCION: . (-senx) = -t38Xr
y,
=-k
y'
- -tag (0.5)=-0.5463
evaluando
en x = C.5
. -E lL dX
Y' = -0,5463
[-r"r,,+] *= I
T;7
dv
o!!!ioI,
(x*y) seny+.1
I + (x+ y) seny
xxa*
_ xo-'/- rl Z
(x*y) dy=
-
dx
f
X - cosx; SOLLTÜI O,\: yt
e 1 v a lo r a " S
x = l
1 + s e rl x ,
y,
= |
Y'
= 1'8415
SOLUCION:
para x=-0.5
X- X
+ senl
n o r, ,
y'
= -3.6392
Y = senx cos2x; SoLUCilN: eval uando
= i
para
x-
cosx. cos Zx + seI I x ( - senZx)
Y' rr I l
+ 0.9415
cosx'. cosZx- 2senx. senZx, cosl . cos2- '2seni . senZ
..
I
4 2 .- y=xsenf;x=Z
( x- 1 ) , evaluando
q
D e ri v a n d o : -
e 4 =_
-n = -0.9098 = Y' t:2f- (-1's) -[:TT-
-(.-)')r-"y
E,n 1os problernas 4'l a 50 ,ital lar valor de x (en radi.anes) +t
-
t = 1nvffr;
I
-i . / ))l
x = n/4
( , l) oar a
x = I
rtl /Eagx
S OLUCI O N: y'
( t a g x )- 1 / 2 . fr " . 2 * ll
ll
!e!ll!.IeN.: Y'
LO
-xl1 o o.orr* - u"r,s*], sustituY\ [: " e-1l10 [so.or3-sen3]
yt
y'
Z
= jit*
I
, evaluando en * =f
o e- l / 1
47.-
y = e
1
-
x
SOLUCION: y'
I
rn. une8- 0.1411]
Derlvacdn FunclonesTrtgonomérhas lnversas
x = 2.
senx;
x=t
[-?7.0a12
s".2(n/4\ . Y'= iüsü7df = 1 ,, 1 l'l
senSx * 3oe-xirl.cosSx
= - e- xl, l0
= eXXSe n x+ e cosx, )c
eval uando
pá /
I
t
| sen2+cos2 | Y , = e- LJ = 5.6439 4S.
)¡ = 10e-x
ivar
x=l *x -x = - 10 e cosTrx - 1 0ne
SOLUCION:
yt
v-
--i-
S 0 L U C ION r
senÍx,para
*
z" l
-
r 2l Lv =- \J
'lcosn+nsenrl I
Zax ----a--T ' 1 +a - x
X ?
Y = 5
( ¿lX
I + ( a x')
x
y' = 3.ó788 49.-
d
dx
.1r-
-l0e
. *l
2
y =a r ctg a x
CO STX;
fu n ci o n e s:
1 a s s i g u i .e n te s
ser,fr
g
SOLUCI0N: y'
x=
= 5 exl 2
Z Trx * 5n .^x/ Z sen?' a
y = arc
cos
llr
.3 scn ( 3 x- 4 x")
j-
S O L U C ION : ,l ,, üX
r : * - ¿ x 3)
sLr=:*:+
/ l- ( sx- 4x') " f-
yt =* yt
=
*
u*/r.[r"n
rX
z
". [r"nnnn.orn]
z-l
[v=3x-4*-J ?
3- 1 2x"
T:;J;;;{.;T
3
/---;
/1 - x'
Y ' - -21.3495 x 50.-
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to!4ens x ;
x =1
.#
tl
*z
- a r c .tS +
y = arc sec 4_:_1 '¿ x--1
,L .
u /x + l\ --.\- ¡ -_-/
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S O L U C IO N :
¡L
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dr
.,"-;,;-,. -7x-.. i
Der ivat r <J
S OLU C JQj! :
--.-) - I (. x'I '
["*]
( * 2 - r I ¿ { -( *1 *lU¡ _
Y
-F =-;q
-
-,-'_¡x "- 1 4.
|
-
z
[xz-t)z
= arc
sec; Der ivando
S 0LU C ION:
Ydx =" - F!-\ r - #,/ (-:-) " - 1 1
Lu)-á-
.
.++-
respecto
D e ri v a n d o
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1
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t
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d ,x. rlx \a/
r r-e .J
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a-
-l-
1,.
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-L
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x
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S 0L U C IO fi :
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.X,
x'-1
^*^ ^^^ x
drL
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r espect o
-"
1
-v
_+h -x'
y = arc csc 2x' SOLIICION:
e-
y = a rc 'a
FI
1 xl4x" -1
s e c -L
S O L U C IO N :
y = arc senÁ-
22
x -a
*+)
1
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i 2'
.¿f;tz*1",
tly _ --u ^
,x,
FI
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SOLUCION:
*r=k'f
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--+ ffi
22 x-a
--
fz
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o = ar c
.,2 r¡
-
,(,
1.1
p¿
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SOL UCI O N. :
?
-u
f ler iv ando
-u
r es pe c t o
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--d -e -=+. dP
/ z r 2- o4
-
r--T p/ 2- p-
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I
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I
. -'
-u
-u
x arc serl;-
f7-) f (x)=7r"-x-+a E_-T-
soLUcIO N , ::i :Il l l :
s en 2x .
{} = "'. sen2x.ffi
SOL UCI O N:
¡$ cr*t
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2x- n j- 7- ; - - - a) "
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Z/a" -x. = ar c
7.
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= -u" -u" -!!':E ') /')
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_
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I=X
2
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2x arc cosx-ffif
tg f
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-L
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2x ar c
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X- * - -
a- - x a+x
-L
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SOLU CI O N:
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Der iv ando
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f 1 -; Zy ' a"- u"
r es pe c t o
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. (-?,ttl*
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S OLU C ION: du
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7
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ñ
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uZ
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16.-
v =
arc sen lI a cos (1 -9.) +ñ
v=aarc SOLUCION: ', /') dv /a¿-u¿-s/Z(12-,'2\-'l/2 -.4 -u J ;- (tu ^2
r a..' .(-zu¡'
-uZ
.I
gOLUCTON.: dv-
I
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A
= a(
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r- ( r-;)
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r' ¿av-u m u1 t i p1 icando do por u:
- o2* ,2
f " 2- uz ), 6 7 - . ] p u
_ ." 2- (o z-u z)
a+r , f = a rc t g - f - 6
, z -u 2, ¡ r , 2 - , . , 2 1 f T T (a .l 17. -
S OLI.JC I O }I :
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!' = arc sen Lr t -ffi au
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I
-
') lt
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1
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,,1 ]¡1"2- .' 2) - r /z a
- tl
i
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/a +T
tr=;r
\
r. ifl*) ('i -ar)z
(1 - a r )
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1a*r)?
(l - ?t)z-' 2* (1- a r ) 7a*r)z
[( l - u t) - ( a r r ) ( - t) .i-;__ L (t -arj " ? I
I
1 -ut*^2*ur
I
I
L
(1 -ar)z
I
Y d i'v ir l r en -
?
_1+a-(1 -ar) ¿*7a+r)¿
x y ' = arc serlx r "-7--,
1-*42 - +az) (r2+t ) t1
h-x"
¡ 1 +. r'
.r
20.-
x=rarc
112 1 arc sen -; + --: ll-t/q " 1 .101
.r I I
v e rs J -/Z rv r
I
T
., r-------T
- v
= xar c
Y
SOLUCION:
evaluanclo paril x=l/¿'
-1/2
cosx;
S OLU CI O N : d oy.
,v,
,l
r-\¡ /:-------r { ¿ry_y"
Y'
= ar cosx
-
ffi,paraxé-1/?. -.1/ Z
y' = ar c or C f) -
r-- --;. /'t - r ) t¿ y¡ \
Zr
Yt = 2,671 q.a
/--:T /2ry
2 1 .-
-
yu
7 y = 1/3 x" arc tgx + 1/6 1n(x'+1)-1/6 S OLUCION:
*Ztt.
tagx +,- * 1 ; : + . = 2 ! 3 (t + x ¿ ) 3 (x 2 + 1¡
yt=
3
22.-
y=xarcsenx;
x = 1/2
x = 1.
Y
- arc tagx
t+x
;
evaluando
enx=1
z t ag[ 1) .
l / Z- ar c
y, --T-
1
- T
T
- - Ta
Y' = -0.28S
= x zarc tagx **3**-*3-* 3 (1+x2; a x-arc tagx En los problemas 22 a 27, halTar valor dado de x.
d
$0LUCION: 'x ------T-
a
#=
f
y =---,É;
y = ñ el valor
a e $ n "r "
x = 4.
urc ctgf;
S OLUQ I O N:
Y'
f=
ei) *1 -j.tz' 2E r"qj .'¡ ,
SustituYendo x = 4
' a r c co t+
lllltl
310
r*,.+
fr
t+
arc cot ri )
^/\t )uLU
-0.054
L
t-¿: t¿,
4¡v
-
X
gll¿¿j!.
D eri vando:
=
y
¿Q"-
.L
- arc secZx. (
yr '
1
) zr'x
para
x= 1
x ./
27.-
t
y' -
Y' = 0'053 ., I = xo arc csc 'f; SOLUCION:
28. -
y=x
Sea:
csscñ]-
["rc
ll -y'xy'x-1
?,R:T
4il)
Zr'x
arc ctg
, evaluando para x SOLUCION: Sea: -l
SOLUCION: Haciendo: y = arc senfi
yl
,ffi a
'1 É 2lx-x"
.c4l 2y'x
-+)(2)-arc " l= 1
v' yr
arc cot y=-.;.-'
2x
co t2 x
funciones:
arc sen Á-
'
Zx
J(
y'
cada una de 1as siguientes
Derivando:
'xf ar c c os ?+ x
XX y , = a r c co sa "' r tr =
yt = 4 arc cose .fT-t = Y' = 2.142 Derivar
--n-xo- 4
x = 2
I
= zx.
- -
L
y' = z x .l -"r. .or".ñl -* 2 LJ y,
z
arc sec(2)
J
¿f5
X,
---
x arc cos T d/\Y r r ar l \N t. ) LILU u_VI!.
'l
¿-
J.' a
Á
yt=
vl
1 ,2
x = 1.
SOLUCION: {x
. )J
-
)-
,R
-2
I "t
arc sec 2x
Z Y = arc tag =-
Llamando
rr^fnxr.
yr -
-2x- (1+4x")arc
cotZI.
xz ( *q *z) 2 = - ----'-*-l-: x(l+4x-)
arc vers (1 -x) SOLUCIONARIO:
arc cot2{ ---Tx I
I
Haciendo:
l I
arc vers (1 -x)
:-lr2
-l
y' =
¡
v'
d
(arc sen2x )
A!
2rlar c- sen2x f.' I
33. -
ar c
?
\
2/ ar cs enZx
sec ñ
S O LU C I0 N :
y = a rc
Sea:
sec/F
vr f
t
#
r'a f
y,= (# ^k
c S eÍl l X
| r<
/
l / | -4X
^
arc ccrs /i
C ñt
Y,
_____
¡l
l faT n\l
arc cos /7
iol
'
/T
.7---
Z /x t -x ¿
34 . -
e
x
a rc
cos
X.
S O LU C IO N :
Y= t-
,,
I
I
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e
Y
=
.or*
"X'. [u..
1
i
vt
- --
Y,
=-+[-l* r t*
'
-
Si:
y = ln
a rc
tag x
fr - r
f-
I
a rc ta g x t =3 l +x'
r6tc r"rz x SOLUCION:
.arc
cos x
z*/Tll
l,ñ4
-
zx{l
ll
cosÁ
'ar c
. ar c
-tl c os/x
X"
S O LU CION ;
3ó.-
)-(-1-) 2x X
, arc cosx
x e . arc cosx
., I
ln
2x
J
Hac ie n d o :
I
K.tl-l( I-x
. l-+1 , Ll +x ' I
o rd e n a n d o :
f---rl " Larcat gxJ I
Si.
t-+ y = y'arE sen2x
PLEMENTARI !i','fAS COr\f A conti nuación bl ,enas de las ¡tudi ante.
pl'oalgunos r esolver enosr solam ent e el r est o 135 a1 137, dejando páginas
curv&s, ejar las siguientes púnto en qué la curva corta
I hallar la pendi"ente en a los ejes coordenados.
y = Inx. I 0N i S0LUC trazaÍnos el gráfico -A continuaci6n ', -Cal cul"ando ta pendiente:
de la
funci6n-
entonces:
I'
De la
q
qu e s i
y = l /Z
D e ri v a n d o
a \c o
* .u )
, entonces
a x:
re s p e c to X¡
X
r
-a I
= J .l !.u -'l v ' =ñ-F"
;-e J
[- x {-l I ea - "t JI
I = - - VL 2a-
Ix t' " = ) I l " " u 2a" L"
=-l v" 'za JL
l -x
l;r.
.
' - (I;Tff7
_^l 1
+a-
al
tasó
I
J
-* l
FJ,
.fr
--r\
c o n o :r = 7 f,( "8 " u ^ )
m1 -m2 l+ ¡n1
i - zx+ Z x+ Z 7 x- zxL +7
- ¿xr
de c ada uno de los
y - 1n(x+1), Y = 1n(7'zx)SOLUCION.:Igualando ambas funciones
y = cosxr SOLUCION:
da''las:
ln(x+1 ) = ln (7 -2x) x+l = 7 -Zx x'= 2
sl
coSX
=7 v g = 127"s2r30"
y = sg n2x H a11a ndo los
Puntos de intersección;
= s en 2x
cosx = cos ...(l
- ? ,x- Z
para el Punto (2,1n3)
= ------5L¡ f) 5x-l x
9 tAgQ = -T¡.:T;E
^2
0 = arc atg +)
flallar el ángulo de intersecci6n guientes pares de curvas:
..."-.(4)
v U). en ld. sisui91119 l:ll::a'para que Iorman las curvas dadas:
&2 _ , =
,s^E 6rYo = # .
tendremos:
5.-
( 3)
-r t
+ - rnz T +
Reümplazando (3) ángütó iiálrát "r \ \ tag \ \ '
Xr
/X
T-
ft
x
Y = ln(7-2x)
/ ii"
SO LUCIO N:
der ivando:
ecuacidn:
I
D eno s t r ar
""( z)
l-"
= m-= I
dy
De Ia otra nt = *=
= ln3
y = ln( x+1) ,
ecuaci ón:
(1 ,0)
Y
f (zn-1 . )n- ,* 1 I |
z ""
/,^
las
^z
de
cada
uno
de
1as
(.¡rr \ ,:
= 2cos 2x l ' 11n. en
los otrrr
en:
\lia"
€ 1
lallar je las
ta e (-3 )
+
0 = -7.1"33'54" m ín i mo s y de ínfl exi ón
los punt o s m á x i m o s , c u fv a s ' s iguient es
v =|ff
1?.-
S O LUCIO N: derivado: H a Il -a n tl o s u o ri n era d y = l n x -1 -ff ----l-; iguaLancio a cero In x
Luego
i
x
y-
=
=S
cl e
al
4p * - -g[0*sff-Lr"i] sx ( n ls e n i {- +co
ej
An a liza n do par ael
valorcrfticox=e
^ 'andn'
x<
e,
Y>
e^
ft(x) f tfx)
-
5 r :rn X
il-*:-"'íl l l :'
punto crftico h
a=+
co sx
( :rco : 4- I gllll p = Jo:g1'-I-:-:ro ; x J-( 0 ) - :¡\v 'i Jx (nscn-r + coSXJ
-
; igualando
a cer o:
J
iJ
r* ---. ' - ' * -n-l .I.
-¡' lnx= I
"2. ) " T
írng forma con el Plano un
incoSX
l ru < -1
Z
:l e l coef icien¡ e si e n d o l ttcr za , r i t¡d r i c Ia nini, na o a- r a^ i-t.t d^6-, r r " - es fu e r za l a q r r " ¡t ;";r tr u '' de rozamlento' = m' tgx cuando a x : .^r rr.rrtNI ' i l e r i v r .n d o r e sp e cto )9!l¿:--L:¿r-
-3
'2 0 = arc
te
5 "t) - { '.t- -- n*.**ny-+
t. B- : - -
i )urrto cl e i nf 1r: x iór r en
o3;' \H:;:?l?3^::{" I:;??,*:, r*i-:l:i:l"ir,i:l:' "
-;-l
t ag$
(e' e)
^ac]
*1 = -1 /2 tz=l *1 -mz tag,¡ = ' 1nr1 ^z
1:
Z
2 _e 2
l
solo para n = 1, d"jando
A nal. iz ar etn 0 s e1 lec t or .
lus t i t uy en d o
l
a cero:
igualando
o i ---4-----+; xlr'"x dxZ xlrlJ 'r
= - 5er lx
¡
n -
.,27i
ut t nt í nr m 'o' - ¡ 'uI I cr oll t ieir e 1a 5 e g u l l cle inf l exión "hallenos
e
pendi. ent es
m1
P ar a
\
f t ¿n- llr i y = cos\-4//
Hallando
e1 punt o
l )ara hal l ar tl a deri vada: p & ra ¡=1 ,2 13,
c nt onc eS :
x = e I¿
Luegorcual l do
lZn- l),r =*.-/,
'
ruq'd.
"4
O sobre un Plano dispara-d::tlcf con Si un lrrc,vf i: r:il se en O un ángulo constaate in.clínaclo qric 'u"^* a c l. hor i zon t'ai " 1a f 6rmul ' R=-
' 2v'cos0sent L gC O S
ci
' 1-^
l
y. la nor11l.:I^1"t Hallar las ecuacronesde 1a tangente una de ge 1a ,"otá"iáni; t-ll ::9?"tq;t ' á cada gitudes i n d i ca d o " p ü n to eñ el cu r va s
sigurentes *
y =
= ,1,
zt+1 i
SOLUCI0N'
= 1.
t
- d x- =
2
¿1 '1 }¿=
Entonces ? =Tt'
dy d'x
la
Pe n d i e n te
; par a ! = 1,
*+
ox
se r á :
* =f;.=t
t endr em '
"' ( 1 )
uniopunt o- cualquier a'nosot r os es r ar C omo esta pendient-eár bit Y1) t 'a1 com o t x. 1 el egi -mo s . t n', 'pr r r r ao ' 'l = t par a cál cu1o de1 punt o ( xl , Y1) , xl ,
= t¿ = ( 1) ¿= I
J ( *, , y') =( t , i) . . . . ( z) J
+f - 5 Y l = Zt +l= 2 ( 1) E cuaci6n de la t ar gent e: = m ( x- x1)
y-yl y-3
= 1 ( x- l )
y - x =7
+
. sust it uyendo
( 1) v ( 2) :
ic uac r ór ¡
u e ra
n o rm a l :
y' _y , = _+¡ u (x _xt ' ,J '|
1
anterio r
y-3:-(x-1)
l l\ -/ -¿-1 ,
I
de 1a ncr inal:
C e 1a ecuación
áIcul o
reemplazando (1) y (Z) en Ia relación
: i2 I
f:-._:_-7:1.
+
-x+2=0
-y 1=- * + 3 =
f*-x1 ) ,
reetnpl azando (1 ) Y
'l (x + 1) x + y +'4 = 01
+X +4 =A
La s ub- t ang e n te
es:
Ir
1 li- .-r' La s r r bno r ¡ n a l
j
X = t-,
y = 3 t;
S 0LUCI O N :
= 3
->
f subnorrnal = 3 |
r#-1
dv
r
-
=
L
3) (1) ,, =-Z-' t'
1f '- t
SOLUCION:
r n =- fr =-+ 3t'
# =r '
, evaluando para t = -1
=* F = 1
. . ."( i)
Evaluando para el punto
*1 = t 3 =(-1 )3 = -t = 5t = 3(-1) )r1 Cálculo
(xl
, 11 ) :
1 ,*.,,y,) =( _1,_3) ....( ?
l' l = -3 )
de la ecuaci6n de'la
tangente
Y-Yt'm(x-*t) De (1) y (2):
f
Y (2):
de (1)
n,
La pe n d iente.m es:
^
S-N:
á1culo de 1a subnornal
- t\
; ?r=
-3 I
iS-t=
a
I
D e ri v a n d o :
dx -.2 a l= rc
de (1) Y (.2):
-N=y
= -1
t
subtlrttgente S-T:
la
-J=
S-T =
es :
v .n = 3 1 1 )
2.
subtangente = 3
=3
'l
de
álcu1o
+ J'=
1(x+1)
t = ¿.
Derivando resPecto dyz =
-ra ¿t ue
--=-
*=T
/
?
"m" en el punto
(x:
, Y 1')
parat=2
3tz
m . -n-1 x1 =5t
tt+tt,
t-
Cálculo de la pendiente 2
'7
,, él
(1)
- 5( 2 )= $
)¡1=1 - $ = t
i
J
(xl
, Y1)=(6,1)
--..-..(2)
Llá1 c u l o d e 1 a e c u a c i 6 n
tr
de tangente:
I-Y,= n (x -x 1 )
l= " t = e o i ,*,, = 3 e - t- ' 3 e - o =3 J I
De (r) y (2):
y-t--|c*-ut
*
ll
F-ot-rz=E
1
Y-Y1=-;
(x-x1)
, d e (r) y (2 ):
Cálc u 1 o
+
d e 1 a s u b ta n g e n te
óx-y-35=0 (T.
Yt 1 =-i= s.r= # -6 -?
'
¡
Cálculo
\ -1 1
/1 ) =tl 'r J
1t
"
lhl ' " ' \u r
de 1a t angeht e:
1a ecuación ( a) sust it uYendo
Y ( b) :
- 1)
ll--s ^ + y - 6 - o l
+
-3X-6=0
-
ecuación
de la
- # C* - *l)
= Y ' Yl
y-'l=6 (x-6) y - l= O x - J 0
- n ( -x- xn)
- J = -3(x
de 1a ecuación de Ia normal ;
.-
a cont inuación
Il ernos
6y * x - 12 = 0 Cálculo
\ ó.,
-3
nor nal:
de la
, de
( .a) Y ( b) :
-fc.-1)
v
-t
3 y -x-$= 0
ST es:
L a sub-tangent e qr
'i = ñ
x- 3Y+8=0
=- : : .\
-1
Cá1cu1o de 1a sub-normal SN:
sN = my, = C -|l frl
lsN=-61 4.-
x--etry= 3"-t; t=o SO LUCIOI{: Derivando respecto a t:
*f="t Cálculo r1o t*l
; * =-re-t de la pendiente ,'n,,, para el punto arbit r,t Y1): * ' -3e-t = :- _"^-2t m , evaluando para t - -3e t e
La ,l ,U -.ro t or l
SN es: = ( - 3) ( 3)
S N = nl/ j 1----:1
ISN = -el
: Como 1os de¡nás ejercici-o¡ 'ti"-*"átt" ahora 1o har",nof
ro 3 " ii3 " á it l i t ^
tü-ltir"
x = cos20, y = sen0; SOLUCI0N:
#
=
".,
ento¡lces sqn similares' * edeta.ll \)::",?::.tot d e t a l l a d a ' nuv
fottt
0 = 1/6r
-2sen1¡ ;
= cos0
#
,
par a
g-
lt
t I
* =__,
| =---
*1 = cos2g)
= (, , ' r l)
j(xl Y1= seng Ecuaci6n de la
(x-1)
Zy-Z = '-x
l. Z)
x+2y'-3:t)
+ ¡+
cuación de 1a normal:
tangente:
Y1 =*(x-xr]
Y-yl=m(x-*l)
Y - + = - + r *-*) f 4) , . , . Ecuaci6n
1
y - 1 = 2(x - 1)
L J
Y - 2x = -1
d e 1 a n o rma l :
Yt ^- | =-=--=--í-¡
Jr
Y- +=':* - h
2x-y-1=0
ST es:
sub-tangente
y-yr=-ft***rl
+
|I
=
-o
I
¡lt
-;-/
2y-4x+l=0
ST=- 2 La s u b -ta n g e n te es: y .t S T = -_ -J _ = -l Iil
subnormal SN ser á:
.
ñ\, SN= "'t 1
11 z) \ 'J
l -' 1l l )
-
\
La sub-normal SN es:
qN
'
S N= r n y ,= - + 3x = t",
2y
*2.
-
2 1
--
2
+- )
et
.a
ó.-
X = t',
y = 2 - t SOLUC I ON: dx
t = t. ár¡
SOLUCION:
Derivando respecto
-1
A+
dy UL -+-
')
¡v
m=-+= -+
?
ntonces:
dvtl m = -Ñ=-:T= E
*1 = 1'l
I (x ' = Yl I J
Ecuación de 1a tangente:
a
7#
11) '
t
;
Para
t-)
= 71
(1 , 1) t3 x1 =T
Y -Y .t =n(x-x 1 ) t2 Y1=T=
=-
ó1
,l
I
I I
2J
( x'
y1 ) = ( 1 , 2 )
:i2$
Ec uac i6n
de 1 a
t.a n g e n te :
1 "'3
Y -y t= n (x -* l )
.2 *1 = bt - t
r - 2= + ( ,.- + +
o =*- *
2y
Ec uac ión
oe .1¿¡"nor m al v'
= Yl = 2t" + 3 Ecuac ión de la tangente: = n(x Y - Yl
x -z y * f= o
.
yt =-*
F--6 v .;l i ' l -_
:
0l
3y
x-3Y+9=0
9 =x+
a n or m al:
Ecuación de
.' r "
. Zx+y -
-3(x
Ir
ST e s : ?
ST = -__r =i_
ST
La sub-tangente v. 'sr' _ 1l u¡ =
= 4
=-i-
- 0) -,
3xry-3=0
95.
ST=9
= Q-+
1
n_
- *r )
-5x
Y-3=
6x+3y-22=0 L a s ub- t angent e
t'
0)
1-
Y1 = -;tx
- t = -zx + {-
x. )
I
f* - *l)
-?=-z(x-il
= (ü , 3) I tx r , y1)
3
2
La subnormai SN es: La sub -normal
SN es : '| *yi = (;)(2)
SN =
1
s N = my 1 = ( 3 ) ( T ) = I = 1 - x =E
8.
,
xo6t-t';
SOLUCION:
y = 2t + 3; l = 0
dx = 6-2t dt mE-
;
) 6-Zt
;
parat=
;
ja= dt
=l -g¿ dt
?
= t"+3t ; y
S OLU C ION : Jv
Derivando:
2
; t:1 Derivando resPecto dy dt
?t
3t2+ J m = ---zt-
0, obtenemos :
; =J
^ = Jit
i
= Stz+ 3 para
t=1
SN=1
;i2u
y+
*¡ = t2= r
I l-(*.
,11 ) = (1 , 4)
= - T 1 t, _. \¡ .^ ) - vi
d e 1 a ta n g e n te : y 1 = m (x
Y
E c uac ión
1
- *l)
y - 4 = 3(x y3x-1=0
- t)
Y+
z=i $+
2y+
=x+i
Lu subtangerl te
+
v
'
+
!,
=
*r I
1\
->
ST es:
3x-y+1=0
d e 1 a n o rma l : La sub:nor¡nal
Y - yt=-*(*-*r) - Q = -* ,*
y
t"''
Bcuaci 6¡r de i a nor nal:
y 1 = t3 * 3 t = 4 .J E c uac ión
i rY
? x+4=0
3¡ ' + ¡
-
s n = n r / = ( - z) ' ( - z) = 4 1 /4 r x = t s g , y = f t e o; i t-= lo lu c r o N, * F = ,".2 0
1)
-
13 = Q
La s ub- t a n g e n te
ST es: *t,
V.
rr 3 m SN e s La s ubnor ma l S N = ln v n = 1 2
SN / es :
?,^ _cose;i0=-cor20
:'
SCC
;
-cosec-3
Par a0={
U
'l
1
x = ; c
i
S O LUCI O N :
y = 2t
;
t
*1 = tago = tag
,l ,,
1
dx
-1
= -I 4 =/ )+ UL
if) =l (xl
r')
m=-Zt', n=
e v a l u a ndo
-Z
para t - -1
xl = += -1 I (* .,, r¡) - ( - l , - z ) ' I = 2t
Y1
- -2 I
Ecua cid n de la tangente:' Y- Yt= m(x-"t) y + 2 - -2(x + 1)
v '1
= cotO
cot t A- J=l
Ecuación de 1a tangente: Y-'Yl=m(x-*l) y -'t = -1 (x - 1) y-1=-x+1 Ecuación de la normal: 1. *l) Y i Yl = - f ( x -
-'
, Y1)=(1'1)
-l
:
y - 1 = 1(x
- J)
y-l=x
l+
La sub-tangente
12, :
x = - J e -t
SN = n y ,
= -l
, y * ,Z e t
; t
+
S cosa
' S OLU C l JN :
ETJ
,l v
,1.¡
-f ; * =
¿.e
;É=
')+
1a" ) m =*=_te", 3e"
P ara
t=0
m=+ J
I
Ld
(x l
, /1 )
= (-3
,
n g e n te :
Y - Yt = ¡n(x -
*r l
y - z =!{x "
3)
; i;-[
n ,=- i!9 *5 - --f,../' J iscna rn = -lt s/
y1 =
a ü:
'
pata *=t
1
L
s.ñ I 5seno='Z-
t*t '
Yi= ( +,t+
) E,cuaci6n de 1a tangente: = m(x - *1) Y ' Y1
2x-3y+12=0
6y-15ñ
= -' lO x
s/1,
+ 15ñ
+
1 0x+ól.--30/i=0
il¡v
n o rma l
- rsO = o
Ecuacidn de la normal: '| = -'r (x - x't) Y - Y't
,l
Y - Y t = --*- (* - *l) 1 y - z =-i (x + J)
--5x-9
2)
r esPect o
= Scos'¡
'1"
-3 s e ¡io
,../l s y _ T = - t¡ x--7-)
3y-6=2x+6
2y-4
I ler ivando
* 1 = 3 c o s o= tu ' 2
)'1 =Zet=2
= T4
= 5sencr ; cr = 1/ 4w
/
I
de la
Y
1-
*l=-3e-t=-3
Ecuación de la
SN e s :
. 2. . ^. S N = t ny , = t ? ( r )
SN es:
s o L UC Io N , = 3 e -t *+
E , c uac i6 n
T La sub - trorma]
-t
CS:
Y1 z S'l' =;-- =-T =
L-:-¿-:g
ST es;
Yr r = )l =;- =;a La s ub-n o rma l
La sub - 1.angent e S'f
-|
3x+2y+5=0
s ,-- 3Q.., y - -fsA = -l t* 1-T-t ¡c 6
sv- T = 3 x-aT
t g/ l
----_--_-.--_* l ¡ * - Sv + a{T = 0l
f..a s rrb -ta n g e n te
es;
or,n
tr = *Y1' = - f= -#s/T -3
Y- 1
I
¡
s,ri= nrr,= rl t#l I y cos0; -
x = -senZf, 0 sOI,UCION\ ¿* - ZcosZo \ \ "6-=
t1
= é#
=
¿
=
eL
YJ
1/3r ,lu ; á=
La
{J
--T
-=
f-
') SN e s:
s u b - no r m a l
-seno
r ;1
/Y J \ / I \ SN = mlr = t-T)\Z)
-^
{)
I
; = -# #
e valuandopar a o =+
,
t=3
x = 1n(t-2),3Y ' /J
soLUCIoN: = 1|i
L
21.--i)-6 z --
=4 *1 = senzo
n I ='- - ;
I
v l = c o s s= +
(x'
y r) = €
,t,
m
)
Y - Yt = m(x - *l)
v - +1= t(,Ex- - 5 ;
Ecuaci6n de la normal: .l =-;-(*
- Yt
- *l)
UL
para
t=3
t- l
I =-T
I
t
E cuaci 6 n
;
J
de I a
= lnl
= 0'\
I
I L
'5
Y 1 =t=f=
r
v-+"+*-+
=-
. 1. ,
1 '-a""-=
L
L-
x, I = rn (t-2)
Ecuacidn de 1a tangente
J
I
1
\_
m=-
J
sutt - t ang ent e ST
L;i sub - rrf rna-l SN es :
t{"
lL-:--t ? x + v. - z *I
.l
/J
-
I
l--l | )./\
z
l
I
1
(xl
, Y1)
= (o , ij
I
t angent e:
Y -Y1=¡ c( x- *l)
+- - v -f,= o
v
t = + (x
Ecuación de la
lrz/t, ,Y-t=-ÉC*-5)
v.v-
vt1
= -L
- o)
nor r nal: m
'l = - 5( x
lx
- xt )
- 0)
'+
3x + y - 1 É_!
ST es
La s u b -ta n g e n te
Y1 I ¡-!-= s T = ---!ml
+
il=-+coso=o cid
3
(7
ecuaciones:
en las
S usti tuye r iclo
ü =+'+ y (-1 ,1)
'4)
3 La sub-normal
E n ^^,\ de los de cont.aXr^ d p I n q
los , ha1lar ¡ r t r r r l" g Y verticalr:r;.
pr o b l e m a s
s i g u re n te s f á n í' { ) n f
hor i z o n t a l e s
es
\" 16.
=\ t
-
t" ,
y = t
+ 1
\ - Tangentes horizontales: ¡., tJ
+
- T a n g e n te s
-'
- / = 0
44-= )r
Su-stituyendo en las
aÉ = 1
. r^1 3 (t" -41 = o
ta ngente
l tori zontal :
*
3- 3t- = 0
-'
(0'-1ó)
+
t =t
y (8,ió)
t = 1
ecuaciones:
(-1'-11)
x=n+rcosgrY=k+rseno
v e rti c a l e s :
{f = o
t=
3(1+ t)(1-t)
S OLU C ION: = Q
reernPlazando en Ias ecuaciones:
(?,2)
+
reemPlazando en las ecuaciohes: - Tattgentes verticales:
r cosg
z3-- ' ; (-7,0)
x = 3 - 4sen0, Y = 4 + 3cos0 ION: SOLUC - Tangerrtes horizontales: dL=-sr"no=o ?.8
hor izont ales:
- Tangentes
- qll=
t=1 t =-1
17.-
) . -¡-4 r- = 37 1 - r z = o cLt
<- cL A?
.1 .,
Lue g o n o h a y n i n g u n a
i
hor izont ales
- Tarrgentes
reemplazando en las ecuaciones: - Tangentes verticales:
S O L U C \ON :
1+ - =
12t
S OLIJC ION :
=T1
SN = n y t
t 3-
2t,
tz-
SN es:
= Q
-+
reemplazando en las ecuaciones: - Tangentes verticales: '
dx [d=
-rseno = Q
-]
reernplazando en las ecuaciones:
o = o rr (5 , 1 ) y (5 ' 7 )
x = sen2t,
Y = sent
o = *,
3r ?
(h, k+r) y (h, k-r)
o = 0r T ( h+r , k)
Y ( n- r , k)
2
équ¿!roN:
Luego de
- l. ' ir r rg e n te s
h o ri z o n ta l e s
:
r
t=
#=c os t=o
( 1 ) Y ( 2) dr¡ 4=
3n
É. -at - _s ent
m
dx
^+-^^+ dLL9)
- T an g e n te s .lv
en las
rr Lt.-
x=rcos0 +r0 sen0 ,
v e rti c a l e s :
Su stitu y endo . l^ .r = G O S' 0r
en y
las =
+
t
ec uac ion e s :
n
y=rseno -r0cos
3r
T '-'T lt
tj )
Y
H4l
. 1^ Sen' 0
Evolvent e
SOL UCi O N :
- T ' a n g e n te s
a).h o ri z o n ta l e s :
dv = 3^ 4sen*8 coso = g , -áÉr eenp l a z a n d o
en las
+
e c u a c i ones:
g = o,* ,
Jr
'.or3o,seno v"senu = u o -4so5
* u.{.: y dt
gl"-¿t
m
+
.""
. i i i.i.i.:.:.:.:
SN es:
(1)
T es:
La tangent e
n u = urT ra 3n
afcost-cost+tsent] Ctl¡ nt-
cot E
tgf
b). - La .sub-nornal
T=/ y'+ST'=
T = y cosect d) ..
La
/T--r
lr{ =
/y-*
tT-
y s ec t =#a
¡\-
SOLUCION:
c r ....
(E)'
y2.otz t"
s ent
N es:
normal
¡'¡S
(astroide)
Derivando:
\ -dL = -l2acos2t.sent \dt *!i ?.* t- !.:
,r, *
tn----n
La hipocicloide atcost
cí r eu1o-
SN = m y = y r gr
reemplazando en las ecuaciones : (1 ,0) , (0 , I ) y (0 ,1 ) la¡ siguientes,.curvas, hallar 1as longirudes fn de : la subtangente ; b) la subnormal ; c) 1a'tangente ; d) normal en un punto cuaLquiera. 22.- La evolvente del cfrculo f* = a(cost + tsent) = - tcost) [Y SoLUCI.N: "(sent *dx r a l-sent + senr + tcost] ti= dx dt
= -YY
?f
(1 ,0) , (0,1 )y (1 , {))
del
La sub-t'angente ST en un punto cuaiquiera /.
- Tangentes yerticales: dx ?6-=
L
L4E,
(0,'t ) y (0,-l)
e c u a c i ones:
2cosTt = 0
Ti=
L
?r1 -
r eemp l a z a n d o
il[?
1a Pendient e:
hallam os
t:
4a coslt, 4a sen- t .
será:
'r dy dt
I 2as en
2,
.'.or a
ldv l-r.&= (lox
1 Zasen? t. cos t
)
de donde:
: Lg I
=----LULI
ST es :
= - y ta g t
sT =+ = --k
\ a
b). a
La su b - nor m al
Sl'l es:
S it i = ny
Ycot t
La tangent e
c). ,
t)
T = /y"
a) . - La subtangente ST es: Y {gt
= - ycot
T ser á:
---j* y-
SN s e rá : S OLU CION :
* =f'(2ccst y --L^ (2sent
*
.J'-
*^ -tr li= x
T es:
, = f,T*Ñ
y 2 . o r2 , {+=
T = ycose.t
=.*T
'r
N = ,47;N2
24 .- La ci r c unferencia
I
f
2a(sen2t-sent)
*
rir¡
I
if
= a [ Z c o s ' " - z c o sl tr lt . l
€+
= Za(cost-cos2t)
ser á:
La sub-tangente
ST es:
sr =+ =4#?*3#fr
=#. {;
)C OS A C t
9!!;.?2+ = - { "L- 2a( c os t- c os 2t) = Jsenzt-sent -?--zu(r*r¿a-t"tta)
a).-
N=ysect
=
- cos 2t ) - sen2t )
a ' ¡-^2 s e n t + 2 s e n 2 t J
Luego 1a p endient e
d). - La normal N es:
)"S B C
Der ivando:
SN = u ry = -y tg t . - La ta n g e n te
1'
=
N = ,+ t * ,2 .o tzt
t
. La cardioice
'"'c)
)
tag-t
La normal N es:
d).
I , a s u b -n o rn a l
I
l LU)
r sent
La sr¡ b - t ar igent e
a).
ST = Y = m
*+ = r co st
;
1 Zacos -t. sent mr
b) . -
- r se n t
*i =
b) .- La sub-norrnal SN es:
= ;::;::
L
SOLUCION.:. Derivando respecto
a
SN=xnyt
y(cost sen2t
I - bos_Zql - sent
L a tangente
c)."
(r) :
es;
b).
su b - ¡ r o r n a l
La
SN e s: jl
.,. ¡ r - r
¿ SN = m y =
Y LI !
=
/ y o+
=
STo
La t angent e
-1 -r = V
c os t
'
'- 7*1- Zr -
W
J
T es:
(cost-cos 2t)'+ (sen2t *r,ntrÉ
- c os 2t
r-.
T=
.--Y -4 =./t-..r t t-
d) . - l ,a n o r¡n a l \I
-
t ) t ^^-+ 2t 't 2 Jt' u¿* u¿ ¡S9:i-:--c9s 'senlt - sent' '
,, r!=' .. 26.
I -l z r - 14) z * ( t - z ti ) Z
N es :
v/2
La h o j a
r I x
. /l -."rt
senzt-sent
I
I
S O L U C IO N :
I
_ tt¡ _- 1t *tl¡ :-st (st2.¡ TE2 ¡t *t3¡
J +J T
a+
3
af l \-
=--=W7.(zt-t4)2
'#
-
---E__
{
.->
D e s c a rte s
La
s).
'l *t J a
3t-
Y =- - - - - ; . ' l +t J
.i
¡
¡r * t 5 ¡
2
= 3-6t3 \') (1+t")'
II
La L,s Pir al
hiper bó1
dv
(t *t3 ) (6 t) - stz (stz) - 6t+6t4-9t4
=
dt
z ¡t * t 3 ¡
(1 rt3)Z Luego:
5 -6 tJ
T-77 a).-
La sub-tangente ¡ I I
ST-Y.
m
¡l * t 3 7 2
rlv
¡., UL
- 6t-3 t 4 -= +t e -t 3 ) =--------=-
3-6t5
ST es:
1 -Zt3
-
a co s t
7
-L L
=
at cost
=0 f
L
- a tSe n t
rlt
¡t -II-
6 r-3 r4
o,= FFf
6t-Jt4
?
.{ II ¡
ica
S OI,U C IO N: ---L
a
I
9t3
-
asent
d
( t s e nt
(tcost
Sent - cost )
- sent)
tz
ser'a: Entonces 1a Pendiente tcost - sen! . para cualquier _ __ -tlent ¡r + cost ' a).-
cost ,
La sub-tangente
ST es:
g-(!'gl-:-q9-:!st = * + Sent t cost
p\¡nto.
342
b)
La
su b - n o r m a l
)N
= n r t'
-
- y( lco it ent
,-)
La
ta n g e r r te
t+=,
SN es.
I
sent)
+ c:ost
x =i
bi
d ) .-
La
f cost nor nai
N
y
c I
- t.
c' 5 :
so!]l9I !)N:
¿+(tsent -7*----*-.*-' -costi 2 T- = --* - y -- - - J ( a.ost- sent) tc o s t-s e n t T
,2
-s e n
#=t
II
i¿= i I dr)
t
es :
n u e va me n te
De r i va n d o
4¿'
*
d y' ct
t
ot
ox
AT
v'
I 2
=F
á.rl
'¿ ¿_.¿ ,2 dX
t
A? UL
dx
,it
L
2t ,
Y
Derlvadads Ecuaclones Pararnetrlcas
SO LUCI O N:
l.-
En c ada uno de los t
d Y ., d -v ü , d*2
s iguie n t e s
ejenplos,
Edt = z ltI-
hallar:
dt,
.
{Yt ót
fi n a l n e n te :
t
É+-+ óx -LC
"
" -* F -,y ' - z t
-Deriyando: -----'--
dv I É' 2
.t2
;
= -rr2
Der ifrando yt;
dy = 2t -dr-
r1
' y'
ldx
a) x o t - 1, y. t2 + 1 S O IU C IO{ : .D e ri v a ¡rd o re specto a t: dx
cly
fi - = ¡ 2 JI dtt
e n fu n c i 6 n d e t.
obteni endose:
d)
x -ii
f5
Y
+ov'
.T
314
SOL U CION :
trx
-=dr
dvl dt
D e ri v a n d o
-
J
I
Z
L
L
g)
dx'
ION: SOLUC dx = -----
= & c o s tr
s - --T
t*
./i
$f
-dv -LDcost |
?t:=
,2 cy=
="*
cott
h) Der iv ando dy r
?Í i: nt onc es :
¡,r
-zco st
I
'dvf = -4sent j É Derivando y, : dv t
-tr
',
. 2 se co t
¡
I resp ect o sen2t
+ 2q. osZt sent
;;;z;
2cos 2 ts ent - 4 cos t . s enZt .or2t cos t
x = cosZt,
=
::
= -
b uZ
. coséc3t
f , f = co st deri.vando {}
2tagt
Zcos?tsent - 4 cos ts enZt cos"t
--:----7--
Y = sen t.
1 I
f $* = : z ' s #h=43eñT-
co sect '--{
J
respecto
a t:
+f =f "or".t.cott Finalnente
E
-
S OLUCI Q N:
t:
y = 4cost.
dy clx
a t:
4 T = - zse n 2 It
' r h7 d¿y Éc t os e c 't r - = _as . ent dx .
x = Z(l-sent) SOLUCION: dx
a
r = ¿h cosec.t
f)
j |=
r es pec t o
1
dxZ
J
Y
-4c ost .
"r= Luego:
cost
l
2cosZt
=
-
dy'
y = b setrt.
= -asent I
É
2cosZt
ldx
D eri vantl o
SOL T J C ION :
,dx
I
cos E
l dy
dy (1t.
"'i-
-T
= - secJt
,-=E
--72" t¿
L
= sen2t.
x = sent,
dt
t= _---_--=
I
dX
?
Y ----1t-
z,
LU)
')
,2 Q
¡
sec
----Á' .L
df= y' =í
n u e v a rtre n te :
clvt
e)
.2
cIy
dy a
J
uL
illi¡
que:
btenienciose
a
d"v
n
obtendrenos :'
cosect. cottcosect. cott -=-T6GñT:61 =- -É"n=zr?ffii#*i=-*
"o'*'3'
= tgo no tiene Demostrar que Ia curYa x = seco, Y ningrln pUnto de infLexi6n:
:t t7 SOLUCIO N:
dx
= sec8.taco
?6,¡ ,,
t' , # # = sel¿4 " o
lle r iv ando . y '
r es pqc t o
dv t Z6-
dy
I
I
co sece
dx
I a 0:
= - c os ec o
c ot o
CAPITULOIX
Ento nces : c os ec ec ot o i - se¿6--Tasd= -cot"e,
É¿- = -
7=
= o
c o ti g re emp lazando- en to d e i¡ r f lex ión 3 .-
=7, o -r
-
I as ec uac iones en e1 inf init o.
i5:"t"nuo 3¡
-7
se obtiene
D I F E R E NCI A LE S
que e1 pun-
En cad a una de 1as c ur v as s iguie n t e s construir g -ráfíca y hallar los punt os ñáx i ¡ n o s , m í n i m o i y a" flexión : a ) x = 2a c t g, 0,
a cc
1a in
y = 2a s en?o
d A' de l a d o x, h a l l a r S i . A ,és el ár ea de un cuadr ado d A Y AA cu a d r a d o , e l nuest r e que una f igur a co" l t" i t S OLU C ION: X
SOL UCI O N:
E1 l a d o :
dx-?\ -d e- = Z" c os ec - O | t
d vlcx = 4" ?f Igu ala nd o
¿. ,
s eng c os o J a c er , o y r
arnbos A=x-'*l¿frt?Bt:
-
3! = 2¡. +
dx
2s en 0 c o s 0 . r " n 2 0 =0
g = o, !,
+
sen2o.rurr2e- o c on
zsen3ocoso
:
2serrS0 c os 0= 0
fu ializa¡id o nenoS :
=
E I á r e a d e 1 cu a d r a d o v i e n e d a do Po r :
c ada uno de los M áx = 2a
n
valores
hallados
Í:i Íffi'u:"l:';ffil: :il:ii":"e"'l:ttl"'"9':I:ili*
obte_
par ax = 0
Pun to de inf r ex i6n:
G 1,
ex¡"ta?
b.)
/3L
y = s ent
b)x=tg t,
c , os t .
SOLUC I 0N: De m aner a s inilar t iene : M5 ¿ = 1 / 2, p ,,ñr^
rte inf
par a I ex ión
parte
M Í n = -1/2,
x =l :
que la
(-
,,-ji,(o,o)
(a)
para
se ob x = -l (
,:l
]48
as f 6rmr¡1as Para e1 ár ea y e1 volunen
$r,LIJ.Q_ION:
son
la figura Toirando cono leferencia mostrada al lado derecho.
c J
=
I dA = 2¡rdr I --'l
F6r¡nula exacta:
'a) . -
Para e1 área: ) S = 4rro,
A+AA=¡(r+Ar) +¡ (Ar) 2+2nrLr
diferenciando:
dS = Strdr;
AA = rAr(2r+Ar)
sustituYendo
dS = 0 .24rm? - P ara
el
volum en:
SOLUCION: v
E1 volumen de un cubo viene dado por:
-
4J 3
rr^
,
dif er enciando:
r eem pl azando valor es dV = 4¡r'.dr , dV = 4n(9) (0. 01)
v= x3 I I
dv = 3x2dx
I I I I
d a to s :
dV = 0.36nm3 área:
Para
0 .24n x'100? = 36n x 1 0 0
dV = 3 (3 6 )(0 .0 2 )
dV =t 2.1ócm3 El área del cubo es : ) A = 6x-
derivando
;
dA = l2xdx
;
dA =
L,44
$x :
"ln2
roo=$t
Para el volunen:
rggqplazando dat¡os :
dA = 12(6) (0,02)
datos
dS = 8n(3)(0'01)
¿Cuá1 es un valor aproximado del error que puedt. terse al calcular el volumen y el área de un cl rl r,l arista ó cn, si se comete un error de 0 r02 cm al dir 1a arista?
Reer np l a z a n d o
ttr3
SOLUCION:
A = ¡rZ
A+AA=nrZ
iil'll
jene 3n,--a) ¿Cuá1es son los Si a1 rneclir e1 radio se obt . medi.das aproxirnados de,S ¡' V si las. áitói"i'náxinos e1 caso cada es-en b) m? zCuá1 rón r"g"tas hasta'0,01 por ciento? tanto en expresado error ñá*ilno
El área de 1a corona será:
3.-
v = 4/ 3
4t ¡ r l y
de una esf er ¿i
dV x 100t 1/
= -ia:-o . l s 6 n x 1 0 0
llzt)n
i i
$ .1 0 0 ' 1 1
por
Dem ostra r inent e ,
me d i o 'I
que,
d e d i fe renci al es
a¡rt' o' r l i tl
ldx
di f erenci ando:
x+ox**,
del
p a rti mo s
1 __dx x *2
(x + A x )'
=
1
l;¡;
3 > 3(100) dx
segundo miembro:
0.01 cm. -< )/l 1a Inc'iició¡''rl:: x es y el.error-posibl? va:" í y = x-'posibl:.i"t es .9 cuan,to x = Ll, ¿Cuá1 ?l_:ttot pari c.btener val'c ór de v? Ennlées¿ ;;;;-t"^tyJtadá s aproximados de (27,g)2/3 v Q6,D2/3
Ax (x + Ax)-
x+Ax x + A x -A x
;
dx
, si tnpl i f
i cando:
ION :
(ax = dx)
Y = x2/3
F inalm e n te :
'I dxl x -;Z-= ó.
valor es:
d,\' = 3xZcl x , sust it uYendo
S O LUC i O N : P or c o m o d i d a d
2 *-1/3 - -3-^ dy =
1q. q.d.
f.dx
nara el volumen dc t¡tl a p ro x i n a da i" la11a r u n a f6 rmu l a 'abic ¡'I a d e l g a d a de bxtren¡idades c ás c ara c i l i n d ri c a y e. el espesor I e s r, l a a l tu ra s i el ra d i o S O LUC IO N :
/3 .r ro.9) 'dy =- -3.z (?7\-1 \¡ \Lt) dy = 0.2
= *2/3 * Lz7.ü?/3 = y + dY
- r¡r)?Í. ¡
v = n(rz+ 2rd.r*drz)Í-ntzl
+
--7 J
x-1
/3 dx
? ( o .e) T e 7 ) - 1 /s .
= 9-2 C ál cul o
una caj a en forma de cubo, de Se ha de construir de capacidad. ¿con qué exactitud debe construirse para que el error en eI volumen aristá interior -r¡ás o de menos? sea nayór de 3 cirS de
la figura
? l\
= ( 27) - , _
v = n(zrrlr * drz)¿ a Ten iendo en cuenta que: dr " ry 0 ' como: dr=e (d a t o ) V ! r (Zrdr)t ;
SOLUCION Tomando cono referencia
valores
rlx t- sustituyendo
Cá1cu1o de (27.s)2/3
D e l a figura nostrada: v = r ¡r+dr)z{
x = l0cm
*
V = x3 = 1 o3 (por dato)
del problema 5.
tdn tr
¡r0
de
) Ia ( 26 - t ) - '-
(26.1)2/3 = y + dy = (27)2/3 - * = 9-02 = 8.8 Usando diferenciales,
ha11ar un valor
O')'1
/3'(0's)
' aproxLlnadode
i i 5 2 g¿ ¿ ¿ una de las 9. -
siguientes
f
= j__-1
e
Zr'x ,|-.
Gd -y+dy=64
,ñt
para x = 64
,
/2
dx
i /'1,
l' 1 0 1 ¡ = ( i ooo) l /5 - t
zl64
=
= * **
1 dy = --a'. ^
.ñ
ffi = ffil
.rI
2 ,/1 oo- '
J=
o.ol + 0.0004
=,=
o.0104
9b
9b
y = xl/3
SOLUCI0N: Sea:
-2/3
¿y =** x = 125 {ñ=
dx = -4
Y
-z;?=r*¡-'i ñnoo ¡v \ l uu 90
ffi
Para:
100
Para: t
--Ltrt
6 E = 9 .9
ox
ldx y + dv =- l - 7
SOLUCION: Aplicando los mismos pasos que e1 pIo anterior: dx = -z
[1oi
't Y =V
Sea:
)N:
= 100. y
1 ta
( tooc ) - " -
lo.o33
1/só
/66 = 8. 125
p&rá"¡
1
1 / iOiO = l0 * 3o/lolo--
I
cieL c-J!'rlil)i') dx = io
UtiLi¿ando los resultados Y Pata * =-iooo terior:
IJC ION:
/66 " SOLLJCION: Sea: y = *l/2 rl oy =_.
1 rr 1 fl
expresiones:
y
dx
io N r
dx=-5
y + dy
/ñ6 - x l /3 + !* -r t t
\fe-
a y = - ** .
dx, reemplazando vall
-3/Z
1
dx
dx
v+dv =*-+t't
re s .
l f f i - ( r z s )1/ 3 + $ crzsl- r /t.( - r ) {720 - 4.934
,E
sea:
p.tJ
x = 49
I
ñ
dx = 2 ;-.Í9"*Plazando:
y
=- ) -
{rs
-
( 4?\
r'
.( 2)
CIO : l1
1
' :T-
GT l_
=
343
i l,'r;i
Diferenciando: .ly=S*2dr,-3dx ") dy = (3x'-3)dx
0,1399
dy = 3(x2-'t)¿x
v 51
/ 35.
xa
,Y = a - *T
Y = *1/ 5
SOLUCION:
¿y =* Y+ x = 32 Por 1o tanto:
ydx
Para:
y
J5
dy = + dx - 37"cix
dx
dY=x
1/5
*'5 x
- ó"'l c '
rty
dx dy = t*3,
=3 =
{ sz * 7
{Á=
Dif er enciando:
S OLU CI O N:
-4 I s
+-
y = {TTT
, '. r '4 / S
.(3)
"ara
\
:
Dif er enciando
S OLU CI 0N:
.
1 dy =V. ( ax
t1
+ b) - '"'adx
t-
/35 * 16 . - '
z .037 5
td x
=
z,[ax.-b
ffs. ION: S OLUC
Sea:
/4 y = *1 dy
.
x=1ó
y
y= xta-x
-i t4
I
/--;----; L
SOLU_CION
= t_-3/4 d x
Y + d Y = *1/4 ' +' ' Para:
ur,
..L
. {-2x).d;c
cly =
dx d'f
=
dx=-l
dv = f f if \ . *
ñ l ={1 6 -(l g )-3 ',o r D
ft=z-+ = 1.9688 {T d1 cada una de 1as siguientes Ha1lar la diferencial ciones : 3x l--Jx Y'
= -J- z*L.¿* dy '
fún
/oz- *2
I
l -+
sE ae
l-. r
, = ,[.u1-'
ds = a e -' . [b ) cl t
; iI LLJ C IO N :
l-.
f
ó.
u -
ln
cv
il
^tr t{e
,t üu =
;;-
, . , Vr . r . , ' \ c , uv
,
--3'ú'v
du=
Il i fe re n c i a n d o :
S O LU C IO N :
f
I
X
cüv
=
\t
"
,d v ou=1
I , v . , . - l/ Z ¿, , = 7- ( r : + ¡ J
S OLU CION :
ds = a b e " " . d t
---F
/' ) ) /:t' -x"
S OLU CION :
p :: sen a0
sÓL_ucr oN:
/) ) /a" -x" . dx -
Il i fe re n c i a n d o : ,I.r
d o E a c o s a O.d0
-
(- 2x)dx
' )?
a- x 8. -
lnsenx dy
5Q!_U!_!8N:
dy 9. -
10.-
P = o cos0 S O LU CION :
-
I s enx
cosx dx dy
= loz- *z* tl¿*
= cotx. dx
( uz- * z 7/^2 - * 2
d p . c o s 0 .d 0 + 0 (-senO)cIO d p = (c o s 0 -0 s en0 ) d0
a2. ¿x
\
dy=
- *-
-*z i-u'-*21/^z
1-
s = e" cos
fit
SOLIJCION:d s = e ds=e
v
J
f-Í-
=t--l-.
I
A
tc o s n t,
sen¡t.
dt
.¡ = LI
12 *
J
-
Y --
2+Y
t(c o s rt-n s ennt)cl t S OLU CION :
dy=
f a
( a+x)
YX
SOLUCION:
Diferenciando:
¿y -*.¿*
Ir ll2/ax
-
- h ( + G) - 3 /z.d x
2R
dy=
c lt-net.
z,/;=
dy= +
t"-1 d* I zxñ J
d y' - a ,
,/t4
/a-x
2llx a+x
1 I
'
dx
,a uy ( a+ x )
d¡' en función de x, I ¿ dx de cada una de las cs ccuacrones: )) ztr'* 3xy + 4Y"= 20, I ON: SOLUC ár¡ ry + l. É=0 4x + 3xff"
p = 2 seni¿
dp= 2."'+ ü
SOLUCION:
do
dp=cos* , o u to "
5-C
^ - at
sen bt .l.r
S O L U CL O N: rfs = (-a e -" t ds 17
1q.q"d.
dy=
'22 a-x
* be-at
s" nbt
cosbt)tl r
4x*3v . =- ffi dy .ax
= e- at ¡ bc o s b t - a s e n b t ) d t
x" +
p = ,Elo SOLUCION:
A^
-t
7 COSeC-0 Zlc o t
= - ( . 1 ¡ . 5y)
(3x + 8y)tf
Ó xY- + 2Y- =
S OLUCI O N: ? ?
10 : : ibos
Der ivando
dv , ldv 3x'+ 6y"+ 1zxy-ft- + 6; É
0
Y= rn/++
m ie¡ nbr os:
= 0
17"--;-
S0 t,U C I0 N :
,., (12xy * 6y2) _:¿dx D i fe re n ci ancl o
/cx- s
{F1,,
-5
;F
"))1udy
I
i*
dv / = _
)
¿
A,,e
12xY + 6Y*2* TvZ -.dx -', 4xY + 2Y"
x+4@+2y=a.
dy=
(6 x-s¡2¡ + - s*¡ a
¿v . = =i-9* rox-5fi4ltxf : 19 .-
.- : + o. y 2,
- ti r :
: -'I
o' " =:@ V 6x
=
si x2+
__xdx t'= ^', demos t ra r q u e d y Y S OLUCION: Diferencia n d o a mb o smie¡nbros : 2 x d x + 2 y d y -g '
SOLUCION:
1+ 4q rftr + 4ñ * e#.
eE t r).*F=-(r- z.E)
r* =
si-
i
.-.t., uy
'2v
rix
D ej ai nos e1 rest o
_t 2x
7/\
f
7/ 3 Y -'
z
2y=x SOLUCION:
z/3
"4
z
^/+
2 - 1/3 + "-;-
JJ
-1/5
v'
-J/V dy = _ V_+.
,t ,, |
-
--i-
)v t^
"
,t .,
.x
rle
I
dy
l- e
OX
'?i-
r
-e
¿y=*
yz = 2Px
sen (x -y) =cos (x * Y ).
-dx
dl_=p -ñy
-'
dx
l-
;.,-1
c o s( x - r) " [t- # l
dx
cálculo áe *f
S OLU C ION : dv '2p ,., LJ
S O LUCI O N :
= -se n (x*y) .
t' * a;l
dv"l
dx
zl r/z .dx
+xJ
|-.--; + xo'
+
.¡-. . ut (1 )
ds = /l .x
ds
ds= tr . rtl*l1' ''. u*
tenemos:
xdv
UA
hallar
dx
.
D e (.1)
-
26 , -
--
dx
x +y
S O LUCI O N :
uY
S abemos que:
- OX L=U ,
x-y=e
Calcul em os pr im er alTlent e uy
S O LUCI O N : -;- x
cur vas'
de las sigulent es !n c atl a una x de Y dx' funci ón
dx 2 4 .-
a1 lect or '
en función Cá1culo de ds .
cos ( x- I)+sen(x*y)= f.o, (x-y) - le n (x + y ¡] *
ds=
dy-
dso
cos (x-y) -sen(x+y) \
[, L'
de x Y dx:
1la
^1 ¿lt t L. dx . ¡ 9) L1 \clx - J
211/2 I lr * p=l . dx t' I
vl
¿l
,
reemPl'azando:
|
11 ¡
ds=
L 3.
)?')') b - x- +
tz
^ zlt Y .¿x I
, ds=ffil.t,-r
zp*J
7? ab
a u yo =
$ o l u cr0 N :
a
j¿=
,¿ _px ')
?b'x * Za"y
úx
jr - =
+
o -
d-x
Der ivanclo I
x:
tt
.,#P tft". u* ,
r
r Js =
+ié=-l
L
r eem Pl a z aacio :
tt
ds
+ tas z * ) 1/2'u
f-
z'
/ 1+t ag"x ' r ix
=
ds = secx"clx
reempr azando:
una de las de x y clx en cada
ds en f unción
* o..21tt z
|
ds = lt
9J- = t apx d-x
( se cx' ta g x)
' -'l ds = Lr . tSl '\' '' 'o*
4)l
ds =
= *k
#
Derivando respecto
)1
lnsec x
slgulen
AS:
.¿x
y=x
^or'J
Der ivando
:
I
*
-z 5X =-T
d.y + cx
N JJL =J X-z áw '
obt ener
Par a
go:
- ¡.2-b
ds=
^2 4. -
2)*
¡*2 -*27
ds' ,1=
.dx
ds
: r eenPla za¡ do t t eneit os
"
| dS = - T
. dx
r;*-
/ - +. . , - . 4. . ix . la i >¿\
^r
4J
z
->
4v dx
= 7x-- 3v 3x
11\ " 1r.,
:
Derivando:
-'>
za¡i/* = 3x-
I
(t)
. -9+l I
t1 I L
z ]t/z ds = [, +r4rr 'taii .o* ^Sustituyendo
,
^ 411/z
I
4xi
L',
L
/z .dx * r.dX {v, r 211 J
r
6xy = x4* 3 SOLUCI0N: Derivando: 6y + r,*:=
f l1 l!
ReenPlazando
.l rr
dx -
a.Z -::::zay
en:
en (Z)
d s= l' ,JzJ:p !11/2.dx Igx ¿l
si npl i fi cando y haci e do l os canbi os' respoc
tivos
¿r-x4tl 2x'
*
se obtiene:
ds = [r . cSl\' '' .u*
d s=r. tj
.#4"', dx=
[.,
"*Jt/z-a*
d, = F-l-!:t. 8.
lx
z
o*
I=cosx' SOLUCiON:
SOLUCION: tl tl
'/ T, ,
,F
. is = f r . (j* ) ' ) ' ' '
' *i= o
Luego :
r
ds = l1 +
. vll /2.¿*
?41
XJ
a+
L
; sustituyendo
x - Z/qxl1/Z x
.t*
'uA
I
da una de l as y cl y.
y:
E mpl eando Hallando
+
cix
.
x-x e-e
.t .,
-ar-
L" ds
f. ll t¿
( 1)
Y
f ór m ula:
1a siguient e
1 / z .*A/ , , , +¡.; d lfJx . 2 1 |
L
-f
-z
r eem plazando
lt / :
?x
/.,
)
/yo r yt"
.d Y
P- l
vY"= x" ION: SOLUC
J 1-. I t LX (e+ ¿ 4
,.1 os=p'
de (1):
?1,
I
r-
+
=
I
ZaY =
Luego: ds=[1
y = senx. SOLUCION:
dx ciy
| ^. 2 f 1/ 2 . d Y d s = lt . r- i l
-¿x t. ¿x _ 14 + e + e
ds= ft.(#t'lt/'.o* ,. - --4os = "z ** "-2**z-.o*
a hor a
hallar
)..
se n - 2 x.tl x
,1., UY
ds
dy x -x e - e 'É= E nt onc es :
cur vas,
s igu ient es
. ) tcii x=f
+
Y2= ZPx' SOLLiCTON: Cá1cu1o de
, s i npl i f i candr-r
+ e "
S O LUCI O N :
r e e m p l a z a n c t r(s1 ) :
.u* ,
,r * ) , / 2 .¿ *
dv 2y = 2p# --X -Y = e lY
I
" " '( l
Por f6rrnula:
l l e rÍv a n d o :
¿s=t+ sen
r ds = ll I
= - z c os x s enx
+
+ r'y = ,ñ
dy = cosx ox
u, = [t . dp zf1/z.dx
Sustituyendo
d s= tt + c o s ' * J ', lu r
x
en funci6n
r z 211/? " - .ot ds = fr .- $H Z l L s ( a'Y) " - l
ds= ds*
de Y:
;s i npl i f,i c ando obtenem os ':
.dy
)-, \ +'t- = -:- -
'r13 au'
) l' t y"' "=
'r17 xu ' u +
$Q.t_q!_t!N: d xY *7Z z -t/3 Y - 1/3 -a tx Luego,
dx dv
r /2
' l ^)r,2
r
ds = [ t+ (:-f¿\
x¡l 3 1/3
.
,=
dv
l'
tzY)L
¡! r)*:!t!-
f'1-
t
*z/s lt /t
| Ll J
,,¿tJ
ds = 11 + i ;;--l
az /3_ v z i3 f 1/Z .dy;
---;r7 T- )
s i mpl i fi
= z*yz- Y2- z| Ü I r c s P ej a n d o x : SOLICIQN:
I
ión Der iv anclo l ; r ecuac
cando :
,LJ , , 24x
0
- Zy=
+4yx
1
'{=--4 +y ¿Y
dada :
ox_
+
y - z x y = 1-2x
v
.l'r v1
dy
f;-
ds = {-? ff 15..
.dy , l .-
.u^
uerrvando
S O L U C ION :
a= J x
dx
+
3t-
Ty
dx =:'T ^2 6 ,JX
¡2 , ' ' ' .a y * ¿ , = l- 1*' s6 2 1 7, +r ts1 - l.. ' d Y -oo t
L+
a o s = [L + _ _ _ _ I Yx '
7
y-- 2x - 3y S OLUC ION:
eS
Desnej a n d o ;:1 , x - i)Lj-.I-
o b te n e n o tt o *u z.z
'
-'f'
1/7.dv -+ u' =* ' F*'o' ds = I-r . 1fl Y L v'J curvas' ha*ar ds' sen r v ) :;'.-;t:1:'"
"'?u:"'?i"i:rf
Y = l2-2 ca
*l= .dy
t''' .0,
y.
x = 2t r 3,
ds.t{ft#f] '¡2.dY
a=-fu.
tl "'""' u , f - dx. ^1 d s = l r .tffl
(1-1.1-'1''' uJ [r + " ..or= ds = {-. -*7*J Lr
Entonces:
1 6 .-
en:
Sust it uYendo
¿3 a Y = X
))
(ly
s ds =)z- /or'-1 2v+1 'dY
te n e n o s :
ds= tr . ,$i,'ft " .o, . i .' os=L
I
cyL
Luego,
2 *
i
#=
ecuaclones:
2t'
= t
-cálculode ds; aplt'i"u".uliÁ1',Tt."'
ds. Lt . (#) "J" ".u*
,
r¡r r
r¡rlrtlr!!
