Calculo Por Elementos Finitos 2da Pc Uni-fim 2018-2

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Curso:

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS (MB516-A)

Catedrático:

Ing. ABREGU LEANDRO EDWIN

Tema:

TRACCION CON DEFORMACION TERMICA

Fecha de entrega y evaluación:

03 de Octubre del 2018

SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA

ALUMNOS

CODIGO

1. HUAMANI TUEROS ALEXANDER

20160620A

2. MORALES-ESLACHIN-EDUARDO

20080433K

3. GUTIERREZ-DIAZ-HERBERT

ALEJANDRO 4. SUSANIBAR-LIZONDO-CESAR JEANCARLO

5. BAZAN MARTINEZ DANTE

2018-II

20150184D 20150475I 20121032E

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………….1

2. ENUNCIADO DEL PROBLEMA………………………………………………2

3. PROCEDIMIENTOS…………………………………………………………….3

4. RESULTADOS………………………………………………………………….11

5. DIAGRAMA DE FLUJO………………………………………………………..12

6. CODIGO EN MATLAB……………………………………………….………..13

7. RESULTADOS EN ANSYS 18.2 …………………………………………….15

8. CONCLUSIÓN…………………………………………………………………..17

9. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………....18

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se moldea una placa de forma triangular por medio de elementos finitos, se hallará sus esfuerzos, su matriz de rigidez y reacciones, esta placa está sometida a una carga puntual en el medio de ella.

El problema se planteará en 6 puntos o enunciados de preguntas, las cuales se describen más abajo en el transcurso del informe.

Para este caso se moldea la placa para 4 elementos finitos, adicionalmente se realiza un algoritmo en MATLAB 2015 el cual simula correctamente la situación del problema considerando “n” elementos finitos; también se realiza el análisis mediante el software ANSYS 18.2, y se presenta una tabla comparativa de los resultados presentados por ambos métodos.

Al finalizar se muestra las conclusiones, esperando cumplir con las expectativas del curso.

1

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Considere la placa delgada en la figura presente. La placa tiene un espesor uniforme t = 150 mm, módulo de Young E = 3 * 105 N/mm2. La placa está sometida a una carga concentrada P = 10 000 N en su punto medio. Cuestiones que resolver: (a) Modelar la placa con cuatro elementos finitos (b) Escriba las expresiones para las matrices de rigidez de los elementos y los vectores fuerza (c) Sume las matrices de rigidez estructural de cada elemento y halle también el vector fuerza de la placa. (d) Resuelva el vector desplazamiento Q. (e) Evalué los esfuerzos en cada elemento. (f) Determine la fuerza de reacción en el soporte. 1000 mm

1200 mm

500 mm

P = 10 KN

2

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” LEYENDA: Base

=

1200 mm

L

=

1000 mm

t

=

150

E

=

3 * 105 N/mm2

P

=

10 000 N

γ

=

8.0gr-f/cm3

mm

=

78,45x10-6 N/mm3

SOLUCIÓN: (a) Modelar la placa con cuatro elementos finitos. CONSIDERACION: Para el análisis de tensión unidimensional, solo se tomará en cuenta la tensión producida a lo largo del eje x. Un análisis más completo que involucra el pandeo correspondería a otro capítulo del curso. Se considera cuatro elementos finitos, por ende 5 nodos.

Eje x

3

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

Por base media se sabe que:

𝐵+𝑏 𝑏̅ = 2

De la ecuación (1): ̅̅̅1 = 𝑏

1200 + 0 = 600 2

̅̅̅2 = 𝑏

̅̅̅3 = 𝑏

600 + 0 = 300 2

1200 + 600 = 900 2

Se observa que las áreas triangulares sombreadas son iguales, por lo tanto:

4

… (1)

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

Para determinar el ancho de cada elemento se usa la fórmula de base media:

𝑏𝑒 =

𝐵𝑒 + 𝑏𝑒+1 2

De la ecuación (2):

𝑏1 =

1200 + 900 = 1050 2

𝑏2 =

900 + 600 = 750 2

𝑏3 =

600 + 300 = 450 2

𝑏4 =

300 + 0 = 150 2

5

… (2)

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

Se obtiene:

El promedio de las áreas de los elementos se determina con la siguiente ecuación: 𝐴𝑒 = 𝑏𝑒 × 𝑡

… (3)

