Chapter 15

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación Objetivos de aprendizaje Al terminar este capítulo, deberá ser capaz de: 1. Describir las características de los problemas de transporte. 2. Elaborar un modelo de hoja de cálculo para el problema de transporte a partir de la descripción de un problema. 3. Hacer lo mismo para algunas variantes de problemas de transporte. 4. Dar el nombre de dos algoritmos que puedan resolver problemas de transporte muy grandes que estén lejos del alcance del Excel Solver. 5. Identificar varias áreas de aplicación de los problemas de transporte y sus variantes. 6. Describir las características de los problemas de asignación. 7. Identificar la relación entre los problemas de asignación y los problemas de transporte. 8. Elaborar un modelo de hoja de cálculo para un problema de asignación a partir de la descripción del problema. 9. Hacer lo mismo para algunas variantes de problemas de asignación. 10. Dar el nombre de un algoritmo que pueda resolver problemas de asignación muy grandes que estén fuera del alcance del Excel Solver.

Los problemas de transporte se presentaron en la sección 3.5, y en la sección 3.6 se hizo lo mismo con los problemas de asignación. Ambos tipos de problemas similares surgen con bastante frecuencia en una diversidad de contextos. Debido a su importancia, en el presente capítulo se abordarán estos problemas con mucho mayor detalle así como sus aplicaciones. Los problemas de transporte reciben este nombre porque muchas de sus aplicaciones incluyen determinar la forma de transportar productos en forma óptima. Sin embargo, se verá que algunas de sus aplicaciones importantes no tienen nada que ver con el transporte. Los problemas de asignación son más conocidos porque se aplican en lo referente a la asignación de personal a ciertas tareas. Sin embargo, también tienen otras diversas aplicaciones. Después de un caso estudio, en las secciones iniciales de este capítulo se describen las características de los problemas de transporte y sus variantes, se ilustra la elaboración de modelos en hojas de cálculo para dichos problemas y se recorre una diversidad de aplicaciones. En las siguientes secciones se hace lo mismo para los problemas de asignación.

15.1

UN CASO DE ESTUDIO: EL PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN DE P & T COMPANY Douglas Whitson está preocupado. Los costos han ido en aumento y los ingresos no han mantenido el paso. Si esta tendencia continúa, los accionistas van a estar muy descontentos con el próximo informe de ganancias. Como presidente y director ejecutivo de P & T Company, él sabe que el problema llega hasta él. Tiene que encontrar la forma de controlar los costos.

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

De pronto, Douglas levantó el teléfono y llamó a su gerente de distribución, Richard Powers. Douglas (director ejecutivo): Richard. Soy Douglas Whitson. Richard (gerente de distribución): Hola, Douglas. Douglas: Oye, Richard. He estado revisando algunos datos de costos y un número me llamó la atención. Richard: ¿Sí? ¿Cuál? Douglas: Los costos de embarque de los guisantes: ¡178 000 dólares la última temporada! Yo recuerdo que hace unos cuantos años lo manejábamos en menos de 100 000 dólares. ¿Qué pasa aquí? Richard: Sí, tienes razón. Esos costos realmente han aumentado. Un factor es que nuestro volumen de embarque ha subido un poco. Sin embargo, lo principal es que las cuotas que cobran las compañías de transporte que hemos utilizado realmente se han disparado. Nos hemos quejado. Dijeron algo acerca de que su nuevo contrato con el sindicato que representa a los conductores subió sus costos de manera sustancial. Y sus costos de seguro también han subido. Douglas: ¿Han intentado cambiar de compañía de transporte? Richard: Sí. De hecho ya hemos elegido a otra compañía para la siguiente temporada de cosecha. Douglas: Bien. De manera que tus costos de embarque deberán bajar bastante para la siguiente temporada. Richard: Bueno, mi proyección es que deberán ser de unos 165 000 dólares. Douglas: Caramba. Todavía es demasiado alto. Richard: Parece ser lo mejor que podemos lograr. Douglas: Bueno, enfoquemos esto desde otro ángulo. ¿Ustedes llevan los guisantes desde nuestras tres plantas de enlatado hasta nuestros cuatro almacenes? Richard: Correcto. Douglas: ¿Cómo deciden cuánto mandará cada enlatadora a cada almacén? Richard: Tenemos una estrategia estándar que hemos utilizado durante muchos años. Douglas: ¿Esta estrategia reduce al mínimo su costo de embarque total? Richard: Creo que hace un buen trabajo respecto a eso. Douglas: Pero ¿utiliza un algoritmo para generar un plan de embarque que garantice minimizar el costo de embarque total? Richard: No, no puedo decir que haga eso. ¿Hay una forma de hacer eso? Douglas: Sí, entiendo que hay una técnica de ciencia administrativa para hacer eso. Es algo que aprendí cuando entrevisté a la nueva empleada, recién graduada de una maestría en administración de empresas, a quien contratamos el mes pasado, Kim Baker. Ella pensó que esa técnica podría aplicarse en nuestra compañía. Contratamos a Kim para ayudarnos a incorporar algunas de las mejores técnicas que se enseñan en las escuelas de negocios en la actualidad. Creo que debemos hacer que Kim revise tu plan de embarques y vea si puede mejorarlo. Richard: Suena razonable. Douglas: De acuerdo. Me gustaría que lo coordinaras con Kim y que me reporten lo que suceda a la brevedad. Richard: Así lo haremos La conversación termina.

Antecedentes P & T Company es una pequeña empresa de propiedad familiar. Recibe vegetales crudos, los procesa, los enlata en sus plantas y luego los distribuye para su venta. Uno de los productos principales de la compañía son los guisantes enlatados. Éstos se preparan en tres plantas de enlatado (cerca de Bellingham, Washington; Eugene, Oregon y Albert Lea, Minnesota) y luego se transportan por tráiler a cuatro almacenes de distribución en el oeste de Estados Unidos (Sacramento, California; Salt Lake City, Utah; Rapid City, Dakota del Sur y Albuquerque, Nuevo México), como se muestra en la figura 15.1.

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15.1

FIGURA 15.1

Un caso de estudio: el problema de distribución de P & T Company 633

Enlatadora 1 Bellingham

Ubicación de las plantas de enlatado y de los almacenes para el problema de P & T.

Almacén 3 Rapid City

Enlatadora 2 Eugene

Almacén 1 Sacramento

Enlatadora 3 Albert Lea

Almacén 2 Salt Lake City

Almacén 4 Albuquerque

Enfoque actual de la empresa Por muchos años, la compañía ha utilizado la siguiente estrategia para determinar cuánta producción debe ser embarcada desde cada una de las plantas de enlatado para satisfacer las necesidades de cada uno de los almacenes.

Estrategia de embarque actual 1.

Como la enlatadora en Bellingham es la más alejada de los almacenes, envía su producción a su almacén más cercano, que es el de Sacramento, y cualquier excedente se embarca al almacén en Salt Lake City.

2.

El almacén en Albuquerque es el que se encuentra más lejos de las plantas de enlatado, por esa razón la enlatadora más cercana (la de Albert Lea) embarca su producción hacia allá y cualquier excedente va al almacén en Rapid City.

3.

Utilizan la enlatadora de Eugene para satisfacer las necesidades de los almacenes restantes.

Para la siguiente temporada de cosecha se ha realizado un cálculo de la producción de cada enlatadora y a cada almacén se le ha asignado cierta cantidad del total de suministros de guisantes. Esta información se proporciona en la tabla 15.1. Al aplicar la estrategia actual a los datos de la tabla 15.1 se obtiene el plan de embarque que se muestra en la tabla 15.2. Los costos de embarque por camión para la siguiente estación se muestran en la tabla 15.3.

TABLA 15.1 Datos de embarque para P & T Co.

Enlatadora Bellingham

Producción 75 cargas de tráiler

Almacén

80 cargas de tráiler 65 cargas de tráiler

Eugene

125 cargas de tráiler

Salt Lake City

Albert Lea

100 cargas de tráiler

Rapid City

70 cargas de tráiler

Total

300 cargas de tráiler

Albuquerque

85 cargas de tráiler

Total

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Asignación

Sacramento

300 cargas de tráiler

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

TABLA 15.2

Desde

Plan de embarque actual para P & T Co.

Hacia

Almacén Sacramento

Bellingham Enlatadora

Salt Lake City

Rapid City

Albuquerque

75

0

0

0

Eugene

5

65

55

0

Albert Lea

0

0

15

85

TABLA 15.3

Costo de embarque por carga de tráiler

Costos de embarque para P & T Co.

Desde Hacia

Almacén Sacramento

Salt Lake City

Rapid City

Albuquerque

$464

$513

$654

$867

Bellingham Enlatadora

Eugene

$352

$416

$690

$791

Albert Lea

$995

$682

$388

$685

Al combinar los datos de las tablas 15.2 y 15.3 se obtiene el costo de embarque total de acuerdo con el plan actual para la siguiente temporada: Costo de embarque total = 75(464 dólares) + 5(352 dólares)+ 65(416 dólares) + 55(690 dólares) + 15 (388 dólares) + 85(685 dólares) = 165 595 dólares Kim Baker volverá a examinar la estrategia de embarque actual para ver si puede desarrollar un nuevo plan de embarque que reduzca el costo total de embarque al mínimo absoluto.

El enfoque de la ciencia administrativa Kim reconoce de inmediato que este problema es sólo un ejemplo clásico de un problema de transporte. El planteamiento del problema en esta forma se hace de manera directa. Más aún, hay programas de computación disponibles para encontrar con rapidez una solución óptima en una computadora de escritorio. Esto le permite a Kim regresar al siguiente día con la administración para presentar un nuevo plan de embarque que reduciría el costo total del transporte en 13 000 dólares. Esta historia se desarrollará en la siguiente sección, después de que se proporcionen más conocimientos acerca de los problemas de transporte.

Preguntas de repaso

15.2

1.

¿Cuál es la preocupación específica que surge por parte del director ejecutivo de P & T Co., en este caso de estudio?

2.

¿Qué se le pide hacer a Kim Baker?

CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE El modelo para los problemas de transporte Para describir el modelo para los problemas de transporte, es necesario utilizar términos que sean menos específicos que los del problema de P & T Co. Los problemas de transporte en general se ocupan (en forma literal o figurada) de distribuir cualquier producto proveniente de cualquier grupo de centros de suministro, llamados fuentes (u orígenes), a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos, en forma tal que se minimice el costo total de distribución. La equivalencia de términos entre la aplicación específica al problema de P & T Co. y el modelo general para cualquier problema de transporte se resume en la tabla 15.4.

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15.2

Características de los problemas de transporte 635

Como se indica en las filas cuarta y quinta de la tabla, cada fuente tiene un cierto suministro (algunas veces llamado también oferta o recurso) de unidades que distribuir a los destinos y cada destino tiene una cierta demanda de unidades que se van a recibir de las fuentes. El modelo para un problema de transporte hace la siguiente suposición acerca de estos suministros y demandas.

TABLA 15.4 Terminología para un problema de transporte

Problema de P & T Co.

Modelo general

Cargas de tráiler de guisantes enlatados Enlatadoras Almacenes Producción de una enlatadora Asignación a un almacén Costo de embarque por carga de tráiler de una enlatadora a un almacén

Unidades de un producto Fuentes Destinos Suministro de una fuente Demanda en un destino Costo por unidad distribuida de una fuente a un destino

Suposición de requerimientos: cada fuente tiene un suministro fijo de unidades, éste debe distribuirse por completo a los destinos. En forma similar, cada destino tiene una demanda fija de unidades, ésta debe recibirse de las fuentes.

La suposición de que no hay un margen de tolerancia en las cantidades que se envían o reciben significa que debe haber un equilibrio entre el suministro total de todas las fuentes y la demanda total de todos los destinos. Propiedad de soluciones factibles: un problema de transporte tendrá soluciones factibles si y sólo sí la suma de sus suministros iguala la suma de sus demandas.

Afortunadamente estas sumas son iguales para P & T Co. ya que en la tabla 15.1 se indica que los suministros (producción) suman 300 cargas de tráiler y también las demandas (asignaciones). En algunos problemas reales, los suministros en realidad representan cantidades máximas (más que cantidades fijas) que se van a distribuir. En forma similar, en otros casos las demandas representan cantidades máximas (más que cantidades fijas) que se van a recibir. Esos problemas no encajan en el modelo de problema de transporte porque violan la suposición de los requisitos, así que son variantes de un problema de transporte. Por fortuna, es relativamente sencillo elaborar un modelo de hoja de cálculo para dichas variantes que el Excel Solver puede solucionar, como se ilustrará en la sección 15.3. La última fila de la tabla 15.4 se refiere a un costo por unidad distribuida. Esta referencia a un costo unitario implica la siguiente suposición básica para cualquier problema de transporte. Suposición de costo: el costo de distribuir unidades de una fuente en particular a un destino en particular es directamente proporcional al número de unidades distribuidas. Por lo tanto, este costo equivale al costo unitario de distribución multiplicado por el número de unidades distribuidas.

Los únicos datos que se necesitan para un modelo de problema de transporte son los suministros, las demandas y los costos unitarios. Éstos son los parámetros del modelo. Los parámetros para el problema de P & T Co. se muestran en la tabla 15.5 (incluida la descripción que implican los encabezados de columna y fila), la cual resume el modelo del problema. El modelo: cualquier problema (ya sea que incluya transporte o no) encaja en el modelo de un problema de transporte si 1) puede describirse por completo en términos de una tabla como la 15.5 que identifica todas las fuentes, destinos, suministros, demandas, costos unitarios y 2) satisface tanto la suposición de requisitos como la suposición de costos. El objetivo es minimizar el costo total de distribuir las unidades.

TABLA 15.5 Los datos del problema de P & T Co., formulados como un problema de transporte

Costo unitario Destino (almacén)

Sacramento

Salt Lake City

Rapid City

Albuquerque

Suministro

Fuente (enlatadora) Bellingham Eugene Albert Lea

$464 $352 $995

$513 $416 $682

$654 $690 $388

$867 $791 $685

75 125 100

80

65

70

85

Demanda

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Por lo tanto, formular un problema como uno de transporte sólo requiere llenar una tabla en el formato de la tabla 15.5. No es necesario escribir un modelo matemático formal (aunque más adelante se hará con fines de demostración). El problema de Big M Company que se presentó en la sección 3.5 es otro ejemplo de problema de transporte. En este ejemplo, las dos fábricas de la compañía necesitan enviar torrecillas a tres clientes y el objetivo es determinar cómo hacerlo para minimizar el costo total de embarque. En la tabla 3.9 se presentan los datos para este problema en el mismo formato de la tabla 15.5. Las fábricas son las fuentes, su producción son los suministros, los clientes son los destinos y los tamaños de sus pedidos son las demandas.

Uso de Excel para formular y resolver los problemas de transporte En la sección 3.5 se describe la formulación del modelo de hoja de cálculo para el problema de Big M. Ahora se hará lo mismo para el problema de P & T Co.

FIGURA 15.2 Formulación de hoja de cálculo del problema P & T Co., como un problema de transporte, incluida la celda objetivo TotalCost (J17) y las demás celdas de salida TotalShipped (H12:H14) y TotalReceived (D15:G15), así como las especificaciones que se necesitan para establecer el modelo. Las celdas cambiantes ShipmentQuantity (D12:G14) muestran el plan de embarque óptimo obtenido por el Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de distribución de P & T Co. Costo unitario Fuente (Enlatadora)

Cantidad de embarque (Cargas de tráiler) Fuente (Planta de enlatado)

Bellingham Eugene Albert Lea

Sacramento $464 $352 $995

Sacramento 0 Bellingham 80 Eugene 0 Albert Lea 80 Total recibido = Demanda 80

Destino (almacén) Salt Lake City Rapid City Albuquerque $513 $654 $867 $416 $690 $791 $682 $388 $685

Destino (almacén) Salt Lake City Rapid City Albuquerque Total embarcado 20 0 55 75 45 0 0 125 0 70 30 100 65 70 85 = = = 65 70 85

Suministro 75 125 100

= = =

Costo total 152 535

Nombre del rango

Celdas

Demanda Cantidad de embarque Suministro Costo total Total recibido Total embarcado Costo unitario

D17:G17 D12:G14 J12:J14 J17 D15:G15 H12:H14 D5:G7 H

15

C Total recibido

D =SUM(D12:D14)

E =SUM(E12:E14)

11

Total Embarcado

12

=SUM(D12:G12)

13

=SUM(D13:G13)

14

=SUM(D14:G14)

F =SUM(F12:F14)

G =SUM(G12:G14)

J 16 17

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Costo total = SUMAPRODUCTO(Costo unitario, Cantidad embarque)

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15.2

Características de los problemas de transporte 637

Las decisiones que se deben tomar son el número de camiones cargados de guisantes que se enviarán de cada enlatadora a cada almacén. Las restricciones en estas decisiones son que la cantidad total embarcada por cada enlatadora debe igualar su producción (el suministro) y la cantidad total recibida en cada almacén debe igualar su asignación (demanda). La medición general de desempeño es el costo total de embarque, así que el objetivo es minimizar esta cantidad. Esta información lleva al modelo de hoja de cálculo que se muestra en la figura 15.2 Todos los datos que se proporcionan en la tabla 15.5 se muestran en las siguientes celdas de datos: UnitCost (D5:G7), Supply (J12:J14) y Demand (D17:G17). Las decisiones acerca de las cantidades a enviar se dan en las celdas cambiantes, ShipmentQuantity (D12:G14). Las celdas de salida son TotalShipped (H12:H14) y TotalReceived (D15:G15), donde las funciones SUM que se introducen en estas celdas se muestran cerca de la parte inferior de la figura 15.2. Las restricciones, TotalShipped (H12:H14)= Supply (J12:J14) y TotaReceived (D15:G15) = Demand (D17:G17), se especifican en la hoja de cálculo y se incluyen en el cuadro de diálogo del Solver. La celda objetivo es TotalCost (J17), donde su función SUMAPRODUCTO se muestra en la esquina inferior derecha de la figura 15.2. El cuadro de diálogo del Solver especifica que el objetivo es minimizar esta celda objetivo. Una de las opciones seleccionadas del Solver (suponga no negativo) especifica que todas las cantidades de embarque deben ser no negativas. La otra (suponga un modelo lineal) indica que este problema de transporte también es de programación lineal (como se describe más adelante en esta sección). Para comenzar el proceso de resolver el problema, cualquier valor (como 0) puede introducirse en cada una de las celdas cambiantes. Luego de dar un clic en el botón Solve, el Solver utilizará el método símplex para solucionar el problema de transporte y determinar el mejor valor para cada una de las variables de decisión. Esta solución óptima se muestra en ShipmentQuantity (D12:G14) en la figura 15.2, junto con el valor resultante de 152 535 dólares en la celda objetivo de TotalCost (J17).

Representación de red de un problema de transporte Una buena forma de visualizar un problema de transporte en forma gráfica es utilizar su representación de red. Ésta ignora la disposición geográfica de las fuentes y los destinos. En su lugar, sólo alinea todas las fuentes en una columna a la izquierda (donde S1 es el símbolo de la fuente 1, etc.) y todos los destinos en una columna a la derecha (donde D1 es el símbolo para el destino 1, etc.). En la figura 15.3 se muestra la representación de red del problema P & T Co., en el que la numeración de las fuentes (enlatadoras) y destinos (almacenes) es la que se da en la figura 15.1. Las flechas muestran las rutas posibles para los camiones cargados con los guisantes enlatados; el número próximo a cada flecha es el costo de embarque (en dólares) por carga de tráiler para esa ruta. Como la figura también incluye los suministros y las demandas, engloba todos los datos que se proporcionan en la tabla 15.5. Por lo tanto, esta representación de red proporciona otra manera de resumir el modelo de un problema de transporte. Como el problema de Big M Company que se presentó en la sección 3.5 también es de transporte, tiene una representación de red como la de la figura 15.3, y se muestra en la figura 3.9. Demandas

FIGURA 15.3 La representación de red del problema de transporte de P & T Co., muestra todos los datos de la tabla 15.5 en forma gráfica.