ü
!! !!
ft1 1/2 L1 + t"l de senr:
-1) u L A l CU IO
á.,
dv dx
S ab en o s que: sen '
f=- -
dx'ds 2t
seri r
Cá1 culo de ds: r cis = Ll { tf,tt'.
ds = z fr t' \ .,t,
7At
AUJ
|
É
C OS T
= clx ; re e mp l a z a ndo equi val enci a.s: d; = -L + cosr = /¡ z /l + t' /t * t'
x = 3t - ,
dY
it =
dx
Derivando ambas ecuacio::es:
,^^-.G
- UL
l* =- r .
3L = 3cost
Idx
=
-+>YIIL
- Cálculo cly
J
¿? ds
^
C áIc ulo
¡"1
d s= lr * J )rl z .otat
ds = 6t
I.7.a,
se IIT
- Cálculo de se¡rr: S E NT
=
6tz
ot,l*T
'
6tñJ * =t¡a/? senzt, SOLüCION: dx -t
dt
dv &Á
dt
t7 y=a/2cos asent. cos t - as ent cost
2"
ñ*."Jt.u,
4sent ) dt - >ds=- sent
de sen r: + senT =
-,"n'ñll&.
-3cot
t
/1 6+9cot-t -r
de cost: - 4sent
cost
=
2 - s"nt/t6 +9co t t
cada una de las siguientes nde0Yd0 -
i t*'-,
111)
3cos t
cosT = I
.
=
- Cálculo
r'1+t'
- Cálculo de cosr: c os T '
.,
-
de ds:
=F* fficot"tl "".('
- Cá1culo de ds: l-
cosr
I =3sent .
uu
ot
d\' . .2 -a? = ot
?
S OLU C ION :
y = 2;
S O LUCI O N :
+
-*a:i¿n!-*9-9-9g=4 añsentcos t
X = 4C OS I,
a
19.-
/;
fL
de cos r:
C ál cul o
LL
CáI c u1 o . d c c o s r :
a o ra
ds=at/Zsentcostdi.
+ serlr
= -4
-raSen!-cost arásent cost
=
SENT
| +r2 cosr
+
;isent.cost.dt
Cá.lculo de sen r:
r eemp1 a z ír¡t,1,¡
2 L +t2 sen r
3r;!)
I = acos9 goLUCTQN:
Derivando,
^
a
/ 16*9cot 't
curvas'
#=
hallar
-lasene
ds en fun
.
:170
nos a continuación
Cal c u
ds, = ds=
1/ z "da , lo', ,*u,']
reemplazando
r 2s tz [u '.o , *^2r.n 2 o fi .d0*ds'ca Lsen
)t
ds=ad
23.-
r ? ds = fgsen'0
' de.;
p = 5cos0
+ 1 6 ( s . , n z un t o ' 2 u ) f 1 d s = [ s , ¡r* r, 2 0t . o r z 0 1 + ds=5d0 d s = ñ l¿ g
u +c o : ' l l
P = I
0
S O LU CIO N :
*&
r
= -S s e n o + l2 c o s o
I 2seno)
Z+ (-5 s e n g * I Z c o s o )' ll
I
ds
ds ñog = 1id0 ds 24.-
= -seno
*&
+ Zcoso *
a , = ir
o .o r 2 0
ds = /Z
+ 2cos0. d0
p = sec
+ 1 44.or 20 - 1 2osengcoso]1 / 2 .rttt
zu *,"nZg) [rs ¡.0 ,
'u""]l/z'¿a
z0 z
ao = 4=¡r" "+ t'u'$t"gl)ao '"t? ]'^s\ ds= [r".0l- * "'4 * '^" +7t/zau
Lt.t*,
+ 144¡sen20+cos2slft t 't
ag
2'ds-['"'*''secz 4"''uu
a r =[r " ' f, $ tt ntuzz t)"
P = 1 - se¡rg SOLUCION:
'ae
1 1 q= [ r, t + c o s o ) 2 + ( - s e n o f ) t / ' ' d u
1 .is - [, s.or zu + 144sen2o + 1 20sen0cos0 + 25:;r.rr-t
,=
/z
+ cosO
S O L UCT O N:
+ 1 2senO
.ls = l(5cos0 L-
¿¿tss¡ru-'--11/Z + lbcos l6cos20u - 24senocoso-+ '9c:os'd + 24sen0cosul 'üe * 16sen20
-$&= -coso
ds = sec3*'uu
Luego: ds
=
ll1/z.ao [,r -se n o ;2+ ¡ - cosg
-
p = Z -
cos 0
,n
S OLU C IOI{ :
45 .-
ds
=
ds
= f-Illllñ
P = 3sen0 -soLUC-I-ON.: Entonces:
fr*r" rr'o -2seno + cos' ufttl- .uu
.d,o
"F . - ^-en r. ¡ ? 11t2 2"el1l /2.A - 2- 0- 4c os 0ts 2*r" " 'oJ l dg'[+tc os = -[Ct- cos0) "
={S
4cos0
{& =
Scoso+ 4seno
d s = f{ss*rro -4 co so )2 +(3c o s o + 4 s u n o2¡] I / 2 . a e
= SENU
-
do
-4cos0
P=2+3seno SOLUCIoN:
*& I
-
scosg
t1t tl
,=[¡ r *r r "no) 2* ( i c os s ) " ) " '.d0=L
[-4.gs"rr2o+l2seno +
* s .or z o]
1/z .dg
u { l * J z " r " e. a e
ds= lO.-
p = J;¡;ñ*
o=acosn0
S OLU C ION I
+uO= - an sen ¡ro
SQLICtQN:
r
'2
l)a
d s= [ alc os Z no ru Z n Z ,un2
+
-do ,!A -
4
( seng )
( 3- cos0) *
, , z r " n z n o r lt / ;¿
q 31.-
(Jsenz *l t. " ' * l
F
d s = 'l l ose'nó0-3_* rosen4d L f
tl= + r "n z.{
co:;
tl
,4 ús = ---t
. " , 2 + ] 1 /2 .¿ o
ñ =
.
rI
ds- ¡--t
d p ,=
tt-
-(ñ;f
4
4sen0 ' ( - se n o )_ +cos0)' (1
d s = [ - - - &: * -]6 se n zo l " ' ^^ L ( r *co so )¿ (r*co so )4 J 'uv
¡l+cos0)"
zU I 1 / 2 .d0
I
) {
Z + Zcosg"d0
---) ^ Ir-rcos:J a
(3sen0) ,= -
1 2sertb (1 -3cosü ) -
.>1
16
+
[(1 -3coso )'
144sen'0| 1/2 u9 )^ ___--l I . ^\+l lr - JcosuJ I
2* er " ,, = - !- - - r [1r - s .or s ) 'u) " ' ( 1- 3c os e) - L
[1 -3cos)'
_.j
4 [ +2coso*.or2orr"n -rEfi-L@ -
dp = -a¡'
ds = -----a-
de i f.r + -:er'Zo-, 1t't ,
L
I
4 - J C OSU --_--
S OLU C I0I{:
sz"- p = F c o5 -
/T i '- o.oto.¿ o
.
4
^\ tJ -cosuJ
d s = 4 , ".,2 $ .a e
(l +cosB) .
/'.ou
^- zL t-J- cosuJ
so L UCr o N: _$f=a
ds - *.|*
^,2 LJ-cosuj
[ s * . o r 2 o - 6 c o s t + s e n ' u -r l '
-
p = 4 r "n3$
S O LUCI 0N:
4senO
z^ f 1/2 t , 1 r= l .¿e ' o , o +- r o - e e n - - q - l (3-cosg.)-J " l(3 -c o s o )
no]1/zaa[ut { . o , n0+
d s = u / co sZno + n2sen2no.dB
t
/ 7
l0- 6cos0. d0
.0,
374
valuando
en e l
K
punto (Z,413) dá', ,3/2 -t2t
I | ----
-t-
¿ l_
l
íl7it
2tr 2
+c
f,,:
CAPIT U L O X DE CI,IRVANMA-RADHC CI.JHVATURA
( l, i) . /2= x3; S oLU C I0N:¡ |¿ -
.
=-z zY
1, -
?
Z y = * -;
l -0 ,0 ). s e g u n d a tl eri .vatl l r.
'n""":;"_':
-ai .= Cá lcu Io
deI
r a d io
de
"t.:;;
"
;
C á 1c
'
para
l
el
-= / --\
, re e n pr azando obtenernos:
2 ^ = - (1 * * 2 ' 3 / R ; e v a l u ando para e1 punto (0,0) I
6y=x';
?
(2 ,4 /5 1 .
S 0 L U C IO N : E l ra d i o d e c u ry a tu ra
¿y - *2 -tr=-u
d.2u -t_= ctx
es:
.Í$r,']"'=fj .#]"' * =|Jd'v --T (LK
( 1 ,'l )
Pu n to
se te n d r á ;
curvatura:
;? R=
cY
d.x
x
Jl
L
t3
-) ;
T\_
12-9 4
d2v
Z.-
1z x v z - s x 4
* ydx " d e .cu r va tu r a :
l2'
I
1z * y- # _- - T - :- 'r -
,2..
f,.,dv,z1s/z
L ' ' ta l l R -
.2 +y
d*'
Hal1ar el r adio de c ur v a t u r a e n c a c i a u n a i l e l as rl gu i"ent es c ur v as en e1 pr - r nto i n d i c a d o , T t a z a r 1a curv;r , t el c f r c ulo de c ur v at ur a c or r e s p o n d i . e n t e ,
t.,
2 y ( 6 x )- s * ' ( 2 á l )
¿Z-
6
y = se¡x; (1/7r , 1) s0LUCI0N: = cosx *f
d Zu - - t= d.x ,
/' o = [, :,:H'i]t =-! évaluado en el Punto $ R = -
(1lol3/ z
.l -
+
- se n x
.=:HtJt" , 1) R- 1
se t iene:
;
¡fi=xl)
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y2 = * 3* 8; SO LUCION:
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(1,5).
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( 1/ 4 r , ? )
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16v2
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l- +-nltls /z ll *-¡s:0R-i0€-
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4y - 4x(a;.)
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(5 ,2) x'- 4Y'= 9 ; SOLUCI0N: Derivando respecto a x: 1., 4v-4x ,ox * ') d"v O 2x - 8I#=
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R= +
5ñ R=T"tl)
Calc ular [ *1 , t i ) 10. -
el ra d i o de curvaturas en un punto C ual cl rri ,. r ;i ¡ en c a d a una de las siguientes cuTvas :
Y = x" 1. ,
S O LU C IO N :
sinplif icando . n*niet t t er ner lt e
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a"b"y- a"u"x ii{ dzy_ -------T-T--
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y' - - n * ay
f ,' ,
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S O LUC IOIJ : Der iwan d o : -,? 2 Z b- x - T a y
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?)7')
2. 2
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- -P 2 y 2 _ P-
:2 dx
R:
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S OLU C ION :
,2 uy
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[bu*f * ^* Yí) ' A --f-
') ) ) ? b" x' + 7-Y -= ab a)
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s o L UC l o N : zy*f
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".ro.ión
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¿ ,, .' + 9x* l'/ x = l1 , evaluando en el 6*-', nA-
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6x
con y sust i't uyendu obt ene¡ r os lt '¿icer t I ' original l
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v'
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v"
. rY r L u;)
(2r - 2v) v'
'r
2 ZrY -Y'
rY tL \;-,
-
_r-x I ..,
Re e rn p l a z a rtd o e n f{ :
l.
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+ vx-tfstz ,i^ = - [' _TT--|T-:T7ZT '
si npl i fi cando para e1 to (xt , y1) , se t i enr:
" -j ll +y" ix 3/Z 2(*l * yl )'
(2x)
..
I
_*-**.--:
* t)
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L
x2/3*rZ/S =u2/3 SOLIICI0N: Derivando :
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r
v
=-x"y -113
-Ll 3
v
-21 \
l r/3 -4/3 - r x -2/3 -r/3, ,, vl Y = -t-JY Y 3
x-1 /3
,
,, . r r/3-4/3. * -t*I x Y = -t-5Y
l L/3 -4/3. - 2 / t -r/3, y y , , =J t y , f x x I
-Lt¿
It
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: t o¡ nando '
--_i--
f --
t^ 1
1/3
..
el
valor
absolut o
\
f 1)
t
I
c á1culo del radio:
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Luego: Z 13/ z t- + ^¿r y- Y I --"--1-l lr I r¡I
tr +*-2t3 y2/3Js/2 ,evaluando
*[rt
rl. -4/ s+x-zt l r-rr I
R . J[.* rrrlt"
ft= en (xl
, y1)
2{Tl1
Y=lnsec SOLUCION: Entonces:
X.
l
t agx
rI fta
t.
.) -i 3/2 x Jlli
Y" = sec2x
¡l
L1+t a
sec x
= Secx;
Par a
E y al u a n d o e n R = secx,
(¡l
, y1 )
se
Calcular e1 radio de c u ry a tu ra en un punto cualquir: r ;r; (ol , o1) sobre cacla u n a d e 1 as s iguientes curvas : 20, El círculo p = a s e n 0 nll = SOLUCION: p' = a .c o s O -rcenA i
Reemp l a z a n d o
e n I a f6 rmu l a
| " LL ¿ LP + ( Pr J
p
:
, 2^2p. os2€ - - -? a2ser , 2e . p' . , ij. r, -' P
o
2,
n 20*u 2.o, zo^l 1 stz
" 2o
".,
+ z az co s2 g, u?r"n 2u
3 =
R =
---3-
zaZ
^a = _ ,
La e s p i ra l S O L U C IO N :
d e A rtl u i n e d e ,s P = a0 pt =a ;
L u e"so:
f z^z
zfstt
t a- O + a- ) "' ' ' ^ --;z;1.zur,
o
| ,
D_
para
t'
a
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'
+-"-*'az
"'',r,
_--l
t "re:-L'-ls-tre-| :
, se obrie.e
-
3/ a'cos20 , La parábola
P tt-0 el
punto
(o¡
o r)
u " J'''
^.____;;7_ Pi
p - u r".2
E-Q&!l!l-QN: p" = a t"g I
¡1 .t,
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en:
'
) 3/2 , ) -tp-"(9):l-.=_ p'+2(P')'- P"
R=
"
z1
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p,,=- lrt-re-
j
R eempl azando
ft=
azcos?a
S OLIJC IQ }J: , 2o(r' = - Ja ser llu 2 a sen20 , --¡) O
r
- l- , ,¿lJI¿
-.---'_------;-_p'r?(p,)L-pp,,
fu ',
Pz =
La l emniscat a
Pt
(Zsecz
*
1/zo = a
t"t
*l
se c
2 0€
t'x EZ
+ asec
4L1
1
Reenplazando en 1a fór¡¡ru1a del ra
22. -
La cardioide
p = a(1 -cosg)
SOLUCION:
pt
: fueeo R R
=
= aseno
lrl . ^2 ; ZL'l 7
;
/z runzs]3 - -l
pín2a"sen"0 -p1 (acos0 ) o, y sinplificando
sustituyendo
o.*F
La curva P = á sen3 1/3g SOLUCION:
P" = acos0
p, = r r"rr2{.ot-$
,donde.pl=
(l-coso,) B
obtenemos:
Ptt = 2a sen 3
*ft r"nz* t-t""$¡ "orz$
r 30 0 c os?A 'f - i s en- i l* 2a sen 'Reeriplazando en la f6rrnula de1 radio
de curvatura,
s e o b ti e n e : R = ¿ "I
..
o
"Jg¡t o -2
c
aJ
si nrpl i f icant lo
3a ^K = ^ s e n;
evaluando en (pt
, 0: )
28
La trisectriz
Zd)
(.os
ñ-Á
p = 2 a c o s 0 -a.
La cón jca
pt = - 2aseng p tt = -2 a c o s 0
2 7 .-
e 1 ra d i o
p " =
a (5 -4 c o s O)3 /2 9 -6 c o fd -
. P="
a(5_4coso r)t/, 9 6."=E-'
^ ..^1 vaJuando ; e
en
(ot
, 0l )
sc
) e-''-- a( c"- 1
) senJ-;-( 1 ccos6 ) "
( l - e co s0 )
R eernpl a zando
-
- ::- L
ic,s cn: )]
.A
en:
, G' .rr:r*u -ft=m,
se obtiene;
* = ' "t '-"-'l f1::::;;9."t""
s e n zo.q $ ¡ t" 2cos20
a (1 'eL) Ct -zecose".e-t -l ( =.,'" ..'.....r ¡1 -ecosg, )
Derivando nuevamente:
z.or2o(coszo)s/z-trtcos 2o)1/ ? L-zr"nzo ) senzo I
[ ^,, - -= .3zL-
J ,s/2 zo * 3 s e n 2 z o , . o r1 / 2 , t ] [,.' /'
t^1/a46'z3o.. zs*ss.ntzgI =tlsg+?q(2*serr2zo) " '=ra*q;' [t.o' t 2cos'zo
enl a f6rnula
, parael punto(01'0,):
? .\/? .
t
pr = a sen 30,= 2 (cos Zolst z
Srrs tituyendo
- el = - l-a{l ': - '_Cot T
; 2 p c o s 2 0 .p , +2 (-S en20) p2= 0
o,'* 35;r$ (e)=
'- 2 r 5 .
P
2 - ecoseI [" u @ z- t I c os o]- " ' fL- t]'" 'l ['l t
. SOL U C ION :
^? t-a
, 0. , ) :
[ ol
r Dar a
S 0l ,l l C IO N: . o( 1 scnS) a(t _--:--L\-x"-"-::i-i-= _ = "¿) (e ^r t-' ( 1 - ecoso ) ¿
c l e curvatura:
L a hipérbo1a equilátera p Z . o , Z O = a z Deri v a n d o
,
?oz
SOLUCION:
Ca l c u l a n c l o
/z - 113 I
1 p.l
+7
26. -
"2
D-
se obt iene :
del radio
de curyatura
una de las siguiene1 radio de curvatura en cada lar 'I"tiátla curva Y el cir Trazat án el punto indicado ' correspondiente' o de curvatura 1; t = 1 - X = Zt, y - tZ xt Derivando: SOLUCION: Xtf
Cálculo
de1 radio
f
¡
z
=
0
,
lt
= 7t
y"= z
de curvatura:
t 1 zt 2
l[*')'n q: l-_ xty
=
- rtx"
reemplazando:
SOLUCION: para
al ,
t
=
wl
Yt
I
se tienc: .-ll
t3
x tt
3 0 .-
x = 3 t", y s0 L UltoN: Der iv ando
=6t
vt
:
=$
xtt
o
ytt
z
J-Jt
"
.t(
31.-
paTa
-36t-18+18t2 (valor absoluto
= 6
x = zet,
y = 2
soLllcr-ON: xt
:
Der iv ando
Í l¡ L 4e '"
+ 4e
"'t, = Zet
Y'
o -Ze
x=acost,
= -a s e n t x tt = -a c o s t x'
t *[
t ueeo: 77)
¡ a s e n E+ a c o s f,e
-1 Yt Y"
S OLU C ION :
t^ 2 \3 /Z L a tJ
a-3 -'-T
¿ Íra
= acost = -asel tt
|=
[,u' "1"
,P ara
Roa
A
t - 1.
) 1+ LV
l
t
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l
t , 1,l)
^
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t-
lzt"-
IJ
rr_-a_l V IJ
t=1
para
;
6t"
t= tl
Y = 1.
= Zsent; Y xr = -4sent x" = -4cost
.,.
v'
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I
- 2sent
R:
en 1a f 6r m ula
* o'o'- " ]" '
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v ='i
Dara
'
t
R=
* tzt+f3t2 f, -
x ;
Zsentt
I
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K
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f-
8
Y * coszt;
lalue-I-or¡-:xt
o Zcost
xt r -
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I
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^2r"n2t*^2.orzt
x . 2t,
x = 4costr
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1. -t,
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S O LUCI O N !
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'X" = 2et Ytt = 2 e Reem plaz a n d o e n l a f6 r lulula: D _
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.2, r X = t + t,
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l,uego :
R=4/l ?
^
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Luego:
- 25ent
¡ -'116r Yt - -Tsenzt Yt t -
- 4cos?t
* t=30"
L ue gO : f
)
¡ 1z t n
p _ L4cos1 +_4sen'tl''' - Scostcos 2t -,1sentsen2 t R-
t - .1{}"
z ls*t1st
-8(+)tlr-oüq .,
R =i{: 57. -
para
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^/;
t5
- ¿ /J
#A P I T ULO
t-
(valor
I
x = tg t;
y -
absoluto)
c tg ;
T-Q.I,UEI-QN: x' = ,"a2a
TEOREMADEL VALOR MEDIO
f = 1/4x ;y '
-.o,* a2t
x" = 2sec'a.ara
y"
2cosec2t.cott
Entonces:
+ c o s e c+r]srz R= zseczt, cosec2t cott+ Z c o s e cra . , u J a , [ "
C o r n ¡ r r o b i i r e l te o ¡ e m a d e R o l l e , h a l l ¿r n d o e n ca d a los de K lilra d e i os si g u i u .:n te s ca so s l o s va l o r e s se a n u l a n . v f '( x) i(x)
f,".ot
r
P áI
t
a)
,
*+¡3 /L _ - -T61 6ñ -o-= z(2 )(2U)*2 (2 )(z)
= *3-
f (x)
3*'
* f ( x)
SO LUCI O N:
R = /T 38. -
X = t-S e n tr
I
SO.!!J_I-QN: Luego:
= 1 -c o St;
= l-cost xrt = sent
t
;
v'
F
T
R
b)
cost
+"urr2t]3/2
cosr_.il;-
R + -4
; tomando el v alor
f '( x)
=n
fr ( tl ¡
= ¡
= 6 x"-
x" * f( x)
L u e g o:
s ent
f ( x)
S OL U C ION :
[l -2cost *"o"2a o K=% -
x( x2-
3) = o
"
s x z - 3 =0
= T
2 I -cos t a ñ q l- -
t/z
I
absoluto:
Dejanos al interasado 1os denás ejerciciosr son pura aplicaci6n de fdrnul a,
el
cl u e cu n p l a
f '( x )
_t.
=
0r
T.
tx
de Rolle:
)F
Ia
y
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Jx=0
3 x( 4 - x ) = s Luego l c)
1-_
L*"0
fr ( o )
= f' ( 4 )
=Q
f [x) .4 +b x* .* 2 ' SOL U C ION :
* fL x)
,tz *
= tr' J
J* t
= ¡
l 2x-5x- - 0
lx L
(
{ * z ¡ o- * ; = o L x *P a r a
i* = o
0'
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b x+a o 0
= u ( Zve ce s)
r-¡no que
t
/b --
x=-_-b ]E -_
)
4ac
S Oj -LIC ION :
* f '(x) = 1¡ 2cx+b=0
'.
$.Q-LU!.LQN: * f(x)'= o ( = 0 1 x = 0rI senx t
f[x)
**
' ' l)
= s en fi x
- cosnx.
cosT[x =
^-
= 0
**
t agx -x = fl
Lu eg o
i
f' (e )
= 0
i
dad¡ t :
A¡ i¿r l iz'ando la^exPr esión + Sec'x =, 0 = (]
i l S E N TX _S C N 1TX
4
valor
r esPuest a' + t ? R azorr ar la icem os: Anal S OLU C IOÑ : dY ' rA t -
+
s ( y * t ) ¿f f i *z x Igual ando R ol l e.
a c. er o par a
0
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0
C ono:
0rfi
En cada uno nanÉra gue: 7 . L -" , a) f (x) = x , A
** ft(x) = Q 1 +.lnx. 0 x¡ e
' 0 . xLirx 0 xa 1
l ql l l I-gN
- |
x
= !
x = "1 = 0 f ( 'n) - 0. según el t eo -v = rgx, enr onces t ( 0) par a se anula si f (x) f t ( x) qt t e asegur ar se ¿puede R ol l e rema de ? Razonar 1a ] : espt r est a' ó y val or t r "t *- á'lt t t al gún
z secx = Q
¡ l*x)
0
x=
= Q
s o L U C r o N: f (x¡
ex
f | (x )
tagx
x= a rc ta q x = f ' (n ) f ' (Q) Luego : = f (x) x ln x . t
= 0
f '(x)
C
colLlPfend! nunca t onr a valor eg S abe¡nos que I a. sccant e p: uede t oiilar no cer o o f dos entre ( -r r r i"- r - por 11": " ( i) nunca se anula' ;;" .;;;i ;si ón' f' = 0 cuando x = - l Y Y=0 Z, Y ent onces 1) "= " ( v + si ' :^l l l " '.]i =i ," 'r .* r ¿ á R or te ¿ puedeas egu-
*
TTC OS T}i +
s enr x = c os f i x L, * = i ( un a d e l a s solucionesa) f' (;) Luego I f ( x l = t gx - x .
=
*"*
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90LrJCr0N: * f (x) = 0
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tx
' 2'
s enf ix - c os r x = 0
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S O LUCI O N: *f ( x ) - 0
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Luego : e)
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*r de ??r1':;'r$':"t;l^i"'r?i;,|1ttar
SOLUCION:
É
l,
u
-
L'
Reempla zando en la f6rnü1a:
f tb) = f (a) + (b-
1l if?i,'-'5l', r r b ) - f( 2 ) - 1 ' l
't
en I l ) :
1l)
ru stltu ye n. r ( )
bi
b = 4"
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f (b) = f (2) = l t f(a) - f(1) - "l r
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. 0.88
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f (x) = 1nx F(x) = x-'l
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tfin x2- lo x+42_ ' ,l x-+ x-20 ',i SOLUCION: Sea: f (x)s¡"-¡6 ¡ ',I
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x+a
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r r r i r r ..r .....( 2)
DE'TERI'IINACION DEL VALOR DE LA FORI'fA INDETERilINADA
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(2) en (t ):
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x
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SOLUCION:
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L
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-E;r
-S enX = 0 = -Ifm cosX ¡ x -> o
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i f(x) = (Tr-2x)senx f I (x)=-2senx+ (n-2x)cosx Entonces : (n-2x) tt-m
e$
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-2senx '¡ (n-2x) cosx -
T x +t
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x*z l fm * .e +6 9'
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senx
t
--
SOLUCION:
Haciendo:
f(0) - tas {E
llm
;
F(e) -+
s+
(1 -tag0) sec20
SOLUCION:
f'(o ) -*&r""zf
E ht oi .rc e s :
L
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, o!r) (r.+rag +' - O\^* o 4& ,""249lrn *.", -ln *t Y '' :Ol p.L
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SOLUCION:
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F (x)
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-
S C IIX
Luego : I lll¡
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Sea :
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Luego: llm
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;
F(e) =cos2e F'(e) 2^ sec u 2sen20
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15.
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1 f z.,l = .1[¿:*.r ;:i- L*.T- ..1 x- 1 L x+ |
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S O LUCI O N: Pr ocedem os de m aner a plos ant er ior es:
-l_] I -co s0
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SOLI]CION: L
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1 F' (x) - _-_
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SOLUCI0N.:,Haciendo.:
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14. -
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I -I-cos6 f l -c o s o l L]+cosü-J
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r 1 111 ' --v-l= vr | -a
x.s IOLUCION: Sea: Luego :
sim ilar
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-1-f-fnx
;
F(x) F'(x) =1*0=0 I + -
= xlnx = lnx + 1
a o ( i1 9 ,- l fm 0 -+o
ocsczg
sgLuer0N:Sea:
f(0;=s
;
F(0)
Luego:
f '(0)
I
Fr(O) = 2cos20
1Ín 0 -+o
cosg-sqn0.cq:50 senO -l - -;offi - cose = sec50 - tagO = ?oT5-OAhora llanando: * f(g) = coso - senO.ccs50
. sen20
1
0cosec20
ft (0) = -seng -cos0.cos50
á13 Eñ?o
no
zTn-
Lueg.o:
lfm -!LE 3xctgjx
riq (sec5€ - reo)= lq l+;am=ih=##*mÉ
x+o
f '(x) Entonces :
co t2x
F (x) = cot3x
- -2cosec22x = -2(1*cot?2x)
1fn
!o l ? *x-+o co t 5x
Ft (x) =-ScosecZJx 3 -J (l +cs¡23)c¡
1fm
Gz - Qz)ts#
i F(ó)= "o,fi F'(d)= -"o"."2
L u e g o,
=f,fr*
l3 b2-+2)tas+9 " ¿a tr'd+ o.¡a 6lá .rtza[r..ot2i$]
,*t
SOLUCION:
* 2rrx -lg il Tr - 2¡'xe'rx 4 x - 2 x( e r x + 1 8 x ¿¡ " n * * 1 ¡ ) ;
f ,,(x) =ZnT"n* * 2n2"n* * zn3xen*
Sea: f(0)=a2-OZ
( s eér ;o-tg o)' 'o'l
nJ 2 x( e r x + t ¡ l
f , (x) =ztreTx+?t¡z*"n* -?n i
f '(0)'-20
zz.- l rg
tm
Sea: f (x) ' znxerx - 2rx
;*" 3
é@:
{-r l4x x-'o L I
z
ig
0*r
0*;.
Llanando:
f (x) '
2 1-'
-senO.cos59 - 5cos0sen50
F' [e)'
1 2
SOLUCION:
+ 5senOsen50
* F(0) = coso'cos5o
1
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,lo7
I ON: SOLUC
I
/
F(x) = 8*2("n" ó
T;
, T,
L2^l
"or2fiJ
+1)
F'(x) = l6x(efix+l) +8nx2enx + 8rr2*2"n* Ft, fx) - 1ó(enx + l)+ 1ónxerx + 16rxetrx 'Luego:
ig# t'
lf
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x+o
2x (e "^+1 )
. 4r¡2
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4',rZ enx*2r3*"7 *8n2xZ enx lÁGÑ .1, -:,¿ttxe"x 2 --g-
1Ofl
-*kl tiTti4#l h2
[-l
SOLUCIW:1irn x'+o Haciendo :
= t.a g x -x
f(x)
7
É s e c x -l
f '(x) Luego:
I
rrrnl j -
Nuevamente
f t(x)
= s
2 2x tagx+x r..2* ^¿ sen x ) x-|o x'+xsen2x
Ft (x) - 2x+sen2x+2xcos,lr F" (x ) = 2+4cos 2x-4xsenZx
??
f"(x). : Entonces l-r lfm lf x*o [x'
¿cos x-¿sen x 2cos 2x
2cos2x 2+4cos2x -4xsenZx
ffiFflg
x*2 L x-
A .fl4l
---T z x s en$ 2xsen +-
1T
z
secx á
XSENX
cosx
rf Zcosx
1
I I
*X
*tut4*P
F ' (x ) . -2senx
ft (x) -Zsenx+Zxcosx Entonces:
tt1 .,, [*."s*- + ,".*J,IL rn lt * -2, z X- )
r
-l
+x) F (x) = xlog (1
(1*x)* +F F,(x)=1og
loge
= 'l
- -17
,,
llT
F (x) . 2cosx
= 2xsenx - n
r+
fix --T s
¡l
1= - J-l LicTl*t xJ
1tun
- f
2xsenx-r Zcosx
2- 4't t o'
+*f -Tj
Luego: -
+a * {tx
4
= et+)- 1
f t [x)
a
f (x)
1lx J tL
Llanando: (1 +x) f (x) = x -1og
F.r* - * r ".*]
SOLUCION: xtagx Haciendo :
..
t"c+] =xlrT ,.."q - ftZr"" *2 "J
SOLUQToN:
5
lf n x *T
,
-
rl
--]
1Tx
'cosJ-
t- llJ t tm l-*¡1 x-ro
=! 25 . -
?
n^ltlt,
F (x) = xZ*xsen2x
= 2senxcosx
x
fL4-
tx z -4) cos - Á
F , ( x ) = zxco s%- t*"t Luego :
,
*¡,ac#=+ *-F
g Q L UCI ON :
P(x) =
llanando: -v
,,;1X
f ,[x) = Z x s en$
x*o
7 an
x-
fiX t Í -'r4 -ó
f ( x) = ( " 2- a) . s en$
sec x- I
lll
Y - ¿+ :::-+ l
S ea:
L.
t- -
xta8*l --------'lEi
x*o lx-
f(x)
Ft(x)' 2xtagx,¡
.f
F
x-rz
) = x" t;¡¡l ¡
F(x)
;
r lm I r¡¡r
x-'o
loge
, - ltI
l og(1+x)-$ffi
=€
INDETERMINADAoorl DEL VALORDE LA FORMA
ETERMINACI9N lim
logaritmo SOLUCION: Tonando haganos:
Y@
i
(se nx) Egx
**T,.
ú
II
neperiano;
Pero anites
qé
l ny = tas x .l n(se n x )-.+ # - J _ = 1 n (s e n x )
f (x )
S ea:
F(x)
;
f '(x) -*ffi Luego:
Ft (x)
gi -Z=f.s e n z x
tny - s enrcosec -x -+ l lm
Entonces:
y=
x
I para x =-,¿
1
lim
rt I
.
= "L
l vl \^,'
x
,l
)
( f + i ¡" .) (* *
Y -
_ --:- .
ttx -1
paTa x =
X
y=e_
+
-1
-l
t endr em os: 7--= -^ Xt
l - Im x-|l
$Q LU- Q -!-Q N .:S e a :
1nY lny=
Fi nal mente
=.1 -x
F' (x) = -1
1
(senx) tagx = |
x ->oo
F(x)
f (x) = lrrx
Sea:
Reenplazando en ¡
x$ z.-
lrx
inY ' 1!
E -cosec
;
1 -1=X y=x
o cotx
-
Iny-[
1 '
SOLUCION:
y = (senxltaex
=
e
1
-1
=4
e
t im ( 1 r +) t
l )*
y*' = *1nd -' -¡;
l ny = x ln(+t¡
-S O L UCI ON :
Haciendo : f (x) = ln(2+x) -1nx
= Y fi n ¡ y +a¡- r " Y] ln x = y 1 n ( 1 * 9 r )
F(x) = | lx
;
s e a : f (Y ) = 1 n ( Y + a )- 1 n Y
F' (x) - -1 lxZ
11
f '(x) =Fi - +
lnY- ry"+--#; Lueeo 2 -
-. ttn x+o
a l' >
C * * t)* '"
v 2
Ee
Para T -'
J.-
I}m x+t
x
F(Y) =
1l v
F' (Y) = '1 lYZ
(ver anterior Siguiendo 1os Pasos se obtiene : = s¿ 1ím (1 a -.11I
ejercicios
anter ior)
. ct Rx
(1 + senx) lim x -|o
logar it r no SOI,UCION: Tom ando
I ¡
;
i1 t' ( y) = T*; -T
Entonces :
1ny
I = (1 -?'
tl-A
S ea:
nePer iano
:
L n y = c o t x L n ( 1 + ¡ t n x ) F(x) = tagx ;l ') f ( x ) = ' L n ( 1+ s e n x ) Ft (x) = sec-x
r'(x) - r**
.
llm x -+o
(t
+ Senx )
/^
, ctsx "
-:-
= e
á-
.
cos: 6.
1 , x .x (e + xJ
Ilm x-)o
L
A
t
Lttego :
z
/t"t--{-\ | 1 I /_ x' \cor .& * -:
-'-7-
SOLUCION:Procediendo de manera sernejante que j e¡p1o anterior; se obtiene: l'un ("*
n *)1/*
x+o
u- l
,
_
'1nY
Iny = f (t) f'(t)
I l*
par a
xE6
C OS -;-
'r'Y=1
Entolrces ;
* 2 x\-. ¡ / \co s T-l-
I im x-f o
neperiano:
L 4 rA
1
(1 + nt)
t
, hacienrlo 1o siguiente;
l i nt
(cos¡J
x-+@
= 'l + nt
F(t)
;
= n
F'(t)
lny = n
, Luego:
2 sen -.,
A
- "2
([ + nr)"' lim t -'o Tomando logaritmo SOLUCION:
-z
I
--2
lnY=0 '
1fn¡ t-)o
1 l+
SOLUCION:
* |
Y =
¡ .o, $* 2
+
lny
= *2l"1t ot
Haciendo:
n
')Y=e
+ nt)"'-
(l
r !
e"
= 1. / xZ
F ( x)
f (x) = In (cos ?
-3 x
L
-S OR
f'(x) 8.-
L¡
Ise n - - - J
I
Y-Á
/ r \k 1fm \cos frf
=¡
,\\
---7'l cos- A
')
1) x
x+o
Sea:
SOLUCION:
lny'
y - ¡ .osf¡ *
xrn(cosf)
Haciendo:
lny ?
f ( x) - ln(cosP
-'+3.( rr(x) +)
r(x) = r' (x) =
-* tus!
'
nuevamente tendremos:
i
I
:
i
f(x)
_., x
s
?
2 a9 -!l
I I
iI
f ' (x )
rl I
sec
¿
;
F(x )
*rÉl
s
--J L
1
F' (x) - -l x-
) :) x
Luego:
1ny = -2secZ 2 X, 1ny=-2
-|
pafaXoo
y=e-Z
IN D IC I
Entonces encont¡amos qu.e: lfm '
(cosá --
Xt
X+ @
Pa.q
C A P I TULO I I
*2 - "-2
V ari abl oc
-
Funcion'- '
/
L'm it es '
1
L-r-nri tes' C A P I TULO I I I
NOTA: a !or ej ercicios restantes son nuy s imilares los resueltos 1o cual resulta tedio,so hacerlo, dej amos a1 lector cono para :1"::H::uencia y.
sv
l¿Ld¡
.
to
D eri vaci ó ; r ' P robl a' n as' Des ar r ollado
31
b
C A PI TULO I V R eg l as
par a
P robl ena s
der iv'ar
f unciÓ nes
algebr aicas
desar r ollados
C A PI TULO V A pl i caci ónes P robl enas: P robl em as La deri vada P robl ei nas
de 1a der ivada ¡ 'f áxim os Y i'lí ni'nos des ar r olladas cono r apidez adicionales
de var iación
40 ó8 B5 111
1 ss za6 229
CAPITULOVi 239 funcidn - Derivadas sucesivas de una ?54 I Segundonétodo Para deterninar máxjmos y rníni-utos 264 - R¡nto de inflexidn CAPITULOVII " logarltrnicas y exponencia - Derivaci6n db funciones 269 les. 2g {t trigonon-rétricas - Derivadas de funciÓnes 301 inversas - Derivaci6n c1e funciones trigononétricas 513 - Problemas comPlementarios CAPITULOVIII 319 de una curva - Ecuaclt¡nes paramétricas 342 paramétricas - Segunda clerivada de ecuaciones .CAPITULO IX 3+7 - Diferenciales
*4
I l( ;
CAPITULOX 6¡r'.,'atura - Radio de curvatura CAPITUI,OXI
374
3ll l| de1 valor medio Deter;ninaci6n del valor rle 1a forma Indeterminada $ : ',,| Deterrninaci6n del valor de 1a forma inde.terminada
Teorsla
:
, 0.-
y -
DeterninaciAn 0o, 1* y -o.
- a del valor
4ol) de 1a .f or,na indeterrninada
lmpresoen losTalleres Gráficos de Editorial"San Marcos" R.t.15-058 2 8 _ c Av.Garcilaso de la Veqa911-At.4O4
409
cnerüuotr I -r
VARIABLES
-Fu¡¡clottEsY LIMfrEs D ad.o: f (x) - x3 - 5x2 - 4x + 20. Pr obar quq: a) f(1) = 1z; b) f ( s) = 0. c) f ( 0) = - z f ( 3. l ; d)f(7)= sf(-l ) SOLUCI ON: 1.-
f(x)
- x3 - sxZ - 4x + 20
2 0r ( s ) = ( s ) 3 - s( s ) ¿ - ¿( s ) + 2 0
a) f (1)' " .r)3- s( t ) 2- ¿( t t * f(l )= 1 -5-4+ 20
f ( 5) =1 25- 125- ?0+2A
f ( s )= o
f(t7= 12 c)
CalcuIare¡nos
f (0)
v f (3):
* f (0)=(o)3-s(qz -q(0)+20 r f(3)=(3)3-s(3)2-4(s)+20 f(0)=s-s-6*r t f ( 3) =27 - 45- 1?, +20 f(o¡= 2s . . . . , . ( l) f ( 3) - - 10 . . . . . ( 2) P or condi ci ón d el pr oülena; debem os denost r ar que : f ( 0) =- 2f ( 3) R eempl azando (t ) y ( 2) en est a r elaci6n :
r ! 9 . !=- z + r ( o ) = - 2 r ( s)
f(3)
2o - - Z ( - 10) 20- 20 d) t
C al cul e¡¡os en pr im er lugar :
f ( 7)
f (7 , - (7 )3 - s e l L - 4 e ) + z o f.(D = 343-245- 28+20 f(7) r es l uego: f(7)_ - 5 f ( - l) f (-r) : (-¡)3 - s( - l) 2 f(-l )--1-5+ 4+ 20 f(-t¡
- 16
r q. q. d. - 4( - l ) + zo
y
f ( - l)
f(7)
= 90 f(7)
= 5 -> f(7¡ =51-1¡ -> 90 = 90 Luego: ffi I r (- r) ='i -;;3 - s (-1)z - a(-r) + 2 0
f (t
?-
sif(x)
= 18 ={- z^7 b)
a ) f( 0) ; ii:f .Su r l. L¡ Ci¡ a ) f ( 3) 'f(0 ) = 4 f ( 0)
**4'
b)
-
f(1 )= 4
e)
2(1)2+
f(-¿)
= Q¡
5.-
+ (-l)4
¡t * t)3-
f(t
+ 1)
= ¡3.r 3,,2+ 3!
f(t
+ 1)
= t3-
D a< l o f (Y )
|tz-
a
+ 1 - 5t - -
11t * 1Z
+
+ i j
4(t
+ 1 ) '-
5(t
+
f (Y + h)
1
')-
.1) =
f (t
(1)4
f(1 ) = [' 2+ 1 = i f(1 )
-0+0
2 t
f(2);
d)
f(-1 );
(0 )4
c i f( - l) ' 4 - z(-t)z f ( - l)
calcular: c)
f(1 );
= 4 - ? (0 )2 +
= t¡ -
zL? -11¡+12
=
s 0 i, t L Cí 0 ] ' i: 5>rZ-'lx+?o f (x ) = x 3
f ( - ¡ ) = - ! - 5+ 4+ 2 0
fí- r )
+ 1)
5x2 - 4¡ + 20. Prcbar
=
4. - D ado f (x)
lÚt
-
4- 2J
:)
1. 1. : '. "t i.
+ 6, de;r,ostrar {{ue: - y.Z-'?7t + h2 oyz - zy r 6 + 2 ty - 1) h
S OLU C ION :
d) : : ; l' = =nt- ' z ( z ) z + ( z ) 4 " ) r ( -2 )= 4 - z( - z) 2 ' ( - 2 ) 4 -g+16 4 -8+16 t(|i. '!Z = f (2)
5.
S i F( o) = se n 2O + cosO, hallar
r' f;' + h)
fC{
s o LU C I0 lI: 2É) a ) F{0) = se n 2(0) + coso b) r(*)= ú sen
);
ó,-
F q ) = senr * cos *
F( 0) - 0 +l
F $ =0+ 0
I I]-
I
2 (n) + cosr lt(n) - s6n 2r + cosf lt(¡) * 0 + (-t ) I'(n) * - |
cJ F(r)
I
I
'
lon
F( * )
r
Q
1
2y + 6 + ZYh-
2h' + h-
2y*6+Zh(Y-1)+
-f(x)=3(x2+1)¡+3x
hz
1q.q.d.
h2 u' h3
9OLU C TON :
f (x) = x3 + 3x' f (x + h )- f(x)=
F(0)
2Y - 2\" +
= x5 * 3x De,::ostrar 1ue:
D acl o f (x) f (x + h)
F( 0) =t"10 +cos0
- z(Y + h) b 6
2¡'i:. *' h¿ '
f (y + h) -,,2* =y ? f(Y+h) 2 f (Y * h) =y
F(n)
" cos á
h)2
a
f(-2)=Q = 12 f?2) F(0):
= (y*
[ (x
+ tr13+ 3(r- + h)]
= fx5 + 3*
?h*3*h2 ths *3x* 3hl
= *3*Sx2h+3¡¡2+¡5+3x+:lh-x
fxs + sxJ - [*3 + 3x] 3 -r.*
= sx}h + 3xh2 + h3 r' 3h = 3¡(¡2
+ 1) + h2(5x + h)
1q. q. d.
7.
Dado f(x)
d".ostrar q u e :
-f,
- f(x) ='+ x'+
f (x + h)
(1 ) entre
i l i vi di endo
g( y ) . a( z ) =-
xh
+ h)
f(i
+
t x - f(x)
10.
1 x
1 x+n x-
x
ñl
1 -v
D ado { (x)
iog ffi,
0 (y ) + 0 (z )
, =9 ( -,,v+2 J
lq.q. d.
xh
0(z)
ó ( z + r) - ó(z) = 36(z)
+ 0(y)
od-+ z )
- l- o s
r nn
l -y
'T
+ loe "í
x ó(z) = 4z Dividiendo (I) enrre _(2) :
(2)
1+yz
¡
I
-(y
= 1og
0 (Y ) + 0 (z )
.
bgi ffi )
= $( y +z) .
+ yz)
* yz)
roer*#) . rl;]t
l (x)" - 9^
-2.
')
(2):
+vz- v -roetffij .1
*
A
1;;
v - z
!9!!r9J!N: ' t(y) -t(z)-'
j
1+yz*y*z
t
o({#)
1+z
+ z) / ( 1
'l + yz_-
Div id ie n d o ( 1 ) entre 1q" q. d.
-
1 + (y + z)/(1
7+yz
o ¡I-I-x
S i + ( r ) - a x , d e mo s tra r q u e : 0( y ) . o. z )' l (y + z )
.l n Y . { . * ."
+x
1+y
0G) - tz r f(z + .t)
9. -
z'\ -)
denostrar que:
o ( ) ' ) * o ( z ) = ros ¡1 -J¡ (
.89!&.roN:
f ( z + l )-0 (z )= 3 $ z
+
/\/ ^ (\ r
| -x
0 (x) = log
= 4 2 , d e m o s tra r-q u e :
ó fz + r),:r.l z l =f* -
=
7+yz
I Dado$( z)
'l( z)
o( y)
= | ^Y+z
SOLUCI ON:
h
s.-
+ z)
ó( y
S O LUCI O N :
f (x)
(2):
f)\
Lin 4x + 5 x-- ffi"'e
L u e g o : O(y) + O(z) - 6(ffi) 11 .-
= s en x r - f (x) .
Dad o f(x) f(x + 2 h)
Iq.q.d.
l"
S OLU C IOI{: + 5=
l fn4x
que: denos t r ar 2c os { x + h) s e n h .
¡+ol ¡+J
*!-] * L LXJ
l fnr -----.-,-x+6 x[ z *{1
SOTUCION: f(x)
f ( x + 2h) - f(x ) = s e n (x + 2 h ) - sen x = s enx . c o s 2 h + s e n 2 h .c o s x - S e n x = s bnx f . o r2 h -r" n z h ]*
2 t" tth ' c o s h ' cosx
- sen x
+ 2 s é n h ' cosh' cosx'
= s enx . a o r2 h -r" n * .r" n 2 h '' c oosshh-c ," r¡' * .r" nZh = s enx . co s " h + 2 s e,¡h n h .c .coossxx - sen i i s e n = f 2c os x.c o s h - 2 s e n x .s e n h l 1 q ' q' d' = Z c os( x + h ) . s e n h
jjÉ=
ri,no**= x*- z .*
= r"n*
3. Li m
sen x
t+o
- S enx
4t2* 3t+ 2
4+o= 2 +o
z +3-
2:
=- T I
t5 * 2t
SOLUCI ON:
., 1i n t+o
4 t '+
3t
+ 2
t5* zt
= 4(0)2+ s(o) * Z (o)3+ 2(0) - 6
0+0+2 0+0=f
1 3
LIMITES
1
'i'
1 . - Denos t r ar c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t es ' rx+ @
!.Q4I-0N: Ll¡n Lx+@
) z*-
3x+Sx2
j:
{.
= -+
Lim.!+
4,
i gual dades '
: {¡
, . ' F - rl
* 3 xh 2 * h 3
=Tx
7
Zxh + 5h-
SOLUCION:
1fm h+o
rfn x+@
*2 h
t
5 x+ 5 x
=
r .h+^
* 2 [ 1* s ] 0 -¿ -u+5
z
r2h* sxh2 *h3 2 x h + 5h 2
= lf m h*o
lfro - h*o
)
|{ñ
x
trB2+sxh+h2l h[ zx * sh ]
2+3xh*h2 2x+5h
)?
= 0- * 3h(0) + x' 2x + 5(0)
72 0 + 0 + x- =T x=-*x
!ft¡ ¡
=T x
x-'@
=Q
"*4*bx2*c d*5+ex3*fx
S OI,U C TO} i :
)
..3
5. .\-q
r'1n x +@
5 X+ J
)--J c-\
t '
ax
Á)
4 +bxZ*c
dxS * e xS*f x
+ c
a(-)'
+ !( o ) '
d( - ) '
* e( - . ) ''*f
(-)
nf A
e+@+c
= 3i. nd"t er nine
+@+@@
S O i. U C IL )N :
f
1ín x-+@
6*3 - s-xz * j 2¡5+4x
xLo
= l fm
*3¡ z * 1/x'-
x-+6
-7
7/x')
6-5¡y+ 3/x3
rl n x+ @
2+
5/x + s/x3f
I
2 * 4/x2g/-
+ i/o
4/*
- 7/*
Z/x3
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1 A. ¡^ 'v
(2"
¿¡3+
2+0-0
o*4*bx2*c z7 dx"1
4bc x- [a +]+]1 xx
I l]il
e x- +
+f +{ +-a¡ "o t* xxx
fx+g
bc
1í in _ -
¡¡X
e
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S O LU C ION :
2z(22
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k)2
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x"
¡ ¡ +g
s ¡ Z+
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r].m k+0
deno¡ ninador
.,: ¡ + bx' + c
4kZ z =l
1J!)5
2 z (2 2
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AX
v
6-0+0
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. f.
+
)24 xo
-
x-
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x'
(z z + o )r-4 (o )L z
2z( 22 - üz gz3 - o = -. - 81 = 1 8zS zz,4z2
a ****
*.***.+ a = -ó-=
-
= 3-t-9_t-Q0+0+0+
U
4/*
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Lim S*a
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- 3/* + 3/*
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0
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¡s2 . a2 ¡ (s 2 - a z )
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3h + 2xh2 * *z h3
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S OLU C ION :
7 ) .,
a¿)=^'*^l=zaZ 3i r + 2xh2t
1 í¡n h**4-ixh-z*3h3
2d.2
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*2h3
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h" L3lh't h /l.J thrJ le-¿ attr
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,.x-Z
x-+x-6_
iÍtt{jJ*-+l-= lí m
*2 _4
2+3
.¿ Lím'ly - J y** 2u3+3r'2
Y*-zy3*syZ
2
ys¡+ly-t/ys1 =
1tun 4 ly -3 / y '
ys qz*sty|
y'i-
*",
1 zZx
!,,,
$ :li ¿ 1ftr I y+-
4i--3x/--?x3
a
t
=Q
i I
4Y2's
+ xt
5
T
SOLUCION:
t'tn
+ Zx/o ,
I
x+ 2x+ ¿
m= 11.-
* * I
_ 3/ -
fi I
s{i
a L1m x-|@
boxn + brxn-l
*
¿k 'un
b
QOLIJC ION : r1m
a u x n * a .*,l-1 n . . . * " ñ
x-+@
tt po*t1 /x+. . . . *"r,/*t'-{ = 1íx,r x-+@
boxn+br*t-l*.,.*bn
*t fbo *b,, /x* . ., . *brr/*t - 1-]
. * xan/-
f" o *" .,l x¡. ,. .*o rrl *t- l I ín¡
ao+ al
x-)@
oo+b.,/-+. . +bn/'-
bo*bl lx+. .. +br,,/xn-t
/* + .
bo * 0 + .....,..+
o
0
,i* h+.
a
r-rD 1 ttJO - - - j - n ")
= tt* ''n - 1
=
n n -l aox ' - + a l x --
+ ......
boxn * brxn-l
*
".*
L II¡I
cn
a
...*
bn
toln box ¡ l
* b l * tt-t* ..
^
ao(0)" * a1
_
= nxn-1
+
Lín lt*c
.+ an
*llt-l]
.....';- i +( 0 ) n - 1
+ 0
+
_-----^---_-
,Fl.-
ñ )r
2.1?
S O L U CI O N :
bn
I1m h*r
0 + 0 + ....+án 0 t 0 r..,..tbn
a =--JL Dn
r 'x + h
,E
Fñ+ñ
h
= a
+ 0
ñ- 1
(0)" ' + ..
bo (o)n+b., (o)t-1 * ..t
..+ b n
* ".- 2 ( 0 ) *
"'
= nx n-l
16. _ n-1
n(n-1) -- I)xn -' l *
n
S O LUCI O I T * :
+ a l x " ' + ....i " n
n(l-1)xn-2h*
fn*"-t*
l::
7
D,,.
x+o
*-n*n*n-1h+glStxn-21¡2+''+hn-xn
. (x*h)n-xri = l* jl
o bu
Iín x+o
, 1$
l f n r i tc h +c
S O L U CI O N :
i+ o
1.1.
cl
llirII;rr
n+ o
llm
h*o
n
q-
x + h-x
I1m h+ o
_ -
ir(ffi+f¡ I
lífi*
h
=-
1
l fr n i ñ - r - .l i = ' 17.
1
rE
.) Dado f(x) = x- demostrar que: '-{-(¡--. n, - ul4= Línr '* h h 'o SOLUCION:
2 f ( x) . x
1
lfr*E
fi
f .(+ h) -f (x) h
1-LIn h*o
2.-x2=r 2. z*Lf;'tL¡]. =1io (x*hJ r*" ¡¡
S OLU C ION :
n+O
h *O
fIYI
1íñ
I r¡l ' h*o
(2 x + i r ) = Zx + 0
=2x
1fm h-+o
= ax 1 S. - Dedo: f ( x J que ; i. ) enos t r ar
1 X 1t ¡l
&Uf,@=
l
lm
n-l'o
----
= lt
1ín h+o
E,
- f (x)
f (x + h )
1ím ¡'I+O
-h
r 1r] h+o
-ffiht
= 2ax+b =: l
x(x
S O LUCiCN:
F fY +1 .'\ -€fwl r\'¡rr-t\'\/'
r ln
= IÍn h*o
h
h*o
=
10,- si r ( x) = *3 hu1l u*
ax Z + b x + c
=
i i (x + h )
2 * b (x* i i ) + c:-?I2 -bx -c
f(x)
)?2 axt+2q
+
Lim h*o
I v fv + 1' l
2x
f (x + ¡¡
f (x)
= *3
---l-h
lim
x3* 3x2h*3xh2nh3 --x3
2ax h
+ ahZ+ bh
h
Zax
+
b+a(0)=Zax
Zax
f
b
cr* + ah + b)
il|
h*o
-f(x)
+!
sxZ
que:
=,.-L x
h
h*o
2h*3xh2*h3 = 1ím 3x =i i l h-+o h
I
f(x+h)
h
3x2+ 3x(0)
Da do f (x) = J- ¿"*ortrar
I hro
+ 31
h *o
h*o
L[nr
v i r fv
SOLUCION:
h+o I lfl
+ h)
2nbx*c
1 int h*o
f(x)
x- ( x
2
d¡:
(sx2*3xh*h2)
+ (0) 2= 3*2
t7
CAPITULOIII DERIVACIOÑ
Y+AY=
/ a (:1 + ¡Y"; -
[v * ¿v]
- v :
fe{.x + ¿-..)2]- o*2
Ay = [Ax-' * 2a:*Ax
* a(A*)21 - .*2 .) 6;i = 2axA:l * a(Ax)-
de c ada una d e 1 a s s i g u i e n t e s 1 a der iv ada Calcula r i,-tn cio n"s us ando la r egl a gener al '
l.
l'-
- rAX y- = 2¿ ¡ + aAx
Y=2-3x H aci endo
S O LUCI O N :
A \t
a y = -3 ¡x *# =
7.
I {r.
-3
-:¿-= dx
')
2l- = Zax Ax
Y = ?- 3x y + A y = 2- 3 (x + A x ) = 2 -3 x -5 Ax * lf J - Y = z - 3 x - 3 a x - 2 + 3x [y
segundo mienbro:
el
A x -+ 0en
JL ctx
= Zax
'/ S = 2t - tSOLUCION: ?
S=2t-t-
-3
Y=mx+b
S+AS,=2(t+At)
- (t
S+AS=2t+ZLt
tz
(S+aS)'-S=2t+
|Lt
I O N: S O LUC
€=2At
- [rnx + b]
-
- 2t¡t - t2-
(¿t) 2
ztlt
zt/tt
- (¡t)
Zt - At
*
AS = ZLt -
y = r nx + b y + A y = n( x + Ax )+ b + -Av'] l-v - y/ = tfrnx * m[x * b] tJ L)
+ at¡2
-(At)z-
2 dS, = / dr
AY- m x + m Ax + b- m x - b
ay = n^x *!I' ¡ Ax
n
3 t.-
I=Cx
' Sol,Ucr oH:
1i
hl
3Ldx
'{
ÉL
I
y=cx ^-_3
Y'¡lx
¿QlrulilllN: t
Y'e ¡
y + ^y
+,ax)s - c(x
- 2t
zt +
18
ay = s¡3*
scxZ^x + scx(¡*)2*
c(Ax)3-.*3
Au * 8VAV + 4(AV)2* 6V2tV + 6V(AV)Z * Z(aV)3
Ay = 3.*2Ax + 3cx(Ax)2 * ,(A*)5 *,
= tu + 6y2+ 4Av + 6v¿v + 2(Av)z
*f=3cx2*3cxax+c(ax)
A)' = icxZ. .1-x 6.
-) -gIdx
= icx2
y = 3x , x3 proceso idéntico
g= AV
8v + 6v2
y=x
4
dV
4
) r =x Y+ aY= )¡+Ay.
En el segundo miembro hacemos que Ax
0
4x (ax¡
4y= Ax
u=4 V2+zv3
3*
4x3
-'
segundo rnienbro
dY = 4x3 dx
2 0+1
SO LUCI ON:
SOLUCION: p=
:
z+zptv|s u + Au = 4v?+8vav++(tv)2+zy3+oy2ay*6y(ay) (u+Au)- (u) =4v2+Bvav+4 (^v) 2*zu3*rl2¡av+6v(av)2*ztdvl 3 -4u'
+ AoJ- o
z
url
2 o+A0+l
p+AP=
to
;---t
r
o+40+1 - 'zt t
,
(¿x) 4 - x
* (¿*)a
2 3 4x3* óx2^x + 4x (¿x) '+ (¿-.)
Haciendo Ax -; o en el
3-3x2+d)r=3-3xZ dx
u =4 V2r zVS u + Au = 4(V + aV)Z * z¡V + av)3
2*
ay= 4x3¡x * 6x2(ax)2+ 4x(¡*)3 Ay Ax
+
(x + Ax) y = (x + ¿x)4 - *4
ay= *4* 4*3¿* *i u*'(¡x)
-a v-= 3 - 3 x2 - sxa x - ( Áx) 2, Ax
'f
+ o..,2 v
8V
.$OI,U C IOÑ :
( )'= 5x - x" y+Ay=3(x+Ax) - (**¿*)3 (y + Ay) - y = 3(x. + &.r) - (x + A*)3- (jx - *3) ay = J¡+J.'lx-x3- 3x2¡x-3x (ax)'- (*)3-!***3 ay = sax - ixZax - sx (.¿x)2- (nx)S
Ax
clu -+ -=
al anterior:
.IOLUCION:
¿Y=
.+0
E n e l s e g u n d o mi ernbro
I"{aciendo Ax -+ 0 en el segundo miembro:
-
2 0+l -
ap=
( o+ 1 ) (0 + 1 + 4 0 )
cú
do
2
ie-
(o+'t) (o+1)
AE
de
segui l
(* 2 * , 2
l^) =__
t+ 4
t SOLUCION:
2
C;P
t+ at+4
S+AS=
't0.-
2)-
-
dx
A O + 0 en el haciendo d o mi e m bro.
,\g
(x-*
2l
óx
=
bg
(e+1) (0+1+¡s¡
o.(1+0)
7?
x4*4x2* 4
dv
-2A 0
? ¡ í1]
(0+1 )2*
Ax
O2+ 2el + 1 + A O(' l + (,)
0 2 + OA o + 0
ae+o + l +
6x
6x
Ay
-2A0
20-zLO-2
20+2
t+ at 3 Y =- ., xo+Z
S+aS
-$=
t+At+4
t+4
t+At
t
!üLUCION: AS=
5 vra y
t2*
t'tt + 4t
t2*
=
(x + Ax)"+ 2 AS
33
( v* ^v )-v=ffi-7;
.L
A'
* o*r*t**4xz* Av,
1' =
x2(¡*)2+4 x a ¡< '+ 2 (a : c )z +4
3 [2x - ¡xl
2+¿xa:<+2 (a:c)2+4 Ax x4*2*3Ar.*4\2r*2 (¡x) En el segundo ¡niembro hace¡no5: A:c 'r 0
-1.
4 rlt
I ¡. +
=-t?,
segundo miembro hacemos
t!'t Ac + 0
ds4
é=
.l +
t2
t-
7
1
y.¿#
-Ox¡:c - 3f¡:c)2
- 4t
t2+ t a t
AS
n o - sx,Z- 6x¡x - s (¡x )2 . 0,, =- sxZ 2* z x ? * 4 x r+ 2 (a x ) 2 + 4 * 4 * 2*3a*+ZxZ+xz (A x)
tút
; en el
Af
6
av e' =
- t? - rat
1- 2x S O L UCI O N: )'+aY
1-2(x+Ax) 1
(y+Ay) -y . -* 1-2(x+6¡¡¡
:'a' | -Zx-1+2x+7 .!\ 1 - 2x - 2 tx - 2x + 4xL + 4x t-x.
ay=
i L=
(2x - 1)- - ¿Lx + 4xAx
AX
., LiJAX
-
ADAt 2+ ( Ct +D) (Ct+n¡
Aq
(1 -Zx)z
=-
Y ^
A q^n-paásA n-B l .pv t\u
+
o
(c t + l¡ 2 r ( c t + n ) c a t
at ¿lo
_
-
At
u
.
i solucloN: -
p+aP
=
7 H
A o=
y= T 0+40
2A0 t)
(ei2¡'+
(0+2)2+ (o+2) Ae
A9
2'
ap_
r 4. '
(o+2) .,
2+ (O+2)A0
AO
(0+2) -
^
At+B
b =-
+0eneL queA0 segundo mienbro.
(Ct + n¡2
y * oy
(x+ax)S*1
(y
Ay
2 ,
(e+Z)L
ct+ D S0LUCI0N i S+aS - A(t+at)+3 -
dt
(e+2) A0
; haciendo
* 4 9ou = '
:-_
x'+1
SOLUCIONt
- e+ z
E-=-qo-
+ eA 0+20+240- t1.?! - t *
_g=
(c t + n ¡2 '
. En e1 segundo n ienb r c ' hacenos que ¿t - 'l
1
o+Ao g+40 + 2
i (p+ap)-P
CAt
AD-BC
AS-
H
1? t r'
¿,cr2+tecat+BC+ADL+ADAI+DB-ACT' -acrAr-Rt t -BCt -BCAt-BD ( c r +D ) 2 + c Ar ( c r + D )
(1 -zx)2
,*D'
dy dx
t
?
-
a_
=
n
Ct +
C t +CAt +D
* Oren; hacemos que Ax tonces:
a
23
At+B
= At+AAt+B
(S + lS¡-S
?LX ZLx =., 1 -4x-2Ax+4x'+4xAx 4xo -4x+1 - 2Ax+4xAx
c (t+at) +D
r
At+AAt+B ct+cat+D
* gxz(Ax)z*x(Ax)l - Ax l, = zxla¡c ,x2 * xa:c
SOLUCION: Ay -J-
2x5+ 3¡¡20* * x(Ax)2-
=
y +^ y =r - - - i ++
1 s 1 nacemos que Ax+0 ; en el segundo ¡niembro.
^x
(y * ¡y )
-y =
2x-
ay
1
Y+LY
(x + ax)
1
( yo a y) - y= (x*.lx¡ -2xAx -
ay= 1 - xZ - x^x
2*
Ax (x2+l ¡ [t + ¡x+ax¡
^?'
* 2*r z - *2 - z*L*-
22
2r ^2J 7*2*^21[( x+ax)
2*¿2
2 x + Ax
-:J
3l-
( * 2 * o2) [(x+ax) 2*^ 2f '
h a cenos que A x * 0 en e l segundo mi enbro.
ax
-v
(x2+ t)
('t * x2)
2x
Ax ¡x2*.2¡ ¡x2*a2¡
17.-
(*2 * 1)
/ = --; 1 - x" (1 + x-)
=*2 4 -x -
?
4-(x
(x"+ a')'
ly + Ax)Z
--T
* 2*
*?
ay) - y= +i
ay=
2] [ x 2 * 2 x A x *( a x ) ( + - * 2 ) - * 2 1 4- * 7 - 2 * L * - f * l
1- (r * ¡*)'
)
+ ax)z
(y *
[+. (x+rx¡'J U -*')
y=
(x + Lt)-
y + Ly -
2x
2x
¡ *2 , ^ 2 7 2
haciendo que Ax * C en e1 segundo miembro:
- *7 -1 (* 2 * 1 )z
ION: 2/_
2]
1-x?
=
= _v dx
(A*)Z
z*^ 2 1 ¡ x z *a z 7[(x+a x)
dx
- x
Zx'Ax - ): f¡xl-
(* 2 * 1 ) [ 1 + ( r + a * ) 2 ]
SOLUCION:
dv
x'+. . 1
Ay = , -* 2 4 * * A * - * ( a * 1 2
I
z2
A¡
--l-
1
* x + &( - x'-
[ (* * a x ) z + t ]
1
x+a
Ay=
x"&\
x=-
16.- y
7?a'?
x'*
-
+ Ax) "+
[x
*z
dy= dx
x+Axx
__----"
z*-L ;
1
( x+ax1"+
4:xt]
.4x
2'4x2 +x4+¿r5¡ur+ft 2 2+8x¡x+4 2 tax ) -x4 -2x5 Áx-x Cax)
..- r
*2 (A*)''
* a(¿t)2
.Zat+
b+ a^t
( l' * ")
haciendo At do m ienbr o.
¿r = 8xa x+4[¡x)2 -')-? 14 - ( x+nx.¡-J(a-x-)
8x + 4Ax
ul
.r_
^x
')
f4-(-x+a-r)'] (4-x") 8x
Ax Á,,
sf
* bAt
:
=
[ o- ( ¡ * * ) ' ]
* Zatlt
2a+ b
. hagemos eue'Ax -+ 0en ' segundo nie¡nbro. = __- , - j
-:.-a +
=Zat +b
u + ¿\ u = Z( V + AV) '
8x
-t[U
= 8*
i', [) t
2-zv3+¡v2
= 6v2¡ v + evl ay ;z+ 2( ¡ v ) 3- ov ¡ v - 3( av ) z I
= 6y2* 6V(aV)+ Z(AV)2- OV
?