De la ecuación (3): 𝐴1 = 𝑏1 × 𝑡 = 1050 × 150

𝐴1 = 157500 𝑚𝑚2

𝐴2 = 𝑏2 × 𝑡 = 750 × 150

𝐴2 = 112500 𝑚𝑚2

𝐴3 = 𝑏3 × 𝑡 = 450 × 150

𝐴3 = 67500 𝑚𝑚2

𝐴4 = 𝑏4 × 𝑡 = 150 × 150

𝐴4 = 22500 𝑚𝑚2

Las condiciones de frontera o límite para este modelo son 𝑄1 = 0

6

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

Cuadro de conectividad: NODOS

Grado de Libertad

Le

Ae

2do nodo

(mm)

(mm2)

Q1

Q2

250

157500

3

Q2

Q3

250

112500

3

4

Q3

Q4

250

67500

4

5

Q4

Q5

250

22500

𝑄2

𝑄3

Elemento e 4

1er nodo

2do nodo

1er nodo

1

1

2

2

2

3 4

𝑄1

𝑄4

𝑄5

x

𝑃

𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 , 𝑄4 𝑦 𝑄5 son el desplazamiento de cada nodo en el eje x, respecto de su posición sin deformar.

7

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” (b) Cálculo de la matriz de rigidez local y global de cada elemento: 𝐾 (𝑒) =

𝐸. 𝐴𝑒 1 −1 [ ] 𝑙𝑒 −1 1

… (4)

Las expresiones para cada uno de los elementos según la ecuación (4) serán:

𝐾 (1) =

3×105 ×157500 250

1 2 1 1 −1 [ ]2 −1 1

2 𝐾 (2) =

𝐾 (3) =

𝐾 (4) =

3×105 ×112500 250

3×105 ×67500 250

3×105 ×22500 250

1890 −1890 (1) 𝐾𝐺 = 105 ∗ ⌈ 0 0 0

3

1 −1 2 [ ] −1 1 3

3 4 1 −1 3 [ ] −1 1 4

4 5 1 −1 4 [ ] −1 1 5

−1890 1890 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 𝑁 0⌉ 0 𝑚𝑚 0

0 −1350 1350 0 0

0 0 0 0 0

0 0 𝑁 0⌉ 0 𝑚𝑚 0

0 0 (2) 𝐾𝐺 = 105 ∗ ⌈0 0 0

0 1350 −1350 0 0

0 0 (3) 𝐾𝐺 = 105 ∗ ⌈0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 𝑁 810 −810 0⌉ −810 810 0 𝑚𝑚 0 0 0

0 0 (4) 𝐾𝐺 = 105 ∗ ⌈0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 𝑁 0 0 0 ⌉ 𝑚𝑚 0 270 −270 0 −270 270

(c) La matriz de esfuerzos global 𝑲𝑮 se define con la ecuación: 𝑒 (𝑖)

𝐊 𝐆 = ∑ 𝐾𝐺

… (5)

𝑖=1 (1)

La matriz de esfuerzos global 𝑲𝑮 está compuesta por la suma de 𝐾𝐺 (4)

𝐾𝐺 (matrices globales de cada elemento). (1)

(2)

(3)

(4)

𝑲𝑮 = 𝐾𝐺 + 𝐾𝐺 + 𝐾𝐺 + 𝐾𝐺

8

a

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” 1890 −1890 𝑲𝑮 = 105 ∗ ⌈⌈ 0 ⌈ 0 ⌈ 0

−1890 3240 −1350 0 0

0 0 0 −1350 0 0 ⌉ 𝑁 2160 −810 0 ⌉ −810 1080 −270⌉ 𝑚𝑚 0 −270 270 ⌉

Se utiliza la ecuación: −1 Θ(𝑒) = 𝐸. 𝐴𝑒 . 𝛼. ∆𝑇 ( ) 1

… (4)

Los vectores causados por deformación térmica de los elementos del cuerpo en coordenadas locales serán (No consideraremos el peso específico ya que estamos trabajando en una sola dirección que es la horizontal):

(1)

Θ

5

−6

= 3 ∗ 10 ∗ 157500 ∗ 11 ∗ 10

−1 ∗ 200 ( ) 1

Θ(1) = (

−103950000 1 ) 103950000 2 −74250000 2 ) 74250000 3

Θ(2) = 3 ∗ 105 ∗ 112500 ∗ 11 ∗ 10−6 ∗ 200(−1 ) 1

Θ(2) = (

Θ(3) = 3 ∗ 105 ∗ 67500 ∗ 11 ∗ 10−6 ∗ 200 (

−1 ) 1

Θ(3) = (

Θ(4) = 3 ∗ 105 ∗ 22500 ∗ 11 ∗ 10−6 ∗ 200 (

−1 ) 1

Θ(4) = (

−44550000 3 ) 44550000 4 −14850000 4 ) 14850000 5

La carga global aplicada es el vector F que es la suma deΘ a Θ(4) y la carga puntual es P=10 KN aplicada en el nodo 3. F está determinada por la ecuación: 𝑒