Suministros Destinos Fuentes (Bellingham) 75

(Eugene) 125

(Albert Lea) 100

S1

S2

S3

464 513 654 867 351 416 690 791 995 682 388

D1

80 (Sacramento)

D2

65 (Salt Lake City)

D3

70 (Rapid city)

685

D4

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(85 Albuquerque)

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Para problemas de transporte más grandes que el de P & T Co., no es muy conveniente dibujar la red completa y mostrar todos los datos. En consecuencia, la representación de red es principalmente una estrategia de visualización. Recuerde que en la sección 3.5 se describieron los probelmas de transporte como una categoría importante de los problemas de programación lineal que con frecuencia incluyen la distribución de productos a través de una red de distribución. Las redes de las figuras 3.5 y 15.3 son un tipo simple de red de distribución en la que cada línea de embarque va directamente de una fuente a un destino. Recuerde que en el capítulo 6 se presentaron algunos tipos relacionados de problemas de optimizacion de red que a veces también incluyen la distribución de productos a través de una red de distribución. De hecho, en la sección 6.1 se señala que los problemas de transporte son un tipo especial de problema de flujo de costo mínimo que por lo general incluye el movimiento de productos a través de una red de distribución.

El problema de transporte es de programación lineal Para demostrar que el problema de P & T Co. (o algún otro de transporte) es, de hecho, de programación lineal, se va a formular su modelo matemático en forma algebraica. Al utilizar la numeración de enlatadoras y almacenes que se da en la figura 15.1, xij será el número de cargas de tráiler que se embarcará desde la enlatadora i al almacén j para cada i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3, 4. El objetivo es elegir los valores de estas 12 variables de decisión (la xij) de manera que Minimizar el costo = 464x11 + 513x12 + 654x13 + 867x14 + 352x21 + 416x22 + 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34, sujeto a las restricciones x11 + x12 + x13

+ x14 x21

+ x22

=

125

x31 + x32 + x33 + x34 =

100

+ x31 + x22

x12

75

+ x23 + x24

+ x21

x11

=

+ x32 + x23

x13 x14

+ x33 + x24

=

80

=

65

=

70

+ x34 =

85

y xij ≥ 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4). Éste es sin duda un problema de programación lineal. P & T Co., siempre envía cargas de tráiler completas de guisantes enlatados, ya que cualquier cantidad inferior no resultaría económica. Esto implica que cada xij debe tener un valor entero (0, 1, 2,…). Para evitar obtener una solución óptima para este modelo que asigne valores fraccionarios a cualquiera de las variables de decisión, se podría agregar otro conjunto de restricciones que especifiquen que xij debe tener un valor entero. Esto convertiría este problema de programación lineal en uno de programación entera, que es más difícil de resolver. (Recuerde que los problemas de programación entera se analizaron en los capítulos 3 y 7.) Por fortuna, esta conversión no es necesaria por la siguiente propiedad de los problemas de transporte. Propiedad de soluciones con enteros: siempre que todos los suministros y demandas tengan valores enteros, está garantizado que cualquier problema de transporte con soluciones factibles tendrá una solución optima con valores enteros para todas sus variables de decisión. Por lo tanto, no es necesario agregar restricciones al modelo que especifiquen que las variables sólo tengan valores enteros.

Al tratar con problemas de transporte, por lo general los practicantes no se molestan en escribir el modelo de programación lineal completo en forma algebraica porque toda la información esencial

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15.2

Características de los problemas de transporte 639

puede presentarse en forma mucho más compacta en una tabla como la 15.5 o en el modelo de hoja de cálculo correspondiente. Pero antes de terminar con este modelo de programación lineal, observe bien las restricciones funcionales en el lado izquierdo. Observe que cada coeficiente es 0 (así que la variable se elimina) o 1. También note el patrón distintivo para las ubicaciones de los coeficientes de 1, incluido el hecho de que cada variable tiene un coeficiente de 1 en exactamente dos restricciones. Estas características distintivas de los coeficientes tienen una función importante para resolver los problemas de transporte de una manera extremadamente eficiente.

Solución de problemas de transporte Como los problemas de transporte son de un tipo especial de programación lineal, pueden ser resueltos por el método símplex (el procedimiento que utiliza el Excel Solver para solucionar problemas de programación lineal). Sin embargo, debido al muy particular patrón de coeficientes en las restricciones funcionales que se señalaron antes, es posible agilizar en gran medida el método símplex para resolver problemas de transporte con mucha mayor rapidez. Esta versión agil del método símplex se llama método símplex de transporte. En ocasiones puede resolver grandes problemas de transporte más de 100 veces más rápido que el método símplex regular. Sin embargo, sólo es aplicable a este tipo de problemas. Al igual que un problema de transporte, otros problemas de flujo de costo-mínimo también tienen un patrón distintivo similar de coeficientes en sus restricciones funcionales. Por lo tanto, el método símplex puede agilizarse en gran medida en la misma forma que el método símplex de transporte para solucionar cualquier problema de flujo de costo mínimo (incluidos los de transporte) con mucha rapidez. Este método aerodinámico se llama método símplex de red. Los programas de cómputo de programación lineal con frecuencia incluye el método símplex y a veces también el método símplex de transporte. Cuando sólo está disponible el método símplex de red, proporciona una excelente alternativa para resolver los problemas de transporte. De hecho, en los últimos años el método símplex de red cada vez compite más con el método símplex de transporte. Luego de obtener una solución óptima para los problemas de transporte, por lo general se hace un análisis de que pasa si casi en la misma forma que se describió en el capítulo 5 para otros problemas de programación lineal. El método símplex de transporte o el de red puede obtener con facilidad el intervalo permisible para cada coeficiente en la función objetivo. Tratar con cambios en los lados derechos (suministros y demandas) es mucho más complicado ahora debido al requisito de que la suma de los suministros debe igualar la suma de las demandas. Así, cada cambio en un suministro debe ir acompañado por el cambio correspondiente en la demanda (o demandas) y viceversa. Como Excel Solver no se concibió para resolver los problemas de programación lineal en verdad grandes que con frecuencia surgen en la práctica, simplemente utiliza el método símplex para resolver los problemas de transporte y otros problemas de flujo de costo mínimo que se presentan en este texto (y algunos otros considerablemente más grandes), así que se continúa con el uso del Solver (o Premium Solver) y se renunciará a utilizar el método símplex de transporte o el método símplex de red.

Final del caso de estudio P & T Co. Ahora se puede resumir el final de la historia de cómo P & T pudo mejorar en forma sustancial el plan de embarques actual que se muestra en la tabla 15.2, que tiene un costo total de 165 595 dólares. Usted ya ha visto cómo Kim Baker pudo formular este problema como uno de transporte con sólo llenar la tabla que se presentó con el número 15.5. La elaboración correspondiente en una hoja de cálculo se mostró en la figura 15.2. Después, al aplicar el Solver se obtuvo la solución óptima que se mostró en ShiftmentQuantity (D12:G14) Note que esta solución óptima no es intuitiva. De las 75 cargas de tráiler que suministra Bellingham, 55 se envían a Albuquerque, aunque esto cuesta mucho más (867 dólares por carga de tráiler) que mandarlas a cualquier otro almacén. Sin embargo, este sacrificio para la enlatadora 1 permite embarques de bajo costo para las plantas de enlatado 2 y 3. Aunque sería difícil encontrar esta solución óptima en forma manual, el método símplex de Excel Solver lo encuentra con rapidez. Como se presenta en la celda objetivo TotalCost (J17), el costo total de embarque para este plan óptimo es Costo total de embarque = 20($513) + 55($867) + 80($352) + 45($416) + 70($388) + 30($685) = $152 535

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

una reducción de 13 060 dólares con respecto al plan de embarque actual. Richard Powers está complacido de informar esta reducción al director ejecutivo, Douglas Whitson, quien los felicita a él y a Kim Baker por lograr estos ahorros significativos.

Una aplicación ganadora de un premio por un problema de transporte Excepto por su tamaño pequeño, el problema de P & T Co. es muy similar a los que enfrentan muchas corporaciones que deben embarcar productos de sus plantas de manufactura hacia sus clientes. Por ejemplo, considere un estudio de ciencia administrativa ganador de un premio que se realizó en Procter & Gamble (como se describió en el ejemplar de Interfaces de enero-febrero de 1997). Antes del estudio, la cadena de suministro de la compañía consistía de cientos de proveedores, más de 50 categorías de productos, más de 60 plantas, 16 centros de distribución y más de 1 000 zonas de clientes. Sin embargo, conforme la compañía se acercó más al perfil de las marcas globales, la administración se percató de que necesitaba consolidar las plantas para reducir los gastos de manufactura, mejorar la velocidad de puesta en el mercado y reducir la inversión de capital. Por lo tanto, el estudio se enfocó en rediseñar los sistemas de producción y distribución de la compañía para sus operaciones en América del Norte. El resultado fue una reducción en el número de plantas de Nortemérica en casi 20 por ciento, con un ahorro de más de 200 millones de dólares en costos antes de impuestos por año. Una parte importante del estudio giró alrededor de formular y resolver problemas de transporte para categorías de productos individuales. Para cada opción relacionada con las plantas que se mantendrían abiertas y otros aspectos, resolver el problema de transporte correspondiente a una categoría demostró que el costo de distribución residía en embarcar el producto en cuestión desde las plantas a los centros de distribución y las zonas de clientes. En el proceso de identificar el mejor sistema nuevo de producción se solucionaron numerosos problemas de transporte y distribución.

Preguntas de repaso

15.3

1.

Proporcione una descripción de los problemas de transporte en una frase.

2.

¿Qué datos se necesitan para elaborar el modelo de un problema de transporte?

3.

¿Qué debe hacerse para formular un problema como uno de transporte?

4.

¿Qué se requiere para que un problema de transporte tenga soluciones factibles?

5.

¿En qué circunstancias un problema de transporte tendrá en forma automática una solución óptima con valores enteros para todas sus variables de decisión?

6.

Nombre dos algoritmos que pueden resolver problemas de transporte con mucha mayor rapidez que el método símplex general.

VARIANTES DE MODELAJE DE LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE El caso de P & T es un ejemplo de un problema de transporte donde todo encaja en forma inmediata. La vida real rara vez es tan fácil. Con frecuencia surgen problemas de programación lineal que son casi problemas de transporte, pero una o más características no encajan del todo. Aquí se presentan las características que considerarán en esta sección. 1.

La suma de los suministros excede la suma de las demandas, así que cada suministro representa una cantidad máxima (no una cantidad fija) que se distribuirá desde esa fuente.

2.

La suma de los suministros es menor que la suma de las demandas, de manera que cada demanda representa una cantidad máxima (no una cantidad fija) que será recibida en ese destino.

3.

Un destino tiene una demanda mínima y una demanda máxima, de modo que puede recibirse cualquier cantidad entre estos dos valores.

4.

Ciertas combinaciones fuente-destino no se pueden utilizar para unidades de distribución.

5.

El objetivo es maximizar la utilidad total asociada con la distribución de unidades más que reducir el costo total.

Por cada una de estas características es posible reformular el problema en una manera inteligente para hacerlo encajar en el formato de uno de transporte. Cuando esto se hace con un problema

15-Hillier.indd 640

19/12/07 11:49:37

15.3

Variantes de modelaje de los problemas de transporte 641

realmente grande (por ejemplo, uno con muchos cientos o miles de fuentes y destinos) es muy útil porque el método símplex de transporte o el método símplex de red puede resolver el problema en este formato en mucho menos tiempo (tal vez más de 100 veces más rápido) que el que emplea el método símplex para resolver la formulación de programación lineal general. Sin embargo, cuando el problema no es realmente grande, el método símplex todavía es capaz de resolver la formulación de programación lineal general en un periodo razonable. Por lo tanto, un paquete de computación básico (como el Excel Solver) que incluya el método símplex pero no el método símplex de transporte o el método símplex de red puede aplicarse a esos problemas sin tratar de forzarlos en el formato de un problema de transporte. Éste es el enfoque que se utilizará. En particular, en esta sección se ilustra la formulación de modelos de hojas de cálculo para variantes de problemas de transporte que tienen algunas de las características que se enlistaron antes. El primer ejemplo se enfoca en las características 1 y 4. Un segundo ejemplo ilustrará las demás características.

Ejemplo 1: asignación de plantas a los productos Better Products Company ha decidido iniciar la producción de cuatro nuevos productos por medio de tres plantas que en la actualidad tienen una capacidad de producción en exceso. Los productos requieren un esfuerzo de producción por unidad similar, de modo que la capacidad de producción disponible de las plantas se mide por el número de unidades de cualquier producto que pueden fabricar al día, como se consigna en la columna de la extrema derecha de la tabla 15.6. La fila inferior da la tasa de producción que se requiere (número de unidades producidas por día) para cumplir con las ventas proyectadas. Cada planta puede fabricar cualquiera de los productos, excepto la planta 2 que no puede elaborar el producto 3. Sin embargo, los costos variables por unidad de cada producto difieren de planta en planta, como se muestra en el cuerpo principal de la tabla. La administración necesita ahora tomar una decisión acerca de cuáles plantas deben producir qué productos. La repartición de productos, es decir la fabricación del mismo producto en más de una planta, está permitida. (Regresaremos a este ejemplo en la sección 15.7 para considerar el caso en el que la repartición de producto está prohibida, lo que requiere un tipo distinto de formulación.)

Formulación de un modelo de hoja de cálculo El problema es casi un problema de transporte. De hecho, luego de sustituir la terminología convencional (suministro, demanda, etc.) por los títulos de las columnas y filas en la tabla 15.6, básicamente encaja en la formulación de un problema de transporte, como se muestra en la tabla 15.7. Pero hay dos formas en las que este problema se desvía de un problema de transporte.

TABLA 15.6 Datos del problema Better Products Co.

Costo unitario Producto: Planta 1 2 3 Producción requerida

1

2

3

4

$41 $40 $37

$27 $29 $30

$28 — $27

$24 $23 $21

20

30

30

40

3

4

TABLA 15.7 Datos para el problema de Better Products Co., formulados como una variante de un problema de transporte

15-Hillier.indd 641

Capacidad disponible 75 75 45

Costo unitario Destino (producto)

1

2

1 2 3

$41 $40 $37

$27 $29 $30

$28 — $27

$24 $23 $21

Demanda

20

30

30

40

Suministro

Fuente (planta) 75 75 45

19/12/07 11:49:38

642

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Una desviación (menor) es que un problema de transporte requiere un costo unitario por cada fuente-destino, pero la planta 2 no puede producir el producto 3, así que no hay un costo unitario disponible para esta combinación en particular. La otra desviación es que la suma de los suministros (75 + 75 + 45 = 195) excede la suma de las demandas (20 + 30 + 30 + 40 = 120) en la tabla 15.7. Así, como lo indica la propiedad de soluciones factibles (sección 15.2), el problema de transporte representado por la tabla 15.7 no tendría soluciones factibles. La suposición de requisitos (sección 15.2) especifica que se debe utilizar el suministro completo de cada fuente. En realidad, los suministros en la tabla 15.7 representan capacidades de producción que no necesitarán utilizarse en su totalidad para cumplir con la demanda de ventas para los productos. Así, estos suministros son límites superiores de las cantidades que se utilizarán. El modelo de hoja de cálculo para este problema, que se muestra en la figura 15.4, tiene el mismo formato que el de la figura 15.2 para el problema de transporte de P & T Co. con dos diferen-

FIGURA 15.4 Formulación de hoja de cálculo del problema Better Products Co., como una variante de un problema de transporte, incluida la celda objetivo TotalCost (I16) y las demás celdas de producción ProducedAtPlant (G11:G13) y ProductsProduced (C14:F14), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Las celdas cambiantes DailyProduction (C11:F13) muestran el plan de producción óptimo obtenido por el Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

B

C

D

E

F

G

H

I

Problema de planeación de producción de Better Products Co. Costo unitario Planta 1 Planta 2 Planta 3

Producción diaria Planta 1 Planta 2 Planta 3 Productos fabricados Producción requerida

Producto 1 $41 $40 $37

Producto 2 $27 $29 $30

Producto 3 $28 — $27

Producto 4 $24 $23 $21

Producto 1 0 0 20 20 = 20

Producto 2 30 0 0 30 = 30

Producto 3 30 0 0 30 = 30

Producto 4 0 15 25 40 = 40

Producidos Capacidad en planta <= 75 60 <= 75 15 45 <= 45 Costo total $3 260

Nombre del rango

Cell I11:I13 C11:F13 G11:G13 C14:F14 C16:F16 I16 C4:F6

Capacidad Producción diaria Producidos en la planta Productos fabricados Producción requerida Costo total Costo unitario G

10

Producidos en planta

11

=SUM(C11:F11)

12

=SUM(C12:F12)

9

13

14

B

C

D

E

Productos fabricados

=SUM(C11:C13)

=SUM(D11:D13)

=SUM(E11:E13)

=SUM(C13:F13) F =SUM(F11:F13)

I

15-Hillier.indd 642

15

Costo total

16

=SUMAPRODUCTO (UnitCost,DailyProduction)

19/12/07 11:49:38

15.3

Variantes de modelaje de los problemas de transporte 643

cias fundamentales. Primero, como la planta 2 no puede producir el producto 3, se inserta un guión en la celda E5 y se incluye la restricción E12 = 0 en el cuadro de diálogo del Solver. Segundo, como los suministros son límites superiores, las celdas H11:H13 tienen signos < en lugar de signos = y las restricciones correspondientes en el cuadro de diálogo del Solver son ProducedAtPlant (G11:G13) < Capacity (I11:I13). El Excel Solver da la solución óptima que se muestra en las celdas cambiantes DailyProduction (C11:F13) para la tasa de producción de cada producto en cada planta. Esta solución minimiza el costo de distribuir 120 unidades de producción del suministro total de 195 para cumplir con la demanda total de 120 en los cuatro destinos (productos). El costo total que se da en la celda objetivo TotalCost (I16) es de 3 260 dólares por día.

Ejemplo 2: elección de clientes Nifty Company se especializa en la producción de un solo producto que fabrica en tres plantas. Al producto le va muy bien, así que la compañía en la actualidad recibe más solicitudes de compra que las que puede cumplir. Se han hecho planes para abrir una planta adicional, pero no estará lista hasta el próximo año. Para el siguiente mes, cuatro clientes potenciales (mayoristas) en distintas partes del país quieren hacer tres compras importantes. El número 1 es el mejor cliente de la compañía, así que se cumplirá su pedido completo. Los clientes 2 y 3 también son valiosos, así que el gerente de mercadeo ha decidido que, como mínimo, un tercio de sus pedidos deben satisfacerse. Sin embargo, no cree que el cliente 4 requiera una consideración especial, por lo tanto no está dispuesta a garantizar ninguna cantidad mínima para él. Habrá suficientes unidades producidas para estar por encima de estas cantidades mínimas. Debido en gran parte a variaciones sustanciales en los costos de embarque, la utilidad neta que se obtendría en cada unidad vendida varía en gran medida en función de la planta que surta a cada cliente. Por lo tanto, la decisión final de cuánto enviar a cada cliente (por arriba de las cantidades mínimas establecidas por el gerente de mercadeo) estará basada en maximizar la utilidad. La utilidad unitaria para cada combinación de una planta que suministre a un cliente se muestra en la tabla 15.8. La columna de la extrema derecha da el número de unidades que cada planta producirá para el siguiente mes (un total de 20 000). La fila de abajo muestra las cantidades de pedido que han sido solicitadas por los clientes (un total de 30 000). La penúltima fila muestra las cantidades mínimas que se proporcionarán (un total de 12 000) con base en las decisiones del gerente de mercadeo que se mencionaron antes. El gerente de mercadeo necesita determinar cuántas unidades vender a cada cliente (y considerar estas cantidades mínimas) y cuántas unidades enviar de cada planta a cada cliente para obtener el máximo de utilidad.