19.-Y=3x'-4x-5 SOLUCIO]{: /
i + A), = 3(-r * A.x)'- 4(*
= cv
+ Ax)
?
=u*3*bx2+cx+d
,-4ax -5 -3x2+4x + 5 ' '-'2 ' óxAx + 3(Ax)--4¡ Ay = 3x'+
t
Ay=6x¡r*3(lrx)z-4ax =6x+3ax-;l
Ax
i
, haciendo qtre ¡\x * 0, en s e gundo nii etnbro .
dr'
iL=6x-{-+
=
óx -4
al
y
+ Ay = a( x+lx) 5*
b( x*j- r ) 2*
2+cxrax+d-"*3-b*2-t*-d (ax) 2e(^x) 3+b*2+2b*a*+b (ax)
AX
) 2 0 . - s = a t- + bt + c .? s * as = a(t + AtJ' + b (t + At)
) l ' t S + . \ : l) - S = : r t? + 2 a tAtr" (¡t ) +bt+bAt+c-at--bt-c
= 3.x2* '3ax^x + a(lx)Z+ c
. ( x+: - x. ¡ +¿
3*b (x*Ax) 2*c(x*Ax) *d- (ax3*bxZ*cx+di Ay-y=a (x+&x) 3+3 2 *3"* ( M)Z+a (¡x) 3 *b* 2' 2bxax +b ( ¿x ).2*c'* ax A* y-ax cax+
.t v
3(¡V) ; en el segundo miembro hacenos lV + 0
+ {P =ovz-6v
- ov
v + ay = 5x2* 6xax, + 3(Ax)2 - 4x - 4a,x - 5 2-+*-4ax-5) - (3x2-+*-s; y+Ay-y= (5x2+6xa:i+3(ax)
soL UCIONt
*
3 ¡v+ov( Av )2+z(¡v) -:v2 -6v^v-3( ¡v) u-u=2v3+6v2
( + - *2) 2
LY
se; un-
3V2
(4 - x-)-
( 4 - *2) (+ - *2)
->
+ o en eI
lbx + b(Ax)
+ c
+ 0 e1 segundo rnienbro hacernos que ^x .) 4Y=3axz*2bx+c =Sax'+2bx+c-,+
dx
+ Bii y + Ay = AC(x + lx12* (AD + BC) (x + Ax) 1l+ (AD+BC)(x+A"rc) (Ax+I;) (Cx+D) y+Ay-y=AC(x+Ax) "BDx -+ 0 en luego haciendo Ef ectuanclo operaciones ' e1 segunclo miembro, obtenemos 1o siguÍ'ente :
23.- p=(a-bO)Z SOLUC I ON: (g+¡0) + U2 ¡e*no; 21
p+ao=[a-b (e*¿0)]'=L^'-2ab
p + Ap = az-2abg - 2aba0 * bZez * zb?e¿re* ¡2(¡o)2 2- (a-b0) 2 p+ap -r=^2 -zab¡-zaba0 ,b202*'zbzg 0+b2 (Ao) 2 tp=^Z-2abo - 2ab¿g+b202* 2Ú grc*uz (¡o) -a2*|abe -bz gZ
9v
=2ACx+(AD+UC)
dY
=ZACx+(AD+BC)
dx g=(a+bt)'
ip = -2abA0 *
lbZOAg + b'(OU)
-:¿ = - 2ab + zb}g * bzao
haciendo A0 -r 0
'
^o
'3P- = AO
:
zb(bo - a)
d0
y=(?-x)(1 lOLUgIoNi
aS=[a+b(t+at)]3
S+AS-g=la+b(t
+ ¡t)]3
y + Ay = (2-x-Ax)
(1-2x-2Ax) (2-x) (1 -2x) 2
) - Z* 4x*x - zx}
x+Ax
y.f
.U-= 4¡ - 5 + ZAx ;SiAx+0 Ax
sowcro¡r:
- y = '--------1
^y
a + b( x
ay=
Ay=4x[x-s[x+2(¿x)
I
ytay=ffi
SOLUCION:
^,\ Ay = -4Ax + 2xAx - Ax + zxAx + Z(¿u<)z
2 5 . -y=[Ax+B)
[a+b (x+lx¡
; en el segundo miembro.
-r .4¿ =4x-5
7.
,
ay=
(Cx + D) + (AD+BC)x+BD
2]
x+^x
+ Ax) o
a+bx'
)
¡a*ux2) \
)
?
ax+bxj+4^x+bx¿Ax -ax -bx' -zbx "
ay= -_-
4I
y=AC.xZ
anterior,
, a + bx'
-2x)
2 Ly = 2 - 4x- 4 Ax - x + 2x + 2x Lx- Ax + 2x Ax + 2 (
=,4x - g I
(a + bt)3
2 = 3b(a * bt)
ds dt
AS = 3b (a + bt)Z At
y + Ay-y = (2-x-Axl (l:2x-zAx).
-lL "&c
-
siguiendo los mismos pasos que e1 ejenPlo se l1ega a:
- 2ab * zb?o = 26¡bo - a) '
b= 24.
;1";1.;egundo
SOLUCION:
-7 -xb (Ax) -
^x
?- ? .(a+bx-)
[a+b(x+Ax)'J
2 a¡* - uxZ¡x - xt (¡xl ¡a * b x z ) f a t b ( x * ¡ * ) 2 ]
a
3I Ax
- bxZ
x bAx
¡a* b x2 ) [ a+ b( x + ax ) 2]
a-b x? ^ y= ax qa * bx2) ¡ a+ bx z )
'
hac iendo A x o 0 e n e l gunc lo nien b r o '
1ydx
¡ a* bx 2¡ ' 2
se-
a - bx2 2 1a*bx2¡
P r oblamas Des arrollado
a + b xZ
28.
x?
solucro¡r:
y + Ly -
a + b( x
+ ax)2
( * * ¿x ) 2 a+b(x+A x ) Z_
n-o t---
"* bx 2
( x + Ax ) 2
*2 S im plif ic ando y o p e ra n d o d e ma n e ra s i ni l ar jem plo 27 . s e o b ti e n e : AY
dx
)
x
D e r i va n d o 1a regla
) a+bx'
2x+
^y Ax
2x
g dx
Ax
(x-+A x)--
a *b (x + A x )'
Ax
2ax ---T , (a +bx')'
A y=
^'\¡
J=
(a +u*2¡2
x = 1
(x + Ax) '
)l
a +bx2
1.,
+
haciendo Ax iem br o, . - 9r - = dx
(*2 - z)
-
+ 0 e n e l se g u n d o
zx i r eem pla za n d o e I va l o r dado de .x.
=z( 1) =2
(1)
atx - C ál cul o de 1a inclinaci6n Co¡ro: dy tag S clx . reenpl azand o ( 1 ) en ( 2)
"0"
: ( 2)
tag4-Z
E ' ángulo de inclinaci6n Z 9.arc = ú l 3o ?6t o6t l Fl nal ¡nente: | y tag
-
a p l i ca n d o
- 2
Ax ; .
a x,
co n r e sp e cto general:
- ( y) = *2 * 2xAx + ( ^x) 2 ., ^Y ) ay= . 2xAx + ( Ax) " 7
2ax
siendo :
(y+
(x + A x)2 a *b(x +A x)2
4r
- 2
5
y+
y+ Ay-y=
y = x'
SOLUCION:
'l
SOLUCI0N: v*Av=
1.-
que el e
2a
g_
i!
--2a
¿x5 .x 29.- v
l a i n .hallar l a p e n d i e - n te y Aplicando l a s d e r i va d a s d e 1 a ta n g e n te a ca d a u n a d e l a s cu r va s si ciinación Ve r i fj " guientes e n e 1 Pu n to cu ya a b sci sa se i n d i ca ' tr a za n d o l a cu r va y l a ta n g e n te ' é a r e l r e s u l ta d o ,
2
ó.
63026106rr
Graficando
1a funcidn
dada: -' D e n d i ente
- Graf i.cantlo: "
.flJo 2 6 tg 6 tt r.n'rrl
i ¡
r'rn
( : j, 1. 5)
z.
x ?. 2
2x-
,s i e n d o x = 3
SOLUCI0N: i
Para calcular la derivada regla general: ') y + ¡y = 2(x + ax) - (x + ax),'
aplicaremos
1a y = 4 x-1
z
SOLIJCICN:
2
Ly = 2x,+ zAx
siendo x = 2
'2
- Z* *
Derivando :
2 4"
(¡x)-
x+Ax - 1
')
7
Av ¿=/Ax AY
-¡r
^-Á x
Y ' el- x - Cálc uLo
haciendo
2t dy (1x
--'
ay= en el
segundo
mi.embro Sx -' 0
tag0 = y'
= -l
-)
(x -1 ) (x -1 )
Ax
:
x = 2.,
- C ál cul o
(para x = 3) de la inclinacidn tag4 = -1
de l a
tag0=yt
"{l
hacienclo Ax + 0, en el miembro .
;
segundo
aY
-E--P ara
2-x
-4
(I -lI (x +^x a x -' l )
x+ü{ -f 4x-4-4x-4&r+,1 (x-1) {x+ix-'i)
4 -= x-l
.y+Ay-y= ay=zax-xax-
Y+LY=
I 350
tagE=-4
325"
- Graficando
(x-1)z
Ax yt
= - l¡
inclinación
(x-1) +
g=arc
f 'qr t :
I tag( -4) I
I I
1a funcidn:
r=F
4
,'.'Q
=-75e57¡50¡
Cá1culo de la p0rax=1
endiente.
y'
= 3(1)2
35
inclinación
- 6(1)
yr-_3 tag¡ ll
2
0 -
q
I
I I
= -3 -71o33'54r'
Q ='t08o.26t06"
ó= 75" 57 ' 50r'
I
I I
t
punto de 1a cur va y = 5x - xZ de l'a t angent e es de 45o
I' l al l ar el i ncl i naci ón
I
I
I
4 .-
y = 3 + jx
- *3
¡ siendo
¡
= -1 SÍ la
SCLIJCI O)J:
Cálcu1o de la pendiente:
tagQ=1;
Pa r a :x= - 1
l "t
=
i ncl i .naci 6n de la = ( t bnando 4 5' 4,
I=3+3x ¡re n d i e n
Q
es 45o ent oices:
1a t angc'; r t e
a ani: os nier r br . os)
'
y'
pero:(tagg=y,)
= 1
...r.
.,...
Igualando y = x5 - 3x2,
siendo x=
SOLUCION:
(1 )
Cálculo de .la pendiente:
.. ..(2)
y (5) :
1s$-2X-r'2x= ReenpLazando el valor
y=s( 2) y=*5-3*2
..(i)
De t.a curva- dada: y = 5x - x-z llallando 1a derivada:
tag 4r = 6
5.-
t angent e
tag0=tag45"
Y' = J - 3x2
)- ' = J - 3(-1)z
en el- que i. a
-> 4 x=2 de 'fx" en (2) :
- (42
y = 7 0 -4 Y=6 L u e g o , e l p u n t o P d e l a curva buscada es: P (x , y ) = ( 2 , 6 )
En la curva y = x3+ x
los puntos en.las
hallar
a la recta
tangenEe es paralela
que
y = 4x.
e l á n g u to fo r m a d o p o r P ara c a l c u l a r tes apl icaremos 1a s iggi'ente- frmula
br) -
fnl
SOLUCION: ia petrciiente de: y = 4x -- lEllenos
tag
de la derivada
x = t 1 ........(3) Reemplaeando c a d a uno de tos valores de itxrr en curva: v =x3+ x a) Para x = 1: v
b) Para
= (1 ) " + l
tasc= -
= f
)7
1+ ( - 2 ) ( 2 )
-3
+
o07 o = 53 '4 8 "
S OLU C ION :
Punto:
=7
(1 ,2)
a)
*2
)¡.o
x-Y + z
i Y2 = x'
SOLUCIONt ")j::itando
Y = x.+ Z Igualando
Punto:
2 =x+
- I cada una de las
funciones
da -
bt)
C áf cul o" de l a p e n d i e n te : l y=y+2
tY r¡-
Yr- zx de 1 a s Cálculo t) tag6 ' 2x - Para: x r z tagfr'2 (2)
2x2=2 x2=1 bl) Pa r a la curva y = 7 - xz - Cálculo de La pend.iente: Cálculo de la inclinacidn: x ll Ji
x
(-1 , -2)
l-x2-x2-
-.Para
'4
Y=*2
x =-l:
- x-
| + mlrn
X -)'+7o0
i
Y .='z yl
- Inz
rJ
-z-2
. " g o -f
Y - (-1)3 + (-1) y = -1 - 1
8.-
ta n g e - - '
va l o r e s:
reemplazando
de: y = *3 t *
It= 5x2+7,.,...,(2) Por eI enunciado del problema (1 ) y (Z) deben ser quales: + + 4 = 3xZ + 1 3x2 ='3 x2 = 1
v
Ia s :
(i)
Y'= 4 - Cálcuto
0 = 63026'06"
t'
ta g g =Z
- P ara x =- 1
tag9*.2
.)
y' = 2x tag0 . Yt =-Zx r 116e33r54"
Iti n cl i n a ci o n e s:
| tagol-4 + ó. - 75o57 50" 'f
1
2) t agS = I - Par at x - 2' t ag0. , 'l +0t
''l5o
x = -l
- P ar a:
- Para: x = -' l taggr= 1 o 02= 45"
ta g 0z = 2 (-1) t ag,i bz )
Cálc u1o
-2 del
ángulo
fo rma d o
por
l as
-2-4 1+(4)(-2)
ta g c ¡=
q,
6
-
D e rnanera si m il. ar
tangentes:
*1 'mz .l + rnrn,
'tag
t
ángu lo
H al l ar
el
en el
punto
a
o = 40oi 6| 0S '
,1 = 1u8'26t06" hacem os par a
de las
v = x 3- - Jx 2x+y=0
a) Ordenando adecuadamente cada una de las nes (curvas) dadas: J,y = x- - 3x Y = - 2x ,, Igu a la ndo (1 )
,
funcio
dadas
y=6+8x-*3
(2)
y '=
* 3 -x = o 'D [x {x
= J.
J
....(j)
x (x + 1 ) (x -1 ) = Q
y ' = -1 9 . G) P a ra h a lla r e l que fo:nan tendrenos que usar l guy ll a ": 1 a s ig u ie n t e f d rl m
= 0 = I
-nz tago=*1 1+nrn,
Lx =-l
b) A continuaci6n mostrarenos solo los cálculos para una de las curvas dejand o el- otro para el. Lec tor' y=x3-sx - Calcule¡nos su pendiente:
(jr3) :
.' Y ' = $ -3 (3 )' = -1 9
(2) z
3x--3x=-Zx+ ) x(x' - 1) = Q
,.r2 LJJ
de cada uno:
_.2
y'-8-3*2 de(2): Ca1culenos lrara e1 punto =
yt
y = 6+Bx
son 1as siguientqs:
(1)
y,
PuliLJ>.
?
. . . . (1 ) , , . (2 ) y
9y = x'y
X , =T
dc ( 1) : y' = t
SOLUC I ON:
A^^
( 3, 3) .
Calculenos las pendientes ru.-
1os
?
cur vas
de int er sección Las cur vas
$Q!!l C i ON : 3
-6
-0
tagQ= yt= 3x-- 3par a + tag9 = -3
+ Z = l ' l 6 o 3 5r54rl
+
2=
CálcuIo de 1a inciinación:
-3x2-
(3) iy (a): tago - s l - ( - l g ) . = l *( F ) ( - 1 e )
Reenplazando
0
- utt trg (+) o
:2 7 c2 6 t 5 2 t,
?) -50
-X
y = ¡* 2 -t )5 S O L UCI O N:
= s l*2-'t>4¡]A? (x-- r) f{
CAPITULOIV
[v=*2-
REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONESALGEBRAICAS 1a d e ri v a d a d e 1 a s s i g u i e n t es
Hallar l' -
Y = x. S O LU C IO N :
dv
=
a; )
funci ones r
y --
d
= 5] 3 r '
= s ( * 2- : ) .2x 4 + ox
' tu
= 10x(x--3)'
[.r =*z- syn= s]
y=/7SOLUCION:
=
d #, "' - x 2) r / 2 = i r ^ '- *2 ) - r / z;
(^2- *2)
u 2 -* ? y n = l/ 2 1 3.
* (x )
^2 = rx
=, L G2- xz)'rl2(.,2x>= 2
b*2
"2-
*2
"*4SOLUCION:
.:*
=
= ¡f {"*o- o*2) *
("*0, -*
(bx2)
= ,fr*al -b;1(x2) '= 3. -
4^*3
-2bx
y = *4/3 , s SOLUCION:
* * = *," 0" ,*f
rs l
=
4.-
4/3 *ll3 ^3 7* y=3x' xz' x4
+ + 6x(1 n s*?)1i2 + - 6 J x 2 z )(l + s x z ) - 1 / z s x 5 x (3 x 2 + 2 ) * u * = 45x3 + l6x =
F;7
' -, -2 * * 2 +g
x
S O LU C ION ;
u /s'1+ftcr.trt, ** -t [sxt3/sr- ¡tx-r = 39/s *8/5 + llzi'al3+ztrli*'al7
Comprooar cada una de 1as siguientes Al,
¡|
1
derivadas:
dldv dx
a
cr"o- 2x2+8) = Lzx3-4x
-'
dx
SoLUCIoÑi A
4l
S O LUCI O N :
*
2/v
'
=.$o. (r*o)-ft. G*z)+- -cx. c.**-zx2+8) d
A " y -'v
(8)
-¿ 1
=
dx¿
=
7
= 'l ?xu
- 4x + 0
dv
- 1 /2
*( v)
dx
ldv
; 7 '- d r
?
='l 2x" - 4x 10. -$
ox
r¿ + jx
-
-l
x
-2 x " )= J -6 x o
7.) '2x ') =&
(4+ix
d (4) + iF
'=0+
2A
dt
( zx-t)
t d tx r-L 'dx
-
3 \ *2t
=
z6 ? -J-
- --z'xx
=
-
d. 2,t-l
(z*ll) _
= (-1)2x -?
- 15 b t z
2
= -X
dt
¡ a t s - su .3 )
dr
.27
z-z
d
, 22
j,
d ¡3¡-21 dx
( - z ) ( 3) x - 3
?-
2
x
dt.
3p"+ts dr
t1 /3 - sJ/3) =,9 3
2t-1 /s
SOLUCION:
6, i
SOLUCION:
ÉT
(+
=+ ('t5) --q- (su.s) = sa t4 - l sbtz
= 12 - -+ t4 - 3--l dz'2 7'
dx
dx
SOLUCION:
s-
d --
dx'x'
_ d
-') Ox-
= 5at' ':
5bt')
(51) -F d
6x2 =5
11. -+ (uts -
3, ¿'
SOLUCION:
SOLUCION:
6|
d.2 [dx' x
-
7)
fr (¿+ts- tr'/t) -
I - T T rÁr)-É -d az - 16
d
,-r'., t- T )
*
Gt4ts)-;f cs.t/tl
= z+) J/3 - st!¡t-rts
= ---i.a
_ 8 -113 _ 2 { 1 1 3 3
_,a
=C-
16.-+ (z ;/q úx
x
3 -1/4 _ * r*-1 / 4 ) =Tx x-S/4
¡á" ¿
yx
.¿
Y
=
-tf
-
----,
So L UCIoN:
LY
.
r/x
,l-'Z
dx
ctx
=+. | , _ !
= + Gzl3)dx z
-113 -0
2
-Ll3
x - 1 / z- z g $ ¡ y - s / z
+ r:u'r',
(1x
S OLU C ION : -
dt
t-
dt
-
f e+ b +'cx)
*
3.-l
ñ * bt1 /2 + c;/2)
,-312 *!.-1/2 222
- -L* zt/i
f-ax
.b
2
-$ a
a
*
(.t-l /2¡*f{utt /2)"# Gé / '
SOLUCION:
Y ovax.r-
xG
r a *bt*ct2
=
x
=*,*, ";f;ol * ¡$-{.x)
3
A' =at (at-1/2
á
+_l_
4E
F
d
dS
= J_
d" = -
* ctZ,
---
1
+
4{l
a * bt
=c:2
c
t'
d , z-, t -/ dx 'x1/2
d ,r-r* 1 / 2 , dx ' 2'
-
'" Ed - r ztJEz/i -
5* 3 1 á +u* +"=2, r B.- dx'*
=
2 *-1 / 3 3
rx
dx
dx
_ x-5/4
SO LUCION: zl3 d . (x-'" z/3 - a-'-)
(.---
dx
-1/4
*
?
dvdr / F
d (4 x -1/ + , e x s l+ , +
=l* a2/3) =
xf x
47x
-!--=-
= 2Q¡*-1/ a + 4( + ) x- s/4
d (x?/s 1 7 .dx
ir I,l
=---f
SOLUCION.:
d ( z*3/4 * 4x -1/4)= * dx
tc
*0
L
x'
.&= t'
--i- * 2ñ
+ 3c ,1/?
+ñ
dv dx
2ax
2x ax
jr= lca clx ctx
SOLUCION:
A-
= _: dx
"
31
d d"
(r'ax) +
a
1
,^
-+Gx-t/¿
= +-# 2{ x
?,d ('/ F ' ( x ) =t F
G
-
(a(ax)
-1
/)
't
''')
s s /G- g* ) 2
., L
_ ex , -2/3
=?( 4
( - + ) a @ x7 - 3 /2
4 - 9x)
@ x 7- 3/ z
= --3 z/
- y' ( 4- 9x) '
= 1)
r = ¡ ¿l - 2g ; ---== S O LUCI 0N :-
a ¿f ax ^f-
-
=--
= - __-I d0 I _2e
=lu
i
/2 2 {a -x
dr
,t= (y l jd:_r = _ -_ d0 d0
dvx = +
1
2xffi
) - - ?l n
(^'-
dx
*')-
N:
_ Zg)
dy= dx
zo )-1 /2. I ¡ t - zo)
'- 9 - c t l - ( r ) . ! r ñ t
F7
d0
F7,Z
'ffi
' (Z 3 t2)3 ; SO LÚCION: =É (tA f'(t)
z s .- f( t)
1
ft(t) -3t')
= -t 8 r (z -z t 2 )2
o-rr"z-x\-1 / z.#ca?-xz) =-l:
- s(z - stz)Z.dtLC, - stz)
z
).,
' r3
(^2-*2)'7/2,[-2x)
ao-xo
^2-x2
Éx-
Gz -xz)s/2.
= 3(z - s t?)z , ( - 6 t )
f(0)=(2-
- -18t(z -' s tz ) z
SOLUCION:
s o¡ 3/s ; f '( 0) f(0)
d
de
=
_
3 __-____-__;T (2-5Q)zt
(2 -, so)sls
)
=i (z - so)-2/s.3 Cz- so) rd0 =----L.(-s)
?
5(2-50)¿/5
dxx
/ a t +t " t d a
1 t = dx9 r " - + ) 2 clx
O f l:
-
y
-*l
=
,
ta
b.3
+-rl
x
L.
oxxx d
dx
dx
_ - :- = _ ( a i- ?
.
jis =Lr*
b ,3
x"
29.'Y
= xffbx SOLUC ION:
t
- ,F7,
ll^2* &)-1/2 (2tl
rT--L t-
/rz /r 2 a +t
(-¿ ) *3
-
dx
2
*2
atbx
* tZ
Z
a-x
dv
2a
dx
(a +x)2
t= *,:,;+,
= d 1*,fi-u-*¡ -gL dx dx
. á = y'a + bx. J(x) dx
tZ
6b (a +-b) 2 *5
2a * 3bx
+ - :_
/A'+
A-
+ x.-i-(/a dx
::.. + bx)
( " *.l # ( a
2
a*E)
d.2 62+ c2¡-r/2. dr(.+r)
.(f
=
dv
ctl * L ' f, t
= ñ+
d = 3(a * " 4x'1 2 . dx ( " 4 x. 3(a *I¡2. *2
,/uz * rz)
dt
= F;7'¡f
; g r = - + o +j¡z
S O LUCI O N : c l v
* zt? ^2 2 'i'_a+ t-
=
-
dr
.z( a$ + =?('-+
i
ds
.
la
= z(a-b .* c "
28.
( 2- s e ) ' / )
("-5
27.-y=(a-*1t,0=+
-SOLUCION: - '-
3
__1_
-
- x) i .' ( a - *) *( a (a + x)-
,
+ x)
2'.
2.
(a + x)(-l)-(a
- x)(1)
y'/tao+ xoi
-a-x-a+x
(a + x¡2
1
+ x( *) ( a"+
(a + x)2
)
)
-1 t)
( zx)
x') - t t L.
2
x
-Za 1a + x)z 27 a+x
32.
/z -Y a + x dv
, oY
a
=
{a- +
r7
dxdxZZ
X
-
a
*
=
',
2
dv
-:T-a
dx
( a- xl
, 2 - *2*^2 **? (a
-
S O LUCI O N :
-
( "*
.,
/ 1 a 1 J-'; ¿ (' 2x) .y'a¿ =xL.x $) (a" -x')
=-
*2
dx dv
^5n
dvd,x -' ' --\ /--' dx dx /^2 _rr2
.*,",
....= -
2
+=
-x ' )
4xa2
'^2 * *2 .gI t
+X
-x
tz a -x
y
tl A
22 + X
Y
35.-
222 a+x-x
x-
t f l- t
r---72
(a-x) Q _. _l
x"
+-
.2 4ax
dx ^2**2 SOI,.tICI O\ :
z
d ./^2
....i- t- :- j
^2
$#=
='-¡r--------r¡-
+*2
E}* * t
22 a-x
* *2,
d x C tx -x 2)7
a--
x-
+ x-
^2
-(^2'*2)/^2
, = 92,64
(r2'*2)
'*2
^2
-*2
69 - 1002
de-
.fi4
t
.,) a-x
( ^2- r .2)- 1/ 2
SOLUCI TJN:
=!
$ d6
¡sz6:-ilt.¡
d0
(l
+ cx)
.1
l s-40.*(0")
OU
OU
(3 - 4 o ) ' 1 / z . (-4 )
zaz (J
401 ' 1/ z
-
SOLUCION:
., 20 (3 - 4e) : ¿g'
^^2
2e E - ? ; -
¿L1
,E-
22
F+o
gr =-
J6 . y- = r e .' v1+cxdx
dy rix
cx.$t,zi "-)-rffi.f
=
a/-xl
fffil
-cffi 2{1+cx
(r +cx)-t lz ¡c)
(r2 ' * 2 )
- 2c(1 - c¡t)
t
- x'
?
7 + a- 'r*21 i
(^2-*2) Ñ
ñ
( ^2 - *2)
=t
a(!tcx)ffi,l|1- $ c
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t +cx + cx + | /-, cx)/1 -
* * (" 2 * * 2 )
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¿ . ñ:&, ....'...'.._ \. ---) '1+cx dx
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S O LUCIO N:
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S OLU C ION:
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SOLUCION:
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Q-s¡¡2/3
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v
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2 -x l+ 2 x 2
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.-
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SOLUCION:
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* z x z )j -tz -,(1 ctx
-
. ,| \¿ - x),+-(¡
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(1 , z*2)Z f, 1? _1 _ Zx- _ gx + 4x_ _
., 2x'-8x-1
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- '1 l? - b x )-¡rc.
SOLUCION: (-b)
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Z (a -b x ) 2(a-bx),ffi
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d, '/ a+b0,
-air= ?6'\T-,
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-
3fa
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3 0 , (^ * b o 7 2 / s ds dr
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-2
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3a2G+6s72/3 47.
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,,
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SOLUCION:
-*,
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GAI
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y
+ x z . fj -; ' f s - 2 x ) - i. 2 , ( - z )
.., -
x' {S_2x
* z)Z f tc*
dv
J=
dx 48.-y=*3,Q-;-;. SOLUCION:
dv .É=
d
ñ(*
T-
-/z + si|
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- 3'mt -2+3x+x-
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(2 +3*¡ - zls.
. ¿t'3;zy_ 2+¡[x
(z+s¡¡Zls
( g)
¿ | ( x + 2 ) z+ ( x + 2 ) 2 ' *Ú F
, 7(x + Z) + (x + 272.$i6z*
?-
:"/2+3¡,*(*)rxr
,.
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+ 2)2
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5l .- y =
1-
yz-{y+{x
/I-T-3;
SOLUCION:
Zr
_.,'-GF
dv ,d x
SOLUCION:
,,m-ñ.,
d
Ax '.:) /1+3x
.# c/i-;-El -,ffi
# c3rn-gxl
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(1 +3x)-(1 ' 1 l' '
(1 +zx) " '.
ejercicios,
hallar
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7
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x =4
(2x - t)
dx
(*2 - *)3
el valor
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=
(s)
?
) t?
(z) t2x¡-1/3.
_
2 3(4)
*
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+' ^. . l/ s 3(8)""
3(8)""
, p a ra x . 5 '
(6 - 1 ) - s( 36)
+ e* ) 2/3)
1| ;=* [( z * ) 't/3
=--J-¡. = 6 7 12*l ;ut;-
x-3
SOL UCION:
12
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(l +3*1:t/3
;
=l _
48
solucr oN'
para el va.lor dado de x.
5 2. - y=( * 2- x) 5
s s /z l f* T
y=Gx) 1/3*C? ü2/3;
+Zx)
En cada uno de los siguÍentes
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1 _L
1ó
t
1
:- +r - - 1- 3- t( 64) 48
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1
1 *
'/1 . z*
gJ
1 -+
3'¡-==. (+,(r +2x)-1/2 , G) -n;ñ,¡{1 ¡r*s*¡ -2/1o ¡riTE¡2 'r'l\ + 3x
+ ñ)
# - *, t *
- (+) g1-2/s. +) u-112,
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1,-
;x.64
4 s(2)
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1 6
,
2 3
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5, 6
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Y =
x=2 áv á . */=:l/9+4xdx dx
SOLUCI ON:
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f .- - - '. - A
4x
, n * 4 *2 ¡-tl z .(8x) =-:
-
3x - 2(16 + 3x) .)_zx'/16 + 3x
=
9 - 2(16 + gj
;parax=2
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E
/9
ffis
+ 16
18 /T6;3
1' =
90
-
=
d '-:-l---\ r/25 - x¿'
dv É-.
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( z s - x z \- 3 /?
y
=
-
fiffi
rr
x
SOLUCION:
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(-2x)
dx
ñt
o, . *, * ¡G]
* * cll ca- *2)-1/2.(-2x) x
2 ;
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x=2
ñ
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J
x=2
-* 2 3x,
d ,ñ6'-*
dv
-ff=?I-r----.-/
# =* ,* t
i :-l
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dvd *=lx dx
x=3
r * ffi ;P a r a
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t,
J
1
x=2
;
,.$!!G-I-0N:
x=3
SOLUCION:
..JL
--
y = x 6 :7 56.-
x=3
;para
x¿i rr-Tc-ffi¡ - r-i-o$.# x-l
t.l
- rc.# Ñ
F* t¡
ot, , *2.;!rf .-Fl
, e *) * *2 .5 a * *3)'1/2,(sxzr
-4 = ?x /l- +x5++; z/t + x5
=4 6 12 + * " 426Ó 6 0 .- y = ( 4 - *2)3
p a ra
1
x=
t
xEZ
r--T--;=
(1-*;rrr) = uf, +f
= 20
x = 3
;
dy
SOLUCION: 'x = Pera: -3 = -18(4
;
ffi
= of c+- *2)3=-6* v-*z)2
') - 9)- = - l8(25) = -450.
2/ 5- Zx /3-Zx
'?
bl. -
= - -x.-+ ¿ Y -t
i
( 2x+t )
x=2 ) -v t¿ e--<
2 -x-
-2
{4
d v d .,x 2+ 2, -a?ñt_IJr)
SOLUCION:
(z - xz).oflt*z*z) - (*2* D.*Q
-1 -4 = ----T-
=--Í-5
- xz) = y {3
+ 7s.
x=5 dv dx
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=
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; para
x=2 -
:= += d
I gar r L x"= a
nT:A
_,ffi.
. *,"
* * * (ffi i
* *¡}) (5 + 2x)'rl2' O =; Par ax- 5
Fr,on
rffil
+Q')
3=\ 3
64.-
y =
o - *2 .i
-, ,, . (r*
x=2
SOLUCION:
re(fiñ)
qff i y -
dyd , Ñ1 , ?;- - dx t/F, ln
x
+
L.
-5
tr-
para
;
1 o- x 2
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' ' / 0' - r ffi
+-
s6-
no -s
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21 =--__|-=
_ {ñT-i
z tñ1
2 ,6 ---
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para
x=2
sll
19
r
;
2 {9 9
- y =/ ro -7 SOLUCION:
"5 :t
=-l
l8
x=3 .
4 y --d - ( dx
drc
x' -- l0
s)
- *Z
1-5 2
x=3
1
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-2,
(1)
') 3x' - 1 R eempl a zando (1 ) y(2)
....(z)
6 dy-
a{x-
ProblemaEDeearrollados
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dx -lY
=, Halla rS
1.-
Y=u-
d r-
6 ,4
cru
du
dx 1
L-
, O " ra c a d a u n a d e l as funci ones si gui entes
x
u:I+2
;
SOL UCI O N:
dy
+.:
dx
Aplic ar enos
iL = 'dx -gL du
la
a-u s ig u i e n t e
fórmula:
a +u
\.'
/2u '
en la fórnula
- zu )
siguiente:
(¡*2 - 1)
b-x ; u =5...E]-
du dx
dv =$¡e-du
du
"¡
a+u
En ton c es :
d (.16).-ü(l du ilx
-!I-: dx
+ z G)
(a + u ').Cu¿r ( a - u ') - (-au - u ) . 3 - ( a Uu
+ u)
(a+u)' = órr5 . t*l lX
=
6t 5.
G,
- o(t + zfx)s G 2- - Y'l E-
w!9[:
u
z
;u
=ffi
c o nou= t+ Zñ
2a (a+u)'
.a.ararl
. . . , . , (1)
rx -x3
du
l tdu
ü (6- u2) du
*f tz,r)-r|T. (z) - zu
d*
-x. =aid.bt5q-r
la nisna que la Par' 'Comola forrna de 1a e x p r e s i ó n e s tendrá 1a misma .fot' l a s o l u c i d n te anterior entonces
du _=__
'
zb
dx
(2 ) ,
E;"
dy
dx
du
dx
7l
du
=1 v
Reemplazando (t ) y (Z) dy=i¿.du dx
du = (-
dx
n*b"
2"
^) ( a+u) ¿
=
(a*u) Cui¡fl ;
SOLUCION:
(uz-rz) (r -*2)
: En este caso derivamos a ambos miembros con respe cto a ttx tt.
u= Ñ
( 1sx) = - É.¡ t s y t 5y" + 3y") /
#=#r'Fl1
=F- 7
1
15 = 1 s
.*,',.,.¿*{;Q¡
a ).. A d Y + 1Sy¿ .-g- * lSya 3I-dx dx dx
rsA ¡r
l5
= ,nÍ
*(zu? - az)
= l5 y + 5y- + 3y-)
,4 z ab
4 .- y=u rS l z
-
+y2*
v4)
dx
* ,rÉ)Gz - uz)-t/z.(-2u)
9I-ct + y z * y 4)
1
dx
=ñ ídu
=d dx I
dx
.
,2
,rc qñt
l -x
F
= ^2- zul
Reenptazando Cl y (Z) ) en:
tqt t*) =9 ¡g * -{ dx dx
......... (z)
r.
1 . i ) t . *+g
z$
dx
s{y'
dx
I
=dy(
dx 2q
1
+
)
,tF"
=il'¿"" *'"'/') . 7/6 '
zb?* * z^zy
ls-- s;f s y 7/3* z r1/ z
= 2 px
SOL UCION:
A) A - & ( y ' ) = ¿f ( zp x)
=Q
dy clx
.x Y
{x
dx = ^2/3
-tx dx
x2 * y2 = ,2
; considerando a6rJ¡cono una const a n t e .
uz y
d y=_ +
=J -
2x+zy.j¿=o
dx
k.*.*
dxy
* , . ' * r ' ) = a *( r tl
DX
A=*c6l 1ff( ¿ * n ty )
2/3+y2/3
SOLUCION ¡
dy
G*Q= 6
dy D
8.-
U
dx a
zv.* = zp ' dx --
G?- azj
,1 .,
+=
Y '/'-(tY' /6' z)
7.'yz
cu2*2 ^T v z ) = *
f
sr7/o
=1ffi
b2
^?
) /7
ov
dy OX -=
z 2y =
2*2
2/s ) 2 / s * y 2 / 3 ) = _d. La dx
qx4 /3 * 4)r",t . dv
?k=
x-l 13
,- r = -
iS = - $tt/s
dy =$ dx
,x, -113
ty
J.,
y + x#
12.-x3-3axü'+y3=0
'dv
1¿*"+
SOLUCION:
--+ = U
c*t - iax * y3) = 5f col
#
3x? - Ja + sv2.-9-= 'dx
txy
o
'., dv
É =-z
dx
ñ
dv * y 'i r .dI=o + Y * xÉ ¿x dY =. dx
(x + €y).
3a - 3x' -
sy-
dY _:
2
_a-x
+ Y1
(@
@+Y
dx
6" x
y2
, 2 * ^ @* y 2 = b 2
i.?1?
13.- x"
+ 3x-)¡ + Y" = c"
SOLUCION:
L UCI o N:
+ =r$ tcs) ¿* t*t* 3xzy rs¡
sx2* s P*v * *2. #.
rrt.
x z , zxy +1 xz . yz) d Y = 'dx
:i
t
¿
Av
.
- - 11 ? . (xy)-'t".(y
* ***)
-üL r * * a ( y + x d x) - + zyft=
o
* y2)-
d (b2)
1
Zx **
=o
-d5x|'-;¡ * 2 * 1 6
+ ZY
dy
dx
=
o
o
2r'xY
a
dv dx
xx
z 2ry
1 4.- x + 2 /.F.+ y SOLUCION:
+ Zxy _ _ x(x
+ y)
Cax t qV 6)
=a
# t* + z@ * y¡ -;$-{al
* x*rl **t + if,,,.rr-1t2.(y
+4vffi .1t=o
q x @ *u r *otY
2? x+y
o
dx
dx
= - (aY + 4x
9 dx
-xY) ¿y+4x@
dv dx
ax*4yÑ
*4 * 4I3y +'y4 = 20 d
dx
(*4 * 4x3y,* y4) -.d-(20)
4 x 3 * 4(3 yxz + x3 ..$ 1 . n y3. dI = o ctx
4x3 * lzyxz + (4x3 *
=
4y\ iL
Q
dv
=-
3
#,"* s ^ x ¿ -sb z(y**d y)
^ *2 -a T yn (cyl -
- g b ' * y * , rt )
+3cy z
=*
_6y -y dxx -
(1 )
viene dada por la : C omo l a pendient e siguient es 1os ejem plos entonces'en
dY=o dx
y'i"bgo
; ; ; -i; -á " ii " á ¿ á p u n t o d ad o .
u2*) dI- = o dx
dL-
tYZ - b2*
dx
byZ-
E"* ,$= u x SOLUC I ON:
dy = *y3 - *2 Yz = *Y2 (Y--:-¡) dx xzy(y t x) *Zyz - yx3
*3* y3
17 . - ,*3-Jb2xy*cy3=o
s oluc r o N ,
(*2y2 - yxs)-# = *rt - *2Y2
x3+ j.rrx2
dx
Q
-yx3tl=
*Tyz *-rys*yz*z
dx
^*2
la
curvas
en el
caléularernos err
de cada una de'las
pend ient e
i tal l ar
punt o
der iva<1a, evaluar e'
er
si- guient ds
dado.
*2**Y+2Y2= 29
( 2,3)
;
SoLUCION: ;]- ( * 2 * x y * Z y Z ) = $
tz a)
dx
zx+y
# , F . , F ; *cu r
= Q
**9L++y 9-
'dxdx
( 2x +Y¡
( x+ 4y ) 3I=-
I
dx
z
2x + Y evaluando para:
3¿ dx -
x+4y L+3
pendiente
b
x'
,'a 3 x y -* Y -
1
- -lañ o '¡¡' --+ z - l--{}-= --/ =
I
;
(2'
-1)
x=2 Y=3
soLUcIoN,
- 3*yz * y3) =¿SCrl =9-(r, dx
3 xz - s(yz + zxy l Y ) * ,r t. dx
dr =
dx
* 2-y 2* (y 2-z * y )-gi : dx
o
d (*2
CION:
dx
o
J.,
Y+x
x = z ; P a ra: d *'t- y'-zxy Y =- 1
J,,
ox
zx {';.-y
0
vr cx - ?t - -
zffi
dy_y2-*2
dy = 1 - 4 =_j ) dx 1+4
= o
(xy)-1/2-rr*
zx- z# cr .*$l
c
- .*:- 2 v6 .*= ( x+ 2 y /xyl - $ F =
(zx ff-y¡
o
Pendiente = -f
!J_ =4J 2y@+x dx
z l . - 6 *@= 5 ;(2 ,3 ) SOLUCION :
*
rt ' ra * q) =df -#c (s)
r z * ) - tt z . (2) *$ Gy1-1/z(3#*) = !
gy .=o
3
,E
2(3y
;
=
pendiente "
dv +á- .t| l | | l | ..:.e-
26
dx
Stl
p e n d i e n te
.r -
-
31 12
dx
para:
* ot
x o 2 y=3
I
sxz- ay - ax*
1
,, 3x--ay
(8,2)
- ax y * s ay z ) =
dx
-OaY+¿¡ -
o,
" u"r* I
: evaluandd
* ( s a3.
= Q
s x z - a ( y . *3 L ¡ . u **
iL= 22 .- xZ - 2 8-Y 2 -5 2 ;
6?, 24
x3-axy.3¿yZ-3a3 ; (ara)
t d y=_ 2 q s,ffi, dx
x=8 Y=2
lo ño - z 4/16+8
dv dx
evaluando para:
enr
x'ü .,, = a
:
dy - 3az ^2 a r
óa-
p e n d i e n te
24.-
x2 - x YxX
-
za?
strar
-Sa Z
cortan
en ángulo recto. ION: tas e.cuaciones de las parábolas
2-
-
5
') 2 y- = 6i
(4,
l).
2x - Lq * * + ( x y ) - 1 / 2 . ( y
x(y+.++)
- * fr i J - ¿y * =o
g¿ = dx
2 {xy a x6 - 2 xy- xy-*2dvdx
( 4 x fr
..'(1)
y2,= pZ - 2px
-.. {z)
jL =
a continuación
: Calcularenos da parábola: De (1) :
dx
S ñ
16 t ¡6-
n
0
zydY
dvs pendiente:
E
5 I
=
ia LP
= -9 ,: -g)'. dxY De (2 ) z d.2-
A
7
- (y-) =: Cp' - Zpx) dx dx
4¿-
dx 8
las pendientes
d (y?):3 (Zpx + p2¡ ?lx dx
r..^-J. ; evaluando para : x = 4 y= 1
,1 1+6 - L, .72 - tz o zo ló
= ¡p
(o ,p) Y (o -P') '
d x-
9y=4xffi-ixv Al----7--:.-* xtul-/xl, -
v
reernplazarrdo en ( l) :
es:
Luego e1 punto de interseccidn
Q
8y 6 c Y = 0 dx
- 3x y ) - (* 2 + s y fi )* =
y z = p2''*
yz = 2p( o) + p z
so¡t:
de a¡ qbas Far ábc
Zpx ,+ pz = pz - Zpx = 0 '+ x = 0 ; .-4px
at ,,.2- *@ - zyz)=rf,col
^ txY-, _4 y ¿x-
yz = 2px + p2
el pu nt o de int er sección I{ al l ando ( 1) Y ( 2) : i gual ani l o l as;
S O LUCI O N ;
i
,.sy2 = 2px * piy yz = p2- 2px 8l
zy+ (1x dy dx
de cg
A continuacidn vamos a deterninar eL ángulo que f man.dichas parábolas, apfiquemos 1a f6rnula sigui te: mr
tag o
-
flt
'| +mr m?
; O = ángulo 9ue forman las oarábo1as.
De (3) y (4):
4_
Zp
$)(Í) ,.F
2Z )¡ 'p 2'
P *P
taso:+- + . -nt--
v
2ov I'eemPlazando uno de los val Eag g =t¡. rryrr ante y"-p" i res ae -calculados = tP) riormente (Y
tag S=
) ¿P ar )
7
a
=
-y0
p'-p' .0 = arc ta g
(-)
-'
@ (infinito)
0 = 90o
1 q .q .ü .
26. - Demostrar que 1as circunferencia t *2*y2 -12x-6y+ 25 t en e1 pun y2* 2x+y=l0sontangentes ,^ v-L
rr 1\ \& r ¡, .
8il dadas: (previo or
Si: x = 2rreemPlazamos 2(2)+Y=5
Y=1 Luego e1 punto
(2r1)
es un punto de interseccrcn' Iq.q.d. -.,
corta lBajo qué ángulo =2$2 .¡y+/yL
1a curva
xY=Zx a la curva
s9-l.ucloN.:
de la curva' Reenplazando en la'ecuacidn 2=28 dada, asl: x z - x(2x) + Z(Zx)'
* 2 - zxZ * 8xZ
7.8
7xZ x
28 ?
1a recta
e n 1a ecuaci6n de la recta: ReenPlazando e s t e v a l o r y'L4
.-:.. t:::::
Luego tendremos 4 puntos de intersecci6n (2,4),
(2,-4J,
G?,4)
85
que son:
y (-2,-4)
E¡;'*onces habrá 4 ángutos que forrnan la curVa y te plntrr {gcta; analizare¡nos aquí solan¡ente para éi ( 2,.1), dejando el resto para el interesado. Hallemos a continuacidn las derivadas de cada uir,r de las curvas
* iy:d
* --q
(z*)
(* 2 -x y * z y z )- d (2 8 )
dx
dY z ......(r) dx -
d>l dL.
2x-y-x
4y
dx dv
de ángulo
-
dx
2x -v
o
, . r. . . . . . (2
É = : i-{ ry Cálculo
dY
que f o rma n ; e n e 1 p u n t o (2 r4 ): Dt-[r
tagO =#
| +ill r
IL
tag
0=
z _r%ti t+z 1U ¡
tag
;
lll ,
---
n ¿-
4-
4
2= ñ6
t*z*f.s)
0 É ó3o261061
ángulo de intersección.
Si f(x) y 0(y) son funciones inversas... demostrar g,rg +a gráfíca {. O(l)-puede dibujarsá consrruyen. haciendó girar ésta á tr 9o' l" gráfica de -f(x)-y izquierda 90" alrededor áel origen. I
so4ucloNr
" gráfico
gráfico,ya que uno li_:::":i9"::i_¡o1o 'tierie tendrá que suponer que (x) f co¡ro -figuri
cualquier
(arbitrariaj,
Y
x'2a-x
S OIúCI O N:
1! ¿ = 3ax2- x5. o*i YLla-x)'
S usti t uyendo x=a, Y=a t eneÍ ¡ os (a, a)
3a5de mt. =- t z2=Pendient e "5 a( ?a- aJo ia t angent e.
tag 2.
v
1
t2= -
0 =l ó = arc
¿8. -
(2 , 4 )
H al l ar las ecuaciones de la t angent e y I a nor ¡ ¡ al l as l o ngit udes de 1a subt angent er subnor m alr t angent e nor¡nal én el punt o ( a, a) de la cisoide.
0
TM
N
S usti t uyendo en ( l) se obt iene Y'2x- a, ecuaci6n de la t angent e. S suti t uyendo en ( 2) r se obt iene ZY+x'3zrecuac16n de 1a nor nar .
rsustituyendo en (5) rresulta TM '?
Fig. 12
i19 1a sübtsngente. -de La Sustituyendo en (4) ¡resulta MN o 2a - longitud subnormal.
' longi!¡rit
. Sl lr subtangente se estiptrde a la derecb. {. Tl 1" considerr-os cono posi-tiva; sl a la izquierdarnegativa. Sl la subnorial"'ic extlende a le derecha de M
I
J
Ia consideramos como positiva; tiva. Asi¡nismo.
=E *
(rrp)2
pT = /g.ty¡?,
( l u n2¡=
i*)'*
Y P N=
si
^2=* ¿
I)
a la
f
= longitud de le tangente.
= a 6=
¿la +
izquierda,n
tongitud normal.
de lc
= 2 * 3 1 1 1i
( 2 , s)
LUC
Cálculo
d _e¿ =dx dx
Hallar las ecuaciones de la tangente y de Ia normal las curvas siguientes en el punío dadó. ?
?-
y = x" - 3x
;
87
pendiente:
de la
,2x a 1r t _-/
3- x
(3 - x)2 -
(2, V)
(2x + 1)
(-1)
- 6- 2x+2x+'l
.(5 -*')
-l a
2
( 3- x ) '
SOLUCIO¡,i: Cá1culo de 1a pendiente: dy
d-3
- lx)
='=,i(*=sx2-3
= !Cal Ahora ya podemos hallar y - Y1= m(x - *l')
;
(3 -x)
p a ra i
77
x=Z
(3 -x )
3
=l la ecuaéi6n de la tangen como: (xlyl ) = (2,2)
y-2=9(x-Z)
'Ecuación de la tangente: ,
y - 2 = 9x - 18
-> 9x - y - 16 = 0 (ecuacidn de ta tangente) Ecuacidn de ra normar,
(xr,f r. )
- (Z rZ )
i donde _(xr,Ir) = (2,5)
T . Y I = m(x - *l) y -5
1 Y - Yt = --j- (x - x,)
; evaluando en el punto (2,5)
2
=l
+
(x-2)
y-5=7x-14 7x-Y
-!=
0
Ecuaci6n de La norrnaL: 1 (x
Y-Yt
- *r )
'-f
7
y - t a - -.ii (* - z) y - S=- j ,9y - 18 -
- x + Z
''
x + 9y - ZA - 0 (ecuaci6n la norrnal)
1
(x - 2)
x+.7y- 57- 0 -x I + Y Z -7 6; ( 3 , 2 )
-|
7y-35
--x+
88
SOLUCION: - C á l c u l o d e Ia p e n d i ente: , _d- (zx' dx
x y , y Z ) = rr (1 ó ) dx
4x- y- * j L*zydY -o dx dY
4x = Y dx 2y - x
'
dx ; e v a l u 4 n d o e n (3 ,2 )
Ca1culemos 1a ecuacidn de 1a tangente:
2-t2
. Hallenos l a e c u a c i d n d e 1 a ta n g e nte: v .1'
o m
lx
-
',
+
Y-
2 = -1 0 x * 3 0
y+
'-f'(x-x1) ¡
y- 2 = 10 y- x t
y'+2y-4x
.-2(x 2x=0
-> Y + 2 -
- 1)
- 2x + 2
1 ¡J Z = -Í tx - --
+
2y" * 4 = x - 1
-!
2 y -x +5 = 0
- Cálc r ¡ lo d e l a e c u a c i d n d e ü e .n o r¡¡ al : 1.
Y'Yt'
2 -
1, v- y1 =- * ( * - 1)
1 0 x * Y '- 32 = O -'
y+
Cálculo de 1a normal:
x1 )
=-10(x-3)
y- 2
Y1 =m(x-*t,)
y+
f fi=-lo v t -
v-
fr(x-l)
t,ener
+
10y -2 0 = x -3
(* l '
+ 4 . 0 ; (1 , -2 ).
*,rt
Yr)
a la elipse
dx
--4.0
^2y
+ zy, ax 1 a) Col ' 6i
elipse:
L ( o t *t * ^2 yz) =L@z uz) dx
dx
Zblx * z^zy9-
dx
, -r9* 29 dx
b2*2 +
Calculemos 1a Pendiente de la
- 17 = 0
!WN,:
las écuaciones de la tangente y de la normal 2 =a D 2 . 2
dv .L,=-
,-
0 b2x
tx ^2y
, evaluemos en (xr
, yr
culo
jv _ -4J dx
^z de la
Cálc ulo
y- - m(X - X, J Ir
yl
xl
de la
ecuaci6n
v-
tangente:
v '1
=
" Yl
+ b 2 xrx -
- o' *' ,
^ tt1
= Q
b'xry 7:-
7
- a'y1
7
= -* .,
*
¿¿-r, x. - y"l 'l
*1"
2z
=x,* Yr I¡
= r
y - y = - | t* - "r l
'
''
- a-)xrl'
--A (¡¡ -x,) r *l
yx1 -x1 )r1 = I1x -x1)r1 xrY-Y1x = 0
z ? -a')'., x., 1=r'y lx = Q
Hallar las ecuaciones de la tangente y la nornal, y las longitudes de la subtangente y la subnornal, en el punto (*l ,y1 ) de la circunferencia. *2*y2=r2.
lculo de la subtangente: de 1a recta intersección re en el Punt'o.
angente con Y
ei
I t o) tamos en algo asl:
I.2,o)
SOLUCION,TTTA?
Xl
dx
dx dv
2x+2yZ
La subtangente =
es: xl
0
dx
7
t-;
dvx
-ví t
J¿- -
dx
.
t "-
I
de 1a normal:
culo
v' -v.= 'L
*--? -z b'*1y-b'*1y
- (b'
vY- Y. 't
y1
Y -Yt =-#(x-x,)
.2
+
+
x.) t
-
TlY * *l*
t b'?** -^2b2=o l "-yly Cálculo de la normal
-xt )
(x
YtY
1
y' ^2 y-)r,.=-J-l(x b-*.,
a
t
Y1Y * xlx
) * ^ 2 y, y - u z y z r = - r 'x*b2*2 *., I
Y -Yt=-?(x -x l
-
Yl '
y - )r., = rn(x - *r) ,
^2 y{
tangent e:
de l a
T {
'-T
evaluando én: (x l )r1 ) '
(*r2* ,'r'= tt)
culg de 1a subnor¡nal ¡
-/
= Í?'2 -r2 xl xl
eje
I'xr '
de la normal (y=0) entonces i
De 1a'ecuación
x = 0 . + punto (0,0) Subnornal = (0 - *l)
a p. o.
e iisual g
=
zpx, - yi
porque:
.
e,
L
¡
Q
procederemos co.n 1a nornal .
De manera sinilar
tener 1as ecuaciones de la tangenüe y normal, y 1as subnormal de cada ltudes de la subtangent,e y la de las siguientes curvas en los puntos indicados. J
. x' i
SOLUCION: - Cálculo de la pendiente
( a,
a) .
de la paráboln 3¡ay)=g dx
.
$rrrl ox
,
,,
8.- Demostrar que 1a subtangente d e la p a rá b o la y 2 = ¿ es bisecada por el vértice, y. que la subnor¡nal ct ccons ons ta tante n te
, o) = (-x, , o)
, Tr--l-r
= -x t
93
en el Punto: 2
ocurre
Intonces
=-4-¡zpx)
(*2) dx
dx
d v^dv2x
?. __!_
t,= 2y drY zp
=
+
lx
_L
=¿
dxa
ctx
dv dx
=
,tr=t
- La ecuaci6n de 1a recta
Y -Y t=m(x-x
'?
tY
Y-yl
tangente I
es:
)
2 11)' - px = r r ' P * l
hemos evaluado en el punto (x, y, ). La intersección de la tangentb cbn el eje Itxrr será en: ':" (y-o) y.yp*.y-2-p* -1 ¡ I px'y:
¡
+
y - a=4G:
y-Zx
- Yl = Px : Px' *
o-
=rn(x-.*t)
px, -1
--- P1..:rr' -.-T-
rQ
(\,11
;
)=(a,a)
fa - a,2= z ax - z a|
a) ?
ya-?ax+a'=0
*r)
=P (* Y1'
Y 'Y t
Ecuación de 1a tangente:
-)
ra=0
2x-y=g
Ecúacidn de La nornaL:. 1.
y - y , = _ # ( *_ x,) y -a = -tG
1
+
-a)
2y-2ao-x+a
¡+ 2 y = 3 a Cálculo de la longitud para: )¡ . 0 i
lo n g itu d-
^-*
x o
á
de 1,1 subtangente: ("" la ecuacldn de l-a tangente)
=+
- Cálculo para:
de la longitud
y - 0
x = 3a
;
longitud=ia-a=2a
subnor¡nal:
(en-la mal)
ecuación de Ia
10.- x'
- 4y'=
goLUcIoN' \'
de la subnornal:
lC4lcuXo'.de la longitud
(5,
9;
95
= 19'
longitud=s - 3
.2
L:
7)
\
de la
' * l , ü . = Ó e n l a e c u a c i ó n d e 1 o n o r ¡ n a l o b t e n e r n o:s
2).
.¡f; cnl c*t _ ayz) #. s^ Lr.f,'
*=-21
Ex=50+
I
lu e g o :
'
,1 .,
2x -
g
8yJl=
lo ngi tud=4-s=+
dx dY d:r
evaluando en (s , z)
- - '( 4y
,=- 5
¡4 + 4y2 = 72; (2,
dv5 -dÍ = l-
c
qyz)=4. ¡zz¡ ¡$ cn*' *
- Cálcu1o de la ecuación de la normal:
= -f
Y 'Y t
1
(* - x,)
t8x + s y - 92.= O dx
a
y _t=-f(x _s ¡ , 5y - 10 = - 8x +49
?
5y + g¡=
59
5y*8x-50=0 - Cálculo
dv183 dx
de la ecuación de Ia tangente:
Y ' Y1 = m(x - *t) y-2
q.
=-;(x-5)
.12
Cá1cu1o de la ecuacidn de la ! '+ 8y-16-5x-25
Y - Yt = n(x
+ 9=0
Cá lcu lo de 1a longitud. subt.
qente:
Par a : y - 0 t en 1a ecuacidn Je la tangente: q 5x= 9 *=É
2y*3x
+
¿
-12,=0
tangente:
2y-6
..
La ecuación de La nor¡nal s e r á :
Y' Yt - - # ( *
-2
'*l)
'?
y-3=-*(x-2)
8 y-5x
3).
- *r )
=-3x*6
(1)
^2 J=5
y-
(x-2)
2x-3y+5
=Q
La longitud
de
3y-9+2x-4
(2>
=
longitud
y+
, =L -2
para
en
Y=0 2x-Q, =
= 3 = 1..
longitud - La longitud de Ia subnorna l v ie n e d a d a p o r: )¡= 0 en (2) z 2x+ 5 =0
5
2 o ; ( 3 , - z ),
7
xy+y-+2-
'* ,$- t*r y?* z) =f rol
SQlUelS: y+
xdY +zyj¿=o dx dx
ovaluado en (Sr-2) -g¿-= --J-; dx x+ Zy : _9. = _, ox Cálculo de La ecuaci6n de la tangente: Y -Y t . rnÍ* - *t)
y+z )¡+2x
- 3) - -2[x I -
4 it
0
.....i.r ...r...r..(l )
La ecuaci6n de la nornal s e rá :
0-lx=Z 2
en (2):
y=0
=Q
x-7
2 +í g'
I ongitu d
(1):
de la subnormal es:
La longitud para
(2)
de la subtar^gente es:
La longitud
4-2=2
x=-T
(x -3) - J = 0 ...
x-2y
en (1):
-> x =- I2 '-+ x = 4 3
3x=72
Yl
subtange,nte es:
la
0
v
*t)
= -*,*
v-
=
longitud
'> x=7
7 -3
=4 que forman el eje de cular el área del triángulo Y=:6\-xz tangente Y Ia nonnal a iá-.ti"" sxrYIa el punto (5, 5)
dY =3 (o* - xz)
CTON:
dx
!- 6
dx
= 2x
; evaluado
en (5r5)
es:
dx
9- - + dx CálcuLo de 1a recta
Y - \
tangente:
- n( x - t)
y-5=-Q(x-5) y + 4x ' 25'0
....:.
(1)
Calculemos la intersección je
tt¡tt'
de esta recta
-
0 en ('l): 2S x = --?-* el punto
con c1 g
4x-25=0
-|
es:
,¿J
(--7-,u.l
8
de que fornan el eje' vl=!-cur.¡¿ 1a a nor¡na1 la Y
la r el área del triángulo
J, CI
- La ecuaci6n de la normal es:
-Y l
=41
"ABC "
)'=
y 1a tangente punto (5,2)
1 =-f(x-x,)
y - s =* ,*
#,n - x)
¡| cr'l =
- s)
=*-5
4y- 2 O
4y-*-15 = 0 (",) I Ltallémos la intersecci6n de la normal con el Bje"¡tt
y = 0 en
- r|
-¡.
dy
= - 1; evaluandoen punt c
2y
eI ( 5, 2)
tz)z
- x - 15= 0+ X = -l S+ - G r af ic an d o
dy .-¿yJ-dxdx dv1 -=-dx4
punto (-1 5 r0) (a p ro x i m a d a n e n te )
tendremos algo asf:
j
lculemos 1a ecuación de 1a tancente: -l
Y=6x-x
2
(5 ,5)
Y -Y t = m(x -* t )
y - z = --i-t" - s) 4y + x - 13 = 0
(_15,0)
{Zf;;o)
a
De Ia figura:
''
4y-13=0
A C= bas e=+-
(- ls )
= -85 T
4y-$=-x+5
. - . . . - tl I
. .- . .
de la
interseccidn en (1):
'+
tangente con e1 ej e "Y"
l '; y =- 13
trx = 0)
punto(0, +
l'
pcuaci6n de la. normal: Calculemos el área del triángulo ABC: ' "" _ base x altura
ü A B C -T
85
-4 -x
^ oAgc=T
* + G - * r) 1
!¡=altura=S
Y -Y ly ' l= )¡-4 x +
5
-
4g25
4(x
- 5)
+
y-2o4x-20
(z)
l8 = 0 :..I
'
1:
haLLando el punto de intersecci6n con el eje "Y' (x-o). . e n ' , [ . 2 ) z . . 'punto (0,-l 8) 18 y + 1 8 . - Q 'r yt='
Graficando
AT =
(bosquejo)
de la función
dada:
base = l!+'¡ g+85 44
h = a l tu i a
siguientes 15. -
+ x - 12 =
Cx + a) ( x
x =. 1- q
3)
z
Ls t r abai
anos con
- Cá lc u lo de l á n g u L o q u e f o rman: ta g 4 = T l - t z 1 + m . tm ,
' de intersección
ángulos
de cada una de laa De (a) y (b) :
curvas.
yZ = x + l, SOLUCION:
+ Y2 = 13.
x2
I
....;.(a)
y2)=$rrsl
2x + 2y 3L:
o *
dx
1 * 5
14
.355 l- g
8
Y2'** *2*y2-
Y 2 'l s
9Y= - x ........(b)
de interseccidn: ¡
2 _ 8 =J L
14 . t ag o = &tC Eag -g-
dx Y
e1 punto
( 3 , 2 ) s e tendrá:
ipata
2v ''
t ag o =4
i¡* 2 * g:r
x
y _¿y tag o -, x t--v
dx
.>#=+,
¿y*= r
1.
-T-
=,d (x + r¡
*ux rr'l
'{allemos
(
eQ+
e n t o n c e s a l g u h o s p u n t o s d e intersec c r o; l son: (3 , 2 ) y (3 , - Z )
s¡,¡c'=iF los
z+*? x + 1 = 13 - x
Re e mp la z an d oe n ( 1 ) c o n x = 3 (solo u n v a lo r) , - | y =tz y -z= !
(0, 15, 4)
(e -t
Eallar
IOl
=l
_ b a s e x altura c "ABC----
s5 i slsc x
(1 ) y ( 2 ) :
Igualando
0 = 70"20'46tt 6
Q'
709"39t14"
Y * 6 - * ? , T x Z *Y2'32-
...o ......( l )
l3 t
' r'
:
..... . . . ( z )
SOLUCION: 7xZ
Y= 6 - xz .r...:,¡.......(l)
,yz
- 32 ., ¡...,........
(2)
r02
= ;;;6 +
(t ) en ( 2):
-t * 7 ) )
7xZ + (6 - *2)2
....,
7xZ + 36 -
12x'2
x4= 32
(*2 -l)(x2-q)
- o
x
+ x
=t1 =.1- 7
v a l o re s
x2=4 * x d e | txrt en (1):
Reem plaz an d o
los
* x = !1
*x=l
*
l0:t
-l-
3 lo
*4- sr 2
tAr a -^v
2. -l
= arctg = 8.97"
?^ = ( - ú) =
8"58 r 2lt l los
S e dej a
?
- B . 97o
dem ás cá1cu1os
el
par a
int er esacio
'a
y=6-(tl)'
- ( tz) z
y=6
,Y 2-3Y =2x.
r¡=\ l¿
y=x
2
(1)
/-L
Luego los puntos de interseccidn son: Calculemos el ángu1o de intersecci6n:. tas 0
(r1 r5)y(tZ12) ualirndo (1 ) y tersección:
m1 - rn? -T};: ''"'l
(i)
,......
"'2
*4
;
x(x -
(t,s )
para
- 3x -2)=$ 2) (x +1)2 = g
I ernos a continuación
q =-/(a) dx
=2x sra el punto
=¡| (s z ) n ¡ i C z * ' y ') 1 4 x * z y -i r=o dx dy=-7"
a¡ -- - F . , .
*
dY = - 7 \
,drf .i
,'
(0r0)
( *2 - ¡ v ) =f {z *l
¿v ^--dy - r"9Ia; &. d Y -=
y
1 . . : J . ..' ( b )
Reernplazando .(a) ¡¡ (b) en (3),:
f*= 0 ,y= o
{ *=2,y=4 L*=1,y=1(2veces) 1as p e n d i e n t e s d e ( 1 ) : ' ( 2 ) :
- *
De (2): d 2? d
el punto o puntos de
- 3xZ -2x=0
x(x5
D e f l ) ; j I = 0-2x dx
(2) para hallar
i para:
(1,5)
a;
dvz
=
2
T¡:1
a ; =- 5
/
en(o,o)
Cálcu1o de1 ángulo de inters ección: tago=*1
-
l * * r^z 2 3
ts6 ó
o *?
*2=
el ángu1o fornado ra si poclenos calcular (2,\ el en (1) y vas Punto (5 '3) . ,
2
l+0
n1-mz
. tag I =----1 +ml
-> d=rr"tgq{¡
33"4L'24"
D e m an era similar
tago=
se procede para los demás punto
^z
r +¡ - Á¡ éi 12
r8 . -
*' * or'= 6 t,
2*2-y2=4L
SOLUCION: x.
+
4Y z = 6 1 , . . . . . . . . (1 )
') ) 2x' - Y = 41 ......r.(2) R eso lviendo (1 ) v (2) obtenemos: _+
5
Flallando las pendientes De (1): 2x+8y iI= .dx
curvas: De (2):
(3 )
4y
dxy
i
Evaluanps en el punto D e ( 3 ) :l
h¿ =_ s dx Li
,....(4)
(S, :l De (a)
dvdx
dv ctx
) - 4x ;
10 3 . '. . (b)
3
d dx
horrzontacurvaS.
(5x-z*2)
de cono nos piden la intersecci6n su entonces 1a horizontal Pendien te es 0. (tag 0")
tonces :
-4 x = 0
- ' 4x = 5 + * =f,
lazando en la ecuaci6n de la r rcurva yr . e rrx[ calculado Para hallar
eso:
(a):
-:6
36 -50 36
z
É 5X -¿]K
5
j¿='*
:J5-f29-
0 = 84oo4t46" los puntos de contacto de las tangentes
dv é= dx
dY 4x-2y 0 'dx -
! , = - i . .....