𝐅 = ∑ Θ(𝑒) + 𝑅1 (𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 1) + 𝑃(𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 3) 𝑖=1

Obtenemos: −103950000 + 𝑅1 29700000 29700000 + 𝑃 𝐅= 29700000 14850000 { } 9

. . . (6)

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” (d) La matriz de esfuerzo K* es obtenida mediante la eliminación de la 1ra fila y 1ra columna de la matriz 𝑲𝑮 (Eliminación Gaussiana). La matriz F* resulta de la eliminación de la 1ra fila de F. Mediante la ecuación matricial (6) se determina los desplazamientos 𝑄2 , 𝑄3 , 𝑄4 𝑦 𝑄5 . Ya que 𝑄1 = 0. 𝑲∗ × 𝑸∗ = 𝑭∗

… (𝟕)

𝑄2 3240 −1350 0 0 29700000 𝑄 3 −1350 −810 0 2160 105 ∗ ⌈ ⌉ { } = {29710000} 0 29700000 −810 1080 −270 𝑄4 0 14850000 0 −270 270 𝑄5 El resultado del sistema de ecuaciones es: 𝑄2 0.550053 𝑄3 { } = { 1.10013 } 𝑚𝑚 𝑄4 1.65013 𝑄5 2.20013 (e) Para obtener los esfuerzos en cada elemento, se utiliza la ecuación:

𝐸 𝑒 𝑞𝑖 𝜎 = ( ) [−1 1] [𝑞 ] 𝑖+1 𝑙 𝑒

1

𝜎1 = 3 × 105 ×

250

𝜎2 = 3 × 105 ×

250

𝜎3 = 3 × 105 ×

250

𝜎4 = 3 × 105 ×

1

1

1 250

… (8)

0 ] 0.550053

𝜎1 = 660.0636

[−1 1] [0.550053] 1.10013

𝜎2 = 660.0924

[−1 1] [

𝑁

1.10013 ] 1] [ 1.65013

𝜎3 = 660

[−1 1] [1.65013] 2.20013

𝜎4 = 660

[−1

10

𝑚𝑚2 𝑁 𝑚𝑚2

𝑁 𝑚𝑚2 𝑁 𝑚𝑚2

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” (f) La fuerza de reacción 𝑹𝟏 en el nodo 1 se obtuvo de acuerdo a la ecuación: 𝑹𝟏 = 𝐾𝑸 − 𝑭𝟏

𝑹𝟏 = 105 ∗ [1890

−1890 0

… (𝟗)

0 0.550053 ⌈ ⌉ 0 0] ∗ ⌈ 1.10013 ⌉ + 103950000 ⌈ 1.65013 ⌉ [ 2.20013 ]

𝑹𝟏 = −10 000 𝑁 El signo negativo indica que está en sentido opuesto al eje y, por lo que tiene coherencia.

11

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional”

RESULTADOS DE MATLAB PARA 4 ELEMENTOS FINITOS

RESULTADOS CALCULADO A MANO

Vector de desplazamientos:

Desplazamientos de los nodos: 𝑸𝟏 = 0 𝑚𝑚 𝑸𝟐 = 0.550053 𝑚𝑚 𝑸𝟑 = 1.10013 𝑚𝑚 𝑸𝟒 = 1.65013 𝑚𝑚 𝑸𝟓 = 2.20013 𝑚𝑚

Vector de esfuerzos:

Esfuerzo de cada elemento: 𝑁 𝑚𝑚2 𝑁 𝝈𝟐 = 660.0924 𝑚𝑚2 𝑁 𝝈𝟑 = 660 𝑚𝑚2 𝑁 𝝈𝟒 = 660 𝑚𝑚2 𝝈𝟏 = 660.0636

Reacción en el nodo 1:

Reacción en la unión:

𝑹𝟏 = − 10 000 𝑁

12

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” DIAGRAMA DE FLUJO INICIO

LECTURA DE DATOS: Constantes: E, ϒ, t, ne Vectores: L, A, P

Calculo de vectores F y K: 𝐸𝐴 )1 𝐿 ⌈ (1) ⌈−(𝐸𝐴) Θ + 𝑅1 ⌈ 𝐿 1 Θ(2) ⌈ 𝐹 = Θ(3) + 𝑃 ; 𝐾 = ⌈ ⌈ 0 Θ(4) (5) ⌈ 0 { Θ } ⌈ 0 ⌈ [ (

𝐸𝐴 ) 𝐿 1 𝐸𝐴 𝐸𝐴 ( )1 + ( )2 𝐿 𝐿 −(

−(

0

0

𝐸𝐴 −( )2 𝐿

0

𝐸𝐴 𝐸𝐴 ( )2 + ( )3 𝐿 𝐿 𝐸𝐴 −( )3 𝐿 0

𝐸𝐴 ) 𝐿 2 0 0

0

𝐸𝐴 ) 𝐿 3 𝐸𝐴 𝐸𝐴 ( )3 + ( )4 𝐿 𝐿 𝐸𝐴 −( )4 𝐿 −(

⌉ 0 ⌉ ⌉ ⌉ 0 ⌉ 𝐸𝐴 ⌉ −( )4 ⌉ 𝐿 𝐸𝐴 ⌉ ( )4 ⌉ 𝐿 ]

Transformación de ecuación matricial (método de eliminación):

𝐸𝐴 𝐸𝐴 )1 + ( )2 𝐿 ⌈ 𝐿 (2) 𝐸𝐴 Θ ⌈ −( )2 (2) 𝐿 Θ + 𝑃 { } =⌈ (4) Θ ⌈ 0 Θ(5) ⌈ 0 ⌈ [ (

𝐸𝐴 ) 𝐿 2 𝐸𝐴 𝐸𝐴 ( )2 + ( )3 𝐿 𝐿 −(

−(

𝐸𝐴 ) 𝐿 3 0

0 𝐸𝐴 −( )3 𝐿 𝐸𝐴 𝐸𝐴 ( )3 + ( )4 𝐿 𝐿 𝐸𝐴 −( )4 𝐿

IMPRESIÓN DE RESULTADOS: 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 , 𝜎4 , 𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 , 𝑄4 , 𝑄5 , 𝑅1

FIN

13

0 ⌉ 𝑄2 0 ⌉ 𝑄 ⌉ { 3} 𝐸𝐴 ⌉ 𝑄4 −( )4 𝑄 𝐿 ⌉ 5 𝐸𝐴 ⌉ ( )4 ] 𝐿

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” CÓDIGO EN MATLAB clc; clear all; % PROBLEMA GENERALIZADO PARA UN TRAPECIO O TRIANGULO, CON % "ne" ELEMENTOS FINITOS CON UNA CARGA "P" EN LA MITAD DE % SU LONGITUD % Unidades: mm,N % Datos B = 1200; b = 0 ;L = 1000; t = 150; % base mayor, base menor, longitud y espesor E = 3e5; % módulo de Young pEsp = 0; % peso especifico P = 10000; % aplicado en la mitad del trapecio. ne = 4; % número de elementos % Hallando la base media bm = B/2; % Division en elementos if mod(ne,2)==0 ne_mitad1 = ne/2; else ne_mitad1 = (ne+1)/2; end ne_mitad2 = ne - ne_mitad1; % Vectores be, Ae y Le (ancho, área y longitud de cada elemento) be = zeros(1,ne); for e = 1: ne if e <= ne_mitad1 be(e) = B-(2*e-1)*(B-bm)/(2*ne_mitad1); Le(e) = (L/2)/ne_mitad1; else i = e - ne_mitad1; be(e) = bm-(2*i-1)*(bm-b)/(2*ne_mitad2); Le(e) = (L/2)/ne_mitad2; end end Ae = be*t; % Matriz de la constante de elasticidad global K_G K_G = zeros(ne+1,ne+1); for i = 1:ne K_e = zeros(ne+1,ne+1); K_e(i:i+1,i:i+1) = E*Ae(i)/Le(i)*[1,-1;-1,1]; K_G = K_G + K_e; end K_G % Vector de fuerza en los nodos por efecto del peso F = zeros(ne+1,1); 14