Formulación de un modelo de hoja de cálculo Este problema es casi uno de transporte, ya que las plantas pueden verse como fuentes y los clientes como destinos, las cantidades de productos son los suministros de las fuentes. Si este fuese por completo un problema de transporte, las cantidades de compra serían las demandas para los destinos. Sin embargo, lo anterior no se cumple aquí porque la suposición de requisitos (sección 15.2) dice que la demanda debe ser una cantidad fija que se recibirá de las fuentes. Excepto por el cliente 1, todo lo que se tiene aquí son intervalos para las cantidades de compra entre el mínimo y el máximo que se dan en las dos últimas filas de la tabla 15.8. De hecho, un objetivo es encontar los valores más deseables de estas cantidades de compra.

TABLA 15.8 Datos para el problema de Nifty Co.

Utilidad unitaria Cliente Planta 1 2 3 Compra mínima Compra solicitada

15-Hillier.indd 643

Cantidad de producción

2

3

4

$55 $37 $29

$42 $18 $59

$46 $32 $51

$53 $48 $35

7 000 7 000

3 000 9 000

2 000 6 000

0 8 000

8 000 5 000 7 000

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644

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

En la figura 15.5 se muestra el modelo de hoja de cálculo para esta variante de un problema de transporte. En lugar de una fila de demanda por debajo de las celdas cambiantes, se tiene una fila de mínimo y una de máximo. Las restricciones correspondientes en el cuadro de diálogo del Solver son TotalShipped (C17:F17) ≤ MaxPurchase (C19:F19) y TotalShipped (C17:F17) > MinPurchase (C15:F15), junto con las restricciones de suministro normales. Como el objetivo es maximizar utilidad total más que minimizar el costo total, el cuadro de diálogo del Solver especifica que se debe maximizar la celda objetivo TotalProfit (I17).

FIGURA 15.5 Formulación en hoja de cálculo del problema Nifty Co., como una variante de un problema de transporte, incluida la celda objetivo TotalProfit (I17) y las otras celdas de TotalProducion (G11:G13) y TotalShipped (C17:F17), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Las celdas cambiantes Shipment (C11:F13) muestran el plan de embarque óptimo que obtuvo el Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

B

C

D

E

F

G

H

I

= = =

Cantidad de producción 8 000 5 000 7 000

Problema de distribución de Nifty Co. Utilidad unitaria Planta 1 Planta 2 Planta 3

Cliente 1 $55 $37 $29

Embarque Planta 1 Planta 2 Planta 3

Cliente 1 7 000 0 0

Compra mínima

7 000 <= 7 000 <= 7 000

Total embarcado Compra máxima

Cliente 3 $46 $32 $51

Cliente 4 $53 $48 $35

Cliente 2 0 0 6 000

Cliente 3 1 000 0 1 000

Cliente 4 0 5 000 0

3 000 <= 6 000 <= 9 000

2 000 <= 2 000 <= 6 000

0 <= 5 000 <= 8 000

Cliente 2 $42 $18 $59

Producción total 8 000 5 000 7 000

Utilidad total $1 076 000

Nombre del rango

Celdas

Compra máxima Compra mínima Cantidad de producción Embarque Producción total Utilidad total Total embarcado Utilidad unitaria

C19:F19 C15:F15 I11:I13 C11:F13 G11:G13 I17 C17:F17 C4:F6

G

B 17

Total embarcado

C =SUM(C11:C13)

D =SUM(D11:D13)

9 10 11

=SUM(C11:F11)

12 13

=SUM(C12:F12) =SUM(C13:F13)

Producción total

E =SUM(E11:E13)

F =SUM(F11:F13)

I 16 17

15-Hillier.indd 644

Utilidad total = SUMAPRODUCTO (UnitProfit,Shipment)

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15.4

Otras aplicaciones de variantes a problemas de transporte 645

Después de dar clic en el botón Resolver, se obtiene la solución óptima que se muestra en la figura 15.5. Las celdas TotalShipped (C17:F17) indican cuántas unidades vender a los respectivos clientes. Las celdas cambiantes Shipment (C11:F13) muestran cuántas unidades enviar de cada planta a cada cliente. La utilidad total resultante de 1 076 millones de dólares se da en la celda objetivo TotalProfit (I17).

Preguntas de repaso

15.4

1.

¿Qué se debe hacer para formular el modelo de hoja de cálculo para una variante de un problema de transporte en el que cada suministro de una fuente representa una cantidad máxima más que una cantidad fija que se vaya a distribuir de esa fuente?

2.

¿Qué se debe hacer para formular el modelo de hoja de cálculo para una variante de un problema de transporte en el que la demanda para un destino puede ser cualquier valor entre una cantidad mínima especificada y una cantidad máxima especificada?

OTRAS APLICACIONES DE VARIANTES A PROBLEMAS DE TRANSPORTE Ahora usted ha visto ejemplos que ilustran tres áreas de aplicación de problemas de transporte y sus variantes: 1.

Embarque de productos (el problema de P & T Co.).

2.

Asignación de plantas a productos (el problema de Better Products Co.).

3.

Elección de clientes (el problema de Nifty Co.).

Más adelante usted ampliará sus horizontes en esta sección cuando vea ejemplos que ilustran algunas (pero no todas) otras áreas de aplicación.

Distribución de los recursos naturales Metro Water District es una agencia que administra la distribución de agua en una región geográfica grande bastante árida, así que el distrito debe comprar y traer agua desde fuera de la región. Las fuentes de esta agua importada son los ríos Colombo, Sacron y Calorie. Después el distrito revende el agua a los usuarios en su región. Sus principales clientes son los departamentos de agua de las ciudades de Berdoo, Los Devils, San Go y Hollyglass. Es posible suministrar a cualquiera de estas ciudades agua traída desde cualquiera de los tres ríos, con la excepción de que no se ha tomado ninguna provisión para proveer a Hollyglass con agua del río Calorie. Sin embargo, debido a la disposición geográfica de los acueductos y las ciudades en la región, el costo del suministro de agua para el distrito depende tanto de la fuente del agua como de la ciudad a la que se surte. El costo variable por acre pie de agua para cada combinación de río y ciudad se proporciona en la tabla 15.9. Si se utilizan unidades de 1 millón de acre pie, la fila final de la tabla muestra la cantidad de agua que necesitará cada ciudad en el siguiente año (un total de 12.5). La columna de la extrema derecha muestra la cantidad disponible de cada río (un total de 16). Como la cantidad total disponible excede la cantidad total que se necesita, la administración quiere determinar cuánta agua tomar de cada río y cuánta enviar de cada uno a cada ciudad. El objetivo es minimizar el costo total de satisfacer las necesidades de las cuatro ciudades.

Formulación y solución En la figura 15.6 se muestra un modelo de hoja de cálculo para esta variante de un problema de transporte. Como a Hollyglass no se le puede suministrar agua del río Calorie, el cuadro de diálogo del Solver incluye la restricción de que F13 = 0. Las cantidades disponibles en la columna I representan cantidades máximas más que cantidades fijas, así que se utilizan los signos < para las restricciones correspondientes. TotalFromRiver (G11:G13) < Available (I11:I13). Luego, el Excel Solver da la solución óptima que se muestra en la figura 15.6. Las celdas TotalFromRiver (G11:G13) indican que debe utilizarse el suministro completo disponible de los ríos Colombo y Sacron mientras que sólo debe utilizarse 1.5 acres pie de los 5 millones de acres pie disponibles del río Calorie. Las celdas cambiantes WaterDistribution (C11:F13) proporcionan el plan para cuánto enviar de cada río a cada ciudad. El costo total se da en la celda objetivo TotalCost (I17) como 1 975 millones de dólares.

15-Hillier.indd 645

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646

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

TABLA 15.9 Datos de recursos de agua para Metro Water District

Costo por acre pie Berdoo Río Colombo Río Sacron Río Calorie

Los Devils

San Go

Hollyglass

$160 140 190

$130 130 200

$220 190 230

$170 150 —

2

5

4

1.5

Necesarios

Disponible 5 6 5 (millones de acres pie)

FIGURA 15.6 Una formulación de hoja de cálculo del problema Metro Water District como una variante de un problema de transporte, incluida la celda objetivo TotalCost (I17) y las otras celdas de producción Total del río (G11:G13) y TotalFromRiver (C14:F14), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Las celdas cambiantes WaterDistribution (C11:F13) muestran la solución óptima que obtiene el Solver.

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

B

C

D

E

F

G

H

Total del río 5 6 1.5

<= <= <=

I

Problema de distribución de Metro Water District Costo unitario (millones de dólares) Río Colombo Río Sacron Río Calorie Distribución de agua (millones de acres pie) Río Colombo Río Sacron Río Calorie Total a la ciudad

Berdoo 160 140 190

Berdoo 0 2 0 2 = 2

Necesarios

Los Devils 130 130 200

Los Devils 5 0 0 5 = 5

San Go 220 190 230

San Go 0 2.5 1.5 4 = 4

Hollyglass 170 150 —

Hollyglass 0 1.5 0 1.5 = 1.5

Disponible 5 6 5 Costo total (millones de dólares)

1,975 Nombre del rango

Celdas

Disponible Necesarios Costo total Total del río Total a la ciudad Costo unitario Distribución de agua

I11:I13 C16:F16 I17 G11:G13 C14:F14 C4:F6 C11:F13

G 9 10 11 12 13 B 14

Total a la ciudad

C =SUM(C11:C13)

D

Total del río =SUM(C11:F11) =SUM(C12:F12) =SUM(C13:F13)

E

=SUM(D11:D13)

F

=SUM(E11:E13)

=SUM(F11:F13)

I 15 16 17

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Costo total

(millones de dólares) =SUMAPRODUCTO (UnitCost,Waterdistribution)

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15.4

Otras aplicaciones de variantes a problemas de transporte 647

Programación de la producción Northern Airplane Company construye aviones comerciales para diversas compañías de aerolíneas alrededor del mundo. La última etapa en el proceso de producción es fabricar motores de aviones y luego montarlos (una operación muy rápida) en el marco del avión terminado. La compañía ha estado trabajando con ciertos contratos para entregar un número considerable de aviones en el futuro cercano y la producción de motores para estos aviones ahora debe programarse para los siguientes cuatro meses. Para cumplir con las fechas pactadas para entrega, la compañía debe suministrar motores para instalación en las cantidades que se indican en la segunda columna de la tabla 15.10. Así, el número acumulado de motores producidos para el final de los meses 1, 2, 3 y 4 debe ser al menos 10, 25, 50 y 70, respectivamente.

TABLA 15.10

Producción máxima

Datos de programación de producción para el problema de la compañía Northern Airplane

Mes

Montajes programados

Tiempo regular

Tiempo extra

1 2 3 4

10 15 25 20

20 30 25 5

10 15 10 10

Costo unitario de producción Tiempo regular

Tiempo extra

$1.08 millones $1.10 millones 1.11 millones 1.12 millones 1.10 millones 1.11 millones 1.13 millones 1.15 millones

Costo unitario de almacenamiento $15.000 15.000 15.000

Las instalaciones que estarán disponibles para fabricar los motores varían de acuerdo con otros trabajos de producción, mantenimiento y renovación programados durante este periodo. Las diferencias en el número máximo de motores que pueden producirse durante horas de tiempo regular (no tiempo extra) se muestran en la tercera columna de la tabla 15.10 y los números adicionales que se pueden producir durante horas de tiempo extra se muestran en la cuarta columna. El costo de producir cada uno en tiempo regular o en tiempo extra se da en las columnas quinta y sexta. Debido a las variaciones en los costos de producción, bien puede valer la pena producir algunos de los motores al menos un mes antes de que estén programados para su montaje, esta posibilidad está siendo considerada. La desventaja es que esos motores deben almacenarse hasta la instalación programada (las estructuras del avión no estarán listas antes) a un costo de almacenamiento de 15 000 dólares por mes (incluido el interés en el capital invertido) por cada motor,1 como se muestra en la columna de la extrema derecha de la tabla 15.10. El gerente de producción quiere que se desarrolle un programa para el número de motores que se van a producir en cada uno de los cuatro meses con el fin de minimizar los costos totales de producción y de almacenamiento.

Formulación y solución En la figura 15.7 se muestra la formulación de este caso como una variante de un problema de transporte. Las fuentes de los motores de avión son su producción en tiempo regular (TR) y en tiempo extra (TE) en cada uno de los cuatro meses. Sus suministros se obtienen de las columnas tres y cuatro de la tabla 15.10. Los destinos de estos motores son su montaje en cada uno de los cuatro meses, así que sus demandas se dan en la segunda columna de la tabla 15.10. No es posible montar un motor en algún mes antes de su producción, así que el cuadro de diálogo del Solver incluye las restricciones de que el número instalado debe ser cero en cada uno de estos casos. En forma similar, se insertan guiones en la tabla de Costo unitario para estos casos. De otro modo, los costos unitarios que se dan en esta tabla (en unidades de 1 millón de dólares) se obtienen al combinar el costo unitario de producción de la quinta o sexta columna de la tabla 15.10 con cualquier costo de almacenamiento (0.015 millones de dólares por unidad por mes de almacenamiento). (Las ecuaciones que se introducen en CostoUnitario (D13:G20) se muestran después de la hoja de cálculo en la figura 15.7). Como las cantidades en MáximaProdución (J25:J32) representan cifras máximas que pueden ser producidas, están precedidas de signos ≤ en la columna I. Las restricciones de suministro correspondientes, Producidos (H25:H32) ≤ MáximaProducción (J25:J32), se incluyen en el cuadro de diálogo del Solver junto con las restricciones normales de demanda. 1

Para fines de elaboración del modelo, se supone que el costo de almacenamiento en que se incurre al final del mes es sólo para los motores que se retienen hasta el siguiente mes. Es decir, se supone que los motores que se producen en un mes dado para montarse en ese mismo periodo, no causan ningún costo de almacenamiento.

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

FIGURA 15.7 Formulación de hoja de cálculo del problema de Northern Airplane Co., como variante de un problema de transporte, incluida la celda objetivo TotalCost (J36) y las demás celdas de producción InitCost (D13:G20), Produced (H25:H32) e Installed (D33:G33), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Las celdas cambiantes UnitsProduced(D25:G32) muestran el programa de producción óptimo que obtuvo el Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de programación y producción de Northern Airplane Co. Costo de producción (millones de dólares) Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

Tiempo extra 1.10 1.12 1.11 1.15

1 1.08 1.10 — — — — — —

Mes instalado 2 1.10 1.12 1.11 1.12 — — — —

3 1.11 1.13 1.13 1.14 1.10 1.11 — —

4 1.13 1.15 1.14 1.15 1.12 1.13 1.13 1.15

1 10 0 0 0 0 0 0 0 10 = 10

Mes instalado 2 5 0 10 0 0 0 0 0 15 = 15

3 0 0 0 0 25 0 0 0 25 = 25

4 5 0 0 0 0 10 5 0 20 = 20

Costo unitario (millones de dólares) 1 (TR) 1 (TE) 2 (TR) 2 (TE) 3 (TR) 3 (TE) 4 (TR) 4 (TE)

Mes Producido

Unidades producidas 1 (TR) 1 (TE) 2 (TR) 2 (TE) 3 (TR) 3 (TE) 4 (TR) 4 (TE) Instalado

Mes Producido

Costo de almacenamiento (millones de dólares al mes) 0.015

Tiempo regular 1.08 1.11 1.10 1.13

Instalaciones programadas

Producidos 20 0 10 0 25 10 5 0

<= <= <= <= <= <= <= <=

Producción máxima 20 10 30 15 25 10 5 10 Costo total (millones de dólares) 77.4 (continúa)

TABLA 15.11 Programa de producción óptimo para Northern Airplane Co.

Mes

Producción

Montajes

Almacenados

1 (TR) 2 (TR) 3 (TR) 3 (TE) 4 (TR)

20 10 25 10 5

10 15 25 0 20

10 5 5 10 0

Las celdas cambiantes UnidadesProducidas (D25:G32) muestran una solución óptima para este problema. En la tabla 15.11 se resumen las características clave de esta solución. El tiempo extra se utiliza sólo una vez (en el mes 3). A pesar de los considerables costos en que se incurrió por el almacenaje de los motores, los excedentes se producen en el primer y el tercer mes para su uso posterior. Incluso en el mes 2 se producen motores suficientes y cinco de ellos permanecerán en almacén para su montaje en el mes 3, a pesar del hecho de que los costos de producción son más altos en el mes 2 y en el mes 3. Así, un programador humano habría tenido dificultades en encontrar esta planeación. Sin embargo, el Excel Solver no tiene problema para equilibrar todos los factores que participan y reducir el costo total a un mínimo absoluto, que resulta ser 77.4 millones de dólares (como se muestran en la celda objetivo CostoTotal [J36]) en este caso.

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15.4

Otras aplicaciones de variantes a problemas de transporte 649

FIGURA 15.7 (continuación) B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C

Costo unitario (millones de dólares) 1 (TR) 1 (TE) 2 (TR) 2 (TE) 3 (TR) 3 (TE) 4 (TR) 4 (TE)

Mes Producido

D 1 =D5 =E5

— — — — — —

E

F Mes instalado

2

3

= D5 + StorageCost = E5 + StorageCost = D6 = E6

= D5 + 2*StorageCost = E5 + 2*StorageCost = D6 + StorageCost = E6 + StorageCost = D7 = E7

— — — —

G 4 = D5 + 3*StorageCost = E5 + 3*StorageCost = D6 + 2*StorageCost = E6 + 2*StorageCost = D7 + StorageCost = E7 + StorageCost = D8 = E8

— —

24 25 26 27 28 29 30 31 32

33 Nombre del rango Installed MaxProduction Produced ProductionCost ScheduledInstallations StorageCost TotalCost UnitCost UnitsProduced

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C Instalados

D =SUM(D25:D32) Celdas D33:G33 J25:J32 H25:H32 D5:E8 D35:G35 G5 J36 D13:G20 D25:G32

H Producidos =SUM(D25:G25) =SUM(D26:G26) =SUM(D27:G27) =SUM(D28:G28) =SUM(D29:G29) =SUM(D30:G30) =SUM(D31:G31) =SUM(D32:G32)

E

F

G

=SUM(E25:E32)

=SUM(F25:F32)

=SUM(G25:G32)

J 34 35 36

TotalCost (millones de dólares) =SUMAPRODUCTO(UnitCost,UnitsProduced)

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650

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Diseño de zonas de asistencia escolar Middletown School District está abriendo una tercera escuela secundaria y por lo tanto necesita rediseñar los límites de las áreas de la ciudad que se asignarán a las escuelas respectivas. Para una planeación preliminar, la ciudad se ha dividido en nueve regiones con aproximadamente las mismas poblaciones. (Una planeación detallada posterior dividirá la ciudad en más de 100 regiones.) En el cuerpo principal de la tabla 15.12 se muestra la distancia aproximada entre cada área y la escuela. La columna de la extrema derecha da el número de estudiantes de secundaria en cada región el siguiente año. (Se espera que estos números crezcan en forma lenta durante los siguientes años.) Las últimas dos filas muestran el número mínimo y el máximo de estudiantes que se deben asignar a cada escuela.