,
:
o
ár¡
dx
de las
(r):
-135 = 135 tag I =lr4 ]4
y=t3
t
(r)
(a) Y (b) en _ 5 _10 3 12 -
plazando
=
por las
y=sé 25 y =-
-r(+)t
dada
el
va-
I r)i)
Luego el punto de contacto zontal. 20. -
7
3 y-
'5 Lz-
es:
25' Puntt) 'TJ
S O LUC ION :
d (syl -6y-*) dx
=*
*
+ 6xy
A
(0)
25Yz = 16,
oy9-
(rx
d.x
r = Q
-+
dy ._= dx
.,
= tag eo"
oJiliT 6y-6=0
F inalm e n te
- 6(1)
+
- x = 0
el punto es:
y =l
(-3'
I)
Y (3'
-i)
por la tangen-
origi-nados CAIculo de los puntos vertical. te a: (tag 90")
i
.,* * ,
5I
+
= ¡3g90o
3x+ZSy
ZSv
=Q
J
l ¡+ 25/
+
(-3r1)
x--!3
r-" a á " i" -á e r i v a d a
Reemplazando en la curva dada: 3(1)2
( a)
en
1
y=!
: punros buscados son
esi l
-
E nt onc e s r
r
,(;),1o't"u
+
.
6 (y-1)
lguala n d o 1 a d e ri v a d a a i n fi ni to 1a pen d i e n te d e l a v e rti c a l (tag
( a) :
r eenPlazando
= 16 , l)2 * 6 (-3 Y ) Y + ? | Y z
ctx
2-16
o jL-
.( a )
se: t iene:
cur va
1a ecuaci -ón
D e ri v a n d o :
. ..-
x=-Sy
x+3y -o 3x + ZSy
- x = 0
- 6y
(ragoo=0)
horizontal'
tangente
de la
' Calculo
x = -J
e n p la z a n d o e n :
punto yerti cal
¡ 2 + 6 x Y * z s Y Z = 16
r _ 2 5 yt Z + 6 x ( '53
25 Y ) * ? s y z = 16
2
* 6xy + 25yZ - 16 SoLUCJON: Derivando respecto
21.- x"
d
ax
dy -!--
50 y$ = =
x = t
5.
or iginados
Los puntos
(-s,á
o 7
2 5y-
x+ 3y -
de "x"
a x:
(*2 * 6xy + zsyz) =.-{ (t u) -dx
2x + 6y * ox $+
relación ; reemPlazando en la
y = .+
--J-
.3x+25y Analizando 1a derivada obtenida pode¡nosconcl.uir existe tangente horizontal y v e riic a l.
2 5OIiucION: I
2 x -8 I -
d dx
por
1a t angent e
vertical
Y ¡+s,:'p
*81 (*2 - 8xy +
8x9+soY +dx - o dx
zsyz)=¿f;tsrI *
d)¡--x+4Y -4x + 25Y dx
son:
a).-
dy
x-4y
dx
4x-25y
Habrá tangente horizontal x-4y=0-+x=4y
9Y= dx
J., vl
Para las
4x-2Sy
horizontales:
tnngentes
x = 0
12y'
reenpl azando 1
(1zy)z
*:.0t.=-(tag9o")
o **=
+ 338y * =
d:<
y ='r'3
cuando:
Czsl
dx
Z4y '" 24x
Los puntos de contacto de las tangentes horj les son: (l Z,3) y (-12, -s) b) fiabrá tangente vertical
={ -L q*2 - z 4y x + togy z )
cuando:
sustituyendo en la curva dada: ., (4y)'8(4y)y+zsyZ=81 + Entonces: x = 4(1 $ = ! 72
I 09
Derivando:
:
-
-+ I
X = 12(!l)
')
de I a
cur va:
+ 169Y¿ = 25
(y)
la(zy)
\Syz = 2s
ecuación
en la
( l)
, reemplazando en (1):
= tl
x = ! 12
Los puntos de co.ntacto son
4x- 25y= 0 + * = ri' ,
(1?,,1)
:;::l¿i,á:ui""l" dada,
12. a---5 ; reenplazando ul t.
r=t
reenplazando
relacidn de x
C
12
= t 15
x=tfl3ll.25'
- s - '?
Los puntos
de contacto
2 5. -
i, x- -
24 x y
+ l69y¿
x = 19?Y ...,..,( z ) 12
+
(?) en 1a ecuacidn de Ia curva:
lz - z+( 9 2 v7 , + 1 6 svz= 2 5 12
y2= 144
.72
y=
l3
serán:
(ls,+ ) y (-rs,
+)
x
.
,
verticales:
t angentes
169 - r 2x = o
- sr.á.¡r,+ zsy|= $7
rfiT
Para las
y (-12,-1)
- @¡ rl2r J3- 1 13
+
, reeinplazando en (2):
r o t 13
Luegó, los puntos d9 contacto -
ZS.
(13,-l*) y
(-13,
' t)
:3) 13
son:
il 0
1A L'+
.'
169x2+1oxy fOLUCION: ,-'t
#
)
rtos x r * rox y + y 2¡ =¿ $ ir + + )
(5x + y) g =-(169x dx Para las
-+ x =- tY , 169
sY ) t to(- tY) 169 169
Yz = 169 x__
5
+
y _- i
(rl3)
t3,
= 144
reenplazando en (
¡69
, tJ)
v(s, '¡3
- l3)
b) . - Para las tangentes verticales;
de la derivad¡
5x + y + y = - 5x :......,...(2) - 0 reemplazando (Z) en la ecuacidn dada: ') 169x¿ + lo(x) (-Sx) + (-5x)Z - 144 X44x2=144 -) xErl reemplazando este valor
en (Z):
-y2=s
4x2*gy2=7
=o - zy$ ctx
dr = o 8x + 18y dx
,X
(1)
*J..r =-
4x
dx
9y
(2)
amplazando en (1 ) I (2) el punto de intersecci6n, teniendose: (1 ) : J !3 dy (3) -> In1 =T m1 =t2 dx
¡J
Obteniendo los puntos : ¡--L l3
, t2) puntos de corte.
v
\ x = t-:
-+
(r3
Lvando cada una de 1as ecüaciones Cadas:
7
(y) +
4x-+
Ias curvas
..(1)
reemplazando (l ) en .la ecuacidn de la cu¡va:
t6 s¡-
son:
)?2
tangentes horizontales:
169 n 5y = 0
= t5
y Ia elipse x''y'--5 strar que la hiférbola . 72 se cortan en ángulos rectos.
dy=-1Ó.9x + 5y dx Sx+I
+ Sy) .*
I
de contacto I Puntos (1 , -5) y (-1 '5)
Derivando:
338x + loy + lox dY + zy dY = o dx dx
a).-
-|
r - 5(tl)
ry2=144.
(2 ) :
É* = '2 = -i ,i'r,
*2
2 3
a que for¡nen 90o debe ct-unPlir 1 a r e l a c i f n
t-
n, 'm, =-l lazando
(5) y (4) en esta relaci6n:
. c¿il
I
I
siguien
rt2
m t' n z =
Ó
')-
m,.m , = - 1
+
(-+)
t 2 -2 ^ * -8 a x * x 2-x'l = 0
lq.q.cl.
Demostrar que el círculo *2*y2=8ax y Ia cisoi,lef X) Y'=xJ a)'son perpendiculares en eI origen: b) se cortan en ángulo de 45o en etros d.os purrrof
soL UC I0N: a) . - t { a l l a n d o l a d e ri v a d a da c i a s y re e n p l a z a n d o :
De :
8a Lx =
^ ^,óa. óat-sj
..2 o+a - --Zs
es l os 16a.,
- -4 a ' --'
.,r , '0
1o que nos dice vertical. De:
0'
+
@ = tag
,' ,=
que por el ori gen
(Za - x)yz
, para
(0,0 )
nti nuaci ó¡r os puntos
(90' )
punt os
de
r¡ ñ
r 9e )r V ,T,
pasa una tangon
y,-3x2*yZ 2y (2a-x)
int er sección
son:
-T/i6a. ,
1os ángulos que hallar em os P y Q 1as dos cur vas dadas:
0+0
0 (Za-0)
-'
y,
= Q = tag
Lando 1as derivadas 'de caCa una de 1as cl¡rvat tas ya han sido calcuLadas en la parte (a), enes ahora solc reemplazanos en e1 punto desea
u.-*
la circunferencia: yt =
0o
b).-
5 4
Y'=[1
esto representa una tangente horizontal en e1 o gen. Entonces las dos tangentes son perpendicula¡ en (0,0) .
1 a c is o id e : . Y r=
stffl2 * (*)t
,'Ét(z::3e)
Hallemos los puntos d.e interseccidn: De:
*2 , yZ o 8ax
+
12..
8ax - x2,.,..
(1)
De: (za - *)y2 = *3 ....r¡..,.......,,.(z) reenplaz ando (l ) en (Z): (2a - x) (8ax- *2)**3
+
x(Za-x) C8a-x) - x5 . 0
fo rna ¡':
$)t
p a r a : ( 0 r0) obtenemos: yt=
p- -a r a ob iene: '
y = r - 3. - i 6a
+
e l p u n t oP e ,
=*3
- YZ *(2a-x)zyy'=3x2
de x I 0 e n ( 2 )
plazando el valor
, -T) 4a-x
= Q
1
a cada una de 1as crl rv x - 0 e y = 0(ori g
Y,
x [z a¡ s a- s x ) l
de r r xr r . f X = 0
trandose 1os valores
*2 , yz = 8ax 2x + Zyy, =8a
'+
y,
=frz=
ángulo fornado tz-tl . EI
I + n ln z
será: ;
de (3)
v (4).
l l :i
lr5
7-+
tag 0
*t80
I * 7(+)
$ = a rc
(1 )
-+
- P a r a e l p u n to Q e
,-
ta g
0
= !
= 45o 1q.q.d.
'x
I 6a, 5 /.
En 1a circunferencia: a
ó9 4a .-r - 5 I' = 16a En '1a cisoide:
y'
=
y ' = * r,=-+ .......(s )
'
:c$ 12. c-Y l'
2( - e) ( 2a- T)
* y'
án g u l o
fo rma < l o
t-z
, sustituyendo
l + ¡n rm ,
valores
aL
,¡ '\ lL)
|.t
ti n
(1) : 1l?
x = 0
2 = u2 36
'
0
= 45o
lq,q,d.
1 ,7(h
l os
27-- Demostrar que las tangentes a ra hoja de Descartes =-5 a{y en ros puntos de intersección con T3 " ylta pará.bot, y. _ ax son paralelas al eje de las y
grafiquemos
( a x) '
u,
1 tt',L =3 3 ( a x) '
' ^3/l son:
a tf,A ^
'tY R(/a
u,
-
^3{21
(1 ) :
f cs'*rl ,, dy = aY-- x+ 'dx Yo- a'r
3ay + sax 3L
*.*
en forma aproxinada 1as e. para e1 Punto:
1 /2 .
,
36^ en (2): * = , reemPlazando
de int er sección
pun t os
€ ¡* 3 * y 3 )
sx2* tr'
SOLUCION:
y
y =
-+
(o,o) i Q(3ñ erivando
* *'t2 *
= 3^x(o*)1/2
(^*)3/?
uego
Prinefanente cuaciones
I
.
splviendo:
_l ó
tag0=
l¿. j
f0)
ñ l- f,r
de las
(1)
= S axY
stituYenoo
ES:
de int er sección
Yz=ax
y' =^z = ' 7 S *
El
Punt os
go, hal l emos- los as1: curvasr
¡
a 7as 6
,
a
3ñl
116
7-17-
a.a "/2
dy
',/ 16
- a'
-)
dx
tfñ
dv
J=
dx
. tn-t)
tangentes al circuLo: Hal,l.ar 1as ecuaciones de 1as t) a la recta 3x-7y=19' xz * yt = 58 que son paralelas
rt7
^ 2 6 -^ 7 3 6 dv
+
@
=
(tangentevertical)
4X
F inalr ne n te podemos concluir ctue 1a tangente formÉ ir n á: r g u l o d e 9 0 o c o n l a h o ri i ontal y por 10 tanto rrY rt es P ar a l e l a a1 eje ZS . -
llalLar
la
e c u a c i ó ¡r
de la
n ormal
a 1a parábola
y
a
5x + x " x.
q t.r" fo rma
un ángulo
de 45"
con el eje de
en- función de su -9¡r'd'iente La ecuaci6n cle una recta =rnx+b Y ""(1) "' ilienedadoPor: oue ser uaralela a Ia Como la tangente bíscacia tiene De 1a'misma pendiente' 'recta dada, entoncál-ii"""tt su ¡;endier enconirar í;-;;"i;-póáe*os ¿" rA;-;";;iéi te asi: l9 3 =-íx-a y -). -19 7Y=3x -' -7y='tg tx parando con (1 ) encontramos
SOLUCION
(z)
.J
Para Ia recta
nornal l.
Hallando
d)-dx
y la
mZ =
la pendiente
s + zx
+
-
I
11ando la derivada
...r.r.r..(l)
de la parábola:
. -i
¡ = 5( - 3) A hor a de la
=
l l l l , ='-=l
+
-
+ (-3 )2
=l
5+2x
e n condicidn
- xr¡) s)i
,
fecrla ei6rt'de
de (2)z ?
x3
* = - *7 y , s u s t i l g y e l d ? en 1¿ ecuacLon oer círcu
y.t
a ecuaci6n de1 círculo:
reenplazando en Ia ecua . ci6n de la parábola. yt=-6
-+
;
1o: I
,+ X = - 3,
s i e s ta m o s norn a l :
Y'Yt'm t( x I+6 =1 ( x* y- x+3 - 0
de 1a norrnal)
del problerna:
mr=tag45o 5 + 2X = -l
ao
rnr.=5t2x
(2) en (1 ) : t *Z = (pendiente É
Por condicidn
del círculo:
tA ': L( * t * yz) =;f, cssl + 2x + ?v+
sustituyendo .
rn =T.
tangente se cumple:
de hallar
la ecuaci6n
[ (xrrr) = (-3, -6) ] la normal)
- 7ht 'l' * y2 - s8 -# = 49
-| ?
,x=-|gtl¡
yz * yz = s8
y - !.7 -> x=-+3
y B(-3,7) go los puntos de tángencias. son: A(3 ''7) tiene 1a siguiente forma: ecuaci6n de'.1a tangente ',. om(x- x,) ; m=iGtG)) -lt
). -
P a ra A :
n8
y+T
.-} 7y +
--i {* -s )
7y b).-
v-
y, 'r
3x + 58 = 0
v'
8 ¡ -É
Para B:
5y+
y - z =? (* *
+ 7y
49 = 3x + 9 7y - 3x - 58 = 0 ecuaciones de las norlnales a la hipérlro
30.-
I{a11ar las ,)) ¿a = 36 paralelas 4x'-y'
3)
a Ia recta
Com o e1 p ro c e d i m i " n to s i m i l ar al probl ema e n to n c e s l o h a re m" ,o s s i n muchos' ¿eti i l ásl ' r ior , la
rec t a
f
1a hi p e rb o l a (\ 4x r ^2
"r
d , - 'rrr2)) = -[(so )
f
( . u . , e e n t e -) +
Igualando
Hallernos los
= - tr { ( n o r m a r..... ¡ (2)
??2
(4 + m')x'+
n'.
*
=Á
8
(xt,y1) a).-
+
con la eiipse: 4x2*
Zmbx + (b'-72)
ffi -Zmb t ,/ 4m'b'-
= 0;
^2*2+2¡16¡+62=72 ; resolviendo:
4(4+m") (tt"-72)
2 (4 +m'7
y2=64
Loe val ores
de ,'x " deben t.ener el
pasan por un mi sm o punto nl nante
debe ser nul o'
obo-4f4b"-
Y=18
puntos de corte
(rnx + b)Z = zz
1)', *
-lC
1as ecuaciones de las Cos taiigentes a 1¿r e1 ) 4x' + y' = 72 que pasan por e1 punto (.1,4). SOLUCION:
-- -
-)
5y+;¡!=-2x
+ 8x- 2yS= o
Susti tuyendo en la ecuación de la hipérbola: =36
-+
Hallar lipse
* =*y
5
ct-$r)' - r'
= m(x - x )
Calculemos primeramente 1as pendientes de la tangente: y = mx + b Sea: ; la ecuación de la. t angent . el
\F
_+
es;
1 a nornal : j
(l ) y (Z) :
- - :-v2 =- _ {+x
+
¡1
nornal
5y12x*50=0 anrc
242 --5-x * T* * = - 5 . . . . . ( 1 )
hallemos
y
4x2 *
=
+
-
5y - 40 = ' 2x + 10
-|
y+8=-+(x+5)
dada:
2 x+5v=4 -r+r ' -
(* - 5)
2x-50=0'
v-
2x+5y=4.
llf)
I
b). - La otra
sOlucr0ü:
De
= m(x - x.)
49 = 3x - 9
+
(t8 )
=(r8 rt s )
Una de las ecuaciones de la n o rma l s e rá :
Y ' Y t = m(x - *t )
288 +
xÉ t
n ? b ? -4 b z + 2 88
' 18n2 -
bz * 7z -
(dato l uego
del :
mj -s mo v al or probl erna);
porque
l as
entonc es
tangentes el
des c ri
Como la tangente pása por (414)rten$renos y=nx+b -| 4=4m+b' b = 4 - 4m ..:., sustituyendo
:
( xt , r 1)
112
(Z) en (1 ) :
- \'. j | :: -ir' l /Z
?
18nr¿ - (4 - 4m)2+J2=e + 'f8rn2- I ó+32m-1 6m2+l 2
*l
= -l
y
::: ::l::I :l,;,"
-|
mZ = - 14
Reernplazando (3) en (Z) z
= Q, . 4(-Z)
b¡ = 12 .....,.
+
de (1 ) tenenos:
(x - *r)
,..(z)
,.:l
llemos a ccn t inuaci6n
crl¡r t cs e
intercepciones
las
ll. ) .'
ton
el
eje
t t x":
par v
y = 0,
en (2):
= -+ r 1/2q*-*r) + - y 1=- ,l r t 6 - y, t I xr
- Para m1 = -22 bl
=m ( x - * t)
Y- 11
..o..,,(Z)
,n2* 16m + 29 = Q
es :
/?* * ¡ * ,:r ¡ ) I/2
^1
(4)
despe j anos
[xti
:
- Para *Z = -14: bZ = { - 4(-14) Finalmente
3z-'
* = *l tz G1t,', ,'r,'r,
b, = 60 ........(5)
-}
entonces:
1as ecuaciones de la normales son:
a).-
y = -Zx + 12
b).-
y = -
+
14x + 60-+
* =
y + Zx - 12 = 0 y + 14x - 60 = 0
puto *] ¡2* v7/2-a1/2,
l,-
Con el
eje t'I"
(3) xl/Z "1/2, : para x - 0r '€tr (2) ,
- {l,t rz .
Demostrar que 1a suma de ras coordenadas de ros pt¡ tos de intersección con los ejes coordenados rle l l tatlgente en un punto cualquiera a Ia parábola: 1/2 x-.1/2 + ) ¡1lZ = a''es constante e igual a a.
Y - Y'1 =
SOLUCION:
Surnando(3) y (4 ) tendremos:
De la ecuación; yl/2 Derivando con respecto
* r't".#=
-
al/2 - xl/2.......(l) ttxrr: a
- + x ' 1/ z -;
'K Hallando
y = y 1 1 / 2( * t " r l ' * y 1 t / 2 ) n y = a 1 / 2 . , t r / ' - . . . . .
- - - { - .,.,.....( 1) xl/z
la ecuacidn de 1a tangente para un punto:
(1)
Z*"*y=^7 l2 g1 l2 +y1 / 2) 2 r x+y.al l2 .xl / +a1/ .rt / x+)¡
jü
(0 - *l)
=^712,@112)
+x+
y=a
lq.q.d.
1a xz/3+yz/3=^2/3 strar que en la hipocicloide i6n de la tangente en un punto cualquiera iinita por los ejes cóordenado¡, és constande e igual a
t . )' !
* = *r t/'
So L USION: aI ejemplo anterior:
Esta d e nostración es similar Z/3
?./3 y=a
x2/
3
, , . . ,
(1 ) respecto
Derivando
a
ñ.PQ 5 / *,''".
P
(xl
a4/3
dx
D ñ ¡ \<
F
.yl,l/s Y - Yl= - FilJ a) .-
ta n g e n te
e n el
punto
(xl
, 11)
(x _ x ) I
= a
y - y 1 =-C l l
1/3
x1
X
-:;;-
(1)
A * "a
t
1
/7
1q. q. d. <1e una
de 1a t r ayect or ia * 2, siendo la unidad
I eie ¿!uuras
x horizontal
pelot e
un net r o
de dist ancia
y-el
origen
es:
el
-pr':nto tT :t ' 91 19:" dal esdó e1 cual t" '^í" " tá- - i á- pár nt" ,:i : i 1a ángul o qué i.!" t""r á' - i " pár átá: ul ¿ bon t;'c ui ' :i ,'i l " ..i .,t:'l ^Í:] elota contr a " " á- pl i q* íei pelota cae en una a¿otea 1 a S i L l iiii-¿ ! " p " ¡liJ á i
o riz o n t a l
Para x = 0, tenemos:
a4/3, Y2/3
ecuaci ón
I
xl
de la
(x
/3 ¡
2/3
ts
La ec uaci d n
^4
m
; para un punto arbitrario (xl , Y1)
d J = - ú )t
(Por Pitágoras)
* yz
De ( 3) v ( a) :
PQ .ir' 11 /3 -?ft =-r__ 1 /3 x
\4.,
^2/3
mostrada:
1a figura FQz * t2
(l )
ttxtt:
) -t/3 Z -1 /3 'Jv =--x 3 clx 5
,
d e 1 b ¡ : rd e a l t o , ¿ c o n q u é i l g : t : ^ l i : á '
; , ; ; ; ; ; ; iijiir á - p e r o t4 ' q h a ..1 a n za c:1 ' ::' ": 24t"'.de- al to , c9n qué
ls ¡o-* 1 ) * y ,*y1 xzls - v |
á." á"ié-"n- ó¿iii.io'áá sueloi e) si átá'.""-"r de una cuest a,
re
se.ha. lanzado 9:ti: abajc^en
inclinada ángu1o dar á
hacia en el
-
:t" áagulr-'r
l:-:Y:ár lgulo
suelo?
" .¿i ;,-¿.o" -qu é
UCION:
y =y1 1 /3U l rs.vl /3 1 , re lacionandocon ( 1) : . b).-
Y = ^ 2 /3 't\"
'" " " " " ""' '
( 5)
Para y = 0, tendremos:
del ra una rne jor visual í zací 6n la de Pelot a: ,--t" tt.Y éct or ia
a).-
Derivando 1a trayectoria:
dY = r-*)u x
(1)
dx
$llt. ,1"', ck)11/5 -Y1rl3 ,,=-#)1/3¡x-x.,)** r x l, .tl 1
I
pr oblem a
P a ra x * 0 {crx I . = l=
rgg
gr at r que-
t2"l
(1)
arcrg
Q=
0=
=l--
,20
dy =- J
+L
50
45"
g1 = arc tag (x,y)
5
dx
= t ag
,3,
= 30o57 t 50"
l-l
5.
= 80 (bajada);
Para x
a
en (1 ):
*-g-=-+=tasxz
9L=r-io dx50dxr dZ =
b).-
Reemplazando en (l)
el valor
-
50
de x = 75:
dx
dv
16 = x -g
-¡.
¡00
= 20
x, l-L
y
20) = Q
+
ftzo x =f L-20
120
+
.r., 7 g = - - L= .cx )
7
B =
t ag
- 54" 2? ' 44'l
6
xr
(x - 80)(x
- Pa r a l x = 20 (subide); I \
$ = 125" 32t16"
- 20) r Q
= 80
Tendremos 2 soluciones I lai otra de bajada: I
.
B = arc tag (?
1600=100 x -x 2
- l00x + 1600 = 0 *
,2
oz = 149" 02n10"
zr = t- m -
Para y - 76, reemplazando en la ecuación de la trayectoria:
*2
A
Reenpl4zándo x = 120 cn ( 1) :
{ = - 26o33f 54r' c).-
oZ = - 30 "57'50"
(x - 1 2 0 ) ( x
raso + 9=aictag e1l
#=-+=
i. (- i)
tonrando el or igen (0 ,0) en 1a azot - ea, e1 puit io se encont rará a (x, , - 24) . Sus t i. ti¡ de l l egada tra yendo estos v al or es en la ecu ación de la yectorl a 2 2 * * 2 - 1 o ox-24C0=0 * -2400=100x -x -24 = * ñ
dv_ r-jtrr¡_)* =1_ + *r'
af
tag ^rc
a
uno cuando esta subida
en (1 ):
de la Pelota será: Y = - x ; La trayectoria la ecuación de la t r a y e c t o f ] . a : en reenplázando -xax--
*2 100
+
-100x
= l00x
x
2
t2(i
x (x - 2 0 0 ) = ü
*
x2-zoox=o
1 2= p¡J{.r)
. =fo
I zoo
2
susti tuY endr-' (Z)
Sus ti tu ye ndo
x
= Z0it
en
( 1. ) : V=-
dy
1
dx I
= a rc
200
dy
50
dx
ta g
( - 3)
+
- _ l_ 7S
1Z 900
'
'
= - 3- t ag0
r
\-
?
t,
dy dx
-z7s
'* i
para
( 30, 1 2)
tago
+ ü= arc tagtT
0 = 1 0 8 " 2 6 r0ó" 3 5. - E I c able d e u n p u e n te c o l g a n te
tiene 1a for na de un a par ábola y es t á anar r ado a d o s c o l u m n a s qu e distan 60 m la una de la ot r a. E l p u n t o m á s b a . io de 1 cab le es I 2 m debajo de los p u n t o s - d e suspensién Halla r el ángulo ent r e el c able y l a s c o l u n n a l .
dY =L= f ¡o) , 5 dx 75
_g -3 dx
's \
)
6 = 3 g 0 3 9 t3 5 " ángulo
El
q u e ha ce e l
ca b l e
y la
co l u n n a
e s:
o = 90o - 0
TI 1')
c =9 0 o - 3 8 o 3 9 r 3 5 t '
].
c =9 0 o - 3 8 o 3 9 r 3 5 "
60
SOL UCI0N: Hem os t r az ado el eje de c o o r d e n a d a s p o r e l punt o m edio, c on la f ina l i d a d de tener una
(50, I 2)
+-
(i)
Cerivando:
g = . - 71033 | 5 4 r ' 6
F_
.
( l) :
en x
,
o = Str"20t25"
MáxlmosY Mfnlmos Problemas: las fuL mfninos ile cada una de Calcular los náxinos Y c.iones s igulentes:
60
-* 3
- 6tz + 9x
a
S ea la ec u a c i d n de la p a rá b o l a : y - px' ........(1) punto (3 0 r1 2 ) e ntonces reenpl a zac oF o P as a p o re l nop en ( 1) :
@9Ie.s: l er P aso:
C á lculo de la derivad,¿: f (x¡ - ¡3 -
6¡2 + 9r
|ztl
un v3 1c r ná;
) = 3xo - 12x + 9
f '(x) 2e paso:
f r(x)
Luegox=1
= 3xz - lzx + 9=0
r-)
x < l,
f '(x)
=(-)(-)
=+
= (-) (*) x ;'l , f'(x) c u a n d o x = | La función tiene
E nt onc es , x = 1 , f (1 ) Cua n d o :
E nt onc es ,
x=3
cuando
x = 3, f (3 ) Res pues t a :
10 + I2x
= [-)(+) = , f'(x) = (+) (r) r f , f'(x) 1a función tiene un mÍrillrr,r
=Q
Irtáx. l"lfn. 2.-
x<3 x>5
-3x2 -
.A
,parax=l ,parax=3
(críticos) :ol imaginarios' ni mlnimo' ^á*i*o
por
x ='2
10,
')
2.
f (x) = 7x" + 3x'
do:
= 6xZ ¡ $1 + 12
f,(x)
=6(xZ
+x+
tolviendo
=
valores s-t;;;;-no
6(? - x-xz)=Q x2+ ¡o
de "x" existe
-t,ñi 7
Sea 1a funci6n: I
f'(x)=-(-) (+ ) = + ; f'(x) - -(+ ) (+ ) É
x=
+ zxT - 1sx - 20.
x - Z - 0 -| (x - 1) (x +2 ) e Q 1 y x .-2 son lo s p u n t o s crfticos.
5 e r . pa so : a) p a r a - 2 < x
Q
1a ecuaci6n P)'anteada:
- txEn - >
2do paso:
2)
6(xz + x + 2) = Q x2+x*?
f ' (x) - 72 - 6x - 6x 2 = 6(2 - x - xz ) =:6(x-1)(x+2)
+ 12x
f,(x)
SOI.UC ION:
zxl
x=l x =-2
Para Para
+3x2+12x'4
9 A s o:
zx3
Sea: f (x) = l0 + tzx - 3x2 I er paso:
+
ní;ri-
l"fáx. ='1 7 Mín. = -10
Paso: =Q
=
pues ra: = un mírxirnrt
= 4 I
=
l-l
un valor f(-Z)=-
5>
b) . -
(-)
x2- 4x * j = Q * (x-3)(x-ll= x = 5 son los puntos crfticos.
y
3e paso: a).- Cuando:
I
f (x)
I
paFo:
=* 3* z x Á- 15x - z o !
I
f ' cx) r sx? + dx - 15
Zs
criticos
s valores
paso: = 0 = sx? r 4x - 15
fn(x)
0 = (3x-5) (x+3)
=3 + .l * r r5
gr
paso:
).'
x =-1 Para el valor crltico = (-) Cuando: x <-1 , f'(x)
t x 2 ' -3 Los valores
crfti.cos
son:
-5 yJ
3s paso: a).- Para:
< -5
-€x
f'(x)
;
= (-)
(-)
= +
P ara
).-
valorcríticox=0 -1 < x < 0 ; 0 < x < 1 ;
el
, C uando:
- 3 < *.*;
f'(x)
J'
= (-)
(*)
= -
I-uego cuando: x =,5 la füncidn dada tiene náxirno. f (-5) = 1ó b).-
Fara:
-3 . * .l;
= t-)
t+) = -
f' (x) = (*)
(+) = +
ft(x) 3
P ara
).-
3l
i
nuego cuando: x =-Lf"
nf n i mo . f é-3) =-s+. e i s Máx = 16
;
para
Mín = 34"815 i para x
= T5 paso
SOLUCtrON: S ea: I s p a so: f '(x) f '(x)
f (x)
= ZxZ - *4
l*J
f '( xJ
= ( +)
( *)
[ *]
= +
;
f '( x)
= ( +)
( *J
( *]
= +
función
un máximo
tiene
0 =t
f(xJ=*4-4"
Sea:
zxz - *4
Zdo paso:
para x= para x
Mfn=0 Max=1 - 4x.
x =-J
(*)
==+
;
Luego, cuando x =. I la ni mlnimo. x = -t I'fáx = 'l para
un
(*i
un rnfnimo f,{0J = $
C uando:
x>l
funcidn dad.a tiene
f'(x)
(o)
e1. puntocrÍticox=1
0<xcl ¡ ¡ "
= (-l = (+)
f'{x)
en x = 0, existe
entonces
{.-) (+) = *
= (-) {'J (*) = f'(xJ = I existe un máxino
-1 < X < 0 , uego para x =-'l ; f (-1)
3
0 y 1:
-1,
son:
f'(x)
= 4x3 - 4
f'(x)
= 4(x
- 1) (*Z * x + 1)
paso: =4x-4x5 -4x(1
+x)
= 4(x f'(x) f podemos plantear:
(1 -x) =Q
f ' (x) - 4x (l +x) (1-x) =0
*1*t a - f [*'
txs
ei
(x
-
'l
)
e
Q
'+
x
- 1) =
1
(*2* * + 1) = o ; de a -
i
(*2 * x + 't) = 0 , resolviendo La ecuacil6n se en cuentra que I'x'r toma valores inaginario9. tendrenos cono único punto crlíti.co en conclusi6n
x=l
o < x ,+
3er. Paso: Cuando! -@ < X < I
f'(x)
= (-)
(")
=-
I < x < f'(x) -. , Luego, cuando x = I Ia fu¡rci6n =-5,
= (+)
(*)
= +
,
lulín=-3, 7-
*4
Cuando¡
parax=l
paso : '
Sea:
2do paso: resolvienclo:
Ios valores
x
-fz, '7
f '(x)
='-
,fz ,-T ,
f '(x)
=+
tx
f'(x)=4x3
Luego, cuando x =L
-2x
2
nr of ( x) 't
f' (x) = ?x(zx?-'t)=zx
(ñx+t)
* t=-
l_.1
E,
*z=oy xi =
f ie " o
a).-
Exa¡ninemos el valor
crftico
Llamando: "lar
I
Cuando: -€ < * .-
ñi 1 --:4X<0;
,n
=-
-
f '[x)
= t
2 ilo p a s o :
u n mf n imo f (-l ,/7,
de dondet
x = 0 , o c u rrirá : ;
paso:
f'(x)
L u e go, la funci6n en x =-+ t ie n e {2 E n el punto crftico Cuando,_ I E <x<0
(-)(-)(-)
f , (x ). 1
D afa
4' -
''----
i1
X
par aX
4ñ
4x3 -
n
\r -1
Mín =*,
represen
1 * =-
=3
un valor
tiene
función
= --
/T
l'1áx =1r 'Par ax=C
criticos.
paso:
la
Mín
(ñx-tl
f ' (x) = Zx({Tx + 1) ({Tx - 1) = Q
5er
b) .'
0 <x
= *4 - *2 * 1
f(x)
,
(0) Luego, cuando x = [ la función tiene un rnáxinic f i; l. v = J {cr í t ico valor el exanr iner r os tino c) . - Por ú1
- *2 * l.
SCLUCION: I er
tiene un nínirnt,
t:i:r
f'(x) =
lzx?
f (x) = 3x4 - 4x3 -
lzx?
ft(x)
=12x(xZ
-x
f '(x)
= l2x(x
- 2)
fr(x)
= 0 = 12x(x + 1)
*l
=
x?=
(x * 1)
o
I
Duntos críticos.
ZJ
,Ser paso: r). - Exaninando el valor x <-1 , Cu a n d o :
crftico f '(x)
<x < 0 ,
f'( T )
-1
(x - 2)
- r lI l^
x3=
-2)
x =- I É-
= +
=
-l
ní¡',i
Entonces en x =- 1 tiene
un rnínirno f (-l ) =-g
b) . - Analizando
el valor
crítico
< X
< 0
,
f '( x )
0 <x<
z
,
f'(*)
Cuando: -'t
Luego, en x = 0 tiene c). - Por ú1timo, Cuando:
ent onc es
enx=2
x
> 4
,
f t ( x)
= +
,
f'(x)
=.r
!9LUc-I_oN.:
tiene
un mfnimof(2)
It
Sea:
(x
- a)
= Q
críticos
5
f'(x)
3
Resolviendo: (2veces) X:0
4)
5e = 0 (3 veces)
x =Q
y
r).-
2) ( x'2) =Q
nnalizando
el valor
x = 0
Cuando:
- o ( x < 0
,
fr(x)
0 < x < 4
,
f, (x)
b).r +
x = '2 Examinando el valor crítico Cuando: = + f'(x) x < 'Z ,
un n,áximo f (O) II x . 4 i
funcidn
Analizando
f'(x)
,
el valor
crítico , ,
Luego en x = 0 la funci6n'tiene C).-
Por últimor Cuando:
x = Z
= -
un máxino f('2)
tiene
Cuandoz -z < x < 0 0 < x < 2
-
tiene
1os valo: es cr í t icos.
Y x=2 'son
,x=-2
paso:
Bn x = - 2Ia
Examinemos el valor'crftico
= tSxZ (x
-2<x<0
x=4
paso:
Luego, cuando x = 0 la funcidn 0.
= 15x4 - 6oxZ
-5x
I
crítico
20x3
-
paso:
A
-+ [x
son:
= 3x5
f ( x)
= 1sx2(x - 2) (x + 2)
l- x ' 4
Luego los valores
= -256
paso: f '(x)
= x
f(x)
(x)=5x4'Zox
fl
un minimo f(4)
!x5 - zox3
para x = -1 parax= 0 parax= 2
Sea:
t iene
Máx =0r par ax=0
c Q
i
5x3
b).-
= -
f'(x)
Ze. paso:
a).-
f '( x)
,
= sx3 (x
3e
,
tonces en x = 4 I a f unción ¡ó.
22
S O LUCI O N : pas o :
< 4
-?
* 5 - sx4
1s
x
]' {ín ='Z56r par ax=4
1a funcidn
ñ r].n = -5 jvfáx = 0 = -3 2 I' l i n
0
x=2
x < 2 x > 2
0
=
un máximo f(0)
para
Ando:
x = 0
= 6'1
x = 0 = = ft(x) ft(*)
mínino ni rnáxino.
x < Z
0
= -
f,(x)
,
x > 2
=- 64 ,
ll"-
X
tiene
= ¡"
c
pa s o :
Z do
ZaJ 2 x
A nal i zando
2u' =
=Zx-
valor
-. a ) (x 2 +
¿2¡ =g
ax t
; resol vi endo
se obti o lo -
go en x = -a
,,
*
<. a
x
> a ,
cu a n d o
,
x = a la
_=, z
v a l or
f,(x )
= -
f' (x )
= +
fu n c i ó n
crfti co
x = a
x
f , ( x)
= +
,
f '( x)
=i-
función
no tiene
Haciendo: f (x) = t'
un mfni mo f(rr)
I er paso:
f' ( x )
?^tl
=i-(x'-a*) x
Mín = J a o
2x - - d
,
p a ra
x= a.
4.' *2
, x l o
2do paso:
*x- (**-"n) =
z
SOLUCION
*
't
^3
x
un máximo,
2
ION: SOLUC
ti ene
la
,
^4
x o +g -
E x a ¡n i n e m o s e l
'
x = - a
cr í t ico
tant d.
pas o :
c uandot
a'
x > 'a
x = .a y v a l o re s . i i n a g i n a r i os x, por t e¡ rd re mo s u n ú n i c o ú a 1 o r crÍti_de co en,x
12.-
el
x < -
0* xJ-ar* tJ
xz
=Ja
imaginari as .
C uando: ft(x )
Luego,
+ x.= -a ., +. ao ' -) .ra ices q
x-ax
a,
r er
= 0
ax + a')
ér paso:
pa s o :
(x
))
+ ¿1 (x'-
a
X
= 2x -
f '(x)
3
=Qt2 xJ* Ze J=ü
.x+ a=
,^3 a JS a
I er
x
=
f '(x)
x=2
2(x
f (x l
.->
za3
Ztlo paso:
') ^3 7 xo +'-2 -
..1Q!-U!r_QN;
zx3 *
un mínimo l(
x =- 2 para
^3 ¿¿r
=2+
f '(x)
= +
, f'(x) Entonces . enx=2lafuncidn =-64. Máx=64,para nin
i ar paso:
resolviendo
r -3 LLa¡tandoa: f (x) = Zx - a *2
x.E-a1 |
xz=
a )
Q
-l
obteneno s: |
puntos
críticos
(x+a) (x-a) q*2r^2¡
= e
x-
= 3i
'l
x4
= ai
)
J
3er a) . -
puntos críticos
NO SO n
I
l.¡¡ ¡,\,¡
paso:
el valor
p a ra
Exaninando
_ . *
'a, a
-a < x <
f'(x)
= -
f'(x)
= -
a Ia función
cuando
Luego,
,
x =- a
crftico
c u a n c o ,_
^r
^-é x =-a naqñ'
a) . - En e1 valor Cuando: - a<
x < a
,
f t ( x)
= +
a
,
f '( x)
= -
un
Luego,'
cu;r ndo x
= a, 1a f unci6n
p a ra
I
un náxi; ; r o:
f '(x)
<@,
a,
la funci6n
)
M Ín = 2a-
,
Para
.
tiene
X
= +
x > - a
un mínimo:
Mín.-i
x=a
tiene
1
,
l,ráx=;,
22 x+a
x Sea: f(x)
=-fBx-+a-
,.) (x'+ a')a -ax(2x)
w
f '(x)
=
23
-ár;37 a x +a - ¿ a x
*2> ^(^2-
q*2 +
^2¡2
para
a
f ( x) x+a
1 er paso: * = xz
lax (x +a) 7'
* 2 + z T ,= o - + ( x+a) -
=
x = - a
Zdo paso:
+a)
paso; f r(x)
para
Sea:
f t ( x)
a -a x _:T-TZ
(x
un níni'mo f (-aj
x+a
32
f'(x)
= i
z
SOLUCION: paso:
f'(x)
,
En x =- a, la función
AX
S O LU C ION :
x = ' a
crltico
En el valor Cuando:
f '(x)
a
a <x
Entonces g n x = f ( a ) =zai?
x a a.
críti co
v al or
b),-
Cuando: -a < x
2do
t iene
1 r ( a )= z
b) . - F i " n a l n te n te
ler
x = a ( exaniner nos) .
-
m áx im o .
14.
cr í t ico
a) x
no tiene
críticos
valores
I J
=Q
, x'=0
x( x
+ 2a)
= Q
=- *
1 1 L
l.lr)
x--za] x=0 J er
)
C u a n d o z -2 a
el
valor
(
Luego e n x = 0 l a F ina l m e n te
r
> 0
,
fu n c i ó n
p a ra
Cua n d o :
x
E nt onc e s p a r? f ( - 2a) = - 4 ;. i .l á x = -
< -Z a
I' l i n = x
Za,
= -
ft(x)
= -
gOLUCION: -
un nfni no
,
fr(x)
,
ft(x)
L a funci ón
= -
ti ene
4a
,
p a ra
x a-
0
,
p a ra
x=
f (0 )
x = - Za = +
críti co
0 > x > -Z a x =-
f' (x)
ti ene
yaior
el
x = 0
c ri ti co
x ( 0 x
¡6 . -
f ( 0) =
Za
=
I f' ( x)
= - 4- -^Jx -
1)? [x+a)
)
=
x = 0, la
Luego , en
paso:
(l
=
^2 ¿^;*
'=
o
.)
z a ¿ x =Q
q^ "r*212
Exami.nando para el único valor crftico ' Cuando: r < 0 I ft(x) x > 0 , + ft(x) -
s - 2(1 - x)
* f '(x)
= Q
x= 1
I
x = - z)
paso:
x -0
= (2 + x)-'
* f'(x)
x = -z
x = 0, único valor c rlt ic o .
un máxino
'x)z
SOIUCfON: Sea:f(x)
2do paso:
tiene
función f(o¡=2
(z + x)2
f '(x)
* = -
f'(x)
,
a2* xZ
f '(x)
Za?x=0
único valor cr Í t ico. ., * Exaninando en x = 0. Cuando: f'(*) x<0 ,
*2
f (x) =
Sea:
+
[
-
( x- +a - ¡
x = 0
0
2
SOLUCION:
'¿ ^z
', -2a'x
r f ' (x )
x>0
3er
un; ní nim o
X+lZ =-\^'
f (x)
Sea :
un máxi
2¡ x+a'
ler
tiene
funcidn
paso:
a) . - V e a n o s p a ra
b)
x = 0, la
(valores)
puntos
x
> 7
(2 + x)
(1 + 2x)
1 csrr¡íti c os ' uutotus v¿r u¡ sr
I f
* E xam i- nando el
- l.x< ¿ l
( 1-ü2
, ,
cr l t ico
valor
f'( x ) t t ( *)
=E +
x a 1 Cuando:
lll
Luego en x = I , la
función
tiene
un mínimo f(l )
* Examinando ahora el valor crftico Cuando: = x < -2 ft(x) ,
* Finalmente analizamos Cuando:
l
-2<xr-r, I ) x
r-l
"r
x = _ z
adquiere un mfninro;
f'(x)
2 ',.\
(1 -x l
SOLUCION;
= -
l'{in
= 0',
Itfín
= 0rparax¡-z
=- 5 (2+x )
-5(2+x)(1 -x)2( ResoIv iend oob x Xtxt
E-
7
4
T
tiene un náximo:
para
x=1 x =- 1 i
Para
f (x)
f (-st) =
II
crft.ico
x =- Z
tiene
función
un rninimo:
= +
f I lv\
,
¡
\ . r/
t iene
1a f unción
o 1, la En consecuencia pa.ra x mo ni mínino' llín=0
,
Máx = 8.40 ,
un ináxino:
función
crítico
parax=-2 Para x
1
1 17
Sea: '¡ =f c(x
f(x)=b+c(x -1 /3 - a) "l
P a ra e s t e c a s o hacemos: J-= f ' (x )
g
x E a
Punto
-+
3 2c
l*
crftico.
-
")1/3
- o
x = 1
no iiene náxi
- a)'''
f ' (x ) crfticos
+
el valor UI timo aná1is is hacenos Para Cuando: 4 = f'(x) -;(x( I , ) = f'(x) x> 1 ,
! + c(x
1(2 veces) J
Anal- icemos para ef vafor
J
SOLUCION:
Valores
=
f t( x)
,
t ¡+
( 1-x)t ( **h
x+f) = o
f t[x)
9,40
I
l
>- ?
= (Zrx) t (t -*),
tenemos: 1
< - 54
-2< x
=--l 4 Luego, cuando x
.3
Sea:
f '(x)
:
=
x =-T
Bxa:ninando ahora Para
> x
Ia funcidn
l-6-,
(2 + x)"
= Q
ndo
f '(x)
x =- Z, la
cBo, cuando
* = - 1 2
1
lvfáx = 81
-2
)
f'(x)= +
Entoncesenx='i, g1 ^,I --t1. = 1^\ z' lb
..) 19.-
+ -7)x)
t( z)
-1rx>-'2, f,(x)=+ 2', Luego para x =- 2, la funcidn f(-2) = Q
X<
ando :
-úz/3
l{-l
Exarninando para el valor Cuando: x < a , ft(x) x > a
,
x = a
crÍtico
Cuando:
= = +
ft(x)
tiene un mfni¡nr:
ItÍn.brparax=a 21 .-a-b(x-c11/S Sea:
f(x)
x < -1
I > x > -I
!g"go, cuando x = a, la función r(a) - b
:
= a - b(x -
i Por últi:no Cuando:
/S c71
I{aciendo:
x = c
= o ' =-ilx
(punto o valor
Analizando Cuando:
:
Luego no existe ?2.-
1 f a
(2 + x) "'
(1
dadr
,
f'(X)
= -
x > 1
,
ft(x)
= +
un rnáxi;nc:
f (x) = x(a * *)2(u
Z.
solviendo: ü1/3
tiene
e1 vaLor critico
=- 6(a' rx) la-x)2(**9)
f'(x)
(l
x
- x72/s
x = 'l
- *)3
so n l o s valor es cr fticos.
d
2
x éa x =-
(x - 3) = g S-
I
-a
x
= Q f'(x) ResoLviendo obtenemos: x
= -
f r ( x ) =- g( ¿ + x ) ( ? - * ) '| .}* 7) C * - * )
= -
- x'¡2 /s
rlJ I 1
f '( x)
-1 < x < I
Sea:
f ' (x) =|tr -*) 2 /3(z**)'z/s - t¡ +x71/3 ( 1- x¡ - 1l5
x ':
,
analizando
LUCION:
x = c = f'(x)
máxino ni mÍnimo en Ia funci6n
SOLUCION:Sea: f (x) = (2 t
= I
[ a + x )z (a - x)3
crítico)
x > c , ft(x)
f '( x) '
Concluímos que en x = 1 , la función tiene ur níni:¡¡o = Q f(l) '! ]v!áx = 'rT , para x =!''fin = 0 , para'x = 1
- c.)2/3 b
el valor crítico x < c ,
,
Luego, cuando x =-1 , 1a función = t/{ f(-1)
f ' ( x ) = - + G - s¡ - Z ls 1 f'(x)
x=-1
,lExaminandopara
(2 veces
Valores
criticos.
a 5
anal izare¡nos pa t a cada valor continuaci6n Para: x.= - a s f '( x) x <'a Cuando: ,
- 2,z
x)-a
,
crltico:
f t Cx) z
,i-H
146
Lrrego en x =- 3, la función
tiene
un rnáxino f ( ¡
f ' (x )
Cuando: -á ( x . -;, aa
*,
Tr
-i ,
f'(x)
= _
f'(x)
= +
= z( x *
*
Pa ra:
h a yu n m ín im otf- ? =
E a
x
Cuando:
$(x(d J x > a
lY"go, mo. *
x
i,l
,
f'(x)=-
,
f'(x)
en x = a la función
x
no tiene
rnáxirno ni ¡¡¡ i
cuando:
-
7.".;,
r a*l I I
=-A
f,(x)
= +
f '( x )
=
=- -
fson los valores I función dada.
?.
Luego
t
,
T
J-r
la funció¡
tiene
a cada vaior
crítico:
2 )
cio : a ,, .".;"r
lf.'(x)=+ f'(x)
,
_
o cuando * =
a en x =
cie la
i
*tir ¿a t > x
críticos
I
2¿
n t inua ci 6n analicenos ra :x
x =*
Para:
r esult a:
t1
x = a = -
( x - a) - 1/3 . ( z x - a7- 2/s
o = z g- !a)
f ' (x )
(* -a12/l
")1/'.
( x - a) '1/3 , ex - ¡ - z /s
",
tnando 1 a ecuación
= -i.,
E nt onc e s re n x -a '
= (2x -
f(x)
Sea:
* Para: x =- -q 2
un máxino:
la
?^,
función
tiene
un náxino :
a ) =;
rÉ) =W Máx o 0, Ilfn
Máx 2 4,- ( Zx :
a|l/s
(x
.
276
-6¡- , " 128
6
7 *^ ,
u6
p ara
x=-a
p a r,a
x = --1¿
p a ¡a
x= 4
3
x = a Ta el valor crÍtico ndo: . x < a , f (x) = 2a f'(x)=+ , nces en x = 8, la f unción -.*.. rll tino p arax *+
t iene
un m inim o: f ( a) =g
a72/s X
(-;-
d
L
'
fl(x)
'
+
1.18
2a J->x>
a
z
Luego cuando
X- - .
máxi¡no,
a
1a func.ión no tiene
2
a hláx =3
l'{f n
25,-
antonces en x =- 4 la
= +
f'(x)
¡níni¡no
f (-4)= -+
parax=a
=Q
l,¡in=-t- ,
*2*l*l f (x)
Sea:
x+ 2
=
pdrs )6 =- 4
=-
ft(x)
x2+2x+4
f (x) -x2+x'4 x+I
Sea:
SOLUCION:
S O L U C IO N :
x=0
x2*x*4 x+1
x + 2
(x-1)
(x+5)
7
(x+1 ) -
= -
f'(x)
f,(x)=(x+3)(x-1)=Q (x n1)z '
x2+2x*4 f t (x )
.
x=o 4
x(x + 4)
0 =
Resolviendo:
I valores I son los ) c r f t i c a x = -3
X¡'3
x2+2x+4
.\ x :-
Mfu= + ,para
para * =7.^
un minirno:
tiene
funcidn
X='l críticos
tvalores )
* Examinando el valor Cuando:
Examinando el valor
x = 0
crítico
Cuando:. -4<x<0 '
x>0
,
f t (x)
,
f ! (x)
Luego cuando x - 0, la funci6n f (0) = 7/2 Ahora examinemos el valo¡ Cuando,
crftico
un máxi¡no: x .-
i x < -4' o > x > -4
l, i,
fr(x) ft(x)
r I -
,
f'(x)
=
>x>-3
,
f'(x)
=
+
1a f u n c i d n t i e ne un ¡náxino: entonces en x '-3, f(-3) - -$ x = 1 * Analizando el valor crítico
=t
tiene
x<-3
criticos
4
Cüando: -3<
x <" I
r
f'(x)
I
,
f'(x)
- = +
función
tiene
x> Luego cuando x ¡ f(1) = J
7, la
un nínimo
27.
l"láx = -$
,
para
X=
-3
Mfn = J
,
para
xE
t
¿ x+x+4
ll- r l
en x = 2, ti.ene un mínino:
go 1a funci6n
f( 2) -6 Máx
x2* 2x ', 4
¿ ,parax=-z q
SOLUCION:
Sea:
f (x) E x
2+
Mín
-^*^ y4L
,
4
-
A -
f L
x + 4
x?+zx + 4 d
= (x + 2) (x - 2)
f'(x)
)
x)
ib
Y
(x2* 2x * 4)2
=(xL 2 )(x-z) (*2 * zx * 472
f '(x)
=Q
f ( x)
Sea:
I
f t(x)
=
f,G)
-
=
Res ol v i e n d o :
xl = -? I I son los valores crlticos x= 2) la función dada. t A na l i z a n d o
el valor
Cua n d o :
x<-? 2>x>*2
t
f '( x )
a
,
f'(x)
= -
entonces en x = _2, 1a función
f (-4,=+ * Exami.nando el valor Cuando:
-2< x<
2
x>
2
, ,
crftico
x = 2
f(x) = f t(x)
2ab * =iff
+
tiene
É +
* ül = o
s o lv ie n d o s e o b t i e n e :
x =-Z
crftico
zabx - xl(a
un náximo:
'
es el Puntocr ltico
aninando eI valor
crítico
ando:
, fr(x)
|al *.7afr
X
)
2ab atD
-----
t
sgo la funci6ni en x
'l(#B) .-
f t ( x)
=
(b{#)'
#,
2ab x =z-+5r+
= -
tiene un
rnáximo:
(b'a)z
l"fáx=
para
4ab 29.
2
Zab x = a+b
Cuando:
7
a+
b-
x
a-x
x< ?
SOLUCION:
Sea:
=-
f (x)
d
*bZ a-x
x
a
2
a
( x( ,
f'(x)
b2
*
- - ": *2
2
=
un máxirno.
.2
+ ---9--
-3= ¿ x
10 que nos <1ice frflx irno .
("-*) 2
(a -x) -
Frl v i
=
f '(x)
= -
2
+
a -b
a*b
f '(x)
^? x = T*:-t
crf tico
Luego ¿rnalizanos er valor
=e
Min =*ijf (^ -nb)z
Máx =
Resqlviendo obtenemos :
^L
que en x =
d
e----n
, 1a í unción
,
par a
x=
,
par a
T
arb
=+
"a - D
uZ
1
--I ^2 a+b
I
(r
I
[
I
Z ¡=-4a-b
)
son los valores
I |
* Exa¡ninando el valor
crftico
crft.icos
* =
cuando: ^?
x
,
a+b
)¡¡
a -b
a
a*b
Luego la funci6n (a + b)' a
en ,
XE
-
,
f '(x)
(qx -.a)
= (a - x\2
= Q
(a : 2*)Z
x=a al =7
1
un nfnimo: Anal izalizando Cuando: ¿ ;(x( +
x>
el valor a a
, t
J
- *)3
a -2x
(a - Lx)z
a
tiene
("
(qx - a)
= (a - x)2
*
az
=
f(x)
Llanando:
SOLUCION:
De d u c in o s q u e :
f I (x)
a=-5-
- 7x
^2 a + b
2 ,
1
x) "
f t(x)
= -
ft(x)
-
valores
críticos
l crftico f '( x) f t (x)
x =a E + E +
t iene
r5l
La
*
func ión en x r a, no t i-ene náx imo ni mÍn irno.
{ hor a a n a l i z a n o s p a ra - * = f \ uando : X< ;-
a
rt*t9 4 "'{ton ce s
,
fr(x)
= -
,
f'(x)
= +
en x =
,
?
la
'i t '""1' i1"
Sl r l ' l 1 r ¡ '
f unc idn
tiene
r (i) = 'r',"' 3 1.-
I
I :i l* ' r:' ' ,
un míni.mo:
-.,1 l ' Ü
_ tt;l
iS q - , t Í { '
ProblemagD es arrollados
* * - I
2x-x+l
so\ucroN,
Sea:
x2+ x-.,t
f(x)
x2-x+ ' ¡ f'(x)
2 x (2 - x )
=
d e l a d o a ( ve r fi g ') D e u n a p i e z a cu a d r a d a d e h o j a l a ta del por arriba, u n a ca j a , a b i e r ta s e d e s e á c o n s tr u i r co r ta n d o d e l a s e sq u i n a s cu a ¡ n a y o r v o l u m e n p o si b l e , 1 a - h o j ¿l a ta y d o b l a n d o h a ci a a r r íb a drados iguales 1a para forñar l a te r a l e s.: Ia s'ca r a s ¿C u á I d e b e se r d e l l a d o d e 1 o s cu a d r a d o s co r ta d o s? . iongitud
(* 2 - * * t)' 2 f:,¡x;
2 x (2 - x ) (x z -x + l ¡ 2
=
Res or v iend o
:
*' o 1 x .Z J *
\a¡,inando c \ ando:
E o
s o n l o s y al ores
e 1 v a l o rc rfti c o
crl ti cos.
de S e a x = l a d o d e l cu a d r a d o p e q u e ñ o = p r o fu n d i d a d l a c a j a ; e n t o n ce s. ( a - 2 x ) = l a d o d e l cu a d r a d o q u e fo r m a e l fo n d o d e l a y caja, y = ( a - 2 x) Zx e s e 1 vo l u m e n d e l a ca j a ,
x= 0
x < 0 = r fr(x ) > = + 0 2 > x , fr(x ) E nt \ nc es e n x = 0 , l a fu n c i 6 n ti ene
un nfni nof(O)
' \alizando el x o z Cuaq¿ o: ".1"f"(0¿;;Ji." ft(x ) 0 < x < 2 , ' + ft(x ) x ? Z , ' . Lueqo, la fu n c i d n e n ' x un náxi no t(z)' t 2 , ti e n e M fn .
Máx-f
-1
,
Pa ra x '
0
,
Pa ra x '
z
C
SOLUCION:
Querenos cal cular el yalor de x par a el cual est a funci 6n V es un náxino. Aplicando la r eglar t endr e¡ qos pri ner paso : - { ( a- 2x) 2- 4* ¡ "- 2*¡ - a2 - 8ax*1 zx? dx S ecundo paso . Resolvlendo la ecuaci6n a2- 8ax+12x2=0, se-obtl ei ren los valor es cr lt icos: i aa
x=
,
!e re, -en' la figura'
y x =e , gue x izu,
un mlninorpues
to que en ese caso toda la hojalata se quitarf;r quedarfa material para construir la caia" Aplicando 1a regla , se hal.la que x - + da eL vr¡ ' ')^" máxiino -j:, Luego e 1 1 a cl o deI cuadradc que sc l ¡rt 1
) 'f
ccri;Ir es un sexto del iado del cuadrado dado. En este problema y los siguier)tes, se rccornier.'l,t estudiante e1 trazado de Ia gráf ica. \ i2)' L/
lr v ig a t e n d r á r a r i i r "
lli¡
resistencia.
Irdel rectángulo de área máxi¡na que lCuál es el ancho len un segnento dado OrlAt (ver fig.) luede inscribirse lG una parábola? lgltUCION: Si bC = h,gntonces BC=h-x y PPt=2 y; por ------tanto e1 área del rectángüto PDD'Fí es,
Suponiendo que la resistencia de una viga de sct, I transuersar rectanguler gs tlirectainenre proporc i()rl a 1a ancllura y al óuadrado de Ia profun¿i¿aá. ¿Cuáles son 1as dime¡rsiones cle la^ viga de mayor ¡ F sistencia que puede aserrarse de un ironco rldo',r,1 diámetro d?
$Q!_u_croN: = l a p:"ofundidadrentonces lq 5ix=laanchuraéy ga tendra resistencii máxima cuando La-funcidn xu{ náxima. De la figura luegá . se.deciuce yZ=¿Z-¡2; benos trabajar con la runclon. :
qs, un _punto de 1a pará,bo1a y2=2 px; por ronsi fuiente , 1a función por estudiar es;
ro P
f (x) = 2 (h - x) f-,fi, Lar la altura de1 cono de volumen máximo que puede cri bi rse en una esf er a de r adio r .
Volunen del cono = 1/3r¡x?y (ver fig.)
C ION :
7
f (x) Prirner paso: '*:-'
= x(dz
- xZ) '
x = --d-= votor
corresponde a un rnáxi¡no. Por tanto, si La viga se corta I
= profunatdad
x = anchura
=
f ( y ) =ty '
f ,(x,) = -zx? + d2 - xZ = d,2 -s*2
Segundo paso: d2-3x2=0 .'.
=
1
5
2') 5
,/T
volumen = crfti'co
del t,ronco =
(Zr - y)
2 Tx-y
t) del cilindr o de volumen r¡áxi;ro que en un cono círcular recto daCo. Sea AC=r Y BC=h \rolunen de1 cil indro : UqIgI¡ rx y, to de Los triángulos sernejantes ABC y DtsG, se de.ju-
|
I del diá¡oetro del tronco =
es.
lIar la altura e inscribirse
de manera quel
del diánetro
BCx CD - y(Zr _ y); por trat.ar *)
o la función
+d
Pero
x = h /(t¡-v) tanto
,
1'
f"¡ 'i
.'. Án
r(h -y) x = DoT
h estudiar
es:
r
f (y)
¿ (h
'lT-x
Á r, -7
g=(101x)
ll
Derivando respecto
És
a
1oo - z x 7- 1ox
4X
É,1= e =
; igualando a cero para el rnáx irno áre a .
lo o - z x Z - l o x
üx
6.
ni dcn cada uno. 10 t rrr l ado para que el ár,' ,t
S i t r es l a d o s d e u n tra p e c i o ¿ Cuánt o d e b e me d i r e 1 c u a rto s ea r náxi m a ? .
Ir5 I .-10
, r esolviendo
(rechazam os, por que tud negat iva)
R oempl azando
S O LUCI O N :
e1 valor
(4)
rtx tr
no puede exist ir
de "x"
en
aproxi mada
1 a fi gura
dctl rr
cons t r uir
una valla
figura: 1 0 cm
. . . . ( 1) t cÍU
t il F4--
En e1 A ABll:
--+ ¡=r,/7Ñ-7
.....,(2)
área de1 trapecio: 'T-c Pl
t_ ¿
h
.....
r. r t r ..(3)
Reemplazando (1) y (z) en (3):
g=Clb#l
calnpo
ts I I I
lll ttl
1
(10 + 2x)
de un
al¡ ededcr
,¿\
^ Ja
(í ) :
y dividirio en dos,parcelas por otra valctangular, la ¡raralela a urro de 1os lndos I Si el írea Cr:i canpo I dada, hallar \a taz6n de los lados para que la 1on ltu¿ total de las va1las sea la mínima.
10
b.2=102-*2 Cálculo del
longi
AD = 20 cn. desea
DU
ur a
Á D=1 0 + 2 ( 5 )
i n o s tra m o s A c ont inu a c i ó n da de1 e n u n c i a d o .
Ia
obt ener os
,ññr--.l3
X
y
I
I I I
----{
lamemos "p" el costo por unidad de longitud all a ., f rcrl eI costo total, entonces: 8ea: C=3px+Zpy (1) .,... C = p(3x + Zy) enás'el área del carnpo será: (ver figura) A = xy . .r=S ¿ X
.....t.t..
....(¿,,
/r\
de la
Reemplazando (2) en (1 ) I
i
,A
C = p(Sx +f)
dc -=
; derivando
a rrxr
respecto
1
dx
- '24"7
Er= ?
(2): 'ry'r de (1) y reenplazantlo en
?¡
., p("
yL *3
-41
=Q +
J
.
t -3'o
d c o¿p^
_
; pero A 'xY - - -
3xy 3
-]
x
+
a cero,
; igualando
2x'
dc aQ ffi
E ntonces tendremos: *Z_Z[v
3PA
tr 2
.+
rrxrr' Derivando con resPecto a
xo
?a
A
Q r zpx++
xo
dc
(2)
G. 2p x ,tpy lustituyendo
p( J
C = costo total
C.2px+py +$v
23A +.x=_T_
3pA=o
2p
tendrenos:
\xZ
Renplazando datos ¡
= ?
772 x" = t
xZ yr
( 10,800)
->
x - = 81oo
I'90n.
i 8J- Una iruerta rectangular ira de proyectarse al lado rl L/ solar de un vecino, y ha de tener un área de 10ll{l metros cuadrados. Si el vecino paga Ia mitad de cerca medianera, ¿Cuá1es deben ser 1as dinensioncl d9 1" iruerta para que el. cos to de cercarla sea prlrl el dueño de la huerta el mÍnimo? SOLUCION:
i
en (1):
Sustituyendo
10,80019ov
->
'+
t=#
Las dimensiones de la huerta .
120n. será:
rectanguiar
x=90m Y = 120 n
que puede ver : dei - x aver igua de r adios fabri cant e pol' senana a p pesos cada unor slenco5x: ttrument os es ( 500 + 15x + 75:3p. E1 cóst o de la pr oducci6n la obt iene que se Dem ost r ar pesos. 5xZ)^ , r ¡ áxir na 9".
De la figura: ^
iá tuando 1a procucción
tos
por
es alrededor
:r dato ,
A = xy ,...,...;....(l) Llamando ttpt' el costo por uníclad de longitudl
é1 cost o
de 1a^Pr oducción )
C = 500 * 15x * t ent6r ncia
de 30 i¡tstru
senana.
ItGt'
:
es:
(1)
G = p x - 5 0 0 - 1 5 x -+
2
(Z)
(2)
Adenás conocemos por dato que: 5x=375-3p
+
Sustituyendo n
u _^
(J
=
rJ/5
(---J
-
l.*t 5
Derivando:
(3)
O=375_-5x 3
(3) en (2):
5 X.
= sd-Q-9--:-a¡21cx¡.L!s--:-x1 *9 dx 2a
?
x
375x - SxZ
- s0 0 - 15x - +5 / x-
)uu-¡)x-5
---_:-
Igual ando
a cer o:
=
::
O
s(!-q%#tz -jttoo - x) - rs
Der iv a n d o :
#* = ]f5-"1!-
- 1s
igualando a cero (*Q -
+; I
+
.
Y=-
325 28
I
(10000
*:
Estarnos alrededor
de los 30 instrumento
por
s el [H
I
Si.en ed problema anterior se sr¡pone que l a entre x,/ p es: . x . 100 - Z0 v E ', 5 denostrar que 1a nancia máxima es na. SOLUCION: Del G = Por dato:
rel ac
x-roo -zofi---S
-50x
Y ?t--
=f
-X
l- 5
')-. -l=u
*2.,..,(1)
; desPejando p.
