Cheminements Planimetriques: 1/introduction

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CHEMINEMENTS PLANIMETRIQUES

1/Introduction Pour connaître les coordonnées (X, Y) d'un point P, il faut s’appuyer sur des points existants : par exemple les points A et B de la figure 1. Si ces derniers sont trop loin du point P ou ne peuvent être visés directement en raison d’obstacles, on utilise des points intermédiaires pour arriver jusqu'au point cherché (points 1 et 2 de la figure 1.). On parle de parcours polygonal ou de cheminement.

Figure 1 : Parcours polygonal

2/ Méthodologie des mesures Soit deux points A et B, tel que

:

X

j Xj

Өij D

i

Xi

Y Yj

Yi

Alors on a : 𝑋𝑗 = 𝑋𝑖 + 𝐷 𝐶𝑂𝑆 𝜃𝑖𝑗 ; 𝑌𝑗 = 𝑌𝑖 + 𝐷 𝑆𝐼𝑁 𝜃𝑖𝑗 Pour faire ces calculs, il faut connaître les distances horizontales mesurées sur le terrain, et les orientements Өij de chaque tronçon. 1

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3/ Cheminement polygonal 3-1/ cheminement ouvert. Observations Le cheminement ouvert, ou ligne polygonale, est une ligne brisée orientée définie géométriquement par - Une origine connue en coordonnées rectangulaires dans le système STT ; - Une direction de référence à l’origine dont l’orientement est connu ; - Les angles azimutaux des côtés successifs, y compris celui à l’origine entre la direction de référence et le premier côté ; - Les longueurs des côtés réduites au système de projection. - Les angles sont mesurés avec un théodolite, les distances au distancemètre, au ruban ou au stadimètre.

Calcul : Soit un cheminement ouvert ,(voir figure 2) de n côtés, d’origine 0 et d’extrémité n. L’orientement de départ Өd , les angles αi de deux côtés successifs ainsi que les longueurs Di des côtés sont connus. On veut déterminer les coordonnées des sommets i (i varie de 1 à n). Les coordonnées du sommet de l’origine 0 sont connues.

Figure 2 : Cheminement ouvert

La transmission des orientements consiste à calculer les orientements des côtés successifs à partir de l’orientement de départ et des angles polygonaux :

2

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Les composantes en abscisses et ordonnées des vecteurs successifs, appelées coordonnées relatives valent :

ET

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3-2/ Cheminement encadré : Observations : Le cheminement encadré est défini géométriquement par les mêmes données que celles du cheminement ouvert auxquelles s’ajoutent : - l’orientement d’une direction de référence à l’extrémité n ; - les coordonnées de l’extrémité n ; - la mesure de l’angle polygonal à l’extrémité entre le dernier côté n et la direction de référence. Calcul : Soit un cheminement encadré ,(voir figure 3) de n côtés, d’origine 0 et d’extrémité n. L’orientement de départ Өd , l’orientement de fermeture Ө f , les angles αi de deux côtés successifs ainsi que les longueurs Di des côtés sont connus. On veut déterminer les coordonnées des sommets i (i varie de 1 à n - 1). Les coordonnées du sommet de l’origine 0 et de l’extrémité n sont connues.

Figure 3 : Cheminement encadré

Compensation des erreurs angulaires : Du fait de l’imprécision des orientements de référence imposés Ө d et Ө f , comme celle des angles polygonaux mesurés, l’orientement de fermeture ainsi calculé à partir de l’orientement de départ est la somme des angles corresponds à un orientement approché voisine de l’orientement Ө f. -

Ecart d’orientement connu : ∆𝜽𝒄 = 𝜽𝒅 − 𝜽𝒇 . 𝒎 Ecart d’orientement mesuré : ∆𝜽𝒎 = 𝜽𝒎 𝒅 − 𝜽𝒇 = − ∑ 𝜶𝒊 ± 𝒏. 𝟐𝟎𝟎 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒊 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝟏 𝒂 𝒏.

-

Ecart de fermeture angulaire : 𝒇𝜽 = ∆𝜽𝒄 − ∆𝜽𝒎 . Vérification 𝒇𝜽 ≤ 𝑻𝜽 ; 𝑻𝜽 ∶ 𝑻𝒐𝒍é𝒓𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆. .

-

Compensation angulaire : 𝑪𝜽 = −

-

Calcul des angles compensés :

-

Calcul des orientements compensés. : 𝜽𝒊

𝒇𝜽

𝒏 𝒄𝒐𝒎𝒑 𝜶𝒊

; 𝒏, 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈𝒆𝒓. = 𝜶𝒎𝒆𝒔 + 𝒄𝜽 . 𝒊 𝒄𝒐𝒎𝒑

𝒄𝒐𝒎𝒑 = (𝜽𝒅 ±𝒏 𝟐𝟎𝟎) + ∑ 𝜶𝒊 .