TABLA 15.12 Datos para el problema de Middletown School District

Distancia (millas) a la escuela Región

Escuela 1

2

3

Número de estudiantes de secundaria

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.2 1.4 0.5 1.2 0.9 1.1 2.7 1.8 1.5

1.9 1.3 1.8 0.3 0.7 1.6 0.7 1.2 1.7

2.5 1.7 1.1 2.0 1.0 0.6 1.5 0.8 0.7

500 400 450 400 500 450 450 400 500

Inscripción mínima Inscripción máxima

1 200 1 800

1 100 1 700

1 000 1 500

La administración del distrito escolar ha decidido que el objetivo apropiado para establecer los límites de la zona de asistencia escolar es minimizar la distancia promedio que los estudiantes deben recorrer para llegar a la escuela. En esta etapa preliminar quieren determinar cuántos estudiantes de cada región deben asignarse a cada escuela para lograr el objetivo, mientras que también satisfacen las restricciones de participación de cada escuela que se indican en las dos filas inferiores de la tabla 15.12.

Formulación y solución Minimizar la distancia promedio que los estudiantes deben viajar equivale a minimizar la suma de las distancias que cada uno de los estudiantes debe viajar. Por lo tanto, si se adopta este último objetivo, esta es sólo una variante de un problema de transporte en el que los costos unitarios son las distancias. Como cada escuela tiene tanto un mínimo como un máximo de inscripción, se procedió como en el ejemplo de Nifty Co. (sección 15.3) para proporcionar dos filas de celdas de datos debajo de las celdas cambiantes que especifican las cantidades mínimas y máximas en el modelo de la hoja de cálculo que se muestra en la figura 15.8. Las restricciones correspondientes se incluyen en el cuadro de diálogo del Solver junto con las restricciones de suministro normales. Luego, al dar clic en el botón Resolver se obtiene la solución óptima que se muestra en las celdas cambiantes NúmeroDeEstudiantes (C17:E25). Esta solución óptima da el siguiente plan: Asignar las regiones 2 y 3 a la escuela 1. Asignar las regiones 1, 4 y 7 a la escuela 2. Asignar las regiones 6, 8 y 9 a la escuela 3. Dividir la región 5, asignar 350 estudiantes a la escuela 1 y 150 estudiantes a la escuela 2. Como se indica en la celda objetivo DistanciaTotal (H30), la distancia total que todos los estudiantes recorren a la escuela es de 3 530 millas (un promedio de 0.872 millas por estudiante).

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15.4

Otras aplicaciones de variantes a problemas de transporte 651

FIGURA 15.8 Formulación de hoja de cálculo del problema Middletown School District como una variante de un problema de transporte, incluida la celda objetivo de Distancia total (H30) y las demás celdas de producción Total de la región (F17:F25) y el Total en la escuela (C29:E29), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Las celdas cambiantes Número de estudiantes (C17:E25) muestran el plan de establecimiento de zona óptimo obtenido por el Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

B

C

D

E

F

G

H

= = = = = = = = =

Total en la región 500 400 450 400 500 450 450 400 500

Problema de zonificación de Middletown School District Distancia (millas) Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 Región 5 Región 6 Región 7 Región 8 Región 9

Escuela 1 2.2 1.4 0.5 1.2 0.9 1.1 2.7 1.8 1.5

Escuela 2 1.9 1.3 1.8 0.3 0.7 1.6 0.7 1.2 1.7

Escuela 3 2.5 1.7 1.1 2 1 0.6 1.5 0.8 0.7

Número de estudiantes Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 Región 5 Región 6 Región 7 Región 8 Región 9

Escuela 1 0 400 450 0 350 0 0 0 0

Escuela 2 500 0 0 400 150 0 450 0 0

Escuela 3 0 0 0 0 0 450 0 400 500

1 200 <= 1 200 <= 1 800

1 500 <= 1 500 <= 1 700

1 350 <= 1 350 <= 1 500

Inscripción mínima Total en la escuela Inscripción máxima

Total de la región 500 400 450 400 500 450 450 400 500

Distancia total (millas) 3 530

Nombre del rango

Celdas

Participación máxima Millas Inscripción mínima Número de estudiantes Total en la escuela Distancia total Total de la región Total en la región

C31:E31 C4:E12 C27:E27 C17:E25 C29:E29 H30 F17:F25 H17:H25 F

29

B Total en la escuela

28 29 30

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C =SUM(C17:C25)

D =SUM(D17:D25)

E =SUM(E17:E25)

H Distancia total (millas) =SUMAPRODUCTO (Millas, NúmeroDeEstudiantes)

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Total de la región =SUM(C17:E17) =SUM(C18:E18) =SUM(C19:E19) =SUM(C20:E20) =SUM(C21:E21) =SUM(C22:E22) =SUM(C23:E23) =SUM(C24:E24) =SUM(C25:E25)

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652

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Satisfacción económica de las necesidades de energía La Energetic Co., necesita hacer planes para los sistemas de energía de un nuevo edificio. Las necesidades de energía en el edificio caen en tres categorías: 1) electricidad, 2) calentamiento de agua y 3) calefacción del espacio en el edificio. Los requisitos diarios para estas tres categorías (todas medidas en las mismas unidades) son 20 unidades, 10 unidades y 30 unidades, respectivamente. Las tres posibles fuentes de energía para satisfacer estas necesidades son electricidad, gas natural y una unidad de calefacción solar que pueda instalarse en el techo. El tamaño del techo limita que el calentador solar más grande posible proporcione 30 unidades por día. Sin embargo, no hay un límite para la cantidad de electricidad y gas natural disponibles. Las necesidades de electricidad pueden satisfacerse mediante la compra de energía eléctrica. Las otras dos necesidades de energía (calentamiento de agua y calefacción ambiente) se pueden satisfacer por medio de cualquiera de las tres fuentes de energía o por una combinación de ellas. El costo unitario por satisfacer las necesidades de energía a partir de estas fuentes de energía se muestra en la tabla 15.13. El objetivo de la administración es minimizar el costo total de satisfacer todas las necesidades de energía.

TABLA 15.13 Datos de costos para el problema de Energetic Co.

Costo unitario Necesidad de energía: Electricidad Fuente de energía Electricidad Gas natural Calefactor solar

$400 — —

Calefacción de agua

Calefacción de espacio

$500 600 300

$600 500 300

Formulación y solución En la figura 15.9 se muestra la formulación de este problema como una variante del problema de transporte. Las celdas cambiantes UsoDiarioDeEnergía (D12:F14) muestran la solución óptima resultante acerca de cuántas unidades de cada fuente de energía se deben utilizar para cumplir con cada necesidad de energía. La celda objetivo CostoTotal (I18) da la cifra de 24 000 por día.

Elección de una nueva ubicación Una de las decisiones más importantes que enfrenta la administración de muchas compañías es dónde ubicar una nueva instalación importante, que puede ser una nueva fábrica, un nuevo centro de distribución, un nuevo centro administrativo o algún otro edificio. La nueva instalación puede necesitarse debido a una expansión. En otros casos, puede ser que la compañía abandone una ubicación insatisfactoria. Por lo general hay varios sitios potenciales atractivos entre los cuales elegir. En la economía global actual ocurre cada vez más que los sitios potenciales se pueden ubicar fuera de las fronteras nacionales. Hay varios factores importantes que influyen en la decisión de la administración. Uno de ellos es el costo de transporte. Por ejemplo, al evaluar un sitio potencial para una nueva fábrica, la administración necesita considerar el impacto que tendrá la elección de cierto lugar en el costo de enviar los productos desde todas las fábricas (incluida la nueva fábrica en dicho sitio) a los centros de distribución. Al ubicar la nueva fábrica cerca de algunos centros de distribución que están lejos de las demás factorías, la compañía puede obtener costos de transporte bajos para la nueva fábrica y al mismo tiempo, reducir en forma sustancial los costos de embarque desde las fábricas actuales también. La administración necesita saber cuáles serán los costos totales de embarque al seguir un plan de embarque óptimo para cada ubicación potencial de la nueva fábrica. Una pregunta similar surge en relación con el costo total de transportar algunas materias primas desde sus diversas fuentes hasta todas las fábricas (incluida la nueva) en cada sitio potencial para ella. Un problema de transporte (o una variante) con frecuencia proporciona la forma adecuada de elaborar esas preguntas. Entonces, resolver la formulación para cada sitio potencial proporciona conocimientos clave para los administradores, que deben evaluar esta información y otras consideraciones relevantes al hacer su elección final del sitio. El caso de estudio que se presenta en la siguiente sección ilustra este tipo de aplicación.

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15.4

Otras aplicaciones de variantes a problemas de transporte 653

FIGURA 15.9 Formulación de hoja de cálculo para el problema de Energetic Co., como variante de un problema de transporte, incluida la celda objetivo CostoTotal (I18) y las demás celdas de producción TotalUtilizado (G12:G14) y TotalSuministrado (D15:F15), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Las celdas cambiantes UsoDiarioDeEnergía (D12:F14) dan el plan de suministro de energía óptimo que obtuvo Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

B

C

D

E

F

G

H

I

Problema de fuentes de energía Energetic Co. Costo unitario (dólares/día) Fuente Electricidad de Gas natural energía Calentador solar

Electricidad 400 — —

Uso diario de energía Fuente Electricidad de Gas natural energía Calentador solar

Electricidad 20 0 0 20 = 20

Total suministrado

Demanda

Necesidad de energía Calentamiento de agua

500 600 300

Calentamiento de espacio

600 500 400

Necesidad de energía Calentamiento de agua

0 0 10 10 = 10

Calentamiento de espacio

0 10 20 30 = 30

Total utilizado 20 10 Solar máximo <= 30 30 Costo total (dólares/día) 24,000

Nombre del rango

Celdas

UsoDiarioDeEnergía Demanda MáximaSolar CostoTotal TotalSolar TotalSuministrado TotalUtilizado CostoUnitario

D12:F14 D17:F17 I14 I18 G14 D15:F15 G12:G14 D5:F7 G

C 15

D

Total suministrado

=SUM(D12:D14)

E =SUM(E12:E14)

10 11

Total Utilizado

12

=SUM(D12:F12)

13 14

=SUM(D13:F13) =SUM(D14:F14)

F =SUM(F12:F14) I

16 17 18

Preguntas de repaso

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Costo total (dólares/día) =SUMAPRODUCTO (CostoUnitario,UsoDiarioDeEnergía)

1.

¿Cuáles son las áreas de aplicación que se ilustran en esta sección para las variantes de los problemas de transporte?

2.

¿Cuál es el objetivo de la administración en el problema de Metro Water District?

3.

¿Cuáles son las fuentes y destinos en la formulación del problema de programación de producción de Northern Airplane Co.?

4.

¿Qué factor desempeña el papel de costos unitarios en el problema de Middletown School District?

5.

¿Cuál es el objetivo de la administración en el problema de Energetic Co.?

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654

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

15.5

CASO DE ESTUDIO: PROBLEMA DE SELECCIÓN DE UN SITIO DE TEXAGO CORP. La Texago Corporation es una compañía petrolera totalmente integrada con base en Estados Unidos. Produce la mayor parte de su petróleo en sus propios pozos petroleros y luego importa el resto de lo que necesita del Oriente Medio. Se utiliza una extensa red de distribución para transportar el petróleo a las refinerías de la compañía y luego para transportar los productos del petróleo desde las refinerías hasta los centros de distribución de Texago. Las ubicaciones de estas diversas instalaciones se dan en la tabla 15.14.

TABLA 15.14 Ubicación de las instalaciones actuales de Texago

Tipo de instalación

Ubicaciones

Campos petroleros

Varios en Texas Varios en California Varios en Alaska Cerca de Nueva Orleans, Louisiana Cerca de Charleston, Carolina del Sur Cerca de Seattle, Washington Pittsburgh, Pennsylvania Atlanta, Georgia Kansas City, Missouri San Francisco, California

Refinerías

Centros de distribución

Texago continúa aumentando su participación en el mercado para varios de sus productos principales. Por lo tanto, la administración ha tomado la decisión de expandir su producción al construir una refinería adicional e incrementar sus importaciones de petróleo crudo del Oriente Medio. La decisión crucial restante es dónde ubicar la nueva refinería. La adición de una nueva refinería tendrá un gran impacto en la operación del sistema de distribución completo, incluidas las decisiones acerca de cuánto petróleo crudo transportar desde cada una de sus fuentes a cada refinería (incluida la nueva) y cuánto producto terminado embarcar de cada refinería a cada centro de distribución. Por lo tanto, los tres factores clave para la decisión administrativa acerca de la ubicación de la nueva refinería son: 1.

El costo de transportar el petróleo desde sus fuentes a todas la refinerías, incluida la nueva.

2.

El costo de transportar el producto terminado desde todas sus refinerías, incluida la nueva, a los centros de distribución.

3.

Costos operativos de la nueva refinería, incluidos los costos de mano de obra, de impuestos, de los suministros requeridos (distintos del petróleo crudo), de energía, del seguro y demás. (Los costos de capital no son un factor ya que serían esencialmente los mismos en cualquiera de los sitios potenciales.)

La administración ha establecido un grupo de trabajo para estudiar el tema de dónde ubicar la nueva refinería. Luego de una investigación considerable, el grupo de trabajo ha determinado que hay tres alternativas de ubicaciones potenciales. Éstas y las principales ventajas de cada uno se describen en la tabla 15.15.

TABLA 15.15 Posibles ubicaciones para la nueva refinería de Texago y sus principales ventajas

Ubicación potencial

Principales ventajas

Cerca de Los Ángeles, California

Cerca de los campos petroleros de California. Fácil acceso desde los campos petroleros de Alaska. Bastante cerca del centro de distribución de San Francisco. Cerca de los campos petroleros de Texas. Fácil acceso de las importaciones del Oriente Medio. Cerca de la casa matriz de la corporación. Bajos costos de operación. Ubicada centralmente con respecto a los centros de distribución. Fácil acceso al petróleo crudo vía el Río Mississippi.

Cerca de Galveston, Texas

Cerca de San Louis, Missouri

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15.5

Caso de estudio: problema de selección de un sitio de Texago Corp. 655

Acopio de los datos necesarios El equipo de trabajo necesita reunir una gran cantidad de datos, algunos de los cuales necesitan una búsqueda considerable, con el fin de realizar el análisis que pidió la administración. Los administradores quieren que todas las refinerías, incluida la nueva, operen a una capacidad completa. Por lo tanto, el equipo de trabajo comienza por determinar cuánto petróleo crudo necesitaría recibir cada refinería en forma anual de acuerdo con estas condiciones. Si se utilizan unidades de 1 millón de barriles, estas cantidades necesarias se muestran en el lado izquierdo de la tabla 15.16. En el lado derecho de la tabla se muestra la producción anual de petróleo crudo en el presente de los diversos campos petroleros. Se espera que estas cantidades permanezcan estables por algunos años por venir. Como las refinerías necesitan un total de 360 millones de barriles de petróleo crudo y los campos petroleros producirán un total de 240 millones de barriles, la diferencia de 120 millones de barriles necesitará importarse del Oriente Medio.

TABLA 15.16 Datos de producción para Texago Corp.

Refinería

Petróleo crudo necesidades anuales (millones de barriles)

Nueva Orleans Charleston Seattle Nuevo sitio

100 60 80 120

Total

360

Petróleo crudo producido anualmente (millones de barriles)

Campos petroleros Texas California Alaska

80 60 100

Total Importaciones necesarias = 360 – 240 = 120

240

Como las cantidades de petróleo crudo producidas o compradas serán las mismas sin importar qué ubicación se elija para la nueva refinería, el equipo de trabajo concluye que los costos de producción o compra (sin tener en cuenta los costos de embarque) no son relevantes para la decisión de elección de un sitio. Por otro lado, los costos de transportar el petróleo crudo desde su fuente a una refinería son muy relevantes. Estos costos se muestran en la tabla 15.17 para dos de las tres refinerías actuales y los tres sitios potenciales para la nueva refinería.

TABLA 15.17 Datos de costos para el embarque del petróleo crudo a una refinería de Texago

Costo por unidad embarcada a la refinería o refinería potencial (millones de dólares por millón de barriles) Nueva Orleans Charleston

Seattle

Los Ángeles

Galveston

St. Louis

5 3 3 5

3 1 4 4

1 3 5 3

1 4 7 4

Fuente Texas California Alaska Medio Oriente

2 5 5 2

4 5 7 3

También son muy relevantes los costos de embarcar el producto terminado desde una refinería hasta un centro de distribución. Si se establece que una unidad de producto terminada corresponda a la producción de una refinería a partir de 1 millón de barriles de petróleo crudo, los costos se proporcionan en la tabla 15.18. En la fila inferior de la tabla se muestra el número de unidades de producto terminado que se necesitan por cada centro de distribución.

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656

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

TABLA 15.18

Costo por unidad embarcada al centro de distribución (millones de dólares)

Datos de costos para embarcar un producto terminado a un centro de distribución

Pittsburgh

Atlanta

Kansas City

San Francisco

Refinería Nueva Orleans Charleston Seattle

6.5 7 7

5.5 5 8

6 4 4

8 7 3

8 5 4

6 4 3

3 3 1

2 6 5

100

80

80

100

Refinería potencial Los Ángeles Galveston St. Louis Número de unidades necesarias

El cuerpo de datos final incluye los costos de operación de una refinería en cada sitio potencial. Calcularlos requiere que parte de los miembros del equipo visiten los sitios para reunir la información detallada acerca de los costos de mano de obra locales, impuestos y demás. Luego se hacen comparaciones con los costos operativos de las refinerías actuales para ayudar a depurar los datos. Además, el equipo reúne información acerca de los costos únicos del sitio, como el terreno, la construcción y otros gastos y los amortiza en una base de costo anual uniforme equivalente. Este proceso lleva a los cálculos que se muestra en la tabla 15.19.

TABLA 15.19 Costos operativos estimados para una refinería de Texago en cada sitio potencial

Sitio Los Ángeles Galveston St. Louis

Costo operativo anual (millones de dólares) 620 570 530

Análisis (seis aplicaciones de un problema de transporte) Armados con estos datos, el equipo ahora necesita desarrollar la siguiente información financiera clave para la administración: 1.

Costo total de embarque de petróleo crudo con cada elección potencial de un sitio para la nueva refinería.

2.

Costo total de embarque de producto terminado con cada elección potencial de un sitio para la nueva refinería.

Para ambos tipos de costos, una vez que se elija un sitio, se determinará y se seguirá un plan de embarque óptimo. Por lo tanto, para encontrar un tipo de costo con una elección potencial de un sitio, es necesario resolver el plan de embarque óptimo dado por esa elección y luego calcular el costo correspondiente. El equipo reconoce que el problema de encontrar un plan de embarque óptimo para una elección dada de un sitio es sólo un problema de transporte. En particular, para embarcar el petróleo crudo, en la figura 15.10 se muestra el modelo de la hoja de cálculo para este problema de transporte; las entradas en las celdas de datos vienen directamente de las tablas 15.16 y 15.17. Las entradas para la columna Sitio nuevo (celdas G5:G8) vendrán de una de las tres últimas columnas de la tabla 15.17, según el sitio potencial actual que se esté evaluando. En este punto, antes de introducir esta columna y dar clic en el botón Resolver, se realiza una solución de prueba para cada una de las cantidades de embarque y se introduce un 0 en las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16). Estas mismas celdas cambiantes en las figuras 15.11, 15.12 y 15.13 muestran el plan de embarque óptimo para cada una de las tres posibles elecciones de un sitio. La celda objetivo CostoTotal (J20) da el costo de embarque anual total resultante en millones de dólares. En particular, si se fuera a elegir Los Ángeles como el sitio para la nueva refinería (figura 15.11), el costo anual total de embarcar petróleo crudo en la forma óptima sería de 880 millones de dólares. Si se eligiera Galveston (figura 15.12), este costo sería de 920 millones de dólares, mientras que sería de 960 millones de dólares si se eligiera St. Louis (figura 15.13).