432 t I
4sz"
- 4(3) 6
(8800)
x. = 1 19.4 ¡ x- = 24.6 Para nuestro caso x = 24.6 estarros,rnuy cerca a : x = 25 que corresponde a la galancia ¡náxina.
producción que corresponde a u¡ra la de unos iS isntrunlntos por i problema 9 tenenos: px - S00 - lSx - lls
200x+x')
') -
5 x 2 - 4 3 z x + 880C - 0 X=
10.-
(1):
- x r 2 - 500 - 15x G - 5x,1co 20
= px
Venta total
en
f(x)
i; = z4:-Es t"rt^"""""1
lq. q. d.
entre t en et prcblema 9 se supone que 1a relación y p es: *7 = 2500 - 2A p, Cuánto instrumentos deben producirse cada semana pa I obtener la máxi¡na ganancia? ,, x = 2500 - 20p Del dat o: LU C ION :
p=
2500 - xz
z0
Susti.tuyendo en:
tltuyendo
-'l *t
G = px - S00 - lSx ., x'1*.= ,2500--l; 500 v\20
[deducido
e1 ¡rt
- bx - c ^*2 -bx-c -^*2
G s (g - dxz)*
1s*: #
t ( i5
(4) en (3) , tenemos:
scBx-o*3
-
lvando resPecto a x: Derivando: = g -
dG-2500 -*2 ?i------l|0--*
x 20
(-2 x ) - ¡ s - É r ,soxl-Zax
2500 - 3*2 -30 0 -B x 20
99=o ox
igualando a'cero
3cr*2- 2 ax - b ;
¡olviendo -2a
t
*
-b=o aplicando
3ox2r Zax+(b
1a fdrnula
Rl
=
v
general:
(b - B)
4az - a(3q) 6q
[*, = 25.76 {' = -28.43 L*Z
3x2+8x-2200=0
positivol lotqt" onsiderando solanente e1 signo entonces: negativo; ser puede no róáucc:.On
Entonces 1o que se debe producir s emanalrnente etl x :26 inst./sem. x ]ZO ins t./sen¡ana. 12.-
El'costo
total
de produc ir
x artfculos
-za+y'4a"'12ub+12a8 6a
por sent;t¡ta
'3 +
("-I- * bx + c) pesos, y e1 precio (p"pesos) al caüa uno puede venderse es P = 8- ax' Denostrar que 1a proúucc ión total para 1a gana¡l (' 1 máxima es :
C =
V ent a
to ta l :
y
*
trG tr: G =
La ga n a n c i a De ( 1 )
"*2 V - px
Por dato:
en fur al impuesro b) lioT:::* t ,Í:ly ailEl:::3'debidos irr.ueL "i"rminar p"tu-qü3 l"iói-¿"t
(2 ):
G=p IP = g -'o*2
I q. q. d. 3c¿
gobierno i-rrponBa Bn e1 problerna 9, supdngas-e,3:: "1 El fabrícat' por pesos un impuest o de t "t"tu"eñto' de costo v dr:tet' a sus sastos ;;i;;;"ár*i*p,tésto il en 1as nuevas ñlna 1a produccián total y eÍ precio q'ue Elrcunstancias. un poco nenos f) Demostrar que el precio aumenta
S O LU C IO N : S abemo s :
una
'
bx-c .. . (4)
c ió n d e to
1a ganáncia
es m áxim a.
L. . t a¡ a ar
im nr r esur
d. Z
gx" di:":i;:":i:"::"li*31.i'n"iilá;u"'', tániliij ciento de un 33 Por
'
SOLUCION: a).-
b).-
El costo de producc i6 ne n este caso es:
+ 15x + J * 2 * 5"
f,=500
t*
6i= 3!r .1s ( t10- t)
. .. . (1)
derivando 5x = 375 - 3p 375 - 5x
, e n to n ces
A * Gi
e1 i ngreso
px = ciZ\Jll.
dc2 =r)+'* d" d( px )
o,x Igualando
(l)
+r
ser.{ :
y e)
tendre¡nos:
?
+ t = 4re^r.
15 * = 5ó
- t);
F = Pt
2S - Po = É á t
cal cul emos ahora preci os uni tari os:
unitarios
l os
es entonces:
- 0145 t l
.
t = 55 I-os ingresos son:
'tIrp <+ ta
t
debido al
irnpuesto en función
de t
?i5 . Ii op.= t* = i i ( 110t - t- )
Po
"t:
1q.q,d,
de Precios
es:
7s ( s s ) ... !. D = !- L ¡ s s ¡ ^ 3 ( s 6) s6
'. " '( a)
A h or a e l . 3 3 9 d e P o e s : 3s n 10 0 ' o
d e precios
110 - 2t = 0
2t).
La diferencia
p o = l z s - Z! 6tro¡ d i fe re n c i a
a cer o
3 7 s - + ? ( 11o ) = --162 s( r l o ) =--lPo
p t=1z s -S C tro-t)
ta
igualando
/\
10 - -3 -X
(1 1 0
Zü: -
-
dt
c) . - El Precio
(3) y (4):
T-x
a "t":
JlJo
,
.....(4)
\ respecto
= ( 110
(110 -
(3)
l0 J-x
= 1?(
total
( ?\
Derivando simultáneanente
+
56
56
adernás:
l)
167
es:
debido aI inpuesto
La utilidad
(75) (só-'1) .....(b) = 25(lfOl =:J- = 10 0 (s6) (3) s6
a u ¡ n e n t oe s a De (a ) y ( b ) p o á e n o s- c o n c l u i r q u e e l ce Po ñ io iiia á " o i e ñ t é e t 3 3 t por se¡ng c o s t o to t a l d e p r o d u c c i ó n d e x a r t í c u l o s '(^*2 * bx + c) Pesos. de t pesos por artl' I 1o cual se agrega un impuestg v 6t-precio (p p e Eülo, decretado pór-el-gobiernoax. es B pueae úeidersé áíiróür6 tos) a que "^ou
Denostrar que e1 ¡náxino retorno del impuesto sc sigue cuando t = 1/Z (p - b) y que el aumento precio de venta sobre'el costo es siempre menor el impuesto.
rle r¡il€
C=¿rxZtbx+c+tx La dernanda viene P = B - qx E l ingr es o
cos to
to ta1
(u) será:
rux s t: l ' á i
.....[l ) 2(a + cr)
dada por:
i vando
(?\
to ta l ttI"
s e rá :
"
r=p x
De ( 2) :
f = (S - ox)x = Bx - o*2 ... (J) Derivando (r) y (j); obtenenos el costo marg inal tngreso marginal. ..,.
r ......
J 4 (a+ c)'
a
..] -
, [ o- b
8-b-2t +(a + o)z
dG
af =Q
t t rS t = [ J +
(a)
+cf
2( a
respe ct o
iendo :
)a lau
-=¿ax+bft dx ,¡T s¡
en función
uti ti dad eI
t_ 2a+e de esta diferencia
P 1-Po=t =
SOLUCION: Por el enunciado del problena,
l(if I
(s) y (6):
( {l
B-b-2t=
0
B -b
+t=
+E
=
B-b
+a)
- ¿o.x
dx
,i platrta productora de acero puede producir ?9t 1i por iiia, de x im de al"to de- segunda c1ase, é Y Em, ró-de prinera clas e , s iendo .
Igualando (a) y Zax+b+t=g
49 - s* si el precio corrientc
__B-t-b ^-2(a+u) El precio
unitario
es:
ION:
Pt = B icLoi;-l)
...
....(s)
Sin tomar en cuenta el irnpuesto (t o g *(8,irb) '.,) - a+b 4 ,a diferencia
entre
- 0)
p = preci o
: {
= l t" .i o
gananci a
...
t!.......
del
acer o
de pr iiner a
calidad,
del
acer o
de segunda
cali
di ar ia
es:
........(6)
Los precios
unitarios
6= D I+
pv .
(1)
lT l l
i'or dato
se
I a s iguiente
c onoc e
relación :
0.01a r l0 = 0
0.01a
4 U- 5x
y'
. r . i.
i0 Sustituyendo
0 .02a = 25
(2)
. . r
l-------
I
(2) en (1): *
.- =++ DX (; 2
¡ i
- x
. 10 p (+-_-l l0-x
(w
, derivando respecto
a x
.l---r
-----'-_T
ahonar ir r sl *""'-^:..:J la = 125n L:----:-: " " es i) pesos, y ar t í cu1o cier t o costo de fabri ca r inver sat ne¡ it e rtúl nero cue pued en vender se var í a de venia. Caicu n Ia cnéS i tna potencr a del pr ecio e1 preci -o de vent a que dar á la nayor ganancia
quida. dG - _=
n - I_
-
d xz crb --._ = du
u
5p(10 - xl + p(40 - lt rL (10 (to - x )2 i2 ') + (I0-x)"-10(10-x)+ (a 0 -s x ) (2 ) = 0
UCION: Snlemos:p= costouni tar io x = núrn er o de ar t í culos " C tt es : c= p x
cos to to tal
(10 - *)2 - 20 = o x = 10 - ?/ s * =
5 ,5
tn/día tm/dÍa
=
*
16.- Una c onr pañ ía -d e nanc ia t iene nados , v e un ner o. qu ida?
te 1 é fo n o s halla que obti ene unr¡ E d e 1 5 p e s o s p o r aparato 1í qu i d a si l a ccrrt 1000 a b o n a d o s o me n o s . Si hay más < l e 1000 É dic h a g a n a n c i a p o r ' a p a ra to i nstal ado di r;rrrt c ent a v o p o r c a d a a b o n a d o que sobrepasa e:;(r ¿ Cuá n to s a b o n a d o s d a ría n i a máxi ma gananci É .
go,
\
v
gananci a
Ia
1a sigt r ient e
i donde y es e1 pr ecio
r eia
de vgnt a
"G r t es :
p x = x (y - p )
. xI . +
se deduce
de1 probl ena
dato
r
I
v-'
(y - p ) , de r i v a n d o r e s p e c t o a y , t e n e n o s
S O LUCI O N:
; S ea: t ' a" e 1 n ú me ro d e a b o n a d o s La, gananc i a b ru ta s e rá : 15a . . (1 ) núm er o de a b o n a d o s q u e s o b re p a s a l as mi l : fá-l ot¡O E nt onc es , 1a disminüción u n i ta ri a es: (0.0i ) (a-1i l La dis ¡ ninuc i ó n to ta l e s : (0 " 0 1 a ) (a-1000) ..,..(Z) De ( 1) y (2 ) o b te n e n o s Ia g a n a nci a Iíqui da: G = l5a Der iv ando
-
(0 .0 1 a ) r e s p e c to
'
kyn - k(y
v -
, n-1
v a cero.
'ny
n-1
; igualando
*
Q
+
kyt
?¡
ty .p)
v
=
DP n-l
a cero#=O,
2n
nKv
(a
- 1000) tta tt a e i g u a l ando
- p) nyn-1
+' pesosl
y, =ny- np
- nkn- l( y- p)
vf
= O
17? ts.-
Hallar e1 diánetro de un bote cilfndrico de hoJ . ta' de. un l"itro de capacidad, para que en su co trucc i6n entre la menor cantidad de hojalata, a) si el bote es abierto por arrlba; b) si e1 bote está tapado. SOLUCION: a).-
f I l '!.
De la f igura:, 2 * A=nx znxh......(t)
v = rx2 h =l(¿ " to ) d e d o n d e : h = +.. Ifx'
.u\
+A=Tx
dA^2 trix.- j ,il= x =O Znx-2 x
a cero
.2
El diámetro diámetro
É 2 (t,a d i o ) =
z.
7
,dA
t?r * 0 ) =Q
xz
sll
( dat o)
(1)
A
tlx
o n *2 Cj ' t
3r{'1./n= radio
del
cilintl
(Volu"nen es f era
,
t
";
iIT
"'t
n*t derivando
{=?rx
- **t
;
'#'ttt
-ztx?
; igualando
oZx
y'-r- dm 1¡
'
resPecto á x.
zrx t 4l
= zt¡x2*
) r.
? 2J x-
igualando
11
x"
tn -:L
a qero.
x=
w
a cero
2t¡ ' Z.rxz =Q-+x2=1 xn
.i
lm
Reenrplazando e1 valor I
4n x3 - z
h = 4n
ant er ior .
3 laa
nx-
= nn* **
f igur a
(1) :
De (2): ?
¿5
- t-J
?Íxfl
b ) . - A = zr,xz+ Znxh A - Znx'
Ia
'^x
x
x =
.+
?rx3-2=o
C i ON :
olumenttVtt:
Znx" - 2
?
'J, átea lateral rec'Lo es 4r circuiar de un cilindro un heni"sf e corta se in¡Iro cil Ilel , cuá,ira¿os etiái io cuyo diánetro es igual a1 diánetro de1 cil-indro. j.ones del clrlndro ef.vo para que e1 dimensi.onés las dimens ai."i!r . vu Calcular -del cilindro íü*án que queda sea un rnáxirno o un nínimo. DeternÍ nar si es máximo o mínimo.
' 7'
a rfxrr.
t igualando
dn, ,n.
rnando como referencia e¿ lateral: A=2t¡x
2 Z+- x
lTX
Derivando respecto
diám etr o = z . {}
lL
(2) en (l):
Sustituyendo A=nx2
I
.. (z)
-ft diám etr o = zx = 2, V+
fi r
(radio) de x en (1 ) :
2m (altur¿)
¡ rnáx{mo
lL a r el área del mayor r'ectángulo Éo.n l.as Co.sFarlt L o s a los eies coordenadps, 9u€ puede lnscrlDlrse 1a ii[ura
y=
12-*2y
por ltai dos parábol.ás. 12. 6y-x2-4
iinitrde
SOLUCION:
TB=.4
Para una rmej oT , yisual iza.i.ón ,de1 problerna, trazal n()g las curvas así. El rectángu1o ABCD tendrá área máxina sl.
B -C= . 4 . rle a : A = l6
I
á r e a = ÁF ,Ee A - ló
!:.
.. | c. lc est án sob: e el- eje oe un r ec't ángulo s vertl ces est án sobr e 1as r ect as clos vér t ices as x. Los ot r os son: y = 2x Y 3x"+ y'= 30 de ¿ ser á m áxim a el . ár ea del r ect án-
gulo? $OLUCION:
De 1a f igur a: ,¡ = ? y
AB = 2 x BC=y1 * yz
(1 )
x+y=30
Q)
Cálcul:o de ttyl " y "y2." en función
de rrxtt, solo bas-
tará
con reemplazar en 1a ecuaci6n de las curvas. 12 - xZ I \, - t1 = 3|
(x }-tz ) v z =-_lSustituyendo 5F-12-xz o' = T-
-Y
J_ 2
=y del
r t Ar t :
rec t ángulo C
es: A - AB.B'C, de (1) y (4)
5 dA = 10 -*VJ' oy
- \xZ = x Z + 1 Z )= x (1 z -r. Z )
5^ 10 --ly.
7
;
+ i, 4 - *2 - g.. x = ! Z ,.. .,.i Li ,:::..,,,.., .,,.;1 ,:i.,._ :,r ..t..,i .,¿ .j,"I .l ReernpLaz{ndo'éü v¿Ior.,¿s,tt¡"' én' (l ¡ ; y . (4), *se,:,,t,iete. '
": , ,
,
.,,¡
c,
'),
o/
d e riv a n d o res p e c t o a Y :
(4)
á += (4 : x¿ )3 ; i g u a landoa cer o ( #=ol
. i, i
y ='lOY
A = ÁB.fD = (10 -iV)
(3) en (Z): *2-12 .......
t=2 x(4
i:
30 = ----f
A rea
El área del rectángulo obtenemos:
áA
(3)
'
i )
¡;
Ab
.,
''. ,
,.r'
= u
, igualando
a cero
x=6
dt Una base de.,un traDecio isósceles es un. dián¡etro gtra be 1a de y extrenos 1os a. radib ile -iaün clrculo Ha11ar 1a Iongi' ciici¡nferencia. ,ée están sobr.e sea náxina. área el que para baso lud' áe la o,tia
t1 (i
177
ON:
7[B , 1T
.' 2x (a - x").'.,.(1) lvando resPecto a x:
AIf-Za*Zz+x Area del
trapecio
{ + ( El, ffi l -n n z
J
. Za -
.vt
A* ( L 1 I1 ? z)y*(x+z)y. . . .. . . ( t )
yz * (x + &-=-l)
z$o -fl =Erf;t
( 2)
rminare¡nos a continuación aból i co
; derivandorespecto
I
->
xsa
zu?- ^*- x2.0 y
x*-2a
E ntonces la bas e me n o r n id e : F . al 23.-
(3) entre
(3) el
área de1 segl:¡ento
ti'n'i)(ov) J; {a' -.
. . . ( 4)
{4):
ut =, *
qu? - 24x - Zxz 4 4aZ x2 + Q
e
" (a) = t4a Qfa) t -
; igualando a cero
* a)
A1 =f
a
idiendo
dx ( x + 2a ) (x
(2)
plazando (Z) en (1):
Susti ruyendo (Z) en (t): .,
d s. dx
6xZi igualando a cero:
nsiderando solamente el sitivo) =€ .*
(?ej-_[)
y -+ f4e"-V I = ?,qi-+ , {;V-:7
i "E,o )
2=0* *= tF
Aplicando la sigui.ánte propiedad en e1 triángulo to ABD: , y- * (x * z)z ,. poniendo en funcién de x:
- d A =0-
'
nostrada:
figura
SOLUCION: De la figura:
Un.rectángul9 eqtá inscrito en un segmento de, p aré bola y un lado del rectánguro está en la base dol segr¡le.nto. Denostrar que lá' razó¡ Jei"eila'aer 16c tángulo máxino ar árüa-¿ii ,"gr"nto es! Ll 3
de una viga rectangular es proporclo resistencia áncl¡ó por el.óuadrado de,su esx';i^;;;;ilio-á"í1as dinensiones de la visa ¡rás ieb;icutar ;";: sr:c gtente que puede cortarse de un tTonco crla a {rta','ct'. de semiejes ón transversar;r-;;;-;iipse b (rnenor)' CION: r condición '
k yzx .
de1 Problena:
Sabemos nornResi stencia dc nateriales"
= h = Zy * (b) en ( a) : tituyendo .2 = 1!U [m" -X ")
distribuci de la
E altura
fu e r z a r+
? ? ht =4yt
-,
?. hz y"='t '. . . . .
l7! i t.....
( b)
....(s)
m
r{y o =l -;
Iv t = momento flector
donde:
,y = distancia
al centro
Además: ¡ w'
f
r
donde:
w
v
Entonces: .T
., bh3
2r.
W==
'-E
-=h
v Por dato: Igualando
h w
(1 )
E
kbh 2
v
(2) :
M U
,
de la capa exterl de graveáad.
r =#
( r ectángule
=- h 2
(1)
6...i ...1..
4nz -r^? - sx?) igualando Lru
-----
a cero
.+ x = n,/t fT
enplazando el valor
(henros consicierado positivo) de x halladc en (a) : I
ln,
(2)
ecuacidn de una elipse
luepo 1as dinensiones /-L V3 (4) y (5) respecrivamente :
del
rectánguio
s eran :
= base rrbtr = ,"G
en (Z) ,...,....
--
l:i:'u"'uo
ivando :
- 3x2= o
) =_ bh-
k = l/6
queIa
óó¡
JM
') -- .., _ bh6 ta
f-
--
a
bh- = .. .2 KDn
e mp l. a z a n d o(4) Y ( 5 ) e n ( 3 ) : 4 n z (^2 - * 2 ) zx
(3) viene
- altura
trhrt = ,"G
anchüra= ,o rE I
da
22 \ mn
+
\
=l
^7 y t - n l ( ,n 2 -*2 ,) . ..
eda cortarse
De la
I enunciado:
AD o
figura,
en el rectángulo:
base - b = 2x ...;.:....,(4)
de una troza
= kxys ...,..(1) i6n de la circunferencia)
cíLindrica
de radio
a'
Y 2 = 4^ 2
* 2'*
L4"- -V
x=!
w =.k
(soroconsiderando en( 1)
rG].rs
derivando,
,
el positivo
z=1 -> 0 o (i -m2 ¡= 6 +m Sustituyendo (b) en (a) : 2 0 0r1 ) +' x = 100 X ='+ 1t' l
'
x = 75 ,
b) . - P ara:
dw
st
F=
I
3kvZ
-
y=alT
kv4
k¿=
skyz¡ + az- yz) - ky4
0
6J_-7
i
ac 1eualando
ffii
x=a Las dimensiones de la viga
son:
2 6 .- La ecuación de 1a trayectoria
de una pelota
'1't
es:
derivando
respecto
i F -l
r-+l ) "
m = I
la forma de un rectángu1o corona'
ü"¿ó- üti--;;ffi;t;oiii ángur o r ec táns ul o i s ós c el es : i l :T ::11i I
s ñ"t'os'
.1111I?I-:.11:1d" . , r a n d"'o 1 6 ' l r a q q s d e l r e c t á n g u l o s e a n
é " t i" r a
álét
" LUCION:
los catetos
triángulo
del
l:
'
A
1a figura: 2Y*?z=
p......(l) en AAEB:
r Pitágoras
E-;7 - V {T .. ....
v
, r.. ,,(Z)
z) en (1): *
t * zE+
a m;
(nz..ll:-zooU@) 9x = - 200 -----T---rd¡" :]
ha ventana tiene
á -r" t
(¡n'-l- 1)x' 200
cero
o=ffi=+4
-'56.25m = 0
I"*lr""r
,
d
b ).*- = +
y = m x- @2:- J) - xz .r .,...( r )
0 = nx -
5625 (2m) ; igualando 200
75 -
"rB
tomáhdose el origen én el punto desde e1 cual lanza la pe.lota, .y siendo m la pendiente de la va en el origen: a) ¿Para qué-valor de m caerá la pelotar'en el m no nivel horizontal, a la mayoi di.stancia? b) ¿Para qué valor de m dará a'la rnayor altura a la distancia de 75 ¡netro urra pared vertical
a).-Para:y=0
= -g¿ d¡n
a).-
(*2 t_J)x-z y = mx ----Z¡¡-
s r qe l g + '
Y = 75rn
7s
X=
en (i )
?y = p
t2'-
D-2v
rnayor área ¡nayo" il.uminacidn ; igu'tando
a cero
A
,2 -.L
2
..(3)
ITT-T * r)¡
; de la figura:
Reemplazando (Z) y (3) en esta ú1tina
= * ^ +<m)z vtr cffil dA
I f{;l
relaci6n:
, derivando a
lT
4 --qrx2rs/z , * T n*3 ,s
l= ; u" /z-
-...-: 2+/z
rp-zv)]= Q,
[cn-+rl -,#
resol,viendo:
r-jfrx)
.s - 4 n x 2 r 1 / z t--6-_,
- 4nx2-2nx é--:4'trttz 2 -
sustituyendo
de r ivando
,+
.4tx?
I g u a l a n d oa ce ro ,-$ f;= o ,
(3) en (Z):
tituyendo
igualando a cero
4ix2, 1/2 - o z rx rs . -
en (3) obtenemos:
-rm en (2):
l ando
segunda deri'¡ada: ., 8nxo - nS
la
=8nx+ luego: Iy = z l 1 q . q . 4 . D ad a l a sumade las áreas de u n a e s f e ra y u n c u b o , de n o str ar que 1a suma de sus v o r¡rá " é i-rá rá ' iin : . ru cua n d o e1 diámetro de 1a esfera e s ig u a l a I a a rig ta d e 1 9ubo. iCuándo será ,nax irn at a i" rá a u , -io , u9 l r i m en e s?
os esto para saber si imo.
rp!u!_IoN:
go para ese valor
Sean:
S = suna de las áreas V = surna de los vólunenes
ax=
.:
r
Y
el valor
de V es m áxinó d2t I
se cunple que:
z4*4n
dx2 de x V es mlnimo
t-
/-{-x s - V U. ;
=?
se tiene
.?, d'v -
que:
dx?
a este valor V es un:máxino. tituyendo en (3):
I
, 2x = piametro de la " esferla. y ' llado del cubo.
I f{.; It.,
r84
2 x o y - t\E
t z*2"
4b-,
r q.q,d.
a
¡
^2
-)rB
t Hi
2x2=g I
frf= reemplazando en Q)
* - * 8,
I I
o Q
I I
t '+/T
Yt
29.
H al1ar las di¡nensionesd e l ma y o r d a inscribirse en ri ér ip s e ' . ' -' - rectángulo
que
Final¡nente tendremos:
= a,E ÁÍ = 2x
EZ = 7y =bE
' 7' ) x-
+
az
y:
=
ut:" ",lt"::i*:i l?,ol ':: : "::i ngtt"si cuya ecuaíi";á-a"
l.
bz
SOLUCION: De la figura, el área d,el del rec tángulo es : A = AB.BC=(2x) (2y)
^3
v=+.a x"+Ja
CION:
A=4xy .,.(1) De la ecuacidn de la elipse:
a
e la figura
mostrada:
=2x = | + despejamos y: |
',
Va'
;
A = 4x+[77 4b ;
7 'at ea del rectángulo
BCD es:
't-
(Z) en
11)
- Zxy
(r) :
=4b* a
# tt \,
=6.
(z)
- *o
Sustituyendo
dA ??'
=y
la
- x-
, derivando:
dada t enenos:
ecuaci6n y
= -"'-,-
^3 óa
x z + 4^2 " 4b x 2
FP
, igualando
a cero: stituYendo
(2) en (1 ) :
(z)
t"'
{ = zx (
)
x2* 4^2
, derivando x:
TB =r
r e S p c ( =l f ]
óu=n rh
ecuacl6n en el punto
af'-
'¡t.
dA dx
_
I6 a ' 7 4 a ' (x -
- x t) a j ,i g u a l a n doacero + 4 a ' )'
))
( r /'¡ \u r¡ \^r
+
(h / ? \ " \'_::!_:_2_
ac.
" t z ' z ' --i:l -1
2.2 mn
4az - *2 Reer n p l a z a n d o
x Z = 4a2
= Q+
el
valor
x =t ? : t
nr d e x en
i"=a
var iables onodando a nuest r as es: l a el i pse r rmn (da t o: A = r ab) .
4a2
Sustituyendo los yolores A - Z(Za)a
de x é y en (1):
z^ vn ' ilallar L a ra z ó n d e 1 área de la menor elipse quc de c ir c u n s c ri b i rs e a un rectángulo al área del r t ángulo . E l á re a d e u n a e l i p se es nab, si endo a y los s e rn i e j e s .
T 1f
SOLUCION: -
IJ e l a
f i g u ra
?
mos trada:
*2
yz
^=
;#.Fr=1 J
nr
I l-
IL
(a)
4
igualando
nrh2
n= O
=Q
h,fT n =--Z-
r=t
A- r*i
a cer o
T
n=-
"2
en
( b) :
t r nr t eñ
(1) :
m =t.5 |t m f ' y
S usti tuyendo ....'....r.
n
2h" -^ )
, al
con r esPect o
; der ivando
.,
.
/:-
rY, - +
el
ár ea
. . . ( 1)
13,
Para:
*.t
usadas, así
2 .lInr
r-7 /)
31 " .
fh)
(2):
' n z- h z / 4
S1 3
4az *
-+
h,fT
a n:
El área rectángulo Al
z
será:
= rh
(3)
. i. ' r . . . . . . . . . . . ' r . r . r '
Dividiendo A
E
(2) entre l a[-r ¡ = -¡-Lll rh 2
') 3X-, dA = - 3x + 9 dx4
(3):
¡l
-2
AT
7
*- 1 ¿y = 36. Ha1lar el área del mayor trapecio puede trazarse de esta manera. Del gfáfico
:
' )r
-
.' l
v- L
, igualando a cero:
+9+0
Resolviendo se'obtiene
l,os dos vértices inferiores de un trapecio is6sc les son los puntos cuyas coordenadas t-6r0) y (é Los dos vértices s'upeliores están en ia curva:
-SOLU CION:
- 3x
- ! +4
q=z 52.-
x 1 derivando: ) \¡5o 4; --' '
d=(x+6)
'6
tz=
(1ado negativo)
e n (2 ): 36__3_ = g
Y=-r+
deducinos: Luego eL ár ea del traPecio [ = (2 + 6)8
es:
A=64 s radios de dos esferas son a Y b v 1 a tre los centros es c. iDesde qué p ú n to ecta
A (6 , o )
B(-6,0)
cenf , r osAB
de l os
ñii =.y
Ia
esférica? - (Ef- área de una ,zona esiéri üe superficie altura h es 2 rrh, sienCd ca o tasquete esférlco_{e el radio de la esfera). Del gfáfico
:
ffi = 2x
es visible
cl i si ¡ n cr . ia P en_ IIIa yOt a Te a
deducimos:
AB = 12
El ár ea del trapecio:
[ = ,2 r24l
y .,;... . , ( 1 )
De 1a curva dada: ?
x-+4y=36
y"
-3-or-. x2
.Su sti tuyendo (2) en (1):
a-h,
(2 )
I
;
Ñ
= a
A OHM -4, A OMP:
F
=f
; Of="J x o¡ = xrf
*xr='.
190
'En la figura t-
Sil* J=f! W-=
x a
r^ "¡
mostrada se cumPle:
--F-^ * -^ 2
I
El A O1NP ¡,
NHIOI ^
o-1T- qp ol Ht
b b -hz
olN
El área total es:
d e fo s
=
bx., -b2 -> n2
casquetes esféricos z¡b2
(t '
visto
do
)7?
^
dA ox --=
¿Ta -7
^.3
-J n4n. , G-tZi
1 v o 1 ú me nd e 1 p a r a l e l e p l p e d o e s :
---!-) c-x'
igua la n d o a c e ro :
X
Z
y
mas :
.,,.r.
l Con e1 v a l o r d e f' x rr (3) náx inr a; l u e g o : * --
_
v4 ^^3/ Z
(-3 /2 \é
a
J
1 3 /2 \
=
-u
'J -D
l
SE
* = .^t - r ^t/' .bt/' 3.3 a -o
.,,gs
* - .^3*.^3/z b3/2. .,. (q 3.3 a
encuentra
-D
que el
en
/ 2 / 2) /2 /2 -b3 ) 7a3 *63 G3 c a 3 /2
r...
..
..
(a)
o,l .. .... (2)
d-
=4r2-*2-yz
(b)
(a):
v= x y = x yz
área o
,^3/2¡^3/Z_b3/Z)
r.
r.t
(1) e n (z ): )
r...
¿
T
t
...(1)
y " = a rí
'*
=
3
t= r r ,
rxr trv
"-...(t ^l
(1-+) +
A = 2na2
x1 -É
com o I a base da: x=2.
z2 ¿+T .+ x ¿ = ---^ - V ; adernás: x2+y2*a2" 452
ego e1 vo1ú¡nen en funci.ón de ^3 Lt¿y - J-
^2 ¿T
es :
5¿
:
a cer o
igualando
-Y
I I
a 3 /2 + b 3 /2
I
3 4 . - Ha11ar la s d i m e n s i o n e s d e 1 nayor paralelepípedo re t angular c o n b a s e c u a d ra d a que puede cortarse de u na es f er a sdlida d e ra d i o r.
tty tt
z
dV oy
cuadr a
=u ^2s ¿T - zY 2^
2r/T * y =3. --J-
I
2r lT
Yt =--'3
{
L
Yc
^
-¿T
,Ei
{5
tfrz
3rZ
l \¡
d 'v
uv 1_-
=
oy
-3y
JO 1I
I $it
a cero
; igualando
+
dy-
trnEonces Entonces pata y1 Ia segunda derivada derj.vada es negativo esto nos indica que el yolúnen es máximo: ,úV_ t'^ Finatnente: '';l ,
¿T
y=n--.
36¡
3n2 --; v
y=x4iT', : r. f J
I V t.
{5
total
- La superficie
3 Dada una esfera de 6 c¡n. de radio, calcular la alt ra de cada uno de los sólidos sigúientes: a) cilindro circular recto inscrito de volúmen náx mo ;
bl cilindro circular recto to tal máxima; c) cono recto circunscrito
inscrito
de superficie
de volúnen nfnino.
=
q ¡l J
es:
S-=}tt x-+Z";txy (3) ,
, v' S- = 2n(3ó - a-)
+
"r'c[o
t
l T ¡. . r ^ + =- 5 - ( r .++ D
?'
-
-7''
+ fry (
y')
LA
S0LUCI0N: a) de Ia figura:
ds. -= dy
ity
r Y* ¡
- r y l++- - /
^2 3ó = X¿ * Y
.
tl +
144-y /1 44 -y'
+ 144n 2ny2 = 6
sy4 - 7 z oy 2+1442=o
Po r P itágoras: ó-T2= *2 * (r)'
solviendo , r . .
, . (1)
1a ecuaci6n obteneinos: Y = 6'51
.- Volúmen de1 cono V: El volúnen de un cilindro ., V=nx
viene dado por:
De (1): x
- 36 '{
.r.r.rrr.
(3) en (2): '!,f r
rr)¡ (16
{,
Ca)
z , igual ando
Los tri á n g u l o s
ACHB y
m-
Ló
ACTO son semej antes
/h '
c6= o?
+ x' n -r
**2
z-T
S=nx
nX
:
'rA )
= x
) - Luu !J!---L---z
dS .-.._= ox
r
)/
o\/"
)
des p e j a n d o
x: h 2 t2
.* 2 =
gv z
6
+xá - - -
z n z x 6 -9 V2 = o
Sustituyendo (II) v=Jn . J
(l):
de
en (I):
t'ht h2-zrrr
=
*'
elevando al cubo
#
Igualando (3) Y (a): orr2 , rr,3
=* nn' Lft..,,i
A¡'.
igualando
;
:z ¿lt
a cero:
'+ h3 = !"Y-
= -*
rr n
:
h-4r=0
h=4r
hr =i-f}
36.- Denostrar que una. tienda de canr¡taña de forrna c6ni 'de . capacidad dada,exigirá la l nenor canti dad de l o - cuando la altura es /Tveces el radi o de 1a base. De¡nostrar tanbién que si se extiende la lona en u p1ano, se obtiene urr sector circular de 207"SV. ¿Cuánta lona se necesitaría para una tienda de 3 de alto?. S0LUCION: Tonando como referencia rior "
figura
= xlT
h
La generatríz
U
ante
1 't
E
es igual:
"g"
2nx
o ¡ro i .. ...(t)
Zrx g
--:-
(Por Pitásoras)
= . __+ _
. . .'(z) I
|¡r + lfx
Q e
Para
I
e n { 2) : I
¡1
z
x{5
2t
,tT
1
lT
de lona:
s - nx 6-t77 de (1) :
1one i tud gener at r ] "
Zrx . ==- =- Ztrx '2x2*x
Cant ida d
(x = radio)
lq. q. d .
R-;7 ^
la
h = x/-T
-'
x'tr)
1T -)
V = f nx ' h
(3)
znz
hz -zrh
dV
a cer o.
igualando
1A
x'/9Y'+r-'x"
S=x
207"51
h = 5m.
3 x -lT ; reenplazando
valores:
(360 " )
1
o
s - *(" , /a-
* 9 )"112
IL
2Y=* 37 ,-
??do'un.punto clel ej,- de la parábol a y2 = Zpx g del vértice, distancia caltular la ábscisá punto de la curvamáscercano al punto dado.
(x,y)
Q (x ,l ' .)
FQ=
)(4 - x ) ' +
áúñ
-( 4 - x ) - f t - *) -
(t - Élt 'L
p(a,o)
c rx TrQ =
De e l 1 a :
de : ( z)
. . . . (1)
y' = 1px en (l):
..,.(2)
P Q=
dp0 dx
t*-r)2* zp*
i*-")
2+zpx
; igualando
SOLUCION:
Calculando
1a
FQ''
distancia
( tz) en (t):
X
J
z
=0
.)
(2) .,.......
l-+
X
= 2
-| y = 2
.'. .a(x,y) = Q(2,2)
Si PQ es el segmento de recta ¡nás l argo que se Due e trazar de P (arb) a la curva y=f(x), o el ¡ nás corto, demostrar que PQ es perpendicular a la t angente a 1a curva en Q. La distancia
PQ es: ;como:y=f(x)
(l )
*? Y'+
x-=g
reenplazando en (Z): = t4
PQ:
De l a ecuaci6n de la curva: 2y=
-4*x-x+-*
a cero:
38. - Hallar el punto d.e la curva Z y = x2 más cercano punto (4,1 )
a cer o:
V g - x) ' + ( l - + ) '
y
x + P-a =
igualando
f f ii
Tq=m; dFD --cLx
(x - a) + (flx)-b)
derivando f'lx)
Igualando
a cero,
tendrenos:
h2*2htagg-1=Q
( x - a ) * ff (x) -b ]r, (x) = 0
f ,(x) =ff
tl )
de (1 ) y recordando que f[x) l(*l-b
a-x
= -' l
s iendo 0 el- ángulo de rc ¡zamignlo y h el paso tornillo. Hallar h para rendimientolnáxiino. Sa b e rn o s que:
I
tase tl - h2 - 2h tage]t . s
-ab = -; ,
,,
del
Derivando con resPecto a x: -+
¿a x3
a cero,
¿o (f -x) r 1a derivada:
2b
- 2^=o 3 *5 (r-x)
ffii'= , igualando
a cero
I Ce1 calor
(L-x)'
x"
gual ando
g¡ = (h + (l ; zirtagol:(tr - trzta.es) -ragg-) (h + ta g s ) 2
ta e s - h 2 ta ro - tt.r* zt (h * ta g e )Z
':---:--J-¿-- - -" I
ISOLUCION: La intensidaci
h (l
-h ta g e) h + ta g o
oo---|-.--i
siendo x ti distancia entre P y A, LPara qué tándrá P la temperatura rnás baja? l;i¿;
dI = -dx
D er iyando:
$ (ln$ -
+'l
t ago
(e--x)z
L
X
Lo cual nos dice que FQ es perpendicular a la tan. gente a la curva en Q jrendirniento 40. - una f6r¡nura para er de un tornirlo es: -htgo) p=hll h+tg0
f,e
-
b
.L -'l =-1
SOLUCION:
= sec0
|
f---r-
/ t ag- '}
A Y B cuyas focos caloríficcs ent r e'dos La di stancia I'a intens i ' l ntens i dades r esPect iv as son a Y b, es i' B, se dá A P. enirc punto un Y en de calor dad total fórmu la. por
= y
x - a '-Txl:b
h= -tgO* ,' .
f' ( x) = - l
= - t ag0t
solam en te e1 pos itivo: ? = sec0 - tge t g- O +l
C onsi der ando
Recordando que si dos rectas son perpendiculares tonces su producto de pendientes es -'l ; luego:
#
'aú
¡='2tae0!/!t
a b
t ^r/? x = ptT .qrs
posi-
está daCa por:
20(l 42.-
La base inferior de un trapecio isósceles es el e mayor de una elipse; Ios extrerrycs de la base sup0r son puntos de la elipse. Demos'trar que en el cio de este tipo de irea máxima 1a iongitud de la se superior es la mitad de la inferior, SOLUCION: De 1a figura tra se halla 22
XY
que a continuación la ecuación:
I
B
bz
^z
C X
7x
A
b /T-- _ --T X
De l a
b
E1 área del trapecio
es:
{ = Gz}Av
A_
x
- *
z
a-
-a t
J,
figura:
Á¡
=2x
L¡í
=b
área del
z
1_
igualandoacero
(r)
= j.AB
+
y=
t l r. ,
4
triángul-o
ABC es :
CH
(I I ):
ax-2x=0
x=
**l*
(a
a-x
De la
=+F-3
\
v rl
a
-;"4
De rivando,$*
se nuu¡
ra
/9a-
i
fi g u ra :
*1=+ *z=-9 =
= *(b -2a
=b*b
**
der ivando
r espect o
a r r r 't t
bx2 a
B C =2 x-2 (7=a zxZ
BC = a LB = 2a
1 .q.q.d.
un ," ha de inscribir En la elipse b2*2* ^2b2 ^2y2= sea el punto (0,t)) cüyo vértice triángulo-isdsceles al Hall ar Ia ecuación de la base correspondiente de área máÍi¡na triángulo / SOLUCION: 7 2 x| *J] La ecuación de la elipse: ' t .,, .,., .,.) a. bttyrt queda asf: ó boxo+aoyo=aub"; despej'ando
t? a
= zxZ
^2;
elevando al cuadrado y resol viendo:
en (II):
ñ-=7 {a -a r-!
-)
.Tb
2y +b +b
= Q (écuaci6n de la base FB') aQ
lar ta a^tz Jy 1a altura
del triángulo
isósceles
de área nínima
circunscrito
a la elinse
base es paralela
-^ Zt1ycuya S O L Ij C ION :
Hallando --e Y lipse
bZ*2*uZu
=Y+b
A rt
nn
al eje de las x
l a ecuaci ón de 1a tangente p(xl ,yl ) e n un punto genéri co
D TFI =
Y1
a
( 2)
En 1a ecuación )
A
-b -Y. '
u "*2 'r-*
" ^1" - - - '>
|
. -L--
uY1
ya
.a
Y -
par a
la ecuación de la elipse *l
=
. . ( 3)
...
.. rf-----T ' ,í /r' t
,
se obt ic¡ ie:
- b,
.2
hvY
(x, y)
* b
-)
..a 1 )
^=i +,:It par:a el punto
yl)
(*l'
reenirl:rz¿t'rcloerr (1) :
a (Yr *b)
Y= n = f r'b _y1
De 1a ecuación de la e1 ipse : 22 = ab 2.2 ,22 DX
+ ay
área del
AABC
)
)
b -*'r
dt'
-2-*
ox
rl \ L¡,'
^Yl
Le ecuaci6n d e l a ES:
v
-Y 1
Y -.'Y l =
b 2*., a-yt
)2 D -
ot*? =
- t-
' a-v1
,1 =
altura
, Z
n
t-
a igualanCo cer o se obt ie
. . . . , . (z ) AI { = 3b
ait ur a
= 3b
base=Zx- Zar / T
o"',
"'ri-4= ' -q
de1 triángulo
, der ivanc
2? O - Y'
Y?ro'-rb'F]' (x - x r)
:-
.2 y, =9Y1 La
+ b )( yl + b )
' ,'tt-o". _ "o9_f!!?r.,a 'üL ,
para x = 0, se obtiene:
I
"u { vl Y,II
v. .L ?-
= n(x - x 1 )
(1 ) :
de
tang e n t e q u e p a s a p o r e 1 p u n t o
^ t 1nurc[.:l
ABC :
ozb1 E bz Y1
S ea P tar b)
un punt o
ié " u d u' " j e s
en e1 pr iner
cuadr ant e
cie
UN
SlS
r ' e c t a n g u l a r e s . T r á c e s e p o r . f - " ^ 1 1 rec ta
_
,1
c) cuando la sr¡rnade 0A y OB es ¡nínina; d) cuando la distancia (perpendicular) de 0 a AB máxi¡na.
I
SOL_UC ION: a).-
De 1a figura:
Y
A APQ '! A AOB
A
y -b
a
b
xy
a
x =ti¡,......(1) av
E1 área del f\UD es: ^y
{=
*+ qY
av
triángulo
r
Q
¡
. + a 2/3 .1/s D D
fa+aD +
+
obt enem os:
en
( r J:
. 1/s .2/3 x = a + a -D
1/3 .2/s
. 7/ 1 y=b+a''"b"
. 1/ 3
S=x
:
(1 ):
?
d e ri v a n d o
= 4av (v-bl
a ttytt:
respecto
--2av2
-b
aay(y - b) -2ay2- ¡ I = 0
é
7eh.
x =J:=
y = Zb,
*
( av+v'- b
-
a cero:
, igualando
(y -b)z
z a y lz (y -U)-y ] = 0
Zby ' ab
* b2 = o
tab
t om ando
t
sust it u y e n d o e s t e ú lt imo e n (l):
2a
Entonces :
a+2y- b)
igualando a cero : ^óee^s¡'s!
4 ( y- b ) z
, en ( l)
posí t ivo
el
:
x = a
at
( 1) :
en
) x=2a
b).-
Del gráfico
(l )
* F-"-7 ^E en (2):
AF .
E,- (-, jJ
e (i )
de
,
p (a, b)
z i ?1- "1 / a'y' I
i ?CFpasa por el punto P(arb)
é
tt; ent onces
y=2b
y = ¡nx + c .,.,.Q asa por P(arb), se tendrá:
por Pitágoras:
....,.....
(2 )
+c
+
c=b-ma;
respecto
a rry'f:
tancia
(5)
........
de1 origen derivando t,
\
( D-ura/
1(.rn--+ l.).
)
en(4)
+ b - ma , derivando
y de p endi ente
:
a la recta respecto
es:
a rrmrt'
m
12*
I
igualando
a cero
:
a
-E--x yb +
ax
p ara
X-
p ara
y :
* b *+2 .2 D
a2.
)^ = -ffi x i 500mpor hora
"t
=-6 kn por hora. )
o
punto se mueve sobr e l a p a r á b o 1 a 6 y- y",d e m a n e r a cuando x= 6 la abcisa a u r n e n ta co n u n a r a p i d e z d e r segundo. ¿Con qué r a p i d e z a u n e n t.a Ia 'o r d e n a d a ose i nstante ?
a2 r h ? r = --;--
c:
¡.,
7)
x = x : 1b,:
:
P ri m er paso. C o n str u í¡ n o s
la
a
ndo paso.
La Derlyadacomo rapldez de Varlaclon t.
Un ho ¡nb r e c am ina 7 1/ ZI at por hc r a h a c j . a l a b a s e de una torre que t iene lgn de alt o. ¿con qué rapiáéz se acerca a la c in¡ a de la t or r e c ua n d o s ü d i s t á n c i a la b ase es 24 m ? SOL UCIO N: Prine r
p as o.
Aplic ando
la, r egla,
Cons t r uy anos c ia ent r e el
tendrenos I
,
la f igu r a . Sea x la distan_ ho¡ r br é y l a b a s E d ¿ i ; - i ; - - _
rte , y s u d i stanci a de ta ci ma,en u n i n s ta n te gual qui era. S e g u n d o p a s o. E n' e1 tri ángul o rec tá n g u l o d e Ia fi gura se vóri fi cal 'ra
x ' + 324 Y" T e rc e r p a s o . D eri vando robtenenosl .
zy*fr
z x*f
, o sea,
-gJ_=xdx ctt y dt E s t o s ign i fi c a q u e e n u n i n s ta n te se veri fi ca la igualdad: r apidez d e y a ri a c i 6 n d e y v eces (rapi dez de va -f) r iac idn d e x ). dr Cuar t opa s o : x -2 1 ' 7 1/Zl @ , por hora dt -7 500 n por hora. dy dt -2
Qlll-üto paso:
S u s ti tu y c n d o e n (l ).
parábola
1
Según el
probl ena,
ó y=x- .
er paso.
ldvxdx
p (ó,6 )
| ñlA I
l'rvtv)
A)
, ¡+
?
.
dt
I I
ef i un punt o cualquier a to-si gni fi ca-q ue ool a se verl t r , ca: api dez de var iación vari aci 6n rto pasg.
de la pa-
de 1a or denada) =( á{r apidez
, 3. r - ,: de la, abcisa) -' Ax = 6 por segundo ** ct. - 2¡¡ ) ro
)¡.? - 6 to paso. Sustituyendo
{l
=* *
'l.r
fr-
?
en (2),
tendremos:
z = 4m por s egundo.
ún este resultador -en el punto p(6r6)la ordenada fa dos veces nás iápidameirte que lá áUscisa. en lugar de ese punto consideramos el punto pr (' ), el resultado es: I -4n por segundo; el signo menos indica que la ordenada disminuye cuando la abscisa aunen ta.
3. - Una placa circular de ¡netal se dilata por manera que su radio aulnenta con una r.iriá"2 el calo d;-ó; por segundo. ¿Con qué rapidez arxnenta el área cr¡c el radio es de Zcni SOLUCION:
Sea x=el rad ro y y*el
v= dt' dt
=z
área.
Entonces,
n*2
lánpara ce arco cuelga a la -altura de ¡netros di y horizontal . Sf tanente sobre ,rtp*uo"rectilíneo este paseo un muihacho de 1,50 n de alto anda a1e á;;; á;- iá iatpot a a razón áe 5s ¡netros por-ninu; por ninuto se alarga | ¿a razqn de cüántos metros sombra? de1 rnuchacho Ce '-¡n punto Sea x=distancia de la 1ámpara L, t sÉa debajo directanente ongi tud de 1a sombra de1-nuchacho' De 1a figura deduce.
"*#
= 1150 Y i Y + x o sea, t-
3
3- x
D eri vando, dy áf
=T3dx AT ;
^ D
decir, 1a sombra se alatga con una rapidez igual de la rapidez con que se nueve el nucna os 3/5 os€á r a raz6n de 33 metros por rninuto. Es decir, en un instante cualquiera, el área de placa expresada en centlnetros cuadrados, aumenta veces nát rápidamentq que 1o que el radió aumenta centfmetros 1 ineales .
x =2r#=0101 S uat it u y e n d o
gy'= dr
en :
dy
dr
2n (2) (0,01) = 0,04
se nueve sobre 1a paráboLa yz=12x,de mane[3 Dunto '1a abscisa aumenta uniformenlente 2cn Por segundo qué punto aumentan la abscisa y la ordenada a la a taz6n?
, #=t ^ d TI){ x ¿ -=dt
2 cm por segundo.
a ecuaci6n lyando
dada:
a anbos miembros
., yo = 12x ....,'. 3\
(I)
2(lll
2l0
dy ^ 2y #
-
dx
,. r...
. r,.,.,
c.
(II)
de1 problema:
P or c ond i c i ó n
E
2ll
.- d x 1Z É...
= 7dv ? ; e n (II):
2y = lZ
-)
36 = 12x
en (I):
y'6 -'
x=5
dz dt
Lu e g o et punto p tiene como co o rd e n a d a s r F (i, 6 il 6
d e x p a ra l o s I { al1ar los v a l o re s d e l a fu n c i d n v ar iac ión e s c e ro .
que l a
rapi dez
dg
Llarnemos: f (x) = * 3 - ' t z x 2 + 4 s x - rJ f t(x)
7.-
= 3x? -24 x + 4 5
del problena:
Por condicidn 3x2-Z4x+
45=0
(x-5)(x-s)
= Q
-|
*2-8*+15=0
[*r
= J
{ = t [*' Un lanchón se acerca al nuelle rnediante un cable am el cable rrado a un anillo en el suelo del nuelle; dcl se enrólla con un torno situado en la cubierta La cubierta est lanchón, a raz6n de 2r4n por ninuto. 4 r Srndebajo del nivel del muelle. ¿Con qué rapidez r rnueve el lanchdn hacia el muelle cuando dista de él netros? SOLUC ION:
Deseanos hallar+
(¡E
. cuando
dz = 7.4 n/nin; x = 6n dt De la figura Por Pitágoras: 2 . *2 * (4. )' x=
;2 - (4.
; derivando
A-
*i = L;L rz.ü
* 3 - r z x2 + 45x - rJ, SOLUCION:
a a¡nbos ¡¡iembros:
r eem pl azando valor es
-|
:r
dados:
= 3rnlnin
Un bote está atado a una cuerda que está arrolla<1a :ii"a"aot de un torno situado 7n ¡nás alto qu': el ¡ii'elEL está a¡-narrada a1 bot'e' del punto en que 'con la cuerda por segun
De la f igura "2=*2+49 rr,/y"
+ 49
D eri vando dzx = dt
resP e ct o
a r t t ":
B
7
dx ' * 2+ 49
dr
dz dr
1o ( 3) , 100+ 49
dz-
30
dr
L49
*
9 2 = 2 , 4 6 m /s
Unq de los extrerhos de una escalera levantada contra una pared,.vertical
de 1 5n :q apoya en un piso horr-
) 1 .)
zontal. que se empuje el pie de la escal -Supóngase ra alejándo1a de 1a pared a raz6n dé 0.9n por nlnu a) ¿Con qué velocidad baja ta exrremj.dad süperior d la escalera cuando su pie dista 4m de la-pared? b) ¿Cuándo se moverán con- 1a misma velocidad'1as do extremidades de la escalera?. c) ¿Cuándo baja Ia extremidad superior de Ia escal ra a raz6n de 1r2rn por minuto? SOLUCION: a).. - Por Pitágoraq: 'r'>
=
12 m
n buque navegaba hacia e1 Sur a una velocidad de 6 111as' por hoia; otro navegaba hacia el Este a una la áfoci¿á¿ de 8 ñi1las por hora. A las cuatro de pun en ei primero del ruta Ia cruz6 begundo arde. el g poi e1 que éste habí? Pa:ado dos horas antes. entre 1os buques a 1as ) iC6mo variaba Ia distancia tres oe la tarde? ) ¿Cóno a las cinco de 1a tarde? entre e11os? i ¿Cuen¿o no variaba La distancia LUC
x'* y'= ZZs
x
encontranos:
lviendo
a) . -
:
t om ando com o r ef er enc. ia- el gr áf ico. deduci del Pr oblena, y e1 enunciado
os que:
v J..
dx
X '
gL
= -8ni11/h.
/r \ ""' \' .if
d tr
= 6mi11/h
Reenplazando datos: oy df
b).-
gr
. (0 .e ) Por condicidn dx
dv
- =dt +
dt
Sustituyendo
del
-0,¿5 m/min
dr
, (z)
-64 + 3ó
l6rc
; elevando al. cuadrado
xZ = 1 1 2 . 5 'x = 7 .5ñn
#=
dx v ?r"
t -ffi -l .Z¡nlurin
0 . 9 ¡n ln in
; reemnl azando r¡alores =--ñ. 28
mi1 1as/hora
l hor a - 2.8m i 11a
sobernos que el buque B-pasa por POr hipdtesis 0 a l¿i 2pm., luego hasta f as- fn.¡n. lleva 3 hobuque es decir y=18 ní1las.Como.el as de recorriao, x=8 recorrido habrá 4ú.¡n, entoncés las 0 a oasa I ilas hasta las'Sp,.m. Del gráfico: ).-
c) . - P ara este caso: - t.Znlnin
'?
+ y-
*'*t.)'*r
p ro b l ema:
2 2 s - *2 -**2
(t ) :
._--__---)P
l) = rx-
(Z) en (1):
¡=-.+:
dv dt
liquemos Pitágoras el AAB0:
7-
213
214
dv x Edx * v /dtÉ
dz
T
dt
dz dt^
x-+
T
Cono el triángulo
, reenplazando valo
ABC es equilátero
8.73 mill as /hora.
c
. ^'f D e Ia
(1)
dato:
figura
anterior:
da = v. q/v ¡lh A
lT--
(1 ) :
ivando
,x dx dt
- d^ a T -= -^6 2
FG
4-d t
en que no varfa
qA = 4
la distancia
"^2/h
dtz
dz
3r=0
+|=+
Susti tu¡'endo (b) en (a):
''
adenás: espacio = velocidad
+6[6(r+2)]
64t + 36t + 72 = 0
tI.-
x
L
t
=O :
la distancia
.2/h
ar is tas de un tetraedo regular rniden 10 cn; entan 0r1 cm por minuto, calcular 1a raPidez ento del volúmen.
o = x 4c{rE * . ,. r 4 ) r dt
Luego no varla
r
(2 ) z
Para el instante los buques:
8x + 6y = 0
( 2)
.....
E-
=vx-*yo
8[8rl
'
U
'área es:
c ) .-
2li'r
área? t,fmetros cuadrados Por hora aunenta el
Grafiquenos vo1únen viene
t = 0.72 horas: entre
ellos
dado
al' tetraedro.
Por:
t23 =5* -T
a las:
E1 l ado de un triángulo .equilátero nide a cfi ; s i nenta a raz6n de I( cm por hora , i,a taz6n de cuántot
. a lt u ra: ), e n (1) :
.x/l n'T
x .1 7 /\
"..
/\ '\
x
*
s1 áa
216
*2 ,lT . "xJl v *+ .=T- r = T*3 deriv.ando respecto t
dV -=dt
x'
'
4
dv = dr4
ir-
al tiempo:
para x=.10 y dx = 0. I , tendremos I Et
dt
100
El volúnien del ParalelePÍPedo
3y. _
(0, 1)
dt-
2.5 cm5/¡nin
13 . - Si en un cierto
instante las dos dirnensiones de rectángulo son a y b y-su rapiáez de variacidn so¡l y tr, respectivarnente, dem-ostiar que 1a rapidez de riación de1 área es án + bm.
SOLUCION:
x
= xyz .V derivando
a1 tiempo t:
respecto
tv
* f= * v #* vzff*
"^
:L
dt
SustituYendo Yalores:
y
$f
= c ol ( 8 ) ( o , + r ) ( 8 ) ( 1 o )( 0 , 2 )
{+
= 4.8 + 16 + 18 = 38.8
+ ( Io) (6) (0 ' 3)
a
gL = J8.8 m'lseg
dr
T enemo s c o n o d a to
x = a,
I = b,
El área del dA
?i
dt -=
=
dv
X -'.#
É*
p a ra
*i,
tr¡,r,
n,, { f = n
#=
rectángulo
y
u n i ¡5¿¿¡¡g
es:
A = xy,
derivando:
reemplazando valores
.r^
uñ
-Fuu
an + bm
dA ?E=
an + qm
1q.q. d.
14 .- En u n cierto instante ras t re s d in e n s io n e s -Crn'-i-ib;; d e u n p a raletepipedo. rectangula*or, é,n, y aumen tl nl_ respectivamenter0rZ m : 0 1 1 ' n l b rln segundr io i icu á l es la rapidez áe'varia c í o n ¿flr-io rc io " n r
Ll
con¡r1eta EI periorio (P sqgundos) -de.una ,oscilación dado cmviene I tongitud-es de un pénduto ."i" -lor la rapide z de variación f6rmula p = O-,'ZI,Uuilar 1a ^p"ii"áo cua'do_ 1 = .oi-resp-ecto a ta loirgitud, á!f e1 auresuliado calcular iZrs' .^. Por medio de 1 de Zz "tu de aumento a1 rnento de P corré-po"áiu"te '5 a 2218 cm. SOIUCION:
La solución
,Por f6rmula
(dato) : dP =
0.2
dr
2lT
dP
0.2
T=
ffi
es directa: '¡ derivando: P = 0.2'ÍT (para L = 22,5)
2l tt
* Para la variación:
219
AL = L_ - Lo ¡ (l) en LL = 22,8 - 22,5 = 0,3 ,
dP:.
9.021)(0"3)
,
dP = 0"06J seg
t6.- E l d i á n e tro
y l a a l tu ra de un ci l i ndro ci rcul ar. t o s o n , e n u n c i e rto i n s tant.e r l 0cm y Z0cm, TesT)c(.t m e¡ r te " S i e l d i á n e tro a u menta a raz6n de j cm oo¡. nut o. d e l a al tura a l te ra c i ó n i Qu é rnantendrá ton: te el volumen? S O LU C ION :
V-fx"y
El
v o l ú m e n d e 1 ci l i ndro
dado nrl
7
, donde;
2
Sustituyendo
t iem Po:
I
A t
I
.il
dl,
'
Av u^
^dx Llt^
=l
it
UL
--mln
-4cn/min que la
altura
estará
dis¡ni
+É = -4cm/min
17.- El radio de la lrase de cierto .cono ar¡nenta a taz6n de 3 cm por hora y- La altura disminuye a raz6n de cm por hora. Calcular cdno varla eL á;tea total cono cuando el radio 7cm y la altura 24cm, SgLUCION: . x
-
7on"
L
.{h -=j:\
- " dr-)
(7(3) + 24(-4)
l2+ ztrZ un¡ua = 96c¡n2/h
¡Iv
El s igno- tnenos indica yendo
7tt
( 3) +
= tor'(3)+ri *t
r C f,
-
,
valores:
stituyendo
vaLores:
o = i uro z.# .f rzolt r ol| É
+ -,x
A = i"ix
I
E-t _r f , z r *. *+ 'r*
dh = -4crn/h dt
= 24 cm¿
I área total será: elivando respecto aI
T
x = diámetro y = altura Derivando: dv
vi ene
Del enunciado del probl.ena, .extraenos ' los siguientes valbres: dx-, '3cn/h ü'
de radio cflindro 5n cada uno de los extremos d9 un r'. si ra
V derivando
49= dt
El volúnen total 4a2=+nr "+
rr-h
resPecto
+ n' 2*dt+
R eempl azando
es:
aL tiemPo:
Z nr h{f * n'2 * } dat os:
ffir
ui
0 - 4n (l 00) (s0) + 2r (1 0 ) (2 0 ) (s 0 ) * n ( 100) dL 0 . r(20000) + "r(20000 ) * n (1 0 0 ) -d¡, dr
dv_-dr
dh =- 400 cm/¡¡ri.n dt
á1/
-$+ =- 4m/min 19.-
-=-!)+
Desde 1a boca dg un pozo profundo se deia caer u piedra, y después de't i*!rnáo;-;"";";;r1"", o,,. piedra. Demostrar que 1" ái;;;;.i; ;;í;""1r, piu aurflenta a raz6n de tg cn por segundo. SOLUCION: piedra Por una de las fórmulas de caÍda libre, se dernuestra que 1a distancia "e'r entre las dos piedras en un instante "trt viene dado por: 1?
e -i gt-; donde: g = á."l"ración de 1a grabedad Derivando:
A
,e
= di s tanc ia
La ley adiabática
senia¿*i"-lei'e;-ño;üi"ii
al tienpo:
v*f * p **- o
Para la
expansión del aire
es:
que el v'¡1ú PVl'4=C. Si en-un tiemPo dado se cbserva centime50kg de es Por i6n 1a rns 10 de es -áiteraci6n nen Y Pres 1a dé Presión tro cuadrado, áCuál es la el vo1úmen disminuYé ,rn m3 por segundo? si
De la 1 e y : P v l ' 4 = c , d e r i v a n d o respecto al tienPo
?r
dP
piedr a !
E= - - - r f Sustituyendo
I'.¡
dP dt
dV
?T= o
dV
1 .4P
A+
valores
*l =
De la ley de Boyle:
respecto
= r om 3/¡
vl '4 ¿p + 1.4 pvo.4
2A.- U n gas6metra coTtiene l00 Q m3 d e . g a s 30 09 por cnZ. S i la fres iá n " ' a iimrn u y e a la p re s i6 n a ra z ó n d e r p o r ^ .*z-por hora: gcqn q u é -ra p id " , . rrru n a " -" i vol men?, (désepor
derivando
107 c*3 ln = 1on3/h
€*
IT { f-
PV=c
(-3)
#
9OLUCION:
1q .q .d.
SOLUCION:
=
r e e n Pl a za nddaoto s'
+ #;
#=
'l +
obtendfenos :
_ r.4150) (_t) lkg/ cmz-seg
'2. a raz6n de 1 13¿u Si y=4*-*- y x aumenta unifornente ta rapidez de variaci6n unidad pot ,"g,r,ie;:";óuá1--éi que de La pindienie de La gráfica en e1 instante en
xo2?
sOLUCr9N: De¡Ívando 1a relaci6n 1
Y'4x-x-
dada:
*F= 4 - sx,; entonces: Íl = 4 - ix2 derivando 1a pendiente dm
-6*É
l|"
b). - En el rnomento en que r = h, suceCe que:
comoCr = ff¡ (¡n) respecto
16
dh dt
¿Tr
sustituyendo
J5.
,(r
)J
1I r
- Tr
al tiernpo:
A-
'
=- 16
17?
valores
o'017
**= ;#ú=
# = -6 (2)c* )
cn/ seg I
dn E = -4unid,/seg
he¡nisférico de j5cnr diá:nertro a raz6n de- l6cln3 por segundo. ¿Con quó r¿
á"ñliallp,o Í,::,:Xl: f u n d id a d.;"*,,iI":, b ) é n é r "lro :y1ld5-h,-ii;;Iáá ru n i ó- de*r eboiar r iei- vo- r ,- "' o
d e u n ré g n á tti o e sfé ri co de ;r ;";;;;^"r ' iiz:;i:l' ;l s i e n do h Ia a l tu ra d e i -i " gr *niJ. t - De la figura
en que el r a I 000 cm" por tninuto. En el inst ant e dÍo es 25 cn) a) ¿con qué r apidez dism inuye "f de radio? b) iCon qué rapidez disminuye el área la superficie? ) globo como una esfera al Considerando a. &j.ll!].ON., cuvo volumen E S :
y =f n*s ,
n ,3
Tn
dxldV =
É
= z n rh {}
- ,,n ,*
*+=" .+ a).-
(x = radio)
# * + n *2 S
mostrada:
dx -= c lt
dv
Á+
de
derivando:
SOLUC ION:
{{
escaDa a r azjn
gas ce u n gr oDo ?
2 3 .- Se_echa agua en un reciplente
V = nrh2-
22ll
. . , . . (t )
- -
ti
*,.7; '--T
'
t
sustituYendo vaLores:
(-'r000)
ar ( 2s )-
2nrh -nh Para:
qh
h
-+ , j*' t6
dt - zn$) - n(fr, {+ - **
clx -ffi = - Q.1273 cnlnin
?
I 6cn"/seg; 64 '3¡ 3r¡r -
en (1)
('=9
:aT"'0 , 4 2 2
área del globo es : A=4nx2
,derivando
datos y +|- a'xff, i:"t31:zando
cnlseg .dh
-El
# c rn / s e g .
- 8r(2s) (-#
o -80
i
de 1a par-
I
224
dA = - 80 cmzlnin dt 25. - Si r r€presenta el radio de una esfera, S la cie y V el volu¡nen demuéstrese 1a retaéi8n: 4V=rdS dt zdt para una esfera
SOIUCION:
se cumple:
S = 4 rrf2 Der iv a n d o
(1 )
y
d V Z= dr
+nr
.
?T
(2 )
re s p e cto
al
tienpo
:
ds Dividiendo dV dt
= j-
8rr .ii
cl5
:5;
(a) entre
r á It- d S +
.
... (b)
25lan/h
. - Suponiendo que el cruce sea de 1a nanera ncs tráda a continuación: licando la ley de los co
ri vando: .3
zd rzd t
Aplicando ürada: .ü:
y s inpl if j- canclo :
$=
= - l-
. ,dv* ,-d!d , -+.# .+.*
.'dt
1q. q.d .
'r'* ,'- ,,
Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo rnr gulo de 60". Una locomotora dista 160 n de crúce.., se aleja de é1 a la velocidad.de 100 km por hora. autonóvil dista del crucero 160 ur, y se acerca a é1 la velocfdad de 50 kn por hora. ¿A-qué raz6n ot ". ra la dÍstancia entre los dos? SOLUCION:
'e
valor es
dS -= 'dt
(b):
dVrdS -=drzdt
a).-
ti tuyendo
. . . (a ) "T
dt -=
6r;7-;
. . (2 )
la
emplazando valores,
se oltiene:
$f; = zs,lT'xr,t/n
es de 2,5 rt i longitud de una artesa horizontal rectángulo i es un iriángulo secéión transversal dA a razíit artesa la en agua echa Si.se ¡láiás, 8m3 por minuto. ¿con qué rapidez sube la superfic del agua cuando el dgua tiene 1/2m de profundi-
ley-de
los cosenos a la figura 'z' S_Z- )n- + - Zyz cos60o 2 ,t
Jy'*
zo- lz
,
derivando:
:
Sea 1a artesa como se Inuestra en la gura del agua en Ia artesa es:
fi-
'¿2ti V=2.5y2rderivando: dV-dv
? T=:Y 'É dv ldV E =Sr' 3T;
Y
reenplazando datos: r.,
$,J-
dt
7
1
= J-
fi-l
.9,
5
7S mlnin
En el problema 27, ¿con qué rapidez clebe echarse agua en Ia artesa para que el nivel suba de 4 cn minuto, cuando el bgua diene una profundidad de 7 SOLUCION:
Sabemos:
d V -d=v
?t
a i l trr
^-
(1, + y -32 )y = y
( 3)
l ti pl i cando
:
5y ?-t- , reem p la z a n d o :
t, .*
dV dt -=
4#"
= s0 0 (7 s) (4 ) = 150,000
it dr ¡ dt
por la longi. t ud
V=4
dv ,l \/
') y ,.,.,....( z )
(
* ty
....( 3)
y obt enem os
e1 . / o1t :
tl .
V = Z,SyZ , derivando res to
Zx+
lt
e5:
se ccl 0 n
[= (1) en (2):
dy = 5 cm/nl n É
28.-
e1 Area de la
De la figura
dy dt
+
I I
dv dt
= 15 x 104 cm3/min.
y2) ,
A -,
der ivando:
- dv oy u?
i
r. 4 +O Jr y'
*
. ii
reen¡rl azanCo datos :
,i, =Tfrl-gm/min 1
,¡., = 5'2895 cmlmin 7.t
29 "
En e1 problema 29,;con qué rapidez se.saca agua de 1a artésa s i e1 nivel baia 3 cm por minuto cuando el agua tiene un metro de profundidad? SOLUCION:
SOLUC.IQ¡{.:De La figura:
S l: sene .* tag0 .{
.)
c o s O -f Á,t
+. Y' ? *
dV
1
ttj
. , . . 1 . . . ( l)
Et la relaci6n:
(4 + 6y)iátv
,{., S e s u s t it u y e : ¡ r = l0 O c m ,t t = - S . t / n i n ; o b t e n i e n d o s e Alr
tt=
1
C4, + 600) ( - 3) c n" /ni n
:
á\/
tf 31 . -
?