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” for i = 1:ne f_e = zeros(ne+1,1); f_e(i:i+1,1) = Ae(i)*Le(i)*pEsp/2*[1;1]; F = F + f_e; end % Se le agrega la carga P en el nodo del medio F(ne_mitad1+1) = F(ne_mitad1+1) + P; % Vector de desplazamientos nodales Q = [Q1;Q2;Q3;Q4;Q5], saber que Q1=0 % Se usa el método de eliminación F Q = zeros(ne+1,1); SubMatriz_K_G = K_G(2:ne+1,2:ne+1); Q(2:ne+1) = inv(SubMatriz_K_G)*F(2:ne+1); % Vector de esfuerzos de cada elemento Esf = zeros(ne,1); for i = 1:ne Esf(i) = E/Le(i)*[-1,1]*Q(i:i+1); end % Reacción en el apoyo R = K_G(1,:)*Q - F(1); %SE MUESTRA LOS RESULTADOS disp('..............................'); disp(' RESULTADOS'); disp('============'); fprintf('\nLOS DESPLAZAMIENTOS NODALES(mm)\n'); for i = 1:ne+1 fprintf('Q%d = %g\n',i,Q(i)); end fprintf('\nLA REACCION EN EL APOYO(N)\n'); fprintf('R = %.4f\n',R); fprintf('\nLOS ESFUERZOS EN CADA ELEMENTO(N/mm2)\n'); for i = 1:ne fprintf('esf%d = %.4f\n',i,Esf(i)); end disp('..............................');

15

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” RESULTADOS EN ANSYS 18.2 Análisis de deformaciones totales:

Deformación total de cada nodo según ANSYS 18.2:

Nodo 1:

2.5063 × 10−7 𝑚𝑚

Nodo 2:

1.0436 × 10−4 𝑚𝑚

Nodo 3:

2.1741 × 10−4 𝑚𝑚

Nodo 4:

2.1921 × 10−4 𝑚𝑚

Nodo 5:

2.1443 × 10−4 𝑚𝑚

TABLA COMPARATIVA DE DEFORMACIONES (× 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝒎)

Nodo

ANSYS 18.2 (mm)

MATLAB 2015 4 elementos

20 elementos

1000 elementos

finitos

finitos

finitos

Q1

0.0025

0

0

0

Q2

1.0436

0.5291

0.5326

0.5327

Q3

2.1741

1.2698

1.2830

1.2836

Q4

2.1921

1.2698

1.2830

1.2836

Q5

2.1443

1.2698

1.2830

1.2836

16

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” Análisis de esfuerzos:

Esfuerzo normal (en el eje x) de cada elemento según ANSYS 18.2:

Elemento 1:

0.0829 𝑁/𝑚𝑚2

Elemento 2:

0.1043 𝑁/𝑚𝑚2

Elemento 3:

−0.0065 𝑁/𝑚𝑚2

Elemento 4:

e

1

2

3

4

−0.0010 𝑁/𝑚𝑚2

TABLA COMPARATIVA DE ESFUERZOS (𝑵/𝒎𝒎𝟐 ) MATLAB 2015 ANSYS 18.2 NODO 4 elementos 20 elementos 1000 elementos MPa finitos finitos finitos 1

0.0804

2

0.0855

2

0.0991

3

0.1095

3

-0.0108

4

-0.0023

4

-0.0020

5

-0.0000

0.0635

0.0889

0

0

17

0.0570

0.0556

0.0717

0.0740

0.0766

0.0741

0.1058

0.1110

0

0

0

0

0

0

0

0

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” CONCLUSIONES: 1. En comparación con los resultados obtenidos mediante software Ansys, y el programa creado en Matlab con el método por elementos finitos, éste método proporcionará una mejor aproximación de los resultados cuanto mayores elementos finitos se considere, esto se observa de las tablas comparativas. 2. Debido a que la carga P se encuentra aplicada en centro de la pieza, y causando tracción, se observa que por el método de elementos finitos unidimensional los elementos 3 y 4 no sufren esfuerzo de tracción ni compresión, en cambio el resultado del software nos dice que sí hay un esfuerzo ligero de compresión en estos elementos. 3. La reacción R1, coincide en módulo con la carga aplicada por el principio de equilibrio estático.

18

“Año del Diálogo y Reconciliación Nacional” BIBLIOGRAFÍA 

Teoría brindada en las clases del Ing.Abregú Leandro de la sección A.



Chandrupatla, Tirupathi (2002). engineering”. 3era edición. 59-68.



Moaveni, Saeed (2008). “Finite element analysis: theory and application with ANSYS”.3era edición. 8-19.



http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/Introduccion_al_MEF.pdf



http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/finitos.pdf

19

“Introduction

to

finite

elements

in