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15.5

Caso de estudio: problema de selección de un sitio de Texago Corp. 657

FIGURA 15.10 Formulación de hoja de cálculo básica del problema de transporte de Texago para el embarque de petróleo crudo desde los campos de petróleo hasta las refinerías, incluida la nueva refinería en un sitio que se va a elegir. La celda objetivo es Costo total (J20) y las otras celdas de producción son TotalEmbarcado (H13:H16) y TotalRecibido (D17:G17). Antes de ingresar los datos para un sitio nuevo y luego dar clic en el botón Resolver, una solución de prueba 0 se ingresa en cada una de las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16). A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B

C

E

Cantidad de embarque (millones de barriles)

G

H

I

J

Texas California Alaska Oriente Medio

Total embarcado 0 0 0 0

= = = =

Suministro 80 60 100 120

Campos petroleros

Demanda

Total Recibido

D =SUM(D13:D16)

Sitio nuevo

Refinerías Charleston Seattle 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = 60 80

Nueva Orleans 0 0 0 0 0 = 100

E

Sitio nuevo 0 0 0 0 0 = 120

Costo total (millones de dólares) 0

Nombre del rango

Celdas

Demanda CantidadDeEmbarque Suministro CostoTotal TotalRecibido TotalEmbarcado CostoUnitario

D19:G19 D13:G16 J13:J16 J20 D17:G17 H13:H16 D5:G8

H TotalEmbarcado

12 13

=SUM(D13:G13)

14 15 16

=SUM(D14:G14) =SUM(D15:G15) =SUM(D16:G16)

F

=SUM(E13:E16)

18 19 20

15-Hillier.indd 657

F

Refinerías Charleston Seattle 4 5 5 3 7 3 3 5

Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans Texas 2 5 Campos California petroleros 5 Alaska 2 Oriente Medio

C 17

D

Problema de selección del sitio de Texago Corp. (embarque a las refinerías)

=SUM(F13:F16)

G =SUM(G13:G16)

J Costo total (millones de dólares) =SUMAPRODUCTO (CostoUnitario, CantidadDeEmbarque)

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658

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

FIGURA 15.11 En la columna G de la figura 15.10 las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16) dan a la administración de Texago un plan óptimo para embarcar petróleo crudo si se elige Los Ángeles como el nuevo sitio para la refinería. A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de selección del sitio de Texago Corp. (embarque a las refinerías, incluida Los Ángeles)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans

Campos petroleros

Texas California Alaska Oriente Medio

2 5 5 2

Cantidad de embarque (millones de barriles) Nueva Orleans 40 Texas 0 California Campos petroleros 0 Alaska 60 Oriente Medio 100 Total recibido = 100 Demanda

Refinerías Charleston Seattle 4 5 5 3 7 3 3 5

Los Ángeles 3 1 4 4

Refinerías Charleston Seattle 0 0 0 0 0 80 60 0 60 80 = = 60 80

Los Ángeles Total embarcado 40 80 60 60 20 100 0 120 120 = 120

Suministro 80 60 100 120

= = = =

Costo total (millones de dólares) 880

FIGURA 15.12 Las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16) dan a la administración de Texago un plan óptimo para embarcar petróleo crudo si se elige Galveston como el nuevo sitio para una refinería (en la columna G de la figura 15.10). A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de selección del sitio de Texago Corp. (embarque a las refinerías, incluido Galveston) Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans

Campos petroleros

Texas California Alaska Oriente Medio

2 5 5 2

Cantidad de embarque (millones de barriles) Nueva Orleans 40 Texas Campos 0 California petroleros 0 Alaska 60 Oriente Medio 100 Total recibido = 100 Demanda

Refinerías Charleston Seattle 4 5 5 3 7 3 3 5

Galveston 1 3 5 3

Refinerías Charleston Seattle 0 0 0 0 0 80 60 0 60 80 = = 60 80

Galveston 60 60 0 0 120 = 120

Total embarcado 80 60 100 120

= = = =

Suministro 80 60 100 120 Costo total (millones de dólares) 920

El análisis del costo de embarcar el producto terminado es similar. En la figura 15.14 se muestra el modelo de hoja de cálculo para este problema de transporte, las filas 5-7 vienen directamente de las primeras tres filas de la tabla 15.18. La fila de Nuevo Sitio se llenaría con una de las siguientes tres filas de la tabla 15.18, según sea el sitio potencial para la nueva refinería que se esté evaluando actualmente. Como las unidades para el producto terminado que salen de una refinería son equivalentes a las unidades de petróleo crudo que entran, los datos en Suministro (J13:J16) vienen del lado izquierdo de la tabla 15.16.

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FIGURA 15.13 En la columna G de la figura 15.10 las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16) dan a la administración de Texago un plan óptimo para embarcar el petróleo crudo si se elige St. Louis como el nuevo sitio para una refinería. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B

C

D

E

F

G

H

I

J

= = = =

Suministro 80 60 100 120

Problema de selección del sitio de Texago Corp. (embarque a las refinerías, incluida St. Louis) Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans 2 Texas Campos 5 California petroleros Alaska 5 Oriente Medio 2

Cantidad de embarque (millones de barriles) Nueva Orleans 0 Texas Campos 0 California petroleros 20 Alaska 80 Oriente Medio 100 Total recibido = 100 Demanda

Refinerías Seattle Charleston 4 5 5 3 7 3 3 5

St. Louis 1 4 7 4

Refinerías Seattle Charleston 0 0 20 0 0 80 40 0 60 80 = = 60 80

St. Louis 80 40 0 0 120 = 120

Total embarcado 80 60 100 120

Costo total (millones de dólares) 960

FIGURA 15.14 La formulación de hoja de cálculo básica para el problema de transporte de Texago para el embarque de producto terminado desde las refinerías (incluido el nuevo en un sitio que aún se va a seleccionar) hasta los centros de distribución. La celda objetivo es CostoTotal (J20) y las demás celdas de salida son TotalEmbarcado (H13:H16) y TotalRecibido (D17:G17). Antes de ingresar los datos para un nuevo sitio y luego dar clic en el botón Resolver, se introduce una solución de prueba de 0 en cada una de las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16). A 1

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de elección del sitio de Texago Corp. (embarque a los centros de distribución)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans Refinerías Charleston Seattle Nuevo sitio Cantidad de embarque (millones de barriles) Refinerías

Nueva Orleans Charleston Seattle Nuevo sitio Total recibido Demanda

Pittsburgh 6.5 7 7

Centro de distribución Kansas City Atlanta 5.5 6 5 4 8 4

San Francisco 8 7 3

Centro de distribución Kansas City Atlanta 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = 80 80

San Francisco 0 0 0 0 0 = 100

Pittsburgh 0 0 0 0 0 = 100

Total embarcado 0 0 0 0

Demanda CantidadDeEmbarque Suministro CostoTotal TotalRecibido TotalEmbarcado CostoUnitario

12 13 14 15 16 C Total recibido

D =SUM(D13:D16)

E =SUM(E13:E16)

18 19 20

F =SUM(F13:F16)

Suministro 100 60 80 120 Costo total (millones de dólares) 0

Nombre del rango

17

= = = =

Celdas D19:G19 D13:G16 J13:J16 J20 D17:G17 H13:H16 D5:G8 H Total embarcado =SUM(D13:G13) =SUM(D14:G14) =SUM(D15:G15) =SUM(D16:G16) G =SUM(G13:G16)

J Costo total (millones de dólares) = SUMAPRODUCTO (CostoUnitario, CantidadDeEmbarque)

659

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660

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

FIGURA 15.15 En las filas 8 y 16 de la figura 15.14 las celdas cambiantes Cantidad de embarque (D13:G16) dan a la administración de Texago un plan óptimo para embarcar el producto terminado si se elige Los Ángeles como un nuevo sitio para una refinería. A 1

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de elección del sitio de Texago Corp. (embarque a los centros de distribución, cuando se elige Los Ángeles)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans Refinerías Charleston Seattle Los Ángeles

Cantidad de embarque (millones de barriles) Nueva Orleans Refinerías Charleston Seattle Los Ángeles Total recibido Demanda

Pittsburgh 6.5 7 7 8

Pittsburgh 80 0 20 0 100 = 100

Centro de distribución Atlanta Kansas City 5.5 6 5 4 8 4 6 3

San Francisco 8 7 3 2

Centro de distribución Kansas City Atlanta 20 0 60 0 0 0 0 80 80 80 = = 80 80

San Francisco Total embarcado 0 100 0 60 60 80 40 120 100 = 100

= = = =

Suministro 100 60 80 120 Costo total (millones de dólares)

20

1,570

FIGURA 15.16 En las filas 8 y 16 de la figura 15.14 las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16) dan a la administración de Texago un plan óptimo para embarcar el producto terminado si se elige Galveston como el nuevo sitio para una refinería. A 1

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de elección del sitio de Texago Corp. (embarque a los centros de distribución, cuando se elige Galveston)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Costo unitario (millones de dólares) Nueva Orleans Refinerías Charleston Seattle Galveston

Cantidad de embarque (millones de barriles) Nueva Orleans Charleston Refinerías Seattle Galveston Total recibido Demanda

Centro de distribución Kansas City San Francisco 6 8 4 7 4 3 3 6

Pittsburgh 6.5 7 7 5

Atlanta 5.5 5 8 4

Pittsburgh 100 0 0 0 100 = 100

Centro de distribución Kansas City Atlanta 0 0 60 0 0 0 20 80 80 80 = = 80 80

San Francisco Total embarcado 0 100 0 60 80 80 20 120 100 = 100

= = = =

Suministro 100 60 80 120 Costo total (millones de dólares) 1,630

Las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16) en las figuras 15.15, 15.16 y 15.17 muestran el plan óptimo para embarcar el producto terminado para cada uno de los sitios que se consideran para la nueva refinería. La celda objetivo CostoTotal (J20) en la figura 15.15 indica que el costo anual total resultante de embarcar producto terminado si la nueva refinería estuviera en Los Ángeles fue de 1 570 millones. En forma similar, este costo total sería de 1 630 millones si Galveston fuera el sitio elegido (figura 15.16) y 1 430 millones si se eligiera St. Louis (figura 15.17).

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15.5

Caso de estudio: problema de selección de un sitio de Texago Corp. 661

FIGURA 15.17 En las filas 8 y 16 de la figura 15.14 las celdas cambiantes CantidadDeEmbarque (D13:G16) dan a la administración de Texago un plan óptimo para embarcar producto si se elige St. Louis como el nuevo sitio para una refinería. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de elección del sitio de Texago Corp. (embarque a los centros de distribución, si se elige St. Louis) Centro de distribución Costo unitario (millones de dólares) Pittsburgh Atlanta Kansas City Nueva Orleans 6.5 5.5 6 Charleston 7 5 4 Refinerías 7 8 4 Seattle 4 3 1 St. Louis

San Francisco 8 7 3 5

Cantidad de embarque Centro de distribución Pittsburgh Atlanta Kansas City San Francisco (millones de barriles) Nueva Orleans 100 0 0 0 Charleston 0 60 0 0 Refinerías Seattle 0 0 0 80 0 20 80 20 St. Louis 100 80 80 100 Total recibido = = = = 100 80 80 100 Demanda

Total embarcado 100 60 80 120

= = = =

Suministro 100 60 80 120 Costo total (millones de dólares) 1,430

Para cada uno de los tres sitios se han utilizado dos modelos separados de hoja de cálculo para la planeación del embarque del petróleo crudo y el embarque del producto terminado. Sin embargo, otra opción hubiera sido combinar esta planeación en un solo modelo de hoja de cálculo para cada sitio y luego optimizar en forma simultánea los planes para los dos tipos de embarque. Esto esencialmente incluiría combinar la figura 15.11 con la 15.15, la figura 15.12 con la 15.16 y la figura 15.13 con la 15.17 y luego utilizar la suma de los costos de embarque para el par de problemas de transporte como la celda objetivo que se pretende minimizar. Esto tendría la ventaja de mostrar toda la planeación de embarque para un sitio dado en una sola hoja de cálculo. Al final del capítulo, el caso 15.1 continuará el caso de estudio de Texago al considerar una situación en la que se necesita este tipo de modelo de hoja de cálculo combinada para encontrar el mejor plan de embarque para cada elección posible de un sitio.

Mensaje a la administración El equipo ahora ha completado su análisis financiero de los tres posibles sitios para ubicar la nueva refinería. En la tabla 15.20 se muestran todos los costos variables importantes (que variarán con la decisión) en un periodo de un año que resultarían de cada una de las tres elecciones posibles del nuevo sitio. En la segunda columna se resume lo que sería el costo anual total de embarcar el petróleo crudo a todas las refinerías (incluida la nueva) para cada alternativa (como ya se dio en las figuras 15.11, 15.12 y 15.13). La tercera columna repite los datos de las figuras 15.15, 15.16 y 15.17 acerca del costo anual total de embarcar el producto terminado de las refinerías a los centros de distribución. En la cuarta columna se muestran los costos operativos estimados para una refinería en cada sitio potencial, como se dio primero en la tabla 15.19.

TABLA 15.20 Costos variables anuales que resultan de la elección de cada sitio para la nueva refinería de Texago

15-Hillier.indd 661

Sitio Los Ángeles Galveston St. Louis

Costo total de embarcar petróleo crudo

Costo total de embarcar producto terminado

$880 millones 920 millones 960 millones

$1.57 miles de millones 1.63 miles de millones 1.43 miles de millones

Costo operativo para nueva refinería

Costo variable total

$620 millones $3.07 miles de millones 570 millones 3.12 miles de millones 530 millones 2.92 miles de millones

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662

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Si se suman las tres columnas, resulta el costo total variable de cada alternativa. Conclusión: desde un punto de vista puramente financiero, St. Louis es el mejor sitio para la nueva refinería. Este sitio ahorraría a la compañía cerca de 200 millones de dólares en forma anual en comparación con la alternativa de Galveston y aproximadamente 150 millones de dólares en comparación con la alternativa de Los Ángeles.

Sin embargo, como con cualquier decisión de elección, la administración debe considerar una amplia diversidad de factores, incluidos algunos no financieros. (Por ejemplo, recuerde que una ventaja importante de Galveston es que está cerca de la casa matriz corporativa). Más aún, si se pueden encontrar formas de reducir algunos de estos costos en la tabla 15.20 para Los Ángeles o Galveston, podría cambiar la evaluación financiera en forma sustancial. La administración también debe considerar si hay algunas tendencias de costos o tendencias en el mercado que pudieran alterar la imagen en el futuro. Después de una consideración cuidadosa, la administración de Texago elige de manera tentativa el sitio de St. Louis. (Esta historia continúa en el caso 15.1, donde se le pide al equipo que analice la opción de agrandar la capacidad de la nueva refinería antes de tomar la decisión final acerca de su ubicación.)

Preguntas de repaso

15.6

1.

¿Cuáles son los tres factores clave para que la administración decida la ubicación de la nueva refinería?

2.

¿Por qué los costos de embarque hacia las refinerías actuales y desde ellas necesitan considerarse junto con los de la nueva refinería?

3.

¿Por qué el equipo de trabajo de Texago encontró que era necesario resolver seis problemas de transporte en lugar de sólo uno?

4.

¿Qué más debe considerar la administración de Texago además del análisis financiero basado en la solución?

CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN Ahora se verá otro tipo especial de problema de programación lineal (que se presentó primero en la sección 3.6) llamado problemas de asignación. Como el nombre sugiere, este tipo de problema incluye hacer asignaciones. Con frecuencia se trata de asignar personas a ciertos trabajos. Así, muchas aplicaciones del problema de asignación incluyen ayudar a los administradores a empatar a su personal con las tareas que se deben realizar. Otras aplicaciones podrían incluir asignar máquinas, vehículos o plantas a las tareas. El problema de Sellmore Company que se presentó en la sección 3.6 es un ejemplo prototipo de un problema de asignación. Con el fin de tener un análisis completo, se comenzará con este mismo ejemplo.

Un ejemplo: el problema de Sellmore Company El gerente de mercadeo de Sellmore Company pronto realizará la conferencia de ventas anuales de la compañía para los gerentes de ventas regionales y el personal de ventas. Para ayudar en la administración de la conferencia, él está contratando cuatro empleados temporales (Ann, Ian, Joan y Sean), cada uno realizará una de las siguientes cuatro tareas: 1.

Elaboración y corrección de las presentaciones escritas.

2.

Gráficas en computadora para las presentaciones orales y escritas.

3.

Preparación de los paquetes de conferencia, incluido copiar y organizar el material escrito.

4.

Manejo de los registros anticipados y sobre la marcha para la conferencia.

Él ahora necesita decidir qué persona asignar a cada tarea. Aunque cada empleado temporal tiene al menos el mínimo de antecedentes necesario para realizar cualquiera de las cuatro tareas, difieren en forma considerable en qué tan eficientes pueden ser al manejar los distintos tipos de trabajo. En la tabla 15.21 se muestra cuántas horas necesitaría cada uno para realizar cada tarea. La columna de la extrema derecha da el salario por hora con base en los antecedentes de cada empleado.

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15.6

Características de los problemas de asignación 663

Formulación de un modelo de hoja de cálculo En la figura 15.18 se muestra un modelo de hoja de cálculo para este problema. La tabla 15.21 se introduce en la parte superior. La combinación de los tiempos requeridos y salarios da el costo (celdas D15:G18) para cada asignación posible de un empleado temporal a una tarea, se utilizan las ecuaciones que se muestran al final de la figura 15.18. Esta tabla de costos es sólo la forma en que se muestra cualquier problema de asignación. El objetivo es determinar qué asignaciones se deben hacer para minimizar la suma de los costos asociados.

TABLA 15.21

Tiempo requerido por tarea (horas)

Datos para el problema de Sellmore Co.

Empleado temporal

Presentaciones escritas

Gráficas

Paquetes

Registros

Salario por hora

Ann Ian Joan Sean

35 47 39 32

41 45 56 51

27 32 36 25

40 51 43 46

$14 12 13 15

Los valores de 1 en Suministro (J24:J27) indican que cada persona (asignada) enlistada en la columna C debe realizar exactamente una tarea. Los valores de 1 en Demanda (D30:G30) indican que cada tarea debe ser realizada por exactamente una persona. Luego estos requisitos se especifican en las restricciones que se dan en el cuadro de diálogo del Solver. Cada una de las celdas cambiantes Asignación (D24:G27) recibe un valor de 1 cuando se hace la asignación correspondiente y un valor de 0 de otro modo. Por lo tanto, la ecuación de Excel para la celda objetivo, CostoTotal = SUMAPRODUCTO (Costo, Asignación) da el costo total para las asignaciones que se realizan. El cuadro de diálogo del Solver especifica que el objetivo es minimizar esta celda objetivo. Las celdas cambiantes en la figura 15.8 muestran la solución óptima obtenida luego de dar clic en el botón Resolver. Esta solución es Asignar a Ann para preparar los paquetes de la conferencia. Asignar a Ian para hacer las gráficas de cómputo. Asignar a Joan para manejar los registros. Asignar a Sean para hacer las presentaciones escritas. El costo total que se da en la celda J30 es de 1 957 dólares.

El modelo para asignación de problemas Cualquier problema de asignación puede describirse en los siguientes términos generales. Dado un conjunto de tareas por realizarse y un conjunto de entidades por asignar que están disponibles para realizar las tareas, el problema es determinar qué persona o entidad debe asignarse a cada tarea. Para ajustar el modelo a un problema de asignación, se deben satisfacer las siguientes suposiciones: 1.

El número de entidades asignadas y de tareas debe ser el mismo.

2.

Cada persona debe recibir exactamente una tarea.

3.

Cada tarea debe ser realizada exactamente por una persona.

4.

Hay un costo asociado con cada combinación de persona asignada que realiza una tarea.

5.

El objetivo es determinar cómo deben hacerse todas las asignaciones para minimizar el costo total.

Las primeras tres suposiciones son moderadamente restrictivas. Muchas aplicaciones potenciales no se ajustan por completo a estas suposiciones. Sin embargo, Excel Solver puede resolver las variantes de los problemas de asignación, como se describirá en la sección 15.7.

