Derivadas Parciales De Orden Superior

"DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR ".

CONCEPTO. • Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique.

DERIVADA PARCIAL. • Si tenemos z = f (x, y), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:

Derivada parcial de segundo orden. • Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto de x y de y. Se les llama derivadas parciales de segundo orden. Si se usa la notación 𝑓𝑥 para la derivada parcial (con respecto a x en este caso), las derivadas parciales de segundo orden también se pueden escribir así:

O también..

Las derivadas parciales de segundo orden que involucran variables distintas de entrada, tales como 𝑓𝑥𝑦 y 𝑓𝑦𝑥 se conocen como "derivadas parciales mixtas"

• Normalmente se acostumbra derivar de izquierda a derecha en el orden de las variables, por ejemplo, la notación 𝑓𝑥𝑦 quiere decir que primero se deriva con respecto a x y después el resultado de la misma se deriva con respecto a y. Y la notación 𝑓𝑦𝑥 significa que el orden es el inverso.

"Sin embargo en el teorema descubierto por el francés Alexis Clairaut , nos demuestra que el orden de derivación no altera el resultado ".

TEOREMA DE CLAIRAUT . (teorema de la derivada cruzada). • Si f (x, y) y sus derivadas parciales 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑥 están definidas en una región abierta que contiene a un punto (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) y todas son continuas en (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) entonces:

𝒇𝒙𝒚 (x,y) = 𝒇𝒚𝒙 (x,y)

• Este teorema es extensible a funciones de n variables independientes o conocidas como derivadas parciales de orden superior. Por ejemplo:

𝐟𝐱𝐲 (x,y) = 𝐟𝐲𝐱𝐲 (x,y) =

𝛛𝟑 𝐟 𝛛𝐲𝛛𝐲𝛛𝐱

=

𝛛 𝛛𝟐 𝐟 ( ) 𝛛𝐲 𝛛𝐲𝛛𝐱

𝐟𝐲𝐱𝐳 (𝐱, 𝐲, 𝐳)= 𝐟𝐳𝐱𝐲 (x,y,z)

EJEMPLO.

FUNTES DE INFORMACION. • RECUPERADO DE: https://es.khanacademy.org/math/multivariablecalculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-andgradient-articles/a/second-partial-derivatives http://ajlasa.com/mate3/d-parc-sup.pdf http://matematicas.unex.es/~montalvo/Analisis_Varias_V ariables/apuntes/cap09.pdf