- -1812 cm-/nin
segmento que la tarrgente a la ra:na positiva -E. hipérbola xy=4 deterrniña sobre el eie ie.las x ta 3 unidades por segundo. Sea la oidenada en el gen Oli. Iial1ar 1a velocidad de B después de S 50 dos del instante en que la tangente pasaba por 6 ri gen SOLüCION:
La ecuación de la recta
AB es:
de mane r a que su abscisa aum ent a de una m aner a uni forme k unidades por segundo. La pr oyección de P so bre el eje de las x es M . ¿Con qué r apidez au¡ nent a el áre a del t r iángulo O M Pcuando P est á en e1 punto de a bscisa x = a?
S OLU C I O N: De 1a f igur a: P M= ñ 0M= x vJx A rea de l AO M P: f deri vando:
,+.
ñ, dx 4) dt
dA
P(x,y)
AI
y'n(x
- 15) .o... .,...... De la ecuacidn de la hipérbola: 4 = v -
X.......r .r
Igualando
(1) y (U):
+
n( x - l s ) - +
v=-fft* +-
- ¡5)
4
.
l t\ \Ll
ProblemasAdlclonales
(interseccidn)
, n - - *g
n e ( t)
; derivando:
4Y-. -t|$ rsl * #= dt
-**unid/seg
sgn l,9s Considérenselos paralelepfpedos guyas bases por la pa.liinitada br'área ett ;;;ilili;t-i"t.tiiói y tu-iá¿o recto (cuerdq lrazada por'el ;;;;l;ttz: io* de maiülál-pátpendltulan¡á"ie tr e¡e de.slnetrfa)'eI ladoestéisobre dói-ióét¿"guio que un raoo nera 'Jliio-áá r-i p"iáuói"; i"t de.ilos paralelepf "Itut"s del-lado pa o"¿ot son siénpre i'gúales a la longt'tud del navor volumen el Hallar x. óió-áó-ti3 i;i;í"-;i paral el ep f pedo .
De la ecueci6n'de la par ábola: ., 4px l6xYt '4Px+ p - 4; el f oco ser t i: F( 4r 0)
9$@ !!:
dv 32.-
"t
l6 75
unid/s.eg.
Un puntd P se nueve a 1o largo
dx
(1)
, para:*l= 5 unid/seg.
-#,#
sñ
cl t
"t reempl a zando dat os:
A(1 5,0)
I
dA
de la parábola y2.¡
2:¿ll
De la figura:
pasa por
elipse V.
PH !l
FI
t:_¡-
|
'v
/t
_to
PN
=
-
de"rivando
L6)
¿\ ' +
-
lo
2
(4
2 |' 4 I r-Y l r)v (4 -Y \Y t6 l \-g/
L
-
)
I
-Td
:
; i gual ando
a cero
3g= r ' r ir n(r ,2 - z t2) dn u¡¡
=u
resol vi endo
obtene¡nos :
,
)
/3 -
6z _X¿)/n¿ -y.2
Lr.
l¡
v:
-
16/l 5
vol umen
que obtendremos
eH
64
(o-i-b'- o??e, .c
2h2
Sea la ecuación de la elipse:
"2 ;F ' ?'
I
n ..."...,......r.r...
G
=
h/2
(z)
(1 ) y (2) en (a) :
x+Y=1
Una elipse, simétrica con respecto a los ejes coord€ nadcs¿ pasa por el punto fijo (hrk).Hallar-La ecua f ci6n de Ia elipse dé área mini¡na.
*2
L¡ I
lzuz-rz
Sustituyendo
Y = 73.2715 u3
SOLUCION:
a n:
a cero
.
m = ;4s
R5 5
igualando
r espect a
(1) en (c) :
5
el
'
der ivando
)') n"-2k¿=0+¡¡=kn
w
_+ Luego p a ra
( c)
(c) en (b): ,
dV -;-oy
se tendrá en ( a) :
nh
+
-l
a--ft. 4y\+
--
(h,k)
?.'
área de PI{MNes: volunen V es: 2t rt v
(b )
Bl área de el ips e
(a)
2k2
11
curva x "-$xY+Y'=o tiene en el Prim er cuadrante rrn bucle simétrico con respecto a la rec ta Y=¡. Un trien el bucLe tiene su base ángulo is6sc{1es inscrito 'en Ia recta * t y y su vértice en el origen. Haa t 1 ar el valof de a correspondiente al triánguLo de á
: ': ll
2:t2
r ea ¡ ná x i n a .
AB S O LUC ION : '3xy +y
r 4^ = a ñ 1 1 - íI_TI111/z- .'.'..r..' ....,.f2)
E1 área rJel A AOB es:
o=$1-E;de(1)ye): [=
*
+
-¡r"*li|t'''
f
1as int er c epc iones ,
t
x'+
Y
= ^ 6 ,A
;
$ f=" r t"-ri -r("lf = '
ob t e n e n o s :
a a L
* 2-
c alc ulam os
!
' fl a = * _1 _ a _
x + )¡
con l a curva x3* gxy *
y 5= o ; o b te n e mo s ,
y )y
ffi ,' ,=t l---
AB
/(vz - ylz*
t*r 1
Considerando solo
L"z
el signo
=L:#
= 2.3028
-#ir]*"'['-#]
(1)
cal cul ando
' i: : : lra z a n d o
?
positiv 'o:
+ F - .- -
(xz- x¡ , t
1- r m
= 7 - x2 , en el Pr im er cua P es un punto de la curva Y Y sean a la cur va' P or P se t r aza ia t angent e drante. a los ejes coor denados' A y B l os P unt os en que cor t a que AB sea m í nim o. de P Par a l a P osición U " i f.t de 1a r ect a AB que pasa Por S OLU C ION : L? ecuación el punt o P( xp , . Yn) es:
=G -rT, . ^t=7 - Z r ' = a - * U
0bteniendo l o s p u n to s A(x 1 )r.¡¡ y Y (x2y), AB:
obt en e fn o
a = 2.3028
+ y5= o ;
r es olv ien d o l a e c u a c i 6 n obt ene¡ n o s :
Y z' t* i
r esolviendo
+ 12. -
^
, (a - y )' -i ("
,-
3 = 0,
It
(1)
Ahora interceptanos
Yt '* -t
¿ -
ahor a
6n= +
igualanco
z
4a
Halla nd o
::l:"u"uo"
va
P(x,Y)
Cá1culo de la pendiente m: De la ecuaci6n de la parábola: dv #=r=
-Zx
-renel
)¡ =
.
-* ?
puntoP*rn
-r* O ¡ e ñ (l)
- *n)
-)
o b t e n e mo s :
pero
n v$ = 7 - xn ; obrenemos :
y *zxz * = A,"¿,
para y=0,
.dA=
.
""i
(* f [zcso,ooo) ..
-n7 obteniendose: (3)
=;
-? -? -? Luego: AB-=OA'+OB' ,
de (Z) y (3) encontramos:
renta
AB-=
I
L
m. ?
8y-p ,p
cos to
[ r c rolt ,
total
_
l
C-x L
9xt
1nn r
*p =
T=
|
"t^e
100 I -t
. ( 3)
1 250 x-+
; der ivando
48750 x + 350000
r esoect o
A X:
2+4 8750x+350000]500000- 5 00000x (250 0x+4 87s0) . frzso* (1 250x2+48750x+350000) 2
I
L u e g o el puhto P (xn,
p a r a t = 1 ano
?.=#:i-;
I 00(s0OOx)
7i
)¡p)'es:
de
(1) y (2) en (5) :
tituyendo
reemplazando en la ecuaci6n de la p bola se encuentra:
aritrnética
ti
fórrnula:
.?
;
m ás alt o
I = R, = 51000 x .:.....(2)
anual será:
t
8 ( eliminada)
Y. =+
el
[too,ooo + 25oox- 2 5 0 0 1 + 3 5 0 , 0 0 0 . . . . . . ( 1 )
derivando e igual do a cero;obtenen
1 1 3fr+392*0
a
t iCat ' es :
100
( l¿ - yp)z
dest inado
1) 2 s o o ]
cordando 1a siguiente sinplificando
Car án
: E1 costo esta en progresidn raz6n S/ .2,500.00. r r x r r el número de pisos. ga: cos to de lo-s x oisos es:
para: x = 0 en [1): = ln - yo + I oB=y-tO-Yo
z.
de un edif icio
ra cada pi so. ¿Cuánt os pisos de i nterés de 1a inver sión?
14-yp ,p
2;i:
49r
ficinas es de pesos 50,000 para e1 primer piso. y asi 52500para el segurido,$ SS000 para el tercero, cesivamente. 0tros gastos (terreno, planos,cinenci6n,etc. ) son de $350rJ00. La renta es $ SOOO
n Y
_?
de const r ucción
costo
= -Zx'(x
Y 'Yp
.7
( * o,Ip) =P( i ,* EJ
ando a cero:
7r250xz - Ssorooo = o
x = *. ffi
= t 16.7332
6.-
m-
x = 17 pisos
Aproximando:
Para cierto artfculo, el aunento en el nú¡nero tl rr los consumidos es proporcional a 1a disninuci6n 1a contribuci6n sobre cada kilogramo. Si e1 conr¡ es rn kg cuando no hay contribucien y n kg cuantlrr contribución es c-pesos por kilogramo, há1lese que debe imponerse sob're cada ki1or,; contribuci6n para obtener dl máximo iñgreso. SOLUCION:
Llanemos:
dx - aumento en el núnero de kilos consu¡nidos y dC = disninuci6n de 1a contribuci6n Por condici6n dx = -k dC
2 (I-:
i)c
'¿il7
^m"c L 7Tñ:ñT
=Q
^ mc L - tGlr-n) cuerda BC de Ia paráboLa y=yt7 y lqs tangentes: v AC en los dos cxtrernos de la cuerda r torman u'1 hnrzulo ABC, Si BC se rnantiene perpendicul ar al e con una raáá"r" pará6ora y se acerca a1 vértice éi ¿" 2 unidadei por segundo, icon qué rapi'dez va cuando la cuerda BC dista el área del triángulo 4 unidades? I vértice :
del problema:
BC = 2x Y Al{ = h De 1a figura: ABC: triángulo de1 área El
.....(t) Integrando esta relación bajo las condicionés:x. C=0y x=n, C=c Integrando (1): x = -kC + Q ,.,., ,.(Z) Para: x = m ,
C=0;
en(2)
; '
n=Q;en(2)
x =-kC+m
c
P ar a: x -D r
=c
n = -k C + m +
;
(3) en(3) k=[-
c
en (3) :
C+m
xa
El ingreso se obtiene multipl logranos poY 1a contribuci6n: Ingreso:
I=xC
( 4 ) en (s):
N= J
m
r o:
r-iA
+ m
x=EE
=
;
a r¡l E pendiente
I - mC - ¡4-:-8¡cz
$É -,
A AHB ^, A CMN
, derivando rospecto a C:
- 218-.:-JI¡6 ; igualando a cero:
Y ,
MN
m
:...
MN.
ttge
r ...,.
(2)
(3)
=- dv = 2kx , €D (3): clx
Z k "" Q)z - 27<xZ.. . ,
,,.
plazando (2) Y ( 4 ) e n
3;ltr
A o 2 kx5 =zkxz,x= zk{ ¡ ) s/z= r t,, , der ivando: rt
p ared? S 0LUCI O IN
¡i
Il,¿ r ) l dt F IK
\2 J
dA
1?
,lr sr
-
-......: /, fK
,' /' ,
reenptazando cl atos:
#,
u n i d 2 /s e g .
= +uz/r"g. .# uL /r 8.
A p l i ca n d o
Un. t anque c ilf ndr ic o. y er t ica l tiene en su base un a_ gujer o de J c m de r ádio. El radiá-d-ót t"nquu es de 30 El agy u def tanque-ion fa velocidad ! T. , : g es c ur r e dada por la f ór ¡ nula siendo h la profundidad - y r =Z q \ , I g la ¡ceteracidi a" i"-giave¿i¿. 9"r
"cyl ta rapidez de variación de Ii v"roEi¿u¿r
EI
se m e j a n za s:
1 77\ - v 3 'Y
A ABC a A D EC
l0 - x ¡u 3x - 12. 25 -x-
, d e r i va n d o :
¿Cüái-", Av
17..25 dy, t* ái - ( 3x - 12'2s#) - ---Tat= ----_;7' x R e e n p l a za n d o
SOL U C ION : V 2 - Z g h ( vel oci dad de sal i da) 2V o l u m' e n : n R 2 ,d h -n r"" { fi T t dh = u#¡" " " " ' (l ) cono: 1 t)
= v ' (zgh)ttt + **
6
* áu -á
Ét -
ufut!.
dy *.
6n dV =
9 900
.
r' l @ t
CAPITULOVI
9. -
reemplazando dajtos : ;R
-¡-'
dh
Av
t-
I ov =mo
=
100c¡n/sec €t ' 25 c¡n/ses
I
¡2'
6
I
d h . . . . (z )
R e e n p l a z a n d o (1 ) e n (2 ) : 8
va l o r e s
dx AT
I IVV ¡O
DERIVADAS UCES]VASDE ÜÑN R.|NqON
S. }f
q¡rLa r q l/cr ¿ t0n ¡ v& qe y eS te cotgada de.una-parcd, - .* unt p¡rcq. col sade a ^¡,-"{tC a Y* }!gfla."d.i,¡ta s¡¿ rr'uura ¿e = r€specto
al-eje áe'un lsenderi pJr_ -t p pendtcutar endlcular a a lta pared. a re d . U a p un n houbró tóuuié-¿á-r,izii-;-¡;-"í;;¿e r.l zi i -;-¡;-" ía;rr a n d a p o r e l s e n d e ro haci e l ¡ pared-al l .paso de un l¡c c tro tro p o r s e g u n d o . C u a ndo di sta pdród :¿ 4 n.r:oüé ta-de üe l a pdri p{ red n" i qué n.¿:oué cau r6pidanente sube l¡ sc¡brr ile su ciüeza por" por' 'la
rientes derivaciones' : las slguientes cailS una de lis
Denostrar t+
Y = 3x- - 2 x
3 + 6x,
.22 q+
dx¿
=
36xo'L2x
210
q O LUCIoN:
D e ri v a n d o
'?
2. -
clx =
s
a *
bt
os _-;
,
8 (a +br)5 / 2
# =+ ( a + 6¡ ¡ - l/ 2.(u) .? dt -
¡
dt J
2d'J '
a -bx
?
(aff-
¡
-
3b"
-iÁ-
(a * 5 ¡¡-5 / 2
o
?
_ ab-b2x 1-g\:_ú_2ab(a-bx)-l
v 2 7 - 7 / z+ u . h Í # " 7a2 *
( ^ 2, u 2 )- s/Z, e v)
6 2 + u 2 7 'l l 2 - .r2 1 " 2 * v2 ¡' 3./zl,
'-T'-z3Tr
( a+ v ,
: D eri va ndo
7
+2)
-(t
r esPect o
a t
12
i
l'za't= =áfi;m -F:l':t 1.,r1 _,Tn ff;ffi, ( z t + lf t z - W
-
( zt*t ) 1/ 2 l zt*t - st - sJ ( 2t +1 ) '
.T. z3n
;
2
2r +l
-=
(a-+u-)-'-
2 )-1 / 2 + v T)-tl r,(ru) - y (a 2 + v
a
(a + x)r
r d2"
d o lu cro N : Derivandorespectoav: -'
=
(a +x)
n 44ab' aD
-
z o, '+ 4a b 2 . = - 4ab (a-bx) -3 (-b) (a_b x )" d x, ,2 2 22 ctu a = u= a+v du-
'
z^2
*bx) -
'
^ [a + x)' ..-.."-.-;i
soLUCroN:o.ri.r".l¿X-,."0!".;0."',* : (a-bx)b+(a+bx)b
*2 -|at: -zlu?*zux:*xz
?(a+x)[("2* 2ax*:i2)- (*z*iT]l
G + A ¡1 -3 / 2
4
d"s
y=t+,b*
É-- D
??
-----
-
(a + x)'
JD
clt
)) os
$ + - *t" '
?
2x (a +xJ-X
12x
Der iv andore s p e c to a t:
dx
D eri van do
ox ,r;" respecto a x : * 2ax) =-t f:tZ
(a + x )z
SOLUCION:
5!¿ -
a
x
a* ION :
- s6x2-
z^3
ov
${ = tr*t - 6x2+ o
.'
{a
re s p .e c ti -va
t+2 (. 2 t + l)' ' ' 3 x -¿ x^ 2 r (x) = 1-=;--
T\ ¡
f^'(x)
=
-4 --(1 -x)
. f'(x)
(1 -x) f ,,(x)-
,¡
t 5x2:4x - -2x3 (1 - x)z?
(-6xz+10x -'{) *2 (-2x3+5x2 -4x)
--6
(1 - x)5(o*2-12x f ' r r (x )=
+ 6)+3(2x3-6¡2+6x
4) (l
r = - :3
oxy Derivando respecto
a x:
-
(1 -x)
-*
,
f.
+) t
22 d-v
¿yE'. = u
^dy A
2x ,{., 9Le dx
(1 - *)6 (1) 6xz -l2x+6 -6x3+ 12'x2'óx* 6x3 - 1 8x2+18x - 1 2 (1 - x)4 -6
=
(1 - x)' ^=
- 6(1 - x)-4
.r z
=- 3
| !1
-24(1 - x)-5= --] 4 --T -(t -x ) -, gyl = 2 (-1 )n n i 2 t -
rIV (*) 8.-
- Y-=
*+l
,
dZY _ -
*U
* n+ 1
& -dx4
r esPect o
a x
- > adyl =_Za -l
áw Yf,f =4a
:
(1)
z(2)
(..1F
-(F
i)
en (2):
zaL?) ú-tlxZ
z(z)(s)_t4)
-
(* + t )5
2(-1)n - (x+1)n+ drcn
e
vz
4aZ -_
y'
4aZ
v
Ve¡nos que va fornando una 1eY de formaci6n, 1o nos conduce a deci.r que: dnv
4a
,
U C IQN i Der ivando -
.3 d-y=-2(z)(3¿
;F-
¡--,
^ yt= 4ax -dx-v
soLU:roN: -'k = l:#r
v
)Z
l t - 'i :
[tr! = bl
*2* ION:
="*,fi = ^'o' ^ 2y2 A ,,¿
x : Derivando respecEo-a
.sa I
d*3
3b6x
-'--'í--7 4)
ay
zbzx+zrzyfr=s dv clx .
-a1
-
=
,z ou* a'y
)
(1 )
en
.....
(l )
.,...
.....,
que: iendo en cuenta , luego:
(2 ):
* +F+4::lw4 b2, = - 4 -bz ,^2 , ^2
^2
ytt
^ 2y 3
7 r", a "y
ff=
E _ú
'12.- ax? + 2 hxy * Or' - .f.
^4yS .2 ov t
'
dv +dx
;7
--
---+
=
dx'
(hx +by)
3
ax+hy hx+Dy
?
A¿- = ^2,, dxz
v
2* Y2- t- tt
(z)
*I
Y' (1) en Q)z
(?) z*Y|' z*zv -. 3.
Y3..
2x ( r ) = - Est {x - t - =- T Y
(1)
. (ax+h¡r) (t * b * (hx + by) 2 rel nsl$¡¡
(1)
x-
dx
h2- ab
= S + zuy* 0
Reernplazando (1) en estt
v
SustituYendo
SO LUCION:Derivando respecto a x: i^ **Zhy+2hx
2x -----= )
gr. * 3yZ
r- 2y = 'dx2
abr
¡h-:<+b;r )
dx2
2*
(1 ) en t3):
d3y = _ - ' ,0 1 , ,*,
h2-
-
dzy- =
LUCIOi{:
" i 't""¡""'(3|
*t? 'frl
Sustituyendo
"*z*2hx y +by z ='l
5*y3=
t
d-y = dx5
rLv
-( h-
*= St=+4 Reem p l a z a n d o
2'lft
(*3+ y 3 = 1 '
=-3 z'x v x
-*4*
z xzyz- ^ 4
, *
2. Z 4 -x
-r. x
Y
246
SOLUCION: ? ,4
Derivando respecto
4x" + 4y"x
* 4*2yff = o
reenplazando
(l ) en {2) :
a x:
-gr dx
.:-- 3-Í'1
¡fi
.i
'yt, =-
ION:
-'x y
ql
lf
= zy4 - *2 u 2 - u 4
- ffi.
y y,,
x=a.
SOLUCiON:
9
'
=
- 4 .ñ
lx = 4.
4 x¡ suues iYanente S O L UCI O I j : D e r i v a n d o r e s P e c t o ,2 x=4
,Para
y,r=,/x¿+n. ffi
a x:
, __ña -fi1srz ^7
rrf-
v
z*F; -& -
v"=F=' /*"*9
2/ xo+9
x-
+ 9
?
y' =# (ft| " {u*r"'"
,,parax = a
Zxr+27x v". =G6W
Yt=Q
a, gi *2 - 4y¿ -
¡
; paba x rI
,;
parax=4
Y"t t #
y,'r '7*[c"-lt"-.c.-'¡ É, t /"-J I L: ("x)s
,".á'[*;ri
, para x=3
9 = -z16
=/8.+,/zs = + yr '.
Derivando respecto
at,,
4(16)"t "
= *FÁ;
x2y3
En los problemas 15 a ZS, obtener los ra 1os valores dados de ias rrariabiés de y' r 15.-y
9 - -
4(25-3x)'''
L
¿*2
i para x = 3
ffi41t2
a
ur r= [r - ' - r ' - ( y .* *- 3),#l
dx '
2.17
5
x3
Y" t' #
x - 5t Y = 2'
SOLUCIOI{: derivando 2x-8YYlr$
respecto
a x3
248
=+;para*-5r
yl
Y= 2
=né=+
yl
14
x-)
. (3 -
DerivandoresPecEoax:
ION:
yr
y"
/-
19,-
-
- iet-frl
y,=
= # r r- f r = # -
Y,,
.?
rrtl
# t' Pa r a - x= S
lzsq
= 1 Para x
4(3 . *2)'(-t*)' 4(3 - l)3(-z)
= -g(3
- xz)3*
= -64 +8x2(5 - *')2,par"
- 1)5 + 48[5
-8[3
I,,=
T' -i-28 = -i7i-
-
x=r
;
x=1
'1)Z
= 128
I't
., . 4:' ., , yZ * J * 0i
x'
SOLUCION:
g
- *'
.r'l
y ' - - #I,, =,-(2x+v)
,,, = lt
*'*'
'
-
el valot
ftl*
(2x+y7'
5[x2*
+ Zyy, -$
o
.,r , =-
9r--l 14-.t)5
fi--E
a x:
p a r a x= 4
=1r
i
parax=4
1
de y,:
¡
I
v" = -{li-¡ttz=
= 3 x2+ 3 v2+ 1 2 xn , (Zx+y75----9 7
(2x+y1'
LI
x =z
-'mi; SOLUCION: Yf
3
1
v" 'v;|vn
'
y"t
,
y;=#
) par a x - 2; y = - 1.
v2)+ lz*r, . 3 (-3-4xy) +l 2xy (2x+Y¡ " (Zx+y¡2
paraxo2ry=-1
Derivando respecto
LUCION:
l1+2y') -lx+Zvl fZ+¡¡rt = -3-xv,_:_Il (Zx+y¡" (zx + y\z
Sustituyendo
x=4
* vÍT-T-Z-V;
-1 .
Derivando respecto ax
2x + 4)' + 4xyf Y,
x = 2t y =
Derivando: 2x
=
(x"+4) -'3-----aTl
para x - Z '
r1
t" Ñ f5
;i L
yt, , . f u =+ ,., -l z - x ? i ;Parax=Z '' ,,= 3[ 3L'r*'*d¡s/s1
x ( - "I.,- Y)
," =*f--rz.==l= -
i,=---:---=-
1 9 a.+'1-/sl-
(x
" Y)-
L¡t
/ = xr'sx
vt, = i:-JI+
x E 2"
'12
4 + v' : - - T l -=zl
y' = | i s * - z 7-1/z, (3) + / 5 x : 2 \'
/2 n' \ ' 1 '.-, =T - Z ,t4)
, Para xñ
¿
(3x
z 7 - 1/ z1
a -L
*f{:*
-.l. -----tPa r ax=2 '- ( r * - z1/zJ; t
y,, - s l- sx - +=, r = - L;$-qTfz | t ts Y" ' i.3 L*. ij 11 = it + 2 xY - l6;
SOLUCION:
3 -x y
z
.,-1/?
* Y3 =. 8;
. = -- -t é 7-sxz ' 3y"' ZxY
x = 2,
Y = 2.
= 2, ; para x
Y = Z
v' ==l; ff-=-2 ,Derivando nuevamente para encontrar
Derivando respecto
Sustituyendo a x: vll
a
yt y reempLazando x'2'
- m {ü - ( - 8) ( '20
Zyy' +zxy'+2y=A I
Y, '
16
y"
:
-Sxz)(6vy'-2y -lxi' ) (svz 'zxv)(zvÍ -ol)-:-!vz = ,,, (3y" -2*Y)"
x = 5, y - 2
v -x+-y
=
Y
L UCI O N :Der ivando r e s p e c t o a x : = sxZ yz ' Zxyy' * S Y Z Y ¡ 0
[3) +lT
Y' =i
24.Y-
para x = 3, \&
[x+yJ
-7;
!9!9cl-9I:
r,f
de yr:
el valor
stituyendo
)r t t , .
; Para'x.5
,
y = 2
- 15
240
Y - 2'
se tie
2i'ill
252
7
d-X eh cada uno de los ejercicios dx¿
Hallar zo.-
dv
ffi-
.2 clY
-
-6 OX
-Z r*
3 .;2*
.
)= raz--;z) = -q* i,tÍt'z* #ifr ( a t - x') "' z? ?x- Ja x = - '- . a {Tf
'-
xt
-
7^" -x')''
_2
f
.
- -r - - -^- - a x-+a-
- 4 xY = 16
SOLUCION:
4y - 4xY'=
TYY'
LUCIONz
Q
(1)
(2) : Reemplazando (1 ) en
(y - zx)W
y " =ffi
-________i_
28.-v-'y'Z-3x
, o r u .to *, .2
**
= -Q - 3x7- 2/s
+=-z(z-3x)-sls- - (2 d x-
-s x ¡
(v-2x)
\
=- 4u2- l6*v (v -2*)J
5/3 *3-3axy*y3=b3 sotucloN:
SOLUCION:
. ñ
.2v
+y - 4x rV-*t v= "
?
r-L -x Y'xYa $
' 2.l J
- t /' ( r * ) - ) G' - x ') - - ' ' ( z * ) /2 =_x( laz - *r ) - a - G2- * ')
SOTUCION:
'r'1 pt.-
_ *2(u2_*2)-Ll2 Z
53 y = ¡ -T
--t dx'
^ z _* ?
siguicn
* !@2- *t)-t 1.2. q-z:x1
3x2 '
v," #
Say '
a S 3'ddxy' * 3Y2Yt
.i .. . .. . ( 1)
I'
Y tt
zxl (-? ¿ r--' ), s u s t i rrrre ¡ ;{ayail
=
ax ) "
.
t( 'z ¡ = ¿ e s
Luego:
/yt
= - ? r p a ta
l,lln
Mtu=
2 (b J * a 3 i x v _-=;---+ (v " - a x )' *3
SegrmdoMetodo para Determh Mdxlrnosy lUh|mos
2irñ
¡ n á xi m o
u n va l o r
x=0
2 r p a r a r =- 2
3 x- t 4, 3 t[x- 1 = ¡
L l a r ¡ e n o s:
S O L U CI O N :
. 3 = J[x
f r ( x)
= ixZ
f '( x)
= 3( x r l ) tx
1l
+ l)(x
- l)
- l)
-n
cr íti co s
va l o r e s
I
Jx++
"
1)
f " [x ) = 6x NO T A : A p a rti r d e e s te c a p ítu l o s ol o resol veremos l os cl c? c ic i o s -y 1 o s p ro b l e m a s s e dej an aI l ector, porqu" ' .i i s olu c i ó n e s ¡u )¡ s l n i l a ¡ _ ¿ los resuel tos en ól ca¡rf t g I o V , d o n d e S e re s o l v i ó e n forma detal l ada.
-P ara:
-x = -l f , , ( _. 1) =
-Luego:
f ( - 1)
Calc ul a r l o s má x i mo s y rn ín i rn os de cada una de l as c iones s i g u i e n te s : '\, , 1. x' 1'3x' - 2 S O LU C ION : S e a : f(x ) , S xZ - z - x3
-P ara:
x = I
fun.
f?' [.] )
= Ó , es un m áxim o
=
:
+
= 2' -Luegol: f ( 11 "t
un rnlnimo M á :¡ =6
r Pa ta
M fn =2 r p a r a
fr (x ) - 3 x 2 + 6 x . , lgu al ando a cero: Sx (x + 2 ) ¿ O +
f"(x) -.Frra:
{:
= 6x + 6
x
6ax = óx (x, - a)
x - 0 fft (0 ).
+
Luggo: f C0). r .-'2 es < P ¡ra !
-¡
= ?x 3-s^tT*^3
= g¡ 2
fr(¡)
--Z
E
La > 0)
|xJ-3axL*a-
S OLU C ION:Sf : f ( x)
rQ
X
r fn
- -Z [-Z ) .-
Igual ando un
¡fnino
a
cer o : .
*
6x( x - a) = 0 f"t x)
= 12x '
x-01 x = aJ
óa
-P ara: x - 0
f" c0) ¡-
entonces; f ( 0)
'
45, e5 un nax1no
fvalores cr f t ico s
x
- P a ra :
=+
fttC x ) - E n to n c e s :
t
+.-
e s un valor paT? x =
Mfn=0
P S TA
X
= 1/Z - Para : x gt,(.t/ ?) =5 f (1/2) =6 , es un nr áxí ¡ no
nínimo
Máx=a
=
n d
M í n=
- zx5 sxz - zx3
= 72 +6x
f'(x)
4* A
6xZ
a cero:
-l2 + 6x - 6x2 = 0 f"(x) -Para:x=-l f"(-l)
-'l
{x- = |' x
->
= $
z
. son los val or€ crfti
t?x
= +
náx -22 J-*
f t(x)
e
a
cero:
Ig u a la ndo
J
+
3- 4 x- 4 x2=o
Para:
f"(x)e-Q,-8 x a -3/2
.
f't(-3/2)
r+
,*'
-4x
-
-
par a , par a
x ",'3/Z -\
-
. tl
ta -.
- 4x3 - 12x2+ z
12x2- 24x, igualando (
= -l x *f x = i \
= 0 1zx3- 12xz - 24x ') = 36x'- 24x -24 f"(x)
a cero
son los valores crfticos '
x = -l es un mfnimo
x = 0 ft'(0)
= = I
, es un náxino. Lue.go: f(0) Para: x = 2 f"(2) = + f(Z) = -30 , es un r,rínirno Entonces,
oát
Mfn = -3, Para x - -l = Q Máx=TrparaX z Mln =-30, Para x -
4xZ
x . _J/2| son los valores x - 1/2J x
= 1Zx3-
A
=JX
f(x)
I
P a ra i
3
f (x) .5x-
SOLUCION:
z.
*3'12x2+ Sea:
¡rr(-1) = + = -3, f(-1) tonces:
2
rpafaX=
f '(x)
ara:
= -$ , es un mf irimo. - Paraa x = 2 f"(2) =f (2) = 22, es un máxirnt¡. Iffn = - $ ,parax= f(-1)
S.- J x - ? x2 -
- 9/ 7,
M áx=5/ 6
f (x) =2+f?x
SOLUCION:
Igualando
= 0,
f(a )
Z +'12 x + 3 x2
! , i?
f( - s /2) = -g/2. es un nf'nino
= x
crftl cot
-4xZ
+4 f(x)
f!(x) x'0r
. 4 x3 - 8 x x-ft
= *4
-4x2+4
obtenenos: ; igualando a cero, y x ¡ -,/2 , son los va1'oPes críticos
'
2i¡t -
r -3 (2 veces) r que es el va.lor crftico. (x) = $¡ + 18 Para: x = '3
= lzx2 - I
f "(x) para: x
c$
f" (0)
¡tt (-3)
E-
/V )-,
(t
f
Máx - 4, pata x=0 lrlln
ax
* 0,
para
., 6(2x".-
X =t
3;-;z
(x'
^o)2=
f ,,(x)
-
- P ar a:
- Para:
;'igualando
(*2
a cerol
= tÍl
^ z - *2 = o +
Entonces,
*3*9*2
f ' t x)
a
= 28, es u;r maxlmo
f(2)
-13/4rParax= l"láx=28 , parax=
fr' (a )
=_
f (a )
= l /2,
es un máxirno
x =-a
*2(*
- ü2
SOLUCION:
Sea:
f' (x) =2x (x-4)
es un ¡ninimo.
+27xt9
I II + + 3 x2 l 8 x 2V a cero r'ígualando bbten€l I / n o r,
soLUcIqN: Si:
mlnino,
Mín=
Máx - 11 2 , p a ra x - a llín ''ll2r p a ra x = -a 9.-
= - 13/ 4 r 9s ull valor
¡*
f'r-(-a)=+ f(-a) - -l/2,
z
i
Luego: f( -1 l2) Para: x = 2 f" ( 2 )
za xl - -0 4 5 x l*"¿¡ 3 x=a
L*
¡,t 7_1/ Z) =. +
a
-+% -
* fx = - t/Z =
x-'1/2
-Para: 7? f '[ x ) = * l
1?x2rigualandoacero:
z) = $
3x '
'4x3
= 18 - 24x
f"(x)
f(x) =*7f7
Sea:
= 12 + 18x
ft(x)
=72xrgx?
f(x)
Llarnando:
f (x) = x3*g x Z + z z x + g
la
- 8x* [2x" Obtenenos: (x -4 )
f(x)
¡) = x"(x
-112 2
- 4)"
z * z x z 7x '4) rigualando a cero
z*l=s*
4x(x-4) (x-2)
*'= o l
= Q
x =71 son los Puntos crfticos x - 4J
a) (sx - 8) f , ' (x ) = 4 x 2 - 8x+(x4gy- + 32. - 12xZ
-
ES
73
/21 o 0, es un ¡nfnirno.
SOLUCION:
ntt
2x+ 9xo-4x
LUCION:
8.
[
¡ -3 la funci6n no tiene to indica que Para -x = o, éntonces = -3) . si f"[x) mó nl máximo (x inflexión. de Dunto
f (0) = 4, es un náxino * para: x = tLT fr'(t
=
'
26(',1
i. t¿.-
- Para: x o 0 f't(-0) = + Luego, f(0) = 16, es un mínino. - Para, x = 2: f"(2) =f(?).16, es un náximo Para x = 4: f"(4) = +
t(¡)
= Zx * xZ - *3,
f'(x)
ftt(¡)
'
= 9l
x =-1 I x=21 f"(x)
son los
+
yal ores
tf0 ,
=
2
i
2a'
x
-3
J
! a ( 2 ve ce sJ
.4 oa
- ---T x
=-
f"(!a)
= o' es un m áxim o ( 2 veces)
i (i- ; j
caja r ect angular de base 0ui ere const r uir una Calcular - eI volum eg drada, abier t o pot "lt iiút ' obt ener de 1200 cnt ! 'p"á¿á que caJa l a rnayor rnateri al . el ár ea to ta l ; I0N : D e la f igur a m ost r ada
a cero:
- z)(x
+ l)
.0
abier t o
crfticos.
= +
=[re s
un mínimo.
x = -l: frr(-1) =
f(-l) - Para x . 2:
-d
; es un n á x imo (1)
----1;-l umen de la caja es:
f" (2)
f(z ) ' T8 ¡ , e s Mfn . 0rparax. 0 Máx - Sl12¡ para x -1 Ifáx - 813 ' para x 2 l s . - . x Z ' '- ^ 4 I I
xo
x(x
,.4 *L&- =2x+
4 x
-^
+ 2x -,3x2 - 2
-Paraxo0 f"(0)
- Para
= Q
+ x - x2)
x(2
= ¡2
P ara:x=i a:
+ igualando
= lx
f ( x)
trgual ando a ce r o l r X= 2¡q + Za' =0
f (4J = 0,es un minirno. Por 1o tanto : mín = 16, para x = 0 máx=16,parax=2 mín= o'Parax=4 2 *T .j x4 x --T-
SO L.U C IOSNl : f(x )=* t* $
Sea:
:
un máxi¡no
,*2y tuyendo ( l ) en ( 2) :
23
*ztl-?%:b
= 3oox-+
, derlvando
dv
.i-..E
(LK
300 -3 xz , igualando a cero: 4
3 0 0 -f;*z=O De ri v a n d o
a 2v ¿* 2
J 7
cuancl o eI
- | xÉ !20
construir
x , ahora como el volumen debe ser rnfxl entonces.
t er r eno
del
sea dos vecr : s
una artes1,1"
t"u
larga
cl
aI - : z( i: l
Pieze
dos bor des i r a =1:^1os dangutarde i 'oi i i " i ál lróúi j"" r r r i ha ¿ " * " n" i l - q" é a s ec c i ón tt1l tY:t:?t cni :o ¿" i;';i;;.--ui .iq par a que :.::;:1i,1"'T"'Jili"lil; ar tes a ¡ 111u11 1i ,,1i uál clcb es er r a o;;¡ tantidad de agua? ouiere
n u e v a me n te :
lar go
nduzca 1a maYor CION:
9 cn.
.l &\,'
¿*2
, parg que ocurra e1lo x debe tonar ¡rosi tivo "
x=20 Reernplazandcr(J) en (l ) : ,y=1200-400 - l0 -+ y = l0 80 Finalmente (3) y (4) en (Z):
el vl
(3)
...,.(4)
16.-
cc
LU C I0N :
debe t ener el r ect ángulo. y 74 cm de alt o'
1, "1 7 m de ancho
kC. ¿Cuá1 es ,el Pu::--^'l:: s61ida Pesa p na 'r"éto - esfera que Puede cortarse oe circular áuot .ilindro a'esfera? CION:
*nt
V = 400 (10) = 4000 V = 4000 cm3 15.-
luz'
d ¡náxi na
{5
Se desea construir un cuadradarabierto por ciclad. Si"el costó de sos por n.. y e1 del iCuáies de6en ser las sea mÍnimo? SOLUCION: Un cubo de 5 n de lad.o. Un praCo rectangular tle un jardín ha de tener 72 d-e área. Debe ródearsé-d;-'"i-;;seo de un metro de cho en 1os tados y z m áé ;;.ñ; en las extrenida Si el área toral,áel prado y paseo ¿Cuáles son las dinenliones'del-det prado? "; ;i;;;.. SOLUCION: | 2 me t ro s
p o r 6 me t ro s
17"- Sc desea cercar-un terreno rectangular de área dadt uno de cuyos lados coinciáe con La orilla de un rfo Si no se necesita cerca del lado á"i-ii"l¿enuéstrc. 'se se que necesitará 1á ñi"ir.-c""iiaiá"á! materi¡.
circular recto " - " - c o r ¡l ao a l t u r a c o r r e s I la d o ( a l t u r a o b l i c u a ) 4 C 1 1 t : 1 3 t s una constante á;e;-"" máximo' á " á lá " ié- á 1 c o n o d e v o l u m e n SOLUCION:
d
t:r t5
coronado la forma 9".tn cilindro DeUna aceitera tiene diánetro' del igual .a.z/t de un cono con ;i;";; 1a necesita se dada' ncstrar q.r" p",i^;;-";;;¿idad der cilinaÍtura ta :i mfnirna c an'uidad a!"*"i"i'itl
liil';;
iÁüar a ra
aLtura del cono'
el punto l - ( 9:9) ." " - " 1 para:¿ ?' 1os puntos de 1a
ábol ay L=Bx - y Dada la par t*i;;-looi¿ena¿hs-áe^ cal cu1 ar bola más cercanos a P. 4)
(2, r SOLUCI.ON: y is6sceles-dado mide 20 cn La base de u n t r t i á n g u l o 1 l : ..- *it""ntiones su altura m i d e 8 r c n . ¿ u " " i é t - i i " ito con un-ángulo- arc del naYor n a r a l e [ o g r a m o r n i á ru"t" deL uiángulo? iá tag4/8, Y ';;;;"j-i;áo qn ut cn 5 110 Por ' SOLUCION:
.t{i ;i
25. - U n ¡n i n e ro d e s e a .a b ri r un túnel desde un punto A l ral r ta u n p u n to B s i tu a d o g0 ¡n ¡nás baJo que A y 240 nr l t E s te d e é 1 . D e b a i o d e l ni vel áe A -es.roca; arri br¡ d€ e s re n i v e l e s ti é rra b l andi . si er.osi ;-á" -i ;^;;;,,., ' tru c c i d n dul SO pei oi -po, ," tro l i neal Fñ ti e rra , y 7 g p e:Íls:1 o s,"e, n ro cal háfl Lse el costo del tfl , nel SO LUCI O N: I 2 960 pesos.
do paso.
)^
36 x2 .'. x
z /3
f!'(x)
r paso.
¡,,^hJ^
u u é ¡t u v LU4¡rgV
Lt
¿
-0 y x = 0 son l"as
;a i cr ) s
36 x [x - 7/3) f"(x) = + x < 0. >x>0 f"(x) = -
16. " S e g ú n u n a o rd e n a n z a , e l área del papel de un cartd¡ n o d e b e s e r ma y o r d é z ,zs;2.-i u de¡ea_que l as márge n e s s e a n d e l S c n .a rri b a y abaj o y de l d-.r-u" r" -,l o re c h a y a L a i z q u i e rá á .- aQuá' üí^" nsi ones J ua¡d¡t darán rd l a nrl xin a área in p r e sa ? SOL U C ION : 7'l
1 ,8 3 7 m por 1,225 m
U n a c o rri e n te e l é c tri c a fl uye por una bobi na d e r ü . c rl .o r y e j e rc e u n a fu e r za ¡' soti e trn puqu" n" i m á n . l i l e j e d e l i má n e s tá e n u na ffná" -i ue* pur" po. e 1 c e n , tro d e l a b o b i n a v p e rpendi cul ai de é s t a . l , e , fu e rz a v i e n e d a d a ' p ó r i " fO.^uI" ,* -al ' p1ano
' -47;\in D- X
; s i e n do x l a di stanci a
desde el c e t t tro d e l a b o b i n a h a sta el i ¡nán. D e¡nos trar que F cg - /2 r. máxi¡¡a ptrd x = 1
lg{oo l. -
Hallar los .concavidad y - J x4 - 4
sotucloN:\ pri¡nerpaio.
de hflextén
u:;tr,g:,itil:::ot,;1, de "un,ido
so 1a cur va es c6¡ r cava llacia ar r i-it a a ia i; r . ; u ier ) Y cóncava necla ; icai r i áe x= 0 ( A cn I a f igur a a derec ha de ese Punt o.
f " (x) = Cuando 0 < x < 2/3, =+' f" ( x) Cuando x > 2/3. go 1a curva es cóncava hacia a b :r j o a 1 a i .zq u ícr de . ) y cdncava hacia x = + (B en la figura ba a la"dereclra de ese Punto ta¡rto, 1os Puntos A(0 ,1 ) Y B ( Z/ 3, 11 / 27 ) scn puL Evidentemente I a cur va es cóncava de inftexión. v cí ncava A(0,1 entre ia abajo ) Y B(Z/ , 11/ 27) , a la í z ia arriba en todos sus Punto S sit uados D de derecha y la a erda de A lar
los
avi dad
punt os de inf lexión (y áe la cur va:
f(x ).J x 4 -4xJ* ¡ f" (x )
- 56 x2 - 24 x.
r paso.
s \l*' + ' ¡ -z/
=
'$c*
- ü's/3
y eI senr - ido 2) r = ( x - 4) .
de
zr;(i
Segundo paso, Cuando x = 4, tanto 1a prinera rl da como la segunda se vuel ven,. i l ¡f tas. Tercer paso. ? =+ Cuando x < 4 ! ' \ dx,) dv ()u"ndo x < 4 ,2 OX
x = 0 [es 1a tafz) f" (x) Cuando: x < 0, f"(x) x > 0,
un Punt o de inf 1e 1a tanto, e1 Puntc ( 0 , 0. ) es hacia ar r iba Par a óón. ava ; en consecuencla "i
-L
_?
Lltego, concluir que 1a tangente en (4,.11 -podenosa1 eje rerpendicular de fas x; que-a la i zqui cl d (.1,2)_ la curva es cóncava hacia'arriba, y que 11
ie recha de ( 4r 2) es un punt o \4,¿)
J.
es c ónc av a hacia de inr r eii6 n - ¡ 4
d. hu...Ji Á U'
P or
---1
--
1
zx3
L
3x2 - 36x + ?5 f (x) = 2*3 ^= 6x¿ - 6x - 36 f'(x) f,,(xj = 12x - 6 = 6(2x - 1),
e s p o s i ti v o ,
dx2 la curva es cóncava hacia arriba para todos los
puntoS
I
-2x-x2
S CI , UCi I]i :
ando :
j {=-z -2x
jl 6(2x x < 1/2,
,z
es negativo,
haciadx"
abalo para todos ros puntos.
f"(x)
f"(x)
1v
-24x2-*4 CION:
Llarnenos: f (x) ft(x)
--g:v *f
f'(x)
=t
entonces la curva es c6nca
y'x3 SOLUCIOJ:, r
a cg
abajo Para \z eso Ia cul ' V a es c6ncava hacia sitr:a'Jos Puirtos átiiu" ñ;;I;' Pata" y c6ncava i érda = 1/2 l a derecha de x
dx o
Como $
igualando ro'
= o + * =|' =f"(x)
x > 1/2,
oY r=-'z
5.-
-3x2- 36x+25
ION :
Cono dZy
y= 5
f [x) = x'^ f '(x) = 4xr ? f" ( x) = \ 2+- " ; igual¿ndo a cero obtenerlcs; = U L ¿ veccs l X = + f"(x) X < 0, : = * f"(x) x > 0, Y además corno: '. no haY Punto de inflexi6n, hacia arriba' éoh"va ) > 0 en'ronces i; ;;;;;-ái Sea:
CI0N:
Év
dxo
. l .-
n
Ll ¡n
y=x
cer o '
del
derecha
I = x'' SOLUC ION : dv = /\ ox q,2 Y
=+
f'r(x)
.
- SxZ * 2 - u* ; igualando a cero,
obtenemos:
x=
-Z
y
xoZ
= 24xz - *4
= 48x - 4xS = 48 - T2x2rigualando a cero'
2( ; f )
P a: ' a; x < - 2r ft' (x )= ' 2< x < 2 ,
ft' (x )= +
Luego a 1 a i z q u i e rd a d e 1 p u n to (-2r80) 1a cu¡vé c av a h. ac ia a b a j o y a 1 a d e re c i r a cóncava i raci ;r af = + P ar a: -2 < x < 2 , f" (x ) = x > 2 , f" (x ) q u e 1 a c u rva es c6ncar¡a l r,rr I diciendo Conc lulm os r r iba par a p u n to s a 1 a i z q u i e rda del punto (Z,tl {l c dnc av a h a c i a a b a j o p a ra p u n to a 1a derecha tl t: g
e.-y =* . + Sea: f (x) f '(x)
S O LUCI O N:
f t'(x) I
=
z 3-
\^ ,,
Para:
=x < 0 , f"(x) x > 0 , f"(x) =+ Luego para puntos a 1a iz q u i e r da dex= 0, l act¡ cóncava hacia abajo y 1a d e re c ha concava haci a a 10.-y=¡'+;
CAPITULOVII
x -1 x--)
0, entonces x = 0
Haciendo¡¡ir= r
x+ 1
bgnvActoN DE FUNcIoNES Y EXPONENCNLE 'OOAN]TMICA Derivar
c a d a un a d e l a s
Sea: ft(x)
f"(x)
a I
*L *t
- *2 * *-l = 2x - x -?,
f (x)
S.LUCI.N' , = **
1 f ¿ ' l#c* . ul1 =-.+
x < -1 x ) -l
soLUCIoN: ¡1r = -+-dx
ax¿+b
oil [*C"*t. Lo^ J
" 7;2ax
xJ
ft'(x) =, ftt(x) E+ , Luego la curva es c6ncava hacia abajo para puntot la izquierda de x=-1 y cdncava hacia arriba para tos a"la derecha de 6ste, Cuando:
t
-.#
y j l n ( a x z +b )
* 2 (x3 1 1 ) ; igualando a cero.
x = -1
fu n ci o n e s'
y =É n ( a x +b )
)1
SOLUCION:
si g u i e n te s
y = ln
(ax + b) z Y = z 1n( ax+b)
S OLU C I0N :
-1
.-i6-Ldc** b)l a
dv dx
f,7
2a
E;6-n I-¡nax S OLU C ION : 4 J -
dx
t "*tr
[-g Lox
(o")l
'J'.'¡|
n-1 _ _anx -nx axn =- n x 5.
y = 1n x3 SOLUC ION:
I - x2* x2.
---.-r x(1
y=3lnx dv3 dxx
"
f r-U L
-( '1) + x;' )
,:r-t)]
q u i : d ,r ,rinprif icando
Z + x")
r- --:--1',
y='ln/9-Zx-
A
6.
Y = 1rr3 *=[ SOLUC I ON:
SOLUCION:
(1n x)"J
4v dx
=J
l .r2 *.9ox (1nx)
_3
rn zx
X
.,
y ='ln(2x3
+4)
-3xZ
1 = 7:===f ,/g -2x' =--2
4Y dx
,/ g -zx"
lro 2 '_-
zxz)-1/2.l-4x),
SOLUCION: ét dx
= u{t-u}
=
- 3x'+ 4
6xlx
---=*.----.:4
1r
} x r - 3 x¿+ 4
dy_lose
e - -X-' x
dv
1
C¡'x
x-
F
d ,---¿1 ', dx .l **2 '
_-1/ú ^ - ,L\2 . ¡ rt *^ + x., J
o^
loe e x
a+x
=*r*#
J
2a+ 3x ------!'
2x [a+x.¡
f(x)=xlnx. SOLUCION:
:- r
z/
ax/l*i.L
d* tir
xo
1
3 rr" lr;;-) dx
fzaC a* x)'-¡¡l
drl..'
- 4 toe e. q-\1 --¿ )¡ - ln --:---: 1+xo SOLUCION:
u*/lG lay'a + x
r--1 axy'a+xL
=
9. -
r educiencio:
i
- 1)
')
SOLUCION:
-*-;I
2x
y = 1n @x {-T-T-}.)
y = rogT
(/ g - 2x,)
9 -2x-
SOLUC ION:
2x'
a;
f
-l
(x) = l n x * x d ( r n x ) ='l n 1 ,
f ( x ) - 1 n ( x * ¡ r 1 Vl
+Áo
x
lnx
+
1
272 SO LUCI O N:
I
- . , ,LxJ =;m
' a ;d- (x + t / I + x -)
''
--1
= ;;7h, ,[l
Tx +V l+x'
re nx
t¿¡)l [, . +,' * *2)-122. x
-+-
I
x + y'l tx
-
r-7' ,/ I+*'
r2
Y I +x
* 10M
14 .-
=
1 * x"
s = . Q , n- , , t \{a
+"bc^.
) r r r afa\l \f. LU U IVT I
SoLUcIoN: ds-
1
b 2
,t.; l L=
¡
e
dx
[¿/F-¡til
r a - bt
ra_E
la-t\ir-:-6ii i =-
z x e
-dr dx
)A
LV
=-.T-
' =g
f ' (x )
* tnxZ.(2x) + ¡2
-+
(-x)
2 x
r;r
YL
LUCION:
=GrEt+G-rü "z--t?
ctx
x e
=
S OL U C ION :I
(t ¡--Lt ) f:;-L^ u^
. 1 L
(a+bt)-L / 2+/r;+bl . I f "-o.l
f (* ) - x ? l n x 2
Lra
x
¿xe
LUCION:
ls . -
= n10*'
¡ t O H)
.
¡ r ln1 0
Ég
bt
-
l n 1 0 . ¿ $ t' u l
4dxI= r o ü
LU C ION :
=-=:! /
¿ (.nx) dx
nx
A ^,
UCION:
yELA
4é.=o dt
I =-1.
u
'u T e
yL
e) x
: ud'zl --
2 x(1+ tnx2¡ - 2x (1 + 2 l nx)
r
-Vt/f
-
2x Lttx2+ 2x
(/E)
bor
zazY,
e
YL
zli
rnb .fi tzv't 1nb.
osg
* r?* €t - *t
( "t)
lt t l C
= g+
J-v
s
'I
ou
v =:-u
23.-
SOLUCION:
J1'
clu
,ra ${ "")- "uf
uo
'= 4
(u -
.l)
xrf; trnx) - tnx.¡$ C*l
dx
x *.1x
(*2"*)
SOLUCION;
lnx
l-lnx
.l
gr = -=1-. r*2."*) dx dx -{ \' *2"*
dx
(ex+l)\t7 u*- {exrl ) -- w-(e
Gr;¡q-
a
r { (e x-l ) - ( exü
ex
-
--\
#(*l
I )
., I =
;[u""+. " L
-"/"]
SOLUCiON:
#
( ex+l)
(ex + l¡2
E.zex
- * 1" 1
zx*
-2x +¿ee,r-(' ^ x -x' +e
ex+l
(e x+l).#
-x)
^x - o-x -ex*"-*
S O L U C ION :
*
u$ t"-"1
*2
x
---.-.---=A
Q
x
F
*7
J #r*r-" *:+l á. u/ dx ¿ L
2 la t-
y = €- l
'
/
'
.. x - YZ- X e
-a,
l- " la a [e '+e
Z
*2
26,
-e
LUCION: J -ur
Zxe
x\=xe-x
uo
y = -r--
y = ln
=
lx ..t; á\-
t* 'l
$L= e- x *
.d xt- s
t u)
ln x
SO LUCION:
25.
K
I!.I.9N:
u = -!,u t --"t
24.
= xe
+s¡
ses:es(l
, g * = (e x + l -e x + l)
5
= -----tL
SOLUCION:
.- "l t
u-2\_ zexe
,X -X
4e
.e
(e*+ e-x)'
4r dx
. 2 # ( r n t 2 )- r n t z - ¿f tt¿ )
Js
G= €
2-4 1nt
;r-
dv
- *
su c({t¡l, reenplazairdo Y Por valente "
= xx (1nx + 1)
t'f
/7;n*
:
S UG E ST ION : S O LU CION : = ln
G;-.jl
--?-
(xz + 1)
= z rn ¡,fj-.i
,)
=1n(
xi
natural
Tomando logaritmo bros.
lny
= 1n (x"^)
lny
= ñ,7 lnx
-t
gY =
e=ln
1
dy = y (1nx + 1)
f (x) = 1n {"\;
f(x)
+
ai Av
31.
= t1¡q
i
;
tornando 1a derivada:
.dtnx
'7-
-
t/r
rI dy - ., 1r '* * r n* l - /
É
l-x
tJ? l L{x)
L'
- *7
Derivando: ", = #y' x'+l -x
f'(x)
') CN:
Tom ando logar it m o
1ns=tlntTJ
naLur al
,4.
*.* ='"e .;.,*€ t
s2 .-
y=x
{dt i =,
x
SOLUCION: Tomando logaritno bros: .
"
ln)r * lrx4 ln)t o xlnx
;
natural
derivando:
a ambos rni
a ambos miern-
t'?l a -\l1 l r r ,c*l - á\7)) L ' f
t) *i - t t l ' . ( r n f -
27tl J5.
,._x/3Tra r ' 2 x + [.
nnb =-Í-x a+DX
1dy y'dx
SO LUCIOry:Tr'rmando logaritm o natural : ln y = Inx * f in (3x + ¿1-l l n(2x + tr)
1., uy
1
9= *t
,t
dy_l=
y ' ai
,{,,
=
OX
,.t., (.1,\
I
l 3Fá -zx-iT-
F' Y
ll
t+l
s * -t
É + _-_---i. - X ¡ JX /2x+b
A
f,
t'
L*
L"
-l
bx)
;reemprazando
J
equl va]-ence:
.*-*h]
36.- v S O LUCI O N : P ro c e d e rn o s d e ma n era ma a n te ri o r,
s i¡nilar
't
dv dx
't
gyvr = Y t-: - '+ d;' x 4+x' " g= dx 37.-
y o xt(a
4+x2 r x x 4-x2 ';;r
_t1
lny=lnx"+ln(a+bx)n
---Íxo +Z
, para-x
-A
tendrenos:
*T
* x
4-x-
y '=Ex - 3); Y ', 1og(4 ION: SOLUC
x ,-
4-X
y, = ffit
. (4), parax = Z
v' = \l f
c*i =*tot
2J
_ _l x r -r_ _-____-;iJ
x
x = 2
Derivando:
/
4-x'
r Yt
+ bx)n
SOLUC ION: -
.2x=
¿" 9Y p"r" Cx
= 8 vr = -1. tó ' 16+2
que e1 pro
t u^,o-*2).-
.cnx -
x1 4*x-
mul b. arsrJ r
a
I
-
m
e1 valor n los Problenas 38 a 47 hallar 1 valor dado de x. = 4 y = tn(xz + 7); x Der ivando respecto A X: SOLUCI QN.: y' '
= l,nv -¿ * 9.n (4 **2)
mbI a+E-xJ
dx
I
[¡t
ñ
clx
:I=x
= 0'3474
lnlx+3;
x=ó
e = 0.8(0-4343)
S 0LUCr iJ l i ;
D e ri y a n d o
re s p e c tü
Y' = ln6-iF.
a x:
-, t' )
I
e
. t-
'-(x+l).u*/2
e
xl2
,x*l \- 2-
(x+t) -
.+f-f_\
_ r)
/x +3 \ Z/x"s ) valuandoParax=1 y'=
X
tn 4_IJ'+-
2(x + 3)
; par.a x = r)
. 1/2 (1-1) -+ '
+
Y'
T
y'=
1n3.
1.098ó + 0.j33S
+=
4l--
v
-J
=
qtll
uv!vv^v¡ t
vo
,rf y'
. r
y, = y' y'= y'
-/ 42.- v _ In x,\
Derivando:
LU C IO]II:
x = 1/Z
;
f r1-r^\r
x =5
=togEG;
Y' = 1.4319
" -2 x
= "-
"-1. = Q
.y, ., = -
(l-l)
los e f - fr f 21ose o
= -
Derivando re s p e c to
a x:
O^t
L- ¿ITI.) {
;
;
?. - 2(1 .5863) = -]3--
Para
x '. ,i
l nno
,2 43.-
Pa r a
?.JOg,
yt
7- f fi
yt
= -0. 1 7 3 7
. y = l u^/l
;
x =. 5, obtenernos:
S OLU C ION :
v'
-0.0483
=--- 0.8686
x =4 d e ri v a n d o r e s P e c t o a x: I
Y'=
, 1 o ' ^. 1 ñ 1 0 . ( ñ )
=
.^ E
ffiln
x v = € 'x+-l
-;
Gú
25-4x
;x=4
/
'1/2
I
yt
Z .., _ - - T 6 - Z Ln4
(25-ax)
L -\Z/
f fi
?
SOLUC ION:
.a¡-:-¡; \ .a;--d-( \ v ¿ ) - " n /
/2 57
* *" -2 1 Gz)
2x (1 -2x) i para ¡ = 1/Z robterrr,tr
e
loq
= -
x = |
SOLUCION.: Derivando como un cociente:
evaluando Para x
y' = +
,n2
ln
Y' - 57'5646
4, s e tiene:
1 0 € 2 S lnl 0
to
282
1x
46.
Y= Q
;
SOL U C ION :
165'6
Y'= P r i m e ra rn e n te to me ¡n o s l ogari trnos
l n y = x rn ($ ) ldv
v a i=
l n rl ' x -i
.3 .X Y, -- \i/
. J- - l - 0 4 ¡ .s [l - * 4 . a l ' sl z l _ 4 zs 8 J
4 t r y1 . Lfs4 T' u y'. 6==f
x=3
a ambos ni embr(r:,
HaLLar dZY
, deri vando:
c lx-
¡\ * ¡2 l3 \ * 2 -/
L..f*l
-1]
Para cacla una de las
I' =
cx'
ln
A\"
S OLU CION :
; evaluando par
r
X-
A 2,,
+=
1
---j' xu
dx' f
= é'r3 \3 /
. frn t- t] = - ' l
ax
= -'f 47.-
Y
I
=: =- - : Il dxcxx
vdx
SOLUCION:
; x=4
=
a2. _ sy
(a) "u* =^2"*
d x-
SOLUC ION: Procediendo de manera sinilar rior:
tn y =:rn -x.*|
que el problema anr e
I=xInx' SOLUCION:
),, CIX
tn ( *2*9) .- lr "( 20- 3x)
7t ctx
=-
1
x
'*2 y=e dv dx
SOLUCION:
Y,
+1
.,
A L,. s/
f t'=** *.zok
lnx
evaluando para x = 4.
,2
ov --tdx'
+=
4
2ex
z*"*2 4*2 .*2
siguient es
f uncio¡, rq
z .* 2 [r * zxzf
F=
= rn --*T-
y
S ea:
x-a
52.-y=rnffi
-*r)-1/ z. l-2x)- E --=| l*t zr^z
SOLUCION: dv c tx .
-aE-.
dv dx clv
') dx-
x+a x -
tl
E-a
17)
r'a -x a
')
(x+ a)
Ld
; d e ri vando
7:J
nuevanente:
-za (*2 -^ 2)-' (r* ) 4ax --'---a-T (x'- a -) -
x 53.-
V
2
=--
,z
x
xta
, x ^x gy_e SOL UCION: _¿e dx *2 *3
z,
-x )
_ 1nr'a- - xl
# =45 5. S
#'"*.t*:,.ft] Derivar
cada una de las
siguientes
-x
funciones: y' s
'É
s4 .
a
')
ao -x-
^,F7
)
1
- xt - ( ao- x') ln{a- 'x-
a- -x -
r
/)
?
Y'=.¿LW1
a;
-t
loge
-
2( x+a) ix''- a")
ll
=#--T-*--T-
I ^ ' - " ' *2 **I
ñr
LUCION:
Llam ando
:
d/
r
.-,
l+ *'
S OL U C ION :
Sea:
/ 2t +3
\
v6;;T
I I
I
'/
I
1la
l/zt+3-t/2 ----------, |
()\l . r-Li
i \-rl t "l
+
L
I
J
l-s:rd
/ 2t - +3
v'
f-
\
.,f t't
t-
y'.=- - -/z { -L" s
y =
Y =
ftr.*t)lzt"s )
t +3 y t = ¡pfT3f e
'R
r:
Inl /x.
SOLUCION: I =e
,G1
+a
v, - fF. { xo*a"
los
"@l
Lr,o"'j.R.,G.|
vr=4-+ ,¿x
.,f
y'-
2(x+¿¡(*"*JT ['rt- 2 a x - * t - " t ]
Y
1
' Z
/X
r
l ,o q "
Si
e
/Í--
-1 /' )
.
l nl i x
+ 1nv5f.
f*)-ttL
rl,_i
or / x
l-
; r'x
e-
'ñ
- -7|f'.-' "G
=
I n l /X
2/7.
it
+'&
t"d
10t 1og.t. SOLUCION:
Haciendo
:
y=10t
logt
1, l- - \ - 1/ 21 \- ' ' '
z
I
'¿H$
logt .
+ 10' . I loeel Itl
-i
L to '.l nl0J
¡ ambo:
t o n a r r d o tn
_/
l ny./l_/ = /x,/In /x
1ot
Y, = | -v-
(rogr) +*-j -
["to
r v *v . y ' " r ' ( i )
+1og ."6.
tot ¡tni o(togt)
\
\a /
_-,/
I
I
. v, =
t
f
tz l . /V
r
| t 7 t t * \_t I |-
, t nr |; ¿
2/x
("")'o SOLUCION:
.,r t
nxd €-' , c¡x
t'
("*) *.t*
-
# ("*) y'
Y' = *t*.
a t* .
(n)
1na
Yt = n(ae 61 .-
/^\/^ ra '
¡fT-r
l -rn/--. rl
\a/
/t
ortvadas de Funcloneq 'l TrlgonoméHcas
)* [rn" * r l
J,,
S OLUCI O N:
Si:
if
t = 2s. ,2
Derivando respecto
a s:
r
.l
LJ
Gs)
t'
= 28 (2s) +
t'
= 2s¡"21rrz + 2sl = s2s[s 1n2 +2]
=2
y - qlT=n
. (2" . ln2)
S OLUCI O N:
ax cos ax
2
# = ,u.' 'r["=-]
r* rfi \5'l SOLUCION:
= cos ax?d (ax z,J AF
lv = ¿x"l
t, * zs#(sz) *,r# "2
fu n ci o n e s:
D eri var las si g u i e n te s 2 y= senax
z s sZ SO LUCION:
F
[,* ''^'i '.É]
l¡)n
.nxnx
t rn* * ,,.] LJ
= (ae)
I
fa.e
i
y,
*""2gl Llamando:
\a '
nx
y=(u")u-*M
Si:
aAr ' x
,
)* -'(* -
3 Y B co sx'
¡ I
,""2 G 2r'l -x
# tt - x¡r/z -L/2 r| cr-*> ¡D )
SOLUCION: Esra funcidn
puede escribirse
en ll¡ f
f iI/.
y =. (cos x) 3 l.r
1
.r
= 3(co s x )' ¿ }
#
(c o s x )
y = sec 4x.
fv = cos x y n = 3 " J = 3 co s 2 x (-s e n x ¡ = -isen * 4. -
" o r2
y = sen ,rx s"nn x.
5sni
xictx
x)
sec 4x t ag4x
IIl .. T l l \l
.
^
= *[-coscbo.cotbo.#
v ^l
=- ab
t
+ senn x cos nx
-1
(be)J
-á.
f s l
nx y v = s e n n x ] (sen
;*
" l n -t
r ag4x . 7$ C a* l
P = acscb0 'C nr
r LusSen
= sec4x.
y'
Yr =4
*
d-sP!_{!l-oN.:_$;. = sen *x (t " rx )" + ai
= s en n x . n (s e n
S0LUCI0N:
r/l
cosccb0 . cct b0
') sen x
,"r,*.;$ (senx)
i Y' SOLUCI0N
senx. cosx
-
=
s.-
y = sen o.=
-soLUc.I^oN: 6.-y*3cosZx. OLUCION: ,r.-
s = tg J t SOLUCION:
¡l
¡'l
sen nx.s"r,t-l * ao, x + n senn* co¡ ,."nn'1 x(s en nx cosx + cos nx sen r
t ,urrt-t
u . ZctB *.
1la
S0LUCIONs.:| =+ (cosZt)- " ". ( -sen2t) (2)
+ l)x.
*:en(n
sen2t
= -
s'
/cosZt
y, = cos u* ¡f; {"*)
p=ltg30
Y'=acosax
SOLUCION:
T,r'1 y, - 3 L sen2x ¿f( zx) l
.) rs, = sec- 3t
s' = 3
) sec"3d
r-
/ tag"39 ¿ .d (5t)
4 y'secx -
soLUCIoN:
"""2 :/.
( t a g 3 e) - 2 / 3 . ( s e c 2 s e )( s )
p'=*
v^-
)¡r. = -6sen 2x
,d r
8 .-
s = llñll.
y'
= -+
(secx)-3/2.(secx
3a
.