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664

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

FIGURA 15.18 Formulación de una hoja de cálculo del problema de Sellmore Co., como un problema de asignación, incluida la celda objetivo CostoTotal (J30) y las demás celdas de salida Costo (D15:G18), AsignacionesTotales (H24:H27) y el TotalAsignado (D28:G28), así como las especificaciones necesarias para establecer el modelo. Los valores de 1 en las celdas cambiantes Asignación (D24:G27) muestran el plan óptimo que obtiene Solver para asignar las personas a las tareas. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B

C

D

E

F

G

Paquetes 27 32 36 25

Registros 40 51 43 46

H

J

Problema de asignación de Sellmore Co. Tarea Tiempo requerido (horas) Persona asignada

Ann Ian Joan Sean

Presentaciones escritas 35 47 39 32

Ann Ian Joan Sean

Presentaciones escritas $490 $564 $507 $480

Gráficas 41 45 56 51

Salario por hora $14 $12 $13 $15

Tarea Costo Persona asignada

Gráficas $574 $540 $728 $765

Paquetes $378 $384 $468 $375

Registros $560 $612 $559 $690

Tarea Asignación Ann Ian Persona asignada Joan Sean Total asignado Demanda

Presentaciones escritas 0 0 0 1 1 = 1

Gráficas 0 1 0 0 1 = 1

Paquetes 1 0 0 0 1 = 1

Registros 0 0 1 0 1 = 1

Asignaciones totales 1 1 1 1

C Total asignado

D =SUM(D24:D27)

E =SUM(E24:E27)

= = = =

Suministro 1 1 1 1 Costo total $1,957

Nombre del rango

Celdas

Asignación Costo Demanda SalarioPorHora TiempoRequerido Suministro TotalAsignado AsignacionesTotales CostoTotal

D24:G27 D15:G18 D30:G30 I6:I9 D6:G9 J24:J27 D28:G28 H24:H27 J30

22 23 24 25 26 27

28

I

H Asignaciones Totales =SUM(D24:G24) =SUM(D25:G25) =SUM(D26:G26) =SUM(D27:G27)

F =SUM(F24:F27)

G =SUM(G24:G27) J

29 30

15-Hillier.indd 664

Costo total =SUMAPRODUCTO (Costo, Asignación)

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15.6

Características de los problemas de asignación 665

Cuando se satisfacen las suposiciones, todo lo que se debe hacer para formular un problema como uno de asignación es 1) identificar a las entidades por asignar y las tareas y 2) construir una tabla de costos que dé el costo asociado con cada combinación de una persona asignada que realiza una tarea. En la figura 15.18 se ilustra cómo realizar esta formulación en una hoja de cálculo. El modelo de la hoja de cálculo para cualquier problema de asignación incluirá restricciones para aplicar las suposiciones 2 y 3. En la figura 15.18 estas restricciones son AsignacionesTotales (H24: H27) = Suministro (J24:J27) y TotalAsignado (D28:G28) = Demanda (D30:G30), los valores de 1 se introducen en las celdas de datos Suministro (J24:J27) y Demanda (D30:G30).

Representación de red de un problema de asignación Además de una tabla de costos, la representación de red proporciona una forma distinta para mostrar un problema de asignación. En la figura 15.19 se muestra la representación de red del problema de asignación de Sellmore Co.; todas las entidades por asignar se alinean en orden a la izquierda y todas las tareas se alinean en orden a la derecha. Las flechas muestran las asignaciones posibles, se deben elegir exactamente cuatro flechas, una que emana de cada persona asignada y una que lleva a cada tarea. El número a continuación de cada flecha da el costo si se elige esa asignación en particular. Esta representación de red proporciona una forma de ver un problema de asignación en forma gráfica. Esta representación también puede utilizarse para aclarar la relación entre los problemas de asignación y los demás problemas de optimización de red que se consideraron en el capítulo 6.

El problema de asignación es un tipo especial de problema de transporte ¿Notó que la representación de red en la figura 15.19 es sorprendentemente similar a la representación de red de un problema de transporte que se mostró en la figura 15.3? Obsérvelo. La similitud no es coincidencia. El problema de asignación es, de hecho, sólo un tipo especial de problema de transporte en el que ahora las fuentes son las entidades asignadas y los destinos ahora son las tareas. Más aún, como se ilustró por el problema de Sellmore Co., en la figura 15.18, cada fuente tiene un suministro de 1 (ya que cada persona asignada recibirá exactamente una tarea) y cada destino tiene la demanda de 1 (ya que exactamente una persona asignada va a realizar cada tarea). Por lo tanto, todas las características de los problemas de transporte que se describen en la sección 15.2 también aplican a los problemas de asignación.

FIGURA 15.19 La representación de red del problema de asignación de Sellmore Co., muestra todas las asignaciones posibles y sus costos en forma gráfica.

Entidades asignadas (Ann)

490 574 378

A1

Tareas T1

(Presentaciones escritas)

T2

(Gráficas)

T3

(Paquetes)

T4

(Registros)

56

0

564 (Ian)

540

A2

384 612

587 728 (Joan)

A3

468

559

9

55

(Sean)

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A4

55

9

559 559

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Solución de los problemas de asignación El Excel Solver utiliza el método símplex para resolver cualquier tipo de problema de programación lineal, incluidos los de transporte y los de asignación y sus variantes. Esto funciona bien para los problemas del tamaño que se considera en este texto (o incluso bastante más grandes). Sin embargo, como se analizó en la sección 15.2, el método símplex de transporte o el método símplex de red proporcionan una forma mucho más eficiente para resolver los problemas de transporte grandes. En consecuencia, como el problema de asignación es un tipo especial de problema de transporte, se pueden utilizar los mismos algoritmos para resolver con rapidez problemas de asignación grandes. Sin embargo, estos algoritmos especiales no proporcionan la forma más rápida de resolver los problemas de asignación. Hay algoritmos mucho más rápidos que han sido diseñados en forma específica para solucionar problemas de asignación. El más famoso de ellos se llama método húngaro. En la práctica, por lo general se utiliza uno de estos algoritmos especiales para solucionar problemas de asignación grandes. Aunque el Excel Solver no tiene algoritmos de propósitos especiales como el método húngaro para solucionar en forma eficiente tipos especiales de problemas de programación lineal, están disponibles otros paquetes de programas que sí los tienen.

Preguntas de repaso

15.7

1.

Describa en una frase los problemas de asignación.

2.

¿Qué suposiciones acerca de las entidades asignadas y las tareas necesitan mantenerse para que un problema sea de asignación?

3.

¿Qué se debe hacer para formular un problema como uno de asignación?

4.

¿Cuáles son las fuentes, los destinos, los suministros y las demandas cuando un problema de asignación se describe como un tipo especial de problema de transporte?

5.

Nombre un algoritmo que se haya diseñado en forma específica para resolver sólo problemas de asignación con mucha rapidez.

VARIANTES DE ELABORACIÓN DE MODELOS DE LOS PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN Las variantes de los problemas de asignación con frecuencia surgen porque tienen una o más características que no encajan del todo en las suposiciones que se enumeraron en la sección anterior para el modelo de un problema de asignación. Las características que se considerarán son las siguientes: 1.

Ciertas entidades asignadas no son capaces de realizar ciertas tareas.

2.

Aunque cada entidad por asignar realizará exactamente una tarea, hay más tareas que entidades por asignar o algunas tareas no se realizarán.

3.

Aunque cada tarea será realizada por exactamente una entidad por asignar, hay más entidades por asignar que tareas, así que algunas entidades por asignar no realizarán ninguna tarea.

4.

Cada entidad por asignar puede abocarse a realizar más de una tarea en forma simultánea.

5.

Cada tarea puede ser realizada en forma conjunta por más de una entidad por asignar.

Para cada una de estas características, hay una forma inteligente de reformular el problema para hacerlo encajar en el formato de un problema de asignación, lo cual permite entonces usar un algoritmo de propósitos especiales extremadamente eficiente (como el método húngaro). Sin embargo, esto es necesario sólo en problemas que son mucho más grandes que cualquiera de los que se consideran en este texto. Por lo tanto, en su lugar se formulará un modelo de hoja de cálculo en la forma más simple y se le solucionará con el Excel Solver. A continuación se presentan tres ejemplos para ilustrar las características anteriores. El primero se enfoca en las características 1 y 2. El segundo combina la característica 4 con una variación de la característica 3. El tercero trata con la característica 5. Para evidenciar las relaciones cercanas entre los problemas de transporte y los problemas de asignación, el segundo y el tercer ejemplo están basados en ejemplos anteriores de variantes de problemas de transporte.

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15.7

Variantes de elaboración de modelos de los problemas de asignación 667

Ejemplo 1: asignación de máquinas a ubicaciones The Job Shop Company ha adquirido tres nuevas máquinas de distintos tipos. Hay cinco ubicaciones disponibles en el taller donde se puede instalar una máquina. Algunas de ellas son más deseables que otras para máquinas en particular debido a su proximidad a centros de trabajo que tendrán un flujo de trabajo pesado hacia estas máquinas y desde ellas. (No habrá un flujo de trabajo entre las nuevas maquinarias.) Por lo tanto, el objetivo es asignar las nuevas máquinas a los sitios disponibles para minimizar el costo total del manejo de materiales. El costo estimado por hora de manejo de materiales que involucra a cada una de las máquinas se proporciona en la tabla 15.22 para las respectivas ubicaciones. La ubicación 2 no se considera apropiada para la máquina 2, así que no se da ningún costo para este caso.

TABLA 15.22 Datos de costos de manejo de materiales para el problema de Job Shop Co.

Costo por hora Ubicación: Máquina 1 2 3

1

2

3

4

5

$13 15 4

$16 — 7

$12 13 10

$14 20 6

$15 16 7

Formulación de un modelo de hoja de cálculo Como se encuentra ahora, éste es casi un problema de asignación, ya que las máquinas pueden ser vistas como entidades por asignar que se enviarán a las ubicaciones como las tareas. Sin embargo, no se ajusta del todo porque se viola la suposición 1 para el modelo del problema de asignación (se tienen dos ubicaciones más que máquinas), al igual que la suposición 3 (dos ubicaciones no se van a satisfacer con una máquina) y la suposición 4 (no se tiene un costo asociado con la asignación de la máquina 2 a la ubicación 2). En la figura 15.20 se muestra un modelo de hoja de cálculo para esta variante de un problema de asignación. Debido a que la ubicación 2 no puede utilizarse para la máquina 2, el cuadro de diálogo del Solver incluye la restricción de que D12 = 0. Las restricciones de suministro normales, AsignacionesTotales (H11:H13) = Suministro (J11:J13), aseguran que cada máquina se asignará a exactamente una ubicación. El hecho de que dos sitios no se utilizarán se toma en consideración al emplear los signos ≤ en las restricciones de demanda, TotalAsignado (C14:G14) ≤ Demanda (C16:G16). Las celdas cambiantes Asignación (C11:G13) con un valor de 1 muestran las asignaciones que se hacen en la solución óptima después de dar clic en el botón Resolver. Como ninguna de las celdas para las ubicaciones 2 y 5 tienen un valor de 1, la máquina no se ubicará en ninguna de ellas. La celda objetivo CostoTotal (J17) indica que el costo total para esta solución óptima es de 31 dólares por hora.

Ejemplo 2: asignación de plantas a los productos Reconsidere el ejemplo 1 en la sección 15.3, en el que Better Products Co. necesita asignar tres plantas para fabricar cuatro nuevos productos. Los datos relevantes se proporcionan en la tabla 15.6. Como se describió en la sección 15.3, la administración había permitido la repartición de productos (que el mismo producto se fabrique en más de una planta). Sin embargo, hay algunos costos ocultos asociados con la repartición de producto que no están reflejados en la tabla 15.6, incluidos los de instalación adicional, distribución y administración. Por lo tanto, la administración ahora ha decidido hacer que el problema se analice de nuevo bajo la restricción adicional de que la separación de productos está prohibida. Declaración de problema nuevo: a partir de los datos de la tabla 15.6, minimizar el costo total de asignar a cada planta cuando menos un nuevo producto, el cual se va a fabricar en sólo una planta (no hay repartición de productos). Como hay tres plantas y cuatro nuevos productos, dos plantas van a fabricar un solo producto cada una y la tercera planta producirá dos. Solo las plantas 1 y 2 tienen la capacidad de producir dos.

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

FIGURA 15.20 Formulación de hoja de cálculo del problema Job Shop Co., como una variante de un problema de asignación, incluida la celda objetivo Costototal (J17) y las demás celdas de salida Asignacionestotales (H11:H13) y Totalasignado (C14:G14), así como las especificaciones que se necesitan para establecer el modelo. Los valores de 1 en las celdas cambiantes Asignación (C11:G13) muestran el plan óptimo obtenido por Solver para asignar las máquinas a las ubicaciones. A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Problema de ubicación de maquinaria de Job Shop Co.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Costo (dólares/hora) Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3

Ubicación 1 Ubicación 2 13 16 15 — 4 7

Ubicación 3 Ubicación 4 Ubicación 5 12 14 15 13 20 16 10 6 7

Asignación Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Total asignado

Ubicación 1 Ubicación 2 0 0 0 0 1 0 1 0 <= <= 1 1

Ubicación 3 Ubicación 4 Ubicación 5 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 <= <= <= 1 1 1

Demanda

Asignaciones totales 1 = 1 = 1 =

Costo total (dólares/hora) 31

Nombre del rango

Celdas C11:G13 C4:G6 C16:G16 J11:J13 C14:G14 H11:H13 J17

Asignación Costo Demanda Suministros TotalAsignado AsignacionesTotales CostoTotal

H Asignaciones Totales

9 10

14

B Total asignado

C =SUM(C11:C13)

D =SUM(D11:D13)

E =SUM(E11:E13)

Suministro 1 1 1

11

=SUM(C11:G11)

12 13

=SUM(C12:G12) =SUM(C13:G13)

F =SUM(F11:F13)

G =SUM(G11:G13)

J 15 16 17

Costo total (dólares/hora) =SUMAPRODUCTO (Costo, Asignación)

Formulación de un modelo de hoja de cálculo Como se quiere asignar plantas a productos, las plantas pueden considerarse como entidades por asignar y los productos como las tareas que se van a realizar para esta variante de un problema de asignación. En la figura 15.21 se muestra el modelo de hoja de cálculo resultante. Los datos de la tabla 15.6 se dan en la parte superior. Sin embargo, los costos unitarios de las celdas C4:F6 no son apropiados para la tabla de costos de una variante de un problema de asignación. Para construir la tabla de costos apropiada, se debe determinar cada costo asociado con la asignación de una planta para toda la producción requerida de un producto. El costo unitario correspondiente que se muestra en las filas 4-6 es el costo de producir sólo una unidad más que la

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15.7

Variantes de elaboración de modelos de los problemas de asignación 669

producción requerida (diaria) completa dada en la fila 8. Por lo tanto, se debe multiplicar este costo unitario por la producción requerida (diaria) para obtener el costo total (diario) de la asignación. Por ejemplo, considere la asignación de la planta 1 al producto 1.

FIGURA 15.21 En contraste con la figura 15.4, la repartición de producto no está permitida, así que el problema de Better Products Co., se vuelve una variante de un problema de asignación. La celda objetivo CostoTotal (I24) y las demás celdas de salida Costo (C12:F14), AsignacionesTotales (G19:G21) y TotalAsignado (C22:F22), donde las ecuaciones que se introducen en estas celdas se muestran en la parte baja de la hoja de cálculo. Los valores de 1 en las celdas cambiantes Asignación (C19:F21) muestran el plan de producción óptimo que obtiene el Solver. A

B

C

D

E

F

Producto 1 $41 $40 $37

Producto 2 $27 $29 $30

Producto 3 $28 — $27

Producto 4 $24 $23 $21

Producción requerida

20

30

30

40

Costo (dólares/día) Planta 1 Planta 2 Planta 3

Producto 1 $820 $800 $740

Producto 2 $810 $870 $900

Producto 3 $840 — $810

Producto 4 $960 $920 $840

Asignación

Producto 1 0 1 0 1 = 1

Producto 2 1 0 0 1 = 1

Producto 3 1 0 0 1 = 1

Costo unitario

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Total asignado Demanda

22

B Total asignado

C =SUM(C19:C21)

Producto 4 0 0 1 1 = 1

H

I

Asignaciones totales 2 1 1

<= <= =

Suministro 2 2 1 Costo total $3,290

Nombre del rango

Celdas

Asignación Costo Demanda ProducciónRequerida Suministro TotalAsignado TotalDeAsignaciones CostoTotal CostoUnitario

C19:F21 C12:F14 C24:F24 C8:F8 I19:I21 C22:F22 G19:G21 I24 C4:F6

D =SUM(D19:D21)

23 24

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G

Problema de planeación de Better Products Co. (revisado)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

17 18

G Asignaciones Totales

19 20 21

=SUM(C19:F19) =SUM(C20:F20) =SUM(C21:F21)

E =SUM(E19:E21)

F =SUM(F19:F21)

I Costo total = SUMAPRODUCTO (Costo, Asignación)

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Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Costo de que la planta 1 produzca una unidad del producto 1 Producción requerida (diaria) del producto 1 Costo total (diario) de asignar la planta 1 al producto 1

= 41 dólares = 20 unidades = 20 (41 dólares) = 820 dólares

Las celdas de Costo (C12:F14) dan el total de costos de asignación (diarios) calculados de esta forma (véanse las ecuaciones al final de la figura), para cada combinación de asignar una planta a un producto. Como la planta 2 no puede fabricar el producto 3, el cuadro de diálogo del Solver incluye la restricción de que E20 = 0. La planta 1 o la planta 2 (pero no ambas) necesita ser elegida para fabricar un segundo producto, así que reciben un suministro de 2 en las celdas I19:I20. Un signo < se utiliza para las restricciones de suministro correspondientes, G19:G20 < I19:I20. Sin embargo, la restricción de suministro para la planta 3 y las restricciones de demanda son las normales para un problema de asignación. Después de hacer clic en el botón Resolver, se obtiene la solución óptima que se muestra en las celdas cambiantes Asignación (C19:F21), a saber, la planta 1 fabrica los productos 2 y 3, la planta 2 fabrica el producto 1 y la planta 3 fabrica el producto 4. La celda objetivo CostoTotal (I24) da el costo diario total de 3 290 dólares para este plan de producción. Es interesante comparar esta solución con la que se da en ProducciónDiaria (C11:F13) de la figura 15.4 cuando se permitió la repartición de producto. Note que las asignaciones para las plantas 2 y 3 en la figura 15.4 son bastante diferentes a las de aquí. El costo total calculado para el plan de producción que se muestra en esa figura es de 3 260 por día, o 30 dólares menos que para el plan de la figura 15.21. Sin embargo, la formulación del problema original (con la repartición de producto permitida) como una variante de un problema de transporte no toma en consideración los costos ocultos de la repartición del producto (de instalaciones adicionales, distribución y administración) que quizá serán considerablemente mayores que 30 dólares por día. Por lo tanto, la administración adoptó el plan de producción con base en esta nueva formulación (repartición de producto prohibida) como una variante de un problema de asignación.

