Capitulo3

RESISTENCIA DE MATERIALES

MECÁNICA

CAPITULO III RESISTENCIA DE MATERIALES Esfuerzos a que pueden estar sometidos los materiales: TRACCIÓN: Dos fuerzas iguales de la misma dirección, sentido lo F F contrario, que se alejan una de la otra. Estiran el material. Tensión normal unitaria: Esfuerzo por unidad de sección. F S0 ∆l σ= σ : tensión kp/mm2, ó kp/cm2. S F F : fuerza de tracción en kp. S : sección en mm2 ó cm2. Ejemplo 1: Una barra de acero de 25 cm2 de sección se la somete a l un esfuerzo de tracción de 15 Tm., calcular la tensión de trabajo del 15.000kp F = 600 kp/cm2 material. σ= σ= 2 So 25cm Ejemplo 2: ¿Qué diámetro deberá tener una barra de acero σ que posee una tensión admisible de trabajo de 42 kp/mm2, si se tgα = E = deben aguantar 25,2 Tm a tracción? ε 25.200kp α F F = σ= ⇒S= = 600 mm2 2 S σ 42kp / mm ∆l ε= 2 d 4 .600 lo = 27 ,64 mm ≅ ∅ 28 mm ⇒d= S=π 4 π Deformaciones: El material aumenta su longitud. Material E:kp/cm2 σ:kp/mm2 Acero 2,1.106 40 - 60 l0: Longitud inicial Fundició 1,05.106 10 - 15 ∆l l : long. bajo el esfuerzo. Alargamiento unitario: ε = Alumini 0,7.106 10 - 12 lo o ∆l = l - l0 Alargamiento Bronce 0,95.106 15 - 25 Deformación transversal: Disminuye su sección. µ: Coef. Poisson Contracción: ∆d = d - d0 Material µ: ∆d Contracción transversal unitaria: εd = Acero. Cobre 0,30 d0 Latones 0,47 εd Vidrio 0,25 . µ es siempre menor de 0,5 Coeficiente de Poisson: µ = Aluminio 0,13 ε Ley de Hooke: En el período elástico del ensayo de tracción, se cumple, que las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos. A la relación entre los esfuerzos y las deformaciones se le denomina Módulo de Young (E). ∆d F F . l0 d σ S E= = 0 = µ=- o ∆l ∆l . S 0 ε ∆l lo lo Calcúlese el alargamiento que se le provoca a la barra del ejemplo 2, si mide 20 m.

E=

F . l0 25.200kp.2.000cm F .l ⇒ ∆l = = = 4cm = 40mm Se estira 40 mm. ∆l . S 0 E . S0 2,1.10 6 kp / cm 2 .6cm 2

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Dilatación térmica: Lt = L0(1 + α∆t), ∆l = lt - l0 ∆l = lo.α. ∆t l l ∆l = σ. 0 ⇒ σ. 0 = lo.α.∆t E E σ = α. ∆t.E

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L0: Longitud inicial Lt: Longitud final α: Coef. de dilatación lineal. ∆t: Variación de tª. αacero = 12.10-6 ºC-1

6 cm

1m

III.1 Un tirante cilíndrico de acero de 4 m de longitud y 30 mm de diámetro está sometido a un esfuerzo longitudinal de 7 Tm. Determinar el alargamiento producido. (0,188cm) III.2 Un cable de acero de diez metros de longitud y 45 mm de diámetro está sometido a una carga de 15 Tm. Determinar la longitud final. (1000,4366 cm). III.3 Una barra de acero cuadrada de 6 cm de lado y 1 m de longitud está sometida a una fuerza de tracción de 35.000 kp. (∆d = 8,33.10-4 Calcular la disminución lateral debida a la carga. cm). III.4 ¿Cuál es el alargamiento experimentado por una probeta de acero de 20 mm de diámetro y 200 mm de longitud cuando está sometida a un esfuerzo de tracción de 105 N? (E=21.1010 Nm-2). (0,303 mm.) III.5. Calcular la tensión normal de una probeta de diámetro 13,8 mm cuando está sometida a un esfuerzo de 6.104 N. ( 4.108).

35.000 kp Figura III.3

bronce

acero

5m 5m

6.104 N Figura III.12

III.6 Calcúlese el alargamiento por ciento de un alambre de acero de 5 mm. de diámetro y 1 m de longitud bajo una carga de 200 daN. (0,048%). III.7 El módulo de Poisson de una probeta de acero cilíndrica de 20 mm de diámetro vale 0,3. Calcular el diámetro final de la probeta si se le somete a un esfuerzo de tracción de 5.000 kg. (20,0045mm). III.8 Una columna corta de fundición de sección circular hueca cuyo diámetro exterior tiene 200 mm, debe soportar una carga de 80 Tm. Si σadm = 5 kg/mm2. ¿Cuál será el espesor de la columna? (30 mm). III.9 Un cable elevador de 12 mm de diámetro, soporta una jaula que pesa 500 kg Si la longitud del cable al soportar la jaula es de 120 m y la longitud del mismo al soportar la jaula y 1000 kg de carga es 50 mm mayor que la anterior. Hallar el módulo de elasticidad del cable. (21.216 kp/mm2). III.10 Un cable de acero de puente tiene 45 m de longitud en un día caluroso de verano a la tª de 38ºC. ¿Cuánto se acortará el cable cuando la tª descienda a 0ºC en invierno? (24,6 mm) III.11 Una barra de Aluminio de 127 mm de longitud con una sección cuadrada de 16,5 mm de lado es estirada a tracción con una carga de 6,67.104 N y experimenta un alargamiento de 0,43 mm. Suponiendo que la deformación es completamente elástica, determinar el módulo de elasticidad del aluminio (72.359 N/mm2) Carlos Albaiceta