2 secx tasx "-
secxy'secx
Ztagx /secx
tagx)
yt
ION: y=xcos
Y, = c os x + x ( : s e n x )
f(t-r,¡ = ¿ rg S O L UlC Q N:
-e
0c os b
,
cos x.
solucIÓu:
y'
::
SO LUCI O N:
r' =;J:-_
= - e -t (cos2t
,,,1 /x
1
t.a9 7
* 2e " (-senZtl + Zsen2t)
f ¿ x ,1..i Ls ec z W J
crx
-$(s".,u*)
I -senx, l +s e n x
=
yt
Y ,-
=
( co sx) +- r +'"""
= acot¿rx
y = Ln/co7i
Y" e
)
coszt
s enZx + zcosx.cos2x
a c os ax s enax
v'
21 .
+ bcosbx)
r' 1 = cosx * senZx(-senx) l c o s2x(2)l
Y- lns en
SO LUCI O N:
C OS D X
2x 1 x sec Z Y' =-7'cotZ
s en¿Lx
20.
bC
- seno
= -t" " .
I
= - e -t
a un coc ienre.
ú
Y= s e n 2 x
. ax
t sj i
S OLU CION : der i v a d a
ea* ( a senbx
SI ^l
sen 0 P = o-
,=
19.
I + ¡¡g29= 5s vr.-¿ = l n
S O L U C ION : Apl ic ando
18:
recordancio:
,
+
cosZt
S OLU C ION:
f ' (0 ) = ," .2 0 -l f ' (0 ) = ta g 2{ j 17. -
t s = e
= c oSx - x s e n x
y' 16 .
(4::
X.
S O L U C ION :
= ae\,{enbx
,l
ffi s en2x --=c o s zx
f]=enx
l=-
Y I +S e n X
;ffi( - se n zx) ( ? ) ¿
-E as ¿x
li:'seffi r-
V i + senx
cosx 2(1- s enx)
t
sen bx.
cosx
l -senx+1 +senx /l -t.n¿*
+' r/re*x 1-senx
1
J
I I I
)I
l
294 ¿¿- f (0)=sen(0+a)cos(0-a) S O LU CIO N : . [-sen(0
-a)]
f ' (i l )
= c o s (0 -a )c o s (0 + a)+ sen(g* u)
f '(o)
= c o s (0 + a ) . c o s (0 -a) -sen (0+ a)sen (0 -a)
f '(0)
= c o s (0 + a + g -a )
f '(0)
= cos 20
'llli't
- a'
-.x y = (coSXJ
S OLU C i ON: Pr ocecienbs cle m aner a Plo ant cr r or : l nv
= x
I
rlr¡
+/. f #
= cos (20 )
*'-
.$
sinlilar
que el
e j ct t t '
I ncosx
= tn co sx"*t;. X
( - se n x)
= (cosx)x. [tn.or*
- xtagxl
1
= sen-(n-x)
25-i(x)
.SOr,L;CIOÑ::
2?-
.cos (¡-x)
f '(x)
2 s e n(n-x)
f '(x)
-2 s en(n-.x)cos
p = 1/3 tgSO-tg0+0
(n-x)
.,(-1 )
lar la segunda der ivada funciones: sen kx.
dy = lccoskx c.x
SOLUCION:
i'1
SOLUCION: Derivando resPecto a 0' : p'
=
]
'^gzo' '"t2u
-'""28t1
p'= sec2e (tag2o -1 )*1
d'2y = -kzsenkx dx2 p = 1/4cos20 I ON: SOLUC
-cos20 dgo
L¡ =
s enx
ION: SOLUC
#
senze
.2
P' = tag49
¿8- y=x
# = -f
(1+tag2g ) (atg2o - 1 ) *l =tog40 -1*'t
p'=
de cada una de 1 as s i-guien
Tomando logaritrnos:
tgv.
= ," .2u 4t clV
JOLUCION:
1ny = senx lr¡x
-
ldvr+ ydx
, cosx -Inx
senx + -:i-
d2, = Zsecv. [sucv. tagv] dvZ zsec2v. tagv
dy dx
- *"u*
. (cbsx lnx + #)
= x cosx
S O L Uj I O ¡ ¡ :4 L = dx
cosx + x(-serx)
= cosx - xsenx
-tL ¿*Z
Z
-senx-xc05x-senx
y = e¿rx sen bx
soLUCTOS : d v
¡cosx - senx = x2
clx
,tzy _ -xsenx-cosx
F
C OS X X
s enx 7
x"cosx_Zxsen_x.-
xo
SOLIJCIONt_$+ = u"u* senbx * L,eax cosbx
,?.,, 9-L-=
?
ar
a " e - .' ' s e l l b x uabe
"u*
bx+ab eax ccr sbx - b
[ozsenbx - b2senbx
2abcosbxl
"t* [i uz - u2) Iar
{zrurr*- 2xcos x-x z s e n x ¡
#
"^
senbx + ZabcosbxJ
ca
y = cos (x-y) J ) . - s = e- c o s t.
f
9 9 u s9 '
SOLUCION: Derivando respecto = ut.ort
*
o
+ et(-sent)
=b dt'
*
= etcost
- et sent
+ = etcost-et ,ant-"t senü -e tcost
= -sen(x-v)+sen(x-Y)'#
*
[t -sen(x-y)J*
= -sen(x-Y)
¡., (tx
= -z ets ent
eY=sen(x+y) SOLUCION:
3 6 .-
= -sen(x-y).[t-*i ]
a t:
?
d t'
,- u-tsenzt
goj,ucroN, . _"-r se nZt + #
2e uX="r , . 1, *
-1
dx2
=i
axqo
u
*4
¿ = _-x senx-xcosx-xcosx+Zsenx
dx2
2t-4e-tsenZ r
= -e t(r.rtZt+3sen2t)
34 ._ v _ senx
9\
- ze-t coszt-2e-ttou
"-trerr2t
dr -2senx - xcosx
dL
2tr7 =
,l
ze- tcosJt
'
" Y.# =
Derivando:
i l-
.l .t'I
cos(x*y).Lt.i i j
(x*r).tF cos(x*y)*cos "t.-$| -
siguientes:
f
1
'¡r
dr¡
,=sená* f.or f
= c o s (x + Y )
(**Y U [et -cos #
c o s (x + y ) (x * y ) " r_ c o s
dI = dx
Y' = 1.3818
*
x+y
1 x +y
x = 0.5
y = ln c o s x ;
r. . ctvl -seny . Trdv = I x+y Ll ?;j
-seny.-$L , c lx
,0tl
par a x =z
r = sen 1 + cosl = 0'8415 + 0'5405
4 0 .- cosy = In(x + y¡ sol'ucroN
;
SOLUCION: . (-senx) = -t38Xr
y,
=-k
y'
- -tag (0.5)=-0.5463
evaluando
en x = C.5
. -E lL dX
Y' = -0,5463
[-r"r,,+] *= I
T;7
dv
o!!!ioI,
(x*y) seny+.1
I + (x+ y) seny
xxa*
_ xo-'/- rl Z
(x*y) dy=
-
dx
f
X - cosx; SOLLTÜI O,\: yt
e 1 v a lo r a " S
x = l
1 + s e rl x ,
y,
= |
Y'
= 1'8415
SOLUCION:
para x=-0.5
X- X
+ senl
n o r, ,
y'
= -3.6392
Y = senx cos2x; SoLUCilN: eval uando
= i
para
x-
cosx. cos Zx + seI I x ( - senZx)
Y' rr I l
+ 0.9415
cosx'. cosZx- 2senx. senZx, cosl . cos2- '2seni . senZ
..
I
4 2 .- y=xsenf;x=Z
( x- 1 ) , evaluando
q
D e ri v a n d o : -
e 4 =_
-n = -0.9098 = Y' t:2f- (-1's) -[:TT-
-(.-)')r-"y
E,n 1os problernas 4'l a 50 ,ital lar valor de x (en radi.anes) +t
-
t = 1nvffr;
I
-i . / ))l
x = n/4
( , l) oar a
x = I
rtl /Eagx
S OLUCI O N: y'
( t a g x )- 1 / 2 . fr " . 2 * ll
ll
!e!ll!.IeN.: Y'
LO
-xl1 o o.orr* - u"r,s*], sustituY\ [: " e-1l10 [so.or3-sen3]
yt
y'
Z
= jit*
I
, evaluando en * =f
o e- l / 1
47.-
y = e
1
-
x
SOLUCION: y'
I
rn. une8- 0.1411]
Derlvacdn FunclonesTrtgonomérhas lnversas
x = 2.
senx;
x=t
[-?7.0a12
s".2(n/4\ . Y'= iüsü7df = 1 ,, 1 l'l
senSx * 3oe-xirl.cosSx
= - e- xl, l0
= eXXSe n x+ e cosx, )c
eval uando
pá /
I
t
| sen2+cos2 | Y , = e- LJ = 5.6439 4S.
)¡ = 10e-x
ivar
x=l *x -x = - 10 e cosTrx - 1 0ne
SOLUCION:
yt
v-
--i-
S 0 L U C ION r
senÍx,para
*
z" l
-
r 2l Lv =- \J
'lcosn+nsenrl I
Zax ----a--T ' 1 +a - x
X ?
Y = 5
( ¿lX
I + ( a x')
x
y' = 3.ó788 49.-
d
dx
.1r-
-l0e
. *l
2
y =a r ctg a x
CO STX;
fu n ci o n e s:
1 a s s i g u i .e n te s
ser,fr
g
SOLUCI0N: y'
x=
= 5 exl 2
Z Trx * 5n .^x/ Z sen?' a
y = arc
cos
llr
.3 scn ( 3 x- 4 x")
j-
S O L U C ION : ,l ,, üX
r : * - ¿ x 3)
sLr=:*:+
/ l- ( sx- 4x') " f-
yt =* yt
=
*
u*/r.[r"n
rX
z
". [r"nnnn.orn]
z-l
[v=3x-4*-J ?
3- 1 2x"
T:;J;;;{.;T
3
/---;
/1 - x'
Y ' - -21.3495 x 50.-
yn
to!4ens x ;
x =1
.#
tl
*z
- a r c .tS +
y = arc sec 4_:_1 '¿ x--1
,L .
u /x + l\ --.\- ¡ -_-/
o'
S O L U C IO N :
¡L
úti x-t
dr
.,"-;,;-,. -7x-.. i
Der ivat r <J
S OLU C JQj! :
--.-) - I (. x'I '
["*]
( * 2 - r I ¿ { -( *1 *lU¡ _
Y
-F =-;q
-
-,-'_¡x "- 1 4.
|
-
z
[xz-t)z
= arc
sec; Der ivando
S 0LU C ION:
Ydx =" - F!-\ r - #,/ (-:-) " - 1 1
Lu)-á-
.
.++-
respecto
D e ri v a n d o
,t.,
1
OX
t
a
d ,x. rlx \a/
r r-e .J
/
a-
-l-
1,.
(-;,)
-L
l
x
1/
S 0L U C IO fi :
\v
'1-
.X,
x'-1
^*^ ^^^ x
drL
a x:
r espect o
-"
1
-v
_+h -x'
y = arc csc 2x' SOLIICION:
e-
y = a rc 'a
FI
1 xl4x" -1
s e c -L
S O L U C IO N :
y = arc senÁ-
22
x -a
*+)
1
dv iax
i 2'
.¿f;tz*1",
tly _ --u ^
,x,
FI
t I
6rl a' a
SOLUCION:
*r=k'f
cirr
--+ ffi
22 x-a
--
fz
ila
o = ar c
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a+r , f = a rc t g - f - 6
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(l - ?t)z-' 2* (1- a r ) 7a*r)z
[( l - u t) - ( a r r ) ( - t) .i-;__ L (t -arj " ? I
I
1 -ut*^2*ur
I
I
L
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I
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x y ' = arc serlx r "-7--,
1-*42 - +az) (r2+t ) t1
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¡ 1 +. r'
.r
20.-
x=rarc
112 1 arc sen -; + --: ll-t/q " 1 .101
.r I I
v e rs J -/Z rv r
I
T
., r-------T
- v
= xar c
Y
SOLUCION:
evaluanclo paril x=l/¿'
-1/2
cosx;
S OLU CI O N : d oy.
,v,
,l
r-\¡ /:-------r { ¿ry_y"
Y'
= ar cosx
-
ffi,paraxé-1/?. -.1/ Z
y' = ar c or C f) -
r-- --;. /'t - r ) t¿ y¡ \
Zr
Yt = 2,671 q.a
/--:T /2ry
2 1 .-
-
yu
7 y = 1/3 x" arc tgx + 1/6 1n(x'+1)-1/6 S OLUCION:
*Ztt.
tagx +,- * 1 ; : + . = 2 ! 3 (t + x ¿ ) 3 (x 2 + 1¡
yt=
3
22.-
y=xarcsenx;
x = 1/2
x = 1.
Y
- arc tagx
t+x
;
evaluando
enx=1
z t ag[ 1) .
l / Z- ar c
y, --T-
1
- T
T
- - Ta
Y' = -0.28S
= x zarc tagx **3**-*3-* 3 (1+x2; a x-arc tagx En los problemas 22 a 27, halTar valor dado de x.
d
$0LUCION: 'x ------T-
a
#=
f
y =---,É;
y = ñ el valor
a e $ n "r "
x = 4.
urc ctgf;
S OLUQ I O N:
Y'
f=
ei) *1 -j.tz' 2E r"qj .'¡ ,
SustituYendo x = 4
' a r c co t+
lllltl
310
r*,.+
fr
t+
arc cot ri )
^/\t )uLU
-0.054
L
t-¿: t¿,
4¡v
-
X
gll¿¿j!.
D eri vando:
=
y
¿Q"-
.L
- arc secZx. (
yr '
1
) zr'x
para
x= 1
x ./
27.-
t
y' -
Y' = 0'053 ., I = xo arc csc 'f; SOLUCION:
28. -
y=x
Sea:
csscñ]-
["rc
ll -y'xy'x-1
?,R:T
4il)
Zr'x
arc ctg
, evaluando para x SOLUCION: Sea: -l
SOLUCION: Haciendo: y = arc senfi
yl
,ffi a
'1 É 2lx-x"
.c4l 2y'x
-+)(2)-arc " l= 1
v' yr
arc cot y=-.;.-'
2x
co t2 x
funciones:
arc sen Á-
'
Zx
J(
y'
cada una de 1as siguientes
Derivando:
'xf ar c c os ?+ x
XX y , = a r c co sa "' r tr =
yt = 4 arc cose .fT-t = Y' = 2.142 Derivar
--n-xo- 4
x = 2
I
= zx.
- -
L
y' = z x .l -"r. .or".ñl -* 2 LJ y,
z
arc sec(2)
J
¿f5
X,
---
x arc cos T d/\Y r r ar l \N t. ) LILU u_VI!.
'l
¿-
J.' a
Á
yt=
vl
1 ,2
x = 1.
SOLUCION: {x
. )J
-
)-
,R
-2
I "t
arc sec 2x
Z Y = arc tag =-
Llamando
rr^fnxr.
yr -
-2x- (1+4x")arc
cotZI.
xz ( *q *z) 2 = - ----'-*-l-: x(l+4x-)
arc vers (1 -x) SOLUCIONARIO:
arc cot2{ ---Tx I
I
Haciendo:
l I
arc vers (1 -x)
:-lr2
-l
y' =
¡
v'
d
(arc sen2x )
A!
2rlar c- sen2x f.' I
33. -
ar c
?
\
2/ ar cs enZx
sec ñ
S O LU C I0 N :
y = a rc
Sea:
sec/F
vr f
t
#
r'a f
y,= (# ^k
c S eÍl l X
| r<
/
l / | -4X
^
arc ccrs /i
C ñt
Y,
_____
¡l
l faT n\l
arc cos /7
iol
'
/T
.7---
Z /x t -x ¿
34 . -
e
x
a rc
cos
X.
S O LU C IO N :
Y= t-
,,
I
I
ar c
tg
e
Y
=
.or*
"X'. [u..
1
i
vt
- --
Y,
=-+[-l* r t*
'
-
Si:
y = ln
a rc
tag x
fr - r
f-
I
a rc ta g x t =3 l +x'
r6tc r"rz x SOLUCION:
.arc
cos x
z*/Tll
l,ñ4
-
zx{l
ll
cosÁ
'ar c
. ar c
-tl c os/x
X"
S O LU CION ;
3ó.-
)-(-1-) 2x X
, arc cosx
x e . arc cosx
., I
ln
2x
J
Hac ie n d o :
I
K.tl-l( I-x
. l-+1 , Ll +x ' I
o rd e n a n d o :
f---rl " Larcat gxJ I
Si.
t-+ y = y'arE sen2x
PLEMENTARI !i','fAS COr\f A conti nuación bl ,enas de las ¡tudi ante.
pl'oalgunos r esolver enosr solam ent e el r est o 135 a1 137, dejando páginas
curv&s, ejar las siguientes púnto en qué la curva corta
I hallar la pendi"ente en a los ejes coordenados.
y = Inx. I 0N i S0LUC trazaÍnos el gráfico -A continuaci6n ', -Cal cul"ando ta pendiente:
de la
funci6n-
entonces:
I'
De la
q
qu e s i
y = l /Z
D e ri v a n d o
a \c o
* .u )
, entonces
a x:
re s p e c to X¡
X
r
-a I
= J .l !.u -'l v ' =ñ-F"
;-e J
[- x {-l I ea - "t JI
I = - - VL 2a-
Ix t' " = ) I l " " u 2a" L"
=-l v" 'za JL
l -x
l;r.
.
' - (I;Tff7
_^l 1
+a-
al
tasó
I
J
-* l
FJ,
.fr
--r\
c o n o :r = 7 f,( "8 " u ^ )
m1 -m2 l+ ¡n1
i - zx+ Z x+ Z 7 x- zxL +7
- ¿xr
de c ada uno de los
y - 1n(x+1), Y = 1n(7'zx)SOLUCION.:Igualando ambas funciones
y = cosxr SOLUCION:
da''las:
ln(x+1 ) = ln (7 -2x) x+l = 7 -Zx x'= 2
sl
coSX
=7 v g = 127"s2r30"
y = sg n2x H a11a ndo los
Puntos de intersección;
= s en 2x
cosx = cos ...(l
- ? ,x- Z
para el Punto (2,1n3)
= ------5L¡ f) 5x-l x
9 tAgQ = -T¡.:T;E
^2
0 = arc atg +)
flallar el ángulo de intersecci6n guientes pares de curvas:
..."-.(4)
v U). en ld. sisui91119 l:ll::a'para que Iorman las curvas dadas:
&2 _ , =
,s^E 6rYo = # .
tendremos:
5.-
( 3)
-r t
+ - rnz T +
Reümplazando (3) ángütó iiálrát "r \ \ tag \ \ '
Xr
/X
T-
ft
x
Y = ln(7-2x)
/ ii"
SO LUCIO N:
der ivando:
ecuacidn:
I
D eno s t r ar
""( z)
l-"
= m-= I
dy
De Ia otra nt = *=
= ln3
y = ln( x+1) ,
ecuaci ón:
(1 ,0)
Y
f (zn-1 . )n- ,* 1 I |
z ""
/,^
las
^z
de
cada
uno
de
1as
(.¡rr \ ,:
= 2cos 2x l ' 11n. en
los otrrr
en:
\lia"
€ 1
lallar je las
ta e (-3 )
+
0 = -7.1"33'54" m ín i mo s y de ínfl exi ón
los punt o s m á x i m o s , c u fv a s ' s iguient es
v =|ff
1?.-
S O LUCIO N: derivado: H a Il -a n tl o s u o ri n era d y = l n x -1 -ff ----l-; iguaLancio a cero In x
Luego
i
x
y-
=
=S
cl e
al
4p * - -g[0*sff-Lr"i] sx ( n ls e n i {- +co
ej
An a liza n do par ael
valorcrfticox=e
^ 'andn'
x<
e,
Y>
e^
ft(x) f tfx)
-
5 r :rn X
il-*:-"'íl l l :'
punto crftico h
a=+
co sx
( :rco : 4- I gllll p = Jo:g1'-I-:-:ro ; x J-( 0 ) - :¡\v 'i Jx (nscn-r + coSXJ
-
; igualando
a cer o:
J
iJ
r* ---. ' - ' * -n-l .I.
-¡' lnx= I
"2. ) " T
írng forma con el Plano un
incoSX
l ru < -1
Z
:l e l coef icien¡ e si e n d o l ttcr za , r i t¡d r i c Ia nini, na o a- r a^ i-t.t d^6-, r r " - es fu e r za l a q r r " ¡t ;";r tr u '' de rozamlento' = m' tgx cuando a x : .^r rr.rrtNI ' i l e r i v r .n d o r e sp e cto )9!l¿:--L:¿r-
-3
'2 0 = arc
te
5 "t) - { '.t- -- n*.**ny-+
t. B- : - -
i )urrto cl e i nf 1r: x iór r en
o3;' \H:;:?l?3^::{" I:;??,*:, r*i-:l:i:l"ir,i:l:' "
-;-l
t ag$
(e' e)
^ac]
*1 = -1 /2 tz=l *1 -mz tag,¡ = ' 1nr1 ^z
1:
Z
2 _e 2
l
solo para n = 1, d"jando
A nal. iz ar etn 0 s e1 lec t or .
lus t i t uy en d o
l
a cero:
igualando
o i ---4-----+; xlr'"x dxZ xlrlJ 'r
= - 5er lx
¡
n -
.,27i
ut t nt í nr m 'o' - ¡ 'uI I cr oll t ieir e 1a 5 e g u l l cle inf l exión "hallenos
e
pendi. ent es
m1
P ar a
\
f t ¿n- llr i y = cos\-4//
Hallando
e1 punt o
l )ara hal l ar tl a deri vada: p & ra ¡=1 ,2 13,
c nt onc eS :
x = e I¿
Luegorcual l do
lZn- l),r =*.-/,
'
ruq'd.
"4
O sobre un Plano dispara-d::tlcf con Si un lrrc,vf i: r:il se en O un ángulo constaate in.clínaclo qric 'u"^* a c l. hor i zon t'ai " 1a f 6rmul ' R=-
' 2v'cos0sent L gC O S
ci
' 1-^
l
y. la nor11l.:I^1"t Hallar las ecuacronesde 1a tangente una de ge 1a ,"otá"iáni; t-ll ::9?"tq;t ' á cada gitudes i n d i ca d o " p ü n to eñ el cu r va s
sigurentes *
y =
= ,1,
zt+1 i
SOLUCI0N'
= 1.
t
- d x- =
2
¿1 '1 }¿=
Entonces ? =Tt'
dy d'x
la
Pe n d i e n te
; par a ! = 1,
*+
ox
se r á :
* =f;.=t
t endr em '
"' ( 1 )
uniopunt o- cualquier a'nosot r os es r ar C omo esta pendient-eár bit Y1) t 'a1 com o t x. 1 el egi -mo s . t n', 'pr r r r ao ' 'l = t par a cál cu1o de1 punt o ( xl , Y1) , xl ,
= t¿ = ( 1) ¿= I
J ( *, , y') =( t , i) . . . . ( z) J
+f - 5 Y l = Zt +l= 2 ( 1) E cuaci6n de la t ar gent e: = m ( x- x1)
y-yl y-3
= 1 ( x- l )
y - x =7
+
. sust it uyendo
( 1) v ( 2) :
ic uac r ór ¡
u e ra
n o rm a l :
y' _y , = _+¡ u (x _xt ' ,J '|
1
anterio r
y-3:-(x-1)
l l\ -/ -¿-1 ,
I
de 1a ncr inal:
C e 1a ecuación
áIcul o
reemplazando (1) y (Z) en Ia relación
: i2 I
f:-._:_-7:1.
+
-x+2=0
-y 1=- * + 3 =
f*-x1 ) ,
reetnpl azando (1 ) Y
'l (x + 1) x + y +'4 = 01
+X +4 =A
La s ub- t ang e n te
es:
Ir
1 li- .-r' La s r r bno r ¡ n a l
j
X = t-,
y = 3 t;
S 0LUCI O N :
= 3
->
f subnorrnal = 3 |
r#-1
dv
r
-
=
L
3) (1) ,, =-Z-' t'
1f '- t
SOLUCION:
r n =- fr =-+ 3t'
# =r '
, evaluando para t = -1
=* F = 1
. . ."( i)
Evaluando para el punto
*1 = t 3 =(-1 )3 = -t = 5t = 3(-1) )r1 Cálculo
(xl
, 11 ) :
1 ,*.,,y,) =( _1,_3) ....( ?
l' l = -3 )
de la ecuaci6n de'la
tangente
Y-Yt'm(x-*t) De (1) y (2):
f
Y (2):
de (1)
n,
La pe n d iente.m es:
^
S-N:
á1culo de 1a subnornal
- t\
; ?r=
-3 I
iS-t=
a
I
D e ri v a n d o :
dx -.2 a l= rc
de (1) Y (.2):
-N=y
= -1
t
subtlrttgente S-T:
la
-J=
S-T =
es :
v .n = 3 1 1 )
2.
subtangente = 3
=3
'l
de
álcu1o
+ J'=
1(x+1)
t = ¿.
Derivando resPecto dyz =
-ra ¿t ue
--=-
*=T
/
?
"m" en el punto
(x:
, Y 1')
parat=2
3tz
m . -n-1 x1 =5t
tt+tt,
t-
Cálculo de la pendiente 2
'7
,, él
(1)
- 5( 2 )= $
)¡1=1 - $ = t
i
J
(xl
, Y1)=(6,1)
--..-..(2)
Llá1 c u l o d e 1 a e c u a c i 6 n
tr
de tangente:
I-Y,= n (x -x 1 )
l= " t = e o i ,*,, = 3 e - t- ' 3 e - o =3 J I
De (r) y (2):
y-t--|c*-ut
*
ll
F-ot-rz=E
1
Y-Y1=-;
(x-x1)
, d e (r) y (2 ):
Cálc u 1 o
+
d e 1 a s u b ta n g e n te
óx-y-35=0 (T.
Yt 1 =-i= s.r= # -6 -?
'
¡
Cálculo
\ -1 1
/1 ) =tl 'r J
1t
"
lhl ' " ' \u r
de 1a t angeht e:
1a ecuación ( a) sust it uYendo
Y ( b) :
- 1)
ll--s ^ + y - 6 - o l
+
-3X-6=0
-
ecuación
de la
- # C* - *l)
= Y ' Yl
y-'l=6 (x-6) y - l= O x - J 0
- n ( -x- xn)
- J = -3(x
de 1a ecuación de Ia normal ;
.-
a cont inuación
Il ernos
6y * x - 12 = 0 Cálculo
\ ó.,
-3
nor nal:
de la
, de
( .a) Y ( b) :
-fc.-1)
v
-t
3 y -x-$= 0
ST es:
L a sub-tangent e qr
'i = ñ
x- 3Y+8=0
=- : : .\
-1
Cá1cu1o de 1a sub-normal SN:
sN = my, = C -|l frl
lsN=-61 4.-
x--etry= 3"-t; t=o SO LUCIOI{: Derivando respecto a t:
*f="t Cálculo r1o t*l
; * =-re-t de la pendiente ,'n,,, para el punto arbit r,t Y1): * ' -3e-t = :- _"^-2t m , evaluando para t - -3e t e
La ,l ,U -.ro t or l
SN es: = ( - 3) ( 3)
S N = nl/ j 1----:1
ISN = -el
: Como 1os de¡nás ejercici-o¡ 'ti"-*"átt" ahora 1o har",nof
ro 3 " ii3 " á it l i t ^
tü-ltir"
x = cos20, y = sen0; SOLUCI0N:
#
=
".,
ento¡lces sqn similares' * edeta.ll \)::",?::.tot d e t a l l a d a ' nuv
fottt
0 = 1/6r
-2sen1¡ ;
= cos0
#
,
par a
g-
lt
t I
* =__,
| =---
*1 = cos2g)
= (, , ' r l)
j(xl Y1= seng Ecuaci6n de la
(x-1)
Zy-Z = '-x
l. Z)
x+2y'-3:t)
+ ¡+
cuación de 1a normal:
tangente:
Y1 =*(x-xr]
Y-yl=m(x-*l)
Y - + = - + r *-*) f 4) , . , . Ecuaci6n
1
y - 1 = 2(x - 1)
L J
Y - 2x = -1
d e 1 a n o rma l :
Yt ^- | =-=--=--í-¡
Jr
Y- +=':* - h
2x-y-1=0
ST es:
sub-tangente
y-yr=-ft***rl
+
|I
=
-o
I
¡lt
-;-/
2y-4x+l=0
ST=- 2 La s u b -ta n g e n te es: y .t S T = -_ -J _ = -l Iil
subnormal SN ser á:
.
ñ\, SN= "'t 1
11 z) \ 'J
l -' 1l l )
-
\
La sub-normal SN es:
qN
'
S N= r n y ,= - + 3x = t",
2y
*2.
-
2 1
--
2
+- )
et
.a
ó.-
X = t',
y = 2 - t SOLUC I ON: dx
t = t. ár¡
SOLUCION:
Derivando respecto
-1
A+
dy UL -+-
')
¡v
m=-+= -+
?
ntonces:
dvtl m = -Ñ=-:T= E
*1 = 1'l
I (x ' = Yl I J
Ecuación de 1a tangente:
a
7#
11) '
t
;
Para
t-)
= 71
(1 , 1) t3 x1 =T
Y -Y .t =n(x-x 1 ) t2 Y1=T=
=-
ó1
,l
I
I I
2J
( x'
y1 ) = ( 1 , 2 )
:i2$
Ec uac i6n
de 1 a
t.a n g e n te :
1 "'3
Y -y t= n (x -* l )
.2 *1 = bt - t
r - 2= + ( ,.- + +
o =*- *
2y
Ec uac ión
oe .1¿¡"nor m al v'
= Yl = 2t" + 3 Ecuac ión de la tangente: = n(x Y - Yl
x -z y * f= o
.
yt =-*
F--6 v .;l i ' l -_
:
0l
3y
x-3Y+9=0
9 =x+
a n or m al:
Ecuación de
.' r "
. Zx+y -
-3(x
Ir
ST e s : ?
ST = -__r =i_
ST
La sub-tangente v. 'sr' _ 1l u¡ =
= 4
=-i-
- 0) -,
3xry-3=0
95.
ST=9
= Q-+
1
n_
- *r )
-5x
Y-3=
6x+3y-22=0 L a s ub- t angent e
t'
0)
1-
Y1 = -;tx
- t = -zx + {-
x. )
I
f* - *l)
-?=-z(x-il
= (ü , 3) I tx r , y1)
3
2
La subnormai SN es: La sub -normal
SN es : '| *yi = (;)(2)
SN =
1
s N = my 1 = ( 3 ) ( T ) = I = 1 - x =E
8.
,
xo6t-t';
SOLUCION:
y = 2t + 3; l = 0
dx = 6-2t dt mE-
;
) 6-Zt
;
parat=
;
ja= dt
=l -g¿ dt
?
= t"+3t ; y
S OLU C ION : Jv
Derivando:
2
; t:1 Derivando resPecto dy dt
?t
3t2+ J m = ---zt-
0, obtenemos :
; =J
^ = Jit
i
= Stz+ 3 para
t=1
SN=1
;i2u
y+
*¡ = t2= r
I l-(*.
,11 ) = (1 , 4)
= - T 1 t, _. \¡ .^ ) - vi
d e 1 a ta n g e n te : y 1 = m (x
Y
E c uac ión
1
- *l)
y - 4 = 3(x y3x-1=0
- t)
Y+
z=i $+
2y+
=x+i
Lu subtangerl te
+
v
'
+
!,
=
*r I
1\
->
ST es:
3x-y+1=0
d e 1 a n o rma l : La sub:nor¡nal
Y - yt=-*(*-*r) - Q = -* ,*
y
t"''
Bcuaci 6¡r de i a nor nal:
y 1 = t3 * 3 t = 4 .J E c uac ión
i rY
? x+4=0
3¡ ' + ¡
-
s n = n r / = ( - z) ' ( - z) = 4 1 /4 r x = t s g , y = f t e o; i t-= lo lu c r o N, * F = ,".2 0
1)
-
13 = Q
La s ub- t a n g e n te
ST es: *t,
V.
rr 3 m SN e s La s ubnor ma l S N = ln v n = 1 2
SN / es :
?,^ _cose;i0=-cor20
:'
SCC
;
-cosec-3
Par a0={
U
'l
1
x = ; c
i
S O LUCI O N :
y = 2t
;
t
*1 = tago = tag
,l ,,
1
dx
-1
= -I 4 =/ )+ UL
if) =l (xl
r')
m=-Zt', n=
e v a l u a ndo
-Z
para t - -1
xl = += -1 I (* .,, r¡) - ( - l , - z ) ' I = 2t
Y1
- -2 I
Ecua cid n de la tangente:' Y- Yt= m(x-"t) y + 2 - -2(x + 1)
v '1
= cotO
cot t A- J=l
Ecuación de 1a tangente: Y-'Yl=m(x-*l) y -'t = -1 (x - 1) y-1=-x+1 Ecuación de la normal: 1. *l) Y i Yl = - f ( x -
-'
, Y1)=(1'1)
-l
:
y - 1 = 1(x
- J)
y-l=x
l+
La sub-tangente
12, :
x = - J e -t
SN = n y ,
= -l
, y * ,Z e t
; t
+
S cosa
' S OLU C l JN :
ETJ
,l v
,1.¡
-f ; * =
¿.e
;É=
')+
1a" ) m =*=_te", 3e"
P ara
t=0
m=+ J
I
Ld
(x l
, /1 )
= (-3
,
n g e n te :
Y - Yt = ¡n(x -
*r l
y - z =!{x "
3)
; i;-[
n ,=- i!9 *5 - --f,../' J iscna rn = -lt s/
y1 =
a ü:
'
pata *=t
1
L
s.ñ I 5seno='Z-
t*t '
Yi= ( +,t+
) E,cuaci6n de 1a tangente: = m(x - *1) Y ' Y1
2x-3y+12=0
6y-15ñ
= -' lO x
s/1,
+ 15ñ
+
1 0x+ól.--30/i=0
il¡v
n o rma l
- rsO = o
Ecuacidn de la normal: '| = -'r (x - x't) Y - Y't
,l
Y - Y t = --*- (* - *l) 1 y - z =-i (x + J)
--5x-9
2)
r esPect o
= Scos'¡
'1"
-3 s e ¡io
,../l s y _ T = - t¡ x--7-)
3y-6=2x+6
2y-4
I ler ivando
* 1 = 3 c o s o= tu ' 2
)'1 =Zet=2
= T4
= 5sencr ; cr = 1/ 4w
/
I
de la
Y
1-
*l=-3e-t=-3
Ecuación de la
SN e s :
. 2. . ^. S N = t ny , = t ? ( r )
SN es:
s o L UC Io N , = 3 e -t *+
E , c uac i6 n
T La sub - trorma]
-t
CS:
Y1 z S'l' =;-- =-T =
L-:-¿-:g
ST es;
Yr r = )l =;- =;a La s ub-n o rma l
La sub - 1.angent e S'f
-|
3x+2y+5=0
s ,-- 3Q.., y - -fsA = -l t* 1-T-t ¡c 6
sv- T = 3 x-aT
t g/ l
----_--_-.--_* l ¡ * - Sv + a{T = 0l
f..a s rrb -ta n g e n te
es;
or,n
tr = *Y1' = - f= -#s/T -3
Y- 1
I
¡
s,ri= nrr,= rl t#l I y cos0; -
x = -senZf, 0 sOI,UCION\ ¿* - ZcosZo \ \ "6-=
t1
= é#
=
¿
=
eL
YJ
1/3r ,lu ; á=
La
{J
--T
-=
f-
') SN e s:
s u b - no r m a l
-seno
r ;1
/Y J \ / I \ SN = mlr = t-T)\Z)
-^
{)
I
; = -# #
e valuandopar a o =+
,
t=3
x = 1n(t-2),3Y ' /J
soLUCIoN: = 1|i
L
21.--i)-6 z --
=4 *1 = senzo
n I ='- - ;
I
v l = c o s s= +
(x'
y r) = €
,t,
m
)
Y - Yt = m(x - *l)
v - +1= t(,Ex- - 5 ;
Ecuaci6n de la normal: .l =-;-(*
- Yt
- *l)
UL
para
t=3
t- l
I =-T
I
t
E cuaci 6 n
;
J
de I a
= lnl
= 0'\
I
I L
'5
Y 1 =t=f=
r
v-+"+*-+
=-
. 1. ,
1 '-a""-=
L
L-
x, I = rn (t-2)
Ecuacidn de 1a tangente
J
I
1
\_
m=-
J
sutt - t ang ent e ST
L;i sub - rrf rna-l SN es :
t{"
lL-:--t ? x + v. - z *I
.l
/J
-
I
l--l | )./\
z
l
I
1
(xl
, Y1)
= (o , ij
I
t angent e:
Y -Y1=¡ c( x- *l)
+- - v -f,= o
v
t = + (x
Ecuación de la
lrz/t, ,Y-t=-ÉC*-5)
v.v-
vt1
= -L
- o)
nor r nal: m
'l = - 5( x
lx
- xt )
- 0)
'+
3x + y - 1 É_!
ST es
La s u b -ta n g e n te
Y1 I ¡-!-= s T = ---!ml
+
il=-+coso=o cid
3
(7
ecuaciones:
en las
S usti tuye r iclo
ü =+'+ y (-1 ,1)
'4)
3 La sub-normal
E n ^^,\ de los de cont.aXr^ d p I n q
los , ha1lar ¡ r t r r r l" g Y verticalr:r;.
pr o b l e m a s
s i g u re n te s f á n í' { ) n f
hor i z o n t a l e s
es
\" 16.
=\ t
-
t" ,
y = t
+ 1
\ - Tangentes horizontales: ¡., tJ
+
- T a n g e n te s
-'
- / = 0
44-= )r
Su-stituyendo en las
aÉ = 1
. r^1 3 (t" -41 = o
ta ngente
l tori zontal :
*
3- 3t- = 0
-'
(0'-1ó)
+
t =t
y (8,ió)
t = 1
ecuaciones:
(-1'-11)
x=n+rcosgrY=k+rseno
v e rti c a l e s :
{f = o
t=
3(1+ t)(1-t)
S OLU C ION: = Q
reernPlazando en Ias ecuaciones:
(?,2)
+
reemPlazando en las ecuaciohes: - Tattgentes verticales:
r cosg
z3-- ' ; (-7,0)
x = 3 - 4sen0, Y = 4 + 3cos0 ION: SOLUC - Tangerrtes horizontales: dL=-sr"no=o ?.8
hor izont ales:
- Tangentes
- qll=
t=1 t =-1
17.-
) . -¡-4 r- = 37 1 - r z = o cLt
<- cL A?
.1 .,
Lue g o n o h a y n i n g u n a
i
hor izont ales
- Tarrgentes
reemplazando en las ecuaciones: - Tangentes verticales:
S O L U C \ON :
1+ - =
12t
S OLIJC ION :
=T1
SN = n y t
t 3-
2t,
tz-
SN es:
= Q
-+
reemplazando en las ecuaciones: - Tangentes verticales: '
dx [d=
-rseno = Q
-]
reernplazando en las ecuaciones:
o = o rr (5 , 1 ) y (5 ' 7 )
x = sen2t,
Y = sent
o = *,
3r ?
(h, k+r) y (h, k-r)
o = 0r T ( h+r , k)
Y ( n- r , k)
2
équ¿!roN:
Luego de
- l. ' ir r rg e n te s
h o ri z o n ta l e s
:
r
t=
#=c os t=o
( 1 ) Y ( 2) dr¡ 4=
3n
É. -at - _s ent
m
dx
^+-^^+ dLL9)
- T an g e n te s .lv
en las
rr Lt.-
x=rcos0 +r0 sen0 ,
v e rti c a l e s :
Su stitu y endo . l^ .r = G O S' 0r
en y
las =
+
t
ec uac ion e s :
n
y=rseno -r0cos
3r
T '-'T lt
tj )
Y
H4l
. 1^ Sen' 0
Evolvent e
SOL UCi O N :
- T ' a n g e n te s
a).h o ri z o n ta l e s :
dv = 3^ 4sen*8 coso = g , -áÉr eenp l a z a n d o
en las
+
e c u a c i ones:
g = o,* ,
Jr
'.or3o,seno v"senu = u o -4so5
* u.{.: y dt
gl"-¿t
m
+
.""
. i i i.i.i.:.:.:.:
SN es:
(1)
T es:
La tangent e
n u = urT ra 3n
afcost-cost+tsent] Ctl¡ nt-
cot E
tgf
b). - La .sub-nornal
T=/ y'+ST'=
T = y cosect d) ..
La
/T--r
lr{ =
/y-*
tT-
y s ec t =#a
¡\-
SOLUCION:
c r ....
(E)'
y2.otz t"
s ent
N es:
normal
¡'¡S
(astroide)
Derivando:
\ -dL = -l2acos2t.sent \dt *!i ?.* t- !.:
,r, *
tn----n
La hipocicloide atcost
cí r eu1o-
SN = m y = y r gr
reemplazando en las ecuaciones : (1 ,0) , (0 , I ) y (0 ,1 ) la¡ siguientes,.curvas, hallar 1as longirudes fn de : la subtangente ; b) la subnormal ; c) 1a'tangente ; d) normal en un punto cuaLquiera. 22.- La evolvente del cfrculo f* = a(cost + tsent) = - tcost) [Y SoLUCI.N: "(sent *dx r a l-sent + senr + tcost] ti= dx dt
= -YY
?f
(1 ,0) , (0,1 )y (1 , {))
del
La sub-t'angente ST en un punto cuaiquiera /.
- Tangentes yerticales: dx ?6-=
L
L4E,
(0,'t ) y (0,-l)
e c u a c i ones:
2cosTt = 0
Ti=
L
?r1 -
r eemp l a z a n d o
il[?
1a Pendient e:
hallam os
t:
4a coslt, 4a sen- t .
será:
'r dy dt
I 2as en
2,
.'.or a
ldv l-r.&= (lox
1 Zasen? t. cos t
)
de donde:
: Lg I
=----LULI
ST es :
= - y ta g t
sT =+ = --k
\ a
b). a
La su b - nor m al
Sl'l es:
S it i = ny
Ycot t
La tangent e
c). ,
t)
T = /y"
a) . - La subtangente ST es: Y {gt
= - ycot
T ser á:
---j* y-
SN s e rá : S OLU CION :
* =f'(2ccst y --L^ (2sent
*
.J'-
*^ -tr li= x
T es:
, = f,T*Ñ
y 2 . o r2 , {+=
T = ycose.t
=.*T
'r
N = ,47;N2
24 .- La ci r c unferencia
I
f
2a(sen2t-sent)
*
rir¡
I
if
= a [ Z c o s ' " - z c o sl tr lt . l
€+
= Za(cost-cos2t)
ser á:
La sub-tangente
ST es:
sr =+ =4#?*3#fr
=#. {;
)C OS A C t
9!!;.?2+ = - { "L- 2a( c os t- c os 2t) = Jsenzt-sent -?--zu(r*r¿a-t"tta)
a).-
N=ysect
=
- cos 2t ) - sen2t )
a ' ¡-^2 s e n t + 2 s e n 2 t J
Luego 1a p endient e
d). - La normal N es:
)"S B C
Der ivando:
SN = u ry = -y tg t . - La ta n g e n te
1'
=
N = ,+ t * ,2 .o tzt
t
. La cardioice
'"'c)
)
tag-t
La normal N es:
d).
I , a s u b -n o rn a l
I
l LU)
r sent
La sr¡ b - t ar igent e
a).
ST = Y = m
*+ = r co st
;
1 Zacos -t. sent mr
b) . -
- r se n t
*i =
b) .- La sub-norrnal SN es:
= ;::;::
L
SOLUCION.:. Derivando respecto
a
SN=xnyt
y(cost sen2t
I - bos_Zql - sent
L a tangente
c)."
(r) :
es;
b).
su b - ¡ r o r n a l
La
SN e s: jl
.,. ¡ r - r
¿ SN = m y =
Y LI !
=
/ y o+
=
STo
La t angent e
-1 -r = V
c os t
'
'- 7*1- Zr -
W
J
T es:
(cost-cos 2t)'+ (sen2t *r,ntrÉ
- c os 2t
r-.
T=
.--Y -4 =./t-..r t t-
d) . - l ,a n o r¡n a l \I
-
t ) t ^^-+ 2t 't 2 Jt' u¿* u¿ ¡S9:i-:--c9s 'senlt - sent' '
,, r!=' .. 26.
I -l z r - 14) z * ( t - z ti ) Z
N es :
v/2
La h o j a
r I x
. /l -."rt
senzt-sent
I
I
S O L U C IO N :
I
_ tt¡ _- 1t *tl¡ :-st (st2.¡ TE2 ¡t *t3¡
J +J T
a+
3
af l \-
=--=W7.(zt-t4)2
'#
-
---E__
{
.->
D e s c a rte s
La
s).
'l *t J a
3t-
Y =- - - - - ; . ' l +t J
.i
¡
¡r * t 5 ¡
2
= 3-6t3 \') (1+t")'
II
La L,s Pir al
hiper bó1
dv
(t *t3 ) (6 t) - stz (stz) - 6t+6t4-9t4
=
dt
z ¡t * t 3 ¡
(1 rt3)Z Luego:
5 -6 tJ
T-77 a).-
La sub-tangente ¡ I I
ST-Y.
m
¡l * t 3 7 2
rlv
¡., UL
- 6t-3 t 4 -= +t e -t 3 ) =--------=-
3-6t5
ST es:
1 -Zt3
-
a co s t
7
-L L
=
at cost
=0 f
L
- a tSe n t
rlt
¡t -II-
6 r-3 r4
o,= FFf
6t-Jt4
?
.{ II ¡
ica
S OI,U C IO N: ---L
a
I
9t3
-
asent
d
( t s e nt
(tcost
Sent - cost )
- sent)
tz
ser'a: Entonces 1a Pendiente tcost - sen! . para cualquier _ __ -tlent ¡r + cost ' a).-
cost ,
La sub-tangente
ST es:
g-(!'gl-:-q9-:!st = * + Sent t cost
p\¡nto.
342
b)
La
su b - n o r m a l
)N
= n r t'
-
- y( lco it ent
,-)
La
ta n g e r r te
t+=,
SN es.
I
sent)
+ c:ost
x =i
bi
d ) .-
La
f cost nor nai
N
y
c I
- t.
c' 5 :
so!]l9I !)N:
¿+(tsent -7*----*-.*-' -costi 2 T- = --* - y -- - - J ( a.ost- sent) tc o s t-s e n t T
,2
-s e n
#=t
II
i¿= i I dr)
t
es :
n u e va me n te
De r i va n d o
4¿'
*
d y' ct
t
ot
ox
AT
v'
I 2
=F
á.rl
'¿ ¿_.¿ ,2 dX
t
A? UL
dx
,it
L
2t ,
Y
Derlvadads Ecuaclones Pararnetrlcas
SO LUCI O N:
l.-
En c ada uno de los t
d Y ., d -v ü , d*2
s iguie n t e s
ejenplos,
Edt = z ltI-
hallar:
dt,
.
{Yt ót
fi n a l n e n te :
t
É+-+ óx -LC
"
" -* F -,y ' - z t
-Deriyando: -----'--
dv I É' 2
.t2
;
= -rr2
Der ifrando yt;
dy = 2t -dr-
r1
' y'
ldx
a) x o t - 1, y. t2 + 1 S O IU C IO{ : .D e ri v a ¡rd o re specto a t: dx
cly
fi - = ¡ 2 JI dtt
e n fu n c i 6 n d e t.
obteni endose:
d)
x -ii
f5
Y
+ov'
.T
314
SOL U CION :
trx
-=dr
dvl dt
D e ri v a n d o
-
J
I
Z
L
L
g)
dx'
ION: SOLUC dx = -----
= & c o s tr
s - --T
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$f
-dv -LDcost |
?t:=
,2 cy=
="*
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h) Der iv ando dy r
?Í i: nt onc es :
¡,r
-zco st
I
'dvf = -4sent j É Derivando y, : dv t
-tr
',
. 2 se co t
¡
I resp ect o sen2t
+ 2q. osZt sent
;;;z;
2cos 2 ts ent - 4 cos t . s enZt .or2t cos t
x = cosZt,
=
::
= -
b uZ
. coséc3t
f , f = co st deri.vando {}
2tagt
Zcos?tsent - 4 cos ts enZt cos"t
--:----7--
Y = sen t.
1 I
f $* = : z ' s #h=43eñT-
co sect '--{
J
respecto
a t:
+f =f "or".t.cott Finalnente
E
-
S OLUCI Q N:
t:
y = 4cost.
dy clx
a t:
4 T = - zse n 2 It
' r h7 d¿y Éc t os e c 't r - = _as . ent dx .
x = Z(l-sent) SOLUCION: dx
a
r = ¿h cosec.t
f)
j |=
r es pec t o
1
dxZ
J
Y
-4c ost .
"r= Luego:
cost
l
2cosZt
=
-
dy'
y = b setrt.
= -asent I
É
2cosZt
ldx
D eri vantl o
SOL T J C ION :
,dx
I
cos E
l dy
dy (1t.
"'i-
-T
= - secJt
,-=E
--72" t¿
L
= sen2t.
x = sent,
dt
t= _---_--=
I
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Y ----1t-
z,
LU)
')
,2 Q
¡
sec
----Á' .L
df= y' =í
n u e v a rtre n te :
clvt
e)
.2
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dy a
J
uL
illi¡
que:
btenienciose
a
d"v
n
obtendrenos :'
cosect. cottcosect. cott -=-T6GñT:61 =- -É"n=zr?ffii#*i=-*
"o'*'3'
= tgo no tiene Demostrar que Ia curYa x = seco, Y ningrln pUnto de infLexi6n:
:t t7 SOLUCIO N:
dx
= sec8.taco
?6,¡ ,,
t' , # # = sel¿4 " o
lle r iv ando . y '
r es pqc t o
dv t Z6-
dy
I
I
co sece
dx
I a 0:
= - c os ec o
c ot o
CAPITULOIX
Ento nces : c os ec ec ot o i - se¿6--Tasd= -cot"e,
É¿- = -
7=
= o
c o ti g re emp lazando- en to d e i¡ r f lex ión 3 .-
=7, o -r
-
I as ec uac iones en e1 inf init o.
i5:"t"nuo 3¡
-7
se obtiene
D I F E R E NCI A LE S
que e1 pun-
En cad a una de 1as c ur v as s iguie n t e s construir g -ráfíca y hallar los punt os ñáx i ¡ n o s , m í n i m o i y a" flexión : a ) x = 2a c t g, 0,
a cc
1a in
y = 2a s en?o
d A' de l a d o x, h a l l a r S i . A ,és el ár ea de un cuadr ado d A Y AA cu a d r a d o , e l nuest r e que una f igur a co" l t" i t S OLU C ION: X
SOL UCI O N:
E1 l a d o :
dx-?\ -d e- = Z" c os ec - O | t
d vlcx = 4" ?f Igu ala nd o
¿. ,
s eng c os o J a c er , o y r
arnbos A=x-'*l¿frt?Bt:
-
3! = 2¡. +
dx
2s en 0 c o s 0 . r " n 2 0 =0
g = o, !,
+
sen2o.rurr2e- o c on
zsen3ocoso
:
2serrS0 c os 0= 0
fu ializa¡id o nenoS :
=
E I á r e a d e 1 cu a d r a d o v i e n e d a do Po r :
c ada uno de los M áx = 2a
n
valores
hallados
Í:i Íffi'u:"l:';ffil: :il:ii":"e"'l:ttl"'"9':I:ili*
obte_
par ax = 0
Pun to de inf r ex i6n:
G 1,
ex¡"ta?
b.)
/3L
y = s ent
b)x=tg t,
c , os t .
SOLUC I 0N: De m aner a s inilar t iene : M5 ¿ = 1 / 2, p ,,ñr^
rte inf
par a I ex ión
parte
M Í n = -1/2,
x =l :
que la
(-
,,-ji,(o,o)
(a)
para
se ob x = -l (
,:l
]48
as f 6rmr¡1as Para e1 ár ea y e1 volunen
$r,LIJ.Q_ION:
son
la figura Toirando cono leferencia mostrada al lado derecho.
c J
=
I dA = 2¡rdr I --'l
F6r¡nula exacta:
'a) . -
Para e1 área: ) S = 4rro,
A+AA=¡(r+Ar) +¡ (Ar) 2+2nrLr
diferenciando:
dS = Strdr;
AA = rAr(2r+Ar)
sustituYendo
dS = 0 .24rm? - P ara
el
volum en:
SOLUCION: v
E1 volumen de un cubo viene dado por:
-
4J 3
rr^
,
dif er enciando:
r eem pl azando valor es dV = 4¡r'.dr , dV = 4n(9) (0. 01)
v= x3 I I
dv = 3x2dx
I I I I
d a to s :
dV = 0.36nm3 área:
Para
0 .24n x'100? = 36n x 1 0 0
dV = 3 (3 6 )(0 .0 2 )
dV =t 2.1ócm3 El área del cubo es : ) A = 6x-
derivando
;
dA = l2xdx
;
dA =
L,44
$x :
"ln2
roo=$t
Para el volunen:
rggqplazando dat¡os :
dA = 12(6) (0,02)
datos
dS = 8n(3)(0'01)
¿Cuá1 es un valor aproximado del error que puedt. terse al calcular el volumen y el área de un cl rl r,l arista ó cn, si se comete un error de 0 r02 cm al dir 1a arista?
Reer np l a z a n d o
ttr3
SOLUCION:
A = ¡rZ
A+AA=nrZ
iil'll
jene 3n,--a) ¿Cuá1es son los Si a1 rneclir e1 radio se obt . medi.das aproxirnados de,S ¡' V si las. áitói"i'náxinos e1 caso cada es-en b) m? zCuá1 rón r"g"tas hasta'0,01 por ciento? tanto en expresado error ñá*ilno
El área de 1a corona será:
3.-
v = 4/ 3
4t ¡ r l y
de una esf er ¿i
dV x 100t 1/
= -ia:-o . l s 6 n x 1 0 0
llzt)n
i i
$ .1 0 0 ' 1 1
por
Dem ostra r inent e ,
me d i o 'I
que,
d e d i fe renci al es
a¡rt' o' r l i tl
ldx
di f erenci ando:
x+ox**,
del
p a rti mo s
1 __dx x *2
(x + A x )'
=
1
l;¡;
3 > 3(100) dx
segundo miembro:
0.01 cm. -< )/l 1a Inc'iició¡''rl:: x es y el.error-posibl? va:" í y = x-'posibl:.i"t es .9 cuan,to x = Ll, ¿Cuá1 ?l_:ttot pari c.btener val'c ór de v? Ennlées¿ ;;;;-t"^tyJtadá s aproximados de (27,g)2/3 v Q6,D2/3
Ax (x + Ax)-
x+Ax x + A x -A x
;
dx
, si tnpl i f
i cando:
ION :
(ax = dx)
Y = x2/3
F inalm e n te :
'I dxl x -;Z-= ó.
valor es:
d,\' = 3xZcl x , sust it uYendo
S O LUC i O N : P or c o m o d i d a d
2 *-1/3 - -3-^ dy =
1q. q.d.
f.dx
nara el volumen dc t¡tl a p ro x i n a da i" la11a r u n a f6 rmu l a 'abic ¡'I a d e l g a d a de bxtren¡idades c ás c ara c i l i n d ri c a y e. el espesor I e s r, l a a l tu ra s i el ra d i o S O LUC IO N :
/3 .r ro.9) 'dy =- -3.z (?7\-1 \¡ \Lt) dy = 0.2
= *2/3 * Lz7.ü?/3 = y + dY
- r¡r)?Í. ¡
v = n(rz+ 2rd.r*drz)Í-ntzl
+
--7 J
x-1
/3 dx
? ( o .e) T e 7 ) - 1 /s .
= 9-2 C ál cul o
una caj a en forma de cubo, de Se ha de construir de capacidad. ¿con qué exactitud debe construirse para que el error en eI volumen aristá interior -r¡ás o de menos? sea nayór de 3 cirS de
la figura
? l\
= ( 27) - , _
v = n(zrrlr * drz)¿ a Ten iendo en cuenta que: dr " ry 0 ' como: dr=e (d a t o ) V ! r (Zrdr)t ;
SOLUCION Tomando cono referencia
valores
rlx t- sustituyendo
Cá1cu1o de (27.s)2/3
D e l a figura nostrada: v = r ¡r+dr)z{
x = l0cm
*
V = x3 = 1 o3 (por dato)
del problema 5.
tdn tr
¡r0
de
) Ia ( 26 - t ) - '-
(26.1)2/3 = y + dy = (27)2/3 - * = 9-02 = 8.8 Usando diferenciales,
ha11ar un valor
O')'1
/3'(0's)
' aproxLlnadode
i i 5 2 g¿ ¿ ¿ una de las 9. -
siguientes
f
= j__-1
e
Zr'x ,|-.
Gd -y+dy=64
,ñt
para x = 64
,
/2
dx
i /'1,
l' 1 0 1 ¡ = ( i ooo) l /5 - t
zl64
=
= * **
1 dy = --a'. ^
.ñ
ffi = ffil
.rI
2 ,/1 oo- '
J=
o.ol + 0.0004
=,=
o.0104
9b
9b
y = xl/3
SOLUCI0N: Sea:
-2/3
¿y =** x = 125 {ñ=
dx = -4
Y
-z;?=r*¡-'i ñnoo ¡v \ l uu 90
ffi
Para:
100
Para: t
--Ltrt
6 E = 9 .9
ox
ldx y + dv =- l - 7
SOLUCION: Aplicando los mismos pasos que e1 pIo anterior: dx = -z
[1oi
't Y =V
Sea:
)N:
= 100. y
1 ta
( tooc ) - " -
lo.o33
1/só
/66 = 8. 125
p&rá"¡
1
1 / iOiO = l0 * 3o/lolo--
I
cieL c-J!'rlil)i') dx = io
UtiLi¿ando los resultados Y Pata * =-iooo terior:
IJC ION:
/66 " SOLLJCION: Sea: y = *l/2 rl oy =_.
1 rr 1 fl
expresiones:
y
dx
io N r
dx=-5
y + dy
/ñ6 - x l /3 + !* -r t t
\fe-
a y = - ** .
dx, reemplazando vall
-3/Z
1
dx
dx
v+dv =*-+t't
re s .
l f f i - ( r z s )1/ 3 + $ crzsl- r /t.( - r ) {720 - 4.934
,E
sea:
p.tJ
x = 49
I
ñ
dx = 2 ;-.Í9"*Plazando:
y
=- ) -
{rs
-
( 4?\
r'
.( 2)
CIO : l1
1
' :T-
GT l_
=
343
i l,'r;i
Diferenciando: .ly=S*2dr,-3dx ") dy = (3x'-3)dx
0,1399
dy = 3(x2-'t)¿x
v 51
/ 35.
xa
,Y = a - *T
Y = *1/ 5
SOLUCION:
¿y =* Y+ x = 32 Por 1o tanto:
ydx
Para:
y
J5
dy = + dx - 37"cix
dx
dY=x
1/5
*'5 x
- ó"'l c '
rty
dx dy = t*3,
=3 =
{ sz * 7
{Á=
Dif er enciando:
S OLU CI O N:
-4 I s
+-
y = {TTT
, '. r '4 / S
.(3)
"ara
\
:
Dif er enciando
S OLU CI 0N:
.
1 dy =V. ( ax
t1
+ b) - '"'adx
t-
/35 * 16 . - '
z .037 5
td x
=
z,[ax.-b
ffs. ION: S OLUC
Sea:
/4 y = *1 dy
.
x=1ó
y
y= xta-x
-i t4
I
/--;----; L
SOLU_CION
= t_-3/4 d x
Y + d Y = *1/4 ' +' ' Para:
ur,
..L
. {-2x).d;c
cly =
dx d'f
=
dx=-l
dv = f f if \ . *
ñ l ={1 6 -(l g )-3 ',o r D
ft=z-+ = 1.9688 {T d1 cada una de 1as siguientes Ha1lar la diferencial ciones : 3x l--Jx Y'
= -J- z*L.¿* dy '
fún
/oz- *2
I
l -+
sE ae
l-. r
, = ,[.u1-'
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; iI LLJ C IO N :
l-.
f
ó.
u -
ln
cv
il
^tr t{e
,t üu =
;;-
, . , Vr . r . , ' \ c , uv
,
--3'ú'v
du=
Il i fe re n c i a n d o :
S O LU C IO N :
f
I
X
cüv
=
\t
"
,d v ou=1
I , v . , . - l/ Z ¿, , = 7- ( r : + ¡ J
S OLU CION :
ds = a b e " " . d t
---F
/' ) ) /:t' -x"
S OLU CION :
p :: sen a0
sÓL_ucr oN:
/) ) /a" -x" . dx -
Il i fe re n c i a n d o : ,I.r
d o E a c o s a O.d0
-
(- 2x)dx
' )?
a- x 8. -
lnsenx dy
5Q!_U!_!8N:
dy 9. -
10.-
P = o cos0 S O LU CION :
-
I s enx
cosx dx dy
= loz- *z* tl¿*
= cotx. dx
( uz- * z 7/^2 - * 2
d p . c o s 0 .d 0 + 0 (-senO)cIO d p = (c o s 0 -0 s en0 ) d0
a2. ¿x
\
dy=
- *-
-*z i-u'-*21/^z
1-
s = e" cos
fit
SOLIJCION:d s = e ds=e
v
J
f-Í-
=t--l-.
I
A
tc o s n t,
sen¡t.
dt
.¡ = LI
12 *
J
-
Y --
2+Y
t(c o s rt-n s ennt)cl t S OLU CION :
dy=
f a
( a+x)
YX
SOLUCION:
Diferenciando:
¿y -*.¿*
Ir ll2/ax
-
- h ( + G) - 3 /z.d x
2R
dy=
c lt-net.
z,/;=
dy= +
t"-1 d* I zxñ J
d y' - a ,
,/t4
/a-x
2llx a+x
1 I
'
dx
,a uy ( a+ x )
d¡' en función de x, I ¿ dx de cada una de las cs ccuacrones: )) ztr'* 3xy + 4Y"= 20, I ON: SOLUC ár¡ ry + l. É=0 4x + 3xff"
p = 2 seni¿
dp= 2."'+ ü
SOLUCION:
do
dp=cos* , o u to "
5-C
^ - at
sen bt .l.r
S O L U CL O N: rfs = (-a e -" t ds 17
1q.q"d.
dy=
'22 a-x
* be-at
s" nbt
cosbt)tl r
4x*3v . =- ffi dy .ax
= e- at ¡ bc o s b t - a s e n b t ) d t
x" +
p = ,Elo SOLUCION:
A^
-t
7 COSeC-0 Zlc o t
= - ( . 1 ¡ . 5y)
(3x + 8y)tf
Ó xY- + 2Y- =
S OLUCI O N: ? ?
10 : : ibos
Der ivando
dv , ldv 3x'+ 6y"+ 1zxy-ft- + 6; É
0
Y= rn/++
m ie¡ nbr os:
= 0
17"--;-
S0 t,U C I0 N :
,., (12xy * 6y2) _:¿dx D i fe re n ci ancl o
/cx- s
{F1,,
-5
;F
"))1udy
I
i*
dv / = _
)
¿
A,,e
12xY + 6Y*2* TvZ -.dx -', 4xY + 2Y"
x+4@+2y=a.
dy=
(6 x-s¡2¡ + - s*¡ a
¿v . = =i-9* rox-5fi4ltxf : 19 .-
.- : + o. y 2,
- ti r :
: -'I
o' " =:@ V 6x
=
si x2+
__xdx t'= ^', demos t ra r q u e d y Y S OLUCION: Diferencia n d o a mb o smie¡nbros : 2 x d x + 2 y d y -g '
SOLUCION:
1+ 4q rftr + 4ñ * e#.
eE t r).*F=-(r- z.E)
r* =
si-
i
.-.t., uy
'2v
rix
D ej ai nos e1 rest o
_t 2x
7/\
f
7/ 3 Y -'
z
2y=x SOLUCION:
z/3
"4
z
^/+
2 - 1/3 + "-;-
JJ
-1/5
v'
-J/V dy = _ V_+.
,t ,, |
-
--i-
)v t^
"
,t .,
.x
rle
I
dy
l- e
OX
'?i-
r
-e
¿y=*
yz = 2Px
sen (x -y) =cos (x * Y ).
-dx
dl_=p -ñy
-'
dx
l-
;.,-1
c o s( x - r) " [t- # l
dx
cálculo áe *f
S OLU C ION : dv '2p ,., LJ
S O LUCI O N :
= -se n (x*y) .
t' * a;l
dv"l
dx
zl r/z .dx
+xJ
|-.--; + xo'
+
.¡-. . ut (1 )
ds = /l .x
ds
ds= tr . rtl*l1' ''. u*
tenemos:
xdv
UA
hallar
dx
.
D e (.1)
-
26 , -
--
dx
x +y
S O LUCI O N :
uY
S abemos que:
- OX L=U ,
x-y=e
Calcul em os pr im er alTlent e uy
S O LUCI O N : -;- x
cur vas'
de las sigulent es !n c atl a una x de Y dx' funci ón
dx 2 4 .-
a1 lect or '
en función Cá1culo de ds .
cos ( x- I)+sen(x*y)= f.o, (x-y) - le n (x + y ¡] *
ds=
dy-
dso
cos (x-y) -sen(x+y) \
[, L'
de x Y dx:
1la
^1 ¿lt t L. dx . ¡ 9) L1 \clx - J
211/2 I lr * p=l . dx t' I
vl
¿l
,
reemPl'azando:
|
11 ¡
ds=
L 3.
)?')') b - x- +
tz
^ zlt Y .¿x I
, ds=ffil.t,-r
zp*J
7? ab
a u yo =
$ o l u cr0 N :
a
j¿=
,¿ _px ')
?b'x * Za"y
úx
jr - =
+
o -
d-x
Der ivanclo I
x:
tt
.,#P tft". u* ,
r
r Js =
+ié=-l
L
r eem Pl a z aacio :
tt
ds
+ tas z * ) 1/2'u
f-
z'
/ 1+t ag"x ' r ix
=
ds = secx"clx
reempr azando:
una de las de x y clx en cada
ds en f unción
* o..21tt z
|
ds = lt
9J- = t apx d-x
( se cx' ta g x)
' -'l ds = Lr . tSl '\' '' 'o*
4)l
ds =
= *k
#
Derivando respecto
)1
lnsec x
slgulen
AS:
.¿x
y=x
^or'J
Der ivando
:
I
*
-z 5X =-T
d.y + cx
N JJL =J X-z áw '
obt ener
Par a
go:
- ¡.2-b
ds=
^2 4. -
2)*
¡*2 -*27
ds' ,1=
.dx
ds
: r eenPla za¡ do t t eneit os
"
| dS = - T
. dx
r;*-
/ - +. . , - . 4. . ix . la i >¿\
^r
4J
z
->
4v dx
= 7x-- 3v 3x
11\ " 1r.,
:
Derivando:
-'>
za¡i/* = 3x-
I
(t)
. -9+l I
t1 I L
z ]t/z ds = [, +r4rr 'taii .o* ^Sustituyendo
,
^ 411/z
I
4xi
L',
L
/z .dx * r.dX {v, r 211 J
r
6xy = x4* 3 SOLUCI0N: Derivando: 6y + r,*:=
f l1 l!