Ejemplo 3: diseño de zonas de asistencia escolar Ahora se hará referencia a la sección 15.4 en la que la administración de Middletown School District enfrentó el problema de diseñar las zonas de asistencia escolar. En la tabla 15.12 se dan los datos del problema y en la figura 15.8 se muestra la formulación como una variante del problema de transporte. La solución óptima que se obtiene de esta formulación tiene dos problemas que preocupan a la administración. Uno es que la solución divide la región 5 entre dos escuelas (la 1 y la 2). Cada región es un vecindario cohesivo que siempre ha permanecido unido al asistir a la misma escuela antes de la secundaria. El superintendente de distrito y el consejo escolar están de acuerdo en que sería mucho mejor que continúe unido (incluida la región 5) al asignarlo a una escuela. El segundo problema con la solución es que asigna el menor número de estudiantes (1 200) a la escuela con mayor capacidad (escuela 1, que puede atender a 1 800 estudiantes). Aunque esto es marginalmente aceptable (el consejo escolar ha elegido 1 200 como el número mínimo de estudiantes que permitiría ser asignado a la escuela 1), sería preferible una asignación más equilibrada de estudiantes hacia las escuelas. Por lo tanto, la administración del distrito escolar ha decidido prohibir la repartición de cualquier región entre las escuelas. Para proporcionar una asignación relativamente equilibrada de estudiantes a las escuelas, la administración también requerirá que se asignen exactamente tres regiones a cada escuela. Nueva declaración del problema: a partir de los datos de la tabla 15.12, minimizar la distancia total que todos los estudiantes deben viajar a la escuela cuando cada región se asigna por completo a una escuela (sin división de región) y a cada escuela se le asignan exactamente tres regiones.

Formulación del modelo de hoja de cálculo Como las regiones se asignan a las escuelas, este problema puede interpretarse como una variante de un problema de asignación en el que las regiones son las entidades por asignar y las escuelas son las tareas. Sólo es una variante porque cada escuela va a recibir exactamente tres regiones, en tanto que la suposición 3 para el modelo del problema de asignación especifica que cada tarea será realizada por exactamente una persona asignada. Por lo tanto, en el modelo de hoja de cálculo que se muestra en la figura 15.22, cada tarea (escuela) recibe una demanda de 3 en lugar de 1. Por lo demás, las restricciones para este modelo son las mismas que para un problema de asignación.

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15.7

Variantes de elaboración de modelos de los problemas de asignación 671

FIGURA 15.22 En contraste con la figura 15.8, ya no se permite la repartición de regiones, así que el problema de Middletown School District se vuelve una variante de un problema de asignación. La celda objetivo DistanciaTotal (H30) y las otras celdas de salida TotalDeAsignaciones (F18: F26), TotalAsignado(C27:E27) y (en unidades de millas) Costo (I5:K13), las ecuaciones que se introducen en estas celdas se muestran después de la hoja de cálculo. Los valores de 1 en las celdas cambiantes Asignación (C18:E26) muestran el plan de establecimiento de zonas óptimo que encontró Solver. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

Problema de establecimiento de zonas de Middletown School District (revisado) Distancia (millas) Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 Región 5 Región 6 Región 7 Región 8 Región 9

Asignación Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 Región 5 Región 6 Región 7 Región 8 Región 9 Total asignado Demanda

Escuela 1 2.2 1.4 0.5 1.2 0.9 1.1 2.7 1.8 1.5

Escuela 2 1.9 1.3 1.8 0.3 0.7 1.6 0.7 1.2 1.7

Escuela 3 2.5 1.7 1.1 2 1 0.6 1.5 0.8 0.7

Escuela 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 3 = 3

Escuela 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3 = 3

Escuela 3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 3 = 3

Número de estudiantes 500 400 450 400 500 450 450 400 500

Total de asignaciones 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Costo (millas) Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 Región 5 Región 6 Región 7 Región 8 Región 9

= = = = = = = = =

Escuela 1 1,100 560 225 480 450 495 1,215 720 750

Escuela 2 Escuela 3 950 1,250 520 680 810 495 120 800 350 500 720 270 315 675 480 320 850 350

Suministro 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Distancia total (millas) 3,560 (continúa)

El objetivo para un problema de asignación es minimizar el costo total de todas las asignaciones hechas, pero ahora el costo se mide en términos de la distancia total que viajan los estudiantes. Por lo tanto, el costo de asignar cualquier región a una escuela en particular es el número de estudiantes en esa región multiplicado por la distancia hacia esa escuela que recorre cada estudiante, ambas cantidades se dan en la tabla llamada Distancia (C5:E13) en la figura 15.22. Para ilustrar, considere el costo de asignar la región 1 a la escuela 1. Distancia de la región 1 a la escuela 1

= 2.2 millas

Número de estudiantes en la región 1

= 500

Costo de asignar la región 1 a la escuela 1

= 500 (2.2 millas) =1 100 millas

La tabla llamada Costo (I5:K13) muestra los costos calculados en esta forma para todas las combinaciones de regiones y escuelas, utiliza para ello las ecuaciones que se dan para estas celdas. Las celdas cambiantes Asignación (C18:E26) muestran las asignaciones óptimas de regiones a escuelas que se obtienen al dar clic en el botón Resolver. Como se indicó en la celda objetivo Distancia Total (H30), la distancia total resultante que recorren hasta la escuela todos los estudiantes es de 3 560 millas. Esto suma un promedio de 0.879 millas por estudiante. El plan es muy similar al que se obtuvo en la sección 15.4 (véase la figura 15.8) cuando se permitía la repartición de regiones. La única diferencia es que el plan anterior dividía la región 5 al asignar 150 de sus 500 estudiantes a la escuela 2 en lugar de a la escuela 1, para reducir la distancia que viaja a la escuela cada uno de estos 150 estudiantes de 0.9 millas a 0.7 millas. Sin embargo, la administra-

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672

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

FIGURA 15.22 (continuación)

H 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Total asignado =SUM(C18:E18) =SUM(C19:E19) =SUM(C20:E20) =SUM(C21:E21) =SUM(C22:E22) =SUM(C23:E23) =SUM(C24:E24) =SUM(C25:E25) =SUM(C26:E26)

B Total Asignaciones

27

C =SUM(C18:C26)

Nombre del rango

Celdas

Asignación Costo Demanda Distancia NúmeroDeEstudiantes Suministro TotalAsignado TotalDeAsignaciones DistanciaTotal

C18:E26 I5:K13 C29:E29 C5:E13 F5:F13 H18:H26 C27:E27 F18:F26 H30

I

Costo (millas) Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 Región 5 Región 6 Región 7 Región 8 Región 9

D

Escuela 1

J Escuela 2

K Escuela 3

=C5*F5

=D5*F5

=E5*F5

=C6*F6 =C7*F7 =C8*F8 =C9*F9 =C10*F10 =C11*F11 =C12*F12 =C13*F13

=D6*F6 =D7*F7 =D8*F8 =D9*F9 =D10*F10 =D11*F11 =D12*F12 =D13*F13

=E6*F6 =E7*F7 =E8*F8 =E9*F9 =E10*F10 =E11*F11 =E12*F12 =E13*F13

E

=SUM(D18:D26)

=SUM(E18:E26) H

28 29 30

Distancia total (millas) =SUMAPRODUCTO (Costo, Asignación)

ción del distrito escolar siente que este pequeño ahorro en la distancia no justifica separar a estos 150 estudiantes de sus vecinos que siempre han ido con ellos a la escuela. Por lo tanto, la administración adoptó el nuevo plan. Como lo ilustra este ejemplo y el anterior, la administración a menudo necesita hacer modificaciones en el modelo original del problema para considerar de mejor manera las preocupaciones administrativas.

Preguntas de repaso

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1.

Al formular un modelo de hoja de cálculo para una variante de un problema de asignación en el que ciertas entidades por asignar son incapaces de realizar ciertas tareas, ¿cómo se formula esta característica en el modelo?

2.

Si una persona asignada realizará más de una tarea, ¿cómo se formula esta característica en el modelo de la hoja de cálculo?

3.

Si una tarea se va a realizar en forma conjunta por más de una entidad por asignar, ¿cómo se formula esta característica en el modelo de la hoja de cálculo?

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15.8

Resumen

673

15.8 Resumen

Los problemas de transporte y de asignación (y sus variantes) son tipos especiales de problemas de programación lineal que tienen una diversidad de aplicaciones importantes. Un problema de transporte trata (en forma literal o figurada) con la distribución de un servicio desde sus fuentes hacia algunos destinos. Cada fuente tiene un suministro fijo y cada destino tiene una demanda fija para el producto. Una suposición básica es que el costo de la distribución de cada fuente a cada destino es directamente proporcional a la cantidad distribuida. Formular un problema de transporte requiere identificar los costos unitarios de distribución, los suministros y las demandas. A partir de un conjunto de tareas que se van a realizar y un conjunto de entidades por asignar que están disponibles para realizar las tareas (una persona asignada por tarea), un problema de asignación trata con la pregunta de qué entidad por asignar debe enviarse a cada tarea con el fin de minimizar el costo total de realizar todas las tareas. Las entidades por asignar pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas y demás, así que hay muchas aplicaciones. La formulación del problema requiere construir una tabla de costos que dé el costo de cada asignación posible de una entidad a una tarea. Una diversidad de características que no encajan del todo en el formato de problema de transporte o de asignación también se pueden formular con rapidez en un modelo de hoja de cálculo. La meta principal de este capítulo ha sido permitirle reconocer cuándo un problema que debe enfrentar como futuro administrador se puede formular y analizar como uno de transporte o asignación o como una variante de uno de estos tipos de problemas.

Glosario

demanda en un destino El número de unidades que necesita recibir un destino por parte de las fuentes. (Sección 15.2), 634 destinos Los centros de recepción de un problema de transporte. (Sección 15.2), 634 entidad por asignar Personas, máquinas, vehículos, plantas, etcétera que realizan las tareas al formular un problema como uno de asignación. (Sección 15.6), 663 fuentes Los centros de suministro de un problema de transporte. (Sección 15.2), 634 método húngaro Algoritmo diseñado específicamente para solucionar problemas de asignación en forma muy eficiente. (Sección 15.6), 666 método símplex de red Versión aerodinámica del método símplex para resolver problemas de distribu-

ción y red, incluidos los problemas de transporte y asignación, en forma muy eficiente. (Sección 15.2), 639 método símplex de transporte Una versión aerodinámica del método símplex para resolver los problemas de transporte en forma muy eficiente. (Sección 15.2), 639 suministro de una fuente El número de unidades que se van a distribuir desde esta fuente hacia los destinos. (Sección 15.2), 635 tabla de costos Tabla que resume la formulación de un problema de asignación al dar el costo de cada posible asignación de una entidad a una tarea. (Sección 15.6), 665 tareas Los trabajos que se van a realizar por parte de las entidades asignadas al formular el problema como uno de asignación. (Sección 15.6), 663

Apoyos de aprendizaje para este capítulo en su curso MS Courseware Caso de estudio de P & T

Caso de estudio de Texago (6 hojas de cálculo)

Ejemplo de Better Products

Ejemplo de Sellmore

Ejemplo de Nifty

Ejemplo de Job Shop

Ejemplo de Metro

Ejemplo revisado de Better Products

Ejemplo de Airplane Northern

Ejemplo revisado de Middletown

Ejemplo de Middletown

Contenido extra en Excel:

Ejemplo Energetic

Premium Solver para Educación

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674

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Problemas E* Se ha insertado el símbolo E* a la izquierda de cada problema (o sus partes) en el que se debe utilizar Excel (a menos que su instructor le dé otras instrucciones). Un asterisco en el número del problema indica que al menos una respuesta parcial se da al final de los problemas. 15.1

15.3

Considere que el problema de transporte tiene los siguientes datos:

a) Dibuje la representación de red de este problema. b) Muestre el problema en una hoja de cálculo y luego utilice el Excel Solver para obtener una solución óptima. Cost-Lees Corp., provee a sus cuatro almacenes minoristas desde sus cuatro plantas. El costo por cada embarque de cada planta a cada almacén minorista se proporciona a continuación:

Costo de embarque unitario Almacén minorista:

Costo unitario (dólares)

1

Destino

2

3

Suministro

Demanda

E* 15.2

9 7 6

6 12 7

8 10 6

4

2

3

1 2 3 4

4 3 2

a) Dibuje la representación de red de este problema. b) Muestre el problema en una hoja de cálculo y luego utilice el Excel Solver para obtener una solución óptima. Considere que el problema de transporte tiene los siguientes datos:

E*

Costo unitario (dólares) Destino:

1

2

3

4

Suministro

15.4

Fuente 1 2 3 Demanda

3 2 4

7 4 3

6 3 8

4 2 5

3

3

2

2

2

3

4

$500 200 300 200

$600 900 400 100

$400 100 200 300

$200 300 100 200

Planta

Fuente 1 2 3

1

5 2 3

Las plantas 1, 2, 3 y 4 realizan 10, 20, 20 y 10 embarques por mes, respectivamente. Los almacenes minoristas 1, 2, 3 y 4 necesitan recibir 20, 10, 10 y 20 embarques por mes, respectivamente. El gerente de distribución, Randy Smith, ahora quiere determinar el mejor plan para cuántos embarques enviar de cada planta a los almacenes de descuento respectivo cada mes. El objetivo de Randy es minimizar el costo de embarque total. a) Formular este problema como uno de transporte al construir una tabla que identifique todas las fuentes, suministros, destinos, demandas y costos unitarios. b) Mostrar el problema de transporte en una hoja de cálculo y luego utilizar el Excel Solver para obtener una solución óptima. The Childfare Company tiene tres plantas que producen sillas para niños que se deben embarcar a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 embarques por mes, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 embarques por mes. La distancia de cada planta hasta los centros de distribución se da más adelante:

Distancia al centro de distribución (millas)

1

2

3

4

800 1 100 600

1 300 1 400 1 200

400 600 800

700 1 000 900

Planta 1 2 3

El costo del flete de cada embarque es de 100 dólares más 50 centavos por milla. ¿Cuánto debe embarcarse de cada planta hacia cada centro de distribución para minimizar el costo de embarque total? a) Formule el problema como uno de transporte al construir una tabla que identifique todas las fuentes, suministros, destinos, demandas y costos unitarios.

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E*

b) Muestre el problema de transporte en una hoja de cálculo y luego utilice el Excel Solver para obtener una solución óptima. E*15.5* Tom quisiera 3 pintas (una pinta equivale a 473 mL) de cerveza casera hoy y otras 4 pintas adicionales de cerveza casera mañana. Dick está dispuesto a vender un máximo de 5 pintas en total a un precio de 3 dólares por pinta hoy y 2.70 dólares por pinta mañana. Harry está dispuesto a ven-

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Capítulo 15

der un máximo de 4 pintas en total a un precio de 2.90 dólares por pinta hoy y 2.80 dólares por pinta mañana. Tom desea saber cuál debe ser su compra para minimizar su costo mientras satisface su sed. Formule y elabore un modelo de hoja de cálculo para este problema. E*15.6. The Versatech Corporation ha decidido fabricar tres nuevos productos. Cinco sucursales de la planta ahora tienen una capacidad de producción en exceso. El costo unitario de manufactura del primer producto sería de 31 dólares, 29 dólares, 32 dólares, 28 dólares y 29 dólares en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de manufactura del segundo producto sería de 45 dólares, 41 dólares, 46 dólares, 42 dólares y 43 dólares en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de manufactura del tercer producto sería de 38 dólares, 35 dólares y 40 dólares en las plantas 1, 2, y 3 respectivamente, mientras que las plantas 4 y 5 no tienen la capacidad para fabricar este producto. Los pronósticos de ventas indican que deben producirse por día 600, 1 000 y 800 unidades de productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen la capacidad de fabricar 400, 600, 400, 600 y 1 000 unidades diaria, respectivamente, sin importar el producto o las combinaciones de ellos que participen. Suponga que cualquier planta que tenga el equipo y la capacidad para fabricarlos, puede producir cualquier combinación de los productos en cualquier cantidad. La administración desea saber cómo asignar los nuevos productos a las plantas para minimizar el costo de manufactura total. Formule y elabore el modelo de hoja de cálculo para este problema.

Problemas

675

E* 15.7 Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y avena en el mundo. La demanda mundial de trigo requiere 125 millones de acres de tierra dedicados a la producción del trigo. En forma similar, se requieren 60 millones de acres para la producción de cebada y 75 millones de acres de tierra para avena. La cantidad total de tierra disponible para estos fines en Inglaterra, Francia y España es de 70 millones de acres, 110 millones de acres y 80 millones de acres, respectivamente. El número de horas de mano de obra que se necesitan en Inglaterra, Francia y España, respectivamente, para producir un acre de trigo es de 18, 13 y 16; para producir un acre de cebada es de 15, 12 y 12; y para producir un acre de avena es de 12, 10 y 16. El costo de mano de obra por hora en Inglaterra, Francia y España, respectivamente, para producir trigo es de 9 dólares, 7.20 dólares y 9.90 dólares; para producir cebada es de 8.10 dólares, 9 dólares y 8.40 dólares y para producir avena es de 6.90 dólares, 7.50 dólares y 6.30 dólares. El problema es asignar el uso de la tierra en cada país para que se cumpla con los requerimientos alimenticios mundiales y se reduzca al mínimo el costo total de mano de obra. Formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para este problema. E* 15.8 Una contratista, Susan Meyer, tiene que transportar grava a tres edificios en distintos lugares. Ella puede comprar 18 toneladas en una mina de grava al norte de la ciudad y 14 toneladas en una al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en los sitios 1, 2 y 3, respectivamente. El precio de compra por tonelada en cada mina de grava y el costo de transporte por tonelada se proporcionan en la siguiente tabla.

Costo de transporte por tonelada al sitio Mina

1

2

3

Precio por tonelada

Norte Sur

$30 60

$60 30

$50 40

$100 120

Susan desea determinar cuánto debe transportar de cada mina a cada sitio para minimizar el costo total de comprar y transportar grava. Formule y solucione el modelo de hoja de cálculo para este problema. E* 15.9 Reconsidere el caso de estudio de P & T Co. que se presentó en las secciones 15.1 y 15.2. Refiérase a la hoja de cálculo de la figura 15.2 que muestra la formulación como un problema de transporte y muestra una solución óptima. Ahora usted sabe que uno o más de los costos unitarios en las celdas de datos Costo unitario (D5:G7) pueden cambiar ligeramente antes de que comiencen los embarques. Utilice el Excel Solver para generar el informe de sensibilidad para este problema. Utilícelo para determinar el intervalo permisible para cada uno de los costos unitarios. ¿Qué dicen estos intervalos permisibles a la administración de P & T Co.? E*15.10 Reconsidere el problema de Metro Water District que se presentó en la sección 15.4. Refiérase a la hoja de cálculo de la figura 15.6 que muestra la formulación como una variante de un problema de transporte y muestra una solución óptima. Los números que se dan en las celdas de datos son sólo estimaciones que pueden ser imprecisas en cierto modo, así que la administración ahora desea hacer un análisis de

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situaciones. Utilice el Excel Solver para generar un informe de sensibilidad. Luego utilícelo para responder las siguientes preguntas. (En cada caso, suponga que el cambio indicado es el único que se produce en el modelo.) a) ¿La solución óptima en la figura 15.6 seguiría siendo óptima si el costo por acre pie de embarque del agua del Río Calorie a San Go fuera en realidad 200 dólares en lugar de 230 dólares? b) ¿Esta solución seguiría siendo óptima si el costo por acre pie de embarcar el agua del Río Sacron a Los Devils fuera en realidad 160 dólares en lugar de 130 dólares? c) ¿Debe permanecer óptima esta solución si los costos considerados en los incisos a) y b) fueran cambiados en forma simultánea de sus valores originales a 215 dólares y 145 dólares, respectivamente? d ) Suponga que el suministro del Río Sacron y la demanda en Hollyglass disminuyen en forma simultánea en la misma cantidad. ¿Deben permanecer válidos los precios sombra por la evaluación de estos cambios, si la disminución fuera de 0.5 millones de acre pie? E*15.11 Reconsidere el problema de Metro Water District que se presentó en la sección 15.4, incluidos los datos que se presentan en la tabla 15.9.

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676

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

Los números en esta tabla por la cantidad de agua que se necesita por las ciudades respectivas en realidad representan el mínimo absoluto que cada ciudad debe tener. A cada ciudad le gustaría tener tanto como 2 millones de acres pie adicionales además de esta cantidad mínima. Como la cantidad de agua disponible excede la suma de estas cantidades mínimas en 3.5 millones de acres pie, la administración de Metro ha decidido distribuir esta agua adicional a las ciudades también. Las decisiones acerca de cuánta agua adicional recibirán las ciudades respectivas más allá de la satisfacción de sus necesidades mínimas estará basada en minimizar el costo total de Metro. La administración quiere saber qué plan para distribuir agua de los ríos a las ciudades logrará este objetivo.