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III:12 Dos piezas prismáticas están unidas rígidamente soportando una carga de 6.104N. Determinar las tensiones máximas en cada pieza, sabiendo que las secciones son 64 cm2 para el bronce y 52 cm2 para el acero. ρbronce = 8 kg/dm3. ρacero = 7,85 kg/dm3. (10.079.528 N/m2). 1 kg/mm2 = 100 kg/cm2 = 9,8. 106 N/m2. 1 kg = 9,8 N. 1N = 0,102 kg 2 -5 1N/m = 1,02.10 kg/cm2. 2,1.106 Kg/cm2 = 2,1.104 kg/mm2 = 2,1.1011 N/m2.

Compresión F lo

COMPRESIÓN: Dos fuerzas iguales de la misma dirección, sentido contrario, que se acercan una a la otra. Tienden a comprimir el material, a acortarlo y ensancharlo en forma de tonel. PANDEO: Cuando la pieza es esbelta (longitud > anchura) aparecen problemas de pandeo (doblarse lateralmente antes de romperse) que no vamos a estudiar. también influye la forma de los apoyos, según sean empotrados o articulados.

l

F

F

Pandeo

CORTADURA O CIZALLADURA: dos fuerzas iguales de sentido contrario, tienden a separar las fibras del material (cizalla, cuchillos, tijeras, etc.). F F Simple cortadura se opone una sola sección: τ = = S 0 πd 2 4 F F 2F Doble cortadura dos secciones: τ = = = 2 S 0 2 πd 2 πd 2 4 τ: tensión a cortadura. Para el acero ≅ 0,7 σadm

d

PUNZONADO τ=

F π .d .h

F/2

¿Qué fuerza de cortadura máxima se podrá aplicar al F remache de la figura si su carga de rotura a cizalladura es de 30 kp/mm2 y si su sección es de 40 mm2 y trabaja con un coeficiente de seguridad de 5? F ⇒ F = τ. S0 = 6.40 = 240 kp. τtrabajo = 30/5 = 6 kp/mm τ = S0 III.13. Calcular la fuerza que debe poseer una prensa si se quieren acuñar doscientas monedas de bronce, de diámetro 25 mm y 2,5 mm de espesor, de un solo golpe, suponiendo la tensión a cortadura del bronce es de 10,5 kp/mm2.

F/2

2

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d h

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TORSION.

F Utiliza un par de fuerzas y gira las fibras con relación a la sección inmediata. Rotación de secciones. Retuerce el material como una madeja. r: Radio del árbol. P: Potencia del motor. N: Velocidad de giro en r.p.m. K: Coef. K = 0,1540 si P en CV. K = =,1706 si P en kW. τt: tensión de trabajo a cortadura en kp/mm2 P ( CV ) P ( kW ) = 975 Momento torsor Mt(kp.m) = F.R = 716 N ( rpm ) N ( rpm ) G: Módulo de elasticidad transversal γ: Deformación unitaria. I0 = π.d4/32: Momento de inercia. M .L τ .I M .r r .l τ ,, θ = t ,, Mt = máx 0 ,, τmáx = t ,, G = γ= L r I0 G.I0 γ FLEXIÓN:

F

θ L Material Acero moldeado “ laminados “ al 0,4% C “ al Cr, Mo Aleacion ligera Fundición gris

τt : kp/mm2 900 1.000 1.200 3.100 800 700

Es un esfuerzo compuesto de dos, pues las fibras de encima están comprimidas, y las inferiores están traccionadas. Solamente la fibra neutra mantiene su longitud y únicamente se dobla . I M = σ ≤ σadm W = xx W y máx h Momento de inercia: IXG = ∫ y 2 dA Ixx =

bh 3 12

Wxx =

bh 2 6

- σc

b + σt

ELEMENTOS ESTRUCTURALES ISOSTÁTICOS. nudo Estructuras articuladas, rígidas simples y triangulares. Están compuestos por barras generalmente rectas y unidas por sus extremos en puntos que denominaremos nudos. Son estructuras planas y el plano de la estructura contiene las cargas, que actuarán sobre los nudos. La forma fundamental es el triángulo, único que es indeformable. Los nudos los suponemos articulados. La ley que sigue su formación es al aumentar en dos el nº de barras aumenta en uno el nº de nudos. b = 2n - 3

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Nº de barras igual al de nudos menos tres.

30

barra

b = nº barras n = nº nudos

b n 3 3 5 4 7 5 9 6

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Si b < 2n -3 Inestable

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Si b > 2n - 3 Hiperestático

Si b = 2n - 3 Estable

barra a tracción barra a compresión III.14. Calcular los esfuerzos a que están sometidas las barras de las estructuras siguientes: 4000 kg

2000 kg 2500 kg

A

B 60º

C

2m

1200 kg

3

D

2m

6 10 kN

60º 2m

6 5kN

4m

4

E 6 2

F 50 kN 3,5 m

50 kN

4,5 m

24 kN

3,5 m 3,2m

G

2000 kg

1000 kg

6m 4000 kg 1,5

2,5

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5

2,5

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6m

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MÉTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER. III.15 Calcular la tensión de las barras por el método de las secciones.

0,5

0,3

0,4

60º

60º 1

2

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2

0,8 2

2

32

2

2