ReenPlazando
.l rr
dx -
a.Z -::::zay
en:
en (Z)
d s= l' ,JzJ:p !11/2.dx Igx ¿l
si npl i fi cando y haci e do l os canbi os' respoc
tivos
¿r-x4tl 2x'
*
se obtiene:
ds = [r . cSl\' '' .u*
d s=r. tj
.#4"', dx=
[.,
"*Jt/z-a*
d, = F-l-!:t. 8.
lx
z
o*
I=cosx' SOLUCiON:
SOLUCION: tl tl
'/ T, ,
,F
. is = f r . (j* ) ' ) ' ' '
' *i= o
Luego :
r
ds = l1 +
. vll /2.¿*
?41
XJ
a+
L
; sustituyendo
x - Z/qxl1/Z x
.t*
'uA
I
da una de l as y cl y.
y:
E mpl eando Hallando
+
cix
.
x-x e-e
.t .,
-ar-
L" ds
f. ll t¿
( 1)
Y
f ór m ula:
1a siguient e
1 / z .*A/ , , , +¡.; d lfJx . 2 1 |
L
-f
-z
r eem plazando
lt / :
?x
/.,
)
/yo r yt"
.d Y
P- l
vY"= x" ION: SOLUC
J 1-. I t LX (e+ ¿ 4
,.1 os=p'
de (1):
?1,
I
r-
+
=
I
ZaY =
Luego: ds=[1
y = senx. SOLUCION:
dx ciy
| ^. 2 f 1/ 2 . d Y d s = lt . r- i l
-¿x t. ¿x _ 14 + e + e
ds= ft.(#t'lt/'.o* ,. - --4os = "z ** "-2**z-.o*
a hor a
hallar
)..
se n - 2 x.tl x
,1., UY
ds
dy x -x e - e 'É= E nt onc es :
cur vas,
s igu ient es
. ) tcii x=f
+
Y2= ZPx' SOLLiCTON: Cá1cu1o de
, s i npl i f i candr-r
+ e "
S O LUCI O N :
r e e m p l a z a n c t r(s1 ) :
.u* ,
,r * ) , / 2 .¿ *
dv 2y = 2p# --X -Y = e lY
I
" " '( l
Por f6rrnula:
l l e rÍv a n d o :
¿s=t+ sen
r ds = ll I
= - z c os x s enx
+
+ r'y = ,ñ
dy = cosx ox
u, = [t . dp zf1/z.dx
Sustituyendo
d s= tt + c o s ' * J ', lu r
x
en funci6n
r z 211/? " - .ot ds = fr .- $H Z l L s ( a'Y) " - l
ds= ds*
de Y:
;s i npl i f,i c ando obtenem os ':
.dy
)-, \ +'t- = -:- -
'r13 au'
) l' t y"' "=
'r17 xu ' u +
$Q.t_q!_t!N: d xY *7Z z -t/3 Y - 1/3 -a tx Luego,
dx dv
r /2
' l ^)r,2
r
ds = [ t+ (:-f¿\
x¡l 3 1/3
.
,=
dv
l'
tzY)L
¡! r)*:!t!-
f'1-
t
*z/s lt /t
| Ll J
,,¿tJ
ds = 11 + i ;;--l
az /3_ v z i3 f 1/Z .dy;
---;r7 T- )
s i mpl i fi
= z*yz- Y2- z| Ü I r c s P ej a n d o x : SOLICIQN:
I
ión Der iv anclo l ; r ecuac
cando :
,LJ , , 24x
0
- Zy=
+4yx
1
'{=--4 +y ¿Y
dada :
ox_
+
y - z x y = 1-2x
v
.l'r v1
dy
f;-
ds = {-? ff 15..
.dy , l .-
.u^
uerrvando
S O L U C ION :
a= J x
dx
+
3t-
Ty
dx =:'T ^2 6 ,JX
¡2 , ' ' ' .a y * ¿ , = l- 1*' s6 2 1 7, +r ts1 - l.. ' d Y -oo t
L+
a o s = [L + _ _ _ _ I Yx '
7
y-- 2x - 3y S OLUC ION:
eS
Desnej a n d o ;:1 , x - i)Lj-.I-
o b te n e n o tt o *u z.z
'
-'f'
1/7.dv -+ u' =* ' F*'o' ds = I-r . 1fl Y L v'J curvas' ha*ar ds' sen r v ) :;'.-;t:1:'"
"'?u:"'?i"i:rf
Y = l2-2 ca
*l= .dy
t''' .0,
y.
x = 2t r 3,
ds.t{ft#f] '¡2.dY
a=-fu.
tl "'""' u , f - dx. ^1 d s = l r .tffl
(1-1.1-'1''' uJ [r + " ..or= ds = {-. -*7*J Lr
Entonces:
1 6 .-
en:
Sust it uYendo
¿3 a Y = X
))
(ly
s ds =)z- /or'-1 2v+1 'dY
te n e n o s :
ds= tr . ,$i,'ft " .o, . i .' os=L
I
cyL
Luego,
2 *
i
#=
ecuaclones:
2t'
= t
-cálculode ds; aplt'i"u".uliÁ1',Tt."'
ds. Lt . (#) "J" ".u*
,
r¡r r
r¡rlrtlr!!
ü
!! !!
ft1 1/2 L1 + t"l de senr:
-1) u L A l CU IO
á.,
dv dx
S ab en o s que: sen '
f=- -
dx'ds 2t
seri r
Cá1 culo de ds: r cis = Ll { tf,tt'.
ds = z fr t' \ .,t,
7At
AUJ
|
É
C OS T
= clx ; re e mp l a z a ndo equi val enci a.s: d; = -L + cosr = /¡ z /l + t' /t * t'
x = 3t - ,
dY
it =
dx
Derivando ambas ecuacio::es:
,^^-.G
- UL
l* =- r .
3L = 3cost
Idx
=
-+>YIIL
- Cálculo cly
J
¿? ds
^
C áIc ulo
¡"1
d s= lr * J )rl z .otat
ds = 6t
I.7.a,
se IIT
- Cálculo de se¡rr: S E NT
=
6tz
ot,l*T
'
6tñJ * =t¡a/? senzt, SOLüCION: dx -t
dt
dv &Á
dt
t7 y=a/2cos asent. cos t - as ent cost
2"
ñ*."Jt.u,
4sent ) dt - >ds=- sent
de sen r: + senT =
-,"n'ñll&.
-3cot
t
/1 6+9cot-t -r
de cost: - 4sent
cost
=
2 - s"nt/t6 +9co t t
cada una de las siguientes nde0Yd0 -
i t*'-,
111)
3cos t
cosT = I
.
=
- Cálculo
r'1+t'
- Cálculo de cosr: c os T '
.,
-
de ds:
=F* fficot"tl "".('
- Cá1culo de ds: l-
cosr
I =3sent .
uu
ot
d\' . .2 -a? = ot
?
S OLU C ION :
y = 2;
S O LUCI O N :
+
-*a:i¿n!-*9-9-9g=4 añsentcos t
X = 4C OS I,
a
19.-
/;
fL
de cos r:
C ál cul o
LL
CáI c u1 o . d c c o s r :
a o ra
ds=at/Zsentcostdi.
+ serlr
= -4
-raSen!-cost arásent cost
=
SENT
| +r2 cosr
+
;isent.cost.dt
Cá.lculo de sen r:
r eemp1 a z ír¡t,1,¡
2 L +t2 sen r
3r;!)
I = acos9 goLUCTQN:
Derivando,
^
a
/ 16*9cot 't
curvas'
#=
hallar
-lasene
ds en fun
.
:170
nos a continuación
Cal c u
ds, = ds=
1/ z "da , lo', ,*u,']
reemplazando
r 2s tz [u '.o , *^2r.n 2 o fi .d0*ds'ca Lsen
)t
ds=ad
23.-
r ? ds = fgsen'0
' de.;
p = 5cos0
+ 1 6 ( s . , n z un t o ' 2 u ) f 1 d s = [ s , ¡r* r, 2 0t . o r z 0 1 + ds=5d0 d s = ñ l¿ g
u +c o : ' l l
P = I
0
S O LU CIO N :
*&
r
= -S s e n o + l2 c o s o
I 2seno)
Z+ (-5 s e n g * I Z c o s o )' ll
I
ds
ds ñog = 1id0 ds 24.-
= -seno
*&
+ Zcoso *
a , = ir
o .o r 2 0
ds = /Z
+ 2cos0. d0
p = sec
+ 1 44.or 20 - 1 2osengcoso]1 / 2 .rttt
zu *,"nZg) [rs ¡.0 ,
'u""]l/z'¿a
z0 z
ao = 4=¡r" "+ t'u'$t"gl)ao '"t? ]'^s\ ds= [r".0l- * "'4 * '^" +7t/zau
Lt.t*,
+ 144¡sen20+cos2slft t 't
ag
2'ds-['"'*''secz 4"''uu
a r =[r " ' f, $ tt ntuzz t)"
P = 1 - se¡rg SOLUCION:
'ae
1 1 q= [ r, t + c o s o ) 2 + ( - s e n o f ) t / ' ' d u
1 .is - [, s.or zu + 144sen2o + 1 20sen0cos0 + 25:;r.rr-t
,=
/z
+ cosO
S O L UCT O N:
+ 1 2senO
.ls = l(5cos0 L-
¿¿tss¡ru-'--11/Z + lbcos l6cos20u - 24senocoso-+ '9c:os'd + 24sen0cosul 'üe * 16sen20
-$&= -coso
ds = sec3*'uu
Luego: ds
=
ll1/z.ao [,r -se n o ;2+ ¡ - cosg
-
p = Z -
cos 0
,n
S OLU C IOI{ :
45 .-
ds
=
ds
= f-Illllñ
P = 3sen0 -soLUC-I-ON.: Entonces:
fr*r" rr'o -2seno + cos' ufttl- .uu
.d,o
"F . - ^-en r. ¡ ? 11t2 2"el1l /2.A - 2- 0- 4c os 0ts 2*r" " 'oJ l dg'[+tc os = -[Ct- cos0) "
={S
4cos0
{& =
Scoso+ 4seno
d s = f{ss*rro -4 co so )2 +(3c o s o + 4 s u n o2¡] I / 2 . a e
= SENU
-
do
-4cos0
P=2+3seno SOLUCIoN:
*& I
-
scosg
t1t tl
,=[¡ r *r r "no) 2* ( i c os s ) " ) " '.d0=L
[-4.gs"rr2o+l2seno +
* s .or z o]
1/z .dg
u { l * J z " r " e. a e
ds= lO.-
p = J;¡;ñ*
o=acosn0
S OLU C ION I
+uO= - an sen ¡ro
SQLICtQN:
r
'2
l)a
d s= [ alc os Z no ru Z n Z ,un2
+
-do ,!A -
4
( seng )
( 3- cos0) *
, , z r " n z n o r lt / ;¿
q 31.-
(Jsenz *l t. " ' * l
F
d s = 'l l ose'nó0-3_* rosen4d L f
tl= + r "n z.{
co:;
tl
,4 ús = ---t
. " , 2 + ] 1 /2 .¿ o
ñ =
.
rI
ds- ¡--t
d p ,=
tt-
-(ñ;f
4
4sen0 ' ( - se n o )_ +cos0)' (1
d s = [ - - - &: * -]6 se n zo l " ' ^^ L ( r *co so )¿ (r*co so )4 J 'uv
¡l+cos0)"
zU I 1 / 2 .d0
I
) {
Z + Zcosg"d0
---) ^ Ir-rcos:J a
(3sen0) ,= -
1 2sertb (1 -3cosü ) -
.>1
16
+
[(1 -3coso )'
144sen'0| 1/2 u9 )^ ___--l I . ^\+l lr - JcosuJ I
2* er " ,, = - !- - - r [1r - s .or s ) 'u) " ' ( 1- 3c os e) - L
[1 -3cos)'
_.j
4 [ +2coso*.or2orr"n -rEfi-L@ -
dp = -a¡'
ds = -----a-
de i f.r + -:er'Zo-, 1t't ,
L
I
4 - J C OSU --_--
S OLU C I0I{:
sz"- p = F c o5 -
/T i '- o.oto.¿ o
.
4
^\ tJ -cosuJ
d s = 4 , ".,2 $ .a e
(l +cosB) .
/'.ou
^- zL t-J- cosuJ
so L UCr o N: _$f=a
ds - *.|*
^,2 LJ-cosuj
[ s * . o r 2 o - 6 c o s t + s e n ' u -r l '
-
p = 4 r "n3$
S O LUCI 0N:
4senO
z^ f 1/2 t , 1 r= l .¿e ' o , o +- r o - e e n - - q - l (3-cosg.)-J " l(3 -c o s o )
no]1/zaa[ut { . o , n0+
d s = u / co sZno + n2sen2no.dB
t
/ 7
l0- 6cos0. d0
.0,
374
valuando
en e l
K
punto (Z,413) dá', ,3/2 -t2t
I | ----
-t-
¿ l_
l
íl7it
2tr 2
+c
f,,:
CAPIT U L O X DE CI,IRVANMA-RADHC CI.JHVATURA
( l, i) . /2= x3; S oLU C I0N:¡ |¿ -
.
=-z zY
1, -
?
Z y = * -;
l -0 ,0 ). s e g u n d a tl eri .vatl l r.
'n""":;"_':
-ai .= Cá lcu Io
deI
r a d io
de
"t.:;;
"
;
C á 1c
'
para
l
el
-= / --\
, re e n pr azando obtenernos:
2 ^ = - (1 * * 2 ' 3 / R ; e v a l u ando para e1 punto (0,0) I
6y=x';
?
(2 ,4 /5 1 .
S 0 L U C IO N : E l ra d i o d e c u ry a tu ra
¿y - *2 -tr=-u
d.2u -t_= ctx
es:
.Í$r,']"'=fj .#]"' * =|Jd'v --T (LK
( 1 ,'l )
Pu n to
se te n d r á ;
curvatura:
;? R=
cY
d.x
x
Jl
L
t3
-) ;
T\_
12-9 4
d2v
Z.-
1z x v z - s x 4
* ydx " d e .cu r va tu r a :
l2'
I
1z * y- # _- - T - :- 'r -
,2..
f,.,dv,z1s/z
L ' ' ta l l R -
.2 +y
d*'
Hal1ar el r adio de c ur v a t u r a e n c a c i a u n a i l e l as rl gu i"ent es c ur v as en e1 pr - r nto i n d i c a d o , T t a z a r 1a curv;r , t el c f r c ulo de c ur v at ur a c or r e s p o n d i . e n t e ,
t.,
2 y ( 6 x )- s * ' ( 2 á l )
¿Z-
6
y = se¡x; (1/7r , 1) s0LUCI0N: = cosx *f
d Zu - - t= d.x ,
/' o = [, :,:H'i]t =-! évaluado en el Punto $ R = -
(1lol3/ z
.l -
+
- se n x
.=:HtJt" , 1) R- 1
se t iene:
;
¡fi=xl)
x,^ y = e i turlJ sOLucION: 4¿ = ex dX =
R
.
t/ .(*.
+
t
--ndx*
x
Q
- - i=
dx-
2x.31 2
o I - - - L- - .
+
1 .) x r '
)
rl -rr
ft= Zn
Al
l. ll' ó.
gv 4y
dx
? ov
(4y /
qu-t ,Z 9-y-= dx Z .
lo y ?
1
la
_21s /?
I I + ----;l
|
^
L r6v"J
para el punto
R = ----Ii ¿v,Y
(5,2) :
I
l-, * zsf,stz
64) ^ = L' ^ ---;;--f s-
"v_ 2 --a-
y2 = * 3* 8; SO LUCION:
dy dx
3*2 -ú
¿)r \.,'l /
+
al
99
(1,5).
_ 89,/80 ^- ----6¡-
15 5 zz
ñ-
?-'i-d I Uü
( 1/ 4 r , ? )
2senZx¡' SOLUCI0N: i
) = -Usen¿x
4
= 4cos2x -q oxY -
d'X
'> 1s /z e v a l u a d q e n f * , r ) . Y t 9 1 1 1 u o * r Í ll*l6cos'zx) : -6 = =' valor absolutol obtenemos --TE6nZi--
2 (, _ _+g_r3l R
16v2
7.-
\/?
l- +-nltls /z ll *-¡s:0R-i0€-
Entonces:
l-
t eniir en
( i , t 1i '
4 v-, dy,
ox
en
ev aluaCo
1 2xy--9x
4y - 4x(a;.)
= -:2,
1 .,- l
n =--l----:-l---r-
G"'f-
CLX
?x'l 5i z ?l
l
(5 ,2) x'- 4Y'= 9 ; SOLUCI0N: Derivando respecto a x: 1., 4v-4x ,ox * ') d"v O 2x - 8I#=
" '-
{ 4y-
<Jet radio de curvatura:
f
1)
9x
l ? vv- -
:1'=!"=
-
,.1
cli."ic
al7
..\
4-v
dx1) "
a,.z *u ^
2 4':' ,, 9x-)4
-
" --T -
para e1, punto (0, i )
.e (1 n _--_Tn-_
r2xy "
)
s--, u)
.2 cv
(1i4n,'l) = tgx; Y ,l SOLUCION: -)i L'r' = S eC ox
r
L
o X
2s ec
26/1)2
\
= 2secx. secxt agx ')
dX .
.1,
,
Par a
2sec-x tag'x {
\.
! T- r ¡ l'
tagx
u + q3l2
?
t,L
413/2
n = Jl_ - ' -x -:.rl -, R_
R= +
5ñ R=T"tl)
Calc ular [ *1 , t i ) 10. -
el ra d i o de curvaturas en un punto C ual cl rri ,. r ;i ¡ en c a d a una de las siguientes cuTvas :
Y = x" 1. ,
S O LU C IO N :
sinplif icando . n*niet t t er ner lt e
1
uY L + -af = rx
. I
a
la
ü'z V i -:Í=
punto (xt
f
11.-
, |,1
o _4 1 s/z l1 * -^r I
= zp
del radio
fi=
,¿ sy
-3
"2
Zb'x
f
b' x ' - a" y ' =
," =-rtÉ{¿tlt ay 1-
2 v2 E ntonces
'))'rz,lv
*L ox
o
ox
'.2
-2-
rDX =l-t-
cl Y
vy
-------.--
dx'
=
a
)
ay
el radio
es :
*avl*Ua*z) . ,4
-T3 ay
------f--=-
(uov?* ua*12) R --:T-T--ba
)?
b(aD / = - ---T-T-
4
2 312 .4 DX r _T"iJ [1 +
¿.2 y Z -4 2 D -b x "*y'
J
= - --r^3 ay
ay
.2
.1
'l n^,bt',Hll_ L"'n', Yt'=ff
??) {vf+p- ) vi*p -
a"b"y- a"u"x ii{ dzy_ -------T-T--
7,
y' - - n * ay
f ,' ,
i
S O LUC IOIJ : Der iwan d o : -,? 2 Z b- x - T a y
't )
= O .,
L
ytt 12. -
+ Za">'Y'
r', =-lt::--;vr1¡ aY
Pa r a el /..,rr.o (xt , 11) y tomando e1 vJror absr¡I rr| Él
?)7')
2. 2
.
-3 Y
R
a
rl x
, _ -2 (1 ' rE, .'? , r; -; /v'*p' -.t '
i,=
(x1 , Y¡) ; para e1 punto
iiu
v
GX
+
ñ
- -P 2 y 2 _ P-
:2 dx
R:
+J It rs-fttz - z_j _ t_
ar du
S OLU C ION :
,2 uy
t" *--Poxy Cálculo
=
[bu*f * ^* Yí) ' A --f-
') ) ) ? b" x' + 7-Y -= ab a)
yZ= Z¡rx.
s o L UC l o N : zy*f
Á ') j/ Z
^ .
ta
'
".ro.ión
clx
¿ ,, .' + 9x* l'/ x = l1 , evaluando en el 6*-', nA-
iá
;;'^e;
6x
con y sust i't uyendu obt ene¡ r os lt '¿icer t I ' original l
^4r2*
D -T-1
ay
b4rz
1/2 x+\'
1/2
1/2
SOLUCtOt{, y
*-t,r.*,,-t/z
I
ta
\l
x = r arc vers;
;
l'
Y' =u
x
\/2 -y¡2 Y
-
/z r y - y '
Der ivando colvenienl- enient e SOLU-CTON:
v'
.Y
v"
. rY r L u;)
(2r - 2v) v'
'r
2 ZrY -Y'
rY tL \;-,
-
_r-x I ..,
Re e rn p l a z a rtd o e n f{ :
l.
/?
+ vx-tfstz ,i^ = - [' _TT--|T-:T7ZT '
si npl i fi cando para e1 to (xt , y1) , se t i enr:
" -j ll +y" ix 3/Z 2(*l * yl )'
(2x)
..
I
_*-**.--:
* t)
/Zry -yY, =
[vl |
)
_
--tt
l v'
-'
21 | / L{ ¿rY -y J
I
v v (zty-r2)-l I 2 (2r-2v)v' -
^1/2
d
ir a11ar :
eytti
I
i *- r / 2 2x [ y L / 2
par a
zry-yZ .y'
L
x2/3*rZ/S =u2/3 SOLIICI0N: Derivando :
+Y-1 /sy 1+k -1l 3=o Y = ---T T
r
v
=-x"y -113
-Ll 3
v
-21 \
l r/3 -4/3 - r x -2/3 -r/3, ,, vl Y = -t-JY Y 3
x-1 /3
,
,, . r r/3-4/3. * -t*I x Y = -t-5Y
l L/3 -4/3. - 2 / t -r/3, y y , , =J t y , f x x I
-Lt¿
It
=
: t o¡ nando '
--_i--
f --
t^ 1
1/3
..
el
valor
absolut o
\
f 1)
t
I
c á1culo del radio:
ft=
Luego: Z 13/ z t- + ^¿r y- Y I --"--1-l lr I r¡I
tr +*-2t3 y2/3Js/2 ,evaluando
*[rt
rl. -4/ s+x-zt l r-rr I
R . J[.* rrrlt"
ft= en (xl
, y1)
2{Tl1
Y=lnsec SOLUCION: Entonces:
X.
l
t agx
rI fta
t.
.) -i 3/2 x Jlli
Y" = sec2x
¡l
L1+t a
sec x
= Secx;
Par a
E y al u a n d o e n R = secx,
(¡l
, y1 )
se
Calcular e1 radio de c u ry a tu ra en un punto cualquir: r ;r; (ol , o1) sobre cacla u n a d e 1 as s iguientes curvas : 20, El círculo p = a s e n 0 nll = SOLUCION: p' = a .c o s O -rcenA i
Reemp l a z a n d o
e n I a f6 rmu l a
| " LL ¿ LP + ( Pr J
p
:
, 2^2p. os2€ - - -? a2ser , 2e . p' . , ij. r, -' P
o
2,
n 20*u 2.o, zo^l 1 stz
" 2o
".,
+ z az co s2 g, u?r"n 2u
3 =
R =
---3-
zaZ
^a = _ ,
La e s p i ra l S O L U C IO N :
d e A rtl u i n e d e ,s P = a0 pt =a ;
L u e"so:
f z^z
zfstt
t a- O + a- ) "' ' ' ^ --;z;1.zur,
o
| ,
D_
para
t'
a
r
'
+-"-*'az
"'',r,
_--l
t "re:-L'-ls-tre-| :
, se obrie.e
-
3/ a'cos20 , La parábola
P tt-0 el
punto
(o¡
o r)
u " J'''
^.____;;7_ Pi
p - u r".2
E-Q&!l!l-QN: p" = a t"g I
¡1 .t,
Lpí -
en:
'
) 3/2 , ) -tp-"(9):l-.=_ p'+2(P')'- P"
R=
"
z1
^
p,,=- lrt-re-
j
R eempl azando
ft=
azcos?a
S OLIJC IQ }J: , 2o(r' = - Ja ser llu 2 a sen20 , --¡) O
r
- l- , ,¿lJI¿
-.---'_------;-_p'r?(p,)L-pp,,
fu ',
Pz =
La l emniscat a
Pt
(Zsecz
*
1/zo = a
t"t
*l
se c
2 0€
t'x EZ
+ asec
4L1
1
Reenplazando en 1a fór¡¡ru1a del ra
22. -
La cardioide
p = a(1 -cosg)
SOLUCION:
pt
: fueeo R R
=
= aseno
lrl . ^2 ; ZL'l 7
;
/z runzs]3 - -l
pín2a"sen"0 -p1 (acos0 ) o, y sinplificando
sustituyendo
o.*F
La curva P = á sen3 1/3g SOLUCION:
P" = acos0
p, = r r"rr2{.ot-$
,donde.pl=
(l-coso,) B
obtenemos:
Ptt = 2a sen 3
*ft r"nz* t-t""$¡ "orz$
r 30 0 c os?A 'f - i s en- i l* 2a sen 'Reeriplazando en la f6rrnula de1 radio
de curvatura,
s e o b ti e n e : R = ¿ "I
..
o
"Jg¡t o -2
c
aJ
si nrpl i f icant lo
3a ^K = ^ s e n;
evaluando en (pt
, 0: )
28
La trisectriz
Zd)
(.os
ñ-Á
p = 2 a c o s 0 -a.
La cón jca
pt = - 2aseng p tt = -2 a c o s 0
2 7 .-
e 1 ra d i o
p " =
a (5 -4 c o s O)3 /2 9 -6 c o fd -
. P="
a(5_4coso r)t/, 9 6."=E-'
^ ..^1 vaJuando ; e
en
(ot
, 0l )
sc
) e-''-- a( c"- 1
) senJ-;-( 1 ccos6 ) "
( l - e co s0 )
R eernpl a zando
-
- ::- L
ic,s cn: )]
.A
en:
, G' .rr:r*u -ft=m,
se obtiene;
* = ' "t '-"-'l f1::::;;9."t""
s e n zo.q $ ¡ t" 2cos20
a (1 'eL) Ct -zecose".e-t -l ( =.,'" ..'.....r ¡1 -ecosg, )
Derivando nuevamente:
z.or2o(coszo)s/z-trtcos 2o)1/ ? L-zr"nzo ) senzo I
[ ^,, - -= .3zL-
J ,s/2 zo * 3 s e n 2 z o , . o r1 / 2 , t ] [,.' /'
t^1/a46'z3o.. zs*ss.ntzgI =tlsg+?q(2*serr2zo) " '=ra*q;' [t.o' t 2cos'zo
enl a f6rnula
, parael punto(01'0,):
? .\/? .
t
pr = a sen 30,= 2 (cos Zolst z
Srrs tituyendo
- el = - l-a{l ': - '_Cot T
; 2 p c o s 2 0 .p , +2 (-S en20) p2= 0
o,'* 35;r$ (e)=
'- 2 r 5 .
P
2 - ecoseI [" u @ z- t I c os o]- " ' fL- t]'" 'l ['l t
. SOL U C ION :
^? t-a
, 0. , ) :
[ ol
r Dar a
S 0l ,l l C IO N: . o( 1 scnS) a(t _--:--L\-x"-"-::i-i-= _ = "¿) (e ^r t-' ( 1 - ecoso ) ¿
c l e curvatura:
L a hipérbo1a equilátera p Z . o , Z O = a z Deri v a n d o
,
?oz
SOLUCION:
Ca l c u l a n c l o
/z - 113 I
1 p.l
+7
26. -
"2
D-
se obt iene :
del radio
de curyatura
una de las siguiene1 radio de curvatura en cada lar 'I"tiátla curva Y el cir Trazat án el punto indicado ' correspondiente' o de curvatura 1; t = 1 - X = Zt, y - tZ xt Derivando: SOLUCION: Xtf
Cálculo
de1 radio
f
¡
z
=
0
,
lt
= 7t
y"= z
de curvatura:
t 1 zt 2
l[*')'n q: l-_ xty
=
- rtx"
reemplazando:
SOLUCION: para
al ,
t
=
wl
Yt
I
se tienc: .-ll
t3
x tt
3 0 .-
x = 3 t", y s0 L UltoN: Der iv ando
=6t
vt
:
=$
xtt
o
ytt
z
J-Jt
"
.t(
31.-
paTa
-36t-18+18t2 (valor absoluto
= 6
x = zet,
y = 2
soLllcr-ON: xt
:
Der iv ando
Í l¡ L 4e '"
+ 4e
"'t, = Zet
Y'
o -Ze
x=acost,
= -a s e n t x tt = -a c o s t x'
t *[
t ueeo: 77)
¡ a s e n E+ a c o s f,e
-1 Yt Y"
S OLU C ION :
t^ 2 \3 /Z L a tJ
a-3 -'-T
¿ Íra
= acost = -asel tt
|=
[,u' "1"
,P ara
Roa
A
t - 1.
) 1+ LV
l
t
=6i
l
t , 1,l)
^
qt-l -' -
t-
lzt"-
IJ
rr_-a_l V IJ
t=1
para
;
6t"
t= tl
Y = 1.
= Zsent; Y xr = -4sent x" = -4cost
.,.
v'
2cost
I
- 2sent
R:
en 1a f 6r m ula
* o'o'- " ]" '
'lq
v ='i
Dara
'
t
R=
* tzt+f3t2 f, -
x ;
Zsentt
I
+
K
= -E _.v I
f-
8
Y * coszt;
lalue-I-or¡-:xt
o Zcost
xt r -
)r - ii
I
?
SrenZt * 8cos2t e
^2r"n2t*^2.orzt
x . 2t,
x = 4costr
t
'rlt '
J
v
J
,
)
-f
para
; t:
1. -t,
' -L
^¡.+* )1"t z t "to
y=asenr
r
z
* = l: :- ff
R eemP l azando
S O LUCI O N !
sJ. -
x'
¡t.* /
R= 2n
P-
SOl,UClOfr
-
E ntonces :
4+4
32.-
I
L
Xll=
'X" = 2et Ytt = 2 e Reem plaz a n d o e n l a f6 r lulula: D _
+-1
n-
lo w = I
.2, r X = t + t,
)v
¡)-
20"'-
1
Para
'
' .,1? =--
Q
-6t
- 18tz l i / z
Itu t'+e+g.4
t
-3
tuu
E nt onc es :
ñ
8
--_:
¡ 1 <1 2 + l 6 t- ctl J¿& : 1A+
Y' =
,
r l¿ L
R=
t = l.
3t-t3 ;
=
l,uego :
R=4/l ?
^
---;
Luego:
- 25ent
¡ -'116r Yt - -Tsenzt Yt t -
- 4cos?t
* t=30"
L ue gO : f
)
¡ 1z t n
p _ L4cos1 +_4sen'tl''' - Scostcos 2t -,1sentsen2 t R-
t - .1{}"
z ls*t1st
-8(+)tlr-oüq .,
R =i{: 57. -
para
/:
^/;
t5
- ¿ /J
#A P I T ULO
t-
(valor
I
x = tg t;
y -
absoluto)
c tg ;
T-Q.I,UEI-QN: x' = ,"a2a
TEOREMADEL VALOR MEDIO
f = 1/4x ;y '
-.o,* a2t
x" = 2sec'a.ara
y"
2cosec2t.cott
Entonces:
+ c o s e c+r]srz R= zseczt, cosec2t cott+ Z c o s e cra . , u J a , [ "
C o r n ¡ r r o b i i r e l te o ¡ e m a d e R o l l e , h a l l ¿r n d o e n ca d a los de K lilra d e i os si g u i u .:n te s ca so s l o s va l o r e s se a n u l a n . v f '( x) i(x)
f,".ot
r
P áI
t
a)
,
*+¡3 /L _ - -T61 6ñ -o-= z(2 )(2U)*2 (2 )(z)
= *3-
f (x)
3*'
* f ( x)
SO LUCI O N:
R = /T 38. -
X = t-S e n tr
I
SO.!!J_I-QN: Luego:
= 1 -c o St;
= l-cost xrt = sent
t
;
v'
F
T
R
b)
cost
+"urr2t]3/2
cosr_.il;-
R + -4
; tomando el v alor
f '( x)
=n
fr ( tl ¡
= ¡
= 6 x"-
x" * f( x)
L u e g o:
s ent
f ( x)
S OL U C ION :
[l -2cost *"o"2a o K=% -
x( x2-
3) = o
"
s x z - 3 =0
= T
2 I -cos t a ñ q l- -
t/z
I
absoluto:
Dejanos al interasado 1os denás ejerciciosr son pura aplicaci6n de fdrnul a,
el
cl u e cu n p l a
f '( x )
_t.
=
0r
T.
tx
de Rolle:
)F
Ia
y
etlos
Jx=0
3 x( 4 - x ) = s Luego l c)
1-_
L*"0
fr ( o )
= f' ( 4 )
=Q
f [x) .4 +b x* .* 2 ' SOL U C ION :
* fL x)
,tz *
= tr' J
J* t
= ¡
l 2x-5x- - 0
lx L
(
{ * z ¡ o- * ; = o L x *P a r a
i* = o
0'
E0
b x+a o 0
= u ( Zve ce s)
r-¡no que
t
/b --
x=-_-b ]E -_
)
4ac
S Oj -LIC ION :
* f '(x) = 1¡ 2cx+b=0
'.
$.Q-LU!.LQN: * f(x)'= o ( = 0 1 x = 0rI senx t
f[x)
**
' ' l)
= s en fi x
- cosnx.
cosT[x =
^-
= 0
**
t agx -x = fl
Lu eg o
i
f' (e )
= 0
i
dad¡ t :
A¡ i¿r l iz'ando la^exPr esión + Sec'x =, 0 = (]
i l S E N TX _S C N 1TX
4
valor
r esPuest a' + t ? R azorr ar la icem os: Anal S OLU C IOÑ : dY ' rA t -
+
s ( y * t ) ¿f f i *z x Igual ando R ol l e.
a c. er o par a
0
tagzx
0
C ono:
0rfi
En cada uno nanÉra gue: 7 . L -" , a) f (x) = x , A
** ft(x) = Q 1 +.lnx. 0 x¡ e
' 0 . xLirx 0 xa 1
l ql l l I-gN
- |
x
= !
x = "1 = 0 f ( 'n) - 0. según el t eo -v = rgx, enr onces t ( 0) par a se anula si f (x) f t ( x) qt t e asegur ar se ¿puede R ol l e rema de ? Razonar 1a ] : espt r est a' ó y val or t r "t *- á'lt t t al gún
z secx = Q
¡ l*x)
0
x=
= Q
s o L U C r o N: f (x¡
ex
f | (x )
tagx
x= a rc ta q x = f ' (n ) f ' (Q) Luego : = f (x) x ln x . t
= 0
f '(x)
C
colLlPfend! nunca t onr a valor eg S abe¡nos que I a. sccant e p: uede t oiilar no cer o o f dos entre ( -r r r i"- r - por 11": " ( i) nunca se anula' ;;" .;;;i ;si ón' f' = 0 cuando x = - l Y Y=0 Z, Y ent onces 1) "= " ( v + si ' :^l l l " '.]i =i ," 'r .* r ¿ á R or te ¿ puedeas egu-
*
TTC OS T}i +
s enr x = c os f i x L, * = i ( un a d e l a s solucionesa) f' (;) Luego I f ( x l = t gx - x .
=
*"*
ft(x)
*'*
90LrJCr0N: * f (x) = 0
c)
tx
' 2'
s enf ix - c os r x = 0
x=
= 0
f ' (x)
- ' c osx = 0
S O LUCI O N: *f ( x ) - 0
f)
- o
fL 'l3I') ¡'¡A-r = -
Luego : e)
r ' ( - *)
= senx.
f(x)
= i)
f '( x)
"t
* f(x)= 0ex* xeX=0
* --g2c d)
: it f l
x f [x) = xe
,*
2x
É =; G V
clue cur npla
con el
t eor er ¡ a
de
x=0
u=o
3(y+1)"
0 e <- 1r l>
luego
,
Y'
sé anula'
*r de ??r1':;'r$':"t;l^i"'r?i;,|1ttar
SOLUCION:
É
l,
u
-
L'
Reempla zando en la f6rnü1a:
f tb) = f (a) + (b-
1l if?i,'-'5l', r r b ) - f( 2 ) - 1 ' l
't
en I l ) :
1l)
ru stltu ye n. r ( )
bi
b = 4"
a = l,
= Á,
f(x)
j 'l
(2)
'
¡
¿{ x
(2 )
e n (l )
f (x ) = 1 n x ' s o t UcI0 N:
;
=
I
.*(4
3
'
t t.- -
t-r r 'x
¿tx
9
y'x.
+
x ,I
t+
t lx , ,
= ex
'
SoLUefoN: f(b1
= ¡ ¡ 1¡
f(a )
'
f'(x,)
f ( b)
0,
b =
= f( a )
+
= f(1.s) = f[0.s)
( b- a ) f '
(x,)....... -
t-
(1)
+
f '( x
. . . tl l
t) I
= o.40ss I =
-Q.un.tf
+ = l '0e86 ^1 €\
(2 ) e n (1 ): +e
e- l
b = lr 5.
0.4055 = -0.6931
( z)
=1
*r
+y' ¿
SustiuYendo (Z) en ('t ) :
t
xr e'
Sus tltuy endo
z --1-= . x"¡
f ' (x )= +
= 7..¿5
j
¡ ¡ e¡ -
a,
f(b) f(a)
*
X.l
0r 5,
f (b) = f (a) + ( b- a) 't = j
:
2* u+ )
=
x1
Ree mp l a z a n d o
( l)
( '2) e n
S i rsti t,uvendo (2) en ( 1) :
1
t
'tY
(l )
(') \
I
?
f ' (x . ) ' - i ' x1
S OL U I_ IQ N : f ( b) = f(a ) " (b -a ) f' íx ) f (bl = f 14) = ¿ f ia) = f(1 ) " I f
f (b) = f (2) = l t f(a) - f(1) - "l r
x t = a3
4 =1 +Zxt*3= Z\ , +
x, e ' . e-l
L)
+é .
I
x.t
-+
x<¡ = 0.9102
b = 1"
f( x) =s enfr r a=0, S OLUCI O N:
a a n b o s mi e rn b ro s : xr lne ' - l n (e -l )
Ton an do ln
*r
r)
. l n (e -1 )
) a - 1, f(x) -f, soLUIJlJf: f (!)-f
b - 2
(¿ )+ (b -a )f ' (x 1 )
\eemplazando (2) en (1 ) i
tl-o *!.osff
+
.os$
=-
., tl
I
lfx.
+
') * +xt - arc cos Éi)
. 0.88
'.
xj=0.5ó
Si se dan t(x J = T rI a = -1 , b = l ¡ j para (si *l 1o e s p a ra a l g u n o ) será f (b) = f (a) SOLUCI_ON: Si: f (b) = f(a) + (b-a) f (b) = f (1) = r (a ) = f (-1) = -1 || f '(x) =-T 1 x
,| (tr ,rl fl
a,
..,
¡.,
(l I
t,..
a
. | . r I r . I r r . ,
(2) "
^
xi
6.-
+
f(b)
= t
ningún
i
x-)a x
v al or
* f(a)
real
(b-a)
t
f'Cxj).......(t)
= 'l
F' ( x) =nxn- '¡
I¡ r ¡
.
llm x+1
lnx
=
FT
f (x) = 1nx F(x) = x-'l
#-]i'txJ
lLIn
x+1
1/x -T-'
lfin x-rl
-
^1
F' (x)
f'(x) F'(x)
+
= 1lx = J
= llm f '(x) FT{T x+1 'l
-i-
='t
el val or ¡l o r d e ri v a c i ó n fo rn a s i n d e te rmi nadas.
tfin x2- lo x+42_ ' ,l x-+ x-20 ',i SOLUCION: Sea: f (x)s¡"-¡6 ¡ ',I
P (x) '¡'**
x+a
f 'l'x')
a
--
+J #= o
á6
l .tm".-
1t
In x -¡ x-> | ^ SOLUCION: Sea: ¡
r r r i r r ..r .....( 2)
DE'TERI'IINACION DEL VALOR DE LA FORI'fA INDETERilINADA
l.-
*
f '( x)
=-.-- 1 n-¡ na nx ":T
trm x''a
(2) en (t ):
1= r.z(+* itl'l
Det er n ri n a r s iguie n te s
x-)a
-a
de x,
f,(x) =!x-tts l
xl
= r ím 4{-{} r L'\ J
x -a r m -;-ñ=
f ( b ) = f (1 ) * t I f ( a ) = f (-l ) = t I Sustituyendo
'+
F lx) =xn- an
Si se dan f(T).*t/3, a = -1, b - = l, "(6i'= quú y¡1 lor de x,' (si Io es pára alguño) será'f ipara li" I + +(b-a) f'(xr)? SOLUCION:
f ( x) =¡ - "
Hac iendo :
S OLU C ION:
xi
*1
n o e x i s te
- a --n -ii ^n
x
l ím x-> a
R ee mplazando(Z) en [1) : l - - 1+2(-Jr) 2 = --A
Luego ,
x-r4
É- o
J
*l- = -1
F' (x )
l
gr r- \ il txlJ
'l
7
f I ( xl
f (x) - Llm x-¡4 F [x)
Lím x+4
r.¡rrc v ' ¡ie *
- tO
t¡ t,
de cada una rfc lál
x-x
1<ñ
a-a
---¿--
senx
i;ü
S O L UCIO N :S e a .
- Zx r'(x) 2x+l ft(x)
I
1fn
i;
€
x-x
-'
I
s enx
o
-x f(x) = - e "* F (x) E senx
*g+fif-*g
* f f ( x) o * F'( x) f r f x) F' ( x)
!
"*n "- * cosx
x-x
e+e -cosi_-
iim x-'o
-
= "o * c o 5 0"-o
- -;=n-
1 + | =--_" |
1 1 -A ' l -' '
r im
=
----::*-T:-;::3^ u --a5ur¡
6 se n 0 co s
0*o
: 'u¡'L! Derivando nuevanent'e 5.
tgx - x X - S C T LX
1<_ x+o
=
!Q.!uqI!_N: r lm X +O
= l l rn l33t - - x x - s- en x :" ' X+O A) ?
1liln ..*
,".t*-r1 -cqsx
= r rm z : : t ' * -f g g ¡ senx ;;;
+ s ee ")Í39:5L
2 (s ec'x
>cosx
l- ' '.-',il¡2 (I-U i
= --
r
r¡,¡
v
_ñ
=
-:#
( ¡ - 2x ) -
?
S O LUCI O N: I ns e--i nx I-rm ( n- 2x )**I A - l-
="Trfrsb x*7,
t = -,rl m ,-n ^'z
z
cosec x
r
X* o
o X:;é
---:T-
Y*o S OLU C ION :
,.E"--+ rrtttl¡(l * Y*o
Y)
eY*?o-sl =J-+-L=+ 1fm - Y*o 1 TAf
I --7 ó I
l¡lr
1f
Y4
hr
= = ,r^ ""!rout;W*?-xt3
SOLUCION:
SOLUCION: lfn x+-o
x 'x alD-=lln
, x*o
^
"*1n"
- bxlnb
1fm'giiff* o*F
o*l
* 1nf - lna - ln b I,;
0 -arc
qi" 11ü
=?
=
x$ lím
):--
seny- l
. lfm
7.-
;i\l[i
= C o SS
1n serx . *n
t\
_._-.:' --:-t
I
solucroN:l:ü
=2
-
2
o
x+ 0
x+o
lg
Itj:., ;5;""2e"o-'*l-esen¿€coso
.,<* qgD!+s!
= 2(l + 0)
v
senO
lim ? sen-€ 0+o SOLUCION: IIM 0+o
r-3
0 -a rc s e n O
sen-0
1
/ t ro z - lf n 0+ o 5 s e n " 8 c o"s 0
1ín -
1T
,, ".0r. orullrttlZll-o't' o'^'o
Q*a-
- t:D:*$2*P=# 't
-a
1) ) 1, r - at - ar + a
I im r -' a
r-'----T
.Sea:
Luego :
f (x)=¡3 -or2-^2rr.43
F(x)-r
f ' (x) =3rZ - 2u, 'u2
F' [x).' ,l r
r-ar-ar+a22 r-a
l ím x+a
=
-ó --í-
1 í¡n
/3x
i*
"'-t?'=u]
=
1
- i ;T
taes * s e!9 I+ i¡ rI <ñ l '¡tl dA - S eC o
2/12-x
,..E
0-¡o
zlll:Tx
l1
T 'T
6.-
- zlTx
l6x-x
/1óx-x'
F(x) .
2?
s{67
Entonces : /tox
r c-
r¿ ..1
;;t
-,
x
F ' (x )----* = ,-.-4
E
(x )
Sea:
J
F(x) = x f'(x) = 3x
- cosx
F t '( x) = 6x pr r r ( x) = $
C oS x
Luego: lim X +O
- xq - zYÑ, '
2-w
5
3 senx
f" (x) ¡ttt
^3 ^ €r/.v\=4-Z{.---4
x- sqnx
r(m x->o 'I I¡¡r
f(x)=x- senx = I ft(x)
Sea:
f (x) = /16x-x* - zrG ---T
1 ínt 0 -r'o
.,. sec10 + sec0taq9 ,ecle - sec0 tag9
-4
S OL UCI O N:
2-Ñ
SOLUCION:
¡ '( x) =seco0- secÚt agY
8 Al +
lfm x+2
L@ó"
- sec0+'l
1
;:;E'3-e14.-
F ( x) =t ag0
i
f t (0)=sec'0+sec0t ag0 hallam os: Fi nal ¡nent e
1
2/x
H a c i e n cl o :
f (o ¡ =¡ ut 6 +seco - 1
2/19-5x
_ 1 ?_
zx-sffi
-¡
+ seco
S O L U C ION :
't5
= 2 +
F' (x)
zl12-x
-,E;
4
0 +o
F ( x ) = z x - s lig ] li
/7
&
'-;-
= --3' t o0
Lu ego: lf n x+3
#
É
to
o
z
r ím ;?a- - SeEo=]
- ñ2-*
6-* 2r'x
/ + "; -J
1tL ')
- z-';-
i;j zx-sl 1 g j sx qa.Ue_IA,N.: Sea:
f,( x)
_z
?-
- ,6?-x
f (x) = /*.
-
+
=** 13.
--. ;: q/gxY
x+L
¡rA
)na^ JL¿1
- ;IJSL-
Mlt
'' 'r
;
.!:
/to*-4"--
r-a
SOI,UC.tON:
I
8-zxr
fln x'+o
x- se n x --T x
x
-
-
seft¡
1 im !!i¡¡ x- |o
cosx 6
=! 6
I
{{} I
s0L UCr o N: Se a : = t agx
f[x)
- 5enx
/ = sec x
f '(x)
cotx
;
- cosx
= S sctt' .,
F ' (x)
f" ( x) =zse czx ta g x + s e n x
F " ( x)= $5snxcOs'
a
' .\
t¿rq30 I
f " ' ( x ) = 4s ec
))A
' x ta g ' x + 2 s e c ' x -
. ^ a LXV
a?
=::?fr*34 eolUcroN: ##+=ff# **
Luego: ?)A
2^
. ?. ^
Luego:
+ 2sec-x -! (, . = rr¡n 4 s e c " x ta g " ' x f? x -+ o 6 c o s ' x -1 2 s e n 'xcosx+ 9scl ) .,,( ¡, ,r
l1m x -io
rilr TT
A +;
F " ' (x)= 6cosJx ) -1 2 sen' xcosX tg:;r' l
- c o5x .
. ,^
;;T7;= i1#-J--r -tas¿x
lii x +o
= st.rr
r[x]
.,rm tas¡9 = tín :S1-9-_!sL+ t aso s*+ co s"o- 5 se n - o ;:+
"-+
'7 DETER¡IINACI ON D E L VA L O R D E L A FOR I' fA IN D E TE III' Il l l rl l rA
.t.rlm x* @
J
[.o Ye -e
Sr
I fm
-l - X g
x+@
1nx *'
3
SOLUCION:
Haciendo:
f (x )
= l nx
lfm x.s
1nx _= n
iil
¡' ¡: t (¡ ) = ¡rx
r'(*)*
Luego:
F(x)-
;
r <*
,"
x+ o
!¡ ¡
.ffi-
1 trrrr¡
X - +o o
c t p2x Poniendo m a n e ra :
cotx.tagZx
-
1 a e x p re s i ón
co tx( l !%l
l -tag-x I Entonceb estamos en el siguiente I
x+@
.i;;
''+-!* I
lr¡r
x.F
"*
^ '" -
de 1a s i gui ent
-
_i_
I -tag'x caso:
/
I
e
r: l -l -t t r
l nx
1 l -, Ll ^
x +m
t'
=*
rrrn{fff-
x-'o
1a regla:
APlicando xx
SOLUCION:
ctgx
SO LUE I Q I L:
-
¡X --9'l ¡ f(
.| <-
1 =* =o
I Lr
-
1 lm
-
6
x^ - ¡ o
z.
.--Z =2-
= 1fn
i =o
1 1fm -----ñx+ @ nx
X
x-u*
regl a:
la
A plicando
S OLU C ION :
x
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@
U
-
?
1F*
SOLUCION: xtlo
cotx 1nx
E
i. Lr . -r ¡ r - cosec- x 1/ x
É ::"
x
TT;
e^
402
7
lnsen2x
r á_ I¡II
7.
¿
d
rnsenx
x+o
e€
SOIUCION: Sea: f(x) - lnsen2x
f ,(x) "-¿*#F
.Fr l x)
=
x se n.-
lim x +(x)
F(x)= l nsenx cosx
a
Sea:
S OLU C ION:
1. -
X+O
lnsen2x I nSenx
- +=
?cosZx. senx l frn -3E;Z;:T6;;x-)o 2*
lfn x''o 8.-
1 fn x-+o
.or ------*-T
=
1.I Ijt¡
x-)o
,"rr2*
- -=
2cos2x.sc' ¡l rr
2senxcos "x
AA
Luego: 1ln¡ x-)o
J
4
xse¡]
Y
=
F'(x)
=- ¿r cos- ! x
it ( x)
c os x
1
lfm
-
a co S
1
a
x
x+@
:a
Sea:
.f
f (x) =¡
F (x) = l;;á;x-
f r(x)=1 Luego: lin x 1 nsen x x -)o
Fr fx)
o -l9n-Icosx
lim (rr - 2 x ) t g x , x*L L
SOLUCI0N:
SENX . (7r-2x) tagx = Llt-¿xJ zóT;-
L
Ahora haciendo: 1
É .. llm x")o
C OS X
1 (.-
i#
cosx
senx
-E;r
-S enX = 0 = -Ifm cosX ¡ x -> o
F (x) = cosx F'(x) = -senx
i f(x) = (Tr-2x)senx f I (x)=-2senx+ (n-2x)cosx Entonces : (n-2x) tt-m
e$
tgx
-2senx '¡ (n-2x) cosx -
T x +t
'ff
x*z l fm * .e +6 9'
-2
0*o
senx
t
--
SOLUCION:
Haciendo:
f(0) - tas {E
llm
;
F(e) -+
s+
(1 -tag0) sec20
SOLUCION:
f'(o ) -*&r""zf
E ht oi .rc e s :
L
, F, ( o)- +tT
, o!r) (r.+rag +' - O\^* o 4& ,""249lrn *.", -ln *t Y '' :Ol p.L
ó*o
-T -l
xlnsenx.
SOLUCION:
e .-
F (x)
sen*
-
S C IIX
Luego : I lll¡
f ( x)
Sea :
f(e) =l -tg' f t ( €)
=- **. 20
Luego: llm
o+
(1 -tag0)sec20
- lfnt
- e*l
;
F(e) =cos2e F'(e) 2^ sec u 2sen20
= -2sen26
? : ---=
15.
r rtr¡l-+
1 Luego' TrEosO *:'i kfo;-'4t{' ;:l
t¡
2 (1)
- -1* - t JI
*i, L*'-l
so l 'u cl o N : z ;T -t
.1
1 _ - .¡-=
1 f z.,l = .1[¿:*.r ;:i- L*.T- ..1 x- 1 L x+ |
_
= L¡;---r1 z
f
x+t
11
Il -m
,l
(---t--, '
tt* [JL,*
x +l
J F (x) = 1tt*
f(x)= 1-*
xl
*T Li'*- j^,.j
-l
li¡n (-i) x +l
1im x +l
,X
Y+l
(-x)
r
I
I Imt--;_..--T|
J
;2 1 ¡ -cos0 .1-cot-'O'
lÍn
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"kr[¿i*##J¡ / -.r +cosó I
|
|
ln/
+ _y
v'
llv
'l / y'+
1/ y
1l
x*o
-
tt
S O LUCI O N: Pr ocedem os de m aner a plos ant er ior es:
-l_] I -co s0
1 1-cosQ
- _?¿
-
/
x*o Lsen'x x"J
SOLI]CION: L
F" f\¿, y)
I *r
\t
.ti ; ',- +
=
l-lr¡. ----1-
-'
|
F'( y)
=T
.,
r fn l ---+ó*o L s" n " ó
F(y)=(y-1)1nY
;
I
-l
., __ set"6
r+ -t;r =r#5fu},a-
r1 = 1r* [-y+ -.-=--i r ¡ Á/ J
1 F' (x) - _-_
f r(x)= -1
Entonces:
[r
z
Lue go :
SOLUCI0N.:,Haciendo.:
f
I
f,"(y)=+
JI IrD(
**,
-
r I:./
_ -;
f (y) =y1ny-y+1 f ' (y)=1 _1+1nI
j
v+l
-'- t
rq
tY- | L'
|
llac iendo : I f¡n
14. -
t _ _ -z _
|
I QN: SOLUC
x+ 1
Luego :
r l nl
Y-'r
tr_
=_
I rr -a1
"2
t1*;;7
- tl
I -I-cos6 f l -c o s o l L]+cosü-J
'
Lsenox
eje'l
xoj
+ lnx - x ,1 *t ft(x) - I
f(x)
a.-x+lnx1+1/xr llm IÍm =Inx-
x-+o
que los
r 1 111 ' --v-l= vr | -a
x.s IOLUCION: Sea: Luego :
sim ilar
x->o
-1-f-fnx
;
F(x) F'(x) =1*0=0 I + -
= xlnx = lnx + 1
a o ( i1 9 ,- l fm 0 -+o
ocsczg
sgLuer0N:Sea:
f(0;=s
;
F(0)
Luego:
f '(0)
I
Fr(O) = 2cos20
1Ín 0 -+o
cosg-sqn0.cq:50 senO -l - -;offi - cose = sec50 - tagO = ?oT5-OAhora llanando: * f(g) = coso - senO.ccs50
. sen20
1
0cosec20
ft (0) = -seng -cos0.cos50
á13 Eñ?o
no
zTn-
Lueg.o:
lfm -!LE 3xctgjx
riq (sec5€ - reo)= lq l+;am=ih=##*mÉ
x+o
f '(x) Entonces :
co t2x
F (x) = cot3x
- -2cosec22x = -2(1*cot?2x)
1fn
!o l ? *x-+o co t 5x
Ft (x) =-ScosecZJx 3 -J (l +cs¡23)c¡
1fm
Gz - Qz)ts#
i F(ó)= "o,fi F'(d)= -"o"."2
L u e g o,
=f,fr*
l3 b2-+2)tas+9 " ¿a tr'd+ o.¡a 6lá .rtza[r..ot2i$]
,*t
SOLUCION:
* 2rrx -lg il Tr - 2¡'xe'rx 4 x - 2 x( e r x + 1 8 x ¿¡ " n * * 1 ¡ ) ;
f ,,(x) =ZnT"n* * 2n2"n* * zn3xen*
Sea: f(0)=a2-OZ
( s eér ;o-tg o)' 'o'l
nJ 2 x( e r x + t ¡ l
f , (x) =ztreTx+?t¡z*"n* -?n i
f '(0)'-20
zz.- l rg
tm
Sea: f (x) ' znxerx - 2rx
;*" 3
é@:
{-r l4x x-'o L I
z
ig
0*r
0*;.
Llanando:
f (x) '
2 1-'
-senO.cos59 - 5cos0sen50
F' [e)'
1 2
SOLUCION:
+ 5senOsen50
* F(0) = coso'cos5o
1
20 ' -
,lo7
I ON: SOLUC
I
/
F(x) = 8*2("n" ó
T;
, T,
L2^l
"or2fiJ
+1)
F'(x) = l6x(efix+l) +8nx2enx + 8rr2*2"n* Ft, fx) - 1ó(enx + l)+ 1ónxerx + 16rxetrx 'Luego:
ig# t'
lf
tí-
x+o
2x (e "^+1 )
. 4r¡2
'a T
z,i.-lgh"+-1
4',rZ enx*2r3*"7 *8n2xZ enx lÁGÑ .1, -:,¿ttxe"x 2 --g-
1Ofl
-*kl tiTti4#l h2
[-l
SOLUCIW:1irn x'+o Haciendo :
= t.a g x -x
f(x)
7
É s e c x -l
f '(x) Luego:
I
rrrnl j -
Nuevamente
f t(x)
= s
2 2x tagx+x r..2* ^¿ sen x ) x-|o x'+xsen2x
Ft (x) - 2x+sen2x+2xcos,lr F" (x ) = 2+4cos 2x-4xsenZx
??
f"(x). : Entonces l-r lfm lf x*o [x'
¿cos x-¿sen x 2cos 2x
2cos2x 2+4cos2x -4xsenZx
ffiFflg
x*2 L x-
A .fl4l
---T z x s en$ 2xsen +-
1T
z
secx á
XSENX
cosx
rf Zcosx
1
I I
*X
*tut4*P
F ' (x ) . -2senx
ft (x) -Zsenx+Zxcosx Entonces:
tt1 .,, [*."s*- + ,".*J,IL rn lt * -2, z X- )
r
-l
+x) F (x) = xlog (1
(1*x)* +F F,(x)=1og
loge
= 'l
- -17
,,
llT
F (x) . 2cosx
= 2xsenx - n
r+
fix --T s
¡l
1= - J-l LicTl*t xJ
1tun
- f
2xsenx-r Zcosx
2- 4't t o'
+*f -Tj
Luego: -
+a * {tx
4
= et+)- 1
f t [x)
a
f (x)
1lx J tL
Llanando: (1 +x) f (x) = x -1og
F.r* - * r ".*]
SOLUCION: xtagx Haciendo :
..
t"c+] =xlrT ,.."q - ftZr"" *2 "J
SOLUQToN:
5
lf n x *T
,
-
rl
--]
1Tx
'cosJ-
t- llJ t tm l-*¡1 x-ro
=! 25 . -
?
n^ltlt,
F (x) = xZ*xsen2x
= 2senxcosx
x
fL4-
tx z -4) cos - Á
F , ( x ) = zxco s%- t*"t Luego :
,
*¡,ac#=+ *-F
g Q L UCI ON :
P(x) =
llanando: -v
,,;1X
f ,[x) = Z x s en$
x*o
7 an
x-
fiX t Í -'r4 -ó
f ( x) = ( " 2- a) . s en$
sec x- I
lll
Y - ¿+ :::-+ l
S ea:
L.
t- -
xta8*l --------'lEi
x*o lx-
f(x)
Ft(x)' 2xtagx,¡
.f
F
x-rz
) = x" t;¡¡l ¡
F(x)
;
r lm I r¡¡r
x-'o
loge
, - ltI
l og(1+x)-$ffi
=€
INDETERMINADAoorl DEL VALORDE LA FORMA
ETERMINACI9N lim
logaritmo SOLUCION: Tonando haganos:
Y@
i
(se nx) Egx
**T,.
ú
II
neperiano;
Pero anites
qé
l ny = tas x .l n(se n x )-.+ # - J _ = 1 n (s e n x )
f (x )
S ea:
F(x)
;
f '(x) -*ffi Luego:
Ft (x)
gi -Z=f.s e n z x
tny - s enrcosec -x -+ l lm
Entonces:
y=
x
I para x =-,¿
1
lim
rt I
.
= "L
l vl \^,'
x
,l
)
( f + i ¡" .) (* *
Y -
_ --:- .
ttx -1
paTa x =
X
y=e_
+
-1
-l
t endr em os: 7--= -^ Xt
l - Im x-|l
$Q LU- Q -!-Q N .:S e a :
1nY lny=
Fi nal mente
=.1 -x
F' (x) = -1
1
(senx) tagx = |
x ->oo
F(x)
f (x) = lrrx
Sea:
Reenplazando en ¡
x$ z.-
lrx
inY ' 1!
E -cosec
;
1 -1=X y=x
o cotx
-
Iny-[
1 '
SOLUCION:
y = (senxltaex
=
e
1
-1
=4
e
t im ( 1 r +) t
l )*
y*' = *1nd -' -¡;
l ny = x ln(+t¡
-S O L UCI ON :
Haciendo : f (x) = ln(2+x) -1nx
= Y fi n ¡ y +a¡- r " Y] ln x = y 1 n ( 1 * 9 r )
F(x) = | lx
;
s e a : f (Y ) = 1 n ( Y + a )- 1 n Y
F' (x) - -1 lxZ
11
f '(x) =Fi - +
lnY- ry"+--#; Lueeo 2 -
-. ttn x+o
a l' >
C * * t)* '"
v 2
Ee
Para T -'
J.-
I}m x+t
x
F(Y) =
1l v
F' (Y) = '1 lYZ
(ver anterior Siguiendo 1os Pasos se obtiene : = s¿ 1ím (1 a -.11I
ejercicios
anter ior)
. ct Rx
(1 + senx) lim x -|o
logar it r no SOI,UCION: Tom ando
I ¡
;
i1 t' ( y) = T*; -T
Entonces :
1ny
I = (1 -?'
tl-A
S ea:
nePer iano
:
L n y = c o t x L n ( 1 + ¡ t n x ) F(x) = tagx ;l ') f ( x ) = ' L n ( 1+ s e n x ) Ft (x) = sec-x
r'(x) - r**
.
llm x -+o
(t
+ Senx )
/^
, ctsx "
-:-
= e
á-
.
cos: 6.
1 , x .x (e + xJ
Ilm x-)o
L
A
t
Lttego :
z
/t"t--{-\ | 1 I /_ x' \cor .& * -:
-'-7-
SOLUCION:Procediendo de manera sernejante que j e¡p1o anterior; se obtiene: l'un ("*
n *)1/*
x+o
u- l
,
_
'1nY
Iny = f (t) f'(t)
I l*
par a
xE6
C OS -;-
'r'Y=1
Entolrces ;
* 2 x\-. ¡ / \co s T-l-
I im x-f o
neperiano:
L 4 rA
1
(1 + nt)
t
, hacienrlo 1o siguiente;
l i nt
(cos¡J
x-+@
= 'l + nt
F(t)
;
= n
F'(t)
lny = n
, Luego:
2 sen -.,
A
- "2
([ + nr)"' lim t -'o Tomando logaritmo SOLUCION:
-z
I
--2
lnY=0 '
1fn¡ t-)o
1 l+
SOLUCION:
* |
Y =
¡ .o, $* 2
+
lny
= *2l"1t ot
Haciendo:
n
')Y=e
+ nt)"'-
(l
r !
e"
= 1. / xZ
F ( x)
f (x) = In (cos ?
-3 x
L
-S OR
f'(x) 8.-
L¡
Ise n - - - J
I
Y-Á
/ r \k 1fm \cos frf
=¡
,\\
---7'l cos- A
')
1) x
x+o
Sea:
SOLUCION:
lny'
y - ¡ .osf¡ *
xrn(cosf)
Haciendo:
lny ?
f ( x) - ln(cosP
-'+3.( rr(x) +)
r(x) = r' (x) =
-* tus!
'
nuevamente tendremos:
i
I
:
i
f(x)
_., x
s
?
2 a9 -!l
I I
iI
f ' (x )
rl I
sec
¿
;
F(x )
*rÉl
s
--J L
1
F' (x) - -l x-
) :) x
Luego:
1ny = -2secZ 2 X, 1ny=-2
-|
pafaXoo
y=e-Z
IN D IC I
Entonces encont¡amos qu.e: lfm '
(cosá --
Xt
X+ @
Pa.q
C A P I TULO I I
*2 - "-2
V ari abl oc
-
Funcion'- '
/
L'm it es '
1
L-r-nri tes' C A P I TULO I I I
NOTA: a !or ej ercicios restantes son nuy s imilares los resueltos 1o cual resulta tedio,so hacerlo, dej amos a1 lector cono para :1"::H::uencia y.
sv
l¿Ld¡
.
to
D eri vaci ó ; r ' P robl a' n as' Des ar r ollado
31
b
C A PI TULO I V R eg l as
par a
P robl ena s
der iv'ar
f unciÓ nes
algebr aicas
desar r ollados
C A PI TULO V A pl i caci ónes P robl enas: P robl em as La deri vada P robl ei nas
de 1a der ivada ¡ 'f áxim os Y i'lí ni'nos des ar r olladas cono r apidez adicionales
de var iación
40 ó8 B5 111
1 ss za6 229
CAPITULOVi 239 funcidn - Derivadas sucesivas de una ?54 I Segundonétodo Para deterninar máxjmos y rníni-utos 264 - R¡nto de inflexidn CAPITULOVII " logarltrnicas y exponencia - Derivaci6n db funciones 269 les. 2g {t trigonon-rétricas - Derivadas de funciÓnes 301 inversas - Derivaci6n c1e funciones trigononétricas 513 - Problemas comPlementarios CAPITULOVIII 319 de una curva - Ecuaclt¡nes paramétricas 342 paramétricas - Segunda clerivada de ecuaciones .CAPITULO IX 3+7 - Diferenciales
*4
I l( ;
CAPITULOX 6¡r'.,'atura - Radio de curvatura CAPITUI,OXI
374
3ll l| de1 valor medio Deter;ninaci6n del valor rle 1a forma Indeterminada $ : ',,| Deterrninaci6n del valor de 1a forma inde.terminada
Teorsla
:
, 0.-
y -
DeterninaciAn 0o, 1* y -o.
- a del valor
4ol) de 1a .f or,na indeterrninada
lmpresoen losTalleres Gráficos de Editorial"San Marcos" R.t.15-058 2 8 _ c Av.Garcilaso de la Veqa911-At.4O4
409
cnerüuotr I -r
VARIABLES
-Fu¡¡clottEsY LIMfrEs D ad.o: f (x) - x3 - 5x2 - 4x + 20. Pr obar quq: a) f(1) = 1z; b) f ( s) = 0. c) f ( 0) = - z f ( 3. l ; d)f(7)= sf(-l ) SOLUCI ON: 1.-
f(x)
- x3 - sxZ - 4x + 20
2 0r ( s ) = ( s ) 3 - s( s ) ¿ - ¿( s ) + 2 0
a) f (1)' " .r)3- s( t ) 2- ¿( t t * f(l )= 1 -5-4+ 20
f ( 5) =1 25- 125- ?0+2A
f ( s )= o
f(t7= 12 c)
CalcuIare¡nos
f (0)
v f (3):
* f (0)=(o)3-s(qz -q(0)+20 r f(3)=(3)3-s(3)2-4(s)+20 f(0)=s-s-6*r t f ( 3) =27 - 45- 1?, +20 f(o¡= 2s . . . . , . ( l) f ( 3) - - 10 . . . . . ( 2) P or condi ci ón d el pr oülena; debem os denost r ar que : f ( 0) =- 2f ( 3) R eempl azando (t ) y ( 2) en est a r elaci6n :
r ! 9 . !=- z + r ( o ) = - 2 r ( s)
f(3)
2o - - Z ( - 10) 20- 20 d) t
C al cul e¡¡os en pr im er lugar :
f ( 7)
f (7 , - (7 )3 - s e l L - 4 e ) + z o f.(D = 343-245- 28+20 f(7) r es l uego: f(7)_ - 5 f ( - l) f (-r) : (-¡)3 - s( - l) 2 f(-l )--1-5+ 4+ 20 f(-t¡
- 16
r q. q. d. - 4( - l ) + zo
y
f ( - l)
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