Formule y elabore un modelo de hoja de cálculo para este problema. E*15.12 The Onenote Co., fabrica un solo producto en tres plantas para cuatro clientes. Las tres plantas fabricarán 60, 80 y 40 unidades, respectivamente, durante la siguiente semana. La empresa ha hecho el compromiso de vender 40 unidades al cliente 1, 60 unidades al cliente 2 y al menos 20 unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 también quieren comprar tantas unidades sobrantes como les sea posible. La utilidad neta asociada con embarcar una unidad de la planta i para venta a un cliente j se da en la siguiente tabla:

Cliente Planta

1

2

3

4

1 2 3

$800 500 600

$700 200 400

$500 100 300

$200 300 500

La administración desea saber cuántas unidades vender a los clientes 3 y 4 y cuántas unidades embarcar de cada una de las plantas a cada uno de los clientes para llevar al máximo la utilidad. Formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para este problema. E*15.13 La compañía Move-It tiene dos plantas que construyen montacargas que luego se embarcan a tres centros de distribución. Los costos de producción son iguales en las dos plantas y el costo de embarque de cada camión se muestra abajo para cada combinación de planta y centro de distribución:

así que hay una flexibilidad considerable acerca de cómo dividir el total de la producción entre las dos plantas para reducir los costos de embarque. Sin embargo, cada centro de distribución debe recibir exactamente 20 montacargas por semana. El objetivo de la administración es determinar cuántos montacargas deben ser producidos en cada planta, y luego cuál debe ser el patrón general de embarque para minimizar el costo de embarque total. Formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para este problema. E*15.14 Vuelva a resolver el problema 15.13 cuando cualquier centro de distribución puede recibir cualquier cantidad entre 10 y 30 montacargas por semana con el fin de reducir aún más el costo de embarque total, si se considera sólo que el total embarcado a los tres centros de distribución debe igualar 60 camiones por semana. E*15.15 La compañía Build-Em-Fast ha acordado suministrar a su mejor cliente tres aparatos durante cada una de las siguientes tres semanas, aunque producirlos requerirá algún tiempo extra. Los datos de producción relevantes son los siguientes:

Centro de distribución Planta

1

2

3

A B

$800 600

$700 800

$400 500

Se produce y se embarca un total de 60 montacargas por semana. Cada planta puede producir y embarcar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 montacargas por semana,

Producción máxima Semana

Tiempo regular

Tiempo extra

Costo de producción por unidad Tiempo regular

1 2 3

2 3 1

2 2 2

$300 500 400

El costo por unidad producida con tiempo extra para cada semana es de 100 dólares más que con tiempo regular. El costo de almacenamiento es de 50 dólares por unidad por cada semana de almacenamiento. Ya hay un inventario de dos aparatos disponibles a la mano en la actualidad, pero la compañía no quiere retener ningún aparato en inventario luego de tres semanas.

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La administración quiere saber cuántas unidades deben producirse cada semana para minimizar el costo total para cumplir con el programa de entregas. Formule y resuelva un modelo de hoja de cálculo para este problema. E*15.16 La MJK Manufacturing Company debe fabricar dos productos en cantidad suficiente para cumplir con las ventas

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Capítulo 15

Problemas

677

de los dos productos, las columnas subsecuentes dan 1) el número de unidades necesarias para las ventas contratadas, 2) el costo (en miles de dólares) por unidad producida en tiempo regular, 3) el costo (en miles de dólares) por unidad producida en tiempo extra y 4) el costo (en miles de dólares) de almacenar cada unidad extra que se mantiene hasta el siguiente mes. En cada caso, los números para los dos productos están separados por una diagonal /, con el número del producto 1 en el lado izquierdo y el número del producto 2 en el lado derecho.

contratadas y cada unidad de ambos productos requiere la misma cantidad de capacidad de producción. La producción disponible y las instalaciones de almacenamiento cambian mes con mes. Por lo tanto, puede valer la pena producir en exceso uno o ambos productos en algunos meses y luego almacenarlos hasta que se necesiten. Por cada uno de los tres meses, las columnas iniciales de la siguiente tabla dan el número máximo de unidades de los dos productos combinados que se pueden producir en tiempo regular (TR) y en tiempo extra (TE). Por cada uno

Producto 1/Producto 2 Producción combinada máxima

Costo unitario de producción (miles de dólares)

Costo unitario de almacenamiento (miles de dólares)

Mes

TR

TE

Ventas

TR

TE

1

10

3

5/3

15/16

18/20

1/2

2

8

2

3/5

17/15

20/18

2/1

3

10

3

4/4

19/17

22/22

El gerente de producción quiere que se desarrolle un programa para el número de unidades de cada uno de los dos productos que se van a fabricar en tiempo regular y, si se termina la capacidad de producción de tiempo regular, en tiempo extra en cada uno de los tres meses. El objetivo es minimizar el total de los costos de producción y de almacenamiento mientras se cumpla con las ventas contratadas

de cada mes. No hay un inventario inicial y no se desea un inventario final después de los tres meses. Formule y resuelva un modelo de hoja de cálculo para este problema. 15.17. Considere el problema de transporte que tiene los siguientes datos:

Costo unitario (dólares) Destino

1

2

3

4

Suministro

1 2 3 4

7 4 8 6

4 6 5 7

1 7 4 6

4 2 6 3

1 1 1 1

Demanda

1

1

1

1

Fuente

E*

15.18

15-Hillier.indd 677

a) ¿Qué propiedad asegura que este problema tiene soluciones factibles? b) ¿Qué propiedad asegura que este problema tiene una solución óptima con valores de 0 o 1 para todas las cantidades de embarque? c) Explique cómo se puede interpretar este problema para que sea uno de asignación. d ) Dibuje la representación de red de este problema de asignación. e) Elabore una hoja de cálculo para este problema y luego utilice el Excel Solver para obtener una solución óptima. Considere que un problema de asignación tiene la siguiente tabla de costos:

Trabajo

1

2

3

$5 3 2

$7 6 3

$4 5 4

Persona

A B C

E*

La solución óptima es A-3, B-1, C-2, con un costo total de 10 dólares. a) Dibuje la representación de red de este problema. b) Formule este problema en una hoja de cálculo y luego utilice el Excel Solver para obtener la solución óptima identificada antes.

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678

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

15.19

El objetivo es asignar los cuatro barcos a cuatro distintos puertos en forma tal que se reduzca al mínimo el costo total de los cuatro embarques.

Considere el problema de asignación que tiene la siguiente tabla de costos: Tarea

1

2

3

4

$8 6 7 6

$6 5 8 7

$5 3 4 5

$7 4 6 6

Persona

E*

A B C D

E* 15.20

a) Dibuje la representación de red de este problema de asignación. b) Formule este problema en una hoja de cálculo y luego utilice el Excel Solver para obtener una solución óptima. Se utilizarán cuatro barcos de carga para transportar productos de un puerto a otros cuatro puertos (etiquetados 1, 2, 3, 4). Cualquier barco se puede utilizar para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, debido a las diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transportar y descargar los productos para las diferentes combinaciones de barco/puerto varía de manera considerable, como se muestra en la siguiente tabla: Puerto

1

2

3

4

$500 600 700 500

$400 600 500 400

$600 700 700 600

$700 500 600 600

Barco

1 2 3 4

Carl

Chris

David

Tony

Ken

Dorso Pecho Mariposa Libre

37.7 43.4 33.3 29.2

32.9 33.1 28.5 26.4

33.8 42.2 38.9 29.6

37.0 34.7 30.4 28.5

35.4 41.8 33.6 31.1

a) Describa cómo encaja este problema en el formato de variante de un problema de asignación incluso si no participan costos. ¿Qué desempeña el papel de los costos? b) Formule y solucione este problema en una hoja de cálculo.

E*15.23 Reconsidere el problema 15.18. Ahora suponga que se deben contratar camiones (y sus conductores) para hacer el transporte, cada camión puede utilizarse sólo una vez para transportar grava de una sola mina a un solo sitio. Hay suficientes camiones disponibles para transportar toda la grava que se puede comprar en el sitio. Cada camión puede transportar cinco toneladas y el costo por camión es de cinco

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E*15.21 Reconsidere el problema 15.6. Suponga que los pronósticos de las ventas han sido revisados en forma descendente a 240, 400 y 320 unidades por día de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Así, cada planta ahora tiene la capacidad de producir todo lo que se requiere de cualquier producto. Por lo tanto, la administración ha decidido que cada nuevo producto debe ser asignado a sólo una planta y que ninguna de ellas debe recibir la asignación de más de un producto (así que las tres plantas recibirán la asignación de un producto y a dos plantas no se les asignará ninguno). El objetivo es hacer estas asignaciones con el fin de minimizar el costo total de producir estas cantidades de los tres productos. Formule y resuelva un modelo de hoja de cálculo para este problema. 15.22 * El entrenador de un equipo de natación necesita asignar nadadores a un equipo mixto de relevos de 200 yardas para las olimpiadas juveniles. Como la mayoría de sus mejores nadadores son muy rápidos en más de un estilo, no queda claro qué nadador debe ser asignado a los cuatro estilos. Los cinco nadadores más rápidos y los mejores tiempos (en segundos) que han alcanzado en cada uno de los estilos (de 50 yardas) son:

Estilo

El entrenador desea determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro distintos estilos de nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.

E*

a) Describa cómo encaja este problema en el formato de un problema de asignación. b) Formule y resuelva este problema en una hoja de cálculo.

veces el costo de transporte por tonelada que se dio antes. Sólo camiones completos van a suministrar a cada sitio. Formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para este problema. E*15.24 Reconsidere el problema 15.13. Ahora los centros de distribución 1, 2 y 3 deben recibir exactamente 10, 20 y 30 unidades por semana, respectivamente. Por conveniencia administrativa, la gerencia ha decidido que cada centro de distribución recibirá el total de sus suministros de una sola planta, así que una planta suministrará un centro de distribución y la otra planta suministrará los otros dos centros de distribución. La elección de estas asignaciones de plantas para los centros de distribución se hace sólo con el fin de minimizar el costo total de embarque. Formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para este problema.

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Caso 15-1

Continuación del caso de estudio Texago 679

Respuestas parciales a los problemas seleccionados 15.5.

3 pintas de Harry hoy, 4 pintas de Dick mañana. Costo total = 19.50 dólares.

15.19.

b) A-2, B-4, C-3, D-1. Costo total = 20 dólares.

15.22.

b) David: dorso, Tony: pecho, Chris: mariposa, Carl: libre. Tiempo total = 126.20 segundos.

Caso 15-1

Continuación del caso de estudio Texago Reconsidere el caso estudio que se presentó en la sección 15.5 que trata sobre el problema de elección de un sitio para Texago Corp. La administración de Texago ha elegido en forma tentativa St. Louis como el sitio para la nueva refinería. Sin embargo, la administración ahora aborda la pregunta de cuál debe ser la capacidad de la nueva refinería. Mientras se analiza la selección del problema, se le dijo al equipo de trabajo que supusiera que la nueva refinería tendría la capacidad de procesar 120 millones de barriles de petróleo crudo por año. Como se indicó en la tabla 15.16, esto aumentaría la capacidad total de todas las refinerías de la corporación de 240 a 360 millones de barriles. De acuerdo con los pronósticos de mercadeo, Texago podrá vender todo su producto terminado una vez que la nueva capacidad esté disponible, pero no más. Por lo tanto, la opción de 120 millones de barriles de capacidad para la nueva refinería permitiría que todas las refinerías de la corporación operaran a capacidad completa mientras cumplen también totalmente con la demanda pronosticada de los productos de Texago. Sin embargo, con la finalidad de prepararse para futuros incrementos en la demanda más allá de los pronósticos actuales, la administración ahora quiere también considerar la opción de agrandar los planes para la nueva refinería para que tenga la capacidad de procesar 150 millones de barriles de petróleo crudo al año. Aunque esto forzaría a las refinerías de la corporación a operar por debajo de su capacidad completa en 30 millones de barriles durante un tiempo, la capacidad adicional estaría disponible más adelante si Texago continuara su aumento en la participación de mercado. Esto bien valdría la pena ya que el capital y los costos operativos en que se incurrirá en el agrandamiento de los planes para la nueva refinería serían mucho menores (tal vez un 40 por ciento menos) que construir y operar otra refinería más adelante para procesar sólo 30 millones de barriles de petróleo crudo al año. Más aún, la administración siente que esta capacidad adicional se podría necesitar dentro de unos pocos años. Los costos de capital adicionales necesarios para aumentar la capacidad de la nueva refinería en 30 millones de barriles se estiman en 1 200 millones de dólares. El costo de aportar este capital adicional sería de unos 100 millones de dólares por año, de acuerdo con las tasas de interés futuras. Si alguna parte de esta capacidad adicional se utilizara en la nueva refinería, el costo de operación total de la refinería sería algo mas grande que la cantidad que se muestra en la tabla 15.19, pero disminuir la tasa de producción en la misma cantidad en otra refinería disminuiría su costo operativo total en una cantidad similar. Como el costo operativo por millón de barriles de petróleo crudo procesado es casi el mismo en todas las refinerías, incluida la nueva, el total del costo de operación por procesar 360 millones de

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barriles no debe verse afectado en forma sustancial por la asignación de este trabajo a las refinerías. Sin embargo, la administración siente que tener cierta flexibilidad en lo que respecta a dónde asignar este trabajo podría permitir una reducción sustancial en el costo de embarcar petróleo crudo y producto terminado. Como en la tabla 15.20 se indica que el costo de embarque anual total de petróleo crudo y producto terminado sería de 2 920 millones de dólares con St. Louis como el sitio para la refinería, la administración espera que de esta forma se puedan lograr reducciones sustanciales. En las figuras 15.13 y 15.17 se muestran los planes de embarque óptimo para petróleo crudo y producto terminado, respectivamente, cuando la nueva refinería esté en St. Louis y tenga una capacidad de procesamiento de 120 millones de barriles de petróleo crudo por año. La administración ahora pide al equipo de trabajo que analice la situación tomando en cuenta la opción de aumentar esta capacidad a 150 millones de barriles. En particular, la administración quiere que se aborden las siguientes preguntas. De acuerdo con la nueva opción, ¿cómo cambiaría el plan de embarque de petróleo crudo en la figura 15.13 y cuánta reducción se lograría en el costo total de embarque? ¿Cómo debe cambiar el plan de embarques de producto terminado de la figura 15.17 y cuánta reducción en el costo total de embarque se lograría? Por último, si se supone que las diferencias en los costos operativos que se muestran en la tabla 15.19 continuarán vigentes bajo la nueva opción, ¿la comparación financiera de los tres sitios en la tabla 15.20 se alteraría en forma sustancial si se adoptara esta opción? Como jefe del equipo de trabajo, usted ha decidido ser el líder para ejecutar los siguientes pasos con la nueva opción. a)

b)

Formular y solucionar un modelo de hoja de cálculo para encontrar un plan óptimo para embarcar 360 millones de barriles de petróleo crudo por año de los campos petroleros a las refinerías, incluida la nueva en St. Louis, donde la cantidad de petróleo crudo que cada refinería recibirá (conforme a su capacidad) está basada en minimizar el costo anual total por estos embarques. (Pista: usted puede ahorrar algún tiempo en esto y las partes posteriores por medio de hojas de cálculo vivas del caso de estudio Texago en los archivos de Excel de este capítulo como punto de inicio.) Compare el costo total anual de estos embarques con los resultados que se obtuvieron en la figura 15.13 con base en la suposición original de una refinería más pequeña en St. Louis. Suponga que se utilizará el plan que se encuentra en la parte a) (incluida su especificación de cuánto petróleo crudo recibirá cada refinería). Sobre esta base, formule y solucione un modelo

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680

c)

d)

Capítulo Quince Problemas de transporte y asignación

de hoja de cálculo para encontrar un plan óptimo para transportar producto terminado de las refinerías a los centros de distribución. Compare el costo anual total resultante por estos embarques con los resultados que se obtuvieron en la figura 15.17. También calcule el costo anual total de embarcar tanto el petróleo crudo como el producto terminado conforme a este plan y compárelo con el total correspondiente de 2 390 millones de dólares que se obtuvo en la tabla 15.20. Usted nota que el costo de embarcar el producto final tiende a ser algo más alto que el costo de embarcar petróleo crudo. Por lo tanto, más que hacer que las decisiones acerca de la cantidad de petróleo crudo que cada refinería recibirá y procesará se rijan por minimizar el costo anual total de embarcar petróleo crudo (como en las partes a) y b), usted decide revisar qué sucedería si las decisiones estuvieran basadas en minimizar el costo total por año de embarcar el producto final. Formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para encontrar un plan óptimo para embarcar el producto final desde las refinerías (incluida la nueva de St. Louis) hasta los centros de distribución, la asignación de los 360 millones de barriles de petróleo crudo por año a las refinerías esté basada en minimizar el costo anual total de estos embarques. Compare el costo anual total por estos embarques con los resultados obtenidos en la parte b) y en la figura 15.17. Suponga que se utilizará el plan que se encuentra en la parte c) (incluida la especificación relacionada con cuánto petróleo crudo recibirá y procesará cada refinería). Sobre esta base, formule y solucione un modelo de hoja de cálculo para encontrar un plan óptimo para embarcar petróleo crudo de los campos petroleros a las refinerías. Compare el costo anual total resultante por estos embarques con los resultados que se obtuvieron en la parte a) y en la figura 15.13. También calcule el costo anual total de embarcar tanto el petróleo crudo como el producto terminado de acuerdo con este plan y compárelo con el total correspondiente que se obtuvo en la parte b) y en la tabla 15.20.

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e)

f)

g)

Usted nota que, hasta ahora, ha mejorado el problema general sólo de manera parcial al cambiar sólo una parte de él cada vez, así que ahora es el momento de llegar a la mejor parte. Formule un modelo de hoja de cálculo sencilla que considere en forma simultánea el embarque de 360 millones de barriles de petróleo crudo por año de los campos petroleros a las refinerías (incluida la nueva en St. Louis) y el embarque del producto final de las refinerías a los centros de distribución. Utilice el objetivo de minimizar el gran total de todos estos costos de embarque. Como las refinerías en conjunto tienen una capacidad de procesamiento de 390 millones de barriles de petróleo crudo por año, las decisiones en relación con la cantidad de petróleo crudo que cada refinería recibirá y procesará (de acuerdo con la capacidad de cada refinería) también se basarán en este mismo objetivo. Solucione el modelo y compare el total resultante de todos los costos de embarque con el total correspondiente que se calculó en las partes b) y d ) y en la tabla 15.20. Repita la parte e) si la nueva refinería (con una capacidad de procesamiento de 150 millones de barriles de petróleo crudo por año) se colocara en Los Ángeles en lugar de St. Louis. Luego repítala de nuevo si Galveston fuera elegido como el sitio en lugar de St. Louis. Utilice los costos operativos que se dan en la tabla 15.19 para los tres sitios, construya una tabla como la 15.20 para mostrar la nueva comparación financiera entre los sitios. (Aunque los costos de operación serán más grandes que los que se dan en la tabla 15.19 si la nueva refinería procesa más de 120 millones de barriles de petróleo crudo por año, la administración ha instruido al equipo de trabajo para suponer que las diferencias en los costos operativos en la tabla 15.19 continuarán vigentes, así que las diferencias en los costos variables totales en la tabla que se construye todavía serían válidos.) Ahora usted está listo para enviar todos sus resultados (incluidas sus hojas de cálculo) a la administración. Escriba un memorando de envío que presente todas sus recomendaciones.

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