Control 6 - Desarrollo

IACC – Curso de Matemática – RESPUESTAS A CONTROL N° 6 PREGUNTA 1. Dada la función: 𝒇 𝒙 =

𝟐𝒙𝟐 − 𝟑 𝟐𝒙

𝒙<0 𝒙>0

a) Determine la imagen del 2. b) Determine 𝒇(−𝟐) . c) ¿Existe la imagen del 0? Justifique. Respuesta: a) Como 𝑥 = 2 es mayor que cero, entonces: 𝑓 2 = 2∙2= 4= 2 b) Como 𝑥 es menor que cero, entonces: 𝑓 −2 = 2(−2)2 − 3 = 2 ∙ 4 − 3 = 8 − 3 = 5 c) No existe la imagen del cero porque este no pertenece al dominio de la función.

PREGUNTA 2. Determine el dominio de: 𝒇 𝒙 =

𝟐𝒙 − 𝟖 𝒙 + 𝟕 𝟏 − 𝟑𝒙

Respuesta: Como se trata de una función fraccionaria, para calcular el dominio se debe exigir que el denominador sea diferente de cero, esto es: 

Restricción 1: 𝑥 + 7 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −7



Restricción 2: (1 − 3𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3

1

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IACC – Curso de Matemática – RESPUESTAS A CONTROL N° 6 Luego, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = ℝ − −7, 1/3

PREGUNTA 3. Determine el recorrido de: 𝒇 𝒙 =

𝒙−𝟐 𝟏 − 𝟓𝒙

Respuesta: Primer paso. Hacemos 𝑓(𝑥) = 𝑦: 𝑦=

𝑥−2 1 − 5𝑥

Segundo paso. Despejamos 𝑥: 𝑦 1 − 5𝑥 = 𝑥 − 2 → 𝑦 − 5𝑥𝑦 − 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 −5𝑦 − 1 = −𝑦 − 2 →𝑥=

−𝑦 − 2 𝑦+2 = −5𝑦 − 1 5𝑦 + 1

Para que 𝑓(𝑥) sea real: 5𝑦 + 1 ≠ 0 →𝑦≠−

1 5

Luego, el recorrido de la función es: 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ − −

1 5

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IACC – Curso de Matemática – RESPUESTAS A CONTROL N° 6 PREGUNTA 4. Una persona construirá la superficie de una mesa, como se muestra en la siguiente figura:

Dispone de 50 m de perfil de aluminio para construir el marco y la división. Determine la función que representa el área de la mesa en función de su ancho. Respuesta: Definimos las variables para el ancho (𝑥) y el largo (𝑦):

y

x 3𝑦 + 2𝑥 = 50 Despejamos 𝑦 porque el enunciado del problema indica que se debe determinar el área de la puerta en función de su ancho, que es 𝑥: → 3𝑦 = 50 − 2𝑥 →𝑦=

50 − 2𝑥 3 Página 3 de 5

IACC – Curso de Matemática – RESPUESTAS A CONTROL N° 6

El área del rectángulo es: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 ∙

50 − 2𝑥 3

PREGUNTA 5. Determine el dominio de:

𝒇 𝒙 =

𝟑𝒙 − 𝟏 (𝟐 − 𝒙) 𝒙+𝟒

Respuesta: Para determinar el dominio de una función correspondiente a una raíz cuadrada, se debe exigir que el radical sea mayor e igual a cero, con la finalidad de que la expresión de la función sea real. Esto es: 3𝑥 − 1 (2 − 𝑥) ≥0 𝑥+4 Restricciones: 𝑥 + 4 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −4 Puntos críticos: 3𝑥 − 1 = 0 → 3𝑥 = 1 → 𝑥 =

1 3

2−𝑥 =0→ 𝑥 =2 𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = −4

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IACC – Curso de Matemática – RESPUESTAS A CONTROL N° 6 Tabla de valores:

-∞

–4

1/3

∞

2

3x – 1

–

–

+

+

2–x

+

+

+

–

x +4

–

+

+

+

(3x – 1)(2 – x ) / (x + 4)

+

–

+

–

1

Luego, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 =] − ∞, −4[ ∪ [3 , 2]

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