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Compensation des erreurs linéaires : Du fait de l’imprécision des coordonnées de 0 et n et celles des coordonnées relatives ∆X et ∆Y ainsi calculées à partir de celles de l’origine 0 et de la somme algébrique des D, correspond à une extrémité voisine de l’extrémité exacte.

-

Variations linéaires connues

∆𝑋𝐶 = 𝑋𝑛 − 𝑋0 ; -

∆𝑌 𝐶 = 𝑌𝑛 − 𝑌0

Variations linéaires mesurées

∆𝑋𝑚 = ∑ 𝐷𝑖 cos 𝜃𝑖−1 ,𝑖 -

;

∆𝑌 𝑚 = ∑ 𝐷𝑖 sin 𝜃𝑖−1 ,𝑖

Erreurs de fermeture planimétrique

𝑓𝑥 = ∆𝑋𝐶 − ∆𝑋𝑚 -

𝑐𝑜𝑚𝑝

= ∆ 𝑋𝑖𝑚𝑒𝑠 + 𝐶𝑖𝑥 ;

𝑐𝑜𝑚𝑝

∆𝑌𝑖

𝑦

= ∆ 𝑌𝑖𝑚𝑒𝑠 + 𝐶𝑖

Calcul des coordonnées des différents points de cheminement

𝑐𝑜𝑚𝑝

𝑋𝑖+1

𝑓𝑦 = ∆𝑌 𝐶 − ∆𝑌 𝑚

Calcul des variations de coordonnées composées

∆𝑋𝑖

-

;

𝑐𝑜𝑚𝑝

= 𝑋𝑖 + ∆𝑋𝑖+1

;

𝑐𝑜𝑚𝑝

𝑋𝑖+1

𝑐𝑜𝑚𝑝

= 𝑋𝑖 + ∆𝑋𝑖+1

La norme du vecteur de fermeture planimétrique : √𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦2 - Vérification : f < Tf ; Tf : tolérance linéaire. - Compensation linéaire : Il faut répartir f X et f Y sur les coordonnées relatives (∆X et ∆Y) proportionnellement aux longueurs des côtés

𝑓 𝐷𝑖 𝐷𝑖

𝑐𝑥𝑖 = ∑𝑥

;

𝑓𝑦 𝐷𝑖

𝑐𝑦𝑖 = ∑

𝐷𝑖

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Exercice 1 Un topographe fait le levé d’une polygonale de base pour un tracé routier.il relève les résultats suivant : On donne : − − −

AB = 82.43m ; BC= 46.59m ; CD = 69.63m ; DE = 73.99m Orientement de la direction AB ; 𝜃AB = 298.8453 gr. Orientement de la direction EF ; 𝜃EF =208.7888 gr. Les coordonnées du point A : XA= 1465.767 m et YA= 261.896 m. Les coordonnées du point E : XE = 1502.273 m et Y E= 49.307 m. Les tolérances : 0.08gr sur l’écart de fermeture angulaire et 10 cm sur celui de la fermeture linéaire.

On demande de : 1/ Calculer et compenser les angles à droites aux points sommets B ; C ; D et E. 2/Calculer les orientements 𝜃 BC ; 𝜃CD ; 𝜃 DE 3/Calculer les coordonnées des points B ; C ; D et E Remplir le tableau du document réponse(1).

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comp. (gr)

Point S Angle

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Orient

Distance

(gr)

(m)

∆X= D cos(Θ)

∆Xcompensées

Comp

∆Y= D sin(Θ)

Cix

+

-

Ciy

+

-

+

A

B

C

D

E CONTROLE

∑=

∆Ycompensées

Comp

∑=

∑=

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-

+

-

X

Y

(m)

(m)

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3-3/Cheminement fermé : Observations : C’est un polygone, calculé comme un cheminement, dont un sommet tient lieu à la fois d’origine et d’extrémité. Si l’orientement et les coordonnées à l’origine sont connues les observations consistent à mesurer les angles polygonaux αi et les distances réduites Di.

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POINT

Angle compensé(gd)

Orient.(gd)

Distance (m)

∆Xmes(m) +

-

Cx

∆Xcomp(m) + -

∆Ymes(m) +

-

Cy

∆Ycomp(m)

X(m)

Y(m)

7926.4 2

1160.81

C

A 147.730 B 104.815 C 177.590 A

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